МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова
М.Ф. КУЛАГИНА
ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ
НА КОМБИНАЦИИ ТЕЛ
Учебное пособие
Чебоксары 2001
УДК 51(075.4)+517(075.4)
Кулагина М.Ф. Задачи по стереометрии на комбинации тел: Учебное
пособие/ Чуваш, ун-т. Чебоксары, 2«о 1.36 с.
Систематизированы методы решения задач по стереометрии на
комбинации тел. Приведены, решения задач, связанных с комбинациями
круглых тел и многогранников, а также с комбинациями различных круглых
тел. Большинство этих задач предлагалось на вступительных экзаменах в
вузы.
Рассчитано на студентов педагогических специальностей, учителей,
учащихся старших классов, абитуриентов.
Утверждено Методическим советом университета
Ответственный редактор:д-р физ.-мат. наук, профессор В.В. Сильвестров
© Кулагина М.Ф., 2000
Учебное издание
КУЛАГИНА Марина Фокеевна
ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ
НА КОМБИНАЦИИ ТЕЛ
Учебное пособие
Отв. за выпуск О.Е.Сивова
Подписано в печать 7.02.2000. Формат 60x84/16. Бумага газетная. Печать
оперативная. Усл. печ. л. 2,09. Уч.-изд. л. 2,0. Тираж 1000 экз. Заказ
Чувашский государственный университет
Типография университета
428015 Чебоксары, Московский просп., 15
§ 1.	Общие сведения о комбинациях шаров и многогранников
При решении задач на комбинации шара с другими телами рекомендует-
ся строить только сечения шара, так как строгое выполнение чертежа доволь-
но сложно и занимает, как правило, много времени. Иногда достаточно ука-
зать только положение центра шара. Для этого приведем некоторые сведения.
Геометрические места точек
1.	Геометрическое -место точек, равноудаленных от двух данных точек, есть
плоскость, перпендикулярная отрезку с концами в данных точках и про-
ходящая через его середину.
2.	Геометрическое место точек, равноудаленных от двух параллельных меж-
ду собой плоскостей, есть плоскость, параллельная данным и проходящая
через середину заключенного между данными плоскостями общего пер-
пендикуляра.
3.	Геометрическое место точек, равноудаленных от граней двугранного угла,
есть плоскость, делящая этот двугранный угол пополам (называемая бис-
секторной).
4.	Геометрическое место точек, равноудаленных от всех точек окружности,
есть прямая, перпендикулярная плоскости этой окружности и проходящая
через ее центр.
5.	Геометрическое место точек, равноудаленных от вершин многоугольника,
вписанного в окружность, есть прямая, перпендикулярная плоскости этого
многоугольника и проходящая через центр окружности.
Основные определения
1.	Шар называется вписанным в многогранник, а многогранник - описанным
около шара, если поверхность шара касается всех граней многогранника.
2.	Шар называется описанным около многогранника, а многогранник - впи-
санным в шар, если поверхность шара проходит через все вершины много-
гранника.
3.	Центр шара, вписанного в многогранник, лежит в точке пересечения бис-
секторных плоскостей всех двугранных углов многогранника. Он распо-
ложен только внутри многогранника.
4.	Центр шара, описанного около многогранника, лежит в точке пересечения
плоскостей, перпендикулярных ко всем ребрам многогранника и прохо-
дящих через их середины. Он может быть расположен внутри, на поверх-
ности и вне многогранника (рис. 1).
з
а)	Центр шара лежит на
вписанном многогран-
нике
Рис. 1
б)	Центр шара лежит
внутри вписанного мно-
гогранника
Ц) Центр шара лежит вне
вписанного, многогран-
ника
§2. Шар и пирамида
Сначала рассмотрим несколько важных замечаний по поводу положения
центра шара, вписанного в пирамиду и описанного около нее.
1.	Если боковые грани пирамиды одинаково наклонены к основанию, то в
такую пирамиду можно вписать шар (условие достаточное, но не являет-
ся необходимым). Центр шара лежит в точке пересечения высоты пира-
миды с биссектрисой линейного угла любого двугранного угла при осно-
вании пирамиды (рис.2). Отсюда следует, что в любую правильную пи-
рамиду можно вписать шар.
Рис. 2:0- центр вписанного шара; г- радиус вписанного шара
2.	Около пирамиды можно описать шар тогда и только тогда, когда около ее
основания можно описать окружность. В частности, шар можно описать
около треугольной пирамиды, около четырехугольной пирамиды, у кото-
4
рой сумма противоположных углов основания равна 180°, около любой
правильной пирамиды.
3.	Центр шара, описанного около пирамиды, лежит в точке пересечения
прямой, перпендикулярной основанию пирамиды и проходящей через
центр окружности, описанной около этого основания, и плоскости, пер-
пендикулярной любому боковому ребру и проходящей через середину
этого ребра (рис.З).
0.
Рис. 3: Oi - центр окружности,' Писанной около основания; О, К - перпенди-
куляр к плоскости основания АВС\ Р - плоскость, перпендикулярная ребру AS
и проходящая через его середину, О - точка пересечения плоскости Р и пря-
мой О\К\ О - центр описанного шара
4.	Если боковые ребра пирамиды равны между собой (или равнонаклонены
к плоскости основания), то около такой пирамиды можно описать шар.
Центр шара в этом случае лежит в точке пересечения высоты пирамиды
(или ее продолжения) с осью симметрии бокового ребра, лежащей в
плоскости бокового ребра и высоты (рис.4).
Рис. 4: SOi - высота пирамиды; ВК = KS; KO±AS, КО лежит в плоскости
AO\S, О - центр описанного шара
Если из центра описанного около пирамиды шара опустить перпендику-
ляры на грани, то основанием каждого перпендикуляра будет центр ок-
ружности, описанной около этой грани. Следовательно, центр описанно-
го шара лежит в точке пересечения перпендикуляров, восстановленных к
каждой из. граней в центре круга, описанного около этой грани.
