и. м. я г л ом,
доктор физико-математических наук, профессор
ГЕОМЕТРИЯ ТОЧЕК
И
ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ЗНАНИЕ»
Москва 1908
517,5
Я-29
2-2-3
ПРЕДИСЛОВИЕ
За последние годы концепция Клейна,
согласно которой геометрия изучает инва-
рианты той или иной группы геометриче-
ских преобразований, приобрела извест-
ную популярность в нашей учебной лите-
ратуре по математике; она обсуждалась
неоднократно в книгах и статьях, рассчи-
танных на учащихся и преподавателей
средней школы (см. список литературы на
стр. 43—44). Однако при этом зачастую за-
бывается, что одним лишь указанием группы
преобразований никакая ветвь геометрии
еще не выделяется,— наряду с этим надо
указать также и «образующий элемент»
геометрии: однородное (клейновское) про-
странство задается указанием группы ав-
томорфизмов и ее стационарной подгруппы
(ср. ниже, стр. 35—42). Забвение этого
обстоятельства приводит иногда к досадным
недоразумениям: автор сам когда-то долго
не мог понять встреченного в научной ли-
тературе утверждения о том, что проектив-
ная геометрия является одной из неэвкли-
довых геометрий Кэли—Клейна (это утвер-
ждение подразумевает, что за образующий
элемент проективной геометрии йа плос-
кости принята пара «точка + прямая», о
чем читатель не был своевременно преду-
прежден). И настоящая брЬшюра, возник-
шая из прочитанной некогда московским
школьникам лекции, ставит . фоей целью
разъяснение той роли, которую играет в
геометрии понятие «образующего элемента».
Самым трудным в брошюре, видимо,
явится ее заключительный параграф, в из-
вестном смысле суммирующий содержание
3
брошюры. Возможно, что некоторым чита-
телям будет полезно перед чтением § 5. оз-
накомиться С указанной на стр. 44 книгой
П. С. Александрова 117].
Рукопись настоящей брошюры была
внимательно прочитана В. Г. Болтянским*
которого я рад поблагодарить за советы и
замечания. Я благодарен также М. С. Ко-
ролевой за помощь, оказанную мне при из-
готовлении эскизов чертежей.
И. М. Яг-лом
Москва* январь 1968 г.
§ 1. ГЕОМЕТРИЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Содержание каждой науки можно описать, указав те объекты,-
которые эта наука рассматривает, и те свойства этих объектов,
которые изучаются в рамках интересующей нас науки. При этом
изучаемые .той7 или иной наукой свойства всегда представляют
собой только часть весьма многообразных свойств реальных
объектов. Так, рассматриваемые в физике «физические свойства»
тел касаются их масс, приложенных к ним сил, скоростей и ус-
корений движения, вкотором участвует тело, и совсем не касаются
внутреннего строения тела, элементов, из которых тело состоит:
последнее относится уже к области химии, а не физики. Анало-
гично этому, скажем, натуральные числа первоначально возникли
как характеристики произвольных (но конечных!) наборов каких-
то предметов; однако математика интересует лишь одно свойст-
во подобных наборов — число входящих в набор предметов:
на пути отказа от изучения всех других свойств и возникла
арифметика, игнорирующая все данные о совокупностях объек-
тов, не связанные с числом индивидуальных объектов, входящих
в данную совокупность.
' Последний пример очень удобен тем, что он позволяет понять
характер условий, выделяющих ту или иную совокупность
свойств, представляющих интерес с точки зрения определенной
научной дисциплины. Для того чтобы понять, какие именно свой-
ства нас интересуют, достаточно указать, какие свойства н е
представляют для нас интереса, нами отбрасываются.
В случае с натуральными числами такими свойствами явились
все те, которые не состоят в указании числа предметов рассма-
триваемой совокупности или не связаны с характером этого
числа: так, например, возможность разбиения совокупности
предметов на две равные по численности части интересует мате-
матика, а возможность разбиения ее на две равные по весу части
его нисколько не касается. Другими словами, любые две сово
купности предметов, содержащие одно и то же число предметов
(например, совокупность пяти стульев в классе и совокупность
пяти слонов в зоопарке), с нашей точки зрения следует считать
одинаковыми или равными: все интересующие нас
свойства одной совокупности присущи также и второй. При этом
5
одинаковыми или равными эти совокупности являются только
с рассматриваемой здесь точки зрения; во всех других отноше-
ниях они отличаются одна от другой весьма значительно, что,
впрочем, совсем не касается математика, рассматривающего
каждую совокупность предметов лишь с чисто арифметической
ее стороны.
Теперь нам уже нетрудно ответить и на вопрос о содержании
геометрической науки. Для того чтобы этуJнауку охарактери-
зовать, необходимо указать объект исследования и совокупность
d
Рис. 1
подлежащих изучению свойств. Относительно объекта исследо-
вания мы скажем пока только, что им являются всевозможные
пространственные тела или — в особенно интересующем нас
в настоящей брошюре планиметрическом случае — плоские фи-
гуры; более подробную расшифровку термина «плоская фигура»,
весьма тесно связанную с нашей основной темой, мы отложим до
следующего параграфа. Что же касается рассматриваемых в гео-
метрии свойств плоских фигур, то свойства эти полностью ха-
рактеризуются тем, какие фигуры мы считаем одинаковыми,
обладающими одними и теми же свойствами, равными. В геоме-
трии, как известно, равными называются такие две фигуры*
которые можно совместить при помощи движения. Под движе-
нием же в геометрии понимается такое геометрическое преоб-
разование б, переводящее каждую точку А плоскости в новую
точку А' = б (Л), которое сохраняет расстояния между точками:
если А' = 6 (Л) и В' — 6 (В), то А'В' — АВ (рис. 1) *. Таким
образом, можно сказать, что геометрия изучает такие свойства
фигур, которые присущи как данной фигуре В, так и всем рав-
ным ей фигурам, или — и эта последняя формулировка* будет
нам особенно полезной,— что геометрия изучает свойства фигур <
сохраняющиеся при всевозможных движениях.
Определение геометрии как науки, изучающей свойства фи-
гур, сохраняющиеся при движениях, идет от знаменитого
1 Запись А' — 6 (Л) подчеркивает близость понятия геометрического пре-
образования понятию функции: если функция f сопоставляет каждому
(числовому!) значению переменного х новое число у =* f (х), то преобразование
(«геометрическая функция») § сопоставляет точке А новую точку Л'=б (Л>.
