ОСНОВЫ ТЕОРИИ
АНАЛИТИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
А. В. БИЦАДЗЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1969

517.2
Б 67
УДК 517.53/4 @75.8)
Основы теории аналитических функций
комплексного переменного. БицадзеА. В.
Главная редакция физико-математической
литературы изд-ва «Наука», 1969.
В книге дается сжатое изложение элементов
теории аналитических функций как одного, так и
нескольких переменных. Она может быть полезной для
студентов, механико-математических факультетов, а
также для лиц, которые, не будучи специалистами по
теории функций, интересуются этим разделом математики.
3-tft

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 8
Глава I
Комплексные числа 9
§ 1. Введение комплексных чисел 9
1. Определение комплексных чисел и основные операции
над ними 9
2. Геометрическое изображение комплексных чисел.
Понятие модуля и аргумента комплексного числа 10
3. Интерпретация Римана комплексных чисел. Понятие
расширенной комплексной плоскости 14
§ 2. Множества точек на расширенной комплексной плоскости 16
1. Некоторые основные понятия и элементарные
утверждения ..... 16
2. Лемма Гейне — Бореля — Лебега 21
3. Принцип Больцано — Вейерштрасса 22
§ 3. Предел 23
1. Предел последовательности точек комплексной
плоскости ; 23
2. Понятие фундаментальной последовательности и
критерий Коши 24
3. Общие замечания относительно содержательного смысла
некоторых бесконечных процессов 26
4. Числовые ряды 28
Упражнения 32
Глава II
Функции комплексного переменного 34
§ 1. Определение функции. Предел функции 34
1. Комплексное переменное 34
2. Функция комплексного переменного 34
3. Предел функции 35
§ 2. Непрерывность функции комплексного переменного 37
1. Непрерывность и равномерная непрерывность функции
комплексного переменного 37

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
2. Кривая Жордана » < . . . 40
3. Некоторые простейшие примеры функций комплексного
переменного 43
§ 3. Функциональные ряды 44
1. Сходимость и равномерная сходимость функционального
ряда 44
2. Степенные ряды. Радиус сходимости 46
3. Основные арифметические операции над степенными
рядами 51
4. Определение некоторых элементарных функций с
помощью степенных рядов 53
5. Вторая теорема Абеля 56
Упражнения 59
Глава III
Аналитические функции комплексного переменного..... 61
§ 1. Понятие аналитической функции 61
1. Моногенность. Условия Коши — Римана 61
2. Определение аналитической функции 63
3. Конформное отображение 66
§ 2. Обращение некоторых элементарных функций и понятие
римановой поверхности 71
1. Конформность отображения, осуществляемого
однолистной аналитической функцией 71
2. Дробно-линейная функция 72
3. Степенная функция 72
4. Экспоненциальная функция .' 74
5. Функция sin z ♦ : 75
§ 3. Дробно-линейное отображение 78
1. Редукция невырожденного дробно-линейного
отображения к отображениям простейшего вида 78
2. Симметрия относительно прямой и окружности 80
3. Основные свойства невырожденного дробно-линейного
отображения 81
4. Понятие неподвижной точки и классификация
невырожденных дробно-линейных отображений. • 84
Упражнения 87
Глава IV
Теория интеграла Коши 89
§ 1. Комплексное интегрирование 89
1. Определение интеграла и его основные свойства 89
2. Интегральная формула Бореля — Помпею 91
3. Лемма Гурса 94
§ 2. Теория Коши, 96
1. Теорема Коши 96
2. Интегральная формула Коши 101

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
3. Интеграл типа Коши 102
4. Понятие неопределенного интеграла и обращение теоремы
Коши 104
5. Понятие гармонической функции. Восстановление
аналитической функции по ее действительной части 108
§ 3. Некоторые важнейшие утверждения, вытекающие из
интегральной формулы Коши 110
1. Принцип максимума модуля 110
2. Лемма Шварца 112
3. Теоремы Вейерштрасса о рядах аналитических функций 113
4. Интегральные формулы Шварца и Пуассона. ....... 116
5. Об одном признаке сходимости к нулю последователь- -
' ности аналитических функций 118
§ 4. Интеграл в смысле главного значения по Коши 119
1. Условие Гёцьдера : ; . 119
2. Определение интеграла в смысле главного значения по
Коши 120
3. Предельные значения интеграла типа Коши и формулы
Сохоцкого — Племеля 122
4. Задача Дирихле для гармонических функций в круге. . 124
Упражнения • * 126
Глава V
Ряды Тейлора и Лорана. Элементы теории вычетов .... 129
§ 1. Ряд Тейлора 129
1. Теорема Тейлора 129
2. Единственность аналитической функции 130
3. Нули аналитической функции 131
4. Неравенства Коши и теорема Лиувилля 132
§ 2. Ряд Лорана. Изолированные особые точки 133
1. Теорема Лорана 133
2. Изолированные особые точки аналитической функции. . 136
3. Бесконечно удаленная изолированная особая точка ... 141
' 4. Понятия целой и мероморфной функций 142
§ 3. Элементы теории вычетов , . 144
1. Понятие вычета • . ♦ . 144
2. Вычисление' некоторых контурных интегралов 145
3. Принцип аргумента аналитической функции 147
4. Интегральная формула Коши для бесконечной области 15Э
5. Разложение на простейшие дроби некоторых мероморф-
ных функций 153
6. Применение вычетов для вычисления некоторых
определенных интегралов 156
Упражнения 1М 158

6 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава VI
Бесконечные произведения и элементы теории целых
функций 161
§ 1. Бесконечные произведения 161
1. Критерий сходимости бесконечного произведения .... 161
2. Абсолютно сходящиеся бесконечные произведения 163
3. Равномерно сходящиеся бесконечные произведения
аналитических функций 164
§ 2. Элементы теории целых функций 165
1. Каноническое произведение и его род 165
2. Представление целой функции в виде бесконечного
произведения 169
3. Род целой функции 170
4. Представление мероморфной на комплексной плоскости
функции в виде отношения двух целых функций 171
Упражнения 172
Глава VII
Основные принципы конформного отображения 174
§ 1. Аналитическое продолжение 174
1. Понятие аналитического продолжения 174
2. Теорема монодромии 175
3. Принцип непрерывности 176
4. Принцип симметрии Римана — Шварца 177
5. Аналитическое продолжение действительной
аналитической функции действительного переменного 178
6. Принцип Шварца 179
§ 2. Свойство единственности аналитических функций 180
1. Некоторые элементарные утверждения о единственности
аналитических функций 180
2. Лемма Карлемана и обобщение теоремы единственности 181
§ 3. Конформное отображение односвязных однолистных
областей 183
1. Предварительные замечания 183
2. Условия единственности конформно отображающей
функции 185
3. Формулировка теоремы Римана о конформном
отображении и некоторые вспомогательные утверждения.... 186
4. Доказательство существования конформно
отображающей функции 189
5. Соответствие границ при конформном отображении... 192
6. Принцип взаимно однозначного соответствия. Формула
Кристоффеля — Шварца . 193
Упражнения 195

ОГЛАВЛЕНИЕ 7
Глава VIII
Функции многих переменных 198
§ 1. Аналитические функции многих комплексных переменных 198
1. Некоторые обозначения и основные понятия 198
2. Кратные ряды с комплексными членами 200
3. Степенные ряды с несколькими переменными 201
4. Понятие аналитической функции многих комплексных
переменных 202
5. Аналог теоремы Тейлора 204
6. Аналитическое продолжение действительной
аналитической функции действительных переменных 206
7. Распространение гармонической функции для
комплексных значений ее аргументов. Формула Гурса 208
§ 2. Конформное отображение в многомерных евклидовых
пространствах 209
1. Некоторые определения и обозначения 209
2. Конформность отображения по Гауссу 210
3. Примеры конформного отображения 211
4. Теорема Лиувилля 213
§ 3. Аналог системы Коши — Римана в трехмерном евклидовом
пространстве 216
1. Области с гладкой и кусочно-гладкой границей 216
2. Некоторые интегральные равенства, вытекающие из
формулы Гаусса — Остроградского 218
3. Трехмерный аналог системы Коши — Римана 220
4. Аналог интеграла в смысле главного значения по Коши 223
5. Аналоги формул Сохоцкого — Племеля , . . . . 225
6. Гармонические функции 226
7. Признак сходимости последовательности градиентов
гармонических функций 229
Упражнения 231
Указатель 234

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга представляет собой курс лекций,
читаемых автором в течение ряда лет студентам пятого и
шестого семестров математического отделения
механико-математического факультета Новосибирского государственного
университета. Она в основном охватывает элементы
классической теории аналитических -функций одного комплексного
переменного. Лишь последняя (восьмая) глава посвящена
теории функций нескольких переменных.
В настоящее время как в отечественной, так и
зарубежной математической литературе имеется ряд превосходных
учебников и учебных пособий по теории функций
комплексного переменного, которые, естественно, повлияли на
построение курса наших лекций.
При подготовке к печати рукописи большую помощь
оказали члены кафедры теории функций Новосибирского
государственного университета: П. А. Билута, Д. К. Гвазава,
С. Л. Крушкаль, А. М. Нахушев, А. И. Прилепко и А. В.
Сычев. Ценные замечания были сделаны редактором книги
Д. Е. Соломенцевым. Всем им автор выражает свою
искреннюю благодарность,
15 мая 1968 г.
г. Новосибирск
А. В. Бицадзе

Глава I
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Введение комплексных чисел
1. Определение комплексных чисел и основные
операции над ними. Комплексным числом а называется пара
(а, Ь) действительных чисел а и Ь, взятых в определенном
порядке. Первая компонента а этой пары называется
действительной частью, а вторая компонента Ъ — мнимой
частью (или коэффициентом при мнимой части)
комплексного числа а, и для них приняты обозначения: а = Re а, Ь = Im а.
При Ь = 0 комплексное число а = (а, 0) отождествляется
с действительным числом а. При а = 0 комплексное число
а = @, Ь) называется мнимым. Числа @, 0) = 0, A, 0)=1
и @, 1) = / называются нулем, единицей и мнимой единицей
соответственно.
По определению, комплексные числа а1 = (а1, bt) и a2 =
= (fl2> Ьъ) равны у если ^ = а2 и bt = fr2.
Суммой двух комплексных чисел а1 = (а1, bx) и а2 = (а2, £2)
называется комплексное число ах -|- а2 = (^ -\- аъ Ьх -\- &2)>
а их произведением — комплексное число a1a2 = (a1a2 — ^&2,
|
|
Непосредственной проверкой устанавливается, что
введенные арифметические операции подчинены известным
законам арифметики:
ai -f* a2 = a2 -j~ ai — коммутативность сложения,
— коммутативность
умножения,
) — ассоциативность сложения,
(j) = at (a2a3) — ассоциативность умножения,
(ai 4" ^ °^ = aia3 H~ aaa3 — дистрибутивность.
Из определений операций сложения и умножения
очевидны равенства
«0 = 0, a»l=a,

10 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. Г
В силу только что отмеченного свойства мнимой
единицы заключаем, что комплексное кисло а = (а, Ь) может
быть представлено в виде a.=za-{-ib.
В самом деле, имеем
Вычитание определяется как операция, обратная
сложению, т. е. разностью at — с^ называется комплексное число а3,
обладающее свойством а2-|-аз = а1. Если ах = (а19 Ьг), а3 =
= (а2> h), то aj — а3 = а3 = (а1 — аь bx — b^.
Комплексное число а — ib называется сопряженным
с комплексным числом а = а-{-1Ь, и для него принято
обозначение а. Переход от данного комплексного числа к
сопряженному называется операцией сопряжения. Очевидно, что
+ aj •а3 = а1.а3, а-]-а == 2а,
а —а = 2/й, as = *|ft20
Деление на комплексное число, отличное от нуля,
определяется как операция, обратная умножению, т. е. под частным
^-, оа ф 0, понимается комплексное число а4, обладающее
свойством ^2^ = ^.. Для представления а4 в виде
следует провести простое вычисление
«1 ai±lbi (flt + ibj) (a2 — ib2) а^ + М» . ,a2bl
+ ~*9 — atTlb9—(at + tbJ(a9 — ibt)— а\ + Ь\ "Г'1 a\
a\+b\ '
Операция, сопоставляющая каждому отличному от нуля
комплексному числу а комплексное число -=-, где число R^>0
задано, называется инверсией.
2. Геометрическое изображение комплексных чисел.
Понятие модуля и аргумента комплексного числа.
Неотрицательное число \z\ = Vz2 называется модулем
комплексного числа z = x-\-iy. Очевидно, что |z| = 0 тогда и
только тогда, когда z = 0.
Так как | Z& ... zn |3 = zt . г3.. ..•2п-21 • 22....-2п =
= I z\ I2 I *з |2 • • • I zn i3» T0 имеем
A)

§ I] ВВЕДЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 11
Из равенства | z |2 = zz = Jt2-|-j/a непосредственно
вытекают неравенства
— | г | < Re z ^ | z |, — | z | < Im г < | z |. B)
Ввиду того, что
\гх — *a|a = (*t — ^)(^ — z2) = |^
на основании первого из неравенств B) и равенства A)
заключаем, что
I*i+*iKI*i| + I*I C)
и
Ut-^M^I-l^ll. D)
Легко показать, что для двух систем комплексных чисел
zv ?s, ...,£„ и z[t z'b ..., z'n всегда имеет место неравенство
В самом деле, введем обозначения
При 5 = 0 соотношение E) переходит в равенство 0 = 0.
В предположении, что В Ф 0, неравенство E) следует из
очевидного равенства
и неравенств
Обозначим через £2 евклидову плоскость с декартовыми
ортогональными координатами х и у. Так как комплексное
число z = х -f- (у является парой (^, у) действительных чисел,
а множество всевозможных пар (х, у) действительных чисел

12 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. I
находится во взаимно однозначном соответствии с крнечной
частью Еъ то каждую конечную точку (х, у) £ £3 можно
принять за изображение комплексного числа z = x-\-iy.
В таком истолковании Е% естественно называть комплексной
плоскостью, a z — точкой этой плоскости.
Так как модуль комплексного числа z обладает всеми
свойствами нормы: 1) |<г| = 0 тогда и только тогда, когда
-Z = 0, 2) | Xz | = | X11 z | (однородность нормы) и 3) \zt -f- г2| ^
^ | zt | -j- | Zi | (неравенство треугольника), то \zx—г2|
естественно принять за. расстояние между точками Z\ и г2
комплексной плоскости. Величина \г\ представляет собой
длину радиуса.-вектора точки z.
Очевидно, что каждая точка комплексной плоскости
находится на конечном расстоянии от точки 2 = 0.
При такой интерпретации комплексных чисел операции
сложения и вычитания выполняются по правилам сложения и
вычитания векторов. Из рассмотрения треугольников с
вершинами в точках 0, zu Zi-\-z<i и 0, zu z± — г2 усматривается
наглядный смысл неравенств C) и D).
Угол ср, составленный радиусом-вектором точки z с
положительным, направлением оси х, называется аргументом
комплексного числа z, и для него принято обозначение
ср = arg z.
Положение точки z на комплексной плоскости однозначно
определяется как ее декартовыми координатами х, у, так и
полярными координатами г = |г|, cp = arg*. Эти координаты
связаны между собой простыми формулами
х = г cos ср, у = г sin ср,
г* = х* -\-у\ ср = arctg ^-.
По заданной точке z ее модуль определяется
единственным образом, а аргумент — с точностью до слагаемого
2kn, k = 0, ± 1, ... Значение argz, удовлетворяющее
условию — TC<^arg^^ir, называется главным.
Точка z = 0 является единственной точкой комплексной
плоскости, для которой аргумент не определен.
Так как уравнениями осей х и у являются соответственно
lmz=0 и Re2 = 0, то обычно их называют действительной
и мнимой осями.

$ 1] ВВЕДЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 13
Из формул, связывающих декартовы и полярные
координаты точки z, получается тригонометрическая запись
z = \z\ (cos arg z -f- i sin arg z). F)
Пользуясь записью F) для комплексных чисел
= | zxz<l I (cos cp -)- i sin cp), zx = \z1\ (cos cp! -)-1 sin cpt),
г2 = | г21 (cos cp.2 -)- / sin cp2),
где cp = arg (ZxZz), cp1 = arg^1, cp2 = arg22, и правилом
умножения комплексных чисел, получим
n ср) =
= | *i 11 *« I [cos (cp, + ср2) + i sin (Tl + cp2)], G)
откуда сразу следуют уже известное свойство A) модуля
комплексного числа и равенство
= arg zx + arg z2 + 2Air, (8)
где k принимает целочисленные значения 0, ±1, ...
Из равенства /г1 = <г2г3, где z2 ф О, в силу A) и (8) заклю-
i7 == arg ^ — arg ^2 + 2^тс-
чаем, что
*2
Формула G) и, следовательно, свойство (8) произведения
двух комплексных чисел легко обобщаются по индукции на
любое конечное число п сомножителей zu z2f ..., zn.
arg{zxz^ ... zn) = argzx + argz2 +... + argzn + 2Атт. (9)
В частности, при Zx = z^ = ... = zn = z из A) и (9)
получаем
| zn | = | z \n, arg zn = л arg z -j- 2Aic,
т. е.
sin л arg г). A0)
Формула A0) известна под названием ф о р м ул ы М у а в р а.
Пусть теперь комплексное число а ф 0. Корень
натуральной степени л из а определяется как такое комплексное
число z = yra, которое, будучи возведенным в степень л,
дает число а, т. е.
гл = а. A1)

14 комплексные числа (гл. i
Пользуясь формулой A0) и тригонометрическими записями
2 = 1*1 (cos arg z -f- / sin arg z\
a = | a | (cos arg a -f- / sin arg a),
получим
| z \n (cos n arg z-\-i sin n arg z) = | a | (cos arg a -f- / sin arg a),
откуда
|*|" = |a|, /iarg* = arga-f-2*7r, k = 0, ± 1, ... A2)
Из A2) имеем
то есть
^й[ "»« + »» + sin
* = 0, ±1, ... A3)
Из формулы A3) очевидно, что среди значений -/"а /?аз-
личными являются только п, причем все они получаются
из A3), если k придавать последовательно п значений,
например, k = 0, 1, ..., п—1.
3. Интерпретация Римана комплексных чисел. Понятие
расширенной комплексной плоскости. В евклидовом
пространстве £3 с декартовыми ортогональными координатами 5,
диуса у
рассмотрим сферу S с центром в точке (о, 0, у)
раA4)
Плоскость £ = 0 примем за комплексную плоскость z,
действительная ось которой у = 0 совпадает с осью ifj = O,
С = 0, а мнимая ось х = 0 — с осью 5 = 0, £ = 0.
Из точки Р@, 0, 1) проведем луч, пересекающий сферу 5
в отличной от Р точке М E, ifj, С). Точку пересечения луча РМ
с комплексной плоскостью обозначим через z = x-\-iy.
Точка М называется стереографической проекцией точки z
на сферу 5 с полюсом Р.

§ 1] ВВЕДЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 15
Стереографическая проекция устанавливает взаимно
однозначное соответствие между точками сферы 5 с выколотым
полюсом Р и множеством всех точек комплексной
плоскости z.
В силу коллинеарности точек Р@, 0, 1), М(£, iq, С) и z
имеем
8 _ц _С— 1
х у — 1 '
или
Учитывая то обстоятельство, что
в силу A4) получим
откуда
Подставляя значение £ из A6) в A5), будем иметь
х у
Формулы A6) и A7) называются формулами
стереографической проекции.
Стереографическая проекция обладает следующим
замечательным свойством: она сопоставляет окружности на
плоскости z окружность на сфере 5, и обратно.
В самом деле, уравнение, окружности на плоскости z
имеет вид -
\ \ 0, A8)
где Л, 5, С и D — действительные числа, удовлетворяющие
условиям A^zO, S2+C2>4AD.
В частности, при А = 0 уравнение A8) определяет
прямую на комплексной плоскости.

16 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. I
В силу A4) и A5) уравнение A8) принимает вид
(A —D)<; + 5E + Ctj + D = 0. A9)
Уравнения A9) и A4) определяют окружность на сфере A4).
Ввиду того, что уравнение A9) при условиях Л^О,
Я2 -f- С2 > 4AD определяет любую пересекающую сферу 5
плоскость в пространстве Е$> очевидно и обратное
утверждение.
Так как при А = 0 плоскость A9) проходит через полюс Р9
то при стереографической проекции прямая па комплексной
плоскости переходит в окружность на сфере 6*, проходящую
через полюс, и обратно.
Введем теперь в рассмотрение «идеальное» комплексное
число z = oo и «пополним» комплексную плоскость
присоединением к ней единственной бесконечно удаленной точки,
соответствующей числу z = oo.
Комплексную плоскость вместе с бесконечно удаленной
точкой будем называть расширенной комплексной
плоскостью.
Дополняя соответствие, установленное стереографической
проекцией A6), A7), сопоставлением полюсу Р сферы 5
точки z = co, получим взаимно однозначное соответствие
между 6* и расширенной комплексной плоскостью.
Следовательно, каждую точку сферы S можно рассматривать как
изображение соответствующей точки расширенной
комплексной плоскости. Такая интерпретация комплексных чисел
называется интерпретацией Римана, a S—сферой Римана.
§ 2. Множества точек на расширенной
комплексной плоскости
1. Некоторые основные понятия и элементарные
утверждения. Окрестностью С(8, z0) точки <г0 комплексной
плоскости называется множество точек z, удовлетворяющих
неравенству \z — z0 | <^ 8, где 8 — заданное положительное
число. Это множество представляет собой круг радиуса 8
с центром в точке z0.
Окрестностью С (8, оо) бесконечно удаленной точки
называется множество точек z расширенной комплексной
плоскости, удовлетворяющих неравенству |

§2] РАСШИРЕННАЯ КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ XI
Пусть Е — множество точек на расширенной комплексной
плоскости. Для дополнения Е до расширенной
комплексной плоскости примем обозначение СЕ. Множество Е
называется ограниченным, если можно указать положительное число
8 такое, что С (8, 0) содержит внутри себя множество Е.
Точка z0 называется изолированной точкой множества Е,
если существует такое 8^>0, что пересечение Е(~)С(Ъ, zQ)
состоит из единственной точки z0.
Точка zQ расширенной комплексной плоскости называется
предельной /почкой множества Е> если для любого 8]>0
в пересечении Ef)C(b, z^ имеется бесконечное множество
точек Е.
Множество всех предельных точек данного множества Е
называется производным множеством, и его принято
обозначать через Е\ Множество Е называется замкнутым, если
E'CIE. Объединение (сумма) E{J E'=E называется
замыканием множества Е. Очевидно, что замыкание является
замкнутым множеством.
Пересечение Е(~)СЕ=Г называется границей
множества Е. Каждая точка zQ £ Г называется граничной точкой
множества Е. Она обладает тем свойством, что для любого
8^>0 ни одно из множеств Е(~}С(Ъ, z0), CEf]C(bf z0) не
совпадает с пустым множеством 0.
Точка zQ называется •внутренней точкой множества Е,
если существует 8^>0 такое, что С (о, zo)(ZE. Множен во Е
называется открытым, если каждая точка этого множества
является его внутренней точкой. При любом 8^>0
окрестность С (8, zQ) является открытым множеством.
Из определения замкнутых и открытых множеств
непосредственно следует справедливость следующих утверждений:
1) если Е замкнуто, то СЕ открыто) 2) если Е открыто,
то СЕ замкнуто] 3) пересечение любого множества
замкнутых множеств замкнуто; 4) объединение любого
множества открытых множеств открыто; 5) объединение
конечного числа замкнутых множеств замкнуто; 6)
пересечение конечного числа открытых множеств открыто.
Из утверждений 1) и 2) вытекает, что пустое
множество и множество всех точек расширенной комплексной
плоскости одновременно являются и открытыми и
замкнутыми.

18 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. Г
Мы скажем, что конечная или бесконечная система О
открытых множеств является открытым покрытием £, если
каждая точка z £ Е принадлежит по крайней мере одному
множеству из системы О.
Множество Е называется связным, если нельзя найти двух
открытых множеств Ох и Оа, удовлетворяющих условиям
0^ 0. B0)
Очевидно, что пустое множество и множество,
составленное из единственной точки, являются связными.
От противного легко показать связность множества Е
точек прямолинейного отрезка, соединяющего точки Z\ и z.2.
В самом деле, предположим, что существуют открытые
множества Oj и Оь удовлетворяющие условиям B0). Пусть
ai £ Е О Ох и Pi £ E f\ О* Обозначим через а2р2 ту
половину прямолинейного отрезка а^, для которой а2 £ Е (~) Ох
и h £ Е П О2. Точно так же обозначим через алрл ту
половину прямолинейного отрезка v-n-$n-\> Для которой
ал G ^ П Oi и Рл G £ П Оз. В силу известного свойства
вложенных прямолинейных отрезков заключаем, что
существует единственная точка т£аяРл» я=1, 2, ... Но точка f
не может принадлежать ни Oi, ни 0.2, ибо f £ ^* (yfe=l
или Д; = 2) означало бы, что все отрезки artprt, начиная с
определенного номера, принадлежат Ok. Мы пришли к
противоречию.
Мы скажем, что две точки множества Е можно
соединить ломаной, если существует линия, составленная из
конечного числа прямолинейных звеньев, соединяющая между
собой эти точки и принадлежащая Е (в случае, когда одна
из взятых точек является бесконечно удаленной,
предполагается, что одно звено ломаной имеет бесконечную длину).
Приведенное выше общее определение связности в случае
открытого множества Е означает, что нельзя найти двух
открытых множеств Ох и О2, удовлетворяющих условиям
, ОхФф, Оъфф. B1)
Это определение связности в случае непустого открытого
множества Е равносильно тому, что любые две точки Е
могут быть соединены ломаной.

§2] РАСШИРЕННАЯ КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ 19
В самом деле, пусть Е— открытое связное множество по
только что указанному определению, а точка Z\ £ Е.
Обозначим через Ох множество всех тех точек Е, каждую из
которых можно соединить с zx ломаной. Оставшуюся часть Е
обозначим через О2, т. е. Е = Oi\J O2 и
ф. B2)
Пусть z^—произвольная фиксированная точка Oi. Так
как z* £ Е и Е открыто, существует 8 ]> О такое, что
С (8, z^CZE. Каждую точку z£C(b, z^) можно соединить
с z^ прямолинейным отрезком и, стало быть, z можно
соединить с zt ломаной, т. е. С (8, z^CZOi, а это означает, что
z2 — внутренняя точка Ох. Тем самым открытость
множества О\ доказана.
Пусть теперь г2 £ О2. Существует 3 ]> 0 такое, что
С (8, z^CLE. Ни одна точка z окрестности С (8, z2) не может
быть точкой множества Оь ибо в противном случае можно
было бы z% соединить ломаной с zt £ Oi и тем самым имели
бы <г2 £ Оъ что противоречит условию B2). Следовательно,
С(8, ^)СО2) т. е. Оа открыто.
Легко видеть, что множество О2 пусто. В противном
случае открытые множества Ot и О2 удовлетворяли бы условиям
B1), а это противоречит связности множества Е.
Допустим теперь, что открытое множество Е не является
связным, т. е. существуют открытые множества Ох и О2>
удовлетворяющие условиям B1). Пусть zx £ Ог и z2 £ О2.
Покажем, что точки zx и <г2 не могут быть соединены
ломаной, принадлежащей множеству Е. Допустив обратное, без
ограничения общности можем полагать, что zx и z2 могут
быть соединены между собой одним прямолинейным
отрезком /:
-zx), 0<*<1. B3)
В силу B1) мы должны иметь
iUO* /00x002=0. /00,^0.
а это противоречит связности отрезка /.
Аналогичным рассуждением можно показать, что любые
две точки открытого связного множества могут быть
соединены ломаной, одни звенья которой параллельны
действительной оси, а другие — мнимой.

20 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. I
Открытое связное множество называется областью, а
замыкание области — замкнутой областью.
Компонентой К множества Е будем называть связное
подмножество этого множества, обладающее тем свойством,
что не существует другого связного подмножества К\
множества Еу удовлетворяющего условию KCZKV Другими
словами, компонентой множества Е называется любое его
максимальное связное подмножество.
Справедливо следующее утверждение: каждое множество
Е единственным образом может быть представлено как
объединение своих компонент.
В самом деле, пусть zx £ Е и Е1 — объединение всех
связных подмножеств Е, содержащих в себе точку zv
Допущение того, что Ег не является связным, равносильно
существованию открытых множеств Ох и О2, удовлетворяющих
условиям
Пусть гх £ О! и z2 £j Ег f\ О2. Ввиду ТОГ9, что гх и
z2 обе принадлежат Ev существует связное множество
EodE такое, что Z\ £ Е^ и z2 ^ Ео, а это противоречит
связности Ео, так как
Е*С\О2Ф 0.
Следовательно, Е\ связно. Среди связных подмножеств Е,
содержащих zv максимальным, очевидно, является Ev т. е. Ех
является компонентой множества Еу причем для каждой точки
z £Е содержащая ее компонента определяется единственным
образом.
Заметим, что каждая компонента открытого множества Е
может рассматриваться как объединение всех открытых
связных подмножеств Еу содержащих фиксированную точку этой
компоненты. Следовательно, каждая компонента открытого
множества является областью.
Компоненту замкнутого множества иногда называют
континуумом. При таком определении континуума точка тоже
может оказаться континуумом.

§2] РАСШИРЕННАЯ КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ 21
Число компонент границы данной области называется
порядком связности этой области. Граница окрестности
С(8, z0) точки z0 расширенной комплексной плоскости состоит
из единственной компоненты, которая является окружностью.
Следовательно, C(S, zQ) — односвязная область.
Ниже в основном будут рассмотрены области с конечным
порядком связности.
На расширенной комплексной плоскости замкнутое
множество называется компактным. Если компактное множество
не содержит бесконечно удаленной точки, то оно ограничено.
2. Лемма Гейне — Бореля — Лебега. В комплексном
анализе важную роль играет следующая лемма Гейне —
Бореля — Лебега: для компактности множества Е
точек на расширенной комплексной плоскости необходимо
и достаточно, чтобы из любого его бесконечного открытого
покрытия О можно было выделить конечное открытое
покрытие.
При доказательстве необходимости достаточно
ограничиться рассмотрением случая, когда Е ограничено. В самом
деле, обозначим через Ооо — открытое множество из системы
О, содержащее точку г = оо. Очевидно, что СО<Х>С\Е = Е1
является ограниченным замкнутым множеством, и если для
Ei из покрытия О можно выделить конечное его покрытие,
то тем самым необходимость условия леммы будет доказана
и для Е.
Итак, будем предполагать, что множество Е ограничено,
т. е. существует квадрат Qx: —а^ ^.а, содержащий
внутри себя Е.
Допустим, что из бесконечного открытого покрытия О
множества Е нельзя выделить конечного покрытия этого же
множества. Разделим прямыми х = 0, у = 0 квадрат Qt на
четыре квадрата. Обозначим через Q2 тот из полученных
четырех квадратов, для которого Е f\ Q2 нельзя покрыть
конечным числом открытых множеств из О (такой квадрат
по допущению существует). Разделим Q2 прямыми,
параллельными соответственно осям х = 0, у = 0, на четыре
конгруэнтных квадрата и обозначим через Q3 тот из них, для
которого Е П Qz нельзя покрыть конечным числом открытых
множеств из системы О. Продолжая этот процесс бесконечно,

22 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. I
получим последовательность квадратов {Q/J со свойствами:
1) Ef^Qk нельзя покрыть конечным числом открытых
множеств из покрытия О, 2) Qk + idQk и 3) диагональ ak
квадрата Qk стремится к нулю при &-*оо.
Из вводного курса математического анализа известно, что
со
Г) Qk состоит из единственной точки z0, которая, очевидно,
является предельной точкой множества Е и, следовательно,
принадлежит ему. Обозначим через QZo открытое множество
из покрытия О, содержащее точку z0. По определению
открытого множества существует 8^>0 такое, что С (8, zQ)CZOZo.
Для указанного 8, в свою очередь, существует натуральное
число N такое, что QjvCIC(^ zo)y т. е. для покрытия
множества Е О Qm достаточно одного множества 0Zo из О.
Полученное противоречие доказывает необходимость условия леммы.
Так как расширенная комплексная плоскость компактна,
при доказательстве второй части леммы достаточно
ограничиться рассмотрением случая, когда СЕ не пусто.
Обозначим через z0 произвольную, фиксированную точку
множества СЕ. Для каждой точки z £j E существует
окрестность С (8, z), замыкание которой С (8, z) не содержит точки zQ.
Совокупность С (8, z), когда z пробегает множество Е}
представляет собой открытое покрытие Е. По условию леммы
существует конечное покрытие [С(8, z^ С(8, z2),..., С(8, zn)\
множества Е. Пересечение Г\ СС(8, zk) есть открытое под-
множество СЕ, содержащее внутри себя точку <г0, т. е. z0
является внутренней точкой множества СЕ. Следовательно,
СЕ открыто и, стало быть, Е замкнуто.
3. Принцип Больцано — Вейерштрасса. Одним из
важнейших следствий леммы Гейне — Бореля — Лебега является
принцип Больцано — Вейерштрасса: любая
бесконечная последовательность
{zk}, * = 1,2, ..., B4)
точек zk компактного множества Е на расширенной
комплексной плоскости имеет по крайней мере одну
предельную точку.

§ 3] ПРЕДЕЛ 23
Предположим, что ни одна точка множества Е не
является предельной для последовательности B4). Это означает,
что для любой точки z £ Е существует такое Ь > О, что
С (8, z) содержит внутри себя не более чем конечное число
точек последовательности B4). Обозначим через О систему
открытых множеств С(&, z)y когда z пробегает все точки
множества Е. Система О является открытым покрытием Е и
в силу леммы Гейне — Бореля — Лебега из нее можно
выделить конечное покрытие [С(Ьи z[), СE.2, z'i),..., С(8Л, Zn)]
множества Е. Так как каждая из С(Ък, z'k)y k=\, 2, ..., п,
содержит не'более чем конечное число точек
последовательности B4), последняя не может быть бесконечной. Значит,
наше предположение не верно, и тем самым принцип Боль-
цано — Вейерштрасса доказан.
Ввиду того, что расширенная комплексная плоскость сама
является компактным множеством, из принципа Больцано —
Вейерштрасса, в частности, следует, что любая бесконечная
последовательность точек на расширенной комплексной
плоскости имеет по крайней мере одну предельную точку.
§ 3. Предел
1. Предел последовательности точек комплексной
плоскости. Если последовательность
*!, **...,**,... B5)
точек комплексной плоскости ограничена и имеет
единственную предельную точку г0, то говорят, что эта
последовательность сходится к г0, т. е. имеет своим пределом zOt и пишут
lim zk = z0.
Другими словами, z0 является пределом последовательности
B5), если для любого Ъ^>0 можно указать натуральное
число N(b) такое, что zk^C(bt z0) для всех k^N.
Не сходящиеся последовательности называются
расходящимися.
Когда последовательность расходится и бесконечно
удаленная точка является, ее единственной предельной точкой,
пишут
lim zk = oo. B6)
ft

24 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. Г
Равенство B6) означает, что для любого 8^>0
существует натуральное число N(b) такое, что zk^CC(by 0) для
всех k^N.
Интерпретация Римана комплексных чисел позволяет
придать равенству B6) особенно наглядный смысл.
В самом деле, стереографической проекцией
последовательности B5) в силу формул A6) и A7) является
последовательность {Mk(£*, т|л, С*)}, k= 1, 2, ..., точек на сфере Римапа
с координатами
с хк Ук у \zk Is
Наличие равенства B6) в силу B7) и очевидных неравенств
I Xk 1^ | zk !» IУk I ^ I zk I означает, что последовательность
{Мк} сходится к полюсу Р сферы Римана.
Из определения предела последовательности
непосредственно следует, что если последовательности {zk} и {z'k}
сходятся, то сходящимися являются, и последовательности
{zk±z'k}, {zk-Zz},\~\ (в последнем случае предполагается,
что z'k Ф 0, lim гк Ф 0), причем
lira (zk±zrk)= lim zk± lim z'k,
k —> OO k -#■ OO &-+OO
lim B/,-2*) = lim гл- lim г^,
f-^OO /f — OO k —• 00
k
lim
lim 2£
lim ^ _ *-°° t
-^oo^ lim 2L
k QO
Доказательство равенств B8) ничем не отличается от
доказательства соответствующих утверждений для
последовательностей действительных чисел.
2. Понятие фундаментальной последовательности
и критерий Кош и. Последовательность B5) называется
фундаментальной (или последовательностью Коши), если для
любого 8^>0 существует натуральное число N(b) такое, что
B9)
для любого натурального тщ

§ 3] ПРЕДЕЛ 25
В дальнейшем мы часто будем пользоваться следующим
критерием Кош и: для сходимости последовательности
B5) необходимо и достаточно, чтобы она была
фундаментальной.
Пусть последовательность B5) сходится и имеет своим
пределом z^ Это означает, что для любого 8 ]> О
существует натуральное число N(b) такое, что \zN—
|*лг+1и—^оК у Для любого натурального т.
Следовательно, имеем
и тем самым необходимость условия B9) доказана.
Предположим теперь, что условие B9) выполнено. Это
означает, что для любого 8]>0 существует натуральное число
N(b) такое, что все точки последовательности B5), кроме
конечного числа, лежат в круге С (8, zN)\ \г — zN | <^ 8. В силу
принципа Больцано — Вейерштрасса последовательность B5)
имеет предельную точку zQt лежащую в замкнутом круге
С (8, гЛг). Легко видеть, что <г0 — единственная предельная
точка последовательности B5). В самом деле, допустим, что
z'o тоже является предельной точкой последовательности B5),
отличной от <г0. Выберем число 8]>0 так, чтобы
Ввиду того, что точки z0 и z'q обе лежат в круге С (8, zN),
мы должны иметь
|*о — *о|^28>
а это противоречит неравенству C0). Следовательно, zQ = zo
и, стало быть,
lim zk = ZQ.
Легко видеть, что если z0 Ф оо является предельной
точкой множества Е точек комплексной плоскости, то из Е
всегда можно выделить последовательность, сходящуюся к z0.
В самом деле, так как zQ — предельная точка
множества Е, пересечение Ef)(\z — го|<^-т-) = Я/г для любого

26 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. t
натурального k содержит бесконечное множество точек. В
силу принципа произвольного выбора Цермело из каждого Е&
можно выбрать по точке zk (zk ф z0 при г0 £ Е).
Последовательность {zk}t k = l, 2, ..., сходится к Zq. Это следует из
того, что для любого 8^>0 число N можно взять настолько
большим, что для любого k^N будем иметь т-<^> т. е.
3. Общие замечания относительно содержательного
смысла некоторых бесконечных процессов. Выражение
вида
где ak — вполне определенные комплексные числа, отличные
от оо, носит название ряда.
Когда число отличных от нуля слагаемых (членов) ряда
C1) бесконечно, сумма C1) в обычном понимании не имеет
смысла. Тем не менее понятие сходимости числовой
последовательности позволяет бесконечному процессу сложения
в выражении C1) придать вполне определенный
содержательный смысл. Это делается следующим образом. Обозначим
п
через sn сумму первых п членов ряда C1), sn= 2 аь-
k = i
Говорят, что ряд C1) сходится (суммируем) или расходится
в соответствии с тем, сходится или расходится
последовательность {$„}. В случае существования предела 5= lim sn число
Л -» 00
5 называется суммой ряда C1).
Необходимое условие сходимости (суммируемости) ряда
C1) получается из равенства sn — sn_1 = a.n в результате
предельного перехода, и оно имеет вид
lim ая = 0. C2)
л —► оо
Видоизменяя понятие сходимости, некоторым расходящимся
рядам также можно придать содержательный смысл. Так,
например, говорят, что ряд C1) суммируем по методу

§31 ПРЕДЕЛ 27
Чезаро, или (С, 1) суммируем, если существует конечный
предел
lim sn(p, l) = s{C, 1),
п — со
п
где sn(C, 1) = ^—^—, причем s(C, 1) называется суммой
ряда C1).
Существуют различные обобщения метода суммирования,
придающие смысл суммам широких классов расходящихся
рядов [(С, г)-суммирование Чезаро, (Н, г)-суммирование Гёль-
дерал (R, г)-суммирование Рисса и т. д.].
Кроме рядов, существуют и другие бесконечные процессы,
имеющие вполне содержательный смысл. Среди них в первую
очередь следует отметить бесконечные произведения и
бесконечные определители.
Произведение комплексных чисел
со
<V<V ... -а* ...= П а* C3)
когда число сомножителей не является конечным, тоже не
имеет обычного смысла. В предположении, что ни один из
сомножителей бесконечного произведения C3) не равен нулю или
бесконечности, обозначим через рп произведение п первых его
сомножителей
п
Рп= П а*
k = \
и рассмотрим последовательность {рп}.
Если существует предел Vim рп=р ф 0, то говорят, что
бесконечное произведение C3) сходится, и число р
называется его значением.
Необходимое условие сходимости бесконечного
произведения C3) имеет вид
Нт -£*-= Нт ал=1.
П-*-СоРп-1 П-+СО
Для определителя порядка 2л -|- 1
\aik\, U k = — n, , ..., —1, 0, 1, ..., п, а-шфоо,
примем обозначение Dn.

28
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
[ГЛ. I
Говорят, что бесконечный определитель
\*ik\? l> k — — oo, ..., — 1, 0, 1, ..., оо, а^^оо,
сходится, если сходится числовая последовательность {Dn},
и число D = lim Dn называется значением этого определителя.
4. Числовые ряды. По определению, число s является
суммой сходящегося ряда C1), если для любого е]>0
существует натуральное число N(e) такое, что \s — 5л|^
как только
Выражение s — sn= 2 ая+л носит
название остатка ряда C1).
Ввиду того, что sN+m — sN=<xN+t + а^^ + • • • + aN+m>
критерий Коши сходимости последовательности {sn} для ряда C1)
перефразируется следующим образом: для сходимости
ряда C1) необходимо и достаточно, чтобы для любого
наперед заданного числа е^>0 существовало натуральное
число N(e) такое, что
для любого натурального т.
Вместе с рядом C1) рассмотрим ряд, составленный из
модулей членов этого ряда
В силу неравенства
т
2>|.
т
C4)
из сходимости ряда C4) на основании критерия Коши
заключаем, что ряд C1) также сходится. Однако сходимость ряда C4)
вовсе не является необходимой для сходимости ряда C1).
Когда ряд C4) сходится, говорят, что исходный ряд C1)
абсолютно сходится. Сходящийся ряд, который абсолютно
не сходится, называется условно сходящимся.

