С. Н. Гурбатов, О. В. Руденко
НЕЛИНЕЙНАЯ
АКУСТИКА
В ЗАДАЧАХ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ
И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ ш. U.В.ЛОМОНОСОВА
Фиввческий факуаьтет
С.Н.Гурбатов, О.В.Руденко
НЕЛИНЕЙНАЯ АКУСТИКА В ЗАДАЧАХ
Издательство
Московского университета
1990

Г95
УДК 534, ?.22, 2.
Рецензенты: доктор физ.-мат.наук Л.К.Зарембо,
доктор физ.-мат.наук А.И.Саичев
Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета
Московского университета
Гурбатов С.Н., Руденко О.В.
Г95 Нелинейная акустика в задачах: Учеб. пособие.
-А.: Изд-во Моск. ун-та, 1990. - с.
ISBN 5-2II - 02328 - 5.
Изложены основы нелинейной акустики. Материал представлен
в виде задач с решениями, пояснениями, ответами. В отличие от
имеющихся пособий книга помогает читателю не только познакомить-
познакомиться с нелинейными волновыми процессами и способами их описания,
но и освоить технику расчётов, получить численные оценки важней-
важнейших параметров. Тем самым приобретаются навыки, необходимые для
самостоятельной научной работы в этом направлении.
Для студентов, аспирантов и научных работников, специализи-
специализирующихся в области физики нелинейных волн и акустики.
077@2)-90-заказное ББК 22.32
ISBN - 5 - 211 - 02328 - 5 © Московский
государственный университет
1990

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 4
§ I. Простые вонны 6
§ 2. Плоские нелинейные волны с разрывами 24
§ 3. Нелинейные волны в диссипахивных средах. Уравнение
Бюргерса .38
§ 4. Сферические и цилиндрические волны. Нелинейные
пучки 51
§ 5. Акустические шумы большой интенсивности ...... 62
Литература 79

ПРЕДИСЛОВИЕ
Результаты, составившие основу нелинейной акустики, поду-
подучены более 20 пет назад. Они включены в монографии [i - 5j ,
излагаются в специальных курсах и лекциях по теории волн [6].
Следующий этап развития нелинейной акустики связан с началом
широкого использования её идей и методов в приложениях [7 - 9\.
Это потребовало численного решения нелинейных уравнений, описы-
описывающих одномерные волны [ю] и пучки [if] ; были изучены волны
в неоднородных средах [12} и сдучайно-модуиированные возмущения
[13 - 15] .
В настоящее время нелинейная акустика представляет собой
развитую область науки и техники, результаты которой использу-
используются людьми самых разных профессий. Необходим учебник, позволя-
позволяющий студенту, аспиранту, специалисту из смежной области за
сравнительно небольшой срок овладеть основами нелинейной акус-
акустики, научиться активно использовать развитые здесь методы
упрощений, расчётов, получения численных оценок.
Мы считаем, что последовательность логически правильно
расположенных задач - одна из наиболее эффективных форм подачи
материала. В нашей книге задачи расположены группами. Как пра-
правило, первая задача из группы предназначена ддя проработки
важного теоретического вопроса и снабжена развёрнутым решением.
Последующие задачи служат для освоения техники расчётов и оце-
оценок. Наиболее простые из них заканчиваются лишь ответами,более
сложные - ответами и пояснениями, трудные - решениями. Кроме
того, когда группа состоит из однотипных задач, решение даётся
только к первой; остальные должны быть рассмотрены по аналогии
с ней. Этой схемы мы пытались придерживаться всюду, где это
оказывалось возможным.
Задачник построен на материале курсов, читавшихся студентам
кафедр акустики .московского и горьковского университетов, а так-
также студентам отделения радиофизики физфака МГУ. Много новых
задач придумано авторами в процессе подготовки рукописи.
§ I» § 2, § 3 написаны авторами совместно. Задачи 1.4, 1.7,
I.?, I.I9 - 1.24, 2.2, 2.6, 2.10, 2.15, 2.17, 3.2, 3.4, 3.6 -
3.13 в первоначальном варианте были предложены С.Н.Гурбатовым,

остальные - О.В.Руденко; § 4 целиком основан на предложениях
О.В-Руденко, § 5 - С.Н.Гурбатова. Весь собранный материал
длительное время совершенствовался путём перекрёстной проверки
и редактирования.
Авторы выражают искреннюю благодарность В.А.Хохловой,
которая, по существу, взяла на себя труд по научному редакги-
рованию рукописи: она прорешала все задачи, исправила неточно-
неточности и ошибки. По её предложениям был изменён текст некоторых
решений.
Нам известно, что курс нелинейной акустики читается во
многих университетах и технических вузах страны, а также в
зарубежных университетах. Надеемся, что наша книга "Нелинейная
акустики в задачах" поможет учебному процессу и подготовке
специалистов соответствующего профиля. Мы рассчитываем на заме-
замечания и предложения наших заинтересованных коллег по улучшению
содержания и дополнениям, которые могли бы быть включены
в последующие издания.
С.Н.Гурбатов, О.В.Руденко

§ I. Простыв волны
I.I. Показать, что система уравнений гидродинамики в пе-
переменных Лагранка для одномерного плоского движения имеет ре-
решение в виде простых волн. Свести эту систему к одному нели-
нелинейному уравнению для переменной ?(ж ,"t ) - смещения
частиц среды из своего начального положения Э? .
Решение;. Исходные уравнения гидродинамики в лагранкевом
представлении имеют вид [i; ^]
Первое уравнение есть обобщение второго закона Ньютона для
сплошной среды. Второе - уравнение непрерывности - закон сох-
сохранения массы вещества, записанный в дифференциальной форме.
Третье - уравнение состояния, которое для быстрых (по сравне-
сравнению с термодиффузией) процессов сжатия и разрежения, сопрово-
сопровождающих распространение звука, записывается в форме адиабаты
Пуассона.
Простой волной называют такой волновой процесс (вообще
говоря, нелинейный), в котором все описывающие этот процесс
переменные могут быть выражены друг через друга с помощью
некоторых связей. Однако если связи переменных содержат инте-
интегралы иди производные, воина не будет простой; физически это
означает появление дисперсии, т.е. зависимости поведения даже
очень слабого возмущения от его спектрального состава. Поско-
Поскольку два последних уравнения системы (I) представляются в виде
то плотность и давление выражаются как функции только одной
переменной uJj/Эх Это означает, что система (I) имеет
решение в виде простых волн.
Возьмём уравнение состояния (I) в форме адиабаты. Тогда
из B) имеем b ='po(i + ^<?/9x)' • Подставляя это соотноше-
соотношение в правую часть первого уравнения (I), придём к нелинейно-
нелинейному уравнению Ирншоу
6

„г
"о
здесь Co= (if Фо/Qo) - равновесная скорость звука. Урав-
Уравнение C) содержит нелинейность общего вида и формально приго-
пригодно для описания сильных возмущений; требуется, однако, чтобы
знаменатель в C) не обращался в нуль СЪЪ /'Эх Ф - 1).
В нелинейной акустике имеют дело со слабо-нелинейными волнами,
для которых \/\
1.2. Считая нелинейность слабой, упростить уравнение
Ирншоу 1.1C), сохранив в нём только два главных нелинейных
члена.
Решение. Воспользуемся приближённым соотношением
?
Подставляя разложение (I) в правую часть уравнения Ирншоу,най-
1 ё ?1 P
Левая часнь B) соответствует обычному линейному волновому урав-
уравнению. Правая часть, полученная в результате разложения нелиней-
нелинейности общего вида в ряд по степенным неяинейностям, содержит
квадратично-нелинейный и кубично-неяинейный члены.
1.5. Нелинейная среда занимает полупространство ToO.a на
её границе X = О задан гармонический сигнал ^ = A&i.n.uui
с частотой 00 . Анализируя уравнение 1.2B) методом последова-
последовательных приближений, определить, какие частоты могут возникать
при распространении волны в среде иа-за квадратичной и кубичной
нелинейностей.
Решеншз. Считая нелинейные эффекты слабыми, в первом приб-
приближении пренебрежём в уравнении 1.2B) его правой частью. Реше-
Решением линейного волнового уравнения в виде бегущей в положитель-
положительном направлении оси 9С волны будет
f\ = A suiw(t -

Чтобы найти решение второго приближения Ч| .нужно подставить
(I) в правую часть нелинейного уравнения, которая при этом
примет вид
где *С = ^ - СС/с0 - время в "сопровождающей" системе коорди-
координат, движущейся равномерно вместе с волной со скоростью звука
с0 . Уравнение второго приближения с правой частью B) будег
таким: ?
Видим, что V имеет смысл "вынуждающей силы" в неоднородной
волновом уравнении C); она возбуждав! новые волны на частотах
второй гармоники 2W (квадратично-нелинейный эффект) и тре-
третьей гармоники 3(х> (кубично-нелинейный эффект). Кроме того,
кубичная нелинейность вносит дополнительный вклад в волну
основной частоты СО (аффект самовоздействия).
1.4. Указать, волны каких частот могут возникать в квадра-
квадратично-нелинейной среде (в первой приближении), если на её входе
х в 0 задан бигармонический сигнал ^^^^S'urL.Oijx+^g&lnCOg't
Рассмотреть предельный случай LO^-^-COg-
Oiim. По анавогии с задачей 1.3 нетрудно показать, что в
среде генерируются вторые гармоники 2@^, 2сО?волн исходных
частот, а также возмущения на суммарной С04+СОг и разностной
CO^-COg частотах. При CO4-»C0g будет генерироваться только btq
рая гармоника, так как эффективность возбуждения разностной час
тоты стремится к нупю (см. также 1.7)
1.5. Пользуясь методом медленно изменяющегося профиля,
упростись уравнение 1.2B), сохранив в нём только квадратично-
нелинейный чаен.
Решение». Метод медленно изменяющегося профиля позволяв!
существенно упрощать нелинейные уравнения в частных производ-
производных, описывающие процесс распространения интенсивных волн.
После упрощения уравнений, естественно, и решать их гораздо
проще. Идея метода состоит в следующем. При отсутствии
8

нелинейных членов решением уравнения 1.2B) будет суша двух
бегущих волн произвольной формы: ^ = ф ( \. - x/cQ ) +^(t +
+ x/cQ). Волна с профилем Ф(<С) распространяется в положи-
положительном направлении оси х , волна V - в отрицательном. Нас
будет интересовать первая из этих волн. Когда имеется слабая
нелинейность и правая часть уравнения отлична от нуля, форма
волны уже не будет постоянной; она будет деформироваться по ме-
мере распространения - с увеличением расстояния х , пройденного
волной в нелинейной среде. Когда нелинейность слабая, профидь
волны должен изменяться медленно, т.е. наряду с "быстрой" зави-
зависимостью функции Ф от t =t - x/cQ должна появиться "мед-
"медленная" зависимость Ф от координаты х :
, *t-jra). CD
Здесь W4t{ - малый параметр задачи, отвечающий малости нелиней-
нелинейных членов в уравнении 1.2B) по сравнению с линейными членами:
Тот факт, что I ojL/OX |^. 1 , уже был использован при перехо-
переходе от уравнения Ирншоу 1.1C) к упрощенному уравнению 1.2B).
Если предположить, в частности, что смещение изменяется по гар-
гармоническому закону ^= A&VX\lj)(-t ~ х/со )' Условие малости
примет вид .
ttOAA 0И гэг АЛ < I.
Это значит, что амплитуда смещения частиц среда А должна быть
малой по сравнению с длиной волны А • Можно сказать иначе:
отношение Uj/c0 амплитуды колебательной скорости Uo к ско-
скорости звука cQ (акустическое число Маха) должно быть малой
величиной. Таким образом, малый параметр задачи - это акустиче-
акустическое число Маха . М = U0/c0 .
Перейдём в уравнении 1.2B) от х и -t к новым перемен-
переменным х it согласно предположению (I). Вычисляем производные:

Подставляя B) в уравнение 1.2B) и пренебрегая всеми членами
порядка М , (\Х. и более высоких порядков малости (нужно так-
также учесть, что правая часть уравнения мала по сравнению о
левой), получим
здесь U.= <^5/ЪсС = '^s^/^'t - колебательная скорость
частиц среды, а 6 = ( "tf + 1 )/2 - параметр акустической
нелинейности.
Уравнение C) в нелинейной акустике называют уравнением
простых волн. Заметим, что это уравнение первого порядка, а не
второго, как исходное уравнение; таким образом, задачу удалось
сильно упростить. Вывод уравнения C) из уравнений гидродина-
гидродинамики в представлении Эйлера можно найти, например, в [5; б1.
Приведём значения нелинейного параметра
y
где t= Ср/С для ra30Bi A , В - коэффициенты разложения в
ряд приращения давления по приращению плотности Ь = А-(О/П)н
О 20 40 60 80 100
Дистиллированная вода
3,1 3,5 3,7 3,8 4,0
Морская вода ( ?=3,5 %, 1=20°С) - ? = 3,65
Вода с парогазовыми пузырьками (в зависимости от размеров,
концентрации пузырьков и частоты волны) - до 5-1Сг
Название среды Значение ? при ?0°С
Метанол 5,8
Этанол 6,3
Ацетон 5,6
Глицерин 5,4
Трансформаторное масло 4,2
Бензин 6,6