9
Ф. Клейна1, который это определение значительно обобщила
Прежде всего Клейн заметил, что на самом деле подавляющая
часть задач и теорем, рассматриваемых в элементарной геоме-
трии, такова, что в них не различаются между собой не только
равные, но даже подобные фигуры. Две фигуры F йр' назы-
ваются подобными, если они отличаются только своими размера-
ми: форма фигуры F' совпадает с формой фигуры. F, однако все
размеры фигуры F' в k раз больше (или — при k < 1 — меньше
соответствующих размеров фигуры F. В более точной формул и -•
ровке последнее утверждение означает, что между точками фи-
гуры F' и точками фигуры F можно установить такое взаимно-
однозначное соответствие, что если А' и В' — точки фигуры F',
а А и В — отвечающие им точки фигуры F, то А’В' = k>AB;
можно также охарактеризовать подобные фигуры F и F' тем,
что если А, В, С и D— какие угодно четыре точки фигуры F,
а А', В', С' и D' — отвечающие им точки фигуры F', то
А’В’ _ АВ.
CD’ CD
A'Bf C'D*
(рис. 2, а), последнее вытекает из того, что	= k.
Эквивалентная этому формулировка гласит, что фигура F'
в том и только в том случае подобна фигуре F', если F' может
быть получена из F преобразованием подобия.
Под преобразованием подобия здесь понимается
такое геометрическое преобразование л, которое изменяет все
расстояния в постоянном отношении k (называемом коэффи-
циентом подобия) или которое .сохраняет отношение
расстояний', если преобразование л переводит точки Л, В, С
и D в точки А' = л (Л), В' = л (В), С' = л (С) и D' = л (D), то
А'В' и
-^ = k, или
А'С _ АВ
CD' “ CD
(см. тот же рис. 2, а).
Примером преобразования подобия с коэффициентом подо*
бия k может служить гомотетия ус коэффициентом
(на рис. 2, б фигура F' получается из фигуры F гомотетией
с положительным коэффициентом): это преобразование пере-
водит каждую точку Л плоскости в такую точку Л' = у(Л)
прямой О А (где О — фиксированный центр гомотетии), что
1 Феликс Клейн (1849—1925) — знаменитый немецкий математик
и педагог, автор ряда выдающихся работ, относящихся и к геометрии, и к ал-
гебре, и к (математическому) анализу; много занимался также вопросами пре-
подавания математики в средней и в высшей школе.
7
[(здесь учитывается и знак отрезков: отрезки ОАг'и О А—счи-
тая от О к А и соответственно от О к А'—направлены в одну
сторону при к положительном и в разные стороны при k от-
рицательном)'. Более того, любое преобразование подобия в
известном смысле сводится к гомотетии: если л—преобразо-
вание подобия с коэффициентом подобия fe, переводящее фи-
гуру F в фигуру F', а у—гомотетия с коэффициентом k (и ка-
Рис. 2
ким угодно центром' О!), переводящая ту же фигуру F в фи-
гуру Fi, то я можно представить как гомотетию у, сопровож-
даемою некоторым движением б (переводящим фигуру Ft в
равную ей фигуру F'). Это утверждение формулируют еще
и так: произвольное преобразование подобия я представляет,
собой произведение гомотетии у и движения д:
я = бу
(см. рис. 3, на котором преобразование подобия я переводит
точку А фигуры F в точку А' = я (А) фигуры F', гомотетия у
переводит точку А в точку Aj = у.(Л) фигуры Ft, а движение б
совмещает т,очк.у Ал.с. точкой А' — б (АО; преобразование б яв-
9
ляется движением, поскольку фигуры и F' равны: каждая
из них в k раз больше фигуры F).
Мы так подробно остановились здесь на вопросе о строении
Преобразований подобия, учитывая фундаментальную роль
этих преобразований в геометрии; нам хотелось также сказать
о важном, понятии произведения преобразований. Ос-
новная роль преобразований подобия в геометрии связана с тем*
что размеры фигур, определяемые сравнением расстояний между
точками фигуры с наперед выбранной «единицей длины», напри-
мер с метром, сантиметром или дюймом, на самом деле обычно
в геометрических теоремах не учитываются. Таким образом*
одинаковыми или «равными» для геометра чаще всего являются
подобные фигуры, имеющие одинаковую форму, но, быть может,
различные размеры; из этой неразличимости подобных фигур
исходит учитель, когда предлагает учащимся «точно» воспро-
извести изображенный им на доске чертеж, который, разумеется*
без подобного уменьшения никак не уместился бы в ученических
тетрадях. Однако в некоторых задачах и теоремах геометрии
подобные между собой фигуры приходится считать различными
(так обстоит дело во всех тех случаях, когда мы фиксируем
единицу измерения длин, например при измерении площадей
фигур в заданных1 квадратных единицах); это обстоятельство
подчеркивается тем, что школьный курс геометрии начинается
с признаков равенства треугольников, которые не имели бы
смысла* если бы мы не различали между собой подобные фигуры.
3084—2	9
Таким образом, в некоторых вопросах геометрии рассматри-
ваются те свойства фигур, которые сохраняются при движениях;
другие, более обычные, постановки задач и условия теорем
тесно связаны с соглашением о том, что предметом геометрии
является изучение тех свойств геометрических фигур, которые
сохраняются при- преобразованиях подобия *. Эти соображения
лежат в основе более общей концепции Ф. Клейна, который пред-
ложил фиксировать какую-нибудь совокупность @ преобразова-
ний и принять изучение свойств геометрических фигур, сохра-
няемых всеми преобразованиями данной совокупности @, за-
определенную ветвь геометрии (так сказать,; «подчиненную»
совокупности преобразований в).
При таком общем определении геометрии мы вынуждены бу-
дем считать «одинаковыми» или «равными» любые две фигуры*
переводимые одна в другую преобразованием из совокупности в.
