Нелинейный резонанс - Чириков Б.В.

Автор: Чириков Б.В.

Теги: колебания акустика нелинейные колебания учебное пособие нелинейная физика резонанс механика и физика канонические преобразования

Год: 1977

Похожие

Введение в нелинейную физику. От маятника до турбулентности и хаоса

Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление

Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике

Лекции по теоретической механике

Текст

иь
Б.В.ЧИРИКОВ
РЕЗОНАНС

УДК 534
ЧИРЯКОВ ВВ.
Нелинейный резонанс. Учебное пособие.
НГУ, 1977, 1-82
Учебное пособие по теории нелинейного резонанса знакомит чи-
читателя с современными методами теории нелинейных колебаний га-
милътоновых систем. Основное внимание уделено явлению нелиней-
нелинейного резонанса и взаимодействию нескольких резонансов, приводя-
приводящему к своеобразной стохастической неустойчивости. Подробно
рассмотрен критерий возникновения такой неустойчивости при пере-
перекрытии нескольких резонансов. Описаны примеры применения теории
к анализу устойчивости конкретных колебательных оистем.
Предполагается знание читателем общего курса теоретической
механики а, в частности, техники канонических преобразований,
а также теории функций комплексного переменного и знакомство со
специальными функциями.
Учебное пособие рассчитано на студентов старших курсов, аспи-
аспирантов и научных сотрудников, специализирующихся в области меха-
механики и физики.
j БЯБЯШЕЮ i '' '" "
Новосибирский государственный университет, 1977

ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемое учебное пособие написано по материалам спецкурса,
читаемого автором для студентов щ_у курсов физического факульте-
факультета Новосибирского университета по специальностям "Ядерная физи-
физика" и "Физика плазмы".
Основная цель учебного пособия " познакомить слушателя с по-
последними достижениями а современными методами теоретического ана-
анализа нелинейных колебаний гамилъгоновых систем,еще не вошедшими
в учебники и лишь частично отраженными в монографиях и обзорных
статьях. Дается краткое изложение современной теории устойчивос-
устойчивости нелинейных колебаний (§ 4.5), использующей специальную теорию
возмущений Колмогорова, которая обеспечивает сверхсходимость по-
последовательных приближений (§ 2.2). Основное внимание уделено,
однако, полукачественной физической теории устойчивости, осно-
основанной на анализе отдельных нелинейных резонансов (гл. 3) и их
взаимодействия (гл.4). Последнее приводит, при определенных ус-
условиях, к своеобразной стохастической неустойчивости нелинейных
колебания, которая представляет, с одной стороны! принципиаль-
принципиальный интерес как механизм возникновения статистических законов
в динамической системе, а с другой стороны, важна am приложе-
приложений как одна из наиболее распространенных и опасных неустсйчи-
востей нелинейных колебаний. Подробно анализируется критерий
стохастической неустойчивости (§ 4.1: 4.2) . Рассмотрены конкрет-
те примеры нелинейных колебаний (§ 4.3), предотавляющие также
самостоятельный интерес.
Учебное пособие предполагает знание читателем основных поня-
понятий теоретической механики, в частности техники канонических
преобразований, основ теории функций комплексного переменного
и элементов теории специальных функций.
Материал пособия основан в значительной степени на оригиналь-
оригинальных работах группы сотрудников Института ядерной физики СО АН
СССР. Начало этим работам было положено много лет назад идеей

нашего учителя академика |Андрея Михаиловича Будкера] о том,
что при достаточно высокой частоте бетатронных колебаний час-
частицы в ускорителе с жесткой фокусировкой следует ожидать воз-
возникновения процессов диффузионного типа.
Представления автора по многим вопросам современной физики,
включая и проблемы, затронутые в настоящей работе, сформирова-
сформировались в значительной мере под влиянием постоянных и исключитель-
исключительно плодотворных для автора дискуссий с Андреем Михайловичем,
дискуссий, которые уже нельзя продолжить...
Б.В.Чириков
Академгородок
13 игаля 1977 г.

Глава I
ВВЕДЕНИЕ
Помимо открытия фундаментальных законов природы еще очень
важно уметь извлекать so них следствия, т.е. предсказывать или
хотя 68 понимать конкретные проявления этих законов. Эта проб-
проблема оказалась намного сложнее, чем можно было ожидать. За
300 лет своего существования классическая механика все are не
в состоянии сделать полный шаг от задачи двух теа, блестяще
решенной Ньютоном, Ао "чуть-чуть" более сложной задачи трех
тел, не говоря уже о задаче четырех теа, где совсем недавно od-
нарукены качественно новые типы движений (см. вступительную
статью Д.В.Аносова в /33/). Только сейчас ми начинаем понимать
масштаб и причины этих неожиданных трудностей. Оказывается,
что все дело в исключительно сложной структуре движения (фазово-
(фазового пространства) этих, казалось 68, проотых механических систем.
Первопричиной такой сложности являются так называемые гомоклини-
ческие, или гиперболические области. Основной "подвох" здесь
связан, грубо говоря, с тем, рто близкие траектории в этих обла-
областях очень быстро (экспоненциально по времени) расходятся друг
от друга, т.е. движение является локально неустойчивым. Если
при этом движение остается финитным, например вследствие сохра-
сохранения энергии, то экспоненциаяьная локальная неустойчивость при-
приводит к такому перемешиванию траекторий, что система движется
так, как будто 68 на нее действуют какие-то случайные силы, хо-
хотя всем известно, что в задаче трех тел никаких случайных сил
нет, и движение системы определяется чисто динамическими урав-
уравнениями.
В последнее время математичеокая теория динамических систем
вообще и гамильтоновых систем классической механики в частности
переживает бурное развитие. Cetsac уже можно сказать, что, по
крайней мере для гамилыоновых систем, мы понимаем в общих чер-

тах структуру их движения. Грубо говоря, она сводится к следую-
следующему. В одном предельном случае движение является полностью ус-
устойчивым (квазипериодическим), во всяком случае для большинст-
большинства начальных условий. В этом случае траектория движения остает-
остается все время на поверхности некоторого N —мерного тора (N -
чиоло степеней свободы системы, см. § 3.4), а спектр движения -
дискретный с N основными частотами. Одним из наиболее значи-
значительных достижении последнего времени было установление того
факта, что такой тип движения сохраняется под действием доста-
достаточно малого возмущения (теория устойчивости Колмогорова-Арноль-
да-Мозера, § 4.5) .
В противоположном предельном случае динамическая картина дви-
движения является очень сложной, так что говорят о стохастическом
("случайном") движении. В частности, спектр такого движения ока-
оказывается непрерывным. Однако в этом случае возможно относитель-
относительно простое статистическое описание некоторых средних характерис-
характеристик движения. Математическая теория этого предельного случая
(эргодическая теория) сейчас хорошо разработана. Однако она
предъявляет столь жесткие требования к динамическим характерис-
характеристикам системы, что в большинстве реальных систем этот предельный
случай никогда не осуществляется. Фактически единственной меха-
механической системой, попадающей в этот предельный класс, является
система двух или более шариков, упруго сталкивающихся внутри
ящика, а также некоторые вариации этой системы /10/. Подчеркнем,
что, как показывает пример Синая, статистическое поведение и
статистические законы возможны в очень простых механических сис-
системах всего о несколькими ( ^ 2) степенями свободы. Этот пример
опровергает, в частности, глубоко укоренившуюся (особенно среди
физиков) идею, что статистические законы действуют только в си-
системах с очень большим числом степеней свободы.
Большинство реальных механических систем можно условно отне-
отнести к .третьему типу, который характеризуется так называемым
"разделенным фазовым пространством", разделенным на устойчивые
к) Отметим, что аналогичные идеи были высказаны независимо
Ферми, Паста и Уламом /36/ на основании численных экспериментов.
Эти эксперименты дали толчок к развитию очень интересной теории
полностью интегрируемых систем (см., например, /13/ и ниже).

н стохастические компоненты, или области. Tax как граница сто-
стохастической области образуется стохастическими же траекториями,
нетрудно понять, что структура такого разделенного пространства
является чрезвычайно сложной; оно состоит из причудливо переме-
перемежающихся устойчивых областей все более и более мелкого масшта-
масштаба (см. конец § 4.3). Ввиду такой "иерархической сложности",
представляется сомнительной самая возможность полной классифи-
классификации различных типов движения подобных систем.
Причину такого многообразия движений можно пояснить и по-друго-
по-другому. В точной формулировке классическо! механики движение системы
полностью задается начальными условиями, т.е. набором нескольких
действительных чисел. Говоря языком теории информации, каждое
такое число содержит бесконечную информацию о прошлом и будущем
данной траектории. Существенно, что разность информации для двух
сколь угодно близких траектории также бесконечна, т.е. Tame тра-
траектории представляют, вообще говоря, совершенно различное дина-
динамическое движение системы. Отсюда и возникает неисчерпаемое раз-
разнообразие и сложность динамической картины движения. Однако для
устойчивых систем, которыми, в основном, только и занималась
классическая механика до недавнего времени, все зто потенциаль-
потенциальное разнообразие процессов ае реализуется, а движение имеет унн-
по однообразный вид, лишь слабо зависящий от начальных условий.
Под деЁствием же локальной неустойчивости, особенно экспоненци-
экспоненциальной, неуловимые различия в начальных условиях выходят "нару-
"наружу" о полностью изменяют динамическую картину движения.
Единственная математическая теория, которая в настоящее время
изучает подобные системы,- это так называемая теория гладких
динамических систем /33/, am дифференциальная динамика /34/.
Несмотря на огромные успехи этой теории, превратившейся в по-
последнее sperm фактически в самостоятельный раздел математики,
она дает лишь xavecmeaaoe описание движения. В этих условиях
естественно использовать физические методы исследования, осно-
основанные на системе приближенных моделе!, разумных экстраполяции
и-правдоподобных допущений, направляемых и подкрепляемых широким
экспериментом. При втш речь идет ае столько о "настоящих" экс-
экспериментах с реальными механическими системами (хотя есть и Ta-
Tarn ) , сколько о так называемых численных экспериментах, т.е.
численном интегрировании уравнений движения различных динамичес-

так называемый стохастический слой. Система таких слоев приво-
приводит к универсальной неустойчивости многомерных колебаний (§ 4.5).
Следует отметить, что имеются такие исключительные системы, к
которым развиваемая теория совершенно неприменима - это так на-
называемые полностью интегрируемые системы (см., например, об-
обзор /13/). Эти системы обладают скрытой симметрией, проблема об-
обнаружения которой является в настоящее время одной из интерес-
интереснейших и совершенно нерешенных задач теории динамических систем.
Поскольку мы рассматриваем гамильтоновы системы (без диссипа-
диссипации) , то область приложения теории ограничена, в основном, дви-
движением заряженных частиц в электромагнитных полях и движением
небесных тел (планет, звезд, космических кораблей и т.п.). Сто-
Стохастическая неустойчивость нелинейных колебаний оказывается, как
правило, вредным явлением, с которым следует, по возможности, бо-
бороться. Интересно отметить, однако, что в некоторых специальных
случаях она может быть использована, например, для ускорения за-
заряженных частиц. В свое время советские физики Бурштейн, Векслер
и Коломенский предложили так называемый стохастический метод ус-
ускорения частиц. Для осуществления этого метода предполагалось
заменить в ускорителе высокочастотное поле "случайным". Попытки
создания таких ускорителей показали, однако, что не так-то лег-
легко сделать ускоряющее поле случайным. Современная теория нели-
нелинейных колебаний позволяет осуществить стохастическое ускорение
в периодическом поле достаточно высокой частоты /9/. Интересно,
что такой метод был успешно использован для нагрева плазмы в
одной из термоядерных установок Института ядерной физики СО АН
СССР /35/.

Глава 2
ЧТО ТАКОЕ НШНМЙШ КОЛЕБАНИЯ?
НЕСКОЛЬКО ПРОСТЫХ ПР1ШР0В
Вассмотрш вначале несколько цростш: оршеров нелинейных ко-
жебаний с одной етевешз свобода с целью подачь читател» -войт
в зфуг идей современаой теория я&штЯпых. консерватившгх ого-
*' продемонстрируем важнейшее свойство нелинейного ос-
- его кеязожроййость, т.е. изменение
перЕода свойоджж кол«5аний о изменением юс амгЕлиж^дщ, илл энер-
энергии. В § 2.2 будут огшсаш ооновнне вдеж к ираютчеекое пршене-
ние современной теорий возмущений, о&ншанной на поолекователь--
шзх канонических заваеяах яи^^шчесЕшс nepeiaeamjx» Наконец, в
§ 2.4 да расомотрш особую траекторию нелинейного оощллятора -
так называемую сепаратрясу, которая играет первостепенную роль
в проблеме устойчивости йелиявйшх ксшебащй.
§ 2.1.
Колейаякя мштвика явжяштся одеям из наиболее отарах пршеров
колебаЕЖй вообще я нежне^кых кояейазий в час^^осш. Многовековая
ясторая жъучежя этой, казалось бы, проеюй с^сте^а показала не-
неожиданное разнообразие ее двтешй* Так, еще ср?свшяе,йьяо недав-
недавно бшло обшрзжёето новое явлеше дийшггаеской. устойчивости маят-
маятника /II/, явление, на котором осйовайа работа совршеан^х ги-
гигантских ускоржуелей заряЕеащис ^астш. Для вас простая модель
1йаятш?ка будет жграть особую роль, Ш уввдим ниже, что с помощью
этой модели можно объясни^ srкачественно и даже количественно,
многая общие свойсква нежнезйшх колебанжй {§ 3.3}.
вначале свободные колебания маятшка. Запше« га-
ж) Прекрасный обзор этого круга вопросов дац в статье Арноль-
Арнольда /Z/,
10

системы ь виде
где ?> - 1?®% огагаонения мая^вика от нижнего (устойчивого) поло-
положения равновесия; р= Mf - момент дапульса шштвша,
/4 « *и ? 2 - мдаенх инерции; а часгога. ( ««,) малых колебаний
маятника вокруг гголо&ешя устойчивого равновесия (/> = 0 связа-
связана с амплитудой потенциальной эяергога U
Замегям, ч<ю для свободного вршцешш маятника (щж Йв= 0) мо-
момент жщхьсг р явдяегся переменной Действия. В дальнейшем по-
докш для простоты М = I.
Как хорошо известно (см., например, /4/)» ураввешя движения
ааягника эючно интегрируются в эддиптаческнх фуикцаях. При этом
еущеотауга два решма двикешя - колебания и вращение.
Разрешая уравнение И (р, <f )= c&usi относительно р=ф,
найдем
f ~ + /Л(И+ &<> Он if) ' B.3)
Прямое интегржро&акие этого уравнения при И < Uc (рвжш ко-
лейагшй) дает (он., например, /Ig/)
1^= i^ 5(Г^^ , с.«, ^а^У / B.4)
где Ctofo) - эллшви^скйй косинус Якоби; ^, - амшштуда откло-
отклонения маятника, а момент временв t = 0 соответствует прохожде-
прохождению spoijkh @ = 0 с по.ао!Я!те.яьно2 скоростью. Иатегржруя почленно
ряд Фурье для сй, {Г"-/*» кайдеге ^
Зйеоь К = }С(к'} - полный эллшет-теский интеграл нервого
рода; /<'- У/TJIT; k= stn & • Период колебаний "Т~ ?я-/ы ,где
ЪСН)^-^. B.6)-
опектра колебаний

В ремше вращения ( Н > &о ) решение имеет шщ
B.8)
а*я(и} ~ эошштвческая амплитуда Якоби;Аг^ у^^
> ¦¦-"
И+ U.
B.9)
ввелш половииную частоту среднего араженяя
чтобы выражевяя B,5), Bt8) были максимально похонш друг на дру-
друга - это потребуется нам в § 2.4, Спектр часто? нрк врааеняя
Внражеше B.6) характеризуе1!; наиболее важное в проблеме ус-
устойчивости свойство яаяяяе8ного ооцвдляагара - его leiso-
хроняос и, т.е. зависимость частота колебаюй от их
шгаштуда, или. энергии. Чтоб» более наглядно представить себе
нту зввисжкость» рассмотрим случай «аянх кодебайкй
( f,, « I ). Аргумент шшшпжческого яатеграпа к-=
выразям через эверрив маятника t , которую йудем оточатнвать
от минимума потекцианьной энергии, U^i4 = - ^в » Получим
Разлагал выражение {%(Щ в ряд по к^, на&цеы
Такая точность потребуется кш в следуш^ем параграфе для сравке-
аш с результатом теорий воэмущеяий, Лри ? « Uc достаточяо
ограяишться шрвшЕ двумя члеками.
Введем безраз^ершй параметр неяияейяости
Мы определяем его через щюжзводную от частоты по действии I, по-
скольку в дальнейшем ма будем использовать, как правило, времен-
временные действия - угол A,6 }, В приближении w/«c^ i~ E/S w^
12

можно положить Хя* Е/сйа как дяя гармодаческого
Горда .
«О»^-~~ • B.15)
Так как в рассматриваемом случае I « wo , то вешаейяоеяъ ма-
лых колебаний мала ( oi « i ).
Другим характерным свойством яедае^щх колебаний является
их аягарисвичйосгь, т.е. яалвгаие высших гармо-
гармоник основной частота со B.5). В случае ыатх колебаний "К'¦&
in. (<Vk) =:^?н, 1%^* я B.5) npmmsaBT ввд
Амшш-туды внсшжх рармоняк, тшсш обрааси, очевъ г^алы, т.е.
колебания маятника почти гармоничны.
Совсем другой характер ямеет двже&ие маятника в обратном пре-
предельном случае быстрого вращения ( Ны-Е » Uv }, в этом
случае к = <Vo/<yr « i & ЗДье-разложение B,8) пришшаех вид
Хотя это движение и явдаетея почти равномерным враи^еяиеи, кото-
которое «окао расгайатржвагь как гармонические колейаяяя, частота sto-
ро вращения Д-со^ Л* /=> завяшт от энергия, Учятнвая, что в
этом случае pfts Z (иейсгвие), пшу^ш, что параметр шлияе^ко-
сти <*с яг i , t.s. ¦ нелинейность вращения не мала, хотя антармо-
я может б^та. сколь угодно малой при достаточно
§ 2.2. Калошческие преобразования ж сверхсходимость
Несь5отря на болыще успехи в поисках точно интегрируемых не»
яинейшй: сйстей /13/, последше'являются зое же, по нашещ убежде-
убеждению, искн^г*штельндаи. Во всяком случае, задача:, ко^орае мы соби-
собираемся рассматривать щ&е, не относятся к йатегрируемда. Поэтому
.цня аааликкческого исследовашя кеобхолда какой-то прибликенны^
метод, скажем, какой-то варвар теории возмр^ешя. Последшш вой-
*«ОЕяа, разумеется, только в том случае, когда в задаче ес^сь ма-
малый параметр. В соответствии с вши ю. сделаем обычаое предволо-
жеще, что гамильтошак нашей сжстекы кожно разбить на две част:
И (I, В) = Иа (I) +
13