5
5.	Если боковые ребра пирамиды равны между собой (или равнонаклонены
к плоскости основания), то вершина пирамиды проектируется в центр
круга радиуса г, описанного около основания. В этом случае полезны
формулы:
l)r2 = H(2R-H);
3)Д = —L-;
2sina
2)/2 = 2RH;
4)Я = ——
sin 2а
0)
где / - боковое ребро; Н - высота пирамиды; а - угол наклона бокового
ребра к плоскости основания, R - радиус шара, описанного около пира-
миды. Эти формулы легко получаются, если высоту пирамиды продол-
жить до пересечения с шаром (рис. 5) и учесть, что £SCD = 90° (как
вписанный угол, опирающийся на диаметр) и &CO{S ~ &CO{D ~
~&SCD.
Рис. 5.
ПРИМЕРЫ
1. Найти радиусы шаров, один из которых вписан в правильную треуголь-
ную пирамиду, а другой описан около нее, если сторона основания равна
а, а высота пирамиды равна Н.
Решение
Центры обоих шаров находятся на высоте пирамиды.
Для определения радиуса Ron описанного шара воспользуемся форму-
I2
лой 2) из (1). Из нее следует, что Ro„ = ~ , где I- AS (рис. 6).
6
Так как АО = г =-, то из
3
&AOS: Г'=Н2+ — =>
3
Для нахождения радиуса Rw
вписанного шара рассмотрим
&SOM. Если О - центр вписанно-
го шара, то ОМ - биссектриса
Z5W и OQ-~Ren.
В прямоугольном треугольнике из-
вестные катеты SO-H t
Рис. 6:
АВ = ВС = АС = а
SO-H
Находим гипотенузу SM = J/72 + — . По теореме о биссектрисе внутрен-
v 12
OQ ОМ
него угла треугольника:-=--- или
SQ SM
Rm аЯ R аН
H~R>» G^H2 +a2j\2	а + л1пН2+а2
Ответ: Ron
ЗН2 +а2	аН
Самостоятельно найти Ron и Reri для случаев, когда правильная пира-
мида 4,6, п-угольная.
2. В основании пирамиды лежит ромб со стороной а и острым углом а. Ка-
ждый из двугранных углов при основании равен (р. Найти объем шара,
вписанного в пирамиду.
Решение
Центр вписанного шара лежит на высоте пирамиды и отстоит на одно и то
же расстояние, равное радиусу шара /*, от всех граней пирамиды. Проведем
апофему SE (рис. 7). Тогда, если Q - центр вписанного шара, то QE - бис-
7
сектриса Z.SEO , OQ = г. EF - высота ромба, лежащего в основании пира-
миды
Рис. 7
_	sin а
£F = flsma, ОЕ - а——, то-
2
<р а	Ф
гда г = OE tg — = smarg —.
2 2	2
Объем шара
__ 4 з я а3 . з з (р
V = ~яг =-----sm ate
3	6	2
Л	яа3 , ф
Ответ: V =----sm atg
6	2
3. Около правильной шестиугольной пирамиды описан шар радиуса г. Бо-
ковые ребра пирамиды равны /. Найти угол <р между боковыми ребрами
пирамиды.
Решение
Пусть О - центр описанного
шара (рис. 8).
Тогда OS = ОА~ОВ = г.
Обозначим ZOAS= а
Из AAOS следует:
, о	/
/ = 2rcosa =>cosa =—.
2r
OS = OA => ZASO^a^
I1
SO}~lcosa~—,
1 2r
p
AO,= lsina = L 1--- =
»	2r2
_ l^4r2 -I2
__ _ .
Поскольку шестиугольник правильный, то АВ -АО.
8
. g> AD \14г2-12	t <P I2+4r2
sm _ ----------------- cos# = I -zsnT — =-------—.
2 I ' 4r	2	8r2
Так как | cos#> | < 1, то задача имеет решение при I < 2г, но это неравенство
следует из АЛ OS.
/2+4г2
Ответ: # = arccos------—.
8г2
Дальше рассмотрим задачи, связанные с правильными я-угольными пи-
рамидами, которые наиболее часто встречаются на вступительных экзаменах
в вузы. При решении этих задач весьма полезными являются формулы, вы-
ражающие зависимость между различными углами таких пирамид. Выведем
эти формулы.
§ 3. Зависимость между углами в правильной
n-угольной пирамиде
Рассмотрим правильную и-угольную пирамиду SAlA2.^lt (рис. 9).
Введем обозначения ее углов: а - угол наклона бокового ребра к плоскости
основания; р - двугранный угол при основании, / - плоский угол при вер-
шине, § - двугранный угол при боковом ребре. Обозначим длины линейных
элементов пирамиды: Я - высота; I - боковое ребро; т - апофема; а- сторона
основания; г и R - соответственно радиусы вписанной и описанной около
него окружности.
9
Вычленим пирамиду SAXA^() (рис 10). Угол А}ОА2 обозначим через (р:
‘2л
S
а
Рис. 10
Получим соотношения для обозначенных углов пирамиды.
1.	Соотношение между а и Р	\
Из &ВОАХ и ‘&SOB имеем Н - Rtga; Н = rtgfl.
Из &А}ВО найдем: г = A cos —.
/	2
Тогда
tga = CQS—tgp.	(2)
п
2.	Соотношение между а и / ,
Из ДЖЛ} и ДВСЦ найдем:
/ = —Е!_	/ = —,	= 0 Л-т;}
2sin//2 cosa 2ып<р/2)
Тогда
sin — = sin —cos а.	(3)
2 п
ю
3.	Соотношение между Р и у
Это соотношение выводится из &SOB и ASBAX:
г	а	у
т------; m= cl2~.
cos/?	2	2
Из2Ц#О: a~2rtg~.
Тогда
tg~- = tg-cosp.	(4)
2 п
4.	Соотношение между а и 3
Вернемся к рис. 9. Здесь AXC1.A2S. Тогда A3CJLA7S (это следует из равенст-
ва АА2АхС и ДЛ2Л3С). Значит, ЛА}СА3 есть линейный угол двугранного уг-
ла при ребре, ААХСА3 = 8. Из &CDA1 и &A2CD (/.ACD - 90°, так как плос-
кость A}CA3JlA2S ) имеем:
CD- AxDctg^\ CD = A2Dsina.
