Геометрическая теория функций комплексного переменного - Голузин Г.М.

Автор: Голузин Г.М.
Теги: анализ математический анализ высшая математика
Год: 1966
Похожие
Методы теории функций комплексного переменного
Основы теории аналитических функций комплексного переменного
Введение в теорию функций комплексного переменного
Теория функций комплексной переменной
Текст
                    Геннадий Михайлович Голузин
1906—1952

Г. М. ГОЛУЗИН
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ
Под редакцией
В. И. СМИРНОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1966

517.2
Г82
УДК 517.53
ГолузЬн Геннадий Михайлович
Геометрическая теория функций
комплексного переменного
М., 1966 г. 628 стр. t илл.
Редактор Голузина Е. Г.
Тем. редактор Брудно К. Ф. Корректор Бакулова А. С.
Сдано в набор 7/11 1966 г. Подписано к печати 23/1Х 1966 г. Бумага 60 X 90 Vie- Физ. печ.
л. 89,25 +1 вкл. Условн. печ. л. яаяд Уя-я.» л. 37.19. Тираж 9000 »кз. Т-12 704.
Цена книги 2р. № к. Заказ № 327.
-1 LIEHAl Издательство «Наука»
[ физико-математической литературы.
В-71, Ленинский проспект, 16.
Ленинградская типш
„ типографйяЖг «Печатный Двор» имени А. М. Горького Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР, Гатчинская, 26.
2-2-3
81-66

ОГЛАВЛЕНИЕ
Геннадий Михайлович Голузин 7
Предисловие ко второму изданию 9
Предисловие 10
Вводные геометрические сведения 11
Глава I. Сходимость последовательностей аналитических и гар-
гармонических функций ' 16
§ 1. Сходимость последовательностей аналитических функций... 16
§ 2. Принцип сгущения 19
§ 3. Сходимость гармонических функций 24
Глава П. Принципы конформного отображения односвязных об-
областей 27
§ 1. Однолистное конформное отображение 27
§ 2. Теорема Римана 29
§ 3. Соответствие границ при конформном отображении 35
§ 4. Теоремы искажения 48
§ 5. Теоремы сходимости для конформного отображения последо-
последовательности областей 56
§ 6; Модулярные и автоморфные функции , , 62
§ 7. Нормальные семейства аналитических функций. Приложения. 67
Глава III. Реализация конформного отображения односвязных
областей г ...... 76
§ 1. Конформное отображение областей, ограниченных прямолиней-
прямолинейными и круговыми многоугольниками 76
§ 2. Параметрическое представление однолистных функций .... 89
§ 3. Вариация однолистных функций 98
1*

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава IV. Экстремальные вопросы и оценки в классах однолист-
однолистных функций ПО
§ 1. Теоремы вращения ПО
§ 2. Усиления теорем искажения 118
§ 3. Экстремумы и мажорация типа теорем искажения 127
§ 4. Метод вариаций в применении к другим экстремальным за-
задачам 140
§ 5. Границы выпуклости и звездообразное™ 165
§ 6. О покрытии отрезков и площадей 170
§ 7. Леммы о средних модулях. Оценки коэффициентов 182
§ 8. О взаимном росте коэффициентов однолистных функций. . . 190
§ 9. Точные оценки коэффициентов 196
Глава V. Однолистное конформное отображение многосвязных
областей 205
§ 1. Однолистное конформное отображение двухсвязной области
на кольцо 205
§ 2. Однолистное отображение многосвязнойг области на плоскость
с прямолинейными и параллельными разрезами . 210
§ 3. Однолистное отображение многосвязной области на спирале-
спиралеобразную область 215
§ 4. Некоторые соотношения для отображающих функций 221
§ 5. Теоремы сходимости для однолистного отображения последо-
последовательности областей 226
§ в. Однолистное отображение многосвязных областей на круго-
круговые области. Метод непрерывности 231
§ 7. Доказательство теоремы Брауера 241
Глава VI. Отображение миогосвязиых областей на круг 248
§ 1. Конформное отображение миогосвязной обяастн на круг. . . 248
§ 2. Соответствие границ при отображении многосвязной области
на круг 255
§ 3. Задача Дирихле и функция Грина . 259
§ 4. Приложение к однолистному отображению многосвязных
областей 267
§ 5. Отображение га-связной области на л-листный круг 269
§ 6. Некоторые тождества, связывающие однолистное конформное
отображение и задачу Дирихле ... 275
Глава VII. Метрические свойства замкнутых множеств на пло-
плоскости 285
§ 1. Трансфинитный диаметр и постоянная Чебышева 285
§ 2. Оценки трансфинитного диаметра 291
§ 3. Емкость ограниченного замкнутого множества 300

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
§ 4. Гармоническая мера ограниченных замкнутых множеств . . . 305
§ 5. Приложение к мероморфным функциям ограниченного
вида. . . 311
Глава VIII. Принципы мажорации и их приложения 319
§ 1. Инвариантная форма леммы Шварца 319
§ 2. Принцип гиперболической метрики 325
§ 3. Принцип Лннделёфа 328
§ 4. Гармоническая мера. Простейшие приложения 331
§ 5 О числе-асимптотических значений целых функций конечного
порядка 340
§ 6. Гиперсходимость степенных рядов 344
§ 7. Неаналитическое обобщение леммы Шварца. Теоремы покры-
покрытия кругов 348
§ 8. Мажорация подчиненных аналитических функций 356
Глава IX. Граничные вопросы для аналитических функций
в круге 368
§ 1. Предельные значения интеграла Пуассона 368
§ 2. Представление гармонических функций интегралом Пуассона
и интегралом Пуассона—Стилтьеса 373
§ 3. Предельные значения аналитических функций 380
§ 4. Граничные свойства функций класса Нр 388
§ 5. О функциях, непрерывных в замкнутом круге. 395
Глава X. Граничные вопросы для функций, аналитических внутри
спрямляемого контура . 403
§ 1. Соответствие границ при конформном отображении 403
§ 2. Теорема единственности И. И. Привалова 413
§ 3. О предельных значениях интеграла Коши 415
§ 4. Формула Коши 420
§ 5. Классы функций. Формула Коши 422
§ 6. Об экстремумах средних модулей • 425
§ 7. Аппроксимация в среднем и теория ортогональных по-
полиномов 432
Глава XI. Некоторые дополнения 43S
§ 1. Теоремы склеивания 438
§ 2. Конформное отображение односвязиых римановых поверхно-
поверхностей 444
§ 3. Об одном экстремуме для ограниченных функций в много-
многосвязных областях 450
§ 4. К теореме о трех кругах 458
§ 5. Преобразование аналитических функций посредством полино-
полиномов ,.,.,.., 461

6 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 6. О р-листных функциях 469
§ 7. О задаче Каратеодори— Фейера и об одной аналогичной
задаче 477
§ 8. Некоторые оценки для ограниченных функций 492
§ 9. Об одном методе вариаций в теории аналитических фун-
функций 504
Научные работы Геннадия,Михайловича Голузина 520
Литература 523
Добавление. Методы и результаты геометрической теории функций
(Ю. Е. Аленицын, Г. В. Кузьмина, Н. А. Лебедев) 532
Литература к добавлению 612
Предметный указатель 627

ГЕННАДИЙ МИХАЙЛОВИЧ ГОЛУЗИН
A906—1952)
Автор настоящей книги Геннадий Михайлович Голузин родился
в 1906 году в городе Торжке. В 1924 году он поступил на мате-
математический факультет Ленинградского государственного универ-
университета. С этого времени и до конца жизни не прерывалась его
связь с Университетом. В начале 1929 года он защитил свою
дипломную работу, которая тогда же была напечатана в „Ма-
„Математическом сборнике*. После окончания Университета Г. М. Го-
Голузин начал свою преподавательскую деятельность. В 1936 году
он блестяще защитил докторскую диссертацию и в 1938 году
получил звание профессора. С 1939 года Г. М. Голузин возглавлял
кафедру теории функций комплексного переменного в Ленинградском
государственном университете, где с большой энергией и любовью
вел как преподавание, так и руководство научной работой начи-
начинающих ученых. В течение ряда лет он один вел как основной,
так и ряд специальных курсов, а также из года в год руководил
семинаром по геометрической теории функций комплексного пере-
переменного.
С момента основания Ленинградского отделения Математи-
Математического института АН СССР, т. е. с 1940 года, Г. М. Голузин
одновременно работал и в этом институте, где вел интенсивную
научную работу.
Выдающиеся научные заслуги Г. М. Голузина были отмечены
первой премией Университета за 1946 год и Государственной
премией за 1947 год. Результатом научной и педагогической дея-
деятельности Г. М. Голузина и является настоящая книга. Во время
печатания ее первого издания, после продолжительной и тяжелой
болезни, Геннадий Михайлович скончался 17 января 1952 года.
В одной из своих ранних работ Г. М. Голузин, используя
параметрическое представление Лёвнера для класса S функций
f{z) = z -\- c^z* -\-..., регулярных и однолистных в круге \г\<^1,
получил точную форму так называемой теоремы вращения —

8 г. м. голузин
точную оценку для |arg/'B)| в классе S. Эту трудную задачу
долго не удавалось решить.
В дальнейших своих работах Г. М. Голузин продолжал систе-
систематически развивать указанный метод параметрических пред-
представлений, создав общий метод исследования весьма широкого
круга экстремальных задач.
Г. М. Голузин создал свой вариант метода внутренних вари-
вариаций, с помощью которого получил ряд глубоких результатов.
Вариационный метод Г. М. Голузина стал одним из основных
современных методов исследования однолистных функций.
Весьма сильные результаты Г. М. Голузин получил в проблеме
оценки порядка роста коэффициентов однолистных функций.
В частности, он в известном смысле до конца решил задачу о
взаимном росте коэффициентов функций класса S: если оценка
IcbI^^/i", Ay—константа, о^О, выполняется для п, принимаю-
принимающего значения членов какой-либо арифметической прогрессии,
то при всех п \ сп | sg Афа, где Ла — константа, зависящая только
от Ах и о. Для коэффициентов функций шого же класса он
О
нашел оценку \сп\<^-т-еп, что явилось первым серьезным после
известного результата Литтльвуда A925 г.) продвижением в про-
проблеме коэффициентов.
Перу Г. М. Голузина принадлежит и ряд работ в других
разделах теории функций комплексного переменного, а также
в математической физике. Упомянем об его исследованиях по
конформному отображению многосвязных областей на области
канонического типа и работы, связанные с решением задачи Ди-
Дирихле для уравнения Лапласа в случае областей, ограниченных
окружностями или сферами.
Даже простое перечисление результатов многочисленных .и
богатых содержанием работ Г. М. Голузина потребовало бы
слишком много Места. Представление о них читатель может
получить, прочитав предлагаемую книгу.
Геннадий Михайлович Голузин был человеком исключительной
скромности и оставил о себе яркую память как о выдающемся
ученом и обаятельном человеке.
Академик В. И. Смирнов
7 июня 1966 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Первое издание монографии Г. М. Голузина вышло из печати
в 1952 году, уже после смерти ее автора. За последнее десятилетие
появилась большая литература по темам, близким к содержанию на-
настоящей монографии, и многие из этих результатов получены в рабо-
работах учеников Г. М. Голузина. В связи с этим в специальном доба-
добавлении дан обзор этой литературы.
Текст книги подвергся небольшим изменениям, которые мы укажем.
В начале книги исключены хорошо известные теоремы Рунге и Уолша
о приближении регулярных функций полиномами, которые можно
легко найти в литературе, а также теорема о построении отображаю-
отображающей функции посредством ортогональных полиномов. Добавления
имеются в главах IV и XI. Именно, небольшое добавление включено
в конце § Г главы IV. Во втором параграфе этой главы несколько
изменена последовательность изложения: приводятся перед формули-
формулировкой теоремы 1 дополнительные соотношения C), D) и E) из
работы Г. М. Голузина [195]^, добавлены одно следствие к теореме 3
Н. А. Лебедева и теорема 4 из работы Г. М. Голузина [1951& Мате-
Материал конца третьего параграфа главы IV расширен на основе работ
Г. М. Голузина [1946е, 1947, 1951г] и выделен в отдельный четвер-
четвертый параграф. В связи с этим произведена перенумерация следующих
параграфов главы IV. Теоремы 3 и 4 из главы V, § 3 перенесены
в главу V, § 6 (теоремы 6 и 7) и приведены без доказательства.
Глава XI расширена путем добавления четырех параграфов (§§ 6—9),
в которых излагаются почти без изменений работы Г. М. Голузина
[1940, 1946а, 1950, 1952]. Все добавления, не входящие в работы
Г. М. Голузина, выделены скобками (...).
В книге добавлены три списка литературы. Один из них соответ-
соответствует ссылкам в основном тексте книги, а другой — ссылкам в добав-
добавлении. Кроме того, дан полный список работ Г. М. Голузина.
Академик В. И. Смирнов
1965 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ
В основе настоящей книги лежит содержание лекций по курсу
„Геометрическая теория функций" и отчасти по курсу „Дополнитель-
„Дополнительные главы теории функций комплексного переменного", читанных
автором в Ленинградском ордена Ленина государственном универси-
университете имени А. А. Жданова. В ней излагаются: теория однолистного
конформного отображения односвязных и многосвязных областей,
конформное отображение многосвязных областей на круг, приложения
конформного отображения к изучению внутренних и граничных свойств
аналитических функций, а также вообще вопросы геометрического харак-
характера, относящиеся к аналитическим функциям. Наряду с различными
общими проблемами геометрической теории функций рассматриваются
также многие частные проблемы, служащие предметом исследования
в настоящее время. Однако книга не претендует на изложение всех
вопросов, относящихся к геометрической теории функций, или на
изложение их в одинаковой степени полно. Это была бы непосильная
работа для автора. Поэтому, естественно, некоторые вопросы геометри-
геометрической теории функций остались незатронутыми, другие рассмотрены
недостаточно полно, но во многих таких случаях автор дает надле-
надлежащие литературные указания.
Книга рассчитана на читателя, уже владеющего основами теории
функций комплексного переменного в объеме университетского
курса или, соответственно, в объеме основных глаз книг:
И. И. П р и в а л о в, Введение в теорию функций комплексного перемен-
переменного; В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. III и А. И. М а р-
к у ш е в и ч, Теория аналитических функций.
Г. М. Голузин

ВВОДНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Геометрическая теория функций комплексного переменного изучает
аналитические функции, определяемые каким-либо геометрическим свой-
свойством, а также различные геометрические свойства тех или иных классов
аналитических функций. Естественно, поэтому, что она опирается на
ряд общих геометрических понятий, встречающихся в современной
математике. Мы имеем в виду дать здесь, в порядке напоминания,
краткие сведения об этих понятиях, связанных с плоскостью комплекс-
комплексного переменного, и притом в той мере, в какой они будут необхо-
необходимы в нашем дальнейшем изложении.
Множества точек на плоскости. Множества точек на плоскости
будем обозначать большей частью большими буквами; точки же пло-
плоскости обозначаем малыми буквами, а именно теми же буквами, что
и соответствующие им комплексные числа.
Если точка а принадлежит множеству Е, то это записывается так:
а ?5 Е. Если все точки множества Е принадлежат множеству F, то
пишут ?cF и называют ? множеством, лежащим в F, или частью F.
Каждой точке плоскости приписываются окрестности. Под окре-
окрестностью данной точки а понимается совокупность всех внутренних
точек какого-либо круга с центром в а (а иногда и любое множество
точек, содержащее в себе такую круговую окрестность). Окрестность
называется достаточно малой, если радиус круга достаточно мал.
Комплексная плоскость дополняется одной несобственной бесконечно
далекой точкой оо, которую считаем лежащей вне любого круга. Под
ее окрестностью понимается совокупность всех точек, лежащих вне
какого-либо круга. При этом окрестность считается достаточно малой,
если радиус круга достаточно велик. Отметим, что особый характер
точки оо исчезает, если с плоскости перейти на числовую сферу
с помощью стереографической проекции.
Множество точек называется ограниченным, если оно целиком
лежит внутри некоторого круга.
Точка а плоскости называется предельной точкой или точкой
сгущения данного множества, если в любой окрестности а имеются
точки множества, отличные от а. Предельная точка может принадле-
принадлежать, а может и не принадлежать множеству. Точка множества, не

|2 ВВОДНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
являющаяся его предельной точкой, называется изолированной точкой
множества.
Бесконечное множество точек всегда имеет, по крайней мере, одну
предельную точку. Если такое множество является ограниченным, то
это утверждение составляет известную теорему БольЦано — Вейерш-
трасса и тогда все его предельные точки конечны. Если же беско-
бесконечное множество неограниченное, то одной из его предельных точек
непременно будет бесконечно далекая точка.
Если данная точка а предельная для некоторого множества, то из
него можно выделить последовательность точек, сходящуюся к а.
Последовательность точек может сходиться и к бесконечно далекой
точке. Для того чтобы последовательность сходилась к конечной точке,
необходимо и достаточно, чтобы расстояние между любыми двумя
точками этой последовательности, начиная с некоторого номера, было
меньше любого данного положительного числа.
Множество точек называется замкнутым, если ему принадлежат
все его предельные точки. Любое множество можно сделать замкнутым,
если к нему присоединить все его предельные точки. Так полученное
из множества Е замкнутое множество обозначается через Е и назы-
называется замыканием множества Е.
Расстоянием между двумя множествами без общих точек назы-
называется точная нижняя граница расстояний любых пар точек, взятых
по одной из каждого множества. Известно, что если оба множества
замкнуты, то это расстояние положительно и упомянутая нижняя
граница достигается для некоторой пары точек.
Другое важное свойство замкнутых множеств формулируется
в столь же хорошо известной теореме покрытия Гейне — Бореля:
Если замкнутое ограниченное множество Е покрыто множеством
кругов так, что каждая точка Е лежит внутри одного из этих
кругов, то среди указанных кругов существует конечное число
кругов, покрывающих в совокупности множество Е.
Замкнутое множество, состоящее более чем из одной точки, назы-
называется континуумом, если оно не распадается на два непустых замкну-
замкнутых множества без общих точек. Одноточечное множество мы будем
называть вырожденным континуумом.
Точка некоторого множества называется внутренней для него, если
вместе с ней этому множеству принадлежит и некоторая окрестность
этой точки.
Наряду с замкнутыми множествами рассматриваются открытые
множества — это множества, состоящие только, из внутренних точек.
Очевидно, дополнение к замкнутому множеству на плоскости есть
открытое множество, а дополнение к открытому — замкнутое.
Напомним определения суммы, разности и пересечения множества
точек. Даны множества точек Ev ?а, ..., в конечном или бесконечном
числе; множество, состоящее из точек, каждая из которых принадле-

ВВОДНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ 13
жит хоть одному из этих множеств, называется их суммой и обозна-
обозначается через Ei {J ?a {J ... или через [J Ek; множество же точек, общих
всем множествам Elt ?а, ..., называется их пересечением и обозна-
обозначается через Ei f\ ?a f\ ... .или через (~\ Ек. Если множество Е является
частью множества F, то F — Е есть множество всех точек F, не при-
принадлежащих Е.
Имеют место следующие свойства: сумма конечного" числа и пере-
пересечение любой совокупности замкнутых множеств есть множество
замкнутое, а пересечение конечного числа и сумма любой совокупности
открытых множеств есть открытое множество.
Области и кривые. Одним из основных геометрических по-
понятий теории функций комплексного переменного является понятие
области.
Областью называется открытое множество, любые две точки кото-
которого можно соединить некоторой ломаной линией, целиком состоящей
из точек этого множества (свойство связности). Граничными точками
области называются точки плоскости, не принадлежащие области, но
являющиеся для нее предельными точками. Если область отлична от
всей плоскости, то она наверное имеет граничные точки. Совокупность
всех граничных точек области образует границу области. Граница
области есть замкнутое множество. Точки плоскости, не являющиеся
для области ни внутренними ни граничными точками, называются ее
внешними точками1). У каждой внешней точки области существует
окрестность, не содержащая точек области.
Если к области присоединить ее границу, то полученное множество
называется замкнутой областью. В отличие от замкнутой области,
сама область иногда называется открытой областью.
Область называется односвязной, если ее граница состоит из кон-
континуума или из одной точки или же она является полной плоскостью.
В противном случае область называется многосвязной. Область будет
двухсвязной, трехсвязной, я-связной, если ее граница состоит соот-
соответственно из двух, трех, я континуумов (возможно, вырожденных)
без общих точек; все вместе такие области называются конечносвяз-
ными, а указанные континуумы, включая и вырожденные, — гранич-
граничными континуумами.
Роль областей в изучении замкнутых и открытых множеств видна
из следующей теоремы:
Всякое открытое множество Е на плоскости является сум-
суммой конечного или счетного множества областей.
Наряду с областью, другим основным геометрическим объектом
в теории функций комплексного переменного является кривая.
1) Эти понятия имеют смысл и по отношению к любому открытому
множеству.

14 ВВОДНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВВДВНИЯ
Непрерывной кривой называется множество точек плоскости, прямо-
прямоугольные координаты х, у которых могут быть заданы как непре-
непрерывные функции
*=<р@. у = Ф(О A)
вещественного переменного t в некотором конечном промежутке
a^t^b. Легко видеть, что это множество есть континуум.
Но непрерывная кривая — понятие слишком общее для наших
целей. Существуют непрерывные кривые, которые совершенно не соот-
соответствуют наглядному представлению о кривой, как об одномерной
фигуре. Так, можно построить непрерывную кривую, проходящую
через каждую точку данного квадрата. Однако, если потребовать, чтобы
кривая не имела кратных точек, то в этом случае она уже будет
обладать рядом наглядных свойств. Такие кривые называются про-
простыми кривыми или кривыми Жордана.
Итак, непрерывная кривая A) или, короче, кривая
г*г@, г(*) = 9(Q +*|>(*), а«<А B)
называется кривой Жордана, если для любых двух различных значе-
значений Г, t", f < t", из [a, b) имеем z (f) ф z (Г), г (О Ф z (Р). Точки z (а)
и z{p) могут как совпадать, так и быть различными. В первом слу-
случае кривая называется замкнутой, во втором незамкнутой.
Имеет место следующая важная теорема (Жордан):
Замкнутая кривая )КорЪана С делит плоскость на две одно-
связных области, имеющие С общей границей] одна из этих обла-
областей ограниченная — внутренность С, другая содержит оо — внеш-
внешность С. Дополнение же к незамкнутой кривой Щордана С состоит
из одной односвязкой области, содержащей оо и имеющей С своей
границей •).
Из незамкнутых кривых Жордана можно составить непрерывные
кривые и не жорданова типа. С другой стороны, и кривая Жордана
иногда оказывается понятием слишком общим и тогда для различных
целей вводятся кривые более частных типов, как например, гладкие,
кусочногладкие, спрямляемые кривые.
Кривая B) называется гладкой, если в [а, Ь] существует произ-
производная z' @ (на концах односторонняя), непрерывная и отличная от
нуля. Требование гладкости кривой, очевидно, равносильно требованию
существования касательной к кривой и непрерывного вращения этой
*) В то время, как доказательства до сих пор отмеченных нами утвер-
утверждений чрезвычайно просты — их читатель без труда воспроизведет сам —
доказательства теоремы Жордана и ряда нижеследующих утверждений соста-
составляют значительную трудность; относительно них читателю следует обра-
обратиться к специальным руководствам. Что касается самой теоремы Жорцана,
то отметим, что имеются два новых сравнительно простых ее доказательства,
предложенных А. И. Вольпертом [1950] и А. Ф. Филипповым [1950].

ВВОДНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ 15
касательной при движении по кривой. Кривая, составленная из конеч-
конечного числа гладких кривых, называется кусочногладкой кривой. Опре-
Определение спрямляемой кривой будет дано в гл. X. Наконец, простейший
тип непрерывной кривой — аналитическая кривая; эта кривая опре-
определяется уравнением г = г(t), a^t ^b, где z(t) вблизи каждого
значения t = tu, a^tu^.b, разлагается в сходящийся степенной ряд
с cj^O. Непрерывную кривую, составленную из конечного числа
аналитических кривых, назовем кусочноаналитияеской кривой.
Остановимся еще на некоторых вопросах, относящихся к областям.
Иногда в области приходится проводить разрезы по различным
кривым Жордана. Провести в области В разрез по кривой Жордана
L(Lc^B) значит удалить из В все точки кривой L. Будем рассматри-
рассматривать лишь разрезы, составленные из конечного или бесконечного
множества аналитических дуг; последний случай будем рассматривать
при условии, что концы этих дуг сгущаются только на границе
области. Разрез в области В называется поперечным, если он сое-
соединяет две (различные или совпадающие) граничные точки обла-
области В, являющиеся его концами, и остальными своими точками
лежит в В. Оказывается, что любой поперечный разрез в конечно-
связной области, соединяющий граничные точки, лежащие на раз-
различных граничных континуумах, не разделяя области на части,
уменьшает связность области на единицу; любой же поперечный
разрез в односвязной области делит ее на две односвязных области
(характеристическое свойство односвязных областей). Аналогично, раз-
разрез, представляющий замкнутую кривую Жордана, целиком лежащую
в области В, называется круговым разрезом. Круговой разрез всегда
делит область В на две области; в случае односвязной области В одна
из областей, ограниченных круговым разрезом, целиком лежит в В
(тоже характеристическое свойство односвязных областей). Наконец,
разрез, представляющий открытую кривую Жордана, лежащую в какой-
либо области В целиком или исключая один из своих концов, не
делит В на части. Отметим, что в конечносвязной области В всегда
можно провести поперечный разрез, соединяющий точки двух заданных
граничных континуумов (не вырождающихся в оо), а также круговой
разрез, содержащий внутри себя заданный ограниченный граничный
континуум и не содержащий никаких других граничных точек. Более
того, если ограниченное замкнутое множество Е лежит в области В,
то в В можно провести круговой разрез, отделяющий Е от границы В,
т. е. содержащий Е внутри себя, а всю границу области В — вне
себя. Указанные возможности можно даже осуществить посредством
разрезов, составленных из конечного числа прямолинейных отрезков

ГЛАВА I
СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
АНАЛИТИЧЕСКИХ И ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Сходимость последовательностей аналитических функций
Многие разделы теории функций комплексного переменного и,
в частности, геометрическая теория функций широко используют
в своих доказательствах особые свойства сходимости последователь-
последовательностей аналитических функций. Благодаря этим свойствам упомянутые
доказательства довольно просты и изящны по сравнению с аналогич-
аналогичными доказательствами вещественного анализа.
Введем следующие определения. Пусть имеется последовательность
однозначных функций Д (г), л = 1, 2,..,, определенных на некотором
множестве Е точек плоскости г. Эта последовательность называется
сходящейся в точке z0 ? Е, если последовательность чисел /„ (г0)
сходится. Последовательность функций /„ (г) называется сходящейся
на Е, если она сходится во всех точках множества Е. В этом случае
можно говорить о предельной функции f(z)— \\mfn(z), определен-
Л->00
ной на Е. Последовательность fn(z) называется равномерно сходя-
сходящейся на ? к функции/(z), конечной на Е, если для каждого е>О
существует N^>0 такое, что при n^>N имеем__[/„B)—/(z)|<Ce
для всех z ? Е. Если же /(г) = оо на Е, то последовательность /„ (г)
по определению равномерно сходится на Е к оо, если для каждого
М^>0 существует N^>0 такое, что при n^>N \/п(г)\^>М Ддя
всех z ? Е. Легко доказать, что для равномерной сходимости после-
последовательности к конечной функции необходимо и достаточно, чтобы
для каждого е^>0 существовало такое Af^> 0, что при т, п ^> N и для
всех z?E выполнялось неравенство \fm{z)—/л(^)|<Се-
Если функции fn(z) определены в области В, то кроме понятия
равномерной сходимости последовательности в области В будем
рассматривать равномерную сходимость последовательности внутри
области В, что означает равномерную сходимость/„(z) на каждом
замкнутом множестве EczB. Равномерная сходимость внутри В есть
требование более слабое, чем равномерная сходимость в В.

§ 1] СХОДИМОСТЬ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 17
Функция /(г), однозначная и конечная на множестве Е, не содер-
содержащем оо, называется непрерывной на Е, если, какова бы ни была
точка г0 ? Е, для любого е ^> 0 существует 8 > О такое, что если
z?E и \z — го|<^8, то \f(z)—/B<>)l<Ce- Для последовательностей
непрерывных функций имеет место теорема: если функции /„ (г) непре-
непрерывны на множестве Е, то в случае равномерной сходимости
их на Е к конечной функции f{z) последняя также непрерывна
на Е. Действительно, пусть г„ ? Е; для заданного е ^> 0 существует
такой номер п, что для всех г ?Е имеем |/„(г)—/(г)|<^4-; далее,
существует число 8 ^> О такое, что для всех z ? Е с \г — го|<^8
имеем |/„(г)—/„(го)|<|-|- [непрерывность /„(г) на Е]; отсюда для
z?E с \z — го|<^8 имеем:
+ !/.(*•)-/(*.)! О
что и означает непрерывность f{z) в точке z9?E. Отсюда далее
следует, что если функции /„(г) непрерывны в области В и равно-
равномерно сходятся внутри В к конечной функции f(z), то /(г) непре-
непрерывна в В.
В случае аналитических функций имеет место следующая фунда-
фундаментальная теорема Вейерштрасса.
Теорема 1. Если последовательность функций fn(z), регу-
регулярных в области В, равномерно сходится внутри В к конечной
функции f{z), то f{z) регулярна в В и последовательность про-
производных /?] (г) (А = 1, 2, ...) равномерно сходится внутри В
к /(ft)B).
Доказательство. Возьмем какой-либо замкнутый круг К,
лежащий в В, и концентрический с ним замкнутый круг А" большего
радиуса, также лежащий в В. Если "f есть граница К, то по форму-
формулам Коши имеем для z ^ К:
=7d*' fn W — ъл )
T'
ft = l, 2, ...
С другой стороны, так как f(z) непрерывна в В, то функция
f
будет регулярной в К. Из A) и B) имеем для п = \, 2, ...:

18 СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ [ГЛ. I
и аналогично
In (*)—/о {z) — 2n.
Но на f последовательность /„ (г) равномерно сходится к /(г) и,
следовательно, для заданного е ^> 0 существует N~^> 0 такое, что при
n^>N на -{ будет: \fn{z')—/(^')|<^?. Имея это в виду, из C) и D)
получаем при п~^>№.
где гиг' — радиусы кругов /С и А". Первое из этих неравенств
показывает, что fn(z) сходится в К к функции /0(z), которая по
условию должна совпадать с f(z). Следовательно, /(г) регулярна
внутри К. Но К — любой круг, лежащий в В. Поэтому/(г) регу-
регулярна в В, если В не содержит оо. Далее, второе из неравенств E),
если заменить в нем _/?*' (г) на /(ft) (г), показывает, что последователь-
последовательность fn\z), я=1, 2, ..., равномерно сходится в К к f[k)(z), ибо,
за счет выбора е, правую часть можно сделать сколь угодно малой
сразу для всех z^K. Чтобы доказать равномерную сходимость ffl (г)
внутри В, отметим, что каждое ограниченное замкнутое множество
Ес^В можно покрыть конечным числом кругов, целиком лежащих
в В вместе с границами. Действительно, для каждой точки с ? Е
существует замкнутый круг с центром в с, лежащий в В. Совокуп-
Совокупность этих кругов (для всех с ? Е) целиком покрывает Е. По теореме
Гейне — Бореля существует конечное число кругов, также покрываю-
покрывающих Е. Пусть эти круги будут Кт т = 1, 2, ..., т* Тогда, по до-
доказанному, для е^>0 существуют Nm~^>0, m==\, ..., тй, такие, что
при z?Km и п^> Nm имеем \fn\z)—/k)(z)\<^e. Если N есть наи-
наибольшее из чисел Njn, т = 1, ..., тй, то при п^>N неравенство
/л° (z) —/(*' (г) К г имеет место для точек всех кругов Кт, т = \,...
..., тй, а следовательно, и для всех z ?jE, т. е. последовательность
/п*' (z) равномерно сходится на Е. Если В ке содержит оо, то тео-
теорема уже доказана. Если же область В содержит оо, то нужно еще
доказать, что /(г) регулярна в оо и что f{nk)(z) равномерно сходится
в области |.г|^>/?, где R—достаточно большое. Это можно доказать
аналогично, используя формулы Коши для \z\~^>Rl) и рассматривая
соответствующую функцию /0(г). Теорема таким образом будет пол-
полностью доказана.
') То есть формулы A), причем в первой формуле справа добавляется
еще слагаемое /„ (оо).

$2] ПРИНЦИП СГУЩЕНИЯ 19
Относительно равномерно сходящихся последовательностей регу-
регулярных функций докажем еще следующую теорему, имеющую много-
многочисленные применения.
Теорема 2. Если последовательность функций fn(z), л=1,
2, ..., регулярных в области В, равномерно сходится внутри В
к регулярной функции f(z) ф. const и если каждая из функций
/„(г) принимает данное значение а не более кем в р(р^0) точ-
точках области В, то и функция f(z) принимает значение а не
более кем в р точках из В.
Доказательство. Пусть сначала В не содержит оо. Допустим,
что f(z) принимает значение а в р-\~1 различных точках zk?B,
k = \, 2, ...,р-\-1. Опишем около точек zk, k = 1, ..., р-\- 1, столь
малые окружности f ft ?j В, чтобы они лежали вне друг друга, содер-
содержали внутри себя лишь точки области В и чтобы на них не было
нулей функции f(z) — а. Все это возможно выполнить, поскольку
/(г) ^ const. При этих условиях существует т ^> 0 такое, что на всех
окружностях ik имеем |/(г) — а\^>т. Так как последовательность
функций /„ (г) равномерно сходится на окружностях ik, то существует
п такое, что на ffc, k=\, ..., р-\-1, имеем |/„(г)—f(z)\<^m. Из
/„ (г) - а = (/(г) - а) + (/„ (г) -/(г))
по теореме Руше заключаем, что функция /„ (г) — а внутри каждой
окружности ik наверное имеет нули, ибо их имеет функция/(г) — а.
Следовательно, /„ (г) принимает значение а не менее, чем в р -\-1
точках области В, что противоречит условию теоремы.
Если область В содержит оо, но отлична от полной плоскости,
то, отобразив ее надлежащей дробно-линейной функцией на область,
не содержащую оо, можно применить к преобразованным функциям
только что доказанное.
Наконец случай, когда область В является всей плоскостью г,
исключается, ибо в этом случае всегда f(z) = const. Теорема доказана.
§ 2. Принцип сгущения
Для многих отделов математического анализа, в которых решаются
вопросы существования, большое значение имеет положительный ответ
на вопрос: возможно ли из данной последовательности функций, опре-
определенных для одних и тех же значений аргумента, выделить сходя-
сходящуюся подпоследовательность функций. Некоторые доказательства
анализа усложняются из-за отсутствия такой возможности, например
из-за того, что не из всякой последовательности функций, заданных
и непрерывных в определенном интервале и на нем ограниченных
в совокупности, можно выделить сходящуюся подпоследовательность
функций. Это нельзя, например, сделать в случае последовательности
функций sin щ, п==\, 2, ...

20 СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ [ГЛ. I
Для весьма широкого класса последовательностей аналитических
функций на поставленный выше вопрос дается положительный ответ.
Условимся предварительно в терминологии. Семейство функций Ш =
= {/(z) Ь определенных на некотором множестве Е точек плоскости z,
называется равномерно ограниченным на Е, если существует конеч-
конечное М~^>0 такое, что для всех функций этого семейства и всех
г ^ Е имеем \f(z) \<^М. Если функции f(z) определены в области В
и равномерно ограничены на каждом замкнутом множестве Ее:В, то
семейство Ш называется равномерно ограниченным внутри В. Равно-
Равномерная ограниченность внутри области есть требование более слабое,
чем равномерная ограниченность в области.
Теорема 1 (принцип сгущения). Если последователь-
последовательность функций fn(z), л = 1, 2, ..., регулярных в области В, равно-
равномерно ограничена внутри В, то из этой последовательности
можно выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся
внутри В к регулярной функции.
Доказательство. Доказательство будет состоять из четырех
пунктов.
1°. Докажем сперва, что функции fn{z), n=\, 2 равносте-
равностепенно непрерывны на каждом заданном ограниченном замкнутом мно-
множестве Ecz-B; это значит, что для каждого е^>0 существует 8^>0
такое, что для любых пар точек zit zt ?j E, удовлетворяющих условию
\zi — г» К 8, неравенство |/n(Zi)—/n(^)|<Ce имеет место для всех
я=1, 2, ... Действительно, обозначим через 8Ь 8!^>0, расстояние
множества Е до границы области В и рассмотрим наряду с Е мно-
множество Еь полученное присоединением к Е всех точек, расстояние
которых от Е не превосходит —. ?"i замкнуто и лежит в В. На нем
последовательность /„(z) равномерно ограничена, пусть \fn(z)\<^M.
Возьмем любую пару точек zit z^^E с \zt — г9|<^-4- и круг К ра-
радиуса — с центром в Zi. Этот круг вместе с границей f лежит в
По формуле Коши имеем для я=1, 2, ...:
Следовательно, имеем:
= 2 8^

§ 2] ПРИНЦИП СГУЩЕНИЯ 21
т. е. неравенство
l/»(*i)-/»W)I^Trl*i-*il-
Отсюда, если 8 есть наименьшее из чисел -± и ттг^е, то для zv
таких, что |гх — zt\<^b, и всех л=1, 2, ... имеем |/n(i)
i)\<^&. Это и доказывает, что функции /„(г) равностепенно
непрерывны на Е.
2°. Докажем, что из последовательности/„(z), n=^\, 2,..., можно
выделить подпоследовательность, сходящуюся во всех точках области В
с рациональными координатами. Действительно, так как такие точки
составляют счетное множество, то их можно расположить в последо-
последовательность Г\, г9, .... Из ограниченной последовательности чисел
/л(г0> я=1, 2, ..., выделим сходящуюся подпоследовательность
и пусть соответствующая им последовательность функций будет /я j (z),
n=l, 2, ... Она, следовательно, сходится в точке г=гх. Из огра-
ограниченной последовательности чисел /„_ j (rs) выделим сходящуюся под-
подпоследовательность и пусть соответствующая последовательность функ-
функций будет Л, * (г), п=\, 2, ... Она, очевидно, сходится не только
в z = г%, но и в г = г у [как подпоследовательность сходящейся после-
последовательности /„,i(z)]. Рассуждая так же, из последовательности
функций /„ 9 (z) выделим подпоследовательность /„ 8 (г), п = 1, 2,..,,
сходящуюся в точках г=*гь г2, г8. Продолжая так далее, будем полу-
получать последовательности, сходящиеся все в большем числе точек из
rit rj, ... Диагональная последовательность /„, „(г), я=1, 2,..., как
содержащаяся, исключая конечное число первых членов, в любой из
последовательностей /„,*(?), сходится во всех точках Г\, г», ..., т.е.
во всех точках области В с рациональными координатами').
3°. Относительно полученной диагональной последовательности
/"„, „ (г) докажем, что она равномерно сходится на любом ограниченном
замкнутом множестве Ее: В. Имея в виду теорему Гейне—Бореля,
можно ограничиться доказательством этого для любого замкнутого
круга К, лежащего в В. Так как функции последовательности /„ „ (z)
равностепенно непрерывны на К, то для заданного е^>0 существует
такое 8 > 0, что для любых zt, гг ^ К с | zt — г% \ <[ 8 и при всех
п имеем:
Покроем плоскость г квадратной сеткой со сторонами длины -~-
*) Для дальнейшего лишь существенно, что последовательность /„, „ (г)
сходится на некотором счетном множестве точек, всюду плотном в В,
т. е. таком, что в каждой окрестности любой точки г(В имеются точки
этого множества.

22 сходимость последовательностей 1гл. i
и выберем в каждом замкнутом квадрате, содержащем точки из К,
произвольно по одной точке с рациональными координатами, принад-
принадлежащей К. Обозначим выбранные точки, число которых конечно,
через rit г8 гр. В силу сходимости в них последовательности
функций /л,„(г), для того же е^>0, что и в A), найдем такое N^>0,
что при т, n^>N для всех k = l, 2, ..., р будет
|/«.«(г*)-Л.в(г*)|<у. B)
Пусть теперь z — любая точка из К- Она лежит в одном из (замкнутых)
квадратов сетки, содержащих точки из К- Расстояние ее от точки rft,
лежащей в этом квадрате, <уУ 2<^8. Поэтому по A) имеем:
|/т.т(^)-/т.тЫ|<|, |/„. «(*) -/„.„О*) |< у. C)
Складывая все неравенства B) и C), получаем при т, n^>N:
Так как N одно и то же для всех z ?K, то это доказывает, что
последовательность fnn{z) равномерно сходится на К к конечной
функции, которая по теореме 1, § 1, будет регулярна в В. В случае,
если область В не содержит оо, то этим принцип сгущения уже
доказан.
4°. Если же область В содержит оо, то предыдущее доказательство
нужно дополнить доказательством того, что та же последовательность
/л. л (z) равномерно сходится вне некоторой окружности | z \ = /?. Так
как последовательность /„_ „ (z), по предыдущему, равномерно сходится
на |z|=/? к конечной функции, то последовательность функций
/л, л vj)' регулярных в круге | z \ «S -д , равномерно сходится на | z \ —
= -5"- Следовательно, для заданного е^>0 существует N~^>0 такое,
что при т, n^>N на \z\=-^ имеем
Jm, т\г j In, л [ z j I <v,e-
По принципу максимума модуля это же будет иметь место и в круге
|.гКд-, т. е./Я(Л(у) равномерно сходится в |г|^^-, а стало быть,
последовательность /л „ (z) равномерно сходится в \z\^R к конеч-
конечной функции. Принцип сгущения полностью доказан.
Пользуясь принципом сгущения, можно установить следующий
признак сходимости последовательности регулярных функций.
Теорема 2 (Витали). Если последовательность функций
fn(z), и = 1, 2, ..., регулярных в области В, равномерно ограни-

§ 2] ПРИНЦИП СГУЩЕНИЯ 23
чена внутри В и сходится на множестве точек zk?B, k=\,
2, ..., имеющем точку сгущения внутри В, то она сходится
равномерно внутри В.
Доказательство. Допустим, что последовательность /„(z) не
сходится в некоторой точке а ? В. Тогда из последовательности чисел
fn(a) можно выделить две подпоследовательности, сходящиеся к раз-
различным пределам А и А'. Пусть соответствующие подпоследовательности
функций будут /л> t (z) и / , (z), п = 1, 2,..., /„ j (а) -+ А, Д а (а) -> А'.
Но последовательности fni(z) и fnit(z) равномерно ограничены
внутри В; следовательно, по принципу сгущения из них можно выде-
выделить новые подпоследовательности ft, x (z) и ft,, (z), п = 1, 2, ...,
равномерно сходящиеся внутри В к конечным предельным функциям
f*(z) и f*(z). По теореме 1, § 1, эти функции регулярны в В. Так
как fli(a)-yA, /1%(а)->А', то f*{a) — A, f*(a) = A" и, следова-
следовательно, /*(а)^/*(а). Но последовательности fn,t(z) и fnti{z), как
подпоследовательности из fn(z), сходятся во всех точках zk, k = l,
2, ..,, к равным пределам, так что ft \ (zk) —f% a (zk) ->¦ 0 при п -*¦ оо.
Отсюда /?(«*)—/Г(г») = 0, k = l, 2, ... Функция fi(z)—fi(z),
регулярная в области В, обращается, следовательно, в нуль на сово-
совокупности точек, имеющих точку сгущения внутри В; поэтому она
тождественно равна нулю в В. Но это противоречит тому, что эта
функция в точке а отлична от нуля. Итак, последовательность fn(z)
должна сходиться во всей области В. Равномерная сходимость fn(z)
внутри В следует теперь из пунктов 3° и 4° доказательства прин-
принципа сгущения, ибо из уже доказанного следует, что последователь-
последовательность fn(z) сходится во всех точках области В с рациональными
координатами. Теорема доказана.
Легко видеть, что условие равномерной ограниченности функций
fn{z) внутри В является также необходимым условием для справед-
справедливости утверждения теоремы Витали. Ибо, поскольку предельная
функция f(z) ограничена на любом заданном замкнутом множестве
EczB, то функции fn(z) будут равномерно ограничены на Е.
Впрочем, и принципу сгущения можно дать другую формулировку,
в которой он принимает законченный вид:
Для того чтобы из любой последовательности бесконечного
семейства Wl = {f(z)} функций, регулярных в области В, можно
было выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся
внутри В к регулярной функции1), необходимо и достаточно,
чтобы семейство ЗЛ было равномерно ограничено внутри В.
Достаточность указанного условия следует уже из ранее доказан-
доказанного. Докажем его необходимость. Если семейство 2К не является
равномерно ограниченным на некотором замкнутом множестве EczB,
1) Это свойство называется свойством компактности семейства 2ft, а сам
формулируемый принцип — принципом компактности.

24 СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ [ГЛ. I
то должна существовать последовательность функций /„ (z) ?f 3W таких,
что шах|/я(г)|-»-оо при я-»-оо, а тогда должны найтись точки
zn^.E> я=1, 2, ..., такие, что fn(zn)->-oo при я-> оо. Но из/„(г)
можно выбрать подпоследовательность /я& (г), k = 1, 2, ..., равно-
равномерно сходящуюся внутри области В к некоторой регулярной
функции f(z). В частности, начиная с некоторого k, на ? имеем
\Jnk(z)— /СЮ К1 и> следовательно:
I/»* (*I< 1 + m*x \f{z) | = Ж < оо.
Это, однако, несовместимо с тем, что /„ (г„А -*¦ со при А -> оо.
Необходимость формулируемого условия доказана.
Отметим, что к вопросам о возможности выбора из различных
последовательностей данного семейства регулярных функций сходя-
сходящихся последовательностей мы еще вернемся позднее в связи с тео-
теорией нормальных семейств (§ 7, гл. II).
§ 3. Сходимость гармонических функций
Теоремы, доказанные выше для аналитических функций, имеют
аналоги и в случае гармонических функций.
Напомним, что гармонической функцией в данной области В ком-
комплексно» плоскости называется вещественная функция и(х, у), одно-
однозначная и непрерывная в В, вместе со своими производными до вто-
рого порядка, и удовлетворяющая уравнению Лапласа Aa =
^=0 (отметим, что если В содержит оо, то и(х, у) должна
быть ограничена в окрестности оо). Если и(х, у), или короче u(z),
есть гармоническая функция в круге \z — a\<^R и непрерывная
в \z — a|s?#, то в \г — я|</? имеет место формула Пуассона
0R — знак вещественной части):
=т«\и(
Эта формула переходит в хорошо известную, если отметить, что,
положив z = a-\-reif, будем иметь:
z-2a\_ Я*-г»
1?~2Rrcos(<f— 8)+r8 '
Если же и(z) есть гармоническая функция в области \z — \^,
непрерывная в \z — a\^R, то в \z — a\~^>R для нее справедлива

§ 3] СХОДИМОСТЬ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 25
аналогичная формула:
2*
0 &=- к \а
Так как гармонические функции можно рассматривать как функции
комплексного переменного z, то определения сходимости, данные в § 1,
относятся и к ним. Далее, проводя рассуждения, аналогичные тем,
которые делались в § 1 при доказательстве теоремы Вейерштрасса,
с той только разницей, что теперь вместо формулы Коши будем
пользоваться формулами A) или C), докажем следующую теорему:
Теорема 1. Если последовательность функций ип(г), л =
= 1, 2, ..., гармонических в области В, равномерно сходится
внутри В к конечной функции, то предельная функция также
будет гармонической в В.
Далее теми же рассуждениями, что в § 2, докажем теорему:
Теорема 2. Если последовательность функций un(z), и =
= 1, 2,..., гармонических в области В, равномерно ограничена
внутри В, то из этой последовательности можно выделить
подпоследовательность, равномерно сходящуюся внутри В.
Напротив, теорема Витали в том виде, в каком она формулирована
в § 2 для регулярных функций, здесь неверна. Например, если поло-
положить- щк(г) — 0 и uik_t(z)—y, k = l, 2,...(у — мнимая часть z), то
последовательность функций un(z), л=1, 2,..., сходится на вещест-
вещественной оси и не сходится вне ее. Однако имеет место такая теорема:
Теорема 3. Если последовательность функций пп(г), гармо-
гармонических и равномерно ограниченных внутри области В, сходится
в некоторой подобласти В с: В, то она равномерно сходится
внутри В.
Доказательство. Если ип(z) не сходится в области В, то
можно выделить две подпоследовательности функций, сходящиеся в В
к различным предельным гармоническим функциям и (г) и н* (z), кото-
которые, однако, должны совпадать в области В. Следовательно, их
разность в В равна нулю. Но тогда и разность им сопряженных
гармонических в области В функций v (z) и v* {г)'), по условиям
Коши — Римана, должна быть постоянной в В, что в свою очередь
требует, чтобы надлежащие аналитические функции, имеющие вещест-
вещественными частями и (z) и и* (z), совпадали в В'. Но тогда эти анали-
аналитические функции будут совпадать и во всей области В', так что
и рассматриваемые различные гармонические функции оказываются
тождественными в В. Это противоречие и доказывает сходимость
функций un(z) в области В. Равномерная -сходимость н„(г) внутри
1) Сопряженные функции v (г) и о* (г) могут быть и не однозначными
в В, но в данном случае это несущественно.

26 СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ [ГЛ. I
В следует теперь из 3° и 4° доказательства принципа сгущения для
аналитических функций.
В заключение приведем еще одну важную теорему.
Теорема 4 (Гарнака). Любая последовательность функций
un(z), n = \, 2,..., гармонических в области В, монотонно воз-
возрастающая в В (ня+1 (z);>н„(z), л= 1, 2,...), равномерно сходится
внутри В или к гармонической функции или к-j-oo.
Доказательство. Можно считать, что все функции ип(z)
неотрицательны, ибо иначе вместо nn(z) мы рассмотрели бы функции
un(z)~u^z), л=1, 2,...
Возьмем какой-либо круг \z — a|s?r, лежащий в области В,
и больший круг \z — а|^г', также лежащий в В. Так как по B)
при \г' — а | = г', \z — а \ s? r имеем
то по формуле A), примененной к функции un(z) (/? = /•'), получаем
оценки:
?Ё D)
Положим теперь и (z) = lim nn (z); в силу монотонности последова-
я-»оо
тельности nn(z) этот предел существует при г^В. Неравенство D)
показывает, что если и (а) при а^В конечно, то функции пп (z)
равномерно ограничены в достаточно малой окрестности точки а,
а если и(а)= -f-oo, то un(z) в такой окрестности равномерно схо-
сходятся к -f- оо. Рассмотрим в области В множество всех точек, в кото-
которых функция u(z) конечна, и дополнительное множество, в точках
которого и (z) = -f- оо. По сказанному, оба эти множества открытые.
Но это, очевидно, может быть только в случае, если одно из рас-
рассматриваемых множеств пустое. Если функция u(z) всюду конечна
в В, то un(z) равномерно ограничены внутри В, по теореме 3 схо-
сходимость un{z) к u(z) оказывается равномерной внутри В и по тео-
теореме 1 функция и (г) является гармонической в В. Если же u(z) =
= -f-oo в В, то un(z) равномерно сходятся внутри области В к -f-oo.
Отметим, что если область В содержит точку оо, то, как обычно,
должна быть использована и формула C). Теорема доказана.

ГЛАВА II
ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
ОДНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
§ 1. Однолистное конформное отображение
Одним из основных вопросов теории функций комплексного пере-
переменного является изучение аналитических функций, исходя из харак-
характера производимых этими функциями отображений. Говорят, что
функция С=/(г), регулярная в области В или имеющая там в каче-
качестве особых точек только полюсы (и тогда называемая мероморфной
в В), однолистно отображает область В плоскости z на некоторую
область В плоскости С, если она устанавливает взаимно однозначное
соответствие между точками областей В и В1. Область В называется
тогда образом области В при отображении K,=f(z), a В по отно-
отношению к В— прообразом. При однолистном отображении С=/(г)
области В на В производная f'(z) отлична от нуля во всех конечных
точках области В, в которых f{z) регулярна *). Действительно, если бы
при некотором а?В было /'(а) = 0, то обратная функция в окрест-
окрестности точки Ъ =/(а) ? В разлагалась бы в ряд по дробным степеням
(? — Ь) и, следовательно, в окрестностях точек а^В и b ?В не
было бы взаимно однозначного соответствия. Условие неравенства
нулю производной означает, что здесь мы имеем дело с конформным
отображением. Поэтому однолистное отображение называется также
однолистным конформным (а в случае односвязных областей и просто
конформным) отображением области В на область В: функция С =/(z),
совершающая однолистное конформное отображение, называется
однолистной функцией; обратная ей функция будет однолистной функ-
функцией в отображенной области. Если функция f(z), однолистная в обла-
области В, не регулярна в В, то она, очевидно, имеет в В лишь один,
и притом простой, полюс.
1) Однако неравенство нулю производной всюду в области В не гаранти-
гарантирует однолистность отображения. Например, у функции t=/(z)=:(z — 1)"
производная /(z)^0 в ]z|<l, но эта функция при п^З не однолистна
в |z| < 1.

28 ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. II
Первый вопрос, который возникает при исследовании однолистных
конформных отображений, это вопрос о возможности однолистного
отображения одной заданной области на другую. Отметим некоторые
необходимые условия для этого. В случае конечносвязных областей
необходимым условием является одинаковая связность отображаемых
друг на друга областей В и В'. Действительно, считая, без ограниче-
ограничения общности, что области В и В" обе содержат оо и что при рас-
рассматриваемом отображении оо переходит в оо (иначе достигли бы этого
надлежащими дробно-линейными отображениями), заключим граничные
континуумы области В внутрь замкнутых ломаных линий без кратных
точек, лежащих вне друг друга и содержащих каждая внутри себя
точно по одному граничному континууму. При Отображении эти лома-
ломаные перейдут в замкнутые кусочно аналитические кривые Жордана,
лежащие вЯ и вне друг друга. Если В' имеет меньшую связность,
чем В, то по крайней мере внутри одной из этих кривых не будет
граничных точек области В". Так как функция, обратная к отобра-
отображающей функции, будет регулярной внутри такой кривой и при ее
обходе соответствующая точка описывает в В прообраз, пусть С,
двигаясь все время в одном направлении, то внутренности рассматри-
рассматриваемой кривой будет соответствовать вся внутренность прообраза С,
которая, следовательно, должна вся принадлежать области В. Но это
противоречит тому, что внутри С имеются граничные точки области В.
Значит, область В" не может иметь меньшую связность, чем В. Меняя
в этих рассуждениях роль областей В к В", докажем, что ff не может
иметь и большую связность. Аналогично докажем, что нельзя одно-
однолистно отобразить не конечносвязную область на конечносвязную.
Следовательно, ставя теперь вопрос о возможности однолистного
конформного отображения различных областей на данную односвязную
область, мы должны ограничиться рассмотрением только односвязных
областей.
Для того чтобы уметь Однолистно отображать две односвязные
области друг на друга, достаточно знать их отображения на какую-
либо одну стандартную область, например, на заданный круг, ибо
требуемое отображение тогда можно получить, отобразив сперва одну
из областей на круг, а затем круг на другую область.
Возникает вопрос, всякую ли односвязную область можно отобра-
отобразить на круг. Оказывается, в двух случах этого сделать нельзя: когда
область есть вся плоскость и когда она имеет единственную граничную
точку (пунктирная плоскость). Действительно, считая, не ограничивая
общности, что во втором случае граничная точка есть оо, и допуская,
что отображение возможно, будем иметь в обоих случаях отобра-
отображающую функцию, которая регулярна на всей плоскости, за исклю-
исключением, может быть, оо, и, кроме того, ограничена. Такой функцией
может быть только постоянная, а эта функция не дает требуемого
отображения.

§ 2] ТЕОРЕМА РИМАНА 29
Однако, как увидим ниже, за исключением этих двух случаев,
всякую односвязную область можно однолистно отобразить на круг
и притон бесчисленным множеством способов, т. е. существует беско-
бесконечное множество различных функций, дающих такое отображение.
Последнее является следствием того, что существует бесконечное мно-
множество различных дробно-линейных функций, конформно отображающих
круг в себя.
§ 2. Теорема Римана
Нижеследующая теорема Римана отвечает на вопрос, поставленный
в конце § 1, и является, таким образом, геометрическим принципом
образования аналитических функций.
Предварительно докажем одно простое предложение, имеющее
многочисленные применения в теории конформного отображения и
называемое леммой Шварца.
Лемма 1 (Шварца). Если функция f(z) регулярна в круге
|*|<К. /@) = 0 и \f(z)\^M в И<Я, то \f(z)\*?kf\z\
М
в \z\<^R и, кроме того, 1/@I^3". Знака равенства здесь
(в первой оценке при гфО) имеют место только в случае, если
f(z) = ela-gZ, а— вещественная постоянная.
Доказательство. Функция <?{z)=?-^-*- регулярна в |
если положить <р@)=/*@). Так как максимум модуля | <р (z) | в круге
| г | s? г, г <^R> достигается на границе, то в | г | *^ г имеем | <р (г) \ ^—.
Но при фиксированном z можно устремить г к R. Отсюда получаем
\fiz)\^=~p\ это и дает обе оценки, указанные в формулировке леммы.
Если теперь в некоторой точке z0 из круга \z\<^R. имеем | <р (z0)\ =-р,
то | <р (z) | достигает в точке z0 максимума, что возможно только
в случае, если <р (z) ^ const = -5- ela, т. е. если f(z) = eia^-z. Лемма
доказана.
Теорема 1 (РиманаI). Какова бы ни была односвязная
область В плоскости z, имеющая более одной граничной точки,
существует и притом единственная функция С=/(г), регулярная
') Эта теорема впервые высказана Риманом в его диссертации в 1851 г.,
но доказана позднее. Методами теории функций она доказана Каратеодори
[1912] и Кёбе [1912].
Приводимое в тексте доказательство дано ФеЙром и Риссом; см. Радо
tl922-l923aj.

30 ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. II
в В и однолистно отображающая область В на круг | С | <^ 1 так,
что заданная точка г0 ? В и заданное в ней направление пере-
переходят в точку С=0 и направление положительной веществен-
вещественной оси.
Доказательство. Прежде всего легко однолистно отобразить
область В на область, целиком лежащую в круге |С|<^1. Действи-
Действительно, если В имеет внешние точки, то пусть с — конечная внешняя
точка. Функция z* = отображает тогда область В на некоторую
% —- с
односвязную область В*, имеющую внешнюю точку оо; так как В*
будет ограниченной областью, то преобразованием подобия переведем
ее в область, лежащую в круге |С|<^1. Если же В не имеет внеш-
внешних точек, то, так как она имеет более одной граничной точки и
односвязна, то ее граница состоит из континуума. Пусть а и b — две
конечные граничные точки. Рассмотрим функцию г* = Л/ *~%. Эта
функция продолжима в (односвязной) области В по любому пути и,
следовательно, однозначна в В. Так как обратная функция есть рацио-
рациональная дробь и, следовательно, однозначна на всей плоскости z*,
то рассматриваемая функция отображает область В однолистно на
некоторую область В*. Область В* обладает тем свойством, что если
точка с ? В*, то — с наверное есть внешняя точка для В*, ибо любая
пара точек z*, —z* всегда соответствует одной и той же точке z.
Поскольку В* имеет внешние точки, то, как выше, ее можно одно-
однолистно отобразить на область, лежащую в |С|<О- На основании этого
теорему Римана достаточно доказать для областей, лежащих в круге
|С|<1
<
Далее, всегда можно считать, что заданная в области В точка и
заданное в этой точке направление суть сама точка г=0и направ-
направление положительной вещественной оси, ибо иначе надлежащим дробно-
линейным отображением круга | z \ <^ I в себя можно предварительно
перевести область В в область, обладающую этим свойством.
Итак, достаточно доказать возможность однолистного отображения
на круг |С|<^ 1 любой односвязной области, лежащей в круге |z|<^ 1
и содержащей z = 0, и притом так, что отображающая функция
С=/(г) нормирована условиями /@) = 0, /'@)^>0.
Для доказательства последнего рассмотрим семейство Ш всех
функций С= /(•г), регулярных в области В, однолистно отображающих
В на области, лежащие в |С|<^1, и таких, что /@) = 0, /*@)^>0.
Это множество не пустое; к нему принадлежат, например, функции
f(z) = az, 0<а<1.
Поставим следующую экстремальную задачу: среди всех функций
семейства Wi найти ту, у которой величина /'(О) имеет наибольшее
значение. Докажем сначала существование решения этой задачи. Для
этого отметим, что существует р ^> 0 такое, что круг | z | <^ p целиком

2} ТЕОРЕМА РИМ AHA 31
лежит в области В и что, следовательно, в этом круге функции /(г) ?
регулярны и удовлетворяют условиям леммы Шварца с R = p, M=l.
Это дает/'@)г^ —, т. е. числа f@) ограничены сверху. Пусть а
есть точная верхняя граница всех этих чисел; согласно приведенному
выше примеру функций из WI имеем а^ 1. Пусть /„(г), п= 1, 2,...,
есть последовательность функций из ЗЭТ такая, что f'n @) -*¦ а. К после-
последовательности функций /„(.г) применим принцип сгущения, по кото-
которому из нее можно выделить подпоследовательность, равномерно
сходящуюся внутри В к регулярной функции /0 (г), причем /0 @) = 0,
/о(О) = <х>О. По теореме 2, § 1, гл. I (при /> = 1) функция /0(z),
как не тождественно постоянная, принимает в области В любое значе-
значение не более, чем в одной точке, т. е. /0(г) однолистна в В. Так
как, наконец, из |/(z)|<O B В следует, что и |/o(z)Kl
в В (|/o(z)| = l в В невозможно по принципу максимума), то заклю-
заключаем, что /0 (г) ? Ш.
Докажем теперь, что экстремальная функция С=/0(г) отображает
область В на полный круг |С|<^1. Действительно, если бы-этого
не было, то в |С|<^1 существовала бы точка а, не принадлежащая
отображенной области, которую мы обозначим через Вй.
Рассмотрим двулистный круг | {, | <^ 1 с единственной точкой раз-
разветвления в а1) и отобразим его на однолистный круг |*К1 так,
чтобы точка С=0 и направление положительной вещественной оси
в ней перешли в (=0и в направление положительной вещественной
оси. Это можно сделать, переведя сначала дробно-линейным отобра-
отображением круга |С|<^1 в себя точку разветвления а в начало, затем
развертывая полученный двулистный круг посредством функции У С
в однолистный круг и установив, наконец, новым дробно-линейным
отображением круга |С|<^1 в себя требуемое соответствие начал
координат. Обозначим функцию, дающую это отображение, через
t = <?((.), а обратную функцию — через C = ty@> Тогда <р(С) продол-
жима в области Bq по любому пути и, следовательно, однозначна,
а <]) (f), как функция, однозначная по построению (рациональная), удов-
удовлетворяет условиям леммы Шварца с/?=1, М=1 и не является
линейной функцией. Поэтому t = ср (Q однолистно отображает область В„
на область, лежащую в |^|<^1, причем ф'@)<^1, т. е. <р'@)^>1.
Сложная же функция t=<p(f0 (г)) = Ф (г), Ф @) = О, Ф' @) > 0, ото-
отображает область В на ту же область и, следовательно, принадлежит
семейству Ж. Но Ф'(О) = <р'(О)/6(О)>/6(О) = а, чт0 противоречит
определению а. Итак, функция t=/o(z) однолистно отображает
область В на полный круг.
1) То есть риманову поверхность, которая получается, если, взяв два
экземпляра круга | С | < 1, разрезать их оба по части радиуса, идущего от а
до окружности |С| = 1, и скрепить затем эти экземпляры по разрезам крест-
накрест.

32 ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ (ГЛ. Н
Остается доказать единственность функции, указанной в теореме.
Если бы существовали две такие функции Д(г) и fi(z), то функция
/7^)//1(Q) регулярная в круге |С|<1, отображала бы этот
б Ш | U ^ 1
^)/a(Q) ||< р
круг однолистно в себя и, следовательно, по лемме Шварца в | U
б I^GJII^I 5 б |/||/j
имели бы: I^GJI^I^I» т. е. в 5 имели бы неравенство |/i()||/j()|
Меняя роли функций fl(z) и /2(г), аналогично доказали бы в В
обратное неравенство |/i (z) | ^|/8 (г) |. Следовательно, j/i (z)|=|/2(г)|
в В. Отсюда, так как функция 4-Щ; регулярна в В и имеет постоян-
/я \z)
ный модуль, по принципу максимума модуля имели бы .Д (z) =/9 (z),
что и доказывает требуемую единственность. Теорема полностью
доказана.
Относительно теоремы Римана сделаем некоторые замечания.
Во-первых, отметим, что при тех же предположениях относительно
области В существует единственная функция С = /7(г), регулярная
в В, нормированная в конечной точке zo?B условиями /7(г0) = 0,
F(zo) = l и однолистно отображающая область В на круг
с центром в С = 0 (другая форма теоремы Римана). Действительно,
такой функцией будет F(z) = -&&> где /0(г), /0(гв) = 0, f0(z<,)>0
есть функция, указанная в теореме Римана, причем радиус круга, на
который отображает функция t. = F (г) область В, будет #=-77-^.
/о (*о/
Если бы существовала еще вторая функция C = /7i(.z), /71(г0) =
/?() l отображающая область В на некоторый круг ||^
то тогда, по теореме Римана, имели бы —^ ==/„ (г) и, следовательно,
-ъ-==Д(г0), т. е. Fi(z) = -QjQ-=F(z)', это доказывает единствен-
¦fti /о \zo/
ность отображающей функции { = F(z).
Величина R = -.,, > называется конформным радиусом области В
в точке г0.
Во-вторых, в основу доказательства теоремы Римана было поло-
положено одно из многих экстремальных свойств функций, однолистно
отображающих область В на круг. Оказывается, что ряд экстремаль-
экстремальных свойств таких функций имеет место не только в классе одноли-
однолистных функций, но и в классе всех регулярных функций, надлежащим
образом нормированных. Приведем здесь два экстремальных свойства
этого рода.
а) Минимизация максимума модуля. В семействе 31 всех функ-
функций F(z), F(Q) — Q, /7'@) = 1, регулярных в данной односвязной
области В, содержащей z = 0 и имеющей более одной граничной
точки, минимум величине М (F) = sup| F(z) I дает единственная

S 2] ТЕОРЕМА РИМАНА 33
функция, однолистно отображающая область В на полный круг
\z\<C.R, причем этот минимум равен конформному радиусу R
области В в точке 2 = 0.
Действительно, пусть С=/(.г), /@) = 0, f@)^>0 есть функция,
однолистно отображающая область В на круг |С|<СЬ a 2 = <р(?)—
обратная функция. При отыскании минимума величины M(F) доста-
достаточно ограничиться рассмотрением лишь функций F{z)^^t с конеч-
конечным M(F). Рассмотрим соответствующие функции <]j(Q = .//J
Эти функции регулярны в круге |С|<С1> <|)@) = 0 |0^
ф(
в |С|<1. По лемме Шварца имеем ]<j/@)]^l, т. е. М(F)^тгщ = R,
причем знак равенства здесь имеет место только для функции ф (Q = С
т. е. для F(z) = cf(z), с=?гш- Это и доказывает утверждение а).
Из доказанного экстремального свойства отображающей функции
вытекают некоторые свойства конформного радиуса R области В.
Во-первых, с растяжением области В конформный радиус ее не умень-
уменьшается, ибо семейство 91 при этом суживается. Во-вторых, так как
M{z) равно максимуму расстояний точки 2 = 0 до граничных точек
области В, то конформный радиус R области В не превосходит этого
максимума. С другой стороны, если бы R был меньше минимума
тех же расстояний, то функция F(z) была бы регулярна в круге
г|<Я-{-е с некоторым е>0, /?@) = 0 и \F(z)\<R в \z\<^R-^-e.
р
По лемме Шварца, тогда имели бы |F'@)|^¦ д\_ <^1, что противо-
противоречит тому, что F @) = 1. Это вместе с предыдущим показывает, что
на окружности \z\ = R всегда имеются точки границы области В.
(б) Принцип Линделёфа 1).Если функции срДС) и <р^(С), <pt @)=<p3@),
регулярны в круге |С|<^1, а <р4(Ц однолистна, и отображают
|С|<^1 соответственно на области Вг и Bir причем Bi содер-
содержится в Bif то
i
и равенство достигается только в том случае, когда <pt (Q^(ps (eC),
1|1
Действительно, если i=fi(z) — функция, обратная к z = \_
то функция z =/4 (<pt (?)) отображает круг К|<О на область, лежа-
лежащую в |г|<^1, и притом так, что { = 0 переходит вг = 0. Следо-
Следовательно, в силу леммы Шварца, <Ц\т1 ^ 1, и знак равенства имеет
место только в том случае, если /8(ср1(С))=еС |е|^1, т. е. если
') (Формулировка принципа Линделёфа в более общей форме приведена
в 1л. VIII, § 3.)
2 Г. М Гмузин

34 ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 1ГЛ. И
Из принципа Линделёфа, в частности, непосредственно следует,
что при расширении области ее конформный радиус возрастает.)
в) Минимизация площади. В семействе 91 всех функций F{z),
F@) = 0, /7'@)=1, регулярных в данной односвязной области В,
содержащей 2 = 0 и имеющей более одной граничной точки, ми-
минимум 21 величине
в
(da — элемент площади) дает та рке функция, кто в а), и только
она *). Здесь под интегралом A), взятым по области В, понимается
предел интегралов, взятых по областям Вп, я=1, 2, ..., исчерпы-
исчерпывающим область В, т. е. таким, что BnczB, BnczBn+i и что любое
замкнутое множество EczB, начиная с некоторого я, лежит в Вп.
Опираясь на это, легко доказать, что значение интеграла A) не зависит
от выбора областей Вп, исчерпывающих В. За области Вп можно,
например, взять прообразы кругов КК/да г„<^1, при однолистном
отображении области В на круг | ? К1 так, что 2 = 0 переходит
в ? = 0. В случае однолистной функций F(z) интеграл A) дает, оче-
очевидно, площадь образа области В при отображении Z. = F(z). В слу-
случае же неоднолистности F(z) в В интеграл A) дает площадь рима-
новой поверхности, на которую отображается область В взаимно
однозначно посредством {. = F(z).
При отыскании минимума интеграла A) и здесь достаточно рас-
рассмотреть лишь функции F (С) E 9? с конечным 81 (F). Взяв те же функ-
функции ?=/B) и 2=9 (У что и в а), преобразуем интеграл A) к пере-
переменной Z — retf:
Я (/9= 5 5 |/7'(<p(C))<p'(C)|8rdrd<p =
= Hm J J |F'(<P(У)?'(С)|2
Положив
'"* л=0
т. е. S( (Z7)^& те | Оо |а, причем знак равенства здесь имеет место только
при а1=ва = ...=0, т. е. только для функции ^(z)=y~. Это и
доказывает утверждение б). Минимальное свойство б) будет исполь-
использовано в дальнейшем для явного построения отображающей функции.
*) Бибербах [1914].

§ 3) СООТВЕТСТВИЕ ГРАНИЦ 35
§ 3. Соответствие границ
при конформном отображении
Поскольку граничные точки не причисляются к области, то в пре-
предыдущем мы занимались лишь установлением соответствия между
внутренними точками отображаемых областей. Для изучения соответ-
соответствия граничных точек нужно заняться более трудным вопросом иссле-
исследования поведения отображающей функции при приближении к границе
области. Это исследование приведет к ряду замечательных результатов.
Установим сначала несколько вспомогательных предложений.
Лемма 1 (К6бе). Если функция f(z), регулярная и ограничен-
ограниченная в круге \z\<C,\, равномерно стремится к нулю на последо-
последовательности дуг Жордана Хда лежащих в \г\<^\,не содержащих
точек некоторой окрестности точки z = Q и с концами z'n, z"n,
сходящимися к различным точкам а и Ъ на |г| = 1, то /(г) = 0.
Равномерное стремление функции f(z) к нулю на дугах Хя пони-
понимается в том смысле, что для каждого е^> 0 существует N~^> О такое,
что при n~^>N на Хя имеем: \f(z)\<^&.
Доказательство. Допустим, что /(z)^=0. Тогда можно счи-
считать, что /@)^0, ибо иначе, обозначив через р кратность нуля z = 0
функции/(г), можно было бы рассмотреть функцию —^-, которая,
как легко проверить, также удовлетворяет всем условиям леммы и
которая в 2 = 0 отлична от нуля.
На Хя имеем |/(г)|^ max 1/BI = 6^ е„-»-0. Разделим круг
"•я
| z | <Ц 1 на т равных секторов так, чтобы точки а и Ъ не лежали на
концах граничных радиусов. При т достаточно большом точки а и
Ъ будут лежать на границах различных секторов, причем, если
выбросить эти секторы, то остальные секторы разделятся на две
группы смежных секторов, в каждой из которых будет не менее
двух секторов. Возьмем в каждой из этих групп по радиусу, лежа-
лежащему на границе двух смежных секторов этих групп (рис. 1). Один
из них, обозначим его через о, пересекается бесконечным множеством
кривых Хя, пусть кривыми Х„А, k=l, 2, Исходя из некоторой
точки пересечения кривой Хя с о, идем по кривой Хя в каком-либо
направлении до первой точки встречи ее с одним из других граничных
радиусов, который, очевидно, входит в границу прилегающего к о сек-
сектора. Обозначим через Kk дугу кривой XBft от этой точки до первой
точки встречи с а, если идти по Хя^ в обратном направлении. Дуги
^я41 А = 1| 2, ..., лежат целиком, исключая концы, в двух секторах,
прилегающих к о. Пусть 5—тот из этих секторов, в котором лежит
бесконечное множество дуг Xj,ft. Для этих дуг сохраним то же обо-
обозначение Kk, ksssl, 2 На \'nk имеем |/B)|<е„4. Можно допу-

36
ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
1ГЛ. И
стить, что сектор 5 лежит симметрично относительно вещественной
оси, так как этого всегда можно достигнуть, рассмотрев вместо f(z)
функцию f(ei<lz) с надлежаще выбранным вещественным а, которая
также удовлетворяет условиям, аналогичным условиям леммы. Пусть
~knk есть часть дуги Х„ от конца Х'„к, лежащего выше вещественной
оси, до первой точки встречи \'Пк с вещественной осью, а \'Пк есть
Х?
дуга, симметричная к \'п относительно вещественной оси. На
имеем
Рис. 1.
. Отсюда, если принять, что \f(z)\<^M в В, заклю-
, удовле-
чаем, что функция ty(z)=f(z)-f(z), регулярная в |
творяет на дуге Kk{JKk неравенству |ф(z)|<Mе„й, ибо один из
множителей, входящих в ф(^), всегда по модулю *?^М, а другой
<^вя . Функция же
будет регулярна в
а на замкнутой кривой Жордана, состав-
составленной из дуги Xnk \J Kk и из дуг, полученных из нее вращением
k k
около 2=0 на углы —, — (т— )п^
ж^ниям будет:
,
аналогичным сообра-
То же неравенство будет иметь место и внутри этой кривой, в част-
частности, в точке 2== 0. Но /?@) = |/@) |2W. Поэтому |/@)|sw <е2'

§ 3] СООТВЕТСТВИЕ ГРАНИЦ 37
Так как е„ -»-0 при &-»-.оо, то/@) = 0, что противоречит принятому
в начале доказательства. Лемма доказана.
Лемма 2 (Линделёф). Пусть: 1) функция f{z) регулярна
в некоторой области В и \f(z)\^M в В; 2) г0 есть конечная
точка области В и г ^> 0 такое, что окружность \ z — zu | = г
имеет дугу длины — г, т — целое, лежащую вне В; 3) при при-
приближении z из области В к граничным точкам В, лежащим
в круге \z — zu\<^r, все предельные значения модуля \f(z)\ не
превосходят е, е ^ 0. Тогда
Доказательство. Очевидно, можно считать, что zu = 0. Общая
часть области В и областей, полученных из нее вращением около
2л 4тс 2(т— 1)тс
начала на углы —, —, ..., — —, есть открытое множество,
содержащее точку z = 0 и не содержащее точек окружности | z | = г.
Оно состоит из областей, среди которых есть область Bt, содержа-
содержащая 2 = 0; последняя целиком лежит в круге \z\<^r. Рассмотрим
функцию
F (z) =/(*)/(v).. ./(-ч-Ч ft = еП
регулярную в В\. Если приближать z из Вх к границе В1( то по
условию 3) леммы все предельные значения модуля | Z7 (гг) | будут
^еМт~1. Но тогда во всех точках области В\ будем иметь \F(z)\^.
^еМ. Действительно, если бы верхняя граница модуля ^(г)!
в Bi была Mi, Mi ^> вМт~1, то существовала бы последовательность
точек zk ? Bi таких, что | F (zk) | -v Mi при k -v oo. Пусть Zo есть
предельная точка этой последовательности. Она не может быть гра-
граничной точкой Bv ибо тогда Mi«Sе• Мт~1. Поэтому \F{z'd\ = Ml,
т. е. модуль | F (z) \ в точке z = z'u достигает максимума, чего не может
быть. Итак, | F (z) \ =sg eMт~1 в Bv В частности, при z — Q, имея
в виду, что F@) = \f@)]m, будет |/@)|m<eMm-1, что и доказывает
лемму.
Как следствие из этой леммы, получаем следующую лемму:
Лемма 3. Если функция f(z) регулярна я ограничена в одно-
связной области В, имеющей более одной граничной точки, и если
существует такая окрестность конечной граничной точки а, что
при приближении z из В к граничным точкам, лежащим в этой
окрестности, функция f(z) стремится к постоянной с, то
/B) = с в В.
Доказательство. Допустим сначала, что а есть предельная
точка и для внешних точек области В, и пусть | г — а \ <^ р — указан-
указанная в лемме окрестность. Если г0 — любая точка из круга | г — a\<i\,

38 ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ (ГЛ. II
то существует круг | г — г0 К г, лежащий в | г — а | <^ р, такой, что
на | г — г01 = г имеются внешние точки В, а следовательно, и некото-
некоторая дуга, лежащая вне В. К функции f(z)— с применима лемма 2,
причем е = 0. Следовательно, /(го) = с. А так как г0 — любая точка
из круга \z— а|<^у, то f(z) = c в В. Если же точка а0 не есть
предельная для внешних точек области В, то, обозначив через Ъ конеч-
конечную граничную точку, отличную от а, отобразим, как при доказа-
доказательстве теоремы Римана, область В посредством функции z*=y ^~E\
однолистно на область В%, которая в любой окрестности точки z* = О
будет иметь внешние точки. Функция /(г) — с как функция от г*
будет теперь регулярна в В, и в точке г = 0 обладает свойством,
указанным в лемме 3. Следовательно, используя уже доказанное, опять
получаем, что /(z) = e в В. Лемма доказана.
Достижимые граничные точки. Переходим теперь к изучению
поведения функции С=/(.г), однолистно отображающей данную одно-
связную область В на круг 1С|<^1, вблизи границы области В. Так
как такую область посредством элементарных функций можно одно-
однолистно отобразить на ограниченную область, то достаточно в даль-
дальнейшем рассмотреть лишь случай ограниченной „области В, для которой
и будут проводиться доказательства всех теорем.
Прежде всего отметим, что если точки z (^ В приближаются к гра-
границе области В, то соответствующие точки С в круге [С|<^1 рав-
равномерно приближаются к окружности |С| = 1, в том смысле, что
для каждого s ^> 0 существует 8 ^> 0 такое, что если точка z ? В
отстоит от границы В на расстоянии, меньшем 8, то соответствующая
точка С лежит в кольце 1—в<^|С|<^1- Действительно, достаточно
за 8 взять расстояние до границы области В замкнутого множества,
являющегося прообразом круга |С\<С 1 — е- Аналогично докажем^ что
если точки круга |С1<^1 приближаются к окружности |С| = 1, то
соответствующие точки z ?В равномерно приближаются к границе
области В.
Для следующего шага исследования введем понятие о достижимых
граничных точках области. Граничная точка с области В называется
достижимой граничной точкой, если ее можно соединить с какой-либо
внутренней точкой области В некоторой непрерывной кривой /:
z — z(t), a^.t^b, целиком лежащей в В, кроме одного ее конца
c = z(b). Впрочем, здесь кривую / можно заменить на кривую Жор-
дана и даже на ломаную линию без кратных точек, составленную из
конечного или бесконечного числа отрезков, в последнем случае
с концами, сгущающимися только в с. Действительно, так как дуга
z — z(t), Ь — ей_1<г<6 — eft(eu>0, k=\, 2,..., sft >sft+i и еА-*0
при k ->¦ оо), как замкнутое множество, отстоит от границы области В
на расстоянии Ьк > 0, то ее можно разделить на конечное число столь

§ 3] СООТВЕТСТВИЕ ГРАНИЦ 39
малых дуг, что расстояние между любыми точками каждой из этих
дуг будет меньше Ьк; а тогда ломаная линия, составленная из отрезков,
соединяющих последовательные точки деления, будет целиком лежать
в В. Применяя это для k=l, 2, ..., видим, что кривая /может быть
заменена ломаной линией с бесконечным числом сторон. Отбрасывая
входящие в нее замкнутые ломаные линии, и получим ломаную линию
без кратных точек; она будет кривой Жордана.
В связи с понятием достижимых граничных точек имеется важное
дополнение к теореме Жордана (см. Введение), данное Шёнфлисом 1):
все точки замкнутой кривой Жордана будут достижимыми гранич-
граничными точками для каждой из областей, ею определяемых. Для контину-
континуумов более сложного типа аналога теоремы
Жордана и ее дополнения может не быть. Напри-
мер.кривая, изображенная на рис2 и представляю-
представляющая спиралеобразную линию без кратных точек,
асимптотически приближающуюся к окружности
С, делит плоскость на три односвязные об-
области, причем для двух ограниченных областей
окружность С вся состоит из недостижимых
граничных точек. Аналогично, для областей,
изображенных на рис. 3 и 4 и представляющих Рис. 2.
квадраты с прямолинейными разрезами, сгуща-
сгущающимися к отрезку cd, все точки отрезка cd (за исключением точки
d на рис. 4) будут недостижимыми граничными точками.
В приведенных примерах (см. рис 3 и 4) точка е может дости-
достигаться по двум непрерывным кривым, лежащим в области по разные
стороны разреза. Чтобы различать в точке е две граничные точки,
достижимую граничную точку области В определяют не только ее
положением на плоскости, но и той непрерывной кривой в В, которая
соединяет эту точку с внутренней точкой. Пусть кривые /t и 4 опре-
определяют, соответственно, достижимые граничные точки в zt и z2. Если
zv ф zb то эти достижимые граничные точки являются различными.
Если же zr = 22, то считаем, что кривые Д и /j, лежащие в В, опре-
определяют в zx две различные достижимые точки в том и только в том
случае, если существует окрестность точки г1г в которой 1Х и /2
нельзя соединить непрерывной кривой, лежащей одновременно в В и
в этой окрестности. Если кривые 1^ и /2, оканчивающиеся в одной
граничной точке гь в любой окрестности zt имеют общие точки, то
они наверное определяют одну и ту же достижимую граничную точку.
Поэтому достижимые граничные точки, определяемые непрерывной
кривой и ломаной линией, вписанной в эту кривую, как показано
выше, совпадают. Это дает возможность определять достижимые гра-
граничные точки лишь кривыми Жордана.
') См., например, Каратеодори [1912].

40
ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
[ГЛ. 11
Относительно соответствия достижимых граничных точек имеет
место, теорема *):
т4орема 1. При однолистном конформном отображении
области В плоскости z на единичный круг |С|<[1 каждой дости-
достижимой граничной точке zx области В можно поставить в соот-
соответствие определенную точку Ci на |С| = 1, обладающую свой-
свойством, что если z стремится к zt no любой кривой llt опреде-
определяющей Z\, то соответствующая точка С стремится к Ci, причем
двум различным достижимым граничным точкам области В соот-
соответствуют две различные точки на |С|=1. Множество F точек
на |С| = 1, соответствующих всем достижимым граничным точ-
точкам области В, всюду плотно на |?| = 1.
е
Рис. 3.
Рис. 4.
Доказательство. Доказательство будет состоять из несколь-
нескольких пунктов.
1°. Докажем, что если точка z пробегает кривую 1±: z=z(f),
а ^ t sg; b, определяющую достижимую граничную точку zt области^,
приближаясь к zt, то соответствующая точка С, описывая в круге
|С|<[1 непрерывную кривую Х1:С=/(г(О), стремится к определен-
определенной точке на |С|=1.
Действительно, допустим противное. Тогда на | С | = 1 должны
существовать две различные точки Ci и Cj такие, что на Xt имеется
последовательность дуг с концами, сходящимися к Ci и Сз> причем на
этих дугах обратная отображающая функция z = <f(Q равномерно
стремится к Zy. Так как <р(С) ограничена в |С|<[1> то по лемме 1,
примененной к функции <р (С) — zt, заключаем, что <р (С) — zx = 0, т. е.
<р(С)= const в |С|<[Ь а это невозможно. Следовательно, Сдвигаясь
по Х1? стремится к определенной точке на |С| = 1.
2°. Докажем, что если z описывает две кривые 1\ и 4> опреде-
определяющие одну и ту же достижимую граничную точку zt области В,
приближаясь к zt, то соответствующая точка С описывает кривые Xj
и Х3, которые оканчиваются в одной и той же точке на |С|=1.
>) Кёбе [1915].

§ 3] СООТВЕТСТВИЕ ГРАНИЦ 41
Допустим, что кривые Xt и Ха оканчиваются в различных точках Ci
и Са на |С| = 1. Так как в любой окрестности точки zt кривые 1^ и
/а можно соединить непрерывной кривой, а следовательно, и кривой
Жордана, целиком принадлежащей области В и этой окрестности, то
при беспредельном уменьшении окрестности соответствующие кривые
Жордана в круге |С|<С* -имеют концы, сходящиеся к Ci и Са-На этих
кривых <р(С) равномерно стремится к zx. По лемме 1 опять получаем
<p(C) = const в |С|<[1, что невозможно. Следовательно, Ci = Ca-
3°. Теперь докажем, что двум различным достижимым точкам zt
и z3 области В соответствуют различные точки Ci и Са на |С| = 1.
Пусть точки Z\ и г^ определяются кривыми Жордана 1\ и 1г. Их
можно считать исходящими из одной точки области В и не имеющими
в В других общих точек. Пусть Xt и Ха — соответствующие кривые
в круге |С|<[1. Допустим, что они оканчиваются в одной точке Ci
на |С| = 1. Замкнутая кривая Х4 {J Ха делит круг на две области, одна
из которых ограничена только этой кривой. Пусть этой последней
области в В соответствует область В\. В ее границу входит кривая
/, (J /a. Если комплексные числа zt и 2а не равны между собою, то
на границе области В\ существует граничная точка а области В,
отличная от zx и zit ибо иначе область Bt была бы ограничена откры-
открытой кривой Жордана l\ \J /a и не была бы ограниченной, что проти-
противоречит предположению об ограниченности В (см. стр. 38). В доста-
достаточно малой окрестности точки а все граничные точки области В\
будут одновременно и граничными точками области В, а следовательно,
при приближении z из В\ к этим точкам соответствующая точка С
должна приближаться к окружности | С | = 1, т. е. к точке Ci. По лемме 3
это дает /B) = Ci в В, что невозможно. Если же комплексные числа zt
и za равны, то l\ \J /a — замкнутая кривая Жордана, входящая в гра-
границу области В\. В этом случае, если область В\ имеет граничную
точку, отличную от точек кривой /t [J /a, эта точка должна лежать
внутри кривой /, [J /а; следовательно, в ее достаточно малой окрест-
окрестности опять выполняется условие леммы 3 и поэтому опять заключаем,
что /(С) = const в В, что опять невозможно. Это показывает, что В±
должна быть ограничена только кривой lt \J /a. Но тогда в любой
окрестности точки zx кривые 1Х и /а можно соединить непрерывной
кривой, лежащей в области В\, а следовательно, и в области В, и
кривые /д и /а не определяют различных достижимых граничных точек
области В. Это и доказывает, что должно быть Ci ф Са.
4°. Наконец докажем, что множество F, указанное в теореме,
всюду плотно на |С| = 1. Допустим, что на |С| = 1 имеется дуга f,
не содержащая точек, соответствующих достижимым граничным точ-
точкам области В. Пусть Со есть внутренняя точка этой дуги и Ся>
п = 1, 2, ..., — последовательность точек круга | С | <С 1» сходящихся
к Со. Соответствующие точки zn?B имеют по крайней мере одну
точку сгущения zt, которая наверное лежит на границе области В.

42 ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ (ГЛ. II
Пусть гПк — подпоследовательност,ь, сходящаяся к z0. Обозначим
через 1Пк прямолинейный отрезок, соединяющий г„к с ближайшей к ней
точкой границы области В. Этот отрезок определяет некоторую
достижимую граничную точку; по п. 1°, в круге |С|<С* ему соответ-
соответствует кривая Xnjk, идущая от точки С„А к некоторой точке на | С | = Г,
не лежащей на дуге f» причем <р(С) на Хп при k—»оо равномерно
стремится к 20. На кривых Xnjk можно взять по такой дуге, что концы
этих дуг стремятся к точке Со и к точке на j С | = 1 > не лежащей! на
дуге -{, или к одному из концов этой дуги. Тогда к функции <р (С) — z0
применима лемма 1, по которой заключаем, что <р(С) = 2о в |С|<О»
что невозможно. Следовательно, указанной выше дуги i не существует
и множество F всюду плотно на |С| = 1.
Теорема 1 таким образом доказана.
Простые концы. Для полного исследования соответствия границ
при однолистном отображении области В на круг | С | <^ 1 введем
понятие простого конца. Пусть в области В имеется последователь-
последовательность поперечных разрезов Ск, k=l, 2, ... Разрез Q соединяет две
различные достижимые граничные точки области В и делит ее на две
области, одна из которых пусть будет Вх. Разрез Ct лежит в области В\,
соединяет дйе различные достижимые граничные точки области В,
отличные от концов Q, и делит область Bt на две области, причем
пусть Bi есть та из этих областей, которая не имеет на своей гра-
границе точек кривой d. И вообще,, разрез, Cn+J лежит в В№ соединяет
две различные достижимые граничные точки области В, отличные от
концов Cs, и делит область Вп на две области, причем через B^t мы
обозначаем ту из этих областей, которая не имеет на своей границе
точек кривой С„. Замкнутые области Вп, я=1, 2, ..., вложенные
друг в друга, имеют не пустое пересечение — множество Е.
¦ Разрезы Сп считаем всегда такими, что Е содержит только гра-
граничные точки области В. Соответствующие областям Вп области
в круге |С|<[1 обозначим через О„; замкнутые области О„ также
имеют не пустое пересечение. Если это пересечение состоит из един-
единственной точки Со на |С|=*1| то множество Е называется простым
концом области В, соответствующим точке Со ')•
Легко показать, что простой конец, соответствующий точке Со на
|С| = 1, не зависит от последовательности разрезов, его определяющих.
Действительно, если две последовательности разрезов С'п и Сп опре-
определяют два простых конца, пусть Е и Е", соответствующие одной и
той же точке С* то области Q'n и GJ, соответствующие областям В'п и
*) (Простой конец можно определить, не привлекая конформное отобра-
отображение, так, как это сделано при определении достижимых граничных точек
(см., например, Каратеодори [1912]).)

I 8] СООТВЕТСТВИЕ ГРАНИЦ 43
Вп, определяемым этими разрезами, имеют единственную общую точку Со
и, следовательно, каждая из областей Оя содержит все О«, начиная
с некоторого т, и обратно, каждая из областей О„ содержит все
O«, начиная с некоторого т. Это же свойство переносится и на
области В'п и В'п. Но тогда E"czB'n и EczB'n при всех и, т. е.
E'czE, E'czE'. Это показывает, что простые концы Е и ?*, опре-
определяемые разрезами С'п и Сп> состоят из одних и тех же точек, а это
и значит, что простой конец вполне определяется только соответ-
соответствующей ему точкой Со-
Простой конец можно охарактеризовать и независимо от после-
последовательности определяющих его разрезов С„. Именно, покажем, что
простой конец Е области В, соответствующий точке Со на |С| = 1,
есть геометрическое место всех предельных точек последовательностей
точек области В, соответствующих всевозможным последовательностям
точек круга |С|<^1> сходящимся к Co-
Действительно, пусть точкам Сп->Сл. |С„|<СЬ IСо 1=1» соответ-
соответствует последовательность точек zn ? В. Так как любая из рас-
рассматривавшихся выше областей О„ содержит все Ст> начиная с неко-
некоторого т, то любая из, областей Вп имеет то же свойство по отно-
отношению к точкам zm. Следовательно, каждая предельная точка
последовательности zn принадлежит всем Вт т. е. принадлежит Е.
Пусть теперь, обратно, гп ? Е. Тогда ze лежит на границе всех
областей Вп. Возьмем в области В последовательность точек zn^-z9
так, чтобы zn^Bw л=1, 2, ... Им соответствуют в круге |С|<[1
точки С^Од, и=1, 2, ... Отсюда. С„-»-Сл. т. е. 20 является предель-
предельной точкой для точек zn^Bat соответствующих точкам Сп->-Со.
Вопрос о соответствии границ при конформном отображении
решается полностью в терминах простого конца (см. Каратеодори
[1913а]). Имеет место теорема:
Теорема 2. При однолистном конформном отображении
области В на единичный круг \С|<[ 1 между тояками окружности
| С | = 1 и простыми концами области В существует взаимно
однозначное соответствие.
Доказательство. Что каждому простому концу области В
соответствует единственная точка на |С| = 1, следует из самого опре-
определения простого конца. Докажем обратное, что для каждой точки Со
на | С | = 1 существует ей соответствующий простой конец области В.
Возьмем две последовательности точек СCS, я=1, 2,..., на |С| = 1,
отличных от Со, сходящихся к Со с обеих сторон от Со, и таких, что
им соответствуют последовательности достижимых граничных точек z'n
и Zn области В. Можно считать при каждом и=1, 2, ..., что точки
Cn+i, Ci+i лежат внутри дуги Ci» CJ на. |С| = 1» содержащей Со
(рис. 5). Пусть z'n и z"n определяются кривыми 1'п и Гп, соответствую-
соответствующие им кривые в круге |С|<С* обозначим через X), и \п-

44
ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
1ГЛ. II
каждом п возьмем на кривых \'п и \"п такие дуги с концами в СА и <Х
что все их точки отстоят от прямой, проходящей через 0, и С?, ближе,
чем от прямой, проходящей через CA-i и СЛ—I, и от прямой, прохо-
проходящей через Ся+i и С»+1. Соединим концы этих дуг, лежащие в | С К 1(
прямолинейным отрезком. Двигаясь от СА по Х^ и от С? по К до
первых точек встречи с этим отрезком, заменим указанными дугами
первоначальные дуги, а прямолинейный отрезок — отрезком, соединяю-
соединяющим концы этих дуг, лежащие в |С|<^Ь Полученные такрм образом
разрезы в |С\<С 1 стягиваются при в->оо в точку Со и имеют про-
прообразами в области В разрезы Ст определяющие простой конец,
соответствующий точке Со- Теорема доказана.
Рис. 5.
В дополнение к предыдущему имеем теорему.
Теорема 3. Для того чтобы множество Е точек границы
области В, определяемое, как выше, разрезами Ст было простым
концом области В, необходимо и достаточно, чтобы оно содер-
содержало не более одной граничной достижимой точки области В.
Доказательство. Из теорем 1 и 2 следует, что если Е —
простой конец, то он не может содержать более одной достижимой
граничной точки. Пусть теперь Е содержит не более одной дости-
достижимой граничной точки. Если бы Е не было простым концом, то
области Ода которыми определяется Е, имели бы в пересечении не-
некоторую дугу окружности |С| = 1. Возьмем на этой дуге две точки
Ci и Сз» соответствующие достижимым граничным точкам Z\ и zt об-
области В. Кривым /j и 4> определяющим эти точки, соответствуют
в круге | С | <С 1 кривые Xi и Х8, оканчивающиеся в Ci и С*

I 31 СООТВЕТСТВИЕ ГРАНИЦ 45
Части кривых Х| и Ха в достаточно малых окрестностях точек Ci и
Cj будут лежать в О„, а значит, части кривых 1\ и 4 в окрестностях
точек Z\ и 2в лежат в Вп. Это показывает, что точки z\ и zt при-
принадлежат всем Вп, а следовательно, и множеству Е, что противоре-
противоречит условию теоремы. Теорема доказана.
В приведенных на рис. 3 и 4 (стр. 40) областях отрезки cd
суть простые концы, ибо нетрудно построить последовательность
кривых С„ таких, что пересечением соответствующих областей Вп
будет точно этот отрезок; на рис. 4 отрезок cd содержит лишь
одну достижимую граничную точку d, а на рис. 3 ни одной. Анало-
Аналогично, спиралеобразная область на рис. 2 имеет всю граничную окруж-
окружность своим простым концом, который не содержит ни одной дости-
достижимой граничной точки.
Частные типы областей. До сих пор мы рассматривали вопрос
о соответствии границ при однолистном отображении любых огра-
ограниченных односвязных областей. Для областей частного вида можно
сделать ряд дополнительных заключений. Так, из предыдущих теорем
следует, что если все граничные точки области В достижимые, то
при однолистном отображении ее на круг |С|<О соответствие гра-
граничных точек области В и точек окружности | С | = 1 будет взаимно
однозначным, ибо тогда каждый простой конец области В состоит
из одной граничной точки. Покажем, что в этом случае обратная
отображающая функция 2 = <p(C) будет непрерывна в замкнутом
круге |C|*s:l, если под значением этой функции в точке Се на окруж-
окружности |С|=1 понимать предел ее значений при приближении точки С
из круга |С|<^1 к Со- Достаточно убедиться в непрерывности <р(С)
только на |С| = 1. Если последовательность точек Сп круга |C|*s:l,
сходящаяся к С», |С»| = 1> содержит конечное число точек окружности
|С|=1, то равенство Ит <р (С„) = <р (Со) следует из определения <р (Со)-
п-юо
Если же среди точек С„ бесконечно много точек окружности |С| = 1,
то эти последние отдельно образуют последовательность точек
СяА-*Со и Для НИХ требуется доказать, что Ит<р(С„А) = <р(Со)- Взяв
k—voo
любое е^>0, рассмотрим в круге |С|<^1 последовательность точек
удовлетворяющих условиям
Так как СяА-*-Со, то существует АГ^>0 такое, что при k^>K имеем
— Т (Со)|<у • Отсюда при А>/Сполучаем |<р (Cnft) — <р(Со)|<е;
это и доказывает, что Ит <р (С„.) = <р (Со)- Непрерывность <р (С) в точке
*-»00 *
Со этим доказана.

46 ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 1ГЛ. И
Если граница области В сверх того такова, что для любых двух
различных граничных точек Z\ и zt комплексные числа zx и z% не
равны между собою, то дополнительно докажем, что и> сама функция
f(z) будет непрерывна в замкнутой области В. _
Действительно, если ze лежит на границе области В и если zn?B,
я=1, 2 и zn-*-z0, то соответствующая последовательность С„
сходится к определенной точке Со на |С| = 1, ибо иначе изС„можн^
выделить две подпоследовательности, сходящиеся к различным точкам
на|С| = 1, и тогда соответствующие подпоследовательности точек
из zn сходились бы к различным точкам на границе области В. От-
Отсюда же следует, что Cj не зависит от выбора последовательности
zn-*--z9, а это и доказывает непрерывность f(z) в В-
Если применить сказанное к областям, ограниченным кривыми
Жордана, то по отмеченным выше свойствам таких кривых получаем
теорему.
Теорема 41). При однолистном конформном отображении
области В, ограниченной замкнутой кривой JKopdam, на круг
| С | <С * отображение В на | С | «S1 будет взаимно однозначным и
непрерывным.
Поскольку предыдущие рассуждения носили локальный характер,
то сразу же заключаем о справедливости более общей теоремы.
Теорема 4'. Если односвязкая область В имеет на своей
границе дугу }Кордана ~[, ни одна внутренняя точка которой не
есть предельная точка для граничных точек, не принадлежа'
щих f, то функция С=/(г), отображающая область В на круг
|С|<СЬ будет непрерывна в В с включением внутренних точек
дуги т и отображает дугу у на некоторую дугу •( окружности
| С | = 1 взаимно однозначно и непрерывно.
В, случае областей, содержащих на границе аналитические дуги,
имеем теорему:
Теорема 5. Если односвязная область В имеет на своей
границе аналитическую дугу )Кордана -j, ни одна внутренняя
точка которой не является предельной для граничных точек, не
принадлежащих у, то f(z) регулярна во внутренних точках
дуги т и в них f (z)^Q, m. e. имеет место конформность.
Доказательство. Пусть уравнение дуги f есть z = z(t),
a^t^b, и пусть ze = z(t^, a<^tt<^b. Функция z(t) разлагается
в окрестности точки t=it9 в степенной ряд. Если допускать для t и
комплексные значения, то этот ряд дает регулярную функцию в до-
достаточно малой окрестности точки t0; так как / (^0) Ф 0 (по опреде-
определению аналитической кривой), то окрестность можно выбрать столь
малой, что она будет отображаться функцией z = z(t) однолистно.
') Каратеодори {1913].

§ 31 СООТВЕТСТВИЕ ГРАНИЦ 47
Часть gt этой окрестности, лежащая в верхней или нижней полупло-
полуплоскости плоскости t, переходит тогда в часть gg окрестности точки z9,
лежащую в В и имеющую с -у общую граничную дугу. Функция
С =/(.?(<)) будет регулярна в gt и будет отображать gt однолистно
в часть окрестности точки Со==/Bго), лежащую в круге |С|<^ и
прилегающую к окружности |С| = 1. При этом f(z(t)) по теореме 4'
будет непрерывна в gt вплоть до вещественной оси. По принципу
симметрии она продолжима в окрестности t0 черев вещественную ось,
а в частности, регулярна в самой точке t9 и имеет в t0 производную,
отличную от нуля. Если t = t(z) есть обратная функция по отноше-
отношению к z = z(t), то она регулярна в z0 и f(z9)^t0. Следовательно,
функция f(z(t(z)))=f(z) также регулярна в z9 я/'(г9)ф0. Теорема
доказана.
В частности, если область В ограничена замкнутой аналитической
кривой Жордана, то при отображении ее на круг |С|<[1 отобра-
отображающая функция f(z) регулярна в В, а обратная ей функция регу-
регулярна в |С|^ 1.
Заканчивая исследование частных типов областей, отметим, что
в дальнейшем (гл. X, § 1) с помощью теории функций веществен-
вещественного переменного будет дополнительно проведено исследование соот-
соответствия границ при конформном отображении областей, ограничен-
ограниченных спрямляемыми и гладкими границами *).
Кроме того, отметим, что из предыдущих теорем тотчас же сле-
следуют теоремы о соответствии границ при однолистном отображении
различных областей друг на друга. Так, например, получаем, что при
однолистном отображении друг на друга двух односвязных областей,
ограниченных замкнутыми кривыми Жордана, отображение будет
взаимно однозначным и непрерывным, включая их границы, а в слу-
случае, если границы этих областей суть замкнутые аналитические кри-
кривые Жордана, то отображающие функции будут регулярны в замкну-
замкнутых областях.
В заключение приведем еще одну теорему единственности, отно-
относящуюся к конформному отображению. Выше мы видели, что если
ограниченная область В имеет все граничные точки достижимыми,
то функция 2 = 9(Q> однолистно отображающая круг |С|<С* на
область В, непрерывна в |С|<;1. В этом случае граница С области В
имеет представление z = ер (elt) = z (t), O*s:f==?:2ic, с непрерывной
функцией z (t), и является, таким образом, непрерывной кривой. Далее,
так как логарифм log * ¦ ¦.у является, очевидно, регулярной
*) Глубокие исследования о соответствии границ при конформном ото-
отображении проведены московское школой теории функций: Н. Н. Лузиным,
И. И. Приваловым, М. А. Лаврентьевым и др. Подробный обзор соответ-
соответствующих результатов имеется в книге «Математика в СССР за тридцать
лет> A948), 324—332.

48 ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ II
функцией в |С|<\1 и непрерывной в |С|^1, то аргумент
argf' )~Ч\ ' будет гармонической функцией в |С|<^ 1 и непрерив;
ной в |С| ^ 1. Значит, приращение этого аргумента при полном обходе
окружности | С | = 1 равно нулю. Но тогда при полном обходе
окружности | С | = 1 в положительном направлении приращение
arg(ip(C) — ф@)) будет равно приращению arg С, т. е. равно ?я.
Направление на кривой С, при обходе по которому arg (z — 20),
2e —<p@), получает приращение 2тс, называем положительным. В силу
непрерывности приращения (arg (z — ze))c — 3 ( \ ) в зависи-
мости от z0 ? В, положительное направление на С определяется не-
независимо от выбора z9, а следовательно, независимо от выбора ото-
отображающей функции <р(С).
Теорема 6. Если все граничные точки односвязной ограни-
ограниченной области В достижимы, то ее можно единственным обра-
образом однолистно отобразить на круг | С | <^ 1 так, что три задан-
заданные точки z\, zit z3 границы С области В, расположенные в порядке
положительного обхода, переходят в три заданные точки Сь Са»
С3 на |С|=1, также расположенные в порядке положительного
обхода.
Доказательство. Пусть функция С = <р(z) однолистно ото-
отображает область В на круг |С'|<С1- Точкам zu zit z3 будут соот-
соответствовать при этом на | С' | = 1 три точки' С^, Cj. C3, расположенные
в порядке положительного обхода. Если отобразить теперь круг
| С | <С * однолистно на круг | С | <^ 1 так, чтобы точки CJ, С^, Сз пере-
перешли соответственно в Ci, С3, Сз, что, как известно, возможно и осу-
осуществляется посредством дробно-линейной функции, то сложная функ-
функция будет давать требуемое отображение. Единственность отображения
доказывается, как обычно, от противного. Теорема доказана.
§ 4. Теоремы искажения
Значительное место в теории конформных отображений занимает
исследование того, какие ограничения налагает требование однолист-
однолистности отображения на некоторые величины, связанные с этим
отображением, как, например, на величину модуля функции, на
величины модуля и аргумента ее производной, т. е. на степень
производимого этой функцией искажения в различных точках обла-
области, и т. д.
Эти ограничения выражаются в различных оценках, простейшие
из которых и будут даны в этом параграфе.
Исходным пунктом для вывода ряда оценок, относящихся к одно-
однолистным функциям, служит следующая теорема:

§ 4J ТЕОРЕМЫ ИСКАЖЕНИЯ 49
Теорема 1 (площадей).1) Если функция /7(С)=С + -^- +
00
-f-... = С + У р? регулярна, исключая полюсы в С = оо, и одио-
листна в области |С||>1, то
S»I«»I'<1. (О
л=1
Название «теорема площадей» происходит от того, что эта теорема
является аналитическим выражением следующего геометрического
факта: при отображении области |С|^>р, р^>1> функцией w = F(?)
остается непокрытой часть плоскости w = u-\-lv, площадь которой
У>0 (принцип площадей). Из этого геометрического пояснения выте-
вытекает и способ доказательства. Именно, окружность |С| = р, р^>1>
переходит при отображении w = F(?) = u-\-lv в замкнутую анали-
аналитическую кривую w = F(peu) = w(t), 0==s:^2ic, ограничивающую
некоторую область, площадь S которой вычисляется по формуле:
2я 2я
2 21
00
\[ 2 + 2i 2p» * JX
2Ф
л=1
и эта площадь ^>0 при любом р^>1. Переходя к пределу при
р->-1, и получим A).
Подобная теорема имеет место также для соответствующих
/»-листных функций, т. е. функций, принимающих в |С|]>1 каждое
значение не более чем в р точках*).
Из неравенства A) вытекает важное следствие: 1041=^1; причем
знак равенства, т. е. случай о,=е1'1, может быть только тогда, когда
с'"
а4 = а3 = ... = 0, т. е. когда F (С) = С -f- -=-. Последняя функция
') Гронуолл [1914—1915].
') См. Г. М. Толузин [1940]; Ю. Е. Аленицын [1947, 1950].

50 ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 1ГЛ. II
однолистно отображает область | С | ^> 1 на плоскость с прямолинеи-
oi ai
ным разрезом от точки w=2e2 до точки w = — 2е2.
Пусть теперь функция
f(z) = z + ciz* + ...= flcnz» B)
регулярна и однолистна в круге |г|<^1. Тогда функция
) = z + Cfzp+i+... C)
(р=2, 3, ...) также будет регулярна и однолистна в |г|<^1. Одно-
Однолистность следует из того, что если бы было /p(^i)=/p(^a) при zr
и Zi из | z К1, причем zr ф г„ то /(zf)=/(,??), откуда zf = z?, т. е.
z1 = iizi, Y=h H0 тогда, имея в виду, что ряд B) содержит лишь
члены со степенями гя^+1, я = 0, 1, 2, ..., получили бы fp(zl) =
= VpCze)> т- е. и]=1 и, следовательно, 2, = ^,, что противоречит
допущению.
Отсюда следует, что функция
однолистна в |С1>1 и по следствию из теоремы площадей полу-
i, т. е. |с8|^2, причем с8 = 2е(|1 только в случае, если
чаем:
2
= С -\- -у-, т. е. если
[Г = г-2Л8+... D)
Функция D) отображает круг |z|<^ 1 на плоскость с разрезом по
лучу, исходящему из точки -т€~1л и содержащему на своем продол-
продолжении точку да=0. Итак, получили, что если функция B) регу-
регулярна а однолистна в круге |z|<^ 1, то имеется точная оценка
К12'
К1
Из полученной оценки для коэффициента с8 легко получается
теорема покрытия, относящаяся к тем же функциям. Пусть функ-
функция B) регулярна и однолистна в | z \ <^ 1 и пусть с не принадлежит
образу круга | z К 1 при отображении этой функцией. Тогда с ф О
и функция
«) Бибербах [1916].

I 4] ТЕОРЕМЫ ИСКАЖЕНИЯ 51
также будет регулярна и однолистна в |гг|<^1 и, следовательно,
имеем:
с« + — ^2.
Отсюда \c\~5z-r\ знак равенства здесь имеет место только в слу-
случае, когда К« + — == 7 1 cs I = 2 и | с41 = 2, т. е. когда с, =
= — 2eltt. Это же будет только для функции D). Итак, мы получили
теорему покрытия Кёбе:
Теорема 2. Если функция B) регулярна и однолистна
в I^K*! ото круг \w\<^-t (но не всегда больший) целиком по-
покрывается образом круга |гг|<^1 при отображении этой функ-
функцией. На окружности \ w \ =-? только в том случае имеются
точки, не принадлежащие образу, если f{z) есть функция DI).
Теореме Кебе можно придать другую форму: если функция f(z),
/@) = 0, регулярна и однолистна в |гг|<^1 и не принимает
в |z|<^ 1 значения с, то имеем
f(z)
это следует из применения предыдущей теоремы к функции -згт^г,
не принимающей в |.?1<^1 значения
Если функция
однолистно отображает область | С | ]> 1 и если с не принадлежит
образу, то функция
будет регулярна и однолистна в |г\<^ 1 и, следовательно, \с — a0
^2. Отсюда получаем теорему:
Теорема 3. Если функция E) однолистно отображает
|С|>1» то лея граница образа лежит в круге \w — a|2
') В указанной формулировке доказал теорему Бибербах [1916]. Кёбе
[1907] доказал только существование некоторого круга, утверждаемого
в теореме. Такое же покрытие имеет место и для надлежащих р-листных
функций (см. Г. М. Голузин [1948]).

52
ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
[ГЛ. II
Другим важным приложением оценки коэффициента с4 является
вывод оценок для модуля и аргумента производной однолистной
функции.
Пусть функция B) регулярна и однолистна в |г|<^1. Тогда
функция
при любом z из | г К1 5удет также регулярна и однолистна
в |С|<^1. Вычисления показывают, что:
и, следовательно, так как | fa | ^ 2, имеем:
zf" (г) 2г*
r=\z\.
F)
Заменяя в этом неравенстве слева модуль на вещественную и на
мнимую части и замечая, что
81
получаем два неравенства:
— 4+2г
1-г8
интегрируя которые по г от 0 до г, получаем далее следующие:
1 *==(! — г)"
G)
(8)
(9)
Эти неравенства имеют место при любом z из |z|<^l. Решим
вопрос о знаках равенства. Так как неравенства (8) и (9) получились
интегрированием по г от 0 до г неравенств G), то для того, чтобы
в (8) и (9) имел место знак равенства для некоторой функции f(z)
и для некоторого z из |z|<^l, необходимо, чтобы соответствующее
равенство имело место в G) вдоль всего прямолинейного отрезка от
О до z, а это требует, чтобы на том же отрезке имел место знак
равенства и в F). В частности, отсюда следует, что | с21 =
= 2. Но это может иметь место только для функции D).
/@)

§ 4| ТЕОРЕМЫ ИСКАЖЕНИЯ 53
Проверкой убеждаемся, что для этой функции при надлежащих ве-
вещественных а действительно в (8) имеет место знак равенства. Сле-
Следовательно, неравенство (8) дает точные границы для \f'(z)\, когда
f(z) пробегает весь класс функций B), однолистных и регулярных
в |z|<^l. Оно составляет теорему искажения1) идя этого класса
функций. Что касается неравенства (9), составляющего теорему
вращенияs), то для функции D) имеем при z ф 0:
arg/(*) = arg {l+ee'{**)S<4arc sin \z\ =
т. е. для нее в (9) знак равенства не может быть ни при каком
z фО. В дальнейшем для |arg/'B)| также будет дана точная оценка
(§ 1 гл. IV).
Исходя из неравенства (8), легко получить также оценки для
модуля 1/(^I сверху и снизу. Для получения верхней оценки инте-
интегрируем правое неравенство в (8) по прямолинейному отрезку,
соединяющему точку О с точкой z. Тогда получим:
Для получения же нижней оценки возьмем на образе окружности
| z | = г точку, ближе всего лежащую к w = 0, и соединим ее с w = О
прямолинейным отрезком. Интегрируя тогда левое неравенство в (8)
по криво*} 1, переходящей в этот отрезок, получим:
Итак, в |-г|<1 имеем:
^i<|/WI<^. г~\ж\. (Ю)
Знак равенства здесь может быть при z Ф 0 только в случае, если
f(z) есть функция D), что и есть на самом деле при надлежащем
выборе а.
«) Бибербах [19161.
8) Бибербах [1919Т. Точная оценка для |arg/'(z)| была дана автором
этом см § 1, гл. IV).
8) Бибербах [1919Т. Т
(об этом см. § 1, гл. IV).

54
ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
[ГЛ. II
До сих пор мы рассматривали функции, однолистные в круге.
Докажем теперь общую теорему искажения.
Теорема 41). Если дана область В и замкнутое множество
EczB.mo существует конечная положительная постоянная М
такая, что" для всякой функции f{z), регулярной и однолистной
в В, и для любых z\, zt ^Е имеем:j
L <!/•(«»)
(И)
Доказательство. Без ограничения общности можно считать,
что Е есть замкнутая область, лежащая в В. Действительно,каждое замкну-
замкнутое множество легко заключить в некоторую замкнутую область, лежа-
лежащую в В, и если неравенство A1), доказано для последней, то оно
же будет иметь место и для любого в ней лежащего множества Е
с тем же М. Допустим сначала, что Е есть ограниченная замкнутая
область. Пусть d есть расстояние ее до границы В] d"^>Q. Покроем
плоскость z сеткой квадратов, длины сторон которых равны -j.
Замкнутые квадраты сетки, содержащие точки из Е, составят вместе
замкнутую область В", причем EczB", В' а В. Пусть теперь z,HZ] —
две любые точки множества Е. В области В" можно найти такую
цепь точек %t = zi, ?a, •••> $n = zi> чтобы каждые две последователь-
последовательные точки этой цепи лежали в соседних квадратах сетки и чтобы
число их п не превосходило числа N всех квадратов, составляю-
составляющих В". Расстояние между точками 5ь и ?ft+1 (k = l, 2, ..., п — 1) не
превосходит -p=<^-j&. Круги \z — ?*|<^> * = 1, 2 п, цели-
ком лежат в области В. Поэтому функция
-/№>)_
при каждом k будет регулярна и однолистна в
тельно, по (8) в |С|<1 имеем:
/
В частности, при С =
/' («ft)
1. Следова-
A2)
-?- получаем:
/few)
'(-•И'
m.
<Кёбе [1910].)

§ 4] ТЕОРЕМЫ ИСКАЖЕНИЯ 55
Полагая здесь k = l, 2, ..., п—1 и перемножая полученные нера-
неравенства, находим:
Число М зависит тблько от области В и множества Е, но не зависит
от вида функции f(z) и выбора точек zx и 2а. Меняя в последнем
неравенстве местами Z\ и zit получим и другое неравенство, входя-
входящее в теорему. Если область В содержит точку оо, то, принимая во
внимание, что неравенство A1) имеет место для любых точек z\ и z$
на |гг| = /?, R достаточно большое, по принципу максимума модуля
докажем, что оно же имеет тиесто и для любых Z\ и zt из \z\~^>R.
Это в связи с уже доказанным приводит к полному доказательству
теоремы.
Аналогично, имеет место теорема:
Теорема 51). Если дана область В и замкнутое множество
Ecz В, то существует конечная положительная постоянная L
такая, что для всякой функции f(z), регулярной и однолистной
в В, и для любых точек zlf z^^E имеем:
Доказательство. Считая опять Е ограниченной замкнутой
областью, воспользуемся построениями, сделанными в доказательстве
предыдущей теоремы. Интегрируя неравенство A2) и пользуясь A1),
имеем:
Полагая здесь k=\, 2, ..., п — 1 и складывая полученные неравен-
неравенства, получаем:
12МШ\
откуда и следует A3) с L=\2MNd. Если же В содержит оо, то
используем еще принцип максимума модуля.
Из последней теоремы получается следствие:
Следствие. Если семейство функций f(z), регулярных и
однолистных в области В, таково, что в одной точке zo?B
имеем \f(z9)\ <^М\, |/"B»)КЛ1» 2de Mi и Ж8 не зависят от
вида f{z), то оно равномерно ограничено внутри В и к нему
применим принцип сгущения.
<Кёбе

56 ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ |ГЛ. II
§ 5. Теоремы сходимости для конформного отображения
последовательности областей
Важным вопросом в теории конформных отображений является
вопрос о сходимости последовательности однолистных функций.
Введем следующие определения. В плоскости z дана последова-
последовательность односвязных областей Bi, В*, ..., содержащих z = 0. Если
существует круг |-г|<^р, Р^>0> принадлежащий всем областям Вп,
то назовем ядром этой последовательности областей наибольшую
область, содержащую г=0и обладающую тем свойством, что любая
замкнутая часть ее принадлежит всем областям Вп, начиная с некото-
некоторой; наибольшая область понимается в том смысле, что она содержит
любую другую область, обладающую тем же свойством. Если же
такого круга не существует, то под ядром последовательности обла-
областей В\, В^ ... будем понимать точку 2 = 0. Далее будем говорить,
что последовательность областей В\, В%, ... сходится к ядру В, и
писать Вп -+В, если любая подпоследовательность областей имеет своим
ядром также В. В частности, если последовательность односвязных
областей Bit В%, ..., Вп, . ., содержащих z = О, стремится к предель-
предельной области В, содержащей z = 0, в том смысле, что -начиная с некото-
некоторого п все граничные точки области Вп будут находиться произвольно
близко к границе области В и все точки границы области В будут
находиться произвольно близко к границе области Вп, то эта после-
последовательность имеет ядром область В и сходится к нему. То же будет
иметь место и для последовательности областей Вп, подчиненных усло-
условию В\ cz Bi си 58 си ... и содержащих z = 0 или условию В\ гз 52 из
гэ 53 гэ ... и содержащих некоторую окрестность точки z = 0.
Теорема 1 (КаратеодориI). Дана последовательность
функций z=fa(Q, /„@) = 0, /;@)>0, я=1, 2, .... регулярных
в |С <С* " однолистно отображающих круг ICK1 соответ-
соответственно на области Вп. Для того чтобы функции /Я(С) сходились
в |С|<С* к конечной функции, необходимо и достаточно, чтобы
последовательность областей Вп сходилась к ядру В, которое
есть или точка 2 = 0 или область, имеющая более одной гранич-
граничной точки; при этом сходимость будет равномерной внутри
круга |С|<^1. Если предельная функция /(С) =? const, то она ото-
») Каратеодори [19121; Бибербах [1913].
А. И. Маркушевич [1936] показал, что условия теоремы 1 являются
также необходимыми и достаточными для сходимости f'n (г) к /' (г) в сред-
среднем, т. е. для того, чтобы
где f'n (г) считается равной нулю вне области Вп,

§ 6] ТЕОРЕМЫ СХОДИМОСТИ 57
бражает круг | С | <^ 1 на ядро В, а обратные функции <р„ (-г) равно-
равномерно сходятся внутри В к функции ср (г), обратной к /(С).
Доказательство. 1°. Необходимость. Пусть /я(С)-»-/(С)
в |С|<^1. Рассмотрим сначала случай /(Q = 0 и докажем, что тогда В
есть точка z = 0 и Вп->В. Действительно, иначе существует круг
121 <О» Р ^> 0, принадлежащий всем областям Вп, и, следовательно,
для функций <?„(г), обратных функциям /Я(С). по лемме Шварца, при-
примененной к кругу |.гКр, получаем | <ря @) | =^ —, т. е. Л@)^Р-
Но тогда по оценке A0) § 4, примененной к функции ЦтКХ, в круге
|С|<1 имеем: РA ! I^^IACC)! и, следовательно, функции /„(С)
не сходятся к /(С) = 0, что противоречит предположению. Так как
то же рассуждение применимо и к каждой подпоследовательности
областей, взятых из В\, Вг, ..., то Вп -> В.
Пусть теперь /(?)^Ё0. Тогда из оценки
следует, что числа /?@) ограничены, а функции /„(С) равномерно
ограничены внутри круга |С|<С1- Поэтому к функциям /Я(С) приме-
применима теорема Витали, по которой они равномерно сходятся внутри
круга |С|<О к функции /(С), которая будет однолистной в |С|<^1.
Следовательно, функция z=f(?) однолистно отображает круг | С |<| 1
на некоторую область В, содержащую z = Q. Покажем, что В обла-
обладает свойством: любая замкнутая область В*, лежащая в В, принад-
принадлежит всем областям Вп, начиная с некоторого п.
Пусть 8>0— расстояние В* до границы В. Покроем плоскость z
сеткой квадратов с длинами сторон -у и рассмотрим область В#, обра-
образованную из всех квадратов, содержащих внутри или на границе точки
из В*. Торда 5*cz5*, 5*cz5. Пусть областям В* и 5* посред-
посредством z=f(Q соответствуют в |С|<^1 области А* и А%; А*сА%,
А% лежит в |С|<^1. Если 8j^>0 — расстояние В* до границы обла-
области 5*, то на границе области А% имеем |/(С) — -го|^8ъ какова бы
ни была точка z0 ^ В*. С другой стороны, существует N^> 0 такое,
что при n~^>N на границе А% будет |/я(С) — /(C)|<C^i> ибо функции
/я @ равномерно сходятся внутри круга | С | <^ 1. Следовательно, при
каждом n^>N к функции
Л (9 - z»=(fn (С) -/@) + (/(С) - *„)
применима теорема Руше, по которой следует, что /„(С)—zt имеет
в области А# нуль. Последнее означает, что образ области А% при

58 ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ |ГЛ. II
отображении посредством z =/„ (С) при п ~^>N содержит любую точку
zu ? В*. Итак, каждая замкнутая область, лежащая в В, а следова-
следовательно, и каждое замкнутое множество области В, содержится во всех
областях Вп, начиная с некоторой. Покажем, что В есть наибольшая
область, обладающая этим свойством.
Пусть, действительно, В" — любая другая область, содержащая
г=0 и обладающая тем же свойством. Тогда функции <pn(z) будут
определены на любом замкнутом множестве области В, начиная с не-
некоторого п, и на нем равномерно ограничены. Этого же достаточно,
чтобы к функциям «РяСЮ был применим принцип сгущения. Выбираем
из сря (z) любую подпоследовательность <pnk (z), равномерно сходящуюся
внутри области В' к регулярной функции <?(z), <р@) = 0, ср' @)^=0.
Из
следует, что <р' @) ^> 0, т. е. функция ср (z) ^= const и, следовательно,
однолистна в В'. Докажем, что ср(,г) есть обратная функция к /(С).
Действительно, возьмем любую точку Се, |С»|<^1. и пусть z9 =/(С»),
zt ?j В. Пусть окружность | С — Со | = е, е ^> 0, целиком лежит в круге
|С|<1. На ней будет |/(С)—zo\^>m, /и>0. С другой стороны,
при k>К на |С — С0| = е имеем |/ЯА(С) — /(С)|</и. По теореме
Руше опять заключаем, что функции /ЯА(С) — z9 при k~^>K имеют
в |С — Со|<Се п0 нулю, которые мы обозначим через С*. Имеем:
f»ft(Cft)—2et С* = <ряйСгв) для к~^>К. Отсюда при А->оо получаем
С* -*¦ <Р (-^о) и> следовательно, ср(,г0) лежит в |С — Со1<^8- В силу про-
произвольности е^>0 получаем <р(z0) = Co- Итак, мы показали, что из
2o=/(Co) следует Co = <pBo)> т. е. что ср(,г) является обратной функ-
функцией для /(С). Так как это рассуждение применимо и для каждой
сходящейся подпоследовательности функций из сря(,г), причем всегда
предельной функцией будет функция <р (г), обратная к /(С), то и сама
последовательность функций <Рл(?) сходится в области ff к функ-
функции ср(г). Функция С = <р (г) отображает область ff на некоторую
область А. Так как | ср„ (z) \ ^ 1 в В№ то | ср (z) \ ^ 1 в fi', т. е. А лежит
в |С|<1.
Последнее дает возможность доказать, что В" а В. Действительно,
если z9^ ff и Со — <р(-го)> то |С»|<^ 1 и, следовательно, гв =/(Со)? 5,
т. е. каждая точка области /У принадлежит и области В. Таким обра-
образом, В есть наибольшая область, содержащая 2 = 0 и обладающая
свойством, что любая ее замкнутая часть принадлежит всем областям Вп,
начиная с некоторой, т. е. В является ядром для последовательности
областей Вп. Отсюда же следует, что В имеет более одной граничной
точки.

i 8] ТЕОРЕМЫ СХОДИМОСТИ 59
Если теперь взять любую подпоследовательность областей Вщ,
Вп и к соответственной подпоследовательности функций Д, (С),
/»s(t)» ...» сходящейся к функции./(С), применить предыдущее заклю-
заключение, то получим, что функция z *=}(?) отображает круг |С|<^1 и
на ядро этой новой последовательности областей, которое, следова-
следовательно, совпадает с В. Это показывает, что Вя-*-В, т. е. доказана
необходимость условия теоремы и одновременно доказаны дополни-
дополнительные заключения, указанные в теореме.
2°. Достаточность. Пусть теперь Вп-*¦ В, причем ядро В есть
точка 2 = 0 или область, имеющая более одной граничной точки.
Пусть сначала В есть точка 2 = 0. Если бы числа /я@) не сходи-
сходились к 0, то существовала бы последовательность функций Д4(С)
с |/»fc@)|>e, е>0, для которых в |С|<1 имели бы
и, следовательно, ядро В не было бы точкой. Но если /я@)->0, то
в |С|<О будем иметь
и, следовательно, Д(С)-*-0 в |С|<^1, что и доказывает сходимость
функций /„ (С). Рассмотрим теперь случай, когда ядро Я есть область,
имеющая более одной граничной точки. В этом случае числа /я@)
должны быть ограничены. Действительно, иначе существует подпосле-
подпоследовательность /„ft@)-»-oo и из неравенства
заключаем, что образы круга |С | <С 1 ПРИ отображении функциями
z=fnk(?), начиная с некоторого k, содержат любой заданный круг
\z\<^Ri что противоречит сходимости Вп к В. Из доказанного сле-
следует, что функции Д (С) равномерно ограничены внутри круга |С <С*-
Допустим теперь, что функции /„(С) не сходятся в точке CoiKo <?!•
Тогда существуют две подпоследовательности fn> (С) и /Я"(С), сходя-
сходящиеся в | С КI к двум различным функциям /„ (С) и Д# (ф
Если обе функции Д(С) и /**(С) не тождественно равны нулю,
то по пункту 1°, примененному к последовательностям/„-(С) и /Я"(С),
получим, что функции г =f# (С) и г =/#* (С) отображают круг | С | <^ 1
на ядро последовательностей областей Вп> и ВЯ", т. е, на область В.
Так как Д @) = 0, Д @) > 0 и Д*<°) == °»/*** (°) > °» то п0 теореме
Римана (единственность) найдем, что Д (С) ^ Д* (Q, а это противоре-
противоречит предыдущему. Если же одна из функций Д (С) и Д, (С) тожде-
тождественно равна нулю, то другая не может быть тождественно равна

60 ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. II
нулю, ибо иначе опять они были бы тождественны. Применяя пункт 1°,
заключаем, что одна из последовательностей областей Вп> и ВП" имеет
ядром точку z = 0, а другая — некоторую область и, следовательно,
последовательность областей Вп не сходится к ядру.
Опять получили противоречие. Итак, функции /П(С) должны схо-
сходиться в круге | d | <^ 1 к конечной функции, причем по теореме Витали
сходимость будет равномерная внутри круга |?|<^1. Теорема дока-
доказана. ^
В теореме 1 даются условия сходимости однолистных функций
лишь в открытом круге | С К 1. Относительно сходимости однолистных
функций в | С | ^ 1 приведем следующую теорему, ограничиваясь при
этом лишь областями жорданова типа.
Теорема 21). Если последовательность односвязных обла-
областей Вп, ге=1, 2, ..., содержащих 2 = 0 и ограниченных кривыми
}Кордана Сп, сходится к области В, ограниченной кривой }Кор-
дана С, как к ядру, то для того, чтобы последовательность
функций z =/„ (С), /„ @) = 0, f'n @) > 0, однолистно отображающих
круг | С К1 на области Вп, равномерно сходилась в \ С | «^ 1
к функции z =/(С), /@) = 0, /' @) > 0, отображающей круг \ С | < 1
на область В, необходимо и достаточно, чтобы для каждого
е^> 0 существовало такое N^> 0, что при п^> N между точками
кривых Сп и С можно установить взаимно однозначное и непре-
непрерывное соответствие, при котором соответствующие точки
находятся на расстоянии меньшем в.
Доказательство. 1°. Необходимость. Если /я(С)->/(С)
равномерно в |С|=^1, то, считая соответствующими точками на кри-
кривых С„ и С точки 2„=/л(С) и г=/(С) при одних и тех же С на
|?| = 1, этим устанавливаем взаимно однозначное и непрерывное соот-
соответствие между С„ и С с указанным в теореме свойством.
2°. Достаточность. Для доказательства достаточности условия
теоремы докажем сперва, что при условии, указанном в теореме,
функции /„(С) равностепенно непрерывны на окружности |С|=1.
Допустим противное. Тогда существует 8^>0, последовательность
целых положительных чисел nk, k=l, 2, ..., неограниченно расту-
растущих с k, и пары точек Ц, С* на | С | = 1 такие, что при k -> оо
С*-О^о, 1Л»(«)-/„«)!> 8.
Можно считать, что точки С* и С* сходятся к общему пределу а,
|а| = 1, ибо иначе мы перешли бы к подпоследовательности функ-
функций из fnk (С), удовлетворяющих этому условию, и для нее сохра-
сохранили бы те же обозначения. Аналогично можно считать, что точки
*) Радо [1922—1923]. В случае областей с любыми границами вопрос
полностью исследован А И. Маркушевичем [1936].

§ 5] ТЕОРЕМЫ СХОДИМОСТИ 61
ak =fnk (Cft) и bk =fnk (Q сходятся, пусть, к точкам а и b. Точки ak
и bk лежат на Спъ а точки а и b — на С. Дуги akbk на кривых Спъ
соответствующие дугам 1ЩХ стягивающимся при А-*-оо в точку а,
обозначим через ak, а остальные части кривых Cnk — через tft. Так
как по предположению расстояние между точками ak и bk при k
достаточно больших больше 8, то при каждом таком к на ak най-
найдется точка ck, расстояние которой от ak и bk не меньше -к-. Можно
считать, что ck -*- с, с ^ С, ибо иначе мы опять перешли бы к под-
подпоследовательности функций fnk(?). Имеем \с — а|^-^-, \с — Ь\^-^-.
Следовательно, с есть внутренняя точка одной из дуг, на которые
точки а и b делят кривую С. Эту дугу обозначим через а, а осталь-
остальную часть С — через t. Возьмем на С дугу о', содержащую с и лежа-
лежащую вместе со своими концами внутри дуги а, и пусть к)^>0 и
меньше, чем расстояние с до С — о' и расстояние о' до т. Пусть,
далее, /Г^>0 такое, что при k ^> К между Cnft и С установлено взаимно
однозначное и непрерывное соответствие, при котором расстояние
между соответствующими точками этих кривых <^4-, и, кроме того,
такое, что при k^>K имеем:
1«-«*1<!, \ь-ьк\<%, k-cft|<|. A)
Тогда при k^>K в круге \z — с|<^-3- не будет точек -zk.
Действительно, допустим, что при некотором k^>K существует
точка dfi ? zk, которая лежит в этом круге. Пусть точкам ck и dk
соответствуют на С точки c'k и d'k. Имеем:
— С | < | C'k — Ск | + | Ck — С
т. е. c'k и dk лежат на дуге о'. Так как ck ^ ak, dk ^ tft, то ck и dk
разделяют точки ak и bk на Cnft. Поэтому части дуги о', лежащей,
между c'k и йй, соответствует на Cnk дута, содержащая одну из точек ak
и ?ft, пусть ак. Точка на С, соответствующая ak, лежит, следовательно,
на дуге о', и ее расстояние от а больше к), что противоречит первому
из неравенств A). Итак, при k^>K каждая точка кривой Cnk, лежа-
лежащая в | г — с | <^ -3-, есть точка дуги <зк.
Рассмотрим при k^> К функцию tyk(z)=<?nk(z)—а (9nk(z) — обрат-
обратная функция к fnk (С)), регулярную в Bnk, и положим eft = max |<J»ft (г) |.

62 ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 1ГЛ. Н
Имеем eft->0. Пусть теперь г9 — любая точка области В, лежащая
в круге \z— с К 4" Опишем около нее окружность \z— гв|:^=у.
На ней' имеются внешние точки области В, а следовательно, и неко-
некоторая дуга f, лежащая вне В и имеющая центральный угол вели-
величины -?, т — целое ]> 0. При k достаточно большом, k ^> Ki, Ki > К,
эта дуга будет вне Bnk, а гй — внутри В„к. Предельные значения
модуля | t|>fe (z) | при приближении z к граничным точкам области Bttkt
лежащим в \z — ^о I <Ст' не пРевосходят гк, ибо в | z — гв | <Cj\ нет
точек дуги tfr Здесь применима лемма 2 из § 3, причем в данном
случае Ж=2, e = eft. Поэтому при k^>Ki имеем | <|>ft(z9)| sg у' ек2 К
Но при k -»- оо числа <|>ft (г0) стремятся к <р (г0) — а, где <р (z) — функция,
отображающая область В на круг | ? | <^ 1. Следовательно, <р (г0) — а = 0,
т. е. <р(z)=а для всех точек z ? В, лежащих в \z — с|<^у, а потому
и всюду в В, что невозможно. Это противоречие и доказывает равно-
равностепенную непрерывность функций /„(С) на |?| = 1. Функции /„(С),
кроме того, равномерно ограничены на |С| = 1. Рассуждая, как в пунк-
пунктах 2° и 3° доказательства принципа сгущения, докажем, что из после-
последовательности функций /„(С) можно выделить подпоследовательность,
сходящуюся на некотором множестве точек, всюду плотном на | С | = 1,
а затем докажем, что она равномерно сходится на |С| = 1. Такой же
выбор может быть произведен и из любой подпоследовательности,
взятой из последовательности /Я(С). Это дает возможность доказать,
что последовательность /Я(С) сама сходится на |?| = 1.
Действительно, если бы последовательность функций /я (С) не схо-
сходилась в некоторой точке на |С| = 1, то из неё можно было бы
выделить две подпоследовательности, равномерно сходящиеся на |?| = 1,
а следовательно, и в |^| <^1, к двум различным функциям, регулярным
в | ? | <^ 1 и непрерывным в 11 ? | ¦<; 1, что невозможно, ибо по теореме 1
функции /я (С) сходятся в | С ] <^ 1 к единственной функции. Доказав
сходимость функций /„(С) на |?| = 1, принимаем опять во внимание
равностепенную непрерывность и равномерную ограниченность функ-
функций /„(С) и докажем, как в пункте 3, § 2, гл. I, что функции /Я(С)
равномерно сходятся на | С | = 1» а следовательно, и в |?|<;1. Пре-
Предельная функция, очевидно, будет /(С). Теорема доказана.
§ 6. Модулярные н автоморфные функции
Среди различных функций, осуществляющих однолистное отобра-
отображение односвязных областей друг на друга, важное теоретическое
значение имеют функции, которые отображают на круг или на полу-
полуплоскость некоторые круговые "многоугольники, т. е, области с гра-

§ 6] МОДУЛЯРНЫЕ И АВТОМОРФНЫВ ФУНКЦИИ 63
ницев, составленной из круговых дуг. Исследованием характера отобра-
отображения, даваемого этими частными функциями, мы и займемся в этом
параграфе.
Рассмотрим сначала случай, когда область В является внутрен-
внутренностью правильного кругового треугольника с нулевыми углами, впи-
вписанного в окружность ] z | = 1 (рис. 6); стороны этого треугольника,
очевидно, ортогональны к окружности | z \ = 1. Пусть функция z = X. (С)
однолистно отображает полуплоскость 3(С)}>0 на область В и при-
притом так, что точки 0, 1, оо переходят в вершины треугольника,
С = {а (-г) — обратная функция. Не зная явного выражения функций X (С)')
и |А(г), можно, пользуясь принципом симметрии, выяснить чисто гео-
геометрически существенные свойства этих функций. Обозначим стороны
указанного кругового треугольника через L\,
Z.j и Lg, а им соответствующие части вещест-
вещественной оси — через L't, Z-i L'%.
Функция jj, (z), регулярная в В Ъ непрерыв-
непрерывная в В, кроме одной из вершин, принимает на
границе области В вещественные значения.
Следовательно, по принципу симметрии, она
продолжима через стороны Lb L& L^ соответ-
соответственно, в области Вь Sj, В3, полученные из В
преобразованием инверсии относительно ок-
окружностей, на которых лежат дуги Lb L%, ?3. Рис. 6.
Области В и S8, Въ опять являются круговыми
треугольниками с нулевыми углами, вписанными в |z| = l, и каждая
прилегает к В вдоль одной из сторон Lb Z.4, L%. Действительно, при
этих инверсиях любая окружность переходит в окружность, а окруж-
окружность | z | = 1, как ортогональная ко всем окружностям, через кото-
которые делается продолжение, переходит в себя. В областях Вь В%, В3
функция С = |л(г) регулярна и отображает каждую из этих областей
на полуплоскость 3(С)<[0. Следовательно, |л.(г) регулярна в обла-
области В, составленной из областей В, В\, 5», В3; но в этой области
она уже не однолистна, поскольку каждое значение из 3(С)<[0 она
принимает в трех точках области В. Если три полуплоскости 3(С)<^О,
полученные при отображении областей В\, В%, В& считать-лежащими
друг над другом и соединенными с полуплоскостью 3(С)^>0, соот-
соответственно, вдоль L'v Z-i, L'v то получим риманову поверхность, на
которую функция С = |*(г) будет взаимно-однозначно отображать
область В\ на границе В функция С=р (z) будет вещественна. Область В
является круговым шестиугольником с нулевыми углами, вписанным
в окружность | z | = 1, причем стороны этого шестиугольника орто-
ортогональны к этой окружности. Повторяем с областью В то же, что
') Явное выражение функции X (С) будет дано в § 1 гл. III.

64 ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. II
выше, т. е. продолжаем функцию (х(г) через шесть граничных сто-
сторон В в области, полученные из областей В\, Въ, В3 инверсиями
относительно соответствующих сторон. Функция (х (г) регулярна в каж-
каждой из шести вновь полученных областей и отображает их на полу-
полуплоскости 3(С)^>0; эти полуплоскости считаем различными и соеди-
соединенными с ранее имеющимися полуплоскостями 3(С)<\0 вдоль над-
надлежащих отрезков L\, Z-j, L'3 вещественной оси. Следовательно, функция
? = (х(.г) будет регулярна во вновь полученной области В" — круговом
двенадцатиугольнике — и будет отображать В" взаимно однозначно на
риманову поверхность, составленную из 7 верхних и 3 нижних полу-
полуплоскостей, соединенных надлежащим образом вдоль L'v L'^ L'3.
Совершая этот процесс продолжения беспредельно, мы придем,
с одной стороны, в плоскости z к „модулярной" сетке, составленной
из бесконечного множества круговых треугольников с нулевыми углами,
лежащих в круге | z | <^ 1 и имеющих стороны, ортогональные к окруж-
окружности |z| = l; с другой стороны, мы получим риманову поверхность,
лежащую над плоскостью С и составленную из бесконечного множе-
множества полуплоскостей, соединенных друг с другом вдоль надлежащих
отрезков L[, Z.j, L'3 вещественной оси.
Покажем, что область В*, образованная из всех треугольников,
составляющих модулярную сетку, совпадает с полным кругом |г|<^1.
Для этого достаточно показать, что окружность | z \ = 1 покрывается
вершинами треугольников сетки всюду плотно. Если бы на | z \ = 1
существовала дуга *[, на которой нет вершин рассматриваемых тре-
треугольников — вершин сетки, то нашлась бы последовательность дуг 1п,
п== 1, 2, ..., сетки, опирающихся на дуги окружности | z | = 1, содер-
содержащие у, сходящаяся к некоторой дуге L окружности. Дуга L, очевидно,
ортогональна к окружности |z| = 1 и опирается на дугу у, содер-
содержащую у, причем между ?' и L не будет точек области В*. Но это
невозможно, ибо при достаточно большом п инверсия относительно
дуги 1п всей многоугольной области B(k\ на границе которой эта дуга
находится, переводила бы 2 = 0 в точку, лежащую между •( и L, и,
следовательно, между f и i имелись бы точки В*. Этим доказано,
что вершины модулярной сетки лежат всюду плотно на окружности
|г| = 1, а следовательно, область В* совпадает с полным кругом
|г|<^1. Поэтому функция (х(г) регулярна в полном круге |г|<^1
и отображает круг | z | <^ 1 взаимно однозначно и конформно на выше-
вышеуказанную бесконечнолистную риманову поверхность. Функция p(z)
принимает в |z|<^l каждое значение, отличное от 0, 1, оо, бесконеч-
бесконечное множество раз; значения же 0, 1, оо не принимаются ею нигде
в |г|<^1. Что касается точек окружности |г| = 1, то они все будут
особыми точками функции \>.(z), ибо в любой окрестности каждой
такой точки лежит бесконечное множество треугольников модулярной
сетки и, следовательно, р(г) принимает в части этой окрестности,
лежащей в | z \ <^ 1, все значения, отличные от 0, 1, оо. Следовательно,

§ 61 МОДУЛЯРНЫЕ И АВТОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ 65
1() не может быть продолжена из круга |г|<|1, и этот круг будет
для нее полной областью существования. В этом случае говорят, что
окружность |г| = 1 является для р(г) естественной границей. Что
касается обратной функции Х(?), то она, определенная каким-либо
элементом, продолжима на плоскости С по любому пути, не проходя-
проходящему через 0, 1 и оо, причем всюду |Х(С)|<Ч; но X(Q, очевидно,
является многозначной функцией.
Функция 1* (z) называется модулярной функцией, а риманова поверх-
поверхность, на которую она взаимно однозначно отображает круг |z|<^l,—
модулярной римановой поверхностью. Это название происходит от
связи \i.(z) с некоторыми величинами, встречающимися в теории эллип-
эллиптических функций и называемыми модулями.
Модулярная функция |*(г) обладает замечательным свойством инва-
инвариантности ее относительно некоторой группы дробно-линейных пре-
преобразований аргумента. Именно, дробно-линейные преобразования,
составленные из четного числа инверсий, встречавшихся выше,
образуют группу преобразований аргумента, при которых ц(г) не
меняет своих значений. Однозначные аналитические функции, кото-
которые не меняются при некоторой группе дробно-линейных преобразо-
преобразований аргумента, называются автоморфными функциями. Примерами
автоморфных функций с бесконечными группами являются тригоно-
тригонометрические и эллиптические функции. После эллиптических функций
модулярная функция является простейшим неэлементарным примером
автоморфных функций с бесконечной группой. Другие наиболее про-
простые автоморфные функции получим, если рассмотрим отображение на
полуплоскость 3 (С) ^> 0 области В, лежащей в круге |г|<|1 и являю-
являющейся любым круговым треугольником, все стороны которого ортхь
тональны к окружности |г| = 1, а внутренние углы отличны от нуля.
Если все внутренние углы этого треугольника имеют величины —-,
~иГ' ИГ' где ти т%> тз —целые положительные, то, как и в случае
модулярных функций, функция с = <р(г), однолистно отображающая
область В на 3(С)>0, продолжима на весь круг |г|<4, регулярна
в |г|<^1, кроме точек, переходящих в оо и являющихся для нее
полюсами, и отображает круг | z \ <^ 1 на некоторую многолистную
риманову поверхность, лежащую над всей плоскостью ?. Для доказа-
доказательства продолжимости <f(z) на весь круг |г|<^1 докажем сперва,
что вершины треугольной сетки, которые теперь все должны лежать
в |г|<^1, не имеют предельных точек внутри крута |г|<|1 (рис 7).
Действительно, пусть z9 есть точка предельная для вершин сетки, и
пусть zk, k = I, 2, ..., — (различные) вершины сетки, стремящиеся к г0.
Так как они являются вершинами некоторых треугольников Aft,
А = 1, 2, ..., получаемых из В четным числом инверсий, т. е. неко-
некоторыми дробно-линейными преобразованиями zf=Tk(z), k-=l, 2, ...,
3 Г. М Голузин

66
ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
[ГЛ. II
круга | z | <\ 1 в себя, входящими в группу преобразований, оставляю-
оставляющих функцию <p(z) инвариантной, то достаточно доказать, что функ-
функции Тк (г) переводят вершины области В в множество точек, не имеющих
точек сгущения в |г|<^1. Можно считать zk такими, что треуголь-
треугольники сетки, с вершинами в точках zk с различными k, не имеют
общих точек, ибо иначе перешли бы к частичной последовательности
вершин zk. Пусть а — одна из вершин области В и пусть круг \z — а | <^р,
р ^> 0, лежит целиком в области, составленной из треугольников сетки,
имеющих вершины в a. Qh преобразуется функциями /=Т„(г)
(я=1, 2,...) на круги Кп, лежащие в \z\<^\ и не налегающие
Рис. 7.
друг на друга. Так как функции w==T"/f/дГ " == * + •••
однолистны в |z|<^ 1, то в областях, на которые крут |z|<[ 1 отобра-
жается этими функциями, лежит целиком круг | w \ <^ -j-, а это значит, что
Т'„(а)
в Кп будут лежать круги радиусов соответственно не меньше —j— р.
Так как эти круги не налегают друг на друга и лежат в |z'|<[ 1,
со
то сумма их площадей конечна и, следовательно, ряд ^ I тп (а) I2
сходится. Поэтому, Г„(а)-»-0 при я-»-оо. Если ал= Тп(а), то функ-
функция z1 = Тп (z), очевидно, получается из уравнения
1 — а„г'
где ал — вещественная постоянная; отсюда

8 7] НОРМАЛЬНЫЕ СЕМЕЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 67
и, следовательно, | ап \ -*¦ 1 при п -*¦ оо; это доказывает, что ап не
имеют точек сгущения в |г|<^1. Аналогично будет и с остальными
вершинами области В. Так как каждая из точек zk является образом
некоторой вершины треугольника В при отображении одной из функ-
функций z'=Tn(z), то и zk не имеют точек сгущения в |.г|<[1.
Покажем теперь, что, какова бы ни была точка z, \z\<^\, она
принадлежит одному из треугольников сетки (или лежит на его гра-
границе). Допустим противное, т. е. чго существует точка Zi, \zt\<^l,
которая не принадлежит ни одному треугольнику сетки. Соединив zx
с некоторой точкой области В отрезком, заключаем, что последний
содержит точки из бесконечного множества треугольников сетки, ибо
иначе можно было бы добраться из В в zx конечным числом инвер-
инверсий и точка zt принадлежала бы некоторому треугольнику сетки.
Из этого бесконечного множества треугольников выбираем последова-
последовательность треугольников, имеющих вершины, сходящиеся к некоторым
предельным точкам а, {3, у, которые наверно лежат на |г| = 1. Если
все три точки а, C, f различны, то тогда сами треугольники должны
стремиться к круговому треугольнику с вершинами в а, р, f и со
сторонами, ортогональными к |г|=1, т. е. к треугольнику с нуле-
нулевыми углами, что невозможно. Если же только две из точек a, fJ, -(
различны, то те же треугольники имеют пределом некоторую дугу
крута, ортогонального к |г| = 1, чего также не может быть. Наконец,
если a, fJ, у все совпадают, то треугольники должны стягиваться
в точку, но и этого не может быть, ибо все эти треугольники содер-
содержат точки отрезка, соединяющего zt с некоторой точкой области В.
Это противоречие и доказывает, что рассматриваемая треугольная
сетка целиком покрывает круг ||^1
§ 7. Нормальные семейства аналитических функций.
Приложения
Полученные выше результаты о конформном отображении во мно-
многом обязаны своей общности принципу сгущения аналитических функ-
функций. Но эги результаты в свою очередь приводят к дальнейшему
существенному развитию вопросов сходимости аналитических функций.
Чтобы показать это, введем, следуя Монтелю, новое понятие, а именно,
понятие нормального семейства аналитических функций (см. Монтель
[1936]).
Бесконечное семейство 5Ш = {/(г)} функций, регулярных в обла-
области В, называется нормальным в В, если из каждой последователь-
последовательности функций этого семейства можно выделить подпоследователь-
подпоследовательность, равномерно сходящуюся внутри В к регулярной функции или
к оо. Семейство называется нормальным в точке гй (^ В, если оно
нормально в некоторой окрестности этой точки.
3»

68 ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. II
Если семейство Щ = {/(г)} нормально в области В, то оно,
очевидно, нормально в каждой точке z0 ? В. Покажем обратное, что
если семейство %R={f(z)} функций, регулярных в В, нормально
в каждой точке г0 ? В, то оно нормально в области В. Действи-
Действительно, можно считать, что В не содержит оо. Возьмем множество
всех точек области В с рациональными координатами, расположим
их в последовательность rk, k — I, 2, ..., и обозначим через pk радиусы
наибольших кругов с центрами соответственно в rk, в которых семей-
семейство Ш нормально. Легко видеть, что подпоследовательность чисел рп/г
может сходиться к нулю лишь в случае, если соответствующие точки rnk
сгущаются только на границе В. Пусть теперь fn{z), я = 1, 2,...—
любая последовательность функций семейства Ш- Так как WI нормально
в круге | г — rt | <[ pi, то из /я (г) можно выделить подпоследователь-
подпоследовательность/л ,(г), равномерно сходящуюся в \z — Т\\<^Ц- K регулярной
функции или к оо; далее, из fni(z) можно выделить подпоследова-
подпоследовательность /л 2(г), равномерно сходящуюся в \г — Тъ\<^Ц к регу-
регулярной функции или к оо. Поступаем так же и далее. Диагональная
последовательность /^„(z), я=1, 2,..., будет сходиться во всей
области В к регулярной функции или к оо, причем сходимость равно-
равномерная в каждом из кругов \z — тк\<^Ц-, А=1, 2, Но она же
равномерно сходится н внутри В. В самом деле, если Е—замкнутое
множество, лежащее в В, то оно целиком покрывается кругами
\z — гк\<С.Ц-- По теореме Гейне—Бореля можно выбрать конечную
систему таких кругов, дающих то же покрытие. Но последователь-
последовательность /ля(г) сходится на каждом из выбранных кругов равномерно.
Следовательно, она равномерно сходится и на замкнутом множестве,
состоящем из точек всех этих кругов, а в частности и на Е. Утвер-
Утверждение доказано.
Если все функции семейства Ш, нормального в области В, огра-
ограничены в одной точке z0 ? В, то они равномерно ограничены внутри В.
Действительно, все сходящиеся последовательности функций, выделяе-
выделяемых из WI, могут сходиться только к регулярным функциям, а тогда
утверждение следует по принципу сгущения, формулированному в конце
§ 2, гл. I.
Укажем теперь признаки нормальности семейства.
Теорема 1. Основной признак нормальности. (Мон-
тель1)). Если семейство fffl функций, регулярных в области В,
таково, что существуют два различных конечных значения а а
1) Мотель [1936].

§ 7] НОРМАЛЬНЫЕ СЕМЕЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 69
Ъ, которые не принимает в В ни одна функция семейства, то
Ш нормально а В.
Доказательство. Можно считать, что а = 0 и Ь = \, ибо
иначе вместо семейства Wt = {f(z)} мы рассмотрели бы семейство
? *' |, из нормальности которого следовала бы нормальность и *Щ.
Далее достаточно доказать теорему для случая, когда В есть круг,
так как по предыдущему достаточно доказать нормальность 30Z в каж-
каждой точке области В.
Итак, пусть область В есть круг, а функции /(г) ?301 не при-
принимают в В значений 0 и 1. Пусть и» = Х(С)— функция, определен-
определенная в § 6, отображающая полуплоскость 3(С)}>0 на правильный
круговой треугольник с нулевыми углами, вписанный в круг|г|<4.
Сложные функции <р/(г)=Х(^(г)) (/Чг)?5№) будут продолжимы
в В по любому пути, ибо единственные особые точки функций Х(?)
суть 0, 1, оо, a f(z) не принимают в В ни одного из этих значений.
Следовательно, функции <р/ будут регулярны в В и подчинены там
условию: |?/(г)|<^1. Но они зависят от выбора ветви многознач-
многозначной функции X ((.). Поэтому, нормируем у (г) так, чтобы точка 9/ (*<>)
при заданном г|^Ви любой функции f(z)? ffi лежала в основном
(правильном) круговом треугольнике или в одном из прилегающих
треугольников. К функциям <р/ (г) применим принцип сгущения анали-
аналитических функций.
Пусть теперь дана любая последовательность функций /я (г) ? ЯЯ
Рассмотрим сначала случай, когда числа fn(z9) имеют точку сгуще-
сгущения а, отличную от 0, 1 и оо, и пусть /Я'B) есть подпоследователь-
подпоследовательность функций из /„(г), для которой /Я'(г,)-*-а. Из последователь-
последовательности функций <р/я, (г) = X (/„» (z)) можно выделить подпоследователь-
подпоследовательность tff (г), равномерно сходящуюся внутри В к регулярной функции
<р (г). Имеем: | <р (z) \ ^ 1 в В. Знак равенства здесь быть не мо-
может ни в какой точке области В, ибо иначе <р (г) = const = e1,
а в частности, <р(гв) = г'т, т. е. |<р/я (го)|-*-1, это же может быть
только в том случае, если fnk(z0) стремятся к одному из чисел О,
1 и оо. Итак, |<р(г) |< 1 в В. Возьмем теперь любое замкнутое мно-
множество EczB. На нем |?(г)|^?, ?<^1. Пусть q<^<f<^l. В силу
равномерной сходимости функций <р/я (г) на Е, существует ^
|
такое, что при k^>K на Е будет |<р/я (г) — t?(z)\^qr — q. Следо-
Следовательно, при k^>K и z?E имеем |<р/ (г)| ==sg". Но функция
С = p(w), обратная к «р = Х(С), регулярна в |и>|<[1; следовательно,
в \w\^q" она ограничена, пусть |ц(т»)|<[Л1 Отсюда на ? при
*># имеем |(А(Х(/Я/к(г)))|<Л1, т. е. \fHk(z)\<M. Это доказывает
равномерную ограниченность функций fnh(z) внутри В. Но теперь

70 ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. II
из последовательности fnk(z) можно выделить новую подпоследо-
подпоследовательность, которая равномерно сходится внутри В к регулярной
функции. Итак, в данном случае из последовательности /„ (z) удалось
выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся внутри В
к регулярной функции.
Рассмотрим теперь случай, когда среди предельных чисел после-
последовательности /n(z0) нет чисел, отличных от 0, 1 и оо. Тогда, если
предельным числом является 1, мы рассмотрим последовательность
функций Fn(z) = Vfn(.z)> определенных так (за счет двузначности
радикала), чтобы Fn (z0) -v — 1 при п -v оо. Функции Fn (z) регулярны
ъ В и не принимают в В значений 0 и 1. Следовательно, они под-
подходят под уже рассмотренный случай с <х = —1. Поэтому из после-
последовательности Fn{z) можно выделить подпоследовательность Fn (z),
равномерно сходящуюся внутри В к регулярной функции F(z). Но
тогда и функции [F4 (z)f =fnk (z) тоже равномерно сходятся внутри
В к регулярной функции. Далее, если предельным числом для чисел
/nteo) бУДет 0, то функции Fn(z) = I —/n(z), регулярные в В, не
будут принимать в В значений 0 и 1 и их значения в точке z0 имеют
число 1 своим предельным значением. Следовательно, эти функции
подходят под предыдущий случай и из них можно выделить подпо-
подпоследовательность Fn"(z), равномерно сходящуюся внутри В к регу-
регулярной функции. То же будет и с функциями /nfe(z). Наконец, если
оо есть единственное предельное число для чисел fn(z), то функции
/?я(г) = гтт регулярны в В, не принимают в В значений 0 и 1 и
Тп (z)
их значения в точке z0 стремятся к 0. Следовательно, из этих функ-
функций можно выделить подпоследовательность Fn/t(z), равномерно схо-
сходящуюся внутри В к регулярной функции F(z), причем /7(z0) = 0.
Функция F{z) тождественно равна нулю, ибо иначе, как при дока-
доказательстве георемы 2, § 1, гл. I, на основании теоремы Руше дока-
докажем, что в любой окрестности точки z0 все функции Fn (z), начиная
с некоторой, имеют нули, чего не может быть. Следовательно,
fnk (z) ~у °° равномерно внутри В, т. е. /„ft (z) будет искомой под-
подпоследовательностью функций, выделенных из /„ (z). Основной приз-
признак нормальности таким образом доказан.
Теорема 2. (Обобщенный признак нормальности).1)
Если семейство Шр — {/(г)} функций, регулярных в области В,
таково^ что существуют два различных конечных значения а и
Ъ, таких, что значение а не принимается в В ни одной из функ-
функций семейства, а значение Ь может приниматься в В каждой
') Мотель [1936].