первая нз которых характеризует "невозмущенную" систему и имеет.
интеграл движения I (действие). Основным "свойством" невозмущен-
невозмущенной системы является то, что мы знаем ее движение в той или иной
форме. Нашей задачей, однако, будет изучение движения "возмущен-
"возмущенной" системы с гамильтониана.. Н ( z j в ), но "возмущение"
g V (I, в ) мы будем считать малым ( € « i ). Характерным
овойством возмущения является его зависимость от фаз & невоз-
невозмущенного движения. Именно эта зависимость приводит к изменению
невозмуще иного действия I. Заметим, что разделе-
разделение гамильтониана на невозмущеяяую часть и возмущение условно и
зависит, в частности, от нашего математического искусства.
Предположим, что мы не знаем эллиптических функции и попробу-
попробуем приближенно найти движение маятника, выбрав в качестве невоз-
невозмущенной системы просто гармонический осциллятор (уж его-то зна-
знают все!): z iz
Н — i *+¦ / . — ?*} X * (О TQ^
Целью этих упражнений является демонстрация на простом примере
современной теории возмущения гамильтоновых систем.
Давно известно, (см., например, /14/), что эффективным мето-
методом аналитического исследования гамильтоновых систем является
последовательная каноническая замена динамических переменных в
гамильтониане без обращения к уравнениям движения. Основная
идея этого метода состоит в том, чтобы найти такие новые першен-
ные AЛ & ), в которых возмущение, т.е. часть гамильтониана, за-
зависящая от угла 6 , обратилась бы в нуль, исчезла. Инате гово-
говоря, задача состоит в том^ чтобы "уничтожить" возмущение заменой
переменных. Тогда новое I есть интеграл движения. Для консерва-
консервативного осциллятора с одной степенью свободы это не такое уж
большое достижение, так как всегда есть интеграл энергии. Одна-
Однако для неконсервативной системы (т.е. при явной зависимости га-
гамильтониана от времени, см. гл. 3,4) даже с одной степенью сво-
свободы, а также, для консервативных систем с несколькими степенями
свобода, такое полное уничтожение возмущения означало бы интегри-
интегрируемость системы. Действительно, в_новых переменных гамильтониан
зависит только от действия Н ~ Н (*) • Отсюда общее решение
уравнений движения: ' _
; &=<*(*)<*+9* ¦ оо= Ж • B.20)
14

Поэтому даже для консервативного осциллятора с одной степенью
свободы знание точного действия I больше, чем знание энергии,
так как при этом уравнения .движения непосредственно интегриру-
интегрируются B.20). В частности, зная I, можно найти частоту движения
как функцию I или энергии.
Нахождение I эквивалентно полному решению задачи и поэтому
в общем cnysae невозможно в явной форме. В классической теории
возмущений последовательность канонических преобразований
(l,e)-*(lil61)'-'... (X, &*.)->... A,в) строится таким образом,
чтобы на каждом шаге возмущение уменьшалось на одну степень ]УЬ-
лого параметра: ? У-?- глУ'„-+—- В^^К, -+ О. Однако та-
тате последовательности, как правило, расходятся, m это ограни-
ограничивает применимость теории возмущения относительно коротким ин-
интервалом времени движения.
Решающий успех в этом направлении был достигнут с помощью
новой теории возмущений, предложенной Колмогоровым /I/, кото-
который заметил, что последовательные канонические преобразования
можно построить таким образом, чтобы каждое следующее возмуще-
возмущение было бы порядка квадрата предыдущего:
Посмотрим, как работает эта техника на простом примере маят-
маятника. Представим гамильтониан B.1) в виде ( М~ <Ч» = I )
Возьмем первые два слагаемых в качестве невозмущенного гамильто-
гамильтониана B.19) и перейдем в Но к переменным (-Г<9 ). Тогда
(p^+fZJ/Z - I; if> = УЖТ cos в. Подставляя эти выражения
в B.22), получим
Малым параметром здесь служит само I = ? • На= ? -} У-v Но
(ср.B.18)).
Ограничимся задачей нахождения частоты маятника как функции
его энергии со (Н) . Первую поправку к незозмущенному значению
частоты соа = I можно найти непосредственно из B.23). Для это-
этого разложим возмущение на постоянную и переменную части по не-
15

возмущенной фазе в
? УA, в) — ~ —
!_*+ Л? J</ Tt /- 9- я|- B'24)
и используем так называемый метод усреднения (см., например, /4/),
т.е. попросту отбросим переменную часть возмущения. Тогда усред-
усредненный гамильтониан принимает вид
Основанием для такого усреднения служит правильное само no cede
представление о том, что переменная часть возмущения вызывает
лишь "малые" осцилляции. Последними можно пренебречь, однако лишь
с определенной точностью. В частности, как мм увидим ниже, та
последних члена в B.25) ywe превышают точность усреднения и явля-
являются поэтому неправильными.
Чтобы решить задачу более аккуратно, произведем каноническое
преобразование к новым переменным ( I, в -*¦ 1< , <9_, ) такое,
чтобы не просто произвольно отбросить переменную часть возмуще-
возмущения, .а законно уменьшить ее.При этом нам нужно заботиться об
уменьшении только переменной части, так как постоянная часть
возмущения не нарушает инвариантности (сохранения) I, а лишь из-
изменяет частоту колебаний.
Будем искать производящую функцию канонического преобразова-
преобразования ( ", 9 —*¦ 1*, б, ) в виде
F(l, ,6) = 1^в + <?>(I,,OJ - B.26)
Такая форма автоматически обеспечивает малое отличие новых
переменных от старых, если только функция Ф мала. Действительно
I=|feJ^^J' e<=7fre+*ii- B-27)
Подставим теперь первое из этих выражений в B.23) (с учетом
B.24)) и подберем- ф A^ _, &) .таким образом, чтобы оставшееся
возмущение было «v ?2V<л/ J"-3 . Для этого, очевидно, достаточно
16

положить
B.28)
Существенно, yto это выражение не содержит постоянной составляю-
составляющей по $ , которую мы предварительно выделили (член - IVI6).
В противном случае интегрирование B.28) дало бы так называемый
секулярный член, неограниченно возрастающий со временем, и раз-
разность ( 94-9 ) не была бы малой B.27). По этой we причине
нельзя уничтожить этим же преобразованием B.27) члены /v I3,
так как при подстановке B.28) в член - JL5 / ./, 3 i
появляется постоянная составляющая . Теперь видно, какую toy-
ность дает метод усреднения, непосредственно примененный к исход-
исходному гамильтониану B.24). Эта точность ограничивается порядком
постоянных членов, которые остаются после выполнения каноническо-
канонического преобразования. Для исходного гамильтониана это члены л/f3
B.29). Поэтому в выражении B.25) можно использовать только пер-
первые m а слагаемых. Для получения большей точности необходимо про-
произвести новое каноническое преобразование, предварительно выделив
постоянную часть.
Выпишем теперь аккуратно получившийся после преобразования пе-
переменных новый гамильтониан, который обозначим /-/., (-1*, й,). Так
как исходный гамильтониан B.22) вэят с точностью до членов ~Р.
то и /У. достаточно вычислить с той же точностью:
B.29)
m e мы ввели общее обозначение
/ e>; <c*ke> ±^ B<30)
и C3ic~ &k)i / (к:) - число сочетаний из -Zk no к •
нечетных а среднее <с<»$ *<!?>= О . Возмущение (члены, за-
зависящие от в ) стало теперь меньше ( л/г), но, к сожалению,
сложнее. И это erne не все, нужно erne заменить & на ty с помо-
B.27). Так как fy-gzz ф -v JY B.28), то замену
-'¦г
17

Q-* @^ достаточно произвести только в членах «'jr. Тогда в
гамильтониане B.29) появятся дополнительные слагаемые
Ш#4
где ^и= <//и /Je и r/f* /Vtf = Д. , причем ^ > = О.
Выделив в B.'31) постоянную часть, мы можем произвести новую
замену переменных: (_^-i,^-t) ~* С-^лгО.). В классической тео-
теории возмущении мы выбрали бы згу замену таким образом, чтобы
уничтожить переменное возмущение ^1^. Оказывается, однако, что
с помощью этой же замены переменных можно уничтожить также и
возмущение <~" I4. Действительно, новое #* <*> if. При подста-
подстановке в B.29) наибольшая постоянная составляющая оказывается
л>Х, *#'~ %iS . Это значит, что в новом гамильтониане
Н?2з.,&%) возмущение будет ^е~ -?/". Повторяя эти рассувде-
ния, найдем, что возмущение в /У3(^з^^) будет V3 -v if . Во-
Вообще, если на И- -м шаге последовательных приближений К ~ Ih \
то на следующем шаге Vh+Jt ~ 1»"~/• ^J*''~ ifl^1, т«е-
Kh+^ ~ Qki,- i , откуда ki^S^-t-l • Это и есть сверхсходи-
сверхсходимость последовательных приближений по Колмогорову. Свойство
сверхсходимости позволяет строить сходящиеся ряды теории возму-
возмущений. Это, в свою очередь, позволило решить ряд принципиальных
вопросов теории динамических систем (см. § 4.5). Для практичес-
практических расчетов, использующих несколько первых приближений, вопрос
сходимости, как правильно замечено в /4/, не является существен-
существенным. Тем не менее нам кажется, что метод Колмогорова оказывается
и в этом случае более эффективным, чем классическая теория возму-
возмущений, так как он уменьшает необходимое число канонических преоб-
преобразований для получения заданной точности решения. Во всяком
случае,метод этот еще сравнительно мало известен, а его возможно-
возможности недостаточно изучены. Отметим, что Боголюбов обобщил этот
метод на неконсервативные системы /15/.
Вернемся теперь к нашему маятнику и найдем оба члена постоян-
постоянной части, как "обычный", ^1^, так и "лишний", л/1%. Они опре-
определяются средними:
18

-дПри вычислении средних с Fu интегрированием по частям находим
<#^ >=-<?/*.> • B.32)
Окончательно усредненный гамильтониан принимает вид
рРазрешая B.33) относительно 1^ с точностью до ? (Е= tHi>)t
пполучим 9
Шодставляя это выражение в B.34), получим точное разложение
nno E B.13).
§ 2.3. Кубическая нелинейность
В качестве другого примера рассмотрим степенной гамильтониан
Н(Р>Х)= ^+Ц±+1±_Х\ «З.х\ B.35)
ггде Q-i, О.ъ - произвольные постоянные коэффициенты, характери-
ззующие квадратичную и кубичную нелинейности соответственно. По-
сзледние термины отражают зависимость силы ^-ЪН/Ък от
кто ординаты X .
Аналогично предыдущему параграфу выберем невозмущенннй гамиль-
тгониан Но = (рг^Хя')/л, и перейдем к переменным ( •?, & ). Тогда
((см. B.30))
H(lj ej-I+Y0-!1 +^^$з.1 ¦fi+a31A' B.36)
ЗЗаметим, что постоянную составляющую дает только кубическая не-
лИинейность. Параметр возмущения в этой задаче ? <** I ' сущест-
взенно больше, чем в предыдущей, за счет квадратичной нелинейнос-
т*и. Первая замена переменных уничтожает только член /v I^' (см.
¦Bfflse), так что применять метод усреднения к исходному гамильто-
19

ниану B.36) вообще нельзя*). Производящая функция получается
аналогично предыдущему параграфу:
^^12Н/,. B.37)
Если мы собираемся ограничиться только одним каноническим преоб-
преобразованием'переменных, то вычисление нового возмущения ?4Т^
(ул^И»> I) достаточно произвести с точностью до членов л-'I'
включительно, так как после второго преобразования возмущение
е<% ^ I 3 - Подставляя 1=Х^+ #^ в B.36), получим га-
гамильтониан первого приближения
*
В членах *> 1^ необходимо заменить фазу &=¦ й, - Фх z
где Af^/JlQ = /3 . Дополнительные члены в гамильтониане
имеют вид
Нетрудно проверить, что единственное среднее, отличное от нуля,
ecibjfi*>=i 5/<f? . Поэтому усредненный гамильтониан
<К > = Л + ^(таэ -~к О' B.39)
Откуда частота колебаний
со- { + I< (-ya3--f a*) ' B*40)
Из этого выражения видно, что бйльшая по величине квадратичная
нелинейность вызывает смещение частоты того же порядка, что и
кубичная. При определенном соотношении коэффициентов
а = -^ а* >
смещение частоты компенсируется 2 система становится аномально
изохронной. Смещение частоты не превышает в этом случае л/1^.
Рассмотрим еще чисто кубическую нелинейность с гамильтонианом
* ) = "§- -¦*" \ ' B.42)
ж) Точнее, подучается тривиальный результат: <Н> - I.
20

Ее можно рассматривать как предельный случай системы B.35)
при очень большой амплитуде колебаний. Система B.42), так же
как и маятник и система B.35), допускает точное решение в эл-
эллиптических функциях:
К Г? ьЦ*(±)] B.43)
Здесь а. - амплитуда колебаний; Т(й:
Интересной особенностью рассматриваемой системы является весьма
малый вклад в движение высших гармоник, несмотря на значительную
нелинейность. Частота колебаний равна:
/ЗХ .89?Z ¦ B.44)
Она оказывается пропорциональной амплитуде колебаний. Переменную
действия можно найти из соотношения со=ЪН/ъ1 , откуда
B.45)
Параметр нелинейности B.14) равен:
§ 2.4. Сепаратриса
Вернемся теперь к маятнику и рассмотрим траекторию его движе-
движения, пограничную мевду вращением и колебаниями. Эта траектория
называется сепаратрисой, или разделяющей траекторией. Она разде-
разделяет качественно различные режимы .движения. Нетрудно представить
себе, что .движение в близкой окрестности сепаратрисы должно быть
сильно неустойчивым, так как небольшие возмущения могут перебра-
перебрасывать маятник из колебательного режима во вращательный и наобо-
наоборот. Именно поэтому нас будет особенно интересовать движение в
этой области. Оказывается, что именно здесь возникает и отсюда
распространяется неустойчивость нелинейных колебаний (§ 4.з).
Сепаратриса соответствует значению энергии И— Uo B.1),
откуда фазовая траектория сепаратрисы (М-= 1; -Я-< ср & it-)
? B.47)
21

¦P
Рис 2.1. Сепаратриса: о -усатый
тор (точка); i - выходящие усы;
% - входящие усы.
Разные знаки соответст-
соответствуют двум ветвям сепа-
сепаратрисы - двум направ-
направлениям движения маятни-
маятника. Hi фазовой плоско-
плоскости сепаратриса образу-
образует характерный "крест"
(рис. 2.1):
f>=±Cue(it-lf>) B'48>
Точка "пересечения" вет-
ветвей сепаратрисы опреде-
определяет nonoxeme неустой-
неустойчивого равновесия. По-
Последнее следует рассматривать как отдельную траекторию, так как
в отсутствие возмущений маятник остается в этом положении неоп-
неопределенно долго. Отсюда ясно, что движение по сепаратрисе должно
иметь характер асимптотического приближения (или удаления) к точке
неустойчивого равновесия. Уравнение B.47) интегрируется и дает
fsx & = * arctg (е. ^J - 7Г, B.49)
где время отсчитывается от момента прохождения положения устой-
устойчивого равновесия ( <f = 0). Выражение B.49) ясно демонстрирует
асимптотический характер движения по сепаратрисе: (f>sx —* ± 7г
при "?-> ± оо.
По образной терминологии Арнольда /2/ ветви сепаратрисы назы-
называются "усами", которые "прикреплены" к "усатому тору". В рассмат-
риваеиом случае консервативной системы с одной степенью свободы
"усатый тор" имеет нулевую размерность и вырождается в точку -
положение неустойчивого равновесия ( (р = ±-7г ). Для дальнейше-
дальнейшего существенно различать входящий и выходящий усы (см. рис.2.1),
которые в данном случае сливаются на каждой из двух ветвей сепа-
сепаратрисы. По терминологии Пуанкаре /6/ усы называются .двояко-асимп-
.двояко-асимптотическими траекториями, так как в обе стороны по времени ( "?—?¦
± оо ) они асимптотически приближаются к некоторой траектории.
Для нашей системы эта предельная траектория - неустойчивая не-
неподвижная точка <р = ± 5> - одна и та же в обоих пределах:
"?-*±сю .В этом случае усы называются гомоклинными траектори-
траекториями.
22

Рассмотрим движение маятника вблизи сепаратрисы. Будем харак-
характеризовать расстояние по сепаратрисы относительной энергией
00= 1U*± « f- + (^-LL « i . B.50)
С помощью формул § 2.1 находим, что как в колебательном {ъ9-<0 ),
так и во вращательном ( ъЭ~ > О ) режимах К ?& У/ъЙ/Ц _,
X (к) &¦??*, -2&Т. j ТС '= X (к') « 7r/Z . Кроме того, вве-
введенная для вращательного режима частота B.9) <*>г & со0 . Поэто-
Поэтому в обоих режимах, т.е. по обе стороны от сепаратрисы, решение
будет иметь вид (см. B.5), B.8))
причем во вращательном режиме присутствуют только четные гармони-
гармоники, а в колебательном - только нечетные. Частота колебаний
- B-52)
неограниченно уменьшается при приближении к сепаратрисе
хотя и логарифмически. Из вида спектра гармоник B.51) можно заклю-
заключить, что движение вблизи сепаратрисы примерно такое хе, как и на
сепаратрисе, за исключением конечного периода B.52).
Найдем еще действие вблизи сепаратрисы. Аналогично B.45) мож-
можно написать
Действие на сепаратрисе Iix получим, интегрируя B.47):
Окончательно находим
Л- \ 8
Полагая Т Si JSx , найдем параметр нелинейности колебаний в окре-
окрестности сепаратрисы:
При приближении к сепаратрисе нелинейность неограниченно возрас-
возрастает.
23