§ 3] ПРЕДЕЛ 29
Наряду со сходящимися (условно или абсолютно) рядами
2 «» 2 Р* C5)
оо
сходящимся является и ряд 2 (ал — Рл)> причем, обозна-
k=\
чая их суммы соответственно через s, s' и s"t имеем
' ±T
Справедливость этого утверждения следует из равенства
п п п
Sn = sn±s'n, где sn= 2 ал, Sn= У] рл, sj= 2 (а* ± РД
/г = 1 Л=1 Л = 1
и из определения сходимости.
Из членов данного ряда можно составить бесконечным
числом способов бесконечное множество новых рядов так,
что каждый член исходного ряда будет фигурировать в
качестве члена одного и только одного из этих рядов.
Указанный процесс называется разложением данного ряда.
Предположим, что одно из таких разложений ряда C1)
имеет вид
S«v f>v 2v- C6)
k=\ k = \ k=\
Справедлива следующая теорема (теорема о
двойных рядах): если ряд C1) абсолютно сходите яу то 1)
абсолютно сходится каждый из рядов разложения C6), 2)
абсолютно сходится ряду составленный из сумм sk этих
рядов (двойной ряд)
|>*> C7)
и 3) сумма ряда C7) совпадает с суммой s исходного
ряда C1).
Справедливость первой части теоремы, например, для
первого ряда разложения C6) следует из очевидного неравенства

30 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. I
Для доказательства второй части теоремы заметим, что
оо
из абсолютной сходимости ряда 2?£ следует неравенство
SIP*I
для любого п и, стало быть,
2
На основании этого неравенства мы можем написать
k=\
Сложив полученные неравенства, будем иметь
k=\
откуда и следует абсолютная сходимость ряда C7).
С целью доказательства третьей части теоремы оценим
разность s— 2 s*- Имеем
KI+KI+-.
C8)
где vt, v2, ... — номера всех тех членов ряда C1), которые
не входят в ряды slf % ..., sn. Обозначим через т
произвольное натуральное число и выберем число п настолько
большим, чтобы индексы vlf v2, ... были больше т. При
таком подборе п на основании C8) будем иметь
s —
C9)
В силу абсолютной сходимости ряда C1) для любого
данного е^>0 число т можно подобрать так, чтобы имело

§3] ПРЕДЕЛ 31
место неравенство | ат+11 -)-1 ат+21 -)-••• <С е» откуда,
учитывая C9), получаем
п
s £j i.
k=\
что и доказывает последнюю часть сформулированной теоремы.
Из теоремы о двойных рядах следует, что при
перестановке членов абсолютно сходящегося ряда его сумма
не меняется.
Произведением рядов C5) называется ряд
оо
^j 0*1гЛ ~Т" ^2гЛ-1 ~| • • • "Т~ ^rl). D0)
Если ряды C5) абсолютно сходятся, то абсолютно
сходится и ряд D0), причем для сумм s, s' и s" этих
рядов имеет место равенство
slf = ssr. D1)
Для доказательства этого свойства произведения
абсолютно сходящихся рядов рассмотрим множество
всевозможных парных произведений членов рядов C5)
airi> air2> ^2pi> • • • D2)
Ряд, членами которого являются числа D2), абсолютно
сходится. Это следует из того, что любая конечная сумма
оо оо
модулей этих чисел не превышает числа 2 Iа* I' 2 I P* I-
Тем самым доказана абсолютная сходимость ряда D0). Теперь,
группируя члены этого ряда в виде
и применяя теорему о двойных рядах, получим
k=\
При перемножении двух условно сходящихся рядов по
указанному выше правилу может случиться, что полученный

32 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА (ГЛ. t
в результате' умножения ряд расходится и, следовательно,
такая операция будет лишена смысла.
К вопросу перемножения двух условно сходящихся рядов
мы еще вернемся ниже.
Упражнения
Показать справедливость приведенных ниже утверждений.
1. Множество всех комплексных чисел относительно
бинарных операций сложения и умножения является полем.
2. Поле комплексных чисел <x = a-\-ib и множество все-
а, Ь
возможных матриц
с действительными элементами
-b, a
в обычном понимании суммы и произведения двух матриц
изоморфны.
ос 2тс . . . 2к
6. Если со = cos J— г sin —, то имеет место равенство
для любого натурального k, не являющегося кратным п.
4. В соотношении E) равенство возможно тогда и только
тогда, когда z'j = 'kzj.
б. Операция сопряжения является зеркальным отражением
относительно действительной оси (симметрией относительно
действительной оси), а инверсия — зеркальным отражением
относительно окружности | z \ = R (симметрией относительно
окружности \z\ = R) комплексной плоскости на самое себя.
6. При неколлинеарности каждой из троек (а, а', а"), (p,fT, p")
комплексных чисел наличие равенства
означает, что треугольники aaV и рC'C" подобны и подобно
расположены.
7. При стереографической проекции угол между двумя
пересекающимися кривыми на комплексной плоскости равен
углу между их соответствующими стереографическими
проекциями на сфере 5 Римана.

УПРАЖНЕНИЯ 33
8. Расстояние d между сферическими изображениями
Ж(=, т], С) и A<i(?i, ijbd) точек 2 = *-fiy и ^i = ^i + /yi
дается формулами
d=
I* —*il
9. Суммируемый ряд является (С, 1) суммируемым, и его
обычная сумма s = s(C, 1).
10. Из сходимости последовательности {sn} следует
сходимость последовательности {|sn|}. Верно ли обратное
утверждение?
А. В. Бнцадзе

Глава II
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
§ 1. Определение функции. Предел функции
1. Комплексное переменное. Символ, принимающий
определенные комплексные числовые значения или, как еще
принято говорить, пробегающий определенное множество точек
комплексной плоскости, называется комплексным переменным.
Для обозначения комплексного переменного мы часто будем
пользоваться буквами z, w, t, С и т. д.
В зависимости от того, является ли множеством изменения
комплексного переменного комплексная плоскость или
расширенная комплексная плоскость, будем говорить, что речь
идет о плоскости комплексного переменного z или о
расширенной плоскости комплексного переменного z.
2. Функция комплексного переменного. На расширенных
плоскостях комплексных переменных z и w рассмотрим
соответственно множества Е и Е{.
Если указан закон /, по которому каждому значению z £ Е
сопоставляется определенное значение w £ Elf то говорят,
что w является однозначной функцией переменного г, и
пишут w=f(z). Когда задана функция w=f(z), говорят, что
задано отображение множества Е в множество Et. Точка
w^Ex называется образом точки z£E, а точка z —
прообразом точки w. Для прообраза принято обозначение
z=f4w).
При отображении, осуществляемом с помощью
однозначной функции w=f(z)f может оказаться, что каждым двум
различным прообразам Z\ и г2 соответствуют разные образы,
т. е. /fa) :*£/fo) при Zi^Zfr Такое отображение называется
взаимно однозначным или однолистным, а осуществляющая
его функция w=f(z) — однолистной. При однолистном
отображении w=f(z) прообраз z =f~1(w) можно рассматривать
как однозначную функцию переменного w. Она называется
функцией, обратной по отношению к w=f{z).

§ II ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 35
При рассмотрении однозначного, но не однолистного
отображения, конечно, можно говорить об обратной фуцкции
z=f~1(w), но она уже не будет однозначной.
Ниже речь будет идти (если не оговорено противное)
исключительно об однозначных функциях комплексного перет
менного.
3. Предел функции. Пусть Е— множество изменения
комплексного переменного z, а г0 — предельная точка этого
множества. Мы скажем, что z стремится к zQ, z—>zOt если,
каково бы ни было 8^>0, в процессе изменения г, начиная
с определенного его значения, z £Е(~)С(Ъ, г0).
Предположим теперь, что функция w = f(z) задана
на множестве Е. Говорят, что при z—* zQ функция w=f(z)
имеет своим пределом в смысле Гейне число w9 Ф оо, если
для любой последовательности {zn)y zn £j E, сходящейся к zQ)
последовательность {wn=f(zn)\ сходится к w9.
Говорят, что при г—+ z0 функция w=f(z) имеет своим
пределом в смысле Коши число Wq ф оо, если для любого
^0 существует такое &(е)]>0, что неравенство
имеет место для всех z £ Е[\ С(8, z0).
Очевидно, что из существования предела lim f(z) по Коши
z-+z0
следует существование предела lim f(z) по Гейне и эти пре-
делы совпадают. Верно и обратное утверждение.
Доказательство его легко проводится от противного. В самом деле,
пусть wQ не является пределом f(z) по Коши при z—*z0.
Это означает, что можно указать такое е]>0, что для
любого 8^>0 существует точка zt£E(}C(b9 zQ) такая, что
Обозначим через {6„} последовательность положительных
чисел бл, сходящуюся к нулю при п -> оо. По принципу
произвольного выбора Цермело из множеств Е (~) С(бл, zo)>
п = 1,2,..., можно выбрать по точке zn так, что \f(zn) — wQ |^
^ е. Следовательно, существует такая
последовательность точек {zn}, сходящаяся к z& что соответствующая
2*

36 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. II
последовательность {wn\ значений f(zn) не сходится к ze>0,
т. е. w0 не может быть пределом f(z) по Гейне при z-+z0.
Критерий Кош и существования предела:
для существования предела V\m f(z) — w0 необходимо и до-
статочно, чтобы для любого г^>0 существовало число
Ь^>0 такое, что для любых точек zTи
z'\удовлетворяющих условиям
*o), *" е £ п
имело место неравенство
|/(zO-/(*")i<e. B)
Необходимость следует из определения предела по Коши.
В самом деле, соотношение lim f(z) = w0 означает, что для
любого -у ^> 0 существует такое 8 ^> 0, что имеют место
неравенства | f(z') — w01 <^ 4"» ' /СО — wo I <C т».как только вы~
полнены условия A). Отсюда и получается неравенство B),
так как |/(У)- f(z") |< |/(г')- ^01 + |/(г")- да01-
Достаточность условий A), B) будет доказана, если мы
покажем, что для любой последовательности {zn}> zn£E,
сходящейся к zQt последовательность {wn=f(zn)\ сходится к w0.
Из сходимости последовательности {zn} следует, что для
любого 8> 0 существует такое A/(S)^>0, что гЛЧт £j C(8, гдг)
для любого натурального т. В силу условия теоремы для
любого е > 0 существует такое 8(е)> 0, что | f{zN+m) — f(zAr) \ < е,
как только zN+m£C(b, zN)y т. е. последовательность {wn =
=f(zn)) является фундаментальной и, следовательно, она
сходится. Пусть wo= lim f(zn). Обозначим через {z'n\ любую
п —» оо
другую последовательность точек Е, сходящуюся к z0. Если
мы покажем, что
= wbi C)
то в силу определения предела по Гейне будет доказано
равенство
lira f(z) = w0, z£E.
Z-+ Zq
Для произвольного г/2 существует 8(е)]>0 такое, что
для любых z\ z" £ £, удовлетворяющих условиям A), имеет

§ 2] НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ 37
место неравенство \f(z')—/(г") К г/2. Для 8(s)
существует N(b)^>0 такое, что, как только n^>N, будем иметь
г* 6 С (В, zQ% Zn£C(b )
Отсюда в силу неравенства \w0—f(Zn)\^\w0—/(«гЛ)| +
+ |/(^/г)— f(*n)\ ПОЛУЧИМ, ЧТО \W0—f(z'n)\<.*-
Этим справедливость равенства C) доказана.
Из определения предела следует, что если
lim f(z) = w0, lira cp (z) = w'^
Z-+Zq Z-+ZQ
то существуют и пределы lira {f(z)±y(z)}f lim /
z -+ z0 z-+z0
lim ^~т\ (если w'Q 9^ 0), причем
Z -* Zq ? \Z>
lim \f{z) ± cp (г)] = ш0 ± ^ lira /(^) cp (z) =
lira ^j = 5?.
Кроме того, из равносильных равенств
lim f(z) = w0, lim f(z) =
z-+z0 z.-+z0
следует, что
lim Y{ef(z) = RewQf lim
§ 2. Непрерывность функции комплексного переменного
1. Непрерывность и равномерная непрерывность
функции комплексного переменного. Пусть функция w=f(z)
задана на множестве Е точек расширенной плоскости
комплексного переменного z.
Говорят, что в неизолированной точке zQ £ Е функция f(z)
непрерывна, если f(z0) ^oo и
lim f(z)=f(g& z£E.
z->z0

38 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. II
Поскольку имеется два равносильных определения предела,
по Гейне и по Коши, то имеется два равносильных
определения непрерывности, по Гейне и по Коши. Предположим, что
каждая точка z множества Е является его предельной точкой.
Если функция f(z) непрерывна в каждой точке z £ Е, то
говорят, что f(z) непрерывна на множестве Е.
Из определения непрерывности функции f{z) в точке
£ Е следует, что для любого г^>0 существует такое
] 0, что для любых z\ г"£ЕГ)С{Ъ, z9) имеем
D)
Если для любого е^>0 существует такое S(e)^>0, что
для любой пары точек z', z" £ Е, удовлетворяющих
неравенству \z* — z"\<^i, имеет место неравенство D), то
говорят, что функция f(z) равномерно непрерывна на Е.
Из равномерной непрерывности, очевидно, следует
непрерывность функции f{z). Обратное утверждение, вообще
говоря, не верно.
В дальнейшем мы существенно будем пользоваться
приведенными ниже важнейшими свойствами непрерывных
функций, заданных на множестве Е точек комплексной
плоскости.
a) Заданная на открытом {замкнутом) множестве Е
функция f(z) непрерывна тогда и только тогда, когда
прообраз любого открытого {замкнутого) множества из
множества значений f{z) является открытым
{замкнутым).
Утверждение а) является очевидным и на его
доказательстве мы здесь останавливаться не будем.
b) Непрерывный образ Et=f{E) компактного
множества Е компактен.
Пусть множество Е компактно. В силу леммы Гейне — Бо-
реля — Лебега компактность множества E1=f{E) будет
доказана, если мы покажем, что из любого открытого
покрытия {0} множества Ех можно выделить конечное открытое
покрытие.
В силу непрерывности функции f{z) для любого z^E
существует окрестность со {z) такая, что f{E (~) со) d 0{z) £ {О}.
Система окрестностей {со (г)} является открытым
покрытием Е. Из компактности Е в силу леммы Гейне — Бо-
реля — Лебега следует возможность выделения конечного

§2] НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ 39
покрытия [to(zx), <*>(г2), ..., со(гл)] этого множества. Пусть
O(zk)— открытое множество из покрытия {О}, содержащее
внутри себя множество /(to(^)fl4 Очевидно, что [0{z{)i
О(г2), ..., O(zn)] является конечным открытым покрытием i^.
с) Непрерывный образ связного множества связен.
Пусть Е— связное множество, a Ex=f(E)—его образ
на плоскости переменного w. Обозначим через Qx и Q2
открытые множества, обладающие свойствами
ftCQiUQ* Е1ПС11Г\Ол = ф. E)
Если £* — произвольное множество точек плоскости w,
то под /~* (£*) будем понимать множество точек z £ E, для
которых f(z)£zE*. Используя это обозначение, можем
написать
(б)
причем в силу E) справедливо равенство
G)
Сначала рассмотрим случай, когда множество Е открыто.
В силу непрерывности функции w=f(z) множества
/"MQi) и /"MQa) оба открыты. На основании равенств F) и
G) в силу связности множества Е заключаем, что из
множеств /"* (Qi) и Z (Q2) по крайней мере одно пусто.
Следовательно, по крайней мере одно из множеств Ег f] Qx и
Е\ П Qa пусто, и тем самым связность Е\ доказана.
Когда Е не является открытым, заметим, что в силу
непрерывности w=f(z) для каждой точки z^f^iQi) можно
указать ее окрестность со (г) такую, что w(z)f\ E d f~l (Qi) (если,
конечно, Z (Q0 Ф 0). Объединение всех окрестностей to (z)
обозначим через Q{. Имеем QJ П E=f~x (Qx). Точно так же,
если f~l{Qi) Ф ф> 'существует открытое множество Q2 такое,
что Е(~) Ql=f~x(Qd- Таким образом, имеем
EGQIUQI
причем на основании G) имеем Е f) QI (~) QI = 0. В силу
связности Е из двух множеств Ef\Q\ и Ef\Q\ по крайней
мере одно пусто и, стало быть, Et связно.
d) Непрерывная на компактном множестве Е
функция f(z) равномерно непрерывна.

40 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ГГЛ. 1Г
Из непрерывности функции f(z) в точке z £ Е следует
существование круга С(8, z\ 8 = 8 (е, z), такого, что для
любой пары точек z* и К' из Е(\ С(8, z) имеет место
неравенство D). Каждой точке z £E сопоставим открытый круг
, z\. Система открытых кругов Srjcf-s-, zyt является
открытым покрытием Е. В силу леммы Гейне — Бореля —
Лебега из системы 5 можно выделить конечное открытое
покрытие St. Радиус наименьшего круга из St обозначим через 80.
Пусть теперь точки z', z" £ Е удовлетворяют условию
\z' — <г"|<[80. Обозначим через С (у, а) тот открытый круг
из Si, который содержит точку z\ Очевидно, что точки z'
и г" обе лежат внутри круга \z — а | <^ 8 (е, а) и, стало быть,
для них справедливо неравенство D).
Отображение, осуществляемое однолистной непрерывной
функцией w=f(z) с непрерывной обратной z=f~1(w)
называется топологическим (или гомеоморфным).
2. Кривая Жордана. Непрерывной кривой называется
геометрическое место точек z комплексной плоскости,
удовлетворяющих уравнению
z = z(t) = x(t)+.iy(t), (8)
где x(t) и у {f) — непрерывные функции действительного
параметра t на сегменте
а<г<р. (9)
Непрерывная кривая как непрерывный образ компактного
связного множества (9) является компактным связным
множеством.
Непрерывная кривая называется кривой Жордана (или
простой кривой), если различным значениям параметра t (кроме,
быть может, его значений t = a и t = $) соответствуют
различные значения z(t). Жорданова кривая называется замкну-
той, если г(а) = г(C). Замкнутая кривая Жордана может
рассматриваться как топологический образ окружности.
Множество точек расширенной комплексной плоскости,
граница которого состоит из единственной разомкнутой
кривой Жордана, очевидно, является односвязной областью.

§ 2] НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ 41
Жорданом было доказано, что замкнутая кривая Жор-
дана делит расширенную комплексную плоскость на две
области, внутреннюю (не содержащую точки z = oo) и
внешнюю (содержащую точку z = oo). Очевидно, что каждая
из этих областей является односвязной.
Пусть имеются кривые Жордана Го, Гь ..., Гл,
обладающие следующими свойствами: 1) Го замкнута; 2) каждая из Yk
лежит во внешней области, ограниченной Гу-, k, /=1, 2,..., л,
k Ф /; 3) все Fk, k = 1, 2, ..., п, лежат во внутренней области,
ограниченной Го. Множество точек, лежащих внутри Го и вне
каждой Tk, является (п -\- \)-связной областью D,^. Кривые Tkf
k = 0, I, ..., nt являются компонентами границы Г области
Ai+i- Граница области иногда именуется контуром области.
При изменении параметра t на сегменте своего задания
в одном направлении (от а к р или обратно) на кривой
Жордана Г точка z(t) совершает обход. Если при обходе
замкнутой кривой Жордана Г ограничиваемая ею конечная область
остается слева, то направление обхода называется
положительным. В случае же разомкнутой кривой Г
положительным направлением обхода будем считать направление,
соответствующее возрастанию параметра t.
Жорданова кривая (8) называется гладкой, если функции
х (t) и у (t) имеют непрерывные производные x'(t), y\t) и
z' (f) = x' (f)-\-i/(f) ?£ 0 всюду на сегменте (9). В каждой
точке жордановой гладкой кривой существует касательная,
причем угол, составленный ею с любым выбранным
постоянным направлением на плоскости, является непрерывной
функцией параметра t.
Так как гладкая кривая Жордана является спрямляемой,
то в качестве параметра t в представлении (8) можно принять
длину 5 дуги Г, отсчитываемую от произвольно
фиксированной точки Г в положительном направлении.
Пусть / — длина гладкой замкнутой кривой Жордана Г,
а г, и <г.2 — произвольные точки на Г. Дугу Г между z\ и z3,
длина которой a(zh z^)^-^-, обозначим через ztz^ а длину
хорды, стягивающей дугу z^Zo, — через г (zif г2).
На множестве всевозможных пар гх £ Г, га £j Г,
удовлетворяющих условию a(zlt z2)^Е, где 5 — фиксированное число,
0 функция r(zlt za) достигает минимума

42 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО {ГЛ. И
Все точки z кривой Г, удовлетворяющие условию p(zOi
где z0 — произвольная фиксированная точка на Г, лежат вне
круга \z — *o|OoO(S).
Из условия гладкости Г следует, что для любого 80,
О<^0о<^у, существует положительное число ао<^у такое,
что острый угол а между касательными в любых двух
точках Zi ^ Г, г2^Г, удовлетворяющих условию o(zb 2з)<Сао>
не превышает у. Отсюда на основании известной из анализа
теоремы Лагранжа заключаем, что если a(zlf г2)<^а0, то
острый угол между хордой, стягивающей дугу т^, где tj ^zxz^y
та £ г\*ъ и касательной к Г в точке Z\ или г2 не
превышает у.
Рассмотрим множество т всех точек z кривой Г,
удовлетворяющих условию o(zQ, z)<^oq, где zo = z(sQ) —
произвольная фиксированная точка на Г. Без ограничения
общности можно считать, что z0 не является начальной точкой
отсчета длины 5 дуги Г и ао<^% Точка z0 делит дугу т на
две части, на одной из которых s^>s0, а на другой ^
Из очевидных равенств
=:-cose, ,<„; A0)
где 8^острый угол между хордой, стягивающей дугу
и касательной к f в точке г, следует, что на f
| — S0\.
Обозначим через So наименьшее из чисел [л (а0), а0 cos -^
и рассмотрим окружность \t — zo\=bo.
П f
р ру \ \
При возрастании 5 от s0 до so-f~ao в СИЛУ (Ю) Функция
г [г E0), г E)]строго возрастает от нуля до г [z (s0), z (sQ -j- ^o)] ^
^a0cosy^80, и, следовательно, точка z (s) ровно один раз
пересечет окружность j t—z01 =8Q. Аналогичным рассуждением

§2] НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ 43
убеждаемся, что при убывании 5 от sQ до s0 — а0 точка z (s)
ровно один раз пересечет окружность \t — г01 = 80. Тем самым
доказано следующее важное свойство гладких замкнутых
кривых Жордана Г: для каждой Г существует положительное
число 80 такое, что окружность с центром в любой точке
zQ £ Г радиуса 8 ^ 80 ровно два раза пересекает кривую Г.
Очевидно, что и для разомкнутой гладкой кривой
Жордана Г существует число 80]>0 такое, что окружность
радиуса 8 <; 80 с центром в любой точке zQ £ Г либо два
раза, либо один раз пересекает Г.
Число 80 мы ниже будем называть стандартным
радиусом, соответствующим кривой Г.
Жорданова кривая называется кусочно-гладкой, если
сегмент (9) можно разделить на конечное число сегментов,
внутри каждого из которых функция z'(t) непрерывна, в точках
деления tk функция zf (t) имеет пределы и слева и справа,
причем zr (t) ф О всюду на сегменте (9) и lira
t-»t.
lim ' @^0
3. Некоторые простейшие примеры функций
комплексного переменного. Функция w = Pn(z) комплексного
переменного z, где
Рп {z) = aQzn + atzn-1 +... + ап = £ akzn~k,
полученная в результате конечного числа операций
умножения z на самого себя, умножения на комплексные числа и
сложения, называется целой рациональной функцией или
полиномом над полем комплексных чисел. Неотрицательное целое
число п называется степенью полинома Pn(z). При л=1
полином Pi (z) = aQz -j- ^i называется линейной функцией.
Когда aQ = 0, линейная функция называется постоянной.
п
Отношение двух полиномов Pn(z) = ^akzn~k и Qm(z) =
k=0

44 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. II
называется рациональной функцией. В частности, при п==
= /#=sl рациональная функция
носит название дробно-линейной (или общей линейной) функции.
§ 3. Функциональные ряды
1. Сходимость и равномерная сходимость
функционального ряда. Функциональным называется ряд
!>*(*)> A2)
членами которого являются заданные на некотором
множестве Е точек комплексной плоскости z функции cnk(z).
Поскольку в фиксированной точке z£E ряд A2)
является числовым, то по определению его сходимость к сумме s
означает, что для любого е^>0 существует такое
натуральное N, что \s — 5Л|<О ПРИ n^Nf где
п-\
k=0
Ряд A2) называется сходящимся на множестве Е, если
он сходится в каждой точке z £Е. Его сумма s, очевидно,
является функцией z, определенной в каждой точке
множества Е.
Число N, участвующее в определении сходимости ряда
A2), зависит не только от е, но, вообще говоря, и от z, т. е.
оно является функцией е и z.
Сходящийся на множестве Е функциональный ряд A2).
называется равномерно сходящимся на Еу если N не
зависит от z. Вейерштрассу принадлежит следующий простой
признак равномерной сходимости: если для
всех z£E каждый член ak(z) ряда A2), начиная с
некоторого номера kOt no модулю не больше
соответствующего члена ак сходящегося числового ряда
21е*
/г=0

§ 3] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 45
с неотрицательными членами, то ряд A2) сходится
равномерно (и абсолютно) на множестве Е.
В силу сходимости ряда A3) для любого s^>0 сущест-
т
вует такое натуральное число N(z)^zk0, что 2ад'+*<^е для
любого натурального т. Следовательно, имеем
Отсюда на основании критерия Коши убеждаемся в
равномерной и абсолютной сходимости ряда A2) на множестве Е.
Равномерно сходящиеся ряды обладают следующим весьма
важным свойством: сумма s(z) равномерно сходящегося на
множестве Е ряда A2) непрерывных функций ^k{z)
непрерывна на Е.
Обозначим через z0 произвольную фиксированную точку
множества Е. Легко проверить, что для любого е^>0
существует 8(г, zQ)^>0 такое, что \s(z) — 5(-г0)I <Сs для всех
В самом деле, в силу равномерной сходимости ряда A2)
для любого е^>0 существует Af(e) такое, что
а в силу непрерывности конечной суммы sN(z) для того же
в существует такое 8(е, г0), что
для всех z £ Е (~)С(Ь, zQ). На основании этих неравенств
получаем
При изучении функций комплексного переменного весьма
важное значение имеет их представление, когда это возможно,
в виде суммы ряда хорошо изученных функций.

46 ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. И
Простейшим классом таких функциональных рядов
являются так называемые степенные ряды, к изучению которых
мы и переходим.
2. Степенные ряды. Радиус сходимости. Степенным
называется функциональный ряд вида
*оЛ (И)
где z9t ak, k = 0f 1, ..., — заданные комплексные числа,
а С — комплексное переменное.
Вводя обозначение С — zo = z, степенной ряд A4)
перепишем в виде
Каждый член ряда A5) определен на всей плоскости
комплексного переменного z.
Множество точек сходимости степенного ряда A6) не
пусто. Во всяком случае, в точке 2 = 0 он заведомо сходится
и его сумма равна а0.
Существуют степенные ряды, множество точек сходимости
которых состоит из единственной точки z = 0. К этому
классу относится ряд
1+!]****• Aб)
В самом деле, для любого z 9^0 существует такой номер
&0, начиная с которого \kz\^>2 и, следовательно, |kkzk \>2*.
Таким образом, в точке z ф 0 нарушено необходимое
условие Umakzk = 0 сходимости ряда A5).
Л-юо
Ряд
1-4-У *" <т
дает пример степенного ряда, множество точек сходимости
которого представляет собой всю комплексную плоскость.
Это следует из того, что для любого конечного значения 2,

§ 3] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 47
начиная с определеннрго номера k0, имеют место неравенства
00
1 гк | ^ 1 VI 1 ,
- ~ - ~-- сходится (см
k=0
знак равномерной сходимости Вейерштрасса).
Существуют степенные ряды, сходящиеся в одних точках
(отличных от нуля) комплексной плоскости и расходящиеся в
других. Например, ряд
известный под названием бесконечной геометрической
прогрессии, сходится при |£|<^1 и расходится при |£,|^1.
При изучении структуры множества точек сходимости
степенных рядов важную роль играет первая теорема
Абеля: если степенной ряд A5) сходится в точке zQ ф О,
то он сходится, и притом абсолютно, для любого z,
удовлетворяющего неравенству |г|<^|<го|.
Ввиду сходимости ряда A5) при z = z0 заключаем, что
zb = 0. Отсюда следует существование положительного
числа g такого, что
\а**Ц<& А = 0, 1, ... A9)
В силу A9) для каждого члена akzk ряда A5) имеем
оценку
\^^f\k * = 0, 1, .... B0)
где q = j-^-j. Так как числовой ряд с положительными чле-
нами gqk сходится при ^<[1, то из B0) непосредственно
следует справедливость первой теоремы Абеля.
Теперь покажем существование неотрицательного числа
R такого, что степенной ряд A5) при \z\<^R сходится и
при \z\^>R расходится.
Для степенных рядов, сходящихся в единственной точке
2 = 0 или на всей комплексной плоскости, R соответственно
равно нулю или бесконечности. Остается рассмотреть
случай, когда ряд A5) для одних значений zf отличных от
нуля, сходится и для других — расходится. В этом случае

48 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ТГЛ. II
в силу первой теоремы Абеля на положительной
действительной полуоси существует отрезок /lf левый конец которого
является точкой сходимости, а правый конец — точкой
расходимости ряда A5). Обозначим через /4 ту половину отрезка 1{,
левый конец которой является точкой сходимости, а правый
конец — точкой расходимости ряда A5), и этот процесс
продолжим бесконечно. Точка (единственная) пересечения
вложенных отрезков 1^ n=\t 2, ..., изображает число R.
В самом деле, пусть \z\<^R. Выберем п настолько
большим, ч-тобы левый конец ал отрезка 1п был больше, чем | z |.
Так как в точке ал ряд A5) сходится, то, по первой теореме
Абеля, он сходится абсолютно и при \z\<^an<^R. Пусть
теперь \z\^> R и п — настолько большое, что правый конец рл
отрезка 1п меньше, чем | z I. Ввиду того, что рп является
точкой расходимости ряда A5) и R<^$n<C.\г I» в СИЛУ той же
теоремы Абеля заключаем, что в точке z ряд A5) расходится.
Итак, для каждого степенного ряда A5) существует
окружность \z\ = Rf внутри которой этот ряд
сходится и вне которой—расходится. Число R называется
радиусом сходимости, а круг \z\<^R — кругом
сходимости степенного ряда A5).
Из коэффициентов степенного ряда A5) составим
последовательность неотрицательных чисел
и обозначим через / верхний предел этой последовательности
l=\im\ak\l!b.
k-юэ
Очевидно, что / всегда существует (конечный или
бесконечный) и притом единственный (/ является самой правой
предельной точкой последовательности {|^|1/л}).
Имеет место следующая теорема (К о ш и — А д а м а р а):
радиус сходимости R степенного ряда A5) определяется
формулой
R=T> B2)
причем подразумевается* что R = 0 при 1 = -\-оо и R —
= + оо при / = 0.
Когда /= + оо, $яд A5) не может сходиться при z ф 0.

§3] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 49
В самом деле, в противном случае можно было бы
указать число g^> 1 такое, что \akzk\<^g9 т. е. | ak \1/к<С -py,
k = 1, 2,..., а это невозможно, ибо равенство /= -|~ оо
означает, что последовательность B1) не ограничена.
Пусть теперь 1=0 и z— любая отличная от нуля точка
комплексной плоскости. Равенство 1=0 означает, что
lim| ak |1/* = 0, т. е. для любого е^>0 существует N^>0
k-*oo
такое, что \a>k\l/k<CB ПР" к^> N. В частности, для s= ^п—г,
начиная с определенного значения к, будем иметь
|ell*|*<
откуда и следует абсолютная сходимость ряда A5).
Остается показать, что при конечном 1фО ряд A5)
сходится при |z|<^-t~ и расходится при \z\^
Ввиду того, что /—самая правая предельная точка
последовательности B1), для любого е^>0, начиная с
определенного номера к, будем иметь (ak j1/* <^ / -f" г.. При /1 z \ <[ 1
в качестве г можем взять ~Т. *г' и, следовательно,
■ д ,
\ak\
2\г\
или
Неравенства | akzk \ <^ qk, выполняющиеся начиная с
определенного значения k> гарантируют абсолютную сходимость
ряда A5) при |г|<
При |^|^>-у, заметив, что для любого е^>0 существует
бесконечное множество значений к, для которых |*|]>
^>/—g, и приняв е= | .—, будем иметь \акгк\^>1 для
этих же значений к. Нарушение необходимого условия
lim akzk = 0 сходимости ряда A5) влечет за собой расходи-
мость этого ряда при \z\^>-j.

50 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. II
Образуя последовательность B1) для ряда
F' B3)
2
легко убедимся, что при любом действительном п его радиус
сходимости R=\.
В самом деле, для этого примера верхний предел
последовательности B1) совпадает с ее пределом, причем имеем
1
1 _
lim \ak\[lk= lim —тг= lira e k =1.
Ряд B3) замечателен тем, что на окружности |z| = l при
# = 0 он всюду расходится, при п — 2 — всюду сходится,
а при /2=1 в одних точках -этой окружности он сходится
(например, при z = —1), в других (например, при 2=1) —
расходится.
Пусть радиус сходимости R степенного ряда A5) не равен
нулю и г — любое положительное число, меньшее R. Ввиду
00
того, что числовой ряд 2 | ak \ гк сходится, на основании
*=о
признака равномерной сходимости Вейерштрасса* заключаем,
что степенной ряд A5) равномерно и абсолютно сходится
в круге | z | ^ г.
Это утверждение вообще не означает, что степенной ряд
обязательно равномерно сходится внутри его круга
сходимости |#|</?.
В самом деле, сумма ряда B3) при л = 0и |г|<Ч равна
-. . Так как для любого фиксированного натурального Af
N
имеем
1
1 при | z К 1, то нельзя отыскать
натурального числа Л/(е), не зависящего отг и такого, чтобы
разность j—- A -\-z-{•...-\-zN) по модулю была меньше
наперед заданного положительного числа е для всех z внутри
круга сходимости |z|<^ 1 этого ряда.
Каждый член akzk степенного ряда A5) является
непрерывной функцией на всей плоскости комплексного перемен-

Функциональные Ряды
51
ного. Так как ряд A5) равномерно сходится в круге | z | <; г,
где г — любое положительное число, меньшее радиуса
сходимости R этого ряда, то в силу установленного выше
свойства равномерно сходящихся функциональных рядов с
непрерывными членами заключаем, что сумма степенного ряда
непрерывна в любой точке z внутри его круга сходимости.
3. Основные арифметические операции над степенными
рядами. Предположим, что радиус сходимости R степенного
ряда A5) отличен от нуля и г — произвольное число,
удовлетворяющее условию 0 <></?.
Справедливо следующее утверждение: если сумма s(z)
степенного ряда A5) равна нулю всюду в круге \z\<^r,
то ak = 0} & = 0, 1, ...
В самом деле, допустим обратное и обозначим через т
индекс первого отличного от нуля коэффициента ряда A5)..
оо
По условию сумма s* (г) ряда ^ am+kzk равна нулю в круге
|г|<[г всюду, кроме точки z = 0. Ввиду того, что сумма
оо
s#(z) ряда 2 am+kZk непрерывна при \z\^r и 5^@) = 0,
можно указать число 8 ^> 0 такое, что при | z \ ^ 8 будем иметь
и, стало быть,
00
*=1
\ат —
а это противоречит равенству s* (z) = 0, 0 <^ | z | ^ 8.
Пусть теперь радиусы сходимости Rt и ^2 степенных
рядов
отличны от нуля и p = mm(Ru
B4)
B5)

52' ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. П
Так как в каждой точке z круга | z | <^ p ряды B4) и B5)
являются сходящимися, то имеют смысл сумма и разность
этих рядов
fj akzk ± £ bkz" = 2 (а* ± Ьк) z\ B6)
/г = 0 /f = 0 /г = О
причем радиусы сходимости рядов B6) в силу первой теоремы
Абеля не меньше р.
На основании доказанного выше утверждения, если
5 (z) = sx (z) при ] z К г <^ р, то ak = bk, k = 0,1,... (т е о р е м а
единственности для степенного ряда). В
дальнейшем эта теорема будет доказана при более слабых
ограничениях относительно множества точек z, в которых s(z) = s1(z).
Так как ряды B4) и B5) оба абсолютно сходятся при
1*|<Ср> то их можно перемножить, причем радиус
сходимости полученного после перемножения ряда
не меньше, чем р.
Таким образом, операции сложения и умножения
однозначно выполнимы для сходящихся степенных рядов, причем
для этих операций справедливы законы коммутативности,
ассоциативности и дистрибутивности, а вычитание
представляет собой операцию, обратную по отношению к операции
сложения, т. е. множество всех степенных рядов с отличными
от нуля радиусами сходимости представляет собой кольцо
над полем комплексных чисел.
Заметим, что при £0 -ф 0 можно рассматривать отношение
со
рядов B4) и B5) как степенной ряд ^ dk*k> коэффициенты
которого dk в силу условия Ь^ф 0 однозначно определяются
из рекуррентных соотношений
Ниже будет показано, что радиус сходимости ряда ^] d
при Ь0?ь0 отличен от нуля, если только Rt ф 0 и R.2 Ф 0.

§ 31 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 53
4. Определение некоторых элементарных функций
с помощью степенных рядов. Сходящиеся степенные ряды
позволяют ввести в рассмотрение широкие классы
непрерывных функций комплексного переменного.
Степенной ряд
сходится на всей плоскости комплексного переменного z.
В самом деле, имеем
k
(k\f= Yl n(k — n+\)^kk, k=\, 2, ... B8)
л= I
Из B8) следует, что Ш!/*< JL, т. е. lim Ш"* = /=0.
\k\ J k ! k -+ со \k\ J
Сумму ряда B7) принято обозначать через ег, и она носит
название экспоненциальной функции. Так как ряд B7)
абсолютно сходится для любого конечного7 значения z, то имеет
смысл произведение ег-е', которое равно
<29>
Формула B9) иногда называется теоремой сложения
для экспоненциальной функции. Приняв в этой
формуле t = — z и t = — т, будем иметь
е*-е-* = е*=\, ег - е'х = ег~\
то есть
Заменяя в ряде B7)' переменное z через iz и группируя
его члены подходящим образом, получим
C0)
Очевидно, что радиусы сходимости обоих рядов в
правой части C0) равны оо. Сумму первого из них будем

54 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. It
обозначать cos zt а второго sin z, т. е. по определению
=f (-1)*^, C1)
0
cos*
Заметим, что для действительных значений переменного
z = x суммы рядов B7), C1) и C2) совпадают с известными
из действительного анализа функциями ех, cos л: и sin л:
соответственно.
В силу C0), C1) и C2) имеем
cos. z-\-t sin z = eiz, C3)
, C4)
C5)
Формулы C3), C4) и C5) называются формулами Эйле-
р а. Используя C3), тригонометрической записи комплексного
выражения А = \ А | (cos arg Л -|— / sin arg А) можно придать
более удобную форму:
А = \А\е**т*А.
Из очевидных равенств
+
в силу C4) и C5) получаем теоремы сложения для
функций cos z и sin z:
cos (z -f-1) = cos z cos t — sin z sin tt C6)
sin (z -j- 0 = sin г cos £ -f- cos ^ sin t C7)
Подставляя в формулу B9) вместо t выражение 2knl,
k = 0, ±1, ..., будем иметь ^+2to' = ^a/5TC/ = ^(cos 2Aic +
-f- / sin 2kn) = ег, т. е. функция ег является периодической
с периодом 2тс/. Очевидно, что других периодов (не цело-
кратных 2тс/) функция ег не имеет.

§ 3] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 55
Положив t = 2kiz, k = О, ±1, ..., в формулах C6) и C7),
сразу установим периодичность функций cos z и sin z с
периодом 2тг:
cos (z -)- 2kn) = cos z, sin (z -\- 2£тс) = sin 2.
Непосредственными следствиями формул C4) и C5) являются
свойства четности cos z и нечетности sin z:
cos (— z) = cos z, sin (— z) = — sin z.
Учитывая эти обстоятельства и полагая t = — z в
формуле C6), получим тождество
cos2*-f- sina*=l, C8)
доказанное в школьной тригонометрии лишь для
действительных значений переменного z.
В силу формул C3) и C8) имеем
ez = exeiy = ех (cos у -f- i sin у)
\е*\ = е*. C9)
Ввиду того, что при —оо<^х<^оо функция ехф0у из
формулы C9) заключаем, что функция ег нигде в комплексной
плоскости z = x-\-iy в нуль не обращается.
Множество всех точек комплексной плоскости z, в
которых cos г = 0, т. е. множество всех нулей этой функции,
в силу C4) определяется из равенства elz-\-e~lz = Q или, что
то же самое, из равенства e*iz = — 1 = el (TC+2ftTC), k = 0, ± 1,...
Следовательно, нули функции cos z имеют вид
+ & A = 0, ±1, ...
Аналогично доказывается, что нули функции sin z имеют вид
z = kn, k = 0, ±1, ...
В то время как для действительных значений z имеют
место соотношения | sin z | <: 1, | cos z \ ^ 1, для комплексных
значений z модули этих функций могут быть как угодно
большими.- На примере cos z это следует из очевидного равенства
| cos z |2 = 1(<г^-]-^)-|-1 cos 2х,
которое показывает, что при £->оо вдоль прямой х = const
функция | со? ? I2 -> оо f

56 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. II
Экспоненциальная функция позволяет ввести в
рассмотрение гиперболические функции
рг р-г
Z^ D0)
Подставляя в C4) и C5) вместо z выражение iz9 в силу D0)
получим
ch z= cos iz, shz = — i sin iz. D1)
Формулы D1) позволяют найти периоды, нуля и
обнаружить ряд других свойств гиперболических функций, исходя
из соответствующих свойств функций cos z и sin z.
б. Вторая теорема Абеля. Если степенной ряд A5) с
радиусом сходимости /?^>0 сходится в точке г0 = /?е/ео
окружности \z\ = R, то для суммы s(z) этого ряда имеет
место равенство
lim s(z) = s(zQ),
z=\z\ <А_* z0
т. е. функция s(z) в точке zQ непрерывна вдоль радиуса 0z0.
Без ограничения общности можем предполагать, что R= 1,
zQ=l и
) = 0. D2)
В самом деле, после замены z = zQt степенной ряд A5)
оо
переходит в степенной ряд 2 akzfyk относительно перемен-
ного t, причем круг |z| = |20|!'|<C^ переходит в круг
|£|Ч, а точка z = z0 — в точку t=\. Кроме того, если
00
Е:0, рассматривая ряд s* (z)= 2 akzk — 50)> будем
иметь s* A) = 0.
Итак, нам следует показать, что
lim s(z) = 0. D3)
Z-+ 1
0<г<1
Наряду с A5) рассмотрим ряд
оо
У г* D4)

§ 3] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 57
с радиусом сходимости, равным единице, суммой которого
при | z | <^ 1 является функция __ .
В силу абсолютной сходимости рядов A5) и D4) при
| г К 1 имеет смысл произведение
00 00 00
*&Т=Г2= 2 «***• 2 **= 2 bkf, D5)
где
Как уже было отмечено в предыдущем параграфе, радиус
сходимости ряда D5) не меньше единицы. Но он не может
быть больше единицы, ибо в противном случае радиус сходи-
00 00
мости ряда A —z) 2 bkzk = ^ akzk тоже был бы больше
k = 0 k = 0
единицы, что невозможно.
Выражение s(z) перепишем в виде
N со
= (l -z) 2 M" + (l -z) 2 М*. D6)
*=0 k=N+\
В силу равенства D2) для любого е^>0 число N можно
подобрать настолько большим, чтобы, имело место неравенство
На основании этого неравенства для z из интервала
z < 1 в силу D6) имеем
со
(lz)
^ ^ D7)
где

Й8 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. It
Теперь возьмем z настолько близким к- единице, чтобы
имело место неравенство
D8)
В силу D7) и D8) заключаем, что
1*(*IО
и тем самым вторая теорема Абеля доказана.
Вторая теорема Абеля остается в силе и тогда, когда
г-*20> оставаясь внутри угла раствора 0<Ч с вершиной
в точке Zq и с биссектрисой 0г0. Доказательство остается
прежним, если только заметить, что величина L—:—| остается
ограниченной, когда z находится внутри указанного угла, но
достаточно близко к точке z = z9.
Из второй теоремы Абеля следует справедливость
утверждения: если числовые ряды
00 00 00 k
V аи V Ьи V си Си— V а Ьи D9^
сходятся, то имеет место равенство
со со оо
2j ak- 2j °k= 2j c*> (Щ
т. е. операция умножения имеет смысл для условно
сходящихся рядов, если полученный в результате этой
операции ряд сходится.
В самом деле, в силу первой теоремы Абеля из
сходимости рядов D9) следует сходимость степенных рядов
при |г|<[1, причем

УПРАЖНЕНИЯ 59
На основании второй теоремы Абеля заключаем» что
оо сю
lim ^ ak*k= 2 *k>
Hm 2 bkzk= 2 bkl
z— 1 k = 0 k = 0
00 00
lim 2 '*** = 2 c*
и, следовательно, предельным переходом при 2-^1 из E1)
получаем E0).
Упражнения
1. Доказать, что при топологическом отображении
открытого множества Е на открытое множество Е\ открытому
подмножеству из Е соответствует открытое подмножество из Е\.
2. Доказать, что если однолистная на компактном
множестве Е функция w=f(z) непрерывна, то непрерывна и
обратная функция z=f~l(w).
3. Показать, что полином Рп(?) является непрерывной
функцией всюду на плоскости комплексного переменного z.
4. Линейная функция w = aoz-{-al равномерно непрерывна
на плоскости комплексного переменного г. Обладает ли таким
же свойством функция w = z*?
б. Изучить свойства непрерывности дробно-линейной
функции A1) на множестве точек расширенной комплексной
плоскости, удовлетворяющих условию ^4~г^ ]>е> где е^>0 —
произвольное число и й0 Ф 0. Является ли эта функция
равномерно непрерывной на расширенной комплексной плоскости
с выключенной точкой z = — -г*-?
6. Проверить непрерывность рациональной функции
Р (z\
w (z) = пп ) \ в тех точках z комплексной плоскости, в кото-
Qm \z)
рых Qm(z)^t0.
7. Показать, что функция w = \ z \m zn, где тип —
неотрицательные целые числа, непрерывна в каждой точке z
комплексной плоскости.