Z^24 = ZO<V2=|-^.
Значит A^D = a cos ——— 1 = asin—, A,D = acos —.
2	<2 2J 2	2
Тогда
£ ' /г .
=	(э)
2 n
5.	Соотношение между у и 3
У
Поскольку АСАХА2 = — (АСАХА2 ~ AA2SB как углы со взаимно перпендику-
у
лярными сторонами), то из ЛАХСА2 и &CDA} получим САХ = a cos— и
Л A\D	А ГУ		•	71
С А. = —L—, но AJD = asm — = asm — =>
’ sin^/2 1	2 п
у wsnln
=> cos— =-----—.
Z 2 sin^/2
(6)
и
6.	Соотношение между р н 8 можно получить, исключив у из формул
(4) и(6)
,/ 1 1
COS — =------у—— =-----у— -----,—	=>
2 1 + tg у/2 1 + tg я/псовг р
cos2 я!п	1	. о 8	ч я . э
~-----—---------— sin- — - cos" — + sin"
sin ”6/2 '\ + tg~ x/ncQs~ P 2 n
n 8	2 Я  2	2^ - 2 n
—>l-cos	—	= cos — + sm	—cos	—sin	В =>
2 n	n	n
п
д . Л . о
=7 cos — = sin—sm р.
2 и
(7)
Замечание. Формулами (2)-(7) нельзя пользоваться как справочными
при решении задач. Но надо помнить, что такие формулы существуют и знать
их вывод. Это значительно облегчает решение многих задач. Сейчас посмот-
рим это на примерах.
ПРИМЕРЫ
4.	Найти объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания
которой равна а, а двугранный угол между соседними боковыми гранями
равен 8.
Рис. И.
Решение
Пусть а - угол наклона бокового
ребра к плоскости основания (рис.
11), тогда высота пирамиды
SO = ОС-tga = t—^iga
и объем пирамиды
Воспользуемся формулой (5), где
А Д’
п~4 и tg— = 1.
п
Из (5) следует, что< ctg — = sin а, значит
12
j/	ctSs!2 _	cos 5/2 sin 5/2	_
3	2 ^|-cig15/2	6 sin5/2^/sin25/2-cos25/2
_ a3 41 cos 5/2
6 4- cos5
(Здесь надо помнить, что угол 5 имеет определенный геометрический смысл
§
И COS у >0).
я3VI cos <5/2 „
Ответ: V =------>===. Задача имеет решение только в том случае,
6 V-cos5
Я о
когда — < 5 < п.
5.	Линейный угол двугранного угла, составленного двумя смежными боко-
выми гранями правильной четырехугольной пирамиды, в два раза больше
плоского угла при вершине пирамиды. Найти плоский угол при вершине
пирамиды.
Решение
При обозначениях этого параграфа имеем: 5 = 2/. Воспользуемся фор-
мулой (6), где п = 4. Тогда имеем
/	1	2/1
cos- = -,=-- =х> cos - =--— .
2 v2sin/	2 2sin2/
(Здесь cos^->0 и sin/>0).
(l+cos/)(l-cos2/) = l => I+cos/-cos2/-cos3/ = I
=> 1 = cos/ — cos2 / (cosу Ф 0, так как в противном случае 5 = л).
—i±Vs
(cos/)12 =—-—.
Так как из геометрических соображений cos / > 0, то cos / =	'
о	V5-1
Ответ: / = arccos--.
2
6.	Найти радиус шара, вписанного в правильную треугольную пирамиду, вы-
сота которой равна Н, а угол между боковым ребром и плоскостью осно-
вания равен а.
13
i-is2Pft
Решение
Центр вписанного шара лежит на
высоте пирамиды OS в точке пере-
сечения ее с биссектрисой ZAKS
(АК1Ж, SKZBC). Обозначим
г = 0О{ - радиус вписанного шара,
тогда
r=Hdgptg^.
В формуле (2) положим /7 = 3 и
получим
tgaZtgfl.
2 tgp ’
значит
H^l + 4tg2a-l)
4tg2a
c 4/l + 4fj>2a-l)
Ответ: г = —12------------L.
4zg а
S
7.	Радиус шара, описанного около правильной четырехугольной пирамиду,
относится к стороне основания как 3:4. Найти угол между боковой гра-
нью и плоскостью основания.
Решение
Обозначим ’радиус описанного ша-
ра через R*. Центр описанного ша-
ра (т. Ц) лежит на высоте пирами-
Рис. 13
ды в точке пересечения ее плоско-
стью, перпендикулярной боковому
ребру и проходящей через его се-
редину
(S£ = £C, EO.1SC).
14
Из AS/Гб?! и ASOC следует
SE = R* sin а,
SC = 2R* sin а; ОС ~2R' sin a cos а.
Далее, рассмотрев &COD, получим:
а = 2л/2Я* sin a cos а.
По условию
a = —R'.
3
Составим уравнение для а:
2^2 sinacosa =
3
то есть
л
sin«cosa =—.
3
Откуда путем тригонометрических преобразований получим:
tga = V2
l + /g2a 3
Используя формулу (2) для случая п = 4, получим уравнение для искомого
угла fl'.
tgfi
4+^'3,
I 2}
откуда
Zg2/?-3/g/? + 2=0.
Задача имеет два решения
А=р ^=arctgl.
Л
Ответ Д = —, Р2 = arctg2.
Замечание. Используя формулы (2)-(7) можно довольно просто решить зада-
чи (1] № 12.213, 12.234, 12.251, 12.270, 12.279, 12.282, 12.283, 12.288,
12.314, 12.344,12.349, 12.358, 12.359, 12.449,12.465.
(Рекомендуем решить все эти задачи самостоятельно).
15
§ 4. Задачи на min н тах\ связанные с комбинацией
пирамиды и шара
Если задана правильная «-угольная пирамида, то в нее можно вписать
единственный шар и около нее также можно описать единственный шар. Но
если задан шар, то около него можно описать бесконечно много различных
правильных л-угольных пирамид и в него можно вписать бесконечно много
различных правильных л» угольных пирамид.