Глава 3
НЕЛИНЕЙНЫЙ РЕЗОНАНС
Свободные колебания нелинейного консервативного осциллятора
с одной степенью свободы, рассмотренные в предыдущем разделе,
всегда устойчивы при условии, конечно, что движение финитно. Ни-
пего особенно интересного в этом cnysae не происходит. Что же
произойдет, если включить внешнее возмущение? Гамильтониан сис-
системы можно записать в этом случае в виде
e,*f- (зл)
Явная зависимость гамильтониана от времени и характеризует здесь
внешнее возмущение. Ниже мы будем предполагать, что возмущение
является периодическим по времени с периодом Т а основной час-
частотой Я- = &&/Т ш В этом cnysae спектр возмущения имеет час-
частота h.Sl . Почти периодическое возмущение с произвольным дис-
дискретным спектром ( Х2ц_) не приводит к каким-либо качественно
новым эффектам. Ограниченное во времени возмущение с непрерывным
спектром (импульс возмущения) ае представляет особого интереса,
так как вызывает лишь малое ( ? « i ) изменение энергии коле-
колебаний. Наконец, стационарное возмущение с непрерывным спектром,
например, нерегулярная последовательность импульсов, вызывает в
системе процесс диффузионного типа. Теория таких процессов,
очень важных для приложении, составляет сейчас обширный pasnen
теории колебаний, линейных и нелинейных. Это выходит, однако,
за рамки нашего пособия. Итак, будем считать, что возмущение яв-
является периодическим. Введем фазу возмущения
г-о f (з.2)
где fa - начальная фаза. Разложим возмущение в двойной ряд
Фурье;
. (з.з)
24

Действие различных Фурье-компонент возмущения будет тем сильнее,
чем медленнее изменяется их фаза
у/^ = ^в+н.-г-. (з.4)
В предельном cmysae постоянной фазы мн имеем резонанс
и-О.=-0. C.5)
Это соотношение определяет набор резонансных значений частоты-
со гг соответственно набор резонансных значений энергии колеба-
колебаний (или I). Резонансные значения сц^ образу ют, в общем cxysae,
всщду плотное множество. Тем не менее мы начнем с обратного пре-
предельного случая, когда сумма в C.3) состоит всего as одного
слагаемого (точнее, из двух комплексно сопряйенных). Иначе гово-
говоря, мы рассмотрим в этом разделе свойства одиночного (изолирован-
(изолированного) нелинейного резонанса. Нашей целью является установление
наиболее общих свойств нелинейного резонанса, которые помогут
нам ориентироваться в сложном случае взаимодействия многих резо-
нансов (гл.4). Мы начнем с .двух простых примеров - внешнего
(§3.1) а параметрического (§ 3.2) резонансов, которые неодно-
неоднократно рассматривались в различных приложениях, например в тео-
теории ускорителей /16/,.
§ 3.1. Внешний резонанс
Рассмотрим движение маятника вблизи положения равновесия,
т.е. при малых амплитудах колебаний ( (f>o « 1 ), в присутствии
внешнего возмущения. В качестве последнего выберем гармоническую
внешнюю силу с частотой ? • Тогда дополнительный член в гамиль-
гамильтониане будет иметь вид
-fFo C«e = . Щ-Ь.[се>$ ($- г)+ сеч F+гг)] ¦
Здесь F& « I " малая амплитуда момента силы; последнее выра-
выражение получается после перехопа к переменным A,6 ) и подста-
подстановки в возмущение невозмущенного решения Ц>-= <ро cos & . Даже
в этом простейшем спупае возмущение содержит m а члена. Отбросим
быстроосциллирующйй второй, а основную часть гамильтониана возь-
возьмем в приближении B.25) (с точностью ^1 )
cos (9-V) ¦ C.6)
25

Попробуем сначала уничтожить возмущение заменой переменных.
Производящую функцию ищем в виде
F (I,, В) - 1,0 + Ф SC^ (&- ?) - C.7)
В отличие от задал гл.2 производящая функция зависит теперь от
времени, поэтому после замены переменных гамильтониан изменится
на величину ~bF/~bi . Подставляя Г= 1Л ¦+ Ф cos (в-Ъ) в
C.6) и учитывая член ~bF/~bt , потребуем, чтобы члены перво-
первого порядка по малому параметру ? уничтожились:
Откуда
ф = -Д^ • C.8)
Мы видим, что уничтожение возмущения возможно лишь вдали от ре-
резонанса SL- I—jp • Это оправдывает, кстати, отбрасывание
нерезонансных (быстро осциллирующих) членов в гамильтониане. Од-
Однако сейчас нас интересует именно резонанс ( SL *. 1 ), когда
уничтожение возмущения невозможно из-за появления малого резо-
резонансного знаменателя.
Отказавшись от уничтожения возмущения, попробуем освободиться
от явной зависимости гамильтониана C.6) от времени, которая при-
приводит к изменению энергии системы. Для этого введем новую фазу,
а канонически сопряженный с ней импульс оставим прежним (I):
//= $- f ¦ C.9)
Производящая функция такого преобразования переменных имеет вид
FCi.v.v-J^-Kr+v). (з.Ю)
В новых переменных гамильтониан C,6) принимает вид
Н„ (I, Y)= 1-л -?. f^cos у • <з.п)
где <Л = i - О. - расстройка частоты возмущения по отношению к
линейным колебаниям. Новый гамильтониан не зависит явно от вре-
времени и потому сохраняется. Это значит, что система C.II) интег-
интегрируема. Гамильтониан Нг будем называть резонансным.
Заметим, что величину НР можно-было бы назвать также квазиэнер-
квазиэнергией, так как зто классический анаиог квантовой квазизнергии,
введенной Зельдовичем и Ритусом /17/.
26

Пусть вначале Х2. = 1, т.е. возмущение настроено в резонанс
: колебаниями очень малой ("нулевой") амплитуды. Тогда Нк = О
3.II). Представим резонансный гамильтониан в виде
(аксимальное значение 1^ найдем, приравняв нулю выражение
¦ скобках. Учитывая, что 1>О , получим
Ъ К о4 FZ/2 • C.12)
'аким образом, положение равновесия в этом случае неустойчиво.
!7щественно, однако, yto при малом F^ амплитуда возникающих под
,ействием возмущения колебаний остается малой. В этом состоит
¦ардинальное отличие нелинейного резонанса от линейного. В по-
последнем случае при точном резонансе амплитуда колебаний неогра-
иченно возрастает. Нелинейность же как бы стабилизирует движе-
ие за счет изменения частоты колебаний н выхода системы нз ре-
резонанса. С другой стороны, действие слабого ( Fo-* О ) возмуще-
шя в резонансе оказывается значительно сильнее ( ** /^2/з) f чем
зне резонанса (*v PoS/Jn, см. C.6) ). Это показывает важность
резонансных явлений а для нелинейных колебаний.
Интересно отметить, что максимальное I соответствует не час-
оте Si = { , а несколько меньшему значению Si ¦ Это понятно,
•ак как частота колебаний уменьшается с ростом амплитуды. Чтобы
;аёти зтот максимум, поступаем следующим образом. Так как Иг =
= 0. записываем уравнение Нг //г = 0 в виде (см. (З.П))
= -^ COS
C.13)
¦ис. 3.1. Исследование внешнего
'взонанса C.13): ? _ _ &d
2 ~
Построим график функции ^
(рис.3.I). Максимальное зна-
значение J*, соответствует cos fs.
= -1 и растет с ростом л>0.
Однако при Л > Д* область из-
изменения I разбивается на два
участка, не связанных между со-
собой (рис. 3.1). Если мы интере-
интересуемся возбуждением колебаний
от нулевой амплитуды, то наи-
наибольшее I соответствует хаса-
27

нию кривой f (s/T) и прямой /= FQ /VZ, при некотором J=IO
(кривая 1). Вычисляя максимум ? , найдем критическое значение
расстройки
,3т
А1 = Ж. ' ~
Решение кубического уравнения /Т^ ¦ А, - 1Ы,/ц ~-Fo
дает
что приблизительно в 25 pasa больше значения C.12).
Как видно из рис.3.1 (кривая 2), при &>?ч появляется об-
область изменения I , изолированная от 2=0, причем I в этой
области растет с ростом А . Рассмотрим ее подробнее. Для этого
сделаем новую каноническую замену переменных, оставив прежнюю
фазу у/ и введя новый импульс
p=I~Ir ; co(lj - i- Jz = D. . C.16)
Соответствующая производящая функция равна (ср. C.10)):
F(z, f", -Tr)=.~(L-Ir)(y+ f). Величина I, есть резонансное
значение действия. Гамильтониан системы C.6) принимает теперь
вид
(ЗЛ7)
Допустим, что IpI « 1у , тогда в последнем члене можно поло-
положить в первом приближении р = 0, и с точностью до постоянного
слагаемого получается гамильтониан маятника с "массой" М == -8.
Отрицательная "масса" означает просто, что положение устойчиво-
устойчивого равновесия соответствует не минимуму "потенциальной энергии"
( Ц> - 0), а максимуму ( Ц/х^ЗУ ). Заметим, что "масса" М связа-
связана с нелинейностью осциллятора простым соотношением
К*- -Jf • C.18)
Область нелинейного резонанса соответствует колебаниям "маят-
m а " (ограниченное изменение фазы ^ ) а расположена внутри се-
сепаратрисы (§ 2.4). Максимальное f> равно:
Д,= 4 D1гГА'F^*- ¦ C.19).
Частота малых колебаний "маятника" равна:
SL% = PoVff^- C.20}
28

Пользуясь терминологией из теории ускорителей заряженных час-
частиц, мы будем называть ?1$ частотой фазовых коле-
колебаний (колебаний резонансной фазы Ц/ ). "Приближение маят-
маятника" справедливо при условии р^ « 1у . Кроме того, необ-
необходимо потребовать, чтобы частота фазовых колебаний была доста-
достаточно мала: SL$ « со & { , где со - частота колебаний ос-
осциллятора. В противном случае член Cos F+Z-) в исходном га-
гамильтониане уже не будет быстроосциллирующим (по сравнению с
членом cos (в + Ъ") ) и его нельзя отбрасывать даже в первом
приближении. Оба условия можно записать в виде двойного неравен-
неравенства:
-L » ее » ^? t C.2i)
которое мы будем называть условием умеренной не-
нелинейности.
§ 3.2. Параметрический резонанс
Рассмотрим опять колебания маятника малой амплитуды с гамиль-
гамильтонианом B.22)
?^ Ж ' C'22)
Параметрический резонанс возникает при периодическом изменешш
^ сть
C.23)
он
параметра системы со^, определяющего частоту колебаний. Пусть
В качестве невозмущенного гамильтониана выберем Ио = (р%
Переходя к переменным (I, в ) для Но , получим
И (Z, 0, 2-; = I + Ы-Со^в ¦ COS ^ - 4^ с*в *
4
В последнем выражении мы произвели ycpenneme, т.е. отбросили
осциллирующие члены, кроме pesoaaacnoro с фазой
& ¦ C.25)
Дальше действуем аналогично предыдущему параграфу. Для исследова-
исследования возбуждения колебаний от нулевой амплитуды выбираем фазу
C.25) sa новую переменную. Взяв производящую функцию в виде
f(l, f,V) = -1 (if+ &)/& (- 2)Я/Эх = О), находим новый
29

импульс
Заметим, что появлеше множителя t/?2 связано с сохранением фазо-
фазового объема при каноническом преобразовании dl 4$ = с/У' dtf/.
В новых переменных резонансный гамильтониан
. Л C.27)
Анализ этого гамильтониана еще прощце, чем для внешнего резонан-
резонанса (§ 3.1). Если вначале % = 0, т, Н,, = 0. Сокращая последнее
равенство на $• (так как нао не интгересует тривиальное решение
1= 0), получим
' ?- *(*+Ь <**?)• C.28)
Цри точном резонансе ( А = 0) 1^а.х=: ^г . Однако, как и для
внешнего резонанса, амплитуда возбугждаемых колебаний увеличива-
увеличивается при Л>0 и достигает максимдаа при Л= ?/? . Это
значение определяется из условия до«стижения У = 0 при cos j^-i.
Максимальная амплитуда равна:
I4s Зб. C.29)
Она мала при достаточно малом ? , т..е. нелинейность стабилизирует
параметрическую неустойчивость. Для линейного осциллятора член
с $** в гамильтониане C.2?) отсутствует, и мы получаем уравне-
уравнение J (А + 1? Cos V) — Cot*s^ ^ определяющее зону неустой-
неустойчивости /4/ -^ ?/&', в которой амплштуда колебаний неограниченно
возрастает.
С первого взгляда может показатьсся, что эффект от параметри-
параметрического резонанса C.29) того же порядка, что а от нерезонансно-
нерезонансного возмущения (^? ). Однако нз C.24) внано, yto в последнем
случае изменение действия (^J ) содержит дополнительный малый
множитель \<< 1 : л1 sv?l . Шоэтому и для параметричес-
параметрического возмущения наиболее важен резошансный случай.
Возвращаясь к нелинейному параметрическому резонансу, рассмот-
рассмотрим большую расстройку А » ?/?, . В этом случае область бие-
биений амплитуды orpamneaa снизу C.28). Введем новый т-
30

C.30)
Тогда
И, (p, y)*jfy-- jf+ lyg^ycos f ¦ C.3D
При \P\ «tfr =?a мы снова потачаем гамильтониан маятника с "мас-
"массой" М = -2. Можно проверить, что условие этого приближения ана-
аналогично C.21).
§ 3.3. Универсальное описание нелинейного резонанса
Теперь мы можем рассмотреть donee широкий клаос резонансов.
Выделим произвольный член Зурье-разложения C.3) и запишем гамиль-
гамильтониан в виде
НA, в, V) = Ив (I) + ? Уыщ Cl) COS (-6-**)' C.32)
Мы перешли здесь к действительным функциям и изменили знак перед
W, , чтобы подчеркнуть резонансный характер выделенного члена.
Вводим новую (резонансную) фазу
у^ыв-п-t? (з.зз)
и выбираем производящую функцию в виде
F(l^^)=.(l-Ir)^±^-^ C.34)
Тогда новый импульс равен:
Р = —Z, C.35)
Разложим невозмушенный гамильтониан Но (*) До члена *»р*" и
учтем добавку к гамильтониану ~bf /bt - - iyO -f2 . Имеем
К(р>*)ъ{м + ?^-С1*)cosУ ' C-3«
Мы отбросили здесь постоянный член Н0 tly) и пренебрегли следую-
следующими членами разложения Уы„ (I) по р . Величина 1У выбрана
таким образом, чтобы линейные по р члены сократились:
ысо0 Aу) - и. Ц = О, C.37)
т.е. 1^ соответствует точному резонансу. Масса "маятника" опре-
определяется нелинейностью невозмушенных колебаний:
^| s м*^ C.38)
31

Частота (малых) фазовых колебаний равна:
C.39)
с 1Г ;
/Л
Последняя оценка написана в предположении Т^л -v сос 1
Запишем уравнение сепаратрисы "маятника" C.36) в исходных
переменных I, G,^ . Заметим, что величину <^ можно рассматри-
рассматривать как дополнительную координату фазового пространства оистемы,
движение по которой задано: '? = ?2.i; + Z?o . В таком случае фа-
фазовое пространство становится трехмерным. Иногда говорят поэтому,
что система имеет 1,5 степени свободы. Уравнение сепаратрисы при-
принимает вид (ср. B.47) а рис.2.I)
I, = I, ± (fiX\ Sin
г ¦ C-40)
Полный размер области по I, занятой нелинейным резонансом, равен
2 (д1). Найдем one полуширину нелинейного резонанса по частоте
fro), = Ы)у. «„' =#/ЖГ= ^ ~ JSZ со. C.41)
Стметим, что опять-таки эффект резонансного возмущения (т\/??)
больше, чем нерезонансного (~? ).
Неустойчивое положение равновесия "маятника" C.36) CV= О;
о)? > О ) превращается в исходных переменных в замкнутую спи-
спираль $— и-'йг/л, , топологически эквивалентную кольцу. Эта кри-
кривая и есть "усатый тор" Арнольда размерности 1 (§ 2.4) , к кото-
которому "прикреплены усы" C.40).
Универсальное описание резонанса в приближении маятника C.36)
ограничено, во-первых, условием малости отброшенных пра разложе-
разложении членов упо « 1Y , или C.40) е. « ы, . Во-вторых, необхо-
необходимо потребовать, чтобы частота фазовых колебаний 12^ была бы
достаточно мала, чтобы можно было пренебречь нерезонанснымя сла-
слагаемыми в гамильтониане, считая их быстроосциляирукшми. В § 3.1
мы приняли условие ?2.$ « а0 . В общем cnysae C.1),однако,
зто условие должно быть значительно усилено, так как частоты №-
резонансных членов ( щ,, ) могут быть значительно меньше со„ ¦ Это
так называемые малые знаменатели (см. п.4.5). Поэтому запишем
32