60 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. II
8. Вычислить радиусы сходимости степенных рядов
h) 2kekzk' c)
Л = 1 *= 1 fe = 0
9. Доказать, что требование абсолютной сходимости сте-
00
пенного ряда 2 ак*к в одной граничной точке его круга
сходимости |,г|<^/? влечет за собой абсолютную и
равномерную сходимость этого ряда в замкнутом круге \z\^R.
10. Показать, что ряд, полученный умножением на самого
со
себя ряда У (— 1)*^ «ц» сходится.

Глава III
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
§ 1. Понятие аналитической функции
1. Моногенность. Условия Коши—Римана. Рассмотрим
заданную в области D плоскости комплексного
переменного z = x-\-iy однозначную функцию
w =f(z) = и (х,у) + to (x9y).
Пусть точки z и z-\-kz обе принадлежат D. Разность
f(z-\-&z)— f(z) = Дw = Аи -j- i&v будем называть
приращением функции w, соответствующим приращению Дг^О
независимого переменного z.
Если существует предел (конечный) отношения -^- при
любом стремлении &z к нулю, то этот предел называется
производной функции f(z) в точке z, и для нее принято
обозначение f (г), т. е.
Нпг ^=/'D A)
Функция f(z\ имеющая производную в точке z^zD,
называется моногенной в этой точке.
Равенство A) равносильно тому, что для любого
существует 8(е)]>0 такое, что
как только |A^|<^8. Отсюда сразу следует непрерывность
моногенной в точке z функции f(z).
Когда Аг принимает действительные и чисто мнимые
значения Д2' = Алг и A£ = /Aj/ соответственно, для производной

62 АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. III
моногенной в точке z функции f(z) будем" иметь
■
да , jdv_v \и(х,у + Ау) — и(х,у)
Из равенства B) заключаем, что
ди dv да dv ,ru.
Следовательно, действительная и мнимая части
моногенной в точке z функции w=f(z) имеют в этой точке
частные производные первого .порядка, которые связаны
межбу собой равенствами (CR).
Равенства (CR) представляют собой условия, необходимые
для моногенности функции w=f(z) в точке z. Эти условия
принято называть условиями Кош и—Р и м а н а.
Легко показать, что выполнение условий (CR) в точке z
при дополнительном требовании существования полных
дифференциалов у функций и(х,у) и v(x,y) является
достаточным для моногенности функции w = u-\-iv в
точке z.
В самом деле, существование полных дифференциалов du
и dv в точке z равносильно равенствам
,.у, д*. Ду),
где величины ч\х и 7]2 являются бесконечно малыми высшего
порядка по отношению к | Д* | = V(&xf + (ДуJ при Д<г — 0.
Вводя обозначения
д I (д . д\ д 1 (д , . д\ ...
равенства C) можно записать в виде
^ ^ E)

§ l) ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 83
Используя комплексную запись
условий (CR) и принимая во внимание равенство
Дг-0 йг
из E) получим, что существует предел
lira ^p=Xp=j
и тем самым моногенность функции f(z) в точке z доказана.
Приращение kw моногенной в точке z функции w в
силу E) и F) имеет вид
&W =f (Z) LZ -|- 7]! -)- /ТJ. (8)
Первое слагаемое в правой части формулы (8) называется
дифференциалом моногенной в точке z функции, и для него
принято обозначение
dw=f(z)Lz. (9)
Дифференциал моногенной в точке z функции w является
линейной по отношению к Lz и главной [при f(z)ybQ]
частью приращения Lw.
Ввиду того, что функция w=f(z) = z моногенна всюду
на комплексной плоскости и
в обозначениях (9) можно записать dz— 1 • Д^ = Д<г и,
следовательно,
dw=f(z)dz. A0)
Запись A0) для дифференциала моногенной в точке z^D
функции w=f(z) позволяет производную f'(z) представить
в виде отношения дифференциалов /'(,?) = —, что
находится в полном соответствии с обозначениями D), если учесть
равенство F).
2. Определение аналитической функции. Заданная в
области D однозначная функция w=f(z) называется
аналитической или голоморфной, если она моногенна в каждой
точке этой области.

64 АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 1ГЛ III
Выражение функция f(z) аполитична в точке z мы
употребляем в том смысле, что f(z) аналитична в некоторой
окрестности этой точки.
Из определения аналитичности следует, что для
аналитичности однозначной в области D функции w=f(z)
необходимо, а при дополнительных предположениях
существования полных дифференциалов du, dv и достаточно
выполнение условий (CR) всюду в области D.
Требование существования полных дифференциалов du
и dv при доказательстве достаточности условий (CR) для
аналитичности w=f(z) является весьма жестким.
П. Монтелем, F. Луманом и Д. Е. Меньшовым было
доказано, что при требовании непрерывности функции f(z)
выполнение условий (CR) всюду в области D является
необходимым и достаточным для аналитичности f(z) в этой области.
Предположим, что однозначные в области D функции
f(z) и ср(г) моногенны в точке z. Так же, как при
рассмотрении действительных дифференцируемых функций в курсе
математического анализа, легко показать, что наряду с f(z)
и ср (z) моногенными являются и функции f(z) ± ср (z), f(z) • {
и tj- при ср (z) ф 0, причем
Кроме того, если аналитическая функция w=f(z)
отображает, область D плоскости z на область Dy
плоскости w, а функция С = ср(до) аналитична в области Db то
сложная функция (полученная суперпозицией) (,=$[/(z)\
аналитична в области D, причем
С'= ?'[/(*)]-Л*)-
Принимая во внимание равенства -т- (const) = 0, -г- =1,
на основании (И) заключаем, что полином Pn(z) и дробно-
линейная функция w = —т^-:, z Ф , аналитичны и
cz -\- а с
Рп(*) = (£ akzn~k) = 2' in- k) akzn~k-\
_d_
с

§ 1] ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 65
Покажем теперь, что сумма s(z) степенного ряда
00
2 akzk в круге сходимости \z\<^R, R^>0, является
k = 0
аналитической функцией.
Сначала заметим, что если R^>0 является радиусом схо-
димости ряда 2 akzk> T0 радиус сходимости ряда
so(z)= fj akkzk-* A2)
тоже равен R. Это следует из очевидного равенства
_j_ _}_ \_ _ь_ JL
lira (k\ak\)k-l= lim kk~[ (\ak\k)k-l= lira \ak\k
и из формулы B2) Коши — Адамара гл. II.
Из абсолютной сходимости ряда A2) при \z\<^R
следует, что для любого е^>0 существует натуральное число
М(г) такое, что
S k\ak\r*-*<± A3)
k = n+\
для всех n^N, если только
Очевидно, что
Az
n
f + (z + Lzf-H +... + zk-1]
. (И)
В предположениях, что величина | Дг | достаточно мала
и |г|<^г, | -г- -f- A^r | <^ г, в силу непрерывности первогЬ
слагаемого в правой части A4) и неравенства A3) мы можем
3 А. В. Бицадзе

66
написать
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. Ill
Тем самым доказаны моногенность s(z) при |<г|<^/? и
справедливость равенства tf (z) = s0 (z), т. е. степенной ряд
akzk внутри его круга сходимости можно почленно
2
k=Q
продифференцировать, причем сумма
продифференцированного ряда равна производной суммы исходного ряда.
На основании этого утверждения убеждаемся в
аналитичности функций ег, cos z, sin z, chz и shz всюду на
комплексной плоскости. При этом имеем
ieiz_ie-iz
/ со V оо оо
(*7=( 2 !г)= 2 (^Т)Т= 2!г=**'
\k=0 ' k\
(eiz + e-izy
(cos z)' = (—-^—j =
=y m—j =
}
k=0
== ~ sin z>
(sin
-= cos z}
3. Конформное отображение. Рассмотрим аналитическую
в области D функцию
w =f(z) = и {ху у) + lv (х, у),
удовлетворяющую в точке z^D условию
A5)
A6)
Неравенство
биан
д (a, v)
Щ^у) =
отличен от нуля.
[16)
ди
дИ
dv
равносильно тому, что в точке <г0 яко-
ди
W
dv
\дх) ' \ду) '^ ^'

§ 1] ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 67
Следовательно, в силу известной теоремы о неявных
функциях система равенств и = и(х,у), v = v(x>y) в
некоторой окрестности точки z0 однозначно обращается. Другими
словами, каждая точка z^D, в которой выполняется
условие A6), обладает окрестностью однолистности f(z),
причем обратная функция z=f~l(w) аналитична в
некоторой окрестности точки зд;0=Дг0) и, как легко
видеть,
£2k
Az
Это вовсе не означает, что если f{z)^tO всюду в
области Д то в этой области f{z) обязательно будет
однолистной. Например, функция w = z* аналитична в области D:
y<l2fl<1» °Og2<-|-ir и в ней w' = 2z^0, но эта
функция область D отображает на кольцо -r<C\wI<C] *>
верхняя половина которого состоит из двух листов.
Пусть f — проходящая через точку zQ гладкая дуга Жор-
дана с уравнением z = z(t), a.<^£<:p. В точке zo = z(to)
имеем
*0. A8)
Образом y ПРИ отображении A5) является проходящая
через точку wQ дуга Г=/(^), уравнение которой имеет вид
w=f[z(t)]t причем w'(t)=f'(z)-z'(t) и в силу A6) и A8)
w'(U)=f(zt).z'(tb)^b. A9)
Условие A9) означает, что дуга Г в точке w0 имеет
касательную.
На основании A9) заключаем, что с точностью до
слагаемого 2Атс
arg / (*„) = arg w' (t0) — arg z' (t0), B0)
т. е. аргумент f(z0) равен углу поворота дуги y в точке
z0 при отображении A5).
Пусть теперь fi — отличная от y гладкая дуга Жордана
2i = *!(?), ai^T^Pi, проходящая через точку zOy а Тх =
=/(Ti) —ее образ Wi=f[zx{t)], причем ^(т0) = г0.

68 АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. ИГ
Повторяя приведенное выше рассуждение, получим
arg / (г0) = arg w\ (т0) — arg z\ (т0). B1)
Из равенств B0) и B1) имеем
arg w* (t0) — arg w[ (т0) = arg / (r0) — arg z\ (т0),
а это означает, что угол между дугами -у и Ti в точке z0
равен углу между их образами Г и Pj в точке wo=f(zo).
Другими словами: в каждой точке zOf в которой f(zo)^b 0,
при отображении A5) имеет место сохранение
(консерватизм) углов (как по величине, так и по направлению
их отсчета).
Ввиду того, что \dz0\ = ]f(x'o)(i-{-(y'o)*dt = ds0 и \dwo\ =
= Y^(ii'of-\-(v'ofdt = da0 являются элементами длин дуг f и Г
в точках z0 и w0 соответственно и (-^-) =f(z0), имеем
т. е. модуль производной аналитической функции в точке
z0 при выполнении условия A6) совпадает с искажением
масштаба (элемента длины) при отображении A5) и это
искажение одно и то же по всем направлениям,
выходящим из точки z0.
Топологическое отображение A5) области D плоскости z
на область D\ плоскости w, при котором в каждой точке
z^D имеют место консерватизм углов и постоянство
искажения масштаба, называется конформным.
На основании приведенного выше рассуждения заключаем,
что отображение, осуществляемое аналитической
функцией w=f(z), является конформным в достаточно
малой окрестности каждой точки z, в которой f (z) ф 0.
Из геометрического смысла аргумента и модуля
производной непосредственно следует справедливость обратного
утверждения: если при отображении, осуществляемом
однозначной функцией A5), в каждой точке z£D имеют
место консерватизм углов и постоянство искажения
масштаба, то функция w=f(z) аналитияна, причем
f0 всюду в D.

§ 1] ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 69
Пусть функция f(z) аналитична и f(z) ф О всюду в
области D. Рассмотрим отображение w=f(z). Очевидно, что
вблизи каждой точки z£D это отображение является
топологическим, причем имеет место постоянство искажения
масштаба, а углы сохраняются по величине, но направление
их отсчета меняется на обратное. Такое отображение
называется антиконформным или конформным второго рода,
а функция w=f{z) — антианалитической.
Если действительная и(х,у) и мнимая v(x,y) части
функции f(z) имеют непрерывные частные производные
первого порядка и прц отображении w=f(z) в каждой точке
z£D имеет место консерватизм углов, то f{z)
аналитична и /'(г)ф 0.
В самом деле, в силу E) в каждой точке z^D имеем
0
B2)
Так как по условию arg lim -д- при фиксированном z не
должен зависеть от <р, из B2) получаем w- = 0, что и
доказывает справедливость нашего утверждения.
Предположим теперь, что и(х9 у) и v(xf у) имеют
непрерывные частные производные первого порядка в области D
и в каждой точке z £ D имеет место постоянство искажения
масштаба, т. е.
lim -г-
0 и не зависит от (р. На осно-
вании B2) имеем
hm -r-
dw
Tz
откуда сразу следует, что g-(-p) = 0, т. е. либо gj=u И
^фО, либо у'сОи ~^фО.В первом случае f(z) ана-
литична, а во втором — антианалитична.
Применением тонких методов теории функций
действительного переменного Д. Е. Меньшов показал, что если
при непрерывном однолистном отображении w=f(z)
имеет место консерватизм углов, то функция f(z) лна-
литична. До сих пор неясно» насколько необходимым

70
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. III
является требование однолистности при доказательстве
сформулированного утверждения.
Справедливо также следующее утверждение: если при
непрерывном однолистном отображении w =f(z) в каждой
точке z области D определения функции f(z) имеет место
постоянство искажения масштаба^ то функция f(z) либо
аналитична, либо антианалитична (Н. Bohr). Простой
пример функции
( z при
(
при

явпоказывает, что на этот раз требование однолистности
ляется существенным.
В самом деле, в рассматриваемом случае функция f(z)
непрерывна, но не однолистна на плоскости комплексного
переменного z, причем
lira
lira
дг-0
Az
Aw
1z
= lim
= 1,
= 1, Imz^O,
т. е. всюду имеет место постоянство искажения масштаба.
Тем не менее f(z) не является ни аналитической, ни
антианалитической на всей плоскости комплексного переменного z.
Главная линейная часть w* — w0 приращения
аналитической в области D функции f(z)
w* — w,=f(zQ) (z — zQ) B3)
обладает тем свойством, что при f(zo)^O она круг
\z — го|^г переводит в круг \w* — wo\^p = \f(zQ)\r
с сохранением направления обхода. Это следует из того,
что в силу B3)
arg (w * — ^0) = arg f (z0) + arg (z — z0).
г.* да да dv dv
Обратно, если ^у ^-, ^, g- непрерывны и главная
линейная часть приращения функции f(z)
W* — WQ =fZQ (Z
B4)

§ 21 ОБРАЩЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 71
обладает тем свойством, что она круг с центром в
точке z0 переводит в круг с центром в точке wo=f(zo),
то f(z) либо аналитична, либо антианалитична.
В самом деле, из B4) имеем
_ _Л0 (»* - «о) -/г0 (** ~ До)
I f |2 | /:- |2
и, следовательно,
1
(|,ol|Fo|)
B5)
Так как по условию окружность \г — zQ\ = г переводится
в окружность | w* — w01 = р, из B5) мы должны иметь
ДД = 0, т. е. либо /^ = ОиЛ0^0,либоЛ0 = Ои/-о^О.
Тем самым справедливость нашего утверждения доказана.
Если однолистная функция f{z) обладает тем свойством,
что ее главная линейная часть B4) переводит эллипсы
плоскости z в эллипсы плоскости^*, то отображение w =f(z)
называется квазиконформным. Теория квазиконформных
отображений построена М. А. Лаврентьевым и его
последователями. Она имеет большое научное и прикладное значение.
§ 2. Обращение некоторых элементарных функций
и понятие римановой поверхности
1. Конформность отображения, осуществляемого
однолистной аналитической функцией. В дальнейшем мы
убедимся в том, что если f(z) — заданная в области D
плоскости переменного z однолистная аналитическая функция, то
f(z)?±0 всюду в D (см. § 3.3 гл. V).
В предыдущем параграфе было показано, что если
f(z9)^0, то функция w=f(z) осуществляет конформное
отображение некоторой окрестности точки zQ на
определенную односвязную область, содержащую точку wo=f(zo).
Отсюда, если вспомнить, что при непрерывном
отображении связность множества сохраняется, следует
справедливость утверждения: однолистная аналитическая функция
w=f(z) область D своего задания конформно
отображает на определенную область D\ плоскости w, причем
обратная функция z=f~\w) аналитична в D\.

72 АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. III
Когда речь идет об обращении аналитической функции,
в первую очередь следует определить ее область
однолистности, если таковая существует.
2. Дробно-линейная функция. Легко видеть, что
необходимое и достаточное условие однолистности дробно-
линейной функции
заключается в том, что
Ьс — айф 0. B7)
В самом деле, при различных значениях zx и г2
переменного z для разности между соответствующими значениями W\
и w% функции w в силу B6) имеем
Следовательно, выполнение условия B7) обеспечивает
однозначную обратимость отображения B6) на расширенной
плоскости комплексного переменного z, причем
dw — b
В частности, при с = 0, d=\ из B7) получаем
а ф 0. C0)
Условие C0) обеспечивает однолистность линейной функции
w = az -f- bt обратной которой является функция
w_ b_
z— a a •
При рассмотрении дробно-линейной функции B6) случай
одновременного обращения в нуль постоянных cud,
очевидно, исключается. Во всех же остальных случаях
нарушение условия B7) равносильно тому, что функция w постоянна
и, следовательно, не имеет области однолистности.
3. Степенная функция. Для того чтобы найти область
однолистности степенной функции
w = zn, C1)

§ 2] ОБРАЩЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ 73
где п — натуральное число, рассмотрим значения zx = | zt \ е{^
и zi = \z1\ei(e* независимого переменного z. Так как для
разности соответствующих значений wt и w2 функции w имеем
то отображение C1) заведомо однолистно внутри каждого
угла раствора — с вершиной в точке 2 = 0.
Функция w = zn каждый луч arg 2 = с переводит в луч
arg w = пс.
Разделим комплексную плоскость z на п областей
Dk: — <argz< „ , А = 0, 1, ..., /2—1.
Так как w' = nzn~l ф 0 при z£Dkf то каждая из Dk>
как область однолистности функции zny при w = zn
конформно отображается на область Е, представляющую собой
плоскость w, . из которой удалены точки луча w ^ 0,
или, как еще принято говорить, плоскость wf разрезанную
вдоль луча w^O. При этом лучи arg * = -£• и arg^ =
= A-JlJJ!l переходят соответственно в верхний и нижний
края разреза.
В области Dk обратную функцию z = w{!n обозначим
1 2ki
1 j 12k*i
через zk = (w{!n)k. Очевидно, что zk = \w\n е п п .
Рассматривать каждую из величин zk как отдельную функцию
нецелесообразно по той простой причине, что, например,
в области D: —<^гтёг<С— обратная функция z = wxln при
~~ <С arS z <<~ совпадает с zQ, а при — <]arg2<^ — — с Z\.
Поэтому zk> ^ ===== 0, 1, ..., п—1, естественно называть
ветвями многозначной функции z = w{'n. Каждая ветвь zk
в области Е является аналитической функцией, причем
в силу A7)
dzk_ 1 _ 1 ^-i
4w nzn~l пw щ

74 АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. III
При отображении C1) лишь точки z = 0, w = 0 й z = oo,
w = oo находятся во взаимно однозначном соответствии.
Каждой же точке w, отличной от нуля и бесконечности,
ставятся в соответствие п значений zk, k = 0, 1,...,я—1,-
Поэтому, отображение C1)при п^> 1 естественно называть п-лист-
ным. Для того чтобы раскрыть сущность такого названия
и наглядно представить отображение C1), рассмотрим
наложенные друг на друга п листов области Е: Ео, Е1у..., Еп_\>
где область Ek поставлена в соответствие области D&
Совершим отождествление или, как еще говорят,
склеивание нижнего края разреза Ео с верхним краем разреза Еь
свободного нижнего края разреза Е\ с верхним краем
разреза Еь и т. д., свободного нижнего края разреза Еп_\ со
свободным верхним краем разреза Е9. Полученная я-листная
область называетсярилтновой поверхностью функции z=w]/n.
Соотношение C1) осуществляет взаимно однозначное
соответствие между расширенной плоскостью комплексного
переменного z и римановой поверхностью функции z = w{/n,
которое является конформным всюду, кроме точек z=0 и z=oo.
Образы этих точек w = 0 и w = co обладают тем
свойством, что при обходе вокруг них против часовой стрелки
т раз, исходя из фиксированной точки wf при возвращении
к этой же точке происходит переход от ветви zk на ветвь
zk+m. Заметим, что при т = п имеем zk+n = zk. По этой
причине точки w = 0 и w = oo принято называть
алгебраическими точками ветвления порядка п— 1 функции z = w[!n.
4. Экспоненциальная функция. Так как из равенства
e*i = e** следует, что zl = z2-{-2k'r:lt то областью
однолистности функции ег является любая полоса ширины 2тс,
параллельная действительной оси.
Разделим плоскость z на совокупность полос
Dk: 2£ir<Im2<2(£-f l)ir, k = ..., — 1, 0, 1, ...
При отображении
w = e* C2)
прямая Im z = с переходит в луч arg w = с. Ввиду того, что
(егу = егу соотношение C2) представляет собой конформное
отображение области JDk на область Е, рассмотренную выше,
причем прямые lmz = 2kn и lmz = 2(k-\- 1)тс, составляющие

§ 2] ОБРАЩЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 75
границу области D*, переходят соответственно в верхний
и нижний края разреза Е
Равенство C2) равносильно двум равенствам: \w\ = e*ez,
argw = Imz-f-2Алг, k = ...t —1, 0, 1, ... Следовательно,
для обратной функции z=f~1(w) в рассматриваемом случае
в каждой из областей D% имеем zk = \og\w |-|-/ arg-до-|-
-\-2knl. По этой причине z=f~1(w) называется
логарифмической функцией, и для нее мы будем пользоваться
обозначением z = log w.
Так как ветви
zk = log | w | -j-1 argw-f- 2Ш, & = ..., —1, 0, 1, ...,
все различные, функция z = \ogw бесконечнозначна или, как
еще говорят, функция w = ez бесконечнолистна.
Рассматривая бесконечное множество листов Е: ..., Е_ъ
Ео, Е\, ..., наложенных друг на друга, и склеивая края
разрезов Ek и Ek_b k = ..., —1, 0, 1, ..., таким же образом,
как при построении римановой поверхности функции z = w{ln,
получим риманову поверхность функции z = \ogwt которая,
очевидно, бесконечнолистна.
Плоскость z функцией w = ez конформно отображается
на полученную риманову поверхность с выключенной точкой
w = 0. Так как при обходе вокруг точки w = 0 любое число
раз все время происходит переход на новые ветви функции
z = log w, то эта точка называется трансцендентной
точкой ветвления. Очевидно, что трансцендентной точкой
ветвления является и w = oo.
Для любого комплексного показателя а степенную функцию
w = z* определим как w = ea^z. Точно так же,
показательную функцию w = <x* с любым комплексным основанием а
определим как w = ezl°2\
б. Функция sin#. Рассмотрим теперь отображение
w=smz. C3)
Из равенства
Wl — w2 = smz1— sin^2 = 2sin^=
очевидно, что областями однолистности функции sin z
являются полосы
Dk: къ— f <Re^<^-|-|-, £ = ..., —1, 0, 1, ...,

76 АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИЙ (ГЛ. lit
а также верхние нолуполосы
)тг, 1тг>0,
£ — • • • > ~~*> ^» *> •••»
и нижние полуполосы
* = ..., —1, 0, 1, ...
Равенство C3) при u-\-lv = w и х -f- (у = 2 равносильно
равенству
и -|- /т;=sin jc ch j; -J- / cos^shj/,
или, что то же самое,
u = sinxchy, t;=cos xshy. C4)
Из C4) имеем
и-^=1- <35>
Каждая прямая x = £ ф 0 полосы Do при отображении C3)
переходит в гиперболу C5), причем в соответствии с тем,
или 0<^с<^у, прямые х = с переходят в
левую или правую ветви гиперболы C6), а прямая х = 0
переходит в прямую и = 0. Кроме того, границы х = — у
и x=y полосы Do переходят соответственно в лучи
^ — 1 и ^{
Отсюда, принимая во внимание то обстоятельство, что
(sin 2г)' = cos z ф 0 всюду в области Do, заключаем, что
функция w = sinz область Д> конформно отображает на область
Е^\ которая совпадает с плоскостью w, разрезанной вдоль
лучей: —oo<^w^—1 и 1^^<^+со, причем верхним
(нижним) полупрямым х = — y и x = y соответствуют
верхние (нижние) края разрезов —oo<^w^—1 и 1^
В каждой области однолистности функции sin2
отображение C3) однозначно обращается, й обратная функция
z =/ i (w) обозначается arc sin w.

§ 2] ОБРАЩЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 77
Из равенства C3) имеем
откуда
или
z*= arc sin ^ = 4 log (/до ± |Л — до2). C6)
На основании равенства C6) заключаем, что функция
z = arc sin до многозначна. Обозначим через z0 = (arc sin доH
соответствующую области Do ветвь этой функции. Она ана-
литична в области £A), причем
dz0 1 1
dw (sinz)'" j^i — ws '
Принимая во внимание равенство sinB-f-for) = (—l
заключаем, что при четном (нечетном) k соответствующая
полосе Dk ветвь zk = (Mzs\x\w)k верхнюю половину области
ЯA) конформно отображает на верхнюю (нижнюю) половину
полосы Dk и нижнюю половину области Е^1) — на нижнюю
(верхнюю) половину полосы Dk. Исходя из этого, легко
построить риманову поверхность функции z = arc sin w.
Обозначим через Etf* область определения ветви zk =
= (bxcs\nw)k. Пусть Ekl)+ и Ek]~ — верхняя и нижняя
полуплоскости области Еи] соответственно.
Сначала построим часть римановой поверхности функции
2 = arc sin до, соответствующую полуплоскости 1тг]>0.
С этой целью представим себе множества наложенных
друг на друга полуплоскостей Еи* и £ii|+i соответственно,
когда k принимает всевозможные целые значения.
Переходу из верхней половины полосы Do в верхнюю
половину полосы Dx через полупрямую x = i-> У^>®
соответствует склеивание Е*о1)+ и Е[1}~ вдоль луча 1 <^w<^-{-oot а
переходу из верхней половины полосы Dx в верхнюю половину
полосы £J соответствует склеивание E[v~ и Е{2)Аг вдоль луча
-^-oo<^tie;<^—1. Продолжая этот процесс в обе стороны
изменения целочисленного индекса k, получим часть
римановой поверхности, соответствующую полуплоскости Ira ^

78 АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ГГЛ II!
После этого ясно, как строить вторую часть римановой
поверхности, соответствующую полуплоскости lmz<^0. Для
получения полной римановой поверхности функции z =
= arc sin w остается склеить вдоль отрезка —l.^^^-|-l
соответствующие одной и той же полосе Dk листы
полученных выше обеих частей римановой поверхности.
Очевидно, что w—ly w = —1 и w = oo являются
точками ветвления функции z = arcsinw.
§ 3. Дробно-линейное отображение
1. Редукция невырожденного дробно-линейного
отображения к отображениям простейшего вида. В дальнейшем
отображение, осуществляемое функцией B6) при выполнении
условия B7), будем называть невырожденным
дробно-линейным отображением.
Очевидно, что невырожденное линейное отображение
w = az -\- Ъу а ф 0, C7)
получается в результате суперпозиции трех простейших
отображений:
t = \a\z, C8)
x — eUrgat9 C9)
w=±=t + 6, D0)
из которых C8) является отображением подобия (гомотети-
ческим отображением) с центром подобия в точке г = 0 и
коэффициентом подобия | а [, отображение C9) представляет
собой вращение вокруг точки / = 0 с углом поворота arga,
а D0) — параллельный перенос по направлению вектора Ь
на расстояние | Ь |.
Следует отметить также, что невырожденное линейное
отображение C7) при а -ф 1 можно представить в виде
— zQ = a(z — zQ), где *0 =
Функции w = \a\z, w = eiaTsaz и w = z-\-b
осуществляют конформное отображение расширенной комплексной
плоскости z на расширенную комплексную плоскость w.
Для конечных значений z это утверждение очевидно, а при

§ 3] ДРОБНО-ЛИНЕЙНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ 79
z = oo оно непосредственно получается, если переменные
z и w изобразить на сфере Римана. Очевидно, что функция
w = ± D1)
конформно отображает расширенную плоскость z на
расширенную плоскость w.
Невырожденное дробно-линейное отображение B6) либо
редуцируется к линейному отображению w = -~tZ-\--j при
с = 0, либо оно является результатом суперпозиции
следующих трех отображений:
Последнее заключение следует из тождества
az + b_ a , be —ad
~ с ■ c
Так как при отображениях C8), C9), D0) и D1)
окружность (прямая тоже скитается окружностью)
переходит в окружность, то этим же свойством обладает
и невырожденное дробно-линейное отображение B6). При
этом следует заметить, что когда точка z описывает
окружность в определенном направлении (например, против
движения часовой стрелки), то точка w описывает
соответствующую окружность также в определенном направлении
(против движения часовой стрелки или обратно).
Матрицу
II а Ъ |
I с d\
будем называть матрицей дробно-линейного отображения B6).
Подставляя выражение
в правую часть B6), получим дробно-линейное отображение

80 АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. III
с матрицей
т. е. в результате суперпозиции невырожденных
дробно-линейных отображений получается невырожденное
дробно-линейное отображение.
Следовательно, множество всех невырожденных дробно-
линейных отображений относительно операции суперпозиции
является группой, в которой единичный элемент —
тождественное отображение w = z, а каждый элемент B6) имеет
своим обратным элемент B9).
2. Симметрия относительно прямой и окружности. В
конце § 3 гл. I (см. упражнение 5) было введено понятие
симметрии относительно действительной оси и относительно
окружности.
Точки zx и гъ лежащие на одном и том же луче,
выходящем из центра окружности CZo: \z — zo\=R, называются
взаимно симметричными относительно этой окружности,
если |zi — 20|-|2а — zQ\=R*. Лежащие на одном и том же
перпендикуляре к данной прямой точки zx и zif
равноудаленные от нее, также называются взаимно симметричными
относительно этой прямой.
Очевидно, что функции w = z и w = — осуществляют
отображение симметрии относительно действительной оси
\mz = 0 и относительно окружности \z\=R соответственно.
Отсюда заключаем, что отображения симметрии относительно
прямой z = zQ-\-&iB, —оо<^;<^оо и относительно
окружности \z — z01 =R имеют вид соответственно
w = е*Ч + zQ — 20е*® D2)
и
<* = *« + I=V D3)
Из формулы D2) следует, что вращение w = eiarsaz
является результатом суперпозиции отображений
симметрии w = e2i4 и t — e^iz, где 0 — 01 = —arga, а
параллельный перенос w = z-\-b — отображений симметрии

§3] ДРОБНО-ЛИНЕЙНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ 81
где 6 = y + argft и ^_^ = Ш.
Очевидно также, что отображение подобия w = \a\z
П2
есть результат суперпозиции двух симметрии w = — и
* = -=*, где з; = | а |, а отображение w = отображений
Z /\| Z
Из D2) и D3) следует, что суперпозиция двух
отображений симметрии является невырожденным дробно-линейным
отображением. Следовательно, в результате суперпозиции
любого четного числа отображений симметрии получается
невырожденное дробно-линейное отображение, и обратно,
любое невырожденное дробно-линейное отображение является
суперпозицией четного числа отображений симметрии.
3. Основные свойства невырожденного
дробно-линейного отображения. Невырожденное дробно-линейное
отображение B6) .содержит три комплексных параметра,
представляющих собой отношение трех из коэффициентов а, Ь,
с, d к четвертому (отличному от нуля). Эти параметры
однозначно определяются из требования, чтобы три заданные
точки zl9 хъ гъ плоскости z перешли в три заданные точки
Щ, ^ъ Щ плоскости w.
В самом деле, вычисляя разности w — wv w — wit
wz — wlf wd — 1ЮЪ где
az + b a*k + b h 1 о о
и принимая во внимание условие B7), легко убедимся в
справедливости равенства
— w2 ' wz — w2 z — z2 ' zb —
Разрешая D4) относительно w, получим искомое дробно-
линейное отображение. Оно переводит три точки zu z%, г3
и проходящую через них окружность Сг соответственно в
три точки wif w.2t wb и проходящую через них окруж-

82 АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. III
ность Cw. Тройки точек zit гъ гъ и wif wif w$ определяют
направления обхода на Сг и Cw соответственно, причем
области, остающиеся при этих обходах слева (справа),
соответствуют друг другу при отображении D4). Последнее
утверждение является непосредственным следствием конформности
дробно-линейного отображения (углы между касательной,
направленной в сторону обхода, и внутренней нормалью
в каждой точке Сг и Cw равны как по величине, так и по
'направлению отсчета). Отсюда, принимая во внимание, что
при отображении B6) в случае действительных a, b9 cy d
действительная ось 1тг = 0 переходит в действительную ось
\mw = 0 и при \mz = 0 знак -^ = JLJZL-JL совпадает
со знаком ad— be, в свою очередь заключаем, что при
невырожденном дробно-линейном отображении B6) с
действительными коэффициентами верхняя полуплоскость 1га г^>0
переходит в верхнюю полуплоскость 1тзд;]>0, если ad —
— bc^>0, и верхняя полуплоскость \mz^>0 — в
нижнюю полуплоскость \mw<^0> если ad — bc<^0.
Выражение z z% :Zz Zl в геометрии носит название
z — z2z8 — z2
ангармонического отношения четырех точек zt z3t zlt z*
Равенство D4) означает инвариантность ангармонического
отношения четырех точек при невырожденном
дробно-линейном отображении.
В силу известной из планиметрии теоремы о квадрате
длины касательной к окружности от точки касания до
данной точки на касательной заключаем, что взаимно
симметричные относительно окружности CZo: \z — 2o| = # (или
относительно данной прямой) точки Z\ и г2 являются центрами
пучка ортогональных к CZo окружностей и, следовательно,
взаимная симметричность этих точек является свой-
ствоМу инвариантным при дробно-линейных отображениях.
Точки w = 0 и w = oo являются симметричными
относительно окружности |«;| = 1. Так как эти точки
дробно-линейной функцией B6) поставлены в соответствие точкам
z = и z = , то при требовании, чтобы
действительная ось Iiii2' = 0 переходила в окружность |w| = l, мы
Ь d
должны иметь: а) = го> = ^о — из-за симметрич-

$3)
ДРОБНО-ЛИНЕИНОЁ ОТОБРАЖЕНИЕ
83
ности точек и относительно прямой 1ш<г
а с
b) — = elb в силу равенств
a 11 z — i
с
z — *„
т-1-
Следовательно, функция
,-ш.
D5)
при lmz9^>0 конформно отображает верхнюю
полуплоскость \mz^>0 на круг \w\<^l. Если же 1тг0<^0, ?по
эта функция конформно отображает нижнюю
полуплоскость Imz<^О на круг |w|<^l.
Рассуждая аналогично и требуя, чтобы при отображении
B6) окружность |г| = 1 перешла в окружность |«;| = 1,
получим
Ь d 1
\W\ =
то есть
a z — zQ
с 1
z — —
\-ZrZ
= 1, —-^го = е1\
D6)
При \Zq\<\ функция D6) конформно отображает
круг |г|<^1 на круг \w\<^l, а при |-го|^>1 эта же
функция конформно отображает область \ z \ ^> 1 на
круг \w\<^ 1.
Каждая из дробно-линейных функций, отображающих
конформно соответственно верхнюю полуплоскость 1тг^>0 на
верхнюю полуплоскость Iraw^>0, верхнюю полуплоскость
Imz]>0 на круг |^|<^1 и круг |г|<^1 на круг |^|<^1,
содержит по три действительных параметра, которые
единственным образом определяются, например, из требования,
чтобы три заданные граничные точки zb z2t zb перешли в
три заданные граничные точки wlt w^ чюъ.

84 АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. lit
4. Понятие неподвижной точки и классификация
невырожденных дробно-линейных отображений.
Неподвижными точками дробно-линейного отображения B6)
называются точки z, удовлетворяющие условию
или, что то же самое,
cz*-\-(d — a)z — b = 0. D7)
При с ф 0 из квадратного уравнения D7) получаем явное
выражение для неподвижных точек zx и г2
При с = 0 неподвижными являются точки 2i = ^—^ и
г2 = оо. Если же Ь = с = О и a = d, то отображение B6)
является тождественным w = z, т. е. все точки плоскости z
неподвижны.
Когда Zi = z<b, неподвижная точка называется кратной.
В силу D8) условием кратности неподвижной точки является
равенство (а — df-\-4bc — 0. При с = 0 из последнего
равенства получаем a = d, а это означает, что z = oo является
кратной неподвижной точкой параллельного переноса w =
= z-\-bjd.
В силу D4) дробно-линейное отображение с двумя
различными неподвижными точками zt и z2 имеет вид
ИЛИ
w — zx = kx (z — Zil 22 = оо, E0)
где коэффициенты
dZa 4- h
не зависят от выбора zb при условии, что q;8= ■ ' '
cz9 -f- a
Величины k и kt легко выразить через а, Ь, с и d, если
наряду с D8) учесть, что wz = -^ при ,г3 = 0.