§ 71 НОРМАЛЬНЫЕ СЕМЕЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 71
функцией семейства не более чем в р точках, то это семейство
нормально в В.
Доказательство. Опять можно считать, что числа а и b есть
О и 1. Пусть fn(z) есть любая последовательность функций из Шр.
Рассмотрим функции gn(z)= Vfn(z), с любой нормировкой ради-
радикалов. Они регулярны в В и не принимают в В значения 0. Если
Ъ> Ъ> ••• > TJp+i — все различные значения корня р-\-1-ой степени
из 1, то каждая из функций gn(z) не принимает в В одного из этих
значений, ибо иначе некоторые из функций fn(z) принимали бы зна-
значение 1 более чем в р точках области В. Пусть gn (z) фт\т в В.
Функции hn(z)=^2-±-lt регулярные в В, не принимают в В значений
0 и 1. Следовательно, по основному признаку нормальности из по-
последовательности hn(z) можно выделить подпоследовательность hnk(z),
равномерно сходящуюся внутри В к регулярной функции или к оо.
Соответствующая последовательность /„ft (z) также равномерно схо-
сходится внутри В к регулярной функции или к оо. Таким образом
обобщенный признак нормальности доказан.
Установленные признаки нормальности имеют ряд замечательных
приложений в вопросах поведения аналитических функций в окрест-
окрестности существенно особых точек и в вопросах покрытия.
Приведем несколько таких приложений.
Теорема 3.1) Если z = 0 есть существенно особая точка
функции f(z), то последовательность функций fn{z)=f\-^A,
я=1, 2, ... , не будет нормальным семейством ни в какой ок-
окрестности этой точки, с выключением самой точки z = 0.
Доказательство. Возьмем любую область 0 <^\z\<^e, в ко-
которой f{z) регулярна, и допустим, что в ней функции fn(z) =
образуют нормальное семейство. Если из /„ (z) можно выделить под-
подпоследовательность fnk(z)> k = l, 2, ... , равномерно сходящуюся
внутри области 0<[| z|<[e к регулярной функции, го функции
fn.(z) равномерно ограничены внутри этой области, в частности на
окружности |г| = у; пусть, например, \fnk(z)\<^M на |z| = t-.
Но / (z) принимают на ]гг| = ;.- те же значения, что/(z) на |z| =
= ¦ „E_[_y- Следовательно, оценка \f(z)\<^M имеет место на всех
окружностях |,г|=-^-ру, а потому и между ними, т. е. во всей об-
2 г
1) Мотель [1936].

72 ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. И
ласти 0 <^ | z | <^ 6 ,1, а это для существенно особой точки z = О
невозможно. Если же все сходящиеся подпоследовательности) выде-
выделяемые из fn(z), сходятся только к оо, то покажем, что точка 2 = 0
не является точкой сгущения нулей функции f(z). Действительно,
если существуют zA-v0, k=l, 2, ... , 0<|.?fcKj, где f(zk) =
«10)
= 0, то пусть zk = ~, ^^|4°М<|-- Функции f4(z) не могут
иметь подпоследовательности, сходящейся в 0<^\z\<^e. к оо, ибо
в кольце 7-=^|2|<[s- они имеют нули. Следовательно, выделенная
из них сходящаяся подпоследовательность, которая будет и подпо-
подпоследовательностью функций из fn(z), сходится к регулярной функции,
что в свою очередь противоречит допущению. Поэтому функции
<ря(z) = 7-7-т» начиная с некоторого п, регулярны в 0<^ | г | <Ге и
In \г)
у выделяемых из них сходящихся подпоследовательностей <р„ (z) пре-
предельные функции = 0, а из этого, как выше, следует, что при.г-»-0
функция ср (z) = -т-р- -v 0, a f(z)-*-оо, что невозможно. Теорема
доказана.
Отсюда, как следствие, получаем следующие две теоремы.
Теорема 4 (Пикар). Если zt есть существенно особая
точка функции f{z), то в любой окрестности этой точки f(z)
принимает все конечные значения, кроме, может быть, одного. *)
Доказательство. Если бы функция f(z) не принимала в не-
некоторой окрестности точки г0, за которую можно считать точку
2 = 0, двух конечных различных значений а и Ь, то функции /„ (г) =
=f{-~\, n=\, 2 также не принимали бы в этой окрестности
значений а и Ь и, следовательно, образовывали бы нормальное се-
семейство, чего, однако, по теореме 3 не может быть.
Теорема 5.4) Если z0 есть существенно особая точка функ-
функции f{z), то найдется полупрямая I, исходящая из z0, такая,
что какова бы ни была окрестность точки гй, в части ее, ле-
лежащей в произвольно малом угле с вершиной в z0 и с биссект-
биссектрисой I, функция f(z) принимает все конечные значения, кроме,
может быть, одного.
Доказательство. Можно опять считать zo=O. Пусть |z|<^e
данная окрестность, в которой f(z) регулярна, за исключением 2 = 0.
') Что может существовать одно конечное значение, которое /(z) не
принимает, показывает пример функции /(г) — е1/г, которая имеет
своей существенно особой точкой и /(г) =6 0 при фЪ
г) Жюлиа [1924].

§ 7] НОРМАЛЬНЫЕ СЕМЕЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 73
Так как семейство 30? функций /„ (z) =/ f-p- j, я = 1, 2, ... .ненор-
.ненормально в области 0<^\z\<^e, то существует точка zt, 0<[|zi|<^e,
в которой оно ненормально. Полупрямая /, проходящая через z%, и
будет отвечать' требованиям теоремы. Действительно, возьмем произ-
произвольно малый угол с вершиной в 2 = 0 и биссектрисой / и окрест-
окрестность (Jzt точки Z\, целиком лежащую в этом угле и в области
®<С\г\<Се- Так как fSfl не нормально в UZl, то каково бы ни было
конечное а, кроме, может быть, одного, среди функций /„ (z) сущест-
существует функция /Я'(г), принимающая в UZl значение а. Но /„<(*) при-
принимает в UZl те же значения, что и f(z) в круге, полученном из UZl
преобразованием подобия z' = -^-. Так как этот круг целиком ле-
лежит в круге |z|<4 и в указанном выше угле, то f{z) принимает
в их общей части значение а. Теорема доказана.
Переходим теперь к теоремам покрытия. В § 4 была доказана
теорема покрытия Кёбе, утверждающая, что если функция /(z) = z-f-
-f- Cjz8 -\~... регулярна и однолистна в |z|<[ 1, то образ круга |z \<^ 1
при отображении этой функции целиком покрывает круг | w \ <^ -г, т. е.
круг один и тот же для всех функций такого рода. Соответствующая
теорема для всего класса функций f{z) = z-\-c4lzi-\-.., , регуляр-
регулярных в |z|<[l, не верна, т. е. нельзя указать круга абсолютного ра-
радиуса и с центром в начале, который покрывался бы целиком обра-
образом круга |z|<4 при отображении каждой такой функцией, ибо,
например, функция
при любом заданном я ф 0 регулярна в |z|<4, но не принимает
в |г|<^1 значения -, которое сколь угодно близко к 0 при я до-
достаточно большом. Тем не менее имеют место следующие теоремы
покрытия.
Теорема б.1) Для семейства всех функций w=f(z) = z-\-
-\- с»z*-)-... , регулярных в \z \<^ 1 и принимающих значение нуль
не более чем в р точках круга \z\<^\, существует р]>0 такое,
что образ круга \z\<^\ при отображении любой функцией се-
семейства целиком покрывает круг |-ау|<[р.
Доказательство. Если бы указанного в теореме р^>0 не
существовало, то нашлась бы последовательность функций fn(z),
я = 1, 2, ... , рассматриваемого семейства, которые не принимают
соответственно некоторых значений <хя таких, что <хя->0 прия->оо.
1) Фекете [1925]. При />=1 теорема была доказана Каратеодори с ука-
указанием наилучшего значения для р; об этом см. конец § 1 гл. III.

74 ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 1ГЛ. II
Функции cpn(z)=-^-^, я=1, 2, ... , образуют в |г|<^1 семейство
функций, не принимающих значения 1 и принимающих значение О
не более чем в р точках круга |г|<^1. Следовательно, по обобщен-
обобщенному признаку нормальности это семейство нормально в | z \<^ 1,
а так как фп@) = 0, то и равномерно ограничено внутри круга
|г|<[1. Пусть срС?)— подпоследовательность, равномерно сходя-
сходящаяся внутри круга | z |<[ 1 к регулярной функции ср(z). Тогда
<pj,ft @) = >- ср' @), что противоречит тому, что ak -*¦ 0. Теорема
доказана.
Tfopema 7. Для любого е, 0<Ч<[2т:, существует ps^>0
такое, что образ круга \z \<^ 1 при отображении каждой функ-
функцией w=f(z) = z-\-aiz'i-(-,.. , регулярной в \z\<^l, покрывает
некоторый круговой сектор с центром в 2 = 0, радиуса pt и
с центральным углом величины 2% ¦— е.*)
Доказательство. Очевидно, можно считать, что е<[п. Если
бы указанного ps^>0 не существовало, то нашлась бы последова-
последовательность функций fn(z) = z-\-... , я=1, 2, ... , регулярных
в |z|<^l и не принимающих соответственно пары таких значений
<х„ и р„, что а„-*-0 и Р„->-0 при я-*-оо, a cpn ^ arg р„ — arg а„ за-
заключено между е и it. Если <fn<^K> T0 опустив из точки ап на от-
отрезок, соединяющий точки 0 и р„, перпендикуляр, видим, что |р„-—
— ап | будет больше длины этого перпендикуляра, которая, будучи
равна | <х„ | sin <р„, сама не меньше чем | ап \ sin e. Следовательно, имеем
IP» —«»l^l«»|staB, т. е. |p^z^|<s4r- Если же **^5> тоиз
этого же построения следует, что | {}„ — <х„ | ^ | ап \ и, следовательно,
Рассмотрим теперь функции
опять имеем
Sine
a»
срл (z)=i-?-t ?, я=1, 2, ... . Эти функции не принимают в | z
?п — ап
значений 0 и 1 и, следовательно, образуют нормальное семейство.
Кроме того, числа cpn(O) —fi _^" ограничены. Значит, это семейство
г л ап
равномерно ограничено внутри круга \z\<^l. Пусть <рп/г (z) ^под-
^подпоследовательность, равномерно сходящаяся внутри круга | z | <^ 1
к регулярной функции ф (z). Из ср^ @) ->• ср' @) следует, что
¦ . _ -> ср'@), что невозможно, ибо an/i, pnfe-> 0. Теорема доказана.
1) Валирон [1927] Валирои доказал только существование ре.
А Ф Бермант и М. А Лаврентьев [1935J, следуя иным путем, нашли
и наилучшие значения для ps в зависимости от е, это значение дается че-
через экстремум выражения, составленного из функции, обратной модулярной.

§ 7] НОРМАЛЬНЫЕ СЕМЕЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 75
Теорема 8.') Каковы бы ни были заданные кольцо K'-Ri<^
<^\w\<^R? и целое р^>0, существует р^>0 такое, что образ
круга |.z|<M при отображении каждой функцией. w=f(z) =
= z-\-c%z*-\-... , регулярной в |г|<^1, или целиком покрывает
круг | w | <^ р или же принимает каждое значение w из кольца
К не менее чем в р точках круга \z\<^l.
Доказательство. Допустим, что теорема неверна. Тогда най-
найдется последовательность функций /„ (z) = z -\-... , регулярных в
\z\<^l, и пары таких точек а„, р„, а„-»-0, Rt < | р„ |< Ri} что fn(z)
не принимает в |г|<^1 значения <х„ и принимает не более р — 1 раз
значение Вя. Функции же <Рл (z) = -\——— в | z I <^ 1 не принимают
значение 0 и принимают значение 1 не более чем в р — 1 точке.
Следовательно, эти функции образуют в | z \ <^ 1 нормальное семей-
семейство; а так как ф„@) = д —>• 0 при я->оо, то они равномерно
' Ря — ап
ограничены внутри круга |z|<^l. Отсюда следует, что из <?n{z)
можно выделить подпоследовательность <pn ("z), равномерно сходя-
сходящуюся внутри круга | z | <^ 1 к регулярной функции <р (z), причем
у @) = 0. Функция <р (z) должна быть тождественно равна нулю, ибо
иначе можно было бы показать, пользуясь теоремой Руше, что функ-
функции (fn (z), начиная с некоторого k, имеют нули в | z | <^ 1, чего,
однако, нет. Следовательно, <рль @) = „ >• 0, что невозможно.
* Рп — ап
Итак, указанное в теореме р^>0 должно существовать, и теорема
доказана.
Как следствие из этой теоремы получаем:
Теорема 9.2) Существует р^>0 такое, что каждая функ-
функция /(г) = г-|"С2г2-\-... , регулярная в |z|<^l, целиком покры-
покрывает некоторую окружность с центром в начале и радиусом,
не меньшим р.
Далее имеем теорему.
Теорема 10.. Для семейства функций. f(z)=^z-\-ciz'i-\-...,
регулярных в \ z \<^ 1 и не принимающих в \ z \ <^ 1 заданного ко-
конечного значения а ф 0, существует р ^> 0 такое, что круг \ z \ <^ р
целиком покрывается образом круга \ z \ <^ 1 при отображении
любой функцией семейства.
Эта теорема гакже следует из теоремы 8, если там взять за К
кольцо, содержащее точку а.3)
') Монтель [1933].
») Ландау [1922].
*) Более глубокое изучение модулярной функции привело А. Ф. Берман-
та к ряду обобщений и уточнений теорем 8—Л0 (см. А. Ф. Бермант [1944]).

ГЛАВА 111
РЕАЛИЗАЦИЯ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
ОДНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
§ 1. Конформное отображение областей, ограниченных
прямолинейными и круговыми многоугольниками
Хотя в теореме Римана мы и имели геометрический принцип об-
образования аналитических функций, а именно, каждой односвязной
области сопоставляется некоторая однолистная функция, отображаю-
отображающая эту область на какую-либо каноническую область, но ни в этом
принципе, ни в остальной части гл. I совсем не затрагивался вопрос
о более или менее явном построении этих функций. Некоторые
вопросы этого рода будут рассмотрены в настоящей главе.
Рассмотрим здесь области некоторых частных видов, как, напри-
например, области, ограниченные прямолинейными и круговыми много-
многоугольными линиями, для которых можно исследовать аналитическую
природу отображающих функций довольно глубоко и получить для
них соответствующие явные аналитические выражения. Основным
средством изучения отображающих функций в упомянутых частных
случаях служит принцип симметрии.
Области, ограниченные прямолинейными многоугольниками.
Полагая, что этот случай читателю уже известен, мы ограничимся
здесь формулировкой обобщенных условий, при которых имеют место
окончательные результаты, а также приведением самих результатов.
Именно, пусть односвязная область В плоскости z не содержит оо
и ограничена прямолинейным я-угольником с вершинами в точках
Alt Аъ ... , Ая и с внутренними углами, соответственно равными
iMti, itaj тохя, причем эти вершины рассматриваются как дости-
достижимые граничные точки области В; поэтому, если в некоторой точке
плоскости z лежит несколько угловых граничных точек, то столько
же будет и вершин. Будем рассматривать также случай, когда одна
или несколько вершин лежат на оо. Если при этом стороны соот-
соответствующего угла параллельны, то величину внутреннего утла счи-
считаем равной нулю. Если же в вершине Ak = oo стороны расходятся,

8 1] ОБЛАСТИ. ОГРАНИЧЕННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКАМИ 77
пересекаясь при своем продолжении в конечной точке А'к, образуя угол,
обращенный к вершине Ak, величины тохй, то полагаем как = — iwxj.
При этих допущениях <xk может принимать значения от — 2 до -)- 2.
Понятно, что случаи <xft = 2, — 1, — 2 следует понимать, как
предельные случаи.
При этих условиях, если область В однолистно отображается на
полуплоскость 3(С)^>0 и при этом вершинам Ak, k = l, 2, ... , я,
соответствуют на вещественной оси плоскости С точки ak, k = l,
2, ... , я, то в случае, если последние все конечны, обычно приме-
применяемым здесь рассуждением') доказывается, что обратная отобра-
отображающая функция z =/(С) определяется по формуле Кристофеля —
Шварца:
Ь ^ A)
где С а С — некоторые постоянные. В случае, если одна из вершин,
пусть Л*о, переходит в оо, то для /(С) имеет место та же формула,
с той только разницей, что теперь произведение под знаком интег-
интеграла берется по всем k=l, 2, ... , я, исключая k = k0. Наконец,
та же формула A) имеет место и в случае -отображения области В
на круг |С|<[1; в этом случае точки ак — образы вершин Ак — бу-
будут некоторыми точками на окружности |С| = 1.
Отметим, что из точек ak, согласно теореме 6, § 3, гл. II, про-
произвольными можно выбирать лишь три; остальные точки ak, а также
и постоянные С и С однозначно определяются заданием области.8)
Отсутствие общего способа определения остающихся неизвестных
констант умаляет практическое значение формулы Кристофеля —
Шварца. Кроме того, и сам интеграл A) вычисляется в конечном
виде через элементарные функции только в исключительных случаях.
Как простейшие примеры на приложение формулы A) отметим сле-
следующие два:
а) Если В есть внутренность правильного я-угольника с центром
в 2 = 0 и с вершиной в z = a~^>0, и если г=/(С) — функция, ото-
отображающая круг |С|<[1 на область В так, что/@) = 0, /@)]>0,
то константы ak легко определяются из условий симметрии; а именно,
имеем ak = en , А = 0, 1, ..., я—1. В результате по A) получаем:
где С находится из условия /A) = а.
') При этом, конечно, используются результаты о существовании ото-
отображающей функции и ее поведении на границе, установленные в гл. II.
2) (Имеется способ П. П. Куфарева [1947 б] для определения точек а^,
удобный в некоторых случаях.)

78 РЕАЛИЗАЦИЯ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. III
б) Если В есть плоскость z с разрезами по части лучей, идущих
— k
из точек ае" , а^>0, k = 0, 1 я—1, в оо и имеющих на
своем продолжении 2 = 0, и если 2=/(С) функция, отображающая
круг |С|<^1 на область В так, что /@) = 0, /'@)!>0, то и здесь
константы ak определяются из условий симметрии; в результате по
A) имеем:
причем С =
Выше рассматривалась область В, не содержащая оо. Если же
область В, ограниченная я-угольником, содержит оо, то для функции
2=/(С), отображающей, круг |С|<^1 на В так, что /@) = оо, по-
получим формулу:
k=i
с аналогичными значениями постоянных ak, причем здесь тохА будут
величинами углов, внутренних по отношению к области В.
Области, ограниченные круговыми многоугольниками. Пусть
теперь односвязная область В плоскости z имеет границу, состоящую
из конечного числа я круговых дуг или прямолинейных отрезков;
последние рассматриваются как вырожденные круговые дуги. Концы
указанных дуг — вершины многоугольной области — обозначим через
А1у Л2 ... , Ар а величины внутренних- по отношению к области В
углов в них — через -каи чщ, .,,, дах„. Можно считать, что область В
является ограниченной; этого всегда можно достичь надлежащим
дробно-линейным отображением.
Область В конформно отобразима на крут |С|<^1. Исследуем
здесь подробно функцию z=/(C), обратную одной из отображаю-
отображающих функций. Обозначим через ak> k = l, ... , я, точки на окруж-
окружности |С| = 1, которым соответствуют вершины Ak, k=l, ... , я.
Функция/(С) будет регулярна в |С|<^1 и непрерывна в |С|=^1.
На любой дуге ? окружности |С| = 1, между соседними точками ak,
она принимает значения, которые все лежат на некоторой круговой
дуге. Следовательно, по обобщенному принципу симметрии функция
/(С) будет продолжима через дугу f в область | С | ^> 1 и, в частности,
регулярна на ?; причем /'(С)^О на ?.
Рассмотрим теперь выражение

S 11 ОБЛАСТИ, ОГРАНИЧЕННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКАМИ 79
известное под названием инварианта Шварца или шварциана. Оно
очевидно будет регулярной функцией в | С | < 1 и также будет про-
должимо через любую рассмотренную выше дугу f в |С|^>1. Кроме
того, легко проверить, что оно обладает важным свойством инва-
инвариантности относительно любого дробно-линейного преобразования
функции /(С), т. е. если
Исследуем поведение {/, С} в точках ak, k = l, 2, ... , п. Допус-
Допустим сначала, что среди ak нет чисел 0, 1, 2, и что ни одна граничная
круговая дуга не вырождается в прямолинейный отрезок. Окруж-
Окружности, на которых лежат граничные дуги, образующие угол с вер-
вершиной Ак, имеют вторую точку пересечения А'ь. Функция t=
= \~TA^)k отображает часть окрестности точки Ak, лежащую в В,
на часть окрестности точки ^=0 плоскости t, лежащую по одну
сторону от некоторой прямой, проходящей через t=0. По принципу
симметрии функция [¦.,2~ лкХк> будет, поэтому, продолжима из части
окрестности точки ak, лежащей в |С|<^1, в часть окрестности, ле-
лежащую в |С|^>1; в частности, она будет регулярной в самой точке
ak и будет иметь в ней производную, отличную от нуля. Следова-
Следовательно, в окрестности C=aft имеем:
откуда
Составляя для последней функции выражение D) и имея в виду,
что оно равно {/, С}, после простых вычислений получим в окрест-
окрестности С = Я? разложение:
|A —J) с
где Ck — некоторая неизвестная постоянная. Это разложение показы-
показывает, что {/, С} имеет в точках ак полюсы второго порядка.1) Поэ-
1) Отметим, что если некоторой конечной точке ?_0) | Со | > 1, соответствует
д?0) = оо, то в окрестности ? = С0 имеем/(С) = ¦
и, следовательно, {/, С} будет регулярно в С = !

80 РЕАЛИЗАЦИЯ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. III
тому, функция {/, С}, определенная сначала в | С | <^ 1 и продолжен-
продолженная затем на всю плоскость, будет представлять мероморфную функ-
функцию, имеющую своими полюсами лишь точки ak, причем главные
части в этих полюсах определяются по формуле E). Разность же
совсем не будет иметь конечных особых точек. Исследуем поведение
ее на оо. Так как на каждой из рассмотренных выше дуг -у надле-
надлежаще подобранная функция /i (С) = yLT^ч^ const будет вещест-
вещественна и /j @) ф оо, то по принципу симметрии эта функция продол-
жима из круга |С|<!1 в область |С|>1 по формуле/i(С) =/i{^Л\
в частности, она будет регулярна в точке С = оо> т. е. будет иметь
в окрестности С = оо разложение
причем сх ф 0 (в силу конформности /i (С) в точке С = 0). Но тогда
для {/, С} соответствующее разложение имеет вид:
{/. <} = -?+... G)
Это значит, что {/, С} имеет в оо нуль не ниже четвертого порядка. Но
тогда и разность F) имеет точку оо нулем, т. е. эта разность регу-
регулярна на всей плоскости, включая оо; поэтому она равна тождественно
нулю, т. е. получаем тождественное равенство
(8)
Мы предполагали,, что все лкф0, 1,2 и что на границе области В
нет прямолинейных отрезков. Если же эти допущения не выполня-
выполняются, то убедимся в справедливости (8), изменяя область В на над-
надлежащие круговые области и пользуясь затем теоремой сходимости
однолистных функций (теоремой 1 § 5 гл. II).
Итак, соотношение (8) доказано для любой области, ограниченной
круговым многоугольником. Оно представляет дифференциальное урав-
уравнение третьего порядка относительно /(С). В правую часть его вхо-
входят неизвестные постоянные ak я Ск, k=l, 2, ..., п. Можно ука-
указать несколько зависимостей между этими постоянными. Именно, так

§ 1] ОБЛАСТИ, ОГРАНИЧЕННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКАМИ 81
как {/, С} в окрестности оо имеет разложение вида G), то в соот-
соответствующем разложении правой части в (8) коэффициенты при-р, р- и
г^- должны быть равны нулю, что дает три условия:
*=+
я я
1
12о-«о+2сАв0'
ft=l
которым подчиняются постоянные а^ и Cft. Кроме того, следует от-
отметить, что три из постоянных ak можно брать на | С | = 1 по произ-
произволу, соответственно теореме 6, § 3, гл. II. В случае кругового треу-
треугольника этого достаточно для определения всех постоянных ak и Cft.
Рассуждая аналогично, докажем, что и при отображении области В
на верхнюю полуплоскость 3(С)^>0 обратная отображающая функ-
функция z=f(Q также удовлетворяет дифференциальному уравнению (8),
где теперь ak — точки вещественной оси, соответствующие верши-
вершинам Ak. Разница будет только в том, что если одна из вершин Ak,
пусть Ak0, переходит в оо, то сумма в (8) берется по всем k=l,
2, ..., п, исключая k = k0.
Остановимся теперь на характере дифференциального уравнения (8).
Так как оно третьего порядка, то его общий интеграл содержит три
произвольных постоянных. С другой стороны, если Д(С) есть част-
частный интеграл уравнения (8), то, очевидно, его интегралом будет и
* в/*@4-*
дробь Cf (r\J_a> содержащая как раз три произвольных постоянных
— ( — и —. Следовательно, это и будет общий интеграл уравнения (8).
Хотя для нахождения искомой отображающей функции достаточно
знать лишь один частный интеграл уравнения (8), но и отыскание
частного интеграла кажется трудным ввиду нелинейности этого урав-
уравнения. Однако интегрирование уравнения (8) удается свести к ин-
интегрированию линейного уравнения второго порядка. Это следует из
одного замечательного свойства функции {/, С}.
Пусть Wi и wt — два линейно независимых интеграла линейного
дифференциального уравнения
w"-\-q((.)w = 0 A0)
с заданным q(Q. Между wx и да3 имеет место легко получающееся
соотношение «>i«>2 — «V^i = const = с (слева стоит определитель

82 РЕАЛИЗАЦИЯ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. 111
Вронского). Поэтому, если положить ij=—, то имеем:
отсюда следует, что отношение любых двух линейно независимых
интегралов уравнения A0) есть интеграл уравнения
A0')
Это показывает, что если, обозначив через R (С) правую часть урав-
D (С)
нения (8), положить q (Q = —±-t и проинтегрировать дифференциаль-
дифференциальное уравнение A0) с таким q(Q, то отношение двух его линейно не-
независимых интегралов дает интеграл уравнения (8). ') Уравнение A0)
с указанным R (Q принадлежит к наиболее изученному классу линейных
дифференциальных уравнений с непостоянными коэффициентами, назы-
называемых уравнениями типа Фукса. Однако использование этого пре-
преимущества затрудняется из-за отсутствия общего способа определе-
определения постоянных ak и Q.
Пример. В заключение приведем простой, но важный пример, когда
вычисления можно довести до полного определения отображающей
функции. Пусть требуется однолистно отобразить круг | С | <^ 1 на
область В, являющуюся внутренностью правильного кругового л-уголь-
ника с центром в z = 0, с одной из вершин в точке z=l ис внут-
внутренними углами величины щ, 0 ^ q =<; 2; пусть при этом отобража-
отображающая функция z=f((.) нормируется условиями /@) = 0, /'@)^>0.
Для этого рассмотрим отображение сектора |С|<^1 0<^argC<^
на круговой треугольник, ограниченный двумя прямолинейными от-
резками, идущими из z = 0 в точки z=\ и z = en, и круговой
дугой, входящей в границу области В. По принципу симметрии функ-
') Впрочем уравнение A0') можно привести к уравнению A0) и иначе,
а именно, принимая во внимание, что
и полагая —= = w. Тогда, если wt есть частный интеграл уравнения A0),
то соответствующий частный интеграл i), уравнения A0') получается из

§ 1] ОБЛАСТИ, ОГРАНИЧЕННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКАМИ 83
ция, совершающая это отображение, будет давать и требуемое отоб-
отображение круга |С|<^1 на область В, пр*и этом точки еп , & = 1, 2,
.,., л, переходят в себя, так что ak — en , k=\, 2 л. Далее,
в силу единственности отображения, для функции /(С) в |С|<^1 имеем
функциональное уравнение f(e n Q = e n f(Q; из него легко заключаем,
что разложение /(С) около С = 0 имеет вид:
k=0
а разложение {/, С} имеет вид:
С другой стороны, так как в данном случае имеем
*1*>
Zj ( ft) L
k=\ k = \
l na*)d n^ n
-l)s~~ C« —1 J'
n
то из (8) следует, что и входящая туда сумма Л „_fc— должна
содержать в своем разложении только члены со степенями С , т. е.
эта сумма приводится к виду .„ 1 . Но {/, С} в оо имеет нуль
не ниже четвертого порядка; поэтому С=.—„-A—q*). В резуль-
результате, уравнение (8) принимает вид:
{/, С} = -^-A-^A?^. (П)
Нахождение /(С) сводится поэтому к решению линейного дифферен-
дифференциального уравнения:
Сделаем в этом уравнении подстановку

84 РЕАЛИЗАЦИЯ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ (ГЛ. III
где р — постоянное; получим
Выберем р таким, чтобы коэффициент при г; в A3) имел корень 5= 1;
это дает /7 = -у-?. При таком выборе уравнение A3) принимает вид:
или, если положить
оно принимает вид:
6E— 1)г»" + ((а + р + 1)$ — Т)г)' + арг) = О. A5)
Но это есть известное дифференциальное уравнение Гаусса. Интег-
оо
рирование его посредством степенного ряда v = V <:„$" показывает,
что ему удовлетворяет так называемый гипергеометрический ряд1)
рь & т. e)=i+I
который наверное сходится в | С | <С 1 при всех а, |3, f с ? ^> 0.
Чтобы получить другой интеграл уравнения A5), сделаем подстановку
v = tl~1vl; в результате этого получается уравнение, которое также
можно записать в виде уравнения Гаусса, если положить а — f -j-1 =
= а', ($ — f+l = P'> 2 — Т = Т'"> следовательно, ему удовлетворяет
ряд vl = F(<x', p', /. ?')• Для уравнения же A5) получаем второй ин-
интеграл:
р-т+1, 2-Т, ?),
и этот интеграл, как легко видеть, при О <!^Т<С ^ линейно независим
с A6). Для уравнения A5) мы имеем, следовательно, два линейно не-
независимых интеграла:
'
-т.«)
') Относительно гипергеометрического ряда см , например, В. И. С м и р-
нов [1953], стр. 371.

S I] ОБЛАСТИ, ОГРАНИЧЕННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКАМИ 85
Возвращаясь к переменным (и», заключаем, что одним из интегра-
интегралов уравнения A1) будет функция:
F
A=11 + 1 hzl 14-1
\ 9 ' я ' 9 » > п '
^ % 1
2 n ' 2 ' ' - • *•
Что касается гипергеометрических рядов, входящих в A7), то их
можно выразить также через определенные интегралы. Действительно,
рассмотрим интеграл
i
/= J fi ' A — ty-V'1 (I — Uy'dt,
о
сходящийся при р])>0, ^ — ф^>® и 15[<^ 1; разложим множитель
A — &)"" в биномиальный ряд и проинтегрируем почленно; тогда
получим
1 =
О" ft—О
х 5^-»A--о^-|л-5»=2| a(a+11);2',(a+ft~1)x
и, следовательно,
Пользуясь этой формулой и преобразуем функцию A7). Тогда при
и | С | <^ 1 получаем.
1 _?±i 1=1+1 ?ri._±
3 /| ж\ ? ft /1 f/i^\ * /I jj
t * (\—t) a (i—c«
o~
Поскольку искомая отображающая функция подчинена условиям:
/¦(()) = 0, /(!)=!, то она, очевидно, содержится в формуле A9) с

86 РЕАЛИЗАЦИЯ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ (ГЛ. Ш
с=1. Это и есть окончательный результат. Впрочем, посредством
подстановки т =. ^ в интегралах, входящих в A9), для вещест-
вещественных С, а следовательно, и для всех С из |С_|<^1, получаем другой
вид функции /(С):
Г x~Y~+lldx
?+1
2 , B0)
t 2
J ?±1
о (A —*) A—С»*» 2
имеющий более простую зависимость от л. Отметим, что ни один из
интегралов, входящих в A9) и B0), не вычисляется в конечном виде
через элементарные функции.
В наиболее интересном случае, когда q = 0, из B0) получаем, обоз-
обозначая теперь /(С) через /„(С):
I xx/nd%
J /x(lt)(l^t)
/„@ = ^ ——г B1)
т ndx
Укажем важнейшие свойства функции B1), а также обратной ей
функции fnl(z). По тем же соображениям, что и в § 6, гл. II, функ-
функция С=/п1(-г)> определенная внутри рассматриваемого л-угольника
с нулевыми углами, может быть продолжена на полный круг |.г|<М
и будет представлять в | z \ <^ 1 мероморфную функцию, принимаю-
принимающую лишь значения из области Вп, являющейся плоскостью z с вы-
ключенными точками ak = en , k = \, 2, ..., п. Точнее говоря, функ-
функция (,=fn1(z) дает взаимно однозначное отображение круга |г|<^1
на многолистную риманову поверхность, построенную из внутренно-
внутренностей и внешностей окружности |г| = 1, наподобие того, как в § 6,
гл. II, строилась модулярная поверхность. Функция же г=/„(С)про-
должима в Вп по любому пути и принимает при этом лишь значе-
значения из круга |г|<^ 1.
Исследуем, что получится, если применить здесь предельный пере-
переход при л—>оо. Функция [/„ (С1/П)]п, если исходить из точки С=0
с начальным элементом, имеющим вид с? -[-•••> может быть продол-

5 4
ОБЛАСТИ, ОГРАНИЧЕННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКАМИ
87
жена по любому пути плоскости С, не проходящему через 0, 1 и оо.
Из формулы B1) имеем:
1
zl/n dz
A __
С,)
С z~l/nd'.
причем
lim An= lim -j-
2 log т rft
i
о
- -
С z~l/ndz С dz
) Vz(\— t)(i—h) j i/"t(i—t)(i—Ct)'
Предельный переход будет здесь равномерен на любой конечной цепи
замкнутых кругов, не содержащих 0, 1 и оо. Имея это в виду, из B2)
получаем, что функция
i
г 2 log т rfi
J Ут A—-г)A —Ст)
J УтП —t)(I-Cx)
B3)
будучи регулярной в |С|<^1, может быть продолжена из |С|<^1 по
любому пути плоскости С, не проходящему через 0, 1 и оо и при
этом будет |/(С)|<^1. Обозначим образ круга |С|<С! ПРИ отобра-
отображении z=f(^) через В'; это будет некоторая область, лежащая в
круге |z|<4. Докажем, что обратная функция С^/^), наверное
регулярная в В1, будет также регулярна во всем круге |г|<^1.
Для этого выясним границу области В1. Функция z=fn(Q отобра-
отображает круг | С | <С 1 на область, одна из граничных круговых дуг ко-
которой имеет уравнение
= tg -- с
Следо-
на
г—1—iig
вательно, функция z = [fn (V/n)] однолистно отображает
область, ограниченную кривой кЛг—1—^tg^r ^tg— с
При л-»-оо эта кривая переходит в кривую \logz — Ы\ = к c\z\<^l,
которая и является границей области В. Если перейти на плоскость
? = log2, то В перейдет (однозначность в одном направлении) в об-
область В" с границей, определяемой системой уравнений \t — litk\ = %,
k = ±l, ±3, ..., с условием 9l(tf)<^0, т. е. в левую полуплоскость

88 РЕАЛИЗАЦИЯ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ |ГЛ. Ш
с вырезами по полукругам. Функция f = log/(C), регулярная в 0<
<^|С|<СЬ отображает окружность |С|=1 на границу области. В"
и притом так, что любой непрерывный образ окружности с выклю-
выключенной точкой С=1 есть граничная полуокружность области В'. Об-
Обратная функция С=/~1(е/), регулярная в В', по принципу симметрии,
как в § 6, гл. II, продолжима на всю полуплоскость 9t(^)<^0, а это
показывает, 4fo (,=f~l(z) регулярна в |г|<^1, причем из процесса
продолжения следует, что С=/~1(-г) не принимает в |-г|<^1 значе-
значения С=1, а значение С=0 принимает только при г = 0. Функция
же /(С) будет продолжима, исходя из элемента, определенного около
С = 0, по любому пути, не проходящему через 0, 1 и оо; а по пути,
проходящему через С = 0, ее продолжение через С = 0 возможно
только посредством исходного элемента функции. Из B3) легка по-
получим в окрестности С == 0 разложение')
Вот простое приложение последней функции /(С) к одному из
вопросов покрытия, рассмотренных в §7, гл. II. Пусть функция F(z) —
= z9-f-CiZ9+i-f-..., q^l, регулярна в |г|<^1 и не принимает в
0^||^ значения 0, и пусть с такое, что F(z)^Lc в ||^
Тогда сложная функция ср(z) =/f-^j = yg^ + ... будет продолжима
по любому пути, а потому регулярна в |г|<^1, причем
b l-2!^^1 ^° тогда, как в лемме Шварца, легко дока-
докажем, что -г^- ^ 1. Отсюда получаем оценку М^тз, причем знак
1 ОС "* 10
равенства будет только в случае, когда F(z) = cf'l(etaz9). Установ-
Установленный результат, являющийся аналогом теоремы покрытия Кебе для
неоднолистных функций, формулируем в виде теоремы:
Теорема I.4) Если функция F(z)=z*-{-ctz*rl+•••> tfSsb
регулярна в|г|<^1 и не имеет нулей в 0<^\z\<^\, то образ
круга \z\<^\ при отображении (,=F(z) целиком покрывает круг
'уд, но не всегда больший круг с центром в С = 0.
») В B3) следует сделать подстановку т=яп*<р, 0<<р<-^-; тогда вы-
вычисление коэффициентов приводится к вычислению элементарных интегра-
интегралов и интегралов, сходящихся к интегралу
1С
V logsinf</f=—5"log2.
s) Каратеодори [1907]; см. также Г. М. Голузпн [1948].

g 2) ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 89
Более глубокое изучение функции B1) приводит также к следую-
следующей теореме покрытия отрезков.
Теорема 2.1) Если функция F{z)-=z*-\-,.,,q^>z\, регулярна
в |z|<^l, то образ круга \z\<^\, при отображении t = F(z)
целиком покрывает некоторый отрезок любого заданного наклона,
содержащий точку С=0, и длины не меньшей А=-
а)
г
= 0,45 ... Число, А нельзя увеличить без дополнительных огра-
ограничений на F(z).
§ 2. Параметрическое представление
однолистных функций
В этом параграфе будет дано параметрическое представление, ука-
указанное Лёвнером для одного важного класса однолистных функций. *)
Благодаря этому представлению удается до конца решить ряд экстре-
экстремальных задач в теории однолистных функций, что и будет сделано
в следующей главе.
Пусть в плоскости w имеется односвязная область В, содержащая
точку «»=0, но не содержащая точку да = оо. Рассмотрим области
специального вида, получаемые из В проведением разреза вдоль не-
некоторой кривой Жордана, которая целиком лежит в В, кроме одного
из своих концов, лежащего на границе В, и не проходит через точку
w=0. Такие области назовем областями (s). Если область В является
неограниченной (т. е. имеет оо одной из граничных точек), то этот
разрез может простираться и в оо и тогда в отличие от предыд>-
щего под разрезом понимается кривая, определяемая параметрически:
w=w(t), a^t<^b, где w(t) непрерывна в a^t<^b, w(f)^?w(t')
при a^f<^t'<^b и да (*) -> оо при t->b. Легко показать, что любую
односвязную область В, лежащую в В и содержащую точку да=0,
можно аппроксимировать областями (s) в том смысле, что функции
w=f(z), /@) = 0, /'@)^> 0, однолистно отображающие круг |z|<^ 1
на аппроксимирующие области, сходятся к функции, отображающей
круг | z | <^ 1 на область В'. Действительно, область В можно сначала
аппроксимировать областями, ограниченными кривыми Жордана, цели-
целиком лежащими в В, отобразив круг | z | <^ 1 на В1 и рассмотрев в В'
круговые изображения. Считая же В ограниченной кривой Жордана С,
целиком лежащей в В, соединим границы областей В и В прямо-
прямолинейным отрезком, целиком лежащим в В и вне В, и пройдя по
нему от границы В до точки с ? С, идем далее от с по кривой С
до переменной точки d. Если d, обойдя С, вернется в точку с, то по
*) А. Ф. Бермант [1944] и Г. М. Голузин [1948].
8) Лёвнер [1923]; см. также Г. М. Голузин [1939г, 1949в].

90 РЕАЛИЗАЦИЯ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. III
теореме 1, § 5, гл. II так полученные области (s) аппроксимируют
область В. Применяя диагональный процесс, отсюда можно получить
и существование требуемой последовательности областей (s), аппрок-
аппроксимирующих любую область В" а В, содержащую точку w = 0.
Пусть, теперь, дана область (s), полученная из области В проведе-
проведением разреза L. Укорачивая разрез L, начиная с конца, лежащего в В,
получим семейство односвязных областей Bt, зависящих от некоторого
вещественного параметра t, непрерывно изменяющегося в промежутке
О ^ t ^ ?0> причем Вй есть область В с полным разрезом L, Bt0 —
область В без разреза, а при f <^t" область Bt> содержится в Вг>, не
совпадая с Bt"- Пусть
w = g(z,t), g(O,t) = O, /г@,*)>0, 0<f<fc,
— функция, однолистно отображающая круг | z | <^ 1 на область Bf. При
каждом z, |z|<^l, эта функция будет непрерывной функцией от
t в O^t<^to, что следует из теоремы сходимости однолистных функ-
функций. Отсюда, если положить в |г|<^1:
g(z,t) = $(t){z + ai(t)z* +...), A)
то р (t) будет положительной, непрерывной и строго возрастающей
функцией от t в 0*^<^0; последнее следует из леммы Щварца,
примененной к функции <f(z) = g~1(g(z,t-),f), t'<^t", по которой
?'@)<^Ь Вид параметра t находится в нашем распоряжении. Выберем
его так, чтобы было
p = const,
что на основании сказанного возможно.
Наряду с функцией g(z,t) введем еще функцию
Я* *)=g1(g(*. °). Q = *-* (г + ... )• B)
Так же как и g(z,t), функция f(z,t) будет непрерывной функцией
от t в 0^t<^о- Далее, легко видеть, что при каждом t, O^t<^t(,,
функция w=f(z,t) отображает круг | z |<^ 1 на круг |w',<^l с раз-
разрезом по некоторой дуге Жордана, т. е. на область, которая по отно-
отношению к кругу | w | <^ 1 будет областью (s). Покажем, что при
каждом z из круга |г|<^1 функция f(z,t) в промежутке О<^<^о
удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению, известному
под названием уравнения Лёвнера:
д/ _ Л+ft/ «^
dt—~f\—kf w
где k = k(t) — непрерывная комплексная функция от t и \k(t)\ = l.
Тогда, имея в виду, что из g(f(z, t), t)—g(z, 0) следует -^ -? -\- -^ = 0,

§ 2] ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 91
отсюда получим, что функция g(z,t) при каждом z, |.г|<4, удовлет-
удовлетворяет в 0<^<^о другому уравнению Лёвнера:
dt~ дг2 \-kz- W
Для доказательства C) рассмотрим функцию
w = к (г, f, t") = g~* (g(z, f), О = е'"<" (z +...)• E)
При любых f, t", t'<^t", эта функция однолистно отображает круг
| z К 1 на круг | w | <^ 1 с разрезом по дуге Жордана. Следовательно,
при указанных f и t" она будет непрерывна в круге |.г|<:1. Введем
ряд обозначений. Обозначим через X(t) точку на |г| = 1, которая
при отображении w = g(z,t) переходит в конец разреза, лежащий
в В. Далее, через Sy,y обозначим разрез в круге |w|<M, полученный
при отображении круга |.г|<^1 функцией w = h(z,f,f'), а через
Br,t" —ему соответствующую дугу на |г| = 1. Тогда, очевидно, при
отображении w = h(z,t',t") точка \(f) перейдет в конец разреза Syj»,
лежащий в |а>|<^1, а концом разреза Scj", лежащим на |и>| = 1,
будет точка Х(О-
Из предыдущего непосредственно следует, что:
1) при фиксированном fz=t и t"-+t дуга Bft t" стягивается
в точку Х@;
2) при фиксированном t" = t и t'-+t дуга 5/',/» стягивается
в точку l(t).
Покажем что при обоих этих предельных переходах одновременно
Bf,t" и Sf, t" стягиваются в точку X(t). Действительно, продолжая
функцию h (z, f, f) через дугу В*, t", дополнительную к Bt\ t" на
|.г| = 1, в область |.г|>1, видим, что w = h(z, f, t") отображает
всю плоскость z с разрезом по дуге By, r на всю плоскость w с раз-
разрезом по дуге St\ i" и по дуге S*, с, симметричной к St>, t» относи-
относительно окружности | w |= 1. Так как при обоих предельных переходах
одна из дуг By, у и Sy, у \J S*, у стягивается в точку X (t), то и другая
должна стягиваться в ту же точку; это доказывается на основе принципа
сгущения аналитических функций и того, что если плоскость z с одной
выключенной точкой однолистно отображается посредством функции
w = <?(z), 9 @) = 0, <р'@)=1> то должно быть <?(z) = z. На основа-
основании сказанного, при обоих предельных переходах функция h (z, f, f)
сходится к z и притом равномерно на каждом ограниченном замкнутом
множестве плоскости z, не содержащем точку X (f). В частности, отсюда
следует непрерывность ХB) во всем промежутке 0 ^t<^ 4-
Сейчас нам существенно будет лишь то, что при обоих предель-
предельных переходах дуга By, у стягивается в точку Х(?). Если обозначить
концы этой дуги через е'а и е'$, а <^ р <^ а -)- 2я, то функция
Ф(г) = 1о8Н(г>*'П, Ф@)<0, F)

92 РЕАЛИЗАЦИЯ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. Ш
будет регулярна в |г|<^1, непрерывна в |г|^1, и ее вещественная
часть на | z \ = 1 отлична от нуля только на дуге (а, Р) и притом на
(а, р) отрицательна. В силу сказанного, применяя к функции F) фор-
формулу Шварца, в | z | <^ 1 имеем:
Подставим сюда вместо z значение f(z, t')\ тогда получим
При 2 = 0 это дает
±\* (8)
Если теперь к вещественной и мнимой части интеграла, входящего
в формулу G), применить интегральную теорему о среднем, то
получим:
^^ (9)
а
где ff и в* — некоторые точки из интервала (а, р). Деля (9) на (8),
имеем:
=Т —'~
Так как при обоих рассматриваемых предельных переходах аир
стремятся к одному и тому же пределу, равному argX@), то то же
будет и с 8' и в*. Следовательно, в пределе из A0) получаем диффе-
дифференциальное уравнение
g/_
т. е.
dt ~ J\—kf'K)~l(t)-
Итак, уравнения C) и D) имеют место во всем промежутке
Установленный результат показывает, что каждой кривой L, лежа-
лежащей в В, соответствует функция k(t), непрерывная и по модулю
равная единице в надлежащем промежутке O<^t<^t0, такая, что функ-

§ 2] ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 93
ция g(z, 0), g@, 0) = 0, g'z@, 0)^>0, однолистно отображающая
круг |-г|<[1 на область В с разрезом L, определяется как предел
g(z, 0) = Um g(z, t),
где g(z, t) есть решение дифференциального уравнения
dg _dg \+k(t)z
dt ~ dz \—k(t)z>
удовлетворяющее условиям ^@, ?) = 0, gz@, t)^>0.
Если область В отлична от всей плоскости w с выключенной
точкой w = оо, то функция
w = g(z, 4)= Hm g(z, t)
отображает круг | z | <^ 1 на полную область В. Если же область В
имеет единственную граничную точку w = oo, то каково бы ни было
уИ^>0, круг |a>|<:Af целиком лежит во всех областях В(, начиная
с некоторого t -*¦ 4, и, следовательно, для таких t на | z \ = 1, а потому
и в \z\<^1, имеем
g (г,
-гт-, так что в этом случае при t-
в 0 <^ | z | <^ 1 имеем:
g(z, 0-*oo, g'z@, f)-*oo.
Последнее требует, чтобы было 4=°°- Рассмотрим здесь частный
случай, когда области Bf, подвергнутые преобразованию подобия
я>' = е~'я>, сходятся при t-*-co к некоторой области В" как к ядру
(в смысле § 5 гл. II). Тогда функции w = e~l g[z, t) при t-+co будут
сходиться к функции f(z), отображающей круг |z|<4 на область^.
Например, если разрез L • такой, что при удалении по нему в оо
точка w асимптотически приближается к некоторому лучу, исходя-
исходящему из точки w = 0, то функция g(z, t), удовлетворяющая уравне-
уравнению D), удовлетворяет, кроме того, условию
Что касается обратной функции z = g~1 (w, t), то покажем, что какова бы
ни была кривая L, удаляющаяся в оо, при любом конечном w здесь
имеем
n да, t) = w. A2)
/->оо
Действительно, по оценке A0), § 4, гл. II, примененной здесь
к функции ф~*ё~* g(z, t), имеем в |^

94 РЕАЛИЗАЦИЯ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 1ГЛ. III
откуда, положив z=g~l(w, f), получаем при любом
Левое неравенство A3) дает: ^et\g~i(w, f)|<4|a>| и, следовательно,
lim |g1 (w, t)\ = 0. Но тогда из правого и левого неравенства A3)
|
t-юо
имеем при любом конечном w.
Г1 (», О
W
=1. (И)
Если теперь для некоторой конечной точки w0 A2) не имеет
места, то тогда существует последовательность ?,-*-оо такая, что
pg<vg W>. J^g-^i. Выбирая из последовательности функций
Og^vS (». J подпоследовательность, сходящуюся на всей плоскости w
к некоторой регулярной функции <р(а>), по A4) приходим к заклю-
заключению, что | ср (w) | = 1 и, следовательно, ср (а>)^ 1, поскольку 9 @)= 1.
Но <f(wo) = a^l. Это противоречие и доказывает A2) при любом
конечном w.
Обратимся теперь к функции f(z, t). Так как /(г, 0) = z, то из
предыдущего заключаем, что f(z, t) будет в 0<^<^0 решением
дифференциального уравнения C), удовлетворяющим начальному усло-
условию f(z, 0) = z. Если В имеет более одной граничной точки, то,
кроме того, имеем в ||^1
Нш/(г, t)=f(z, to) = g-i(g(z, 0), t0). A5)
t~+to
В частности, если В есть круг ja>|<4, то g(z, to) = zn из пре-
предыдущего следует, что функция g(z, 0) может быть определена как
предел
g(z, 0)= limf(z, t),
где f(z, t) есть решение дифференциального уравнения C), удовле-
удовлетворяющее начальному условию. Это и есть результат самого Лёвнера.
Если же областью В является вся плоскость w с выключенной
точкой оо, то в дополнение к дифференциальному уравнению C)
и начальному условию f(z, 0) = z, no B) и A2), еще имеем:
g(z, 0)= limp*'/(г, 0-
t~*co
Этот результат можно тотчас же несколько обобщить. Именно,
пусть односвязная область В№ не имеет внешних точек и представляет
всю плоскость w с разрезами по конечному числу дуг Жордана, не
проходящих через точку »=0 и могущих иметь общими друг с дру-

§ 2] ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 95
гом лишь концы, причем некоторые из этих дуг могут уходить,
а одна наверное уходит в оо. Тогда уравнение границы L области 50
можно представить в виде одного уравнения w = w(t), 0<^t<^co,
где w(t) — кусочно непрерывная функция вещественного параметра ?
при изменении которого от 0 до оо точка w(t) последовательно
описывает все граничные кривые и притом так, что, отбрасывая в любой
момент уже описанную часть границы, остальная часть ограничивает
область Bt того же вида, что и Вй. При этих условиях все преды-
предыдущие рассуждения, очевидно, сохраняются и здесь и для соответ-
соответствующих функций f(z, t) и g(z, t) имеют место уравнения C) и D)
со всеми дополнительными заключениями. Только теперь функция k (t)
допускает конечное число точек разрыва первого рода, соответствую-
соответствующих значениям t, при переходе которых точка w(t) перескакивает
с одной граничной дуги на другую.
Установленные результаты являются яркими примерами сведения
геометрических задач к задачам чисто аналитическим. Например, только
что сделанное заключение можно формулировать в виде следующей
теоремы, которая будет играть важную роль в дальнейшем.
Теорема 1. Пусть В односвязная область без внешних
точек, содержащая точку w = 0 и не содержащая точку w = оо.
Пусть граница В состоит из конечного числа дуг }Кордана. Тогда
существует комплексная функция k(t) вещественного аргумента^.
0<:?<^-|-оо, непрерывная за исключением конечного числа точек
разрыва первого рода, \k(t)\ = \, и такая, что функция w=f(z)
(/@) = 0, f'@)^>0), однолистно отображающая круг |г|<^1 на
область В, может быть представлена в форме
/(*) = lim p*7(z, t), A6)
t +
где под f(z. (\ понимается решение дифференциального уравнения
удовлетворяющее начальному условию
/(г, 0) = г.
Как обратное предложение, имеет место следующая теорема:
Теорема 2. Пусть данная комплексная функция k (t) | k (t) | = 1
непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода
в промежутке 0<:?<^оо. Тогда интеграл дифференциального
уравнения
dw l+k(t)w
удовлетворяющий начальному условию w\t=,oz=z, представляет
функцию w=f(z, t), /@, t) — 0, /г@, t) = e~l, которая при

96 РЕАЛИЗАЦИЯ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. III
каждом t, 0 =^ t <^ оо, как функция от z будет регулярной и
однолистной в \ z J <^ 1; *) кроме того, таковым же будет предел
f(z) = Urn e'f(z, t), /@) = 0, /' @) = 1, A9)
/-ЮО
который наверное существует.
Доказательство. Уравнение A8) с начальным условием
w\t=Q = z, очевидно, эквивалентно одному интегральному уравнению
w=ze ° , B0)
полученному из A8) делением на фи интегрированием по t от 0 до t
Решаем уравнение B0) посредством последовательных приближений
Wb = z, wtt = wn(z, t)===ze ° , n=l, 2, ... B1)
Так как при |я>|<4 имеет Ы L _j^ )l>0> то из B1) следует,
что при всех п = 0, 1, ... будет | wtt \ ^ | z |. Это показывает, что все
wn = wn(z, f), как функции от z, регулярны в \z\<^l, причем
wn @, t) = 0 и w'n @, t) = е~'. Покажем, что функции wtt при я -*- оо
равномерно сходятся внутри круга |z|<^ 1 и, соответственно, в про-
промежутке 0<^<^0, ^0<^оо. Действительно, из B1) имеем:
т. е.
;ИС!
при 0<^^<^^0, ^0<^оо получаем:
где А и В зависят только от z. Умножая это на е 'и интегрируя,
»n_i — ®д_91 dt.
') Однако, как показал на примере П. П. Куфарев [1947в], функция
w=f(z, t) не всегда отображает круг |г|<1 на круг |ai|<l с разрезом.

§ 2] ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 97
Интегрирование приводит к следующей оценке («==2, 3, ...):
из которой и следует утверждаемая равномерная сходимость функ-
функций wn. Предельная функция w=f(z, t) будет регулярна в |г|<^1,
непрерывна в 0<^<^оо и, очевидно, удовлетворяет уравнению A8)
и условию w \t=,o = z. Кроме того, \f(z, f) | ^ | z |. Покажем, что функ-
функция f(z, t) однолистна в |г|<^1. Действительно, если бы при неко-
некотором tlt 0<^ti<^oo, для двух точек zx и zt из |.г|<4 было
f(zit tt)=f(Zi, ty, то функции f{zi, t) и /(z4, t) имели бы при t=ti
равные значения и тогда по легко доказываемой теореме единствен-
единственности1) решений уравнения A8) следовало бы f(zt, f)=f(zb t)
во всем промежутке O^t^ti, что при t=0 дает zx = z4f
Остается доказать формулу A9). Для этого, подставив в уравнение
A8) функцию w=f(z, f) и переписав его в виде
d(}ogf+t) __ 2kf
dt — 1-й/'
интегрированием получаем
t
k /» л t j»
B2)
Но функция e'ffa t) ? 5; следовательно, в|г|<^1 имеем \f(z, f)\^
где Мг зависит только от z, J2;|<^1. Это показывает, что
интеграл \ -г~Т* ^ равномерно сходится внутри круга
отсюда, по B2), заключаем, что е'/(г, t) при t-*-oo сходится в круге
I^K1 к регулярной функции f(z), /@) = 0, /'(°)!>0. которая
будет однолистна. Теорема доказана.2)
Укажем в заключение, как получить коэффициенты разложения
функции f(z), о которой говорится в теореме 2. Для этого рас-
рассмотрим сначала функцию/(г, t), при 0 ==^ *<;*„, ^0<^оо. Образуем
функцию
,(г, 0=/(/~1(г, 0. *,) = е'-
*) Что следует из надлежащей оценки (/j=/(z1( t), /,»/(?„ t)):
где Mz зависит от г, | г \ < 1.
!) Уравнения A7) и A8) были изучены П. П. Куфаревым [1946, 1947,
1947а, 1947в, 1947г, 1948], а в работе [1943] вопрос о параметрическом пред-
представлении рассмотрен с более общей точки зрения.
4 Г. М. Голузия

98 РЕАЛИЗАЦИЯ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. Ш
которая будет регулярна в точке z = 0. Из
gt0(f(z, 0, t)=f{z, *,)
имеем -л^-^Н—ЯТ2 —° и> следовательно, по A7) в окрестности
:= 0 получаем уравнение:
Подставляя сюда разложение для gto(z, t) и сравнивая коэффициенты,
получим систему уравнений
c'n(t, *0) = (л-1) Cn(t, /,)
я = 2, З, ...,
из которой, имея в виду, что gto(z, to) = z и, следовательно,
ся(^о> *о) = °> я=2, 3 получаем:
B
Эта формула дает возможность последовательно вычислять коэффи-
коэффициенты ctt(t, t0). Далее, так как gto(z, 0)=f(z, to), то, положив
f(z, t0) = е- «(г
/(г) =
имеем:
с„('о) = с„(О, а с„= Нш спу„)= Нш с„@, ^в>
В частности, получаем:
оэ
\-'zk{z)dn, B3)
оэ
с3 = — 2 J ?-»т (А« (т) + 2Л (т) г, (т, оо )) d- =
о
= - 2 J e^T/fe4 (т) Л + 4 ( J е'Ч (г) dx)8, B4)
о о
формулы Лёвнера, необходимые нам в следующем.
§ 3. Вариация однолистных функций
При решении экстремальных задач конформного отображения часто
применяются различные вариации однолистных функций. Довольно
общий тип таких вариаций и дается следующей теоремой.

§ 3] ВАРИАЦИЯ ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ 99
Теорема.1) Если функция w=f(z), /@) = 0, регулярна и
однолистна в круге \z\<^\, а функция щ* = F (z,X), как функция
от z и X, регулярна при г ^ |z|<^ 1 и | X |<^Хо, и при каждом X,
^Х ^Х д | | ^ 1
у ||^ ^
О <^Х <^Х0, она однолистна в кольце г ^ | z | <^ 1; если, кроме того,
при каждом z, r<^\z\<^l, и малых X имеем
F (z, X) =/(*) + X? (z) + О (Ха), A)
то, прибавляя к образу кольца r<^\z\<^l при отображении
функцией w*=F(z, X) область, внутреннюю по отношению
к образу окружности \ z \ = г, при малом X получим односвязную
область Въ содержащую точку W* = 0, и для функции w* =/* (z),
f*@) = 0, однолистно отображающей круг |z|<^ 1 на В^, имеем
/* (z) =/ (г) + lq (z) - \zf (z) S(z) + Xzf (z) S A) + 0 A% B)
где S(z) — сумма членов с отрицательными степенями z в раз-
разложении функции Я, У* в кольце г <^ | z | <^ 1 в ряд Лорана.
Применяемый здесь символ О(Х9) обозначает величину, отношение
которой к X9 равномерно ограничено при z, лежащих на любом задан-
заданном замкнутом множестве круга |г|<^1.
Доказательство. Нашей задачей будет найти функцию
w* =/* (z), /*@) = 0, указанную в теореме, в зависимости от X.
Этого мы добьемся надлежащей заменой в функции w*=F(z, X)
переменной z.
Именно, положим
C)
где функции tp,(/), v^l, 2, ..., пусть удалось выбрать так, что:
1) они регулярны в кольце r=^|z'|^ —;
2) 34(9,(^0)^0 на окружности |г'|^1, v^l, 2, ...;
00
3) ряд 2 *¦'?» (г') ПРИ Достаточно малых X равномерно сходится
v = l
в r<|/|<l;
4) при подстановке C) в F(z, X) при достаточно малых X полу-
получается функция, регулярная в круге | /1 <^ 1 и равная нулю при
^ = 0.
') Г. М. Голузин [1946с]
4»

100
РЕАЛИЗАЦИЯ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
[ГЛ. III
окруж-
окружИз соблюдения этих условий следует, что при малых
ности |^| = p, r^p^-p- при отображении функцией C) переходят
в кривые, близкие к окружности \г\ = р, a jp на ] г' ] = р отличается
от 1 на величину порядка X. Поэтому при малых Х^>0 функция C)
отображает однолистно кольцо г ^\z'\<^_ —- и притом так, что части
его, лежащие в |/|<1 и в\г'\~^>\, переходят в части, лежащие
соответственно в |г|<^1 и в ]гг]^>1, ибо на |я<j == 1 имеем
|г] = 1. Но тогда функция
=x , X) D)
при малом Х^>0 однолистно отображает достаточно узкое кольцо
г'<С1'г'1<С* на двухсвязную область, имеющую своей внешней гра-
границей границу области В^. Так как функция D) регулярна в |/|<[1.
то, используя известную теорему, заключаем, что она однолистно ото-
отображает круг | /1 < 1 на Вх. Таким образом, задача определения функ-
функции w* =/* (z), однолистно отображающей круг | г \ <^ 1 на область Вх.
решена, если удастся построить функции <prt(/), удовлетворяющие
условиям 1) — 4).
Для построения функций <р„(/), подставим функцию C) в F(z,l)
и разложим последнюю формально в ряд по степеням X:
где Ф,(*')=/(,?'), а при я>0
E)
n-l
n-\
n-l
E ^
i
, X)
В частности, при я= 1 это дает:
<!>! (/) = z'f (z') [^^ + ?1 (/)].
G)

S 31 ВАРИАЦИЯ ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ 101
Но при г sg | z' | <^ 1 имеем сходящееся разложение
= у
гГ (г')
*=—00
Если взять , ,
?i(y) = _ у с^и+ у f,
то мы удовлетворим условиям 1) и 2) при «=1, а также частично
и условию 4), именно: функция Ф, (/) будет регулярна в |.г'|<М, по-
поскольку квадратная скобка в G) не содержит отрицательных степеней
/, и <&i @) = 0. (Отметим, что функция <р, (/) определяется перечислен-
перечисленными условиями с точностью до чисто мнимого постоянного слагаемого.)
Допустим теперь, что функции <р,(/), v=l, 2, ..., я—1, уже
определены так, что для них выполнены условия 1), 2) и что Ф,(гО>
v=l, 2, ..., я—1, регулярны в |/|<1 и Ф,@) = 0. Тогда
в г^|г'|<^1 имеем разложение:
Ч
dn
л! Л" г'/' (г';
Если взять
,= 1
*=-со
-1 -1 -^)
=- 2 ^*+ 2
*=-00
то квадратная скобка в F) не будет содержать отрицательных сте-
степеней г' и, следовательно, Фл(г") будет регулярна в | /1 <[ 1 иФ„@)=
^0. Кроме того, для <р„(г') выполнены условия 1) и 2). (Вообще
и^десь <р„(/) определяется с точностью до чисто мнимого постоян-
постоянного слагаемого.) Если выбрать <рл(г') последовательно при всех
/г=1, 2 согласно указанному правилу, то будут полностью
удовлетворены .условия 1) и 2) и формально условие 4).
Остается исследовать сходимость ряда, входящего в условие 3),
от чего также зависит и выполнимость условия 4). Для этого иссле-
исследования будет необходимо доказать следующую лемму:
00
Лемма. Если у функции «р (X) = JJ ап\п коэффициенты удов-
летворяют неравенствам |ая|<; . . tt n=\, 2, ..., то для
со
функции [ср (X)]* = ^ а<?)\п (k — Целое ^ 1), имеем неравенство
С* "~
1ад l5^ (л4 IK ' я==1' ^' •••' 3^есь С — абсолютная постоянная.

102
РЕАЛИЗАЦИЯ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
[ГЛ. III
Доказательство. Действительно, если у функций
п=\ л=1
коэффициенты удовлетворяют неравенствам
00
T, \K\
Тш, я=1, 2, ....
и если ср(Х)ф(Х)= 2jcn^"' T0
я=1
\сп\ = \
АВ
АВ
ЛЯ 2ЛЯ Г1 I
38(л—
4-1. ! 4- 4- -
П !_
I U+i
8Л5
CAB
где С=8 (^+з* + - • • )¦ Применяя эту оценку последовательно
к функциям <р(Х)* и докажем лемму.
Условимся еще в обозначении. Если дан ряд Лорана ^(г) =
оо
= 2 cnzn, то полагаем
|| Xi (г)
л=—оо
Такие мажорантные ряды обладают в случае их сходимости очевид-
очевидными свойствами:
I. 02)
(z')>
A3)
II Xi (*) 11 +II Ха
Обращаясь теперь к исследованию сходимости ряда
докажем, что в кольце г ^ | z' \ ^ — имеют место оценки
DM"-1
II 9,B") II'
-, v=l, 2
с надлежащим образом выбранными постоянными D и М.

ВАРИАЦИЯ ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ
103
Для справедливости оценки A3) для v = l достаточно за D взять
максимум величины 4 || cpj BГ) || в г ^ | /\ sg—. Надлежащим выбором М
попытаемся удовлетворить неравенству A3) при всех v. Допустим,
что оценка A3) уже имеет место для v=l, 2, ..., п — 1, и оценим
|| срл (/) ||. Для этого обратимся к функции A0), которую обозначим
через t (г1). Положив
ft = —00, 00
1=0, 00
причем ряд сходится при
будем иметь:
A4)
, 0<Х<Х0, из A0) и A2)
ft, I
л-1
1*1 Б х
отсюда, учитывая справедливость A3) при v = l, 2,
на окружности |/| = г получаем E = max
л-1
у Х"РЛ*
4-1 (v + l)
а, г
Х = 0
л-1
l*j? yi х"
л-1
я!
х=о
X'
v=l
х-о'
я—I,
A5)
ft, I ;=0
(если заменить ХМ на X).
Но, теперь, при /==0 члены с / = 0 и у = 1, а при
члены с у = 0 будут равны нулю. Поэтому, суммируя по k, I, j,
можно считать /-|~/^2 и, кроме того, очевидно, /=^л. Далее,
так как
л-1
1
л-1
dn~l I V
(я —
Л'
х=о

104 РЕАЛИЗАЦИЯ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. III
есть коэффициент при \п~1 в разложении
я-1
то, применяя к нему лемму, получаем I cU]_ ,1 sg; с———-. Поэтому
A5) дает при г' на окружности \z'\ = r:
(я_|_7)* ^J 1"ии* т ч i "i —j\—. A6)
где N не зависит от z'. Если в последней сумме отбросить ограниче-
ограничение /-f-y'^2, то она станет равной
|ft|PC
ft./
и этот ряд сходится при М достаточно больших, поскольку ряд A4)
является регулярной функцией при г^|г|<^1 и IX^X,,. Поэтому
последняя сумма в A6) при больших М имеет порядок ttj- и, следо-
следовательно, правая часть в A6) при М достаточно большом, но не за-
ПМп-1
висящем от я, будет меньше ^—r-г^. Итак, при таком М на окруж-
ности \z'\ = r имеем
в частности
Далее, так как при |г'|<^1 мажорантный ряд второй суммы в (И)
не превосходит мажорантного ряда первой суммы, то A7) дает
на окружности \z'\ = r, а следовательно, и в кольце г<;|/|<;у
оценку
ПЛ/fi-l
О8)

§ 3J ВАРИАЦИЯ ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ 105
При выбранном М, не зависящем от я, по индукции заключаем,
что оценка A3) имеет место в г^|г'|^— при всех v. Это пока-
00
зывает, что ряд Ух*<р„(.г') при j X | <С лТ РавномеРно сходится
в r^l^l-c^—, а это доказывает справедливость условия 3), а сле-
следовательно, и условия 4).
Итак, функции <р,(/) удовлетворяют всем условиям 1) — 4) и по-
построенная по ним функция D) действительно дает однолистное отобра-
отображение круга |г'|</1 на область Вх. Эта функция /*(^0 при каждом
z', \sf\<^\, является аналитической функцией от X в окрестности
точки Х = 0 и для нее имеем разложение
причем ^u(z")=f(z')', кроме того, по формулам G) и (9), принимая
во внимание A), имеем:
Ф, (*')
Из A9) получаем B). Теорема доказана.
Приведем примеры приложения этой теоремы.
Рассмотрим предварительно функцию
2Г=УB0>
где А, Ак — комплексные постоянные, а да1( .... wm — какие-либо
конечные точки на плоскости w.
При любом заданном р^>0 и достаточно малом Х^>0 функция B0)
однолистна в бесконечной области, представляющей собою внеш-
внешность т кругов \w — и>*| = р, k=l, ..., от, ибо для точек да' и w'
из этой области (w' ф w") имеем
| w* (vif) — да* (wr) | =
где максимум, взятый по всем парам w' и w', очевидно, конечен;
отсюда при X достаточно малом последняя скобка положительна
и, следовательно, w* (wf) Ф w* {w').

106 РЕАЛИЗАЦИЯ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. III
Пусть теперь функция w=f(z), /@) = 0,/@)= 1, регулярна
в | г К 1 и однолистно отображает круг | z \ <^ 1 на область В.
Если точки wx, ..., wm все являются внешними точками для области В,
то каково бы ни было положительное р, меньшее расстояния всех
точек wk до границы В, заключаем, что при малых Х^>0 функ-
функция (Л = 0)
т
••=/•(*)=/«+* 7, Жкг Bi)
будет регулярна и однолистна в | z \ <^ 1 и даже нормирована усло-
условием ft @) = 1. Если же точки wb ..., wm все лежат внутри области В,
то при достаточно малых Х^>0 функция B1) будет регулярна и од-
однолистна в некотором кольце r<^\z\<^\.
Если zv ..., zm точки круга \z\<^\, такие, что o>ft=/(.?ft),
k=\, ..., т, то B1) можно переписать так:
К этой функции применима доказанная теорема. Так как функция
т
zf (г) ~?"* *f (г) /(г) -/(**)
в круге | z | <^ 1 имеет лишь простые полюсы в точках zk, k = 1,..., т,
с вычетами Ак ^.к\г, А = 1, ..., т, то, очевидно,
J DI z — zk
R= I
и, следовательно, формула дает
к=\
B2)

§ 3] ВАРИАЦИЯ ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ 107
При этом имеем
т
Г @) = 1 + X ^ Ак {-?%$ + О (X*). B3>
Если и здесь хотим получить варьированную функцию Д (z),
подчиненную условию /,'@)= 1, то достаточно разделить B2) на B3);
тогда имеем: *
Формулы B1) и B4) — искомые вариационные формулы.1)
Из этих формул легко получить соответствующие вариационные
формулы и для функции
однолистной и регулярной в |С|^>1, кроме полюса ? = оо, и такой,
что F(Q^0 в |С|^>1. Для этого достаточно применить B1) и B4)
к функции f(z) = —/у— и положить F,(Q = —-T- = t
'() ()
^+ ... (отметим, что и ^@^0 в
Простые преобразования приводят к следующим формулам:
^Ж=к B5)
н = 1
2
Формула B4) впервые дана Шиффером [1943].

108 РЕАЛИЗАЦИЯ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. III
где в формуле B5) wk — любые фиксированные точки, являющиеся
все внешними по отношению к образу области | ? | ^> 1 при отобра-
отображении функций w = F(Q.
В качестве следующего примера и приложения теоремы о вариа-
вариации однолистной функции, рассмотрим функцию w=f(z), регуляр-
регулярную и однолистную в |z|<^ 1 и не принимающую в |z|<^ 1 данных т,
(т^1), конечных значений а^ ..., ат. Удается построить, по типу
предыдущих вариационных формул, варьированные однолистные функ-
функции того же свойства, т. е. также не принимающие в |z|<^ 1 значе-
значений ах ат.
Действительно, если В — образ круга | z | <^ 1 при отображении
w=f(z), то функция
П («»-
П (w —
B7)
как при любых wk, лежащих в В, так и при любых wk, являющихся
внешними точками по отношению к В, при любом А и достаточно
малых X ^> 0 будет, как было показано выше, однолистно отображать
лежащую в В часть некоторой окрестности границы области В на
двухсвязную область, а саму границу — в границу некоторой одно-
связной области Вх, содержащей w* = 0, и притом так, что упомяну-
упомянутая двухсвязная область лежит в 5Х. Так как точки av ..., ат не ле-
лежат в В и при отображении B7) переходят в себя, то при X доста-
достаточно малом они будут лежать и вне 5Х. Функция w*=f*{z),
отображающая круг |.г|<^1 на область ?х> не будет поэтому прини-
принимать в |.г|<^1 значений ах, ..., ат. Эта функция будет строиться
таким же образом, как и выше. В случае, когда все wk лежат
внутри В, т. е.
wk=f(zk), |2ft|<l, k=l, ..., т,
удобно B7) представить в виде:
m
П (
.40 = А, Ak = A —
t
v-ft
B8)

« 3] ВАРИАЦИЯ ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ 109
и тогда для /* (z) найдем формулу:
т
П (/(г)-ак)
П (/(*)-/(**))
k=\
m
B9)

ГЛАВА IV
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ОЦЕНКИ В КЛАССАХ
ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Теоремы вращения
Как уже можно было заметить в главе II, а также это будет следовать
и из главы V, первостепенное значение в теории однолистного кон-
конформного отображения занимают экстремальные вопросы для различ-
различных классов однолистных функций. В результате решения этих вопро-
вопросов выявляется, кроме того, влияние требования однолистности ото-
отображения на рост различных величин, в той или иной степени
характеризующих степень искажения отображаемой области. В § 4,
гл. II элементарным путем был уже решен ряд задач экстремального
характера, относящихся к оценкам начальных коэффициентов отобра-
отображающих функций, вопросам покрытия и искажения. В настоящей главе
мы специально займемся этими вопросами, используя теперь, конечно,
и более мощные методы решения, какими являются, например, метод
параметрического представления однолистных функций и метод вари-
вариаций. г)
Для удобства изложения, условимся в обозначениях некоторых
классов однолистных функций, с которыми будем иметь дело в сле-
следующем. А именно, обозначим через 5 класс функций f (г)=г-\-с%г*-\-...,
регулярных и однолистных в |г|<^1, а через 2 — класс функций
F (С) = С -j- <х0 -{- y -f- • • • > мероморфных (с полюсом в со) и однолист-
однолистных в |С|>1.
В этом параграфе дадим, в дополнение к установленным в § 4,
гл. II точным оценкам модуля функции класса 5 и ее производной,
соответствующие точные оценки для аргументов. В частности, уста-
установим и окончательную формулу теоремы вращения для класса S,
состоящую из точной оценки аргумента производной. Средством для
*) Читатели, желающие полнее ознакомиться с экстремальными вопро-
вопросами однолистных функций, могут обратиться к работам автора [1939г,
1949в].

§ 1] ТЕОРЕМЫ ВРАЩЕНИЯ 1 1 1
получения этих оценок послужит нам параметрическое представление
однолистных функций, данное в § 3 гл. III.1) Обозначим через У
подкласс функций /(г) класса S, которые имеют представление
f(z)= lime1 f(z,t), (I)
/-ЮО
где f(z, t) как функция от z регулярна в |z|<^l, \f(z, t)\<^l
в | z | <^ 1 и /@, t) = 0, f'z @, t) ^> 0, а как функция от t является
решением дифференциального уравнения
df_ \+kf (сл
Ш~ 71— kf К)
удовлетворяющим начальному условию
f(z, 0) = z. C)
Здесь k = k(t) есть любая функция, кусочно непрерывная и по мо-
модулю равная единице в промежутке 0=^*<^оо.
Для того чтобы оценить ту или другую из рассматриваемых ниже
величин для всего класса 5, достаточно установить ее для подкласса S'.
Ибо, как показано в § 3, гл. III, любую функцию f{z) класса 5
можно аппроксимировать функциями /„ (z), /„ @) = 0, f'n @) ^> 0, каждая
из которых однолистно отображает круг |.z|<M на плоскость w
с разрезом по дуге Жордана, уходящей в оо и не проходящей через
«> = 0, а следовательно, и функциями *, ^ ^ &. При этой аппрокси-
аппроксимации оцениваемые величины для аппроксимирующих функций схо-
сходятся к той же величине для функции f{z).
Оценка arg^-^- и arg f/~V ¦ Тождество
после деления на f(z, t) и отделения вещественных и мнимых частей
распадается на следующие два:
*!/(». 01 \fB л. 1-!/(«, 011 D)
dzrgf{z,t)_ 2Э (*(<)/(», <))
Л |1 —*(«)/(«, 0 Is '
E)
Из D) следует, что |/(z, 01 ПРИ возрастании t от 0 до со моно-
монотонно убывает от \z\ до 0. Это позволяет вводить в качестве
*) См. Г. М. Голузин [1936] и ряд дальнейших работ автора в Матем.
сб.; например, Г. М. Голузин [1939в, 1946в].

112 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. IV
независимой переменной вместо t величину | f(z, t) |. Теперь из E)
имеем (вместо f(z, t) и k(t) коротко пишем / и К)
или, исключая dt с помощью D) и имея в виду, что arg/=arge</,
Интегрируя это по t от 0 до оо, а следовательно, по |/| от | z | до О,
получаем, принимая во внимание A) и C):
. F)
Здесь аргумент определяется по формуле
и, следовательно, представляет ту ветвь этой многозначной функции,
которая при г->0 стремится к 0.
Оценка F), доказанная для функций класса S', по отмеченному
выше имеет место и для всего класса ?
Покажем, что границы для arg^i, даваемые неравенством F),
являются точными. Для этого покажем, что существует функция
k(t), \k(t)\ = \, непрерывная в 0,а^*<оо, для которой f(z, t),
определяемое уравнением B) и условием C), удовлетворяло бы еще
при любом t, 0s^*<^oo, и заданном *„ |гв|<^1, условию:
3(k(t)f(zt,t)) = -\f(z»t)\. G)
Действительно, если выполнено G), то из уравнений D) и E),
эквивалентных уравнению B), имеем при z = zt:
Интегрируя первое из этих уравнений с условием \f(zo,O)\ = \zo\,
получаем
_m_=^_Jid_r( (9)
откуда |/| определяем как положительную функцию от t, монотонно
убывающую от \zt\ до 0 при возрастании t от 0 до оо. Далее, ис-
исключая из уравнений (8) dt, имеем:

§ 1] ТЕОРЕМЫ ВРАЩЕНИЯ 113
откуда находим
что по (9) тоже выражается через t. А тогда k{t) определяется из
Так как все эти действия обратимы, то для функции f(z, t), опре-
определенной по найденной функции k(t), как решение уравнения B),
в точке z = z0 будем иметь A0), причем правая часть при t-*oo
стремится к log . , ° ¦ Следовательно, верхняя граница для arg-^-,
1 —• | го I г
даваемая неравенством F), будет точной. Аналогично докажем, что
и нижняя граница для arg^-^-, даваемая неравенством F), будет
точной.
Так как вместе с f(z) классу 5 принадлежит и функция
где z — любое из |г|<^1, то, применяя оценку F) к этой функции,
при С = — z получим следующую оценку:
Zf(z) , 1 + |2| !) ,1О\
arg J,.\' ^log ^ , > A2)
f(z) 1 — 1г1
имеющую место для любой функции класса 5 и для любой точки z
из \г|<^ 1; при этс
ляемая равенством:
у
из |г|<^1; при этом под arg f(J здесь понимается ветвь, опреде-
опреде-/(*)
т. е. ветвь, стремящаяся к 0 при z -*¦ 0. Границы, даваемые неравен-
неравенством A2), опять точные, ибо, применяя A2) к функции A1) в точ-
точке С = — z, получим опять F).
Оценка arg/' (z). He сложнее удается оценить и arg/' B). Именно,
из B) имеем-
df -, 1 -\-2kf— ft8/8 ., df(z, t)
dt~ T A— kf)" > J — dz '
*) Оценки F) и A2) впервые даны Грунским [1932]. По поводу обобще-
обобщения их на однолистные функции в многосвязных областях см. Г. М. Голу-
аин [1937].

114
откуда
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
<?arg/'_ <v /1 + 2kf- k*f*\ _ 23 (A - k
—^— _ — jy A_л/)» j— II-A/I*
и, следовательно,
Но
— 23 ((I-*/)*) -rf|
— |i_*/|i |/| (l-
I—kf\>
sin 2 arc sin |/| = 2
поэтому
при
\m-\m
при
Интегрируя это по t от 0 до схз, при |гг|^—р= получим:
1ГЛ. IV
— |/|a при 1/1^^7=
при |/|S
_ l
'Р
: = 4 arc sin | г I,
а при
уг
т. e.
I — 2
Следовательно, и для функций f(z) класса 5 имеем:
4 arc sin \z\ при | z\^
A3)
') Оценка A3) дана автором (Г. М. Голузин [1936]). Ее точность при
| г | > —^=z. доказана И. Е. Базилевичем [19зба].

§1]
ТЕОРЕМЫ ВРАЩЕНИЯ
115
Что эта оценка является точной при |-г| «^-^, видно из того, что
для функции
<x = arccosp,
класса S для каждого
—— имеем
(p) j ^= 4 arc sin p.
Иначе в точности оценки A3), и притом при любом гиз ||^
можно убедиться, показав, что существует функция k(t), \k\t)\=\,
непрерывная вО<;<<[оо, для которой f(z;t), определенное уравне-
уравнением B) и условием f(z, 0) = z, удовлетворяет при любом t, 0^
оо, и заданном z = 20 из | z \ <^ 1 условию
или, что то же самое,
Из A4) простыми вычислениями получим:
kf=
-^1-I/I*)
— / При |/|«?—г=,
!•- I Г Ы I у 2 '
— ^^ ПРИ l/|Ss=T7=-
при |/|=
при
A4)
причем может быть взят любой из знаков ±. Найдя kf в его выра-
выражении через |/|, подставим полученный результат в D) и E); тогда
из D) получим t как непрерывную монотонную функцию от |/| и,
следовательно, |/| как непрерывную и положительную функцию от t,
а из E) определим, далее, arg ^г"' как функцию от t. Зная же arg kf,
найдем и
> т. е. k(t).

116
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. IV
Для функции A), построенной по этой k(t), имеем, как следует
из доказательства оценок A3),
4 arc sin z0
ПРИ
yr
Это прказывает, что верхняя граница для аргумента arg f'(z), давае-
даваемая неравенствами A3), является точной при любом z из |г|<^1.
Аналогично докажем и точность нижней границы, даваемой неравен-
неравенствами A3).
Отметим, что рассуждениями, аналогичными проведенным, можно
доказать оценку
arg
-log A-
A5)
*8/' (г)
дающую точные границы для аргумента arg ' У' в любой точке г,
1. Отсюда, переходом от f(z) к функции /=¦(?) = —-у--j-const,
'(г)
тотчас же получаются в классе 2 точные границы для arg F'(Q:
A6)
Заметим, что, видоизменяя несколько предыдущие выводы, иногда
можно получить более сильные результаты. Так например, из урав-
уравнения B) делением на /, дифференцированием по z и последующим
/
делением на -j получаем:
откуда
_ 2ft/
д log ^
Исключая отсюда и из D) dt, придем к уравнению:
_ 2d\f\
1-1/Г
на основании чего при любом вещественном 0, которое будем считать
не зависящим от t, имеем:

§ 1) ТЕОРЕМЫ ВРАЩЕНИЯ 117
Интегрируя обе части последнего неравенства по t от 0 до оо, по-
получаем
и, следовательно, для всех ()? ||<^ у
В силу произвольности б это равносильно оценке
log
*/'(*)
/(*)
A8)
Применяя A7) к функции A1) при С= — г, получаем и другое не-
неравенство:
"'"Р. A9)
имеющее место также для всех f(z) ? 5 и для всех z, | z | <^ 1. Отметим,
что аналогично тому, как это сделано выше, можно доказать, что
оценка A7) точная при любом 6.
Таким же образом удается доказать, что для функций /•"(?) ?2
в области |С|^>1 имеет место точная оценка
| log /^' СО | ^—log (l — ^р-). B0)
Впрочем, эта оценка, из которой следует также теорема искаже-
искажения для класса 2"
будет получена нами в дальнейшем иным путем.
(Дадим следующее определение. Пусть на некотором классе функ-
функций g(z) задан функционал Ig. Множество D значений w, которые
функционал w = Ig принимает на данном классе функций, назовем
областью значений функционала Ig в этом классе функций.
Как будет показано в § 3, стр. 133, неравенство B0) определяет
область значений величины log/7'(С) в классе 2- Аналогичными рас-
рассуждениями можно показать, что неравенства A8) и A9) определяют
области значений соответственно величин log f,l и log^-^ в классе 5.
По этому вопросу см. также Н. А. Лебедев [1955а].)
Оценки A8) и A9) получены Грунским [1932] иным путем.

118 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. IV
§ 2. Усиления теорем искажения
Как другое приложение метода параметрического представления
дадим здесь усиления некоторых оценок, составляющих теоремы иска-
искажения для классов 5 и ?'). Укажем сначала ряд соотношений, имею-
имеющих место в параметрическом представлении однолистных функций
и играющих важную роль в вопросах оценок.
Рассмотрим любую функцию f(z) ? S', определяемую по форму-
формуле A) § 1, где f(z, t) удовлетворяет в 0<^^<^оо дифференциаль-
дифференциальному уравнению B) § 1 и начальному условию C) § 1. Для функ-
функции f(z, t) имеется ряд интересных соотношений. Именно, возьмем
в |г|<^1 любые точки 2V, v=l, ..., п, и положим для краткости
/V=/BV, t), v=l, ..., п. Используя уравнения
с>/„ f l
~W~ J
непосредственным вычислением получаем соотношения [k = k(t)):
2 V- ¦ fe/"
~ 1-*Л 1-ft/v'
в случае, если 2» = 2V> под — в A) следует понимать
Интегрируя соотношения A) по t от 0 до оо и имея в виду A)
и C) § 1, получаем следующие интегральные формулы:
1 B)
1
где положено С, = 7-, F(Q=^V
/(I
Введем разложения
_?A-= 2 °..f^'. lt|>i. If I
»(*)/(«,') _
2
C)
>) Г. М. Голузин [19486, 1951а].

.§ 21
УСИЛЕНИЯ ТЕОРЕМ ИСКАЖЕНИЯ
119
Подставляя эти разложения в B) и отождествляя полученные равен-
равенства относительно С„ Cv'> придем к формулам:
aka = -2\ bk{t)bt{t)dt (k, 1=1, 2, ...)
О при k ф I,
\ bk(t)bl(t)dt=\ I (k, 1=1, 2, ...)•
о I 2k При
D)
E)
Формулы E) выражают важное свойство ортогональности функ-
функций bk(t) (k=l, 2, ...).
Теперь докажем две теоремы, касающиеся приложений формул B)
к оценкам.
Теорема 1. Для функций /""(?)(; 2 при любых вещественных
<xV|V', v, v'=l, 2, ..., п, п~
будет
\, таких, что 2 °Чt'
v,v'=l
положительной квадратичной формой, и при любых Cv, v=l,
2, ..., п, из области | С|]> 1 имеем оценки
п
v, v'=l
п
vf v' = 1
С,-С,.
П
l
F)
1 —
cvcv,
где во втором произведении /j/7hCv=:Cv' под множителем следует
понимать |/**(CV)|.
Доказательство. Докажем сначала неравенства F) для функ-
функций F(Q = —j-r-r- с f(z)?zS'. В этом случае по формулам B), по-
лагая
*?> = ХЛ-1У ч=\ п
и отделяя в B) вещественные части, получим:
»-^М _ 97(уу у
о
log
log
1--L
= —2

120 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. IV
Отсюда сложением и вычитанием приходим к следующим формулам:
log
log
—С,
= —log
= log
1 —
1
CJE..
— 4 \ X,X,' dt,
J
о
Умножим эти формулы на числа aV| v< и суммируем каждую из них
по v, v'=l, ..., я; тогда, принимая во внимание, что для чисел aV| v»,
удовлетворяющих условиям теоремы, имеем:
сразу приходим к неравенствам ((). Но эти неравенства, доказанные
для функций ^(С) ? ?, представимых в виде /•'(С)=—тут, f(z)?zS',
'(т)
очевидно, имеют место и для любых функций ^(OGS» представимых
в виде /7(С) = —т-т— -|- const, f(z)^S, а следовательно, для всего
'(т)
класса 2- Теорема доказана.
Теорема 2. /7/ш любых комплексных fv> v = l, ... я, я^1,
и любых С* v=l, ..., я, из области |С|>1, для ^(С)^!] имеем
оценку *)
V, Vf:= I
с -С,
Д
v v'=l
--f). G)
/? (П /? (Г)
») Под log v . ., с С, С. из области | С | > 1 всегда будет пони-
пониматься значение той однозначной в этой области ветви многозначной функ-
функции log
т —г *
которая при удалении в бесконечность по крайней
мере одной из точек С, С стремится к нулю; при С=С указанная величина
становится равной log F' (С) и тогда она может пониматься так же, как зна-
значение той ветви многозначной функции, которая обращается в нуль при
С = оо.

S 21
УСИЛЕНИЯ ТЕОРЕМ ИСКАЖЕНИЯ
121
Доказательство. Как и выше, достаточно доказать G) для
функций /7(С)=—тут с /(*)?&. Но в этом случае по первой из
()
формул B) имеем:
с,—с,,
00 Л
у „ „ , KJi J* -// — I
О v, v' = l
и, следовательно,
2 м,
v.v'=l
что по второй из формул B), примененной к последнему интегралу,
дает G). Теорема доказана.
Оценка G), как будет показано в § 3, является точной при лю-
любых -j, и С, и определяет область значений для суммы, стоящей слева.
Аналогично доказывается более общая
Теорема 3. При любых комплексных t,,v=1, ..., п, я^1, и
•ji', v'=l, ..., я', я'3*1, я любых С,, v=l, ..., я, и С; v'=l, ..., л',
из области | С | > 1 для ^(С) ? 2 -имеем
п "п!
(8)
(Написав неравенство (8) для /ч(С)^1]в, заменив л и я' на 2я
и 2я' и положив fn+,=: —Tv> Ся+, = — С„ v==l, ..ч п, 7»'+»= —7«
C = —Cv, v=l, ..., я', получаем
Следствие. .При любых комплексных f»> v==l, ..., я, я^1,
fi'. v'=l> •••» «'» ti~^\, и любых С,» v=l, ..., л, гг СС-,

122 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
' = 1,..., я', из области | С | > 1 для Fa (С) ?j Ца имеем:
[ГЛ. IV
i + ft(C)t,-C
v, v'=l
v, v'
Теорему 3 впервые получил Н. А. Лебедев [1951], исходя из
принципа площадей, так же как и приведенное следствие из нее.)
Отметим частные случаи теоремы 3. Во-первых, если я = я'=1
и |Cj| = |Ci|= р^>1> то (8) дает точную оценку (нижние значки при
С опущены):
A0)
знак равенства имеет место для функции /7(С) = С-|—.•-
вещественная постоянная (Г. М. Голузин [1947]).
Во-вторых, если я = я' = 2, •jJ = fi= 1, -
= — Ci, Сг = — Ci, то получаем оценку
==Ti^—1> С»==
log
(F @ - F (С)) (F (-Q — F{— С1)) (С
(F (С) -/=¦(- f)) (^ (- 0 - F (О) (С - С'J
«S 2 log ¦
что в случае нечетности функции ^(С) дает точную оценку И. Е. Ба-
зилевича [1951] и И. М. Милина (Н. А. Лебедев и И. М. Милин
[1951]):
log
(F(C)-f F (С)) (?-?')
;iog-
iti
-f
знак равенства имеет место для той же функции
во A1) следует также из (9) при я = я'=1, |C
Эффектны приложения формул D) и E).
Теорема 4. Если f(z)^
. (Неравенст-
(Неравенст|Ci |;=р^> 1.)
и если положить
2
к, 1=1

S2]
УСИЛЕНИЯ ТЕОРЕМ ИСКАЖЕНИЯ
123
(aki j — целые рациональные функции коэффициентов ck), то при
любых значениях комплексных переменных xk(k=l, 2, ..., я;
я ^ 1) справедливы оценки:
У а
2
к, 1=\
У
*=1
В случае вещественных значений, xk(k = l, 2, ..., я; я^1)
для функций, /(г)= ,. _^ .8 в A2) имеют место знаки равенства.
Доказательство. Достаточно ограничиться функциями f(z)?S'.
В этом случае akl имеют интегральное представление D) с функци-
функциями bk(t), подчинёнными условиям E). Отсюда
2j a*. ixkxi—-
k,i=\
и, следовательно,
0 ft. 1=1
п
2
к, 1=\
2 **(')¦**
A3)
О А. 1=1
что, в силу соотношений E), дает оценки A2). В случае функций
имеем A(/)^dz
и, следовательно, соот-
соот-.-7 ^ .g
ветствующие им функции bk(t) (k = l, 2, ...) будут вещественными;
поэтому для этих функций в неравенстве A3) при вещественных зна-
значениях xk (k = l, 2, ..., я) будет иметь место знак равенства. Тео-
Теорема доказана.
Шиффер [1948] доказал точность оценок A2) и при любых ком-
комплексных значениях хк.
Как обобщение оценки A2) при тех же условиях легко докажем
оценку
где /и^1, я:э=1, хк, х\ — любые значения комплексных переменных
хк, х[ (k = l, 2, ..., т; 1=1, 2, .... я).
Докажем еще две теоремы для функций класса 2-
Теорема 5. Для функций F(Q??npu любых Cv, v = 1, ..., я
я ^=2, на окружности К| = р, Р>1. имеем оценку:
п
V-7) П
1 —¦
1
i-l
Л
A4)

124
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. IV
[Здесь в произведениях знаяки v, v', пробегают все пари значений
v, v'=l, ..., я, кроме совпадающих (v = v').]
Доказательство. Возьмем в F) за aViv, две системы чисел
ai,v, и ai,,', удовлетворяющие условиям теоремы 1, и полученные не-
неравенства поделим друг на друга; тогда получим в качестве одного
из неравенств следующее:
II
и
1
В частности, так как формы
v, v'"Tav, v'
хп?>
A5)
обе положительны, то в A5) можно положить:
а»,»> = 1, v, v' = l, ..., я,
1 при v = v',
V, V'=l, ..., й,
при
и тогда получаем неравенство
п
I
п
1 —
II
1 —
-. A6)
При ]Cv| = p, v^l, ..., я, это и дает неравенство A4). Теорема до-
доказана.
Теорема 6. Каковы бы ни были заданные различные е„,
|ev|=l, v = l, ..., я, я^2, для функций. ^(OGS имеем на ок-
окружности | С | = р, р ^> 1, оценку
max |F(evC)|^^p(l--lJ/", A7)
где А положительно и зависит только от лиг, (v = , 2, ..., я).
Доказательство. Применим неравенство A4) для Cv = evC,
v = l, ..., я, |С| = р. Обозначив стоящий слева в A7) максимум через
М, имеем:
П | F (s,-;) - F (г, г) | ^ 2Л

§2]
УСИЛЕНИЯ ТЕОРЕМ ИСКАЖЕНИЯ
125
Далее на |С| = р имеем:
П1 evC - е,Л|=
II
1-
evev,p!
V V r
l<p<oo
п
Здесь Ах и Аг положительны и зависят только от я, е,, ..., sv
Принимая все это во внимание, из A4) получаем:
что и дает оценку A7). Теорема доказана.
Теперь имеем следующее усиление оценки модуля функции клас-
класса 5.
Теорема 7. Каковы бы ни были заданные различные ev,
| sv | = 1, v = 1 я, я :э= 2, для функций f(z) ^S на окружности
| z| = г, Т<^\, имеем, оценку
v=I, . .я A — Г) '
где Л конечно и зависит только от я гг ev, v=l, ..., я.
Доказательство. Неравенство A8) получается из A7), если
применить последнее к функции /7(С)= ,, ., С =—, и к точкам ev =
== —, причем sv заменить на sv.
Отметим, что показатель 2/я в правой части оценки A8) не мо-
может быть заменен меньшим числом без дополнительных ограничений
на функцию f(z). Действительно, рассмотрим функцию
В
имеем
= reltf):
k=l
L+?*?\ —1
\-\г\*
Следовательно, при обходе точкой z любой окружности |г|^г,
0<V<4, в положительном направлении arg / (z), монотонно
изменяясь, увеличится на 2тс, т. е. точка w =f(z) опишет один раз

126 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. IV
замкнутую кривую Жордана. А тогда функция w =f(z) однолистно
отображает круг \z\<^r и это при любом г,0^ЧЗ/()?5
Теперь, при 0<[г<[1 имеем:
где А~^>0 и зависит только от га, sv, v = l га. Это и доказывает
сказанное о точности порядка оценки A8).
Отметим, что из оценки A4) при я = 2 получаем для
оценку
где Ci и Са— любые точки на |С| = р, р^>1. Оценку A9) называют
теоремой искажения хорд при отображении области |С|^>1 функци-
функциями класса 2- Эта теорема, установленная автором '), получила много-
многочисленные приложения. Укажем здесь непосредственный элементарный
вывод оценки A9), данный И. М. Милиным8), и даже оценки A0).
Именно, функция Ф (С) = log (F (С) — F (Со)), | Со | ^> 1, регулярна и
однолистна в 1 <^ | С К | Со I и ее разложение в 1 <] | С | <С I Col имеет
вид:
1Ш
Отсюда площадь 5 конечной области, ограничиваемой образом Ср
круга | z | = р, 1 < р <[ | Со |, будет равна
) )
/1=1 /1=1
а так как 5^0, то получаем неравенство
V я | ап (Со) |8 V J_ / Р \2я_
i p2» ^Zin l|to|J — '
n=i n=l
это при р — 1 дает:
sS — log A — ттЦ).
со
п=\
4) Р. М. Голузии [1946д].
2) Н. А. Лебедев и И. М. Милии 11951], неравенство A1.1).

§ 3] ЭКСТРЕМУМЫ И МАЖОРАЦИЯ ТИПА ТЕОРЕМ ИСКАЖЕНИЯ 127
Теперь имеем при 1 < | С | <[ | Со |-
A0')
Заменяя здесь модуль слева на вещественную часть, взятую со знаком
минус, и получаем оценку A9). Отметим, что аналогично может быть
выведена и оценка A1).
§ 3. Экстремумы и мажорация типа теорем искажения
Метод вариаций также дает возможность установить ряд резуль-
результатов типа теорем искажения, и притом с полным выяснением экст-
экстремальных функций1). Более того, при исследовании экстремумов
некоторых величин удается установить для них области значений.
Подробно остановимся здесь лишь на одной теореме.
Теорема 1. При заданных комплексных fv, v=l, ..., я,
я:э=1, не равных одновременно нулю, и заданных различных
Сь- - -, Сда из области | С | ^> 1 для функций F (С) ? 2 имеем точную
оценку
п п
9t( У TvTv.iog f (У "f (Cv>)W- У TvTvlogfl М- О)
V, V'=l 1, V'=l V V
Знак равенства в A) имеет место только для функций, опреде-
определяемых в | С | ^> 1 уравнением
~1 * V v=l "v
эти функции отображают область |С|^>1 на всю плоскость
w с разрезом, лежащим на кривой, определяемой уравнением
V—1
") Г. М. Голузин [1947].

128 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Далее, в | С | ^> 1 имеем неравенство
V. V'=l
v, v'=l
|ГЛ. IV
C)
определяющее область значений для суммы, стоящей слева. Эта
область при любых заданных fv и Cv, v=l, 2 п, будет, та-
таким образом, кругом.
Доказательство. Найдем максимум величины
V, V'=l
D)
при заданных fv и Cv, v=l, 2 я, и ^(С), пробегающих весь
класс 2-
Так как величина IF для функций, отличающихся друг от друга
на константу, имеет одно и то же значение, то указанный максимум
будет совпадать с максимумом IF в подклассе 2° функций ^(С) класса
2 таких, что -^@^0 в |С|^>1. Что последний максимум достига-
достигается, следует из нормальности класса J*. Пусть w = F (С) (^ 2° —
одна из экстремальных функций. Допустим, что образ В области | С | ^> 1
при отображении w = F(Q имеет внешнюю точку wu. Тогда образуем
варьированную функцию F# (С) ?2° посредством формулы B5) § 3
гл. Illic т = 1 и с заменой «р4 на wu.
Для нее имеем:
(
V, V'
[Здесь и в дальнейшем для краткости пишем Z7, вместо ^(С,).] Так
как Wo всегда можно выбрать так, чтобы последняя сумма была от-
отлична от нуля, то при малом X ^> 0 и надлежащем arg A\ получим
Следо-
но это противоречит экстремальности функции
вательно, область В не может иметь внешних точек.

31 ЭКСТРЕМУМЫ И МАЖОРАЦИЯ ТИПА ТЕОРЕМ ИСКАЖЕНИЯ 129
Обратимся теперь к варьированной функции B6) § 3, гл. III, с
я = 1 и с заменой там Ci на 4, |С0|>1. Для нее имеем:
V, V' = l
rap ?2 ev
(Здесь все отношения, представляющие неопределенность, должны быть
заменены отношением производных.) Заменив последний член под зна-
знаком вещественной части на его сопряженное значение, в силу произ-
произвольности arg Ax и экстремальности ^(С), заключаем, что стоящая под
знаком вещественной части величина, за выделением общего множи-
множителя Ai, должна быть равна нулю, ибо иначе при надлежащем выбо-
выборе А\ имели бы 1р%^>1р, что противоречило бы экстремальности
функции ^(С). Это приводит к условию:
v, v'
п
-FtHF,.-Ft) = 2
v. v' = l
F,
V,
p
n
2 t
•7,'
Vv, — i
. E)
Так как в этом соотношении Со — любая точка из |С|^>1, то, за-
заменив Со на С, получаем дифференциальное уравнение, которому должна
удовлетворять экстремальная функция ^(С). Обозначив правую часть
этого уравнения через Л (С), покажем, что всюду на |С|=1 имеем
А (С)^Э=О. Для доказательства рассмотрим функцию ? = ф(С),
ф(оо) = оо, ф'(оо)^>0, однолистно отображающую область| С |^>1 на
область |^|]>1 с малым радиальным разрезом, исходящим из точки
t^e" . Эта функция очевидно получается из уравнения
5 Г. М, Голузин

130 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. IV
с малым А^>0; при малых А отсюда находим:
Посредством функции ф(С) образуем теперь следующую функцию
класса 2°
Для нее имеем (С = е'е):
2 тл
V, V' = l
Отсюда, в силу экстремальности F(Q, получаем при всех С на ок-
окружности |С| = 1:
Обозлачив левую часть этого неравенства через fi(C), на окружно-
окружности |С| = 1 будем иметь S(С)^=0.
С другой стороны, иа |С| = 1 имеем:
( | v(^y)) F)
?
Покажем, что правая часп*.6десь равна нулю. Для этого рассмот-
рассмотрим еще функцию Fj=e~№F (eieC)^S° ПРИ различных вещественных в.
Величина 7f при изменении 0 в 0^0<;2я достигает при 0 = 0 мак-
симума. Поэтому -яр
8=0
= 0, что в развернутом виде равносильно
равенству нулю правой части в F). Итак, на |С| = 1 имеем:
Из этого результата следует,-что если рациональная дробь Л (С)
имеет нули на |С| = 1, то они все будут четной кратности, ибо при-
приращение аргумента arg,A(t) при обходе точкой С малой окружности
с центром в каждом таком нуле по принципу симметрии будет равно
удвоенному приращению этого аргумента при обходе ею дуги, лежа-

3] ЭКСТРЕМУМЫ И МАЖОРАЦИЯ ТИПА ТЕОРЕМ ИСКАЖЕНИЯ 131
щей в |С|^>1, а это последнее приращение равно кратному числа
2те. Поэтому функция |/Л(С) будет регулярна и вещественна на | СI ===== 1 -
Возвращаясь теперь к дифференциальному уравнению E) (где Со за-
заменено на С), отметим, что двойная сумма в его левой части может
быть представлена в виде
Следовательно, это уравнение может быть записано в виде:
и интегрирование его приводит к следующей зависимости F(C) от С:
л
У,
l
имеющей место в
Если взять любую граничную точку w0 области В и обозначить
через Со соответствующую точку на |С|=1, при отображении С==
=F~1(w), то предельным переходом заключаем, что между Со иф,
также будет иметь место зависимость G) (wa вместо F). В этом смысле
соотношение G) имеет место и на | С | = 1. Причем, так как на |С| =
имеем (С = ")
то правая часть соотношения G), а следовательно, и правая часть
преобразованного соотношения
v—Q—fvlog(l --!-)) (8)
2
будет на | С | = 1 иметь постоянную вещественную часть. Но это зна-
значит, что и сумма слева в (8) имеет вещественную часть, постоянную
всюду в области |С|^>1, ибо, являясь гармонической функцией в
|С|^>1| она не может достигать максимума или минимума в |С|^>1.
Отсюда заключаем, что и сама левая часть в (8) будет тождественной
константой в |С|^>1. причем из рассмотрения ее в С = оо следует,
что эта константа равна нулю.
В*

132 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. IV
Итак, для экстремальной функции установили в | С | ^> 1 уравнение
B), а для границы области В— уравнение Bf).
Положив теперь в B) С = С,'. умножив обе части на к,' и сумми-
суммируя по v'=l, ..., и, для экстремальной функции получаем:
IF:
(входящая сюда сумма, очевидно, вещественна). Это и доказывает оцен-
оценку A) с дополнительным заключением о знаке равенства. Далее, если
в A) заменить -jv, v=l, ..., л, на ~{чел, где 6 — любое вещественное
число, то получаем следующую точную оценку:
«С 2 ыъЩ^Р)*- 2 м
Vl 'l
v, v'=l
которая в силу произвольности 0 влечет неравенство C). Но это до-
доказывает также, что множество значений величины
WF ^J Kvlv'Ш
при заданных -jv и С„ v=l, 2,..., и и F(Q, пробегающих весь класс
S> целиком покрывает окружность
л
т«=- 2 TvTv'bg(i--f). (9)
V, V' = l ^V
Рассмотрим теперь величину
Р(^1^ (Ю)
с теми же 7v и Cv и заданным р^>1. По доказанному, при F(Q, про-
пробегающих весь класс ?, значения W=WFtf покрывают всю окруж-
окружность
| (^) (И)
Но из конструкции величины A0) легко усмотреть соотношение

§ 3] ЭКСТРЕМУМЫ И МАЖОРАЦИЯ ТИПА ТЕОРЕМ ИСКАЖЕНИЯ 133
причем (ES' если FCDGS- Это показывает, что множество зна-
значений WF при /7(С), пробегающих весь класс 2> также целиком пок-
покрывает окружность A1). Когда р пробегает значения от 1 до со,
соответствующее множество окружностей A1) покрывает весь круг
п
- 2
который будет, следовательно, областью значений для WF. Теорема до-
доказана.
При /1=1 оценка C) принимает вид:
(j^) A2)
а оценка A) — вид (•у1 = е'а):
Ш (*•'¦ log F (QX-log^-^), _|<а^|. A3)
При этом знак равенства в A3) при C=Ci будет иметь место только
в случае, когда [см. B')] функция F (С) отображает область | С 01
на плоскость w с разрезом по дуге кривой, определенной уравнением
5Я (el* log (w — F (d)) = const. A4)
Но уравнение A4) определяет логарифмическую спираль с асимпто-
асимптотической точкой в w = F(?i) и такую, что лучи, исходящие из этой
точки, пересекают спираль под углом -?- — щ в частных случаях а=0
и а = у эта спираль вырождается соответственно в окружность с
центром в точке F(d) и в луч, исходящий из F(Ci).
При а = 0 и а=-2" из оценки A3) получаем теорему искажения
для класса ?:
^—Ц-,1* A5)
причем по сказанному верхняя граница при C=Ci достигается только
для функции w=F(?), отображающей область |С|^>1 на плоскость
w с разрезом по дуге круга с центром в точке w=F(?1), а ниж-
нижняя — только для функции F (С), отображающей | С | ^> 1 на плоскость
с разрезом по отрезку луча, исходящего из точки F ((.{). Здесь
очевидно, можно брать любым.
Дадим еще одно приложение теоремы 1.
») Лёвнер [1919].

134 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. IV
Применим оценку A) в случае л=2 сначала для ^ = е1л, ^ = е'а,
а затем для ^1 = 1е1л, -у» = —1е1Л, а — вещественно, и полученные не-
неравенства сложим. Тогда получим оценки:
A6)
ti-C.
причем в A6) знак равенства может иметь место только в случае
функции /'(Q^S, для которой в |С|^>1 одновременно имеют место
два соотношения типа B); сложение и вычитание этих соотношений,
умноженных на 1 и на /, приводят к следующим двум:
или
— 21л
-е . , = 1,2.
В частности, из A6) при а=-~- п |Ci| = |C«| = P> р^>1» вновь полу-
получаем точную оценку:
3*1—л-, A7)
с,-с.
причем знак равенства здесь, согласно сказанному, будет иметь место
только для функции
>=С— ^—h const,
Впрочем, при еыф1 и Ci^tj оценка A6) не будет точной, ибо ина-
иначе экстремальная функция F((.), как следует из соответствующих урав-
уравнений типа BГ), должна отображать окружность |С| = 1 на дугу ло-
логарифмической спирали с асимптотической точкой одновременно в Ffa)
и в Ffa) или (при а=0) на дугу окружности одновременно с цент-
центром в F(ii} и ^(Сз), чего не может быть.
Относительно полного решения затронутого здесь вопроса приве-
приведем следующую теорему:
Теорема 2. Среди функций F(Q ? ? функция, для кото-
которой величина
при заданном вещественном а и заданных различных Ci и Cj аз
| С | > 1 достигает максимума, отображает область | С | >• 1 на

§ 3] ЭКСТРЕМУМЫ И МАЖОРАЦИЯ ТИПА ТЕОРЕМ ИСКАЖЕНИЯ 135
всю плоскость w с разрезом, лежащим на кривой, определяемой
уравнением
w =
где t — вещественный параметр, определяющий точки кривой. При
а—0 это будет разрез на эллипсе с фокусами в Fx и F*, при
а=-^ разрез на гиперболе с фокусами в Fx и Ft.
Доказательство. Теми же рассуждениями, что и при дока-
доказательстве теоремы 1, докажем, что экстремальные функции суще-
существуют, что каждая из них отображает область | С | ^> 1 на область В
без внешних точек и что каждая из них в | (, | ^> 1 удовлетворяет,
дифференциальному уравнению вида:
(F— Ft) (F— F2)
где Q(C)—некоторая рациональная дробь, вещественная и неотрица-
неотрицательная на ]С| = 1.
Интегрирование этого уравнения приводит к следующей зависи-
зависимости w = F(?) от С:
в" log {V»=Pi - /^/у = \ /QW т",
которая также будет иметь место и на окружности |С| = 1. Отсюда,
опять как выше, заключаем, что все граничные точки области В удов-
удовлетворяют уравнению:
eialog ( /да — Ft — /w — FJ=с -f 2tf,
с = const, t — вещественно.
Решая это уравнение относительно w, получим параметрическое
представление границы в виде A9). Теорема доказана.
Отметим здесь без доказательства1), что и величина
^g f
при любых заданных Ci и Са имеет областью значений круг. Но ни
радиус, ни центр этого круга не, могут быть выражены через Ci и С«
посредством элементарных функций.
Теорема З.4) Для функций F(С) = С-+¦ -^ +...?? в |С|>1
имеем точную оценку
=?S2 —
1) Г. М. Голузин [1947].
') Теоремы 3 и 4 доказаны автором (Г. М. Голузин [1943а]).

136 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. IV
здесь использованы обозначения
1
dx
B0')
Неравенство B0) определяет область значений для величины
любом заданном С, |С|^>1; этой областью является,
следовательно, круг.
Доказательство. Рассмотрим задачу о нахождении максиму-
максимума величины
при заданном С = Сь |Ci|^>l, и F(Q, пробегающей все функции
F (С) = С -\- -г -{-••• G ?• Этот максимум, очевидно, совпадает с макси-
максимумом величины
отлосительно всех функций Z7 (С) ^S (здесь а0 — свободный член
функции F (С)). Но ^ имеет равные значения для функций F (?)??»
отличающихся на постоянную. Поэтому среди экстремальных функ-
функций этой последней задачи существуют функции без нулей в |С|^>1.
Пусть F(?) одна из них.
Применением варьированной функции B5) § 3 гл. III докажем, что
образ В области | С | ^> 1 при отображении w = F (С) не имеет внеш-
внешних точек. Далее применение варьированной функции B6) того же
параграфа приводит в | С | ^> 1 к дифференциальному уравнению для
где Q(C) — рациональная дробь, такая, что Q(C)^=O на |С| = 1. Ин-
Интегрируя это уравнение, приходим к заключению, что экстремальная
функция /7(С) удовлетворяет на К| = 1 уравнению
— Р<Ы) = с, с = const. B1)
Опираясь на это обстоятельство, удается построить явное выражение
для функции F(?). Достаточно рассмотреть случай Ci^l.
Тогда на КI = 1 имеем

§ 3] ЭКСТРЕМУМЫ И МАЖОРАЦИЯ ТИПА ТЕОРЕМ ИСКАЖЕНИЯ 137
и из B1) получаем делением на |С — Ci!'.
» (еы ч/пШЕЕШ) - с V С B2)
Так как функция
регулярна в |С|^>1 и> очевидно, непрерывна в |С|^=1, а ее веще-
вещественная часть на |С|=1 дается по формуле B2), то сама она
в j С| ^> 1 определяется по формуле Шварца (интеграл берется в направ-
направлении против часовой стрелки):
откуда и получаем F(Q. Для определения вещественных постоянных
с и cit а также F(?i) — а0, используем нормирование F((.). Именно,
понимая в B3) слева под радикалом ветвь, стремящуюся к 1 при
С-»-оо, и сравнивая свободные члены и коэффициенты при -=- в раз-
разложениях обеих частей B3) около С = оо, имеем:
tfC' 4-ici, B4)
=™- B5>
Проведем в плоскости С разрезы по вещественной оси от 0 до
у- и от Ci До оо и примем за у С (Ci — С) A — CiC) ту ветвь, кото-
которая на верхней стороне разреза @, -=-| положительна. Так как под-
интегральные функции в интегралах, входящих в B4) и B5), регу-
регулярны в разрезанных плоскостях, то пути интегрирования можно де-
деформировать и, в частности, стянуть в путь, идущий от у- к 0 по верх-
верхней стороне разреза и затем от 0 к =- по нижней стороне раз-
разреза (о, -=-V

138 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1ГЛ. IV
В результате получим:
===щ + **1, B6)
B7)
где под радикалами теперь понимаются их положительные значения.
Из B6), сравнивая вещественные и мнимые части, определим с и сь
а из B7) получим затем выражение для Т7^) — а„:
1
Сделав в последних интегралах подстановку х=у(.& и исполь-
используя обозначения B0') полных эллиптических интегралов, получим:
Для искомого же максимума имеем:
Отсюда следует, что для всех функций /?((;) = C-|-j- + ...GS ПРИ
любом заданном вещественном а и
В силу произвольности а из B8) получаем оценку B0). Что эта
оценка имеет место и для комплексных С из |С|^>1, следует из рас-
рассмотрения функции e~aF (ei6C). Дополнительное заключение об области
значений для —i-* доказывается, как и в теореме 1. Теорема доказана.

§ 3] ЭКСТРЕМУМЫ И МАЖОРАЦИЯ ТИПА ТВОРВМ ИСКАЖЕНИЯ 139
Теорема 4. Для функций F(C)^S в |С|^>1 имеем точную
оценку
4|С|' —2
-iWJ
(m)
*Ш
B9)
Неравенство B9) определяет область значений для величины
р, L' при любом заданном С, |С|>1; этой областью является,
следовательно, круг.
Доказательство. Вместе с функцией F(C) принадлежит
классу ? и функция
при каждом ^, |Cil!>l> и обратно.
Применив к Fi (С) неравенство B0) в точке С = — Ci, получаем
неравенство B9) при C = Ci. Обратно, из B9) можно получить B0).
Действительно, во-первых, если f(z) ? S, то, применяя B9) к функции
/?((;)=———, получим в |г|<^1 неравенство:
гГУ) ог-П*) i о 4-2|г|' . 4 ?(|г|
TW ~Ш^ \-\г\* ^~\-\г\*КК\А
Во-вторых, если /(г):^г-(-сага-(-...^ 5, то, применяя C0) к функ-
функции (||<1
в точке С = — г, получим в | z|< 1 неравенство:
Наконец, если F(C)=C+y+..-€ S и F(C)^c в |С|>1, то,
применив C1) к функции/(г) = —-г- ?S, получим в |
неравенство B0). Отсюда следуют и дополнительные заключения об
области значений. Теорема доказана.

140 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. IV
§ 4. Метод вариаций в применении
к другим экстремальным задачам
Во всех рассмотренных в § 3 случаях метод вариаций приводил
к полному решению экстремальных задач. Метод вариаций применим
и к различным другим экстремальным задачам, однако окончательное
решение задачи часто упирается в определение некоторого числа не-
неизвестных постоянных. Остановимся здесь на некоторых таких задачах').
Дадим приложение метода вариаций к исследованию экстремума
одного усредненного диаметра границы образа области | С | ^> 1
при отображении ее функциями класса S2).
Теорема 1. Если для данной функции F@?2 и для фик-
фиксированного целого л^2 обозначить через РР верхнюю границу
величины
П
чфч'
относительно всех систем л точек ev, v = 1, ... , л, расположен-
расположенных на границе образа при отображении области | С| ^> 1 посред-
посредством функции w = F((.) (произведение A) берется по всем па-
парам неравных чисел v, v', взятых из 1, ... , л), а через Р—верх-
Р—верхнюю границу величины PF относительно всех функций /''(С) ?2,
то Р достигается для некоторой функции w = F(^), отображаю-
отображающей | С | ^> 1 на всю плоскость w с аналитическими разрезами и
удовлетворяющей в |С|^>1 дифференциальному уравнению
Доказательство. Наряду с указанными в теореме величинами
Рр и Р введем следующие: для данной функции F (С) ?2 обозна-
обозначим через Рр, р максимум величины
\\\F^-F^.9)\ C)
чфч'
относительно всевозможных систем точек С,,р, v = l, ... , л, на
| С | = р, р > 1, а через Рр — максимум Pf> F относительно всех F (С) ? 2-
В силу нормальности класса 2 максимум Рр, очевидно, достижим.
Пусть Fp(Q —одна из экстремальных функций. Точки на окруж-
окружности |С| = р, для которых величина C), составленная для функции
FfQL), достигаем максимума Рр, обозначим через 4,if> v = l, ... , л.
Если для системы этих точек Cs>p рассмотрим экстремальную задачу
теоремы 1 § 3, то одной из экстремальных функций в этой задаче
*) См. Г. М. Голузин [1946е, 1947, 1951г].
s) Г. М Голузин [1947, 1949в].

§ 4] МЕТОД ВАРИАЦИЙ 141
будет, очевидно, /^(С). Таким образом, как следует из доказательства
теоремы 1 (уравнение E) с ^v, v = 1 при v -ф v' и ^v, v' = 0 при v =
= v'), функция Ff((.) должна удовлетворять в |С|^>1 дифферен-
дифференциальному уравнению (Fv>() = Fp(Cv>p)):
_2
Правую часть этого уравнения можно еще упростить. Для этого
отметим, что, заменив в выражении C), написанном для /^(С) и для
значений ?v , v=l, ... , п, одно из значений ?v>p через Cv< pe'a, полу-
получим функцию от а, —я<^а<^я, которая при а=0 достигает мак-
максимального значения; поэтому производная от логарифма этой функции
при а=0 будет равна нулю, что приводит к условию
где суммирование взято по всем v'=l, ... , л, исключая v'^v. Так
как это равенство имеет место при всех v=l, ... , п, то отсюда
заключаем, что числа
v'-p
все вещественны, В силу этого последнее слагаемое справа в уравне-
уравнении D) будет равно
и тогда оно легко объединяется с предшествующим слагаемым. В ре-
результате уравнение D) для w = Fp(С) в |С|]>1 имеет вид
(F(Q-Fbp)(F(t;)-F,l )
чфч' '
4~t4'

142 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. IV
Теперь, в силу нормальности класса 2> к функциям /^(С), как
зависящим от параметра р > 1, применим принцип сгущения. Значит,
можно выбрать последовательность р -> 1 так, чтобы:
1) Ff((.) сходились в |С|]>1 к некоторой функции F(^)^^;
2) С,,р, v = l, ... , п, сходились к некоторым С,, v = l, ... , п\
3) Z7,,р. v = l, ... , п, сходились к а^{а^ — точки на границе
образа при отображении |С|]>1 посредством-а> = /7(С));
4) (I С. р 1а — 1I^* C^v, p) I сходились к некоторым конечным числам.
Последнее возможно, ибо, например, по правому неравенству A5)
§ 3 для F^^S в |С|>1 имеем (l —щ>) 1^(91 ^ 1- Отметим,
что точки av, v = l, ... , п, все различны, ибо иначе при выбранных
р->1 было бы Рр->0, чего не может быть, поскольку легко найти
положительную нижнюю границу для Р, не зависящую от р (вычис-
(вычислив, например, Рр>/? для F (С) = С).
Если при сделанном выборе в уравнении E), написанном для
F=Fp(?), перейти к пределу при р->1, то в |С|]>1 получаем сле-
следующее дифференциальное уравнение для F (С):
—«„И/* (С)-«,;¦)"
п
с„ = const. F)
Легко теперь показать, что cv = 0, v = l, ..., п. Действительно,
напишем уравнение F) в интегральной форме:
V=I
В случае, если некоторое cv ^ 0, то в окрестности точки С» левая
часть G) ограничена, а правая — ведет себя как log (С — С,), что не-
невозможно. Итак, уравнение G) приводится к виду A).
Нужно еще доказать, что полученная функция F(?) будет экстре-
экстремальной функцией в задаче, указанной в формулировке теоремы.
Для этого отметим, что при заданном е^>0 и фиксированном р1(
большем 1 и достаточно близком к 1, P~^>P~tF—е; далее, для после-
последовательности р'-> 1, р']> 1, такой, что /у fc}-+F(Q, начиная с неко-
некоторого места, имеем: Р р—e^Pfl р, — 2е^Р , р t—2s = Р , — 2е,
следовательно, Р^>Р , —2е. С другой стороны, для тех же р' Р ,^
^Р. Это и доказывает, что Р ,->Р, т. е. указанная выше функция
является экстремальной.

S 4] МЕТОД ВАРИАЦИЙ 143
Остается еще доказать, что я»—/7(С) отображает |С|^>1 на всю
плоскость w с аналитическими разрезами. Аналитичность дуг, состав-
составляющих границу образа, следует из уравнения B). Отсутствие у
образа — обозначим его через В — внешних точек следует из того,
что иначе, не меняя PF, можно было бы присоединить к области
двумерный кусок и тогда для функции w = F% (С), | F (оо) | <[ 1, отобра-
отображающей |С|^>1 на измененную область В*, в силу принципа Лин-
делёфа |/%s(oo)|<4. Функция g)=- , ,^ч ^ Д дает для Рр большее
значение, чем функция F(Q, что противоречит экстремальности F(Q.
Теорема доказана.
Задача, рассмотренная в теореме 1, при л —2 составляет задачу
об экстремуме обыкновенного диаметра границы образа области
|С|>1 при отображении t»=/7(C)^S, и решение ее хорошо
известно: Р = 4, причем экстремальной функцией будет функция /7(С)=
= С -f- -г -j- const, |tj|==1. Это же легко может быть получено и
интегрированием уравнения B) при п — 2. Полное решение той же задачи
при любом п затруднительно. Отметим, что уравнению B) удовлетво-
2
нкция F(t)=C(l-{--?Jf)
2 2ic!
ряет при любом я^2 функция р(С)=Ц1 -f-Ts)" ?'/!> пРицем для
- v
этой функции as = 2rten , v = l, ... , п. Однако для случая л—3
также удается довести решение до конца.
Теорема % Если функция F(С)^2^ т0 &ля любых точек
аь Og, а3 на границе образа |С|^>1 при отображении w=
имеем оценку
У^ (8)
знак равенства имеет место для функции
=c(i+-JO, hl=i. (9)
Доказательств'о. Рассматривая экстремум левой части нера-
неравенства (8) относительно всех указанных в теореме точек alt a8, аъ
и всех функций /7(C)GS> мы приходим к задаче, рассмотренной
в теореме 1, при л = 3. Одна из функций, дающих этот экстремум,
удовлетворяет по теореме 1 дифференциальному уравнению B), кото-
которое при я = 3 можно написать в виде
здесь а\, Oj, щ — граничные точки, дающие соответствующий макси-
максимум для левой части (8).

144 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. IV
Дробь, стоящая слева в A0), не допускает сокращения. Действи-
тельно, если бы, например, « =fli> т. е. *^ =fli, то, так
как [а2 — азI^4, мы имели бы |а^ — аг\^.2, {а^ — а3\<:2 и, сле-
следовательно, Р^16, в то время как для функции (9), которая ото-
отображает |С|]]>1 на плоскость w с тремя прямолинейными разрезами,
2 _1_ 2lt»«
23j3e3
идущими из точки w = 0 в точки 23ij3e3, v = l, 2, 3, максимум
правой части (8) равен 121^3, что больше 16.
Но если нет указанного сокращения, то в окрестности точек С,,
v = l, 2, 3, на |С| = 1, соответствующих точкам аи ait а& должны
иметь место разложения вида
которые показывают, что а„ v:^l, 2, 3, являются концевыми точками
на границе образа области |С|]]>1 при отображении w=F(?), а точка
° з а"—кРа™ой граничной точкой, из которой исходят грани-
граничные дуги, идущие в av, v = l, 2, 3.
Так как экстремальность функции F(Q не теряется от прибавления
к ней постоянной, то нормируем функцию так, чтобы at -j- <ц -J- щ = 0.
Если эта экстремальная функция имеет разложение
то подстановкой его в уравнение A0) (с at -j- щ, -j- a^ = 0) найдем,
что
00=0, 04=-^'+^' + ^', 0, = -^. A1)
Пусть теперь x?-\-px-\-q — полином с корнями х — аи а2, а3. Тогда
р = ад -|- а^з -|- а2а3 = — 4^,
q = — а^.^з = — 6aj.
Что касается левой части (8), то ее квадрат будет модулем дис-
дискриминанта уравнения x?-\-px-\-q = 0, который равен ip3-\-27q'i,
так что имеем:
I («1 — atf.ai — Оз)(«9 — в») I8 *S
<|44а! + 3».4в||<4D"|а1|"+ЗЧ«ц|«). A2)
Теперь оценим величину
I|8 A3)
относительно всех функций /7(С)=С-|-'у-|-'-' класса 2°» к кото-
которому принадлежит и наша экстремальная функция. Для этого, обозна-

§4]
МЕТОД ВАРИАЦИЙ
145
чив через С образ окружности |С| = р, р^>1, при отображении
w=F(?), по неравенству D) § 7 получаем, стягивая кривую С в точку
я» = 0:
^ХЙФ^О, Х>0,
с
откуда далее, как в § 7, следует при X ^> О и р ^> 1
Применим этот результат при X = 3. Положив
имеем при
Если взять только Два члена ряда, стоящего в левой части этого
неравенства, то, заставляя р->1, получим:
т. е.
Отсюда 31 as |? ^ -д— | at |9 и, следовательно, для величины A3) имеем
оценку
Так как |а||<^1, а следовательно, последняя скобка положительна,
то Q^33-4. Поэтому, согласно неравенству A2), имеем (8), причем
легко проверить, что для функции (9) при надлежащих а1( а^, а^
в (8) имеет место знак равенства. Теорема доказана.
Из доказанной теоремы можно вывести ряд следствий. Приведем
одно из них, относящееся к классу 5.
Следствие. Если функция f(z) ? S, то для любых трех
точек С\, с8, ca, которые лежат на трех лучах, исходящих из
•о> = 0 под равными углами, и принадлежат границе образа круга

146 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. IV
z\<^l при отображении функцией w=f(z), имеем:
Id ct c,\2*\. A4)
Равенство имеет место для функции
Доказательство. Можно считать, что все cv конечны. Рас-
Рассмотрим функцию F(Q= 7-гт~ G 2°- Точки av = —, v= 1,2,3,
'(т)
лежат на границе образа при отображении области |С|^>1 посред-
посредством функции w=F(?) и притом на трех лучах, исходящих из
я» = 0 под равными углами. По теореме 2 имеем оценку (8). С дру-
другой стороны, при v ф v' (v, v' = l, 2, 3) имеем:
| а, — оу |8 = | а, |8 -f-1 а,, |8 — 2 cos -| | а,а,- | =
и, следовательно,
~ аз) I ^= 3 /31
Последнее неравенство вместе с (8) дает | «адкн | <; 4, что равно-
равносильно неравенству A4). Проверкой убеждаемся, что для функции A5)
_2 _± ^,
и для точек с, = 2 8tj 3 е 3 , v = l, 2, 3, имеет место знак ра-
равенства.
Не вдаваясь в подробности, отметим следующее опираясь на
исследования Шиффера [1938], можно показать, что и для любой
экстремальной функции теоремы 2 имеет место в области |С|^>1
уравнение A0), а отсюда, что знаки равенства в оценках (8) и A4)
будут иметь место соответственно только для функций (9) и A5). *)
Рассмотрим следующую задачу об экстремуме коэффициентов
в классе S.
со
Теорема 3. Среди всех функций w—f(z)= ^c^z^S мак-
симум величины
') (Теоремы 1, 2 и более общее следствие из теоремы 2 недавно доказали
Рейх и Шиффер [1964] с дополнительным утверждением об единственности
экстремальных функций.)

I i] МЕТОД ВАРИАЦИЙ 147
при любом заданном я^2 и любых заданных комплексных т»>
v = l, ..., я, fn^O, достигается только для функций, которые
отображают-круг |г|<^1 на всю плоскость w с аналитиче-
аналитическими разрезами без кратных конечных точек, которые идут
в w = oo и образуют угол, меньший -^-, к соответствующему
радиальному направлению в каждой точке.
Доказательство. Существование экстремальных функций
очевидно. Пусть f(z) — одна из них. Функция f(z) будет давать
также максимум относительно функций класса 5 величине
-г/,) A7)
с некоторым вещественным 9.
Допустив, что образ В круга |г|<^1 при отображении w=f(z)
имеет внешнюю точку w9, образуем варьированную функцию Д (г)
по формуле B1) § 3 г.л. III при т==1. Условившись обозначать
через |<р E)}„ коэффициент при zn в разложении в окрестности, точки
z = 0 любой функции cp(z), регулярной в z = 0, полагая \Ai==h,
имеем:
и, следовательно,
Так как в этом равенстве под знаком вещественной части стоит по-
полином от —, причем коэффициент его при —я-1 равен
о w
, причем коэффициент его при я
о w0
то этот полином при рассматриваемом wu или при w0, произвольно
близком к Wq, отличен от нуля и для соответствующей функции Д (z)
с малым |ft| и надлежащим argft, //*^>//, что невозможно. Итак, В
не имеет внешних точек.
Теперь рассмотрим варьированную функцию B4) § 3 гл. III при
и = 1 с любым г0 из круга |г|<^1. Имеем:

148 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. IV
и, следовательно,
n я
V=I
Условие экстремальности функции f(z) требует, чтобы имело
место неравенство //* sg; Jf, т. е.
что при малых |ft| и любом argft может быть только в случае, если
ж
V=I
Так как это имеет место при любом z9 из |г|<[1, то, заменив
в равенстве A8) z0 на z, получим дифференциальное уравнение для
Из этого дифференциального уравнения следует, что граница области
В состоит из конечного числа аналитических дуг и что для w =f(z)
на окружности |г| = 1 имеет место уравнение A9).
Покажем, что правая часть в формуле A9) при |г| = 1 отрица-
отрицательна. Для этого отметим, что функция w = ty(z), ф@) = 0, ф'(°)^>°.
однолистно отображающая круг | z \ <^ 1 на круг | w \ <^ 1 с радиаль-

§41 МЕТОД ВАРИАЦИЙ 149
ным разрезом длины е, исходящим из точки w = e~i<f, может быть
определена из уравнения
2А *
и при малых h отсюда получаем:
ф (z) = z - hz \ + Zze'Jf -f- О (/г3), ф'(О)=1-Л, Л>0.
Посредством этой функции образуем функцию класса 5:
/* (*) =^(|1 =/
Для нее имеем:
2
V = I V=I
и, следовательно, на |.г| = 1, в силу экстремальности f(z),
2 ТА + е" 2 Т. {V © Йг}J < 0. B0)
l I
v=I
Разность между правой частью A9) и левой частью B0) равна
Но эта величина равна нулю, что следует из сравнения ее для функ-
функции /(г) и для функций е~'л/(е1лг) ^5 с вещественными а. Это и
доказывает, что правая часть в A9) отрицательна при |г| —1.
Покажем еще, что если- наша экстремальная функция w=f(z)
не отображает круг |г|<^1 на плоскость w с прямолинейными раз-
разрезами, имеющими на своем продолжении точку и> —0, то во всех
конечных граничных точках области В вещественная часть величины
входящей в уравнение A9), положительна.
Действительно, пусть w0 — любая конечная точка на границе В.
Функция
y*v ' wo—f(z) JK ' f(z) — w0 v '

160 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. IV
принадлежит классу S, и для нее имеем:
это показывает, что 5Й (Q (и»0)) ^ 0. Если бы было SR (Q (и»0)) = 0, то
функция B1) также была бы экстремальной как для величины A7),
так и для величины A6). Это требует, чтобы Q(wa) = Q.
Напишем для функции f%(z) уравнение, соответствующее A9):
причем и здесь правая часть, обозначенная через R+ (г), должна быть
отрицательна на |г| = 1. Но
h Ю* Щ_ /(?)'
/* («) —М*) ~ /(«)-/(«) /(«)- Щ
и, следовательно,
v=l
Поэтому, подставляя в B2) вместо/#(z) ее выражение через
получаем:
**^ B3>
Если разделить B3) на A9), то при |,г| = 1 будем иметь:
=^0, т. е. т = щ±01-
(Т— вещественное).
Последнее равенство показывает, что все граничные точки лежат
на прямой, проходящей через «* = (). Так как, однако, это было
исключено, то полученное противоречие и доказывает, что во всех
конечных точках на границе В должно быть SR (Q (w)) ^> 0. Но тогда
имеем также $Ч)Тт)^>^ и из УРавнения 09) получаем, что во
всех точках на |г|=:1, в которых/(г) конечно,
Из уравнения A9) и неравенства B4) и следуют дополнительные
заключения о границе области В. Действительно, если граница В со-
состоит только из радиальных лучей, то все доказано. Если же это не

S 4] МЕТОД ВАРИАЦИЙ 151
так, то Q (w) ф О во всех конечных граничных точках и» и из урав-
уравнения A9) следует, что ни одна из этих точек не может быть крат-
кратной или угловой точкой границы; следовательно, граница области В
состоит из аналитических дуг, уходящих в оо. Далее, из неравенства
B4) следует, что для надлежащего значения аргумента на всей гра-
границе области имеем:
eLMa-1
Но величина, стоящая слева, измеряет угол между касательной к гра-
границе В в точке w=f(z) и лучом, проходящим через точки ¦а> = 0
и w=f(z); следовательно, этот угол должен быть меньше -j-.
Теорема доказана.
Применим теперь метод вариаций к исследованию одной экстре-
экстремальной задачи для класса Sa функций
a
регулярных и однолистных в круге | z | <^ 1 и не принимающих в нем
данных от^ 1 конечных значений аъ ..., ат. Рассмотрим задачу
о максимуме | сп\ при заданном л^ 1 относительно функций класса S
(см. Г. М. Голузин [194бе]).
Теорема 4. Функция w=f(z) = clz-\-cizi-\-...^Sa, для ко-
которой | с„ | при заданном я 5= 1 достигает максимума, отобра-
отображает круг | z | <^ 1 на всю плоскость w с разрезами по конеч-
конечному числу аналитических дуг и удовлетворяет в круге \ z <
дифференциальному уравнению
ШШ2Г(*) = п+ JO,-v) [Ь±г*+Ц*г*), B5)
V = 1
где.
P(w)=f[(w-ak), R(w)= ^ ft*w*.
bk — постоянные. В уравнении B5) правая часть вещественна и
неотрицательна на всей окружности |z| = l, а указанные гра-
граничные разрезы при надлежащем их параметрическом представ-
представлении w = w(t) (t — вещественно) являются интегральными кри-
кривыми дифференциального уравнения
MW'lbO B6)
P(w) \dt) ^l v- ^°>
Доказательство. Существование экстремальных функций
очевидно. Действительно, верхняя граница для | |

152 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. IV
00
ft \
если f(z)= ^скгк(^5а, то для функции ?1?!=: V c'kzk имеет место
ft=i f Cl ft=i
известная оценка \с'п\^еп, и следовательно, | сп | ^ ел | с^ |. Применяя
известную оценку: ^~- 5= „ 1 |. .ч» к точке z (| г | = г), в которой
|/(z)|<|ai|, получаем |с,|<-^t—- \<*\|> что при г-*1 дает
| сх | ^ 4 | ail; следовательно,
1 сп
В силу нормальности класса So, эта верхняя граница достижима.
Если f(z) — экстремальная функция, то таковой же будет и функ-
функция f(ea'z) при любом вещественном а и с тем же образом В. По-
Поэтому существуют экстремальные функции с с„^>0 и ими охваты-
охватываются все экстремальные функции в смысле характеристики образов В.
00
Пусть f(z)= ^V* — одна из экстремальных функций с с„^>0
ft=i
и В — соответствующий образ. Опираясь на варьированную функцию,
полученную из B7) § 3 гл. Ill при замене w на f(z) и Wi = Wi =
=.. -. = wn = wu, на том же основании, что и при доказательстве
теоремы 3, покажем, что область В не имеет внешних точек.
Теперь для функции f(z) легко получить дифференциальное урав-
уравнение. Действительно, так как при любых различных z^ ..., zm из
|г|<^1 и достаточно малых X функция B9) § 3 гл. III есть функ-
функция класса Sa, то, обозначая через {<р (?)}„ коэффициент при zn в раз-
разложении функции <р (z) около z = 0, из указанной формулы, полагая
\A = h, имеем:
т
II (/F)—в*)
П (/(?)-
Но так как ЗЯ ({/* (?)}„) ^ сп, то
П (/(S)-a
II №)-ГЫ))п *=1
k = \
m

§4]
МЕТОД ВАРИАЦИЙ
153
Меняя предпоследнее слагаемое на сопряженное, отчего веществен-
вещественная часть не изменится, получим:
«(*[¦
II </<€)-**) 1
Ввиду произвольности argft, это приводит к условию
П </©-«*) )
m
п
v i4*/(g>) /re/'(e)i __ fey (en \ _0
Л I
Так как первое слагаемое слева в B7) равно нулю не тождественно
относительно г„ ..., zm, то пусть zu ..., zm таковы, что это сла-
слагаемое не равно нулю. Если теперь, зафиксировав zt, ..., zm, будем
менять Zy, считая ее переменной z, то Ak примут вид:
где
= П (w - aft), Q (w) = ft (® —
2
a Bh — постоянные. Поэтому, условие B7) можно теперь написать
в виде:
т
П(/(б)-/Ы)
Q(A*))*f
; = 0.

154 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. IV
или, имея в виду, что
Я1-2
1
Q (f («))
окончательно получим:
я»— 3
где R(w)= 2 М**-
fc=-n—I
Итак, функция /(г) удовлетворяет в круге |-г|<^1 дифферен-
дифференциальному уравнению B8), в которое, правда, входят неизвестные
постоянные ск и Ьк. На основании аналитической теории дифферен-
дифференциальных уравнений отсюда заключаем, что f(z) регулярна не только
в круге |«|<^1, но и на окружности |г| = 1, исключая конечное
число точек. Следовательно, граница области В состоит из конечного
числа аналитических дуг.
Дифференциальное уравнение для границы области В можно дать
в более простой форме. Для этого рассмотрим функцию w = ty (z),
ф @) = 0, фг @) ^> 0, однолистно отображающую | z \ <^ 1 на круг
| w | <^ 1 с малым радиальным разрезом, исходящим из точки w = e~a.
Для этой функции в |.г|<^1 имеем выражение
Функция
/i (г) =/(ф-(г)) =f(z) - hz\±^-f (z) + О (Л*)
принадлежит, очевидно, классу Sa и, положив fx (z) = ^с^гк, имеем
ciV = cn~h (ncn + 2 ксъ&-*« ) + О (Л4).
*1

§ 4J, МЕТОД ВАРИАЦИЙ 155
В силу экстремальности функции f(z), имеем 91(с^)^ся» чт0»
в силу малости й, приводит к условию
пся + 2SR B k ckenn -*)i \ ^.0>
Положив здесь ею=*г, получаем неравенство, выражающее неотрица-
неотрицательность правой части уравнения B8). Итак, на окружности | z \ = 1
имеем:
Отсюда следует, что при надлежащем параметрическом представле-
представлении w=w(f) (t — вещественно) границы области В, для нее имеем
дифференциальное уравнение
т я»—3
где положено Р(w) = JJ (w — ak), R(w)= 2 b^vf.
Рассматривая функцию /(г) с с„ = | с„ | в~/9 и применяя предыду-
,1
щие рассуждения к f{e nz), а в полученных формулах заменяя z
на f nz, получаем утверждение теоремы (\сп\ включено в коэф-
коэффициенты bk).
Остановимся на важном частном случае п=1, т. е. на оценке
|] = |/'@)|. Эта величина дает радиус круга, на который одно-
однолистно отображается область В, содержащая точку z = Q, функцией
z=<p(w), нормированной условиями <р@) = 0, <р'@) = 1, и назы-
называется конформным радиусом области В (см. гл. II, § 2). Полученные
выше результаты относительно оценки коэффициентов при я=1
касаются, таким образом, экстремума конформного радиуса для об-
областей В, не содержащих оо и данной конечной системы точек
аи ••• ат- Соответствующая экстремальная функция из класса Sa
удовлетворяет дифференциальному уравнению, полученному из B5)
при л=1:
z)) (zf'{z)\*_.
)) \f(z) ) -1'
(
P(f(z)) \f(z)
m-l
где Rt (w) = ^ &ft«0*. Если z = <p (w) — обратная отображающая функ-
ft=0
ция, то для нее получаем в В
?(») = лГ Ъ(•)
Ч (w) V w*P (»)

156 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ !ГЛ. IV
и, следовательно,
Это дает явное аналитическое выражение для функции <р (w). Постоян-
Постоянные b0, bi, ... , Ьт остаются неопределенными.
Формула вида B9) была ранее установлена М. А. Лаврентьевым
[1934], исходившим из принципов Линделёфа и Монтеля,х) из кото-
которых следует также и единственность экстремальной функции f(z),
нормированной условием/'@)^>0.
Отметим, что в экстремуме |е„| при я ^>1 единственность экстре-
экстремальной функции f(z), нормированной условием е„^>0, не всегда
имеет место. Покажем это на примере.
Пусть ak = aem (А = 1, 2, ..., от), «^>1, я^1 (modOT). Если
f(z) — одна из нормированных экстремальных функций, то и функ-
ция fl(z)^f(ze m)e m принадлежит классу Sa и также будет нор-
нормированной экстремальной функцией для \ сп \, причем эта функция
отлична от f(z), ибо /' @) = е ™ 1" '/' @) ФГ @).
Легко также показать, что для \сп\ при и^>1 не имеет места и
принцип Линделёфа, заключающийся в том, что |ct| возрастает при
расширении области В.
В заключение исследуем следующую задачу о неналегающих об-
областях. На плоскости w дано я различных конечных точек at) о»..., ап,
я5s2. Функции w=fk(z), k = l, 2, ..., я, регулярные в круге
|z|<M, однолистно отображают круг |^|<^1 на не налегающие друг
на друга области Bk, содержащие соответственно точки ak, k = l,
2, .... я, и притом так, что /ft@) = aft, А=1, 2, .... л. Спраши-
п
вается: что можно сказать о максимуме произведения J=J^[|/ft(O)|
ft=i
относительно всевозможных функций fk(z), k=l, 2, ..., «?
В случае п = 2 ответ на этот вопрос был дан М. А. Лаврентьевым
[1934] (на основании его вариационного метода) и заключался в точ-
точной оценке
причем знак равенства имеет место только для функций Л (г) и
/а(z), отображающих круг |z|<^ 1 на полуплоскости, относительно
общей границы которых точки ^ и о, являются симметричными.
') Экстремумом конформного радиуса для класса Sa на основе других
соображений занимался Грётш [1930], который в одном частном случае
также указывает аналитический вид экстремальной функции.

§ 4] МЕТОД ВАРИАЦИЙ 157
Существование экстремальных функций доказывается легко. Дей-
Действительно, так как функция gk(z) = f-7Z.ak ?S> Л = 1, 2, ...,«,
и не принимает в круге |z|<^ 1 значения ' ¦¦,. , k^^k, то по
теореме Кёбе
-a
•¦-?, т. е. |/fe@)|^4 \akl — ak\. Это пока-
зывает, что величина У ограничена независимо от вида функций fk (z),
k=l, 2, ..., п. Отсюда и из нормальности рассматриваемого семей-
семейства функций fk(z) заключаем, что верхняя граница Уо величины J
достижима.
Пусть теперь w=fk(z), k = l, 2,..., л,— система экстремальных
функций, a Bk — соответствующие экстремальные области. В силу
л
принципа Линделёфа (стр. 33) области Bk таковы, что \j Bk совпа-
совпадает со всей плоскостью w.
Установим необходимые нам вариационные формулы. При фикси-
фиксированных точках ak, k=l, 2, ..., п; я^>1, рассмотрим функцию
П (»-«,)
II (я> — а»,)
где щ>,, v = 1, 2, ..., я, v^*,, — различные точки. Эта функция пред-
ставима в виде
откуда легко убеждаемся, что при достаточно малых комплексных h
она будет однолистной на всей плоскости, из которой исключены
достаточно малые окрестности всех точек ¦©„, v = l, 2, ..., п, v^^o-
Поэтому если w4 =/„(г,), v=l, 2, ..., л, |г,|<^1, то функция
П (Л W-в,)
?^ , 1 <*„<«, C0)
П ifк (z) -Л (г,))
при ft^ft0 регулярна и однолистна в круге |г|<^1. При кфЫй
функция C0) имеет в | z \ <^ 1 один простой полюс z = zk и,

158
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. IV
следовательно, к ней применима теорема из гл. III, § 3. В результате
получаем функцию
П </*(*)-«»)
— Л
l
П йЫ-«»)
п
V=I
»,tfc, ft.
П (/*(**)-«,)
г — i
п
п
T
—ZkZ
C1)
которая при малых h регулярна и однолистна в круге |.г|<^ 1, причем
/?@)=aft. Так определенные функции w=f%(z), k — l, 2, ..., я, и
теперь таковы, что при малых Л они отображают круг | z \ <^ 1 на
не налегающие друг на друга области и /f(O)=aft, *=li 2, ..., п.
Соотношения C0) и C1) представляют собой искомые вариацион-
вариационные формулы.
По функциям fk(z), k = l, 2, ..., щ кфИй, построим теперь
варьированные функции C1)- с г,фО, v = l, %..., п; v^*o> кото-
которые, вместе с функцией Л„(г), построенной по формуле C0), также
являются допустимыми функциями рассматриваемой экстремальной
задачи. Теперь легко получим равенство
1-1-5»
л
п
П («*-«,)
1фк
П

$ 4] МЕТОД ВАРИАЦИЙ 159
Ввиду произвольности argh и экстремальности функций )
k = l, 2 я, последнее соотношение может иметь место только
в случае, если выражение, стоящее в нем под знаком вещественной
части, равно нулю, т. е. если
П <«*-«,)
П (в*-Л («,))
П (Л (г*)-в,)
Это условие должно, следовательно, выполняться при любом выборе
точек 2ft, k = l, 2 я, в круге |-г|<^1 и любом Ло=1, 2, . ...я.
Из условия C2) вытекает заключение о кусочной аналитичности
функций fk (z) на окружности |2г|=1. Действительно, фиксируя все
точки zk, k = l, 2, ..., it, kjbk0, кроме одной Zkl=z{\ ^ki^n),
видим, что условие C2) превращается в дифференциальное уравнение
для fkl (z):
где R(w) — некоторая рациональная функция. Отсюда высказанное
утверждение следует из положений аналитической теории дифферен-
дифференциальных уравнений.
Рассмотрим некоторые частные случаи. Случай я = 2 легко дово-
доводится до конца и на нем не будем останавливаться.
Рассмотрим теперь случай я = 3. В этом случае уравнение C2)
при ?0 = 1 дает:
(fli —аа)(а! —а,) ¦ (аа — aj (а„ — а,) ,
(«1 -Л (г,)) <«!-/, (г,)) ~1~ (в,-Л (г2)) (в, -/, (г,)) "Г
П(/8(г8)-а,)
I (a, — fli)(a» — aa) I 1 i^i i
(«. -Л W) («. -/» B.)) "^ Л <*Л -/» B.) /I (Л
П (Л (*•)-«,)
что, умножая Ha/a(^j)—/3(г8) и разлагая первые три дроби на про-
простейшие, приведем к виду
C3)

160 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1ГЛ. IV
где положено
3
a_ _ П _(/(*) — «,)
"I п. f <?\ I
) ^ г2 (/'(г)J
Аналогично при ?0 = 2 из уравнения C2) получим:
). C4)
Так как соотношения C3) и C4) имеют место при любых zb z%
и z3 из круга |г|<^1| то, следовательно, в круге |z|<^l имеем:
A (fk (г)) = С=const, k = 1, 2, 3, т. е. функции и» =/ft (z), k = 1, 2, 3,
все являются решением одного и того же дифференциального урав-
уравнения
з
П (ak — w)
k=\ (fli— аг)(а1— а») . (Дг —at) (аг—а3) ,
г2гу'2 «! — w "Т" а3 — и> Г
+ (а8-Д1)(а.-Дз)+ C5)
С= const.
Постоянная С может, конечно, зависеть от av ait /ц, однако опреде-
определить ее значение не удается.
Рассмотрим отдельно два случая: С ф 0 и С=(Х
В первом случае уравнение C5) приводится к виду
Ы =^ 7)=±1> Cб)
II (ak — w)
где р (w) — полином точно третьей степени, причем его нули все
отличны от Oi, aa, а3. Так как для экстремальных областей Bk сумма
з _
\J Bk совпадает со всей плоскостью w, то точка w = oo лежит на
л*= 1
границе некоторых из этих областей Bk, пусть, например, на гра-
границе Bt. Соответствующая ей точка на окружности | z \ = 1 при отобра-
отображении w=fi(z) пусть будет z = zv Тогда в окрестности z = zt
имеем:

9 4] МЕТОД ВАРИАЦИЙ 161
и, следовательно,
Это показывает, что в окрестности г = гх
w =/,(*)= S K(z-zi)\ ЬлфО. C7)
Если бы точка w = oo была граничной точкой еще какой-либо дру-
другой области Bk (k^tl), то и о соответствующей другой функции/А (г)
можно было бы сказать то же самое. Но это невозможно, в силу
взаимного неналегания областей Bh, ? = 1, 2, 3. Итак, в рассматри-
рассматриваемом случае точка w = co лежит на границе только одной из обла-
областей Bfp k=\, 2, 3, другие две области должны быть ограниченными.
Обратимся теперь к случаю, когда С=0. Допустим сначала, что
точки ah являются вершинами правильного треугольника, т. е. ak = a&h,
k = l, 2, 3, е = е8. Тогда уравнение C5) (с С=0) приводится
к виду
и в результате его интегрирования получаем явные выражения для
±)
= const, k = \, 2, 3.
Для того чтобы функции fk(z), k = l, 2, 3, были регулярны в круге
3
| z | <^ 1, а сумма \J Bk совпадала со всей плоскостью w, должно быть
ск = е1ль, k = l, 2, 3, так что окончательно получаем:
_ . 'г = 1, 2, 3. C9)
1 — (
Отсюда заключаем, что области Bk, k = l, 2, 3, представляют собой
углы раствора у с вершиной вф=0ис биссектрисами, проходящими
64
через точки ак. Далее, подсчет показывает, что /0=я=|а|3 или, что
то же самое,
6 Г. М. Голузии

162 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. IV
Таким образом, для любой системы функций /^(г), fk@) = ak,
k = l, 2, 3, регулярных в круге \г К 1 и однолистно отображающих
этот круг на не налегающие друг на друга области, получается точное
неравенство
з
64
81>Г3 I (ai — а*) (а1 — аз) (аз — ав)|. D1)
п
Пусть теперь точки ak,. k = l, 2, 3, —любые. Уравнение C5)
с С=0 обладает тем свойством, что если неизвестную функцию w и
постоянные ak, k = l, 2, 3, подвергнуть одному и тому же дробно-
линейному преобразованию, т. е. положить
W=™±1 «* = в-№, * = 1,2,3, D2)
cw-\-d cak-\-d '
то w, как функция от г будет удовлетворять такому же дифферен-
дифференциальному уравнению:
з
П (ak—w) „ _ _ ^
*-» ^ _ («1 — «а) («1 — Д») | («а — «i) (а8 — а») ¦
| (а. — а^Й.— а8)
ва — ш
В этом легко убедиться непосредственной подстановкой выражений D2)
для w и ak в уравнение C5). Воспользовавшись этим свойством,
выберем подстановку D2) так, чтобы точки ak, & = 1, 2, 3, перешли
в точки aft = as*, A^l, 2, 3, е = е3. Тогда уравнение для w при-
приведется к виду C8), и, следовательно, его решениями будут функ-
функции w=fk{z), fk@) = ak вида C9), отображающие круг |г|<^1 на
указанные выше три угла. Функции w=fk{z), fk@)=ak, k= 1, 2, 3,
удовлетворяющие уравнению C5) с С=0, будут тогда иметь вид
f (S)— afk
а соответствующие им области Bk, k = l, 2, 3, будут обладать оче-
очевидным, но важным для дальнейшего, свойством: точка w=oo является
граничной точкой по крайней мере двух из областей Bk, k = l, 2, 3.
Так как непосредственной подстановкой проверяется, что
ПЛ(О) ПД@)
(fli — аа) (aj — а,) (а2 — а,) Bj — аа) (at — а,) (а2 — ай) '

§4]
МЕТОД ВАРИАЦИЙ
163
то и в рассматриваемом случае Уо вычисляется по формуле D0),
а следовательно, и в этом случае имеет место неравенство D1).
Случай С=0 не всегда будет иметь место. Чтобы имел место
этот случай, необходимо и достаточно, чтобы точка w = , соот-
соответствующая точке w = oo при преобразовании D2), лежала на гра-
границе одной из соответствующих областей Bk, k=l, 2, 3, ибо только
в этом случае обеспечивается регулярность в круге. | г | <^ 1 всех
функций Д (г), k=l, 2, 3, определяемых по формулам D3).
Однако неравенство D1) будет иметь место всегда, т. е. и тогда,
когда ak, k=l, 2, 3 таковы, что СфО. Чтобы это доказать, иссле-
исследуем вопрос о максимуме величины
/=
П
(Л @) -/, @)) (Л @) -л (о» (/, @) -л (о»
относительно всевозможных систем функций Д (г), k=l, 2, 3, регу-
регулярных и однолистных в круге |г|<^1 и отображающих этот круг
на не налегающие друг на друга области. Так как / не меняется при
замене функций fk(z), k = l, 2, 3, на cfk(z), k=l, 2, 3, с = const,
то можно ограничиться рассмотрением лишь функций fk(z), k= I, 2, 3,
подчиненных условию |Д@)|г^1, k = l, 2, 3. Теперь, как и выше,
докажем, что
откуда заключаем, что рассматриваемое семейство функций fk (z) нор-
нормально и что /^8*. Следовательно, верхняя граница величины /
конечна и достигается для некоторой системы функций ft{z), k= I, 2, 3.
Положим f%(O) = ak, k=l, 2, 3, и рассмотрим вопрос о макси-
максимуме величины
j=
относительно всех систем функций fk(z), f'k@) — ak, k = \, 2, 3, регу-
регулярных в круге | z | <^ 1 и однолистно отображающих круг | z \ <^ 1
на не налегающие друг на друга области. Согласно предыдущему этот
максимум будет достигаться для функций f%(z), k = l, 2, 3. Отсюда,
в силу изложенного выше, заключаем, что образы Bk круга | z \ <^ 1
3
при отображениях w=f%(z), k = l, 2, 3, таковы, что \J Bk совпа-
совпадает со всей плоскостью w. Поэтому существует конечная точка а,
лежащая на границе по крайней мере двух областей Bk.
6*

164 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. IV
Образуем новые функции
^--i *—1.2.3.
Эти функции также отображают круг | г \ <^ 1 «а не налегающие друг
на друга области, и для них величина / имеет то же значение, что
и для функций /2(г), k — 1, 2, 3, поскольку / инвариантно при одном
и том же дробно-линейном преобразовании всех функций /А(г);
k = l, 2, 3. Значит, и функции /**(г), k = \, 2, 3, являются экстре-
экстремальными при отыскивании максимума величины /. Положив /?*@) =
= j-3Tj; = a*' А = 1, 2, 3, заключаем, что функции /?*(г), k= 1, 2, 3,
будут экстремальными и для максимума величины
относительно всех функций fk(z), fk@) = a'k> ?= 1, 2, 3, регулярных
в круге | z К1 и однолистно отображающих этот круг на ненале-
гающие друг на друга области. Так как точка w-=oo лежит на гра-
границе по крайней, мере двух из областей, на которые отображается
круг |2|<1 посредством т>=Д*(г), k= 1,2,3, то, согласно пред-
предшествующему анализу, функции w =ft* {?), k = l, 2, 3, являются
решениями дифференциального уравнения типа C5) с С=0. Но тогда
максимум J'u величины J' вычисляется по формуле (согласно D0)):
Сопоставляя это с тем, что изучаемый максимум величины /
достигается для функций ft*(z), k = l, 2, 3, приходим к заключению,
ал
что этот максимум равен —. Но тогда для любой системы функ-
81 у 3
ций fk{z), k = l, 2, 3, регулярных в круге |г|<О и однолистно
отображающих этот круг на не налегающие друг на друга области,
64
имеем: /«S —=т, что равносильно неравенству D1). Отметим, нако-
наконец, что, поскольку / инвариантно относительно любого, но одного
и того же дробно-линейного преобразования функций fk (z), k = 1, 2, 3,
неравенство D1) будет иметь место и в случае, если одна из функ-
функций fk{z) мероморфна в круге |z|<[l.
Полученные в этом параграфе результаты сформулируем в виде
двух теорем.
Теорема 5. Если точки ахаь и % являются вершинами пра-
з
вильного треугольника, то максимум ¦ величины J= J]
* =

5 51 ГРАНИЦЫ ВЫПУКЛОСТИ И ЗВЕЗДООБРАЗНОСТИ 165
относительно всевозможных систем функций fk{z), Л@) = а*,
k = \, % 3, регулярных в круге |г|<^1 и однолистно отобра-
отображающих этот круг на не налегающие друг на друга области,
достигается для функций w =fk (z), k=l, 2, 3, отображающих
круг |z|<^ 1 на три угла раствора -»- с вершиной в центре тре-
треугольника и с биссектрисами, проходящими через точки а^а^и.а^
Если же точки аи аг и 0$ расположены как-либо иначе, то тот
же максимум достигается для функций fk(z), k = l, 2, 3, одна
из которых будет ограниченной в круге |г|<^1.
Теорема 6. Для функций fk(z), k=\, 2, 3, однолистно ото-
отображающих круг | z |<^ 1 на не налегающие друг на друга области,
имеет место точная оценка:
81-^|1С/1СО)-ЛСО))С/1СО)-/.СО))СЛСО)-Л(О)I-
D4)
Знак равенства в D4) имеет место только для функций C9) и
для функций, получаемых из них посредством любого, но одного
а того же, дробно-линейного преобразования.
§ 5. Границы выпуклости и звездообразности
С другой стороны и более наглядно, чем теоремы искажения и
вращения, выясняют степень искажения однолистного конформного
отображения так называемые границы выпуклости, звездообразности
и т. д. Они показывают, какие из кругов | z | <^ r при однолистном
отображении круга | z \ <^ 1 любой функцией класса 5 переходят
в области того или иного специального типа, как например, области
выпуклые, звездообразные и т. д.
Границы выпуклости. Назовем границей выпуклости для класса 5
верхнюю границу радиусов кругов | я|<V, которые при отображении
круга | z | <^ 1 любой функцией класса 5 отображаются на выпуклые
области, т.е. на области, при обходе границ которых.в определенном
направлении касательная к ним вращается в одном направлении. Гра-
Граница выпуклости оказывается отличной от нуля; она обозначается
через Rk. Для ее определения заметим, что если взять на |2| = г
точку z = rellf, то касательная к | z | = г, исходящая из этой точки,
7С
образует с вещественной осью угол -<г -\- ср, а следовательно, соответ-
соответствующая касательная к образу окружности |z| = r при отображе-
отображении ее функцией w=f(z)?S образует с вещественной осью угол

166 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ (ГЛ. IV
_j_(p_|_argyB)# Отсюда следует, что |z|=^r тогда и только тогда
переходит в выпуклую область, если на | z \ ^ г имеем
или, что то же, если на | z \ = г
Но неравенство F) § 4, гл. II дает, после замены модуля слева веще-
вещественной частью, взятой со знаком минус,
,
отсюда следует, что | z \ ^ г наверное переходит в выпуклую область,
если г2 — 4г +1 ^ 0, т. е. если г ^ 2 — У 3, Так как это имеет
место для любой функции w=f(z)?S, то Rk^2—У 3. С другой
стороны, для функции f(z)= . г .s(rS имеем:
U —г)
«/(«) ¦ i_ 1-4г
/B) I— I—2s *
Это показывает, что круги |z|sg;r при г^>2 — Уз не всякой функ-
функцией w=f(z)?S отображаются на выпуклые области. Отсюда
Я» = 2 —У1 = 0,26... J) A)
Аналогично, если назвать через Rf нижнюю границу радиусов
окружностей |С| = Pf р~^> 1, которые при отображении области |С|}> 1
любой функцией и> = /?(у)?;2 переходят в выпуклые кривые, то
теми же рассуждениями, но только опираясь на теорему 4, § 3, докажем,
что Rk будет корнем уравнения
*(т)
Вычисления показывают, что /?™=1,78...
Граница звездообразности. Назовем теперь границей звездооб-
разности для класса 5 верхнюю границу Rs радиусов кругов |г|^г,
которые при отображении круга |г|<^1 любой функцией w=f(z)
класса 5 отображаются на области, звездообразные относительно w=Q,
т. е. на области, обладающие свойством, что если точка w движется
') Р. Неванлинна [1919—1920].