Однако для того, чтобы введенное таким образом понятие «ра-
венства фигур» было осмысленным, необходимо, чтобы для него
выполнялись следующие три условия, которые справедливы для
всех без исключения типов «равенства», встречающихся в мате-
матике, в других науках, в обыденной жизни (равенства чисел,
алгебраических выражений, расстояний, углов, векторов, гео-
метрических фигур; равенства сил, скоростей, ускорений, на-
пряжений электрического или магнитного поля, потенциалов,
теплопроводностей, валентностей, калорийностей; равенства
способностей, успеваемости, храбрости, художественных или
иных достоинств, успехов, ловкости или хитрости и т. п,) и
которые, собственно говоря, определяют саму возможность упо-
требления термина «равенство» а:
А. Каждая фигура F «равна» сама себе .(рефлексив-
ность);
Б. Если фигура F «равна» фигуре F,, то и обратно, фигура Ft
«.равна» фигуре F (симметричность);
1	Можно сказать, что школьный курс геометрии складывается из рассмо-
трения двух разных (хотя и близких одна к другой) ветвей геометрии (и»
можно на )вать «геометрией движений» и «геометрией подобий»), рассматри-
вающих свойства фигур, сохраняющиеся при движениях, и свойства фигур,
сохраняющиеся при преобразованиях подобия. [Различие этих двух «геоме-
трий» , хорошо иллюстрируется, например, тем фактом, что в то время, как
в «геометрии движений» единственными линиями, устрЪеннымИ в каждой своей
точке одинаково (линиями, допускающими «скольжения по себе»), являются
прямые я окружности, в «геометрии подобий» к их числу добавляются еще так
называемые логарифмические спирали (ср. с задачей 234, а) книги [4].}
2	Последнее утверждение апеллирует к следующему общепринятому
в математике.определению: равенством (или, как чаще говорят, «э к в и-
валентность юн), определенным на некотором множестве А объектов,
называется любое заданное на А «бинарное отношение» (т. е. отношение, связы-
вающее некоторые'п а р ы объектов из А), обладающее свойствами рефлексов*
мости, симметричности и транзитивности,
1»
В. Если фигура F «равна» фигуре Fit а фигура Fit в серю оче-
редь, «равна» фигуре F2, то и фигура F «равна» фигуре Fz (тран-
зитивность).
Ясно, что в случае совершенно произвольной совокупности @
преобразований определенное с помощью этой совокупности
«равенство» может и не обладать свойствами А — В. Для
того чтобы обеспечить выполнение этих трех свойств, естественно
потребовать, чтобы
А'. Совокупность ® содержала «тождественное преобразова-
ние» е, переводящее каждую фигуру F саму в Себя;
Б'. Наряду с каждым преобразованием q>, переводящим фигуру
F в фигуру Fit совокупность ® содержала «обратное ф» преобра-
зование ф-1, переводящее каждую фигуру Fi в ту фигуру F, из
которой получается Ft при преобразовании ф (рис. 4, а);
В'. Наряду с каждыми двумя преобразованиями ф и ф, переводя-
щими фигуру F в фигуру Flt и соответственно фигуру Fx в фигуру
F%, совокупность @ содержала бы и «произведение» фф этих
двух преобразований, переводящее каждую фигуру F в фигуру F2,
получающуюся из F при применении последовательно сначала ф,
а затем ф (рис. 4, б).
Совокупность преобразований, удовлетворяющая свойствам
А — В, называется группой преобразований.
Таким образом, мы приходим к следующему общему определению
геометрии, впервые сформулированному Ф. Клейном в лекции
[1], которую он прочитал в 1872 г. при вступлении на философ*
ский факультет университета в Эрлангене (Германия)1 и которая
1 В те годы для занятия профессорской кафедры в университете в Герма-
нии требовалось прочесть публичную лекцию на выбранную самим кандида-
том на должность профессора тему; на основании этой лекции совет поофессо-
11
впоследствии получила название Эрлангенской про-
т р а м м ы Клейна:
Геометрия — это наука, изучающая свойства фигур, сохраняю-
щиеся при преобразованиях некоторой группы & преобразований.
Из этого определения вытекает, что можно построить много
разных «геометрий» — столько, сколько имеется разных групп
преобразований; лишь одной из них является обычная*геометрия
Эвклида, изучаемая в средней школе Ч Выбирая в качестве €5
группу преобразований, отличную от группы движений (или от
группы преобразований подобия), мы придем к иной геометри-
ческой схеме, к новой «не эвклидовой» геометрии. В настоящей
брошюре мы не ставим своей целью дальнейшее развитие этой
точки зрения и анализ получаемых на таком пути «геометрий»
(по этому поводу см., например, книги [3] и [4] и статью 12]),
однако это общее определение геометрии по Клейну полезно
иметь в виду при изучении последующих параграфов настоящей
брошюры.
§ 2. ГЕОМЕТРИИ С РАЗНЫМИ ОБРАЗУЮЩИМИ ЭЛЕМЕНТАМИ;
ПОНЯТИЕ О ЛИНЕЙЧАТОЙ ГЕОМЕТРИИ
Согласно Эрлангенской программе Клейна каждая геометрия
задается указанием группы ® преобразований, действующих
в некоторой области А (например, на плоскости или в трехмер-
ном пространстве), в которой и строится наша геометрия; пред-
мет геометрии составляет изучение тех свойств фигур области А,
которые не разрушаются преобразованиями из @. Однако на са-
мом деле такое описание всевозможных геометрий является еще
не совсем полным.
Для простоты мы далее будем считать, что рассматриваемая
область А, представляющая собой «поле действия» нашей геоме-
трии, совпадает с обычной плоскостью, так что эта геометрия
составляет раздел планиметрии. В таком случае те фи-
гуры, свойства которых мы изучаем,— это всевозможные фигуры
плоскости: окружности и треугольники, круги и прямые линии,
а может быть, и какие-нибудь иные геометрические образы, не
встречавшиеся в школьном курсе геометрии. Однако все эти фи-
гуры можно рассматривать с единой Точки зрения — как сово-
купности или множества точек: так, окружность
ров университета выносил решение о том, достойно ли данное лицо быть про
фессором университета. (Числа в квадратных скобках отсылают читателя
к списку литературы в конце брошюры).
1 Любопытным примером совсем иной «геометрии» может служить векторная
алгебра, изучающая свойства направ ленных отрезков (отрезков с фикси-
рованным направлением обхода отрезка «от начала к концу»), или век то -
ров, сохраняющихся при параллельных переносах (ибо «одинаковые» или «рав-
ные» векторы — это направленные отрезки, получающиеся один из другого
параллельным переносом).