$ з) Дробно линейное отображение 85
Отображение D9) [E0)] называется гиперболическим,
эллиптическим или локсодромическим в зависимости от того,
k ^> 0 (^i ^> 0), k = е' (&t = el\ б ^ 2тся, или k = | & | eiаг&*,
| А | 9^ 1, arg А ^ 2тсл, где л — целое число.
Для выяснения геометрического смысла гиперболического
и эллиптического отображений рассмотрим два ортогональных
семейства окружностей: первое, состоящее из окружностей
Аполлония
=р, р]>0, с предельными точками zt и
гъ и второе, состоящее из окружностей Штейнера,
проходящих через эти же точки. Изображая переменные z и w
на одной и той же плоскости и принимая во внимание то
обстоятельство, что при отображениях t = z Zl 9 т = -
окружности Аполлония
z
W — i
= р переходят
в окружности |£|=р, |т| = р, а окружности Штейнера
переходят в прямые, проходящие через точки * = 0 и т = 0
соответственно, заключаем, что: 1) при гиперболическом
отображении каждая окружность Штейнера (и ограниченный ею
круг) переходит в самое себя, а окружности Аполлония
перемещаются и 2) при эллиптическом отображении каждая
окружность Аполлония (и ограниченный ею круг) переходит
в самое себя, а окружности Штейнера перемещаются.
Когда ^ = ^2 = ^0» дробно-линейное отображение
называется параболическим. Оно имеет вид либо
либо w = z-\-b/d> 20 = oo.
Формула E1) получается из формулы D9) предельным
переходом при zx -> zQ, г2 -> ^о-
Для того чтобы представить геометрически отображение
E1), изобразим переменные z и w на одной и той же
плоскости. Рассмотрим опять два семейства окружностей:
первое, состоящее из окружностей, проходящих через точку
zQ и касающихся в этой точке прямой z = zo-\-be~iurzbif
— оо <Ч <[ + °о, и второе, состоящее из окружностей,
проходящих через эту же точку и ортогональных окружностям
первого семейства. При отображениях т = и t =
W — Zn Z — Z,x

86 АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. III
окружности первого семейства переходят в прямые,
параллельные вектору blf а окружности второго семейства — в прямые,
ортогональные вектору bt. При отображении x = t-\-bt
каждая из прямых, параллельных вектору Ъь переходит в самое
себя, а ортогональные им прямые перемещаются.
Следовательно, при параболическом отображении каждая
окружность первого семейства переходит в самое себя, а
каждая окружность второго семейства переходит в другую
определенную окружность этого же семейства.
На основании изложенных в этом и предыдущих
параграфах результатов некоторые простые односвязные области,
ограниченные прямыми и окружностями, можно конформно
отобразить друг на друга при помощи дробно-линейных,
показательных, степенных и тригонометрических функций и
их суперпозиции.
Обозначим через f(t) значение производной
дробно-линейной функции w(z) в неподвижной точке t = w(t):
w (z)— w (t) t. w — t
Если |т(О1!>Ь т0 существует такая окрестность точки t9
в которой для всех z имеет место неравенство
E2)
где q (t) = | y @1 — e ]]> 1, a e — наперед заданное достаточно
малое положительное число. В случае, когда ]^@|<^1» в
некоторой окрестности точки t всюду будем иметь
\*>-t\<9W\*-t\, F3)
где на этот раз q(t) = \T(t)\-\-e<^ 1. В первом случае
точка t называется отталкивающей, а во втором —
притягивающей. Если же If(t)| = 1, то уже нельзя указать
окрестность точки t, в которой всюду имели бы место
неравенства E2) или E3). В этом случае неподвижная точка
называется безразличной

УПРАЖНЕНИЯ 87
В силу D9), E0) и E1) имеем соответственно
\
= 1.
0q Z—ZQ)
Следовательно, неподвижные точки во всех случаях
эллиптического и параболического отображений, а также в
случае k=l гиперболического отображения являются
безразличными. Во всех случаях локсодромического
отображения, а также гиперболического отображения при k Ф 1 одна
неподвижная точка является отталкивающей, а другая —
притягивающей.
Упражнения
1. Показать, что функция w = zz моногенна лишь при
z = 0, а функция w = z нигде не моногенна.
2. Показать, что функция
0, г = 0,
удовлетворяет условиям Коши — Римана в каждой точке z
комплексной плоскости и моногенна всюду, кроме точки
2 = 0.
3. Проверить выполнение условий (CR) непосредственным
вычислением для следующих функций: а) ег, Ъ) sin г, с) cos z,
d) sh z, e) ch z.
4. Построить поверхности Римана для функций: a) w=cosz
и b) w = Y\z~^z} (ФУнкУия Чуковского).
б. Как понимать выражения: а) (— II', Ь) (— 1) , с) /'?
6. Отобразить конформно общую часть двух областей
\z—1|^>1 и \z — 2|<С2 на единичный круг ||4

88 АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. III
7. Найти дробно-линейное отображение круга | г |<[ 1
самого на себя, если известны неподвижные точки -^ и \-\-i
этого отображения.
8. Показать, что если однолистная функция w=f(z)
конформно отображает единичный круг |z|<^ 1 на
ограниченную область D плоскости w, то площадь о области D
вычисляется по формуле
-SJ
9. Доказать справедливость формулы Муавра
(cos ср -|- / sin ср)л = cos лЕср —|— Z sin щ
для любого комплексного значения п.
10. Показать, что функцию z = arctgw, обращающую
отображение w = tgz= , можно представить в виде
COS Z
-_ 1 lOgl+<»
Z— 2i iOg\-iw •

Глава IV
ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА КОШИ
§ 1. Комплексное, интегрирование
1. Определение интеграла и его основные свойства.
На плоскости комплексного переменного z рассмотрим
спрямляемую кривую Г с концами в точках а, р и заданную на
ней непрерывную функцию f(z) = u(x, y)-\-lv(xuy).
Обозначим через zk = xk-f-lykf A = l,2, ..., п, фиксированные
точки на Г, следующие друг за другом в положительном
направлении, и составим сумму
где ^k = lk-\-i-qk — определенная точка дуги zkzk+1 кривой
Г, bzk = zk+l— zk = bxk-\-lbyk, zQ = a, *„+, = ?.
Представляя сумму s в виде
п
s = st + is* = 2 [и (?*, Ч*) bxk — v (l
n
и устремляя п к бесконечности при предположении, что
max | А^А | стремится к нулю, в силу спрямляемости Г
/?=о. 1 п
и непрерывности f(z) в пределе получим
lim st = J a dx — vdy, lim s^^=^
г г
Следовательно, в принятых предположениях существует
предел суммы s, который называется интегралом от
функции f(z) no кривой Г
\\т s = \f(z)dz = \udx — vdy-]-i\udy-\-vdx. B)
г г г

90 ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА КОШИ [ГЛ. IV
Из A) очевидно, что наряду с B) существует и предел
п
суммы 2f&k)(zk — **+i)> который принято обозначать в виде
k = 0
\f{z)dz,
г-
где знак «—» над Г означает, что интегрирование
происходит в обратном направлении. Очевидно, что
\f(z)dz = -\f(z)dz.
г г
В том случае, когда Г — замкнутая спрямляемая
кривая }Кордана, запись B) означает, что интегрирование
происходит в положительном направлении, т. е. в
направлении, оставляющем слева конечную область,
ограниченную контуром Г.
Из определения интеграла B) непосредственно вытекают
следующие его свойства.
1) Если fk(z), £=1, 2, ..., ту — заданные на Г
непрерывные функции и ck, k= I, 2,..., т, — заданные
постоянные, то
_ C)
*=1 Г
2) Если спрямляемая кривая }Кордана Г состоит из
т кусков Tv Г2, ..., Гт, то
D)
причем предполагается, что интегрирование по каждому
Yk происходит в направлении, порождаемом направлением
интегрирования на Г.
В случае, когда совокупность Г попарно не
пересекающихся замкнутых спрямляемых кривых }Кордана Го, Г1э...
..., Гт является границей (т-\- \)-связной области, причем
1\, Г2,..., Гт лежат внутри конечной области,
ограниченной кривой Го, и f(z) непрерывна на Г,
$ f(z) dz = \ f(z) <fe - 2 $ /(*) dz. E)
Г Го ksss{Tk

§ 1] КОМПЛЕКСНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 91
3) Наряду с непрерывной функцией f(z) интегрируема
и функция |/B)|, причем
\\
f(z)dz
F)
где I—длина Г.
4) Если заданная на Г последовательность {Л (г)},
k = h 2,..., непрерывных функций равномерно сходится
к f(z), то f(z) интегрируема и
lim \fk{z)dz = \f(z)dz. G)
k —+ 00 j» p
Так как в силу равномерной сходимости
последовательности {/*(*)} Для любого е]> 0 существует натуральное число
А^(е), не зависящее от z и такое, что |Л(г)—/С?)|<О всюду
на Г, как только k^N, то на основании C) и F) имеем
I\fh{z)dz-\f(z)dz =K \fk{z)-f(z)]dz
|г г |г
что и доказывает справедливость равенства G).
5) При комплексном интегрировании замена
переменного производится по обычным правилам замены
переменных в действительных криволинейных интегралах в
правой части формулы B).
2. Интегральная формула Бореля — Помпею. Пусть D —
конечная область с кусочно-гладкой границей Г.
Если заданная в замкнутой области D = D\JY
действительная однозначная функция А(х, у) в области D имеет
дЛ дА
частные производные^ и ^-, причем в каждой точке zQ =
= *о + (Уо£ Г существуют \\т-~ = Ах (х0, у0) и lim ^ =
~Аъ(хо,уо)> когда лежащая в D точка z = x-\-iy по любому
пути стремится к точке z0, то, приняв Ах(хо,уо) и А2(х0,у0)
дА дА дА дА
за значения ^ и д- при г = г0, мы скажем, что з- и -g-
определены в D*

92 ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА КОШИ [ГЛ. IV
Из курса математического анализа известна следующая
формула Грина — Остроградского:
Г
(8)
где р(х,у) и q(x,y)— действительные однозначные функции
переменных х, у, непрерывные вместе со своими частными
производными первого порядка в замкнутой области D=D\JT.
Если действительная и(х,у) и мнимая v(x,y) части
функции f(z) являются однозначными функциями, непрерывными
вместе с частными производными первого порядка в Д то на
основании B) и (8) будем иметь
{
(9)
При дополнительном требовании аналитичности f(z) в
области D, т. е. при
% = 0, z£D, A0)
02
из (9) получаем
\f(t)dt=O. A1)
г
Равенство A1) представляет собой содержание теоремы
Кош и, которая в дальнейшем будет доказана при более
слабых предположениях.
Интеграл B) от функции f(z) = zn, где п — целое число,
когда Г является окружностью |z| = /?, вычисляется легко.
В самом деле,
2л 2ic
J zndz = iRM J в1 {п +1) 9d<? = iRn+l § cos (л -|- 1) ср rfcp —
\z\=R 0 0
2* ( 0, пф— 1,
При й^Ов силу A1) имеем.
\zndz = 0, A3)
г
где Г — любая замкнутая кусочно-гладкая кривая Жордана.

§ I] КОМПЛЕКСНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 93
Если конечная область D с границей Г не содержит точки
2 = 0, то опять в силу A1) убеждаемся в справедливости
равенства A3) и при п^—1. В случае, когда точка 2 = 0
принадлежит области Д удаляя ее из D вместе с замкнутым
кругом |г|^е и для оставшейся части области D применяя
формулу (И), в силу E) и A2) получим
{
0, л<— 1,
Тем самым мы показали, что значение интеграла от
функции zn для целых пф — 1 по любой кусочно-гладкой
линии Г, соединяющей точки а и C (и не проходящей через
точку z = 0 при п<^—1), одно и то же, или, как еще
принято говорить, оно не зависит от пути
интегрирования. Для его вычисления при лё*0 рассмотрим путь
интегрирования, совпадающий с прямолинейным отрезком z =
= а-|-(р — а)^, O^s^l.B силу B) и C) имеем
2
A6)
Предполагая теперь опять, что и(х,у), v(x,y) непрерывны
в D вместе с частными производными первого порядка,
и применяя формулу (9), когда вместо /(*) взята функция
~^- (при z £ D эту точку следует удалить из области D

94 ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА КОШИ [ГЛ IV
вместе с замкнутым кругом \t — 2|^е и воспользоваться
равенством
\ J
\
\t-z\
являющимся непосредственным следствием F) и A4),
получим формулу Бореля—Помпею
1 Cf(t)dt 1 Г Cdfdbdy {/(*), *£А_ Aб)
2tuj t — z *bjdit — * @, z£CD.
В частности, при соблюдении условия A0) всюду в D из
A6) получается интегральная формула Кош и:
2ni^ t-z
Справедливость формулы A7) ниже будет доказана при
более слабых предположениях.
Выражение, стоящее в левой части формулы A7),
называется интегралом Коши.
3. Лемма Гурса. На основании формулы A5) легко
устанавливается справедливость следующего утверждения.
Лемма Гурса. Если функция f(z) непрерывна в
области D и ^ — замкнутая кусочно-гладкая кривая Жор-
дана, лежащая в D, то для любого наперед заданного е^>0
можно указать лежащий в D многоугольник Р с
вершинами на т такой, что
\f(z)dz-\f(z)dz
где fp — контур многоугольника Р,
<•»

§1]
КОМПЛЕКСНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
95
В самоот деле, пусть Dy — замкнутая область, лежащая в D
и содержащая внутри себя кривую \. Обозначим через L
длину ?.
Из равномерной непрерывности функции f{z) в Dt
следует, что для любого как угодно малого е]>0 существует
ъил^п такое, что
A9)
как только
B0)
Точками zit г2,..., zn разобьем кривую f на дуги т*»
k=l, 2, ..., п, длина каждой из которых меньше St<^8, и
обозначим через Р многоугольник с вершинами в точках zlf
В силу спрямляемости т число Ьх можно считать настолько
малым, чтобы многоугольник Р лежал внутри области D.
Применяя формулу A5), когда Г совпадает с y*>
получим
Учитывая свойства 1), 2) и 3) интеграла [см. формулы
C), D) и F)], в силу A9), B0) и B1) заключаем, что
B2)
Повторяя аналогичное рассуждение, будем иметь
<у. B3)
ТР
*->
Неравенство A8) является непосредственным следствием
неравенств B2) и B3).

ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА КОШЙ
[ГЛ. IV
§ 2. Теория Коши
1. Теорема Коши. Под теоремой Коши понимается
следующее утверждение: если функция f(z) аналитична в
односвязной области D и у — любая замкнутая кусочно-
гладкая кривая Жордана, лежащая в D, то
0.
B4)
Приведем принадлежащее Э. Гурса весьма изящное
доказательство этой теоремы.
Сначала рассмотрим случай, когда т является контуром
Тд треугольника А, лежащего в области D.
На основании формулы A3) заключаем, что
dz = \ zdz=0.
7д 7д
Справедливость равенства
\f(z)dz = 0
доказывается легко.
В самом деле, предположим, что
f(z)dz =M.
B5)
B6)
Соединяя прямолинейными отрезками середины сторон
треугольника Д, разобьем его на четыре конгруэнтных
треугольника Д(л), k=l, 2, 3, 4, и обозначим через At тот из
них, для которого
f(z)dz
4 #
Существование такого треугольника следует из
очевидного неравенства
4
•(*)<£? l^ К f(z)dz

§2]
ТЕОРИЯ КОШИ
97
По только что указанному способу разобьем треугольник
Aj на четыре конгруэнтных треугольника и обозначим через
А2 тот из них, для которого
f(z)dz - М
Продолжая этот процесс бесконечно, получим
последовательность треугольников
{A,}, k = h 2, ..., B7)
со следующими свойствами: 1) Д* CI Д/?_ь к = 1, 2, ...;
2) периметр ДЛ равен щ9 где /—периметр А; 3) для
каждого Д* имеет место неравенство
\[ f(*)dz
М
B8)
Пересечение всех треугольников последовательности B7)
состоит из единственной точки zQ £j D.
В силу аналитичности функции f(z) в точке zQ для
любого е^>0 существует 8(е)^>0 такое, что
:> B9)
при всех zt удовлетворяющих неравенству
| z — z01< 8. C0)
Начиная с определенного номера kOt все треугольники
последовательности B7) лежат внутри круга C0), и,
следовательно, в силу B5), B9) и C0) мы можем написать
\ \f(z)-f(zu)-{z-zu)f'(z»))dz
C1)
Сравнивая B8) и C1), получим
4 А. В. Бицадз»

98 теория интеграла кошй (гл. IV
откуда в силу произвольности е следует справедливость
равенства B6).
Обозначим теперь через Yp контур произвольного
многоугольника Р, лежащего в области Д и разобьем Р на
конечное число треугольников Д(Л)
Из очевидного равенства
7A(*i
в силу B6) заключаем, что
= 0. C2)
В случае, когда т— любая замкнутая кусочно-гладкая
кривая Жордана, на основании леммы Э. Гурса в силу A8)
и C2) получим
\\
f(z)dz
о>
откуда сразу следует равенство B4).
Справедливо более сильное утверждение (обобщенная
теорема Кош и): равенство B4) остается в силе, если
Y — замкнутая гладкая кривая }Кордана, а функция f(z)
аналитична в конечной области D, ограниченной
контуром т> и непрерывна в D.
Действительно, в силу равномерной непрерывности f(z)
в Ъ для любого наперед заданного е]>0 существует
число &(е)^>0 такое, что \f(z{) — /(^)|<^е> как только
\гг — *2|<28.
Пусть 8<8О, где 80 — введенный в § 2.2 гл. II
стандартный радиус, соответствующий кривой *у«
Из открытого покрытия {С(8, t)} кривой -f, где С(&, f) —
открытый круг с центром в точке t £ 7 радиуса 8 <^ 80,
можно выделить конечное открытое покрытие -f, состоящее
из кругов С(8, и), С(8, t2), ..., С(8, tm), причем т не
превышает у + 1, где / — длина ?•
Обозначим через Dk область Df]C(bt tk)f)C(bt tk+1),
^=1,2, ..., т, tm+l = tv а через dk обозначим область

§ 2] ТЕОРИЯ КОШИ 99
[ иДк-1Ь *=1, 2, ..., т, D0 = Dm.
Пусть Гл и 7л — границы D* и dk соответственно.
После удаления из области D всех Dk и dk при
достаточно малом 8 останется область D* с кусочно-гладкой жор-
дановой границей Г^, лежащей внутри D.
Учитывая то обстоятельство, что в силу уже доказанной
выше теоремы Коши
\ f(z)dz = 0, $ f(zk)dz = O, $ f£k)dz = 0,
г* Tk Ч
где zk и Сл — фиксированные точки внутри Dk и с?Л
соответственно, можно написать
5
г*
откуда сразу получается, что
C3)
Ч
Тем самым в принятых выше предположениях справедливость
равенства B4) доказана.
Приведенное здесь рассуждение позволяет доказать
справедливость равенства B4) и в том случае, когда ? —
кусочно-гладкая замкнутая кривая Жордана.
Пусть теперь D — конечная (т-\- 1)-связная область,
граница Г которой представляет собой совокупность попарно
не пересекающихся замкнутых кусочио.-гладких кривых
Жордана Го, Г1!, ..., Гт, где 1\, Г2, ..., Гт лежат внутри
конечной области, ограниченной кривой Го.
Из теоремы Коши вытекает справедливость следующего
утверждения: если функция f(z) аналиттна в замкнутой
области D, то
$ f(z) dz = \ f(z) dz - |] $ f(z) dz = 0. C4)
г г0 ыг4

100 ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА КОШИ [ГЛ. IV
В самом деле, в силу аналитичности функции f(z) в
замкнутой области D на основании леммы Гейне — Бореля —
Лебега заключаем, что существует конечная система кругов
{К\, К*,...» Kj), покрывающая Д внутри каждого из которых
f(z) аналитична. Пусть D*=\J Kn- Очевидно, что об-
ласть D* содержит внутри себя замкнутую область Д
причем f(z) аналитична в £>*.
Обозначим через 7*> k = 0, 1 т> попарно не
пересекающиеся кусочно-гладкие разомкнутые дуги Жордана,
лежащие в D и соединяющие соответственно Yk с Tk+1, где
Гт+1 = Го-
Проведенными вдоль 7л разрезами область D делится на
две односвязные области с замкнутыми жордановыми
кусочно-гладкими границами Г* и Г**. Так как Г* и Г**
лежат внутри области аналитичности f(z), то в силу теоремы
Коши имеем
\f(z}dz=\f(z)dz = 0. C5)
г* г**
Из очевидного равенства
\ f(z)dz- 2 ^ f(z)dz = l f(z)dz+ \ f(z)dz
го k=s{Tk Г* Г**
(вдоль Yft интегрирование происходит дважды по
противоположным направлениям) в силу C5) сразу следует
справедливость равенства C4).
В силу обобщенной теоремы Коши равенство C4) остается
справедливым, если от функции f(z) потребуем аналитичности
в D и непрерывности в D.
Равенство C4) все еще остается справедливым, если
f(z) аналитична в D и непрерывна в D всюду, кроме
конечного числа точек ak£Dy k=T, 2, ..., п, вблизи
которых f{z) ведет себя так, что
lira (z — ak)f(z) = 0. C6)
Для доказательства этого факта, очевидно, можно
ограничиться рассмотрением случая л=1.

§2] ТЕОРИЯ КОШИ 101
Заметим, что в силу C6) для любого е>0 существует
такое, что
I*—<*i||/(*)|<e, C7)
как только
\z — at|<8. C8)
Удалим точку ах из области D вместе с замкнутым
кругом C8). Для оставшейся части D формулу C4) можем
считать доказанной, т. е.
J f(z) <fe — £ J /(*) dz = $ f(z) dz. C9)
Го *=1ГЛ \г-ах\ = Ъ
Заметим, что в силу C7) имеет место оценка
dz
J f(z)dz
В силу этого неравенства из формулы C9) в пределе,
когда е->0, получим равенство C4).
2. Интегральная формула Коши. Для аналитической в
области D с жордановой кусочно-гладкой границей Г и
непрерывной в D функции f(z) из вышедоказанного утверждения
легко вывести интегральную формулу Коши
f(t)dt _[ f(z), z£D,
В самом деле, для z £ D имеем
/(<)dt 1
TlT"ss='K
где
Так как Ф> как функция переменного U аналитична в D
и непрерывна в D всюду, кроме точки t = z, a в этой точке

102 ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА КОШИ [ГЛ. IV
условие C6), очевидно, соблюдено, то имеем
О. D2)
г
Замечая теперь, что формулу A7) можно считать
доказанной для f(z)=l, т. е.
г
из формулы D1) в силу D2) и D3) получим формулу D0).
Для z £ CD формула D0) следует из теоремы Коши.
3. Интеграл типа Коши. Пусть Г — замкнутая или
разомкнутая кусочно-гладкая кривая Жордана и f(t) —
заданная на Г непрерывная функция. В любой точке z комплекс-
ной плоскости, не лежащей на Г, выражение j^-, как
функция t ^ Г, непрерывно, и, следовательно, существует интеграл
являющийся однозначной функцией переменного z.
Выражение D4) носит название интеграла типа
Коши.
Если Г — замкнутая кусочно-гладкая кривая Жордана и
f(t) задана всюду в D{JT = D, причем она аналитична
в D и непрерывна в А то интеграл типа Коши совпадает
с интегралом Коши и D4) представляет собой интегральную
формулу Коши D0).
Интеграл типа Коши обладает следующим замечательным
свойством: в любой точке z комплексной плоскости, не
лежащей на кривой Г, интеграл типа Коши D4) является
аналитической функцией, причем
Более того, F(z) имеет производные всех порядков и

§2]
ТЕОРИЯ КОШЙ
103
Обнаружить это свойство интеграла типа Коши нетрудно,
если заметить, что
f(t) dt
t — Z)(t — Z — L
D7)
где z -f- Lz не лежит на Г.
Так как точка z не лежит на кривой Г, то всегда можно
указать положительное число 8 такое, что замкнутый круг
|С — г|^& будет находиться на конечном расстоянии d^>0
от Г.
Пусть | Дг | <^ 8. Очевидно, что для всех точек t £ Г
будем иметь
\t — г|>4 \t — z — Lz\>d. D8)
D9)
Вычитая D5) из D7), в силу D8) получим
_Н f bzf{t)dt
2*| } (t — z)*(t — z—
где L — длина кривой Г, a /W = max \f(t) |, когда t£V.
Из неравенства D9) следуют аналитичность функции F(z)
и справедливость формулы D5).
Теперь, считая формулу D6) доказанной при n = k—1,
в результате простых вычислений получим
(fe-l)l
k-\
2m
2
— 1)У0 + 0 ^ —*)*"
2nd2k+l

104 ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА КОШИ {ГЛ. IV
где ш — постоянная, зависящая лишь от k и d. Отсюда
предельным переходом при Д^-^0 приходим к заключению, что
формула D6) верна и при n = k.
Установленное выше свойство интеграла типа Коши
позволяет сделать весьма важное заключение: аналитическая
в области D функция f{z) в каждой точке этой
области имеет производную любого порядка.
В самом деле, пусть г0 — произвольная точка области D и
8 — положительное число такое, что окрестность \z — z0|<^8
точки 20 лежит полностью в D.
В силу интегральной формулы Коши D0) имеем
/»-нг \ №■
U|6
Так как интеграл Коши в правой части формулы E0)
является частным случаем интеграла типа Коши, го
представленная формулой E0) функция f(z) в окрестности точки г0
всюду имеет производные всех порядков. Ввиду того, что
zQ — произвольная точка области Д тем самым доказано
существование производных всех порядков у функции f(z)
всюду в области ее аналитичности.
4. Понятие неопределенного интеграла и обращение
теоремы Коши. Если функция f(z) аналитична в односвяз-
ной области D иГ — кусочно-гладкая кривая Жордана,
соединяющая точки Zq^D, z £D и лежащая внутри Д то
интеграл
не зависит от пути интегрирования, и, следовательно, можно
написать
E1)
Мы теперь покажем, что если функция f(z) непрерывна
в односвязной области D и интеграл
$ f{t) df= F (г), z £ Д го^Д E2)
20

§ 2] ТЕОРИЯ КОШИ 105
не зависит от пути интегрирования, то однозначная
в области D функция F (z) аналитична в этой области и
F'(z)=f(z). E3)
Так как интеграл в левой части формулы E2) не
зависит от пути интегрирования, то для z^D и<г-|-Дг££)
имеем
Z + AZ
F(z-\-Lz) — F(z) = \ f(t)dt
z
В силу непрерывности f(t) для любого б^>0 существует
такое 8^>0, что \f(t)—/(г)|<С£ Для всех t,
удовлетворяющих неравенству \t — z \<С^8. Поэтому, предполагая | Дг |
из очевидного равенства
F(z+bz)-F(z) -, ._ 1
где интегрирование происходит вдоль прямолинейного
отрезка, соединяющего точки z и z-\-Lz и лежащего в D,
будем иметь
Hz J v
откуда и следует справедливость равенства E3).
Из сделанного в конце предыдущего пункта заключения
и равенства E3) следует аналитичность функции f(z) в
области D.
Совокупность аналитических в области D функций Ф(г),
обладающих тем свойством, что
Ф' (z) =f(z), E4)
где f(z)—^аналитическая в области D функция, будем
называть Неопределенным интегралом от функции f\z).
Вычитая E3) из E4), будем иметь
=0' (б5)
где и {х, у) -{- to {х, y) = <$(z) — F (z).

106 ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА КОШИ [ГЛ. IV
Учитывая условия Коши — Римана, из равенства E5) заклю-
ди ди dv dv n ~ n
чаем, что -g^- = -g— = -^- = -э- = 0 в D. Следовательно,
Ф(г)— F (z) = const всюду в области D.
Таким образом, имеем
го
откуда ввиду того, что
С=Ф(г0),
следует формула Лейбница
го
Теперь легко доказать теорему Морера (являющуюся
обращением теоремы Коши): если функция f(z) непрерывна в
односвязной области D и вдоль любого замкнутого
кусочно-гладкого контура Г, лежащего в D,
z)dz = 0, E6)
г
то f(z) аналитична всюду в D.
В самом деле, по условию теоремы интеграл в левой
части формулы E2) не зависит от пути интегрирования и,
кроме того, f(z) непрерывна в D. Следовательно, F(z)
аналитична в области D и имеет место равенство E3). Как уже
было показано выше, аналитичность f(z) является следствием
равенства E3).
Очевидно, что теорема Морера остается в силе, если в
требовании E6) кривую Г заменить произвольным
треугольником, лежащим в области D.
Приведем и другой вариант доказательства теоремы
Морера, обобщение которого играет существенную роль в § 3.3
главы VIII.
Обозначим через Q лежащий вместе со своей границей 5
внутри области D квадрат, стороны которого параллельны
координатным осям. Пусть z = x-\-iy — произвольная точка
внутри Q.
В силу непрерывности функции f(z) для любого е]>0
существует число 8]>0 такое, что для всех точек t внутри

S 2] ТЕОРИЯ КОШИ
круга С (Ь, z) имеет место неравенство
107
(*)
Пусть Qo — вписанный в круг С(&, z) квадрат, стороны
которого параллельны сторонам квадрата Q. Прямыми х =
= const, y = const разобьем часть Q, лежащую вне Qo,
на мелкие квадраты Qk, длина стороны каждого из которых
не превышает достаточно малого числа й^>0.
На основании формулы D0) заключаем, что
,, E7)
где So vi Sk — границы квадратов Qo и Qk соответственно,
a tk — центр квадрата Qk.
При достаточно малом h в силу равномерной
непрерывности функции f(z) имеет место неравенство
\f(f\ f(tb)\<r^\t г I2 (**)
для всех t £ Sk-
Из очевидных равенств: \t — z |2 = | tk — z |2 -)- 11 — tk |a —
I i z * 11 tb
— 2 | tk — z\\t — tk\ cos a, -—— = 1 -|- A * , где
0<^X<^3, следует, что
1 't — z z — tk
t—tk , у Z-i
Подставляя полученное выражение для у—— в правую
часть формулы E7) и учитывая то обстоятельство, что в силу
условия E6) и равенства A3)
на основании неравенств (*) и (**) получим оценку
2ni
f(t)dt
t — z
-/(г)

108 ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА КОШИ [ГЛ. IV
где | Q | — площадь квадрата Q. Тем самым доказана
справедливость интегрального представления
откуда непосредственно следует аналитичность функции f(z)
в точке z.
б. Понятие гармонической функции. Восстановление
аналитической функции по ее действительной части.
Однозначная в области D действительная функция и (х, у)
действительных переменных х, у, обладающая непрерывными
частными производными второго-порядка и удовлетворяющая
уравнению
д2а , д*и п ,_с
+ = Of E8)
называется гармонической.
Дифференциальное уравнение с частными производными
F8) называется уравнением Лапласа, а дифференциальный
оператор А =-гт + -*-§ оператором Лапласа.
В п. 3 настоящего параграфа было доказано, что
аналитическая в области D функция f(z) комплексного
переменного z в каждой точке этой области имеет производные
всех порядков. В частности, ее производную первого порядка
можно записать в виде
я, ч да , . dv . да , dv
Так как f(z) сама является аналитической функцией в
области D, то из E9) заключаем, что существуют частные
производные
дЧ^ д2а д*а д*и d2v d2v d*v д*у
дх* ' дхду' дудх* ду* ' дх2 ' дхду' дудху ду2 '
причем
д2и __ д2а д2у
дхду~дудх> dxdy
всюду в области D.

§2] ТЕОРИЯ КОШИ 109
Из аналитичности функции f(z) в области D следуют
тождества
ди dv да dv
Дифференцируя эти тождества по х и у соответственно
и складывая,- в силу второго из равенств F0) получим, что
Дн = 0. Легко видеть, что и Дт; = О.
Следовательно, действительная и (хУ у) и мнимая v (x, у)
части аналитической в области D функции /(г) являются
гармоническими функциями. Функцию v (xt у) принято
называть гармонически сопряженной с функцией и(х9у).
Предположим теперь, что в односвязной области D задана
гармоническая функция и(х, у). В области D сопряженная с
и (ху у) гармоническая функция v (x, у) весьма просто
выражается через и (х, у).
Действительно, из условий (CR) имеем
Ввиду того, что Дн = 0, правая часть F1) является полным
дифференциалом и, следовательно,
где (лго,^о) — фиксированная точка области Д С —
произвольная действительная постоянная, а интеграл не зависит от
пути интегрирования.
Таким образом, аналитическая в односвязной области
D функция f(z) no ее действительной части определяется
с точностью до аддитивной произвольной мнимой
постоянной 1С по формуле
] -ifrdx + ^dy + iC. F2)
Уо)
Ниже (§ i.7 гл. VIII) будет выведена более простая
формула, чем F2), выражающая аналитическую в односвязной
области D функцию f{z) через ее действительную (или
мнимую) часть.

ПО ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА КОШИ (ГЛ. IV
§ 3. Некоторые важнейшие утверждения,
вытекающие из интегральной формулы Коши
1. Принцип максимума модуля. Пусть f(z) — заданная
в области D аналитическая функция. Обозначим через М
верхнюю границу значений \f(z)\ для всех z£D.
Под принципом максимума м оду ля понимается
следующее утверждение: модуль аналитической в области D
функции f(z), отличной от постоянной, ни в одной точке
этой области не может принимать значения М.
Если М==-|-оо, справедливость этого утверждения
очевидна, ибо в каждой точке1 z £ D функция \f(z)\ принимает
лишь конечное значение.
Предположим теперь, что М конечно и в некоторой
точке zo^D имеет место равенство \f(zo)\ = M.
Рассмотрим замкнутый круг \z — zQ | ^ 8, лежащий в
области D.
Из интегральной формулы Коши D0) имеем
или, что то же самое,
2%
откуда в силу принятого допущения получим
2л
M<*-^r\\f<<z* + bei*)\d^ (88)
На основании F3) легко усмотреть, что всюду на
окружности \z — 20| = 8 имеет место равенство
\f(z)\ = M. F4)
В самом деле, допустим, что для некоторого значения
ср ===== ср0 имеет место неравенство | f(z0 -|- &£*ро) | <^ М. В силу
непрерывности | f(z0 -j- %ег*) I, как функции от ср, можно
указать е^>0 такое, что вдоль дуги <р0 — е<С?<С?о + £

§3] НЕКОТОРЫЕ ВАЖНЕЙШИЕ УТВЕРЖДЕНИЯ 111
окружности \г — zo\ = b будем иметь
На основании этого неравенства из F3) получим противоречие
М<^М. Тем самым справедливость равенства F4) доказана.
Повторяя приведенное выше рассуждение для круга
I z — zQ | ^ 8', где 8' — произвольное положительное число,
меньшее 8, видим, что равенство F4) имеет место в каждой
точке круга \z — z0| <:8. Покажем теперь, что это равенство
имеет место в каждой точке области D. С этой целью
рассмотрим произвольную точку zx £ D и соединим ее с
точкой z0 непрерывной кривой L, лежащей в D. Обозначим
через d положительное число, меньшее, чем расстояние между
кривой L и границей Г области D.
Передвигая центр круга радиуса d из точки z0 вдоль
кривой L к-точке zi9 убедимся в справедливости равенства
F4) в точке zv
Так как | f(z) | = М ф О в области Д то функция Ф(г) =
= \ogf(z) = u-{-iv, где берется определенна^ ветвь
логарифма, аналитична в области Д причем ее действительная часть
и (х, у) = log | f(z) | = const всюду в области D. Отсюда на
основании условий Коши — Римана имеем
ди да dv dv *
~дх^ ~ду~ ~~дх ~ду
и, стало быть, Ф(<г) = const, z £ Д а это противоречит
требованию, что f(z) отлична от постоянной. Тем самым
принцип максимума модуля доказан.
Предположим теперь, что функция f(z) аналитична в
области D и непрерывна в замкнутой области D.
Действительная, непрерывная в замкнутой области D функция \f(z)\
переменных х, у обязательно достигает своего максимума.
Следовательно, по доказанному принципу максимума модуля
функция \f(z)\ достигает своего максимума в D лишь
на границе Г этой области.
Если непостоянная аналитическая функция f(z) Ф 0 всюду
в области D и т — нижняя граница значений \f(z)\9 z£D,
то, применяя принцип максимума модуля к функции .. ,
заключаем, что \f(z)\ не может принимать значения т
ни в одной точке области Д

112 ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА КОШИ [ГЛ. IV
2. Лемма Шварца. Из принципа максимума мбдуля
аналитических функций легко получается следующая лемма
Шварца: если аналитическая в круге \ z \<^ 1 функция
f(z) удовлетворяет условиям
0 F5)
то
F7)
1, F8)
причем если равенство \f(z)\ = \z\ имеет место хотя
бы в одной точке zQ ф 0, | <г01 <^ 1, или \f@) \ = 1, то всюду
в рассматриваемом круге f(z) = eiaz, где а. —
действительная постоянная.
Переходя к доказательству этой леммы, заметим, что для
любой точки z круга | z |<е, где е — произвольное
положительное число, меньшее единицы, по формуле Коши D0) имеем
В силу F5) и F9) заключаем, что
т. е. функция
fS±_J
— 2ni J ^(/f —
аналитична в круге \г\<^г, причем
Таким образом, функция Ф(г) = ^-^-, Ф@)=f@), ана-
литична в круге | z \ <^ 1.

§3] НЕКОТОРЫЕ ВАЖНЕЙШИЕ УТВЕРЖДЕНИЯ 113
Из принципа максимума модуля вытекает, что тах|Ф(,г)|
при | z | < е1э где ех — произвольное положительное число,
меньшее единицы, достигается на окружности | г | = е1в
Следовательно, для |^|^ei на основании F6) имеем
Отсюда в пределе при sj —-1 для любой фиксированной
точки z круга | z \ <^ 1 получаем
и, стало быть, |/@)|^1, что и требовалось доказать.
Если в точке zQ ф 0, |<го|<^1, имеет место равенство
|/B:0)| = |zo|, то из принципа максимума для |Ф(г)|
заключаем, что Ф(г) постоянна в круге |г|^1. При наличии
равенства \f@)\ = l повторением аналогичного* рассуждения
также заключаем, что Ф(г) = const.
В обоих случаях очевидно, что | Ф (z) \ = 1, т. е. Ф (z) = еы.
3. Теоремы Вейерштрасса о рядах аналитических
функций. Из курса математического анализа известно, что
сумма f(x) равномерно сходящегося в интервале а<^^Ь
ряда 2 fk (x) действительных дифференцируемых функций
может не оказаться дифференцируемой, а при наличии
производной f (x) совсем не обязательно, чтобы имело место равенство
k=\
В отличие от этого в комплексном анализе имеет место
следующий весьма важный факт, известный под названием
первой теоремы Вейерштрасса: если ряд
аналитических в области D функций fk(z) равномерно
сходится на любом компактном подмножестве К

114 ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА КОШИ [ГЛ. IV
области D, то сумма f(z) этого ряда аналитична в D,
00
причем для каждого натурального р ряд Jj /?} (г) равно-
мерно сходится на любом компактном подмножестве
области D и
№z). G2)
Из доказанного в § 3.1 гл. II утверждения о
непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных
функций следует непрерывность функции f(z) в области D.
Пусть zQ — произвольная точка области D.
Обозначим через т; кусочно-гладкий замкнутый контур,
лежащий в области D вместе с конечной областью DT,
ограниченной им, причем zQ £ Dr
Из равномерной сходимости ряда G1) вдоль f в силу
G) следует, что для любой точки z £ DT
1 Cf(t)dt^ 1 у РЛ(ОЛв
7 Z Ш Л-1 7
В силу интегральной формулы Коши D0) равенство G3)
можно переписать в виде
1 С f(t)dt_,,^
откуда следует аналитичность функции /(г) в точке <г0. Так
как <г0 — произвольная точка области Д то тем самым
доказана аналитичность f(z) всюду в D.
Из равномерной сходимости ряда G1) аналогично
заключаем, что
f(t)dt _\ p\ {fk(t)dt
t п ) (t -
для любой точки z ^ Dr Из формул D6) и G4) следует
справедливость равенства G2) в любой точке z £ D. и, в
частности, в точке 2р.

§ 3) НЕКОТОРЫЕ ВАЖНЕЙШИЕ УТВЕРЖДЕНИЯ 115
Покажем теперь, что на любом компактном подмножестве К
области D ряд в правой части равенства G2) сходится
равномерно. С этой целью обозначим через zQ произвольную
точку компактного множества /С Пусть d — такое
положительное число, что круг \z — z01 <: 2d принадлежит
области D.
В силу равномерной сходимости ряда G1) на
окружности \z — zo\ = 2d заключаем, что для произвольного г^>О
существует натуральное число N(e) такое, что
<е G5)
для любого n^>N.
Для остатка ряда в правой части G2) в силу формулы
D6) и равномерной сходимости ряда G1) на окружности
\t — zQ I = 2d получим
=&
2!
откуда в силу G5) заключаем, что для всех точек z,
удовлетворяющих неравенству \z — zQ\<^d, будем иметь
00
~*г- G6)
Неравенство G6) означает, что ряд в правой части
равенства-G2) равномерно сходится в круге \z — zQ\<^d с
центром в произвольной точке z0 £ К. Отсюда по лемме Гейне —
Бореля — Лебега заключаем, что указанный ряд равномерно
сходится на К.
Непосредственным следствием принципа максимума
модуля аналитической функции является вторая теорема
Вейерштрасса: если ряд G\) аналитических в области D и
непрерывных в замкнутой области D функций fk(z)
равномерно сходится на границе Г области D, то этот ряд
равномерно сходится в D.

116
ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА КОШИ
[ГЛ. IV
В самом деле, в силу равномерной сходимости ряда G1)
на Г для любого е^>0 существует число Л/(е)>0 такое, что
для любого натурального р.
р
Так как конечная сумма 2 /#+* (z) аналитична в D и не-
прерывна в D, то в силу принципа максимума модуля
аналитической функции заключаем, что
р
2
G7)
для любого z^D. Как известно, неравенство G7) является
условием, необходимым и достаточным для равномерной
сходимости ряда G1) в замкнутой области D.
4. Интегральные формулы Шварца и Пуассона. Пусть
функция f{z) аналитична в круге \z — Zq\<C^R и непрерывна
в замкнутом круге \z — z0\^R.
Из интегральной формулы Коши D0) имеем
G8)
G9)
для любой точки z круга |г — z9\<^R и
для точки г*, симметричной точке z относительно
окружности х- I* — z9\ = R.
Ввиду того, что
/?8
dt=—\
= — l -^2-, dt = iRe1* d?,

§3] НЕКОТОРЫЕ ВАЖНЕЙШИЕ УТВЕРЖДЕНИЯ 117
из G9), переходя к сопряженным величинам, получим
С fV)dt — i Г
J г° 7=Т0 J
t-z
Следовательно, для любой точки z круга | z — ^о|<С^ имеем
7
Сложив формулы G8) и (80), получим
(81)
где H@ = Re/@-
Учитывая то обстоятельство, что
1
формулу (81) можно переписать в виде
где действительная постоянная c = lmf(zQ).
Вычитая (80) из G8), аналогично получаем
(82)
где v(t) = lmf(t), Cl =
Формулы (82) и (83), выражающие значения аналитической
функции f{z) в круге \г — z^\<^R соответственно через

118 ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА КОШЙ [ГЛ. IV
краевые значения действительной и мнимой частей этой
функции на окружности \t — z0\ = R, называются
интегральными формулами Шварца.
Вводя обозначения z — zo = rei(?o, t — zo=^Re^f из
формулы Шварца (82) получим формулу Пуассона
^ *'''<* + *")'*> <84>
где А B0 + №9) = и (хо + R cos Ь Уо + R sin ?)•
б. Об одном признаке сходимости к нулю
последовательности аналитических функций. Формула (81) позволяет
получить простое доказательство следующего весьма важного
утверждения: если последовательность аналитических в
области D функций
..,/*(*), ... (85)
обладает тем свойством, что в некоторой
фиксированной точке zo£D
ИтД(г0) = 0 (86)
и равномерно в области D
Urn Re fk (z) = 0, (87)
Л-*оо
то последовательность (85) равномерно сходится к кулю
на любом компактном подмножестве К области D.
Действительно, рассмотрим круг \г — zQ \ ^ 2S, лежащий
в области D. В силу (81) имеем
ДМ =4 $ ^ё®-*-7м. (88)
|/-*о| = 25
На основании (86) и (87) из формулы (88) заключаем,
что в круге \ z — z01<^8 последовательность (85) равномерно
сходится к нулю.

§ 4] ИНТЕГРАЛ В СМЫСЛЕ ГЛАВНОГО ЗНАЧЕНИЯ ПО КОШИ 119
Теперь легко показать, что для любой точки zt £ К
существует круг \z — zt К d, принадлежащий области Д внутри
которого последовательность (85) равномерно сходится к нулю.
В самом деле, соединим точку zQ с точкой zt
непрерывной линией L, лежащей в области Д и рассмотрим круг
\z — т|<^2й, где х — точка на линии L, a
2d—положительное число, меньшее, чем расстояние между L и границей Г
области D.
Передвигая центр т круга \z — т | <^ 2d от точки z0
к точке zx и все время пользуясь формулой (88)у в которой
точка z0 заменена точкой т, убедимся, что в каждом круге
\z — т |<d и, в частности, в круге \г — zx |<d
последовательность (85) равномерно сходится к нулю.
Доказательство справедливости признака завершается
применением леммы Гейне — Бореля — Лебега.
§ 4. Интеграл в смысле главного значения по Коши
1. Условие Гёльдера. Говорят, что заданная на связном
множестве Е однозначная функция f(z) удовлетворяет
условию Гёльдера, если существуют положительные
постоянные L и ft, 0 <^ ft 5-^:1, такие, что
|/(*i)-/(*s)|^|2i-*2|A (89)
для любой пары точек zx и <га из Е.
Для ft = 1 условие (89) было введено Липшицем.
Функции, удовлетворяющие условию Гёльдера, называются
также непрерывными по Гё'льдеру. Требование непрерывности
по Гбльдеру, очевидно, сильнее требования обычной
непрерывности.
Число ft называется показателем Гёльдера.
Ниже речь будет идти о непрерывности по Гбльдеру
функций, заданных на гладкой дуге Г. Из определения
непрерывности по Гёльдеру непосредственно следует, что если f(z)
и ср(г) непрерывны на Г по Гбльдеру с показателями
соответственно fti и А2, то /± ср и /. ср также будут непрерывными
по Гёльдеру с показателем ftrrrminf/?!, ft2)- Кроме того,
если f(z) непрерывна по Гёльдеру и f(z) ф 0 всюду на Г,
то -jj-r также непрерывна по Гёльдеру, причем показатели
(
Гёльдера для f(z) и jj-r одинаковы.

120 ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА КОШИ [ГЛ. IV
2. Определение интеграла в смысле главного значения
по Коши. Пусть Г — кусочно-гладкая кривая Жордана,
а p(t)— заданная на Г однозначная функция. Как уже было
отмечено, если \*.(t) непрерывна на Г, то интеграл типа Коши
(90)
как функция переменного г на комплексной плоскости, всюду
вне кривой Г является аналитической функцией.
Функция а называется плотностью, а ; ядром Коши.
t — z
Когда точка z £j Г, интеграл в правой части формулы (90)
в обычном понимании не существует, но при некоторых
дополнительных ограничениях относительно плотности (х ему
можно придать определенный смысл.
Будем предполагать, что Г — замкнутая гладкая кривая,
а точка z = tQ лежит на Г.
Пусть т — окружность \г — U\ = tt гДе е — достаточно
малое положительное число, не превышающее стандартного
радиуса 80 кривой Г. Часть кривой Г, лежащую вне круга
\г — £0|^е> обозначим через Гв.
Интеграл
очевидно, имеет смысл в обычном понимании.
Если существует
lim Ig(t9) = I(t0),
то этот предел называется интегралом в смысле главного
значения по Коши или сингулярным интегралом Коши,
и его обозначают обычным символом интеграла
(92)
Иногда в математической литературе символ интеграла
в смысле главного значения по Коши снабжается либо двумя
латинскими буквами v. p. спереди, что означает valeur prin-
cipale (главное значение), либо звездочкой сверху или снизу
этого символа.