§5)
ГРАНИЦЫ ВЫПУКЛОСТИ И ЗВЕЗДООБРАЗНОСТИ
167
по границе такой области в положительном направлении, то arg w все
время возрастает. Для определения Rs заметим, что | z \ ^ г тогда
и только тогда переходит в звездообразную область, если на
| z | = г имеем (z = reiif):
darg/(z) _
:0
или, что то же,
arg
(г)
/(*)
В силу неравенства A2) § 1, дающего точную оценку
arg
(г)
/(г)
при любом z, \z\<^\, отсюда следует, что Rs есть решение уравне-
уравнения log у47. = If, T- e-
R.=
1-е
B)
l+e
Границы обобщенной звездообразности. Можно также выяснить,
какими аналогичными свойствами будут обладать отображения кругов
|г|^г функциями w=f(z), принадлежащими классу 5, когда г
превосходит Rs.2) Для этого введем понятие обобщенной звездо-
звездообразности.
Будем называть областью вида Dn(a) всякую замкнутую область,
все точки которой можно соединить с точкой а ломаной линией,
сплошь в ней лежащей и состоящей не более чем из п прямолиней-
прямолинейных отрезков. В частности, областью вида Д (а) будет всякая область,
звездообразная относительно точки а.
Далее, обозначим через Dn(n=l, 2, ...) верхнюю границу всех р,
при которых любая функция класса S преобразует круг | z \ ^ р
в область вида Dn @).
Очевидно, имеем из самого определения:
кроме того, Dn<^\ при любом п, так как существуют функции
класса S, которые отображают круг | z \ <^ 1 на спиралеобразные
области. Далее, Di — Rs и, следовательно, по B) имеем:
3, = th4.
4
C)
') Грунский [1934].
2) Г. М. Голузин [1935].

168
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. IV
Точные значения Dn при п~^>\ неизвестны; мы дадим здесь воз-
возможно точные нижние границы для Dn. Это достигается с помощью
следующей леммы:
Лемма. Круг
Z :
(«=1, 2, ...)
отображается любой функцией w=fB)?S в облает* вида
Действительно, вместе с f(z) к классу S принадлежит и функция
при любом ?, 151 <] 1. Эта функция преобразует, следовательно, круг
|С|«^й„, dn<C.Dm в область вида Dn@). Поэтому функция w=f(z)
отображает круг
т. е. круг
1-52
Из E) последовательно имеем:
\z —
Z==f+k'
на область вида Д
откуда непосредственно вытекает D).
Пользуясь этой леммой, установим теперь неравенства
с любыми 1.-5^.-, ..-^_..
Для вывода первого неравенства положим в D) \ = adn, |a| = l,
0. Тогда получаем, что всякая функция w=f(z)?S отображает

5 5] ГРАНИЦЫ ВЫПУКЛОСТИ М ЗВЕЗДООБРАЗНОСТИ 169
круг
Z —
ad,
л
dn<Dn G)
на область вида Dn(f(«/„)). Круг G) содержит на своей границе
точку 2 = 0. Если заставить а пробегать окружность |а|=1, то
круги G) покроют сплошь круг | г | sg:. . " 3. Любую точку образа
этогб круга можно соединить с точкой /@) = 0 ломаной линией, це-
целиком там лежащей и состоящей не более чем из 2л прямолинейных
отрезков, так как существует а, |а|=1, такое, что образ круга G)
содержит обе эти точки и, следовательно, их можно соединить
с точкой /(arfj ломаными линиями, целиком в нем лежащими и со-
состоящими не более чем из п прямолинейных отрезков. Отсюда за-
заключаем, что ," sg Din. Так как это имеет место при любом
1 ~Г л
n, то, переходя к пределу при <*„-»-Д,, находим, далее, что
n, а отсюда
т. е. первое из неравенств F).
Для доказательства второго из неравенств F) положим в D)
k=ar, |a| = l, dn<^r<^\, п~^>0. Тогда, замечая, что
ma-**) rf (l-iei8) ш±*„
из геометрических соображений легко заключаем, что круг D) весь
содержится в кольце
161-4. ^1-1^ 1*1+4, ,т
касаясь обеих его граничных окружностей. Если заставить а. пробе-
пробегать окружность | а | = 1, то круги D) сплошь покроют это кольцо.
Выберем теперь 5 так, чтобы ' '7",Л =Dm, от">0, что дает
1 — "л I * I
|SI= Г"Гл <С ^ Тогда рассуждениями, аналогичными проведен-
т
ным при выводе первого из неравенств F), найдем, что образ круга
будет вида An+m @) и, следовательно,

170
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1ГЛ. IV
Это дает:
откуда, переходя к пределу при dn-+Dn и деля неравенство на ра-
равенство, мы придем ко второму из неравенств F).
Из этих неравенств при п = 1 имеем:
)
откуда, путем итерации, находим при любом т:
Замечая же, что Di = th-j, из (9) при любом
1-D.
получаем:
т. е.
Dm ^ th -g- ^> 1 — 2е
Это и есть искомая оценка Dm снизу. В частности, D8]]>0,91,
D3>0,98.
§ 6. О покрытии отрезков и площадей
В § 4, гл. II было доказано, что образ круга | z \ <^ 1 при ото-
отображении этого круга любой функцией класса 5 целиком покрывает
круг \w\kT-t-. Поставим теперь вопрос об определении длины наи-
большего из отрезков, с концами в w = Q, лежащих на п любых
лучах, выходящих из w = 0 под равными углами и принадлежащих
целиком тому же образу. Ответ на этот вопрос дается в нижесле-
нижеследующей теореме, своеобразное доказательство которой основывается
на двух леммах, которые сначала и установим.
Лемма 1 (Принцип Грётшл)!). Если в кольце r<^\z\<^R,
г ф 0, R ф оо, имеется конечное число не налегающих друг на друга
») Грётш [1928].

8 61
О ПОКРЫТИИ ОТРЕЗКОВ И ПЛОЩАДЕЙ
171
односвязных областей Sk, k = \, 2 п, ограниченных кривима
Жордана, имеющими на |z| = r и на \z\ = R по дуге, которые не
вырождаются в точки (Sk рассматриваются как полосы, идущие
от |z| = r к \z\-R), и если эти области отобразить на пря'
моугольники плоскости С со сторонами равными соответственно
аь и bk так, что упомянутые дуги переходят в стороны длины
ak, то
п
V 2*
2тс
R
равенство будет иметь место только в случае, когда Sk суть
области вида г<^ | z \ <^R, <р*<С агб г<С
<!?*+!> Целиком заполняющие кольцо.
Доказательство. Разрежем коль-
кольцо г <^ | z | <^ R по дуге, принадлежащей
к границе одной из полос Sk, и отобра-
отобразим полученную односвязную область на
плоскость ^ = log 2 = и-|-го(рис. 8); при
этом полосы Sk перейдут в некоторые
полосы Sk, идущие от прямой и = log г
к прямой и = log R (рис. 9). Если z=gk (С)
суть функции, совершающие отображения,
обратные указанным в лемме отображе-
отображениям полос Sk на прямоугольники Rk:
05<6 0<ti<aft (рис. 10), то * =
ggft^)/ft^) будут отображать Rk на полосы Sk, причем образы
сторон длины ак будут лежать на прямых «=logr и u = logR.
Обозначим через Ik площадь полосы S'k- Тогда, очевидно, имеем
рис g
С другой стороны,
k=\
ak ьк
о о
2* log ?.
причем последнее получено на основании неравенства Шварца. Но
ьи
интегралы \ \f'k(Q\d\ суть длины образов параллелей к сторонам
о
длины bk, т, е. длины некоторых кривых, идущих от прямой и = log r

172
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
А..
[ГЛ. IV
к прямой u=\ogR. Отсюда V |/*(C)|<ft^log— и, следовательно,
и деля на
Jog у) • Подставляя это в \ ^*^2«log —
, получим A).
Для того чтобы в A) имело место равенство, очевидно, необхо-
необходимо, чтобы полосы i>ft сплошь заполняли кольцо r<^\z\<^R и
чтобы упомянутые выше образы
всех параллелей к сторонам длины
Ък были прямыми, параллельными
к вещественной оси, т. е. чтобы Sk
log r log R
Рис. 9.
Рис. 10.
были вида r<^\z\<^R, <р*<[argz<<p*+i- Простой проверкой убе-
убеждаемся, что в этом случае в A) действительно будет иметь место
равенство.
Лемма 2. Если в прямоугольнике со сторонами длины А и В
(рис. 11) имеется конечное число не налегающих, друг на друга
одмосвязных областей Sk, k = l, ..., п, ограниченных кривыми
}Кордана, имеющими на сторонах'длины А по отрезку, которые
не вырождаются в точки (Sk рассматриваются как полосы,
идущие от одной стороны длины А к другой), и если эти области
отобразим на прямоугольники плоскости С со сторонами, равными
соответственно ак и Ък так, что упомянутые отрезки перехо-
переходят в стороны длины аь, то
аи
B)
Равенство имеет место только в случае, если Sk суть прямо-
прямоугольники, целиком заполняющие прямоугольник со сторонами
А и В.

О ПОКРЫТИИ ОТРЕЗКОВ И ПЛОЩАДЕЙ
173
Доказательство (аналогично предыдущему). Если г =fk(С)
суть функции, совершающие отображения, обратные указанным в лемме
отображениям Sk на R/,: 0<^l<^bk, 0<^tj<^aft, и если обозначим
л
через Ik площадь S/,, то, с одной стороны, имеем 2 h ^ AB, а с
другой стороны,
о
о
Следовательно, Уу
откуда и получается B). То, что
равенство в B) будет иметь место только в случае, когда Sk сами
суть прямоугольники, сплошь запол-
заполняющие прямоугольник со сторонами
А и В, доказывается, как в лемме 1.
Возможность указанного в леммах
1 и 2 конформного отображения по-
полос следует из того, что всякую одно-
связную область, имеющую более одной
граничной точки, можно отобразить
на некоторый прямоугольник так, чтобы
заданные четыре достижимые точки
границы переходили в вершины пря-
прямоугольника. Последнее же получается
следующим образом: отобразив сначала нашу область на верх-
верхнюю полуплоскость и, обозначив через а1г ag, a* a4 точки на веще-
вещественной оси, в которые переходят четыре заданные граничные
точки (можно добиться того, чтобы все ak были конечны), мы ото-
отображаем затем верхнюю полуплоскость с помощью функции
на прямоугольник; тогда точки аи «ц, а3, а4 перейдут в вершины
прямоугольника. Как следствие из леммы 2 получаем, что отношение
сторон прямоугольника определяется однозначно отображаемой
областью и указанием точек, переходящих в вершины.

174 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ |ГЛ. IV
Теорема1). Если f{z) ? S, то по крайней мере одна из п
ближайших к w = 0 точек границы С образа круга \г\<^1 лри
отображении w=f{z), лежащих на п любых лучах, исходящих
из w=Q под равными углами, отстоит от w = Q не ближе чем
Доказательство. Предположим сначала, что граница С есть
аналитическая кривая, и допустим, что теорема неверна. Тогда найдется
такая система лучей Lk, k=l, ..., п, исходящих из w = 0 под рав-
равными углами, что все ближайшие к w = 0 граничные точки на них
будут отстоять от w = О на расстоянии ^d, где (f<^|/ у. Функ-
Функция
при надлежащем а. отображает | г | <^ 1 на плоскость с разрезами
в виде п полупрямых, лежащих на лучах Lk, исходящих из точек
f
Ak = e n , k = \, ..., я, и содержащих w=0 на своих про-
продолжениях. Так как а<^1, то при г достаточно малом образ s
окружности \z\ = r при отображении функцией w=f(z) будет со-
содержать внутри себя образ s0 некоторой окружности | z \ = Qr,
Q^>\, при отображении функцией w=fo(z). Рассечем теперь кольцо
Qr <^ | z | <^ 1 на систему полос любой совокупностью лучей, исходя-
исходящих из z = 0, такой, что: 1) в нее входят все лучи lk, содержащие
отрезки, которые при отображении w=fu{z) переходят в отрезки
OAk, и лучи, представляющие биссектрисы углов между соседними lk
(рис. 12); 2) в нее входят все лучи, переходящие при отображении
w=fo(z) в кривые, имеющие касание к С; 3) если эта совокупность
содержит некоторый луч, то она содержит и луч, симметричный
относительно ближайшего из лучей lk. Так построенная система по-
полос Sk разбивается на пары взаимно симметричных полос 5*-, Sk-,
образы 2*'> Ilk" которых при отображении функцией w=fo(z)
будут иметь по общему граничному отрезку на лучах Lk и будут
образовывать вместе полосу 2jA' U S*"> идущую от s0 и возвращаю-
возвращающуюся к s0. Вся плоскость w вне % а следовательно, и образ кольца
г<^|г|<^1 при отображении функцией w=f(z), разобьется на
куски, содержащиеся в полосах 2*' U 2*"> причем, в силу сделан-
сделанного допущения, число кусков указанного образа, лежащих в каждой
1) М А. Лаврентьев и В. М. Шепелев [1930, 1937] (Ренгель [1933]).
Приводимое доказательство дано автором [1939г].
Теорема обобщается также на случай р-листных функций (см. Г. М. Го-
лузин [1948]).

§61
О ПОКРЫТИИ ОТРЕЗКОВ И ПЛОЩАДЕЙ
175
полосе 2*' U .?*"> будет не меньше двух. Рассмотрим пары ak; ак„
этих кусков, содержащиеся в полосах 2*' \J 2*" и прилегающие к s,
Рис. 12
и обозначим через ak; bk< и а#,, Ь^ стороны прямоугольников, в ко-
которые переходят, как указано в лемме 1, соответствующие им при
отображении w=f(z) прообразы sk; sk>; лежа-
лежащие в г<^\z\<^l.
Тогда по лемме 1 имеем:
C)
log-
Далее, если обозначить длины сторон прямо-
прямоугольников, в которые отображаются полосы Sk>
и Sk" (как указано в лемме 1), а следовательно,
и 2*' и 2*" соответственно через Ak<,Bk< (рис.13)
и Ak", Bk", причем, очевидно, можно считать
Ak' = Ak", Bk> = Bk", то полоса 2*'U 2*" отоб-
отображается в прямоугольник Rk; k« со сторонами
А^, 2Bk; так что сторонам длины А& соответствуют части границы
2*- U 2*"> лежащие на s0. При последних отображениях ak>, ok"
перейдут в полосы, лежащие в Rk; k" и идущие от одной стороны
длины 2Bk' к другой. Если отобразим эти полосы в прямоугольники,
как указано в лемме 2, причем за континуумы на сторонах длины
25^ возьмем отрезки, соответствующие на 2*' U 2*" отрезкам,

176 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ |ГЛ. IV
которые в свою очередь соответствуют при отображении w=f(z)
частям границ Sk>, s*"> лежащим в Qr <^| г |<^1, то по лемме 2
имеем:
на основании этого, дважды применяя неравенство a~jT ^>"|/afc
получаем:
1/ Л.Л
V ak> вя"
"" ^i'_i_^:^' Вк'
ak'ak»
Но по лемме 1 имеем:
~ " ' 2тс
Следовательно,
~~ ' ' 2tc
Сопоставляя это с C), получаем
2тс _ 2я
1о 1
6 Qr
Но это противоречит тому, что Q^>1. Следовательно, в случае,
когда С есть аналитическая кривая, теорема доказана.
В общем случае достаточно применить предыдущее к функции
и затем перейти к пределу при р-»-1. Тем же ме-
?5
тодом удается доказать также следующую теорему о покрытии
отрезков.
Теорема 2.•) Если f(z)?S, то в образе круга |г|<^1 при
отображении этой функции существуют п прямолинейных
отрезков, исходящих из w = 0 под равными углами (=—),
сумма длин которых сколь угодно близка к п.
') Г. М. Голузин [1936а]. Теорема 2 получила обобщение в работах
А. Ф. Берманта [1938, 1944].

8 6] О ПОКРЫТИИ ОТРЕЗКОВ И ПЛОЩАДЕЙ 177
Доказательство. Рассмотрим образ В круга \z\<C^R, ^
при отображении функцией w=f(z) и назовем звездой области В
наибольшую область, содержащуюся в В и звездообразную относи-
относительно w=0, т. е. такую, что прямолинейный отрезок, соединяющий
любую ее точку с w = 0, целиком лежит в ней. Кольцу г <^ | z | <^ R,
в плоскости w соответствует двухсвязная область, внутренняя гра-
граница s которой при малом г будет лежать вне круга | w | <^ г A —Ьг) =
=р, где 8г->0 при г->0. Разобьем часть звезды, лежащую вне s,
Рис. 14.
конечной системой полупрямых, исходящих из w=0, такой, что:
1) в ней содержатся все касательные к границе С области В, 2) при
повороте около w — О на углы —k, А=1, ..., я, она переходит
в себя и 3) колебания модуля | w \ на части С, лежащей между двумя
соседними полупрямыми (но не на самих полупрямых), меньше задан-
заданного е^>0; такая система, конечно, существует, поскольку С есть
аналитическая кривая. Обозначим полупрямые системы, число которых
кратно п, последовательно через lit /2, ..., 1Ат, причем /„^^ полу-
получается из lq поворотом на угол ~k (рис. 14); далее, через
рА(?=1, 2, ..., пгп) обозначим наибольшее расстояние до w=0
точек части gk звезды, лежащей между lk и lk+l и вне s (Л=1,
2, ..., пт, gnm+i = gi)- Посредством функции C = log— переведем
эту систему областей gk в систему областей hk, лежащих соответ-
соответственно в прямоугольниках со сторонами длины log^ и чк, причем
пт
^ t = аг> и имеющих на горизонтальных сторонах этих
прямоугольников по граничному отрезку (рис. 15).

178
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. IV
При отображении области hk на прямоугольник со сторонами,
равными ak и bk, таком, что указанные выше граничные отрезки
переходят в стороны длины Ь^ имеем по лемме 2:
Отсюда
m n— 1
m n— 1
Но система областей gk является образом некоторой системы
полос, лежащих в кольце r<^\z\<^R при отображении w=f(z),
Рис. 15.
а упомянутые выше прямоугольники со сторонами ak и bk суть пря-
прямоугольники, о которых идет речь в лемме 1; следовательно, по
лемме 1 из предыдущего получаем:
2тс
т п — 1
: \ ^ У ! .
m
отсюда, в силу равенства У <*-i——> имеем
я—1 т я—
о-^ьпнп > • > аг== —min >
D)

§6] О ПОКРЫТИИ ОТРЕЗКОВ И ПЛОЩАДЕЙ 179
Используя теперь дважды известное неравенство
lck,ck^0, E)
получаем
л- I
у
АО log
и, следовательно,
1 >.
9mk+l ' п /л-1
9 у Д log P'
D) дает:
п log — ^ max 7
г / >¦
Р
1
, log
л
i
' 9
л2
— i
V logPm*+'
¦"' "& Р
или
п-1
Отсюда, переходя к пределу при г -> 0, получаем при некотором /1;
1 ^ lx ^ от:
или, опять используя E):
л-1
Возьмем теперь любую систему « лучей, исходящих из ¦до = 0 под
/ 2тс\
равными углами ( = — I и пересекающих соответственно gh, gm+[l, ...
••• > ^(л-i) т+гр части этих лучей, лежащие в звезде, будут иметь длины \lt
^ь ¦ ¦ • у ^п> соответственно ббльшие, чем рг, — е, р[% — s,..., р^ц т+и — е>
и, следовательно,
"Я л —I
S lk^ S Pmk+h-ne^niR-e),
что при R достаточно близком к 1 и е достаточно малом будет сколь
угодно близко к п. Тем самым теорема 2 доказана.
Как частный случай (« = 2) этой теоремы получаем, что существует
отрезок длины сколь угодно близкой к 2, проходящий через w = 0

180 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. IV
и целиком лежащий в образе круга | z | <^ 1 при отображении функ-
функцией w=f(z)?S. Далее, переписав неравенство F) в виде
2
4=0
и переходя здесь к пределу при я -* оо, получаем следующее нера-
неравенство *):
где w = pe'* и интеграл взят но границе звезды образа круга \z\<^R
при отображении функцией w=f(z).
Если же, возведя F) в степень 2/л, применить к правой части
неравенства — неравенство E), то, вновь переходя к пределу при
л->оо, получим неравенство
где интеграл взят по границе той же звезды. Стоящий здесь слева
интеграл равен площади звезды. При R -*¦ 1 отсюда получаем сле-
следующую теорему:
Теорема 3.а) Если f(z)?j 5, то площадь звезды образа круга
|г|<[1 при отображении w=f(z) не меньше я.
Исходя из других соображений3), удается получить более сильный
результат:
Теорема 3'. Если f(z) ?j 5, то произведение площади звезды
образа круга |z|<^l при отображении w=f(z) на площадь про-
прообраза этой звезды не меньше к*.
Доказательство. Рассмотрим звезду образа круга \z\<^R,
^1, при отображении w=f(z) и пусть X — ее граница, а / — соот-
соответствующая ей кривая в |z|<^l; последняя есть замкнутая кривая
Жордана. Функция
F(z) = log?Q = U-{-iV, F@) = Q,
регулярна в | z |<^ 1; следовательно, по формуле Грина имеем (z=x -j- (у),
используя еще условия Коши — Римана:
Р С IdUdV dUdV\. . f f .„,... .
= \ 1 (ЪЪ—ЪЪ)****** J J \F(z)\*dxdy,
\ 1

§6] О ПОКРЫТИИ ОТРЕЗКОВ И ПЛОЩАДЕЙ 181
т. е., положив z = reif и /(z) = pe'*,
или
log^-dOj» — tpMsO
J log p d(j> + \ log г dtp ;ss ^ log r dty -|- J '°8f P <*?¦ CO
x г x г
С другой стороны, используя интегрирование по частям, имеем:
= С logi- d<p — ^ log rdD> — <p)= \ log pdtp — ^ log r d<J>,
т. e.
\ log p dtp = ^ log r d<j>.
Но последний интеграл равен 2п log R, ибо на радиальных отрезках,
лежащих на X, имеем ф = const, а на остальных дугах log r = log R.
На основании этого неравенство G) принимает вид:
$ log p cty +1 log r dtp ^ 4я log R. (8)
х <
Рассмотрим теперь двухсвязную область В%, ограниченную кри-
кривой X и малой окружностью у. | «р | ^= е. Оо формуле Грина, как выше,
имеем:
J \ 5$fb5 (9)
в,
где последний интеграл взят по области Bv Далее, обозначив через SR
площадь области В, ограниченной кривой X (площадь звезды), и заме-
чая, что в части круга I w I <Г \ —. не принадлежащей области В,
подинтегральная функция в последнем интеграле (9) будет не меньше,
чем в равновеликой ей части области В, лежащей вне этого круга,
приходим к заключению, что
dudv _
P P dudv f f
^ —loge).

182 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. IV
Имея еще в виду, что
[ log p dty = 2ic log e,
|w|=.<
из (9) получаем:
flog^. A0)
Аналогичные рассуждения применимы к двухсвязной области, огра-
ограниченной кривой / и малым кругом | z | = е; так что, обозначив через s#
площадь области, ограниченной кривой /, инеем:
\ log т df <ic logI*. A1)
Из (9) — A1) получаем:
т. е.
Если R -*¦ 1, то Sr стремится к площади S, указанной в теореме
звезды, a s# — к площади s прообраза звезды, и мы получаем
т. е. утверждение теоремы. Теорема доказана.
Как следствие отсюда и из свойства минимизации площади отобра-
отображения (а/г. § 2, гл. II) получается дополнение к теореме 3: площадь
указанной там звезды равна тс только в случае, если f(z) = z.
Отметим, что все доказанные здесь теоремы, кроме теоремы 1,
имеют место и для любой функции f(z) = z-\-..., регулярной
в l^l^l;1) только тогда вместо однолистного образа круга |z|<4
следует рассматривать риманову поверхность, на которую круг | z \ <^ 1
взаимно однозначно отображается посредством функции w=f(z), и,
соответственно, звезду, расположенную на этой римановой поверх-
поверхности. Все предыдущие рассуждения сохраняются дословно и в этом
случае.
§ 7. Леммы о средних модулях. Оценки коэффициентов
Обратимся теперь к исследованию влияния однолистности отобра-
отображения на величины коэффициентов отображающих функций. Для этого
будут необходимы оценки некоторых средних модулей. Эти оценки
даются в следующих леммах.
1) Г. М. Голузин [1937а] и А. Ф. Бермант [1947].

§7] ЛЕММЫ О СРЕДНИХ МОДУЛЯХ 183
Лемма I.1) Для функций f {z) ^S при Х>0и0<><|1 имеем
оценку
4Л \/(ге«)\Ыв^\[^<1Р, A)
где положено М (р) = max | f(z) \.
|г| = р
Доказательство. Имеем:
Но по условиям Коши-Римана имеем дЬ*!1/(""Я = *«*/("») _
d log r 69
Поэтому, положив f(z) = Rel®, получаем:
<№, B)
где Сг — образ окружности | z \ = г при отображении ее функцией
w=f(z). Пусть теперь С и С — две замкнутые аналитические кри-
кривые Жордана плоскости w = u-\-iv, такие, что С содержит внутри
себя точку и = 0 и сама целиком лежит внутри С. Пусть R и Ф
полярные координаты точек плоскости w. Применяя формулу Грина
к двухсвязной области В, ограниченной этими кривыми, а также
используя условия Коши — Римана, последовательно имеем:
J
с-с
в
т. е. получим формулу
$ЯХ«*Ф —$Ях«№ = Х$$Ях-*«*иЖ>. C)
с с в
Из этой формулы при X ^> 0 (она имеет место, конечно, и при X <^ 0)
следует неравенство
$x $X D)
») Правитц [1927—1928] См. также Г. М. Голузин [1949г].

184 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. IV
В частности, если С есть окружность \w\ = Rt, то D) дает
$Кх<*Ф<21сф E)
с
Применяя неравенство E) к случаю, когда С есть Сг, а /?0 =
= М(г)-\-е, е^>0, и затем е->0, из B) получим неравенство:
интегрирование которого по г от 0 до г и ведет к оценке A). Теорема
доказана.
Лемма 2. *) Для функций f(z)?S при 0<^ г < 1 имеем оценку:
2*
т/ ^(/fy/p p
где M(p) = max\f(z)\, р — целое положительное и X-j-1
Доказательство. Введем в рассмотрение функцию
K G)
которая, как показано в § 4, гл. II, принадлежит классу 5.
Из G) имеем:
l
откуда
±-i 1-1 I
Г(г) = гР /(г) Р/;(гР).
Обозначив левую часть в F) через /, заменим в ней f (г) по послед-
последней формуле; получаем:
1-1 Й j j
1) Г. М. Голузин [1949b].

§7] ЛЕММЫ О СРЕДНИХ МОДУЛЯХ 185
откуда
M 1/(^1в)Г+2~^-^5 г$\Г(гТ)№ (8)
Оценим здесь каждый из интегралов, стоящих под знаком корня.
Первый интеграл оценивается по лемме 1 и имеем:
о 6
Что касается второго интеграла, то по G) имеем:
1b
-& 11/; (*b N9 = 2
Но при 0<дг<1 и от>0:
jc"A-j:X max
откуда
m
Полагая здесь т = пр~*~ , x = r, получаем:
er " A-r)
и A0) дает
2
n=0
Но последняя сумма равна деленной на я площади образа круга
\г\<^г*р при отображении функцией w=fp(z) и, следовательно, не
превосходит величины ( шах |/„ (г) | )*, т. е. величины max \f(z) |2/* =
= M(\frfiP. Так что из A2) следует:
2х
^T)»^ A3)

186 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ (ГЛ. IV
Используя оценки (9) и A3), из (8) получаем оценку F). Лемма
доказана.
Лемма 3. Если функция f(z) ?j 5 удовлетворяет в | z |
условию
где М и а не зависят от г и а)>у, то при, O<V<1 имеем
где М\ зависит только от М а аи
Доказательство. Так как по A4) имеем
то, применяя здесь лемму 2 с Х = 0, получаем при 0<[г<1:
У_Р_-ш 1 М%гр 1Р f р р
г I/ !_г а. I / _
» A—г)р о A — р)\
Выберем здесь /?^>1 таким, чтобы было B )а^>1> что воз-
возможно в силу условия а^>у- Тогда имеем:
где УИ' зависит только от а и jr?.
Используя последнюю оценку, из A6) получаем:
=/5
l -I -i
г р Af"r 2p
A —гJ» A—г)"'
причем М" зависит только от а и р. Отсюда при у <Сг <С * следует
оценка A5). Но A6), очевидно, при надлежащем .Л^ имеет место и
при 0<><;-я-. Лемма доказана.

§7] ЛЕММЫ О СРЕДНИХ МОДУЛЯХ 187
Теперь имеем теоремы об оценке коэффициентов функций класса 5.
оо
Теорема I.1) Для функций f(z) = ^] спгП ? 5 имеем оценку.
|с„|<ел, л = 2, 3, ... A7)
Доказательство. Исходя из интегрального представления
коэффициентов
|*|=г
Iz, л = 2, 3, ...,
ып J *-- -
имеем
2ти
Применяя здесь лемму 1 с Х = 1, получаем
Но по A0) § 4, гл. II, при 0<р<1 имеем М(р)<л р ¦;i. Следо-
вательно,
1
Здесь г любое из 0<|г<|1. Положим г = 1 ; тогда
т. е. получили оценку A7). Теорема доказана.
оо
Теорема 2. *) Для нечетной функции f{z) = ^ cin-iz%n ' G ^
имеем оценку:
1 ± 1
2=3,39.... A9)
») Литтльвуд [1925].
s) Существование абсолютной константы, ограничивающей | сп |, доказано
Литтльвудом и Пэли [1932]. О численном значении константы см. В. И. Ле-
Левин [1935].

188 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ |ГЛ. IV
Доказательство. Имеем
Отсюда
2л
и, следовательно, по лемме 2сХ = 0и/?=4 получаем
п\сп
Но, если нечетная функция/(z)? S, то и функция g(z) =/(z1/»
ибо,-допустив, что g(zi)=g(zi) с zx и Zj из круга |г|<^1, «^.w
докажем, что zl = zi. Применив к g(z) оценку A0) § 4, гл. II,
получим |/(z)|gg ,' „; следовательно, при
1 — z I
имеем:
Подставляем это в B0); получаем
рУт"}/ J^bf-*"'4*' ) A-pVs==
Г 2A _г)
»/e

§ 7] ЛЕММЫ О СРЕДНИХ МОДУЛЯХ 189
Возьмем здесь г =2"Т. . Тогда, имея в виду, что
Bп— 1)а»-«
+I B»)*+" 1 \2
ел,
получаем
т. е. получили оценку A9). Теорема доказана.
Примеры функций
B1)
принадлежащих классу S, показывают, что оценки коэффициентов,
даваемые теоремами 1 и 2, в отношении порядка являются точными.
Но во многих экстремальных задачах, относящихся к рассмотренным
функциям, функции B1) и B2) являются экстремальными. В связи
с этим сложилось убеждение, что эти функции также будут экстре-
экстремальными и в задаче о точных оценках коэффициентов, т. е. что
ответом на вопрос в случае всего класса 5 следует ожидать оценку
\сп\^.п, а в случае подкласса нечетных функций — оценку |с„|^1.
Что касается первой оценки, то при любом fi справедливость ее для
всего класса 5 до сих пор не оправдана и не опровергнута; этот
вопрос составляет теперь хорошо известную проблему. Кроме оценки
к« I ^ 2, удалось только еще доказать, что | с31 ^ 3 1). В общем же
случае имеются лишь различные улучшения оценки, как, например,
•) Левнер [1923] (В настоящее время доказано, что | с41 ^ 4 (см. § 2,
п. 3° обзора).)

190
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. IV
оценки | сп
.-r en и
j сп | ^ у п -(- 2. •) Что касается нечетных функ-
функций класса S, то теперь доказано, что существуют функции, у кото-
которых | са„_11 с наперед заданным и S= 3 будет больше единицы (для
|с„|, см. § 9); более того, даже существуют функции такого рода
с чисто вещественными коэффициентами.4)
§ 8. О взаимном росте коэффициентов
однолистных функций.
Теперь будет рассмотрен вопрос об относительном росте коэф-
коэффициентов однолистных функций.
Предварительно докажем лемму.
Лемма. Определитель Вандермонда и.-го порядка (ц ^ 2),
2f
составленный из чисел у\ч = е *¦ , v= 1, ..
{г — 1-ого порядка отличными от нуля.
Доказательство. Положим
, р., имеет все миноры
Д =
If.
и обозначим через A,, v' — алгебраическое дополнение этого опреде-
определителя, соответствующее элементу т?-. По свойствам определителей
имеем:
\ при k = v',
I при k ф •*',
Умножив эти равенства соответственно на tjj~v, k^l, .. , |х, и
сложив, получим, на основании свойств корней из единицы:
|лА,,,' = Дт],'"1.
Так как Д ф 0, то н Л,,^0, v, v'=l, ..., |х; это и доказывает
лемму.
») Г. М. Голузин [1948а].
И. Е. Базилевич [1951] и независимо от него И. М. Милин (см. Н. А. Лебедев
и И. М. Милин [1951]) уточнили оценку | сп \ в классе S. Приведенная в тексте
оценка была указана И. М. Милиным (Н. А. Лебедев и И. М. Милин [1949]).
(В 1964 г. И. М. Милин доказал, что | с„ | < 1.243л (см. §2 обзора).) В отноше-
отношении улучшения оценок коэффициентов нечетных функций см. Ю. Е. Алеии-
цын [1951]. (В 1951 г. Гун Шэн получил для коэффициентов нечетных функ-
функций оценку )с„|<2.55 (см. § 2 обзора).)
!) Шеффер и Спенсер [1943], а также Г. М. Голузин [1949в].

§8] О ВЗАИМНОМ. РОСТЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ 191
Теорема 1. *) Если функция f(z)(^S и если для какой-либо
пары натуральных чисел р, v, p^l, l^v^p,, оценка \cn\^.crf,
aSsO, имеет место для всех m = {i,&-|-v, k = 0, 1, ..., то при
всех п = 1, 3, ... имеет место оценка | сп | ^ с'па, где с' зависит
только от с, а, (*. При а <^ 0 утверждение будет верно не При
всех |х и v.
Доказательство. Введем обозначения
со
я = 0
в силу которых
v' = l
Теперь, из условий теоремы имеем в |г|<^1, (г = |г|),
00
2
п=0 п=0
со со
У (я + О"»*" ^ сг(*а A + 2" 2
я=0 я=1
При а = 0 отсюда следует:
Если же а^>0, то, применяя оценку A1) §7 при /w = i^,
получаем:
Г2A— r)«
и, следовательно,
Так что, в I z 1<Г 1 имеем:
где TWi зависит только от а, с и (*.
') Г. М. Голузин [19486].

192 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ (ГЛ. IV
Покажем теперь, что из существования в |z]<[l оценки B)
следует также и существование оценки
с таковым же М$. Для этого положим •>],. = е^ , v' = l, ..., jv и
рассмотрим при фиксированном z, \z\<^l, модули |/(vz)l'
v' = l, ..., (а. Пусть наибольший из этих модулей получается при
v' = V!. Тргда по теореме 7, § 2 (с и = 2), примененной к модулям
|/(tjVi z) | и |/(i),- z) |, v' Ф vi, получаем (* — 1 оценку
*)!<,— . vVv,, D)
где Ж зависит только от
Но из A) следует:
Поэтому неравенства D) можно записать в виде
+ ФА, »(*)+...+ <-Л. , W | < ^, v'ф v,. E)
Пусть теперь v* любое из чисел 1, ..., \х, отличное от v. Рас-
Рассмотрим систему I* — 1 линейных уравнений с ц — 1 неизвестными
7„>, v'=l, ...,(*, ч'Ф**!.
2 7,.ть.= I -1 ПРИ S =
8 = 1, ..., |», S^V. F)
»<:?,, t а ПРИ S^V*.
По лемме эта система имеет решения. Пусть ^ и будут эти реше-
решения. Умножим неравенства E) соответственно на | f,-1 и сложим,
заменив при этом сумму модулей слева на модуль суммы. Тогда полу-
получим неравенство
>1<!^. G)
где М'\ я а зависят только от р. Из G), используя B), получаем
далее неравенство:
с Ми зависящим только от (*, а, с, и это при всех v* = l,..., t*>
ч#фч. Но по B) такое же неравенство имеет место и при v# = v.
Имея это в виду, из A) получаем оценку C) с Ж8, зависящим только
от ц, а, с.

§ 81 О ВЗАИМНОМ РОСТЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ 103
Но раз доказана оценка C), то по лемме 3, § 6 сразу же заклю-
заключаем о наличии оценки | сп | sg; с'пл с указанной- в теореме констан-
константой с'. Итак, утверждение теоремы с а^О доказано. Что при а<^0
это утверждение не будет верно при всех (* и v, показывает пример
функции B2) § 7, у которой са„ = 0, я=1, 2, ..., и, следовательно,
при любых четных (* и v и а <^ 0 оценки | сп | ^ сп* выполняются для
всех m=|*A-J-v, k=zO, 1, ..., в то время как для нечетных и коэф-
коэффициенты сп даже не стремятся к 0. Теорема полностью доказана.
Отметим, что в простейшем случае |х = 2 и а=0 доказанная
теорема является непосредственным усилением теоремы 2 § 7 в том
смысле, что она устанавливает взаимную ограниченность четных и нечет-
нечетных коэффициентов функций класса 5. Приведем теперь ограничения
на взаимный рост соседних коэффициентов функций класса 5.
00
Теорема 21). Для функций f(z) = 2 сnzn, принадлежащих
классу S, имеем оценку
1
Ikn+il — \ с п\\^спт log n, и = 2, 3,..., (9)
где с — абсолютная постоянная.
Доказательство. Здесь будет необходима более определен-
определенная форма усиления теоремы искажения, чем та, которая дается теоре-
теоремой 7, § 2 (с и = 2). Именно, пусть f(z)(^S и пусть максимум
модуля \f(z)\ на }z\ = r, 0<^г<^1, достигается в точке zv Тогда,
применяя оценку A6) § 2 к функции F (С) = —т-г-г ^ 2 и к точкам
i=—, Cg = —. z s= zi==r, имеем:
г1 г
1 1
/Bl) /B)
т. е. получаем оценку
\*-*i\\№\<>x=F' A0)
Это и есть необходимое усиление теоремы искажения. Обращаемся
теперь к доказательству оценки (9). Из
оо
') Г. М. Голузин [1946д]. (Этот результат был улучшен Хейманом (см.
§ 2 обзора).)
7 Г М Голуэии

§ 81 О ВЗАИМНОМ РОСТЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ 103
Но раз доказана оценка C), то по лемме 3, § 6 сразу же заклю-
заключаем о наличии оценки | сп | sg; с'пл с указанной- в теореме констан-
константой с'. Итак, утверждение теоремы с »^0 доказано. Что при а<^0
это утверждение не будет верно при всех (* и v, показывает пример
функции B2) § 7, у которой са„ = 0, и=1, 2, ..., и, следовательно,
при любых четных ja и v и а <^ 0 оценки | сп | ^ сп* выполняются для
всех m=|*A-J-v, k=zO, l, ..., в то время как для нечетных и коэф-
коэффициенты сп даже не стремятся к 0. Теорема полностью доказана.
Отметим, что в простейшем случае |х = 2 и а=0 доказанная
теорема является непосредственным усилением теоремы 2 § 7 в том
смысле, что она устанавливает взаимную ограниченность четных и нечет-
нечетных коэффициентов функций класса 5. Приведем теперь ограничения
на взаимный рост соседних коэффициентов функций класса &
00
Теорема 21). Для функций f(z) = 2 сnzn, принадлежащих
классу S, имеем оценку
1
Ikn+il — \ с п\\^спт log n, и = 2, 3,..., (9)
где с — абсолютная постоянная.
Доказательство. Здесь будет необходима более определен-
определенная форма усиления теоремы искажения, чем та, которая дается теоре-
теоремой 7, § 2 (с и = 2). Именно, пусть f(z)(^S и пусть максимум
модуля |/(z)| на }z\ = r, 0<^г<^1, достигается в точке zv Тогда,
применяя оценку A6) § 2 к функции /?(Q= ,i.€;2j и к точкам
i=—, C8 = —, z== zi ==r, имеем:
г1 г
1 1
/Bl) /B)
т. е. получаем оценку
\*-*i\\№\<>x=F' A0)
Это и есть необходимое усиление теоремы искажения. Обращаемся
теперь к доказательству оценки (9). Из
оо
') Г. М. Голузин [1946д]. (Этот результат был улучшен Хейманом (см.
§ 2 обзора).)
7 Г М Голуэии

§ 81 О ВЗАИМНОМ РОСТЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ 195
Далее, если положить />= log-r^i~ и Считая г таким, что
A3) приведется к виду
logrz
A
r(l-rL
где \cr\<^c, с — абсолютная постоянная. В результате неравенство A1)
дает:
{in+l)\cn+l\r-n\cn\\^ с 1оёт±-г. A4)
Положив, наконец, г = —?-г, из A4) при и достаточно больших,
а следовательно, и для всех и = 2, 3, ..., получаем оценку (9)-
Теорема доказана.
со
Теорема 2'. Для нечетных функций f(z)=^lcin_lz'in~i,
принадлежащих классу S, имеем оценку
где с — абсолютная постоянная.
Доказательство. Представимf(z) в видеf(z) = Y^g(z% где
g(z) = \f(z1/!>)]'i (^S. Пусть максимум модуля \g(z)\ на \z\ = r,
O<V<^1, достигается в точке z = z^. Тогда, как выше, на |z| = r
имеем оценку A0) с заменой f(z) на g(z).
Теперь имеем:
я=2
откуда
— (и + 1) ^+1^1 + («.— О <Vi =
М1-УТ
7»

196 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. IV
Пусть X— любое число из —1<^Х<^^- и (* = — X— -я-> так что
X-{-i*=—i. Тогда
Последний интеграл оценивается, как и в доказательстве теоремы 2;
в результате при г близких к 1 получим оценку:
я J
где q — абсолютная постоянная. При r = —jjy это дает оценку A5).
Теорема доказана.
Порядок оценок, даваемых теоремами 2 и 2', несомненно неточный,
хотя лучшего получить и не удается.
§ 9. Точные оценки коэффициентов
Как уже было сказано выше, в отношении точной оценки коэф-
коэффициентов в классе 5 мы имеем, кроме точной оценки второго коэф-
коэффициента, еще точную оценку для третьего коэффициента. Чтобы иллю-
иллюстрировать нетривиальный характер решения некоторых задач на
экстремумы коэффициентов, приведем здесь более общий результат.
Вывод его основывается на лемме:
Лемма 1. Если X(t) есть любая функция, вещественная и
непрерывная при 0 < t <[ оо, за исключением, может быть, конеч-
конечного числа точек разрыва первого рода, и если | X (t) | ^ е~т при х ^ О,
то, положив
00
$ (!)-*•, v>o, (l)
имеем:
B)

s 9] точные оценки коэффициентов 197
Оценка B) является точной при каждом заданном ч и знак
равенства имеет место только для функции X (т) = ± (* (т), где
|i (т) = е~" при 0 <[ х <vi(|t(t) = f"' лри х > v. [Отметим, что v, удов-
удовлетворяющее условию A), всегда существует, ибо левая часть не пре-
оо
С 1 1
восходит \ e~9tdt = —-1 а правая часть в 0 <^v<^oo убывает от -^
до 0.]
Доказательство. Что функция ja (т) принадлежит к типу функ-
функций Х(т) с заданным v, проверяется легко. В самом деле,
\ е-™ dx = (v +1) е-" = \ X» (x) dx. C)
Теперь для любой функции X (т) рассматриваемого типа при т ^ О
имеет место неравенство:
ибо левая часть при 0<]x<^v равна (e~v — |X(-c)|)s, а при
имеем e~*^|*(x)^s|X(x)|. Отсюда получаем:
^ (x) - X» (T) < 2e- fr (t) — | X (x) |). D)
Интегрируя неравенство D) от 0 до оо, по C) получаем:
СО ОО V 00
j | X (х) | dx ^ j ji (х) dx = V ё~ч dt -f- \ е~т dt = (v -J-1) e~v,
о oo»
а следовательно, и B). Из предыдущего легко видеть, что знак равен-
равенства в B) будет только для функции X (-с) = ± р (т). Лемма доказана.
00
Теорема 1 *). Для функций f(z)= J] сnz", принадлежащих
классу S, и любого заданного вещественного числа о, 0 ^
имеет место точная оценка:
г^-И. E)
5 частности |с8|^3.
Доказательство. Достаточно рассматривать лишь функцию
f(z) ? 5* (см. § 1). Для таких функций имеют место формулы B3)
») Фекете и Сеге [1038]. См. также И. Е. Бааилевич [1036].

198 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. IV
и B4) § 2 гл. III, в силу которых имеем:
сг — о.с\ = 4 A — а) ( \ e-*k (x) dx)a — 2 $ e'^k* (x) dx. F)
о о
Так как вместе с f(z) принадлежит классу S' и функция e^f(e'^z)
с любым вещественным fi, то максимум величины \с3 — ас|| в классе S
совпадает с максимумом величины Ш (с3 — ас|).
Теперь имеем из F), положив &(x) = eie^>:
оо
sin 9(x)dx)a] — 4 J e~8T cos80(х)dx-f I
о
о
оо со
4 A — а) (^ е-1 cos 9(х) dx)a — 4 $ е"81 cos8 9 (х) dx + 1 =
о о
оо со
о
где положено X (х) = е~т cos 9 (х). Так как |Х(х)|^е~т, то, представив
последний интеграл в виде A), по B) имеем:
W (с, - и|) ^ 4 A - ?) (v + I)8 e-8v - 4 (v + i.) e"8' + 1 =
^]^v+l. (8)
Остается найти максимум правой части неравенства (8) относительно
v, 0<^v<^oo. Этот максимум достигается при v=y-^-, и в резуль-
результате получаем оценку:
2
а следовательно, и E). Теперь, для того чтобы в (9) имел место знак
равенства, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы k(x) была такова,
что
со
J e~T sin 9 (х) dx = 0 A0)
о
и чтобы X (х) = е~"т cos 9 (х) по лемме совпадала с функцией |х (х)
=у-^)) т. е. чтобы
при т>.ч.

§ 9] ТОЧНЫЕ ОЦЕНКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ 199
Легко показать, что за счет выбора знака ± в A1), условие A0)
действительно можно удовлетворить. В самом деле, пусть в A1) при
0<^t<]fi, 0<3<Cv> имеет место знак плюс, а при P<CX<\V знак
минус, тогда по A1) условие A0) запишется в виде
С е-*/i_e-«c-t) dx — \
о 9
= 0. A2)
При р = 0 левая часть в A2) отрицательна, а при f) = v она поло-
положительна. Следовательно, найдется р, 0 <^ р <^ v, такое, что A2) будет
удовлетворено для соответствующей функции &(т) в (9) и будет
иметь место знак равенства. Теорема доказана.
00
Следствие 1. Для функций /„(*)= 2<#+i***"€S/>>Ь
имеет место точная оценка
l*||"f^i ^. A3)
В частности \с^\^е 3 +2"» = 1,013...
Доказательство. Функция /р(z) может быть представлена
в виде /,(z)=f/(г*Ь где /<«)= 2 c*^€& Имеем:
п1
(И)
Но по теореме 1 имеет место точная оценка
Это вместе с A4) и дает A3).
Для некоторых специальных подклассов функций класса 5 удается
получить точные оценки для всех коэффициентов сп. Для этого необ-
необходима будет следующая лемма:
Лемма 2. Если функция /(г) = 1 -j- Ч* -\- «л^* + • • • регулярна
в |г|<1 и удовлетворяет в \г\<^1 условию 9t(/(z));s=0, то
|а„| ^2 при любом я = 1, 2, ...
Доказательство. Условие Ш (/ (z)) S= 0 равносильно неравенству
+/()l^|l—f(z)\> из которого следует, что функция

200 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. IV
регулярна в |.г|<^1 и удовлетворяет в |г|<[1 условию 1^(^I «S 1.
По лемме Шварца отсюда следует 104 ] =g; 2. Далее, если обозначить
через tjj, &=1, ..., п, все корни л-ой степени из единицы, то имеем:
и, следовательно, функция
л
я А
также удовлетворяет условиям леммы. Отсюда |а„|<:2 при всех
я = 1, 2, ... Лемма доказана.
00
Теорема 2. *) Для функцийf(z)= 2 спг"€Е5с веществен-
п— 1
««ли коэффициентами имеют место точные оценки
К1<я> «=1. 2,... A5)
Доказательство. В силу однолистности f{z) в |г|<^1 для
любых Zi и г4 из | z | <^ 1 имеем:
афо.
» а n«i — г, ^
я = 1
В частности, при ^i = re/'1, г^=ге~1'1, 0<V<4, это показывает, что
выражение
вещественно и отлично от нуля, т. е. сохраняет знак при
и любых значениях ср.
Следовательно, и-
2 sin* <рФ (г, f) = 1 -j- c8r cos f -|- (c»r' — О cos
-\-{скт* — ca) r cos 3cp + ... -Kv* — Cjl!_j) r* cos (A — 1) <p-f...
сохраняет знак, а так как при г = 0 это выражение положительно,
то знак будет плюс.
В силу этого функция
Р (г) = 1 + ctrz + (с3г* - 1) ** + (с4г2 - с%) rz* +...
регулярная в |лг|<^1, удовлетворяет условию 3d(F(^))^0; по лемме
*) Дьедонне [1931]; Рогозннский [1932].

§ 9] ТОЧНЫЕ ОЦЕНКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ 201
имеем
или, переходя к пределу при г -*¦ 1:
2. A6)
Отсюда уже по индукции следует, что при любом я будет |cn|
Теорема Доказана.
Теорема 3. *) Для нечетных функций
n=l
с вещественными коэффициентами имеем оценки
|cn|<l + c«logn, л = 2, 4
где с — абсолютная постоянная.
Доказательство. Так как к функции f(z) и к функции
л=1
применимы неравенства A6), то имеем
|с„±с„_9|^2, л = 3, 5, ...
и, следовательно,
К1 + 1«*лК2, я = 3, 5,... A8)
С другой стороны, для f(z) применима теорема 2' § 8, по которой
_\_
11с„ 1 — |с„_„|Ксл 4logn, л = 3, 5, ... A9)
Складывая A8) и {19), и получаем A7).
В связи с теоремой 3, отметим без доказательства, *) что суще-
существует функция f(z), удовлетворяющая условиям этой теоремы, у кото-
которой | с8я+11 с любым заданным л ^ 2 больше единицы.
В § 5 были даны определения выпуклых и звездообразных обла-
областей для случая областей с аналитическими границами, поскольку
*) Г. М. Голузнн [1949в].
*) Впрочем, об этом уже было сказано на стр. 190 и там же указана
литература.

202 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. IV
речь шла об областях отображения функциями класса S кругов
jz|<С/ с г<^ 1. Дадим теперь определения выпуклой области и звездо-
звездообразной области, не использующие свойств границы области.
Однолистная область называется выпуклой, если отрезок, соеди-
соединяющий две любые ее точки, целиком принадлежит этой области.
Однолистная область называется звездообразной относительно
некоторой точки, если отрезок, соединяющий любую ее точку с ука-
указанной точкой, целиком принадлежит этой области.
Рассмотрим теперь функции f(z) = z-\-с%г*-\-...(~S, -отобража-
-отображающие круг |г|<^1 на области, звездообразные относительно w = 0.
Пусть f(z) — одна из таких функций, а В — образ круга
при отображении w=f(z).
Покажем, что в этом случае и образ Вг круга |z|<^r
также будет звездообразным относительно w — О. Действительно,
если w принадлежит В, то и tw, при 0 <^ t <^ 1 также принадлежит
В и, следовательно, функция f~~r (tf(z)) = ф (z), ф@) = 0, опреде-
определена и регулярна в |я|<О и там |ф(,г)|<;1. Отсюда, |ф(.г)|г^
^|г| в |лг|<^1. Пусть теперь Щ^ВГ; тогда и>1=/(г1); l^l^r.
Следовательно, | ф (^i) | ^ | zx |, т. е. |/-1 (twi) \ <^г. Но tw\ ^ В, так
что twi=f(zl)), |лго|<^1; подставляя это в предыдущее неравенство,
получаем | z01 <^ г, т. е. twx ^ Вг. Это и доказывает, что область Вг
звездообразна относительно w = 0.
Как следствие отсюда получаем, что если функция w=f(z) ото-
отображает круг | z | <^ 1 на звездообразную область, то при движении
z по |z| = r, 0<V<C[l, В определенном направлении arg/(z) изме-
изменяется в том же направлении, а это по § 5 эквивалентно тому, что
в |лг|<^1 имеем неравенство:
B0)
причем, по принципу максимума гармонических функций, знака ра-
равенства здесь быть не может.
Теперь имеем: «
Теорема 4. Для функций f(z) = ^ cnz" ?j S, отображаю-
щах круг \ z\<^ 1 на звездообразные области, имеем точные
оценки *)
Ы<«, «=2, 3 B1)
а при дополнительном предположении нечетности f(z) — точные
оценки9)
Ы<1. я=3, 5,... B2)
») Лёвнер [1917].
*) И. И. Привалов [1924]. Впрочем, требование нечетности функции /(z)
можно здесь заменить на условие са = 0; см. Г. М. Голузин [1938].

s 9] точныв оцвнки коэффицивнтов 203
Доказательство. Положив
B3)
по лемме имеем |а„|^2, «= 1, 2,... С другой стороны, из сравне-
сравнения коэффициентов в B3) имеем:
(и — 1) сп = а„_, + а„ jc, +... + а,с„_„
откуда
n—I
n —1
При я = 2 отсюда следует | c81 sg 2. Считая оценку | ck | sg; k дока-
доказанной для k<^n, далее выводим:
так что оценка B1) имеет место при всех я. Аналогично доказыва-
доказывается и оценка B2).
Рассмотрим функции /(г) = z-\- с8г8 -(-... ^ 5, отображающие круг
|г|<[1 на выпуклые области. Пусть f(z)— одна из таких функций,
а В— образ круга |г|<1 при отображении w=f(z). По данному
выше определению выпуклой области, если точки те», и wt принад-
принадлежат В, то ей принадлежат и все точки twi-{-(l—t)wiy 0<^<Ч,
т. е. точки прямолинейного отрезка, соединяющего W\ и wt. Пока-
Покажем, что в этом случае и образ Вг круга |<г|<^г, 0<Сг<О> также
есть выпуклая область. Действительно, если z»i =/B!), l^l-c^r, и
ra'j=/BJ)> 12:8|<С''> т0> считая I zi I ^ I zi I» легко заключаем, что
точки <р(*) = */g|*) +A—0/D при |г|<1, 0<<<1, все ле-
лежат в В. Поэтому функция ty(z)=f~r(<?(z)) регулярна в |г|<^1,
([)@) = 0 и |ф(г)|^1 в |<г|<^1. По лемме Шварца имеем | ф(г)| *=?
^|г|. При z = Zi это дает \/~*(tWt-\-(I—t)Wi)\^r. Но tw\-\-
-(-A—t)Wi =f(z0), |20|<^l. Отсюда |го|^г, так что twi-\-(l —
— 0 Wi G & г Это и доказывает, что область Вг будет выпуклой.
Отсюда, как следствие, получаем, что если функция w=f{z)^S
отображает круг | z \ <^ 1 на выпуклую область, то при движении z
по любой окружности |г| = г, 0<^г<^1, в положительном направ-
направлении, соответствующая точка w описывает кривую, касательная к
которой всегда вращается против движения часовой стрелки, й это
по § 5 эквивалентно тому, что f(z) удовлетворяет в | z | <^ 1 условию
B4)

204 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ {ГЛ. IV
причем, по принципу максимума гармонических функций, знака ра-
равенства здесь не будет. Легко видеть, что и обратно, если функция
f(z) = z-\-c^z*-(-..., регулярная в |z|< 1, удовлетворяет в | z|<[ 1
условию B4), то она однолистно отображает круг | z | <^ 1 на выпук-
выпуклую область. Аналогично, если функция f[z) = z ~\- ctz^ -f-..., регу-
регулярная в |г|<4, удовлетворяет в |г|<[1 условию B0), то она
однолистно отображает | г \ <^ 1 на область, звездообразную относи-
относительно а»0. Эти заключения согласуют определения выпуклости и
звездообразное™, данные здесь и в § 5.
Если функции/i(z)=z + ... и f%(z) = z-\-... регулярны в \z\<^
<A и связаны соотношением
А (*)=*/, (z), B5)
то из
следует, что функция w—fi(z) тогда и только тогда однолистно
отображает круг |г|<^1 на выпуклую область, если функция да—
=ft(z) однолистно отображает круг |г|<^1 на область, звездообраз-
звездообразную относительно «р = 0.
Из этого замечания тотчас же получаем, что если функция w =
=f(z)=z-\-cizi-\-... однолистно отображает \г\<^1 на выпук-
выпуклую область, то при всех п=2, 3,...имеем |с„|^1 и эта оцен-
оценка точная, ибо она достигается для функции
B6)
отображающей круг l^K* на полуплоскость 91 (w) ^> — -=.

ГЛАВА V
ОДНОЛИСТНОЕ КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
§ 1. Однолистное конформное отображение
двухсвязной области на кольцо
В этой главе^ мы рассмотрим задачу однолистного конформного
отображения многосвязных областей на различные области специаль-
специальных видов, называемые каноническими областями. Относительно таких
отображений сделаем одно важное общее замечание. Именно, легко
показать, что если функция С=/(г) однолистно отображает область В,
то в каждой изолированной граничной точке области В она или
регулярна или имеет полюс и будет однолистна в области, получен-
полученной из В присоединением всех изолированных граничных точек В.
Действительно, если, например, гй есть конечная изолированная гра-
граничная точка области В, то она может быть для функции f(z) только
однозначной изолированной особой точкой. Пусть р>0 столь малое,
что в круге -\г— 20|<[p, кроме Zq, нет других граничных точек
области В. Обозначим через В* часть области В, лежащую к круге
\z — 2о|<СР- В* есть двухсвязная область, которую функция С=/(г)
однолистно отображает на некоторую область плоскости С, содержа-
содержащую внешние точки. Если а одна из внешних точек, то функция
F{z)= .. . будет ограничена в В*, т. е. z0 является для нее
устранимой особой точкой. Определив значение функций F(z) в г =
= z0 как предел ее значений при z-+zt, сделаем F(z) регулярной
и в \г0. Если этот предел отличен от нуля, то z0 будет регулярной
точкой и для функции /(г), соответственным образом определенной
в Zq. Если же предел равен нулю, то f(z) имеет в z = z0 полюс;
в этом случае считаем /(г) = оо. В обоих случаях функция С=/(г)
отображает окрестность точки zu на некоторую область, содержа-
содержащую точку Со=/(^о)- Если теперь f(z) не однолистна в области,
полученной из В присоединением к ней точки г0, то существует
точка Zt?В, такая, что/(^i) = Со-Окрестность точки zt отображается

206 ОДНОЛИСТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ [ГЛ. V
функцией ?=/(,г) на область, содержащую точку С«. Следовательно,
каждой точке достаточно малой окрестности точки Со соответ-
соответствуют не менее двух точек области В. Это, однако, противоре-
противоречит однолистности f(z) в В. Итак, наше замечание доказано. Оно
показывает, что при исследовании вопросов однолистного конформ-
конформного отображения изолированные граничные точки можно присоеди-
присоединять к отображаемой области, не усложняя этим задачи.
Начнем теперь с простейшего случая поставленной задачи,
а именно с двухсвязных областей, и покажем, что каждая двухсвяз-
двухсвязная область может быть однолистно отображена на некоторое кру-
круговое кольцо, причем граничные окружности могут вырождаться
в точки.
Действительно, пусть в плоскости г дана двухсвязная область В.
Если она имеет изолированную граничную точку z9, то, присоединяя
ее к области В, получим односвязную область, которую затем одно-
однолистно отображаем или на круг |С|<О или на плоскость С с выклю-
выключенной точкой С=оо и притом так, что точка z — za переходит
в С = 0. При таком отображении область В однолистно отобразится
или на кольцо 0<^\г\<^1 или на кольцо 0<^\z\<^oo.
Пусть теперь граница области В состоит из двух континуумов /f,
и /Cj. Один из них, пусть Къ наверное будет ограничен. Дополне-
Дополнение к К\ на плоскости z есть открытое множество, состоящее из
областей без общих точек. Одна из этих областей, пусть Blt содер-
содержит область В. Область В, односвязна. Поэтому ее можно кон-
конформно отобразить на круг |z'\<^ 1. При этом отображении конти-'
нуум1 К% перейдет в некоторый континуум Кщ, лежащий в |/|<[1,
а область В — в некоторую область В1. Отобразим далее ту из одно-
связных областей,, дополнительных к К'* которая содержит ff, на
область |г'|^>1. и притом так, что z"=co переходит в 2' = со.
При этом отображении окружность ] z' \ — 1 перейдет в аналитиче-
аналитическую кривую Жордана, лежащую в области |г'|^>1, а область В"
перейдет в двухсвязную область В', не содержащую со и ограни-
ограниченную этой кривой и окружностью | z' | = 1. Отображение, состав-
составленное из этих двух отображений, дает однолистное отображение
области В на область В'. Кроме того, на основании § 3 гл. II за-
заключаем, что при этом отображении устанавливается взаимно одно-
однозначное соответствие между простыми концами области В и гранич-
граничными точками области В'. Здесь, как и в § 3 гл. II, под простым
концом области В, соответствующим точке z% границы области В',
следует понимать совокупность всех предельных точек всевозмож-
всевозможных последовательностей точек области В, которым в области В'
соответствуют последовательности, сходящиеся к z'o.
Покажем теперь, что область В' может быть однолистно отобра-
отображена на некоторое круговое кольцо 1 <^ | С | <[ А. Для этого отобра-
отобразим сначала область |г'|^>1 посредством функции t — logz' на

§ П ОТОБРАЖЕНИЕ ДВУХСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ НА КОЛЬЦО 207
полуплоскость ЗЯ(^)^О; отображение не будет взаимно однознач-
однозначным, ибо каждой точке г' из | z' | ^> 1 соответствует бесконечное
множество точек вида t-\-2k%t, k = 0, ± 1, ±2,..., лежащих
в ЗЯ@^>0. При этом отображении область В' перейдет в некото-
некоторую вертикальную криволинейную полосу плоскости t, ограниченную
мнимой осью и бесконечной аналитической кривой, лежащей в <R(t)^>
^>0. Эта полоса представляет односвязную область Вь обладающую
свойством, что, если точка t ? Bb то и все точки t -\- 2knt, k = 0,
rt 1, ±2,..., принадлежат Bv Отобразим, далее, область В\ одно-
однолистно на некоторую вертикальную полосу Bit 0<^9t(a;)<^A, так,
чтобы граничные точки t = — оо/, 0, -\-ool перешли в граничные
точки w= — ool, 0,-j-oo/.J) При этом отображении точка t = 1%l
перейдет в некоторую точку w№ на положительной части мнимой оси.
Производя, в случае надобности, преобразование подобия в плоскости
w, можно добиться того, что wa=2nL При таком условии, обозна-
обозначив через w=f(t) отображающую функцию, а через t = <?(w) ей
обратную функцию, заключаем, что они удовлетворяют соотношениям:
Действительно, функции f(t -{- 2%t) и f(t) -\- 2%t обе однолистно
отображают область В, на полосу -Bt и притом так, что при обоих
отображениях граничные точки — оо I, 0, -{- оо / переходят в точки
— ool, 2%i, -\-coL Следовательно, по свойству единственности, эти
функции совпадают, что дает первое из соотношений A). Аналогично
получим и второе соотношение A).
Отобразим, наконец, полосу В9 посредством функции C=?w на
кольцо 1<С|С|<С**- Отображение будет опять не взаимно однознач-
однозначное. Выражая теперь С через z, получаем функцию ^=е^°е*г) , ко-
которая отображает область В' на кольцо 1<^|С|<Се* и притом
однолистно, ибо, в силу свойств A) функции С = е/(">гг') и г' =
— e?(i°sO однозначны соответственно в В' и в 1<^|С|<Сей- Кроме
того, из предыдущих рассуждений следует, что найденная отобража-
отображающая функция будет аналитической в замкнутой области В', а ей
обратная функция — в кольце 1 <: | С | =sg eh.
Суммируя полученные результаты, приходим к теореме:
Теорема 1. Каждая двухсвязная область В может быть
однолистно отображена на круговое кольцо. При этом отобра-
отображении имеет место взаимно однозначное соответствие простых
концов области В и точек границы кольца. Если область В огра-
ограничена кривыми }Кордана, то отображение будет взаимно однознач-
однозначным и непрерывным, включая границы; если же область В огра-
ограничена аналитическими кривыми, то, сверх того, отображающая
1) У каждой полосы имеются две бесконечно далекие граничные точки,
обозначаемые нами через ±ооЛ

208 ОДНОЛИСТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ [ГЛ. V
функция будет аналитической в В, а обратная функция —
в замкнутом кольце.
В дополнение к этой теореме существования докажем теорему
единственности, которая вскрывает существенную разницу между одно-
однолистными отображениями односвязных и многосвязных областей.
Теорема 2. Круговое кольцо, на которое однолистно ото-
отображается данная двухсвязная область В, единственно с точ-
точностью до линейного отображения, т. е. если область В одно-
однолистно отображается на два различных круговых кольца, то
они получаются друг из друга линейным преобразованием и, сле-
следовательно, имеют одинаковое отношение радиусов граничных
окружностей. Далее, функция f(z), отображающая область В
на некоторое коЛьцо так, что заданной точке на границе обла-
области соответствует заданная точка на границе кольца, опреде-
определяется однозначно.
Доказательство. Если область В однолистно отображается
на два различных круговых кольца, то тогда эти кольца однолистно
отображаются друг от друга. Следовательно, достаточно доказать,
что если два круговых кольца однолистно отображаются друг на
друга, то они получаются друг из друга линейным отображением.
Для этого, очевидно, в свою очередь достаточно доказать, что если
два кольца r<^z<^R и г<^|С|<С^' однолистно отображаются
друг на друга так, что |г| = г переходит в |z| = r1), то это ото-
отображение имеет вид (,=euz, a — вещественная постоянная. Послед-
Последнее можно доказать следующим образом. Функция flz) продолжнма
па
по принципу симметрии через \z\-R в кольцо R<C\z\<^
и отображает это кольцо однолистно в кольцо /?' <^ | С | <^ —.
Отсюда оно продолжимо далее в кольцо-—<^.\^\<С.-г и т- * Ана-
логично продолжаем f(z) через |z| = r в кольцо >b-<C\z\<^r и да-
далее. В результате получаем, что функция ?=/(z) регулярна и одно-
однолистна на всей плоскости с выключенными точками 2 = 0 и 2 = со
и при z-уО имеем f(z)-*-0. Следовательно, она будет регулярна
вг = 0и отображает всю плоскость z однолистно. Так как, кроме
того, при 2->со имеем f(z) ->оо, то f(z) = az, где а — постоянная,
и так как на |г| = г должно быть |г| = |/(,г)| = г, то |а| = 1,
т. е. а = е1Л, Ь.-—вещественная постоянная. Это и доказывает тео-
теорему.
') Если последнего нет, то все же можно достигнуть этого дополни-
дополнительной инверсией (;' = -=-, при которой отношение радиусов граничных
окружностей не меняется.

S lj ОТОБРАЖЕНИЕ ДВУХСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ НА КОЛЬЦО 209
Указанное в теореме 2 отношение радиусов граничных окруж-
окружностей, например большего радиуса к меньшему, называется модулем
области В.
Теорема 3. С расширением двухсвязной области В, т. е.
с заменой В на такую двухсвязную область В', ято В а В",
ВфВ и В разделяет граничные компоненты В', модуль увели-
увеличивается.
Доказательство. Докажем сначала одно неравенство. Пусть
двухсвязная область В лежит в кольце г <^ | г | <^ R и отделяет собой
окружности | г | = г и | z | = R; пусть эта область однолистно ото-
отображается на кольцо r'<^|C|<^i?'- Обратная отображающая функция
\iv будет иметь в кольце разложение
П-= —00
Если О и g — площади конечных областей, ограниченных прообра-
прообразами окружностей |С| = г1 и |t| = /?i, rf<^r\<^R\<^R', то имеем
(С 5= ге*у.
0= ?
откуда
g 7СГ2
1 _/2 у» я i с I» r'2n
n=—oo
так как n (R^1 — r^2" ) ^> 0 для всех целых п, исключая 0 и 1.
Если здесь г\-»¦ г, Rr-*-R', то получим
причем знак равенства будет только в случае, если 9 (С) = с0 -|- с&.
Но О ^ я/?8, g1^ icr*. Следовательно, из B) имеем:
причем здесь знак равенства будет, очевидно, только при

210 ОДНОЛИСТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ [ГЛ. V
Отсюда и вытекает утверждение теоремы. Действительно, если
расширенную область В отобразить на кольцо г<^|г|<^/?, то
область В перейдет в подобласть этого кольца, к которой приме-
применимо C) со знаком неравенства, причем справа стоит модуль области В.
Теорема доказана.
В заключение отметим, что для первой части приведенной выше
теоремы существования можно дать доказательство, основанное,подобно
доказательству теоремы Римана, на решении экстремальной задачи:
дана двухсвязная область В, лежащая в | z | ^> 1 и имеющая одним
из граничных континуумов окружность |z| = l; среди семейства Ш
всех функций ?=/(z), однолистно отображающих область В на
области того же типа так, что | z \ = I переходит в себя, найти ту, для
которой величина Ж(/)= sup |/(г)| имеет наименьшее значение.
В
г?В
Функция, являющаяся решением этой экстремальной задачи, и будет
однолистно отображать область В на круговое кольцо.
§ 2. Однолистное отображение многосвязной области
на плоскость с прямолинейными и параллельными разрезами
Переходим теперь к исследованию однолистного конформного
отображения произвольных многосвязных областей на различного рода
канонические области. Простейшей из таких областей является пло-
плоскость с прямолинейными и параллельными разрезами. В этом случае
исследование легко ведется на основе решения некоторых экстре-
экстремальных задач.
Лемма 1. Среди всех функций F(z)=z-\~ — 4-..., одно-
листных в \z\^>R, наибольшее значение величине Ш(е~*19 а^), 9 —
данное вещественное число, дает функция, отображающая
область \z\~^>R на плоскость с прямолинейным разрезом, имею-
имеющим угол 9 с вещественной осью, и только эта функция; для
нее 3t(<r2%) = #9.
Действительно, из теоремы площадей, § 4, гл. II, примененной
к функциям -gF(RQ = (.-{- -^-\-..., следует, что Ю^/?9, причем
знак равенства имеет место только в случае, если F (z) — z-\-
-\ —. Отсюда 31 (е~9'в о^) <: /?9, причем здесь знак равенства, оче-
видно, будет только для функции F(z) = z-\ , которая отоб-
отображает область \z\~^>R на плоскость с разрезом наклона б к ве-
вещественной оси.
Лемма 2. Если функция (.=F(z) = z-\-ao-\- — -\-... одно-
однолистна в \z\^>R, то в \z\~^>R имеем \F(z) — (ц |^2|г| и вся

8 2] ОТОБРАЖЕНИЕ НА ПЛОСКОСТЬ 211
граница образа области \z\~^>R при отображении (, = F(z) цели-
целиком лежит в круге |С — ао|^2/?.
Действительно, если \ze\~^>R, то функция
однолистна в | z \ ^> 1 и, следовательно, по § 4, гл. II, вся граница
образа области | z \ ~^> 1 при отображении этой функцией лежит в круге
|C|=s?2. В частности, \F1A)\^2, т. е. \F(z) — oo | <2 \z\, \z\>R.
Отсюда, переходя из | z | ^> R на | z \ = R, тотчас же получаем и
вторую часть леммы.
Теорема I.1) Всякую область В плоскости z можно одно-
однолистно отобразить на область В' плоскости С содержащую
[ = оо и такую, что любой континуум в дополнении к области &
на плоскости есть прямолинейный отрезок заданного наклона 8
к вещественной оси. Причем, это отображение таково, что за-
заданная точка а области В переходит в [=оо и разложение
отображающей функции около z = a имеет вид:
смотря по тому, конечно а или нет.
Доказательство. Теорему достаточно доказать для случая,
когда а = оо, ибо в случае конечного а предварительным преобра-
преобразованием z* — —^— отобразим область В на область В*, содержа-
содержащую z* = оо, и этим сведем задачу к первому случаю.
В случае односвязной области В теорема доказывается легко.
Действительно, если граница области В имеет более одной граничной
точки, то из теоремы Римана следует, что ее можно однолистно
отобразить на любую область, представляющую всю плоскость С
с разрезом наклона 8 к вещественной оси, и притом так, чтог=оо
переходит в С = оо, а разложение отображающей функции С = С(<г)
около z = oo имеет вид- a_^-J-a0-f- —-f- ..., a_i^>0. Функция же
Z
Z
—-
дает требуемое отображение области В.
Переходим к общему случаю. Рассмотрим семейство Ш всех
функций f(z), однолистно отображающих область В и имеющих
в окрестности z=oo разложение f(z) = z-f- —-f-... Примером та-
такой функции будет f(z) = z. Поставим экстремальную задачу, среди
функций семейства Ш найти ту, которая дает величине 9t(e~9'9oti)
наибольшее значение.
') Исходя из экстремального свойства отображающей функции, указан-
указанною в приводимом ниже доказательстве, эта теорема доказана Посселем
11931] и Грётшем [1932].

212 ОДНОЛИСТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ [ГЛ. V
Докажем сначала существование решения этой задачи. Пусть вся
граница области В лежит в круге \z\<^R. Тогда все функции се-
семейства Ш однолистны в \z\^>R; и, следовательно, по лемме 1 для
них имеем Ы (е~*** 04) ^ R*, т. е. числа 3d(e^rtai) равномерно огра-
ограничены. Пусть А есть верхняя граница этих чисел. Если она недости-
недостижима, то существует последовательность функций /ЯB)?9Я таких,
что для них 91 (e~ilB 04) стремится к А. Но по лемме 2 в | z \ ~^> R
для функций семейства 9)? имеем
к функциям ТпК ' применим принцип сгущения, т. е. из последова-
это показывает, что
тельности **' '¦ можно выделить последовательность ¦ , равно-
Z Z
мерно сходящуюся внутри области \z\^>R к регулярной функции
AML—i i fij. i ..., причем 9t(e-«JV) = 4. Но по лемме 2 для
Z Z
функций f4 (z) m\z\ — R', #>Я> имеем |/„й(г)|^2^. В силу
однолистности /nft (г) в В, то же неравенство имеет место и в точках
области В, лежащих в 1 z \ <^ /?'. Следовательно, функции /nft (z) равно-
равномерно ограничены внутри области 5№ полученной из В удалением
z = oo. По теореме Витали, они равномерно сходятся внутри Во
к регулярной функции /0 (г), которая по теореме 2, § 1, гл. I, будет
однолистна в fie, а следовательно, и в В. Поэтому /0 (z) ^ Ш, что
противоречит недостижимости числами 91 (е"^) их верхней гра-
границы Л. Итак, существование решения поставленной экстремальной
задачи доказано.
-Покажем теперь, что экстремальная функция ft(z) дает отобра-
отображение, указанное в теореме. Действительно, допустим, что в допол-
дополнении к образу Вг области В при отображении функцией С=/о(,г)
существует континуум, отличный от прямолинейного отрезка наклона 8
к вещественной оси. Пусть В^ есть та из односвязных областей, до-
дополнительных к этому континууму на плоскости С, которая содержит
С=оо, и пусть функция w=w(Q отображает fii однолистно на пло-
плоскость w с прямолинейным разрезом наклона 8 к вещественной оси
и имеет в окрестности С = °о разложение С + т"-{~• • • .Покажем, что
( P) >
По теореме Римана область 5, можно однолистно отобразить на
область \t\^>R!. так, что функция С—C(Q> обратная отображающей
функции, имеет- вид: X.(f) = t-\-*[<,-f-у -\ Функция w =
— Yo == ^ —1~ ~Г"^* -f~— однолистно отображает \t\^>R' на плоскость w
с прямолинейным разрезом наклона 6 к вещественной оси, а функция

S 2] ОТОБРАЖЕНИЕ НА ПЛОСКОСТЬ 213
Z = Z(t)— То ==*-{~']r-{"••• однолистно отображает \t\^>R' на область,
отличную от таковой.
По лемме 1 отсюда имеем:
e *•<& +ТО).
т. е. й («-*"&)> О-
После этого рассмотрим функцию w = w (/0 (г)). Она однолистно
отображает область В и имеет в окрестности г = оо разложение
Следовательно, яр(/о(.г)) ? ЗП, и имеем:
что, однако, невозможно. Это и доказывает, что функция fo(z) отве-
отвечает всем требованиям теоремы. Одновременно мы установили и одно
важное экстремальное свойство отображающей функции, состоящее
в том, что для нее величина fR(e~tna{) достигает максимума.
В случае конечносвязных областей доказанную теорему можно
сформулировать так:
Теорема Г (Гильверт). Всякую п-связную область В пло-
плоскости z можно однолистно отобразить на плоскость С с п
конечными и прямолинейными разрезами наклона 6 к веществен-
вещественной оси а притом так, чтобы заданная точка z = a переходила
в С=оо и чтобы разложение отображающей функции около
z = a имело вид
«ли
смотря по тому, конечно а или нет. Некоторые из упомянутых
разрезов могут при этом вырождаться в точки.
Исследуем теперь вопрос о соответствии границ при однолист-
однолистном конформном отображении многосвязных областей, ограничиваясь
при этом конечносвязными областями и притом имеющими только
достижимые граничные точки; точку оо можно считать лежащей
внутри области. Пусть В есть такая область и пусть ее граничные
континуумы есть К\, К*,..., К„: Отобразим однолистно область В
на область, ограниченную аналитическими замкнутыми кривыми Жор-
дана. Это можно сделать следующим образом. Отобразим односвяз-
ную область, содержащую г=оо и ограниченную континуумом Kv
на внутренность круга. При таком отображении область В перейдет
в некоторую область В, ограниченную кругом К\ и континуумами
Къ..., К'п- Отобразим затем односвязную область, содержащую
область В и ограниченную континуумом К%, на внутренность круга.
При этом отображении область В перейдет в некоторую область В',

214 ОДНОЛИСТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ [ГЛ. V
ограниченную кругом К%, аналитической кривой /fj' и континуумами
Кз>• • •> К'п- Продолжая так далее, после п шагов придем к я-связной
области В(п\ граница которой будет состоять из п замкнутых анали-
аналитических кривых Жордана. Однолистное отображение области В на
область В^ составляется из последовательных отображений одно-
связных областей. Так как при этих отображениях имеет место взаимно
однозначное соответствие границ, то и при полученном отображе-
отображении В на В1-") имеет место взаимно однозначное соответствие между
точками их границ. Сверх того, как в § 3, гл. II, докажем, что
функция, обратная отображающей функции, будет непрерывна в В(п)
с выключенной точкой оо. Если область В ограничена только замк-
замкнутыми кривыми Жордана, то дополнительно докажем, что отобра-
отображение В на В^п) будет и взаимно непрерывным. Если теперь область ?*л)
отобразить на плоскость с прямолинейными разрезами, то, как при
доказательстве теоремы 5 § 3, гл. II, докажем, что отображающая
функция будет регулярна на всей границе области BSn\ Сопоставляя
все сказанное, заключаем, что в рассматриваемом случае отображение,
указанное в теореме Г, будет взаимно однозначным, включая гранич-
граничные точки области В.
Важным дополнением к доказанной выше теореме существования
является теорема единственности.
Теорема 2. Существует только одна функция, совершаю-
совершающая отображение, указанное в теореме Г.
Доказательство. Допустим сперва, что В есть ограниченная
область с границей, состоящей из замкнутых аналитических кривых
Жордана К\,..., Кп. Если имеются две функции С' =fy (z) и С" =/а (г),
дающие однолистное отображение области В на плоскости с прямо-
прямолинейными и параллельными разрезами наклона б и нормированные,
как указано в теореме Г, то обе эти функции будут регулярны
в В, кроме точки z = a, а на /fv, v = l,..., п, принимают значения,
которые лежат соответственно на некоторых прямых 3(e"'eC) = cv' и
3 (е-Ь С") = с", v = 1,...«, т. е. на . К, имеем 3 (e-'e/i (*)) = с»
3(е-'в/«(г)) = с"> где с,, с", v = l,..., n, — постоянные. Отсюда сле-
следует, что разность ^ = F(z)=f1(z)—/а (z) будет регулярна в В и
на /fv(v = l,..., n) принимает значения, лежащие соответственно на
некоторых прямых dr Следовательно, взяв любую точку Со, не ле-
лежащую ни на одной из прямыхdv,заключаем, что аргумент atg(F(z)—Со)
при обходе каждой из кривых АТ„ не получает никакого прираще-
приращения. Отсюда, по известной теореме Коши о нулях аналитических
функций, следует, что функция F(z)—Со не имеет нулей в В, т. е.
F(z) не принимает в В значения Со- Итак, все значения, которые F(z)
принимает в В, располагаются на прямых dv. Это, однако, возможно
только в случае, когда F (z) == const в В, но F (а) = 0. Следовательно,
F (z) = 0, т. е. Л (z) =/j (z), и теорема в этом случае доказана.

S 3] ОТОБРАЖЕНИЕ НА СПИРАЛЕОБРАЗНУЮ ОБЛАСТЬ 215
Пусть теперь В есть любая конечносвязная область, причем можно
считать, что она не имеет изолированных граничных точек. Если бы
существовали две различные функции, дающие отображение, указан-
указанное в теореме Г, то, отобразив однолистно область В на ограни-
ограниченную область Во с границей, состоящей из замкнутых аналитиче-
аналитических кривых Жордана, нашли бы две различные функции, однолистно
отображающие область В& как указано в теореме Г, что по преды-
предыдущему невозможно. Теорема доказана.
В заключение выведем важное соотношение для функций, указан-
указанных в теореме Г, при различных значениях 8.
Пусть В есть я-связная область, ограниченная замкнутыми анали-
аналитическими кривыми Жордана Кр .. •, Кт и С=у9(,г, а) — функция,
однолистно отображающая область В, как указано в теореме Г.
Докажем, что в В при любом 8 имеет место следующее соот-
соотношение:
/еСг, а) == ел (cos в/, (z, а) — /sin 8/^(z, а)> A)
2
Действительно, разность d(z) обеих частей этого равенства есть
функция, регулярная в области- В, равная 0 при z = a. Далее, d(z)
принимает на каждой из кривых Кч значения, которые все лежат на
некоторой прямой 3 (e~!i С) = const.
Рассуждая, как в доказательстве теоремы 2, докажем, что d(z)=0,
т. е. докажем A). Соотношение A), доказанное для области, ограни-
ограниченной замкнутыми аналитическими кривыми Жордана, будет верно
и для любой конечносвязной области В. Для этого достаточно
отобразить область В на область В*, ограниченную замкнутыми
аналитическими кривыми Жордана, применить A) к В* и затем воз-
возвратиться к области В. В результате получим соотношение A) для В.
Соотношение A) дает j\(z, а) при любом 8, коль скоро известны
/о (z, а) и Д (z, а).
2
§ 3. Однолистное отображение многосвязной области
на спиралеобразную область
Аналогично удается исследовать вопрос об однолистном отобра-
отображении многосвязных областей на плоскость с разрезами по дугам
логарифмических спиралей, а как предельные случаи, также на пло-
плоскость с радиальными разрезами и с разрезами по круговым дугам,
лежащим на концентрических кругах.
Уравнение ^(e~alogQ = c при постоянных бис определяет
в плоскости С логарифмическую спираль с асимптотической точкой
в начале и обладающую свойством, что любым лучом, исходящим из
начала, она пересекается под углом 8. Последнее следует, например,

216 ОДНОЛИСТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ [ГЛ. V
из того, что если перейти на плоскость t—log(., то эта логарифми-
логарифмическая спираль перейдет в прямую 3(е~й*) = с, наклоненную к веще-
вещественной оси под углом 8, а упомянутый луч — в прямую, парал-
параллельную вещественной оси. При 8 = 0 логарифмическая спираль
вырождается в луч, исходящий из начала, а при 8 = -^- — в окруж-
ность с-центром в начале. Сохраняя 8 и меняя с, будем получать раз-
различные кривые, составляющие семейство логарифмических спиралей
наклона 8. Именно такими понимаются во всем дальнейшем логариф-
логарифмические спирали наклона 8.
Покажем, что какова бы ни была односвязная область В, имею-
имеющая граничные точки, ее всегда можно отобразить на плоскость С
с разрезом по некоторой дуге логарифмической спирали наклона 8
и притом так, что заданные точки а и Ъ области В переходят в 0
и оо, а разложение отображающей функции около z=b имеет вид:
4 . или г + а0 + ^-+..., A)
смотря по тому, конечно Ь или нет. В случае, когда область В имеет
одну граничную точку, то это очевидно, и тогда упомянутая дуга
логарифмической спирали вырождается в точку. Если же граница
области В есть континуум, то отобразим сначала В конформно на
область |г'|^>1 так, чтобы точка г=Ъ перешла в z" = oo, отобра-
отображающая функция / = ср(г) в окрестности z — b имела разложение:
— *) + •¦¦ или
смотря по тому, конечно Ъ или нет. Это возможно по теореме Ри-
мана, Пусть при этом точка z=a переходит в z' = a'. Остается
теперь установить возможность отображения области |/|^>1 на пло-
плоскость С с разрезом по логарифмической спирали наклона 8. Но такая
возможность отображения следует из решения задачи на минумум
величины 31 (е~а№ log F (а')) в классе ^ — задачи, исследованной в § 3,
гл. IV (первое приложение теоремы 1 с «== &)• Там было уста-
установлено, что эта задача имеет решение и что экстремальная функция
(, = F(zr), нормированная условием F(a') = 0, как раз дает требуе-
требуемое отображение.
В результате получаем, что функция t. = cP($(z))=f(z), /@)=0,
f(oo) = oo, с надлежащим с, дает отображение области В на пло-
плоскость с разрезом по логарифмической спирали и имеет разложение
вида A).
Полученный результат для односвязных областей обобщается и
на многосвязные области. Для этого обобщения опять понадобится
соответствующее минимальное свойство, установленное в § 3, гл. IV,
которое мы формулируем в виде леммы;

§ 3) ОТОБРАЖЕНИЕ НА СПИРАЛЕОБРАЗНУЮ ОБЛАСТЬ 217
Лемма. Среди всех функций С = Z7 B) = z-{-«о + — -J-... ,
однолистно отображающих область \z\^>R так, что заданная
конечная точка а и точка со переходят в точки О и оо, наи-
наименьшее значение величины 3d (е~*'в log F (а)) дае/я функция F0(z),
отображающая \z\~^>R на плоскость С с разрезом по дуге лога-
логарифмической спирали наклона 8. Здесь под log F (z) понимается
ветвь, которая стремится к О при г->оо.
Теперь имеем:
Теорема I.1) Всякую область В плоскости z можно одно-
однолистно отобразить на область В плоскости С содержащую О
а оо, а такую, что любой континуум дополнения к области В"
на плоскости С есть дуга логарифмической спирали заданного
наклона 8, причем это отображение таково, что заданные точки
а и Ь области В переходят в 0 и оо и что разложение отобра-
отображающей функции около z = b имеет вид: -_
-f-... или z -f- oto -J—- -J-..., смотря по тому, конечно Ъ или нет.
Доказательство. Можно считать, что Ь = оо, ибо иначе
преобразованием z* = Г перейдем от В к новой области В%, и
Z — О
затем докажем теорему для этой последней, с заменой а и Ь на
——г и оо.
а — Ъ
В случае односвязных областей теорема была уже доказана в на-
начале параграфа. Для доказательства теоремы в случае многосвязной
области В рассмотрим семейство Ш всех функций f(z), однолистно
отображающих В так, что а и оо переходят в 0 и оо и в окрестности
г = оо имеет место разложение/(z) = г-j-ae-]- — -[-... Примером
таких функций будет /(г)=z — а. Поставим экстремальную задачу:
среди всех функций семейства Ш найти ту, которая дает величине
3d(e'elog/'(a)) наименьшее значение, причем под log/'(z) здесь
понимается однозначная в области В ветвь, которая стремится к О
при z-yoo.
Докажем существование решения этой задачи. Для этого возьмем в В
односвязную область В", содержащую а и оо. В этой области все функ-
функции f(z) ^01 однолистны. Следовательно, величина Ы (e~tt9 log/' (a))
для них будет ограничена снизу такой же величиной, вычисленной
для функции, однолистно отображающей область В' на плоскость С с раз-
разрезом по дуге логарифмической спирали наклона 6, так что а и оо пере-
переходит в 0 и оо. Пусть нижняя граница величины 3l(e~9rtlog/'(a))
для функций из Ш есть А.
») Грётш [1931].

218 ОДНОЛИСТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ [ГЛ. V
Докажем, что эта граница достижима. Действительно, иначе суще-
существует последовательность функций fn(z)?Wl, я=1, 2,..., таких,
что 9t(e"9'elog/^(a))-> А. Пусть вся граница области В лежит
в круге z\<^R. По лемме 2, § 2, следует, что вся граница образа
области z\^>R при отображении функцией w=fn(z) = z-\-d*)-\-
-\—! )-..., («=1, 2,..) лежит в круге |С — а'ол>|<:2/? и что
в \z\^>R будет |/„(z) — а.[п) | «S2 |z [, Если | а | >R, то из послед-
последнего неравенства при г=а следует | а<л)| <:2 \а |. Если же \a\<^R,
то точка ?0=/л(а) = 0 не лежит в образе области \z\^>R при
отображении С =/„ (z), а потому лежит в круге | С — «W | ^ 2R;
отсюда получаем |а'л)|<:2/?. Итак, во всех случаях |aW
==g 2 max (| a |, R) = M. Но тогда в | z | ^> R имеем неравенство " '
^ 2 -f- ~~-. Следовательно, к функциям ' применим принцип сгуще-
сгущения, так что из них можно выделить подпоследовательность ——-,
равномерно сходящуюся в \z\^>R к регулярной функции: Соответ-
Соответствующие функции fnk(z) равномерно сходятся в любой ограничен-
ограниченной замкнутой части области | z \ ^> R к функции /0 (z), однолистной
в \z\~^>R. Но так как значения ^=fnk(z), соответствующие точкам
области В, лежащим в | z \ <^ 2/?, принадлежат кругу | С — a?n) | ^ 4/?,
а следовательно, и кругу | С | ^ 4/? -)- М, то функции f4 (z) равно-
равномерно ограничены внутри области В с выключенной точкой z = oo.
Поэтому указанная выше равномерная сходимость к /0(г) будет
иметь место и внутри области В, причем /0 (z) ?Ш. Функция /0 (z)
оказывается, таким образом, решением поставленной экстремальной
задачи. Итак, эта задача имеет решение.
Покажем, что экстремальная функция /0(г) дает отображение,
указанное в теореме. Действительно, допустим, что дополнение к
образу области В при отображении ?=/0(,г) содержит континуум,
отличный от дуги логарифмической спирали наклона б. Пусть Bt —
та из односвязных областей плоскости С, дополнительных к этому
континууму, которая содержит 0 и оо; пусть функция та» = ср (С)
однолистно отображает Bt на плоскость w с разрезом по дуге ло-
логарифмической спирали наклона 8 так, что <р@) = 0, ср(оо) = оо
и в С = оо имеет разложение ? -f- ро -|- Ц- ~\-... Покажем, что
Действительно, по теореме Римана область Bt можно однолистно
отобразить на область \t\^>R так, что обратная отображающая функ-
функция имеет разложение С=С (^) = ^ —}"¦ То -|- ^—1~ • • • Пусть точке С==
=/о(а) соответствует точка t = a'. Функция w = <?((.(t)) однолистно

§ 3] ОТОБРАЖЕНИЕ НА СПИРАЛЕОБРАЗНУЮ ОБЛАСТЬ 219
отображает область 11 \ ~^> R на плоскость w с разрезом по дуге
логарифмической спирали наклона б и притом так, что t=a' пере-
переходит в ® = 0, По лемме имеем:
31 (е~™ (log <р' @) + log С (а'))) < Я (е~ш log С (а')).
Отсюда 3t(e-2i()log<!>'@))<0.
Рассмотрим теперь функцию w=<?(fo(z)) — ty(z). Эта функция
однолистно отображает область В, переводя аиоовОиоои имея
в окрестности С=оо разложение z-\-ca-\- — -\-... Следовательно,
она принадлежит семейству 5Ш и для нее будет:
31 (е- *• log t|/ (а)) = 31 (е~ш log <р' @)) + ® (е~ш log/' (а)) < А,
что, однако, противоречит определению А. Этим теорема доказана
Одновременно установлено следующее экстремальное свойство
отображающей функции, содержащее в себе теоремы искажения и вра-
вращения для рассмотренного семейства однолистных функций1):
Среди всех функций (,=F(z), однолистно отображающих,
область В, содержащую оо, и имеющих в окрестности z = oo
разложение вида
наименьшее значение величине 31 (е~ш log F (z)) при заданном z ? В
и заданном вещественном 8 дает функция, которая производит
отображение, указанное в теореме 1.
В случае конечносвязных областей доказанную теорему суще-
существования можно сформулировать иначе.
Теорема Г.2) Всякую п-связную область В плоскости z
можно однолистно отобразить на плоскость С с п разрезами по
дугам логарифмических спиралей наклона 8, и притом так, что
заданные точки а и Ь области В переходят в 0 и оо, а разло-
разложение отображающей функции около z = b имеет вид:
(z — *) + ••¦ или
смотря по тому, конечно Ь или нет. Некоторые из указанных дуг
логарифмических спиралей могут при этом вырождаться в точки.
Из теоремы Г, как частные случаи при 6 = 0 и б = -|-> получаем
теоремы существования однолистного отображения я-связной области
») Грётш [1931а1; Г. М. Голузин [1937, 1947J.

220 ОДНОЛИСТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ [ГЛ. V
на плоскость с радиальными разрезами и на плоскость с разрезами
по дугам концентрических окружностей.
Соответствие границ при отображениях, указанных в теореме Г,
изучается так же, как и в § 2. В частности, докажем, что если
область В имеет только достижимые граничные точки, то и здесь
отображение будет взаимно однозначным, включая точки границы
области В. Если же область В ограничена замкнутыми кривыми Жор-
дана, то отображающая функция будет непрерывна в В, с выключен-
выключенной точкой z = b. Наконец, если область В ограничена аналитиче-
аналитическими кривыми Жордана, то отображающая функция будет аналити-
аналитической на границе области В.
Далее имеет место теорема единственности.
Теорема 2. Существует только одна функция, совершающая
отображение, указанное в теореме Г.
Доказательство. Считая сперва, что область -В конечна и
ограничена только замкнутыми аналитическими кривыми Жордана
Ki, ..., Кп, допустим, что t=/iB) и C=/»B) есть две функции,
дающие отображение области В, указанное в теореме Г. Эти функции
регулярны на ЛГ„, м = 1, ..., я, и на Кч имеем U(e~i9logfi(z)) =c,',
3(e~'9log/9B)) = cJ, с'.,, с"—'Постоянные. Поэтому, если положить
то функция F(z) будет регулярна в ? и на каж-
дой из кривых Кч, м = 1, ..., я, принимает значения, лежащие на
некотором прямолинейном отрезке. Отсюда, как при доказательстве
теоремы 2 § 2, докажем, что F(z) = const, т. е. т4-г=const. Но
4-гт-*-1 при г->Ь. Следовательно,/t (z) =/4 (г).
/• W
Если же В есть любая конечносвязная область, то теорему дока-
докажем, рассуждая аналогично доказательству теоремы 2 § 2.
Отметим теперь одно соотношение для отображающих функций,
аналогичное соотношению A) § 2.
Пусть В есть я-связная область, ограниченная замкнутыми анали-
аналитическими кривыми Жордана Кь ..., К» a ^=j9(z, a, Ь) — функция,
однолистно отображающая область В, как указано в теореме 1'. Дока-
Докажем, что в В при любых 9 имеет место соотношение:
logy»(z, a, b) = elt (cos 8 log /0 (z, a, b) — tsinb logy, (z, a, b)) B)
7
при надлежаще выбранных ветвях логарифмов.
Действительно, разность d(z) обеих частей в B) есть функция,
регулярная в В и принимающая на ATv(v —1, ..., я) значения, кото-
которые все лежат на некоторой прямой 3 (e""l6C) = const.
Рассуждая, как при доказательстве теоремы 2 § 2, здесь покажем,
что d (z) = const = с, причем с для надлежаще выбранной ветви d(z)
равно 0. Это и дает соотношение B), доказанное для частного вида

§4]
СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ОТОБРАЖАЮЩИХ ФУНКЦИЙ
221
области В. Но оно верно и в случае любой конечносвязной области В.
Чтобы в этом убедиться, отобразим область В на область В*, огра-
ограниченную замкнутыми аналитическими кривыми Жордана и изолиро-
изолированными точками, применим к ??* формулу B) и возвратимся опять
на область В. В результате получим B) для области В. Некоторые
теоремы существования однолистных отображений многосвязных обла-
областей на различные другие кононические области приводятся в § 6.
§ 4. Некоторые соотношения
для отображающих функций
Соотношение B) § 3 дает возможность находить для данной
я-связной области В функцию jB(z, a, b) с любым 8, если известны
функции /0 {г, а, Ь) и /„ {z, a, b). Но можно установить также соотно-

шения между этими последними функциями и функциями /0(г, а)
и ]* (z, а) из § 2, соответствующими той же области В. Чтобы дать
этим соотношениям возможно более симметричный вид, положим:
P(z, a)=l(JAz, a)-jo(z, a)),
2
Q(z, a)=\(Jx{z, а)+/•(«. а))
и аналогично
P(z, a,
a, b) — \og]b(z, а, Ь)),
Q(z, a, b) = ±.(logj,(z, а, Ь)+ logjo(z, а,
указанные выше соотношения тогда имеют вид:
B)
?P(z, a, b)=P(b, z)-P(a, z),
d
dz
Q(z, a, b)=Q(b, z)-Q(a, z).
C)
Действительно, на том же основании, что и в предыдущих пара-
параграфах, область В можно считать конечной и ограниченной анали-
аналитическими кривыми Кь Кь ..., Кп. Так как при фиксированном
а?В на К,(м = 1, ..., я) будет
3 (/о (г, а)) = const, 3 (I/« (z, a)) = const,
7

222 ОДНОЛИСТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ [ГЛ. V
т. е.
/„(*, а) =/„(*, a) + const
*{z, <*) = — /*(*, a) 4- const,
~ 2
то no A) на Кч также имеем:
Р(г, a)=-Q(z, a
где А;, (а) не зависит от г^ Кг Аналогично, так как при фиксиро-
фиксированных а, Ь?В на Кч будет
/0(z, a, ft)) = const, 3(/logy«_(«, a, ft)) = const,
2
то no B) на Кч также имеем:
Р(г, a, b) = -Q(z, a, b) + k,(a, b), E)
где &v(a, b) не зависит от г(^
Теперь рассмотрим интеграл
л
взятый по всей границе /С= U /С, области В в положительном на-
правлении.
По A) и B) функции Р(С, z) и Р(С, a, b), при любых фиксиро-
фиксированных г, а, Ь^В, регулярны в В; поэтому по теореме Коши It = 0.
С другой стороны, применяя D) и E) имеем:
'а> b)=
л
1
= 2 25 S (-
l
Л
2 sr 5 CH J5 J ( )(t a,
(здесь использовано свойство однозначности функции Q (С, a, ft) на каж-
каждой кривой ЛТ„). Так как Q(?, 2) и Q'(C, a, ft) имеют в 5 простые
полюсы соответственно в точке z и в точках а и ft, то, применяя
к последнему интегралу теорему о вычетах, получим:

§ 4] СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ОТОБРАЖАЮЩИХ ФУНКЦИЙ 223
Отсюда, имея в виду, что /t = 0, приходим ко второй из формул C).
Рассмотрим аналогично интеграл
)Я& а,
С одной стороны, он, очевидно, равен Р'г(г, а, Ь); с другой сто-
стороны, как выше, докажем, что он равен P(b, z) — Р(а, г). Так полу-
получим и первую формулу C).
Из формулы C), в частности, следует, что производная Q'z(z, a, b)
является в В аналитической функцией от аргументов а и Ь, в то
время как Р'г(г, а, Ь) будет аналитической функцией от аи Ь. Обратно,^
из этих же формул заключаем, что разность Q(z, a) — Q(z', a), z,
z' ?f В, будет в В аналитической функцией от л, a P(z, a) — P(z', a) —
аналитической функцией от п. В частности (при /->г), отсюда сле-
следуют аналогичные заключения и о производных Q'z(z, а) и P'z(z, a).
Впрочем, последнее вытекает и иначе, а именно, из соотношений:
/>;(*, а) = Р'а(а, z), Q'g(z, a)=Q'a(a, z),
которые докажем, рассматривая, аналогично предыдущему, интегралы
[р(^ *)*& а)& F)
= 2^7 \
Что касается аналитической зависимости самих функций P(z, a)
и Q(z, а) от о, то она не является такой простой, как показывает
пример, когда В есть область |г|^>1. В этом случае легко най-
найдем, что
-fl|*l-
Изложенный способ вывода различных соотношений между явно
неизвестными функциями называется методом контурного интегриро-
интегрирования. *) В нем существенную роль сыграли соотношения D) и E)
на границе области.
Укажем еще на любопытную аналитическую связь с предыдущими
величинами функции, отображающей область В на круговое кольцо
с концентрическими круговыми разрезами. Именно, обозначим через
С=/(г) функцию, которая отображает область В, не содержащую оо
и ограниченную аналитическими кривыми Жордана Kv, v = l, ..., л,
на кольцо ^<С|С|<С1 с разрезами по дугам концентрических окруж-
окружностей (см. гл. V, § 6, случай 6 = у теоремы 7), причем в окруж-
») Гарабедян и Шиффер [1949].

224 однолистнов отображение многосвязных областей (гл. v
ности | С | = q и | С | = 1 пусть переходят кривые К\ и К%. Вычисляя,
как выше, двумя различными способами каждый из интегралов ' "~ "ч
G)
(8)
и учитывая при этом, наряду с F) и G) также и то, что
log/(t)=log/(t;)-J- const на ЛГ,
и что
докажем •) следующие две формулы:
f(z) =/(/) е** («. «О - *i С «'), (9)
/(z)=ef»«W'-I»*w" A0)
Отметим, что г' входит в (9) как кажущийся параметр, ибо f(z)
по теореме 7 § 6, гл. V определяется с точностью до постоянного
множителя.
В заключение выведем одну интегральную формулу, содержащую
функцвдо P(z, а, Ь). Для любых двух функция f(z) и g(z), регуляр-
регулярных в В, введем в рассмотрение их „скалярное произведение":
A1)
V
Так как по формуле Грина (z=x-\-iy)
) dy =
в
') В ходе рассуждения потребуется вычислить интеграл
z,
2^ \
для чего, в силу многозначности функции Q (С, г, г'), следует в В провести
разрез, соединяющий точки г и г', и затем заменить интеграл по К на интег-
интеграл по замкнутой кривой f> окружающей этот разрез и стягивающейся
к нему. Интегрирование по частям приводит затем к интегралу, вычисляе-
вычисляемому по теореме о вычетах.

§ 4] СООТНОШЕНИЯ Д?1Я ОТОБРАЖАЮЩИХ ФУНКЦИЙ 225
но для (f, g) имеем также контурное представление:
Применяя A2) к случаю, когда g(z) = P(z, a, b), и имея в виду, что
',{г, a,b)dz =
\
d^-(log j^z, a, b) — logj0(z, a, b)) =
= \ f (z)d±(-log jL(z, a, b) — log jo(z, a, b)) =
= -\f(z)dQ(z, a, b) = 2*i(f(b)-f(a)),
к
и получаем искомую формулу
(/(z), P(z,a, b)) = *(f(a)-f(b)). A3)
Отметим два .приложения этой формулы. Как первое приложение
докажем теорему:
Теорема. (Минимизация площадиI). Среди всех функ-
функций f(z), регулярных в В и подчиненных условиям f(a) =O,f(b)=l,
a, b ?B, минимальное значение для интеграла
в
равное р ..к.—г, дается только функцией
f r~) — p(z> b> a)
Ь) b> a) •
Доказательство. Представив любую функцию f(z), указан-
указанную в теореме, в виде f(z)=fo(z)-\-y(z), заключаем, что функция
9 (г) будет регулярна в В и <р (а) = <р (Ь) = 0. Для нее по формуле
A3) имеем:
(?(z), P(z, Ъ, а)) = 0.
Поэтому
') (Задача о минимальной площади образа конечносвязной области решена
также для класса всех функций, регулярных в области и имеющих в ее
заданных точках заданные начальные отрезки их тейлоровских разложений;
см Ю. Е Аленицын [1964].)
8 Г. М Голузин

226 ОДНОЛИСТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ [ГЛ. V
Отсюда и следует, что
(Л 7Ks (Л, Л),
причем знак равенства имеет место только в случае, когда (ф, f) —О,
то есть когда f(z)=fu(z). Теорема доказана.
Для второго приложения формулы A3) рассмотрим последователь-
последовательность функций &„ (С), &„ (Ь) = 0, v = 1, 2,.... регулярных в В, подчинен-
подчиненных условиям ортогональности:
A при v = v'
v,/=1, 2,...
О при v ф v'
и таких, что любая функция f(z), f(b) = O, регулярная в В, разла-
разлагается в В в сходящийся ряд (ряд Фурье)
v=l
(доказывается, что такие последовательности функций kv(z) суще-
существуют).
Применим это к функции f(z) — P(z, a, b), а, Ь^В. Так как по
A3) имеем
c, = (P(z, a, b), *,(*)) = «A, (o),
то для Р (z, a, b) получаем конструктивную формулу
oo
P(z, a, b) = n 2j ki (a) ki (гУ
§ 5. Теоремы сходимости для однолистного отображения
последовательности областей
Рассмотрим теперь вопрос о сходимости последовательности
функций, однолистных в многосвязных областях, в зависимости от
надлежащей сходимости этих областей и их образов.
Для этого введем предварительно следующие понятия. В пло-
плоскости z дана последовательность любых областей Вп, л—1, 2, ...,
содержащих точку z = co. Ядром последовательности областей Вп
назовем наибольшую область В, содержащую z = oo, любая замкну-
замкнутая часть которой принадлежит всем Вп, начиная с некоторого л.
Для существования ядра, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы
все области Вп содержали некоторую фиксированную окрестность
точки 2 = оо. Будем говорить, что последовательность областей В,
сходится к своему ядру В, и писать Вп-*-В, если любая частичная
л

§ 5] ТЕОРЕМЫ СХОДИМОСТИ 227
последовательность областей имеет то же ядро ?. Например, если
tczBzCZ---> то области В„ имеют ядро и сходятся к ядру.
Теорема 1. Пусть в плоскости z дана последовательность
областей А„ в=1, 2, ..., содержащих z = oo и сходящихся
к ядру А, и пусть функции t^=fn(z) однолистно отображают их
соответственно на области Вп, л = 1, 2 содержащие С = оо,
и притом так, что /л(оо) = оо, f'n(ca)=\. Для того чтобы
функции fn(z) равномерно сходились внутри области А1) к одно-
однолистной функции f{z), необходимо и достаточно, чтобы последо-
последовательность областей Вп имела ядро и сходилась к нему, причем
тогда функция C=/(z) однолистно отображаем А на В. Отме-
Отметим, что хотя функции в некоторых точках z ^ А определены, лишь
начиная с некоторого л, это не нарушает смысла сходимости в
таких точках.
Доказательство. 1°. Необходимость. Пусть функции
/я (z) равномерно сходятся внутри области А к однолистной функ-
функции f{z% тогда/(z) регулярна в А, кроме точки z = oo, где/(г) = оо.
Она отображает область А на некоторую область В, содержащую оо.
Покажем, что области Вп имеют ядро и что В" содержится в этом
ядре. Для этого достаточно доказать, что любая ограниченная замк-
замкнутая область В*, содержащаяся в В, принадлежит всем Вп, начиная
с некоторого л.
Пусть расстояние В* до границы В есть 8^>0. Построим квад-
квадратную сетку со сторонами длины -у и рассмотрим область В#, обра-
образованную из всех квадратов, содержащих точки из В*. Тогда В* сг В*,
В* а В. Пусть 84^>0 есть расстояние области В* до границы В#.
Областям В* и В* соответствуют посредством C=/(z) в А некоторые
области А* и А*, причем А* а А*, Л„сгА Но, какова бы ни была
точка Со ^ 5*на границе области А#, имеем \f(z) — Со 1 ^> К С другой
стороны, из равномерной сходимости функций /„ (z) в А# следует, что
существует N> 0 такое, что при л ^> N на границе области А* будет
\fn(z)—/('г)|<С^1> Следовательно, из равенства
Л (г) - Со = (/„ (*) -/(*)) + (f(z) - Co)
по теореме Руше заключаем, что /„(-г) — Со имеет в А* один нуль,
т. е. при n^>N образ области Ап при отображении С=/я(z) содер-
содержит любую точку Со ? В*. Это же в свою очередь показывает, что
области Вп имеют ядро, пусть В, и что BczB.
') Присутствие нолюса г = со в данном случае ие существенно, ибо
равномерная сходимость функций /„ (г) здесь равносильна равномерной
сходимости функций fn(z)—г.
S*

228 ОДНОЛИСТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ 1ГЛ. V
Рассмотрим теперь функции z = <р„ (С), обратные функциям С =/л (z).
Каково бы ни было замкнутое множество области В, эти функции,
начиная с некоторого л, определены на нем. При г^>0 и достаточно
большом функции уп(С) будут все определены и однолистны в |С|^>г
и имеют там разложения:
Следовательно, по лемме 2 § 2, в |С|]>г имеем
I «ft, (С)~ «#>|<2|С|. откуда
Но из сходимости функций /„(г) к функции /(г) следует, что числа
аМ сходятся к конечному пределу. Поэтому функции 2"iJ регулярны
и ограничены в области |С|]>г и к ним приложим принцип сгуще-
сгущения, так что из последовательности 2sAl можно выделить частичную
последовательность -^=—, равномерно сходящуюся внутри области
| С | ^> г к предельной функции -^Ц . Функции же cpnft (С) равномерно
сходятся к if (С) в любой ограниченной части области | С | ^> г. С дру-
другой стороны, для всех С?5„, лежащих в |С|<^2г, имеем по лемме 2
§ 2: j срл (С) — aW J <^ 4г. Следовательно, ч>„ (С) равномерно ограничены
в каждой замкнутой части области В, лежащей в круге |С|<С2г.
Поэтому, по теореме Витали, функции <р„6 (С), равномерно сходятся
к if (Q внутри области В с выключенной точкой С = оо, причем ij>(C)
однолистна в В. Рассуждая дословно, как на стр. 58, покажем, что
функция z = ip(C) является обратной к С=/(г). Отсюда следует, что
<р (С) не зависит от выбранной последовательности <pnft (С), т. е. что
последовательность уп (С) сама сходится в В. Функция z = if (С) ото-
отображает область В на некоторую область А'. Рассуждая, как в начале
доказательства, но поменяв теперь роли областей Ап и Вп, докажем,
что А' с= А.
Теперь легко доказать, что ff=B. Действительно, если CoG^>
то г0 = if (Со) ? А и, следовательно, Со =/Bг0) ^ S'. Это показывает,
что Всг &. Но раньше было доказано, что ff cz В. Следовательно,
В"=В. Итак, функция С=/(гг) однолистно отображает А на В.
Если теперь возьмем любую подпоследовательность областей из Вп
и соответствующую подпоследовательность функций из /„(г) (кото-
(которая также сходится к f{z)), то, применив к ним предыдущие заклю-
заключения, получим, чтоС=/(г) отображает А на ядро этой подпоследова-
подпоследовательности, которым, таким образом, опять будет область В. Итак, Вп -*¦ В;
это и доказывает необходимость условия теоремы.

§ 51 ТЕОРЕМЫ СХОДИМОСТИ 229
2°. Достаточность. Пусть теперь Вп-*¦ В. Пусть р^>0 такое,
что область | z | ^> p целиком принадлежит всем областям Ап, а об-
область | С | ^> г — всем Вп. Если в окрестности z = оо имеем /„ (z) =
а(п)
= z-\-a.№-\—— -}-... и если с не лежит в области Вп, то по лемме 2
§ 2 будет | с — а<оя> | ^ 2р. С другой стороны, | с \ ^ р. Следовательно,
| <4Л) | ^ Зр, т. е. коэффициенты а@"> равномерно ограничены относи-
относительно л. Далее, опять по лемме 2 § 2 в |г|^р имеем \fn(z) —
— a@"> | ^ 2 | z |, откуда \fn (z) \ ^ 2 | z | -f- Зр. В частности, дш | z | = p
будет |/„ (z) | ^ 5p. В силу однолистности /„ (z), последнее неравенство
имеет место и во всех точках Ап, лежащих в |гг|<^р. Сравнивая
оценки модуля \fn(z)\ в |.г|^р и в l^l^p, заключаем, что во всей
области Ап будет |/„(.г)|^;2|,г|-}-!5р. Это показывает, что
каково бы ни было ограниченное замкнутое множество, лежащее
в А, на нем определены и равномерно ограничены все функции
fn(z), начиная с некоторого л, и, следовательно, к любой после-
последовательности, составленной из этих функций, применим принцип
сгущения.
Докажем теперь, что последовательность функций fn(z) сходится
в А. Допустим, что существует точка z0 ^ А, в которой /„ (z)
не сходятся. Тогда существуют две подпоследовательности функций,
которые в z0 сходятся к различным конечным пределам. Из этих
последовательностей можно опять выделить подпоследовательности
функций fn, (z) и /л„ (z), равномерно сходящиеся в любой замкнутой
части А к функциям f*(z) и /%%(г), которые регулярны и однолистны
в А, кроме z = oo, и в z0 имеют различные значения. По пункту 1°,
приложенному к последовательностям областей Вп, и Вп„, следует,
что функции /,„ (z) и /,„,,. (z) отображают область А на ядра этих
последовательностей, т. е. на одну и ту же область В. Функция же
z' =fe' (/#„. (z)) = (]) (z) отображает область А в себя, причем ф (z) =fc z.
Пусть ф(г) имеет в окрестности z — co разложение:
где a,, v ^ 0, первый неравный нулю коэффициент, который, наверное,
существует. Рассмотрим функции ф3 (z), tjK (z), ..., определяемые в
окрестности z = oo разложениями:
Эти функции также отображают область А однолистно в себя. Так
как область | z \ ^> р целиком лежит в А, то функции ф„ (z), л = 2,

230 ОДНОЛИСТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ [ГЛ. V
3, ..., будут, в частности, однолистны в \z\^>p, а функцииiuJ??is—
==гг + —7FrV+--- однолистны в jz|>l. Отсюда по следствию из
теоремы площадей следует, что -^-д-м^Ь п = 2, 3, .... что может
быть только в том случае, если av = 0. Это противоречие доказы-
доказывает, что ij>(,2f) = z, т. е. /„.(,?)=/*„.(,?). Последнее же в свою оче-
очередь доказывает, что последовательность функций /„ (z) сходится в гг0.
Итак, последовательность функций /„ (z) сходится всюду в области А.
Равномерная сходимость их внутри области А следует теперь из тео-
теоремы Витали. Достаточность условий теоремы, а следовательно, и
сама теорема доказаны.
Можно указать также другие теоремы о сходимости последова-
последовательностей однолистных функций в зависимости от способа их норми-
нормирования. Приведем одну из таких теорем.
Для этого, как и выше, введем предварительно следующие поня-
понятия. В плоскости г дана последовательность произвольных областей Вп,
л=1, 2, .... каждая из которых содержит заданную точку z0. Ядром
этой последовательности по отношению к z0 назовем наибольшую
область В, содержащую z = ze> любая замкнутая область которой
принадлежит всем областям Вп, начиная с некоторой. Сходимость к
ядру определяется, как и выше. Очевидно, при дробно-линейном ото-
отображении плоскости z образы областей Вп будут иметь ядром образ
ядра В (конечно, по отношению4 к образу точки z0); при этом схо-
сходимость к ядру не нарушается. Далее, если подвергнуть области Вп,
л=1, 2, ..., соответственно преобразованиям подобия z' = pnz,
р„-*-1, то их ядро от этого не изменится и сходимость к нему не
нарушится.
Докажем теперь теорему сходимости.
Теорема 2. Пусть в плоскости z дана последовательность
областей Ап, п = 1, 2,..., содержащих точку z = z0 и сходящихся
по отношению к z0 к ядру А, и пусть функции ?=/„(,?) одно-
однолистно отображают области Ап па области Вп так, что
fn(гг0) = Со, /л(го)]>О, я = 1, 2, ... Для того чтобы последова-
последовательность функций fn (z) равномерно сходилась внутри области А
к однолистной функции, необходимо и достаточно, чтобы после-
последовательность областей Вп по отношению к Со имела ядро и
сходилась к своему ядру; тогда предельная функция f(z) одно-
листно отображает А на В.
Доказательство. Можно считать, что ,го=Св=О, ибо этого-
всегда достигнем посредством сдвигов плоскостей z в (.. Доказатель-
Доказательство первой части теоремы основывается теперь на теореме 1.
1°. Необходимость. Если/„(гг)-»-/(гг) равномерно внутри А
и f(z) однолистна в Л, то fn @) -*/' @) ф 0, и, следовательно, функ-
не. ^^Ч.. А к * &^v
Yl-li

g 6] ОТОБРАЖЕНИЕ НА КРУГОВЫЕ ОБЛАСТИ 231
ции Fn(z) = , ' = z -f-..., однолистные в областях А'п, получен-
'•Ф
ных из Ап отображениями 2/ = -—, равномерно сходятся внутри соот-
соответствующего ядра А'. Отсюда, по теореме 1, образы В'п областей А'п
при отображениях t = Fn(z) сходятся к ядру В', а следовательно,
области Вп — к невырожденному ядру В, связанному с S посредст-
посредством С=^-]М. Отсюда же следует и заключение о характере отоб-
отображения ?=/(z).
2°. Д о с т а т о ч н о.,с т ь. Пусть Вп -+ В. Тогда при сохранении
введенных выше обозначений областей А'п, А', В'л, области В'п будут
иметь ядро В' и В'п -+ В". Следовательно, функции Fn (z) = ,
'(I
равномерно сходятся внутри области А' к однолистной функции F (z),
F (оо) = оо, F (оо) = 1. Но тогда функции
f (г)—&Ш
будут равномерно сходиться внутри области А к однолистной функ-
функции
F\ —
которая отображает А на ядро В последовательности областей Вп.
Теорема доказана.
§ 6. Однолистное отображение многосвязных областей
на круговые области. Метод непрерывности
В § 2 и 3 при решении некоторых экстремальных задач были
доказаны теоремы существования однолистного отображения много-
многосвязных областей на канонические области. Несравненно более силь-
сильным методом доказательства такого рода теорем, в случае конечно-
связных областей, является метод непрерывности. Доказательства по
этому методу весьма однообразны. Они основываются на единствен-
единственности однолистного отображения конечносвязных областей на рас-
рассматриваемые канонические области и на одной топологической тео-
теореме Брауера. Мы иллюстрируем здесь метод непрерывности на до-
доказательстве важной теоремы об однолистном отображении на круго-
круговые области, т. е. на области, ограниченные конечным числом полных

232 ОДНОЛИСТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ [ГЛ. V
окружностей без общих точек (некоторые из которых могут вырож-
вырождаться в точки). Докажем сначала теорему единственности для кру-
круговых областей.
Теорема 1. Существует не более одной функции, однолистно
отображающей данную конечное вязну ю область В плоскости z,
содержащую со, на круговую область плоскости (,, также содер-
содержащую оо, и притом так, что в окрестности точки г = ооо«о
имеет разложение (. = z -J- — -\-...
Легко видеть, что эта теорема равносильна следующей:
Теорема Г. Каждая функция, однолистно отображающая
одну круговую область В (конечносвязную) на другую круговую
область В', является дробно-линейной функцией.
Поэтому достаточно доказать теорему Г.
Доказательство. Пусть область В лежит в плоскости z и
ограничена окружностями К\, К%, .... Кп> а область В" — в плос-
плоскости (. и ограничена окружностями К[, Къ .... К'т причем при рас-
рассматриваемом отображении /fC(v = l, 2, ..., п) соответствует /fv.
Без ограничения общности можно считать, что области В и В" со-
содержат точку оо и что эта точка при рассматриваемом отображении
переходит в себя.
Обозначив через С =f{z) отображающую функцию, имеем тогда
/(оо) = оо. Функция f{z) продолжима через окружность /Cv(v=l,
2, ..., п) в область fiv, полученную из В инверсией относительно К-,,
и отображает ее однолистно на область В'?, полученную из В' ин-
инверсией относительно 1С,. Следовательно, функция f(z) однолистно
отображает круговую область, составленную из областей В, Bit ..., Вп,
на круговую область, составленную из областей В", В{, ..., В'п.
С этими расширенными областями рассуждаем аналогичнр и так про-
продолжаем без конца. В результате таких расширений в плоскости z
получим предельную область Q, которая ттосредством функции ?=/(z)
будет однолистно отображаться на предельную область G, получен-
полученную на плоскости С. Если z'= S (z) есть дробно-линейная функция,
составленная из четного числа инверсий относительно окружностей
Ки Къ, ..., Кп, взятых в каком-либо порядке, то функция/E(г))
также однолистно отображает область О на область Q, ибо функция
S(z) отображает область Q в себя. Следовательно, f(z) инвариантна
относительно группы дробно-линейных преобразований z' = Sk(z),
k = l, 2, ..., составленных из четного числа инверсий относительно
окружностей К\> Кь .... Кп- Функции z' = Sk(.z)> k = l, 2 за
исключением функции z' = z, отображают область В на круговые
области ?<*), k=\, 2, ..., не налегающие друг на друга и без об-
общих граничных точек, причем каждая из них лежит внутри одной из
окружностей Ки К%, ..., Кп. Пусть теперь \z — а| <^г есть круг, це-
целиком лежащий в В. Тогда по теореме покрытия Кёбе в области №

§ 6] ОТОБРАЖЕНИЕ НА КРУГОВЫЕ ОБЛАСТИ 233
(k = \t 2, ...) целиком лежит некоторый круг радиуса -j- \Sk(a)| .
Следовательно, площадь области Б<*) будет не меньше п (-?-1 Sk (а) | ) .
Так как сумма площадей всех областей В(к\ k=l, 2, ..., конечна,
то отсюда получаем, что ряд
сходится. Обозначив теперь через К& k = n-\-\, л-}-2, ..., все раз-
различные окружности, которые служат границами областей В(к\ k = l,
2, ..., а через Rk, k = n-\-l, л-}-2, ..., их радиусы, покажем, что
и ряд
21 я* B)
сходится. Действительно, если выкинуть из области О точки, в ко-
которые переходит z = оо при отображениях z' = Sk(z), k = \, 2. ...,
то в оставшейся области О* все функции Sk(z) будут регулярны и
однолистны. Поэтому но общей теореме искажения (см. § 4, гл. II)
на /fv(v=l, 2, ..., л) при всех k = l, 2, ... имеем:
где 7ИЧ зависит от м, но не от Аи z. Отсюда для длины 2wRk окруж-
окружности Kk > в которую переходит Kw при отображении z' = Sk (z), по-
получаем:
откуда имеем:
Возводя обе части последнего равенства в квадрат, суммируя затем
по всем k и по всем v и имея в виду, что каждая окружность Ки
является образом граничной окружности области В при отображении
точно одной из функций z'= Sk (z), получаем:
Это и доказывает сходимость ряда B). Аналогичные заключения бу-
будут иметь место и для (У. Следовательно, обозначив через Rk ради-
радиусы окружностей, в которые переходят окружности /fft, k = n-\-l.

234 ОДНОЛИСТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ [ГЛ. V
п-^-2, ... при отображении области О функцией ? =f{z), заключаем,
что ряд
оо
fc=n И
сходится. Из последнего, в частности, следует, что будет сходиться
и ряд
S Д1. C)
где ДА есть колебание функции f(z) на /fft, т. е.
Д* = шах
Обозначим теперь через О„. круговую область, содержащуюся в О,
содержащую 5 и ограниченную только окружностями Kk,, Kk ^
со столь большими номерами, k', k", ..., A(m), что
где е — заданное положительное число. Этого всегда можно достиг-
достигнуть благодаря сходимости рядов B) и C). Если взять еще доста-
достаточно большую окружность К: \ z \ = R, то по формуле Коши имеем
для точки z, лежащей в О„. и одновременно в | z \ <[ R:
Но
V)
г'-г
следовательно, если d есть расстояние точки z до границы области О„.,
то
\ 1 С /Й1^'
iid 2w J г' — г
= l #ft(v)
Г т т

5 в] ОТОБРАЖЕНИЕ НА КРУГОВЫЕ ОБЛАСТИ 235
Но в D) левая часть и первый член справа не зависят от взятой об-
области G%, а следовательно, и от е. Поэтому имеем:
Это показывает, что функция f(z) регулярна в круге \z\<^R с лю-
любым достаточно большим R, т. е. что f(z) есть целая функция. Так
как в г = оо она имеет простой полюс, то отсюда заключаем, что
f{z) есть линейная функция.
Теорема Г доказана.
Теорема существования, которую мы хотим теперь доказать, со-
состоит в следующем.
Теорема 2.1) Всякую п-связную область В плоскости z
можно однолистно отобразить на круговую область плоскости С
Среди этих отображений существует только одно нормирован-
нормированное отображение, переводящее заданную точку z = a?B в С = оо,
и такое, что разложение отображающей функции около z = a
имеет вид:
— c) + ... или
смотря по тому, конечно а или нет.
Прежде чем переходить к доказательству этой теоремы, напом-
напомним некоторые понятия л-мерной геометрии.
Рассмотрим эвклидово пространство л-измерений, в котором
под точкой понимается система л вещественных конечных чисел
(хи лг2 хп). Это пространство обозначим через Rn, а его точки
будем обозначать одной буквой, например х или x(xt ..., хп), указы-
указывая в скобках определяющие ее вещественные числа, которые называются
координатами точки х. Считается, что две точки совпадают тогда
и только тогда, если все их соответственные координаты равны. Под
расстоянием двух точек лг ; (лг\ , ..., х„') и х (х\' хп ) про-
пространства Rn понимается число p(jc<1), лг<2)) = 1/ ^ {xty — х$)*. Под
шаром в пространстве Rn с центром в а и радиуса р понимается сово-
совокупность всех точек х? Rn, расстояние которых от а меньше р. Под
окрестностью точки а? Rn понимается совокупность всех точек
любого шара с центром в а. Окрестность будет достаточно мала, если
радиус шара достаточно мал. Множество точек Ecz.Rn называется
') Эта теорема доказана Кёбе. Метод непрерывности был развит в его
работе [1918а]; он упрощен автором; см. Г. М. Голузин [1938а]. Другое до-
доказательство дано М. В. Келдышем [1939].

236 ОДНОЛИСТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ [ГЛ. V
ограниченным, если все его точки лежат внутри некоторого шара.
Точка а ? Rn называется предельной точкой для некоторого бесконеч-
бесконечного множества точек EcnRn, если в любой окрестности тачки а
имеются точки этого множества, отличные от а. Последовательность
точек xw? Rn, т = 1, 2,..., называется сходящейся к точке лг(°>? Rn,
если р (лг(т\ х^°1) -»- 0 при т-+оо. Точка а некоторого множества
EcnRn называется его внутренней точкой, если к Е принадлежат
и все точки достаточно малой окрестности точки а. Множество точек
EcnRn называется замкнутым, если оно содержит все свои предель-
предельные точки. Множество точек EczRn называется открытым, если оно
состоит только из внутренних точек, и связным, если любые две его
точки можно соединить непрерывной кривой, целиком лежащей в Е.
При этом под непрерывной кривой в Rn понимаем совокупность
точек пространства Rn, координаты которых представлены в виде
xk = <pk(t), a^t^b, k=l, ..., л, где fk(t), k=sl, ..., л, непре-
непрерывные функции от t в промежутке a^it^b. Относительно мно-
множеств точек пространства Rn можно установить все свойства, анало-
аналогичные свойствам множеств точек на плоскости, изложенным в гео-
геометрическом введении.
Рассмотрим теперь отображение множества Е точек пространства
Rn на некоторое множество Е' точек другого л-мерного эвклидова
пространства R'n; это означает, что каждой точке множества Е ста-
ставится в соответствие некоторая точка множества Е'. Отображение
назовем взаимно однозначным, если каждой точке Е соответствует
единственная точка Е и обратно. Отображение называется непрерыв-
непрерывным, если любой последовательности точек х<-т)?Е, д;(т) -*-х^^ Е
соответствует в Е' последовательность точек х'^, лг'(т)-»-лг'@)^ ?*,
причем точка x'w соответствует точке лг@). Легко доказать, что при
взаимно однозначном и непрерывном отображении замкнутого мно-
множества EczRn на множество E"c:R'n и обратное отображение будет
непрерывно. Взаимно однозначные и непрерывные отображения иначе
называются топологическими отображениями. Очевидно, что при
топологическом отображении замкнутого множества образ всегда
является замкнутым множеством. Относительно топологического ото-
отображения любых множеств имеет место следующая теорема Брауера,
известная как «теорема о сохранении области».
Теорема 3 (Брауер). При топологическом отображении мно-
множества EcnRn на множество E'czR'n внутренним точкам мно-
множества Е всегда соответствуют внутренние точки множе-
множества Е'. В частности, если открытое множество EczRn топо-
топологически отображается на множество E"<^.R'n, то Е есть
также открытое множе> те о.
Доказательство этой важной теоремы мы приведем в следующем
параграфе. На ней и основывается доказательство теоремы 2
по методу непрерывности.

§ 6] ОТОБРАЖЕНИЕ НА КРУГОВЫЕ ОБЛАСТИ 237
Доказательство теоремы 2. Так как в силу результатов
§ 2 каждую конечносвязную область можно однолистно отобразить
на плоскость с прямолинейными и параллельными разрезами любого
заданного наклона бис надлежащим нормированием, то достаточно
доказать теорему 2 для областей, представляющих плоскость z
с прямолинейными разрезами, параллельными вещественной оси, и для
а = оо.
Обозначим через ffi семейство всех л-связных областей В, пред-
представляющих собой плоскость z с л нумерованными от 1 до л конеч-
конечными и прямолинейными разрезами, параллельными вещественной оси,
а через Ш' семейство всех л-связных круговых областей В' плоско-
плоскости С с граничными окружностями, нумерованными от 1 до л. Две
тождественные области В или В' с иначе нумерованными границами
считаем различными.
Будем рассматривать нормированные, как указано в теореме, одно-
однолистные отображения областей В? ffi на области В'? Ш' так, чтобы
одинаково нумерованные граничные кривые областей В и В" перехо-
переходили друг в друга. Считая области из семейств Ш и Ш' соответ-
соответствующими друг другу, если они отобразимы друг на друга указан-
указанным образом, из теоремы 1 настоящего параграфа и теоремы 2 § 2
заключаем, что
а) каждой области В? Ш соответствует не более одной области
?Ж'
Р) каждой области В? Ш соответствует единственная область
аи.
Нашей задачей будет показать, что каждой области В? Щ соответ-
соответствует точно одна область В? ШУ.
Семейства Ш и W состоят из областей, определяемых Зл пара-
параметрами; за параметры области В можно взять, например, коорди-
координаты начал разрезов и их длины, а за параметры В — координаты
центров и радиусы граничных окружностей. Представляя области В
и В точками в Зл-мерных эвклидовых пространствах R3n и R'3n
и обозначая эти точки также через В и В, из геометрических соо-
соображений тотчас же заключаем, что множества точек В и В', соот-
соответствующих как областям В? Ш, так и областям В? Ш', — эти
множества мы также обозначим через Ш и Ш' — суть связные откры-
открытые множества соответственно в R3n и R'3n. Устанавливая между точ-
точками множеств 9Л и WI' то же соответствие, которое уже имеется
между областями семейств Ш и Ш', на основании а) и C) заключаем,
что каждой точке В? Ш' соответствует точно одна точка В? WI
и каждой точке В? 9Л соответствует не более одной точки В'? Ш'.
Покажем, что это соответствие непрерывно; именно, если В\-+В
(/я. е. если граничные окружности области В\ в пределе совпа-
совпадают с граничными окружностями области В), то и В1-+В.

238 ОДНОЛИСТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ [ГЛ. V
Здесь Bi соответствует В\, В соответствует В. Действительно, если
бы области By не сходились к предельной области, то из них можно
было бы выделить две последовательности областей Вп и Вп, схо-
сходящиеся к областям В и Вй, В Ф Во. По теореме сходимости заклю-
заключаем, что тогда область В" нормированно отображалась бы на В и на Во,
что по р) требует, чтобы В = Вй. Здесь мы предполагали, что гра-
границы всех областей Bt ограничены; но это следует из леммы 2, § 2.
Отметим, далее, следующее свойство предельных областей: если
Z?*6: Ш и если имеется последовательность областей Вп? Ш,
Вп-+В%, таких, что Вп нормированно отобразили на В'п^Шг,
то и область В# нормированно отобразима на В'%(^ WI'. Действи-
Действительно, области В'п сходятся к некоторой области В'%(^ Ш', ибо иначе
можно было бы выделить две подпоследовательности областей В'п и
Впа, сходящихся, соответственно, к областям В'% и В'о, В'# Ф В'о; по тео-
теореме же сходимости следует, что В'* — В'о. Но если Вп-+В*, В'п-+В'*,
то снова по теореме сходимости заключаем, что область В* норми-
-рованно отображается на область В'%, что и доказывает высказанное
утверждение.
После этого доказательство теоремы существования проводится
довольно просто. Действительно, мы имеем здесь дело с взаимно одно-
однозначным и непрерывным отображением открытого множества Ш'
точек Зл-мерного пространства R/n на все или на часть множества
!Ш* другого Зл-мерного пространства R$n. Следовательно, здесь при-
ложима теорема Брауера, по которой образ !Ш0 множества !Ш' есть
открытое множество Зл-мерного пространства. Покажем, что !Ш0 сов-
совпадает с !Ш.
Пусть Вх — область семейства !Ш, отобразимая на область В
семейства Ш'. Такую область можно получить, отображая любую
область из 20Т на ей соответствующую область из !Ш. С другой
стороны, пусть В^ — любая область из Ш, для которой отобразимость
ее на область из !Ш' еще не установлена. Соединим точку простран-
пространства Rtn, изображающую область fij, с точкой, изображающей область
Вь непрерывной кривой L, целиком лежащей в !Ш, и будем идти
по этой кривой от точки В± к точке fi2. Если бы область fis была
неотобразима на область из !Ш', то, идя по L от В^ к Вь мы встре-
встретили бы точку В# такую, что все области из Ш, соответствующие
точкам кривой L, лежащим между В\ и В*, отобразимы на области
!Ш', а сама область ,В* или неотобразима на области из !Ш' или
является предельной точкой для точек L, соответствующих областям,
неотобразимым на области из !Ш'. Но это невозможно, ибо, по отме-
отмеченному выше свойству предельных областей, область В* отобразима
на область из !Ш' и, следовательно, точка В% принадлежит !Ш0,
а тогда она не может быть предельной для областей, неотобразимых
на области ив ЗЭТ', ибо !Ш0 — открытое множество. Итак, все точки

§ 61 ОТОБРАЖЕНИЕ НА КРУГОВЫЕ ОБЛАСТИ 239
кривой L от Bi до В% принадлежат множеству ЗЭТ0- Но, тогда, опять
по свойству о предельных областях, S4? Шо.
_Этим показано, что множество ЗЭТ0 совпадает с ЗЭТ и, следова-
следовательно, для каждой области из ЗЭТ найдется область из Ш', на кото-
которую она однолистно и нормирование) отобразима. Итак, теорема 2
доказана.
Так как в приведенном доказательстве были использованы лишь
теорема единственности и некоторые тривиальные свойства круговых
областей, то оно с равным успехом приложимо и к доказательству
теорем существования однолистного отображения конечносвязных
областей на различные другие канонические области, коль скоро для
них установлена соответствующая теорема единственности.
Так, например, можно доказать следующие теоремы (Кёбе1)), обоб-
обобщающие теоремы 1, Г § 2 и теоремы 1, Г § 3.
Теорема 4. Существует и притом единственная функция,
однолистно отображающая любую заданную п-связную область
В плоскости z с граничными континуумами Ки ..., Кп на плос-
плоскость icn прямолинейными разрезами соответственно заданных
наклонов 61(..., 6„ к вещественной оси и притом так, что конти-
континуумы /С„, м = 1, ..., л, переходят соответственно в разрезы
наклонов 6„, заданная точка а(^В переходит в С = оо и разло-
разложение отображающей функции около z = a имеет вид:
или *-|~2t+...,
смотря по тому, а конечно ила нет.
Теорема б. Всякую п-связную область В плоскости г с гра-
граничными континуумами К\, ---, Кп можно однолистно о'тобра-
зить на плоскость (. с п разрезами по дугам логарифмических
спиралей соответственных наклонов 6Ь ..., 6Я к радиальным нап-
направлениям и притом так, что континуумы Кч, м = 1, ..., л, пе-
переходят соответственно в дуги наклонов 8„ заданные точки
а, Ь^В переходя.т в 0 и оо, и разложение отображающей функ-
функции около z = b имеет вид:
+ e + «(* *) + или
смотря по тому, конечно b или нет.
Единственность отображающих функций, указанных в этих теоре-
теоремах, доказывается совершенно так же, как в § 2 и § 3 доказаны
теоремы 2.
J) См. Кёбе [1918а] и Г. М. Голузин [1938а]. Иное доказательство этих
теорем дано В. И. Крыловым [1938].

240 ОДНОЛИСТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ 1ГЛ. V
Методом непрерывности Кёбе [1918а] доказал, в частности, и сле-
следующие теоремы:
Теорема 6. Всякую п-связную область В, лежащую в \ z |< 1,
содержащую z = 0 и имеющую одним из своих граничных конти-
континуумов окружность |г|=1, можно однолистно отобразить на
круг | С К 1 с разрезами по дугам логарифмических спиралей дан-
данного наклона 9, и притом так, что [г[ = 1 переходит в |?| = 1,
а отображающая функция (,=f(z) нормирована условиями
/@) = 0, /*@)^>0. Отображение единственно.
Теорема 7. Всякую п-связную область В, лежащую в коль-
кольце q <^ | z К1 и имеющую двумя из своих граничных континуу-
континуумов окружности |г| = 1 и \z\ = q, можно однолистно отобра-
отобразить на некоторое кольцо g^ <^ |tl | <С^ 1 с разрезами по дугам ло-
логарифмических спиралей данного наклона 9, и притом так, что
|г| = 1 и \z\ = q переходят в |Щ = 1 « \Z\ = q'. Отображающая
функция единственна с точностью до постоянного множителя.
Отметим, что Грётшу удалось доказать аналогичные теоремы
единственности для весьма широких классов канонических областей
и тем самым по методу непрерывности установить теоремы существо-
существования однолистного отображения любых конечносвязных областей
на такие области (см. Грётш [1935]).
Заканчивая исследование вопросов об однолистных отображениях
многосвязных областей, остановимся в заключение на степени возмож-
возможности однолистного отображения любых двух данных я-связных
областей друг на друга. В случае односвязных областей это, по тео-
теореме Римана, возможно всегда, за малыми исключениями. Иначе дело
обстоит в случае я-связных областей с я^>1. Для того чтобы две
такие области были однолистно отобразимы друг на друга, очевидно,
необходимо и достаточно, чтобы две круговые области, на которые
они могут быть однолистно отображены, также допускали однолистное
отображение друг на друга. Эти круговые области можно брать
„специального" вида, именно, кольца вида q<i\z\<^Q с я — 2 круго-
круговыми вырезами внутри, ибо любую круговую я-связную область
можно всегда отобразить на область такого вида посредством надле-
надлежащей дробно-линейной функции. Но если две специального вида
круговые области однолистно отобразимы друг на друга, то по теоре-
теореме Г отображающая функция является дробно-линейной, причем по прин-
принципу симметрии она переводит точки 0 и оо в себя или друг в друга,
следовательно, эта функция имеет вид г' = аг или z' = —. В первом
Z
случае у обеих рассматриваемых круговых областей должны совпа-
совпадать: отношения радиусов всех соответственных граничных окруж-
окружностей, углы между лучами, идущими из начала в центры круговых
вырезов, и отношения расстояний этих центров от начала, т. е. должны
быть одинаковыми значения, при л = 2 одной, а при л^>2 всего

§ 7] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ БРАУЕРА 241
З/t — 6 независимых величин, определяющих эти области. Во втором
случае аналогичное имеет место у одной из рассматриваемых круго-
круговых областей и у области, полученной из другой преобразованием
/==—. Обратно, если эти требования выполнены, то обе рассматри-
ваемые области, очевидно, однолистно отобразимы друг на друга.
Итак, для того чтобы две специального вида л-связные круговые
области были однолистно отобразимы друг на друга, необходимо
и достаточно, чтобы при л = 2 одна, а при л^>2 Зл — 6 надлежащих
вещественных величин, определяющих одну из этих областей, совпа-
совпадали с соответствующими величинами, определяющими другую. Эти
величины называются модулями рассматриваемых круговых областей,
а также и всех областей, которые на них однолистно отобразимы.
Если разбить все л-связные области на классы, обтадинив в один
класс области, однолистно отобразимые друг на друга, то в каждом
таком классе будут иметься специального вида круговые области
и по предыдущему все классы л-связных областей образуют совокуп-
совокупность, зависящую при л = 2 от одного и при w^>2 от Зл — 6 веще-
вещественных параметров.
§ 7. Доказательство теоремы Брауера1)
Для доказательства теоремы Брауера, формулированной в предыдущем
параграфе, необходимы некоторые дополнительные сведения о простран-
пространстве Rn.
Множество точек x?Rn, координаты которых xt хп удовлетворяют
заданному линейному уравнению
atxt + аах2 +... + апхп = Ь,
где alt «s, ..., ап неравны одновременно нулю, называется п—1-мерной
плоскостью или просто плоскостью Un. Множество всех точек, общих двум
л—1-мерным плоскостям, левые части уравнений которых линейно незави-
независимы, образует п — 2-мерную плоскость в Rn и вообще множество всех
точек, общих к плоскостям с тем же условием, образует п — ^-мерную плос-
плоскость в Rn; п — ^-мерную плоскость в Rn можно рассматривать как п — k-
мерное евклидово пространство.
Пусть x(k){xf\ xf\..., xW), ft = 0, 1,..., л, суть n + 1 точек Rn, не
лежащих в одной плоскости. Множество точек х(хи ..., хп), координаты
которых определяются по формулам
2jf 7 2> A)
j=o
называется n-мерным симплексом, а точки x{k), k = 0, I, ..., п, — его верши-
вершинами. 8) Обозначим этот симплекс через ?. Числа Ху в A) будут однозначными
и непрерывными функциями от х1г ..., хп.
') (Шпернер [1928].>
а) В случае л=1 симплекс есть прямолинейный отрезок, при п —2 —
треугольник, при л = 3 — тетраэдр.

242
ОДНОЛИСТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ [ГЛ. V
Действительно, так как точки дс1*1, k = 0, 1 я, не лежат в одной
плоскости, то определитель
1 > • • •« ¦*л >
-(Я)
1 > •••>
1
не может равняться нулю. А это значит, что система п-\-1 равенств, вхо~
дящих в A), представляет систему я-|-1 линейных уравнений относительно
\р разрешимую однозначно. В результате Ху получаются в виде линейных
функций от координат Х(, 1= 1, ..., я, и, следовательно, непрерывно зависят
от Х{. Множество точек симплекса ?, получаемых из A), когда одно из lj
равно нулю, называется я—1-мерной гранью или просто гранью симплекса
S. Вообще, множество точек симплекса S, получаемых из A), если к из чисел
X/ равны нулю, называется (я— к)-мерной гранью.
(я— ?)-мерная грань симплекса ? представляет собой симплекс (л — ft)-
мерного евклидова пространства — (л — ?)-мерной плоскости, проходящей че-
через вершины симплекса а, лежащие на этой грани. Точка дг??, получаемая
из A) при Х„ = Х, = ... = ХЯ = —т—г, называется центром симплекса ?• В силу
л ~j~ 1
доказанной выше непрерывной зависимости Ху от хи ..., хп, следует, что
любая точка дг?2, получаемая по A) при всех X* не равных нулю, есть
внутренняя точка симплекса ?.
Покажем, что симплекс S можно разбить на конечное число симплексов,
диаметры которых (т. е. максимумы расстояний между любыми парами точек)
меньше любого заданного г > 0, причем разбиение таково, что если два
частичных симплекса имеют общие точки, то множество всех общих точек
есть общая грань какого-либо измерения или вершина этих симплексов.
Такое разбиение можно сделать, например, следующим образом. Рассмотрим
все возможные перестановки у0, jlt ..., }п чисел 0, 1, ..., л. Обозначим
через Е/в. д. •••> ]п множество точек дг?Е, которые имеют представление
A) с X^sgXyjSg; ... «^Хуя. Покажем, что Ед,,^, ...,^л есть симплекс. Действи-
Действительно, пусть E<ft)(Slft). ••., ?„**) (ft = 0, I, ..., л) есть центр (л — ?)-мерной
грани симплекса S с вершинами в J*W>
>, ..., х^п\ Тогда
i = 1 ,...,¦ ft.
B)
Из B) имеем:
следовательно, д«я х{хи ... , хп) имеем:
= t
0

§ 7J
где
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ БРАУЕРА
I=1 п>
243
? = (»+1)\л>.
Отсюда следует, что точка х в том и только в том случае принадлежит
к Еу0, -п Jn, если она принадлежит симплексу с вершинами ?101, б111, ...
... , ?"". Поэтому множество Е;о, jx jn совпадает с этим симплексом.
Симплекс ? разбивается, следовательно, на (п-\-1)\ симплексов Е;о,/j, •••
... ,jn. Два симплекса ?л, Jv ... jn и S^, y;, ••• , /J, имеют общими, лишь те
точки х, для которых среди чисел Хо, Xlf ... , Хя есть равные, т. е. для кото-
которых некоторые из Х^ равны нулю; эти точки составляют общие грани раз-
различных измерений симплексов S/o» ft ja и Sy^, ^ j'. В частности,
все эти симплексы содержат точку ?101. Рассмотрим теперь вопрос о раз-
размерах симплекса ?у0, Jv ... , jn, сохраняя для него выведенные выше обо-
обозначения. Пусть наибольшее из чисел | х^—
1, ... , л, равно d. Тогда имеем
п, i,j' = 0,
:-2^/ = 0 л,
я+Г
(ибо одно из чисел х\^ — J<fy'\j = O, 1, ••• , л, наверное, равно нулю). Отсюда,
если х(хи ... ,
и лтг=
л> то
В частности, для точек ?'*', k = l, 2 п, имеем:
ef'-ef'l
nd
Рассуждая аналогично с п — 1-мерной гранью симплекса Е/о, д, •••/„
с вершинами в б111, ... , ?1П1, докажем, что для точек 5lftl, k = 2, 3 л,
имеем:
И так продолжаем с гранями меньшего числа измерений. В результате полу-
получаем, что все числа |?^'—^'М» ' = 1 п, ], j' = 0, 1, ... , л, не превос-
превосходят . d. Следовательно, величины, соответствующие величине d, для
симплексов ?у0,
не превосходят
. .
d. Если теперь тот же

244 ОДНОЛИСТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОСБЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ [ГЛ. V
процесс дробления на частичные симплексы повторить с каждым из симплек-
симплексов ?у0, Jv ..., jn, затем с симплексами, полученными в результате этого,и т. д.,
то после р шагов симплекс ? разобьется на частичные симплексы, имеющие
друг с другом общими лишь грани различных измерений и такие, что раз-
разности между соответственными координатами вершин каждого из них, по
абсолютной величине, не превосходят числа (—-г-г) Л. Пусть 2' любой из этих
частичных симплексов, имеющий вершины У*' (yf\ ... , у%\ й = 0, 1, ... , п.
Тогда, если
1=0 ;==0
то
(у,
=у 2 & -у'у
f 1 = 1
Отсюда следует, что диаметры всех частичных симплексов, после доста-
достаточно большого числа р шагов дробления, будут не превосходить любого
заданного е > 0. Это и есть искомое дробление симплекса 2.
Для доказательства теоремы Брауера докажем теперь две леммы.
Лемма 1. Если точки п-мерного симплекса S с вершинами x'J',
у=0, 1, ... , п, распределены, по л-f-l замкнутым множествам EJt j = 0,
1, ... , п, таким образом, что: 1) каждая точка л:?Е принадлежит по
крайней мере одному из Ер 2) хЧ> ? Ej и 3) Ej не содержит ни одной точки,
лежащей на грани Sj, с вершинами в х"*\ kz?j, то множества Ej, ./ = 0,
1, ... , л, имеют по крайней мере одну общую точку.
Доказательство. Разобьем симплекс ? любым образом на конеч-
конечное число частичных симплексов о„ <j2, ... , <sp так, чтобы любые два из этих
симплексов имели общими лишь грани какого-либо измерения, и покажем,
что среди uft существует симплекс, содержащий точки из каждого множе-
множества Ej, ] =0, 1, ... , л. Действительно, каждая вершина симплекса и^ лежит
в некоторых из множеств Ej. Если она лежит в множествах Еп, Еп, ?s ,
•vi <v2 < ••• <V T0 e# будем приписывать число чи как координату. Самому
же симплексу <jj приписываем в качестве координат п-\-\ чисел, являю-
являющихся координатами его вершин, а каждой грани—п чисел, являющихся
координатами содержащихся в ней вершин ак. Покажем, что число симплек-
симплексов <sk, у которых все координаты различны, будет нечетное число. Это
утверждение верно в случае я = 1. Действительно, тогда ? есть отрезок,
который конечным числом точек делится на части oft. Координаты их вер-
вершин будут числа 0 и 1. Следуя от вершины Е с координатой 0, первый из

§ 7] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ БРАУЕРА 245
встречных <jft с различными координатами будет иметь координаты @, 1),
следующий — координаты A, 0), затем @, 1) и т.д. (здесь указываются
координаты точек, последовательно встречающихся при движении по ?).
Последний же из таких ak обязательно должен иметь координаты @, 1), ибо
второй конец ? должен иметь координату 1. Это же и показывает, что число
отрезков 9k с различными координатами будет нечетное. Допустим теперь, что
утверждение уже доказано для случая л — 1-мерного симплекса, и докажем
его для л-мерного. Пусть число граней симплекса а^ с координатами @,
1, ... , л — 1) есть tk- Если <s>0, то симплекс aj имеет координаты (О,
!, ... , л—1, а), О^а^п. Если здесь а = п, то, очевидно, tj,= \. Если же
я<л, то tk = 2, ибо координаты всех л-[-1 граней симплекса^ получаются
из @, 1, ... , л— 1, в) выбрасыванием одного числа, а числа @, 1, ... , л— 1)
получим только вычеркиванием дважды встречающегося числа а. Пусть е
есть число всех симплексов <jj с координатами @, 1 л), а/—число всех
<jj, у которых tk = 2. Тогда по предыдущему имеем:
Р
k=\
С другой стороны, если грань частичного симплекса о^, лежащая внутри ?,
р
имеет координаты @, 1, ... , л — 1), то она входит в сумму ^] h Двумя еди-
единицами, ибо каждая такая грань принадлежит двум из симплексов <jj. Пусть
число таких граней, принадлежащих различным <jftl есть g. У грани же сим-
симплекса <j?, лежащей на одной из граней симплекса ?, координаты @, 1, ...
... , л—1) будут только в том случае, если эта грань лежит на sn. Но sn
есть симплекс л—1 измерения, точки которого лежат в совокупности л
множеств sn[\Ej, j = 0, I, ... , л—1, удовлетворяющих условиям 1), 2), 3).
Для случая л — 1-мерных симплексов наше утверждение считается дока-
доказанным. Следовательно, на sn будет нечетное число h граней чк с коорди-
координатами @, 1, ... , п—1). Итак, имеем:
р
S)tk = 2g-{-h. E)
Сравнивая D) и E), получаем е = 2 (g—f)-\-h, т. е. е — число симплексов aj
с координатами @, 1, ... , л)—есть нечетное число; следовательно, сим-
симплексы с координатами @, 1, ... , л) наверное существуют. Каждый такой
симплекс содержит точки из всех множеств Ej, У = 0, 1 л ибо его вер-
вершины принадлежат различным Ej.
Пусть теперь дана последовательность положительных чисел, е& — О,
й = 1, 2, ... . РазЬбьем ? на конечное число симплексов, имеющих общими
лишь грани различных измерений и с диаметрами меньшими еь и пусть
среди частичных симплексов v[ есть симплекс, содержащий точки из всех
множеств Ej, / — О, 1, ... , л. По доказанному, такой симплекс существует.
Разобьем затем ? на конечное число симплексов такого же рода, но с диа-
диаметрами меньшими е4 и пусть а'2 есть симплекс, содержащий точки из всех
множеств Ej. Так продолжаем и далее. Получим последовательность симплек-
симплексов а'„ а'2, ..., содержащихся в ? и имеющих диаметры, стремящиеся к нулю.
По теореме Вейерштрасса, обобщенной на пространство /?„, существует, в ?
точка а, в любой окрестности которой будет целиком лежать бесконечное
число симплексов о^. В силу замкнутости множеств Ej точка а принадле-
принадлежит всем множествам Ej, j = 0, I, ... , л. Этим лемма доказана.
Укажем один способ разбиения симплекса ? на множества Ej, как ука-
указано в лемме 1, при котором множества Ej имеют единственную заданную

246 ОДНОЛИСТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОСБЯЗНыХ ОБЛАСТЕЙ [ГЛ. V
общую точку а, являющуюся внутренней точкой ?. Пусть S имеет пред-
представление A) и точке а соответствуют значения параметров Ху, равные Х^0',
XJ?*=?O, /=0, 1 п. Образуем замкнутые множества Ер у = 0, 1, ..'. , п,
относя к Е] все точки множества ?, для которых в представлении A) имеем
Ху^Ху». Каждая точка множества ? будет лежать по крайней мере в одном
из множеств Е>, ибо иначе при всех 7 = 0, 1, ... , п было бы Х,<Ху01, что
противоречит равенствам У)Х;= ^JH — 1- На том же основании множества
/Го j=o
Ер у' = 0, 1, ... , я, имеют точку а своей единственной общей точкой.
Кроме того, очевидно, что Ej содержит точку x'fl и не содержит точек
грани Sj. Этим замечанием воспользуемся в дальнейшем.
Л в м м а 2. Пусть ограниченное замкнутое множество Ec^Rn по-
покрыто конечным числом замкнутых множеств Еь так, что каждая
точка множества Е принадлежит по крайней мере одному из них. Если
Е содержит единственную точку а, принадлежащую не менее чем n-f-1
множествам Е/,, и эта точка есть граничная точка Е (т. е. не является
внутренней точкой Е), то изменением множеств Еь в произвольно малой
окрестности точки а можно добиться того, чтобы каждая точка мно-
множества Е принадлежала не более чем я множествам Еь.
Доказательство. Пусть S есть симплекс произвольно малого диа-
диаметра, содержащий внутри себя точку а. Симплекс ? можно получить,
взяв любой симплекс и переместив его в Rn так, чтобы какая-либо его
внутренняя точка перешла в в, а затем подобно изменив его около а. Пусть
S есть граница ? (т. е. множество точек всех граней Е) и D = S[)E. D не
содержит точек, общих более чем я множествам Ек. Следовательно, суще-
существует около каждой точки х? D такая окрестность, что пересечение ее
с Е может быть покрыто не более чем я множествами из Еь. По теореме
Сейне — Бореля, обобщенной на Rn, отсюда следует, что существует е>0
такое, что каждый шар радиуса е и с центром в любой точке xf_D состоит
из точек, принадлежащих не более чем л множествам Еь. Покроем теперь
S конечным числом замкнутых множеств Fj, j = \, 2 с диаметром <с
и так, чтобы каждая точка S лежала не более чем в я множествах Fj. Дока-
Докажем, что такое покрытие Осуществимо. Действительно, разбиваем S на
(я—1)-мсрныс симплексы, как обычно, с диаметрами меньшими =-, и затем
представляем каждый такой симплекс как сумму я замкнутых множеств,
имеющих только единственную общую точку и содержащих по одной вер-
вершине каждое. Возьмем одну из вершин частичных симплексов, например Ь,
и пусть она принадлежит симплексам S,-, у = 1, 2 А. Точка Ъ встре-
встречается только в одном из замкнутых множеств, на которые поделен каждый
из симплексов jj/ Следовательно, Ь содержится в А таких множествах,
пусть F'j,j = \, 2, ... , А, лежащих соответственно в ?/. Положим Fk —
h
— (J F^. Такое же рассуждение проводим по отношению ко всем верши-
вершинам частичных симплексов. Тогда S будет целиком покрыта множествами Fk
и каждая точка x?S будет принадлежать не более чем л множествам
F/i, ибо внутренняя точка частичного симплекса принадлежит не более чем
я множествам Fk, на которые он разделен, и, следовательно, не более чем
я множествам Fk, точка же на грани частичного симплекса может принад-
принадлежать только таким F'k, которые содержат вершины этой грани, и, следо-
следовательно, не более, чем я—1 множествам Fk. Кроме того, легко показать,
что диаметры всех множеств F& будут меньше, чем е. Итак, множества F^

§ 7] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ БРАУЕРА 247
дают требуемое покрытие для S. Присоединим теперь множества Fk к мно-
множествам Еь следующим образом. 1) Если Fk не содержит точек из D, то
присоединяем его к какому-нибудь из множеств Ek. 2) Если же Fk содер-
содержит точки из D, то присоединяем Fk к одному из множеств Е^ к которому
такие точки принадлежат. Покажем, что и теперь каждая точка x?S при-
принадлежит не более чем п множествам Ек. Действительно, точка x?S, не
принадлежащая D, находится не более чем в я множествах F^, а потому
принадлежит теперь не более чем п множествам Е^. Если же точка x?D,
то она лежит не более чем в п первоначальных множествах, в Elt Ea, ...
... , Ef, /=^я. С другой стороны, х лежит в некоторых множествах Fk,
пусть, например, в Flt Fa, ... , Fg, g^h. Множества Flt ... , Fg лежат
в шаре с центром в л: и радиуса е. Но по нашему построению этот шар
содержит точки не более чем из п первоначальных множеств Еь, пусть
множеств Еи'Еа, ... , ?д, /^A =gп. По 2) множества Flt ... , Fg присоеди-
присоединяются к некоторым из множеств Et Е/,. Следовательно, точка x?S
может принадлежать не более чем п измененным множествам Еъ, а именно
некоторым из этих множеств, содержащим первоначальные множества Я1(...
..., Е/,. Итак, действительно, после присоединения множеств Fk к множе-
множествам ?j каждая точка x?S принадлежит не более чем л множествам Еъ.
Так как а есть граничная точка множества Е, то существует внутрен-
внутренняя точка с симплекса ?, не принадлежащая Е. Распределим точки симп-
симплекса S, а следовательно, перераспределим точки множества К=Е{})± по
множествам ?д следующим образом: если точка х ? S» принадлежит множест-
множествам ?Vj, ?„а ?„ , р^п, то и весь отрезок сх (одномерный симплекс)
принадлежит всем этим множествам и только им. При таком новом покры-
покрытии множества Е{]^ точка с будет единственной точкой, которая может
принадлежать более чем п множествам ?ft. Но с не лежит в Е. Следова-
Следовательно, Е не содержит точек, принадлежащих более чем п множествам Е^.
Лемма доказана.
Теорема Брауера. При топологическом отображении множества
E<^.Rn на множество Е' cz R'n, внутренним точкам множества Е соот-
соответствуют внутренние точки множества Е'.
Доказательство' Пусть а есть внутренняя точка множества Е и
пусть ? есть произвольно малый симплекс, лежащий в ? и имеющий точку а
своей внутренней точкой. Точке а соответствует в Е' некоторая точка а',
а симплексу ?—некоторое множество S'c^f. Покажем, что а' есть внут-
внутренняя точка множества S'- Действительно, заключим S в п-\-\ частичных
замкнутых множеств Ej, У —0, 1, ..., л, так, чтобы Ej,j = 0, 1 л, содер-
содержало только одну вершину и ни одной точки противоположной грани и
чтобы а была единственной точкой, принадлежащей всем множествам Ej.
При отображении Е на Е' множествам Ej соответствуют в S' замкнутые
множества E'j, имеющие единственную общую точку а'. Если бы d была
граничной точкой для Е', а следовательно, и для S', то по лемме 2, изме-
изменением множеств E'j в окрестности d мы добились бы того, что множества
E'j,j — 0, 1 л, не имели бы общей точки. При таком покрытии и соот-
соответственные измененные замкнутые множества Ej не имеют общих точек
и в то же время удовлетворяют условиям леммы; этого, однако, не может
быть. Это противоречие и доказывает теорему.