В связи с этим замечанием естественными являются следующие задачи:
1) среди всех правильных л-уголъных пирамид, описанных около шара
данного радиуса, найти пирамиду наименьшего объема;
2) среди всех правильных л- угольных пирамид, вписанных в шар дан-
ного радиуса, найти пирамиду наибольшего объема.
Правильная л-угольная пирамида считается определенной, если заданы
сторона ее основания и высота.
ПРИМЕРЫ
8. Среди всех правильных четырехугольных пирамид, вписанных в шар ра-
диуса А, найти пирамиду наибольшего объема.
Решение.
Используя пример 7 и рис. 13, получим, что сторона основания пирамиды
а = 2 V2R sin a cos а = 41R sin 2а9
а ее высота
Н =	= Rsin2atga,
где а - угол наклона бокового ребра пирамиды к плоскости основания, тогда
объем пирамиды
1	2
V = -2R2 sin2 2aRsxn2atga = ~R3 sin3 2a tga.
Нужно найти	—-J, при котором функция f(a) - sin3 2a tga имеет
max.
Для этого найдем точки, в которых производная этой функции обращается в
нуль.
у// ч х •	z. sin32а
f (cr) = 6sin 2acos2a/ga +--=—
cos а
г  2 -I ~ sin3 2а л
6 sin 2а cos 2аtga +-5— = 0.
cos а
16
Поскольку a g j^O, yj, то sin а * 0 и cos а ф 0, то
,	_ sin2a Л ,	_ 4 2sinacosa л
6 cos 2а tg а + —-— = 0 => 6 cos 2а tg а +---------- 0,
cos“ a	cos2 а
tga(6cos2a + 2) = 0 => 3cos2a--l => cos2a = --;
sin 2a
sin 2a 2V2	2V2
tga ~----------- ——“ =------
1 + cos 2a 3(1-1/3)	2
1	( 1V
a0 = -arccos .
2	I 3j
Если a > ^arccos^-yj,то cos2a>-~, tga>0,
Если a < Xarccos^--^, to cos2a <	tga >0,	<0.
Значит, при переходе через стационарную.точку a0 производная f'(a) ме-
няет знак с на Следовательно, в точке а = а0 функция имеет max.
Сторона правильной четырехугольной пирамиды, имеющей максимальный
^2^2 4R
объем: а-^2К------= —,
3	3
ее высота Н = 7?уу л/2 = ~ R, объем этой пирамиды
V = l[^\±R^.
313 7 3	81
Ответ Максимальный объем имеет пирамида со стороной основания
47?	w 4	_	64 пз
а = -у и высотой Н = Объем пирамиды V ~~ Я ,
9. Среди, всех правильных треугольных, □ ирам ад, описанных около шара ра-.
диуса R, найти пирамиду минимального объема.
17
Решение
Используя пример 6 и рис. 12, получим, что сторона основания пирамиды
<j = 2/?4ctg£,
а ее высота
Я =/?tg/?Ctgp
где р - угол наклона боковой грани пирамиды к плоскости основания, тогда
объем пирамиды
r = ^2fl>/3ctg£j у tftg/?ctg| = 2V3tf3 ctg3
Надо найти /?el0, — L при котором функция/(/?) = ctg уtg/? имеет
max. Для этого найдем точки, в которых производная этой функции обраща-
ется в нуль.
/V) = |ctg2	_ + -Ц-Ctg’ р
2	2 sm2 р/2 cqs2 р 2
--ctg2 —tg/?—y— + —-—ctg3 — = 0.
2	2 sin2 p/2 cos2 P	2
Поскольку ctg ~ > 0, то
3 tgP iCtg/7/2=Q
2 sin2 P/2 cos2 P
P
Поскольку cos p > 0 и sin" — > 0, to
- 3 sin Р cos р + 2 cos у sin у = 0,
2
— 3sinpcos/? + 2sin/7 = 0 => cos/? = -;
sin^4
p 1 + cos/? 1 + 2/3 3 + 2	/7
ctg —=------ = ——- = V5.
6 2 sin В J5 3	45
п
р0 = arccos — - критическая точка.
18
Если /? > arccos -, то cosp<~ и /'(/?) <0.
3	3
2	2,
Если р < arccos ~ , то cos р > — и f\P) > 0.
Значит, при переходе через стационарную точку Д, производная f\P) ме-
няет знак с на Следовательно, в точке Р = р{} функция имеет тот.
Сторона правильной четырехугольной пирамиды, имеющей минимальный
объем: а - 2Ад/3 -д/5 = 2/?д/Ё5,
ее высота
h = r—-4s=-r,
2 2
объем этой пирамиды
4
Ответ Минимальный объем имеет пирамида со стороной основания
а = 2RJ15 , высотой Н ~~R. Объем пирамиды V =
2	4
Самостоятельно решить те же задачи для случаев, когда правильная пирами-
да 3-, 4-, 6-, п- угольная.
В заключение рассмотрим еще одну задачу на экстремум, связанную с ком-
бинацией шара и пирамиды.
10. Основанием четырехугольной пирамиды служит квадрат. Одно из боко-
вых ребер перпендикулярно плоскости основания. Какую длину должна
иметь высота пирамиды, чтобы радиус шара,описанного около пирамиды,
был наименьшим, если объем пирамиды равен 72.
Решение
Обозначим радиус описанного шара через R, а высоту пирамиды через Н,
сторону основания а. Центр описанного шара (т. О\) (рис. 14) лежит в точке
пересечения перпендикуляра к основанию ABCD, восстановленного из цен-
тра квадрата О, и плоскости, перпендикулярной ребру SD, проведенной через
его середину /<.
19
Так как	и KOtlSD, то
KDOO\ - прямоугольник и
Из &(\ОС по теореме Пифагора
имеем:
=,
2	4
=>а2=2Л2- —.
2
V =-а2Н = -f2R2 - — }н
тр 3	3(	2 J
,2 108 Н2
'2 =—+—.
