Задачи по геометрии. Пособие для учащихся 7-11 классов общеобразовательных учреждений - Зив Б.Г., Мейлер В.М., Баханский А.Г.

Автор: Зив Б.Г. Мейлер В.М. Баханский А.Г.
Теги: общее школьное образование общеобразовательная школа геометрия топология математика задачи по геометрии
ISBN: 5-09-012568-6
Год: 2003
Похожие
Учимся решать задачи по геометрии. 7-11 класс
Нестандартные задачи по математике в 7-11 классах
Текстовые задачи по математике. 7 - 11 классы
Задачи к урокам геометрии. 7-11 классы
Текст
                    
Б. Г. Зив В. М. Мейлер А. Г. Баханский
ЗАААЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ



Б. Г. Зив В. М. Мейлер А. Г. Баханский
аажад в мйеига
ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ
7—11 КЛАССОВ
ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ
Допущено
Министерством образования
Российской Федерации
5-е издание
Моаая «Просвещение»
2003
УДК 373.167.1:514
ББК 22.151я72
3-59
Рецензенты: кандидат педагогических наук Е. Н. Турецкий
учитель математики школы № 5 ст. Октябрьская
Краснодарского края Л. А. Козлова
Зив Б. Г.
3-59 Задачи по геометрии: Пособие для учащихся 7—11 кл.
общеобразоват. учреждений/Б. Г. Зив, В. М. Мейлер,
А. Г. Баханский.— 5-е изд.— М.: Просвещение, 2003.—
271 с.: ил.—ISBN 5-09-012568-6.
Книга адресована учащимся и учителям, содержит задачи по всем
разделам курса геометрии. Упражнения даны различной степени сложно-
сти, что поможет учителю в осуществлении индивидуального подхода к
учащимся.
УДК 373.167.1:514
ББК 22.151я72
ISBN 5-09-012568-6
© Издательство «Просвещение», 1997
© Художественное оформление.
Издательство «Просвещение», 2000
Все права защищены
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее пособие содержит обширный заданный материал
по всему курсу геометрии от 7-го до 11-го класса.
Задачи в каждом параграфе скомпонованы по темам и груп-
пам сложности. Первая и вторая группы каждого параграфа со-
держат задачи минимальной сложности. Для решения этих за-
дач достаточно уметь применять основные геометрические фак-
ты и использовать простейшие алгоритмы. Это продиктовано
разделом программы по математике «Требования к математиче-
ской подготовке учащихся» (Программы общеобразовательных
учреждений. Математика.— М.: Просвещение, 1996).
Третья и четвертая группы задач каждого параграфа пред-
ставляют задачи средней степени сложности. Для их решения
необходимо небольшое отклонение от непосредственного приме-
нения знаний, умение делать простые обобщения.
Пятая и шестая группы задач каждого параграфа предназ-
начены для наиболее подготовленных учащихся. При решении
этих задач требуется уметь применять знания в усложненных си-
туациях, иметь достаточно высокий уровень развития вычисли-
тельных навыков и навыков проведения алгебраических преоб-
разований. Задачи пятой и шестой групп в большей степени, чем
задачи предыдущих групп, опираются на предшествующий мате-
риал курса. В некоторых параграфах имеются седьмая и вось-
мая группы задач, отмеченные знаком «*». Эти задачи носят
творческий характер. При их решении приходится анализиро-
вать сложные нестандартные геометрические ситуации, самосто-
ятельно открывать новые факты, устанавливать отношения меж-
ду различными элементами. Эти задачи могут использоваться во
внеклассной работе.
Задачи в параграфах расположены парами. Так, задачи 1, 3,
5, 7-й групп аналогичны по сложности задачам 2, 4, 6, 8-й групп
соответственно. Такое расположение задач удобно для составле-
ния вариантов проверочных работ, распределения упражнений
для классных и домашних заданий.
По каждой теме в пособии приведены контрольные задания.
Эти задания состоят из наиболее типичных задач данной темы.
3
Кроме того, в каждом задании имеется задача повышенной
трудности, обозначенная знаком «*». Эти задачи, как правило,
не требуют проведения сложных вычислений и алгебраических
преобразований. Они проверяют умения применять знания в не-
стандартной ситуации.
Предполагается, что контрольные задания помогут учителю
организовать тематический учет знаний по геометрии. Для удоб-
ства составления вариантов каждое из заданий разбито на груп-
пы. В каждой из групп помещены задачи примерно одинакового
уровня сложности.
В конце пособия приведены ответы, даны указания к зада-
чам, которые могут вызвать затруднения, и помещены решения
наиболее сложных задач первой части пособия.
Данная книга есть результат многолетней работы авторского
коллектива по организации методического обеспечения препода-
вания геометрии в г. Санкт-Петербурге и Нижегородской об-
ласти.
НАЧАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
§ 1. ТОЧКИ, ПРЯМЫЕ, ОТРЕЗКИ, ЛУЧИ
1.1. 1) Проведите прямую и обозначьте на ней точки Е и
F. Отметьте на этой прямой точку Д, лежащую между точ-
ками Е и F, и точку К так, чтобы точка F лежала между
точками А и К.
2) а) На рисунке 1 найдите все лучи с началом в точке К.
б) Каким отрезкам с концами в обозначенных точках
(рис. 1) принадлежит точка К?
1.2. 1) Проведите прямую и обозначьте на ней точки М и
М. Отметьте на этой прямой точку D, лежащую между точ-
ками Af и W, и точку Е так, чтобы точка М лежала между
точками Е и D.
2) а) На рисунке 2 найдите все лучи с началом в точке С.
б) Каким отрезкам с концами в обозначенных точках
(рис. 2) принадлежит точка С?
1.3. 1) Отметьте три точки. Проведите все прямые, проходя-
щие через пары этих точек. Сколько таких прямых можно
провести? Рассмотрите все возможные случаи.
2) а) На рисунке 3 найдите все лучи с началом в точках
М и А,
б)	Каким отрезкам с концами в обозначенных точках
(рис. 3) принадлежит точка М?
1.4. 1) Нарисуйте три прямые, у которых:
а)	только одна точка пересечения;
б)	только две точки пересечения.
2) а) На рисунке 4 найдите все лучи с началом в точках
К и D,
б) Каким отрезкам с концами в обозначенных точках
(рис. 4) принадлежит точка Л?
1.5. 1) Отметьте четыре точки. Проведите все прямые, прохо-
дящие через пары этих точек. Сколько таких прямых мож-
но провести? Сделайте рисунок.
2) Сколько отрезков с концами в обозначенных точках
изображено на рисунке 5?
5
1.6.	1) Сколько точек пересечения могут иметь три прямые?
Рассмотрите все возможные случаи. Сделайте рисунок.
2) Сколько отрезков с концами в обозначенных точках
изображено на рисунке 6?
§ 2.	СРАВНЕНИЕ И ИЗМЕРЕНИЕ ОТРЕЗКОВ
2.1.	1) На прямой а расположены точки А, В и С, причем
АВ = 5 см, ВС = 7 см. Какой может быть длина ДС?
2)	Точка С — середина отрезка АВ. Найдите длину отрез-
ка АС в дециметрах, если АВ = 7 м 58 см.
2.2.	1) На прямой т расположены точки Af, N и К, причем
MN = 8 см, W/(=12 см. Какой может быть длина Л1/(?
2) Точка F — середина отрезка EL. EF = 8 дм 12 см. Най-
дите длину EL в метрах.
2.3.	1) Точки А и В расположены по разные стороны от пря-
мой а; С£а, ДВ = 37 дм, АС= 12 дм, СВ = 26 дм. Является
ли точка С точкой пересечения АВ и а?
2)	Точки С и D расположены на отрезке АВ так, что
ДС = £)В, точка С лежит между точками А и D. Найдите
расстояние между серединами отрезков АС и DB, если
АВ = 58 см, а СО = 2,8 дм.
2.4.	1) Точки Е и F расположены по разные стороны от
прямой ft; M£b, EF = 29 см, ЕМ =14 см, MF — 16 см. Яв-
ляется ли точка М точкой пересечения EF и ft?
2)	Точки Е и F расположены на отрезке CD так, что
CE = DF, точка Е лежит между точками С и F. Расстоя-
ние между серединами отрезков СЕ и DF равно 8,5 дм, а
длина отрезка CD равна 1,2 м. Найдите EF.
2.5.	1) На прямой а расположены точки Л4, Д, и В. Найдете
МА и МВ, если ДВ = 6 см и МА-±МВ = 9 см.
2)	На прямой отмечены последовательно точки Д, В, С и
D так, что AB = CD. Существуют ли еще пары равных от-
резков с концами в названных точках?
2.6.	1) На прямой ft расположены точки Д, Е и F. Найдите АЕ
и AF, если BF = 8 см и АЕ + AF =\4 см.
2)	На прямой отмечены последовательно точки Д, В, С и
D так, что AC = BD. Существуют ли еще пары равных от-
резков с концами в названных точках?
6
2.7*	. Зная, что ЛВ = 8, М — середина отрезка АВ, найдите на
прямой АВ все такие точки X, для которых сумма
ХАА-ХВА-ХМ равна 9. Покажите эти точки на рисунке.
2.8*	. Зная, что ДВ = 8, М — середина отрезка АВ, найдите на
прямой АВ все такие точки X, для которых сумма
ХАА-ХВА-ХМ равна 15. Покажите эти точки на рисунке.
§ 3.	СРАВНЕНИЕ И ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ
3.1.	1) Сколько развернутых и прямых углов изображено на
рисунке 7? Назовите какие-нибудь два острых и два ту-
пых угла.
2)	Прямой угол ADB разделен лучом DC на два
угла, из которых один больше другого на 8°. Найдите гра-
дусные меры этих углов.
3.2.	1) Сколько развернутых и прямых углов изображено на
рисунке 8? Назовите какие-нибудь два острых и два ту-
пых угла.
2)	Прямой угол АОВ разделен лучом ОС на два угла, из
которых один в 4 раза больше другого. Найдите градус-
ные меры этих углов.
3.3.	1) Сколько тупых, развернутых, прямых и острых углов
изображено на рисунке 9?
2)	Угол АОВ, равный 124°, лучом ОС разделен на два уг-
ла, разность которых равна 34°. Найдите эти углы. Чему
равен угол, образованный лучом ОС и биссектрисой уг-
ла АОВ?
3.4.	1) Сколько развернутых, прямых, острых и тупых углов
изображено на рисунке 10?
2)	Угол АОВ, равный 164°, лучом ОС разделен на два уг-
ла, градусные меры которых относятся как 3: 1. Найдите
эти углы. Чему равен угол, образованный лучом ОС и бис-
сектрисой угла АОВ?
3.5.	1) Сколько развернутых, прямых, острых и тупых углов
изображено на рисунке 11? Запишите в порядке возраста-
ния все углы, имеющие общую сторону ОВ.
2)	Луч ВМ делит развернутый угол АВС в отношении
5: 1, считая от луча ВА. Найдите угол АВК, если ВК —
биссектриса угла МВС.
7
3.6.	1) Сколько развернутых, прямых, острых и тупых углов
изображено на рисунке 12? Запишите в порядке возраста-
ния все углы, имеющие общую сторону ОС.
2) Луч MF делит развернутый угол ЕМН в отношении
1 :2, считая от луча ME. Найдите величину угла LMH, ес-
ли ML — биссектриса угла EMF.
3.7	*. Прямой угол двумя лучами, исходящими из его верши-
ны, разделен на три угла, один из которых равен разности
двух других углов. Найдите величину большего из этих
углов.
3.8	*. Прямой угол разделен лучом, исходящим из его верши-
ны, на два таких угла, что половина одного угла равна
трети другого. Найдите эти углы.
§ 4. СМЕЖНЫЕ И ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ,
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ
4.1.	1) Один из двух углов АВС и CBD, изображенных на ри-
сунке 13, на 50° больше другого. Найдите эти углы.
2)	На рисунке 14 AF Л-ЕВ. Л. СОВ = 20°.
а)	Найдите угол DOF.
б)	Найдите пару тупых вертикальных углов.
4.2.	1) Один из двух углов hk и kl. изображенных на рисун-
ке 15, меньше другого в 3 раза. Найдите эти углы.
2)	На рисунке 16 ADA_BE, Z.EOF = 60°.
а)	Найдите угол DOC.
б)	Назовите пару тупых вертикальных углов.
4.3.	1) Разность двух углов АОВ и СОВ. изображенных на ри-
сунке 17, равна 54°. Найдите эти углы.
2) На рисунке 18 АСА-DB, ОК — биссектриса угла АОВ.
а)	Может ли угол РОС быть равным 44°59'?
б)	Найдите отношение величин углов DOK и РОВ.
4.4.	1) Градусные меры углов hk и kl. изображенных на ри-
сунке 19, относятся как 1 :4. Найдите эти углы.
2)	На рисунке 20 AD ±ВЕ, ОС — биссектриса угла DOB.
а) Может ли угол FOE быть равным 45°Г?
б)	Чему равна разность градусных мер углов FOB и ЕОС?
8
4.5.	1) На рисунке 21 ВС±ДО, Z2= Z.3. Равны ли Z1 и Z.4?
2)	Прямые АВ, CD и EF пересекаются в точке О так,
что луч ОЕ— биссектриса угла AOD, равного 165°. Най-
дите угол A OF (рис. 22).
4.6.	1) На рисунке 23 КТХ_МР, Z.3= Z.4. Равны ли Z1 и Z.2?
2)	Прямые AD, BE и CF пересекаются в точке О так, что
луч ОЕ — биссектриса угла FOD, Z FOE = 37°30'. Найди-
Рис. 23
9
4.7*	. При пересечении двух прямых один из образовавшихся уг-
лов в 8 раз меньше суммы остальных углов. Найдите ве-
личину каждого из этих углов.
4.8*	. При пересечении двух прямых один из образовавшихся уг-
2
лов равен у суммы остальных углов. Найдите величину
каждого из этих углов.
ТРЕУГОЛЬНИКИ
§ 5.	ТРЕУГОЛЬНИК, РАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКОВ, ПЕРИМЕТР ТРЕУГОЛЬНИКА
5.1.	Треугольники АВС и MNP равны, причем Z.4 = Z.M,
Z_B=Z_N.
а) Найдите ВС и угол С, если WP=12 см, a ZP=12°r.
б) Могут ли в треугольнике АВС быть равными стороны
АВ и ВС, если все стороны A MNP имеют разные длины?
5.2.	Треугольники ОКТ и АВС равны, причем Z.B=17O35/,
ОК = 23 см, Z0=Z4, ZT=ZC.
а) Могут ли все углы треугольника АВС быть равными,
если два угла £±ОКТ имеют различные градусные меры?
б) Найдите АВ и угол К.
5.3.	Треугольники MNP и SKT равны, причем MP = ST,
^.M=AS, MN=\7 дм, Ztf = 70°18'.
а)	Найдите угол N и SK.
б)	Может ли периметр треугольника SKT быть больше
периметра треугольника PMN?
5.4.	Треугольники ОЕВ и SKT равны, причем ZB=ZT,
ЕВ = КТ.
а) Найдите ОВ и угол К, если ZE = 121О15/, a ST = 16 дм.
б) Может ли отношение периметров данных треугольников
быть равным двум?
5.5.	Треугольники АВС и ^В^ равны, причем AB = BtAlf
А^^СВ, ZB=15°, ВХСХ = Ь м.
а)	Найдите АС и угол А.
б)	Может ли периметр треугольника AiBjCj быть больше,
чем 2Д1В|+ЛС, если в треугольнике АВС АВ = ВС?
5.6.	Треугольник j^BjCj равен треугольнику ЛВС, причем
В^С^АС, А}С{ = АВ.
а) Найдите ВХА{ и угол С, если Z-В^бО0, ВС = 8 м.
б) Может ли периметр треугольника АВС быть равным
2ДС~ЬЗВ1С1, если известно, что все его стороны равны?
§ 6.	ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ.
МЕДИАНА, БИССЕКТРИСА И ВЫСОТА ТРЕУГОЛЬНИКА
6.1.	1) Докажите, что треугольники, изображенные на рисун-
ке 25, равны.
2) BD является высотой и медианой треугольника ЛВС,
изображенного на рисунке 26.
ю
а)	Докажите, что A.ABD= A.BDC.
б)	Докажите, что АВ = ВС.
6.2.	1) Докажите, что треугольники, изображенные на рисун-
ке 27, равны.
2)	КР— биссектриса треугольника MK.L, изображенного
на рисунке 28, MK = KL.
а)	Докажите, что А.МРК = A.LKP.
б)	Докажите, что КР — медиана треугольника MKL.
6.3.	1) Докажите, что ДВОЛ = АСОЕ (рис. 29), если АО = ОС,
ВО = ОЕ.
2)	На рисунке 30 BD = DE и ABDA = Z.EDA.
а)	Докажите, что AADB = AADE.
б)	Докажите, что AD — биссектриса треугольника АВС.
6.4.	1) Докажите, что АНОР= А КОМ (рис. 31), если ОН —ОК,
ОР = ОМ.
2)	На рисунке 32 РМ = РЕ и АЕРН= АМРН.
а)	Докажите, что АРЕН = АР МН.
б)	Докажите, что HP — биссектриса треугольника КМН.
II
М
p
в
6.5.	1) На рисунке 33 изображены треугольники MNP и
CDE, у которых Z.Af=Z.D, MN = DE. Докажите, что
Z-E=Z_N, если MP — CD.
2)	На рисунке 34 АЕ и BF — медианы треугольника АВС\
Д/(=10,7 дм. Найдите длину отрезка КВ.
6.6.	1) На рисунке 35 изображены треугольники EFM и АВС,
у которых ZF= Z.В, FE = AB и FM = BC. Докажите, что
ZAf=ZC.
2)	На рисунке 36 AD и BE — биссектрисы треугольника
АВС\ Z-BCO = 37°40'. Найдите величину угла ОСА.
6.7	*. На рисунке 37 BE и CF — высоты треугольника АВС.
При помощи только линейки постройте высоту АХ этого
треугольника. Найдите длину отрезка ВС, если АХ = ВЕ,
СХ = СЕ и ДС=17 дм.
6.8	*. На рисунке 38 КР и MF— высоты треугольника KML.
При помощи только линейки постройте высоту LX этого
треугольника. Найдите величину угла XLM, если КР = ЬХ,
МР = МХ и Z РКМ = 27°.
12
§ 7. СВОЙСТВА РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
7.1.	1) На рисунке 39 ДВ = ВС. Докажите, что Z1 = Z2.
2) BD является высотой равнобедренного треугольника
АВС ('АВ = ВСу, Z_ABD=\7°, AD = 9 см. Найдите углы
DBC, АВС и основание АС.
7.2.	1) На рисунке 40 АВ = ВС. Докажите, что Z.1 = Z_2.
2) BD является биссектрисой равнобедренного треуголь-
ника АВС (АВ = ВСу, ДС=18 см, Z.DBC = 21°. Найдите
углы ABD, ADB и длину отрезка AD.
7.3.	1) На рисунке 41 равнобедренный треугольник АВС и
равнобедренный треугольник ADC имеют общее основа-
ние. Докажите, что Z-BAD= Z.BCD.
2)	На медиане СМ равнобедренного треугольника АВС с
основанием АВ взята точка О. Докажите, что треугольник
АО В равнобедренный.
7.4.	1) На рисунке 42 равнобедренные треугольники АВС и
ADC имеют общее основание АС. Докажите, что
Z.BAD— Z.BCD.
2)	На высоте АН равнобедренного треугольника АВС с
основанием ВС взята точка М. Докажите, что треугольник
ВМС равнобедренный.
7.5.	1) На рисунке 43 треугольник АВС равнобедренный с
основанием AC, L — середина АС, АМ = С/(. Докажите,
что ML = LK.
2)	Равнобедренные треугольники АВС и DBC имеют об-
щее основание ВС. Вершины А и D находятся по разные
Рис. 42	Рис. 43	Рис. 44
13
Рис. 45
Рис. 46
Рис. 47
стороны от ВС. Отрезки AD и ВС пересекаются в точке
О. Докажите, что ADA. ВС.
7.6.	1) На рисунке 44 изображен равнобедренный треугольник
с основанием Р1\ СО — высота треугольника, РВ = ТА.
Докажите, что Z_PBO= Z.OAT.
2)	Равнобедренные треугольники АВС и ABD имеют об-
щее основание АВ. Вершины С и D находятся по разные
стороны от АВ. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке
М. Докажите, что М — середина АВ.
§ 8. ВТОРОЙ И ТРЕТИЙ ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
8.1.	1) На рисунке 45 Z.1 = Z.2 и DC = CE. Докажите, что
ВС = АС.
2)	На рисунке 46 AB = CD, BC = AD, Z.ABD = 27°. Най-
дите величину угла BDC.
8.2.	1) На рисунке 47 FO = OL, Z.EFO = Z.OLK. Докажите,
что FE = KL.
2)	На рисунке 48 AB = AD, BC = CD, Z_ACD=\9°. Най-
дите величину угла АСВ.
8.3.	1) На рисунке 49 NP = MK, MN = PK, Z_NMK=\37°.
Найдите Z.L
2)	AD и СЕ — биссектрисы равнобедренного треугольни-
ка с основанием АС. Докажите, что ДДЕС=ДСОД.
Рис. 48
Рис. 49
Рис. 50
14
Рис. 51	Рис. 52
8.4.	1) На рисунке 50 ДВ = ДО, BC = CD, ДДСВ= 121°. Най-
дите Z1.
2)	АЕ и КМ — биссектрисы равнобедренного треугольни-
ка АРК с основанием АК. Докажите, что треугольники
АРЕ и КРМ равны.
8.5.	1) На рисунке 51 zLDAB= Л.АВС, АК = КВ. Докажите,
что /LADB=Z-BCA,
2)	Точки С и D расположены по разные стороны от пря-
мой АВ так, что ДО = ДС, BD — DC. Докажите, что АВ —
биссектриса угла DAC.
8.6.	1) На рисунке 52 Z_HKN= Z.MNK, KO = ON. Докажите,
что Z_KHN=AKMN.
2) Точки М и Е расположены по разные стороны от пря-
мой ОР так, что ОМ = РЕ и МР = ОЕ. Докажите, что
АМОР= ЛЕРО и Z_MPO= Z-EOP.
8.7*. 1) На одной стороне угла с вершиной А отмечены точки
D и В, на другой стороне — С и Е так, что ДО = ДС = 3 см,
ДВ = Д£ = 4 см. Докажите, что: a) BC = ED\ б) КВ = КЕ.
где К — точка пересечения отрезков ВС и ED.
2) АВС и А1В1С1 — равнобедренные треугольники с осно-
ваниями АС и Д^!, точки М и Afj — середины сторон ВС
и ВХСХ соответственно, ДВ = Д1В1, ДЛ4 = Д1Л41. Докажите,
что Л АВС= Л AiSiCp
8.8*. 1) На одной стороне угла с вершиной В отмечены точки
М и О, на другой — К и Р так, что ВМ = ВР, BO<ZBM,
ВК<ВР, a Z_OPB= Z-KMB. Докажите, что:
а) МК = ОР\
б) ТМ = ТР, где Т—точка пересечения отрезков МК и ОР.
2) АС и Д1С1 — основания равнобедренных треугольников
АВС и Д1В1С1, точки М и Mi — середины сторон ВС и BjCj
соответственно, AC = AiClt АВ = А!В!. Докажите, что
ДДВЛ4 = ДД1В|Л41.
§ 9.	ОКРУЖНОСТЬ. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ
9.1.	1) На рисунке 53 изображена окружность с центром О,
Z_AOB= Z-COD. Найдите ДВ, если известно, что СО = 5 см.
2)	Отложите от луча РК угол, равный углу А (рис. 54).
15
9.2.	1) На рисунке 55 изображена окружность с центром О,
АВ —CD. Найдите угол COD, если известно, что Z.4OB=37°.
2) Постройте биссектрису данного угла В (рис. 56).
9.3.	1) На рисунке 57 изображена окружность с центром О,
хорда АВ равна радиусу окружности, угол ОАВ равен 60°.
Найдите Z.COD.
2)	Отложите от данного луча угол, равный данному.
9.4.	1) На рисунке 58 изображена окружность с центром О,
хорда РТ равна радиусу окружности, угол МОР равен
120°. Найдите Z.OTP.
2)	Постройте биссектрису данного неразвернутого угла.
9.5.	1) На рисунке 59 изображена окружность с центром О,
AB = DE. Докажите, что угол AOD равен углу ВОЕ.
Рис. 56	Рис. 57	Рис. 58
16
2)	Даны тупой угол Д и луч МК. Отложите от луча МК
угол, равный углу, смежному с углом А.
9.6.	1) На рисунке 60 изображена окружность с центром О,
Z_POC= ЛЕОТ. Докажите, что РЕ = СТ.
2) Дан острый угол А, Постройте биссектрису угла,
смежного с углом А.
§ 10.	ПОСТРОЕНИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМЫХ
10.1.	1) Через точку А проведите прямую, перпендикулярную
прямой а (рис. 61).
2)	Постройте медиану AM треугольника АВС (рис. 62).
10.2.	1) Через точку В проведите прямую, перпендикулярную
прямой ш (рис. 63).
2)	Постройте медиану МК треугольника EMF (рис. 64).
10.3.	1) Постройте любые два взаимно перпендикулярных диа-
метра окружности.
2)	Постройте высоту АН треугольника АВС (рис. 65).
10.4.	1) Постройте любые две взаимно перпендикулярные хорды
окружности.
2)	Постройте высоту ВН треугольника АВС (рис. 66).
10.5.	1) Постройте угол 45°.
2)	Постройте окружность с диаметром, равным данному
отрезку.
10.6.	1) Постройте угол 135°.
2)	Даны две точки, являющиеся концами диаметра
окружности. Постройте эту окружность.
17
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
§11. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ
11.1. 1) Параллельны ли прямые а и Ь, изображенные на
рисунке 67?
2) На рисунке 68 точка N — середина отрезков РК и МТ.
Докажите, что прямые РТ и МК параллельны.
11.2. 1) Параллельны ли прямые тип, изображенные на ри-
сунке 69?
2) На рисунке 70 АВ и CD — диаметры окружности. Дока-
жите, что АС и BD параллельны.
11.3. 1) Параллельны ли прямые а и Ь, изображенные на
рисунке 71?
2) На рисунке 72 РТ = КМ, РК = ТМ. Докажите, что
прямые РТ и КМ параллельны.
11.4. 1) Параллельны ли прямые тип, изображенные на
рисунке 73?
2) На рисунке 74 AB = CD, ВС —AD. Докажите, что пря-
мые АВ и CD параллельны.
11.5. 1) Параллельны ли прямые а и 6, b и с, а и с, изображен-
ные на рисунке 75?
18
Рис. 76
2)	На рисунке 76 Z. 1 = Z.2, АС = МК, BC = NK. Докажи-
те, что прямые АВ и MN параллельны.
11.6. 1) Параллельны ли прямые т и и, т и ft, п и £, изображен-
ные на рисунке 77?
2)	На рисунке 78 Z. 1 = Z.2, Л^ = ДВ, NK = AC. Докажи-
те, что прямые NM и ВС параллельны.
§ 12. СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ
12.1.	1) На рисунке 79 прямые тип параллельны, Z_l=65°.
Найдите углы 2 и 3.
2)	Через вершину А треугольника АВС с прямым углом С
проведена прямая, параллельная стороне ВС. Найдите
угол В треугольника, если ZC4B = 43°.
12.2.	1) На рисунке 80 прямые а и b параллельны, Z. 1 = 132°.
Найдите углы 2 и 3.
2)	Через вершину М треугольника МКР с прямым углом
К проведена прямая, параллельная стороне КР. Найдите
угол М треугольника, если Z.P = 57°.
12.3.	1) На рисунке 81 прямые тип параллельны, Z. 1 = 140°.
Найдите углы 2 и 3.
2)	Дан угол ЛВС, равный 76°. Через точку А проведена
прямая, параллельная прямой ВС и пересекающая бис-
сектрису угла в точке М. Найдите углы треугольни-
ка АВМ.
12.4.	1) На рисунке 82 прямые а и b параллельны, Z.l=74°.
Найдите углы 2 и 3.
2)	Через точку М биссектрисы угла ЛВС, равного 94°,
проведена прямая, параллельная прямой АВ и пересекаю-
щая сторону ВС в точке К. Найдите углы треугольни-
ка ВМК.
19
12.5.	1) На рисунке 83 прямые т и п параллельны, Z. 1 = 111°.
Найдите углы 2 и 3.
2)	Внутри угла АВС проведены параллельные лучи AM
и СК. Найдите угол ЛВС, если Z.AMB=140°,
Z.KCB = 131°.
12.6.	1) На рисунке 84 прямые а и Ь параллельны, Z 1 = 131°.
Найдите углы 2 и 3.
2)	Вне угла МОР проведены параллельные лучи МТ и РК.
Найдите угол МОР, если Z.0^7=15°, Z0P/( = 31°.
12.	7*. На рисунке 85 ДВ = ВС, £0=Д£, ZC = 80°, ZZMC = 40°.
Докажите, что прямые ED и АС параллельны. Найдите
угол BED.
12.	8*. На рисунке 86 PN = NT, РК — биссектриса угла МРТ,
Z-NPT—TW, Л.РКМ = 55°. Докажите, что прямые РТ и МК
параллельны. Найдите угол РКТ.
§ 13.	ПРАКТИЧЕСКИЕ СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ.
ПРИЗНАКИ И СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ
13.1.	1) Начертите произвольную прямую а и две точки М и
К по одну сторону от нее. С помощью чертежного уголь-
ника и линейки через каждую из точек М и К проведите
прямую, параллельную прямой а.
2)	На рисунке 87 Zl=67°, Z2=127°, Z4 = 67°. Найдите
угол 3.
13.2.	1) Начертите произвольную прямую m и две точки А и
В по разные стороны от нее. С помощью чертежного уголь-
ника и линейки через каждую из точек Д и В проведите
прямую, параллельную прямой ш.
Рис. 84
20
2)	На рисунке 88 Zl=73°, Z3 = 92°, Z2 = 73°. Найдите
угол 4.
13.3.	1) Начертите произвольную прямую а и две точки М и
К по одну сторону от нее. С помощью циркуля и линейки
через каждую из точек М и К проведите прямую, парал-
лельную прямой а.
2)	На рисунке 89 Zl=82°, Z2 = 98°, Z.4=102°. Найдите
угол 3.
13.4.	1) Начертите произвольную прямую п и две точки А и
В по разные стороны от нее. С помощью циркуля и линей-
ки через каждую из точек А и В проведите прямую, па-
раллельную прямой п,
2)	На рисунке 90 Zl=63°, Z2 = 77°, Z4=117°. Найдите
угол 3.
13.5.	1) Начертите произвольный треугольник АВС и выберите
внутри его произвольную точку Постройте треугольник
AiB^C^ равный данному треугольнику, так, чтобы его сторо-
ны были соответственно параллельны сторонам данного
треугольника. (Рассмотрите один из возможных случаев.)
2) На рисунке 91 Zl=51°, Z2=129°, Z3 = 52°, BE—
биссектриса угла АВС, Найдите угол 4.
13.6.	1) Начертите произвольный треугольник HFE и выберите
вне его произвольную точку Нх. Постройте треугольник
H{F}Eb равный данному треугольнику, так, чтобы его сторо-
ны были соответственно параллельны сторонам данного
треугольника. (Рассмотрите один из возможных случаев.)
2) На рисунке 92 Z1 = Z3 = 68°, Z2=112°, РТ — бис-
сектриса угла МРК. Найдите угол 4.
13.7*	. На отрезке АВ взята точка С; через точки А и В проведе-
ны по одну сторону от АВ параллельные лучи. На них от-
21
ложены отрезки AD = AC и ВЕ = ВС, точка С соединена
отрезками с точками D и Е. Докажите, что DCA.CE.
13.8*	. Через точку О, расположенную внутри треугольника АВС,
проведена прямая DE, параллельная стороне АС и пере-
секающая стороны АВ и ВС соответственно в точках D и
Е. AD = DO и СЕ = ЕО. Докажите, что ВО — биссектриса
угла АВС.
СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ СТОРОНАМИ
И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА
§ 14.	СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА
14.1.	1) В треугольнике АВС проведена биссектриса АК. Найдите
угол В, если Z.C = 33°, Z_AKC = 110°.
2)	Внешний угол при основании равнобедренного тре-
угольника равен 100°. Найдите угол при основании, не
смежный с данным внешним углом.
14.2.	1) Отрезок ВК является биссектрисой треугольника АВС,
Z4=68°, ZB/G4=81°. Найдите угол С треугольника.
2)	Угол при основании равнобедренного треугольника ра-
вен 70°. Чему равен внешний угол при основании тре-
угольника, не смежный с данным углом?
14.3.	1) В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС
/_А = 54°. Найдите угол НВС, где ВН — высота треуголь-
ника.
2)	Внешний угол при основании равнобедренного тре-
угольника на 20° больше одного из углов при основании
треугольника. Найдите углы при основании.
14.4.	1) В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС
Z_B = 64°. Найдите угол АМС, где СМ — биссектриса тре-
угольника.
2)	Один из углов при основании равнобедренного тре-
угольника на 40° меньше внешнего угла при основании.
Найдите внешний угол при основании.
14.5.	1) В треугольнике АВС биссектрисы и ВМ пересекаются
в точке О. Найдите угол С треугольника, если
ZtfOB = 70°.
2)	В треугольнике АВС точка D лежит на стороне ВС, при-
чем AD = DC. Сумма внешних углов при вершине А рав-
на 160°. Найдите угол С, если AD — биссектриса угла ВАС.
14.6.	1) В треугольнике АВС высоты АК и ВМ пересека-
ются в точке О. Найдите угол АОВ, если углы А и В тре-
угольника равны соответственно 72° и 60°.
2)	В треугольнике LKM точка Р лежит на стороне LM,
причем КР = РМ, ZAf = 40°. Найдите сумму внешних уг-
лов при вершине К, если КР — биссектриса угла LKM.
14.	7*. Найдите угол х на рисунке 93.
14.	8*. Найдите угол х на рисунке 94.
22
Рис. 94	Рис. 95
§ 15.	СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ СТОРОНАМИ
И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА
15.1.	1) В треугольнике АВС биссектриса угла С пересекает
сторону АВ в точке D, AD = DC, Z_A =40°. Докажите, что
АВ>ВС.
2)	На рисунке 95 Z.DAC= 106°, Z_FCE = 74°, АВ= 12 см.
Найдите ВС.
15.2.	1) В треугольнике АВС угол АВС равен 70°. Биссектриса
этого угла пересекает сторону АС в точке D, BD = DC.
Докажите, что AB<Z.AC.
2)	На рисунке 96 Z.NML = 65°, АМКР= 115°, НК=7 дм.
Найдите МН.
15.3.	1) На рисунке 97 АВ = ВС, Z.1 = Z.2. Докажите, что
AD = DC.
2)	В треугольнике АВС точка К лежит на стороне АС,
А ВС А = 107°, ВК=4,5, ЛВ<6. Найдите АВ, если известно,
что длина АВ выражается целым числом.
15.4.	1) На рисунке 98 EF=FC, Z1 = Z2. Докажите, что
DE = DC.
2)	В треугольнике DEM точка F лежит на стороне DE,
Z-DEM=\ 15°, DM = 14, FM> 12,5. Найдите FM, если известно,
что длина FM выражается целым числом.
15.5.	1) В треугольнике АВС точки D и Е лежат соответственно
на сторонах АВ и ВС, причем AD = CE и AE = CD. Дока-
жите, что треугольник АВС равнобедренный.
Рис. 96	Рис. 97	Рис. 98
23
2)	На рисунке 99 угол С прямой, a D — произвольная точ-
ка стороны АС. Докажите, что АВ>АЕ.
15.6.	1) В треугольнике АВС точки F и М лежат соответственно
на сторонах АВ и ВС, причем CF = AM, а /_МАС =
= /LFCA. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.
2) На рисунке 100 ZLN тупой, а К — произвольная точка
стороны MN. Докажите, что ML<PM.
15.7*	. На рисунке 101 АВ = АС. Докажите, что AF>AD.
15.8*	. На рисунке 102 АВ = ВС. Докажите, что BF<EB.
§ 16.	НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКОВ
16.1.	1) Могут ли стороны треугольника относиться как 2:3:6?
2) Боковые стороны равнобедренного треугольника равны
10. Может ли основание быть равным 20,01?
16.2.	1) Могут ли стороны треугольника относиться как 3:5:8?
2) Основание равнобедренного треугольника равно 29,9.
Могут ли боковые стороны быть равными 15?
16.3.	1) Длина одного отрезка на 1 см больше второго и на 4 см
больше третьего. Могут ли эти отрезки быть сторонами
треугольника, периметр которого равен 10 см?
2)	В равнобедренном треугольнике АВС основание АС
равно 1, Z.4 = 15°. Докажите, что 1<2ДВ<2.
16.4.	1) Существует ли такой треугольник, у которого одна сто-
рона на 4 дм меньше второй и на 1 дм меньше третьей, а
периметр равен 14 дм?
24