ГЛАВА VI
ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОСВЯЗНЫХ
ОБЛАСТЕЙ НА КРУГ
§ 1. Конформное отображение многосвязной
области на круг
В § 1, гл. II было показано, что в многосвязной области не может
существовать регулярной функции, которая отображала бы эту
область взаимно однозначно на круг | С | <^ 1. Рассмотрим теперь
в многосвязной области В наряду с регулярными функциями и функции,
продолжимые вбпо любому пути; при этом под такой функцией пони-
понимается начальный элемент функции и всевозможные его аналитиче-
аналитические продолжения в В. Тогда, как будет сейчас доказано, среди этих
функций существует функция, обладающая свойством, что все значе-
значения, которые она принимает в В, лежат в круге |С|<[1 и что
каждое значение из круга | С | <[ 1 принимается функцией точно
в одной точке области В. Соответствие, которое устанавливает эта
функция между точками области В и точками круга |С|<^1> будем
называть конформным отображением области В на круг |С|<[1;
конформность следует из того, что все элементы отображающей
функции будут однолистны в соответствующих областях и, следова-
следовательно, их первые производные нигде не обращаются в нуль (если
говорить о конечных точках). Отображающая функция, будучи регу-
регулярной в каждой точке области В, не будет в В однозначной, ибо
иначе она устанавливала бы взаимно однозначное отображение области
В на круг |С|<[1> а такого отображения, как уже сказано, не может
быть. Что касается обратной функции, то в случае конечной области
В она будет продолжима в круге | С | <^ 1 по любому пути и, следо-
следовательно, является в | С К1 регулярной функцией.
Прежде чем перейти к доказательству возможности указанного
отображения многосвязной области на круг, отметим сначала исклю-
исключительный случай, когда этого отображения не существует. Это
будет случай, когда область В представляет всю плоскость z с двумя
выключенными точками, например а и Ь. Действительно, считая, без

§ 1] КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ М.НОГОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ 249
ограничения общности, а и ft конечными, видим, что в этом случае
функция t=\og . продолжима в В по любому пути и отобра-
отображает область В на плоскость t с выключенной точкой оо, причем
обратная функция z = <f(t) регулярна в этой плоскости; поэтому,
если бы существовала функция ?=/(z), конформно отображающая
область В на круг |С|<[1, то функция ?=/(<р(?)) была бы регу-
регулярна в 111<[оо и там по модулю не превосходила бы единицы,
а этого не может быть.
Переходим теперь к доказательству основной теоремы.
Теорема.1) Всякая область В плоскости z, имеющая более
двух граничных точек, может быть конформно отображена на
круг | С | <С * так, что заданной точке zo? В и заданному направ-
направлению в ней соответствует (для основного элемента отобра-
отображающей функции) точка ? = О и положительное направление
вещественной оси. Указанное отображение единственно.
Доказательство. Отметим сперва, что область В можно
отобразить на область В*, целиком лежащую в |?|<СЬ так, что
каждой точке В* соответствует точно одна точка из В. Действи-
Действительно, пусть z = a, b, с — три граничные точки области В. Дробно-
линейным отображением перейдем с плоскости z на плоскость t
так, чтобы точки z = a, b, с перешли в точки ? = 0,1,оо. При этом
область В перейдет в некоторую область В%, не содержащую точек
? = 0,1,оо. Поэтому функция Z. = \(t), обратная к модулярной функ-
функции t = p(z) (см. § 6, гл. II), продолжима в Вщ по любому пути,
а значения, которые она при этом принимает, все лежат в круге
|С|<[ 1 и заполняют некоторую область В*. При этом каждой точке
области В* соответствует здесь в качестве прообраза только одна
точка области Вщ, а следовательно, и одна точка из В. Дробно-
линейным отображением круга | С К 1 в себя можно всегда достиг-
достигнуть, чтобы при этом точке z0 и заданному в ней направлению соот-
соответствовала точка J==0 и положительное направление вещественной
оси (точке z0 могут соответствовать, кроме того, и другие точки
из К|<1).
Доказательство теоремы свелось к доказательству ее для случая
области В, лежащей в круге |z|<4, причем заданная точка z0 ^ В
и заданное направление в этой точке суть z = 0 и направление поло-
положительной вещественной оси. В этом случае рассмотрим множество
3R = {f(z)} всех функций f{z): 1) заданных основными элементами
около z = 0, для которых /@) = 0, /'@)^>0, 2) продолжимых в
В по любому пути, 3) значения, которые эти функции принимают
в В в результате аналитического продолжения, все лежат в
') Теорема исходит от Пуанкаре. Радо в работе A922—1923а] заметил,
что идея доказательства теоремы Римана, проведенного в § 2, гл. И,
может быть использована и при доказательстве этой теоремы.

250 ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ НА КРУГ [ГЛ. VI
и 4) каждое значение С l^l^b принимается каждой функцией
не более чей в одной точке области В.
Примером таких функций может служить функция f(z) =
= az, 0<[as^ 1.
Поставим следующую экстремальную задачу: среди всех функций
/(г)^Ш найти ту, у которой величина /'(О), вычисленная для
основного элемента функции, имеет наибольшее значение. Так как
существует круг | г \ <^ р, р ^> 0, целиком лежащий в В, то в этом
круге основной элемент каждой функции f(z) ^ tSfl будет регулярен
и по модулю меньше единицы. Отсюда, по лемме Шварца, имеем
/"@)^ — . Это показывает, что числа/'@) имеют конечную верх-
верхнюю границу, которую обозначим а. Очевидно, а^1. Существует
последовательность функций fn(z)?Wl, л=1, -2, ..., таких, что
/'„(О)-*а. По принципу сгущения из основных элементов функций
fn (z) можно выделить подпоследовательность, равномерно сходя-
сходящуюся внутри круга | z | <^ р к регулярной функции /0 (z), которая
не равна тождественно постоянной, ибо _/о(О)=а]>О. Если выделен-
выделенные элементы продолжать теперь в В по различным путям, то шаг
за шагом убедимся, по теореме Витали, что получаемые аналитиче-
аналитические продолжения будут сходиться к соответственным аналитическим
продолжениям функции /0 (г). Следовательно, функция /0 (z) продол-
жима в В по любому пути и всюду |/о(г)|^1. Покажем, что
С=/0(г) принимает в В каждое значение из круга КК!1 не более,
чем в одной точке. Действительно, допустим, что существуют в В
две точки zt и zit zt ф zt, в которых /0 (zi) =/0 (zj) = с. Здесь /0 (z{)
и /«(^а) — значения в точках Z\ и zt некоторых элементов функции
/о (г), полученных из основного элемента аналитическим продолже-
продолжением по некоторым путям /t и /2, лежащим в В. Пусть круги
\г — zi\<C* и \z — *«I<Ce не имеют общих точек, целиком лежат
в В и таковы, что ни внутри них, кроме центров, ни на границах
те же элементы не принимают значение с. Пусть на окружностях
\z — zt\ = e и \z — zt\ = e имеем \fo(z)~c\^>m, /я>0, и пусть
k такое, что на тех же окружностях \fnk(z)—A(z)\<^m. Тогда из
fnk(z) — c = ifnkiz)~/о(-г)) + (/о(-г) — с) по теореме Руше заклю-
заключаем, что функция fnk(z) принимает значение с в двух точках
области В, что невозможно. Утверждение доказано. Докажем теперь,
что' функция /0 (z) дает отображение, указанное в теореме, а именно,
что она принимает в В каждое значение С, |С|<С !• Если бы существо-
существовало с, | с К1, такое, что f(z) ф с в В, то, обозначая через * = 9 (С)
функцию, использованную в § 2, гл. II, и отмечая, что она продол-
жима в 1С|<^1 п0 любому пути, не проходящему через с, и что
ср(О) = О, ?'@)>1> видим, что функция F (г) = <? (/„ (z)) ?j Ш и
F @) =/о @) ср' @) ^> а, что невозможно.

¦j 1] КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ 251
Остается доказать единственность отображения, указанного в тео-
теореме. Если C=/iB) и С =/2 (г) — две функции, дающие такое
отображение, то функция С =/i (/>"' (С) ) = <р (С) и обратная ей функ-
функция ?=/2(/Г1(С)) будут регулярны соответственно в кругах | С|< 1 и
|С|<О; поэтому, функция ?' = ср(С) отображает круг|С|<^1 взаимно
однозначно в себя и притом так, что ср(О) = О, ср'@)]>0. Но тогда
<р(С) = С, т. е. /i (z) =/j (z). Теорема доказана.
Пусть теперь t,=f(z) — функция, дающая отображение, указанное
в предыдущей теореме, a t. = F(z) какая-либо другая функция,
отображающая область В на круг, но уже не подчиненная тем же
условиям нормирования, как t.=f(z). Тогда функция {.'= F(f~l (?))
будет отображать круг | С | <^ 1 взаимно однозначно в себя и, следова-
следовательно, должна быть дробно-линейной функцией. Таким образом,
F (г) = . ?. ~_Г%, т. е. любая другая отображающая функция выра-
выражается дробно-линейно через f{z). В частности, если взять в точке
z0 два различных элемента одной и той же многозначной отобра-
отображающей функции f{z) и продолжать их по всевозможным путям,
лежащим в В, то получатся две функции — две ветви f(z), обе
конформно отображающие область В на круг |С|<]1. Из сказанного
следует, что эти ветви выражаются дробно-линейно одна через другую.
Итак, все ветви многозначной отображающей функции могут быть
представлены через одну из них дробно-линейно, причем соответ-
соответствующие дробно-линейные функции отображают круг | С К1 в себя.
Это заключение дает возможность глубже изучить характер много-
многозначности отображающей функции f(z). Пусть /0 (г) — одна из вет-
ветвей функции f(z). Обозначим ?' = ,S(C) = ^yjtjj, или короче через 5
дробно-линейную функцию, переводящую ветвь /0 (г) в ветвь Д (г),
т. е. f*(z) = Sfa(z), и покажем, что множество О всех „подстановок"
S, соответствующих всевозможным ветвям функции f(z), образует
группу.
Действительно, если ветвь Sif0 (z), Si ^ 0, продолжать по замкну-
замкнутому пути, при "продолжении по которому из ветви /0 (z) получаем
ветвь Sj/o (z), Si ?; ft то в результате получим новую ветвь SiSifo (z)
функции f(z). Поэтому SySi^Q. Аналогично, если ветвь fo(z)
продолжить по замкнутому пути, при продолжении по которому из
/о (z) получаем ветвь 5/0 (z), S ?Q, но в обратном направлении, то
получим некоторую ветвь /„. (z) = S^fa \z), S* ?j Q, а из Sfo(z) полу-
получим опять ветвь fa(z) и в то же время ветвь SS%far(z), т. е. имеем
/0 (z) = 55* Л (г), откуда 5* = 5'; следовательно, S~l?Q. Итак, О
есть группа; отметим, что единицей этой группы является тождест-
тождественная подстановка.
Что касается функции 2 = cp(Q, обратной к (,=f(z), то в случае,
когда В не содержит оо, она будет продолжима в |!^|<^1 по любому

252 ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ НА КРУГ [ГЛ. VI
пути, а следовательно, будет регулярна в |С|<^1. Отсюда заключаем,
что в общем случае она имеет в | С | <^ 1 особыми точками лишь
полюсы, т. е. является в | С | <С 1 мероморфной функцией. Из соотно-
соотношения z = <f(f(z)) следует, что 9 (S/o С2) ) = 9 (/о С2)) или <рEС)=
= 9 @> S^O. Это показывает, что функция 9 (Q не изменяется от
подстановок группы О и поэтому является автоморфной функцией
с группой О.
Выше было отмечено, что все подстановки группы G оставляют
без изменения окружность |С| = 1. Покажем теперь, что неподвижные
точки всех этих подстановок лежат на | С | = 1; при этом под непод-
неподвижными точками подстановки 5 понимаются точки i, удовлетворяющие
уравнению 5С=С У каждой дробно-линейной подстановки (отличной
от единицы) их не более двух. Допустим, что данная подстановка
S(~G имеет неподвижную точку а, |а|<^1. Тогда другой непод-
неподвижной точкой 5 будет, очевидно, —. Но из ?а = а следует, что в
достаточно малой области 0 <^ | С — а | <^ 5 будет SC ф <*• Пусть
| 5С — а|^>«, т^>0, на |С — а| = 8 и пусть р любое из области
0<|С —а|О. Так как5@ —р = E(С) —о) + (о —р), то по тео-
теореме Руше функция S @ — ?) имеет в круге | С — а | <^ 8 нуль f> "Ри-
чем -\фо.,р. Из 5(f) = P следует <р(т) = <Р(Р)- Н° последнего при
достаточно малых 8 и т не может быть, ибо 9' (а) Ф 0 и, следова-
следовательно, функция 2 = 9@ отображает достаточно малую окрестность
точки С = <* однолистно. Это противоречие приводит к заключению,
что в |С|<О> а следовательно, и в |С|]>1 не может быть непод-
неподвижных точек подстановок S (^G, т. е. неподвижные точки всегда
лежат на |С| = 1.
Если нетождественная подстановка S ? G имеет две неподвижные
точки на |?|=г1, то она называется гиперболической подстановкой,
а если одну, то параболической. Покажем, что как в первом, так
и во втором случае, в ряде подстановок & 5* 5*,... нет тождествен-
тождественной подстановки.
Действительно, если 5 есть гиперболическая подстановка с непод-
вижными точками Ct и Cs> то, введя подстановку ?=Г(С) = -р—р,
видим, что С'= TST'l(Q будет дробно-линейной подстановкой с непод-
неподвижными точками 0 и оо. Поэтому С' = аС и, следовательно, Г5(С) =
= аГ(С). Последнее показывает, что подстановка t,' = S(Q получается
из уравнения
^ 4^ С1)
Теперь, если в A) точка С находится на |С| = 1, то и точка С
должна находиться на |С'|=1; поэтому аргументы arg-рт—р1 и

$ I] КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ 253
arg r J-, выражающие углы, под которыми виден отрезок (.J^ из
точек С и С равны. Отсюда заключаем, что а^>0. Кроме того, аф\,
ибо иначе С = С, чего не может быть. Итак, рассматриваемая подста-
подстановка 5 получается из уравнения A) решением его относительно С,
причем а положительно и отлично от единицы. Что касается подста-
подстановки ^ = Sa(a (w = ztl, ±2,...), то она, очевидно, получается из
уравнения
и поэтому всегда отлична от тождественной подстановки. Кроме того,
из B) следует, что последовательности функций 5"С и S~% при
п-**-\-оо сходятся к константам ^ и Са и притом равномерно на
любом замкнутом множестве, не содержащем точек ^ и ^ последнее
заключение будет необходимо для § 2.
Аналогично, если 5 есть параболическая подстановка с непод-
неподвижной точкой ?1( то, введя подстановку t=T(Q=y—-, видим, что
Z=TST~1(ty есть, подстановка с единственной неподвижной точкой
оо. Поэтому C = t-)-a и, следовательно, TS(Q — T(Q-{-a, причем
а = const. Это показывает, что подстановка ?;' = 5С получается из
уравнения
J__
с—с,— с-
где а Ф 0, так как иначе С = С что невозможно. Подстановка же
С = 5"С (и = ± 1, ± 2,...) определяется уравнением
и поэтому, опять ни при каком л не может быть тождественной
подстановкой. Отметим, что здесь при п-**-\-оо последовательности
функций ?"? и S'X равномерно сходятся к ^ на любом замкнутом
множестве, содержащем точку d.
Доказанное свойство, в частности, показывает, что О есть беско-
бесконечная группа, т. е. содержит бесконечное число различных подста-
подстановок, a f{z) является в В бесконечно многозначной функцией. Функ-
Функция же <? (С) принимает в | С | <^ 1 каждое значение из В в бесконеч-
бесконечном множестве точек. Все точки круга|С|<^1, в которых функция
? (С) принимает одно и то же значение, называются эквивалентными
точками. Каждая точка а, |а|<^1, имеет бесконечное множество эк-
эквивалентных себе точек; все они получаются друг из друга подста-
подстановками группы О. Так как эти точки являются нулями функции
?(?)—<р(°0> то они не имеют точек сгущения в |?|<Ч. Отсюда,
и частности, следует, что группа О счетная.

254 ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ НА КРУГ 1ГЛ. VI
Поскольку функция f(z) не однозначна в В, то возникает вопрос,
какому условию должен удовлетворять путь /, лежащий в В, исходящий
из некоторой точки z0 и возвращающийся в эту точку, чтобы, следуя
по нему с каким-нибудь элементом функции f(z), возвратиться в точку
г0 с тем же элементом. Рассмотрим случай, когда В не содержит
оо. Если, следуя по / от г0 с каким-нибудь элементом f(z), мы воз-
возвращаемся в г0 с тем же элементом, то соответствующая точка
С =/B), исходя из некоторой точки Со> возвращается опять в С
описав в | С | <^ 1 некоторый замкнутый путь Л Путь Г можно
непрерывной деформацией, например, подобием, свести в точку,
не выходя из |?|<^1. При этой деформации и прообраз /, непре-
непрерывно деформируясь, не выходя из В, очевидно, также сведется
в точку. Покажем, что и обратно, если путь / можно непрерывной
деформацией свести в точку, не выходя из В, то, следуя по нему
с любым элементом функции f(z), мы всегда вернемся в исходную
точку с тем же элементом f(z). Действительно, иначе при такой
деформации соответствующий путь Г, непрерывно деформируясь
в |С|<^1, будет идти от точки Q, к некоторой другой точке, ей
эквивалентной, и не может свестись в точку. Итак, для того чтобы,
следуя в В по замкнутому пути с каким-нибудь элементом функции
f(z), мы возвратились в исходную точку с тем же элементом f(z),
необходимо и достаточно, чтобы этот путь мог быть сведен непре-
непрерывной деформацией в точку, не выходя из В. *)
В заключение остановимся еще на построении римановой поверх-
поверхности, связанной с рассматриваемым отображением, ограничиваясь при
этом случаем конечносвязной области В.
Если область В «-связная, то сделаем ее односвязноЦ посредством
л—1 надлежащих поперечных разрезов (ломаных линий). Взяв затем
бесконечное множество экземпляров так разрезанной области В и
считая их лежащими друг над другом, выберем любой из них за
основной и обозначим его через Во. К Во присоединяем вдоль каждого
берега каждого разреза по одному из остальных экземпляров, при-
причем соединение, т. е. склеивание, производим вдоль противоположных
берегов разрезов. В результате получим Bл—1)-листную поверх-
поверхность Вь лежащую над областью В и имеющую Bл — 3) Bл — 2)
свободных берегов разрезов, т. е. берегов, по которым не произве-
произведено склеивание. Далее, присоединяем вдоль этих берегов снова по
одному из неиспользованных еще экземпляров разрезанной области В,
причем склеивание опять производим по противоположным берегам
разрезов. После этого получим новую поверхность ?4 с конечным
числом листов и имеющую некоторое число свободных берегов раз-
11 Если В содержит оо, то аналогичное условие должно выполняться
на сфере Римана.

* 2J СООТВЕТСТВИЕ ГРАНИЦ 255
резов. Продолжая так далее без конца, в пределе получим беско-
бесконечно листную риманову поверхность Всо-
Если начальный элемент fo(z) отображающей функции f(z) рас-
рассматривать определенным в области Вй, то аналитическое продолже-
продолжение этого элемента в В тождественно с аналитическим продолжением
его на поверхности Д», причем в результате всевозможных аналити-
аналитических продолжений f(z) на поверхности Вся, очевидно, на этой
поверхности получается однозначная функция. Следовательно, изучен-
изученная выше функция ?=/(;г) дает также взаимнооднозначное отобра-
отображение поверхности Д» на круг |С|<О- Поверхность Д» носит на-
название универсальной поверхности наложения области В. Ранее по-
построенная модулярная поверхность (см. § 6, гл. II) является по этой
терминологии универсальной поверхностью наложения для области,
представляющей плоскость с выключенными точками 0, 1, оо.
§ 2. Соответствие границ при отображении
многосвязной области на круг
В § 1 мы исследовали функцию f(z), конформно отображающую
данную многосвязную область В на круг |С|<^1, лишь внутри В.
Если теперь точку z приближать к границе области В, то легко по-
показать, что соответствующие точки ? будут равномерно приближаться
к окружности |?|=г1; иначе говоря, для любого е^>0 существует
8^>0 такое, что если расстояние точки z(^B до границы В
меньше Ь, то расстояние соответствующей точки ? от |?|=1
меньше е. Действительно, если Е есть множество всех точек z ?В,
которые соответствуют точкам круга | С | ^ 1 — е, то достаточно за i
взять расстояние множества Е до границы области В. При более
глубоком изучении поведения функции f(z) при приближении точек z
к границе области В ограничимся рассмотрением случая конечно-
связной области В. Такую область можно легко однолистно отобра-
отобразить на область, ограниченную аналитическими замкнутыми кривыми
Жордана и изолированными точками. При этом отображении соот-
соответствие границ уже изучено раньше. Поэтому, для наших целей
достаточно в дальнейшем рассмотреть лишь область В с границей,
состоящей из замкнутых аналитических кривых Жордана и изолиро-
изолированных точек.
Пусть а есть изолированная граничная точка области В, которую
можно считать конечной. Пусть в круге \г — а|<:г нет других гра-
граничных точек области В, кроме а. Если обойти окружность
l:\z — а\ = г один раз в положительном направлении, то при таком
обходе ветвь fQ(z) функции f(z) перейдет в ветвь Sofg(z), где 50
есть одна из подстановок группы О, рассмотренной в § 1, причем
Sq jt 1. Если же / обойти п раз в том или в другом направлении,
то в конце обхода вернемся в исходную точку с элементом Sfnf0(z).

256 ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ НА КРУГ [ГЛ. VI
Докажем, что подстановка So параболическая. Допустим противное,
что So есть гиперболическая подстановка с двойными точками ^ и ^,
Ci Ф Са, на |С| = 1. Если, исходя из некоторой точки на /, с ветвью
/о (г) совершать бесконечное число раз обходы по кривой / в обоих
направлениях, то соответствующая точка С опишет в круге | С | <^ 1
кривую X, приближаясь к окружности | ? | = 1 и именно к точкам ^
и Сз- Продолжая /0(г) в 0<| z — а|<^г по любому пути, видим,
что все значения, которые функция будет при этом принимать, лежат
в одной из областей, пусть Вь на которые кривая X делит круг
|С|<^1. Если г непрерывно стремить к нулю, то соответствующие
кривые X, все время проходя через Ci и Сз, покроют при этом
область Ву. Это показывает, что обратная функция tp(Q, регулярная
и ограниченная в Bit равномерно стремится к постоянной на после-
последовательности дуг, соединяющих точки Ci и t^. Отобразив область By
на круг |^|<^1 и использовав лемму 1, § 3, гл. II, убедимся, что
<р (С) = const, чего, однако, не может быть. Это и доказывает, что 5
должна быть параболической подстановкой. Если Q, — ее двойная
точка на |?| = 1, то рассмотренная выше кривая X должна быть
замкнутой кривой в ЦК!1! имеющей "с окружностью |С| = 1 един-
единственную общую точку О,. При г, лежащих внутри /, соответствую-
соответствующие точки С лежат внутри кривой X. Но при г-**0 кривая X стяги-
стягивается в точку Q). Следовательно, при приближении z к а ветвь /0 (г)
равномерно стремится к ?0. Если приближаться к а с другой ветвью
Sfo(z) функции f(z), то соответствующая точка t,=Sfo(z) будет
приближаться к точке S^. Итак, при приближении z к а функ-
функция f(z) может иметь своими предельными значениями только точки
|| ?
В случае, если вся граница области В состоит только из изоли-
изолированных точек, из предыдущего следует, что при приближении
к границе области В функция f{z) может иметь предельными значе-
значениями лишь значения из некоторого счетного множества чисел, явля-
являющихся надлежащими точками на | С | = 1. Отсюда следует, что если
С описывает в круге | С | <С 1 путь, оканчивающийся на окружности
| ? | = 1 в какой-либо точке, отличной от этих точек, то соответству-
соответствующая точка ? = cp(Q описывает путь, который не может оканчи-
оканчиваться в определенной точке. Итак, в рассматриваемом случае функ-
функция ер (С) нигде на |?|;=1, за исключением счетного множества точек,
не имеет определенных предельных значений при приближении С из
то
о
Пусть теперь f(i — замкнутая кривая, входящая в состав границы
области В. Окружим Ку кривой Жордана /, лежащей в В и образу-
образующей с К\ двухсвязную область В', состоящую только из точек
области В. Если обойти кривую / с ветвью /0(г) один раз в поло-
положительном направлении, то придем в исходную точку с некоторой
ветвью 5|/0(г); если же обойти / несколько раз в том или другом

§ 2] СООТВЕТСТВИЕ ГРАНИЦ 257
направлении, то придем в исходную точку с ветвью ^"/оС2). Здесь
5i — некоторая подстановка группы О, отличная от тождественной
подстановки. Если совершать с ветвью /0B) беспредельно обходы /
в обоих направлениях, то соответствующая точка С опишет в круге
| С | = 1 кривую Жордана X, оканчивающуюся в двойных точках Ci и
Cj подстановки S\ (которые пока могут и совпадать). Продолжая.
/0 (г) внутри области В', получим там многозначную функцию. Если
область В' посредством разреза перевести в односвязную область, то
в этой области все ветви многозначной функции будут однозначны и
будут отображать ее взаимно однозначно на области, прилегающие
друг к другу и целиком заполняющие одну из областей, пусть Вь
на которые кривая X делит круг |С|<С^- При указанных отображе-
отображениях имеет место взаимно однозначное и непрерывное соответствие
границ. Поэтому, дуги, соответствующие кривой Кь лежат на | С | = 1
и в своей совокупности целиком покрывают дугу CiCa- На 1С 1 = 1,
кроме дуги CiC* будут иметься и другие дуги, таким же образом
происхрдящие от других ветвей (кроме Sf/oC2)) функции f(z),
а также от других кривых, составляющих границу области В (за
одним исключением, указанным ниже). Эти дуги не могут налегать
друг на друга, ибо- иначе области, аналогичные области By, имели
бы общие точки, в то время как области, аналогичные области В',
или не имеют общих точек или же рассматриваемые в них ветви
функции f(z) не совпадают ни в одной их точке. Отсюда следует,
что дуга CiCa» не сводящаяся в точку, не может покрывать и полную
окружность |С| = 1, т. е. Cit^Cs- Исключением будет только случай,
когда В есть двухсвязная область, одна из границ которой есть изо-
изолированная точка, ибо в этом случае группа О состоит из степеней
одной ее подстановки, которая будет параболической. Итак, исключая
этот последний случай, можем утверждать, что рассмотренная выше
подстановка 5t — гиперболическая. Если точка z ? В приближается
к некоторой точке на /Си описывая непрерывную кривую, то соответ-
соответствующая точка С, определяемая любой ветвью f(z), опишет в | С | <^ 1
кривую, оканчивающуюся во внутренней точке одной из дуг, полу-
получаемых по типу дуги CiCa- Если же точка z приближается к К по
кривой, бесконечное число раз окружающей /С, то соответствующая
точка С опишет в | С| <С * кривую, оканчивающуюся в одном из
концов тех же дуг.
Из сказанного следует, что если граница многосвязной области В
состоит не только из изолированных граничных точек, то точки на
|С|=1 делятся на четыре класса:
1) внутренние точки всех дуг, определяемых по типу дуг CiCa-
Каждой такой точке соответствует единственная неизолированная
граничная точка области 23 и в каждой из них tp(Q регулярна;
2) точки типа Сь Се — двойные точки гиперболических подстано-
подстановок группы О. Таких точек счетное множество;
9 Г. М. Голузии

258 ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ НА КРУГ [ГЛ. VI
3) точки типа ?0 — двойные точки параболических подстановок
группы О. Их также счетное множество;
4) все остальные точки на |?| = 1.
Эта классификация проведена с точки зрения поведения функции
в окрестности окружности | С | = 1. Если при приближении точки С,
|С| = 1, к точке а, |а| = 1, функция ср(С) стремится к определенному
пределу, то точка а будет класса 1) или 3), ибо тогда при С-»-а
точка г = ср(С) стремится к некоторой точке на границе области В
и, следовательно, соответствующая ей точка С стремится или к вну-
внутренней точке одной из дуг типа дуги CiCa или же к одной из точек
типа ?0. Покажем, что почти все точки на окружности | С | = 1 будут
точками класса 1), т. е. что сумма длин всех дуг типа дуги CiCa равна 2тс.
Действительно, расположим эти дуги в последовательности ^.[kKf\
А=1, 2, ... Пусть Hft(C) (k = l, 2, ...) есть ограниченная гармони-
гармоническая в | С | <С 1 функция, равная 1 на дуге QfVP и равная О
в остальных точках на |?| = 1. Эта функция строится по формуле
Пуассона')
B)
с()с(>
Рассмотрим ряд
При ? = 0 этот ряд, очевидно, сходится. Далее, обозначив через
sn (?) сумму п первых его членов, видим, что в | С | < 1 будет
sn^)<sn+i©' Отсюда по теореме Гарнака следует, что ряд B) рав-
равномерно сходится внутри круга | С | <С 1 и его сумма s (С) есть гармо-
гармоническая функция в |С|<О-
Кроме того, из A) и B) следует, что в | С | <^ 1 имеем
2ic
Если теперь С стремится к внутренней точке дуги ^-'С^', то sft(C)—*¦ 1
и из sk (С) ^ s (С) s^ 1 следует, что тогда и s (С) -> 1. Далее, если круг
| С | <С 1 отобразить в себя посредством подстановок группы О, то
дуги С!*^*) переходят при этом друг в друга (поскольку только
на этих дугах ср (С) имеет определенные предельные значения), и, сле-
следовательно, функция s(C) инвариантна относительно преобразований
группы Q. Последнее показывает, что если перейти с круга | С | <С 1
на область В посредством функции г = ср(О, то в В получим одно-
*) Впрочем, эта формула доказывается также в гл. IX.

§ 3] ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ И ФУНКЦИЯ ГРИНА 259
значную гармоническую и ограниченную функцию s(f(z)), равную
единице во всех неизолированных граничных точках. Такая функция
тождественно равна единице в В, ибо иначе она достигла бы макси-
максимума или минимума внутри В или при приближении к изолированным
граничным точкам, чего по принципу максимума и началу следующего
параграфа не может быть.
Следовательно, s (С) = 1 в | ? (<^ 1. Но
так что 2ДЛ* (?i*^iw)= 2гс. Это и требовалось доказать.
и=\
§ 3. Задача Дирихле и функция Грина
Вещественная функция, которая конечна, однозначна и непрерывна
вместе со своими вторыми производными') в области В плоскости z
и которая удовлетворяет в В уравнению Лапласа, называется гармо-
гармонической функцией в В. Такая функция может быть рассматриваема
как вещественная часть некоторой аналитической функции, которая
продолжима в В по любому пути. Функция называется гармонической
в точке, если она является гармонической в некоторой области, содер-
содержащей эту точку. Отметим, что если и (z) — гармоническая функция
в достаточно малой окрестности точки z = a, за вычетом самой
точки а, и если в этой окрестности она ограничена снизу, т. е.
и(z)^zт (или сверху, т. е. u(z)^M), то она будет гармонической
и в z = a, если ее доопределить надлежащим образом в z = a.
Действительно, пусть v (z) есть сопряженная функция, а ш — прира-
приращение функции v (z) при обходе точкой z один раз достаточно ма-
малой окружности \z — а | = е (или достаточно большой окружности
|z| = #, если а=оо). Функция F(z) = e~ ш с одним из зна-
знаков ± будет тогда регулярна и ограничена в рассматриваемой ок-
окрестности точки z = a, но тогда при надлежащем задании значения
F(a) она регулярна и в самой точке а, причем F (а), очевидно, отлично
от нуля. Поэтому, функция u-\-iv также регулярна в z = a, а функ-
функция и (г) будет гармоническая в z = a. Из установленного свойства
следует, что функция u(z), гармоническая и ограниченная в области В,
1) О производных здесь говорится только в конечных точках.
Впрочем, иногда в следующем гармоническими функциями будут называться
и многозначные функции, но тогда любая их ветвь будет однозначной в лю-
любой достаточно малой окрестности каждой точки области В.

260 ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ НА КРУГ {ГЛ. VI
будет гармонической во всех изолированных граничных точках, если
ее надлежащим образом доопределить в этих точках.
Принцип максимума гармонических функций допускает важное
обобщение. Именно, если функция и{г) является гармонической
и ограниченной сверху в области В (т. е. ее значения в В не пре-
восходят некоторой конечной константы.) и если при приближе-
приближении точки z области В к любой граничной точке этой области,
за исключением конечного их числа, все ее предельные значения
не превосходят М, то всюду в В имеем и {z) <; М. (Аналогичное
обобщение имеет место и для функций, ограниченных снизу).
Действительно, область В можно считать содержащей точку оо.
Пусть ai,..., an — указанные выше исключительные точки и пусть
Н— диаметр границы области В. Возьмем любое е ^> 0 и рассмотрим
функцию
гармоническую в В. При приближении к граничным точкам, отлич-
отличным от at, ..., аю эта функция имеет неотрицательные предельные
значения, ибо каждое слагаемое в последней сумме имеет предельные
значения 5=0. При приближении же к одной из точек ak упомянутая
сумма стремится к -{-оо, а «(г) ограничена сверху. Следовательно,
в этих точках v (z) имеет предельные значения, равные -j-°°' Так
как очевидно v (z)=? const, то v(z) не может иметь точек минимума
внутри области В; поэтому в В имеем v(z)^Q, т. е.
Это имеет место при любом е[>0; при е-*-0 получаем u(z)^M,
что и требовалось доказать.
Переходим теперь к задаче Дирихле. Пусть область В имеет гра-
границу К, состоящую из конечного числа замкнутых кривых Жордана
без общих точек. Задача Дирихле для такой области состоит в опре-
определении функции и (г), гармонической и ограниченной в В, непрерыв-
непрерывной в Д за исключением, может быть, конечного или счетного мно-
множества точек границы К, и принимающей в точках непрерывности
на границе К наперед заданные значения; граничные значения подчи-
подчиняются при этом только условию, что они образуют на К функцию,
имеющую конечное или счетное множество точек разрыва. Покажем,
что эта задача всегда имеет решение и притом единственное.
Действительно, отобразим область В на круг |С|<[1, как в § 1,
и рассмотрим в точках С' окружности |С'| = 1, принадлежащих классу
1) § 2, вещественную функцию U(?), значения которой совпадают

§ 3] ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ И ФУНКЦИЯ ГРИНА 261
со значениями и(/) в точках г' границы К, соответствующих при
данном отображений упомянутым точкам С на Ц'| = 1. Эта вещест-
вещественная функция ?/(?') оказывается определенной, ограниченной и не-
непрерывной почти всюду на | С | = 11) и удовлетворяющей почти всюду
на |С| = 1 условию ?/{S(С)) = ?/(?'), где 5 — любая подстановка
группы Q из § 2.
Таким образом, приходим к задаче нахождения функции ?/(Q,
гармонической и ограниченной в |С|<1 и при переходе на |С,| ===== 1
совпадающей с ?/(?') во всех точках непрерывности функции (С)
Рассмотрим функцию
где интеграл понимается в смысле Римана. В силу известных свойств
интеграла Пуассона эта функция и является гармонической и ограни-
ограниченной в |С|<М функцией, при переходе на |?'| = 1 совпадающей
с ?/(С') во всех точках непрерывности функции ?/(С). С другой сто-
стороны, всякая функция U (С), обладающая этими свойствами, единст-
единственна. Действительно, если бы существовала еще другая такая функ-
функция ?/i(Q, то для любого С, |С|<[1, по формуле Пуассона имеем:
где r<^R<^l. Переходя здесь к пределу при R-*-l и имея в виду,
что справа можно переходить к пределу под знаком интеграла (тео-
(теорема Лебега), получаем, что t/j(С) = ?/(?) в |С|<Ч. Из доказанного
свойства единственности вытекает, что ?/(?) не изменяется от преоб-
преобразований группы О. Действительно, функции U(S(?)) и ?/(Q обе
являются решениями только что рассмотренной задачи и, следовательно,
тождественны в |С|<^1. Если теперь вернуться обратно на пло-
плоскость z, то функция U (Q перейдет в функцию и (г), кото-
которая будет однозначна и ограничена в В и которая решает постав-
поставленную выше задачу Дирихле. Из предыдущего одновременно сле-
следует, что эта задача имеет единственное решение. Отметим, что
если бы некоторые из кривых, составляющих границу К, выродились
в точки, то для полученной области задача Дирихле не всегда будет
иметь решение. Действительно, функция и (г), дающая решение задачи
Дирихле для такой области, по ранее сделанному замечанию будет
гармонической функцией во всех изолированных граничных точках
и поэтому однозначно определяется своими значениями на оставшихся
*) В данном случае за исключением, может быть, счетного множества
точек на | С | = 1.

262 ОТОБРАЖВНИВ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТВЙ НА КРУГ [ГЛ. VI
граничных кривых. Это показывает, что значения функции и (z) в изо-
изолированных граничных точках мы не можем задавать произвольно.
Итак, доказано существование и единственность решения задачи
Дирихле для любой конечносвязной области В, ограниченной кри-
кривыми Жордана, и при любых заданных значениях на границе К, ко-
которые образуют или непрерывную функцию или же функцию, имею-
имеющую конечное число или счетное множество точек разрыва. Для того
чтобы найти решение произвольной задачи Дирихле для данной об-
области В, оказывается достаточно знать решение одной частной задачи
Дирихле. Здесь имеется в виду нахождение функции Грина. Функ-
Функцией Грина для области В называется вещественная функция g(z, Q,
подчиненная условиям: 1) при каждом С (^ В, как функция от z, она
является гармонической в области В с выключенной точкой 2 = С,
2) при г->С g(z, С) стремится к -|-оо так, что разность g(z, Q —
— log -j s-p остается ограниченной, если С конечное, и так, что
разность g(z, оо) — log | ^ | ограничена, если С=оо; 3) при прибли-
приближении к границе К функция g(z, С) стремится к нулю; по принципу
максимума функция g{z, Q всюду в В должна быть положительна.
Если функция Грина g(z, Q существует, то для конечного С разность
g{z, Q — log , _.. при надлежащем выборе ее в точке 2 = С будет
гармонической в В, непрерывной в Л и на границе К принимает зна-
значения — log -| рр, т. е. эта разность является решением частной
Iг—* I
задачи Дирихле для области В. Обратно, если u(z) есть решение
этой задачи Дирихле, то функция log -j— ~ . -J- u (z) будет, очевидно,
функцией Грина для области В. Аналогичное имеет место и при
С = оо. При однолистном отображении области В посредством функ-
функции z*=f(z) на некоторую другую область В*, ограниченную кри-
кривыми Жордана, функция Грина g(z, С) переходит в функцию gff'1 (z*),
/~!(С*)), которая, очевидно, будет функцией Грина для области В*.
Это показывает, что зная функцию Грина для одной области, можно
получать посредством однолистных отображений функции Грина для
различных других областей той Hte связности. В случае односвязной
области В функцией Грина для нее будет, как легко проверить,
функция — log|/(.z)|, где t=f(z) есть функция, однолистно отобра-
отображающая область В на круг |?|<О так, что точка 2 = С переходит
в f=0. Для многосвязных областей такой простой связи с конформ-
конформным отображением не существует.
В случае односвязной области В, ограниченной замкнутой кривой
Жордана, аналитическая функция р (z, Q, имеющая вещественной
частью функцию Грина g{z, С) для области В, очевидно непрерывна
8 В, кроме точки гЦ ав случае, если граница области В будет,

§ 3] ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ И ФУНКЦИЯ ГРИНА 263
кроме того, аналитической кривой, то р [z, С) регулярна на этой кри-
кривой. Оказывается, эти свойства имеют место также и в случае ко-
нечносвязных областей. Действительно, рассмотрим сперва конечно-
связную область В, -ограниченную любыми замкнутыми кривыми Жор-
дана; пусть g(z, С) — ее функция Грина, а — h {г, Q — сопряженная
гармоническая функция. Последняя, как увидим далее, будет неодно-
неоднозначной в В. Рассмотрим функцию F(z)=g — lh. Возьмем на одной
из граничных кривых области В любую точку гй и опишем около
нее столь малую окружность f. чтобы она пересекла рассматриваемую
кривую и чтобы внутри окружности ^ и на ней самой не было то-
точек других граничных кривых. Часть области В, лежащая внутри f,
будет состоять из односвязных областей. Ту из этих областей, кото-
которая имеет на границе точку г0, обозначим через Д> Отобразим В9
на полуплоскость 3(?)^>0 так, чтобы z = zu перешло в t = Q. Если
отображающую функцию обозначим через z = <?(f), то функция
F(<p(O) будет регулярна в 3(f)>0, а ее вещественная часть и (О,
кроме того, непрерывна в 3@^=0 и неотрицательна. Отметив, что
в точках вещественной оси, достаточно близких к ?=0, имеем
и(^) = 0, опишем столь малую окружность 11 | = р, чтобы на диаметре,
лежащем на вещественной оси, было u(t) = O. Определим теперь
на |*| = р функцию (J(t), как совпадающую с функцией и(t) на верх-
верхней половине полуокружности и принимающую в точках нижней полу-
полуокружности те же значения, которые функция u(t) принимает в со-
сопряженных точках верхней полуплоскости, но с обратным знаком.
Функция Uif), очевидно, непрерывна на |С| = р. Рассмотрим интеграл
Он определяет функцию U(t), гармоническую в |^|<^Р и непрерыв-
непрерывную в 111 ^ р. В точках вещественной оси она, очевидно, равна нулю,
а на верхней граничной полуокружности совпадает с u(t). Следова-
Следовательно, U(t) совпадает с u{t) на всей границе верхнего полукруга,
а потому и внутри всего этого полукруга. Если Ф (t) есть аналити-
аналитическая функция в |*|<[р, имеющая функцию U(t) своей вещественной
частью, то разность Ф(?) — F(<?(t)) имеет в верхнем полукруге ве-
вещественную часть, равную нулю. Поэтому эта разность должна быть
тождественной постоянной в 111 <^ р. Последнее показывает, что функ-
функция F(<f(f)) продолжима в окрестности f = 0 через вещественную
ось и, в частности, является непрерывной функцией в точке ? = 0.
Возвращаясь на плоскость z, заключаем, что функция F{z), рассмат-
рассматриваемая в В, непрерывна в точке z0. Так как гй есть любая точка
на границе области Д то значит F{z) непрерывна в В, за исключе-
исключением, конечно, точки ?. Далее, так как, очевидно, Ф' @) ф 0, то

264 ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТВЙ НА КРУГ (ГЛ. VI
Ф' (t)
F(z)=-Tjir Ф 0 в части достаточно малой окрестности точки гф
лежащей в В. Это показывает, что нули функции F(z) не могут
сгущаться на границе области В. Следовательно, их у F (z), а потому
и у p'z(z,Q, конечное число. Наконец, так как функция w = ${t)
переводит часть окрестности точки t = 0, лежащую выше веществен-
вещественной оси, в часть окрестности точки «> = Ф@), лежащую справа от
некоторой вертикальной прямой, проходящей через точку щ» = Ф@),
то при движении по границе В в окрестности z0 функция h (z, С)
изменяется все время в одном направлении. Точнее, если z описывает
границу области В в положительном направлении, то h {z, С) возра-
возрастает. Если теперь z0 есть внутренняя точка аналитической дуги
на границе В, то функция <?(t) будет регулярной в точке t = 0.
А тогда функция F(z), а потому и функция p(z, С), будет регулярна
в точке z0.
Аналогичными рассуждениями можно получить обобщающую тео-
теорему о гармонических функциях, а именно: если и (z) есть гармо-
гармоническая функция в области В, ограниченной замкнутыми ана-
аналитическими кривыми }Кордана, и если она непрерывна б В, а на
границе области В принимает значения, образующие аналитиче-
аналитическую функцию от параметра, определяющего точки на границе В
(т. е. функцию, которая представима в окрестности каждой граничной
точки в виде степеннбго ряда от упомянутого параметра), то ана-
аналитическая функция F(z), имеющая u(z) своей вещественной
частью, регулярна в В. Действительно, если перейти, как выше,
на плоскость t, то значения и (z) на границе области В в окрестности
точки z0 представятся рядом Маклорена от вещественного пара-
параметра L На комплексной плоскости t этот ряд определяет функцию,
регулярную в ( = 0 и вещественную на вещественной оси (в окрест-
окрестности t = 0). При возвращении на плоскость z последняя функция
перейдет в некоторую функцию Ф(г), регулярную в точке z0 и рав-
равную и (z) на границе области В в окрестности точки z0. Разность
F(z) — ЧГ (z) регулярна в части окрестности точки Zq, лежащей в В,
а ее вещественная часть непрерывна, включая граничные точки обла-
области Див этих точках равна нулю. Опираясь на последнее замеча-
замечание, опять докажем, что эта разность регулярна в точке z0. Но тогда
и функция F(z) будет регулярна в точке z0.
Покажем теперь, как, зная функцию Грина для области В, можно
найти решение любой задачи Дирихле для этой области.
Рассмотрим сначала случай области В с границей К, состоящей
только из замкнутых аналитических кривых. Пусть u{z) есть реше-
решение задачи Дирихле для области В с заданными граничными значе-
значениями, образующими на К аналитическую функцию вещественного
параметра, определяющего точки на К- К функциям и (г) и щ (z) =
=g(z> С) и к области Д., полученной из В удалением круга

§ 3] ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ И ФУНКЦИЯ ГРИНА 265
\г — С|<^е>!) применима формула Грина8)
В г
Здесь интеграл слева взят по области Д., интеграл справа — по всей
границе К, области В, в положительном направлении, через ds обоз-
обозначен элемент дуги на Ке, а через ^ производная по внутренней
нормали. Так как в Bs имеем Ди = Ди! = 0, а на К: «! = (), то пре-
предыдущая формула приводится к виду:
-С|=е |г_С|=е
Первый интеграл здесь не зависит от е. Имея в виду, что функ-
функция g(z,{.) на окружности \г — С|^е имеет порядок величины logе,
легко заключаем, что последний интеграл стремится к 0 при е->0.
Что касается среднего интеграла, то имеем:
lim
е-»0,
,. f ds ,
= — hm \ n i ?j = —'
Итак, если в A) ерейти к пределу при е->0, то получим
'¦(z)^ds. B)
Эта формула называется формулой Грина. Она выражает значения
функции и (z) внутри области В через ее значения на границе области.
Так как функция p(z, Q = g—th регулярна на К и, следовательно,
имеем -?- = -т- (одно из условий Коши — Римана), то предыдущей
формуле можно придать другой вид:
Q. C)
1) При С конечном, а при С=оэ области |z|> —.
2) Формула имеет место и для области В, содержащей г = со, в чем
убедимся, применив ее сначала к области В„ полученной из В удалением
области | 2 | > —, и затем е —> 0, рассуждая при этом, как ниже в тексте.

266 ОТОВРАЖВНИЕ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ НА КРУГ 1ГЛ. VI
Докажем, что формула C) имеет место и для конечносвязной
области В, ограниченной любыми замкнутыми кривыми Жордана,
и для любой заданной функции »(z) на границе К, причем в этом
случае интеграл справа следует понимать как интеграл Стилтьеса.
Действительно, пусть g(z, С) есть функция Грина для области В,
а число 8^>0 меньше расстояния всех нулей функции p'z(z,Q,
(p = g—Ш), и точки С до границы К, а также меньше половины
расстояния между различными граничными кривыми, входящими в К.
На множестве, состоящем из всех точек области В, расстояние кото-
которых от границы К не меньше Ь, функция g{z, ?) имеет положитель-
положительный минимум Хо. Рассмотрим множество К\, состоящее из точек об-
области В, определяемых уравнением g(z, Q = X, 0<^Х<^Х0. Оно состоит
из аналитических кривых. Действительно, каково бы ни было z0 (^ К\,
точки Кх в окрестности z0 имеют параметрическое представление
z = z(f), получающееся решением уравнения р [z, Q = X -j- It, причем
так как р'г(г, Q Ф О, при z=zd, то это параметрическое представле-
представление определяет в окрестности z0 аналитическую дугу. Далее, часть Ki
множества К\, состоящая из точек, отстоящих от данной граничной
кривой L области В не далее, чем на 8, состоит из одной замкнутой
аналитической кривой Жордана, содержащей L внутри себя, ибо
иначе нашлась бы в Л область, в которой g(z, С) была бы гармони-
гармонической функцией и на границе которой g (z, С) = X; но отсюда сле-
следовало бы, что g(z, C) = X в В, а это невозможно. На основании по-
последнего заключения следует, что неравенство g(z, C)^>X определяет
в В область Bh содержащую точку г = и с границей Kh состоя-
состоящей из замкнутых аналитических кривых Жордана, аппроксимирующих
границу области В. Пусть теперь u(z) есть функция гармоническая
в Л и непрерывная в В. Применим формулу C) к области Вх. Так
как функцией Грина для области Вь очевидно, будет g(z, С) — X
и так как о = h (z, Q возрастает при движении z по К\ в положи-
положительном направлении и, следовательно, за параметр, определяющий
точки на К\, можно взять о, то получаем
\ ))do. D)
=^ 5 «(*>**(* 0 = ^ \ u
Но n{z) непрерывна в В. Поэтому, выражая и точки на К через
о = h \z, Q, заключаем, что, каково бы ни было е ~^> 0, при достаточно
малом положительном X значения функции a[z) в точках на К и К\,
соответствующих одному и тому же значению в, будут отличаться
друг от друга меньше чем на е. Следовательно, интеграл справа в D)
при X -> 0 стремится к интегралу, взятому по К. В результате пре-
предельного перехода имеем:

s 4] приложение к отображению многосвязных областей 267
т. е.
Q. E)
Наконец, формула (б) остается справедливой, и тогда, когда функция
и (z) имеет на границе К конечное число точек разрыва, оставаясь
в В ограниченной, пусть \u(z)\<^M. Действительно, заключив тогда
точки разрыва на К во внутрь малых дуг (z (о*), z (о*)), таких, что
^\о'к — ''а'КоЖ' и °б°значив границу К, за вычетом этих дуг, че-
через К*, получаем:
•))) *» I <Т + ^ Iв & W) - й (* (в» I *¦
| \
Но вне выделенных дуг и (zx (в)) -»- и (гв (в)) равномерно. Следовательно,
при X, достаточно малом, последний интеграл также <~.
Это и доказывает формулу E) в настоящем случае.
Заметим, что формулы C) и (б) при однолистном отображении
области В переходят в соответствующие формулы для образа.
Докажем в заключение симметричность функции Грина, т. е. что
g(z, ?)=?(?, z). Действительно, применим формулу E) к функции
u(z) = g(z, С) -f- Jog \z — C|i которая будет гармонической в Л и не-
непрерывной в В. Имея в виду, что g(z, Q = 0 на К, получаем:
Из этой формулы следует, что g(z, Q, как функция от С, также яв-
является гармонической в В, за исключением точки С=z, в окрест-
окрестности которой она имеет такую же особенность, как и функция g (С, z).
Поэтому разность d(z,i)=g(z,Q — g-(C z) относительно каждого
аргумента будет гармонической функцией во всей области В. Но при
приближении z к К имеем \imd(z, С) = — \iva.g$., z)<^.0, т. е. в об-
области В будет d {z, С) <; 0 и это при каждом С ?; В. При приближе-
приближении же С к К имеем \imd{z, Q = lim g(z, С) 5* 0, т. е. в В будет
d (z, Q ^= 0. Следовательно, при любых z, С ^ В имеем d (z, С) = 0,
т. е. g(,z,Q=g<bz).
§ 4. Приложение к однолистному отображению
многосвязных областей
Опираясь на решение задачи Дирихле, можно дать новые, доказа-
доказательства теорем существования однолистного отображения конечно-
связных областей на некоторые канонические области, как, например,
на плоскость с прямолинейными и параллельными разрезами или

268 ОТОБРАЖЕНИЕ ЛШОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ НА КРУГ [ГЛ. VI
на плоскость с разрезами по дугам логарифмических спиралей рав-
равного наклона.
Остановимся здесь на доказательстве теоремы Г,§ 2, гл. V отоб-
отображения я-связной области В плоскости г на плоскость С с конеч-
конечными, прямолинейными и параллельными разрезами наклона б к ве-
вещественной оси. Достаточно, как известно, рассмотреть случай, когда
область В не содержит z = <x> и ограничена замкнутыми аналити-
аналитическими кривыми Жордана К\, Кь ..., Кп, причем Кп пусть внешняя
граница.
Рассмотрим п—1 функций uk[z), k=l, ...,n—1, гармонических
в В, причем uk(z) (k=l, ..., я—1) — функция, равная 1 на Kk
и равная нулю на всех Kv, к'фк. Пусть vk{z), k=l, ..., я— 1,
есть соответственно сопряженные гармонические функции. Функции
vk(z), вообще говоря, многозначны в Л, но по § 3 они непрерывны
в В. Обозначим через wkl приращение функции vk [z) при обходе Ki
в положительном направлений (по отношению к области В). Легко
показать, что определитель |u>kl|, составленный из чисел шк1, отличен
от нуля. Действительно, допустим, что он равен нулю. Тогда суще-
существуют вещественные постоянные Xft, k=l, ..., п — 1, не все рав-
я—1
ные нулю, такие, что 2^*ю*.'==^' '=Ь •••> п — !• Функция
4=1
продолжимая в В по любому пути, при обходе каждой из кривых АГ,,
включая К„, возвращается к исходному значению. Но тогда эта функ-
функция однозначна в В, а следовательно, регулярна в В. Вещественная
часть функции f{z) принимает постоянное значение на каждой из кри-
кривых Ки> k = !>..., п. Отсюда, рассуждая, как при доказательстве
теоремы 2, § 2, гл. V, докажем, что / (z) = const в В.
Но этого не может быть, ибо вещественная часть функции f(z) на
кривой Кп равна нулю, а по крайней мере на одной из кривых Кь
k=l,..., я — 1, не равна нулю. Это противоречие и доказывает,
что Krfl^0- _гв
Пусть теперь и0 есть гармоническая функция в В, равная — 3 [—-.—)
я
на границе К= (J К& и v0 — сопряженная гармоническая -функция.
ы
Подберем вещественные постоянные Xft, k = l,...t n — 1, так, чтобы
функция
я—1

§ 5] ОТОБРАЖЕНИЕ Л.СВЯЗНОИ ОБЛАСТИ 269
была однозначна в В; это возможно, ибо | <okl \ ф 0. Покажем, что
функция
+2 X* (я*
однолистна в 5. Действительно, эта функция регулярна в В, за исклю-
исключением точки z=a, и на Кг, (/=1,..., я) принимает значения, лежа-
лежащие на некоторой прямой dt наклона 9 к вещественной оси. Это
показывает, что если Со не лежит на прямых dt, /= 1,..., п, то при-
приращение аргумента функции arg(/B) — Со) при обходе всей границы
области В в положительном направлении равно нулю, С другой сто-
стороны, это приращение должно равняться умноженной на 2ir разности
между числом нулей и числом полюсов функции f{z) — Со в области В.
Так как f{z) — Со имеет в В единственный простой полюс в z — a,
то отсюда следует, что f{z) принимает в В значение Со точно в одной
точке. Если бы теперь f(z) принимала какое-либо значение Ci более
чем в одной точке из В, то то же было бы и с точками, достаточно
близкими к Ci> чего по вышедоказанному не может быть. Итак, одно-
однолистность f[z) в В доказана и одновременно доказано, что образ
области В при отображении посредством С=/(г) есть плоскость
с прямолинейными и параллельными разрезами наклона 9 к веществен-
вещественной оси. Функция f(z)-\- с дает то же отображение и при некотором с
в окрестности z = a имеет разложение
2 — a
если а конечно, и разложение г-\—L -j- •. •, если а = оо.
Аналогичными рассуждениями докажем и теорему Г, § 3, гл. V,
об отображении конечносвязной области В на плоскость с разрезами
по дугам логарифмических спиралей равного наклона.
§ 5. Отображение я-связной области на я-листный круг
В заключение остановимся еще на возможности отображения я-связ-
я-связной однолистной области В на я-листный круг |С|<^1- Под я-лист-
ным кругом понимается здесь некоторая риманова поверхность, цели-
целиком лежащая над кругом | С | <^ 1 и имеющая над каждой точкой этого
круга точно по я точек (точка разветвления порядка р считается
как р точек). При этом отображение имеется в виду взаимно одно-
однозначное и совершаемое посредством регулярной функции. Если не
прибегать к понятию римановой поверхности, то рассматриваемое ото-
отображение следует понимать в том смысле, что если С=/(г) есть ото-
отображающая функция, то функция f{z) — Со при любом Со, I1

п
270 ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ НА КРУГ [ГЛ. VI
имеет в В точно я нулей, с учетом их кратности, а при любом
Со, |Со|^>1, не имеет ни одного нуля в В.
Теорема. Всякую п-связную область В плоскости z, не
имеющую изолированных граничных точек, можно посредством
регулярной функции отобразить взаимно однозначно на п-листный
круг | С | «\ 1. В случае если область В ограничена замкнутыми
кривыми уКордана К\ Кп, то отображающая функция будет
непрерывна в В и ее можно нормировать так, чтобы в п задан-
заданных точках ah ...,an, ak?Kk> k=l,..., п, она принимала одно
и то же заданное значение а, |а| = 1, а в двух заданных точках
Ъ и с кривой Кп, отличных от ап и расположенных вместе с а
в определенном порядке на Кп, принимала заданные значения р и *(,
отличные от а. и расположенные вместе с а. в том же порядке
на окружности |С| = 1. При таком нормировании отображение
будет единственно. (О порядке здесь говорится в смысле обхода
границы области В и границы я-листного круга.)
Доказательство. Как всегда, достаточно рассмотреть область
В, не содержащую оо и ограниченную замкнутыми аналитическими
кривыми Жордана Kk, k=l,..., я, причем Кп есть внешняя граница.
Пусть кривая Kk(k= 1,..., я) определяется уравнением z = zk(t),
0я^?<1, причем zk{0) = ak и при возрастании t точка zk{t) дви-
движется на Ки в положительном направлении. Вместо круга | С | <С 1
и я-листного круга, указанного в теореме, мы, очевидно, можем взять
любую односвязную область G, отобразимую на круг, и соответствую-
соответствующую я-листную поверхность, лежащую над ней. Мы возьмем в качестве
такой области, лежащей в плоскости w=u-\-iv, полосу G:0<^kR(w)<^1
и будем искать функцию w=f(z) = u-\-lv, регулярную в области В
и отображающую В на я-листную полосу, лежащую над О и такую,
что при приближении z из В к точкам ak имеем w -*¦ -\- оо I.
Для построения функции w=f{z) возьмем на кривых Kk, k= I..., я
еще по точке bk = zk(tk), 0<^tk<^l, которые вместе с точками ak
разбивают их на дуги K'k'-z = zk{t), 0<^t<^tk и K"k:z = zk{t),
tk<^t<C.l- Пусть и(z) есть ограниченная гармоническая функция в В,
равная 0 на дугах Кь и равная 1 на дугах Кь, и пусть v (z) — сопря-
сопряженная гармоническая функция (определенная с точностью до посто-
постоянного слагаемого). Функция v(z), вообще говоря, неоднозначна в В.
Пусть щ, k = l,..., я, есть приращение v(z) при обходе Kk в поло-
положительном направлении, причем в окрестности точек ak и bk обход
делается по малым дугам, лежащим в В. Числа шА зависят от выбора
точек bk. Если удастся выбрать точки bk так, что все числа шА равны
нулю, то функция f(z) = u-\-tv будет однозначна, а следовательно,
и регулярна в В. Покажем, что в этом случае функция f(z) и дает
требуемое отображение. Для этого исследуем сперва поведение f(z)
в окрестности точек ak и bk. Отобразим односвязную область, огра-
ограниченную только кривой Kk и содержащую область В, на полуплоскость

§ б] ОТОБРАЖЕНИЕ Л-СВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ 271
так, чтобы точки ak и bk перешли соответственно в 0 и оо.
Отображающая функция z = f(t) регулярна в С=0 и в окрест-
окрестности t=0 имеет разложение z = <р (С) = ak -|- cf. -j-..., где с^О.
При этом отображении и (z) перейдет в функцию, гармоническую и огра-
ограниченную в некоторой области плоскости С, содержащей на границе
вещественную ось, и на положительной части вещественной оси имею-
имеющую значение 0, а на отрицательной части — значение 1. Но этим же свой-
свойством обладает и функция —arg С Поэтому разность/(<р (С))—-ilogC
по принципу симметрии продолжима через вещественную ось и пред-
представляет функцию, регулярную на этой оси, включая и точку С=0.
Отсюда следует, что функция/B) -Aog(z— ak) регулярна в окрест-
окрестности точки z = ak. Аналогично докажем, что функция
f(z)~\—-Aog(z — bk) регулярна в окрестности точки z = bk. Из пре-
предыдущего следует, что функция v (z) при z^*-ak, z?B, равномерно
стремится к -|-оо, и притом как функция log|^ — ak\, а при
z->bk, z^B, равномерно стремится к —оо, как
— 4-l08i,-*.i-
Это свойство и дает возможность показать, что функция w=f(z)
отображает область В на я-листную полосу 0 <^ 9t (w) <^ 1. Действи-
Действительно, пусть w0 есть какая-либо точка из полосы 0 <^ ЗЯ (w) <C^ 1.
Так как. функция f(z) не принимает значения w0 в достаточно малых
окрестностях точек ak и bk, k = l,..., п, то число нулей функции
/(г) — w0 в В равно приращению аргумента arg (f(z) — w0) при
п
обходе границы К= (J Kk области В в положительном направлении,
*=i
деленному на 2те, причем в окрестности точек ak и bk обход произ-
производится по малым дугам, лежащим в В. Но при обходе точкой z кри-
кривой Kk(.k=\, ..., я) в положительном направлении, начиная от неко-
некоторой точки zo?Kk, соответствующая точка w=f(z) сначала дви-
движется по мнимой оси вниз, затем переходит по достаточно далекой
кривой на прямую 51(/а>)=1 и по ней движется вверх; далее пере-
переходит по достаточно далекой кривой снова на мнимую ось и по ней
возвращается в исходную точку z0. Это показывает, что приращение
аргумента arg (f{z) — w9) при обходе кривой АГА в положительном
направлении равно 2те. Приращение же аргумента arg (f(z) — w0)
при обходе всей границы К в положительном направлении равно 2тел.
Следовательно, число нулей функции f(z) — w0 в В равно я, и это
какова бы ни была точка w0, т. е. функция w=f(z) действительно

272 ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ НА КРУГ [ГЛ. VI
отображает область В взаимно однозначно на я-листную полосу
0<C^&l(w)<^l. Мы предполагаем, что функция f{z) однозначна в. В.
Докажем, действительно, существование таких значений tx, ..., tn,
при которых все числа ш1; ..., ш„ равны нулю. Для этого, зафиксиро-
зафиксировав произвольно tn, 0<C^tn<C^l, будем рассматривать различные tk,
0<^<1, k=\, 2, ..., я—1.
Тогда и {z), v {z) и щ, k = 1,..., я, будут функциями от tlt ..., tn-i-
Положим
u(z)=u(z, tlt ..., tn-0, v(z) = v(z, tlt .... tn-x),
Щ = Щ(*1. ¦¦¦, tn-i), k = l, ..., я,
и покажем, что существуют значения tx, ..., tn~\ такие, что
= 0, k=l, 2, ..., я. A)
Для этого отметим сначала некоторые свойства функций <oft(?t..., tn-t):
1) wk(ti,..., tn—i) являются непрерывными функциями от каждой
из переменных ?,, 0^fv^l, v^l, ..., я — 1. Действительно, так
как по § 3 имее,м:
и (г, *„ .... W=
то и (г, /•!,..., tn _!), g^ и g^- суть непрерывные функции от z, tx, ...,
tn-i, когда z изменяется в В, a t4 в 0^fv^l, v^l, ..., я — 1.
Но (Oftft, ..., ^„_i) определяется по формуле:
ди , . ди ,
dx}d
где интеграл взят по любой замкнутой аналитической кривой Ск, ле-
лежащей в В vi окружающей только кривую АГА. Следовательно,
«•sft. •••.^я-i) — непрерывные функции от ?, в O^^^l, v^l, ....
я —1.
2) (ok(ti, ..., fn-1) есть возрастающая функция параметра fv, v 5^ k.
Действительно, при ^v^>A> разность
К.к = Щ(*1> ¦¦¦> К •••• tn-i)~u>k(tb ¦¦-, t'-» ¦¦-, tn-i)
есть приращение при обходе контура К% функции v4(z), которая яв-
является сопряженной к функции щ(г), гармонической в Л и равной
нулю на К, кроме дуги кривой АГ, между точками г, (?,) и г, (tl), a
на этой дуге равна 1. Так как и,^>0 в В, то на Кк имеем ~Ь:
причем знак равенства здесь не имеет места, ибо иначе вместе с-гх =

S 5] ОТОБРАЖЕНИЕ Л-СВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ 273
это показывало бы, что производная функции /„ (г) = н„ -|- tov обра-
обращается в нуль в некоторой точке на Kk и, следовательно, образ об-
области В при отображении функцией w=fy(z) выходил бы из поло-
полосы 0<^8t(w)<^l. Теперь, из формулы
следует, что Av<к<^0, а это значит, что ,щ(tlt ..., 4-i) возрастает
при возрастании ?„ чфЬ..
3) Имеем
2>*(k •••> ^-0 = 0. B)
Действительно, если надлежащими разрезами область 5 перевести
в односвязную область, то в ней функция v(z) будет однозначна и,
следовательно, приращение ее при обходе всей границы области рав-
равно нулю. С другой стороны, это приращение равно левой части ра-
равенства B).
4) Из 2) и 3) следует, что (ok(tb ..., t^i) (k = l, ..., я—1)
есть убывающая функция параметра tk.
5) Щ (^i> • • •» 4»-i) положительна при 4 = 0 и отрицательна при
tk = 1 (при условии, что все остальные из чисел tx, ..., tn_t отличны
от 0 и 1). Действительно, при 4 = 0 функция и равна единице на
Kk и меньше единицы в В, следовательно, -Л- <^ 0 на Кк, причем, как
в 2), докажем, что знака равенства здесь не может быть. Отсюда по
формуле
следует, что щ^>0. Аналогично при tk=l функция uk равна 0 на
Kk и положительна в В; следовательно, д- ^> 0 на Kk и по C) имеем
<
Пользуясь свойствами 1) —5), покажем теперь, что система A)
имеет точно одно решение. Действительно, по 1) и 5) следует, что
для каждой системы значений tb ..., tfn_i существует единственное зна-
значение *! = Т1(*, 4-0. 0<*1<1, такое, что щ{^,и, ...,tn_1) =
= 0, причем tj(tz,..., 4-j) непрерывно относительно А>,..., ^„_1.Так
как по 2) u>i(ti, tb ..., t^) возрастает при возрастании tb ...,tn_lt
а по 4) убывает при возрастании tj, то из тождества шх [tt(tit ..., tn_t),
t*> ¦ • •. ^л-i] == 0 необходимо следует, что -^(tb ..., 4_0 возрастает
с возрастанием t4, v ф 1.

274 ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ НА КРУГ [ГЛ. VI
Образуем функции
Они непрерывны относительно tit ..., f ,; w'k(tb ..., tn_l), оче-
очевидно, возрастает с возрастанием ?v, v ф k. Далее, из B) следует,
что при всех /j, ..., /я_1 имеем:
л
/, со k (t%, ..., t _.) = О,
откуда далее следует, что (o*D •••, ^,_i) (? = 2, ..., я — 1) убы-
убывает с возрастанием tk. Наконец, из 5) следует, что ш* (/& ..., 4-0
положительна при f6 = 0 и отрицательна при tk=\. Следователь-
Следовательно, функции щ(?ъ •••, ^n_i) удовлетворяют условиям, аналогич-
аналогичным условиям 1) — 5), причем число функций и число переменных
уменьшилось на единицу. С этими функциями рассуждаем так же,
т. е. найдется единственное значение ti = ti(tl, ..., ?„_,), 0<^/j<^1,
удовлетворяющее уравнению «>з(/з> .... ?„_,) = (), причем
т3(ifg, • ••>4-i) непрерывно и возрастает с возрастанием ?v, v^>2.
Затем рассмотрим функции
и так продолжаем далее. После я — 1 шагов придем к единственным
образом определяемой системе значений
/ л ^^ Т л POUQt / л ^^ Т л О" \ / —— Т. (fn, / ш\
ьЛ-1 Л—1 vviioij b/i—2 *Л—а \ Л—1/> • " • > Ь1 ' ^1 V^w • ' * У *П-~1/*
таких, что (oft(ti, ..., тЛ_1)==0 при k=\, ..., я—1. Но тогда по
B) также имеем шп (тц, ..., tn_!) ^ 0. Это и доказывает существование
системы значений ?,, ..., ^пЛ, удовлетворяющей уравнениям A), а
следовательно, и существование функции w=f(z), отображающей
взаимно однозначно область В на я-листную полосу 0<^31те><^1, и
так, что заданные точки ak ^ АГА, k = 1,2,..., я, переходят в w = -f- ioo.
Выясним вопрос о единственности отображения.
В предыдущем оставался произвол только в выборе значения
tm 0<^tn<^l, и постоянного слагаемого, с точностью до которого
определялась однозначная функция v (z). Пусть на контуре Кп заданы,
кроме точки ат две произвольных точки b и с, причем пусть, для опре-
определенности, точки ап,Ь и с следуют в направлении положительного об'
хода К„. Если c = zn (tn), 0 <^ tn <^ 1, то именно это значение t = tn фик-
фиксируем, как было указано ранее, и по нему найдем систему значений
h> ¦ • •»*л-ъ определяющую с точностью до постоянного слагаемого
однозначную функцию v(z). Это слагаемое выберем так, чтобы точка
Ь^Кп перешла в заданную точку 8 на 9to = 0. Тогда точки ат Ь,

S в] НЕКОТОРЫЕ ТОЖДЕСТВА 275
с на Кп переходят, соответственно, в -\-lco, 8, —ioo и функция
w=f(z) оказывается определенной единственным образом, что и до-
доказывает теорему.
Приведенное доказательство принадлежит Грунскому.') Возни-
Возникает вопрос, нельзя ли по примеру доказательств многих теорем
существования и в данном случае установить существование функ-
функций, отображающих я-связную область В на я-листный круг, опи-
опираясь на какое-либо экстремальное свойство этих функций. Оказы-
Оказывается, это возможно, причем здесь является основной задача о мак-
максимуме величины |/'(fl)|> a€zB, афоо, относительно всех функций
/(г), /(а) = 0, регулярных в В и по модулю не превосходящих 1.
Доказательство приводится в § 3 гл. XI; оно использует ряд гра-
граничных свойств аналитических функций, излагаемых в гл. IX и X.
§ 6. Некоторые тождества, связывающие однолистное
конформное отображение и задачу Дирихле
В § 4 гл. V, опираясь на метод контурного интегрирования,
были установлены некоторые соотношения, связывающие различные
функции, однолистно отображающие данную конечносвязную область
на канонические области. В настоящем параграфе мы продолжим
применение этого метода 2) с привлечением надлежащих гармониче-
гармонических функций, определяемых как решение некоторых задач Дирихле.
Именно, пусть В есть «-связная область, не содержащая оо и огра-
ограниченная я замкнутыми аналитическими кривыми Жордана Kv v =
= 1,..., я, a <ovB) (v=l,..., я) — функция, гармоническая в В,
равная 1 на ATV и 0 — на всех К^ jj. Ф v. Отметим, что функции
a>vB), v = l,..., я, удовлетворяют соотношению
ибо сумма слева является гармонической функцией в В и равной 1
п
всюду на границе К= U Кч- Сопряженная к ш,(.г) (v = l,..., я)
v= 1
гармоническая функция ffis(z), вообще говоря, не будет однозначной
в В. Пусть
где под (й)ч(.г))я , как всегда, понимается приращение функции w4(z)
при обходе кривой К^. в положительном (по отношению к области)
») Грунский [1937].
8) См. Гарабедян и Шиффер [1949].

276 ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ НА КРУГ [ГЛ. VI
направлении. Если теперь положить да, (г) = ш, (,г)-|-Й, (г)
(v = l,..., я), то аналитическая функция w4 (z) удовлетворяет условиям:
1) «, (z) = — w, B) + <v,, на А;, «^, = const, B)
2) ( |1>—>
3) w'v(z) — регулярна в В.
Обращаясь к методу контурного интегрирования, мы будем поль-
пользоваться функциями P[z, и), Q(z, и), P(z, и, v), Q(z, a, v), введен-
введенными в § 4, гл. V. Относительно этих функций напомним, что они
удовлетворяют на AT,(v = l, ..., я) условиям:
P(z, tt) = — Q{z,u) + kM, D)
Р (z, it, v) = —Q (z, и, v) + k4 (н, v), E)
где k4(н) и k4(и, v) не зависят от г^Кч- Отметим,, что функции
k4(u) и k4(u, v) будут явно входить в выводимые ниже соотно-
соотношения.
Рассмотрим теперь интегралы
i J F)
Каждый из этих интегралов, по теореме Коши, равен нулю. Но,
преобразуя первый из них посредством формул B), D), имеем:
п
— у
= —
2
>
-Q(C
(-Q(C«) + ^(«))^(Q
и) —J— k (н)) dw4 (Q ^=
n
В результате приходим к формулам (н ^ S):
2 А11(в)Р11.„ v = l, ..., я. G)
t— 1

« 6] НЕКОТОРЫЕ ТОЖДЕСТВА 277
Преобразуя аналогично второй из интегралов F), получим:
Чтобы вычислить оставшийся интеграл, проводим в В разрез f
от и до v; в силу однозначности подынтегральной функции в полу-
полученной области, интегрирование по К можно заменить на интегриро-
интегрирование по любой замкнутой аналитической кривой Жордана С, лежа-
лежащей в В, содержащей внутри себя разрез f и ни одной точки гра-
границы области В. Интегрирование по частям приводит тогда к сле-
следующему:
'J
=щ (и) — wv (v
В результате получаем формулы
1»
Формулы G) и (8) интересны тем, что они дают выражения
функций w'4 (и) и w, (и) — w4 (и), определяемых как решения задач
Дирихле; через функции ^(и) и k^u, v), определяемые посредством
однолистных отображений. В целях обратимости этих формул дока-
докажем, что ранг матрицы Ц/*»,! равен я — 1, и одновременно выясним
характер неопределенности задачи обратимости. Для этого рассмотрим
систему линейных уравнений
E/V.A = 0, v = l я. (9)
Если эта система имеет не нулевые решения Х^, ji=l, ..., я, то
функция
будет однозначна, а следовательно, регулярна в В, причем на каж-
каждой кривой AT,(v = l я) она принимает значения, лежащие на
некотором прямолинейном отрезке. По тем же рассуждениям, как и
при доказательстве теоремы 2, § 2, гл. V, докажем, что эта функция

278 ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ НА КРУГ [ГЛ. VI
должна быть тождественной константой в В. Но тогда константой
л
же будет и функция ^]\.^(z). Но Последняя принимает на
ATv(v = l, ..., я) значение Xv. Следовательно, должно быть Х1 = Х2 =
= ...== Х„. Это показывает, что единственной системой решений
уравнений (9) могут быть только решения Х1 = Х<1=... = ХЛ.
Теперь в силу A) имеем:
п
2 w^ (z) = const в В, A0)
11 — 1
так что приращение суммы слева при обходе любой из кривых
равно нулю, т. е.
? />*, = (>, р=1 я. A0')
ii=i
Отсюда заключаем, что числа Xt = Х^ =... = Х„ действительно удо-
удовлетворяют системе (9). Это и доказывает, что ранг матрицы || ^ v ||
равен я—1. Кроме того, из установленного следует, что как функ-
функции ^(и), ц, = 1 я, так и функции ^(и, v), ji = l я, опре-
определяются по формулам G), соответственно по (8), с точностью до
общего слагаемого. Разности же А^ (и) — k^ (и) и k^ (и, v) — Ay (и, v),
[л,ц,'=1, ..., я, определяются при этом однозначно. Последнее заме-
замечание существенно, например, для формул (9) и A0), § 4, гл. V.
Обратимся, далее, к функции Грина g(z, Q для области В. Соот-
Соответствующую аналитическую функцию от z обозначим через p(z, Q,
так что g\z, C) = 9t(pB, С)). Функция p(z, Q, очевидно, имеет лога-
логарифмическую особенность в точке z = i и не будет однозначной в В.
Многозначность легко выявляется:
Таким образом, функция p(z, Q обладает свойствами:
1) p(z, Q=—p(z, С) + const на Ki A0')
2)(p(z, 0kv=-2*4(9; (Ю")
3) р'г (z, Q регулярна в В, за исключением простого полюса
z=i с вычетом— 1.
Если рассмотреть интегралы

§6] НЕКОТОРЫЕ ТОЖДЕСТВА 279
с и, v ? В, то, вычисляя их, с одной стороны, непосредственно по
теореме о вычетах, а с другой стороны, как выше, используя D),
E) и (Юг), придем к следующим формулам:
Рг (И, Z0) = Q (*0> И) + Р (*<» Н) — 21
Ф, *о) — Р(и. zo)=Q(zo, и, v)~\-
„, И, О)—
A1)
Отделяя, в частности, в A1) вещественные части, получаем такую
любопытную формулу.
л
g («. «о) — g («- zo) = log | у «fa. и, в) I — 21 log Pix (н> щ) • шц (zo)- A2)
2 ц=1
Здесь р^^, г»), [л=: 1, ...,«, — радиусы кругов, на которых лежат соот-
соответственно образы кривых Кр., |*=1, ..., я, при отображении w =
= jn_(Z, ll,V).
2
Если использовать симметричность функции Грина, то A2) можно
записать также в виде, меняя г, на г ^ В:
л
g(z, v) — g(z,u) = $i (log;K(z, и, v)) — ? log P* (». «) • % 00)
2"
и, следовательно, наряду с A1) имеем также формулу.
л
Р(?> v)—p(z, и) = logjL(z, и, v) — 2logp^(и, v)¦ w^(z);
чисто мнимое постоянное слагаемое справа не написано потому, что
мнимые части самих функций p(z, С) и w^(z) никак нами не норми-
нормированы.
Эффектный результат получается в отношении аналогичного пред-
представления функций, мероморфных в области В и вещественных на
границе К- Эти функции известны под названием функций Шоттки.
Пусть f{z) — одна из функций Шоттки, имеющая в В лишь простые
полюсы ak, k = I, ..., N, с вычетами rk. Кроме того, пусть f(z) регу-
регулярна на К- Рассмотрим интеграл

280 ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ НА КРУГ [ГЛ. VI
По теореме в вычетах имеем
С другой стороны, используя E), а также соотношение
f(z)=f(z) на tf,(v=l, ,..,n),
получаем
п
1
лг
4 = 1
(Последний интеграл вычислен с использованием, как выше, разреза т,
соединяющего а и к.) В результате получаем соотношение:
(в* м' ') - гЛ(в» «, г»)). A3)
Используя формулы C), § 4, гл. V, преобразуем соотношение A3)
к виду
лг
/(«0-2 (rkQ(и, аА) - fftP(и, ак) =
л=1
Так как левая часть здесь зависит только от и, а правая только от г»,
то заключаем, что для функции /(и) в области В имеет место пред-
представление:
/(и) = 2 <r*Q (и, в*) - ТкР (и, aft)) + Л, A4)
где Л — постоянная.
Оказывается, что числа ak и г*, А^1 Л^, не могут быть
произвольными; между ними легко установить некоторые зависимости.
Действительно, из A4) для г^Кч имеем, в силу D):
N
к—I
2 2® (rkQ(u, ak))- 2 rkkv(ak) +1 A5)
A-1 k=l

§61 НЕКОТОРЫЕ ТОЖДЕСТВА 281
и так как f(z) вещественна на ЛГ», то должны выполняться условия
лг _
* = 1
Умножая A6) на Р^», суммируя по ц=1,...,ви используя соот-
соотношения G) и A0), получаем также условия:
лг
'=0, v = l, .... п. A7)
Замечательно, что условия A7) являются не только необходимыми,
но и достаточными условиями, налагаемыми на числа а^ и г^ для
того, чтобы по ним построенная функция A4) при надлежащем А
была функцией Шоттки. Действительно, если условия A7) выполнены
то посредством G) они могут быть преобразованы к виду:
= 0, v = l,..., п. A8)
Рассматривая A8) как систему уравнений типа (9), по ранее дока-
доказанному заключаем, что она имеет лишь равные решения, а это при-
приводит к п соотношениям A6) с надлежащим А. Но тогда из тожде-
тождества A5), написанного для z?Kv, следует, что функция /(и), опре-
определенная по формуле A4), вещественна на Kv и это при всех
v=l, ..., п, так что f(z) будет функцией Шоттки.
Остановимся на одном приложении этого результата. Пусть ak,
/fe = l, ..., п, любые точки области В. Из тождества
заключаем, что система п линейных однородных уравнений
= 0, k = l,...,n,
при любом б имеет ненулевую систему решений Х!= ... =ХП = 1.
Следовательно, ранг матрицы ||3(е'вгг>,(аА))|| меньше п. Но тогда
и система уравнений
также имеет ненулевые вещественные решения относительно rh, k= I,
..., п. Для чисел rkeiS и ak, k=l, ..., п, выполняются, следовательно,

282
ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ НА КРУГ
[ГЛ. VI
условия A Ту, поэтому существует А такое, что соответствующая функ-
функция /(к), определяемая по формуле A4), т. е. в данном случае функция
/(*)=
[последнее на основании формулы A), § 2, гл. V] будет функцией
Шоттки. Эта функция имеет в В полюсами лишь точки ak — все или
некоторые из них. Если число этих полюсов равно т, т^,п, то,
подсчитывая приращение (arg (f(z) — с))к, легко докажем, что f(z)
принимает каждое значение, не лежащее на надлежащих отрезках
вещественной оси, точно в т точках области В. Следовательно,
взаимно однозначным образом области В при отображении ее функ-
функцией w=f(z) является риманова поверхность, состоящая из т листов
плоскости w с надлежащими разрезами, лежащими над вещественной
осью.
В заключение остановимся еще на функциях, регулярных в об-
области В и на всей границе К по модулю равных единице. Из теоремы
Коши о числе нулей легко следует, что если F(z) какая-либо из
таких функций, имеющая в В ровно N нулей, то она отображает
область В на N-листный круг |С|<^1. Пусть теперь функция F(z)
имеет в В лишь простые нули: ak, k = 1, ..., N, причем
¦ = ±. k=l,..., N.
A9)
Тогда функции
очевидно, обе будут в области В функциями Шоттки. Применяя к ним
формулу A4), с учетом A9), приходим к следующим формулам:
N
F (*)+гп\ = 51 <r*Q <*> а*> - г*р & а*>)+А>
B0)
N
F (г) - ш=- 2
где А и В — постоянные. Из B0) получаем, далее,
N
F{zY
B1)

§ 6] НЕКОТОРЫЕ ТОЖДЕСТВА 283
Что касается условий A7), то они в данном случае имеют вид:
3B^;(аА))=0, 81 (? *•*«*(«*)) = О, v=l, я,
*=i *=i
и будут равносильны следующим комплексным условиям:
лг
S %) = °> v== !> • • •' л- B2)
Вопрос о достаточности условий B2) для возможности построения
посредством формул B1) соответствующей функции F(z) здесь не
решен.
Примечание. К числу только что рассмотренных функций при-
принадлежат, например, функции § 5, отображающие область В на л-лист-
ный круг. Но можно привести примеры и более простых функций
этого рода. А именно, такими функциями будут следующие два отно-
отношения (к, v ? В):
каждая из которых отображает область В на 2и-листный круг | С | <^ 1.
Ограничимся доказательством этого утверждения для первой из
функций B3), считая при этом, как выше, что область В ограничена
замкнутыми аналитическими кривыми Жордана Кп, и=1, ..., п.
Во-первых, из формулы A), § 2, гл. V следует, что при z, и ? В
Л (z, u)=ea (cos ву; (z, и) — / sin в/, (z, и)) ф 0;
2
поэтому
$Нк B4)
и это при всех вещественных 8. Значит, для всех z, и ? В отноше-
отношение, входящее в B4), не может принимать чисто мнимых значений.
А так как это отношение при z-yii стремится к 1, то отсюда заклю-
заключаем, что оно принимает лишь значения из правой полуплоскости.
Но тогда в В имеем
Q'z(z, u)=±(j'0(z, и)+А(г, Я))ф0.
Итак, функция Q(z, и) имеет в В единственный двойной полюс z = и
и вовсе не имеет нулей.
Во-вторых, если z=zy(s) есть уравнение кривой Ks, причем
s — длина дуги на К* отсчитываемая в положительном направлении
по отношению к области В, то, дифференцируя соотношение D) по $,

284 ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ НА КРУГ [ГЛ. VI
получим:
Pi (г, (s), и) г; (г) = — Qz(z,(s), a)*;(s), B5)
откуда следует, что на ЛГ, имеем:
... , р;<», «)
1/1 Wl <?;(г, м)
Опираясь на B6), теперь заключаем, что функции P'z(z, и) и
Q'z(z, и) не имеют нулей на К. Действительно, если, например,
Q'z(a, и) = 0, а?К, то по B6) имеем Р'г(а, и) = 0 и, следовательно,
_/j(a, u)=j'^{a, и) = 0. Отсюда, по формуле A), § 2, гл. V имеем
Т
уё (а, и) = 0 при всех 6. Но это означает, что для всех 6, при отобра-
отображении С=Уе(г, и), точка а переходит в конец граничного разреза
образа области В. С другой стороны, положив в окрестности z = a
j'o(z, «)=<?!{z — e)-f- ...» /%(z, u)=di(z — a)-\- ...,
J
из геометрического смысла аргумента производной аналитической
функции легко заключаем, что отношение Ц- является чисто мнимым.
Отсюда, так как
ji (г, и) = в" (ct cos 6 — Idt sin 6) (г — a) -f- ...,
то при некотором вещественном 6 производная ji (z, и) имеет в точке
z = a нуль не менее второго порядка, что противоречит однолист-
однолистности функции jt(z, и) в области В; это и доказывает утверждение.
В-третьих, из B5) имеем:
а так как по уже доказанному
(arg Q; (z, u))k= — 4w, то (arg Р'г (г, и))^ = 4it (w — 1).
Последнее доказывает, что регулярная в области В функция Р'г (г, и)
имеет в В точно In — 2 нуля. Но тогда функция /t (z) имеет в В
точно 2и нулей. Этого достаточно, чтобы, пользуясь опять теоремой
Коши о числе нулей, а также свойством B5), заключить, что функ-
функция С=Л(г) принимает в области В каждое значение из круга
| С | <[ 1 точно в 2л точках, а остальные значения вовсе не принимает,
т. е. она отображает область В на 2л-листный круг.
Утверждение полностью доказано.1)
') Гарабедян и Шиффер [1950] строят подобным же образом и функции,
отображающие область В на n-листный круг.

ГЛАВА VII
МЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ
НА ПЛОСКОСТИ
§ 1. Трансфинитный диаметр и постоянная Чебышева
В современных вопросах теории функций комплексного перемен-
переменного существенную роль играют некоторые специфические способы
измерения замкнутых множеств на комплексной плоскости. Начнем
с одного из таких способов, данного Фекете1).
Пусть Е есть ограниченное бесконечное замкнутое множество
точек на плоскости z. Положим
п.
Viz» г , zn) = П (zk - Z[), n Ss 2, A)
k<t
где zb zt, ..., zn?E. V(zb ..., гг„) равно, как известно, определи-
определителю Вандермонда для чисел zlt ..., zn. Пусть Vn= Vn(E) есть мак-
максимум модуля | V(zi, ..., 2г„)|, когда zb ..., гп пробегают различные
системы п точек, принадлежащих множеству Е. Этот максимум суще-
существует в силу непрерывной зависимости V(zlt ..., гг„) от своих аргу-
аргументов и замкнутости множества Е. Положим, наконец:
Покажем, что dn не возрастает с возрастанием п. Действи-
Действительно, если $!, ?3, ..., ?я+1 есть система точек множества Е, для
которой | V$i, %,..., Sn+i)| — Vn+1, то из
•¦> Wi) C)
получаем
D)
Фекете [1923].

286 МЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ [ГЛ. VII
Аналогично имеем:
Перемножая D) и E), получаем:
E)
так что
или v^-II)»<V^<n-I>; F)
а это и требовалось доказать.
Так как, кроме того, dn при всех п, очевидно, не превосходит
диаметра множества Е, то dn при п -*¦ оо стремится к определенному
конечному пределу. Этот предел называется, по Фекете, трансфинитным
диаметром множества Е и обозначается через d = d(E), d= lim dn.
я-* со
В случае множества Е, состоящего из конечного числа точек, естест-
естественно положить d(E) = 0.
Трансфинитный диаметр d множества Е поставим в связь с другой
постоянной, известной под названием постоянной Чебышева. Рассмот-
Рассмотрим различные полиномы рп(z) = z*-j-c^zn~^-j- ... -\-cw одной и
той же степени п и максимумы их модулей на Е. Докажем, что суще-
существует полином с наименьшим максимумом модуля. Действительно,
пусть тп = тп(Е) есть нижняя граница указанных максимумов. Тогда
существует последовательность полиномов рп k (z), k = l, 2,-..., рассма-
рассматриваемого типа, максимумы модулей которых на Е стремятся к тп.
Представим эти полиномы по формуле Лагранжа:
л + 1
\ (г — Zi)(z— г„) ... (г—г^Хг —zv+1) ... (г
V=I
где гг1, ..., г^! — точки из Е, одни и те же для всех полиномов; из
этого представления следует, что полиномы рп k (z) равномерно огра-
ограничены по модулю на любом ограниченном множестве плоскости z.
Следовательно, по принципу сгущения из них можно выделить после-
последовательность полиномов, равномерно сходящуюся на каждом огра-
ограниченном множестве плоскости z. Так как вместе с выделенными
полиномами сходятся и их коэффициенты, то предельная функция
есть некоторый полином tn (z) = zn -J- ... -f- cn, максимум модуля
которого на Е, очевидно, есть тп. Это и есть полином с наименьшим
максимумом модуля на В. Он называется полиномом Чебышева для Е.

§ 1] ТРАНСФИНИТНЫЙ ДИАМЕТР И ПОСТОЯННАЯ ЧЕБЫШЕБА 287
Наряду с tn(z) введем в рассмотрение еще.полином tn(z) = zn-\-
-f- ... -f- cw который имеет наименьший максимум модуля на Е по
сравнению со всеми полиномами рп (z) = zn -j~ ... -}- сп, имеющими
нули только на Е, причем наименьший максимум модуля в этом слу-
случае обозначим через тп. Полином tn(z) также будем называть поли-
полиномом Чебышева для Е.
Положим тп= У тп и покажем, что последовательность чисел хт
л = 1, 2, ..., сходится. Действительно, эта последовательность огра-
ограниченная, ибо при za? Е
т„ =¦=? "/max | (z — zu)n | < max | z — z0 | < D,
где D — обыкновенный диаметр множества Е.
Пусть
lim тп = а, Нттп = р.
Я-*ОЭ Я-+ОЭ
Имеем а ^ р. Докажем теперь обратное, что р ^ а. Для этого, задав
е ^> 0, возьмем п такое, что тя <^ а -)- s. Тогда на Е имеем | tn (z) \ <[[
<^(a-f-s)" Если Аи/ любые целые ^> 0, а гй — фиксированная точка
на Е, то также имеем на Е:
Отсюда следует, что т^+г ^ О' (а -(- е)"* и
I nk
^Й G)
Если теперь тя< -*¦ р при п, -*¦ оо, то, положив л, = nk, -j- /,, 0 <^[/v
из G) заключаем, что [3<Sa-}-e. Так как е — любое положительное,
то р^а. Итак, р = а, т. е. последовательность т, сходится. Пусть
т„->-т. Величина т называется постоянной Чебышева для множе-
множества Е.
Докажем, что x = d, причем достаточно множество Е считать
бесконечным. Для этого докажем предварительно неравенства:
Ап. (8)
Действительно, во-первых, имеем:
Отсюда, если точки дг, ^ %п лежат на Е и %ь ..., %п, кроме того,
таковы, что | У($1, ..., ?„)|= V№ заключаем, что модуль правой части
не превосходит -Д^. Модуль же левой части при х ^ Е не меньше тп.

288
МЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ
[ГЛ. VII
Следовательно, тп
-. Далее имеем
1
1
Разлагая определитель по элементам последней строки, получаем:
+ хь + + W
Если теперь Xi x^i точки на Е такие, что | V(xi x^iI =
Уя+1, то отсюда находим
т. е.
Итак, неравенства (8) доказаны. Их можно записать в виде
Положим здесь п = 2, 3 п и перемножим полученные неравен-
неравенства; тогда получаем:
2 2
2
Но (V<j)«("+')-> 1 и [(w-{-l)!]n(n+I)-»-l при w->oo. Следовательно
для того чтобы доказать, что d = t, остается показать, что при п~*-оо\
2
(т,,|...т2)»<»+Ч-+т. (9)
Так как ^->-t, то и последовательность xi, xg, х4, хз, хз, х3, ...,
в которой хя повторен п раз, также сходится к х, а последователь-
последовательность их логарифмов сходится к log х. ^Среднее арифметическое n(n~t~ '
первых из этих логарифмов есть логарифм левой части (9). Что он
сходится к logt, следует из леммы:
Лемма 1. Если последовательность вещественных чисел ait
а* ... сходится к конечному пределу а, то и их среднее арифме-
п,-\-а*-\- ... -4-0» з
тщеское -J-J—=-! ¦—- сходится к а при п-*-оо.
х) { При хфй. Нетрудно показать, что (9) справедливо н при т = 0.)

§ 1] ТРАНСФИНИТНЫЙ ДИАМЕТР И ПОСТОЯННАЯ ЧЕБЫШЕВА
Действительно, задав е^>0 и выбрав /и^>0 так, что при
будет \ап — а К у, ПРИ п^>т получаем:
289
n — m
Второе слагаемое в последнем выражении меньше у.
Но при п достаточно больших и первое слагаемое также меньше у.
Это и доказывает утверждаемую в лемме сходимость.
Предыдущие рассуждения проведены так, что они годятся и в том
случае, если рассматривать полиномы с нулями лишь на Е. Значит,
если положить хп = угта> то также получим, что тя сходится при
и -> оо к пределу * = d.
Резюмируя выше сказанное, приходим к теореме:
Теорема 1. Для любого ограниченного замкнутого множе-
множества Е точек на плоскости трансфинитный диаметр d и посто-
постоянные Чебышева т к т совпадают, т. е. й = т = т.
Из этой теоремы следует простое замечание, что если множеству Е
принадлежит вся граница некоторой ограниченной области, то транс-
трансфинитный диагметр не изменится, если к Е присоединить и внутрен-
внутренние точки этой области.
Опираясь на тождественность трансфинитного диаметра и посто-
постоянной Чебышева, приведем два простых примера на вычисление
трансфинитного диаметра.
1. Пусть Е есть круг \z\<^R. Так как для любого полинома
pn(z) = zn-\-...-\-cn имеем (z = Reib)
2ic
то mn^sRn. Но для pn(z) = zn будет max Ipn{z)\ = Rn. Следова-
тельно, mn^=Rn, d = t = R. Так как трансфинитный диаметр не
меняется от параллельного переноса множества Е, то отсюда следует,
что трансфинитный диаметр любого круга равен его радиусу.
2. Пусть Е есть прямолинейный отрезок — а ^ х ^ а. Для любого
полинома .рп (z) = zn -f-... -f- cn имеем:
IM*)l= max |
10 Г. М. Голузии
= max

290 МЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ [ГЛ. VII
где qn (лг) — тригонометрический полином:
cosх + ... + ая cos пх, ап = ^=г
Из
2it
следует
2 max
так что
max \
1*1-1
Это показывает, что тп^ р, т^-^-. С другой стороны, так как
я2*"т
для полинома рп (z) = »„_, cos (п arc cos —) = г" -(-...-(- cn имеем
« =2й. то d=t=Y
Отсюда заключаем, что транс финитный диаметр любого прямо-
прямолинейного отрезка равен четверти его длины.
Отметим еще следующую теорему.
Теорема 2.*) Дано ограниченное замкнутое множество Е
и полином p(z) = zn-{-...-\-сп. Если Е* есть множество всех
точек z таких, что w=p{z)(^E, то
Доказательство. Пусть tn(z) и t%{z) — полиномы Чебышева
для Е и Е* и /и„ = тах \tn(z)\, от* = max|^(гг)|. Тогда имеем оче-
видные неравенства
/и*, = тах 11%, {z) | ^ max 114 (p (z)) \ < max 11^ (z) | = /»v
6?» €?• 6?
m . п.,
и, следовательно, у т% ^ V jfrnj, при v -»- со это дает d (E*)
=^ tyd(E). С другой стороны, если для любого фиксированного
обозначим через Z\ zn корни уравнения р (z) — wa = 0, а через
Фекете [1930].

§ 2] ОЦЕНКИ ТРАНСФИНИТНОГО ДИАМЕТРА 291
z*, ..., z* — корни уравнения ft(z) = Q, то из
следует:
Так как #v («>) = JJ («>— ^C2*)) есть полином v-ой степени относи-
тельно w, то из A1) имеем:
max | ?v (w) | =s? ( max | tf (z) | )д=
V V
и, следовательно,
При v -»- oo это дает jfd (E) ^ d (?*). В результате должно иметь
место A0). Теорема доказана.
Применяя теорему 2 к случаю, когда Е есть круг, получаем
Следствие. Множество точек z, определяемых неравен-
неравенством | р (z) | «s; R, где р (z) — z* -(-...-(- ст имеет трансфинитный
диаметр d —
§ 2. Оценки трансфиннтного диаметра
Возникает вопрос, в каком отношении находится трансфинитный
диаметр к обычным мерам множеств, принятым в анализе. Полна
установил две теоремы такого рода, относящиеся к внешней мере
Жордана. Напомним, как определяется эта мера. На плоскости z дано
ограниченное множество Е. Покроем плоскость сеткой квадратов со
сторонами длины — и обозначим через sn сумму площадей тех из
замкнутых квадратов, которые содержат хоть по одной точке из Е.
Предел sn при я-»-оо называется внешней плоской жордановой мерой
множества Е. Аналогично, если на прямой дано ограниченное множе-
множество Д то разбиваем эту прямую на отрезки длины — и обозначаем
через 1п сумму длин замкнутых отрезков, которые содержат хоть по
одной точке из Е. Предел /я при я-»-оо называется внешней линей-
линейной жордановой мерой множества Е. Переходим теперь к упомяну-
упомянутым теоремам.
10»

292 МЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ [ГЛ. VII
Теорема I.1) Внешняя плоская жорданова мера ограничен-
ограниченного замкнутого множества Е не превосходит vcP, где d — транс-
трансфинитный диаметр Е.
Доказательство. Докажем сначала Теорему для частного
случая, когда множество Е определяется неравенством |/* (г) | «?1/?>
где p(z) — zn-\-...-\-cn. В этом случае, по § 1, d(E) = -)/rR. Поэтому,
если обозначить через S# сумму площадей областей, покрываемых
множеством Е, то требуется доказать неравенство:
$*<;*/?». A)
Для этого, наряду с t.=p(z), введем в рассмотрение обратную
алгебраическую функцию z =/(Q. Эта функция имеет не более
п — 1 точек разветвления [т. е. точек С = р (z) cp' (z) = 0]. Допустим,
что окружность |С| = р не проходит ни через одну из этих точек.
Тогда множество точек z, определяемое уравнением | р (z) | = р, состоит
из замкнутых аналитических кривых Жордана К\, ..., Кт, без общих
точек, которые должны лежать вне друг друга, ибо внутри каждой
из них по принципу максимума имеем \p(z)\<^$. Этих кривых не
более п (т. е. т <: я), так как внутри каждой из них лежит по мень-
меньшей мере один корень полинома р [z)\ последнее следует из того, что
1
иначе по принципу максимума, примененному к
и к внутрен-
ностям Ки' заключили бы, что р (г) === const. Пусть внутри Kk
(k — l, ..., т) лежит mh нулей полинома p(z). Тогда, если точка z
опишет один раз кривую К& то точка С=р {z) опишет mh раз окруж-
ность |С| = р, точка же С= у p(z) опишет один раз окружность
| СI = рт* - Следовательно, одна из ветвей функции гг=/(Ст*) регу-
лярна на |С| = рт* и разлагается на этой окружности в ряд Лорана:
Отсюда на | СI ===== р для одной из ветвей функции /(Q будем иметь:
z=f(Q= 2 аРС'к B)
») Пойа [1928].

§ 2] ОЦЕНКИ ТРАНСФИНИТНОГО ДИАМЕТРА 293
Уравнение B) при ? = ре'? дает параметрическое уравнение кривой ЛГЙ,
причем <р изменяется от 0 до 2жщ. Поэтому площадь внутренности
кривой Кк будет равна:
2*я»ь
=« 2 ч^рр5*.
Отсюда, обозначая через 5р сумму площадей внутренностей кривых
К\> •••> Кт получаем:
1 *|^Рр?Ч C)
Ь=\ч =—оо
Правая часть здесь является неубывающей функцией от р, поскольку
каждый член суммы есть неубывающая функция от р; последнее оче-
очевидно при v^>0; член с v = 0 равен нулю; член же с v<^0 отри-
2м 2
цателен, и показатель степени у него также отрицателен.
OTft Л
Поэтому —jL не убывает с возрастанием р и является, очевидно,
непрерывной функцией от р, включая и значения р, равные модулям
точек разветвления функции /(С). Но при р достаточно большом будем
иметь /» = 1, /»1^я, ибо функция /(Q на |t|^p будет тогда опре-
определяться разложением
являющимся обращением полинома t*=p{z) около С^оо. Значит,
при больших р имеем:
^=l-|eilVS/--...<l- D)
Следовательно, и при всех р имеем —Л-=^1, т. е. So ^ тер2/™. В част-
ности, SR^nR2/n, что и требовалось доказать. [Отметим, что равен-
равенство здесь имеет место только при ai = aj = ... = C^ т. е. только
для полинома p(z) = (z — af.]
Переходим теперь к общему случаю теоремы. Для этого восполь-
воспользуемся совпадением трансфинитного диаметра с постоянной Чебышева.

294 МЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ [ГЛ. VII
Пусть tn(z) — полином Чебышева и т — постоянная Чебышева для Е.
Тогда, каково бы ни было е^>0, при я достаточно большом на Е
имеем | tn (z) | <; (т -|- е)". Следовательно, множество Е целиком лежит
внутри конечных областей, ограниченных кривыми, определяемыми
уравнением | tn (z) \ = (т -|- е)я, и поэтому внешняя плоская жорданова
мера множества Е не превосходит суммы площадей этих областей,
которая по предыдущему в свою очередь не превосходит гс(т-|-е)9.
При е-»-0 получаем утверждение теоремы. Теорема доказана.
Теорема 2. Внешняя линейная жорданова мера ортогональ-
ортогональной проекции ограниченного замкнутого множества Е на любую
прямую не превосходит Ы, где d — транс финитный диаметр Е.
Доказательство. Теорему, очевидно, достаточно доказать для
проекции на вещественную ось. И здесь рассмотрим сначала случай,
когда Е есть множество, определяемое неравенством \p(z)\^.R, где
Пусть
п
= П (* —
/1
П
/г—1
л
Если Р(г) = \\(z — ak), то, очевидно, имеем | Р(х) | <;|р(х) |. Следо-
вательно, если z^E, то | Р (л:) | <:/?. Обозначим через Р множество
всех вещественных чисел х, в которых | Р (х) \ ^ R. Тогда проекция
множества Е на вещественную ось содержится в Р. Р состоит из
конечного числа отрезков, на концах которых P(x)=dtR. Покажем,
что на каждом из этих отрезков имеется по крайней мере по одному
корню полинома Р(х). Действительно, рассмотрим на плоскости z
множество точек г, удовлетворяющих неравенству | Р (z) | sg; R; оно
состоит из конечного числа областей, на границе которых \P(z)\ = R;
каждая из этих областей содержит не более чем по одному из рас-
рассматриваемых отрезков. В самом деле, если бы какая-либо из областей
содержала не менее двух отрезков, то в силу симметрии ее относи-
относительно вещественной оси, она была бы многосвязной областью; так
как на внешней граничной кривой этой области имеем \P(z)\ = R,
то на внутренних граничных кривых но принципу максимума должно
было бы быть \P(z)\<C,R, а не \P(z)\ = R. Далее, каждая из этих
областей наверное содержит по одному из отрезков, ибо иначе внутри
нее не было бы корней полинома P(z) (поскольку все корни P(z)
вещественны) и, следовательно, опять по принципу максимума заклю-
заключили бы, что P(z) = const. Если бы теперь на одном из рассматри-
рассматриваемых отрезков не было корней P{z), то их не было бы и во
всей области, в которой он содержится, и, следовательно, снова
заключили бы, что P(z) = const. Это и доказывает сделанное ут-
утверждение.

§ 2] ОЦЕНКИ ТРАНСФИНИТНОГО ДИАМЕТРА 295
Пусть теперь / есть самый правый из отрезков, составляющих Р,
и пусть / содержит т корней полинома P(z) (без учета кратности).
Имеем lsgiwsg:/!; причем т = п только в случае, когда Р состоит
из одного отрезка. Наряду с Р(х) мы построим сейчас полиномы
Pi(x), Р^(х), ... степени./i и с вещественными коэффициентами, при-
причем коэффициент при Xя у всех равен 1; под Pk, Ik и mk будем
понимать для Рк(х) то же, что под Р, I и т для Р(х). Покажем,
что если т<^п, то существует полином Рх(х) такой, что т\^>т
и что сумма длин отрезков, составляющих Рх, больше таковой суммы
для Р. Действительно, пусть Р(х) = Q(x)R(х), где Q(x) есть поли-
полином с нулями на /, a R(x) полином с нулями вне /. Далее, пусть d
есть расстояние / до Р — /. Положим, Рх (х) = Q (х -f- d) R (х). Если
х(^Р — /, то | Q(х-f-d)|<[| Q(х)|, ибо каждый линейный множи-
множитель, входящий в Q(x-\-d), по абсолютной величине меньше соответ-
соответствующего множителя в Q(x) на величину d. Следовательно, если
х^Р — 1, то |Рх(х)|<|Р(х)|<R. Это показывает, что Р — 1 ?Рх.
Если же л; ^ /, то аналогично имеем | Pt (х — d) | = | Q (x) R (х — d) |<^
<[ | Q (x) R (х) | = | Р (х) | <^ R и, следовательно, отрезок /', полученный
из / сдвигом влево на величину d, принадлежит Рх. Итак, Рх содер-
содержит Р — /и Г vi, следовательно, сумма длин составляющих его отрез-
отрезков не меньше таковой суммы у Р. Так как Рх(х) имеет все нули
на Р — / и на /', то число отрезков, составляющих Plt по крайней
мере на единицу меньше числа отрезков, составляющих Р. Рассуждая
с Р\{х) аналогичным образом, после некоторого числа &<:«—1
шагов придем к такому полиному Pk (x), что Pk состоит из одного
отрезка и имеет длину, не меньшую суммы длин отрезков, составляю-
составляющих Р. Но если отрезок Pk имеет длину I, то по § 1 его трансфи-
трансфинитный диаметр .равен -j. С другой стороны, Р содержится в мно-
множестве точек, определяемых неравенством | ?* (г) | <;/?, а трансфи-
трансфинитный диаметр этого множества, по § 1, равен ~^R. Следовательно,
j, т. е. 1<:4уЛ/? = 4й, что и доказывает теорему в рассма-
рассматриваемом частном случае.
Переходим теперь к общему случаю теоремы. Пусть tn (z) есть
полином Чебышева и т — постоянная Чебышева для множества Е.
Тогда для заданного е^>0 и достаточно большого п на Е будет
\tn(z)\^.(T-\~e)n. Но проекция множества точек, определяемых этим
неравенством, на любую прямую, по предыдущему, не превосходит
4 (т-1-г,). Следовательно, проекция множества Е на ту же прямую
имеет внешнюю линейную жорданову меру, не превосходящую 4 (т-|-е),
т. е., в силу произвольности е^>0, не превосходящую и 4т. Теорема
доказана.
Если множество Е есть континуум, то из теоремы 2 легко полу-
получается, что обыкновенный диаметр множества Е не превосходит Ad

296 МЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ [ГЛ. VII
Как увидим в § 3, этот результат равносилен оценке диаметра гра-
границы образа области |С|^>/? при однолистном отображении ее функ-
функцией 2r = C-f~ao-|-T'-f~"' и непосредственно следует из § 4 гл. II.
Теорема 2 является, таким образом, обобщением этого свойства одно-
связных областей на области многосвязные, если под множествами Е
понимать границы областей. Возникает вопрос, можно ли и в случае
любого ограниченного замкнутого множества из задания его трансфи-
трансфинитного диаметра заключить о существовании верхней границы для
его обыкновенного диаметра, как это имеет место для континуума.
Нижеследующий пример дает на этот вопрос отрицательный ответ.
Действительно, рассмотрим ограниченное замкнутое множество Е
точек, определяемых неравенством
Это множество, очевидно, имеет трансфинитный диаметр, равный 1.
Граница области В, дополнительной к ? и содержащей оо, опреде-
опреде(z — а) [г — -i-j |=1, т. е. уравнением | {г— Ц^)'—
ляется уравнением
— Г* ~- ) = 1 и при аа — 1 ^> 2а состоит из двух овалов без общих
точек. На границе области В лежат корни уравнения (z—а) (z ] = 1,
т. е. точки 0 и а-] . Разность между этийи корнями, равная а-| ,
может быть сделана сколь угодно большой за счет надлежащего
выбора а. В этом случае и обыкновенный диаметр множества Е будет
сколь угодно большим.
Отметим следствия, вытекающие из теорем 1 и 2 для множества Е
с нулевым трансфинитным диаметром. В этом случае по теореме 1
плоская жорданова мера для Е равна нулю. Она остается равной
нулю и в случае, если к Е присоединить все дополнительные области,
не содержащие оо, ибо от этого трансфинитный диаметр не меняется.
Отсюда следует, что у Е нет дополнительных областей, не содер-
содержащих оо. Итак, если d(E) = 0, то дополнение к множеству Е есть
единственная область, содержащая оо, и каждая точка плоскости есть
или внутренняя или граничная точка этой области. Теорема 2 пока-
показывает большее: что Е не содержит ни одного континуума, ибо иначе
нашлась бы прямая, проекция множества Е на которую имела бы
положительную внешнюю линейную жорданову меру. Таковы огра-
ограничения, для того чтобы d(E) = 0. Эти ограничения, являясь необхо-
необходимыми, не будут, однако, достаточными; как показал Неванлинна1),
существуют множества, не содержащие ни одного континуума и имею-
>) (Неванлинна [1936].)

§21
ОЦЕНКИ ТРАНСФИНИТНОГО ДИАМЕТРА
297
щие положительный трансфинитный диаметр. На построении таких
множеств мы здесь не останавливаемся.
В заключение приведем еще одну интересную теорему.
Теорема 3.х) Пусть Е есть ограниченное замкнутое мно-
множество плоскости z и В область, дополнительная к Е и содер-
содержащая со. Если f{z) регулярна в В и в окрестности оо имеет
разложение
= — -\--j-(-¦¦.,
то, положив
... ап
...а,
л+1
имеем
E)
F)
где d — трансфинитный диаметр Е.
Доказательство. Из § 1 следует, что для любого
существует ограниченное замкнутое множество Е*, содержащее Е,
имеющее в дополнении единственную область с границей К, состоя-
состоящей из конечного числа замкнутых аналитических кривых Жордана,
и такое, что его трансфинитный диаметр d*<^d-\-e. Далее, из § 1
следует, что для того же г^>0 существует N^>0 такое, что для ^
и для любых точек zk, k=\, ..., я, множества Е имеем:
i
G)
Имея теперь в виду, что
»=',
и подставляя это в E), получаем, обозначив переменную интегриро-
интегрирования в интегралах, стоящих в ?-м столбце, через z^.
A. = :
i) Пойа
[19291.
X
zl
1
h
1
-Г1
... 1
... zn
...znn~
... dzn. (8)

298
МЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ
[ГЛ. VII
Если под интегралом в (8) сделать все возможные я! перестановок
из Z\, zb ..., zm от которых интеграл не изменяет своего значения,
а затем взять сумму всех полученных интегралов, то получим:
п\Ап =
1-1
dz,...izn. (9)
Но для определителя Вандермонда в (9) мы имеем оценку G). Следо-
Следовательно, положив Ж = тах|/(гг)|, 1 = дл. К, имеем:
6К
MnLn
Отсюда
lim
а так как е любое ^> 0, то получаем F). Теорема доказана.
Так же как и теоремы 1 и 2, теорема 3 дает нижнюю границу
для трансфинитного диаметра данного множества Е. В виде примера
на ее приложение рассмотрим ограниченный континуум Е, содержа-
содержащий точки 0 и 1. Так как проекция этого континуума Е на веще-
вещественную ось есть отрезок длины не меньше 1, то теорема 2 приводит
к неравенству d Зэ -т • Покажем, что это же неравенство можно полу-
получить и из теоремы 3. Действительно, функция
регулярна в области В, дополнительной к ? и содержащей оо, Следо-
Следовательно, к Е и к f(z) применима теорема 3, причем определитель E)
в данном случае будет:
1
1 у
2 3
1 1
и я+1 '•• 2и—1
Для вычисления этого определителя вычтем последний столбец из
1-го, 2-го, ..., (я — 1)-го; затем, после выноса из строк и столбцов

§ 21 ОЦЕНКИ ТРАНСФИНИТНОГО ДИАМЕТРА 299
общих множителей, вычтем в оставшемся определителе последнюю
строку из 1-й, 2-й ... (я— 1)-й. Снова вынося общие множители из
строк и столбцов, окончательно получим рекуррентную формулу:
А — Г 1-2...(п—1) I'
я~~ [л (и+1)... Bл— 1)J »-1-
Из нее следует
последний предел вычислен посредством формулы Стирлинга. Из A0)
заключаем, что для любого е^>0 существует N~^>0 такое, что при
^ имеем:
Давая здесь п значения W-j-1, N-\-2, ..., N-\-p и перемножая по-
полученные неравенства, получаем:
(пгН 2
или
При /?—>оо отсюда следует ввиду произвольности
Л-юо *
Следовательно, по теореме 3 имеем d ^ -j-. Эта оценка для d точная,
ибо в случае, когда Е есть прямолинейный отрезок, соединяющий
точки 0 и 1, по § 1 имеем d = -r. Как будет отмечено в § 5, гл. XI,
оценка F) является точной и для любого множества Е, представля-
представляющего конечное число замкнутых аналитических кривых Жордана
без общих точек; *) это значит, что если в F) заменить d на любое
d'<^d, то такая оценка не будет иметь место для некоторой функ-
функции / (гг), регулярной в области В; там же будет дана одна теорема
о распределении значений полиномов на комплексной плоскости, вы-
выраженная в терминах трансфинитного диаметра. Кроме того, отметим
коротко одно эффектное приложение теоремы 3 к степенным рядам.
А именно, имеет место теорема Полна: если все коэффициенты
разложения f[z) = ^--\-^~--\-... суть целые числа и если функ-
Г. М. Голузин 119466]

300 МЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ [ГЛ. VII
ция f(z) регулярна в дополнении к ограниченному замкнутому
множеству Е, d{E)<^\, то она является рациональной дробью.
Действительно, так как в этом случае все определители E) будут
целыми числами, то F) с d <^ 1 может иметь место только при ус-
условии, что эти определители, начиная с некоторого п, все будут равны
нулю. Последнее же оказывается необходимым и достаточным усло-
условием для рациональности f(z) (теорема Кронекера); на доказательстве
этого утверждения мы не останавливаемся.
§ 3. Емкость ограниченного
замкнутого множества
Важное значение постоянных d и -с, введенных в предыдущем па-
параграфе, следует из их связи с функцией Грина.
Рассмотрим опять ограниченное замкнутое множество Е точек
плоскости z. Дополнение к нему на плоскости z состоит из конечно-
конечного или счетного множества областей без общих точек. Ту из этих
областей, которая содержит оо, обозначим через В. Покажем, что эту
область можно исчерпать областями Б(л), и=1, 2, ..., каждая из ко-
которых ограничена конечным числом замкнутых кривых Жордана; при
этом исчерпание понимается в том смысле, что 5^л)сг5(л+|), 5^л)сг5
и каждая точка z?B, начиная с некоторого п, лежит в 5(л). Дей-
Действительно, покроем плоскость В сеткой квадратов со сторонами дли-
длины ^ и рассмотрим множество, образованное из точек всех замкну-
замкнутых квадратов сетки, содержащих хоть по одной точке из Е. Допол-
Дополнение к этому множеству состоит из областей, из которых область
В„ содержащая оо, целиком лежит в В вместе со своей границей;
расстояние ее граничных точек от множества Е не превосходит е.
Расширением области Вв можно добиться того, что ее граница будет
состоять из замкнутых кривых Жордана без общих точек; для этого
достаточно присоединить к В, достаточно малые окрестности кратных
точек границы Bs. Давая е надлежащие значения ел—>0, и получим
последовательность областей 5(л), я = 1, 2, ..., исчерпывающих В.
Легко доказать, что если области 5(л) исчерпывают В, то для любо-
любого заданного е^>0, при п достаточно больших, расстояние всех то-
точек границы области 5<л) от множества Е меньше е.
Пусть теперь определенная выше область В исчерпывается обла-
областями 5(л) с границами К(п)- Функция Грина g. (z, оо) для области ?(л)
есть, как известно, гармоническая функция в В^п\ кроме точки z = оо,
непрерывная, включая границу /С(л', и на /С(л) равная нулю, а в ок-
окрестности же i = oo она ведет себя так, что предел
lim (gn (z, оо) — log | z |) = fn

§ 3] ЕМКОСТЬ ОГРАНИЧЕННОГО ЗАМКНУТОГО МНОЖЕСТВА 301
существует и конечен. Величина if/i называется постоянной Робэна
для области В(п). Следовательно, в окрестности z = co имеем:
gn(z, оо) = logИ + Т»+ ««(*).
где un(z) есть гармоническая функция в Б(л), включая z = oo, и при
г —сх) стремится к нулю. Так как В(п) с= Б(л+1), то функция gn+\(z,
оо) — g. {z, сх)) будет гармонической в В(п\ включая сх), и на гра-
границе /О"' неотрицательна. По принципу максимума последнее будет
иметь место и всюду в области В(п\ т. е. имеем (z ? Б(л)):
По теореме Гарнака отсюда следует, что при п—>оо функция тл +
-]-нл(г) или всюду в 5 стремится к -]-00 или же сходится к гар-
гармонической функции ^-\-u{z), и(сх)) = 0. В последнем случае вели-
величина ^ называется постоянной Робэна для области В, величина
С=?~т — емкостью множества Е, а функция g(z,oo) = \og\z\-\-
+ Т + Н(<г) — Функцией Грина области В. Си g{z, оо), очевидно, не
зависят от выбора исчерпывающих областей Б(л). Функция Грина
g{z, сх)) нигде в В не принимает отрицательных значений. Следова-
Следовательно, при приближении к границе области В все ее предельные
значения неотрицательны. Но нельзя утверждать, что эти предельные
значения всегда равны нулю. Например, в изолированных граничных
точках области В g{z, сх)) наверное будет положительна, ибо в ок-
окрестности какой-либо точки g(z, сх)) будет функцией гармонической
и ограниченной снизу, а следовательно, она будет гармонической и
в самой этой точке. Отметим, что в случае, когда т„ -j- м„ (г) — оо в
В, имеем ^л —* оо, так как и„ (оо) = 0. В этом случае емкость мно-
множества Е считается равной нулю.
Следует отметить, что данное здесь понятие функции Грина g(z, оо)
в случае, когда граница области В состоит из конечного числа
замкнутых кривых Жордана, совпадает с функцией Грина, опреде-
определенной в гл. VI. Действительно, если g (z, оо) есть функция Грина в
прежнем смысле, то возьмем за области 5(л), исчерпывающие область
В, области, определяемые, соответственно, неравенствами g{z, оо)^>е„;
е„—>О. Функциями Грина для областей 5(л) будут, соответственно,
функции g(z, оо) — е„, и они сходятся в В к g(z, оо).
Полученный выше результат можно формулировать несколько
иначе в виде следующей теоремы.
Теорема 1. Для того чтобы у области В, содержащей оо,
существовала функция Грина g(z, оо), необходимо и достаточно,
чтобы емкость ее границы была положительна.
Относительно емкости докажем теперь следующую теорему.

302 МЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЗАМКНУТЫХ.М.НОЖВСТВ [ГЛ. VII
Теорема 2.!) Емкость любого ограниченного замкнутого
множества Е точек на плоскости равна его трансфинитному
диаметру, т. е. С (Е) = d (?).
Доказательство. Рассмотрим сначала область В, содержащую
оо, и с границей К, состоящей из конечного числа замкнутых кривых
Жордана без общих точек. Пусть g (z, С) есть ее функция Грина,
a h {z, со) — сопряженная функция. При любом конечном z ? В функция
а (С, z) = g& z) - *(t оо) -f log |C - z\,
как функция от С будет гармонической в В. Применяя к ней
формулу E), § 3, гл. VI и имея в виду, что на К имеем и (С, z) =
= log | С — z\, получаем при С, z ? В:
Полагая здесь С = оо и замечая, что к(оо, z)=g(z, оо) — f, где if —
постоянная Робэна для области В, имеем:
g{z, оо) - т= — \ log | С - z | dh(С, оо). A)
А"
Опираясь на эту формулу, докажем, что i = e~t, где т есть посто-
постоянная Чебышева для К-
Действительно, пусть Х^>0 и столь малб, что неравенство g{z, oo)^>
^>Х определяет в В область 5Х с границей К\, состоящей из замкну-
замкнутых кривых Жордана, аппроксимирующих соответствующие кривые,
входящие в К- Так как
то делим границу К, в порядке ее полного обхода, точками Cft, k =
= 1, ..., я, на части lk так, чтобы
Сравним интеграл A) с суммой
При z?K\ колебание логарифма log (С — z\ на каждой из частей
4, состоящих только из одной дуги, при п достаточно больших и
l) Cere [1924].

§ 3] ЕМКОСТЬ ОГРАНИЧЕННОГО ЗАМКНУТОГО МНОЖЕСТВА 303
притом не зависящих от z, будет меньше наперед заданного ^
Число же частей 1к, состоящих из нескольких кривых, не превосхо-
превосходит числа связности области В. На основании этого разность
к=\
= 2 \{bg\^~z\~\og\^~-z\)dh^,oo)
стремится к нулю при п—>оо и притом равномерно относительно
z?K\- Следовательно, по A), при z^K\ и п достаточно больших
имеем:
с |8Я(*)|<Х, т.е.
л
Так как модуль | JJ(z — Cfe)l, рассматриваемый на дополнении к Вх
на плоскости z, достигает максимума на К\, то B) имеет место и во
всех точках этого дополнения, а в частности и на К- Это значит, что
для величины тп (см. § 1), соответствующей множеству К, при п
достаточно больших имеем j/ т„ ^ en~f и, следовательно, т^е2Х-т.
В силу произвольности X ^> О это дает:
т<е^. C)
С другой стороны, если tn{z) полином Чебышева для К (с нулями
на АО и т„ = max | ?„ (z) |, то функция
z ^ К
«„B) = ^,oo)-i-logi№! D)
будет гармонической в В, причем при приближении к К она имеет
неотрицательные предельные значения. Следовательно, всюду в В бу-
будет vn(z)^s0. В частности, г;„(оо) =^4—logw,,S=0, т.е.
УЖ~п^е-\ E)
Отсюда при п —>оо получаем т :>= е~т, что вместе с C) дает

304 МЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ {ГЛ. VII
Обращаясь теперь к непосредственному доказательству теорема
для множества В, рассмотрим область В, дополнительную к Е и со-
содержащую со. Пусть В исчерпывается областями 5<л), ограниченны-
ограниченными замкнутыми кривыми Жордана, и пусть т» — постоянные Робзна
для областей 5{л>. Дополнения к 5{л) на плоскости z обозначим че-
через Е„. Отметим, что полиномы Чебышева ?,)ЛСг) степени v для мно-
множества Е„ будут одновременно и полиномами Чебышева для границы
области 5{л>. Положим т„ = lim f/ тчп. По доказанному-выше име-
V -*00
ем т=?-Тл. Но, так как Ес^Еп, то т^*„, где т — постоянная Че-
Чебышева для Е. Следовательно, т <^ e~tn. При я —> оо это дает т
С другой стороны, из E) следует, «то yffh4n^e~in. Это показыва-
показывает, что если ?v (z) — полином Чебышева для Е, те имеем:
v = l, 2, ...
Значит, при каждом я на границе области 5(л) существует точка zn
такая, что e~t'n ^ j/17, (,?„) ]. Все точки сгущения точек zn, п= 1, 2,...,
лежит на ?. Пусть zt одна из этих точек. Тогда из последнего
неравенства имеем е" <У| 2, Bв) | и> следовательно, е"'1 ^.-у^тч. При
v—>оо отсюда получаем е"т^т. Это вместе с ранее доказанным да-
дает т=е~т или, что то же, 4(?) = С(Е). Теорема доказана.
Интересный результат получается в случае, когда Е есть контину-
континуум. Тогда область В будет односвязной и функция Грина g(z, оо) для
В совпадает с логарифмом модуля функции С =/B), однолистно ото-
отображающей область 5 на область j С | ^> 1 так, что z = оо перехо-
переходит в С=оо;. Поэтому постоянная Робэна для области В равна
logl/Xoo)!, а емкость С(Е)= . +,, s, =R\ здесь R — конформный
радиус области В ^относительно оо), т. е. такое число, что область
В однолистно отображается на | С | ^> R посредством нормированной
функции C=FB), /?(оо) = оо, /="(оо) = 1.
Итак, получаем:
Теорема 3.') Емкость, а следовательно, к трансфинитный
диаметр ограниченного континуума Е равны конформному ради-
радиусу области, дополнительной к Е и содержащей оо.
В заключение приведем еще теорему, связывающую функцию Грина
с полиномами Чебышева.
Теорема 4. Если область В с границей К содержит оо и
имеет функцию Грина g{z, oo), a in (z) обозначают полиномы
') Фекете [1923].

§ 4] ГАРМОНИЧЕСКАЯ МЕРА ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ 305
Чебышева для К (с нулями на A"), tno имеем
л —
цш 1Л1»Ш = # <*¦«», тп = шах | ?„ (z) \, F)
у т г?К
причем стремление к пределу будет равномерное внутри В.
Доказательство. Обратимся опять к функциям vn(z), n=
= 1, 2, ..., определенным по формуле D). Так как „эти функции
являются гармоническими и неотрицательными в В, то к ним приме-
применим принцип сгущения, по которому из самой последовательности
функций •»„(?), а также из любой подпоследовательности их, можно
выделять последовательности, равномерно сходящиеся внутри В к гар-
гармоническим функциям, причем предельные функции всегда будут
неотрицательными в В и равными нулю в оо по теореме 1; сле-
следовательно, эти функции тождественно равны нулю в В. А это зна-
значит, что сама последовательность vn(z) равномерно сходится внутри
В к 0. Это равносильно утверждению теоремы. Теорема доказана.
§ 4. Гармоническая мера ограниченных
замкнутых множеств
Наряду с рассмотренными выше способами измерения ограничен-
ограниченных замкнутых множеств на плоскости, Р. Неванлинна1) ввел еще
одну меру, которая оказалась весьма важной в теории функций.
Пусть а есть ограниченное замкнутое множество точек плоскости гн
В—какая-либо из областей, дополнительных к а. Выбросив из области В
замкнутую кривую Жордана р (не имеющую общих точек с а), а так-
также и ее внутренность, обозначим остальную часть области В через В„.
Далее, пусть Bw, n=\, 2 есть последовательность областей,
содержащихся в В, содержащих р, с границами ада состоящими из
конечного числа замкнутых кривых Жордана, и исчерпывающих об-
область В. Наконец, пусть Bf\ n=\, 2, ..., суть области, полученные
из области 5<л) выбрасыванием из них кривой р и области, которую
эта кривая ограничивает. Обозначим через <o(z, ал, Врп)) — функцию,
гармоническую в области В^ и равную единице на ал и нулю на р.
Эта функция будет, очевидно, неотрицательной и меньшей единицы
в Bf\ Далее, разность ш(г, а„, В^) — т{г, ал+1, 5р+1), как неотри-
неотрицательная на границе области 5р"\ будет положительна внутри Bf\ Это
значит, что при фиксированном z ? 5., величина ш {z, а„, ?$*') бу-
будет определена, начиная с некоторого п, и будет убывать с возраста-
возрастанием /игЗдесь применима теорема Гарнака, по которой заключаем, что
•) Р. Неванлинна [1941]. Отсюда взято все, излагаемое в этом пара

306 МЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ [ГЛ. VII
lim со (z, <х„, В\ ) = со {z, а, В Л существует всюду в 5„ и представляет
гармоническую функцию в Во. Очевидно, Os^o>(z, а, Во)<^1 в 5р.
Отметим, что со (г, а, Z?j не зависит от выбора последовательно-
последовательности 5(и), ибо, если имеются две последовательности Z?("r) и ?("") та-
такого рода, то для любого я' можно указать такое я", что Бр^сг Бр""'
и обратно. Следовательно, в первом случае имеем неравенство
со (г, а„», Бр"') <? о) (г, а„», Бр" '), во втором случае будет обратное не-
неравенство.
Величина <о(г, а, ВЛ называется гармонической мерой множест-
множества а относительно области В, кривой р и точки z ? В„.
Отметим, что, при приближении z из области 5. к точкам мно-
множества а, гармоническая мера ш(г, а, 5р) не всегда стремится к 1.
Это, например, наверное не будет иметь место при приближении z
к изолированным точкам множества а, ибо в каждой из таких точек
со (г, а, ВЛ есть гармоническая функция. Однако можно доказать, что
если (о(г, а, ВЛщ/=0, то при приближении z из области Во к точкам
множества а, предельные значения гармонической меры <o(z, а, ВЛ
ограничены снизу положительным числом. Действительно, пусть ро
есть замкнутая кривая Жордана, лежащая в В, содержащая внутри
себя кривую р и не содержащая ни одной точки множества а. На р0
функция со (г, а, ВЛ имеет положительный минимум 9, 0<^9<^ 1. Пусть
г0 — любая точка области В., лежащая во внешности ро, и пусть я
столь большое, что ро и г0 лежат в В'^' Так как в Бри) имеем
со (г, а, 5рп))>со(г, а, ВЛ, то на ро будет со (г, а„, 5(рп))>0. Кроме
того, на а„ имеем со (г, а„, В^) = 1. Следовательно, по принципу
максимума получаем <о(г0, лт 5ри>)^0 и это при всех п достаточно
больших. При я —> оо это дает со (г0, а, ВЛ^ 9 j> 0. Отсюда следует,
что все предельные значения со (г, а, ВЛ при приближении г к а
больше 0.
Возникает вопрос о критериях, когда гармоническая мера данного
множества а равна нулю и когда она положительна. Равенство или
неравенство нулю гармонической меры о> (г, а, ВЛ имеет место одно-
одновременно для всех^ точек области Во, ибо, если она равна нулю в од-
одной точке из Во, то по принципу максимума она равна нулю и всюду
в 5„. Но то же обстоятельство имеет место также и в отношении
кривых р, выбираемых в В. Действительно, пусть для некоторой кри-
кривой р имеем о) (г, а, ВЛ = 0 и пусть р* — другая кривая такого же
рода. Пусть т и •( — замкнутые кривые Жордана, лежащие в В, со-
содержащие внутри себя кривые р и р*, и такие, что •( лежит внутри
Т и между т и р* нет точек множества а. Кривые f и р* вместе
ограничивают область ^Q лежащую в В. Пусть 0 = max со {z, f, Во),
Зададим теперь е^>0. При я достаточно большом и при

§ 4] ГАРМОНИЧЕСКАЯ МЕРА 8АМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ 307
z ^f имеем w(z, ал,В^л))<^е, ибо из сходимости w(z, а„, 5рл)) к ну-
нулю в 5 следует равномерная сходимость к нулю внутри В».
Обозначим через X и X' максимумы функции <o(z, а„, B^l) на f и
на 7'- Так как разность ш (г, а„, 5р) — ш (г, а„, 5^л)) есть гармони-
гармоническая функция в части Bfy области В{п\ ограниченной кривыми <х„ и •(, и
на а„ равна нулю, а на ¦( не превосходит X', то отсюда имеем X <[Х' -f- e.
Далее, так как разность ш (z, а„, В$) — Хш(г, -j, 50) есть гармоническая
функция в Во, которая равна нулю на р* и меньше нуля на 7> то она мень.
ше нуля в 50, а в частности, и на -f, где максимум функции со (г, <хп, Вр)
равен X'. Следовательно, на / имеем Х'^Хш(г, f, 50)^Х6. Отсюда
и из X <^ X' -(- е получаем X' <^—г е- Поэтому на f' имеем ш (г, а„, В^Й)^
^ в в. Так как е любое ^> 0, то ш(г, а, 5*) = 0 на -j', а следо-
следовательно, и всюду в В„%.
Итак, равенство нулю гармонической меры ш(г, а, Вр) не за-
зависит от выбора кривой р, если она лежит в одной и той же
области В, дополнительной к а.
Покажем теперь, что если а содержит континуум, то со (z, а, В^ ^> 0,
какова бы ни была область В, дополнительная к а, и какова бы ни
была кривая р сг В. Как при доказательстве теоремы Римана § 2,
гл. II, надлежащим преобразованием можно достигнуть того, что об-
область В имеет внешние точки. Если Во есть область, ограниченная
кривой р и некоторой другой замкнутой кривой Жорданат*лежащей
вне В, то Бр сг Во и, следовательно, как выше, докажем, что при
z ? Bf] имеем
<о(г, а, 5^)^@B, а0, В0)>0-
При я—»оо отсюда получаем:
со (г, а, 5р)^ш(г, а0, 50)>0.
Из последнего утверждения вытекает, что если гармоническая мера
множества а относительно некоторой области, дополнительной к а,
равна нулю, то а не содержит ни одного континуума и дополнение
к а есть единственная область, содержащая оо.
Отметим еще следующие простые свойства множеств нулевой гар-
гармонической меры.
Каждая замкнутая часть ограниченного замкнутого множест-
множества нулевой гармонической меры есть также множество нулевой
гармонической меры. Это следует непосредственно из рассмотрения
разностей соответствующих функций типа <о(г, <хл, Бр").
Сумма двух ограниченных замкнутых множеств нулевой гар-
гармонической меры есть множество нулевой гармонической меры.

308 МЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ 1ГЛ. VII
Действительно, пусть эти множества есть а, и о^ и пусть кривая р
лежит в дополнении к а=о1-|-а»- Для областей Мл) и В^\ исчерпы-
исчерпывающих соответственно области, дополнительные к оц и „сц и содер-
содержащие р, и для данной точки z области В, дополнительной к а и
содержащей р, при п достаточно большом имеем:
ы(z, о,, „,
Здесь at „ и aj( „ — границы областей б!л) и В$\ Пусть #(л) есть та
из областей общей части областей Ми) и В^, которая содержит р.
При надлежащем выборе областей Б*/1' и 5^b) (как, например, в нача-
начале § 2, строя их из квадратов), граница области 5(л) при каждом
л=1, 2, ... будет состоять из конечного числа замкнутых кривых
Жордана. Поэтому области В^"\ л = 1, 2, ..., исчерпывают область В.
Функция
гармоническая в 5р, равна нулю на р и не превосходит нуля на ап.
С В. имеем:
р р р
Следовательно, в В. имеем:
т. е. ш (г, а, 5р) = 0.
Докажем теперь основную в теории гармонической меры теорему
Р. Неванлинна.
Теорема 1. Ограниченное замкнутое множество тогда и
только тогда имеет нулевую гармоническую меру, когда его
емкость равна нулю.
Доказательство. Сделаем предварительно одно необходимое
замечание относительно функции Грина.
Пусть В есть область, содержащая оо и ограниченная конечным
числом замкнутых кривых Жордана; далее, пусть g(z, 00) — ее функ-
функция Грина, h {z, со) — сопряженная функция, а f — постоянная Робэна.
Здесь имеет место формула A), § 3, из которой получаем нера-
неравенства
loga\(?)<?{z, co)~i^\ogdi(z), A)
где rfi(z) и a\(z) — минимум и максимум расстояния точки z до гра-
граничных точек области 5. Этими неравенствами мы сейчас и восполь-
воспользуемся.
Переходя к доказательству теоремы, можно считать, что ограни-
ограниченное замкнутое множество целиком лежит в круге |г|<^1, ибо
иначе достигли бы этого преобразованием подобия, не влияющим- на
доказываемое свойство. Пусть это множество есть а, В — область,
дополнительная к а и содержащая оо, В" — область, содержащая оо,

S 41 ГАРМОНИЧЕСКАЯ МЕРА ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ f 309
ограниченная конечным числом замкнутых кривых Жордана, целиком
лежащих в |z|<4, и такая, что В1а В. Обозначим через g(z, оо)
и g"(z, оо) функции Грина для В к В', а через шр(г, а, В'е) — гар-
гармоническую меру границы а' области В относительно части В'( об-
области В, лежащей в |z|<^p, р^>1.
1) Если а имеет положительную емкость, то постоянная т =
= \im(g(z, оо)— logjгj) конечна. Пусть р — фиксированное ^>2,
*-» со
а М. и mf — максимальное и минимальное значения функции g" (z, oo)
на [z| = p. Разность g" — A—<o^)mf есть гармоническая функция
в Ве' и на границе В'е она |Э= 0. Следовательно, и в В'е эта разность ^ О,
т. е. в В'р имеем
g^(l-^mf. B)
Если zx есть точка на окружности |г|=1, в которой g"[z, oo) имеет
минимум, равный mh то неравенство B) дает
от, 5э A — wf (г„ a', B'f)) mf. C)
Но ml = min(gr — log|z|)«^lim(g" — log|z\) = •(, a no A) имеем
I z\ = 1 г — оо
m ^ log (p — 1) -j- f'. Следовательно, из (З) получаем:
fS* A - % (г„ а', Б'р)) (log (p - 1) + f),
откуда
.,(*, a', B^l-
ибо f' ^f. Это показывает, что если емкость множества а положи-
положительна, то и гармоническая мера а положительна.
2) Пусть теперь емкость множества а равна нулю. Так как раз-
разность A — Шр)М( — g" есть гармоническая функция в В'9 и на границе
B'f она ^0, то, следовательно, и в В. эта разность ^0, что дает
D)
Для точки га на | z \ = 1, в которой g" достигает максимума, равного
Mit неравенство D) дает:
Но
Мх = max (g' — log | z j) ^ f,
a no A) будет
Следовательно,
f < A - °>P («» «'. 5;)) (log (p +1) + f),

310 МЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ [ГЛ. VII
откуда
Если фиксировать р^> 1 и В — В(взяв за В последовательность об-
областей, исчерпывающих В), то •/—»оо и, следовательно, mince (z, а', В'Л
стремится к нулю. Так как при этом функция шр (z, а', Вр) на | z | = 1
равномерно сходится к ш (z, а, Вр), где Вр — часть области В, лежащая
в | z | <^р, то ш(z, а, Вр) = 0, ибо иначе функция ш0 (z, а', В'е) имела
бы положительную границу на|г| = 1. Итак, гармоническая мера а
равна нулю. Теорема доказана.
В качестве простейших приложений теории гармонической меры,
докажем здесь две теоремы, одна из которых относится к устрани-
устранимым особым точкам гармонических функций, а другая к принципу
максимума для гармонических функций.
Теорема 2. Пусть а есть ограниченное замкнутое множе-
множество точен плоскости z, лежащее в области В. Если оно нуле-
нулевой гармонической меры, то всякая функция u{z), гармониче-
гармоническая и ограниченная в области В, за вычетом точек множества
а, будет гармонической и во всей области В, если доопределить
ее надлежащим образом на а. Если же а положительной гармони-
гармонической меры, то это свойство имеет место не всегда.
Доказательство. Пусть а имеет нулевую гармоническую меру.
Тогда без ограничения общности можно считать, что В есть огра-
ограниченная область с границей, состоящей из единственной замкнутой
кривой Жордана C, и что и (z) есть гармоническая функция на {3,
ибо иначе вместо В рассмотрели бы надлежащую область такого рода,
содержащуюся в В и содержащую а. Пусть щ (z) есть функция, огра-
ограниченная и гармоническая в области В и совпадающая с и (z) на гра-
границе В. Покажем, что uo(z) = u(z) в В. Действительно, для точки
г,^Ви для заданного е^>0 существует область В^п\ В^> сг В, содер-
содержащая z0, не содержащая а, с границей р + ая, состоящей из конеч-
конечного числа кривых Жордана, и такая, что ш (z0, <х„ ,?1Л)) <^ е. Если
\u(z)\^.M в В — а, то |ио(.г) |<^УИ в В. Следовательно, для разно-
разности v (z) = и (z) — щ(г) в В — а имеем | v (z) \ sg 2M. Рассмотрим
теперь функцию v (z) -f- 2Me (z, а„, В^). Она гармоническая в В^\ равна
нулю на р и неотрицательна на <х„. Следовательно, v (z) -)- 2Мш (z, <xn,
Жл))^0 в ВК Отсюда имеем v (z0) ^ — 2Жш |> — 2Же. Так как
е ^> 0 любое, то v (ze) ^ 0. Рассматривая аналогично функцию v (z) —
— 2Жш (z, а,т В1Л)), покажем, что v (z9) «g; 0. Следовательно, v (z0) = 0,
т. е. и0 (г) = и (г) в В — а. Отсюда следует, что если на а опреде-
определить функцию к (-г), как равную чй(г), то и (z) становится гармони-
гармонической в В. Если же а имеет положительную гармоническую меру

§ 5] ПРИЛОЖЕНИЕ К МЕРОМОРФНЫМ ФУНКЦИЯМ 311
то, например, функция со (z, а, В), будучи гармонической и ограничен-
ограниченной в В — а, не может быть доопределена на а до гармонической
функции в В, ибо иначе она, как равная нулю на {3, будет тожде-
тождественно равна нулю в В — а, а тогда множество а было бы нулевой
гармонической меры.
Теорема 3. Если u(z) есть функция гармоническая и огра-
ограниченная сверху в области В и если при приближении ко всем
точкам границы области В, кроме множества точек а, нулевой
гармонической меры, все ее предельные значения не превосходят
т, то в В имеем u(z)s^m.
Доказательство. Пусть и(z)s^lЖ в В. Допустим, что суще-
существует в В точка z0> в которой u(zo)'^>m. Из условий теоремы сле-
следует, что существует точка z^B такая, что u(Zi)<^u(z0). Опишем
около Zi малый круг {3, в котором u(z)<^mb т<^т^<^и(z0).
По условию теоремы множество а можно заключить внутрь конеч-
конечного числа кривых Жордана, лежащих в дополнительной области,
содержащей В, и обозначаемых в совокупности через а„, так, что
для области BW с границей <х„ \j р имеем со (z0, ап, Bin)) <[ е. Рас-
Рассмотрим теперь функцию
v (z) = и (z) — т — (Ж — т) со (z, а„, ?<»>),
гармоническую в общей части областей В и В&\ При приближении
z к точкам границы области В, отличным от точек множества о,
ее предельные значения не превосходят т — т—(Ж — /га)<^0, при при-
приближении к точкам <х„ не превосходят Ж — т~^(М — т) = 0; нако-
наконец, на C имеем v(z)<^ту — т. Отсюда следует, что в В1п) (~) В будет
— т. В частности, при z = z0 это дает
т)ш(г0, <х„, ?<">) < /rat + (Ж — т) е.
Так как е ^> 0 любое, то получаем и (z0) ^ т^ что противоречит
допущению, что и{гй)~^>т%. Теорема доказана.
§ 5. Приложение к мероморфным функциям
ограниченного вида
Функция f{z) называется мероморфной функцией ограниченного
вида в |.г|<^1, если она представима в |-г|<^1 в виде отношения
двух ограниченных регулярных функций:
Можно считать, что | ср (z) | ^ 1 и | <|> (z) \ ^ 1 в | z | ^
Критерий принадлежности f(z) к мероморфным функциям огра-
ограниченного вида дается теоремой:

312 МЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ [ГЛ. VII
Теорема I.1) Для того чтобы функция f(z), ф)
мероморфная в круге |z|<4, была функцией ограниченного вида,
необходимо и достаточно, чтобы величина
\bk\<r
была ограничена сверху при 0<^г-<^1; здесь: bk— полюсы функ-
функции f(z), отличные от z = 0 и выписываемые с учетом кратно-
кратности; сумма берется по всем полюсам bk, лежащим в круге [z |<V,
а под символом log а понимается log а, если а;э=1, и О, если
01
Доказательство. Если нули функции/(г) обозначены через ак,
а полюсы через bk, то, положив
f (z)— ТТ r(z~gft)-
JW Ц
— ТТ
— Ц
заключаем, что функция fr (z) имеет в | z | «^ г те же нули и полюсы,
что и fz). Кроме того, на \z\ = r имеем \fr(z)\ = l, ибо при
любом а, |(д|<>, на |г| = г будет г /j^- =1. Поэтому, если г
таково, что на |z] = r нет нулей и полюсов f{z), то функция
будет регулярной и без нулей в | z \ ^ г, а логарифм
г\)
logF(z) — регулярной функцией в |г|^г. Применив к logF(z) и
к кругу |2|=sgr формулу Шварца, имеем в ||<>
(С — вещественная постоянная). Принимая во внимание значение F (z),
а также то, что | F (-г) | =/ (z) \ на |г|=г, отсюда получаем следую-
следующую формулу:
Эта формула остается-справедливой и в случае, когда на |z| = r
имеются нули и полюсы функции f(z), что доказывается предельным
') Р. Неванлинна [1922].

§5] ПРИЛОЖЕНИЕ К МЕРОМОРФНЫМ ФУНКЦИЯМ 313
переходом относительно т. В частном случае, когда /@) Ф 0, положив
в B) z = 0 и сравнивая вещественные части, получаем известную
формулу Иенсена:
1т1- 2
^[6 C)
Формулу B), как обобщение формулы Иенсена, называют форму-
формулой Иенсена — Шварца.
Имея в виду, что
log \f(re») \=tog \f(re*) | - log | ^ |,
из формулы B) получаем следующее представление функции f(z)
в||<г
D)
где положено
)== IT г(«-а,)е 2Ч
АХ « — 3^z
Здесь функции <рг(г) и tyr(z) регулярны в |г|<^г, |сргС-2)!«
Если теперь Т(г) ограничено при 0<><^1, пусть Т
то, взяв последовательность /¦„, п = 1, 2,..., г„<^1, гл->1, из после-
последовательностей функций <|>„(г), <?n(z) сможем выделить подпоследо-
подпоследовательности <|>nftB), fnki*)' разномерно сходящиеся внутри круга
к регулярным функциям ty(z), cp(z), причем |ср(г)|^1,
Si в |z|<4. В результате мы получили представление A).
Обратно, пусть представление A) имеет место и <|>@):^0 (к чему
легко привести представление A)), тогда, так как в |г|<^1, имеем
то
log \f(reib) | < - log | ф (re'e) |, 0 < г < 1,

314 МЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ [ГЛ. VII
и, следовательно,
2*
I
$ ^ log\k\'
0 I
где через b'k, k = 1, 2, ..., обозначены все нули функции ф(z) в | |<
С другой стороны, по формуле Иенсена C), примененной к ф(.г),
имеем:
.... 2к
log |ф @)|= У. Ье1-р + ±^1<ъ\№е»)\М. F)
На основании F) правая часть в E) равна — log | ф @) |; следова-
следовательно, при 0<><1 имеем 7"(г)^— 1<^|ф@)|, т. е. Т(г) ограни-
ограничено. Теорема доказана.
Если условие ограниченности Т (г) при 0<^г<^1 заменить на
ограниченность предельных значений при г -*¦ 1, то теорема 1 будет
иметь место и без предположения, что /@) ф оо. В этом убедимся,
видоизменяя приведенное доказательство.
Теперь, опираясь на § 3, укажем один достаточный признак того,
чтобы мероморфная функция f(z) была ограниченного вида.
Теорема 2.*) Если функция f{z), мероморфная в |г|<^1,
не принимает в круге | г | <[ 1 совокупности значений w, образую-
образующих замкнутое ограниченное множество Е положительной емко-
емкости, то она ограниченного вида.
Доказательство. Теорему достаточно доказать лишь для функ-
функции f{z), не ограниченной в |г|<^1. Можно считать, что /
ибо иначе вместо f{z) рассмотрели бы функцию /\^^У- ) с надле-
надле1
жащим а, |а|<^1. При любом сф/{0) и 0<^г<^1 по формуле
Иенсена C), примененной к f(z) — с, имеем:
-с|= 2 loglJr- 2 logLrJ+
l*ftl<r
e^-cldQ. G)
Здесь ak и bk — нули и полюсы функции f(z) — с в ^||^
причем; так как bk одновременно и полюсы f(z), то они не зависят
от с. Пусть при каждом г, 0<^г<^1, dr есть расстояние множества
значений, принимаемых функцией f(z) в |г|<^г, до множества Е,
') Относительно теорем 2 и 3 см. Р. Неванлинна [1941].

§5]
ПРИЛОЖЕНИЕ К МЕРОМОРФНЫМ ФУНКЦИЯМ
315
а Кг — совокупность кривых Жордана, лежащих вне друг друга, за-
заключающих внутри себя множество Е и таких, что расстояние между Кг
и Е меньше dr При с ?КГ первая сумма справа в G) не содержит
б f{ || Е ( ) б
ни одного члена, ибо f{z)=fcc в |г|^г. Если через gr{w, oo) обо-
обозначить функцию Грина для области Вг, содержащей оо и ограни-
ограниченной кривыми Кг а через — А,, (да, оо) и ^„ соответственно, сопря-
сопряженную гармоническую функцию и постоянную Робэна для Вг, то
из G) следует:
1 П
- с | dhr {с, оо) =
7 log n—-.,
поскольку \ dhr(c, oo) = 2it. Применяя здесь формулу A), § 3, получаем:
ГТ-Г- (8)
Пусть теперь /?^>1 такое, что Кг при всех г, 0<^г<^1, целиком
лежит в |да|<^^. Тогда для С^/Сг и да, |да|^>2#, имеем:
w
log
1 —
:lOg
1
следовательно, из формулы [см. опять A), § 3]
gr(w, oo) — Tr = i J log|C —
к.
;, оо) =
2R, получаем:
—С
oo),
примененной для да,
gr(w, oo);
Далее, так как Кг целиком лежит в круге
= е~
дает:
и, следовательно,
^ /?, то имеем d (Kr) =
— log R. Поэтому предыдущее
l
gr(w, oo)^log|w| — logdR. (9)
Неравенство (9) имеет место и для всех точек области В„ лежащих
в круге | w К 2R, ибо в этих точках левая часть положительна, а пра-
правая отрицательна.