условие приближения маятника в виде
^У C.42)
Первое из этих неравенств есть условие малости области резонанса,
тогда как второе необходимо для пренебрежения влиянием нерезо-
нерезонансных членов, или соседних резонансов. Эта проблема будет под-
подробно обсуждаться в гл.4.
Условие резонанса C.37) для гармоники {*»,»,) будет выполнять-
выполняться также и для гармоник {i>»3 in ), где / - любое целое число
Ф 0. Поэтому приближение маятника ограничено также условием ма-
малости высших гармоник *?ы ^м « У^<„ (?'> 4J . Пример систе-
системы, для которой это условие не выполняется и приближение маятни-
маятника несправедливо, рассмотрен в § 4.2.
При выполнении всех этих условий возможно весьма простое опи-
описание поведения осциллятора вблизи отдельного нелинейного резо-
резонанса. Обратим внимание еще раз на интересный факт, что случай
малой нелинейности ( °С ? ? ) оказывается более сложным и раз-
разнообразным (§ 3.1, 3.2), чем случай умеренной нелинейности, что
прекрасно демонстрируется на примере любопытной системы, изучен-
изученной в /18/, для которой неустойчивость имеет место при любом
сколь угодно малом возмущении (см, § 4.1).
3.4. Резонанс многомерных колебании
Рассмотрим резонанс многомерных нелинейных колебаний. Предпо-
Предположим, что гамильтониан системы можно представить в виде
9,*)=НоA) + ?Уые?^ (злз)
Здесь I, <?, »i -вектора, например, l-tj.i,..., Iy) ; -V - чис-
число степеней свободы системы; **,Q=z **tQ- - скалярное произ-
произведение5^ ; t = Sit + г-о.
Согласно C.43), невозмущенная система Но (I) являетоя полно-
полностью интегрируемой, т.е. у нее имеется полный набор А/ переменных
действия и сопряженных, им фаз @-($<,,.**,&„). Движение такой
системы является квазипериодическим с А1 основными частотами
со,~ЪНо /' Ъ1ь t или короче со ¦=¦ ЪНо /Ы • Нелинейность
ж) Здесь и ниже подразумевается суммирование по повторяющимся
индексам.
33

системы характеризуется матрицей
Фазовое пространство системы представляет собой прямое произве-
произведение /V -мерного пространства действий на Л7 -мерное простран-
пространство фаз. Невозмущенная фазовая траектория системы лежит на
N -мерном торе I = conszf 3 который в пространстве действий
изображается точкой I = coKsi. Вместо пространства действий
удобно рассматривать связанное с ним пространство частот, каждая
точка которого также соответствует тору в фазовом пространстве.
Связь обоих пространств является взаимно-однозначной при усло-
условии невырожденности системы, когда детерминант матрицы C.44)
отличен от нуля /14/.
Условие резонанса записывается в виде
Ы) и>(Х) + и?Х = т. сос -f- и Q. = о . C.45)
При iv- О имеют место резонансы связи, соответствующие обмену
энергией между степенями свободы невозмущенной системы. Структу-
Структура резонансов наиболее наглядна в пространстве частот, где каж-
каждый из резонансов C.45) есть просто плоскость, перпендикулярная
вектору щ . Действительно, сместимся в любом направлении в резо-
резонансной плоскости на вектор Sio , тогда из C.45) вытекает
w, Sco = О . В пространстве действий каждый резонанс опреде-
определяет некоторую поверхность. Сместимся вдоль этой поверхности
на малый вектор <Jl . Из C.45) получаем т. ^^ 41^=.т Ъш/^х <А1=0
Следовательно, нормаль к резонансной поверхности в пространстве
действий направлена по вектору * /
Как и в предыдущих параграфах этой главы,рассмотрим влияние
только одного резонанса. В этом случае возмущение зависит толь-
только от одной определенной комбинации фаз
%= р»,& ч- *г-, (з.4б)
Значит, остальные (Af-Jj линейно-независимые комбинации фаз
являются циклическими переменными, что дает /У- 4 интегралов
движения. Наглядное представление об этих резонансных интегралах
molho получить из уравнений движения
34

Отсюда видно, что направление вектора I постоянно и совпадает
с направлением вектора/п . Отметим, что для резонансов связи
( и, = 0) оба вектора (I; *•» ) лежат в гиперплоскости, касатель-
касательной к поверхности постоянной энергии На= cc*s? Б любой точ-
точке ее пересечения с резонансной поверхностью C.45). Это означа-
означает, в свою очередь, что резонансное возмущение сохраняет невоз-
невозмущенную энергию Но . Можно рассуждать и иначе: в случае един-
единственного резонанса возмущение V@) = const (fa - сон^)} но
тогда и Ho-cottst из-за H=ohst.
Ввиду наличия ( /V-1 ) интегралов движения многомерная сис-
система вырождается в случае единственного резонанса в систему с
одной степенью свободы.
Произведем каноническую замену переменных, выбрав в качестве
новых координат А/ .линейно-независимых комбинаций фаз
К- тк?$е. +"кТ- C-48)
Пусть ^ совпадает с интересующей нас резонансной фазой C.46),
остальные - произвольны. Выберем производящую функцию в виде,
аналогичном C.34: F(l,V> t)--(l-lr), 6(^,v), где точ-
точка I" лежит на резонансной поверхности. Введем матрицу /.. ,
обратную к м^е • т-е- ?*ik *Че — $cl • Тогда
% = 4t (%-***)' C-49)
Окончательно, производящая функция принимает вид
F Сх, +, -гт) = - (I; - l?)tit (% - bk trj - C.50)
Откуда новые импульсы
f>k=(lt-Ir?)ltk ¦ C.51)
В случае одного резонанса ( А/- I ) импульсов Д = cebs<? , т.е.
являются интегралами движения. Их можно записать также в виде
I.Li(,=coi*sty к~?,...,Л/. C.52)
Подобные резонансные интегралы хорошо известны, например в тео-
теории ускорителей /16/.
Пусть точка резонансной поверхности J r лежит также на траек-
траектории движения системы, тогда все интегралы Д. = 0, и единствен-
единственной переменной величиной остается/^ . Обращая систему C.51),
найдем.
h - zi+ pk ^ki ~* 1г + Р* *Ъг • C.53)
35

Последнее выражение учитывает, что все f>k= 0, кроме />, .
Вследствие явной зависимости F от ? sepes гг преобразован-
преобразованный гамильтониан изменится на величину
Подставляя. C.53)" в C.43) и разлагая по р до квадратичных
членов, получим резонансный гамильтониан в виде
Мы опустили здесь индекс у у/ и р и записали возмущение в дей-
действительной форме.
Линейные по р члены в резонансе всегда сокращаются, что как
раз и означает, что резонансная фаза ^ остается постоянной с
точностью до нелинейности колебаний, связанной с квадратичными
членами ( °f = ЪИг /ър ). Резонансный гамильтониан не зависит
от времени и потому сохраняется.
Сравнивая полученный резонансный гамильтониан для многомерных
колебаний :с одномерным C.36)., мы видим, что отличие связано толь-
только с выражением для массы маятника. В многомерном случае
М~ = -»ч,Э(оД1, "" • C.56)
Это отличие, однако, может привести к существенным последствиям.
Именно, может оказаться, что для какого-то резонанса т эффек-
эффективная нелинейность АГ*= 0. В таком случае не только нарушается
условие приближения маятника C.42), но и вообще пропадает стаби-
стабилизирующее действие нелинейного резонанса. Причину этого нетруд-
нетрудно понять. Выше мы видели, -что нормаль к резонансной поверхности
направлена по вектору *и , Ъсо/Ъ! , тогда как изменение век-
вектора I направлено по вектору т . Условие ЛГ ;=¦ *•*, Ъи>/}х >*i^0
означает, что вектор I остается на резонансной поверхности.
Иначе говоря, движение системы под действием резонансного возму-
возмущения таково, что она не выходит из резонанса, а значит, нет и
стабилизации, нелинейность "не работает", нелинейная система ве-
ведет себя, как изохронная. Будем называть этот случай к в а з и -
изохронным. Ясно, что такая ситуация невозможна для
нелинейной системы с одной степенью свободы. В случае М" — О
можно продолжить разложение гамильтониана по р в надежде, что
высшие члены разложения стабилизируют резонансное возмущение.
36

Чтобы более ясно представить себе картину нелинейной стаби-
стабилизации в зтом случае, заменим "кинетическую" энергию маятника
Тф р /?М в C.55) точным выражением
Т(*>р) = Но (*Г+ *р)~ НAг)+»?р- C.57)
Для стабилизации резонансного возмущения необходимо, чтобы
|Т| > S-tV*, . Максимальное р^ах. определяется как раз из
условия ТС^ Pu.au) =^?"К,. Например, при Т= &.р /?«««* =
= (JtzV»,/euf'b. Стабилизация отсутствует при любом ? -> о ,
если 7Y4> p)=O • Последнее как раз и означает, что условие
резонанса C.45) не зависит от р :
Квази-изохронный случай Лт/^р = О является, конечно,
исключительным. Действительно, разлагая функцию ТС^}р) в
ряд Тейлора по р , мы видим, что квази-изохронность возможна
лишь при выполнении бесконечного числа условий на функцию
Т( **, f>) я мевду тем как имеется лишь конечное число (А/)
свободных параметров (**>?), к тому же еще я целочисленных. Тем
не менее для простых степенных гамильтонианов такой исключитель-
исключительный случай возможен. Пусть, например:
Но (l) = I*+ i/" - A if C.58)
Рассмотрим резонансную поверхность с вектором ж = 0*л, *•**., ***),
проходящую через точку J r= (f^ , ?s , T3J • Вектор частот в
зтой точке равен со = (?^л, Л^л 7 ~?XJ3J • Подставляя
1 = 1*+ г*р в C.58), найдем, что квази-изохронность
имеет место, если: а) (/<»«< + ^'|'г- ^з^э — О (условие резо-
резонанса); б) ы*-+ ы}- Л*ч-§- = О . Последнее равенство возмож-
возможно только при Л > О , т.е. при отрицательной энергии по одной
из степеней свободы системы. Пусть А удовлетворяет условию б)
для некоторого резонанса *и . Подставляя ее значение из б) в а),
получим уравнение квааи-изохронной поверхности (плоскости)
на которой отсутствует нелинейная стабилизация резонанса *» .
Явление квази-изохронности было отмечено в /19/. Общее иссле-
исследование структуры нелинейных резонансов выполнено Нехорсяпевнм /ЙО/.
37

t>H называет такие исключительные гамильтонианы некруты-
некрутыми. В противоположном случае, т.е. когда JT/dp^ q и^
следовательно, нелинейная стабилизация резонансного возмущения
имеет место, говорят, yto H0(l)- крутая функция. В общем
случае проверка условий крутизны затруднительна. Достаточным,
более сильным, условием является выпуклость поверхности энер-
энергии Hod) = сеи<.~?, Еще donee сильным является условие ква-
квазивыпуклости функции Но(г)/20/, которое означает, yto выпук-
выпуклость обеспечивается квадратичными членами вблизи точки каса-
касания поверхности Ho(l) = *0**t с плоскостью. В последнем слу-
случае справедливо приближение маятника C.55).
Рассмотрим еще один гамильтониан, взятый из работы /21/:
Но (I) =1Л+ 1г- 1*
Очевидно, что эта функция не является квазивыпуклой. Тем не ме-
менее оказывается, что нелинейная стабилизация имеет место для
любого резонанса. Действительно, условие квазиизохронности име-
имеет, как мокно проверить, вид т* = уи^+Зы+ь^, Но это уравне-
уравнение не имеет решения е целых числах, так как решение уравнения
Х2= Зх ¦*¦ i есть xw>? = <^t/v»A = (b± \fn)/z . Следователь-
Следовательно, квазиизохронность невозможна.
Если М # О , можно использовать выражения C.39), C.40)
§ 3.3 с "массой" C.56), причем величины X; т понимаются теперь
как векторы.
Для дальнейшего важно представить себе структуру резонанса в
пространстве частот. Из C.40) получаем вектор фазовых колебаний
{ Аи>)\ соответствующий (<&1)г
Этот вектор, вдоль которого происходят фазовые колебаний векто-
вектора со , не параллелен, вообще говоря, нормали к резонансной по-
поверхности >» /\*>\ , где |*и/*= (¦>",»,). проекция <3w)r на нор-
нормаль определяет полуширину резонансного слоя
L Jy tZTT ~ in,/ V7
Аналогичным образом можно исс-ледовать движение в окрестности
кратного резонанса, когда для некоторого 1-1*" одновременно
выполняются к резонансных условий вида C.45) с к линейно-не-
38

зависимыми векторами *п (L ***,... к ? м) и разними, вообше
говоря, целыми vi- . Резонанс кратности к соответствует пересе-
пересечению к резонансных поверхностей C.45). Число резонансных ин-
интегралов сокращается в этом случае до А/- к . Вектор I изме-
изменяется соответственно в к-мерном подпространстве, образованном
векторами vn°J . Резонансный гамильтониан будет описывать теперь
систему с к степенями свободы.
В качестве примера многомерного нелинейного резонанса рассмот-
рассмотрим систему двух связанных осцилляторов с кубической нелинейно-
cm, (§2.3)
и Л» + Pt x-i + *1
' SL ~*~ ' * -/<^X=L • C.61)
где /и - малый параметр связи. Перейдем к переменным действие-
угол и воспользуемся тем, что невозмущенная система (/V = 0)
является почти гармонической (§ 2.3): Х- sa <%^ a>s &г (?¦= 4,2).
Тогда
/ j Q J ^ А /
%
Здесь $=C(l/$.f%) щ „ %671, и мы оставили в возмущении только
одно слагаемое, соответствующее резонансу связи coj'= <^? , ко-
который мы и собираемся исследовать.
Невозмущенный гамильтониан является квазивыпуклым, так как
обе вторые производные 7.\ Но/*Ь*1к ~4fl/$1 ?&• В качестве
новмх фаз возьмем
Полагая I r= (lo; Io) > найдем новые импульсы C.51)
/?< = -1—?¦ — р ' р.,= ~ ^ - 1а — с • (ъ 64Л
Интеграл движения /% мы положили равным нулю, и это определяет
константу 10 . Резонансный гамильтониан имеет стандартный вид
C.55) с параметрами
Частота фазовых колебаний равна:
S2^=rj3^ C.66)
Ввиду симметрии системы (оба осциллятора одинаковы) вектор ф^)е
направлен по нормали к линии резонанса (по вектору /я= (±,-i))
39

я pasea
)Г l&fl &$ (Ай)}г ¦ C.67)
Последняя величина определяет полуширину резонанса по частоте.
Заметил, что устойчивым положением "маятника" для рассматри-
рассматриваемого резонанса связи является "точка" &,, ~ вг C.62).
Фактически, это - периодическая траектория, соответствующая син-
синфазным колебаниям обоих осцилляторов. Усатый тор (пересечение
сепаратрис) определяется в данном случае условием #- 0Л = Я;
J., — Jg (колебания в противофазе).
40

Глава 4
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ РЕЗОНАНСОВ И СТОХАСТИЧЕСКАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ
Под взаимодействием резонансов понимается одновременное дей-
действие на систему нескольких резонансов, т.е. нескольких гармоник
возмущения в C.3) или, в многомерном случае, в C.43). Каждая
такая гармоника определяет "свой" резонанс в соответствующей об-
области фазового пространства. Каким будет движение системы при
одновременном действии многих резонансов? До недавнего времени
згог фундаментальный вопрос оставался практически без ответа.
Еа первый взгляд может показаться, что если система находится
вблизи одного из резонансов, то остальные члены возмущения яв-
являются нерезонансннми и могут быть уничтожены заменой переменных
(§ 3.1). Действительно, давно известно, что всегда мокло постро-
построить такую, вообще говоря, бесконечную последовательность замен
переменных, которая уничтожает нерезонансные члены. В пределе
получается интегрируемая система, движение которой является та-
зипериодическим, т.е. устойчивым. Однако это m а формальный ]УЬ-
тематический прием. Реальная устойчивость движения зависит от
того, будет ли такая последовательность переменных сходящейся,
или, иначе говоря, существует ли тот препеа, в котором движение
является формально устойчивым. До недавнего времени считалось,
что, вообше говоря, такой предел не существует, т.е. нелинейные
колебания являются в общем случае неустойчивыми. Подобные пред-
представления опирались, в частности, на теорему Пуанкаре /6/ об от-
отсутствии, в обшем случае, аналитических интегралов движеаяя,
кроме энергии*'. Сейчас мы знаем, что такое понимание этой теоре-
теоремы ошибочно (§ 4.5), Относительно недавно в работах Колмогорова
/I/, Арнольда /2/ и Мозера /3/ была разработана новая теория ус-
тойчивооти динамических систем (теория КАМ), в которой удалось
ж) И, разумеется, всех остальных аддитивных интегралов, в об-
общем случае: импульса, момента и интеграла центра инерции.
41

построить сходящиеся ряды теории возмущения а показать, что в
общем епупае существует некоторое критическое значение малого
параметра возмущения, определяющее границу устойчивости движе-
движения. Краткое представление об основных идеях теории КАМ будет
дано в § 4**5. Основное результат этой теории ~ существование
границы устойчивости для нелинейных колебаний ~ имеет фундамен-
фундаментальное значение для общей теории динамических сжстем»
Можно подойти к проблеме с другой стороны, попытаться каче-
качественно, мы бы даже сказали, наглядно проанализировать конкрет-
конкретные механизмы, приводящие, с ростом возмущения, к разрушению
интегралов движения и к неустойчивости, Огшсанию такого подхода
и посвящена настоящая глава. Оказывается, что весьма общим меха-
механизмом возникновения неустойчивости движения является так назы-
называемое перекрытие нелинейных резонансов /9/. Изучение этого IVfe-
ханизма позволяет сформулировать весьма эффективный, хотя м не
строгий, критерий аеустойчивости. С помощью такого критерия уда-
удается s ряде случаев получить оценки границы устойчивости, весьма
близкие re действительным.
Неустойчивость нелинейных колебаний, возникающая пра перекры-
перекрытии резонансов, имеет весьма специфическую природу ~ она приво-
приводит к нерегулярному, или стохастическому движению системы. Та-
Такой рекии механического движения был предметом длительных поисков
в связи с попытками обоснования статистической механики. Именно
отсюда возникла эргодическая теороя динамических систем /2/. До-
Довольно неожиданным результатом излучения нелинейных колебаний
оказалась возможность статистического поведения очень простых
динамических систем.
§ 4.1. Два резонанса; критерий перекрытия
Простейшим случаем взаимодействия резонансов является взаимо-
взаимодействие всего двух резонансов. По-видимому, первый пример такой
системы детально изучен аналитически и численно Уолкером и (РОР-
дом /21/. Мы рассмотрим другой пример, более простой в вычисли-
вычислительном отношении.
Пусть на осциллятор с кубической нелинейностью (§ 2.3) дейст-
действует внешняя возмущавшая сила с двумя частотами q Sl^ . Та-
мильтониан системы имеет вид
?$ ( D.1)