I.6. На границе х = 0 нелинейной среды колебательная
скорость изменяется по закону U(pC=O/C=V) = \А0*ЫП, Cot.
решая уравнение простых волн 1.5C) методом последовательных
приближений, определить закон изменения амплитуды второй гар-
гармоники с увеличением расстояния х.
Решеншз. Из уравнения простых волн получаем уравнения
первого и второго приближений
-аи»
Решение первого приближения U>4' = U0 • SUVUyC подставляем
во второе уравнение (I); интегрируя его с условием Ц, '(_0t)=0
(на границе среды второй гармоники нет), находим
х ¦ sin 2и>х, B)
Видим, что амплитуда второй гармоники в среде растёт линейно
с координатой х . Расстояние
на котором амплитуда второй гармоники формально достигает 1/2
от амплитуда первой, называют характерной нелинейной длиной
или расстоянием образования разрыва. На самом же деле решение
B) справедливо на расстояниях 2С<&ОСр , так как при заметной
перекачке энергии из первой гармоники во вторую решения, полу-
полученные методом последовательных приближений,не точны. Из фор-
формулы C) следует, что для акустических сигналов, число Маха
которых всегда мало (М < 1 ), нелинейная длина 'ЗСк^^
Лными словами, чтобы профиль и спектр волны заметно искази-
исказились, ей нужно пройти расстояние, равное многим длинам волн
\. Это и означает "медленность" изменения профиля на масш-
саОах порядка \ (см. 1.5).
1.7. На границе х = 0 возмущение есть сумма гармоничес-
(их сигналов U(Q/t")= U^UfttOjt + U.?-Si-Vi C02t . Решая
сравнение простых волн 1.5C) методом последовательных прибли-
:ений, найти амплитуды Ц. и Ц_ комбинационных гармоник Ю^+
- СО» и U),-C*)j . Сравнить эффективность генерации суммарной
II

и разностной часгог.
Ответ_. По аналогии с задачей 1.6 находим
1.8. Показать, чго точное решелле уравнения простых boa
1.5C), отвечающее возмущению произвольной ?ормы Ц(з<-=0Д}я
= ФО-) на границе нелинейной среды, дается неявной функцией
U (pc/t) = ф ($ + в ux/c;) (D
Получ: ть формулуA) методом характеристик, известным из теории
квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных
первого порядка.
Решение. Дифференцируя (I), найдем
здесь штрих означает производную по полному аргументу функции
Ф . Подставляя C) в уравнение простых волн, имеем тождество.
О решении методом характеристик см. 2.2.
Интересно разобраться в том, как в неявной зависимости
A) "скрыты" нелинейные эффекты. Разлагая A) по малым х
в ряд, получим
о о
Видно, что второй член квадратичен по функции Ф , i.e. описы-
описывает квадратично-нелинейные эффекты. Следующие члены будут со-
соответствовать непинейностям высших степеней.
1.9. Используя неявное решение 1.8A) уравнения простых
волн, рассмотреть эволюцию "линейного профиля" - исходного
возмущения
>$(>0 CD
Обсудить случаи ^>О и if
12

Решение. Подставляя (I) в общую формулу 1.8A), найдем
и, следовательно,
/
Таким образом, на любом расстоянии х профиль остается линей-
линейным по f? ; изменяется только угол его наклона к оси ТГ .Когда
наклон положителен (^>О)-, решение справедливо на конечном
интервале X ^.С^ Д.$! пока профиль не станет вертикальным.
При отрицательном наклоне (?<. О) с увеличением х профиль
становится все более пологим, и при ОЧ~И> Со/?,\^\ происходит
потеря информации об исходном наклоне ^ :
Выражение B) - простейшее, но очень важное решение уравнения
простых волн. Оно может быть использовано для описания эволю-
эволюции близких к линейным участков произвольного профиля.
I.IO. Проанализировать графически процесс нелинейного
искажения формы одного периода исходного гармонического сигна-
сигнала Ц.(О , Т ) = U. • SlTV,COt . Воспользоваться неявным решени-
решением 1.8A) уравнения простых волн, переписав его как явную
функцию переменной t (ТС , U, )
Где Ф - функция, обратная Ф .
_!_ Решение. При х = D из формулы (I) получаем *t ( Q , Ц. )=
ет ( U ) - эта кривая соответствует исходному профилю волны.
Кривая, соответствующая нелинейно-искаженному профилю (ОС>0 )
получается на плоскости ( U»,^ ) графическим сложением исход-
исходной кривой и прямой -(ЕдфиЗС , наклон которой возрастает
с увеличением х .
Для гармонического при х = О сигнала решение 1.8A)
запишется так:
i

здесь
- расстояние, измеренное в единицах длин образования разрыва
1.6C). Формула (I) для рассматриваемого сигнала примет вид
о
Откладывая вдоль оси абсцисс U/Ц
вдоль оси ординат'
выполняя описанные выше построения, получим картину, изображён-
изображённую на рис.1. Видно, что с увеличением пройденного волной
расстояния передний
фронт (обращенный по
направлению движения)
становится более кру-
крутым, а задний - более
пологим. Похожая кар-
картина наблюдается для
волн на поверхности
моря при подходе их к
берегу. На расстоянии
1= I (х = хр) перед-
передний фронт становится
вертикальным - образу-
образуется разрыв или удар-
ударный фронт. При Х> 1
профиль становится не-
неоднозначным (появляет-
(появляется "перехлёст"), т.е.
решение в виде простой
не справедливо.
Рис.1
волны B) на расстояниях х>хр
I.II. Используя сшивку решений вида 1.9B), рассмотреть
эволюцию формы одиночного треугольного импульса длительностью
2Т. При х = О профиль аппроксимируется кусочно-линейной
функцией
Рассмотреть случаи Ue>0
и Ue <¦ О
Провести также анализ

с использованием графической процедуры (см.1.10).
Ответ. U = 0 (t<0, T>2T) ,
Решение в виде простой волны справедливо до расстояния х=хр =
= CqT/?U0 ,пока перед-
передний фронт импульса не
станет вертикальным.Про-
Л цесс искажения профиля
"~^ для U0^Q показан на
рис.2.
1.1?. Найти спектр
_„, простой волны в нелиней-
гис.с I * I ной среде, если на входе
волна задана как U( O,T ) =U0!^(,tOt>) . где Ф -функция,
периодическая по своему аргументу с периодом Т = 23Г .
Решение. Нужно вычислить коэффициенты С^ разложения в
ряд Фурье неявной функции - решения 1.8A) уравнения простых
волн 1.5C):
o i
Р Ля-ее
Здесь 1= ( ? /Cq)G}U0X - безразмерное расстояние. Коэффи-
Коэффициенты разложения равны
Т °
Интегрируя один раз по частям, получим

В формуле B) ш совершили переход к переменной *? =
+ZU/u0 . стку,та спедует CifV =^ -Ъ^КЮ» и наш интеграл
теперь содержит явную функцию ог ^k • Интегрируя второй раз
по частям, получим ответ
-5Г
При *?,-»• 0 » Разлагая экспоненту под интегралом C) в ряд,
получим очевидный результат линейного приближения
1 O"» -Kg =СДг-б) -
- гармоники не взаимодействуют между собой, и коэффициенты С
в среде равны своим исходным значениям.
I.I3» Пользуясь ответом предыдущей задачи (формула C)),
найти зависимости амплитуд гармоник от расстояния *2. = x/xD
при задании на входе в нелинейную среду гармонического сигна-
сигнала И(О ,*С ) =Цо5>ИпиУС. Найти степенные законы роста
амплитуд для
Решение. Воспользуемся математическим тождеством теории
[1
Бесселевых функций
льзу
С помощью тождества (I) экспоненту под интегралом 1.12C)
представим как ^
J
К«-со
Интеграл после этого легко вычисляется:
Определяя теперь действительные коэффициенты АЛ, В_ разло-
разложения в ряд Фурье при COSfnidiT} и Svn.(wo*t)

найдём известное решение Бесселя-Фубини
00
u
Зависимости амплитуд В^ гармоник от расстояния TL приве-
приведены на рис.3. Используя первые члены разложения функций
Бесселя в ряд:
- * получим
Более точные степен-
степенные аппроксимации
и таблицы численных
значений амплитуд
гармоник приведены
в книге {lO~\ •
Рассчи-
Рассчитать изменение с
расстоянием ампли-
амплитуда волны разност-
разностной частоты при
задании на входе х = и бигармонического сигнала U-/U-=
¦ Sift. Ui(t + Sin U)^ , считая W^s ( ^ + I) , (Л «Цо),
где N>1 - натуральное число.
Решени^. Поскольку разностная частота равна ^i-W^G^
нас интересует только коэффициент С^( 1) в 1.12C). Испопь-
зуя соотношение 1.13B), для бигармонического сигнала получим
k m
Подставляя-эю выражение в 1.12C), видим, что интеграл отли-
отличен от нуля лишь при К( N + I) + wN s I. Это возможно
только для значений V = I, Wl=-Ii поэтому находим

1.15. В условиях предыдущей задачи для N^i определить
амплитуду волны разностной частоты на расстоянии, равном длине
образования разрыва Xs»tp . Сравнить с результатом метода по-
последовательных приближений (см. 1.6) и определить, как зависит
эта амплитуда от отношения частот СО и
Ответ. 7.,,te i/2N , Ъ^^/2 м
1.16. Рассчитать поведение амплитуд низкочастотных гармо-
гармоник, рождающихся в нелинейной среде в результате самодетекти-
самодетектирования исходного амплитудно-модулированного сигнала U./ULoe
=(l-rtlCQSCoV)s\Vl.N(iyt, где Ц^>{ - натуральное число, т, -
коэффициент глубины модуляции.
Ответ. По аналогии с I.14 получим результат в виде ря-
рядов, содержащих произведения функций Бесселя. Главные члены
этих рядов имеют вид
При малых TL получаем выражения, соответствующие решению за-
задачи методом последовательных приближений a'~^%./Z} Ъ2**~№гЛ.
I.17. Рассмотреть взаимодействие мощного низкочастотного
возмущения со слабым высокочастотным сигналом U(Q,V)/Uo ~
-SUlCut +т.-Ъ\йМ0й^ (П\.«Л , натуральное число Ц>1). Как
изменяется в пространстве амплитуда слабого сигнала?
Решение. Из формулы 1.12C) с учетом малости fw полу-
Отсюда КN= 0 , bN = ^ Jjj^Nl). Решение (I) справедливо
при 1<1 > в области до образования разрыва. Поскольку V^^i
аргумент функции Бесселя в (I) может быть большой величиной;
при этом амплитуда слабого сигнала будет осциллировать в про-
пространстве, постепенно затухая. Этот эффект нелинейного подав-
подавления высокочастотного сигнала при наложении интенсивного низ-
низкочастотного возмущения (например, шума) представляет интерес
для ряда приложений.
18

I.18. Пользуясь методом последовательных приближений,
проанализировать вырожденное параметрическое взаимодействие в
простых волнах. Для исходного возмущения U./Uo= SUV. 2tO^ +
+ WI S-UV.(tut+^) , W4l . определить, при каком сдвиге
фаз Ц> слабый сигнал усиливается, а при каком У он подавля-
подавляется.
Решение. Важный для практики нелинейный эффект - парамет-
параметрическое усиление слабых сигналов в поле интенсивной волны на-
накачки. Если частота накачки 2 (о , а сигнала ^ , процесс на-
называется вырожденным; он чувствителен к сдвигу фазы Ч* между
этими двумя волнами. В задаче 1.6 выписаны уравнения (I) пер-
первого и второго приближения. Напоминаем: Ц™ - это исходное воэ-
щущение, в котором вместо t стоит <С«^-эс/С0 ; U^-
это решение второго приближения, которое нужно найти. Сохраняя
в правой части уравнения для \)S& фурье-компоненту на часто-
ае сигнала СО , найдем
Решение на частоте сигнала
uo J
Отсюда видим, что амплитуда сигнала при *\.&. \. ведет себя так:
Если сдвиг фаз ^? изменяется от 0 до ОТ , то усиление
происходит в области «П"/Д ^Ч*^ Ьзг/Ц , причем наиболее эф-
эффективно сигнал усиливается при 1^='ЗГ/Е . В областяхО^^ЗгД
ЭЗГ/А ^-Ч* 6 «JT сигнал подавляется, наиболее эффективно - при
v^=rO иЦ>«Т. Полезно решить эту задачу другим способом,
используя не метод последовательных приближений, а точное спек-
спектральное представление 1.12C) решения уравнения простых волн
(по аналогии с I.14, I.17).
1.19. Найти фур_ье-образ простой волны
(I)