316 МЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ [ГЛ. VII
Поскольку неравенство (9) имеет место во всей области В„ то,
используя его, из формулы (8) получаем:
1 С +
gr [О), ооM*2^ \l0Sl/C
или
2я .
log r&i<*^ оо)+log
\Ь„\<г
Далее, так как область Вг целиком лежит в области В, дополнитель-
дополнительной к ? и содержащей оо, то имеем gr(f@), oo)^g(f@), оо), где
g(w, с») — функция Грина для В. В результате из A0) получаем:
Это показывает, что Т(г) ограничено при O<V<^1, т. е. функ-
функция /(-г) должна быть ограниченного вида. Теорема доказана.
В заключение приведем следующую теорему Неванлинна, относя-
относящуюся к отображениям многосвязных областей на круг.
Теорема 3. Для того чтобы функция w=f(z), конформно
отображающая круг \z]<^l на многосвязную область В, содер-
содержащую оо (см. § 1, гл. VI), была мероморфной функцией ограни-
ограниченного вида, необходимо и достаточно, чтобы емкость границы
области В была положительна.
Доказательство. Функция w—f(z) не принимает в |z|<^l
значений, составляющих границу К области В. Поэтому, если эта
граница имеет положительную емкость, то по теореме 2 f(z) является
функцией ограниченного вида.
Пусть теперь, обратно, f(z) есть функция ограниченного вида.
Пусть с^В и с9^0, оо. Функция f(z) — с имеет в |z\<^ 1 беско-
бесконечное число нулей. Располагая эти нули в порядке возрастания моду-
модулей, обозначим их через ак, А=1, 2, ...; они же будут и нолюсами
функций i( .j_ , которая также будет функцией ограниченного вида.
Применяя к последней функции теорему 1, заключаем, что величина
г
2 «
та-
а, 9 частности, и второе слагаемое в ней, ограничены сверху. Пусть

5 5] ПРИЛОЖЕНИЕ К МВРОМОРФНЫМ ФУНКЦИЯМ 317
' 1°?г^Ц<ГА 0<Сг<СЧ» А не зависит от г. Так как члены
jmd "ft I
этой суммы положительны, то при любом п и при г достаточно
близких к 1 имеем:
Переходя здесь сначала к пределу Г->-1, а затем к пределу п -*¦ оо,
придем к неравенству:
* = 1
которое показывает, что ряд слева сходится. Отсюда, имея в виду,
что lim -. = 1, заключаем, что сходится и ряд
Теперь, при
, имеем:
log
г — <
<2A -KB I iJLf -loglafcl=2A -'gaftl) -
* ~~
Ч
так что из предыдущего следует, что ряд
—«*
абсолютно сходится в круге | г | <^ 1 и определяет в нем гармониче-
гармоническую функцию, за исключением точек аь, в которых эта функция имеет
логарифмическую особую часть — log | z — ак |. Функция s (z) будет
инвариантна относительно дробно-линейных преобразований группы О
(§ 1, гл. VI), соответствующей области В, поскольку при этих

318 МЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ [ГЛ. VII
преобразованиях множество нулей ак переходит в себя. Поэтому, если
перейти на плоскость w посредством функции z=f~i(w), т0 s(z)
перейдет в функцию st {w) = s (f'1 (w)), однозначную, неотрицательную
и гармоническую в В, исключая точки w = c, где она имеет особую
часть вида — log\w — с\.
Пусть, теперь круг \w — с | ^ е целиком лежит в В и пусть
тг= min Si{w). Если бы емкость границы области В была равна
|Я> —е| = е
нулю, то к части В^ области В, где \w — с\^>е, и к функции — sx(w)
была бы применима теорема 3, § 4, по которой — sx (w) ^ — тг
в В\, т. е. sy {w) ^ тг в В^. Но /те, —>—|— оо при е -> 0. Следовательно,
в В должно быть sx {w) = -f- оо, что противоречит доказанной выше
конечности функции st (w). Это противоречие и доказывает теорему.
Относительно других результатов, связанных с приложением теории
гармонической меры к исследованию аналитических функций, отсылаем
читателя к монографиям Р. Неванлинна [1941] и И. И. Привалова
[1950].

ГЛАВА VIII
ПРИНЦИПЫ МАЖОРАЦИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 1. Инвариантная форма леммы Шварца
В § 2, гл. II было установлено простое, но чрезвычайно важное
свойство ограниченных функций, названное леммой Шварца. В про-
простейшей общепринятой форме она формулируется так:
Теорема 1 (лемма Шварца). Если функция f{z) регу-
регулярна в |г|<1, /@) = 0 н |/(г)|<1 в И<1, то в |г|<1
имеет место неравенство |/(г)|^|г|, а кроме того, и неравен-
неравенство |/'@)|=sCl; знаки равенства (в первом неравенстве при
z фО) будут здесь иметь место только в случае, когда f(z) = tz
|е| = 1.
Если теперь отбросить требование /@) = 0, т. е. рассматривать
любую функцию f(z), регулярную в |z|<^l и такую, что \f
в |z|<4, то, положив при фиксированном z, \z\<^\,
ЛШ~т
видим, что функция g(C) удовлетворяет условиям леммы Шварца;
поэтому для нее будут иметь место указанные в этой лемме нера-
неравенства. В результате получаем следующее обобщение леммы Шварца.
Теорема 2. Если функция f (z)регулярна в \z\<^l и \f(z)\<^l
в | z\ <^ 1, то при любых С и z из круга | z | <^ 1 имеет место
неравенство
/@-/(г
~/B)/(С)
1-гС
О)
а кроме того, в \ z \ <^ 1 — неравенство

320 ПРИНЦИПЫ МАЖОРАЦИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. VIII
Знаки равенства будут здесь только в случае, когда /(г) =
Отметим, что при 2=0 из A) получается в |С|<Щ неравенство
которое после простых преобразований, как в § 4, гл. IV, можно
привести к виду
Отсюда, в свою очередь, следует неравенство
E)
причем при С Ф 0 знак равенства здесь будет только в случае, когда
/() = ЕТЙ 1'1==1' ("К1' и argC = arge, если афО.
Теореме 2 можно дать геометрическую интерпретацию. Для этого
.введем в круге | z \ <^ 1 особую метрику.
Пусть zt и Zi—две точки круга |г|<^1, а ;,и^ — точки пере-
пересечения окружности | г | = 1 с ортогональной к ней окружностью,
проходящей через zt и z», причем обозначение таково, что точка zt
ближе к гъ чем к zt. Образуем ангармоническое отношение этих
четырех точек:
Оно, как легко проверить, инвариантно относительно любого дробно-
линейного отображения плоскости z, т. е. если при этом отображении
точки zb zb z3, zi переходят в точки С,, Cj, С» Сь то имеем:
(Cs, Cl, Cj, C4)==B3, Zh Zi, Zk). G)
Кроме того, ангармоническое отношение F) будет положительным
и меньшим единицы при любых z1 и zt из | z <^ 1. Действительно,
функция Z — \~21' отображает круг |г|<^1 в себя так, что точки zt
и Zi переходят в точки Ci = 0 и Са= fi~Jt—==rei'1, O^r^l,
1 — Z,ZS "» ""•
а окружность, ортогональная к окружности | z \ = 1 и проходящая
через zt и гь переходит в прямую, проходящую через С = 0. Отсюда
следует, что точки г8 и zt перейдут при этом в точки Cs = —#'9 и
С4 = ^г''. Поэтому, используя G), получаем:

§ 1]
т. е.
ИНВАРИАНТНАЯ ФОРМА ЛЕММЫ ШВАРЦА
1 —
1— ZjZ,
Z2 —2»
321
(8)
1 — Z,Z2
Формула (8) дает удобное выражение для рассматриваемого ангармо-
ангармонического отношения; из него, в частности, следует и предыдущее,
утверждение.
Назовем теперь гиперболическим расстоянием между точками zv и
Zi круга | z | <^ 1 величину:
D(*„ 20 = -i-log(г„ гь zb z,) = ± log
1+
1 —
Z| —2S
1—га
Zi—2S
1 — Z,ZS
(9)
Очевидно, D(zb z^=D(zb zt) и D(zlt z^^O, причем D(zb zt) — 0
только в случае, если zl = zi. Далее, для любых точек zb гъ za
круга |г|<^1 имеем неравенство:
z*)^D(zb гЛ (9')
(неравенство треугольника), причем знак равенства здесь будет только
в случае, когда точки ziy zb z3 лежат на одной окружности, орто-
ортогональной к |г| = 1. Это свойство следует из (9), если отметить,
что, в силу инвариантности гиперболического расстояния относительно
дробно-линейных отображений, всегда можно считать г, = 0 и что,
в силу неравенства E), примененного к функции /(С)= f1 в точке
1 —z,t
= г8, имеем:
z. — z.
Знак равенства здесь имеет место только в случае, если arg.z1 = arg гг.
Не вдаваясь в построение плоской геометрии на основе этого
мероопределения — геометрии, которая дает эвклидову интерпретацию
неэвклидовой геометрии Лобачевского, — отметим, что гиперболиче-
гиперболическое расстояние является инвариантным относительно дробно-линейных
отображений круга |г|<^1 в себя и что роль прямых в этой геомет-
геометрии играют окружности, ортогональные к |.г| = 1. Далее, если при
фиксированном zx точка z% приближается к окружности [z[ — l, то
D(zb z$-*--\-oo\ это следует из (9). Множество точек z круга |г|<^1,
расстояние которых от данной точки г0, |го|<^1, не превосходит
заданного р, р^>1, т. е. для которых D(z, <го)==$р, называется
гиперболическим кругом, причем гй — гиперболический центр, р —
гиперболический радиус этого круга. Из (9) следует, что этот
11 Г. М. Голузин

322 ПРИНЦИПЫ МАЖОРАЦИИ И. ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. VH1
гиперболический круг определяется неравенством:
Z — Z,
и, следовательно, является эвклидовым кругом, но с центром, отлич-
отличным от г„. Из (9) далее следует, что
где е -*¦ О при Az -*¦ 0. Это показывает, что линейный дифференциаль-
дифференциальный элемент dag в гиперболической-метрике определяется по формуле
где \dz\ — эвклидов дифференциальный элемент.
Гиперболическая длина L кривой z=z(t), a^t^b, лежащей
в круге |z|<^ 1, определяется как верхняя граница сумм 2 ^(г*> ^а+О
-ft=0
для различных систем точек zk=z(tk), a=stu<^tb <^...<^tn=b.
В случае кусочно гладкой кривой легко можно показать, что эта длина
конечна и определяется по формуле
" I *'('>! dt
1-| 2@ I8 ^
а
Имея в виду принятые определения, теорему 2 можем теперь
сформулировать в следующей форме:
Теорема 3.*) (Инвариантная форма леммы Шварца.) Если функ-
функция f{z) регулярна в круге \z\<^\ ю|/(.г)|=^1 в \z\<^l, то
для любых точек zY и zt круга \z\<^l имеем:
D(f(z{), f(Zi))^D(Zi, га). A1)
Кроме того, в \г | <^ 1 имеем {дифференциальная форма леммы
Шварца)
daj^dar A2)
Знаки равенства в (И) ив A2) будут только в случае, когда
f(z) есть дро$но~линейная функция, отображающая круг \
в себя.
Неравенство A1) показывает, что при отображении,круга |
посредством функции tn=zf(z), регулярной в |г|<^1 и такой, что
I/C2)!^! B 1г1<С^» гиперболическое расстояние между образами
») Пик [1916].

ИНВАРИАНТНАЯ ФОРМА ЛЕММЫ 'ШВАРЦА 323
точек z\ и z% круга |г|<^ 1 не превосходит гиперболического рас-
расстояния между самими точками zx и zt и равно этому расстоянию
только в случае отображения круга |z|<^ 1 в себя. Из неравенства
же A2) следует, что при том уке отображении любая кусочно гладкая
кривая / переходит в кривую не большей гиперболической длины.
Отметим теперь некоторые усиления леммы Шварца.
00
Теорема 4. Если функция f(z)= ^скгк, я^1, регулярна
вИ<1и |/(г)|<1в М<1, то в И<1 имеем \f(z)\^\z\n,
ичем знак равенства имеет место только в случае, когда
) * || 1
Эта теорема доказывается аналогично лемме Шварца из рассмот-
f(z)
рения функции ^(z)=i-~, «р(О) = с„.
00
Теорема 5.') Если функция f(z) = ct-\- 2 ckz>>> я^^> регу-
лярна в |г|<4 и \f(z)\<^1 в \г\<^1, то в |г|<^1 имеем
I/' (*) I < Г12|'г7" (J - 1А^) Is)
или
dof^dag№ A4)
причем знака равенства будут только в случае, когда
Доказательство. В силу инвариантности daz относительно
дробно-линейного отображения круга |z\<C^ 1 в себя, имеем!
где
Так как функция y{z)=-^jr B 1г1<С^ по модулю не превосходит 1,
A6)
то к ней применимо неравенство B), которое дает
Л
г*"-!
г*"A—г»)
») Г. М. Голузин [1945].
11*

324 ПРИНЦИПЫ МАЖО*>АЦИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ 1ГЛ. VIII
Отсюда имеем:
и, следовательно,
Здесь p = |/iB)|^r". Покажем, что дробь правой части в A7), как
функция от р, возрастает в 0 ^ р ^ г". Действительно, ее производ-
производная по р имеет тот же знак, что и выражение
я а о 1 — rin
Так как произведение корней полинома A8) (относительно р) равно 1,
то этот полином имеет в 0<^р<^г" не более одного корня. Но A8)
положительно при р = 0. Покажем, что оно положительно и при
р = г". Действительно, имеем
и так как х-\— убываете 0<^дг<[[1, то в 0<^г<^1 имеем:
^ ^ k = 0, I,..., «-1;
следовательно, A8) положительно. Это и доказывает, что правая часть
в A7) относительно р возрастает в Osgp^r". Подставляя в A7)
вместо р не меньшую величину г", получаем A3). Кроме того, из
предыдущего следует, что знак равенства в A3) может быть только
в случае, когда f(z)s=&2^, |е| = 1, т. е. когда f(z\=z z _ —
1 -\-агп
|е| = 1, |а|<^1. Проверкой убеждаемся, что для последней функ-
функции в A3) знак равенства действительно имеет место. Теорема
доказана.
Теорему 5 можно дальше усилить, если учитывать величины началь-
начальных коэффициентов функции /(г). Так, в приведенном доказательстве
имеем P = |/i(*)|<r"-fi^^r", 1т.|=-г^|г и, следова-
следовательно, в A7) р можно заменить на не меньшую величину г" /J" , ,;
если это сделать, то получим теорему:

$ 2] ПРИНЦИП ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ МЕТРИКИ 325
Теорема 6.1) При условиях теоремы 5 в \z\<^l имеем.
где .г = И- <p(r) = r"yiLbl, T«= i-%, |« ¦ Знак равенства
будет иметь место только в случае функции
/(*)=
В заключение отметим, что из предыдущего непосредственно
следуют бценки производной от ограниченной функции f(z). А именно,
из теорем 2 и 5 имеем:
Теорема 7. Если f(z) регулярна в |г|<^1 и |/
в 12 К1, то а 12 К1 имеем точную оценку
причем знак равенства в точке 2 = 20> |20|<^1, будет только
в случае функции f(z) = & =2-. Если, кроме того, /(,г) = со-{-
1 ZnZ
ZBZ
со
-f- 2 ct2*, n ^ 1, то в | г К1 имеем точную оценку
причем здесь знак равенства в z = zu, |го|<С^» будет только
гп — гп
в случае функции f(z) = s -—=^, | е | = 1.
1 zz
§ 2. Принцип гиперболической метрики
Обратимся теперь к обобщению инвариантной формы леммы Шварца
на случай многосвязных областей.
Пусть в плоскости z дана многосвязная область 5, имеющая более
двух граничных точек. Эта область может быть конформно отображена
(как указано в § 1 гл. VI) на круг |С|<Ч. При этом отображающая
функция не единственна и не является однозначной в 5. Однако
отметим, что каждая ветвь одной отображающей функции связана
1) Г. М. Голузин [1945];

326 ПРИНЦИПЫ МАЖОРАЦИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. VIII
с любой ветвью этой же функции или какой-либо другой отображающей
функции посредством дробно-линейной подстановки. Это обстоятель-
обстоятельство в данном случае будет чрезвычайно важно.
Гиперболическая метрика в области В определяется теперь, как
перенесенная в В при указанном отображении гиперболическая метрика
круга | С | <^ 1; иначе говоря, ее дифференциальный элемент опреде-
определяется по формуле
1*1 ICWII*!
Так как последняя дробь инвариантна относительно дробно-линейных
преобразований функции С (г), то гиперболическая метрика не зависит
ни от выбора отображающей функции, ни от выбора ее ветви и вполне
определяется областью В и положением точек в области В.
Исходя из A), определяем, далее, длину L любой кусочно гладкой
кривой /: z — z(t), a^t^b, лежащей в В, по формуле:
\V(z(t))\\z'(t)\dt m
При этих условиях теперь имеем:
Принцип гиперболической метрики. Если области В
а О лежат соответственно в. плоскостях z a w и имеют каж-
каждая не менее чем по три граничных точки, и если аналитическая
функция w=f(z), определенная каким-либо своим элементом,
продолжала в В по любому пути и подчинена условию, что все
значения, которые она при этом принимает в В, лежат в обла-
области Q, то любая кусочно гладкая кривая I в области В перехо-
переходит при отображении w=f(z) в кривую К гиперболическая длина
которой относительно области Q не превосходит гиперболической
длины кривой I относительно области В. Равенство этих длин
будет только в случае, если f(z)—w(H(z)). Здесь функция С=С(-г)
конформно отображает область В на круг |С|<[1, о, функция
w=w(Q конформно отображает круг |С|<^1 на область Q (оба
отображения в смысле § 1 гл. VI). Далее, если dag есть дифферен-
дифференциальный элемент в точке z^B, a daw — соответствующий
дифференциальный элемент в образе w(^Q, то имеем daw ^ каг
с тем же случаем знака равенства.
Доказательство. Пусть функции С=С(-г) и t=it(w) отобра-
отображают области В vi Q соответственно на круги | С | <^ 1 и 111 <^ 1
в смысле § 1 гл. VI. Обозначив через г=г(С) функцию, обратную
к С = С(г), образуем сложную функцию t=t(f(z(Q)) — x(Q. Она,
очевидно, будет регулярна в |С|<О и |х(С)|<С^ в К1С* П
теореме 3, § 1 имеем:

§2] ПРИНЦИП ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ МЕТРИКИ 327
или
\f{f (z @I1 f(z (О) II z' (С)| .д. \Л
переходя здесь от круга |С|<^1 к области В, получаем в В нера-
неравенство:
!<'</(*)) И/Ч*) 11*1 ^ It'frHI*! Пч
т. е. daw^dag, w^=f(z). Далее, интегрируя C) по /, получаем, что
длина кривой X не превосходит длины кривой /. Знаки равенства
будут только в случае, когда х@ однолистно отображает круг |С | <С 1
в себя, а следовательно, функция f(z) = t~l(xCL(z))) имеет вид, ука-
указанный в формулировке принципа. Принцип гиперболической метрики
доказан.
Следствие. Если в плоскости z даны области В и О, причем
ВсО и ВфО, то во всей области В имеем dQaz<^dBag, т. е.
с расширением области гиперболическое расстояние между одними
и теми же двумя ее точками уменьшается.
Это следствие получается из принципа гиперболической метрики
применением его к функции f(z) = z. Оно может служить для оценки
dBag путем замены области В на более простые области, которые
действительно удается отобразить на круг.
В качестве приложения принципа гиперболической метрики, дока-
докажем теперь теорему.
Теорема.1) Пусть функция w=f(z)=co-{-c1z-{-... регу-
регулярна в \z\<^R и не принимает в \z\<^F( q данных конечных
значений щ ag, q~5*1. Тогда, если c1jb0, то R ограничено
конечной величиной, зависящей только от аь ..., &„ с^, с^ (тео-
(теорема Ландау). Кроме того, в круге \z\^hR, 0<^б<^1, модуль
|/(?)| ограничен конечной величиной, зависящей только от
аи ..., aq, с0 (теорема Ш о т т к и).
Докажем эту теорему и одновременно найдем точную оценку
для R.
Доказательство. Гиперболическая метрика в круге |z|<^R
дается дифференциальным элементом dag = ра J_ .z L и, в частности,
I . | II
в точке z = 0 будет dag =~г-г ¦ С другой стороны, обозначим через
t = <p(w, au ..., ад) функцию, которая отображает область G, пред-
представляющую всю плоскость w с выключенными точками а^, ..., ад,
на круг I^K* так, что точка w = c-9 переходит в <=0. Тогда
при гг> = <:о имеем dQaw = | <р' (с0, alt ..., ад) \ \ dw |. По принципу
') Для случая $ = 2 см. Ландау [1904] и Шоттки [1904].

328 ПРИНЦИПЫ МАЖОРАЦИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. VIII
гиперболической метрики daw^.daz, что при 2 = 0 дает:
si-, т. е. #<-
ы„,(с,, j, пд)Г
Знак равенства здесь имеет место только в случае, когда f(z) =
= (f~1(-^-, alt ..., aJ. Далее, какова бы ни была точка z0 в круге
\z\^.OR, 0<^6<М, гиперболическое расстояние между точками /@)
и /(.г0) не превосходит гиперболического расстояния между точками 0
и z0 в круге \z\<^R, т. е. величины
Rdr 1 1 1 + 6
Если Е есть множество всех точек области О, гиперболическое рас-
расстояние которых от точки с0 не превосходит L, то это множество
ограниченное, замкнутое и вполне определяется заданием с0, а1( ..., ад.
Следовательно, если М есть максимум обыкновенного расстояния
точек Е до гг> = 0, то получаем \f(zo)\s^M = M(co, alt . ., aq). Знак
равенства здесь будет иметь место для той же функции, что и выше.
Теорема доказана.
Впрочем, первая часть теоремы может быть получена и непосред-
непосредственно из леммы Шварца, если последнюю применить к функции
<Р(f(z), оь .... ад).
§ 3. Принцип Лииделёфа
С помощью функции Грина можно дать другое обобщение леммы
Шварца.
Принцип Линделйфа1). Если В и О — две конечное в язные
области, ограниченные кривыми Щордана, лежащие, соответст-
соответственно, в плоскостях z и w, a w=f(z) — функция, регулярная
в области В и принимающая в ней значения, лежащие в области О,
то для любых двух точек z, z0 ? В, имеем:
gQ(f(z)>f(z«y)^gB(z'zi>l 0)
где gB (z, z0) и gQ (w, w0) — функции Грина для областей В и Q.
Если знак равенства в A) имеет место для одной пары точек z,
z0 ? В, то он имеет место и для всех точек z, z0 ?j 5.
Доказательство. Можно считать, что z0 ф. со, ибо иначе
придем к этому дробно-линейным отображением плоскости z.
') Линделёф [1908].

§ 3] ПРИНЦИП ЛИНДЕЛЁФА 329
Рассмотрим две функции:
gQ </(*)> /(*•)) + 108 1/B) -/Bо) I И gB (z, Zt) -f- lOg | Z - 20 |.
Обе эти функции являются гармоническими в области В, включая
точку z = Zq. Поэтому гармонической в В будет и их разность, т. е.
функция
go </(*)> /(г,)) — ft (г. гв) + log
2 —Zn
Это показывает, что разность gQ(f(z), /(z0))— gB(z, 2о) является
гармонической функцией в области В, за вычетом нулей функции
/(г)—/B0), при приближении к которым она может стремиться к-(-со.
При приближении же к границе области В все предельные значения
этой разности неотрицательны. Значит, по свойству гармонических
функций всюду в В имеем
- ёв B> 2о) 3s О,
причем знак равенства будет только в случае, когда
Принцип Линделёфа доказан.
Напомним, что у односвязной области функция Грина g(z, z0)
равна взятому со знаком минус логарифму модуля функции, одноли-
однолистно отображающей эту область на круг КК1 так, что z = z0
переходит в С=0. Поэтому, в случае односвязных областей В и Q
принципу Линделёфа можно дать другую формулировку. Именно, если
Вг и Qr — образы круга |t|sg;r при отображениях круга |С|<С1»
соответственно, на области В и О таких, что С = 0 переходит, соот-
соответственно, в z0 и wo=f(ZQ), то принцип Линделёфа утверждает, что
значения, принимаемые в области Вг функцией w=f(z), все лежат
в области Qr, причем, если одно из этих значений лежит на границе Qn
то функция w =f (z) однолистно отображает В на О.
Приведем несколько примеров на приложение принципа Линде-
Линделёфа.
1. В случае, когда В и Q круги |г|<^1 и |хг>|<^1, неравенство A)
совпадает с неравенством A), § 1.
2. Пусть В есть круг |г|<^1, a G— полуплоскость ЭИ(гг>)^>0.
Кроме того, пусть 20 = 0, a wo~^>O. В этом случае функция, одно-
однолистно отображающая круг |С|<[1 на область В с сохранением начала,
есть г = С а функция — однолистно отображающая круг |С|<^ 1 на
область бтак, чтоС=0 переходит в гг>0=/@), имеет вид w = wo т-^-т.
Следовательно, функция f(z), регулярная в В и такая, что 9t(/
в |z|<l и f(O) = wo^>O, принимает в круге |z|<V,

330 ПРИНЦИПЫ МАЖОРАЦИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. VIII
\w~wn
значения, которые все лежат в круге
г. Этот круг симметричен
\w+v>t
относительно вещественной оси и его окружность пересекает послед-
1 Л_г 1
нюю в точках wtj~- и г»0 гтг~- Это зиачит» то радиус круга
W-
неравенства:
равен . _J ,. В частности, в |2|<V, Г<[1, получаем
3. Пусть В есть круг |г|<[1, a Q—полоса — ^Щ^
пусть, далее, го = О, wo = O. Функция, однолистно отображающая
крут |С|<[1 в О так, что С = 0 переходит вф=0, имеет вид w —
2 I 1 С
— ^log } JT , Отсюда, для функций /(г), регулярных в |г|<1 и
таких что —1<91 (/(г))<1 в |г|<1 и/@)==0, в |г|<г будем
иметь неравенства:
Применим еще идею доказательства принципа Линделёфа к обоб-
обобщению его в одном частном случае. Пусть функция f(z) регулярна
в конечносвязной области В, ограниченной кривыми Жордана, за исклю-
исключением полюсов pi рч, каждый из которых написан столько раз,
какова его кратность. Пусть далее функция f(z) имеет в В нули п^ п^
(это не обязательно все нули /(г)-в В). Наконец, пусть при прибли-
приближении к границе области В все предельные значения модуля |/(<?)|
не превосходят М. Тогда функция
*=i
будет гармонической в области В, кроме, может быть, нулей функ-
функции f(z), при приближении к которым она может стремиться к — оо.
Далее, при приближении к границе области В эта функция имеет

it] ГАРМОНИЧЕСКАЯ МЕРА. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 331
отрицательные (и нулевые) предельные значения. Следовательно, по
принципу максимума всюду в В имеем оценку
*"» *=! • B)
В частном случае, когда В есть круг | г \<^ 1, эта оценка принимает
вид:
Л=.1
§ 4. Гармоническая мера.
Простейшие приложения
Пусть опять в плоскости г, для простоты, имеется конечносвяз-
ная область В, ограниченная кривыми Жордана.') Возьмем на гра-
границе К области В конечное число дуг (замкнутых или открытых),
обозначим множество всех точек, принадлежащих этим дугам, через а
и рассмотрим функцию, гармоническую и ограниченную в В, равную 1
на а и равную 0 в остальных точках границы К; здесь исключаем,
конечно, концы дуг, составляющих а, поскольку в них функция не
непрерывна. По § 3 гл. VI эта функция существует и единственна;
ее обозначаем через ш (z, а, В) и называем гармонической мерой части а
границы К области В относительно точки г. Всюду в В, очевидно,
имеем 0^wB, а, 5)^1. Если границу К разбить на части а,, ...,а„
указанного типа, то имеем в В:
л
2ц Ш (Z, GCj, 5)^1, (I)
ибо слева стоит гармоническая и ограниченная в В функция, имеющая
на границе К, за исключением конечного числа точек, значение 1.
При однолистном отображении области В на область В\ гармониче-
гармоническая мера любой части границы К переходит в гармоническую меру
ее образа относительно Bt.
Важное свойство гармонической меры заключается в следующем
принципе расширения.
Принцип расширения.*) Если граница К области Враз-
бита на две части а и § {указанного выше типа), то при расши-
расширении области В за счет вариации только части fJ, гармоническая
х) Следующие ниже определения и результаты остаются в силе и для
областей с нежордановыми границами, а именно, для областей, получающихся
из указанных областей однолистными отображениями, непрерывными вплоть
до границ этих областей.
*) Каряеман [1921].

332 ПРИНЦИПЫ МАЖОРАЦИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. VIII
мера ш (z, а, В) увеличивается, а при расширении В за счет вариа-
вариации только а, ш (z, а, В) уменьшается. При этом под расширением
области В, например, за счет вариации [3, понимается замена области В
на область В, В а В, имеющую на границе все множество а.
Доказательство. Пусть В получилась из В расширением
последней за счет вариации только [3. Тогда функция
u(z) — u(z, а, В) — ш(г, а, В),
гармоническая и ограниченная в В, равна нулю на а и неотрицательна
на [3. Следовательно, эта функция неотрицательна и всюду в В, что
и доказывает первую часть утверждения. Вторая часть утверждения
следует теперь из формулы w(z, a, fi) = l— w(z, [3, В).
Значение принципа расширения состоит в том, что при различных
оценках он позволяет усиливать неравенства за счет замены сложных
частей границы К более простыми, для которых гармоническая мера
легко вычисляется.
Другое важное свойство гармонической меры состоит в следующей
теореме.
Теорема I.1) Пусть функция f(z) регулярна и ограничена
в области В с границей К и пусть К разбита на две части 04 и а2,
причем все предельные значения модуля |/B)| при приближении
из В к внутренним пСЬчкам дуг, составляющих ak (k = \, 2), не
превосходят М^ тогда в В имеем:
log |/B) | < ю {z, ль В) log Mi + ю (z, а,, В) log Мь B)
причем, если знак равенства в B) будет иметь место в одной
точке z^B, то он будет иметь место и для всех точек обла-
области В.
Доказательство. Функция
и (z) = log |/B) | — ю (z, 04, В) log Mi — ю (z, щ, В) log M, C)
является гармонической функцией во всех точках области В, за исклю-
исключением нулей f(z); при приближении z из В ко всем точкам гра-
границы К, исключая концы дуг, составляющих аА, все предельные зна-
значения функции и (z) будут отрицательны (или равны нулю); при
приближении же к нулям f(z), и (г) стремится к — оо. Следовательно,
всюду в В имеем и (z) ^ 0, т. е. неравенство B), причем указанное
в теореме замечание о знаке равенства очевидно. Теорема доказана.
Из доказанной теоремы получается далее следующая:
Теорема 2. Пусть функция /(г) регулярна и ограничена
в области В и граница К области В разбита на две части о^ и а2,
причем все предельные значения модуля \f(z)\ при приближении
из В к внутренним точкам дуг, составляющих afc(A = l, 2), не
») Ф. и Р. Неванлинна [1922].

§ 4] ГАРМОНИЧЕСКАЯ МЕРА. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 333
превосходят Мк; тогда для каждого замкнутого множества EaiB
существуют положительные постоянные Xt и Х2, X|-}-Xj = l, не
зависящие от вида f(z), такие, что на Е имеем:
\f(z)\^M)*M\*. D)
Доказательство. Пусть М\ и М$ нумерованы так, что ^
Для функции f(z) в области В имеет место неравенство B), которое
в силу A) напишем в виде:
i tr м (МЛ^г, aj, В)
1/B) I < [щ) М* E)
Если положить Xj = min ш (z, at, В), Х2 = 1 — Xb то очевидно, Xi и Xs
положительны и из E) на Е получаем:
что и доказывает теорему.
Неравенство B) найдет далее неоднократное приложение.
Приведем пример. Пусть область В есть кольцо rt <^ | z \ ^s
и пусть at обозначает окружность | ^ | ^^ г1э а <ц — окружность | z \ =
:=Гъ. Тогда, как легко проверить, имеем:
Положив М(г) = max\f(z)\, ri<C.r<^rit из B) получаем:
log г/г,
М (Г)
V'>
Это неравенство известно под названием теоремы Адамара о трех
кругах. Оно может быть получено и непосредственно. Именно, рас-
рассмотрим функцию z"f(z), где а — любая вещественная постоянная.
Максимум ее модуля \z"f(z)\ в кольце r1<^\z\<^_ri достигается на
границе. Но предельные значения модуля \z"f(z) | при приближении
к окружностям | z | = Т\ и ] -г ] =^ Га не превосходят соответственно
г\Мх и г%Мч. Если а выбрать так, что r\Ml = r%M<i, то на \z\ = r,
г1 <^ г <d ft, будем иметь |/(г)|^(—) Mv что исключением а и при-
приводится к G). Знак равенства здесь, очевидно, будет только в случае,
если f(z) = cz~*\ отсюда следует, что если Т\ и Тч таковы, что а неце-
нецелое, то оценка G) неточная. Относительно точной оценки М(г) см.
§ 4, гл. XI.
В целях дальнейших приложений предыдущих теорем, приведем
два примера на вычисление гармонической меры.

334 ПРИНЦИПЫ МАЖОРАЦИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. VIII
1. Пусть В есть полуплоскость 3(г)>0 и а — отрезок вещест-
вещественной оси. Тогда, как легко проверяется, имеем (в случае полупло-
полуплоскости гармоническая мера на границе определяется как и выше)
ш(*,вцД)=А, (8)
где у — угол, под которым виден отрезок а из точки г.
2. Пусть В есть полукруг |-г|«О, 3(г)>0, и а —граничная
полуокружность. Тогда, как опять легко проверяется, имеем:
и (г, а, В) =!(*-?), (9)
где <р — угол, под которым виден диаметр из точки г.
Приведем теперь ряд приложений теории гармонической меры
к исследованию ограниченных функций.
Теорема 3. Если функция f(z) регулярна и ограничена в полу-
полуплоскости 3(.г?>0, непрерывна, включая положительную веще-
вещественную полуось (без точки г = 0), а при приближении по этой
полуоси к z==Q имеем f(z)-*-a, то f(z)-> а равномерно при г->-0
в угле 0sSarg2sS« — Ь с любым Ь^>0.
Доказательство. Можно считать, что а=0 и что |/(г)|<^1
в 3(г)]]>0. Возьмем любое е, 0<^е<^1, и выбираем г^>0 так,
чтобы на отрезке аГ вещественной оси от 0 до г было |/(.г)|<;е;
применяя к полукругу Вг\ \z\<^r, 3(-г)>0 неравенство B), полу-
получаем в В;.
log |/B) К «о (г, а„ Br) log e. A0)
Оценим величину ш (г, т.г, Вг) снизу. Для этого найдем ее явное выра-
выражение. Функция С= ,™ ч» отображает полукруг Вг в полупло-
полуплоскость 3(С)^>0 так, что z — 0 переходит в. С = 0, а отрезок аг —
в положительную вещественную полуось; последнюю обозначим через а.
Если z и С соответствующие точки, то имеем:
ш(г,ап Яг)=со (Co.fi),
причем по (8) будет
ш(с, «,5)=
Итак,
Отсюда следует, что величина ш(гz, a.r, Вг) при г-*0в угле 0<
<argz<ic — Ь, имеет все свои предельные значения не меньшими
1 а
1 (ic — &) = —. Значит, существует г', 0<^r'<V, такое, что

S 4} ГАРМОНИЧЕСКАЯ МЕРА, ПРОСТЁЙШИЕПРИЛОЖВНИЯ 335
в области: |*j<V, O^argz^ic —& будет <o(z, ar Вг)^*^—Ъ,
а следовательно, [см. A0)], |/(z)|<e8. Так как 8 здесь не зависит
от г и е, то это и значит, что f(z)-*-0 равномерно приг-*-0в угле
0 < arg z < ж — &. Теорема доказана.
Теорема 4. Если функция f(z) регулярна и ограничена в полу-
полуплоскости 3(г)^>0, а I есть кривая Жордана, лежащая в 3(г)^>0
и оканчивающаяся в z=0, причем при z-*-0 по I имеем f (z) -»¦ а,
то f(z) -»¦ а равномерно при z -»¦ 0 в ^гле & <; arg .г < ?: — & с любым
&>0.
Доказательство. Можно опять считать, чтоа = 0 и \f(z)\<^
<^1 в 3(г)^>0. Зададим е, 0<[е<[1, и выберем г^>0 столь малым,
чтобы на части .кривой /, лежащей в полукруге В/. \z\<^r, 3(z)^>0,
было |/(z)|^e. Идя от г=0 но U обозначим через аг часть / от
z=Q до первой точки встречи с \z\=r. Дуга аг делит полукруг^
на две области В'г и В"Г. Пусть В'г прилегает к отрицательной веще-
вещественной полуоси. Применив к В'г неравенство B5, имеем:
log |/B) К со (z, чг, B'r)\oge.
И здесь остается оценить величину to (z, ar, В'г) снизу.
Обозначив через Рг часть границы области В'г, дополнительную
к аг, а через ч!г — часть границы области Вп дополнительную к рг,
наконец, через а* — отрезок @, г) вещественной оси, по принципу
расширения имеем:
со (z, аг, В'г) 5* ш (z, а'п Вг) ^ ш (z, a'r, Вг).
Но, как следует из доказательства теоремы 3, в секторе \z\<^r',
OsgargzsSic — &с достаточно малым г', 0<^ г'<^г, величина со (z, л", Вг)
имеет положительную нижнюю границу Ьу.
Итак, в части, В'п лежащей в этом секторе, будет |/(г)
Рассматривая аналогично В", докажем, что существует
такое, что в части Вг, лежащей в секторе Jr|<^r" &g
с достаточно малым г", 0<V'<V, будет |/(z)|<^e8». Пусть теперь
-з-. Если 8 есть большее из чисел 8t и 89, a rt — меньшее
из чисел г' и г", то при \z\<^rv &sSarg2s^ic — Сбудет \f(z)\
Это и доказывает равномерную сходимость f(z) -*¦ 0 при z-*-0 в угле
&sgargz<;ic — &. Теорема доказана.
Теорема б. Если функция f(z) регулярна и ограничена в полу-
полуплоскости 3(z)^>0, непрерывна, включая все конечные точки
вещественной оси, а при удалении z в оо в обе стороны по веще-
вещественной оси она имеет определенные предельные значения а и
Ъ, то а = Ь и f(z)-*-a равномерно при z-*-oo в полуплоскости
3 (z) 5з=0.

336 ПРИНЦИПА МАЖОРАЦИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. VIII
Доказательство. Применив к функции /( J — Ъ теорему
3, заключаем, что она равномерно стремится к 0 при z-*-0 в угле
О < arg z < ic — ft, &]]>0. Далее, аналогично, как при доказательстве
теоремы 3, докажем, что функция /( ]—а стремится к 0 при
г
г->0в угле & <g arg 2 <; тс. При &<С"о" отсюДа получаем, что при
г^оо в угле &<;arg .г<;тс — Ь, функция f(z) стремится как к а,
так и к Ъ. Следовательно, n = i и f(z)-*-a равномерно при z-*-co,
3(-г)^0. Теорема доказана.
Применением конформного отображения из теоремы 3 получаются
следующие два аналога этой теоремы.
Теорема 5'. Если функция f(z) регулярна и ограничена в угле
&! <^ arg z <^&j, непрерывна, включая все конечные граничные точка
этого угла, а при z-*-oo no обеим - сторонам угла она имеет
определенные предельные значения а и Ъ, то а=-Ъ и f(z)-*-a
равномерно при z -»• оо в рассматриваемом угле.
Теорема 5". Если функция f(z) регулярна и ограничена
в односвязной области В, ограниченной кривой }Кордана, и непре-
непрерывна в В, кроме точки z = c на границе К области В, а при
приближении к с по К с обеих сторон она имеет определенные
пределы а и Ъ, то а = Ъ и f(z) будет непрерывной в В, если поло-
положить f(c) = a.
Теоремы 3 — 5 принадлежат Линделёфу') и относятся к ограни-
ограниченным функциям. Приведем здесь еще одну теорему об ограничен-
ограниченных функциях, данную Мийу8) и по характеру несколько отличную
от предыдущих.
Теорема 6. Пусть функция f(z) регулярна в односвязной
области В, которая лежит в \z|<^ 1 и имеет границу К, состоя-
состоящую из дуги а окружности \г\ = 1 и из континуума р, лежащего
в |г|<^1 и содержащего z — G. Пусть в В имеем \f(z)\^l,
а при приближении z ?В к точкам на [3 все предельные значе-
значения модуля |/(.г)| не превосходят е, 0<^е<^ 1. Тогда в В
имеем:
Каково бы ни было zu, \zu\<^\, существует область В, содер-
содержащая zt, и в ней функция f\z) такая, что в первом неравен-
неравенстве A1) при z=z0 имеет место знак равенства.
•\
Линделёф [1915].
Мийу [1924].

§4]
ГАРМОНИЧЕСКАЯ МЕРА. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
337
Доказательство.1) Применяя к функции f(z) неравенство B),
для z ? В получаем:
log|/(z)|<coB, p, fi)loge. A2)
И весь вопрос заключается в оценке гармонической меры io(z, % В).
Для этого установим сначала одно неравенство для однолистных
функций. Пусть функция #(С) регулярна и однолистна в |С|<^1 и
не принимает в | С | <\ 1 значения 0. Тогда функция
^ -«(с.)
при любом Со> |Со|<СЬ будет регулярной и однолистной в
и не принимает в |С|<^ 1 значения — п,ir fe\__ir I8VПо теоремеКёбе
(Co) A~|Col2)'
1
-г-, т. е. оценка:
отсюда следует оценка
Знак равенства в A3) имеет место в случае функции g(ty =
A3)
| = 1. Положив в A3) С0 = ге и интегрируя по г от 0 до г,
получаем при любом С из |С|<Г1 неравенство
log
«(С)
«@)
1 -1 с
с тем же случаем знака равенства. Если, наконец,
|g@)| = 1, то для z = g(?) в |z|<^l имеем:
такова, что
A4)
1 ' i + V\*\'
Это и есть желаемое неравенство.
Переходя теперь к оценке w(z, р, В), отобразим область В на
полукруг В': |С|<О> 3(С)^>0, так, чтобы дуга а перешла в гранич-
граничный диаметр полукруга. Пусть при этом точка z0 ^ В переходит
в точку Со, |Со|<С*- Дополнительным отображением полукруга В'
в себя можно достигнуть того, что точка Со будет лежать на мнимой
оси. Действительно, проведем для этого через Со окружность, орто-
ортогональную к окружности | С | = 1 и к вещественной оси, и пусть а
есть точка пересечения ее с вещественной осью. При отображении
верхней полуплоскости С в себя так, что точки — 1, а, -}-1 пере-
переходят в точки —1, 0, ~\-1, полукруг В' также перейдет в себя,
') Приведенное доказательство с точной оценкой дано Е. Шмидтом [1932].

338 ПРИНЦИПЫ МАЖОРАЦИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. VIII
а упомянутая выше ортогональная окружность перейдет в мнимую
ось; в частности, точка Со перейдет при этом в точку на мйимой оси.
Итак, можно считать, что Со=/1„ to^>Q. Обратную функцию, даю-
дающую указанное отображение, обозначим через z=g(Q, причем имеем
zo=g(it9). Функция g(Q продолжима по принципу симметрии через
вещественную ось и будет однолистно отображать полный круг
| С | <^ 1 на область, не содержащую точек 0 и оо. К ней, следова-
следовательно, применима оценка A4). Обозначив через ф' граничную полу-
полуокружность в В', теперь имеем, используя (9),
что по A4) дает:
ш(г»р,Д)^1агс^~^|, A5)
Но если
то
и, следовательно,
Поэтому A5) можно записать в виде (г0 — любая точка области В):
<¦> (*» fc я) Игarc sin Trfef
A2) и A6) и приводят к левой оценке A1). Знак равенства в ней
будет в случае, когда В есть круг с разрезом по надлежащему
радиусу, а функция f(z) такова, что log | f(z) \ при переходе на полу-
полукруг В представляет гармоническую функцию, которая,, на границе
равна 2^1—^-Jloge, где <р такое, как в формуле (9).
Из
следует далее и правое неравенство A1). Теорема доказана.
Приведем здесь, наконец, приложение теории гармонической меры
к одному вопросу, связанному с принципом максимума модуля. Напом-
Напомним, что если функция /(г) регулярна в области В и при приближе-
приближении ко всем граничным точкам области В все предельные значения
ее модуля не превосходят М, то во всей области В имеем \f(z)

$ 4J ГАРМОНИЧЕСКАЯ МЕРА. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 339
Совсем иначе дело обстоит в случае, когда условие ограниченности
предельных значений модуля \f(z)\ нарушается хотя бы в одной
точке границы. Тогда принцип .модуля может не иметь места. Напри-
мёр, функция f(z) = e~" регулярна в верхней полуплоскости и в ко-
конечных точках вещественной оси по модулю равна 1; между тем,
в полуплоскости 3(^)^>0 для нее будет \/(г)\^>1. Причиной этого
является то, что при приближении к точке z = oo в 3B)^>0 пре-
предельные значения функции не все^ конечны. Теперь имеем теорему:
Теорема 7. *) Если функция '/(г) регулярна в полуплоскости
3(z)>0 и если при приближении ко всем конечным точкам
вещественной оси все предельные значения ее модуля не превос-
превосходят I, то или: 1) |/(.г)|<:1 в 3(^)^>0, или же: 2) сущест-
существуют А^>0 и R^>0 такие, что, обозначив через М(г) максимум
модуля |/B)| на полуокружности \z\ = r, 3(.г)]>0, при r~^>R
имеем:
М(г)>еАг. A7)
Доказательство. Обозначив через В полукруг \z\<^r,
3(z)^>0, а через а его граничную полуокружность, по неравенству B)
имеем:
log |/B) | < » B, а, В) log М (г). A8)
Но, по (9), если z=x-\-iy,
Следовательно, при фиксированном z и больших г будет:
Пусть теперь неравенство \f(z) | <g 1 имеет место не всюду в В. Пусть
такое, что \f(za)\~^>l. Тогда из A8) и A9) имеем:
^„„ log Af(r)
что показывает, что при надлежащем А^>0 и достаточно больших г
имеет место неравенство A7). Теорема доказана.
Совершая конформное отображение, из теоремы 7 получаем обоб-
обобщающую теорему, используемую в следующем параграфе.
Теорема Т. Если функция f(z) регулярна в угле величины ко
с вершиной в z = 0 и если во всех конечных граничных точках
предельные значения ее модуля не превосходят 1, то или: 1) во
1) Фрагмен и Линделёф [1908].

340 ПРИНЦИПЫ Л1АЖОРАЦИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. VIII
всем угле имеем |/(г)|^1 или же: 2) существуют Л>0 и
/?^>0 такие, что, обозначив через М (г) максимум модуля |/(^)|
на дуге круга \ z | = г, лежащей в рассматриваемом угле, при
"^R имеем:
AV\ B0)
§ 5. О числе асимптотических значений
целых функций конечного порядка
Дадим приложение теории гармонической меры к более сложному
вопросу, относящемуся к целым функциям.
Пусть /(г) есть целая функция, а / — непрерывная кривая пло-
плоскости z, исходящая из конечной точки и уходящая в оо. Если при
удалении z по / в оо функция /(г) стремится к определенному пре-
пределу а, то а называется асимптотическим значением целой функции
/"(г), определяемым кривой /. Пусть две кривые /t и /2 описанного
типа определяют конечные асимптотические значения at и с2. Если
а^фаь то эти значения считаются различными; если же a1 = ai, то
условливаются считать, что кривые lt и /2 определяют различные
асимптотические значения в том и только в том случае, если не при
всяком /?}>0 кривые 1% и /2 можно соединить непрерывной кривой,
лежащей в области \z\^>R и такой, что колебание функции /(г)
на этой кривой произвольно мало. При этом условии в теории целых
функций устанавливается тождественность асимптотических значений
целой функции /(г) с неалгебраическими (трансцендентными) особыми
точками обратной функции.
Если целая функция f(z) такова, что при М(г)= шах \f(z)\ для
некоторого конечного k^>0 и для г достаточно больших выполняется
.неравенство М(г)<^ег, то она называется целой функцией конеч-
конечного порядка; нижняя же граница р чисел k, обладающих указанным
свойством, называется порядком целой функции f(z). Было предпо-
предположено, что число асимптотических значений целой функции конечного
порядка конечно и ограничивается величиной, зависящей только от
порядка р. Полное решение вопроса было дано Альфорсом1). Мы
дадим решение его, опираясь на метод полос, уже применявшийся
в § 6 гл. IV.2)
Лемма. Пусть в кольце ru<^\z\<^r имеется конечное число
не налегающих друг на друга полос Sk, k = 1, 2 и, идущих
от |z| = r0 к \z\ = r и имеющих на каждой из этих окружно-
окружностей по граничной дуге оА, соответственно, zk, не вырождаю-
') Альфорс [1930].
2) Г. М. Голузин [1946 г].

§5] О ЧИСЛЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ ЗНАЧЕНИЙ 341
щейся в точку. Если отобразить эти полосы конформно на не на-
налегающие друг на друга области ^к: '-o<\KI<\r'> <P*<Cargt<C
<C?ft+i> Целиком заполняющие кольцо го<] С | <^ г', и притом так,
что дуги ак и zk переходят в дуги ср* <С arg С <С 9*+i на | С1 ^= г0
и на |С| = г', то имеем г'^г.
Доказательство. Утверждение следует из леммы 1, § 6,
гл. IV. Действительно, области 2* посредством функции ^ = lC
отображаются на прямоугольники Тк: logг0<[ЭЯ(t)^logr\ <?k
<3@<i> k=l, ... , п, со сторонами длины ак = <?к+1 — <
bk = \og—. Но на эти же прямоугольники отображаются и полосы Sk
го
и притом так, как это требуется в указанной лемме; так что по этой
лемме имеем:
т. е. г'^г. Лемма доказана.
Теорема. Целая функция /(г)^const порядка р имеет не
более 2р конечных асимптотических значений.
Дрказательство. Отметим, что если две кривые 4 и 4, ухо-
уходящие в бесконечность, определяют два различных асимптотических
значения функции f(z), то вне некоторого круга |г|^/? они не
имеют общих точек; поэтому вообще их можно считать не имеющими
общих точек. Не меняя асимптотических значений, эти кривые можно
заменить ломаными линиями, идущими в бесконечность и состоящими
из конечного или счетного числа сторон, концы которых сгущаются
только в бесконечности. Действительно, разобьем, например, кривую 1Х:
z = z1(f),t0^t<^t1 (Hm2i(Q = oo) точками f, Г, ... , t{n\ ... на
части и впишем в часть /, заключенную между точками z(rn>) и
г(?(л+1)), ломаную линию Хл так, чтобы значения функции f(z) на
каждо.й стороне этой ломаной линии отличались от значений на дуге, ею
стягиваемой, меньше, чем на еп, ел^>0, еп->0; тогда на ломаной 1[,
составленной из Х1; Х2, ... , функция f(z) имеет то же асимптотиче-
асимптотическое значение, что и на 4. Ломаную 1\ можно даже считать ломаной
без кратных точек, ибо иначе при движении по ней можно посте-
постепенно отбросить все замкнутые многоугольники, входящие в ее состав.
Пусть теперь имеется и кривых 4. ¦ • • . 4j> определяющих и раз-
различных конечных асимптотических значений функции f(z). На осно-
основании сказанного их можно считать исходящими из г = 0, не имею-
имеющими других общих точек и являющимися ломаными линиями без
кратных точек. Эти кривые разбивают плоскость z на области Вк,
k = l, ... , и, ограниченные соответственно кривыми 1к и lk+i, Dt+i =
= 4). В каждой из областей Вк функция f(z) не может быть

342 ПРИНЦИПЫ МАЖОРАЦИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. VIII
ограничена; иначе по теореме 5", § 4 (примененной к/(—\-cyj ее зна-
значения равномерно сходились бы к пределу прн г->оо в одной из обла-
областей Bk> и тогда кривые, ограничивающие эту область, не определяли бы
различных асимптотических значений. Поэтому множество точек
в каждой из областей Bk, где |/(г)|>ЛГ= sup |/(г) |, не пустое:
Это множество состоит из областей, простирающихся в бесконечность;
действительно, если бы одна из этих областей была ограниченной,
то внутри нее имеем \f(z)\^>N, что по принципу максимума невоз-
невозможно. При каждом k будем вместо Bk рассматривать одну из только
что упомянутых, лежащих в" Вк областей, обозначая теперь снова ее
через Вк. Пусть го]]>О такое, что окружность |г| = г0 содержит
точки из всех областей Bk, k = 1, ..., п. Максимум модуля |/(z)|
в части Bk, лежащей в | z | ^ г0, достигается в некоторой точке zk
на |z| = r0, которая наверное не лежит на границе Bk. Рассмотрим
теперь часть области 5fc лежащую в |г|^>Го; она состоит из обла-
областей. Ту из этих областей, которая содержит на границе точку zk,
обозначим через Bit. Bk должна простираться в оо, ибо иначе опять
по принципу максимума пришли бы к противоречию. Если ak есть
наибольшая дуга круга |г| = г,, содержащая точку zk и входящая
в состав границы области Bj,, то заменяем теперь область Bk на
область В%, составленную из В'ь ok и той из областей, входящих
в общую часть области В^ и инверсии В'и, относительно | z | = г0,
которая примыкает к ak. Так как zk является внутренней точкой
дуги ak, то, обозначив через N^ максимум модуля |/(г)| на границе
области В%, будем иметь Nk<^\f(zk)\. Описанные операции проделаем
при всех k = l, ... , п.
Рассмотрим теперь кольцо ro<^\z\<^r с любым г^>г0. Связную,
часть области В%, лежащую в этом кольце и прилегающую к дуге о^,
обозначим через Sk, а одну из ее граничных дуг на \z\ = r — череа
тй. Области Sk, k = \, 2, ... , п, будем рассматривать как полосы
типа, указанного в лемме. Отобразим эти полосы (как в лемме) на
полосы 2*> заполняющие кольцо г0 <^ | С | <^ г'; отображающие функ?
ции обозначим через С = С*B), а обратные функции — через z = zk(Q
Тогда имеем г'^ г. Но по принципу симметрии при каждом k = l,..",
. .> , п, функция С = С*(г) продолжима на всю область В% и отобрав
жает ее однолистно на некоторую область Qk, целиком лежащую
в секторе ЦКЛ ?ft<larg^<!?ft+i- Пусть ak — образ дуги zk ищ
этом отображении, рй — дополнение к ak на границе G*. На ak имеем^
а на

§ 5] О ЧИСЛЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ ЗНАЧЕНИЙ 343
Применяя неравенство B), § 4, к области Gk, к функции f(zk(Q)
и к точке С* = С* (г*)» получаем:
= a,fo а„ Qk)log^M. + logNb. A)
Будем здесь г считать столь большим, что при всех k будет
.J ¦ ^> 1, и оценим гармоническую меру <о(!^, aft, Oft) сверху. По прин-
принципу расширения она не больше гармонической меры дуги aft отно-
относительно сектора, полученного из 2* добавлением надлежащих точек
круга |С|<Сго- Эта же последняя величина, как следует из отобра-
отображения сектора функцией t' = t *, bk='*k+1~'tk t равна в полукруге
| С | = г* = гЛ/\ 3 (С') ]> 0, гармонической мере граничной полуокруж-
полуокружности | ?'! = /•*, 0<^argC'<^w» относительно некоторой точки !Ц =
а \Z\ = rl/\ т. е., по (9), § 5, равна:
Таким образом, получаем:
<¦> С:*. Ч> Ok) < | (arc tg p^- + arc tg
^ 4 АГ» ^ 4 Г17УЛ
и A) дает: ^ ' ^^^
Обозначив через А наименьшее из чисел Nk, k=\, ..., п, через
ев — наименьшее из '*j*k' , k = l, ..., л, при г достаточно больших,
будем иметь:
л
Но У &й^2чс, &ft]>0. Следовательно, существует по крайней мере

344 ПРИНЦИПЫ МАЖОРАЦИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. VIII
О 1 я
одно k с Ьк<^—, т. е. j-^>-rf', взяв последнее неравенство с таким k,
при достаточно больших г получаем
Г-+СО
а это значит, что f(z) имеет порядок не ниже, чем л/2. Следова-
Следовательно, y^P* Tt e< n^2p. Это и доказывает, что f(z) не может
иметь более чем 2р, конечных асимптотических значений. Теорема
доказана.
Даваемая в теореме оценка числа конечных асимптотических зна-
значений целых функций при целом р является точной; на это указы-
указывают примеры целых функций.
г
sin zP f sin zP ,
zP j zP
порядка р, из которых первая имеет 2р различных асимптотических
значений 0, определяемых лучами argz = —, k=l, 2, ...,2р, а вто-
вторая 2р асимптотических значений е? , k = l, 2, ..., 2р, которые
определяются теми же лучами.
§ 6. Гиперсходимость степенных рядов
Теория гармонической меры находит также существенные прило-
приложения в теории степенных рядов. Рассмотрим здесь вопрос о так
называемой гиперсходимости степенного ряда.
Дан степенной ряд
с радиусом сходимости, равным R, R^>0. Если этот ряд при надле-
надлежащей группировке его членов, без изменения их порядка, сходится
на некотором множестве точек z вне круга | z | ^ R, то это свойство
называется гиперсходимостью степенного ряда. Так, например, если
в каждом члене ряда
|] ]Ч B)
я=0
Хя —целые, Хо<С*-i<С*а<С •••• Vn>2*n> n=l, 2,..., раскрыть
скобки, записав его в виде полинома, расположенного по возрастаю-
возрастающим степеням, то в результате получится степенной ряд вида A)

§ 6] ГИПЕРСХОДИМОСТЬ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 345
с радиусом сходимости, определяемым из уравнения /?A-|-/?) = 1;
так что /? = ——д^—. Для этого степенного ряда ряд B) является
сгруппированным рядом и он сходится на множестве Е точек, опре-
определяемом неравенством |гA -|-г)|<Ч. Так как ? содержит точки
из области \z\^>R, то, значит, степенной ряд в данном случае обла-
обладает гиперсходимостью.
Относительно гиперсходимости имеет место ряд теорем Остров-
Островского *).
оо
Теорема 1. Если степенной ряд f(z)=^icnzkn, 0^Х0<^
<СК<С^ь •••> имеет радиус сходимости 1 и является лакунар-
ным рядом, т. е. существует последовательность целых поло-
положительных чисел пк, А = 1, 2, ..., таких кто K+i^>QKk> k = \,
2, ..., где q~^>\ и не зависит от ft, то сгруппированный ряд
*=L 2, ....
сходится в достаточно малой окрестности любой точки на
|г| = 1, в которой f(z) регулярна.41)
Доказательство. Пусть функция f(z) регулярна в точке z = 1
(если она регулярна в z = e"*, то тогда рассмотрели бы функцию
f(e~uz)). Положим г = 0@ = ^-^A+!;), р — целое >0. Так как
аA) = 1 и |о@|<1 при |С|<1, С^1> ТО функция F(Q=/(a(Q)
будет регулярна в |С|^1. Из C) теперь получаем преобразованный
ряд:
Островский [1922].
) Если, в частности, неравенство Хя+, > дХя, q > 1, выполняется при
всех л=1, 2, ..., то сам данный степенной ряд можно рассматривать как
хя+1
сгруппированный, причем Р\п> Хл+1(г) = спг ; по теореме 1. он будет,
следовательно, сходиться в достаточно малой окрестности каждой регулярной
точки на |«|=1; но последнее невозможно, ибо степенной ряд не может
сходиться вне своего круга сходимости. Значит, в рассматриваемом случае
функция /(г) непродолжима за круг сходимости. Это есть известная теорема
Адамара.

346 ПРИНЦИПЫ Л1АЖ0РАЦИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. VIII
значки при Q указывают низшую и высшую степень С, входящую
в соответствующий полином. Если взять />^> ¦ , то <^~q и,
следовательно, (/> -j— 1) Х„ <C.pK$t- В этом случае ряд D) является
сгруппированным рядом по отношению к степенйому ряду, в который
разлагается функция F(C) около ? = 0. Так как последний ряд схо-
сходится в некотором круге |С|<С[р» Р^>1» то он будет сходиться и на
множестве точек С в которое переходит достаточно малая окрестность
точки 2=1. Но тогда, переходя в D) обратно к переменной z, заклю-
заключаем, что ряд C) будет сходиться во всей достаточно малой окрест-
окрестности точки 2=1. Теорема доказана.
Следующая теорема является в некотором смысле обратной по
отношению к теореме 1.
00
Теорема 2. Если степенной ряд f{z) = 2 епгП tt^iee>n радиус
сходимости 1 и если для него существует сгруппированный ряд,
равномерно сходящийся в достаточно малой окрестности неко-
некоторой точки zu> |20|^l, tno он может быть представлен как
сумма лаку парного ряда и ряда с радиусом сходимости, большим 1.
Доказательство. Из условий теоремы следует, что суще-
существует окружность -у. целиком лежащая в | z \ ^> 1, на которой сгруп-
сгруппированный ряд равномерно сходится. Это значит, что существует
некоторая последовательность отрезков данного степенного ряда:
"А
sn (z) = 2 сп^> k — l, 2, ..., равномерно сходящаяся на -у; можно
* я=0
считать, что nk+i^>2nk, k = l, 2, ...
Рассмотрим функцию
М2) = ^К*B)|-10еИ (k = h 2,...),
гармоническую на плоскости z, за исключением нулей полинома snk (z).
Существует, очевидно, Ki^>0 такое, что при k^>Ki на -у будет
()С — q, где q^>0 и не зависит от z и k.
Зададим, теперь, s)>0 а положим Ь = е 2, 8<^1. Так как мак-
sn (г) \
симум модуля -—— в ]г|^>8 достигается на |г| = 8, то, поло-
г * I
жив mtk= ma.x\$nk{z)\, в |г|^:8, а в частности, и в |г|^51,
имеем:
Uy[z)^. — \ogmb и — log 8 = — log от»

9 6J ГИПЕРСХОДИМОСТЬ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 347
Из Нш тъ й = 0 следует, что существует АГа"> 0 такое, что при
k-KX>
k*>Kt в |z|>8 будет uk(z)^e. К области, ограниченной окруж-
окружностями | z | = 1 и т, и к замкнутому множеству Е, представляющему
окружность \z\ = R, R^>1, лежащую внутри этой области, применим
неравенство B), § 4 (посредством конформного отображения нера-
неравенство B), § 4, очевидно, переносится и на этот случай). В резуль-
результате на \z\ = R при k^K=max(Ki, К*) (К зависит от е), полу-
получаем неравенство ий(.г)<: — X^-f-^8» где Xt и X, положительны и
зависят только от R. Выбирая е столь малым, чтобы было —X^-J-
-J-X2s = — т)<^0, заключаем, что тогда при k~^>K на |z| = /? будет
4()^ — -»], или, что то же,
Используя это неравенство, из формул
получаем оценки коэффициентов:
В частности, при <fnk<^m^nk, у^О'^1- 9Т0 Дает
Если выбрать у' столь близким к 1, что -г=^- = р<^1, то из E)
получаем:
km I < р"* < Рт при q'nk < от ^ яй. F)
Неравенство F) показывает, что ряд 2 Pq'i+i, л (г), рассматрива-
емый, как степенной ряд, будет сходиться в круге | z \ <^—, причем—]> 1.
Остальная часть данного степенного ряда является, очевидно, лаку-
нарным рядом. Теорема доказана.
00
Теорема 3. Если степенной, ряд f (z)= ^ сjfa имеет радиус
я—о
сходимости, равный, единице, и если существуют положительные
^Я+1
числа пь, ?=г1, 2, ..., такие, что-г >-©о, при ?-»-оо, то

348 ПРИНЦИПЫ МАЖОРАЦИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. VIII
сгруппированный ряд
2 ^х„+,, х„ (*) G)
сходится во всех конечных точках плоскости z, в которых f (z)
регулярна. Функция f (z), рассматриваемая в смысле Вейерштрасс а,
будет однозначна на плоскости z4
Доказательство. Пусть функция f(z) продолжима, исходя
из начального элемента, определяемого данным степенным рядом, вдоль
некоторой кривой С в точку гй. Тогда существует односвязная, но
не обязательно однолистная,1) область В, лежащая над плоскостью z
и содержащая точки 0 и z0, такая, что f(z) регулярна в этой области,
включая границу.
Область В отобразима взаимно однозначно посредством аналитиче-
аналитической функции на круг |С|<С1- Обратная отображающая функция z=<p(Q
будет регулярна в |С|<1. Пусть zo = <p(Co), |?о| = р<1. Функ-
Функцию <р (С) можно равномерно аппроксимировать на любом замкнутом
множестве круга | С | <С 1 полиномами; поэтому, существует полином о (С),
о @) = 0, некоторой степени р, такой, что значения, принимаемые им
в круге | С | ^ V Р> будут непрерывно располагаться на области В.
Преобразованный ряд G):
л» (С), (8)
ft' ft + i
за вычетом конечного числа первых членов, будет, очевидно, сгруп-
сгруппированным рядом для некоторого степенного ряда. Так как F(Q
регулярна в | С | «S 1, то ряд (8) будет равномерно сходиться в круге
ICI^l^p, а в частности, сходиться в точке Со. Возвращаясь к пере-
переменной z, мы перейдем от ряда (8) обратно к ряду G), который,
следовательно, будет сходиться в точке г0. Так как значение функ-
функции /(С) в точке г0 определяется как сумма одного и того же сте-
степенного ряда, независимо от способа рассматриваемого аналитического
продолжения, то f(z) имеет однолистную область существования.
Теорема доказана.
§ 7. Неаналитическое обобщение леммы Шварца.
Теорема покрытия кругон
Остановимся еще на одном неаналитическом обобщении леммы
Шварца с применением его к вопросам покрытия.2)
Пусть в области В плоскости z=x-\-ly задана некоторая
обобщенная метрика, дифференциальный элемент которой опре-
') Относительно римановых поверхностей и их отображений на круг см.
§ 2 гл. XI настоящей книги.
2) Альфорс [1938].

§ 7] НЕАНАЛИТИЧЕСКОЕ ОБОБЩЕНИЕ ЛЕММЫ ШВАРЦА 349
деляется по формуле ds = X(z)\dz|, где X(z) есть неотрицательная
функция; при этом функция X(z) может обращаться в нуль только
в изолированных точках области В. Метрика называется непрерывной
в области В или в точке z0 ? В, если функция X (z) непрерывна в В,
соответственно в z0, и регулярной в В или в точке z0 ? В, если X (z)
непрерывна вместе с частными производными по х и у до второго
порядка в области В, соответственно в некоторой окрестности г0.
В дальнейшем особое значение имеют такие регулярные метрики,
у которых функция X(z) удовлетворяет во всех точках В, где она
отлична от нуля, неравенству
AlogXs==4X2 A)
(Д — оператор Лапласа) или, если положить и (z) = log X (z), неравенству
B)
Отметим, что в случае круга |г|<^1 и гиперболической метрики da =
15j W имеем:
AlogX = 4X2. C)
Иногда метрика будет задаваться не во всей области В, а только
в некоторой окрестности данной точки z0 ? В, и тогда будем говорить
о метрике, заданной в этой окрестности. Замечательно, что при анали-
аналитическом отображении метрика, удовлетворяющая условию A) или C),
переходит в метрику, также удовлетворяющую условию A), соответ-
соответственно C). Именно, если функция z = z (С), z0 = z (Co) ? В, регулярна
в окрестности точки С=С» и в окрестности точки z0 задана метрика
ds = X(z)\dz\, удовлетворяющая условию A) или C), то преобразо-
преобразованная метрика ds = X(z (С)) | z' (С) 11 dC | = Xt (Q | dl. \ также удовлетво-
удовлетворяет условию A), соответственно C), ибо, как легко проверить,
Если в некоторой окрестности точки z0 имеются две метрики ds =
= X (z) | dz | и ds* = X* (z) | dz \, причем X* (z0) = X (z0) и всюду в этой
окрестности X* (z) ^ X (z), то вторую метрику по отношению к пер-
первой назовем опорной метрикой, а также будем говорить, что метрика
ds = \(z)\dz\ допускает в точке za опорную метрику ds* =
= l*(z)\dz\.
После этих определений имеем следующее обобщение леммы
Шварца, данное Альфорсом.
Теорема 1. Если в круге |2|<1 дана непрерывная метрика
ds = \(z)\dz\, допускающая в каждой точке, где \(г)ф 0, регу-
регулярную опорную метрику, удовлетворяющую условию A), то

350 ПРИНЦИПЫ МАЖОРАЦИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. Vttt
в |г|<1 имеем ds^da, где da ==—i^J-jj— гиперболическая
метрика.
Доказательство. Положим
Докажем, что в круге \z\<^R будет u(z)^v(z). Допустим про-
противное. Тогда разность и (г)—v{z) принимает в круге \z\<^R поло-
положительные значения. Так как при приближении к окружности \z\ = R
имеем v (z) -»¦ -f- оо, а следовательно, я (г) — v(z)-*- — оо, то раз-
разность u\z) — viz) достигает в \z\<^R положительного максимума
в некоторой точке г*, \ ze|<R. Метрика ds = XB)| dz| имеет в точке гй
регулярную опорную метрику ds* = X* (z) \ dz |, удовлетворяющую
условию A), или, если положить и* (z)=log \* (г), условию C). Так
как и* (гг0) — v (г0) = и B0) — v (гг0) > 0, то в достаточно малой окрест-
окрестности точки z9 будет и*(z)— v(z)^>0. Но n*(z^ — v(ze) = u(z9) —
— v(z9), а в достаточно малой окрестности гй имеем и* (z)—t>B)s^
^ и(z) — v(z). Значит, и разность U{z) — и* (z) ~ v (z) имеет в точке гв
положительный максимум, по отношению к некоторой окрестности
\z — 2el<C'"o точки Zq, и в этой окрестности она положительна.
Покажем, что последнее невозможно.
Действительно, из Аи* Э*4ем*, Аи=4еот и и*]>« имеем в | z—г01
<^г0 неравенство
А (и* — v) ^ 4 (е»«* — e9V) > О,
т. е. Ш^>0. С другой стороны, по формуле Грина при г<^г9 имеем,
положив г=гв-\-ге'\
I г — го\-= г \г—«о)<г
т. е.
2*
Отсюда, интегрируя,по г от 0 до г, 0<г<г9, получаем:
2я
Так как в точке г0 функция U(z) достигает максимума, то послед-
последнее неравенство возможно только в случае, когда U(z)^U(zv) на
\г — z91 = г, и это при всех г, О<г<Го, т. е. U{z)=.U{Zb) = const
в |г — 20|<[гв. Но это несовместимо с неравенством Д/^

S 71 НЕАНАЛИТИЧЕСКОЕ ОБОБЩЕНИЕ ЛЕММЫ ШВАРЦА 351
Итак, доказано, что в \z\<TR имеем и(z)^v(z) = log 55—н—is-
При /?->1 отсюда получаем \(z)<^.-.—,—*, т. е. ds^do. Теорема
1 — Iz I
доказана.
Дадим, следуя Альфорсуг приложение этой теоремы к вопросам
покрытия.
В § 7, гл. II было отмечено, что не существует круга |г|«О>
р^>0, который целиком покрывался бы образом круга |г|<[1, при
отображении его любой функцией w=f{z)=z-\-c<izi-\- ..., регу-
регулярной в | z | <[ 1. Но из теоремы 7, § 7, гл. II следует существование
такого р^>0, что образ круга |гг|<^1, при отображении любой ука-
указанной функцией, целиком покрывает некоторый круг радиуса р, ибо
он целиком покрывает, например, некоторый полукруг с центром
в начале и радиусом, не зависящим от вида f(z). Блок доказал больше:
существует р^>0 такое, что для любой функций w=f(z) = z-\-
-}-..., регулярной в |гг]<^1, на плоскости ««существует некоторый
круг радиуса р, являющийся однолистным образом некоторой части
круга ]гг|<^1 при отображении w=f(z).
Введем теперь обозначения. Через Lf обозначаем радиус наибольшего
круга плоскости w, целиком накрываемого образом круга | z \ <^ 1 при
отображении его функцией w =f(z) = z-\- ..., регулярной в | г |<[ 1,
а через Bf — радцус наибольшего круга плоскости w, который является
однолистным образом подобласти круга |г|<О при том же отобра-
отображении. (Иначе говоря, Bf является радиусом наибольшего однолистного
круга, лежащего на римановой поверхности, представляющей взаимно
однозначный образ круга | z \ <^ 1 при отображении w= f(z).) Далее,
положим
В=Ы Bf, L= inf L/,
(
нижние.границы здесь берутся относительно всех функций f(g) = z-}-
+ ..., регулярных в |гг|<^1; В называется постоянной Блока,')
L — постоянной Ландау. Числовые значения постоянных В и L до
сих пор не известны. Имеются для них лишь некоторые оценки снизу
и сверху.3)
Доказанная выше теорема позволяет получить наилучшие резуль-
результаты в отношении оценок постоянных В и L снизу. Начнем с оценки В.
Пусть функция w=f(z) = z-\- ... регулярна в |г|<^1 и имеет
конечное Bf. Пусть гг0 — любая точка круга |г|<^1. Если /(го)ф О,
то обратная функция z=f~1(w) будет регулярна в окрестности
*) Блок [1925] доказал, что В > 0.
2) С помощью элементарвых соображенвй Лавдау [1929] дал некоторые
числовые оцевки для В и L

352 ПРИНЦИПЫ МАЖОРАЦИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. VIII
wo=:f(zo). Обозначим через р(а>0) радиус наибольшего круга с цент-
центром в Wo, в котором функция z=f~1(w) регулярна и образ которого
при отображении z=f~1(w) целиком лежит в |г|<^1. Очевидно,
Bf будет верхней границей чисел p(w0) при всевозможных гг0, | z0 \ <[ 1.
Если через QZo обозначить область в |гг|<^1, переходящую при
отображении w=f(z) в круг \w — wo\ <^p(w0), то QZo должна содер-
содержать на своей границе или точки окружности | z \ == 1 или точки,
где f (z) = 0. Кроме того, легко заключаем, что p(w) (w=f(z))
будет непрерывной функцией от z в |zj<^l, а вблизи точки гй,
|г01< 1, где /'(г0)=0, будет р(w) = \w — w0\, w0 =/(г0).
Введем теперь в | z \ <^ 1 метрику ds = X (z) \ dz \ с
- VA\f(z)\
-
где А — постоянная ^>Bf. Во всех точках круга | z\<^ 1, где/'(z) ф О,
Х(гг), очевидно, непрерывна. Если же точка z0, |гго|<^1, такая, что
в окрестности нее
то в окрестности z0 имеем p(w) = \f(z)—/(zo)| и> следовательно:
... \1/ЧА-\сп(г-гл)"+...\)
_,, .пН VA\nen+...\
~] °' 2|c.+ ... ?Ь<А-\ся(,-,у+... I)'
Это показывает, что при и = 2 рассматриваемая метрика будет в г0
непрерывна и даже регулярна, а при и]>2 для нее X(zo) = O. (Здесь
Х(г0) определяется как предел lim X(z).)
Рассмотрим теперь точку z0, |гго|<4, где f (гг0) Ф 0. Область G^o
имеет на границе точку а, которая лежит на | z \ = 1 или в которой
f'(a) = 0, |а|<4. Введем в GZo метрику ds* = X*(z)\dz\, где
Х*(г) = —
Р»(да) = |да—/(а)|, w=f(z). E)
Эта метрика регулярна в QZf> и для нее в GZo имеет место условие C),
ибо она получается из гиперболической метрики в круге |С|<!^ 1
аналитическими отображениями ^=-Л/ w~t(a>} w=.f{z). Далее,
во всей области QZf>, очевидно, имеем p*(w)^p(w) и р*(w<,) = р(w0).

§ 7] НЕАНАЛИТИЧЕСКОЕ ОБОБЩЕНИЕ ЛЕММЫ ШВАРЦА 353
Поэтому в Gla будет \*(w) ^ X (w) и X* (яу0) = X (w0), но только при
условии, что функция У t (A — t) возрастает в 0<^t<^Bf. Следо-
Следовательно, при соблюдении последней оговорки метрика E) будет для
метрики D) опорной и удовлетворяющей условию A). Что касается
точек, где /г(гг) = О, то, как показано выше, в них X(z) = 0 или же
метрика ds = X (z) \ dz j регулярна и, следовательно, сама себе служит
опорной метрикой.
Сказанное приводит к заключению, что если А таково, что функ-
функция У t (A — f) возрастает в промежутке 0<^t<^Bf, то для рас-
рассматриваемой метрики D) выполняются условия установленной выше
i— А
теоремы. Но у t (Л — f) возрастает при 0<^<^-g-. Значит, взяв
Л]>35/, в |г|<[1 имеем ds^do, т. е.
VA\f(z)\ , 1 .„
2
Так как у t (А — f) возрастает в 0<^<^5/, то, заменив в F) р(я»)
на В/, получаем:
Отсюда при A-*-3Bf следует
Последнее неравенство имеет место всюду в |гг|<^1. В частности,
при гг^= 0 оно дает Bf^^-j-. Так как функция f(z) была любой
регулярной в |г|<^1, то в результате получим оценку
4
Аналогично оценим и L. Для этого обозначим теперь для каж-
каждого z0, | z01 <^ 1, через р (w0) радиус наибольшего круга с центром
в wa=f(z<)), целиком покрываемого образом В круга |г|<^1 при
отображении w=f(z), и введем в |г|<^1 метрику ds = X(z)|dz|, с
w=f(z), G)
где С—постоянная ^> Lf. *) Эта метрика непрерывна в |^
Обозначим теперь через G*o наибольшую область, содержащуюся
в |гг|<^1, содержащую гй, |го|<^1, и такую, что ее образ лежит
1) И здесь достаточно рассматривать функции /(z) с конечным
12 Г М. Голузии

354 ПРИНЦИПЫ МАЖОР АЦИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. VIII
в |w — w0|<p(да0), wo=f(zo). Далее, пусть а есть точка на
\w— ¦a>ol = pO®o) и одновременно на границе В.
Введем в Ог„ метрику ds* = X* (z) \ dz |, где
2р*(ш)log ДТ
г к ' 6 р* (щ
(8)
Эта метрика регулярна в G*o и удовлетворяет в G«o условию C),
ибо она получается из гиперболической метрики в круге | С | <С ^
последовательными аналитическими отображениями: С=-гтгг~ у ^'==
г*
=log—^7J' w=f(z)- Так как всюду в Ого, очевидно, имеем
Р* (w) ^ р (да), a p*(«'o) = P(ffi'o)> т0 в Ог0 будет выполняться нера-
Q
венство X* (да) а^ X (w), если только функция ^log -j- возрастет в про-
промежутке 0<^?<1р(«>„). При этом условии метрика (8) будет в точке
гв опорной для метрики G). Если flog у возрастет в 0<^t^Lf, то
для метрики G) выполняются условия доказанной теоремы. Но tlog -j
Q
возрастает в 0<^t<^—. Поэтому если C^>eLf,TO в |г|<|1 имеем
, т. е.
Заменив здесь р(«>) на Z.^ и перейдя к пределу C-*-eLf, полу-
полум в | z | <^ 1 неравенство:
р()
чаем в | z | <^ 1 неравенство:
имеющее место в |г|<^1. При z = 0 это дает Lf~$z-y-, Отсюда
«4.
Укажем еще некоторые верхние оценки величин В1) и L.
В § 1 гл. III 'была построена функция, отображающая круг
|С|<О на правильный круговой треугольник Д„, вписанный в круг
| w | <^ 1 и имеющий внутренние углы величины то*. Если при этом
точки С = 0 и С=1 переходят в точки w = 0 и да = 1, то эта функ-
функция w=fa(Q=a&-\-... дается по формуле (Щ § 1 гл. Ш(с — 1),
из которой следует, что at выражается через бета-функцию, а
1) Альфорс и ГрунскнЙ [1937].

§ 7] НЕАНАЛИТИЧЕСКОЕ ОБОБЩЕНИЕ ЛЕММЫ ШВАРЦА 355
следовательно, и через гамма-функцию так
3J
М+«
I 2 3
Имея это в виду, образуем функцию w=F(z)=fi(fTl(z)),
3" Т
однолистно отображающую треугольник Д i на треугольник Д i
Т "з
так, что точка гг^= 0 переходит в w=0, а вершина 2=1 — в вер-
вершину гв> = 1. По принципу симметрии функция F(z) из Д1 будет
продолжима на весь круг \z\<^R, ортогональный к кругам, содер-
содержащим стороны треугольника Дь и будет там однозначна и регу-
лярна. Легко найти радиус R этого круга. Действительно, хорды,
стягивающие граничные дуги треугольника Дь имеют длину j/З и
1"
составляют с соответствующими дугами треугольника /\\ углы -у?.
6
С другой стороны, окружность т, на которой лежит одна из гранич-
граничных дуг треугольника Д1 , оканчивающаяся в точке 2=1, пересе-
Т
кается с вещественной осью под углом -^. Отрезок вещественной
оси, лежащей внутри f. следовательно, также имеет длину У^Ь. По-
Поэтому, точки пересечения окружности f с вещественной осью будут
1 и 1^3 -\-1 и их произведение должно равняться /?8, откуда R =
^]/1/^3-|-1. Из процесса аналитического продолжения функции
F(z) следует, что риманова поверхность F, представляющая взаимно
однозначный образ круга | z \ <^ R при отображении функцией w=^F (z),
будет составлена из бесконечного множества треугольников, конгруент-
ных Д^, и притом так, что каждая вершина каждого треугольника
?
будет точкой разветвления второго порядка этой поверхности. По-
Последнее показывает, что на поверхности F не может существовать
однолистного круга, радиуса большего 1.
Рассмотрим теперь функцию
она регулярна в | z \ <^ 1 и отображает круг | z \ <^ 1 на риманову
поверхность, на которой не существует однолистного круга радиуса
12*

356 ПРИНЦИПЫ МАЖОРАЦИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. VIU
1 1
большего, чем Rp,. . Поэтому имеем В *g ' .Q и, следовательно,
/»@)
б 1
Итак, окончательно для В имеем неравенства:
г A) г (Л1)
- = 0,43 ...<;?<; _ Uj -У?/-= 0,47... (9)
f-1,
Рассмотрев аналогично функцию w=F(z)=f\ (/о (г)), пока-
з"
жем, что функция
w F'@) —z^r---
будет регулярна в |гг|<^1 и отображает |гг|<^1 на риманову по-
поверхность F, составленную из бесконечного множестаа треугольников,
полученных из /\\ преобразованием подобия с коэффициентом по-
добия . ¦ и притом так, что каждая вершина каждого из этих
треугольников не принадлежит поверхности F. Следовательно, эта
поверхность F не может покрывать целиком ни одного круга, ра-
радиуса большего чем „,.... Отсюда следует, что
Так что для L имеем неравенства:
1 1 = 0,56 ... A0)
§ 8. Мажорация подчиненных аналитических функций
Пусть функций f(z) мероморфна в круге |гг|<^1, а функция F (г)
мероморфна и однолистна в |гг|<^1, причем /@) = /7@). Если образ
круга |г|<^1 при отображении w=f(z) целиком лежит в образе
этого же круга при отображении w — F(z), то функция f{z) назы-

§ 8| МАЖОРАЦИЯ ПОДЧИНЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 357
вается по отношению к F(z) подчиненной функцией в круге |гг|<^1,
а функция F (г) — однолистной мажорантой. Сам же факт подчине-
подчинения записывается в виде f(z) •< F(z). Он, очевидно, равносилен тому,
что функция F~i(f(z))=f(z) будет регулярна в |г|<^1, <p(O)s=O
и |<р(гг)|^1 в |гг|<^1. Отсюда следует, что совокупность всех функ-
функций f(z), подчиненных в круге \z\<^R данной однолистной мажо-
мажоранте F(z), определяется по формуле
где <р (г) — любая функция, удовлетворяющая условиям леммы Шварца,
т. е. регулярная в |г|<[1, <р@) = 0 и \<?(z)\<^l в \z\<^U
В таком виде понятие подчиненности обобщается и на случай не-
неоднолистных мажорант: функция f(z) будет подчиненной в ||[
мажоранте F(z), если она может быть представлена в |г
форме A).
Относительно подчиненных функций установим ряд теорем.1)
Теорема 1. Если функции f(z) и F(z), /@)=/7@) = 0 регу-
регулярны в \z\<C_\ и f(z) •< F(z) в |гг!<^1, то прир^>0 h0<V<|1
имеем.
i^^^ B)
Доказательство. Возьмем любое г0, 0<^г0<^ 1, такоеТ что
на |гг| = г0 нет нулей F(z). Положив F{z)=:cmzm-\-..., стф0,
(z \т
—- , если функция F(z) не имеет
• о /
нулей в 0<^\z\<^r9> и равную
(z\m ff ro(z
\rj МЛ rl
если F{z) имеет в О<Г|гг|<Гго нули (все) гь ..., zn, выписанные
F(z)
каждый соответственно его кратности. ТогДа функция А ! не будет
иметь нулей в \z\^re и, следовательно, функция . .') будет ре-
V О (Z) I
гулярна в | z\ <^г0 при любом /?]> 0. По формуле Пуассона в | z\
имеем:
1) Рогозинский [\9Щ.

358 ПРИНЦИПЫ МЛЖОРЛЦИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. VIII
Отсюда, представив f(z) по формуле A), получаем в \z\<^r0:
2*
и далее, так как \b(jt)\=\ на \z'\ = r0 и \b(z)\<^l в
Интегрируя E) по окружности |гг| = г, 0<><!г* и имея в виду,
что по теореме о среднем (гг = ге")
получаем
2%
2%
G)
что при г-*¦ г0 и дает B). Случай, когда г0 таково, что на \г\ = г0
имеются нули функции /'(г), получается отсюда предельным перехо-
переходом. Теорема доказана.
оо оо
Теорема 2. Если функции f(z)— 2е*2* н ^(г)= S i4*z*
1 fti
регулярны в
имеем
uf(z)-<F(z) в
fti
1, /ио и/?н «=1, 2, ...
(8)
Доказательство. Положим
*•=! * = 1 * = я+1
Если f(z) = F(<?(z)), то, очевидно, имеем (ср @) = 0):
и, следовательно,
(9)

§ 8J МАЖОРАЦИЯ ПОДЧИНЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 359
Ho $,(?(*))
написать:
т. е. по (9),
¦<Sn(z) в |*|.
\ |5n(ip(re'
0
л
Отсюда получаем
00
д
следовательно, по теореме 1 можно
2х
0
п
*=i k=\
При г ->• 1 это и дает (8). Теорема доказана.
Теорема 3. При условиях теоремы 2 имеем \at | ^| А^ \ и
KdM |Л|
00
Доказательство. Пусть f(z) = F(<p(z)), <?(z)= 2
Имеем
«1 ^ °4 Л, вз = «1Л + «Hi-
Но 1041^1, а, кроме того, из неравенства B), § 1, примененного
к функции -¦ при
дыдущего получаем:
к функции -¦ при 2^0, находим | оц \ ^ 1 — | at |e. Поэтому из пре-
преТеорема доказана.
Теорема 4.1) Если функции f(z) и F(z), /@) = F@) = 0,
F' @) ^ 1, регулярны в | г | <^ 1, a Z7 (г), кроме того, однолистна
в |z|<;i, и если f\z) ¦< F(z) в |г|<^1, то в \z\<^\ имеем точ-
точные оценки
Знака равенства имеют место только для функции
Доказательство. Из представления f(z) в виде A) имеем
\ = \F'd?Q®\-\<?'(z)\. Но для \F'(z)\ имеет место оценка (8),
») Шиффер [1936], И. Ф. Лохин [1949].

360 ПРИНЦИПЫ МАЖОРАЦИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ (ГЛ. VIII
§ 4 гл. II, а для | у' (z) | — оценка B), § 1 этой главы, так что
в |2|<1 будет:
Следовательно, в |z \ <^ 1 имеем
и так как |ср(z)\=g;|z\ в |z|<^ 1, то получаем первую из оценок A0).
Вторую из оценок A0) найдем интегрированием первой оценки. Так
как в оценке | ср (z) \ ^ | z \ знак равенства имеет место только для
f(z)=-riz, |ij| = l, а в первой из оценок A2) — талька для функции
jr^—гг. |tji| = 1, to знаки равенства в оценках A0) имеют
место только для функции A1). Теорема доказана.
00
Теорема 5. Если функция f(z)= ^]akzk,регулярнаяe\z\<^},
ft=i
подчинена в \z\<^l функции F(z), F@) = 0, F'@)=l, регуляр-
регулярной и однолистной в \ z \ <^ 1 и отображающей круг \ z \ <^ 1 на
звездообразную область, то имеем точные оценки \ ап \ ^ п,
л^1, 2, ...; если же последняя область является выпуклой,
то имеем точные оценки |an|=s:l, л = 1, 2, ....
Доказательство. Рассмотрим сначала второй случай, когда
образ В круга |z|<4 при отображении w = F(z) является выпук-
выпуклой областью. Так как при. |г|<^1 имеем Wb=f(rfz)?B,
— -4- 4-
¦ц = еп , л^1, 2, ..., то и "' "' ~^и>п ^в. А это значит что
функция
подчинена в |z|<^ 1 мажоранте F(z). Но тогда по теореме 2 (при
л=1) следует, что |в„|^1 это при всех л = 1, 2, ...
Если теперь образ круга |z|<4 при отображении w = F{z)
есть звездообразная область, то функция Fi(z), ^@)^0,^@)^1,
определяемая из условия F(z) = zF{(z), отображает круг |^г|<^1 на
выпуклую область (см. § 9 гл. IV). Представим f(z) по формуле A).
В | z | <^ 1 имеем | у (z) \ ^ | z \. Поэтому при любом С из | С | ^ 1 будет
(z)) ¦< F1 (Сг) в |г|<^1. Отсюда, положив
^@=1, A3)

§ 8] МАЖОРАЦИЯ ПОДЧИНЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 361
по уже доказанному при |С|<^1 имеем | Л„(С)|^1, я=1, 2, Но
Л„(С) является полиномом я-ой степени от С с Л„@) = 0, поэтому
по формуле Коши в | С | <С 1 имеем:
А'(О =
»^— 2w 3 t (С-С)8 ^~
и, следовательио,
п-1 п-\
Отсюда при С-*-1 получаем \А'пA)\^п. Теперь из
А„@ = ^-,
получаем:
— -L С Ei
—2я/ J
|гГ=г
иA)==_Ц f _
Следовательно, |ап| = |Л^A)|^л1). Знак равенства в этой оценке
будет иметь место для функции A1). Теорема доказана.
Для доказательства следующей теоремы будет необходима лемма,
являющаяся усилением леммы Шварца, принадлежащая Рогозинскому.
Лемма. Если функция ср (z), ср @) = 0, ср' @) ^ 0, регулярна в
| г К 1 и | <р (г) | ^ 1 в 12 |<[ 1, то любое значение w9,.которое ср (z)
принимает в точке z0, \zo\<^l, лежит в области b.z0, содержа-
содержащейся в круге \г\^.\гп\, содержащей круг | г\ ^|z0|s и ограниченной
дугой круга ] z \ = \ z0 ]* и дугами двух кругов, проходящих через z0
и касающихся круга | z | = | z012.
*) Это неравенство удается также доказать в предположении, если звездо-
образность образа круга |г|<1 при отображении w=F(z) заменить сим-
симметричностью его относительно вещественной оси. Обо всем этом см
Литтльвуд [1944].

362 ПРИНЦИПЫ МАЖОР АЦИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. VIII
Доказательство. По неравенству C), § 1, примененному
к функции f{z)^^-~, следует, что точка «>0 = ср(.г0) лежит в круге
с границей, определяемой уравнением
г„ — t
причем 0-g;a, -g;l. Меняя здесь a = 04 в промежутке ^
ищем огибающую всех полученных кругов, которые, очевидно, должны
лежать в круге |w|^|2e| и иметь центры на отрезке @, z0). Урав-
Уравнение огибающей определяется из уравнений
F(w, a) =
Если во втором из этих уравнений под знаком вещественной части
заменить уменьшаемое на его сопряженное значение, то уравнение
примет вид
-L -) = о „ли 8|(!!^l
— аг0) (г0 — aw)j \z0 — aw
Это уравнение вместе с первым из уравнений A4) приводит к заклю-
заключению, что на огибающей должно бытьда-:=^=±/ |.г0), т. е. «> =
Zq — CfW
= .а ~". | . z0, что при изменении а в 0-g;a-g;l определяет дуги
1 ± la | z0 I
окружностей, проходящих: одна через точки z0, i\zo[zo, — z0 (соот-
(соответствующие значениям a^l, 0,—1), а другая — через точки z0,
— /|-гв|.г0, —ге. Отсюда и следует, что круги
г„ — atw
при O^ai^l покрывают область Дг0, указанную в лемме. Лемма
доказана.
Теорвма б.1) Если функции f(z) и F(z), /@) = F@) = 0, ре-
регулярны в j z К1, F (z) однолистна в | z [ <^ 1, arg /' @) = arg F' @) 8)
и /(z) ^c F(z) в |г|<1, /у?и«{ел /(г)^р(г), ото в |^|<7i будет*)
(Число ДД здесь не является наилучшей константой.)
Доказательство. Для доказательства справедливости нера-
неравенства A5) в заданной точке г0, \zn\=-j, достаточно доказать,
*) Бернацкий [1936].
2) Если /'@)=0, то это условие отпадает.
*) <Ся Дао-син показал, что наилучшей константой здесь является число
~2 (см- § 3) п- 3° обз°Ра)->

§ 81
МАЖОРАЦИЯ ПОДЧИНЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
363
что для всех точек
место неравенство
из области Д,г0, указанной в лемме, имеет
I ^ (*) КI*7 (*•>!•
A6)
Действительно, так как функция F~l(f(zy)=alz-\-... удовлетворяет
условиям леммы, то, применив A6) к точке z = F~l (f(z9)) ? Дг0,
получим A5).
Для доказательства неравенства A6) наряду с |.zo| = -j- опреде-
определим число р, 0<[р<^1, как корень уравнения
irV=o+rb*; р=0'123 ->М*=1ё' W
Так как функция F(z) однолистна в |г|<^1, то для нее имеем
!t. A8)
Если |г|<^р, то A6) сразу следует из A8) и A7). Допустим
теперь, что неравенство A6) выполняется не всюду в области Дг„.
Тогда существует на границе области Дг„ точка
zb в которой модуль l/7^)! достигает значения , I »U
т = max | F(z) \. Точка zit очевидно, лежит на
рис
одной из граничных круговых дуг, проходящих
через z0 (рис. 16). Обозначим эту дугу через /.
Касательная к образу дуги / при отображении
w = F(z), проведенная через wx = F(z^, дол-
должна образовывать с радиальным направлением
в этой точке угол а>, равный ~. Вычислим те-
перь этот угол иначе. Для этого найдем сначала
угол if, образованный касательной к/в точке ^(направленной в сторону
начала), с радиальным направлением в точке zv Если через R обозна-
обозначим радиус круга, на котором лежит дуга /, то из прямоугольного
треугольника с вершинами в точках 0, z0 ив центре с этого круга,
получаем, что R* = \ z018 + (R ~ I -*„ I2)8; отсюда R = 1+^°|8 . Далее,
из треугольника с вершинами в точках 0, г. и с следует: (R — \zn I2)' =
#flP 2fl|*| sin T; отсюда
sin Y—
7
» _16|2l|'+l
•>— i7|Zl| -
_ 3rc=in
— arcsin

364 ПРИНЦИПЫ МАЖОРАЦИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. VIII
Теперь угол наклона к вещественной оси, касательной к дуге /
в точке zb будет равен — т + ^^далее, угол наклона к веществен-
вещественной оси, касательной к образу дуги / в точке w1 = F(z1), -равен
— 7 -f" arg Z\ -\- arg F (z{); наконец, угол той же касательной с радиаль-
радиальным направлением в точке Wi = F{zi) равен ^ — argzt — arg F' {z{) -f~
-\- arg F {zt). В результате этого имеем
•=т—«
Но для последнего аргумента имеет место оценка A2), § 1, гл. IV.
Поэтому получаем
Однако это противоречит прежнему заключению, что о>=-^-. Этим
доказана справедливость неравенства A6), а следовательно, и A5) на
/(*)
F{z)
окружности |,z|=-j. Но, так как максимум модуля
=^-j достигается на |,z|=-j, то A5) будет иметь место и
в |zK-j-. Теорема доказана.
Примечания. Отметим, что более сложными оценками удается
показать, что для наибольшего круга |z|<^р, в котором при выпол-
выполнении условий теоремы 6 наверное имеет место A5), имеем 0,35 <
-= 0,382 ..., причем при дополнительном предположе-
нии звездообразности F{z) в |г|<^1 имеем р^—^—.1) При до-
дополнительном же предположении однолистности f{z) число р опре-
определяется как корень трансцендентного уравнения:*)
т. е. р = 0,39 ....
В заключение докажем еще теорему:
Теорема 7.8) Ест f(z) и F(z), /@) = F@) = 0, регулярны
в И<1, F{z) однолистна в |г|<1, arg/'@) = argF@)«/(z) ^
^F(z) в |г|<1, то в |г|<0,12 ... имеем \f'(z)\^\F(z)\) знак
равенства имеет место только для f{z) = F{z). *)
1) Г. М. Голузин [19516]. (См. прим. ред. на стр. 362.)
2 Бернацкий [1936] "и Г. М. Голузин [1939в].
См. Г. М. Голузин [19516].
<Ся Дао-син показал, что наилучшей константой здесь является число
3— У& (см. § 3, п. 3е обзора).)

S8]
МАЖОРАЦИЯ ПОДЧИНЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 365
Доказательство. Если функция F(z) = ckz+... регулярна
и однолистна в |z|<^l, то такою же будет и функция
A9)
при любом z, |2|<Ч. Поэтому в |С]<[1 имеем:
+ К1\2 1
X— Z
Подставляя сюда A9), и положив C=y_g^,> | Jf | <С ^» получаем:
U
v-
х — г
\—1х
х — г
\—гх
B0)
Пусть теперь f(z) и F(z) пара функций, указанных в теореме, и пусть
f (z) = F(cp(.2O). Представив функцию ср(г) в виде
легко заключаем, что <o(z) удовлетворяет условиям леммы Шварца.
Положим в B0)x = <?(z); имея в виду, что (|гг| = г, Ш (а> (г)) = X)
|«>|2(а—r!)8 + 2(l —ar!)-(a —r*)X '
а также, что числитель производной подкоренного выражения по X
приводится к виду
и, следовательно, отрицателен при |а|<^1, г<^1; для |лг|<^|а>
получаем:
? (г) — г
*1— аг* — |«|(а — г*)
в результате B0) дает:
F'B)
Y±
1— or* — ar-f-r* 1+Г* — r(l+a) '
r(l-a)
1+Г2 —r(l+a) \ 1— r*
\ 1 rA-g>
V1 l+H-r(l+a).

366
т. е.
С другой стороны, для функции <p,(z)=?15)= а-)-... в
имеют место известные неравенства:
ПРИНЦИПЫ МАЖОР АЦИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
1+Г8 — 2аг\* 1—г8
— 2г) 1-|?
[ГЛ. VIII
B1)
Пользуясь этими неравенствами, имеем в | z
__ r+lftl 1-|
1-1?!
1+Г-
1—Г2
т. е. имеем неравенство
1+otr
—Г» '
1 I г8
Перемножая B1) и B2), получаем, положив а = —I-—, а^1,
F(z)
Здесь знак производной по а от правой части совпадает со знаком
полинома
р (а) = а3 — За — (За8 -\-1) а — 2аа«.
При 0 -g; а <^ 1 имеем
р (а) 5г я A)=й8 — За8 — 5а — 1 = (a -f 1) (aa — 4й — 1),
так что, если аа — 4д—1^0, т. е. если а^2-\-У~5, то /?(а)^0
в 0^а<^1 и, следовательно, правая часть в B3), как функция от а,
возрастает. Но при а=1 она равна единице. Это показывает, что
\f (z) |=^|F(z) |, если а^=2 +/5, т. е. если г <0,12, причем знак
равенства имеет место только в случае, если а = 1, т. е. если <p(z)=z,
f(z) = F(z). Теорема доказана.
Примечание. Рассмотрим пару функций

§ 8] МАЖОР АЦИЯ ПОДЧИНЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 367
удовлетворяющих условиям теоремы 7. Имеем
1 —г2
Г (г) как функция от а имеет производную, при а=1 равную '°_~. 4.
Если а<^3, т. е. если г^>3—1^8, то эта производная при а = 1
отрицательна и, следовательно, при а, меньших единицы и достаточно
близких к единице, будет \f'(r)\^>\F(z)\. Отсюда заключаем, что,
при условиях теоремы 7, неравенство \f (z) | ^ | F (z) |не всегда выпол-
выпол—У 8 = 0,1
няется, если z такое, что |z|^>3 —У 8 = 0,17 ... Если дополнительно
потребовать, что в теореме 7 функция f{z) однолистна в | -г | <^ 1, то
неравенство l/'fc)!^.\F(z)\ имеет место в |^|<^3—>/8, но не
всегда в большем круге1).
») Г. М. Голузин [1951е].

ГЛАВА IX
ГРАНИЧНЫЕ ВОПРОСЫ
ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ1)
§ 1. Предельные значения интеграла Пуассона
Интегралом Пуассона называется, как известно, интеграл вида
A)
где положено
В случае, когда вещественная функция f(t) непрерывна при всех
вещественных значениях t и имеет период 2«, интеграл A) дает реше-
решение классической задачи Дирихле для круга |С|<^1, С=ге'в, пред-
представляя собой гармоническую функцию в | С К1, непрерывную в | С | ^ 1
и принимающую значения /(б) на |С| = 1. В этом параграфе мы иссле-
исследуем интеграл Пуассона при меньших ограничениях, налагаемых на
функцию f(t).
Пусть /(?) — любая вещественная функция, суммируемая в @, 2«)
и имеющая период 2«. Функция и (г, 6), определяемая интегралом A), *)
будет, очевидно, и тогда гармонической функцией в |С|<^1- Теперь
имеем:
') Эта глава, собственно говоря, не является частью геометрической
теории функций. Однако факты, излагаемые здесь, существенно используются
в следующей главе.
*) В этой и следующих главах предполагаются известными основы тео-
теории функций вещественного переменного. Так, интеграл A) понимается
в смысле Лебега, причем поскольку в силу периодичности / (t), промежуток
(О, 2я) можно смещать, то этот интеграл удобно тотаовать, как взятый по
окружности |С | = 1.

§ 11 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ИНТЕГРАЛА ПУАССОНА 369
Теорема 1. Если функция /(в) при 0=6в непрерывна, то
и (г, б)-*-/(бв) при стремлении С=ге'в любым образом из | С К 1
в точку еп».
Доказательство. Для заданного е ^> О выбираем 8, 0 <^ 8 <^ тс,
такое, что при |* — fi,|<^8 имеем \f(t)— /(бе)|<Су> и ПУСТЬ
19 — % | <С у • Тогда, замечая, что
2п
±*\P(r,t- 9)^=1, C)
имеем
2*
и (г, 6)-/F0) = -1-
Разобьем^ интеграл справа на два интеграла h и h взятые соответ-
соответственно по дуге (9е — 8, б0 -f- 8) и по дополнительной дуге Дна | С | = 1 •
Замечая, что Р(г, в)^>0 в |С|<О> получаем:
90-9
Далее, так как на Д имеем \t — б |^>-у и, следовательно, P(r, t—
l-2rcos-|-+r» 2
это показывает, что /а-*-0 при г-*-1; следовательно, существует
т]^>0 такое, что при г^>1—т) имеем |/я|<[у. В результате при
г^>1—т) и |6 — ее|<^-2- имеем |и(г, б)—/(9оI<Се> Чт0 и доказы-
доказывает теорему.
Как следствие из теоремы 1 получается хорошо известная теорема
о том, что если функция f(t) непрерывна при всех t, то функция
и (г, б), определенная на |С| = 1 как предел и (г, б) из |С|< 1, будет
непрерывной в |С|^1 и иA, б)=/(б). Если же/(б) непрерывна на
некоторой дуге окружности | С | = 1, то функция и (г, б), определенная
на этой дуге как предел и (г, б) из | С | <[ 1, будет непрерывна в | С1<[ 1,
включая внутренние точки этой дуги.
Теорема 2. Если функция /(9) при б = бе имеет конечную
производную, то аУЛ-/¦-»/' (бе) при стремлении К=геа из

370 ГРАНИЧНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IX
к точке eib" no любому некасательному пути (т. е. в некотором
угле с вершиной в е*\ причем этот угол в окрестности е'ь» целиком
принадлежит кругу |С|<[1).
Доказательство. Докажем сперва теорему для случая функ-
функции /(8), линейной в (а, а-\-2к): f(b) = Ab-\-B, и продолженной
периодически вне этого промежутка. Тогда из A) получаем:
ди(г,9)_ 1
dt
в+2*
Отсюда следует, что если а <^ 90 <^ а -f- 2тс, то —^Ь—- ->• Л при re'9 ->
->¦ е'е» по любому пути, идущему из |С|<^ 1 в точку eib».
Обращаемся теперь к общему случаю. Из A) следует:
2 it
Обозначим через щ(г, 6) функцию, полученную из A), если там заме-
заменить f(f) на линейную функцию /(9о)~Ь(^ — %)/(%) в (а> в 4" 2я).
ев1 ф eibo и продолженную периодически вне этого промежутка; по
доказанному м'^'—' ->¦/' (90) при re'9 -> е'9».
Теперь из D) и такого же соотношения, написанного для щ (г, 9),
получаем, имея в виду периодичность /F):
<J+2it
да (г, 6) ац,(г, ») _ 1 Р //@-/F,) f4f
от от zjc j v г — в0
а
^ ~~ 6) 1_9гг«.°^_Й\_1_г-* ^' E)
Докажем, что последний множитель под знаком интеграла в E)
при re®, достаточно близком к е16» и лежащем в углу с вершиной
в е'9о и со сторонами, наклоненными к касательной в | С | = 1 в точке
е'ь» под углами <Хо, 0<^осо<^-к-, ограничен относительно t, a
Действительно, напишем этот множитель так:
n_2r(t-90)sm(t-b)

§ Ц
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ИНТЕГРАЛА ПУАССОНА
371
Ho \e"-reK\ = \<
заменой модуля мнимой частью). Следовательно,
sin (t — в) | (последнее получается
Далее, считая пока \t — 60j
имеем
| elt — reib [ = | elt — eib« —
2e
«=
X
sin
и замечая, что
s>0,
:2
2 \t —
(здесь опять модуль заменен мнимой частью). Следовательно,
IQI<—V--
т. е. Q при |^ — во|<^ао ограничено. Если reib достаточно близко
к еа% т. е. е<^е0. то и на остальной части промежутка a<^t<^a-\-2^
величина Q ограничена, ибо тогда знаменатель в F) ограничен снизу.
Итак, при е <^ е0 и всех t: \ Q \ <^ Qo. Поэтому, из E) получаем:
да (г, 6) аи, (г, 6)
в+2
2я J
/@-/F,,)
P(r> '-
Но к последнему интегралу применима теорема 1, ибо /'F0) суще-
существует, и, следовательно, первый множитель под знаком интеграла
стремится к 0 при t->Q0. Итак, этот интеграл сам стремится к нулю
при е -> 0, т. е. при ге'ь -> е'л« в рассматриваемом угле. В результате
имеем при этом предельном переходе
что и доказывает теорему.
Теорема 3. Если в A) функция /(9) при 9 = 8О конечна и
равна производной своего неопределенного интеграла, т. е. при
е
= reib из
=/F), то и (г, 9)->/(90) при стремлении
1 к точке ей» по любому некасательному пути.

372 ГРАНИЧНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IX
Доказательство. Пусть 60 — 2к<^а<^%. Определим функ-
функцию /7F) в a<[6<^a-(-2it по формуле
а далее продолжим ее периодически. Тогда F(9O)=/(9O). Применяя
теперь к A) интегрирование по частям, имеем:
1
в+2«
я (г, b) = ^F{t)P(r, t — Щ
а±2к
а
а+2п 2п
i S "Ю*0^*-*^- -ЧХ
X
и теорема З получается на основании теоремы 2.
Так как /(9) почти всюду в @, 2гс) равна производной своего
неопределенного интеграла, то из теоремы 3 имеем важное следствие.
Следствие 1. Интеграл Пуассона A) почти всюду на | С| = 1
имеет предельные значения, равные /(9), по всем некасательным
путям.
Аналогичный результат имеет место и для более общего инте-
интеграла, называемого интегралом Пуассона — Стилтьеса:
2л
//(г, е) = ±\р(Г) t-d)da(t), G)
a
где a(?) — функция ограниченной вариации в @, 2тс), которую всегда
можно продолжить далее периодически.1) А именно, повторяя здесь
те же рассуждения, докажем теорему.
Теорема 4. Если в G) функция a(t) имеет при S = S0, 0<^
<^flo<^2i:, конечную производную, то и (г, б)-*-а'(б0) при стрем-
стремлении С=ге'9 из |С|<С1 к е'9° т любому некасательному пути.
Так как a(t) почти всюду в @, 2тс) имеет производную, то и здесь
получается следствие:
Интеграл A) можно рассматривать как интеграл G) с
t
Это следует из свойств интеграла Стилтьеса.

§ 2] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 373
Следствие 2. Интеграл Пуассона — Стилтьеса G) почти
всюду на |?| = 1 имеет предельные значения, равные a.'(9), повеем
некасательным путям.
Все теоремы этого параграфа принадлежат Фату1), который поло-
положил начало исследованию граничных свойств аналитических функций.
§ 2. Представление гармонических функций интегралом
Пуассона и интегралом Пуассона — Стилтьеса
В этом параграфе рассмотрим вопросы возможности представления
гармонических функций интегралом Пуассона и интегралом Пуас-
Пуассона — Стилтьеса. При решении этих вопросов будут фигурировать
специальные классы гармонических функций, для которых мы введем
особые обозначения. А именно, обозначим через Лр, р^>0, класс функ-
функций и (г, 6), гармонических в круге | С |<^ 1 и таких, что для каждой
из них интеграл
\\и(г, ЩЫЬ A)
о
является ограниченным при 0<^г<^1. Из очевидного неравенства
хр'<^\ -\-хр, имеющего место при 0<^/>'<^/> и всех х^О, следует,
что если и (г, 9) ? hp, то и (г, 9) ? hp,, так что с уменьшением р
класс hp расширяется.
Начнем теперь с представления гармонических функций интегралом
Пуассона — Стилтьеса. Для этого будет необходима в качестве леммы
следующая
Теорема 1 (X е л л и). Из всякого бесконечного семейства
{/0*0} вещественных функций, равномерно ограниченных и равно-
равномерно ограниченной вариации2) в интервале (а, Ь), можно выделить
последовательность, сходящуюся везде на (а, V), за возможным
исключением9) счетного множества точек, к функции ограни-
ограниченной вариации.
Доказательство. Очевидно, достаточно рассмотреть случай,
когда все функции f(x) не убывают в (а, Ь).1) Рассмотрим совокуп-
совокупность всех рациональных точек, лежащих в (а, Ь), и расположим их
в последовательность гь г2,...
Из семейства {/(х)}, пользуясь диагональным процессом, можно
выделить последовательность fk(x), k = l, 2,..., сходящуюся во всех
») Фату [1906]
•) Это значит, что полные вариации всех функций в интервале (а, Ь)
ограничены одним и тем же конечным числом.
•) Теорема Хелл^ впрочем, имеет место и без этой оговорки.
4) Ибо каждая функция ограниченной вариации представима в виде раз-
разности двух неубывающих функций, причем полная вариация каждой из этих
функций не превосходит полной вариации данной функции.

•374 ГРАНИЧНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IX
точках rb rs,... Докажем, что эта последовательность сходится и всюду
в (а, Ь), исключая, может быть, счетное множество точек. Пусть дано
е ]> 0. Утверждаем, что точек х ? (а, Ь), для которых имеет место
неравенство
ТйГ/лИ- Ит/»(*»«, B)
существует конечное число. Действительно, иначе множество этих
точек имело бы точку сгущения, а следовательно, среди них нашлась
бы монотонная, например, возрастающая, последовательность точек
хп, и=1, 2,... Между каждой парой точек (лг„ дгу+1), v = l, 2, ...,
существует рациональная точка, пусть гПч, в которой последователь-
последовательность fk(x) сходится. Полагая Нт/А(гл<)=/(г„ ), получаем:
/(гл,) -/Ov.) = Ит Л (rs) - Urn Л (/¦„,_,) 3*
ft-*oo ft—к»
I- HmA«
v=l, 2,....
Следовательно, /(гЯу) ^/(гЛ1) -(- (v -f- 1) s, т. е. / (гя ) -¦¦ oo при v -> oo,
а это невозможно в силу равномерной ограниченности функций /(г).
Давая е значения ev-*0 и собирая все точки, для которых имеет
место B) с различными е„ видим, что fk (х) сходится всюду в (а, Ь),
исключая, может быть, счетное множество Е точек. Предельная функ-
функция f(x) определена и монотонна на множестве (а, Ь) — Е. Следова-
Следовательно, в точках множества Е она имеет пределы слева и справа.
Определяя значения функции f(x) в точках х^Е, как средние ариф-
арифметические указанных пределов, получаем функцию fix), определен-
определенную и монотонную во всем промежутке (а, Ь), причем fn(x)->f(x)
в (а, Ь), за исключением, может быть, счетного множества точек.
Теорема доказана.
Относительно представимости гармонических функций интегралом
Пуассона — Стилтьеса имеем теперь теорему:
Теорема 2.1) Для того чтобы гармоническая в \ С | <^ 1 функ-
функция и (г, 9) была представима в |С|<^1 интегралом Пуассона —
Стилтьеса G), § 1, с функцией a(t) ограниченной вариации, необ-
необходимо а достаточно, чтобы и (г, 9) (^ h{, для того же чтобы
она имела в | С | < 1 то же представление с неубывающей функ-
функцией a.{t), необходимо и достаточно, чтобы и (г, 9)^0 в |С|<^1-
Доказательство. 1°. Если для и (г, 9) в | С | <^ 1 имеет место
G), § 1, то, представив функцию а(?) в виде разности двух неубы-
') А. И. Плеснер [1923].

§ 2] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 375
вающих функций, тем самым представим функцию и (г, 9) в |
в виде разности двух неотрицательных гармонических функций, пусть
функций Mi (г, 9) и ма(г, 9); а тогда при любом г, 0<><[1, имеем:
2п 2л 2*
\ | и (г, 9) | db < \ щ (г„ в)М+1 щ (г, 9) db = 2u (щ @) + щ @)); C)
0 0 0
здесь и в дальнейшем условимся писать и (г, 9)|с=0 =и@). Отсюда
следует, что и (г, 9) ^ At.
2°. Обратно, пусть и (г, 9) ?jj A1# Рассмотрим функцию
е
аг(9) = ^м(г, f)dt, зависящую от параметра г, 0<V<l. Так как
о
2*
\ u(r,
где Ж конечно и не зависит от г и 9, то функция а.г (9) будет равно-
равномерно ограниченной и равномерно ограниченной вариации в @, 2к)
относительно г, 0<?г<^1. Следовательно, взяв последовательность
функций ар (9), А = 1, 2,..., pk-*-l, по теореме Хелли из нее можно
выделить подпоследовательность ар - (9), сходящуюся в @, 2ir), за ис-
исключением, может быть, счетного множества точек, к функции a (9) огра-
ограниченной вариации. Фиксируем теперь точку С = гев и пусть
г<^р*<С^ ПРИ k^>K- Тогда по обыкновенной формуле Пуассона
имеем при k^>K:
Отсюда интегрированием по частям получаем:
2«(г. 9)-ар-B.)р,2^~!
2л -2
Ра —г2

376 ГРАНИЧНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IX
Переходя здесь к пределу при А->-оо и учитывая, что ap^Bit) =
= 2тси @) = а Bтс), имеем:
2 it
2ш{г, 9) = aB*)P(r, 9) — \ a(t)dP(F''J-b)dt.
Обратное интегрирование по частям дает теперь формулу G), § 1.
Первая часть теоремы доказана. Вторая часть доказывается анало-
аналогично.
Следствие 1. Для того чтобы функция и (г, 9) принадле-
принадлежала классу hit необходимо и достаточно, чтобы она была пред-
представила в | С | <Ч в виде разности двух неотрицательных гармо-
гармонических функций.
Действительно, если и (г, h) ^ hlt то она представима в | С К1 по
формуле G), § 1, и следовательно, как показано выше, она пред-
представляется в виде требуемой разности. Обратное следует и* C).
Следствие 2. Если функция и (г, 9) принадлежит классу Нъ
то она почти всюду на |CJ = 1 no всем некасательным путям
имеет определенные предельные значения, образующие граничную
функцию и (9).
Это вытекает из доказанной теоремы и теоремы 4, § 1.
Для установления условий представимости гармонических функций
интегралом Пуассона, как и для многих других вопросов, с которыми
будем иметь дело далее, нам будут необходимы вспомогательные нера-
неравенства, которые сначала и установим. При этом условимся в обще-
общепринятом обозначении; именно, пишем/(л:) ^ W на Е (р ^> 0, Е — линей-
линейное множество), если|/(лг)|р суммируемо на Е; при р=\ вместо 1}
пишем L. Теперь имеем
Неравенство Гёльдера. Если g(x)(^Lp,h(x)^Lq на Е,
р>1, q>l, j+j=U то g(x)h(x)?L на Е и
\\g(x)h (х) dx I < Ц | g(x) |* d v)I/p (J | h (x) \ч dx )I/?. D)
E ЕЕ
Доказательство. Отметим, что если a^>0,
a + p = l, то
aaftp<aa + p*. E)
Действительно, функция <p (x) = tPxx — ax — $b возрастает в
ибо q?{x) = a.(l^ —1)>0. Так как <рF) = 0, то в
имеем <р(-*0=^О> т. е. E) доказано при а^Ь. Меняя ролями а и Ь,
аналогично докажем E) и при а^Ь. Заменим в E) a, J3, а и Ь на
1, I, аР и Ь"', тогда при a>0, ft>0, />>0, ?>0, 1 +| = 1,

S 2] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 377
получаем неравенство
a^-V + JR F)
Так как теперь функции |g"(.*r)|p и \к(х)\я суммируемы на Е, то
из F) следует суммируемость g(x) h(x). Далее, по F) имеем:
\g(x)\ \h(x)\ .
\PS\g(x)\Pdx^4\\h(x)\id*l
т. е. получаем неравенство D). Нетрудно проследить, что знак равенства
в D) имеет место только в случае, если | g(x) |р = X | h (х) \ч, ) = const,
на Е.
Неравенство Минковского. Если g(x)(^Lp, h(x)(^Lp
на Е, р^>1, то
(\ )(\)(\) G)
Е ЕЕ
Доказательство. Имеем, используя D),
+ (J | A (x) \p dxI/p (J | g(x) + h (x) |«(p-4 dx
а так как q(p — 1)=/>, то отсюда после сокращения получаем G).
По замечанию, сделанному относительно неравенства D), следует, что
знак равенства в G) будет только в случае, если g{x)^\h{x),
Х = const, на Е.
Опираясь на неравенства Гельдера и Минковского, установим один
признак возможности предельного перехода под знаком интеграла
Лебега. А именно, имеем:
Если функции fn(x), л=1, 2, ..., задали на Е, fn(x)-*-f(x)
почти всюду на Е и если

378 ГРАНИЧНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 1ГЛ. IX
где р^>1, а М конечно и не зависит от п, то
Urn \fn(x)dx=\f(x)dx. (8)
«->со Е Е
Действительно, по известной лемме Фату, имеем неравенство:
\\fix)\>dx< lim \\fa{x)\"dx,
Е л-юо Е
откуда следует, что f(x)^Lp на Е\ далее, применяя доказанные
неравенства, для любого множества eczE находим:
| $ if»С*) -fix)) d* | < JI/. (х) -f{x) | dx <
e t
. (x) -f{x) \p dx)l/p (mes eft <
+ (JI/И IP <**)'/P] < (mes e
причем правую часть можно сделать, независимо от п, только за счет
малости mes e, сколь угодно малой. А это, по известному признаку
предельного перехода под знаком интеграла Лебега, дает (8).
Переходя к представлению гармонических в | С \ <^ 1 функций интег-
интегралом Пуассона A) § 1, прежде всего отметим, что не всякая
функция и (г, в), представимая в виде G), § 1, будет представима и
в виде A) § 1.
Ибо, например, функция
гармоническая и неотрицательная в | С | <С 1, будет по теореме 2 пред-
представима в виде G) § 1. Но ее предельные значения на |С| = 1 всюду,
кроме точки С=1, равны 0; поэтому если бы она была представима
в виде A), § 1, то по теореме 1 § 1, было бы f(t) = O в @, 2ir)
и, следовательно, м(г, 9) = 0 в |С|<^1, что невозможно. Теперь
имеем:
Теорема 3. Для того чтобы функция uir, в), гармоническая
в | С | <С 1» была представима в \ С | <^ 1 интегралом Пуассона A),
§ 1, с /(*) ^ Lp, рУ> 1, в @, 2чс), необходимо и достаточно, чтобы
uir, 9)GV)
]) Вопрос о представимости и (г, 8) интегралом Пуассона A), § 1,
с /(<)? L также решен, но полный результат формулируется сложнее.

§ 2] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 379
Доказательство. 1°. Если и(г, 9)?йр,/>>1, то и(г, )?|
и по следствию 2 из теоремы 1 заключаем, что и (г, 9) почти всюду
на | С | = 1 имеет предельные значения по всем некасательным путям,
а в частности и по радиусам, причем эти предельные значения образуют
функцию и (9) ? Lp, ибо, по лемме Фату, имеем:
2л 2л
\ |K(9)|pd9<lim \ \u(r, S)\pdS.
о '"-'¦' о
Теперь, в формуле Пуассона
«(г, 9)=1
можно сделать предельный переход при р -> 1 под знаком интеграла
[ибо дробь в (9) ограничена при
2я
р_И, a J |и(р, 9)|"
о
для 0<^р<^1]. В результате получаем в
2л
я (г, e)=i^ в (О Я (г, *-в)Л,
т. е. представление A), § 1, с f(t)=u(t)?iLp.
2°. Обратно, если в |С|< 1 справедливо A), § 1, с f(t)? IP,
р^>1, то в |С|<^1 имеем, применяя неравенство Гёльдера
A+1 = 1):
Р Я
2л 2л 2
к(г, [ [
2п 2п
2л 2л
и, следовательно, и (г, 9) ^ Лр. Теорема доказана.
Поста.вим, наконец, вопрос: каким условиям должна удовлетворять
гармоническая в | ? | <^ 1 функция и (г, 9) для того, чтобы сопряжен-
сопряженная с ней гармоническая функция v (г, 6) была представима в | С |^ 1
по формуле Пуассона.

380 ГРАНИЧНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IX
Достаточное условие для этого вытекает из теоремы 2 и следую-
следующей теоремы.
Теорема 4.1) Если u(r, 8) ? Лр1 р>1, то и v(r, 0) ? Лр.
Доказательство этой теоремы довольно сложно, если рф1; поэтому
его мы здесь не приводим.*) В случае же р = 2 теорема легко следует
из формулы Парсеваля, применимой к разложениям
оо
и (г, 0) = а0 + 2 (а„гя cos «8 — bnrn sin и8),
v (г, 8) = Ьо + 2 (Pnrn cos «8 + anrn sin и8),
которые представляют вещественные и мнимые части тейлоровского
разложения
А именно, в этом случае имеем:
f \v{r, в)Г<Й={|в(г, 6)]*rf6 — 2ic(a? — *|).
о о
В заключение отметим, что представление A), § 1, является не чем
иным, как формулой Пуассона
u(r, 8) = 1 [ u(t)P(r, t — B)dt, A0)
дающей значение гармонической в | ? |<^ 1 функции и (г, 8) через ее
предельные значения и(?) по некасательным путям; это следует на
основании того, что по теореме 3, § 1, почти всюду на |?| = 1 имеем
/($) = и (8). Поэтому и теорему 2 можно рассматривать как дающую
достаточное условие для применимости к к (г, 0) формулы Пуассона A0);
это условие выражается в принадлежности к (г, 0) к классу hp,p^>i.
§ 3. Предельные значения аналитических функций
Опираясь на предыдущие результаты о гармонических функциях,
легко вывести простейший результат о существовании предельных зна-
значений для аналитических функций.
Именно, пусть функция /(С) регулярна и ограничена в |С|<С1-
Тогда ее вещественная и мнимая части представляют ограниченные
») М. Рисе [1927].
Оно имеется, например, в книге Зигмунда [1965].

§ 3] ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 381
гармонические функции в |С|<^1, которые, в частности, принадлежат
классу ftt. По § 2 эти функции почти всюду на | С | = 1 имеют опре-
определенные предельные значения по некасательным путям. Отсюда и/(С)
имеет почти всюду на | С | = 1 определенные предельные значения по
некасательным путям; эти предельные значения образуют некоторую
функцию на |С| = 1, которую будем обозначать через /(С) или через
f(en), если С=е'6.
Этот простейший результат обобщается теперь на класс N (кото-
(который ввел Р. Неванлинпа) функций /(С), регулярных в |С|<^1 и пред-
ставимых в | С|<^ 1 в виде отношения двух ограниченных функций:
(Ч
функции 9(С) и ф(С) всегда можно считать ограниченными в
по модулю единицей.
Класс N можно охарактеризовать иначе на основании следующей
теоремы Неванлинна.
Теорема 1. Для того чтобы функция /(С) щ? 0 принадлежала
классу N, необходимо и достаточно, чтобы интеграл
(log \f(re»)\dQ B)
о
был ограничен при O<V<^1 некоторым конечным числом М, не
зависящим от г.
Доказательство1). Если функция /(С)^=0 принадлежит
классу N, т. е. представима в виде отношения A) с |(C|l
1 в |С|<1, то, так как 1/@1^^1^ в |С|<1:
2к + 2л
\ log \f(re») | «ffl < - J log | ф (re№) | dS. C)
о о
Теперь, если ф (С) = cmCm + cm+i С4 +..., m^sO, то по формуле
Иенсена, примененной к функции ^4г, имеем
здесь через С* обозначены нули функции ф(С) в 0<|С|<!1> а сум-
сумма взята по всем нулям функции ф(С), лежащим в 0<^\(.\<^г. Так
как правая часть в D) есть неубывающая функция от г в O<V<^1,
то правая часть в C) будет невозрастающей функцией от г и,
*) Впрочем, приводимое доказательство мало отличается от доказатель-
доказательства более общей теоремы 1, § 5, гл. VII.

382 ГРАНИЧНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IX
следовательно, будет ограничена сверху в O<V<^1. Это доказывает,
что и интеграл B) будет ограничен в 0<V<4.
Пусть теперь, обратно, функция /(С)=?0 такая, что интеграл B)
ограничен при 0</<1. Тогда по формуле Иенсена—Шварца в
|С|<О имеем:
log/(C)= Д
где С—вещественная постоянная. Это можно переписать в виде:
/«>=?§-,
99
где положено
:-c»)
2c
1
/fe")
2n
0
Функции <рг (С) и <j»r (С) регулярны в |С|<г и |<fr (С) |< 1, |<1»г(С)| ^ 1
в |С|<СГ- ^Зяв последовательность чисел rft->-l, 0<Vft<^l, по прин-
принципу сгущения из последовательности функции <l»rft(C) можно выде-
выделить подпоследовательность ф^, (С), которая равномерно сходится
внутри круга | С К1 к регулярной функции ф (Q, причем | ф (Q | ^ 1
в |С|<!1' Так как значения |фг>@)|, k=l, 2, ..., ограничены сни-
снизу положительной величиной, не зависящей от k, то <}»(С)е?О. Из E)
следует, что и функция <р/у @ сходятся в | С | <С 1 к некоторой фун-
функции <р(С), регулярной в |С|<1. причем |<р(С)|«ё1 в |С|^1. Тео-
Теорема доказана.
Так как из представления A) для функций /(С)^ёО класса N при
О <^ r<d 1 имеем:
2ч 2п
= - I log 19 (re*) | rf6 — ^ log 1 ф (re
о о
а по доказанному в первой части доказательства теоремы 1 два по-
последних интеграла не убывают в 0 <^ г <^ 1, то не только интеграл B),

§ 3] ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 383
но и интеграл
F)
при 0 <^ г <^ 1 будет ограничен конечной величиной, не зависящей
от г. Это свойство функций класса N будет сейчас использовано.
Теорема 2. Если функция /(С)^ёО принадлежит классу N,
то она имеет почти всюду на \ CJ = 1 определенные предельные
значения f (ел) по всем некасательным путям, причем |log|/(el6)||
суммируемо на | ? | = 1.
Доказательство. Если функция /(Q ?N, /(Q^O, ограни-
ограничена в К|.<^1, то уже было отмечено, что она имеет почти всюду
на | С | = 1 определенные предельные значения / (е'6) по всем некаса-
некасательным путям, а в частности и по радиальным путям. По лемме Фа-
Фату имеем:
f I log |/ (е1Ь) 11 d6 < lim f | log |/ (re19) 11 dB, G)
о '-¦'о
причем по сказанному об интеграле F) правая часть здесь ограничена.
Следовательно, |log|/(ei6)|| суммируемо на |?| = 1. Но тогда
значения log|/(eie)| почти всюду на |?| = 1 конечны, т. е. значения
f(el9) почти всюду на |С| = 1 отличны от нуля.
Если теперь f(Q ф 0 есть любая функция класса N, то в ее пред-
представлении A) функции <р(С) и ф(?) имеют почти всюду на |С| = 1
определенные предельные значения по некасательным путям и эти
предельные значения почти всюду отличны от нуля. Но тогда и /(Q
почти всюду на | С | = 1 имеет определенные предельные значения
/(е'9); применением опять леммы Фату к интегралу F) заключаем,
что [log \f(eib)|| суммируемо на |С|=1. Теорема доказана.
Существующие почти всюду на |С| = 1 конечные предельные
значения функции /(С)?^ по некасательным путям будем называть
теперь ее граничными значениями.
Из теоремы 2, как следствие, имеем теорему единственности:
Теорема 3. *) Если две функции fx (Q, f% (Q ^ ./V имеют равные
граничные значения на множестве Е положительной меры на
|?| = 1, то они тождественно равны в |С|<С^
Доказательство. Очевидно, /(C)=/i@—/sCOGN и если
~.)фО в |С|<^1, то, по теореме 2, |log|/(ei6)|| почти всюду на
,.| = 1 конечно, т. е. /(ел) почти всюду на |С| = 1 конечно и от-
отлично от нуля; это же противоречит условию, по которому f(ei9) = 0
почти всюду на Е (исключаются точки, в которых Л (С) =/« (С) = оо).
*) Эта теорема является частным случаем общей теоремы И. И. Прива-
Привалова, которая будет изложена в § 2 гл. IX.

384 ГРАНИЧНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IX
В связи с граничными значениями функций класса N имеем еще
следующую теорему сходимости.
Теорема 4.*) Если последовательность функций /„(?), регу-
регулярных в К | <^ 1 и удовлетворяющих при 0 <^ г <^ 1 условию
2« +
(8)
с одной и той же константой Ж<^оо, сходится в точках мно-
множества Е положительной меры на |?| — 1, то она равномерно
сходится внутри круга | ? | <О к функции класса N.
Доказательство. Взяв в формуле E) вещественные части и
замечая, что первые два слагаемые справа при |С|<^г будут <;0,
получаем в |С|<^г, 0<^г<^1, неравенство
2 е
log |/(С) | < ± [ log \f{re*) | m (-Je^) dB. (9)
Применяя это неравенство к нашим функциям /Я(У и используя (8),
получаем в |С|<г, 0<^г<^1:
Фиксируя С |С|<^1, и г->1, отсюда получаем оценку:
Эта оценка показывает, чтЪ функции /я (!^) равномерно ограничены
внутри круга | С. | <d 1 - Допустим теперь, что они не сходятся в |tf<^l.
Тогда, как в доказательстве теоремы Витали (§ 2, гл. I), из них мож-
можно выделить две подпоследовательности /„- (Q и /„-/(С), k=\, 2, ...,
сходящиеся в |С|<1 к различным функциям, регулярным в |С|<^1.
Разности 4(С)=/Я' Q—/„•(?) по условию сходятся на множестве
Е к нулю, а в | С | <^ 1 они будут сходиться к функции <р (Q ^ 0. Кро-
Кроме того, так как2)
') Теорема доказана А. Я. Хинчиным [1924] для равномерно ограничен-
ограниченных функций и затем обобщена Островским.
2) Действительно, для любых положительных чисел at и о8 имеем:
' B max ak) — max '°g B«й) ^ max (log oft -f- log 2) =^ log ox -f
fel, 2 k=\, 2 k=\, 2
l°g 2.

§ 3] ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 385
то из условия (8) получаем при k = l, 2, ... и 0<><^1:
^- ^ log |<ря (гел) | с® < 2Ж + log 2. A0)
Отсюда, по лемме Фату, в частности, заключаем, что <р (С) ? М При-
Применим теперь к функциям <Рл(С) неравенство (9). Так как при любом
вещественном а имеем а = 2а—\а\, то получаем при
log | ?п (С) | ^ 2 • JL [ log | ?„ (ге'в) | 9fl
о
2ч
<С±Щ2BЛ1 + 1оё2)-^Ш^г J \\og\9n(rel<>)\\dQ.
о
Отсюда при любом фиксированном С, |С|<^1> и г—"^ имеем, исполь-
используя опять лемму Фату,
Если в этом неравенстве п—^оо, то (по лемме Фату) последний ин-
интеграл стремится к оо, ибо <р(еЛ) = 0 на Е, mesf^O. Это показы-
показывает, что <ря(С) —> 0 во всем круге |С|<]1- Но это противоречит ра-
ранее сказанному о <р(С). Значит, последовательность функций /Я(С)
сходится всюду в круге |С|<О и равномерно внутри круга |С|<]1.
Теорема доказана.
Рассмотрим еще один важный вопрос, связанный с нулями анали-
аналитических функций. Пусть дана функция /(С), регулярная в |? <^1.
Возникает вопрос, существует ли функция ?(С), регулярная в |С <^1,
такая, что |*(С)|<1 в |С|<1, |*(С)|=1 почти всюду на |С| = 1,
и имеющая в |?|<^1 те же нули и той же кратности, что и /(Q. Ес-
Если такая функция b (С) существует, то она называется функцией Бля-
Бляшке для /(С).
Полный ответ на поставленный вопрос дает теорема Островского.
Теорема 5. Для того чтобы у функции /(С), регулярной в
[ С | <С^ 1, существовала функция Бляшке, необходимо и достаточ-
достаточно, чтобы интеграл
\\og\f(re*)\db A1)
о
13 Г М. Голузин

386 ГРАНИЧНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IX
был ограничен при 0<^г<^1. [Отметим, что по формуле Иенсена
интеграл A1) является неубывающей функцией от г, 0<><Ч.]
Доказательство. Прежде всего докажем, что условие теоре-
теоремы является необходимым и достаточным для того, чтобы функция
/(С) была представима в | С | <[ 1 в виде
/(О=*(дл(С), A2)
где й(С) регулярна в |С|<1 и |*(tl)|^l в |С|<1, а Л(С) регу-
регулярна и не имеет нулей в |?|<^1.
Действительно, по формуле E) в |4|<^1 имеем (т = 0, если
)?0, и т — кратность нуля z=0 функции/(Q, если /@) = 0):
где
*,©=•
причем <p,(Q регулярна в |t|<r и |<р,(С)|<1 в |t|<r, а Л,@
регулярна в |t|<r и Л,(С)?ЬО в |С|<г. Взяв rft— 1, 0<г*<1,
k = 1, ..., из последовательности функций ср^ (С) можно выделить
подпоследовательность, равномерно сходящуюся внутри круга | С | <С 1
к регулярной функции <р(С), причем или <р@)=0 и тогда (р(С)^О
в | С | <С 1 или <р @) ф 0. В первом случае соответствующая подпосле-
подпоследовательность функций из hr (Q стремится к оо в |С|<^1» а в част-
частности, и в С=0, что означает, что интеграл A1) не будет ограни-
ограниченным при 0<^г<Ч. Во втором случае, наоборот, та же последо-
последовательность будет стремиться к регулярной функции без нулей в
|С|<С1, и тогда интеграл A1) будет ограничен приЛ)<^г<^1.
Это показывает, что если условие ограниченности интеграла A1)
выполняется, то имеем в |С|<^1 требуемое представление A2) (где
Э9ГО)
Если, обратно, A2) имеет место, то при
2с 2* 2с
5 log \f(reib) | <1Ь = I log | b (reli) | db + \ log | h (reiu) \ db < 2« log | h @) |,
0 0 0
т. е. интеграл A1) ограничен при <<
Из последнего, в частности, следует и необходимость условия в
самой теореме, ибо если ?(С) есть [функция Бляшке для /(Q, то

§ 3] ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 387
в j С | < 1 имеем представление
/(С) = НО h (С),
причем функция Л (С) регулярна в |С|<О и не имеет нулей в |С|«О-
Для доказательства достаточнрсти условия теоремы, по предыдущему,
остается еще доказать существование функции Бляшке у ограничен-
ограниченной функции <p(Q-
Но если функция <р(С)=?О регулярна в |С|<1 и |<р(С)|«^1 в
|С|<О> то в случае, когда она имеет в |С|<С1 лишь конечное чис-
число нулей, представление A2) получается сразу с 6 (С) = С1™ IT •—=:=^-,
-1-1- 1 ¦— tfct
где произведение берется по всем нулям функции <р(С) в
Если же нулей бесконечное число, пусть Сь С» llC
то образуем бесконечное произведение
Ц
и обозначим через Ьл((.) конечное произведение, полученное отсюда
заменой оо на п. Отметив, что | Ьп (Q | при приближении С к окруж-
окружности |С|=1 равномерно стремится к 1, и рассмотрев функцию
I ,ls , легко приходим в | С | < 1 к неравенствам:
"fl Vе/
Теперь иэ последовательности функций *Я(С) можно выделить
подпоследовательность, сходящуюся в | С | <С 1 к регулярной функции
b (С) ф 0, имеющей те же нули, что и <р (Q, и удовлетворяющей
в 1С 1<С1 неравенствам:
со
Ь1т) @) I 1'
причем по A3) имеем——f-^=l||Cft|- Если бы сама последова-
ь=1
тельность *„(С) не сходилась в |С|«О» т0 кроме b(Q нашлась бы
еще и вторая функция Ь* (С) с теми же свойствами; а тогда по пре-
предыдущему следует, что в | С | <С 1 имеем неравенства | Ь* (С) | ^ | b @1
и 1*(С)|^|**(С)|, т. е равенство й*(С) = *(С). Это доказывает, что
бесконечное произведение A3) должно сходиться в |С|<^1. Имея
функцию A3), тотчас же заключаем о наличии представления A2)
й@&0|С|<1
@||<
¦Остается доказать, что для функции A3) будет |?(С)| = 1 почти
всюду на |С| = 1.
Для этого сначала отметим, что если функция g(Q регулярна и
ограничена в |С|<^Ь то для нее, по § 2, в |С|<О имеет место
13*

388 ГРАНИЧНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IX
представление:
2с
g® = ± \ g(e»)P(r, t-B)dt, <: = ге>\
о
откуда
2л
I g(re") I <;-5Г (j I *(«") \P(r, t-S)dt
о
Интегрируя это по 8 от 0 до 2тс, получаем
A4)
Применяя неравенство A4) к функции g(Q = . у и имея в виду,
что \Ьп(еи)\ = 1, получаем:
2я „ 2я
6 я о
Но на |С| = г, 0<V<4, функции bn(Q равномерно сходятся к Ъ (Q.
Поэтому, переходя в A5) к пределу при г->-1 под знаком интег-
интеграла, получаем:
2л
\
о
т. е.
2х
^A — \b(eu)\)dt^O. A6)
о
Но из |6(Q|sSl в |С|<С1 следует, что |*(е")|^1 почти всюду
на |С| = 1. Это вместе с A6) и доказывает, что |6(е")|=1 почти
всюду на |С | = 1. Теорема доказана. В частности, так как из огра-
ограниченности в 0<^г<^1 интеграла B) следует ограниченность инте-
интеграла A1), то получаем:
Следствие 1. У каждой функции /(О^ё0 класса N суще-
существует функция Бляшке.
§ 4. Граничные свойства функций класса Нр
Обозначим теперь через Нр, р^>0, класс функций /(Q, регуляр-
регулярных в |С|<^1 и таких, что для каждой из них интеграл
\\f(ren)\?dB A)
о
ограничен при V4

§ 4] ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ КЛАССА Нр 389
Классу Нр с любым р ^> 0, очевидно, принадлежат все функции,
регулярные и ограниченные в |С |<^ 1. Далее, из неравенства х"'^р +
-f-11, 0<iP'<C.P> x Ss 0 заключаем, что из /(С) ^НР следует f(?p
т. е. HpCzHpi при всех р и />', 0<^//<^. Наконец, из неравенства
log x = — log jcp ^ —, имеющего место при любых р ^> 0 и jc ^ О,
заключаем, что из /(Q ? Нр следует /(С) ? М т. е. HpczN при
всех р^>0. Из последнего замечания и § 3 следует, что функция
/¦(С) (^//р, р~^>0, имеет почти всюду на |?|=1 определенные пре-
предельные значения по некасательным путям, образующие граничную
функцию f(elb)~. По лемме Фату, примененной к интегралу A), при
г -> 1 заключаем, что функция f(e) ? LP в @, 2тс).
Относительно функций класса Яр имеем ряд теорем.
Теорема I.1) Если f $.) ? Нр, р>0, и/(С)=?0, ото в |С|<1
имеем
f(V = b(Qh(<:), B)
где b(Q —функция Бляшке, a h(ty?Hp и h(t.)^O в |С|<1.
Доказательство. Покажем сначала, что интеграл A) есть
неубывающая функция от г в 0<^г<^1. Действительно, при любом
фиксированном р, 0 <^ р <^ 1, функция /р (Q =f(pQ регулярна в | С | ^ 1
и, следовательно, имеет в | С | <^ 1 представление:
/Р (9 = МО Ар (С),
где *р(С) ее функция Бляшке, а Лр (С) ф 0 в |С|<^1. Функция [Лр (С)]р
регулярна в |С|=^1; следовательно, из примененной к ней формулы
Пуассона имеем в |С|<^1:
^\ Н^)\рР(т, t-Q)dt
Интегрируя это неравенство по^ 8 от 0 до 2те, получаем:
2л 2л
S|ftp(re«)|'«*e<;$ |A (в«)Н»«гв. C)
о о
Но так как |*.(Q|<:1 в |С|<1 и |&,(С)|=1 на |С| = 1,
то |/Р(С)|<|Лр(С)| в |С|<1 и |/р(С)| = |Лр(С)| на |С| = 1; следова-
следовательно, по C) тем более имеет место неравенство:
») Ф. Рисе [1923].

390
ГРАНИЧНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. IX
доказанное, таким образом, при любых г и р из 0<^г<^1. Заменяя
здесь г на р'/р, р'<^р, и получим неравенство, доказывающее неубы-
неубывание интеграла A) в 0<^г<^1.
Обращаясь теперь к доказательству теоремы, отметим, что по § 3
в | С | <^ 1 имеет место представление B) с функцией А (С), регулярной
и без нулей в | С | < 1. Докажем, что А (С) ? Ир.
Пусть верхняя граница интегралов A) в 0<^г<^1 равна М.
Обозначив через Ьп (С) произведение п первых множителей в пред-
представлении A3) § 3 функции Бляшке Ь (С) и выбирая для заданного е,
0<^8<^1, и фиксированного п такое t)^>0, чтобы в |С|^>1—ч)
было 16Я (С) | ^> 1 — s, что возможно, при 1 — к] <^ г <^ 1 имеем:
2я
Но так как интеграл в D) есть неубывающая функция от г,
то неравенство D) имеет место и при 0<^г^1—щ,
т. е. во всем промежутке 0<^г<^1. Фиксируя г и устремляя я
к оо, из D) получаем при 0<^г<^1, учитывая еще произвольность
е>0:
2х
Это и доказывает, что h(Q?Hp и даже более, что верхние границы
интегралов A) для/(С) и для А (С) в промежутке 0<^г<^1 будут
равны. Теорема доказана.
Теорема 2.1) Если /(С)^Яр, р>0, то имеем:
{
Шп {\f(relt) fdB = l \f(e1*) р» ЛЪ
(б)
«и \
/¦-1 о
-f(e*) \" dS = 0.
F)
Доказательство. Достаточно считать /(С)=?0. Представив
/(С) по формуле B), на основании теоремы 1 заключаем, что функ-
функция [Л (С)]р/2 G Н* Следовательно, ее вещественная и мнимая части
по теореме 2, § 2, представимы в | С | <^ 1 через свои предельные
значения интегралом Пуассона. Но тогда и для самой функции [h (C)P/2
будет иметь место в | С | <^ 1 такое же представление
2л
ftp/2 (re1*) = ^ jj АР/2 (еи) P(r,t~ 9) dt. G)
о
») Ф. Рисе [1923].

§ 4] ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ КЛАССА Нр 391
По неравенству Буняковского — Шварца это дает:
2х
I h (re*) \р^[\\ ЬРП (еи) | /»/а (г, t-Щ- P&l* (г, t - 9) dt]*
откуда
]\h{re*)\'dB*zl\hie»)rdt. (8)
о о
Но так как |/(Q|<|*(Q| в |С|<1 и |/(О| = |А(С)| почти всюду
на |С| = 1, то из (8) получаем при 0<^г<^1 неравенство
о о
e'b I" dQ ^ (\f(e») \" <Я). (9)
о о
Отсюда
lim llKre^l'dB^UfiefypdB A0)
'"—'о о
[существование предела слева следует из монотонности интеграла A)].
С другой стороны, по лемме Фату, примененной к интегралу
слева в (8), получим обратное неравенство. Следовательно, имеет место
равенство E).
Для доказательства F) возьмем е]>0 и выберем Ь~^>0 таким,
чтобы для каждого множества е, mese<^8, из промежутка @, 2те)
было 5l/(ert)|pd9<e. Так как при г->1 имеем \f{rei^)\->\f(eit)\
е
почти всюду в @,2п), то взяв любую последовательность г„->1,
г„<^1, по теореме Егорова заключаем, что существует в @, 2тс) та-
такое множество «i, mes et <^ 8, что вне ех сходимость \f(raea) \ -> | f{eib) \
при и->оо будет равномерной. Поэтому, обозначив дополнение к et
в @, 2тс) через Е, имеем:
lim $l/(^rt)le<» = S!/(«*•)|'<ffl. A1)
Из E) и A1) следует:
lim \\Пгяе1*)\РМ = \\Пе*)\>М. A2)
Но правая часть в A2) меньше е; поэтому существует N>0 такое,
что при n^>N будет \\f(rnei9)\pdB<^&. Выбираем теперь N даже

392 ГРАНИЧНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IX
столь большим, что при n~^>N на Е выполняется еще неравенство
\f(fnei*)—/(е'^1Р<С8< Тогда, так как для любых комплексных аи Ь
имеем
A2')
то получаем:
В силу произвольности г~^>0 это значит, что имеет место равенство
Далее, в силу произвольности последовательности г„, отсюда следует
и F). Теорема доказана.
Теорема З.1) Для того чтобы функция /(С), регулярная
в КК1> была представила в КК* интегралом Пуассона, не-
необходимо и достаточно, чтобы /(С) ? Н^. При этом же условии
в j С | <^ 1 имеет место формула Пуассона:
2п
Доказательство. Если /(Q представима в |; | <^ 1 по формуле
2п
6^ в (О,
то из нее легко следует при 0V
о
т. е. /(С) ? Я,.
») Г. М. Фихтенгольц [1929].

4] ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ КЛАССА Нр 393
Обратно, если/(О^Яь то при 0<V<p<l имеем:
Отсюда
P(-r' ' ~8) I dt
Но в первом из интегралов справа ядро Пуассона при фиксиро-
фиксированном г, 0<^г<^1, и р->1 ограничено; поэтому по F) с р = 1
заключаем, что при р -> 1 этот интеграл стремится к 0. Далее, во
втором интеграле справа при р ->¦ 1 подинтегральная функция почти
всюду в @,2и) стремится к 0 и в то же время не превосходит
функции M\f(eib)\ с некоторым конечным М, не зависящим от р:
поэтому в этом интеграле возможен предельный переход при р -> 1
под знаком интеграла; значит и он стремится к 0 при р->-1. Из нера-
неравенства A4) заключаем, что его 4евая часть, как независящая от р,
будет равна нулю, а это и дает формулу A3). Теорема доказана.
Теорема 4.1) Если /(С) ?Нр, р>0, и если \f(e№)|^М почти
всюду «а |С | = 1, то 1/(91 <Af в К|<1; далее, если f(Q^Hp,
>0, и ecAuf{eib)^L", q>p, mof&)?Hq.
Доказательство. Если f(Q(zHp, р~^>0, то в представле-
представлении B) h (С) ? Нр, а следовательно, к функции [А (С)]р ? Hi приме-
применима в |С|<^1 формула Пуассона A3):
2п
hp&) = 1 J hp(eu)P(r, t~b)dt
Из этой формулы, так как |/(С)|<|А(С)| в |С|<1 и |/(е'в)| =
= | /г (е'е) |, почти всюду на | С | = 1, имеем:
2 it
») В. И. Смирнов [1929].

394 ГРАНИЧНЫЙ ВОПРОСЫ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IX
Отсюда, если \/(еа)\^М, почти всюду на ]С| = 1> t
в |С|<^1- Если же /(е'8) ? 1?, 9^>Р> т0> пользуясь неравенством
Гельдера, имеем:
1 С ,. 2=2
1 V 1 J" /^it\ 1 э r\n/n y_ j. д\ Dot
т. е.
2x
Интегрируя это по ]С| = г, получаем при
это доказывает, что /(С) ? Hq. Теорема доказана.
Теорема б.1) Если функция /(С) регулярна в |С|<1 и
/(ге|в)-— /(е'О я^и г —1 почти всюду на |?| = 1, причем f(eltj ^„
в @, 2тс), ото для того, чтобы в | С|<^ 1 имела место формула
Коши
необходимо а достаточно, чтобы /(С) ? //t. Кроме того, для
любой функции f (Q ? Hi имеет место теорема Коши
2 it
Доказательство. Если /(?)?; Д, то справедливость формул
A6) и A6) доказывается аналогично тому, как была доказана фор-
формула A3).
Пусть теперь обратно, для функции /(С) в |С|<С1 имеет место
формула A5). Интеграл справа можно рассматривать как линейную
») Ф. и М. Рисе [1916].

§ 51 О ФУНКЦИЯХ, НЕПРЕРЫВНЫХ В ЗАМКНУТОМ КРУГЕ 395
комбинацию четырех интегралов Коши вида
где <р (t) — вещественная неотрицательная функция в @, 2«). Теперь,
обозначив через /•"(?) интеграл A7), имеем в |?|<Ч
Если исключить случай, когда F(Q=0 (тогда доказываемое ниже
очевидно),^то в |С|<^1 даже будет 94(/="(Q)^>0; поэтому, если
F(Q = Rei*, то в |С|<1 имеем |Ф|<-^-. Пусть теперь 0</?<1.
Положив ир(г, в) = ШС[/(С)]р) = RpcosрФ,в |С|< 1 имеем ир(г,б)>0.
Отсюда
рр_Д»(г.Д) __ ир (г, 6)
Интегрируя это по |С|^г, 0<^г<^1, получаем
-т
Следовательно, F(Q?Hp.l) На основании этого заключаем, что
и интеграл Коши, входящий в формулу A5), принадлежит классу Н„
с любым р, 0</?<1, т. е. f(Q?tfp. Но /(О?1. По теореме 4
отсюда следует, что /(С) ? //i*, следовательно, мы доказали необхо-
необходимость условия теоремы. Теорема доказана.
§ 5. О функциях, непрерывных в замкнутом круге
Отметим в заключение свойства некоторых важных типов функ-
функций, регулярных в |С|<С1 и непрерывных в |?|^1.
Теорема 1.*) Для того чтобы функция /(С), регулярная
в |С|<^1, была непрерывна в |С|^1 и абсолютно непрерывна на
| С | = 1, необходимо и достаточно, чтобы f (z) Gffi- Если f (z) ?j Ни
то тогда почти всюду на |С| = 1 имеем %• *= iel9f (е19). В по-
последнем равенстве под /'(е19) понимаются предельные значения
•) Это свойство интегралов Коши установлено В. И. Смирновым [1929].
») Ф. Рисе [1923].

396 ГРАНИЧНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IX
производной f(z) при стремлении z к ел по некасательным путям,
а под ^д '—производная от /(е|в) по 8.
Доказательство. Пусть функция/(С) непрерывна в К 1=^1
и абсолютно непрерывна на |С| = 1. В |С|<О имеем
A)
и, следовательно:
^^ 1 \^dP^%). B)
Интегрируя в B) справа по частям, видим, что функция K.f (С) пред-
ставима в |С|<О интегралом Пуассона; следовательно, IXJ'(Q?НЬ
т. е. /' (С) ? Ну.
Обратно, пусть /(C)G^i- Тогда функция iZf(Q в |С|<О пред-
ставима через свои предельные значения 1ел/'(е1*) интегралЪм Пуассона:
2п
W (С)=*-\ le"f (е") Р (г, t — 8) dt. C)
Функция
D)
б
будет абсолютно непрерывна в @, 2тс) и по теореме Коши gBic) = 0.
Интегрируя C) по частям, имеем:
2я
т. е.
Отсюда получаем в
где с (г) зависит только от г. Но с (г), как разность двух гармони-
гармонических в | С | <^ 1 функций, есть сама гармоническая функция. Так как
Ac (r)=^4ft + у dcJp , то легко получаем, что с (г) = a log r -\-b,

§ 51 О ФУНКЦИЯХ, НЕПРЕРЫВНЫХ В ЗАМКНУТОМ КРУГЕ 397
где а и Ь — постоянные. Учитывая непрерывность с (г) при г = О,
находим, что а = 0 и поэтому с (г) = const = с. Итак, в | С | <^ 1 имеем:
\ E)
т. е. функция f(Q представлена в |С|<^ 1 интегралом Пуассона от
абсолютно непрерывной функции; следовательно, она непрерывна
в |?|<^1 и абсолютно непрерывна на |?| = 1. Очевидно, f(eu) =
=g(t)-\-c и E) переходит в формулу Пуассона A). Далее, из A)
следует, что lim *%? ' = ieibf (eib) почти всюду на 11. | = 1. Теорема
доказана.
Теорема 2. Если функция f(Q, регулярная в \ С К 1 и непре-
непрерывная в |С |^1, имеет ограниченную вариацию на |С|=1
(т. е. вещественная и мнимая части функции /(Q суть функ-
функции ограниченной вариации на |?|=1), то /(С) абсолютно непре-
непрерывна на |;|= 1.
Доказательство. Так как /(Q представима в |С|<^ 1 по фор-
формуле A), то, как и в начале доказательства теоремы 1, находим, что
вещественная и мнимая части функции i(f'(Q представимы в |С|<^1
интегралом Пуассона — Стилтьеса и, следовательно, f (Q ^ И^;
отсюда по теореме 1 следует, что /(Q абсолютно непрерывна
на |С| = 1.
Теорема 3.х) Для того чтобы функция /@, регулярная
в Ю<^1, была непрерывна в |^|^1 и на |?| = 1 удовлетворяла
условию Липшица
I./V9)-/(**') 1</<г|е-ет> o<a<i, F)
необходимо и достаточно, чтобы в | С | <О выполнялось нера-
неравенство
где М конечная постоянная.
Доказательство. При а = 1 теорема очевидна. Рассмотрим
случай, когда 0<^а<^1. Пусть f(Q непрерывна в |С|=?П и на
|С| = 1 выполняется неравенство F). Так как /(С) представима
в |Ч | <С 1 по формуле Коши
*) Харди и Лнттльвуд.

398 ГРАНИЧНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IX
то отсюда в |С|<^1 имеем, К,—re ,
и, следовательно,
2п
Но так как sinj;]>— х при 0<^д:<^-2-» т0
Поэтому из предыдущего получаем, имея также в виду F):
l+o
0
Это доказывает, что в -=- ^ | С | <^ 1 имеет место оценка G) с над-
надлежащим конечным М, не зависящим от г. Если М взять больше,
чем верхняя граница величины A—гI~"|/'(С)| в |С|<С"т» то G) бу-
будет иметь место в |С|<О-
Пусть теперь, обратно, в круге | С | <^ 1 для /(С) выполняется не-
неравенство G). Тогда интеграл ^f(reP)dr сходится при каждом 8
и, следовательно, предел /(ert) —lim/(re'e) существует при каждом 8.
/•->1
Далее, интегрируя G) по г от 0 до г, 0<^г<^ 1, видим, что /(С)
ограничена в |С|<^1 и, следовательно, представима интегралом Пуас-
Пуассона через свои предельные значения f(elt). Покажем, что имеет
место F), откуда тогда будет также следовать по § 1, что /(С) не-
непрерывна в | С | «^ 1. Достаточно, очевидно, доказать F) при 18 — 8' | <^ 1.
Имеем:
где за / возьмем кривую, составленную из радиальных отрезков (eib, he®)
и (е*1, йе*') и дуги (Ае|в, he1»') на |С| = Л, причем Л=1—18 — 8'|.

§ 5] О ФУНКЦИЯХ, НЕПРЕРЫВНЫХ В ЗАМКНУТОМ КРУГЕ 399
В этом случае будет:
т. е. F) с k = M\ — -{-l). Теорема доказана.
Теорема 4.1) Если функция /(?), регулярная в |С|<^1, не-
непрерывна в |С|=^1 и на |С| = 1 удовлетворяет условию Липшица
(8)
то в |C|«s:l она удовлетворяет комплексному условию Липшица
Доказательство. Легко видеть, что (9) будет доказано, если
докажем два частных неравенства:
rt) -/(re*) \*?K\re*- re® |«, A0)
^-f^ A1)
для любых точек re", rea', г'е" круга |С|<С*' Для доказательства
A0) можно считать, что |0 — &\<'п. Теперь функция <м в'(С) =
=<-л—i ' v 1 регулярна в |С|<О и непрерывна в |С|=^1;
поэтому максимум ее модуля в |С|^ 1 не превосходит максимума
величины |/(el(rt*>)—/(е|('+в>))| в [0, 2тс), а этот максимум по (8) не
больше k\b — 8'|*. Следовательно, имеем:
|/(re") —/(re») | ^ kr 18 - 8' |". A2)
Но
6 — в'
2^
sm'
так что из A2) следует A0) с К=щк.
Харди и Литтльвуд.