D
2)	В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС
1 АС
сторона АВ равна 1, Z_C = 45°. Докажите, что—<—<1.
16.5.	1) В равнобедренном треугольнике периметр равен 120 мм,
а одна из его сторон 28 мм. Найдите длину остальных
сторон треугольника.
2)	Докажите, что KL + LM	KN (рис. 103).
16.6.	1) В равнобедренном треугольнике периметр равен 60 дм,
а одна из его сторон 25 дм. Найдите длины остальных сто-
рон треугольника.
2) Докажите, что AD<zAB-\-BC-j- CD (рис. 104).
16.7	*. На рисунке 105 BO = OD и АО = ОС. Докажите, что
ВС-|- со
СО< 2	.
16.8	*. На рисунке 106 BO = OD и АО = ОС. Докажите, что
SO<M+BC
§ 17. СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
17.1.	1) На рисунке 107	Z.CDB = 90°, AD = BC. До-
кажите, что AB = CD.
2)	Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°,
а разность гипотенузы и меньшего катета равна 4 см.
Найдите эти стороны треугольника.
17.2.	1) На рисунке 108 РО = ОМ, АРКО= АМТО = 90°. До-
кажите, что РК = МТ.
2)	Один из углов прямоугольного треугольника равен 30°,
а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 36 см. Най-
дите эти стороны треугольника.
25
Рис. Ill
17.3.	1) На рисунке 109 Z ZBAjW = 90°, АК = ВМ. До-
кажите, что АМ = ВК.
2)	Один из внешних углов прямоугольного треугольника
равен 120°. Найдите большую и меньшую стороны тре-
угольника, если их сумма равна 18 см.
17.4.	1) На рисунке ПО РА = РВ, ВСА.РА, ADA.PB, Докажи-
те, что PD = PC.
2)	В треугольнике ABC Z.4=90°, а внешний угол при
вершине В равен 150°. Найдите СВ и АС, если
СВ — АС = 10 см.
17.5.	1) На рисунке 111 AB = CD, BC = AD, ААКВ= Z_CPD =
= 90°. Докажите, что KB = DP.
2)	В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой
ВС и углом В, равным 60°, проведена высота AD. Най-
дите DC, если £)В = 2 см.
17.6.	1) На рисунке 112 АВ = CD, ААРВ= Z.CTD = 90°, АР =
= СТ. Докажите, что BC=AD.
2) В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АС,
равной 12 см, проведена высота BD, Найдите CD и DA,
если Z.X = 30°.
26
17.7*. 1) В равнобедренном треугольнике один из углов 120°, а
основание равно 10 см. Найдите высоту, проведенную к
боковой стороне.
2) На рисунке 113 ED = AB. Периметр треугольника АВС
равен 12 см. Найдите периметр треугольника DEF.
17.8*. 1) В равнобедренном треугольнике один из внешних углов
равен 60°, высота, проведенная к боковой стороне, равна
17 см. Найдите основание треугольника.
2)	На рисунке 114 AfS = /CC, КР — РС=10 см. Найдите
разность длин отрезков ОМ и ОВ.
§ 18. РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ
И РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПРЯМЫМИ
18.1.	1) В прямоугольном треугольнике ABC А В = 90°, АВ =
= 4 см, СВ = 7 см. Найдите расстояние:
а)	от точки А до прямой ВС;
б)	от точки С до прямой АВ.
Может ли расстояние от точки В до прямой АС быть рав-
ным 5 см?
2)	Проведите прямую и с помощью чертежного угольника
и масштабной линейки постройте прямые, удаленные от
нее на расстояние, равное 3 см.
18.2.	1) В прямоугольном треугольнике ABC Z.4=90°, АВ =
= 6 см, ДС= 10 см. Найдите расстояние:
а)	от точки В до прямой АС;
б)	от точки С до прямой АВ.
Может ли расстояние от точки А до прямой ВС быть рав-
ным 8 см?
2)	Проведите прямую и с помощью чертежного угольника
и масштабной линейки постройте прямые, удаленные от
нее на расстояние, равное 5 см.
18.3.	1) В прямоугольном треугольнике АВС АВ = 6 см,
ДС = 8 см, ВС=10 см. Найдите расстояние:
а)	от точки В до прямой АС;
б)	от точки С до прямой АВ.
Может ли расстояние от точки А до прямой СВ быть рав-
ным 7 дм?
2)	На прямой а с помощью чертежного угольника и масш-
табной линейки постройте точки, удаленные от прямой b
на расстояние, равное длине заданного отрезка PQ
(рис. 115).
18.4.	1) В прямоугольном треугольнике АВС ДВ = 24 см,
ДС = 25 см, ВС = 7 см. Найдите расстояние:
а)	от точки А до прямой ВС;
б)	от точки С до прямой АВ.
Может ли расстояние от точки В до прямой АС быть рав-
ным 10 см?
27
2)	На окружности с помощью чертежного угольника и
масштабной линейки постройте точки, удаленные от пря-
мой т на расстояние, равное длине заданного отрезка PQ
(рис. 116).
18.5.	1) Точки А и В лежат по разные стороны от прямой
а. Расстояние от точки А до этой прямой равно 6 см, а от
точки В — 4 см. Может ли расстояние между точками А и
В быть равным 8 см?
2)	Дан треугольник АВС (рис. 117). С помощью чертежно-
го угольника и масштабной линейки постройте равнобед-
ренный треугольник с основанием АС и вершиной, удален-
ной от прямой АС на то же расстояние, что и вершина
В данного треугольника.
18.6.	1) Точки М и лежат по разные стороны от прямой
р. Расстояние от точки М до этой прямой равно 8 см, а от
точки Л — 10 см. Может ли расстояние между точками М и
К быть равным 17 см?
2)	Дан треугольник ЕНМ (рис. 118). С помощью чертеж-
ного угольника и масштабной линейки постройте равно-
бедренный треугольник с основанием ЕМ и вершиной,
удаленной от прямой ЕМ на то же расстояние, что и вер-
шина И данного треугольника.
18.7	*. Точки А и В лежат по разные стороны от прямой
а. Перпендикуляры АР и ВМ к прямой а равны. Отрезки
АВ и МР пересекаются в точке К. Докажите, что точка
К делит каждый из них пополам.
18.8	*. Точки А и В лежат по одну сторону от прямой а. Пер-
пендикуляры AM и ВК к прямой а равны. Отрезки АК и
ВМ пересекаются в точке О. Докажите, что точка О рав-
ноудалена от точек Д, Af, К и В.
28
§ 19. СВОЙСТВА СЕРЕДИННОГО ПЕРПЕНДИКУЛЯРА
И БИССЕКТРИСЫ УГЛА
19.1.	1) На серединном перпендикуляре отрезка АВ взята точ-
ка М. Периметр треугольника АМВ равен 42 см. Найдите
длину отрезка АВ, если AM в 3 раза больше АВ.
2)	Постройте точку на катете прямоугольного треугольни-
ка, равноудаленную от гипотенузы и другого катета.
19.2.	1) На серединном перпендикуляре отрезка МК взята точ-
ка Р. Найдите длину отрезка РМ, если она на 3 см боль-
ше длины отрезка МК, а периметр треугольника РМК ра-
вен 96 см.
2)	Постройте точку на боковой стороне равнобедренного
треугольника, равноудаленную от основания и другой
боковой стороны.
19.3.	1) В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС
серединный перпендикуляр стороны АС пересекает сторо-
ну ВС в точке М. Найдите Z-САМ, если Z.АВС = 43°.
2) В прямоугольном треугольнике ABC (Z.C = 90°)
ВС<АС. Постройте точку, равноудаленную от сторон АВ
и АС и находящуюся от вершины С на расстоянии, равном
длине катета ВС.
19.4.	1) В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС
серединный перпендикуляр стороны АВ пересекает осно-
вание АС в точке Р. Найдите угол С, если ЛАВР = 52°.
2) Дан равнобедренный остроугольный треугольник АВС
(АВ = ВС). Постройте точку, равноудаленную от АВ и АС
и находящуюся от вершины С на расстоянии, равном по-
ловине длины основания АС.
19.5.	1) В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АВ
серединный перпендикуляр стороны АС пересекает сторо-
ну ВС в точке М. Найдите угол МАВ, если Х.АСВ = 40°.
2) В прямоугольном треугольнике ABC (Z.C = 90°) по-
стройте точку, равноудаленную от АВ и АС и находящую-
ся на равном расстоянии от вершин А и В.
19.6.	1) В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС
серединный перпендикуляр стороны АВ пересекает сторо-
ну ВС в точке Р. Найдите угол РАС, если ZLBCA =65°.
2) В равнобедренном треугольнике CDE (CD = DE) по-
стройте точку, равноудаленную от СЕ и DE и находящую-
ся на равном расстоянии от вершин D и Е.
19.7*	. 1) В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) угол
при основании равен 75°, AM — биссектриса треугольни-
ка, ВУИ=10 см. Найдите расстояние от точки М до осно-
вания треугольника АС.
2)	Найдите множество вершин С равнобедренных треуголь-
ников АВС с основанием АВ, равным заданному отрезку.
19.8*. 1) В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) угол
при вершине В равен 120°, СМ — биссектриса, АМ =
29
= 14 см. Найдите расстояние от точки М до прямой ВС.
2) Даны прямая а и отрезок ВС, не имеющий общих точек
с этой прямой. На прямой а найдите такую точку Д, что
треугольник АВС с основанием ВС будет равнобедренным.
§ 20. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
20.1.	1) Постройте треугольник по стороне и прилежащим к ней
острому и тупому углам (сумма этих углов меньше 180°).
2)	Постройте равнобедренный треугольник, если его
основание и боковая сторона равны соответственно двум
данным отрезкам PQ и PiQ} (P\Q\>^ PQ^.
20.2.	1) Постройте треугольник по двум сторонам и тупому уг-
лу между ними.
2)	Постройте равносторонний треугольник, если его сто-
роны равны данному отрезку.
20.3.	1) Начертите треугольник АВС и постройте треугольник,
у которого ZP=Z4, /-K=Z~B и РК = 2АВ.
2)	Дан остроугольный разносторонний треугольник АВС.
Постройте треугольник CDA, равный треугольнику АВС,
так, чтобы вершины В и D лежали по одну сторону от
прямой АС.
20.4.	1) Постройте равнобедренный треугольник по боковой
стороне, в 2 раза большей длины данного отрезка, и по уг-
лу, противолежащему основанию и равному данному ту-
пому углу.
2) Дан треугольник АВС с тупым углом А. Постройте тре-
угольник ADC, равный треугольнику АВС, так, чтобы вер-
шины В и D лежали по разные стороны от прямой АС.
20.5. 1) Постройте треугольник АВС, у которого угол А вдвое
меньше угла В и равен данному углу Р, а сторона АВ рав-
на данному отрезку DE.
2) Заданы отрезок АВ и прямая а (рис. 119). Постройте
треугольник АВС со стороной АВ так, чтобы вершина
С лежала на прямой а и чтобы АС = 2АВ.
20.6. 1) Постройте треугольник АВС, у которого сторона АС
вдвое меньше стороны АВ и равна данному отрезку DE,
а угол А равен половине данного угла Р.
зо
2) Заданы отрезок АВ и окружность с центром О (рис. 120).
Постройте треугольник АВС со стороной АВ так, чтобы
вершина С лежала на окружности с центром О и чтобы
сторона АС равнялась радиусу этой окружности.
§ 21. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
(ПРОДОЛЖЕНИЕ)
21.1. 1) Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе
и острому углу.
2)	Постройте треугольник АВС так, чтобы AB = PQ,
BC = PXQX, CH = P2Q2, где CH — высота треугольника, а
PQ, P\Q\ и P2Q2 — заданные отрезки, причем Р&\>Р&2-
21.2. 1) Постройте прямоугольный треугольник по катету и
прилежащему к нему острому углу.
2)	Постройте треугольник MNK так, чтобы Mty = PQ,
МК = PXQX, MH = P2Q2, где МН — высота треугольника, а
PQ, PXQX и P2Q2 — заданные отрезки, причем PXQ\>
PQZ> Р2Q2-
21.3.	1) Постройте равнобедренный треугольник по основанию
и высоте, проведенной к основанию.
2)	Постройте треугольник DEF так, чтобы угол Е был ра-
вен заданному тупому углу, EF = PQ, DH = P1Q1, где
DH — высота треугольника, a PQ и PXQX — заданные от-
резки, причем PQ>PXQX.
21.4.	1) Постройте равнобедренный треугольник по основанию
и медиане, проведенной к основанию.
2)	Постройте треугольник АВС так, чтобы угол С был ра-
вен заданному острому углу, AC = PQ, ВН = PXQX, где
ВН — высота треугольника, a PQ и PXQX — заданные от-
резки, причем PQ<PXQX.
21.5.	1) Постройте прямоугольный треугольник АВС с прямым
углом С по стороне АС и медиане AM.
2)	Постройте равнобедренный треугольник по углу при
основании и высоте, проведенной к боковой стороне.
21.6.	1) Постройте прямоугольный треугольник АВС, где угол
В равен 90°, по стороне ВС и биссектрисе СМ.
2) Постройте треугольник по острому углу и двум высо-
там, проведенным к сторонам, образующим данный угол.
21.7*. 1) Постройте треугольник АВС так, чтобы угол В равнял-
ся данному острому углу, а В А и ВС-^-СА соответственно
двум данным отрезкам PQ и PXQX (PQ<ZPiQx).
2) Постройте треугольник АВС по стороне ВС, медиане
ВМ и высоте ВН (ВС>ВН, ВМ>ВН).
21.8*. 1) Постройте треугольник АВС так, чтобы угол А равнял-
ся данному острому углу, а АВ и АС — ВС соответственно
двум данным отрезкам PQ и PXQX (PQ> P\Q\).
2) Постройте треугольник АВС по сторонам АС и ВС и
медиане СМ.
31
6 22. ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ
22.1.	В треугольнике ABC Z.A = 5Q°, ZB = 80°, BF— бис-
сектриса внешнего угла ЕВС.
1)	Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.
2)	Докажите, что BF параллельна АС.
3)	Докажите, что AM = ВС, если медиана СО продолжена
на отрезок ОМ, равный СО.
4)	Верно ли, что Z.OCA = Z.OCB?
22.2.	В треугольнике ЕМК ZAf = 40°, Z^ = 70°, МС— луч,
принадлежащий внутренней области внешнего угла РМК,
причем МС\\ЕК.
1)	Докажите, что треугольник ЕМК равнобедренный.
2)	Докажите, что МС — биссектриса угла РМК.
3)	Докажите, что равны высоты треугольника ЕВ и КА.
4)	Верно ли, что МВ — ВК?
22.3.	На рисунке 121 в четырехугольнике ABCD Z.ADB =
= ADBC=9Q°, AD = BC, Z4BD = 60°.
1)	Докажите, что АВ параллельна CD.
2)	Докажите, что 4<ЛО<8, если длина отрезка BD рав-
на 4.
3)	Докажите, что треугольник AED равнобедренный, ес-
ли DE — медиана треугольника ADB.
22.4.	На рисунке 122 в четырехугольнике ЕМКР Z-EPM =
= /LPMK=9Q°, Z.MEP=Z.MKP = 30°.
1)	Докажите, что ЕМ параллельна РК.
2)	Докажите, что 5<£Р<10, если длина отрезка ME
равна 10.
3)	Найдите длину медианы MD в треугольнике РМК.
22.5.	На рисунке 123 в четырехугольнике ABCD АВ = ВС =
= CD = DA.
1)	Докажите, что АВ параллельна CD и AD параллельна ВС.
2)	Докажите, что BF = DF.
3)	Докажите, что BDA-AC.
4)	Докажите, что точка F равноудалена от АВ и AD.
22.6.	На рисунке 124 в четырехугольнике KLMP KL = LM =
= МР = РК.
1)	Докажите, что LM параллельна КР и KL параллельна РМ.
2)	Докажите, что LO = OP.
3)	Докажите, что КА =АМ, где А — точка пересечения КМ и LP.
32
МНОГОУГОЛЬНИКИ
§ 23. МНОГОУГОЛЬНИКИ. СУММА УГЛОВ
23.1.	1) Найдите сумму углов выпуклого семиугольника.
2)	Сколько углов имеет выпуклый многоугольник, каж-
дый угол которого равен 135°?
23.2.	1) Все углы выпуклого восьмиугольника равны. Найдите
их.
2)	Сколько углов имеет выпуклый многоугольник, если
их сумма равна 1620°?
23.3.	1) На сколько сумма углов выпуклого восьмиугольника
больше суммы углов выпуклого четырехугольника?
2)	Существует ли выпуклый многоугольник, каждый угол
которого равен 165°?
23.4.	1) Во сколько раз сумма углов выпуклого десятиугольни-
ка больше суммы углов выпуклого шестиугольника?
2)	Существует ли выпуклый многоугольник, сумма углов
которого равна 1980°?
23.5.	1) Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, сумма
углов которого вдвое больше суммы углов выпуклого де-
вятиугольника?
2)	В выпуклом четырехугольнике ABCD биссектрисы уг-
лов А и В пересекаются в точке О (рис. 125). Докажите,
2 Зив Б. Г., 7—11 кл
33
что угол между биссектрисами этих углов равен полусум-
ме углов С и D (ZC+180°).
23.6.	1) Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если
каждый его угол на 18° больше каждого угла выпуклого
четырехугольника с равными углами?
2) В выпуклом четырехугольнике ABCD биссектрисы уг-
лов В и D пересекаются в точке О (рис. 126). Докажите,
что угол между биссектрисами этих углов равен полураз-
ности углов А и С (Z.A>*Z.C).
23.7	*. Докажите, что у выпуклого шестиугольника с равными
углами стороны попарно параллельны.
23.8	*. Докажите, что у выпуклого пятиугольника с равными
углами нет параллельных сторон.
§ 24. ПАРАЛЛЕЛОГРАММ. СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
24.1.	1) На рисунке 127 MNKP— параллелограмм, МТ — бис-
сектриса угла NMP, NT = 6 см, ТК = 4 см. Найдите пери-
метр параллелограмма.
2)	Сумма трех углов параллелограмма равна 252°. Най-
дите углы параллелограмма.
24.2.	1) На рисунке 128 ABCD — параллелограмм, DE — бис-
сектриса угла ADC, CD = 8 см, В£*=12 см. Найдите пери-
метр параллелограмма.
2)	В параллелограмме один из углов в 2 раза больше дру-
гого. Найдите углы параллелограмма.
24.3.	1) На рисунке 129 MNKP— параллелограмм, МТ — бис-
сектриса угла NMP, РТ — биссектриса угла МРК,
MN = 8 см. Найдите периметр параллелограмма.
2)	Один из углов параллелограмма на 24° больше друго-
го. Найдите углы параллелограмма.
24.4.	1) На рисунке 130 ABCD — параллелограмм, ДВ = ДЕ,
ZS£4 = 70°. Найдите углы параллелограмма.
2)	Диагонали параллелограмма MNKP пересекаются в
точке О. Найдите периметр треугольника ONK, если
Ж=18 см, ОР = 5 см, МР=11 см.
24.5.	1) Вне параллелограмма ABCD проведена прямая, па-
раллельная диагонали АС и пересекающая продолжения
34
сторон АВ, CD, AD и ВС соответственно в точках Е, F, К и
L. Докажите, что EK = FL.
2)	Из вершины А острого угла параллелограмма проведе-
ны перпендикуляры Affi и АН2 к прямым ВС и CD. Най-
дите углы параллелограмма, если zLH{AH2 = 130°.
24.6.	1) Проведена прямая, параллельная диагонали BD па-
раллелограмма ABCD и пересекающая стороны АВ и AD
соответственно в точках Е и F и продолжения сторон ВС
и CD соответственно в точках М и Р. Докажите, что
ME = FP.
2)	Из вершины М тупого угла параллелограмма MNKP
проведены перпендикуляры МНХ и МН2 к прямым NK и
КР. Найдите углы параллелограмма, если /-HXMH2—7Q°.
§ 25. ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
25.1.	1) На рисунке 131 ABCD — параллелограмм, BT = DK.
Докажите, что АТСК— параллелограмм.
2)	Диагонали четырехугольника MNKP пересекаются в
точке О. Является ли этот четырехугольник параллело-
граммом, если АЮ = 7 см, Af/(=1,4 дм, NO = 5 см,
ОР = 50 мм?
25.2.	1) На рисунке 132 MNKP — параллелограмм, AN = PB.
Докажите, что АКВМ — параллелограмм.
2)	Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в
точке О, причем О А = 0,6 дм, О В = 3 см, ОС = BD = 60 мм.
Является ли этот четырехугольник параллелограммом?
25.3.	1) На рисунке 133 ABCD — параллелограмм, Z1 = Z.2.
Докажите, что АТСК — параллелограмм.
2)	Точки А и В делят диагональ МК параллелограмма
MNKF на три равные части. Докажите, что NAPB — па-
раллелограмм.
35
25.4.	1) На рисунке 134 MNKP— параллелограмм, Z1 = Z2.
Докажите, что ANBP — параллелограмм.
2)	ABCD — параллелограмм; на прямой BD отмечены
точки М и Р так, что ВМ = DP = BD. Докажите, что
АМСР — параллелограмм.
25.5.	1) На рисунке 135 ABCD — параллелограмм, АР = АМ =
= CN = CK- Докажите, что MNKP— параллелограмм.
2) Через середину О диагонали МК параллелограмма
MNKP проведена прямая, пересекающая стороны NK и
МР соответственно в точках А и В. Докажите, что
МАКВ — параллелограмм.
25.6.	1) На рисунке 136 ABCD — параллелограмм, AM = BN =
= CK = DP. Докажите, что MNKP — параллелограмм.
2) Через середину диагонали АС параллелограмма ABCD
проведена прямая, пересекающая стороны ВС и ДО, а
также продолжение сторон CD и АВ соответственно в точ-
ках F и Е (F^CD, Е£АВ). Докажите, что EAFC — парал-
лелограмм.
25.7*. 1) В выпуклом четырехугольнике ABCD (рис. 137)
Д£±ВО, CFA-BD. AE = CF, АВАС= ZLACD. Докажите,
что ABCD — параллелограмм.
2) Постройте параллелограмм ABCD по острому углу Д,
стороне ВС и расстоянию между прямыми ДО и ВС.
25.8*. 1) В выпуклом четырехугольнике ABCD (рис. 138)
BE = DF, AE\\CF и Z.BAD+ Z_ADC = 180°. Докажите,
что ABCD — параллелограмм.
2) Постройте параллелограмм ABCD по двум сторонам
ДО и АВ и высоте BE (ВЕ<АВ).
Рис. 138
36
§ 26.	ПРЯМОУГОЛЬНИК. РОМБ. КВАДРАТ
26.1.	1) В ромбе ABCD Z4 = 36°. Найдите угол между диа-
гональю BD и стороной DC.
2)	Постройте прямоугольник по одной из сторон и углу
между этой стороной и диагональю.
26.2.	1) В прямоугольнике ABCD /_ВАС = 3>Ь°. Найдите угол
между диагоналями прямоугольника.
2)	Постройте ромб по углу и стороне.
26.3.	1) В ромбе ABCD, где угол А острый, BE и BF — высоты.
Угол между диагональю BD и высотой BF равен 40°.
а) Докажите, что BE = BF.
б) Найдите углы ромба.
2)	Постройте прямоугольник по одной из сторон и диаго-
нали.
26.4.	1) В прямоугольнике ABCD АЕ и CF — перпендикуляры,
опущенные из вершин А и С на диагональ BD. Угол меж-
ду диагоналями равен 30°, CF = 2 см.
а)	Докажите, что AE = CF.
б)	Найдите длину диагонали BD.
2)	Постройте ромб по стороне и одной из диагоналей.
26.5.	1) В ромбе ABCD биссектриса угла ВАС пересека-
ет сторону ВС в точке М. Найдите углы ромба, если
Z4AfC=120°.
2)	Постройте прямоугольник по диагонали и углу между
диагоналями.
26.6.	1) Перпендикуляр, опущенный из вершины угла А прямо-
угольника ABCD на не проходящую через эту вершину
диагональ, делит ее в отношении 1:3, считая от верши-
ны В. Диагональ равна 6 см. Найдите расстояние от точки
пересечения диагоналей до большей стороны.
2)	Постройте ромб по одному из его углов и расстоянию
между параллельными сторонами.
26.7	*. Внутри квадрата ABCD взята точка К и на отрезке АК
как на стороне построен квадрат AKLM, у которого сторо-
на KL пересекает сторону AD. Докажите, что отрезки ВК
и DM равны.
26.8	*. ABCD — квадрат, точка М принадлежит стороне CD,
АК — биссектриса угла ВАМ (К£ВС). Докажите, что
AM = BK + DM.
§ 27. ТРАПЕЦИЯ. ОСЕВАЯ И ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ
27.1.	1) В трапеции ABCD AD — большее основание. Через
вершину В проведена прямая, параллельная CD, до пере-
сечения с AD в точке Е. Периметр треугольника АВЕ ра-
вен 17 см, а ВС = 3 см. Найдите периметр трапеции.
2)	Постройте точки Вх и Сх, симметричные вершинам В и
С треугольника АВС относительно вершины А. Докажите,
что ВСВХСХ — параллелограмм.
27.2.	1) В трапеции MNPK МК — большее основание. Через
вершину N проведена прямая, параллельная РК, до пере-
сечения с МК в точке F, Z.yVAfF = 40o, Z.MNF = 75°. Най-
дите углы трапеции.
2)	Постройте точку Рь симметричную вершине Р треуголь-
ника МКР относительно прямой МК. Докажите, что тре-
угольники МКР и МКР\ равны. Докажите, что если тре-
угольник МКР равнобедренный (МР = КР), то РМРХК —
ромб.
27.3.	1) В равнобедренной трапеции ABCD Z4=30°, Z_ACD =
= 135°, AD = 20 см, BC=10 см.
а)	Докажите, что АС — биссектриса угла ВАС.
б)	Найдите периметр трапеции.
2)	Даны две взаимно перпендикулярные прямые а и 6, пе-
ресекающиеся в точке О, и некоторая точка Д, не принад-
лежащая этим прямым. Точки Ах и А2 симметричны точке
А соответственно относительно осей а и Ь. Докажите, что
точки А} и А2 симметричны относительно центра О.
27.4.	1) В прямоугольной трапеции ABCD /.BAD прямой,
ZB4C = 45°, ZBCD=135°, ДО = 30 см.
а)	Найдите меньшую боковую сторону трапеции.
б)	Назовите три равных треугольника, из которых состав-
лена эта трапеция.
2)	На некоторой прямой а выбрана точка О. Точка А не
принадлежит этой прямой. Точка симметрична точке А
относительно центра О, а точка А2 симметрична точке Ai
относительно оси а. Докажите, что точки А и А2 симмет-
ричны относительно прямой, перпендикулярной прямой а
и проходящей через точку О.
27.5.	1) В трапеции ABCD основания AD и ВС соответственно
равны 15 и 5 см, Z. CD А = 60°. Через вершину В и середи-
ну CD — точку О проведена прямая до пересечения с про-
должением AD в точке Е. Z_ABE = 9b°, Z_CBE = 30°. Най-
дите периметр трапеции.
2)	Постройте точки А} и Вь симметричные точкам А и
В относительно данной точки О. Докажите, что для любой
точки прямой АВ симметричная ей точка лежит на пря-
мой
27.6.	1) В равнобедренной трапеции ABCD Z.4 = 75°. Диагона-
ли АС и BD пересекаются в точке О, СЕ .LAD, СЕ = АЕ,
ВО = 5 см. Найдите боковые стороны трапеции.
2)	Постройте точки Afj и симметричные данным точ-
кам М и К относительно данной прямой а. Докажите, что
для любой точки отрезка МК симметричная ей точка ле-
жит на отрезке МХК\.
27.7	*. Даны выпуклый четырехугольник МКРТ и точка О внут-
ри его. Постройте параллелограмм ABCD так, чтобы точ-
ки М, К, Р и Т лежали на прямых АВ, ВС, CD и DA соот-
38
ветственно, а точка О являлась точкой пересечения его
диагоналей.
27.8	*. Даны прямая а и точка О на ней. Точки Р и К не принад-
лежат прямой а (Р/СЦ.а). Постройте ромб так, чтобы пря-
мая а содержала одну из диагоналей ромба, а прямая
РК — одну из сторон ромба и точка О являлась точкой пе-
ресечения его диагоналей.
ПЛОЩАДИ
§ 28. СВОЙСТВА ПЛОЩАДЕЙ МНОГОУГОЛЬНИКОВ.
ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА И КВАДРАТА
28.1.	1) Найдите площадь прямоугольника, если его периметр
равен 80 см, а отношение сторон равно 2:3.
2)	Площадь пятиугольника ABOCD (рис. 139) равна
48 см2. Найдите периметр квадрата ABCD,
28.2.	1) Найдите периметр прямоугольника, если его площадь
равна 98 см2, а одна из сторон вдвое больше другой.
2)	Периметр квадрата МКРТ (рис. 140) равен 48 см. Най-
дите площадь пятиугольника МОКРТ.
28.3.	1) В прямоугольнике ABCD сторона AD равна 10 см. Рас-
стояние от точки пересечения диагоналей до этой стороны
равно 3 см. Найдите площадь прямоугольника.
2)	ABCD и MDKP — равные квадраты (рис. 141), АВ —
= 8 см. Найдите площадь и периметр четырехугольника
АСКМ.
28.4.	1) Площадь квадрата равна 36 см2. Найдите расстояние
от точки пересечения диагоналей квадрата до его сторон.
2) ABCD и DCMK — квадраты (рис. 142), ДВ = 6 см. Най-
дите площадь и периметр четырехугольника OCPD.
28.5.	1) В трапеции ABCD Z4=45°, ZC= 100°. Диагональ
BD составляет с боковой стороной CD угол 35°. На сторо-
не АВ построен параллелограмм АВРК так, что точка
D принадлежит отрезку ВР и BD:DP = 2:1. Найдите пло-
щадь параллелограмма, если его периметр равен 30 см.
2) ABCD — прямоугольник, МД, Р и Т — середины его
Рис. 139	Рис. 140
39
сторон (рис. 143), ДВ = 6 см, ДО=12 см. Найдите пло-
щадь четырехугольника МКРТ.
28.6.	1) В трапеции МРКО Z.M = 45° и Z/(=135°. На стороне
МР трапеции построен параллелограмм MPDT так, что
его сторона PD параллельна прямой /СО и пересекает сто-
рону Л4О в точке Д, причем Л4:ЛО=1:3. Площадь па-
раллелограмма равна 36 см2. Найдите его периметр.
2)	ABCD — прямоугольник, Af, /С, Р и Т — середины сто-
рон (рис. 144), ДВ=16 см, ДО=10 см. Найдите площадь
шестиугольника АМКСРТ.
28.7	*. Точка А делит отрезок CD пополам, а точка В — на не-
равные части. Докажите, что площадь прямоугольника с
измерениями СВ и BD равна разности площадей квадра-
тов с измерениями AD и АВ.
28.8	*. Периметр прямоугольника равен 20 см. Что больше: пло-
щадь этого прямоугольника или квадрата, имеющего тот
же периметр?
§ 29. ПЛОЩАДЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
29.1.	1) Стороны параллелограмма равны 6 и 10 см, а высота,
проведенная к меньшей из них, равна 8 см. Найдите высо-
ту, проведенную к другой стороне.
2)	Начертите произвольный параллелограмм. Проведите
какую-либо прямую, которая разделила бы изображен-
ный параллелограмм на два параллелограмма, имеющие
равные площади.
29.2.	1) Стороны параллелограмма равны 6 и 10 см, а высота,
проведенная к большей из них, равна 5 см. Найдите высо-
ту, проведенную к другой стороне.
2)	Начертите произвольный параллелограмм. Постройте
какой-либо прямоугольник, имеющий такую же площадь,
что и изображенный параллелограмм.
29.3.	1) В параллелограмме две стороны равны 6 и 8 см, а один
из углов 150°. Найдите площадь параллелограмма.
40
2)	Даны прямоугольник ABCD и некоторый острый угол.
Постройте параллелограмм по стороне, равной отрезку
AD, и данному острому углу, имеющий такую же
площадь, как и прямоугольник ABCD.
29.4.	1) В параллелограмме одна из сторон равна 10 см, а один
из углов 30°. Найдите площадь параллелограмма, если
его периметр равен 56 см.
2)	Даны прямоугольник ABCD и отрезок PH (РН>АВ).
Постройте параллелограмм, имеющий такую же площадь,
что и данный прямоугольник, и стороны, равные отрезкам
AD и PH.
29.5.	1) Площадь параллелограмма равна 48 см2, а периметр
40 см. Найдите стороны параллелограмма, если высота,
проведенная к одной из них, в 3 раза меньше этой стороны.
2)	Дан параллелограмм ABCD, В К — его высота
Постройте квадрат, площадь которого в х раз
больше площади параллелограмма, если х=0,25-^.
29.6.	1) В параллелограмме ABCD диагональ BD перпендику-
лярна к основанию AD, угол В равен 135°, площадь па-
раллелограмма равна 49 см2. Найдите сторону AD парал-
лелограмма.
2) Дан параллелограмм ABCD, АВ меньше AD. Постройте
ромб с теми же углами, что и параллелограмм ABCD, пло-
щадь которого в х раз меньше площади параллелограм-
А AD
ма, если х = 4	.
АВ
29.7*. 1) Через вершины А и D параллелограмма проведены две
параллельные прямые; первая прямая пересекает сторону
ВС в точке Е. Из точек А и Е опущены перпендикуляры
АТ и ЕР на вторую из параллельных прямых. Докажите,
что площади четырехугольников АЕРТ и ABCD равны.
2) Даны равнобедренная трапеция ABCD с основаниями
AD и ВС и некоторый острый угол. Постройте паралле-
лограмм с острым углом, равным данному, и имеющий ту
же площадь, что и трапеция ABCD.
29.8*. 1) Через вершины В и С параллелограмма ABCD прове-
дены параллельные прямые, из которых первая пересека-
ет сторону AD в точке Е, а вторая — ее продолжение в
точке Т. ССХ и ТТХ — перпендикуляры к прямой BE. Пло-
щадь треугольника СХТХТ равна 10 см2. Найдите площадь
параллелограмма ABCD.
2) Даны треугольник АВС с тупым углом А и произволь-
ный острый угол. Постройте параллелограмм, имеющий
площадь, в 2 раза большую площади данного треугольни-
ка, по стороне, равной отрезку АС, и данному острому
углу.
41
§ 30.	ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА
30.1.	1) Две стороны треугольника равны 12 и 9 см, а угол
между ними 30°. Найдите площадь треугольника.
2)	Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 8 и
7 см.
30.2.	1) Найдите площадь треугольника, две стороны которого
равны 6 и 8 см, а угол между ними 30°.
2)	Диагонали ромба равны 5 и 12 см. Найдите площадь
ромба.
30.3.	1) В треугольнике АВС Z-Д =45°, ВС= 10 см, а высота
BD делит сторону АС на отрезки AD = 6 см, DC = 8 см.
Найдите площадь треугольника и высоту, проведенную к
стороне ВС.
2)	Площадь ромба равна 48 см2, а одна из диагоналей
12 см. Найдите вторую диагональ.
30.4.	1) В треугольнике ABC Z.C = 45°, АВ= 10 см, а высота AD
делит сторону СВ на отрезки CD = 8 см, DB = 8 см. Най-
дите площадь треугольника и высоту, проведенную к сто-
роне АВ.
2)	Найдите диагонали ромба, если одна из них в 3 раза
больше другой, а площадь ромба 24 см2.
30.5.	1) В треугольнике ABC Z.4 = 75°, ZB = 30°, ДВ=10 см.
Найдите площадь треугольника.
2)	Найдите сторону квадрата, если его диагональ равна
10 см.
30.6.	1) В треугольнике ABC Z.A = ЛВ = 75\ Найдите ВС, ес-
ли площадь треугольника равна 36 см2.
2) Найдите диагональ квадрата, если его сторона равна
8 см.
30.7*. 1) ДО = 3 см, ОВ = 6 см, ОС = 5 см, 00 = 4 см (рис. 145).
Сумма площадей треугольников АОС и BOD равна 39 см5.
Найдите площадь треугольника АОС.
2) Площадь параллелограмма ABCD равна Q. Точка
Л! — середина стороны ДВ, Р принадлежит стороне СО.
Найдите площадь треугольника АМР.
42
30.8*. 1) AM = 6 см, AfB = 4 см. Л/< = 4 см, АС = 12 см (рис. 146).
Найдите площадь четырехугольника МВСК, если пло-
щадь треугольника АМК равна 16 см2.
2)	Площадь параллелограмма ABCD равна Q. На пря-
мой ВС взята точка М. Найдите площадь треугольни-
ка AMD.
§ 31. ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ
31.1.	1) Основания трапеции относятся как 2:3, а высота равна
6 см, площадь трапеции 60 см2. Найдите основания тра-
пеции.
2)	В прямоугольной трапеции острый угол А равен 45°,
а высота, проведенная из вершины тупого угла, делит
большее основание на отрезки 2 и 6 см, считая от точки
А. Найдите площадь трапеции.
31.2.	1) Одно из оснований трапеции больше другого на 7 дм,
высота равна 8 дм, площадь 96 дм2. Найдите основания
трапеции.
2)	Высота, проведенная из вершины тупого угла прямо-
угольной трапеции, составляет с боковой стороной угол
45°. Основания трапеции равны 8 и 4 см. Найдите пло-
щадь трапеции.
31.3.	1) Высота трапеции в 3 раза больше одного из оснований,
но вдвое меньше другого. Найдите основания трапеции и
высоту, если площадь трапеции равна 168 см.
2)	Острый угол равнобедренной трапеции равен 45°, а
основания равны 8 и 6 см. Найдите площадь трапеции.
31.4.	1) Высота больше меньшего основания трапеции на 6 см,
разность оснований равна 12 см. Найдите основания тра-
пеции, если ее площадь равна 64 см2.
2)	В равнобедренной трапеции тупой угол равен 135°,
меньшее основание равно 4 см, а высота 2 см. Найдите
площадь трапеции.
31.5.	1) В равнобедренной трапеции высота, проведенная из
вершины тупого угла, делит большее основание на два от-
резка, больший из которых равен 20 см. Найдите площадь
трапеции, если ее высота равна 12 см.
2)	В трапеции ABCD AD и ВС — основания, ДО:ВС = 2:1.
Точка Е — середина стороны ВС трапеции. Найдите пло-
щадь трапеции, если площадь треугольника AED равна
60 см2.
31.6.	1) В равнобедренной трапеции угол между диагоналями
равен 90°, высота трапеции равна 8 см. Найдите площадь
трапеции.
2) В трапеции ABCD ВС и AD — основания, ВС:ДО = 3:4.
Площадь трапеции равна 70 см2. Найдите площадь тре-
угольника АВС.
43
§ 32. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
32.1. 1) Диагонали ромба равны 14 и 48 см. Найдите сторону ромба.
2)	В треугольнике два угла равны 45° и 90°, а большая
сторона 20 см. Найдите две другие стороны треугольника.
32.2. 1) Стороны прямоугольника равны 8 и 12 см. Найдите его
диагональ.
2)	В треугольнике АВС 2.Д=90°, ZB = 30°, ДВ = 6 см.
Найдите две другие стороны треугольника.
32.3.	1) В прямоугольной трапеции основания равны 5 и 17 см,
а большая боковая сторона 13 см. Найдите площадь тра-
пеции.
2)	В треугольнике две стороны равны 10 и 12 см, а угол
между ними 45°. Найдите площадь треугольника.
32.4.	1) В прямоугольной трапеции боковые стороны равны
15 и 9 см, а большее основание 20 см. Найдите площадь
трапеции.
2)	В треугольнике две стороны равны 12 и 8 см, а угол
между ними 60°. Найдите площадь треугольника.
32.5.	1) В параллелограмме ABCD BD = 2y[4\ см, АС = 26 см,
ДО =16 см. Через точку О — точку пересечения диагона-
лей параллелограмма проведена прямая, перпендикуляр-
ная стороне ВС. Найдите отрезки, на которые эта прямая
разделила сторону AD.
2)	В треугольнике АВС АВ = ВС. Высота АК делит сторону
ВС на отрезки ВК = 24 см и /СС=1 см. Найдите площадь
треугольника и сторону АС.
32.6.	1) Две окружности радиусами 13 и 15 см пересекаются.
Расстояние между их центрами О| и О2 равно 14 см. Об-
щая хорда этих окружностей АВ пересекает отрезок О}О2
в точке К. Найдите ОХК и КО2 (Oj — центр окружности
радиусом 13 см).
2) В треугольнике АВС АВ = АС. Высота ВМ равна 9 см
и делит боковую сторону АС на два отрезка так, что
ДЛ4 = 12 см. Найдите площадь и периметр треугольника.
32.7*. 1) На продолжении диагонали АС ромба ABCD взята про-
извольная точка Af, которая соединена с вершиной В. До-
кажите, что AM-СМ = МВ2 — АВ2.
2) В треугольнике ABC BD — высота, проведенная из
вершины прямого угла. Используя теорему Пифагора, до-
кажите, что BD2 = AD-DC.
32.8*. 1) Гипотенуза АВ прямоугольного треугольника АВС равна
х. Произвольная точка М на катете ВС соединена с верши-
ной Д, а точка Н на катете АС соединена с вершиной
В. Найдите длину отрезка МН, если АМ2 + ВН2 = у2.
2) В треугольнике ABC BD — высота, проведенная из вер-
шины прямого угла. Используя формулу площади треуголь-
ника и теорему Пифагора, докажите, что AB2 = AD -АС.
44
§ 33.	ПЛОЩАДИ
33.1.	1) Дан квадрат ABCD со стороной 4 см. На стороне CD
взята точка £, такая, что ЕД = 5 см. Найдите:
а) СЕ; б) площадь четырехугольника АВСЕ.
2)	Найдите площадь ромба, один из углов которого равен
120°, а сторона равна 10 см.
33.2.	1) В прямоугольнике ABCD АВ = Ь см, ВС=18 см, АМ =
= 13 см, где М— точка стороны ВС. Найдите:
а) МС; б) площадь четырехугольника AMCD.
2)	Найдите площадь ромба, один из углов которого равен
60°, а сторона равна 8 см.
33.3.	1) На стороне АВ квадрата ABCD взята точка М так, что
СМ = 25 см. Диагональ квадрата равна 20^/2 см. Найдите:
а) ДМ; б) площадь четырехугольника AMCD.
2)	Один из углов ромба равен 135°, а сторона ромба рав-
на а. Найдите площадь ромба.
33.4.	1) На стороне ВС прямоугольника взята точка М так, что
ДМ= 13 см, ДВ= 12 см, BD = 20 см. Найдите:
а) МС; б) площадь четырехугольника AMCD.
2)	Один из углов ромба равен 45°, а сторона ромба равна
а. Найдите площадь ромба.
33.5.	1) В треугольнике АВС АВ= 17 см, ВС = 25 см. Высота BD
равна 15 см. Найдите площадь треугольника.
2)	В ромбе ABCD высота равна х, a Z_ABC= 120°. На пря-
мой ВС взята точка М. Найдите площадь треугольни-
ка AMD.
33.6.	1) В треугольнике АВС Z-Д =45°, а высота В£> = 2 см.
Найдите площадь треугольника, если прямая ВС состав-
ляет с прямой AD угол 60°.
2)	В параллелограмме ABCD BD±ДЕ, BD — 10 см, ДС =
= 26 см. На прямой AD взята точка Р. Найдите площадь
треугольника РВС.
33.7	*. В трапеции ABCD ВС||ДЕ, ДВ = 8 см, ВС = 7,5 см,
СЕ = 6 см, ДЕ=17,5 см. Найдите площадь трапеции.
33.8	*. В трапеции ABCD ВС и AD — основания. AD= 10 см, ВС —
= 5 см, ДС = 9 см, ВЕ=12 см. Найдите площадь трапеции.
ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ
§ 34. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОДОБНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ.
ОТНОШЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПОДОБНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ.
ТЕОРЕМА О БИССЕКТРИСЕ УГЛА
34.1.	1) АВ и АхВи ВС и BjCj — сходственные стороны подобных
треугольников АВС и /IjEjCj, -J^-=2,5, AlCl = 4 см, ZB =
D.C.
45
= 47°2Г. Найдите Z.Bb АС и отношение площадей этих
треугольников.
2)	Периметр треугольника равен 25 см, а его биссектриса
делит противоположную сторону на отрезки, равные 7,5 и
2,5 см. Найдите стороны треугольника.
34.2.	1) Треугольники АВС и /tjBjCj подобны. ВС и ВХСЬ АС и
AjС| — сходственные стороны. Найдите угол Сь АВ и отно-
шение площадей этих треугольников, если -^- = 4,4,
АХВ} = 5 см, ZC=15O31'.
2)	Периметр треугольника равен 35 см. Найдите отрезки,
на которые биссектриса треугольника делит противопо-
ложную сторону, если две другие стороны треугольника
равны 12 и 16 см.
34.3.	1) МН и СР, МК и СТ — сходственные стороны подобных
треугольников МНК и СРТ. Найдите ГР, угол Н и отноше-
MN 1
ние площадей треугольников СРТ и МНК, если -^-=—,
НК=\\ см, ZP = 31°.
2)	Отрезок BD является биссектрисой треугольника АВС,
углы ABD и А равны. ДВ = 28 см, ВС = 36 см, ОС = 27 см.
Вычислите BD.
34.4.	1) Треугольники КЕР и СОТ подобны, КЕ и СО, КР и СТ —
их сходственные стороны, , ЕР = 2,2 см, Z.T = 42О5'.
СО о
Найдите угол Р, ОТ и отношение площадей треугольников
КЕР и СОТ.
2)	Отрезок CD является биссектрисой треугольника АВС.
АС= 15 см, CD= 10 см, ВС = 12 см, углы ACD и А равны.
Найдите BD.
34.5.	1) АВ и Д^, ВС и Д^ — сходственные стороны подобных
треугольников АВС и Д^Ср Найдите BiCb угол А и отно-
шение площадей треугольников АВС и Д^Ср если
^^,^ = 5:2, ДС = 7 дм, ZB! = 17°.
2)	В равнобедренном треугольнике АВС точка Е — сере-
дина основания ДС, а точка К делит сторону ВС в отноше-
нии 2:5, считая от вершины С. Найдите отношение, в ко-
тором прямая BE делит отрезок АК.
34.6.	1) В подобных треугольниках АВС и СХАХВХ АВ и C^b ВС
и АХВХ — сходственные стороны, SCMjS^S^, ДС=6 см,
Z_AX = 15°. Найдите ВХСХ, угол В и отношение площадей тре-
угольников AjSiCi и АВС.
2) В треугольнике МНР МН = НР, точка К — середина от-
резка МР, а О^НР. Прямая НК делит отрезок МО в отно-
шении 3:4, считая от точки О. Найдите отношение НО'.ОР.
34.7*. 1) АВС — равнобедренный прямоугольный треугольник с
гипотенузой ДС, BD — его высота. Запишите равенство
отношений сходственных сторон треугольников АВС и
BDC, если известно, что они подобны.
46
2) В треугольнике АВС АВ = ВС, АА} и ВВ} — биссектрисы.
Докажите, что данный треугольник равносторонний, если
ВА^АВ^.
34.8*. 1) АВС — неравнобедренный прямоугольный треугольник
с гипотенузой AC, BD — его высота. Запишите равенство
отношений сходственных сторон треугольников ABD и
BCD, если известно, что они подобны.
2)	Докажите, что если медиана и высота, проведенные из
одной вершины треугольника, делят его угол на три рав-
ные части, то этот треугольник прямоугольный.
§ 35. ПЕРВЫЙ И ВТОРОЙ ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
35.1.	1) Докажите, что изображенные на рисунке 147 треуголь-
ники подобны.
2)	Продолжения боковых сторон трапеции ABCD (рис. 148)
пересекаются в точке О. Найдите ВО и отношение площа-
дей треугольников ВОС и AOD, если ЛО = 5 см, ВС = 2 см,
АО = 25 см.
35.2.	1) Докажите, что изображенные на рисунке 149 треуголь-
ники подобны.
2)	Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О (рис. 150),
АО = 12 см, ВО = 4 см, СО = 30 см, 00=10 см. Найдите
угол САО, если ADB0 = 61°. Найдите отношение площа-
дей треугольников АОС и BOD,
35.3.	1) Докажите, что изображенные на рисунке 151 треуголь-
ники подобны.
2)	Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС,
пересекает стороны АВ и ВС соответственно в точках М и
И. Найдите АС и отношение площадей треугольников АВС
и ВМН, если А4В=14 см, ЛВ=16 см, Л4Я = 28 см.
35.4.	1) Докажите, что треугольники МВН и СВА подобны
(рис. 152).
2)	В треугольнике АВС ЛВ=15 м, АС = 20 м, ВС = 32 м.
На стороне АВ отложен отрезок ЛО = 9 м, а на стороне
АС — отрезок АЕ = 12 м. Найдите DE и отношение площа-
дей треугольников АВС и ADE.
47
35.5.	1) На рисунке 153 Z 1 = Z.2, ДО = 4, ДС = 9. Найдите АВ
и отношение площадей треугольников ABD и АВС.
2)	Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в
точке О, ДО*ВО = СО*ОО. Докажите, что площади тре-
угольников ACD и ABD равны.
35.6.	1) На рисунке 154 ВС±ДС, МН 1_ВС, 2МС = ВС, МН =
= 0,5ДС. Докажите, что ДВ||С//. Найдите отношение
площадей треугольников АВС и МСН.
2)	В трапеции ABCD AD и ВС — основания, О — точка
пересечения диагоналей, ДО:ОС = 3:2. Найдите отноше-
ние площадей треугольников АВС и ACD.
§ 36. ТРИ ПРИЗНАКА ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
36.1.	1) Подобны ли два треугольника АВС и Д^С^ если АС =
= 14 см, Д1В1 = 22 см, BjCj = 26 см, Д,^ =28 см, АВ= 11 см,
ВС=13 см?
2)	Отрезки ДВ и СО, пересекающиеся в точке О, таковы,
ШПОР И	ОВ ОС
что AD\\BC. Докажите, что ~qa=~qd •
36.2.	1) Подобны ли два равнобедренных треугольника, если
боковая сторона и основание одного из них пропорцио-
нальны боковой стороне и основанию другого?
48
2)	Прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника
АВС в точках М и И соответственно. ВА = ЗМВ, ВН=^ ВС.
Докажите, что Л4//ЦДС.
36.3.	1) Подобны ли два треугольника МН К и СРТ, если
М//=10, 77> = 24, ///(=15, СР=16, Л4К = 20, СТ = 32?
2)	Точка Е — середина стороны ВС параллелограмма
ABCD. Докажите, что прямая АЕ делит диагональ парал-
лелограмма BD в отношении 1:2.
36.4.	1) Из металлических стержней изготовили три разносто-
ронних подобных треугольника. В каждом треугольнике
большую сторону закрасили в красный цвет, а мень-
шую — в синий. Будет ли треугольник, составленный из
синих стержней, подобен треугольнику, составленному из
красных стержней?
2)	Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, ABA.CD,
40=-^- О В, 0D=3C0. Найдите угол ОСА, если Z_DBO = 25°.
36.5.	1) В треугольниках ДВС и Д^С^ ДВ = 7, ВС = 6, ДС= 12,
Д1В1 = 4,5, ВХСХ = 9, АХСХ = 5,25. Выразите угол С| через уг-
лы С и В.
2)	Основания трапеции равны 9 и 6 см, а высота равна
10 см. Найдите расстояния от точки пересечения диагона-
лей трапеции до ее оснований.
36.6.	1) Докажите, что если гипотенуза и катет одного прямо-
угольного треугольника пропорциональны гипотенузе и ка-
тету другого прямоугольного треугольника, то такие тре-
угольники подобны.
2) На сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС отмечены
соответственно точки М, Н, К так, что 4АМ=А.В, ЗНС = ВН.
В каком отношении прямая МН делит отрезок ВК?
36.7*. 1) На рисунке 155 ABCD — параллелограмм, 4^=
С /
АР
=7тт7=/=1. Докажите, что четырехугольник МКТР — тра-
пеция.
2) Докажите, что два равнобедренных треугольника по-
добны, если боковая сторона и медиана, проведенная к
49
ней, одного треугольника пропорциональны боковой сто-
роне и медиане, проведенной к ней, другого треугольника.
36.8*. 1) В треугольниках ВМЕ и DTH на рисунке 156	=
=	• Докажите, что ABCD — параллелограмм.
2)	Докажите, что отрезок, соединяющий основания высот
остроугольного треугольника, отсекает от этого треуголь-
ника треугольник, подобный данному.
§ 37. СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА. СВОЙСТВО МЕДИАН ТРЕУГОЛЬНИКА
37.1.	1) М и К соответственно середины сторон АВ и ВС тре-
угольника ДВС, Л4В = 6 см, МК = 5 см, ВС= 14 см. Най-
дите периметр треугольника АВС.
2)	Найдите расстояние от точки пересечения медиан рав-
нобедренного треугольника АВС до стороны ВС, если
ДВ = ДС=10 см, ВС=16 см.
37.2.	1) К и Р соответственно середины сторон АВ и ВС тре-
угольника ЛВС, ДС = 8 см, СР = 6 см, ДВ = 14 см. Найди-
те периметр треугольника ВКР.
2)	В равнобедренном треугольнике АВС АВ = АС= 13 см,
ВС =10 см. Найдите расстояние от точки пересечения ме-
диан треугольника до вершины Д.
37.3.	1) В прямоугольном треугольнике с углом 30° и меньшим
катетом 6 см проведены средние линии. Найдите периметр
треугольника, образованного средними линиями.
2) В треугольнике со сторонами 25, 25, 14 см найдите расстоя-
ния от точки пересечения медиан до вершин треугольника.
37.4.	1) В прямоугольном треугольнике с углом 45° и гипотену-
зой 8 см проведены средние линии. Найдите периметр тре-
угольника, образованного средними линиями.
2)	В равнобедренном треугольнике расстояния от точки
пересечения медиан до вершин треугольника равны 25,
14 и 25 см. Найдите стороны треугольника.
37.5.	1) В треугольнике АВС медианы ДДЬ ВВХ и ССХ пересека-
ются в точке О. Точки Д2, В2, С2 являются серединами от-
резков ОДЬ ОВЬ OCj соответственно. Докажите, что тре-
угольники ДВС и Д2В2С2 подобны.
2) В треугольнике со сторонами 15, 15 и 24 см найдите
расстояния от точки пересечения медиан до сторон тре-
угольника.
37.6.	1) В треугольнике АВС медианы ДДЬ ВВЬ ССХ пересека-
ются в точке О. Точки Д2, В2, С2 являются соответственно
серединами отрезков ДО, ВО, СО. Докажите, что тре-
угольники Д^б?! и Д2В2С2 равны.
2) Расстояния от точки пересечения медиан равнобедрен-
ного треугольника до сторон равны 8, 8 и 5 см. Найдите
стороны треугольника.
50
§ 38.	ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ
В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ.
ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА НА РАВНЫЕ ЧАСТИ
38.1.	1) В треугольнике на рисун-
ке 157 ас=1, с = 4. Найдите
a, b, bc, h.
2)	Начертите отрезок и, ис-
пользуя циркуль, линейку и
чертежный угольник, разде-
лите его на 5 равных частей.
38.2.	1) В треугольнике, изображенном на рисунке 157, ас = 6,
Ьс = 2. Найдите й, с, а, Ь.
2)	Начертите отрезок и, используя циркуль, линейку и
чертежный угольник, разделите его на 3 равные части.
38.3.	1) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13,
один из катетов равен 5. Найдите второй катет, высоту,
проведенную из вершины прямого угла, и отрезки, на ко-
торые эта высота делит гипотенузу.
2)	Начертите отрезок и, используя циркуль, линейку и
чертежный угольник, разделите его в отношении 3:2.
38.4.	1) Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треуголь-
ника, равна 5, а один из катетов 13. Найдите гипотенузу, вто-
рой катет и отрезки, на которые высота делит гипотенузу.
2) Начертите отрезок и, используя циркуль, линейку и
чертежный угольник, разделите его в отношении 3:4.
38.5.	1) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5, а
высота, проведенная к ней, равна 2. Найдите катеты и от-
резки, на которые эта гипотенуза делится высотой.
2)	Начертите три произвольных отрезка АВ, АХВХ, А2В2 и,
используя циркуль и линейку, постройте отрезок XY,
удовлетворяющий условию A2B2:AB = AlBi:XY.
38.6.	1) В прямоугольном треугольнике АВС к гипотенузе АС про-
ведена высота BD, ВС=2 см, ДО = 3 см. Найдите DC, BD, АВ.
2) Даны три отрезка, имеющие длины а, Ь, с. Постройте отре-
зок длиной х, используя циркуль и линейку, если а-х=Ь-с.
38.7*	. 1) В трапеции ABCD Z.4 =90°, луч DM, являющийся бис-
сектрисой острого угла ADC, пересекает отрезок АВ в его
середине — точке М. Из точки М проведен перпендику-
ляр МК к стороне CD. /СС = 4 см, KD = § см. Найдите МК.
2) Даны два отрезка, имеющие длины а и Ь. Постройте
о 2 л/аЪ
отрезок длиной —-—, используя циркуль и линеику.
38.8*	. 1) Диагонали прямоугольной трапеции взаимно перпен-
дикулярны. Найдите меньшее основание трапеции, если ее
высота равна 2, а большее основание 3.
2) Пусть а и b — длины двух данных отрезков. Используя
циркуль и линейку, постройте отрезок длиной 0,4Д/о6~.
51
A D с	В
Рис. 157
§ 39.	ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ МЕТОДОМ ПОДОБИЯ
39.1.	По данному углу Н и данным отрезкам P|Qb Р&* Р&ь
используя циркуль, линейку и чертежный угольник, построй-
АВ АС
те треугольник АВС так, чтобы Z4 = Z//, -хтг="о7Г и
? 141	г 2Q2
АС = Р 3Q3.
39.2.	По данным отрезкам P|Qb P2Q2» ^зРз» P*Qb используя
циркуль, линейку и чертежный угольник, постройте тре-
Л ог»	к АВ АС ВС	п
угольник АВС так, чтобы -нтг==‘о^г=:'о^г и AC = P4Q4.
39.3.	Используя циркуль, линейку и чертежный угольник, мето-
дом подобия постройте треугольник по двум углам и высо-
те, проведенной из вершины третьего угла.
39.4.	Используя циркуль, линейку и чертежный угольник, мето-
дом подобия постройте прямоугольный треугольник по
острому углу и биссектрисе прямого угла.
39.5.	Используя циркуль, линейку и чертежный угольник, построй-
те параллелограмм, стороны которого относятся как 1:2, по
острому углу и диагонали, проведенной из вершины этого
угла.
39.6.	Используя циркуль, линейку и чертежный угольник, по-
стройте параллелограмм, стороны которого относятся как
1:3, по тупому углу и большей диагонали.
39.7*	. В треугольник АВС впишите равнобедренный прямо-
угольный треугольник МНР так, чтобы точки Л4, Я, Р бы-
ли точками сторон АВ. ВС и АС соответственно, а угол
МНР был равен 90°.
39.8*	. В данный треугольник впишите прямоугольник с данным
соотношением сторон так, чтобы две его вершины принад-
лежали разным сторонам треугольника, а две другие ле-
жали на третьей.
§ 40.	ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ НА МЕСТНОСТИ
40.1.	Найдите высоту дерева (рис. 158), если длина шеста АС с
вращающейся планкой равна 1,5 м, ВС = 3,3 м, ВСХ = 13,2 м.
40.2.	Для определения расстояния от точки А до недоступной
точки В (рис. 159) выбирают точку С и измеряют AC. Z_A.
52
Z_C. Затем строят на бумаге треугольник подобный
треугольнику АВС. Вычислите АВ, если АС =112 м,
АХСХ=5$ см, АХВХ = &А см. Вычисления обоснуйте.
40.3.	Длина солнечной тени от дерева равна 24 м. Вертикаль-
ный шест высотой 1 м 50 см в тот же момент отбрасывает
тень длиной 1 м 60 см. Вычислите высоту дерева.
40.4.	Для определения расстояния от точки А до недоступной
точки В (рис. 160) измерили углы Л и С, получили
Z4 = 45°, ZC = 60°, ЛС = 80 м. Постройте в тетради тре-
угольник Л^б^, подобный треугольнику ЛВС, сделайте
необходимые измерения и найдите искомое расстояние.
§ 41.	ПОДОБНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
41.1.	1) Объясните, почему десятиугольник не может быть по-
добен девятиугольнику.
2)	Найдите периметры двух подобных многоугольников с
коэффициентом подобия k = 5, если их разность равна
16 см.
41.2.	1) Являются ли равные многоугольники подобными? Рав-
ны ли подобные многоугольники?
2)	Сумма периметров двух подобных многоугольников
равна 490 м. Найдите каждый из периметров, если коэф-
фициент подобия равен 6.
41.3.	1) Сформулируйте один из признаков подобия ромбов.
2)	Длина стороны многоугольника равна 3 м, а длина
сходственной стороны подобного ему многоугольника рав-
на 48 дм. Найдите периметры этих многоугольников, если
их разность составляет 12 м.
41.4.	1) Сформулируйте один из признаков подобия прямо-
угольников.
2)	Сумма периметров двух подобных многоугольников
равна 56 м. Найдите эти периметры, если меньшая сторо-
на первого многоугольника равна 4 м, а меньшая сторона
второго 72 дм.
41.5.	1) Внешний и внутренний контуры рамки имеют форму
прямоугольника, ширина рамки равна 2 см. Будут ли по-
добны внешний и внутренний прямоугольники, если внеш-
ний имеет размер 30X40 см?
53
2)	В трапеции ABCD AB = BC=CD. Диагонали трапеции
пересекаются в точке О. Найдите отношение периметров
треугольников АВС и ВОС, если ДС:ВС = 5:4.
41.6.	1) Прямоугольные цементные плиты, выпускаемые заво-
дом, имеют такие размеры, что половина плиты подобна
целой плите. Найдите отношение сторон таких плит.
2) Основания трапеции равны 4 и 9 см, а одна из диагона-
лей 6 см. Найдите отношение периметров треугольников,
на которые диагональ разбивает трапецию.
§ 42.	СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС ОСТРОГО УГЛА
ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА.
ОСНОВНОЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВО
42.1.	1) Найдите синус, косинус и тангенс острых углов А и В
прямоугольного треугольника АВС, если ДВ=13 см,
ВС= 12 см.
з
2)	Найдите sin а и tg а, если cosa = —, 0°<а<90°.
42.2.	1) Найдите синус, косинус и тангенс острых углов А и
С прямоугольного треугольника АВС, если АС = 25 см,
АВ = 7 см.
2
2)	Найдите cos а и tg а, если sina=—, 0°<a<90°.
42.3.	1) Докажите, что если два прямоугольных треугольника
имеют по равному катету, то отношение синусов углов,
противолежащих этим катетам, обратно отношению гипо-
тенуз, а отношение тангенсов этих углов обратно отноше-
нию неравных катетов.
2)	Найдите sin а и cos а, если tga = ~.
42.4.	1) Докажите, что если два прямоугольных треугольника
имеют равные гипотенузы, то синусы их острых углов про-
порциональны противоположным катетам, а косинусы
этих углов пропорциональны прилежащим катетам.
з
2)	Вычислите sin а и cos а, если tga = —.
42.5.	Стороны остроугольного треугольника равны 13, 14 и 15 см.
Вычислите синус, косинус и тангенс каждого из углов тре-
угольника.
42.6.	Вычислите синус, косинус и тангенс углов остроугольного
треугольника со сторонами 17, 25 и 28 см.
§ 43.	РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МИКРОКАЛЬКУЛЯТОРОВ
43.1.	F) В треугольнике МНР ZP = 90°, МН = 4,67, Z// = 65O12/.
Найдите неизвестные элементы треугольника.
2)	Найдите углы треугольника, стороны которого равны
9,5; 9,5 и 6,5 см.
54
43.2.	1) В треугольнике KLF Z_F=90°, KL=i2,4 см, Ztf=41°21'.
Найдите неизвестные элементы треугольника.
2)	Найдите углы треугольника, стороны которого равны
95; 95 и 178,5 мм.
43.3.	1) В треугольнике ЛВС ZC=90°, Z.A = 20°30/, ДС = 32,6 см.
Найдите неизвестные элементы треугольника.
2)	В равнобедренной трапеции основания равны 9 и 5 см,
а один из углов 147° 15х. Найдите площадь и периметр
трапеции.
43.4.	1) В треугольнике PEC Z.C=90°, Z.P = 63°24/, СЕ = 15,9 см.
Найдите неизвестные элементы треугольника.
2)	В прямоугольной трапеции основания равны 13 и 8 см,
а один из углов 112О57/. Найдите периметр и площадь
трапеции.
43.5.	1) В треугольнике ABC Z.C=90°, ДС=2,7 см, ВС = 3,22 см.
Найдите неизвестные элементы треугольника.
2)	В треугольнике две стороны равны 6 и 8 см, а угол между
ними 40°ЗГ. Найдите неизвестные углы и сторону тре-
угольника.
43.6.	1) В треугольнике CDM ZAf=90°, CD = 4,2 см, CAf = 2,7 см.
Найдите неизвестные элементы треугольника.
2)	В треугольнике две стороны треугольника равны 10 и
12 см, а угол между ними 141°13z. Найдите неизвестные
углы и сторону треугольника.
§ 44. РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
44.1.	1) В треугольнике АВС, изображенном на рисунке 161,
угол АСВ прямой, CD — высота треугольника, угол А ра-
вен а. Найдите АС, ВС и AD, если известно, что АВ = т.
2) Стороны параллелограмма равны 8 и 10 см, угол меж-
ду ними 60°. Найдите площадь параллелограмма.
44.2.	1) На рисунке 162 изображен прямоугольный треугольник
МНР и его высота РК, Z МPH = 90°, РН = Ь, АН = $,
Найдите МН, МР и КН,
2) Найдите площадь параллелограмма, у которого сторо-
ны равны 8 и 6 см, а угол равен 45°.
44.3.	1) На рисунке 163 изображены прямоугольные треугольники
АВС и ADB (ААВС= Z.D = 90°), ZC4B = a, Z4BD = p,
ВС = а, Найдите AD,
55
2)	В прямоугольной трапеции меньшее основание равно 6,
а меньшая боковая сторона 2д/з\ Найдите площадь трапе-
ции, если один из ее углов равен 120°.
44.4.	1) На рисунке 164 изображены прямоугольные треугольники
ДВСи 4BD(ZC=Z4SD = 90°), ZC4B = a, ZS4D = p,
АС = т. Найдите AD.
2)	В равнобедренной трапеции меньшее основание равно
5, а высота д/з". Найдите площадь трапеции, если один из
ее углов равен 150°.
44.5.	1) Вх треугольнике АВС, изображенном на рисунке 165,
угол С прямой. Биссектриса AD равна /, угол ВАС равен
а. Найдите BD.
2)	В равнобедренном треугольнике АВС АС — основание,
Z.4=30°, CD — высота. Найдите высоту, опущенную из
вершины В, если ДО = 20 см.
44.6.	1) На рисунке 166 изображен треугольник АВС с прямым
углом С, Z.S4D = p, Z.B4C = a, АВ = т. Найдите BD.
2)	В равнобедренном треугольнике АВС АВ = ВС, Z_ABC=
= 120°, CD — высота. Найдите AD, если высота, прове-
денная к основанию, равна 10 см.
44.	7*. В треугольнике ABC АВ=ВС, BF и АЕ — высоты, AE*.BF=
=тр Найдите косинус угла при основании треугольника.
44.	8*. В треугольнике ABC АВ = ВС, BF и АЕ — высоты. Найди-
те отношение AE'.BF, если косинус угла при основании
2
треугольника равен —.
ОКРУЖНОСТЬ
§ 45.	КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ
45.1.	1) Прямая АВ касается окружности с центром О и радиу-
сом 5 см в точке А. Найдите ОВ, если АВ= 12 см.
2)	В треугольнике АВС угол А прямой. Докажите, что
прямая АС касается окружности с центром в точке В и
радиусом АВ.
45.2.	1) Прямая АВ касается окружности с центром О и радиу-
сом 15 см в точке В. Найдите АВ, если ОД = 17 см.
2)	Четырехугольник ABCD — прямоугольник. Докажите,
56
что прямая ВС касается окружности с центром в точке
D и радиусом DC.
45.3.	1) Из точки А к окружности с центром О и радиусом 8 см
проведены касательные АВ и АС (В и С — точки касания).
Найдите АВ и АС, если Z£L4C = 60°.
2)	Точка D—середина основания АВ равнобедренного
треугольника АВС. Докажите, что прямая АВ касается
окружности с центром в точке С и радиусом CD.
45.4.	1) Из точки М к окружности с центром О проведены каса-
тельные МА и МВ (Д и В — точки касания). Найдите AM
и ВМ, если Z4MB = 90°, OAf = 10 см.
2)	АК — биссектриса равностороннего треугольника АВС.
Докажите, что прямая ВС касается окружности с центром
в точке А и радиусом АК.
45.5.	1) Из точки М к окружности с центром О и радиусом 8 см
проведены касательные AM и ВМ (Д и В — точки каса-
ния). Найдите периметр треугольника АВМ, если
ААОВ = 120°.
2)	Даны прямая k и точка Д, не лежащая на ней. С помощью
циркуля и линейки постройте окружность с центром в точ-
ке Д и касающуюся прямой k.
45.6.	1) Из точки А к окружности с центром О проведены каса-
тельные АВ и АС (В и С — точки касания). Найдите пери-
метр треугольника АВС, если ОД = 12 см, Z ВОС = 60°.
2) Даны прямая а, точка М на ней и отрезок PQ. С по-
мощью циркуля и линейки постройте окружность радиу-
сом, равным PQ, касающуюся прямой а в точке М.
§ 46.	ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ
46.1.	1) Точки Д, В и С делят окружность с центром О на
три дуги: ^уАВ, ^ВС и ^уАС, градусные меры которых
относятся как 7:5:6. Найдите углы АВС, ВАС, АОВ.
2) Хорды АВ и CD пересекаются в точке М. Найдите дли-
ну хорды АВ, если СМ = 4 см, ОМ = 9 см, ДМ:МВ = 4.
46.2.	1) Вершины треугольника АВС делят окружность с центром
О на три дуги: ^уАВ, ^у ВС и ^уАС, градусные меры кото-
рых относятся как 2:9:7. Найдите углы ДОС, ВОС и АСВ.
2) Хорды МК и РТ пересекаются в точке А. Найдите дли-
ну AM, если ДР = 2 дм, ДТ = 24 дм, ДМ:/(Д=3:4.
46.3.	1) Точки А, В и С лежат на окружности с центром О,
2-АВС = 50°, <уАВ: <у СВ = 5:8. Найдите эти дуги и zLAOC.
2) Диаметр АВ пересекает хорду CD в точке М. Найдите
отрезки, на которые точка М делит диаметр АВ, если
г=10 см, СМ = 4 см, МО = 9 см.
46.4.	1) Точки К. М и Т лежат на окружности с центром О,
Z_KMT = 70°, оКМ: МТ=5:6. Найдите эти дуги и Z-KOT.
57
2)	Хорда АВ пересекает диаметр CD окружности с
центром О в точке К. Найдите хорду АВ, если АК = 11 см,
СЖ = 3 см, 00=12,5 см.
46.5.	1) Окружность с центром О касается сторон АВ, ВС,
СА треугольника АВС в точках Р, К, Т соответствен-
но. Найдите ^РК, ^КТ, ^уТР и /LPKT, если
Z4BC = 57°, ZB4C = 95°.
2)	Точка делит хорду АР на отрезки 12 и 14 см. Найдите
радиус окружности, если расстояние от центра окружно-
сти до точки К равно 11 см.
46.6.	1) Окружность с центром О касается сторон МК, КТ и ТМ
треугольника МКТ в точках А, В и С соответственно. Най-
дите углы треугольника АВС, если Л МКТ = 42°,
ZA7W7, = 82°.
2) Хорда РК делится точкой М на два отрезка РМ = 7 дм,
МК = & дм. Найдите расстояние от точки М до центра
окружности, если ее радиус равен 9 дм.
§ 47.	ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ
47.1.	1) В остроугольном треугольнике АВС высоты ААХ и ВВХ
пересекаются в точке О. Найдите угол ОСА, если
Z ВАС = 58°.
2)	В треугольнике АВС биссектрисы ААХ и ВВХ пересека-
ются в точке О, удаленной от стороны АВ на 4 см. Найди-
те площадь треугольника ВОС, если ВС =10 см.
47.2.	1) В остроугольном треугольнике АВС серединные пер-
пендикуляры сторон АВ и ВС пересекаются в точке О и
0В= 10 см. Найдите расстояние от точки О до стороны
АС, если Z О А С = 30°.
2)	В треугольнике АВС медианы ААХ и BBi пересекаются
в точке О и взаимно перпендикулярны. Найдите площадь
треугольника АОВ, если ЛУЦ =18 см, BBi = 24 см.
47.3.	1) В остроугольном треугольнике АВС высоты ААХ и ССХ
пересекаются в точке О. Найдите угол ОБА, если
ЛОСА= 38°.
2)	В треугольнике АВС биссектрисы ВВХ и ССХ пересека-
ются в точке О. Найдите отношение площадей треугольни-
ков ВОА и АОС, если ДВ= 10 см, ДС= 15 см.
47.4.	1) В остроугольном треугольнике АВС серединные перпен-
дикуляры сторон АВ и АС пересекаются в точке О и
ОД =8 см. Найдите площадь треугольника ОВС, если
ZOBC = 60°.
2)	В треугольнике АВС медианы ААХ и ССХ пересекаются
в точке О и взаимно перпендикулярны. Найдите стороны
треугольника, если ДД)=9 см, 00^12 см.
47.5.	1) В остроугольном треугольнике АВС высоты ВВХ и ССХ
пересекаются в точке О. Найдите угол ОАВ, если
ВС = 2ВСР
58
2)	В треугольнике АВС медианы ВВХ и СС} пересекаются
в точке О и взаимно перпендикулярны. Найдите ОД, если
ВВ1 = 36 см, = 15 см.
47.6.	1) В остроугольном треугольнике АВС серединные пер-
пендикуляры сторон ВС и АС пересекаются в точке
О. Найдите длину ОС, если ДВ=10 см, a Z ВО А = 120°.
2) Во внутренней области треугольника АВС взята точка
О, равноудаленная от его сторон. Найдите угол ДОС, если
Z4BO = 39°.
47.7*	. Даны окружность и прямая а, проходящая через центр
этой окружности. Через точку Л4, лежащую вне круга,
с помощью линейки проведите прямую, перпендику-
лярную прямой а,
47.8*	. Даны окружность, прямая, проходящая через ее центр, и
точка, не лежащая на прямой, но принадлежащая кругу.
С помощью линейки постройте через эту точку прямую,
перпендикулярную данной прямой.
§ 48.	ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ
48.1.	1) Найдите радиус окружности, вписанной в равносторон-
ний треугольник со стороной 12 см.
2)	В четырехугольнике ABCD, описанном около окружно-
сти, АВ = 8 см, СО=13 см, ОД = 16 см. Найдите сторо-
ну ВС.
48.2.	1) Радиус окружности, вписанной в равносторонний тре-
угольник, равен 2 см. Найдите сторону этого треугольника.
2) Найдите сторону АВ описанного четырехугольника
ABCD, если ВС=11 см, СО=13 см, ОД = 15 см.
48.3.	1) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник
со сторонами 20, 20 и 24 см.
2)	Найдите радиус окружности, если основания описан-
ной около нее равнобедренной трапеции равны 16 и 36 см.
48.4.	1) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник
со сторонами 15, 24 и 15 см.
2)	Найдите периметр описанной около окружности прямо-
угольной трапеции, если одно из оснований больше друго-
го на 6 см, а радиус окружности равен 4 см.
48.5.	1) В прямоугольном треугольнике один из углов равен
30°. Найдите меньшую сторону треугольника, если радиус
вписанной в него окружности равен 4 см.
2)	Расстояния от центра вписанной в прямоугольную тра-
пецию окружности до концов большей боковой стороны
равны 6 и 8 см. Найдите площадь трапеции.
48.6.	1) В прямоугольном треугольнике один из углов равен
60°, а расстояние от центра вписанной окружности до вер-
шины этого угла равно 10 см. Найдите большую сторону
этого треугольника.
59
2)	Расстояния от центра вписанной в равнобедренную
трапецию окружности до концов боковой стороны равны
9 и 12 см. Найдите площадь трапеции.
§ 49. ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ
49.1.	1) Найдите радиус окружности, описанной около равно-
стороннего треугольника со стороной 12 см.
2)	Найдите периметр прямоугольного треугольника, впи-
санного в окружность радиуса 13 см, если один из его ка-
тетов равен 10 см.
49.2.	1) Найдите сторону равностороннего треугольника, впи-
санного в окружность радиуса 4 см.
2)	Один из катетов прямоугольного треугольника равен
30 см, а радиус описанной около него окружности
17 см. Найдите площадь этого треугольника.
49.3.	1) Основание тупоугольного равнобедренного треугольни-
ка равно 24 см, а радиус описанной около него окружно-
сти 13 см. Найдите боковую сторону треугольника.
2)	Четырехугольник ABCD вписан в окружность так, что
сторона AD является диаметром окружности, Z.4BC =
= 121°, Z BCD =129°. Найдите углы BAD, CD А, АСВ.
49.4.	1) Найдите стороны остроугольного равнобедренного тре-
угольника, если высота, проведенная к его основанию, рав-
на 8 см, а радиус окружности, в которую он вписан, 5 см.
2) МР— диаметр окружности, описанной около четырех-
угольника MKJP. Найдите углы КТР, TPM, КМР, если
ZK7Af = 24°, Z. 127°.
49.5.	1) Найдите радиус окружности, описанной около тре-
угольника со сторонами 10, 12 и 10 см.
2)	Равнобедренная трапеция вписана в окружность так,
что центр окружности принадлежит одному из оснований.
Найдите углы трапеции, если один из углов между ее диа-
гоналями равен 48°.
49.6.	1) Найдите радиус окружности, в которую вписан тре-
угольник со сторонами 15, 24 и 15 см.
2)	Каждая из боковых сторон и меньшее основание трапе-
ции равны 5 см, а один из ее углов равен 60°. Найдите ра-
диус окружности, описанной около нее.
ВЕКТОРЫ
§ 50. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА
50.1.	1) С помощью циркуля и чертежного угольника отложите
от точки А вектор Ь, равный а (рис. 167).
2)	В треугольнике ABC AM — медиана. Равны ли век-
торы МВ и СМ?
60
									
									
									
				а					
									
									
									
									
				г					
									
									
									
									
									
Рис. 170	Рис. 171
Рис. 172
50.2.	1) С помощью чертежного угольника и линейки отложите
от точки С вектор Ь, равный вектору с (рис. 168).
2)	Даны точки Д, В, С, М, такие, что AM =МВ, а точка
С не лежит на прямой АВ. Назовите медиану треугольни-
ка АВС, проведенную из вершины С.
50.3.	1) С помощью линейки и циркуля отложите от точки А
вектор, равный вектору а (рис. 169).
2)	Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются и в
точке пересечения делятся пополам. Равны ли векторы
ДО и ВС?
50.4.	1) С помощью циркуля и линейки отложите от точки
С вектор, равный с (рис. 170).
2)	В четырехугольнике ABCD AB=DC. Докажите, что
этот четырехугольник — параллелограмм.
50.5.	1) С помощью циркуля и линейки отложите от точки
А вектор, равный вектору а (рис. 171).
2)	Точки Е, К, М, И соответственно середины сторон ДВ,
ВС, СО, ДО четырехугольника ABCD. Докажите, что
ВК=7ш.
50.6.	1) С помощью циркуля и линейки отложите от точки
С вектор, равный вектору с (рис. 172).
2)	Никакие три из четырех точек Д, В, С, О не лежат на
одной прямой, и AB=CD. Докажите, что отрезки ДО и ВС
пересекаются и в точке пересечения делятся пополам.
§ 51. СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ
51.1.	1) Постройте вектор a-j-c (рис. 173).
2)	М, И, Р, О, S — произвольные точки. Найдите
сумму ТЛН + НР-^РО + OS4-SM.
61
										I						
									-							
									а							
													С			
																
																
																
		0										5)				
																
Рис. 173
В	С
					с											
														С		
		а								а						
																
																
			Ч)									5)				
																