§4) ИНТЕГРАЛ В СМЫСЛЕ ГЛАВНОГО ЗНАЧЕНИЯ ПО КОШИ 121
Для существования интеграла (92) в смысле главного
значения по Коши при любом tQ £ Г достаточно
потребовать от функции (х, чтобы она удовлетворяла условию
Гёльдера
всюду на Г.
Действительно, пользуясь интегральной формулой Коши
D0), интеграл (91) перепишем в виде
$ т^г, (94)
где Yi — часть окружности ?> лежащая вне конечной области
D, ограниченной кривой Г.
Из условия (93) следует существование обычного
равномерно сходящегося несобственного интеграла
^) (95)
являющегося непрерывной -функцией переменного t0.
Кроме того, гладкость кривой Г обеспечивает
справедливость равенства
lim (—^-= lira / [d<D = nl. (96)
0)r — ro 0 )
Переходя к пределу в равенстве (94) и учитывая (95)
и (96), получим
. () { ^f ^ + ^ (97)
В случае разомкнутой гладкой кривой Г в предположении,
что точка £0 £ Г1 не является концевой, интеграл в смысле
главного значения по Коши определяется опять-таки как
предел выражения
при е-*0. Этот предел всегда существует, если функция р,
удовлетворяет условию Гёльдера.

122 ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА КОШИ [ГЛ. IV
3. Предельные значения интеграла типа Коши и
формулы Сохоцкого —- Племеля. Будем предполагать, что
плотность (х интеграла типа Коши (90) удовлетворяет условию
Гёльдера, а Г является замкнутой гладкой кривой Жордана.
Обозначим через t0 произвольную фиксированную точку
на Г и перепишем выражение (90) следующим образом:
z(£r. (98)
В силу интегральной формулы Коши D0) имеем
Ф(г)=[ ^-^('о) at + 2тг/> (tQ)y z ^ D, (99)
и
A00)
A01)
где D — конечная область, ограниченная кривой Г.
Пусть
Легко видеть, что при z -> tQ изнутри или извне области
D так, что нетупой угол между отрезком t9z и касательной
к Г в точке ?о больше некоторого положительного числа б,
одного и того же для всех tQt существует предел
Ига ср(г) =
Z-»tQ
равномерно относительно положения точки t0 на Г.
В самом деле, в силу A01) имеем
?(*)-?(*.) = (г-*,) J ^~^/и A02)
Ввиду того, что Г — гладкая кривая, окружность f
достаточно малого радиуса \t — £0| = р будет пересекаться с Г
только в двух точках f и f. Дугу кривой Г между f и t"t
содержащую внутри себя точку i0, обозначим через Гх и

§ 4] ИНТЕГРАЛ В СМЫСЛЕ ГЛАВНОГО ЗНАЧЕНИЯ ПО КОШИ 123
запишем выражение A02) в виде
где
а Г2 — дополнение Гг до всей кривой Г.
Так как Г — гладкая кривая Жордана, то в силу формулы
A0) § 2.2 гл. II существует положительная постоянная К,
зависящая лишь от Г и такая, что
\\ \r\, A03)
где r = \t-t,\.
Из условия, что z->t0 указанным выше образом, в силу
отмеченного в § 2.2 гл. II свойства гладкой дуги имеем
\t — z\>Ki\z — to\, A04)
где К\ — положительное число, зависящее лишь от Г и 0.
В силу (ЮЗ) и A04), учитывая то обстоятельство, что ^
удовлетворяет условию Гёльдера (93), находим оценку
Для t £j Г2 имеем \t —10 \ ^ р. В предположении, что
| г — (Q | <^ р/2, получим \t — z | ^ р/2. Отсюда заключаем, что
^f^M, A06)
где постоянная М не зависит от t0 и z.
Для произвольно заданного е^>0 на основании
неравенства A05) число р можно взять настолько малым, чтобы имело
место неравенство
\h\<Y- A07>
После того как число р выбрано, точку z возьмем настолько
близко к tuf чтобы в силу A06) имело место неравенство
A08)

124 ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА КОШИ [ГЛ. IV
Из неравенств A07) и A08) имеем
что и требовалось доказать.
Следовательно, существуют предельные значения
выражений (99) и A00), которые на основании (97) могут быть
записаны в виде
A09)
z 6 CD
A10)
Равенства A09) и (ПО) называются формулами Со
хоцкого — Племеля. В силу непрерывности функций
Ф+@ и Ф"@ на Г очевидно, что эти формулы остаются в
силе при z -^ t0 по любому пути, лежащему внутри D и
внутри CD соответственно.
Из A09) и (ПО) непосредственно следует справедливость
равенств:
A12)
4. Задача Дирихле для гармонических функций в круге.
В математической физике весьма важную роль играет
следующая задача Дирихле: найти гармоническую в круге
\z — z0\<C.R функцию и(х, y) = u(z), непрерывную в
замкнутом круге \z — 2о|<:^ и принимающую заданные непре*
рывные значения h (t) на окружности \t — zo\ = R.
Если дополнительно известно, что функция f(z),
действительной частью которой является гармоническая в круге
\z — zo\<^R функция u(z)t удовлетворяет условию Гёльдера
в замкнутом круге \z — z0 \ ^ /?, то в силу формул (82)

§4] ИНТЕГРАЛ В СМЫСЛЕ ГЛАВНОГО ЗНАЧЕНИЯ ПО КОШИ 125
и A09) функцию u(z) можно представить формулой
Пуассона (84).
Докажем, что формула Пуассона (84) дает решение задачи
Дирихле и в приведенной выше формулировке.
В предположениях z0 = 0, R = 1 (как будет показано
в § 3.5 гл. VII, этим общность не ограничивается) формула
Пуассона (84) принимает вид
2*
В том, что представленная формулой A13) функция u(z)
при |z\<^ 1 является гармонической, легко убедиться
непосредственной проверкой.
В самом деле, функция
при |<г|<^1 является гармонической, а правую часть A13)
при | z | <^ 1 можно дифференцировать под знаком интеграла.
Следовательно,
где Д — оператор Лапласа.
Так же легко показать, что
Urn и (z) = h (*„), *о = *'*. A14)
г
Действительно, для постоянной гармонической функции
к(z)=1 имеет место представление
2л
Следовательно,
2тг
±

126 ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА КОШИ [ГЛ. IV
В силу равномерной непрерывности функции h(ei(p) на
окружности | г | = 1 для любого наперед заданного е ^> О
существует 8(е)^>0 такое, что для всех ср и ср0,
удовлетворяющих условию | ср — ср01 <^ 8, имеем
| А (*'*) — Л(*'*)|<е. A17)
Перепишем. A16) в виде
и(г) — АB0) =
где
<р0 —5
\ 0 <Ро
На основании A15) и A17) имеем ||O
После выбора Ь(г) возьмем z настолько близко к
чтобы имело место неравенство
т. е. |/2|<С£- Тем самым равенство A14) доказано.
Упражнения
Показать справедливость следующих утверждений.
1. Если /(г) — аналитическая в односвязной области D
функция, а т — замкнутый кусочно-гладкий контур, лежащий
в Д то
t
2. Если т — единичная окружность |z| = l, то
$e*<tt = —2irf.
3. Если D — единичный круг и п — натуральное число, то

УПРАЖНЕНИЯ 127
4. Если функция f(z) аналитична всюду на комплексной
плоскости и для всех достаточно больших | z | имеет место
неравенство |/B)|^iW| z\n, где М — положительная
постоянная, а п — неотрицательное целое число, то f(z) —
полином степени не выше я.
б. Каждая ветвь функции log г может быть получена при
помощи интегрирования функции— вдоль подходящим
образом подобранного пути, соединяющего точку zQ = 1 с точкой z.
6. Принцип максимума модуля справедлив для любой
непрерывной однолистной в области D функции f(z) комплексного
переменного z.
7. Отличная от постоянной гармоническая в области D
функция и(х, у) внутри этой области не может достигать ни
максимума, ни минимума (принцип экстремума для
гармонической функции).
8. Если 0<*0<1,to
1
где под log —т—2- понимается ветвь этой функции, прини-
мающая действительные значения при 0<^£0<^1.
9. Если ветвь функции log —^—, где а и Ь —
действительные числа (а<^Ь), выбрана так, что
ь
z — b _C dt
а
то функция
со (z> а, Ъ) = — Ira log ~
гармонична в верхней полуплоскости 1га<г^>0 и
1, а<^
О, -оо<
lira со (z, а, Ь) =
Z — X
1-Х, х = а,
К х = Ъ,

128 ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА КОШИ [ГЛ. IV
где Хтс = lim arg (г — с\ 0<:Х<;1, а постоянная с принимает
г — с
значения а и Ъ (предполагается, что путь, по которому z -* с,
в точке с имеет касательную).
Функция со (z, a, b) называется гармонической мерой
прямолинейного отрезка ab в точке z относительно верхней
полуплоскости.
10. Если Г — замкнутая гладкая кривая Жордана, п к
т — неотрицательные целые числа и t9 £ Г, то
11. Если п и т — неотрицательные целые числа и
0<*о<1, то
11 11
tndt Cimdz ыпл-т 1
Г tnd
\ 7=
12. Из принципа экстремума для гармонической функции
следует единственность решения задачи Дирихле.

Глава V
РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
§ 1. Ряд Тейлора
1. Теорема Тейлора. В § 1.2 гл. III было показано, что
сумма s (г) степенного ряда
^ak(z-z,)k A)
внутри его круга сходимости \г — z01<^R является
аналитической функцией. Этот факт, впрочем, следует также и из
первой теоремы Вейерштрасса (гл, IV, § 3.3), если учесть,
что в любом круге | z—~<г0 \^Ri<CR рассматриваемый ряд
сходится равномерно.
Имеет место и обратное утверждение, известное под
названием теоремы Тейлора: аналитическая в области D
функция f(z) в окрестности каждой точки zo^D
представляется в виде степенного ряда
00
/(*)=£ «*(*—*«)*. B)
радиус сходимости R которого не меньше, чем
расстояние d от zQ до границы Г области D.
В самом деле, в круге \г — ^оК^^ в СИЛУ инте~
тральной формулы Коши имеем
где т.— окружность \t — z0 | = 8.
Ввиду того, что для каждой фиксированной точки z
круга \г — zo\<^b имеет место неравенство
5 А. В. Бицадзе

130 РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА [ГЛ. V
ряд
D)
£ ZQ
сходится равномерно на т и, следовательно, равенство C)
можем переписать в виде
7 /5 = 0
где
/ 0 Л=0
= 0, 1,.... F)
G)
т
или, принимая во внимание формулу D6) гл. IV,
Так как ряд в левой части D) для каждой фиксированной
точки z круга \г — 20|<^8 сходится равномерно
относительно t ^ y> a коэффициенты afe в силу теоремы Коши одни
и те же для всех 8 из промежутка 0<^8<^d, то радиус
сходимости степенного ряда E) не меньше, чем d.
Ряд E), коэффициенты которого выражаются через
аналитическую функцию f(z) по формулам F) и G), называется
рядом Тейлора или разложением Тейлора функции /(г).
Очевидно, что каждый степенной ряд внутри своего
круга сходимости является рядом Тейлора для его суммы s(z).
Из G) следует, что разложение аналитической функции
f(z) в ряд Тейлора возможно единственным образом.
2. Единственность аналитической функции. Из теоремы
Тейлора, как следствие, получается утверждение: если
аналитические в области D функции f(z) и ср (z) равны между
собой на некотором множестве E(ZD, имеющем по
крайней мере одну предельную точку zo£D, то f(z) = y(z)
всюду в области D (внутренняя теорема
единственности аналитической функции).

§ 1] РЯД ТЕЙЛОРА 131
Действительно, множество Е содержит последовательность
точек {zn}> л = 1, 2, ... , сходящуюся к точке zOt причем
по условию
f(zn) = <t{zn\ /i=l, 2, ... (8)
В силу теоремы Тейлора в окрестности \г — z^\<^b<^d
точки z0 функции f(z) и ср(г) разлагаются в степенные ряды
Л (9)
fl A0)
k = 0
Начиная с определенного номера п точки zn все лежат
в круге \г — zQ\<^b. Подставляя выражения (9) и A0) для
f(z) и ср (z) в равенства (8) и переходя к пределу при п -► оо,
получим ао = йо.
Следовательно, для всех * точек последовательности {zn},
лежащих в круге \г — z9 \ <^ 8, имеем
2 а* (^ - ^о)" = II bk (*n - ztf-K A1)
Из равенства A1) при л->оо в пределе получим а1 = Ьг.
Продолжая этот процесс, приходим к заключению, что ak =
= bk для всех номеров k и, стало быть, f(z) = <f(z) в круге
\z — ^о|<С^ всюду.
Пусть теперь z* — любая точка области D. Соединим zQ
с z% непрерывной кривой I, лежащей в Д и рассмотрим
круг С(&ь т): \г — ^|<C^i» гДе т G ^> а ^ меньше, чем
расстояние между L и границей Г области D.
Передвигая центр круга C(blf т) из точки z9 вдоль L
к точке г^ и повторяя приведенное выше рассуждение,
приходим к заключению, что /Bj = cp(z#). Так как z# —
произвольная точка области D, то тем самым сформулированное
утверждение доказано.
3. Нули аналитической функции. Точка z0 из области
задания функции /(г), в которой /(г0) = 0, называется нулем
функции f(z).
В области D аналитичности функции f(z) число ее нулей,
находящихся от границы Г области D на расстоянии, не
5*

132 РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА [ГЛ. V
меньшем —, для каждого натурального п в силу теоремы
единственности конечно. Следовательно, аналитическая
функция f(z) в области своего задания может иметь
лишь счетное множество нулей (предполагается, что
№0
Ф0У
В области аналитичности, в окрестности своего нуля
функция f(z) разлагается в ряд Тейлора
=2 п*1* - *<>)*> ат Ф 0, A2)
где т^1. Число т называется порядком или кратностью
нуля. Из равенств G) следует, что z0 является нулем
кратности т для аналитической функции f(z) тогда и
только тогда, когда /**>(zo) = O, k = 0, I, 2, ... , т—1,
/(m) (г0) Ф 0- При т=\ нуль z0 называется простым.
4. Неравенства Коши и теорема Лиувилля. Пусть сумма
s(z) степенного ряда A) ограничена в круге сходимости
\з(г)\<М, |2г —го|<Л A3)
где М — положительное число.
Коэффициенты ak ряда A) выражаются через s(z) по
формулам F)
1
7
где y — окружность \t — го| ^
В силу A3) из A4) следует, что
M<i$U=£J-. A5)
Переходя к пределу при 8-*/?, из A5) получим
неравенства Коши
1**1<7р> * = °> Ь ••• A6)
Непосредственным следствием неравенств Коши A6)
является теорема Лиувилля: если функция f(z)
аполитична на всей комплексной плоскости и \f(z)\<^M, где
М — положительное число, то f{z) = const.

§2] РЯД ЛОРАНА. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ 133
В самом деле, так как f(z) аналитична на всей
комплексной плоскости, то радиус сходимости ее разложения
E) равен -|-оо. Следовательно, неравенства A6) имеют место
для любого R^>0.
Устремляя R к -|-оо, из A6) получим
ak = 0, *=1, 2, ... ,
и, стало быть, f(z) = а0 = const.
Заметим, что теорема Лиувилля является частным случаем
утверждения, сформулированного в упражнении 4 гл. IV.
§ 2. Ряд Лорана. Изолированные особые точки
1. Теорема Лорана. Рассмотрим функциональный ряд
с постоянными коэффициентами
A7)
каждый член которого имеет смысл для всех точек z
комплексной плоскости, удовлетворяющих условию \г — z9\^>0.
В результате замены z — *o=-f РЯД 07) запишется в
виде обычного степенного ряда
Приняв £ = 0 при г = оо, убедимся в том, что если
|C|<^ri — круг сходимости степенного ряда A8) на
плоскости переменного С, то ряд A7) сходится, и притом
абсолютно, в каждой точке вне замкнутого круга \z — z01^
<^ г = — и его сумма s2 (z) = s# (-——), где s* (С) — сумма
ряда A8). Так как вне круга \г — ^г01<Ср для любого р]>г
ряд A7) сходится равномерно, то в силу первой теоремы
Вейерштрасса функция &2 (*) аналитична во всех точках
комплексной плоскости z, удовлетворяющих условию \z —
Монофункциональный ряд A7) естественно называть
степенным рядом по отрицательным степеням z — Zq.

134 РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА [ГЛ. V
Если степенной ряд
|] *„)* A9)
сходится в круге \z — zQ\<^R, a степенной ряд A7) по
отрицательным степеням z — z0 — вне круга \z — z0 | <: г, то
при r<^R, обозначая их суммы в каждой точке z кольца К:
r<^\z — z01<CR соответственно через st и s2, заключаем,
что функция s(z) = Si(z)-{-s<i(z) аналитична в кольце К и
представляет в нем сумму ряда
2 4(*-Zo)k = s(z). B0)
/{ = -00
Легко доказывается и обратное утверждение — теорема
Лорана: аналитическая в кольце К функция /(г) в
каждой точке z £К представляется в виде ряда
2 ak(z-z<t)k=f(z)f B1)
£=-оо
где
f(t)dt п _|_1 +9
* —0, ±1, ±2, .... B2)
a j — окружность \t — z01 = 8, г<
Действительно, пусть z £К, и рассмотрим кольцо /С^
г <С^ rt <^ | -гг — z9\<^Ri<^R. По интегральной формуле Коши
имеем
. J_ С f(t)dt I f f(t)dt_
'w<—2«* }_ T=l ъа j_ t—z —
J_ f f(t) dt | 1 f /(Q gfc
^ B3)
Очевидно, что ряды
oo
= Ьгт- B4)

§2] $>ЯД ЛОРАНА, ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ 135
и
сходятся равномерно относительно t соответственно при
Заменяя в B3) выражения и ря-
1 г — zo j * — zo
t — z0 z — z0
дами B4) и B5), получим равенство B1), в котором
* = 0, 1, .... B6)
h— 1 2
\t-zo\=rl
Так как выражение f{t) (t — zo)~k~l, появляющееся в правых
частях формул B6) и B7), аналитично при t (^ К, то в силу
теоремы Коши заключаем, что
тг, к = 0, 1, 2, ... , B8)
'—, А = -1, -2, .... B9)
где т — любая окружность с центром в точке z0, лежащая
в кольце К.
Формула B2) является единой записью формул B8) и B9).
Тем самым теорема Лорана доказана полностью.
Ряд в левой части B1), коэффициенты которого
выражаются через f(z) по формулам B2), называется р$Ъом
Лорана или лорановским разложением аналитической в кольце
К функции f(z), а ряды
2 ak(z — zo)k =Л(z-z0) C0)

136 РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА [ГЛ. V
— соответственно правильной, или регулярной. И' главной,
или иррегулярной, частями лорановского разложения.
Очевидно, что ряд C0) сходится в круге \г — z9\<^R, a ряд C1)—
вне замкнутого круга \г — z01 ^ г.
Ряд Тейлора является частным случаем ряда Лорана,
когда ak = 0, k = —l, — 2, ...
В данном круговом кольце К: r<^\z— z^\<^R (может
оказаться, что г = 0 или /? = -|-оо) аналитическая
функция f(z) единственным образом разлагается в ряд Лорана.
В самом деле, пусть
/(*)= 2 ak(z-z0)k= 2 bk(z-z,)k, z£K. C2)
/? = —со k = — оо
Умножая C2) на (z — zo)~n~l и интегрируя вдоль
окружности if: \z— го| = 8, r<^b<C^R, на основании формул A2)
гл. IV получим ап = Ьп, п = ... , —1, 0, 1, ... , что и
требовалось доказать.
2. Изолированные особые точки аналитической
функции. Если в некоторой окрестности \г — ^о|<С^ точки z0
комплексной плоскости z функция f(z) аналитична всюду,
кроме самой точки г0 (в которой она может быть и не
задана), то z0 называется изолированной особой точкой
аналитической функции f(z).
Согласно теореме Лорана в кольце ^|
функция f(z) разлагается в ряд
/(*)= 2 М*-*о)*. C3)
Ввиду того, что г можно брать как угодно близко к
нулю, представление C3) годится для всех значений z,
удовлетворяющих условию 0<^|г — *оК8.
В зависимости от того, множество отличных от нуля
коэффициентов при отрицательных степенях z — zQ в лора-
новском разложении C3) функции f(z) пусто, конечно или
бесконечно, z0 называется устранимой особой точкой,
полюсом или существенно особой точкой.
По определению устранимой особой точки z0, в
области 0 <^ | z — г01 <[ 8 функция f(z) представляется в виде

§2) РЯД ЛОРАНА. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ 137
степенного ряда
/(z)=f; а* (*-*в)* C4)
k=0
Так как ряд в правой части C4) сходится в круге
\z — *о|<С[8 и его сумма s(z) является аналитической
функцией в этом круге, совпадающей с f(z) при z ф zOt то,
приняв за значение f(z) в точке z0 число ао = lim f(z) =
= s(zo)t получаем, что f(z) аналитична в указанном круге,
и, стало быть, в каждой окрестности \z — 20|<^&i<^8
устранимой особой точки z0 модуль f(z) ограничен.
Предположим теперь, что z0 является полюсом функции
f(z). Обозначив через т наибольшее натуральное число
среди индексов k отличных от нуля коэффициентов а_к при
отрицательных степенях z — z0, из C3) получим
f(z) =2 ak(z- zo)k + S a-k ^ - **T*'
Число т называется порядком полюса z0. При т =
полюс называется простым.
В силу C5) для функции
F(z) = (z-zo)mf(z) =
= S ak(z-zo)k+m+ S a_k(z-zor~k
центр круга \z — ^ol^^ является устранимой особой точкой.
Поэтому
Hm F(z) = a_m^Ot
откуда, согласно определению предела, следует, что для
любого положительного г <^ | а_т I существует число tj (e) ^> О
такое, что в окрестности \z — Zq\<C*t\ точки z9 имеет место
неравенство

138 РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА [ГЛ. V
и, следовательно,
=^F C6)
для всех z> принадлежащих области ^|
Неравенство C6) означает, что lim/B)
Из определений нуля и полюса следует, что если zQ£D
является нулем порядка т аналитической в области D
функции f(z), то в некоторой окрестности \z — zQ | <[ 8
этой точки функция F(z) = ypr аналитична всюду, кроме
точки zOf которая для F {z) является полюсом порядка т.
Действительно, в некоторой окрестности \z — г01 <С ^х
точки z0 функция f(z) разлагается в ряд Тейлора f(z) =
+
+
= 2 ** (z —**? = (* —z*)m cp (z), где <?(zo) = bm ф 0.
Af = /71
Следовательно, существует окрестность \z — ^o!<C^<C^i
точки zQ, в которой ср (z) ф 0. В этой окрестности
функция F (z)= Jt$) = (z — zQ)m4>(z) аналитична всюду, кроме
точки z0, причем ввиду того, что в указанной окрестности
1 °°
функция -т-т разлагается в ряд Тейлора 2 ak(z — zo)k>
а0ф0, лорановским разложением функции F (z) лвляется ряд
Так как ао =
является полюсом порядка т для функции jpr.
Предположим теперь, что z = z9 является полюсом
порядка т для функции f(z). Так как полюс zQ —
изолированная особая точка, то в некоторой ее окрестности \z — 2ol<^
функция yri аналитична всюду, кроме точки г0, причем

§2] РЯД ЛОРАНА. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ 139
из C5) вытекает, что
где
оо
ср (z) = ^ ak (г — zo)k+m + а_т + а_ш+1 (г - z0) +...
... + a_i(* — z,)m~K
Доопределяя функцию ср (z) в точке z0 как lim ср (z) = а_ш
и учитывая, что а_т ф 0 (порядок полюса равен т\
заключаем, что в окрестности \z — г01<^8 точки z0 функция
-—г— аналитична, причем ——^ = — ф 0. Отсюда в свою
Р ?(
очередь следует, что после доопределения в точке zQ no
формуле
функция угт становится аналитической при \z —
причем точка zQ для нее является нулем порядка т.
Непосредственным следствием только что изложенных
фактов является предложение: если в некоторой
окрестности существенно особой точки z0 аналитическая
функция f(z) ф 0, то эта точка является существенно
особой и для -jp-.
По определению в окрестности существенно особой точки
zQ аналитическая функция f(z) представляется в виде
где /i и /2 даются формулами C0) и C1). Так как ряд в
левой части C1) в рассматриваемом случае сходится для всех
точек z расширенной комплексной плоскости, кроме точки z0,
то ряд V a_kik =/2 (С), где С= , будет сходиться во
*Ti z~z°
всех точках плоскости переменного С. По теореме Лиу-
вилля /2(Q не может быть ограниченной на плоскости С.

140 РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА [ГЛ. V
Следовательно, существует сходящаяся к С = оо
последовательность точек С*> k= 1, 2, ..., обладающая тем свойством, что
) = оо. Отсюда для последовательности точек zk =
T"\-Zto k = l, 2, ..., получаем
lim zk = zOt lira/2 (- ) = oo, lim/j (zk — 20) = a0,
и, стало быть,
oo. C8)
На основании равенства C8) легко доказывается
следующая важная теорема Сохоцкого — Вейерштрасса
о поведении аналитической функции f{z) вблизи существенно
особой точки: множество Е значений, принимаемых
аналитической функцией w=f(z) в сколь угодно малой
окрестности существенно особой точки zQf всюду плотно
на расширенной комплексной плов-кости w, т. е. каждая
точка а расширенной комплексной плоскости w либо
принадлежит множеству Е, либо является его предельной
точкой.
В самом деле, в окрестности z0 либо существует такая
точка zl9 в которой f(z1) = oi} и тогда теорема доказана,
либо существует такая окрестность точки <г0, в которой
всюду f(z) Ф а. В последнем случае zQ является существенно
особой точкой и для функции - . _ , и в силу C8) можно
найти такую последовательность zk-+zQi что
то есть
lim/(**) = а,
что и требовалось доказать.
Из установленных выше положений о поведении
аналитической функции вблизи изолированной особой точки
непосредственно следует справедливость утверждения:
изолированная особая точка zQ аналитической функции f{z) явля-

§2) РЯД ЛОРАНА. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ 141
ется: а) устранимой, если Нт/(г) = р ф оо; Ь) полюсом
порядка т, если Um(z— zo)mf(z) = $, Р ф 0, р ^ °о; с) су-
Z-+ZQ
щественно особой, если множество всех значений,
принимаемых f(z) в любой сколь угодно малой окрестности
этой тонки, всюду плотно на расширенной комплексной
плоскости.
Существенным обобщением теоремы Сохоцкого — Вейер-
штрасса является следующее утверждение, принадлежащее
Пикару: в любой окрестности существенно особой точки
аналитическая функция f(z) принимает любое конечное
значение а (причем бесконечное число раз), за цсключением,
быть может, одного. Не доказывая эту теорему, заметим
лишь, что в случае аналитической функции f(z) = e^z, z фО,
для которой z = 0 — существенно особая точка,
исключительным значением является а = 0.
3. Бесконечно удаленная изолированная особая точка.
Пусть теперь изолированной особой точкой для f(z) является
бесконечно удаленная точка, т. е. для любого достаточно
большого s>0 функция f(z) аналитична в области |г|>е
всюду, кроме точки z = oo.
Очевидно, что функция f[-r) аналитична в круге |С| =
= ~\<^— всюду, кроме точки С = 0, являющейся
изолированной особой точкой для этой функции. Поэтому лоранов-
ское разложение /(т-) вблизи точки С = 0
после замены переменного С=— дает лорановское
разложение f(z) в окрестности бесконечно удаленной точки
C9)
В зависимости от того, является ли С = 0
устранимой особой точкой, полюсом или существенно особой

142 РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА [ГЛ. V
точкой для функции /(-р)> говорят, что z = co, есть
устранимая особая точка, полюс или существенно особая
точка для f(z). Следовательно, в зависимости от того,
множество отличных от нуля коэффициентов при
положительных степенях z в разложении C9) пусто, конечно
или бесконечно, z = oo является устранимой особой
точкой, полюсом или существенно особой точкой для
функции f(z).
00 ОО
Ряды ^a_kzk и ^akz~k в правой части C9) называются
соответственно главной и правильной частями аналитической
функции f(z) в окрестности особой точки 2 = oo.
Все то, что было сказано о поведении аналитической
функции вблизи конечной изолированной особой точки,
справедливо и в том случае, когда изолированной особой точкой
является z = 6o.
4. Понятия целой и мероморфной функций. Как уже
было сказано в § 1.2 гл. III, полином
^ D0)
является аналитической функцией в каждой конечной точке z
расширенной комплексной плоскости, а z = oo для этой
функции представляет собой изолированную особую точку.
Лорановским разложением Pn(z) в окрестности точки
2 = 00 является стоящая в правой части D0) сумма.
Следовательно, для полинома Pn(z) на расширенной комплексной
плоскости z единственной особой точкой является z = oo,
причем она устранима, если ak = 0, k = 0, I, ..., п—1,
и представляет собой полюс порядка п, если а0 ф 0.
Рациональная функция
/?=о л=о
аналитична на расширенной плоскости комплексного перемен-

§ 2] РЯД ЛОРАНА. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ 143
ного z всюду, кроме точки г = оо и нулей ее знаменателя
Qm(*)-
Из очевидных равенств
lim/?B)=C:^oo, n^m, \imzm-n R(z) = ^> n>m,
Z-fCO 2-+CO "О
следует, что z = оо для функции R (z) является
устранимой особой точкой при п^т и полюсом порядка п — т
при п^>т. Очевидно также, что для R(z) нуль Zk
полинома Qm(z) кратности Xfe является полюсом порядка \k
при Pn(Zk) Ф®> а если к'тому же zk — нуль
кратности ^k полинома Pn(z)> то zk является полюсом
порядка ik — [хл при ^к^>Н и устранимой особой точкой
при h^Pk-
Аналитическая на комплексной плоскости z функция f(z)
называется целой. У целой функции единственной особой
точкой па расширенной комплексной плоскости является
бесконечно удаленная точка.
В зависимости от того, является ли z = oo для
целой функции f(z) устранимой особой точкой или полюсом,
f(z) есть постоянная или полином. Действительно, если
2 = 00 является устранимой особой точкой функции f(z)> то
в некоторой окрестности этой точки |^|^>s модуль f(z)
ограничен. Но в силу непрерывности \f{z)\ ограничен и
в круге | г | ^ е и, следовательно, на основании теоремы
Лиувилля заключаем, что f(z) = const. Если же г = оо —
полюс порядка л, то разность f(z) — fo(z), где/0(г) — главная
часть (полином степени п) лорановского разложения f{z)
вблизи z = co, на расширенной плоскости имеет в качестве
единственной особой точки лишь бесконечно удаленную
устранимую особую точку и, стало быть, f(z) — /0 (z) = const.
Целая функция, для которой z = oo является
существенно особой точкой, называется целой трансцендентной.
Функция f(z), аналитическая в области D всюду, кроме
полюсов, называется мероморфной в D.
Очевидно, что функции tgz = ^-^ и ctg*=^^ меро-
cos z sin z
морфны на комплексной плоскости z.
Легко видеть, что мероморфная на расширенной
комплексной плоскости функция f(z) рациональна. Это следует

1 4 4 РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА [ГЛ. V
m
из того, что для целой функции/(г) —У fk (——Л = Ф (z), где
ZijZi,...) zm— все отличные от z = oo полюсы f(z) на
расширенной комплексной плоскости, a fk (——] —
соответствующая полюсу zk главная часть лорановского разложения,
г = оо является либо устранимой особой точкой, либо
полюсом порядка п и, следовательно, как уже было доказано,
Ф(г) — либо постоянная, либо полином степени п.
§ 3. Элементы теории вычетов
1. Понятие вычета. Пусть z0 — изолированная особая
точка аналитической функции f(z), a f — произвольная кусочно-
гладкая замкнутая кривая Жордана, лежащая в области
аналитичности f(z) и окружающая z0, причем область DT с границей т
не содержит других особых точек» кроме z0.
В силу теоремы Коши значение интеграла
7
взятого вдоль y по направлению, оставляющему DY слева,
одно и то же для всех ?, и оно называется вычетом
функции f(z) относительно изолированной особой точки г0.
Для вычета ниже будем пользоваться обозначением
D1)
7 ~*°
При вычислении вычета можно считать, что т— окружность
\z — zo\ = % достаточно малого радиуса.
В предположении, что z0 — конечная точка, разложим
функцию f(z) в окрестности z0 в ряд Лорана:
/(*)= 2 ак{г — ж^. D2)
Интегрируя D2) и пользуясь формулами A2) гл. IV, получим
= _L,jm^ = fl_, D3)
7

§3] ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ 145
Следовательно, вычет аналитической функции f{z)
относительно изолированной особой точки г^фоо равен коэф -
фициенту а_х при (z— z^f* в лорановском разложении D2).
Очевидно, что в случае, когда z0— устранимая особая
точка, Res/B) = 0. Если же z0 — полюс порядка т, то
из D2) получаем
^ Si К* - **Г№]- D4)
В частности, если г0 является простым полюсом функции
, т. е. ср(г0) ф О, ф(го) = О, ф'(*о) Ф 0, то из D4) находим
р7-;—г.
(«о)
Предположим теперь, что изолированная особая точка z0
функции f(z) является бесконечно удаленной.
В качестве т в формуле D1) примем окружность |^| = £
достаточно большого радиуса. Так как на этот раз
интегрирование вдоль т происходит по направлению, оставляющему
круг |г|<Се справа, и лорановское разложение/(г) в окрест-
оо
ности z = oo имеет вид ^ akzk> то из D3) получаем
/?=—со
Res/(*) = —-I-. [ nz)dz = -a_v D5)
Из последней формулы, в частности, следует, что выяет
аналитической функции относительно бесконечно удаленной
устранимой особой точки, в отличие от конечной
устранимой особой точки, может оказаться отличным от нуля.
2. Вычисление некоторых контурных интегралов. Ниже
всегда будем предполагать, если противное не оговорено, что
D — конечная односвязная область с кусочно-гладкой жорда-
новой границей Г. Легко видеть, что все изложенные ниже
результаты остаются справедливыми, если D является
«-связной конечной областью, граница Г которой состоит из п
попарно не пересекающихся замкнутых кусочно-гладких жор-
дановых кривых.

146 РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА [ГЛ. V
Рассмотрим функцию f(z), непрерывную в D и
аналитическую в D всюду, кроме конечного числа изолированных
особых точек zk^D, k = l, 2, ..., п. Удаляя каждую
точку zk из области D вместе с достаточно малым кругом
\z — zk I ^ 8, лежащим в А и для оставшейся части D
применяя теорему Коши, получим
п
2 D6)
Из формул D5) и D6) вытекает следующее утверждение:
если функция f(z) аналиттна на расширенной
комплексной плоскости всюду, кроме конечного кисла
изолированных особых тоцк z0 = oo, zv гъ ..., zm то
2 Res/(s) = 0. D7)
Действительно, при достаточно большом е^>0 точки
Zi, zb ..., zn лежат все внутри круга |г|<О- Поэтому из
формулы D6) имеем
||
Но в силу D5) интеграл в правой части D8) с обратным
знаком дает Res/(*), откуда и следует D7).
г=со
Предположим теперь, что функция ср(г) непрерывна в ~D
и аналитична в D, a f(z) аналитична в D всюду, кроме
конечного числа полюсов % £ Д А = 1, 2, ...^^, и /(*) ^ О
в Z) всюду, кроме конечного числа нулей a.k £ Д А = 1,
2, ..., //г. Кратность нуля ал и порядок полюса pfe обозначим
через Хл и (лл соответственно.
Функция Ф (z) = cp (z) у-?— непрерывна в D и аналитична
в области D всюду, кроме, быть может, точек ak и $k,
являющихся возможными ее полюсами.
Ввиду того, что вблизи точки oik имеет место равенство
f(z) = (z — a*)x*/iB), где /i(z) — аналитическая в некоторой
окрестности точки ал функция, удовлетворяющая условию

§ з] элементы теории вычетов 147
Ф 0> то в этой окрестности имеем <-££== k -fiwfr-
Отсюда следует, что коэффициент при (z— а^) в лоранов-
ском разложении функции <D(z) вблизи точки ak равен
<?(Ч)К- Аналогичным рассуждением убеждаемся в том, что
коэффициент при (z — (З^) в лорановском разложении Ф (z)
вблизи точки (Зл равен — ср (рл) pk. Следовательно, на
основании D3) и D6) имеем
т п
\ W^<te 2X(eJ(Py D9)
Г k=l
3. Принцип аргумента аналитической функции. В
предположении, что ср(г)=1, из формулы D9) получаем
k = N-P, E0)
где N и Р — соответственно число нулей и полюсов f(z)
внутри Д причем каждый нуль и каждый полюс берутся
столько раз, каковы их кратность или порядок.
Так как f(z) аналитична на Г и на ней всюду отлична
от нуля, то существует двусвязная область £H с границами
Го и Г1!, содержащая внутри себя контур Г, в которой
функция jj^ аналитична.
Пусть D\ — односвязная область, полученная из Do
проведением разреза I, причем всегда можно считать, что L
пересекает Г только в одной точке. В области D\ всюду
имеет место равенство -з-[/Сг)е~фBГ)] = 0, гдеФ(г) —
неопределенный интеграл от функции уШ. Следовательно, f(z) =
— еФио-Фио)/^), где z0 — фиксированная точка области Dt.
Введем в рассмотрение однозначную в области Di
функцию \ogf(z) = ®{z) — Ф( +f
Принимая во внимание, что
arg/(*)]r = --L

148 РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА [ГЛ. V
где [ ]г обозначает приращение стоящего в квадратных
скобках выражения при однократном обходе точкой z
контура Г в положительном направлении, формулу E0) можно
переписать в виде
[
Равенство E1) известно под названием принципа
аргумента аналитической функции: если функция
f(z) аналитична в D всюду, кроме конечного числа полюсов
CЛ ^ D, k= 1, 2, ..., п, и имеет конечное число нулей
aft^D,jfe=l,2,...,w, причем f (z) ф О на Г, то приращение
аргумента f(z), при однократном обходе точкой z
контура Г в положительном направлении равно 2k(N—Р).
Приведем несколько важных теорем, вытекающих из
принципа аргумента аналитической функции.
Основная теорема алгебры: полином Рп(z) =
п
= S akZn~k> ao ^ 0> на расширенной плоскости
комплексного переменного z имеет п нулей (корней).
Так как lim Pn(z) = oo~ то все нули Pn(z) лежат внутри
г -*■ со
круга | г К R достаточно большого радиуса. Обозначив их
число через N, в силу принципа аргумента для Pn(z) будем
иметь
E2>
чет функции F (z) = р , относительно бесконечно
удаления \z)
б
Но интеграл в левой части E2) с обратным знаком дает вы
чет функции F(z) = ^\
ной точки, вблизи которой
где функция
?(*) = ^а^Х аяПа\ *П1
Qq z a0 zn
аналитична при \z\^>R и имеет z = oo в качестве устрани-

§3] ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ 149
мой особой точки, причем lira cp(z)=l. Следовательно, ло-
2-ЮО
рановское разложение F(z) в окрестности z = oo имеет вид
оо оо
F\z) = y + 2 nbk*~k~\ если ср (z) = 1 + ^ ***"*• Отсюда
на основании D5) заключаем, что — N= Res F {z) = — п.
z = co
Теорема Руше: если функции ср(z) и ф(z) анали-
тичны в D и на границе Г области D всюду имеет место
неравенство
1
/гсо внутри D обе эти функции имеют одинаковое число
нулей.
Из неравенства E3) следует, что ср(<г)^О, ^(z)^0 на Г
и все значения функции F(z)==^-j^ на Г удовлетворяют
условию -^—1 <^1. Это означает, что при полном обходе
точкой z контура Г в положительном направлении
приращение аргумента функции F(z) равно нулю. Отсюда,
принимая во внимание, что argF(z) = arg <|» (z) — argcp(z), получаем
[arg?B?)]r = [arg^Br)]r. E4)
Так как ср(г) и ty(z) не имеют полюсов в Д на
основании E1) и E4) заключаем, что функции <р(г) и ф(<г) в
области D имеют одинаковое число нулей.
Из теоремы Руше в свою очередь вытекает следующее
весьма важное свойство однолистных аналитических функций,
уже использованное нами в § 2.1 гл. III: в области
однолистности аналитической функции f(z) ее производная
нигде не обращается в нуль.
В самом деле, допустим обратное и обозначим через z0
точку области однолистности D функции /(г), в которой
/Ч*о) = О. E5)
В силу E5) тейлоровское разложение f(z) в окрестности <г0
имеет вид
00
а„ ф 0, »=&2. E6)

150 РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА [ГЛ. V
В силу E5) и E6) для некоторого 8]>0 будем иметь:
_ E8)
Из E8) очевидно, что
min
= m.
Обозначим через а произвольное комплексное число,
удовлетворяющее условию 0 <^ | а | <^ т. Следовательно, функции
— *о)* и ♦(«) =
) — а0 — а в круге |,г — го|<;& удовлетворяют всем
условиям теоремы Руше. В силу E8) число нулей cp(z) в
круге \г — ^о|<С^ равное. Поэтому, согласно теореме Руше,
функция ty(z)=f(z) — а0 — а в указанном круге тоже должна
иметь п нулей, каждый из которых в силу E7) является
простым. Таким образом, из нашего допущения вытекает, что
функция f(z) принимает значение ао-|-а в п^2 точках круга
\z — z9j<^8, а это противоречит однолистности f(z).
4. Интегральная формула Коши для бесконечной
области. Обозначим через D+ конечную область,
ограниченную замкнутой кусочно-гладкой кривой Жордана Г, а через
D" — дополнение D+ до расширенной комплексной плоскости.
Когда г = оо является устранимой особой точкой
функции f(z), принимая lira f(z) за значение /(оо), мы ска-
Z-+CQ
жем, что функция f(z) аналитична в этой точке.
Рассмотрим функцию f(z)> аналитическую в D~ и
непрерывную в D~. Пусть z — произвольная точка, г Ф оо, а Г^ —
окружность |f |=/? настолько большого радиуса, что точка
z и кривая Г лежат в круге \z\<^R.
В силу интегральной формулы Коши D0) гл. IV имеем
1 Г f(t)dt I f f(t)dt _f 0, z£D\
)) ^Д E9)
где D — двусвязная область, ограниченная кривыми Г и

§3] ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ 151
Так как
ТО
В силу F0) формула E9) принимает вид
J_ С f(t)dt f /(оо), z G D+,
2-'.) <-* \/(оо)-/(*) гб^. ( }
где интегрирование вдоль Г происходит по направлению,
оставляющему область D+ слева. Очевидно, что формула F1)
остается в силе и при z=f= оо.
Формула F1) называется интегральной формулой
Коши для функции, аналитической в
бесконечной области ГГ.
Непосредственным следствием интегральных формул Коши
является следующее утверждение: для того чтобы
заданная на кривой Г однозначная функция f(t),
удовлетворяющая условию Гёльдера, была краевым значением
аналитической в области D* или в области D" функции Ф (г),
т. е. Ф+(^)=/(^) или Ф~ (£)=/(/) всюду на Г, необходимо
и достаточно в первом случае выполнение условия
о F2)
для всех z £ D~\ а во втором случае —условия
для всех z £ D+.
Необходимость этих условий является непосредственным
следствием интегральных формул Коши D0) гл. IV и F1).
Достаточность условия F2) следует из того, что для
функции Ф(г), определенной на расширенной комплексной
плоскости вне кривой Г по формуле
f(t)dt
•z

152 РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА [ГЛ. V
в силу равенства F2) и формулы A11) гл. IV будем иметь
в каждой точке Г.
Достаточность условия F3) обнаруживается аналогично,
если рассмотреть функцию Ф(г), определенную вне Г по-
формуле
Условие F2) равносильно условию
=о, *,ег. F4)
Равенство F4) непосредственно получается из условия
F2) на основании формулы (ПО) гл. IV.
Если теперь, обратно, f(t) удовлетворяет условию F4),
р у
то для интеграла типа Коши F(z) = ?r-r \ Щ-*-— в силу
формулы (НО) гл. IV и условия F4) будем иметь
! Г f(t)dt _п
откуда в силу формулы A11) гл. IV заключаем, что F* ft>) —
— F~(to) = F+(to)=f(to) всюду на Г, и, стало быть,
f(t)dt _
t — z J t — z
г
для всех z из D".
Аналогично доказывается, что условие F3) равносильно
условию
Принимая во внимание то обстоятельство, что для
достаточно больших | z\
t — Z

§3] ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ 153
а для z, достаточно близких к произвольной фиксированной
точке z0 £ Z)+,
равенства F2) и F3) можно записать в виде
00
= 0 F5)
для достаточно больших | z | и
для достаточно малых \z — го|.
Следовательно, в силу единственности рядов F5) и F6)
условия F2) и F3) равносильны соответственно равенствам
б. Разложение на простейшие дроби некоторых меро-
морфных функций. В конце § 2.4 настоящей главы было
показано, что рациональная функция R(z) может быть
представлена (притом единственным образом) в виде
2
где P(z) и fk( ) — главные части лорановских раз-
ложений R(z) в окрестностях ее полюсов zQ = oo, zki
k=l, 2, ..., п.
Каждое слагаемое суммы
где pk — порядок полюса zki называется простейшей дробью.

i 54 РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА [ГЛ. V
Следовательно,рациональная функция R(z) комплексного
переменного z после выделения ее полиномиальной части
единственным образом представляется в виде суммы
простейших дробей.
Не останавливаясь подробно на изучении вопроса о
представимости мероморфной функции в виде суммы
простейших дробей, мы здесь рассмотрим два примера.
Функция -г-g- является мероморфной на плоскости*
комплексного переменного z с полюсами второго порядка в
точках zk = kn, k = 0, ± 1, ... Ввиду того, что вблизи точки
оо
zk = kn имеем sin22 = (,z— z$-\- 2 ai(z — zkf> главная
часть лорановского разложения функции —г-^— в
окрестности zk = кк имеет вид 7 г-^у.
На любом ограниченном замкнутом множестве Е точек
комплексной плоскости z лишь конечное число членов
ряда
<68>
может обращаться в бесконечность. Поэтому для всех г £ Е
существует такое натуральное число А/, что при \k\^N
М
каждый член ряда F8) по модулю не превосходит . 8 g ,
где число М^>1, т. е. ряд У, __. ч2 на множестве Е
сходится абсолютно и равномерно.
Следовательно, функция
оо
H)*
/f = — oo
является целой.
Нетрудно видеть, что f(z) = O всюду на комплексной
плоскости.