400 ГРАНИЧНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IX
Докажем теперь A1). Пусть 0^г<^г'<^1. По теореме 3
в |С| <^ 1 имеет место оценка G), из которой получаем:
\f(re*) -f(r'e*) | < \ \f (fe") | dt
Если r'<^ 2 И) следовательно, г' — г<^1—г\ то
г'
|/(ге«) _/(rV9) | <A_МгГ_а \ Л < Ж -^L- = M {f - г)'.
г
Если же г'^> "ГГ
и> следовательно, г' — г^>1 —г', то
\Пге«) -fife-) |
В обоих случаях получили A1) с надлежащим К- Теорема доказана.
Теорема 5.1) Если функция /(С) = и (г, б) -(- iv (r, б) регулярна
в |С|<^1, а и (г, б) непрерывна в |С|=^1 и «а |С| = 1 удовлет-
удовлетворяет условию Липшица
A3)
то /(С) удовлетворяет в jC|^l комплексному условию Лип-
Липшица.
Доказательство. Так как /(С) в |С|<|1 представима по
формуле Шварца
^[w^ A4)
то отсюда имеем:
f I 2( 2a(t)e» dt_\\ u(t)-u(t)
и, следовательно, как в доказательстве теоремы 3, получим
в | С | <^ 1 неравенство:
I f (п I < М.
т. е. /(С) удовлетворяет условию теоремы 3. Но тогда по теореме 3
и 4 следует A4). Теорема доказана.
Теорема 6. Если функция /(С) = и (г, б) -(- iv (r, б) регулярна в
<1, а и (г, б) непрерывна в |t|sgl и на \ С j = 1 удовлетворяет
') И. И. Привалов [1919].

§5] О ФУНКЦИЯХ, НЕПРЕРЫВНЫХ В ЗАМКНУТОМ КРУГЕ 401
условию
| и (9) — и(80|^Х(|в — 0"|), A5)
я
где функция X {?) не убывает и такова, что интеграл \ —у- dt
сходится, то /(С) ограничена в |С|<С^-
Доказательство. В К|<Г1 имеет место формула A4), кото-
) преобразуем к виду (С = ге'°):
рую
2*
=rJ («@ - и (9))
и, следовательно,
к
1/@1<| S 1«('+")«(вI
где М — константа. Отсюда, по A5), имеем:
где Mi также константа. Заменив в последнем интеграле модуль,
стоящий. в знаменателе, на его мним)ао часть и используя оценку
2
sin 15s — t, получаем:
1 5
о
я к
Т 
, 1
Т 5
о
что и доказывает ограниченность /(С) в
1 /
р /() ||^
Теорема 7.1) Если функция /(С) = и (г, б) -{- to (r, б) регулярна
в ICK1» а и(г> °) непрерывна в |С|«ё1, /яо г'^^Я, лри
р>0.
Доказательство. Пусть при заданном />^>0 взято е
таким, что /га<^у. Так как и (г, б) непрерывна на |С| = 1, то по
известной теореме об аппроксимации периодических функций суще-
существует такой тригонометрический полином
т
s (в)=а0 + 2 (а« cos лб + &„ sin лв),
что в промежутке @, 2ir) будет |и(б) —
') В. И. Смирнов [1932].

402 ГРАНИЧНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Положив
(так, что 8d(p(eM)) = s(8)) и ?(Q =/(?) — p(Q, имеем
0<<1
m-r
Отделяя здесь вещественные части, получаем:
i- [ \ «**«> | cos р (и (8) — s (8)) <й=91 (*'/>*«»).
о
Отсюда, так как
cos /> (н (8) — s F)) ^ cos ре, > О,
имеем
Оценка A6) доказана при всех г, 0<><^1. Значит,
Имея еще в виду, что функция е-'рЮ ограничена в |С|<[1,
чаем также, что еЧ®^Нр. Теорема доказана.

ГЛАВА X
ГРАНИЧНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ФУНКЦИЙ, АНАЛИТИЧЕСКИХ
ВНУТРИ СПРЯМЛЯЕМОГО КОНТУРА
§ 1. Соответствие границ при конформном отображении
В этой главе будут исследованы различные вопросы, связанные
с граничными значениями функций, регулярных в области В, огра-
ограниченной замкнутой спрямляемой кривой Жордана. В этих исследо-
исследованиях важную роль играют некоторые граничные свойства функ-
функций, однолистно отображающих область В на круг. С изложения
этих свойств, установленных Н. Н. Лузиным и И. И. Приваловым,1)
мы и начнем.
Непрерывная кривая С: z = z(t)=x(t)-\-iy (t), a^.t^b, назы-
называется спрямляемой, если при любых значениях tb tt,..., tnAr\, tt =
^t^t^^tt = b и при любом их числе п-\-1 сумма
остается ограниченной; верхняя граница этих сумм, относительно
всевозможных систем значений U,..., tm называется длиной кри-
кривой С. Из определения очевидно, что, для того чтобы кривая Жор-
Жордана С была спрямляема, необходимо и достаточно, чтобы функции
x(t) и у (t) были ограниченной вариации в (а, Ь). Далее, очевидно,
что, если кривая С спрямляема, то спрямляемой будет и любая ее
дуга. Длину дуги z = z(t), a^t^f, являющуюся функцией от f,
обозначим через s(t"). Относительно s(t) докажем лемму.
Лемма. Если x(f) и у (t) абсолютно непрерывны в (а, Ь), то
A)
») См И. И. Привалов [1919].

404 ФУНКЦИИ, АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВНУТРИ КОНТУРА [ГЛ. X
Доказательство. Пусть a
Функция
<Р* W = I *(х) - -г &) | = V(x (т) - л; &))• + О/ (х) - у &
(А=1,..., л) абсолютно непрерывна в (a, ft), ибо абсолютная ве-
величина разности ее значений в дюбых двух точках промежутка (а, Ь)
не превосходит суммы абсолютных значений соответствующих раз-
разностей функций x(t) и у (t). Следовательно, (р*СО имеет почти всюду
в (а, Ь) производную и почти всюду.
| ф; м | = 1
(х)-
(л: (т) - * (ад)» + (.у (х) -у ук)у Ух- (т)«+У W1 _
_, у (z),
^ У (л: (х) - л: (ад)» + (у (х) -у («»))•
на основании чего при tk <^ t <^ ft имеем:
В частности, при % =
Отсюда
С другой стороны, так как s(t), очевидно, неубывающая функция,
то она непрерывна в (а, Ь), за исключением, может быть, конечного
или счетного множества точек. Исключив эти точки, в (а, Ь) по лемме
Фату имеем:
, A>0,

§ 11 СООТВЕТСТВИЕ ГРАНИЦ 405
то
Но в точках, где все производные s'(i), x'(z), y'(i) существуют,
имеем:
S' (х) = лНшо Л S* дНто V"[+W = Vx' (х)« +/ (х)« = | / (т) |.
Следовательно, в этих точках, а тогда и во всех точках t"? (a, b),
будет
C)
Неравенства B) и C) и дают A). Лемма доказана.
Пусть теперь конечная односвязная область В плоскости z огра-
ограничена спрямляемой замкнутой кривой Жордана С, пусть функция
С=х(.г) конформно отображает область В на круг |С|<^1, а
z = to(Q есть обратная функция. По теореме 4, § 3, гл. II функция
%(z) непрерывна в В, а функция <o(Q непрерывна в |С|=^1, причем
кривая С может быть параметрически представлена в виде z = <o (еи),
0^^^2те. Так как С спрямляема, то функция <о(е1') ограниченной
вариации в @, 2я). По теоремам 1 и 2, § 5, гл. IX и лемме отсюда
непосредственно получаем теорему.
Теорема 1. Если функция z=w(Q, регулярная в |С|<[1>
однолистно отображает круг |?|<О «а конечную область В,
ограниченную замкнутой спрямляемой кривой }Кордана С, то:
1) <о (С) непрерывна в |С|<1 и абсолютно непрерывна на
2) (Q.G
3) <Ме") =1еиш'(еи) почти всюду на |С| = 1,
4) длина s(f, t") дуги z = io(eu), f^t^f, определяется по
формуле
Рассмотрим теперь различные множества точек на границе С.
Множество ЕаС называется замкнутым на С, если оно, как мно-
множество точек на плоскости, будет замкнутым. Множество ЕаС на-
называется открытым на С, если дополнительное к нему множество
на С замкнутое. Легко показать, что открытое множество на С
состоит из конечного или счетного множества дуг. Открытому

406 ФУНКЦИИ, АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВНУТРИ КОНТУРА [ГЛ. X
множеству на С будем приписывать в качестве меры сумму длин со-
составляющих его дуг. Пусть теперь Е любое множество точек на С.
Внешней мерой множества Е назовем нижнюю границу мер всех
открытых множеств на С, содержащих Е, и обозначаем ее через
те ¦ Е. Внутреннюю меру mt • Е множества Е определим по формуле
m{E=s—теСЕ, где СЕ есть множество, дополнительное к Е на С, a s —
длина С. Множество Е считаем измеримым на С, если теЕ = т{Е,
и тогда число mes Е = теЕ = т(Е назовем мерой множества Е.
Если Е измеримо на С, то из
jntE=s — теСЕ, mtCE=s — теЕ, теЕ=mtE
следует, что и СЕ измеримо на С. В частности из измеримости от-
открытых множеств следует измеримость замкнутых множеств. Вообще,
можно проверить, что все теоремы лебеговой теории мер переносятся
и сюда, а потому мы будем пользоваться ими, как доказанными.
Теорема 2. При отображении, указанном в теореме 1, мно-
множеству точек меры нуль на окружности | С | = 1 соответствует
множество точек меры нуль на С и обратно; измеримому мно-
множеству положительной меры на | С | = 1 соответствует изме-
измеримое множество положительной меры на С и обратно.
Доказательство. 1. Пусть Ez есть множество на |?| = 1
с mes ?t = 0, а Ег — ему соответствующее множество на С. Каково бы
ни было е ^> 0, существует на | С | = 1 открытое множество Ос,
E^czOv mesO:<^s. Ему соответствует на С открытое множество
Ог, EgCzOg. Имеем
теЕг<^те&Ог= $ |<о'(<?")|<«.
°с
Но теЕг не зависит от е, а последний интеграл сколь угодно мал
вместе с е. Следовательно, теЕг = теьЕг = 0.
2. Чтобы доказать обратное, сделаем одно замечание. Так как
<о'(С)т?0 почти всюду на |С| = 1, то мера множества
точек на |?|=1, в которых |<о'(О
|| р |(О
е -»¦ 0, т. е., положив mes E (| о>' (С)
'ш, будет стремиться к 6 при
* = S(e), при е-»-0 имеем
8(е)-»-0. Отсюда, если ?; есть любое измеримое множество на |?| = 1,
такое, что
то имеем
¦^V s (mes Е —
откуда
mes ?< V7 + 8 (|ЛГ) = ч (•).

§ 1] СООТВЕТСТВИЕ ГРАНИЦ 407
Это показывает, что мера mesE будет сколь угодно мала вместе
с s, причем ij(e) зависит только от е.
Пусть теперь Eg есть множество точек на С и ше8?г = 0, а
Ez — ему соответствующее множество точек на |С| = 1. Для задан-
заданного е^>0 существует на С открытое множество Oz, Ezcz0z,
mes Ог <^ е. По сделанному замечанию имеем mes Ot <^ i] (s), и, следо-
следовательно, ot^^kjCs). Но теЕ. не зависит от е, а -ц (&)-*¦ 0 при
е-»-0. Отсюда meEz = mes Ez = 0.
3. Для доказательства, что измеримому множеству положительной
меры на |С| = 1 всегда соответствует измеримое множество положи-
положительной меры на С, отметим, что если ft есть измеримое множество
на |С| = 1 и mesEt^>0, то на |С| = 1 существуют замкнутые мно-
множества Щк\ k =-1, 2, ..., такие, что Gj!ft> с: Ev mes G?*> -*¦ mes Ev Пусть
Gt = \J O*>. Тогда QzczEz и mes Ot > mes 0^), k = 1, 2, ..., откуда
mes G^ = mes Er. Следовательно, Л^ = ?t — Ot есть множество меры
нуль на |?| = 1 и мы представили, таким образом, ?{ в виде суммы
множества Л^ меры нуль и замкнутых множеств О*>, k=\, 2, ...
Но множеству Л^ соответствует на С множество Nr меры нуль,
а множествам G?*>, очевидно, соответствуют на С замкнутые мно-
множества 0*\ Следовательно, множество Ег на С, соответствующее Е^
00
есть сумма Nt\J \J &j}\ т. е. измеримое множество. Его мера положи-
положительна, ибо иначе, по уже доказанному, Ez имело бы меру нуль.
Аналогично доказыэается, что и измеримому множеству положитель-
положительной меры на С соответствует измеримое множество положительной
меры на |С| = 1. Теорема доказана.
Примечание. Из пункта 2) доказательства теоремы 2 следует,
что функция С = хСг)> отображающая область В на круг |С|<^1»
абсолютно непрерывна на С, если ее рассматривать как функцию дуги
на С, ибо из 2ls*~s*l<C8 слеДУет:
Теорема 3. При отображении, указанном в теореме 1, кон-
конформность отображения имеет место почти всюду на |?| = 1,
соответственно на С.
Доказательство. Вопрос о конформности отображения, оче-
очевидно, достаточно рассмотреть только в точках на |С| = 1, соответ-
соответственно на С.
Так как по теореме I почти всюду на окружности | С | = 1 про-
изводная —-jT-^- существует и не равна нулю, то почти всюду на С

408 ФУНКЦИИ, АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВНУТРИ КОНТУРА [ГЛ. X
существует единственная касательная и такая, что кривая С в окрест-
окрестности точки касания располагается по обе стороны нормали к С
в этой точке. Покажем, что во всех точках на |С|=1, переходящих
при рассматриваемом отображении в точки кривой С с указанным
свойством, имеет место сохранение углов. Действительно, пусть Со
есть одна из этих точек на |С| = 1, а гй — ей соответствующая точка
на С. Тогда каждая ветвь функции
и (.<« Ц)— arg
будет непрерывной в круге | С | «ё 1 с выключенной точкой Со- Но так
как в точке гй к кривой С имеется касательная только что указанного
свойства, то при приближении точки С к Со по окружности | С | = 1,
независимо от того, с какой стороны это приближение происходит,
функция и (С, Со) стремится к определенному пределу, пусть о; этот
предел принимаем за значение и (С, Со) в точке Со! кроме того, оче-
очевидно, что колебание функции и (С Со) в части круга |С|<^1, лежащей
в достаточно малой окрестности точки Со. меньше 3ir. Это показы-
показывает, что функция и (С, Со) будет ограниченной гармонической функ-
функцией в | С | <^ 1 и может быть представлена в | С | <^ 1 через свои
значения на | С | = 1 по формуле Пуассона. Но последние обра-
образуют непрерывную функцию на |С| = 1. Следовательно, функция
и (С, Со) будет непрерывна в |С|^1, включая и точку Со» где она
равна а.
Возьмем теперь любую кривую X, лежащую в |С|<^1 и с концом
в точке Со» и пусть / есть ей соответствующая кривая в области В.
Так как и (С Со)-»-я при С-»-Со из |С|^1» то из того, что к одной
из кривых Хи / в точках Со» соответственно гй, имеется определенная
касательная, следует, что таковая же имеется и к другой, причем
тогда а будет углом поворота касательной при переходе от кривой X
к кривой I. Поскольку указанный угол поворота один и тот же для
всех пар кривых X и I, то это равносильно сохранению углов в точке Со
при переходе с круга |С|«ё1 на область В и обратно. Теорема
доказана.
Рассмотрим еще вопрос о соответствии границ при конформном
отображении областей, ограниченных гладкими кривыми Жордана. Под
гладкой кривой Жордана С:z = z(t), a^t^b, понимается такая
кривая, в каждой точке которой имеется касательная, вращающаяся
непрерывно при движении "точки z по С, т. е. такая кривая, для
которой угол 8 (z) наклона ее касательной к вещественной оси есть
непрерывная функция точки касания; в случае замкнутой кривой, кроме
того, должно быть Q(z(b)) = e(z(a))-\-2n. Гладкая кривая, очевидно,
будет спрямляемой кривой. Поэтому 8 (z) можно также рассматривать
как функцию длины S дуги на С: 9 = б (s).

§ 1] СООТВЕТСТВИЕ ГРАНИЦ 409
Теперь имеем теорему:
Теорема 4.1) Если функция z = w((.), регулярная в |С|<^1,
однолистно отображает круг | С | <С 1 на область В, ограниченную
замкнутой гладкой кривой Жордана С, а С = X (z) — обратная
функция, то argu>'(C) есть непрерывная функция в |C|sSl,
a arg x' (z) — непрерывная функция в В. Кроме того, на | С | = 1
имеем:
arg ш'(С) = 8 (С)-arg С — ~. D)
Доказательство. Предварительно отметим, что в силу глад-
гладкости кривой С для данной точки а ^ С и для любого заданного
е^>0 можно на С указать такую дугу, содержащую точку а внутри,
что угол наклона к вещественной оси хорды, соединяющей любые
две точки этой дуги, расположенные в порядке положительного
обхода С, отличается от угла наклона касательной в точке а на
величину, меньшую е. Это следует из того, что указанный угол наклона
хорды равен углу наклона касательной в некоторой внутренней точке
дуги, стягиваемой этой хордой.
Считая теперь условие теоремы выполненным, рассмотрим функцию
... со (Се") — со (С)
и (С t)=arg Cett_e ">
которая при любом фиксированном т ~^> 0 будет гармонической функ-
функцией в |С|^1. Утверждаем, что существует конечная постоянная К,
обладающая свойством, что ) и (С, *)}<С.К в ] ? ] =g: 1 при всех т,
0<^т<^1г. Действительно, иначе существовала бы последовательность *„,
я=1, 2 таких, что tnn= max |и(С т„)|-»-оо при п-^оо. Оче-
Очевидно, т„-»-0. Далее, переходя в случае надобности к подпоследова-
подпоследовательности дуг'х„, можно достигнуть того, что точки С„ на |?| = 1,
в которых |и(?„, tj| = тп сходятся, пусть С„->-Со, |Q>| == 1- Но в силу
гладкости С значения и(Сда т„) сходятся к углу, образованному каса-
касательной к С, в точке г„ = ш (Q,) и касательной к | i \ = 1 в точке С<е
Это противоречие и доказывает сделанное утверждение
Пусть теперь а = е'* — любая точка на | С | = 1 и <р — угол, обра-
образованный касательной к С в точке а=о>(<х) и касательной к |С| = 1
в точке а. Тогда для заданного е^>0 существуют "Ц^>0 и
такие, что на дуге длины ij с каждой стороны от а при | т |
имеем:
Покажем, что это же неравенство имеет место и в той части Д
некоторой окрестности точки а, которая лежит в |С|<^1. Действи-
Действительно, положив ?/(С т) = и(С, х) — у, при каждом х^> 0 по формуле
Линделёф [1916].

410 ФУНКЦИИ, АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВНУТРИ КОНТУРА (ГЛ. X
Пуассона имеем в |С|<О» QL—rePy.
)=%; [ U(e", x)P{r, t — b)dt=
\ ^\ r, t-B)dt,
Ф-ч
где /—часть окружности |?|=1 за вычетом дуги (ф — т), ф —|— tq).
Отсюда
P(r,t-b)dt.
Ф+ч
*)l*s? ) P(r,t-
Но последний интеграл равномерно стремится к 0 при С-¦¦ <х из | ?|<^ 1.
Следовательно, можно указать такое %]>0, что при |С — <*\<С.Ъ>
|С|<1, будет: | f/(C t)|<e, т. е. |н(С, t) — ?|<e, и это при
всех •:, ¦) х | <^ S. Если Д — указанная часть окрестности точки а, то
для С G А и т -> 0 имеем и (С, t) —¦ arg а>' (Q и поэтому в Д:
Это показывает, что аргумент arg<o'(C) непрерывен в |С|=^1, если
в точках а, |а| = 1, считать его равным указанному выше углу <р.
Непрерывность arg^'B) в В следует теперь из l'B) — ^1п'
как <р = 9 (s) — ф — -к-, то из доказанного следует также и формула D).
Теорема доказана.
Теорема 5. При условиях теоремы 4 имеем: logio'(Q? //1;
Доказательство. Из неравенства, связывающего среднее ариф-
арифметическое и среднее геометрическое, имеем при
2ж л 2л<
4: \ log|o)'(re")|d^= lim — ^ log|io'(re» )| =
lim log'
л-юо j
lim log i У I»' (re^ *) | = log i ^ 1 <o' (re") 11

§ 1] СООТВЕТСТВИЕ ГРАНИЦ 411
и, следовательно, по теореме 1 первый интеграл ограничен в
Но так как по теореме 4 и интеграл
f
ограничен в 0 <[ г <[ 1, то log <o' (Q ? Н\. Второе утверждение теоремы
следует из теоремы 7, § 5, гл. IX, примененной к функции и(р, G) =
= arg<о'(re"), которая по теореме 4 непрерывна в |С|^1. Теорема
доказана.
Теорема 6 (Келлог). Если функция z = w(?), регулярная
в |С|<С^> однолистно отображает круг |С|<^1 на область В,
ограниченную замкнутой гладкой кривой Жордана С, у которой
угол 9(s) наклона касательной к вещественной оси, как функция
длины дуги s на С, удовлетворяет условию Липшица
|6(s) — 9(s')|=ss?|s — s'\\ 0<а<1, ? = const, E)
то <o'(t) непрерывна в |С|=^1, а «а | С | = 1 имеют место условия
Липшица:
| •'(«")-•'(eH')K*i 18-84". F)
| log <о' (е?е) — log <о' (в) | < А919 - 9' |«, G)
где kt, kt = const.
Доказательство. По теореме 4 имеем:
5-, (8)
а по теореме 5: <»'(C)G^p ПРИ всех Р^
Теперь на основании этого и формулы C') имеем
в Г1
\s — s'\ = \\io(eK)\d6^l/ \ |<o'(e?9)|8d9j db ^ kt 19 —
так что
| arg <о'(Л - arg <о'(*«') | ^ 19 (s) -
9 — 9'|а/2.
По теореме 5, § 5, гл. IX отсюда следует, что logo/(С), следова-
следовательно, и в)'(С), должны быть непрерывными функциями в|?|^1. Но
тогда имеем:
9
\s — s'\ = \\io'(eK)\d6^k3.\6 — б'|, kz= max |

412 ФУНКЦИИ, АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВНУТРИ КОНТУРА [ГЛ. X
и, следовательно,
| arg со' (е'9) — arg со' (е№) \ ^ kL | б — 6' |а,
откуда, опять по теореме 5, § 5, гл. IX, следует G).
Далее, при любых w, w из круга |и>|<^Ж имеем:
k=\ k=\
Применяя это к w = log со' (е'9) и nf = log to' (ei9r) и используя G),
получаем F). Теорема доказана.
Теорема 7.1) Если функция z = (a(Q, регулярная в |С|<^1>
однолистно отображает круг \ С | <^ 1 на область В, ограниченную
такой гладкой кривой }Кордана С, что угол б (Q наклона ее каса-
касательной к вещественной оси, как функция длины дуги на С, есть
абсолютно непрерывная функция, а б'(s) (^ W,p^>\, то u>"(Q ^ Нр.
Доказательство. Из условия теоремы найдем, применяя нера-
неравенство Гельдера ( 1—=:1):
19 (s) — б (О | = \ б' (s) ds ^ E б' {sf ds)Vp (J dsy/q ^ Ж | в — s' \Уя.
Отсюда, по теореме 6 (<* =—) заключаем, что ш'(С) есть непре-
непрерывная функция в |C|=g;l, а из
что
Но почти везде на | С | = 1 имеем (по теореме 3, § 4, гл. IX и теореме 2,
§ 1, гл. IX):
d log to' (егв) _ iei9 to- (e'9)
так что 3t (e'9 -¦, . {J ] ^ IP. Из представления функции Q, .^. инте-
интегралом Пуассона теперь следует, что 5Й ( ^, .^Л ^ ftp, а тогда по тео-
реме 4, § 2, гл. IX, ¦ ю, 1. ^ Яр, а следовательно, со* (Q ? Яр. Теорема
доказана.
•) В. И. Смирнов [1932].

§ 2] ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ И. И. ПРИВАЛОВА 413
§ 2. Теорема единственности И. И. Привалова
Условимся в терминологии. Пусть дана область В, ограниченная
кривой Жордана С, и z0 точка на С, в которой имеется единственная
касательная к С и в окрестности которой кривая С лежит по обе
стороны нормали. Непрерывную кривую /, лежащую в В и оканчи-
оканчивающуюся в точке z0, назовем некасательным путем, если / в окрест-
окрестности z9 лежит в некотором угле величины меньшей it, с вершиной
в точке z9 и с биссектрисой, являющейся внутренней нормалью к С.
Говоря о множествах точек на границе области В, будем большей
частью понимать под этим лишь точки, в которых имеются единствен-
единственные касательные к С только что указанного свойства. Далее, считаем,
что функция f(z), регулярная в В, принимает в точке zo?C значе-
значение а по некасательным путям, если f{z)-*-a при z-*-z0 по любому
некасательному пути.
Переходя к исследованию функций, регулярных в области, огра-
ограниченной спрямляемой кривой Жордана, начнем с чрезвычайно силь-
сильной и важной теоремы единственности И. И. Привалова.1)
Теорема 1. Если функция f{z), регулярная в области В,
ограниченной замкнутой спрямляемой кривой }Кордана С, на неко-
некотором множестве Е положительной меры на С имеет значение
нуль по некасательным путям, то /(z) = 0 в В.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда В есть
круг | z | <^ 1. Около каждой точки z0 ? Е строим прямой угол с вер-
вершиной в z0, обращенный к |г|<^1, и биссектрисой, направленной по
радиусу к z = 0, и отсекаем от него секторы S^, я== 1, 2, ....ради-
....радиусов 1/л. Рассмотрим на Е последовательность измеримых функций
fn(z), /1=1, 2, ..., определив значение fn{z) в точке zo?E, как
максимум модуля |/„(г)| в секторе S^.9) Эта последовательность,
очевидно, сходится на ? к нулю. По теореме Егорова, из множества Е
можно выделить замкнутое подмножество Р, mesP^>0, на котором
fn (z) -*¦ 0 равномерно. Дополнением к Р на | z | = 1 будет открытое
множество, которое состоит из конечного или счетного множества
не налегающих друг на друга дуг. Те из дуг, которые меньше полу-
полуокружности, заменяем сторонами прямых углов, опирающихся на эти
дуги изнутри круга |г|<^1, причем стороны углов пересекают окруж-
окружность | z | = 1 под углом те/4. Дугу же, большую полуокружности,
заменим двумя радиусами, идущими в ее концы. В результате, вместо
окружности | z | = 1 получаем замкнутую спрямляемую кривую
•) И. И. Привалов [1919].
s) Измеримость/n(z) следует из того, что/п(г) можно рассматривать
как предел при г—<¦ 1 функций /n,r(z), построенных таким же образом, но
исходя не из секторов, а из их частей, лежащих в |z|<r. Функции/n>r(z)
при г, достаточно близких к 1, будут определены и непрерывны на Е.

414 ФУНКЦИИ, АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВНУТРИ КОНТУРА [ГЛ. X
Жордана Q, ограничивающую область В%, лежащую в круге| z | ^
причем множество Р целиком лежит на границе С\. Функция f(z)
будет непрерывна в В, если в точках множества Р приписать ей зна-
значение нуль. Отобразим теперь область Вх на круг | С | <^ 1 и пусть
z==<o(Q есть обратная отображающая функция. Множеству Р будет
соответствовать на окружности | С | = 1 некоторое измеримое мно-
множество Рь mesPj]>0. Функция Л (С) =/(<о(О) регулярна в |t|<[li
непрерывна в | С | =g: 1 и в точках множества Рх равна 0. Отсюда по
§ 3, гл. IX, /,@ = 0, т. е. /(г) = 0 в |г|<1.
В случае круга теорема, таким образом, доказана.
Пусть В — любая область, ограниченная замкнутой спрямляемой
кривой Жордана С; отобразим ее на круг | С | <^ 1 и обозначим через Е
измеримое множество положительной меры на | ? | = 1, в которое при
этом переходит Е. При эхом /(С) перейдет в функцию /t (С), регуляр-
регулярную в | С | <^ 1 и принимающую значение нуль по некасательным путям
на множестве ?", за вычетом из него множества меры нуль, в точках
которого при сделанном отображении нет сохранения углов. По дока-
доказанному, /i(?) = 0 в |С|<[1, а следовательно, /(z) = 0 в В. Теорема
доказана.
Для применений установленной теоремы единственности существенно
еще следующее дополнение.1)
Теорема 2. Не существует функции, которая была бы регу-
регулярна в области В, ограниченной спрямляемой кривой }Кордана, и
которая на множестве точек Е положительной меры на гра-
границе С принимала бы значение оо по некасательным путям.
Доказательство. Как и выше, достаточно доказать теорему
для случая круга |г|<^1. Допуская существование функции /(г),
о которой идет речь в теореме, мы проводим те же рассуждения,
как и выше, с той только разницей, что теперь функции fn{z) опре-
определяем на Е по формуле fn(z) = mm\f(z)\, а теорему Егорова при-
sW
меняем к функциям у„ (г) = , , , . В результате докажем, что
* ~т/п \г)
функция f(z) будет регулярна в области В\ (см. предыдущее дока-
доказательство) и на множестве Р, тае»-Р^>0, границы 5j имеет предель-
предельные значения, равные оо. Но функция f(z) имеет лишь конечное
число нулей в В{, действительно, иначе эти нули имеют точку сгуще-
сгущения, которая должна лежать на |г| = 1, а область Bt имеет гранич-
граничными точками на | z \ = 1 только точки множества Р, при приближе-
приближении к которым из Z?! f(z)-*-оо.
Обозначив через p{z) полином, имеющий в В\ те же нули, что и
f(z), образуем функцию ^TV ^та функция будет регулярна и огра-
•) См. И. И. Привалов [1919].

S 3] О ПРЕДЕЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ИНТЕГРАЛА КОШИ 415
ничена в Въ а на множестве Р имеет предельные значения, равные О-
Но такой функцией может быть (см. опять доказательство теоремы 1)
только функция, тождественно равная нулю в В,, а она у нас даже
не имеет нулей в Bt; это противоречие и доказывает теорему.
Из теорем 1 и 2, как непосредственное следствие, получаем:
Теорема 3. Если две функции, регулярные в области В,
ограниченной замкнутой спрямляемой кривой )Кордана, на неко-
некотором измеримом множестве положительной меры на границе
имеют равные значения по некасательным путям, то они
тождественно равны в В.
§ 8. О предельных значениях интеграла Коши
Пусть С—замкнутая или открытая кривая Жор дана на плоско-
плоскости г. Так как каждая ее точка z' вполне определяется длиной s
дуги, отсчитанной на С от начальной точки г'л до /, то в можно
взять за параметр и тогда параметрическое представление С будет:
2f=z'(s), O^s^S. Функция /(s), очевидно, удовлетворяет нера-
неравенству:
и, следовательно, является абсолютно непрерывной функцией от s.
Поэтому почти всюду на С существует производная —. . Далее,
по лемме § 1, почти всюду на С имеем
= 1. Но в каждой
точке zq ? С, где г. ' существует и не равна нулю, имеется един-
единственная касательная к С и кривая С в окрестности z'o лежит по обе
стороны от нормали. В таких точках можно говорить о некасатель-
некасательных путях к С.
функцию /(г1), определенную на С, называем суммируемой на С,
если интеграл j/(/)d/, понимаемый в смысле интеграла Лебега
\ /(/(s)) 2. ¦' ds, существует,
о
Рассмотрим теперь интеграл Коши:
A)
z'—z
где /(/) — суммируемая функция на С. При z, не лежащих на С,
этот интеграл, очевидно, существует всегда и является регулярной
функцией. Если же z лежит на С, то интеграл A) можно понимать
только в условном смысле. Именно, пусть z'B = tf(sB) — внутренняя

416 ФУНКЦИИ, АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВНУТРИ КОНТУРА [ГЛ. X
точка кривой С, а С, — часть С, полученная после удаления из С
малой дуги от точки /(s0 — е) до точки /(so + e). Тогда предел
интеграла
B)
\
г' —:
при е—*0, если этот предел существует, назовем особым интегралом
Коши и именно его будем понимать под интегралом A) при z=zi,.
Следующая теорема И. И. Привалова') устанавливает связь между
предельными значениями интеграла A) при приближении z к точкам
на С и существованием особого интеграла B).
Теорема 1. Если интеграл Коши A) имеет почти всюду
на С определенные предельные значения по всем некасательным
путям, лежащим с одной стороны от С, то особый интеграл
Коши B) существует почти всюду на С, а также существуют
почти всюду на С и предельные значения интеграла A) по всем
некасательным путям, лежащим по другую сторону от С. Об-
Обратно, если почти всюду на С существует особый интеграл
Коши B), то почти всюду на С существуют также определен-
определенные предельные значения интеграла Коши A) по всем некасатель-
некасательным путям с каждой стороны от С. При атом в обоих случаях
почти всюду на С имеет место формула
lim
где под пределом слева понимается предел по некасательным
путям; знак плюс в C) берется в том случае, когда некаса-
некасательный путь лежит слева от касательной к С, направленной
в сторону направления интегрирования, и знак минус, когда путь
лежит справа от этой касательной.
Доказательство. Достаточно доказать, что разность
почти для всех лг»^С стремится к ±tdf(z'o) при z—*z'B по всем
некасательным путям; причем знак плюс будет в том случае, когда
некасательный путь лежит слева от касательной к С в точке г'ь
а знак минус — когда этот путь лежит справа от той же касательной.
Действительно, если это утверждение доказано, то почти всюду на С
и притом в точках, в которых /(/) конечно, из существования пре-
») И. И. Привалов [1919].

3J
О ПРЕДЕЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ИНТЕГРАЛА КОШИ
417
дела одного из интегралов D) будет следовать и существование соот-
соответствующего предела для другого интеграла.
Формулированное утверждение доказывается легко, если /(z^^l
на С. Действительно, пусть z* = z'(s0)— любая точка на С, в которой
dz'js)
ds
= 1. Первый интеграл в D) дает приращение логарифма
log (¦z' —z) при обходе кривой С, причем мнимая часть этого прира-
приращения есть приращение угла наклона вектора, идущего из точки г в точку
z'. Но (log (z' — z))c не изменится, если дугу (z' (s0 — е), z' (s0 + e)) на С
заменить полуокружностью ? с теми же концами, расположенную по
другую сторону от С по отношению к г. С другой стороны, прира-
приращение логарифма log (/ — z) при этом новом обходе будет отличаться
от приращения логарифма log (г' — z'o) при том же обходе на вели-
величину, стремящуюся к 0 при е—-0. Значение же вычитаемого в D),
очевидно, равно последнему приращению, уменьшенному на прираще-
приращение (log (г' — z'0))v что при малом е сколь угодно близко к +ic/
(знак — в зависимости от положения точки z по отношению к на-
направлению интегрирования на С); это и доказывает, что в рассматри-
рассматриваемом случае при е —¦ 0 разность D) стремится к + ttl с требуемым
выбором знаков +.
Для доказательства того же утверждения в общем случае доста-
достаточно теперь установить, что величина
= C
почти Для всех точек z'o ^ С стремится к 0 при рассматриваемых
стремлениях точки z к z'o.
Пусть точка z'0 = z'(s0) на С такова, что в ней функция f(zf)
d' () d' ()
конечна, а производная
0)
dz' (s)
—j^-
существует и
dz' (s)
== 1; пусть
есть угол наклона касательной к С в точке za вещественной оси.
Если z — z'o по некасательному пути /, то, положив г = г'о\1^+^\
заключаем, что при е достаточно малых имеем | <Ji \<Ctyo или Iте —
где фо<С~о~* Можно считать, что последнее условие выполняется для
всех точек z на кривой /.
Пусть теперь дано tq^>0 и пусть й = й(тг))^>0 такое, что при
Is —«о!<Л будет
14 Г М. Голузрн

418 ФУНКЦИИ, АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВНУТРИ КОНТУРА [ГЛ. X
Возьмем любое е, 0<^е<^й. Имеем:
(s — so)
Положив здесь s — so = a, Ъе-1*> = т =
^^ = ср(а), причем |/в|<Чпри |в|<й и ср @) = 0,
будем иметь:
f(z')~f(z'o) . ,__
Поэтому E) можно написать так:
Потребуем еще, чтобы точка Zq была такой, что, положив
имеем lim—^- = 0. Покажем, что такими будут почти все точки
О-.-0 °
на С.
Действительно, рассматривая множество {rlt г<ь...} всех точек
плоскости с рациональными координатами, отметим, что для каждого
гк по теореме Лебега почти при всех s из 0<^s<^5 будет:
J \f^(s))-rk\ds = \f(z'(s))-rk\.
Поэтому, если Е^ есть множество точек промежутка 0<^^
в которых предыдущее не имеет места или в которых /(/(s)) = oo,
то mes Ek = 0.
00
Положим ?= U Ek; mesEs=0. Если s0 не принадлежит Е, то,
а—1
взяв любое е^>0, можно выбрать г к таким, что

§ 3] О ПРЕДЕЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ИНТЕГРАЛА КОШИ
При о достаточно малых имеем:
о
419
о
Но это значит, что для So вне Е будет
¦ 0 при о —* 0.
При сделанном условии оценим теперь каждый из интегралов,
входящих в F). Имеем:
<р (a)
I ? (») I
* J |(l + m)o-
—t —в
или, заменяя модуль в знаменателе на мнимую часть,
8
ж-% 1 11|/\|« 1
2 max
cos 4>о — ¦*)
Далее, разбиваем первый интеграл в F) на три интеграла, взятых
по дуге Сд и по двум другим дугам, которые вместе обозначим через
СбД. Имеем:
е1Ы«) (a)
(о) |
(A + т) а — tie**) A + т)
или, заменяя модуль в знаменателе на вещественную часть,
} — i) A—i) (cos4"o — i) A—'
Но интегрирование по частям дает
eft
"|о|<л1
Следовательно,
12
max
В результате сделанных оценок имеем:

420 ФУНКЦИИ, АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВНУТРИ КОНТУРА [ГЛ. X
где
Отмечая, наконец, что последний интеграл стремится к нулю при
е —¦ 0, ибо в нем можно переходить к пределу под знаком интеграла,
приходим к заключению, что при е —¦ 0 все предельные значения
величины \F{z, z'0)\ не превосходят числа /?0))- Но так как эти пре-
предельные значения не зависят от t\, a R (к)) —¦ 0 при к) —> 0, то значит
F{z,z'o)—»0 при е—»0, т. е. при z—*z'u по кривой /. Это и требова-
требовалось доказать. Теорема доказана.
§ 4. Формула Коши
Результаты, изложенные в предыдущем параграфе, позволили
И. И. Привалову1) дать полное решение вопроса о представимости
аналитических функций по формуле Коши в случае односвязной
области, ограниченной любой спрямляемой замкнутой кривой Жордана.
Теорема 1. Если функция /(г), регулярная в конечной об-
области В, ограниченной замкнутой спрямляемой кривой Жордана
С, почти всюду на С имеет определенные предельные значения
по некасательным путям, причем эти предельные значения обра-
образуют на С суммируемую функцию /(/), то для того, чтобы
для нее в В имела место формула Коши
необходимо и достаточно, чтобы выполнились условия
$/СО/»<**'=0, я = 0,1,..., B)
с
пли, что то же самое, чтобы вне В было:
Доказательство. Рассмотрим функцию
z'. D)
>) И. И. Привалов [19191-

§4] ФОРМУЛА КОШИ 421
Если функция f(z) представима в области В по формуле Коши A),
т. е. если в В имеем ф(.г) = О, то интеграл Коши
E)
имеет почти всюду на С предельные значения, равные /(/) по всем
некасательным путям, лежащим в В. Обратно, если интеграл Коши E)
имеет почти всюду на С предельные значения, равные /(/) по всем
некасательным путям, лежащим в В, то ф (г) —> 0 почти всюду на С,
по всем некасательным путям, лежащим в В, и, следовательно, по
теореме (единственности) § 2 в В имеем <]>(.г) = 0, т. е. функция f(z)
представима в В по формуле Коши A).
Итак, функция f(z) в том и только в том случае представима
в В по формуле Коши A), если интеграл Коши E) имеет почти всюду
на С предельные значения, равные /(/), по всем некасательным путям,
лежащим в В. Но последнее, по формуле C), § 3, взятой со знаком
плюс, будет иметь место в том и только в том случае, если особый
интеграл Коши ^ \ ,__ , dzr почти всюду на С существует и равен
3°' . Это же, в свою очередь, по формуле C), § 3, взятой со зна-
знаком минус, равносильно тому, что интеграл Коши E), представляю-
представляющий функцию, регулярную вне С, имеет почти всюду на С предель-
предельные значения, равные нулю, по всем некасательным путям, лежащим
вне С, т. е. по теореме единственности равносильно тому, что вне С
имеет место равенство C). Разложение левой части в C) около г = оо
по степеням — показывает, что условие C) равносильно системе
условий B). Теорема доказана.
Творема 2. Если на замкнутой спрямляемой кривой Жор-
дана С задана суммируемая функция f(z), то для того, чтобы
в конечной области В, ограниченной кривой С, существовала регу-
регулярная функция f{z), имеющая почти всюду на С предельные
значения, равные /(/), по некасательным путям, и чтобы эта
функция была представима в В по формуле Коши A), необхо-
необходимо и достаточно, чтобы выполнялась система условий B).
Доказательство. Если указанная в теореме функция f(z)
существует, то но теореме 1 должна выполняться система условий B).
Обратно, если условия B) выполняются, то вне В имеем C) и, сле-
следовательно, интеграл Коши

422 ФУНКЦИИ, АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВНУТРИ КОНТУРА [ГЛ. X
имеет всюду на С предельные значения, равные 0, по всем путям,
лежащим вне В. По теореме § 3 отсюда заключаем, что почти всюду
на С существует особый интеграл Коши и что
Положив теперь в В
по теореме § 3 заключаем, что функция f(z) имеет почти всюду на
С предельные значения по всем некасательным путям, лежащим в В,
равные
т. е., по F), равные f(z'o); следовательно, функция f(z) и отвечает
требованиям теоремы. Теорема доказана.
§ 5. Классы функций. Формула Коши
Пусть, как и выше, В есть конечная область плоскости г, огра-
ограниченная замкнутой спрямляемой кривой Жордана C,i = x(z) — функ-
функция, конформно отображающая область В на круг |С|<Ч, a z =
= co(Q— обратная функция. Далее, пусть Сг есть круговые изобра-
изображения в области В, т. е. кривые в В, соответствующие окружностям
|С| = г при указанном отображении.
Обозначим через Ер, />^>0, класс всех функций /(г)фО, регу-
регулярных в В и таких, что интеграл
[\f(z)\pds A)
ограничен при 0 < г < 1 (В. И. Смирнов) Переходя в этом интеграле
к переменной С легко заключаем, что функция f(z) тогда и только
тогда принадлежит классу Ер, если /(со (Q)У со' (С) ? Яр. Отсюда, по
§ 4, гл. IX и § X следует, что если функция f(z) ? Ер, то она почти
всюду на С имеет определенные предельные значения /(/) по всем
некасательным путям, что |/(/)| суммируемо на С и что
Иш \\f(z)\Pds=\\fW\pds. B)
Класс Ер, р^>0, может быть также определен и иначе, независимо
от конформного отображения; а именно, как класс функций f(z).

§ 5] КЛАССЫ ФУНКЦИЙ. ФОРМУЛА КОШИ 423
регулярных в В и таких, что для каждой из них существует в В
последовательность замкнутых спрямляемых кривых Жордана С„,
я=1, 2, ..., имеющих пределом С и для которых интегралы
\\f(z)\"ds
ограничены конечной величиной, не зависящей от я.') Очевидно,
каждая функция f(z) ? Hp удовлетворяет этому условию. Докажем
обратное. Пусть для функции f(z), регулярной в В, существует
последовательность кривых Сп указанного свойства. Пусть г = шп({.)
есть функция, конформно отображающая круг | С | <^ 1 на конечную
область, ограниченную кривой Сп, и притом так, что <оя@) = <о@) и
arg(On@) = arg(o'@). Тогда, по теореме сходимости однолистных функ-
функций, функции (ол(С), л = 1, 2 будут равномерно сходиться внутри
круга | С | <^ 1 к функции <о (Q. Положим
Так как при каждом п функции /(«„(Q) ограничены в |С|<^1, то
<р„(С)?;#р и поэтому при 0<><^1 имеем:
f 19» (re") f «Ю < f | 9„ (^'в) |pd9 = \ \№ \" ds < М,
о о ся
где 7W не зависит от г. Но функции <ря(Ц равномерно сходятся
внутри круга | С | <^ 1 к функции ср (С). Следовательно, при 0 <^ г ^
имеем:
2л
(ib)\PdeM или
о сг
что и доказывает принадлежность функции f(z) к классу Лр. При
принятых обозначениях теперь -имеем теоремы.
Теорема 1. Если f(z)^?i, то имеет место теорема
Коши:
\f(z')dz=0. C)
Эта теорема следует из теоремы 5, § 4, гл. IX, если последнюю
применить к функции/((о (С)) (о'(С).
Теорема 2.*) Для того чтобы функция f(z), регулярная
в В, имела почти всюду на С определенные предельные значения
') М. В. Келдыш и М. А Лаврентьев [1937].
а) В. И. Смирнов [1932а].

424 ФУНКЦИИ, АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВНУТРИ КОНТУРА [ГЛ. X
по некасательным путям, и чтобы для нее в В имела место
формула Коши
необходимо и достаточно, чтобы f(z) ? Et.
Доказательство. Пусть f{z) ?E%. Тогда, по сказанному выше,
функция /(г) почти всюду на С имеет определенные предельные
значения /(/) по некасательным путям, суммируемые на С. Рассмот-
Рассмотрим интеграл:
Положим
(о (С) — о> (С)= «' (С) (С — С)
Подставляя это в E), получаем, имея в виду, что /(<» (У) <»'(?)?
2*
«'•, с) а".
Но при фиксированном С, |С|<^1, функция /?(!;', С) относительно С
регулярна в IC'l^l и непрерывна в |С'|<1. Поэтому функция
/(@(O)@'G')^(C'> Q?#i» a следовательно, по теореме Коши остав-
оставшийся интеграл справа в F) равен нулю. В результате имеем:
2*
Переходя здесь на плоскость г, получаем формулу Коши D). *)
Пусть теперь, обратно, функция f(z) имеет почти .всюду на С
определенные предельные значения /(г") по некасательным путям,
суммируемые на С, и пусть в В имеет место формула Коши D). Рас-
Рассмотрим интеграл
*) Приведенное доказательство имеет то преимущество, что оно не опи-
опирается на § 3 и § 4 и может быть использовано для доказательства фор-
формулы Коши для областей со спрямляемыми границами, отличными от жорда-
новых. Если же опираться на теорему 1, § 4, то, принимая во внимание,
что по теореме 1 имеем \ ,__ dz' = 0 при всех г вне В, сразу же заклю-
гг г
чаем о справедливости формулы D).

§ 6] ОБ ЭКСТРЕМУМАХ СРЕДНИХ МОДУЛЕЙ 425
Положим
X («•) - X (г) = X' (г )(*' - г) + Q (/> г)'
Тогда при г ? ? имеем:
Но при фиксированном z?B, функция Q(z', z) относительно z'
регулярна в В и непрерывна в В. Следовательно, по теореме Уолша')
ее можно равномерно аппроксимировать в В, с любой степенью точ-
точности, полиномом. Имея в виду, что по теореме 1, § 4, выполняются
условия
\f(z')z'ndz' = 0, л = 0, 1
с
отсюда заключаем, что интеграл справа в G) равен нулю, следова-
следовательно, в В имеем:
1 Г /(z')tfz' _f(z)
(г')— Х(г) ~Х'(г)'
Переходя здесь на круг |С|<О» получаем:
2* . . ..
т. е. для функции /((o(Q)(o'(Q, регулярной в |С1<С*» имеет место
формула Коши. Следовательно, /(«(Q) ш (С) ^ Ну, т. е. f(z)?Ev
Теорема доказана,
§ 6. Об экстремумах средних модулей
Сохраним обозначения, принятые в § 5 относительно области В,
с той только разницей, что теперь дополнительно считаем, что В
содержит точку 2 = 0 и что а>@) = 0, <о'@)^>0. Докажем, что
в этом случае функция
и только она дает минимум интегралу
B)
') См. Уолш 11961], стр. 53.

426 ФУНКЦИИ, АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВНУТРИ КОНТУРА [ГЛ. X
среди всех функций F(z) класса Ер, подчиненных условию /7@)=1,
причем этот минимум равен 2тао'@).
Действительно, переходя на круг |С|<^1. видим, что задача мини-
минимизации интеграла B) сводится к минимизации интеграла
2* 2п
/(вЯ) |»d8 C)
относительно функций /(Q = F (<о (Q) <o' (Q1^ класса Нр, подчинен-
подчиненных условию /@) = <о'@I/Л Теперь экстремальной функцией для
интеграла C) может быть только функция /(Q без нулей в |С|<^1,
ибо иначе, выделив из /(С) функцию Бляшке b(Q, образовали бы
функцию/t (Q=?||fc@)? Нр, /i@) = (o'@I/p, для которой инте-
интеграл C) будет равен такому же интегралу для функции /(С), но
умноженному на \Ь@)\р, причем, очевидно, |#@)|<^1. Рассматривая
теперь функции /(С) ? Яр, /@) = (o'@I^, без нулей в |С|<1 и
положив
= V
имеем:
2л 2« oo
— V \f(e*^\р<1в^=Иш^г- \ \f(re J^рIе<$)^lim / Iс„J2r2ra^s:|с01
о г ' о г я-о
Знак равенства здесь может быть только в случае, когда /(С)
= <о'@I/р, т. е. когда F(z) дается по формуле A); это и хотели
доказать.
Вместо всех функций F(z)?Ep рассмотрим теперь совокупность
' полиномов qn(z), qn@)=\, степени не выше п, и относительно
них поставим задачу о минимизации интеграла B).
Докажем, что экстремальные полиномы существуют. Пусть для
одного из полиномов qn(z)^EM интеграл B) равен М. Рассмотрим
совокупность всех полиномов qn (z) ? ?(л), для которых интеграл B)
не превосходит М. Если qn{z) есть один из этих полиномов и b(Q—
функция Бляшке для qn (<о (Q), то f(z) = (~^Шл)Р ^.Ei и поэтому
по формуле Коши имеем:
f(s)— ! С /(*') dz'

§ 6] ОБ ЭКСТРЕМУМАХ СРЕДНИХ МОДУЛЕЙ 427
Отсюда, обозначая через Ь расстояние точки z до кривой С, при
\z — г' | ]> у имеем:
и, следовательно,
Но тогда коэффициенты полинома qn(z) не будут превосходить
конечных величин, зависящих только от 8 и М. Отсюда, применяя
к коэффициентам рассматриваемых полиномов принцип сгущения,
найдем полином qn (z), дающий наименьшее значение для интеграла B).
Это и доказывает существование экстремальных полиномов в Е*я\
экстремальные полиномы обозначаем теперь через рп>р(г).
Введем еще следующую функцию
которая будет играть существенную роль во всем дальнейшем. Имеем,
¦2*
= e ° . E)
Но, по неравенству Гельдера, при 0<^<^1 имеем:
2it
2я 2я
j
0
т. е.
2it
Отсюда, разлагая обе части по степеням X, вычитая из них по 1 и
деля на А., при Х->0 получим неравенство:
2it 2я
JL ^ ioe | о)' fe'1
о

428 ФУНКЦИИ, АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВНУТРИ КОНТУРА [ГЛ. X
На основании этого неравенства, из E) получаем:
2п
^-, е-<р) «и,
откуда при O<V<^1 имеем:
Это показывает, что d (С) ? М- Из E), кроме того, следует, что
(i9)| = |(o'(eM)| почти всюду на [С| = 1.
Из D) очевидно, что тождество d (С) = «г (С) в | С | <\ 1 имеет место
в том и только в том случае, если функция log | и/ (Q |, гармоничес-
гармоническая в |С|<^1, представима в |С|<^1 интегралом Пуассона:
2п
г() F)
Условие F) выполняется, например, в случае, когда С есть гладкая
кривая, ибо тогда по теореме 5, § 2, log и/ (С) ?z //i и, следовательно,
даже функция log о/(С) представима в |С|<С1 интегралом Пуассона.
Как следует из доказательства теоремы 5, § 2, оно же выполняется
и в более общем случае, когда arg<o'(Q ограничен в | С | <^ 1; послед-
последнее имеет место, в частности, для звездообразных областей, а также
для областей, ограниченных кусочно гладкими кривыми, образующими
ненулевые внутренние углы.') Однако существует пример спрямляемой
замкнутой кривой Жордана С, для которой условие F) не выполня-
выполняется. *) Условие F) в отношении кривой С будем называть условием
E) (исходит от В. И. СмирноваK).
Отметим, что условие (S) равносильно условию
2л
og|<o'(e''e)|rf9. F')
т. е. условию d@)=<o'@). Действительно, F') получается из F) при
0
') М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев [1937] указали также рад других
случаев, когда выполняется F).
а) См. там же.
") В. И.
Смирнов [1928].

8 61 ОБ ЭКСТРЕМУМАХ СРЕДНИХ МОДУЛЕЙ 429
Для доказательства того, что из F') следует F), отметим, что
(б*) можно записать в виде предельного равенства
2я 2я
Нш 1 [ log | о/ (гelf) | db = 1 ji log | (о' (*») | «Й. F")
С другой стороны, из неравенства logх<^ —, р~^>0 следует, что
интеграл
$
о
ограничен при 0<^г<^1, а потому, по уже известному ранее приз-
признаку предельного перехода под знаком интеграла Лебега, также
имеем:
2я 2я
Иш 1 J Ю8|ш'(«")|Л = 1 J log|«,V)|dO. F'")
Вычитая из F") удвоенное равенство F'"), приходим к следующему:
2я 2«
Имея это в виду, теми же рассуждениями, как при доказательстве
F), § 4, гл. IX, докажем следующее предельное равенство:
2*
Нш J | log | со' (re1*) | — log | со' (е'9) \\db = O.
r-+i о
Наконец, отсюда, как при доказательстве теоремы 3, § 4, гл. IX,
получаем F).
Теперь имеем:
Теорема. 1) В случае любой замкнутой спрямляемой кривой
}Кордана С, содержащей внутри себя 2 = 0, имеем
Нш \\рт p(/)|pds = 2ic-d@), G)
где d@) определяется по формуле D).
Доказательство. Так как семейство полиномов ?*я) с возраста-
возрастанием п расширяется, то интегралы, входящие в G), при этом не уве-
увеличиваются. Следовательно, предел в G) существует.
*) М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев [1937].

430 ФУНКЦИИ, АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВНУТРИ КОНТУРА [ГЛ. X
Пусть Ь^ р (z) — функция Бляшке для рп< р (со (С)) и
тогда из Ь„>р@)/г„ р@) = 1 следует, что |йл,р@)|5г1. Имеем:
$ \pni
с
г") |a dt^2v\hn @) |P d @) ss 2nd @)
о
и, следовательно,
lim
Остается теперь построить полином у (г) ? Е^п\ для которого значение
интеграла B) сколь угодно близко к 2Ы @).
Так как логарифм log|d(C)|no E) будет представим в
по формуле Пуассона, то, в частности, имеем:
2л
следовательно, положив
заключаем, что функция g(Q) суммируема в @, 2тс) и
2л
J log gF)rf6 = O.
о
На основании этого существует в промежутке @, 2гс) такое изме-
измеримое множество Р, на котором функции gF) и —^ ограничены, в
то время как на дополнительном множестве СР имеем:
СР
где е — данное ^>0.

§ 6] ОБ ЭКСТРЕМУМАХ СРЕДНИХ МОДУЛЕЙ 431
Обозначим через срF) функцию, равную —-ж- на Р и 1 на СР,
и рассмотрим функцию
Имеем
\$(е")\Р=:^щ п. в. на Р, 1 п. в. на СА
Теперь
2it
= \
()f() ()(f). (8)
Далее имеем:
2л
2-L ^logy(в}de -jL
°
=e p
следовательно, <))@)]>0 и
} (9)
Но из теории тригонометрических рядов следует, что для огра-
ограниченной измеримой функции ф(е") существует последовательность
полиномов а„(е'9) (сумм Фейера1)) от егЬ, равномерно ограниченных
в @, 2тс) и сходящихся почти всюду в @, 2-гс) к ф(е'9), причем а„@) =
:^())@). Для этих полиномов, очевидно, имеем:
2it 2it
lim $ \an(e№)\p\d(eif>)\dQ = \ |<j>(e")|p|d(t
л-к» 0 0
При я достаточно больших, следовательно, будет:
2it
$ I "n (*'") |Р I <f (e'9) I dV < 2itd @) A -f- 2e)
о
или
51 в» (X (*')) 1Р ^ ^ 2nd @) A -f 2e) A0)
л-1
— k
') Именно, если ф (г1'9) ~ ^ слг'"9, то о„ (г'9) = У -—

432 ФУНКЦИИ. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВНУТРИ КОНТУРА [ГЛ. X
и, кроме того,
Так как функция а„(х(г)) непрерывна в В, то ее можно по тео-
теореме Уолша1) равномерно аппроксимировать в Б полиномом р (г) так,
что неравенства A0) и A1) сохранятся и для этого полинома. А тогда
для полинома Р(г)=2-&, Р@) = 1, имеем:
$1Р (г) \f (is < 2nd @) A -(- 2еJ = 1Ы @) A + е'),
с
где е' сколь угодно мало вместе с е. Это и доказывает формулу G).
Теорема доказана.
§ 7. Аппроксимация в среднем и теория
ортогональных полиномов
Как приложение результатов § 6 рассмотрим теперь вопросы
аппроксимации в классе Е%.2)
Теорема 1, Экстремальные полиномы pni%(z), определенные
в § 6, сходятся в среднем на С к функции
т. е. имеем1.
lim \\mz)-pn^z)\4s = 0. B)
i
Доказательство. Переходя на круг |С|<|1> имеем:
2*
-m[yW)\pn^
\
») См. Уолш [19611, стр. 53.
2) В. И. Смирнов [i928J. Отметим, что виже следуюп№е теоремы обоб-
щевы М. В. Келдышем и М. А. Лавревтьевым и на случай класса Ер.

§ 7] АППРОКСИМАЦИЯ В СРЕДНЕМ 433
и это, так как /?„_ 2 (со (С)) Yd (С) ? #2, равно
Отсюда по теореме § 6 следует B). Теорема доказана.
Так как почти всюду на С имеем:
то условие (S) является необходимым и достаточным условием того,
что р%(г)=Ръ(г), где P%(z) определяется по A), § 6.
Поэтому, из предыдущей теоремы вытекает следующая
Теорема 2. Для того чтобы имело место равенство
0, C)
необходимо и достаточно, чтобы кривая С удовлетворяла усло-
условию (S) (см. стр. 428).
Обращаемся теперь к аппроксимации в среднем. Будем говорить,
что семейство всех полиномов от z является полным в области В,
если, какова бы ни была функция Р(г)?Е%, для любого е^>0 су-
существует полином P{z) такой, что
\\P(z)-P(z)\*ds<e.
с
Теорема 3. Для того чтобы семейство всех полиномов от z
было полным в области В, необходимо и достаточно, чтобы
кривая С удовлетворяла условию (S).
Доказательство. Достаточность. Пусть условие (S) вы-
выполнено. Тогда по теореме 2 имеет место C). Если теперь Р (z) (^ ?2»
то /(C) = /7(">(C))Va<b'(C)G^2 и» следовательно, по теореме 2, | 4,
гл. IX, имеем:
limj |/(e")
Г-ч-l 0
или
1
/•-! С
Значит, для заданного е[>0 существует г, 0<[г<[1, такое, что

434 ФУНКЦИИ, АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВНУТРИ КОНТУРА [ГЛ. X
Но функция/(гх (z)) непрерывна в В, следовательно, по теореме Уолша1)
существует такой полином Q(z), что в В имеем:
Образуем полиномы Pn(z) = Q (г)/>„ 9 (я). Имеем:
+ lA,i(*)<f(n(*))VW)- Q(*)) | fds
и, следовательно, применяя неравенство Минковского, получаем:
](гх(г)) I KZWE1 f«(г) -А,»W Г
причем правая часть при я достаточно большом будет меньше ]
В силу произвольности е^>0 это и доказывает достаточность усло-
условия теоремы.
Необходимость. Пусть для области В имеет место полнота
полиномов. Тогда для функции Yx' (z) G А существует последова-
последовательность таких полиномов Pn(z), что
л-»оо
lirn \\У1^)-Рп^)\Чв = 0. D)
Теперь, применяя дважды неравенство Минковского, имеем:
+ {\\-t'{z)\dsf\
с
с
я(«) I2
¦)\йй8 = 2кт E)
См. Уолш [1961], стр. 53
с
Q
что
\х'
по
D)
| ds)Va s
дает:
с
lim ]\j
Л-»0О(;

S 7] АППРОКСИМАЦИЯ В СРЕДНВМ 435
С другой стороны, из D), пользуясь формулой Коши, докажем, что
V^B;1) в частности lim Рп{0)
П-*СО Л-fOO
Поэтому, положив р„(г)=ъ1Ш> Рл@) = 1, по (б) имеем:
lim \
л-* со B
Согласно § 6 это дает d@) = u>'@), т. е. условие (S) выполнено
Теорема доказана.
Полученные результаты тесно связаны с теорией ортогональных
полиномов для области В.
Под системой ортогональных полиномов понимаем здесь после-
последовательность полиномов Kn(z)> я = 0, 1, 2, ..., соответственно сте-
степени я, подчиненных условиям
Очевидно, что любой полином от z можно представить как линейную
комбинацию из полиномов Kn(z).
Если теперь F(z)^Ei, то числа
s, я = 0, 1, .... G)
называются коэффициентами Фурье функции F (z).
Теорема 4. Для того чтобы семейство всех полиномов
от z было полным в области В, необходимо и достаточно,
чтобы для любой функции F (z) ? E% выполнялось условие замк-
замкнутости
\\F(z)\*ds=j]\ck\\ (8)
С ft = l
где ck — коэффициенты Фурье для F(z).
Доказательство. Взяв любой полином p(z) я-ой степени и
представив его в виде
См. ниже, доказательство теоремы 6.

436 ФУНКЦИИ, АНАЛИТИЧВСКИВ ВНУТРИ КОНТУРА 1ГЛ. X
для F(z)?E% имеем:
С С k=0
) ?
) \ 2 а+ ? \ck~c'k\\
ft=0 С ft=0 ft=0
Отсюда следует, что минимум для интеграла
(9)
дает полином p(z), определяемый по формуле (8*) с сн = ск, причем
этот минимум равен
\\F(z)\4s~ S \с„\*. A0)
С
Для того чтобы система всех полиномов от z была полной, очевидно,
необходимо и достаточно, чтобы для любой функции F (z) ? Яа раз-
разность A0) стремилась к 0 при я->оо, т. е. чтобы имело место ра-
равенство (8). Теорема доказана.
Сопоставляя теорему 4 с теоремой 3, непосредственно получаем:
Теорема б. Для того чтобы для любой функции f(z) ?Et
имела место формула замкнутости, необходимо и достаточно,
чтобы С удовлетворяла условию (S).
Теперь имеет место
Теорема 6. При выполнении условия (S) любая функция F(z) ?
? Ei разлагается в В в ряд Фурье
F(*) =
равномерно сходящийся внутри В.
Доказательство. Так как минимум интеграла (9) относи-
относительно всех полиномов от z дает полином, определенный по фор-
формуле (8*) с c'k=ck, k>=0, I, ..., п, то для этих полиномов pn(z),
в случае выполнения условия (S), имеем:
Нш $|F(O-/7n(/)|»rfs = 0. 02)
п-»сос

§ 7] АППРОКСИМАЦИЯ В СРЕДНЕМ 437
Теперь, по формуле Коши имеем в В:
Если Е — замкнутое множество в области В и 8 расстояние Е до С,
то для z (?Е имеем:
№ С,
откуда по A2) заключаем, что pn(z)-*-F(z) равномерно на Е; так
как pn(z) является отрезком ряда Фурье A1), то это и доказывает
теорему.
В частности, применяя теорему 6 к функции/(г)=Ух'С2) и имея
в виду, что тогда
2я
О
получаем теорему:
Теорема 7. Для кривых С, удовлетворяющих условию (S),
имеем в В формулу
A3)
причем сходимость ряда в числителе будет равномерной внутри В.

ГЛАВА XI
НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ
§ 1. Теоремы склеивания
Теоремы склеивания устанавливают существование аналитических
функций, подчиненных определенным соотношениям на границах обла-
областей. Характер этих соотношений виден из самих формулировок при-
приводимых здесь теорем.
TeopemaI. Пусть функция х''=g(x) устанавливает взаимно
однозначное и непрерывное отображение отрезка I: — 1 sg; x sg; 1
в себя с сохранением концов; далее, как функция от комплексного
аргумента, g(z) регулярна и однолистна в достаточно узком
круговом двуугольнике с вершинами в ± 1, содержащем отрезок I.
При этих условиях существуют две функции w=fl(z) uw=fi (z),
однолистно отображающие полукруги Bi:|z|<^l, 3(z)[>0 и
Ba:|z|<4, 3(г)<^0 соответственно на две области G| и Ga без
общих точек, полученные из круга \ w | <^ 1 проведением в нем
некоторого гладкого разрера X, аналитического во всех внутрен-
внутренних точках1); при этом отображения таковы, что на I имеем:
Л С*)=/>№)),
т. е. что любые две точки х, g(x) ? /, лежащие соответственно
на границах областей St и Вч, переходят в одну и ту же точку X.
Доказательство. Из условий теоремы следует, что функция
z'=g(z) регулярна и однолистна в достаточно узком сегменте ?A),
ограниченном отрезком / и круговой дугой, лежащей в 3(z)[>0, и
на этом сегменте %(g(z))^0. Сегмент В^ можно взять таким, чтобы
величины внутренних углов при вершинах были равны ^, я — целое.
Пусть В(а) есть сегмент, симметричный к 5^ относительно оси х
(рис. 17).
*) То есть такого, что любая его частичная дуга, не содержащая концов,
является аналитической кривой.

§1]
ТЕОРЕМЫ СКЛЕИВАНИЯ
439
В 5A) рассмотрим функцию w—gi(z)=g(z), а в ?<•>— функ-
функцию w=gi(z)^z. Эти функции отображают области В^ и В^
так, что точки х, g(x)?l переходят соответственно в одну и туже
точку на отрезке /, —l^.w^.1, и это при любом х?1 (рис. 18).
Однолистную область, составленную из образов О*1* и G^ областей A)
и BW при этих отображениях и из
отрезка /, отобразим теперь однолист-
однолистно на круговой двуугольник B^^\J
\J jE?W [J l плоскости tuf так, чтобы
точки db 1 перешли в себя. При
этом отображении области QW и
(Р* перейдут в области, соприка-
соприкасающиеся вдоль некоторой гладкой
кривой Xj, аналитической во всех
внутренних точках (рис 19). Если
функция w'=f(w) дает это отоб-
отображение, то функции -af=.f{gk (z))—
— gk+i(?)> k = l, 2, будут давать
отображения областей 511) и 5(а) на
те же соприкасающиеся области.
По принципу симметрии функции
•ttf — g,,^ (г), k = l, 2, будут однолистно отображать, соответст-
соответственно, и „удвоенные сегменты" В^ и В^\ ограниченные отрез-
отрезком / и круговыми дугами, наклоненными к / под углом ^=1 • Если $3)
и QW — образы при этих отображениях, то область G*3) \J Q^^ \J \t
Рис. 17.
Рис. 18.
Рис. 19.
однолистно отображаем на круговой двуугольник 5C) \J 5(i) \J I пло-
плоскости tsf так, чтобы точки db 1 перешли в себя. При этом отобра-
отображении области G<3) и О*** перейдут в области, соприкасающиеся вдоль
некоторой гладкой кривой X,, аналитической во всех внутренних
точках. После применения принципа симметрии указанным образом
я—1 раз получим отображения, указанные в теореме. Теорема
доказана..

440 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ [ГЛ. XI
Теорема 1 является видоизменением одной теоремы склеивания
М. А. Лаврентьева *). Опираясь на развитую М. А. Лаврентьевым теорию
квазиконформных отображений, Л. И. Волковысскомуа) удалось полу-
получить некоторые другие теоремы склеивания, сыгравшие важную роль
в теории римановых поверхностей, и притом при более слабых огра-
ограничениях на функции типа g{x).
Другой путь для получения теорем склеивания основан на исполь-
использовании граничных свойств аналитических функций, изученных в гл. IX
и X. А именно, докажем здесь следующую теорему:
Теорема 2.8) На окружности \ z \ = 1 дана дуга fi с кон-
концами а и Ъ, афЪ, и на -\х задана функция g(z), обладающая свой-
свойствами: 1) она регулярна во всех внутренних точках дуги -[% и
в них g'(z)^0; 2) функция ? — g{z) устанавливает взаимно
однозначное отображение дуги ft на дополнительную дугу ft на
| z | = 1 с сохранением концов а и Ь. При этих условиях суще-
существует функция
w = F{z) = \-\-alZ-\-..., A)
регулярная в |z|^l, за исключением точек 0, а и Ь, и во всех
внутренних точках дуги ft удовлетворяющая соотношению
F(z) = F(g(z)y) B)
Доказательство. Рассмотрим семейство Ш1 функций F{z)
вида
) и/@) = 0 (относительно класса Яа см. § 4, гл. IX),
удовлетворяющих почти всюду на ?i соотношению
)) = «Я (F (z)). C)
Примером таких функций может служить функция
Поставим экстремальную задачу: среди функций F (г) ? Ш найти ту,
для которой интеграл
И D)
») М. А. Лаврентьев [1935].
2) Л. И. Волковысский [1946].
3) Шеффер и Спевсер [1947].
*) В монографии тех же авторов [1950] доказывается существование
функции F(z), однолиствой в |z|<l.

§ 1J ТЕОРЕМЫ СКЛЕИВАНИЯ 441
имеет наименьшее значение. Пусть т есть нижняя граница инте-
интегралов D) в семействе fSH. Покажем, что для некоторой функции
F()???fl имеем IF=m. Действительно, иначе существует последо-
последовательность функций Fn(z) = — -\-z-\-fn(z),n=l, 2,..., clFn-*-m.
00
Положив fn(z)= 2 с{ь}гк> n = l, 2, ..., имеем:
2j k \ ck \ I 'Fn,
Поэтому, функции fn (z) равномерно ограничены внутри круга | z \ ^
и к ним применим принцип сгущения. Пусть fnk(z) — подпоследова-
подпоследовательность функций, равномерно Сходящаяся внутри круга | z |
к функции /0 (г). Очевидно, /0 (г) ^ Я4.
Далее, по неравенству Минковского имеем
Т I/. (^9) -/. (re") |« йбI/а + ('f |/„ (г,'9) -/. (*-) |» йбI/а. (б)
о о
При заданном е^>0 можно г, 0<^г<^1, выбрать так, чтобы первый
и третий интегралы справа в (б) были меньше е; затем N~^> 0 можно
выбрать так, чтобы при n^>N и второй интеграл был меньше е.
В результате при n~^>N интеграл слева в (б) будет меньше 9е.
Значит, этот интеграл стремится к нулю при я->оо. А тогда, как
известно, /„ (е'е) почти всюду на | z \ = 1 сходится к /0 (е'е). Но для
функций Fn (z) почти всюду на 71 имеет место соотношение C). Сле-
Следовательно, то же будет и для F9(z) = —f-z-f-/0B). Значит, функ-
функция F0(z)?2R. Далее, так как при 0<^г<^1 имеем:
J S |/, {г) |4ds = lim ^ \fn(z) I4ds < Urn IFn= m,
\z\<r «-»«|j|<f "-*00
то /p, ^ m, т. е. /л = т. Это доказывает, что наша экстремальная задача
наверное имеет решение. Пусть Fo (z) — какая-либо из экстремальных
функций.
Пусть х (е'9) — любая вещественная функция от 6, дважды диф-
дифференцируемая на дуге ft и равная константам в достаточно малых
окрестностях точек а и Ъ. Определим х(е'9) на дуге 7» посредством
соотношения
)=xD (б')

442 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ [ГЛ. XI
Обозначим теперь через <?(z), cp(O) = O, —функцию, регулярную в
|г|<^1 и имеющую на |z| = l вещественную часть, равную x(z). Эта
функция строится по" обычной формуле Шварца, на основании ко-
которой, положив
00
ч>(г)=2а***. (в)
имеем:
2iu
v (р®Л /»~*'9 /Jd Ь —¦ 1 О
Интегрируя справа дважды по частям, найдем, что | ал | ^ -^-, k = l,
2, ...; здесь М конечно и не зависит от k. Это показывает, что
функция F) непрерывна в | z | ^ 1 и по (б') на fi удовлетворяет
соотношению
W(?fe(*))) = WD>(*))- G)
Положим Ф (z) = ср (z) — а0 и образуем функцию
М*)=М*)+ •*(*)¦
Эта функция, очевидно, принадлежит семейству Ш при любом веще-
вещественном е. Для нее имеем:
|г|<1 |г|<1
В силу экстремальности Fo и произвольности е, это приводит к условию
= 0. (8)
Но, положив /0 (z) = и0 -\- iv0, Ф (z) = и -\- iv, по формуле Грина
для 0<^г<^1 имеем, используя при этом условия Коши — Римана:
\z\=r l«l=r
Поэтому условие (8) можно записать в виде
lim j v0 (z) dn (z) = 0

§ 1] ТЕОРЕМЫ СКЛЕИВАНИЯ 443
или еще в виде
Нт ( г»0 (re*) ^ п (re*) dB = 0. (9)
Так как из формулы Пуассона (применением интегрирования по частям)
следует ограниченность функции ^ и (re*) в | г \<^ 1 и так как интеграл
2л
ограничен в 0<V<^l, то в (9) можно перейти к пределу при г->-1
под знаком интеграла, в результате чего получаем:
т. е.
0
Используя соотношения B) и G), отсюда имеем, если а = е1*,
\b) = 0. (Ю)
at
Положив здесь
V(efi) = \(vo(ea)~vo(g(ei^))dB (Щ
at
и интегрируя по частям, получаем:
^ 0. (И)
Это равенство установлено при любой функции ^(9), подчиненной
указанным выше условиям.
Пусть теперь Xi(g{e) — любая функция на ft, непрерывная вместе
с первой производной по б и равная нулю в достаточно малых окрест-
е
ностях точек а и Ъ. Тогда функция х (e'B) = \ Xi (grt) db подчиняется

444 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ [ГЛ. XI
указанным выше условиям. Поэтому равенство (Н) дает:
Мы находимся здесь в условиях известной леммы Дю-Буа-Реймонда
в вариационном исчислений; поэтому заключаем, что V(en) = const на
fi- Но тогда из A0) следует, что почти всюду на fi имеем соотношение
а следовательно, и соотношение
3(F,fe(z)))=3(F,(z)).
Это вместе с соотношением
приводит к справедливости для Fo (z) почти всюду на 71 соотношения
F.fe(*)) = F,(z). A2)
Пусть теперь г„— внутренняя точка дуги fi- Функция w=g(z)
однолистна в достаточно малой окрестности ?/„„ точки г0 и отобра-
отображает UZo в некоторую окрестность ?/Юо точки wo=g(zo) ?72» причем
часть ?/«„ окрестности Uiv лежащая в |z|]>l, переходит в часть lfWo
окрестности UWa> лежащую в |«)|<^1; так что функция F0(g(z))
регулярна в 1/го. Следовательно, окрестность UZo делится окружностью
|z| = l на две части, в одной из которых регулярна функция F9(z),
в другой регулярна функция F0(g(z)), и эти функции почти всюду
равны на общей дуге -у окружности; кроме того, значения этих функ-
функций на границах соответствующих областей или на границах надле-
надлежащих подобластей таковы, что модули их ийтегрируемы с квадратом.
Но тогда здесь применимы формула и теорема Коши, опираясь на
которые обычными рассуждениями докажем, что каждая из функ-
функций FQ(z) и F0(g(z)) является аналитическим продолжением другой
через дугу -у- В частности, эти функции регулярны и равны на самой
дуге f. В силу произвольности" гй приходим к заключению, что функ-
функция Fo (z) регулярна во всех внутренних точках дуги ^ и для нее на fi
всйду имеет место соотношение B). Теорема доказана.
§ 2. Конформное отображение односвязных
римааовых поверхностей
Рассмотрим здесь вопрос о конформном отображении односвязных
римановых поверхностей на однолистный круг. В конструктивном
определении римановых поверхностей берем за простейшие плоские
фигуры не круги, как это иногда делается, а треугольники, хотя и
криволинейные.

§ 2] ОТОБРАЖЕНИЕ ОДНОСВЯЗНЫХ РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ 445
Именно, пусть над плоскостью w, параллельно этой плоскости,
лежит конечное или счетное множество треугольников Д, Да, ...,
причем под треугольником понимается или конечная область, ограни-
ограниченная замкнутой кривой Жордана, составленной из трех аналитиче-
аналитических дуг, встречающихся под ненулевыми углами, или область, полу-
получающаяся из предыдущей инверсией относительно одной из „вершин";1)
три указанные граничные дуги назовем сторонами, а их концы—вер-
концы—вершинами треугольника. Эти треугольники соединены — склеены — по
сторонам таким образом, что к каждому треугольнику ДА вдоль
каждой стороны или вдоль некоторых из сторон прилегает по одному
треугольнику нашего множества, не имеющему с ДА других общих
точек. В своей совокупности треугольники могут налегать друг
на друга, но их точки, лежащие над одной и той же точкой-
плоскости w, считаются различными, если они не отождест-
отождествлены при указанном склеивании. Точки треугольников обозна-
обозначаем теми же буквами, что точки плоскости w, над которыми они
лежат.
Рассмотрим риманову поверхность F, образованную из: 1) вну-
внутренних точек всех треугольников ДА, 2) внутренних точек всех тех
сторон каждого треугольника ДА, которые являются сторонами и
прилегающих к ДА других треугольников, 3) вершин треугольни-
треугольников Д^, в которых соединено конечное число треугольников Д^,
прилегающих друг к другу в круговом порядке. Отметим, что сумма
углов треугольников при каждой вершине кратна 2«; если эта сумма
больше 2«, то вершина называется точкой разветвления римановой
поверхности. Для римановых поверхностей считается выполненным
характерное для поверхностей свойство связности, именно: если
какие-либо две точки, лежащие на F, находятся в треугольниках
ДА и Д#, то можно указать на F цепь последовательно прилегающих
друг к другу треугольников ДА1, ДА„ ..., ДАп, таких что ДА1 = ДА,
Допустим, что поверхности F можно сопоставить однолистную
односвязную область В, составленную из такого же рода треуголь-
треугольников ДА', причем между треугольниками ДА и L'k имеется взаимно
однозначное соответствие, при котором двум прилегающим треуголь-
треугольникам на F всегда соответствуют прилегающие треугольники
в В. В этом случае риманова поверхность F называется односвяз-
ной. Относительно односвязных римановых поверхностей имеет
место теорема Пуанкаре, которая и составляет предмет этого пара-
параграфа.
Теорема 1. Любую односвязную риманову поверхность F
можно рассматривать как взаимно однозначный образ круга
') Разница в обоих случаях определения треугольников исчезает, если
перейти иа сферу Римаиа.

446 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ 1ГЛ. XI
I z I < r, 0 < r s^ оо, или полной плоскости z, при отображении их
посредством некоторой мероморфной функции.1)
Доказательство. Пусть треугольники Aft, входящие в состав
поверхности F, находятся в указанном выше соответствии с треуголь-
треугольниками Aft, составляющими некоторую однолистную односвязную
область "Я. Построим в В конечное или счетное множество вложен-
вложенных друг в друга односвязных областей Вт и=1, 2, ..., BnCzB^,
таких, что каждая область 5B+i, и^1, получается из Вп либо при-
присоединением к Вп одного из треугольников Aj, не входящих в 5В, и
одной стороны А*, либо присоединением к Вп не принадлежащей Вп
общей стороны двух треугольников, входящих в В^, кроме того,
считаем, что в случае конечного числа областей Вп последняя из
них совпадает с В, в случае же бесконечного числа областей Вп
они образуют последовательность, исчерпывающую область В. Такое
построение, очевидно, всегда возможно сделать и притон начиная
с 5i = Aj'. Треугольники ДА, соответствующие треугольникам Д*, вхо-
входящим в Вп(п = 1, 2 ), образуют односвязную риманову поверх-
поверхность F№ причем FnciFIH.1 и любая точка поверхности F будет ле-
лежать в Fm начиная с некоторого п.
Поверхность F\ = At) очевидно, является образом некоторого круга
\г\<Сгь '"i<Coo> ПРИ отображении его надлежащей однолистной
функцией w=fi(z), /i@) = «H, /'@) = 1; здесь w0 — фиксированная
точка внутри треугольника At. Допустим теперь, что поверхность Fn
с некоторым п уже является взаимно однозначным образом некото-
некоторого круга \z\<^rm rn<^oo, при отображении его посредством
некоторой мероморфной функции w=fn(z), /я@) = 0, /в@)=1, и
докажем, что то же будет иметь место и для FB+i (с заменой, может
быть, конечного круга на | z | <^ оо или на полную плоскость z).
Здесь следует рассмотреть два случая.
1. Пусть поверхность FB+t получается присоединением к Fn
треугольника Aj вдоль некоторой его стороны /. В этом случае Fn
и Д4 можно рассматривать как взаимно однозначные образы полу-
полукругов В,:|г|<1, 3(z)>0, и B,:|z|<l, 3(z)<0, при отобра-
отображении их надлежащими мероморфными функциями a» = cpiB) (рис. 20
и 21) и w=fi(z), причем такими, что при обоих отображениях
дуга I является образом общего граничного диаметра. Функция
g(x)=<fa(<pi1(x)), очевидно, удовлетворяет условиям теоремы 1, § 1.
На основании этой теоремы существуют функции г"=^%(г) и
z' = tyi(z), однолистно отображающие Bt и Я8 на две дополнитель-
х) Если г < сю, то F называется поверхностью гиперболического типа;
если г = оо, то — параболического типа, а в случае полной плоскости
г — эллиптического типа. (В последнем случае отображающая функция,
очевидно, будет рациональной дробью.) Односвязиая римаиова поверхность F
всегда будет одного определенного типа; это является простым следствием
теоремы Лиувшщя.,

21 ОТОБРАЖЕНИЕ ОДНОСВЯЗНЫХ РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ 447
ные друг к другу области Qi и (?4 круга |/|<^1 (рис 22), причем
точки х и g(x), (—l^Jf^l), на границах Bi и Bt переходят
в одну и ту же точку круга |z'|<^l. Но тогда функции w—
= <Pi (ФГ' (z)) и w=ft (ta Ч2)) дают отображения областей G, н (^
соответственно на Fn и Д4, причем на общей части границ эти функ-
функции совпадают. По теореме Римана об аналитическом продолжении
заключаем, что обе эти функции определяют в |z|<^ 1 мероморф-
ную функцию w=F(z), которая отображает круг |z|<^l взаимно
однозначно на поверхность Fn+i. Отсюда надлежащим нормированием
легко получаем функцию w=fn+1(z), /B+i@) = zy0. /n+i(O) = 1.
дающую такое же отображение круга |z| <>„+!, rB+i<oo на Fn+i.
2. Расслютрим теперь случай, когда поверхность F^i получается
присоединением к Fn не принадлежащей к Fn общей стороны / двух
Рис. 20. Рис. 21. Рис. 22.
треугольников Д4 и Ду, входящих в Fn. Если а и Ъ — концы дугиД
причем а лежит в Fn+i, то удалим из поверхности Fn достаточно
малый однолистный или многолистный круг К:\г0 — я|-О, соста-
составляющий окрестность точки а на Fn+it но разрезанный по /. По-
Поверхность Fn, за вычетом из нее точек, принадлежащих К, и круг К,
с включением в него достаточно малой дуги Fczl с концом в а,
очевидно, можно рассматривать, как взаимно однозначные образы
полукругов ?i:|z|<l, 3(z)>0 и 5,:|z|<l, 3(z)<0, (рис.23)
при отображении их мероморфными функциями, причем при обоих
отображениях образом общего граничного диаметра являются части
границ, лежащие над окружностью \w — я|==е. Отсюда, рассуждая
как в 1), докажем, что поверхность Fn\JV будет образом конечного
круга при отображении его надлежащей мероморфной функцией.
Отметив, что поверхность Fn\JС получена из Fn укорачиванием
разреза I, продолжаем этот процесс укорачивания и далее без конца
так, чтобы в результате этого исчерпать весь разрез I. Используя
здесь свойство сходимости соответствующих нормированных отобра-
отображающих функций да = <р,(z), ср,(О) = тг>0, ^@)=1, v=l, 2, ..., до-
доказываемое циже на примере самих поверхностей Fm я = 1, 2, ...,
придем к заключению, что поверхность Fn+l является образом круга
1г1<Сгя+1» гя+1^°° ПРИ отображении его мероморфной функцией

448 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ 1ГЛ. XI
«»=/n+i(z), /n+i(O) = Wo, /^+1@) = 1. Впрочем, rn+1 = oo может
быть только в случае, если у FnJri нет граничных дуг, ибо иначе
пришли бы в противоречие с теоремой 2, § 2, гл. X; но тогда Fn+i
совпадает с F.
Если число поверхностей Fn конечное, то из предыдущего по
индукции заключаем, что поверхность F является взаимно однознач-
однозначным образом круга |z|<V, r^oo, или полной плоскости z при
отображении их надлежащей мероморфной функцией.
Рис. 23.
Если же число поверхностей бесконечное, то здесь мы будем
иметь последовательность функций fn(z) и нужно исследовать еще
предельный переход при п —*• оо.
Для этого рассмотрим функции
с=% (*) =/» V1 (fn (*)), % @)=0, ф; @)=1, п=1,2,...
Функция С=фпB;) регулярна в |z|<Vn и принимает в |z|<VB
значения, которые все лежат в круге | С | <^ fn+v По лемме Шварца
имеем ф'@)= 1 ^-^ii. Это показывает, что г„ не убывает с воз-
растением п и поэтому при и->оо сходится к конечному или бес-
бесконечному пределу, пусть равному г.
Положив теперь
T».v0=/n1(/vW) = 2-f-..., v<«, я = 1, 2, ...,
видим, что при каждом фиксированном v(v = l, 2, ...) функции
•Рл.Л2)» « = !» 2, ..., регулярны и однолистны в \z\<^rr Следова-
Следовательно, из них можно выделить подпоследовательность ?„(»), v(z),
сходящуюся в \z\<^rv к однолистной функции <f>,(z), причем можно
считать, что последовательность чисел (nf}) содержится в (я^)
(с v = 1). Так как в | z \ <^ rt имеет место соотношение <рл(*>. v Oft. i (z)) =

2]
ОТОБРАЖЕНИЕ ОДНОСВЯЗНЫХ РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
449
= <?„«! (z), а следовательно, и соотношение ?»(?,, i(z))=cpi(z), то
из последнего следует, что в ^ имеем <p,(/i(e»)) Pi(^()
Это показывает, что функция w =/, (ср^1 (>))> обратная к С=
= «р, (/7* (да)), не зависит от v; при этом если Q, есть образ круга
1г1<Сг* ПРИ отображении t=cpv(z), то функция w =/, (ср^1 (Q) =
= <j»(C) отображает однолистную область О, на поверхность /\; от-
отсюда следует, что GvcrGv+1, v=l, 2, Остается теперь показать,
что предельная область О областей Gv, v=l, 2, ..., совпадает с пол-
полным кругом |С|<^г.
Пусть г = оо. Так как образ О, круга |г|<^г, при отображении
? = cpv(z) целиком содержит круг |C|<C-f (теорема Кебе) и это при
всех v=l, 2, ..., то в этом случае область G содержит внутри
себя любой конечный круг и, следовательно, должна совпадать со
всей конечной плоскостью.
Пусть теперь г конечно. Тогда в | z \ <^ г, имеем | cpv (z) | <^ г и,
следовательно, по лемме Шварца в |г|<^г„ будет:
Возьмем любые р, р1( р2,
P»<Crv<Cr> Положив
и пусть v такое, что
имеем
2«
Следовательно,
Отсюда
* = 2
l-t
г» p?
Используя это, на | z | = р! имеем;
СО 00
*=2
* = 2
16 Г М, Голузин
= Pl —
v Ря — Pi'

450 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ [ГЛ. XI
т. е.
Так как при v достаточно больших правая часть последнего нера-
неравенства больше р, то при этих v область Qy> как образ круга
l*Krv ПРИ отображении С=<pv(г), целиком содержит круг |С|<р.
Значит, то же будет и с областью О и это при любом v=l, 2, ...
Но поскольку О, очевидно, целиком лежит в |C|<V, то область Q
совпадает с кругом | С | <V.
Итак, в случае бесконечного числа треугольников Дй поверх-
поверхность F является взаимно однозначным образом круга |t|<V> r «Soo,
при отображении его мероморфной функцией o> = t|>(C). Теорема до-
доказана.
Теорема Пуанкаре ставит в соответствие каждой односвязной
римановой поверхности F функцию, мероморфную в некотором круге
(или на полной плоскости) и отображающую этот круг взаимно
однозначно на F.
Легко показать и обратное, что каждой функции f{z), мероморф-
мероморфной в круге \z\<^r, r<;oo, можно поставить в соответствие одно-
связную риманову поверхность, на которую она отображает круг
\z\<^r взаимно однозначно. Для этого следует только надлежащим
образом разбить круг |z|<^r на малые треугольники, в каждом из
которых функция /(г) была бы однолистна, и рассмотреть поверх-
поверхность F, составленную из образов этих треугольников.
Таким образом, односвязные римановы поверхности можно рас-
рассматривать как геометрические эквиваленты для функций, мероморф-
ных в круге (или на полной плоскости). Это заключение вполне
аналогично заключению, которое вытекает для однолистных функций,
исходя из теорем существования, установленных в гл. II и гл. V.
§ 3. Об одном экстремуме для ограниченных функций
в многосвязных областях
В § 2, гл. II и в § 1, гл. VI рассмотрены вопросы об экстремуме
величины /'@) в некоторых классах аналитических функций, опреде-
определенных в заданной области В. Это привело там к важным теоремам
существования, касающимся отображений области В на круг.
Приведем здесь решение еще одного из таких вопросов.
Теорема I.1) В семействе ffl всех функций f(z), регулярных
в данной п-связной области В с невырожденными граничными кон-
континуумами, ограниченных в В по модулю единицей и подчиненных
в заданной конечной точке а?В условию f(a) = 0, максимум
1) Альфорс [1947].

§ 3] ЭКСТРЕМУМ ДЛЯ ОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ 451
величине |/'(аI дает функция, отображающая область В на
полный п-листный круг (см. § 5, гл. VI).
Доказательство. Без ограничения общности можно считать,
что В есть конечная область, ограниченная л замкнутыми аналитиче-
я
скими кривыми Жордана К\, ..., Кп; К= U Kk-
k=\
Существование решения экстремальной задачи, поставленной в тео-
теореме, очевидно.
Пусть /0 (z) — одна из экстремальных функций. Так как \f'o (a) | ]> О,
то точка z== а будет для fo(z) простым нулем.
Предположим, что /0 (z) имеет в области В, кроме а, нули в точ-
точках zx, ..., zm (это, конечно, не обязательно все нули функции
/•(«) в В).
Введя в рассмотрение функцию Грина g(z, С) Для области В и
сопряженную с ней гармоническую функцию h{z, Q, наряду с fu{z)
рассмотрим варьированную функцию fx (z) ?j ЗОЪ определенную соот-
соотношением
log |/,(«)| = log |/,(г) |+ "D О)
где
а ?
Очевидно, имеем в 5: |/i(«)|<^l, причем для однозначности/^)
в В необходима однозначность сопряженной функции
Так как по A0"'), § 6, гл. VI имеем:
*))К1 = — 2«to|(^*). (A(z, z'k))Kl = — Зп/ui(z'k), 1=1, .... n,
где ш/ (z) — гармоническая мера кривой /Q по отношению к области В,
то однозначность v(z) в В приводит к л условиям для z'k:
Ft (г'„ ..., г'я)= 2 («| («i) - «I(г*)) = 0, /= 1, ..., л. B)
m
Так как на основания тождества ? ^^=1 функция F(z[, ...,z'm)
линейно выражается через функции Fl{z[, ..., z'm), A=l, ..., я —1,
то л-ое условие B) является следствием остальных и мы его можем
отбросить.

452 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ [ГЛ. XI
При выполнении условий B), в силу экстремальности функции
/о (г), имеем
log |/i (а) | - log |/i (а) | = fj (g(a, zk) -g(a, z'k) =--=
m
= S &(**» a)-g(zi a))<0.
Это приводит к заключению, что функция
Fo{z[, .... г'т)=^§(г'к, а) C)
относительно z'u ? Д k = 1,...,/«, подчиненных условиям B), с /= 1,...
..., л — 1 достигает минимума при z'k = Zk, k = l, ..., т.
Но тогда ранг матрицы (гк = х'к-{-1х'т+к, гк = хк-\-1хт+к)
k = l, ..., 2т, 1=0, 1, .... п-\, D>
при х'к = хь, А = 1, ..., 2/«, не превосходит и—1. Действительно,
если бы этот ранг был равен п (что может быть только в случае,
когда 2т^>п — 1), то функции 5г = /?/(гг{, ..., z'm), 1=0,..., л— 1,
отображали бы окрестность точки (jpi, ..., лг3т) 2/и-мерного эвклидова
пространства на открытое множество л-мерного пространства, содер-
содержащее точку @, 0, ..., 0). Это множество имеет с осью Еф($!=$,=
= ... = ?„_! == 0) общий открытый отрезок, содержащий точку @, 0,...
..., 0), и, следовательно, функция Fn(z[ z'm) не будет иметь
минимума при zi, = Zk, k = l, ..., т.
Из доказанного заключаем, что существуют такие вещественные
числа Хо, Xj, ..., X,,,!, не одновременно равные нулю, что имеют
место 2т равенства:
Принимая во внимание B) и C), из E) заключаем, что при указан-
указанных Xft частные производные по х и у (z = x-\-ly) от функции
— *о? {^ а) + Xtcot (z) +... + ^n-i^n-i (*)
равны нулю при гжгк, k=l, ..., т, причем эта функция, очевидно
не сводится к постоянной, поскольку \k не одновременно равны нулю.
Введя аналитические функции p(z, Q и Щ(г), k=l, ..., л, по
условиям
g(z, Q, = SR(p(*, С)), М*)=

§ 3] ЭКСТРЕМУМ ДЛЯ ОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ 453
(см. § 6, гл. VI) и положив
я-1
w (z) — — lop (z, а 2
из последнего заключаем, что производная w'(z)^0 и имеет нули
во всех точках zx zm.
Теперь, так как на каждой граничной кривой Кь ^=1 п,
вещественная часть функции w (z) равна константе, то в случае, если
isf (z) не имеет нулей на К, получаем (ds — элемент длины на гра-
границе К):
п
(arg w' (z))K=2 (arg w' (z))K[ =
11
Учитывая, кроме того, что в случае Х0 = 0 функция w'(z) регулярна
в а, а в случае Хо -ф 0, w' (z) имеет в В простой полюс z = а, по
теореме Коши о числе нулей и полюсов заключаем, что число нулей
функции tsf (z) в В, отличных от z = а, будет не более п — 2, если
Х0 = 0, и точно равно л—1, если Х0^0. Этот результат будет иметь
место и в случае, если имеются нули w'(z) на К, что следует из
той же теоремы Коши, но учитывающей нули на границе; при этом
нули на К считаются тогда с половинной кратностью. *)
Установленный результат приводит к первому важному заключе-
заключению об экстремальной „функции /0 (z): нули функции /e (z) в области В
являются также и нулями функции w'(z); число этих нулей не пре-
превосходит п—1 и если их точно п — 1, то Х0^0.2)
Пусть теперь zx zm, т^п—1, суть все нули функции /0 (z)
внутри В. Тогда функция
U{z) = log|/0(z)\+g(z, a)-(- f] g(z, zk) F)
*) Для непосредственного вывода этой теоремы для функции w' (г) вы-
выделяются окрестности не только ее нулей, лежащих в Я, но и нулей, лежа-
лежащих на К; затем к логарифмической производной от W (г) применяется
тебрема Коши, яосле чего окрестности нулей беспредельно уменьшаются.
В результате разность между числом нулей и числом полюсов функции
w' (г) в В будет равна (arg w' (г))^ причем под последним понимается сумма
приращений argr»'B) на совокупности дуг, составляющих К и не содержа-
содержащих врутри себя нулей w' (г).
•) {Более полное исследование вопроса о нулях функции /„ (г) прове-
проведено Гарабедяном [1949].)

454 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ [ГЛ. XI
будет гармонической в В и U(z)s^.O в В. Так как последнее нера-
неравенство выполняется в части области В, лежащей в малой окрестности
любой точки границы К, то, переходя отсюда посредством одноли-
однолистного отображения на круг и пользуясь граничными свойствами
неотрицательных гармонических функций в круге (§ 2, гл. IX), при-
приходим к заключению, что U{z) имеет почти всюду на К определен-
определенные предельные значения по некасательным путям и эти значения
образуют суммируемую функцию на К-
Пусть теперь /2 {г) варьированная функция, получаемая из соот-
соотношения
(z), G)
где и (г) — гармоническая функция в В. Для однозначности /а (z) в В,
потребуем, чтобы и сопряженная к и (z) функция v(z) была одно-
однозначна в В. Для того чтобы в В было |/а (z) |«s; 1, достаточно потре-
потребовать, чтобы u{z) была Ограниченной в В и чтобы почти всюду на
К выполнялось условие U(z)-\-u(z)^0. Действительно, во-первых,
по F) и G) имеем в В:
t)-e *=' |/,(,)|. (8)
Далее, при сделанных условиях и и (z) имеет почти всюду на К
определенные предельные значения. Из формулы Грина
где К, — совокупность кривых: g(/, z) = t (s^>0 и достаточно
мало), предельным переходом при г -> 0 получаем формулу Грина
для области В:
U{z) + a (z) = ± [ (U(z') + и (О) 4?g±i>. ds.
(Нормаль п, как всегда, направляем внутрь области В.) Отсюда
следует, что U(z) -)- и (z) <; 0 в В, а потому по (8) в В имеем
|/,(г)|<1. Итак, Мг)?Ж.
Из G), переписанного в виде
при 2->а получаем:
Юв !Л («) 1 = log!/.(«)! +«(а),

§ 31 ЭКСТРЕМУМ ДЛЯ ОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ 455
откуда, в силу экстремальности функции f^{z), имеем н(а)^0.
Пользуясь (как выше выводимой) формулой Грина, видим, что это
приводит к неравенству
M^=i $ и
Далее, если через К,, i, i обозначить кривую в В, близкую к Ki и
определяемую уравнением из, (,г) = 1— е с достаточно малым е]>0,
а через Ks, i, k, Ьф1, — кривую в В, близкую к Кк и определяемую
уравнением u>, (z) = z с тем же г, то условие однозначности v(z)bB
можно записать в виде л — 1 равенств (при е достаточно малых):
К
Ке, I, I Ke, I, I
(«(г)«)
Я
U ^.. I.
1=1, .... л— 1;
здесь е0 — фиксированное малое ]>0. Это же равносильно выполне-
выполнению предельных (при е -*¦ 0) я — 1 равенств:
s
= o, /=1 л—1. A1)
Обращаясь теперь к функции F), допустим, что для некоторого
на К существует множество Е положительной меры, на кото-
котором U(z) ^ — q. Тогда за и {z) можно взять функцию, определяемую
граничными значениями:
О на К вне Е
u(z) =
где Xft, k=l, .,., л — 1, некоторые постоянные, а е достаточно малое
постоянное любого знака. (Для построения n(z) достаточно перейти
от области В на круг | С К1, как это делалось в § 3, гл. VI, затем по-
посредством формулы Пуассона построить там гармоническую функцию

466
НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ
[ГЛ. XI
по перенесенным граничным значениям и, наконец, с ней вернуться
в область В.) Условия A1) для этой функции u(z) будут иметь вид:
0 J dn dn
dn dn
i * \ dn dn
=i к
1=1, .... n— 1,
A2)
и должны быть удовлетворены за счет выбора Xk, k = 0, 1, ...,я — 1.
Но условия A2) представляют систему л—1 однородных линейных
уравнений с л неизвестными \к, А = 0, 1, ..., л—1. Поэтому эта
система имеет ненулевые решения. Обозначив теперь Xk, k = 0, ...,
п—1, какую-либо ненулевую систему решений, подставим по ним
построенную функцию и (г) в A0). Тогда получаем неравенство, в кото-
котором слева имеется множитель г с любым знаком. Это приводит
к условию
п-1
ds+Z 1*\-щ
Умножая A3) на —Хв, а A2) соответственно на Х/ и складывая все
равенства, получаем следующее равенство
Отсюда следует, что почти всюду на Е имеем
п-1
0 dn ' ?i * dn
Так как, кроме того, всюду на К имеем
п-1
та отсюда заключаем, что функция
регулярная на АГ, обращается в нуль на Е. Но тогда
а следовательно, функция
^0 в В,

§ 3] ЭКСТРЕМУМ ДЛЯ ОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ 457
будет тождественной константой в В, чего, однако, не может быть
согласно выбору \к> А = 0, 1, ..., л. Это противоречие доказывает,
что (J(z) = 0 почти всюду на К- А тогда, применяя к надлежащей
части области В теорему единственности И. И, Привалова (см. § 2,
гл. X), заключаем, что U(z) = 0 в В, т. е. в В имеем
т
tog |Л (*)I = — gi?> a) — 2 g(«, **)
m
fo(z)=e PZ'a) *-'*'***.
Теперь условия, что f<>(z) однозначна в В> будут иметь вид
т
1 / X Г -Л\ . . / ^.Ч 1 ^^ (V \ У / 1 П
где Vj — целые. Очевидно, v{^l, /=1, ..., л. Суммируя A4) по
/=1, ..., л, получаем
Но ms^n — 1. Следовательно, т=п—1 и vz=l, 1=1, ..., л.
Резюмируя сказанное, заключаем, что функция /0 (г) имеет в области
В точно л нулей и на К по модулю равна единице. Отсюда, подсчи-
подсчитывая (arg (/0 (z) — Щ))х, докажем, что функция /0 {z) — wu при каж-
дол т^О) IЩI <С 1» имеет в В точно л нулей (с учетом кратности);
а это и значит, что функция w =f9(z) отображает область В на
л-листный круг |я>К1. Теорема доказана.
Посредством третьей, более сложной вариации функции fo(z)
удается доказать1) также единственность экстремальной функции,
с точностью до постоянного множителя еи. На этом, однако, здесь
не останавливаемся.
Обозначим теперь ту из экстремальных функций теоремы 1, для
которой производная в точке z=а положительна, через F(zt a),
отмечая зависимость ее от а. Она входит также в построение экстре-
экстремальных функций некоторых других экстремальных задач, относя-
относящихся к тому же классу ограниченных функций*). Приведем одну
теорему такого рода.
•) См. А
¦) Ю. Е.
См. Альфорс, [1947].
'~ ~ Аленицыи, [1950а]. (См. также Ю. Е. Аленицын [1961].)

458 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ [ГЛ. XI
Теорема 2. Если функция f{z) регулярна в конечносвязной
области В с невырожденными границами и если \f(z)\<^\ в В,
то в В имеем
\f'(z)\^(l-\f(z)\*)F(z, z), (/'(г, г) = д-Ц^> Ц); A5)
знак равенства в точке z = a(^B имеет место только для
функций вида
Далее, в В имеем
\f'{z)\^F{z, z); A7)
здесь знак равенства при z = a ?_В имеет место только для
f(z) = *F(z, а), |е| = 1.
Доказательство. Если а есть любая точка области В, то
функция g(z)=. /W_ удовлетворяет условиям теоремы 1, и
наоборот, если g{z) удовлетворяет условиям теоремы 1, то фикция
f(z) = ,_Г- Д . <* = const, |а|<^1, будет рассматриваемого типа.
По теореме 1 имеем | g (a) | «? F (а, а), т. е. A5) при z = а; знак
равенства, очевидно, имеет место только для функции A6). Вторая
часть теоремы сразу следует из первой части. Теорема доказана.
§ 4. К теореме о трех кругах
Если функция f(z) регулярна в кольце гх^|г\^r2, \f(z)\^Mx
на |г|:^Г1 и \f{z)\^.Mi на |2| = г9, то в § 4, гл. VIII, было пока-
показано, что для нее в гх «с; | z \ ^ г2 имеет место оценка
loeFs
"^ О)
причем здесь знак равенства при каком-либо z0, rx<^\гй|<^г9, будет
только в случае функции f(z) = czx, где с и X — постоянные, завися-
зависящие от | гй |, гх, га, Мх и Мь X — вещественно. Так как последняя
функция регулярна в кольце только для исключительных значений | zu |,
при которых X целое, то только в этих случаях оценка A) и будет
точной. Возникает вопрос о точной оценке в других случаях. Этот
вопрос мы и исследуем здесь.!)
Для этого, прежде всего отметим, что простейшими преобразова-
преобразованиями поставленную задачу можно свести к случаю, когда rx = q,
га=1, Mi=p, М2 = 1 и, следовательно, рассматривать функции f(z),
') Робинсон [1943].

§ 4] К ТЕОРЕМЕ О ТР.ЕХ КРУГАХ 459
регулярные в кольце ^^|г|^1 и такие, что |/(,г)|«еЛ на|г| = 1
и \f(z)\^p на |2| = # вопрос же будет идти о максимуме модуля
\f(zo)\ в некоторой точке z0, q<^\zo\<^ 1, причем можно также
считать, что гй положительно и что максимум ищется только среди
функций f(z), для которых /(.го)]>О. Если экстремальные функции
обозначать через f(z, p), указывая их зависимость от р, то легко
видеть, что между надлежащими экстремальными функциями имеет
место соотношение f(z, pq) = zf(z, р). Последнее показывает, что
случай любого р можно свести к случаю, когда q-^p^l; этот слу-
случай теперь и будет рассматриваться. Отметим, что случай р = 1 три-
тривиален, ибо тогда сразу следует, что f(z, /»)=1.
Лемма. Если функция f(z) регулярна в кольце q^\z\^\,
за исключением, может быть, единственного простого полюса,
лежащего на отрезке —\<^z<^— q, а на |z| = l и на \z\=q
удовлетворяет условию |/B)|s^l, то |/Сг)|<;1 имеет место
и на отрезке q<^z<^l; причем знак равенства будет только
в случае, когда f{z) = const.
Доказательство. Следует рассмотреть лишь случай, когда f(z)
наверное имеет полюс на —1<^2<^ — q. Пусть q<^zu<^\. Можно
считать, что /(z0)>0. Образуем функцию F(z)=~^(J{z)-{-f(z)). Она
также удовлетворяет условиям леммы и, кроме того, вещественна при
вещественных z. Если F(z) регулярна в q<C}z\<^\ и F(z)^ const,
то очевидно F(z9)<^l. Рассмотрим теперь случай, когда F(z) имеет
простой полюс на — 1 <^z<^—q. Так как | F(— 1)| s^l, \F{—^)|^1,
то на отрезке—\<^z<^—q она принимает любое вещественное
значение, по абсолютному значению большее 1. С другой стороны,
из теоремы Коши о числе нулей и полюсов легко следует, что функ-
функция w=F(z) принимает каждое значение w, \w\^>l, точно в одной
.точке кольца q<C\z\<^l. Следовательно, на всем отрезке q<^z<^ 1
должно быть |FB)|==gl и, в частности, F(zu)^l. Если бы здесь
имел место знак равенства, то F'B0) = 0 и окрестность точки z0
переходила бы при отображении w = F(z) в многолистную окрест-
окрестность точки w=l или точки ¦а>=—1; но тогда F(z) принимает
некоторые значениям, \w\^>1,b нескольких точках кольца ^<^|г|<^1.
Итак, доказано, что F(zo)^zl, причем знак равенства будет только
в случае, когда F(z) = const. Но F(zu)=f(z0) и, следовательно,
/B0)sgl. Если теперь /(zo)=l, то F(z9)=l и тогда F(z) = L
На q<Cz<Cl и на — l<Cz<^ — 4 эт0 Дает 9l(/(*)) = l- Следова-
Следовательно, образом отрезка — 1 < z <^ — q будет вся прямая 91 (f(z))= 1,
а образом отрезка q<^ z <^ 1—отрезок этой прямой; причем прямая
91 (¦&?>) = 1 целиком лежит в |я>|]>1. С другой стороны, как выше
следует, что функция f(z) принимает каждое значение w, \w\~^>\,
точно в одной точке конца ^•\|.г|<^1. Эти противоречащие заклю-
заключения доказывают, что должно быть f{zu)<^\. Лемма доказана.

460 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ 1ГЛ. X!
Творема. Среди функций f(z), регулярных в q^\z\^l и
токах, что 1/(г)|<1 на \z\ = l и \f(z)\^p на \z\=zq, ?<
<Ср<С 1i максимум модуля \f(z9) \ с заданным г* q<^zt<^l, дости-
достигается только для функции /(г) = е/0(г), |»| = 1, где w=f9(z) —
функция, однолистно отображающая кольцо г<|z|< 1 на круг
\w\<^\ с разрезом по некоторой дуге \w\=p, \aigw\<^b.
Явное выражение /0(z) дается формулой
где
вB, q)^f[{l-\-q^1z)(l+qw-*z-1) C)
я—1
(в (г, д) лишь на постоянный множитель отличается от известной
тета-функции ft (z) =
00
Доказательство. Что указанная в теореме функция /0(г)
существует, следует таким образом. Отобразим круг | w ] <^ 1 с раз-
разрезом по дуге |«»|=р, |arg«»|<^8 на кольцо ^'<^|z|<^l так, что
«»=1 переходит в z=l. По принципу симметрии при этом отобра-
отображении вся плоскость w с разрезами по дугам | w \ =p, \ arg w \ <^ 8 и
| w|<^—, |argw|<^8 однолистно отображается на кольцо q <^|z\<^
<[—, причем имеет место сохранение линейных направлений в точке.
По теореме 2, § Ь, гл. V, величина q будет непрерывной функ-
функцией от 8, которая изменяется от 0 до р при изменении 8 от 0 до те.
Поэтому, для некоторого 8, 0 <^ 8 <^ те, величина q1 принимает данное
в теореме значение q. Обратная отображающая функция w=fo(z) и
будет тогда требуемой. Из условия симметрии следует, что fv(z)
имеет в q <^ | г \ <[ 1 единственным нулем точку на отрезке — 1 <Г
Если теперь f(z) — любая функция, удовлетворяющая условиям
•теоремы, то функция 4-\-{ удовлетворяет всем условиям и, следова-
следовательно, ^~f°\ Ь^1, т. е. \f(zo)\*?i\fo(z0)\; причем знак равенства
I /о \гв) |
будет только для /(z) = e/0(z), |e| = I. Это доказывает первую часть
теоремы.
Для доказательства второй части отметим, что установленная экстре-
экстремальная функция /ф(<г) может быть охарактеризована следующими

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
461
свойствами: 1) /e(z) регулярна в ^s^|z|^l, 2) |/0(z)| = l на
|z|=l, 3) |/0(z)|=/> на |z| = <7, 4)/0(z) положительна при поло-
положительных z и 5) /0(z) имеет единственный простой нуль, располо-
расположенный на отрезке —l<^z<T — q- Действительно, если Л (z) другая
такая функция, то функции } ,\ и ЦЩ: °^е удовлетворяют условиям
/о \z) /х (z)
леммы, и, следовательно, на отрезке q <[ z <[ 1 будет | Л (г) | «s; | /0 (z) |
и |/o(z)|<|/i(z)l, т. е. |/0(г)| = |Л(г)|» ч™> опять по лемме, будет
только в случае, когда fi(z)=fu(z).
Имея это в виду, рассмотрим теперь функцию B) с в (z, q), опре-
определенным по C). Так как бесконечное произведение B) сходится для
всех z ф 0, то оно представляет регулярную функцию в 0 <^ | z | <^ оо
и имеет точки z=—фп~1, п = 0, ± 1, ±2, ....простыми нулями.
Следовательно, функция B) будет регулярной функцией в 0 <^ | z | <Г оо,
gitl
за исключением простых полюсов —¦*—, я = 0, ±1, ±2, ...; так
как все эти полюса лежат вне кольца q<^\z\<^\, то /0(z) регулярна
в нем. Далее, функция /0 (z) имеет простыми нулями z =—pqw~\
я=0, ±1, ±2,..., из которых только один, именно z=—/>, лежит
в кольце q<C\z\<^l. Наконец, на |z| = l имеем
\Мг)\ = \
п
rt=l
= 1,
т. е. |/0(z)| = l, а на ^1 = ^ аналогично |/0(z)|=/>. Это показы-
показывает, что , функция/0 (z) удовлетворяет всем перечисленным выше
условиям 1)—5); поэтому она совпадает с отображающей функцией,
указанной в теореме. Теорема доказана.
§ 5. Преобразование аналитических функций
посредством полиномов
В этом параграфе мы установим одно свойство преобразований
аналитических функций посредством полиномов, которые затем при-
приложим к выводу некоторых теорем, относящихся к трансфинитному
диаметру замкнутых множеств точек на плоскости и к полиномам.1)
Упомянутое свойство состоит в следующей теореме.
Г. М. Голузин [19466].

462
НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ
[ГЛ. XI
Теорема 1. Пусть функция f(z), регулярная при больших z,
имеет в окрестности z = oo разложение
A)
а функция Д (z) =f(p (z)), где р (z) = яо2п -f а^" +.. • + я„, а0 ф О,
я ^3=1, имеет аналогичное разложение
/.(*)= 2
а*
fc=i
Если
положить
Лт =
А% =
at
<4
а*т
Oj ...
аз ...
""а* ...
oj...
ат
аж+1
а^
t
1
ото Ат, т = 1, 2, ..., «е зависят от значений
выражаются через Ат по формулам
Ат-
Положив, далее,
_|±а,~"р2Лр для от=/?я 0>=1, 2, ...)
других т.
имеем:
?* = ~|/ ,±1-.
B)
C)
., а„ м
D)
E)
F)
Доказательство. Теорему достаточно доказать в двух част-
частных случаях, когда p(z)=cnoz и когда р (z) == z" -f- at2""' -f-... -\- a.n,
ибо тогда полное доказательство теоремы получится рассмотрением
сперва f(z) и p(z) = c^z, а затем fi(z)=f(a.oz) и /? B) = z" -\-
о0
В
0 0
В случае/7B) = a.ozимеем af=a~kak, k = l,2,..., и, следовательно,
подстановкой в Л^ и вынесением затем общих множителей из строк
и столбцов определителя, приходим к D), а затем и к F).

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
463
Рассмотрим теперь случай, когда р (z) = zn -f- a^" -)-...-(- ал.
Пусть функция /(г) регулярна в \z\^>R и пусть r^>R и такое, что
min | р (г) | ^ R Т | | ^
R. Тогда по формуле Коши имеем в | z | ^> r
/(Р(*)) = -оЬ
/(о
G)
против движения часовой
где интеграл взят по кругу С: |С| =
стрелки. Разложим дробь —^-г—=-, как функцию от z, в окрестно-
р (z) — с
сти z—оэ в ряд Лорана
р (z) — с
p(z)-(
(8)
который относительно ? будет равномерно сходиться на С, если |
Из отождествления обеих частей в (8) приходим к равенствам
= *«(»=... = *„-! (9=о,
@
1 = 0,
@ = 0;
(9)
(Ю)
«; (И)
что A1) справедливо и при п<^т^.2п—1, следует из (9) и A0).
Подставляя разложение (8) в G) и имея в виду B), путем сравнения
коэффициентов получаем
=i, 2,...
A2)
Обратимся теперь к определителю Am. Подставим в него вместо
коэффициентов а% их интегральные представления A2), обозначив пере-
переменную интегрирования в v-ой строке (v = 1, 2, ... т) через ?„. Тогда,
в силу свойств определителей, А%, равно
... /их
A3)
X

464
НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ
[ГЛ. XI
При т<^я по (9) имеем А%, = 0. При т^п, положив т = пр-\-q,
0^.q<^n, займемся преобразованием определителя, входящего в пра-
правую часть формулы A3). Именно, прибавим к каждому столбцу,
начиная с последнего и до (п-\-\)-то, «-предшествующих столбцов,
умноженных соответственно на а„, otn_i , 04, и воспользуемся A1);
тогда получим определитель, у которого v-ая строка (v = l, 2, ..., m)
имеет вид
К (О, ¦••>
(О,
(С), ....
Далее (при m^2ri), прибавляем к каждому столбцу, начиная
с последнего и до Bп-\-1)-го, вновь я предшествующих столбцов,
умноженных соответственно на а„, ая_1( ..., at; тогда, используя
опять A1), получим определитель, у которого v-ая строка имеет вид
К(О
&,(О
После ^ таких операций придем к определителю,
v-ая строка будет иметь вид
у которого
Подставим так преобразованный определитель в A3) и перенесем
знаки интегралов обратно в строки. Изменим теперь обозначения
переменных интегрирования С, на новые; именно, переменную интегри-
интегрирования во всех элементах v-ro столбца обозначим через ?,.
Тогда, перенося знаки интегралов опять вперед, получаем
*• A4)
Проделаем теперь в определителе, входящем в A4), приведенные вы-
выше операции, но не над столбцами, а над строками. После р шагов
придем к определителю

*i(Ci)... MCJ
*e(Ci) ... VidJ
MCi) ... *s»_i(W
CA(W ... CA(C)
CA(d)...CAn<U
Ci*«(W..-Wta-i(CJ
Cf*i(Ci) ... С&яСУ
U*i(WO ••• Сая^яС^я)
Ся+i^a (Ся+i) • • • Сая*я+1 (Can)
Ся+A (C«+i) ... Свя *s/i_i (С»„) .
G*A.ftHi)-" ^„(^„)
^1*1(^.^1) ... Cr*,(U
$+iMCBp+1)...C2fV(Cm)
A5)
n
о
s
>
•a
н
s
ro
о
X
X
R
3
ft

466
НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ
[ГЛ. XI
составленному из р* квадратных матриц порядка п, 2р прямоугольных
матриц и одной квадратной матрицы порядка q; последние 2/?.-f-1
матрицы удобно рассматривать, как усечения квадратных матриц
л-го порядка, о которых только в дальнейшем и будет идти речь. На
основании (9), в каждой квадратной матрице указанного вида все эле-
элементы слева от побочной диагонали равны 0. Далее, прибавляя в каж-
каждой матрице k первых строк (k = \, 2, ... п — 1), умноженных соот-
соответственно на ak а.ь к (k Ц- 1)-й строке и имея в виду (9), приходим
к матрице, у которой будут отличны от нуля только элементы побоч-
побочной диагонали. Так как указанные операции одновременно совер-
совершаются и над полными строками определителя A5), то в результате
определитель A5) преобразуется в определитель, у которого останутся
отличными от нуля лишь элементы, содержащие Ьп. Но Ьп=\; сле-
следовательно, определитель A5), а значит, и А%, не зависят от а,,..., а„.
На основании доказанного, для вычисления А%. можно теперь поло-
положить ai = ... = an = 0. Тогда af = av при k = m (v = l, 2, ...)
а* = 0 при других k. Следовательно,
будет иметь вид
п
а,
V»
a3
a9 ^
i
A6)
— np-\-q,
где на большинстве незаполненных мест стоят нули. Переставляем здесь
столбцы с номерами л, 2я, ..., 2пр на 1, 2 р-е место (не меняя
порядка остальных столбцов), и далее строки с номерами /г —j— 1,
2я -(- 1, ..., я (р — 1) —|— 1 на 2, 3, ..., /7-е место. Тогда придем к

S 6] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 467
определителю, который будет равен определителю Ар умноженному на
определитель, имеющий при qфО q-ю строку снизу, состоящую толь-
только из нулей, и, следовательно, равный нулю. Если же q = О, то этот
последний определитель имеет тот же вид, что и A6), только с заме-
заменой р нар — 1. Повторяя с ним ту же операцию, после р шагов дока-
докажем, что определитель A6) равен ±АР. Итак, D) доказано. Отсюда
| = lim у\ А%р | = Нт •/1 Ар \п = j/~D,
р-юо р -юо
т. е. F). Теорема доказана.
Переходим теперь к приложениям этой теоремы.
Теорема 2. Для функций, регулярных в бесконечной обла-
области В с границей К, состоящей из конечного числа замкнутых
кривых Жордана и имеющих в окрестности z = oo разложение
оценка D^.d(K), даваемая теоремой 3, § 2, гл. VII,
является точной; здесь D определяется, как указано в теореме 1,
a d(K) — трансфинитный диаметр множества К-
Доказательство. Доказательство проведем здесь лишь для
случая, когда указанные в теореме кривые все будут аналитическими.
Тогда, обозначив через g(z, oo) функцию Грина для области В, заклю-
заключаем, что эта функция будет гармонической на К. Поэтому, при доста-
достаточно малом 8 ^> 0, уравнение g(z, оо) = — 8 определяет совокупность
замкнутых аналитических кривых Жордана, аппроксимирующих кривые
из К и определяющих область Вь, В cz Въ. Если gt (z, oo) — функция
Грина для области Вь, ini(z),p = 0, 1,..., — полиномы Чебышева
для границы Кв области В$, имеющие все свои нули на К.%, *и„, % =
= max | tn 8 (z) \, a d (AT8) — трансфинитный диаметр К.%, то легко
видеть, что gb{z, oo)=g{z, oo)-|-8, и, следовательно,
\ Нт
(см. § 3, гл. VII), причем сходимость в последней формуле будет рав-
равномерная в каждой замкнутой части области Въ, в частности на В.
Из последнего следует, что существует Л/^>0 такое, что при n^>N
на В будет \tn t(z)\^>mn 8. Значит, при n^>N множество Е* =
= Е (| tn 8 (z) | ==g; mn> 8) целиком лежит вне области В.
Возьмем теперь функцию

468 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ [ГЛ. XI
Составляя определители Ak для этой функции, легко убедимся,
что Ain+l = 1, п — 1, 2,...; поэтому для нее D Зь-1. С другой стороны,
так как она регулярна в |г|]>1, то по теореме 3, §2, гл. VII, D^.1.
Следовательно, имеем D — 1. По функции A7) образуем далее функ-
00 *
цию Д (z) —/(*n'J*гМ = У -g. Эта функция регулярна вне мно-
жества ?*, а в частности и в области В, и для нее по теореме 1
имеем D* = ymniD=ym^s; но lim ymni = d(Ki) = d(K)e~\
в-*оо
Следовательно, при п достаточно большом D*^>d{K)e~h — 8. Так
как 8 можно брать сколь угодно малым, то D* можно сделать
сколь угодно близким fc d(JQ. Это и доказывает точность оценки,
указанной в теореме. Теорема доказана.
Теорема 3. Каковы бы ни были комплексные числа а и Ь, це-
целое я>0 и континуум Е с d(E)<^yr\a— b\/4, любой полином
рп (z)=z" -j- Ci z"-^-... -f- cn принимает в дополнении к Е на плос-
плоскости z либо значение а, либо значение Ъ. Число У\а — Ь\/4 нель-
нельзя заменить большим числом без дополнительных ограничений на Е.
Доказательство. В § 2, гл. VII было показано, что для функ-
функции /(z) = — log (I : ]=—\- г-г + ... имеем D = \\ra у I А„ |==-т.
Применяя теорему 1 к этой функции и к полиному p(z)=z^n T ,
получаем, что для функции
•t>n(z) — a
будет D* — У\ а — Ъ |/4. В случае, если все корни полиномов рп (z) — а
и рп (z) — Ъ содержатся в континууме Е, функция Д (z) будет
регулярна в дополнительной области В, содержащей оо, и, следова-
следовательно, по теореме 3, § 2, гл. VII, п* — У\а — ?|/4 *^d(E). Но это
противоречит условиям теоремы. Следовательно, полином pn(z) при-
принимает в В по крайней мере одно из значений а и Ъ. Что оценку
для d(E) нельзя улучшить, показывает пример полинома pn(z) =
= zn-\-a и множества E=E(zn^e), где е — отрезок, соединяющий
точки 0 и Ъ — а. Действительно, в этом случае по теореме 2, § 1,
гл. VII имеем d (Е) = У | а — Ь1/4, а указанный полином рп (z) прини-
принимает значения а и Ъ соответственно в точке z = 0 и в точках
„ »4
У Ъ — а-е п , k=\, 2, ... , причем все эти точки лежат на Е. Тео-
Теорема доказана.

8 6] о /»-листных функциях 469
§ 6. О р-листных функциях')
Функция w=f(z), регулярная или мероморфная в некоторой об-
области В плоскости комплексного переменного z, называется /?-листной
(р=1, 2, ...) в этой области, если она принимает в В каждое ком-
комплексное значение w не более чем в р точках, т. е. если риманова
поверхность, на которую область В взаимно однозначно отобра-
отображается функцией w=f(z), покрывает каждую точку плоскости w
не более чем р листами.
В настоящем параграфе рассматриваются следующие классы
р-листных функций:
Sp — класс функций вида
+ ...), A)
регулярных и /?-листных в |
2]р — класс функций вида
Bg) B)
^-листных и регулярных в |?|]>1, за исключением полюса в ? = оо,
2!р — класс функций из 2!р> не принимающих в | Ч. \ ]> 1 значение 0.
Для этих классов р-листных функций, а также для некоторых их
подклассов здесь дается ряд точных оценок для начальных коэффи-
коэффициентов, и устанавливаются аналоги теоремы площадей, теоремы по-
покрытия и теоремы искажения, хорошо известных для однолистных
функций.
1°. Лемма. Если F(C) ? Л,р(р^ 1). то при Х>0 и р> 1 имеем:
e^o. C)
Доказательство. Функция w = F(С) отображает jС|^>р,
на риманову поверхность fRf, ограниченную некоторой анали-
аналитической кривой Lp и имеющую в окрестности w = oo максималь-
нре число р листов.
Пусть R и Ф — полярные координаты в плоскости w. Рассмот-
Рассмотрим интеграл
$#Х<*Ф, Х>0, D)
взятый по Lp в том направлении, при обходе по которому 9L ос-
остается справа. Этот интеграл есть предел суммы Римана, построенной
») Г. М. Голузин [1940].

470 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ [ГЛ. XI
следующим образом. Проведем из w = 0 достаточно большое число
п лучей Gi, О» ... , Оп, не касающихся Lf и не проходящих через
кратные точки Lp, и обозначим величины (^ 0) углов, образуе-
образуемых попарно соседними лучами, через ДФ^ ДФ2, ... , ДФ„. Точек
кривой Lp, лежащих над Qk(k = l, 2, ... , п), существует конечное
число. Пусть эти точки будут Aik, i4j ft) ... , А„ k> а их расстояния
от w = 0 равны, соответственно, Rlk, Rik, ..., Rnkk> причем
Ri,k~>Ri,k> ... ~>Rnk.k- Точке Alik(l=\, 2, ... , nk) ставим
в соответствие число ez ft, равное -J-1, если координата Ф, при при-
принятом обходе Lp, в окрестности Alk возрастает, и —1, если Ф там
убывает. Тогда интеграл D) будет пределом суммы Римана
, k Rl и + • • • + Ч. * *»*. *]
ч
Но если идти по Qk(k=l, 2, ... , п) от w ^oo к w = 0, то из гео-
геометрических соображений следует, что числа листов 9tp, лежащих
над отрезками луча Qk между Alk и Al+1 k(l=l, 2, ...), будут,
соответственно, равны р— ^ esk, и эти числа не превосходят р,
что дает неравенства
2
2 es.ft5&0, 1=1, 2, ... , пк, k = l, 2, .... я.
s = l
Поэтому, если положить
2
al.k= 2 S*. *'
то все числа alk неотрицательны.
Далее, имеем
ei.* = 81.*> °/,ft — a(-i,*=ef,*' /=2, 3, ... , nk,
и, следовательно, сумму E) можно переписать в виде
. * - *i *) + Ч * (^. * ~ ^з, *)+•••+ %. * -R»ft. ft] Дф*-
ft=i
Отсюда следует, что эта сумма всегда ^0. Поэтому и интеграл D)
будет ^0.

§ 6] о />-листных функциях 471
С другой стороны, так как кривая Lf имеет параметрическое
представление w = F(pe'\ 0sg;8sg2i:, то
2*
Но если положить F({,) = Rel<s>, ? = ре'9, то имеем щ- == ^ ¦? и, сле-
следовательно,
F)
Из F), по сказанному выше, имеем C). Лемма доказана.
2°. Исходя из этой леммы, докажем следующие теореягы.
Теорвма 1. Если функция B) принадлежит классу
ИО1)
л=1
Доказательство. Из C) при X = 2 имеем
А—1
или
f
71=1
При р->-1 отсюда следует G), и теорема доказана. При р=1 тео-
теорема 1 совпадает с теоремой площадей для однолистных функций.
Теорема 2. Если функцияB)принадлежит классу 2]р(р^1)
и если a1 = <x? = ... = aft_1 = 0 (k^s 1), то при n = k, k-\-\, ...
... , 2k — 1 имеем
Kl^!- (8)
Знак равенства в (8) достигается только для функции
(^) h| = l, (9)
принадлежащей классу 1
1) Прир = 1 теорема 2 была доказана автором [1938], где она оши-
ошибочно формулирована для класса Sj вместо Л,.

472 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ 1ГЛ. XI
Доказательство. По лемме, примененной к функции B), при
X ^> О и р ^> 1 имеем
2*
т A0)
При | С | ^> 1 положим
Тогда A0) дает
00
откуда при р -»¦ 1 получаем
|> (П)
л=.1
Но разложение [Р(ЩХ в |С|>1 начинается так:
и, следовательно, с„ = Хая при я = ?, А —|— 1, ... , 2k — 1. Имея это
в виду, из A1) получаем при \<^k и n = k, k-\-l, ... , 2k — 1:
т. е.
Полагая здесь Х==^-, получаем
К1*?2?. A2)
Знак равенства в A2) может быть только в случае, если с, = 0
при чфп, т. е. если
Be
hl = l. A3)
Функция A3) принадлежит классу 2]р> ибо функция
однолистна в |С|^>1. Теорема доказана.

о /цпистных функциях 473
Теорема 3. Если функция B)принадлежит классу ?р
то
К|«?2/>, \ч\^рBр — 1), A4)
причем знаки равенства здесь имеют место только для функции
+^P, Ы = 1. A5)
Кроме того, при л=1, 2, 3, ... имеем
К1<А,..р. A6)
где Ап р — конечная величина, зависящая только от п up.
Доказательство. Первая из оценок A4) следует из теоремы
2 при & = 1. Для доказательства остальных положим при |С|^1
2
Тогда, по лемме, при X = — и р ^> 1 получаем для р -»-1
2
откуда следует, что |ся|<;1 при всех п = % 3, ... Так как ая>я =
= 2, 3, ... , легко выражаются через с„, я=1, 2, ... , то этим A6)
доказано при л = 2, 3, ... , поскольку, кроме того, из |oii|^2p и
ci = ~ имеем |cj|^2. В частности, так как
то
причем знак равенства здесь, очевидно, достигается только для функ-
функции A5). Теорема доказана.
Оценивая правую часть в G) посредством оценок A4) и A5), не-
непосредственно получаем теорему:
Теорема 4. Если функция B) принадлежит классу 2JP' (p^l),
то
где Вр — конечная величина, зависящая только от р.

474 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ [ГЛ. XI
В частности: 1) при /?=2
2
71=1
знак равенства достигается только для функции
(l) ; A9)
2) при р-=Ъ
2" B0)
знак равенства достигается только для функции
h| = l. B1)
Отметим, что константы, аналогичные Апр и Вр для класса
существуют не всегда, что показывает пример функции
принадлежащей классу 2р при любом сиу которой, при с доста-
достаточно больших, коэффициенты а4> ... , <цр_\ сколь угодно велики.
Кроме того, любой полином zp-\-a.vzp~l-\- ... -\-а.р принадлежит
классу 23р-
Если отметить, что функция B) тогда и только тогда принадле-
принадлежит классу 23р» если функция -
'If
принадлежит классу Sp, и что при ^ = 02= ... =aft_i = O(?;^ 1),
имеем <х1 = я4= ... = aft_! = 0 и an = — an при n = k, k-\-\, ...
... , 2k — 1, то отсюда, по теореме 2, получаем соответствующую
теорему для класса Sp.
Теорема 5. Если функцияA) принадлежит классу Sp(p^l)
и если ai = aa= ... =aft_i = O (k^ 1), ото я/?и n = k, k-f-l, ...
... , 2* — 1 имеем
К1<Т- B2>
равенства в B2) достигается только для функции
?(*)=—^Ц* hl = i. B3)

§ 6] о />-листных функциях 475
принадлежащей классу Sp. В частности, для любой функции A)
класса Sp имеем | а41 <: 2р.
3°. Из предыдущего можно получить некоторые результаты о по-
покрытиях.
Теорема 6. Если 91—риманова поверхность, на которую
отображается круг |«|<^1 функцией A) класса Sp(p^l), то
1) 91 целиком покрывает круг |a>|<^j;
2) если а{ — а^ = ... = а„л = О, то 91 целиком покрывает
j F
круг |а»|<С-т> но не всегда больший круг с центром в w = 0,
поскольку функция
^ '+... B4)
принадлежит к рассматриваемому классу;
3) если ^ = 08= ... =ар=0, то 91 целиком покрывает круг
|«>К-д-» ко не всегда больший круг с центром в w=0, поскольку
функция
принадлежит к рассматриваемому классу.
Доказательство. Начнем с п. 2) теоремы. Пусть функция
принадлежит классу Sp, и пусть с — значение, которое f(z) не при-
принимает в |г|<^1. Тогда функция
также принадлежит Sp, и поэтому, по теореме 5,
откуда
т. е.
Это показывает, что 91 целиком покрывает круг |о>|<Ст- ^
функции B4) поверхность 91 не покрывает точку w = —j. Таким

476 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ [ГЛ. XI
образом, п. 2) доказан. Если же, в дополнение к предыдущему, ар=0,
то из B6) имеем |с|^у, т. е. 91 целиком покрывает круг jчзе>I<С"-
В случае функции B5) поверхность 91 не покрывает точку w — — у.
Этим доказан и п. 3).
Пусть теперь функция A) есть любая функция класса Sp. Тогда
функция
+1)=*p4-^fi*wm+- B7)
также принадлежит классу Sr Действительно* если бы существовали
в |*|<1 точки zt, -?„..., Zp+ь где fi(z^=fl(zi)= ... =
то имели бы
и, следовательно, в силу/»-листности функции/(г) среди чисел zf+K
z^ , ..., i?p%\ имелись бы равные. Пусть z{^~ =z$^" ; тогда za =
— Фи V+1 = l- Но так как в ряде B7) содержатся лишь члены со
степенями гя(р+1)+/', я = 1, 2, ..., то
и, следовательно, if = l. Из -цр=1 и Vм = 1 получаем ti=1, т. е.
zl = zi, что и доказывает />-листность.
Если теперь с есть значение, которое f(z) не принимает в | z | <^ 1,
то /i (z) не принимает значение Р У~с, и, следовательно, по п. 3) тео-
теоу\с|^-s-) x. e. \c\^^^i. Теорема доказана.
ремы, имеем
4°. Дадим еще оценку модуля производной для функций классов 23Р
Теорема 7. Если функция B) принадлежит классу ^(р^ 1),
1 ! 1
и
то в | С1 !> 1 имеем
с (a,, otj, ..., врл) — конечная величина, зависящая только от <xj,
..., лр_1.
Если же функция B) принадлежит к классу 23РО»^1), ото
С|>1
где с(р}—конечная величина, зависящая только от р.

§7] О ЗАДАЧЕ КАРАТЕОДОРИ — ФЕЙЕРА 477
Доказательство. Из B) имеем при С из |С|^> 1
2
00
2|
71=1
/~ 00
Лж=1
с |
откуда, имея в виду теоремы 1 и 3, и получаем теорему 7.
Отметим, что порядок оценок, даваемый теоремой 7, точный, ибо
для функции
принадлежащей классу 2р> пРи любом р ^> 1 имеем
§ 7. О задаче Каратеодори—Фейера
и об одной аналогичной задаче1)
В п. 1° этого параграфа дается простой вывод результатов Кара-
Каратеодори—Фейера, *) относящихся к задаче о продолжимости полинома
от z (за счет прибавления членов с высшими степенями z) до степен-
степенного ряда, представляющего рациональную дробь с постоянным моду-
модулем на | г | = 1, и о минимальном свойстве максимума модуля такой
дроби в | z | <^ 1 по сравнению со всеми другими функциями, регуляр-
регулярными в |z|<^l. Этот вывод основывается на простых результатах,
касающихся решения задачи коэффициентов для ограниченных функ-
функций. В п. 2° рассматривается продолжимость полинома, подобным обра-
образом вытекающая из результатов, касающихся задачи коэффициентов
для .функций с ограниченным средним значением модуля на концентри-
концентрических кругах, лричем соответственно и минимизация максимума модуля
заменяется минимизацией максимума среднего значения модуля. Один
частный случай продолжимости полинома, рассмотренный в п. 2°, не-
неоднократно находил приложение (Ландау, Фейер, Сас и др.) в оценках,
относящихся к ограниченным функциям. Однако проблема о точных
Г. М. Голузин [1946а].
Каратеодори и Фей«р [1911].

478 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ [ГЛ. XI
оценках оставалась нерешенной, если указанной частной продолжи-
продолжимости не существует. Наш второй способ продолжимости, как пока-
показано в п. 2°, позволяет наметить путь для получения точных оценок
во всех случаях, устраняя таким образом, по крайней мере принци-
принципиально, существующий пробел. Отметим, кроме того, что в п. 1°,
исходя из решения задачи Каратеодори—Фейера, дается простой вывод
окончательной формы решения И. Шуром задачи коэффициентов для
ограниченных функций в случае внутренних точек области коэффи-
коэффициентов.
Условимся теперь в обозначениях.') Пусть В — класс функций
f (z) = с0-\-с^-\-..., регулярных в |г|<^1 и удовлетворяющих
в |г|<^1 условию |/(г)|<:1; Hi— класс функций f(z) = co-\-
-\-CiZ-\- ..., регулярных в |z|<^ 1 и удовлетворяющих при 0 </ < 1
условию
2л
Введем в рассмотрение пространство 91„, п :э=1, точками которого
являются системы из п комплексных чисел (с0, с1( ..., с^), понимая
под окрестностью точки (с0, си..., сп_$ множество всех точек {с%,
с*,..., с?_ i), удовлетворяющих условиям \с% — cft | <^ e, k = О, 1,...
...,п — 1, с каким-либо е^>0. Исходя из понятия окрестности, опре-
определяются точки сгущения, внутренние и граничные точки множества,
открытые и замкнутые множества, выпуклые множества, — как обычно.
Впрочем, пространство Э*„ в случае надобности может быть рассма-
рассматриваемо как 2я-мерное эвклидово пространство с декартовыми коор-
координатами, являющимися вещественными и мнимыми частями чисел с0,
n
Множество точек (с0, съ ..., с„_^? 2И„ таких, что числа с0, с1г...
• ••у сп-\ являются первыми п коэффициентами некоторой функции клас-
класса В, обозначаем через В(п\ а аналогичную область по отношению к
Hi — через Hf). Это — ограниченные множества в 91Л, ибо как для функ-
функций из В, так и для функций из Н\ при всех k = 0, I, ...|cft|^l,
что следует из интегрального представления ck. Поскольку для функ-
функций из В и из Н\ имеет место принцип компактности, причем пре-
предельные функции вновь принадлежат соответствующему классу, то ??("'
и //<"> — замкнутые множества. Далее, так как из принадлежности
функций /i (z) и /а (г) к одному из этих классов следует и принад-
принадлежность функций X/jB)-)-(l—Х)/2(г) при 0<^Х<^1 к тому же
классу, то В№ и Щ^ — выпуклые множества. Очевидно также, что
начало @, 0,..., 0) будет внутренней точкой этих множеств, ибо
1) (Здесь сохранены обозначения работы автора [1946а].)

§ 7) О ЗАДАЧЕ КАРАТЕОДОРИ - ФЕЙЕРА 479
полиномы cu-\-clz-\-...-^-cn_izn'1 с малыми ck принадлежат как к В,
так и к Ну
1°. Теорем а 1 (Шура). Точкам (с0, с^ сп_$ на границе В(п)
соответствуют в В только дроби вида
Доказательство1). Допустим, что точке (с0, сь . ., cn_t) на
границе Bin) соответствует функция f(z) ? В, отличная от дроби
вида A). Образуем, следуя Шуру, последовательно функции
/0 (z) =/(¦?), Д (z) = - /» ('г) ~Л-'@) , ?=1,2,... B)
Покажем, что |/ft@)|<[ 1 при ?^0, 1 п — 1. Действительно,
так как fk(z), пока они имеют смысл, принадлежат В, то |/ft@)|^l.
Если бы теперь встретилось первое /v@) с |/v@)| = l, то /,(,г) = е,
| е | = 1, и тогда, вычисляя /v_t (z) /0 (z) по формулам, обратным B),
VW /ft-lW 1+/@)z/(z).
по индукции докажем, что
причем eft можно считать равными 1, ибо иначе добьемся этого изме-
изменением аргументов у всех Р«,..., Рц. В частности, и fo(z)=f(z)
будет дробью, которая при умножении числителя и знаменателя на
1 -j- z -j-... -j- .г""'"-1 приведется к дроби вида A), чего по условию
теоремы не может быть. Поскольку |Л@){<^1, ? = 0? 1 п—1,
то образование функций B) имеет смысл при k = 0, 1,..., я—1
(знаменатели ^0). Для этих функций имеют смысл и обратные фор-
формулы
JM^f^L ..,l,Mz)=f& D)
Сохраняя теперь значения/ft@), k = 0, 1,...,п—1, вычисляем функ-
функции fk(z), k = n—1, ..., 0, по формулам
..—1 1. да
») Основная идея доказательства заимствована у Шура. См. Шур [1917],
а также Бибербах [1927].

480 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ 1ГЛ. XI
Все /*(*)??. Из D) и E) имеем
?*(*)> k = n— 1 1, регулярны в |г|<1. Отсюда
(г) -/„_! @)).
Так как правая часть здесь имеет 2 = 0 нулем кратности не ниже и,
то /(г) и /о (г) имеют в своем разложении около z = 0 одинаковые и
первых коэффициентов, именно равных с*..., сл_1. Поскольку же/А @),
k = 0,1,..., в — 1, — некоторые рациональные функции от с0,..., с„^ь
Cfc ..., С„_! и при наших значениях с0, ct)..., с„_| удовлетворяют
неравенствам |/*@)|<[1, А = 0, 1,..., и — 1, то эти же неравенства
будут удовлетворяться и для всех систем чисел [ct,..., c*-0, доста-
достаточно близких к предыдущим. Вычисленные по Д @), соответствующим
с*, с*,..., c*-i, функции /1B) (по формулам E)) будут класса В.
С другой стороны,, если взять за /о (г) полином с*-{-...-|-«д-1*"
и вычислить затем /л (г), k = 1, 2,.... и — 1, по формулам B), то эти
fk (г) снова удовлетворяют D). Из D) и E), как выше, докажем, что
и теперь f(z)—/J (г) имеет в 2 = 0 нуль не ниже я-й кратности.
Следовательно, Д (г) имеет своими п первыми коэффициентами числа
с*,..., с*-ь т. е. соответствует точке (с*. •••. с*-0> которая в силу
этого принадлежит В^пК Это доказывает, что (св,..., c,,_i) будет вну-
внутренней точкой В(п\ в противоположность предположению. Так, гра-
граничным точкам Z?*"' могут соответствовать в В только дроби вида A).
Теорема доказана.
Теорема 2 (Каратеодори и Фейера). Какое бы на был
полином co-\-ciz-\-...-\-cn^lzn~1^$, существует, и притом един-
единственная,1) дробь вида
регулярная в \ z |<[ 1 н имеющая в своем разложении около z = 0
п первых коэффициентов, соответственно равных с0, сь ..., с^.
Среди всех функций f{z) = cu-\-clz-\-..., регулярных в |г|<[1, и
теми же с9, си..., с^у эта дробь и только она дает наимень-
наименьшее значение для величины AL = max|/(z)|.
Доказательство. Пусть q9 — верхняя граница чисел qJ>0
таких, что (дсъ..., qc^i) ^ B^nK Число qe конечно и положительно,
поскольку В^п> ограничено и имеет начало своей внутренней точкой.
') Единственная в том смысле, что две такие дроби, как функции от г,
тождественны, т. е. после возможных сокращений совпадают.

§7] О ЗАДАЧЕ КАРАТЕОДОРИ - ФЕЙЕРА 481
Имея в виду, что если некоторому q ^> 0 соответствует функция
/(*)?#> то я'> я'<^Я> соответствует функция ~f(z)^ В, получаем,
что (qc0,..., ясп~1) ?#(п) ПРИ всех q-^Яъ- Отсюда в силу замкну-
замкнутости В(п) заключаем, что (quc0,..., Wn-i)(E#(n)> причем из опре-
определения q0 следует, что (qoco,---, q«Cn-i} есть граничная точка В{п).
Ей соответствует в В, по теореме 1, некоторая дробь вида A). Дробь
R (г) = Х.<р (г), Х=—, будет вида F); она регулярна в |г|<^1 и
40
имеет в своем разложении около z = 0 первые п коэффициентов,
которые равны с0, сь..., спЛ. Первая часть теоремы, кроме един-
единственности, доказана. Оставляя пока в стороне вопрос о единственно-
единственности найденной дроби R(z), переходим ко второй части теоремы.
Пусть f(z) — любая из указанных в теореме функций с конеч-
конечным Mf. В таком случае разность f(z) — R (г), а следовательно, и
функция fao-\-----{-an-iZn l)(f(z) — R(z)) имеют разложение около
2 = 0, начинающееся с членов со степенями z не ниже п, что дает
(а, +... + а^О/(*) = * К-1 + • • • + «о*"'1) + S **¦«*.
k = n
откуда интегрированием по |г|=г, г<^1, квадратов модулей обеих
частей равенства получаем (z — re1®)
± J | а0 +...
о
Отсюда, заменяя \f(z)\ на max \f{z)|^max 1/B)\ — Mf и заста-
|f|=r |f|<I
вляя г стремиться к 1, находим
Следовательно, Mj~^:\ — Mr(z), причем знак равенства имеет
место только в случае, если все <*л = 0, k — n, n-\-\,..., т. е. если
f(z) = R(z). Этим доказана вторая часть теоремы.
Отсюда же легко следует и единственность R(z). Действительно,
если бы кроме R (г) существовала другая дробь R* (г), с тем же на-
началом разложения, что и R(z), то, обозначив соответствующее ей X
через X*, получим на основании доказанного минимального свойства,
примененного один раз к fi(z) и f(z) = R* B), другой раз к R*(z) и
f(z)—R(z), что Х.*5=Х., \^\*, т. е. что Х. = Х.* и, следовательно,
что Я* B) = J?B). Теорема доказана.
16 Г. М. Голузии

482
НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ
(ГЛ. XI
Дробь R(z), о которой говорится в теореме 2, однозначно
определяемую через ?•„..., е„_г, обозначаем далее через Ft (z, с0,...,
Cn_i). а соответствующее ей число X — через X (с0,..., с^_{).
Теорема 3 (Каратеодори и Фейера). Число X(с0,...,с^)
равно наибольшему положительному корню уравнения 1п-ой
степени
— X 0 ... О с0 ci ... сп_%
О — X ... О 0 с0 ... сп _s
о о
— X
= 0
G)
Если все с0, сь..., с„_! вещественны, то и X (с0,..., сп_г) будет
также наибольшим из абсолютных значений вещественных корней
уравнения п-ой степени1)
— X 0 ... О
О —X ... сл
= 0 (8)
«О
с0 Ci ... ся_1 — X
Доказательство. Ищем все дроби вида
S-, *>0, (9)
имеющие в разложении около 2 = 0 первые » коэффициентов, соот-
соответственно равных Со,..., с„_1. Среди этих дробей содержится и дробь
i? B, с0 сп_{). Из
приведением к общему знаменателю и сравнением коэффициентов при
одинаковых степенях в числителях получаем систему уравнений для
определения X, Од,...,
A0)
') Впрочем, по известным свойствам характеристических уравнений
уравнения G) и (8) имеют все корни вещественные, но для нас это несуще-
несущественно.

§71 О ЗАДАЧЕ КАРАТЕОДОРИ —ФЕЙЕРА 483
Присоединяя к этим уравнениям уравнения, полученные из A0)
заменой всех членов на сопряженные, будем иметь систему 2и линей-
линейных однородных уравнений, с 2и неизвестными an_lf..., а0, а0,...,
а„_!. Для того чтобы эта система имела ненулевые решения, нужно,
чтобы ее определитель был равен нулю, что приводит к уравнению G),
которому должно удовлетворять соответствующее X. Поскольку иско-
искомые дроби существуют (примером их может служить дробь
R (г, с0 Ся-i)), то уравнение G) должно иметь положительные
корни. Для каждого такого корня упомянутая система уравнений
имеет ненулевые решения относительно неизвестных anJ,..., а0,
<Н> • • •. <*n-i- Однако необходима такая система значений этих неизве-
неизвестных, в которой a.k и aft, k — 0, I,..., в— 1, будут сопряженными
числами. Такая система существует. Действительно, если,^^!),...,
(Lo, Ро Рд_1 — любая ненулевая система решений, то числа (Jn_i,...,
Ро> ?-(»•••> Р-(л-1)> как легко проверить, также дают систему реше-
решений, а потому решениями будут и каждая из систем fk = fyk -\- C_ft,
k = — (»— 1), ..., — 0, 0,..., »—1, и 84 = /(рА — p_ft), k =
= — (и—1),..., —0, 0,..., (и—1), причем по крайней мере одно
из этих решений отлично от нулевого, ибо иначе и система fyk была
бы нулевой. Так как -у* и Ък удовлетворяют условиям f*===7-*>
8А = 8_А, то этим и доказано сделанное утверждение. Итак, доказано,
что каждому положительному корню уравнения G) соответствует
дробь (9) требуемого свойства.
¦ Пусть теперь все различные положительные корни уравнения G)
суть Хо \, \0 ^>... ^> Х„ и пусть им соответствуют дроби
Ro(z),..., /?,(*) вида (9). Покажем, что только R0(z) регулярна в
|г|<[1. Действительно, отметим прежде всего, что дроби Rk(z),
k — 0, I v, не имеют нулей и полюсов на |г| = 1, поскольку на
|г| = 1 имеем \Rk(z)\ = \k, k = 0, I v. Пусть теперь Rko(z) —
регулярная в | z \ <: 1, а /?*, (г) — любая другая из дробей Rk (г). Раз-
Разность <f(z) — Rko(z) — Rkl (г) имеет разложение около 2 = 0, начи-
начинающееся с членов не ниже п степени. Поэтому <р(г) имеет в |z|<[ 1
число корней -z^n (с учетом кратности), а число полюсов а^.п—1,
именно все полюса #*, (г). Далее, на | z \ = 1
и, следовательно, <р BO^0 на |г| = 1. Поэтому arg<pB) при обходе
|г| = 1 получает приращение 2к(х — a), a arg/?*^) — приращение
2iz(t — а), где t — число нулей Rkt(z) в |г|<^1; <<;»—1. Отсюда
приращение arg п } \ при обходе | z \ = 1 будет равно 2ic (х — f) ^ 2ic.
Следовательно, на |г| = 1 существует точка z0, в которой 2 ,щ\
16»

484
НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ
[ГЛ. XI
положительно. Имеем
т. е. Х*0^>ХА1. Это показывает, что Хко должно быть равным Хо, т. е.
дробь (9), регулярная в |г|<^1, отвечает наибольшему корню уравне-
уравнения G). Поэтому R(z,c0,..., cn_i) = R0(z), а Х(с0 спЛ) = К
что и доказывает первую часть теоремы.
Теперь в случае вещественных с0,..., с„^ь если положить
o.k = xk-\-iyk) система A0) по отделении вещественных и мнимых
частей распадается на две отдельные системы по п однородных ли-
линейных уравнений с неизвестными (соответственно) хк, ук, причем
определитель первой системы есть определитель (8), а второй — d (— X).
Для существования ненулевых решений системы G), очевидно, не-
необходимо и достаточно существование ненулевых решений одной из
этих систем, т. е., чтобы X. было корнем уравнения dn(\)dn(—Х) = 0.
Далее, как и при доказательстве первой части теоремы, покажем, что
X. должно быть наибольшим корнем этого уравнения, т. е. наиболь-
наибольшим из абсолютных значений корней уравнения (8). Теорема дока-
доказана.
Прежде чем перейти к следующей задаче типа Каратеодори —
Фейера, дадим приложение предыдущего к выводу окончательной
формы решения И. Шуром задачи коэффициентов для ограниченных
функций в случае внутренних точек области коэффициентов.
Теорема 4 (Шура). Для того чтобы (с0,..., cn_t) была вну-
внутренней точкой В(п\ необходимо и достаточно, чтобы выпол-
выполнялись неравенства
1
0
0
с»
0
1
0
0
Со
* * •
...
... 1
... о
... 0
со
0
0
1
0
С\
со
0
0
1
." ск-
... Со
... 0
... 0
= 1,...,л. A1)
Ck_i ... Со О О ... 1
Доказательство. Отметим, что определитель Dn(X) (см.G)) —
четная функция от X; ибо если в определителе /?„(—X) вынести из
первых п строк и из в последних столбцов по множителю — 1, то по-
получим ?>„(Х). Поэтому определитель ?>„A) имеет вид A1).
Докажем сначала необходимость условий теоремы. Если точка
(с9, • • •. <Vt) лежит внутри В{п\ то и точка (дс0 Яс1^-\) с некото-

§ 7| О ЗАДАЧЕ КАРАТЕОДОРИ - ФЕЙЕРА 485
рым у^>1 лежит в В^"\ Следовательно, существует функция f(z)?-B
с началом разложения дс0 -\-... -f- qc^iz" -j-... Функция же Л (г) =
=?Ю- = с0 -)-...-)- cn_^~l +... удовлетворяет в | z |<^ 1 неравенству
l/i (*) I *S —. По теореме 2 отсюда следует, что X. (с„ cn_t) sg: —. Но
тогда по теореме 3 Dn(k) не имеет корней в 1 sg: X <^-|-оо и так как
Dn(-{-oo)=-\-oo, то Dn(l)^>0. Далее, поскольку (с0,..., сп_^ —
внутренняя точка 5(л', то (с0 ск_{), ks<^n, очевидно, внутренняя
точка 5(*' в пространстве Шк и, следовательно, аналогично ОлA)^>0,
? = 1, 2,..., и—1. Этим необходимость условий A1) доказана.
Докажем теперь достаточность условий теоремы. Если условия A1)
выполнены, то уравнения Dk(k) = 0, k=l,..., п, не могут иметь
корней в 1 sg X. <^ -|- оо. Действительно, допустим противное, и пусть
?)A(Х) = 0— уравнение с наименьшим k = \>,, имеющее корни
в lsgX<^-|-oo. Обозначим через Dk, i(k)(k, l==l, 2,..., и) — минор
определителя D^ (X), полученный из D^ (к) вычеркиванием k-ft строки
и /-го столбца, а через Dw> ы (к) — минор D^ (X), полученный вычер-
вычеркиванием k-ft и 1-й строки и А-го и /-го столбцов. По известным
свойствам определителей
D1v.(\)=fiDk,k(k), A2)
Dk, k (I) Dt, i A) — Dk, t (к) Dt, * (X) = D^ (к) Dh, ы (к), A3)
причем в данном случае, при вещественных к, Dk, * (X) вещественны,
Dk, i (к) = Dk, i (к) и D\, i (к) = — kD». -1 (к). Если к* 5ь 1 есть кратный
корень DA(X) = 0, то из A3) следует, что все Dk, *(X*), k— 1, 2
2[а, отличные от 0, имеют одинаковый знак, а тогда из A2) следует,
что Dk, *(*.*) = О, k=l, 2,..., 2[А, поскольку D^(X.*) = 0. В частности,
?>i, 1 (X*) = — ^*Dp.-i (X*) = 0, чего быть не может. Это доказывает, что
уО^(к)==0 нет кратных корней в 1 sg: к <^ -)- оо. Далее, в 1 sg: к <^ -)- оо
не может быть более одного простого корня, ибо иначе, обозначая
через к* и к** два последовательных корня и пользуясь A2) и A3),
докажем, что D'^ (к*) и D^j (X*) имеют одинаковые знаки и аналогич-
аналогичные с Dl,(k**) и D^.ifX**). Но D'tik*) и D^(X**) имеют, очевидно,
разные знаки, поэтому и D^fk*), и D^ifX**) должны иметь разные
знаки, а это приводит к тому, что D^i (к) = 0 имеет корень между
к* и к**; так как вследствие допущений это невозможно, то D(V(X) = 0
не имеет более одного корня в1 sg: X <^-|-оо. Однако DA(-)-co) = -(-от,
ОцA)^>0; следовательно, ОДХ);^ совсем не имеет корней в
1 sg: X <^-)-со, что противоречит предположению. Это противоречие
доказывает, что Dn (X) = 0 не имеет корней в 1 ==g X <^ -|- оо. По-
Поэтому X(с,»..., cn_i)<^\ и, следовательно, дробь R(z, с0,..., с^
будет примером функции класса В, отличной от дроби вида A)

486 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ [ГЛ. XI
и с началом разложения с0 -|-... -|- c^z*" -(-... По теореме 1 точ-
точка (с0,..., ?¦„_!> есть внутренняя точка В{п). Достаточность условий
теоремы доказана.
2°. Теорема 5. Точкам (с„,..., с^ на границе Н^ соответ-
соответствуют в Hi только полиномы вида
< A)
где
++"^0 в |г|<1.
Доказательство. Решим следующую экстремальную задачу:
оо
среди функций /(г)= ^ сья^ класса Н\ найти такие, для которых
А = 0
величина
при заданных комплексных ^*» одновременно не равных нулю, имеет
наибольшее значение.
Так как по известным граничным свойствам1) функций класса Ну
оо
функция f{z)= 2 c*z* ? -^i почти всюду на |г| = 1 имеет опреде-
ленные предельные значения по всем некасательным путям, идущим
из | z | <^ 1, и выражается в | z \ <^ 1 через эти предельные значения
по формуле Коши, то, как следствие, отсюда получаем для коэффи-
коэффициентов ck интегральные представления
К 1 = 1
k==0>
(здесь под /(С) следует понимать указанные предельные значения).
На основании этого
я-1
^ 1 Ч f(О
А=0 |С| = 1
Но, кроме формул B), имеют место также формулы
о^т \ /(C)C*dC=O, k = 0, I,...
S3" •) J
1СГ-1
') Если оставаться в рамках элементов теории функций, то под классом Я,
можно в последующем понимать функции, подчиненные добавочному усло-
эию, что они непрерывны в |z|s?l,

$7, О ЗАДАЧЕ КАРАТЕОДОРИ-ФЕЙЕРА 487
Это позволяет заменить в C) скобку под интегралом любой функ-
функцией, регулярной в |С|^1 и имеющей в своем разложении около
С=0 первые п коэффициентов, соответственно равные ?n-i т0-
В качестве такой функции можно, в частности, взять дробь R(z)
вида F), п. 1°, построенную по этим данным. Тогда из C) получаем
л-1
и, следовательно,
л-1
*=о
5" \
|С 1 =
S 1/Ю*1<* = *(Ъл То), D)
|С|-1
т. е.
л-1
Т/.-1 То); E)
здесь Х.(т„_1, ..., То) — величина, указанная в п. 1°.
Выясним, может ли в E) иметь место знак равенства и для каких
функций? Для этого нужно, чтобы и в D) были только знаки равен-
равенства, т. е. чтобы /(г) удовлетворяла двум условиям:
1) агё гд-1 ! ~const почти всюду на |С| = 1;
2)^ J 1/@*1 = 1.
КГ-1
Но дробь
П
fe = 1
после возможных сокращений примет вид
где ос^ —|— —|— а;** ф 0 в | г | ^ 1. Поэтому на | С | = 1
++a^v)S F)

488 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ [ГЛ. XI
и условие 1) равносильно тому, что последний аргумент имеет почти
всюду на j С | = 1 постоянное значение, т. е., иначе говоря, функция
е'р -я-v-t / .Д. ц-а'С)8 ПРИ наДлежашем Р имеет почти всюду на
| С | = 1 лишь вещественные предельные значения. Но тогда функция
ср (С) = e^f^l~yc^-~^^, регулярная в | С|< 1 и с интегралом
s- \ | <р (re'9) | db, ограниченным при 0<><[1, имеет мнимую часть,
предельные значения которой на | С | = 1 почти всюду совпадают со
значениями аналитической функции дуги. Представив У(ср(г)) в | z|<^ 1
через свои предельные значения по формуле Пуассона, что возможно,
поскольку ср (г) сама представима таким образом через свои предель-
предельные значения, заключаем, что J (9B)) — аналитическая функция дуги
на |г| = 1 и непрерывная на |г|^1. А это, в свою очередь, при-
приводит к тому, что ср (г), а следовательно, и/(г) регулярны в |г|^1.
Итак, экстремальные функции следует искать только среди функ-
функций/(г), регулярных в |г|^1. По сказанному выше, условие 1)
равносильно тому, что последний аргумент в F) имеет постоянное
значение на | С | = 1 или, что то же самое, что arg
(»;+•••+«;<')¦
при обходе | С | = 1 в положительном направлении получает прира-
щение 2тс(и — v — 1). Это показывает, что функция , .. у _..,,..,
имеет в | ? | <^ 1 точно и — v — 1 нулей с учетом их кратности, при-
причем для нулей на | С | = 1 берется половинная кратность. Далее, по
принципу симметрии (примененному к ¦.„_,_,, , Д_ . ,.v,8 ) сле-
следует, что эта функция регулярна в |С|^1, кроме полюса в С = оо,
и имеет нули, симметрично расположенные к предыдущим нулям
относительно |С| = 1. Следовательно, /(С) должна быть вида
/сэ=с («; +... + °лт (р. + • ¦ • + Р»-,-!^-1) х
x^-i+.-.+PoJ:11-'-^ G)
причем с = const. Выбрав с так, чтобы выполнялось и условие 2),
приходим к функции f(z) ? Hi, для которой в E) только и может
иметь место знак равенства. Проверкой в D) убеждаемся, что при
любом выборе Ро, ..., Р„_,_1 и соответственном выборе с действи-
действительно в E) имеет место знак равенства. Таким образом, найден весь
класс решений нашей экстремальной задачи.1)
*) Отметим, что вопрос об оценках, относящихся к классу Ни подробно
исследован автором в работе [1946ж]. (Эта вторая работа автора непосред-
непосредственно связана с результатами данного параграфа. Она не могла быть
включена в книгу по техническим причинам.)