'где %, 0%, - постоянные фазы; f-i* $ь - малые амплитуды
возмущения. Перейдем к переменным X, в по невозмущенному га-
гамильтониану, примем приближенно X я&а. Cos О (§ 2.3) и оста-
оставим только резонансные слагаемые. Получим .
Каждый из двух членов возмущения создает свой резонанс в разных
областях фазового пространства по I ; ^^Cl)^ ¦&*_,& или
&-*tSL = -2.»,* /'Я5" B.44), Есзш имеется только одан резо-
резонанс, т.е. если ? - 0 или Д = 0. система является, как аш
знаем, интегрируемой, а движение устойчивым п ограниченным об-
областью резонанса. Мы можем легко найти эту область, следуя 'гех~
нике § 3.3 (см. также § 3.4). В данном случае М - ~jjt/3 ~
C.56). Полуширина резонанса по частоте равна C,41):
D.3)
Пусть области двух резонансов D.2) достаточно удалены др:?г
от друга, т.е. разность \О.Л~?1±\ достаточно велика. Тогда,
имея в виду, что возмущение мало, разумно предположить, что дви-
движение системы будет по-прежнему локализовано в области одного из
резонансов в зависимости от начальных усяовиЁ. Второй же член
возмущения будет лишь аеЗвачительно искажать траекторию по срав-
сравнению со случаем единстве иного pesoaaaca. Это предположение хо-
хорошо подтверждается численными экспериментами. С другой стороны,
ясно, что если резонансные области начнут сближаться, например
при уменьшении разности частот \&-л- &->\ > то в конце концов
влиянием второго резонанса уже нельзя будет пренебречь. Ясно,
что при достаточном сближении резонансов траектория движения уже
га будет больше локализована в одном 83 резонансов, а система
сможет, вообще говоря, переходить аЗ одного резонанса в другой.
Сам no cede такой перехоп вряд ли мохно было бы квалифицировать
как неустойчивость (по крайней мере для двух резонансов, см.
§ 4.2), если 60 не качественное изменение характера движения.
Как показывают численные эксперименты, движение становится при
этом нерегулярным, как будто 613 на систему действуют какие-то
случайные силы, хоти Hi самом деле никаких таких сил нет D.1).
Поэтому такой режим движения получил название стохасти-
стохастического. Характерной особенностью цвижения в этом режиме
43

является сильная локальная неустойчивость. Последняя означает,
Что близкие траектории расходятся в среднем экспоненциально во
времени.
Правдоподобным условием возникновения такой стохастической
неустойчивости представляется условие сближения резонансов на
расстояние порядка их размера. Тагсое сближение получило есте-
естественное название перекрытие резонансов.
Более определенно мохно сказать, что перекрытие резонансов на-
начинается тогда, когда их сепаратрисы касаются .друг друга. То,
что при этом система может переходить из одного резонанса в
другой, достаточно очевидно. Трудность в другбм - как количе-
количественно найти условия касания сепаратрис с учетом возмущения
их соседним резонансом? Простейший довольно грубый метод состо-
состоит в том, чтобы использовать невозмущенные параметры резонансов,
т.е. считать каждый из них таким, как будто бы другого не было.
Ясно, что при этом мокло рассчитывать лишь на оценку по порядку
величины. Именно такая простая процедура имеется в виду, когда
говорят о критерии перекрытия резонансов. Критерий этот оказы-
оказывается, таким образом, весьма грубым, но зато очень эффективным,
так как указанная процедура может быть легко выполнена даже для
довольно слояшых систем (§ 44).
Критерий перекрытия резонансов имеет и более серьезный дефект.
Дело в том, что, например, для системы D.2) число резонансов
равно 2 только в первом приближении. Это связано с тем, yto (pa-
sa $ зависит от времени линейно только в нулевом приближении.
С учетом действия возмущения ее зависимость от времени становит-
становится очень сложной, что приводит к появлению новых резонансов. В
общем случае имеют место резонанса )v\co+ и^О.^+ m^-Q-z = &
с любыми целыми *>, т4 , (г-%, , т.е. система резонансов оказыва-
оказывается всвду плотной (§ 4.5 ). Поэтому ясно, yto отсутствие перекры-
перекрытия резонансов первого приближения есть лишь необходимое, но не-
недостаточное условие устойчивости движения. Можно сказать также,
что критерий перекрытия резонансов дает лишь верхнюю границу ус-
устойчивости (по величине возмущения). Более того, возникает фунда-
фундаментальный вопрос, а есть ли вообше область устойчивости? № при-
приведет ли вся зта всвду платная система резонансов к неустойчиво-
неустойчивости движения при любых значениях параметров системы, коль схоро
последняя не является точно интегрируемой (как, например, в слу-
44

чае одного резонанса)? Ясно, yto ответ на этот вопрос нельзя
получить лишь путем наглядных рассуждений типа приведенных выше.
Hi него можно ответить либо с помощью эксперимента, в том числе
и численного, либо с помошью строгой теории. Первый ответ имеет
обычные для эксперимента ограничения, например конечный интер-
интервал времени, на котором можно убедиться (и убедить других) в
устойчивости движения. Второй ответ ограничен упрощениями тео-
теоретического анализа (особенно строгого) (§ 4.5). Забегая вперед,
скажем, что только для системы с двумя степенями свободы удает-
cs доказать абсолютную, или вечную, устойчивость движения. При
№ ¦?• движение в некотором смысле всегда неустойчиво.
Вернемся теперь к гамильтониану D.2) и применим к нему кри-
критерий перекрытия резонансов. Пусть ли.- \^-л~^-ц\«И^',^^.-/в.
Условие касания сепаратрис резонансов имеет простой вид
г ^ D.4)
Заметим, что фазовые соотношения резонансов (фазы v>,, \>z ) в дан-
данном случае несущественны, так как из-за разности частот ли. раз-
разность резонансных фаз ^ - % = 2^ — "&•„ будет изменяться с
течением времени. Поэтому касание сепаратрис нужно считать по
их максимальной ширине (Ли>)г . Из D.4) и D.3) находим крити-
критическое значение /о = ?т , соответствующее касанию невозмущен-
невозмущенных сепаратрис
г Тр ' D'5)
где co«jQLiftjJ2A. '
Сравним полученные оценки для критического возмущения с резуль-
результатами численных экспериментов /22/. Критерием неустойчивости слу-
служила величина и характер изменения гамильтониана D.1). Поскольку
при перекрытии резонансов ожидалось стохастическое поведение си-
системы, вычислялся "коэффициент диффузии"
Р7
^- D.6)
Здесь И - значение гамильтониана, усредненное по времени_на ин-
интервале A~?h — 40 единиц времени системы D.1); А И -
разность средних значений И на соседних интервалах времени,
т.е. среднее изменение И за время л^\ вторая черта означа-
означает усреднение лН по многим интервалам. Усреднение гамильто-
45

нжана И производилось для уменьшения влияния ограниченных коль-
банкй Н и выделения накапливающихся изменений энергии системь
Типичное время счета составляло = Ю , а интервалы усреднена*-
ut^ - ICr и At^= Ю5. На рио.4.1 приведена зависимость ско-
ростя диффузии B>v ,Дг) от величины возмущения -fo для J2^=n.?.T7
12а = 0.251. Начальные условия движения соответствуют частоте
-10
-20
10 \Ъ \. 20-1Г
Рйс.4.1. Стохастическая неустойчивость при перекрытш.
даух резонансов. Масштаб по оси f0 разный nt
обе стороны от стрелки.
со = 0.234 ( «-= 0.276), лежащей посредине между J2f , Х2^. Вил-
80, что в относительно узком интервале изменения tf = B.8*2.6)xiu—
коэффициент диффузии B>5-) падает на 6 порядков. Это ли не истинная
граница устойчивости! Положение границы устойчивости можно принять
при г
/? Ъ &.?5к40~ ; /г = 5. 76 х У<?~5 D.7)
Здесь /в - экспериментальное значение (по данным щсАЛ), /г -
теоретическое значение (по формуле D.5)). Согласие между ^ и
/_ мокно считать удовлетворительным, учитывая сделанные выше за-
замечания о грубости критерия перекрытия. Тем не менее отметим, что
экспериментальное значение оказывается существенно ни&е теорети-
теоретического (/ /j? «2.26). Это также соответствует качественным пред-
представлениям, изложенным выше.
46

Выше границы устойчивости, скажем, при fa > 2.7x10, оба
коэффициента 2)V72)S приблизительно равны, что как раЗ и указы-
указывает на диффузионный харатер изменения энергии системы. Отметим,
что в работе /21/ нерегулярный харатер движения при перекрытии
резонансов представлен очень наглядно на фазовых картинках дви-
движения и резко отличается от регулярного поведения траекторий в
отсутствие перекрытия. Нике границы устойчивости (fo< 2.6xlO~5)
коэффициенты-Э4,, 2>g. различаются на 2 порядка, так что изменение
энергии в этой области носит явно недиффузионный характер и оп-
определяется, главным образом, квазипериодическими колебаниями
энергии системы под действием возмущения, а также ошибками счета.
Интересно отметить, что в области перекрытия резонансов ско-
скорость диффузии не растет с ростом ?, , а даже несколько падает,
причем Оба коэффициента опять расходятся. Это указывает на умень-
уменьшение роли диффузии с ростом J?o . Такое несколько странное на
первый взгляд поведение можно понять, если представить cede пре-
предельный случай &w,JK » АО. . Поведение системы в этом случае
особенно наглядно, если <зИ-*C . Тогда оба резонанса сливают-
сливаются в один с двойной амплитудой, и система становится снова интег-
интегрируемой. Отсюда видно, yto система наиболее неустойчива (в слу-
случае двух сезонансов) как раз вблизи границы перекрытия".(ли)^>,А§^^
Диффузия при перекрытии двух резонансов не может вызвать боль-
большого изменения невозмущенных интегралов движения (I), так как
область стохастичности ограничена "слившейся" областью тух ре-
резонансов.
В качестве другого относительно простого примера перекрытия
резонансов рассмотрим систему с гамильтонианом
±А L
±А,+ ZL ^XzxJJcos V4 + CCS fjt D.8)
представляющую собой два связанных осциллятора с кубической не-
нелинейностью ($ 3.4), на один из которых действует внешняя сила
с двумя частотами D.1). Расположение резонансных попос для этой
системы на плоскости частот со^ t u)x схематически показано на
рис.4.2. В данном случае резонанс связи ( Ы4=и^) пересекает
оба внешних резонанса (W^ = i24 - сол— ?1^), Поэтому всегда есть
.иве стохастические области, соответствувшие этим пересечениям:
I) со^ ь>л= XIл , 2) со^= 6Ja =i2a. При определенных услови-
условиях, однако, появляется новая возможность ~ переход системы 83 од-
одного внешнего резонанса в другой через резонанс связи. Для этого
47

Рис.4.2. Перекрытие Трех ре-
резонансов: стрелками показаны
вектора .фазовых колебаний
для кавдого резонанса.
(awI"
необходимо замыкание цепочки век-
векторов (ло})r 5 вдоль которых
происходят фазовые колебания в
резонансе. ?Ь рис.4.2 показана
критическая ситуация, соответст-
соответствующая началу такого замыкания.
Условие замыкания имеет вид
внешних
а (да), -
me (&ufj , (ли)'?' ~ проекции век-
векторов фазовых колебаний
резонансов на ось <
то же самое для резонанса связи.
Используя D.3) и C.66), C.67),
получим условие перекрытия (каса-
(касания) сепаратрис трех резонансов
в виде
где мм считаем для простоты параметры двух внешних резонансов
одинаковыми. При заданном j?0 < f? D.7) зто соотношение оп-
определяет критическое значение /и , при котором все три резонанса
оказываются связанными между собой общим (стохастическим) движе-
движением системы,
Характерная особенность рассмотренных примеров - существова-
те критичеокого возмущения, яяже которого нелинейные колебания
являются устойчивыми даже при наличии резонанса в сштеме. Эта
устойчивость связана с разделением резонансных областей в фазо-
фазовом пространстве при достаточно малом возмущении. уже отме-
отмечалось выше, в случае пересечения резонансных поверхностей такое
разделение не происходит, п в окрестности пересечения сохраняется
стохастическая область при сколь угодно маяом возмущении. Если Не-
Невозмущенная система нелинейна {оС #0, см. B.14)), то размер этой
стохастической области уменьшается пропорционально размеру нели-
нелинейного резонанса, т.е. как s/e/oc' C.40). Если, однако, et *vf,
т.е. нелинейность колебаний тоже определяется возмущением, а ли-
линейные частоты системы удовлетворяют двум резонансным соотношени-
соотношениям , то и размер стохастической области не уменьшается пра ?.-*<?,
растет только время развития неустойчивости. Это интересное явле-
явление было обнаружено Фордом и Лансфордом /18/. Гамильтониан "скон-
48

етруированной" ими системы имеет вид
Ц+ 31$ +
Постоянные частоты линейной невозмущенной системы связаны двумя
независимыми резонансными соотношениями ^ай4; 3w^= й;3.
Как показано в /18/, малый параметр возмущения ? оцределяет в
этих условиях только скорость развития неустойчивости. Размер
стохастической области зависит от отношения V//4 и при )>= ^
достигает 8С$ площади поверхности Н -
§ 4.2. Много резонаноов; отображения
Перекрытие двух или небольшого числа резонансов может и не
вызывать сильной неустойчивости в системе в том смысле, что об-
образующаяся при перекрытии резонансов область стохастичности ограни-
ограничена в фазовом пространстве системы. Поэтому изменение энергии
колебаний или обмен энергией мевду степенями свободы консерватив-
консервативной системы тоже ограничен и мая при малом возмущении. Совсем
другое дело, когда резонансов много. Тогда по системе перекрыв-
перекрывшихся резонансов траектория движения мокет уйти очень далеко
от начального положения, так что возникает не только локальная
неустойчивость движения, но и неустойчивость "в большом". В жм
параграфе мы рассмотрим предельный случай бесконечного числа ре-
резонансов. Удобной моделью является система, движение которой за-
задается разностными уравнениями, или отображением. Рассмотрим, по-
ха в качестве примера, двумерное отображение ft@)+ (*>щ
где _ _
I=l+Kf{9j; 9=9+1, D.II)
X - постоянный параметр, ?(в} - некоторая функция. Это отобра-
отображение является каноническим с производящей функцией
FfreJ-ie+f+Tcvfr); /&/=¦-jf. DЛ2)
При ~К << { разностные уравнения D.II) можно приближенно за-
заменить дифференциальными i&?^C&Jj &&-!-. ¦ , и мы по-
лучаем консервативную систему; Т - период временя, соответствую-
соответствующий отображению. В-общем случае разностные уравнения D.II) так-
также можно записать в виде дифференциальных, но с о -функцией
49

где t^St6+'&'o ¦ SX—SLfr/T ; периодическая (с периодом
Zfr) cf-функция определяется Фурье-разложением
Введем новый импульс ff— l/f , тогда уравнения движения при-
принимают вид
Эта система является канонической с гамильтонианом
Заметим, что хотя переменные ?, $ являются каноническими, пре-
преобразование переменных (I, &J -* (У, &) не является каноничес-
каноническим, так как якобиан duC^^J/bCl, &)- */т Ф i.
Так как система уравнений D.14) эквивалентна исходному отоб-
отображению D.II), мы видим, yto отображение описывает периодичес-
периодическое (с периодом Т ) внешнее возмущение. Это возмущение представ-
представляет собой последовательность коротких "толчков" D.13), что при-
приводит к бесконечной системе резонансов D.14).
Пусть У(в)= cos 9 ; Л — i (т=2я>), мы получаем тогда маятник,
на который действует периодическое возмущение
те К = ^/СЛтг) ~ новый параметр. Считая его малым, получаем
систему резонансов первого приближения
X = П. . D.17)
Все эти резонансы совершенно одинаковые, за исключением сдвига
по^". Это видно также непосредственно 83 исходного отображения
D.II): при переходе от одного резонанса к другому I в D.II)
изменяется на целое кратное %& , так как Т~ %5У% D.13).
Отметим, что приближенная замена разностшвс уравнений D.II) диф-
дифференциальными соответствует учету только одного резонанса^ = 0.
Полуширина сепаратрисы каждого из резонансов по ?¦ am, что
для данной системы то же самое, по невозмущенной частоте <У=- &-
=? равна:^1^к = (&af)r —S.vk . Расстояние re между соседни-
соседними резонансами ю частоте (или по J! ) равно 1 D.17). Из условия
касания сепаратрис (ды)г - i/i, находим критическую величину
50

позмущения
D.18)
)та оценка дает правильный порядок критического возмущения, но
'ак ке, как и в случае двух резонансов (§ 4.1), существенно за-
завышает его величину. Численные эксперименты приводят к значению
К & d /31/. Отметим, что отношение 7Cr/x"p $5 2.47 близко
: аналогичной величине J?T/P & 2.26 для двух резонансов
§ 4.1).
Так как в данной модели все резонанск перекрываются одновре-
¦шнно, возникает неустойчивость, в результате которой импульс
(истемы ? изменяется с течением времени сколь угодно сильно. В
)тсутствие перекрытия изменение У ограничено размером сепарат-
сепаратны резонанса: \&^ \ $ S.Jka
Рассмотрим теперь ту ке модель D.II), но с иной нотенциалъ-
ю1 энергией
оо _ от*»
__1 . —> Jk. У _: . • D.19)
\ последнем выражении мы опустили постоянное слагаемое, так как
)но не влияет на движение системы. Фурье-амплитуды Vf&J легко
)ычиС:Ляются с помощью вычетов, так как функция ~V(@/ имеет про-
;тае полюса в точках COS @о = -~ - cJi 6~, где 0 =
;ohtvd интегрирования показан аа рис.4.3. Получаем
•- ^ (т-
Г:
л
¦ис.4.3. Контур интегрирова-
интегрирования для вычисления коэффици-
коэффициентов фурье функция D.19).
. D.20)
Отметим, что экспоненциальное убы-
same Фурье-амплитуд является об-
общим свойством аналитической функ-
функции (см., например, /2/). Показа-
Показатель 6" определяется шириной поло-
полосы аналитичности функции в комп-
комплексной плоскости, т.е. расстоя-
расстоянием бликайшей особенности функции
до действительной оси. функция D.19)
представляет для нас интерес именно
потому, yto при ее-* 4 она имеет
много гармоник (ср. § 4.4 ). Гамиль-
51