§3] ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ 155
Действительно, из равенства | sin3 2г | = -g-Cch2j;—cos2jc)
0 при О^х^тс и |^|-> + оо. Ввиду
следует, что \-^-г
равномерной сходимости ряда F8) при О^х^к и |.у|]>1
заключаем, что его сумма стремится к нулю при \у \\
Следовательно, функция f(z) ограничена в полосе О
— оо <^у <С Иг °°- Так как f(z), как разность двух
периодических функций с периодом тс, периодична, то f(z)
ограничена на всей плоскости переменного z и, стало быть, в силу
теоремы Лиувилля она равна нулю. Тем самым доказано,
что
оо
1 V! 1
= I FW F9)
sin2 z
k — — 00
Рассмотрим теперь ряд
где 2' означает, что k не может принимать значения нуль.
На любом ограниченном замкнутом множестве Е точек
плоскости z ряд G0), если пренебречь конечным числом его
членов, сходится равномерно. Поэтому в силу первой
теоремы Вейерштрасса и равенства F9) для суммы s(z) ряда
G0) будем иметь
ds 1 1
dz z2 '
sin2 z
G1)
Интегрируя равенство G1) от фиксированной точки z0 ф kiz
до переменной точки гфкк по пути, не проходящему через
точки 2 = &tc, £ = ...— 1, 0, 1, ..., и учитывая то
обстоятельство, что
Res
получим
cos z . _.
G2)

156 РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА [ГЛ. V
Умножая равенство G2) на — и интегрируя вдоль
окружности |г| = 1, в силу равенства Res^-^ = 0 заключаем, что
z = 0 z
С=0. Поэтому формула G2) окончательно принимает вид
^Ji_. G3)
6. Применение вычетов для вычисления некоторых
определенных интегралов. Теория вычетов находит весьма
полезное применечие при вычислении некоторых
определенных интегралов.
Ниже мы ограничимся рассмотрением трех классов
определенных интегралов:
2п
h = \ /?(coscp, sin cp) rfcp, G4)
о
/,= \ f{x)dx G5)
/,= \ f(x)eixdx, G6)
— ОО
где функция R рациональна относительно своих аргументов
cos cp, sin <р и непрерывна при 0 ^ ср ^ 2тс, функция f(z)
непрерывна в замкнутой полуплоскости Im^^O и анали-
тична внутри нее всюду, кроме конечного числа
изолированных особых точек zb z^y ... t zm причем при рассмотрении /2
предполагается, что для достаточно больших | z \ имеет место
неравенство
а при рассмотрении /3 предполагается, что
lim f{z) = 0, imz^O, G8)
Z-* 00
равномерно относительно со —

§3] ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ 167
В результате замены переменного интегрирования ei<p = z
интеграл G4) в силу равенств йср = -^, cos ср = у(<г-[--н,
1 / 1\
sin <p = -2jlz — y) принимает вид
'■=15 *[Ц'+±). Ц-ЦЧ.
и, следовательно, его можно вычислить по формуле D6)
Для вычисления интеграла G5) рассмотрим полукруг:
| z | <^ г, Im z ]> 0, содержащий внутри себя все особые точки
функции f(z), лежащие в полуплоскости lmz^>0. В силу
формулы D6) имеем
5 f(x) dx + 5 /(*)dz = м 2 Res f(*)> G9>
(80)
где т — полуокружность \z\ = r, Im ]
На основании неравенства G7) устанавливаем, что
15
Переходя в формуле G9) к пределу при г-*оо, в силу
(80) получим
= 2п1% Res f(z).
*-1*-*л
Для вычисления /3 рассмотрим очевидное равенство
eizdz = 2Tzi j] Res f(z)eiz. (81)
Обозначая через М(г) максимум \f(z)\ на f и учитывая, что

158 РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА [ГЛ. V
будем иметь
и
откуда на основании G8) заключаем, что
lim \f(z)ei2dz = 0. (82)
Переходя к пределу в формуле (81) при г->оо и
принимая во внимание (82), получим
п
В случае, когда некоторые из особых точек zk функции
f(z) лежат на действительной оси и несобственный интеграл
1Ъ существует, его можно вычислить незначительным
изменением только что изложенного способа.
Так, например, если f(z) = —, то из очевидного
равенства
Нт \\ [ 4
— / V е1* к™(р~Г1ЪШ{?Чу\ = 1
получим
оо
С sin* ,
J X
— оо
Упражнения
1. Найти разложение в ряд Тейлора в окрестности точки
z = 0 следующих однозначных ветвей:
a) arctg*= jj -j^p-, b) log(l +г)=
где пути интегрирования лежат в круге | z \ <^ 1.

УПРАЖНЕНИЯ 159
2. Функцию _ разложить в ряд Лорана в областях
аH<|*|<1 и Ь) |*|>1.
3. Пользуясь теоремой Лиувилля, показать, что целая
функция w=f(z), не принимающая значений w из круга
\w — wQ\<^b, является постоянной.
4. Доказать, что если функция f(z) аналитична в круге
оо
, /@) = 0, то ряд ^ /(**) сходится при |
k \
представляет аналитическую функцию.
б. Для каких значений коэффициентов функция
а0 + ахх + а2 у +1 (Ьо + Ьхх + Ь^у) = F (О,
является граничным значением аналитической в круге | z
функции?
6. Применением метода вычетов вычислить интегралы:
1С 00 ОО
dx м
7. Вывести формулы, аналогичные интегральной формуле
Шварца: а) для верхней полуплоскости и Ь) для области
\z >1.
8. Показать, что для всех | z \ ^ p имеет место равенство
2тс
б
9. Доказать справедливость приведенных ниже
утверждений.
а) Если аналитическая в круге |«г|<[р функция f(z) при
|-г|<:р отлична от нуля всюду, кроме точки zQ = peib<>,
причем функция
F(z$)= lira F(z)^b 0, oo,
Z — Zq

160 РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА [ГЛ. V
где k — натуральное число, непрерывна в замкнутом круге
| z | ^ р, то для гармонической в круге | z | <^ p функции
\og\f(z)\ справедливо равенство
log |/@)| = 21
b) Если аналитическая в круге |г|<^р функция f(z) при
| непрерывна и имеет конечное число нулей zk,
k\<^p, & = 1, 2, ..., п (каждый нуль считается столько
раз, какова его кратность), то справедлива формула
Пуассона — Иенсена
с) Если аналитическая в круге | z \ <^ р- функция f(z)
непрерывна в замкнутом круге |г|^р и обращается в нуль
лишь при z = 0, причем кратность нуля z = 0 равна т, то
2«
log ^, | Р-т) @) | + т log p = ± j log | /(ре") | d6.
0
10. Показать, что
— 4" — 22

Глава VI
БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
И ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Бесконечные произведения
1. Критерий сходимости бесконечного произведения.
уже было сказано в § 3.3 гл. I, бесконечное
произве1. Кририй сходи
Как уже было сказано
дение
называется сходящимся, если существует конечный отлич-
п
ный от нуля предел р последовательности /?л = J^£ A -|— ал)
k=\
при я->оо. Из этого определения"сразу следует
необходимость условия
НшA+о*)=1 B)
для сходимости бесконечного произведения A).
Приведенное определение сходимости бесконечного
произведения A) исключает возможность обращения в нуль
любого его сомножителя l-\-akf k=l, 2, ...
Наряду с бесконечным произведением A) рассмотрим ряд
f>g(l+a,), C)
где под log (I -f- ak) = log 11 -(- ak | -)- / arg A -)- ak) понимается
его главное значение, т. е. значение, для которого
— *<arg(l+a*)^7r. D)
В терминах сходимости ряда C) легко получается
следующий критерий сходимости бесконечного
произведения A): для сходимости бесконечного про-
изведения A) необходима и достаточна сходимость ряда C).
6 А. В. Бицадзе

162 БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ [ГЛ. Vt
В самом деле, из очевидного равенства pn = esn> где sn =
п
2 )> следУет> чт0 если Ряд C) сходится, т. е.
lim sn = s, то существует предел
я-»-со
lim pn=p = es ф О,
п-*-со
а это означает сходимость бесконечного произведения A).
Предположим теперь, что бесконечное произведение A)
сходится, т. е. существует конечный предел
11трп=рф0. E)
я-*оо
Выбирая для arg/7 его главное значение, определим arg/?n по
условию
arg/7 — те < arg/?,, < arg/? -f те F)
и положим \ogpn = \og \pn \-\-iwgPn- Очевидно, что
G)
где тп для каждого фиксированного значения п является
вполне определенным целым числом.
Из G) имеем
/i+i — тп) = arg (I -f Я/ч-i) — arg/?rt+1 + arg/v (8)
В силу B), D), E) и F) заключаем, что для всех достаточно
больших п имеют место неравенства
I arg(l +ал+1)|<~, | arg/7n+1 — arg? | <^,
— arg/71< у. (9)
На основании неравенств (9) из (8) получаем оценку
откуда сразу следует, что tnn+1 = mn. Следовательно,
начиная с определенного значения, для всех п имеем
тп== const -=m. A0)

§ 1] БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 163
В силу A0) и E) из равенства G) заключаем, что
lim sn= lim log рЛ -j- 2/mc/ = log | /71 -|- / arg/7 -j— 2/лгтс^,
П-+СО П-ЮО
а это означает сходимость ряда C).
2. Абсолютно сходящиеся бесконечные произведения.
Говорят, что бесконечное произведение A) абсолютно
сходится, если абсолютно сходится ряд C).
Имеет место следующее утверждение: абсолютная
сходимость бесконечного произведения A) равносильна
абсолютной сходимости ряда
00
Справедливость этого утверждения вытекает из
очевидного равенства
*k
ибо для любого г^>0 существует натуральное число N(s)
такое, что
A— в) | аЛ | ^ 11og A + «*) К (! + •) I «ik I
для всех k^ N.
Бесконечное произведение A) называется условно
сходящимся, если оно сходится, но не абсолютно. Примером
условно сходящегося бесконечного произведения может служить
П
В самом деле, при п четном рп=1, а при п нечетном
п = —£—. Следовательно, lira pn=lt в то время как ряд
п я-*со
2, y Расх°лится.

164 БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ [ГЛ. VI
3. Равномерно сходящиеся бесконечные произведения
аналитических функций. Рассмотрим бесконечное
произведение аналитических в области D функций 1 —|— срл (z)
Ш1+?*(*)], (П)
ни один из сомножителей которого нигде в D в нуль не
обращается.
Бесконечное произведение A1) называется равномерно
сходящимся в области D, если в этой области равномерно
сходится последовательность
Из первой теоремы Вейерштрасса непосредственно
вытекает, что в случае равномерной сходимости бесконечного
произведения A1) в области D функция p(z)= Mm pn(z)
п-»со
является аналитической в D.
Может случиться, что некоторые сомножители
бесконечного произведения A1) имеют нули в области D.
Сходимость бесконечного произведения A1) в
подобласти Dx области Dr когда число N его сомножителей,
имеющих нули в Dif и число нулей в D\ каждого из этих
сомножителей конечны, определяется следующим образом.
Пусть 1 -\-ynXz)y /=1> 2, ..., N> являются
сомножителями бесконечного произведения A1), имеющими нули в Dv
Произведение J^J [ 1 -}- срл. (z)] = г (z) имеет вполне опреде-
y=i J
ленный смысл всюду в Dv Для бесконечного произведения
оо
П [* +?*(£)]> Ьфп)> /=1> 2> •••> М сходимость в Dx
k=\
(в том числе и равномерная) определяется по указанному
выше способу: В случае сходимости произведения
мы скажем, что бесконечное произведение A1) сходится всюду
в Dx и его значением является функция p(z) = r (z) q (z).

§2] ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ 165
§ 2. Элементы теории целых функций
1. Каноническое произведение и его род. Известно, что
п
полином P(z)= у) akz степени п представляется в виде
произведения
fl-zk), A2)
и, обратно, полином Q(z) степени п с заданными нулями zit
z%, ..., zn имеет вид
где Ло — произвольное комплексное число, Ло Ф О, Ло ф оо.
Если у целой функции f(z) на комплексной плоскости
имеется конечное число нулей zlf <г2, ..., zm то, очевидно,
ее можно представить в виде
/(*)=?(*) П (*-**)> с13)
k=\
где q(z) — вполне определенная целая функция, отличная от
нуля.
Обобщение формулы A3) на случай, когда множество Е
нулей целой функции f(z) бесконечно, безусловно,
представляет интерес
Из теоремы единственности аналитической функции
следует, что Е—счетное множество,
Е={гъ *«,..., zkt ...}, A4)
причем
lim zk = oo. A5)
Без ограничения общности можно предполагать, что
нумерация в A4) идет по возрастанию модулей zk, т. е. | zk_t (^
*^ I zk I (среди равных между собой по модулю zk нумерация
ведется в любом порядке).

166 БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ [ГЛ. VI
Легко построить целую функцию f(z) с заданными
нулями A4). Пока будем предполагать, что среди чисел A4)
нет равных нулю.
Прямое обобщение формулы A2) в виде
[^ A6)
далеко не всегда возможно по той причине, что бесконечное
произведение в правой части A6) может не оказаться
сходящимся.
С целью обобщения формулы A3) Вейерштрасс вместо
1 ввел в рассмотрение так называемые первичные
множители
07»
Натуральные числа mk всегда можно подобрать так,
чтобы бесконечное произведение
П
оказалось равномерно (и абсолютно) сходящимся в любой
ограниченной части плоскости z. Для этого достаточно
принять, что ть = к—1, т. е.
k—1
Обозначим через Ck круг | z|<[| zk|. Он содержит внутри
себя лишь конечное число точек последовательности A4).
Внутри круга Ck целые функции fs(z), s = k, AJ
нигде в нуль не обращаются.
Покажем, что бесконечное произведение
s=k

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИИ
167
сходится равномерно (и абсолютно) в круге | z | ^ A — е) | zk |,
где е — как угодно малое положительное число.
Прежде всего заметим, что, выбирая ветвь функции
logfl ), равную нулю при z = 0, и учитывая то обсто-
\ zs)
ятельство, что внутри круга Ck ее тейлоровское разложение
имеет вид
для fs(z) в силу A8) будем иметь
то есть
B0)
На основании представления B0) выражение A9)
запишется следующим образом:
00 00
B1)
Но в круге |г|^A—e)\zk\ справедлива оценка
1 —
Отсюда следует равномерная и абсолютная сходимость ряда
со со
1 Ш)'