считая, что возмущение исчезает при ТГ-*-±оо .
Решение. Используя общее решение 1.8A), для фурье-
образа простой волны получим
-во
Как и для аналогичной задачи I.12 , в которой рассмотрен
периодический сигнал, здесь нужно перейти к новой переменной
$я«С + (.Ь/с*У«-и • Тогда «С ? (?/cJ) *$(?)
и для B) имеем явное выражение
ф
-00
Более удобную форму записи можно получить, интегрируя C) дваж-
дважды по частям и учитывая, что Ф(*°°) =0 •
23rl(fe/cJ)cox
-oo
При Х-*»0 из формулы D) следует
E)
-00
- это фурье-образ исходного возмущения.
1.20. Исходя из решения D) предыдущей задачи, найти
универсальное поведение фурье-образа в области низких частот.
Показать, что если при С0-»0 C0(w)<^Cb и П->1 , то
из-за нелинейных взаимодействий между спектральными компонента-
компонентами в области низких частот ( СО-*0) формируется универсальная
асимптотика спектра.
Решение. В области низких частот экспоненту в решении можно
20

разложить в ряд. Ограничившись членами, квадратичными по СО ,
придем к выражению
-во ° -оо
Учитывая свойство преобразования Фурье
приведем (I) к виду
во
Отсюда следует, что для исходных спектров
T\-^>i , спектр волны на низких частотах в нелинейной среде
описывается универсальным выражением
с.
гзси4^ * «м о4 '» B)
-•о -»о
I.2I. Исходя из выражения 1.19D) для спектра простой
волны, найти ^офье-образ сигнала, отвечающего синусоидальному
возмущению на входе ф =UoSLM0o^^
Ответ. Используя соотношение 1.13A) для бесселевых
функций и свойство о -функции
получим
— оо
во
21

где 'i = F/C|<)cOoUeX гг'ЭС/ОСр . После обратного преобразования
по Фурье формулы B) придем к решению Бесселя-Фубини 1.13C).
1.22. Найти составляющие спектра С«. фс^со} , возникающие
за счет взаимодействия интенсивной волны накачки U^C't) и
слабого сигнала U
Решение. Пренебрегая самовоздействием слабого сигнала,
оненту в формуле 1.19D]
ограничиться линейным членом:
экспоненту в формуле 1.19D) можно разложить в ряд по \А2
B)
-во
Здесь первое слагаемое описывает фурье-образ волны накачки, а
второе - спектр C-^^j Ui) , рождающийся в результате нелинейно-
нелинейного взаимодействия сигнала и накачки. Используя соотношение
1.13A) для бесселевых функций и фильтрующие свойства о -функ-
-функции, из формулы B) получим
1.23. Используя результат предыдущей задачи, рассмотреть
случай низкочастотной накачки <00^-^ (данная задача есть
обобщение I.I7). Описать спектр сигнала на разных стадиях
взаимодействия и оценить ширину спектра сигнала.
22

Решение. При tto4Hcjc нелинейное взаимодействие приводит
к модуляции высокочастотного сигнала и появлению составляющих
на частотах C*l= l?i+ К(*)О (^=0,11,*^,...) вблизи частоты
сигнала. Для фурье-образа 1.22C) при Vc(O0^.Su получим
(I)
Легко видеть, что (I) описывает спектр сигнала с гармонической
фазовой модуляцией
Следовательно, при аС ^ ^о взаимодействие можно интерпре-
интерпретировать как низкочастотную фазовую модуляцию сигнала, произво-
производимую мощной волной накачки. По мере распространения волн глу-
глубина модуляции возрастает. При CSc/Cio)'Ji,4. i. в спектре преоб-
преобладают две гармоники (*i=Si±G50 . При (&/й)Л*Е^1
спектр существенно уширяется. Используя асимптотики функций
Бесселя при больших значениях аргумента L^J » можно оценить
эффективное число гармоник в спектре (I): ^ft*TL(/^
Соответствующая ширина спектра ДО^'-'j.ac
1.24. Используя результат 1.22C), рассмотреть случай
высокочастотной накачки (Si 4L tOo"^ • 1^ать физическую интер-
интерпретацию процесса нелинейного взаимодействия,
Отве;г« Нелинейное взаимодействие приводит в этом случае к
появлению двух спектральных составляющих СО=к(л)о^аь
вблизи каждой из гармоник 00= \ССО( волны накачки

§ 2. Плоские нелинейные волны с разрывами
2.1. Определить максимальное расстояние - границу области,
в которой справедливо решение 1.8A) Ц. = ^
уравнения простых волн.
Решение. В задаче 1.8 вычислена производная
(I)
Максимальное расстояние *Хр , как видно из (I), следует на-
находить из условия
w< B)
-о ч
Обращение в нуль знаменателя B) в формуле (I) отвечает т;ому,
что в некоторой точке профиля на расстоянии ЗС^ производная
(I) обращается в бесконечность - касательная в этой точке ста-
становится вертикальной; иными словами, начинается процесс образо-
образования разрыва в профиле простой волны. Искомая точка профиля
соответствует максимальному значению функции ф , т.е. на-
находится из условия Я? = 0 • Таким образом, два условия:
(pis 0 и B) позволяют решить поставленную задачу.
На практике удобно воспользоваться тем, что решение урав-
уравнения простых волн может быть записано в явном виде 1,10A)
относительно % С*» **¦)
~" jT ^ ) сУ- ' C)
о
Тогда указанные условия: а) на расстоянии |Х='ЭС^ возникает
вертикальная касательная к кривой ^E^рЛ-) > б) разрыв обра-
образуется в точке перегиба кривой VXC^/f) - приводит к паре
уравнений

2.2. Решая уравнение простой волны 1.5C) методом характе-
характеристик, дать наглядную иллюстрацию полученному в предыдущей
задаче условию однозначности решения. Определить, какой участок
профиля исходного возмущения U. ( ж=О, f ) =ф(*С ) "опроки-
"опрокинется" первым и на каком расстоянии эго произойдет.
Решение Система харакгеристических уравнений для уравне-
уравнения в частных производных 1.5C) имеет вид
aT/dx=-(t/cf)a> du/d-ac-O, (I)
<СГ(х=О) =Т0, LL(x=0,t:o) =ф(ТГо). Здесь Т„ ( U. ) -точка
в сопровождающей системе координат, из которой выходит характе-
характеристика для возмущения U. (рис.4). Решение системы (I)
<2>
описывает семейство прямых на плоскости («С >ЭС ) с различным
наклоном, зависящим от U. =ф СС0)- Заметим, что B) - это
выражение 2.1C), записанное в других обозначениях. Временной
интервал между соседними характеристиками согласно B) изменя-
изменяется так:
C)
Следовательно, опрокидывание волны произойдет тогда, когда
характеристики в первый раз пересекутся (см. рис.4) и di
обратится в нуль. Это произойдет на расстоянии
Окрестность точки профиля, где достигается максимум производ-
производной ф , "опрокинется" первой.
2.3. Найти расстояние, на котором образуется разрыв в про-
простой волне, заданной на входе в нелинейную среду в виде однопо-
лярного импульса UL(x=O,"t) = Ц. exp(--^,V"t2 )•
Решение. 1-й сшэсобл Записываем решение уравнения простых
волн для данного однополярного импульса как явную функцию t =
Здесь перед корнем взят знак "минус", поскольку разрыв образу-
образуется всегда на переднем фронте (в данном случае при t *-0 ).
25

Рис. к
Требуем выполнения условий 2.1D-)
B)
Из B) находим точку профиля, в которой образуется разрыв: U. =
= \Л0Д'ё' . Подставляя это значение в (I), определяем расстоя-
ние *?«{S/a(cSte/?Ue).
26

2-й ?noco6_j_ Следуя схеме, описанной в 2.2, вычислим
производную от формы исходного возмущения
Максимум функции СЗ) достигается при °С = \.Q /ч2. и равен
v[^"UL /^-tn • Из Формулы 2.2D) при этом значении тсюсф
сразу получаем результат для 1* , совпадающий с выражением,
полученным первым способом.
2.4. Найти координату образования разрывов в гармоничес-
гармонической исходной волне и(|Х=0А) = Uo- SUft wt . Определить в
каких точках профиля образуются разрывы.
Ответ. Разрывы образуются в точках
на расстоянии *3:p = |/
2.5. Найти координату образования разрыва в ступенеобраз-
ступенеобразном возмущении U.(pC=O,V) = Uo- \)(\,(\./\.^) • В какой точке
профиля образуется разрыв?
От^ет. Разрыв образуется при Я? = О на расстоянии OC»
JVfeU
2.6. Возмущение на входе представляет суперпозицию гармо-
гармонических колебаний с несоизмеримыми частотами Ц,(_^с«0 \Л =
= U,SlKlOOt"t + Uo* SWlCO^t • Определить на каком расстоянии
от входа образуется первый разрыв.
Ответ. <3Cp = |/
2.7. На каком расстоянии от излучателя мощного ультразвука
в воде образуется разрыв, если интенсивность волны X =
=10 %т/смг> частота ^» 1 МГц ? Параметры воды: Ф0*\.г/см5 ,
C,-t?-i0Sa»/fc. ?-4 •
Ответ. Используя результат 2.4, получим оценку
2?

2.8. Какой должна быть интенсивность волны в воде на час-
частоте 8- = 200 к^ц, чтобы разрыв образовался на {.асстоянш
М ответ. I=0,5 с50(^о- Bзг е } i^2% 0, IS fcr Aw2.
2.9. Оценить амплитуды колебательной скорости, смещения,
ускорения и значение числа Маха в двух предыдущих задачах.
Ответ. Для задачи 2.7 Цо= (/1/г
Ь
Для задачи Й.& UO«4,5 см/с} ^о»440ем,ао«5-ЮЬсм/с, N«310*.
Видно, что даже в мощных ультразвуковых полях смещения частиц
очень малы (порядка молекулярных масштабов), зато достигаются
огромные ускорения (до 10 а , где Q - ускорение свободного
падения). Числа Маха малы, и этот факт уже использован для
упрощения нелинейных уравнений в 1.2 и 1.5.
2.10. Выразить длину образования разрыва плоской монохро-
монохроматической волны в воздухе 0^-^Л") через уровень звуково-
звукового давления N и частоту | . Определить число Маха и
длину образования разрыва для N^IA^aE (двигатель тяжелого
реактивного самолета) и ^=В50ОГц.
Решение. В атмосферной акустике принято характеризовать
интенсивность звука уровнем среднеквадратичного давления N (дЬ)
относительно ^=2#10 ^а • Для пикового значения давле-
давления Цр' при этом имеем {/гг^ф^.- [0N/20 # Длина образо-
образования разрыва плоской монохроматической волны определяется соот-
соотношением 1.6C), где M=U0/ce , Uo- пиковое значение
колебательной скорости. Учитывая, что с| ***frp0/Qo > где Ро-
плотность воздуха, ^0 - атмосферное давление (Ро*^5^*-} »
для числа Маха имеем М=!рУСрО =(pV)CiPo • Следовательно,
28

«240*
2.II. Исходя из закона сохранения количества движения, пе-
переносимого простой волной, предложить простое геометрическое
построение, устраняющее неоднозначность формы профиля с "пере-
"перехлестом" (рис.5 ), образующимся на расстояниях 'Х^'ЗСр.
Решение. Убедимся в том, что количество движения в простой
волне, занимающей ограниченную область пространства ( U-* О
при t-*±eo ) не зависит от "ЗС для '
Геометрический смысл закона сохранения - постоянство площади
между кривой (р^ЭС^) , описывающей профиль волны, и осью t" .
После образования "перехлеста" ?эс>ЗСр^ эта площадь также
должна сохраняться, поскольку область среды, занятая волновым
движением, остается замкнутой (на нее не действуют внешние си-
силы). Следовательно, в неоднозначном профиле волны разрыв следу-
следует проводить так, чтобы отсекаемое площади ^>, и ?>»» (ом.
рис.5 ) были равны. Действительно, площадь ^^"добавляет-
^^"добавляется" к профилю, а площадь ^р "отторгается" от него, и при
условии
ной исходному значению К
площадь под полученной кривой оказывается рав-
равРис.5
-•о
29