тониан "непрерывной" системы D.15) имеет вид Cl2.= 4)
Cos (**-*€) D.21)
Мы будем говорить, что гамильтониан D.21) описывает полную сис-
систему резонансов
Зу - "ST ' D>22)
К этой системе приближение маятника неприменимо. Действитель-
Действительно, если система находится в резонансе ( ^e/*»to ), то она одно-
одновременно находится и во всех резонансах (Ao///«o ), где / - .лю-
.любое целое число. Это значит, что, рассматривая единственный резо-
резонанс ( tb-a/trio ), мы долкны оставить в гамильтониане D.21) не
один член, а все те члены, которые удовлетворяют условию *?/»,=
Это будет сумма
v~r = У\е." *"° cos i-f ; Ц/=.^О9^ ^о^ D.23)
Сравнивая ее с суммой в D.19), мы видим, что с точностью до не-
несущественного постоянного слагаемого т? пропорциональна У(&)
с параметром 6"ы= 6">по и соответственно с другим
D.20): ,
Следуя технике § 3.3, производим каноническую замену переменных
и находим резонансный гамиль-
Полуширина pesoaarrca равна;
1=У- А* (—-- же) - ^м^ ' <4-26>
Найдем теперь суммарную ширину всех резонансов, попадающих
на отрезок @,1), т.е. резонансов, для которых G < Ч.г < { . Как
ухе отмечалось выше, для исследования устойчивооти достаточно рас-
рассмотреть только такие резонансы, так как остальные резонансы тож-
тождественны с ними за исключением омещение по^" > Суммарная ширина
резонансов равна:
52

Последняя сумма сходится при любом б" вследствие экспоненциаль-,
ного убывания амплитуд гармоник возмущения. В жм gdcicet прос-
простое, хотя и не очень корректное, объяснение важной особенности
нелинейных колебаний, состоящей в том, что всюду плотная система
резонансов совсем не обязательно ведет к неустойчивости, если
только амплитуды высоких гармоник убывают достаточно быстро. Не-
Некорректность простого объяснения связана с тем, что сумма D.27)
построена на резонансах первого приближения. В следующих прибли-
приближениях теории возмущения фурье-амшштуды гармоник изменяются (во-
(вообще говоря, возрастают), так как низкие гармоники дают вклад в
высшие резонансы. Кроме того, возникают, вообще говоря, новые по
сравнению с D.22) резонансы на частотах фазовых колебаний.
Тем не менее мояно попытаться использовать и в жм случае
простой критерий перекрытия резонансов. Граница стохастичности
соответствует условию ^(k^J^i , т.е. суммарная ширина всех
резонансов равна ширине всего интервала по У ¦ В наиболее инте-
интересном случае большого числа гармоник ( б"« i ) сумму в D.27)
мокно заменить интегралом. В результате для критической величины
возмущения получаем
J
Отметим, yto если бы мы использовали приближение маятника для
каждого из резонансов D.22), то вместо D.26) получили бы
М'^"D.21), а вмвс*о^4.28)
что почти на порядок больше D.28), однако вид зависимости к^в")
сохраняется.
Простую оценку D.28) можно несколько улучшить. Прежде всего
заметим, что сумму в D.27) нужно брать не по всем fc»e , чо, как
это было сделано выше для простоты, а только по таким 8 3 яих, кО-
торые образуют несократимые дроби <¦&«, /"»„ ¦ Остальные гармоники
возмущения уке учтены в выракении D.25) для гамильтониана оди-
одиночного резонанса. Как показано в Дополнении А, число таких Нз-
приводимых резонансов составляет в среднем 2/3 от всех резонан-
резонансов (с любыми й1, iv ). Это повышает оценку D.28), но не изменя-
изменяет зависимости к9 от малого параметра в" :
L X S^s- ' D.29)

Более существенным оказывается неравномерность расположения
резонансов, т.е. неравномерность резонансных значений $г— •?*•
на отрезке @,1). Рассмотрим, например, целый резонанс me-i.
Ясно, что ближайший к нему резонанс гармоники hit будет находить-
находиться от него на расстоянии (^си)„ — 4-/т4. Между тем среднее рас-
расстояние между неприводимыми резонансами с то < т^ равно:
<&ы>& Ъ/vnf , так как полное число комбинаций и-< ж ^ /*?,
равно УпЦ'/Я; . Поэтому простое суммирование ширины всех резонан-
резонансов D.27) занижает 1<т . В частности, ширина целого резонанса
(г<}% = * , - D.26) должна быть достаточно»большой, чтобы
перекрыть аномально широкую "щель" 6^0jy . Размер последней опре-
определяется такими гармониками'возмущения (*»<), амплитуда которых
еще достаточна, чтобы перекрыть остальной промежуток @,1). Эф-
Эффективное число резонансов, участвующих в перекрытии, мояно гру-
грубо оценить из D.27) как »*!,,&•« $ * fх. = С (&«i) • Тогда
условие-перекрытия нщели" ( &ь} )А принимает вид
откуда критическое значение возмущения
Более аккуратно величину ^^ можно оценить следующим образом.
Потребуем, чтобы резонансы с гармониками >п0 > *и, перекрывали №-
который участок (S^)^ , непосредственно примыкающий к целому ре-
резонансу .Определение размера этого участка представляет известные
трудности. Однако при 0"« I и соответственно при ^^ »i
этот размер не войдет в условие перекрытия, так как число peso-
нансов с различными Н.о (при заданном **io ), попадающих в зтот №-
известный участок, также будет пропорционально его размеру. По-
Поэтому условие перекрытия мояно -записать в виде SfaJfttoJ^ % (^)а ?
me S(**4) - полная ширина резонансов с \пй> тА на участке
@,t) D.27). Отсюда при 6" « { получаем (&/k'/3&s/z)F(x)=1„
где F60= Jx Sikx ' щ Но ?^к'/б~= l/пл, (условие перекры-
перекрытия "щели" (?ь>)л ), или $.\/Г/е-я = */х . Подставляя это выра-
выражение в первое условие, получим уравнение F(x4 )= 3 /ё-'Х< /у.
При Х„»4; F{X<)%2Vs:(x+?)<fXi/it и M^g-s^.
Это выракение можно уточнить, положив i+Я/х,, %*t+2./l , тогда
XjW I + 4/? . Критическое значение А находится, таким
54

(образом, из соотношения
"Щели" с увеличенной по сравнению со средней шириной сущест-
существуют и при других резонансах: tni » rno > d. . Однако они уже
не изменяют оценки D.31). Как показано в Дополнении А,среди лю-
любой группы резонансов с гармониками ил-^ , (и^5 ...> ^c-t-M-i
существует такой, расстояние которого до резонанса ио/п,
равно д = hr — = • Это расстояние уменьшается
"*» *" ' *••*»• , , „, «,/Г
с >ив быстрее,чем ширина резонанса и»/я, ; (<а7/ # ^ / ,~
D.26). Поэтому при условии к > Kj D.30) все эти щели такяе
перекрываются.
При достаточно малых & значение к^ > к0 . Для неустойчивости
"в большом", т.е. произвольного изменения импульса У , необходи-
необходимо, чтобы к > ki . Это обеспечивает перекрытие всего интерва-
интервала @,1) по ?. При k < k,, неустойчивость носит локальный ха-
характер, т.е. изменение У ограничено каким-то участком интервала
@,1), при этом (djf) ^ { . Такая ограниченная неустойчивость со-
сохраняется при любом л--» О » так как всегда найдутся резонансы
достаточно высокой гармоники, которые касаются (и даже попадают
внутрь) любого ^заданного резонанса.
В гл.З мы выяснили, что основной особенностью одиночного резо-
резонанса является стабилизация резонансного возмущения. Механизм пе-
перекрытия многих резонансов ликвидирует такую стабилизацию, позво-
позволяя системе "блукдать" по резонансам. Развивающаяся при этом сто-
стохастическая неустойчивость является основным препятствием на пу-
пути использования нелинейных колебаний для подавления резонансных
возмущений.
Исследованию нелинейных отображений посвящено огромное количе-
количество работ. В некоторых случаях отображения использовались как
простой приблияенный метод описания двияения непрерывной системы,
например в различных задачах об ускорении зарякенных частиц /23-
25/. В ряде работ исследовались отобракения, полученные по так
называемому методу поверхности сечения Пуанкаре. Такие отображе-
отображения точно, хотя и не полно, описывают двияение консервативной
системы с двумя степенями свободы (см. § 4.3). Этот случай особен-
особенно интересен, так как он показывает, что отображения являются
55

вполне адекватным методом описания движения систем достаточно
широкого класса, хотя этот метод и кажется с первого взгляда
искусственным и формальным. Более того, отображения очень удоб-
удобны для численных экспериментов или для представления результа-
результатов численного счета, даже если интегрируются дифференциальные
уравнения движения /26, 18/. Отображения проще и для теоретиче-
теоретического анализа. Для нахождения отображения, опиоываицего непре-
непрерывную динамическую систему, нужно только проинтегрировать урав-
уравнения движения на некотором (обычно небольшом) интервале време-
времени. Часто это оказывается значительно более легкой задачей, чем
анализ исходных уравнений движения, тем более, что можно ограни-
ограничиться приближенным интегрированием.
Отображения, рассмотренные в этом параграфе D.II), какутся
весьма .специальными. В частности, характерной особенностью та-
таких отображении является их линейность по импульсу. Мы сейчас
увидим, однако, что. они описывают движение вполне реальных ме-
механических систем.
§ 4.3. движение в окрестности сепаратрисы
Важным случаем использования отображения типа D.II) является
движение в окрестности сепаратрисы, например сепаратрисы маятни-
маятника (§ 2.4) или сепаратрисы нелинейного резонанса (§ 3.3). Пока-
Покажем, как можно построить отображение для рассматриваемой задачи.
Пусть мы имеем маятник под действием периодического параметриче-
параметрического возмущения (ср. § 3.2) с гамильтонианом
ZrJ - Д_ _ со^ (</- ?• cos г-)- ccs (f> -
- И о (/>, f) + ¦? V(f, trj • Но= ?r- *?*'« tf D.32)
H(f>,
?V-= ? «i? Ccs ip ¦ cos2-= i^^fj
?r=at+z-o. D-32)
Здесь ? « i - малый параметр возмущения; Sip ^o - частота
и начальная фаза возмущения соответственно. В отсутствие возму-
возмущения ( В = 0) мы имеем свободные колебания маятника (§ 2.1).
Для малых колебаний (/<fl « l) при отношении частот^-/^-Z
имеет место хорошо известный параметрический резонанс (§ 3.2).
Если же частоты SI} и>о не находятся в резонансном отношении,
56

то возмущение вызывает лишь малые ( ?« 4 9 дополнительные ос-*
цилляции, которыми в первом приближении можно пренебречь. Даже
при ? *v 1 эти осцилляции малы, если только частота возмуще-
возмущения достаточно велика { S1 » соа ), Как. известно (§ 2.2), ме-
метод усреднения как раз и состоит в том, чтобы отбрасывать такие
быстро осциллирующие (нерезонасные) члены возмущения. Сейчас мы
увидим, что вблизи сепаратрисы этот метод перестает работать.
Построим отображение, описывающее динамическое состояние систе-
системы D.32) в моменты прохождения положения устойчивости равновесия,
т.е. на поверхности (фазового пространства системы) f = 0, Для
этого проинтегрируем уравнения движения D.32). Найдем сначала из-
изменение энергии системы D//) за полупериод колебаний или за
период вращения маятника. Так как </////? = ~дН/%? =• вЪУ/Ъ'б,
то .4//=• ? ^«fe bV/Ы. . Если система находится достаточно
близко к сепаратрисе, то можно положить приближенно ip'&J%i(Qx&)
B.49) а интегрировать по & в 'бесконечных пределах. Оставив пока
в возмущении D.32) одно из слагаемых {Cosfy-'Zr) ), найдем
Здесь г{^(л) - интеграл Мельникова-Арнольда, который вычисля-
вычисляется в Дополнении В, а последнее выражение дает его приближенное
значение при St/to0 » d. . Начало отсчета времени соответствует
прохождению системы через поверхность сечения $Р = 0, так что
с^ есть значение фазы возмущения-на этой поверхности.
Интегралы такого типа, характеризующие возмущение сепаратрис-
ных траекторий, использовались впервые, по-видимому, Мельниковым,
а также Арнольдом, хотя качественное исследование возмущения се-
сепаратрисы проводилось еще Пуанкаре /6/.
Вместо изменения полного гамильтониана D.32) можно найти из-
изменение невозмущенной энергии по . Имеем
где % у \ - скобки Пуассона. Последнее выражение имеет простой
физический^смысл мощности внешней силы -E~bV/b<p , так как
скорость (р ~ р : Опять-таки заменяя приближенноp&J&/ix&J-
= ±3,?0oCosC(f>/2') B.47) и интегрируя в бесконечных прет
57

D*34)
что в точности оовпадает с v4.33). В последнем равенстве мы ис-
использовали рекурентное соотношение для интеграла Мельникова-Ар-
Мельникова-Арнольда (В.Ю).
Совпадение аНо~Дп объясняется специальным определением
интеграла Мельникова-Арнольда (см. Дополнение В), а именно тем,
что мы пренебрегли осциллирующей периодической по <Р? & частью
интеграла. Последняя несущественна в рассматриваемой задаче,
так как ее колебания ограничены и поэтому она не мокет привести
к неустойчивости движения. В нашем случае разность Н- ffo —
=¦ ? "VCVj 2"/ является именно такой периодической как по ^? ,
так и по ^ функцией D.32), изменение которой ограничены и малы
( ?«¦! ).
При вычислении интегралов D.33), D.34) мы принимали '<piX>Q
что справедливо для одного из полупериодов колебаний маятника
или для вращения в одном направлении. Если <psx. < О , то уч-
учтенный член возмущения ( cos {<p- Ъг)) дает малый вклад при
SI » °^о (см. Дополнение В), которым мы в дальнейшем будем
пренебрегать. Однако второй член возмущения ( c&s (p+ '<?) ) да-
дает в этом случае точно такой яе вклад, как первый для ф^ >q
Таким образом,при симметричном возмущении D.32) каждый полупе-
полупериод колебания маятника.и для обоих направлений вращения измене-
изменение энергии дается выражением D.33) или D.34). Изменение энер-
энергии зависит от фазы возмущения ^ в момент, когда (f = 0. Изме-
Изменение этой фазы между двумя последовательными прохождениями по-
поверхности р= 0 определяется приближенно частотой колебаний ма-
маятника (см. § 2.4)
ъ = ^??»*ъ+%/*ж, D.35)
где со - частота колебания маятника; «*?- = Л& ± ~ отно-
сительная энергия колебаний после прохождения поверхности (р = 0
с фазой 'Ь'о . Заметим, что при 52. » <00 изменение 4&происхо-
4&происходит на относительно малом интервале времени wl/fl « 4/со *~ ^>
цри прохождении поверхности <р = 0.
58

Комбинируя D.34), D.35), запишем отображение, характеризую-
характеризующее движение маятника вблизи сепаратрисы под действием парамет-
параметрического возмущения ^j
где Л = -$2ДH »^ . Это отображение является каноническим.
В силу малооти изменения "иУ мы можем линеаризовать отобра-
отображение по л»У (но не по fo !). В результате получается стандарт-
стандартное отображение
Р^Р+Ьзсиг-^ ге=г-0+р D.37)
с параметром
Новый импульс равен:
а резонансные значения \&у определяются из условия A t\n —-= Ятгк
и равны ( V - целое) _, ,, ^
№Л = Ж е. D.40)
Отметим, что при двбом А -> <^=> в достаточно малой окрестно-
окрестности сепаратрисы (-и5^ -^о ) параметр 7С>4 и, следовательно,
возникает стохастическая неустойчивость. Эта область получила
название стохастического слоя /9/. Метод усреднения (отбраснва-
те нерезонансных гармоник) становится здесь неприменимым. При
S2. ~» °*)с (условие усреднения) стохастический сдой экспоненци-
экспоненциально мал, и это свидетельствует о высокой toyhoctb метода уоред-
нения.
Сравнивая гамильтониан рассмотренной системы D.32) с гамиль-
гамильтонианом D.16) непрерывной системы, эквивалентной стандартному
отображению, можно заметить, рто при ? = 2 возмущение в D.32)
содержит два бликайших по частоте члена возмущения D.16). По-
Поскольку действие остальных экспоненциально мало D.33), то полу-
полученные выше результаты непосредственно распространяются и на си-
систему D.16), т. е. на случай взаимодействия многих резонансов.
При этом величина со0 играет роль частоты фазовых колебаний
?1ф-= JF" (для D.16)), a XL ~ расстояние между взаимодействую-
взаимодействующими резонансами. При А- Я./±2ф ~»1 взаимодействие резонан-

сов является слабым, и мы вправе рассматривать каждый из резо-
наясав независимо ($ 4.1). Мы видим, что это действительно
справедливо всюду, За исключением малой окрестности сепаратри-
сепаратрисы, где взаимодействие резонансов всегда существенно. Это и
есть универсальная неустойчивость
нелинейных колебаний. В системе с одной степенью свободы типа
D.32) эта неустойчивость не приводит к каким-либо серьезным
последствиям. Вдали от перекрытия резовансов стохастические
слои малы, а неустойчивое двияение локализовано! внутри этих
тонких слоев. Однако для многих степеней свободы картина дви-
движения существенно изменяется: стохастические слои образуют еди-
единую протякенную сеть, по которой траектория мо&ет уходить очень
далеко от начального положения. В этом случае универсальная Не-
Неустойчивость становится реальной (см. $ 4.5) •
Если исходный гамильтониан D.32) описывает некоторый Нап-
нейный резонанс, то стандартное отображение D.34) описывает
так называемые резонансы второго уровня /31/,
т.е. резонансы возмущения с фазовыми колебаниями на резонансе
D.32) (первого уровня). В теории ускорителей заряженных частиц
Tame резонансы называются синхротронными. Как
было отмечено выше, стандартное отобракение D.34) описывает
также и резонансы второго уровня самого стандартного отображения
(с другими параметром и переменными, конечно). Поэтому резонансы
третьего уровня исходной системы, т.е. резонансы возмущения с
фазовыми колебаниями на резонансах системы D.34), снова описы-
описываются некоторым стандартным отображением и т.д. Возникает бео-
конечная иерархия резонансов разных уровней, которая мокет быть
рекурсивно описана отображением одного а того же вида ~ отан-
дартным отображением.
Учет резонансов более высоких (или, быть может, лучше сказать
более глубоких) уровней очень важен в проблеме устойчивости дви-
кения. Пусть гамильтониан D.32) описывает некоторый нелинейный
резонанс в "приближении маятника" (§°3.3). Тогда частота малых
фазовых колебаний (первого уровня) СОО rv J7^ , где уи - некото-
некоторый малый параметр возмущения исходной системы! Параметр D*38)
отображения второго уровня D,34) ~К 'v ^Xf> (- С'/vfi')р
где С ~ некоторая постоянная. Сейчас принято говорить, что эф-
эффекты такого (экспоненциально малого) порядка недостижимы с по-
60