i68
БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
[ГЛ. VI
и, стало быть, равномерная и абсолютная сходимость
бесконечного произведения B1) в круге
|*КA— *)\zk\.
Поэтому в силу сказанного в п. 3 предыдущего
параграфа заключаем, что бесконечное произведение
k-\
k=\
B2)
представляет собой функцию, аналитическую в круге
I z I<CI zk I Для любого значения k. Отсюда в свою очередь,
учитывая A5), заключаем, что П(г) является целой
функцией, причем на комплексной плоскости z она обращается в
нуль лишь в точках последовательности A4).
При предположении сходимости ряда
1
k=\
<оо,
B3)
где р — целое неотрицательное число, первичные
множители A7) можно взять в виде
р
V 1 (±\1
и тогда бесконечное произведение B1) также будет
сходиться равномерно и абсолютно в каждом круге
ИA)||
И||
Действительно, в круге | г \ <^ A — е) | zk \ имеет место
неравенство
оо
~~~/=р+1
1 —
1
1-
Z
ZS
р+1
Г <
О—

§2] ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ 169
откуда, представляя бесконечное произведение B1) в виде
оо оо
JI/,(*) = e.-*/-P+i Wy, B4)
в силу B3) заключаем, что оно равномерно (и абсолютно)
сходится в круге | z | ^ A — е) | zk |. Следовательно,
бесконечное произведение
у 1 (JL\J
при соблюдении условия B3) является целой функцией,
обращающейся в нуль на комплексной плоскости z лишь в точках
последовательности A4). Оно носит, название канонического
произведениЯу соответствующего последовательности A4).
Наименьшее неотрицательное целое число р, для которого
ряд B3) сходится, называется родом канонического
произведения B5).
Очевидно, что бесконечное произведение
<рBг) = *хП(*) B6)
представляет собой целую функцию, нулями которой на
комплексной плоскости являются лишь точки zk
последовательности A4) и точка zQ = 0, причем кратность нуля г0 равна X.
2. Представление целой функции в виде бесконечного
произведения. Пусть теперь известно, что точка zo = O и
точки последовательности A4) (и только они) являются
нулями наперед заданной целой функции
№ = *№), B7)
где X — кратность нуля -го-
Очевидно, что функция
где целая функция П(г) дается формулой B2) или B5), сама

170 БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ [ГЛ. VI
является целой, не обращающейся в нуль нигде на
комплексной плоскости z. Следовательно, функция
является целой и, стало быть,
g(z) = eh^\ B8)
где
На основании B6), B7) и B8) заключаем, что
f(z) = 2х П (г) eh <*> = ср (z) eh <*>. B9)
Формула B9) дает представление целой функции f(z)
в виде бесконечного произведения. В этой формуле целая
функция h(z) должна быть определена каждый раз, когда
конкретно задана функция f{z).
3. Род целой функции. Ниже будем предполагать, что
последовательность нулей A4) целой функции f(z)
удовлетворяет условию B3), причем кроме них на комплексной
плоскости у f(z) имеется еще лишь один нуль zo = O
кратности X. На этот раз в представлении B9) в качестве П(<г)
будем брать каноническое произведение B5).
В случае, когда h(z) — полином, говорят, что
представленная формулой B9) функция f(z) является целой функцией
конечного рода. Если целая функция f(z) не имеет нулей
и в представлении B9) h (z) — полином, то род f(z)
считается равным степени h (z). Если р — род канонического
произведения B5), г р{ — степень полинома h (z), то число
max(p, pt) называется родом целой функции f(z). Если же
h(z) — целая трансцендентная функция или ряд B3) не
сходится, то f{z) Называется целой функцией бесконечного рода.
Ниже в качестве примера вычислим род функции f(z) =
= s\nz. Нулями этой функции являются точки<г0==0, zk =
= kn, k = ± 1, ± 2,..., причем условие B3) принимает вид
}
2 f

§2] ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ 171
Следовательно, каноническое произведение B5) в
рассматриваемом случае дается формулой
= Jj (i-
где штрих обозначает, что пропущено значение А = 0.
На основании C0) заключаем, что род канонического
произведения C1) равен единице.
В силу C1) по формуле B9) получаем
со z
%\nz = zeh^ JJ' [\—*\^% C2)
На любом ограниченном замкнутом множестве Е\ точек
комплексной плоскости z, не содержащем нулей функции
sin z, из C2) имеем
! g i (^ + L). C3)
Учитывая формулу G2) гл: V, из C3) находим, что ^ = 0>
т. е. h (z) = const всюду на комплексной плоскости. Но так
как lim 22-5.= 1, из C2) следует, что eh(g) = l.
Итак, окончательно имеем
(^ f[(^) C4)
*= -со
Из формулы C4) в свою очередь следует, что род
функции sinz равен единице.
4. Представление мероморфной на комплексной
плоскости функции в виде отношения двух целых функций.
Пусть f(z) — мероморфная на всей комплексной плоскости
функция с полюсами в точках г0 = 0, zv z.it ... (и только
в этих точках). Очевидно, что lim zk = oo.
k

172 БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ [ГЛ. VI
Функция ср (z), представленная бесконечным произведением
B6), имеет нули в точках г0, zi9 ..., zk, ... (и только в этих
точках). Предполагается, что порядок полюса zk функции
f(z) равен кратности нуля zk функции cp(z).
Очевидно, что. функция
является целой. Поэтому можно написать
Формула C5) даеяг представление мероморфной функции
f(z) в виде отношения двух целых функций g(z) и ср(г).
Упражнения
1. Доказать сходимость бесконечного произведения
оо
Yl (I -\- z1 ) в круге | z | <^ 1 и проверить тождество
2. Показать, что если последовательность точек гл,
Aj = 1, 2,..., удовлетворяет условиям: 0 <^ | zk \ < | zk+x | <. 1 и
оо
ряд 2 A — | ** |) сходится, то бесконечное произведение
{произведение Бляшке)
со
\Ч\ Ч — z
П\
сходится абсолютно и равномерно в круге | z \ ^ R при
любом R <^ 1 и представляет аналитическую функцию в круге
М<1.
3. Чему равен род полинома?
4. Построить целую трансцендентную функцию рода нуль.
б. Чему равен род функции ef?
6. Представить функцию ch z в виде бесконечного
произведения и вычислить ее род.

УПРАЖНЕНИЯ 173
7. Показать, что
k = I
8. Доказать сходимость бесконечных произведений
•> fi('-i). И Ш'+i).
() Ш
и вычислить их значения.
9. Вычислить род функции sin 2я, где п — натуральное
число.
10. Построить мероморфную на комплексной плоскости
функцию f(z), для которой точки zky k=\, 2,..., limzk =
= oo (и только они) являются простыми полюсами с Res/(z)=
z=zk
= 1 (задача Миттаг-Леффлера).

Глава VII
ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
§ 1. Аналитическое продолжение
1. Понятие аналитического продолжения. На плоскости
комплексного переменного г рассмотрим две области Д и
Д, пересечение d = D1f\Di которых представляет собой
область.
Пусть fi(z) — аналитическая в области Д функция. Если
существует аналитическая в области Д функция /8 (г),
совпадающая с ft(z) в d, то говорят, что f*(z) является
аналитическим продолжением ft(z) из области Д в область Д
через общую часть d этих областей.
В силу теоремы единственности § 1.2 гл. V очевидно,
что если существует аналитическое продолжение, то оно
единственно.
Аналитическая функция f(z) вместе с областью D ее
задания называется элементом, и для него принято
обозначение (/, D). Из двух элементов (flf Д) и (Д, Д) один
называется непосредственным аналитическим продолжением
другого, если Dtf)Dq = d является областью и /1(<г)=/8(,г)
для всех z £ d. Очевидно, что функция
аналитична в области D = Д [J Д.
Конечное множество элементов (fQ> Д), (Д, Д),..., (fm, Dm)
называется цепью, если каждый элемент (fk, Dk) является
непосредственным аналитическим продолжением элемента
(fk-ь Dk-i)- Непустое множество F элементов (/, D)>
обладающее тем свойством, что для любых двух его элементов
один получается из другого при помощи цепи, все элементы
которой принадлежат F, называется общей аналитической
функцией. Общая аналитическая функция, содержащая все

§ 1] АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ 175
аналитические продолжения каждого ее элемента, называется
полной аналитической функцией.
Может случиться, что при аналитическом продолжении,
соответствующем цепи (/,, Д), (/3, Д), ..., (fm, Dm\ на
непустом пересечении d = Dif\Dm аналитические функции
fi(z) и fm(z) не равны между собой и, следовательно,
определенная этой цепью общая аналитическая функция F(z) не
может рассматриваться как однозначная.
При детальном изучении общих и полных аналитических
функций естественно возникает необходимость обобщения
введенного в § 2 гл. III понятия римановой поверхности, но
на этом мы здесь останавливаться не будем.
Непосредственное аналитическое продолжение, если оно
возможно, иногда удобнее всего осуществить с помощью
степенных рядов. При этом в качестве элемента (/, D) сле-
оо
дует брать сумму f(z) степенного ряда 2 ak(z— *о)*скру-
гом сходимости D: \z%— z0 | <[ г.
2. Теорема монодромии. Пусть L — лежащая в
комплексной плоскости z жорданова кривая с концами в точках z0 и z%.
Говорят, что функция f(z) аналитически продолжается
из точки z0 в точку z# вдоль кривой L, если на L можно
указать конечную систему точек zi9 29> • • • > zk>
следующих друг за другом в направлении от zQ к z%, и цепь
(/о, АО, (А. А). • • • > (/*. Dk), fo(z)=f(*) npuz^ Do, такую,
что каждая область Dn содержит внутри себя дугу
z7zn+\> я=0, 1, ..., A, zk+i = z#9. кривой L.
Заметим, что аналитическое продолжение функции f(z)
вдоль данной кривой L не зависит от выбора точек zn, n =
= 1, 2, ..., kf и цепи.
В теории аналитических функций важную роль играет
следующее утверждение, известное под названием теоремы
монодромии: если функция f(z) аналитически
продолжается вдоль любой жордановой кривой, лежащей в одно-
связной области Д то она однозначна в D.
Пусть z0 — произвольная точка области D, a L —
лежащая в D произвольная кривая Жордана, выходящая из точки г0,
обладающая тем свойством, что для цепи (/0, Д), (/i> £>i)> • • •
..., (fk, Dh)y соответствующей аналитическому продолжению

176 ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. VII
функции f(z) вдоль кривой L, пересечение D{if>]Dk = d^ 0.
Теорема монодромии будет доказана, если обнаружится, что
для любой точки z% £ d имеет место равенство /о (^#)=Л (-?*).
Обозначим через Lo лежащую в области Do жорданову
кривую с концами в точках zQ и z*. В качестве цепи,
соответствующей аналитическому продолжению функции f(z)
вдоль Lo> очевидно, можно брать элемент (Д, Д)-
Пусть Lt— лежащая в области D кривая Жордана с
закрепленными концами z9 и г*, вдоль которой аналитическому
продолжению функции f(z) соответствует цепь (/0, Do),
(fu DJ, ...,(/*, Dk).
Из односвязности области D следует, что кривую Lx
в результате непрерывной деформации без выхода из
области D можно перевести в Z.o.
Обозначим через {Lxj семейство лежащих в области D
жордаибвых кривых Zx с концами в точках г0 и z* и с
параметрическим уравнением z = z(\ t), обладающее тем
свойством, что непрерывному убыванию параметра X на отрезке
0<:Х^1 от Х=1 до Х = 0 соответствует переход кривой
Lt в Lo с помощью непрерывной деформации без выхода из D.
Пусть (/0, Do), (/J, DJ), ..., (/J, Dy —цепь,
соответствующая аналитическому продолжению функции f(z) из точки г0
в точку ,г# вдоль кривой Lx. Для каждого ^ из отрезка
О^р.^1 существует положительное число е^.^0 такое,
что для всех X из интервала. 8^:| X — р|<^£|д. имеет место
равенство f\ (z#)=f% (z^)t z#(^Dxk C\D^k . Этот факт яв-
X (х X {х
ляется непосредственным следствием определения цепи и
понятия аналитического продолжения вдоль кривой.
Из бесконечного открытого покрытия {8^} отрезка
О ^ X ^ 1 в силу леммы Гейне — Бореля — Лебега можно
выделить конечное открытое покрытие {8^ , 8^., ..., Ь^ 1, 0 ^
^ l*i ^ Р-з ^ • • • ^ ря^ 1> этого же отрезка. Так как
К^ОК^ Ф>то \(z*)=№*) для всех Х из отРезка
О < X ^ 1 и, стало быть, Д (z*) =fLkl (z*) =f°ko (z#) =/0 (**).
Тем самым теорема моиодромии доказана.
3. Принцип непрерывности. Предположим, что две
области Dx и D2, £>iO^2=0, имеют общий участок
границ, содержащий замкнутую или разомкнутую открытую

§ 1] АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ 177
гладкую дугу Жордана То> и рассмотрим область D =
= OiU^UTo.
Принцип непрерывности: если функции ft(г) и
/2(<г) аналитичны в областях Dx и D.2 соответственно,
непрерывны вплоть до То и, кроме того,
Ш=Ш, *€> О)
то функция
f1(z)=A(z)> г£То>
аналитична в области D.
Справедливость принципа непрерывности непосредственно
вытекает из интегральной формулы
где C(S, zQ) — окрестность \z — ^ol<C^ произвольной
фиксированной точки zQ £ То» лежащая в области Д причем rfpeA-
полагается, что 8 меньше стандартного радиуса 80,
соответствующего кривой То-
Принимая во внимание равенство A), легко усмотреть,
что формула B) является очевидным следствием
интегральной формулы Коши, записанной в виде равенств
0, ^GOiflCft.
где I\ и Г2 —границы областей DX{\CQ>, z0) и D2
соответственно.
В условиях принципа непрерывности говорят, что
функция /2(-г) является аналитическим продолжением функции
f\(z) из области D\ в область ZJ через дугу т0-
4. Принцип симметрии Римана — Шварца. Пусть участок
То границы односвязной области D представляет собой дугу
окружности Czy a D* — лежащая вне D область, примыкающая
к То и симметричная с D относительно Сг

178- ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. VII
Под принципом симметрии Рима и а — Шварца
понимается следующее утверждение: если функция w=f(z)
аналитична в области D, непрерывна -вплоть до ^0 и, кроме
того, значения f(z), принимаемые на yo> лежат на дуге Го
окружности Cw плоскости w, то f(z) из Ьбласти D
аналитически продолжается через То в область DH:, причем
значения f(z) при z^D* симметричны со значениями
f(z#) относительно Cw, где z* — точка, симметричная
с z относительно Сг.
Дробно-линейные преобразования переменных z и w
позволяют без ограничения общности полагать, что т0 и Го
совпадают соответственно с отрезками а<^х<^Ь и ax<^u<^h
действительных осей на плоскостях комплексных
переменных z = x-\-iy и w = u-\-iv.
В окрестности каждой точки z0 £ D имеем
00
/(*)=2 ak(z—zo)k>
00
Под J{z)y z £ D#, будем понимать сумму сходящегося
со
ряда 2 ^С* — zo)k- Очевидно, что функция f(z)=f(J) ана-
£=0
литична. в области D# и непрерывна вплоть до у0» причем
на Yo име£т место равенство f(x)=f(x)i ибо по условию
\mf(x) = \mf(x) = 0 при а<^х<^Ь. Отсюда в силу
принципа непрерывности заключаем, что функция
F(z) =
аналитична в области D \J D* {J то> и тем самым принцип
симметрии Римана — Шварца доказан.
5. Аналитическое продолжение действительной
аналитической функции действительного переменного. Заданная
на отрезке Iia^x^b действительная однозначная
функция f(x) называется аналитической, если в некоторой ок-

> И АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ 179
рестности х0 — Ъ<^х<^хо-{-Ъ каждой точки л*0£/ она
представляется в виде суммы степенного ряда
с действительными коэффициентами.
Если f(x) — действительная аналитическая на отрезке
/ функция, a F(z)— аналитическая функция в области D,
содержащей внутри себя отрезок /, причем F(x)=f(x) при
х £ Л то говорят, что F{z) является аналитическим продол-
жением f(x) из отрезка I в область D.
Ряд
00
2 ak {z — xQ)k,
полученный из C) заменой х на комплексное переменное z =
=*x-\-ly, сходится в круге С (8, xQ):\z — хо\<^Ъ -и его
сумма F(z) является аналитической функцией в С(8, -г0),
совпадающей с f{x) при z = x. Очевидно, что функция F(z) из
верхнего полукруга \z — xQ \ <^ 8, Im z ^> 0 аналитически
продолжается в нижний полукруг \z — xQ | <^ 8, Im z <^ 0 по
принципу симметрии Римана — Шварца. Отсюда, ввиду того, что
F(z) аналитически продолжается вдоль отрезка /, заключаем,
что функция f(x) аналитически продолжается из
отрезка I в некоторую область D, симметричную
относительно действительной оси \mz = Q.
в. Принцип Шварца. Жорданова дуга 70 называется
аналитической, если в ее параметрической записи 2 = cp(£) =
= x(t)-\-iy(t), a^^^p, действительные функции x\t) и
y(t) действительного переменного t аналитичны на отрезке
а^^^р. Аналитическая дуга fo называется регулярной или
правильной, если
$)'HTH?4Oi'#o D,
всюду на отрезке a^t^.
Обозначим через zQ = z (tQ), *<^to<^fy, произвольную
фиксированную точку правильной аналитической дуги f0. В
предыдущем пункте было показано, что функции х (t) и у (t) из

180 ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. Vlt
некоторого интервала — 8i + fo<* <tfo + 8i, &i^>0>
аналитически продолжаются в круг \t — tQ | <^ Ь{ плоскости
комплексного переменного t, т. е. функция z = <f(t) = x(t)-\-iy(t)
аналитична в круге \t — tQ\<^bt и в силу D) в некоторой
окрестности точки tQ всюду ср' (t) ф 0. Отсюда следует, что
некоторую окрестность точки tQ функция z = y{f) конформно
отображает на некоторую область плоскости z, содержащую
внутри себя трчку zQ = z (t0) £ *т0.
Принцип Шварца: если граница области D
содержит правильную аналитическую дугу yo> функция f{z)
аналитична в D и непрерывна вплоть до ?0 и> кроме того,
образ То пРи отображении w=f(z) является правильной
аналитической дугой Го на плоскости w, то функция f{z)
аналитически продолжается из области D через дугу y0-
Как уже было показано, функция z = ср (t) конформно
отображает достаточно малую окрестность \t —10\<^8 точки £0 на
некоторую область d плоскости г, содержащую внутри себя
точку zo = z (t0) £j "fo- Точно так же,функция w = <|> (т) = и (т)-|-
-\-м(ъ)у где и = и(х)у v = v(rz), ai^T^Pj, —
параметрическая запись дуги Го, конформно отображает достаточно малую
окрестность | т — т01 <[ е точки т0, at <^ т0 <^ $v на некоторую
область dt плоскости w, содержащую внутри себя точку
wQ = w (т0), где wQ=f(z0) ^ Го. Следовательно, функции t =
= ср~1(,г) и z = ty~1(w) конформно отображают области d и
dx на круги \t — ^0|<^8 и|т — то|<[е соответственно.
Рассмотрим функцию т = ф~1 {/[ср(О]} = ^(^). Она
аналитична в некоторой области плоскости комплексного
переменного U примыкающей к отрезку tt<^t<^t^ действительной
оси, и принимает действительные значения на этом отрезке.
Следовательно, функция со@ аналитически продолжается
через отрезок £i<^<C^2 и, стало быть, функция w =
= ф{о)[ср~1(г)]} аналитична в некоторой окрестности точки
zQ G То и совпадает с f(z) при z £ D, что и требовалось
доказать.
§ 2. Свойство единственности аналитических функций
1. Некоторые элементарные утверждения о
единственности аналитических функций. В § 1.2 гл. V было
обнаружено важное свойство единственности аналитической
в области D функции f(z), сформулированное в виде

§ 2Т О ЕДИНСТВЕННОСТИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 181
утверждений: а) если f(z) = 0на некотором множестве Е
точек области D, имеющем по крайней мере одну предельную
точку в D, то f(z) = 0 всюду в этой области, и Ь) если
в некоторой точке zo£D все производные f(k)(zQ) = О,
k = 0, 1, ..., то f(z) = 0 всюду в D.
Утверждение Ь), очевидно, равносильно предложению: если
аналитическая в области D функция f(z) в некоторой
точке Zq^D имеет нуль «бесконечного порядка», т. е.
lim , f(z\k = 0, k = 0, 1, ..., то f(z) = 0 всюду в D.
z-»zo\z zo)
Поскольку во всех этих утверждениях нули функции f{z)
лежат в области ее аналитичности, приведенные выше
утверждения можно называть внутренними теоремами
единственности аналитических функций.
Предположим теперь, что граница Г области D
аналитичности функции f(z) содержит гладкую жорданову дугу т0 и
f(z) непрерывна в D вплоть до ч0. Легко видеть, что если
f(z) = 0 для всех «г ^ То» ТО f(z) = ® всюду в £).
Действительно, пристроим к области D вдоль участка у0
ее границы Г область Dp D (~)Di = 0, и рассмотрим
функцию
F(z) =
В силу принципа непрерывности, изложенного в
предыдущем параграфе, заключаем, что F(z) апалитична в
области D2 = £>UToU#i- Так как F(z) = 0 на дуге То» лежащей
внутри D& то F(z) = 0 всюду в Ь2 и, стало быть, f(z) = 0
всюду в D.
2. Лемма Карлемана и обобщение теоремы
единственности. Пусть D — односвязная область плоскости
комплексного переменного z, ограниченная прямолинейными
отрезками Tfi=C0Ci, Т2 = С0С2 и жордановой дугой T = QB^ Угол CiC^a
между -fi и Ь обозначим через та.
Карлеману принадлежит следующее утверждение (л е м м а
Карлемана): если функция f(z) аналитична в области Д
на границе этой области всюду существуют предельные

182
ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. VII
значения f(z) изнутри D и
ZM, *6TiUT* E)
\<~т, tQ\> т<^М, F)
под f(t)t ^GTiUTaUT» понимается \imf(z), то в лю-
точке С биссектрисы угла CiCgCa имеет место оценка
Hit a'
которой
1/@1
G)
С целью доказательства оценки G) рассмотрим
аналитическую в области D функцию
F(z)=f(z)e
где о — произвольное , положительное число, С ф Со, а под
(? ;°) понимается однозначная в области D ветвь этой
\t — '«о /
функции, равная единице при ? = С
Ввиду того, что
= ь
а -^-
на основании E) и F) заключаем, что
(8)
(9)

§ 3] ОТОБРАЖЕНИЕ ОДНОСВЯЗНЫХ ОДНОЛИСТНЫХ ОБЛАСТЕЙ 183
Из оценок (8) и (9) в силу принципа максимума модуля
следует, что \F(Q\ не превышает max
| /(С) | ^ max
Ж, те
т. е.
A0)
Подбирая теперь положительное число а так, чтобы имело
место равенство
или, что то же самое,
из A0) сразу получим оценку G).
Из леммы Карлемана непосредственно получается
следующее обобщение теоремы единственности: если функция f(z)
аналитична в области Z), граница которой содержит
жорданову дугу Tfo> причем на y0 всюду существуют
предельные значения f(z) изнутри D, равные нулю, то f(z) = 0
в области D.
§ 3. Конформное отображение
односвязных однолистных областей
1. Предварительные замечания. В § 1.3 гл. III было
доказано, что аналитическая в области D функция w=f(z)
при f(zo)^Ot zo€:D> некоторую окрестность точки z0
конформно отображает на некоторую область плоскости w,
содержащую точку wo=f(zo).
Геометрическая задача построения конформного
отображения данной области D плоскости z на данную область Dj
плоскости w равносильна построению аналитической в

184 ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. VII
области D функции w=f(z), принимающей каждое значение
w £ D\ один раз.
При изучении этой задачи в предположении, что одна из
рассматриваемых областей, например область Dv ограничена,
необходимо исключить случай, когда D есть расширенная
плоскость или расширенная плоскость с выключенной точкой.
В самом деле, если область D совпадает с расширенной
комплексной плоскостью или с комплексной плоскостью
(случай расширенной комплексной плоскости с выключенной
точкой с помощью дробно-линейного преобразования
редуцируется к случаю комплексной плоскости), то функцияw=f(z),
отображающая конформно D на Dlt обязана быть целой и
к тому же ограниченной, поскольку область D\ ограничена.
Но в силу теоремы Лиувилля такая функция постоянна и,
стало быть, искомого конформного отображения не
существует.
Ниже мы будем предполагать, что D и D\ представляют
собой односвязные однолистные области, причем Dt
ограничена, a D отлична от расширенной комплексной
плоскости и от расширенной комплексной плоскости с
выключенной точкой.
При доказательстве существования функции w=f(z)f
отображающей конформно область D на Db без ограничения
общности можно считать, что D\ есть круг |^|<^1.
Действительно, если будет доказано существование
конформных отображений с = ср(г) области D на круг |С|<[ 1 и
z = ty(w) области D\ на круг Н<^Ь то, рассматривая
дробно-линейное отображение т = 1(С) круга |С|<^1 на круг
||^ получим аналитическую функцию
осуществляющую конформное отображение области D на
область D\.
Так как граница Г области D содержит по крайней мере
две точки, то в силу связности Г (см. § 2.1 гл.1) она должна
быть континуумом, содержащим эти точки. Пусть а и Ъ —
конечные точки, принадлежащие Г.
Мы вправе считать, что область D лежит в круге \z\ <^ 1
и содержит внутри себя точку z = 0.
В t самом деле, рассмотрим однозначную в плоскости z,
разрезанной вдоль участка Г, соединяющего точки а и Ь,

§ 3] ОТОБРАЖЕНИЕ ОДНОСВЯЗНЫХ. ОДНОЛИСТНЫХ ОБЛАСТЕЙ 185
ветвь функции
однолистную и аналитическую в области D.
Пусть С0 = 1/|^|»г0^:£). При отображении A1)
достаточно малой окрестности С (S, Со) точки Со соответствует
некоторая односвязная подобласть области D, содержащая
точку г0. При С (S, Co) f] С (&, — Со) = 0 ни одно значение
функции С (z) не может попасть в окрестность С(8,— Со)
точки — Со, ибо в противном случае одному и тому же z £j D
при однолистном отображении A1) соответствовали бы два
значения С, а это невозможно. Поэтому можно полагать, что
образ Dc области D при отображении A1) не содержит
определенной окрестности |С — £*|<СГ некоторой точки С*
плоскости С Отсюда в свою очередь следует, что при
отображении т= -—— образ Dx области D. будет лежать внутри
С—С* *•
круга |т| <^ 1 плоскости т. Теперь простой заменой
переменного т легко добиться того, чтобы нулевая точка
принадлежала образу Dz и, вместе с тем, чтобы этот образ не вышел
из единичного круга с центром в нулевой точке.
2. Условия единственности конформно отображающей
функции. Если будет доказано существование одной
функции w=f(z)y осуществляющей конформное отображение
области D на единичный круг D\i\w\<^\, то тем самым будет
доказано, что множество таких функций бесконечно. Это
следует из того, что наряду с функцией w=f(z) все
функции вида е^ {__~Т(° ч > где 0 — произвольная
действительная постоянная и wQ— произвольное комплексное число, \wQ\ <^1,
конформно отображают область D на единичный круг.
Точку г0 £ D вместе с выходящим из нее направлением
принято называть линейным элементом, а отображение
области D на область Dp переводящее заданный линейный
элемент из D в заданный линейный элемент из D\, —
нормализованным отображением.
Покажем, что не может существовать более одной
однолистной аналитической функции w=f(z), осуществляющей

186 ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. VII
нормализованное конформное отображение области D на
круг Н<1.
С помощью дробно-линейных преобразований переменных
всегда можно добиться того, что условия нормализованности
будут иметь вид
/@) = 0, Л@)>0. A2)
Допустим теперь, что существуют две однолистные
аналитические функции w=f(z) и т = ср(г), осуществляющие
конформные отображения D на D\ и удовлетворяющие
условиям A2).
Очевидно, что равенство z=f~t(w) = y~1(iz) определяет
конформное отображение z = ty(w) круга 1^1 <^1 самого на
себя, причем в силу A2) удовлетворены условия
ф@) = 0, <1/@)>0. A3)
Следовательно, аналитическая в круге \w\ <^ 1 функция
ф (w) удовлетворяет условиям ф @) = 0, |ф (w)\<^l и, стало быть,
в силу леЪшы Шварца |т| <: \w\. Ввиду того, что и функция
w = ty(fz) удовлетворяет условиям леммы Шварца, имеем
\w\ ^|t|. Следовательно, в круге 1^1 <^ 1 всюду имеет место
равенство \w\ = jx|, т. е. т = eia w, где а — действительная
постоянная. Так как в силу A3)
то a = 2kn, A = 0,±1,... .Таким образом, окончательно
имеем % = w, т.е. f(z) = <f(z), что и требовалось доказать.
3. Формулировка теоремы Римана о конформном
отображении и некоторые вспомогательные утверждения. Ри-
ману принадлежит следующая основная теорема
теории конформного отображения: для каждой одно-
связной однолистной области, граница которой состоит
более чем из одной точки, существует единственная
однолистная аналитическая функция, осуществляющая
нормализованное конформное отображение этой области на
внутренность единичного круга.
Единственность отображающей функции уже была
доказана в предыдущем пункте.

§ 3] ОТОБРАЖЕНИЕ ОДНОСВЯЗНЫХ ОДНОЛИСТНЫХ ОБЛАСТЕЙ 187
Из существующих в настоящее время нескольких
вариантов доказательства существования конформно отображающей
функции ниже будет предложен тот, который не требует
введения в рассмотрение новых, отличных от уже изложенных
выше понятий и определений.
В этом пункте мы остановимся на двух элементарных
утверждениях, носящих вспомогательный характер.
Пусть К—двулистная область плоскости t, составленная
из двух однолистных кругов |*|<^1, склеенных
перекрестно вдоль краев разрезов, проведенных от фиксированной
точки а, 0<^|а| = (х<^ 1, до некоторой точки р окружности
| £ | = 1. Обозначим через т = ср^ (t) функцию, отображающую
конформно область К на единичный круг К*: | х | <^ 1 и
удовлетворяющую условиям
I A4)
Явное выражение для функции ср^ (t) нам не понадобится,
но заметим, что оно легко может быть получено в
результате суперпозиции трех элементарных отображений: 1)
дробно-линейного отображения круга 11 | < 1 на себя,
переводящего точку а в центр этого круга, 2) извлечения
квадратного корня и 3) линейного отображения, устанавливающего
нормализацию A4).
Отличная от т функция t = cp"j| (т) аналитична в круге К*
и в силу A4) удовлетворяет условиям ср~Д @) = 0,
при т = 0. Поэтому для всех t и т, отличных от нуля и
по модулю меньших единицы, в силу леммы Шварца имеем
1'1<14 05)
Неравенство A5) означает, что при отображении т = ср^ (t)
каждая точка t£K, tz£O, переходит в точку т^/Г*, более
удаленную от центра, чем t Отсюда вытекает справедливость
очень важного при доказательстве существования конформно
отображающей функции утверждения: при конформном
отображении К на К*, осуществляемом функцией %s=(f)
удовлетворяющей условиям A4), имеет место оценка
A6)

188 ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ ГГЛ. VII
где \t\^p*, a #((*) — постоянная, большая единицы и
зависящая от р. непрерывно.
Действительно, так как при |<|<^1, t^O, равенство
1^(^I = 1^1 исключено, то из A5) получаем
min -f-l =
Пусть d—однолистная односвязная область, лежащая в К>
для которой точка £ = 0 является внутренней, а точка
ветвления t = v. функции ср(А(£) — внешней или граничной. Функция
z = <D^(t) конформно отображает область d на некоторую
односвязную область d*, лежащую в К* и содержащую
внутри себя точку т = 0. На основании A6) заключаем, что
если область d содержит. круг 111 ^ р ^ (*, то область d*
содержит круг |т| ^р* = ^((х)р, р*>р.
В следующем пункте нам также понадобится
утверждение: если последовательность однолистных
аналитических в области D функций
сходится равномерно в каждой замкнутой области
£># С D» м° предел этой последовательности/(z) = Нга/Л (z),
П—-СО
если он отличен от постоянной, также однолистен в
области D.
С целью доказательства этого утверждения заметим, что
в силу первой теоремы Вейерштрасса функция f(z) анали-
тична в области Д причем последовательность fn (г), л = 1,2,...,
равномерно сходится к/'(<г) в каждой замкнутой подобласти
области D.
Так как в области D функция /(г) ф const, то для
любой фиксированной точки г0^Ои произвольного
комплексного числа афоо существует окрестность \г — zQ | <^ г,
лежащая в D, на границе f которой f{z) — а ф 0.
В силу принципа аргумента логарифмический вычет
т
равен числу нулей функции f{z) — а в круге \г — го|<Сг*

§ 3] ОТОБРАЖЕНИЕ ОДНОСВЯЗНЫХ ОДНОЛИСТНЫХ ОБЛАСТЕЙ 189
Из равенства lirafn(z)=f(z) следует, что, начиная с до-
п-юо
статочно большого номера л0, для всех п^п0 функции
f(^ при z^\ и
NUm±
На основании однолистности функций fn(z), я = 1, 2,...,
в силу равенства A7) заключаем, что для всех п^п0
функции f(z) — а и fn(z) — а в круге \г — zQ \ <^ r либо нигде
в нуль не обращаются, либо имеют по одному нулю.
Предположим, что N= 1, и обозначим через К\ круг,
лежащий внутри D и вне круга \г — zo\^r. Для всех
имеем
где Yi — граница К\.
На основании равенства A8) заключаем, что
f(z)dz_ 1 С fn(z)dz _
— ) — V
т. e. функция f(z) в области D вне круга \z — z0 \ ^ г нигде
не принимает значения а, и тем самым однолистность f(z)
доказана.
4. Доказательство существования конформно
отображающей функции. Как уже было отмечено в предыдущих
пунктах настоящего параграфа, при доказательстве
существования конформно отображающей функции w=f(z) без
ограничения общности можно полагать, что область D лежит
в единичном круге | z \ <^ 1 и содержит внутри себя точку
2 = 0, область D\ совпадает с единичным кругом jze;|<^l,
а условие нормализованности имеет вид A2).
Введенная в предыдущем пункте функция срД/) позволяет
сконструировать последовательность
АDЛD...,/„(*),... A9)
однолистных аналитических в области D функций, равномерно
сходящуюся в каждой замкнутой подобласти области Д

190 .ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. VII
предел которой f(z) осуществляет искомое конформное
отображение.
Если заданная односвязная область О содержит внутри
себя нулевую точку, то радиус максимального круга с центром
в этой точке, вся внутренность которого принадлежит G,
будем обозначать через р(О).
Приняв [jL = p(D) = po, в качестве первой функции Wi =
=fx{z) последовательности A8) возьмем однозначную ветвь
функции ср^(z), [а = р0. Функция f\(z) аналитична, однолистна,
удовлетворяет условию A2) и, следовательно, она отображает
область D на некоторую область Q{ d D\, содержащую внутри
себя точку wx = 0. В качестве m2=/2B) примем функцию
99l\M*)\ ™е Pi = Р (Oi), и т. д., wn=fn(z) = <?9ni[fn_l(z)],
где рл_1 = р (ОЛ_Д а Ол_! — образ Ол_2 при отображении,
осуществляемом функцией wn_1 = cpP||_f (^л-з)-
Очевидно, что каждая из функций fn(z),n = 2, 3,...,
однолистна и аналитична в области D и, кроме того,
удовлетворяет условиям A2). Как уже было отмечено в
предыдущем пункте, ря = ^ (рл-i) Рл-1» откуда, принимая во внимание
неравенство д(\><)^>1 при 0<^(*<^1, заключаем, что
последовательность рл, /1=1» 2,..., строго возрастает и
lim р„=1. B0)
л-юо
Так как в любой точке z0 границы Г области D имеем
|//еС*о)|^Ь |/лBо)|^Рл> а функция y^W для любых на"
туральных пир аналитична и отлична от нуля в области Д
то в силу принципа экстремума модуля аналитической
функции в любой точке z £ Ь б}*дем иметь
На основании B0) и B1) заключаем, что
HmfeMUl B2)
л-н»1 Тп\г) I
равномерно в области D.
Ввиду того, что

§ з1 отображение односвязных однолистных областей 191
выбирая ветвь функции log ?**. f , принимающую действи-
fn \z)
тельное значение при 2 = 0, в силу B2) убеждаемся в том,
что последовательность дейстбительных частей функций
равномерно сходится к нулю в области D и lim log У^А = 0»
Отсюда на основании доказанного в § 3.5 гл. IV
предложения следует, что
и, следовательно,
Jim/„(*)=/(*) B3)
п-юа
равномерно в любой замкнутой подобласти области D,
причем
/@) = 0, /'@J*0, |/(*)|<1, z£D. B4)
Из B1) в пределе при р—*оо получаем
1
/я W
B5)
На основании B0), B3) и B5) убеждаемся, что в
достаточной близости от границы Г области D функция \f(z)\ как
угодно мало отличается от единицы. Отсюда, принимая
во внимание равенство /@) = 0, заключаем, что f(z) отлична
от постоянной и, следовательно, в силу последнего
утверждения предыдущего пункта функция f(z) однолистна в области D.
Из однолистности /(г) в свою очередь вытекает, что во
втором соотношении B4) равенство исключается, т. е. /'@)^>0.
В силу принципа максимума модуля равенство исключается
и в третьем соотношении B4).
Таким образом, функция w=f(z) конформно отображает
область D на некоторую область О, лежащую в круге \w\<C^ 1.
Отсюда, учитывая равенство B0), заключаем, что граница Г
области D при отображении w=f(z) переходит в окружность
|гв>| = 1, а область О совпадает с открытым кругом |4
Тем самым теорема Римана доказана полностью.

192 ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЙ- [ГЛ. Vlt
б. Соответствие границ при конформном отображении.
Если последовательность
zv zb ..., zk, ... B6)
точек области D, ограниченной контуром Г, сходится
к точке г0 £ Г, то все предельные точки
последовательности
"> B7)
где w=f(z)— функция, отображающая конформно
область D на круг \w\<^\, лежат на окружности \w\ = \.
Действительно, если предельная точка w0
последовательности B7) не лежит на окружности |«;| = 1, то она обязана
быть внутренней точкой круга |w|<^l. Поэтому некоторую
окрестность точки wQ, лежащую в круге |«;|<^1, функция
z=f(w) будет отображать конформно на односвязную
область Д, лежащую строго внутри D (т. е. границы Си А
не будут иметь общих точек) и содержащую внутри себя
бесконечное множество точек последовательности B6), а это
невозможно, ибо lira zk = z0 £ Г.
Говорят, что при конформном отображении w=f(z)
области D на круг \w\ <^ 1 точке z0 £ Г соответствует
точка w0 окружности \w\ = \, если для любой
последовательности B6) точек области Д сходящейся к точке <г0,
соответствующая последовательность B7) сходится к w0.
С помощью методов теоретико-множественной топологии
в настоящее время исчерпывающим образом изучены вопросы
соответствия границ при однолистном конформном
отображении односвязных областей.
В частности, установлено, что при конформном
отображении w=f(z) друг на друга областей D и D\>
ограниченных замкнутыми жордановыми кривыми Г и Vt coom-
ветственноу функция f(z) устанавливает взаимно
однозначное и непрерывное соответствие между D [J Г и D\ \J Tt
с сохранением направления обхода на Г и IY
На доказательстве этого факта мы здесь останавливаться
не будем, а читателя, интересующегося вообще поведением
конформно отображающей функции на границе области
отсылаем к книге К. Каратеодори «Конформное отображение»
(М. — Д., 1934).

§ 3] ОТОБРАЖЕНИЕ ОДНОСВЯЗНЫХ ОДНОЛИСТНЫХ ОБЛАСТЕЙ 193
Сформулированное утверждение имеет важные применения
в теории аналитических функций.
Так, например, если известно, что заданная в односвязной
однолистной области D аналитическая функция w =f(z)
конформно отображает эту область на односвязную однолистную
область Di9 причем границы Г и ^ этих областей являются
замкнутыми кривыми Жордана, то в силу указанного
утверждения функция f(z) непрерывна в D вплоть до границы Г.
Поэтому в рассматриваемом случае в изложенных в § 1
настоящей главы принципах аналитического продолжения
требование «непрерывности в D вплоть до fo» следует
опустить.
Это же утверждение вместе с теоремой Римана
позволяет доказать существование решения задачи Дирихле в
следующей постановке: в области О плоскости комплексного
переменного С = S -J- Щ> ограниченной замкнутой кривой
уКорЪана Г, требуется найти гармоническую функцию
н# (С) = и# (Е, тг]), непрерывную в О и принимающую на ~Т
заданные непрерывные значения g(Q.
В самом деле, искомая гармоническая функция и% (С)
(если она существует) является действительной частью
аналитической в области О функции F(C)« Функция u(z) =
= Re F I/ (*)], где z =/(Q — функция, отображающая
конформно область О на круг |г|<^1, гармонична в этом круге
и непрерывна в замкнутом круге \г\ ^ 1, причем на окружности
|г| = 1 она принимает непрерывные значения h(z) = g[f~1(z)\
Но задача отыскания гармонической в круге \z\ ^ 1
функции u{z), непрерывной вплоть до окружности \г\ = 1, решается
формулой Пуассона
которая была выведена в § 4.4 гл. IV. Следовательно, искомое
решение сформулированной выше задачи Дирихле существует
и оно имеет вид
6. Принцип взаимно однозначного соответствия.
Формула Кристоффеля—Шварца. Непосредственным следствием
принципа аргумента аналитической функции является так
7 А. В. Бицадзе

194 Принципы конформного отображения [гл. vit
называемый принцип взаимнооднозначного
соответствия: если границы Г и 1\ односвязных областей D
и D\ являются замкнутыми кусочно-гладкими кривыми
УКордана и аналитическая в D функция w=f(z) взаимно
однозначно и непрерывно отображает Г на Tt с
сохранением направления обхода, то она конформно отображает
область D на область D\.
Действительно, для любой точки w £ D\ в силу
интегральной формулы Коши имеем
1
то есть
/' (t) dt
= 1,
а это означает, что в области D функция f(z) — w имеет
единственный нуль. Отсюда следуют однолистность функции
f(z) и конформность отображения w=f(z) области D
на область D\.
Принцип взаимно однозначного соответствия, очевидно,
остается в силе, если f(z) аналитичиа в D всюду, кроме
конечного числа точек контура Г, в которых f\z) обращается
в бесконечность, но интегрируема вдоль Г. Этот принцип
верен и в том случае, когда одна из рассматриваемых
областей, например D, является полуплоскостью.
На основе принципа взаимно однозначного соответствия
можно построить явное выражение (в квадратурах) функции
w=f(z)y отображающей верхнюю полуплоскость Щ: 1га,г^>0
на многоугольник Пл.
Обозначим через Ai9 Л2> ..., Ап вершины
многоугольника Пл.
В силу теоремы Римана функция f(z) существует, причем
она отображает действительную ось 1т<г = 0 на контур
многоугольника Пл взаимно однозначно и непрерывно.
Рассмотрим однозначную аналитическую в полуплоскости
Щ функцию
f(z) = се" \fl(z — akfk~4z + cv B9)
zok=\
где с и а — положительные постоянные, сх — комплексная по-

УПРАЖНЕНИЯ 195
стояиная, ak=f~l(Ak)f k=\, 2, ..., л, <^C С
действительные числа, шк, 0 <^ cnk <^ 2, ал ^ 1, & = 1, 2,..., п, —
величины углов многоугольника Пл с вершинами в
точках Akf а под (z — я*)**1» k=l, 2, ..., я, понимаются
однозначные в полуплоскости Е^ ветви этих функций,
положительные при z^>ak.
В силу принципа симметрии Римана — Шварца функция f(z)
аналитически продолжается в нижнюю полуплоскость 1тг<^0
через участки —oo<^x<^avak_1<^x<^aktk = 2y 3, ...,я,
ап<^х<^оо действительной оси.
Из геометрического смысла производной аналитической
функции следует, что когда а = a'rg (Ап — Д), z0 <^ а.\ и точка
f(z^ = cx лежит на отрезке AnAv функция f(z) осуществляет
взаимно однозначное и непрерывное отображение границы
полуплоскости ITj на контур многоугольника Пл с сохранением
направления обхода. Следовательно, в силу принципа
взаимно однозначного соответствия f(z) конформно отображает
полуплоскость nt на многоугольник Пл.
Если наперед заданы три из чисел ak1 k = l, 2, ..., п,
например av а2, а3, то постоянные а4, а5, ..., ал, с и ct
в правой части B9) могут быть определены однозначно, ибо
вершины Ak=f(ak) многоугольника Пл известны. Однако
практическое нахождение этих постоянных, вообще говоря,
весьма затруднительно.
Выражение B9) известно под названием формулы Кри-
стоффеля — Шварца.
Упражнения
1. Показать, что элемент (/, D), где f(z) — сумма степен-
оо
ного ряда 2 zkl, не имеет аналитического продолжения за
круг D: | z | <[ 1 сходимости этого ряда.
2. Известно, что функция w = u(x, y)-\-w(x, y)=f{z)
аналитична в односвязной области D, лежащей в верхней
полуплоскости Im^^ О и примыкающей к отрезку I:a<^x<^b
действительной оси Im~z = 0, причем f(z) непрерывна в
области D вплоть до участка / ее границы и удовлетворяет
условию
и(х, О) + ту(дг, 0) = 0, х£1.
7*

196 ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ ГГЛ. VII
Найти аналитическое продолжение f{z) через отрезок /
в область D*> симметричную области D относительно
действительной оси.
3. Известно, что функция w=f(z) аналитична в полукру-
1
ге D:
2", 1га<г^>0, и непрерывна вплоть до дуги
z — g-== 2", 1тг>0, причем Re/(z) = 0 при z £ ?о-
Найти аналитическое продолжение f(z) через >
4. Доказать, что функция w=f(z), отображающая
конформно круг на круг, обязательно линейна или дробно-линейна.
D
б. Выяснить, для какого значения отношения - возможно
конформно отобразить двусвязную область, ограниченную
окружностями |«г| = 1 и \z — ^
=4~»на кольцо Г <С I w
и найти конформно отображающую функцию.
6. Найти гармоническую в полукруге ||^ ^
функцию и (z), непрерывную в замкнутом полукруге | z \ ^ 1,
Im z ^ 0 и удовлетворяющую условиям
где /(ср) — заданная (непрерывная) функция [/@)=/(тс) = 0].
7. Пользуясь конформным отображением верхней
полуплоскости Im z ^> 0 на круг | w \ <^ 1, построить формулу,
дающую решение задачи: найти гармоническую в верхней
полуплоскости Ira z ^> 0 функцию u(z), непрерывную и
ограниченную при 1га г ^ 0 и удовлетворяющую условию и (х) =
= ф(лг), — oo<[x<[oo, где ф(лг) — заданная (непрерывная)
функция.
8. Найти гармоническую в полукруге |,г|<^1
функцию u(z)y непрерывную в замкнутом полукруге
Ira z^ 0 и удовлетворяющую условиям
) = 0,
) = ${
где ф (х) — заданная (непрерывная) функция [ф (—1) =
( 0]

УПРАЖНЕНИЯ 197
9. Пользуясь ответами задач 6 и 8, построить формулу,
дающую гармоническую в полукруге | z|< 1, 1тг>0
функцию u(z\ непрерывную в замкнутом полукруге |г)^1,
1га г ^ 0 и удовлетворяющую условиям
и(**)=/(<р> О
где / и ф — заданные (непрерывные) функции [/@) =
/(*) = ♦(-!)]•
10. Отобразить на верхнюю полуплоскость треугольник
с вершинами Ах=—1, Л2=4, Лэ=/.

Глава VIII
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Аналитические функции
многих комплексных переменных
1. Некоторые обозначения и основные понятия.
Упорядоченную систему (zv Zz,..., zm) = z значений
комплексных переменных zk = xk-\-iyk1 k=\, 2,..., т, будем
называть точкой /^-мерного комплексного векторного
пространства Ст этих переменных. Пространство Ст можно
интерпретировать как обычное 2/я-мерное евклидово пространство
действительных переменных xlf yv х& уь ..., хт ут.
Множество точек z £ Cm, удовлетворяющих условиям
\*k — ZT I <C rk> k=\, 2,..., m, где rk — положительные
числа, называется открытым полицилиндром С {г, z(o))
радиуса r = (rv г2,..., гт) с центром в точке 2@), а множество
точек z £j Сту удовлетворяющих условиям \zk — z^ \ ^ rkf
k=\, 2,..., т, — замкнутым полицилиндром С (г,. )
Точки z ^ Ст, для которых имеют место равенства
\zk — zty | = rk, k=\, 2,..., m, составляют так называемый
остов полицилиндра С(г, г(о)).
Пусть Е и Ех — некоторые множества точек из Ст и из
обычной комплексной плоскости w соответственно.
Введенное выше понятие полицилиндра позволяет, так же как и в
§ 2 гл. I, ввести понятия окрестности точки, изолированной
точки, предельной точки и внутренней точки множества Е, а также
понятия ограниченного, замкнутого, открытого и компактного
множеств в пространстве Ст. При этом очевидным образом
формулируются и доказываются лемма Гейне — Бореля —
Лебега и принцип Больцано — Вейерштрасса. Под равенством
\imz^n) = z(o) понимается система равенств limz^ = z^\
п -* оо л-юо
А=1, 2,..., т.
Если указан закон /, по которому каждому значению
z £Е поставлено в соответствие единственное значение w ^ Ev
то говорят, что w является однозначной функцией перемен-

§ 1] АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 199
ного z (функцией нескольких комплексных переменных zv
*Ъ • • • > zm)> и ПИШуТ
w=f(z)=f(zv z»..., zm).
Заданная на множестве Е функция f(z) непрерывна (или,
как еще принято говорить, непрерывна по совокупности
переменных) в предельной точке 2(o) множества Е,
принадлежащей Е, если для любого е^>0 можно указать такую
систему положительных чисел (bv 82,..., 8т) = 8, что для
любых z\ z" £ Ef]C(b, z(o)) имеет место неравенство
Понятие равномерной непрерывности заданной на
множестве Е функции f(z), а также понятия сходимости и
равномерной сходимости заданной на Е последовательности
функций fn(z), /2=1, 2,..., вводятся точно таким же
образом, как и в случае функций одного комплексного
переменного (cm.v § 2.1 и § 3.1 гл. 11).
Конечная сумма
где kh k<n ..., km принимают неотрицательные целые значения,
т
причем 1£Akj = ki носит название однородного полинома сте-
/=i
пени k. Очевидно, что Я^(-г) является непрерывной функцией
для всех конечных значений z.
Приведенные ниже свойства непрерывных функций
многих комплексных переменных доказываются буквально так
же, как в случае функций одного комплексного
переменного.
a) Непрерывная на ограниченном замкнутом множестве.
Е из Ст функция равномерно непрерывна на Е.
b) Непрерывная на ограниченном замкнутом
множестве Е из Ст функция ограничена на Е.
c) Сумма s\z) равномерно сходящегося на множестве
EczzCm ряда непрерывных функций ал(г)
непрерывна на Е*

200 ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VIII
2. Кратные ряды с комплексными членами. Выражение
вида
IX,* Аи, Р)
где т — натуральное число, a kv А2, ..., km принимают
всевозможные неотрицательные целые значения, называется
т-кратным рядом с комплексными членами ak k k
Обозначим через 5 конечную яг-кратную
сумму
л, п2 пт
2 2 • • 2 k kk'
Говорят, что ряд A) сходится и его сулшш* является
число s, если для любого наперед заданного е^>0
существуют такие натуральные числа А/р N& ..., Nm, что
для всех nk^>Nky &=1, 2, ..., w.
Из легко проверяемой формулы
l 1 l
-22-2 (-1)''
Л=0А=о jm=o
вытекает, что равенство
•+/m
s
П
lira a.
является необходимым условием сходимости ряда A).
Ряд A) называется абсолютно сходящимся, если
сходится ряд У\ I а. . . I. Установленные в § 3.4
гл. I свойства абсолютно сходящихся двойных рядов остаются
в силе и для абсолютно сходящихся кратных рядов.

§ I] АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 201
3. Степенные ряды с несколькими переменными.
Функциональный ряд вида
V»
называется степенным рядом с несколькими переменными
2i> ^2» ...» zm.
При да = 1, как уже было показано в § 3.2 гл. II,
сходимость ряда B) в точке z{fi) = zf) гарантирует для всех
значений индекса kt наличие неравенств \ak | • | zf] \kl <^g где g—
положительное число. Когда же/»^>1, из сходимости ряда B)
в точке z{0), вообще говоря, не следует, что для всех значений
индексов имеют место неравенства | а^ k |. | z^\kx | ^0) |Ч..
^ |Л|Я^в где 8—положительное число, одно и то же
для всех kv k<z> ..., km. Поэтому аналогом первой теоремы
Абеля можно считать следующее утверждение: если
коэффициенты dk k k степенного ряда B) для всех
значений индексов удовлетворяют условиям
1 2
2де g— положительное число* не зависящее от kv k%,..., km,
то э-тот ряд сходится абсолютно в каждой точке
открытого полицилиндра С (г, 0), г = (ги г2, ..., гт), причем
сходимость является равномерной на каждом
компактном подмножестве полицилиндра С (г, 0).
Справедливость этого утверждения непосредственно
следует из того, что при z£C(r, 0) ряд
представляет собой кратную геометрическую прогрессию,
суммой которой является выражение

202 ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VIII
Условие C) всегда выполняется, например, если ряд B)
абсолютно сходится в точке r = (rv г2, ...» гт) остова
полицилиндра С (г, 0).
В силу абсолютной сходимости ряда B) внутри
полицилиндра С(г,0) мы можем сгруппировать его члены таким об-
00
разом, чтобы этому ряду придать вид 2 Рп (^)> где Рп (z) —
однородный полином переменных zv z%..., zm степени п.
Так как каждый из однородных полиномов Pn(z) является
непрерывной функцией, а ряд равномерно сходится на
каждом компактном подмножестве полицилиндра C(rf 0), то сумма
s(z) этого ряда является непрерывной функцией внутри
полицилиндра С {гу 0).
4. Понятие аналитической функции многих
комплексных переменных. Пусть w=f(z) = u-\-iv — заданная в
некоторой области D пространства Ст функция,
действительная и мнимая части которой, как функции действительных
переменных xv yv лг2, yv..., xmf ymi непрерывны вместе с
производными первого порядка в каждой точке z £ D.
Приращение kw функции w, когда переменные zk
принимают приращения Lzki k=l, 2,..., т, можно записать
в виде
где
_д_ _ \_ (__д . _д_\ JL—± (JL _L JL\
dzh — 2\dxk dyk)' dzk 2\dxk-T-1 dyj>
а о(|Дг|) — бесконечно малая величина высшего порядка
по сравнению с | Аг | =
Если часть

§ 1] АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ АШОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 203
приращения D) функции f(z) в каждой точке z £j D
является линейной формой лишь относительно kzk, k = 1, 2,..., т,
т. е. если в каждой точке z £ D имеют место равенства
^=0, A=1,2,...,/ii, E)
то говорят, что функция f(z) аналитична в области D.
Выражение
называется полным дифференциалом аналитической
функции f(z).
Из определения аналитической функции f(z) =
=f(zv z<b... у zm) следует, что она непрерывна по совокупности
переменных и аналитична относительно каждого переменного zk
в смысле § 1.2 гл. III. Коэффициент -^— при dzk в правой
части формулы F) представляет собой (частную)
производную функции f{z) относительно переменного zk, и она
вычисляется по формуле
df ,. /(zt,z2i... t zk + &zk,... ,zm) —/(zlt z2i..., zk,..., zm)
^^ 11Ш 7
dzk A^^o &zk
_du , do _ . da , dw .7
Сумма sB:) степенного ряда B), коэффициенты которого
удовлетворяют условиям C), как уже было отмечено в п. 3
настоящего параграфа, является непрерывной функцией в
полицилиндре С (г, 0).
Представляя ряд B) в виде
(8)
и учитывая то обстоятельство, что однородные полиномы Pn(z),