2.12. Показать, что ударная волна сжатия - скачок между
двумя постоянными значениями \Xi и Ц.а (причем \X,>\Xi ) -
устойчива, т.е. не изменяет своей формы при распространении.
Решение. Пусть для простоты Ц^^О , U.»> О • ^ ис~
ходной (при 3?eQ ) волне разрыв занимает в сопровождающей
системе координат положение <С«0- На расстоянии "Х>0 иска-
искаженный профиль строится графическим методом, описанным в зада-
задаче I.10. Очевидно, что профиль становится неоднозначным при
сколь угодно малых X (пунктирная кривая на рис. 6,а). Эта
неоднозначность устраняется по правилу "равенства площадей"
2.II. В результате получаем скачок такой же формы и величины,
но с фронтом, несколько смещенным вперед. Это значит, что вол-
волна сжатия устойчива. Смещение фронта в сопровождающей системе
координат «fet -"Эс/Со свидетельствует о том, что положи-
положительный (относительно невозмущенного уровня U^s=0 ) скачок
U.9 движется со сверхзвуковой скоростью С =С0+ ?U~/2 -
тем быстрее, чем больше перепад 1Хг в ударной волне.
Интересно, что ударная волна разрежения (\JU<Ut) неустой-
неустойчива - при распространении пшрина ее фронта растет (рис. 6,6).
Чтобы в этом убедиться, достаточно воспользоваться графическим
методом 1.10. Правила "равенства площадей" здесь не требуется.
U
9
U.
2.13. Используя правило равенства площадей, определить
положение и амплитуду разрыва Up(ac) синусоидального исходного
30 г

возмущения Ц.(х=0, t) = <f> ( t ) = Uo-Slfl (ot • Найти рассто-
расстояние х^ , при котором величина Ык(х) максимальна и устано-
установить асимптотический закон её изменения при больших х .
OTBejr. В бегущей системе координат (Т = 't ~ х/с0) Р613"
рыв на каждом из периодов занимает фиксированное положение
при СО*? = <13Гй. ( К =0, ±1,±2.,...), а его амплитуда опре-
определяется как ненулевой корень уравнения &ТС&\д\.^1А_/ц>*'?.
где "Z, = х/Хр = ( 6 /Cq)-COU0X • Максимальное значение
и.рС'ЗС^) = ^о Д°С1игается при Z =1Z* = ОТ/2. Асимптотичес-
Асимптотический закон убывания Up/lL= X/(I +4.) хорошо выполняется при
*?>2. Интересно, что при "SL^i U0*c /?и>Хя не зависит от
амплитуды входного сигнала. Решение задачи изложено в ^5, б\.
2.14. Пользуясь результатами решения предыдущей задачи,
найти форму профиля, синусоидального на входе, на расстояниях
1 = х/х„> 2 . Вычислить спектральный состав и среднюю за
период плотность энергии ? = О.Ц* =qT \ U.^C'X'i
Oijjejr. Вопна приобретает пилообразный профиль
Её спектр м
U V^
Из-за образования разрывов и их нелинейного затухания (тем бо-
более сильного, чем больше UQ) амплитуды гармоник уменьшаются
по степенному закону, причём nJV"*ft" • Плотность энергии
уменьшается как ? =3\?§ U /3A+^ и ПРИ1"^i не зависит
от амплитуда Uo исходного возмущения.
2.15. Используя графические построения 1.10 и 2.II,
проследить ва эволюцией прямоугопьного на входе импульса $(t)=
=Д при -TV.t^O и ф(Чг^ = 0 вне зюго интервала. Найти
асимптотическую форму импульса при СС-»-оо.
Ответ. Начальная форма импульса и его форма на трёх харак-
характерных расстояниях показаны на рис.7. При х-( ?/о|)-Д/Т»1.
импульс приобретает универсальную треугольную форму с наклоном,
не зависящим от А и Т :
31

11Г ц=0 )
здесь Тр (х) = [2ЛТ(?./с|*)ос] - текущая длительность импу-
импульса. Нетрудно проверить, что при любых х площадь импульса
равна А«Т , чю отвечает сохранению количества движения.
VA.J
Рис.7
О
2.16. Проанализировать графически процесс нелинейной
трансформации профиля двупопярного звукового импульса, состоя-
состоящего из двух симметричных треугольных импульсов (см. I.II)
длительностью 2Т0 и площадью S в случаях: а) за ф^зой
разрежения следует фаза сжатия;
фаза разрежения.
Ъ 2 К
б) за фазой сжатия следует
S)
Рис.&
Отв.е?» Как покааано на рис.8, в случае а) импульс транс-
трансформируется в так называемую S ~ волну неизменной длительно-
длительности 2ГСО ; в случав б) импульс-превращается в N - волну,
длительность которой 2-Т(х) растёт с увеличением х. Возрас-
Возрастание номера кригой на рис.8 соответствует увеличению пройден-
пройденного волной расстояния.
32

2Л?. В условиях предыдущей задачи, используя результаты
об эволюции "линейного профиля" (задача 1.9), найти асимптоти-
асимптотическое поведение фурье-образов при C?/cf)S"Х/ТJ ^>^
Обсудить особенности структуры спектров в области высоких и
низких частот.
Отв_е:г. а) Спектр S~ волны
(I)
б) Спектр N - волны является автомодельным:
slncoT
toT
Спектры (I), B) изображены на рис.9. В области высоких частот
спектры спадают по
степенному закону,
что связано с наличи-
— ем разрывов. Для
00"о
|се*,сот0)|
S)
Рис.9
ем разрывов. Для S-
- импульса все соста-
составляющие спектра умень-
уменьшаются л» 1/х. Для N -
- импульса максимум
спектра постепенно
сдвигается в сторону
низких частот; на высо-
высоких частотах спектраль-
спектральные составляющие умень-
уменьшаются как I/Чх1, а
на низких ICf'XjCO)! *»
i^CO'l^1 • Рост спект-
спектральной плотности на
низких частотах связан
с параметрической
подкачкой энергии при нелинейном взаимодействии высокочастотных
гармоник.
2.18. Сформулировать систему уравнений, описывающих
эволюцию профиля простой волны, содерхащей разрыв.
33

Решение. Получим дифференциальное уравнение, описывающее
движение ударного
фронта в сопровождаю-
сопровождающей
¦и*
U
системе координат.
Рассмотрим разрыв, на
расстоянии Ос имею-
ший координату <?_ (х)
(рис.Ю). Колебатель-
Колебательная скорость непосред-
непосредственно перед фронтом
(точка А ) есть U^ ,
непосредственно за
фронтом (точка Ъ )-
- U.a • Когда расстоя-
расстояние увеличится най"Х,
точка А перейдет в
)Ц4-Д'Х , точка Ъ -
. дХ . Из правила
равенства площадей 2.II следует, что новая координата разрыва
Переходя в формуле (I) к пределу при
с
с
-*О . получим уравне-
Таким образом, скорость перемещения фронта в сопровождающей
системе координат зависит только от значений U^ и Ug возму-
возмущения на разрыве, которые, вообще говоря, зависят от расстояния
ЗС . Поскольку U^ и Ug принадлежат не только разрыву, но
одновременно и профилю простой волны, для них справедливо реше-
решение 2.1C), т.е.
C)
34

Здесь функция т^ описывает профиль простой волны перед разры-
разрывом, ф - за разрывом; сЬ" - обратные к Ф1г Функции. Три
уравнения B) - D) для трех'неизвестных *?»(.¦*)» UjC.^), U..,(?c
образуют полную систему для решения поставленной задачи.
2.19. Воспользовавшись уравнениями B) - D) предыдущей
задачи, найти изменение с расстоянием величины скачка и дли-
длительности треугольного импульса с ударной волной на переднем
фронте. При Х=0 импульс задан так: U./Uo—l-'C/To
U.=0 при всех остальных °С ,
Ответ. Величина скачка уменьшается, длительность растет:
Поскольку количество движения сохраняется, площадь импульса~
Ua(x)T(x) = u0T0 = const .
2.20. Показать, что две попутные слабые ударные волны
сталкиваются по закону абсолютно неупругого удара двух частиц;
при этом аналогом массы WI частицы является величина скачка
(U«- U4*), аналогом скорости частицы 43" - скорость wCp/doC"
— ~ (fe/2Ca)(U +U-") движения фронта в сопровождающей системе
координат.
Решение. Пользуясь методами графического анализа, показы-
показываем, что две ударные волны - скачки возмущений(U,- U^ и
а-
Рис.11

(рис.11) - сливаются и образуют одну волну с перепадом(Ц^- ЦЛ
Тривиальное соотношение
есть аналог закона сохранения массы частиц: tt\. =yy\4+VY\ Ана-
Аналогом закона сохранения количества движения т^^ч- wutL = Jn V'
будет соотношение
о о
которое, как видно, представляет собой тождество.
2.21. По невозмущенной среде распространяется слабая
ударная волна, за фронтом которой форма простой волны описыва-
описывается функцией и*ф(Т+?и.Х/Ср*\ . Найти зависимость от
расстояния величины скачка на фронте ударной волны.
Решение^ Воспользуемся парой уравнений, полученных в
2.18:
Здесь ^р(яО описывает положение разрыва в сопровождающей сис-
системе координат,Ug(oO - величину скачка. Исключая из уравне-
уравнений (I)tp(x} и считая Х=аОс(ЦА» получим нелинейное уравне-
уравнение
5(^
Решая B), найдем общее выражение [12]
Константа интегрирования может быть выбрана, например, по на-
начальной координате ТСр образования разрыва (см.2.1 - 2.6):
Ot^Ug ^ = ОСр , где ^«UoCV)" начальная величина скачка
36

(обычно равная нулю, если только передний фронт исходной прос-
простой волны не является отрезком прямой).
2.22. Пользуясь формулой C) предвдущей задачи, найти
изменение "амплитуды" разрыва U, (х) при распространении оди-
одиночного импульса, равного U= U0>Sin ?O*t при 0**СОТ&х
и U.*0 при всех остальных СОТ.
Решение. В данной задаче фя:СО-aTCSlw/цуц Л и
мула C) принимает вид '
Вычисляя интеграл, найдем
где V = ua^x,)/ULo , 1i=(jb/Co^COU0'X , ^ -констан-
-константа интегрирования. Как несложно вычислить (см.2.4), в данной
задаче Хрв1 и разрыв начинает формироваться от нулевого
по "амплитуде" скачка V^ip55!.^ = 0 • Поэтому константа С*~1.
Таким образом, "амплитуда" ударной волны изменяется в простран-
пространстве по закону: UgCc) = 0 при Э?<.ОСр , и
при TL>1k = 1 (или 'ЭС>Хр ). Видно, что амплитуда раз-
разрыва при \,*-\?2. увеличивается, достигает при *$.— 2. мак
симального значения U^Uo , а затем (в области TL
убывает ~ /^
2.23. Найти изменение длительности одиночного импульса -
полупериода синусоиды (см.предыдущую задачу).
Решение. Подставляя решение (I) в уравнение движения раз-
разрыва 2.21A), находим
37

Поскольку фронт начинает формироваться при *?,«! в точке
1^ = 0 , находим С«0 . Итак, длительность импульса
т
- постоянна до образования разрыва и монотонно увеличивается
после образования разрыва из-за его движения с переменной сверх-
сверхзвуковой скоростью.
§ 3. Нелинейные волны в диссипативных средах.
Уравнение Бюргерса.
3.1. Пользуясь методом медленно изменяющегося профиля
(см.1.5), упростить линейное уравнение
г^ =
° Ъхг
описывающее распространение звука в вязкой теплопроводящей сре-
среде (см. [5, 6] ). Здесь fe = Ai/3+|+'2eCc;i-Cpi) - коэффи-
коэффициент диссипации, где & , \ - объемная и сдвиговая вяз-
вязкость, ^ - теплопроводность. Найти решения полученного урав-
уравнения для синусоидального и однополярного импульсного (на входе
в среду) сигналов.
Решение. Считаем, что диссипативные эффекты приводят к
медленному искажению профиля и переходим к сопровождающим коор-
координатам cC=-t -'Ж/со, ECi=^i<X . Пренебрегаем членами М^ ,
W5 , ..., а члены порядка (Ц° взаимно уничтожаются. В резуль-
результате остаются члены одного порядка малости JA , которые об-
образуют уравнение параболического типа
<ь=-
B)
Общее решение B), отвечающее исходному возмущению произвольной
формы U.A3C«O,i')=s UO(.V) » выражается с помощью функции
Грина
38