Рис. 175
Рис. 176
51.2.	1) Постройте вектор p + k (рис. 174).
2)	Даны произвольные точки Д, В, С, Z), Е. Докажите, что
AB+SC + CD =ЛС + С£ +£В + ВО.
51.3.	1) Постройте вектор a-f-c (рис. 175).
2)	На рисунке 176 четырехугольник MBCD — паралле-
лограмм. Докажите, что AB-\-BC-\-CM=AB-\-CD.
51.4.	1) Постройте вектор p-\-k (рис. 177). В случае а) построе-
ние выполните двумя способами.
2)	На рисунке 178 четырехугольник МИРК — паралле-
лограмм. Докажите, что НО-\-ОК-\-КР=РК-\-МР.
51.5.	1) Постройте вектор а + у (рис. 179). В случае а) построе-
ние выполнйте двумя способами.
2)	Угол между векторами а и Ь, а и с равен 120°,
|а| — |й| = |с| (рис. 180). Докажите, что а + &-|-с=б.
51.6.	1) Постройте вектор k + р (рис. 181). Для случая а) по-
строение выполните двумя способами.
Рис. 178
62
Рис. 181
2)	Угол между векторами а и с равен 90°, а между век-
торами а и b 135° (рис. 182), |а| = |6| = 1, | с | = д/2~. Дока-
жите, что а-\-Ь-\-с = 0.
§ 52. ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ
52.1.	1) Постройте вектор а —с (рис. 183).
2)	Даны треугольник АВС и точка М на отрезке ВС. Вы-
разите:
а)	вектор СВ через векторы АС и АВ\
б)	вектор МА через векторы В А и ВМ.
52.2. 1) Постройте вектор k — р (рис. 184).
2) Даны треугольник АВС и точка Е на стороне АВ. Вы-
разите:
63
52.3.	1) Постройте вектор а —с (рис. 185). В случае а) построе-
ние выполните двумя способами.
2)	Дан параллелограмм ABCD, СА=а, CD = c. Выразите
векторы АВ, ВС, DA через векторы а и с.
52.4.	1) Постройте вектор х—у (рис. 186). Для случая а) по-
строение выполните двумя способами.
2)	Дан параллелограмм ABCD, АВ=а, BD = c. Вырази-
те векторы ВС, DC, DA через векторы а и с.
52.5.	1) Постройте вектор а —с (рис. 187). Для каждого случая
построения выполните двумя способами.
2)	Даны параллелограмм ABCD и произвольная точка
О. Выразите вектор ОА через векторы ОВ, ОС, OD.
52.6.	1) Постройте вектор p — k (рис. 188). Для каждого случая
построения выполните двумя способами.
2) В четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD пересе-
каются в точке О и выполняется равенство ОВ +
A-OD = ОА -J-ОС. Докажите, что четырехугольник ABCD —
параллелограмм.
64
§ 53.	СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ
53.1.	1) Постройте вектор k = a-\-p — с (рис. 189).
2)	В равнобедренном треугольнике АВС точка М — сере-
дина основания АС.
а)	Упростите выражение МВ — МСА-ВА.
б)	Найдите \МВ — МС А-ВА |, если АВ = 5 см, ВЛ! = 4 см.
53.2. 1) Постройте вектор k = a — рА~с (рис. 190).
2)	Отрезок СМ — медиана, проведенная из вершины пря-
мого угла равнобедренного треугольника АВС.
а)	Упростите выражение АВ —АС А-ВМ.
б)	Найдите |АВ-ДС + ВЛ4|, если ДВ= 10.
53.3. 1) Постройте вектор k = a — рА~с (рис. 191).
2) В прямоугольнике A BCD AD=\2 см, CD = 5 см, О — точ-
ка пересечения диагоналей. Найдите \ABA-AD — DC — OD\.
53.4. 1) Постройте вектор х = а-|-6 — с (рис. 192).
2) ABCD — ромб, 40 = 20 см, ВО = 24 см, О — точка пе-
ресечения диагоналей. Найдите \AD А~АВ —ВС — ОВ\.
53.5. 1) Для точек Д, В, С, О, В, изображенных на рисунке 193,
выполняется равенство ДВ-f-ДС + СО+ % = О£. Построй-
те вектор х.
2) В трапеции ABCD с прямым углом А проведена диаго-
наль ДС, ZLBCA =45°, Z4СО = 90°, АС = а. Найдите
|СВ-СД + СО|.
Рис. 190
Рис. 192
3 Зив Б. Г, 7—11 кл
Рис. 194
53.6. 1) Для точек Д, В, С, О, £, изображенных на рисунке 194,
выполняется равенство АВ + CD —DE — х = АЕ. Построй-
те вектор х.
2)	В трапеции РКНМ с прямым углом Р проведена
диагональ HP, Z.PHK = 30°, Z_PHM = $0°. Найдите
\~КР + ЛП(-~МН\9 если РМ = а.
§ S4.	УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО
54.1.	1) Начертите вектор а, длина которого равна 3 см. По-
стройте с помощью масштабной линейки векторы 2а, — а.
2) В параллелограмме ABCD О — точка пересечения диа-
гоналей, К — середина стороны CD. Выразите векторы
ОА и АК через векторы АВ и AD.
54.2.	1) Начертите вектор р, длина которого равна 2 см. По-
стройте с помощью масштабной линейки векторы Зр, — 2р.
2) В параллелограмме ABCD Р — точка пересечения диа-
гоналей, М — середина стороны ВС. Выразите векторы
DP и DM через векторы DA и DC.
54.3.	1) Начертите два неколлинеарных вектора аир, начала
которых не совпадают, и |а| =2 см, |р| =5 см. С по-
мощью чертежного угольника и масштабной линейки по-
стройте вектор За + 2р.
2)	На стороне ВС параллелограмма ABCD взята точка
К так, что ВК'.КС = 1:4. Выразите векторы АК и KD через
векторы АВ=р и AD=k.
54.4.	1) Начертите два неколлинеарных вектора х и у, начала
которых не совпадают, и |х| = 1 см, |#|=3 см. С по-
мощью масштабной линейки и чертежного угольника по-
стройте вектор Зх—4у.
2)	На стороне НК ромба МНКС взята точка Е так, что
КЕ=^НЕ, Т — середина МН. Выразите векторы СЕ и
о
ЕТ через векторы СК = р и CM=k.
54.5.	1) Начертите два неколлинеарных вектора р и k, концы
которых совпадают. С помощью циркуля, чертежного
угольника и линейки без делений постройте вектор
2)	Точка М лежит на диагонали АС параллелограмма
ABCD, а точка Н — на его стороне AD, причем
66
AM:MC = 2:1, AH = HD. Выразите вектор МН через
векторы аир, где а=ДВ, р = АО.
54.6.	1) Начертите два неколлинеарных вектора х и у, концы ко-
торых совпадают. С помощью циркуля, чертежного уголь-
ника и линейки без делений постройте вектор ^х—у.
2) Точка Т лежит на стороне ВС параллелограмма ABCD,
а точка Е — на его диагонали BD, причем BE;ED = 2;\,
ВТ —ТС. Выразите вектор ЕТ через векторы аир,
где a = DA, p = DC.
§ 55.	ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
55.1.	1) Точка М — середина отрезка АВ. Выразите:
а)	вектор AM через вектор МВ;
б)	вектор АВ через вектор МВ;
в)	вектор AM через вектор ВА.
2)	В четырехугольнике ABCD AD = 9 см, ВС=уЛО.
Найдите длину отрезка, соединяющего середины сторон
АВ и CD четырехугольника.
55.2.	1) Точка С делит отрезок МН в отношении 1:3, считая от
точки М. Выразите:
а)	вектор МС через вектор СН;
 > >
б)	вектор МН через вектор СМ;
в)	вектор МС через вектор НМ.
2)	В четырехугольнике ABCD BC=AD. Найдите углы В,
С и D четырехугольника, если Z.4 = 15°.
55.3.	1) Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в
точке О. Найдите %, если:
а) ЛС = хДО; б) BO=xDB; в) ЛВ=хСО.
2)	На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отмечены со-
ответственно точки М и Н так, что 4B = 3BAf, ВС = ЗВН.
Используя векторы, докажите, что МН^АС и МН — ^АС.
55.4.	1) Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в
точке О. Найдите у, если:
a) ~BD=y~BO\ б) ~АО=уИ&, в) ~АО=у~СО.
2)	Отрезки ВА и CD пересекаются в точке О. Причем
АО = 2ОВ, OD — 2OC. Используя векторы, докажите, что
BC\\AD, BC=±AD.
67
55.5.	1) Векторы аир неколлинеарны. Существует ли такое
число а, что а = ар?
2)	Точка О — произвольная точка плоскости, AETD — че-
тырехугольник, М — середина отрезков АВ и ЕО, a И —
середина отрезков BD и ОТ (рис. 195). Используя векто-
ры, докажите, что AETD — параллелограмм.
55.6.	1) а и р — неколлинеарные векторы, аа = 0р. Найдите
числа аир.
2) HKDM — параллелограмм, точка А —середина отрез-
ков ОМ и НЕ (рис. 196). Используя векторы, докажите,
что точки О и Е равноудалены от прямой KD.
55.7*. 1) Точка О — точка пересечения диагоналей параллело-
грамма ABCD. Точка К лежит на стороне ВС, а точка
Е — на стороне AD, причем BK*.KC = DE*.AE= 1:2. Ис-
пользуя векторы, докажите, что точка О является сере-
диной отрезка КЕ.
2) Используя векторы, докажите, что в любом треугольни-
ке медианы пересекаются в одной точке, которая делит
каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
55.8*. 1) Точка Ах лежит на стороне ВС, а точка Вх — на сторо-
не АС треугольника ЛВС, О — точка пересечения отрез-
ков AAi и ВВЬ причем АО*.ОАХ = ВО:ОВ{ = 2:1. Исполь-
зуя векторы, докажите, что отрезки АА} и ВВ} являются
медианами треугольника АВС.
2)	Используя векторы, докажите, что диагонали парал-
лелограмма пересекаются и в точке пересечения делятся
пополам.
§ 56.	СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРАПЕЦИИ
56.1.	1) Разность оснований трапеции равна 4 см, а средняя
линия равна 10 см. Найдите основания трапеции.
2)	В равнобедренной трапеции ABCD перпендикуляр,
проведенный из вершины В на большее основание AD
трапеции, делит его на отрезки, равные 4 и 10 см. Найди-
те основания и среднюю линию трапеции.
56.2.	1) В трапеции одно из оснований больше другого в 2 раза.
Средняя линия трапеции равна 15 см. Найдите основания
трапеции.
68
2)	В равнобедренной трапеции МНКР проведен перпен-
дикуляр НЕ к большему основанию Л4Р, Л4£ = 6 см,
НК = 10 см. Найдите большее основание и среднюю ли-
нию трапеции.
56.3.	1) В трапеции ABCD ДОЦВС, Z4=90°, Z.C=135°,
ДВ = 2 см. Найдите среднюю линию трапеции, если изве-
стно, что ее диагональ перпендикулярна боковой стороне.
2) В равнобедренной трапеции острые углы равны 60°, бо-
ковая сторона равна 10 см, а большее основание 15 см.
Найдите меньшее основание и среднюю линию трапеции.
56.4.	1) В трапеции МНКР МР\\НК> ZA4 = 90°, ZK=150°,
HK = 2 см. Найдите среднюю линию трапеции, если изве-
стно, что ее диагональ перпендикулярна боковой стороне.
2) В равнобедренной трапеции острые углы равны 45°,
меньшее основание равно 5 см, а расстояние между осно-
ваниями 4 см. Найдите большее основание и среднюю ли-
нию трапеции.
56.5.	1) В равнобедренной трапеции диагональ, равная 4 см,
составляет с основанием угол 60°. Найдите среднюю
линию трапеции.
2)	Докажите, что если трапецию можно разделить двумя
прямыми на три равносторонних треугольника, то средняя
линия такой трапеции в полтора раза больше меньшего
основания.
56.6.	1) В равнобедренной трапеции диагональ составляет с
основанием угол 45°. Расстояние между основаниями тра-
пеции равно 8 см. Найдите среднюю линию трапеции.
2) Докажите, что если трапецию можно разделить одной пря-
мой на ромб и равносторонний треугольник, то средняя
з
линия такой трапеции составляет — большего основания.
ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ
§ 57.	МНОГОУГОЛЬНИКИ. ПЛОЩАДИ. ВЕКТОРЫ
57.1.	Сторона квадрата ABCD равна 4 см. На АВ и CD отложе-
ны отрезки AM и КС так, что АМ = КС = 3>.
а)	Докажите, что MBKD — параллелограмм.'
б)	Найдите его периметр и площадь.
в)	Выразите вектор BD через векторы ВМ и ВС,
57.2.	Сторона квадрата МКРТ равна 12 см. На МТ и КР отло-
жены отрезки АТ и КВ так, что АТ = КВ = 5 см.
а) Докажите, что АМВР — параллелограмм.
б)	Найдите его периметр и площадь.
в)	Выразите вектор РМ через векторы РВ и РТ.
57.3.	В прямоугольнике ABCD АВ = 8 см, ВС = 4 см. На сторо-
нах АВ и CD взяты соответственно точки К и Р так, что
AK:AB = CP-.CD = 8-.8,	69
а)	Докажите, что KBPD— ромб.
б)	Найдите его периметр и площадь.
в)	Выразите вектор BD через векторы ВС и В/С.
57.4.	В прямоугольнике ABCD ДВ = 18 см, ДО =12 см. На сто-
ронах АВ и CD взяты соответственно точки Т и К так, что
ВГ:ДГ = ВК^С = 5:13.
а)	Докажите, что АТСК—ромб.
б)	Найдите его периметр и площадь.
в)	Выразите вектор СА через векторы CD и СТ.
57.5.	В ромбе ABCD АВ = Ъ см, BD = 2y[5 см. На сторонах АВ
и CD взяты соответственно точки М и К так, что
AM:MB = CK:KD=\,5.
а)	Докажите, что MBKD— прямоугольник.
б)	Найдите его периметр и площадь.
в)	Выразите вектор КМ через векторы ВС и ВА.
57.6.	В ромбе КРТМ КР=\Ъ см, РЛ4 = 4УГГ см. На сторо-
нах КМ и РТ взяты соответственно точки А и В так, что
ДМ:КД = РВ:В7,= 1,6.
а)	Докажите, что АРВМ — прямоугольник.
б)	Найдите его периметр и площадь.
в)	Выразите вектор РМ через векторы МА и МТ.
§ 58.	РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. ПОДОБИЕ
58.1.	В прямоугольнике ABCD на сторонах ВС и AD взяты
соответственно точки М и К так, что Z.B4Af = 40°,
Z_DCK=50°. Известно, что СК = 8 см, ВС = 20 см.
а)	Докажите, что ВМ:CD = AM:КС.
б)	С помощью микрокалькулятора вычислите отрезки KD,
CD, ВМ и площадь четырехугольника АМСК.
58.2.	Дан квадрат ABCD. На стороне CD взята точка Р, а на
продолжении стороны АВ за вершину А — точка Е,
Z ВВС = 35°, Z4DE = 55°, £0 = 5 см.
а)	Докажите, что BP'.DE = AD'.PC.
б)	С помощью микрокалькулятора вычислите отрезки АЕ,
AD, PC и площадь четырехугольника DPBE.
58.3.	В прямоугольнике ABCD точка М делит сторону АВ в от-
ношении 2:1, считая от вершины А. Прямые MD и ВС пе-
ресекаются в точке £, Z.Af£b4=40°, ДВ=10 см.
а) Докажите, что треугольники AMD и ECD подобны,
б) С помощью микрокалькулятора вычислите площадь
треугольника DCE.
2) На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка
Е. Через эту точку проведены прямые, параллельные дру-
гим сторонам треугольника, пересекающие отрезки АС и
АВ в точках Р и Н соответственно.
70
а)	Докажите, что НЕ'ЕР = РС'ВН.
19
б)	Найдите sin Z.EPC, если cos ZLBHE=-^.
58.4.	1) Дан прямоугольник ABCD. Сторона DC продолжена за
точку С. На этом продолжении отмечена точка Р так, что
Z ВДВ = 50°, Н — точка пересечения отрезков РА и ВС и
ВВ://С = 3:2, ДЯ=10 см.
а)	Докажите, что треугольники АВИ и APD подобны,
б) С помощью микрокалькулятора вычислите площадь
треугольника APD.
2) Через вершину С параллелограмма ABCD проведена
прямая HP так, что точка С лежит между точками Н и В,
которые принадлежат прямым АВ и AD соответственно,
а) Докажите, что ВН'DP = BC-CD.
б)	Найдите cos Z.CDP, если sin Z-HBC=^.
58.5.	1) В трапеции ABCD диагональ BD является ее высотой,
ВС = 3 мм, ДС= 10 мм, О — точка пересечения диагона-
лей, ВО*. OD =1:2. С помощью микрокалькулятора вычис-
лите Z-AOD.
2)	В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС взяты точки
D и Е так, что ВО = 4 мм, Z-EDB= Z_C. Высота треуголь-
ника В/( равна 16 мм, cos Z_C=-^. Найдите отношение
площадей треугольников DBE и АВС.
58.6.	1) В параллелограмме ABCD диагональ ВО перпендику-
лярна стороне ВС. На стороне ВС выбрана точка Е. Отрез-
ки АЕ и ВО пересекаются в точке О, причем
ВО:00 = 2:3, ВС = 9 см и Д£ = 20 см. С помощью микро-
калькулятора вычислите Z-AOD.
2) В треугольнике АВС на сторонах ВС и АС отмечены со-
ответственно точки Н и Р так, что PC = 8 см, Z_HPC =
= Z-АВС. Площади треугольников РИС и АВС относятся как
4:25, cos Z.C = -^. Найдите высоту BE треугольника АВС.
58.7*. 1) В трапеции ABCD (ДОЦВС) Z4BC=Z4CO, ВС =
= 2 см, ДО=8 см, Z.C4O = 40°. Используя микрокальку-
лятор, найдите площадь трапеции.
2) В параллелограмме ABCD угол А острый. Из вершины
А проведены высоты параллелограмма AM и АН к сторо-
нам ВС и CD соответственно, Af//:4C = 3:4. Найдите от-
ношение площадей треугольников МАН и АВС.
58.8*. 1) В треугольнике АВС /_АВС=\‘АЪ°. На стороне АС
выбрана точка D так, что СО = 4 см и Z.BZ)C= Z.4BC,
ЛС = 9 см. Используя микрокалькулятор, найдите пло-
щадь ABDC.
2) В параллелограмме ABCD угол А острый, ВМ и ВН —
высоты параллелограмма, проведенные к сторонам AD и
DC соответственно, МН:ВD = 2:3. Найдите отношение
площадей треугольников МВН и BDC.
§ 59.	ОКРУЖНОСТЬ
59.1.	1) Через точку Д, лежащую на окружности радиусом
10 см с центром О, проведена касательная AM. Отрезок
ОМ пересекает окружность в точке В, Найдите градусную
меру меньшей из дуг АВ, если ДЛ4=10Д/3^ см.
2)	Треугольник вписан в окружность так, что одна из его
сторон проходит через центр окружности, а две другие уда-
лены от него на 3 и 3 д/зГ см. Найдите радиус окружности.
59.2.	1) Отрезок АВ — диаметр некоторой окружности радиу-
сом 5 см, прямая ВС — касательная к ней, АС= 10 см.
Найдите градусную меру дуги данной окружности, за-
ключенной внутри треугольника АВС.
2)	В треугольник АВС, в котором Z.4=90°, вписана
окружность с центром О. Найдите отрезки, на которые
точка касания этой окружности и прямой АС делит сторо-
ну АС, если ОС = 5 дм, АО = ЗУ]2 дм.
59.3.	1) Через концы хорды АВ окружности с центром О прове-
дены касательные, пересекающиеся в точке М. Найдите
градусную меру меньшей из дуг АВ, если ДЛ4=10 см, а
периметр четырехугольника ОАМВ равен 40 см.
2)	Диагональ трапеции составляет с большим основанием
угол 30°, а центр окружности, описанной возле трапеции,
принадлежит этому основанию. Найдите площадь трапе-
ции, если ее боковая сторона равна 2 см.
59.4.	1) Из точки А проведены две касательные АВ и AD к не-
которой окружности радиусом 5 см (В и D — точки каса-
ния). Точка С принадлежит большей из дуг BD. Найдите
Z.BCD, если ДВ = 5 см.
2)	В некоторой трапеции один из углов прямой, а другой
равен 30°. Большая боковая сторона трапеции равна
12 см. Найдите площадь трапеции, если известно, что в
нее можно вписать окружность.
59.5.	1) АВ и АС — касательные к окружности с центром О
(С и В — точки касания). Найдите градусную меру мень-
шей из дуг ВС, если расстояние от центра окружности до
точки А равно 8 см, а до хорды ВС 6 см.
2)	Где — внутри трапеции, вне или на основании — располо-
жен центр окружности, описанной около равнобедренной
трапеции с основаниями 10 см, 24 см и высотой 17 см?
59.6.	1) Из точки А к окружности диаметром ВС проведена ка-
сательная АС. Отрезок АВ пересекается с окружностью в
точке D, AD = 2 см, BD = § см. Найдите градусную меру
дуги окружности, заключенной внутри треугольника АВС.
2) В выпуклом четырехугольнике ABCD угол А прямой.
Диагональ BD образует со сторонами ВС, CD и AD углы
90°, 45°, 30° соответственно. Могут ли биссектрисы углов
данного четырехугольника пересекаться в одной точке?
72
МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ
$ 60. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА
60.1.	1) Даны векторы а{1; 6}, Ь{ — 5; 7). Найдите координаты
векторов с = 2а-\-Ь и d = b — a.
2)	Найдите среди векторов а {2; 1,5), b {3; —1), с {4,4; 3,3),
3{ — 15; 5} пары коллинеарных.
60.2.	1) Даны векторы т {7; 5} и п { — 6; 2}.Найдите координаты
векторов fe = 3/n —и и р = т-}-п.
2)	Найдите среди векторов /п{3; 2), п|2~; — 1},
р{7; —3), k {4; 11} пары неколлинеарных.
60.3.	1) Даны векторы а{1; 4}, ft{l; 2}, с {7; 2}. Запишите разло-
жение вектора d = 3a — 2ft + с по координатным векто-
рам i и /.	_	_	_
2)	Найдите среди векторов а {2; 0}, ft {0; 3}, с { — 5; 0},
d {0; —18} пары коллинеарных.
60.4.	1) Даны векторы т{— 1; —7}, и{ — 1; 7}, й{1; 7}.
Запишите разложение вектора р = /и-|-3/г —2Л по коорди-
натным векторам i и /.	_	_
2)	Найдите среди векторов т{ — 7; 0}, и{0; 5}, р{6; 1},
k {21; 0} пары неколлинеарных.
60.5.	1) В треугольнике АВС АВ { — 2; 1}, АС { — 4; 2}. Запиши-
те разложение вектора АО по координатным векторам i
и /, если О есть точка пересечения медиан треугольни-
ка АВС.
2) Найдите угол между векторами а{3; 3} и с {3; —3}.
60.6. 1) Даны векторы АС {4; 10} и AM { — 3; —1}. Известно,
что М — середина некоторого отрезка ВС. Найдите разло-
жение вектора ВА по координатным векторам i и /.
2) Найдите угол между векторами k{ — 2; 2} и р{2; —2}.
§ 61.	ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ В КООРДИНАТАХ
61.1.	1) Найдите координаты середины отрезка с концами
А (1; 3), В(3; 1).
2)	Точка А лежит на положительной полуоси абсцисс и
удалена от начала координат на 2. Точка В имеет коорди-
наты (14; 5). Найдите расстояние АВ.
61.2.	1) Даны точки Р(2; 2) и Я (6; 6). Найдите координаты
точки М, делящей отрезок PH пополам.
2)	Точка С имеет координаты (5; 15), а точка D лежит на
положительной полуоси ординат и удалена от начала
координат на 3. Найдите расстояние CD.
73
61.3.	Даны точки А (1; 2) и В (0; 0). Найдите координаты точки
С, если известно, что точка В есть середина отрезка АС.
2) На оси абсцисс найдите точку, равноудаленную от точ-
ки Л(1; 2) и начала координат.
61.4.	1) Начало координат делит отрезок AM пополам. Найдите
координаты точки М, если координаты точки А равны
(4; 4).
2)	На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точ-
ки Л4( —1; — 3) и начала координат.
61.5.	1) Точки А и В имеют координаты А (Г, 2), В (7; 10). Най-
дите координаты (г, у) точки С, делящей отрезок АВ в от-
ношении 1:3, считая от точки А.
2)	Лежат ли точки Л( —3; 2), В (2; 2), С (2; 14) на одной
прямой?
61.6.	1) Точка М принадлежит отрезку РК, причем РМ'.МК =
= 2:1. Найдите координаты точки К, если координаты то-
чек Р и М равны (6; 3) и (14; 9) соответственно.
2) Принадлежит ли точка Н (3; —5) отрезку МР, если
М (1; -2), Р(5; -8)?
61.7*. 1) Координаты всех вершин некоторого треугольника —
четные числа. Докажите, что площадь этого треугольни-
ка выражается натуральным числом.
2) Используя формулы метода координат, найдите пару чи-
сел х, у, удовлетворяющих условию у(х— l)2 + (f/— I)2 =
=Д/х24-(х/— I)2.
61.8*. 1) Координаты вершин А и В квадрата ABCD — целые
числа. Докажите, что координаты точек С и D также це-
лые числа.
2) Используя формулы метода координат, решите систе-
му уравнений
^xl+(y—i)2 =V(x—1)2 + #2,
Vx2 + i/2=V(x+l)2 + (i/-l)2.
§ 62.	ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КООРДИНАТ
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
62.1.	1) Треугольник задан координатами своих вершин
А (4; 2), В(0; —6), С ( — 4; —2). Докажите, что этот тре-
угольник равнобедренный.
2)	В равнобедренном треугольнике АВС основание равно
12, а высота ОВ равна 4. Найдите длину медианы, прове-
денной из вершины А.
62.2.	1) Даны точки М (3; 1), /С (0; 0), Р (0; 2). Будет ли тре-
угольник МРК равносторонним?
2)	В равнобедренном треугольнике РКП медиана КМ,
проведенная к основанию, равна 8. Найдите длину медиа-
ны, проведенной из вершины Н, если HP = 20.
74
62.3.	1) Четырехугольник ABCD задан координатами своих
вершин А ( — 5; 0), В( — 3; 3), С (2; 3), 0(4; 0).
а)	Докажите, что этот четырехугольник — трапеция.
б)	Равны ли углы BAD и CDA?
2)	В треугольнике АВС проведена высота ВН. Найдите
длину медианы, проведенной из вершины А, если
ЛАВН = 45°, ВН = 6, НС = 8.
62.4.	1) Даны точки М (0; 4), Р(2; 1), К (2; -2), Т (0; -5).
а) Докажите, что четырехугольник МРКТ — трапеция,
б) Равны ли углы МРК и РКТ?
2)	В треугольнике МКР с углом М, равным 45°, высота
КН делит сторону МР на отрезки 4 и 6, считая от верши-
ны М. Найдите длину медианы, проведенной из верши-
ны М.
62.5.	1) Треугольник задан координатами своих вершин А (2; 2~\/3\
В(0; 0), С(3; У/З). Найдите углы треугольника АВС.
2)	В треугольнике АВС АВ = 4, ЛС = 6, Z./l=60o. Найди-
те медиану, проведенную из вершины А.
62.6.	1) Даны точки А (4; 1), В (7; 3), С (2; 4). Найдите углы тре-
угольника АВС.
2)	В треугольнике КНР КН = 8^/2, КР=18, Ztf=45°.
Найдите медиану, проведенную из вершины К.
62.	7*. В прямоугольнике ABCD точка К делит диагональ BD в
отношении 2:1, считая от вершины В. Точка Е — середина
стороны CD. Используя метод координат, докажите, что точ-
ка К принадлежит отрезку АЕ и делит его в отношении 1:2.
62.	8*. В ромбе MTHD точка К принадлежит диагонали TD.
TK'-KD = <2\\. Точка Е делит отрезок HD пополам. Ис-
пользуя метод координат, докажите, что точка К принад-
лежит отрезку ME и делит его в отношении 1:2.
§ 63.	УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ
63.1.	1) Постройте окружность, заданную уравнением
(х-3)2+(*/ + 2)2=4.
2)	Окружность с центром в точке О (—4; 2) пересекает
ось ординат в точке А (0; 5). Напишите уравнение этой
окружности.
63.2.	1) Постройте окружность, заданную уравнением
(x+2)2+(i/-l)2 = 9.
2)	Окружность с центром в точке 0(2; —4) пересекает
ось абсцисс в точке А (5; 0). Напишите уравнение этой
окружности.
63.3.	1) Постройте окружность, заданную уравнением
x2+(Z/ + 3)2 = 9.
75
2)	Окружность проходит через точки А (2; 0) и В (— 2; 6).
Напишите уравнение этой окружности, если известно, что
ее центр лежит на прямой АВ.
63.4.	1) Постройте окружность, заданную уравнением
(x4-2)2 + z/2=4.
2)	Отрезок МН является диаметром окружности. Напи-
шите уравнение этой окружности, если известно, что точки
М и Н имеют координаты (0; 2) и (6; —2) соответственно.
63.5. Докажите, что линия, заданная уравнением х24-6х+у2 =
= 0, является окружностью. Является ли отрезок АВ, где
Д( —Г, у/5) и В ( — 5; — у/5), диаметром этой окруж-
ности?
63.6.	Докажите, что линия, заданная уравнением х2-^//2 —6// —
— 7 = 0, является окружностью. Является ли отрезок CD,
где С (2; 2 д/З+3) и О(-2; 3-2 д/З), диаметром этой
окружности?
§ 64.	УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ
ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИ
64.1.	1) Напишите уравнение прямой, проходящей через точку
А (9; 3) и перпендикулярной оси Ох.
2)	Прямая задана уравнением 2х — 3#+ 15 = 0. Принад-
лежат ли точки М (3; 7) и Н (5; —6) этой прямой?
3)	Выясните взаимное расположение прямой х=19 и
окружности (х—7)2 + (г/ + 6)2 = 81.
64.2.	1) Напишите уравнение прямой, проходящей через точку
В(—3; 10) и перпендикулярной оси Оу.
2)	Принадлежат ли точки А (3; —5) и В (4; 2) прямой
7х—5//—18 = 0?
3)	Выясните взаимное расположение прямой х/ = 30 и
окружности (х—5)2 + (г/—10)2= 100.
64.3.	1) Найдите площадь треугольника, который образуется
при пересечении прямой 2х+// + 4 = 0 с осями ко-
ординат.
2)	Напишите уравнение прямой, проходящей через нача-
ло координат и точку А (2; —10).
3)	Выясните взаимное расположение прямой х=10 и
окружности (х— 1)2 + (г/ —30)2 = 81. Найдите расстояние
от центра окружности до прямой.
64.4.	1) Найдите площадь треугольника, который образуется
при пересечении прямой у — Зх-|-6 = 0 с осями координат.
2)	Запишите уравнение прямой, проходящей через точки
А ( — 2; -9) и В(0; 0).
3)	Выясните взаимное расположение прямой у = 27 и
окружности (х-|-5)24-(г/—17)2= 100. Найдите расстояние
от центра окружности до прямой.
64.5.	1) Найдите площадь треугольника, который образуется при
пересечении прямых 2x-|-z/-|-4 = 0, х= — 1 и оси абсцисс.
76
2)	Напишите уравнение прямой, проходящей через точки
А (1; 10) и В (— 1; -4).
3)	Выясните взаимное расположение прямой % + у=1 и
окружности x2 + i/2=l. Найдите расстояние от центра
окружности до прямой.
64.6.	1) Найдите площадь треугольника, который образуется
при пересечении прямых у — Зх+6 = 0, х/ = 3 и оси
ординат.
2)	Даны точки М (7; 3), Р(—1; —2). Напишите уравнение
прямой МР.
3)	Выясните взаимное расположение прямой у — х— 1=0
и окружности x2-|-z/2==l. Найдите расстояние от центра
окружности до прямой.
64.7	*. Даны две точки А и В, расстояние между которыми равно
4. Найдите множество всех точек Af, для которых
МА2 + МВ2 =10.
64.8	*. Даны две точки А и В, расстояние между которыми рав-
но 4. Найдите множество точек Af, для которых
МА2 -МВ2 = 4.
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
§ 65. ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА
65.1.	1) Найдите площадь равнобедренного треугольника, если
его боковая сторона равна 1 м, а угол при вершине ра-
вен 45°.
2)	Площадь параллелограмма с углом 60° равна 25 д/зГ см2.
Найдите его периметр, если длина одной стороны 10 см.
65.2.	1) Найдите площадь равностороннего треугольника со
стороной, равной 1 м.
2)	В параллелограмме одна сторона равна 10 см, а угол
равен 135°. Найдите периметр параллелограмма, если его
площадь равна 50^/2 см2.
65.3.	1) В треугольнике ABC CD — медиана. Найдите площадь
треугольника BDC, если ЛС=10 см, ВС = 20 см и
ААСВ= 135°.
2)	Найдите площадь параллелограмма, если его диагона-
ли равны 8 и 10 см и угол между ними равен 60°.
65.4.	1) В треугольнике ЕРМ РК— медиана. Найдите площадь
треугольника ЕКР, если ЕР=10 см, PAf=16 см и
ZEPA4=120°.
2)	Диагонали параллелограмма равны 6 и 10 см, а угол
между ними 45°. Найдите площадь параллелограмма.
65.5. 1) Центр описанной вокруг треугольника АВС окружно-
сти лежит вне треугольника, и угол А наибольший. Най-
дите угол 4, если АВ = 3 см, АС = 4 см и площадь тре-
угольника равна 3 см2.
77
2)	В равнобедренной трапеции ABCD с большим основа-
нием AD диагонали пересекаются в точке О. Найдите пло-
щадь трапеции, если ААОВ = 45°, а диагональ равна с.
65.6	. 1) Точка пересечения прямых, содержащих высоты тре-
угольника ЛВС, находится вне этого треугольника, и угол
С наибольший. Найдите величину угла С, если площадь
треугольника равна 2д/зГ см2, а АС = 2 см, ВС = 4 см.
2) Диагональ равнобедренной трапеции длиной а образу-
ет с основанием угол 75°. Найдите площадь трапеции.
65.7	*. В треугольнике ABC АВ = a, BC = b, ААВС = а. Точка D ле-
жит на стороне ДС, Z_4BZ) = p. Найдите длину отрезка BD.
65.8	*. В треугольнике АВС точка D лежит на стороне АС.
BD = m, ВС = п, Z_ABD = a, Z_DBC = $. Найдите АВ.
§ 66. ТЕОРЕМА СИНУСОВ
66.1.	1) В треугольнике АВС ДС = 0,59 дм, Z.4 = 40°,
Z. С = 35°. С помощью микрокалькулятора вычислите ВС.
2) В равнобедренном треугольнике АВС длина основания
АВ равна д/2", угол при основании равен 30°, AD — бис-
сектриса. Найдите AD.
66.2.	1) В треугольнике ЕКР ЕР = 0,75 см, ZP = 40°,
Ztf = 20°. С помощью микрокалькулятора вычислите РК.
2) В треугольнике ABC ZC = 90°, Z4 = 15°, CD — бис-
сектриса. Найдите AD, если ДС = д/3^.
66.3.	1) В параллелограмме ABCD Z. 0=120°, Z. BDA = 40°,
ВО = 25,3 см. С помощью микрокалькулятора вычислите
большую сторону параллелограмма.
2)	В треугольнике ABC AC = b, /Л = а, Z.B = p, точка
О лежит на стороне AC, Z.BDC = y. Найдите ВО.
66.4.	1) В параллелограмме ABCD Z4 = 50°, Z.C4O= 15°,
ДС= 17,8 см. С помощью микрокалькулятора вычислите
большую сторону параллелограмма.
2)	В треугольнике ABC Z-A = u, Л.В = $, точка £ лежит
на стороне ВС, Z_AEB = y, АЕ = т. Найдите АС.
66.5.	1) В треугольнике АВС ДС= 15,2 см, Z.4=25°,
2_ С = 80°. С помощью микрокалькулятора вычислите пло-
щадь треугольника.
2)	В треугольнике ABC АВ = ВС, BD — высота. Через се-
редину высоты проведена прямая, пересекающая стороны
АВ и ВС в точках Е и F соответственно. Найдите EF, если
BD = h, Z_ABC = $, Z_BEF = <l.
66.6.	1) В треугольнике ЕРМ ЕР = 31,7 см, Z.P = 75°,
2_М = 65°. С помощью микрокалькулятора вычислите пло-
щадь треугольника.
2) В треугольнике АВС АВ = ВС. Через середину высоты
BD треугольника проведена прямая, пересекающая сторо-
ны АВ и ВС в точках и L соответственно, KL = m. Най-
дите высоту BD, если Z.4BC = p и Z_BLK = &.
78
66.7	*. В треугольнике АВС ВМ — медиана, ZXBAf = а, Z_MBC =
= р. Найдите АВ. если ВМ~т.
66.8	*. В треугольнике ABC BD — медиана, =	/LDBC =
= 0, ВС=а. Найдите BD.
§ 67. ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ
67.1.	1) В треугольнике две стороны равны 27,4 и 16,3, угол меж-
ду ними 140°. С помощью микрокалькулятора вычислите
третью сторону треугольника.
2)	Стороны треугольника равны 16,86; 15 и 20. Найдите
угол, лежащий против меньшей стороны, используя мик-
рокалькулятор.
67.2.	1) Две стороны треугольника равны 1,3 и 42,5, угол между
ними 100°. С помощью микрокалькулятора вычислите
третью сторону треугольника.
2)	Стороны треугольника равны 8; 12,47; 16. Найдите
угол, лежащий против средней по длине стороны, исполь-
зуя микрокалькулятор.
67.3.	1) Стороны параллелограмма равны 11,3 и 9,7. Угол меж-
ду ними равен 40°. С помощью микрокалькулятора вычис-
лите большую диагональ параллелограмма.
2)	Стороны треугольника равны 7, 8 и 4,61 см. Используя
микрокалькулятор, найдите высоту, опущенную на боль-
шую сторону треугольника.
67.4.	1) Диагонали параллелограмма равны 16,8 и 12,4, угол
между ними 55°. С помощью микрокалькулятора вычисли-
те большую сторону параллелограмма.
2)	Стороны треугольника равны 21, 24 и 25,92 см. Найди-
те, используя микрокалькулятор, высоту, опущенную на
среднюю по длине сторону.
67.5.	1) Стороны треугольника равны 4 и 5, а угол между ними
140°. С помощью микрокалькулятора найдите высоту Л,
опущенную на третью сторону треугольника.
2)	Стороны треугольника равны 6, 7 и 7,5 см. Используя
микрокалькулятор, найдите радиус описанной около тре-
угольника окружности.
67.6.	1) Стороны треугольника равны 8 и 5, а угол между ними
равен 40°. С помощью микрокалькулятора найдите высо-
ту, опущенную на третью сторону треугольника.
2)	Стороны треугольника равны 3, 5 и 6,26 см. Найдите ра-
диус окружности, описанной около треугольника, исполь-
зуя микрокалькулятор.
67.7*	. Докажите, что в любом треугольнике углы Д, В и С связа-
ны соотношением
cos2 А = cos2 С + sin2 В — 2 sin A sin В cos С.
67.8*	. Докажите, что в любом треугольнике углы А. В и С связа-
ны соотношением
2 sin A sin В cos С — 1 = cos2 С — cos2 А — cos2 В.
79
§ 68.	СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ В КООРДИНАТАХ
68.1.	1) В равнобедренном треугольнике АВС угол В прямой,
АС = 2л/2, BD — медиана треугольника. Вычислите ска-
лярные произведения векторов BD*AC, BD*BC, BD*BD.
2) Даны точки А (1; 3), В (4; 7), С(-1; -1), 0(7; 5).
Найдите скалярное произведение векторов АВ и CD. С по-
мощью микрокалькулятора вычислите угол между этими
векторами.
68.2.	1) В равностороннем треугольнике МНР НК — биссектри-
са, МН = 2. Вычислите скалярные произведения векторов
~НК*~МР, ~нк*~нр, ~рм-~мр.
2)	Даны точки М (2; 3), Р(-2; 0), О (0; 0), К(-5; -12).
—►- —>"
Найдите скалярное произведение векторов МР и О/С. С по-
мощью микрокалькулятора вычислите угол между этими
векторами.
68.3.	1) В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точ-
ке О, АВ = 2, Z CAD = 30°. Вычислите скалярное произве-
дение векторов DC*ВС, ОВ*ОА.
2)	Даны точки А (2; 4), В (5; 8), С ( — 7; - 1), D (- 12; - 13).
Найдите скалярное произведение векторов АВ и CD.
С помощью микрокалькулятора вычислите угол между
этими векторами.
68.4.	1) В прямоугольнике МНР К диагонали пересекаются в
точке О, /^=2, Z.AfC^=120°. Вычислите скалярное
произведение векторов МН*PH, ОР*РК.
2)	Даны точки Р (2; 3), Н (8; -5), К(3; 1), А4 (— 5; 7). Най-
дите скалярное произведение векторов PH и КМ. С по-
мощью микрокалькулятора вычислите угол между этими
векторами.
68.5.	1) В трапеции ABCD ZX = 10°, ZO = 80°, AD = %, BC = 7.
Вычислите скалярное произведение BC*AD, АВ* CD.
2)	Даны точки Д (%; —5), В (г, х), 0(0; 0). Найдите х и
угол между векторами О А и ОВ, если известно, что их
скалярное произведение равно —6.
68.6.	1) В трапеции РНКМ ZP=13°, Ztf = 77°, A4K = 3,
РН = Ь. Вычислите скалярное произведение векторов
НР*МК, НК-~МР.
2)	Даны точки М (у; -1), 0(0; 0), Н (2; -1), Р (3; 5). Из-
——►-
вестно, что скалярное произведение векторов ОМ и HP
равно —у2. Найдите у и угол между этими векторами.
68.7*. 1) В треугольнике ABC CA*CB<Q. Где расположен
центр окружности, описанной около треугольника?
80
2) Даны точки В ( — 2; 10), С (6; 4), D(l; 1) и точка Д, ле-
жащая на оси Оу. Найдите координаты точки Д, если из-
вестно, что прямая АС перпендикулярна прямой BD.
68.8*. 1) В треугольнике АВС ВС*ВД>0. Где расположен
центр окружности, описанной около треугольника?
2)	Дан четырехугольник ЕКРН. Вершина Е принадлежит
оси абсцисс, а вершины Р (1; 2), И (—6; 6), К (4; 6) распо-
ложены так, что диагонали четырехугольника взаимно
перпендикулярны. Найдите координаты точки Е.
§ 69. СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ.
ПРИМЕНЕНИЕ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
69.1.	1) Известно, что с = a-j- b, |а| =5 см, |6| =3 см. Угол меж-
ду векторами а и b равен 60°. Найдите |с|.
2)	Используя скалярное произведение векторов, докажи-
те, что медиана равнобедренного треугольника, проведен-
ная к его основанию, является биссектрисой этого тре-
угольника. _ _ _ _
69.2.	1) Известно, что т = п — k, |/г| =д/2~ см, |Хг| =3 см, угол
между векторами п и k равен 45°. Найдите | т |.
2)	Используя скалярное произведение векторов, докажи-
те, что медиана равнобедренного треугольника, проведен-
ная к ее основанию, является высотой этого треугольника.
69.3.	1) Найдите угол между векторами а и Ь, если (a — bf +
(2а-Ь)2 = 56, |а|=2, \Ь\ =3.
2)	Используя скалярное произведение векторов, докажи-
те, что если биссектриса треугольника является его высо-
той, то этот треугольник равнобедренный.
69.4.	1) Найдите угол между векторами /пип, если (/и — 2п)2 +
+ (т + Я)2 = 73, \т\=2л/2, |я|=3.
2)	Используя скалярное произведение векторов, докажи-
те, что если биссектриса треугольника является его меди-
аной, то этот треугольник равнобедренный.
69.5.	1) Известно, что а = 3р — ft, b = pA~3k, где р и k — единич-
ные взаимно перпендикулярные векторы. Вектор 7 имеет
длину д/б” и составляет равные углы с векторами ~р и 7.
Запишите разложение вектора с по векторам р и &.
2)	В ДДВС 6ДВ2 = ВС2Н-ДС2. Докажите, что медианы тре-
угольника ААХ и BBi взаимно перпендикулярны.
69.6.	1) Известно, что р = За+ 6, & = а —36, где а и 6— единич-
ные взаимно перпендикулярные векторы. Вектор т имеет
длину д/2(Г и составляет равные углы с векторами р и k.
Запишите разложение вектора т по векторам р и k.
81
2) В треугольнике ABC = cos С=^у-. Докажите,
что угол между медианами ВВХ и AAt прямой.
69.7*. 1) В треугольнике АВС АС = 3 см, ВС = 6 см, 2.ДСЕ= 120°.
Точка Е делит сторону АВ в отношении 1:2, считая от
вершины А. Найдите отрезок СЕ.
2) Даны точки Af (— 1; 3), Р (1; 2), /С (— 2; 5). Найдите пло-
щадь треугольника РКМ.
69.8*. 1) В треугольнике РКН PH = 2^/2 дм, 7^ = 2 дм,
2_НРК = 135°. Найдите отрезок РО, если точка О принадле-
жит прямой НК и НО : ОК=1 : 3.
2) Даны точки А (3; 2), В (4; 5), С (7; 10). Найдите пло-
щадь треугольника АВС.
ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДЬ КРУГА
§ 70.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРАВИЛЬНОГО МНОГОУГОЛЬНИКА.
ФОРМУЛА УГЛОВ ПРАВИЛЬНОГО МНОГОУГОЛЬНИКА
70.1.	1) Найдите углы правильного десятиугольника.
2)	Диагональ правильного пятиугольника равна 4. Найдите
сторону пятиугольника, используя микрокалькулятор.
70.2.	1) Найдите углы правильного двенадцатиугольника.
2)	Сторона правильного пятиугольника равна 2. Найдите
его диагональ, используя микрокалькулятор.
70.3.	1) Найдите внешние углы правильного девятиугольника.
2) Сторона правильного пятиугольника ABCDE равна 2.
Найдите расстояние от точки С до прямой ДЕ, используя
микрокалькулятор.
70.4.	1) Найдите внешние углы правильного десятиугольника.
2)	В правильном пятиугольнике ABCDE расстояние от
точки D до прямой АВ равно 4. Найдите сторону пяти-
угольника, используя микрокалькулятор.
70.5.	1) Существует ли правильный многоугольник, у которого
каждый угол равен 145°?
2)	Сторона правильного пятиугольника ABCDE равна
2. Диагонали AD и BE пересекаются в точке О. Найдите
ДО, используя микрокалькулятор.
70.6.	1) Существует ли правильный многоугольник, каждый
угол которого равен 149°?
2)	В правильном пятиугольнике ABCDE диагонали АС и
BE пересекаются в точке О. Длина ВО равна 2. Найдите
сторону пятиугольника, используя микрокалькулятор.
70.7	*. Какими равными правильными многоугольниками можно
покрыть плоскость без просветов?
70.8	*. Можно ли комбинациями двух видов правильных много-
угольников покрыть плоскость без просветов? Приведите
пример.
82
§ 71. ПОСТРОЕНИЕ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ.
ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ РАДИУСА ВПИСАННОЙ И ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ
71.1.	1) С помощью циркуля и линейки впишите в данную
окружность правильный треугольник.
2)	Сторона правильного треугольника, описанного око-
ло некоторой окружности, равна у/З. Найдите сторону
правильного четырехугольника, вписанного в ту же
окружность.
71.2.	1) С помощью циркуля и линейки впишите в данную
окружность правильный четырехугольник.
2)	Сторона правильного четырехугольника, описанного
около некоторой окружности, равна 4. Найдите сторону пра-
вильного треугольника, вписанного в ту же окружность.
71.3.	1) С помощью циркуля и линейки опишите около данной
окружности правильный треугольник.
2)	Сторона описанного правильного четырехугольника на
у/3 больше стороны правильного треугольника, вписанного
в ту же окружность. Найдите сторону четырехугольника.
71.4.	1) С помощью циркуля и линейки опишите около данной
окружности правильный четырехугольник.
2)	Сторона описанного правильного треугольника на д/fT
больше стороны правильного четырехугольника, вписан-
ного в ту же окружность. Найдите сторону треугольника.
71.5.	1) Постройте правильный шестиугольник по отрезку, равному
расстоянию от центра шестиугольника до его стороны.
2)	Один из двух правильных л-угольников вписан в
окружность, другой описан около нее. Может ли отноше-
ние периметров этих многоугольников равняться 0,51?
71.6.	1) Постройте правильный шестиугольник по отрезку, рав-
ному его меньшей диагонали.
2) Один из правильных л-угольников описан около окруж-
ности, а другой вписан в нее. Может ли отношение площа-
дей этих многоугольников быть больше 4?
71.7*. 1) В окружность радиуса R вписаны правильные 2л-уголь-
ник и л-угольник, ап — сторона л-угольника. Найдите
площадь 2л-угольника.
2) Внутри правильного шестиугольника со стороной 2 д/з” см
выбрана точка М. Найдите сумму расстояний от точки М
до прямых, содержащих стороны шестиугольника.
71.8*. 1) Около окружности описаны правильные 2л-угольник и
л-угольник. Вокруг л-угольника описана еще одна окруж-
ность. Отношение радиусов этих двух окружностей равно
х (х>1). Найдите отношение периметров л-угольника и
2л-угольника.
2) Около правильного шестиугольника со стороной, рав-
ной 1, описана окружность. Найдите сумму квадратов
83
расстояний от произвольной точки окружности до всех
вершин шестиугольника.
§ 72.	ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ, ДЛИНА ДУГИ
72.1.	1) Найдите радиус окружности, если ее длина равна 88л м.
2) С помощью микрокалькулятора вычислите длину дуги,
радиус которой равен 22, а градусная мера 165°.
72.2.	1) Длина окружности равна 96л см. Найдите ее радиус.
2) Дуга в 117° имеет радиус 29 см. Найдите длину этой
дуги, используя микрокалькулятор.
72.3.	1) С помощью микрокалькулятора вычислите градусную
меру дуги, длина и радиус которой равны соответственно
94,2 см и 45 см.
2)	В окружности длиной 36л см проведена хорда, стягива-
ющая дугу в 60°. Найдите длину этой хорды.
72.4.	1) Длина дуги равна 62,8 м, а ее радиус 36 м. Найдите гра-
дусную меру дуги, используя микрокалькулятор.
2)	В окружности длиной 24л см проведена хорда, равная
12 см. Найдите градусную меру меньшей дуги, стягивае-
мой хордой.
72.5.	1) Каким должен быть радиус окружности, чтобы ее длина
была равна сумме длин двух окружностей с радиусами
И и 47 см?
2)	В окружности длиной 48л см проведена хорда, равная
9,6 см. Найдите длину меньшей из дуг, стягиваемых этой
хордой, используя микрокалькулятор.
72.6.	1) Каким должен быть радиус окружности, чтобы ее длина
была равна разности длин двух окружностей с радиусами
37 и 15 см?
2)	В окружности длиной 40л см проведена хорда, отстоя-
щая от центра на 2,1 см. Найдите длину меньшей из дуг,
стягиваемых этой хордой, используя микрокалькулятор.
72.7	*. Даны две окружности. Вторая окружность имеет центр О
на первой окружности и касается ее диаметра АВ в точке М.
Найдите длину второй окружности, если АМ = т, ВМ = п.
72.8	*. Две окружности касаются внутренним образом в точке А.
Через точку А проведена прямая, пересекающая малую и
большую окружности в точках В и С соответственно. Най-
дите отношение длин данных окружностей, если АВ*.АС — х.
§ 73. ПЛОЩАДЬ КРУГА И КРУГОВОГО СЕКТОРА
73.1.	1) С помощью микрокалькулятора вычислите площадь
круга, длина окружности которого равна 17,1 см.
2)	Градусная мера дуги окружности радиуса 8 мм равна
36°. Найдите площадь кругового сектора, соответствующе-
го этой дуге.
84
73.2.	1) Длина окружности равна 19,1 м. С помощью микрокаль-
кулятора вычислите площадь соответствующего круга.
2) Найдите площадь кругового сектора радиуса 6 м, если
градусная мера его дуги равна 150°.
73.3.	1) С помощью микрокалькулятора вычислите длину
окружности круга, площадь которого равна 724 см2.
2)	На рисунке 197 изображена окружность с центром О,
ДВ = ВО=Ю см. Найдите площадь заштрихованной фи-
гуры.
73.4.	1) Площадь некоторого круга равна 51,6 см2. Найдите дли-
ну окружности, соответствующей этому кругу, используя
микрокалькулятор.
2)	На рисунке 198 изображена окружность с центром О и
радиусом 8 м. Меньшая из дуг, стягиваемая хордой МН,
имеет градусную меру 60°. Найдите площадь заштрихо-
ванной фигуры.
73.5.	1) Как изменится длина окружности, если площадь соответ-
ствующего ей круга уменьшится в 441 раз?
2)	На рисунке 199 изображена окружность с центром О и
радиусом 24 м. Хорда АВ равна 9,6 м. Найдите площадь
заштрихованной фигуры, используя микрокалькулятор.
73.6.	1) Как изменится площадь круга, если длина соответству-
ющей ему окружности увеличится в 19 раз?
2)	На рисунке 200 изображена окружность с центром О и
радиусом 7 см. Расстояние от точки О до хорды МР равно
3 см.
85
С помощью микрокалькулятора вычислите площадь за-
штрихованной фигуры.
73.7	*. Площадь полукруга (рис. 201) равна Q. Градусные меры
дуг АВ и CD равны 30°. Найдите площадь заштрихован-
ной фигуры.
73.8	*. На рисунке 202 изображен полукруг с диаметром AD.
Градусные меры дуг АВ и CD равны 45°. Найдите пло-
щадь полукруга, если площадь заштрихованной фигуры
равна Q.
ДВИЖЕНИЯ
§ 74. ОСЕВАЯ И ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ,
ПОНЯТИЕ ДВИЖЕНИЯ
74.1.	1) Дана трапеция ABCD. Постройте фигуру, на которую
отображается данная трапеция при центральной симмет-
рии с центром А.
2)	Докажите, что при движении вертикальные углы отоб-
ражаются на вертикальные углы.
74.2.	1) Дана трапеция ABCD. Постройте фигуру, на которую
отображается данная трапеция при осевой симметрии с
осью АВ.
2)	Докажите, что при движении смежные углы отобража-
ются на смежные углы.
74.3.	1) Дана трапеция ABCD, все стороны которой имеют раз-
ные длины, О — середина диагонали АС. Постройте фигу-
ру, на которую отображается данная трапеция при цент-
ральной симметрии с центром О.
2)	Докажите, что при движении подобные ромбы отобра-
жаются на подобные ромбы.
74.4.	1) Дана трапеция ABCD, все стороны которой имеют раз-
ные длины. Постройте фигуру, на которую отображается
данная трапеция при осевой симметрии с осью АС.
2)	Докажите, что при движении подобные прямоугольники
отображаются на подобные прямоугольники.
74.5.	1) Даны окружность и точка А на ней. Постройте фигуру,
на которую отображается данная окружность при цент-
ральной симметрии с центром А.
2)	При некотором движении отрезок АВ отображается
на отрезок ЕР, АВ = 12 см. Точка М принадлежит отрезку
АВ, AM = 2 см. Точка М отображается на точку Н. Най-
дите НЕ.
74.6.	1) Даны окружность и прямая а, касательная к этой
окружности. Постройте фигуру, на которую отображается
данная окружность при осевой симметрии с осью а.
2) Точка К принадлежит отрезку МН и делит его в отно-
шении 3:2, считая от точки М. При некотором движении
отрезок МН отображается на отрезок ЕР, а точка — на
точку Т. Найдите отношение ЕТ'.ЕР.
86
§ 75.	ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС И ПОВОРОТ
75.1.	1) Дан квадрат ABCD. Постройте фигуру, которая получа-
ется из этого квадрата параллельным переносом на век-
тор АС.
2)	Докажите, что правильный шестиугольник при поворо-
те вокруг своего центра на угол 60° отображается на себя.
75.2.	1) Постройте квадрат, который получается из данного
квадрата ABCD поворотом вокруг центра А на угол 135°
против часовой стрелки.
2)	Докажите, что при параллельном переносе прямой АВ
на вектор АВ прямая АВ отображается на себя.
75.3.	1) Дана трапеция ABCD. Известно, что при параллельном
переносе прямая AD отображается на прямую ВС, а пря-
мая BD отображается на себя. Постройте точку, в кото-
рую переходит точка А при этом параллельном переносе.
2) В правильном треугольнике с центром О угол РОИ ра-
вен 60° (рис. 203). Докажите, что при повороте вокруг цент-
ра О на угол 120° против часовой стрелки отрезок КР
отображается на отрезок МН.
75.4.	1) Дан равнобедренный треугольник АВС с прямым углом
В. При некотором повороте точка А отображается на точку
В, а точка В — на точку С. Постройте центр поворота.
2) Даны две окружности одинакового радиуса с центрами
О и О) (рис. 204). Хорды АВ и CD равны и лежат на одной
прямой. Докажите, что при параллельном переносе на
вектор OOj отрезок АВ отображается на отрезок CD.
75.5.	1) Даны угол АВС и точка М внутри его. Найдите на сто-
ронах угла такие точки D и Е, чтобы при параллельном
переносе точка В отображалась на точку Z), а точка Е —
на точку М.
2)	При некотором повороте точка А отображается на точку
В, а точка С — на точку D. При каком значении угла поворота
точки Д, В, С, D лежат на одной прямой?
75.6.	1) Даны две прямые и точка О. На каждой из прямых от-
метьте точку, которая бы переходила в другую при пово-
роте на угол 70° относительно центра О.
87
2) Некоторая фигура перешла в себя при параллельном
переносе. Докажите, что не существует круга, внутри ко-
торого лежала бы данная фигура.
§ 76. ПРИМЕНЕНИЕ ДВИЖЕНИЙ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
76.1. 1) Отрезки АС и BD пересекаются в точке О. ДО = ОС,
BO = OD. Точки М и Н — середины отрезков АВ и CD.
Используя центральную симметрию, докажите, что точка
О — середина отрезка МН.
2)	Используя параллельный перенос, докажите, что если
одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей
прямой, то и другая прямая перпендикулярна этой прямой.
76.2. 1) Используя осевую симметрию, докажите, что медианы,
проведенные к боковым сторонам равнобедренного тре-
угольника, равны.
2)	Используя поворот, докажите, что если градусные ме-
ры двух дуг окажутся равны, то и стягивающие их хорды
тоже равны.
76.3.	1) Через точку пересечения диагоналей параллелограмма
ABCD проведена прямая, пересекающая стороны ВС и AD
в точках М и Н соответственно. Докажите, что BM = DH.
2)	Постройте окружность, касающуюся двух данных па-
раллельных прямых и проходящую через данную между
ними точку.
76.4.	1) Докажите, что если трапеция вписана в окружность, то
она равнобедренная.
2)	Даны две параллельные прямые Ь и с и точка А между
ними. Постройте равнобедренный треугольник АВС с пря-
мым углом А так, чтобы вершины В и С лежали соответ-
ственно на прямых b и с.
76.5.	1) Через центр квадрата ABCD проведены две взаимно
перпендикулярные прямые, каждая из которых пересека-
ет противоположные стороны квадрата. Докажите, что от-
резки этих прямых, заключенные внутри квадрата, равны
между собой.
2)	Прямая с пересекает две параллельные прямые а и b
под острым углом. Постройте равнобедренный треуголь-
ник АВС так, чтобы точки А и В лежали на прямых а и Ь
соответственно, а медиана СМ была равна основанию АВ
треугольника и лежала на прямой с.
76.6.	1) Даны две окружности равных радиусов с центрами Ох
и О2. Прямая, параллельная ОХОЪ пересекает первую
окружность в точках А и В, вторую — в точках С и D так,
что точки В и D принадлежат отрезку АС. Докажите, что
OxO2 = BD.
2) Даны угол тп и точка О внутри его. Постройте квад-
рат ABCD так, чтобы диагонали квадрата пересекались в точ-
ке О, а точки В и D лежали на лучах т и п соответственно.
88
ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ КУРСА ПЛАНИМЕТРИИ
§ 77. ТРЕУГОЛЬНИКИ
77.1. 1) В треугольниках АВС и Д^^ ZC=Z.41C1B1 =
= Z_CXHBX = <№\ АВ = АХСХ = Ь, АС = Ь, СХН = 3 (рис. 205).
а) Докажите, что треугольники АВС и АХСХН равны, а
треугольники АВС и АХВХСХ подобны.
б)	Найдите площадь треугольника АВС.
в)	Найдите отрезки НВХ и В^.
2) Начертите произвольный треугольник. Постройте одну
из биссектрис этого треугольника.
77.2.	1) В треугольниках ДВС и 4iBjCi ДВ = 2Д/У, ДС = ВС = 2,
Z4=Z41=ZB1, СР — биссектриса треугольника ЛВС,
ZC1MB1=ZC1//M = 90°, СР = СХН (рис. 206).
а)	Докажите, что треугольники АВС и подобны, а
треугольники СРВ и МСХН равны.
б)	Найдите площадь треугольника АВС.
в)	Найдите углы треугольника СХМН.
2)	Начертите произвольный треугольник. Постройте одну
из медиан этого треугольника.
77.3.	1) В треугольниках ЛВС и Д^С?! Z-Д = 2^ = 45°, Z.C =
= Z Cj = 105°, АХСХ = 2, ДС = 4, МН — средняя линия тре-
угольника ДВС (рис. 207).
а)	Докажите, что треугольники АВС и подобны, а
треугольники Д^^ и МВН равны.
б)	Сравните отрезки ВН и АХВХ.
в)	Найдите отрезок ВС.
г)	Вычислите с помощью микрокалькулятора площадь
треугольника ДВС.
2)	Начертите произвольный треугольник. Постройте одну
из высот этого треугольника.
89
Рис. 207
Рис. 208
77.4.	1) На рисунке 208 ОВ = ОН	, ОС = ОМ =
= ДЛ4 = 1, ZBOC=135°.
а)	Докажите, что треугольники ВОС и МОН равны, а тре-
угольники ОСВ и OAD подобны.
б)	Найдите площадь треугольника AOD.
в)	Найдите отрезок МН.
г)	Вычислите с помощью микрокалькулятора угол СВО.
2)	Начертите произвольный треугольник. Постройте одну
из средних линий этого треугольника.
77.5.	1) Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О так, что
ВО = ОС = а, AO = OD = b.
а)	Докажите, что углы ABD и ACD равны.
б)	Найдите отношение площадей треугольников ABD и
CBD.
в)	Докажите, что точка О — середина отрезка МН, если
ОМ и ОН — биссектрисы треугольников АОС и BOD со-
ответственно.
г)	Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник
AOD, и радиус окружности, описанной около треугольни-
ка ВОС, если угол АОС равен а.
2)	Начертите произвольный треугольник АВС. Постройте
треугольник, подобный треугольнику АВС, так, чтобы его
з
периметр составлял — периметра треугольника АВС.
77.6.	1) Отрезки КР и МН имеют равные длины и пересекаются
в точке О так, что прямые КН и МР параллельны,
ОН = а, ОМ = Ь.
а)	Докажите, что ОК = а, ОР = Ь.
б)	Найдите отношение периметров треугольников ОКМ и
ОНР.
в)	Докажите, что точка О принадлежит отрезку АВ, если
точки А и В принадлежат отрезкам КН и МР соответст-
венно, причем АН:КН = МВ:МР.
г)	Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник
90
КОН, и радиус окружности, описанной около треугольни-
ка МОР, если угол КНО равен а.
2) Начертите произвольный треугольник МРН. Постройте
треугольник, подобный треугольнику МРН, так, чтобы его
4
площадь составляла — площади треугольника МРН.
§ 78.	ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
78.1.	Через середину диагонали АС прямоугольника ABCD про-
ведена прямая, пересекающая стороны ВС и AD в точках
Р и К соответственно.
а) Докажите, что четырехугольник АРСК — параллелограмм,
б) Найдите площадь четырехугольника АРСК, если
ДС=13 см, KD = 8 см, АК = 4 см.
78.2.	Через середину диагонали BD квадрата ABCD проведена
прямая, пересекающая стороны АВ и CD в точках Р и
К соответственно.
а)	Докажите, что четырехугольник BKDP — параллело-
грамм.
б)	Найдите площадь четырехугольника BKDP, если
ДР = 2 см, /СО = 6 см.
78.3.	Через середину диагонали BD параллелограмма ABCD
перпендикулярно ей проведена прямая, пересекающая
стороны ВС и AD в точках М и Т соответственно,
а) Докажите, что четырехугольник BMDT — ромб.
б)	Найдите радиус круга, вписанного в четырехугольник
BMDT, если ВО = 8 см, 7\Л4 = 6 см.
78.4.	Через середину диагонали АС трапеции ABCD перпендику-
лярно этой диагонали проведена прямая, пересекающая
основания AD и ВС в точках М и Т соответственно,
а) Докажите, что четырехугольник АТСМ— ромб.
б)	Найдите радиус окружности, вписанной в четырех-
угольник АТСМ, если /47=10 см, ЛС=16 см.
78.5.	Через точку пересечения диагоналей квадрата ABCD прове-
дены две взаимно перпендикулярные прямые, пересекаю-
щие стороны АВ, ВС, CD и AD в точках Р, К, Н, Т соответ-
ственно.
а)	Докажите, что четырехугольник РКНТ является квад-
ратом.
б)	Найдите площадь четырехугольника РКНТ, если
ВС = а, АТКС = а.
78.6.	Дан ромб ABCD с острым углом А, равным а. Через точку
О пересечения диагоналей этого ромба проведены две
прямые, пересекающие стороны АВ, ВС, CD и AD в точ-
ках М, Н, К, Р соответственно. Л.РОК=а, Z_APO = WF.
а) Докажите, что четырехугольник МНКР является пря-
моугольником.
б) Найдите площадь четырехугольника МНКР, если
КР = а.
91
§ 79.	ОКРУЖНОСТЬ
79.1.	1) Остроугольный треугольник АВС вписан в окружность
так, что градусные меры дуг АВ и ВС равны соответствен-
но 100° и 120°. Найдите угол АС В.
2)	В треугольник АВС вписана окружность, касающаяся
стороны ВС в точке К. С помощью микрокалькулятора
найдите углы АСВ и ЛВС, если СК=8 см, КВ = 6 см, а
радиус окружности равен 2 см.
79.2.	1) Окружность описана около треугольника АВС. Угол
ВАС равен 50°, угол АСВ равен 60°. Найдите меньшую из
дуг А С.
2)	Треугольник АВС описан около окружности радиусом
12 см. С помощью микрокалькулятора найдите сторону
ЛВ, если Z_CAB = 52°, Л.СВА= 76°.
79.3.	1) Треугольник с углами 30°, 60°, 906 описан около окруж-
ности. Найдите градусные меры дуг, на которые окруж-
ность разделилась точками касания.
2) Около остроугольного треугольника АВС описана
окружность радиусом 12 см. С помощью микрокалькуля-
тора вычислите угол ВАС, если АС = 16 см, ЛВ = 22 см.
79.4. 1) Окружность вписана в треугольник. Точки касания де-
лят окружность на дуги с градусными мерами 135°, 135°
и 90°. Найдите углы треугольника.
2) Тупоугольный треугольник АВС вписан в окружность
радиусом 16 см. С помощью микрокалькулятора вычисли-
те угол ВАС, если расстояния от центра окружности до
сторон АВ и АС равны соответственно 3 и 5 см.
79.5. 1) Треугольник с углами 50°, 60°, 70° описан около окруж-
ности. Найдите отношение длин дуг, на которые окруж-
ность разделилась точками касания.
2) Около треугольника АВС описана окружность радиу-
сом 15 см, Z.B = 25°. С помощью микрокалькулятора вы-
числите углы ВАС и ВСА, если ВС = 20 см.
79.6. 1) Круг вписан в треугольник. Радиусы, проведенные в
точки касания, разделили площадь круга на части, кото-
рые относятся как 13:12:11. Найдите углы треугольника.
2)	Треугольник АВС вписан в окружность радиусом
12 см. С помощью микрокалькулятора вычислите углы
Л и В треугольника, если Z.C= 16°, ЛС=15 см.
§ 80. МЕТОД КООРДИНАТ. ВЕКТОРЫ
80.1.	Даны точки А (— 3; 3), В (6; 6), С (3; —3). Отрезок BD явля-
ется биссектрисой треугольника АВС.
1)	Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.
2)	Выразите вектор BD через векторы ВА и ВС.
3)	Запишите уравнение окружности с диаметром АС.
92
4)	С помощью ‘микрокалькулятора вычислите угол между
медианой АЕ и основанием АС.
80.2.	Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О,
окружность, вписанная в квадрат, касается прямой АВ в
точке Е. Координаты точек О, А и В соответственно равны
(7; 5), (2; 8), (10; 10).
1)	Найдите координаты точки Е.
2)	Запишите уравнение окружности, описанной около
квадрата.
3)	Выразите вектор ОЕ через векторы ОС и OD.
4)	С помощью микрокалькулятора найдите угол ЕСА.
80.3. Координаты вершин треугольника АВС'. А (—6; 10), В (8; 8),
С (2; 2). Точка О — центр окружности, описанной около
треугольника АВС.
1)	Выясните вид треугольника АВС.
2)	Выразите вектор СО через векторы С А и СВ.
3)	Запишите уравнение окружности, описанной около тре-
угольника АВС.
4)	С помощью микрокалькулятора вычислите угол ОСА.
80.4. В четырехугольнике ABCD заданы координаты трех вер-
шин: Д (—2; 2), В(0; 6), С(4; 4). Противоположные сторо-
ны четырехугольника попарно параллельны, а диагонали
пересекаются в точке О.
1)	Выясните вид четырехугольника.
2)	Выразите вектор ОС через векторы АВ и AD.
3)	Запишите уравнение окружности, вписанной в четырех-
угольник.
4)	Вычислите угол, который составляет прямая, проходя-
щая через середину стороны АВ и точку С с прямой ВС.
80.5. Треугольник АВС задан координатами вершин А ( — 4; 0),
В (4; 0), С(0; 2). Точка О — центр окружности, описанной
около этого треугольника.
1)	Найдите длину медианы АК треугольника АВС.
2)	Запишите уравнение окружности, описанной около тре-
угольника АВС.
3)	Выразите вектор ОС через векторы О А и ОВ.
4)	С помощью микрокалькулятора вычислите угол между
прямыми АО и ВС.
80.6. Треугольник АВС задан координатами своих вершин А (0; 12),
В (9; 0), С (0; — 12). Точка О — центр окружности, вписанной
в треугольник.
1)	Найдите длину медианы СМ треугольника.
2)	Запишите уравнение окружности, вписанной в тре-
угольник.
3)	Выразите вектор ОВ через векторы ОС и ОА.
4)	С помощью микрокалькулятора вычислите угол между
прямыми ОС и ОА.
93
ВВЕДЕНИЕ В СТЕРЕОМЕТРИЮ
§ 81.	АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ И СЛЕДСТВИЯ ИЗ НИХ
81.1.	1) Пользуясь изображением на рисунке 209, назовите:
а) точку пересечения прямой AD с плоскостью DDXC\
б) линию пересечения плоскостей ADDX и DXCD.
В какой из плоскостей ADDX, АХВХВ, ВВХСХ, BCD не лежит
точка А?
2)	Три прямые, проходящие через точку D, пересекают
четвертую прямую соответственно в точках Л, В, С. Дока-
жите, что точки Д, В, С, D лежат в одной плоскости.
81.2.	1) Пользуясь изображением на рисунке 210, назовите:
а) точку пересечения прямой BD с плоскостью АВС\
б) линию пересечения плоскостей ABD и CDB.
В какой из плоскостей ABD, BDC, ABC, ADC не лежит
точка С?
2)	Прямые АВ и АС пересекаются с некоторой прямой в
точках М и Н соответственно. Докажите, что точки М, И,
С, В лежат в одной плоскости.
81.3.	1) Пользуясь изображением на рисунке 211, назовите:
а) точку пересечения прямой МС с плоскостью ВХВСХ,
б) линию пересечения плоскостей МСХС и ВСВХ.
В каких из плоскостей ADDX, АВВХ, ABD, MDXCX лежит
прямая MDX?
2)	Даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой. До-
кажите, что все прямые, проходящие через данную точку
и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоско-
сти.
81.4.	1) По изображению на рисунке 212 назовите:
а)	точку пересечения прямой MD и плоскости АВС\
б)	линию пересечения плоскостей МВС и ЕВС.
В каких из плоскостей ABD, EDC, МВЕ, АВС не лежит
прямая МВ?
2)	Даны две прямые, пересекающиеся в точке А. Докажи-
те, что все прямые, пересекающие данные прямые и не
проходящие через точку А, лежат в одной плоскости.
94
Рис. 212
Рис. 213	Рис. 214
81.5.	1) Перечертите рисунок 213 в тетрадь и постройте:
а)	точку пересечения прямой МН с плоскостью АВС}
б)	линию пересечения плоскостей МНС и ADC.
2)	На трех прямых, лежащих в плоскости а, взяты соот-
ветственно три точки А, В, С, принадлежащие плоскости р.
Докажите, что точка С лежит на прямой АВ.
81.6.	1) Перечертите рисунок 214 в тетрадь и постройте:
а)	точку пересечения прямой МН с плоскостью АВС}
б)	линию пересечения плоскостей МНВ и АВС.
2)	Плоскости ц и р пересекаются по прямой Ь. Прямая а
лежит в плоскости а и пересекает плоскость р в точке М.
Докажите, что точка М лежит на прямой Ь.
81.7*	. Точка О — центр окружности, описанной около треуголь-
ника АВС. Принадлежит ли точка С плоскости, в которой
лежат точки Л, В и О?
81.8*	. Точка О — центр окружности, описанной около четырех-
угольника ДВСО.Точки Д, О и С принадлежат плос-
кости а. Принадлежит ли этой плоскости вершина О?
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
§ 82.	ТЕОРЕМА О ДВУХ ПРЯМЫХ, ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ТРЕТЬЕЙ.
ПРИЗНАК СКРЕЩИВАЮЩИХСЯ ПРЯМЫХ
82.1.	1) На рисунке 215 точки Af, Я, К, Р — середины соответст-
венно отрезков AD и ОС, ВС, АВ. Найдите периметр четы-
рехугольника МНКР, если AfP = 8 см, ДС = 32 см.
2)	Точка М не лежит в плоскости треугольника АВС. Ка-
ково взаимное расположение прямых МА и ВС? Ответ
обоснуйте.
82.2.	1) На рисунке 216 точка А — середина отрезка МР,
ВСЦРН, AD\\PH, ABWCD. Найдите PH, если ДВ = 4 дм,
а периметр четырехугольника ABCD равен 28 дм.
2)	Точка М не принадлежит плоскости четырехугольника
ABCD. Каково взаимное расположение прямых MD и ВС?
Ответ обоснуйте.
95
82.3.	1) На рисунке 217 точки Af, Н и Р — середины соответст-
венно отрезков AD, DC, АВ, РК\\МН. Найдите периметр
четырехугольника МИРК, если ДС = 8 см, ВО=Ю см.
2)	Точка М не лежит в плоскости треугольника АВС, К —
середина отрезка МВ, Каково взаимное расположение
прямых AL4 и СК? Ответ обоснуйте.
82.4.	1) На рисунке 218 точка А — середина отрезка РК,
4ВЦСО, ВС||ЛО, ВСЦРМ, CD\\HK. Найдите РМ и НК,
если CD=16 дм, ВС = 8 дм.
2)	Точка Af не лежит в плоскости четырехугольника
ABCD, К— середина отрезка МА, Каково взаимное рас-
положение прямых DK и МВ? Ответ обоснуйте.
82.5.	1) Прямая b лежит в плоскости а и параллельна прямой а,
не лежащей в этой плоскости. Через точку Af плоскости
a (Mib) проведена прямая с, параллельная прямой а. Докажи-
те, что прямая с лежит в плоскости а.
2)	На рисунке 219 прямая МВ пересекает плоскость АВС.
Каково взаимное расположение прямых ОК и PH? Ответ
обоснуйте.
82.6.	1) Прямая а, параллельная прямой Ь, пересекает плос-
кость а. Прямая с параллельна прямой Ь. Может ли пря-
мая с лежать в плоскости а?
2)	На рисунке 220 прямая НА пересекает плоскость АВС.
Каково взаимное расположение прямых ОН и РК? Ответ
обоснуйте.
96
82.7	*. Даны четыре точки Л, В, С, О, не лежащие в одной плос-
кости. Докажите, что прямые, соединяющие середины от-
резков АВ и CD, АС и BD, AD и ВС, пересекаются в одной
точке.
82.8	*. Даны четыре точки А, В, С и D, которые не лежат в одной
плоскости. Докажите, что любые две из трех прямых, со-
единяющих середины отрезков АВ и CD, АС и BD, AD и
ВС, лежат в одной плоскости.
§ 83. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
83.1.	1) На рисунке 221 плоскость, параллельная стороне АВ
треугольника АВС, пересекает его стороны в точках М и
К. Найдите АВ, если М — середина стороны АС и МК = 10.
2) Некоторая плоскость а пересекает боковые стороны АВ
и CD трапеции ABCD в точках М и К соответственно. До-
кажите, что ДО II а, если М и К— середины боковых сто-
рон трапеции.
83.2.	1) На рисунке 222 плоскость, параллельная основаниям
трапеции, пересекает стороны АВ и CD в точках М и К со-
ответственно, AD= 10, ВС = 6. Найдите МК, если М — се-
редина отрезка АВ.
2)	Плоскость а пересекает стороны ВА и ВС треугольника
АВС в точках Н и К соответственно. Докажите, что ДС|| а,
если Н и К — середины сторон АВ и ВС.
83.3.	1) Треугольники АВС и DBC не лежат в одной плоскости
и имеют общую сторону, точки М, И и К — середины со-
ответственно сторон BD, CD, АС. Отрезок АВ пересекает
плоскость МКН в точке Р. Найдите РК, если ВС = 8.
2)	Каким может быть взаимное расположение прямых а и
Ь, если прямая а лежит в плоскости а, а прямая Ь парал-
лельна этой плоскости?
83.4.	1) Треугольник APD и трапеция ABCD имеют общую сто-
рону AD и лежат в разных плоскостях. Через основание
ВС трапеции и середину отрезка PD — точку К проведена
плоскость, которая пересекает прямую АР в точке
М. Найдите МК, если ДО =10.
4 Зив Б. Г., 7—11 кл.
97
2)	Каким может быть взаимное расположение двух пря-
мых, если обе они параллельны одной плоскости?
83.5.	1) Треугольники АВС и DBC не лежат в одной плоскости
и имеют общую сторону. Точки Af, И и К — середины со-
ответственно отрезков BD, CD, АС. Плоскость МКН пере-
секает отрезок АВ в точке Р. Докажите, что отрезки PH
и МК пересекаются и в точке пересечения делятся
пополам.
2)	Изобразите параллелограмм ABCD и точку Р, не ле-
жащую в плоскости этого параллелограмма. Отметьте
точки £, К, М, Н — середины сторон АВ, ВС, CD и AD со-
ответственно. Постройте линию пересечения плоскостей
РЕН и РКМ.
83.6.	1) Треугольник APD и трапеция ABCD имеют общую сто-
рону AD и лежат в разных плоскостях. Через основание
ВС трапеции и середину отрезка PD — точку К проведена
плоскость, которая пересекает прямую АР в точке Af,
AD = 2BC. Докажите, что отрезки МС и В К пересекаются
и в точке пересечения делятся пополам.
2) Изобразите трапецию ABCD и точку К, не лежащую
в плоскости АВС. Отметьте точки Е и Р — середины диа-
гоналей АС и BD соответственно. Постройте линию пере-
сечения плоскостей ЕРК и ADK.
§ 84.	ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ
84.1.	1) Дано: ADAB= zLDMP, Z_DMK= ^DAC (рис. 223).
Докажите, что плоскости МРК и АВС параллельны.
2) Сторона АС треугольника АВС лежит в плоскости
а. Через середину ВА — точку М проведена плоскость р,
параллельная плоскости а и пересекающая ВС в точке
К. Найдите МК, если ДС=10 см.
84.2.	1) Дано: ADAB+ £АЕР = 180°, ZZMC + Z_AET= 180°
(рис. 224). Докажите, что плоскости АВС и ЕРТ парал-
лельны.
2)	Сторона АВ треугольника АВС лежит в плоскости
р. Через середину отрезка АС — точку Р проведена плос-
98
кость а, параллельная плоскости 0 и пересекающая ВС
в точке Е. Найдите АВ, если РЕ —7 см. ,
84.3.	1) Прямые ААХ, ВВХ и ССХ попарно параллельны и не ле-
жат в одной плоскости, ДВНЛ^!, BC.UBjCp Докажите, что