Н 4
108 Н2
Надо найти Н такое,. при котором функция /(R) =--+----имеет min на
Я 4
промежутке (0, + °о).
/'(Л)=-^+
н
2 ’
^Л = 0
Н2 2
Н=6.
При переходе через точку Н ~ 6 производная меняетзнак с '-’’ на по-
этому в этой точке функция /(R) имеет min.
Ответ Если высота пирамиды Н = 6, то радиус описанного шара наимень-
ший: г-п
шш
108 + 36=3j^
6 + 4 “	'
20
§ 5.	Призма и шар
Шар, вписанный в призму, должен касаться всех ее граней. В призму
можно вписать шар тогда и только тогда, когда в перпендикулярное сечение
этой призмы можно вписать окружность, а высота призмы равна диаметру
окружности, вписанной в это перпендикулярное сечение. Если при этом
призма прямая, то ортогональная проекция шара на плоскость основания
призмы является кругом, вписанным в многоугольник основания.
В частности, шар можно вписать в прямые призмы высотой Н: тре-
угольную и четырехугольную (у которой суммы противоположных сторон
основания равны) при условии, что Н = 2R, где г - радиус окружности, впи-
санной в основание.
Описать шар около призмы можно тогда и только тогда, когда призма
прямая и около ее основания можно описать окружность.
ПРИМЕРЫ
1LB правильную треугольную призму вписан шар. Найти отношение площа-
ди поверхности шара к площади полной поверхности призмы.
Решение
Пусть а - сторона основания приз-
мы. О - центр, вписанного в призму
шара (рис. 15). Из &AMF имеем:
r = |.tg30°=-4..
2	2л/3
Тогда площадь поверхности шара:
о л 2 (А	Л (F	о
S.	.. - 4я г	4я----=-----. Пол-
ш	4-3	3
ная поверхность призмы:
$пр ~ ^^осн $бок ’
е а2^ с о _3а22_ 2 Я.
8осн	4 > $бок	а ’
_яа2_________1_______ 4яа2 _ 2я
Snp~ 3 (a273)/2 + 6?V3~3V3-3a2 ~9>/з‘
Ответ
SM ~ 2я
21
12.	Определить объем правильной треугольной призмы, вписанной в шар,
зная, что радиус шара равен R и составляет с боковой гранью призмы
угол а, а боковые грани призмы - квадраты.
Решение Пусть О - центр шара, описанного около данной призмы (рис. 16).
К - проекция центра шара О на боковую грань AA}CiC. Если точка К равно-
удалена от всех вершин квадрата АА )GС, то К - центр квадрата AAiQC..
АгО~В => A{K = Rcosa.
Поскольку К - центр квадрата
АА\С}С, то А,К где а -
2
длина стороны основания призмы.
Тогда
а^2
Rcosa =-----=>
2
=> а = Rjlcosa.
Объем призмы
PL, ~ $ос»Н = a2—a~R? cos3 а= Д/?3 cos3 а.
пр осн 4	4 v2
Ответ Vnp
l-R3 cos3 а.
Если дан шар радиусом R, то в него можно вписать бесконечно много
правильных л-угольных пирамид. Поэтому естественной является следующая
задача.
13.	Среди всех правильных треугольных призм, вписанных в шар радиуса R,
найти призму наибольшего объема.
Решение
Используем рис. 16, предполагая, что боковые грани призмы - прямоуголь-:
ники. О] - проекция центра шара О на плоскость основания призмы АВС.
О} - центр треугольника АВС.
а^З
Если сторона ДАВС равна а, то АО =----.
22
Из A/lOOj по теореме Пифагора находим ОО{' = R2
3
Значит, высота призмы
Я = 2,М2- —
3
V
3
де(0,Л>/3),
^пр -^оС»Н = а2 ^2'Л2
8
при котором функция
Теперь нужно найти
( а2 У
/(a) = a4l R2 I имеет max. Для этого найдем точки, в которых f’(a)
обращается в нуль.
(	2 А О
4а3^/?2	=0’ (а*°)
=> 4Я2--а2--а2 =0 => 4Я2=2а2 => a = Rjl.
3	3
Если а> Ал/2,то 2/?2-а2<0,азначит,/'(<2)<^-
Еслия<7?л/2,то 2R2 -а2 > 0, а значит, f'(a)>0.
Следовательно, при переходе через стационарную точку а = R^2 произ-
водная f'(a) меняет знак с на ”. Значит, в точке а = R^2 функция
j\a) имеет max.
Сторона правильной треугольной призмы, имеющей максимальный объем.
D /z	и о 2А2	_ R 2R-J3
a~R42, а высота H-2JR---------= 2-7= =-----.
V з 7з з
2Я24з /jP
2 ’
Объем призмы Vnp = —• 2
Ответ Максимальный объем имеет
п f- ' 2RJ3
а = R^/2, высота И =--------—,
3
призма, сторона основания которой
и Л
max 2 *
шах

Самостоятельно решить ту же задачу для случая, когда призма 4-, 6-, п-
угольная.
23
§ 6.	Комбинации пирамид и призм с конусами и цилиндрами
Прямой круговой конус вписан в призму, если его вершина лежит на
верхнем основании призмы, а его основание есть круг, вписанный в много-
угольник нижнего основания призмы. В этом случае многоугольник основа-
ния призмы должен быть таким, чтобы в него можно было вписать окруж-
ность; прямая, перпендикулярная к нижнему основанию и проходящая через
центр круга, вписанного в многоугольник основания, * должна пересекать
верхнее основание, так как эта прямая является осью конуса. Высота конуса
равна высоте призмы.
Прямой круговой конус описан около призмы, если все вершины верх-
него основания призмы лежат на боковой поверхности конуса, а нижнее ос-
нование призмы лежит в плоскости основания конуса. В этом случае основа-
нием призмы служит многоугольник, вокруг которого можно описать окруж-
ность. Заметим, что нижнее основание призмы не вписано в основание кону-
са.