Пиошью какой Bar то ни было асимптотической теории, т.е. теории,
использующей формальные, вообще говоря, расходящиеся ряды по
степеням малого параметра возмущения.(см. начало гл.4). Верно,
что функция вида е-хр С~ ^/f/п) не мокет быть представлена
как ряд по степеням yv ¦ Бнло бы однако ошибочным заключить от-
отсюда, что выражение D.38) получено с помощью какой-то мощной
неасимптотической теории. Совсем не так! Все, что мы сделали,-
это последовательный учет всех резонансов в системе, включая
и резонансы более глубоких уровней. Мы не использовали ничего
большего, чем простой метод усреднения, который является, кста-
кстати, обычным способом построения асимптотических рядов. Таким об-
образом, существенным является не столько вид ряда теории возму-
возмущений (асимптотический шш сходящийся), сколько природа самого
параметра возмущенияг по которому производится разложение,, В
wcthocte, для резонансов второго уровня малый параметр возму-
возмущения ~К "•* е*-Р С~ ^/^р) является с самого начала неаналити-
неаналитической функцией параметра возмущения исходной системы м при
Мораль этих рассуждений состоит в том, что подход, основан-
основанный на последовательном учете всех резонансов в комбинации да~
яе с простым методом усреднения, приводит к решению задач, ко-
которые обычно считаются неразрешимыми для такого подхода. Эта
теория мокет бнть названа поэтому резонансной
теорией возмущения как специальный случай об-
общей асимптотической теории возмущения.
§ 4.4. Многомерные колебания
В этом параграфе мы приведем некоторые грубые оценки условий
стохаотической неустойчивости многомерных колебаний, главным
образом, для сравнения критерия перекрытия резонансов с теорией
КАМ (§ 4.5). Характеристики изолированного резонанса многомерных
колебаний получены в § 3.4. Ниже мы ограничимся автономной сис-
системой, т.е. только резонансами связи tn,c*j = 0. Для удобства
читателя выпишем снова гамильтониан системы C.43) (А- = 0)
H(l,e)= Ho(ij+ г? е**'-" D.4D
и напомним, что величины 1} &>.**>> >v явдявтся /{/-мерными век-
векторами. Далее мы предположим для простоты, что Ио (ij-l?/ /
61

тогда cj = I» а матрица нелинейности Э<о /ът становится
единичной. Положение границы стохастической неустойчивости су-
существенно зависит от поведения Фурье-амплитуд при больших >*? •
Мы рассмотрим m а случая.
В первом положим у
B'M 2 D.42)
где Y1 - порядок низших гармоник возмущения. Этот случай соот-
соответствует аналитическому возмущению V(&) (см., например, /2/,
а такке § 4.2). Ниже нас будут интересовать малые значения пара-
параметра 6' , когда возмущение имеет много гармоник "(ср. § 4.2).
Второй тип возмущения, который мм будем называть глад-
гладким, определяется зависимостью
X ~ -фЕ ' D.43)
Параметр с характеризует гладкооть функции Vv&J . Для целого
^ это наибольший порядок непрерывной частной производной по
компонентам вектора $ (зависимость возмущения от 1 считаем
аналитической). При этом говорят, что такая функция VfPj при-
принадлежит классу С • Поведение ее коэффициентов проще всего
понять на примере функции одной переменной, дифференцируя ее
( ?+? ) раз, получим функцию, у которой коэффициенты Фурье не
завиоят от номера гармоники, т.е. о-функцию или что-то в этом
роде. Значит, ( ?+? )-я производная исходной функции терпит
разрыв (^У^), а / -я производная и все предыдущие непрерывны.
Для функции многих.переменннх вида D.43) коэффициенты Фурье
производной --%, •\a""~ V& (ii+..Ап^=-1+я)ъзжъя1 толь-
ко от отношения. номеров гармоник CvA1; ), но не от их величины.
Полуширина отдельного резонанса ^о> = с зависит от соответ-
соответствующей Фурье-амплитуды возмущения Vm и при сделанных выше
предположениях относительно Ио равна C.60):
(Ды)г =Х^еК'' D.44)
Объем резонансного слоя в пространстве частот имеет порядок
^ )г ^ ¦ D.45)
Мы опускаем в оценках все численные факторы, оставляя только за-
зависимость от параметров. Как мы видели в § 4.2, только для таких
62

грубых оценок можно пользоваться приближением маятника D.44)
для отдельного резонанса.
Рассмотрим сначала гладкое возмущение D.43). Для заданного
М имеется и^л/Л*" различных резовансов, общий объем ко-
которых в пространстве чаотот iK^^Vr^M • Полный объем, заня-
занятый всеми резонансами V^vS v~L » а средний коэффициент за-
поянения пространства частот резонансными слоями
/и ~ -г—v 'v VF J^?— У\ т - • D.46)
При Af ^ 4 все пространство залолнено резонаноами и имеет
место стохастическая неустойчивость; при /м «{ неустойчи-
неустойчивость развивается только в окрестности пересечения резонансных
слоев, тогда как для большинства начальннх условий движение ус-
устойчиво.
Сумма в D.46) сходится при условии
?> 4 = &A/-Z ¦ D.47)
Последнее равенотво определяет критическое значение гладкости
возмущения. При ? ^ ?с резонансы перекрываются при сколь
угодно малом возмущении ?-»¦<? , т.е. такая система всегда
неустойчива.
В случае аналитического возмущения D.42) аналогичным обра-
образом получаем
Последняя оценка справедлива при A/» i • 6" << 1 . Для анали-
аналитического возмущения всегда существует критическое возмущение
?с , нике которого резонансы не перекрываются. Оно соответству-
соответствует коэффициенту заполнения м ™ { , откуда
?.^hs.(fp) > D.49)
где мы использовали соотношение пв—Д( /х —Wl /Я, (см. выше).
Оценим теперь отношение Ho/Vj • Для этого отнормируем йа-
лый- параметр ? таким образом, чтобы
W/=<V?> =XlK,/2 • D.50)
где усреднение производится по фазам в . Последнее выражение
63

"написано на основании равенства Парсеваля. Для спектра D.42)
откуда
с ш /
/V
Это й есть окончательная оценка критического возмущения в смысле
зависимости его от параметра аналитичности бг и числа степеней
свободы. Напомним, что последняя оценка очень грубая, в ней не
только отсутствует численный множитель, который мокет быть
весьма большим, но и не учитывается неравномерность расположения
резонансных олоев в пространстве частот. Это мокет привести к
уменьшению показателя D.51), т.е. к повышению ?с (ср. § 4.2).
§ 4.5. Теория Колмогорова-Арнольда-Мозера (теория КАМ)
Строгая оценка границы устойчивости движения для системы с
гамильтонианом вида D.41) дается теорией КАМ. Как уже отмеча-
отмечалось (см. введение к гл.4)¦, задачу об устойчивости нелинейных
колебании удалось решить лишь сравнительно недавно. Решение ока-
оказалось возможным благодаря двум фундаментальным идеям Колмогоро-
Колмогорова /I/. О первой из них мы уке говорили подробно в § 2.2 - это
новая теория возмущений, обеспечивающая сверхсходимость последо-
последовательных приближений. Вторая идея связана с изменением самой
постановки задачи. Чтобы понять ее, сделаем в D.41) замену пе-
переменных, уничтокающих возмущение w ? (§ 2.2).Выбирая производя-
производящую функцию в виде
я подставляя 1= 1^-t-cS.fn Фы& ' в D.41), найдем $урье-
амплитуды __ . Y
Характерной особенностью этого выражения являются малые знамена-
знаменатели OJ^ ¦=. (ы} cj) , которые обращаются в нуль на резонансных
поверхностях. Так как последние образуют в общем случае всюду
плотное множество, легко понять масштаб трудностей, связанных
с поотроением сходящихся рядов теории возмущения. Эта трудность
хорошо известна из задач небесной механики. Первая проблема со-
состоит в том, чтобы просто не попасть на резонансную поверхность.
64

'Пели, как это обычно делалось, решается задача о поведении тра-
траектории с фиксированными начальными условиями (l(o)^= 1О ;
9(а)= $0 ) , то уке Ji в D.53) может оказаться на резонансной
поверхности. Если даже этого не случится, то после оледуицего
канонического преобразования возможно, что *w , t-i(lt)^.Q. По-
Поскольку нукно сделать бесконечное число преобразований, то со-
совершенно неясно, как можно гарантировать, что система никогда
не скажется на резонансной поверхности, не говоря уже о том, что
она может подойти к ней достаточно близко, чтобы совершенно ис-
испортить сходимость рядов. Для преодоления этой трудности Колмо-
Колмогоров изменил постановку задачи: вместо исследования поведения
траектории с фиксированными начальными условиями он исследует
траектории с фиксированным набором частот со = со*= coh,st6
во всех приближениях. Так как, вообще говоря, частота в каждом
приближении несколько изменяется за счет <V(Z,Pj> (см.
§ 2.2), необходимо смешаться по начальным условиям для компенса-
компенсации этих изменений. Чтобы эти смещения не были слишком большими
и ех последовательность сходилась, нелинейность системы не долк-
на быть слишком малой - условие, похокее на одно из неравенств
умеренной нелинейности et ?, ? C.42). Можно оказать такке,
что в подходе Колмогорова исследуется поведение под действием
возмущения инвариантного тора невозмущенной системы с заданным
набором частот. В устойчивом случае тор слегка (~? ) деформиру-
деформируется, в неустойчивом - разрушается, превращаясь в нечто очень
сложное и непонятное.
Вторая проблема состоит в оценке малых знаменателей снизу,
yto также необходимо для построения сходящихся рядов. Эта зада-
задача очень похожа на получение критерия перекрытия резонансов
(§ 4.4). В самом деле, мы мокем исключить некоторые окрестности
резонансных поверхностей (резонансные слои) и тем самым ограни-
ограничить снизу малые знаменатели. Поскольку частоты фиксированы,
такое ограничение будет справедливо am всех приближений. Отли-
Отличие от задачи о перекрытии резонансов состоит в том, что там ши-
ширина резонансов была задана динамикой системы, в то время как
здесь мы можем выбирать ширину "опасных" слоев произвольно, а
значит и оптимально. Конечно, ширина слоев должна как-то убывать
с ростом номеров резонансных гармоник, чтобы полный объем "выбро-
"выброшенной" области частот остался конечным (и малым). Из опенки
65

D.46) видно, что закон убывания мокно выбрать отепенным. Рас-
Рассмотрим этот вопрос подробнее, поскольку в литературе не всегда
используются оптимальные оценки.
Пусть
? IHfcaJj , D.54)
где (A^yj - полуширина резонансного слоя (перпендикулярного
резонансной плоскости), а о - некоторая постоянная размерности
частоты. Прежде всего найдем связь мевду |vn| и Д , имеем
)¦ D.55)
Выражение в скобках принимает максимальное значение при 1^1 =
¦&\mtL\s:...s\n*/,bs?L, в чем можно легко убедиться, приравняв ну-
нулю частнне производные по |>*i. | . Отсюда следует, что/fW^ М.4
/'• Из D.54) получаем о .—,
D.56)
Отсюда аналогично оценкам предыдущего параграфа находим относи-
относительную долю объема выброшенных частот
^' D'57)
Сходимость этой суммы определяет минимальную степень в законе
убывания малых знаменателей D.54):
Ьъ\с^-=.Н-4. D.58)
Для аналитического возмущения сходимость рядов почти "очевид-
"очевидна", так как малые знаменатели D.54) убывают значительно мед-
медленнее Фурье-амплитуд D.42). Однако подробное изложение доказа-
доказательства этого "очевидного" результата занимает donee половины
объемистой книги /32/. Впрочем, краткое и ясное излокение схемы
доказательства имеется в прекрасном обзоре Арнольда ~ автора
доказательства /2/. Подчеркивая принципиальную важность строгого
доказательства существования критического возмущения, ниже кото-
которого двикение устойчиво, необходимо отметить, рто получающиеся
оценки для критического возмущения сильно занижены, и ми не бу-
будем их здесь приводить (см. /32/, § 7.10).
Техника построения сходящихся Рядов теории возмущения была
усовершенствована Мозером, которому удалось распространить ее
66

на rnawoe возмущение. В первой работе было рассмотрено отобра-
отображение, похохее на отображения в § 4.2, a nonyseao критическое
значение параметра гладкости возмущения /е = 333. Хотя само
это значение явно нереально, отказ от требования аналитично-
аналитичности возмущения имеет принципиальное значение. Для решения этой
задачи Мозер использует аппроксимацию гладких функций тригоно-
тригонометрическими полиномами конечной степени. Интересно отметить з
что идея такого подхода упоминается еие Боголюбовым и Митрополъ-
ским (см. /4/, с.168, § 13), хотя в дальнейшем Митропольский и
Самойленко использовали при исследовании гладкого возмущения
.другую технику (сглаживающий оператор) /15/.
Наилучшая оценка для отобракения получена Рюссманом: -^ = 6.
В /3/ утверждается (без доказательства), что эту оценку можно
улучшить до ?.с = 4, и высказывается гипотеза, рто на самом деле
?с = 3. С другой стороны, известно (см. /3/), рто при ?¦ = 2
отображение всегда неустойчиво* . Таким образом удается получить
весьма эффективные оценки, по крайней мере в отношении достаточ-
достаточной гладкости возмущения. Отметим, что критерий перекрытия резо-
нансов дает для отобракения ?с = 2. Это значение получается
из D.47) при //'=2, так как по числу резонансов отображение
эквивалентно системе с двумя степенями свободы.
Возвращаясь к непрерывной системе с гамильтонианом D.41),
отметим прекде всего, что недостаточно потребовать, чтобы Фурье-
амплитуды У^, убывали быстрее малых знаменателей в D.53). Это
привело бы к сс = М- 3 в явном противоречии с нижней оценкой
по перекрытию резонансов D.47). Даже для сходимости ряда I- !.,=
= os21>» Ф>пе^е"'& первой замены переменных нукно потребовать,
чтобы ? > ¦? W- Z , так как
^D>59)
м ™ м
*) Обратим внимание, что все приведенные выше значения ? для
отобракения № единицу больше, чем в /3/, так как у нас параметр
?¦ характеризует гладкость гамильтониана (или производящей
функции), тогда как в /3/ ? характеризует возмущение самого
отобракения ("силы").
67

и Л D.58). В следующих приближениях число непрерыв-
ных производных возмущения уменьшается из-за малых знаменателей,
и если не пользоваться специальной техникой сглаживания, то че-
через конечное число последовательных приближений ряды будут рас-
расходиться. Аппроксимация возмущения аналитическими функциями
позволяет справиться с этой трудностью, и Мозер получает (см.
/3/) .
4 = 2М+Я ¦ D.60)
Сравнение к критерием перекрытия резонансов (А.4П)(?с—?М-?)
показывает, что достаточная оценка Mosepa D.60) весьма эффектив-
эффективна.
Более мощную технику построения сходящихся рядов в случае
гладкого возмущения можно использовать и для улучшения оценок
в аналитическом случае. Для этого заметим, что аналитическое
возмущение вида D.42) можно оценить сверху гладким:
/
Но по теореме Мозера последнее возмущение не разрушает инвариант-
инвариантные торы при условии ?>2/Y+?. и рЛГ/.?+%. r+z - с и
у( && J о по *
где ?о - некоторая (неизвеотная) константа, не зависящая от б".
Отовда граница устойчивости движения исходной системы D.41) с
аналитическим возмущением D.42) соответствует
*\/i D.62)
Используя далее нормировку ? согласно соотношению D.50), полу-
получим при А/•» 1 » пренебрегая численными факторами
что очень близко к оценке D.51) по перекрытию резонансов. Под-
Подчеркнем, что в силу принятой нормировки ? условие D.63) харак-
характеризует достаточную среднеквадратичную
по фазам $ малость возмущения. Такая нормировка удобна тем, что
она не зависит от фазовых соотношений Фурье-гармоник возмущения.
Выясним теперь более подробно, что собственно означает грани-
граница устойчивости вида D.63) в теории КАМ. Буквально она означа-
означает, что некоторые ("хорошие") инвариантные торы невозмущенной
68