АС\\АХСХ.
2)	Параллельные плоскости а и 0 пересекают стороны уг-
ла АВС в точках Ах, Сх, Л2, С2 соответственно. Найдите
ВСХ, если Л1В:Л1Л2= 1:3, ВС2=12 см.
84.4.	1) Прямые ЛЛЬ ВВХ, ССХ не лежат в одной плоскости и
имеют общую точку, ЛБИЛ^, ВСН^С]. Докажите, что
ЛСИЛ^р
2)	Точка К лежит между параллельными плоскостями а и
0. Прямые а и Ь, проходящие через точку К, пересекают
плоскость а в точках Ах и Вх, а плоскость 0 в точках Л2 и
В2 соответственно. Найдите КВХ, если Aj/<^^2= 1:3,
ВХВ2 = 15 см.
84.5.	1) Через точку К проведены две прямые а и Ь, пересекаю-
щие две параллельные плоскости а и 0: первую в точках
Ах и Л2, вторую в точках Вх и В2 соответственно. Вычислите
КАХ и КВ2, если Л1Л2:В1В2=3:4, АХВХ = 7 см, КА2 — 12 см.
2) Верно ли утверждение: если две прямые, лежащие в
одной плоскости, параллельны двум прямым другой плос-
кости, то эти плоскости параллельны?
84.6.	1) На параллельных плоскостях а и 0 выбрано по паре то-
чек Ах, Л2 и Вх, В2 соответственно так, что прямые АХВХ и
А2В2 пересекаются в точке S. Вычислите ХЛ! и SB2, если
АХВХ = 6 см, ХЛ2 = 2,5 см, ХВ2:ХЛ2 = 3.
2)	Верно ли утверждение: если две прямые, лежащие в
одной плоскости, параллельны другой плоскости, то эти
плоскости параллельны?
84.7	*. Три параллельные плоскости а, 0, у (плоскость 0 лежит
между а и у) пересекают одну из. двух данных прямых
в точках Ль Вх, Сх, а другую прямую в точках Л2, В2,
С2 соответственно. Докажите, что АХВХ:ВХСХ = А2В2:В2С2.
84.8	*. Две параллельные плоскости а и 0 пересекают одну из"
двух данных прямых в точках Ль Вх, а другую прямую в
точках Л«, В2 соответственно. Точка Сх принадлежит от-
резку АХВХ, а точка С2 — отрезку Л2В2, причем
АХСХ: СХВХ = А2С2:С2В2. Докажите, что прямая СХС2 парал-
лельна плоскости а.
§ 85. ТЕТРАЭДР И ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД.
ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ
85.1.	1) В параллелепипеде ABCDAXBXCXDX постройте сечение
плоскостью, проходящей через вершины С и Dx и точку
К отрезка
2)	В тетраэдре DABC постройте сечение плоскостью, про-
ходящей через середину ребра DC, вершину В и парал-
лельной прямой АС.
85.2.	1) В параллелепипеде ABCDAXBXCXDX постройте сечение
плоскостью, проходящей через середину ребра AXDX и вер-
шины D и Ск
2)	В тетраэдре DABC постройте сечение плоскостью, про-
ходящей через вершину Д, точку М ребра DB, параллель-
ной прямой ВС.
85.3.	1) В тетраэдре DABC точки £, Р, М принадлежат соответ-
ственно ребрам AD, DB, ВС, причем прямые ЕР и АВ не
параллельны. Постройте сечение тетраэдра плоскостью ЕРМ.
2) В параллелепипеде ABCDAXBXCXDX точка Е принадле-
жит ребру CD. Постройте сечение параллелепипеда плос-
костью, проходящей через эту точку и параллельной плос-
кости BCXD.
85.4.	1) В тетраэдре DABC точки £*, К, Р принадлежат ребрам
АВ, DB и DC соответственно, причем РК^ВС. Постройте
сечение тетраэдра плоскостью ЕКР.
2)	В параллелепипеде ABCDAXBXCXDX точка Н принадле-
жит ребру CD. Постройте сечение параллелепипеда плос-
костью, проходящей через эту точку и параллельной плос-
кости сечения ACDX.
85.5.	1) В параллелепипеде ABCDAXBXCXDX точки К, Р и М при-
надлежат соответственно ребрам ААХ, АХВХ и ВС. По-
стройте сечение параллелепипеда плоскостью КРМ.
2)	В тетраэдре DABC точка Е принадлежит ребру АС. По-
стройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через
точку Е и параллельной ребрам AD и ВС. Определите вид
сечения.
85.6.	1) В параллелепипеде ABCDAXBXCXDX точки Р, Н, К при-
надлежат соответственно ребрам ВХСХ, ССХ и АВ. Построй-
те сечение параллелепипеда плоскостью РНК.
2)	В тетраэдре DABC точка М принадлежит ребру DB.
Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей че-
рез точку М и параллельной ребрам AD и ВС. Определите
вид сечения.
85.7	*. Отметьте точки М, К, Р на ребрах ВС и DDX парал-
лелепипеда ABCDAXBXCXDX. Постройте сечение параллеле-
пипеда плоскостью МКР.
85.8	*. Отметьте точки М, К, Р, принадлежащие граням АВВХАХ,
ABCD и AXBXCXDX параллелепипеда ABCDAXBXCXDX. По-
стройте сечение параллелепипеда плоскостью МКР.
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
§ 86. ПРЯМАЯ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ ПЛОСКОСТИ.
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ
86.1.	1) ВН — медиана треугольника АВС. Прямая AL4 перпен-
дикулярна плоскости треугольника. Найдите угол между
прямыми ВН и МА.
100
Рис. 225
(X
2)	Отрезок АВ. равный 5 см, не имеет общих точек с плос-
костью а. Прямые АС и BD. перпендикулярные этой плос-
кости, пересекают ее в точках С и D соответственно. Най-
дите BD. если СО = 3 см, ЛС=17 см, BD<AC.
86.2.	1) СЕ — биссектриса треугольника АВС. Прямая BD пер-
пендикулярна плоскости треугольника. Найдите угол
между прямыми СЕ и BD.
2)	Отрезок МН не имеет общих точек с плоскостью. Пря-
мые МР и НО. перпендикулярные этой плоскости, пересе-
кают ее в точках Р и О соответственно, AfP=12 дм,
РО = 5 дм, НО = 24 дм. Найдите МН.
86.3.	1) Сторона АВ параллелограмма ABCD перпендикулярна
плоскости а (рис. 225). Найдите BD. если 4С=10 см.
2)	Отрезок АВ пересекает некоторую плоскость в точке
О. Прямые AD и ВС. перпендикулярные этой плоскости,
пересекают ее в точках D и С соответственно, AD = 6 см,
ВС = 2 см, ОС= 1,5 см. Найдите АВ.
86.4.	1) Диагональ BD параллелограмма ABCD перпендикуляр-
на плоскости а (рис. 226). Найдите периметр параллело-
грамма, если ДВ = 7 см.
2)	Отрезок МН пересекает некоторую плоскость в точке
К. Через концы отрезка проведены прямые HP и ME. пер-
пендикулярные плоскости и пересекающие ее в точках Р и
Е. Найдите РЕ. если НР = 4 см, НК = 5 см, МЕ= 12 см.
86.5.	1) Прямые АВ и CD перпендикулярны некоторой плоско-
сти и пересекают ее в точках В и D соответственно. Най-
дите АС. если 4В = 9, CZ) = 15, BD = %.
2)	Одна из двух скрещивающихся прямых перпендикуляр-
на плоскости. Будет ли* перпендикулярна этой плоскости
вторая прямая?
86.6.	1) Через концы отрезка МН проведены прямые, перпенди-
кулярные некоторой плоскости и пересекающие ее в точ-
ках К и Т соответственно. Найдите МН. если КТ = 5,
ЛИ = 4, НТ = Ь.
2) Одна из двух пересекающихся прямых перпендикулярна
плоскости. Будет ли перпендикулярна этой плоскости вто-
рая прямая?
101
86.7*. Дана трапеция ABCD, не лежащая в плоскости а. Отрезки
АА}, ВВХ, СС|, DDX являются перпендикулярами, опущенны-
ми на эту плоскость, причем AAx-\-CCx = BBx-\-DDx. До-
кажите, что основания трапеции параллельны плоскости а.
86.8*. Четырехугольник ABCD не лежит в плоскости а. Из вер-
шин четырехугольника на плоскость а опущены перпенди-
куляры ААХ, BBlt ССХ, DD„ причем BBX = DDX и ААх-1~
j-CCl = 2BBlA-2DDl. Докажите, что плоскость четы-
рехугольника параллельна плоскости а.
$ 87. ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ
И ПЛОСКОСТИ
87.1.	В тетраэдре DABC ADJ.AC, AD ГАВ, DCTCB.
а)	Докажите, что ADTBC.
б)	Докажите, что прямая ВС перпендикулярна плоскости
ADC.
в)	Найдите площадь треугольника ВСА, если ВС=4,
ДС = 3.
87.2.	Точка Е не принадлежит плоскости прямоугольника ABCD,
BE ГАВ, BE Г ВС.
а)	Докажите, что BE .LCD.
б)	Докажите, что прямая CD перпендикулярна плоскости
ВСЕ.
в)	Найдите площадь треугольника ECD, если СО=6, С£=8.
87.3.	В тетраэдре ABCD BDTBC, DCTAC, ^ДСВ = 90°.
а)	Докажите, что ACTBD.
б)	Найдите площадь треугольника ABD, если AD = 25 мм,
ДВ = 24 мм.
87.4.	Точка Е не принадлежит плоскости прямоугольника ABCD,
BE ГАВ, ЕАГАО.
а)	Докажите, что ADTBE.
б)	Найдите площадь треугольника EBD, если ВО = 7 см,
£0 = 25 см.
87.5.	1) В тетраэдре ABCD углы DAC и DAB равны, АВ=АС.
Найдите угол между прямыми AD и ВС.
2)	Через катеты ВО и ВС прямоугольных треугольников
ABD и АВС проведена плоскость а, не содержащая их об-
щий катет. Будет ли ДВ-La?
87.6.	1) В тетраэдре ABCD Z.ADC= zLBDC, ГАВВ = zLDAB.
Найдите угол между прямыми АВ и СО.
2)	Через стороны ДО и АР прямоугольников ABCD и
АРК.В проведена плоскость а, не содержащая их общую
сторону. Будет ли ДВ±а?
87.	7*. Все грани параллелепипеда ABCDAXBXCXDX — равные ром-
бы; углы между ребрами, имеющими общую точку А, равны.
Выясните, перпендикулярна ли прямая АХС прямой B{DX.
87.	8*. В параллелепипеде МРКНМ1Р1КХН1 все грани — ромбы;
ГМХМН + ГМХМР = 180°. Выясните, перпендикулярна ли
прямая РХН прямой МК.
102
§ 88.	ТЕОРЕМА О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ.
РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ
88.1.	Прямая CD перпендикулярна плоскости остроугольного тре-
угольника АВС. СК — его высота. Докажите, что прямые DK
и АВ взаимно перпендикулярны. Найдите расстояние от
точки А до плоскости DKC, если DA = у/2 см, a Z.DAK=45°.
88.2.	Диагонали плоского четырехугольника ABCD пересекают-
ся в точке О. Из точки О проведены перпендикуляр ОМ
к прямой АВ и перпендикуляр ОК к плоскости четырех-
угольника. Докажите, что угол между прямыми МК и АВ
прямой. Найдите расстояние от точки В до плоскости
ОКМ, если КМ=^/3, Z МКВ = 30°.
88.3.	В треугольнике АВС угол С прямой, а угол А равен 30°.
Через точку С проведена прямая СМ, перпендикулярная
плоскости треугольника, ДС=18 см, СМ = \2 см. Найдите
расстояние от точки М до прямой АВ и расстояние от точ-
ки В до плоскости АСМ.
88.4.	В основании тетраэдра МРНК лежит треугольник МРН с
углом Я, равным 90°. Прямая НК перпендикулярна плос-
кости основания. Найдите расстояние от точки К до пря-
мой МР и расстояние от точки М до плоскости РНК, если
КН = Ъ см, РЯ = 24 см, ZA4Ptf = 30°.
88.5.	В треугольнике ABC AC = BC—\Q см, ZB = 30°. Прямая
BD перпендикулярна плоскости треугольника, BD = b см.
Найдите расстояние от точки D до прямой АС и расстоя-
ние от точки В до плоскости ADC.
88.6.	В ромбе ABCD угол А равен 60°, сторона ромба равна 4 см.
Прямая АЕ перпендикулярна плоскости ромба. Расстояние
от точки Е до прямой DC равно 4. Найдите расстояние от
точки Е др плоскости ромба и от точки А до плоскости EDC.
88.7*	. 1) Через вершину А треугольника АВС проведена плоскость
а, параллельная прямой ВС. Отрезки ВВХ и СС\ — перпен-
дикуляры, проведенные к плоскости a, АВХ = 13 см,
= 15 см, = 14 см, расстояние от прямой ВС до плос-
кости а равно 5 см. Найдите площадь треугольника АВС.
2) Даны две параллельные плоскости и множество тре-
угольников, таких, что в каждом треугольнике две верши-
ны принадлежат первой из двух данных плоскостей, а
третья вершина — второй. Какую фигуру образует множе-
ство всех точек пересечения медиан треугольников?
88.8*	. 1) Через вершину М треугольника МНР проведена плос-
кость р, параллельная прямой HP. Отрезки ННХ и РРХ яв-
ляются перпендикулярами к плоскости р, ЯМ = 17 см,
РЛ4=Ю см, НР = § см. Найдите площадь АНХМХРХ, если
расстояние от прямой ЯР до плоскости р равно д/ТЁТ см.
2) Даны две параллельные плоскости а и р и множество
треугольников, таких, что одна сторона каждого треуголь-
103
ника лежит в плоскости а, а середина другой — в плоско-
сти р. Какую фигуру образует множество вершин этих
треугольников, не принадлежащих плоскости а?
§ 89.	УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ.
ДВУГРАННЫЙ УГОЛ
89.1.	Отрезок AM является перпендикуляром к плоскости пря-
моугольника ABCD. Угол между прямой МС и этой плос-
костью равен 30°, AD=^j2, CD = 2.
а)	Найдите AM.
б)	Найдите двугранный угол MCDA.
89.2.	В треугольнике АВС угол В прямой, ВС = 2. Проекцией это-
го треугольника на некоторую плоскость является треуголь-
ник BCD, AD=y^2, двугранный угол ABCD равен 45°.
а) Найдите АВ.
б)	Найдите угол между прямой АС и плоскостью BCD.
89.3. В ромбе ABCD АВ= 10 см, Z.ZL4Z) = 45°, BE — перпендику-
ляр к плоскости АВС. Двугранный угол EADB равен 60°.
а) Найдите расстояние от точки Е до плоскости АВС.
б) С помощью микрокалькулятора вычислите угол между
прямой АЕ и плоскостью ромба.
89.4	. В параллелограмме ABCD AB = 2Q см, Z.B4D = 45°,
ВМ — перпендикуляр к плоскости АВС. Угол между пря-
мой МА и плоскостью АВС равен 60°.
а) Найдите расстояние от точки М до плоскости АВС.
б) С помощью микрокалькулятора вычислите двугранный
угол MADB.
89.5	. В равнобедренном треугольнике АВС АС = СВ = а,
Z.ВАС = 30°, отрезок СМ — перпендикуляр к плоскости
АВС, СМ = аУ[2. Найдите тангенс двугранного угла
МАВС и угол между прямой AM и плоскостью МВС.
89.6	. В равнобедренном треугольнике HEP Л.ЕНР = Z_HPE=3W>,
высота треугольника ЕМ равна . Прямая КЕ перпенди-
кулярна плоскости НЕР, НК = Ь. Найдите тангенс двугран-
ного угла КН РЕ и угол между прямой НК и плоскостью КЕР.
§ 90.	ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД.
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ
90.1.	В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX AD =
= 2, АХВХ = ^ ССХ = Ь.
а)	Найдите АСХ.
б)	Докажите, что плоскости ААХСХ и АВС взаимно перпен-
дикулярны.
90.2.	В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX АВ = 5,
DDX = 2, ВХСХ = 1.
а)	Найдите BXD.
104
б)	Докажите, что плоскости и BDXD взаимно пер-
пендикулярны.
90.3.	В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX основа-
ние ABCD — квадрат, ЛО = 2, 4C1 = 2'V^-
а) Найдите ССХ.
б)	Докажите, что плоскости АССХ и BBXDX взаимно пер-
пендикулярны.
90.4.	В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX боковая
грань DDXCXC — квадрат, DC = 3, BDx=^/22.
а)	Найдите ВС.
б)	Докажите, что плоскости BCDX и DCXBX взаимно пер-
пендикулярны.
90.5.	В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX основа-
ние ABCD — квадрат. Точка К делит отрезок АС в отно-
шении 1:3, считая от вершины А.
а)	Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, со-
держащей точку К и перпендикулярной плоскостям АВС
и ААХС.
б)	Найдите площадь полученного сечения, если АСх = 4Л/б\
ВС = 4.
90.6.	В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX боковая
грань DDXCXC — квадрат. Точка М делит отрезок DXC в
отношении 1:5, считая от вершины Dx.
а)	Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, со-
держащей точку М и перпендикулярной плоскостям BCDX
и DCCX.
б)	Найдите площадь полученного сечения, если DDX = 6,
BDx = y/88.
90.7*	. В кубе ABCDAXBXCXDX диагональ АСХ равна 2Д/3~. Точки
Af, И и Р — середины соответственно ребер ВХСХ, DXCX и
DDX.
а) Найдите периметр сечения куба плоскостью МНР.
б) Докажите, что плоскости ААХСХ и МНР взаимно пер-
пендикулярны.
90.8*	. Точки Af, Я, Р являются соответственно серединами ребер
АХВЬ ВХСХ и AD куба ABCDAXBXCXDX. Периметр сечения ку-
ба плоскостью МНР равен 12 л/2~.
а)	Найдите BDX.
б)	Докажите, что плоскости МНР и BDDX взаимно пер-
пендикулярны.
§ 91.	ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
91.1.	В треугольнике ABC Z.C = 90°, ВС = 5. Прямая BD пер-
пендикулярна плоскости треугольника. Расстояние от точ-
ки D до плоскости АВС равно 5 д/з\
а)	Найдите расстояние от точки D до прямой АС.
б)	Найдите двугранный угол DACB.	105
в)	Какие из плоскостей ABD, CBD, ADC перпендикуляр-
ны плоскости АВС и почему?
91.2.	Прямая ME перпендикулярна плоскости прямоугольного
треугольника НРЕ с гипотенузой НЕ. ЕР = Ь, расстояние
от точки М № прямой PH равно 10.
а)	Найдите расстояние от точки М до плоскости ЕРН.
б)	Найдите двугранный угол МРНЕ.
в)	Какие из плоскостей НМР, МЕР, МЕН перпендикуляр-
ны плоскости ЕНР и почему?
91.3.	1) В треугольнике АВС ВС = 6 см, А.АСВ= 120°. Прямая
ВМ перпендикулярна плоскости АВС, ВМ = 3 см. Найдите
расстояние от точки М до прямой АС.
2)	ABCD — прямоугольник. Плоскость правильного тре-
угольника DMC перпендикулярна плоскости АВС. Найди-
те двугранный угол MADB.
91.4.	1) ABCD — ромб со стороной, равной 8 см, Z.4 =45°, пря-
мая BE перпендикулярна плоскости ромба. Точка Е уда-
лена от прямой AD на расстояние 4 л/IT см. Найдите рас-
стояние от точки Е до плоскости АВС.
2)	Основанием тетраэдра DABC является правильный
треугольник АВС со стороной 4 см. Грани DBC и DBA
перпендикулярны плоскости основания. Их общее ребро
равно 2 см. Найдите величину двугранного угла DACB.
91.5. 1) Точка М равноудалена от всех вершин равнобедренного
прямоугольного треугольника АВС, АС = СВ = а. Плос-
кость МВС составляет с плоскостью АВС угол 60°. Найди-
те расстояние от точки М до плоскости АВС.
2)	Треугольники АВС и МВС правильные, ВС = 2У/3 см.
Плоскость МВС перпендикулярна плоскости АВС. Найди-
те расстояние от точки М до прямой АС.
91.6	. 1) В ромбе ABCD сторона равна a, Z.4 = 60°. Точка М,
расположенная вне плоскости ромба, равноудалена от его
сторон. Найдите расстояние от точки М до плоскости ромба,
если плоскость AMD составляет с плоскостью ромба угол 45°.
2) Равносторонний треугольник НВС и прямоугольный
треугольник АВС лежат во взаимно перпендикулярных
плоскостях, ВС = 4Л/3, Z.ACB — 600. Найдите расстояние
от точки Н до прямой А С.
91.7	*. В прямоугольном параллелепипеде основание — квадрат.
Через диагональ основания проведена плоскость, состав-
ляющая с плоскостью основания угол 45°. Найдите пло-
щадь полученного сечения, если измерения параллелепи-
педа равны 2, 2, 1.
91.8	*. В параллелепипеде	боковое ребро AAi
перпендикулярно плоскости основания, ЛАВ£) = 90°,
AAt = AB= 1, AD = 2. Через диагональ основания BD про-
ведена плоскость под углом 60° к плоскости основания.
Найдите площадь полученного сечения.
106
МНОГОГРАННИКИ
§ 92. ПРАВИЛЬНАЯ ПРИЗМА
92.1.	1) В правильной треугольной призме длины всех ребер рав-
ны 2 см. Найдите площадь сечения, проведенного через бо-
ковое ребро и середину противолежащей стороны основания.
2)	В правильной четырехугольной призме расстояние от
вершины верхнего основания до середины диагонали ниж-
него основания равно 10 см. Высота призмы 6 см. Най-
дите длины всех ребер призмы.
92.2.	1) В правильной четырехугольной призме ABCDAXBXCXDX
сторона основания равна 4 см, а боковое ребро л/5~ см.
Найдите площадь сечения, проведенного через боковое
ребро ААХ и середину стороны CD основания.
2)	В правильной треугольной призме боковое ребро равно
3 см, а расстояние от вершины верхнего основания до се-
редины противоположной стороны нижнего основания
равно 6 см. Найдите длины остальных ребер призмы.
92.3. 1) В правильной треугольной призме сторона основания
равна 4 см. Через сторону основания и середину противо-
лежащего ей бокового ребра проведена плоскость под уг-
лом 45° к плоскости основания. Найдите площадь сечения
и высоту призмы.
2)	В правильной четырехугольной призме ABCDA^C^
Е и F — середины ребер AD и DC соответственно. Найди-
те угол между прямыми BXD и EF.
92.4.	1) В правильной четырехугольной призме через диагональ
основания и середину противолежащего ей бокового ребра
проведена плоскость под углом 60° к плоскости основа-
ния. Найдите площадь сечения и высоту призмы, если сто-
рона основания равна 2^2 см.
2)	В правильной треугольной призме АВСАХВХСХ М, N и
Е — середины ребер АС, АВ и ВС соответственно. Найдите
угол между прямыми АХЕ и MN.
92.5.	1) В правильной треугольной призме	сторона
8	х	_ /тг т у
основания равна —, а боковое ребро равно 2 уЗ. Через
сторону нижнего основания АС и середину стороны ВХСХ
верхнего основания проведена плоскость. Найдите пло-
щадь сечения и угол между плоскостью сечения и плоско-
стью основания.
2)	В правильной четырехугольной призме ABCDAXBXCXDX
площадь основания равна 16 см2. Найдите расстояние
между прямыми ААХ и BXD.
92.6.	1) В правильной четырехугольной призме ABCDAXBXCXDX
через диагональ основания BD и середину ребра CXDX про-
ведена плоскость. Сторона основания равна 8д/2~, а боко-
107
вое ребро равно 4. Найдите площадь сечения и угол меж-
ду плоскостью сечения и плоскостью основания.
2)	В правильной треугольной призме АВСАХВХСХ сторона
основания равна 4Д/У см, Е и F— середины ребер АХВХ
и АС соответственно. Найдите расстояние между прямы-
ми ААХ и EF.
§ 93.	ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ПРИЗМЫ
93.1.	В прямом параллелепипеде ABCDAXBXCXDX АВ = 2,
ДО = Зд/2\ Z.BAD = 45°, BxD=yjTd, Найдите площади
боковой и полной поверхностей параллелепипеда.
93.2.	В прямом параллелепипеде ABCDAXBXCXDX AD = 2, CD = 3,
Z_ADC= 120°, Д1С=’\/35”. Найдите площади боковой и пол-
ной поверхностей параллелепипеда.
93.3.	В основании прямого параллелепипеда ABCDAXBXCXDX ле-
жит ромб, сторона которого равна 4 см. Через ребра AD
и ВХСХ проведена плоскость, составляющая угол 60° с
плоскостью основания. Найдите площади боковой и пол-
ной поверхностей параллелепипеда, если Z. BAD = 45°.
93.4.	В основании прямого параллелепипеда ABCDAXBXCXDX ле-
жит параллелограмм, АВ —4 см, ДО = 6 см, ZB4D = 60°.
Через ребра AD и ВХСХ проведена плоскость под углом 45°
к плоскости основания. Найдите площади боковой и пол-
ной поверхностей параллелепипеда.
93.5.	В прямом параллелепипеде ABCDAXBXCXDX основанием
служит ромб. Сторона ромба равна a, ZBXZ) = 60°. Диа-
гональ параллелепипеда BXD составляет с плоскостью бо-
ковой грани угол 45°. Найдите площадь полной поверхно-
сти параллелепипеда.
93.6.	В прямом параллелепипеде ABCDAXBXCXDX основанием слу-
жит ромб со стороной а и углом BAD, равным 45°. Прямая
AXD наклонена к плоскости грани ААХВХВ под углом 30°.
Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.
§ 94.	НАКЛОННАЯ ПРИЗМА
94.1.	1) В наклонной треугольной призме АВСАХВХСХ основани-
ем служит прямоугольный треугольник ABC (ZC = 90°).
Плоскость боковой грани ААХСХС перпендикулярна плос-
кости основания. Докажите, что ССХВХВ — прямоугольник.
2) В наклонной треугольной призме угол между двумя бо-
ковыми гранями прямой. Площади этих граней равны
50 и 120 см2. Длина бокового ребра 10 см. Найдите пло-
щадь боковой поверхности призмы.
94.2.	1) Основанием наклонного параллелепипеда ABCDAXBXCXDX
служит прямоугольник ABCD, Плоскости граней AAXDXD
и ВВХСХС перпендикулярны плоскости основания. Дока-
108
жите, что остальные боковые грани — прямоугольники.
2) В наклонной треугольной призме АВСАХВХСХ угол меж-
ду гранями ААХСХС и ССХВХВ прямой. Найдите площадь
боковой поверхности призмы, если боковое ребро равно
5 см, а площади граней ААХВХВ и ССХВХВ равны соответ-
ственно 130 и 50 см2.
94.3.	1) Основанием наклонной треугольной призмы АВСАХВХСХ
служит равнобедренный треугольник ЛВС, ЛВ = ЛС,
Z.АХАС = ЛАхАВ<90°. Докажите, что ССХВХВ — прямо-
угольник.
2)	В наклонной треугольной призме площади двух боко-
вых граней равны 40 и 80 см . Угол между ними равен
120°. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если
длина бокового ребра равна 10 см.
94.4.	1) Основанием наклонной треугольной призмы АВСАХВХСХ
служит правильный треугольник АВС. Вершина Ах равно-
удалена от всех вершин нижнего основания. Докажите,
что ССХВХВ — прямоугольник.
2)	В наклонной треугольной призме площади двух боко-
вых граней равны 6 и ЗД/2” см2. Угол между ними равен
135°. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если
длина бокового ребра равна 3 см.
94.5.	1) В наклонной треугольной призме основанием служит
правильный треугольник со стороной а. Одна из вершин
верхнего основания одинаково удалена от всех сторон ниж-
него основания. Боковые ребра призмы составляют с
плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой
поверхности призмы.
2)	В наклонной треугольной призме две боковые грани
равны. Угол между ними равен а. Их общее ребро удале-
но от противоположной боковой грани на расстояние, рав-
ное т. Длина бокового ребра /. Найдите площадь боковой
поверхности призмы.
94.6.	1) Основанием наклонного параллелепипеда ABCDAXBXCXDX
служит прямоугольник ABCD, стороны которого равны а
и Ь. Боковое ребро ААХ равно с и составляет с плоскостью
основания угол 45д, а с прилегающими сторонами основа-
ния АВ и AD равные острые углы. Найдите площадь боко-
вой поверхности параллелепипеда.
2)	Основанием наклонной треугольной призмы АВСАХВХСХ
служит равнобедренный треугольник АВС, у которого
АВ = АС и ВС = а, Z.AXAC= Z.AXAB <z90°. Угол между
равными боковыми гранями равен а. Длина бокового реб-
ра равна I. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
94.7	*. Основанием наклонной треугольной призмы АВСАХВХСХ
служит прямоугольный треугольник АВС, у которого
Z.C = 90° и ВС = а. Вершина Вх проектируется на середину
стороны ВС. Двугранный угол с ребром ВВХ равен <р, бо-
109
ковые ребра составляют с плоскостью основания угол а.
Найдите площадь боковой поверхности призмы.
94.8	*. Основанием наклонной треугольной призмы АВСАХВХСХ
служит прямоугольный треугольник ABC (ZC = 90°).
Вершина Вх проектируется в точку С. Боковое ребро рав-
но / и составляет с плоскостью основания угол <р. Дву-
гранный угол с ребром ВВХ равен а. Найдите площадь бо-
ковой поверхности призмы.
§ 95. ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
95.1.	В правильной треугольной пирамиде сторона основания
равна 4 см, а высота 6 см.
а)	Найдите площадь поверхности пирамиды.
б)	С помощью микрокалькулятора вычислите углы наклона
боковых ребер и боковых граней к плоскости основания.
95.2. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основа-
ния равна 5 см, а высота 7 см.
а) Найдите площадь поверхности пирамиды.
б) С помощью микрокалькулятора вычислите углы наклона
боковых ребер и боковых граней к плоскости основания.
95.3. 1) В правильной треугольной пирамиде боковые грани на-
клонены к плоскости основания под углом 47°. Используя
микрокалькулятор, найдите угол наклона боковых ребер
к плоскости основания.
2) В правильной четырехугольной пирамиде боковые гра-
ни наклонены к плоскости основания под углом 60°. Рас-
стояние от центра основания до боковой грани равно
2 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
95.4. 1) В правильной четырехугольной пирамиде боковые ребра
наклонены к плоскости основания под углом 72°. Исполь-
зуя микрокалькулятор, найдите угол наклона боковых
граней к плоскости основания.
2) В правильной треугольной пирамиде боковые грани на-
клонены к плоскости основания под углом 45°. Расстояние
от центра основания до боковой грани равно у/б см. Най-
дите площадь боковой поверхности пирамиды.
95.5. 1) В правильной четырехугольной пирамиде боковые ребра
наклонены к плоскости основания под углом 43°. Исполь-
зуя микрокалькулятор, найдите угол между смежными бо-
ковыми гранями пирамиды.
2) В правильной треугольной пирамиде плоский угол при
вершине равен 60°. Высота пирамиды равна 4 см. Найди-
те площадь боковой поверхности пирамиды.
95.6. 1) В правильной треугольной пирамиде боковые ребра на-
клонены к плоскости основания под углом 56°. Используя
микрокалькулятор, найдите угол между смежными боко-
выми гранями пирамиды.
110
2) В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол
при вершине равен 60°. Высота пирамиды равна
2 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
§ 96.	НЕПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА.
ПРАВИЛЬНАЯ УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА
96.1.	1) В основании пирамиды лежит прямоугольный тре-
угольник с углом 30° и противолежащим ему катетом,
равным 30 см. Боковые ребра наклонены к плоскости
основания под углом 60°. Найдите высоту пирамиды.
2) В правильной четырехугольной усеченной пирамиде
ABCDAXBXCXDX стороны оснований равны 10 и 6 см, Z.ADDX =
= 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
96.2.	1) В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник
с углом 60°. Боковые ребра пирамиды наклонены к плос-
кости основания под углом 45°. Высота пирамиды равна
10 см. Найдите катет, лежащий против данного острого угла.
2) В правильной треугольной усеченной пирамиде АВСАХВХСХ
стороны оснований равны 4 и 6 см, АСхСА=60°. Найдите
площадь боковой поверхности пирамиды.
96.3.	1) В основании пирамиды лежит треугольник со стороной,
равной а, и противолежащим ей углом 135°. Боковые реб-
ра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом
60°. Найдите высоту пирамиды.
2)	В правильной треугольной усеченной пирамиде сторо-
ны оснований равны 6 и 3 см. Высота пирамиды равна
д/t з
см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
96.4.	1) В основании пирамиды лежит треугольник с углом 150°.
Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основа-
ния под углом 30°, а высота пирамиды равна 6 см. Найди-
те сторону, лежащую против данного угла треугольника.
2) В правильной четырехугольной усеченной пирамиде
стороны оснований равны 10 и 8 см, а высота равна У/З см.
Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
96.5.	1) В основании пирамиды лежит равнобедренная трапе-
ция, у которой боковая сторона равна меньшему основа-
нию и равна а. Угол при большем основании трапеции ра-
вен 60°. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости
основания под углом 45°. Найдите высоту пирамиды.
2) В правильной усеченной треугольной пирамиде сторо-
ны оснований равны 8 и 4 см. Через боковое ребро и сере-
дину противолежащей стороны верхнего основания прове-
дена плоскость. Площадь сечения равна 6Л/3~ см2. Найди-
те площадь боковой поверхности пирамиды.
96.6.	1) В основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция,
у которой меньшее основание равно боковой стороне. Один
111
из углов трапеции равен 120°. Боковые ребра пирамиды
наклонены к плоскости основания под углом 30°. Найдите
стороны основания, если высота пирамиды равна h.
2)	В правильной четырехугольной усеченной пирамиде
площадь диагонального сечения равна 28Д/2” см2. Сторо-
ны оснований равны 10 и 4 см. Найдите площадь боковой
поверхности пирамиды.
§ 97. МНОГОГРАННИКИ
97.1.	1) Боковое ребро и высота правильной четырехугольной
пирамиды соответственно равны д/34~ и 4 см. Найдите
площадь боковой поверхности пирамиды.
2)	В прямой призме АВСАХВХСХ ^LBAC = 3QQ. Л.АСВХ =
= 90°, 4В = 8 см, CCj = 5 см. Найдите площадь боко-
вой поверхности призмы.
97.2.	1) Боковое ребро и высота правильной треугольной пира-
миды соответственно равны 3^/2 и см. Найдите пло-
щадь боковой поверхности пирамиды.
2)	В прямом параллелепипеде ABCDAXB{C{D{ Z_CAD =
= 45°, ZДОС! = 90°, ДС = 8 см, ССх = 4^/2 см. Най-
дите площадь боковой поверхности параллелепипеда.
97.3.	1) Основанием пирамиды MABCD служит квадрат со сторо-
ной 10 см. Ребро МВ перпендикулярно плоскости основания.
Грани MAD и MCD составляют с плоскостью основания
угол 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
2) В прямой призме АВСАХВ{С{ АС = ВС= 10 см,
2ДВС = 30°. Расстояние от вершины Сх до прямой АВ рав-
но 13 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
97.4.	1) Основанием тетраэдра DABC служит равнобедренный
прямоугольный треугольник, Z. А СВ = 90°, ДС = ВС = 6 см.
Ребро DB перпендикулярно плоскости основания. Грань
ADC составляет с плоскостью основания угол 60°.
Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
2)	В прямом параллелепипеде ABCDAXBXCXDX основанием
служит ромб, ZS4D = 60°. Высота параллелепипеда равна
12 см. Расстояние от вершины Dx до прямой АС равно 13 см.
Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.
97.5.	1) В основании пирамиды DABC лежит равнобедренный
треугольник АВС. АС = СВ = a, Z4CB=120°. Грани DAC
и DAB перпендикулярны к плоскости основания, а грань
DBC составляет с ней угол 45°. Найдите площадь боковой
поверхности пирамиды.
2)	В прямой треугольной призме АВСАХВХСХ Z_ACB = <№,
АС = ВС = а. Прямая ВХС составляет с плоскостью грани
ААХВХВ угол 30°. Найдите площадь боковой поверхности
призмы.
112
97.6.	1) В основании пирамиды лежит ромб со стороной, равной
а, и углом 60°. Боковые грани, проходящие через стороны
острого угла ромба, перпендикулярны плоскости основа-
ния, а остальные две боковые грани наклонены к плоско-
сти основания под углом 60°. Найдите площадь боковой
поверхности пирамиды.
2) В прямой треугольной призме АВСАХВХСХ Л.АСВ = 9б\
Z_BAC = №°, АС = а. Прямая 4jC составляет с плоскостью
грани ААХВХВ угол 45°. Найдите площадь боковой поверх-
ности призмы.
97.7*. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основа-
ния равна а. Угол между смежными боковыми гранями ра-
вен 2а. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
97.8*. В правильной треугольной пирамиде сторона основания
равна т. Угол между смежными боковыми гранями равен
2ф. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 98. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ
98.1. 1) Диагонали параллелепипеда ABCDAXBXCXDX пересека-
ются в точке О. Запишите векторы с началами и концами
в вершинах параллелепипеда или в точке О, которые:
а) сонаправлены вектору ОД;
б) противоположно направлены вектору АВ\
в) равны вектору АХВ.
2)	Р и Т — середины ребер АВ и BD тетраэдра ABCD. Есть
ли среди векторов а, 6, с пара коллинеарных (рис. 227)?
98.2.	1) В параллелепипеде ABCDAXBXCXDX точки Р и К — сере-
дины ребер ССХ и СВ. Запишите векторы с началами и
концами в вершинах параллелепипеда или в точках Р и К,
которые:	__
а)	сонаправлены вектору СР\	___
б)	противоположно направлены вектору РК',
113
в)	равны вектору АС.
2)	Точки Р и Т — середины ребер АВ и АС тетраэдра
ABCD. Есть ли среди векторов а, Ь и с пары коллинеар-
ных векторов (рис. 228)?
98.3.	1) В правильной треугольной пирамиде DABC точки Р, Af,
К, Т — середины соответственно ребер DA, ВС, BA, DC.
Запишите векторы с началами и концами в вершинах пи-
рамиды или точках Р, М, К и Т, которые:
а)	сонаправлены вектору АС;
б)	противоположно направлены вектору РК;
>
в)	равны вектору ТР.
2)	Точки Р и К лежат на ребрах ВВ{ и СС{ параллелепи-
педа ABCDAiBxCiDi. Есть ли среди векторов а, 6, с колли-
неарные (рис. 229)?
98.4.	1) В правильной треугольной пирамиде DABC точки К, Р,
М, Т — середины соответственно ребер DC, DB, AC, BA.
Запишите векторы с началами и концами в вершинах пи-
рамиды или точках К, Р, М и Т, которые:
а)	сонаправлены вектору СВ;	___
б)	противоположно направлены вектору ТМ;
в)	равны вектору РТ.
2)	Точки М и К лежат на ребрах АВ и ВВ} параллелепи-
педа ABCDAiBiCiDi. Есть ли среди векторов а, 6, с колли-
неарные (рис. 230)?
98.5.	1) В правильной треугольной пирамиде DABC точки Е, М,
Т, К — середины соответственно ребер DC, DB, BA, AC.
а) Перечислите пары противоположно направленных век-
торов, не лежащих на одной прямой, с началами и конца-
ми в точках Е, М, Т, К.
б)	Перечислите пары равных векторов с концами в точках
Е, М, Т, К.
в)	Перечислите векторы, имеющие равные длины, с кон-
цами в точках Е, М, Т, К.
2) Точки К, Н, М и Т — середины ребер параллелепипеда
114
Рис. 231
ABCDAXBXCXDX (рис. 231). Есть ли среди векторов НК, ЕР.
МТ пары коллинеарных?
98.6. 1) В правильной четырехугольной пирамиде PABCD точки
К, М. 7, Е — середины соответственно ребер АВ. РА.
PC. ВС.
а)	Перечислите пары сонаправленных векторов с концами
в точках К, М. Т. Е.
б)	Перечислите пары равных векторов с концами в точках
К, М. Т. Е.
в)	Перечислите векторы, имеющие равные длины, с кон-
цами в точках К, М. Т. Е.
2) Точки Т. К, Н. Е — середины соответствующих ребер
параллелепипеда ABCDAXBXCXDX (рис. 232). Есть ли среди
векторов КТ. РМ. НЕ пары коллинеарных?
§ 99.	СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ
99.1.	1) ABCDAXBXCXDX — параллелепипед. Упростите выра-
жение Х+вв^+вд+^в+ЖХ+^с«
2)	Изобразите тетраэдр ABCD и вектор, равный ВА —
-Ис+аЬ.
99.2.	1) ABCDAXBXCXDX— параллелепипед. Упростите выраже-
ние bxdx+c^+c^+acx+ca+axdx,
2)	Изобразите тетраэдр ABCD и вектор, равный ВС +
+ СВ-ВЛ.
99.3.	1) ABCDAXBXCXDX — параллелепипед. Упростите выраже-
ние BC^+DiCi+оД—сХ+св+дв.
2)	Изобразите тетраэдр ABCD и вектор, равный ВД —
—~BD — ~DC.
115
99.4.	1) ABCDAiBlClDi— параллелепипед. Упростите выраже-
ние C^D-DA + ^+7tt + ABi + CCl.	f
2)	Изобразите тетраэдр ABCD и вектор, равный ВС —
—~BD—~DA.
99.5.	1) ДВСОЛ|В1С,О| — параллелепипед. Упростите выраже-
ние лс+вХ—+ Ж-
2)	Укажите вектор х, начало и конец которого являются
вершинами тетраэдра ABCD, если АС=АВ — х—CD.
99.6.	1) ABCDAlBlClDl — параллелепипед. Упростите выраже-
ние	+	— D^-
2) Укажите вектор х, начало и конец которого являются
вершинами тетраэдра ABCD, если СО = х —ЛС—DB.
$ 100. УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО
100.1.	1) Изобразите на рисунке взаимное расположение точек
А, В и С, если: а) ЛВ = ЗЛС; б) ЛВ= -2ЛС; в) АС=±АВ.
2) Точка К не лежит в плоскости треугольника АВС
(рис. 233). Точки Е и Р — середины отрезков АВ и ВС. Вы-
разите разность векторов КЕ и КР через вектор АС.
100.2.	1) Изобразите взаимное расположение точек А, В и С,
если: а) ЛС = 2ЛВ; б) ЛВ=—ЗЛС; в) ЛС=|ЛВ.
2)	Точка М не лежит в плоскости треугольника КРТ
(рис. 234). Точки А и В — середины отрезков КР и ТР. Вы-
разите разность векторов МК и МТ через вектор АВ.
100.3.	1) Точка С лежит на отрезке АВ и делит его в отношении
2:3, считая от вершины А. Выразите:
а)	вектор АС через вектор АВ;
б)	вектор СВ через вектор АВ;
в)	вектор ВС через вектор АС.
2)	Диагонали параллелепипеда ABCDA^C^ пересека-
ются в точке О. При каком значении k справедливо соот-
116
100.4.	1) Точка А лежит на отрезке ВС и делит его в отношении
4:3, считая от вершины В. Выразите:
а)	вектор ВС через вектор АС;
б)	вектор АВ через вектор СА;
в)	вектор СА через вектор ВС.
2)	Диагонали параллелепипеда АВСОА^С^ пересека-
ются в точке О. При каком значении k справедливо соот-
ношение ft (СО + ОД 4-40) = 4jC?
100.5.	В тетраэдре DABC Z_DAC= Z.DAB, основание высоты тетра-
эдра DM принадлежит ребру ВС, АВ = 6, ДС = 3. Выразите:
а)	вектор ВМ через вектор МС;
б)	вектор ВС через вектор СМ;
в)	вектор AM через векторы АВ и АС.
100.6.	В тетраэдре EDHP Z.EPH = Z.EPD, основание высоты тетра-
эдра ЕК принадлежит ребру DH, DP = 8, РН = ^. Выразите:
а)	вектор DK через вектор КН;
б)	вектор КН через вектор DH;
в)	вектор PH через векторы PD и РК.
§101. КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА
101.1.	1) ВМ — медиана треугольника АВС, О — произвольная
точка пространства. Разложите вектор ВМ по векто-
рам ОА = а, ОВ = Ь, ОС = с.
2)	Дан параллелепипед АВСОАХВХС{О{. Медианы тре-
угольника ВВХС пересекаются в точке М. Разложите век-
тор AM по векторам ААх = а, AB = b, AD = c.
101.2.	1) М — середина стороны АВ параллелограмма ABCD,
О — произвольная точка пространства. Разложите вектор
СМ по векторам ОА = а, ОВ = Ь, ОС —с.
2)	Дан параллелепипед ABCDA^B^C^D^. Медианы тре-
угольника /IjOiCi пересекаются в точке К. Разложите
вектор В К по векторам ВА=а, ВВХ = Ь, ВС = с.
101.3.	1) О — точка пересечения диагоналей параллелограмма
ABCD, М — произвольная точка пространства. Разложите
вектор DO по векторам МА=а, МВ = Ь, МС = с.
2)	Дан параллелепипед АВСОА&С^. Медианы тре-
угольника ADiC пересекаются в точке М. Разложите
вектор ВМ по векторам ВА = а, ВВХ = Ь, ВС = с.
117
101.4.	1) К — середина медианы АЕ треугольника АВС, М —
произвольная точка пространства. Разложите вектор МК
по векторам МА = а, МВ = Ь, МС=с.
2)	Дан параллелепипед ABCDAXBXCXDX. Медианы тре-
угольника DBC пересекаются в точке Р. Разложите век-
тор АХР по векторам AD = c, АВ = Ь, ААх = а.
101.5.	1) В параллелепипеде ABCDAXBXCXDX точка М — середи-
на ребра AD, О — точка пересечения отрезков ВМ и АС.
Разложите вектор ВХО по векторам BjB, ВХСХ.
2)	В тетраэдре ABCD точки М и И — середины ребер AD
и ВС. Докажите, что прямые АВ, НМ и DC параллельны
одной плоскости.
101.6.	1) В параллелепипеде ABCDAXBXCXDX точка Е — середина
ребра BiCb К — точка пересечения отрезков АХЕ и BXDX.
Разложите вектор ВК по векторам ВА, ВВХ, ВС.
2)	В кубе ABCDAXBXCXDX точки Е и F— середины отрез-
ков BD и СХС. Докажите, что прямые ВСХ, EF и DC парал-
лельны одной плоскости.
101.7	*. В наклонной треугольной призме проведена плоскость,
пересекающая три боковых ребра и параллельная основа-
ниям. Докажите, что точки пересечения медиан оснований
и сечения лежат на одной прямой.
101.8	*. В треугольной пирамиде проведены две плоскости, па-
раллельные основанию и пересекающие три боковых реб-
ра. Докажите, что точки пересечения медиан основания
и полученных сечений лежат на одной прямой.
§ 102. ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ
102.1.	В правильной треугольной призме АВСАХВХСХ АВ = 2 см,
= l см.
1)	Найдите площадь полной поверхности призмы.
2)	Найдите площадь сечения призмы плоскостью АСВХ.
3)	Найдите угол, который составляет прямая АВХ с плос-
костью АВС.
4)	Найдите угол между плоскостями АВХС и АВС.
5)	Найдите длину вектора ААХ — АСА-2ВХВ — СХС.
6)	Докажите, что прямая АХСХ параллельна плоскости АВСХ.
102.2.	В правильной четырехугольной пирамиде EABCD ЕА =
= 2 д/2~ см, ЛВ = 2 см.
1)	Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
2)	Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью ЛЕС.
3)	Найдите угол, который составляет прямая ЕС с плоско-
стью АВС.
118
4)	Найдите угол между плоскостями ECD и АВС.
5)	Найдите длину вектора ВЕ + ЕС — AB-^-DE.
6)	Докажите, что плоскости АЕС и АВС взаимно перпен-
дикулярны.
102.3.	В прямой призме АВСАХВХСХ zLABC = $W\ Х_САВ = ЫУ\
АВ = 2 см, ААх = 2л/3 см.
1)	Найдите площадь полной поверхности призмы.
2)	Найдите площадь сечения призмы плоскостью АХВС.
3)	Найдите угол между плоскостями АХВС и АВС.
4)	Найдите угол между прямой ССХ и плоскостью АХВС.
5)	Разложите вектор АХМ по векторам Д^, Д^, Д^, если
М— точка пересечения медиан треугольника АВС.
6)	Найдите угол между плоскостями ААХВХ и АХВС.
102.4.	В пирамиде DABC ребро AD перпендикулярно основанию,
ДО = 4Д/3 см, ДВ = 2см, ^ДВС = 90°, ^ВДС = 60°, Л4 —
середина отрезка DA.
1)	Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
2)	Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью ВМС.
3)	Найдите угол между плоскостями МВС и АВС.
4)	Найдите угол, который составляет прямая BD с плос-
костью ВМС.
5)	Разложите вектор DO по векторам ОД, DB, ОС, если
О — точка пересечения медиан треугольника АВС.
6)	Найдите угол между плоскостями МВС и ABD.
102.5.	В прямой призме АВСАХВХСХ АС=\Ъ см, ДВ= 14 см,
ВС= 15 см, ААХ = 10 см. Точки М и Н — середины ребер
ААХ и ВВХ соответственно.
1)	Найдите площадь полной поверхности призмы.
2)	Найдите площадь сечения призмы плоскостью МНС.
3)	Найдите угол между плоскостями МНС и АВС.
4)	Найдите угол между прямой ААХ и плоскостью МНС.
5)	Разложите вектор МК по векторам ДДЬ АС и ДВ, если
К — середина отрезка СН.
6)	Постройте линию пересечения плоскостей МНС и АВС.
102.6. В пирамиде DABC DA=DB = DC = AC = 2 см, АВ = ВС,
Z-ABC = 90o. Точки М и Н — середины ребер AD и DC
соответственно.
1)	Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
2)	Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью ВМН.
3)	Найдите угол между плоскостями ВМН и АВС.
4)	Найдите угол между прямой BD и плоскостью ВМН.
5)	Разложите вектор МК по векторам ДО, ДВ, ДС, если
К — середина отрезка ВН.
6)	Постройте линию пересечения плоскостей МВН и АВС.
119
МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 103.	КООРДИНАТЫ ТОЧКИ И КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА
103.1.	Точки А (2; 0; 0), В (0; 0; 0), С (0; 2; 0), Вх (0; 0; 2) являются
вершинами куба АВСОАХВХСХО{.
а)	Найдите координаты точек Сх и D{.
б)	Найдите координаты векторов CXD, АХС, CXD — 2AXC.
в)	Запишите разложение вектора p = C[D[-2A[C-}- BD{
по координатным векторам 7, / и
103.2.	Точки М (2; 0; 0), И (0; 0; 0), Р (0; 4; 0), Нх (0; 0; 4) являются вер-
шинами прямоугольного параллелепипеда
а) Найдите координаты точек Мх и Кх.
б)	Найдите координаты векторов НХМХ, РМХ, НХМ -\-2РМх.
в)	Запишите разложение вектора р = Н ХМ-\-2РМх — РХН
по координатным векторам i, /, k.
103.3.	Точки А (2; 0; 0), В (0; 0; 0), С (0; 2; 0), Вх (0; 0; 2) являются вер-
шинами призмы АВСАХВХСХ, К — середина отрезка /ЦСр
а) Найдите координаты точек и К.
б)	Найдите координаты векторов ААХ, АСХ, ^ААХ + АСХ.
в) Запишите разложение вектора с = В/(--^ ААХ—АСХ по
координатным векторам i, /, k.
103.4.	Точки М (0; 0; 0), Р (4; 4; 0), Н (0; 4; 0), Мх (0; 0; 6) являются
вершинами призмы МРНМХРХНЬ Е — середина отрезка РХНХ.
а) Найдите координаты точек Рх и Е.
б)	Найдите координаты векторов ННХ, РХМ, ННХ — РХМ.
в) Запишите разложение вектора а=^ННх — РхМ-\- РМХ
по координатным векторам i, /, k.
103.5.	Точки А (6; 0; 0), В (0; 6; 0), С (0; 0; 6), D (0; 0; 0) являются
вершинами пирамиды DABC, DM — высота пирамиды,
DK — высота боковой грани ADC.
а)	Найдите координаты точек К и М.
—►	* > । —
б)	Разложите вектор р = AC— 2DM по координат-
ным векторам i, j, k.
в)	Докажите, что прямая, проходящая через точки D и
£(101; 101; 101), перпендикулярна плоскости АВС.
103.6.	Точки Р (2; 2; 0), Н (0; 2; 0), К (0; 0; 2), М (0; 0; 0) являются
вершинами пирамиды МРНК, МО — высота пирамиды,
ME — высота боковой грани МРК.
а)	Найдите координаты точек Е и О.
120
б)	Разложите вектор Т>=^МО — 2РН-\-~РК по координат-
ным векторам 1, J, 1г.
в)	Докажите, что прямая МТ содержит высоту пирамиды,
если точка Т имеет координаты (0; 0,1; 0,1).
$ 104. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КООРДИНАТ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
104.1.	Точки А (-1; 0; 1), В (5; 0; 1), С (2; ЗД/З; 1), 0(2; д/З; 3)
являются вершинами пирамиды DABC.
а)	Докажите, что пирамида DABC правильная.
б)	Найдите координаты основания апофемы пирамиды,
лежащей в грани DAC.
104.2.	Точки Л (0; ^8; д/8), В(д/8; д/8; 0), С(д/8; 0; д/8),
О(д/8; д/8; W являются вершинами тетраэдра DABC.
а) Докажите, что данный тетраэдр правильный.
б)	Найдите координаты основания биссектрисы DM гра-
ни DAC.
104.3.	Точки А (4; 0; 1), В (4; 4; 1), С (0; 0; 5), D ( - 1; 2; 0) являют-
ся вершинами пирамиды DABC.
а)	Докажите, что все боковые ребра пирамиды составля-
ют равные углы с плоскостью основания.
б)	Определите вид треугольника АВС. Найдите координа-
ты основания высоты пирамиды.
104.4.	В основании пирамиды с вершиной £(-—1; 2; —1) лежит
ромб. Точки М (0; 0; 4), Н (0; 4; 4), К (4; 4; 0), Р (4; 0; 0) яв-
ляются основаниями высот боковых граней.
а)	Докажите, что все боковые грани пирамиды составля-
ют равные углы с плоскостью основания.
б)	Найдите координаты основания высоты пирамиды.
104.5.	В пирамиде DABC ребро AD является ее высотой,
ДС=18, ЛВ=12, ДО = 5, ZC4B = 90°.
а)	Найдите длину медианы DM грани BDC.
б)	Найдите расстояние от вершины пирамиды до точки
пересечения медиан основания.
104.6.	В пирамиде EABCD ребро ЕА является ее высотой. Четы-
рехугольник ABCD — трапеция, ДО = 6, ДВ=14, АЕ =
= Z_CAB = Z_CAD = 45°.
а)	Найдите длину медианы ЕМ грани ЕВС.
б)	Найдите расстояние от вершины А до точки пересече-
ния медиан грани EDC.
104.7*	. 1) В основании прямой призмы АВСАХВХСХ лежит треуголь-
ник с прямым углом А. Точки К и Е — середины ребер
АХВХ и АС соответственно, М является точкой пересечения
диагоналей грани ААХВХВ. Точка Р делит отрезок С\С в
отношении 2:1, считая от вершины С. Используя метод ко-
ординат, докажите, что прямые КЕ и МР скрещиваются.
2) Решите уравнение	= 1-
121
104.8*. 1) В кубе ABCDAXBXCXDX точки Р и М являются середи-
нами ребер ААХ и ВХСХ соответственно. Точка Е лежит на
ребре ОС, а точка К — на ребре ССЬ О£:£С = 2:1,
СХК:КС=1:2. Используя метод координат, докажите, что
точка К не лежит в плоскости РМЕ,
2)	Укажите в пространственной системе координат все реше-
ния уравнения д/^ + ^+(2- О2 + V(*~l)2 + !/2+22 =
§ 105. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
105.1.	1) Длина ребра куба ABCDAXBXCXDX равна 2. Вычислите ска-
лярное произведение векторов: а) АВХ и ССХ\ б) АВХ и CDX.
2) Точки Л (3; -1; 1), В (1; -1; 3), С (3; 1; -1) являются
вершинами треугольника. Найдите угол АВС.
105.2.	1) В правильной четырехугольной пирамиде EABCD все реб-
ра равны 2, О — точка пересечения диагоналей основания.
Вычислите скалярное произведение векторов:
а) ~ВЕ и СО; б) ~ЕО и СО.
2) Даны вершины треугольника: А ( — 1; —2; 4), В (-—4; — 2; 0),
С(3; —2; 1). Найдите угол треугольника при вершине А.
105.3.	1) В кубе ABCDAXBXCXDX длина ребра равна д/2~. Вычис-
лите скалярное произведение векторов:
a) СО, и ~С^А}\ б) ~DBX и Д/?,.
2)	Точки А (1; Г, 5), В (4; 7; 5), С (8; 5; 5), 0(5; — Г, 5) яв-
ляются вершинами прямоугольника ABCD. Найдите боль-
ший угол между диагоналями прямоугольника.
105.4.	1) В правильном тетраэдре DABC точки Af, N, К, Р — сере-
дины ребер ОС, ВС, ДВ, ОВ соответственно. Ребро тетраэд-
ра равно 4. Вычислите скалярное произведение векторов:
a) AtN и ~РК\ 6}~АВ и ОС.
2)	Точки Д(14; -8; -1), В (7; 3; -1), С (— 6; 4; -1),
0(1; — 7; —1) являются вершинами ромба ABCD. Найди-
те острый угол ромба.
105.5.	1) Дан правильный тетраэдр DABC с ребром, равным
\/3~. Точка М является серединой отрезка АС. Вычислите
скалярное произведение векторов ВО и МВ.
2)	На оси аппликат найдите точки, из которых отрезок ВС
виден под острым углом, если В ( — 10; 7; 9), С (2; 6; —4).
105.6.	1) Все ребра правильной пирамиды EABCD равны 2. Вы-
числите скалярное произведение векторов ВО и DE.
2) Даны точки А (7; 3; 9), В( —4; 5; —3) и точка С, при-
надлежащая оси абсцисс. Найдите все возможные значе-
ния координат точки С, если известно, что угол А СВ не яв-
ляется острым.
122
105.7*. 1) Пусть 3 — площадь треугольника АВС. Докажите, что
3=| ^JaB2-A&-(AB-AC)2.
2) Используя скалярное произведение векторов, найдите
наибольшее значение выражения
Л/sin2 х + 0,5 + Vcos2 х —0,5 + Д/ОД
При каком х достигается это значение?
105.8*. 1) Докажите, что площадь параллелограмма ABCD рав-
на \/Ав2-ЛО2-(ЛВ-^)2-
2) Используя скалярное произведение векторов, найдите
наибольшее значение суммы у1 4~х -|-Д/1 —х 4-1. При ка-
ком х это значение суммы достигается?
$ 106. СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ
106.1.	1) Вычислите угол между векторами а = 3/и-|-2& и
ft = /n-|-5&, где т и k — единичные взаимно перпендику-
лярные векторы.
2)	ABCD — правильный тетраэдр. Упростите выражение
(АВ + ВС)-(ДВ-ВС) + АО-(ДС-ДВ)и
106.2.	1) Вычислите угол между векторами	+ & и /и =
= 2а-|-2 д/iT 6, где а и b — единичные взаимно перпенди-
кулярные векторы.
2)	В пирамиде НРМКЕ все ребра равны. Упростите выра-
жение (^-ЛН)(РЯ + МК)+77К(ЛИ + К£).
106.3.	1) Угол между векторами а и с равен углу между векто-
рами ft и а и равен 60°, ft_Lc. Вычислите скалярное про-
изведение (a — 2c)-(ft-|-с), если |а| = |ft| = |с| = х.
2)	В тетраэдре BACD Z_BDC= ABDA = Z_DCA=$W\
ВС=8, AC=4. Найдите сумму ~АВ-ДС + ~ВС-~ВА + СД.~СВ.
106.4.	1) Векторы a, ft и с попарно перпендикулярны. Вычислите
скалярное произведение (a + 2ft)-(3a — с), если \а\=у.
2)	В пирамиде РНКМ ребро РМ является высотой,
ZPO = 90°. Найдите сумму Л4Н-МК+НК+
+ КМ-КН, если МК=6, КН = 8.
106.5.	1) Даны три вектора a, ft и с, удовлетворяющие условию
a — b — с = 0, \а| =3, |ft| =4, |с| =5. Вычислите ft-с —а-ft —
— с •а.
2)	Докажите, что, каковы бы ни были четыре точки про-
странства Д, В, С, D, имеет место равенство ДВ-СО +
+ AC-D$+AD'BC = 0.
123
106.6.	1) Даны три вектора а, b и с, удовлетворяющие условию
а-|-6-|-с==0, |а| = 1, |6|=4, |с|=5. Вычислите а*6 +
+ £>• с + с-а.
2) Докажите, что для любого тетраэдра с вершинами в
точках А, В, С, D выполняется равенство BC‘DA +
+ ~BD-A£-}-AB-~DC = 0.
106.7*. 1) Даны три вектора а, b и с. Докажите, что
вектор (Ь-с)-а—(а‘С)-Ь перпендикулярен вектору с.
2) ABCD — тетраэдр. Докажите, что AB-CD=^ (4D2-f-
4-В^2-ЛС2-ВО2).
106.8*. 1) Даны три вектора а, Ь, с. Известно, что а Л. с. Дока-
т . — (а-Ь) —
жите, что вектор о + с — а перпендикулярен век-
тору а.
2)	ABCD — тетраэдр. Докажите, что AC-BD=±(AD2 —
-ab2)+^(b^2-cd2).
§ 107. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ
107.1.	1) Дан куб ABCDAXBXCXDX. Найдите угол между прямыми
ADX и ВК, где К — середина DDX.
2)	Докажите, что в правильном тетраэдре скрещивающие-
ся ребра взаимно перпендикулярны.
107.2.	1) Дан куб ABCDAXBXCXDX. Найдите угол между прямыми
АС и DCX.
2)	Докажите, что в правильной четырехугольной пирами-
де диагональ основания перпендикулярна боковому реб-
ру, не пересекающему ее.
107.3.	1) Дан прямоугольный параллелепипед ABCDAXBXCXDX,
основанием которого служит квадрат со стороной а. Най-
дите угол между прямыми CXD и если боковое ребро
равно 2а.
2)	Докажите, что в правильной четырехугольной пирами-
де EABCD прямая, проходящая через основание высоты
пирамиды и точку пересечения медиан грани ЕАВ, пер-
пендикулярна прямой АВ.
107.4.	1) В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX реб-
ра АВ, AD, ААХ соответственно равны а, 2а, За. Найди-
те угол между прямыми BD и АВХ.
2)	Докажите, что в правильной треугольной пирамиде
DABC прямая, проходящая через вершину А и точку пере-
сечения медиан грани DBC, перпендикулярна прямой ВС.
124
107.5.	1) В правильной треугольной призме	ЛЛ,=
=—1=АВ. Найдите угол между прямыми ABt и ВС\.
\5
2)	Докажите, что если в треугольной пирамиде проекция
вершины пирамиды на противолежащую грань лежит на
высоте грани, то два ребра пирамиды взаимно перпенди-
кулярны.
107.6.	1) В прямой призме АВСАХВХСХ АВ = ВС=\, ААх=у[§,
Z_BAC = 3W. Найдите углы между прямыми 4С\ и АХВ.
2) Докажите, что если в четырехугольной пирамиде про-
екция одной из вершин основания на диагональное сече-
ние лежит на высоте этого сечения, проведенной к диаго-
нали основания, то одно из боковых ребер пирамиды пер-
пендикулярно этой диагонали.
107.7*	. 1) Найдите расстояние от точки 4(10; 0; 0) до прямой,
проходящей через точки В (0; 0; 0), С (8; 6; 0).
2) Три ребра прямоугольного параллелепипеда «видны»
из точки пересечения его диагоналей под углами а, р, у.
Докажите, что cos a-j-cos P4-cos у = 1.
107.8*. 1) Точки А (Г, 0; 0), С (4; 3; 0), В (0; 5; 0) являются верши-
нами треугольника. Найдите высоту ВН.
2)	Из точки пересечения диагоналей прямоугольного па-
раллелепипеда диагонали граней, выходящие из одной
вершины, видны под углами а, р, у. Докажите, что
cos а + cos р + cos у = — 1.
§ 108. ДВИЖЕНИЯ
108.1.	1) Найдите координаты точек, в которые переходит точка
4(100; 200; 1) при:
а)	центральной симметрии относительно начала коор-
динат;
б)	зеркальной симметрии относительно плоскости Оху.
2)	Докажите, что при движении треугольник отображает-
ся на равный ему треугольник.
108.2.	1) Найдите координаты точек, в которые переходит точка
В (0,01; 0,02; — 1) при:
а)	осевой симметрии относительно оси Oz\
б)	параллельном переносе на вектор р {0,09; 0,08; 1}.
2)	Докажите, что при движении угол отображается на
равный ему угол.
108.3.	1) а) Докажите, что точки 4 (Г, 2; 3) и В ( — 1; —2; —3) сим-
метричны относительно начала координат.
б)	Докажите, что точки В (3; —4; 5) и С (3; 4; 5) симмет-
ричны относительно плоскости Oxz.
2)	Докажите, что при движении двугранный угол отобра-
жается на равный ему двугранный угол.
108.4.	1) а) Пусть при параллельном переносе на вектор р точ-
125
ка Д (Г, 2; 3) переходит в В (4; 5; 6). Найдите координаты р.
б)	Докажите, что точки А (5; 6; 7) и В( — 5; 6; —7) сим-
метричны относительно оси Оу.
2)	Докажите, что при движении прямая и плоскость, со-
ставляющие угол <р, отображаются на прямую и плос-
кость, составляющие угол <р.
108.5.	1) Прямая а содержит биссектрису угла, образованного
координатными осями Ох и Оу. Найдите координаты точ-
ки Ah в которую переходит точка А (10; 20; 0) при осевой
симметрии относительно прямой а.
2)	Является ли движением отображение пространства на
себя, при котором любая точка с координатами (х; у; z)
переходит в точку с координатами (2х; 2у\ 2z)?
108.6.	1) Плоскость а содержит ось Ох и биссектрису угла, об-
разованного осями Oz и Оу. Найдите координаты точки,
в которую переходит точка В(0; 20; 10) при зеркальной
симметрии относительно плоскости а.
2) Является ли движением отображение пространства на
себя, при котором любая точка с координатами (х; у\ z)
переходит в точку (х—5; у + 3; z — 7)?
§ 109. ПРИМЕНЕНИЕ ДВИЖЕНИЙ ПРОСТРАНСТВА К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
109.1. 1) Докажите, что при движении прямая, перпендикуляр-
ная плоскости, отображается на прямую, перпендикуляр-
ную плоскости.
2) Исходя из доказанного в задаче 1, докажите, что если
одна из двух параллельных прямых перпендикулярна
плоскости, то и другая перпендикулярна этой плоскости.
109.2. 1) Докажите, что при движении плоскость, перпендику-
лярная прямой, отображается на плоскость, перпендику-
лярную прямой.
2) Исходя из доказанного в задаче 1, докажите, что если
одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна
прямой, то и другая плоскость перпендикулярна этой
прямой.
109.3. 1) Докажите, что прямая, содержащая высоту правиль-
ной четырехугольной пирамиды, является ее осью сим-
метрии.
2) Исходя из доказанного в задаче 1, докажите, что любое
сечение правильной четырехугольной пирамиды, содержа-
щее ее высоту, является равнобедренным треугольником.
109.4. 1) Докажите, что прямая, содержащая точки пересечения
диагоналей противоположных граней прямоугольного па-
раллелепипеда, является его осью симметрии.
2) Исходя из доказанного в задаче 1, докажите, что любое
сечение прямоугольного параллелепипеда плоскостью, со-
держащей точки пересечения диагоналей противополож-
ных граней, является прямоугольником.
126
109.5. 1) Докажите, что прямая, содержащая середины противо-
положных ребер правильного тетраэдра, является его осью
симметрии.
2) Исходя из доказанного в задаче 1, докажите, что каж-
дая плоскость, проведенная через середины противо-
положных ребер правильного тетраэдра, делит этот тетра-
эдр на две равные части.
109.6. 1) Докажите, что точка пересечения диагоналей паралле-
лепипеда является его центром симметрии.
2)	Исходя из доказанного в задаче 1, докажите, что каж-
дая плоскость, проведенная через точку пересечения диа-
гоналей параллелепипеда, делит его на две равные части.
ЦИЛИНДР. КОНУС. ШАР
§ 110. ЦИЛИНДР
110.1.	1) Радиус основания цилиндра в 3 раза меньше высоты,
а площадь полной поверхности равна 288л см2. Найдите
размеры цилиндра.
2)	Диагональ сечения цилиндра, параллельного его оси,
равна 9 см и наклонена к плоскости основания под углом
60°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если
в основании цилиндра отсекается дуга в 120°.
110.2.	1) Площадь боковой поверхности цилиндра вдвое больше
площади основания, а площадь полной поверхности
500л см2. Найдите размеры цилиндра.
2)	Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси,
удалено от нее на д/З^ см. Найдите площадь полной по-
верхности цилиндра, если площадь сечения равна 8 см2
и отсекает от окружности основания дугу в 60°.
110.3.	1) Разверткой боковой поверхности цилиндра служит
прямоугольник ABCD, АС = 4 см, Z.CAZ) = 30°. Найдите
площадь полной поверхности цилиндра, если его высота
равна CD.
2)	Прямая, пересекающая основания цилиндра в точках,
лежащих на окружности оснований, наклонена к ним под
углом 60° и удалена от оси на 5 см. Найдите высоту ци-
линдра, если радиус основания равен 13 см.
110.4.	1) Разверткой боковой поверхности цилиндра служит
прямоугольник ABCD, АС = 8 см, ZCAD = 30°. Найдите
площадь полной поверхности цилиндра, если его высота
равна AD.
2)	Две точки, лежащие на окружностях разных оснований
цилиндра, соединены отрезком. Найдите его длину, если
радиус основания и высота цилиндра равны 10 и 17 см со-
ответственно, а расстояние от оси цилиндра до отрезка 4 см.
110.5.	1) Плоскости двух сечений цилиндра, проходящих через
одну образующую, образуют угол 60°. Найдите площадь
127
боковой поверхности цилиндра, если площади сечений
равны 11 и 13 см2.
2)	Плоскость пересекает основания цилиндра по хордам,
равным 6 и 8 см, расстояние между которыми 9 см. Най-
дите площадь поверхности цилиндра, если радиус основа-
ния равен 5 см и плоскость пересекает ось цилиндра во
внутренней его точке.
110.6.	1) Плоскости двух сечений цилиндра ААгСгС и АА&В
проходят через одну образующую их площади равны
по 10 см2. Найдите площадь боковой поверхности ци-
линдра, если площадь сечения СС^В^В равна 40 см2.
2) Вершины квадрата принадлежат окружностям верхне-
го и нижнего оснований цилиндра. Найдите площадь по-
верхности, если радиус основания цилиндра равен 7 см,
сторона квадрата 10 см и плоскость квадрата пересекает
ось цилиндра.
§ 111. КОНУС. УСЕЧЕННЫЙ КОНУС
111.1. 1) Осевое сечение конуса — равнобедренный прямоуголь-
ный треугольник с гипотенузой 12 см. Найдите площадь
полной поверхности конуса.
2) Найдите площадь полной поверхности усеченного кону-
са, если площади его оснований 25л и 64л см2, а площадь
осевого сечения 52 см2.
111.2. 1) Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник
с углом 120° и равными сторонами по 16 см. Найдите пло-
щадь полной поверхности конуса.
2) Найдите площадь полной поверхности усеченного кону-
са, если он образован вращением прямоугольной трапе-
ции с основаниями 13 и 18 см вокруг меньшей стороны,
равной 12 см.
111.3. 1) Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник,
периметр которого равен 16(2 + д/2) см. Найдите пло-
щадь полной поверхности этого конуса.
2) Найдите радиусы оснований усеченного конуса, если
его боковая поверхность равна 208л см2, образующая
13 см, а высота 5 см.
111.4. 1) Осевое сечение конуса — треугольник, площадь кото-
рого равна 16 у/З см2, а один из углов 120°. Найдите пло-
щадь полной поверхности этого конуса.
2) Образующая усеченного конуса равна 8 см и наклоне-
на к плоскости основания под углом 60°. Диагональ осево-
го сечения делит этот угол пополам. Найдите площадь
полной поверхности усеченного конуса.
111.5. 1) Найдите площадь полной поверхности конуса, если пе-
риметр его осевого сечения равен 16 см, а угол развертки
боковой поверхности 120°.
128
2) Определите, в каком отношении делит высоту конуса
плоскость, параллельная основанию, если полученные
меньший конус и усеченный конус имеют равные площади
полных поверхностей, а образующая и радиус основания
исходного конуса равны 16 и 10 см соответственно.
111.6. 1) Найдите площадь полной поверхности конуса, если
площадь осевого сечения равна 48 см2, а угол развертки
боковой поверхности равен 216°.
2) Определите, в каком отношении делит высоту конуса
плоскость, параллельная основанию, если площадь поверх-
ности отсеченного конуса равна половине площади по-
верхности всего конуса, а радиус основания и образую-
щая исходного конуса равны 2 и 6 см соответственно.
111.7*. 1) AAh BBlt CCh DDi — образующие цилиндра. По-
стройте точку пересечения прямой DDi и плоскости, про-
ходящей через данные точки Af, К, Р, принадлежащие со-
ответственно образующим ДДЬ BB{i ССР
2) Конус катится по плоскости вокруг неподвижной вер-
шины. Найдите площадь поверхности, описываемой высо-
той, если образующая конуса равна L, а высота Н.
111.8*. 1) ОД, ОВ, ОС, OD — образующие конуса. Постройте
точку пересечения прямой OD и плоскости, проходящей
через данные точки М, 7, К, принадлежащие соответст-
венно образующим ОД, OS, ОС.
2)	Шесть одинаковых конусов уложены на плоскости так,
что соприкасаются вершинами и между ними не имеется
просветов. Найдите величину угла при вершине осевого
сечения конуса.
§ 112.	ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
112.1.	Прямоугольный треугольник с катетом 8 см и приле-
жащим к нему углом 30° вращается вокруг прямой, со-
держащей гипотенузу. Найдите площадь поверхности по-
лученного тела.
112.2.	Равнобедренный треугольник, у которого боковые сто-
роны равны по 4 см, а один из углов 120°, вращается во-
круг прямой, содержащей большую сторону. Найдите пло-
щадь поверхности полученного тела.
112.3.	В равнобедренной трапеции основания равны 14 и 50 см,
а диагональ 40 см. Эта трапеция вращается вокруг пря-
мой, содержащей меньшее основание трапеции. Найдите
площадь поверхности полученного тела.
112.4.	Диагонали ромба равны 6 и 8 см. Этот ромб вращается
вокруг прямой, содержащей одну из его сторон. Найдите
площадь поверхности полученного тела.
112.5.	Треугольник со сторонами 25, 17 и 28 см вращается во-
круг прямой, параллельной меньшей стороне и удаленной
от нее на 20 см. Найдите площадь поверхности полученно-
5 Зив Б Г., 7—11 кл
129
го тела, если ось вращения и вершина, противолежащая
меньшей стороне, лежат по разные стороны от прямой, со-
держащей эту сторону.
112.6.	Треугольник со сторонами 13, 14 и 15 см вращается вокруг
прямой, параллельной меньшей стороне и удаленной от нее
на 16 см. Найдите площадь поверхности полученного тела,
если вершина, противолежащая меньшей стороне, лежит
между осью вращения и прямой, содержащей эту сторону.
§ 113.	УРАВНЕНИЕ СФЕРЫ. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ
СФЕРЫ И ПЛОСКОСТИ
113.1.	1) Точка А (0; д/2~; д/5~) лежит на сфере с центром О (3; 0; 0).
а) Запишите уравнения сферы.
б)	Принадлежат ли этой сфере точки с координатами
(5; 0; 2Д/3), (4; -1; 0)?
2)	Вершины прямоугольного треугольника с гипотенузой
24 см лежат в сфере. Найдите радиус сферы, если расстоя-
ние от центра сферы до плоскости треугольника равно 5 см.
113.2.	1) Центр сферы имеет координаты (0; 0; 4). Сфера прохо-
дит через точку (2Д/2; 0; 5).
а)	Запишите уравнение сферы.
б)	Принадлежат ли сфере точки с координатами (3; 1; 5),
(0; д/б; 6)?
2)	Все стороны квадрата, равные по 10 см, касаются сфе-
ры. Найдите радиус сферы, если расстояние от центра
сферы до плоскости квадрата равно 12 см.
113.3.	1) Даны точки А ( — 3; 1,5; —2) и В (3; —2,5; 2). Отрезок
АВ является диаметром сферы.
а)	Запишите уравнение сферы.
б)	Принадлежат ли сфере точки с координатами
(V7; -1,5; 3), (3; 2,5; 1)?
2)	Сторона треугольника, лежащая против угла в 60°,
равна 3 д/3~ см. Вершины треугольника принадлежат сфере.
Найдите расстояние от центра сферы до плоскости тре-
угольника, если радиус сферы равен 5 см.
113.4.	1) Точки С (1; — 1,5; 3) и D (— Г, 2,5; —3) лежат на сфере.
Центр сферы принадлежит отрезку CD.
а)	Запишите уравнение сферы.
б)	Принадлежат ли сфере точки с координатами (3; —1,5; д/7”),
(1; 2,5; 3)?
2)	Стороны ромба равны 16 д/3 см, а угол 60°. Все сторо-
ны ромба касаются сферы радиусом 15 eta. Найдите рас-
стояние от центра сферы до плоскости ромба.
113.5.	1) Даны сфера + z2 = 25 и плоскость, проходящая
через точки (0; 8; 0), (б; 0; -8 параллельно оси Ох.
130
Пересекает ли эта плоскость сферу? В случае пересечения
найдите длину линии пересечения.
2)	Вершины треугольника принадлежат сфере, а стороны
удалены от центра сферы на 25 см. Найдите площадь треуголь-
ника, если его плоскость удалена от центра сферы на 24 см.
113.6. 1) Плоскость а, параллельная оси Oz, пересекает плос-
кость Оху по прямой а. Прямая а в плоскости Оху имеет
уравнение у = 6^12 — х. Пересечет ли плоскость а сферу
хг + у2 +z* = 100? В случае пересечения найдите длину этой
линии.
2)	Периметр треугольника равен 72 у 3 см, его стороны
касаются сферы. Найдите расстояние от центра сферы до
плоскости треугольника, если вершины треугольника уда-
лены от центра сферы на 26 см.
113.7	*. 1) Имеют ли общие точки шары, ограниченные сферами
x* + y* + z*=2x+4y — 6z + 11, x^+^-j-z2 — 8y + 6z= — 21?
2) Точка О лежит на диагонали АСХ куба ABCDAXBXCXDX
и делит ее в отношении 1 :3, считая от точки А, Выясните
взаимное расположение сферы с центром в точке О и ра-
диусом 15 см и граней куба, если ребро равно 40 см. В тех
случаях, когда они пересекаются, найдите радиус сечения.
113.8	*. 1) Имеют ли общие точки шары, ограниченные сферами
х2 + у2 + г2 = 2х — 6z + 6, х2 + 4х + у2 + z2 = бу + 8z — 4?
2) Центр сферы лежит на диагонали АС грани куба
ABCDAiBiC^i с ребром 20 см и делит ее в отношении
1 :4, считая от точки А. Выясните взаимное расположение
граней куба и сферы, если ее радиус 6 см. В тех случаях,
когда они пересекаются, найдите радиус сечения.
§ 114. СФЕРА
114.1.	1) Сечение шара плоскостью, удаленной от его центра на
12 см, имеет площадь 25л см2. Определите площадь поверх-
ности шара.
2)	Плоскость пересекает сферу. Диаметр сферы, прове-
денный в одну из точек линии пересечения, имеет длину
4 д/iT дм и составляет с плоскостью угол 45°. Найдите дли-
ну линии пересечения.
114.2.	1) Линия пересечения сферы и плоскости, удаленной от
центра сферы на 8 см, имеет длину 12л см. Найдите пло-