/z = 0, 1,..., являются аналитическими функциями любого из
переменных zk1 k= I, 2,..., т, в силу первой теоремы Вейер-
штрасса (§ 3.3 гл. IV) заключаем, что функция s(z)
аналитична по любому из этих переменных, причем каждый член

204 ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VIII
продифференцированного, например один раз по
переменному zk> ряда (8) не превосходит по модулю
соответствующего члена геометрической прогрессии, суммой которой
является выражение
S / 1 I Z\
Следовательно, функция s(z) в полицилиндре С (г, 0)
непрерывно дифференцируема вместе со своими производными
по каждому переменному zk, k=\, 2,..., т, до любого
порядка, и она удовлетворяет условиям E), т. е. s(z)
аналитична в полицилиндре С(г, 0). Кроме того, как
легко видеть, для всех значений индексов имеют место
равенства
(9)
j
б. Аналог теоремы Тейлора. Для функции /(-?),
аналитической в области D(ZCm, аналогом теоремы Тейлора (§1.1
гл. V) является следующее утверждение: для каждой точки
z(o) £1 £) существует полицилиндр с центром в этой точке,
внутри которого функция f(z) представляется в виде
суммы абсолютно сходящегося степенного ряда
/(*) =
= 2 \ k2 . *J*i-zT)\z,-zTt...{гм-*»)Ч
Ради упрощения записи будем считать, что г(°) = 0. При
достаточно малых гъ Гъ...,гт полицилиндр С (г, 0) лежит вдутри
области D. Фиксировав значения zk, k = 2, 3,..., т, в кругах
I *k I ^ г*> аналитическую по переменному ^ функцию /(г)
в каждой точке круга | zt | <^ Г\ можем представить
интегральной формулой Коши D0) гл. IV:
I'l

11 АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 205
Аналогично заключаем, что
(tv (&..., tk_bzk,..., zm) =
l'kf-rk (И)
Из A0) и A1) имеем
ti-Zl ) ts-z2
1 \t2\ = r2
... i n\K--tm)dtm. A2)
В силу непрерывности по совокупности переменных
функций, стоящих под интегралами в правой части формулы A2),
интегрирование можно производить в любом порядке и можно
записать эту формулу в виде
/(*) =
e f f{t)dtldt%...dtM
l'l \*
'"а
Z ^ С(Г,0).
Так как для каждого фиксированного z £C(r, 0) функция
\
d-*!)('■-*■).■. ('«-am)
представляется в виде суммы абсолютно и равномерно
(относительно tk при \tk\ = rk, A=l, 2,..., /и) сходящегося ряда
1 2 m
то из A3) получим
аЛ..** Ъ*\ Z* ---Zm> \lV
- 0

206 ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VIII
где
= \т с е е f(t)dtldt2...dtm A5)
Из формулы A5) имеем
где M = max l/B)| при г£|С(г, 0), откуда следует
абсолютная и равномерная сходимость ряда в правой части формулы
A4) в полицилиндре С(р, 0), где p = (pi, р* ..., pm)> 0<pft< rft,
^^1, 2,..., /я.
В силу (9) коэффициенты степенного ряда A4) наряду
с A5) могут быть вычислены и по формулам
dz
/я Jz=0
На основании формул A6) заключаем, что в полицилиндре
С (г, 0) представление функции /(z) в виде суммы ряда но
степеням zky k=\f 2,..., т, единственно.
Для представимости функции f(z) по формуле A3) доста-
ючни пшреоовать от нее непрерывности в области D по
совокупности переменных zk, k=l, 2, ... , т> и аналитичности
по каждому из этих переменных. В этих предположениях сразу
заключаем, что f(z) аналитична в D. Отсюда, если теперь
учесть, что справедливо утверждение: функция f(z),
аналитическая в области D по каждому переменному zki
k=\, 2,..., т, непрерывна по совокупности этих
переменных, заключаем, что аналитическая по каждому
переменному zk функция f(z) аналитична в области D.
Сформулированное выше утверждение носит название
теоремы Гартогса. Доказательство этой теоремы читатель
может найти, например, в книге С. Бохнера и У. Т. Мартина
«Функции многих комплексных переменных» (М„ 1951).
6. Аналитическое продолжение действительной
аналитической функции действительных переменных. Пусть
f(x)=f(xlf лг2> ... , хт) — однозначная функция, заданная

§ i) Аналитические функции многих переменных 207
в некоторой области d пространства действительных
переменных xky k=\y 2,..., т. Говорят, что функция f(x) анали-
тична в области d, если для каждой точки х^о) =
= (х[°\ х^\...у х$) существует такой параллелепипед П:
\xk — -х^К^/г» k=l, 2,..., т> в каждой точке х которого
f(x) представляется в виде суммы абсолютно сходящегося
ряда
fix) = 2 в»«. ** *mC*i - *^*'(*, - -*?>Л • ■
*1. *2 *mS«
A7)
Область rf мы можем считать лежащей в пространстве Ст
комплексных переменных zk = xk-{-iyk, причем в d имеют
место равенства уk = 0, k = \, 2,..., т.
Абсолютная сходимость ряда A7) в параллелепипеде П
влечет за собой абсолютную сходимость ряда
...(^-Jcff)»- A8)
в полицилиндре С(8, *<о)): |^ — ^0)|<С^л» *=Ь 2,..., /л.
Сумма s(z) ряда A8) в полицилиндре С (8, jc(o))
является аналитической функцией, совпадающей с f(x) при
yk = 0, k=\, 2,..., /w.
Так как при вычислении коэффициентов ряда A8) по
формуле A6)
k\, k2,...» km /jj /fgj ... km\ I dzkidzk* ...dz^m
в силу G) можно считать, что s(x)=f(x), то тем самым
доказано, что существует единственная аналитическая функция
s(z) переменных гк9к=1929...9т9в полицилиндре С(8, л:(о)),
совпадающая с f(x) для действительных значений этих
переменных. Функцию s(z) естественно обозначать через f(z) и
называть ее аналитическим продолжением f(x) из
параллелепипеда П в полицилиндр С(8, х(о)).
Следовательно, существует некоторая область D
пространства Ст комплексных переменных zk, k = 1, 2,..., т,

208 ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VIII
содержащая внутри себя область d пространства
переменных xk, k = l, 2,..., т, в которую аналитически
продолжается заданная в d аналитическая функция f(x).
7. Распространение гармонической функции для
.комплексных значений ее аргументов. Формула Гурса. В § 2.5
гл. IV была выведена формула, дающая выражение
аналитической в односвязной области D плоскости переменного z =
= x-\-iy функции f(z) по ее действительной части и(х, у).
Разлагая в окрестности каждой точки г0 = je0-|-~ (Уо €: D
оо
функцию f(z) в степенной ряд f(z) = ^ak(z— zo)k и учи-
тывая, что f(z) = ^ak(z — zo)k, убеждаемся в справедливости
следующего утверждения: гармоническая в односвязной
области D функция
в круге С(е, <г0), где г—расстояние от точки z0 до
границы области D, разлагается в абсолютно сходящийся
двойной степенной ряд
2« (х, у)= 2 К kSx - Х^(У -yrf* B°)
с действительными коэффициентами и, стало быть,
представляет собой аналитическую функцию
действительных переменных х и у.
Легко видеть, что двойной степенной ряд в правой части
формулы B0) абсолютно сходится в полицилиндре С (г, г(о))
пространства переменных z1 = x-\-ixr, z^=y-\-iyr при
r = (rv r2), гч-f Г2<е, zM=(x0, Уо).
Аналитическое продолжение функции и(х, у) в
полицилиндр С (г, 2(о)) обозначим через u(zv г2). В СИЛУ A9) и B0)
имеем
l £
=/(^i + te«)+/(^ —tea> B1)
При комплексных значениях zt и z% переменные z =
Z\ -\- iz<i и z = Z\ — iz% независимы. Поэтому в формуле B1),

§ 2] КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ 209
записанной в виде
можно принять z = zo = xo — ly0, т. е.
или, что то же самое,
где Со — произвольная действительная постоянная.
Формула (G) справедлива для всех значений zt и z% из
кругов \гх — хо\<гх и |г9— J>o|<r2 при zt-{-lz% = z9
Zi — iz% = z0 и, в частности, когда zt и г2 принимают
действительные значения из этих же кругов. Следовательно,
в некоторой окрестности С(е, z0) каждой точки z0 £ D
аналитическая функция f(z) представляется с помощью ее
действительной части, распространенной для комплексных
значений независимых переменных, по формуле (G). Эта формула
известна под названием формулы Гурса.
При наличии элементов 2и Г ^ °, *~ °) — и(х0, уо)-\-
+ /С0> С(е, ,г0)] функция f{z) аналитически продолжается, и
притом в силу теоремы монодромии однозначно, в D.
§ 2. Конформное отображение
в многомерных евклидовых пространствах
1. Некоторые определения и обозначения. Ниже мы
часто будем пользоваться матричной записью, причем
квадратные (я X я)-матрицы и /z-компонентные векторы будем
обозначать соответственно прописными и строчными
латинскими буквами без индексов.
Под произведением Ар квадратной (л X л)-матрицы А =
= \\Aik\\ на ^-компонентный вектор p = (pv p& ..., рп) будем
понимать вектор q = (qv q^ ..., qn), компоненты которого
получаются из компонент вектора р в результате линейного
преобразования с матрицей А:
Ti 1=1, % ..-> П.
8 А. В. Бицадзе

210 ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VIII
Матрица А называется ортогональной, если ^ AnAJk =
7=1
= ЬШ где Ън = \, bik = Qt Ьфк, и k=\, 2, ..., п.
Под произведением Ы скаляра X на (л X л)-матрицу
Л = |Л/Л|| понимается матрица B = \\Bik\, где Bik = ^Aikt
U k=l, 2, ..., п.
Требования, что матрица А или вектор р непрерывны,
удовлетворяют условию Гёльдера, дифференцируемы и т. д.,
означают, что каждый элемент А или каждая компонента р
обладают указанными свойствами.
п
Выражение ^pkqk=pq = {p-.q) называется скалярным
произведением векторов р и q. В случае, когда все компо-
Ч
ненты вектора р действительны, выражение
)
4=1 /
= (pp)ll2 = \p\ будем называть длиной вектора р.
Пусть Еп — евклидово пространство действительных
точек х с декартовыми ортогональными координатами
Х\у х& ..., хп. Пользуясь векторными обозначениями х =
= (xv хь ... хп), у = (yv уъ> ..., уп) для точек х и у} расстоя-
1/
п
^(xk—ykf\ =
J
= \х—у\.
Окрестностью С(Ь, а) точки а £ £л называется множество
точек х £ Еп, удовлетворяющих условию \х — а\<^Ъ> где
8 — заданное положительное число; С (8, а) представляет
собой я-мерный шар радиуса 8 с центром в точке а.
После определения окрестности точки пространства Еп
понятия предельной точки, внутренней точки, граничной
точки, ограниченного множества, замкнутого
множества, открытого множества, связного множества и
области вводятся точно таким же образом, как в § 2. 1 гл. I.
2. Конформность отображения по Гауссу. В области Q
евклидова пространства Еп точек х с декартовыми
ортогональными координатами xv лг2, ..., хп рассмотрим систему
действительных функций yi=yi(xlt лг2, ...., хп), /=1, 2, ...,/г»

§2] КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ 211
непрерывных вместе с производными первого порядка,
осуществляющую взаимно однозначное отображение области 2 на
некоторую область 2j этого же пространства.
В векторных обозначениях x = (xv хг, ..., хп), у =
— (У» Уъ • ••> Уп) рассматриваемое отображение запишется
в виде
у=у(х). B2)
Для квадратов расстояний dxdx и dydy между точками
х, x-\-dx и у, y-\-dy (линейных элементов) примем
обозначения ds* и da2 соответственно.
Отображение B2) называется конформным по Гауссу,
если существует такая положительная скалярная функция
Х(лг), что
df = \(x)ds\ B3)
Другими словами, конформность отображения B2) означает,
что имеет место постоянство искажения масштаба (линейного
элемента) по всем направлениям, выходящим из точки х.
Условие B3) равносильно равенствам
&Л &£ = <W**.t* = l. *....«. B4)
При отображении B2) векторам dx и Ъх, выходящим из
точки х, соответствуют векторы dy и Ьу, выходящие из
точки у.
Так как dyu = % Jg**» »Л = 2 з£8** Т0 В Силу
B4) будем иметь
X (л:) (dx - Ьх)
Следовательно, характерным для конформного
отображения является сохранение (консерватизм) углов.
3. Примеры конформного отображения. Параллельный
перенос y = x-\-h, преобразование подобия у = ^х и
ортогональное преобразование у = Сх, гйе h = (hv hiy...fhn) —
постоянный вектор, [х — скалярная постоянная, а
С—постоянная ортогональная матрица, дают тривиальные примеры
конформного отображения в пространстве Еп. В первом и
третьем случаях Х=1, а во втором случае ^ = ^2.
8*

212 ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VIII
Отображение вида
^ B5)
имеет смысл для всех конечных значений х, отличных от
х = 0, и оно называется инверсией или зеркальным
отображением пространства Еп относительно сферы |лг| = 1.
Перемножая скалярно обе части равенства B5) на х,
получим
(х.у)=1. B6)
Из равенств B5) и B6) следует, что |*| -1^1 = 1, т. е. при
инверсии соответствующие друг другу точки х и у лежат
на одном луче, выходящем из точки лг = О, причем
произведение расстояний этих точек от лг = О равно единице.
Легко видеть, что отображение B5) обращается однозначно.
В самом деле, умножая скалярно обе части равенства B5)
на j/, в силу B6) заключаем, что (у-у) = - г и, следова-
\х'х)
тельно, равенство B5) можно записать в виде
В пространстве Еп введем в рассмотрение единственную
бесконечно удаленную точку дг = оо и доопределим
отображение B5) во всем Еп сопоставлением друг другу точек 0 и оо.
Инверсия обладает следующими важными свойствами: а) при
инверсии сфера (плоскость тоже считается сферой
бесконечного радиуса) отображается в сферу и Ь) инверсия
является конформным отображением.
Справедливость утверждения а) сразу следует из того,
что уравнение сферы в переменных xv х& ..., хп имеет вид
Л С*.*) + (/*.*) +5 = 0, B8)
где А и В — скалярные постоянные, a ft = (hv ftg, ..., hn) —
постоянный вектор.
Действительно, заменяя в левой части B8) вектор х его
выражением B7), получим уравнение
представляющее сферу в переменных yv у* ..., уп.

§2] КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ 213
Для доказательства свойства Ь) заметим, что при х ф О
в результате дифференцирования равенства B5) получим
^=(*.,)*г-д(«.*а* B9)
Перемножая скалярно dy на самого себя и учитывая B9),
сразу убеждаемся в том, что условие B3) конформности
отображения соблюдено, причем на этот раз \(х) = -( ^.
\Х • X)
Понимая под углом между двумя направлениями,
выходящими из точки у = оо, угол между соответствующими им
при отображении B5) направлениями, выходящими из
точки х = 0, заключаем, что при инверсии углы сохраняются
в Еп всюду.
4. Теорема Лиувилля. Условия B4) конформности
отображения B2) представляют собой относительно yh y&..., yn
систему нелинейных дифференциальных уравнений с
частными производными первого порядка.
При я = 2 система B4) равносильна одной из следующих
двух линейных систем:
dxt
или
fa дУ1—
дх2 дх, —
и, следовательно, в это.м случае теория конформного
отображения полностью описывается теорией однолистных
аналитических функций одного комплексного переменного z = xt-\- ix%
или z = xx — ага (ср. § 3.3 гл. III).
В случае п^>2 число уравнений в системе B4)
превышает число функций yv y<z>...> yw т. е. система B4)
переопределена.
Ответ на вопрос, насколько переопределена система B4),
дает следующая теорема Лиувилля: в евклидовом
пространстве Еп при #^>2 конформное отображение
исчерпывается конечным числом суперпозиций четырех видов
отображений — параллельного переноса, преобразования
подобия, ортогонального преобразования и инверсии.
Теорему Лиувилля даожно доказать путем описания
многообразия решений системы B4) (см. L. Bianchi, Lezioni di

214 ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VIII
Geometria Differenziale, Pisa, 1894). Ниже мы приводим
предложенное Капелли доказательство этой теоремы при я = 3,
опирающееся на следующие хорошо известные факты из
дифференциальной геометрии:
1) если уравнение поверхности S записано в виде
x = x(uv м2), C0)
где щ = const и щ = const являются линиями кривизны
на S, то в каждой точке этой поверхности вектор х
с единичным вектором нормали v поверхности S связан
формулами Родрига
dut~ RxduS da2~ ~R2du2>
где jr- и о главные кривизны поверхности S; 2) из
А1 Н2
триортогональной системы поверхностей каждая пара
пересекается вдоль линии кривизны (теорема Дюпена);
3) сфера является единственной поверхностью* на кото-
рой каждая линия является линией кривизны.
При доказательстве этих положений от функций х( =
= Xi(iii, и2), /=1, 2, 3, достаточно потребовать, чтобы они
имели непрерывные производные третьего порядка.
В дальнейшем мы будем предполагать, что отображение B2)
является конформным и аналитическим, т. е. yt (хъ лг2, хг),
i=\, 2, 3, являются аналитическими функциями переменных
Хр Х%, Х%.
Из положения 1) вытекает, что любую поверхность S,
удовлетворяющую отмеченным выше требованиям гладкости,
вблизи каждой ее точки можно включить в триортогональ-
ную систему поверхностей.
Действительно, запишем уравнение поверхности 5 в виде
C0), где и2 = const и щ = const — линии кривизны. Тройка
поверхностей, получаемая из уравнения
и2) C2)
при щ = const, щ = const, щ = const соответственно,
представляет собой триортогональную систему. Это следует из
равенств
дх ( иЛ дх дх ( иЛ дх дх t ч

§21 КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ 215
полученных в результате дифференцирования равенства C2)
с учетом формул C1), и из взаимной ортогональности век-
дх дх
торов -5—, -5— и v.
v dut' ди2
Теперь легко показать справедливость следующего
утверждения: при конформном отображении линия кривизны
переходит в линию кривизны.
В самом деле, пусть поверхность Si является конформным
образом поверхности & а Г — линия кривизны на 5.
Обозначим через Гг конформный образ Г. Приняв Г за одну из
координатных линий щ = const, /=1, 2, поверхность 5
включим в триортогональную систему Т.
Так как при конформном отображении углы
сохраняются, то конформный образ Т является триортогональной
системой и, следовательно, в силу теоремы Дюпена 1\ должна
быть линией кривизны.
Из только что доказанного утверждения и положения 3)
сразу следует, что конформный образ сферы является
сферой.
В самом деле, пусть поверхность S является
конформным образом сферы а. Прообраз т каждой кривой Г,
лежащей на & в силу 3) является линией кривизны и, стало
быть, Г сама является линией кривизны. Отсюда, на
основании того же положения 3), заключаем, что 5—сфера.
Переходим к доказательству теоремы Лиувилля.
Пусть х°— произвольная точка области 2, а У =
=у (jc°) — соответствующая ей точка области 2t при
конформном отображении B2).
Обозначим через Т триортогональную систему сфер av
а2, а3, проходящих через точку л:0 и лежащих в области 2,
касательными плоскостями которых в точке х° служат
соответственно плоскости xl = x°l, Хъ = х^> хъ = х^.
При конформном отображении B2) триортогональной
системе Т соответствует триортогональная система Тх сфер,
проходящих через точку у0.
Пусть x* = h(x) и у* = 12(у) — инверсии относительно
сфер | х — х°\ = г и \у —y°\ = rlt содержащих внутри
себя триортогональные системы Т и Tt соответственно.
Ввиду того, что инверсия является конформным
отображением, образами Т и Tt при отображениях х* = 1\(х) и
у* = /а(у) являются соответственно системы плоскостей

216 ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VIII
xf = af и ^Cik{y% — b%) = 0, /=1, 2, 3, где Cik — op-
тогональная (ЗХЗ)-матрица. Без ограничения общности можно
считать, что а* = 0, Ь* = 0 и С—Е, где £ — единичная
(диагональная) матрица (этого всегда можно добиться,
последовательно применяя два раза параллельный перенос и
ортогональное преобразование).
Поскольку в результате суперпозиции конечного числа
конформных отображений получается конформное
отображение, конформным является отображение
У* = /. [У (IT1 (х*))] =у* (**), C3)
переводящее триортогональную систему плоскостей х\ = 07
xl = 0, хз = О в триортогональную систему плоскостей
yl = 0, у$ = 0, уг = О. Таким образом, отображение C3)
имеет вид y\=y\(x*i)y /=1, 2, 3, где у* является функцией
лишь переменного х). Отсюда, учитывая то обстоятельство,
что каждая из у*, /=1, 2, 3, является аналитической
функцией переменного x*it а при отображении C3) сферы
переходят в сферы, заключаем, что отображение C3) имеет вид
у* = рх*, где [х — скалярная постоянная.
Следовательно, отображение B2) можно записать в виде
у = £1ШхI C4)
и тем самым теорема Лиувилля доказана полностью.
Точечное преобразование вида C4) носит название
преобразования Мёбиуса.
§ 3. Аналог системы Коши — Римана
в трехмерном евклидовом пространстве
1. Области с гладкой и кусочно-гладкой границей.
Поверхность 5 в пространстве Еъ называется гладкой, если:
а) она везде имеет касательную плоскость, меняющуюся
непрерывно от точки к точке, и Ь) существует такое
положительное число 80, что часть S\ поверхности S, лежащая
внутри шара С(8, у), где у—произвольная точка на 5 и
0<^8<^S0, каждой прямой, параллельной нормали к S в
точке у, пересекается не более чем один раз.
Гладкая поверхность 5 называется поверхностью
Ляпунова, если соблюдено условие с) & ^ L | х — у \\ где

§ 31 ТРЕХМЕРНЫЙ АНАЛОГ СИСТЕМЫ КОШИ - РИМАНА 217
ft — угол между единичными нормалями- v^ и vy к 5 в точках
х и у, a L и h — положительные числа, причем 0<^Л<П.
Ограниченная область 2+С1£з называется областью с
гладкой (с гладкой по Ляпунову) границей & если 5
представляет собой совокупность конечного числа замкнутых
гладких поверхностей (поверхностей Ляпунова) Sv S2> --->Sm,
попарно не имеющих общих точек.
Замкнутую поверхность S/, гоцеоморфную сфере, будем
называть кусочно-гладкой (кусочно-гладкой в смысле
Ляпунова), если она составлена из конечного числа гладких
поверхностей (поверхностей Ляпунова) Stp /=1, 2, ... , k,
причем множество точек, принадлежащих по крайней мере
двум из Sij, не содержит ни точек возврата, ни ребер
возврата поверхности ф.
Если граница S области 2+С7?3 представляет собой
совокупность конечного числа поверхностей Sv S2> ••• > Sm,
среди которых т — k являются кусочно-гладкими (кусочно-
гладкими в смысле Ляпунова), a k — замкнутыми гладкими
поверхностями (поверхностями Ляпунова), причем k<^m, то
мы будем говорить, что 2+ является областью с кусочно-
гладкой {с кусочно-гладкой по Ляпунову) границей.
Для дополнения 2+у5 до всего пространства Еъ мы
будем пользоваться обозначением 2".
Если заданная в замкнутой области 2+ = 2+\JS
действительная однозначная функция A(x) = A(xv x* дг3) в области
дА
2+ имеет производные у-^, /=1, 2, 3, причем в каждой
дА
точке y£S существуют пределы lim -^j- = Bt(у), когда
точка х £ Q+ стремится к точке у по любому пути, то,
при4^
няв Вг{у) за значения -gj- при х=у, мы скажем, что 4^
определены в замкнутой области 2+.
Из курса математического алализа известно, что для
действительных функций At{x\ /=1, 2, 3, непрерывных вместе
со своими производными первого порядка в замкнутой области
2+ с- гладкой границей & имеет место формула
Гаусса — Ос^троградского
з з
g
+ «-1 S i—l

218
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕДАННЫХ
[ГЛ. VIII
где v = (vj, v9, v3) — единичный вектор внешней нормали (т.е.
нормали, направленной в сторону 2~) к поверхности 5 в точ-
ке У £ &
Формула C5) остается в силе и в тех случаях, когда
2+ — область с кусочно-гладкой границей. При этом
интеграл в правой части C5), распространенный по
кусочно-гладкой части Si границы S области 2+, понимается как сумма
интегралов по всем кускам Sip j=h % ... , fc
составляющим поверхность S{.
2. Некоторые интегральные равенства, вытекающие
из формулы Гаусса—Остроградского. Пусть q(x) = (qv q^
Яг* Яд — заданный в замкнутой области 2+ с
кусочно-гладкой границей 5 вектор. В предположении, что q(x)
непрерывен в 2+ вместе со своими производными первого
порядка, из формулы C5) непосредственно получим
д д (
,ЧЪ)я(У)с1зу, C6)
где D(X\,
Хд) — матрица
О Х\ Хъ Х%
О —Аз Х%
у у п у
У У П
D =
C7)
Обозначим через N(x, у) матричный дифференциальный
оператор
д д \
где D*(XV
л8) — матрица
)* =
0
Х\
Хг
х3
xt
0
-х3
X*
X*
х3
0
^3
-х,
Xi
0
а \х — ,у| — расстояние между точками л: и у пространства

§ 3] ТРЕХМЕРНЫЙ АНАЛОГ СИСТЕМЫ КОШИ - РИМАНА 219
Для точек y£S введем в рассмотрение матрицу
М(х. У) = -О*(-±, -£. jL)-p±^Db, vS) v8), C8)
где матрица D дается формулой C7),u a vlf v2, v3 являются
косинусами внешней нормали к S в точке у.
Непосредственным вычислением легко убедиться в том, что
JimiJJ M(x, y)q(y)dsy = q(x) C9)
"* \х—у\=Ъ
для любой точки х £ 2+.
Так как функция и = . . при уфх является реше-
тт а д2а , д*и • д2и л
нием уравнения Лапласа Дн = —-Ч -ч - = 0ьто для
ду\ ду\ ду\
любых точек х и у области 2+ при хфу справедливо
тождество
•> y)q(y)=
д I" */ д д д \ 1
Удалим точку л: из области 2+ вместе с достаточно
малой ее окрестностью С(Ь, х)С1&+ и оставшуюся часть 2+
обозначим через Q\.
Интегрируя тождество D0) по области 2t и используя
формулу C5) Гаусса — Остроградского, в пределе при 8 — 0
в силу C9) получим
, y)q{y)db =
= q{x), ^G^+•

220 ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VIII
Если точка х £j 2~, то в результате интегрирования
тождества D0) в силу C5) получим
2+
J J , = 0. D2)
2+
Формулы D1) и D2) представляют собой аналог формул
A1) и A7) гл. IV.
3. Трехмерный аналог системы Коши —Римана. В § 1.1
гл. III было показано, что действительная и мнимая части
аналитической в некоторой области плоскости комплексного
переменного z = x-{-iy функции f(z) = u(x, y)-\-tv(x, у)
в каждой точке этой области являются решениями системы
Коши — Римана (CR) линейных дифференциальных уравнений
с частными производными первого порядка.
Ниже мы увидим, что в пространстве £3 в определенном
смысле аналогом системы (CR) является предложенная и
исследованная румынскими математиками Гр. К. Моисилом и
Н. Теодореско линейная система дифференциальных
уравнений с частными производными первого порядка
где дифференциальный оператор D дается формулой C7),
в которой Xi = -g£9 1=1, 2, 3, a q = (qh q* q& ^ —
искомый вектор.
Если вектор q(x) в области 2+С~Е3 с кусочно-гладкой
границей 5 имеет непрерывные производные первого порядка
и удовлетворяет системе (МТ), то из формул C6), D1) и D2)
получим
$$ *=0 D3)
Формулы D3) и D4) являются аналогами известных
интегральных формул C4) и D0) гл. IV.

§ 3] ТРЕХМЕРНЫЙ АНАЛОГ СИСТЕМЫ КОШИ - РИМАНА 221
Когда q(y) = (qv qit qdf q&) — заданный лишь на 5
непрерывный вектор, выражение
D5)
имеет смысл в каждой точке х пространства Е& не
принадлежащей & и представляет собой четырехкомпонентный
вектор, дифференцируемый любое число раз.
Ввиду того, что
Д О О О
л (JL — JL) п* (A. A. JL) _
[дх^ дха* dxj \дх^ дха* dxj
О Д О О
О О Д О
О О О Д
где Д — оператор Лапласа, и выражение ,—-—-г, как функ-
ция х, при хфу удовлетворяет уравнению Лапласа,
представленный формулой D5) вектор р\х) в каждой точке х^Еъ,
не лежащей на S, является решением системы (МТ). По этой
причине выражение D5) естественно называть аналогом
интеграла типа Коши [см. формулу D4) гл. IV].
Пространственным аналогом теоремы Морера (см. § 2.4
гл. IV) можно считать следующее утверждение: если
вектор q{x) непрерывен в области 2+ и для любой
замкнутой кусочно-гладкой поверхности о, лежащей вместе
с конечной областью у ограниченной ею, в 2+, имеет место
равенство
§ v2, b)q(y)dsy = 0, D6)
то q(x) является решением системы (МТ) в каждой
точке x£Q+.
Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения,
рассмотрим куб /С, лежащий вместе с границей 5 в
области 2+ и содержащий внутри себя точку х. Предположим,
что грани куба К параллельны координатным плоскостям.
В силу непрерывности q(x) для любого е]>0
существует число 8^>0 такое, что
D7>

222 функции многих переменных [гл. viii
для всех точек у из замкнутого шара \у— х | ^8, лежащего
внутри /С
Обозначим через Ко вписанный в шар \у — *|^8 куб,
грани которого параллельны граням куба К
Плоскостями Xi = cit z=l, 2, 3, разобьем часть куба /С лежащую
вне Ко, на кубики Кр диагональ каждого из которых не
превышает достаточно малого числа Л^>0.
Очевидно, что
, y)q{y)ds,=
2l [, y)q(y)dsy, D8)
где So и Sj — поверхности Ко и Kj соответственно.
В силу равномерной непрерывности вектора q(x) при
достаточно малом h для всех y^Sj имеет место неравенство
Ь-У|3, D9)
где у? — центр кубика К/-
Из тождества
-2\х— УI-U— /|cos(x— УНу—
\x-yJ\>
Ь-У1\3/2_
где |1< <<
На основании E0) можем написать
у — х _ x—yJ . у — х , х—yi |^ —
у — х\* \x-yJ I8" |^ —лг|8 ' |jv — -^Is I*—
\у — х\* \x-yJ I8" |^ —лг|

§ 3] ТРЕХМЕРНЫЙ АНАЛОГ СИСТЕМЫ КОШИ - РИМАНА 223
или, что то же самое,
— х _ x—yJ . y—yJ _.
— х\* \х—у/\* » |у — х|8 ■
В силу D4) тождество D8) принимает вид
-}- J ^M(x, y)q(y)dsy-q(x) =
О
= ±^М(х, y)[q(y)-qix)]dsy+
So
+i 2 S 5M (x> y) [q w-qiyf)] dsr
j Sj
Из условия D6) следует, что
CC/W.JL _^_ <М 1
X О (vlf v2, v3,) [q(y) — q (/)] Л> = О, E3)
где значение v = (vj, v2, v3) берется в точке
интегрирования y£Sj.
В силу E1), E3), D7) и D9) из E2) получим оценку
где cQ ис — вполне определенные положительные постоянные,
не зависящие от е и й, a v — объем куба /С.
Таким образом, мы убедились в том, что для вектора q{x)
имеет место представление
= iT\ \М(Х> yL(y)dSyy
откуда и следует справедливость сформулированного выше
утверждения.
4. Аналог интеграла в смысле главного значения по
Коши. Когда точка х = х° лежит на поверхности 5,
интеграл в правой части формулы D5) в обычном понимании не

224 функции многих переменных [гл. viii
имеет смысла. Однако, если заданный на 5 вектор q (у)
удовлетворяет условию Гёльдера
kOO-fGOKW-.v'l*1. E4)
этому интегралу можно придать вполне определенный смысл.
Действительно, выделим точку х° из поверхности 5
сферой а достаточно малого радиуса е с центром в этой точке и
рассмотрим интеграл
*>y)9(y)dsy, E5)
где 5e — часть поверхности S, лежащая вне сферы а.
Если существует lim /g (х°) = 1 (jc0), to этот предел
естественно называть сингулярным интегралом в смысле
главного значения по Коша.
Когда 5—замкнутая гладкая поверхность и заданный на
ней вектор q(y) удовлетворяет условию E4), указанный
предел существует.
В самом деле, представим интеграл E5) в виде
E6)
lim i J J M{*,y)q (*•) day = \ q(x«). E7)
где at — часть сферы о, лежащая вне области 2+.
Очевидно, что
i
Так как выражение
lim 5- [[ М (.*•, y\q (y)-q (*)] dsy =
является обычным несобственным интегралом, то, учитывая E7),
заключаем, что предел 1(х°) выражения E6) существует.

§ 3] ТРЕХМЕРНЫЙ АНАЛОГ СИСТЕМЫ КОШИ - РЙМАНА 225
Этот предел в дальнейшем будем обозначать обычным
символом интеграла
E8)
В случае разомкнутой гладкой поверхности 5, когда xfi —
внутренняя точка & обозначив через Se часть 5 вне шара
С(е, *°), интеграл в смысле главного значения можно
определить опять как предел выражения
=зЦ \ М(х°
при е->0. Этот предел всегда существует, если вектор q
удовлетворяет условию Гёльдера E4).
б. Аналоги формул Сохоцкого — Племеля.
Предположим, что S — замкнутая поверхность Ляпунова и векторная
плотность q(y) интеграла в правой части формулы D6)
удовлетворяет условию Гёльдера E4).
Перепишем выражение D5) в виде
Д [ М(Х,
S
E9)
где х° — произвольная фиксированная точка поверхности 5.
Из формулы E9) следует, что
5
\ F0)
= 1 J J M(x, y)[q(y)—q(J*)]dsrx€QT, F1)

226 ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VIII
где 2*— конечная область, ограниченная поверхностью &
a 2" = СО*
Так же как в § 4. 3 гл. IV, доказывается, что
существуют пределы /7+(*°) и р~(х°) представленных
формулами F0) и F1) векторов, когда х-+х°, находясь в
областях 2+ и 2" соответственно, причем в силу E8) имеем
> y)q{y)dsy F2)
± \ \ M(x°,y)q(y)dsy. F3)
Формулы F2) и F3) являются аналогами формул Сохоц-
кого — Племеля A09) и (ПО) из гл. IV.
В результате вычитания и сложения из F2) и F3)
получим
+)
)= ^ f \
S
6. Гармонические функции. Однозначная в области 2+
действительная функция u(x) = u(xv лг2, х3), обладающая
непрерывными производными второго порядка и
удовлетворяющая уравнению Лапласа Дн = 0, называется
гармонической.
Очевидно, что вектор q(x)=(o, ^-, g^-, ^-j, где
и(х)—гармоническая в области 2+ функция, является
решением системы (МТ).
Пусть x° = (x°v х% *з) — произвольная точка области 2+.
В каждой точке х шара С (г, л:0), лежащего вместе с
границей \х — х°\ = г в области 2+, в силу формулы D4) имеем
Ч (х)= jj \ J М(х,у)д (у) dsy F4)
\у-хо\=г
откуда сразу следует, что гармоническая функция и{х)
в точке х имеет производные всех порядков.

§ 3] ТРЕХМЕРНЫЙ АНАЛОГ СИСТЕМЫ КОШИ - РИМАНА 227
Если и(х)— заданная в области Q+ гармоническая
функция, то, приняв ее за одну из частных производных первого
порядка, например за -Д-, от гармонической в области Q+
ох3
функции v(x), из формулы F4) находим
S S y F5)
\у-хО\=г
Повторяя рассуждения § 3.1 гл. IV и пользуясь формулой
F5), легко усмотреть, что гармоническая в области 2+
функция и(х), отличная от постоянной, ни в одной
внутренней точке этой области не может достигать ни
максимума, ни минимума (принцип экстремума
для гармонической функции).
Задача Дирихле для шара: найти гармоническую
в шаре С(г,х°) функцию и(х), непрерывную в замкнутом
шаре С(г,х°) и принимающую заданные непрерывные
значения f(y) на сфере \у — х° | = г.
Так как гармоничность функции является свойством,
инвариантным при параллельном переносе и преобразовании
подобия, то без ограничения общности можно полагать, что х9 = 0
и г = 1.
Из принципа экстремума для гармонической функции
вытекает, что задача Дирихле не может иметь более одного
решения (свойство единственности решения
задачи Дирихле).
Так как выражения
\у-х\ • dxt \y-x\ — \у-х\* ' I—!>*>*>
как функции переменных xlf х& лг3, при хфу являются
решениями уравнения Лапласа, то в силу очевидного тождества
заключаем, что функция
I — *
является гармонической в шаре

228 функции многих переменных [гл. viii
Из формул D4), F2) и F6) для вектора ?(jt) = (O, 0, 0, 1),
являющегося решением системы (МТ), имеем
в каждой точке х шара |х|< 1 и
I — X \У\=*1
в каждой точке х° сферы |j/| = l.
В силу равномерной сходимости несобственного интеграла
-х\
с учетом равенства F9) получим
откуда на основании свойства единственности решения задачи
Дирихле заключаем, что
|*| <1. G0)
В силу F6), F8) и G0) имеем
в каждой точке замкнутого шара |лг|^1.
Пользуясь равенством G1) так же, как в § 4.4 гл. IV,
убеждаемся в том, что представленная формулой F7)
функция и{х) действительно стремится к f(x°), когда точка х
изнутри шара |лг|<[1 стремится к точке х° сферы |j/| = l.
Следовательно, формула F7) дает решение
сформулированной выше задачи Дирихле. Эта формула, так же как и
формула (84) гл. IV, называется формулой Пуассона.

§ 3] ТРЕХМЕРНЫЙ АНАЛОГ СИСТЕМЫ КОШИ - РИМАНА 229
Для гармонической в шаре СA, 0) функции и(х) с
непрерывными производными первого порядка в СA, 0),
удовлетворяющей на сфере 5:1x1 = 1 краевому усло-
f ди \
вию U^-) ==ср, имеет место интегральное представление
и (х) = \ v (t, х» хь) dt -f- со (х2, х3), G2)
где v(x) — гармоническая в СA, 0) функция, принимающая
на 5 краевые значения ср, а со (х%, хг) — общее решение
уравнения
dv\
Представив функцию v{x) формулой Пуассона F7), из
формулы G2) в силу G3) получим
A— У\ — х% — x\){Xi—yi) .
£\
-^-^ll^-lo^ + T^ *з), G4)
где 8 = (х2 — j;2J + (*з — Уъ?> R = \x —у \2, а т (
гармоническая в цилиндре xl~{-xi<^l функция, связанная
с функцией и(х) соотношением
Т(^2> хд) + и@, 0, 0) + 2Re«@,
7. Признак сходимости последовательности
градиентов гармонических функций. Изложенный в § 3.5 гл. IV
признак сходимости последовательности аналитических
функций можно перефразировать в виде теоремы: если
последовательность частных производных < Un^lJ *2H п =
= 1,2,..., гармонических в области DC^a функций ип (xv x2)
сходится равномерно к нулю в D, а последовательность
| tin (xlf x2)\ сходится к нулю в фиксированной точке
x\-{-lx\^D, то последовательность {gradun(xv x%)}
сходится к нулю равномерно в любой замкнутой области,
лежащей в области D.

230 ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VIII
Трехмерным аналогом этой теоремы можно считать
следующее утверждение.
Если последовательность {ип(х)}у л=1, 2, ...,
гармонических в области 2 d Еъ функций ип (х) обладает
свойствами: а) последовательность {-з-2-} сходится к нулю
в области 2 равномерно относительно переменных xv x& х3;
b) последовательность \-^-\ сходится к нулю в
области 2 равномерно относительно переменных х& лг3;
c) последовательность < ^ п \ сходится к нулю в
фиксированной точке области 2, например в точке @, 0, 0)
(в предположении, что она принадлежит Q), то
последовательность {grad ил(.хг)} сходится к нулю равномерно
относительно переменных хь х& xz в любой замкнутой
ограниченной области 2*, лежащей в области 2.
С целью доказательства нашего утверждения заметим,
что всегда можно указать такое положительное число г,
что замкнутый шар С (г, х°) радиуса г с центром в любой
точке х° (^ 2* будет лежать в области 2.
Внутри шара С (г, х°) для каждой гармонической функции
из последовательности {ип(х)\ в силу G4) имеет место
представление
С С 1>2~ (У'
^^]^ ^^з; ^ G5)
где 5 — сфера \у — x°\ = r, a y« — вполне определенная
гармоническая функция переменных х^хъ в цилиндре (лг3 — f\
1Т<*
A.
Обозначим через 5 и ^ положительные числа,
удовлетворяющие условиям 8 <?>!<>.
Вычисляя частные производные -^ и -^ функции
ип (х1у Хъ, хд), представленной формулой G5), в точках @, лг2, хъ) и
@, 0, 0) соответственно, в силу условий а), Ь) и с) заключаем,

УПРАЖНЕНИЯ 231
что последовательность < 7* (*2>*з. )\ сходится к нулю
равномерно при х\ -\- х* ^ Ьи а последовательность { Тп ^ *3> }
сходится к нулю при jc2 = 0, лг3 = О. Отсюда в силу
сформулированной в начале настоящего пункта теоремы следует
равномерная сходимость к нулю последовательности
{grad inlxb хг; 0)} при х\ -\- xjj< 8. Принимая во внимание
это обстоятельство, на основании условий а), Ь) и с) опять
из формулы G5) заключаем, что последовательность
{gradKw(jc)} равномерно сходится к нулю в шаре С(&, 0).
Передвигая центр шара С(8, 0) в точку х° по
непрерывному пути L, лежащему в области 2*, и учитывая, что
условие Ь) в точке х* можно считать выполненным,
повторением только что приведенного рассуждения убеждаемся в
равномерной сходимости к нулю последовательности {gtadun(x)}
в шаре С(8, jc°). Отсюда в силу леммы Гейне — Бореля —
Лебега непосредственно следует справедливость сформулировай-
ного выше утверждения.
Упражнения
1. Выяснить, сходится ли двойной ряд
т — п
2. Доказать справедливость утверждения:
последовательность {snif п2 Пт\, Щу Пъ,..., nm^0t сходится в том и
только в том случае, если для любого е]>0 можно указать
такую систему натуральных чисел Nh Л/2,..., Л/т, что
неравенство
Nm+Pm ~ SMi, N2 N
имеет место при любых неотрицательных целых pv р& ... > рт-
3. Показать, что степенной ряд
La m\n\ l 2
fit, /1^0
абсолютно сходится в том и только в том случае, если

232 ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VIII
4. Восстановить аналитическую функцию /(г), если
б. Найти аналитическую на разрезанной вдоль
положительной действительной полуоси плоскости z ветвь f(z)
многозначной функции, принимающую действительные значения
при z^>6 на верхнем крае разреза, если задана
Re f(z) = х log "J/ jc2 —|- д;3 — у arctg —•
6. Пользуясь формулой Гурса (G), вывести из формулы
Пуассона (84) формулу Шварца (82) гл. IV.
7. Доказать, что если трехкомпонентный вектор q =
— (9v Яъ> Яъ) непрерывно дифференцируем в замкнутой
области 2+ с кусочно-гладкой границей S и в каждой точке
x£Q+ удовлетворяет системе div# = 0, rot9r = 0, то
S
где М%(х, у) — матрица, полученная из матрицы М(х, у)
вычеркиванием первой строки и первого столбца. Если же q
задан лишь на 5 и непрерывен, то вектор
при xj£Q+ будет решением системы divp=sO, rot/?=0
тогда и только тогда, если
— **) — v2 СУз — *■)] Я\ +
+ К (Уг — *г) — v3Oi —
i — *i) — viOa — at2)]^3} ^„.^adsv = const
для всех х £ 2+.
8. Показать, что если функция и(х) гармонична в
области 2С£з» то

упражнения 233
где х°— произвольная точка области 2, а шар
С(Р, *°)С2.
9. Пользуясь формулой Пуассона F7), доказать, что
гармоническая в области 2 функция и(х) является аналитической.
10. Доказанная в § 3.2 гл. IV лемма Шварца может быть
сформулирована в терминах градиента гармонической в круге
|x|<O Функции u(x) = u(xv лг2) следующим образом: если
grad и(х) |<^ 1 при |лг|<^1 и grad и(х) = 0 при х = 0, то
gTadu{x)\^.\x\. Верно ли аналогичное утверждение для
гармонической функции и(х)9 когда число независимых
переменных больше двух?
11. Доказать, что формулы
где Д = ^~|-^, дают все линейно независимые
однородные гармонические полиномы степени т от трех
независимых переменных х%, х^ хд.

УКАЗАТЕЛЬ
Абеля вторая теорема 56
— первая теорема 47
Абсолютная сходимость
бесконечного произведения 163
ряда 28
Алгебраическая точка
ветвления 74
Аналитическая функция 63
бесконечнолистная 75
многих комплексных
переменных 203
многолистная 74
общая 174
однозначная 63
однолистная 34
полная 175
Аналитическое продолжение 174
непосредственное 174
Аналитичность сложной
функции 64
— суммы степенного ряда 65
Ангармоническое отношение
четырех точек 82
Антианалитическая функция 69
Антиконформное отображение 69
Аполлония окружность 85
Аргумент комплексного числа 12
Аргумента принцип 148
Безразличная неподвижная
точка 86
Бесконечная геометрическая
прогрессия 47
Бесконечно удаленная
изолированная особая точка 141
точка 16
Бесконечное произведение 27
абсолютно сходящееся 163
равномерно сходящееся 164
сходящееся 27, 161
условно сходящееся 163
Бесконечнолистная функция 75
Бесконечный определитель 28
сходящийся 28
Бляшке произведение 172
Больцано — Вейерштрасса
принцип 22
Бореля — Помпею формула 94
Вейерштрасса вторая
теорема 116
— первая теорема ИЗ
— первичные множители 166
— признак равномерной
сходимости 44
Ветвь многозначной функции 73
Взаимно однозначное
отображение множества 34
Внутренние теоремы
единственности 130, 181
Внутренняя точка множества 17
Вращения отображение 78
Вычет функции 144, 145
Вычитание комплексных чисел 10
Гармоническая мера 128
— функция 108, 226
Гармонически сопряженные
функции 109
Гартогса теорема 206
Гаусса — Остроградского
формула 217
Гейне — Бореля — Лебега
лемма 21
Гёльдера показатель 119
— условие 119
Гиперболические функции 56
Гиперболическое
дробно-линейное отображение 85
Главная часть ряда Лорана 136
Главное значение аргумента
комплексного числа 12
интеграла по Коши 120
Гладкая кривая 41

УКАЗАТЕЛЬ
235
Гладкая поверхность 216
Голоморфная функция 63
Гомеоморфное отображение 40
Гомотетическое отображение 78
Граница множества 17
Граничная точка множества 17
Грина — Остроградского
формула 92
Гурса лемма 94
— формула аналитического
продолжения 209
Действительная ось 12
— часть комплексного числа 9
Деление комплексных чисел 10
Дирихле задача 193
для круга 124
шара 227
Дифференциал функции 63
Дополнение множества 17
Дробно-линейная функция 44,
78, 85
Дробно-линейное отображение
78, 85
гиперболическое 85
локсодромическое 85
параболическое 85
эллиптическое 85
Единственность разложения в
степенной ряд 52
Жордана кривая 40
замкнутая 40
— теорема 41
Жуковского функция 87
Замкнутая кривая Жордана 40
— область 20
Замкнутое множество 17
Замыкание множества 17
Изолированная особая точка 136
на бесконечности 141,
145
— точка множества 17
Инверсия комплексной
плоскости 10
— в Я* 212
Интеграл в смысле главного
значения по Коши 120
— Коши 94
Интеграл Коши сингулярный
120
— неопределенный 105
— по кривой 89
— типа Коши 102
Интегральная формула Коши 94,
101
для бесконечной
области 151
Шварца 118
Интерпретация комплексных
чисел по Риману 14
Иррегулярная часть ряда
Лорана 136
Каноническое произведение 169
Карлемана лемма 181, 182
Квазиконформное
отображение 71
Компактное множество 21
Комплексная плоскость 12
расширенная 16
Комплексное переменное 34
— число 9
Компонента множества 20
Континуум 20
Контур области 41
Конформное отображение 66, 68,
69
круга на круг 83
по Гауссу 211
полуплоскости на круг 83
полуплоскость 82
Коши интеграл 94
— интегральная формула 94, 101
для бесконечной
области 151
— критерий существования
предела функции 36
сходимости
последовательности 25
— неравенства 132
— последовательность 24
— сингулярный интеграл 120
— теорема 92, 96
Коши — Адамара теорема 48
Коши — Римана система
дифференциальных уравнений 62
, трехмерный
аналог 220
условия 62

236
УКАЗАТЕЛЬ
Кратность нуля 132
Кратный ряд 199, 200
абсолютно сходящийся 200
сходящийся 200
Кривая гладкая 41
— кусочно-гладкая 43
— непрерывная 40
— простая 40
кристоффеля — Шварца
формула 194, 195
Критерий абсолютной
сходимости бесконечного
произведения 163
— Коши существования предела
функции 36
сходимости
последовательности 25
— сходимости бесконечного
произведения 161
Круг сходимости степенного
ряда 48
Кусочно-гладкая кривая 43
Лапласа оператор 108
— уравнение 108
Лейбница формула 106
Лемма Гейне — Бореля —
Лебега 21
Лемма Гурса 94
— Карлемана 181, 182
— Шварца 112
Линейная функция 43
Линейный элемент 185
Липшица условие 119
Лиувилля теорема 132
о конформных
отображениях 213
Логарифмическая функция 75
Локсодромическое
дробно-линейное отображение 85
Лорана ряд 135
— теорема 134
Ляпунова поверхность 216
Максимума модуля принцип ПО
Мероморфная функция 143
Мёбиуса преобразование 216
Миттаг-Леффлера задача 173
Мнимая единица §
— ось 12
— часть комплексного числа 9
Мнимое число 9
Многолистное отображение 74
Множество замкнутое 17
— компактное 21
— ограниченное 17
— открытое 17
— связное 18
Модуль -комплексного числа 10
Моногенная функция 61
Монодромии теорема 175
Морера теорема 106
, пространственный
аналог 221
Муавра формула 13
Направление обхода
положительное 41
Неопределенный интеграл 105
Неподвижная точка
дробно-линейного отображения 84
безразличная 86
кратная 84
отталкивающая 86
притягивающая 86
Непрерывная кривая 40
Непрерывности принцип 177
Непрерывность по Гёльдеру 119
— функции комплексного
переменного 37, 38, 199
Неравенства Коши 132
Нормализованное конформное
отображение 185
Нуль аналитической функции 131
— кратный 132
простой 132
Область 20
Образ точки 34
Обратная функция 34
Общая аналитическая
функция 174
— линейная функция 44, 72
Однозначная функция 34, 198,
199
Однолистная функция 34
Однородный полином 199
Окрестность точки комплексной
плоскости 16
Оператор Лапласа 108
Ортогональное отображение 211
Основная теорема алгебры 148

УКАЗАТЕЛЬ
237
Основная теорема Римана о
конформном отображении 186
Остаток ряда 28
Отношение степенных рядов 52
Отображение антиконформное 69
— взаимно однозначное 34
— вращения 78
— гомеоморфное 40
— гомотетическое 78
— дробно-линейное 78
— квазиконформное 71
•— конформное 66, 68, 69
по Гауссу 211
— круга на круг 83
— многолистное 74
— множества 34
— однолистное 34
— ортогональное 211
— подобия 78
— полуплоскости на круг 83
полуплоскость 82
— топологическое 40
Отталкивающая неподвижная
точка 86
Параболическое
дробно-линейное отображение 85
Параллельный перенос 78, 211
Первая теорема Абеля 47
Вейерштрасса 113
Первичные множители
Вейерштрасса 166
Пикара теорема 141
Поверхность гладкая 216
— кусочно-гладкая 217
— Ляпунова 216
-«- риманова 74, 75, 77
Подобия отображение 78, 211
Показатель Гёльдера 119
Покрытие открытое 18
Полином 43
— однородный 199
Полицилиндр замкнутый 198
— открытый 198
Полная аналитическая
функция 175
Положительное направление
обхода 41
Полюс аналитической
функции 136
Порядок нуля 132
Порядок полюса 137
— связности области 21
Последовательность Коши 24
— расходящаяся 23
— сходящаяся 23
— фундаментальная 24
Правильная часть ряда
Лорана 136
Предел последовательности 23
— функции в смысле Гейне 35
Коши 35
Предельная точка множества 17
Преобразование Мёбиуса 216
Признак равномерной
сходимости Вейерштрасса 44
— сходимости
последовательности градиентов гармонических
функций 229, 230
Принцип аргумента 148
— Больцано — Вейерштрасса 22
— взаимно однозначного
соответствия 194
— максимума модуля ПО
— непрерывности 177
— симметрии Римана —
Шварца 178
— Шварца аналитического
продолжения 180
— экстремума гармонических
функций 127
Приращение функции 61
Притягивающая неподвижная
точка 86
Произведение Бляшке 172
— комплексных чисел 9
— рядов 31
Производная функции 61
Производное множество 17
Прообраз точки 34
Простейшая дробь 153
Простой нуль 132
— полюс 137.
Пространство Ст 198
Пуассона формула для круга 118
шара 228
Пуассона — Иенсена
формула 160
Равномерная непрерывность 199
— сходимость бесконечного
произведения 164

238
УКАЗАТЕЛЬ
Равномерная сходимость ряда
44
Радиус сходимости степенного
ряда 48
Разложение в ряд Лорана 134
Тейлора 129
— на простейшие дроби 153
— числового ряда 29
Расходящаяся
последовательность 23
Расходящийся ряд 26
Расширенная комплексная
плоскость 16
Рациональная функиия 44
целая 43
Регулярная часть ряда
Лорана 136
Римана интерпретация
комплексных чисел 14
— основная теорема о
конформном отображении 186
— сфера 16
Римана — Шварца принцип
симметрии 178
Риманова поверхность 74, 75, 77
Род канонического
произведения 169
— целой функции 170
Руше теорема 149
Ряд абсолютно сходящийся 28
— кратный 199, 200
— Лорана 135
— расходящийся 26
— степенной 46
— сходящийся 26, 28
— Тейлора 130
— условно сходящийся 28
—.функциональный 44
— числовой 26
Связное множество 18
Симметрия относительно
действительной оси 32
окружности 32, 80
прямой 80
Сингулярный интеграл J<oiiih 120
Система Коши — Римана 62
, трехмерный аналог 220
Склеивание краев разреза 74
Сложение комплексных чисел 9
— степенных рядов 52
Соответствие границ при
конформном отображении 192
Соответствия границ
принцип 194
Сопряженные комплексные
числа 10
Сохоцкого — Племеля
формулы 124
, пространственный
аналог 226
Стандартный радиус кривой 43
Степенная функция 72
Степенной ряд 46
с несколькими
переменными 201
Стереографическая проекция 14,
15
Сумма комплексных чисел 9
— числового ряда 26, 28
Суммирование ряда по методу
Чезаро 26, 27
Существенно особая точка 136
Сфера Римана 16
Сходящаяся
последовательность 23
Сходящееся бесконечное
произведение 27, 161
Сходящийся бесконечный
определитель 28
— ряд 26, 28, 44
Тейлора ряд 130
— теорема 129
Теорема Абеля вторая 56
первая 47
— Вейерштрасса вторая 116
первая ПО
— Гартогса 206
— единственности для
степенных рядов 52
— Жордана 41
— Коши 92, 96, 98
— Коши — Адамара 48
— Лиувилля 132
о конформном
отображении 213
— Лорана 134
— монодромии 175
— Морера 106
, пространственный
аналог 221

УКАЗАТЕЛЬ
239
Теорема о двойных рядах 29
— Пикара 141
— Руше 149
— сложения для
тригонометрических функций 54
экспоненциальной
функции 53
— Сохоцкого — Вейерштрасса
140
—-Тейлора 129
Теоремы единственности
внутренние 130, 181
Топологическое отображение 40
Точка ветвления
алгебраическая 74
трансцендентная 75
— пространства Ст 198
Тригонометрическая запись
комплексного числа 13
Умножение комплексных
чисел 9
— степенных рядов 52
Уравнение Лапласа 108
Условие Гёльдера 119
— Липшица 119
Условная сходимость
бесконечного произведения 163
ряда 28
Устранимая особая точка 136
Формула Бореля — Помпею 94
— Гаусса — Остроградского 217
— Грина — Остроградского 92
— Гурса аналитического
продолжения 209
— Коши интегральная 94, 101
для бесконечной
области 151
— Кристоффеля — Шварца 194,
195
— Лейбница 106
— Муавра 13
— Пуассона для круга 113
— , шара 228
— Пуассона — Иенсена 160
— Шварца интегральная 118
Формулы Сохоцкого — Племе-
ля 124
Формулы Сохоцкого — Племеля,
пространственный аналог 226
— стереографической
проекции 15
— Эйлера 54
Фундаментальная
последовательность 24
Функциональный ряд 44
Функция гармоническая 108, 226
— гармонически сопряженная
109
— Жуковского 87
— комплексного переменного 34
аналитическая 63
антианалитическая 69
бесконечнолистная 75
голоморфная 63
мероморфная 143
моногенная 61
однозначная 34
однолистная 34
целая 143
— многих комплексных
переменных 198, 199
— sin г 75
Целая аналитическая функция 143
— рациональная функция 43
Цепь элементов функции 174
Чезаро метод суммирования 26,
27
Шварца интегральная
формула 118
— лемма 112
— принцип аналитического
продолжения 180
Штейнера окружность 85
Эйлера формулы 54
Экспоненциальная функция 53,
74
Экстремума принцип для
гармонических функций 127
Эллиптическое дробно-линейное
отображение 85
Ядро Коши 120

Андрей Васильевич Бицадзе
Основы теории аналитических функций
комплексного переменного
М„ 1969 г., 240 стр.
Редактор Е. Д. Соломенцев
Техн. редактор В. С. Никифорова
Корректор А. Ф. Серкина
Сдано в набор 26/VIH 1968 г. Подписано к печати
8/1 1969 г. Бумага 84XI08'/зг- Физ. печ. л. 7,5. Условн.
печ. л. 12,6. Уч.-изд. л. 11,48. Тираж 40 000 экз. Т-02607.
Цена книги 58 коп. Заказ № 80.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская
типография № 1 «Печатный Двор» имени А. М. Горького
Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете
Министров СССР, г. Ленинград, Гатчинская ул., 26.