12
с центром О и радиусом г можно определить как множество
таких точек Л1, что ОМ = г (рис. 5, а), а круг с тем же центром
и радиусом — как множество таких точек N, что ON г; отре-
зок АВ представляет собой множество таких точек Mf что
AM + МВ = АВ (рис. 6, б), а прямая АВ состоит из отрезка
АВ я двух л у ч е йг один из которых представляет собой множе-
ство таких точек N, что AN — BN = АВ, а второй — множе-
ство таких точек Р, что ВР — АР = АВ (см. тот же рис. 5, б);
угол АОВ (понимаемый здесь как часть плоскости)
представляет собой множество таких точек М, что Х.МОА <
< 2^ВОА и '/МОВ < </АОВ (рис. 5, в; обычно к углу причис-
ляют также два луча О А и О В); треугольник АВС можно опреде-
лить как множество точек, принадлежащих хотя бы одному из
трех отрезков: АВ, ВС или СА, или как множество точек, одно-
временно принадлежащих трем углам: ВАС, АСВ я СВА (рис.
5, г) и т. д. И во всем школьном курсе геометрии мы- всегда
именно так понимали смысл выражения «геометрическая фигура».
Это понимание термина «геометрическая фигура» выдвигает
на передний план такой простой геометрический образ, как
точка? все остальные рассматриваемые в геометрии объекты
считаются просто совокупностями (множествами) точек. В част-
ности, как совокупность точек мы рассматриваем и прямую
(рис. 5, б). Но хорошо известно, что прямая занимает в геометр ии
И
почти столь же важное место, как и точка; так, аксиомы геомет
рии, на базе которых строится вся эта наука, описывают свойства
точек и прямых («через две точки А я В можно провести
прямую, и притом только одну»; «через точку А, не принадлежа-
щую прямой а, можно провести единственную прямую, не пере-
секающую, а» и т. д.). Правда, прямую в геометрии чаще всего
задают двумя ее точками, но ведь и точку весьма часто прихо-
дится определять указанием двух проходящих чёрез эту точку
прямых; понятие отрезка АВ, т. е. п а р ы точек А хи В-
(и всех точек прямой АВ, лежащих ,м е ж д у А и В; рис’ 6, а)й
играет в геометрии роль, сходную с ролью понятия угла, т. е.
пары (пересекающихся) прямых а и b (и всех прямых, проходя-
щих через «точки а и Ь» и в определенном смысле лежащих
«между а и Ь»; рис. 6, б); треугольник можно задать указанием
трех его вершин: А, В я С (которые не должны принадлежать
одной прямой; рис. 6, в) или заданием трех его сторон: а, b и с
(которые не должны пересекаться в одной точке; рис. 6, г) и т. д.
И с точки зрения этой близости понятий «точка» и «прямая» мо-
жет показаться не совсем оправданным то предпочтение, которое
мы отдаем понятию точки, когда строим из точек все без исключе-
ния геометрические фигуры — в том числе и прямую.
Сказанное выше приводит к мысли, что за основной элемент
геометрии можно принять не только точку, но и прямую
линию; при этом все фигуры (в том числе и точку!)-придется
рассматривать как совокупности или множества п р я ?
м ы х. Так, точку А мы теперь отождествим с пучком прямых
с центром А, другими словами — с совокупностью всех прохо-
дящих через А прямых т (рис. 7t а); угол со сторонами а, b
14
определим просто как пару прямых а, b или как совокупность
всех таких проходящих через точку пересечения а и b прямых
т, что / (т, а) < / (а, Ь) и / (/и, б)< / (а, Ь) (см. выше рис.
6, б); под отрезком АВ мы условимся понимать множество всех
пересекающих этот отрезок прямых (рис. 7, б), а под треуголь-
ником АВС — тройку прямых а = ВС, Ь = СА и с = АВ (сто»
рон рассматриваемого треугольника) или совокупность всевоз-
можных прямых, пересекающих хоть один из отрезков ЛВ, Bd
©
Рис. 7
и АС, т. е. совокупность всех прямых, пересекающих контур
треугольника; окружность мы будем рассматривать как множе-
ство касающихся этой окружности прямых (рис. 7, в), а круг —
как совокупность всех пересекающих круг прямых (рис. 7, г)
и т. д. Этот новый взгляд на сущность понятия «геометрическая
фигура» можетпоказаться довольно неожиданным,—но он не менее
допустим, чем обычный взгляд на фигуру как множество точек.
Новый взгляд на сущность понятия «геометрическая фигура»
приводит к тому, что весьма многие знакомые нам из школьного
Курса геометрии понятия и предложения трансформируются
совершенно неожиданным образом. Так, например, периметр
треугольника АВС — это есть сумма длин отрезков АВ, ВС и
СА‘, поэтому при новом понимании понятия «треугольник»
естественно считать, что роль «периметра» треугольника (может
быть, здесь уместнее было бы говорить о «периметре трехсто-
ронника»?) | со сторонами а, б и с играет сумма углов / (а, Ь) -f-
4* Z (б, с) + / (с, а); если условиться считать углы «направ-
15
ленными», т. е. отвечающим^ совмещающему первую сторону
угла со второй повороту первой стороны угла в направлении,
обратном направлению вращения часовой стрелки, то понимае-
мый так «периметр» любого треугольника окажется равным 2л
•{или 360°; см. рис. 8)., Далее длина s окружности S опреде-
ляется как предел, к которому стремится сумма длин отрезков
Ap42, Л2Лз, Лл_!Лп, AnAt, когда число точек Ль Л2,
Лп-v Ап окружности неограни-
ченно возрастает, а длины всех
отрезков А jA2, Л2Л3, ..., ЛП_1ЛП,
AnAn+i неограниченно уменьша-
ются (рис. 9, а). Аналогичный
процесс, примененный к той же
окружности S, но теперь пони-
маемой как совокупность своих
касательных, приводит к’идее о
том, чтобы заменить «длину» а
окружности приближенно рав-
ной .этой «длине» суммой углов
Рис. 8
/ (Oi, Яг) Ч- / (а2> а3) + ... (яп_н яв) + z/(arl,a1), где
at, а2..ап — касательные окружности S, каждые две соседние
из которых достаточно близки одна к другой (рис. 9, б). Но
в таком случае приходится заключить, что «длина» а любой ок-
ружности S (независимо от величины радиуса окружности!)
равна 2л (см. тот же рис. 9, б, где, очевидно, / (аг, а2) =
= / AjOA2, /	«з) = X А2ОА3, ..., £ (ап, aj = AnOAi).
Можно поставить также задачу определения «площади» 2
треугольника АВС, понимаемого как множество всех пересе-
кающих его контур прямых, или «площади» круга, также пони-
маемого как множество прямых (см. выше рис. 7, г). Эта задача
приводит к неожиданным и нетривиальным результатам; поэтому
на ней мы остановимся более .подробно.