S 7J О ЗАДАЧЕ КАРАТЕОДОРИ - ФЕЙЕРА 489
После этого переходим к непосредственному доказательству тео-
теоремы 5. Пусть (с0 cn_j) — граничная точка Н^\ Рассматривая Н^\
как множество точек 2и-мерного эвклидова пространства с декарто-
декартовыми координатами хк, yk(ck=xk-\-lyk) и имея в виду его выпук-
выпуклость, заключаем, что через (с0 cn_j) можно провести гиперпло-
л —1
скость 2 (р-ьХк -f- PftV*) = с> с^>0, обладающую свойством (опорная
плоскость), что Н[п) целиком лежит в части пространства, определяе-
л —1
мой неравенством 2 0х*** + %Ук) ^ с (Минковский). Так как урав-
*-0
л-1
нение гиперплоскости можно записать в виде 5R ( ^ Т*с*)= с'
*=о
*(к = а.к — фА) то из принятого заключаем, что для всех функций
л —1
Hi выполняется неравенство Ы( ^ "(kck)*S^c'> но так как
вместе cf(z)?Hi и e"'f(z)^iH1 при любом вещественном а, то
п—1
I \ Но для любой функции f(z)(^Hi, соответствующей
А 0
взятой выше граничной точке (с0, ..., сп_д, здесь имеет место знак
равенства. Следовательно, эта /(г) будет экстремальной и поэтому
должна иметь вид G). Теорема доказана.
Теорема 6. Каков бы ни бил полином с9-\-ctz-(-...-)-
*1 ф 0» существует, и притом единственный, полином вида
Р (*)=(,++,) ф0 ++ рв_1) (?„_,_! ++ ро
(8)
имеющий коэффициенты при г°, г, ..., г" равные с0 сп_%.
Среди всех функций f(z) = co-\-c1z-\- ..., регулярных в |г|<^1,
и с теми же с0, сь ..., ?¦„_!, этот полином дает наименьшее зна-
значение для величины
Jf= sup f |/(re11)!*».
Доказательство. Существование требуемого полинома P{z)
вида (8) доказывается, исходя из теоремы 5, совершенно так же, как
соответствующий вопрос теоремы 2 доказывается на основе теоремы 1.
Оставляя пока в стороне вопрос о единственности, установим ука-
указанное в теореме минимальное свойство этого полинома.

490 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ 1ГЛ. XI
Достаточно рассматривать функции f(z), указанные в теореме,
с конечным Jf. Если/(г) — любая из таких функций, то f(z), как
известно, имеет при приближении из |г|<^1 к | z | = 1 почти всюду
определенные предельные значения по некасательным путям; обозначим
их через /(е'°). Имеем
Jt = sup f \f(reif>) | dB = lim f \f(rew) \ dB = f |/(e'e) \ dt
o<r<i s r-i 5 5
Положив теперь f(z) = P(z)-\-znQ(z), видим, что Q(z) регулярна в
||[1. Имеем
14=1
¦1
I с
If /С
Но на К1 = 1
P(C)=(ao+ ... +avC)sC"-'-1|Po+ ... +Pn-*-iC-v-1|s A0)
и, следовательно,
Подставляя это в последний интеграл (9) и вычисляя его затем по
теореме о среднем, видим, что он равен 0. Таким образом,
ICl-l
Знак равенства здесь будет только в том случае, если почти всюду
на |С| = 1
^( I ^ @1а — C"Q (С) Р (С))=0, т. е. J(C"
что, согласно A0), может быть еще записано в виде
Так как функция -.— , > rn8 представима в |С|<Г 1 через свои
предельные значения на |С| = 1 по формуле Пуассона, то то же бу-

§ 7] О ЗАДАЧЕ КАРАТЕОДОРИ — ФЕЙЕРА 491
дет и с мнимой частью и, так как предельные значения почти всюду
равны нулю, то QB) = 0 в |г|<^1, т. e.f(z) = P(z). Это показывает,
что P(z) будет экстремальной функцией и притом единственной для
рассмотренной экстремальной задачи. Из единственности экстремальной
•функции следует теперь и единственность, о которой говорится
в первой части теоремы. Теорема доказана.
При доказательстве теоремы 5 был рассмотрен вопрос об оценке
я—1
суммы | 2 Т*са I относительно функций класса Hh в результате чего
получилась точная оценка E) и был выявлен весь класс функций,
для которых найденная верхняя граница достигается. Теорема 6 по-
позволяет исследовать аналогично этот вопрос для функций класса В.
00
Пусть f(z)= ^с^^В и fft. k = 0, I я—1, —любые
*=о
комплексные числа, одновременно не равные нулю. Имея в виду фор-
формулы B), опять получаем
я-1
2j S
*=о | ст-1
Заменим теперь полином под интегралом на полином Я (О с таки-
такими же коэффициентами при С°> С ... ( С", представленный в форме
(8). Тогда
ш
*=0 ||
и отсюда
п-\
|2т*'* <-^- { |/(C)P(C)dc|^ \ |яюл:|, A2)
4=0 | С | — 1 |СГ-1
т. е.
я-1
Для того чтобы в этой оценке для некоторой функции /
имел место знак равенства, необходимо и достаточно, чтобы выпол-
выполнялись условия:
*) "8 гя-1 = const почти всюду на |С| = 1»
2) |/@| = 1 почти всюду на |С|=1.

492 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ 1ГЛ. XI
Условие 1), эквивалентное условию
arg /№)("» + ;¦¦+"»?'>' =Const почти всюду на |С| = 1,
приводит, как и выше, к тому, что /(Q должна быть регулярной
в |С|^1. Но это условие можно представить в виде
/(QK+ -W4 = const „a |С| = 1,
а отсюда тотчас же заключаем, что
/ю=» ::+,.т+$' s=const:
далее, из условия 2) имеем |е| = 1. Такова единственная возможная
функция, для которой в A3) возможен знак равенства и, как легко сле-
следует из A2), он действительно имеет место. Полученная оценка точная.
Отметим, что в прежних работах различных авторов оценка сумм
A1) для класса В делалась заменой полинома справа на квадрат дру-
другого полинома степени не выше п — 1, имеющего те же коэффици-
коэффициенты у С0, С, ..., С1, что и у первого полинома. Однако полученная
оценка могла оказаться точной лишь случайно, когда соответствую-
соответствующий полином (8) также является полным квадратом. Так получилась,
в частности, точная оценка для конечной суммы sn = с0 -\-... -\- сп_г
(Ландау1)), а также и точная оценка среднего арифметического конеч-
конечных сумм о„= 5° + --- + 5д-> *) Однако для модулей произвольных
функций класса В получились оценки, не всегда точные (Сас3)). Это
объясняется тем, что в последнем случае в интеграле типа A1) скобка
была заменена полиномом, не являющимся полиномом типа (8) для

§ 8. Некоторые оценки для ограниченных функций4)
Рассмотрим следующие классы аналитических функций:
1) класс В функций f(z), регулярных в круге |г|<^1 и таких,
что |/(г)|<1 при И<1;
2) класс R функций f(z), регулярных в круге | z \ <^ 1 и таких,
что 31 (/(*)) =3=0 при |г|<1;
3) класс BQ функций f(z), регулярных в круге | z \<^ 1 и прини-
принимающих при | z | <^ 1 лишь значения из данной замкнутой выпуклой
области Q.
См., например, Ландау [1929а].
См. там же.
Сас [1920].
4) Г. М Голузин [1950].

«81
НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ ОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ
493
Нашей целью является, прежде всего, установление таких точных
оценок, относящихся к функциям класса В, в которых экстремаль-
экстремальными функциями могут быть только функции f(z) = ezm, |е|=1.
Подобные оценки, касающиеся производной, рассматривались автором
и ранее, причем основным средством была тогда инвариантная форма
леммы Шварца1). Здесь мы используем существенно другой метод,
позволяющий изучить вопросы в весьма общем и исчерпывающем ви-
виде. Этот же метод применяется параллельно и для установления
соответствующих оценок функций классов
1°. Установим общие теоремы.
Теорема 1. Пусть т — целое неотрицательное число,
1п{п = т, /я-J-l, ...) — комплексные числа такие, кто ^т^0,
аз
2 1Т«1<°°. Тогда
п=т
1) если т = 0, то для того чтобы для всех функций f(z) =
и Ва.
2
/1=0
имела место оценка
со
: 1 To 1.
необходимо и достаточно, чтобы
оо
я=0
A)
B)
знак равенства в A) имеет место только для f(z) = c0, |с»| = 1;
2) если /и^>0, то для того чтобы для всех функций f(z) =
C)
= ^ cnzn (^ В имела место оценка
л=0
оо т — 1
_LYTnC „+-3
Пштт Л = 0
необходимо и достаточно, чтобы
D)
*) См. Г. М. Голузин [1945]. Отметим, что еще раньше тем же путем
Дьедонне [1931а] получил следующий результат:
00 _
Если f(z) = 5j cnz" 6 В, то в круге | г \ ^ У 2 — 1, но не всегда в ббль-
л=1
шем круге, имеет место оценка: |/(z) |^1 (см. также Каратеодори [1936]).

494 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ [ГЛ. XI
знак равенства в C) имеет место только для f(z) = cmzm,
(Отметим, что, в силу условий теоремы, ряды в B) и D) равно-
равномерно сходятся на окружности |?| = 1, а ряды в A) и C) сходятся
для йсех/(г)?5, поскольку тогда |с„|<:1 (и=0, 1, ...).)
Доказательство. Так как функции /(г) = ^crzn^B имеют
л»о
почти всюду на окружности | z \ = 1 определенные предельные зна-
значения по радиальным путям, то, обозначая эти предельные значения
на |С| = 1 через/(г), из формул
где 0<><Ч, предельным переходом при г-»-1, получаем формулы:
^=^г[Ш^ [f(Q(.naX = 0 (»=0, 1,...),
где С — окружность |?| = 1, а интегралы понимаются в смысле
Лебега. На основании этого и равномерной сходимости ряда
оо
^ Тл^" на окружности |С| = 1, имеем:
?- 2,
-_LCZW °°
С "™
п=т С п—т"™
оо 2т
'"«=111+1
т. е.
оо т — 1
IV ,1

8 8]
НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ ОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ
495
при и = 0 вторая сумма слева в равенстве E) отсутствует. Если на
окружности | С | ===== 1 выполнено условие D), то из равенства E) по-
получаем (? = е*9)
т. е. оценку C), а при /я = 0 оценку A). Так как функция, стоя-
стоящая в квадратной скобке в равенстве E), не равна тождественно
нулю на окружности |?| = 1, то знак равенства в соотношении C)
или в A) будет только тогда, когда |/(С)| = 1 и arg"^p = const на
множестве точек окружности | С | = 1 положительной меры. Но при
этом -Jjjl = const на указанном множестве, а это может быть только
в случае если f(z) = eiazm в круге \z\<^ 1, и тогда в соотноше-
соотношении C) или в A) действительно имеет место знак равенства. Итак,
достаточность условий теоремы доказана.
Допустим теперь обратно, что оценка C), а при /я = 0 оценка
A), имеет место для всех f(z) ? В. Применив ее для функции
у которой
получаем:
-*
1-М
или, возведя в квадрат,
л-т-1
1.
Перенося член |а|3 в правую часть и сокращая обе части на общий
множитель 1 — | а \\ получаем:
i 2 >«"-
чп-т-1
n-m+1

496 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ [ГЛ. XI
Если здесь | a J —*-1, то, как следствие, получаем неравенство D)
при С = ?; так как arga произволен, то это и доказывает необходи-
необходимость условия D). Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть fn (я = 0, 1, ...) — такие комплексные
числа, что 70 ?? О и ^ i Тл I *С °°- Для того чтобы для всех функ-
л=0
оо
ций f{z)= 2 cnz"^R имела место оценка
л=о
необходимо и достаточно, чтобы
00
Я» (_L_ у Y гп\ -->. 1 мл IГ I 1 П\
\ ¦» Aj Т/г» I ** 2~ ' I ' '
л=0
Доказательство. Допустим, что условие G) выполнено, и
пусть f(z)^R. Как выше (формула E) при т = 0), докажем фор-
формулу:
|| л=0
где С=ге<4|>, 0<р<г<1. Отсюда
»(i I w)-il «tf«»H^2b(f Л -1]* m
л=0 0 л=0
Так как здесь подынтегральная функция неотрицательна, то
31Г7,
и это справедливо при любом р, 0<р<1. Но ряд ^ Тлсл сходит-
ОО 00
ся, следовательно, ^ ТлслРя-*- 2 Т»сл ПРИ Р~*-Ь и из соотношения
л=0 л=0
A0) получаем оценку F). Достаточность условия теоремы доказана.
Для доказательства его необходимости применим оценку F) к функ-
функции

§ 8] НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ ОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ 497
тогда получим:
i
/1=1
что и дает условие G) для С=а. Теорема доказана.
Теорема 3. Пусть fn(n — Q, 1, ...) — такие комплексные чис-
числа, что т0 ф 0 и \imj/ | fя I ^ 1- Для того чтобы для любой функции
Л-» 00
с» оо
f(z)= ^c^^Bq всякий раз, когда ряд 2 Тясл сходится, было
п~0 л=0
0
достаточно, чтобы
00
Н^ 02)
Доказательство. Считая опять 0<[р<[г<[1, имеем форму-
формулу (8), которую запишем в виде:
2к
где
п=0
Так как по условию A2) гг(СMгО на окружности |?| = г и
^ H(Qd<p=l, то интеграл справа в равенстве A3) можно рас-
сматривать как интегральное среднее от /(?) на окружности |?| = г
с весом h(Q, и из того, что значения/(С), |С| = г, лежат в выпуклой
со
области О, следует, что и это среднее лежит в О, т. е. 2ТясяРя(Е0-
л=0
оо
Отсюда вытекает, что если ряд2т»сл сходится, то предельным пе-
л=0
реходом при р -> 1 получаем условие A1). Теорема доказана.
Отметим, что достаточность утверждений в теоремах 1 (при
т = 0) и 2 следует из теоремы 3.

НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ [ГЛ. XI
Теорема 4. Пусть •$, •$ (я=0, 1,...)— такие комплекс-
комплексные тела, кто Ц? ф О, ^ = 0 и
л=0
го, чтобы для любой функции f(z) =
2
д=0
л-0
f] | Т«) | < оо. Для то-
л=0
Во ижело место
A4)
необходимо и достаточно, чтобы
знак равенства в соотношении A4) имеет место только для
функций f(z) = ct, | с, | = 1.
Доказательство. Неравенство A4) выполняется в том и толь-
только в том случае, когда при всех вещественных а выполняется нера-
неравенство:
д=0
л=-0
л = 0
Но при фиксированном а неравенство A6) в свою очередь выполня-
выполняется для всех функций /(г) ^Вв том и только в том случае, ког-
когда (теорема 1)
Следовательно, для выполнения неравенства A6) для всех f(z)? В
необходимо и достаточно выполнение неравенства A7) при всех
вещественных а, что эквивалентно условию:
Зг-Й- на |t| = ]
1 = 0
а это и требовалось доказать. Что касается знака равенства в соот-
соотношении A4), то по теореме 1 он будет иметь место только в слу-
случае /(г)^с0, |ео| = 1. Теорема доказана.
В целях применения установленных общих теорем к частным
случаям, отметим, что условие D) (при /я = 0 условие B)) удобно
записать в другой, эквивалентной форме. Именно, соотношение D)

НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ ОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ
499
равносильно неравенству:
на 14 = 1,
т. е. неравенству
оо
на |С| = 1.
A8)
То же относится и к условию A2). Аналогичным преобразованием
устанавливаем, что условие A5) эквивалентно условию:
L
— 2
л=>1
на
| = 1. A9)
2°. В качестве приложений теорем 1 — 4 приведем теоремы б — 10.
Теорема 5. 1) Для Ьсех функций f(z)
в кру-
кру2
пно
— 1, но не всегда в бблыием круге, справедлива
B0)
ге |
оценка:
знак равенства имеет место только для f(z) = cmzm, |cm| = l.
со 1
2) Для всех функций /(г)= 2 спгП ? & в круге \ z |<: 2m+l —
— 1, но не всегда в бблыием круге, имеем оценку:
\flm)(z)\s^m\, B1)
с той же экстремальной функцией.
Доказательство. Для доказательства пункта 1) нужно ис-
исследовать справедливость условия теоремы 1 при
В этом случае условие D) или, что лучше, условие A8) прини-
принимает вид:
m\dzm Li
на
| = 1. B2)

500 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ [ГЛ. XI
Но
оо оо
т\ dzm л* т\ dzm Ла т\ dzm 1 — z? (I — zt)m+1'
я = /л п = О
Поэтому соотношение B2) принимает вид:
1>|A-Сг)т+1-1| на К|=1. B3)
Но на окружности | ? | = 1 имеем:
I (Л f-Л/И+1 1 ¦—_^ 1 //¦* I I |\Ш+1 1\ __ о /1 I I •* I4"*+1
— I \ — ^) '— ^ =^ ^ — \\^ ~\~ | Z \) — L) s^ z — (^1 —г- | Z IJ ,
и эта оценка — точная (знак равенства имеет место при ? = — е~1"« г).
Следовательно, неравенство B3) выполняется в том и только в том
случае, когда 2 — A -\-1z\)m+1 ^0, т. е. когда |г|^2т + 1 — 1. Это
по теореме 1 и доказывает пункт 1) теоремы 5, включая единствен-
единственность экстремальной функции f(z) = cmzm, |cm| = l.
Для доказательства пункта 2I) достаточно отметить, что функция
00
f(z)= У\ cnzn в том и только в том случае принадлежит классу В,
когда ¦Щ^- ?В. В силу этого, утверждение пункта 2) для точки z
Z'
равносильно оценке:
л-0
в классе В. По теореме 1 это требует исследования условия
оо
± 2(»+1)...(» + 'яJ'Г-1
п = 0
на К| = 1.
Но это условие тождественно неравенству B2) и выполняется только
для |z|^2m+1 — 1, что и доказывает пункт 2). Теорема доказана.
*) Оценка B1) получается из оценки B0) применением ее к функции
оо
/(г)= 2 c»z" € В; однако дело заключается в нахождении наибольшего
круга, для которого оценка B1) имеет место.

§ 8| НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ ОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ 501
В дальнейшем обозначаем через sm(z) и rm{z) частную сумму и
оо т— 1 оо
остаток ряда ^ cnzn: sm(z)= ? cnzn, rm(z)= ? cnzn.
n = 0 n=0 n=m
Теорема 6. Пусть rm, 0<Vm<^l, m^>\, —{единственный)
положительный корень уравнения 2rm -)- г — 1 = 0.
1) Для всех функций f(z)?B в круге \z\^.rm справедлива
оценка: | sm (z) \ <; 1, причем знак равенства имеет место только
для f(z) = c9, |eo| = l; при т четном число гт здесь нельзя за-
заменить ббльшим.
2) Для всех функций f(z)?R в круге \z\^rm справедлива
оценка: 9Я(«т(г))^0; и здесь гт нельзя заменить ббльшим
числом.
3) Для f(z) (= BQ в круге \z\^rm имеем: sm(z) (= G.
Отметим, что г^<^г3<^Г1<^..., Га = -~- и lim rm=l.
^ т ->оо
Доказательство. Применяем теоремы 1 —3 для fn= •г>1
(л = 0, 1 т — 1), Yn = O при п^>т. Неравенство A8), при
/я^О равносильное неравенству B), имеет вид:
|l+2C + ... + 2ffl-1Cm-1|S5K + ... + 2m-1(;'n-1| на |С| = 1,
т. е.
\z\\l — zm-Km-%\ на |С| = 1. B4)
Из оценки (|С| = 1)
z\m-1) = l — \z\ — 2\z\
и ее точности при т четном (знак равенства будет при С= — e~l"*z)
следует, что неравенство B4) имеет место для таких z, для которых
1 — \z\ — 21 z\тЭг0, т. е. для | z\<;гт; причем при т четном гт
нельзя заменить ббльшим числом.1) По теоремам 1 — 3 это и дока-
доказывает все утверждения настоящей теоремы. A r^
(т = 2, 3, ...), так как
-l=0 и
Если lim rm=q<^l, то при всех /я = 1, 2, ... было бы rm<^q и,
•) В случае т нечетного соответствующее наибольшее число, очевидно,
равно наибольшему г, 0<г< 1, при котором
min (II— Cmrm I» — rJ 11 — nm-irm-t I») -, о,
|C| = 1
и оно будет отлично от гт.

502 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ 1ГЛ. XI
следовательно, Чср1 -\-д — 1 ^> 0. Из последнего неравенства следует
при /я->со, что 9^1. Итак q=l. Теорема доказана.
Теорема 7. Пусть rm, 0</m< 1, /я>1, — (единственный)
положительный корень уравнения 4rm-f-r — 1 = 0, a rt = -»—.
Для всех функций f(z) ? В в круге \ z | ^ гт имеем оценку:
1*«(*I + |гж(*)|*?1, B5)
причем знак равенства имеет место только для /B) = eo>
|св| = 1; при т четном число гт нельзя заменить ббльшим
числом.
Отметим что
Г1<Г3<Г3<... U Uffl Г, = 1.
dt-юэ
Доказательство. Применим теорему 4 для т»' = •г"
(я=0, 1, ..., т — 1), "Гп' = 0 при «5sot, tjP = O (я=0, 1, ...,
/и — 1), ^п> = 'г" при п^т. Неравенство A9), равносильное нера-
нера(
A5),
) ^ р
венству A5), здесь имеет вид:
1—tz
1—Cz
1—
на |С| =
т. е.
|1-.Стгт|а —2|гП1 —Сг| —|г|«|1 —Г-^-Ч^О, |С| = 1.B6)
При да^> 1 из оценки
= 1 —12|« — 4|2|ж — 4|г|т+1==A+ |г|)A—12| — 4|*Г)
и ее точности при от четном (знак равенства будет при (. = — )
следует, что неравенство B6) имеет место для таких z, что
I — \z\ — 41 z\m^s0, т. е. для | 21 <;rTO; причем при т четном гт
нельзя заменить ббльшим числом. При от = 1 аналогично имеем на
окружности |?| = 1:
I1 _ (;«v» |«_ 2 | z | \ 1 — Сг | — | z |J11 — Cm - V ~J |J =
что ^Ов круге |г|s^-5-,но не всегда в ббльшем круге. Сказанное,
в силу теоремы 4, и доказывает утверждение теоремы. Дополнитель-
Дополнительные замечания о гт доказываются так же, как в теореме 6.

§ 8] НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ ОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ 503
Теорема 8. Для функций f\z) ? В в круге \г\<^\ справед-
справедлива оценка:
кМН^Н1' B7)
где /и^1 — целое число; знак равенства имеет место только
для f(z) = cmzm, К 1=1.
Доказательство. Здесь нужно применить пункт 2) теоремы 1
для случая in = zn~m{n = m, m-\-l,...). Тогда условие A8) имеет
вид:
со со
rn-т ~л-1
| 2 С"" г""1^| 2 C-mzn'm\ на |С| = 1,
п = т п — т-\-1
что сводится к очевидному неравенству |С?|<:1, выполненному на
окружности |С| = 1 при всех z из круга |г|<^1. Теорема доказана.
Теорема 9. Если для /(г) ? BQ положим
то в круге |г|<^1 при всех т=\, 2, ..., будет om()?
Доказательство. Применим теорему 3 при y = m,-(i=:m — 1,
..., Ym-i=l> Yn = O> n^m. Условие A2) имеет вид:
+ )^|- на
что можно переписать в виде:
ИЛИ
или, наконец, полагая С = ?'9,
Отсюда и следует утверждение теоремы.
00
Теорема 10. Для всех функций f{z)= ^c^^B в круге
_ п=о
|г|^У^2 — 1, но не всегда в большем круге, справедливо нера-
неравенство
*I<1. B8)

504
где
НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ
[ГЛ. XI
Л (г) =
п=0
= 2
3«ак равенства имеет место только для f(z) = c0, |eo| = l.
Доказательство. Применим теорему 4 к случаю •$« = zin>
ТЙ+1 = О, tS = O, Т2п+1 = гап+1(я=0, 1, ...). Условие A9) здесь
имеет вид:
1
1 — zs?»
a
zC
1—zsCs
1 — zsCs
на |С| = 1,
или
на |С|=
B9)
Но на окружности | С | = 1
причем эта оценка — точная (знак равенства будет при с =/е-'"в *).
Следовательно, неравенство B9) будет осуществляться на окружности
|;| = 1 только при 1 —2|г| — |г|2^0, т. е. при |,г|<:У2 — 1.
В силу теоремы 4, отсюда и следует утверждение теоремы.
§ 9. Об одном методе вариаций
в теории аналитических функций1)
Среди различных классов аналитических функций рассматриваются
такие, в которых функции имеют параметрическое представление, содер-
содержащее интеграл Стилтьеса
z, t)da(t)
\g{z,
с заданными a, b и g(z, t) и ci@, пробегающей всевозможные моно-
монотонные функции данной вариации в промежутке a*^.t^b. Решение
экстремальных задач в таких классах сводится к определению функ-
функций a(t), соответствующих экстремуму.
Как известно, идея вариаций, в применении к некоторым конкрет-
конкретным вопросам этого рода, уже встречалась в литературе. В частности,
этим методом была полностью решена задача вращения для класса
функций т=/{г) = г-\-С1г*-\-..., регулярных и звездообразных
в |г|<^1. Это решение, в несколько иной редакции, приводится и
здесь.
») Г. М. Гояузин [1952].

§ 9) ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ВАРИАЦИЙ 505
В настоящем параграфе эта идея вариаций применяется к выводу
удобных вариационных формул, затем посредством вариационных фор-
формул исследуется ряд общих экстремальных задач для классов звездо-
звездообразных и типично вещественных функций. Причем, как во многих
других методах вариаций, полное решение задачи упирается в опре-
определение некоторых неизвестных констант, что и составляет индиви-
индивидуальную трудность в каждой конкретной задаче. Автор на примере
одной теоремы искажения иллюстрирует эту трудность, окольным
путем указывая на различный характер экстремальных функций в зави-
зависимости от z.
1°. Выведем две вариационные формулы. Обозначим через Eg класс
функций f(z), определяемых интегралом Стилтьеса:
f{z) = \g{z, t)do.(f), A)
а
где а и b — заданные вещественные числа, g(z, t) — заданная регу-
регулярная функция соответственно в | z | <^ 1 и на а <; t <: b, a a (f) про-
пробегает всевозможные функции, неубывающие ва<<^Ьи подчиненные
условию
ь
o.(b) — o.(a) = l. B)
Рассмотрим два типа вариаций функции f{z) ? Eg, полученные над-
надлежащей вариацией функции a(t).
1) Пусть tt и <j, *i<^j — любые числа из интервала as^.ts^.b.
Сохраняя значения функции a(t) вне интервала ^<^<^а, заменим
значения ее внутри один раз на усредненные значения иза(<) и
а(^ — 0), другой раз на усредненные значения из а@) и a(tt-\-0),
а именно, на значения
= const, 0<Х<1 C)
(при этом считаем а (а — 0) = a (a), a (b -j- 0) = a (b)). Так полученные
варьированные функции aj (t) и <ц (t) остаются, очевидно, неубываю-
неубывающими в a*^.ts^.b и подчиненными условию B). Их можно предста-
представить в виде
Ю, k=i, 2, D)
где ?lft(<) = 0, k = l, 2, вне интервала ^<^^<^<j,a внутри имеем
PJ(9 = *('i —0) —я(9 = —|«(9 —«Ci —0)|,

506 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ [ГЛ. XI
что можно записать одной формулой
h @ = (- 1)* I« @ - с„ |, ck = const, k = 1, 2. E)
Соответствующие варьированные функции класса ?г будут
/* (*)=5 * & о <ч (о=/(*)+* f * (*, о tfP* го, k=i, 2.
a fi
Интегрирование по частям дает, имея в виду, что J3ft (tt) = [3fe (<2) ^ 0,
Л B) =/(*) - (- 1)^ Й B. 01«(9 - с* I л, * = 1, 2. F)
Формулу F) проще записать в виде
/• W =/W + X $ » B, 0 I« @ - с | dt, G)
где X — любое из промежутка — 1 ^ X ^ 1, с — некоторая константа
относительно t и X, *) а /# (г), так же как и /(г), есть функция
класса Eg. Формула G) и составляет первую вариационную формулу
в классе Eg.
2) Если tt и tit a^tt^ti^b, две точки разрыва функции a(t),
то при достаточно малом вещественном X функция
где ?!(<) равна 0 вне интервала ti<^t<^tb равна 1 внутри и над-
надлежаще определена на концах ^ и <а, будет неубывающей функцией
в asSit^b, подчиненной условию B). Ей соответствующая функция
класса Eg определяется по формуле
что дает
Д.B)=/B) + Хйг(г, У-«Г(«, «X (8)
формула (8) составляет вторую вариационную формулу в классе Eg.
Отметим, что если функция g(z, t) удовлетворяет условию
g(z, a)=g(z, Ъ), то ее можно продолжить как функцию от t навею
числовую прямую t периодически с периодом Ь — а; продолжив и a (t)
по формуле
*) Впрочем, с зависит от знака I.

§ 9] ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ВАРИАЦИЙ 507
в интеграле A), не меняя его значения, можно промежуток интегри-
интегрирования a^ts^.b заменить любым другим той же длины. В этом
случае и вариационные формулы G) и (8) также имеют силу на всей
числовой прямой t, лишь бы только 0<^а — tt^.b— л.
2°. Обозначим через 5* класс функций
W=/(*) = 2 + Cj2« + ..., A)
регулярных в | z | <^ 1 и однолистно отображающих круг | z | <^ 1 на
области, звездообразные относительно точки w = 0. Известно, что для
того, чтобы функция A) принадлежала классу S*, необходимо и доста-
достаточно, чтобы в | z | <^ 1 выполнялось неравенство
а это в свою очередь равносильно в | z | <^ 1 интегральному пред-
представлению
г f (г)
=
с неубывающей в — тс^^^тг функцией a(t) такой, что a (it) —
—а(—«)=1. В силу последнего условия формулу B) можно при-
привести к виду
откуда делением на z и интегрированием по z от 0 до z получаем
в | z | <^ 1 формулу, равносильную B):
-2
f{z) = ze — ; C)
здесь под логарифмом понимается ветвь, обращающаяся в 0 при
2 = 0.
Опираясь на формулу C) и на § 1, приведем два типа вариаций
функции f(z) ? 5*. Именно, обозначим интеграл, входящий в C), через
<p(z) и применим к нему вариационную формулу G) п. 1°. Функция
/* С2) ? «S*. соответствующая варьированной функции <р* (?), будет опре-
определяться по формуле
f,(z)=ze

508 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ [ГЛ. XI
что при X малых дает
'а
Л^ D)
здесь О ( ) — символ порядка относительно X; О (X2) будет аналити-
аналитической функцией от z в |z|<4.
Аналогично, применяя к <р(г) вариационную формулу (8) п. 1°,
получаем при малых вещественных X варьированную функцию
) [log A - е-"- г) - log A - e-^z)] + О (Xs). E)
Формулы D) и E) и дают два типа вариаций в классе S*. По
замечанию, сделанному в конце п. 1°, в формуле D) за tt и tt можно
брать любые вещественные числа с 0<^а— tls^2n, а в формуле E)
эти числа должны быть точками разрыва функции а(?).
Возвращаясь к формуле C), отметим, что если а(?) есть ступен-
ступенчатая функция с точками разрыва в tu t$, ... tn, — тс^C
^^ ^ 2it и \k — скачки a (t) в этих точках, т. е.
a(tk-0), А=1, ...и, ? Х»=1, F)
* = 1
то
f(z)=—n * . G)
Эта функция отображает круг \г<^1 на всю плоскость z с я
радиальными разрезами.
3°. Дадим несколько приложений вариационных формул п. 2°
к решению экстремальных задач в классе 5*.
Теорема 1. Для данной целой функции Ф(w) U данной точки z
из круга \ z \ <^ 1, максимум любого из функционалов
A)
в классе S* достигается только для функции
> о— вещественно. B)
*) Здесь под логарифмами понимаются ветви, регулярные в | г \ < 1 и
обращающиеся в 0 при г = 0.

S 9] ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ВАРИАЦИЙ 509
Здесь исключается из рассмотрения случай, когда при экстре-
экстремуме <&r(log-?^-j = 0. Так что в \z\<^l имеем оценки
« (Ф (log Ш)) < fflf R (Ф (log^r^)), C)
Доказательство. Существование экстремальных функций рас-
рассматриваемых экстремальных задач очевидно. Причем функция f(z),
дающая экстремум второму из функционалов A), одновременно дает
и экстремум функционалу
с надлежащим f» а этот функционал подходит под тип первого из
функционалов A). Поэтому теорему достаточно доказать для первого
из функционалов A), который обозначим через If. Пусть f{z) есть
одна из экстремальных функций.
Вычислим значение If для варьированной функции D) п. 2°. Так
как
) \ Т=р?
то
E.)
Экстремальность функции f{z) требует, чтобы коэффициент при X был
равен нулю, т. е. чтобы
^>) ^^) | а @ - с | Л- 0. E0
Условие E^ показывает, что если промежуток (tb t^) такой, что в нем
нет корней уравнения
^(^)^^0, F)
то в этом промежутке должно быть | a (t) — с \ = 0, т. е. а (f) = c=const.
Но в случае, если Ф" (log^^-] ф 0, что далее и предполагаем,

510
НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ
[ГЛ. XI
уравнение F) равносильно такому
sr (ф' (log^) ie-"z (I — euzfj = 0, G)
т. е. квадратному уравнению относительно elt. Следовательно, оно
имеет не более двух решений относительно еи. Это приводит к заклю-
заключению, что функция a.(t) является ступенчатой функцией с одной или
двумя точками разрыва в — ir=^^<^it, причем соответствующие зна-
значения t должны удовлетворять уравнению F).
Допустим, что указанных точек разрыва две — пусть ty и tt. Построим
варьированную функцию /## (z) по формуле E) п. 2°. Для нее имеем
(ф' (log^) [log (I - *-"• г) — log A - e~ui г)]) + О (X2),
что, в силу экстремальности f{z), дает
9* (Ф' (log^) [log (I — е-»* z) — log (I — e~ili *)]) = 0. G')
Это условие показывает, что функция
9t (tf(log^) log A—
имеет равные значения при t = tt и t = tt. Следовательно, ее произ-
производная по t, равная F(t), должна обращаться в нуль в некоторой
точке t3 внутри промежутка (tu tt). Но тогда уравнение будет иметь
три различных решения относительно elt, что невозможно. Это про-
противоречие доказывает, что <x(f) имеет лишь одну точку разрыва
в — it^^<^it. А тогда по формуле G) п. 2° при я = 1 она должна
иметь вид B). Теорема доказана.
Применив теорему 1 для случая, когда Ф (w) = aeXw -\~b (a, b, X —
постоянные), заключаем, что максимум функционалов
в классе 5* достигается только для функции B). В частности, при
а=1, Ь = —1, Х = —^-, имея в виду, что для функции B) имеем
/(г)
— 1
=и>
заключаем, что в классе 5* имеет место точная оценка
доказанная автором ранее другим путем.

§ 9] ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ВАРИАЦИЙ 511
Теорема 2. Для домной целой функции Ф(w) и данной mown г
из круга | z \ <^ 1 максимум любого из функционалов
W. (Ф (log/ (г))) и | Ф (log/ (г)) | (8)
в классе S* достигается только для функции вида
f(z) =
ц г !}2 = 2, а, р — вещественны. Исключается из рас-
рассмотрения случай, когда при экстремуме Ф' (log/(z)) = 0.
Доказательство. Опять достаточно рассмотреть задачу о мак-
максимуме функционала
Существование экстремальных функций очевидно. Пусть f(z) одна
из них. Вычислим значение 1у для варьированной функции D) п. 2°.
Имеем
и, следовательно,
Экстремальность функции /(z) приводит к условию
Из, этого условия следует, что a (f) = const в любом промежутке
(^i, ^2), в котором нет корней уравнения
Но уравнение A0) приводится к алгебраическому уравнению 4-й сте-
степени относительно е". Это значит, что a (f) должно быть ступенчатой;
функцией с не более чем с четырьмя точками разрыва в промежутке
C1t> которые должны быть корнями уравнения F(t) = 0.

512 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ 1ГЛ. XI
С другой стороны, применение вариационной формулы E) п. 2°
в данном случае приводит к тому, что
) (Ю')
как функция от t имеет равные значения во всех точках разрыва,
а следовательно, ее производная по t, равная F(f), обращается в нуль
и внутри промежутков между любыми двумя соседними точками раз-
разрыва. Если бы точек разрыва функции a.(t) в — тс ^ ? <^ тс было больше
двух, то тогда число корней уравнения F (t) = О в — it ^ t <^ тс будет
больше четырех, что, по сказанному, невозможно. Если же их не
больше двух, то по G) п. 2° функция f{z) должна иметь вид (9).
Теорема доказана.
Аналогично доказывается более общая теорема:
Теорема 3. Для данной целой функции Ф(ге>), вещественной
постоянной k а данной точки z из круга \ z | <^ 1, максимум любого
из функционалов
в классе S* достигается только для функции вида (9). Исклю-
Исключается из рассмотрения случай, когда при экстремуме
Как частный случай при k = 2, отсюда получаем теорему:
Теорема 4. Для данной целой функции Ф(ге>) и данного С,
|>1, максимум любого из функционалов
Ш (Ф (log F (С))), |Ф (log F(i))\ A2)
в классе 2* функций F(Q = C + ao + T"+ • •• > регулярных в об-
области |С[^>1, исключая полюса С = 00, и отображающих |С|!>1
на области с дополнением, звездообразным относительно С = 0,
достигается только для функции вида
= 2. A3)
Исключается из рассмотрения случай, когда при экстремуме
Отметим, что при 0<Х,<2 функция A3) отображает область
| | ^ 1 на плоскость w с двумя прямолинейными разрезами, исхо-
исходящими из и> = 0 под углом, отличным от тс. В ряде частных задач
рассмотренного типа экстремальные функции (9) и A3) вырождаются

§ 9] ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ВАРИАЦИЙ 513
в функции с Хд = 0. Это имеет место, например, в вопросах о макси-
максимуме^ минимуме |/'(г)| в классе S*, о минимуме |F(C)| в классе 2*.
Однако это вырождение бывает не всегда. Например в вопросе о мак-
eia
симуме IF@1 в классе 2* Ддя функции F(С) = с-f--p -f-const
имеем
в то время как для функции (9) с 0 <^^-i <С ^ ПРИ приближении С к
одной из точек на | С | = 1, соответствующих граничным точкам, ле-
лежащим Bf = 0, очевидно имеем F (С) -> оо.
Аналогичное обстоятельство будет иметь место и в задаче о мак-
максимуме модуля | F (С) | в подклассе 2js нечетных функций Ft (С) клас-
класса 2*; эти функции имеют представление Fi(?) = }fF(l?),F(?) ?2*-
о
Из теоремы 3 при k = -^- вытекает, что здесь экстремальной функ-
цией будет только функция
^¦ь ^а^О, Х1-{-Х2 = 1) а, р — постоянные,
причем как выше заключаем, что при | С | близком к 1 у этой экстре-
экстремальной функции 0<^Х± <^ 1. Однако при |С| достаточно больших
удается окольным путем доказать, что здесь экстремальной функцией
gilt
является F (С) = С -\~ -е- . Это будет содержаться в следующей теореме
искажения:
Теорема 5. Для функции F(Q = C-f Ц- -f-|f- +... ^ S* nVtt
-{-1 имеем точные оценки
A5)
знаки равенства здесь имеют место только для функции
?
, a—вещественно. A6)
Доказательство. Для указанных в теореме функций F(С)
автором [1938] была доказана в области |?|^>1 оценка
|F(C) — С|^-г|-р. A7)
17 Г. М. Голузии

514 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ 1ГЛ. XI
=f D-) - -f = 2 *«*"• т°гда п° (i?)в Iz к
1
Положим j
имеем \f(z)\<^\. Кроме того, /@)=0. Но тогда, как известно,1)
имеем:
]/'(*)]< 1 в \z\<V2—\, A8)
причем знак равенства будет только для функции f(z) = sz, |s| = l,
A8) дает
1.
или
, I ^ 1
Из этой оценки и вытекают оценки A4) и A5). Теорема доказана.
Остается открытым вопрос, будет ли в условиях теоремы 5 оценка
A5) иметь место и во всей области |?|^>1. Соответствующий воп-
вопрос в отношении оценки | arg /' (г) | в классе 5* имеет положитель-
положительный ответ. Это будет показано ниже.
4°. Установим теорему вращения для звездообраз-
звездообразных функций. Хотя, как указывалось, применение изложенного
вариационного метода к конкретному вопросу решения этой задачи
уже не ново, мы все же приведем это решение, рассматривая его как
применение общей теоремы 2 п. 3°.
Теорема. Для заданного z из |г|<^1 аргумент arg./'(z) в
классе S* достигает своего максимума и минимума только в
случае функций
/(*)= A — е<«г)« . а —вещественно. A)
Доказательство. Без ограничения общности можно считать,
что z = r^>0. Рассматриваемая задача является частным случаем за-
задачи в теореме 2 п. 3°, когда Ф(т>) = ± iw. Из доказательства этой
теоремы следует, что функция a(t), соответствующая экстремальной
функции/(г), имеет в промежутке —it^^<^it не более двух точек
разрыва, которые должны быть корнями уравнения [уравнение A0)
3° Ф
в точках разрыва, если их две, функция [см. A0') п. 3° с Ф(и>)=й0]
C)
*) См. работу автора [1945], а также теорему 5 § 8 гл. XI.

§9] ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ВАРИАЦИИ 515
имеет равные значения. Допустим, что указанных точек разрыва дей-
действительно две, пусть tt, tt, tx < *j. Тогда функция P(i)=f(t) имеет еще
по нулю внутри каждого из промежутков (tb t$, #* ^-f-2it). Но,
освобождаясь в уравнении B) от знаменателей, приведем его к виду
ЗЯ {е~и A — <г" г) A — е" г? + Се~и A-е" rf) = 0
или еще к виду
ЗЯ (е~*и г — е'и A + С + 2г3) + 2г + г3 + 2Сг — еи (г9 + Сг8)) = 0.
Меняя здесь первые два члена на их сопряженные значения, отчего
вещественная часть не изменится, приходим к уравнению
т (eiil г — е'е A + Зг3 + С+ Сг*) + 2г + г3 + 2Сг) = 0 D)
или, положив С = е", это уравнение запишем в виде алгебраического
уравнения 4-й степени
гС* — (I +3/* + С + Сг9)С3 + ааС9 + а3С + а1 = 0. E)
Этому уравнению должны удовлетворять числа Cft = e"*, k=\, 2,3,
4, соответствующие указанным выше числам tk.
Из E) теперь имеем
С другой стороны, так как ^[ JZ/Ll^>^ в !<г|<С^-» т0
Следовательно
2 cos(»3,±
1
+i±n=3+r + i^
Это показывает, что должны иметь место неравенства
cosfft>r, A = l, 2, 3, 4.
Отсюда, в частности, следует, что при *i<^<^» имеем
Но тогда из
заключаем, что в промежутке (^, у первое слагаемое в C) убывает,
так что
9t (I log (I — *-«i r)) > 9Я (flog (I — е- «• г)). F)
17*

516 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ [ГЛ. XI
Далее, имея в виду, что экстремальная функция f(z) имеет вид
f{z)= *
получаем
[C l-e-«*r }-m(C l-e-l«r ) =
_|?p<v/l41?+^r 1+е-"*г\_\С\* 2r(l-r)(sinf1-sinfa)
— 2 •'[i^e+itir ' x_e-ihr)— 2 11 —e*'^|«.| 1 —*-««r|-
так что
Вычитая G) из F), получаем Ф (^) ^> Ф (^), что противоречит выше-
вышесказанному, что функция ф(<) имеет равные значения в точках раз-
разрыва tt и ta. Это противоречие доказывает, что а(?) не может иметь
двух точек разрыва в —ws^?<^n. Следовательно, функция f(z)
должна быть вида A). Теорема доказана.
5°. Тот же метод вариаций применим и при решении экстремаль-
экстремальных задач в классе типично вещественных функций. Функция
+ ..., A)
регулярная в | z \ <^ 1, называется типично вещественной в | г |
если она вещественна на диаметре —1<^,г<^1, а в остальных точ-
точках круга |г|<1 3(/(г)) и 3(г) всегда одного энака, т. е.
ПрИ 3
при 3

§91 ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ВАРИАЦИЙ 517
Автором [1950а] было показано, что любая такая функция предста-
вима в | z | <^ 1 по формуле
т! i
о
где a @) — вещественная неубывающая функция в0<8<я с a (it) —
— a@) = u; обратно, всякая функция f(z), определяемая этой фор-
формулой, будет типично вещественной в |г|<^1. Формулу B) можно
заменить эквивалентной формулой
i
f(z) = \s(z, t)d<x(f), C)
где
a a(f) — вещественная неубывающая функция в -— l^^sgl с
a(l) — a(—1) = 1. Функция s(z, f) при любом фиксированном t,
—1=5^=^1, сама является типично вещественной и притом одно-
однолистной в |z|<^l. Если обозначить через Тг класс всех функций A),
регулярных и типично вещественных в |г|^1, то формула C) яв-
является параметрическим представлением этого класса. Опираясь на
формулу C), автором [1950а] был решен ряд экстремальных задач
для класса Тп причем во всех этих задачах экстремальными функ-
функциями оказались лишь функции D). Применим теперь идею вариации
к решению более общих задач.
Для. этого выпишем вариационные формулы, соответствующие фор-
формулам G) и (8) п. 1°, применительно к интегралу C). Именно, полу-
получаем две вариации функции C) в классе Т/.
> 0 I« @ - с | dt, E)
tj-s(z, *,); (б)
в формуле E) ti, tt — любые с —I ^^<^^^.1, с = const в
<i<^<^2; в формуле F) tb tb — 1=^^<^^=^1—точки разрыва
функции a (t); X в обеих формулах — любые вещественные, доста-
достаточно малые.
Теорема 1. Для данной функции Ф(w),регулярной в 0<^| w\<^
<^ оо, « данной /почки z из \ z | <^ 1 максимум любого аз функ-
функционалов
Ш (Ф (/(*))) и \Ф(/{г))\ G)
в классе ТГ достигается только для надлежащих функций вида
f (z) ^ \xs {z, tt) + X9s (z, t& X,, X, ^ 0, Xj -j- X, = 1, (8)

518 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ [ГЛ. XI
tu tt из —ls^ts^l. Исключается из рассмотрения случай, когда
при экстремуме Ф'(/(,г)) = 0.
Доказательство. Достаточно рассмотреть задачу о макси-
максимуме первого из функционалов G). Существование экстремальных
функций очевидно. Применяя формулу E), докажем, как прежде, что
если f[z) экстремальная функция и C) ее представление в | z К1,
то a (t) = const между любыми двумя корнями уравнения F(t)=
= ?R<i&(f(z))s't(z, t)); следовательно, точками разрыва функции a (i)
могут быть только концы ±1 и корни уравнения F(t) = O, т. е.
алгебраического уравнения 2-й степени:
ЭЯ (Ф' (Ш.— г*) A — 2tz + г8)9) = 0, (9)
так что их число не превосходит 4. Если точек разрыва более двух,
то пусть tt, t% ^ —1 =^ ^t <^ ^ <^ ^з =^ 1, три из этих точек, причем
имеем F (*2) = 0. Применив формулу F), докажем, что Ы (Ф' (f(z)) s [z, t))
как функция от t имеет равные значения в точках tb tit t3. А тогда
ее производная имеет по корню внутри каждого из промежутков (tlt ?2)
и (tt, t3), т. е. уравнение (9) имеет три различных корня. Это проти-
противоречие доказывает, что a (f) имеет не более двух точек разрыва в
— I ^t^.1, а это значит, что функция /(г) имеет вид (8). Теорема
доказана.
Приведем пример, когда экстремальная функция (8) не вырож-
вырождается в функцию s {z, t). Известно,1) что при фиксированном z,
|z|<M, максимум модуля |/(г)| в классе ТТ достигается только для
функции f(z)=s(z, t), причем при некоторых г; имеем —1<^<^1.
Так как вместе с любой функцией/(г) ? Тг и функция .._ 1,.. . ^ Тг
[это легко вытекает из необходимого и достаточного условия при-
принадлежности f(z) к классу Тп которое состоит в неравенстве
при
то при тех же z минимум модуля |/(.z)| в классе Тг достигается
только для функции
которая подходит под вид (8), но с Xj^> 0, Х2^>0; при этом задача
о минимуме |/(г)| равносильна с задачей о максимуме \Ф(/(г))\ с
») Г. М. Голузин [1950а].

S 9] ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ВАРИАЦИЙ
Теорема 2. Для данной целой функции Ф(w) и данной
z из | z К1 максимум любого из функционалов
в классе Тг достигается только для функций вида:
1
tn из —l^^^l. Исключается из рассмотрения случай,
при экстремуме Ф'(/'(г)) =,0.
Доказательство теоремы 2 аналогично.

НАУЧНЫЕ РАБОТЫ ГЕННАДИЯ МИХАЙЛОВИЧА ГОЛУЗИНА
1929 О некоторых оценках, относящихся к функциям, совершающим однолист-
однолистное конформное преобразование круга, Матем сб, 36, 152—172.
1933 Обобщение формулы Карлемана и приложение ее к аналитическому
продолжению функций (совместно с В. И. Крыловым), Матем. сб., 40:2,
144—149.
1934 Решение основных плоских задач математической физики для случая
уравнения Лапласа и многосвязных областей, ограниченных окруж-
окружностями (метод функциональных уравнений), Матем. сб., 41:2,
246—276.
1934а Решение пространственной задачи Дирихле для уравнения Лапласа
и для областей, ограниченных конечным числом сфер, Матем. сб.,
41 :2, 277-283.
1935 К теории однолистных конформных преобразований, Матем. сб., 42:2,
169—190.
1935а Решение плоской задачи теплопроводности для многосвязных областей^
ограниченных окружностями, в случае наличия изолирующего слоя'
Матем. сб., 42:2, 191—198.
19356 К принципу мажорации в теории функций, Матем. сб, 42:6, 647—
650.
1936 О теоремах искажения в теории конформных отображений, Матем.
сб., 1 D3) :1, 127—135.
1936а К теории конформных отображений, Матем. сб., 1 D3) :3, 273—282.
19366 О теоремах вращения в теории однолистных функций, Матем. сб.,
1 D3) : 3, 293—296.
1937 О теоремах искажения для конформного отображения многосвязных
областей, Матем. сб, 2 D4): 1, 37—64
1937а Некоторые теоремы покрытия для функций, регулярных в круге,
Матем. сб, 2 D4) :3, 617—619.
19376 Дополнение к работе «О теоремах искажения в теории конформных
отображений», Матем. сб, 2 D4): 4, 685—688.
1937в О конформном отображении двусвязных областей, ограниченных пря-
прямолинейными и круговыми многоугольниками. В кн. «Конформное
отображение односвязных и многосвязных областей», М.—Л., ОНТИ,
90—97.
1937г Конформное отображение многосвязных областей на плоскость с раз-
разрезами методом функциональных уравнений. В кн. «Конформное
отображение односвязных и многосвязных областей», М.—Л., ОНТИ,
98—110.
1938 Некоторые оценки коэффициентов однолистных функций, Матем. сб.,
3 D5): 2, 321—330.
1938а О методе непрерывности в теории конформных отображений много-
многосвязных областей, Матем. сб., 4 D6): 1, 3—8.

НАУЧНЫЕ РАБОТЫ ГЕННАДИЯ МИХАЙЛОВИЧА ГОЛУЗИНА 521
1939 Итерационные процессы для конформного отображения многосвязных
областей, Матем. сб., 6 D8): 3, 377—382.
1939а О предельных значениях интеграла Коши, Уч. зап. ЛГУ, 37, 43—47.
19396 О полных системах функций в комплексной области, Уч. зап. ЛГУ,
37, .48—51.
1939в К теории однолистных функций, Матем. сб., 6 D8) :3, 383—388.
1939г Внутренние задачи теории однолистных функций, Успехи матем. наук,
вып. 6, 26—89
1940 О р-листных функциях, Матем. сб., 8 E0): 2, 277—284.
1943 О коэффициентах однолистных функций, Матем. сб., 12 E4): 1, 40—47.
1943а К теории однолистных функций, Матем. сб., 12 E4): 1, 48—55.
19436 К теории крыла в плоскопараллельном потоке жидкости, Матем. сб.,
12 E4): 1, 146—151.
1945 Оценка производной для функций, регулярных и ограниченных в круге,
Матем. сб., 16 E8) :3, 295—306.
1946 К теории однолистных функций, Матем. сб., 18 F0): 1, 167—179.
1946а О задаче Каратеодори—Фейера и об одной аналогичной задаче, Матем.
сб., 18 F0): 2, 213—226.
19466 Некоторые свойства полиномов, Матем. сб., 18 F0): 2, 227—236.
1946в О теоремах искажения в теории конформных отображений, Матем. сб.,
18 F0) :3, 379—390.
1946г О числе конечных асимптотических значений целых функций конечного
порядка, Матем сб., 18 F0): 3, 391—396.
1946д О теоремах искажения и коэффициентах однолистных функций, Матем.
~ сб., 19 F1): 2, 183—202.
1946е Метод вариаций в конформном отображении, I, Матем. сб., 19 F1): 2,
203—236.
1946ж Оценки для аналитических функций с ограниченным средним модулем,
Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова, XVIII, 1—87.
1946з Метод вариаций в конформном отображении, Л., Научн. бюлл. ун-та,
9, 3—5.
1947 Метод вариаций в конформном отображении, II, Матем, сб., 21 F3): 1,
83—117.
Ю47а Метод вариаций в конформном отображении, III, Матем. сб., 21 F3): 1,
119—132.
1948 Некоторые теоремы покрытия в теории аналитических функций, Матем.
сб., 22 F4): 3, 353-372.
1948а О коэффициентах однолистных функций, Матем. сб., 22 F4): 3,373—
380.
19486 О теоремах искажения и коэффициентах однолистных функций, Матем.
сб., 23 F5): 3, 35&-360.
1949 Об аналитических функциях с ограниченным средним модулем, Уч.
зап ЛГУ, 111, 120—125.
1949а Вариационный вывод теорем искажения для однолистных функций, Уч.
зап. ЛГУ, 111, 126—134.
19496 Некоторые неравенства для аналитических функций, ИАН Казахск.
ССР, серия матем. н мех., вып. 3, 101—105.
1949в Некоторые вопросы теории однолистных функций, Труды Матем. ин-та
им. В. А. Стеклова, XXVII, 1—109.
1949г О средних величинах, Матем. сб., 25 F7): 2, 307—314.
1950 Некоторые оценки для ограниченных функций, Матем. сб., 26 F8):
1, 7—18.
1950а О типично вещественных функциях, Матем. сб, 27 F9): 2, 201—
218.
1951 К теории однолистных функций, Матем. сб., 28 G0V 2, 351—358.
1951а К теории однолистных функций, Матем. сб., 29 G1): 1, 197—208.

НАУЧНЫЕ РАБОТЫ ГЕННАДИЯ МИХАЙЛОВИЧА ГОЛУЗИНА
О мажорации подчиненных аналитических функций. I, Матем. сб.,
29 G1): 1, 209—224.
О подчиненных и однолистных функциях, Труды Матем. ин-та им.
В. А. Стеклова, XXXVIII, 68—71.
Метод вариаций в конформном отображении. IV, Матем. сб., 29 G1): 2,
455—468.
О параметрическом представлении функций, однолистных в кольце,
Матем. сб., 29 G1): 2, 469--476.
О мажорации подчиненных аналитических функций. II, Матем. сб.,
29 G1) :3, 593—602.
О задаче коэффициентов однолистных функций, ДАН СССР, 81, 5,
721—723.
Об одном методе вариаций в теории аналитических функций, Уч. зап.
ЛГУ, 144, 85—101.
Геометрическая теория функций комплексного переменного, Моногра-
Монография, ГИТТЛ.

ЛИТЕРАТУРА
Аленицын Ю. Е.
1947 О функциях, р-листных в среднем, Матем. сб., 20 F2): 1, 113—124.
1950 О функциях, р-листных в среднем, Матем. сб., 27 F9): 2, 285—296.
1950а Об ограниченных функциях в многосвязных областях, Докл. АН СССР,
73, № 2, 245-248.
1951 К вопросу об оценке коэффициентов однолистных функций, Матем.
сб., 28 G0): 2, 401—406.
1961 Об одном распространении принципа подчинения на многосвязные
области, Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова, 60, 5—21.
1964 Конформные отображения многосвязной области на многолистные кано-
канонические поверхности, Изв. АН СССР, сер. матём., 28:3, 607—644.
Альфорс (Ahlfors L)
1930 Untersuchungen zur Theorie der konformen Abbildungen und ganzen
Funktionen, Acta Soc. Sci. Fenn., N. S., 1, № 9, 1—40.
1938 An extension of Schwarz's lemma, Trans. Amer. Math. Soc, 43, Nfe 3,
359—364.
1947 Bounded analytic functions, Duke Math. J., 14, № 1, 1—11.
Альфорс и Грунский (Ahlfors L. und Qrunsky H.)
1937 Ober die Blochsche Konstante, Math. Z., 42, № 5, 671 -673.
Базилевич И. Е.
1936 Zum Koerfizientenproblem der schlichten Funktionen, Матем. сб., 1 D3): 2,
221—228.
1936a Sur les theoremes de Koebe—Bieberbach, Матем. сб., 1 D3): 3, 283—292.
1951 О теоремах искажения и коэффициентах однолистных функций, Матем.
сб., 28 G0): 1, 147-164.
Бермант А. Ф.
1938 О некоторых свойствах регулярных функций, Докл. АН СССР, 18,
№ 3, 137—140.
1938а Remarque sur la lemma de Schwarz, Compt. Rend. Acad. Sci. (Paris),
207, 31-33.
1944 Растяжение модулярной функции и задачи о покрытии, Матем. сб.
15 E7): 2, 285—324.
1947 О некоторых обобщениях принципа Линделефа и их применениях,
Матем. сб., 20 F2): 1, 55—112.
Бермант А, Ф. и Лаврентьев М. А.
1935 Sur l'ensemble de valeurs d'une function analytique, Матем. сб.. 42: 4,
435-450.

524 ЛИТЕРАТУРА
Бернацкий (Biernacki M.)
1936 Sur les functions univalentes, Mathematica (Cluj), 12, 49—64.
Бибербах (Bieberbach L)
1913 Ober einen Satz des Herrn Caratheodory, Nachr. Ges. Wiss. G6tt., Math.-
phys. KL, Hf. 4, 552—561.
1914 Zur Theorie und Praxis der konformen Abbildung, Rend Cir Mat. di
Palermo, 38, f. 1, 98—112.
1916 Ober die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte
Abbildung des Einheitskreises vermitteln, Sitzgsber Preufi. Akad. Wiss,
Phys.-matn. KL, 940—955.
1919 Aufstellung und Beweis des Drehungssatzes fur schlichte konforme Abbil-
Abbildung, Math. Z., 4, 295—305.
1927 Lehrbuch der Funktionentheorie, Bd. 11, Verlag von B. G. Teubner, Leip-
Leipzig u. Berlin.
Блок (Bloch A)
1925 Les theoremes de M. Valiron sur les fonctions entieres et la theorie de
l'uniformisation, Ann de Toulouse, 3 s., 17, 1—22.
Валирон (Valiron G)
1927 Sur un theoreme de M M. Koebe et Landau, Bull, des Sc Math, 51, 34—42
Волковысский Л. И.
1946 К проблеме типа односвязных римановых поверхностей, Матем. сб ,
18 F0): 2, 185—212.
Вольперт А. И.
1950 Элементарное доказательство теоремы Жордана, Успехи матем наук,
5, 5, 168—172.
Гарабедян (Garabedian P. R)
1949 Scfiwarz's lemma and the Szeg6 kernel Function, Trans. Amer. Math.
Soc, 67, № 1, 1—35.
Гарабедян и Шиффер (Garabedian P. R. and Schiffer M.)
1949 Identities in the theory of conformal mapping, Proc. Amer. Math. Soc,
65, № 2, 187—238.
1950 On the existence theorems of the potential theory and conformal map-
mapping, Ann. of. Math., 52, № 1, 164—185
1955 A proof of the Bieberbach conjecture for the fourth coefficient, Journ.
Rational Mech. Anal, 4, № 3, 427—465
Гретш (Grotzsch H)
1928 Ober einige Extremalproblemc der konformen Abbildung, Ber. Verh. sachs.
Akad. Wiss. Leipzig, Math -phys Ю, 80, 367—376.
1929 Ober konforme Abbildung unendlich vielfach zusammenhangender schlich-
ter Bereiche mit endlich vielen Haufungsrandkomponenten, Ber. Verh
sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-phys Kl, 81, 51—86.
1930 Ober ein Variationsproblem der konformen Abbildung, Ber. Vehr. sachs
Akad. Wiss. Leipzig, Math-phys. KL, 82, 251—263.
1931 Das Kreisschlitztheorem der konformen Abbildung schlichter Bereiche,
Ber. Vehr. sachs. Akad Wiss. Leipzig. Math.-phys. Ю, 83, 238—253.
1931a Ober die Verzerrung bei schlichter konformer Abbildung mehrfach zusam-
zusammenhangender Bereiche. Ill, Ber. Vehr. sachs. Akad Wiss. Leipzig, Math.-
phys. K.1, 83, 283—297.

ЛИТЕРАТУРА 525
1932 Ober das Parallelsclitztheorem der konformen Abbildung schlichter Bereiche,
Ber. Vehr. sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-phys. KL, 84, 15—36.
1932a Ober die Verschiebung bei schlichter konformer Abbildung schlichter
Bereiche. II, Ber. Vehr. sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-phys. KL, 84,
269—278.
1935 Zur Theorie der konformen Abbildung schlichter Bereiche, Ber. Vehr.
sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-phys. KL, 87, 145—158.
Гронуолл (Gronwall Т. Н.)
1914—1915 Some remarks on conformal representation, Ann. of Math. B), 16,
72—76.
Грунский (Grunsky H.)
1932 Neue Abschatzungen zur konformen Abbildung ein-und mehrfach zusam-
menhangender Bereiche, Schr. Math. Sem. und Inst. fflr angew. Math.
Univ. Berlin, 1, 95—140.
1934 Zwei Bemerkungen zur konformen Abbildung, Jahresber. Deutsch. Math.
Ver., 43, 140—142.
1937 Ober die konforme Abbildung mehrfach zusammenhSngender Bereiche
auf mehrblattrige Kreise, Sitzgsber. Preufi. Akad. Wiss., Phys.-math. KL,
40—46.
Дьсдонне (Dieudonne J.)
1931 Sur les fonctions univalentes, Compt. Rend. Acad. Sci. (Paris), 192, 1148—
1150.
1931a Recherches sur quelques problemes ralatifs aux polinomes et aux fonc-
fonctions bornees d'une variable complexe, Ann. Ecole Norm. sup. C), 48,
247—358.
Жюлиа (Julia G.)
1924 Lemons sur les fonctions uniformes a point singulier essentiel isole, Paris,
Gauthier-Villars.
Зигмунд (Zygmund A.)
1965 Тригонометрические ряды, Москва, «Мир».
Каратеодори (Caratheodory С.)
1907 Sur quelques applications du theoreme de Landau-Picard, Compt. Rend.
Acad. Sci. (Paris), 144, 1203—1206.
1912 Untersuchungen Ober die konformen Abbildungen von festen und veran-
derlichen Gebieten, Math. Ann., 72, 107—144.
1913 Ober die gegenseitige Beziehung der Rander bei der konformen Abbil-
Abbildung des lnnern einer Jordanschen Kurve auf einen Kreis, Math. Ann.,
73, 305—320.
1913a Ober die Begrenzug einfach zusammenhangender Gebiete, Math. Ann,
73, 323—370.
1936 Eine Verscharfung des Schwarzschen Lemmas, Prakt. Akad. Athenon, 11.
Каратеодори и Фейер (Caratheodori С. ed Fejer L.)
1911 Ober den Zusammenhang der extremen von harmonischen Funktionen
mit ihren Koeffizienten und Ober den Picard —Landau'schen Satz, Rend.
Cir. Mat. di Palermo, 32, 218—239.
Карлеман (Carleman T.)
1921 Sur les fonctions inverses des fonctions entieres d'ordre fini, Arkiv Mat.
Astronomi Fysik, 15, № 10.

526 ЛИТЕРАТУРА
Кебе (Koebe P.)
1907 Ober die Uniformisierung beliebiger analytischen Kurven, Nachr. Ges.
Wiss. G6tt., Math.-phys. Kl, Hf. 2, 191—210.
1910 Ober die Uniformisierung der algebraischen Kurven. II, Math. Ann., 69,1—81.
1912 Ober eine neue Methode der konformen Abbildnng und Uniformisierung
(Voranzeige), Nachr. Ges. Wiss. G6tt., Math.-phys.KL, 879—886.
1915 Abhandlungen zur Theorie der konformen Abbildung. I, J. f. reine u.
angew. Math., 145, 177—223.
1918 Abnandlungen zur Theorie der konformen Abbildung. IV, Acta Math., 41,
305—344.
1918a Abhandlungen zur Theorie der konformen Abbildung. V, Math. Z, 2,
198-236. к . . .
Келдыш М. В.
1939 Конформное отображение многосвязиых областей иа канонические
области, Успехи матем. наук, 6, 90—119.
Келдыш М. В. и Лаврентьев М. А.
1937 Sur la representation conforme des domaines limites par des courbes
rectifiables, Ann. Ecole Norm, sup., C), 54, 1—38.
Крылов В. И.
Приложение ир ур у
рем конформного отображения, Матем сб, 4 D6): 1, 9—30.
рл
1938 Приложение интегральных уравнений к доказательству некоторых тео-
теоф б М б4 D6): 1, 930
Куфарев П. П.
1943 Об одиопараметрических семействах аналитических функций, Матем.
сб., 13 E5): 1, 87—118.
1946 Об интегралах простейшего дифференциального уравнения с подвиж-
подвижной полярной особенностью правой части, Учен. зап. Томск, ун-та,. 1,
35—48.
1947 Теорема о решениях одного дифференциального уравнения, Учен. зап.
Томск, ун-та, 5, 20—21.
1947а Об одном специальном семействе однолистных областей, Учен. зап.
Томск, ун-та, 5, 22—36.
19476 Об одном методе численного определения параметров в интеграле
Шварца — Кристофеля, Докл. АН СССР, 57, № 6, 535—537.
1947а Одно замечание об интегралах уравнения Лёвнера, Докл. АН СССР,
57, № 7, 655-«56.
1947г К теории однолистных функций, Докл. АН СССР, 57, № ц, 751—754.
1948 Об одной системе дифференциальных уравнений, Учен. зап. Томск,
ун-та, 8, 61—72.
Лаврентьев М. А.
1934 К теории конформных отображений, Труды Матем. ин-та им. В. А. Стек-
лова, 5, 159—246.
1935 Sur une classe de representation continues, Матем. сб., 42: 4, 407—424.
Лаврентьев М. А. и Шепелев В. М.
1930 Sur la representation conforme, Compt. Rend. Acad. Sci. (Paris), 191,
1426—1427.
1937 О некоторых свойствах однолистных функций, Матем. сб., 2 D4): 2,
319—326.
Ландау (Landau E.)
1904 Ober eine Verallgemeinerung des Picardschen Satzes, Sitzgsber. Preu8.
Akad. Wiss., Phys.-math. Kl.,1 H8—H33.

ЛИТЕРАТУРА 527
1922 Zum Koebeschen Verzerrungssatz, Rend Cir. Mat. di Palermo, 46,347—348.
1929 Ober die Blochsche Konstante und zwei verwandte Weltkonstanten, Math.
Z, 30, № 4, 608—634.
1929a Darstellung und BegrOndung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionen-
theorie, 2-te Aufl., Berlin, J. Springer.
Лебедев Н. A.
1951 Некоторые оценки и задачи на экстремум в теории конформного отобра-
отображения, Диссертация, ЛГУ.
Лебедев Н. А. и Милин И. М.
1949 О коэффициентах некоторых классов аналитических функций, Докл.
АН СССР, 67, № 2, 221—223.
1951 О коэффициентах некоторых классов аналитических функций, Матем.
сб., 28, G0): 2, 359—400.
Левин В. И.
1935 Some remarks on the coefficients of schlicht functions, Proc, London.
Math. Soc, B), 39, 467—480.
Лёвнер (L6wner K.)
1917 Untersuchungen Ober die Verzerrung bei konformen Abbildungen des
Einheitskreises |zj<l, die durch Funktionen mit nichtverschwinden-
der Ableitung geliefert werden, Ber. Vehr. sachs. Akad. Wiss. Leipzig,
Math.-phys. Ю., 69, 89—106.
1919 Ober Extremumsatze bei der konformen Abbildung des Aufieren des
Einheitskreises, Math. Z., 3, 65—77.
1923 Unters'uchungen Ober schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises,
Math. Ann., 89, 103—121.
Линделёф (Lindelof E.)
1908 Memoire sur certaines inegalites dans la theorie des fonctions raonogeries
et sur quelques proprietes nouvelles de ces fonctions dans le voismage
d'un point singulier essentiel, Acta Soc Sci. Fenn., 35, № 7
1915 Sur un principe general d'analyse et ses applications a la theorie de la
representation conforme, Acta Soc. Sci. Fenn., 46, № 4.
1916 Sur la representation conforme d'une aire simplement соппйсе sur l'aire
d'un cercle, 4. Congr. Skand. Math., 59—90.
Линделёф и Фрагмен (Lindel6f E. et Phragmen E)
1908 Sur tine extension d'un principe classique d'analyse et sur quelques prop-
proprietes des fonctions monogenes dans le voisinage d'un point singulier,
Acta Math., 31, 381—406.
Литтльвуд (Littlewood J. E)
1925 On inequalities in the theory of functions, Proc. London Math. Soc. B),
23, 481—519.
1944 Lectures on the theory of functions, London, Oxford univ. press
Литтльвуд и Пэли (Littlewood J. E and Paley R E A.C.)
1932 A proof that an odd schlicht function has bounded coefficients, J. London
Math. Soc, 7, pt. 3, № 27, 167—169.
Лохин И. Ф.
1949 Замечания об оценках регулярных функций, Матем. сб., 24 F6): 2,
249—262.

528 ЛИТЕРАТУРА
Маркутевич А. И.
1936 Sur la representation conforme des domaines a frontieres variables, Матем.
сб., I D3): 6, 863—886.
Мийу (Milloux H.)
1924 Le theoreme de M. Picard suites de functions holomorphes, fonctions
meromorphes et fonctions entiefes, Journ. de Math., 9, s. 3, 345—401.
Милин И. М.
1965 Оценка коэффициентов однолистных функций, Докл. АН СССР, 160,
№ 4, 769—771.
Монтель (Montel P.)
1933 Lemons sur les fonctions univalentes ou multivalentes, Paris, Gauthier-
Villars.
1936 Нормальные семейства аналитических функций, М.—Л., ОНТИ.
Неванлинна P. (Nevanlinna R.)
1919—1920 Ober die schlichten Abbildungen des Einheitskreises, Oversikt av
Finska Vet. Soc. F6rh. (A), 62, № 6, I —14.
1922 Kriterien Ober die Randwerte beschranken Funktionen, Math. Z., 13, 1—9.
1936 Ober die KapazitSt der Cantorschen Punktmengen, Monatsh. Math Phys.,
43, 435—447.
1941 Однозначные аналитические функции, М.—Л., Гостехиздат.
Неванлинна Ф. и Неванлинна P. (Nevanlinna F. und Nevanlinna R.)
1922 Ober die Eigenschaften einer analytischen Funktionen in der Umgebung
einer singularen Stelle oder Linie, Acta Soc. Sci. Fenn., 50, № 5.
Островский А.
1922 Ober vollstandige Gebiete gleichmassiger Konvergenz von Folgen analy-
tischer Funktionen, Abh. Math. Sem. Oniv. Hamburg, 1, 327—350.
Пик (Pick G)
1916 Ober eine Eigenschaft der konformen Abbildung kreisfdrmiger Bereiche,
Math. Ann., 77, 1—6.
Плеснер (Plessner A. I.)
1923 Zur Theorie der konjugierten trigonometrischen Reihen, Mitt. Math. Sem.
Giefien, Hf. 10.
Пойа (Polya G.)
1928 Beitrag zur Verallgemeinerung des Verzerrungssatzes auf mehrfach zusam-
menhangende Gebiete. I, Sitzgsber. Preufi. Akad. Wiss., Phys.-math. Kl.,
228—232 und II, ebenda, 280—282
1929 Beitrag zur Verallgemeinerung des Verzerrungssatzes auf mehrfach zusam-
menhangende Gebiete. HI, Sitzgsber. Preufi. Akad. Wiss., Phys.-math. Kl.,
55-62.
Поссель (De Possel R.)
1931 Zum Parallelschlitztheorem unendlich vielfach zusammenhingender Gebiete,
Nachr. Ges. Wiss. G6tt, Math.-phys. Kl, 192—202.
Правитц (Prawitz H.)
1927—1928 Ober Mittelwerte analytischer Funktionen, Arkiv. Mat. Astronoim
Fysik, 20A, 6, 1—12.

ЛИТЕРАТУРА 529
Привалов И. И.
1919 Интеграл Коши, Саратов
1924 О функциях, дающих однолистное конформное отображение, Матем.
сб., 31:3,4, 350—365.
1950 Граничные свойства аналитических функций, М—Л., Гостехиздат.
Радо (Rad6 T)
1922—1923 Sur la representation conforme de domaines variables, Acta Szeged,
1, f. 3, 180—186.
1922—1923a Ober die Fundamentalabbildung schlichter Gebiete, Acta Szeged,
1, f. 4, 240—251.
Рейх и Шиффер (Reich E and Schiffer M.)
1964 Estimates for the transfinite diameter of a continuum, Math. Z., 85, № 1,
91-106.
Ренгель (Rengel E)
1933 Ober einige Schlitztheoreme der konformen Abbildung, Schr. Math Sem
und Inst. tflr angew Math. Univ. Berlin, 1, № 4, 141—162
Рисе М. (Riesz M)
1927 Sur les fonctions conjuguees, Math. Z., 27, № 2, 218—244.
Рисе Ф. (Riesz F.)
1923 Ober die Randwerte einer analytischen Funktion, Math. Z., 18, 87—95.
Рисе М. и Рисе Ф. (Riesz M. and Riesz F)
1916 Ober die Randwerte einer analytischen Funktion, 4 Congr. Skand. Math.,
27—44.
Робинсон (Robinson R. M)
1943 Analytic functions in cercular rings, Duke Math. J., 10, 341—354.
Рогозинский (Rogosinski W. W)
1932 Ober positive harmonische Entwicklungen und typisch — reelle Potenz-
reihen, Math. Z., 35, № 1, 93—121.
1943 On the coefficients of subordinate functions, Proc. London Math. Soc.
B), 48, pt. 1, 48—82
Cac (Szdsz O.)
1920 Ungleichheitsbeziehungen fflr die Ableitungen einer Potenzreihe, die
eine im Einheitskreise beschrSnkte Funktion darstellt, Math. Z., 8, 303—309.
Cere (Szeg6 G)
1924 Bemerkungen zu einer Arbeit von Herrn M Fekete «Ober die Vertei-
lung der Wurzeln .. », Math Z, 21, 203—208
Cere и Фекете (Szeg6 G. und Fekete M)
1933 Eine Bemerkung iiber ungerade schlichte Funktionen, J London Math
Soc, 8, pt. 2, № 30, 85—89
Смирнов В. И.
1928 Sur la theorie des polynomes orthogonaux a la variable complexe, Жур-
-нал Ленинград, физ -мат. общ-ва, 2:1, 155-^-179.
1929 Sur les valeurs limites des fonctions, regulieres a l'interieur d'un cercle,
Журнал Ленинград, физ -мат. общ-ва, 2:2, 22—37.

530 ЛИТЕРАТУРА
1932 Ober die Randerzuordnung bei konformer Abbildung, Math. Ann., 107,
313—523.
1932a Sur les formules de Cauchy et de Green et quelques problemes qni s'y
rattachent, Изв. АН СССР, сер. матем., 7, № 3, 337—372.
1953 Курс высшей математики, т. Ill, ч. 2, изд. 5-е, Москва, Гостехиздат.
Ся Дао-син (Shah Tao-shing)
1957 Qolusin's number J-— is the radius of superiority in subordination,
Science record, New sen, 1, № 4, 25—28.
1957a On the radius of superiority in subordination, Science record, New ser.,
1, № 5, 53-57.
Уолш (Walsh J. L.)
1961 Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплекс-
комплексной области, Москва, ИЛ.
Фату (Fatou P.)
1906 Series trigonometriques et series de Taylor, Acta Math., 30, 335—
400.
Фекете (Fekete M.)
1923 Ober die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Qleichungen
mit ganzzahligen Koeffizienten, Math. Z., 17, 228—249.
1925 Zum Koebeschen Verzerrungssatz, Nachr. Qes. Wiss. G6tt, Math.-phys.
Kl., 145—150.
Ob
1930 Ober den transfiniten Durchmesser ebener Punktmengen II, Math. Z., 32,
№ 2, 215—221.
Филиппов А. Ф.
1950 Элементарное доказательство теоремы Жордана, Успехи матем. наук,
5, 5, 173—176.
Фихтенгольц Г. М.
Sur l'integrale de Pc
damenta'Math., 13, 1—33.
1929 Sur l'integrale de Poisson et quelques questions qui s'y rattachent, Fun-
аМа' '- " -
Хажинский и Шиффер (Charzynski Z. and Schiffer M.)
1960 A new proof of the Bieberbach conjecture for the fourth coefficient, Arch.
Ration. Mech. Anal., 5, № 3, 187—193.
Хейман (Hayman W. K.)
1963 On successive coefficients of univalent functions, J London Math. Soc.,
38, pt. 2, № 150, 228—243.
Хинчин А. Я.
1924 О последовательностях аналитических функций, Матем. сб., 31, 1,
147—151.
Шеффер и Спенсер (Schaeffer А. С. and Spenser D. С.)
1943 The coefficients of schlicht functions, Duke Math. J., 10, 611—635.
1947 Variational methods in conformal mapping, Duke Math. J., 14, № 4,
949—966.
1950 Coefficient regions for schlicht functions, American Math. Soc, Colloquium
Publications, 35, New York.

ЛИТЕРАТУРА 531
Шиффер (Schiffer M.)
Sur un principe nouvean pour 1'evalution des fonctions holomorphes,
Bull. Soc. Math. France, 64, 231—240.
A method of variation within the family of simple functions, Proc. Lon-
London Math. Soc. B), 44, 432—449.
Variation of the Oreen function and theory of the p—valued functions,
Amer. J. Math., 65, № 2, 341—360.
Faber polynomials in the theory of univalent functions, Bull. Amer. Math.
Soc. 54, 50»—517.
Шмидт (Schmidt E.)
Ober den Millouxschen Satz, Sitzgsber. Preufi. Akad. Wiss., Phys.-math.
Kl., 394-401.
Шотки (Schottky Q.)
Ober den Picardschen Satz und die Borelschen Ungleichungen, Sitzgsber.
PreuB Akad. Wiss., Phys.-math. KL, 1249—1263.
Шпернер (Sperner E.)
Neuer Beweis fur die Invarianz der Dimensionszahl und des Oebietes,
Abh. Math Sem. Univ. Hamburg, 6, 265—272.
Шур (Schur I.)
OberPotenzreihen, die im Innern des Einheitskreises beschrankt sind,
Journal f. reine u. angew. Math., 147, 205—232.

ДОБАВЛЕНИЕ
МЕТОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ
ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
Со времени выхода в свет первого издания монографии Г. М. Голузина
в геометрической теории функций появилось большое число различных
результатов как наших, так и зарубежных авторов. Многие из этих резуль-
результатов непосредственно примыкают к содержанию этой книги, и многие из
них получены путем применения идей Г. М. Голузина. Поскольку включе-
включение указанных результатов в текст книги потребовало бы значительного
изменения авторского текста, представилось целесообразным дополнить на-
настоящее издание отдельным обзором этих результатов.
Приводимый обзор ни в какой мере не является исчерпывающим: неко-
некоторые из разработанных в настоящее время методов и результаты, полу-
полученные этими методами, не могли быть отражены достаточно полно в рам-
рамках добавления к книге. Естественно также, что на выборе материала, вклю-
включенного в добавление, не могла не отразиться направленность научных
интересов авторов.
§ 1 этого обзора написан Н. А Лебедевым, § 2 — Г. В. Кузьминой,
§ 3—Ю. Е. Аленицыным
Введение
Введем предварительно некоторые классы функций, часто встречаю-
встречающиеся в дальнейшем:
S — класс функций /(г) = z-f-сягг-f- ..., регулярных и однолистных
в круге | z | < 1;
— класс функций /?(С) = ? + ао+^'+ ¦¦¦> мероморфных и однолист-
однолистных в области | С | > 1;
1*1 (ft =1,2,...) — класс функций/(z) f S, имеющих разложение/(z) =
+ M + fl +
2° — подкласс функций F (С) из 2, не обращающихся в нуль прн | С | > 1;
2]'*' (ft=l,'2, ...)— класс функций из 2°, имеющих разложение F(i) =
ak~l | a2ft-l (
T
S^ —класс функций /(z) = z + e2z2-\- ... ^ S с вещественными коэф-
коэффициентами cs, c8, ... ;
S* — класс функций w =/(z) ? S, отображающих круг | z J < 1 на область,
звездообразную относительно точки w = 0;

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ 633
S—класс функций/(г)? S, отображающих круг |z|<l на выпуклую
область;
2* — класс функций w = ,F((;)? 2, отображающих |С.|>1 на область,
дополнение которой звездообразно относительно точки и» = 0;
2— класс функций из 2, отображающих | С | > 1 на область с выпуклым
дополнением;
SM, М^\,— класс ограниченных функций /(z)? S:|/(z) | <M при
M<i;
Sm, /n>0, — класс функций ,F(C)? 2 таких, что | /?(С)| >/п при |С | > 1;
SA) — класс функций/(z) = az4-a2z2 4-..., а >0, регулярных и однолист-
однолистных в круге | г \ < 1, |/(z) | < I при | г \ < 1.
Пусть, далее, 91 — класс функций/(z), регулярных в круге |z|<l;
С—класс функций /(z), регулярных в круге lz|<l и таких, что
9i /(z)>0 при |е|<1;
Т—класс функций /(z)=z-f-c2z!-r- ..., регулярных в круге |z|< 1 и
таких, что 3/(г) 3 z > 0 при | z | < 1;
R—класс функций /(z), регулярных в круге |z|< 1 и таких, что для
любых гх и zs из круга | z | < 1: /(z,)/(z2)^ 1;
L — класс функций / (г), регулярных в круге | z | < 1 и таких, что для
_любых Zj и zs из круга | z | < 1: /(z,)/(zs)^—1;
R, L — подклассы однолистных функций соответственно из классов R
и L.
Классы функций, являющиеся подклассами одновременно нескольких из
указанных выше классов, обозначаем совокупностью соответствующих
индексов. Например, S$ — класс функций f(z) ? S'** f] 5„, Smj — класс
функций /(z)?SA)nS*.
Дальнейшие обозначения приводятся в тексте.
§ 1. Основные методы геометрической теории функций
комплексного переменного
1°. Принцип площадей. Принцип площадей (площадь не
отрицательна) в простейшей форме использовал Гронуолл (см.
теорему площадей, гл. II, § 4). Опираясь на теорему площадей, Бибер-
бах доказал известные теоремы в классе 5 и 2 (см- гл- Н> § 4).
Более тонко принцип площадей использовали Правиц [1927] и Грун-
ский [1939]. Позже Г. М. Голузин (см. гл. XI, § 6) доказал теорему
площадей для jp-листных функций. И в более общих случаях исполь-
использование принципа площадей приводит к доказательству некоторой
«обобщенной теоремы площадей». Далее такая теорема является
исходной для получения различного рода оценок. Одна из первых
таких теорем была получена Н. А. Лебедевым и И. М. Милиным
[1951]. Некоторое обобщение и усиление этого результата даны
Н. А. Лебедевым [1961], которое кратко изложим.
Пусть ЙН(оо, at а„) —класс всех систем {fk(z)}% функций
w=fk(z), k = 0, I, ..., п, отображающих конформно и однолистно

534 ДОБАВЛЕНИЕ
круг | z | <^ 1 на попарно неналегающие области так, что /в @) = оо,
fk@) = ak> k—l, 2, ...,л,где щ а* ..., ап — фиксированные точки.
Обозначим через Bk (r),k = O, I,..., л, образ круга |z К г, 0<^г <^ 1,
при отображении функцией w=fk(z) и через В (г) — дополнение до
я
расширенной плоскости w для \J Bk (r). Пусть функция Q (w) имеет
* 0
в области В (г о), ®<С.га<^1, регулярную и однозначную производную.
Задача заключается в вычислении площади о (г), г0 <^г <^ 1, образа
области В (г) при отображении функцией ? = Q(ay):
e(r)= И IQ'HI8^, О)
где d<o — элемент площади. Для этого, вводя некоторую однозначную
ветвь функции Q (w), получим в кольце r0 <^ | z \ <^ 1 с соответствую-
соответствующим разрезом разложение
Q (/»(*)) = 2 Р!,*)яг* + Е ^ + P(ft) log г, B)
9=1 9=0
в котором лишь коэффициенты b[k) и ветвь logz зависят от выбора
ветви функции Q (w). Вычисляя о (г) и устремляя г к единице, в пре-
пределе получим следующее неравенство — обобщенную теорему пло-
площадей:
SSfi^i^SS*IP*I4-т2W}-«*ЕО. с3)
в котором вид суммы по / связан с некоторым специальным выбором
ветви Q(w). Легко дать различные необходимые и достаточные усло-
условия того, чтобы в этом неравенстве имел места знак равенства. При
п = 0 получаем обобщенную теорему площадей Н. А. Лебедева и
И. М. Милина [1951]. Если /7(С)^2 и Функция Q(w) регулярна
в дополнении образа области |С|]>Ро. Ро]>1> при отображении функ-
функцией w=F(Q, то, полагая
имеем:
Неравенство C) является исходным для получения различного рода
оценок (см. Н. А. Лебедев и И. М. Милин [1951], Н. А. Лебедев
[1951, 1961]). Успех зависит от удачного выбора функции Q(w).

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ 535
При применении этого метода не всегда получаются точные оценки
(в связи с тем, что применяется неравенство Буняковского). Однако
этот метод иногда дает возможность получить некоторые оценки и
в том случае, когда другие методы не удается применить.
В качестве иллюстрации применения этого метода докажем тео-
л
рему 3 гл. IV, § 2. Полагая Q(w)= 2 Ъ> 1оё(w~F(У)> имеем:
q=\ q=l v = l **"¦
и D) примет вид
2*М^ 2 TvTvlogr-^-. E)
Левая часть в неравенстве (8) гл. IV, "§ 2 равна
\2
y = l
Пользуясь предыдущим неравенством, получаем неравенство ф) гл. IV,
§ 2, и теорема доказана. Можно выяснить условия, при выполнении
которых в E) будет знак равенства.
Все указанные выше обобщенные теоремы площадей и основные
неравенства, получаемые из них, можно записать в интегральной форме,
которая также весьма удобна для получения различного рода оценок.
Например, неравенство D) можно записать так:
|?'(*)|8^ \\ W(z)\*do,
||1
где da — элемент площади, <p(z)= 2 bkzk и ty(z)= ^ $kzk.
k=\ *=i
Можно рассмотреть случай неналегающих многосвязных областей.
В этом случае ряды вида B) не применимы, но можно воспользоваться
теорией ортогональных по области функций, введенных Карлеманом
[1922] и Бохнером [1922] (см. также Бергман [1950] и Мешковский
[1962]). Случай одной функции, однолистной в многосвязной области,
был рассмотрен И. М. Милиным [1964, 1964а, 19646].
Обобщенную теорему площадей в интегральной форме в случае
неналегающих многосвязных областей получил Н. А. Лебедев [1966]

536 ДОБАВЛЕНИЕ
(о теоремах площадей для многосвязных областей см. также § 3 на-
настоящего обзора).
2°. Метод контурного интегрирования. Этот метод
тесно связан с принципом площадей и в основном состоит в том, что
рассматривается некоторый двойной интеграл по данной области, обычно
неотрицательный (в частности, интеграл от квадрата модуля произ-
производной некоторой функции, регулярной в данной области). Он выби-
выбирается так, чтобы в полученном, согласно формуле Грина, контурном
интеграле один из множителей подынтегральной функции имел на
контуре области значения, комплексно сопряженные со значениями
некоторой другой функции, и чтобы использование этого соотношения
позволяло заменить этот интеграл интегралом от мероморфной функ-
функции и вычислить его с помощью теоремы о вычетах. Так получается
некоторое неравенство. Успех этого метода зависит от удачного выбора
некоторого двойного интеграла.
Метод контурного интегрирования был впервые применен к реше-
решению экстремальных задач геометрической теории функций Грунским
[1932]. В гл. V, § 4 приведены некоторые результаты работы Гара-
бедяна и Щиффера [1949], в которой этот метод систематически
использован для получения различных тождеств в теории конформного
отображения многосвязных областей. Метод контурного интегриро-
интегрирования применялся многими авторами: например, Г. М. Голузиным[1937,
1946, 1946д], Грунским [1939], Бергманом и Шиффером [1951], Меш-
ковским [1953], Нехари [1953], Ю. Е. Аленицыным [1956, 1961]
(относительно некоторых результатов, полученных в этих работах,
см. § 3 обзора).
3°. Параметрический метод. Этот метод заключается
в использовании уравнения Лёвнера (см. гл. Ill, § 2) для решения
экстремальных задач в теории функций. Еще Лёвнер с помощью
своего уравнения пблучил оценку |с3|<:3 для функций f(z) = z-{-
-j- Cj2s + c3z3 -j- ... ? 5. Некоторое обобщение уравнения Лёвнера
дал Пешль [1936]. В ряде работ Г. М. Голузин [1936, 19376, 1939в,
1946в, 1946д, 1949в, 1951, 1951а] использовал упомянутое уравнение
Лёвнера и значительно расширил возможности его применения. Реше-
Решения уравнения Лёвнера подробно изучались П. П. Куфаревым [1946,
1947а, 19476, 1947в, 1947г, 1948]. Кроме того, П. П. Куфарев [1943,
1947] дал обобщение этого уравнения. Приведем без доказательства
формулировку одной его теоремы:
Пусть функция р(w, t) регулярна по а» в круге |w|<^ 1 при
каждом t, 0^.t<^co, и измерима по t, 0^.t<^oo, при каждом w
из |а»|<^1, причем p(Q, t)=.\ и ffip(w, t)^>0 при |ге>|<М,
0sg2f<^oo. Тогда решение w=f(z, f), f{z, 0) = г дифференциаль-
дифференциального уравнения

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (ФУНКЦИЙ 537
представляет функцию, которая при каждом t, 0=^?<^оо, как функ-
функция от z регулярна и однолистна в |г|<[1 и /(О, t) = 0, f'2@, f) =
= e~f> \f(z> OK1 ПРИ I2К!1» 0<;?<^oo. Kfrt&e того, функция
f(z) = lim е'/(г, f) = г + с3г* + с3г3 + ...
принадлежит классу 5.
Параметрический метод постоянно используется в работах по тео-
теории однолистных функций (см. И. Е. Базилевич [1951, 1951а, 1957],
Л. И. Колбина [1952а], Н. А. Лебедев [1955а, 19556], Г. Г. Шлион-
ский [1959]). Он часто приводит к успеху при получении явных
оценок, но, как правило, не обеспечивает описания экстремальных
функций и полной информации об их единственности. Указанный метод
был распространен на двусвязные области. По этому поводу см. Комацу
[1943], Г. М. Голузин [1951д], Ли Ен Пир [1953], Н. А. Лебедев
[1955в, 1955г], М. Р. Куваев [1959а]. Кроме того, М. Р. Куваев и
П. П. Куфарев [1955] получили обобщенное уравнение типа Лёвнера
для многосвязных областей и М. Р. Куваев [1959] для автоморфных
функций. Все эти обобщенные уравнения весьма сложны и с их
помощью получено мало конкретных результатов.
4°. Вариационные методы. Остановимся только на тех
вариационных методах, которые привели к решению ряда экстремаль-
экстремальных задач в геометрической теории функций. Первым из таких мето-
методов является вариационно-геометрический метод М. А. Лаврентьева
[1934]. С помощью этого метода получены значительные результаты
в прикладных вопросах (см., например, М. А. Лаврентьев и Б. В.
Шабат [1958, гл. IV]). Те же задачи геометрической теории, которые
в свое время были решены этим методом, в настоящее время легко
решаются другими вариационными методами.
Следующим по времени вариационным методом является метод
Шиффера. В его работах использованы как граничные [1938, 1938а],
так и внутренние вариации [1943]. Метод Шиффера при решении
экстремальных задач приводит к некоторым дифференциальным урав-
уравнениям для экстремальной функции— одному для каждой экстремаль-
экстремальной функции. Позже Г. М. Голузин [1946е, 1947, 1947а, 1951 г]
(см. также гл. III, § 3) дал свой вариант метода внутренних вариаций
и получил формулы для варьированной функции при меньших пред-
предположениях. Исходя из этих формул, он приходил к тем же диффе-
дифференциальным уравнениям, что и Шиффер, но более простым путем.
Метод Г. М. Голузина часто приводит к окончательному решению
различных экстремальных задач геометрической теории функций.
Однако во многих случаях этим методом не удается довести за-
задачу до конца, и тогда он дает лишь качественную характеристику
экстремальной функции и той области, на которую эта функция
отображает единичный круг. Часто такой областью оказывается вся

538 ДОБАВЛЕНИЕ
плоскость с разрезами по конечному числу аналитических кривых.
Такая информация в значительной мере устраняет трудности примене-
применения метода Лёвнер^ Это наводит на мысль сочетать параметрический
и вариационный методы. Такие попытки были сделаны Н. А. Лебе-
Лебедевым [1951, 1951а]. Поскольку доказательств в работе [1951] не
дано, мы кратко изложим здесь некоторые идеи. Если функция w=
=/(z) класса 5 отображает круг | z | <^ 1 на плоскость с разрезами
по конечному числу кривых Жордана, то функцию f(z) (см. гл. III,
§ 3) можно представить в виде f(z)^g(f(z, t), t), 0^.t<^co, где
f(z, t) есть решение уравнения Лёвнера (см. A8), стр. 95) с неко-
некоторой функцией k (t), 0 <; t <^ оо. Если У[х (t) и 7), (t) — любые функ-
функции, непрерывные при Osg?<^oo, за исключением конечного числа
точек разрыва первого рода, удовлетворяющие условиям | tji (t) e* \ <^
<С^' \%(f)\<^M, M^>0, 0^^<"оо, то при любом достаточно
малом вещественном X решение w=J(z, t, X), f(z, 0, X) = z, уравне-
уравнения
dw
представляет функцию, которая при каждом t, 0-^.t<^co, как функ-
функция от z регулярна и однолистна в |z|<^ 1 и
i
-/-Xji),(T)rft
ДО, 0 = 0, Гг{0,*) = е °
Опираясь на этот факт, получаем варьированную функцию Д (г) ^ 5":
fm(z)=*f(z) + k \[L(z, 0 Ъ^-Ш{г, t) 7)8@] dt + W(z, t), A)
о
где
L {z, 0 —fW -/ (z) ^_lj_
N(z л —
N(z, о-
и R (z, 0 — функция, равномерно по t ограниченная внутри круга
|2|<4. Выбирая в A) T)i @ и 7jj@ надлежащим образом, получим
варьированную функцию Д (z) ^ 5
(z) =f(z) + \j±AkP{z, гк)-\% А&(z, zk,t)-
ft=i ft=i
E z, zh, f) + \*Rm(z, t), B)

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ 539
где Ak — произвольные комплексные числа, гь — точки из круга
|г|<^1,"/?*(«, 0 — функция, равномерно по t ограниченная внутри
круга |z|<l,
I-/fa)'
Если в формуле B) положить ? = 0, то получим формулу, отличаю-
отличающуюся лишь несущественно от формулы Г. М. Голузина B4), гл. III,
§ 3. Впрочем, формулу B) легко получить непосредственно из фор-
формулы B4), гл. III, § 3. Применяя ее к экстремальной в некоторой
задаче функции f{z) ?-S, получим дифференциальное уравнение для
/(г), содержащее параметр t При этом также получаются дифферен-
дифференциальные уравнения для /(г, f), g(z, t), для границы образа круга
при отображении функцией w=f(z) и для функции k{t), входящей
в уравнение Лёвнера. На этом пути Н. А, Лебедев [1951, 1951а]
получил лишь некоторые качественные результаты для экстремальных
функций в задаче коэффициентов для функций класса «S1.
П. П. Куфарев [1951, 1954, 19566] (см. также [1963]) более
успешно сочетал вариационный метод Г. М. Голузина и метод пара-
параметрического представления Лёвнера. Вариационно-параметрический
метод, созданный П. П. Куфаревым при решении экстремальных за-»
дач, также приводит к дифференциальному уравнению для функции
g(z, 0 (а следовательно, и для f{z) и f{z, f)). Далее, используя это
уравнение и уравнение Лёвнера, сводим нахождение функции k(t\
фигурирующей в уравнении Лёвнера, к решению некоторой граничной
задачи для системы дифференциальных уравнений. Если из этой си-
системы удается найти функцию k(t), то интегрирование уравнения
Лбвнера приводит к определению экстремальной функции и решению
экстремальной задачи. С помощью вариационно-параметрического ме-
метода П. П. Куфарева томской школой математиков были решены
многие трудные экстремальные задачи геометрической теории функ-
функций (о некоторых из них см. § 2 обзора).
Вариационный метод Г. М. Голузина был распространен на много-
многосвязные области (см. П. П. Куфарев и Н. В. Семухина [1966],
И. А. Александров {1963а] и С. А. Гельфер [1962]) и на много-
листные функции (см. С. А. Гельфер [1954, 1956], Гудман [1958,
1968а, 19686, 1968в]). Легко получить вариационные формулы типа
формул Г. М. Голузина и для классов функций, представимых с по-
помощью интеграла Стилтьеса (выпуклые, звездообразные, типично

540 ДОБАВЛЕНИЕ
вещественные и др.), однако нам кажется, что в этих случаях удобнее
пользоваться другими методами и, в частности, другими вариационными
формулами. О таких методах будет идти речь в п. 8°.
5°. Метод экстремальных метрик. Эти методы опи-
опираются на оценки, связывающие длины семейства кривых и площадь
заполняемой ими области. Грётш [1928] был первым, кто использо-
использовал этот метод как метод теории однолистных функций и назвал
его методом полос. Его метод изложен в гл. IV, § 6. Грётш решил
им много задач как для односвязных, так и для многосвязных
областей. Многие из них теперь проще решаются другими методами,
в частности, методом контурного интегрирования. Метод полос усо-
усовершенствовал Альфорс [1930]. Он доказал весьма важное нера-
неравенство, которое именуется принципом длины и площади. Дадим
формулировку этого результата. Пусть функция f{z) регулярна
в области В и пусть n(w) — число корней уравнения f(z) — w, ле-
лежащих в В, и
2it
р>0.
Пусть /(р) — суммарная длина кривых в В, на которых
и о — площадь В. Тогда
J 9P(t)
С доказательством этого результата, некоторыми его приложе-
приложениями и соответствующей библиографией можно познакомиться по
книге В. К. Хеймана [1960].
В 1946 г. Альфорс и Бёйринг дали новую формулировку метода
экстремальных метрик, позволившую далее Дженкинсу [1962] дать
дальнейшее развитие этого метода. Название «метод экстремальных
метрик» связано с тем, что в некоторых из работ в области, заполняе-
заполняемой семейством линий, вводятся специальные метрики.
6°. Метод квадратичных дифференциалов. Существен-
Существенная роль квадратичных дифференциалов в решении экстремальных
задач была обнаружена еще в известных исследованиях Гретша (см.
п. 5°). В частности, в полученных им теоремах существования кон-
конформных отображений многосвязных областей на канонические области
последние в ряде случаев определяются траекториями некоторого
квадратичного дифференциала. Еще раз роль квадратичных диффе-
дифференциалов обнаружилась при решении экстремальных задач вариацион-
вариационным методом. Как известно, метод внутренних вариаций обычно
приводит к дифференциальному уравнению для экстремальных функ-
функций и границ соответствующих им экстремальных областей, причем
эти уравнения выражаются посредством надлежащих квадратичных

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ 541
дифференциалов и для исследования задачи интегрирования этих урав-
уравнений в ряде случаев нужно знать качественную картину траекторий,
соответствующих упомянутым квадратичным дифференциалам.
Это вызвало интерес к исследованию поведения — локального и
глобального — траекторий квадратичного дифференциала. Первыми
систематическими исследованиями в этом направлении являются ра-
работы Шеффера и Спенсера [1950], Дженкинса [1954а], Дженкинса и
Спенсера [1951]. Далее теория траекторий квадратичных дифферен-
дифференциалов на конечной ориентируемой римановой поверхности была
развита Дженкинсом [1962, 1960в]; в частности, им получена весьма
общая «основная структурная теорема» [1962, гл. III].
Основным результатом метода квадратичных дифференциалов яв-
является «общая теорема коэффициентов» Дженкинса [1960а, 1962,1963а].
Эта теорема имеет дело с множеством однолистных функций ft(z),
регулярных или мероморфных во взаимно неналегающих подобластях
Д, римановой поверхности 81 и отображающих эти области на под-
подобласти SR без общих точек. Предполагается, что области Дг ограни-
ограничены траекториями квадратичного дифференциала Q(z)dz* на SR1).
При этих условиях устанавливается неравенство, содержащее коэф-
коэффициенты разложений функций ft(z) и Q(z) в окрестностях
каждого полюса Q(z) порядка т~^1. Если Q(z) имеет в окре-
окрестности z = oo (используем локальный параметр, переводящий дан-
данный полюс в точку г = оо) разложение Q(z) =-^-\- более высокие
степени — (т. е. полюс квадратичного дифференциала второго порядка),
то допустимая функция ft{z) должна иметь разложение fl(z)=az-\-
-f-Oo-l—--\- более высокие степени—. Если Q(z) имеет в окрест-
окрестности z = oo разложение Q(z) — azm~l-{-более низкие степени г,
т^д, допустимая функция ft(z) должна удовлетворять условию
ft(z) — z-\-az~k-\- более высокие степени—, k^-^m— 2 (Джен-
кинс, [1960а]). Общая теорема коэффициентов Дженкинса дополнена
П. М. Тамразовым [1965в] для случая, когда дифференциал Q(z)dz*
не имеет полюсов порядка, большего единицы.
Эта весьма общая теорема позволяет получить систематическим
образом многие известные результаты в геометрической теории функ-
функций: с ее помощью легко доказываются теоремы искажения для
функций, однолистных внутри или во внешности ечдиничного круга,
изучаются множества значений этих функций и их производных, полу-
получается ряд результатов об однолистных функциях без общих значе-
значений, доказываются теоремы существования отображений многосвяз-
*) По поводу определений этого пункта см. монографию Дженкинса [1962].

542 ДОБАВЛЕНИЕ
ных областей на канонические области. С помощью «общей теоремы
коэффициентов» Дженкинс поставил и решил ряд трудных экстре-
экстремальных задач (о некоторых из этих результатов см. § 2 обзора).
7°. Метод симметризации. В настоящее время известно
несколько методов симметризации. Остановимся кратко на круговвй
симметризации, предложенной Пойа. Для односвязной области В,
содержащей точку z = 0, как нетрудно показать, существует един-
единственная односвязная область В#, обладающая следующим свойством:
если окружность \z\ — r, 0<V<^oo, пересекает область В по ду-
дугам, сумма длин которых равна /(г), 0^/(r)^2icr, то эта же окруж-
окружность пересекает область В* по одной дуге длины 1(г) с серединой
в точке z—— г. Область В* симметрична относительно веществен-
вещественной оси. Если w—f(z) и w—f*(z), /@)=Д @) = 0, — функции,
однолистно и конформно отображающие соответственно В и В# на
круг |w|<^ 1, то
Имеются и другие неравенства, связывающие некоторые величины
для В и В%. Метод симметризации и опирается на такого рода не-
неравенства. Он достаточно полно изложен в книгах В. К. Хеймана
[I960] и Дж. Дженкинса [1962].
Отметим, что указанный метод, особенно в сочетании с методом
экстремальных метрик, дал возможность решить ряд экстремальных
задач, которые не удается до сих пор решить никаким другим ме-
методом (см. § 2 обзора). Обобщение метода симметризации на много-
многосвязные области дал И. П. Митюк [1964а] (см. § 3, п. 2° обзора).
8°. Метод интегральных представлений. Решение
экстремальных задач облегчается в классах функций, имеющих инте-
интегральное параметрическое представление. Мы будем рассматривать
классы А функций, имеющих представление интегралом Стилтьеса:
где [а, Ь] — конечный промежуток, g(z, t) — фиксированная функция,
регулярная по г в некоторой области В при a^.t^.b и непрерыв-
непрерывная по t, as?.ts^:b, при всяком z ?В (ядро класса) и ji(?)— не-
неубывающая на промежутке [а, Ь] функция, удовлетворяющая условию
jiF) — (х (а) = 1 (параметр класса). В дальнейшем множество таких
функций ji(f) обозначаем через М[а, Ь].
Например, класс С функций f(z), /@)= 1, представим формулой
B)

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ 543
Класс типично вещественных функций f(z) (класс Т) представим
формулой (см. гл. XI, § 9):
*>«]• C)
При решении экстремальных задач и задач на нахождение обла-
областей значений функционалов и систем функционалов в классе функ-
функций, представимых интегралом Стилтьеса, иногда полезна следующая
теорема1):
Пусть множество 3JI точек (jcj, ..., х„) и-мерного евклидова
пространства Rn представлено формулами
ь
= l, 2,..., п, D)
где gk(t) — фиксированные непрерывные на промежутке [а, Ь] функ-
функции и \x(f)— функция класса М[а, Ь], различные, вообще говоря,
для различных точек 3JI Тогда 30t есть замкнутое множество, являю-
являющееся выпуклой оболочкой множества точек
xk=gk{t)> k = l, 2,..., п, a
и всякая точка из 30t может быть представлена формулами D), где
\х (t) — некоторая кусочно постоянная функция из М [а, Ь], имеющая
не более п точек разрыва. Эта теорема и ее частные случаи неодно-
неоднократно использовались различными авторами (к сожалению, иногда
без ссылок на Каратеодори).
Теорема Каратеодори применима далеко не ко всем экстремальным
задачам в классе функций, представимом по формулам A). В таких
случаях весьма полезны две вариационные формулы, предложенные
Г. М. Голузиным (формулы G) и (8) стр. 506). Можно дать и другие
аналогичные вариационные формулы в классе А (см., например, В. А.
Зморович [1952]) и из одной из таких формул можно получить
вариационные формулы типа формул Г. М. Голузина в классе 5
(гл. III, § 3). Формулы Г. М. Голузина, а также формулы В. А. Зморовича,
обычно сразу дают тот факт, что экстремальная функция имеет вид
где tk — точки из [а, Ь], причем указывается значение т.
Укажем еще одну вариационную формулу р классе А Пусть
)^ А. Так как g(z, ъ)?А при всяком т, а^т^й, то функция
/* (г) = A -Ц/(г) + \g(z, т), 0<А< 1,
*) Эта теорема легко следует из результатов Каратеодори [1911]
(см. также Ф. Рисе [1911]).

544 добавление
также принадлежит этому классу и имеем следующую вариационную
формулу в классе А:
U (*) =/(*) + X (g(Z, t) -/(Z) =/(*) + X I [g(Z, ,) - gfc 0] <*|* @. F)
a
0<X<l, a^i^b.
Эта формула, так же как и формулы Г. М. Голузина, обычно сразу
показывает, что экстремальная функция имеет вид E).
Во многих случаях класс функций представим с помощью инте-
интегралов Стилтьеса. Например, класс 5* звездообразных в круге
| z | <^ 1 функций представим формулой
-2j log (I - е"г) </|i @
Естественно, что и в таких случаях не представляет труда восполь-
воспользоваться вариационными формулами Г. М. Голузина или F).
9°. Много различных результатов получено при сочетании раз-
различных методов. О сочетании вариационного и параметрического мето-
методов (вариационно-параметрический метод П. П. Куфарева) мы говорили
в п. 4°. Дженкинс успешно использовал сочетание метода экстремаль-
экстремальных метрик с вариационным методом и методом симметризации. О
методах геометрической теории функций см. также П. П. Куфарев
[1956а, 1958], Дженкинс [1962, введение].
§ 2. Однолистные функции в круге и кольце
1°. Области значений и оценки различных функцио-
функционалов и систем функционалов. Большая роль в исследова-
исследованиях последних лет в геометрической теории функций принадлежит
результатам, касающимся задачи получения оценок различных функ-
функционалов, характеризующих геометрические свойства функций класса 5
и других классов, а также более общей задачи определения областей
значений этих функционалов и систем функционалов. В первую оче-
очередь к таким результатам относится исследование функционалов,
непосредственно характеризующих искажение отображаемой области.
Получившая многочисленные приложения теорема искажения хорд
Г. М. Голузина (гл. IV, § 2) усилена И. Е. Базилевичем [1951а]
для случая класса 2т путем использования параметрического пред-
представления Лёвнера: при любых Ci и Са из области |С|^>1 для
справедливы неравенства
T? К I С/1« _ F(C1)-F(C1) .ПГ
i/i

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
Знак равенства слева имеет место при всех |
справа — только при d = (^.
Тем же методом И. Е. Базилевич [1951] получил для всех
545
С|>1, а
из области | С | ]> 1 Оценку функционала
log
в классе 2т'- Из этой оценки следуют точные неравенства
И. IA. Милин (см. Н. А. Лебедев и И. IA. Милйн [1951J), опи-
опираясь на обобщенную теорему площадей, установил для F (Q ? 2J'*1
при любых вещественных р и q и при любых Ci и (j на окружности
|С|=—]> 1 следующие точные неравенства:
¦X
X
IC+CI*
— IP —el)
Указанные результаты в их частном случае имеют простой гео-
геометрический смысл и привели к ряду теорем покрытия для клас-
классов 5 и SM (см. § 2, п. 2° обзора).
Общие оценки типа теорем искажения, являющиеся приложением
формул B) стр. 118, получены Л. И. Колбиной [1952а]. В частности,
получено обобщение теорем 3 и 4 § 2 гл. IV.
Нехари [1953] впервые систематически использовал в теории
однолистных функций метод, опирающийся на классическое мини-
минимальное свойство интеграла Дирихле для полученной в результате
выделения особенностей гармонической функции, и пришел к ряду
новых результатов в указанном круге вопросов. Приведем одну из
его теорем.
Пусть функция f(z) регулярна и однолистна в круге | z \ <^ 1 и
в нем |/B)|<1. Если zh zit ..., za~-точки в |г|<1 и аь а* ...,
а„ — комплексные постоянные такие, что otj -\- a, -j- • • • + «я — 0, то
18 Г. М. Голузнн

546 ДОБАВЛЕНИЕ
справедливо неравенство
л л
Отсюда Нехари получил для коэффициентов регулярной в окрест-
окрестности точки z = 0 функции / (z) = а0 -J- a^ -J- а2га -J-... условие,
необходимое и достаточное для того, чтобы f{z) была регулярна,
однолистна и ограничена по модулю единицей в круге '|г|<^1.
Рассматривая вместо указанного класса функций класс SM и по-
полагая М-уоо, получаем соответствующие результаты для однолистных
функций без условия их ограниченности, в частности, необходимое
и достаточное условие принадлежности функции классу S, эквива-
эквивалентное известному условию однолистности Грунского [1939] для
мероморфных функций.
Результаты для ограниченных однолистных функций, непосред-
непосредственно связанные с радом теорем § 2 гл. IV, получил в 1956 г.
Г. Г. Шлионский [1959] методом параметрического представления
Лёвнера. Так, Г. Г. Шлионский получил необходимое и достаточное
условие принадлежности функции классу ?т. К числу этих резуль-
результатов относится также усиление для случая класса ?т теоремы 1
§ 2 гл. IV Г. М. Голузина. Отсюда следует, в частности, неравен-
неравенство A). Пусть, далее,
_ , . , / (л:) —/ (у) лгу
Ч>\Х,у) — \Щ х_у f{x)f{yy
Для функций f(z) ? SM при любых комплексных ^„ fv- и любых
zv Zy> из круга |2|«С^1 (v=l, ..., п; v'—l, ..., ri; /t^l, n'^zl)
имеет место оценка
lv'—1
i
= 0, 1, 2, ....
Отсюда, пользуясь известной связью между функциями классов
SM и 2!m> OT==Tf' *"' ^' Шлионский получил для F(Q ? 2!т оценки
для
л л'
2
2.Т.Т-И*

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ |}47
при любых комплексных ^„ т»' и любых С,, Cv' из области
Этот результат усиливает теорему 3 § 2 гл. IV-
Следствием оценки C) для функций f(z)?SM является также
неравенство
¦4
X
A-| гх |Т A-|/(*i)I7A*T
1 l/'fa)l8/^8
Полагая здесь z1 = zi, получаем известное неравенство (Ю. Е. Але-
ницын [1956]):
где {/, z) — инвариант Шварца. Неравенство D), с одной стороны,
дает оценку инварианта Шварца для ограниченных однолистных
функций, а с другой, усиливает для таких функций хорошо известную
оценку гиперболической метрики. Неравенство D) может быть полу-
получено также элементарно (см. Н. А. Лебедев [1961]) из известной
оценки Нехари [1949] для модуля шварциана в классе 5:
ltt*}K(i-H«)-
Заметим, что если функция /(г), регулярная в круге |
удовлетворяет в нем условию
то она однолистна в круге |г|<^1 (Нехари [1949]). Постоянная 2
здесь не может быть заменена большей (см. Хилл [1949]). Обобще-
Обобщение этого результата Нехари получил В. В. Покорный [1951].
Ряд усилений известных теорем искажения для класса 5, а также
и для более широкого класса функций был получен при помощи
метода симметризации. Некоторые из этих результатов приводятся
ниже.
Решение экстремальных задач в форме получения тех или иных
оценок функционалов является частным случаем более общей задачи
определения областей значений соответствующих функционалов и
систем функционалов на данном классе: если найдена область значе-
значений данного функционала или системы функционалов, то из нее мо-
могут быть получены различные оценки.
Получению результатов в этой более общей постановке задачи
уделялось значительное внимание.
Град [1950] нашел область значений log/' (г) (г фикси-
фиксировано, |г|<^1) в классе 5 вариационным методом. Граничные
функции этой области значений определяются дифференциальным
18»

548 ДОБАВЛЕНИЕ
уравнением, зависящим от одного вещественного параметра, и могут
быть выражены при помощи элементарных функций.
Используя вариационный метод Г. М. Голузина и некоторые дру-
другие соображения, Н. А. Лебедев [1955] решил более общую задачу
определения области значений D функционала J=log— ., Л
(X —заданное вещественное число) на классе 5. Им получено диф-
дифференциальное уравнение для функций f(z)^S, которым соответ-
соответствуют неособые граничные точки Jo области D, т. е. точки, для
которых существует a^D такое, что \J—a\, J?D, достигает ми-
минимума при J=J0; множество неособых точек всюду плотно на
границе D. Это уравнение содержит параметр, являющийся корнем
алгебраического уравнения шестой степени. Как частный случай, по-
получается полное решение задачи о максимуме и минимуме SR J=
/()
Используя и развивая метод параметрического представления
Лёвнера, Н. А. Лебедев [1955а] определил область значений системы
{a, log-^H в классе SA) функций /(Q = а?.-\-<ц??-\-. ••> регулярных
и однолистных в круге |С|<С^> 1/@1^^ ВК1<С^» а также области
значений функционалов log*^,\-, logaz/A и log a/' (z) в классе
5(i) [ | f(z) | ] функций из 5(i) с заданным значением |/(г)|. В послед-
последней из указанных задач область значений не определяется непосред-
непосредственно неравенством, получаемым из уравнения Лёвнера, а нахо-
находится как выпуклая оболочка части границы этого множества. Во
всех случаях указываются граничные функции, существенную роль
при этом играет уравнение Лёвнера.
Ряд результатов в задаче определения областей значений функ-
функционалов получен при помощи вариационно-параметрического метода
П. П. Куфарева. Так, И. А. Александров [1958] нашел область
значений функционала logтТгРч/тгЛ** ^ ** — лю^ые вещественные
числа, z фиксировано, |г|<^1) на классе 5(й), А=1, 2, ...,
М. И. Редьков [1960, 1962, 1962а] решил аналогичную задачу для
класса 5(i)(a) функций из 5(i) с фиксированным a, O^ok^I, и нашел
области значений функционала log' */гук\ ftz)\l ^' Р» v — веЩе"
ственные числа) на классах 5A}[|/(г)|] и 5(i}. Далее, И. А. Алек-
Александровым [1963] рассмотрена задача определения множества значе-
значений функционала J(f(z), JJz), f{z), f'(z)) на классе &к\ где
J{wi, wb w& wd=J(x1-\-lyi, ..., Jfi + W имеет непрерывные
частные производные до второго порядка относительно своих аргу-
аргументов xk, yk, k=l, 2, 3, 4Г и определены условия, из которых

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ 549
могут быть найдены граничные функции указанной области значений.
М. И. Редьков [1963] рассмотрел задачу нахождения области значе-
значений функционала J(f(z), J(z), f'(z), f (г), f @)) на классе
5(i) [ \f(z) | ]. В работе И. А.Александрова [19бЗв] исследуются свой-
свойства граничных функций областей значений слабо дифференцируемых
функционалов, определенных на классе S(z0) функций f(z), регуляр-
регулярных и однолистных в круге | z|<[ 1, /@) = 0, /(г0) = z0, где z0 фикси-
фиксировано, |20|<^1. В качестве приложения определяются области зна-
значений функционала j\f,. , , ,,. . |, определенного на этом классе
и тем самым на классе всех функций f(z), регулярных и однолистных
в круге |г|<^1, и функционала J{f(z), f(z), f'(z), f'(z)) на классе
S(z0) посредством указания способа нахождения аргументов функ-
функций J(tb fg) и J(tb tb t^ td> соответствующих неособым граничным
точкам рассматриваемых областей значений. Логическим завершением
этих исследований является рассмотрение бесконечных систем слабо
дифференцируемых функционалов. Теоремы общего характера о гра-
граничных функциях областей значений таких систем, определенных на
классах 5 и 2°. установлены в работе И. А. Александрова [1965].
В качестве примера использования общей теоремы коэффициентов
Дженкинса укажем, что им получены [1960] наиболее законченные
результаты в задаче об области значений функционала f(z) при фик-
фиксированном z = reli из круга |г|<^1 на классе S^. Пусть /(г) = ре"|;.
Как устанавливается в работе, а также легко следует из хорошо
известного результата Рогозинского [1932], для любого фиксирован-
фиксированного <]>, arg A _^гецу ^ф g? arg A "гецу , наибольшее значение р
реализуется только функцией h(z, г,- 6, <]*) =. _i_2fe_i_Z8 » где *>
— l^f^l, находится из условия argu(rert, г, 6, <]>) = <]>. Что ка-
касается нижней оценки для р для любого <]> из указанного проме-
промежутка, то экстремальная функция этой оценки определяется на ука-
указанном пути исследования в терминах геометрии и теории квадра-
квадратичных дифференциалов, что принципиально решает указанную
задачу.
Г. В. Улина [1960] при помощи метода вариаций Г. М. Голузина
исследовала область значений системы jlog^SL, log/' (z)\ на классе 5
при фиксированном z, \ z|<^ 1, и получила систему уравнений, харак-
характеризующих границу этого множества. В. И. Поповым [1965] методом
параметрического представления Лбвнера получено полное решение
этой задачи в несколько измененной постановке: определено мно-
множество D значений системы функционалов

550 ДОБАВЛЕНИЕ
на классе 5. Множество D является ограниченным, замкнутым, вы-
выпуклым и симметричным в том смысле, что вместе с каждой точкой
{X-\-if, Y, U, V), где <1»= — log A — |z|9), оно содержит точки
(* + ф, — Y, U, — V) и (tf+ф, V, X, Y). На границе Г множе-
множества D имеются четыре точки: точки
и
(о, —2 arc sin | z |, — log -j—\-Tt, 2 arc sin | z
и им симметричные, через каждую из которых проходит определен-
определенное однопараметрическое семейство опорных гиперплоскостей мно-
множества D. Далее, на Г содержится двухпараметрическое семейство
прямолинейных отрезков. Опорные гиперплоскости множества D
в остальных точках Г касаются Г и не имеют с Г других общих
точек. Для каждой точки Г указан конкретный способ построения
одной из функций класса 5, вносящих в D эту точку.
Ряд исследований наших и зарубежных авторов за последние
годы был посвящен оценке различных функционалов в задачах о не-
налегающих областях. К этим задачам сводятся многие экстремаль-
экстремальные проблемы для основных классов аналитических функций.
Обратимся сначала к задаче о конформных радиусах неналегаю-
щих областей. Г. М. Голузин при помощи своего вариационного ме-
метода рассматривал следующую задачу: требуется найти максимум
функционала JJ |/>@)l относительно всевозможных систем функ-
функций/„ (z), регулярных и однолистных в круге |г|<^1, отображаю-
отображающих его на взаимно неналегающие области и удовлетворяющих усло-
условию /v@) = av, где av(v=l, 2, ..., п) — любые заданные конечные
и различные между собой точки. При п = 2 решением этой задачи
является известный результат NL А. Лаврентьева [1934]. При л = 3
Г. М. Голузин также решил эту задачу до конца (см. § 4 гл. IV).
Применяя вариационный метод Г. М. Голузина, Л. И. Колбина
2
[1952, 1955] получила точную оценку произведения J}jf
v = l
3
и JJ |/i @) |"» при любых заданных положительных а,.
п
Что касается задачи о максимуме произведения Xll
в случае любого п ^2, то в этом направлении Ю. Е. Аленицын [1956]
путем развития соответствующих результатов Нехари получил сле-
следующий результат:

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ 551
Если функции /v(z), v=l, 2 п, однолистно отображают круг
|z|<^ 1 на взаимно неналегающие области и г = 0 — точка регуляр-
регулярности этих функций, то для любых вещественных постоянных av ф О,
п
для которых 2 av — 0. справедливо неравенство
П1/;@)Г?< П 1Л@)-Л@)Г2"л- E)
Знак равенства в E) достигается тогда и только тогда, когда при
некоторых различных между собой числах ak, A=l, 2 п, и не-
некотором р^>0 кривая
f[\w-ak\ab = P (б)
разбивает плоскость w на п односвязных областей. Экстремальные
системы функций образуются только решениями o>v=/vB) уравнений
i_
z = evP % (я>„ —
B»v(°) = ev. 1 е 1 = 1 (v=l, 2 л),
соответствующими кривым (б), разбивающим плоскость на п одно-
связных областей. Эти решения однолистно отображают круг |z|<4
на указанные области.
В простейшем случае п = 2 более общую задачу поставил и ре-
решил Н. А. Лебедев [19556]. Именно, пусть В — односвязная область,
содержащая данные различные точки пу, а^ если ak^oo, k=l, 2,
то пусть w =fk (z), fk @) = ak, — функция, однолистно и конформно
отображающая круг | z|<^ 1 на область Bk, BkczВ; если аа = оо,
пусть /2 (Q, /2 (оо) = оо, — функция, однолистно отображающая
|С|^>1 на область В^аВ; области Bt и 5а не налегают друг на
друга. Пусть #B@i, Oj) — множество точек М(х1г лта), где xk =
= l/*(°)t. если 0*v^oo. и лга= |/а(оо)|, если ^ = 00.
Н. А. Лебедев [19556] получил, что в случае, когда В — вся
плоскость (включая о> = оо), множество <^в@, оо) есть область
j i]>0, причем jfjjfj^l только при f1(Q==i^
1, /2(О=4' 1Ч>1' °<*<ж. а ^в(оь <ц) есть область
— аа |2, jcj ]> 0, причем JCjjfa ^= | at — а3 |a только при
нения вариационного метода Г. М. Голузина, определена область
<&в (аь а^) для случаев, когда В — плоскость с выключенной точкой оо

552 ДОБАВЛЕНИЕ
и когда В есть круг \w\<^R. Из этих теорем, как следствие, вновь
получаются результаты М. А. Лаврентьева [1934] и Л. И. Колби-
ной [1952] (В— конечная плоскость), П. П. Куфарева и А. Е. Фал-
леса [1951] (В — круг).
Для класса Ш всех пар функций (f(z), F(Q), /@) = 0, F(oo) = oo,
мероморфных, однолистных и без общих значений соответственно
в круге |г|<^1 и в его внешности |С|^>1, Ю. Е. Аленицын [1956а]
методом Нехари получил для любых z, \ z|<^ 1, и С, | С|^> 1, и лю-
любых постоянных &Х и (ц следующее неравенство'):
^ -1«, |2 log (I -1 г \*) - Ц |2 log (l -j^r).
Этот результат приводит к оценкам различных функционалов как
в указанном классе функций, так и для неоднолистных отображений.
В частности, Ю. Е. Аленицын [1958] получил следующие оценки, не
содержащие производных рассматриваемых функций:
Пусть функции fi (z), /2 (z), /j @) = 0, /2 @) = оо, мероморфны и
не имеют общих значений в круге |г|<^1. Тогда для любых то-
точек zb z% круга | z | <^ 1 имеем:
Оценки являются точными при любых z^ и га с | zt \ = \ г21 = 1 и
достигаются только однолистными функциями.
Из указанных результатов непосредственно следует ряд точных
оценок для функций классов R и L и связанных с ними функций
(Ю. Е. Аленицын [1956а, 1958]). О других результатах в этом на-
направлении, в частности об их распространении на круговое кольцо,
см. § 3, п. 2° обзора.
Тот же функционал J у . в указанном классе функций был иссле-
дован вариационным методом Н. А. Лебедевым [1957]: для
класса ЭЯ найдена в явном виде граница области значений
функционала S= ?,А или, что равносильно, функционала $ =
г = \го\, р = | Со|; пары функций, соответствующие
заданным граничным точкам этой области значений, могут
быть определены из полученных для них дифференциальных
*) Под логарифмами, входящими в левую часть неравенства, понимаются
значения их надлежащих ветвей.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ 563
уравнений. Как следствие, получены точные оценки для |-^-М и
log f 1 —--jfTi)) > радиусы кругов, оказывающихся областями значе-
значений для Л 'у, ¦?,( К , область значений системы П/(г)|, ,¦ ]
в классе Ш, а также область значений величины f(z) в классе
- /'@) ¦
Область значений системы
/'@)
фгщ ) в классе Ж опреде-
определена Г. В. Улиной [1960]. В качестве следствия решена задача на-
\ а>0,C>0,
хождения максимума функционала J=
/*@)
/'@)
/'@)
Р(оо)
на этом классе.
Ряд результатов весьма общего характера в задачах о неналегаю-
щих областях получил Н. А. Лебедев [1961], исходя из прин-
принципа площадей. Рассматривается класс 2R(oo, Oj, ..., oj всех
систем {fk(z)}" функций fk(z), A = 0, 1, ..., п, отображающих кон-
конформно и однолистно круг | z | <^ 1 на взаимно неналегающие области
так, что/0@) = оо, /ft@) = aft, k=\, .... п, где at а„ —фикси-
—фиксированные точки. Используя обобщенную теорему площадей для функ-
функций этого класса (см. § 1, п. 1° обзора), Н. -А. Лебедев получил ряд
теорем искажения в классе ЭО? (со, аи .., ап), в частности неравен-
неравенства типа теорем искажения Г. М. Голузина в классе ?!¦ Приложе-
Приложениями этих общих теорем являются, например, следующие результаты.
Если {/о (z), /, (z)} ? Ш @, со), то
и знак равенства имеет место в том и только в том случае, если
f G\—а Aа\* \Ь\*)Чг
h(z) —
г
г а — г»тJ
т) = const, | т) j= 1.
Отсюда М из известного результата Рогозинского (теорема 1 § 8
гл. VIII) следует, что для функций f(z)^R (или I) справедливо
неравенство
2т.
\ G)
и знак равенства имеет место только для

554 ДОБАВЛЕНИЕ
Неравенство G) усиливает предыдущий результат Н. А. Лебедева
и И. М. Милина [1951]: если f(z)?R (или L), то
1т.
О
причем знак равенства имеет место в том и только в том случае,
если f{z) = t[Z, h|=l-
В задаче о конформных радиусах неналегающих областей Н. А. Ле-
Лебедев [1961] получил следующий результат:
п
Пусть ffti k=l, ..., п, — фиксированные числа, 2т*==^* Тогда
Для \fk (z)}4 G №(°°» аь •••' ая) справедливо неравенство
(здесь /^@) = lim , . ). Указываются все случаи, когда в (8) имеет
» г -» 0 */• lz/'
место знак равенства.
Неравенство (8) обобщает на случай комплексных f* неравен-
неравенство, известное ранее для вещественных ?*•
С указанным кругом вопросов близко связана недавняя работа
Дженкинса [1965], в которой, исходя из принципа площадей, уста-
устанавливается одно общее неравенство типа теорем искажения для
определенного выше класса Ш пар функций {/(z), F(C)}, зависящее
от большого числа параметров. Из этого неравенства получается ряд
частных неравенств для функций f{z), F(t) и для функций клас-
классов R к L. Далее, методом экстремальной метрики Дженкинс полу-
получает ряд результатов для рассматриваемых функций f(z), F(Q, опу-
опуская требование их однолистности, и для классов R и L.
Ряд теорем типа теорем искажения установлен и для более общих
классов функций, в частности для функций, р-листных в среднем
(в разных смыслах).
Функция w=f(z), регулярная в круге |г|<^1, называется соот-
соответственно р-листной в среднем по окружности в |г|<^1, если она
отображает круг |z|<^ 1 на такую риманову поверхность 91, лежа-
лежащую над плоскостью w, что полная угловая мера открытых дуг,
лежащих на 91 над любой окружностью |о>| = р, где р^>0, не пре-
превосходит 2кр, и р-листной в среднем по площади в круге |г|<^1,
если она отображает | z К1 на такую риманову поверхность, пло-
площадь части которой, лежащей над любым кругом | w | ^ р, не пре-
превосходит ярр9.
Следуя Хейману, назовем функцию f(z), регулярную в круге
|^1, слабо р-листной в нем, если для каждого р^>0 уравнение

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТВО1»ИЯ ФУНКЦИЙ 555
f(z) — w или 1) имеет точно р корней в |z|<;i для каждого w
на окружности | w| = р или 2) имеет меньше чем р корней в |z\<? 1
для некоторого w на окружности |а»| = р. Если р — целое положи-
положительное, слабая /»-листность является менее ограничительным условием
по сравнению с р-листностью в среднем по окружности, в то же
время из /7-листности в среднем по площади не следует слабая
/ьлистность и обратно.
Обозначим через FO (соответственно, F° или Fp), где р — целое
положительное число, класс регулярных в круге |z\<^_ 1 функций
вида
/>-листных в среднем по окружности (соответственно, />-листных
в среднем по площади или слабо />-листных) в круге |г|<^1.
Сильным средством в теории конформного отображения является
следующий принцип симметризации:
Пусть функция w=f(z)=wt-\-cpzp-(-..., срфЪ, p^l, регу-
регулярна в круге |г|<^1, B = Bf— множество ее значений в круге
|г|<^1. Пусть область 5*, полученная из В симметризацией отно-
относительно прямой или луча, проходящего через точку о>0> лежит
в односвязной области Вй. Пусть функция «> = ср(z) = wu-\-c[z-{-...
регулярна и однолистна в круге | z \ <^ 1 и отображает его на
область Вл. Тогда
При р==1 эта теорема получена Хейманом [1951, 1960] путем
объединения полученной им оценки внутреннего радиуса множества
значений регулярной функции с симметризационными результатами
Пойа и Сеге. При />>1 теорема доказана Кобори и Абе [1959].
Указанная теорема привела к ряду теорем искажения и покрытия
для регулярных функций, в частности для функций классов FO и Fp
(см., например, Хейман [I960]).
Ряд приложений в этом круге вопросов имеет также полученное
Хейманом [1951а] обобщение известной теоремы Фекете о трансфи-
трансфинитном диаметре (см. гл. VII, § 3, теорема 3) для случая неодно-
неоднолистных отображений1).
Для слабо /7-листных функций Хейман [1951а, 1960] получил
следующее обобщение классических оценок Бибербаха для модуля
функции и ее производной в классе 5 (см. гл. II, § 4).
Пусть функция f(z) = z"-\-cp+izp+1 + •••(-F'p. Тогда
|ер+Л<%» (9)
1) И. П. Миткж [1964а, 1965г] получил дальнейшее усиление принципа
симметризации Хеймана и усиление его теоремы о .трансфинитном диаметре
и распространил их на многосвязные области; по первому вопросу -см. § 2,
п. 2* и § 3, п. 3* обзора.