щадь поверхности сферы.
2)	Плоскость пересекает шар. Диаметр, проведенный в
одну из точек линии пересечения, составляет с плоскостью
угол 45°. Найдите площадь сечения, если диаметр шара
равен 4Д/3~ см.
114.3.	1) Сечения шара двумя параллельными плоскостями,
между которыми лежит центр шара, имеют площади 144л
и 25л см2. Найдите площадь поверхности шара, если рас-
131
стояние между параллельными плоскостями равно 17 см.
2) Через точку, не лежащую на сфере, проведены две
плоскости, касающиеся сферы. Найдите расстояние от
центра сферы до линии пересечения плоскостей, если угол
между плоскостями 60°, а площадь сферы 32л см2.
114.4.	1) Сечения сферы двумя параллельными плоскостями
имеют длины Юл и 24л см. Найдите площадь поверхности
сферы, если расстояние между плоскостями равно 7 см
и центры сечений лежат на одном радиусе.
2)	Через точку на поверхности шара проведены две плос-
кости, пересекающие его. Обе плоскости удалены от цент-
ра сферы на расстояние 2Д/3^ см, угол между ними равен
60°. Найдите площади получившихся сечений.
114.5.	1) Радиус сферы разделен на три равные части и через
точки деления проведены перпендикулярные радиусу
плоскости. Разность длин получившихся сечений равна
6(2Д/2 — д/5) л см. Найдите площадь поверхности сферы.
2) Два взаимно перпендикулярных сечения шара имеют
общую хорду длиной 12 см. Зная, что площади этих сече-
ний 100л см2 и 64л см2, найдите радиус шара.
114.6.	1) Диаметр шара разделен на три части в отношении
1:3:2 и через точки деления проведены перпендикуляр-
ные ему плоскости. Найдите площадь поверхности шара,
если сумма площадей сечений равна 52л см2.
2) Площадь большого круга шара равна 50л см2. Два вза-
имно перпендикулярных сечения шара имеют общую хор-
ду длиной 6 см. Найдите расстояние от центра шара до
плоскостей сечения, если площадь одного из них 25л см2.
§ 115. КОМБИНАЦИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ
115.1. 1) Осевое сечение конуса — правильный треугольник.
В этот конус вписана сфера. Найдите ее площадь, если
образующая конуса равна 3 см.
2)	Вокруг правильной четырехугольной призмы описан ци-
линдр. Найдите площадь его боковой поверхности, если вы-
сота призмы равна 24 см, а диагональ боковой грани 26 см.
115.2. 1) Осевое сечение конуса — правильный треугольник, во-
круг конуса описана сфера. Найдите ее площадь, если ра-
диус основания конуса равен 2Д/3~ см.
2)	В правильную четырехугольную призму вписан ци-
линдр. Найдите площадь его боковой поверхности, если
диагональ основания призмы равна 4л/2~ см, а диагональ
боковой грани 5 см.
115.3.	1) Вокруг правильной четырехугольной пирамиды описа-
на сфера. Найдите ее площадь, если сторона основания
равна 4Д/^ см, а боковые ребра наклонены к плоскости
основания под углом 60°.
132
2)	Сторона основания правильной треугольной пирамиды
равна 4 л/3~ см, а боковое ребро наклонено к основанию
под углом 45°. Найдите площадь боковой поверхности
вписанного в пирамиду конуса.
115.4.	1) Диагональ основания правильной четырехугольной пи-
рамиды равна 4Л/б см, а боковые грани наклонены к
плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь
вписанной в пирамиду сферы.
2)	Сторона основания правильной треугольной пирамиды
8^/3 см, а боковые грани наклонены к основанию под уг-
лом 45°. Найдите площадь боковой поверхности описанно-
го около пирамиды конуса.
115.5.	1) В основании пирамиды лежит треугольник, у которого
одна из сторон имеет длину а, а противолежащий ей угол
равен а. Боковые ребра наклонены к основанию под углом
<р. Найдите площадь описанной около пирамиды сферы.
2) В правильную четырехугольную пирамиду вписан ци-
линдр так, что его верхнее основание касается боковых
граней пирамиды, а нижнее основание лежит в плоскости
основания пирамиды. Найдите площадь боковой поверх-
ности цилиндра, если сторона основания пирамиды равна
10 см, высота цилиндра 4 л/3~ см, а угол наклона боковых
граней к плоскости основания равен 60°.
115.6.	1) В основании пирамиды равнобедренный треугольник,
боковая сторона которого равна а, а угол при основании
а. Боковые грани пирамиды наклонены к основанию под
углом <р. Найдите площадь поверхности вписанной в пи-
рамиду сферы.
2)	В конус вписан цилиндр так, что его верхнее основание
касается боковой поверхности конуса, а нижнее лежит в
плоскости его основания. Найдите площадь боковой по-
верхности цилиндра, если высота конуса равна см,
высота цилиндра 4 Л/ЁГ см, а образующая наклонена к
плоскости основания под углом 60°.
ОБЪЕМЫ ТЕЛ
§ 116. ОБЪЕМ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
116.1.	1) Стороны основания прямоугольного параллелепипеда
равны 5 и 12 см, а его диагональ составляет с плоскостью
основания угол 60°. Найдите объем параллелепипеда.
2) Основанием прямой призмы служит прямоугольный
треугольник. Катеты основания и боковое ребро относятся
между собой как 1:2:3. Объем призмы равен 24 см3. Най-
дите площадь боковой поверхности призмы.
133
116.2.	1) Боковое ребро и одна из сторон основания прямоуголь-
20 д/з*
ного параллелепипеда равны соответственно —и
16	см, а его диагональ составляет с плоскостью основания
угол 30°. Найдите объем параллелепипеда.
2)	Основанием прямой призмы служит прямоугольный
треугольник, катеты которого относятся как 2 :3. Найдите
площадь боковой поверхности призмы, если ее боковое
ребро равно 4 см, а объем 48 см3.
116.3.	1) В правильной четырехугольной призме диагональ рав-
на /и и составляет с плоскостью боковой грани угол 30°.
Найдите объем призмы.
2)	Основанием прямой призмы служит равнобедренный
прямоугольный треугольник, катеты которого равны
3 см. Площадь сечения, проведенного через один из кате-
тов основания и противолежащую вершину верхнего осно-
вания, равна 7,5 см2. Найдите объем призмы.
116.4.	1) В прямоугольном параллелепипеде диагональ равна d,
d
а одна из сторон основания у. Эта диагональ составляет
с боковой гранью, содержащей данную сторону, угол 45°.
Найдите объем параллелепипеда.
2)	Основанием прямой призмы служит прямоугольный
треугольник, один из катетов которого равен 4 см. Пло-
щадь сечения, проведенного через другой катет и противо-
лежащую ему вершину верхнего основания, равна 15 см2.
Найдите объем призмы, если длина ее бокового ребра
равна 3 см.
116.5.	1) Диагональ основания прямоугольного параллелепипе-
да равна /и, а угол между диагоналями основания 60°.
Плоскость сечения, проведенного через диагональ основа-
ния и противолежащую ей вершину верхнего основания,
составляет с плоскостью основания угол 60°. Найдите
объем параллелепипеда.
2)	Основанием прямой призмы АВСАХВХСХ служит пря-
моугольный треугольник ABC (Z.C = 90°), у которого
ДС = 6 и Z.4 = а. Диагональ боковой грани В£ составляет
с плоскостью ААХВХ угол а. Найдите объем призмы.
116.6.	1) Диагональ основания прямоугольного параллелепипе-
да равна d, а угол между диагоналями 30°. Плоскость се-
чения, проведенного через диагональ основания и проти-
волежащую ей вершину верхнего основания, составляет с
плоскостью основания угол 45°. Найдите объем паралле-
лепипеда.
2) Основанием прямой призмы МКРМХК\Р\ служит прямо-
угольный треугольник МРК (ZP = 90°), у которого РК = т
и Z.Af = a. Диагональ боковой грани* МХР составляет с
плоскостью ММХК\ угол 90° — а. Найдите объем призмы.
134
§ 117.	ОБЪЕМ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ И ЦИЛИНДРА
117.1.	1) Основанием прямой призмы служит треугольник, сто-
роны которого равны 10, 10 и 12. Диагональ меньшей бо-
ковой грани составляет с плоскостью основания угол
60°. Найдите объем призмы.
2)	Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от
окружности основания дугу в 120° и удалена от оси на
расстояние, равное а. Диагональ в получившемся сечении
равна 4а. Найдите объем цилиндра.
117.2.	1) Основанием прямого параллелепипеда служит парал-
лелограмм, стороны которого 4 и 8 см. Один из его углов
равен 30°. Диагональ меньшей боковой грани составляет
с плоскостью основания угол 45°. Найдите объем паралле-
лепипеда.
2)	Плоскость, параллельная оси цилиндра, отстоит от нее
на расстоянии, равном 15. Диагональ получившегося сече-
ния равна 20, а радиус основания цилиндра 17. Найдите
объем цилиндра.
117.3.	1) Основанием прямой призмы служит равнобедренная
трапеция, основания которой равны 8 и 4 см. Через боль-
шее основание трапеции и середину противолежащего бо-
кового ребра проведена плоскость, составляющая с плос-
костью основания угол 60°. Площадь сечения равна
48 см2. Найдите объем призмы.
2)	Через образующую цилиндра проведены две плоско-
сти, пересекающие цилиндр. Угол между плоскостями ра-
вен а, а площади получившихся сечений равны Q. Радиус
основания цилиндра равен /?. Найдите объем цилиндра.
117.4.	1) Основанием прямого параллелепипеда служит ромб с
углом 60°. Через сторону основания и середину противоле-
жащего бокового ребра проведена плоскость под углом 45°
к плоскости основания. Площадь сечения равна 18Д/б~ см2.
Найдите объем параллелепипеда.
2)	Через образующую цилиндра проведены две плоско-
сти, пересекающие цилиндр. Угол между плоскостями ра-
вен <р, а площади получившихся сечений равны S. Высота
цилиндра равна И. Найдите объем цилиндра.
117.5.	1) В правильной шестиугольной призме ABCDEFAXBXCXDXEXFX
диагонали BXF и ВХЕ равны соответственно 24 и 25. Най-
дите объем призмы.
2) В правильную четырехугольную пирамиду вписан
цилиндр так, что окружность верхнего основания касает-
ся боковой поверхности пирамиды, а нижнее основание
принадлежит основанию пирамиды. Боковые грани пира-
миды составляют с плоскостью основания угол а. Сторона
основания равна а. Найдите объем цилиндра, если его
осевым сечением является квадрат.
135
117.6.	1) В правильной шестиугольной призме ABCDEFAXBXCXDXEXFX
СХЕ = 3, a FCXE = arctg . Найдите объем призмы.
2) В правильную треугольную пирамиду, стороны основа-
ния которой равны а, вписан цилиндр так, что окруж-
ность верхнего основания касается боковой поверхности
пирамиды, а нижнее основание принадлежит основанию
пирамиды. Боковые грани пирамиды составляют с плос-
костью основания угол <р. Найдите объем цилиндра, если
его высота равна диаметру основания.
§ 118.	ОБЪЕМ НАКЛОННОЙ ПРИЗМЫ
118.1.	1) В наклонной треугольной призме основанием служит
правильный треугольник со стороной, равной 3"\/з\ Одна
из вершин верхнего основания проектируется в центр ниж-
него. Боковые ребра призмы составляют с плоскостью
основания угол 60°. Найдите объем призмы.
2)	Площади двух боковых граней треугольной призмы
равны 30 и 40 см2, а угол между ними 120°. Найдите объ-
ем призмы, если длина бокового ребра равна 10 см.
118.2.	1) В наклонной треугольной призме основанием служит
правильный треугольник. Одна из вершин верхнего осно-
вания проектируется в центр нижнего. Боковые ребра
призмы составляют с плоскостью основания угол 45°.
Найдите объем призмы, если ее высота равна 4.
2)	В наклонном параллелепипеде площади двух боковых
граней равны 20 и 30 см2, а угол между ними 60°. Найдите
объем параллелепипеда, если его боковое ребро равно
5 см.
118.3.	1) В основании наклонного параллелепипеда лежит пря-
моугольник. Противоположные его боковые грани перпен-
дикулярны к плоскости основания, а площадь каждой из
двух других боковых граней равна 25 см2. Боковые ребра
составляют с плоскостью основания углы 60°. Найдите
объем параллелепипеда, если известно, что все его ребра
равны между собой.
2)	В наклонной треугольной призме АВСАХВХСХ Z_AXAB =
= Z/414C<90°, АВ=АС, ВС=а, ААХ=Ь. Угол между равны-
ми боковыми гранями равен 120°. Найдите объем призмы.
118.4.	1) В основании наклонной призмы лежит равнобедренный
прямоугольный треугольник, катеты которого равны
7 см. Боковая грань, проходящая через один из катетов
основания, перпендикулярна плоскости основания, а пло-
щадь другой боковой грани, проходящей через другой ка-
тет основания, равна 49 см2. Боковые ребра призмы со-
ставляют с плоскостью основания углы 45°. Найдите объ-
ем призмы, если боковое ребро ее равно 7 см.
136
2) В наклонной треугольной призме DEFDXEXFX Z_EXED =
= /LE\EF<90°, EF=ED, DF = m, EEx = l. Угол между рав-
ными боковыми гранями прямой. Найдите объем призмы.
118.5. 1) В наклонной треугольной призме АВСАХВХСХ все ребра
равны между собой, Z_AXAB = Z414C = 60°. Площадь
грани ССХВ{В равна Q. Найдите объем призмы.
2) В наклонной треугольной призме расстояние от бокового
ребра до диагонали противолежащей боковой грани равно
5 см, а площадь этой грани 40 см2. Найдите объем призмы.
118.6. 1) Основанием наклонного параллелепипеда ABCDAXBXCXDX
служит квадрат ABCD. Все ребра параллелепипеда рав-
ны между собой,	Z.414Z) = 60o. Площадь диаго-
нального сечения BBXDXD равна S. Найдите объем парал-
лелепипеда.
2)	В наклонной треугольной призме угол между боковым
ребром и скрещивающейся с ним стороной основания ра-
вен 45°. Длина этой стороны равна 6 см, а расстояние от
бокового ребра до боковой грани, содержащей эту сторо-
ну, 4 см. Длина бокового ребра равна 5 см. Найдите
объем призмы.
§ 119. ОБЪЕМ ПИРАМИДЫ
119.1.	1) В правильной треугольной пирамиде радиус описанной
около основания окружности равен 4 см. Боковые грани
наклонены к основанию под углом 60°. Найдите объем пи-
рамиды.
2)	Основанием пирамиды MABCD служит прямоугольник
ABCD. Ребро МВ перпендикулярно плоскости основания,
а грани AMD и DMC составляют с ним углы 30° и 45°.
Высота пирамиды равна Н. Найдите ее объем.
119.2.	1) В правильной четырехугольной пирамиде радиус опи-
санной около основания окружности равен 6 см. Боковые
грани наклонены к основанию под углом 60°. Найдите
объем пирамиды.
2)	Основанием пирамиды MABCD служит прямоугольник
ABCD, АВ = а. Ребро МВ перпендикулярно плоскости
основания, а грани MAD и MCD составляют с ним соот-
ветственно углы 30° и 60°. Найдите объем пирамиды.
119.3.	1) В правильной четырехугольной пирамиде расстояние
от центра основания до боковой грани равно т. Боковые
грани наклонены к основанию под углом а. Найдите
объем пирамиды.
2)	Основанием пирамиды служит ромб со стороной, рав-
ной а, и углом 30°. Боковые грани, проходящие через сто-
роны острого угла ромба, перпендикулярны плоскости
основания, а две другие наклонены к нему под углом 60°.
Найдите объем пирамиды.
137
119.4.	1) В правильной треугольной пирамиде расстояние от
центра основания до боковой грани равно d. Боковые гра-
ни наклонены к основанию под углом <р. Найдите объем
пирамиды.
2)	Основанием пирамиды МАВС служит равнобедренный
треугольник ABC, АС = СВ = а, Z_ACB= 120°. Грани
МАС и МАВ перпендикулярны плоскости основания, а
третья грань составляет с ним угол 45°. Найдите объем
пирамиды.
119.5.	1) В правильной треугольной пирамиде сторона основа-
ния равна а, а угол между смежными боковыми гранями
а. Найдите объем пирамиды.
2)	Основанием пирамиды РАВС служит прямоугольный
треугольник ABC (Z.C = 90°), ВС = а, /LB = №°. Грань
АРС перпендикулярна плоскости основания, а две другие
наклонены к нему под углом 45°. Найдите объем пира-
миды.
119.6.	1) В правильной четырехугольной пирамиде стороны
основания равны а, а угол между смежными боковыми
гранями а. Найдите объем пирамиды.
2)	Основанием пирамиды служит прямоугольный тре-
угольник с углом 60° и прилежащим к нему катетом, рав-
ным а. Боковая грань, проходящая через гипотенузу, пер-
пендикулярна плоскости основания, а две другие наклоне-
ны к нему под углом 45°. Найдите объем пирамиды.
119.7*. Углы правильного тетраэдра срезаны так, что полу-
чился многогранник, у которого 4 грани — правильные
треугольники и 4 — правильные шестиугольники. Найдите
отношение объема полученного многогранника к объему
тетраэдра.
119.8*. Углы октаэдра срезаны так, что получился многогран-
ник, у которого 6 граней — квадраты, а 8 — правильные
шестиугольники. Найдите отношение объема полученного
многогранника к объему октаэдра.
§ 120. ОБЪЕМ КОНУСА
120.1.	1) Цилиндр и конус имеют равные радиусы оснований и
равные высоты. Объем цилиндра 60 см3. Найдите объем
конуса.
2)	Боковые ребра правильной четырехугольной пирамиды
составляют с основанием угол 45°. Найдите объем описан-
ного около нее конуса, если сторона основания пирамиды
равна а.
120.2.	1) Цилиндр и конус имеют равные радиусы оснований и
равные высоты. Объем конуса равен 40 см3. Найдите объ-
ем цилиндра.
2)	Боковые ребра правильной треугольной пирамиды со-
ставляют с основанием угол 60°. Найдите объем описанно-
138
го около пирамиды конуса, если сторона основания пира-
миды равна а.
120.3.	1) Центральный угол в развертке боковой поверхности ко-
нуса равен 120°. Высота конуса равна 4^/2. Найдите его
объем.
2) В правильной треугольной пирамиде расстояние от
вершины основания до противолежащей боковой грани
равно т. Боковые грани наклонены к основанию под уг-
лом а. Найдите объем вписанного в пирамиду конуса.
120.4. 1) Центральный угол в развертке боковой поверхности ко-
нуса равен 240°. Высота конуса равна 2Л/5. Найдите его
объем.
2) В правильную четырехугольную пирамиду вписан
конус. Найдите его объем, если боковые грани пира-
миды наклонены к основанию под углом а, а расстояние
от середины высоты пирамиды до боковой грани равно d.
120.5. 1) Наибольшая площадь сечения конуса, проведенного че-
рез его вершину, в 2 раза больше площади осевого сече-
ния. Найдите объем конуса, если его образующая равна L.
2) Конус вписан в пирамиду, основанием которой служит
равнобедренная трапеция, основания которой равны 2 и
8 см. Объем конуса равен см3. Найдите угол накло-
на боковых граней к плоскости основания.
120.6. 1) Наибольшая площадь сечения конуса, проведенного че-
рез его вершину, в Л^2 раза больше площади осевого сече-
ния. Найдите объем конуса, если его высота равна И.
2)	Конус описан около пирамиды, основанием которой
служит трапеция, три стороны которой равны 3 см, а один
из углов 60°. Объем конуса равен 9л см3. Найдите угол
наклона боковых ребер к плоскости основания.
120.7	*. Длина бокового ребра правильной треугольной пира-
миды 10 см, длина стороны основания 12 см. Боковая
грань пирамиды вписана в окружность основания конуса,
образующей которого принадлежит боковое ребро пира-
миды. Вычислите объем конуса.
120.8	*. Основанием пирамиды служит прямоугольник, стороны
которого 12 и 4 см. Боковые ребра пирамиды равны
10 см. Боковая грань, проходящая через большую сторону
прямоугольника, вписана в окружность основания конуса,
а образующая конуса принадлежит высоте противополож-
ной боковой грани, проведенной из вершины пирамиды.
Вычислите объем конуса.
§ 121. ОБЪЕМ УСЕЧЕННЫХ ПИРАМИДЫ И КОНУСА
121.1.	1) Стороны оснований правильной усеченной треугольной
пирамиды равны 2 и 4 см, угол наклона боковых граней
к основанию равен 60°. Найдите объем пирамиды.
139
2)	В прямоугольном треугольнике АВС катеты СА и СВ
равны а. Этот треугольник вращается вокруг прямой, па-
раллельной катету ВС и отстоящей от него на расстояние,
равное а (ось вращения и вершина А треугольника нахо-
дятся по разные стороны от ВС). Найдите объем тела вра-
щения.
121.2.	1) Стороны оснований правильной треугольной усеченной
пирамиды равны 1 и 2 см, угол наклона боковых ребер к
основанию равен 45°. Найдите объем пирамиды.
2)	В прямоугольном треугольнике АВС катеты СА и СВ
равны а. Этот треугольник вращается вокруг прямой, па-
раллельной катету АС и отстоящей от вершины В тре-
угольника на расстояние, равное а (ось вращения и катет
АС находятся по разные стороны от вершины В). Найдите
объем тела вращения.
121.3.	1) В правильной четырехугольной усеченной пирамиде
сторона большего основания равна 2^/2 см, боковое реб-
ро 2 см, а диагональ осевого сечения 2Д/з” см. Найдите
объем пирамиды.
2)	В равнобедренном треугольнике АВС АВ = ВС=10,
АС= 12. Треугольник вращается вокруг оси, проходящей
через вершину С и перпендикулярной АС. Найдите
объем тела вращения.
121.4.	1) В правильной треугольной усеченной пирамиде рассто-
яние от середины стороны верхнего основания до противо-
лежащей вершины нижнего основания равно 2^/3 см.
Найдите объем пирамиды, если сторона большего
8^3
основания равна —— см, а апофема пирамиды рав-
на 2 см.
2)	В равнобедренном треугольнике АВС АС = СВ = 25,
АВ = 48. Треугольник вращается вокруг оси, прохо-
дящей через вершину В и перпендикулярной АВ. Найдите
объем тела вращения.
121.5.	1) Стороны оснований в правильной четырехугольной усе-
ченной пирамиде равны 6 и 10 см. Через одну из вершин
верхнего основания перпендикулярно диагонали этого
основания (диагональ проходит через эту вершину) прове-
дена плоскость. Площадь сечения равна 6Д/1Г см2. Найди-
те объем пирамиды.
2)	Параллелограмм ABCD вращается вокруг прямой,
проходящей через вершину А параллельно меньшей диа-
гонали BD. Найдите объем тела вращения, если в данном
параллелограмме Z.4=60°, большая сторона 6 дм, а
меньшая диагональ перпендикулярна стороне.
121.6.	1) В правильной треугольной усеченной пирамиде сторо-
на верхнего основания равна 2 дм, а боковые ребра на-
140
клонены к основанию под углом 60°. Через сторону верх-
него основания параллельно противолежащему боково-
му ребру проведена плоскость. Площадь сечения равна
4уЗ дм2. Найдите объем пирамиды.
2) Расстояние между основаниями перпендикуляров, опу-
щенных из вершины тупого угла ромба на его стороны,
равно 20 см. Найдите объем тела, полученного от враще-
ния ромба вокруг оси, проходящей через вершину острого
угла, равного 60°, и перпендикулярной большей диа-
гонали.
§ 122.	Объем шара и площадь сферы
122.1.	1) Шар, объем которого равен 36л см3, пересечен плоско-
стью, проходящей через его центр. Найдите площадь по-
верхности каждой из образовавшихся частей шара.
2)	Сторона основания и боковое ребро правильной четы-
рехугольной призмы равны соответственно 6 и 2^/Т дм.
Найдите объем описанного около призмы шара.
122.2.	1) Шар пересечен плоскостью, проходящей через его
центр. Площадь каждой из образовавшихся частей шара
равна 12л см2. Найдите объем шара.
2)	Шар описан около цилиндра. Найдите объем шара,
если высота цилиндра равна 2^JT дм, а сторона правиль-
ного треугольника, вписанного в его основание, равна
ЗД/з" дм.
122.3.	1) Радиус основания цилиндра равен 2, а высота равна
4. Поместится ли в этот цилиндр шар, объем которого в
2 раза меньше объема цилиндра?
2)	Боковые ребра правильной треугольной пирамиды на-
клонены к основанию под углом 30°. Найдите объем пира-
миды, если площадь описанной около нее сферы равна
16л дм2.
122.4.	1) Радиус основания цилиндра равен 2, а высота равна
10. Поместится ли в этот цилиндр шар, объем которого в
3 раза меньше объема цилиндра?
2)	Образующие конуса наклонены к основанию под углом
15°. Найдите объем конуса, если площадь описанной
около него сферы равна 36л дм2.
122.5.	1) Осевое сечение сосуда, имеющего форму конуса, по-
ставленного на вершину, представляет равносторонний
треугольник. В сосуд помещен шар, радиус которого ра-
вен г, касающийся боковой поверхности конуса и верхнего
уровня воды, заполнившей сосуд доверху. До какого уров-
ня опустится вода, если шар вынуть из сосуда?
2)	В правильную четырехугольную пирамиду вписана
сфера, центр которой делит высоту пирамиды в отноше-
141
нии 5:3, считая от вершины. Найдите площадь сферы,
если сторона основания пирамиды равна 18 см.
122.6.	1) Осевое сечение сосуда цилиндрической формы пред-
ставляет квадрат. В сосуд помещен шар, касающийся ци-
линдрической поверхности, дна и верхнего уровня воды,
заполнившей сосуд доверху. После того как шар вынули
из воды, ее уровень опустился до 10 см. Найдите объем
шара.
2) В правильную треугольную пирамиду вписана сфера,
центр которой делит высоту пирамиды в отношении 5:4,
считая от вершины. Найдите площадь сферы, если сторо-
на основания пирамиды равна 12 д/з” см.
122.7	*. Объем конуса в 2~ раза больше объема вписанного
в него шара. Найдите величину угла между образующей
конуса и плоскостью основания.
122.8	*. Отношение объема конуса к объему вписанного в ко-
нус шара равно 8:3. Найдите величину угла при вершине
осевого сечения конуса.
ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ КУРСА СТЕРЕОМЕТРИИ
§ 123. МЕТОД КООРДИНАТ И ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
123.1.	1) Тетраэдр DABC задан координатами своих вершин
D(2; 1; 3), Л(1; 0; 0), В ( — 1; 1; 0), С (2; -1; 0).
а)	В какой координатной плоскости лежит основание тет-
раэдра ДВС?
б)	Найдите объем тетраэдра.
2.	Дана правильная треугольная пирамида МАВС. Най-
дите скалярное произведение AM*ВС.
123.2.	1) Тетраэдр PEFK задан координатами своих вершин
Р(2; 3; -6), В (2; -1; 0), F (1; -2; 0), /С( —1; 3; 0).
а) В какой координатной плоскости лежит основание тет-
раэдра EFK3
б)	Найдите объем тетраэдра.
2)	Дана правильная четырехугольная пирамида MABCD.
Найдите скалярное произведение BD-MC.
123.3.	1) Пирамида MABCD задана координатами своих вершин
М (-1; 2; 5), Д(1; -1; 2), В(-2; 1; 2), С( — 1; 3; 2),
£>(3; 1; 2).
а)	Как расположена плоскость основания ABCD отно-
сительно координатных плоскостей?
б)	Найдите объем пирамиды.
2)	В тетраэдре МАВС Z_MAC = Z.MAB, АВ = АС. Найди-
те скалярное произведение AM*ВС.
123.4.	1) Пирамида PEFKM задана координатами своих вершин
142
Р(2\ — 4; -5), Е(2; -3; 1), F (1; -2; 1), К(0; 1; 1),
М(3; -1; 1).
а)	Как расположена плоскость основания EFKM относи-
тельно координатных плоскостей?
б)	Найдите объем пирамиды.
2)	Основанием четырехугольной пирамиды MABCD слу-
жит ромб ABCD, Z-MAB= AMAD. Найдите скалярное
произведение ДЛЬВ£).
123.5.	1) В тетраэдре DABC DB-LABC и угол между AD и ВС
равен 60°. Найдите площадь поверхности тетраэдра, если
известны координаты вершин его основания: А (0; —2; 0),
С(0; 0; 0), В (-2; 0; 0).
2)	В кубе ABCDAXBXCXDX Е — середина ААХ, М — середина
AD, a F — центр грани DDXCXC. Найдите скалярное про-
изведение EF*BXM.
123.6.	1) В пирамиде MABCD известны координаты вершин
основания: А (2; 0; 0), В(0; 0; 0), С (0; 2; 0), 0(2; 2; 0),
МВ А. АВС. Найдите площадь поверхности пирамиды, если
угол между МС и BD равен 60°.
2) В кубе ABCDAXBXCXDX Р — середина ААХ, К — середи-
на СО, a Q — центр грани ВВХСХС. Найдите скалярное
произведение PQ*BXK.
§ 124.	ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ
И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ
124.1.	Дан куб ABCDAXBXCXDX.
1)	Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через
BD и середину DXCX — точку Е.
2)	Каково взаимное положение прямых:
a) BD и FE, где FE — линия пересечения секущей плоско-
сти с плоскостью АХВХСХ,
б) DE и ССХ,
в) ААХ и FO?
3)	Найдите отношение объемов частей куба, разделенных
этой плоскостью.
124.2.	Дана прямая призма АВСАХВХСХ, основанием которой слу-
жит равнобедренный прямоугольный треугольник АВС
(ZC=90°). Боковое ребро призмы равно катету основания.
1) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей че-
рез АС и середину СХВХ — точку F.
2)	Каково взаимное положение прямых:
а)	АС и EF, где EF — линия пересечения секущей плоско-
сти с плоскостью
б)	EF и ААХ;
в)	FC и ВВХ?
из
3)	Найдите отношение объемов частей призмы, разделен-
ных этой плоскостью.
124.3.	Основанием прямого параллелепипеда служит ромб с
углом 60°. Боковое ребро параллелепипеда в 2 раза боль-
ше стороны его основания.
1)	Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, про-
ходящей через сторону основания и середину противоле-
жащего бокового ребра.
2)	Какой угол с основанием составляет плоскость се-
чения?
3)	Найдите отношение объемов частей параллелепипеда,
разделенных этой плоскостью.
124.4.	В правильной треугольной призме боковое ребро вдвое
больше стороны основания.
1)	Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей че-
рез вершину основания и середину противолежащего бо-
кового ребра параллельно противолежащей стороне осно-
вания.
2)	Какой угол с основанием составляет плоскость се-
чения?
3)	Найдите отношение объемов частей призмы, разделен-
ных этой плоскостью.
124.5.	В правильной треугольной пирамиде МАВС боковые гра-
ни наклонены к основанию под углом 60°.
1)	Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей
через вершину Д, которая была бы перпендикулярна гра-
ни МВС и параллельна ВС.
2)	Какой угол составляет с этой плоскостью ребро AM?
3) Найдите отношение объемов частей пирамиды, разде-
ленных этой плоскостью.
124.6.	В правильной четырехугольной пирамиде MABCD бо-
ковые грани наклонены к основанию под углом 60°.
1)	Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей
через сторону CD перпендикулярно к грани АМВ.
2)	Какой угол составляет с этой плоскостью ребро МС?
3)	Найдите отношение объемов частей пирамиды, разде-
ленных этой плоскостью.
§ 125. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
125.1.	В правильной треугольной пирамиде DABC боковое ребро
наклонено к плоскости основания под углом 45°.
Высота пирамиды равна Н.
1)	Докажите, что плоскость ADE, где Е — середина ВС,
перпендикулярна плоскости основания.
2)	Найдите величину двугранного угла DBCA.
3)	Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
4)	Найдите площадь описанной около пирамиды сферы.
144
125.2.	В правильной четырехугольной пирамиде MABCD боковое
ребро наклонено к основанию под углом 45°, а сто-
рона основания равна а.
1)	Докажите, что плоскость АМС перпендикулярна плос-
кости основания.
2)	Найдите величину двугранного угла MCDA.
3)	Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
4)	Найдите объем описанного около пирамиды шара.
125.3.	В правильной четырехугольной пирамиде боковые гра-
ни наклонены к основанию под углом а. Радиус вписанно-
го в пирамиду шара равен Я. Найдите:
1)	площадь боковой поверхности пирамиды;
2)	расстояние от центра основания до боковой грани;
3)	угол между боковым ребром и плоскостью основания.
125.4.	В правильной треугольной пирамиде боковые грани на-
клонены к основанию под углом а. Радиус вписанного в
пирамиду шара равен /?. Найдите:
1)	площадь боковой поверхности пирамиды;
2)	расстояние от центра основания до боковой грани;
3)	угол между боковым ребром и плоскостью основания.
125.5.	В цилиндр вписана пирамида DABC так, что основание
пирамиды АВС вписано в основание цилиндра, а ребро
DB совпадает с его образующей. Известно, что АВ = ВС,
АС = а, АВАС = а, а площадь описанной около пирамиды
сферы равна 2ла2.
1)	Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
2)	Найдите угол между ребром DB и плоскостью ADC.
3)	Каково отношение объемов пирамиды и цилиндра?
125.6.	В цилиндр вписана пирамида DABC так, что основание
пирамиды АВС вписано в основание цилиндра, а ребро
AD совпадает с его образующей. Известно, что АВ =
= АС = а, Z.4 = a, а объем описанного около пирамиды
ла3 д/2"
шара равен —у— .
1)	Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
2)	Найдите угол между ребром AD и плоскостью BDC.
3) Каково отношение объемов пирамиды и цилиндра?
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Задание 1
НАЧАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
1.1. 1) Три точки В, D и С лежат на прямой q. Известно, что
В£)=17 см, ОС = 25 см. Какой может быть длина отрезка
ВС?
2) Прямые МС и DE пересекаются в точке О так, что сум-
ма углов МОЕ и DOC равна 204°. Найдите угол MOD.
3)* Зная, что Л В = 6 см, найдите на прямой АВ все такие
точки X, что ХЛ4-ХВ= 10.
1.2. 1) Точки Е, F и К лежат на прямой /и, EF=\2 см,
FK = 15 см. Какой может быть длина ВЛ?
2) Прямые АВ и CD пересекаются в точке О так, что угол
АОС в 2 раза больше угла СОВ. Найдите угол DOB.
3)* Зная, что EF= 10 см, найдите на прямой EF все такие
точки У, что КЕ4-КВ' = 9.
1.3. 1) Три точки М, N и К лежат на прямой Ь. Известно, что
Л4/(=15 см, М/С=18 см. Какой может быть длина отрез-
ка МК?
2) Прямые AD и ВС пересекаются в точке О так, что сум-
ма углов АОВ и COD равна 108°. Найдите угол BOD.
3)* Зная, что MN = 7 см, найдите на прямой MN все та-
кие точки Z, что ZMA-ZN =\\.
1.4.	1) На прямой а лежат точки Af, К и В, AfK = 25 см,
KL = 4 см. Каким может быть расстояние ML?
2) Прямые EF и ОМ пересекаются в точке О так, что угол
ЕОМ на 20° больше угла MOF. Найдите угол ЕОМ.
3)* Зная, что ЛВ = 5, найдите на прямой KL все такие
точки Af, что ^Лl-|-LAf = 4.
Задание 2
ТРЕУГОЛЬНИКИ
2.1.	1) На рисунке 235 ВО = СО, Z_ABD= Z.ACD. Докажите,
что &AOB=ADOC.
2)	Луч AD — биссектриса угла ВАС (рис. 236). Докажите,
что &ABD= & ACD, если АВ = АС.
3)* Треугольник АВС равнобедренный, ВК— высота тре-
угольника (рис. 237). Найдите:
а)	Z-ЛСЕ, если 2.Л = 70°;
б)	АК, если периметр треугольника равен 20 см и АВ = 8 см.
146
Рис. 235
Рис. 238
Рис. 239
2.2.	1) Отрезки MN и РК имеют общую середину (рис. 238). До-
кажите, что aNOP = АМОК.
2)	Луч AD — биссектриса угла ВАС (рис. 239). Докажите,
что АВ = АС. если известно, что Z_ADB= Z.ADC.
3)* Треугольник АВС равнобедренный, BE — биссектриса
треугольника (рис. 240). Найдите:
a)	ABAC. если Z4Ctf= 107°;
б)	периметр треугольника АВС. если ЕА =3 см, ВС= 10 см.
2.3. 1) На рисунке 241 DO = OB. AADO= АСВО. Докажите,
что AAOD= АСОВ.
2) На рисунке 242 ОМ = МР и ОЕ = РЕ. Докажите, что
луч ЕМ — биссектриса угла ОЕР.
3)* Треугольник АВС равнобедренный, BD — высота тре-
угольника (рис. 243). Найдите:
147
a) DC, если AB= 12 см и периметр треугольника равен 32 см;
б) А ВС К. если ZX = 65°.
2.4. 1) Отрезки АВ и CD точкой пересечения делятся пополам
(рис. 244). Докажите, что &DOA= &СОВ.
2)	На рисунке 245 МР = КР. DM = DK. Докажите, что луч
DP — биссектриса угла MDK.
3)* Треугольник АВС равнобедренный, BD — биссектри-
са треугольника (рис. 246). Найдите:
a)	ZBC4, если Z ВДВ =130°;
б)	периметр треугольника АВС. если ДВ = 50 мм, 4D = 20 мм.
Задание 3
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
3.1 1) Отрезки РК и MN пересекаются в их середине О. Дока-
жите, что прямые РМ и AW параллельны.
2)	Прямые AD и ВК параллельны, Z.4Z^ = 54°, BD —
биссектриса угла АВК (рис. 247). Найдите углы треуголь-
ника ABD.
3)* Даны два взаимно перпендикулярных диаметра
окружности, из которых один делит хорду пополам. Дока-
жите, что хорда и другой диаметр параллельны.
3.2.	1) На прямой а расположены стороны АС и /IjCj тре-
угольников АВС и XjBiCi (вершины В и Вх находятся по
одну сторону от a), АВ = АХВХ. АС = АХСХ. Z_BAC =
= ZLBXAXCX, Докажите, что ВСИВ^р
148
Рис. 249
Рис. 250
2)	Прямые AD и ВС параллельны, ZD4C = 32°, СА —
биссектриса угла BCD (рис. 248). Найдите угол CDK.
3)* Хорда параллельна диаметру окружности, другой
диаметр проходит через ее середину. Докажите, что эти
диаметры взаимно перпендикулярны.
3.3.	1) Точка О является общей серединой отрезков РМ и KN-
Докажите, что прямые РК и MN параллельны.
2)	Прямые АС и ВК параллельны, Z.SC4 =37°, ВС —
биссектриса угла АВР (рис. 249). Найдите угол КВА.
3)* Диаметр окружности делит две хорды пополам. Дока-
жите, что эти хорды параллельны.
3.4.	1) На прямой а расположены стороны АС и треуголь-
ников АВС и Д151С| (вершины В и Вх находятся по одну
сторону от а), АВ = АХВ{, АС = А\СЪ ВС = В\СХ. Докажите,
что АВЦА^.
2) Прямые АС и ВК параллельны, ZC4B = 88°, ВС —
биссектриса угла АВК (рис. 250). Найдите угол АСВ.
3)* Даны две параллельные хорды окружности. Диаметр
делит одну из них пополам. Докажите, что и вторая хорда
делится этим диаметром пополам.
Задание 4
СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА. СООТНОШЕНИЕ
МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА
4.1.	1) Треугольник АВС равнобедренный (АВ=АС), Z.ABC =
= 20° (рис. 251). Найдите угол DCF.
2)	Точка D лежит на стороне АС треугольника АВС,
2_BDA=40°. Докажите, что BC>BD. Может ли угол
С быть равным 41°, 40°, 39°? Ответ обоснуйте.
3)* В треугольнике КАС Z_KAC=\№, Z_AKC = 2W,
D£KC, Z-DAC = 60°, DC=\2 см. Найдите периметр тре-
угольника ADC.
4.2.	1) Треугольник АВС равнобедренный (АВ = ВС), Z_DCE =
= 40° (рис. 252). Найдите угол АВС.
149
Рис. 251
2)	Точка М лежит на стороне ED треугольника FED, в ко-
тором угол Е тупой, Z-FMD= 100°. Докажите, что FE>ME.
Может ли угол D быть равен 79°, 80°, 81 °? Ответ обоснуйте.
3)* В треугольнике MOP Z-OMP=\QQ, /_МРО = £№,
К£МР, Z.Af(M = 50°, OP = 8 см. Найдите периметр тре-
угольника ОКР.
4.3.	1) Треугольник АВС равнобедренный (АВ = ВС), zLDBE =
= 50° (рис. 253). Найдите угол ВСА.
2)	Точка F лежит на стороне КЕ треугольника КСЕ,
ZLCFE = 1QQ. Докажите, что KC>CF, Может ли угол
быть равен 71°, 70°, 69°? Ответ обоснуйте.
3)* В треугольнике ДВС Z4SC = 50°, О£ВС, Z ВДВ =10°,
2ВДС = 6О°, ДО = 7 см. Найдите периметр треугольни-
ка ADC.
4.4.	1) На рисунке 254 треугольник РТК равнобедренный
(РТ = КТ), АТКР = 40°. Найдите угол MTN.
2) Точка М лежит на стороне AM треугольника АРМ,
Z_ANP=\Q§°, Z_NPM = 60°. Докажите, что MN<ZPM. Мо-
жет ли угол А быть равным 74°, 75°, 76°? Ответ обоснуйте.
3)* В треугольнике ABC Z_BAC=\00°, Z_ABC = 20°.
К£ВС, Z_AKB=i20°. Периметр треугольника АКС равен
39 см. Найдите АК.
150
Задание 5
СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
5.1.	1) Дано: ДОХ DC, ВС A DC, 0D = ОС (рис. 255). Докажите,
что АО = ВО.
2)	В прямоугольном треугольнике ABC (ZC=90°) ZB = 60°,
ДС= 10 см. Найдите расстояние от вершины С до прямой АВ,
3)* СМ — медиана прямоугольного треугольника АВС
(ZC = 90°), BK-LMC, МК = КС. Найдите углы треуголь-
ника АМС.
5.2.	1) Дано: АРКО = AMТО = 90°, РО = ОМ (рис. 256). Дока-
жите, что РК = МТ.
2)	В прямоугольном треугольнике ABC (ZC=90°) ZB=60°.
Расстояние от вершины С до АВ равно 7 см. Найдите АС.
3)* BE — высота равнобедренного треугольника АВС
(АВ = ВС), ЕКААВ, ААЕК= АВЕК. Найдите углы тре-
угольника АВС.
5.3.	1) Дано: ДВХВВ, CDABD, ABAD = ABCD (рис. 257).
Докажите, что AD = BC.
2)	В прямоугольном треугольнике ABC (ZC = 90°)
СКААВ, ААСК = 60°, АС = 28 см. Найдите расстояние
от вершины С до гипотенузы.
3)* РО — высота равнобедренного треугольника ЕРТ
(ЕР = РТ), ОМ — медиана треугольника EOP, РКАМО,
АМРК= АОРК. Найдите углы треугольника ЕРТ.
5.4.	1) Дано: A BAD = A BCD = 90°, ACBD= AADB (рис. 258).
Докажите, что AB = CD.
151
2) В прямоугольном треугольнике ABC (Z.C = 90°)
СЕ .LAB, С£=14 см, 21ДСЕ = 60о. Найдите расстояние от
вершины А до катета ВС.
3)* СЕ — медиана равнобедренного треугольника АСВ
(АС=СВ), ЕТ Л_АС и АТ = ТС. Найдите углы треугольни-
ка ВЕС.
Задание 6
МНОГОУГОЛЬНИКИ
6.1.	1) Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке
О. Найдите углы треугольника COD, если Z.4DS = 40°.
2) В параллелограмме ABCD биссектриса угла С пересе-
кает сторону АВ в точке М.
а)	Докажите, что треугольник СВМ равнобедренный.
б)	Найдите периметр параллелограмма, если AM = 3,7 дм,
AfB = 5,9 дм.
3)	Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в
точке О, Р — середина отрезка ОВ, К — середина отрезка
OD. Докажите, что АРСК — параллелограмм.
4)* Постройте ромб по диагонали и перпендикуляру, про-
веденному из точки пересечения диагоналей к прямой, со-
держащей сторону ромба.
6.2.	1) В ромбе ABCD Z-BAC: Z-ABD=\:2. Найдите углы ром-
ба.
2)	На стороне ВС параллелограмма ABCD взята точка
Е так, что АВ —BE.
а)	Докажите, что АЕ — биссектриса угла А параллело-
грамма.
б)	Найдите периметр параллелограмма, если СО = 6 см,
£С = 8,5 см.
3)	На сторонах АВ и CD параллелограмма ABCD взяты
точки Af и К соответственно, ДА! = А!В, CK=KD. Докажи-
те, что MBKD — параллелограмм.
4)* Постройте прямоугольник по стороне и углу между
диагоналями, противолежащему этой стороне.
6.3.	1) В ромбе ДВСО Z_BAD*. Z_ABC= 1:5. Найдите угол ВАС
и угол ABD.
2)	В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла
В, которая пересекает сторону AD в точке Af.
а)	Докажите, что треугольник 4BAf равнобедренный.
б)	Найдите периметр параллелограмма, если ДА! = 4,5 см,
ОА! = 2,5 см.
3)	Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересека-
ет сторону ВС в точке К, а биссектриса угла С пересекает
сторону AD в точке А!. Докажите, что АКСМ — паралле-
лограмм.
152
4)* Постройте прямоугольник по стороне и перпендикуля-
ру, проведенному из вершины прямоугольника к его диа-
гонали.
6.4.	1) Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке
О. Найдите углы треугольника AOD, если Z. COD = 50°.
2) На стороне AD параллелограмма ABCD взята точка
М так, что DM = DC.
а)	Докажите, что СМ — биссектриса угла С параллело-
грамма.
б)	Найдите периметр параллелограмма, если ДВ = 8,5 см,
ДЛ4 = 3,5 см.
3) АС — диагональ параллелограмма ABCD, Биссектриса
угла ВАС пересекает сторону ВС в точке К, а биссектриса
угла ACD пересекает сторону AD в точке Р. Докажите,
что АРСК — параллелограмм.
4)* Постройте ромб по диагонали и углу ромба, противо-
лежащему этой диагонали.
Задание 7
ПЛОЩАДИ
7.1.	1) Смежные стороны параллелограмма равны 52 и 30 см, а
острый угол равен 30°. Найдите площадь параллелограмма.
2) Вычислите площадь трапеции ABCD с основаниями AD
и ВС, если ДО = 24 см, ВС= 16 см, Z4=45°, ZD = 90°.
3) Дан треугольник АВС. На стороне АС отметьте точку
К так, чтобы площадь треугольника АВК была вдвое боль-
ше площади треугольника ВКС.
4)* Высота равностороннего треугольника равна 6 см.
Найдите сумму расстояний от произвольной точки, взятой
внутри этого треугольника, до его сторон.
7.2.	1) Высота В К, проведенная к стороне AD параллелограмма
ABCD, делит эту сторону на два отрезка А К = 7 см, KD =
= 15 см. Найдите площадь параллелограмма, если Z-Д =45°.
2) Вычислите площадь трапеции ABCD с основаниями AD
и ВС, если ВС= 13 см, ДО = 27 см, CD= 10 см, Z.O = 30°.
3) Дан треугольник МКР. На стороне МК отметьте точку
Т так, чтобы площадь треугольника МТР была втрое мень-
ше площади треугольника МКР.
4)* В разностороннем треугольнике большая сторона состав-
ляет 0,75 от суммы двух других. Точка Af, принадлежащая
этой стороне, является концом биссектрисы треугольника.
Найдите расстояние от точки Af до меньшей стороны тре-
угольника, если меньшая высота треугольника равна 4 см.
7.3.	1) В треугольнике ДВС высоты АА{ и ВВ{ равны соответст-
венно 5 и 7 см, ВС = 21 см. Найдите ДС.
153
2) В трапеции ABCD угол BAD прямой. Диагональ АС рав-
на боковой стороне CD и составляет с ней угол 90°. Высота
трапеции СК равна 6 см. Найдите площадь трапеции.
3) Постройте параллелограмм, имеющий такую же пло-
щадь, как данный треугольник.
4)* В выпуклом четырехугольнике ABCD проведены диа-
гонали. Известно, что площади треугольников ABD, ACD,
BCD равны. Докажите, что данный четырехугольник яв-
ляется параллелограммом.
7.4.	1) В треугольнике МРК МР=]А см, РК = 21 см, высота
/</<! равна 18 см. Найдите высоту ММХ.
2) В трапеции ABCD Z_4=90°. Высота СК составляет с
диагональю АС и боковой стороной CD углы, равные 45°,
Д/( = 8 см. Найдите площадь трапеции.
3) Постройте треугольник, имеющий такую же площадь,
как данный параллелограмм.
4)* В выпуклом четырехугольнике ABCD проведены диаго-
нали. Известно, что площади треугольников ABD и ACD рав-
ны, а площади треугольников ACD и BCD не равны. Дока-
жите, что данный четырехугольник является трапецией.
Задание 8
ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
8.1.	1) На рисунке 259 ДВ = 7,5, ВС = 10,5, ВЕ = 2,5, ВО = 3,5.
а) Докажите, что прямые DE и АС параллельны.
б)	Найдите отношение периметров и площадей треуголь-
ников АВС и EBD,
2)	АС — диагональ прямоугольника ABCD. Основание пер-
пендикуляра ВК, проведенного к этой диагонали, делит ее
на части 3 и 9 см. Найдите площадь прямоугольника.
3)* Диагональ трапеции с основаниями 4 и 16 см делит ее
на два подобных треугольника. Найдите длину этой диа-
гонали.
8.2.	1) ABCD — трапеция, ЛК:О = 2:7 (рис. 260).
а)	Докажите, что РК-ВК — АК-КС.
б)	Найдите отношение площадей и периметров треуголь-
ников АРК и КВС.
Рис. 259
154
о
Рис. 261
2)	Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О,
ОК — перпендикуляр к стороне АВ, ОК = 4\{3 см. Най-
дите периметр ромба, если О В = 8 см.
3)* В выпуклом четырехугольнике ABCD АВ = Ъ см,
ВС = 9 см, CD= 10 см, ОД = 25 см, ДС = 15 см. Докажите,
что четырехугольник ABCD — трапеция.
8.3.	1) Прямые MN и CD параллельны (рис. 261).
а)	Докажите, что OM-OD — OC-ON.
б)	Найдите отношение площадей и периметров треуголь-
ников OMN и OCD, если ОМ = 2 см, МС = 3 см.
2)	ABCD — прямоугольник, OD — высота треугольника
ACD. Найдите периметр прямоугольника, если 00 = 4,8 см,
ДО = 3,6 см.
3)* Диагональ трапеции, равная 6 см, делит ее на два по-
добных треугольника. Найдите меньшее основание, если
большее равно 12 см.
8.4.	1) На рисунке 262 ОМ = 13,5 см, O^ = 27 см, ON = 5,5 см,
0Р=11 см.
а)	Докажите, что прямые MN и КР параллельны.
б)	Найдите отношение площадей и периметров треуголь-
ников 0MN и ОКР-
2) Найдите площадь ромба ABCD, если основание пер-
пендикуляра, проведенного из точки пересечения диагона-
лей до одной из сторон, делит ее на отрезки 2 и 8 см.
3)* Докажите, что прямые АВ и CD параллельны, если
четырехугольник ABCD выпуклый и ДВ = 9 см, ВС = 8 см,
С0= 16 см, ДО = 6 см, В0= 12 см.
Задание 9
СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ
ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
9.1.	1) В треугольнике ЛВС Z. С = 90°, ВС = 7,9, ДС= 16,3. Най-
дите неизвестные элементы этого треугольника.
2)	В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна
15 см, а угол при вершине 140°. Найдите основание тре-
угольника.
155
3)	Сторона ромба равна а, а его острый угол а. Найдите
диагонали ромба.
4)	* В остроугольном треугольнике АВС найдите отноше-
ние синусов углов А и В, если ВС = а, АС = Ь.
9.2.	1) В треугольнике МКЕ =	КЕ=\2,5, КМ = 10,24.
Найдите неизвестные элементы этого треугольника.
2)	.В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на
основание, равна 17 см, а угол при вершине 130°. Найдите
основание треугольника.
3)	Острый угол ромба равен а, а его большая диагональ
равна d. Найдите сторону ромба и другую диагональ.
4)* В остроугольном треугольнике АВС найдите отноше-
ние сторон АВ и ВС, если синусы углов А и С равны соот-
ветственно р и k.
9.3.	1) В треугольнике ЕРК ЛР = 90°, EP = 0,2Q, РК=0,195.
Найдите неизвестные элементы этого треугольника.
2)	В равнобедренном треугольнике основание равно 28 см,
а угол при вершине 70°. Найдите длину боковой стороны.
3) В прямоугольной трапеции основания равны а и 2а, ост-
рый угол равен а. Найдите неизвестные стороны трапеции.
4)* В треугольнике АВС угол В тупой. Синус внешнего
угла при вершине В равен х, АВ = с. Найдите АС, если си-
нус угла А СВ равен у,
9.4.	1) В треугольнике PKD AK = Q0°, РК=\8,2, КО=14,9.
Найдите неизвестные элементы этого треугольника.
2) В равнобедренном треугольнике основание равно 24 см,
а угол при вершине 58°. Найдите высоту, опущенную на
основание треугольника.
3) В прямоугольной трапеции большая боковая сторона
равна меньшему основанию и равна а. Острый угол равен
а. Найдите неизвестные стороны трапеции.
4)* В треугольнике АВС угол С тупой. Синус угла В ра-
вен х, АС = Ь, АВ = с. Найдите синус внешнего угла тре-
угольника при вершине С.
Задание 10
ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ
10.1.	1) Окружность с центром О и радиусом R описана около
треугольника АВС. Найдите сторону АВ треугольника,
если /?=16 см, ZO/4B = 30°.
2)	С помощью циркуля и линейки постройте окружность,
вписанную в разносторонний треугольник.
3)	Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник,
стороны которого равны 16, 17 и 17 см.
156
4)* Периметр треугольника равен 20 см. Может ли ради-
ус описанной около него окружности быть равен 3 см?
10.2.	1) Треугольник АВС вписан в окружность с центром О.
Найдите радиус окружности, если ДС=24 см, Z.СОА =90°.
2)	С помощью циркуля и линейки постройте треугольник,
описанный около данной окружности.
3)	В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна
10 см, а медиана, проведенная к основанию, 8 см. Найдите
радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
4)* Радиус окружности, описанной около треугольника,
равен 5 см. Может ли периметр треугольника быть равен
30 см?
10.3.	1) В треугольнике ABC Z4=50°, ZC = 70°, О — центр
вписанной в треугольник окружности, OS = 10 см. Найди-
те радиус окружности, вписанной в треугольник.
2)	С помощью циркуля и линейки постройте окружность,
описанную около данного тупоугольного треугольника.
3) В некотором остроугольном треугольнике радиус опи-
санной окружности равен одной из сторон. Найдите гра-
дусную меру угла, противолежащего этой стороне.
4)* Периметр треугольника равен 30 см. Может ли ради-
ус окружности, вписанной в этот треугольник, быть рав-
ным 5 см?
10.4.	1) В треугольнике ABC Z4 = 120°. Радиус окружности,
вписанной в треугольник, равен 10 см. Найдите расстоя-
ние от центра этой окружности до вершины А.
2)	С помощью циркуля и линейки постройте окружность,
описанную около данного остроугольного треугольника.
3)	В некотором остроугольном треугольнике одна из сто-
рон больше радиуса описанной окружности в л/2 раз.
Найдите угол, противолежащий данной стороне.
4)* Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен
8,4 см. Может ли периметр этого треугольника быть рав-
ным 50 см?
Задание 11
ВЕКТОРЫ
11.1.	1) Начертите два неколлинеарных вектора k и р, начала
которых не совпадают. Постройте векторы, равные:
a) p-k; б) р+1
2)	В треугольнике АВС медианы пересекаются в точке О,
Ai — середина отрезка ВС.
а)	Выразите вектор ОАХ через векторы О В и ОС.
157
б)	Возможно ли равенство хААх = АхО, где х — некоторое
число? Если возможно, найдите х.
3)* Точка М лежит на стороне АС треугольника ЛВС,
ZXBC= Z4A1B = 90°, BAf = 2, ДЛ4 = 4, ~АМ = хСМ. Найди-
те х.
11.2.	1) Начертите два неколлинеарных вектора аир. Построй-
те векторы, равные:
а)	—а + р\
б)	0,5р + а.
2)	В треугольнике АВС точка М принадлежит стороне ДС,
причем АМ:МС= 1:2.
а)	Выразите вектор BAf через векторы ВС и АС.
б)	Существует ли такое число х, что выполняется равен-
ство хМВ = СА? Ответ обоснуйте.
3)* Точка М принадлежит стороне АС треугольника ЛВС,
ДЛ!=1, ДВ = 5, ЛАВС= ЛАМВ = 90°, АМ = хСМ. Най-
дите х.
11.3.	1) Начертите два неколлинеарных вектора х и у. Построй-
те векторы, равные:
а)	*+#; _
б)	х — 0,5у.
2)	Точка О — середина стороны ИР квадрата МНРС.
а)	Выразите вектор СО через векторы СМ и СР.
б)	Возможно ли равенство НО = уРРП Если возможно, то
найдите у.
3)* Точка Af лежит на стороне АС треугольника ЛВС,
Z_ABM = Z-CBM, АВ = 3, ВС = 2. Выразите вектор МА
через вектор МС.
11.4.	1) Начертите два неколлинеарных вектора а и 6, отложен-
ные от разных точек. Постройте векторы, равные:
а)	—а — Ь\
б)	0,5а+1
2)	Точка О принадлежит стороне РК ромба МИРК, при-
чем ОР:ОК=1:2.
а)	Выразите вектор МО через векторы МН и PH.
б)	Существует ли такое число х, что выполняется равен-
ство МО = хРК? Ответ обоснуйте.
3)* Точка Af принадлежит стороне АС треугольника АВС
и равноудалена от сторон угла ЛВС, АВ = 4, ВС = 5. До-
-------------->-	4--->-
кажите, что АМ=— МС.
о
158
Задание 12
МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ
12.1.	1) Прямая задана уравнением 2# —Зх4-6 = 0. Запишите
координаты каких-либо двух точек А и В, принадлежащих
данной прямой, и координаты середины отрезка АВ.
2)	Напишите уравнение окружности с центром А ( — 3; 2),
проходящей через точку В (0; — 2).
3)	Докажите, что четырехугольник ABCD. заданный коор-
динатами своих вершин А (1; 3), В (3; 1), С (6; 4), D (4; 6),—
прямоугольник.
4)* Определите, имеют ли общие точки линии, заданные
уравнениями (х — 3)2-|-(у — 2)2 = 9 и (х—9)2-|-(f/— 10)2 = 4.
12.2.	1) Найдите длину медианы, проведенной из вершины
Р треугольника НРМ. если точки М, Р. Н имеют координа-
ты (1; 11), (8; 2), ( — 15; 9) соответственно.
2)	Установите, принадлежит ли точка 4(1; д/З^) окружно-
сти с центром (2; 0) и радиусом, равным 2.
3)	Докажите, что параллелограмм ABCD. заданный коор-
динатами своих вершин А (4; 1), В (0; 4), С (— 3; 0), D (1; — 3),
является квадратом.
4)* Определите, сколько общих точек имеют линии
U + 4)2 + (z/ + 3)2 = 9 и (х+1)24-(//-1)2 = 4.
12.3.	1) Найдите координаты концов какого-либо отрезка, лежаще-
го на прямой Зг/-|-5х—15 = 0, и координаты его середины.
2) Напишите уравнение окружности с центром А (2; 1),
проходящей через точку В (5; 5).
3)	Докажите, что четырехугольник ABCD. заданный коор-
динатами своих вершин 4(1; 1), В (4; 2), С (5; 5), D (2; 4),—
ромб.
4)* Используя метод координат, докажите, что система
уравнений
f(x-l)2 + (z/-2)2 = 4,
l(x-9)2 + (z/-8)2 = 64
имеет только одно решение.
12.4.	1) Вершины треугольника АВС имеют координаты 4(11; 1),
В (2; 8), С (9; —15). Найдите длину медианы, проведен-
ной из вершины В.
2) Установите, принадлежит ли точка с координатами (1; 7)
окружности с центром (0; 3) и радиусом, равным 3.
3) В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в
точке О. Координаты точек 4, В. О равны (1; 1), (— 1; 7),
(3; 3) соответственно. Докажите, что данный параллело-
грамм является ромбом.
159
4)* Используя метод координат, докажите, что система
уравнений
(x-7)2 + (z/-3)2=16,
(x-2)2 + (z/ + 9)2 = 49
не имеет решений.
Задание 13
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА
13.1.	1) В треугольнике ABC Z4=40°, ZB = 35°, ДС = 0,57.
С помощью микрокалькулятора вычислите ВС.
2)	Две стороны треугольника равны 27,4 и 16,3, а угол
между ними равен 140°. С помощью микрокалькулятора
найдите третью сторону треугольника.
3)	Определите вид треугольника, если его стороны равны
11, 12 и 15 см.
4)	* В треугольнике АВС АВ = ВС, ВАС = 2а, АЕ— бис-
сектриса, ВЕ = а. Найдите площадь треугольника АВС.
13.2.	1) В треугольнике МИК Aftf=12,5, ZA4 = 25°, ZK = 50°.
С помощью микрокалькулятора вычислите МН.
2)	Две стороны треугольника равны 0,72 и 0,61, а угол
между ними равен 130°. С помощью микрокалькулятора
найдите третью сторону треугольника.
3)	Определите вид треугольника, если его стороны равны
12, 16 и 21 см.
4)	* В ромбе ABCD АК — биссектриса треугольника ВАС,
Z_BAD = 4<p, ВК = Ь. Найдите площадь ромба.
13.3.	1) В треугольнике АВС ВС = 0,75, ZB = 40°, Z.C = 25°.
С помощью микрокалькулятора вычислите АС.
2)	В треугольнике две стороны равны 12,4 и 15,7, а угол
между ними равен 160°. Используя микрокалькулятор,
найдите третью сторону треугольника.
3)	Определите вид треугольника, если его стороны равны
8, 12 и 14 см.
4)	* В равнобедренном треугольнике CDE (CD = DE)
ZLDCE = ^, CM — биссектриса. Найдите площадь треуголь-
ника CDM, если CD = b.
13.4.	1) В треугольнике MEF МЕ=\Ъ,7, Z.Af = 42°, Z.F = 37°.
С помощью микрокалькулятора вычислите MF.
2) В треугольнике две стороны равны 0,36 и 0,17, а угол
между ними равен 155°. Используя микрокалькулятор,
найдите третью сторону треугольника.
3) Определите вид треугольника, если его стороны равны
7, 11 и 14 см.
4)* В ромбе ABCD АР — биссектриса треугольника CAD,
zLBAD = 2a, PD = a. Найдите площадь ромба.
160
Задание 14
ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДЬ КРУГА
14.1.	1) Найдите площадь круга, вписанного в квадрат с пло-
щадью, равной 72 дм2.
2)	Вычислите градусную меру дуги радиуса 10 см, если ее
длина равна 5л см.
3)	Периметр правильного треугольника, вписанного в
окружность, равен 45 см. Найдите длину стороны правиль-
ного шестиугольника, вписанного в эту же окружность.
4)* На сторонах правильного восьмиугольника AiA2...A8
вне его построены квадраты. Докажите, что многоуголь-
ник, образованный вершинами этих квадратов, отличных
от Ah Д2, Д3, ..., Д8, не является правильным.
14.2.	1) Найдите длину окружности, вписанной в правильный
шестиугольник со стороной 16 см.
2)	Вычислите градусную меру сектора круга радиуса
18 см, если площадь этого сектора 18л смй.
3)	Периметр квадрата, вписанного в окружность, равен
18 см. Найдите сторону правильного треугольника, впи-
санного в ту же окружность.
4)	* На сторонах правильного пятиугольника ABCDE вне
его построены квадраты. Докажите, что многоугольник,
образованный вершинами этих квадратов, отличных от Д,
В, С, Z), Е, не является правильным.
14.3.	1) Найдите площадь квадрата, если площадь вписанного
в него круга равна 144л см2.
2)	Вычислите длину дуги радиуса 8 см, если ее градусная
мера равна 150°.
3)	Длина стороны правильного шестиугольника, вписан-
ного в окружность, равна 7 см. Найдите периметр пра-
вильного треугольника, вписанного в ту же окружность.
4)* На сторонах правильного шестиугольника ABCDET
вне его построены квадраты. Докажите, что многоуголь-
ник, образованный вершинами этих квадратов, отличных
от Д, В, С, Z), £, Г, является правильным.
14.4.	1) Длина окружности, вписанной в правильный шести-
угольник, равна 12 дм. Найдите площадь шестиугольника.
2) Вычислите площадь кругового сектора, если градусная
мера его дуги равна 120°, а радиус круга равен 12 см.
3) Длина стороны правильного треугольника, вписанного
в окружность, равна 8 см. Найдите периметр квадрата,
вписанного в ту же окружность.
4)* На сторонах правильного девятиугольника AiA2...A9
вне его построены квадраты. Докажите, что многоуголь-
ник, образованный вершинами этих квадратов, отличных
от Ди Д2,	, Д9, не является правильным.
6 Зив Б Г., 7—11 кл	161
Задание 15
ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ КУРСА ПЛАНИМЕТРИИ
15.1.	В прямоугольном треугольнике ABC (Z.C = 90°) CD —
высота, ДС = 3 см, СО = 2,4 см.
1)	Найдите AD.
2)	Найдите sin4 и tg DCA.
3)	Докажите подобие треугольников АВС и ADC, найдите
неизвестные стороны треугольника АВС и его площадь.
4)	Выразите вектор CD через векторы СВ и ВА.
5)	С помощью циркуля и линейки постройте окружность,
описанную около треугольника АВС, и найдите площадь
круга.
6)* Введите систему координат так, чтобы точка С была
началбм координат, а точка А принадлежала оси абсцисс.
Запишите уравнение окружности, вписанной в треуголь-
ник АВС, в этой системе координат. (Рассмотрите любой
из возможных случаев.)
15.2.	В параллелограмме ABCD АВ —6 см, AD = 8 см и
Z BAD = 60°.
1)	Найдите длину высоты ВК, проведенной из вершины
В к стороне AD, и площадь параллелограмма.
2)	Найдите длину большей диагонали параллелограмма.
3)	Определите вид треугольника ECD, если точка Е при-
надлежит стороне ВС и луч DE — биссектриса угла ADC.
4)	Выразите вектор DE через векторы CD и СВ.
5)	С помощью циркуля и линейки постройте высоту из
вершины В к стороне CD.
6)* Введите систему координат так, чтобы точка К была
началом координат, а точка А принадлежала оси абсцисс.
Запишите уравнение окружности, описанной около тре-
угольника KAD, в этой системе координат. (Рассмотрите
любой >из возможных случаев.)
15.3.	В равнобедренной трапеции .ABCD основания AD и ВС со-
ответственно равны 10 и 6 см, Z4=30°.
1)	Найдите высоту BE и площадь трапеции.
2)	Докажите подобие треугольников AOD и ВОС и найди-
те отношение их периметров, если О — точка пересечения
диагоналей трапеции.
3)	Найдите площадь треугольника ACD.
4)	Выразите вектор BE через векторы АВ и AD.
5)	При помощи циркуля и линейки постройте среднюю
линию трапеции ABCD.
6)* Введите систему координат так, чтобы точка Е была
началом координат, а точка В принадлежала оси ординат.
Запишите уравнение окружности, описанной около тре-
162
угольника АВЕ в этой системе координат. (Рассмотрите
любой из возможных случаев.)
15.4.	В равнобедренном треугольнике АВС АВ=*ВС = Ь см,
ДС = 6 см, BD и АК — высоты.
1)	Найдите BD и площадь треугольника АВС.
2)	Найдите cos ВАС и tg4B£>.
3)	Докажите, что треугольники АКС и BDC подобны, и
найдите длину СК.
4)	Выразите вектор АК через векторы АС и СВ.
5)	С помощью циркуля и линейки постройте окружность,
вписанную в треугольник ЛВС, и найдите ее длину. (Чер-
теж к задаче можно повторить заново.)
6)* Введите систему координат так, чтобы точка D была
началом координат, а точка В принадлежала оси ординат.
Запишите уравнение прямой АВ в этой системе коорди-
нат. (Рассмотрите любой из возможных случаев.)
Задание 16
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ.
ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
16.1.	1) Даны трапеция ABCD с основаниями AD и ВС и точка
Л4, не лежащая в плоскости этой трапеции. Докажите, что
прямая AD параллельна плоскости треугольника ВМС.
2) Прямая МК, не лежащая в плоскости ЛВС, параллель-
на стороне АВ параллелограмма ABCD. Выясните взаим-
ное расположение прямых МК и AD и найдите угол меж-
ду ними, если угол ADC равен 130°.	« . .
3)* Точка М не лежит ни на одной из двух скрещивающих-
ся прямых. Докажите, что через эту точку проходит пло-
скость, параллельная каждой из этих прямых, и притом
только одна.
16.2.	1) Даны прямоугольник ABCD и точка Af, не лежащая в
плоскости этого прямоугольника. Докажите, что прямая
CD параллельна плоскости АВМ.
2) Прямая КМ параллельна стороне АВ треугольника
АВС и не лежит в его плоскости. Выясните взаимное рас-
положение прямых МК и АС и найдите угол между ними,
если угол ВАС равен 145°.
3)* Прямая а параллельна некоторой плоскости. Докажи-
те, что в этой плоскости можно провести прямую, парал-
лельную прямой а. Сколько таких прямых можно провести?
16.3.	1) Середины сторон СК и ЕК треугольника СЕК лежат
в плоскости а, а сторона СЕ не лежит в этой плоскости.
Докажите, что прямая СЕ параллельна плоскости а.
2)	Прямая р, не лежащая в плоскости АВС, параллельна
163
основанию AD трапеции ABCD. Выясните взаимное рас-
положение прямых р и CD и найдите угол между ними,
если угол BCD равен 125°.
3)* Прямая а и параллельная ей плоскость а не прохо-
дят через точку М. Докажите, что через точку М проходит
прямая, параллельная прямой а и плоскости а, и притом
только одна.
16.4.	1) Точки М и Н — середины боковых сторон АВ и CD тра-
пеции ABCD. Точка Р не лежит в плоскости этой трапеции.
Докажите, что прямая ВС параллельна плоскости МРИ.
2) Прямая р не лежит в плоскости АВС и параллельна пря-
мой АВ. Выясните взаимное расположение прямых р и ВС и
найдите угол между ними, если угол АВС равен 115°.
3)* Даны точки Д, В, С, О, не лежащие в одной плоско-
сти. Докажите, что через точку D прбходит хотя бы одна пря-
мая, параллельная плоскости АВС и скрещивающаяся с
прямой АВ.
Задание 17
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
17.1.	1) В тетраэдре ABCD точки Af, К и Р являются середина-
ми ребер АВ, ВС и BD. Докажите, что плоскость МКР па-
раллельна плоскости ADC. Вычислите площадь треуголь-
ника МКР, если площадь треугольника ADC равна 48 см2.
2) Дан параллелепипед ABCDAXBXCXDX. Точка Af лежит в
плоскости грани АВВХАХ, и М£АВ. Постройте сечение па-
раллелепипеда плоскостью, проходящей через точку Af и
параллельной плоскости АВС.
3)	Дан параллелограмм ABCD. Точка Е не лежит в плос-
кости BCD. Можно ли через прямую ЕА и точки В и
С провести плоскость?
4)* Точка Р лежит на ребре АВ параллелепипеда
ABCDAXBXCXDX. Постройте сечение параллелепипеда плос-
костью, проходящей через точку Р и параллельной плоско-
сти AXDXC.
17.2.	1) В тетраэдре DABC точки К, Е и М являются середина-,
ми ребер AC, DC, ВС. Докажите, что плоскость КЕМ па-
раллельна плоскости ADB. Вычислите площадь треуголь-
ника ADB, если площадь треугольника КЕМ равна 27 см2.
2) Дан параллелепипед ABCDAXBXCXDX. Точка Р лежит в
плоскости грани ВССХВХ и не принадлежит ребру ССХ. По-
стройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходя-
щей через точку Р и параллельной плоскости CXCD.
3)	Даны ромб ABCD и точка F, не лежащая в плоскости
ACD. Как расположены прямая BD и плоскость ДС/7?
164
4)* Точка Л! лежит на ребре ААХ параллелепипеда
ABCDAXBXCXDX. Постройте сечение параллелепипеда плос-
костью, проходящей через точку М и параллельной плос-
кости BjCjD.
17.3.	1) В параллелепипеде ABCDAXBXCXDX точка М — середина
ребра ДЛр Найдите площадь сечения параллелепипеда пло-
скостью, проходящей через точку М параллельно плоскости
если площадь треугольника ABXDX равна 56 см2.
2)	В тетраэдре DABC точки Af, Р, К — середины ребер
AD, BD и ВС соответственно. Постройте сечение паралле-
лепипеда плоскостью МРК.
3)	В параллелепипеде ABCDAXBXCXDX точки М и К — сере-
дины ребер АВ и СС, соответственно. Можно ли провести
плоскость через точки К, Сх, М и точку пересечения диаго-
налей грани ААХВХВ?
4)* В тетраэдре DABC DDX — медиана грани ABD. Точки
Е и Р — середины отрезков ВС и DDX соответственно. Точка
К принадлежит ребру ОС, причем DK'.КС = 4:1. Постройте
сечение тетраэдра плоскостью РКЕ.
17.4.	1) В тетраэдре DABC точка Af — середина ребра AD.
Определите площадь грани DBC, если площадь сечения
тетраэдра плоскостью, проходящей через точку Af парал-
лельно этой грани, равна 31 см2.
2) В параллелепипеде ABCDAXBXCXDX точки Af, Н и Р —
середины ребер BiCb ССХ и DDX соответственно. Построй-
те сечение параллелепипеда плоскостью МРИ.
3) В параллелепипеде ABCDAXBXCXDX точка Е — середина
ребра АВ. Определите взаимное расположение прямой
АВХ и плоскости ССХЕ.
4)* В тетраэдре DABC М — точка пересечения медиан грани
ABD, К — середина ребра DC, точка Е лежит на ребре АС,
АЕ:ЕС=\ :4. Постройте сечение тетраэдра плоскостью КМЕ.
Задание 18
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
18.1.	1) Через вершину К треугольника DKP проведена прямая
КМ, перпендикулярная плоскости этого треугольника. Из-
вестно, что КМ = 15 см, DP=\2 см, ОК = /^=Ю см.
Найдите расстояние от точки Af до прямой DP.
2)	Дан прямоугольный параллелепипед ABCDAXBXCXDX.
Найдите двугранный угол BXADB, если известно, что четырех-
угольник ABCD — квадрат, AC=6^j2 см, АВх = 4у/3 см.
3)* Дан прямоугольный параллелепипед, угол между пря-
мыми 4jC и BD прямой. Определите вид четырехугольника
ABCD.
165
18.2.	1) Через вершину прямого угла С равнобедренного тре-
угольника CDE проведена прямая СР, перпендикулярная
к его плоскости. Найдите расстояние от точки Р до пря-
мой £)£, если СР = 8 см, СЕ=15д/2^ см.
2)	Дан прямоугольный параллелепипед ABCDAXBXCXDX.
Найдите двугранный угол ADCAX, если 4С=13 см,
DC==5 см, ААХ = 12У/3 см.
3)* Дан куб ABCDAXBXCXDX. Найдите угол между прямы-
ми ВХС и ДСР
18.3.	1) Через вершину К треугольника КМР проведена прямая
КЕ, перпендикулярная плоскости этого треугольника. Рас-
стояние от точки Е до прямой МР равно 2 д/41~ см. Найдите
КМ, если К£ = 8 см, МР = 2 д/2Г см, МК = КР.
2)	Дан прямоугольный параллелепипед ABCDAXBXCXDX.
Найдите двугранный угол CXADB, если BD = &y/2 см,
40 = 6 см, ААх = 2У/3 см.
3)* Дан куб ABCDAXBXCXDX. Найдите угол между прямы-
ми АХС и BD.
18.4.	1) Через вершину прямого угла равнобедренного треуголь-
ника МНК проведена прямая МР, перпендикулярная его
плоскости. Расстояние от точки Р до прямой НК равно
13 см, МН = 5У/2 см. Найдите РМ.
2) Дан прямоугольный параллелепипед ABCDAXBXCXDX.
Найдите двугранный угол CXADC, если 4С = 25 см,
40 = 4^21 см, 44j = 17 см.
3)* Дан прямоугольный параллелепипед ABCDAXBXCXDX,
угол между прямыми ВХС и DCX равен 60°, BXC = DCX.
Определите вид четырехугольника ВВХСХС.
Задание 19.
МНОГОГРАННИКИ
19.1.	1) Основанием прямой призмы ABCDAXBXCXDX является
параллелограмм ABCD со сторонами 4 и 8 см, Z.B4D = 60°.
Диагональ BXD призмы образует с плоскостью основания
угол 30°. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
2) Высота основания правильной треугольной пирамиды рав-
на 5 см, а двугранный угол при стороне основания равен 45°.
а) Найдите площадь поверхности пирамиды.
б)* Найдите расстояние от вершины основания до проти-
воположной боковой грани.
19.2.	1) Основанием прямой призмы ABCDAXBXCXDX является
параллелограмм со сторонами 2^/2 и 2 см, Z.4DC= 135°.
166
Диагональ АХС призмы образует с плоскостью основания
угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
2) Диагональ основания правильной четырехугольной пи-
рамиды равна 4^/2 см, а двугранный угол при стороне
основания равен 60°.
а) Найдите площадь поверхности пирамиды.
б)* Найдите расстояние от центра основания до боковой
грани.
19.3.	1) Основанием прямой призмы ABCDAXBXCXDX является
параллелограмм ABCD со сторонами 6 и 3 см и углом В,