Начнем с того, что отрезок Л В,-понимаемый как множе-
ство всех пересекающих АВ прямых, также будет иметь поло-
жительную «площадь» 2Лв. При этом мы говорим не о «длине»,
а о «площади» отрезка потому, что с точки 'зрения, -развиваемой
is
здесь «геометрии прямых» (или, как говорят чаще, «линейчатой
геометрии»), отрезок АВ будет представлять собой «двумерную
фигуру»; два его «измерения» (так сказать/ «длина» и «ширина»)—
это обыкновенная длина d отрезка, указывающая, в каких преде-
лах может изменяться точка пересечения с прямой АВ. перемен-
ной прямой а, и угол Л, указывающий, в каких пределах может
изменяться «наклон» / (а, АВ) — а прямой а; если принять?
что прямая АВ горизонтальна и что / (а, АВ) — это угол между
направленным вверх лучом прямой а и лучом АВ, то 0 а < л;
поэтому можно считать, что «ширина» А любого отрезка равна л.
Эту «площадь» .отр^езка АВ мы и определим в первую оче-
редь.
Ясно, что «площадь» 2АВ отрезка АВ должна представлять
собой некоторое положительное число, сопоставляемое
отрезку АВ:
%ав>0.	(1)
Важно заметить еще, что двум равным отрезкам АВ и А 'В'
сопоставляется одно и т о же число:
если АВ = 4'В', то ^АВ — ЪА'В'-	(2)
В самом деле, ведь «отрезки» АВ и А'В', понимаемые как мно-
жество пересекающих А В /соответственно А'В', прямых, одина-
ковы или равньь в смысле «линейчатой геометрии», в основе
которой, как и в основе обычной «точечной геометрии», лежит
группа движений плоскости; поэтому «площади» этих отрезков
никак не могут отличаться одна от другой. Кроме того, если
отрезок АВ разбит точкой С на две части АС и СВ, то
% АС +	= 2дв	(3)
— это следует из того, чтохмножество прямых, пересекающих
отрезок АВ, складывается из множества прямых, пересекающих
АС, и множества прямых, пересекающих СВ (рис. 10, а) *.
Заметим теперь, что условия (1), (2) и (3) — это в точности те
условия, которые определяют длину отрезка (см., на-
1 Правда, множество прямых, пересекающих АС, и множество прямых,
пересекающих СВ, имеют общую ‘часть — множество прямых, проходящих
через точку С; однако это обстоятельство не нарушает справедливости нащего
-рассуждения. Дело в том, что множество прямых, проходящих через точку С,
имеет уже только одно «измерение» (определяемое углом, образованным про-
ходящей через С прямой а с прямой АВ); поэтому «площадь этого множества
прямых будет равна нулю нее можно не учитывать. Здесь мы посту-
паем подобно тому, как при подсчете (обычной) площади многоугольника
который зачастую приходится разбивать некоторой ломаной Г йа Два много-
угольника Mi и М2 (рис. 10, б) и считать площадь М ранной сумме площадей
многоугольников Mi и М2: ведь эти два многоугольника также имеют общую
Участь» Г; однако поскольку Г — это («одномерная»!) линия, то ее площадь
равна нулю и при суммировании площадей многоугольников Mt и М2 пло-
щадью линии Г можно пренебречь
17
пример, книгу [5]). Отсюда уже следует, что наша «площадь»
2дв должна совпадать с (измеренной в какой-то системе еди-
ниц!) длиной отрезка АВ (в смысле обыкновенной, «точечной»
геометрии). Это нетрудно и доказать. Пусть Е — «единичный»
отрезок, т. е. такой, «площадь» 2в которого принимается раг-
ной 1, АВ = а — произвольный другой отрезок. Если а и Е
имеют общую меру е, которая п раз укладывается в от-
резке Епт раз — в отрезке a = АВ (рис. 11, a)t то, в силу
условий (2) и (3) и = n2c, 2а = m2fS так что 2„ =я
/ 1 VI \	i tn	VI	rn
=	m- ” = т. е. «площадь» 2а равна длине —
отрезка а, измеренной в единицах £. Если же отрезки а и Е
несоизмеримы, то мы можем для любой сколь
1
угодно малой части е = —Е отрезка Е найти таких два
последовательных целых положительных числа т и т + 1я
что т-е — ABi < АВ = а и (т + 1)-е = АВ2 АВ s а (см.
рис. 11,6); при этом будем иметь
1 = ХЕ = п • 2е, т. е.2е = ±
II
= т * <С т. е. т • Ye = — >
2лв2-(т+1).^>2а, т. е. 2а<(/и + 1).
(для вывода этих соотношений нам уже понадобятся все три усло-
вия (1), (2) и (3)!), откуда также следует, что
т. е. что «площадь» 2а отрезка а равна его длине, измеренной в еди-
ницах Е.
Так как единицы измерения длин отрезков и их «площадей»
мы можем выбирать произвольно, то можно, в частности, усло-
виться считать, что «площадь» 2а отрезка а^равна его удвоен*
18
я о й длине:
? а —	(4)
Это условие равносильно тому, что за «единичный» отрезок £
мы принимаем отрезок, длина которого равна */2 единицы длины.
Пусть теперь Т — фигура, образованная всевозможными пря-
мыми, пересекающими треугольник АВС со сторонами АВ = с,
ВС = а и С А = b (рис. 12; здесь а, Ь, с — не прямые, а отрезки}.
Найдем «площадь» 2 г этой фигуры. Через (а, Ь) обозначим мно-
Рис. 11
Рис. 12
жество прямых, пересекающих стороны а и & треугольника АВС,
а через 2, ь — «площадь» этого множества прямых; аналогичный
смысл будут иметь символы 2те и 2^. Хак как множество
пересекающих отрезок а прямых состоит из двух частей (а, Ь)
и (а, с), то
2а = 2а = 20& -{- 2ас;	(5,а)
аналогично
2& = 2g = 2О& -f- 2^j	(5,6)
и
2с = 2<; = 2ас 2&г.	(5,в)
Складывая три последних'равенства, без труда получаем
2г = 2аь + 2Ж + 2&с = а 4- b 4- с	(6-)
(ибо множество пересекающих треугольник АВС прямых со-
стоит из трех частей (а, Ь), (а, с) и (Ь, с)). Таким образом, мы за-
ключаем, что «площадь» 2 г треугольника АВС равна его (обыч-
ному) периметру.