системы
J= const < 0s co(l)'t + в0 D.64)
лишь слегка деформируются под действием возмущения, но не разру-
разрушаются, т.е. остаются топологически торами. "Хорошие" тори опре-
определяются вектором частот ее , для которого малые знаменатели
не слишком малы: соы = уп , со > &//\ * • k > //- i . D.54).
Объем дополнительной области, занятой "плохими" торами8 сохра-
сохранение которых не гарантируется теорией, мал при достаточно ма-
малом возмущении D.57). Однако "плохие" торы заполняют всюду
плотное множество резонансных слоев. Задача о поведении такой
системы становится поэтому некорректной, ибо практически невоз-
невозможно локализовать начальные условия движения в "хорошей" обла-
области. Тем не менее оказывается /2/, что для системы с двумя сте-
степенями свободы устойчивость движения при достаточно малом воз-
возмущения может быть гарантирована, независимо от упомянутой не-
некорректности задачи. Это связано с особой топологией фазового
пространства чакой системы. Именно оказывается, что двумерные
инвариантные торы, как говорят, делят трехмерную гиперповерх-
гиперповерхность постоянной энергии. Это значит, что переход от одного то-
тора к другому возможен только через промежуточные торы. В част-
частности, переход между двумя резонансными торами возмокен только
через нерезонансные. Но так как нерезонансные торы сохраняют-
сохраняются, то ясно, что что бы не случалось с траекторией внутри резо-
резонансного слоя, она не может проникнуть через ближайший сохра-
сохраняющийся тор и оказывается, таким образом, запертой мевду хо-
хотя и не воюду плотной, но достаточно плотной системой сохраняю-
сохраняющихся торов. Это и означает устойчивость .движения. Максимальное
расстояние мевду соседними сохраняющимися торами порядка ширины
резонансного слоя, т.е. <^\/?7->-<? при Е-*0.
Особая топология фазового проотранства в случае двух степе-
степеней свободы.связана с тем, что размерность энергетической по-
поверхности как раз на единицу больше размерности тора. Говорят
еще, что торы влокены друг в друга на энергетической поверхно-
поверхности. Структура энергетической поверхности такой системы напоми-
напоминает, как заметил американский физик Дж.Форд, русскую матрешку.
Эта структура может быть также наглядно представлена на поверх-
поверхности частот системы. Проекция энергетической поверхности на
поверхность частот есть линия, каждая точка которой соответствует
69

и разному отношению частот системы. Ясно поэтому,
что осг&в&я011 в пределах резонансного слоя, система может
сдвиауться п0 линии постоянной энергии лишь на расстояние поряд-
порядка шири^ слоя* Исключением являются лишь такие особые системы,
у которй* линии постоянной энергии идут вдоль лиши резонанса.
Это так зазываемые некрутые, или квази-изохронные системы (см.
§ 3.4).
Сохрзвение инвариантных торов означает также сохранение пол-
полного наб°?а ^^ интегралов движения, причем точные интегралы
возмущейвой си°Темы мало отличаются от невозмущенных интегралов.
Однако э™ Т0ЧНые интегралы разрушаются внутри всюду плотной
системы резонаноных слоев. Поэтому их зависимость от .динамичес-
.динамических пере|Ленных оказывается всюду разрывной. Этим выясняется
смысл сТа-Р°й теоРемы Пуанкаре, согласно которой, в общем случае,
гамильтОаова система не имеет аналитических интегралов движения,
кроме аЯе?гии ^и> конечно, импульса и момента) /6/. Тем не менее
для дву* сТепеней свободы это не оказывает реального влияния на
движение системы и, таким образом, теорема Пуанкаре не имеет на
самом деяе того значения, которое ей придавали до теории ММ.
диалогичная ситуация имеет место и для системы с одной сте-
степенью сво<5оды> находящейся под действием периодического возмуще-
возмущения. 01Мть~таки Двухмерные инвариантные торы делят трехмерное
фазовое пространство (если ввести дополнительную (?азу, пропорцио-
нальную зРемени« см. § 3.3), или более наглядно: на линии часто-
частоты со резонансные значения со разделены между собой нерезонанс-
нерезонансными.
дрИ чясле степеней свободы А/>?, инвариантные торы размер-
размерности N 5ке не Делят энергетическую поверхность размерности
?д/- 1 • Так как разность размерностей 2М-1- JV' - //-4 >-/•
Иным выражением этого факта является объединение резонансных
олоев в связанную систему на энергетической поверхности. Дейст-
Действительно' в пространстве частот размерности /У пересечения резо-
резонансной поверхности размерности А/- 1 с энергетической (так-
(такие размеРН0СТИ Mr * ) имеют размерность А/-Я, >0 (при/К>Х)
и слен0эаТельно« TaK!Ket вообще говоря, пересекаются мекду собой,
образуя связанную и всюду плотную резонансную сеть, или паутину,
опутывав10 всю энергетическую поверхность. В пространстве менду
этой naJTHH0® Р^полокены инвариантные торы, которые сохраняются.
70

^Однако для начальных условий внутри паутинн система может, в
принципе, обходить всю энергетическую поверхность, все время
оставаясь внутри того или иного резонансного слоя. Эта общая
гипотеза была высказана Арнольдом после того, как он построил
пример движения оистемы вдоль резонансного слоя /5/. Отметим,
что эта своеобразная неустойчивость, получившая название диффу-
диффузии Арнольда, является по существу универсальной неустойчиво-
неустойчивостью многомерных нелинейных колебаний, универсальной в том
смысле, что она в той или иной мере имеет место при любом воз-
возмущении. Этим диффузия Арнольда отличается от отохастической
неустойчивости, для которой требуется перекрытие резонансов,
т.е. достаточно сильное возмущение.
71

Дополнение А: АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕ30НАНС0В
Системы резонансных частот определяются набором целых чисел
и потому обладают рядом специфических свойств. Рассмотрим неко-
некоторые из них.
I. Число неприводимых резонансов отображения»D.II)
Пусть О -< w/n, ^ I ; оценим число различных резонанс-
резонансных значений <^/д. = и /м с ограниченным знаменателем
ы < **4 . Для данного т < мл полное число резонансов в ин-
интервале @,1) равно fa ( н- = 1,2,...,'"). Все резонансы объеди-
объединяются в группы по & (*, *"* ) совпадающих друг с другом (при-
(приводимых) резонансов ы/SL. = У*^о /Vmo (r-= d,Z,...) R.)-r
>^e/*io - несократимая дробь. Целое & - \у»л /тл]- J2^l — p,
где jO - дробная часть ( b7^/Wo). Пусть 1С^О) - число непри-
неприводимых резонансов гармоники мо , т.е. число несократимых дро-
дробей Но /tr>o < d с фиксированным знаменателем. Тогда полное чис-
число резонансов равно:- ы^
Z 1ЫЖ*., -„1=2 *. = ^ф^-;- (АЛ)
При Ъ\ »i решение этого уравнения имеет вид
где <р> & */%, - среднее значение дробной части. Точность этой
оценки 'V*/'»» ¦ Например, для to = Ю из полного числа 55 резо-
резонансов 32 являются неприводимыми, что составляет 5?$ вместо асимп-
асимптотического значения 67?.
2. Расстояние между резонансами отображения D.II)
Найдем минимальную ширину "щели" между двумя резонансами:
(А.З)
72

с заданными н,а , тд, т и произвольным /г- . Дробь /г-в/^7о-- не-
несократимая (неприводимый резонанс), а н^/т - любая, кроме
*ь/щ =^-.А/<5. Целое уь выбирается таким образом, чтобы полу-
получить минимальное оФО. При этом условии числитель /? =
=.мпо-ито может иметь *яо разных значений, включая р=о и
Ipl ?: Упо~ { . Будем изменять <•*!-»• м*'к и подбирать соот-
соответствующее v\,-* к+?¦ . Тогда у" изменяется на целое число
Ар-=.кп,о— ?/по , Для к = 1,2,..., *»о все Ар разные,
так как в противном случае лк-п..- a?'/n0 и дробь !Ь.—Л&.
, мо лк
оказывается сократимой ( Л к < №>о ). Следовательно, среди «г^
разных значений р найдется по крайней мере одно с //>/= / и
? I/ тд ¦ Номер гармоники этого ближайшего резонанса
Дополнение Б: ИНТЕГРАЛ МЕПЬНИКОВА-АРШЛЬДА
Рассмотрим интеграл со
где функция
1р(е)**4 a.rc?g (е?)-зг-. (в.2)
описнвает движение по сепаратрисе маятника B.49), ам я А -
параметры. Ввиду антисимметричности аргумента косинуса
- _ U>F)) можно написать оо
Далее, пусть Х= 3.arc^ (& J , тогда е"=
и интеграл (В.З) рььеп:
73

Полюса подынтегрального выражения расположены в точках
При целых и* >О интеграл вычисляется с помощью вычетов.
Для А > О контур интегрирования замыкаем в нижней полуплос-
полуплоскости Z^ . Эта операция требует некоторого пояснения. Мы можем
замкнуть контур, например, по двум прямым: Re ? =±T. Интег-
Интеграл (В.З), взятый по этим прямым, не равен, вообще говоря, ну-
нулю, а пропорционален при 7-» л» выражению $1<и (»>% — \Т)
т.е. осциллирует с Т , Это веано ш асимптотического поведения
неопределенного интеграла
[Me
при
t -* ±
л ^
Такие осцилляции легко уничтожаются канонической заменой пере-
переменных (§ 2.2), поэтому мы можем просто отбросить их, оставив
в выражении для интеграла Мельникова-Арнольда только апериоди-
апериодическую часть.
Вводя новую переменную zz-=.t-tp и вычисляя вычеты в (В.5),
получаем (контур интегрирования проходится в отрицательном на-
me мы ввели новые функции /^ (X) (см, ниже).
При А < О контур интегрирования замыкаем в верхней полу-
полуплоскости t и проходим его в положительном направлении. Ближай-
Ближайший к действительной оси полюс располокев теперь в точке
"ta — Ъ5г1/& . Все остальные соотношения сохраняются. Поэтому
можем ораэу написать
X
При больших 1А| величина интеграла в этом случае существенно
меньше. Для вычисления функции fm (к) удобно воспользоваться
рекурентным соотношением для ДщСА) t найденным О.В.Жировым,
74

Оно получается, если проинтегрировать (В.5) по частям и пренеб-.
речь выражением «
л i+e. 1_т
№ это как раЗ тот самый осциллирующий член, который мы уже от-
броошш, как это было объяснено выше, мз (В, 10) и (В.7) полу-
получаем рекурентное соотношение для функции f^ (A)
L.-l- (^L.J^jP- (в.п)
Пржведем несколько первых ?щ :
При |Л| »ъ fm дают малые поправки к основному члену в (В.7);
е^.\>>*' (влз)
Ц0^е\>>*
Полученные выражения можно сравнить с точным разложением реше-
решения для маятника вблизи сепаратрисы B.51):
fV^ . А =^« №.14)
Коэффициенты этого ^урье-разложения определяются интегралом (ко-
(колебательный режим):
% \
что в точности совпадает с (В.14).
Для действительных (нецелых) значений параметра/*? интеграл
(В.5) мокет быть вычислен приближенно при больших |А| » ю.
Интегрированяе производится вокруг разреза вдоль мнимой оси ~?
до ближайшей к действительной оси особенности. Для л >О такой
особенностью является полюс в точке ~6О =-2^. . (в.6). Вводя
новую переменную у по формуле zf= ?о-г#/А
75

Интеграл (В.5) принимает вид
(В. 16)
Л>о
Рис. B.I. Контура интегрирования при вычислении интеграла
Мельникова-Арнольда,
Контура интегрирования по ^ и по ? изображены на рис.В.1. По-
Последний интеграл выражается через гамма-функцию /12/, в резуль-
результате получаем
А, (А)
(В.17)
Для целых in это выражение совпадает с приближенной формулой
(В.13) и имеет, таким образом, точность л* (т/ХK- (см. (В.II)).
Для А < 0 а нецелых in ближайшей к действительной оап осо-
особенностью является точка ветвления (нуль) подынтегральной функ-
функции: i-t-c-e. °—O у ?o—~g~ . Полагая аналогично предыдущему
случаю ? - ?¦ в + ij//l\ I,, найдем
е. = е
«"';
'4+ier
t-JL. ¦ У«\\\
-ем/ > г
в окрестности особой tow. Интегрируя вокруг разреза (рис. В Л),
ПОЛУЧИМ /7 /1„л)_ f Uj/ а-'Ф -У т
(?1X1)
76

Это выражение становится неприменимым вблизи целых ы , где
/1Ы (\<о) дается выражением (В.9). При |А| » »ч для любых
*я величина интеграла много больше для положительных, чем для
отрицательных А ¦
До сих пор мы считали ж ><? и Y'sx **& (В.2). Исходное
представление интеграла показывает, что существенны относитель-
относительные знаки величин in(f> ; X ; наибольшее значение интеграла
соответствует »»»А р > О.
В заключение отметим, что при \\\ »^ основное значение
интеграла набирается на интервале /v { /\\ \ симметрично
вокруг t = О.
77

Литература
1. Колмогоров АН ДАН 98 A954) 527; Общая теория динамичес-
динамических систем и классическая механика. Международный математический
конгресс в Амстердаме. М„ Физматгиз, 1961, с.187.
2. Арнольд В.И. УМН.18:6 A963) 91; Arnold V.I., Avez А.,
ErgQdio Problems of Classical Mechanics (Benjamin, 1968),
3. Moser J. Stable and Random Ibtions in Dynamical Systems
(University Ecess, Princeton, 1973).
4. Боголюбов H.H. ~, Митропольский Ю.А. Асимптотические методы
в теории нелинейных колебаний. М., Физматгиз, 1958.
5. Арнольд В.И. ДАН ,156 A964) 9; Проблема устойчивости и эр-
годические свойства классических динамических систем. Труды Меж-
Международного конгресса математиков (Москва, 1966). М., "Мир",
1968.
6. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избранные
труды. М„ "Наука", 1971.
7. Крылов Н.С. Работы по обоснованию статистической физики,
М СССР. М., 1950.
& Мельников В.К. MHJ44 A962) 747; 148 A963) 1257.
9. Заславский Г.М., Чириков Б.В. УФН J05 A971) 3.
10. Синай Я.Г. УМН 25:2 A970) 141.
11. Капица П.Л. ЖЭТФ 21 A951) 588.
12. Градштейн И.О., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, ря-
рядов и произведений. М., Физматгиз, 1962.
13. ZaJs&arov. The Method of Reverse Scattering Problem. Lecture
Wotes in Mathematics, Springer, 1977»
14. Арнольд ВЛ. Математические методы классической механики.
М., "Наука", 1974.
15. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А., Самойленко А.М. Мето1
ускоренной сходимости в нелинейной механике. Киев, "Наукова дум-
думка", 1969.
16. Коломенский А.А., Лебедев АЛ. Теория циклических ускори-
78

телей. М , Физматгиз, 1962.
17. Зельдович Я.Б. ЖЭТФ J5I A966) 1492; Ритус В.И., там же,
0.1544.
18. Ford J., Lunsford GH Phys.Eev. A1 A970) 59.
19. Хаааев MM ДАН 198 A970) 46; Маркеев А.П. Прикладная
математика и механика, 37 A973), 753,
20. Нехорошев НЛ. Метод последовательных канонических замен
переменных. Добавление в книге: Ю.Мозер. Лекции о гамнльтоновых
системах. М., "Мир", 1973; УМН 32:6 A977).
21. Walker G.H., Ford J. Phys. Rev. ,188 A969) 416.
22. Гадияк Г.В., Израйлев Ф.М., Чириков Б,В. Предварительные
численные эксперименты по диффузии Арнольда. Новосибирск, пре-
препринт ИЯФ 74-49, 1974.
23. Заславский Г.М., Чириков Б.В. ДАН J59 A964) 306.
24. Мелехин В.Н,„ЖЭТФ 61 A971) 1319; 68 A975) 1601.
25. Lieberman М.А., Lichtenbefg A.J. Ehys.Bev. А5_ A972) 1852.
26. Garren A. et al. , Individual Particle Motion and the W-
feet of Scattering in an Axially Symmetric Magnetic Field, Proc.
2nd Intern. Conf, on Peaceful Uses of Atomic Energy
11 C958) 65.
27. Арцимович Л.А. Управляемые термоядерные реакции. М., Зиз-
матгиз, 1961.
28. Hastie R.J., Hobbs G.D., Taylor J.B. Won-Adiabatic Beha-
Behaviour of Particles in Inhomogeneous Magnetic Fields, Froc»
Conf. on Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research,
Novosibirsk, 1968 (Int. Atom. Energy Agency, Vienna, 1969)
v.1, p.389.
29. Крушкаль ЕМ LTQ42 A972) 2288.
30. Сердюк OB. ЖТФ 46 A976) 2136.
31. Chirlkov B.V. A Universal Instabilly of Many-Dimensional
Oscillator Systems, Physics Reports.
32. Гребешков E.A., Рябов Ю.А. Новые качественные методы
в небесной механике. М., "Наука", 1965,
33. Гладкие динамические системы, реп. Д.В.Аносов, м., "Мир",
1977.
34. Нитецки 3. Введение в дифференциальную динамику. М., "Мир",
1975.
35. Волосов В.М., Комин АВ. КТЫ 38 A968) 846; Bocharov V.N.
79

Volosov V.I., Котитn A.V., Panosyuk VM, Yudin Tu.N. Plasma
Containment in a Stellarator for Different Eree Path Lengths.
Eroc. Conf. on Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion
Researoh. Novosibirsk. 1968 (Int. Atom. Energy Agency. Vienna.
1969). v.1, p.561.
36. Fermi E., Pasta J. , TJlam S. Studies of Nonlinear Prob-
Problems I. bos Alomos Scientific Report LA-1940. 1955} Ферми Э. ,
Научные труды. М„ "Наука", 1972. ТД с.647.

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
Глава I. ВВЕДЕНИЕ .' ¦ ..¦*. 5
Глава 2. ЧТО ТАКОЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ?
НЕСКОЛЬКО ПРОСТЫХ ПРИМЕРОВ Ю
§2.1. Маятник 10
§ 2.2. Канонические преобразования и сверх-
сверхсходимость о , 13
§ 2.3. Кубическая нелинейность 19
§ 2.4. Сепаратриса .„ ....... 21
Глава 3. НЕЛИНЕЙНЫЙ РЕЗОНАШ 24
§ 3.1. Внешний резонанс 25
§ 3.2. Параметрический резонанс 29
§ 3.3. Универсальное описание нелинейного
резонанса 31
§ 3.4. Резонанс многомерных колебаний 33
Глава 4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ PE30HAHCGB И СТОХАСТИЧЕСКАЯ
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ 41
§ 4.L Два резонанса; критерий перекрытия 42
§ 42. Мнбго резонансов; отображения 49
§ 43. Движение в окрестности сепаратрисы 56
§ 44 Многомерные колебания 61
§ 45. Теория Колмогорова-Арнольда-Моэера
(теория КАМ) 64
Дополнение А: Арифметические свойства резонансов 72
Дополне ние В: Интеграл Мельникова-Ар нольда 73
Литература 78