равным 60°. Диагональ АСХ призмы образует с плоско-
стью основания угол 60°. Найдите площадь боковой по-
верхности призмы.
2) Сторона основания правильной треугольной пирамиды
равна 3 см, а двугранный угол при стороне основания ра-
вен 45°.
а) Найдите площадь поверхности пирамиды.
б)* Найдите расстояние от вершины основания до проти-
воположной боковой грани.
19.4.	1) Основанием прямой призмы ABCDAXBXCXDX является па-
раллелограмм ABCD со сторонами 2Д/з" и 2 см, Z-BCD =
= 150°. Диагональ BDX составляет с плоскостью основания
угол 45°. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
2) Высота правильной четырехугольной пирамиды равна
4 см, а двугранный угол при стороне основания равен 30°.
а) Найдите площадь поверхности пирамиды.
б)* Найдите расстояние от центра основания до боковой
грани.
Задание 20
ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
20.1. 1) Дан параллелепипед ABCDAXBXCXDX. Назовите один из
векторов, начало и конец которого являются вершинами
параллелепипеда, равный:
а) дХ + BC + DD^+CD; б) ~АВ—~ССХ.
2) Дан тетраэдр ABCD, Точка М — середина ребра ВС,
точка N — середина отрезка DM. Выразите вектор AN че-
рез векторы b=AB, с=АС, d = AD.
3) Дан параллелепипед ABCDAXBXCXDX. Медианы тре-
угольника ABD пересекаются в точке Р. Разложите век-
тор ВХР по векторам а = В1Л1, Ь = ВХСХ, с = ВхВ.
167
4)* Известно, что ОМ = 0,1 ОД + 0,20В + 0,70С. Докажи-
те, что точки Д, В, С и М лежат в одной плоскости.
20.2. 1) Дан параллелепипед ABCDAXBXCXDX. Назовите один из
векторов, начало и конец которого являются вершинами
параллелепипеда, равный:
а) В^ + ДВ + ВВ^ + В^Д; б) ~DC—~BBX.
2) Дан тетраэдр ABCD. Медианы треугольника BDC пере-
секаются в точке М, точка К — середина отрезка AM. Вы-
разите вектор В К через векторы b = AB, с = АС, d = AD.
3) Дан параллелепипед ABCDAXBXCXDX. Диагонали парал-
лелограмма AXBXCXDX пересекаются в точке Ох. Разложи-
те вектор АОХ по векторам а = ДВ, 6 = ДО, с=ААх.
4)* Известно, что OD = 2OA + 0,5ОВ—1,5ОС. Докажите,
что точки Д, В, С и D лежат в одной плоскости.
20.3. 1) Дан параллелепипед ABCDAXBXCXDX. Назовите один из
векторов, начало и конец которого являются вершинами
параллелепипеда, равный:
а) ВС-]-CXDX+А(Д +DXA।*, б) DXCX—АХВ.
2) Дан тетраэдр ABCD. Точка К — середина медианы DM
треугольника ADC. Выразите вектор ВК через векторы
а = ВД, с = ВС, d = BD.
3) Дан параллелепипед ABCDAXBXCXDX. Медианы тре-
угольника ACDX пересекаются в точке М. Выразите век-
тор ВМ через векторы ВД=а, ВВХ = Ь, ВС=с.
4)* Известно, что О А = 0,10Af + 0,50В + 0,40С. Докажи-
те, что точки Д, В, С и Af лежат в одной плоскости.
20.4. 1) Дан параллелепипед ABCDAXBXCXDX. Назовите один из
векторов, начало и конец которого являются вершинами
параллелепипеда, равный:
а) ЛВ + О^+СО + ОД; 6) AXDX—^C.
2) Дан тетраэдр ABCD. Медианы треугольника АВС пе-
ресекаются в точке К, точка Af — середина отрезка DK.
Выразите вектор AM через векторы DA =а, DB = b, DC = c.
3) Дан параллелепипед ABCDAXBXCXDX, точка О — сере-
дина отрезка ВХС. Выразите вектор АО через векторы
ДВ = й, ДО =2, ^Ах = а.
4)* Известно, что ОД = ОС+ 2,500— 2,50В. Докажите,
что точки Д, В, С и О лежат в одной плоскости.
168
Задание 21
МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ
21.1. 1) Даны точки Р(1; 0; 2), Н (1; д/3; 3), К(— 1; 0; 3),
М (— 1; — 1; 3). Найдите угол между векторами PH и КМ.
2) Найдите скалярное произведение b(a—2b), если |а|=2,
|ft| =4, угол между векторами а и ft равен 135°.
3) Длина ребра куба АВСЬЛ&С^ равна 2а, точка Р —
середина отрезка ВС. Найдите:
а) расстояние между серединами отрезков B{D и АР;
б) угол между прямыми BtD и АР.
4)* Дан вектор а{0; 2; 0). Найдите множество точек М,
" ► —►
для которых ОЛЬа = 0, если О — начало координат.
21.2.	1) Даны точки А (2; — 1; д/2), С(1; —2; 0), В(1; —3; 0),
0(2; —2; 0). Найдите угол между векторами СА и DB.
2) Длины векторов т и п равны 3 и 2, угол между ними
равен 150°. Найдите скалярное произведение п(т + п).
3) Длина ребра куба ABCDAXBXC{D{ равна 46, точка Е —
середина отрезка ВХВ. Найдите:
а) расстояние между серединами отрезков АЕ и BDf,
б) угол между прямыми АЕ и BDX.
4)* Даны векторы а {7; 0; 0} и 6{0; 0; 3}.
Найдите множество точек Af, для каждой из которых вы-
полняются условия ОМ>а = 0 и ОЛЬ 6 = 0, если О — нача-
ло координат.
21.3.	1) Даны точки Е (2; 0; 1), Af (3; д/3; О» ПЗ; 0; — 1),
К(3; — Г, — 1). Найдите угол между векторами ЕМ и F/C
2) Угол между векторами с и d равен 120°, |с| =3, |2|=5.
Найдите скалярное произведение (c — d)'d.
3) Дан куб ABCDAXBXCXDX с ребром, равным 4с, точка
F — середина отрезка DC. Найдите:
а)	расстояние между серединами отрезков АХС и AF;
б)	угол между прямыми 4jC и AF.
4)* Дан вектор с {0; 0; — 5). Найдите множество точек Р,
для которых выполняется условие с«ОР = 0, если О — на-
чало координат.	_
21.4.	1) Даны точки К(0; —2; 1), Е (\J2 ; — 1; 2), 0(0; —2; 2),
Р(0; —3; 1). Найдите угол между векторами КЕ и PD.
2) Длины векторов а и р равны соответственно 4 и 3, угол
между ними равен 150°. Найдите скалярное произведение
(р — а) а.
3) Длина ребра куба ABCDAXBXCXDX равна 2с, точка М —
середина ребра ВХСХ. Найдите:
169
а) расстояние между серединами отрезков АХМ и BDX\
б) угол между прямыми АХМ и BDX.
4)* Даны векторы с {0; — 2; 0} и ft {0; 0; 5}. Найдите мно-
жество точек Е, для каждой из которых выполняются усло-
вия OE’ft = 0, ОЕ’С = 0, если О — начало координат.
Задание 22
ЦИЛИНДР. КОНУС. ШАР
22.1.	1) Все стороны квадрата с диагональю, равной 8^/2 см,
касаются шара. Найдите расстояние от центра шара до
плоскости квадрата, если радиус шара равен 5 см.
2) Через вершину конуса проведена плоскость, пересекаю-
щая основание по хорде, стягивающей дугу в 90°. Найдите
площадь поверхности конуса, если его образующая равна
L, а угол в сечении при вершине конуса равен 60°.
3)* В задаче 2 найдите расстояние от центра основания
до плоскости сечения.
22.2.	1) Все стороны равностороннего треугольника касаются
шара, радиус шара равен 5 см, а сторона треугольника
6< см. Найдите расстояние от центра шара до плоско-
сти треугольника.
2)	Цилиндр пересечен плоскостью, параллельной оси, так,
что в сечении получился квадрат с диагональю, равной
аУ/2 см. Сечение отсекает от окружности основания дугу
в 60°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
3)* В задаче 2 найдите расстояние от оси цилиндра до
диагонали сечения.
22.3.	1) Все вершины квадрата со стороной, равной 3 д/2~ см, ле-
жат на сфере. Расстояние от центра сферы до плоскости
квадрата равно 4 см. Найдите радиус сферы.
2)	Через вершину конуса проведена плоскость, отсекаю-
щая от окружности основания ее четверть. Найдите пло-
щадь полной поверхности конуса, если радиус основания
равен /?, а угол в сечении при вершине конуса равен 60°.
3)* В задаче 2 найдите расстояние от центра основания
до плоскости сечения.
22.4.	1) Вершины равностороннего треугольника со стороной
4 л/3~ см принадлежат сфере. Расстояние от центра сферы до
плоскости треугольника равно 3 см. Найдите радиус сферы.
2) Цилиндр пересечен плоскостью, параллельной оси. Диа-
гональ сечения вдвое больше радиуса основания, равного R.
Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если се-
чение отсекает от окружности основания ее четверть.
3)* В задаче 2 найдите расстояние от оси цилиндра до
диагонали сечения.
170
Задание 23
ОБЪЕМЫ ТЕЛ
23.1.	1) В правильной треугольной пирамиде боковые ребра
наклонены к основанию под углом 60°, длина бокового
ребра 8 см. Найдите объем пирамиды.
2) В конусе через его вершину под углом <р к плоскости
основания проведена плоскость, отсекающая от окружно-
сти основания дугу в 2а. Радиус основания конуса равен
/?. Найдите объем конуса.
3)* В пирамиде, данной в задаче 1, найдите расстояние
между ребрами, лежащими на скрещивающихся прямых.
23.2.	1) В правильной четырехугольной пирамиде боковые ребра
наклонены к основанию под углом 60°, длина бокового
ребра равна 10 см. Найдите объем пирамиды.
2) В цилиндре проведена плоскость, параллельная его
оси, которая отсекает от окружности основания дугу в 2а.
Диагональ полученного сечения составляет с осью цилинд-
ра угол <р и удалена от нее на расстояние, равное d. Най-
дите объем цилиндра.
3)* В пирамиде, данной в задаче 1, найдите расстояние от
диагонали основания до скрещивающегося с ней бокового
ребра.
23.3.	1) В правильной треугольной пирамиде плоский угол при
вершине равен 60°, длина бокового ребра равна 4 см.
Найдите объем пирамиды.
2) В конусе через его вершину под углом <р к плоскости
основания проведена плоскость, отсекающая от окружно-
сти основания дугу а. Высота конуса равна h. Найдите
объем конуса.
3)* В пирамиде, данной в задаче 1, найдите расстояние
между ее скрещивающимися ребрами.
23.4.	1) В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол
при вершине равен 60°, длина бокового ребра равна
8 см. Найдите объем пирамиды.
2) В цилиндре проведена плоскость, параллельная его оси,
которая отсекает от окружности основания дугу <р. Диагональ
полученного сечения равна 2т и удалена от оси цилиндра на
расстояние, равное т. Найдите объем цилиндра.
3)* В пирамиде, данной в задаче 1, найдите расстояние от
диагонали основания до скрещивающегося с ней бокового
ребра.
171
Задание 24.
ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ КУРСА СТЕРЕОМЕТРИИ
24.1.	В правильной четырехугольной пирамиде MABCD сторо-
на основания равна 6, а боковое ребро 5. Найдите:
1) площадь боковой поверхности пирамиды;
2)	объем пирамиды;
3)	угол наклона боковой грани к плоскости основания;
4)	скалярное произведение векторов (AD-j-АВ)*АМ;
5)	площадь описанной около пирамиды сферы;
6)	* угол между BD и плоскостью DMC.
24.2.	В правильной треугольной пирамиде МАВС сторона осно-
вания равна 4Л/3~, а боковое ребро 5. Найдите:
1) площадь боковой поверхности пирамиды;
2)	объем пирамиды;
3)	угол между боковым ребром и плоскостью основания;
4)	скалярное произведение векторов -i-(AfB4-MC)’£4,
где Е — середина ВС;
5)	объем вписанного в пирамиду шара;
6)	* угол между стороной основания и плоскостью боковой
грани.
24.3.	В правильной четырехугольной пирамиде MABCD боковое
ребро равно 8 и наклонено к плоскости основания под уг-
лом 60°. Найдите:
1)	площадь боковой поверхности пирамиды;
2)	объем пирамиды;
3)	угол между противоположными боковыми гранями;
4)	скалярное произведение векторов -^(ЛМ-t-AfQ’AfB,
где Е — середина ОС;
5)	объем описанного около пирамиды шара;
6)	* угол между боковым ребром, AM и плоскостью DMC.
24.4.	В правильной треугольной пирамиде МАВС сторона осно-
вания равна 2 уЗ, а боковые грани наклонены к основа-
нию под углом 60°. Найдите:
1)	площадь боковой поверхности пирамиды;
2)	объем пирамиды;
3)	угол между боковым ребром и плоскостью основания;
4)	скалярное произведение векторов — (МС-\-МВ)*ОМ,
где О — основание высоты пирамиды;
5)	площадь вписанной в пирамиду сферы;
6)	угол между ME, где Е — середина ВС, и плоскостью АМС.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
1.6.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
1.1.	2) a) KD, КС, КМ; б) DK, КС, DC, КМ.
1.2.	2) а) СА, СВ, CF; б) АС, СВ, АВ, CF.
1.3.	1) Одну или три (см. рис. 263). 2) а) МА, МВ, МС, MD,
AM, АК; б) КМ, AM, МВ, КВ, АВ, МС, MD.
1.4.	1) а) См. рис. 264, а; б) см. рис. 264, б. 2) КС, KN, КЕ, KF,
DK, DN; б) КС, KD, KN, CD, CN, КЕ, KF.
1.5.	1) Одну, четыре или шесть (см. рис. 265). 2) 15.
1)	Ни одной, одну, две или три (см. рис. 266). 2) 15.
1) 12 см или 2 см. 2) 37,9 дм.
1) 20 см или 4 см. 2) 0,624 м.
1) Не является. 2) 4,3 дм.
1) Не является. 2) 5 Дм.
1)	Точка М не может принадлежать отрезку АВ, так как
AM-j-MB^AB, она расположена на прямой а или правее точки
В, или левее точки А. Пусть для первого случая МВ = х, тогда,
учитывая условие, имеем х4-6+х=9, т. е. х=1,5. Тогда
МВ = 1,5, МА =7,5. Аналогично рассматривается второй случай.
Окончательно имеем ЛМ = 7,5 см, Л4В=1,5 см или Л1А = 1,5 см,
МВ = 7,5 см.
Рис. 266
173
2)	АС и BD:
2.6.	1) AE = 3 см, AF=\\ см или AE=\\ cm, AF = 3 cm.
Указание. Задача решается аналогично задаче 2.5 (1).
2)	АВ и CD.
2.7.	Точка X не может находиться на прямой АВ вне отрезка
АВ. Пусть точка X принадлежит отрезку АВ и лежит между точ-
ками М и С. Обозначим АХ = у. Тогда, учитывая условие, имеем
z/4-8 — уА-у — 4 = 9, т. е. у = 3. Следовательно, расстояние от
точки X до точки М равно 1 и точка X лежит правее точки М.
Если же точка X лежит левее точки Af, то, аналогично рассуж-
дая, получим еще одну точку, удовлетворяющую условию
задачи.
2.8.	На прямой АВ, вне отрезка АВ, на расстоянии 1 от его
концов (две точки). Указание. Задача решается аналогично
задаче 2.7.
3.1.	1) Три развернутых и четыре прямых угла. 2) 41° и 49°.
3.2.	1) Три развернутых и четыре прямых угла. 2) 18° и 72°.
3.3.	1) Четыре тупых угла, один развернутый, один прямой,
четыре острых. 2) а) 45° и 79°; б) 17°.
3.4.	1) Один развернутый угол, один прямой, четыре острых
и четыре тупых угла. 2) а) 41° и 123°; б) 41°.
3.5.	1) Два прямых, один развернутый, три острых и четыре
тупых угла; Z АОВ, АСОВ, AEOB, A DOB. 2) 165°.
3.6.	1) Один развернутый угол, два прямых, четыре острых
и три тупых угла; А ВОС, ADOC, ААОС, АЕОС. 2) 150°.
3.7.	45° 3.8 54°* 36°
4*1’ 1) 115°;* 65°. 2) aj 70°; б) AAOD и AFOC или А СОЕ и
ADOB.
4.2.	1) 135°; 45°. 2) а) 30°; б) АЕОС и A FOB или ААОС и
ADOC.
4.3.	1)	117°; 63°. 2) а)	Нет;	б)	1.
4.4.	1)	36°, 144°. 2) а)	Нет;	б)	0°.
4.5.	1)	Да. 2) 97°30'.
4.6.	1)	Да. 2) 142°30'.
4.7.	40°, 140°, 40°, 140°. 4.8. 80°, 100°, 80°, 100°.
5.3.	а) 70°18', 17 дм; б) нет.. 5.4. а) 16 дм, 121°15'; б) нет.
5.5.	а) 5 м, 15°; б) нет. 5.6. а) 8 м, 60°; б) нет.
6.5. 2) 10,7 дм. 6.6. 2) 37°40'.
6.7. Пусть прямые, на которых лежат высоты треугольника,
CF и BE пересекаются в точке Н. Тогда АН — прямая, которой
принадлежит третья высота. Обозначим точку пересечения этой
прямой с прямой СВ через X. В таком случае АХ —искомая вы-
сота. Из равенства треугольников АХС и ВЕС следует, что
ВС=\7 дм. 6.8. 27°.
7.1. 2) 17°; 34°; 18 см. 7.2. 2) 21°; 90°; 9 см.
7.5.2) ДЛВО=ДЛСО, так как ЛВ = ЛС, DB = DC и
AABD= AACD. Из этого следует, что АВАО= АСАО, т. е.
174
АО — биссектриса равнобедренного треугольника АВС. Отсюда
имеем, что AD.LBC.
7.6. 2) Указание. Задача решается аналогично задаче
7.5 (2).
8.1. 2) 27°. 8.2. 2) 19°. 8.3. 1) 43°. 8.4. 1) 59°.
8.5. 1) Треугольник АКВ равнобедренный, поэтому Х.КАВ =
= Z.KBA. Так как Z.DAB= Z.ABC, то и Z.DAK= Z.CBK. Следова-
тельно, треугольники DAK и СВК равны (Z.DAK =
= Z-CBK, Z.AKD= Z.BKC как вертикальные, и АК=ВК). Из ра-
венства этих треугольников вытекает, что Z.ADB= Z.BCA.
2) &ADB= &АСВ по трем сторонам. Отсюда следует, что
Z.DAB= Z-CAB, т. е. АВ — биссектриса угла DAC.
8.7. 1) Исходя из условия, точки D и С расположены соответ-
ственно между точками А и В, А и Е. &АСВ= &ADE, так как
АВ=АЕ, AD=AC и Z.A общий. Тогда BC^=ED. Кроме того, из
равенства этих треугольников вытекает, что Z.ABC = Z.AED и
Z_ADE = Z.ACB. Используя последнее равенство, можно получить,
что Z.BDE= Z-ВСЕ. Тогда £\DKB = &.СКЕ по второму призна-
ку равенства треугольников. Отсюда следует, что КВ = КЕ.
2) Так как треугольники АВС и с основаниями АС и
А|С| равнобедренные и АВ—А^,, то АВ=А1В1 = ВС = В1С1. По
условию AM и A}Mt — медианы этих треугольников, тогда
ВМ = BiMt. &ABM= AAfBfMi по третьему признаку равенства
треугольников. Тогда ZB=Z.B]. В таком случае ДАВС =
= AAtBfCt по первому признаку равенства треугольников.
9.5. 1) &АОВ= &DOE по третьему признаку равенства
треугольников. Тогда Z-AOB= Z.DOE. Равенство не нарушится,
если к обеим его частям прибавить величину угла BOD. Следо-
вательно, Z-AOD= Z-BOE.
9.6. 1) Указание. Из равенства углов РОС и EOT выте-
кает равенство углов РОЕ и СОТ. Дальнейшее доказательство
очевидно.
10.6. 1) Указание. Постройте прямой угол и его биссект-
рису. Тогда угол, смежный с одним из образовавшихся углов, бу-
дет равен 135°.
11.5. 2) Д.АВС = &MNK по первому признаку равенства
треугольников. Тогда Z.BAC— Z.NMK. АВ и MN параллельны,
так как соответственные углы при двух прямых АВ и MN и секу-
щей АК равны.
12.1. 2) Пусть АК параллельна прямой ВС (точка К находится
по ту же сторону от прямой АС, что и точка В). Тогда КА ± АС и
Z/(AS=90°— 43О = 47°, Z.B— Z.KAB=47° как накрест лежащие
углы при параллельных прямых АК и ВС и секущей АВ.
12.3. 2) Так как ВМ — биссектриса Z.ABC, то Z.ABM =
= Z.MBC = 38°, Z_AMB= Z.MBC = 38° как накрест лежащие уг-
лы при двух параллельных прямых AM и ВС и секущей
ВМ. Z.BAM = 180°— Z.ABC= 104° как односторонние углы при
тех же параллельных прямых и секущей ВА.
175
/	12.5. 2) Через вершину В проведем
/ / луч BF параллельно лучам AM и СК
/	(рис. 267). Z ДВЕ= 180°—140° = 40°;
/ /	Z.FBC= 180°—131° = 49°; ДДВС =
/ /	/	= /LABF+ /LFBC = №.
/ / Л 12.6. 2) 46°. Указание. Через
/ /	/ вершину угла О провести прямую, па-
Х/40^/	/	раллельную лучам МТ и РК.
У /	/	12.7. По условию АВ = ВС. Значит,
/	А АВС равнобедренный и Z.4 = Z.C =
14---L-Z--------- =80°. Тогда Z ЕД 0 = 80°-40° = 40°.
Так как AE = ED, то £±AED равно-
Рис. 267	бедренный и /LEAD = /LEDA =40°.
ED\\AC, так как накрест лежащие
углы EDA и DAC при прямых ED и АС и секущей AD равны.
Z_BED= /LBAC = 9& как соответственные углы при параллель-
ных прямых ED и ДС и секущей АВ,
12.8. 15°. Указание. Решение аналогично задаче 12.7.
13.1.	2) 53°. 13.2. 2) 88°. 13.3. 2) 102°. 13.4. 2) 77°.
13.5.	1) Указание. Постройте лучи АХМ и AXN параллель-
но соответственно лучам АВ и АС и пересекающие сторону ВС
На них отложите отрезки АХВХ=АВ и АХСХ=АС, Вх и Сх соеди-
ните. Теперь докажите: /±А\В{СХ= ДДВС и BjCJlBC.
2)	Исходя из того, что Zl=51° и Z.2=129°, можно дока-
зать, что AD\\BC, Z.3 и /_ЕВС— накрест лежащие при этих
параллельных прямых ВС и AD и секущей BE, Поэтому
/LEBC= Z3 = 52°. Так как BE — биссектриса 2.ДВС, то
/LABC= 104°. Отсюда следует, что Z4 = 76°.
13.6.	2) 34°. Указание. Решение аналогично задаче 13.5.
13.7*	. Через точку С проведем луч CF, который параллелен
лучам AD и BE и расположен с ними по одну сторону от АВ, Так
как ДО = ДС, то треугольник ADC равнобедренный и
Z_ADC = /LACD. Кроме того, Z_ADC = /LDCF как накрест лежа-
щие углы при параллельных прямых AD и CF и секущей DC,
Следовательно, CD — биссектриса угла ACF, Аналогично дока-
зывается, что СЕ — биссектриса угла FCB. Z.ACF + Z_FCB =
= 180°, 2 Z-DCF + 2 /LFCE= 180°, отсюда Z.DCF+ Z_FCE =
= 90°, т. е. Z DCE = 90° и ОС±СЕ.
13.8*	. Точку О соединим отрезками с вершинами Д и С. Так
как AD = DO, то треугольник ADO равнобедренный и
Z-DAO= Z-DOA. Кроме того, A DO А = /LOAC как накрест лежа-
щие при параллельных прямых DE и АС и секущей АО, Отсюда
вытекает, что АО — биссектриса угла ВАС. Аналогично доказы-
вается, что СО — биссектриса угла ВСА. Мы получим, что точка
О — точка пересечения биссёктрис треугольника. Значит, ВО —
биссектриса угла АВС.
14.5.	1) ДВДО+^ДВО=ДВОК=70о. Так как АК и ВМ —
биссектрисы треугольника, то Z-Д-|-Z. В = 140°, Z_C = 40°.
176
2)	Так как сумма внешних углов при вершине А равна 160°,
то каждый внешний угол равен 80°, а потому сам угол А равен
100°. Учитывая, что AD — биссектриса угла ВАС, получаем, что
ADAC = 50°, &ADC равнобедренный и ZC=ZDAC = 50°.
14.6.	1) Л АВ К прямоугольный, и Z.B = 60°, отсюда следует,
что АВАК=30°. Аналогично из треугольника АВМ находим,
что ААВО=\8°. В треугольнике АОВ известны два угла, рав-
ные 30° и 18°. Тогда Z.АОВ = 132°.
14.7.	ZACB = a + p как внешний угол треугольника CEF.
Тогда х= 180° — а — 0 — у.
14.8.	х= 180° —а —0 —у.
15.3. 2) 5. Указание. Необходимо учесть, что ААКВ>
>107°, т. е. тупой, а потому АВ>ВК.
15.5. 2) Z.ADB внешний для треугольника DCB, а потому
AADB> ADCB, т. е. ZADB>90° и является тупым углом.
ААЕВ внешний для треугольника ADE, а потому ААЕВ>
> A ADB, т. е. тоже тупой. Следовательно, ААЕВ — наибольший
угол в треугольнике АЕВ, а потому АВ>АЕ.
15.7. AADE — внешний угол для треугольника BDE, а пото-
му AADF> АВ. ААСВ— внешний угол для треугольника
CFE, а потому ACFE> ААСВ, но так как углы DFA и CFE
вертикальные, то ADFA<ZAACB. Необходимо учесть, что
АВ — Z.C, а потому в треугольнике DAF AADF> ADFA. Следо-
вательно, AF>AD.
16.3.	1) Нет. 2) В равнобедренном ДАВС угол АВС тупой,
а потому AB<ZAC, т. е. АВ< 1 и 2АВ<2; АВ^-ВС>АС, а так
как АВ = ВС, то 2АВ>1. Следовательно, 1 <2АВ<2.
16.4.	1) Нет.
16.5.	1) Если предположить, что длина боковой стороны рав-
на 28 мм, то тогда основание треугольника равно 64 мм, но тре-
угольника со сторонами 28, 28 и 64 мм не существует. Если же
длина основания равна 28 мм, то боковая сторона треугольника
равна 46 мм. Треугольник с такими сторонами существует.
2)	Соединим отрезком точки К и М. Тогда в треугольнике
KMN KM + MN>KN (1). В треугольнике KLM KE + LM>KM.
Если в неравенство (1) вместо КМ подставить KL-^-LM, то нера-
венство только усилится, а потому KL-\-LM-\-MN>KN.
16.6.	1) 25 дм; 10 дм или 17,5 дм; 17,5 дм.
16.7.	Сначала надо доказать, что треугольники AOD и ВОС
равны, а потому AD = BC. Из треугольника ADC имеем, что
AC<Z.AD-}-DC, но ОС=^ АС, а потому OC<ZAD^DC . Так как
ad=bc, то oc<BC+DC
17.1. 2) 8 см; 4 см. 17.2. 2) 24 см; 12 см.
17.3. 2) 12 см; 6 см. 17.4. 2) 20 см; 10 см.
17.5.	1) Указание. Необходимо доказать: ДАВС= ДCDA.
Отсюда следует, что АВАС= AACD. Дальнейшее очевидно.
177
2)	В прямоугольном треугольнике BDA Z. DAB = 30°, а пото-
му ДВ = 2ОВ = 4 см. В прямоугольном треугольнике ВАС
Z.C = 30°, а потому ВС = 2АВ = 8 см, СО = ВС —ОВ = 6 см.
17.6.	2) 3 см; 9 см.
17.7.	1) Пусть треугольник АВС равнобедренный и Z.ABC =
= 120°, а основание АС= 10 см, ADA-ВС. Так как треуголь-
ник тупоугольный, то основание высоты D лежит на продолже-
нии стороны ВС за точку В, Z.A = Z.C = 30°. В прямоугольном
ДАОС АС=10 см и Z.C = 30°, значит, AD=^АС = 5 см.
2)	Пусть ED пересекает АС в точке Р, a EF— в точке
Н. Прямоугольные треугольники АЕН и ИРЕ имеют общий угол
АНЕ. Следовательно, и другие их острые углы ВАС и DEF рав-
ны. ДАВС = &DEF по гипотенузе и острому углу. Поэтому пе-
риметры их равны, периметр треугольника DEF равен 12 см.
17.8.	1) 34 см. 2) 10 см.
18.3.	2) Указание. Необходимо провести две прямые, па-
раллельные прямой b и удаленные от нее на расстояние, равное
PQ, которые расположены по разные стороны от прямой Ь.
18.5.	1) Опустим из точек А и В перпендикуляры AAi и ВВ{
на прямую а, и пусть АВ пересекает прямую а в точке F. Тогда
AF>AA{ и BF>BBX. Отсюда следует, что АВ>10.
2)	Указание. Через вершину В провести прямую, парал-
лельную АС, до ее пересечения с перпендикуляром к стороне АС,
проведенным через ее середину.
18.6.	1) Нет. Указание. Задачи решаются аналогично за-
дачам 18.5 (1, 2).
18.7.	Z.AKP = Z.BKM как вертикальные углы. Так как тре-
угольники АРК и ВМК прямоугольные и Z.A/CP= Z.S/GW, то
и Z_PAK = Z.MBK. Тогда &АРК= /\ВМК по катету и приле-
жащему к нему острому углу. Отсюда РК — КМ и АК = КВ.
18.8.	Прямоугольные треугольники АМК и ВКМ равны по
двум катетам. Отсюда следует, что Z_BMK = Z.AKM и
Z_MAK = Z-KBM. Так как сумма острых углов в прямоуголь-
ном треугольнике равна 90° и Z_BMK-\- Z_AMB = 90°, то
Z.BMA = Z_MAK. Аналогично можно получить, что ZLBMA =
= Z_MAK= Z-KBM= Z.AKB. Отсюда следует, что треугольни-
ки МОК, АОМ и ВОК равнобедренные и ОМ = ОК = ОА = ОВ.
19.2.	1) 33 см.
19.3.	2) Необходимо построить биссектрису угла А и найти
точки ее пересечения с окружностью с центром в точке С и ради-
усом, равным ВС. Задача имеет два решения.
19.4.	1)52°. 2) Указание. Задача решается аналогично
задаче 19.3 (2).
19.5.	1) Так как точка М принадлежит серединному перпен-
дикуляру стороны АС, то МС = МА, а потому ZCAAf=ZC =
= 40°. Зная, что Z.C = 40°, находим, что Z_CAB = 70°.
/_МАВ = Д CAB— Д CAM = 70°-40° = 30°.
178
2)	Искомую точку находим как точку пересечения биссектри-
сы угла А с серединным перпендикуляром стороны АВ.
19.6.	1) 15°. Указание. Задачи решаются аналогично за-
дачам 19.5 (1, 2).
19.7.	1) Опустим перпендикуляры из точки М нэ стороны АС
и АВ. Пусть ME.LAC и MF J-AB. Так как точка М принадлежит
биссектрисе угла Д, то MF = ME. В прямоугольном треугольнике
BFM Z.B = 30° и ВЛ! =10 см, поэтому AfF = 5 см. Отсюда следу-
ет, что и Af£ = 5 см.
2)	Серединный перпендикуляр к отрезку АВ, исключая сере-
дину АВ.
19.8.	1) 7 см. 2) Точка А является точкой пересечения сере-
динного перпендикуляра отрезка ВС с прямой а. Если ВС±а, то
задача не имеет решения.
20.5. 1) На произвольной прямой от произвольной точки
А откладываем отрезок АВ, равный DE. От луча АВ откладываем
угол А, равный углу Р, а от луча ВА по ту же сторону от прямой
АВ откладываем угол В, в 2 раза больший угла А. Соответству-
ющие стороны построенных углов пересекаются в точке С. Тре-
угольник АВС искомый. Задача имеет решение, если Z_P<60°.
2) Необходимо построить окружность с центром в точке А и с
радиусом, равным 2АВ. Точка пересечения этой окружности с
прямой а и будет ^ершиной С искомого треугольника АВС. Зада-
ча имеет два решения.
20.6. 1) На произвольной прямой от произвольной точки
А откладываем отрезок АС, равный данному отрезку DE. Данный
угол Р делим биссектрисой на дна равных угла и откладываем
от луча АС угол А, равный половине угла Р. На стороне этого
угла от вершины А откладываем отрезок АВ, вдвое больший АС.
Треугольник АВС искомый.
2) Необходимо построить окружность с центром в точке Лис
радиусом, равным радиусу данной окружности. Точка пересече-
ния этой окружности с данной и будет вершиной С искомого тре-
угольника. Задача имеет либо два решения, либо одно решение,
если точка С окажется на прямой АВ.
21.1.	2) На произвольной прямой а от произвольной точки
А откладываем отрезок АВ, равный PQ. На расстоянии, равном
Р20г» проводим прямую Ь, параллельную а. Затем радиусом, рав-
ным PiQi, с центром в точке В строим окружность. Точка пересе-
чения этой окружности с прямой b и есть третья вершина С тре-
угольника. ДДВС искомый. Задача имеет два решения.
21.2.	2) Указание. Задача имеет два решения.
21.3.	2) На произвольной прямой а от произвольной точки
Е откладываем отрезок EF, равный PQ. От луча EF откладываем
угол, равный заданному тупому углу. Затем на расстоянии, рав-
ном PiQi, проводим прямую Ь, параллельную а, до пересечения
со стороной построенного угла. Точка их пересечения D и есть
третья вершина треугольника. Треугольник DEF искомый.
179
21.5.	1) Прежде всего необходимо построить прямоугольный
треугольник АМС по катету АС и гипотенузе AM. Затем про-
длить отрезок СМ за точку М и построить отрезок МВ, равный
МС. Треугольник АВС искомый.
2)	На произвольной прямой MN выбираем произвольную точку
С и от луча CN откладываем угол, равный данному углу. Затем
на расстоянии, равном высоте, проводим прямую а, параллель-
ную MN. Эта прямая пересекает сторону угла в точке А. Через се-
редину отрезка АС проводим прямую, перпендикулярную к АС, до
пересечения в точке В с прямой MN. Треугольник АВС искомый.
21.6.	2) На произвольной прямой MN выбираем произволь-
ную точку А и от луча AN откладываем угол EAN, равный дан-
ному острому углу. Затем на расстоянии, равном первой высоте,
проводим прямую а, параллельную АЕ. Эта прямая пересечет
луч AN в точке В. На расстоянии, равном второй высоте, прово-
дим прямую Ь, параллельную MN. Эта прямая пересекает луч
АЕ в точке С. &АВС искомый.
21.7.	Предположим, что треугольник АВС построен. Продол-
жим сторону ВС за точку С и отложим отрезок СЕ, равный АС.
Тогда ВЕ = ВС+АС. Треугольник АСЕ равнобедренный. Тогда
его вершина С лежит на перпендикуляре к отрезку АЕ, прове-
денном через его середину. Отсюда вытекает построение.
На произвольной прямой MN выбираем произвольную точку
В и от луча BN откладываем угол KBN, равный данному острому
углу. На луче ВК от точки В откладываем отрезок ВА, равный
PQ, а на луче BN от той же точки — отрезок BE, равный P{QX.
Точки А и Е соединяем и строим прямую, перпендикулярную к
отрезку АЕ, через его середину. Эта прямая пересекает прямую
MN в точке С. &АВС искомый.
2)	По катету ВН и гипотенузе ВС строим прямоугольный
треугольник ВНС. Затем радиусом, равным ВМ, и с центром в
точке В проводим окружность до пересечения с прямой СН в
точке М. На этой прямой от точки М откладываем отрезок МА,
равный МС. &АВС искомый. Задача имеет два решения.
21.8.	1) Указание. Задача решается аналогично задаче
21.7(1).
2)	Предположим, что треугольник АВС построен и СМ его
медиана. Продолжим отрезок СМ за точку М и отложим отрезок
MD, равный СМ. Точки А и D соединим. Л СМВ= &DMA. Тог-
да AD = BC. Отсюда вытекает построение.
Строим треугольник ACD по трем сторонам: AC, AD, которая
равна СВ, и CD = 2CM. Находим середину стороны CD точку М и
на луче AM от точки М откладываем отрезок МВ, равный AM.
/±АВС искомый. Задача имеет решение, если 2СМ <АС-\-СВ.
22.1.	4) Нет. 22.2. 4) Нет.
22.3.	3) В прямоугольном треугольнике ADB Z.4 =30°, а по-
тому AB = 2BD — 8 см; так как DE — медиана, то ВЕ = АЕ =
= 4 см. &EBD равнобедренный, и Z.4SD = 60°. Тогда и все его
180
углы равны 60° и BD — DE = A см. Отсюда следует, что ДАЕО
равнобедренный.
22.4.	3) 5 см. Указание. Задача решается аналогично за-
даче 22.3 (3).
22.5.	1) ДАВС=?ДА£)С. Кроме того, они равнобедренные.
Отсюда вытекает, что Z_BAC = zLACD = Z_DAC= Z.BCA. Из
равенства накрест лежащих углов при двух прямых и секущей
получаем AB\\CD и AD\\BC.
2)	ДАВЕ = &ADF по двум сторонам и углу, заключенному
между ними. Отсюда следует, что BF = DF.
3)	Треугольник BAD равнобедренный, АС — биссектриса уг-
ла BAD, значит, АС±ВО.
4)	Если из точки F опустить перпендикуляры FM и FN соот-
ветственно на AD и АВ, то получившиеся прямоугольные тре-
угольники AMF и ANF равны по гипотенузе и острому углу. От-
сюда следует, что  FM = FN,
22.6.	Задача решается аналогично задаче 22.5.
23.5.	1) 16.
2)	Пусть в выпуклом четырехугольнике ABCD биссектрисы
углов А и В пересекаются в точке О, Z_AOB=\№°—+	•
Так как сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°,
то Z.4+ Z.B = 360° — (ZC+ Z.D). Отсюда Z.AOB=180° —
_180.+ zc+zd=zc+zd
23.6.	2) Пусть в выпуклом четырехугольнике ABCD биссект-
рисы углов В и D пересекаются в точке О. Продолжим ВО пе-
ресечения с CD в точке Е; Z.DOE = 180°— Z.DOB. В четырех-
угольнике DO В A A DOB = 360° — Z-A—но ^-5 +
+ ZD = 360°—ZA—ZC. Тогда Z 005 = 360° — Z А — 180° +
^-4--^-. Отсюда ZDOE = 180°-180° +
 Z4	ZC _ Z4-ZC
2	2 “	2	‘
23.7.	Рассмотрим выпуклый шестиугольник ABCDEF с рав-
ными углами. Углы такого шестиугольника равны по 120°. По-
строим биссектрису ВМ угла СВА. Тогда /-СВМ = Z_ABM =
= 60°; CD\\BM, так как ZС+ ZСВМ = 180°. Аналогично дока-
зываем, что EF\\ВМ. Отсюда следует, что CD\\AF. Точно так же
можно доказать, что BC\\FE и AB\\DE.
23.8.	Рассмотрим выпуклый пятиугольник ABCDE с равными
углами. Углы такого пятиугольника равны по 108°. Рассмотрим
прямые АВ и ED и секущую АЕ. Z.A и ZE — внутренние одно-
сторонние углы при этих прямых и секущей. ZA + ZE#= 180°.
Значит, на основании свойств параллельных прямых можно
утверждать, что АВ не параллельна ED. Аналогично можно убе-
диться, что у такого пятиугольника нет параллельных сторон.
181
24.5. 1) EACF— параллелограмм по определению. Значит,
EF = AC. Аналогично KL = AC. Отсюда следует, что EF = KL.
Так как FK— общая часть отрезков ЕК и FL, то EK = FL.
2) Рассмотрим четырехугольник АНХСНЪ у которого два угла
АНХС и АН2С прямые. Так как сумма углов в выпуклом четырех-
угольнике равна 360°, то /LHXAH2A~ Z_C = 180°. Отсюда следует,
что ZC = 50°. Тогда Z. 0=130°.
24.6. 2) 110°, 70°, 110°, 70°.
25.3.	2) Указание. Воспользуйтесь тем, что в четырех-
угольнике NAFB диагонали в точке пересечения делятся по-
полам.
25.4.	2) Указание. Задача решается аналогично задаче
25.3 (2).
25.5.	1) АМАР = Д CNK по двум сторонам и углу между ни-
ми. Отсюда следует, что MP = NK. Так как AB = CD и BC = AD
как противоположные стороны параллелограмма и МА=АР =
= CN = CK, то MB = KD и BN = PD, Тогда &MBN= &PDK по
двум сторонам и углу между ними. Отсюда следует, что
MN = PK. Получили, что противоположные стороны четырех-
угольника MNKP попарно равны, следовательно, MNKP — па-
раллелограмм.
2)	Рассмотрим треугольники МОВ и АОК. В этих треуголь-
никах МО = ОК по условию, ZAfOB = Z_AOK как вертикальные
и А0МВ= АОКА как накрест лежащие при параллельных
прямых NK и МР и секущей МК. Отсюда следует, что
ДЛ4ОВ = ДАСЖ и ОА = ОВ. В четырехугольнике МАКВ диагона-
ли в точке пересечения делятся пополам, значит, МАКВ — па-
раллелограмм.
25.6.	Указание. Задачи решаются аналогично задачам
25.5 (1, 2).
25.7*	. Так как ZBAC=ZACD, то AB\\CD. AABD= Z.CDB
как накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и CD
и секущей BD. В таком случае ДАЕВ = £±CFD по катету и ост-
рому углу. Отсюда следует, что AB = CD. Имеем AB\\CD и
AB = CD. Следовательно, ABCD — параллелограмм.
2)	На произвольной прямой а от произвольной точки А отло-
жим отрезок AD, равный ВС, От луча AD отложим острый угол,
равный А. На расстоянии, равном заданному, проведем прямую
ft, параллельную а, до пересечения в точке В со стороной построен-
ного угла. Затем через точку D проведем прямую, параллельную
АВ, до пересечения в точке С с прямой ft. ABCD — искомый па-
раллелограмм.
25.8*	. 1) Задача решается аналогично задаче 25.7 (1).
2)	На произвольной прямой а от произвольной точки А отло-
жим отрезок, равный AD. На расстоянии, равном BE, проведем
прямую ft, параллельную а. Затем проведем окружность радиу-
сом, равным АВ, с центром в точке А до пересечения в точке В с
прямой ft. Через точку D проводим прямую, параллельную АВ,
182
до пересечения с прямой b в точке С. ABCD — искомый паралле-
лограмм. Задача имеет два решения.
26.5.	1) Пусть величина угла BAD равна х, тогда Z_BAM =
=£, a ZB=180° — х. Так как Z.АМС= 120°, то Л ВМ А =60°.
4
Рассмотрев треугольник АВМ, имеем	180 — х4-60 = 180. От-
сюда х=80. Таким образом, ДД=80° и Z_B = 100°.
26.6.	1) Пусть AE-LBD и О — точка пересечения диагоналей
АС и BD. Так как ВО = 6, В£:£О=1:3 и BO = OD, то можно
найти, что £0 = 1,5 см. Рассмотрим прямоугольный треуголь-
ник АЕО: ЕО = {$ см, ОД=3 см, значит, Z.£4O = 30° и
Z. ВО А =60°. В таком случае AD и ВС — большие стороны прямо-
угольника. Пусть ОК±ДО; Z4OD=120°, а так как ДДОО
равнобедренный, то ААОК = 60°. Рассмотрим прямоугольный
треугольник АКО'. АО = Ъ см, ДОДК = 30°, отсюда ОК=1,5 см.
26.7.	Рассмотрим треугольники ВКА и AMD (рис. 268).
AB = AD и АК = АМ как стороны квадратов. Кроме того,
DAК=90° и Z.MAD+ Z_DAK = 90°. Отсюда следует,
что	Z-MAD. Тогда Д £/!/( = ДЛМО по двум сторонам
и углу между ними. Следовательно, BK = DM.
26.8.	Продолжим сторону CD и отложим от точки D отре-
зок DF, равный ВК (рис. 269). ДДО£=ДДВК, а потому
Z_FAD=ABAK. Пусть Z£4D = a. ZAL4£ = 90° —2а + а = 90° -
— а. Следовательно, ZLMAF= Z.MFA, поэтому ДДЛ4£ равно-
бедренный и AM = MF, но MF = DF A- DM = BKA~DM. Значит,
AM = BK + DM.
27.3.	1) б) 50 см.
2)	Можно доказать, что треугольники АОАХ и АОА2 равно-
бедренные и ОАХ = ОА = ОА2 (рис. 270). Z 1 = 2.2, и Z3 = Z.4.
Так как Z.2+ Z3 = 90°, то Z4O42+ Z_AOAX = 180°, т. е. точки
Ah О и А2 лежат на одной прямой и ОАХ = ОА2. Значит, точки Ах
и А2 симметричны относительно центра О.
27.4.	1) а) 15 см. 2) Указание. Воспользуйтесь тем, что
Рис. 270
183
точка, одинаково удаленная от двух точек, принадлежит середин-
ному перпендикуляру к отрезку, который соединяет эти точки.
27.5.	1) Из равенства треугольников ВОС и DOE вытекает,
что DE = ВС = 5 см и Z. BEA = Z. ЕВС = 30°. АЕ = 20 см. В пря-
моугольном треугольнике ABE Z.BEA=30°, а потому АВ =
=т--А£=10 см. Кроме того, Z.A=60°. Но по условию Z.D тоже
равен 60°. Следовательно, трапеция равнобедренная и CD =
= АВ =10 см. Отсюда периметр трапеции равен 40 см.
2)	Возьмем на прямой АВ произвольную точку X и построим
симметричную ей точку относительно центра О (рис. 271).
Предположим, что точка Х{ не принадлежит прямой А^В^. Так
как точки В и В{, X и Х{ симметричны относительно центра О, то
можно доказать, что BjXJIAB. Аналогично можно доказать, что
AjBJIAB. Мы получили, что через точку В{ проходят две прямые
BjXj и BiAlf параллельные АВ, чего быть не может. Следователь-
но, точка Х{ принадлежит прямой А{В{.
27.6.	1) Так как трапеция ABCD равнобедренная, то можно
доказать, что Z-CAD= ZLBDA, По условию СЕ = АЕ, значит,
треугольник СЕА прямоугольный и равнобедренный, поэтому
Z.CAD = 45°. В таком случае и ZBDA=45°, и треугольник AOD
прямоугольный с прямым углом AOD. Мы получили, что тре-
угольник ВОА прямоугольный и Z_BAO = Z.BAD— ZCAD =
= 30°. Тогда АВ = 2ВО=Ю см.
2)	Выберем на отрезке AfK произвольную точку X и построим
симметричную ей относительно прямой а точку Хх (рис. 272).
Предположим, что точка Х{ не лежит на отрезке M^Ki- Так как
трапеция ХММхХ} симметрична относительно прямой а, то она
равнобедренная и AfX = Af1X1. Аналогично можно получить, что
КХ = К\Х{ и КМ = К\МХ. Имеем, что МХА-ХК = МК, так как точ-
ки Af, X и К лежат на одной прямой. Тогда М^ H-XjK^Af
а это и означает, что наше предположение неверно и точка Хх
принадлежит отрезку Л^/Ср
27.7.	Построим точки Afb Рь /Q и Гь соответственно симмет-
ричные относительно центра О точкам Af, Р, К и Т. Попарно па-
184
раллельные прямые МР{ и РМЬ КТ\ и ТК\ задают параллело-
грамм ABCD. (Построение показано на рис. 273.)
27.8.	Проведем прямую РК до пересечения с прямой а в точ-
ке Е. Построим прямую ЕА. симметричную прямой ЕР относи-
тельно оси а. Через точку О проведем прямую, перпендикуляр-
ную а, до пересечения с прямыми ЕР и ЕА в точках М и И соот-
ветственно. На прямой а от точки О отложим отрезок OF. рав-
ный ОЕ. и точки F. М. Е и Н соединим. Ромб FMEH искомый.
(Построение показано на рис. 274.)
28.3.	2) У к а з а н и е. Площадь квадрата АСКМ в 2 раза
больше площади квадрата ABCD. значит, площадь квадрата
АСКМ равна 128 см2, следовательно, ДС = 8Д/5Г см. Периметр
АСКМ равен 32 см.
28.5.	1) Из &BQD найдем Z.CBD = 45°. Так как Л.АВС =
= 135°, то Z.4BD = 90°. Значит, параллелограмм АВРК явля-
ется прямоугольником. В &ABD Z. BAD = 45° по условию и
Z.XDB=45°, следовательно, AB = BD и 4В:ВР = 2:3. Зная пери-
метр прямоугольника АВРК. найдем его стороны, а затем пло-
щадь. Площадь прямоугольника АВРК равна 54 см2.
2)	36 см2. Указание. Проведите прямые КТ и МР. Дока-
жите, что прямоугольник ABCD разбился на 8 равных треуголь-
ников.
28.6.	1) 30 см. 2) 120 см2.
28.7.	Указание. Пусть СВ = х. BD = y. Тогда следует до-
казать тождество
_ (У-*)2
у 4	4
28.8.	Указание. Пусть одна сторона прямоугольника рав-
на х см, тогда другая будет (10 — х) см. Площадь прямо-
угольника равна х(10 — х) см2, а площадь квадрата 25 см2.
х(10 —х) —25 = — (х —5)2<0.
Так как разность отрицательна, то площадь квадрата больше.
185
29.1.	1) 4,8 см.
2)	Указание. Искомая прямая проходит через середину
высоты параллелограмма параллельно стороне, на которую эта
высота опущена.
29.2.	1) 8| см.
2)	Указание. Искомый прямоугольник может иметь сто-
роны, соответственно равные стороне данного параллелограмма
и его высоте, опущенной на эту сторону.
29.3.	1) 24 см*2.
2)	От луча AD отложим острый угол так, чтобы его сторона
пересекала прямую ВС в точке Р. Через точку D проведем пря-
мую ОЕ||ДР до пересечения с прямой ВС в точке Е. Параллело-
грамм APED будет искомым.
29.4.	1) 90 см2.
2)	Указание. Задача решается аналогично задаче
29.3 (4).
29.5.	1) Пусть высота параллелограмма равна х, тогда его
площадь равна Зх2. Имеем Зх2==48, х=4, так как х>0. Следо-
вательно, одна сторона равна 12 см, другая сторона равна 8 см.
AD
29.5.	2) Площадь искомого квадрата будет равна 0,25 *-^Х
XAD- BK = 0,25AD2. Тогда квадрат со стороной, равной 0,5ЛО,
будет искомым.
29.6.	1) Из треугольника ABD находим, что BD = AD. Но
ВО.ДО = 49, Л£г = 49, AD = 7 см.
2)	Пусть BE — высота параллелограмма ABCD. Тогда пло»-
к	BE-AD-AB BE АВ „
щадь искомого ромба равна -----. Следователь-
но, искомый ромб можно построить по острому углу, равному
A BAD, стороне, равной и высоте, равной
29.7*	. 1) Продлим отрезок ВС до пересечения с прямой ТР
в точке К (рис. 275). Можно доказать, что треугольник ATD ра-
вен треугольнику ЕКР, а треугольник АВЕ равен треугольнику
186
DCK. Следовательно, площадь прямоугольника АЕРТ равна
площади параллелограмма DAEK, а площадь параллелограмма
DAEK равна площади данного параллелограмма ABCD. Значит,
площади четырехугольников АЕРТ и ABCD равны.
2)	Опустим перпендикуляры и СР на прямые ВС и AD
соответственно. Можно доказать, что треугольники А КВ и CPD
равны. Значит, прямоугольник АКСР и трапеция ABCD имеют
одинаковую площадь. Далее можно построить искомый паралле-
лограмм с площадью, равной площади прямоугольника ABCD,
аналогично тому, как это делалось в задаче 29.3 (2).
29.8*.	1) Аналогично тому, как это сделано в задаче 28.7 (1),
можно доказать, что площадь прямоугольника СТТХСХ равна
площади параллелограмма ABCD. Так как треугольники ССХТ
и СХТХТ равны, то искомая площадь равна двум площадям тре-
угольника СХТХТ, т. е. равна 20 см2.
2)	Проведем прямые BD и CD, соответственно параллельные
прямым АС и АВ (рис. 276). Можно доказать, что треугольник
АВС равен треугольнику DBC. Тогда площадь параллелограмма
ABDC будет вдвое больше площади треугольника АВС. Далее
проведем АК так, чтобы угол КАС был равен» данному острому
углу, и прямую ЕС, параллельную прямой АК. Параллелограм-
мы ABDC и АКЕС имеют одинаковую площадь, так как имеют
одно основание АС и одинаковые высоты, опущенные на это
основание. Значит, параллелограмм АКЕС искомый.
30.5.	1) По теореме о сумме углов треугольников находим,
что Z.C = 75°. Тогда АВ = ВС. Проведем высоту CD треугольни-
ка. Из треугольника BCD находим, что СО = 5 см. Значит, иско-
мая площадь S=-i”5-10 = 25 см2.
2)	Площадь квадрата равна половине произведения его диа-
гоналей. Пусть х — сторона квадрата. Тогда х? = 50, х = 5Л^2 см.
30.6.	1) 12 см. 2) 8Д/2 см.
30.7.	1) Пусть площадь треугольника АОС равна х, а пло-
щадь треугольника DOB равна у. Тогда	. Получим
систему уравнений
х__5
У 8 ’ решая которую, получаем х=15,
* + # = 39,
у = 24. Площадь ДАОС равна 15 см2.
2) Пусть РК— высота треугольника АМР. Можно доказать,
что высота параллелограмма ABCD, опущенная на сторону АВ,
также равна РК. Применяя формулы площадей параллелограм-
ма и треугольника, получаем, что площадь параллелограмма в
4 раза больше площади треугольника, значит, площадь тре-
угольника равна 0,25Q.
30.8.	У к а з а н и е. Задачи решаются аналогично задачам
30.7 (1, 2). 1) 64 см2. 2) 0,5Q.
187
31.5.	1) Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС,
ВК и СЕ — ее высоты, причем KD = 20 см, ВК=12 см. Можно
доказать, что AK=ED и ВС = КЕ. Значит,
ЙС+ЛР =	= КЕ + ED = ко.
Площадь трапеции равна	-ВК=20-12 = 240 см2.
2)	Пусть ЕК — высота трапеции ABCD. Можно доказать, что
высоты треугольников АВЕ и ECD тоже равны ЕК, а также что
AD:BE:EC=4:1:1. Тогда площади треугольников ADE, АВЕ,
ECD относятся как 4:1:1. Учитывая, что площадь трапеции рав-
на сумме площадей этих треугольников, получаем, что искомое
значение площади равно 90 см2.
31.6.	1) Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС,
О — точка пересечения диагоналей трапеции, Е и К — середины
отрезков ВС и AD. Учитывая, что ОВ = ОС, OA = OD, можно до-
казать, что ЕК — высота трапеции, которая проходит через точ-
ку О, а также что Z.EOC= Z.BOE — 45° и ,Z.KOD = Х.АОК=
= 45°. Из треугольников ЕОС и KOD получаем ОЕ=ЕС,
OK=KD, значит,	=ЕК. Далее находим, что 'площадь
трапеции равна 64 см2.
2) 30 см2.
32.3.	1) 55 см2. 2) 30Д/2 см2.
32.4.	1) 126 см2. 2) 24Д/2 см2.
32.5.	1) Пусть данная прямая пересекает сторону AD в точ-
ке К. Можно доказать, что OK^-AD, а также что ЛО=13 см,
OD—yfiT см. Из треугольника AOK ОК?= 132 — АК2, из тре-
угольника DOK ОК2=4\—(\6—АК)2. Значит, 169-Л/С=
= 41—(16—ЛК)2, откуда ЛК=12 см. Следовательно, KD = 4 см.
2)	АВ = ВС=25 см. Из треугольника АВК находим АК=
= 7 см, а из треугольника АКС АС=5'\/2 см. Площадь тре-
угольника АВС равна 0,5ДК-ВС = 87,5 см2.
32.6.	1) Указание. Учитывая, что OtA = OtB и = О2В,
можно доказать, что АКЛ-О^. Далее задача решается анало-
гично задаче 32.5 (1). OtK=5 см, О2К = 9 см.
2) 67,5 см2, 30 —ЗД/ТО см.
32.7.	1) Пусть О — точка пересечения диагоналей ромба. Тог-
да из треугольника МВО МВ*=ВО2А~ОМ2, а из треугольника
АВО АВ2=ВО2+АО2. Значит, МВ2-АВ2=ОМ2-АО*=(ОМ-
—АО)-(ОМ4-ДО). Учитывая, что АО = ОС, МС = ОМ — ОС,
ОМ-{-АО==АМ, получим равенство МВ2 — АВ2 — МС-АМ.
2)	Из треугольника АВС АС2 — ВС24-АВ2. Из треугольника
BDC BC2=BD2 + DC2. Из треугольника ADB AB2=BD2+AD2.
Учитывая, что AC=AD + DC, получаем (AD-\-DC)2=2BD2A~
+ DC2+AD2, откуда BD2 = AD-DC.
188
Рис. 277
32.8.	1) Из треугольника ACM AM2 = АС2-]-СМ2. Из тре-
угольника ВСН ВН2 = ВС2-\-НС2. Складывая записанные ра-
венства, получим АМ2 + ВН2 = АС2 + ВС2+СМ2-\-НС2. Но из
треугольника АВС 4С2 + ВС2 = х2, а из треугольника МНС
СМ2+НС2=МН2. Значит, у2=х*+МН2. МН^у2-*?.
2)	Используя различные записи формулы площади треуголь-
ника АВС, получаем АВ • ВС = BD -АС, или АВ’ВС2=
= BD2’AC2. Из треугольника АВС ВС2—АС2—АВ2. Из треуголь-
ника ABD BD2=AB2-AD2. Значит, АВ2-(АС2-АВ2)=(АВ2-
-AD2)-AC2, или AB*=AD2AC2, откуда А& = АО-АС.
33.3.	1) 5 см, 250 см2. 2) 0,5а2 лД
33.4.	1) 11 см, 162 см2. 2) 0,5а2 д/2.
33.5.	1) Возможны два случая: а) точка D лежит на отрезке
АС (рис. 277, а); б) точка D не лежит на отрезке АС (рис. 277, б).
В обоих случаях из треугольника ABD находим AD = 8 см.
Из треугольника BDC DC = 20 см. В случае a) AC—ADA-
4-£)С = 28 см. В случае б) AC = DC—AD = 12 см. Площадь тре-
угольника равна 210 см2 или 90 см2.
2)	Пусть ВК — высота ромба. В треугольнике АВК
АК=0,5АВ. Тогда АВ2-0,25ЛВ2=х2, откуда АВ=^^-. Но
AB = AD. Можно доказать, что треугольник AMD также имеет
высоту, равную х. Тогда его площадь равна —-—.
О
33.6.	1) 2 +2^' см2 или 2 — 2-"?“ см2. 2) 60 см2,
о	«5
189
33.7.	Проведем прямую ВК параллельно прямой CD
(рис. 278). Можно доказать, что ДК=10 см, ВК = Ъ см. Тогда по
теореме, обратной теореме Пифагора, установим, что треугольник
АВК прямоугольный. Пусть BE — общая высота треугольника
АВК и трапеции ABCD. Используя различные записи формулы
площади треугольника АВК, получаем ВЕ>АК = АВ*ВК, откуда
ВЕ = 4,8 см. Площадь трапеции равна 60 см2.
33.8.	Указание. Проведем прямую СК, параллельную
прямой BD (рис. 279). Можно доказать, что С/С=12 см,
АК= 15 см. Тогда установим по теореме, обратной теореме Пи-
фагора, что треугольник АСК прямоугольный. Далее задача ре-
шается аналогично задаче 33.7. Площадь трапеции равна 54 см2.
34.5.	2) Так как АВ = ВС, то 4S:Z^=7:5. BE — биссектриса
угла АВС, следовательно, луч BE содержит отрезок BD — бис-
сектрису треугольника АВК. Значит, АВ\ВК = AD\DK=7 '.Ь.
34.7.	2) По теореме о биссектрисе треугольника
ВАХ __ВС-ВАХ
~АВ~ АС *
Учитывая, что ВС=АВ и ВАХ=АВХ=^АС, получаем
АВХ АВ-^ЬАС ЛГ-АС АВ пс
-АВ= АС ИЛИ °’5 ЛВ = ЛС-°’5-
Пусть •^=х. Тогда 0,5х=-^—0,5, откуда	2 = 0. Так как
х>0, то х=1. Значит, ^-=1 и АС — АВ = ВС.
34.8.	По условию Z.1 = Z2=Z3 (рис. 280). Значит, СМ —
биссектриса треугольника ACD, поэтому AM:MD = AC:CD. Тре-
угольники MCD и BCD равны (по катету и острому углу), зна-
чит, BD = DM. Кроме того, АМ = МВ, так как СМ — медиана.
Тогда AM:MD = AM:(0,5МВ) = 2:1. Следовательно, в прямо-
угольном треугольнике ADC AC = 2CD, т. е. Л CAD = 30°,
Z.ACD = 60°, Zl=30°, значит, ЛАСВ = 90°.
35.3.	2) 32 см; 64:49. 35.4. 2) 19,2 м; 25:9.
35.5.	1) В треугольниках ABD и АВС (см. рис. 153) угол А об-
щий, Z1 = Z.2 по условию, значит, эти треугольники подобны.
AD АВ
Следовательно,	, откуда, учитывая условие задачи, по-
лучаем АВ = 6 см. Отношение площадей треугольников ABD и
В
м
Рис. 280
ЛЗС равно
2)	Рассмотрим треугольники AOD
и ВОС. В них Z_AOD= ЛВОС,
АО DO э
~СО==~ВО- Значит, эти треугольники
А подобны. Следовательно, Z-BDA =
= Z-CBD, а потому BC\\AD. Таким об-
В
190
разом, точки В и С равноудалены от прямой AD, т. е. треуголь-
ники ACD и ABD имеют одинаковые высоты; так как основание
AD у этих треугольников общее, то их площади равны.
35.6.	1) ЛАСВ= ЛСМН,	(см. рис. 154). Значит,
треугольники АВС и МСН подобны. Следовательно, Z.ABC —
— 2-МСН. Значит,АВ||СН. Отношение площадей треугольников
АВС и МСН равно ^=4-
2)	BCWAD, так как ABCD — трапеция, Z.BOC—Z.AOD,
Z.BCA = Л. DAC. Значит, треугольники ВОС и AOD подобны по
двум углам, причем -^=-^-=-|. В треугольниках АВС и
ACD высоты, проведенные к сторонам ВС и AD, равны. Значит,
„	ВС	2
отношение их площадей равно , т. е. равно .
_ .. ..	АВ ВС АС 4
36.5.	1) Можно заметить, что -т-7г=-л-5_=_н_7_=т > значит,
Д|С| A jbJj tj । С ।	о
данные треугольники подобны, причем ZCj== Z4 = 180° —
-ZC-ZB.
2)	Пусть ABCD — данная трапеция, О — точка пересечения
ее диагоналей. Опустим перпендикуляры ОМ и ОК на основания
AD и ВС трапеции соответственно. Так как AD\\BC, то точки К,
О и М лежат на одной прямой. Значит, КМ — высота трапеции,
равная 10 см. Можно доказать, что треугольники AOD и ВОС
подобны, причем отношение высот этих треугольников ОМ и ОК
равно отношению сходственных сторон Аи и ВС. Следовательно,
ОМ:ОК = 3:2, ОМ = 6 см, ОК = 4 см.
36.6.	1) Пусть а, 6, с соответственно катеты и гипотенуза од-
ного треугольника, a al9 blf — катеты и гипотенуза другого.
Допустим, что —==—=&. Тогда b2 = c2 — a2 = (kcl)2 — (ka1)2 =
ai ci
= k2 (rf—a2)=k2b2. Отсюда у-=Л. Следовательно, стороны данных
треугольников пропорциональны, а потому эти треугольники по-
добны.
2)	Пусть О — точка пересечения прямой МН и отрезка ВК.
Можно доказать, что треугольники МВН и АВС подобны, при-
чем Z.BMO= Z.BAC. Тогда, учитывая, что угол АВК является
общим для треугольников МВО и АВК, получаем, что эти тре-
угольники также подобны. Значит, АВ: МВ = ВК'.ОВ=4:3,
ВО:ОК=3:1.
36.7*	. 1) Можно доказать, что треугольники АРМ и СКТ по-
добны, причем Z_APM= Л.СКТ и МРФКТ. Продолжим отре-
зок МР до пересечения с прямой ВС в точке Е. Тогда в силу
параллельности прямых ВС и AD Z_APM= Z-РЕК. Значит,
Л.РЕК= Z-СКТ. Отсюда следует, что КТ\\МР, т. е. четырехуголь-
ник МКТР — трапеция.
191
2) Пусть АВС и Д^С^— два
данных равнобедренных треугольни-
ка, в которых АВ = ВС, АХВХ — ВХСХ
(рис. 281). Пусть AM и Д^— ме-
дианы этих треугольников. Можно
доказать, что треугольники АВМ и
АХВХМХ подобны и, следовательно,
Z-BAM = Z.BXAXMX. На продолжениях
медиан отложим МТ = АМ и МХТХ =
= Д1Л41. Можно доказать, что подобны и треугольники АВТ, АХВХТХ.
Значит,-^|-=-^-, но ВТ = АС и ВХТХ = АХСХ. Учитывая равен-
ство боковых сторон равнобедренного треугольника, получим
, т. е. треугольники АВС и Д^С^ подобны.
36.8. 1) Треугольники ВМЕ и TDH подобны по трем сторо-
нам, значит, Z_BME= Z.DTH, Л.ВЕМ= Z.DHT. Но углы ВМЕ
и DTH соответственные при прямых АВ и CD и секущей МН, а
углы ВЕМ и DHT соответственные при прямых ВС и AD и секу-
щей МН. Следовательно, ДВЦСО и ВС||ДО. Значит, ABCD — па-
раллелограмм.
2) Пусть в треугольнике АВС ААХ и ССХ— высоты. Тогда
треугольники АВАХ и СВСХ подобны по двум углам, причем
АВ АХВ
—=£-£•,следовательно, треугольникиАХВСХ и АВС подобны по
двум сторонам и общему углу АВС между ними.
37.1. 1) 36 см. 2) 2 см. 37.2. 1) 17 см. 2) 8 см.
37.3. 1) 94-ЗД/З см. 2) 16 см, д/Пз’ см, у[ТТз см.
37.4. 1) 4Д/г'4-4 см. 2) 48 см, Зд/ПУ см, 3Д/ТТз’ см.
37.5. 1) А2В2 = 0,5АхВх, так как А2В2 — средняя линия тре-
угольника ОАХВХ, а АхВх = 0,5АВ, так как Д^— средняя линия
треугольника АВС. Значит, А2В2:АВ=1:4. Аналогично доказы-
вается, что В2С2: ВС = А2С2:АС = 1:4. Следовательно, треуголь-
ники А2В2С2 и АВС подобны.
2) Пусть в треугольнике АВС АВ=15 см, ВС=15 см, АС =
= 24 см. Медианы ААХ, ВВХ, ССХ пересекаются в точке О. Тогда
ВВХ=9 см, ВХО = 3 см, так как ВО:ОВХ = 2:1. ВХО — расстояние
от точки О до прямой АС. Площадь треугольника ВВХС равна
54 см* 2. Площадь треугольника ОВС равна |•54 = 36 см2 (так как
в треугольниках ОВС и ВВХС высоты, проведенные из вершины
С, равны, а основания относятся как 3:2). Высота ОМ треугольни-
ка ВОС является расстоянием от точки О до прямой ВС. Эту вы-
соту можно найти, зная площадь треугольника ВОС и основание
ВС. ОМ = 4,8 см.
37.6. 1) Указание. Решение аналогично задаче 36.5 (1).
2) Пусть в треугольнике АВС АВ = ВС, медианы ААХ, ВВХ,
ССХ пересекаются в точке О. Тогда = см и площади тре-
192
угольников ВОС и ВХОС относятся как 2:1 (см. задачу 37.5 (2)).
Пусть ОМ — расстояние от точки О до прямой ВС. Согласно усло-
вию задачи оно равно 8 см. Тогда ——=-----------или, учитывая
4
данные задачи, получаем В{С=— ВС. С другой стороны, из тре-
угольника ВВ{С ВВ2-}-ВхС2 = ВС2 или 225-|-^|-ВС2 = ВС2, откуда
SC = 25 см, АС = 40 см.
38.3.	1) 12,	-!£.
38.4.	1)	® . 12, %.
38.5.	1) Пусть один из отрезков, на которые гипотенуза де-
лится высотой, равен %, тогда второй равен 5 — х. Имеем 22 =
= х(5 — х). Решив это уравнение, получим, что Xj = l, х2 = 4. Ка-
теты равны у/5 и 2Др.
2)	Построим острый угол с вершиной М. На одной стороне
угла отложим последовательно отрезки МН = А2В2 и НК=АВ,
на другой стороне МР = А{ВХ. Через точку К проведем прямую,
параллельную прямой ИР. Обозначим точку пересечения по-
строенной прямой и прямой МР буквой Т. Тогда можно до-
казать, что МН :КН = МР*.РТ. Это означает, что РТ будет иско-
мым отрезком.
38.6.	1) 1 см, Д/3~ см, 2д/3~ см.
38.7.	1) Так как DM — биссектриса угла CDA, то АМ = МК.
Тогда МК = ВМ, значит, луч СМ — биссектриса угла BCD. Сле-
довательно, сумма углов MCD и MDC равна 90°. Тогда треуголь-
ник CDM является прямоугольным, а МК — высота этого тре-
угольника, проведенная к гипотенузе. Значит, МК?=СК* KD,
МК = & см.
2)	Построим прямоугольный треугольник с гипотенузой а-}-Ь
и катетом |а — Ь\. Тогда по теореме Пифагора найдем, что вто-
рой катет равен 2у[аЬ. Далее делим второй катет на три части.
38.8.	1) Пусть в трапеции ABCD BC||4D, Z.B4D = 90°,
BDJLAC, АВ = 2, ДО = 3. Проведем через точку В прямую, па-
раллельную прямой АС. Пусть Р есть точка пересечения этой
прямой с прямой AD. Тогда можно доказать, что ZPBD = 90°,
РА = ВС. Значит, АВ2=РА-AD = BC-AD. ВС=^.
О
/-- 2 /----
2)	Указание. 0,4 =-g-yaZ> . Далее см. решение зада-
чи 38.7 (2).
39.3.	Сначала построим какой-нибудь треугольник Л1В|С1, по-
добный искомому, в котором углы Л, и В1 равняются соответст-
венно двум данным углам. Далее построим высоту С|О| треуголь-
ника AjBiCj и на луче CiDt от начала отложим отрезок CtDb
равный данной высоте. Через точку D проведем прямую АВ, па-
раллельную прямой Л|В|. Она пересечет стороны угла С( в неко-
7 Зив Б Г., 7—11 кл.	193
торых точках А и В. Тогда треугольник АВСХ искомый. В самом
деле, ЛВИД^ь значит, Z.4 = Z4b ZB=ZBb CXD-LAB. Сле-
довательно, треугольник АВС удовлетворяет условию задачи.
39.4.	Указание. Задача решается аналогично задаче 39.3.
39.5.	Возьмем произвольный отрезок PH. На сторонах угла Д,
равного данному углу, отложим отрезки АВХ = РН, АСХ = 2РН.
Соединим точки Вх и отрезком. Далее в £±АВХСХ проведем ме-
диану АМХ и на луче AMj от его начала отложим отрезок AM,
равный половине данной в условии диагонали. Через точку
М проведем прямую ВСЦВ^р Прямая ВХСХ пересекает лучи АВХ
и ДС?! в точках В и С соответственно. Далее от точки М на луче
АМХ отложим отрезок МО, равный AM. Соединим точку D с точка-
ми В и С отрезками. Четырехугольник ABCD будет искомым па-
раллелограммом. Докажем это.
Так как ВСЦВ^, то можно доказать, что пары треугольни-
ков АВС и ДВД, АВМ и АВХМХ, АСМ и АСХМХ подобны. Тогда
имеем АВ'.АВХ =АС:АСХ, ВМ:ВХМХ=АМ:АМХ = СМ:СХМХ, отку-
да следует, что ВМ:СМ = ВХМХ:СХМХ== 1:1 и АВ:АС = АВХ:
:АСХ = 1:2. Значит, ABCD — параллелограмм, в котором угол А
и диагональ АО равны данным по построению, а также сторо-
ны относятся как 1:2 по доказанному.
39.6.	Указание. Задача решается аналогично задаче 39.5.
39.7.	Сначала построим треугольник МХНХРХ, в котором МХНХ =
= НХРХ, Z_MXHXPX=9Q° (рис. 282). Затем проведем луч АНХ, который
пересечет сторону ВС в точке Н и отрезки МН и HP, параллельные
отрезкам МХНХ и НХРХ соответственно. Треугольник МНР будет
искомым. В самом деле, так как МН\\МХНХ, НР\\НХРХ, то можно до-
казать, что пары треугольников АМН и АМХНХ, АНР и АНХРХ подоб-
ны. Следовательно, МН\МХНХ=АН\АНХ = РН\РХНХ и ААНХМХ =
= ААНМ, Z_AHXPX= Z-АНР. Тогда МН\РН = МХНХ\НХРХ = 1:1, а
также Z_MHP= Z_AHXMX+ /_АНХРХ = ЫУ>.
39.8.	Указание. Задача решается аналогично задаче 39.7.
40.1. 6 м. 40.2. 168 м. 40.3. 22,5 м. 40.4. 71,7 м.
41.1.	2) 4 см и 20 см. 41.2. 2) 70 м, 420 м.
41.3.	2) 32 м, 20 м. 41.4 2) 20 м, 36 м.
41.5.	1) Рамка имеет вид, изображенный на рисунке 283. Тог-
да Л,В1 = 26 см, ад = 36 см;	и	. Это
/Ю £JU	ZJG /1£5
Рис. 282	Рис. 283	Рис. 284
194
означает, что сходственные стороны прямоугольников ABCD и
AXBXCXDX не пропорциональны, значит, эти прямоугольники не яв-
ляются подобными.
2)	Так как трапеция ABCD равнобедренная, то можно дока-
зать, что Z_BCA= Z.CBD. Кроме того, АВ = ВС, поэтому
Z-BCA = Z.ВАС. Следовательно, треугольники АВС и ВОС подоб-
ны по двум углам, причем стороны АС и ВС в этих треугольни-
ках сходственные, значит, отношение периметров треугольников
АВС и ВОС равно отношению АС: ВС, т. е. равно 5:4.
41.6.	1) На рисунке 284 прямоугольники ABCD и ВАРЕ соот-
ветствуют целой и половине плиты. Так как прямоугольники
ABCD и ВАРЕ подобны, то	учитывая, что ДР = 0,54£),
получаем AD:AB=y[2 :1.
2)	Пусть в трапеции ABCD AD и ВС — основания, 40 = 9 см,
ВС = 4 см, ДС = 6 см. Тогда можно заметить, что -g^-=-^-, КР°"
ме того, А ВС А = ACAD. Значит, треугольники ADC и АВС по-
добны по двум сторонам и углу между ними, причем AD и АС —
их сходственные стороны. Следовательно, отношение периметров
этих треугольников равно AD:AC, т. е. равно 3:2.
42 5 — 33 — •	12	5	-	А	1	1
’ ’ 65 ’ 65 ’ 33 ’	13 ’	13 ’	5 ’	5	’ 5 ’ 3 '
42 6- А А- 15 8	J5.	84	13	84
’’ 5’5’4’ 17	’ 17	’ 8	’	85	’	85 ’	13 *
43.1.	1) 4,24 см, 1,96 см, 24°48'. 2) 70°, 70°, 40°.
43.2.	1) 9,3 см, 8,2 см, 48°39'. 2) 20°2', 20°2', 139°56'.
43.3.	1) 34,8 см, 12,2 см, 69°30'. 2) 9,0 см1 2, 18,8 см.
43.4.	1) 17,8 см, 8 см, 26°36'. 2) 124 см2, 45,6 см.
43.5.	1) 4,2 см, 50°Г, 39°59'. 2) 48°35', 90°54', 5,2 см.
43.6.	1) 3,2 см, 50°40'. 2) 20,7 см, 21О13', 17°34'.
44.5.	1) /(cos уtga — sin-0.
2)	Можно доказать, что ААВС тупой, значит, точка D лежит
на продолжении отрезка АВ за точку В. Из прямоугольного тре-
40
угольника ACD находим ДС=^=см. Пусть BE — высота тре-
20
угольника АВС. Тогда АЕ——=см. Из прямоугольного треуголь-
"v з
ника АВЕ найдем В£=-у-см.
44.6.	1) т (sin a — cos a tg (a — 0)). 2) 30 cm.
44.7.	Можно доказать, что треугольники АСЕ и BFC подоб-
АЕ	AC	FC	1	АС 1	п
ны, причем	тогда	Следовательно, ис-
£>Г	DC	dL	Z	4
1
комыи косинус равен —.
195
44.8.	4.
D
45.5.	1) Указание. Рассмотрите равнобедренный треуголь-
ник АОВ и докажите, что треугольник АМВ равносторонний.
Его периметр равен 24 см.
45.6.	1) 124-6 Д/З СМ.
46.5.	1) Z.АСВ = 28°. Далее сумма углов четырехугольни-
ка РВКО равна 360°, значит, Z.POK= 123°. Следовательно,
ч>РК=123°. Аналогично определяем, что <^/(7=152о, РТ =
=85°. По теореме о вписанном угле находим Z.PKT = 42°30/.
2)	По теореме о произведении хорд окружности имеем
СК* KD = AK* КР (рис. 285). Пусть радиус окружности равен
х. Тогда КС = х— 11, KD = x+ 11. Значит, (х+ 11)(х— 11)= 168 и
х>0. Получаем х=17 см.
46.6.	1) Сумма углов четырехугольника МАОС равна 360°,
тогда ZAOC = 98°, Z.ABC = 49° как вписанный. Аналогично на-
ходим ZACB = 69°. Тогда ZCAB = 62°. 2) 5 дм.
47.3.	1) 38°. 2) 2:3.
47.4.	1) 16Д/3 см2. 2) 10 см, 2Д/73 см, 4^[\3 см.
47.5.	1) /-ВСС{ = 30°. Z_ABC = 60°. Высота ААХ треугольни-
ка АВС проходит через точку О. Тогда из прямоугольного тре-
угольника ВААХ Z_BAAi = 30°.
2)	ВО = 24 см, ОС = 10 см по теореме о точке пересечения ме-
диан треугольника. Тогда из прямоугольного треугольника ВОС
находим ВС = 26 см. Медиана АА} треугольника АВС проходит
через точку О. ОА{ = 13 см, так как медиана прямоугольного
треугольника ВОС. проведенная из вершины прямого угла, рав-
на половине гипотенузы. АО = 20 Ах = 26 см.
47.6.	1) Точка пересечения серединных перпендикуляров к
сторонам треугольника равноудалена от его вершин. Значит,
ю д/з~
ОА = ОВ = ОС. Находим ОА=—у—см (сторону равнобедренно-
го треугольника АОВ с данным основанием и углом при верши-
. „	io д/Г
не). Тогда ОС=——см.
2)	Точка О, равноудаленная от сторон треугольника АВС. яв-
ляется точкой пересечения биссектрис AAlt BBlt ССХ. Тогда, при-
меняя к треугольнику АВС теорему о сумме углов треугольника,
196
получаем 2ZABO + 2ZOAB + 4^OCB= 180°. Так как ZABO =
= 39°, то ZOAB + ZOCB = 51°. Учитывая, что ZOAB=ZOAC,
a ZOCB=ZOCA, находим, что Z.AOC= 129°.
47.7*	. Пусть А и В — точки пересечения окружности с пря-
мой a, a Bj и At — общие точки прямых AM и ВМ с окружностью
соответственно. Тогда ZAAjB= ZAB1B = 90°, так как АВ —
диаметр окружности. Значит, отрезки ААХ и ВВХ — высоты тре-
угольника АВМ. Пусть О — точка пересечения этих высот. Тогда
прямая МО содержит третью высоту треугольника АМВ. Значит,
МО .LAB и прямая МО искомая.
48.5.	1) В треугольнике ABC Z_B = 30°9 ZC = 90° (рис. 286).
Тогда Z ВАС = 60°, О — центр вписанной окружности, Af, Р, К —
точки касания окружности сторон треугольника АВС. Тогда О А —
биссектриса угла ВАС. Значит, 2_ОАС = 30°. В прямоугольном
треугольнике ОКА ОК = 4 см, КА = 4у/3 см, КС = 4 см, АС =
= 4 + 4Д/3 см.
2)	Пусть в прямоугольной трапеции ABCD с основаниями ВС
и AD ZA =90°, О — центр вписанной окружности, СО = 6 см,
DO = 8 см. СО и ВО — биссектрисы углов ADC и ACD. Тогда
Z OCD + Z О DC=0,5 Z ADC+0,5 Z BCD=Q,b(AADC+A_ BCD)=
= 0,5-180° = 90°. Значит, Z COD = 90°. Из прямоугольного тре-
угольника OCD найдем CD =10 см. Высота ОМ треугольника
OCD является одновременно и радиусом вписанной окружности.
Используя различные записи формулы площади треугольника
OCD, получаем OM*CD = OC*OD9 откуда OAf = 4,8 см. АВ=9,6 см,
так как АВ равна диаметру окружности. По свойству описан-
ного четырехугольника AD + ВС=АВ-\~ CD = 19,6 см. Площадь
трапеции равна ^-•(AD + ВС) = 94,08 см2.
48.6.	1) 1О(Д/3+1) см. 2) 216 см2.
49.5. 1) Пусть в треугольнике АВС АВ = ВС, О — центр опи-
санной окружности, ВМ — высота. Тогда AfC = 6 см, ВМ = 8 см,
ОВ = ОС, ОМ = 8 — ОС, если точка О лежит внутри треугольника
ЛВС, и ОМ = ОС — 8, если точка О не лежит внутри ДАВС. Из
ДЛЮС получаем (ОС — 8)2Д-62 = ОС2, откуда ОС = 6,25 см.
2) Пусть в трапеции ABCD AB = CD, О — точка пересечения
диагоналей, Z.BOA =48°, AD — диаметр описанной окружности.
Тогда Z.ABD = 90°. По внешнему углу при вершине равнобед-
ренного треугольника AOD находим Z ВОД =24°. Значит,
ZDBC = 24°, ZABC=114°, ZBAD = 66°.
49.6. 1) 12,5 см.
2) Пусть в трапеции ABCD AB = BC = CD = 5 см, ZBAD =
= Z CAD = 60°. Найдем, что AD = 10 см. Обозначим середину от-
резка AD буквой О. В треугольнике АОВ АВ = АО = 5 см,
ZBAO = 60°, значит, и ZBOA = ZABO = 60° и ВО = АВ = 5 см.
Аналогично СО = 5 см. Значит, точка О равноудалена от всех
вершин трапеции, т. е. является центром окружности, описанной
около нее. Радиус этой окружности равен 5 см.
197
50.3.	2) Да.
50.5.	2) ЕК = ^ АС, так как ЕК=^АС и £7(||ДС по теореме
о средней линии треугольника, аналогично НМ = ^ АС. Значит,
Тк=нм.
50.6.	2) Точки А, В, С, D являются вершинами некоторого че-
тырехугольника ABDC, так как никакие три из четырех точек Д,
В, С, D не лежат на одной прямой. Четырехугольник ABDC яв-
ляется параллелограммом, потому что из условия AB = CD сле-
дует, что отрезки АВ и CD лежат на параллельных прямых и
равны. Значит, диагонали четырехугольника ABDC — отрезки
AD и ВС пересекаются и в точке пересечения делятся пополам.
51.5.	2) Параллелограмм, построенный на векторах Ь и с, бу-
дет ромбом с тупым углом, равным 120°. В таком ромбе мень-
шая диагональ равна его стороне. Значит, |&4-c| = |6| = ld =
= |а|. Вектор Ь-\-с будет направлен по меньшей диагонали ром-
ба, т. е. будет противоположен вектору а. Значит, а + &4-с = 0.
51.6.	2) У к а з а н и е. Задача решается аналогично задаче
51.5 (2). Следует сложить по правилу параллелограмма векторы
а и Ь.
52.1.
52.2.
52.3.
52.4.
52.5.
2) а) СВ=АВ — АС', б) МА=ВА-ВМ.
2) а) ВД = СД-СВ; б) ВВ = ДВ-ДВ.
2) АВ=—с, ВС = с — а, DA = a — с.
2) ВС=с-|-а, DC = a, DA = —а — с.
2) Так как ABCD — параллелограмм, то AB = DC. Зна-
чит, ОВ — О А = ОС — OD. Отсюда получаем О А = ОВ — OCA-OD.
52.6.	2) Из условия следует, что ОВ — ОА = ОС — OD. Зна-
чит, ДВ = ОС, т. е. отрезки АВ и CD имеют равные длины и ле-
жат на параллельных прямых. Следовательно, четырехугольник
ABCD является параллелограммом.
53.1.	2) а) СД; б) 6. 53.2. 2) а) СМ; б) 5.
53.3.	2) 6,5 см. 53.4. 2) 16 см.
53.5.	2) Проведем высоту СМ в трапеции ABCD, так как
угол АВС равен 45°, то углы CAD и CDA также равны 45°,
т. е. CA = CD и AM = MD. Далее можно доказать, что ВА = СМ
и ВДЦСМ. Значит, ~СВ-СА + ~CD = AB + CD = MC +~CD=~MD.
\MD\=Q$AD=^~.
53.6.	2) —. Указание. Задача решается аналогично
задаче 53.5 (2).
198
54.1.	2) 0A =—0,5AB — Q,5AD, AK=0,5AB+AD.
54.2.	2) DP = 0,5D4+0.5DC, DM = 0,504 4-DC.
54.3.	2) АК=р + 0,2Л, KD=-p + 0,8£.
54.4.	2) CE = p+±k, ET=^k-±p.
54.5.	2) MH = MA + AH=-l(a + p)+±p=-la-±p.
о	ZOO
54.6.	2) ’ET = EB + BT=Ua + p)-^a=^a+^p.
55.3.	1) a) 2; б) в) —1.
2)АС='ВС-'ВА=ЗВН-ЗВМ = 3(ВН-ВМ)=ЗМН. Так как
точки М и Н не принадлежат прямой АС, то ДС||ЛШ; кроме того,
АС = ЗЛШ.
55.4.	1) а) 2; б) 1; в) — 1. 2) Указание. Задача решается
аналогично задаче 55.3 (2).
55.5.	1) Вектор ар будет коллинеарен вектору р при любом
действительном значении а. Так как векторы а и р неколлинеарны,
то а=/=ар. Полученное противоречие доказывает, что искомого
числа а не существует.
2)	АЕ = ME — МА = ОМ + МВ = OB. С другой стороны, ОТ =
= НТ-нЬ = ОИ + НВ = ОВ. Значит, АЕ — DT. Отсюда следует,
что ДЕЦОТ и AE = DT. Значит, четырехугольник AETD является
параллелограммом.
55.6.	1) а = 0, 0 = 0.
55.7.	1) Пусть М — середина отрезка КЕ. Тогда AM=±AK-J-
। —►-	—>- —> J —>-	—►- 2 —
+ — АЕ. Учитывая, что АК=АВ-\- — AD, а АЕ—— AD, получаем
2	о	о
AM=^AB-]~AD. С другой стороны, АО=±АС=± AB-f-
+ ±AD. Значит, AM = АО, а потому точки М и О совпадают.
2) Пусть две медианы ААХ и ВВХ треугольника АВС пересе-
каются в точке О, причем AO = xOAl9 BO = yOBl9 где х и у — не-
которые действительные числа, отличные от нуля. Тогда
ДВ = ЛО + ОВ = хОД1- уОВх, кроме того, АВ — СВ — СЛ =
= 2СХ —2СВ^ = 2ВХ = 2ОЛ—20Bj. Значит, хОАх — уОВ\ =
= 2ОАХ — 2ОВХ. Учитывая, что векторы ОАХ и ОВХ неколлинеар-
ны, получаем х=у = 2. Следовательно, в любом треугольнике
любые две медианы делятся точкой пересечения в отношении
2:1, считая от вершины.
199
55.8.	1) Пусть СВ = хС4ь СА=уСВъ где х и у — некоторые
действительные числа, отличные от нуля. Тогда АВ=АО + ОВ =
= 2ОЛ1 — 2ОВ1 = 2В1Д1. Кроме того, АВ = СВ — СА = хСАх — уСВ х.
Так как ВХАХ = САХ — СВ{, получаем хСА{ — уСВ} = 2СА} — 2СВ}.
Векторы СА1 и СВ{ неколлинеарны, значит, х=у = 2. Следова-
тельно, отрезки АА{ и ВВ{ являются медианами треугольника.
2)	Пусть в параллелограмме ABCD О — середина диагона-
ли BD, а М — середина диагонали АС. Тогда АО=± АВ + ^ AD
и AM=jAC=^AB-j-^AD- Следовательно, АО = АМ , т. е. точ-
ки Af и О совпадают, откуда следует утверждение задачи.
56.5.	1) Пусть в равнобедренной трапеции ABCD диагональ
BD составляет с большим основанием AD угол 60°. Проведем пер-
пендикуляры ВК и СМ из вершин В и С на прямую AD. Тогда
AK = MD, ВС = КМ. Длина средней линии трапеции равна
0,5(BCA-AD) = KM-\-MD = KD. Учитывая, что BD = 4 см, най-
дем KD = 2 см.
2)	Единственный случай, соответствующий условию, показан
на рисунке 287. Тогда AD = 2BC, а длина средней линии равна
1,5ВС.
56.6.	1) 8 см. 2) Единственный случай, соответствующий
условию, показан на рисунке 288.