Для гармонического исходного возмущения а (-t\ = а • S(Л cot
получим
а (-х/г) = а- ex)p(-Wx) • sin. tot D)
- это затухающая по экспоненциальному закону волна. Величину
*tj , обратную коэффициенту затухания (Чг, ~ 1/8>СОг^) > назы-
называют характерной длиной затухания. Условие ОС»» & означает,
что амплитуда волны D) уменьшается незначительно на расстоя-
расстояниях порядна длины волны ^ . Отношение
- малый параметр задачи; он порядка отношения правой части (I)
и любому из членов левой части этого уравнения. Наличие малого
параметра (Ч. оправдывает переход от (I) к B).
Для однополярного импульса, имеющего на входе характерную
длительность х.о , на расстояниях 4^tc/~to ^* 1 ширина
функции О("ЭС/t") становится много большей *t.o , и формула C)
упрощается
2,
Таким образом, на больших расстояниях импульс принимает асимпто-
асимптотическую форму гауссовой кривой.
3.2. Получить эволюционное уравнение Бюргерса, описываю-
описывающее медленные процессы искажения профиля волны из-за наличия
у среды нелинейных и диссипативных свойств.
Решение. Методом медленно изменяющегося профиля ранее бы-
были получены уравнения простых волн 1.5C) и параболическое
уравнение 3.1B)
39

описывающие эволюцию профиля вследствие нелинейных и диссипа-
тивных эффектов по отдельности. Поскольку эти эффекты слабые,
в исходных уравнениях они описываются независимыми членами;
следовательно, в упрощенное уравнение нелинейный и диссипатив-
ный члены будут входить аддитивно, в виде отдельных слагаемых.
Таким образом, приходим к обобщению уравнений (I)
называемому уравнением Бюргерса. Если перейти в B) к безразмер-
безразмерным переменным
^ )
0 Р
где Uo - характерное значение возмущения (например, амплиту-
амплитуда гармонической волны или пиковое возмущение в импульсе), (О -
характерная частота периодического сигнала (или обратная дли-
длительность импульса), уравнение примет вид
Здесь число
со 1 со
9
- единственный безразмерный комплекс параметров, входящий в
уравнение (I) и тем самым полностью определяющий процесс эво-
эволюции. Иногда вместо Г используют акустическое число Рей-
нольдсаТ^а =B 6 Г } • Можно записать Г как отношение
характерных нелинейной и диссипативной длин
40

Отсюда следует, что величина Г оценивает относительный вклад
нелинейных и диссипативных эффектов в искажение профиля волны.
При Г41-1 преобладает нелинейность, при Г"^1 - дисси-
диссипация. Последовательный вывод уравнения Бюргерса B) из уравне-
уравнений гидродинамики дан в ^5^ .
Э.Э. Принимая, что коэффициент поглощения звука в воде
определяется значением 0*0,6-10 сг/см » а в воздухе
$=0,540 са/см, оценить акустическое число РеЙнольдса в за-
задачах 2.7, 2.8, 2.10.
Ответ, a) "Re «22
3.4. Пусть П С3^) есть некоторое известное решение урав-
уравнения Бюргерса 3.2B), соответствующее условию на границе
ПСа=0/О = П0(^) . Найти решение, отвечающее наложению
постоянного "течения" со скоростью Л/о= const на исходное
возмущение По , т.е. ll(o:«0/t) «Vo -*• ПоС^У (I)
ответ. иСэс;с)=Л?+ nc^c,t+^a). B)
Скорость распространения волны П "п0 течению" на ДС «
^ больше, чем по невозмущенной среде.
3.5. Найти стационарное решение уравнения Бюргерса, удо-
удовлетворяющее условиям симметричного скачка U.(T-*-oo^ »-Uo
и UL^t-^oci) =U0 . Используя преобразование B) предыдущей
задачи, построить стационарное решение, которое удовлетворяет
условиям U.CC-*-оо) =U4. и \k(X^od) . U?>Ut.
Ответ. Стационарная волна отыскивается в виде U(,oc,t)=
= U.(jC + Ca) , где константа С определяется из условий при
<С-»±оо . В первом случае стационарное решение имеет вид
и описывает симметричную ударную волну, бегущую со скоростью
41

звука. Ширина фронта обратно пропорциональна величине скачка Ue.
Полагая Vo m (ut+ U-aVS, ^--(Ug-U^/a . из (I) и
3.4B) получаем для движущегося ударного фронта
• B)
Полезно убедиться в том, что скорость движения фронта слабой
ударной волны B) не зависит от его ширины и совпадает со ско-
скоростью 2.18B) движения разрыва.
3.6. Показать, что уравнение Бюргерса заменой переменных
(I)
2* 3tit\T
B)
(замена Хопфа-Коула) сводится к линейному уравнению диффузии.
Найти общее решение уравнения Бюргерса.
Решение. Из уравнения 3.2B) для 2» получаем уравнение
которое после перехода (I) к U сводится к линейному параболи-
параболическому уравнению
совпадающему по форме с 3.1B). Решение этого уравнения с
условием на границе UC^^O/Q^eCt) запишется аналогично
3.1C):
-eo
С учетом замены (I)

E)
цепочка преобразований E)-*D)-*-B) дает общее решение урав-
уравнения Бюргерса - выражает поле U-C'DC/t) в произвольном сече-
сечении *Х через исходное поле 1Л0 EС) • Приведем еще одну форму
записи общего решения. Пользуясь B), из D), E) имеем
«
где
3,7. На основе общего решения уравнения Бюргерса, полу-
полученного в предыдущей задаче, рассмотреть эволюцию гармоническо-
гармонического исходного сигнала U0(V)=(X'SiftCOt' Исследовать его асимпто-
асимптотическое поведение при "х-*.©*.
Ответ. Используя разложение [1б]
т «.-1
где 1^ - модифицированные функции Бесселя, из B), D), E)
получим ^ кн
У "-60 "I
о
Здесь комбинация параметров а^>/2С0^ имеет смысл акустическо
го числа Рейнольдса 3.2E). При 5«гх-»1 экспоненты в B)
43

сильно уменьшаются с ростом п- и остается только первая
гармоника
При малых и больших числах Рейнольдса, пользуясь асимптотиками
функций Бесселя, получим гармонику, затухающую по законам ли-
линейной акустики
fa
В последнем случае амплитуда гармоники не зависит от своего
исходного значения
3.8. Пользуясь общим решением уравнения Бюргерса, рас-
рассмотреть эволюцию однополярного импульса, аппроксимируя его на
входе S - функцией: Ue(V) = A-SGt). Ввести для дан-
данной задачи число Рейнольдса; обсудить предельные случаи Re4-i
и Ие*1.
Отют. Решение имеет вид
* Не
ш
Т^Са/Йг) ^ exlp(-ia)di - интеграл ошибок, а
T Ай>/2^ • ПРИ *^%4.1 результат (I) совпадает с линейным
решением 3.1F). При "Re^l из Ш следует, что импульс
имеет универсальную треугольную форму
/ О
0
B)
44

где Т=ч2А»0>Х - длительность импульса. Для вывода формулы
B) нужно использовать асимптотику функции Ф(г^ при1-*-ов
3.9. Пусть P\(pCjt") - некоторое известное решение урав-
уравнения Бюргерса, отвечающее условию на границе П(рс«ОД")=П0(.^).
Исследовать взаимодействие этой волны с "линейным профилем" те-
течения (см. 1.9) на основе общего представления решения уравне-
уравнения Бюргерса (см. 3.6) для граничного условия
Проанализировать случаи ч > и и 0 &• О .
От_вет. Нелинейное взаимодействие с "линейным профилем"
приводит к изменению характерных амплитуды и частоты, а также
темпов эволюции волны П^ОС^) . Решение имеет вид
При Tf>0 . й^чс.-*4, характерные амплитуда и частота волны
неограниченно возрастают.
ЗЛО. Используя метод перевала, найти асимптотическое
решение уравнения Бюргерса 3.2B) при больших числах Рей-
нольдса (о -••О) . Дать графическую интерпретацию этого реше-
решения.
Решение. В выражение для общего решения 3.6F) уравнения
Бюргерса входят интегралы вида
При О-^О основной вклад в интеграл будут давать окрестности
тех точек, где функция F имеет максимум. Пусть "t^- одна
из таких точек; она находится из уравнения

В окрестности этой точки функцию f
ограничившись квадратичными членами
можно разложить в ряд,
о,
, F«W-^U.,(t^0 .Тогда т-
теграл (I) представляется как сумма вкладов в точках перевала
1-1Л.
ПриЪ-*О в этой сумме будет превалировать слагаемое, соответ-
соответствующее абсолютному максимуму функции F . При этом из обще-
™ решения 3.6F) следует асимптотический результат
го
E)
где х.^(рс/?) - координата абсолютного максимума функции
Ы.12
Процедура отыскания
абсолютного макси-
максимума допускает на-
наглядную графическую
интерпретацию. Оче-
Очевидно, что коорди-
координата -t^Oac/t)
есть первая точка
касания функции Г
подвижной прямой К,,
опускающейся из
бесконечности па-
параллельно оси абсцисс "L . Более удобно, однако, действовать
по-другому, а именно, рассматривать первую точку касания функ-
функции в{ь«С"^) и параболы
46
G)

опускающейся сверху (при уменьшении К, ) на функцию A So (А)
(см.рис.12). 3
З.Н. Используя полученное в предьщущей задаче асимпто-
асимптотическое решение уравнения Бюргерса, проанализировать эволюцию
однополярного импульса, аппроксимируя его на входе *& -функ-
цией UL0CV> = A, ^(.-t) -
Решение. Для функции Ф S ("t") > определяемой формулой
З.юТбТ, имеем e>S0= $&©(?) » гДе 0(?) ~ Функция Хевисай-
да-единичного скачка. Графическая процедура отыскания коорди-
координаты абсолютного максимума в данном случае иллюстрирована на
рис.13. Зафиксируем расстояние X , т.е. ширину параболы
Рис.13
3.10G). Если t>0 » то очевидно, что парабола коснется
ступеньки своим центром t*1^ , T.e.-t^^^sa^ ; при
этом, согласно 3.10E), поле U(><3C,fC'IB0 для всех t>0.
При <С^. Q существует одна критическая парабола Ы.*
рая одновременно касается ^SoC"t) в двух точках :t«0
Очевидно, что для такого касания Ь.= 0 , а положение
определяется из системы уравнений . „
кото-

кото2 ос 2-х
Отсюда следует, что координата вершины этой критической пара-
параболы равна
-т- (г,А*?Л
Если теперь-положить -T^t 4. О , нетрудно заметить, что
парабола 2 на рис.13 коснется <|So4^) B точке "t^^O . Из
3.10E) при этом находим lL('DCJT) = -rt'/g<3C . Наконец, пола-
полагая f 4.-Т , т.е. перемещая центр подвижной параболы 3 левее
центра критической параболы el* , снова получим •^^t, UsO.
Суммируя сказанное, видим, что асимптотический профиль
при больших числах Рейнольдса имеет треугольную форму
\L—
Длительность импульса Т^'Эс), определяемая формулой (IH и пи-
пиковое значение возмущения Uwax(XC) равны
i/г.
) V^^C^T)BA/fгC)
(см.также 3.8). Очевидно, площадь импульса Um._V?4«С3^/2« =
3.12. Используя графическую процедуру ЗЛО, исследовать
процесс взаимодействия двух однополярных импульсов
(I)
при больших значениях чисел Рейнольдса. Найти асимптотическую
форму волны, образующуюся в результате слияния импульсов.
Ответ. Критические параболы cL % (см.предыдущую задачу)
и соответствующие профили импульсов приведены на рис. 14,а,б,в.
Напоминаем: с увеличением пройденного расстояния ЗС параболы
уширяются. Координаты разрывов легко находятся из условия двой-
двойного касания параболой дЬ функции $Sov?) (рис.14, а, б).
Расстояние X , на котором происходит слияние разрывов,
48

определяется из условия трой-
тройного касания «L и §>S0(V)
(рис.14, в). Асимптотическая
форма волны - одиночный треу-
треугольный импульс 3.11B) с дли-
3.13. В условиях предыду-
предыдущей задачи рассмотреть взаимо-
взаимодействие двух О -импульсов
различной полярности. Отдельно
разобрать случай | AJ = | /\»|,
3.14. Усовершенствовать
решение 2.14A) для одного пе-
периода пилообразной волны, при-
приняв во внимание, что в диссипа-
тивной среде для больших чисел
Рейнольдса ударный фронт имеет
малую, но конечную ширину и опи-
описывается выражением 3.4A).
Решение. Нужно заменить
ступенчатую функцию ЗДК-'С
Ha-fcK.pUp(x)r/2S] . В аргу-
менте гиперболического тангенса
необходимо учесть, что разрыв
уменьшается по величине вследст-
вследствие нелинейного затухания как
Up(t)/U0= 0Г/A+Ч) (ои.2.13);
соответственно увеличивается ши-
ширина фронта. Таким образом, фор-
формула 2.14A) примет вид
РисЛ4