Точно так же доказывается, что «плоы^ь» 2,м любого вы-
пуклого многоугольника М равна его периметру. А так как круг
можно приближенно заменить (вписанным в него) выпуклым
.многоугольником с большим числом сторон, то и «площадь» ,2«
круга К, понимаемого как множество пересекающих круг пря-
.мух (рис. 7, г), оказывается равной длине ограничивающей круг
19
окружности S. (Этому же равна и «площадь» Ss окружности S?
понимаемой как множество всех пересекающих S прямых.)
И, брлее того, для любой выпуклой кривой у (т. е. такой замкнутой
кривой, которую каждая прямая пересекает не более чем в двух
точках; см. рис. 13) ее «площадь» в линейчатой геометрии
равна длине этой кривой.
Мы не станем здесь развивать глубже линейчатую геометрию
плоскости; остановимся лишь на кратких выводах из сказанного.
Мы видим, что в рамках обычной планиметрии Эвклида могут
быть построены две совершенно различные геометрические дис-
циплины — «точечная геометрия»
и «линейчатая геометрия»; рас-
сматриваемые в одной из них фи-
Q	\ гуры представляют собой множе-
"	1	' ства точек, а в другой — множе-
ства прямых линий. Возвращаясь
^****^а-*-Х теперь к обсуждавшейся в § 1 общей
рис 13	концепции Клейна, согласно кото-
рой геометрия задается указанием
«поля действия» А и группы пре-
образований мы приходим к необходимости пополнить
это описание еще указанием «образующего элемента» В рассма-
триваемой геометрии; в случае геометрии на плоскости таким
образующим элементом может служить точка, прямая ли-
ния, окружность фиксированного радиуса г, произвольная ок-
ружность и т. д. Это уточнение Эрлангенской программы
Ф. Клейна, согласно которой разные «геометрии» могут отличать-
ся одна от другой не только отвечающими им группами «движе-
ний» @ или полями действия А, но и образующими элементами,
было, по существу, хорошо известно еще Ф. Клейну.
Окончательно мы приходим к следующей точке зрения (см.
также ниже § 5). Изучаемая нами геометрия развивается в не-
которой области А (на плоскости, в трехмерном пространстве
и т. д.), рассматриваемой как множество «образующих элемен-
тов» £ (точек, прямых, плоскостей трехмерного пространства,
окружностей, сфер и т. д.). Под «фигурой» нашей геометрии по-
нимается произвольное множество элементов «равными
фигурами» называются такие множества Ft и F2 образующих
элементов, которые могут быть переведены одно в другое преоб-
разованием из заданной заранее группы преобразований® (пре-
образования из @ играют в нашей «геометрии» роль «движений»).
При этом естественно потребовать, чтобы любые два образующих
элемента Вт и Вг были «равны» между собой («одинаковы») в смысле
рассматриваемой геометрии, т. е. чтобы они переводились один
в другой преобразованием из в; в противном случае придется
считать, что мы имеем не одну-единственную совокупность эле-
ментов В, а два множества, состоящих из элементов разной при*
роды (например, множество точек и множество прямых линий)«
20
В том случае, когда область А совпадает с обычной плоско*
с т ь ю, а группа @ образуется всевозможными движения-
м и плоскости, множества точек, прямых, окружностей фикси*
рованного радиуса г и т. д. удовлетворяют этому последнему
условию; поэтому точки, прямые, окружности радиуса г могут
быть приняты за образующие элементы геометрии, представляю-
щей собой раздел планиметрии Эвклида. Множество же в с е х
вообще окружностей этому условию не удовлетворяет (ибо не вся-
кие две окружности равны между собой),— и поэтому задача по-
строения геометрии на плоскости, роль образующего элемента
которой Играет произвольная окружность, а равенство фигур
определяется как обычно, является довольно бессодержатель-
ной. (В противоположность этому осмысленной является задача
построения «геометрии окружностей», полем действия которой
является множество всех окружностей плоскости, а «равенство»
фигур определяется как их п о д о б и е.) Таким образом, «группа
движений» ® должна действовать на Множестве образующих
элементов каждое «движение» g должно «переставлять» опре-
деленным образом эти образующие элементы, причем так, чтобы
любой образующий элемент g можно было некоторым «дви-
жением» перевести в любой другой элемент Ч
§ 3. СФЕРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И НЕЭВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ
РИМАНА; ПРИНЦИП ДВОЙСТВЕННОСТИ
Результаты, о которых говорится в предыдущем параграфе,
принимают особенно красивый (и особенно симметричный) вид
при перенесении их в сферическую геометрию — настолько кра-
сивый, что трудно удержаться от соблазна здесь об этом расска •
зать. Под сферической геометрией (см. например, указанные
в списке литературы статью [8] и книги [9] и [10]) понимают
геометрическую систему, «полем действия» которой является
поверхность сферы, а под «движениями» понимаются
всевозможные вращения трехмерного пространства вокруг
центра О сферы (очевидно, переводящие поверхность сферы
в себя). Роль «прямых» на поверхности сферы играют «большие
окружности», получаемые в пересечении сферы с проходящей
1 По-другому вышесказанное можно пояснить так. Имеется группа пре-
образований 65, действующая в некоторой области А (множество элементов §),
и некоторая «фигура» т] (рассматриваемая как принадлежащее А множество
тех же элементов | подмножество всего множества элементов 5, обра-
зующего область А). С помощью группы (D «фигура» т] «разносится» по
области А, т* е. строятся всевозможные «фигуры» т)о получаемые из т| пре-
образованиями группы Полученное множество элементов т] (точнее — мно-
жество «равных» t] элементов т)х) обозначается через А*, а группа (В, рас-
сматриваемая как группа преобразований, действующая в множестве A*j
элементов через (В*. Таким образом, мы приходим к двум геоме-
триям: одна из них определена в области А элементов § и имеет своей «группой
движений» группу (8; вторая же определена в области А* элементов т) и имеет
«группой движений» ©* (в современной математике геометрия (А*>
называется ассоциированной с геометрией (Аг о))).