ПРИМЕРЫ
14.	Основанием прямой призмы- служит равнобочная трапеция с острым уг-
лом а. В призму вписан конус. Найти площадь полной поверхности
призмы, если диаметр основания конуса равен </, а угол наклона обра-
зующей конуса к плоскости его основания равен fl.
Рис. 17
Решение Так как конус вписан в
призму, то его основание есть круг,
вписанный в основание призмы
(трапецию), а вершина конуса ле-
жит в центре верхнего основания
призмы (рис. 17). По условию зада-
чи = —, а из AMSO имеем:
2
SO = ~tgfl = Н (высота призмы).
Кроме того, очевидно, что d = РК
- высота трапеции, а из &OKD на-
ходим
OK = KD tg^, т.е.
W^yCtgy vAD-dclg^.
24
Аналогично PC- — tg — и ВС-dig —. •
2 2	2
Тогда площадь трапеции
S0CH=^BC+AD)PK = C2^~ + ^~y
$пр =2SOCT+56eK.=rf2^tg^ + ctg^ + </2^tg^ + ctg'
j2( а а\, . „л 4t/2 sin(45° +/?)
= d2 tg- + ctg- (I + tgp) = —
12	2 J	V2 sin#cos/7
с 4дР sin(45° + /?)
Ответ Площадь полной поверхности призмы 5 = —т=--------------
V2 sin# cos ft
15.	Среди всех правильных четырехугольных призм, вписанных в прямой
круговой конус, радиус основания которого равен R, а высота Н, найти
призму наибольшего объема.
Решение Пусть сторона основания
призмы равна а . тогда радиус ок-
ружности, описанной около осно-
а
вания ОА = г- (рис. 18). Из
подобия, треугольников SOA и
SO}B имеем
SO SO
О.В SO.
Отсюда
r SO
или — = —
7? H
S0 = LH^.
R -J2R
,, ry aH
Тогда высота призмы OO. = /т0 = H
Объем призмы Vnp  Но = а2Я^1 -
25
Теперь нужно найти ae(0, при котором функция f(a) = a2
имеет max. Для этого найдем точки, в которых f\d) обращается в нуль.
2а-3£. = 0, (о*0) =>
&R	3
2 ~ ~у~ > 0, а значит,/'(а) > О (а>0).
2 -	< о а значит,f'(a) < 0.
Следовательно, при переходе через стационарную точку производная f'(a)
'lyf'lR
Значит, в точке а = —-— функция f(a) имеет
142R
Если а < —---, то
3
2V2/?
Если а > ——, то
3
меняет знак с + на
max.
Сторона правильной
объем а —------
3
четырехугольной призмы, имеющей максимальный
, а высота Нп = -Я.
° 3
„	2 г, 8Я2 1 „ 8R2H
Объем призмы Vnp = a HQ= —-Я =	.
Ответ Максимальный объем имеет призма, сторона основания которой
1J2R	„ Н „ %R2H
а = -у- , высота Но = Vnp = -у-.
Прямо? руговой цилиндр вписан в призму, если его основания вписаны
’ нэвания . ризмы, а образующая совпадает с высотой призмы. Очевидно,
щъьг .:? rVfOHiHO вписать в призму тогда и только тогда, когда она прямая и в
ее основание можно вписать окружность.
Прямой круговой цилиндр описан около призмы, если его основания
описаны около оснований призмы, а образующая совпадает с высотой приз-
мы. Цилиндр можно описать около призмы тогда и только тогда, когда она
прямая и вокруг ее основания можно описать окружность.
Прямой круговой конус вписан в пирамиду, если его основание вписано
в основание пирамиды, а вершина совпадает с вершиной пирамиды.
Прямой круговой конус описан около пирамиды, если его основание
описано около основания пирамиды, а вершина совпадает с вершиной пира-
миды.
26
Очевидно, в правильную пирамиду можно вписать конус и описать око-
ло нее конус. При этом вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды, ос-
нование конуса лежит в плоскости основания пирамиды и является вписан-
ным или описанным кругом соответственно.
Прямой круговой цилиндр вписан в пирамиду, если окружность одного
из оснований цилиндра касается всех боковых граней пирамиды, а другое ос-
нование цилиндра лежит в плоскости основания пирамиды, но не является
вписанным в многоугольник основания, а находится внутри него. Пирамида
может не быть правильной, но если цилиндр вписан, то основание высоты
пирамиды должно лежать внутри многоугольника основания, а сам много-
угольник основания должен быть таким, что в него можно вписать окруж-
ность.
Пирамида считается вписанной в цилиндр, если ее основание лежит в
плоскости одного из оснований цилиндра и является многоугольником, впи-
санным в окружность основания цилиндра, а вершина пирамиды находится в
плоскости другого основания цилиндра.
ПРИМЕРЫ
16.	В правильную четырехугольную пирамиду с углом а между последова-
тельными боковыми ребрами при вершине вписан цилиндр. Найти объем
пирамиды, если высота цилиндра в два раза меньше высоты пирамиды, а
радиус его основания равен г.
Решение Нижнее основание ци-
линдра лежит в плоскости основа-
ния пирамиды, а центры оснований
совпадают. Верхнее основание ци-
линдра касается всех боковых гра-
ней пирамиды (рис. 19). Извест-
но, что
50 = 20^, aO^^.
Треугольники* SChM и ЗОЕ по-
добны, поэтому
= Щ 1
ОЕ SO 2*
ОЕ = 2г.
SE = zrctgy,
AD = 4r.
Рис. 19
27
„	пл Г-> а7-> 2rVcosa
Следовательно, SO = J 4 г ctg 4 г =----------—,
V 2	sin а/2
а объем
V =	• SO = - AD2 • SO = —
3	- 3	3 sina/2
Ответ
tz $2 f3Vcos a
Объем пирамиды V =-----------—
3 sin a l
Предлагаем решить самостоятельно следующую задачу.