Подставляя выражение (I) в уравнение Бюргерса 3.2B), видим,
что оно есть точное решение этого уравнения (решение Хохлова).
3.15. Разложить решение Хохлова в ряд Фурье, рассчитать
амплитуды гармоник и проанализировать их поведение на больших
расстояниях.
Ответ. Разложение в ряд (решение Фея) имеет вид
Оно хорошо описывает спектр гармонической (на входе •?:= 0 )
волны для больших К© в той области, где фронт стабилизирует-
стабилизируется, т.е. нелинейное укручение и диссипативное сглаживание профи-
профиля уравновешивают друг друга. Амплитуда гармоник примой/и бI>1
в решении Фея уменьшается примерно по закону еэф(-гйсО?ЭС")
медленнее, чем по линейной теории (r~G'x\p(rY&8l>$"X')) i это свя-
связано с подкачкой энергии от низших гармоник к высшим. На рас-
расстояниях Eбо/ио&I'?» & или 5со?х^2 в решении Фея
главным становится первый член ряда (I), и волна принимает вид
•Формула B) совпадает с 3.7A) и описывает эффект "насыщения":
как сильно ни увеличивать амплитуду Ыо на входе в нелиней-
нелинейную среду, на расстояния свыше двух длин линейного затухания
X^S/^tO =2*1?г. невозможно передать волну с амплитудой, боль-
большей
3.16. В условиях задач: а) 2.7, б) 2.8 оценить диссипа-
тивную длину гХг=4./?со ~2.СЪО /btii^ и найти максимальную
50

интенсивность волны, которая может быть передана на расстояние
^"-^ . Принять для воды Ъ=0л6-Ю~ cVcm
Ответ. а)СС,5й42м
Ът/см.
§ 4. Сферические и цилиндрические волны
Нелинейные пучки
4.1. Рассмотреть сходящиеся сферически-симметричные волны
в линейном приближении. Исходная форма возмущения tL0(-t") за-
задана на сферической поверхности радиуса Ч.0У&\ ^гДе ^ -
характерная длина волны). Пользуясь методом медленно изменяюще-
изменяющегося профиля A.5), упростить линейное волновое уравнение
Решение. Переходя к сопрововдающей системе координат
1 = Wt и пренебрегая малыми членами r*w
получим
+
Отношение третьего члена к первому в уравнении B) есть величи-
величина порядка C0/xto0~ \/t . Следовательно, третий член мал
всюду, за исключением малой окрестности фокуса Т. = 0 раз-
размером порядка длины волны *\ . Отбрасывая третий член в B),
придем вместо (I) к упрощенному уравнению
ц о
и
Его решение в виде сходящейся волны ( *?, уменьпгэтся от То до
0):
" /~~'4 " ЛЧ D)
неограниченно растет по мере приближения к фокусу Х = О .
51

4.2. Получить аналог уравнения Биргерса 3.2B) для схо-
сходящихся сферически-симметричных волн, обобщая упрощенное урав-
уравнение 4.1C) по аналогии с задачей 3.2. Считать, что нелинейные
и диссипативные эффекты медленно искажают профиль волны.
Ответ.
Здесь, как и в задаче 3.2, а = ?/с|, &
4.3. Преобразовать уравнение Бюргерса 4.2A) для сфери-
сферически-симметричных волн с помощью замены переменных
Сравнив с 3.2D), указать, какой смысл имеет полученное уравне-
уравнение.
Здесь r=OCO/^Wo _ обратное число Рейнольдса (см.3.2E))}
X =et0U0To - безразмерный исходный радиус фронта волны.
Видно, что использование уравнения B) сводит задачу о распрост-
распространении сферических возмущений к задаче о плоских волнах в экви-
эквивалентной среде, диссипативные характеристики которой экспонен-
экспоненциально убывают с увеличением пройденного расстояния (с ростом
^ от 0 до о° ).
4.4. Получить аналог уравнения Бюргерса для сходящихся
цилиндрически-симметричных волн. Действовать по аналогии с за-
задачами 4.1, 4.2.
Ответ. ^
(I)
Обозначения здесь такие же, как в 4.2A).
52

4.5. Преобразовать уравнение 4.4A) с помощью замены
переменных
Указать смысл полученного уравнения (так, как это сделано в
4.3).
Ответ. _ о
Видим, что уравнение B) эквивалентно уравнению Бюргерса для
плоских волн в среде, диссипативные характеристики которой убы-
убывают по линейному закону при изменении *С от То до О
(при этом Ц возрастает от 0 до 2*?0 , где х =a<0U T -
безразмерный исходный радиус фронта). ° ^
4.6. Найти расстояние, которое необходимо пройти исходной
гармонической сферически-симметричной волне в среде без дисси-
диссипации, чтобы в ее профиле образовались разрывы. Рассмотреть
а) сходящиеся и б) расходящиеся волны.
Решение. Поскольку при Р=0 уравнение 4.3C) совпада-
совпадает с обычным уравнением простых волн, координату образования
разрыва Т р в исходной гармонической волне нужно находить из
условия "Щ, = €>(*Ш0Т0| ?yi(To/Tft)l = i. (см.2.4). Здесь
случай 704Ть<оо соответствует расходящейся волне, а OlZXZ
волнеtсходящейся к фокусу 7=0 • Расстояние l^p—10\ >
которое должна пройти волна, чтобы стать разрывной, равно
Видно, что для сходящихся волн A) выполняется неравенство
|-7 ^СйСоиЛ » т'е« раз
одящих
 т'е« разрыв образуется на меньших рас-

стояниях, чем в плоской волне. Напротив, из формулы B) следу-
следует |t-70|> (ftCO U0Y , т.е. для образования разрыва расходя-
расходящейся волне нужно пройти большее расстояние. Изменение темпов
накопления нелинейных искажений связано с тем, что в сходящихся
сферических волнах амплитуда возрастает при уменьшении х (от
То до 0 ), а в расходящихся - убывает (когда X увели-
увеличивается от х0 до оо ).
4.7. Определить, всегда ли может образоваться разрыв в
сходящейся первоначально гармонической волне, распространяющейся
в среде без диссипации.
Решение^. В цилиндрической сходящейся волне условие образо-
образования разрыва, согласно 4.5A), имеет вид
' 2 у
(I)
Поскольку Q^-T <T0 t максимальное значение ^ дости-
достигается при TL *= 0 и равно 2uC0U0T0 • Если параметры
на излучающей цилиндрической поверхности выбраны так, что
AQUot0^i/2, условие (I) не может быть реализовано ни при каких
^ *Z, и разрыв при схождении к фокусу Т. = О не образуется.
Для сферической волны условие (I) имеет вид (см. 4.2B)):
Здесь ситуация обратная: какой бы малой ни была комбинация пара-
параметров ©>COU0t0 на излучающей поверхности, найдется столь
малое Т, вблизи фокуса Т. = О , где разрыв все же образует-
образуется.
4.8. Обобщить решение Хохлова 3.14A) на сферические вол-
волны и проанализировать процесс формирования ударного фронта в
сходящейся волне с учетом влияния диссипации.
Решение. Используя обозначения задачи 4.5 и сопоставляя
обычное 3.2D) и "сферическое" 4.3B) уравнения Бюргерса,
придем к выражению для профиля одного периода сферической сходя-
сходящейся волны:

m
Ширина ударного фронта определяется из аргумента гиперболичес-
гиперболического тангенса:
Как следует из анализа выражения B), при 2.0=*<&COU0Ta >\.
функция Д©фС^) имеет максимум. Это означает, что при TJL0>-i.
наблюдается явление двукратного формирования ударного фронта.
Вначале узкий фронт начинает расширяться из-за диссипации. Его
ширина достигает максимального значения BГ/0Г^'Н.о6ЭСрA/'2.е--1)
в точке lC=TeS'3Cp(l/'i?0 —i^ . Затем вновь усиливается дейст-
действие нелинейности и ширина фронта стремится к нулю при схождении
волны к фокусу [З
4.9. Пользуясь квазиоптическим приближением теории диф-
дифракции и методом медленно изменяющегося профиля 1.5, вывести
упрощенное уравнение для волновых пучков в линейном приближении.
Решение^. Исходим из линейного волнового уравнения, записан-
записанного в декартовых координатах
Пусть волна распространяется вдоль оси пучка "ОС . В квазиоп-
квазиоптическом приближении обычно рассматривают гармонический сигнал.
При этом полагают, что амплитуда волны изменяется медленно как
вдоль оси ЗС (VjW'x) , так и поперек пучка ^-^
Если рассматриваются широкополосные сигналы или распространение
в нелинейной среде, где спектр сигнала обогащается гармониками,
то волну нельзя считать гармонической. Нужно предположить, что
ее профиль и спектр медленно изменяются при распространении.
Формулу B) следует обобщить:

Подставляем C) в (I). Члены порядка ^*° взаимно уничтожаются,
а членамим^а^ мы пренебрегаем. В результате все сохраненные
члены имеют один и тот же порядок малости W . Эти члены об-
образуют упрощенное уравнение
Для гармонических сигналов UL= ^* e^jp^-i-WC) из D) следует
известное параболическое уравнение теории дифракции
4.10. Используя метод предыдущей задачи, вывести упрощен-
упрощенное уравнение Хохлова-Заболотской из нелинейного волнового '
уравнения ^ ^Ц __?
с? ^ с»
Решение. В предположении медленности изменения профиля
волны и формы пучка 4.9C) получим
\-?« А И
Это уравнение Хохлова-Заболотской. Если пренебречь зависимостью
от поперечных координат (^j_U-0") , B) переходит в уравне-
уравнение простых волн 1.5C). Если пренебречь нелинейностью (€.=0),'
B) переходит в уравнение 4.9D) линейной теории дифракции.
Таким образом, уравнение B) описывает волну при одновременном
учете нелинейных и дифракционных эффектов.
Более строгий вывод B) из уравнений гидродинамики приведен
в книгах \j>, ?]
11II. Действуя по аналогии с задачей 3.2, получить выра-
выражение для безразмерного комплекса параметров - числа N >
56

позволяющего оценить относительный вклад нелинейных и дифрак-
дифракционных эффектов в искажении волны.
Решение. Пусть на входе 1=0 сигнал описывается функ-
функцией
^ ш
Здесь T=-jU,*1j$ - координаты в поперечном сечении пучка,
CL - характерная ширина пучка; 1Л0 , W - характерные амп-
амплитуда и частота. Имея в виду (I), перейдем к безразмерным пе-
переменным вида 3.2C)
Уравнение 4.10B) сведется к форме
fwiv-i м.дУ
Здесь А^_ - оператор Лапласа по нормированным координатам
"R, . Единственный комплекс параметров, входящий в уравнение
C), это число о * i . . ч о
м- 2с° { ^у
Можно записать N как отношение нелинейной и дифракционной
длин: ^ с г
Отсюда ясно, что при N^1 преобладает нелинейность, а при
N ^ 1 - дифракция.
4.12. Рассчитать в линейном приближении изменение харак-
характеристик круглого гауссова пучка гармонических волн
вследствие дифракции.
Решение. Для пучков с круглым поперечным сечением уравне
ние 4.9D) примет вид
57

Решение B) с граничным условием (I) можно получить методов
разделения переменных или методом интегральных преобразований.
Можно также проверить непосредственной подстановкой, что реше-
решение B) имеет вид [б]
а- а
11
8 lV*
здесь *ЭСд*ь GO С1/2 С о - характерная дифракционная длина. Ре-
Решение C) описывает превращение исходной плоской волны в сфери-
сферически расходящуюся. Амплитуда на оси пучка уменьшается по закону
^V^2 <«
При ^С^>*Хд амплитуда убывает как Ume^U^tAc- по закону
~*Х~ сферически расходящейся волны. Ширина пучка растет:
При 'Х'^'ЗСд аСэО»О-'Эс/'ЭСд- ширина увеличивается с рос-
ростом 1 линейно, и все излучение локализуется в конусе с уг-
углом при вершине aQ^&C^OAeW2ol/oca=4c0/u)CL- Заметим
также, что фаза волны на оси пучка приобретает фазовый сдвиг
<шЛф(Че/Хд") . Это означает, что скорость распространения
волны на оси пучка несколько выше, чем плоской волны той же
частоты.
При увеличении частоты СО исходного сигнала (I) процесс
дифракции ослабевает и все отмеченные явления проявляются на
больших расстояниях.
4.13. Пользуясь решением C) предыдущей задачи, показать,
что широкополосный сигнал (импульс) изменяет свою форму в даль-
58