21
через ее пентр плоскостью (рис. 14, а) — так, например, кратчай-
шим расстоянием между двумя точками А и В, измеренным по
поверхности сферы, является (не большая полуокружности)
дуга большой ’Окружности, соединяющая эти две точки. Роль
треугольника в сферической геометрии играет «сферический тре-
угольник», образованный тремя дугами АВ, ВС и СА больших
окружностей (рис. 14, б); роль окружности, играет так называе-
мая «малая окружность» — пересечение сферы с не проходящей
Рис. 14
через центр сферы плоскостью (рис. 14, в): такую окружность
можно описать как множество точек сферы, удаленных на одно
расстояние р (понимаемое в смысле «кратчайшего расстояния»
между точками сферы) от фиксированного «центра окружности» Q.
Периметр и площадь сферического треугольника АВС, по-
нимаемого как множество точек, имеют обычный смысл: периметр
Р =	ВС + о СА есть сумма длин сторон треуголь-
ника, а площадь S — это есть обычная площадь части АВС
поверхности сферы. Если же перейти в область «линейчатой
сферической геометрии», т. е. принять за образующий элемент
22
геометрии на сфере «сферическую прямую» или большую окруж-
ность, то под «периметром» П треугольника АВС придется по-
нимать сумму углов / (а, Ь) + /_ (Ь, с) + / (с, а) треугольника
(см. рис. 14, б, на котором все отмеченные дугами со стрелками
углы / (а, Ь), / (Ь, с) и / (а, с) имеют одно и то же направление).
[При этом под углом между двумя окружностями здесь, как й
всегда, понимается просто угол между касательными к этим
окружностям, проведенными в их общей точке — см. несколько
ниже рис. 15, а[. Далее под «площадью» 2 треугольника АВС
Рис. 15
в смысле «линейчатой геометрии сферы» следует понимать «меру»
множества всех пересекающих треугольник АВС «сферических
прямых» (т. е. больших окружностей); при этом в точности ана-
логично выводу формулы (6) предыдущего параграфа можно
установить, что при определенном выборе единиц измерения длин
и «площадей» эта «площадь» 2 две оказывается равной (обыкно-
венному!) периметру Равс треугольника АВС (сумме его сто-
рон):
2лвс = Равс-	\7)
Но замечательно, что также и «периметр» Пдвс треугольника
АВС — сумма его углов (а в противоположность эвклидову
случаю этот «периметр» оказывается зависящим от выбора тре-
угольника, а вовсе не одним и тем же для всех без исключения
треугольников!) связан с простой характеристикой треугольника
в «точечной геометрии» сферы: подобно тому как «линейчатая
площадь» 2 треугольника определяется его «точечным периме-
тром» Р, тйк и «линейчатый периметр» П определяется «точеч-
ной площадью» S треугольника (т. е. является функцией
S, что можно записать так: П = f (S), 2 = Л (Р)).
Доказательство последнего утверждения (в ходе которого
будет раскрыт точный характер зависимости величины П от
площади S) очень близко к доказательству формулы (7) (или
23
формулы (6) из § 2). При выводе формулы (6) мы исходили иЗ
выражения (4) для «площади» 2лв отрезка АВ; здесь же
нам понадобится формула для площади (обыкновенной) S^>
угла / (а, Ь). То обстоятельство, что в противоположность
«школьной геометрии» в сферической геометрии угол имеет
конечную площадь 8аь, не может нас особенно удивить — ведь
и вся сфера, являющаяся «полем действия» сферической геоме-
трии, имеет конечную площадь 4л/?2 (или 4л, если принять ради-
ус /? сферы за единицу, как мы- и будем считать в дальнейшем)!
поэтому на сфере вообще отсутствуют фигуры бесконечной пло-
щади (и даже площади, превосходящей 4л).
Нетрудно понять, что площадь Sab угла / (а, Ъ), образован-
ного двумя большими окружностями а и b сферы, пропорциональна
величине а угла между а и Ь: ведь фигу-
ра / (а, Ь) представляет собой пару
«ломтей», ширина которых определяется
величиной а (рис. 15, а) *. При этом
если а = л (здесь и далее мы измеряем
углы в радианной мере), то наши два
«ломтя» обращаются в две полусферы и
заполняют всю сферу; таким образом,
если радианная мера угла ^/(а, Ь) равна
л, то Sab = 4л. Отсюда следует, что
при выбранных единицах измерения уг-
лов и площадей площадь угла на сфере
равна учетверенной величине этого угла:,
= 4 А,
где мы теперь обозначаем угол одной буквой А.
Рассмотрим далее треугольник с углами А, В и С (рис. 15, б).
Нетрудно убедиться, что сумма шести «ломтей», отвечающих
трем углам треугольника, покрывает всю сферу, причем треуголь-
ник АВС и треугольник AfBfCt, вершинами которого служат
точки, диаметрально противоположные вершинам А, В и С
исходного треугольника, покрываются трёхкратно (ибо
сба этих треугольника входят в состав каждого из «углов!» А,
В и С, понимаемых как фигуры сферической геометрии),
а остальная часть сферы покрывается однократно. А так
как площадь всей сферы согласно нашему соглашению рав-
на 4л, то, используя формулу (8), получаем -
(8)
4А + 4В 4- 4С = 4л -f- 2Sabc + 25д1д1с,.	(9)
1 Полное доказательство формулы Sab = k-а, (где k — постоянный коэф-
фициент, зависящий от выбора единиц измерения углов и площадей) аналогич-
но выводу формулы (4) (стр. 18=И9); мы предоставляем читателю провести
его самостоятельно.
24
Симметричные друг другу относительно центра сфера тре-
угольники АВС и AiBiCt не равны друг другу в смысле
сферической геометрии — нетрудно понять, что один из них
нельзя совместить с другим никаким вращением сферы. Однако
площади этих (симметричных) треугольников равны *;
Sabc — Sa,B,Ci •
А теперь из формулы (9) следует:
4 (А —В -J- С) = 4л	4Sавс
и, следовательно,
Sabc = А В -f- С— л.	(10)
Но если понимать под / (а, Ъ), X. Ф, е) и Z (а, с) указанные
на рис. 18,а углы, то
Пдвс = Z (°, b) + Z с) + Z (с« °) = (« — С) + (л — А) 4-
+ (л — В\ - Зл— (А + В 4-С);
поэтому, в силу формулы (10),
Пдвс = 2л — 8 авс»	(11)
Это и есть то соотношение между П и 8, которое мы хотели
доказать!
Аналогичные формулам (7) и (11) зависимости связывают
также «точечные» и «линейчатые» периметр и площадь круга
К сферической геометрии (т. е. «сферической шапочки»; см.