В правильную четырехугольную пирамиду, боковые грани которой на-
клонены к плоскости основания под углом ф, вписан цилиндр. Радиус
основания цилиндра и его высота равны г. При каком значении угла ф
объем пирамиды будет наименьшим? Найти этот объем, \arctg2; Зг^) *
Указание Найти объем пирамиды И - — г3	и вычислить наи-
3 tg2tp
, (tg<p + \)3	( яЛ
меньшее значение функции J\(p)---------,----- на интервале 0, — или
tg-<P	I 2Л
.	. . (х+1)3	/Л
функции g(x) ~, где х = ^ф на промежутке (0, + оо), на котором
х
оно достигает наименьшего значения в точке х = 2.
§ 7. Комбинации круглых тел
Круглые тела (конус, цилиндр, шар) также могут быть вписанными или
описанными друГоколо друга.
Конус вписан в шар, если его вершина и окружность его основания ле-
жат на поверхности шара. Основание конуса является кругом данного шара.
Центр шара лежит в точке пересечения высоты конуса и серединного пер-
пендикуляра к образующей конуса.
* В скобках указан ответ к задаче.
28
Шар вписан в конус, если он касается любой образующей и плоскости
его основания. Центр шара лежит в точке пересечения высоты конуса и бис-
сектрисы угла наклона образующей конуса к плоскости его основания.
Цилиндр вписан в шар, если окружности его основания лежат на по-
верхности шара. Около любого цилиндра можно описать шар. Центр шара
лежит в середине высоты цилиндра, соединяющей центры его оснований.
Шар вписан в цилиндр, если он касается оснований цилиндра и любой
его образующей. Шар можно вписать в цилиндр тогда и толькотогда, когда
,Н = 2/?, где Н - высота цилиндра, R - радиус его основания. Если это усло-
вие выполнено, то радиус вписанного в цилиндр шара R^-R.
Конус вписан в цилиндр, если основание конуса совпадает с одним из
оснований цилиндра, а вершина лежит в центре другого основания.
Цилиндр вписан в конус, если окружность одного из оснований цилинд-
ра касается любой образующей конуса, а другое основание цилиндра лежит в
основании конуса. Центры оснований конуса и цилиндра совпадают.
ПРИМЕРЫ
17.	В конус вписан шар. Площадь поверхности шара относится к площади
полной поверхности конуса как 4:9. Найти угол наклона образующей
конуса к плоскости его основания.
и	Решение Обозначим радиус впи-
санного шара через г, а радиус ос-
нования конуса через R (рис. 20).
Z-r-X	Угол между образующей конуса и
/	плоскостью его	основания
/I	0	Z.SBD - (р ,	Тогда,	очевидно,
Д	В	r = Rtg~. По условию задачи
S: SK =4:9. Следовательно,
5 = 4#г2 = 4тг R2tg2 ~.
2
Рис. 20
о	Л 1 1 2ftR2cos2<p/2
S=ttR2 R-BS = 7tR2\ 1 +-------- =---------------.
cos^J COS0>
По условию задачи
^R2tg2(pj2	4
2я-Я2соз>/2	9
29
•> <р	•> ф
Решим уравнение 9/g~ у cos (р-2 cos" — .
-><Р	лФ 9/t ч Jl + costfY
9sin — cos^ = 2cos ~ о -(l-cos0>)cos^-2 -------—
2	2	2	\ 2 J
<=> 9cos^-9cos2^-1 + 2cos0>+cos2^ о
<=> 1 Ocos2 ф - 7cos#> +1 = 0.
.	7±3
Значит, cos ф = откуда получим
1 я	1	1
cos$? = -, = у или cos^ = -, ^ = arccos-.
_	я	1
Ответ Ф~-~ или p = arccosj.
18.	В шар радиусом 10 см вписан цилиндр. Вычислить радиус основания ци-
линдра с наибольшим периметром его осевого сечения.
Решение Обозначим радиус ци-
линдра через г, тогда ЛГС = г,
ОС -\Qcm (рис. 21).
По теореме Пифагора из &ОКС
следует, что ОК2 = 102 - г2.
Высота цилиндра
Н = 20^ = 27100-г2.
Периметр осевого сечения цилиндра
Р = 4r + 4ОК = 4^ + л/100-r2).
Теперь нужно найти г е (0,10), при котором функция f{r)-r + V100-r2
имеет max. Для этого найдем точки, в которых f'(r) обращается в нуль.
Г(Г) = 1- .	;	1—'-. = () =>
___________V100-r2	V100-r2
=>r = V100-r2 =>	2r2=100 => r = 5&.
Если г < 5-72, то л/100 —г2 — г > 0, а значит, и f\r) > 0.
30
Если г > 5v2 , то VlOO-r2 -г<0, а значит, /'(г) < 0.
Следовательно, при переходе через стационарную точку, производная /'(г)
меняет знак с на Значит, в точке г = 5л/2 функция /(г) имеет
max.
Ответ г - $41 см.
19.	В шар радиусом R вписан прямой круговой конус наибольшего объема.
Найти высоту этого конуса.
Рис. 22
Решение Пусть а - угол между
высотой конуса OS- Н и его об-
разующей $К-1 (рис.22). Тогда
/ = 27?cos«, Н = 2Rcos2 а, ради-
ус основания ОК конуса
г = 27?cos«sin«.
Объем конуса
И = -&R3 cos4 asin3 а.
к 3
( яЛ
Надо найти «е1 0,~1, при кото-
ром функция
f(a) = cos4 «sin3 а
имеет max.
Для этого найдем точки, в которых f\a) обращается в нуль.
f'(a) = ~4cos3 «sin3«+2cos5 asina;
- 4 cos3 «sin3 a + 2 cos5 asina = 0
=> -4sin2« + 2cos2a = 0 (т.к. cosa^O, sina^O) =>
2 1	'	42
=>	= ~	a=arct8~y
П	A
Внутри сегмента 0, —
у функции f (а) одна стационарная точка.Так как
/(0) = /(я/2) = 0, а
V2
>0, то в точке a^arctg— f(a)
31
имеет	max,	который 'достигается, когда высота конуса
I	4
/7 = 2/?--у- = -Л.
l + tg2a	3
4
Ответ Н = — R.
3
20. Найти наибольший объем цилиндра, вписанного в конус с высотой Н и
радиусом основания R.