556 ДОБАВЛЕНИЕ
и для |z| = r, 0<r<Cl, справедливы точные неравенства
A
Далее, w=f(z) принимает каждое значение из круга |г^
точно /> раз в круге |г|<^1. Равенство во всех приведенных нера-
неравенствах имеет место только для функции
Сочетая развитый им метод экстремальных метрик и результаты
метода симметризации, Дженкинс получил [1955, 1962], обобщая свои
результаты для класса 5 [1953а], для f(z)?Fp точную верхнюю
оценку |/(г9)|, 0<^г9<^1, при заданном значении |/(—Г])|, где
ri — фиксировано, 0 <^ Г\ <^ 1. В частности, справедлива теорема:
Пусть f(z)?Fp, 0<VisSr2<^l, 9 вещественное. Тогда
Равенство при ri<>a имеет место только для f(z)= (X_Z-^ J
при п = Гъ — только для /(z) = A ±Zeiszy ¦
Как следствие для функций f(z)^FP получаем оценку
(И)
Равенство в ней реализуется только функциями f(z)= ,. -в ,3
при 2 = ге'в. В случае однолистных функций этот результат без
утверждения об единственности экстремальных функций был получен
Г. М. Голузиным [1946в].
Применяя тот же метод исследования, Дженкинс [1954] нашел
в явном виде решение проблемы Гронуолла. Эта проблема заключается
в нахождении в классе S(c) функций f (z) = z-}-с%г*-{-...?¦ S с фик-
фиксированным значением са = с, 0^с^2, точной оценки максимума
|/(,г)| для любого фиксированного \z\ = r, 0<^г<^1. Указанный
максимум т (г, с) реализуется функцией с вещественными коэффи-
коэффициентами. При г -*¦ 1
(l—rftn(г, с)-*4огаехрB — 4а'1), а = 2 — B — сI/».
Отметим, что из неравенства A1) элементарным путем получаем
для f(z) ? FO точную оценку
, |^3. A2)

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ 557
В силу простой связи между классами F? и /•?>: если f(z) ?Fp, то
\f{z)f/P ? FO при надлежащем выборе ветви корня, из A1) легко сле-
следует точное неравенство в классе i
1 /1
Отсюда и из (9) получаем для f(z)?FP оценку
знак равенства в которой реализуется при р~^ 1 только функ-
функциями A0).
Неравенство Q), как показал Спенсер [1941], справедливо (и
является точным) и в классе F®. Однако, как следует из неопубли-
неопубликованного результата Шеффера и Спенсера (см. Дженкинс, [1957а]),
в классе F° существуют функции, для которых | съ | ^> 3. Это пока-
показывает, что приведенный выше результат Дженкинса для класса FQ
не имеет места во всем классе Fp.
Заметим, что последнее утверждение теоремы Хеймана перенесено
Гарабедяном и Ройденом [ 1954] на случай функций класса F°. По
этому вопросу см. также работу Дженкинса [1957а].
Укажем еще один пример распространения известных теорем
искажения для однолистных функций на неоднолистные отображения.
Приведем следующее определение. Семейство ? функций f(z)
называется линейно инвариантным, если оно удовлетворяет следую-
следующим двум условиям:
1) все функции /?? регулярны и локально однолистны в круге
| г | <Ч (т. е. /' (z) ф 0 при | z | <^ 1) и имеют вид
2) если f(z) ? ? и <р (z) — дробно-линейное отображение круга
| z | <^ 1 на себя, то
Примерами линейно инвариантных семейств являются, в частности,
классы 5, S, S*, класс функций, локально однолистных и /?-листных
в круге | z | <^ 1, а также класс всех функций, регулярных и локально
однолистных в круге |,г|<4. На линейно инвариантные семейства
локально однолистных функций перенесен (Поммеренке, [1964]) ряд
результатов, известных для однолистных функций. Именно, для се-
семейства 8 получен ряд оценок, которые зависят только от порядка а
этого семейства, где
а= sup
/2

558 ДОБАВЛЕНИЕ
причем а конечно* тогда и только тогда, когда 8 — нормаль-
нормальное семейство, и«=1 только в том случае, если все функции- се-
семейства 8 выпуклы). В частности, при <х = 2 получаем классические
теоремы искажения для однолистных функций (см. гл. II, § 4).
Остановимся на некоторых результатах типа теорем искажения
для двухсвязных областей.
По аналогии с параметрическим представлением Лёвнера одно-
однолистных функций в круге Комацу [1943] было дано параметрическое
представление функций w =f (z), регулярных и однолистных в кольце
^¦<C\Z\<C^ и отображающих его на область |о>|^>1 с разрезом
по жордановой кривой, причем окружность | z \ = 1 переходит
в окружность |о>| = 1 и /A)=1. Г. М. Голузин [1951д] дал более
простой вариант решения этой задачи и в другой форме.
Пусть K\jt\ — класс функций w=f(z), регулярных и однолист-
однолистных в кольце m<^\z\<^M (m^>0), не обращающихся в нем в нуль
и таких, что при т <^ rt <^ га <^ М образ окружности |,г| = г1 лежит
внутри образа окружности |,г| = га; К\-?г, у)—класс функций
/(*)?;-К"(ff)i для которых /A) = 1, m^l^M. Следуя методу
указанной выше работы Г. М. Голузина, задачу обобщения параметри-
параметрического представления Лёвнера для функций из класса К[-тг, —г),
отображающих кольцо m<^\z\<^M на область, полученную из
плоскости w удалением двух кривых Жордана, оканчивающихся
соответственно в точках 0 и оо, рассматривал Ли Ен Пир [1953].
Полное решение этой задачи дано Н. А. Лебедевым [1955в]. Полу-
Полученное им параметрическое представление дает возможность получить
ряд оценок в классе К \-тг) и его подклассах с полным выяснением
вопроса об экстремальных функциях. В качестве примера приведем
следующий результат. Пусть w=fi(z) и w=fi(z) — функции
класса Кvjr, у), отображающие кольцо m<^\z\<^M на всю
плоскость w с разрезами по отрезку вещественной оси с концом
в точке w — 0 и по лучу, лежащему на вещественной оси по другую
сторону от начала координат, причем для fi(z) конечный разрез ле-
лежит на положительной части вещественной оси, для /2 (z) — на отри-
отрицательной части вещественной оси. Для функций fi(z) и /а(г)
известны явные выражения (см. § 2, п. 4° обзора). Справедлива тео-
теорема (Н. А. Лебедев [1955в, 1955 г]):
Для fiz)^.K\j^, -А ПРИ \z\ — r> m<^r<^M, имеем оценки
1Л(-г) |<|/(*)!< |/,(-гН A3)

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ 559
и знак равенства в правом и левом неравенствах достигается соответ-
соответственно только для функций /i (z) и /2 (z).
Оценки A3) без утверждения об единственности экстремальных
функций получены ранее Ли Ен Пиром [1953].
Пусть F— класс функций w=f(z), регулярных и однолистных
в кольце В: г <^ | z | <[ 1 и отображающих его на область, лежащую
в круге |а»|<^1 таким образом, что окружность |,г|=1 переходит
в окружность | о> |=1; Ft— класс функций из F, удовлетворяющих
условию f(z)jbO в В.
Дьюрен и Шиффер [1962] развили метод вариаций в классе F и
применили его для решения некоторых экстремальных задач в этом
классе. Дьюрен [1963] применил этот метод к задаче нахождения
в классе Fu максимума и минимума \f'(b)\ при фиксированных Ь,
r<CJ><^\. Задача о минимуме решается для всех Ъ ? (г, 1) отобра-
отображением области В на единичный круг с разрезом по радиусу, соеди-
соединяющему начало и точку f(b). Задача о максимуме решена Дьюре-
ном для каждого b~^b%(г) (определено точное значение Ъ%(г)):
экстремальным является отображение области В на единичный круг
с разрезом по радиусу, соединяющему начало с точкой —f(b). При
Ь = Ь#(г) экстремальная функция меняет характер: радиальный разрез
на одном конце разветвляется в вилку.
Пусть В — двухсвязная область плоскости z, содержащая точку
г = 0 и ограниченная единичной окружностью и радиальным разре-
разрезом Г: qo^z^Po@<C?o<C/7o<C1)- Пусть J—класс функций w =
=f(z), регулярных и однолистных в В и отображающих В в
единичный круг, причем точка 2 — 0 переходит в w = 0 и
окружность |,г|=1 во внешнюю границу образа, Jc—подкласс
функций из J, удовлетворяющих условию |/'@)| = с, где с ~^>0 фик-
фиксировано.
П. М. Тамразовым [19б5в] поставлена и решена задача опреде-
определения максимума р* = sup |/(г)| и минимума gv= inf |/(г)| в клас-
г€ Г г€Г
сах Jc при различных с^>0. Пусть /0(z) — функция класса J, ото-
отображающая В на единичный круг с разрезом по круговой дуге
с центром в начале координат и серединой на положительной веще-
вещественной оси; |/„' @) | = с0, Известно, что при с^>сй классы Jc пусты
и что класс JCo состоит только из функций вида f(z) — cf0(z), |c|=l.
При с ? @, 1] экстремальными функциями обеих задач являются
соответственно только функции / (z) = ец, (— г) и f(z) = ец, (z),
|е| = 1, где w=(A(z) = cz-(-... однолистно отображает круг
|z |<^ 1 на круг | w|<^ 1 с разрезом по отрезку положительного
радиуса, при с=1 этот отрезок стягивается в точку w=\. При
с?0> со) качественный характер экстремальных отображений
иной. Решение задачи в этом случае связано с существенным
использованием теории квадратичных дифференциалов, общей тео-
теоремы о коэффициентах Дженкинса, а также полученного П. М. Там-

560 ДОБАВЛЕНИЕ
разовым [1965в] дополнения к этой теореме. При любом фикси-
фиксированном с ? A, с0) максимум pf в классе Jc достигается всеми
функциями/(г) = s/e (z), | s | = 1, где функции w =/e (z) = ce№z -f-...,
— *(c)=sS6<;&(c), образуют некоторое одно параметрическое семей-
семейство отображений, среди которых одно отображение (именно,
и>=/0(z)) симметрично относительно вещественной оси, а для двух
отображений вырождено по одной из трех дуг, составляющих
внутреннюю границу образа, и только этими функциями. Анало-
Аналогичное решение имеет задача о минимуме qf в классах Jc(\ <^с<^с0).
Тем же путем можно провести полный анализ вида экстремальных
отображений и вопроса об их единственности в указанной выше
задаче Дыорена (П. М. Тамразов [1965в]).
При исследовании вопросов, существенно связанных с некомпакт-
некомпактными в себе классами отображений переменной двухсвязной области,
основным моментом является выяснение существования конечных гра-
границ для тех или иных функционалов на указанных классах. Ряд
экстремальных задач указанного типа для ограниченных отобра-
отображений решен в работах П. М. Тамразова [1962, 1962а, 19626, 1963,
19656], при этом явно найдены конечные границы значений
исследуемых функционалов, зависящие только от модуля двухсвязной
области.
Укажем следующие результаты, связанные с неограниченными
отображениями кольца. Пусть § — класс регулярных однолистных
отображений w=f(z) кольца В: r<^|z|<^l, для которых ограни-
ограниченная компонента дополнения области Bf до всей плоскости содер-
содержит точки w = 0, 1 и образ окружности | z | = г. Пусть pf — рас-
расстояние между образами окружностей | z \ = г и | z \ = 1 при рассма-
рассматриваемом отображении. В то время как задача о минимуме
inf \f(z) | в классе g допускает простое решение методом круго-
вой симметризации (решение этой задачи следует также из известных
результатов Тейхмюллера [1938]), решение задачи о минимуме р^
в классе 5 потребовало применения вариационных методов (П. М. Там-
Тамразов, [1965в]). Именно, имеет место следующая теорема.
Пусть функция w = g(z) однолистно отображает В на всю
плоскость w с разрезами — oo<^w^ — t (t=t(r)'^>0) и O^oi^ 1.
В классе 5 справедлива оценка Pf^t, равенство в которой реали-
реализуется тогда и только тогда, когда f(z) = g(ez) или f(z) =
|
2°. Геометрические свойства однолистного кон-
конформного отображения. Значительное место среди результа-
результатов в проблеме, указанной в заглавии, принадлежит теоремам покры-
покрытия. К ряду таких результатов привели теоремы искажения, указан-
указанные в начале п. 1° § 2 обзора. Именно, И. Е. Базилевич [1951]
получил следующую точную оценку линейной меры покрытия окруж-

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ 561
ности |и>| = р образом В (г) круга \z\<^r <^1 при его отображении
функциями класса S:
Если функция f(z) (^ 5, то при любых г, 0^г<^1, и х^еег
пересечение окружности | w \ = р с областью В (г) имеет линейную
меру не большую, чем пересечение этой окружности с областью В* (г),
соответствующей функции /*(г) = -л—-—^-, Is 1=1.
A — гг)
Независимо этот результат был получен методом площадей
2 г
Н. А. Лебедевым и И. М. Милиным Г19511 для р2*>—=¦ .
"^ Уъ 1—г2
Из указанного экстремального свойства функции Кебе следуют
оценки площади <з(г) образа круга |г|^г, 0<^г<^1, при отобра-
отображении функциями класса S и его подклассов S(h\ оценки среднего
модуля функции и другие оценки (см. указанные выше работы). На-
Например, в классе ?B) И. Е. Базилевичем получена оценка
отличающаяся от точной не более чем на с(г)->0 при г->1, для
среднего модуля функции /(г) ^5 им установлено неравенство
отличающееся от точного не более чем на дополнительное слагаемое.
К этому же кругу вопросов относится ряд результатов, получен-
полученных И. Е. Базилевичем в 1958 г. (см. его работу [1961]).
Указанные результаты близко связаны с вопросом оценки коэф-
коэффициентов. Так, И. Е. Базилевич [1951] получил для f(z)?S оценку
которая была улучшена лишь в 1964 г. (см. §2, п. 3° обзора).
Что касается ограниченных функций, то И. Е. Базилевич [1959]
получил оценки линейной меры покрытия окружности |и>| = р обра-
образом круга [ ,г| =s: г<^ 1, площади этого образа, а также оценки сред-
среднего модуля и его квадрата в классе SM.
Укажем ряд результатов, относящихся к известному кругу задач
о покрытии отрезков и площадей.
Дженкинс [1953] поставил и решил задачу о максимуме линей-
линейной меры lf(p) множества значений на окружности |и>| = р, -т-<^
, не принимаемых функцией w=f(z) класса 5 в круге
1. Именно, при помощи принципа Линделефа и принципа кру-
круговой симметризации легко показывается, что функция, реализующая

562 ДОБАВЛВНИВ
максимум lf(p), -t<Cp<C.1> b классе S, определяется единственным
образом с точностью до преобразования поворота. Одна из них,
пусть w =/o (z), отображает круг | z \ <^ 1 на всю плоскость w, из
которой удалена дуга окружности | w \ = р, симметрично расположен-
расположенная относительно вещественной оси и пересекающая ее положитель-
положительную часть, и луч р<:и>г=?оо. Находя //„(р), пелучаем для f(z) ^ 5
неравенство
/; (р) < 2р arc cos (8 Vf — 8р — 1).
Решение аналогичной задачи для класса SM, М~^>1, тем же ме-
методом получил Сато [1955, 1955а]. Гудман и Рейх [1955] получили
усиление результата Дженкинса для одного подкласса функций из 5.
Используя симметризационные результаты для двухсвязных обла-
областей, Кубо [1954] обобщил приведенный выше результат Дженкинса
на случай функций, регулярных и однолистных в кольце г<^\z|<^ 1
и отображающих его на области, лежащие в | w | ^> г, таким обра-
образом, что окружность | z | = г переходит в окружность | w \ = г.
Г. М. Голузин показал (стр. 143, теорема 2\ что максимум
третьего трансфинитного диаметра дополнения образа области
|С|^>1 при отображении функцией класса 2 равен трансфинитному
диаметру континуума, состоящего из трех отрезков, соединяющих
начало координат с точками, являющимися корнями третьей степени
из 4 (см. также работы Гарабедяна и Шиффера [1955], Рейха и
Шиффера [1964]).
Однако четыре отрезка, соединяющие начало с точками, являю-
являющимися корнями 4-й степени из 4, уже не образуют экстремального
континуума, максимизирующего четвертый трансфинитный диаметр
в семействе всех континуумов, внешний конформный радиус которых
равен 1 (Гарабедян и Шиффер [1955]).
В связи с этим укажем следующий результат. При помощи пред-
предложенной им симметризации специального вида Сеге [1955] весьма
просто показал, что внешний конформный радиус системы, образо-
образованной п отрезками с заданным произведением их длин, исходящими
из начала координат под равными углами, достигает максимума при
условии, что все эти отрезки имеют равную длину. Отсюда и из
принципа Линделефа легко следует, что если функция w=f(z)(^S*,
то для любых и точек аь Oj, ..., ат лежащих на и лучах, исходя-
исходящих из точки и> = 0 под равными углами и принадлежащих границе
образа круга |г|<^1 при отображении w=f(z), имеем:
«1^
Равенство достигается для функции f(z)= n2/n, !sj =

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ 563
К известной теореме об Л/ -г, решающей задачу Сеге о покры-
покрытии п отрезков для класса 5 (см. стр. 174), примыкает следующий
результат Ся Дао-сина [1958]. Пусть /Ср(р^1 фиксировано) — се-
семейство выпуклых областей В плоскости w, обладающих следую-
следующими свойствами: область В содержит точку w = 0 и ее внутренний
конформный радиус относительно w=0 равен 1; для каждой гра-
граничной точки области В существует окружность радиуса р, прохо-
проходящая через эту точку и содержащая область В внутри себя. Пусть
wk, k=l, ..., п, — граничные точки области B^Kf, лежащие соот-
соответственно на любых п лучах, исходящих из w = 0 под равными
углами:
Тя (р) = min min max | wk |.
В € К. (e»i, ..., wn) k
Методом экстремальной метрики доказывается, что этот минимум
реализуется областью, ограниченной правильным круговым л-угольником,
стороны которого являются дугами окружности радиуса р. Это по-
позволяет легко определить величину Тп (р). При р -> оо отсюда сле-
следует решение задачи Сеге для всего класса 5.
Тем же методом Ся Дао-син [1956] получил некоторые теоремы
о покрытии отрезков при однолистном конформном отображении
кольца. Весьма общие теоремы покрытия линий при однолистном
конформном отображении, уточняющие и обобщающие известные
результаты о покрытии отрезков, получены в работе П. М. Тамра-
зова [1965]. В качестве примера конкретизации этих общих предло-
предложений им получено уточнение теоремы Ренгеля [1933] о покрытии п
отрезков для функций, мероморфных и однолистных в круге, а также
аналогичный результат для кольца.
С вопросами покрытия отрезков близко связана известная задача
М. А. Лаврентьева (см. гл, IV, § 4) об определении области,
реализующей наибольший конформный радиус в семействе всех одно-
связных областей, содержащих начало координат и не содержащихся
и данной системы точек аь ..., am(m^l). Эта задача решена
С. А. Гельфером [1958, I960] для случая семейства фундаментальных
областей групп дробно-линейных преобразований, связанных с эллип-
эллиптическими или автоморфными функциями.
Теорема Кебе о покрытии круга \^\<С.-т образом круга |г|<^1
при отображении функцией a>=/(z)(^.S усилена Дженкинсом [1960]
для случая класса SR- Пусть Bf — образ круга | z | < 1 при ото-
отображении a>=/(z), D=f\ В/. Применяя свою «общую теорему коэф-
коэффициентов», Дженкинс нашел множество D, определив граничные
функции этого множества в терминах теории квадратичных диффе-
дифференциалов. На основе результатов М. А. Лаврентьева в указанной

564 ДОБАВЛЕНИЕ
выше задаче о максимуме конформного радиуса в их простом част-
частном случае Г. В. Кузьминой [1962J определено в явном виде множе-
множество Dt = О [Bf \J Bf\ {Bf — область, симметричная к Bf относи-
/ € s
тельно вещественной оси). Из вида граничных функций множества
Di — они имеют вещественные коэффициенты — следует, что множе-
множества Di и D совпадают.
Ряд обобщений теоремы Кебе о точной оценке модуля функции
^S в круге |z|s?:r, 0<^г<^1, получил румынский математик
Мокану [1,957, 1958]. Я. С. Фельдман [1963] получил более общие
результаты в этом направлении. Например, для области Ъ, лежащей
в круге | z | <^ 1 и ограниченной замкнутой кривой Жордана, задан-
заданной параметрическими уравнениями в полярных координатах, им
найдены в некоторых частных случаях области \J b, и (~\ Ь* (через
/ € S ' f € S
bf обозначаем образ области Ь при отображении w=f(z)), а также
решены аналогичные задачи для класса 5*.
В. В. Черников [1962] нашел множество И bf в случае, когда Ь
есть круг |z|<V, 0<><^ 1.
Укажем один результат, относящийся к тому же роду задач для
кольца. Пусть {В} — семейство двухсвязных областей плоскости z,
содержащих точку z = 0, имеющих одной из граничных компонент
окружность | z | = 1 и удовлетворяющих следующему условию: при
однолистном отображении области В на круг |w|<^ 1 с разрезом по
отрезку положительного радиуса, при котором единичная окружность
и начало координат переходят в себя, точка z= 1 переходит в точку
w=l. П. М. Тамразовым [19626] явно определена мажорантная
область, содержащая внутреннюю границу любой области семейства
областей из {В} с данным фиксированным римановым модулем, и ука-
указан ряд свойств этих областей.
Поведение линий уровня (образов концентрических окружностей
jz| = r<^l) также наглядно выясняет степень искажения при одно-
однолистном -конформном отображении круга. Это вопрос хорошо изучен
при достаточно малых значениях г; например, найдены границы вы-
выпуклости и звездообразности (гл. IV, § 5).
Естественным является также исследование поведения функций
класса 5 tfa окружностях со сдвинутым центром.
Известные результаты Неванлинны и Грунского о том, что лю-
любой функцией класса 5 круг с центром в точке z = 0 радиуса, не
большего чем Rk = 2 — l/^З, отображается на выпуклую область, а
круг с тем же центром радиуса, не большего чем Rs = th —, — на
звездообразную область (гл. IV, § 5) дополнены И. А. Александро-
Александровым [1958 а, 1959, i960] следующим образом:

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ 565
Каждый круг с центром б точке S, |5|<^1, радиуса р^2 —
—1^3 —|— j 5 |а отображается любой функцией класса 5 на выпуклую
область. Оценка точная.
Всякий неевклидов круг с неевклидовым центром в точке S,
j S | <Г 1» неевклидов радиус которого не более -?-, отображается лю-
любой функцией класса 5 на область, звездообразную относительно /(I).
Результат точный.
Г. М. Голузин (гл. IV, § 5) ввел понятие «обобщенной звездо-
образности». К его результатам о границах обобщенной звездообраз-
ности в классе 5 непосредственно примыкает следующая теорема
И. А. Александрова [I960]:
Всякий неевклидов круг с неевклидовым центром в точке 5,
|?|<О> неевклидов радиус которого не более Щ-, отображается лю-
любой функцией класса 5 на область вида Вя|/(?)]. Результат точный.
В частности, всякий круг радиуса, не большего чем Rns=t\\-r,
с центром в точке z = 0 отображается каждой функцией класса <?
на область Dn@).
Значительный интерес представляет задача об изменении кривизны
линий уровня при однолистном конформном отображении. Укажем
основные результаты, полученные в этом направлении.
Я- С. Мирошниченко [1951] впервые показал, что в классе S для
2 — j/З ^ г <^ 1 имеет место следующая точная нижняя оценка кри-
кривизны Кг линии уровня Lr (образа окружности | z | = г):
1-4Г+Г*
а в классе 5(А), k^=2, для k-\-\ — V k*-\-2k-^r*<^\ справедлива
также точная оценка:
r A — г*)* •
Эти оценки реализуются, соответственно, функциями /(z)= ... .3
Г. В. Корицкий [I960] показал, исходя из параметрического пред-
представления Лбвнера, что указанные оценки справедливы во всем еди-
единичном круге.
Точная верхняя граница кривизны линий уровня в классе 5 до
сих пор неизвестна.
Для функций класса 2j(A)> k^\, используя теорему 4 § 3
гл. IV, Г. В. Корицкий [1957, 1960] нашел следующую точную

566 ДОБАВЛЕНИЕ
верхнюю оценку кривизны Kt (образа окружности
у ^ p[p»*+2(fe-l)p*+H
которая реализуется функцией F(Q = -—~
В некоторых подклассах из 5 и ^ задача решена полностью.
Например, В. А. Зморович [1952] получил точные оценки кривизны
линий уровня в классах S^h\ k^l, и в классе 2, используя инте-
интегральное представление этих классов.
В классе S* точную нижнюю оценку кривизны линий уровня
впервые получил в 1952 г. И. Е. Базилевич методом погружения
класса S* в более широкий специальный класс функций, регулярных
в круге |*|<1, а в классе Sw*', А 5= 2,— Г. В. Корицкий [1955]
тем же методом. Г. В. Корицкий [1955] получил также точные оценки
сверху и снизу величины Kf в классе ^k\ k~^>l.
Точную верхнюю границу кривизны линий уровня в классе 5(А) *
впервые получили И. А. Александров и В. В. Черников [1963]. При
k=l эта оценка реализуется при всех 0<^г<[1 функцией/(г) =
==т—\а- При k^2 оценка имеет различный вид при разных зна-
A -т~г)
чениях г. при 0<V^r0 она реализуется функцией f(z)= „, *к.
при г0 ^ г <С 1 — функцией
где 1*ь j*j (О-^ц!, jji4<^1, ^-[-A3 = 1) и г0 зависят только от
А и г.
Вопрос исследования поведения линий уровня при подходе к гра-
границе единичного круга представляет значительную трудность, так
так поведение линий уровня при г -*¦ 1 может оказаться весьма
сложным. Например, естественно было предполагать, что линия
уровня 1Г1, вложенная в линию Ln (при г^^Гъ), «правильнее» в гео-
геометрическом смысле, чем линия Lri. Однако И. Е. Базилевич и
Г. В. Корицкий [1953] показали, что при отображении круга |г|<^1
функцией класса 5 число точек перегиба линии уровня Lr и число
точек нарушения ее звездаости (точки линии уровня, в которых ме-
меняется направление вращения радиуса-вектора, когда точка z пробе-
пробегает окружность |z| = r в определенном направлении) могут изме-
изменяться немонотонно при возрастании г, т. е. если Т\<^т<ь то может
оказаться, что линия уровня Lri имеет больше точек перегиба или
больше точек нарушения звездности, чем линия уровня Lri, причем

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ 567
указанное парадоксальное поведение линий уровня может иметь место
даже для ограниченных функций из класса <S.
Тем не менее при достаточно быстром росте модуля функции
должна уже наблюдаться известная правильность поведения ее линий
уровня при г->1. Именно, И. Е. Базилевич и Г. В. Корицкий [1962]
доказали существование таких абсолютных постоянных &k и а^, что:
Всякая дуга линии уровня Lr любой функции f(z) ? S, лежащая
в кольце
~ И г<1
является выпуклой, но имеются функции f(z) ? 5, для которых не-
некоторая дуга линии уровня, лежащая в более широком кольце
(ссА -е) R(Г)<|/(г)|< R(г), е>О,
уже не будет выпуклой, если г достаточно близко к единице.
Всякая дуга линии уровня Lr любой функции f(z) ^ 5, лежащая
в кольце
«,Я(г)<|/(*)|<Я(гХ М=г<1,
является звездообразной, но каждое из более широких колец
(а,-е)R(г)<|/(г)|<R(г), • >О,
уже не обладает этим свойством.
Для постоянных ak и otj И. Е. Базилевич и Г. В. Корицкий ука-
указали границы сверху и снизу. Аналогичные теоремы установлены ими
для класса 2. В отношении функций класса <S наряду с задачей на-
нахождения точного значения постоянных ak и <х^ И. Е. Базилевич и
Г. В. Корицкий поставили вопрос о том, в каких частях кольца
.t Г r)g <C I/C^) 1 <С п-lf)» любая ДУга линии уровня Lr будет соот-
соответственно выпуклой или звездообразной относительно начала для
всех f{z) ? 5.
О. В. Степанова [1963] получила аналогичные оценки кольца
звездообразности и кольца выпуклости для классов S^k\ k=2, 3,...
Что касается поведения линий уровня при малых значениях |/(г)|,
то О. В, Степановой [1963] доказано, что не существует внутреннего
кольца звездообразности, т. е. кольца
где р не зависит от г, в котором дуги линий уровня звездообразны
для всех функций класса 5.
Полное решение задачи И. Е. Базилевича и Г. В. Корицкого
относительно звездообразности дуг линий уровня получено И. А. Алек-
Александровым и В. И. Поповым [1965]: для каждого г, th-j<^

568 ДОБАВЛЕНИЕ
наедены величины as(r) и pf(r) такие, что всякая дуга линии
уровня Lr звездообразна для любой функции f(z) ?j 5 тогда и только
тогда, когда Lr лежит в кольце
или же в кольце
При этом ps(r)^= lim РДг)=1, af(r)«? lim as (r) = as = 0,109...
r -» 1 /•-» 1
О. В. Степановой [1965J установлена аналогичная связь между
звездообразностыо дуг линий и значениями |/'(г)|.
Наряду с более глубоким изучением геометрических свойств кон-
конформного отображения, производимого однолистными функциями, ряд
результатов типа теорем покрытия установлен для более общих клас-
классов функций.
Для функций, регулярных в круге |.г|<^1, имеет место следую-
следующее обобщение теоремы Кебе об -j-:
Пусть f (z) = z-\-c^z*-\-. ..(^ Ш, df — линейная мера множества
всех положительных р, для которых окружность | w | = р полностью
содержится в образе Bf круга |.г|<^1 при отображении w=f(z).
Тогда
Равенство имеет место только для функций
/« = (Г=^г.1«1 = Ь
Этот результат получен Хейманом [1951а] путем использования
геометрических свойств трансфинитного диаметра.
Путем применения идей работы Хеймана [1951а] к гиперболиче-
гиперболическому трансфинитному диаметру Кубо [1958] получил ряд теорем
для функций, регулярных или мероморфных в кольце. Приведем одну
из них.
Пусть 2Я (В) — класс функций w =f(z), однозначных и регуляр-
регулярных в кольце В: l'd^l^Cft для которых множество Bf значений
f(z) в В лежит в области |«»|^>1 и которые переводят окружность
|г| = 1 в окружность |w|=l. Пусть функция w=f*(z, R),
f*i}t /?)=!» однолистно отображает кольцо В на область [та>|^>1
с разрезом w^P-
Если /(.г)?5(Ц?) и df — кратчайшее расстояние от начала до
внешней границы области Bf, то

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ 569
и знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда f(z) =
±=sf*(i\z, R), |s| ===== |tq| ===== 1.
Аналогичную оценку Кубо получил для ограниченных функций
из 91 (В): \f(z)\<^M, M^R, z^B. Для однолистных функций по-
последний результат был ранее доказан Гретшем [1928] и Комацу [1943].
Метод симметризации, предложенный Сеге [1955] для звездообраз-
звездообразных областей, обобщен Маркусом [1964] для произвольных множеств.
Пусть Q — открытое множество плоскости z, не содержащее беско-
бесконечно удаленной точки, и z9 — точка 2. Для любого круга \z— zu\<^
<Ср> Р^>®> содержащегося в 2, и любого <р> 0^<p<^2ic, рассмотрим
множество Е тех точек z (^ 2, для которых \z — zo| = r^>p и
arg(z — zo) = <p, и положим
dr
Далее, для любого п — 2, 3, ... положим
*=о
п-1
R(n) (?) = П R4n [f + ir) = р ехр Lf W-
) f
k = 0
Очевидно, /?(я) (<р) не зависит от р. Преобразование множества Q
в множество точек z, для которых z — zo = rei?, 0 =^ г <^ i?(n) (<p),
О sg: 9 <^ 2тс, назовем ^-преобразованием множества 2 с центром
в точке z0.
При ^-преобразовании любая область переходит либо в плос-
плоскость, либо в область, звездообразную относительно точки z9 и
обладающую при п ^2 «-кратной симметрией вращения относительно
этой точки. При указанной симметризации, как показал Маркус,
внутренний радиус области не возрастает. Используя последний ре-
результат, Маркус получил следующую теорему:
Пусть f(z) = z-\-c%z\ ..E 91 и к области Bf применено ^-пре-
^-преобразование с центром в точке w = 0. Тогда
и равенство имеет место для функции
Эта теорема означает, что по крайней мере один луч из лю-
любой системы п лучей, исходящих из ai = 0 под равными углами,

570 ДОБАВЛЕНИЕ
пересекается с областью Bj по множеству, линейная мера которого
не меньше чем 1/ -j-.
Ряд результатов, характеризующих геометрические свойства кон-
конформного отображения, получил И. П. Митюк [1964а, 1965а — г] путем
последовательного применения симметризационных методов; по этому
вопросу см. также § 3, п. 3° обзора. Укажем, ограничиваясь случаем
круга, что И. П. Митюк получил [1965а] следующее уточнение прин-
принципа симметризации Хеймана: если f(z) = w№-\- CpZp-j-... (= % p^l,
то при обозначениях приведенной в п. 1° теоремы справедливо не-
неравенство
1
1Р*
где г1г гъ .... zk, ... — корни уравнения f(z)— wQ = 0 в круге
|г|<^1, отличные от z = 0; ph pit ..., pk, ... — их кратности.
И. П. Митюком [1965г] получено также аналогичное усиление приведен-
приведенных здесь теоремы Хеймана об -j- и теоремы Маркуса.
В связи с вышеуказанным результатом Кубо [1958] отметим, что
И. П. Митюк [19656] получил более общую теорему покрытия для
функций, регулярных в кольце, именно, им рассматривается более
широкий класс функций и учитывается кратность производимого ими
покрытия. Отметим далее, что И. П. Митюк [1965в, г] распространил
приведенную в п. 1° теорему Хеймана на случай функций, слабо
/7-листных в кольце. Для функций последнего класса им получена
теорема о линейной мере покрытия дуг окружности, которая обоб-
обобщает указанную выше теорему Кубо [1954].
В дополнение к результатам Г. М. Голузина и А. Ф. Берманта
о покрытии, реализуемом регулярными функциями б круге (см. гл. IV,
§ 6), приведем следующую теорему (Дженкинс [1951]).
Если f(z) ? 91, то в образе Bf круга | z \ <^ 1 при отображении
w=f(z) существует п прямолинейных отрезков, исходящих из
щ» = 0 под равными углами, сумма длин которых сколь угодно
близка к -щ, где р* = яг*2 — площадь прообраза звезды области Bf.
К указанным результатам примыкает следующая теорема Г. К. Анто-
нюка [1958] для функций, регулярных в кольце:
Пусть функция w=f(z) регулярна в кольце В: 1 <^| г\ <^R и
р
удовлетворяет условию |/B)|^1, -x-j \ ~~dz^l, где С—него-
мологичный нулю контур б В. Пусть В* — звезда конечной двух-
двухсвязной римановой поверхности Bf) на которую кольцо В отобра-
отображается функцией w =/(г), относительно системы лучей, выходящих
из точки w = 0, — ее существование доказывается. Справедливо еле-

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ 671
дующее неравенство, связывающее площадь р* звезды 23? с пло-
площадью р* ее прообраза:
Равенство имеет место только для функции f(z) = гг, jsj = l. Ранее
Г. Я. Хажалия [1951] получил оценку Р* 5s ic (R*—1).
Ряд результатов, относящихся к задаче об оценке снизу площади
образа круга и кольца, а также звезды этого образа, получен
И. П. Митюком [19616, 1965а —г].
3°. Оценки коэффициентов однолистных функций.
Проблема коэффициентов однолистных функций играет в течение
ряда лет весьма значительную роль в общей направленности геомет-
геометрической теории функций. Как известно, для функций f(z) =
= z-\- сгг* -{-... класса 5 она заключается в определении для каждого
«^2 области значений системы коэффициентов {съ, ..., сп) функций
этого класса. Частным случаем этой проблемы является задача на-
нахождения точных оценок коэффициентов, что привело бы к доказа-
доказательству или опровержению знаменитой гипотезы Бибербаха.
За последние годы получено решение ряда задач, связанных
с указанным кругом вопросов.
Шеффер и Спенсер [1950] при помощи своей формы вариацион-
вариационного метода определили в явном виде область значений V8 системы
коэффициентов {сь съ\ в классе 5. Хотя V3 — тело в четырехмерном
вещественном пространстве, свойство симметрии относительно враще-
вращения допускает полное описание этого множества посредством опре-
определения его трехмерных сечений, для которых, например, ?, = 0 или
Ь3 = 0 (ck = ak-\-tbk, где ak и bk вещественны). Граница области
значений каждой из систем {(ц, % Ь3) и {а^, Ь$, сц) выражается
в явном виде в терминах элементарных функций.
В классе 2 функций F(tm) = {.-\-a<)-\-y--\-... Гарабедян и
фер [1955] получили методом вариаций точную оценку |а3|<;
^¦y-j-e"*. Тем самым показано, что полученная ранее Г. М. Голу-
зиным [1949б] оценка коэффициента при С~8 для нечетных функций
из класса 2 является точной во всем этом классе.
В 1955 г. Гарабедян и Шиффер [1955а] впервые доказали спра-
справедливость гипотезы Бибербаха для четвертого коэффициента. Это
доказательство использует как метод вариаций, так и параметриче-
параметрический метод Лёвнера.
Области значений систем начальных коэффициентов в классах
ограниченных функций из классов S^ и 2**' исследованы И. Е. Ба-
зилевичем [1957] методом параметрического представления Лёвнера.
Так, в классе S$> функций f(z) = z-\-ck+1z6+1-\-cik+tzik+1-\-...,
k=e=l, 2 И. Е. Базилевич определял

572 ДОБАВЛЕНИЕ
б явном виде область значений системы {|сА+1|, |c2ft+i|} и, в пред-
предположении bk+i = bik+1 — O, область значений системы {ak+1, a«+i}
и указал все их граничные функции. Те же задачи поставлены и ре-
решены И. Е. Базилевичем для класса 2$, а также для классов функ-
функций, обратных для функций из S$ и 2<?>, соответственно.
Область значений системы {с2, св} в классе SM определили Ха-
жинский и Яновский [1959] методом, аналогичным примененному
Шеффером и Спенсером [1950].
Интересные оценки коэффициентов однолистных функций, вы-
выясняющие с новой стороны влияние обращения в нуль некоторого
числа их начальных коэффициентов на рост последующих, получил
Дженкинс [19606] при помощи распространения своей общей теоремы
коэффициентов на случай квадратичных дифференциалов надлежа-
надлежащего вида [1960а]. Приведем некоторые его результаты.
со
Если п — целое положительное число, F(C) = C-|- 2,
(Ху = О ДЛЯ j s^ (Л— 1)/2, ТО
Пусть М — класс функций f(z), /@) = 0, /'@ь=1, мероморф-
ных и однолистных б круге |г|<^1. Если я^>2, f(z)==z-\-
-f ^ CjZ1 ?М и су = 0 дляу"^ (я+ !)/2, то
2
=т- B)
Знак равенства в A) и B) реализуется соответственно только для
функций F(C; я + 1, а) и F'1 (-1; я— 1, а), где F(C; n, а)==
= C(l+*te"C"i)v".
Оценки A) и B) соответственно для классов Л" и S были полу-
получены Г. М. Голузиным как частные случаи результатов, справедливых
для /7-листных функций (см. гл. XI, § 6).
со
Если я]>0, F(C)=C-j- У r7"?E.S. то Ддя любого веществен-
ного ф справедлива точная оценка:

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ 573
При я=0 оценка C) остается справедливой при
F(C)^S°- Указываются все экстремальные функции. ^
Следствием оценки C) для функций указанного вида является
неравенство
Из оценки C) следует аналогичный результат для функций, одно-
однолистных в круге. В частности, справедлива следующая точная оценка:
00
Пусть л —целое, я>2, и f(z) — z-\- У cjZ>' ?M. Тогда
Неравенства D) и E) были получены ранее Г. М. Голузинын
[1949в] для функций, соответственно, из классов 2(я+1) и 5(">.
Неравенство D), в частности, показывает, что функция
реализующая максимум | at | и | ад | в классе J? и удовлетворяющая
при всех п дифференциальному уравнению для функции, максимизи-
максимизирующей | а„ | в этом классе, не является экстремальной для всех не-
нечетных коэффициентов аа„+1, /t^l. В связи с этим отметим, что
Клуни [1959а] построил по примеру известной конструкции Литтльвуда
функцию класса 2> Для которой |<х„|^>«~1+8, 8 — положительная по-
постоянная, для бесконечной последовательности значений п. Указанная
функция отображает область |С|]>1 на область, ограниченную жор-
дановой кривой.
Между тем б классе 2* оценки
справедливы. Именно, Клуни [1959] простым способом установил не-
неравенства F) при я;э=1 для функций F(C) = C+ у-+% + ••• ?.?•
Экстремальной функцией является eFn(eQ, |e| = l, и только эта
функция. Поммеренке [1962а], используя ту же идею доказательства,
получил оценки F) при я = 0, 1, 2, ... для всех функций F(C) =
В 1960 г. Хажинский и Шиффер [1960] дали значительно более
простое доказательство неравенства | ct | <; 4, которое показывает,
что указанное неравенство в действительности более элементарно,
чем результат Лёвнера |с»|<;3. Они также получили [1960а]

574
ДОБАВЛВНИВ
геометрическое доказательство оценки | с41 ^ 4. В обоих случаях дока-
доказательство основывается на неравенстве для надлежащим образом
выбранной комбинации коэффициентов сь сь с4 функции класса S1,
из которого оценка |с4|^4 получается при помощи простых оце-
оценок, следующих из теоремы площадей.
Приведем первое из указанных доказательств неравенства | с41 ^ 4
в несколько измененном виде. Оно опирается на известное условие
однолистности Грунского [1939] (см. также гл. IV, § 2). Приведем
этот результат в частном случае функций, регулярных в круге
МО1):
Необходимым и достаточным условием для того, чтобы функция
f{z) = z-\-c*z*-\-..., регулярная в круге |г|<М, была однолистна
в |г|<^1, является справедливость неравенства
2
для каждой последовательности {хп}, для которой его правая часть
сходится, где коэффициенты атп определяются разложением
т. п«
Пусть /(z) = 2-f с*г' + ...?& Тогда Mz)=V7W) €
для нее выполняется неравенство G). Полагая в нем xt = l,
xt=l, jf4=ji;j=. .. = 0 и учитывая, что
получаем из G)
(8)
Теорема площадей для функции F(Q= л—
дает
откуда
3„»
(9)
J) В работе Гарабедяна, Росса и Шиффера [1965] дано элементарное
доказательство этой теоремы, основывающееся на методе площадей.
*) Неравенство (8) получается также непосредственно из оценки A2)
гл. IV, § 2 при п==3 и тех же хи х„ хь.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ 575
Без ограничения общности б рассматриваемой задаче можно счи-
считать, что с4^0. Тогда из (8) имеем:
откуда с учетом (9) следует, что
r'~cos
sin y
, получаем:
Полагая здесь
и обозначая у —
и, следовательно,
с4 ^ — 4- 8х* — — хъ — (8jfa — -.
о а * о
Находя максимум правой части этого выражения относительно у,
приходим к неравенству
и достаточно доказать, что
48— 10*— I32jf«4-lo8jc8— 14л:45з:0 при
или
D8 + 86л: — 8jfa)(l — л;L + б**A — x)S»0, 0
Это последнее неравенство, очевидно, справедливо, и знак равенства
в нем имеет место лишь при х—1. Это означает, что
и знак равенства имеет место только для функции f (z) = z -\- c^z* -f-
-|-... ^ 5 такой, что | Сч \ = 2, т. е. для функции
Неравенства Грунского — Нехари, дающие необходимые и достаточ-
достаточные условия однолистности и ограниченности функции в круге | z \ <^ 1
(см. п. 1° этого параграфа), были использованы Сингхом [1962] для
получения оценки четвертого коэффициента в классе S§)(b{) функций

576 ДОБАВЛЕНИЕ
f (z)=hz-\-btz*-\-... ? S*) с фиксированным bb 0<^*,<^ 1, что
привело к точным оценкам bt при дополнительном предположении
bt^ssO. Шиффер и Тамми [1965] рассмотрели указанную задачу при
помощи вариационного метода и нашли все возможные экстремальные
функции этой задачи. При разных значениях Ъх экстремальные функции
имеют различный вид. Например, при 0<^!<^— максимум й4 дости-
достигается для функции w =fo(z), отображающей круг |.г|<4 на еди-
единичный круг с разрезом, лежащим на отрицательном радиусе, и только
19
для этой функции, а при — ^#,<Ч максимум bt реализуется ото-
отображением w=fi(z) круга |г|<^1 на единичный круг с тремя ра-
радиальными разрезами равной длины, расположенными под равными
1 19
углами. Постоянная -ту не может быть здесь заменена большей, кд —
меньшей. Что касается оценки \bi\ во всем классе S^n(bi), то Шиффер
и Тамми показали [1965а], что функция w=:fo(z) является экстре-
экстремальной для этой последней задачи для некоторого промежутка
^<С^1^а> а отображение w=fi(z) обладает тем же свойством при
19
всех p==s#!<4. Последнее получено использованием условий Грун-
ского — Нехари и обобщением идеи работы Хажинского и Шиф-
фера [1960].
Относительно оценок других начальных коэффициентов функций
класса <S укажем следующие результаты. Дьюрен и Шиффер [1962/63]
нашли бесконечные квадратичные формы Sn, дающие вторые вариа-
вариации— 8а9Яся для коэффициентов функции Кебе f*(z)= . * .г.
Эти формулы указывают на существенную разницу между коэффи-
коэффициентами сп с четными и нечетными индексами. Удалось показать, что
квадратичные формы Sn при «=^9 являются положительно опреде-
определенными, что означает, что функция Кебе дает строгий локальный
экстремум | сп | при указанных п при всех рассматриваемых вариациях.
Позднее Гарабедян, Росс и Шиффер [1965] установили аналогичное
экстремальное свойство функции Кебе для всех четных п = 2т путем
оценки для нее второй вариации 889teSm. Доказательство основывается на
использовании условий Грунского в матричной форме для нечетной
функции/, (г)=У/Щ где/(*)=/* (г)+ 8/(.г); функции /* (г) =
= " , соответствует единичная матрица коэффициентов Грунского
{<!„,„}. Именно, доказана теорема: для каждого т = 1, 2,... существует
sOT^>0 такое, что если для f(z) = z -j- сггг ~\-... ? 5 выполняется
2т
условие ^ \ck — А|*^е„, то 9te2m<;2/B и знак равенства имеет
место только для функции /* {г). Далее, задача глобального дока-

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ 677
зательства гипотезы Бибербаха для шестого коэффициента сведена
к задаче доказательства некоторого тригонометрического неравенства
относительно пяти аргументов. В связи с последним заметим также,
что ранее Бомбири [1963] доказал неравенство SRce<;6 в классе 5
при значениях Шс* достаточно близких к 2, а Одзава [1965], исполь-
используя условия Грунского G), доказал это неравенство в предположении,
что 0г^са«^2.
Что касается вопроса оценки коэффициентов для всех и^>4, то
лучший в настоящее время результат в этом направлении установлен
И. М. Милиным [1965]:
К|<1,243я, л>4.
Этот результат получен методом исследования однолистных функций,
основывающемся на использовании экстремальных свойств специаль-
специальных систем функций.
Укажем ряд результатов, характеризующих асимптотическое пове-
поведение коэффициентов однолистных функций.
Хейманом [1958] установлена тесная связь между максимумом
модуля М(г, /)= шах|/(г)|> 0<г<1, функции /(г) = z4-ctz*-\-
1*1-'-
-f,..^SH коэффициентами функций/(г) и Л (г)=>/(«*) = г +
-f- i8z3 -(-... G •S(i)> a именно: существуют пределы
lim A — г? М (г, /) = Нт Ц*1 = Щд | Ь^х |* == а, ^ 1, A0)
/¦->1 я-»оо я->-оо
где <х/ = \ только для /^г)= ,|
Из этого результата, в частности, следует, что для каждой функ-
функции f(z) ? 5 найдется такой номер Nf, для которого справедливо
неравенство Бибербаха | сп \ ^ п для п ^ Nf. Однако все еще остается
открытым вопрос, существует ли номер N, не зависящий от функ-
функции /(z) класса S, начиная с которого выполняется указанное нера-
неравенство. Хейман [1958а] доказал следующее:
Если С„ — точная верхняя граница | сп \ для всех f(z) ? ?, то
существует
lim & = «,
И — 00 П
где а — некоторая постоянная (равная 1, если гипотеза Бибербаха
верна).
Для нечетных функций хорошо известна справедливость оценки
где А — абсолютная постоянная, причем доказано, что А~^>1. Более
того, равностепенная оценка вида |frte_i|^l прк n^N невозмож-
невозможна (см. гл. IV, § 7). Точное значение постоянной А неизвестно.
!/418 Г М ГолувВВ

578 ДОБАВЛЕНИЕ
Используя оценку площади образа круга | z | <; г <^ 1 при отображении
функцией класса 5D) (см. работу Н. А. Лебедева и И. М. Милина
[1951]), Гун Шен [1955] получил оценку
Обозначим подклассы функций классов 5 и S^\ для которых
имеет место A0) с фиксированным а/ = а, 0^а^1, соответственно,
через S(a) и S(i) (а). Пусть 5 (а) — множество функций f(z) ?S(а),
которые отображают круг | z | <^ 1 на плоскость с аналитическим раз-
разрезом; аналогично определяется класс ?*2) (а).
И. Е. Базилевич [1965] показал, что величиной а в классе §(<*)
определяется не только предельное соотношение A0), но и близость
коэффициентов функции
?M + ...X A1)
где f(z) ? S(a), к соответствующим коэффициентам функции
при надлежащем преобразовании поворота единичного круга, и неко-
некоторые другие соотношения, оценивающие в этом смысле дисперсию
коэффициентов функций из класса <S(a). Именно, получена следующая
теорема:
Если f(z)?S(a.), f(ea«) = oo, то при любом вещественном X для
коэффициентов разложения A1) функции y(z) справедливо равенство
2*
A2)
где ех(г)->0 при г-*-U
Из A2), в частности, следует, что
*=i
— 1 —
2 П о
Эта теорема при использовании одного неравенства для регуляр-
регулярных функций, полученного Н. А. Лебедевым и И. М. Милиным [1965],
приводит к следующему результату

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ 579
Если f(z) ? 5(<х) и f(ea») = oo, то при любых вещественных X и х
для коэффициентов функции Ф (г) = V~- (I + e~rt° Z)*XT = 1 -+¦ Q\Z+
-\-O^z*-\-..., регулярной в круге |г|<^1, справедливо неравенство
2
где g-(r)-*O при
Частными случаями неравенства A3) являются оценки для среднего
квадрата модуля в классах §(л) и <§(а) (а), оценка близости всех сосед-
соседних коэффициентов функции /s (z)=}/rf(^*j и различные другие нера-
неравенства, характеризующие дисперсию коэффициентов однолистных
функций.
Некоторые из приведенных результатов о дисперсии коэффициен-
коэффициентов усилены и обобщены для случая функций, р-лиетных в среднем,
в совместной работе И. Е. Базилевича и Н. А. Лебедева [1966] путем
использования методов, изложенных в монографии Хеймана [1960].
С вопросом асимптотического поведения коэффициентов однолист-
однолистных функций естественно связана задача исследования взаимоотноше-
взаимоотношений между порядком роста последовательностей коэффициентов. Первые
систематические результаты в этом направлении принадлежат Г. М. Голу-
зину (гл. IV, § 8).
Г. М. Голузин рассматривал также задачу оценки роста соседних
коэффициентов функций класса 5 (см. там же). Для функций из 5*
Г. М. Голузин [194бд, 1949в] получил неравенство
(А — абсолютная постоянная, Л<^100), точное в отношении порядка
зависимости от я.
Недавно Хейман [1963] получил оценку роста соседних коэффи-
коэффициентов, асимптотически точную не только для класса 51, но и для
класса F°:
со
Если функция f(z) = 2+ 2 cnz"^F°> т0
/1 = 2
|4 fSsL A4)
где А — абсолютная постоянная.
В частном случае, если с„ = 0 для последовательности n = nv
v=l, 2, .... такой, что 1 ^я„+1 — «v<gК, то
\сп\^АК, «Ss«0. A5)
V«18«

580 ДОБАВЛЕНИЕ
Оценку A5) нельзя улучшить в отношении порядка зависимости от К,
как показывают функции
г V sin/l6
л=1
Действительно, если Ъ = ?-, где К — четное, то сп = О при п = Km,
A \ А"
/я-|--~-) имеем | сп | = | cosec6|^> —.
z, I тс
При доказательстве неравенства A4) кроме известных и неодно-
неоднократно применяемых оценок для регулярных функций используется
следующий более тонкий результат:
Если функция f{z) ? F°, zx = г^', z9 = г^'\ где гх <Г 1, г9 < 1,
|/@||/te)|
и если |/(*0|3s|/te)|, то
Л — абсолютная постоянная.
Для f(z) ^ 5 неравенство, получаемое из A6) при замене его
левой части на \f{z%)\, было получено Бернацким [1956] из одного
неравенства Г. М. Голузина [1946д-«-1949в].
Для функций класса 5 указанное доказательство оценки A4) упро-
упрощается лишь незначительно; в связи с этим уместно привести высказы-
высказывание Хеймана, что трудно доказать какой-нибудь результат асимпто-
асимптотического характера для однолистных функций таким методом, который
нельзя было бы одновременно применить к функциям, р-листным
в среднем.
Лукас (см. Хейман [1965]) распространил приведенный выше
результат на функции, /;-листные в среднем:
Если f(z) = co-|-c1,?-(-... регулярна и р-жстт в среднем по
площади в круге ]z|<4, то при р^1 справедлива оценка
A7)
а при т
Оценка A7) не улучшаемая, и при /><^1 она уже не имеет места.
Неравенство A8) при р:=— оказывается справедливым для функции
f(Vz), где /0 = 0 + V + ...€5(9) (см. Хейман [1965]). Это
приводит к оценке

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ 581
которая улучшает известный ранее результат Г. М. Голузина (см.
гл. IV, § 8).
Для коэффициентов однолистных функций, представимых лаку-
нарными степенными рядами с быстро растущими пропусками, спра-
справедлив более сильный результат, чем неравенство A5). Именно,
Поммеренке [1964а] получил следующую теорему:
оо
Если функция f{z) = z-\- 2 сп z локально однолистна в
v =1
и ^^-^q для всех v, где д^>1—постоянная, то
Этот результат не может быть улучшен без дополнительных ограни-
ограничений на f(z), как показывает следующий пример.
00
Пусть •»)*-»-0. Выберем пк так, что ^±±-»-оои TN'lft<^1' Тогда
h ¦= 1
функция
ограничена, однолистна и звездообразна в круге |
оо
Для функций f(z) = z-{- 2 cnzn?S, для которых |/(г
<С/1_|2|ча в кРуе |г|<[1, при а>у хорошо известна точная
оценка роста коэффициентов
где А (а) зависит только от а (см., например, Хейман [1960; 3.3];
аналогичная оценка справедлива и для /;-листных функций). При
a ^y Поммеренке [1961/62] получил следующий результат:
ЕСЛИ f(Z)^Z-\- 2, Cn^^zS и 1/B) |<^/. ,—rrj B[z[<^l,TO
П=2
¦og«L « = |,
19 Г. М, Голузии

582 ДОБАВЛЕНИЙ
Далее, при а<-^-
\ся\=о(пг1'*) при л-»-оо.
Аналогичные оценки справедливы и для функций, /глистных в сред-
среднем по площади. Для звездообразных однолистных функций, как
показал Поммеренке [1962а], из условия М (г) = О (A—г)~"), где
( = тах|/(г)|, 0<><Ч, следует, что при всех 0
||
Клуни и Поммеренке [1966] доказали этот же результат для
близких к выпуклым функций.
Что касается проблемы коэффициентов для частных классов
однолистных функций, то укажем следующие результаты. В классе S*
проблема коэффициентов решена. Именно, Хаммел [1957] определил
в явном виде множество VJ? в (и — 1)гмерном комплексном евклидо-
евклидовом пространстве, состоящее из всех точек (са, ..., с„), поставленных
в соответствие по крайней мере одной функции f(z) = z -f- с9г* -f-
-|-... -|- сяг-л -j- ^ 5*. При этом V* определяется посредством его
двухмерного сечения CJ, для которого сь ..., cn_i фиксированы.
Если (с» ..., cB_i) —внутренняя точка V?_i, то CJ есть круг, ра-
2
диус которого не превосходит , и эта оценка точная, так как
она достигается в случае с4 = с3 ==... —с„_1 = 0 для функции
f(z)= -i 2/(я-1;' 181 = '- ^ частности, границы сечений С| и
A — tZr )
CJ определяются равенствами: с% = 2е'\ с3=-7-с|-}-ей> ~~/* .
В классе К функций /(г)=г-\-с%га-\-..., близких к выпуклым
в круге |г|<|]1 ), как показал Рид [1955], справедлива гипотеза
Бибербаха
Для функций F(Q = tl-j-ao + T"^-1' меРом°рФных и близких к вы-
выпуклым в |?|^>1, Поммеренке [1962] получил оценку
В дополнение к приведенным выше результатам о росте соседних
коэффициентов для однолистных функций Поммеренке [1963] дока-
доказал следующую теорему:
») Определение класса К дано на стр. 584.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ 583
00
Если /(z) = z-f- 2 cnzn?K, то
Я —2
Указывается вид всех функций, для которых эта оценка является
точной в отношении порядка зависимости от п. В частности, для
всех функций из 5*, кроме функций
A-Л*) A-•"»«) '
и б9 вещественные, существует 8 = 8(/)^>О такое, что
4°. Структурные формулы для различных классов
аналитических функций. Большое число результатов полу-
получено для классов функций, представимых той или иной «структурной
формулой», в частности интегралом Стилтьеса. Хорошо известно,
что класс С функций /(г) = 1 -\-c^z~\-..., регулярных в круге | z|<^ 1
и удовлетворяющих в нем условию Э^/(г)^>0, представим интегра-
интегралом Стилтьеса
ft (t) — неубывающая на [—«, «] функция, fi(it).— ft(—«)==1. Из этой
формулы на основе простой связи между функциями классов С и Т
Робертсоном [1935] и Г. М. Голузиным [1950а] получено интеграль-
интегральное представление для класса Т (см. гл. XI, § 9). Исходя из этого
представления, Г. М. Голузин [1950а] получил в классе Т ряд теорем
искажения и вращения, а также оценки средних модулей /(г) и
f(z) на окружности |г| = г<^1.
Из структурной формулы для класса С легко следуют также
интегральные представления классов S* (см. гл. XI, § 9) и S. Та-
Таким же путем находится интегральное представление для класса
близких к выпуклым функций, т. е. функций /(г), регулярных в круге
|z|<[l и удовлетворяющих условию Ш1 . >}^>0 в |г|<^1, где
g-(z)— некоторая (зависящая от/) функция, регулярная и выпуклая
в |г|<]1. Этот класс введен Капланом [1952]. Каждая близкая к
выпуклой функция однолистна в |г|<[1 и /(г) близка к выпуклой
тогда и только тогда, если f'(z)z?O и
— «
19*

584 добавление
при любых — it<^ 6t <^ б4 <: it, z = re'v, r <[ 1. Класс близких к выпук-
выпуклым функций совпадает (см. Левандовский [1958, I960]) с классом
функций, отображающих круг | z | <^ 1 на области, линейно достижи-
достижимые извне, введенным в рассмотрение Бернацким [1936].
Через К обозначаем класс регулярных и близких к выпуклым в
круге |z|<[ 1 функций /(г) = z-\-с9г9-{-...
Из определения класса К очевидно, что S* d /С сг: &
Ю. Д. Максимов [1955] ввел в рассмотрение классы С, (р) е-ло-
кально выпуклых и St(p) е-локально звездных функций /(г), /@) =
= 0, регулярных в круге \z|<[ 1 и удовлетворяющих условиям
для /(г)^5,(р) в кольце 0^р<]|г|<^1, р зависит от функции,
z = rea, -*<ei<ea<1t, s>0.
Пусть С,(/», ^) и St(p, q) — подклассы функций из С,(р) и St(p)
вида
Эти классы содержат многие известные классы функций. В частности,
С* A,1) есть определенный выше класс К, класс 5„A) содержит функ-
функции, звездообразные по направлению (см. Робертсон [1936]), классы
Со0») и St(p) рассматривались Гудманом [1950].
Ю. Д. Максимов [1955, 1955а] получил интегральное представление
классов С,(р, д) и S,(p, q) и на основе его при помощи метода
Г. М. Голузина варьирования функционалов (см. гл. XI, § 9) решил
ряд экстремальных задач для этих классов. В частности, им принци-
принципиально решена задача о max 91 {Ф [f (г)]} при данной целой функ-
функции Ф(ю) и фиксированном г из круга |г|<^1 на классе функций
из С, (р, q) с фиксированными нулями производной и получены оценки
для |jf(z)| и sxgf{z) в этом классе.
Б. Н. Рахманов [1951] доказал следующую теорему:
Если /(г) ? S, то функция
принадлежит классу 5. Б. Н. Рахманов [1953] исследовал также
вопрос о принадлежности среднего арифметического конечного числа

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ 585
функций некоторых подклассов 5 тому же классу. Найденные им
классы функций характеризуются соответствующими геометрическими
свойствами производимого ими конформного отображения. Некоторые
из результатов Б. Н. Рахманова были обобщены в работах В. А. Змо-
ровича [1954, 1959, 1959а]. Так, В. А. Зморович [1959] ввел в рас-
рассмотрение класс функций, регулярных и однолистных в круге
| z | <^ 1 и отображающих его на области, обладающие свойством
выпуклости в верхней и нижней полуплоскостях соответственно
в направлении а и C, и получил его интегральное представление.
Этот класс является естественным расширением некоторых клас-
классов Б. Н. Рахманова [1953] и класса функций, выпуклых в данном
направлении, впервые рассматривавшегося Робертсоном [1936].
К этому же кругу вопросов относится работа В. Г. Лозовика
[1963].
Параметрическое представление Лёвнера в рассматриваемом круге
вопросов сыграло следующую роль, дифференциальные уравнения
П. П. Куфарева [1947], обобщающие известные уравнения Лёвнера,
позволили получить интегральное представление достаточно широ-
широкого подкласса однолистных в круге функций, содержащего в себе,
в частности, известные представления конформных отображений еди-
единичного круга на звездообразные и спиралеобразные области. Именно,
путем интегрирования в квадратурах уравнения Лёвнера — Куфарева
в его частном случае И. Е. Базилевич [1964], обобщая свои пре-
предыдущие результаты, доказал следующую теорему:
Если функции рй (z) и pi (г) регулярны в круге | z | <^ I и имеют
в нем положительные вещественные части, то функция
[±Q { Pl(a)aP.«» exp(idt) *зф> B)
I Pi Щ .) \ Л » /I
о о
принадлежит классу S, если под w(z) понимать ту ветвь, которая
имеет разложение
При /70@)=/;, @) = 1 из B) получаем класс функций
C)
где /*(*)??*. Если, в частности, р1(г) = гЛМ-г т0 w=f, (z), т. е.
класс C) содержит в себе класс 5*. Нетрудно убедиться, что класс C)
является более широким, чем класс 5*. Как заметил Кшиж [1964],
класс C) содержится в классе К в виде его подкласса,

586 ДОБАВЛЕНИЕ
В связи с этим отметим, что из принадлежности функции f(z)
классу 5 уже не следует, что функция
где р(г)= 1 4-CxZ-f-... ?j С, принадлежит классу 5, как показывает
пример, построенный летом 1963 г. И. Е. Базилевичем (см. также
работу Кшижа и Левандовского [1963]).
Известное интегральное представление A) для функций с поло-
положительной вещественной частью в круге распространено на случай
кольца. Именно, В. А. Зморовичем [1953] получена структурная фор-
формула для класса С(д, 1) функций f(z), регулярных в кольце q<^
С11С1 ^Я/()^0 ПРИ 4<C\z\<i^> и нормированных условием
$^<1. D)
\Z\-r
При помощи этого представления легко получаются (см. В. А. Змо-
рович [1953]) структурные формулы для класса U*\q, 1) функций,
регулярных и звездообразных в кольце ?<С1г1<С*> и для кдасса
функций, регулярных и выпуклых в этом кольце. Интегральное
представление для функций, регулярных и звездообразных в 'кольце,
независимо получено Ли Ен Пиром [19536]. Им также получено инте-
интегральное представление для класса функций, регулярных и типично
вещественных в кольце (см. Ли Ен Пир, [1953а]).
Из структурной формулы для класса звездообразных функций
следует, в частности, представление для функций, отображающих
кольцо q<^|г|<[ 1 на двухсвязные области, граница каждой из ко-
которых состоит из и отрезков, выходящих из начала, и т лучей, про-
продолжения которых проходят через начало и которые не имеют
общих точек с указанными отрезками; функции такого вида явля-
являются экстремальными в ряде задач. При т = п = 1 для функций
указанного вида, принадлежащих классу U* (q, 1), получаем
E)
Здесь §, (^ In r, q) = - Iq-Ч* V'z Ц-L In г, q), », ft q) и Ьг ft q) -
тэта-функции Якоби с периодами 1 и т, t=—^-т- При ?-*-0

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ 587
из E) получаем функцию Кебе
, s Сг
Функция E) играет в многих задачах для кольца аналогичную роль
по сравнению с функцией К?бе для круга. Например, функция E)
при a = p±it, и только она, реализует экстремумы |/(г)| при
всех z, <t<C\z]<^\, в классе U*(q, 1)(ив более широком классе
функций, однолистных в кольце ?<^|^|<С^: см« п* 1 § 2), а также
экстремумы arg/(z) при любом z из кольца ?<С1г!<С1 в классе
U*(q, 1) (см. Л. Е. Дундученко [1956]).
Отметим, что В. А. Зморовичем [1956] получено интегральное
представление и для более общих классов регулярных в кольце
функций, вещественная часть которых удовлетворяет соответствую-
соответствующим условиям. Эти последние результаты распространяют на случай
кольца известные представления аналогичных классов функций - в
круге.
Что касается л-связной круговой области К„, п ^ 3, то В. А. Змо-
Зморовичем [1958] получено обобщение на случай этой области извест-
известной формулы Шварца для круга (в форме, отличной от представле-
представления Мешковского [1954]). Используя этот результат, В. А. Зморо-
вич [1958] получил структурные формулы для класса функций,
регулярных и с положительной вещественной частью в области Кп, и
для более общего класса регулярных в области Ка функций. Ю. Д.
Максимов [1961] методом, примененным Г. М. Голузиным [1934] при
решении задач типа Дирихле и Неймана, обобщил на случай области
Кп структурную формулу для класса регулярных функций, однолист-
однолистных и выпуклых в кольце.
Обобщением класса С функций, регулярных и с положительной
вещественной частью в круге | z | < 1, является класс С(т), 0 <^ т < л,
функций представимых интегралом Стилтьеса
где ц @ — неубывающая на [— т, т] функция. Опираясь на резуль-
результаты Н. И, Ахиезера и М. Г. Крейна [1938], М. Л. Монастырский
[J959] фактически решил задачу о нахождении необходимых и доста-
достаточных условий существования функции f(z) класса С (t), 0 < х ^ к,
имеющей началом разложения в ряд Маклорена заданный полином
и принимающей в данной точке г$Ф 0 из круга |z\<~ 1 данное
значение щ.

588 ДОБАВЛЕНИЕ
В работе В. А. Андреевой, Н. А. Лебедева и А. В. Стовбун [1961]
поставлены и решены задачи для функций класса С(т), для которых
сформулированная выше задача М. Л. Монастырского является част-
частным случаем. В этой же работе Н. А. Лебедевым решена следующая
общая задача:
Пусть М — класс функций w=f(z), регулярных в круге |z|<[1,
О—произвольная односвязная область плоскости w, не содержащая
точки оо и еще какой-либо точки. Будем говорить, что функция
f(z) ? М подчинена области G, если при любом г из круга | z | <[ 1
точка w=f(z)?G. Обозначим через Ма класс функций, подчинен-
подчиненных области 6. Пусть го = О, zk (k = l, ..., т) — различные точки
из области Ъ<У[г\<^\, ak (k = 0, I, ..., т) — заданные натураль-
натуральные числа и w^> (k = 0, 1, ..., т, v = l, 2, ..., ttk) — заданные
числа. Обозначим х = х(гк) = (г0, ..., zm), а=а(ак) = (л<), ..., ат),
Пусть М(х, а, X) — класс функций f(z)^M, удовлетворяющих
условиям
= «?>, А=-о, 1, ..., т, v = l, 2, ..., afc;
MQ{x, a, X) — класс функций /(г), принадлежащих одновременно и
классу Ма в классу М(х, а, X). Пусть дан класс MQ и пусть на
классе Ма задана система Ф(/, Ма) функционалов
0' 1 т> v = 1- 2 а*- (?)
Решена задача: найти область значений системы Ф (/, Ма) функ-
функционалов G) на классе Ма, т. е. найти множество точек X комп-
т
лексного л-мерного евклидова пространства Rn, п= ^ ак> такое,
что для каждой точки X=X(vfy)) этого множества найдется функ-
функция /(г) ? Ма (х, а, X). Граничные функции этой области значений
определяются единственным образом при помощи рассмотрения пе-
переменного класса N(X)=MQW(x, a, X), Х'^Х^Х", где х, <*, X
фиксированы, а QQ>) — переменная область, непрерывная по X на
промежутке X' ^ X ^ X" и обладающая тем свойством, нто для любых
чисел *! и Х9 Х'^Х!<Х,^Х", G(Xi)czG(X,) и G(Xi) ф G(X<j)i при
этом класс Л/(Х') пуст, а класс NQ-") не пуст.
Ряд теорем для функций, регулярных и с положительной вещест-
вещественной частью, а также для регулярных типично вещественных функ-
функций в круге и кольце был получен Комацу [1957, 1958, 1958а].
Области значений произвольных конечных систем коэффициентов

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ 589
этих классов функций в кольце (в частности, в круге) исследовались
Нишимия [1957, 1969].
Области значений функционалов, представимых суммой и произве-
произведением интегралов Стилтьеса, рассматривались М.П.Ремизовой [1959].
Полученные ею результаты обобщают на случай функционалов ука-
указанного вида некоторые из теорем работы И. Я. Ашневиц и Г. В. Ули-
ной [1955].
Результаты весьма общего характера об областях произвольных
конечных систем лорановских коэффициентов функций, регулярных
в любой данной конечносвязной области и представимых в ней сум-
суммой интегралов Стилтьеса, и их граничных функциях получены
Ю. Е. Аленицыным [1962]:
Пусть О—конечносвязная ограниченная круговая область пло-
плоскости z, F — класс функций, представимых в G формулой
i
k = \ a
где gk (z, t) — надлежащие фиксированные функции, \>.k (t) ? М [а, Ь\,
k = l, 2, ..., т. Пусть 2v(v = l,..., s) — различные фиксированные
точки, каждая из которых или принадлежит области О или является
центром одной из ограничивающих ее окружностей. Пусть в окрест-
окрестности точки г„, если 2S ? О, или в круговом кольце с центром в
точке 2S, если г, ? О, справедливы разложения
/(*)= S <%Kz-z?, (8)
Пусть, далее, { Q, ..., CN} — любая фиксированная система коэффи-
коэффициентов е?>, рассматриваемая как точка оР [f] = {Q, ... ,С^\ N-мер-
ного комплексного евклидова пространства RN, 3* [gk (г, t)] — ана-
аналогичная ей по (8) точка RN (k = l, 2, ..., т). Область значений
системы {d, ..., Cv} в классе F, являющаяся множеством значе-
значений функционала &* [f] на этом классе, есть выпуклая оболочка
геометрической суммы множеств [] ^[gki2' t)], k=l, ,.., т. В
качестве одного из приложений в классе Т функций/(г) =» z -j- сага -j-..,
найдена область значений 2G) системы {f{z^, са}, где г^ф 0 —
лрбая фиксированная точка круга | z \ <^ 1:
При Зго^?0 область значений 2G*) есть тело трехмерного ве^
щестренного пространства, ограниченное двумя коническими поверх-
поверхностями:

590 ДОБАВЛЬНИЕ
При Зго = О 2G)—плоскаяобласть,ограниченная дугой гиперболы
х% = г0 + — — —, A _?°г^я s? •*, *=S l(i^lz)v и хордой, стягивающей
ее концы. Каждой граничной точке {w, c9} области значений
2 (Г) соответствует единственная функция класса Т.
Обозначим через Г(с9) класс всех функций f(z) = z-\-c^z*-f-...
из Т с фиксированным коэффициентом с9. Пусть 2G\с9))— область
значений /(гв) при условии, что г„, 0<^|г»|<^1, фиксировано, а
функция f(z) пробегает класс Т(с%). При рассмотрении сечения об-
области Q (Т) плоскостью лга = с9, —2 <^ с9 <^ 2, получается следствие:
При 3f z0 ф 0 область значений Q (Т (с9)) есть круговая луночка
с вершинами x_'l ¦ , и z»A+^-o+zo)8> у которой одна из ог-
ограничивающих ее окружностей проходит через точку г" .,, дру-
z A zo)
гая —через точку ,. ." -•, при 3(гв) = 0 2G(с9)) — отрезок веще-
ственной оси, соединяющий две первые из указанных точек. Исполь-
Используя этот результат, Е. Г. Голузина [1962] получила ряд новых точных
оценок в классе Т(с$). Некоторые из этих результатов усиливают
соответствующие теоремы Г. М. Голузина [1950а] и И. Я. Ашневиц
и Г. В. Улиной [1955].
Следуя методу, использованному в работе В. А. Андреевой, Н. А. Ле-
Лебедева и А. В. Стовбун [1961], Е. Г. Голузина [1965] получила не-
необходимые и достаточные условия существования функций f(z)
класса Т, имеющих в заданных различных точках круга [ z \ <^ 1 за-
заданные начальные отрезки своих тейлоровских разложений, и опре-
определила область значений системы функционалов {/(г), cir съ,..., сп },
л^2? в классе Т. В качестве примера укажем следующую теорему,
непосредственно примыкающую к приведенному выше результату
для класса Т (с9). Пусть Т (с4, с3) — подкласс всех функций из Т
с фиксированными коэффициентами с%, съ.
Область значений Q(T(cir c3)) функционала f(z) при фиксирован-
фиксированном z из круга | z | <^ 1 в классе Т (сь с3) в случае 3 z ф 0 есть выпуклая
луночка, ограниченная дугами двух окружностей (они конкретно оп-
определяются). В случае tSz = O 2(Г(с2, с3)) вырождается в отрезок
вещественной оси.
В связи с приведенными выше результатами отмегим, что в работе
В. Г. Лозрвика [1963а] указывается геометрический способ, опреде-
определения области значений системы функционалов, представимых инте-
интегралом Стилтьеса, а также той части этого множества, которая
удовлетворяет данным дополнительным условиям. В качестве иллюстра-
иллюстрации находится область значений функционала f'(z) (z фиксировано,
|г|<4) на классе функций f (z) = z-{-с$г* -j-... ? 5 с фиксирован-
фиксированными коэффициентами сь . ., сп. К этому же вопросу относится ра-
работа О. С. Носенко [1963].

ГРОМЕГРИЧЕСКАЯ ТВОИ** ФУНКЦИЙ
Пусть далее С— класс регулярных в круге \z\<^l функций вида
г) = 1-\-С1г-{-..., 9t/(*)>0 в И<1, CN — подкласс функций
из С вида
N
где срА — произвольные вещественные числа, Хй — произвольные не-
неотрицательные числа, Xt -]— Х2 -{—... —}- Xjy = 1. Робертсон [1962, 1963]
на основе предложенного им вариационного метода показал, что ряд
экстремальных задач в классе С решается функциями, принадлежащими
классу Q. В. А. Зморовичем [1965] весьма просто доказана следую-
следующая теорема, содержащая, в частности, соответствующую теорему Роберт-
сона:
Пусть вещественная функция Ф (С; *ш») комплексных переменных
С и а» однозначна и конечна в области 91С^>0, |гг>|<^оо и при лю-
любом фиксированном С 91С^>0, эта функция достигает своей точной
нижней границы или точной верхней границы в любом круге
\w — Wf)\<^R на его окружности. Тогда (эта точная граница обозна-
обозначается через extr)
У=extr extr <&(f(z), zf'(z))
достигается в классе С9, причем
J= extr extr Ф (С, w),
с w
.. , 1+r2 2r _,
где С изменяется в круге | С — о. | ^ р, а = _|_ 3, р = у——, а область
значений w есть окружность w -— -^ (С9 — 1) = -п (р9 — | С — а |9).
Эта теорема легко обобщается на тот случай, когда дана вещест-
вещественная функция Ф (С wb ..., wn) комплексных переменных ?, wlt ..., wn,
определенная в области 3tC^>0, |a»ft|<^oo, k=\, 2, ..., п, и изу-
изучаются ее экстремумы на окружности |z| = r<^l при С=/(г)?С,
7т ->¦*/¦(*) (?\ Ь 19 И
СК/ь —~~ /С J \ /} ^ ™~~~ ) ) * * • У ' *
В качестве приложения приведенной выше теоремы В. А. Зморо-
Зморовичем найдена точная верхняя граница кривизны линий уровня
в подклассе <SW* функций f(z) класса 5(А) *, удовлетворяющих уело-.
вию fR f,J ^>а в |г|<^1, 0^а<^1. При а = 0 отсюда получается
теорема, доказанная ранее \\. А. Александровы^ в В. В. Чернико-
Черниковым [J963] другим путем (см. § 2, п.2° обзора).
Ряд результатов относительно граничных функций областей зна-
значений функционалов общего вида, определенных на классе К и его
подклассах, а также на классе С, установили И. А. Александров и
В. Я. Гутлянский [1966], используя внутренние вариации в этих

592 ДОБАВЛЕНИЕ
классах. В качестве одного из приложений ими найдена в явном виде
область значений функционала f'(z) на классе К- Эту область значе-
значений нашел ранее Кшиж [1965], исходя непосредственно из интеграль-
интегрального представления класса К- Дальнейшие весьма общие результаты
относительно граничных функций областей значений слабо дифферен-
дифференцируемых функционалов и систем функционалов на классах функций,
представимых суммой интегралов Стилтьеса, получены И. А. Алек-
Александровым и В. Я- Гутлянским [1965] путем применения вариационных
формул в этих классах типа вариационных формул Г. М. Голузина
(гл. XI, § 9). Приведем один из результатов, полученных авторами
для класса С Пусть zt, ..., zp(p = l, 2, ...) — фиксированные точки
в круге |z|<l, umJ=f<-m)(zj), vmJ=umj(m = 0, I Sj,j = l,
2, ..., р) и пусть на классе С определен слабо дифференцируемый
функционал
Ш)=-1(Щь «el. •••. «siiVstb •••; «op. %р> •••. "SpP> vspP)-
Граничными функциями обласги значений функционала /(/) на
классе С являются только функции класса CN, где N^ st -f- • • • sp -j-
+ 2p-l.
В частности, отсюда следует, что граничными функциями функ-
функционала I(f)=J(f(z), f(z), f'(z), f'(z)) на классе С являются только
функции класса CN при N*^2.
Укажем некоторые из других полученных за последние годы ре-
результатов, которые непосредственно основываются на параметрическом
представлении рассматриваемых классов функций. Так, С. А. Гельфер
[1965] применил вариационные формулы Г. М. Голузина в классе Т
к задаче о максимуме в этом классе 9tle'T ., -. \ при фиксирован-
фиксированных z и f (|z|<^l, f — вещественное). И. М. Гальперин [1965] по-
получил интегральное представление класса функций/(г) = с0 -\- ctz -(-...,
регулярных в круге М<1, |/(z)|< 1, /(*) Ф 0 в |г|<1, исполь-
используя его простую связь с классом С, и пришел таким путем к ряду
оценок в указанном классе. В работе С А. Гельфера и Л. В. Крес-
няковой [1965] рассматривается класс Нь (8>0) функций f(z) =
== с0 -\- CiZ -\-..., регулярных в круге | z \ <^ 1 и удовлетворяющих
при любом г @ <^ г <^ 1) условию
2*
Ь
Параметрическое представление класса Нь следует из найденного
В. И. Смирновым [1932] преде ивления для более широкого класса
регулярных в круге jz |<^ 1 функций, удовлетворяющих при

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ 693
любом г @ <^ г <^ 1) -условию
2те
Полученные авторами вариационные формулы в классе Я6 типа ва-
вариационных формул Г. М. Голузина (гл. XI, § 9) используются ими
для отыскания наибольших значений функционалов Ш |Ф flog4йг)|
и 9t {Ф(log/'(z))} на этом классе, где г, |г|<4, фиксировано,
Ф(«>) — заданная целая функция, В (С) — соответствующий множитель,
входящий в параметрическое представление /(С) и учитывающий
ее нули в |С|<^1. В частности, для функций /(г) ? Нь необра-
необращающихся в нуль в круге |г|<М, получены точные оценки \f(z)\
при заданном z = rei9, r<M. Эти оценки имеют различный вид
при разных зависимостях между 8 и г. Одна из них была ранее
найдена Л. В. Кресняковой [1962] другим путем в числе ряда ре-
результатов для класса Нъ [1961, 1962, 1963].
Тот же метод исследования применен С. А. Гельфером [1966] для
нахождения экстремумов некоторых функционалов на классе Ам
(см. гл. IX, § 3) функций /(г) = ctz + ..., регулярных в круге
|^ и удовлетворяющих при любом г, 0^г<^1, условию
2л
§ 3. Функции, аналитические в многосвязных областях
1°. Конформные отображения многосвязных об-
областей на канонические поверхности. В гл. V приве-
приведены основные экстремальные свойства конформных отображений
многосвязной области на некоторые простейшие канонические об-
области — на плоскости с прямолинейными параллельными разрезами,
с разрезами по дугам логарифмических спиралей одного и того же
наклона и т. п. Для теории функций, аналитических в многосвязных
областях, представляет интерес выяснение вопроса о существовании и
об экстремальных свойствах конформных отображений многосвязной
области на канонические области и более сложного вида. Отметим
некоторые результаты, относящиеся к этому вопросу.
Работа Грунского [1939] положила начало рассмотрению кон-
конформных отображений данной многосвязной области на многолистные
канонические поверхности. В этой работе была рассмотрена функция,
регулярная в многосвязной области, за исключением да-кратного по-
полюса в одной из ее точек, отображающая эту область на риманову
поверхность с прямолинейными параллельными разрезами. Для отоб-
отображений многосвязной области, обладающих этим же геометрическим

594 Добавление
свойством, но с сингулярными частями отображающих функций бо-
более общего вида, методом контурного интегрирования получены сле-
следующие результаты (Ю. Е. Аленицын [1964]).
Пусть: В — ограниченная конечносвязная область плоскости z
с границей С, состоящей - из простых замкнутых аналитических кри-
кривых Q, ..., С„^ Ci,...» С„ s^l, — любые различные между собой
точки области В; o^j, 04j, ..., a. j, j=\, ..., s, — любые коэффи-
коэффициенты с 2 оо(у = 0, но не все равные нулю;
S(z; t» *)= 2 [2 (г — '{& "Ь ^ Ilog ^ ~ ^] (ФУНКЦИЯ особен-
ностей). При этих условиях имеем теорему:
Для любого заданного угла 9, — у <^ 9 ^ у, и любой заданной
функции особенностей 5 {z\ С, а) существует единственная с точностью
до аддитивной постоянной функция O9(z)=S(z; С, a)-]-Ft(z) с ре-
регулярной !) в замкнутой области В функцией Ft (г), обладающая сле-
следующим свойством: на каждой граничной кривой С^ области В каж-
каждая ветвь функции е~'9Ф9(г) имеет постоянную мнимую часть.
Функции
/>(г)=4[Ф. (г)-Ф0(г)] и Q(z) = |[Ф, (г) + Ф.(г)]
решают более общие экстремальные задачи, чем функции такого
же вида, рассматривавшиеся ранее (Гарабедиан и Шиффер [1949]).
Так, функция Р(г), определяемая надлежащей функцией 5(г,С,а),
и-только она, дает наименьшую площадь образа области В в классе
всех регулярных в этой области функций с фиксированными началь-
начальными отрезками их тейлоровских разложений в заданных точках В
(такими, что этот класс не содержит постоянной). Это дает обобще-
обобщение как теоремы о минимизации площади, приведенной в гл. V, § 4,
так и теоремы Бергмана [1950], полученной им иным методом и в
иной форме, о минимизации площади в классе всех функций, регу-
регулярных в области В с фиксированным начальным отрезком их тей-
тейлоровских разложений в одной заданной точке области.
Назовем внешней площадью А (/) функции f(z) в области В ве-
величину (конечную или нет)
A(f)= - lim -I \ f(z)f{z)dz
') В дальнейшем под регулярными и мероморфными функциями понима-
понимаются однозначные регулярные и мероморфные функции.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ 695
где C(v) —границы областей ?(v), при v->oo аппроксимирующих
изнутри область В. Тогда: функция Q (z), и только она, дает наиболь-
наибольшую внешнюю площадь в классе всех функций вида f(z) =sS(z; С, a) -J-
-]-g(z), где 5 (z; С, а) — фиксированная функция особенностей, g (z) —
любая функция, регулярная в области В.
Свойства функции Фц(.г) используются для получения теорем
типа теорем искажения для функций, мероморфных и /j-листных в
среднем по площади в многосвязной области. Весьма частным слу-
случаем соответствующей теоремы об области значений некоторого функ-
функционала, определенного на классе функций, мероморфных и /ьлистных
в среднем по площади в данной многосвязной области, является сле-
следующий результат:
В классе всех функций /(г) = гр[1 -(- — -}-... 1, /j-листных и ре-
регулярных в области |г|^>1, за исключением полюса в z = 00 с раз-
разложением в окрестности фиксированной точки z0^oo этой области
вида f(z)=f(z^)-{--—j^(z — zoy-\-..., областью значений функ-
f<P) (z.)
ционала log-——^ является круг:
\w ^ —
При р = 1 этот результат оказывается верным для любой фикси-
фиксированной точки z0 области |г|^>1 и дает частный случай (при л=1)
теоремы 1 гл. IV, § 3.
Комацу и Одзава [1951, 1952] установили экстремальные свойства
типа теорем искажения однолистных конформных отображений дан-
данной многосвязной области на плоскость с разрезами по двум взаимно
перпендикулярным системам параллельных отрезков, по двум систе-
системам радиальных отрезков и круговых дуг и т. п. и показали, что
доказательство существования таких отображений может быть сведено
к рассмотрению области значительно меньшей связности, чем данная.
Дженкинс [1963] с помощью несколько видоизмененного метода
экстремальной метрики нашел ряд более общих экстремальных
свойств некоторых аналогичных отображений, в том числе не обяза-
обязательно однолистных, но с единственным фиксированным простым
полюсом в рассматриваемой области. Впервые теоремы такого типа
им получены и для функций, регулярных в области. Приведем одну
из таких его теорем.
Пусть: В — конечная область плоскости г, ограниченная замкнуты-
замкнутыми аналитическими кривыми Cj, j = 1,..., и -j- 1, и Ръ Р4, Р3) Р4 — произ-
произвольно заданные точки на С\, занумерованные в направлении поло-
положительного обхода С\ относительно этой области; т, р, q — задан-
заданные неотрицательные целые с m-\-p-\-q = n\ !](?; т, р)—класс

596 ДОБАВЛЕНИЕ
всех функций f(z), регулярных и однолистных в области В и отобра-
отображающих ее на область, ограниченную извне контуром некоторого
прямоугольника 0<^fHf(z)<^L, 0<^з/(г)<^1, при условии, что d
переходит в этот контур, точки Ри Р9, Р3, Р4 — соответственно в
точки 0, L,L-\-l,l;Cj,j = 2 т -\-1, — в горизонтальные, а С/, j =
= т-\-2 т-\-р-J- 1, — в вертикальные разрезы. Пусть, наконец,
Р(В, т, р) есть класс всех функций /(*), регулярных в В и обла-
обладающих следующими свойствами; при отображении w=f(z) d
переходит в контур некоторого прямоугольника указанного вида с
таким же соответствием точек Р1( Р8, Р3, Р4 и вершин прямоуголь-
прямоугольника; функции f(z) регулярны на С/, ./' = 2, ..., /г —j— 1, причем на
каждой из этих граничных компонент 0<9tf(z)<^L, 0<^3/(г)<^1,
на Ср /=2, ..., т-\-1, функции f(z) имеют постоянную мнимую,
а на. С], j = m-\-2, ..., т-р/> + 1>—'постоянную вещественную
часть. Из результатов Дженкинса J1957] следует, что существует
единственная функция l(z)=f(z; В, т, р, 0) ?%(В; т, р) такая,
что при отображении w = l(z) граничным кривым С/, j = m-\-p-\-
-{-2, ..., п-\-\, соответствуют горизонтальные разрезы, и единствен-
единственная функция q(z)^Hz; В, т, р, ^) ?%(В,т, р) такая, что при
отображении w = q(z) этим граничным кривым соответствуют верти-
вертикальные разрезы. Обозначим значения длины Ц соответствующие
функциям /, q, f, через Lu Ц, L и положим Л= L — пл. /E). При
этих условиях справедлива следующая теорема:
Для любых заданных р, -[^0 с р —|— т === 1 сумма А-}-(Р — тН
максимизируется в классе F(B; m, р) только функцией pZ-f-f?» ПРИ"
чем этот максимум равен paZ.t — -fLv Если т=р=0, то функция
pZ-f-i? однолистна и предшествующий результат верен для класса
2 (В; т, р). В этом последнем случае функция p/-j-T<7 отображает
В на область, для которой каждый конечный дополнительный кон-
континуум имеет общим с любой горизонтальной и с любой вертикаль-
вертикальной прямой не более одного отрезка (или точки).
Ряд свойств функций Ф„(^), P(z) и Q(z), указанных выше, уста-
установлен (Ю. Е. Аленицын [1965]) и для аналогично определяемых
функций в случае отображений конечносвязной области на многолист-
ные римановы поверхности с разрезами по двум взаимно перпенди-
перпендикулярным системам параллельных отрезков. В частности, получено
обобщение некоторых результатов Дженкинса [1963], относящихся
к мероморфным функциям.
С конформными отображениями на канонические области непосред-
непосредственно связаны различные теоремы площадей. Теорему площадей,
обобщающую на функции, однолистные в многосвязной области, тео-
теорему Гронуолла — Бибербаха (гл. II, § 4), а также ряд теорем иска-

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИИ 597
жения для функций, мероморфных в многосвязной области, получил
Мешковский [1952, 1953, 1954]. Для случая, когда рассматриваемой
областью является круговое кольцо, теорему площадей Мешковского
конкретизировал Абэ [1958]. Теорема площадей Мешковского обоб-
обобщена (Ю. Е. Аленицын [1964]) на функции более общего вида —
на функции с сингулярной частью S(z; С, а) и с неотрицательной
внешней площадью в данной многосвязной области. В частности, полу-
получена теорема площадей для функций, мероморфных и /7-листных
в круге, у которых сумма порядка полюсов в этом круге равна р,
что дает обобщение известной теоремы площадей Г. М. Голузина
(гл. XI, § 6) для р-листных функций.
И. М. Милин [1964а, 19646] нашел еще более общее предложе-
предложение типа теоремы площадей. Именно, пусть В— конечносвязная
область плоскости z, содержащая бесконечно удаленную точку, с
границей С, состоящей из замкнутых аналитических кривых Жордана.
Строится так называемая тейлоровская система функций {<?n(z)\, я =
= 1, 2,..., удовлетворяющая условиям: функции <р„(г) регулярны
в замкнутой области В и имеют в окрестности г = оо разложение
00
вида <?n(z) = ^ankz~k, ann^>0, л=1, 2, ...; производные функции
<?'n(z) образуют ортонормальную систему в области В:
4n(z)d<s = bkn, k, я = 1, 2, ...,
\ J J
полную в классе Ll(B) всех функций, регулярных, с интегрируемым
квадратом модуля и с однозначной первообразной в В. Строится
также система функций {Ф„(z)}, л=1, 2, ..., регулярных в замкну-
замкнутой области В, за исключением полюса порядка л в бесконечно уда-
удаленной точке, с лорановским разложением в ее окрестности, не содер-
содержащим свободного члена, и удовлетворяющих на каждой граничной
кривой области В соотношениям вида Ф„ (z) = <рл (z) ~h const. Система
пар функций {<fn(z), Ф„B)}, л = 1, 2, ..., называется „лорановской
системой функций" для области В. Граничным кольцевым множеством
В\_к, 1<^R, называется множество всех точек В, для которых функ-
функция Грина gB(z, oo) области В удовлетворяет условию gB(z, oo)<^
<^logR. Доказано:
Если функция ф(г) регулярна на граничном кольцевом множестве
BiiR, то:
1) ф'(.г) раскладывается на этом множестве в ряд типа Лорана:
00 00
<|/ (%\ := \^ Л ф' (g\ _|_ Х^ \ т' (gV
л=»1 л = 1
я-1 я=1
20 Г М Голузин

598 ДОБАВЛЕНИЕ
где Л(ф) определяется тем же пределом, что и рассмотренная выше
величина A(f).
Таким образом, имеем следующее обобщение теоремы площадей:
Если для функции ф(г), регулярной на граничном кольцевом
множестве области В, величина Л(ф) неотрицательна, то
м9.
Ряд работ был посвящен вопросу существования и экстремальным
свойствам конформных отображений бесконечносвязных областей на
канонические области. Грётш [1955/56] дал не использующее прин-
принципа сгущения доказательство существования и единственности одно-
однолистного конформного отображения бесконечносвязной области на
единичный круг с круговыми концентрическими разрезами. Рейх и
Варшавский [I960] получили простое доказательство существования
конформного отображения произвольной ограниченной области на
круг с концентрическими круговыми разрезами и — если эта область
имеет по крайней мере одну невырожденную граничную компо-
компоненту— на круг с радиальными разрезами и нашли некоторые гео-
геометрические свойства этих отображений. Приведем два основных
типичных результата этой работы. Пусть К—круг |г|<^1 с кон-
концентрическими круговыми разрезами и такими, что круговая проек-
проекция границы области К на каждый из ее радиусов имеет линейную
меру нуль. Пусть функция w=f(z), аналитическая и однолистная
в К, отображает К на ограниченную область Д так, что окружность
|г|=1 переходит во внешнюю граничную компоненту области Д и
/г@) = 0. Пусть, наконец, F(z) = \og*-^-, F@)==\ogf (Qi)vi A—пло-
A—площадь Д. Тогда
В частности, |/'@)|^1/—, где знак равенства имеет место
только для f{z) = az, a = const.
Отсюда вытекает следующая теорема:
Пусть С — ограниченная область плоскости z, содержащая г=0,
и F — класс всех функций f[z), обладающих свойствами: 1) f(z) ре-
регулярна и однолистна в Q; 2) /@) = 0, /@)>0, |/(г)| <Ч,
z ?2. Тогда функция w — <?(z), для которой <р'@)= тах/'@),
отображает область 2 на единичный круг с круговыми концентриче-
концентрическими разрезами.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ 599
2°. Экстремальные свойства аналитических функ-
функций в многосвязных областях. Найденные Грунским [1939]
необходимые и достаточные условия однолистности функции, регу-
регулярной в многосвязной области, за исключением простого полюса
в ее точке г = оо, были затем получены Бергманом и Шиффером
[1951] — в несколько иной форме — значительно более простым пу-
путем, исходя из теории ортонормальных семейств. Ими развита теория
ядер первого и второго рода данной области, установлена связь
этих ядер с однолистными конформными отображениями много-
многосвязной области на канонические области и получен ряд новых
экстремальных свойств функций, однолистных в многосвязной обла-
области. Основные из этих результатов изложены в работе Шиффера
[1953].
Отправным пунктом для получения вышеуказанных необходимых
и достаточных условий однолистности функции Бергману и Шифферу
послужило полученное ими неравенство, простейшим частным случаем
которого является неравенство
j {f(z), z) -j- &4(z, z) | < 6*K(z, 2), z G B,
где f(z) — функция, аналитическая и Однолистная в данной конечно-
связной области В, \f(z), z) — производная Шварца этой функции,
К(z, 0 и l(z, С) — ядра Бергмана первого и второго рода области В
относительно класса L*(B) всех регулярных в В функций, интегри-
интегрируемых в ней с квадратом. Из результатов Бергмана и Шиффера
[1951] непосредственно следует, что это неравенство остается верным,
если в нем заменить функции l(z, z) и K(z, S), соответственно, на
функции /eB, z) и Ко (г, z), где lo(z, С) и K0(z, С) — ядра Бергмана
относительно подкласса Ц(В) (см. выше). И. М. Милин получил
[19646] это второе неравенство иным путем и показал, что оно не
только является точным, но что оно дает область значений для
{/(?)» ^} при фиксированном г^В и функции f(z), пробегающей
рассматриваемый класс однолистных функций, и нашел все гранич-
граничные функции задачи. И. М. Милиным получен также и ряд более
общих точных оценок. Приведем теорему, являющуюся аналогом для
многосвязной области теоремы 3 гл. IV, § 2.
Пусть: В — конечносвязная область плоскости z, содержащая бес-
бесконечно-удаленную точку, с границей, состоящей из замкнутых ана-
аналитических кривых Жордана; 2 (В) — класс всех функций Р (z),
однолистных в области В и регулярных в ней, за исключением про-
простого полюса в z = oo с F {оо)=1. Для любых заданных t?B
(t^boo) и 6?[0> те] рассмотрим функцию ju(z, t), j6(t, t) = 0,
класса 2 (В), отображающую область В на плоскость с разрезами
по дугам логарифмических спиралей наклона 6 к лучам, выходящим
20»

600 ДОБАВЛЕНИЕ
из начала. Наконец, положим.
z,
Тогда имеем следующую теорему:
При любых комплексных xk и yk(k = 1, 2, ..., N, N^l) и лю-
любых значениях zk и tk из области В для функций F(z)^^(B) вы-
выполняется неравенство
N N
2 ^^J!
k, v = l ft, v =
ft,v = l
При xft=_yft и zk = tk (k=l, ..., N) это неравенство дает для
первой суммы левой части область значений.
С помощью своего метода И. М. Милин [19646] получил и ряд
новых необходимых и достаточных условий однолистности функций
в многосвязной области.
Необходимые и достаточные условия однолистности и ограничен-
ограниченности функции, регулярной в многосвязной области, были найдены
Сингхом [1962].
Одзава [1952] получил необходимые и достаточные условия для
того, чтобы функция, регулярная в данной многосвязной области,
отображала ее на риманову поверхность с площадью, не превосходя-
превосходящей тс.
Удобным методом получения экстремальных свойств однолистных
функций является использование классического минимального свойства
интеграла Дирихле (у, <?)в= \ § (<р* -{-<?'$)dxdy. Систематическое
в
изложение возможного использования этого метода в теории одно-
однолистных функций дано Нехари [1953], который этим методом полу-
получил большое число как уже известных, так и новых экстремаль-
экстремальных свойств. Приведем следующую теорему Нехари.
Пусть В и Bt—две области плоскости z с границами соот-
соответственно С и Си состоящими из конечного числа замкнутых
аналитических кривых Жордана, и BdBx. Пусть, далее, функ-
функция S(z) — однозначная и гармоническая в замкнутой области В1г за
исключением конечного числа особенностей, лежащих в области В,
а функции p(z) и p\(z) обладают свойствами: суммы p(z)~\-S(z)
и pi(z)-\-S(z) являются однозначными и гармоническими, соот-
соответственно, в областях В и В\, непрерывными в этих замкнутых

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ 601
областях; р (z) и pt (z) равны нулю, соответственно, на С и Q. Тогда
' ^ ' дп ~~~ \ { ' ~Ьп
где дифференцирование производится по направлению внешней нор-
нормали к областям В и Bt.
Эта теорема позволяет доказать, что величина
A, Vc=l |X, v = l
где Aц — любые фиксированные точки В, а^— .гюбые комплексные
постоянные, убывает при расширении области В.
Этот результат ранее был получен Бергманом и Шиффером [1951]
вариационным путем.
С помощью этой же теоремы Нехари [1953] получил и нера-
неравенство B) § 2, п. 1° обзора.
Исходя из принципа Кельвина, Кубо [1954, 1955, 1955а] доказал
для однолистных отображений многосвязных областей теоремы, ана-
аналогичные некоторым теоремам Нехари [1953].
Метод Нехари [1953] в соединении с принципом подчинения (см.
ниже, п. 3) позволил получить (Ю. Е. Аленицын [1956, 1958]) неко-
некоторые дальнейшие экстремальные свойства функций, заданных в мно-
многосвязной области. Приведем две теоремы, обобщающие на конформ-
конформные отображения многосвязной области — как однолистные, так и
неоднолистные, — известную теорему М. А. Лаврентьева (гл. IV, § 4)
об однолистных конформных отображениях круга на две неналегаю-
щие области.
Пусть В — конечносвязная область плоскости z без изолирован-
изолированных граничных точек, содержащая точку 2 = 0; at, a3 — конечные и
различные между собой числа; функции /„(г), /v@) = av, v = l, 2,
однолистно и конформно отображают область на взаимно неналегаю-
щие области Ц,, причем граничная компонента Cv области В при
отображении эд =/,(?) переходит в граничную компоненту области
Dv, сохраняющуюся при расширении областей Ц,, v=l, 2, до си-
системы двух взаимно неналегающих областей; /(г, 0, Cv) — функция,
однолистно отображающая область В на единичный круг с концен-
концентрическими круговыми разрезами так, что С, переходит в единичную
окружность и /@, 0, Cv) = 0, v = l, 2. Тогда
l/i @)Л @) | < | о, - о, |« 1/@,0, СО Г @,0,01
и знак равенства достигается только функциями, определяемыми
уравнениями:
где р — любое положительное число.

602 ДОБАВЛЕНИЕ
Пусть В[ и 5j — любые конечносвязные области плоскости z без
изолированных граничных точек и не содержащие точку г = оо; аи
<ц — любые заданные конечные и различные между собой числа; гъ
zt — любые заданные точки, соответственно, областей Bi и 59;
fi(z), /ъ(г) — функции, мероморфные, соответственно, в Bt и Вь
удовлетворяющие условиям /„(.?„) = av) v = l, 2; fi(?)^fi(i) при
любых С ^ Въ т ? 59; ЗЭТ (а,, Oj; zb г$ Ви 5j) — класс всех систем
двух указанных функций /,(z) и /3 (z); Ш (а(, aj; z,, г4; 51( 53) —
множество всех точек (Л1, У) = (\^(г{)\, l/j^j)!) плоскости XOY
в классе 2)t(ai> ai> zi> zf> 5i» 5Л FAZ> a) —функция теоремы 2,
гл. XI, § 3, соответствующая области 5V, v = l, 2.
Имеет место следующая теорема:
Множество %(alt aj1, zlt z* Blt 5j) есть замкнутая область
с исключенной граничной точкой оо, определяемая неравенствами:
Знак равенства в правом неравенстве достигается только функци-
функциями, определяемыми уравнениями
при любых р^>0 и |е1| = |ц|=1.
Исходя из рассмотрения надлежащих интегралов Дирихле, некото-
некоторые из упомянутых ранее результатов Бергмана и Шиффера [1951]
перенесены (Ю. Е. Аленицын [1966]) на случай нескольких функ-
функций, однолистных и без общих значений в многосвязной области.
Именно, доказана теорема:
Пусть В — конечная и конечносвязная область плоскости z, огра-
ограниченная замкнутыми аналитическими кривыми Жордана; fk (z),
k=\, ..., п,—функции, регулярные, однолистные и без общих зна-
значений в области В; tft(l — любые точки В, a.kv, — любые постоянные,
ц = 1, ..., N, k=\, ..., п. Тогда
N п
(I, V = l ftt=l
2 f'&jf&)
,2 VI
где
а /Го fe 0 и /0 (г, С) — ядра Бергмана области В относительно класса
L\(B).

ГЕОМЕТРИЧВСКАЯ ТВОРИЯ ФУНКЦИЙ 603
При я=1 теорема дает неравенство Бергмана и Шиффера [1951].
Как следствие, получены аналогичные неравенства для класса
R (В) функций f(z), регулярных и однолистных в области В, удовле-
удовлетворяющих при любых Z\ и zt из области В условию f(zdf(z%) Ф 1,
и для класса SRAJ (В) функций f(z), однолистных и ограниченных в об-
области B:\f(z)\<^\. В частности:
Если /(*)?= R(B), то
то
B)
Все приведенные здесь неравенства верны и при одновременной
замене в каждом из них ядер Кй-и 1й на ядра К и I относительно
класса L}(B), но такая замена дает, вообще говоря, менее сильные
неравенства.
Неравенство B) с ядрами К и / ранее получил Сингх [1962].
Далее получены условия, необходимые и достаточные для того,
чтобы функции, регулярные в данной многосвязной области, были
в ней однолистными и без обших значений. В случае одной функции
они дают уже известные (Бергман и Шиффер [1961]) необходимые и
достаточные условия однолистности функции в многосвязной области,
а в случае нескольких функций являются новым результатом и для
круга. Получены также необходимые и достаточные условия принад-
принадлежности функции классу R (В).
Обобщенную теорему площадей в интегральной форме и ряд
новых общих неравенств для однолистных функций, отображающих
конечносвязные области на взаимно неналегающие области, получил
Н. А. Лебедев [1966], распространив на многосвязные области метод
своей предшествующей работы о неналегающих областях ([1961],
см. § 1). Одним из примеров конкретизации этих общих неравенств
является следующий результат.
Пусть: Bj, j = 0, 1, ..., я, — конечносвязные области плоскости z
без изолированных граничных точек; а/ — произвольная точка В/,
fj (z) — функции, однолистно и конформно отображающие, соответ-
соответственно, области Bj на взаимно неналегающие области; fj (ay) = aj,
}ФЪ, /0(ao) = oo; pj(z, C, a,) и qj(z, С, <*/) — функции области Bj,
соответствующие функциям Р (z, а, Ь) и Q (z, a, b) § 4 гл. V
области В. Тогда для любых точек Zj^ и Zj.,> из Bj и любых чисел

604 ДОБАВЛЕНИЕ
T/v и ij*'Us=Q> 1» •••»  *=1» 2, ..., да) справедливо неравенство
1 '
n m
Г1 VI
m
*>', аД
у-о
где
*)==
In
In-
/.(O-ey '
(/*<*>-/* <9)/*<в*>
и выбраны те ветви функции
г), для которых
<х/) =
под
понимается lim
Многие результаты, известные для функций, аналитических в ло-
нечносвязных областях, И. П. Митюк перенес [1961, 1961а, 19616,
1964, 1965, 1965а, б, г] на функции, аналитические в бесконечносвязных
областях, усилив при этом некоторые уже имеющиеся результаты и
для круга (различные теоремы покрытия, теоремы о произведении
конформных радиусов взаимно неналегающих областей и др.). Приве-
Приведем несколько его результатов.
Пусть функция w =/(г) = wo-\-ap(z— г0)" -f ар+1(г — го)**1-]-..,
ар Ф 0, регулярна в области В плоскости г, имеющей внутренний
радиус г относительно ее точки гй (см., например, Хейман [1960; 4.8]),
и пусть корнями уравнения f(z) = w0 в В являются г0 и другие
точки zk, k=\, 2 с кратностями рк. Пусть gB(z, Q — функция
Грина области В a R — внутренний радиус относительно точки w0
образа Bf области В (здесь и далее рассматриваемого в плоскости w)
или области В}, полученной из Bf симметризацией относительно луча
или прямой, проходящей через w0- Тогда
R ^ | ар | rp exp
b zk).
Этот результат [1964а] обобщает на произвольную область и уси
ливает известный принцип симметризации Хеймана [1960; 4.9] дл
круга.
для

ГВОМВТРИЧВСКАЯ ТВОРИЯ ФУНКЦИЙ 606
Для площади S(Bf) образа Bf области В при ее отображении
указанной выше функцией w=f(z) получено [1966а] неравенство
5 (Bf) ^ « [ | ар | г? ехр ? PkgB (*o,
Для неоднократно упоминавшейся ранее теоремы М. А. Лав-
Лаврентьева об однолистных отображениях круга на две неналегающие
области получено [1965а] следующее обобщение и усиление.
Если регулярные в области В функции w=fj(z), fj(zj) = Wj,
zj^B, отображают эту облапЪ на ?/., у' = 1, 2, и при этом выпол-
выполняется одно из следующих двух условий:
а) области Bfl и 5/2 взаимно не налегают;
б) области Bjt и Bfs имеют симметризованные относительно не-
некоторых прямых или лучей, проходящих через точки wt и «г8,
взаимно неналегающие области, то справедлива оценка
У plgB{zb z"k)\
где pj — кратность корня Zj уравнения fj(z) — Wj = 0, j= 1, 2, a
z'k и z"k, k = l, 2,..., соответственно, корни уравнений/!^) — ^ = 0
и /2(z) — mj = 0) отличные от Zy и z2 и с кратностями р'к и pi;
ri — внутренний радиус области В относительно ее точки zi,
7 = 1, 2.
Приведенные неравенства — частные случаи более общих резуль-
результатов, полученных И. П. Митюком из „принципа допустимых пре-
преобразований" [19б5г], охватывающего, в частности, симметризацию
относительно прямой, круговую симметризацию, симметризацию
Сеге — Маркуса (см. § 2 обзора) и операцию расширения области
до односвязной, состоящую в присоединении к ней всех компонент
дополнения ее до плоскости, кроме надлежащей одной. Отметим
также, что для функций, регулярных в многосвязной области, в со-
состав границы которой входят аналитические кривые Жордана, ряд
экстремальных свойств установлен с использованием емкости этой
области в качестве ее характеристики [19656].
Новые результаты были получены рядом авторов в проблеме гра-
граничных искажений для многосвязных областей.
Так, Дженкинс [1956], комбинируя метод экстремальной метрики
с методом симметризации, получил ряд теорем о граничных искаже-
искажениях при однолистных отображениях многосвязной области и,
в частности, обобщение на многосвязные области известной теоремы
Лёвнера [1923] для круга.
К этому же кругу вопросов относится работа П. М. Тамра-
зова [1965а], в которой установлены экстремальные свойства

606 ДОБАВЛЕНИЕ
однолистных конформных отображений многосвязных областей с отме-
отмеченными граничными компонентами.
3°. Принцип подчинения для многосвязных обла-
областей. В гл. VIII, § 8 было определено понятие подчиненности для
функций, регулярных в единичном круге, и приведен ряд теорем о
подчиненных функциях. За последнее время теория подчинения полу-
получила дальнейшее развитие. Приведем некоторые новые результаты,
относящиеся к распространению принципа подчинения на много-
многосвязные области, причем для случая круга мы остановимся только на
тех результатах, которые являются непосредственным усилением
соответствующих теорем гл. VIII, § 8.
В дополнение к теореме 3 § 8 гл. VIII о мажорации двух пер-
первых коэффициентов подчиненной функции Ся Дао-син (см. Ся Дао-син.
и Чжан Кай-мин [1958]) получил следующий неулучшаемый резуль-
результат.
00 СО
Если функции /(г) = 2 akgk и /Ч*) —2 ^*г* РегУляРны в круге
|г|<1 nf(z)-<F(z) в |* |< 1, то |аз|^/2тах( | М | Л21, | Л3|).
В гл. VIII, § 8 были приведены также две теоремы Бернацкого-—
теоремы 6 и 7, и высказано предположение, что число -j теоремы 6
может быть заменено на —к—> а число 0,12... теоремы 7 — на 3—У~8.
Справедливость этих гипотез Г. М. Голузина была доказана Ся Дао-
сином [1957, 1957а], получившим две следующие теоремы.
Если функции /(г) и F(z\/@)=/7@) = 0, регулярны в |г|<1
и F(z) однолистна в |г|<1, arg/@) = argF@) и f{z)-<F\z)
в |г|<1, причем f(z)^F(z), то:
1) в кольце 0<^|г|<^—^— выполняется неравенство
3 гГК
<C\F(z)\, но для любой точки г0 с |го|= ~— существуют функ-
функции, удовлетворяющие всем предшествующим условиям, для которых
/| ||
о)| |Ч„)|;
2) в кольце 0<|г|<3 — У 8 выполняется неравенство \f (г)|<
^(\, но для любой точки г0 с |го|^>3—У^8 существуют
функции, удовлетворяющие всем предшествующим условиям, для
которых |/Чг0)|>|/=-(*0)|.
Таким образом, проблемы Бернацкого, поставленные в теоремах
6 и 7, получили законченное решение.
Левандовский [1961, 1961а] поставил проблему, в известном
смысле обратную первой из приведенных проблем Бернацкого. Именно,
пусть функции/(г) и F(z), /@) =F@) = 0,/@)^0, F@) = l,

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ 607
регулярны в |г|<4, F(z) однолистна в |г|<^1 и \f(z)\\()\
в |г|<^1. Найти наибольший радиус R такого круга \z\<^R, в ко-
котором функция f(z) не принимала бы тех значений, которых в нем
не принимает функция F(z). Левандовский [1961] доказал, что
такое число R существует и что 0,21 <^fts^ 0,29 При до-
дополнительном предположении звездообразности F(z) в | z | <^ 1
R является корнем уравнения R3-\-Ri-\-3R— 1 = 0 (Левандовский
[1961а]). Если же предположение звездообразности F(z) заменить
предположением однолистности f(z), то R определяется как корень
уравнения log -т—*—к- -}- 2 arctg R = -^ (Билецкий и Левандовский
1 л\ 2»
[1962]).
В гл. XI, § 3 приведена теорема 2, иллюстрирующая роль функ-
функции F(z, а) в решении некоторых экстремальных задач в классе
ограниченных функций. Эту теорему можно рассматривать как одно
из простейших применений следующего распространения на много-
многосвязные области (Ю. Е. Аленицын [1961]) принципа подчинения
в случае круга.
Пусть: В— конечносвязная область плоскости z без изолирован-
изолированных граничных точек и не содержащая точки z = oo; Шт(Я) — класс
всех функций/(г), регулярных и с \f(z) | <^ 1 в В; 9tA) (В, а) — подкласс
функций из 9l(i) (В) с f(a) = 0, а ? В; Ыщ (В) и 9t(i) (В, а) — подклассы
однолистных функций, соответственно, из 9t(i) (В) и Щц (В, а). Таким
образом, F(z, a) — та из функций класса Щ\)(В,а), для которой
F(a,a)= max \f(a)\. Введем в рассмотрение функцию F (z, a)>
играющую аналогичную роль по отношению к классу $A).(В, а). Именно,
пусть граничными компонентами /re-связной области В являются Q,..., Ст
и $R(i) (В, а, С») есть подкласс всех тех функций f(z) из Щц (В, а), кото-
которые при отображении w=f(z) переводят С, во внешнюю граничную
компоненту образа области В. Известно, что _ проблема
max \f'(fl) I решается функцией/(г, а, С,) класса Ыщ (Да,С,),
(ЛС)
отображающей однолистно область В на единичный круг с концент-
концентрическими круговыми разрезами, причем дополнительным условием
f(a, а, С»)^>0, которое будем предполагать выполненным, эта функ-
функция определяется единственным образом. Отсюда следует, что задача
max |/'(a)l решается той и только той из функций
*
f(z, a, Cv), v = l, ..., т, — обозначим ее через F(z, a), — для кото-
которой ~F (а, а)= max f (а, а, С„). Очевидно, функция F (z, a),
v=l, ...,m
вообще говоря, не единственна.

608 ДОБАВЛЕНИЕ
г — а
Если область В есть круг |z|<[ 1, то F(z, a)=F(z, a) =-
1— аг '
следовательно, F (a, a) — F'(a, a) = j—-.—^,
Функцию f(z), мероморфиую в области В, назовем подчиненной
в этой области относительно ее точки zx функции g(z), мероморф-
ной в круге |^|<^1» если в области В имеем f(z)=g(со (z)), где <a(z)
есть некоторая функция класса 9t(i) (В, zt), и это соотношение подчи-
подчинения будем обозначать так:
Если при этом со (z) ^ 3t(i) (Д zj, то функцию f(z) назовем одно-
однолистно подчиненной функции g(t):
Если функция g(t) однолистна в |т|<^1, то соотношение A) озна-
означает просто, что функция f(z) не принимает в области В тех значе-
значений, которых в круге |т|<^1 не принимает функция g(t), причем
f(Zi) = g@), а соотношение B) означает, кроме того, что f(z) одно-
однолистна в В.
Если область В является единичным кругом |z|<[ 1 и zx = 0, то
A) и B) являются хорошо известными соотношениями, соответственно,
№-<g(z)*f(z)~g(z). М<1.
Из предшествующих определений непосредственно вытекает сле-
следующий принцип подчинения:
Если в области В имеем f(z) -< g(i) и функция f(z) регулярна
*i
в точке zit то \f(zi)\^\g'@)\F(zl, z{), где знак равенства
(при g'(O)^O) имеет место только для f(z)=g(eF(zb zfj), |e| = l.
Это утверждение верно и при одновременной замене в нем -< на ^<
и F на F.
С помощью этого принципа подчинения можно найти теоремы
общего характера, позволяющие получать новые теоремы искажения
для функций, аналитических в многосвязной области, и, в частности,
переносить на многосвязные области некоторые теоремы, известные
для круга. Так получаются, например, две следующие теоремы.
Пусть Рк есть класс всех функций f(z), регулярных в круге |z|<[ 1
и отображающих его на поверхности, площадь каждой из которых
(с учетом кратности покрытия) не превосходит я. Тогда:
Если регулярная в области В функция f(z) подчинена (однолистно
подчинена) в этой области относительно какой-нибудь ее точки

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ 609
какой-либо из функций класса Рк, то \f'(z)\^F(z, z) (F(z, z)), z^B,
со знаком равенства в точке z — zx только для функций
f(z)=f(zl) + eF(z, zt) (f(Zl) + eF(z, zt)), | в | = I.
Пусть функция f(z) регулярна в области В. Назовем простой
непокрытой точкой функции f{z) в области В любую такую точку w0,
для которой функция log if{z) — w0) регулярна в этой области. Тогда:
Если в области В функция f(z) регулярна, /(а) = 0, f(a)=l,
В |/|< (MF(a, а)>1), то в круге |«г|<Ме-*,
MF (а, а)(х^>0), но не всегда в большем круге нет простых
непокрытых точек этой функции.
Для области В, являющейся единичным кругом, эта теорема дает
известную теорему Ландау [1929].
В гл. XI, § 4 приведены некоторые результаты из работы Робин-
Робинсона [1943]. Дополним затронутый вопрос, опираясь на осталь-
остальные результаты этой работы и на работу Ю. Е. Аленицына [1961].
Пусть область В„ есть круговое кольцо q<^\z\<^l, q^>0. Известно
(Робинсон [1943]), что для любого заданного (ц^Вд существует
единственная функция H(z; сц), регулярная в замкнутом кольце Bq,
однолистная в Bq и удовлетворяющая условиям:
i=g = \al\, \H{z;
Используя соответствующие результаты Робинсона [1943], после
легких преобразований найдем:
где вещественное а определяется условием //A; at)=l.
Для любых заданных а ^ Вд и гй ^ Вд положим а^ (z0) = —Д
H(z, I; ao(zo), a)=^z~1H(z; ao(zo))H(z; а). Тогда для любой задан-
заданной точки z0 кольца Bq и любой функции f(z) класса 9t(i)E9, а) имеем:
\f(Zo)\^\H(zo, 1; о,(г,), а)\ C)
со знаком равенства только (при z0 ф а) для/(г) = е//(г, 1; ай(гй), а),
|е| = 1.
В случае кольца Вд имеем (Ю. Е. Аленицын [1958]) следующую
простую связь между функциями Альфорса и Робинсона:
F(z, а) = е^яг1н(г, — -1\н(г\ a), $ = —argH'(a, I; — -|, а).

610 ДОБАВЛЕНИЕ
Исходя из неравенства C) Робинсона, представляющего собой,
очевидно, обобщение на случай кругового кольца первого из неравенств
леммы Шварца (гл. VIII, § 1), можно получить теоремы общего харак-
характера, позволяющие переносить на случай кругового кольца некоторые
теоремы искажения, известные для круга. Приведем одну из таких
общих теорем и простейшее следствие из нее. Положим для крат-
краткости H(z, 1; ал(г), a) = H(z).
Пусть Ш?* есть некоторый класс функций g(z), мероморфных
в круге |гг|<^1, и Ша(В)— класс всех функций f\z), мероморфных
в области В, каждая из которых подчинена в этой области относи-
относительно ее точки а какой-либо из функций класса Ш?*. Такое соотно-
соотношение между указанными классами будем обозначать через Ш?о (В)-<.Ш*.
Предположим, что Ф(гг») есть вещественная функция, определенная
для всех значений w, принимаемых в единичном круге функциями
класса ЗЭТ*, и Afi(|2|), Afg(|2|)— некоторые, соответственно убы-
убывающая и возрастающая, функции от \г\, |гг|<^1. При этих усло-
условиях справедлива теорема:
Если в классе Sffl* верна одна из оценок
D)
то в классе Ш?о (Bq) ¦< 2Я* верна соответствующая оценка
Mi(|H(z)|)<Ф(f (г))<Жа(|Щг)\), z?Bq,
причем знак равенства в ней в точке z=z1(^ba) имеет место только
для/(г)=geH{gl) (еН(г, 1; a,, fo), а)),гдеgZa(z) есть для точки zb, |гго|< 1,
экстремальная функция соответствующей оценки D) и |е| = 1. Из
этой теоремы, в частности, следует:
Для любой функции f(z), регулярной в кольце Вд и подчиненной
в нем относительно его точки а какой-либо из функций класса 5,
верна оценка
со* знаком равенства в точке г = г^{Фа) только для
f(z) = sH(z, 1; 0,B,), а)/A - е'««"<*i> tfB, 1; ао(^), а))\ |«| =
Доказывается, что неравенство E) дает область значений функцио-
функционала f(z) при фиксированном z ^ Вд и функции /, пробегающей
весь класс функций, рассмотренных в этом следствии.
Теорему Альфорса (гл. XI, § 3, теорема 1) можно рассматривать,
с одной стороны, как пример задачи, в которой экстремальная функ-
функция отображает данную многосвязную область на кратно покрытый
круг, а с другой — как обобщение на конечносвязные области нера-
неравенства |/' @)|^1 леммы Шварца для круга. С. Я. Хавинсон в ряде
работ [1953, 1953а, 1955, 1961J установил, что указанное геометри-

ГВОМВТРИЧВСКАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ 611
ческое свойство экстремальной функции имеет место в весьма широ-
широком классе задач, и обобщил указанное неравенство на произвольные
области. Методы решения этих более общих задач и сама их поста-
постановка выходят за рамки геометрической теории функций, и мы при-
приведем лишь несколько простейших результатов С. Я. Хавинсона.
Пусть: В — n-связная область плоскости z с границей С, состоящей
из замкнутых аналитических кривых; Ei— класс функций, регуляр-
регулярных в области В, представимых в ней интегралом Коши через свои
граничные значения. Имеем теорему:
Если ш(г) — аналитическая, однозначная функция на каждой из
граничных кривых области В, не совпадающая ни на одной из них
ни с одной функцией класса Ei в В, то экстремальная функция в за-
задаче о sup \\f(z)v>(z)dz\ либо тождественно равна постоянной
/€9t(i) (ВI с '
е'в(а — вещественная постоянная), либо отображает В на т раз по-
N
крытый единичный круг, tif^n. Если ш(гг)= \ 2г^в~У?' гдё
г
ak?B и (i^y — постоянные, то я sg от — 2 -f- ^ Nk.
h=--\
Задача, рассмотренная в этой теореме, обобщает, в частности, за-
г
дачу о sup I V ХЛ/(аА) I, где ak ? В и ХА — произвольные ком-
/€9t(t)(B)'* t
()
плексные постоянные, исследованную Гарабедианом [1949], и задачу о
sup \f(a)\, решенную Альфорсом.
€ 9t(B)
Что касается полученного С. Я. Хавинсоном [1961] обобщения
неравенства леммы Шварца на произвольные области, то здесь вопрос
ставится так. Пусть С—ограниченное замкнутое множество плоско-
плоскости z, В — та из дополнительных к С областей, которая содержит точку
z=oo, и 7—произвольный контур, охватывающий С. Требуется исследо-
исследовать свойства экстремальных функций в задаче о sup д- \ f(z)dz —
A) 1
аналог для случая а = оо задачи о sup \f(a)\ при а^Ьоо. Установ-
()
лено, что экстремальная функция f*(z) единственна с точностью до
множителя е1л (а — вещественная постоянная), что все ее нули, кроме
нуля в точке z — oo, лежат в выпуклой оболочке граничного множе-
множества С и что эта функция принимает в В все значения из единичного
круга, кроме разве лишь множества аналитической емкости нуль (см.
цит. работу). Остальные свойства экстремальной функции /* (г) не
могут быть здесь приведены ввиду сложности их формулировок.

ЛИТЕРАТУРА К ДОБАВЛЕНИЮ
Абе (Abe H.)
1958 On univalent functions in an annulus, Math. Japon, 1, 25—28.
Александров И. А.
wnf'(w)m
1958 Область значений функционала /= \n\fi \ 11 в классе S, Учен.
зап. Томск, ун-та, 32, 41—57.
1958а Об условиях выпуклости образов области при отображении ее регу-
регулярными однолистными в единичном круге функциями, Изв. высш.
учебн. заведений. Математика, 6, 3—6.
1959 О звездообразности отображений области регулярными однолистными
в круге функциями, Изв. высш. учебн. заведений. Математика, 4, 9—15.
1960 Об области значений некоторых функционалов в классе функций
однолистных и регулярных в круге. Исслед. по совр. пробл. теории
функций компл. переменного, М., Физматгиз, 39—45.
1963 Граничные значения функционала 1=1(f,f,f,f) на классе голоморфных
однолистных в круге функций, Сибирск. матем. журн., 4, № 1, 17—31.
1963а Вариационные формулы для однолистных функций в двусвязных
областях, Сибирск. матем. журн., 4, № 5, 961—976.
19366 Вариация неоднолистных аналитических функций, Труды Томск, ун-та,
163, 155—159.
1963в Экстремальные свойства класса S(w0), Труды Томск, ун-та, 169, 24—58.
1964 Геометрические свойства однолистных функций, Труды Томск, ун-та,
175, 28—38.
1965 Области значений систем функционалов. Труды Томск, ун-та, 182,
59—70.
Александров И. А. и Гутлянский В. Я-
1965 Экстремальные задачи на классах аналитических функций, имеющих
структурную формулу. Докл. АН СССР, 165, № 5, 983—986.
1966 Экстремальные свойства почти выпуклых функций. Сибирск. матем.
журн., 7, № 1, 3—22.
Александров И. А. и Попов В. И.
1965 Решение задачи И. Е. Базилевича и Г. В. Корицкого о звездообразных
дугах линий уровня, Сибирск. матем. журн., 6, № 1, 16—37.
Александров И. А. и Черников В. В.
1963 Экстремальные свойства звездообразных отображений, Сибирск. матем.
журн., 4, № 2, 241—267.

ЛИТЕРАТУРА К ДОБАВЛЕНИЮ 613
Аленицын Ю. Е.
1956 Об однолистных функциях в многосвязных областях. Матем. сб.,
39 (81K, 315—336.
1956а К теории однолистных функций и функций Бибербаха — Эйлеиберга,
Докл. АН СССР, 109, № 2, 247-250.
1958 О функциях без общих значений и внешней границе области значений
функции, Матем. сб., 46 (88) : 4, 373—388.
1961 Об одном распространении принципа подчинения на многосвязные
области, Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова, 60, 5—21.
1962 Об областях изменения систем коэффициентов функций, представимых
суммой интегралов Стильтьеса, Вестник ЛГУ, № 7, сер. матем., механ.
и астрон., вып. 2, 25—41.
1964 Конформные отображения многосвязной области на многолистные
канонические поверхности, Изв. АН СССР, сер. матем., 28:3, 607—644.
1965 Конформные отображения многосвязной области на многолистные
поверхности с прямолинейными разрезами, Изв. АН СССР, сер. матем.,
29, № 4, 887—902.
1966 Об однолистных функциях без общих значений в многосвязиой
области, Докл. АН СССР, 167, № 1, 9—11.
Альфорс (Ahlfors L. V.)
1930 Untersuchungen zur Theorie der konformen Abbildung und der ganzen
Funktionen, Acta Soc. Sci. Fena, N. S., A. 1, № 9, 1—40.
Альфорс и Бёйрлинг (Ahlfors L. V. et Berling A.)
1946 Invariants conformes et problemes extremaux, Dixieme Congres des Ma-
thematiciens Scandinaves, 341—351.
Андреева В. А., Лебедев Н. А. и Стовбун А. В.
1961 Об областях значений некоторых систем функционалов в некоторых
классах регулярных функций, Вестник ЛГУ, N° 7, сер. матем., механ.
и астр., вып. 2, 8—22.
Аитонюк Г. К.
1958 О покрытии площадей для функций, регулярных в кольце, Вестник
ЛГУ, № 1, сер. матем., механ. и астр., вып. 1, 45—65.
Ахиезер Н. И. и Крейн М. Г.
1938 О некоторых вопросах теории моментов, Харьков, ГОНТИ УССР.
Ашневиц И. Я- и Улина Г. В.
1955 Об областях значений аналитических функций, представимых интегра-
интегралом Стильтьеса, Вестник ЛГУ, N° 11, сер. матем., физики и химии,
вып. 4, 31—42.
Базилевич И. Е.
1951 О теоремах искажения и коэффициентах однолистных функций. Матем.
сб., 28 G0): 1, 147—164.
1951а О теоремах искажения в теории однолистных функций, Матем. сб.,
28 G0):2, 283—292.
1957 Области начальных коэффициентов ограниченных однолистных функций
/7-кратной симметрии, Матем. сб., 43 (85): 4, 409—428.
1959 Об оценке среднего модуля в классе ограниченных однолистных
функций, Матем. сб., 48 (90): I, 93—104.
1961 Об оценке среднего модуля и коэффициентов однолистных функций.

614 ЛИТЕРАТУРА К ДОБАВЛЕНИЮ
Исслед. по совр. пробл. теории функций компл. перем., Москва, ГИФМЛ,
7—41.
1961а Асимптотическое свойство производных одного класса регулярных
в круге функций. Исслед. по совр. пробл. теории функций компл. перем..
Москва, ГИФМЛ, 216—219.
1964 Обобщение одной интегральной формулы для подкласса однолистных
функций, Матем. сб., 64 A00) :4, 628—630.
1965 О дисперсии коэффициентов однолистных функций, Матем. сб.,
68 (ПО):4, 549—560.
Базилевич И. Е. и Корицкий Г. В.
1953 О некоторых свойствах однолистных конформных отображений, Матем.
сб., 32 G4): 1, 209—218.
1962 О некоторых свойствах линий уровня при однолистных конформных
б М б 58 A00K 249280
уровня при
00): 3, 249
р ур р
отображениях, Матем. сб., 58 A00): 3, 249—280.
Базилевич И. Е. и Лебедев Н. А.
1966 О дисперсии коэффициентов функций, р-листных в среднем. Матем.
сб., 71 A13): 2, 211—219.
Бергман (Bergman S.)
1950 The kernel function and conformal mapping, Math. Surveys, vol. 5, Amer.
Math. Soc, New York.
Бергман и Шиффер (Bergman S. and Schiffer M.)
1951 Kernel functions and conformal mapping, Compositio Math., 8, 205—249.
Бернацкий (Biernacki M.)
1936 Sur les fonctions univalentes, Mathematica (Cluj), 12, 49—64.
1956 Sur les coefficients tayloriens des fonctions univalentes, Bull. Acad. polon.
sci., Cl. Ill, vol. 4, 5—8.
Билецкий и Левандовский (Bielecki A. et Lewandowski Z.)
1962 Sur certaines majorantes des fonctions holomorphes dans le cercle unite,
Colloquium Mathematicum, 9, 2, 299—303.
Бохнер (Bochner S.)
1922 Ober orthogonale Systeme analytischer Funktionen, Math. Z., 14, 180—207.
Гальперин И. М.
1965 Некоторые оценки для ограниченных в единичном круге функций.
Успехи матем. наук, 20, вып. 1 A21), 197—202.
Гарабедян и Ройден (Garabedian P. R. and Royden H. A. L.)
1954 The one—quater theorem for mean univalent functions, Ann. of Math.,
59, № 2, 316—324.
Гарабедян, Росс и Шиффер (Qarabedian P. R., Ross Q. Q. and Schif-
Schiffer M. M).
1965 On the Bieberbach conjecture for even n, Journ. Math, and Mech., 14,
№ 6, 975—989.
Гарабедян и Шиффер (Qarabedian P. R. and Schiffer M.)
1949 Identities in the theory of conformal mapping, Trans. Amer. Math. Soc,
65, № 2, 187—238.

ЛИТЕРАТУРА К ДОБАВЛЕНИЮ 615
1955 A coefficient inequality for schlicht functions, Ann. of Math., 61, >fe 1,
116—136.
1955a A proof of the Bieberbach conjecture for the fourth coefficient, Journ.
Rational Mech. Anal., 4, № 3, 427—465.
Генина (Семухина) Н. В.
1962 О распространении вариационного метода Г. М. Голузина на двухсвяз-
двухсвязные области, Уч; зап, Томск, ун-та, >6 44, 226—240.
Гельфер С. А.
1954 Вариация многолистных функций, Докл. АН СССР, 98, № 6, 885—888.
1956 Метод вариаций в теории р-листных функций, Успехи матем. наук, 11,
5, 60—66.
1958 О максимуме конформного радиуса фундаментальной области данной
группы, Матем. сб., 44 (86): 2, 213—224.
1960 О максимуме конформного радиуса фундаментальной области группы
дробно-линейных преобразований, Матем. сб., 52 (94): 1, 629—640.
1962 О распространении вариационного метода Голузина—Шиффера на
многосвязные области, Докл. АН СССР, 142, № 3, 503—506.
1964 Типично вещественные функции, Матем. сб., 64 A06): 2, 171—184.
1966 Метод вариаций в теории функций ограниченного вида, Матем. сб.,
69 A11): 3, 407—428.
Гельфер С. А. и Креснякова Л. В.
1965 Метод вариаций в теории аналитических функций с ограниченным
средним модулем, Матем. сб., 67 A09): 4, 570—585.
Голузина Е. Г.
1962 О типично вещественных функциях с фиксированным вторым коэф-
коэффициентом. Вестник ЛГУ, № 7, сер. матем., механ. и астрон., вып. 2,
62—70.
1965 Об областях значений некоторых систем функционалов в классе
типично вещественных функций, Вестник ЛГУ, № 7, сер. матем., механ.
и астр., вып. 2, 45—62.
Град (Qrad A.) __
1950 The regions of values of the derivative of a schlicht function, Приложе-
Приложение к книге Шеффера и Спенсера [1950].
Гронуолл (Gronwall Т. Н.)
1914—1915 Some remarks on conformal representation, Ann. of Math. B), 16,
72—76.
Грётш (Qr6tzsch H.)
1928 Ober einige Extremalprobleme der konformer Abbildung, Ber. Verh.
sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-phys. Kl., 80, 367—376.
1928a Ober einige Extremalprobleme der Konformer Abbildung, II, Ber. Verh.
sSchs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-phys. Kl., 80, 497—502.
1955/56 Zum Haufungsprinzip der analytischen Funktionen, Wiss. Zeitschr. Mar-
Martin—Luther Univ., Helle—Wittenberg. Math.-naturwiss. Reihe, 5, >fe 6,
1095—1100.
Грунский (Grunsky H.)
1932 Neue Abschatzungen zur konformen Abbildung ein und mehrfach zusam-
menhungender Beriche, Schr. Math. Seminars u. Inst. f. angew. Math.
Univ. Berlin, 1, 93—140.
1939 Koeffizientenbedingungen fUr schlicht abbildende meromorphe Funktio-
Funktionen, Math. Z., 45, Hf. 1, 29—61.

616 ЛИТЕРАТУРА К ДОБАВЛЕНИЮ
Гудман (Goodman A. W.)
1950 On the Schwarz—Christiffel transformation and p-valent functions, Trans.
Amer. Math. Soc, 68, № 2, 204—223.
1958 Variation formulas for multivalent functions, Trans. Amer. Math. Soc,
89, № i; 129—148.
1958a Variation of the branch points for an analytic function, Trans. Amer.
Math. Soc, 89, № 2, 277—284.
19586 On variation formulas for univalent functions, Trans. Amer. Math. Soc,
89, № 2, 285—294.
1958b On the critical points of a multivalent function, Trans. Amer. Math. Soc,
89, № 2, 295—309.
Гудман и Рейх (Goodman A. W. and Reich E.)
1955 On regions omitted by univalent functions. II, Canad. J. Math. 7, № 1,
83—88.
Гун Шэн (Kung Sun)
1955 Contributions to the theory of schlicht functions. II, The coefficient prob-
problem, Scientia Sinica, 4, № 3, 359—373.
Дженкипс (Jenkins J. A.)
1949 Some problems in conformal mapping, Trans. Amer. Math. Soc, 67,
jyjb 2 327 350
1951 On 'a theorem of Spencer. J. London Math. Soc, 26, pt. 4, № 104,
313—316.
1953 On values omitted by univalent functions, Amer. J. Math., 75, № 2,
406—408.
1953a Symmetrization results for some conformal invariants, Amer. J. Math., 75,
№ 3, 510-522. .
1954 On a problem of Gronwall, Ann. of Math., 59, № 3, 490—504.
1954a On the local structure of the trajectories of a quadratic differential, Proc.
Amer. Math. Soc, 5. № 3, 357—362
1955 On circumferentially mean p-valent functions, Trans. Amer. Math. Soc,
79, № 2, 423—428.
1956 Some theorems on boundary distortion, Trans. Amer. Math. Soc, 81,
№ 2, 477—500.
1957 Some nevf canonical mappings for multiply-connected domains, Ann. of
Math., 65, № 1, 179—196.
1957a On conjecture of Spencer, Ann. of Math., 65, № 3, 405—410.
1960 On univalent functions with real coefficients, Ann. of Math., 71, № 1,
1—15.
1960a An extension of the general coefficient theorem, Trans. Amer. Math
Soc, 95, № 3, 387—407!
19606 On certain coefficients of univalent functions. II, Trans. Amer, Math.
Soc, 96, № 3, 534—545.
1960b On the global structure of the trajectories of a positive quadratic diffe-
differential, Illinois J. Math., 4, № 3, 405—412.
1962 Однолистные функции и конформные отображения, Москва, ИЛ.
1963 On some span theorems, Illinois J. Math., 7, № 1.
1963a An addendum to the- general coefficient theorem, Trans. Amer. Math.
Soc, 107, № 1, 125—128.
1965 On Bicberbach —Eilenberg functions. Ill, Trans. Amer. Math. Soc, 119,
№ 2, 195—215.
Джепкинс и Спенсер (Jenkins J. A. and Spencer D. S.)
1951 Hyperelliptic trajectories, Ann. of Math., 53, № 1, 4—35.

ЛИТВРАТУРА К ДОБАВЛЕНИЮ 617
Дундучеико Л. Е.
1956 Некоторые экстремальные свойства аналитических функций, заданных
в круге и круговом кольце, Укр. матем. жури., 8, № 4, 377—395.
Дьюреи (Duren P. L.)
1963 Distortion in certain conformal mapping of an annulus, Michigan Math. J.,
10, № 4, 431—441.
Дьюреи и Шиффер (Duren P. L. and Schiffer M.)
1962 A variational method for functions schlicht in an annulus, Arch. Ration.
Mech. Anal., 9, № 3, 260—272.
1962—1963 The theory of the second variation in extremum problems for.
univalent functions, Journ. d'Analyse Math., 10, 193—252.
Зморович В. А.
1952 О некоторых вариационных задачах теории однолистных функций, Укр.
матем. журн., 4, № 3.
1953 О некоторых классах аналитических функций, однолистных в круговом
кольце, Матем. сб., 32 G4):3, 633—652.
1954 О некоторых специальных классах- однолистных в круге аналитиче-
аналитических функций. Успехи матем. наук, 9, № 4, 175—182.
1956 О некоторых классах аналитических функций в круговом кольце, Матем.
сб., 40 (82):2, 225—238.
1958 Об обобщении интегральной формулы Шварца на я-связные области,
Доповщ1 АН УРСР, № 5, 489—492.
1959 К теории специальных классов однолистных функций. I, Успехи матем.
наук, 14, № 3, 137—143.
1959а К теории специальных классов однолистных функций. II, Успехи ма-
матем. наук, 14, № 4, 169—173.
1965 Об одном классе экстремальных задач, связанных с регулярными
функциями с положительной вещественной частью в круге |г|<1.
Укр. матем. жури., 17, № 4, 12—21.
Каплаи (Kaplan W.)
1952 Close-to-convex schlicht functions, Michigan Math. J., 1, № 2, 169—185.
Каратеодори (Caratheodory К. С.)
1911 Ober den Variabilitatsbereich der Fourierschen Konstanten von positiv
harmonischen Funktion, Rendiconti di Palermo, 32, 193—217.
Карлеман (Carleman T.)
1922—1923 Ober die Approximation analitischer Funktionen durch lineare
Aggregate von vorgegebenden Potenzen, Arkiv Mat, Astronomi Fysik, 17.
Клуии (Clunie J.)
1959 On meromorphic schlicht functions, J.London Math. Soc, 34, № 2,215—216.
1959a On schlicht functions, Ann. of Math. B), 69, № 3, 511—519.
1966 Клуни и Поммереике (Clunie J., Pommerenke Ch.)
On the coefficients of close-to-convex univalent functions. J. London
Math. Soc, 41, № 1, 161—165.
Кобори и Абе (Kobori A. et Abe H.)
1959 Une remarque sur un theoreme de M. Hayman, Japan. Journ. Math., 29,
32—34.

618 ЛИТВРАТУРА К ДОБАВЛЕНИЮ
Колбина Л. И.
1952 Некоторые экстремальные задачи в конформном отображении,'Докл.
АН СССР, 84, № 5, 865—868.
1952а К теории однолистных функций, Докл. АН СССР, 84, № 6, 1127—1130.
1955 Конформное отображение единичного круга на неналегающие области,
Вестник ЛГУ, >6 5, сер. матем., физики и химии, вып. 2, 37—43.
Комацу (Komatu Y.)
1943 Untersuchunger flber konforme Abbildung von zweifach zusammenhangen-
der Qebieten, Proc. Phys.-Math. Soc. Japan, 25, № 1, 1—42.
1957 On the coefficients of typically-real Laurent series, KOdai Math. Semin.
Reports 9, № 2, 42—47.
1958 On analytic functions with positive real part in a cercle, KSdai Math. Semin
Reports, 10, № 1, 63-783.
1958a On analytic functions with positive real part in a annulus, KOdai Math. Semin.
Reports, 10, № 2, 84—100.
Комацу и Одзава (Komatu Y. and Ozawa M.)
1951 Conformal mapping of multiply connected domains. II, KOdai Math. Semin
Reports, № 5—6, 81—95.
1952 Conformal mapping of multiply connected domains. II, KOdai Math. Semin.
Reports, № 2, 39—44.
Корицкий Г. В.
1955 О кривизне линий уровня и их ортогональных траекторий при кон-
конформных отображениях, Матем. сборн., 37F9):1, 103—116.
1957 О кривизне линий уровня при однолистных конформных отображениях.
Докл. АН СССР, 115, № 4, 653—654.
1960 К вопросу о кривизне линий уровня при однолистных конформных
отображениях, Успехи матем. наук, 15, № 5, 179—182.
Креснякова Л. В.
1961 Об аналитических функциях с ограниченным средним модулем, Изв.
высш. учебн. заведений, Математика, № 1, 98—103.
1962 О регулярных функциях с ограниченным средним модулем, Докл. АН
СССР, 147, № 2, 290-293.
1963 Некоторые оценки для регулярных функций с ограниченным средним
модулем, Изв. высш. учебн. заведений, Математика, № 1, 94—97.
Кубо (Kubo Т.)
1954 Symmetrization and univalent functions in an annulus, Journ. Math. Soc.
Japan, 6, № 1, 55—67.
1954a Kelvin principle and some inequalities in the theory of functions. I, Mem.
Coll. Sci. Univ. Kyoto, Ser. A, Math., 28, № 3, 299—311.
1955 Kelvin principle and some inequalities in the theory of functions. II, Mem.
Coll. Sci. Univ. Kyoto, Ser. A, Math., 29, № 1, 17—26.
1955a Kelvin principle and some inequalities in the theory of functions. Ill, Mem.
Coll. Sci. Univ. Kyoto, Ser. A, Math., 29, № 2, 119—129.
1958 Hyperbolic transfinite diameter and some theorems on analytic functions in
an annulus, Journ. Math. Soc. Japan, 10, № 4, 348—364.
Куваев М. P.
1959 Обобщения уравнения типа Лёвнера для автоморфных функций, Труды
Томск, ун-та, 144, 27—30.
1959а Новый вывод уравнения Лёвнера для двусвязных областей, Труды
Томск, ун-та, 144, 45—55.
Куваев М. Р. и Куфарев П. П.
1955 Об уравнении типа Лёвнера для многосвязных областей, Учен. зап.
Томск, ун-та, 25, 19—34.

ЛИТЕРАТУРА К ДОБАВЛЕНИЮ 619
Кузьмина Г. В.
1962 Некоторые теоремы покрытия для однолистных функций, Докл. АН
СССР, 142, № 1, 29—31.
1965 Теоремы покрытия для функций, регулярных и однолистных в круге,
Докл. АН СССР, 160, № 1, 25—28.
Куфарев П. П.
1943 Об однопараметрических семействах аналитических функций, Матем.
сб., 13E5): 1, 87—118.
1946 Об интегралах простейшего дифференциального уравнения с подвижной
полярной особенностью правой части, Учен. зап. Моск. ун-та, 1, 35—48.
1947 Теорема о решениях одного дифференциального уравнения, Учен. зап.
Томск, ун-та, 5, 20—21.
1947а Об одном специальном семействе однолистных областей, Учен. зап.
Томск, ун-та, 5, 22—36.
19476 Об одном методе численного определения параметров в интеграле
Шварца-Кристоффеля, Докл. АН СССР, 57, № 6, 535—537.
1947в Одно замечание об интегралах Лёвнера, Докл. АН СССР, 57, № 7,
655—656.
1947г К теории однолистных функций, Докл. АН СССР, 57, № 8, 751—754.
1948 Об одной системе дифференциальных уравнений, Учен. зап. Томск,
ун-та, 8, 61—72.
1950 К вопросу о конформном отображении дополнительных областей, Докл.
АН СССР, 73, № 5, 881—884.
1951 Одно замечание об экстремальных задачах теории однолистных функ-
функций, Учен. зап. Томск, ун-та, 14, 3—7.
1954- Об одном свойстве экстремальных областей задачи коэффициентов,
Докл. АН СССР, 97, 391—393.
1955 Одно замечание к задаче коэффициентов, Учен. зап. Томск, ун-та, 25,
15—18.
1956 О методе параметрических представлений и вариационном методе
Г. М. Голузина, Труды 3-го Всесоюзного матем. съезда, т. 1, М.,
85—86.
1956а Методы и результаты теории однолистных функций, Труды 3-го Все-
Всесоюзного матем. съезда, т. 2, М., 29—31.
19566 Об одном методе исследования экстремальных задач теории однолист-
однолистных функций, Докл. АН СССР, 107, № 5, 633—635.
1958 Некоторые методы и результаты терии однолистных функций, Труды
3-го Всесоюзного матем. съезда, т. 3, М., 189—198.
1963 О вариационной формуле Г. М. Голузина, Труды Томск, ун-та, 163,
58—62.
Куфарев П. П. и Семухина Н. В.
1956 О распространении вариационного метода Г. М. Голузина на двусвяз-
ные области, Докл. АН СССР, 107, № 4, 505—507.
Куфарев П. П. и Фаллес А. Э.
1951 Об одной экстремальной задаче для дополнительных областей, Докл.
АН СССР, 81, № 6, 995—998.
Кшиж (Krzyz J.)
1964 Some remarks on close-to-convex functions, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser.
sci math., astr. et phys., 12, № 1, 25—28.
Кшиж и Левандовский (Krzyz J. and Lewandowsky Z.)
1963 On the integral of univalent functions, Bull. Acad. polon. sci., Ser. Sci.
math., astron. et phys., 11, № 7, 447—448.

620 ЛИТЕРАТУРА К ДОБАВЛЕНИЮ
Ландау (Landau Ё.)
1929 Ober Blochsche Konstante und zwei verwandte Weltkonstante, Math. Z.,
30, Hi 4, 608—634.
Лаврентьев М. A.
1934 К теории конформных отображений, Труды Физ.-матем. ин-та АН
СССР, 5, 195—246.
Лаврентьев М. А. и Шабат Б. В.
1958 Методы теории функций комплексного переменного, М., Физматгиз.
Лебедев Н. А.
1951 Метод вариаций в конформном отображении, Докл. АН СССР, 76, № 1,
25—27.
1951а Некоторые оценки и задачи на экстремум в теории конформного ото-
отображения, ЛГУ, Диссертация.
1955 Мажорантная область для выражения J=ln —.,\i— в классе S,
Вестник ЛГУ, № 8, сер. матем., физики и химии, вып. 3, 29—41.
1955а Некоторые оценки для функций, регулярных и однолистных в круге,
Вестник ЛГУ, № 11, сер. матем., физики и химии, вып. 4, 3—21.
19556 К теории конформных преобразований круга на неналегающие области,
Докл. АН СССР, 103, № 4, 553—555.
1955в О параметрическом представлении функций, регулярных и однолистных
в кольце, Докл. АН СССР, 103, № 5, 767—768.
1955г Об областях значений функционалов, заданных на классах аналити-
аналитических функций, ЛГУ, Диссертация.
1957 Об области значений одного функционала в задаче о неналегающих
областях, Докл. АН СССР, 115, № 6, 1070—1073.
1961 Приложение принципа площадей к задачам о неналегающих областях,
Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР, 60, 211—231.
1966 Приложение принципа площадей к задачам о неналегающих конечно-
связных областях, Докл. АН СССР, 167, № 1, 26—29.
Лебедев Н. А. и Милин И. М.
1951 О коэффициентах некоторых классов аналитических функций, Матем.
сб., 28 G0): 2, 359—400.
1965 Об одном неравенстве, Вестник ЛГУ, № 19, сер. механ., матем. и астр.,
вып. 4, 157—158.
Левандовский (Lewandowski Z.)
1958 Sur l'identite de certaines classes de fonctions univalentes. I, Ann. Univ.
Mariae Curie-Sklodowska, Sect. A, 12, 131—146.
1960 Sur l'identite de certaines classes de fonctions univalentes. II, Ann. Univ.
Mariae Curie-Sklodowska, Sect. A, 14, 19—46.
1961 Sur les majorantes des fonctions holomorphes dans le cercle |г1<;1,
Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska, Lublin—Polonia, sectio A,15,1,5—11.
1961a Starlike majorants and subordination, Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska,
Lublin-Polonia, sectio A, 15, 6, 79—84.
Лёвнер (L6wner K.)
1923 Untersuchungen iiber schlichte konforme Abbildung des Einheitskreises. I,
Math. Ann., 89, 103—121.
Ли Ен Пир
1953 К теории однолистных функций в круговом кольце, Докл. АН СССР,
92, № 3, 475—477.

ЛИТЕРАТУРА К ДОБАВЛЕНИЮ 621
1953а О типично вещественных функциях" в круговом кольце, Докл.
АН СССР, 92, № 4, 699—702.
19536 Некоторые вопросы теории однолистных и типично вещественных
функций в круговом кольце, Диссертация, Ленинград.
Лозовик В. Г.
1963 Об одном классе функций, однолистных в единичном круге. Изв.
высш. учебн. заведений, Математика, 2, 63—69.
1963а О функционалах, определенных на некоторых классах аналитических
функций. Укр. матем. журн., 15, № 1, 95—100.
Максимов Ю. Д.
1955 Экстремальные задачи в некоторых классах аналитических функций,
Докл. АН СССР, 100, № 6, 1041—1044.
1955а О локально е-выпуклых и локально е-звездных многолистных функ-
функциях, Докл. АН СССР, 103, № 6, 965—967.
1961 Обобщение структурной формулы для выпуклых однолистных фун-
функций на случай многосвязной круговой области, Докл. АН СССР,
136, № 2, 284—286.
Маркус (Marcus M.)
1964 Transformations of domains in the plane and applications in the theory
of functions. Pacif. J. Math., 14, № 2, 613—626.
Мешковский (Meschkowski H.)
1952 Einige Extremalprobleme aus der Theorie der konformen Abbildung,
Ann. Acad. Sci. Fenn., Ser. A, I. Math., № 117, 1—12.
1953 Verzerrungssatze filr mehrfach zusammenhangende Bereiche, Compositio
Math., 11, 44—59.
1954 Verallgemeinerung der Poissonschen Integralformel auf mehrfach zusam-
zusammenhangende Bereiche, Ann. Acad. Sci. Fenn., Ser. A, I. Math.-Phys., № 166.
1962 Hilbertsche Raume mit Kernfunktion, Berlin, Springer Verlag.
Милин И. М.
1964 Метод площадей в теории однолистных функций, Докл. АН СССР,
154, №2, 164—267.
1964а Замкнутые ортонормальные системы аналитических функций в ко-
нечносвязных областях, Докл. АН СССР, 157, №5, 1043—1046.
19646 Метод площадей в теории однолистных функций, ЛГУ, Диссертация.
1965 Оценка коэффициентов однолистных функций, Докл. АН СССР, 160,
№4, 769 — 771.
Мирошниченко Я. С.
1951 Об одной задаче теории однолистных функций, Учен. зап. Донецкого
пед. ин-та, 1, 63—75.
Митюк И. П.
1961 Об однолистных конформных отображениях многосвязных областей,
Доповда АН УРСР, №2, 158—160.
1961а Некоторые теоремы об однолистных конформных отображениях мно-
многосвязных областей, Доповш АН УРСР, №4, 420 — 423.
19616 Обобщение некоторых теорем об однолистных конформных отобра-
отображениях двусвязных областей, Доповш АН УРСР, № 9, 1115—1118.
1964 Обобщенный приведенный модуль и некоторые его применения. Изв.
высш. учебн. заведений. Математика, № 2, ПО—119.
1964а Принцип симметризации- для многосвязных областей, Докл. АН СССР,
157, №2, 268 — 270.
1965 Внутренний радиус области и некоторые его свойства, Укр. матем.
журн., 17, №1, 117—122.

622 ЛИТЕРАТУРА К ДОБАВЛЕНИЮ
1965а Принцип симметризации для многосвязных областей и некоторые его
применения, Укр. матем. журн., 17, № 4, 46 — 54.
19656 Некоторые свойства функций, регулярных в многосвязной области,
Докл. АН СССР, 164, №3, 495—498.
1965в Принцип симметризации для кольца и некоторые его применения.
Сибирск. матем. журн., 6, № 6, 1282—1291.
1965г Некоторые экстремальные задачи геометрической теории функций.
Диссертация. Киев.
Мокану (Mocanau P. Т.)
1957 О generalizare a teoremei contractiei in clasa S de functii univalente,
Studii si cercetari mat. Acad. RPR, Fil. Cluj, 8, №3 — 4, 303 — 312.
1958 Asupra unei generalized a teoremei de contractie in clasa functiilor
univalente, Studii si cercetari mat. Acad. RPR, Fil. Cluj, 9, № 1—4,
149—159.
Монастырский М. A.
1959 Об одном применении метода позитивных функционалов для С-фун-
кций, Уч. зап. Шахтинск. гос. пед. ин-та, 2, №6, 109—117.
Нехари (Nehari Z.)
1949 The Schwarzian derivative and schlicht functions, Bull. Aroer. Math. Soc.
55, №6, 545 —551.
1953 Some inequalities in the theory of functions, Trans. Amer. Math. Soc,
75, № 2, 256 —286.
Нишимия (Nishimiya H.)
1957 On a coefficient problem for analytic functions typically reel in an
annulus, Kodai Math. Semin. Reports, 9, №2, 59 — 67.
1959 On cofficient regions of Laurent series with positive real part, Kodai.
Math. Semin. Reports, 11, № 1, 25 —40.
Носенко О. С.
1963 Об областях значений стилтьесовых функционалов с ограничениями
типа равенств. Доповпи АН УРСР, № 12, 1563—1567.
Одзава (Ozawa M.)
1952 On functions of bounded DirichJet integral, Kodai Math. Semin. Reports,
№ 4, 95—98.
1965 On the sixth coefficient of unjvalent function, Kodai Math. Semin.
Reports, 17, Jfc 1, 1—9.
Пешль (Peschl E.)
1936 Zur Theorie der schlichten Fimktlonen, J. f. reine u. angew. Math., 176,
61-96.
Покорный В. В.
1951 О некоторых достаточных условиях однолистности, Докл. АН СССР,
79, № 5, 743—746.
Попов В. И.
1965 Область значений одной системы функционалов на классе S. Труды
Томск, ун-та, 182, 107—132.
Поммеренке (Pommerenke Ch.)
1961—1962 Uber die Mittelwerte und Koeffizienten multivalenter Funktionen,
Math. Ann., 145, Hf. 3, 285—296.
1962 Uber einige Klassen meromorpher schlichter Funktionen, Math. Z., 78, Hf.
3, 263-284.
1962a On starlike and convex functions, J. London Math. Soc, 37, pt. 2, № 146,
209-224.

ЛИТЕРАТУРА К ДОБАВЛЕНИЮ 623
1963 On starlike and close-to-convex functions, Proc. London Math. Soc,
III ser., 13, № 50, 290—304.
1964 Llnear-invariante Familien analytischer Funktionen. I, Math. Ann., 155,
Hf. 2, 108—154.
1964a Lacunary power series and univalent functions, Michigan Math. J., 11,
№ 3, 219-223.
Правиц (Prawitz H.)
1927 Uber Mittelwerte analytischer Funktionen. Arkiv Mat. Astronomi Fysik,
20 A, 6, 1-12.
Рахманов Б. Н.
1951 К теории однолистных функций. Докл. АН СССР, 78, №2,209—211.
1953 К теории однолистных функций, Докл. АН СССР, 91, № 4, 729—732.
Редьков М. И.
1960 Область значений одного функционала на некоторых классах ограни-
ограниченных однолистных функций. Уч. зап. Томск, ун-та, 36, 33—50.
1962 Область значений функционала /=ln ^^ , J? в классе
tp (w)*
SJ | <f (да) | ], Изв. высш. учебн. заведений. Математика, № 2, 119—129.
1962а Область значений функционала /=ln —-?-тг7—, }i I в классе Slt
Ч \w) I Ч (w> I
Изв. высш. учебн. заведений, Математика, № 4, 134—142.
1963 Область значений функционала 1=1 {f (и»), / (и»), /' (да), /' (и»), /' @))
в классе Si[|/'(*)|]> Труды Томск, ун-та, 169, 59—68.
Рейх и Варшавский (Reich E. and Warschawski S. E.)
1960 On canonical conformal maps of regions of arbitrary connectivity, Pacif.
J. Math., 10, № 3, 965—989.
Рейх и Щиффер (Reich E. and Schiffer M.)
1964 Estimates for the transfinite diameter of a continuum, Math. Z., 85, Hf.
1, 91—106.
Ремизова М. П.
1959 Об областях значений аналитических функций, представим ых суммой
и произведением .интегралов Стилтьеса, Укр. матем. жури., 11, № 2,
175—182.
Ренгель (Reneel E.)
1933 Uber einige Schlitztheoreme der konformen Abbildung, Schr. Math. Sem.
und Inst. tilr angew. Math. Univ. Berlin, 1, № 4, 141—162.
Рид (Reade M.O.)
1955 On close-to-convex functions, Michigan Math. J., 3, № 1, 59—62.
Рисе Ф. (Riesz F.)
1911 Sur certans systemes singuliers d'equations integrales, Ann. I'Ec'ole norm.,
28, 33—62.
Робертсон (Robertson M.S.)
1935 On the coefficients of a typic-real function, Bull. Amer. Math. Soc, 41,
№ 8, 565-572.
1936 Analytic functions star-like in one direction, Amer. J. Math., 58, № 3,
465—472.

624 ЛИТЕРАТУРА К ДОБАВЛЕНИЮ
1962 Variational method for functions with positive real part. Trans. Amer.
Math. Soc, 102, № 1, 82—93.
1963 Extremal problems for analytic functions with positive real part and
applications. Trans. Amer. Math. Soc, 106, № 2, 236—253.
Робинсон (Robinson R. M.)
1943 Analytic functions in circular rings. Duke Math. J., 10, 341—354.
Рогозинский (Rogosinski W.)
1932 Ober positive harmonische Entwicklungen und typisch reelle Potenzreichen,
Math. Z., 35, Hf. 1, 93—121.
Сато (Sato S.)
1955 Две теоремы об ограниченных функциях, Сугаку, 7, № 2, 99—101.
1955а О значениях, не принимаемых ограниченными однолистными -функциями,
Кэнкю хококу. Сидзэн Качаку. Liberal Arts J. Natur. Sci., 6, 1—6.
Cere (Szeg6 Q.)
1955 On certain kind of symmetrization and its applications, Annali di Matem.
pura et applicata, II ser., 40, 113—119.
Сингх (Singh V.)
Qrunsky inequaliti
Acad. Sci. Fenn., Ser. A., I. Math., 310—1—22.
1962 Qrunsky inequalities and coefficients of bounded schlicht functions, Ann.
' 1 Sci. ~ ~ --- - —
Смирнов В. И.
1932 Sur les formules de Cauchy et de Green et quelques problemes qui s'y
rattachent, Изд. АН СССР, серия матем., 7, № 3, 337—372.
Спенсер (Spencer D. С.)
1941 On mean one-valent functions, Ann. of Math., 42, 614—633.
Степанова О. В.
1963 О некоторых свойствах линий уровня при однолистных конформных
отображениях, Матем. сб., 61, № 3, 350—361.
1965 Об одном свойстве линий уровня при однолистных конформных ото-
отображениях, Докл. АН СССР, 163, № 6, 1330.
Ся Дао-син (Shah Tao-shing)
1956 On the functions inivalent in a circular ring, Acta Math. Sinica, 6, № 4,
598—618.
1957 Qoluzin's number J-— js the radius of superiority in subordination,
Science Record, New Ser., 1, № 4, 25—28.
1957a On the radius of superiority in subordination, Science Record, New Ser.,
1, № 5, 53—57.
1958 Some covering properties of convex domain in the theory of conformal
mapping, Scienta Sinica, 7, № 8, 816—828.
Ся Дао-син и Чжан Кай-мин (Shah Tao-shong and Chang Kai-ming)
1958 Some inequalities in the theory of subordination, Acta Math. Sinica, 8,
№ 3.
Тамразов П. М.
1962 Относительное искажение границы при однолистном конформном ото-
отображении двухсвязной области, ДоповЫ АН УРСР, J* 3, 338—340.
1962а К теории однолистных конформных отображений двухсвязных обла-
областей, ДоповМ АН УРСР, № 5, 563-566.

ЛИТЕРАТУРА К ДОБАВЛЕНИЮ 626
19626 Об однолистном конформном отображении двухсвязных областей,
Доповш АН УРСР, № 9, 1142—1145.
1963 Некоторые оценки в теории однолистных конформных отображений
двухсвязных областей, Доповш АН УРСР, № 9, 1160—1163.
1965 Теоремы покрытия линий при конформном отображении, Матем. сб..
66 A08): 4, 502—524.
1965а Некоторые экстремальные задачи теории однолистных конформных
отображений, Матем. сб., 67 A09): 3, 329—337.
19656 Конформно-метрическая теория двухсвязных областей и обобщенное
произведение Бляшке. Докл. АН СССР, 161, № 2, 308—311.
1965в Однолистные функции и конформно-метрическая теория многосвязных
областей. Диссертация. Киев.
Тейхмюллер (Teichmilller О.)
1938 Untersuchungen Uber Konforme und quasikonforme Abbildung. Deutsche
Math., 3, Hf, 621-678.
Тумаркин Г. Ц. и Хавинсон С. Я.
1960 Качественные свойства решений экстремальных задач некоторых типов,
Исслед. по совр. пробл. теории функций компл. переменного, М., Физ-
матгиз, 77—94.
Улина Г. В.
1960 Об областях значений некоторых систем функционалов в классах одно-
однолистных функций, Вестник ЛГУ, № 1, сер. матем., механ. и астр., вып.
1, 35—54.
Фельдман Я. С.
1963 О некоторых экстремальных областях, связанных с однолистными
функциями, Вестник ЛГУ, № 7, сер. матем., механ. и астр., вып. 2,
67—87.
Хавинсон Я. С
1953 Об экстремальных свойствах функций, отображающих область на мно-
голистный круг, Докл. АН СССР, 88, № 6, 957—959.
1953а О некоторых нелинейных экстремальных задачах для ограниченных
аналитических функций, Докл. АН СССР, 92, № 2, 243—245.
1955 Экстремальные задачи для некоторых классов аналитических функций
в конечносвязных областях, Матем. сб., 36 G8): 3, 445—478.
1961 Об аналитической емкости множеств, совместной нетривиальности
различных классов аналитических функций и лемме Шварца в произ-
произвольных областях, Матем. сб., 54(96): 1,3—50.
Хажалия Г. Я.
1958 Об одной теореме покрытия для функций регулярных в двусвязных
областях, Труды Кутаисск. гос. пед. ин-та, 18, 251—258.
Хажинский и Шиффер (Charzynski Z. and Schiffer M.)
1960 A new proof of the Bieberbach conjecture for the fourth coefficient, Arch.
Ration. Mech. Anal., 5, № 3, 187—193.
1960a A geometric proof of the Bieberbach conjecture for the fourth coefficient,
Scripta Math., 25, № 3, 173—181.
Хажинский и Яновский (Charzynski Z., Janowski W.)
1959 Domaine de variation des coefficients A2 et Л, des fonctions univalen-
tes bornees. Bull. Soc. Sci. et lettres L6dz, Cl. 3, 10, № 4.
Хаммел (Hummel J. A.)
1957 The coefficient regions of starlike functions, Pacif. J. Math., 7, № 3,
1381—1389.

626 ЛИТЕРАТУРА К ДОБАВЛЕНИЮ
Хейман (Hayman W. К.)
1951 Symmetrization in the theory of functions Techn. Rep., № 11, Contract
№ 6-ORI-106, Task order 5 (№ R-043-992), O. N. R., Washington.
1951 Some applications of the transfinite diameter to the theory of functions,
Journal d1 Analyse Math., 1, 155—179.
1958 Асимптотические свойства р-листных функций, Математика, Сб. пере-
переводов, 2:1, 55—80.
1958а Bounds for the large coefficients of univalent functions, Ann. Acad. Sci.
Fenn., ser. A., 1. Math., № 250.
1960 Многолистные функции, Москва, ИЛ.
1963 On successive coefficients of univalent functions, J. London Math. Soc,
38, pt. 2, № 150, 228—243.
1964 О коэффициентах однолистных функций, Математика, Сб. переводов,
8:1, 142—150.
1965 Coefficient problems for univalent functions and related function classes,
J. London Math. Soc, 40, pt 3, № 159, 385—406.
Хилл (Hille Б.)
1949 Remarks on a paper by Zeev Nehari. Bull. Amer. Math. Soc, 55, № 6,
552—553.
Черников В. В.
1962 Экстремальные задачи на некоторых классах аналитических функций
с вещественными коэффициентами, ТГУ, Диссертация.
Шеффер и Спенсер (Schaeffer А. С. and Spencer D. S.)
1950 Coefficient regions of schlicht functions, Amer. Math. Soc, Colloquim
Publ., 35, New York.
Шиффер (Schiffer M.)
1938 A method of variation with in the family of simple functions, Proc
London Math. Soc, 44 (Ser. 2), 432—449.
1938a On the coefficients of simple functions, Proc London Math. Soc, 44
(Ser. 2), 450—452.
1943 Variation of the Green function and theory of p-valent functions, Amer.
J. Math., 65, Jfc 2, 341—360.
1953 Некоторые новые результаты в теории конформных отображений.
Приложение к книге Р. Куранта «Принцип Дирихле, конформные ото-
отображения и минимальные поверхности^ М., ИЛ.
Шиффер и Тамми (Schiffer M. and Tammi О.)
1965 The fourth coefficient of a bounded real univalent function, Ann. Acad.
Sci. Fenn., ser. A, I. Math., № 354.
1965a On the fourth coefficient of bounded univalent functions, Trans. Amer.
Math, Soc, 119, № 1, 67—78.
Шлионский Г. Г.
1958 Экстремальные проблемы для дифференцируемых функционалов в тео-
теории однолистных функций, Вестник ЛГУ, № 13, сер. матец., механ.
и астр., вып. 3, 64—83.
1959 К теории ограниченных однолистных функций, Вестник ЛГУ, № 13,
сер. матем., механ. и астр., вып. 3, 42—51.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоморфная функция 65, 352
Адам ара теорема о трех кругах 333
Аналитическая кривая 15
Ангармоническое отношение 320
Аппроксимация в среднем 433—437
Асимптотическое значение 340
Бибербаха гипотеза 571, 573—576
Блока постоянная 351
Бляшке функция 385
Брауера теорема 247
Вариационные формулы в классах Б 505,
506; 5 и S 106, 107; Sa 103, 109 *
Вариация однолистных функций 99—109
Веиерштрасса теорема 17
Литии теорема 22, 23
Внешняя мера 406
жорданова 291. 293, 294
Внутренняя мера 406
Выпуклая область 165, 202
Выпуклости линии уровня условия 567
Гармоническая мера 306, 331
— функция 24, 259
Гарнака теорема 26
Гаусса дифференциальное уравнение 84
Гейне-Бореля теорема покрытия 12
Гёльдёра неравенство 376
Гильберта теорема 213
Гиперболический круг 321
Гиперболическое расстояние 321
Гиперсходимость 344
Граница выпуклости 165, 565
— звездообразное» 166, 565
— обобщенной звездообразности 167—170, 565
Граничный континуум 13
Грётша теорема, обобщение 563, 569
Грина формула 266
— функция 262, 300. 301
Дирихле задача 260
Дисперсия коэффициентов однолистных
функций 578, 579
Достижимые граничные точки 38
Емкость множества 301
Естественная граница 65
Жордана теорема 14
, дополнение Шевфлнса 39
Замкнутости формула (условие) 435
Звезда области \Ть
Звездообразная область 167, 202
Звездообразности линии уровня условия 165,
567, 568
Звездообразность обобщенная 167
Иенсена формула 313
Иенсена-Шварца формула 312
Измеримое множество 406
Интегральная теорема Коши 394
— формула Коши 394, 420—424
Интегральные представления классов функ-
функций, регулярных в круге (в кольце) 507,
517, 542. 683^587
Каратеодори теорема сходимости 56, 57
Каратеодори — Фейера задача 477
теорема 480. 482
Келлога теорема 411
Кёбе лемма 35
Кёбе теорема покрытия, обобщения и усиле-
усиления 51, 563, 5Н, 568
Классы: С 542, Б 505, Б 422, Н 388, 478,
А373, Lp 376, N 381, 5 110, 5Д 151,
S 469 5 57 516 110, ? 469
S 469, 5* 507, Тг 516,
Конформные радиусы неиалегающих областей
(задача) 156, 550, 551, 554
Конформный радиус 32, 104
Круговая область 231, 232
Круговой многоугольник 78
Лаврентьева теорема, обобщения 156, 801, 602,
605
— формула 156
Ландау постоянная 351
— теорема 327
Лапласа дифференциальное уравнение 24
Леммы о средних модулях 183, 184, 186
Лёвнера дифференциальное уравнение 90, 91
Линделёфа лемма 37
— принцип 33, 328
Липшица условие 399, 411
Лорановская система функций 597
Мажоранта однолистная 357
Мероморфная функция 27, 311
Метод вариации 99-109, 127-165, 504, 537,
539, 5$
— вариационно-геометрический М. А. Лав-
Лаврентьева 537
— вариационно-параметрический П. П. Куфа-
рева 539
— интегральных представлений 542—544
— квадратичных дифференциалов 540—542
— контурного интегрирования 223, 275, 536
— непрерывности 231. 237—240
— параметрический89-98,111-122,536,537,558
— симметризации 542
— экстремальной метрики 340
Метрика гиперболическая 322, 326, 349
— непрерывная 349
— опорная 349
— регулярная 349
Минимальное свойство интеграла Дирихле 600
Минимизация максимума модуля 32—33
— площади 34, 225, 594
Минковского неравенство 377
Модуль двухсвязной области 209
— л-езязной области 241
Модулярная рвманова поверхность 65
— сетка 64
— функция 65
Некасательный путь 370, 413
Необходимое и достаточное условие одно-
однолистности функции 574
л-листный круг 269
Нормальное семейство функций 67
Нормальности признак 68, 70
Области значений функционалов и систем
функционалов на классах однолистных
функций 117. 133. 135, 136. 139. 547-650
——, представимых с помощью
интегралов Стилтьеса 588—592
Область значении функционала на данном
классе 117

628
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Общая теорема коэффициентов Джевкивса 541
Однолистная функция 27
Одвосвязвая риианова поверхность 511
Ортогональные полиномы 435
Особый ивтеграл Коши 416
Отображение внешности единичного круга на
плоскость с разрезом по дуге эллипса
(гиперболы) 135
— знутренности кругозого многоугольника на
единичный круг 78—86
правильного кругозого n-угольника на
единичный круг 82—86
я-уголышка на единичный круг 77, 82
прямолинейного многоугольника на
единичный круг 76—78
— двухсвязных областей 205—210, 559—560
— двухсвязной области на круговое кольцо
207, 208
— кзазиконформное 440
— конформное мвогосвязвой области ва круг
248-249
римановых поверхностей 445—450
— круга ва взаимно иевалегающие области
156, 550-554
— мвогосвязвой области ва ззанмво неиале-
гающие области 601—604
на канонические поверхности 593,
594
на кратнопокрытыи круг 611
на круг с разрезами по дугам лога-
логарифмических спиралей 240
на кольцо с разрезами по дугам ло-
логарифмических спиралей 240
на я-листный круг 270, 451
— — — на плоскость с прямолинейными раз-
разрезами 239
и параллельными разре-
разрезами 213, 214, 268
с разрезами по дугам логариф-
логарифмических спиралей 219, 220, 239
— непрерывное 236
— однолистное конформное 27
— топологическое 236
Оцевки для ограниченных функций 492—504
— коэффициентов одволиствых функций 187,
197, 199-204, 571-583
р-листных функций 471, 473, 474
— кризизвы ливий уровня 565—588
— площади кольца 5/0, 571
круга 180
образа круга 561
— роста соседних коэффициентов однолист-
однолистных функций 193, 195, 579, 580
— близких к зыпуклым функций 583
р-листных з среднем функций 580
— среднего модуля функции 561
Параметрическое предстазление однолистных
функций 89, 95
Пикара теорема 72
Площадь знешняя 594
Поверхность модулярная риманоза 65
— гиперболического типа 446
— параболического типа 446
— эллиптического типа 446
Подстановка гиперболическая 252
— параболнчес#ая 252
Подчивенвая функция 356, 357
Порядок целой функции 340
Предельные значения интеграла Коши 416
Привалова теорема единственное г и 413
Принцип гиперболической метрики 326
— Грётша 170-171
— длины н площади 540
— компактности 23
— Линделёфа 33, 328
Принцип максимума, обобщение 260
— площадей 49, 471. 533-536, 553
— подчивевия: для круга 356—357, 606—607;
для кольца 610; для многосвязных обла-
областей 607—609
— расширения 331—332
— сгущевия 20—23
— симметризации 555, 570
, обобщение для мвогоезязных областей
604
Проблема Гронуолла 556
— коэффициентов 571, 582
Простой конец 42
Пуанкаре теорема 445—446
Пуассона интеграл 368
Пуассона-Стилтьеса интеграл 372
Пуассона формула 24, 261
Разномерная ограниченность внутри области
20
— сходимость внутри области 16
Разрез 15
Римана теорема 29—32
Риманова поверхность, конструктивное опре-
определение 444—445
Робэна постоянная 301
Семейство полиномов полвое в области 433
Симметризацвя Маркуса 569
Скалярное произведение регулярных функций
224
Соответстзие границ при конформном отобра-
отображении 35-48, 255-259, 403-412
Сходимость последозательвостей аналитиче-
аналитических функций 16—19
гармонических функций 24—26
— последовательности областей к ядру 56,
226, 227
Теорема зращения 53, 114
— искажения 53, 133
хорд 119, 544
— минимизации площади 225
— о сохранении области 236, 247
— площадей 49
для р-листных функций 471
обобщенная 533, 534, 545, 553
для мвогосвязных областей 535, 596,
637, 598
Теоремы искажения обобщевия 555—558
— покрытия 73—75, 88. 89, 351, 475
дуг окружности при отображении круга
и кольца 561, 562, 570
отрезкоз 174, 176, 563, 569, 570
— склеивания 438, 440
Типично зещестзениая функция 516
Трансфинитный диаметр 286
Универсальная поверхность наложения я-связ-
иои области 255
Функция р-листная 469
з среднем 554, 555
— разномерно ограниченной зариацин 373
— суммируемая 415
Хелли теорема 373
Целая функция конечного порядка 340
Чебышева поливом 286
— постоянная 287
Шзарца ивзарпавт 79, 547, 599
Шварца-Крпстофеля формула 77
Шварца лемма 29, 319, 322
— леммы обобщевия в усиления 319, 323, 349,
361. 609-611
— формула 92, 312
Шоттки теореяа 327
— функция 279
Шура теорема 479, 484
Эквивалентные точки 253
Ядро последовательности областей 56, 226—227

Опечатки
Стр.
9
9
120
144
238
338
288
280
518
518
535
¦S47
U4t J
553
557
573
580
Строка
17 св.
18 св.
8 св.
6 св.
22 св.
23 св.
23 св.
2 сн.
8 св.
11 св.
17 сн.
R /ID
*J LD,
20 св.
9 св.
2 св.
15 св.
Напечатано
1951
1951
A)
2 l *•',
27т, 3е~Г
аи-
*з„
fkQ (и, ак)
= ЗЦФ'<У(гЖ(г, t)
И(Ф'(г)A— zs) X
X A —2<г-)-гг)!) =0
(¦>)
1/' (*i) Г/л*1
A —"| f (z,) |s/Af!)s
эг(о,оо)
D)
/=• (?) ^ 2°
[1946д—1949в]
Должно выть
1951а
1951а
F)
г i 2я<
23тKе 3
R'an
an
Л.»
ГЙ(?(И, Oft)
= 9t fФ' (/ (г)) s; (z, <)) = 0
3t (Ф' (/(z)) A — z2) x
X (I— 2<2-f2!)»)=0
(8)
1/' (za) |s/Afs
(I-!/(*•) IVA*1I
a» (oo, o)
(9)
всех /¦'(?)€ E
[1946д, 1949b]
Г. М. Голузин — 327