ней зоне (JCC :$» ОСД") . Дифракция приводит к дифференцированию
формы профиля на оси пучка.
Решение. Каждая из гармоник исходного сигнала описывается
выражением C), которое при ЗС»"ЭСд , Т=0 принимает вид
Форма сигнала определяется суммой всех гармоник (I)
U
о
Последний интеграл есть исходная форма импульса:
L (ooYSUL СОI» • а@ = и.6хв=0
-«о
Сравнивая C) и B), находим
- сигнал в дальней зоне дифференцируется.
4.14. Показать, что области сжатия и разрежения нелиней-
нелинейной дифрагирующей волны искажены неодинаково и профиль исходного
гармонического сигнала при распространении становится несиммет-
несимметричным. Воспользоваться тем фактом, что разные гармоники из-за
дифракции оказываются сдвинутыми по фазе друг относительно друга.
Решение^. Для качественного ответа на вопрос представим
профиль волны приближенно как сумму только первой и второй гар-
гармоник
A = /^(ху strict+^Ц+ КрУ &Ц> Ой + %
Очевидно, что вторая гармоника, рождающаяся в среде, имеет амп-
амплитуду Д^» , малую по сравнению с к± ¦ Поскольку частота гар-
гармоники более высокая, дифракционный фазовый сдвиг 4g для нее
меньше, чем" 4*^ (см. 4.12). С учетом этих фактов графическое
сложение двух синусоид (I) действительно дает несимметричный
59

профиль (рис.15). Видно, что область сжатия укорочена по дли-
длительности и заострена, область разрежения - растянута и сглаже-
сглажена. Гармоники интерферируют так, что положительное пиковое зна-
значение возмущения превышает свое исходное (при СС = 0 ) зн»чение.
Рис.15
4.15. Пользуясь модельным уравнением 4.10A) и методом
последовательных приближений, рассчитать амплитуду волны раз-
разностной частоты S5 = 00^- W2 , возбуждаемой в нелинейной ере
де при взаимодействии двух затухающих недифрагирующих высоко-
высокочастотных волн с близкими частотами
ее
¦ЗСх
Здесь 'Хь. - характерная длина затухания волн СО^ , COj, :
функция Ц(ц ,**.") описывает поперечную структуру пучка этих волн.
Решение. Используя (I) в качестве первого приближения,
для нахождения второго приближения получим из 4.10A) следую-
следующее уравнение о ?
^" ? За _ B)
Правая часть B), описывая нелинейные источники на разностной
частоте 52 , с учетом (I) примет вид
60

Отыскивая решение B) в виде U. = /\.S'X|3(,~"L"t-"*0 , для
амплитуды /V« волны разностной частоты получим неоднородное
уравнение Гельмгольца
Решение этого уравнения
Здесь кя"\/Эс,^ ,. j - радиус - вектор точки наблюдения, "К^в
et3ci»Mi«^i\~ РадиУс ~ вектоР текущей точки объема V , заня-
занятого областью пересечения взаимодействующих волн 6О« . Ю- .
"R |»I ^ j , можно при-
приближенно положить
F)
Подставляя выражения C), F) в интеграл E), приведем его к
ввду
Наибольший интерес представляет структура выражений J) ¦ ,
, определяющих направленность излучения, которая связана с
поперечным у.
U 4
-со
и продольным (вдоль оси
61

(9)
О % ,.t
распределением первичного поляЦ№' (I). Интеграл (8) представ-
представляет собой разложение в угловой спектр функции $ \Ч *?) "» он
имеет такой же вид, как если бы волна ОС непосредственно из-
излучалась источником высокочастотных волн fOv , СО, . Интег-
Интеграл (9) более интересен; он описывает направленность излучения
волны ?с , возбуждаемой распределенными в пространстве нели-
нелинейными источниками
В формуле A0) использовано соотношение {-' _ _
0 - угол между осью пучка 3? и направлением на точку наблю-
наблюдения .
Когда Air^l (вдоль области взаимодействия укладывается
много длин волн разностной частоты), излучение направлено под
малыми углами к оси. Характерная угловая ширина диаграммы на-
направленности, как следует из A0), равна
Ширина диаграммы (II), определяемая продольным распределением
поля Ur"' , как правило, много меньше ширины, определяемой
поперечным распределением (8). Именно (II) определяет узкую на-
направленность низкочастотного излучения.
§ 5. Акустические шумы большой интенсивности
5.1. Пренебрегая флуктуациями частоты, найти вероятност-
вероятностное распределение и среднее для длины образования разрыва плос-
плоской квазимонохроматической волны, считая известным вероятностное
распределение амплитуды \^ (,Oi) .
Решение. Из результатов задачи 2.4 следует, что длина
образования разрыва OCv> плоской монохроматической волны равна
62

p , где GO - частота, & - амплитуда волны.
Эту же формулу можно применить и для квазимонохроматическо?*
волны, когда амплитуда и частота мало меняются на периоде волны.
Таким образом, задача сводится к нелинейному преобразованию
Если обратная функция а.=* С^р) однозначна, то вероят-
вероятностное распределение \Х/ ("хЛ связано с \jj (&.*) соотношением
Для моментов величины
Для вероятностного распределения длины образования разрыва и
её среднего получаем соответственно
D)
5.2. В условиях задачи 5.1. проанализировать два случая:
а) амплитуда сигнала распределена равномерно в интервале
[О.^ } 01^1 ; б) входной сигнал гауссов с дисперсией 6* . Ис-
Использовать, что вероятностное распределение амплитуды гауссово-
го сигнала имеет рзлеевское распределение
Ответ. Для вероятностного распределения длины образования
разрыва и её среднего соответственно имеем из 5.1D):
а)
63

ewe
5.3. Найти вероятностное распределение амплитуды разрыва
квазимонохроматической волны
uo0t)=a- sui(cot:+vf),
считая, что входной сигнал гауссов. Флуктуациями частоты пре-
пренебречь .
Рекение. амплитуда разрыва Up определяется из уравнения
(см.задачу 2.13)
о
Используя формулу 5.1B) и учитывая, что при Q.^.
разрывы не образуются (формально, их амплитуда равна нулю) для
вероятностного распределения амплитуды разрывами. (.Цв*) имеем
г
C)
w Г г ц> 1 J
Дия гауссова входного сигнала, когда амплитуда распределена по
рэлеевскому закону 5.2A)}из C) получаем

5.4. Найти среднее в единицу времени число разрывов TL
на расстоянии X от входа для квазимонохроматического гауссо-
гауссова входного сигнала. Использовать результаты предыдущей задачи.
Ответ. «
5.5. На начальной стадии проявления нелинейных эффектов
(расстояния х/"ЗСр4С 1 ) для амплитуд высших гармоник простой
волны справедливы следующие выражения (см.задачу I.13)
Считая, что на входе заданы регулярный монохроматический сигнал
амплитуды С10 и гауссов квазимонохроматический сигнал с дис-
дисперсией 6г , такие, что интенсивность у них одинакова Fг=йд/
сравнить интенсивности высших гармоник шумового - (^Д^)/2) и
регулярного -(
Ответ.
5.6. Найти корреляционную функцию и спектр простой волны
на начальной стадии, ограничиваясь первым приближением в реше-
решении уравнения простой волны методом возмущений. Считать, что
входной сигнал стационарен, гауссов5с нулевым средним, с корре-
корреляционной функцией Ъ0(о) и спектром Soft*L).
Решение. В первом приближении решение уравнения простой
волны 1.5C) можно представить в виде
т.е. связь U.^ и Uo представляет последовательность квад-
квадратичного детектора и дифференцирующей цепочки. Для корреляци-
корреляционной функции \Д (ТГ) при гауссовом входном сигнале имеем
й 65

С учетом связи процесса и его производной для корреляционной
функции простой волны получаем
Так как возведению в квадрат корреляционной функции соответст-
соответствует свертка спектров, то для спектра простой волны из D)
следует
(б)
-со
5.7. Найти спектр простой волны на начальной стадии для
гауссова входного сигнала в случаях: а - широкополосного шума
с корреляционной функцией ^>в(ф=бгех|>?-дгдг/2] ; б -
узкополосного шума с В0(^ = 6>гех]р^дг5а/23соьЮ09 (to^i)
Проанализироватьfгде возникают новые спектральные компоненты.
Отверг. Используя результаты предыдущей задачи^олучаем
^ г г
Нелинейное взаимодействие приводит к уширению спектра
Новые спектральные компоненты возникают вблизи нулевой и вблизи
66

удвоенной частоты СО 0
5.8. Найти усредненную по времени корреляционную функцию
простой волны на начальной стадии для входного квазимонохрома-
квазимонохроматического сигнала с гауссовыми фазовыми флуктуациями
считая известной структурную функцию флуктуации фазы
Описать качественно спектральный состав волны.
Ответ. _%,($) гиг A
или, учитывая медленность флуктуации фазы,
Нелинейное взаимодействие в данном случае приводит к появлению
спектральных составляющих вблизи удвоенной гармоники сигнала.
5.9. В условиях задачи 5.8 найти спектр простой волны
на начальной стадии для сигнала с ограниченными и малыми фазо-
фазовыми флуктуациямиО)^>2[^-% (<Э)"\ , g*^l") • счи'
тая известным их спектр п (со\
Ответ. Q (и) -У\= ^
о
(
о
Здесь первое слагаемое в квадратных скобках описывает спектр
исходного сигнала, а второе - составляющие вблизи второй гар-
гармоники, появившиеся из-за нелинейного взаимодействия. Перед
вторым слагаемым можно заменить U на 2 СС0.
5.10. В условиях задачи 5.8 найти спектр простой волны
на начальной стадии для сигнала с частотными флуктуациями
67

(.аь = 0T/3"t) в случае "больших и медленных" флуктуации
частоты, когда структурная функция фазы может быть аппроксими-
аппроксимирована как^Ьу)(^)=^2{^2 . Найти ширину спектра ЛО)^ на
первой и второй гармониках. 2
Ответ. CЧ"J (^
5.II. Найти спектр простой волны на начальной стадии для
входного сигнала с малыми амплитудными флуктуациями
считая известным спектр амплитудных флуктуации ^ЛС^ • Срав-
Сравнить со случаем малых фазовых флуктуации - задача 5.9.
Ответ, а (ОС,bS) =
"О
В этом случае, в отличие от сигнала с фазовыми флуктуациями,
происходит детектирование сигнала и появление низкочастотных
компонент - первое слагаемое во вторых квадратных скобках.
5.12. Найти спектр простой волны, используя выражение для
её фурье-образа 1.19D), считая, что на входе задан стационар-
стационарный шум с характеристической функцией
где ^Ct^sUjjfcceO Т") . Рассмотреть поведение спектра на
начальной стадии. го
DO

Решение. Для стационарного процесса фурье-образ
спектр мощности 4.@}) связаны соотношением
B)
Умножая фурье-образ простой волныС(эс,1о) (I) на комплексно
сопряженную величинуС*(эс^сУ) и усредняя, получаем
J
те
здесь а^Об)—^tb^^^-V^ - одномерная характеристическая
фикция. Переходя к интегрированию по %=^о~^» и ^1 '
учитывая что °9
для спектра интенсивности получаем
C)
Пусть, для простоты (Qy ш 0 , тогда разлагая характеристи-
характеристическую функцию в ряд по моментам
Из C) имеем при ОС-*О
где 30(MU ~ спектр сигнала на входе.
69

5.13. Найти спектр простой волны, считая что на входе за-
задан стационарный гауссов шум с нулевым средним и корреляционной
функцией T^oCIf).
От^ет. Используя выражение для характеристической функции
гауссова процесса?из 5.13C) получаем
где^о = ^*0V ' ~ дисперсия входного сигнала.
Примечание. Двухточечную характеристическую функцию гаус-
гауссова процесса легко получить, вспомнив, что для гауссовой слу-
случайной величины о<* справедливо равенство
t8
где Е^ -дисперсия: <о
5.14. Считая, что корреляционная функция гауссова сигна-
сигнала характеризуется единственным време(нным масштабом t^ = i/C»H
и представлена в виде "B^Cf;^ = 6"| ^С?^о)> обезразмерить вы-
выражение для спектра простой волны 5.13A).
Ответ.
5.15. Проанализировать эволюцию спектра и корреляционной
функции простой волны, представляющей на входе квазимонохрома-
квазимонохроматический сигнал с корреляционной функцией
гДв ^о VR) " медленная (в масштабе Cos &
70