57.1.	б) 4 см2, 12 см; в) ВО = 4ВЛ4 + ВС.
57.2.	б) 40 см, 84 см2; в) ~РМ=^ 'РВ+'РТ.
57.3.	б) 20 см, 20 см2; в) =
□
57.4.	б) 52 см, 156 см2; в) СА = СТ4-^| ~CD.
57.5.	а) Легко доказать, что MB = K.D = 2 см и MB\\KD. Зна-
чит, MBKD — параллелограмм. Далее проведем высоту ромба
DE к стороне АВ. Тогда из треугольника DBE О£2=(2'\р)2—
— BE2, а из треугольника DAE О£2 = 52—(5 — BE)2. (Если точ-
ка Е не попадает на отрезок АВ, то DE2=52—(BE — 5)2 = 25 —
200
— (5 —В£)2.) Имеем 20-BE2 = 25-(5-BE)2, откуда ВЕ = 2 см.
Значит, точки £ и Af совпадают, и, следовательно, Z.BAfZ) = 90°,
т. е. MBKD — прямоугольник.
б)	DM = DE = 4. Значит, периметр прямоугольника MBKD
равен 12 см, а площадь 8 см2.
в)	О4 = КС-|-СВ + ВМ=|вА-ВС4-|вА = -0,2ВА-ВС.
57.6.	б) 40 см, 96 см2; в) ~РМ = -~МТ-^~МА.
58.1.	б) 6,1 см, 5,1 см, 4,3 см, 76 см2.
58.2.	б) 4,1 см, 2,9 см, 2,0 см, 11,2 см2.
58.3.	1) Указание. Отношение площадей подобных тре-
угольников DEC и ADM равно квадрату коэффициента подобия.
Значит, вначале следует найти площадь треугольника ADM.
Площадь треугольника DCE равна 94,4 см2.
58.4.	1) 68,4 см2. 2) |.
58.5.	1) Можно доказать, что треугольники AOD и ВОС по-
20
добны. Отсюда находим ДО = 6 мм, АО=— мм. Далее находим
О
искомый угол из прямоугольного треугольника AOD, Z.AOD —
= 64°9'.
2)	Можно доказать, что треугольники DBE и АВС подобны
с коэффициентом подобия, равным BD’.BC. По косинусу угла С
4
найдем sin С = —, а из прямоугольного треугольника КВС най-
□
дем ВС = 20 мм. Тогда коэффициент подобия равен 4:20 = 0,2,
а искомое отношение 0,04.
58.6.	1) 48°35'. 2) 12 см.
58.7.	1) Можно доказать, что треугольники АВС и ADC по-
добны, причем	т. е. AC2=BC-AD, откуда АС = 4. Вы-
Л С /I и
сота СЕ трапеции находится из прямоугольного треугольника
САЕ. Площадь трапеции равна 12,9 см\
2)	Пусть угол АВС равен х, тогда Z_MCH = 180° — х,
Z-МАН = х, так как сумма углов четырехугольника АМСН равна
360°, тогда Z_MAH = ЛАВС. Известно также, что две высоты
параллелограмма обратно пропорциональны сторонам паралле-
ли АН	AM АН
лограмма, на которые они опущены, тогда —или ттг—"тгтг.
Си НС	АВ	ВС
Следовательно, треугольники МАИ и АВС подобны по двум сто-
ронам и углу между ними. Их коэффициент подобия равен
А4//:ДС = 3:4. Тогда искомое отношение равно 9:16.
58.8.	1) 4,0 см2. 2) 4:9.
59.5.	1) Указание. ОС2=О£>-АО = 48, ОС = 4Д/3 см. От-
сюда из треугольника АОС получаем Z.AOC = 30°, Z.BOC = 60°.
Следовательно, '-'ВС = 60°.
201
2)	Пусть ABCD — данная трапеция, в которой ДО = 24 см,
ВС=10 см, высота BE равна 17 см. Окружность, описанная око-
ло трапеции, будет также описана около треугольника ABD.
Можно найти, что АЕ = 7 см, ED= 17 см. Тогда угол DBE равен
45°. Отложим на луче ЕА от точки Е отрезок ЕК, равный
17 см. Тогда Z./(Z?£ = 45O, a Z.АВЕ <45°. Следовательно,
Z-ABD<90°. Далее, углы BAD и CDA острые, так как являются
углами при большем основании трапеции, а угол BDA меньше
угла CDA и, следовательно, тоже острый. Таким образом, тре-
угольник ABD является остроугольным. Значит, центр окружно-
сти, описанной около него, лежит внутри этого треугольника и,
следовательно, внутри трапеции.
59.6.	1) Треугольник CBD является вписанным в окружность,
центр которой лежит на стороне ВС, Значит, Z_BDC = 90°.
ВСА-СА по свойству касательной. Таким образом, CD является
высотой, опущенной из вершины прямого угла треугольника
АВС. Значит, CD2 = BD-AD = 12, СО = 2Д/3^ см. Далее из тре-
угольника CBD находим Z.CBD = 30°. Так как угол CBD впи-
санный, то искомая градусная мера равна 60°.
2)	Пусть BD = x, тогда из прямоугольных треугольников ABD
и BCD находим ДВ = 0,5х, ДО = 0,5Д/3х, ВС = х, CD = x^/2. Ес-
ли предположить, что биссектрисы всех углов четырехугольника
ABCD пересекаются в одной точке, то существует точка, равно-
удаленная от всех сторон четырехугольника, т. е. в этот четырех-
угольник можно вписать окружность. Значит, должно выполнять-
ся условие AB-\-CD = BC-\-AD. Но 0,5х-|-х=/= х + 0,5~\/3 х.
Значит, наше предположение неверно.
60.3.	1) d = 8i + 10/. 2) а и с, b и d.
60.4.	1) р= —6i +0/. 2) т и и, т и р, п и р, п и k, р и k.
60.5.	1) Пусть М — середина стороны ВС. Тогда АМ =
=1(ЛВ + ЛС), до=1дм, ЛО=-2Т+/.
2	о
2)	Угол между векторами а и с есть угол между биссектриса-
ми первого и второго координатных углов, т. е. 90°.
60.6.	1) ВЛ = 107+/. 2) 180°.
61.3.	1) (-1; -2). 2) (2,5; 0).
61.4.	1) (-4; -4). 2) (0; -|).
61.5.	1) Пусть М — середина отрезка АВ. Тогда М (4; 6). Так
как точка С является серединой отрезка AM, ее координаты рав-
ны (2,5; 4).
2)	Предположим, что точки Д, В, С лежат на одной прямой.
Тогда АВ = k-AC, где k — некоторое число, отличное от нуля.
Так как АВ {5; 0}, АС {5; 12}, 5 = 5fe, 0= 126. Из полученного про-
тиворечия следует, что точки Д, В, С не лежат на одной прямой.
202
61.6.	1) Задачу можно решать аналогично задаче 61.5 (1).
Предложим другое решение.
РМ = 2МК. Пусть К (х; у), тогда РМ {8; 6}, МК fx— 14; у — 9}.
Значит, 8 = 2 (х—14), 6 = 2 (у —9), откуда х=18, у=12; К (18; 12).
2)	Задачу можно решить аналогично задаче 61.5 (2). Приве-
дем другое решение. По формуле расстояния между двумя точ-
ками находим, что MH=^jl3, HP = ^fl3, МР = 2у/\3. Значит,
МН-\-НР = МР, т. е. точка Н принадлежит отрезку МР.
61.7.	1) Рассмотрим расположение треугольника АВС отно-
сительно осей координат, показанное на рисунке 289. Проведем
через точки А, В, С прямые, параллельные осям координат. Так
как координаты точек А, В, С — четные числа, координаты точек
Р, М, Н также будут четными. Следовательно, отрезки МА, АР,
МС, СН, ВН, РВ выражаются четными числами. Отсюда выте-
кает, что площади треугольников APB, АМС, ВСН выражаются
натуральными числами. Так как отрезки РМ и PH также выра-
жаются натуральными числами, то и площадь прямоугольника
РМСН выражается натуральным числом. Следовательно, пло-
щадь треугольника АВС — натуральное число.
Аналогично можно рассмотреть другие случаи расположения
данного треугольника.
2)	Рассмотрим точки О (0; 0), А (Г, 1), В (0; 1), М (х; у). Тогда
приведенное условие означает, что МА = М0 = МВ. Следователь-
но, точка М равноудалена от вершин треугольника ОАВ.
Можно доказать, что треугольник АВО прямоугольный с гипоте-
нузой АО. Значит, М — середина отрезка АО; х=0,5, у = 0,5.
61.8.	1) Указание. Задача решается аналогично задаче
61.7 (1).
2)	Рассмотрим точки О (0; 0), А (0; 1), В (Г, 0), С (— Г, 1),
М (х; у). Тогда записанные в системе уравнения означают, что
МА=МВ и МО = МС. Значит, точка М является точкой пересе-
чения серединных перпендикуляров к отрезкам ОС и АВ. Одна-
ко можно доказать, что эти серединные перпендикуляры не пере-
секаются. Поэтому система не имеет решений.
62.1. 2) д/85~. Указание. Введите систему координат,
как показано на рисунке 290.
203
62.2.2) Д/241 . Указание. Задача решается аналогично
задаче 62.1 (2).
62.3. 1) а) Так как пары точек А и D, В и С имеют одинако-
вые ординаты, то прямые AD и ВС параллельны оси ординат.
Видно, что AD^=BC, значит, четырехугольник ABCD — тра-
пеция.
б) По формуле длины отрезка устанавливаем, что AB = DC.
Значит, четырехугольник ABCD — равнобедренная трапеция,
поэтому углы BAD и CDA равны.
2)	V109• Указание. Введите систему координат, как по-
казано на рисунке 291.
62.4.	У к а з а н и е. Задачи решаются аналогично задачам
62.3. 1) б) Да. 2) Д/53-
62.5.	1) По формуле длины отрезка устанавливаем ЛЕ = 4,
АС —2, ВС — 2у[3. Значит, ЛВ2 = ЛС2 + ВС2, т. е. угол С прямой.
Кроме того, А С = 0,5 А В, следовательно, ZB = 30°, 2.Л=60°.
2)	Введем систему координат, как показано на рисунке 292.
Из треугольника АОС находим Л 0 = 3, СО = Зу/3. Значит,
А (— 3; 0), В (1; 0), С (0; 3 д/з”). Пусть М — середина стороны ВС.
Тогда М (—; По формуле расстояния между двумя точка-
ми находим АМ=л/\9.
62.6.	Задачи решаются аналогично задачам 62.5.
1)	45°, 45°, 90°. 2) Д/Т85-
62.7.	Пусть AD — a, АВ = Ь. Введем систему координат, как
показано на рисунке 293. Можно доказать, пользуясь признака-
ми подобия треугольников, что ~ 6^. Очевидно также, что
Е (а; -0,	yb}» ЛЕ {а;	Следовательно, АК = 1,5 АЕ.
Значит, точка К принадлежит отрезку АЕ и делит его в отноше-
нии 1:2.
62.8.	Пусть О — точка пересечения диагоналей ромба. Примем
ОН = а, OD = b и.введем систему координат, как показано на ри-
204
сунке 294. Тогда Н (а; 0), М (- а; 0), К (О; |), D (0; b), Е ; |),
МК {а; у} , ME {-у-; . Значит, MEМК, т. е. точка К при-
надлежит отрезку ME и делит его в отношении 2:1.
63.1.	2) (x + 4)2 + (z/-2)2 = 25. 63.2. 2) (x-2)2 + (f/ + 4)2 = 25.
63.3.	2) x2 + (z/-3)2=13. 63.4. 2) (х-3)2 + ^2=13.
63.5.	x2-f"6x + i/2 = x24-6x+9 + i/2 —9. Значит, уравнением
данной линии будет (х+3)2 + у2 = 9, а это — уравнение окружно-
сти с центром (—3; 0) и радиусом 3. Можно вычислить, что сере-
дина отрезка АВ имеет координаты ( — 3; 0). Непосредственной
подстановкой в уравнение убеждаемся, что точка А принадле-
жит окружности. Следовательно, отрезок АВ является диамет-
ром окружности.
63.6.	Является. Указание. Задача решается аналогично
задаче 63.5.
64.1.	3) Прямая и окружность не имеют общих точек.
64.2.	3) Прямая и окружность не имеют общих точек.
64.3.	1) Прямая пересекает оси координат в точках А (—2; 0)
и В(0; —4). Пусть О — начало координат. Тогда в треугольнике
АОВ угол АОВ прямой, АО = 2, ВО = 4, площадь треугольника
АОВ равна 4.
2)	Точка А (2; —10) не принадлежит оси ординат. Так как
прямая проходит через начало координат и не совпадает с осью
Оу, то она имеет уравнение y = kx, где k — некоторое действи-
тельное число. Подставив координаты точки А в это уравнение,
получим k=— 5. Уравнение искомой прямой 5х+# = 0.
3)	Имеют одну общую точку.
64.4.	У к а з а н и е. Задачи решаются аналогично задачам
64.3. 1)6. 2) 4,5х—у = 0. 3) Имеют общую точку.
64.5.	1) Прямая 2х-|-г/-|-4 = 0 пересекается с прямой х= — 1
в точке А ( — Г, —2), а с осью абсцисс в точке В ( — 2; 0). Пусть
прямая х= — 1 пересекает ось Ох в точке С (— 1; 0). Тогда надо
найти площадь треугольника АВС, в котором угол С — прямой,
ДС=1, ВС = 2. Площадь ДДВС равна 1.
2)	Так как абсциссы точек А и В различны, прямая АВ не
параллельна оси ординат. Значит, ее уравнение можно записать
в виде y = kx-}-b. Подставляем координаты точек А и В в это
уравнение и получаем 10 = fe-|-ft, — 4=— k-\-b, откуда k = 7,
b = 3. Тогда уравнение прямой 7х—#-|-3 = 0.
3)	Решив систему двух уравнений х2-!-у2 = 1 и х+у = 1, полу-
чаем, что данные окружность и прямая пересекаются в двух точ-
ках А (0; 1), В (Г, 0). Пусть М — середина отрезка А В, О — нача-
ло координат. Тогда ОМ есть расстояние от центра окружности
Л/2
до прямой АВ. Из треугольника АОМ находим ОЛ4=-^-. Пря-
мая и окружность имеют две общие точки.
205
64.6.	У к а з а н и е. Задачи решаются аналогично задачам
д/о"
64.5. 1) 13,5. 2) 5х — 8у— 11=0. 3) Имеют две общие точки;
64.7.	Выберем систему координат так, чтобы точка А стала
началом координат, а точка В имела координаты (4; 0). Пусть
М (х; у) есть произвольная точка, принадлежащая искомому
множеству. Тогда х? + у2 + (х — 4)2 + у2 = 10. После преобразова-
ний получаем (х —2)2Д-г/2= 1, т. е. искомое множество есть
окружность с центром в середине отрезка АВ и радиусом, рав-
ным 1.
64.8.	Прямая, перпендикулярная АВ и проходящая через точ-
ку М на отрезке АВ, так, что AM = 2,5.
65.3.	1) 25Д/2 см2. 2) 20Д/3 см2.
65.4.	1) 20^3 см2. 2) 15^2 см2.
3*4
65.5.	1) По формуле площади треугольника имеем 3=-£-sin Д,
значит, sin А =0,5. Так как центр описанной вокруг треугольни-
ка АВС окружности лежит вне треугольника и угол А наиболь-
ший, то угол А тупой, значит, 2.4 = 150°.
2)	Так как площадь произвольного выпуклого четырехуголь-
ника равна половине произведения диагоналей на синус угла
(? д/2~
между ними и AB = BD, то искомая площадь равна —-—.
65.6.	1) 120°.
2)	—. Указание. Угол между диагоналями находится с
помощью теорем о внешнем угле треугольника. Далее задача ре-
шается аналогично задаче 65.5 (2).
65.7.	Площадь треугольника АВС равна сумме площадей тре-
угольников ABD и BDC. Значит, 0,5aft sin а = 0,5а SZ) sin РД-
Д-0,5ft BD sin (а — Р), откуда получаем BD=------—ш а--------.
a sin p-f-6 sin (а — р)
65.8.		.
п sin (а-|- Р) — tn sin а
66.3.	1) 28,8 см.
ь ВС
2)	В треугольнике АВС применим теорему синусов----=-----.
sin р sin а
Отсюда ВС= sin а . По теореме о сумме углов треугольника
sin р
найдем угол АСВ. Z.4CS= 180° — а —р. Применяя теорему си-
- ПЛ 6 sin а sin (а + Р)
нусов к треугольнику BDC, найдем Ви —--------------— .
sin р sin -у
66.4.	1) 13,3 см. 2) wsinv .
sin(a + ₽)
66.5.	1) 49,8 см2. Указание. Вначале найдите ВС, поль-
зуясь теоремой синусов.
206
2)	Пусть М — середина высоты BD.
Тогда BM=|, ZEBAf=ZMBF=|.
Z_BFE= 180°-— (а + р). Пользуясь теоремой
синусов, получим из /\ЕВМ и &BMF
О	Q
Л sin	Л sin
ЕМ=-------MF =------------—
2 sin а	2 sin (а 4- 0)
Тогда
о
AsinZ
ef=-T-2-
1
sin (а-hP)
h sin p sin
После преобразований получили EF=--------------------- .
2 sin (a + P) sin a
66.6.	1) 344,2 cm2. 2) 2w sin a Sin (<t±-P> .
sin p sin (a+-|j
66.7.	Продолжим медиану ВМ за точку М на ее длину (рис. 295).*
ВМ = МК, Д ВМС= Л КМА, значит, АДКВ = р. По теореме си-
о ло	я n iz л о 2m sin р
нусов найдем АВ из треугольника ДВд: АВ=—.
ee8 asin(a + p)
2 sin a
67.3. 1) 19,7. 2) 4 см. 67.4. 1) 13,0. 2) 19,7 см.
67.5. 1) Найдем площадь и третью сторону треугольника.
Тогда искомая высота равна частному от деления удвоенной
площади на найденную сторону, h =1,5.
2) Пользуясь теоремой косинусов, найдем угол А треуголь-
ника, противолежащий стороне, равной 7,5 см. По формуле
- =2/? найдем /? — радиус окружности, описанной около тре-
sin А
угольника, /? = 4,0 см.
67.6.	У к а з а н и е. Задачи решаются аналогично задачам
67.5 (1, 2). 1) 4,9. 2) 3,2 см.
67.7.	Пусть в треугольнике АВС углам Д, В, С противолежат
соответственно стороны a, b и с, /? — радиус описанной окруж-
ности. Тогда c2=a2-\-b2 — 2ab cos С и sin 4=-^-, sinB = -^-,
sinC=—. Значит,
4/?2 sin2 C=4/?2 sin2 A + 4/?2 sin2 В — 2 • 2R sin A • 2R sin В cos C.
sin2 C = sin2 A + sin2 В — 2 sin A sin В cos C.
1 — cos2 C = 1 — cos2 A + sin2 В — 2 sin A sin В cos C.
cos2 A = cos2 C 4- sin2 В — 2 sin A sin В cos C.
67.8.	Указание. Задача решается аналогично задаче 67.7.
68.1.	1) 0; 2; 2. 2) 48; 16°16'. 68.2. 1) 0; 3; —4. 2) 56; 30*31'.
207
68.3.	1) 0; 2. 2) — 63; 165’45'. 68.4. 1)0;— 2. 2) — 96; 163’44'.
68.5.	1) Векторы ВС и AD сонаправлены. Значит, BC-AD =
= 8-7 = 56. Пусть О — точка пересечения прямых АВ и CD. Из
треугольника AOD находим, что угол AOD — прямой. Тогда угол
между векторами АВ и CD равен 90°. Значит, ЛВ-СО = 0.
2)	ОА {г, -5), ОВ{г, х), ОЛ-ОВ = х2-5х, ?-5х=-6, х, = 2,
х2=3. Значит, ОЛ {2; —5}, ОВ{2; 2} или ~ОА{3; -5), ОВ{3; 3).
Угол между векторами О А и О В равен 113° 12' или 104’2'.
68.6.	Указание. Задачи решаются аналогично задачам
68.5. 1) — 15; 0. 2) у = 2, у= — 3; 107’6', 117’54'.
68.7.	1) СА • СВ = СА • СВ cos САВ, значит, созСЛВсО, т. е.
угол САВ тупой. Центр расположен вне треугольника АВС.
__^2) Так как точка Л лежит на оси Оу, то Л (0; у), ЛС{6; 4 — у},
BD{3\ -9). ЛС-ВО = 0. 184-9(z/ —4)=0, у = 2, Л (0; 2).
68.8.	У к а з а н и е. Задачи решаются аналогично задачам
68.7. 1) Внутри треугольника ЛВС. 2) (1; 0).
69.1.	1) 7 см. Указание. Возведите равенство с = а-}-Ь
в квадрат.
2)	Пусть ЛВС — равнобедренный треугольник с основанием
АС, ВМ — его медиана; AM =АВА~ВМ, МС = МВ-(г ВС. Так как
АМ2=~МС2, то ЛВ24-ВМ2 + 2ЛВ-ВЛ1созЛВЛ1 = ЛТВ24-ВС24-
4-2МВ-ВС cos МВС. Значит, ДЛВЛ4= &МВС, так как ЛВ = ВС.
Учитывая, что Z.MBA 4- 2_МВС<. 180°, получаем Л.МВА =
= ЛМВС.
69.2.	1) у/5 см. Указание. Возведите равенство т =
= n-k в квадрат.
2)	Пусть ЛВС — равнобедренный треугольник с основани-
ем АС, ВМ — его медиана. ВМ =^(ВА4-ВС), ЛС = ВС — ВЛ,
ВМ-ЛС=1(ВС2-ВЛ2) = 0. Значит, ВМ±АС.
69.3.	1) 120°.
2)	Пусть в треугольнике ЛВС отрезок BD является биссект-
рисой и высотой. Тогда ВО-ЛС = 0, т. е. BD (ВС — ВЛ) = 0,
BD-ВС cos DBC — BD-ВА cos ABD = 0. Так как углы DBC
и ABD равны, получаем BD cos DBC(ВС — ВА) = 3, т. е.
ВС=ВЛ.
69.4.	1) 135°.
2)	Пусть в треугольнике ЛВС ВМ — медиана и биссектриса.
Тогда ЛМ2=МС2, (АВ4-ВЛ4)2=(Л1В4-ВС)2.	ЛВ2-|-ВЛ12-|-
+ 2АВ-ВМ cos АВМ = МВ2 + ВС2 + 2ВС-ВМ cos МВС. Так как
208
cos ABM = cos МВС, то AB2- ВС2 + 2BM cos MBC (AB-BC)=Q.
(AB — BC)(AB4-BC-(-2BM cos MBC) = 0. Учитывая, что Л5>0,
BC>Q, BM>0, /- МВС<90°, получаем АВ = ВС.
69.5.	1) а2=(3р — kf= 10, b2=(p+3kf= 10. Значит, |а| = |6|.
Так как вектор с составляет с векторами а и b равные углы, то
а * с   b ‘ с	r\	I *
———=——— • Значит, а-с = Ь-с.
|а|-|с|	|6|.|с|
Пусть c = xp + yk, где ха у — некоторые действительные чис-
ла. ас=(3р — k)(xp+yk)=3x—у. b-c=(p4-3k)(xp+yk)=x4-3y.
Значит, Зх-у = х-(-Зу, т. е. х=2у(*). ^2=(xpA-ybf—x24-‘f- Учи-
тывая, что |с|="\/5~ и равенство (♦), получаем у=±1, х—±2.
Следовательно, с= —2p — k, c = 2p + k.
2)	ЯЛ,=1лВ + 1лг, В5,-1ЛС-ЛВ,
С помощью теоремы косинусов получаем:
~ЛВ-АС = АВ-АСы$ВАС-АВ’+Я?~ВС’ .
Значит.	Сие-
довательно, медианы ААХ и ВВ, взаимно перпендикулярны.
69.6.	1) т = — 4а + 2Ь, т — 4а — 2Ь.
2)	ВВ,=|ВС+|ВЛ, ЛЛ,=|в£—~ВА. Так как ВЛ-ВС = 0,
получаем ~ВВХ-~АА}—^ ВС2—^ВА2. По теореме Пифагора ВЛ2=
= ЛС2-ВС2. Значит, ВВ,.лХ=4вС2-|лС2 =
1	’	4	2
=^(11?4Нс!(>‘гсЧ)=0-
69.7.	1) С£=|СВ + |СЛ.
С£2=1СВ2+±СЛ2+±СВ.СЛСО8ЛСВ==4. СЕ = 2 см.
2)	КР{-3-, 3}, 7(М{- 1; 2}. cos ^=	=—; sin К =
дг-д/и у 10
="^1 — cos2 К  Тогда площадь треугольника МКР равна
КМ -KP sin К, т. е. равна
69.8.	1) ^дм. 2) 2.
8 Зив Б. Г., 7—11 кл.	209
70.5.	1) Пусть такой n-угольник существует. Тогда -—- 180 =
п
2
= 145, откуда получаем и=10у. Но этого быть не может, так
как п — целое число. Следовательно, не существует правильного
многоугольника, у которого каждый угол равен 145°.
2)	Угол правильного пятиугольника равен 108°. Из равно-
бедренного треугольника ADE находим Z.DAE = 36°. Зна-
чит, и Z BE А =36°. Решая треугольник АОЕ, находим
ЛО=1,2.
70.6.	1) Нет. 2) 3,2.
70.7.	Шестиугольниками, треугольниками, квадратами.
70.8.	Можно, например, шестиугольниками и треугольни-
ками.
71.3.	2) Пусть х — радиус окружности, тогда сторона четы-
рехугольника равна 2х, а сторона треугольника %д/з\ Имеем
2х=х д/з"+д/з”. Сторона четырехугольника равна 4Д/з” + 6.
71.4.	2) 6^+6 .
71.5.	1) Пусть ABCDEP — искомый шестиугольник, О — его
центр, ОК — апофема, проведенная к стороне АВ. Вначале по-
строим равнобедренный треугольник АВО по его высоте. Затем
достроим его до шестиугольника.
2)	Отношение периметров двух данных многоугольников равно
отношению их сторон. Пусть Ьп — сторона описанного многоуголь-
ника, ап — сторона вписанного многоугольника. Очевидно, Ьп>ап.
Пусть -^-=0,51. Можно доказать, что a=2R sin b=2R tg
bn	n	n n ° n
где R — радиус окружности. Тогда y- = cos-^-. При n = 3
180°	л 180° Д/F	.	180°
cos---=0,5, при n=^4 cos-----=-V->0,51, при n>4 cos------->
n	r	n 2	r	n
л/2~
>-y-. Следовательно, не существует таких натуральных значений
180° ПК1
и, при которых cos——- = 0,Ы.
71	.6. 1) Пусть ABCDEP — искомый шестиугольник. Вначале
построим равнобедренный треугольник АВС с углом 120° при
вершине. Затем достроим весь шестиугольник.
2)	Так как данные многоугольники подобны, отношение их
площадей равно квадрату отношения их сторон. Пусть Ьп — сто-
рона описанного многоугольника, ап — сторона вписанного мно-
гоугольника. Тогда следует ответить на вопрос, возможно ли не-
равенство “7^*4 или	Далее задача решается аналогично
задаче 71.5(2). В результате получаем, что не может.
210
71	.7*. 1) На рисунке 296 АС — сторона n-угольника, ВС—сто-
рона 2и-угольника, О — центр окружности. Тогда площадь четы-
рехугольника ABCDO равна ^ВО-ДС, а площадь треугольника
АВО в 2 раза меньше, т. е. равна — ВО*АС. Следовательно, пло-
щадь 2и-угольника равна 2п^ ВО-АС=^£- .
2)	Дан правильный шестиугольник ABCDEP, точка М внутри
его. Пусть 62, ^з» ^4» ^5» ^6 — расстояния от точки М до прямых
АВ, ВС, CD, DE, ЕР, РА соответственно. Тогда площадь шести-
угольника равна сумме площадей треугольника АМВ, ВМС,
CMD, DME, ЕМР, РМА или 0,561ДВ+0,562ВС+0,563СО+0,564О£+
+ 0,5Ь5ЕР + 0,566Л4. Учитывая условие задачи, получаем, что
площадь шестиугольника равна Д/з" (61 + 62+^3+^4 + ^5 + ^бХ
з д/з”
С другой стороны, площадь шестиугольника равна —АВ2 или
18д/3~ см2, откуда получаем, что искомая сумма равна 18 см.
71	.8*. 1) Отношение периметров n-угольника и 2и-угольника
равно половине отношения их сторон. На рисунке 297 ВР — сто-
рона 2и-угольника, DC — сторона n-угольника, ОС и ОА соответ-
ственно радиусы большой и малой окружностей. Можно дока-
зать, что Z_BOA = Л.ВОС. Тогда, применяя теорему о биссект-
рисе угла треугольника к треугольнику АОС, получим ——— =
ЛЬ
=-^j. Значит, ^-=х+ 1. Учитывая, что DC = 2AC, ВР=2АВ, на-
DC . . ~	х-1-1
ходим, что = Значит, искомое отношение равно .
2)	Пусть ABCDEP — вписанный шестиугольник, М — произ-
вольная точка окружности. Тогда треугольники PMC, AMD и
211
ВМЕ прямоугольные, так как их соответствующие углы при верши-
не М вписаны и опираются на диаметр. Поэтому Л4Р24-Л4С2=Р(7=4,
МЛ2+ЛЮ2=4, AfB2-|-Af£’2 = 4, откуда получаем, что МР2-\-МС2-\-
+ МД2 + Л4£)2 + Л1В2 + МЕ2=12.
72.5.	1) Пусть а — искомый радиус, b и с — радиусы данных
окружностей. Тогда 2ла = 2лЬ + 2лс, откуда а = Ь-\~с, следова-
тельно, а = 58 см.
2)	Пусть О — центр окружности, АВ — хорда. Радиус О А найдем
из формулы длины окружности. Решая треугольник АОВ, най-
дем угол АОВ. Далее по формуле длины дуги найдем искомую
длину, она равна 9,7 см.
72.6.	1) 22 см. 2) 58,6 см.
72.7.	Проведем отрезки ОД, ОМ, ОВ (рис. 298). Тогда угол
АОВ является вписанным в первую окружность и опирается на
диаметр АВ. ОМ А. АВ по свойству касательной. Значит, радиус
второй окружности ОМ будет высотой, проведенной из вершины
прямого угла> треугольника АОВ. Следовательно, ОМ =у]тп, а
длина второй окружности равна 2л yjmn.
72.8.	Пусть Oj и О2 — центры малой и большой окружностей
(рис. 299). Тогда прямая OtA перпендикулярна к общей каса-
тельной двух окружностей и, следовательно, проходит через точ-
ку О2. Таким образом, отрезки AD и АЕ являются диаметрами
окружностей, а треугольники ABD и АСЕ — подобными прямо-
угольными треугольниками. При этом ЛВ:ЛС = ЛО:ЛЕ. Значит,
отношение диаметров окружностей с центрами Oj и О2 равно х,
следовательно, искомое отношение также равно х.
73.3.	1) 95,4 см.
2)	Треугольник АОВ равносторонний, следовательно, угол АОВ
равен 60°. Искомая площадь равна разности площадей сектора
с дугой АВ и треугольника АОВ. Выполнив вычисления, получим
100	см2.
у 6	4 /
73.4.	1) 25,5 см. 2) 64	м2.
'	у 6	4 /
212
73.5.	1) Уменьшится в 21 раз.
2)	Решая треугольник АОВ, найдем Z.40B. Искомую пло-
щадь находим как разность площадей сектора с дугой АВ и тре-
угольника АОВ. Она равна 3,1 м2.
73.6.	1) Увеличится в 361 раз. 2) 36,3 см2.
73.7.	Отметим точку О — центр полукруга и проведем прямую
ВС. Так как BC\\AD, площади треугольников АВС и ОВС равны.
Значит, площадь заштрихованной фигуры равна площади сектора
с дугой ВС. Градусная мера дуги ВС равна 120°. Следовательно,
2	2
искомая площадь равна площади полукруга, т. е. — Q.
73.8.	2Q.
74.1.	2) Рассмотрим вертикальные углы AOD и СОВ, образо-
ванные при пересечении прямых АВ и CD. Пусть при движении
Д->ДЬ B-^Bb C-^Cb	О~+Ох. Тогда угол AOD отоб-
ражается на угол AXOXDX, а угол СОВ — на угол CjOjBj, так
как при движении угол отображается на угол. Докажем, что уг-
лы	и C|O|Bj вертикальные. Для этого достаточно дока-
зать, что отрезки АХВХ и CXDX имеют общую точку Ох.
При движении отрезок отображается на отрезок. Значит, об-
щая точка О отрезков АВ и CD отображается на общую точку Ох
отрезков и CXDX. Следовательно, углы XjOJDj и СХОХВХ
вертикальные, образованные при пересечении прямых АХВХ
и CXDX.
74.2.	2) Рассмотрим смежные углы АОВ и СОВ. Пусть при
движении А -+АХ, В^ВХ, С-+Сх, О^ОХ. Тогда угол АОВ отоб-
ражается на угол АХОХВХ, а угол СОВ — на угол СХОХВХ, так
как при движении угол отображается на угол. Докажем, что уг-
лы 410^! и CjOiBj смежные. При движении отрезок отобража-
ется на отрезок, прямая — на прямую. Значит, точка О, лежа-
щая на отрезке АС, отображается на точку Ох, лежащую на от-
резке 41С|, а точка В, не лежащая на прямой АС, отображается
на точку Вх, не лежащую на прямой j4iCt. Следовательно, углы
XjC^Bj и CjOiBj смежные.
74.3.	2) Рассмотрим два подобных ромба ABCD и МРНК, в ко-
торых ААВС= Z.MPH. Пусть при движении 4->Дь В^ВХ,
С^СХ, D-^DX, М-^МХ, Р^РХ, Н-+Нх, К-+Кх. Так как при
движении четырехугольник отображается на четырехугольник, уг-
лы и расстояния сохраняются, то четырехугольники AXBXCXDX и
МХРХНХКХ будут ромбами, в которых /LAXBXCX= Z_MXPXHX. Значит,
при движении подобные ромбы отображаются на подобные ромбы.
74.4.	1) Рассмотрим два подобных прямоугольника ABCD и
МРНК, в которых	Пусть при движении А->АХ,
В-^ВХ, C->Cb D->Dh М-+Мх, Р^РХ, Н^НХ,	Так
как при движении четырехугольник отображается на четырех-
угольник, расстояния и углы сохраняются, то четырехугольники
213
AXBXCXDX и MXPXHXKX будут прямоугольниками, в которых
~Б~ТГ=~оТГ • Значит, при движении подобные прямоугольники отоб-
F jMj г хпх
ражаются на подобные прямоугольники.
74.5.	2) Так как при движении отрезок отображается на отрезок,
то точка И принадлежит отрезку ЕР', ЕР=\2 см, так как при
движении длина отрезка сохраняется. Возможны два случая:
1.	При движении А Е, В-+Р. Тогда АМ = ЕН по свойству
движений.
2.	При движении А Р, В-^Е. Тогда АМ = НР и
ен=ер=ам.
Поэтому АЕ равно 2 см или 10 см.
74.6.	2) Очевидно, что точка Т принадлежит отрезку ЕР и
МН = ЕР. Возможны два случая:
1.	При движении М Е, Н^Р. Тогда МК = ЕТ.
2.	При движении М^Р, НЕ. Тогда МК=ТР.
Поэтому ЕТ'.ЕР как 3:5 или как 2:5.
75.1.	2) Рассмотрим правильный шестиугольник ABCDEP с
центром О и поворот вокруг точки О на угол 60°. Для определен-
ности будем рассматривать поворот в направлении обозначения
вершин шестиугольника. По определению поворота А В,
В-^С, C-^D, D^E, Е-+Р, Р А. Так как при движении от-
резок отображается на равный ему отрезок, при данном поворо-
те стороны шестиугольника отобразятся на стороны шестиуголь-
ника, т. е. шестиугольник отобразится на себя.
75.2.	При параллельном переносе на вектор АВ точка А отоб-
разится на точку В, а точка В — на точку, лежащую на прямой
АВ. Так как при движении прямая отображается на прямую и
через две точки проходит только одна прямая, то при параллель-
—
ном переносе на вектор АВ прямая АВ отображается на себя.
75.3.	1) Указание. При данном параллельном переносе
точка D перейдет в точку, которая одновременно принадлежит пря-
мым ВС и ВО, т. е. в точку В. Значит, надо построить точку, в котр-
рую перейдет точка А при параллельном переносе на вектор ОВ.
2)	При данном повороте отрезок АС отображается на отрезок
ВС, прямая РК—на прямую МН, так как Z_HOK = Z_AOC =
= Z.BOC = 120°. Значит, точка К перейдет в точку Я, точка Р — в
точку М. Следовательно, отрезок КР отобразится на отрезок МН.
75.4.	1) Центр поворота—точка О должна удовлетворять
двум условиям: а) ДО = ОВ = ОС; б) Z40B=ZB0C. Такой
точкой в равнобедренном прямоугольном треугольнике АВС яв-
ляется середина гипотенузы.
2)	Так как хорды АВ и CD равноудалены от центров окруж-
ностей одинакового радиуса, то ДО||ООр При движении окруж-
ность отображается на окружность равного радиуса. Значит,
при параллельном переносе А С, В -> D. Следовательно, отре-
зок АВ отображается на отрезок CD.
214
75.5.	1) Из условия задачи следует, что BD = EM. Значит,
четырехугольник BDME — параллелограмм. Следовательно,
чтобы отметить искомые точки, нужно через точку М провести
прямые, параллельные сторонам угла АВС.
2)	Заметим, что если поворот является центральной симмет-
рией, то точки Д, В, С, D могут лежать на одной прямой, которой
будет принадлежать и центр симметрии. Если поворот не явля-
ется центральной симметрией, то точки Л, В, С, D не лежат на
одной прямой. В самом деле, если в этом случае точки А, В, С,
D лежат на одной прямой, то будут выполняться равенства
ОД = ОВ, OC = OD, где О — центр поворота. Поскольку сере-
динные перпендикуляры отрезков АВ и CD, не лежащих на од-
ной прямой, не пересекаются, то записанные равенства возмож-
ны, если середины отрезков АВ и CD совпадают. Но тогда
ZLADB^ Z_COD. Следовательно, условие задачи выполняется при
угле поворота, равном 180°.
75.6.	1) Обозначим данные прямые через а и Ь. Для опреде-
ленности будем считать, что поворот на угол 70° относительно
центра О совершается против часовой стрелки. Пусть при этом
повороте Построим прямую ах и отметим точку С пересе-
чения прямых ах и Ь. Отметим точку Z)b которая получается при
повороте относительно центра О на угол 70° по часовой стрелке
из точки С. Так как С£ах, D£a, С и D будут искомыми точками.
Другое расположение искомых точек на прямых а и b можно по-
лучить, рассмотрев случай, когда одна из этих точек будет пере-
сечением Ь и Ьх, где при повороте относительно центра
О на угол 70° против часовой стрелки. Задача может и не иметь
решения, если прямая ах не пересекает Ь, а Ьх не пересекает
а. Задача имеет бесконечное множество решений в случае, если ах
совпадает с Ь или Ьх совпадает с а.
2)	Пусть некоторая фигура переходит в себя при параллельном
переносе на вектор а. Тогда при параллельном переносе на вектор
па (п — целое число) фигура также перейдет в себя. Докажем те-
перь, что не существует круга, внутри которого лежала бы данная
фигура. Пусть такой круг существует. Отметим произвольную точ-
ку Д, принадлежащую фигуре, и проведем из точки А луч, сона-
правленный вектору а. Пусть В — точка пересечения этого луча с
окружностью. Тогда при параллельном переносе на вектор
+ 0 а Т0ЧКа перейдет в точку, лежащую вне круга, что
противоречит тому, что фигура должна переходить в себя. Зна-
чит, не существует круга, внутри которого лежала бы данная фи-
гура.
76.1.	1) Рассмотрим центральную симметрию относительно точ-
ки О. При этом движении А С, В -> D, отрезок АВ в отрезок DC.
Значит, середина отрезка АВ — точка М отображается на сере-
дину отрезка DC — точку И, поэтому О — середина отрезка МН.
215
2)	Пусть две параллельные прямые а н b пересечены секу-
щей АВ в точках А и В соответственно, причем а Л. АВ. Рассмот-
рим параллельный перенос на вектор АВ. При этом движе-
нии прямая а отображается на прямую ft, а прямая АВ — на
саму себя, так как при движении углы сохраняются, то
Ь±АВ.
76.2.	1) Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС с
основанием АС, медианами AAj и CCj и высотой В/(. При осевой
симметрии относительно ВК точка В перейдет сама в себя, а точ-
ка А — в точку С. Тогда середина отрезка АВ — точка Cj перей-
дет в середину отрезка СВ — точку Значит, отрезок AAt отоб-
разится на отрезок ССЬ Следовательно,
2)	Рассмотрим окружность с центром О. Пусть дуги АВ и CD
этой окружности равны. Тогда Z_AOB= Z-COD, а значит,
Z_AOC = ZLBOD. Рассмотрим поворот вокруг точки О на
угол АОС, при котором А-^С. При этом движении B-^D. Значит,
AB = CD.
76.3.	1) Рассмотрим центральную симметрию относительно точ-
ки пересечения диагоналей параллелограмма. При этом движении
отрезок AD отображается на отрезок ВС, прямая МН — на себя,
точка D — на точку В. Следовательно, НМ и DH = BM.
2)	Пусть а и ft — данные параллельные прямые. Сначала по-
строим произвольную окружность, касающуюся прямых а и ft,
и проведем через точку А прямую с, параллельную прямой
а. Пусть В — одна из двух точек пересечения прямой с и по-
строенной окружности. Искомая окружность получается из по-
строенной параллельным переносом на вектор ВА. Задача
имеет два решения в зависимости от выбора точки В.
76.4.	1) Пусть в окружность вписана трапеция ABCD (AB\\CD).
Рассмотрим симметрию относительно прямой, проходящей через
центр окружности перпендикулярно основаниям трапеции. При
этой симметрии окружность, а также прямые АВ и CD отобра-
жаются на себя. Значит, точка А отображается на точку В, точ-
ка С — на точку D. Следовательно, AC = BD.
2)	Выполним поворот относительно центра А на угол 90° по
часовой стрелке (для определенности). При этом повороте пря-
мая с отобразится на прямую и пересечет ее в точке В. При
повороте относительно центра А на угол 90° против часовой
стрелки прямая ft отобразится на прямую ftb которая пересе-
чет прямую с в точке С. Треугольник АВС искомый. Задача
имеет единственное решение для данного направления пово-
рота.
76.5.	1) Через центр квадрата ABCD проведены две взаимно
перпендикулярные прямые МН и КР, пересекающие стороны
АВ, ВС, CD, AD в точках К, М, Р и Н соответственно. Рассмот-
рим поворот относительно центра квадрата на угол 90°, при ко-
тором точка С отображается на точку В. При этом повороте пря-
216
мая КР отобразится на прямую МН, отрезок CD — на отрезок
ВС, отрезок АВ— на отрезок AD. Значит, точка' М перейдет в
точку К, точка Н— в точку Р. Следовательно, КР = МН.
2)	При симметрии относительно прямой с точка В переходит
в точку А. Построим прямую Ьх, симметричную прямой b относи-
тельно прямой с. Точка пересечения прямых а и Ьх будет точ-
кой А. Далее восстанавливаем треугольник АВС по оси сим-
метрии с и вершине А.
76.6.	1) При параллельном переносе на вектор ОХО2 окруж-
ность с центром О отобразится на окружность с центром О2, а
прямая АВ отобразится на себя. Значит, точка А перейдет в точ-
ку С, точка В — в точку D. Следовательно, BD = О1О2, откуда
BD = ОХО2.
2)	При центральной симметрии относительно точки О точка
D перейдет в точку В, Построим прямую, симметричную прямой,
содержащей луч п, относительно точки О. Точка пересечения по-
строенной прямой и луча т будет точкой В. По точкам В и
О можно восстановить квадрат ABCD.
77.1.	1) 6)6; в) ад=-£.
77.2.	1) б) д/З; в) 30°, 60°, 90°.
77.3.	1) б) ВН меньше 77.4. 1) б) 6.
77.5.	1) б) Можно доказать, что AD\\CB. Высота треугольни-
ка ABD, проведенная из вершины В, равна высоте треугольника
CBD, проведенной из вершины D, значит, площади этих тре-
угольников относятся как AD:BC. Треугольники AOD и ВОС по-
добны, поэтому AD*.BC = b*.a.
в) Можно доказать, что треугольники МОС и ВОН равны, зна-
чит, М0 = 0Н. Кроме того, Z. СОВ + Z СОМ + Z МОА = 180°
и А.ВОН = Q,bZ-BOD — Q,b/LAOC= Л.МОА. Следовательно,
ZBO//+ Z.COB4" Z.COA4 = 180°, т. е. точки М, О, Н лежат на
одной прямой.
г) По теореме о внешнем угле треугольника ZLAOD=^.
Пусть ОН — высота треугольника AOD, М — центр вписанной
в треугольник AOD окружности. Тогда из треугольника AOD
АН = b cos	а из треугольника АМН МН = b cos tgy. Чтобы
найти радиус окружности, описанной около треугольника ВОС,
воспользуемся формулой —-— = 2/?, где с — сторона треугольни-
sin С
ка, противолежащая углу С, R — радиус описанной окружности.
»-р	u	Or
Тогда искомый радиус равен ------.
2sin-|-
2) Указание. Стороны искомого треугольника и начер-
ченного относятся как 4:3.
217
77.6. 1) б) Так как треугольники О КМ и ОРН равны, отно-
шение их периметров равно 1.
в) Можно доказать, что треугольники КОН и МОР подобны,
причем	Так как АН*.КН = МВ:МР, получаем, что
Учитывая, что углы АНО и ВМО равны, доказываем, что
UM Mb	1
треугольники АОН и МОВ подобны. Из подобия этих треуголь-
ников следует, что Z_AOH= Z.MOB. Далее можно доказать, что
углы АОН и МОВ вертикальные, а значит, точки А, В, О лежат
на одной прямой.
г) acosatgv, ——.
*	2 sin a
2) Указание. Стороны искомого треугольника и начер-
ченного относятся как 2:3.
78.1.	б) 20 см2. 78.2. б) 48 см2.
78.3.	б) 2,4 см. Указание. Радиус окружности, вписанной
в ромб, равен половине его высоты.
78.4.	б) 4,8 см. У к а з а н и е. Радиус окружности, вписанной в
ромб, равен половине его высоты.
78.5.	а) Рассмотрим поворот на угол 90° относительно центра
квадрата, при котором Т Н. При этом движении прямая КТ отоб-
ражается на прямую PH, прямая AD — на прямую CD, прямая
ВС — на прямую ВА, Значит, К-+Р. Следовательно, ТК=РН,
откуда можно доказать, что четырехугольник РКНТ — квадрат.
б)	Для определенности будем считать угол а острым. Тогда
опустим перпендикуляр ТМ из точки Т на прямую ВС.
TM = CD = BC = a. Из треугольника КТМ находим КТ = - .
sin a
Значит, площадь квадрата РКНТ равна —.
2 sin2 a
78.6.	а) При симметрии относительно точки О прямая DC
отображается на прямую АВ, а прямая КМ — на себя, т. е. К->
-+М, значит, КО = ОМ. Аналогично получаем, что РО = ОН. Так
как в четырехугольнике АРОМ сумма углов равна 360°, то
Z. АЛЮ = 90°. Следовательно, отрезки PH и КМ — высоты ромба,
а потому РН = КМ. Значит, в четырехугольнике МНКР диагона-
ли равны и в точке пересечения делятся пополам. Отсюда следу-
ет, что этот четырехугольник — прямоугольник.
а2
б)----. Указание. Найдите угол ОРК.
‘4
79.3.	1) 150°, 120°, 90°.
2)	Пусть точки К и М — середины сторон АВ и АС соответст-
венно, О — центр окружности, описанной около треугольника
АВС. Тогда КО и ОМ являются серединными перпендикулярами
к сторонам АВ и АС. Значит, АК= 11 см, AM = 8 см, АО = 12 см.
218
Решая прямоугольные треугольники АКО и АМС, найдем углы
КАО и МАО, а затем и угол ВАС, он равен 71°45/.
79.4.	1) 45°, 45°, 90°. 2) 7°24'.
79.5.	1) 13:12:11. Указание. Сначала найдите градусные
меры соответствующих дуг, а затем воспользуйтесь формулой
длины дуги.
2)	Воспользуемся формулой -^-=2/?, где К — радиус окруж-
sin А
ности, описанной около треугольника АВС, и найдем Z-ВАС. За-
тем по теореме о сумме углов треугольника вычислим угол ВСА.
Искомые углы равны 41°49/, 113°1 Г или 138°11', 16°49'.
79.6.	1) 50°, 60°, 70°. 2) 125°19', 38°41' или 22О41', 141°19'.
80.1	. 2) ВВ=1 в!4-1 ВС. 3) х2+у2=\8. 4). 33°41'. Ука-
з а н и е. Воспользуйтесь скалярным произведением векторов.
80.2. 1) (6; 9). 2) (x-7)2 + (i/-5)2 = 34.
3)	OE=-±OC-±OD.
4)	18°26'. Указание. Воспользуйтесь скалярным произве-
дением векторов.
80.3.	1) СД {-8; 8}, СВ{6; 6), СД-СВ=-8-6-Ь8«6=Ь, зна-
чит, треугольник АВС прямоугольный с прямым углом С,
2)	Треугольник АВС прямоугольный, поэтому точка О явля-
ется серединой стороны АВ. Значит, СОС АСВ.
3)	(x-l)2 + (z/-9)2 = 50.
4)	36°52'. Указание. Воспользуйтесь скалярным произве-
дением векторов.
80.4.	1) ВА{2; 4}, ВС{4; -2}, ~ВА .ВС = 2«4 + 4 (-2) = 0,
\ВА | = |ВС| =д/20~, значит, четырехугольник ABCD — квадрат.
2)	ОС=1 АВ +|~AD. 3) (х— 1)2-|-(х/ — 3)2= 10.
4)	26°34/. Указание. Воспользуйтесь скалярным произве-
дением векторов.
80.5.	1) К (2; 1), ЛК=У(-4-2)2-|-(0-1)2 =^37.
2)	Анализируя значения координат точек А, В, С, можно до-
казать, что треугольник АВС равнобедренный, причем его ось
симметрии совпадает с осью ординат. Следовательно, точка
О лежит на оси ординат и имеет координаты (0; у), ОА = ОС. Зна-
чит, V(0 + 4)2 + (// —О)2 =Д/(0 —0)2 + (г/ —2)2, откуда получаем
у=— 3 и ОА =5. Уравнение окружности: х2-^у-j-32 = 25.
3)	Пусть Р — начало координат. Тогда ОР:ОС=3:5, ОС =
=|ОР. Однако ОР=104 4-1 ОВ, поэтому ОС=| 04-|-1 ОВ.
о	О	О
219
4)	10°18z. Указание. Воспользуйтесь скалярным произве-
дением векторов.
80.6.	1) М (4,5; 6), СЛ4=У(0-4,5)2 + ( - 12-6)2 = VjjlL .
2)	Анализируя значения координат точек А, В, С, можно дока-
зать, что треугольник АВС равнобедренный, причем его основание
АС принадлежит оси ординат. Вычислим АС = 24, АВ = 15, ВС = 15;
2S
расстояние от точки В до прямой АС равно 9. По формуле г=—,
где г — радиус окружности, вписанной в треугольник, Р — пери-
метр треугольника, aS — площадь треугольника, находим г = 4. Тог-
да искомое уравнение окружности будет иметь вид (х—2)2 + i/2= 16.
3)	Пусть К—начало координат. ОВ:ОК = -^, ОВ= ОК,
ОК=^ОА+^ОС, ОВ = -|ОЛ-|ОС.
4)	36°52'. Указание. Воспользуйтесь скалярным произве-
дением векторов.
81.3.	2) Обозначим данную прямую через а, данную точку
через А. Прямые АВ и АС проходят через точку А (точки В и
С принадлежат прямой а). В задаче 81.1 (2) было доказано, что
любая из прямых, пересекающая прямую а и проходящая через
точку А, а также прямые АВ и АС лежат в плоскости АВС. Зна-
чит, все прямые, проходящие через точку А и пересекающие пря-
мую а, лежат в одной плоскости.
81.4.	2) Через две данные пересекающиеся прямые проходит
плоскость а. Каждая из прямых, пересекающая данные прямые
и не проходящая через точку А, имеет с плоскостью а две общие
точки. Значит, все эти прямые лежат в плоскости а.
81.5.	1) а) Искомая точка есть точка Т пересечения прямых
МН и AD.
б) Искомая линия есть прямая ТС.
2) Точки А, В, С есть общие точки плоскостей аир. Значит,
плоскости аир имеют общую прямую, которой принадлежат
точки А, В, С. Следовательно, точка С лежит на прямой АВ.
81.6. 1) а) Искомая точка есть точка Т пересечения прямых
МН и АС.
б) Искомая линия есть прямая ТВ.
2) Так как прямая а пересекает плоскость р в точке М, то
МСР. В то же время М£а, потому что прямая а лежит в плоскости
а. Значит, точка М принадлежит одновременно и плоскости а, и
плоскости р. Следовательно, эта точка принадлежит прямой Ь,
по которой пересекаются плоскости аир.
81.7. В треугольнике АВС угол С прямой. Точки А, В и О ле-
жат на одной прямой. Через эту прямую можно провести плос-
кость, в которой точка С не лежит. Поэтому точка С не всегда
лежит в плоскости АВО.
81.8. Не всегда.
220
82.1. 1) 48 см. 2) Скрещиваются. 82.2. 1) 20 дм. 2) Скрещиваются.
82.3. 1) 18 см. 2) Скрещиваются. 82.4. 1) 16 дм, 32 дм.
2) Скрещиваются.
82.5.	1) Так как прямая а параллельна прямой Ь и прямая
с параллельна прямой а, то прямые b и с параллельны. Предпо-
ложим, что прямая с не лежит в плоскости а, а пересекает ее,
тогда и прямая b пересекает плоскость а, так как если одна из
двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и
другая прямая пересекает эту плоскость. Однако по условию за-
дачи прямая Ь лежит в плоскости а.
2)	По признаку скрещивающихся прямых прямые КН и ОР
скрещиваются. Значит, точки К, Я, О, Р не лежат в одной плос-
кости. Поэтому прямые ОК и PH не лежат в одной плоскости,
а значит, скрещиваются.
82.6.	1) Если а||ft, ft||c, то а||с. По условию задачи прямая а
пересекает плоскость а, значит, и прямая с пересекает плоскость
а, поэтому лежать в ней не может.
2)	Скрещиваются.
82.7.	Пусть Е, Р, К, Н, О, М являются соответственно середи-
нами отрезков АВ, CD, AC, BD, ВС. Можно доказать, что четы-
рехугольник ЕНРК является параллелограммом. Значит, .отрез-
ки ЕР и НК пересекаются и в точке пересечения делятся попо-
лам. Аналогичное утверждение можно доказать и для отрезков
ЕР и ОМ. Значит, прямые ОМ, ЕР, НК проходят через одну
точку.
82.8.	Указание. Задача решается аналогично задаче 82.7.
83.3.	1) 4. 2) Прямые могут быть параллельными или скре-
щивающимися.
83.4.	1) 5. 2) Прямые могут быть пересекающимися, скрещи-
вающимися, параллельными.
83.5.	1) Указание. Докажите, что четырехугольник
РКНМ является параллелограммом.
2)	Можно доказать, что прямые ЕН и КМ параллельны. Зна-
чит, плоскости РЕН и РКМ пересекаются по прямой, параллель-
ной прямым ЕН и КМ, проходящей через точку Р.
83.6.	Указание. Задачи решаются аналогично задачам 83.5.
84.1.	2) 5 см. 84.2. 2) 14 см. 84.3. 2) 3 см. 84.4. 2) 5 см.
84.5.	1) Возможны два случая: точка К лежит между плоско-
стями а и р и точка К не лежит между плоскостями а и
р. В каждом из случаев находим искомые отрезки из подобия тре-
угольников /G4jA2 и КВХВ2. Получаем KAj = 3 см, КВ2=16 см
или ЛУЦ = 21 см, /СВ2=16 см. 2) Нет.
84.6.	1) 1,5 см и 7,5 см или 3 см и 7,5 см. 2) Нет.
84.7.	Если данные прямые параллельные или пересекающиеся,
то проведем через них плоскость. В этой плоскости А^ПВХВ2\\CjC2.
Используя признаки подобия треугольников, можно доказать тре-
буемое равенство. Если данные прямые скрещиваются, то проведем
через точку А} прямую, параллельную прямой А2С2. Пусть эта пря-
221
мая пересекает плоскость 0 и у в точках В3, С3 соответственно. Тог-
да АХВ3.В3С3=АХВ{:ВХСХ и А{В3.В3С3=А2В2.В2С2. По доказанному
выше прямые AjCj и AtC3 пересекаются, а прямые А}С} и Л2С2 па-
раллельны. Значит, Л|В(’.BjC, —А2В2:В2С2.
84.8.	Указание. Задача решается аналогично задаче 84.7.
85.1.	1)	Рис.	300.	2)	Рис.	301.
85.2.	1)	Рис.	302.	2)	Рис.	303.
85.3.	1)	Рис.	304.	2)	Рис.	305.
85.4.	1)	Рис.	306.	2)	Рис.	307.
222
Рис. 311
Рис. 309	Рис. 310
85.5.	1) Рис. 308. 2) Рис. 309. Сечением является параллело-
грамм.
85.6.	1) Рис. 310. 2) Рис. 311. Сечением является параллело-
грамм.
85.7.	Искомое сечение изображено на рисунке 312. Вначале
строим прямую ME, параллельную боковому ребру параллеле-
пипеда. X — общая точка плоскостей сечения и основания, так
как принадлежит одновременно прямым МР и ED. Точка Т стро-
ится как пересечение прямых КХ и DC, Отрезки НМ и МО стро-
ятся, исходя из параллельности противоположных граней парал-
лелепипеда. В случае, если прямые МР и ED не пересекутся,
прямая КТ проводится параллельно прямой МР.
85.8.	Искомое сечение изображено на рисунке 313. Вначале
строим прямые ME и РТ, параллельные боковым ребрам парал-
лелепипеда, X — общая точка плоскостей сечения и основания,
так как принадлежит одновременно прямым МР и ЕТ. Точки О и У
получаем как пересечение прямой ХК с ребрами АВ и DC соответ-
ственно. Отрезок YH строится, исходя из того что противоположные
грани параллелепипеда параллельны. В случае, если прямые МР
и ЕТ не пересекутся, прямая YO проводится параллельно прямой МР.
86.1.	1) 13 см. 86.2. 2) 13 дм. 86.3. 2) 10 см. 86.4. 2) 12 см.
86.5.	1) Возможны два случая.
223
а)	Точки А и С лежат по одну сторону от плоскости.
б)	Точки А и С лежат по разные стороны от плоскости.
В случае а) проведем высоту А/( трапеции ABCD. Тогда АК =
= 8 см, КС = 6 см. Из треугольника А/(С находим, что АС= 10.
В случае б) докажем подобие треугольников АОВ и COD, где
О — точка пересечения отрезка АС и плоскости. Из подобия тре-
угольников АОВ и COD находим ОВ = 3, 00 = 5. Тогда А0 =
= 3710, 0С = 5УТЬ’ и ДС = 8УТ0.
2)	Нет, так как в противном случае прямые будут параллель-
ными.
86.6.	1) Д/29 или 5Д/5. 2) Нет.
86.7.	Так как две прямые, перпендикулярные одной плоско-
сти, параллельны, то четырехугольники АССХАХ и BBXDXD являют-
ся трапециями (или параллелограммами), плоскости которых пер-
пендикулярны плоскости а. Учитывая, что ААХ + ССХ = ВВХ + DDX,
получаем, что средние линии этих трапеций (параллелограммов)
равны. Пусть точки М, К, Мх, Кх — середины отрезков AC, BD, АjCj,
BjDj соответственно. Тогда ММх = Ккх. Из перпендикулярности
плоскостей четырехугольников ACCXDX и BBXDXD плоскости а вы-
текает, что AfAfJIKXp Следовательно, четырехугольник МККХМХ
является параллелограммом и Af/CHA^/Cp В то же время можно
доказать, что AfK||AD и Мх/(х||АXDX. Значит, AD||AXDX, откуда
следует, что АО||а. Аналогично получаем, что ВС||а.
86.8.	У к а з а н и е. Из равенства BBX = DDX получаем, что
BD\\BXDX. Далее задача решается аналогично задаче 86.7.
87.1.	в) 6. 87.2. в) 24.
87.3.	б) 84 мм2. 87.4. б) 84 мм2.
87.5.	1) Треугольники DAB и DAC равны по двум сторонам и
углу между ними, значит, DB = DC. Пусть К — середина отрезка
ВС. Тогда отрезки и АК будут высотами треугольников АВС
и DBC соответственно. Значит, прямая ВС перпендикулярна
плоскости AKD, а значит, и прямой AD.
2)	Если треугольники ABD и АВС лежат в одной плоскости
ADC, то прямая АВ может не быть перпендикулярной плоскости а.
87.6.	1) Очевидно, что DB = DA и треугольники В DC и CD А
равны. Значит, ВС = АС. Пусть К — середина отрезка АВ. Тогда
СЖ и — высоты треугольников АВС и ABD соответственно.
Следовательно, прямая АВ перпендикулярна плоскости CKD, а
значит, и прямой DC.
2)	Не всегда.
87.7.	Очевидно, что треугольники AAXDX и ААХВХ равны, зна-
чит, ABX=ADX. Пусть О — середина отрезка BXDX. Значит, пря-
мая BXDX перпендикулярна плоскости АССХ, в которой лежат
прямые Ах0 и АО. Прямая АХС также лежит в этой плоскости,
поэтому прямые АХС и BXDX перпендикулярны.
87.8.	Да. Указание. Задача решается аналогично задаче 87.7
88.3.	15 см и 6Д/3 см. 88.4. 15 см и 8 д/з" см.
224
88.5.	Опустим перпендикуляр Z)K из точки D на прямую АС
(рис. 314). Тогда прямые ВК и АС взаимно перпендикулярны по
теореме о трех перпендикулярах. Так как треугольник АВС тупо-
угольный, то точка К лежит на продолжении стороны АС за точ-
ку С. Из треугольника ВКС найдем ВК = 5у/3 см, а из треуголь-
ника BKD KD = 10 см. Расстояние от точки В до плоскости ADC
есть высота ВМ треугольника BKD. ВМ = 2.ЪУ{Ъ см.
88.6.	2 см и д/З^ см. Указание. Опустите перпендикуляр
ЕК из точки Е на прямую DC (рис. 315). Точка К будет лежать
на продолжении стороны ромба DC за точку D. Далее задача
решается аналогично задаче 88.5.
88.7.	1) Пусть АК — высота треугольника АВС. а АК\ — ее
проекция на плоскость а (рис. 316). Можно доказать, что АК\ —
высота треугольника	и КК{ = 5 см. Последовательно нахо-
дим АК\ из треугольника Д/JjCj, АК из треугольника АКК\.
АК\ = 12 см, АК= 13 см. Площадь треугольника АВС равна 91 см2.
2)	Пусть даны две параллельные плоскости а и 0. Из данного
множества треугольников выберем произвольный треугольник АВС.
в котором вершины А и В принадлежат плоскости а, а вершина
С — плоскости 0. Пусть М — точка пересечения медиан этого тре-
угольника, a CCj — одна из медиан. Через точку М проведем пря-
мую КЕ. перпендикулярную данным плоскостям, так что /СЕа,
£Е0- Можно доказать, что треугольники /СЛКД и ЕМС подобны,
225
Рис. 318
Рис. 319
причем ЕМ:МК=СМ:МСХ = 2:1. Таким образом, каждая точка
искомого множества отстоит от плоскости а на одно и то же расстоя-
1	о
ние, равное — расстояния между плоскостями. Значит, искомое мно-
жество есть плоскость, параллельная плоскостям аир.
88.8.	1) Искомое множество есть плоскость у, параллельная
плоскости р, причем плоскость р проходит между плоскостями
у и а и делит расстояние между ними пополам.
89.3.	а) 5д/(Г см. Указание. Проведем высоту В К ромба.
Угол ЕКВ будет линейным для двугранного угла EADB.
б)	50°46'.
89.4.	а) 20 д/3~ см.
б)	67°48'. Указание. Проведем высоту ВК параллелограм-
ма. Угол МКВ будет линейным для двугранного угла MADB.
89.5.	Проведем высоту СЕ треугольника АВС (рис. 317),
С£=у. Угол СЕМ будет линейным для двугранного угла МАВС,
его тангенс равен 2У[2. Для нахождения угла между прямой
AM и плоскостью МВС спроектируем точку А на плоскость МВС.
Так как треугольник АВС тупоугольный, то точка К, являющая-
ся проекцией точки Д, будет лежать на продолжении стороны
ВС за точку С. Из треугольника АСК находим С/С = -|-,
АК= а^ . Из треугольника МКС МК=^~. Из треугольника
АМК находим угол МАК, он равен 30°.
89.6.	2Д/2, 30°.
90.5.	а) Искомое сечение изображено на рисунке 318. Это
прямоугольник, в котором PM\\BD, TM\\DDt.
б)	Используя теорему о квадрате диагонали прямоугольного
параллелепипеда, находим ЛЛ] = 8. Можно доказать, что АР =
= АМ=±AD = 2, РМ = 2~\/2. Площадь сечения равна 16Д/2~-
90.6.	б) 8Д/2.
226
90.7.	Сечение куба плоскостью МНР изображено на рисун-
ке 319. Для его построения вначале строим точку Т как пересече-
ние прямых HP и DC. Далее проводим ТО\\МН, ОК\\НР. КМ\\РЕ.
а)	По теореме о квадрате диагонали прямоугольного парал-
лелепипеда ребро куба равно 2. Рассмотрев треугольники DXHP
и TDP, докажем, что DXH = DT =1. Далее, так как TO\\MH\\BD
и BO\\TD, то ВО = TD=l. Таким образом, можно доказать, что
все вершины сечения являются серединами ребер куба, а сторо-
на сечения равна половине диагонали граней куба, следователь-
но, его периметр равен 6л/2~.
б)	Так как прямая МН перпендикулярна прямым Д^ и ССЬ
то прямая МН перпендикулярна плоскости Д^С. Следователь-
но, плоскости МНР и АХСХС взаимно перпендикулярны.
90.8.	а) 4Д/3.
91.3.	1) Указание. Опустим перпендикуляр МК из точки
М на прямую АС. Точка К будет лежать на продолжении отрезка
АС за точку С, Л4К = 6 см.
2)	60°. Указание. Докажите, что угол MDC является ли-
нейным для двугранного угла MADB.
91.4.	1) 8 см.
2)	30°. Указание. Докажите, что ребро DB перпендику-
лярно плоскости АВС.
91.5.	1) Так как точка М равноудалена от вершин прямоуголь-
ного треугольника ДВС, то ее проекцией на плоскость АВС слу-
жит точка О — середина гипотенузы АВ (рис. 320), ОК — сред-
няя линия треугольника АВС. Тогда угол ОКМ будем равен углу
между плоскостями АВС и МВС. ОК = ^, А О КМ = 60°. Значит,
2)	Проведем высоту МО треугольника МВС (рис. 321). Мож-
но доказать, что прямая МО будет перпендикулярна плоскости
АВС. Проведем ОК перпендикулярно АС. По теореме о трех
227
перпендикулярах прямые МК и АС будут перпендикулярны.
Тогда М К — искомое расстояние. Последовательно находим
О/(=| см, МО = 3 см,	см.
91.6.	1) Так как точка М равноудалена от сторон ромба, то
ее проекцией О на плоскость АВС служит точка пересечения
диагоналей ромба (рис. 322). Проведем ОК перпендикулярно
стороне ромба. Прямые AD и МК будут взаимно перпендикуляр-
ны по теореме о трех перпендикулярах. Угол МКО будет линей-
ным для двугранного угла MADC. Находим ОК как половину
высоты ромба. Из треугольника МОК ОК = МО, МО = а^ .
2)	ЗД/ЁГ см.
91.7.	Пусть О — точка пересечения диагоналей квадрата, ле-
жащего в основании данного параллелепипеда АВСОА^С^. Про-
ведем луч ОК перпендикулярно отрезку BD до пересечения с пря-
мой СС} в точке Af. Угол между плоскостью сечения и плоскостью
основания будет измеряться углом МОС. Из треугольника МОС нахо-
дим CAf = д/2”>*СС1. Значит, точка Af лежит вне отрезка ССХ и сече-
ние будет иметь вид, указанный на рисунке 323. Далее из треугольни-
ка ОРК находим ОР=1, OK==*\^, КС1 = РС==у/2ЕТ=2ЕК=
= 2/(С1 = 2 (Д/iT—1), BD = 2^]2. Площадь сечения равна 4 — д/2~.
92.3. 1) 4д/б см2; 4Д/3 см. 2) 90°.
92.4. 1) 8 см2; 4 д/з" см. 2) 90°.
92.5.	1) AMNC — искомое сечение (рис. 324), где AfW||X|Cb
Z.NKP — линейный угол двугранного угла, образован-
ного плоскостями сечения и основания (РК±ДС). Высота тре-
Рис. 323
Рис. 324
228
угольника ABC BE=^~ sin 60° = 4, KP = 2, tg NKP=^ =
2 Л/з~
=—= 3. Отсюда следует, что ^ЛГКТ^бО0, KN = 4. Площадь
сечения S=±(MN+ АС)-NK = 8д/3.
2)	2у/2 см. Указание. Расстоянием между прямыми АА{
и BXD служит расстояние между AAi и плоскостью BBXD,
т. е. длина отрезка АО (рис. 325).
92.6.	1) 48Д/2; 45°; 2) 3 см.
93.3.	32Д/6 см2; 16(2д/б+V2) см2.
93.4.	40 УЗ см2; 64^3 см2.
93.5.	На рисунке 326 Z.BXDK— угол между прямой BXD и
плоскостью DDXCX (ВхКЛ-ООхСху, ВхК = а sin 60° =а-^ и
DtK=^. Из прямоугольного треугольника BXKD следует, что DK=
= ВхК=а^ . Из треугольника DDXK. имеем	=
а ~\/2 _
=——. Тогда площадь полной поверхности параллелепипеда равна
S=4a-^^+a2yfi=а2 (2}[2 +УГ).
93.6.	а2 (4+Д/2).
94.1.	1) Так как плоскости АВС и АА^ перпендикулярны и
прямая ВС, лежащая в плоскости АВС, перпендикулярна линии
пересечения АС этих плоскостей, то ВСХЛ^Ср Следовательно,
ВС±ССР Отсюда следует, что параллелограмм ССХВХВ являет-
ся прямоугольником (рис. 327).
2)	300 см2.
94.2.	1) Указание. Задача решается аналогично зада-
че 94.1 (1). 2) 300 см2.
229
94.3.	1) Так как Z_AXAC = Z_AxAB<.90°, то боковое ребро ААХ
проектируется на биссектрису угла ВАС (рис. 328.). АХО Л.АВС.
По условию треугольник АВС равнобедренный, а потому
АКЛ-ВС. На основании теоремы о трех перпендикулярах можно
утверждать, что ААХ ± СВ, но так как ССХ ||ААь то ССХ J_ СВ, а по-
тому параллелограмм ССХВХВ является прямоугольником.
2)	40(34-^7) см2.
94.4.	1) Указание. Задача решается аналогично задаче
94.3 (1).
2)	3 (2+д/2 +V16’) см2.
94.5.	1) Вершина Ах проектируется в центр правильного тре-
угольника АВС (рис. 329). Площадь боковой поверхности S =
= 25лл с с + SCCiBiBi где ССХВХВ — прямоугольник (см. доказатель-
ство к задаче 94.3 (1)); АО = -^. Из треугольника АХОА нахо-
V з
4а2 а2
дим, что ААх = -^=. Тогда SCCBB=^r. Из треугольника АХЕА нахо-
УЗ	уз
дим, что высота параллелограмма ААХСХС АХЕ= \i ~~--
=±yjl. sAACC=^.. s=-^-^+^=-5=(2+ViT).
2Д/^	11	2 у/зГ	уЗ уЗ уЗ
2)	—(1 + sin —1 Указание. Перпендикулярным сече-
cos 7
нием призмы является равнобедренный треугольник с углом при
вершине а и с высотой, опущенной на основание, равной т. Пло-
щадь боковой поверхности находим как произведение периметра
перпендикулярного сечения на боковое ребро.
94.6. 1) с (аЛ-b) д/з”- Указание. Ребро ААХ проектируется на
биссектрису угла BAD (рис. 330). Для нахождения высоты АХЕ
боковой грани AAXDXD последовательно рассматриваем прямоуголь-
230
ные треугольники AtOA, АЕО и АХЕА. Высота A{F грани ААiBtB
равна AtE. Площадь боковой поверхности 5 = 25ЛЛ.)О1О4-23ЛЛ(в18.
a/(1 + sin|)
2)------------Указание. Для решения задачи необхо-
sin —-
2
димо предварительно доказать, что ААХА_ВС (рис. 331). Перпен-
дикулярным сечением призмы является треугольник СЕВ, при-
чем СЕ = ВЕ и ZCEB = a, S6qk = Pceb*AAx,
94.7. Применяя теорему о трех перпендикулярах, можно до-
казать, что ДС±В|В (рис. 332). Перпендикулярным сечением
призмы является прямоугольный треугольник ACF (Z.ACF =
= 90°), CF = a*sin а, АС = а sin а tg <р, AF =	.
cos ф
Периметр перпендикулярного сечения
п .	/. . .	,	1 \ а sin а (14-cos ф-f-sin ф)
Р = a sin а (1 + tg <р Н--)=-------—------—----— .
\	COS ф /	COS ф
Из £±ВВХЕ находим:
РР _ а с _d D д _ а2 tg а (1 4-cos ф4-81п ф)
“	» ^бок — ‘AFC*LJ\D—---------------------
2 cos а	2 cos ф
/2 sin 2q> (1+cos а + sin а)
94.8. -------------------. Указание. Задача решается
2 cos а
аналогично задаче 94.7.
95.1.	а) 4(Д/3 4-2'\^Г) см2; б) 68°57'; 79°6'.
95.2.	а) 5(5 + д/22Г) см2; б) 63°12'; 70°21'.
95.3.	1) 28° 12'. 2) 421 см2. 95.4. 1) 77°4'. 2) 36 д/б см2.
95.5.	1) На рисунке 333 Л. BED — линейный угол двугранно-
го угла, образованного смежными боковыми гранями ВМС и
DMC (ОЕ±МС), = ОС • sin 43°, tg-^=-^=——. Отсю-
да можно получить, что Z.BEDw 111°25'.
231
Рис. 334
2)	На рисунке 334 Z. CDB = 60° — плоский угол при вершине
пирамиды. Положим, что сторона основания равна а. Тогда высо-
та боковой грани DE=^-^~, а ОЕ =	. Так как 00 = 4, то
—-^-=16. Отсюда а = 2Д/(Г. Тогда DE = 3^2. S6oK =
= ЗД/^’ЗУ2 =18Д/3 см* 2.
95.6. 1) 69°42'. 2) 8Д/3 см2.
96.1. 1) ЗОД/З см. 2) 64 см2. 96.2. 1) 10^3 см. 2) 15д/3 см2.
96.3. 1)	2) 27 см2. 96.4. 1) 6Д/3 см. 2) 72 см2.
96.5. 1) а. Указание. Вершина пирамиды проектируется
в центр описанной окружности, которая совпадает с серединой
большего основания трапеции.
2) 24^/3 см2. Указание. В сечении получается трапеция,
основаниями которой служат высоты верхнего и нижнего основа-
ний пирамиды. Зная площадь этой трапеции, можно найти ее
высоту, т. е. высоту усеченной пирамиды.
96.6. 1) 2йд/3; ЛД/З. 2) 140 см2.
97.1. 1) 60 см2. 2) 2О(3 + Д/3) см2.
97.2. 1) 27 см2. 2) 128 см2.
97.3. 1) 100(Д/2 4-1) см2. 2) 120(24-Д/З) см2.
97.4. 1) 18 (24-Д/3 4--\/б) см2. 2) 480 см2.
97.5. 1) На рисунке 335 AD _L АВС и Z.AED (АЕ _1_ ВС), явля-
ется линейным углом двугранного угла, образованного гранью
CDB и плоскостью основания. AE = AD = a sin 60° = fl , DE =
, AB=a	5^=1 ЛО.ЛС+I DE-BC+± AD-AB=^-+
&	£	L	£
+^+^=t<3+V6+V3).
232
D
2)	На рисунке 336 ZCB1E = 30° (СЕ±ЛЛ1В|), CE=^f-. Из
прямоугольного треугольника СВХЕ следует, что ВХС = 2ЕС =
= аЛ[2. Тогда из треугольника СВВХ получаем, что B^B =
=^СВ2—СВ'2 —а. 5в0К = (2ЛС + ЛВ)-ВВ1 = а2(24-Д/2).
97.6.	1) ^(3 + 2Д/3). 2) ^.(34-УЗ).
97.7.	На рисунке 337 /-BED (ОЕJ_AfC) является линейным
углом двугранного угла между смежными боковыми гранями.
5бок=^осн-А1К, где МК—апофема пирамиды. Из подобия
треугольников МКС и DEC следует, что	Отсюда
DE-KC
МК=-ЁС--
DE^-^L, ЕС=~\1 а2 —	= °	,
2 sin а	у 4 sin2 а у2 sin а
ixiz	а А/2 -a A/2"-sin а	а
МК==-----------.	-  =-г-.
2 sin а • 2 • а у 2 sin2 а — 1	2 у 2 sin2a — 1
__2а______2.______ °2	_ °2
2 У/2 sin2a — 1	^2 sin2a — 1 у/ — cos 2а
97.8.	——--------------------.
4 у 4 sin2 <р — 1
98.1.	1) а) ёД СрТ; б) ВЛ, CD, C^D„ вХ; в) 0]с.
2)	Да, а и Ь.
98.2.	1)а)СС^,РС^, ВВ^, ЛХ, оХ;б)ВС^, лХ, Ю°;в)лХ.
2)	Да, b и с.
98.3.	1) а) ~РТ, ~КМ-, б) КР, ВО, ~МТ\ в) ~МК.
233
2)	Да, а и c.
98.4.	1) a) KP, MT-, б) MT, СВ, ~KP\ в) ~KM.
2)	Да, а и b.
98.5.	1) а) ЁМ нТК,КТ и ~ME, TM и EK, MT и ~KE-,
б)	KT и EM, TK и ~ME, EKnMT,KF.n TM;
в)	KT, TK, 'EM и me-, KE,EK,MT h TM; ~ЁТ,ТЕ,~КМ и ~MK.
2)	Да, ~НК и МТ.
98.6.	1) а) МТ и1(Е,ТМ и СК, МК и ТЕ, ~КМ и ~ЁТ;
б)	МТ и~КЕ,ТМ и~ЁК,~МК и ТЕ, КМ и ЁТ ;
в)	МТ, ТМ,~КЕ и ЁК; МК, КМ, ТЕ нЁТ;1(Т,ТК,Ё1Е и ЁМ.
2) Да, ~НЕ и КТ.
99.1.
99.3.
99.5.
1) AC. 99.2. 1) BlDl.
1) AC. 99.4. 1) CDp
1) лс+ba — л+ + ^+о+-вА=лс+о7б+
+ ВС,— ДДАВА + ОД^ДС + ОА — ДД1 + В|О1 + ДД1=ДС +
4-BD + DC —ДД, 4-одолел-ВС+СВ^ДД^ДС+ВВ! —
-дд,=дс+о=дс.
2) х=ДВ—ДС-СД = СВ + ОС = О^4-СВ = ОВ.
99.6. 1) СД. 2) ДВ.
100.1.	2) -1ДС. 100.2. 2) -2АВ.
100.3.	1) а) |ДВ; б) |ДВ; в) -1,5ДС. 2) -1.
100.4.	1) а) 1ДС; б) уСД; в) —у ВС. 2) —2.
100.5.	Так как Z_DAC = A DAB, то вершина D проектируется
на биссектрису угла ВАС (рис. 338). По условию М£ВС, а по-
тому	Отсюда следует, что ВМ = 2МС, ВС= -—ЗСМ,
А М=А С + СМ = ~АС 4-1 СВ=АС+1 (АВ - АС)=| АВ+1 АС.
О	о	о	о
100.6.	а) 2КН-, б) 4-'он-, В) 1,5РК-0,5РО.
и
101.1.	1) 134-64-17. 2) 17+64-17.
о	о	о	о
234
101.2.	1) 1о4-1К-Т. 2) |о+К+|с.
101.3.	1) DO=1dB=1(MB-AW) (рис. 339), ~MD=~MC +
+ CD = MC-\- ВА = MC-j-MA — МВ. Отсюда следует, что DO =
=|(6 — с — а + ь)= —^а + Ь—^'с.
2)	з a+jHjC.
101.4.	1) la+l&+±7.
2)	ЛР = ЛР-лХ=|(ЛВ + ДС4-АО)-Х^ =
=1(6 + & + 7+7)-Н= -а+4 ь+v-
О	о о
101.5.	1)	+	Указание. Точка О яв-
О	о
ляется точкой пересечения медиан треугольника ABD.
2)	Введем базисные векторы DA —a, DB = b и DC = c (рис. 340).
235
Tb=DB— L)A==b— a; ~DC = c-,
AB + d6 = — a+7> + c. Отсюда следует, что НМ ——-^-ДВ—
—-1 DC, т. е. векторы НМ, АВ и DC компланарны, а следовательно,
прямее НМ, АВ и DC параллельны одной плоскости,
Ю1.6. 1) 1вЙ+вв^+|в£.
101.7.	Пусть Л4, Afj и Af2— точки пересечения медиан основа-
ний и сечения соответственно (рис. 341). Выберем в пространстве
произвольную точку О.
MtM2 = ОМ2 - Ж=4 (ОД 2+ОВ2 4- ОС2)—1 (бд! +'дв1 +'ос1)=
□	о
— Т (^1-^2 4" ^1^2 4“
о
Аналогично можно получить, что
MJU=4 (Д^+~в^+ с^у,
о
4|4 В^В С^С
Отсюда следует, что
мД=k 4 GM + ~&\В + eft =
О
т. е. векторы МХМ2 и МХМ коллинеарны, а так как они отложены
от одной и той же точки Мь то можно утверждать, что точки Afh
Af2 и М лежат на одной прямой.
101.8.	У к а з а н и е. Задача решается аналогично задаче
101.7.
102.1.	1) (6 + 2Д/З) см2. 2) 2 см2. 3) arctg|. 4) 30°. 5) 2 см.
102.2.	1) 4(Д/7+1) см2. 2) 2Д/3 см2. 3) 60°. 4) arccos^=.
5) 2~\/2 см.
102.3.	1) 4 (4^3+3) см2.2) 4 Л/Т см2. 3)60°. 4)30°. 5)М4 =
=|М+|М+|Л£ 6) 90°.
102.4.	1) (12 Д/З’+V156) см2.2) 4 \3 см2. 3) 60°. 4) arctg 2 Д/З’-
-60°. 5) OO=1d4+|dB+1dC. 6) 90°.
102.5.	По данным задачи легко найти площадь треугольника
ABC: SABC = 84. Площадь поверхности S = Pabc-AAx + 2Sabc~
= 588 (рис. 342). МНС — сечение, площадь которого надо найти.
Плоскости МНС и АВС пересекаются по прямой PQ, причем
236
PQWAB. Из точки А опускаем перпендикуляр АР на прямую PQ
и точки М и Р соединяем. МР — высота треугольника МНС.
д г}  %$АВС   2 • 84   । q * ж	14 л г*
ЛН=—=-^-= 12. Из треугольника МАР следует, что
Л4Р=13. SMHC=L 14-13 = 91; Л. MPA—линейный угол дву-
гранного угла, образованного плоскостями МНС и АВС,
cos MPA	Отсюда Z.MPA = arccos . Z.AMP —
угол между прямой AAt и плоскостью МНС, Z4AfP = arccos ,
МК = ±МС + ±МН = ±МА + ±АС +4 АВ =	+
+|лс+1дв.
102.6.	Так как DA = DB = DC, то вершина D проектируется
в центр описанной около основания окружности, в данном слу-
чае на середину гипотенузы АС (рис. 343). Из точки О опускаем
перпендикуляр ОЕ на АВ и точки D и Е соединяем. DE — высо-
— a/F
3, ОЕ=-^~. Из треугольника
DOE следует, что О£=Д/з+|	 5бок=т; АС • DO +
+ 2~AB-DE=y/7 +У13.ЕВ — высота сечения ВМН. Из треуголь-
ника FOB следует, что ГВ=Д^4+Т=-^-. Sce4=4MH’FB =
=4 ДС-ВВ=4,2-^т=-^-, Z.FBO — линейный угол двугранного
угла, образованного плоскостями ВМН и ABC. tgZ_FBO =
237
' Отсюда ^-FBO = arctg^~ , Z.DBF — угол между
прямой BD и плоскостью ВМН. tgZ.DBO=^^=y/3. Отсюда
Z_DBO=60°.Тогда Z DBF=60° - a ret g	=| МВ +1ЛШ =
=1лм+1дв+1дс=_1ао+1дв+1дс.
Отметим, что PQ — линия пересечения плоскостей ВМН и
АВС, причем PQ||4C.
103.1.	а) (0; 2; 2), (2; 2; 2);
б)	{2; 0; -2}, { — 2; 2; -2}, {6; -4; 2};
в)	p = 8i —2j + %k.
103.2.	а) (2; 0; 4), (2; 4; 4);
б)	{2; 0;_ — 4}, {2; -4; 4}, {6, -8; 4};
в)	p = 6i — 12/4-0’й.
103.3.	а) (0; 2; 2), (1; 1; 2);
б)	£0; 0;^2), {-2; 2; 2;}, {-2; 2; 3};
в)	c = 3i — / — k.
103.4.	а) (4; 4; 6), (2; 4; 6);
б)	{0; 0; 6}, {-4; -4; -6}, {4; 4; 9};
в)	а = 0"7+0-7+15fc.
103.5.	а) Из условия следует, что треугольник ADK равно-
бедренный и высота DK является и медианой. Поэтому — се-
„	„/6+0 0+0 0+6\
редина отрезка АС. Отсюда следует, что л 1 ——;	I,
т. е. К (3; 0; 3). Вершина D равноудалена от вершин правильного
треугольника АВС, поэтому точка D проектируется в его
центр. DM =4-(DA + DB+ DC). Учитывая, что DA {6; 0; 0},
О
DB {0; 6; 0), ~DC (0; 0; 6), имеем DM {2; 2; 2). Так как D (0; 0; 0), то
M (2; 2; 2);
б) СК{3; 0; — 3}, ЛС {— 6; 0; 6}, ~DM {2; 2; 2}. Отсюда следует,
что р{ — 4; —4; — 4}= —4/—4/—4fe;
в) DE {101; 101; 101), DM {2; 2; 2}. Отсюда следует,
что Of = 50,5D Af, т. е. эти векторы коллинеарны, а так как
они отложены от одной и той же точки О, то точки О, М и Е ле-
жат на одной прямой. DM Л_АВС, а поэтому и DEA.ABC.
103.6. а) ME — высота прямоугольного треугольника КМР,
катеты которого МК и МР соответственно равны 2 и
пл/o’	МК2	№	1	ТГс 2 Trt; . 1 -rriz
2v2-	те- £Р = 2’ тогда МЕ=^МК+^МР.
238
I MK{0; 0; 2}, ~MP{2\ 2; 0), отсюда MEU; -В. Так как
I	«5 о о J
(2 2 4 \
3 ’ 3 ; 3 Л ^егко доказать, что высота МО равно-
бедренного треугольника КМН является и высотой пирамиды
МРНК. Так как треугольник КМН равнобедренный, то О — се-
; редина КН. Поэтому О	\ “у“)» т- е- ^(0; Г, 1);
б)	£ = 27-1,5/ + 2,5Л.
104.	1. а) Указание. Вычислите длины ребер и сравните
кч Л 3А/з" Л
их-б) (j; *+; 7
104.	2. б) (д/2 ; Д/2; 2Д/2).
104.	3. а) Необходимо доказать, что равны длины боковых ре-
бер DA, DB и DC. Отсюда следует, что они составляют равные
углы с плоскостью основания.
б)	Расчет показывает, что ЛВ = 4, ЛС = 4д/2~ и ВС = 4^\/3.
Так как ВС2 = ЛС2 + ЛВ2, то треугольник АВС прямоугольный
с прямым углом при вершине А. Так как DA=DB = DC,
то высота DE проектируется на середину ВС, а потому
В (2; 2; 3).
104.	4. а) Указание. Для доказательства того, что боко-
вые грани составляют равные углы с плоскостью основания, не-
обходимо доказать равенство высот боковых граней.
б)	(2; 2; 2). Указание. Необходимо найти середину от-
резка МК или отрезка PH.
104.	5. а) Поместим пирамиду в прямоугольную систему ко-
ординат так, что вершина А совпадает с началом координат, а
вершины С, В и D принадлежат положительным полуосям Ох,
Оу и Oz соответственно. Тогда А (0; 0; 0), С (18; 0; 0), В (0; 12; 0),
0(0; 0; 5). Середина отрезка СВ — точка М (9; 6; 0). Тог-
да =д/81 4-364-25 =7147.
| б) Пусть О — точка пересечения медиан треугольника АВС.
J Тогда DO=-^(DA-{- DB + DC). Вычислим координаты вектора
DO, получим DO {6; 4; — 5}. Отсюда DO =д/36+ 16 + 25 =д/77~.
J 104.6. a) V257 ; б) .
i Указание. Учитывая, что ZLCAB = ZLCAD = 45°, получа-
I ем, что ABCD — прямоугольная трапеция с прямым углом при
f вершине Л, причем АВ = ВС= 14. Поместим пирамиду в прямо-
угольную систему координат так, что вершина А совпала с нача-
лом координат, а вершины В, D и В принадлежали положитель-
ным полуосям Ох, Оу и Oz соответственно. Дальнейшее решение
J аналогично задачам 104.5 (а, б)
239
104.7. 1) Поместим призму в
прямоугольную систему координат
так, как это показано на рисун-
ке 344. Пусть А (0; 0; 0), В (а; 0; 0),
С (0; Ь\ 0), 41(0; 0; с). Тогда
Р (О; Ь\ Необходимо доказать,
что прямые КЕ и МР не параллельны
ГЛ ГУ ( й Ь	1
и не пересекаются. КЕ | — —; —; — с к
МР!- Ь; •£). Очевидно, что
Рис. 344
KE^kMP, т. е. векторы неколлине-
арны. Следовательно, прямые КЕ и МР не параллельны. Предпо-
ложим теперь, что прямые МР и КЕ пересекаются. Тогда век-
торы КМ, КЕ и МР компланарны и КМ = хКЕ +уМР\
ЮИ(О; 0; -|). Так как разложение по базису единст-
венное, то
о=—|х—т>У, О=^х+Ьу, —1=— сх+^у.
Отсюда следует система
1	1 п
-2^-2^ = °’
|х+# = 0,