Решение Пусть радиус основания
цилиндра OjA = г (рис. 23). Из по-
добия треугольников SCM и SOB
имеем
2ld = ^ (5О = Я) =>
OB SO	’
R
Тогда высота конуса
о
6
00, =Н0 = Н-Н~.
1	° R
Объем цилиндра
К = ят2//0 =“Л-г2Я| 1- —
° 3 I R
Рис. 23
Надо найти г е (О, /?), при котором функция
.2
/(r)=r2 1--|=г~----имеет max.
I R) R
Для этого найдем точки, в которых f(r) обращается в нуль.
Зг2
Лг)=2г-^-;
л
Зг2	2
2г- —= 0 => r = -R.
R	3
ы	2
Нетрудно проверить, что при переходе через точку г = производная
2
на Значит, в точке г = — R функция f (г)
/'(г) меняет знак с
имеет max.
32
Наибольший объем цилиндра
у ~ —~/?2 Н =
~ 93	27
Ответ
&tR2H
27
Решить самостоятельно следующие задачи
1.	В шар радиуса 5 см вписан цилиндр. Вычислить радиус основания
дра с наибольшей площадью его боковой поверхности. (5д/2/2 см)
2.	Найти образующую цилиндра наибольшего объема, вписанного в waP
радиуса/?. (27?д/з/3)
3.	В данный шар радиуса R вписан цилиндр с наибольшей площадь*0 пол'
ной поверхности. Найти его высоту. (R 710 — 2-sZs/5)
4.	Дан шар радиуса R. Найти радиус основания и образующую вписан **ого в
шар цилиндра, имеющего наибольшую площадь боковой повер?^*100™’
(Ял/2/2; W2)
5.	Найти высоту конуса наименьшего объема, описанного около шаРа Ра~
диусаг. (4г)
6.	В шар радиуса R вписан прямой круговой конус с наибольшей пло*^1адьЮ
полной поверхности. Найти высоту конуса.
(Я(23~л/17)/16)
7.	В конус высотой h и радиусом основания R вписан цилиндр с наибо-*16,11161*
площадью боковой поверхности. Найти радиус основания этого ци-Г* **нДРа
и площадь его боковой поверхности.
(Я/2; nrh/2)
8.	Около шара описан прямой круговой конус. Найти угол наклон ас обра-
зующей к плоскости основания конуса, для которого отношение гит о*цали
его боковой поверхности к плошади поверхности шара будет наж>*ъ4енъ
шим. (arccos(V3 -1))
9.	В конус вписан цилиндр так, что его основание лежит в плоскост ** юсно
г-»	w	и ко-
вания конуса. При каком отношении радиусов основании цилиндра*
нуса отношение их объемов будет наибольшим? (2/3)
33
Помимо задач с рассмотренными комбинациями различных тел, сущест-
вует и множество других. При решении таких задач следует представить
пространственную картину, как можно более четко изобразить ее на рисунке,
а также пользоваться вспомогательными планиметрическими рисунками,
дающими возможность без искажений изобразить то или иное сечение или
плоскую фигуру, встречающуюся в задаче.
ПРИМЕР
21. Найти высоту конуса наименьшего объема, описанного около полушара
радиусом R, если центр его основания лежит в центре шара.
Решение Пусть угол наклона обра-
зующей конуса к плоскости его ос-
нования АО ВС = а (рис:24). Тогда
радиус основания конуса
ов=г=-А->
sin а
а высота конуса
OS = H = OB tga = ~
cos а
Объем конуса
3 sin2acosa
гт	I	I
Надо наити nr el 0, — при кото-
ром функция /(«) = —---------
sin acosa
имеет max.
Рис. 24
Для этого найдем точки, в которых производная
ч 2 cos2 a sin a-sin3 а А z А .
f (а) =--------—-----------= 0 (cosа ф 0, smа * 0);
sin а cos а
sin2 а - cos2 а = 0 => tg1a = 2 => a~arctg^2.
Чтобы показать, что a-arctgjl точка min функции /(а), преобразуем
производную:
34
f\a)=~------~2---
sin a cos a sin a
1 ( 1________
sin « v cos2 a
snr a)
- ——h .J. ig^a _ 2(1 + ctg2a)] =------Vg2<* ~ 2.ctg2a ~ I
sin a '	sin a
Если a < arctg42,i& tg2a < 2; 2ctg2a > 1 и /'(#) < О
Если a >arctg 42, то tg2a>2\ 2ctg2a<l и /'(r)>0
Значит, при переходе через стационарную точку а = arctg42 производная
f\a) меняет знак с на Следовательно, в этой точке функция
f(a) имеет min.
Высота конуса Н = R4l + 2 = я4з .
Ответ И = R43 .
Решить самостоятельно следующую задачу:
В конус, высота которого равна Н и радиус основания R, вписан другой
конус так, что его вершина совпадает с центром основания данного кону-
са, а окружность основания вписанного конуса принадлежит боковой по-
верхности данного конуса. Какой должна быть высота вписанного конуса,
чтобы его объем был наибольшим? (Н/3)
35
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы/
Под рея. Сканави М.И. М.: Высш.шк., 1980. 541 с.
2.	Васильева В.А., Кудрина Т.Д., Молодежникова Р.Н. Методическое посо-
бие по математике для поступающих в вузы. М.: МАИ, 1992. 300 с.
3.	Лоповок Л.М. Тысяча проблемных задач по математике. М.: Просвеще-
ние, 1995. 240 с.
4.	Кулонин Е.Д., Норин В.П., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. 3000 конкурсных
задач по математике. М.: Айрис Пресс Рольф, 1998. 640 с.
СОДЕРЖАНИЕ
§	1.	Общие сведения о комбинациях шаров и многогранников	3
§2	.	Шар и пирамида	4
§3	.	Зависимость между углами в правильной л-угольной пирамиде	9
§4	.	Задачи на min и max, связанные с комбинацией пирамиды и шара	16
§5	.	Призма и шар	21
§6	.	Комбинации пирамид и призм с конусами и цилиндрами	24
§7	.	Комбинации круглых тел	28
Список рекомендуемой литературы	36