характеризующаяся масштабом \ =*{/&# , таким, что j^/i^/tO.^i.
Решение. Используя замену переменных 5.14A) для безраз-
безразмерного спектра получаем из 5.14B)
B)
Используя разложение экспоненты по модифицированным функциям
Бесселя X СО » можно представить B) в виде суммы спект-
ров на гармониках сигнала и низкочастотной компоненты
где
l
Поскольку м 4S-1 , то спектр YI -ой гармоники сосредоточен
вблизи ?d ft Л. и можно заменить в аргументах выражения E)Ьь
на Л. и тогда
. Q
Из F) сразу следует, что корреляционная функция может быть
представлена как сумма корреляционных функций отдельных гармо-
^^у\ч „
и низкочастотной компоненты.
Используя разложение функций БecceляJможно показать, что
эффективность генерации гармоник на начальной стадии для шума
в У\, ; раз больше, чем для регулярного сигнала (см.задачу
5.5).
5.16. Используя результаты предыдущей задачи,найти выра-
выражение для низкочастотной части спектра, возникающей из-за детек-
детектирования модулированного высокочастотного сигнала и оценить
ширину спектра Л -ой гармоники ДбОд, на начальной стадии}
71

считая, что на входе
Решение. Для низкочастотной компоненты при t-ii (там^
где применимо приближение простой волны) можно разложить X (j?\=
el+t2/4 и тогда
(D
Для высших гармоник при TL<^i можно воспользоваться разложе-
разложением Х^ЗД ~1Л' и тогда
. При
таким образом Дйь^^^Л. ^ или AOi
<v,G30 спектры гармоник сливаются.
5.17. Используя решение простой волны,показать, что для
стационарного шума одноточечное вероятностное распределение со-
сохранится. Предположить, что выполняются условия эргодичности.
OriseT. Для эргодичного процесса вероятностное распределе-
распределение совпадает с относительным временем пребывания процесса в
интервале U. , U.+ AU. (рис.16)
Шхх)
Рмс.16
(I)

где Т - общая длина интервала, ДЬц, - длина интервала,
где функция находится в промежутке UL , Ц.+ди. . Из-за не-
нелинейных искажений длина каждого из интервалов будет меняться.
Так как для каждой точки профиля в сопровождающей системе коор-
координат справедливо соотношение -ts"^0 "" C^/C0')UX • , то
X B)
^следовательно, сумма двух любых соседних временных интервалов
постоянна: Atn+^tA+fsCo^'t v следовательно,не меняется и
вероятностное распределение. К изменению вероятностного распре-
распределения приводит образование разрывов.
5.18. Найти вероятностное распределение гармонического на
входе сигнала
со случайной фазой, равномерно распределенной в интервалеjjwjfl.
Рассмотреть стадию до образования разрывов ('2C</Xo=C«/g,(x> ЦЛ
и стадию развитых разрывов Qx ^> ос Л
Ответ. При
где
5.19. Используя предельное решение уравнения Бюргерса при
бесконечно малой вязкости (задача 3.10), показать, что стацио-
стационарный непрерывный на входе шум превращается на достаточно боль-
больших расстояниях ? последовательность пилообразных импульсов с
одинаковым наклоном. Найти скорость отдельного разрыва.
Решение. Пусть входной иум имеет дисперсию 6*^— 0
и характеризуется масштабом t0 . Тогда характерная кривизна
функции ftSo^) ' входящей в решение 3.10E,6) равна
S (Л/Аб' /t •
(тЛл/Аб /t Кривизна параболы oL в этом же решении

равна i/<? . При §^х/св"^-1 парабола d.(VE,x) -плавная
функция "L в масштабе $>S0("t) . Поэтому точки касания S
и ol(-t/E/*) близки к некоторым максимумам $S0(AO (см- рис.
17). Поле И(асЛ0 полностью определяется системой критических
парабол - парабол, имеющих двойные точки касания с функцией
е>?0(^) . При этом координаты центров критических парабол опре-
определяют положение разрывов ^ ^ , и точки пересечения критичес-
критических парабол (совпадающие с некоторыми максимумами &S0(-t) )
определяют нули t^ поля ЦСэс /С) . Действительно,в интерва-
интервалах между разрывами ^к и^к+4 парабола cL касается,
функции §>Se^-) практически в одной и той же точке *J_K , a
это и означает, что поле U. (tx t) в интервалах между разрывами
имеет универсальную структуру
(I)
Положение разрыва определяется иэ условия двойного касания
и eS0 и для координаты разрыва имеем выражение
_
г.
Причем "скорость" движения разрыва постоянна:
C)
Рис.{7

Таким образом, профиль поля ЩС^фна этой стадии представляет
совокупность наклонных линий с одинаковыми наклонами - 1/вХ ,
выходящих из "нулей" t = ^ ц- . Эти линии соединены вертикаль-
вертикальными линиями - разрывами, имеющими координаты %* . Расстоя-
Расстояние между отдельными соседними разрывами Д к=^к+1-je;* может
как возрастать, так и уменьшаться. Если Ак уменьшается, то
разрывы сливаются и превращаются в один с амплитудой, равной
сумме амплитуд слившихся разрывов.
5.20. Предполагая, что случайное поле Ш(х,т) характеризу-
характеризуется единственным масштабом ^О31-) , оценить рост этого масшта-
масштаба из-за слияния разрывов.
Решение. При случайных возмущениях U0(fc) скорости раз-
разрывов также случайны. Вследствии этого будет происходить стал -
кивание и слипание разрывов, приводящее к увеличению характерно-
характерного временного масштаба поля Т(ЭС) . Оценку роста Т(эс) можно
получить, написав уравнение для средней частоты следования раз-
разрывов в единицу времени K,(x") , которое связано с внешним
масштабом соотношением ц.С*)=< i/T(oc). Уменьшение И. С*) за
счет столкновений пропорционально как числу разрывов Т1(х), так
и отношению характерной "скорости" сближения разрывов АФ-У -V
и характерному расстоянию между ними t = i/yi -.
ш
В качестве оценки "скорости" сближения разрывов можно считать,
что ДЧГ порядка характерного разброса скорости разрыва О^к^
Используя выражение для "скорости" разрыва 5.19C),
получаем оценку ?
6**, -
или.если задана U«^) = <U0(vT)Uo(vl)> ,
корреляционная функция входного сигнала, то

здесь Р - Л Ъ> (."Ci ^t ~ значение спектра начального возму-
возмущения на нулевой частоте. (При 'Р Ф О исходное время корреля-
корреляции tr0 щ определяется из условия /JJ=62f < при *3>« -из
условия J Ч-*Ьв0О^Ч. = -6гТга ) ¦ Подста'.яяя C) в П^для рос-
роста внешнего масштаба получаем следующие оценки
D)
здесь ОСр ¦s^Cq /фо0 - характерная длина проявления нелиней-
нелинейных эффектов.
5.21. Предполагая, что статистические характеристики ин-
интенсивного шума становятся автомодельными, записать выражение
для спектра мощности волны и, используя 5.20D), оценить энер-
энергию поля на стадии развитых разрывов.
Ответ.
где Ь - универсальная безразмерная функция.
Таким образом, из-за слияния разрывов энергия шума спадает
медленнее, чем для гармонического входного сигнала, для которо-
которого <иг>~сс"г.
Примечание^ Достаточно подробно вопросы эволюции интен-
интенсивных шумовых волн рассмотрены в монографиях и обзорах ?5,13-
15] .
5.22. Используя выражение для Фурье образа простой волны
1.19D) и разложение [1б1
00 \_^\Л
J/ . К=-со
^(,4)- функция Бесселя, найти спектр интенсивности акус-
акустической волны, представляющей на входе смесь шума^(_-^) и сиг-
сигнала 4*0^) = A-CO<»@iJL+^') , где фаза Ч' равномерно распреде
76

лена в интервале [-ЗГ, $с\ . Считать, что \(?) имеет гауссово
распределение с корреляционной функцией U^ (jx) • Исследовать
затухание дискретных составляющих из-за нелинейного взаимодей-
взаимодействия с шумом. Проанализировать форму спектра, если шум низко-
низкочастотный по сравнению с сигналом.
Ответ. Спектр мощности удобно представить в виде
где
Здесь первая сумма описывает амплитуды гармоник, ослабленные
за счет взаимодействия с шумами, причем декремент затухания
определяется полной мощностью шума 6^* и растет с ростом но-
номера гармоники.
Второе слагаемое описывает спектр шума, искаженный за счет
взаимодействия с регулярными сигналами. И наконец, последняя
сумма представляет новые составляющие спектра, возникшие за
счет взаимодействия сигнала и шума.
Если характерная частота шума If много меньше частоты
сигнала Oio , то вновь появившиеся компоненты расположены
вблизи гармоник регулярного сигнала. Для этих составляющих,
возникающих вблизи к -ой гармоники, мохно записагь из (I)
здесь Дк=Зк(^а),^/\с5,@0сзс - амплитуда Ас-ой гармони-
гармоники сигнала. Форма спектра определяется величиной ^
77

5.23. Показать, что если искажениями низкочастотного шу-
шума ^(t) можно пренебречь, то для спектра вновь появившихся
составляющих выражение 5.22B) справедливо и на разрывной
стадии и тогда здесь Дч - амплитуда гармоник разрывной вол-
волны.
Решение. Если ^(гс) - величина постоянная, то решение
уравнения Бюргерса описывается выражением 3.4B). Эта же фор-
формула приближенно справедлива., если ^(тЛ - медленная функция^ и
тогда
иСя^-^+П^+^СОж, х), (I)
где ''(/2С,*с) - поле высокочастотной волны. Таким образом, не-
нелинейное взаимодействие приводит к модуляции гармоник высоко-
высокочастотной волны. Учитывая, что^Ст) -гауссов сигнал, можно по-
получить выражение для спектра 5.22B).
Таким образом, входящая в ответ предыдущей задачи величина
определяет величину фазовых флуктуации. При ffV^C4>i из 5.22B)
получаем, что спектр вновь возникающих гармоник повторяет форму
спектра НЧ шума
а при №<"»{, спектр имеет универсальный вид.
Действительно, разлагая о0СО = 1-?гт/2+... и используя
метод перевала, получаем из 5.22B)
г (
то есть форма спектра гауссова, а его ширина равна \
и много больше ширины НЧ шума.

ЛИТЕРАТУРА
I. Зарембо Л.К., Красильников В.А. Введение в нелинейную
акустику. М.: Наука, 1966.
?.. Остроумов Г.А. Основы нелинейной акустики. Л.: Изд-во ЛГУ,
1967.
3. Мощные ультразвуковые поля. /Под ред. Розенберга Л.Д. М.:
Наука, 1968.
1974.
Руденко О.В., Солуян СИ. Теоретические основы нелинейной
акустики. М.: Наука, 1975.
6. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн
М.: Наука, 1979. //2-е издание - 1990/
7. Новиков Б.К., Руденко О.В., Тимошенко В.И. Нелинейная
гидроакустика. Л.: Судостроение. 1981.
8. Руденко О.В. Акустика интенсивных возмущений: нелинейные
волны, физические эффекты и приложения. //Природа. 1978.
№ 9. С.34-43.
9. Руденко О.В. Нелинейная акустика: достижения, перспективы,
проблемы. //Природа. 1986. № 7. С.16-26.
10. Васильева О.А., Карабутов А.А., Лапшин Е.А., Руденко О.В..
Взаимодействие одномерных волн в средах без дисперсии.
М.: Изд-во МГУ, 1983.
П. Бахвалов Н.С., Жилейкин Я.М., Заболотская Е.А. Нелинейная
теория звуковых пучков. М.: Наука, 1982.
12. Пелиновский Е.Н., Фридман В.Е., Энгельбрехт Ю.К. Нелиней-
Нелинейные эволюционные уравнения. Таллинн: Валгус, 1984.
13. Гурбатов С.Н., Саичев А.И., Якушкин И.Г. Нелинейные волны
и одномерная турбулентность в средах без дисперсии. //УФН,
1983. Т.141. вып.2. С.221-255.
14. Руденко О.В. Взаимодействие интенсивных шумовых волн.
//УФН. 1986. T.I49, вып.З. C4I3-447.
15. Гурбатов С.Н., Малахов А.Н., Саичев А.И. Нелинейные слу-
случайные волны в средах без дисперсии. М.: Наука, 1990.
16. Градштейн И.С, Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, ря-
рядов и произведений. М.: Наука, 1971.
79

Учебное издание
Гурбатов Сергей Николаевич
Руденко Олег Владимирович
Нелинейная акустика в задачах
Зав.редакцией Н.М.Глазкова
Редактор Л.О.Богданкевич
Худонественшй редактор А.Л.Прокошев
НА
Подписано в печать 29.05.90
Формат бОхЗДДб. Бумага офс.№ 2
Офсетная печать
Усл.печ.л. 5,0 Уч.-изд.л. 3,71
Тираж 500 экз. Заказ №^22 . Заказное. Изд.№ 1731
Цена 10 коп.
Ордена "Знак Почета" издательство Московского университета
103009, Москва, ул.Герцена, 5/7.
Типография ордена "Знак Почета" изд-ва МГУ.
II9899 Москва, Ленинские горы