2 ’
которая несовместна. Следовательно, наше предположение не-
верно, а прямые КЕ и МР являются скрещивающимися.
2) V(x—ly+^-b^2 есть расстояние между точками М (г, у, г)
и А (1; 0; 0), a Vx2 + (z/ — l^+z2 — между точками М (х; у, z) и
В(0; 1; 0). Так как АВ=у/2, то МА МВ^л/2, а по условию
Л1Л-}-Л4В=1. Следовательно, уравнение не имеет решения.
104.8. 1) Указание. Необходимо доказать, что векторы
РМ, рк. и РЕ не являются компланарными.
2) Решением уравнения служат координаты всех точек отрез-
ка АВ, где А (0; 0; 1) и В (1; 0; 0). Указание. Задача реша-
ется аналогично задаче 104.7 (2).
105.1.	1)	а)	4;	б)	0.	2)	30°. 105.2. 1)	а) 2; б) 0. 2) 90°.
105.3.	1)	а)	2;	б)	0.	2)	180° —arccos.
105.4.	1)	а)	2;	б)	0.	2)	arccosj.
□
240
105.5.	1) Примем векторы BD, ВС и ВА за базисные. Тогда,
МВ=-1(ВС + ВА), Л4В-ВО=-1(ВС4-ВА)-ВВ = -±ВСХ
хвв-{вд-вв=-|Уз.уз4-|д/з.уз4=-|.
A,	At,	А	А
2)	Пусть Е (0; 0; г). Угол ВЕС будет острым, если ЕВ-ЕС>§,
~ЁВ{ — \Ъ\ 7; 9 —z}, е£{2; 6; -4-z), ЁВ-ЁС=-204-42-
—(4-f-z)"(9 — z). Отсюда следует, что z2 —5z—14>0. Тогда
z< —2 или z>7. Следовательно, искомые точки имеют коорди-
наты (0; 0; z), где z< — 2 или z>7.
105.6.	1) —4. Указание. Задача решается аналогично
задаче 105.5(1).
2)	(х; 0; 0), где — 5^х^8. Указание. Необходимо
учесть, что СА-СВ^0.
105.7.	1) S=|AB-AC-sinB;
S2=lAB2-AC2sin2B=lAB2-AC2(l-cos2B)=
4	4х'
=1(АВ2-ЛС2-ЛВ2.ЛС2-со82В)=|(4^-4С2-(ЛВ-ЛС)2).
Отсюда S=^'AB2-AC2-(AB-AC)2.
2) Рассмотрим векторы а {"\/sin2 х4-0,5; Vcos2 х~ 0,5; <5},
6{1; 1; 1}. Их скалярное произведение:
а • b="Vsin2 x-f-0,5 4- Vcos2 *—0,5 4-Л/0,5.
С другой стороны, а-b— |а| • |ft| cos <р, где <р = а; Ь.
|а| = Vsin2x4-0,5-|-cos2х—0,54-0,5 =	; |b| = }[3;
-* — л/з~ г~	3
а.6=-1=.д/3 cos <р=—r= cos <р.
д/Г v Y д/Г
Наибольшее значение скалярного произведения равно -^L. Та-
ким образом, наибольшее значение выражения ^sin2x+0,5 +
+д/cos2 %-—0,5 +Д/0,5 равно 3 ^0,5. Оно достигается при х = лЛ,
где k£Z.
105.8.	1) Указание. Задача решается аналогично задаче
105.7 (1).
2)	Рассмотрим векторы а {Д/1 +% ; yjl—x} и b {Г, 1}. Их ска-
лярное произведение: а-6 = у1 +% + у! С другой стороны,
9 Зив Б. Г., 7—11 кл.
241
й‘Ь= |а| • |ft| cos ф, где ф = а; Ь. |а| =д/14-х-(- 1 —х =д/2*; |6| =
=^2*; а'Ь=^2‘"\{2 совф = 2со8 ф. Наибольшее значение скаляр-
ного произведения равно 2. Таким образом, наибольшее
значение выражения ^1+х	+ 1 равно 3. Оно достига-
ется при х=0.
106.1.	1) 45°. 2) 0. 106.2. 1) 30°. 2) 0.
106.3.	1) -х2.
2)	Необходимо доказать, что Z. А СВ = 90°, и тогда АВ = 5.
АВ.Л^4-ВС.В1+С^.СВ=ДВ-ДС4- ЛВ-СВ4-СД-СВ=АВХ
X(+ СВ)4- СА• СВ=АВ2+СА • СВ = 25 + 0 = 25.
106.4.	1) Зу2. 2) 100. Указание. Задача решается анало-
гично задаче 106.3 (2).
106.5.	1) (а —д —с)2=0, а2+&2+?-2а-Ь — 2с-а4-2&-с = 0,
9+16-|-254-2(/>• с—а'Ь— с-а)=0, отсюда Z>-c—а-6—с-а= —25.
2)	Пусть О — произвольная точка пространства. Тогда
AB.CD+AC.DB + AD.BC=(OB-OAy(OD-OC)+
+(OC-OA)-(OB-OD)+(OD-'OA)-(d^-OB)=
^=OB-'OD — OA-OD—'OB-'OCA-'OA-~OC + OC-OB—OA-'OB —
-OC-OD + OA.~OD + OD.~OC-OA.OC-OD.OB + OA.OB = 0.
106.6.	1) —21. Указание. Задачи решаются аналогично
задачам 106.5 (1, 2).
106.7.	1) ((д-с)а-(а-с)К)с = (К-с)-(а-с)—(а-с)-(6-с) = 0.
Этим и доказывается перпендикулярность данных векторов.
2)	±(AD2+M2-A$-W2) =
=1{(AD + AC).(AD-AC) + (BC + BD).(bC-BD)) =
=^((ADA-AC)‘'CD+(BC+'BD)’'DC) =
=|со-(ао+лс—вс—bd)=
= |СО-(АО4-ОВ + ДС4-СВ)=| CD-2AB = 'AB-'CD.
106.8.	У к а з а н и е. Задачи решаются аналогично задачам
106.7 (1, 2).
107.1.	1) 45°. 107.2. 1) 60°.
107.3.	1) arccos^.
2)	Пусть точка О — основание высоты ЕО, а М — точка пере-
сечения медиан грани ЕАВ. Примем векторы ОА, ОВ и ОЕ за
базисные. Тогда ОЛ4=4-(ОЛ 4-ОВ-ЬО^), а АВ = ОВ — ОА,
О
242
Ш-АВ=^(Т)А-ОВ + ОВ2+ОЕ-ОВ — ОА2—ОА-'ОВ—ОА-'ОЕ)==
о
=-^(ОВ2—ОА2)=0. Следовательно, ОМ .LAB. Здесь было учтено,
что ОВ = ОА, OEL.OB и ОЕА-ОА.
107.4.	1) arccos-y^-.
2)	Указание. Задача решается аналогично задаче
107.3(2).
107.5.	1) Примем векторы СА, СВ и СС, за базисные и поло-
жим, что АС = АВ = ВС = а. Тогда длина бокового ребра равна
~^=; ~АВ\ = СВ -|-CQ- СА; ~ВС1 ='СС, -~СВ; ~АВХ •~ВСХ = СС? - СВ5+
у5
4-СД-СВ=4—o2+-v= —4тг- Здесь было учтено, что СС,±СД
Э	2.	1U
or I го \~л~в\	|Ъ7м “W „ „	|лХ-ё^1 _За2-5	1
и СCj -L СВ. ДВ] — g ] — —г=— • cos ф — „,.,> — Л — “т•
W O^i-iMl 10-6а 4
2)	Рассмотрим пирамиду DABC. Пусть AE.LDBC и E£DF,
где DF— высота грани BDC. Нужно доказать, что ADJ-ВС. По
условию BCJ.DF. Это значит, что BC-DF — Q, но DF=AF-AD.
Тогда BC-DF = BC-(4F-AD) = BC-XF-BC-AD = O. Отсюда
~BC-~AD = BC-AF. 'BC-~AF^~BC-(AE+~EF)=BC-~AE+~BC-'EF=^.
Здесь было учтено, что АЕ .LBDC, а значит, АЕА-ВС. Кроме то-
го, DFJ-BC, а потому и EF J-BC (E^DF). Из доказанного сле-
дует, что BC‘AD = 0, т. е. ADL.BC.
107.6.	1) arccos 3^~ .
14
2)	Указание. Задача решается аналогично задаче
107.5(2).
107.7.	1) Прежде всего нужно доказать, что A £ ВС. Тогда рас-
смотрим треугольник ВАС. B/f {10; 0; 0), В^{8; 6; 0); cos4BC=
sl-flc 80	4 „
—ilXi" Taci = 10-10 = $ ' llycTb AF ~ высота треугольника ABC;
AF=AB sin ABC= 10-1=6.
2)	Пусть длина диагонали равна d.
OD-O^+O^-OC^+OC^-OB^=^(cosa4-cos 0 + cosy) (1)
243
Рис. 345
(рис. 345). Примем векторы DA, DC
и DDX за базисные,
OD.OC=4-DB^.cZ=
4	1
=|( DA + ОС 4- DD,) • ( DA - DC +
+ DD1)=^(dA2-D&+DD2).
Аналогично можно получить, что
ОС-ОС, = | (DA2 4- DC2 - DO?) и
ОС, -ОВ, =| (-ОД2 4- ~DC2 4-DO?).
Отсюда
(>О-ОС + ОС.ОС1 + ОС1.ОВ1=^(ОД^ + оЭ+ОО?)=1^2. (2)
Из равенств (1) и (2) следует, что cos a + cos 0-J-cos у= 1.
107.8.	1) Зд/2~. Указание. Задачи решаются аналогично
задачам 107.7 (1, 2).
108.1.	1) а) (-100; -200; -1); б) (100; 200; -1).
2)	Так как при движении отрезок отображается на равный
отрезок, каждая сторона треугольника отображается на равный
ей отрезок, и, следовательно, треугольник отображается на тре-
угольник с соответственно равными сторонами, т. е. на равный
треугольник.
108.2.	1) а) (-0,01; -0,02; -1); б) (1; 1; 0).
2)	Указание. Воспользуйтесь решением задачи 108.1 (2).
108.3.	1) а) Указание. Вычислите координаты середины
отрезка АВ. б) Указание. Вычислите координаты середины
отрезка ВС.
2)	Рассмотрим двугранный угол, образованный полуплоско-
стями аире границей а и линейным углом ek, где лучи е и k
принадлежат полуплоскостям аир соответственно. Пусть при
движении а-мц, Р->РЬ	Очевидно, что прямая
а будет общей границей полуплоскостей а, и рь в которых будут
соответственно лежать лучи ех и kx. Так как при движении углы со-
храняются, то ek = exkx. Следовательно, при движении двугран-
ный угол отображается на равный ему двугранный угол.
108.4.	1) а) {3; 3; 3}.
б)	Указание. Найдите середину отрезка АВ.
2)	Пусть прямая АВ пересекает плоскость а в точке А и об-
разует с ней угол ф. Пусть С — проекция точки В на плоскость
а. Проведем в плоскости а через точку С прямую Ь. Очевидно,
что ВСА-Ь. Пусть при движении а-^ан А->АХ, В—^ВХ,
С-^-Сь b—*~bx. Очевидно, что прямая будет пересекать плос-
244
кость cq, а прямые и Ь{ будут лежать в плоскости cq. Так
как при движении углы сохраняются, будет выполняться
BiC,±ДjCi, ZB141C=ZB4C. Значит, ^1C1-L/41C1 и
ZB^C^ ZB4C. Следовательно, при движении прямая и плос-
кость, составляющие угол ср, отображаются на прямую и плос-
кость, составляющие угол <р.
108.5.	1) Заметим прежде всего, что точка А (10; 20; 0) лежит
в плоскости Оху, Пусть при осевой симметрии относительно пря-
мой а точка А отображается на точку В(х; у\ г). Тогда середина
отрезка АВ — точка М имеет координаты (ft; k\ 0), где Л=/=0, так
как принадлежит прямой а и не совпадает с началом коорди-
нат О. Значит, МАА.МО и (10 — k) Л + (20 — k) fe = 0, откуда
й=15. Используя формулы координат середины отрезка, полу-
чаем 15=	* , 15=-^^, 0 = -^у£, значит, 4i(20; 10; 0).
2)	При данном отображении пространства на себя произ-
вольные точки А (Хр ух\ zj и В(х2; у2\ z2) переходят в точки
А{ (2X1*, 2ух\ 2ZJ и Bj (2х2; 2z/2; 2z2). Пользуясь координатной форму-
лой для нахождения расстояния между точками, находим, что
ЛВ^Д^р Следовательно, данное отображение движением не
является.	s
108.6.	Указание. Задачи решаются аналогично задачам
108.5. 1) (0; 10; 20). 2) Да.
109.1.	1) Рассмотрим прямую а, перпендикулярную некото-
рой плоскости а, и две пересекающиеся прямые b и с, лежащие
в плоскости а. Очевидно, что a-Lb и a-Lc, Пусть при движении
а-^-аь	а-xq. Легко доказать, что прямые с{ и Ьх ле-
жат в плоскости аь а прямая а{ пересекает плоскость cq. Так как
при движении углы сохраняются, то a^-Lbi и cqXq. Значит,
OjXaj, т. е. при движении прямая, перпендикулярная плоскости,
отображается на прямую, перпендикулярную плоскости.
2)	Очевидно, что если одна из двух параллельных прямых пе-
ресекает плоскость а, то и другая пересекает ее. Пусть данные
прямые а и b пересекают данную плоскость а в точках А и В со-
ответственно. Значит, при параллельном переносе на вектор АВ
а-+Ь, а->а. Тогда по доказанному в пункте а) прямая b будет
перпендикулярна плоскости а.
109.2.	У к а з а н и е. Задачи решаются аналогично задачам
109.1 (1, 2).
109.3.	1) Пусть дана правильная четырехугольная пирамида
EABCD с высотой ЕО. При симметрии относительно прямой ЕО
Е-^Е, А-^С, С-+А, B-+D, D^B, значит, квадрат ABCD отобра-
жается на себя. Следовательно, ЕО — ось симметрии пирамиды.
2)	Пусть Н — произвольная точка пирамиды. Рассмотрим се-
чение пирамиды плоскостью БОН, Очевидно, оно является тре-
угольником. По доказанному в пункте 1) при симметрии относи-
тельно прямой ЕО точка Н отображается на точку принадле-
245
жащую пирамиде. Но очевидно также, что точка принадле-
жит плоскости БОН. т. е. принадлежит сечению. Последнее
означает, что треугольник, полученный в сечении, отображается
на себя при симметрии относительно прямой ЕО, проходящей че-
рез одну из его вершин. Значит, этот треугольник равно-
бедренный.
109.4.	Указание. Задачи решаются аналогично задачам
109.3 (1, 2).
109.5.	1) Указание. Задача решается аналогично задаче
109.3 (1).
2)	Проведем плоскость а через прямую с, содержащую сере-
дины противоположных ребер правильного тетраэдра. Пусть
точка М принадлежит сечению тетраэдра плоскостью а. Тогда
по доказанному в задаче 1 при симметрии относительно прямой
с точка М отображается на точку Afb принадлежащую одновре-
менно плоскости а и тетраэдру. Значит, сечение при симметрии
относительно прямой отобразится на себя. Возьмем теперь про-
извольную точку Я, принадлежащую одной из двух частей, на
которые плоскость а делит тетраэдр. По доказанному в пункте
1) при симметрии относительно прямой с точка И отображается
на точку Нь принадлежащую тетраэдру. По определению сим-
метричных точек отрезок ННХ пересекает прямую с, а значит, и
плоскость а. Следовательно, точки И и Нх принадлежат разным
частям тетраэдра. Значит, эти части отображаются друг на дру-
га при симметрии относительно прямой с. Отсюда следует, что
плоскость а делит тетраэдр на две равные части.
109.6.	Указание. Задачи решаются аналогично задачам
109.5 (1, 2).
110.1.	2) 54л см2. 110.2. 2) 24л см2.
110.3.	1) 0^ + 4 д/З^ см2. 2) 24 д/3~ см. Указание. Необхо-
димо через указанную прямую провести плоскость, параллель-
ную оси цилиндра. Тогда расстояние от этой плоскости до оси
цилиндра равно 5 см.
110.4.	1) (|+ 16Д/3) см2. 2) 25 см.
110.5.	1) Пусть плоскости сечений пересекают основание ци-
линдра по хордам АВ и ВС. Положим, что высота цилиндра рав-
на h. Тогда ДВ = ^- и ВС=^. По теореме косинусов находим,
что АС = 7 . С другой стороны, А С = 2В sin 60°, где /? — ради-
Л	7
ус основания цилиндра. Отсюда следует, что /?=~. Тогда
ЗбоК = 2л/?Л = 2л“Л= 14л, Збок=14л см2.
2)	Данная плоскость пересекает основания цилиндра по хор-
дам АВ и CD (рис. 346), причем ABHCD. Можно доказать, что
расстояние между хордами АВ и CD равно длине ЕЕ, где £ и Е —
середины этих хорд. По условию EF = 9 см. Спроектируем хорду
246
АВ на плоскость нижнего основания. Из рассмотрения прямо-
угольных треугольников АХОЕХ и DOF следует, что ОЕХ = 4 и
OF = 3. Тогда Е1/? = 7. Высота цилиндра ЕЕХ находится из тре-
угольника EEXF и равна 4"\/2\ Тогда S6oK = 2nrh = 2-5-4^2n =
= 40яЛ]2 см2. Площадь полной поверхности
S = 40nд/2+50л=10л(5 + 4 д/2) см2.
110.6. 1) Пусть плоскости сечений пересекают основание ци-
линдра по хордам АС и АВ, Положим, что высота цилиндра рав-
на h. Тогда, учитывая условие, ДС = 4В=-^р^ и ВС=^-.
Пусть АЕ — высота треугольника СЛВ, АЕ =
Площадь этого треугольника 3 =
200
Л2
д /500
V А2
400	10
Л2 “ А •
радиус основания ци-
n АС-АВ-ВС 25 т
линдра /? =---—----=—. Тогда площадь боковой поверхности
цилиндра Збок = 2л/?й = 2л~*й, Збок = 50л см2.
2)	Спроектируем вершину квадрата А на плоскость нижнего
основания (рис. 347). Так как ABCD — квадрат, то по теореме
о трех перпендикулярах можно доказать, что AXD .LDC, В таком
случае АХС — диаметр окружности нижнего основания, АХС =
= 14 см. Из прямоугольного треугольника AXDC следует, что
Д1О = д/196— 100 см=д/9бГ см. Высоту цилиндра ААХ находим из
треугольника AAXD, Она равна 2 см. S6oK= 2л/?й = 2л-7 -2 см2.
Площадь основания 3^ = л/?2 = 49 л см2. Тогда площадь поверх-
ности цилиндра 3=126л см2.
111.1.	1) 36л(д/2+ 1) см2. 2) 154л см2.
111.2.	1) 64л (3-4-2 Д/З) см2. 2) 896л см2.
111.3.	1) 128л (V2+1) см2. 2) 2 см; 14 см.
247
Рис. 349
111.4. 1) 16л (34-2 д/З) см2. 2) 176л см2.
111.5. 1) Центральный угол развертки боковой поверхности
конуса а=“-360°. Так как а= 120°, то у = и L = 3R. Тогда пе-
риметр осевого сечения Р = 2Л + 2/? = 8/?; 8/? =16, /? = 2,
L = 6. Отсюда 5= 16л см2.
2) Пусть г — радиус основания меньшего конуса, а / — его
образующая. Тогда площадь полной поверхности этого конуса
равна лг/4-лг2 (рис. 348). Площадь полной поверхности усечен-
ного конуса равна л (16 — /)(/*+ 10) + лг2 + 100л. По условию эти
площади равны. Тогда л (16 —/)(г+10) + лг2+100л = лг/ + лг2.
Отсюда 2/г—16г+10/ = 260 (*). Из подобия треугольников
г 5	5
А1О,А1 и МОА следует, что j=g-, т. е. r=-g- /. Подставив это выра-
5/2
жение в равенство (*), получим — 10/4- 10/ = 260, /2= 13-16 и
/ = 4Л/ТЗ MO±=MAL=y[i3_ отсюда М0,~ ^~3
1	4*1'3, МО МА 4 • итсюда 0,0 ~ 4_д/1У
111.6. 1) 96л см2. 2) 1:(д/2-1).
111.7. 1) Построение показано на рисунке 349.
2) Если конус катится по плоскости вокруг неподвижной вер-
шины, то его высота MF описывает коническую поверхность с
радиусом, равным FO (рис. 350); cqsFMB = ^, ME = MF'X
н н2
Xcos FMB = H‘—=—, FO = ME. Площадь поверхности, описан-
о2 _иЗ
ной высотой, равна S = n-MF-FO = nH•—=—^~ .
111.8. 1) Указание. Задача решается аналогично задаче
117 (1).
248
Рис. 350
2) Пусть 20 — величина угла при вершине осевого сечения
конуса. Докажем вначале, что угол между высотами двух смеж-
ных конусов равен этому углу. Пусть А и В — центры оснований
двух соседних конусов с общей вершиной Р (рис. 351). Тогда
плоскость РАВ. содержащая высоты конусов, будет перпендику-
лярна плоскостям оснований конусов а и 0, а следовательно, бу-
дет перпендикулярна прямой а пересечения плоскостей а и
0. Прямая а будет общей касательной к окружностям оснований.
Осталось доказать, что точка касания К принадлежит плоскости
АРВ. Очевидно, что АКА-а и В/<±а. Значит, прямая а перпен-
дикулярна плоскости АКВ. Но через точку В можно провести
единственную плоскость, перпендикулярную прямой а. Поэтому
плоскости АКВ и АРВ совпадают. Таким образом, Z_APB =
= Л.АРК+ ЛВРК — 2&. Очевидно, что общая вершина конусов и
центры их оснований являются вершинами некоторой правиль-
ной шестиугольной пирамиды PABCDEF (рис. 352). При этом
угол между высотой пирамиды ОР и боковым ребром равен
90° р. В пирамиде OB = PB-cos р, 4B = OB = PB-cos р. Тогда,
учитывая, что Z.XPB = 20 по доказанному, из треугольника
249
РМВ получим РД c°s Р = Pfi-sin fl. Отсюда tgfl=i и fl =
= arctgi, 2fl = 2arctg^.
112.1. 32л(1+Л/3) см2 112 2. 1бя см2.
V3
112.3. 3840л см2. 112.4. 96л см2.
112.5. Обозначим через So площадь поверхности, которая обра-
зуется при вращении отрезка а вокруг оси. Тогда искомая пло-
щадь S„0B=S^e -|-S,4C-|- Sgc = я (Л О -|- ВО|)4~ лЛ С - (Л О -|-
-{-2nBC‘DO = n(AO + BO})‘(AB + AC)+2nBC-DO (рис. 353).
Площадь треугольника АВС находим по формуле Терона:
S =д/35-7-18-10 =210 см2; Л£>=-^.
$пов = л (^ + 40) 4- 2л 17-20. 5П0В=-^л см2.
113.1.	1)	а)	(х—3)24-x/24-z2= 16; б) да, нет. 2) 13 см.
113.2.	1)	a)	x2+^4-(z —4)2=9; б)	нет, да. 2)	13 см.
113.3.	1)	a)	x2-j-(y4-0,5)24-z2= 17;	б) да, нет.	2) 4 см.
113.4.	1)	а)	х*+(у— 0,5)24-z2= 14;	б) нет, да.	2) 9 см.
113.5.	1) Указанная плоскость пересекает плоскость Огу по
(8 Д/З \
0; 0; —] и В (0; 8; 0). Можно доказать, что
расстояние от центра сферы до этой плоскости равно высоте ОК
8д/з*
прямоугольного треугольника АОВ. Из того, что ОА=—^— и
ОВ = 8, находим, что ОК = 4. Так как расстояние от центра до
плоскости меньше радиуса сферы, то можно утверждать, что
плоскость и сфера пересекаются. Радиус сечения r="\jR2 — d2,
где d — расстояние от центра до плоскости. Тогда г =
=Д/25 — 16 =3. Длина линии пересечения равна 6л.
2)	147д/iT см2. Указание. Необходимо доказать, что тре-
угольник является правильным.
113.6.	1) Да; 16л. Указание. Указанная плоскость прохо-
дит через точки (бд/iT; 0; 0) и (0; бд/1Г; 0)- Дальнейшее решение
аналогично решению задачи 113.5 (1). 2) 10 см.
113.7.	1) Данные уравнения необходимо переписать в виде
(x-1)2 + (z/-2)2 + (z + 3)2 = 25 и x2 + (^-4)2 + (z + 3)2 = 4. Коор-
динаты центров сфер: OJ1; 2; —3), О2 (0; 4; —3). Радиусы сфер
соответственно: = 5,./?2 = 2. Расстояние между центрами сфер:
250
Рис. 354
Рис. 355
d=Vl24"22 =V^>	— ^2- Значит, сферы не пересекаются
и шары не имеют общих точек.
2)	Расстояние от точки О до граней ABCD, AAtBtB и AA^D
равно 10 см, что меньше радиуса сферы. Следовательно, Сфера
пересекает плоскости ABC, AAtB и AAtD и радиусы сечений
равны 5 л/fT см. Расстояния до остальных граней больше радиу-
са сферы, а потому сфера не имеет с ним общих точек.
113.8.	1) Да.
2) Сфера пересекает плоскости ABC, ABBt и ADDt. В первом
случае радиус сечения равен 6 см, а в двух других 2"\/5 см.
114.1.	1) 676л см2. 2) 4л дм. 114.2. 1) 400л см2. 2) 6л см2.
114.3.	1) 676л см2. 2) 4^/2 дм. 114.4. 1) 676л см2. 2) 36л см2;
36л см2.
114.5.	1) Пусть радиус сферы равен R, а радиусы сечений Rt
и /?2 (рис. 354). Тогда Rt = О,Л ="^/?2—у =	, R2=O2B —
1~п2 4R5" R л/5	-.	2R
= \IRi — ==—j—. Используя условие, имеем 2л  
-2л-^-^ = 6(2д/2-Д/5)л, /?(2д/2-Д/5) = 9(2д/2-Д/5),
/? = 9. Площадь сферы 3 = 4л-81, 3 = 324л см2.
2)	Радиусы сечений г{= 10 см и г2 = 8 см, 4С = 6 см
(рис. 355). Из прямоугольного треугольника АСО2 следует, что
СО2=д/б4 —36, СО2 = у/28 см. Из прямоугольного треугольника
ОО^А следует, что /? = д/100 + 28 =У128, /? = 8д/^ см.
114.6.	1) 144л см2. 2) 4 см; 5 см.
115.1.	1) Зл см2. 2) 240д/2л см2. 115.2. 1) 64л см2. 2) 12л см2.
115.3.	1) —л см2. Указание. Центр сферы лежит в точ-
ке пересечения серединного перпендикуляра к боковому ребру
пирамиды с ее высотой. Так как угол наклона боковых ребер к
251
плоскости основания больше 45°, то центр сферы находится вы-
ше этой плоскости.
2)	4Д/бл см2.
115.4.	1) 16л см2. Указание. Необходимо из центра
основания пирамиды опустить перпендикуляр на сторону осно-
вания и его основание соединить с вершиной пирамиды. Полу-
чим линейный угол двугранного угла, образованного боковой
гранью с плоскостью основания. Центр сферы лежит в точке пе-
ресечения биссектрисы этого угла с высотой пирамиды.
2)	35 л/5~л см2.
115.5.	1) Вершина пирамиды М проектируется в центр опи-
санной вокруг основания окружности. Центр описанной сферы
лежит в точке пересечения серединного перпендикуляра ЕО к
ребру AM с высотой пирамиды МОХ (рис. 356). Чертеж дан для
случая, когда <р>45°. Если же <р<45°, то центр сферы располо-
жен ниже плоскости основания, а при ф = 45° центр сферы сов-
падает с центром описанной около основания окружности. Реше-
ние задачи для всех случаев совпадает. Радиус окружности, опи-
санной около основания, /?=—-—; АМ =------------------; ЕМ =
2 sin а	2 sin а «cos ф
=------------. В прямоугольном треугольнике МЕО Z_MOE = q.
4 sin а «cos ф
Тогда радиус сферы /?сф =МО=---------------------=
4 sin a «cos ф«зт ф
______а______	_ па2
2 sin а «sin 2ф	сФеРы Sjn2 a.sjn2 2q>
2) В прямоугольном треугольнике EKF (рис. 357) EK=4\j3,
Z EFK=60°. Тогда KF = ЕК ctg 60° = 4, ОК = OF - KF = 1. Отсю-
да следует, что площадь боковой поверхности цилиндра
5=2лО/ОЕЯ = 2л-Ь4Д/3, 5 = 8Д/Зл см2.
252
115.6. 1) Вершина пирамиды М проектируется в центр впи-
санной в основание окружности. Центр вписанной в пирамиду
сферы лежит в точке пересечения биссектрисы угла MDB с вы-
сотой пирамиды AfOj (рис. 358). AD = a>cos a, O]D = AD tgy=
= acosatgy. Радиус вписанной сферы /?СфеРы = ОО1 =
= O(D-tg-|=a-cos a-tgy-tg-|.
s сферы = 4na2 COS2 a • tg2 у • tg2 у.
2) На рисунке 359 изображено осевое сечение конуса вместе
с осевым сечением вписанного в конус цилиндра. МОХ =
= МО — 00, = 10Д/З — 4 д/3 =6Д/3, О,В,= МО ctg60° = 6. Пло-
щадь боковой поверхности цилиндра 5=2л-01В1 -00, =2л-6-4 д/з",
5 = 48Д/3 см3.
116.1.	1) 780Д/З см3. 2) 12(34-Д/5) см2.
116.2.	1) 1280Д/З см3. 2) 8-(5 + д/13) см2.
116.3.	1)	2) 18 см3.
О
116.4.	1)	2) 36 см3.
116.5.	1) Из точки В опустим перпендикуляр ВК на АС и точ-
ки В! и К соединим (рис. 360); Z.ВХКВ = 60°, так как это линей-
ный угол двугранного угла, образованного плоскостью сечения
с плоскостью основания; 50=-^-, ВК—^-sin 60°=-^Q^-. Из
2	2	4
треугольника ВХВК имеем ВВХ = ВК tg 60° =-^-. S0CH = ™	;
_ т2 д/з" Зт _ 3m3 Л/3~
V~ 4	4 ~	16	’
253
Рис. 361	Рис. 362	Рис. 363
2) СЕ -LAAXBX (рис. 361), ЛСВ1£' = а, так как это угол между
прямой BjC и плоскостью ААХВХ. Прямоугольные треугольники
АЕС и СЕВХ равны, а потому BxC = b. BC — b tg а. Из треуголь-
ника ВХВС следует, что BBx—^b2 — b2 tg2 а = —— д/cos 2а.
cos а
_ ft2 tg а	_ Ь3 tg а Д/cos 2а
^АВС — о » V — ^АВС ’ DD1 —-------------•
2	2 cos а
116.6.	£ 2) „•otg.V-cZ.
16	2 sin а
117.1.	1) 480 д/3. 2) 8ла3. 117.2. 1) 64 см3. 2) 3468л.
117.3.	1) 192д/З см3. Указание. Воспользуйтесь тем, что
площадь основания призмы равна площади сечения, умно-
женной на косинус угла между плоскостями сечения и осно-
вания.
2)	.
2cos|
117.4.	1) 324 см3. 2) —•
4Н cos2 у
117.5.	1) Можно доказать, что треугольник BXFE прямоуголь-
ный с прямым углом BXFE (рис. 362). FE = д/252 — 242 = 7, ВЕ =
= 14. Из треугольника ВХВЕ следует, что ВВ1=^625—196 =
=A/429‘;SOCH=1^; V==Sra-BB, =-^^.
2)	te** . Указание. См. решение задачи 115.5 (2).
4(tga+2)3	г	'
1 1 *7 А 1 \	А/б" tg tt Ж Г	Q
117.6.	1) —т—. 2)-—----. Указание. Задачи реша-
2	36 (tg a+2)3
ются аналогично задачам 117.5 (1, 2).
254
118.1.	1)	2) ЗОД/З см3. 118.2. 1) 48 л/з". 2) 60 д/З см3.
125 А/з
118.3.	1)—-—см2. Указание. Докажите, что наклон-
ные боковые грани — квадраты.
а2бд/з w	„
2)———• Указание. Предварительно нужно доказать,
что боковое ребро ААХ перпендикулярно стороне основания ВС.
После этого постройте перпендикулярное сечение призмы плос-
костью, проходящей через ВС, и найдите его площадь.
110 4 IX 343 ^	3
118.4.	1)—-—см.	Указание. Докажите, что грань,
проходящая через другой катет,— квадрат.
fTl^l
2)—. Указание. Задача решается аналогично задаче
118.3 (2).
118.5.	1) Так как все ребра призмы равны между собой и
Z414C= ^Л1ЛВ = 60°, то А1А=А1В = А{С и вершина проекти-
руется в центр правильного треугольника АВС (рис. 363). Исполь-
зуя теорему о трех перпендикулярах, можно доказать, что ВСЛ_ААЬ
а так как ЛЛЛСС!, то ССХ _1_СВ. Учитывая условие, можно утверж-
дать, что ССХВХВ — квадрат. Так как SCCiB}B = Qi то ребро приз-
мы равно д/o' и ЛК=^. Из треугольника ААХК следует, что
"у з
S4flC=-^; V=SABC-AtK=^^=
_<?w
4
2)	Расстояние от бокового ребра до диагонали противо-
положной грани равно расстоянию от бокового ребра до этой
грани. Построим перпендикулярное сечение призмы. Пусть d —
расстояние от бокового ребра до противолежащей боковой гра-
ни, т — сторона перпендикулярного сечения, противолежа-
щая этому боковому ребру, и / — боковое ребро призмы.
V = S	-l = ^d-m-l=^d-Q9 где Q — площадь боковой гра-
перп. сеч. 2	2
ни. Тогда У=~5-40= 100 см3.
118.6.	1) Так как Z.AXAD= Х.АхАВ, то вершина Л( проекти-
руется на биссектрису угла BAD, т. е. на диагональ ромба АС
(рис. 364). Используя теорему о трех перпендикулярах, можно
доказать, что BD-LAA^ Тогда BBtDtD — прямоугольник. Пусть
длина ребра параллелепипеда равна т. Учитывая условие,
имеем m?^2=S и т=-^—. Опустим перпендикуляр А}Е на AD
и соединим точки Ей К, тогда ЕКЛ-AD. Из прямоугольных тре-
255
угольников А,ЕА, КЕА и А,КА получим АЕ=-^-, АК=т^ ,
л „ Л I 2	2m2 тЛ/2	2 т/ е л г
— у т	4~——2—’ $abcd—	У— Sabcd'A\K — —2—* 3
Vs" 1Z s
так как m=-^—, то V =—?—.
4 __	4 __
д/2	2Д/2
2) 30УТ см3. Указание. Задача решается аналогично
задаче 118.5 (2).
1) 24 см3. 2)
1)-----—
3 sin2 a «cos а
sin q)«cos ф
1) Из точки Е (рис. 365) опускаем перпендикуляр EF
на ребро DB и точку F соединяем с точками А и С; Z_AFC = a —
линейный угол двугранного угла, образованного двумя смежны-
ми боковыми
119.1.
119.3.
119.4.
119.5.
н3
1 Л/3
-^-.119.:
2)^з
2)^
’	24
27
гранями. Из подобия треугольников DOB и EFB
DO ОВ	EF-ОВ	а , а
ЁГ=7в’ 0ТСЮДа D0 = -FB-' ^=2С^2’
Тогда
DO
следует, что
ов=-^«
Д/З
Из треугольника EFB следует, что
а
a«ctg —-а-2
За2 а2 1 г ®
--Тс‘® 2
В
Рис. 364
х а
a ctg —
Рис. 365
Рис. 366
256
Примечание. Ответ может быть получен и в такой форме:
о а
a cos —
2) Так как плоскости АРС и АВС взаимно перпендикулярны,
то высота пирамиды РК принадлежит грани АРС (рис. 366). Учи-
тывая, что две остальные боковые грани составляют с плоскостью
основания равные углы, можно доказать, что ВК — биссектриса
угла ABC. АКВС=30°; KC=a-tg 30°=^=; РК=КС=-^=; SABC=
_а2Д/з . у_ 1 а2А/з а _ а3
~ 2 ’ V 3*2 'д/з	6 ‘
а3 'у/2 cos у
119.6. 1)—.	Указание. Задача решается анало-
6 у — cos а
гично задаче 119.5 (1).
2) РО±АВС (рис. 367), АРЕО= ZLPFO = 45° — линейные уг-
лы двугранных углов, которые образуют боковые грани с плос-
костью основания. Можно доказать, что EOFC — квадрат, и,
приняв его сторону за %, составить уравнение а = х-]--^=. От-
V з
аД/3(Д/3-1) D	„ а Д/3’(Л/3'—1)
сюда х=—2Высота пирамиды п=х=—1
_а2л/з 1 а2Д/з аД/3 С\/3-1) _ а3 С\/3-1)
•^двс— 2 ' V~ з' 2 ‘	2	—	4
119.7.	Объем правильного тетраэдра с ребром, равным а,
П X
равен —jy-. Ребро каждого срезанного тетраэдра равно
w| в
257
a3 Л/2
(рис. 368). Тогда его объем равен . Объем многогранника
<5x4
а3 . а3 д/2”	23а3 У/2	„
равеи	4 324 — 324 • Тогда
^многогранника _ 23в3 ^2* , ®	__ 23
Тетраэдра	324~ ’ “12“ “ 27 ’
119.8.	-g-. Указание. Задача решается аналогично задаче
119.7.
120.1.	1) 20 см3. 2) П°У .
120.2.	1) 120 см3. 2)
120.3.	2)—^--------------------------•
81 sin a«cos a
120.4.
1 x 32л д/б" оч 8л</3
' Q *	г» • 2
6	3 sin^ a-cos a
120.5. 1) Если осевым сечением конуса является тупоуголь-
ный треугольник, то наибольшую площадь имеет сечение со взаимно
^2	1
перпендикулярными образующими. SAPC——, SAPB=— ZAsin АРВ
1
(рис. 369). По условию задачи -y = L2*sin APB, sin АРВ=— и
ААРВ= 150°, тогда Л.РАО = 15°, R=AO = L cos 15°, tf = L-sin 15°.
nL2cos215° -L sin 15° = -^-nL3 cos 15°.
2) 60°. Указание. Необходимо воспользоваться тем, что
сумма оснований трапеции равна сумме ее боковых сторон. Тог-
да боковые стороны равны 5 см и не представляет труда найти
диаметр основания конуса, т. е. высоту трапеции.
120.6.	1) |n//3tg267°30'=|n//3(V2 + l)2. Указание. За-
дача решается аналогично задаче 120.5 (1).
2)45°. Указание. Необходимо доказать, что основание
трапеции является диаметром основания конуса и равно 6 см.
120.7.	На рисунке 370 FM, FO и МО соответственно образую-
щая, высота и радиус основания конуса. Зная длины сторон тре-
угольника СМВ, можно найти радиус описанной около него
25
окружности: МО=—. Из треугольника АМЕ, где AM = 10, МЕ = 8
и AE = 8"\j3, находим косинус угла АМЕ: 108=1004-64 —
— 2 • 80 cos АМЕ, cos АМЕ =-^  Тогда tg АМЕ =	t
™	25 ЗД/39	75 д/зэ" „ 1	625 75 д/зУ
fo=mo-^ame=-.^- = -^. у=-.л._._^-=
15 625л д/39~
448
258
«лл л ЮМЭЛ VIO ч ж,	«
120.8.	-----см\ Указание. Задача решается ана-
логично задаче 120.7.
121.1.	1) 1^сМз. 2)	121.2. 1) ^см3. 2)
и	О	1Z	о
121.3.	1) см3. 2) 576л. 121.4. 1)7 см3. 2) 8064л.
121.5.	1) На рисунке 371 EDXF— сечение плоскостью, прохо-
дящей через вершину Dx и перпендикулярной BXDX. Необходимо
отметить, что £Г||ЛС, О^ЦЛЛ! и D^UCCf, ED = AD — AXDX = 4;
EF = 4y/2 \ SED[F=^ EF • DXK, где DXK— высота пирамиды. По
условию SEDiF = &^/2. Отсюда следует, что ОД = 3.
у=1.3 (1004-36+Д/100-36 ) см3=196 см3.
2)	Объем тела вращения V=VABC0—VAD0 (рис. 372);
1/=4л-ЛО(ЛВ2+ОС24-ЛВ.ОС)-|лЛО-ОО2=
=1л-ЛО(ОС2 + ЛВ-ОС)=4-лЛО-ОС(ОС + ЛВ);
ло=зд/з, 00 = 3, 00 = 6.
7=1л-3Д/З-6-(64-3)см3 = 54лД/З см3.
39 л/З
121.6.	1) —дм3. Указание. Необходимо доказать, что
'	4
сечением является прямоугольник.
п. 32 000л У]3 з
2)---X—— см3.
о
122.1. 1) 27л см2. 2) ^дм3. 122.2. 1) -^см3. 2) ^-дм3.
259
122.3. 1) Да. 2) |д/3 Дм* 3 * * * * *. 122.4. 1) Нет. 2) 9 * * * * *”'^ 15° дм3.
122.5. 1) На рисунке 373, а показаны осевое сечение конуса и
вписанного в него шара. Высота конуса Н=3г. Радиус основания
конуса /? гУконуса — я• Зг2• Зг Злг^, Ушара — лг3, 1^жидкости
= Злг3 —4 яг3=^т~- Пусть х — уровень жидкости после того, как
lx2 лх3
шар вынут из сосуда (рис. 373,6). ^жидкости=^ л ~-х=—;
х3=15г3, х=г\[Т5.
3 У
2) О, — центр вписанного в пирамиду шара (рис. 374), КОХ —
биссектриса Z.PKO. -77;=777',	РК=15 см. РО =
= Д/225 —81 см = 12см. Радиус сферы R=^ РО=^см. Площадь
о	Z
сферы 5 = 4л’-^-, 5 = 81л см2.
122.6. 1) 4500л см3. 2) 16л см2. Указание. Задача реша-
ется аналогично задаче 122.5 (2).
122.7. Пусть R— радиус вписанного шара, <р — величина
угла между образующей конуса и плоскостью основания
(рис. 375). Радиус основания конуса r = R ctgy. Высота конуса
/7 = /? ctgy-tg ф.
бонуса =| xR2 ctg2 R Ctg tg ф
л/?3 tg ф
3tg3-£
б 2
4	3
^шара **“ 3lR •
2л/?3
Исходя из условия, имеем
------7^------Т=Н"«’
4 3
260
Пусть tg2y=a>0. Тогда получаем уравнение 9а2—9а4-2=О,
корни которого а,=у и а2=-|-; tg-|-=^= и <р = 60° или tgy=
Л/б о , л/б
=JL_ и ф = 2 arctg-^-.
1	д/з"
122.8. л —4arctg — или л —4arctg-!^-. Указание. Зада-
ча решается аналогично задаче 122.7.
123.1.	1) а) В плоскости Оху, б) . 2) 0.
123.2.	1) а) В плоскости Оху, б) 7. 2) 0.
123.3.	1) а) Параллельно плоскости Оху, б) 10. Указа-
ние. Высота И пирамиды равна модулю разности аппликат вер-
шины пирамиды и вершин основания; Н = 3. 2) 0.
123.4.	1) а) Параллельно плоскости Оху, б) 10. Указа-
ние. См. указание к задаче 123.3. Н=\— 5— 11 =6.
123.5.	1) Пусть координаты вершины О( —2; 0; z), где z>0
(рис. 376), AD{— 2; 2; z}, ВС {2; 0; 0}. Если <р — угол между пря-
мыми AD и АС, то
2	1
По условию <р = 60°, тогда -^===— . Учитывая, что z>0, полу-
чаем z = 2y/2. В таком случае ДС = 2, ВС = 2, BD = 2^/2 и на-
хождение площади поверхности тетраэдра не вызывает затруд-
нений. Она равна 2 (З + д/^+д/з").
2)	Поместим куб в прямоугольную систему координат, как
это показано на рисунке 377. Положим, что ребро куба равно 1.
Тогда Е(1; 0; |),	; 1;	5.(0; 0; 1), М (1; 1; о) и
261
Рис. 377
Рис. 378
1; о),	-1). Отсюда ~EF-13fli=
4-0 = 0.
123.6.	1) 4(2-|-V^)- 2) 0. Указание. Задачи решаются
аналогично задачам 123.5 (1, 2).
124.1.	2) а) Параллельны; б) пересекаются; в) скрещиваются.
3>w-
124.2.	2) а) Параллельны; б) скрещиваются; в) пересекаются.
3)|.
2 д/з 1
124.3.	2) arctg—. 3) у. Указание. Объем призмы
AEBDFC равен произведению площади перпендикулярного сече-
ния КЕВ на длину бокового ребра AD (рис. 378).
2 д/з" ।
124.4.	2) arctg—5—. 3) •=•. Указание. Объем пирами-
ды CAEFB равен уЗЛ££8СА, где CL — высота этой пирамиды
(рис. 379).
124.5.	Пусть AEF — искомое сечение, тогда АК} А.МК и EF\\BC
(рис. 380). Пусть сторона основания пирамиды равна а и угол х —
угол между ребром AM и плоскостью сечения. AKi = a^-sin 60° =
=^-; /<./(=<. cos 60’=^; МК=—=-2------------=-^; MKt =
4	1 * *	2	4	2Д/Т.со8бО° Д/Т
1 Л U If 17 О &	Л	1	1	’Т'
= МК-К1К=-7=--------у—=—-77-F=T- Тогда для построе-
д/Т 4	4 Д/Т Я,Я 3
ния сечения необходимо апофему пирамиды МК разделить в от-
ношении 1:3 и полученную точку К\ соединить с вершиной пира-
миды А. Через эту же точку провести прямую EF, параллельную
262
с
Рис. 379
ВС. Пересекающиеся прямые и EF задают плоскость сече-
ния. Треугольник AEF — искомое сечение. Из подобия треуголь-
ников EMF и СМВ следует,
вс-мк.
мк~
а .
7- tgx
мк.
АК.
1
зд/з
,	_1 а За__За2 ,
aef~1"a'~~~32 ’
EF МК.
что sc=W Отсюда EF =
. 1
и x=arctg—т= .
зд/з
124.6. 2)
изображено
= х — угол
КМ
sinx“" см •
I/ _ I/ _ I За2 а _а3У]з
'1 - Vmaef —J-32"Т^—384~ ;
I/ _«	а_а3у/3
Vmabc—-^-------4 2’ — —г?-’
_ а3 у/з а3у/з _ 15а3 у/з V, _ I
V*~~24	384-- 384	’ Тб’
arcsin-^-. 3) Указание. Искомое сечение
на рисунке 381, где LK.LMP и ЕР||ЛВ, Z.MC/C=
между ребром МС и плоскостью сечения, причем
125.1.	2) arctg2. 3)	. 4) 4л//2.
125.2.	2) arctgV2. 3) а2д/3. 4) я-а-^.
4/?2ctg2-^-
125.3.	1)-2) 2flcos2£. 3) arctgl-^.).
cos а	2	\ У2 /
З/?2 ctg2 — • л/з"
125.4.	1)---. 2) 2/?cos2£. 3) arctgf^Y
cos а	\ ^ /
263
м
Рис. 381
-—с-	. Высота цилиндра (и пирамиды)
2 sin 2а
125.5. Зная площадь описанной сферы, находим ее радиус:
Лсферы = ^=- • На рисунке 382 О3 — центр описанной сферы, а ВО3 —
ее радиус. 4C = 2/?sin2a, где R — радиус основания цилиндра,
/?=—-—. Из прямоугольного треугольника ВО2О$ находим О2О3=
2 sin 2a
Va2	а2
2	4 sin2 2a
rj a у—cos 4a „
n =—------------. Площадь боковой поверхности цилиндра
sin 2a
S = 2л/?Я — —9cos4a . Z_BDE = 4 — угол между ребром DB
sin 2a
и плоскостью ADC, Из треугольника DBE находим, что tg<p =
BE sin2 a	. sin2 a
=	/------ ; <p = arctg ;------
y — cos 4a	y — cos 4a
V =	V
r пирамиды £	4	11» 9 цилиндра
Отсюда	= 2 sir? "‘sin 2tt .
•цилиндра
я.а2Н
4 sin2 2а
_____ о а
2 л /	COS —
125.6. 1) na-^costt . 2) arctg . 2 . 3)
coss|	VcosT
Q •	2 а
2 sin a-cos —
Зл
Ответы к контрольным заданиям
1.1.	1) 42 см или 8 см. 2) 78°. 3) Две точки вне отрезка АВ, на
расстоянии 2 см от его концов.
1.2.	1) 27 см или 3 см. 2) 120°. 3) Таких точек нет.
1.3.	1) 33 см или 3 см. 2) 126°. 3) Две точки вне отрезка MN,
на расстоянии 2 см от его концов.
1.4.	1) 29 см или 21 см. 2) 100°. 3) Таких точек нет.
2.1. 3) а) 110°; б) 2 см. 2.2. 3) а) 73°; б) 26 см.
2.3. 3) а) 4 см; б) 115°. 2.4. 3) а) 50°; б) 140 мм.
3.1. 2) 27°, 27°, 126°. 3.2. 2) 64°. 3.3. 2) 106°. 3.4. 2) 46°.
4.1.	1) 80°. 2) Может быть 39°. 3) 36 см.
4.2.	1) 100°. 2) Может быть 79°. 3) 24 см.
4.3.	1) 65°. 2) Может быть 69°. 3) 21 см.
4.4.	1) 100°. 2) Может быть 74°. 3) 13 см.
5.1. 2) 5 см. 3) 30°, 120°, 30°. 5.2. 2) 14 см. 3) 45°, 90°, 45°.
5.3. 2) 14 см. 3) 120°, 30°, 30°. 5.4. 2) 28 см. 3) 45°, 90°, 45°.
6.1.	1)	50°, 50°, 80°. 2)6)31	дм. 6.2. 1)60°,	120°.	2)6)41	см.
6.3.	1)	15°, 75°. 2) б) 23 см.	6.4. 1) 25°, 25°,	130°.	2)	б) 41	см.
7.1.	1)	780 см2. 2) 160 см2.	4) 6 см.
7.2.	1)	154 см2. 2) 100 см2.	4) 3 см.
7.3.	1)	15	см. 2) 54 см2. 7.4. 1) 12 см.	2) 96 см2.
8.1.	1)	б)	3:1; 9:1. 2) 36д/З см2.	3) 8	см.
8.2.	1)	б)	4:49; 2:7. 2) 64 см.
8.3.	1)	б)	4:25; 2:5. 2) 28 см. 3)	3 см.
8.4.	1)	б)	1:4; 1:2. 2) 80 см2.
9.1.	1) 25°5Г, 64°9/, 18,1. 2) 28,2 см. 3) 2а sin |; 2а cos |. 4) у.
9.2.	1) 55°, 35°, 7,2. 2) 72,9 см. 3) —; d tg|. 4) -.
2c°4 s| р
9.3.	1) 33°55', 56°5', 0,35. 2) 24,4 см. 3)	; a tg а. 4) —.
cos а	У
9.4.	1) 50°42', 39°18', 23,5. 2) 21,6 см. 3) а sin а, a4-acosa.
4)?-
10.1. 1) 1бл/3 см. 3) 4,8 см. 4) Нет.
10.2. 1) 12Д/2 см. 3) 3 см. 4) Нет.
10.3. 1) 5 см. 3) 30°. 4) Нет.
10.4. 1) ^О^см. 3) 45°. 4) Нет.
11.1. 2) а) ОЛ]=4-ОВ + 4 ОС; б) возможно, х= — 4.3) — 4.
z	Л	о
11.2. 2) а) ВЛ4 = РС—|-ЛС; б) нет. 3)
11.3. 2) а) СО = СР+у СЛ1; б) возможно, i/ =—0,5. 3)Л1Д =
= — 1,5МС.
265
11.4. 2) а) ~М6=^~МН-~РН-, б) нет.
12.1.	2) (x+3)* 2 * + (i/-2)2=25. 4) Нет.
12.2.	1) 17. 2) Да. 4) Одну точку.
12.3.	2) (x-2)2 + (z/-l)2 = 25.
12.4.	1) 17. 2) Не принадлежит.
13.1.	1) 0,64. 2) 41,2. 3) Треугольник остроугольный.
4)	a2 sin2 За sin4 у sin2 а.
13.2.	1) 9,91. 2) 1,21. 3) Треугольник тупоугольный.
, b2 sin2 3w sin 4ф
4)		—-------•
sin ф
13.3.	1) 0,53. 2) 27,7. 3) Треугольник остроугольный.
b sin sinz ф
13.4.	1) 25,6. 2) 0,52. 3) Треугольник тупоугольный.
14.1. 1) 18л дм2. 2) 90°. 3) 5Д/3 см.
14.2. 1) 48л см. 2) 20°. 3) |д/б см.
14.3. 1) 576 см2. 2) б|л. 3) 21 д/з" см.
О
14.4. 1) 72 д/з" дм2. 2) 48л см2. 3) -уД/б см.
15.1. 1) 1,8 см. 2) 0,8; 0,75. 3) 4 см, 5 см, 6 см2. 4) CD = CB +
+ 0.64ВЛ. 5) 6,25л см2.
15.2. 1) ЗД/З см; 24 д/з” см2. 2) 2д/37~ см. 3) Равносторонний.
4) D£=-CD + 0.75CB.
, - л < \	16 < 2 о \ с о о\ 10	2
15.3. 1) —5— см; ——см . 2) 5:3. 3) —см .
О	о	о
4) BE = 0,2AD-AB.
15.4. 1) 4 см; 12 см2. 2) 0,6; 0,75. 3) 3,6 см. 4) АК = ЛС +
-|-0,72СВ. 5) Зл см.
16.1. 2) Скрещиваются, 50°. 16.2. 2) Скрещиваются, 35°.
16.3. 2)	Скрещиваются, 55°. 16.4. 2) Скрещиваются, 65°.	|
17.1. 1)	12	см2. 3) Нельзя. 17.2. 1) 108 см2. 3) Пересекаются.	I
17.3. 1)	14	см2. 3) Можно. 17.4. 1) 124 см2. 3) Пересекаются.	1
18.1. 1)	17	см. 2) 30°. 3) Квадрат. 18.2. 1) 17 см. 2) 60°. 3) 90°.	1
266
18.3.	1) 11 см. 2) 30°. 3) 90°. 18.4. 1) 12 см. 2) 45°. 3) Квадрат.
<п< п ПС 2 04 4 25Д/3 (W+l) 2 К4 5Д/2"
19.1.	1) 96 см2. 2) а) —-———- см2; б) —см.
<3	£,
19.2.	1) 8д/ТК(д/2 +1)см2. 2) а) 48 см2; б) д/3 см.
19.3.	1) 162 см2. 2) а) ^(1+д/2) см2; б) ^-см.
19.4.	1) вд/Т (1+д/З) см2. 2) а) 64 д/3 (2+д/З ) см2; б) 2^/3 см.
20.1.	l)a)4D,;6)4^.2)lK+i;+|d.3) ?-a+±b+Z
20.2.	1) а) ДО; б) ~Dfi. 2) -|б +17+| d. 3) 1а+1Кд-с.
ООО	XX
20.3.	1) а) М; б) ССХ. 2)1а+1‘+13- 3> 4«+4* +
т	т	Z	О	О
+I7-
20.4.	1) а) (ДВ; б) ДО,. 2) -|а4-1&+|с. 3) ±a + b+±d.
21.1.	1)150°. 2) -4Д/2-32. 3) а)^; б) arccos^f. 4) Плос-
X	10
кость Oxz.
21.2.	1) 135°. 2) 4-ЗД/З. 3) а) 0д/5~; б) arccos^jS. 4) Ось Оу.
1D
21.3.	1) 150°. 2) —32,5. 3) а) д/5с; б) arccos^. 4) Плос-
кость Оху.
21.4.	1) 45°. 2) -6Д/3 -16. 3) а) б) arccos^-. Ось Ох.
z	15
22.1.	1) 3 см. 2) 0,5л£2(1+д/2). 3) L.
22.2.	1) 4 см. 2) 4ла2. 3) 0,5д/За.
22.3.	1) 5 см. 2) л/?2 (1 +Д/2). 3)
22.4.	1) 5 см. 2) 2лЯ2(1+д/2). 3) 0,5 д/2Я.
23.1.	1) 48 см3. 2) It/?3cos <ttg<P , з) зд/з см
О
23.2.	2)^^.3)^ем.
cos a tg ср	*
23.3.	1) ^см3. 2) —-ct^ . 3) 2Д/2 см.
3cos 2
267
„о . ,. 256 VF	3 2nm3 Д/cos q> пч »
23.4.	1) —г— см3. 2) -------1--3) 4 см.
о	3 ф
cos’X
24.1.	1) 48. 2) 12д/7. 3) arccos|. 4) 36.
с ч 625л с . УГГ
5)	. 6) arcsin .
I	о
24.2.	1) 6Д/39". 2) 12Д/З. 3) arccos|. 4) — 12. 5) ^(лДЗ-2/.
О	О1
6)	arcsin-^р-.
24.3.	1) 32Д/7. 2) 2*^1. 3) 2 arctg ^1. 4) 48. 5) 2°4^ .
О	О	X/
6)	arcsin-A?--.
24.4.	1) 6 Д/З. 2) 3. 3) arctg . 4) — 3. 5) 4 л. 6) arcsin .
2	о	о
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ......................................................... 3
Начальные геометрические сведения ................................... 5
§ 1.	Точки, прямые, отрезки, лучи................................... —
§ 2.	Сравнение и измерение отрезков ................................ 6
§ 3.	Сравнение и измерение углов.................................... 7
§ 4.	Смежные и вертикальные углы, перпендикулярные прямые . .	8
Треугольники ....................................................... 10
§ 5.	Треугольник, равенство треугольников,	периметр треугольника	—
§ 6.	Первый признак равенства треугольников. Медиана, биссектриса и
высота треугольника ................................................. —
§ 7.	Свойства равнобедренного треугольника......................... 13
§ 8.	Второй и третий признаки равенства треугольников ............. 14
§ 9.	Окружность. Задачи на построение.............................. 15
§ 10.	Построение перпендикулярных прямых ........................... 17
Параллельные прямые................................................. 18
§ 11.	Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых ...	—
§ 12.	Свойства параллельных прямых.................................. 19
§ 13.	Практические способы построения параллельных прямых. Признаки
и свойства параллельных прямых ..................................... 20
Соотношение между сторонами и углами треугольника .................. 22
§ 14.	Сумма углов треугольника....................................... —
§ 15.	Соотношение между сторонами и углами треугольника ....	23
§ 16.	Неравенство треугольников..................................... 24
§ 17.	Свойства прямоугольных треугольников.......................... 25
§ 18.	Расстояние от точки до прямой и расстояние между параллельными
прямыми............................................................. 27
§ 19.	Свойства серединного перпендикуляра и биссектрисы угла . .	29
§ 20.	Задачи на построение треугольников............................ 30
§ 21.	Задачи на построение треугольников	(продолжение) ............. 31
§ 22.	Итоговое повторение .......................................... 32
Многоугольники ..................................................... 33
§ 23.	Многоугольники. Сумма углов .................................. —
§ 24.	Параллелограмм. Свойства параллелограмма...................... 34
§ 25.	Признаки параллелограмма ..................................... 35
§ 26.	Прямоугольник. Ромб. Квадрат ................................. 37
§ 27.	Трапеция. Осевая и центральная симметрия ...................... —
Площади............................................................. 39
§ 28.	Свойства площадей многоугольников. Площадь прямоугольника и
квадрата ..................................................... —
§ 29.	Площадь параллелограмма....................................... 40
§ 30.	Площадь треугольника ......................................... 42
§ 31.	Площадь трапеции.............................................. 43
§ 32.	Теорема Пифагора.............................................. 44
§ 33.	Площади....................................................... 45
Подобные треугольники	........................................... —
§ 34.	Определение подобных треугольников. Отношение площадей подоб-
ных треугольников.	Теорема	о	биссектрисе угла.................. —
§ 35.	Первый и второй признаки подобия треугольников................ 47
§ 36.	Три признака подобия	треугольников............................ 48
§ 37.	Средняя линия треугольника. Свойство медиан треугольника . .	50
§ 38.	Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Деление
отрезка на равные части ............................................ 51
§ 39.	Задачи на построение методом подобия.......................... 52
§ 40.	Измерительные работы на местности.............................. —
§41.	Подобные многоугольники ...................................... 53
§ 42.	Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника.
Основное тригонометрическое тождество........................ 54
269
§ 43.	Решение прямоугольных треугольников с использованием мик-
рокалькуляторов .................................................... 54
§ 44.	Решение прямоугольных треугольников .......................... 55
Окружность.......................................................... 56
§ 45.	Касательная к окружности....................................... —
§ 46.	Центральные и вписанные	углы................................ 57
§ 47.	Замечательные точки в треугольнике............................ 58
§ 48.	Вписанная окружность	.................................. 59
§ 49.	Описанная окружность	.................................. 60
Векторы ............................................................. —
§ 50.	Понятие вектора................................................ —
§ 51.	Сложение векторов............................................. 61
§ 52.	Вычитание векторов	.................................. 63
§ 53.	Сложение и вычитание	векторов.............................. 65
§ 54.	Умножение вектора на	число............................... 66
§ 55.	Применение векторов к	решению задач........................... 67
§ 56.	Средняя линия трапеции ....................................... 68
Итоговое повторение ................................................ 69
§ 57.	Многоугольники. Площади. Векторы .............................. —
§ 58.	Решение прямоугольных треугольников. Подобие ................. 70
§ 59.	Окружность ................................................... 72
Метод координат на плоскости ....................................... 73
§ 60.	Координаты вектора ............................................ —
§ 61.	Простейшие задачи в координатах................................ —
§ 62.	Применение метода координат к решению задач .................. 74
§ 63.	Уравнение окружности ......................................... 75
§ 64.	Уравнение прямой. Взаимное расположение прямой и окружности 76
Решение треугольников .............................................. 77
§ 65.	Площадь треугольника .......................................... —
§ 66.	Теорема синусов............................................... 78
§ 67.	Теорема косинусов............................................. 79
§ 68.	Скалярное произведение векторов. Скалярное произведение векто-
ров в координатах .................................................. 80
§ 69.	Свойства скалярного произведения векторов. Применение скалярно-
го произведения векторов к решению задач ........................... 81
Длина окружности и площадь круга ................................... 82
§ 70.	Определение правильного многоугольника. Формула углов правиль-
ного многоугольника ................................................. —
§ 71.	Построение правильных многоугольников. Выражение для радиуса
вписанной и описанной окружности ................................... 83
§ 72.	Длина окружности, длина дуги ................................. 84
§ 73.	Площадь круга и кругового сектора ............................. —
Движения ........................................................... 86
§ 74.	Осевая и центральная симметрия, понятие движения............... —
§ 75.	Параллельный перенос и поворот ............................... 87
§ 76.	Применение движений к решению задач........................... 88
Итоговое повторение курса планиметрии............................... 89
§ 77.	Треугольники .................................................. —
§ 78.	Четырехугольники ............................................. 91
§ 79.	Окружность ................................................... 92
§ 80.	Метод координат. Векторы....................................... —
Введение в стереометрию ..........................................   94
§ 81.	Аксиомы стереометрии и следствия из них........................ —
Параллельность прямых и плоскостей.................................. 95
§ 82.	Теорема о двух прямых, параллельных третьей. Признак скрещиваю-
щихся прямых ........................................................ —
§ 83.	Параллельность прямой и плоскости ............................ 97
§ 84.	Параллельность плоскостей..................................... 98
§ 85.	Тетраэдр и параллелепипед. Задачи на построение сечений . .	99
270
Перпендикулярность прямых и плоскостей ............................ 100
§ 86.	Прямая, перпендикулярная плоскости. Параллельные прямые, пер-
пендикулярные плоскости ............................................. —
§ 87.	Признак перпендикулярности прямой и плоскости.................102
§ 88.	Теорема о трех перпендикулярах. Расстояние от точки до плоскости 103
§ 89.	Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол...............104
§ 90.	Прямоугольный параллелепипед. Перпендикулярность плоскостей —
§ 91.	Перпендикулярность прямых и плоскостей....................... 105
Многогранники ..................................................... 107
§ 92.	Правильная призма ............................................. —
§ 93.	Площадь поверхности призмы................................... 108
§ 94.	Наклонная призма............................................... —
§ 95.	Правильная пирамида. Площадь поверхности..................... 110
§ 96.	Неправильная пирамида. Правильная усеченная пирамида . . .	111
§ 97.	Многогранники ............................................... 112
Векторы в пространстве ............................................ 113
§ 98.	Понятие вектора в пространстве ................................ —
§ 99.	Сложение и вычитание векторов................................ 115
§ 100.	Умножение вектора на число ................................. 116
§ 101.	Компланарные векторы. Разложение вектора ....................117
§ 102.	Итоговое повторение......................................... 118
Метод	координат в пространстве................................... 120
§ 103.	Координаты точки и координаты вектора......................... —
§ 104.	Применение метода координат к решению задач .................121
§ 105.	Скалярное произведение векторов............................. 122
§ 106.	Свойства скалярного произведения векторов................... 123
§ 107.	Решение задач с использованием скалярного произведения векторов 124
§ 108.	Движения.................................................... 125
§ 109.	Применение движений пространства к решению задач ....	126
Цилиндр. Конус. Шар................................................. 127
§ 110.	Цилиндр ...................................................... —
§ 111.	Конус. Усеченный	конус ..................................... 128
§ 112.	Площадь поверхности тел вращения........................... 129
§ 113.	Уравнение сферы. Взаимное расположение сферы и плоскости 130
§	114.	Сфера ..................................................... 131
§ 115.	Комбинации геометрических тел ............................. 132
Объемы тел......................................................... 133
§	116.	Объем	прямоугольного	параллелепипеда .................... —
§	117.	Объем	прямой призмы	и цилиндра .................... 135
§	118.	Объем	наклонной призмы................................. 136
§	119.	Объем	пирамиды	................................... 137
§	120.	Объем	конуса	................................... 138
§	121.	Объем	усеченных	пирамиды	и конуса ..................... 139
§	122.	Объем	шара и площадь	сферы............................. 141
Итоговое повторение курса стереометрии............................. 142
§ 123.	Метод координат и векторы в пространстве...................... —
§ 124.	Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве .	143
§ 125.	Перпендикулярность в	пространстве.......................... 144
Контрольные задания ............................................... 146
Ответы, указания, решения.......................................... 173
Учебное издание
ЗИВ Борис Германович
МЕЙЛЕР Вениамин Михайлович
БАХАНСКИЙ Александр Григорьевич
ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ
Пособие для учащихся
7—11 классов
общеобразовательных учреждений
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Редакторы Н. Б. Грызлова, JL В. Кузнецова
Младший редактор Н. В. Сидельковская
Художник Б. Л. Николаев
Художественный редактор Е. Р. Дашук
Технический редактор Р. С. Еникеева
Корректоры Р. П. Евдокимова, Н. Д. Цухай
Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93—
953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать с диапо-
зитивов 28.07.03. Формат 6ОХ9О‘/16. Бумага офсетная. Гарнитура Литературная.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 17+0,31 форзац. Усл. кр.-отт. 17,81. Уч.-изд.
л. 16,52+0,47 форзац. Тираж 30000 экз. Заказ № 12266.
Федеральное государственное унитарное предприятие ордена Трудового Красного
Знамени Издательство «Просвещение» Министерства Российской Федерации по
делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций. 127521, Москва,
3-й проезд Марьиной рощи, 41.
ГУП ОЦ [I. <г д.,’ ,чГ<
Цена: 71,00
IIIIIIIIIIIHI
2014	00008253
юе предприятие ордена Трудового Красного Знамени
ат Министерства Российской Федерации по делам пе-
и средств массовых коммуникаций. 410004, Саратов,
ул. Чернышевского, 59.
ПРОСВЕЩЕНИЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
Мы предлагаем:
Учебники w Гибкую систему скидок
Методическую литературу " Крупный и мелкий опт со склада
Научно-популярную литературу _ издательства
Справочную литературу / Контейнерную отгрузку во все
Развивающие игры регионы России и страны СНГ
Наглядные пособия и карты .внимательное отношение к
Учебные мультимедийные курсы	каждому!
Возможность получения литературы с помощью службы
«Книга — почтой »:
127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41,
издательство «Просвещение», «Книга—почтой»,
тел.: (095) 289-5026
Вся информация о работе издательства, новинках, мероприятиях,
планах выпуска, а также прямая связь с издательством
в Интернете
http иммишшишишши
email Гр1Р1|о1Г^11у1^1р1Р1|о1УЯРЛН Iru I
Наш адрес:
127521, Москва,
3-й проезд Марьиной рощи, 41,
тел.: (095) 789-3040
факс: (095) 789-3041
Адрес магазина «Просвещение»:
119311, Москва,
пр-т Вернадск ого, 11/19,
тел.: (095) 930-5050



71.0°
„„о»»'"0”*’
Ler.3v®6-	__,аА
в зад»"
_
—
1
•	Задачи по всему курсу
геометрии от 7-го до 11-го
класса,
сгруппированные
по трем уровням
сложности.
•	Задачи повышенной
трудности по всем темам,
в том числе и
олимпиадного
характера.
•	Контрольные задания
по всем темам
одинакового уровня
сложности.

’Ф • Просвещение