рис. 17, а). Ясно, что периметр Рк изображенного на рис. 17, а
круга К,— длина ограничивающей наш круг окружности s,—
равен 2л-АШ; если же считать радиус сферы равным 1, так что
дуга QM = р — радиус рассматриваемого круга— равна
ZQ0M (в радианной мере). Но, очевидно, NM = sin р и, следо-
вательно,
Рк = 2л sin р.	(12)
Далее площадь 8д круга К по известной формуле элементарной
Геометрии равна 2л» NQ. Но так как, очевидно,
NQ = OQ — ON =1 — cos р = 2sin2|,
1 Для доказательства равенства SABC = SA В С( достаточно выбрать
внутри АВС и внутри Точки Q и Q,, равноудаленные (в смысле сфериче-
ской геометрии!) от вершин одного и второго треугольников (центры описанных
вокруг АВС и AiBtCt окружностей; см. рис. 16). При этом, скажем, равно-
бедренные треугольники QAB и QtA^ с одинаковыми длинами сторон
будут уже равны (их можно совместить движением так, чтобы стороны QA, QB
и АВ одного треугольника совместились со сторонами QBt, QAt и второго
треугольника); аналогично ^СВС-Ы^В^ н AQAC == ДС1Л1С1. Таким обра-
том, треугольники АВС к AjBtCi равносоставлеины, — т. е. равновелики!
25
тб окончательно имеем
SK = 43tsin2-y-
(13)
Перейдем теперь к «линейчатым» характеристикам круга К
в сферической геометрии. Что касается «площади» круга К ,
то в полном соответствии с содержанием § 2 эта «площадь» равна
длине окружности s круга:
= Рк = 2л sin р.	(14).
«Периметр» же Щ круга К определяется так. Рассмотрим ка-
кое-то число п точек Ль Л2« ...» Ап окружности s круга К и ка-
сающиеся в этих точках s большие окружности a2i ...» ап
сферы; в таком случае
Пк~2^(Я1»я2) + 2^(а2,#з)+•••+2^(Ялчь#л) + Z	(15)
где приближенное равенство является тем более точным, чем
большее число п точек (или больших окружностей) мы выбираем
и чем ближе друг к другу расположены эти точки на окружно-
сти s. На плоскости касающихся в точках Л1 и Л2 «малой» окруж-
ности s больших окружностей ai и а2 определяются радиусами
ОЛ1 и ОА2 сферы и касательными А/Г^ и А2Т2 к окружности s
в точках At и Л2 (рис. 17, б); так как Л17\ | OAt и А2Т2 | ОЛ2,:
то при малом углеЛ^Лг (т. е. при малой дуге Л tA2 окружности s)
угол между этими плоскостями почти равен углу между пря-
мыми А1Т\ и А2Т2 (см. рис. 18, а). Отсюда следует, что стоящее
в правой части приближенного равенства (15) выражение можно
также записать следующим образом:
/ (АхТ{,А2Тг) + (ЛгТ^ЛзТ’з) +♦•• +
+ Z (An-iTп-^АпТп) + 2^ (АпТл,Лх?1!).
26
a
где AiTi, A2T2,., AnTn—касательные к окружности s в точках
Ац Az,Ап; оно выражает полный угол поворота касательной
к окружности s при обносе касательной вдоль всей окружностй.
Нетрудно видеть, что угол между касательными А^ и А2ТЯ
примерно равен углу между образующими ZAX и ZA2 «конуса
касательных» х к сфере, соприкасающегося со сферой вдоль ок-
ружности s (см. рис. 17, б и рис. 18,6).
Таким образом, угол между AJ't
и А2Т2 примерно равен углу A^ZA2i
а полный угол поворота касательной
АТ при обносе касательной _вдоль
всей окружности з (а этот угол и
равен «периметру» Пк круга /(!) ра-
вен «полному» углу, на который . по-
ворачивается образующая ZA кону-
са х. Последний же угол определить
совсем просто: для этого достаточно
развернуть конус на плоскость, раз-
резав его вдоль одной образующей
ZAt. При этом мы получим .сектор
AlZAl' круга, ограниченный дугой
AiAt = Рк (см. рис. 18,6); длина же
радиуса ZAi — г этой дуги равна
длине образующей конуса х, совпа-
дающей, как легко видеть из рис. 17,
а и б, с линией тангенса угла QOM
= р. Таким образом, г == tgp и, сле-
довательно, полный угол А&А{ по-
ворота образующей конуса х в ради-
анной мере равен
Рк 2л sin р п
— = -^ = 2лсозр.
Окончательно мы получаем
Лк = 2л cos р,
(16)
откуда в силу того, что 8д = 4л sin2| = 2л (1 — cos р), выте-
кает та же зависимость между Пи 8, что и в случае треугольника:
Як = 2л—8к-	(17)
Сравнение формул, связывающих S и Р,- П и 8, становится
еще поучительнее, если от сферической геометрии мы перейдем
к так называемой неэвклидовой геометрии Ри-
мана. Мы уже отмечали большую близость к обыкновенной
планиметрии сферической геометрии, в которой можно найти
аналоги для почти всех понятий и теорем школьного курса гео-
метрии. Серьезно нарушающим эту близость обстоятельством
является лишь-то, что в то время* как прямые плоскости не могут
27
пересекаться более чем в одной точке, две большие окружности attb
сферы всегда имеют две общие точки (рис. 19, а). Поэтому
представляется естественным продиктованное желанием сбли-
зить сферическую геометрию с геометрией на плоскости соглаше-
ние о том, что основным «образующим элементом» сферической
геометрии является не точка, а сразу пара диаметрально противо-
положных точек сферы. Таким образом мы, так сказать, «склеи-
ваем» между собой каждые две диаметрально противоположные
Рис. 19
точки А и At сферы; другим образом мы объявляем «полем дей-
ствия» интересующей нас геометрии не всю сферу, а лишь одну
(скажем, нижнюю; рис. 19, б) полусферу о,- отождествив еще,
кроме того, любые две противоположные точки ограничивающей
о окружности. Полученная при этом геометрическая система,
которую в соответствии с содержанием § 2 все же лучше всего
представлять себе так: «поле действия» А — (полная) сфера;
«группа движений» @ — группа всевозможных вращений сферы
А вокруг ее центра; «образующий элемент» £ — пара диаметраль-
но противоположных точек сферы А, имеет весьма много общего
с обыкновенной геометрией Эвклида (и с неэвклидовой геоме-
трией Лобачевского); так как эта близость «геометрии на полу-
сфере» к эвклидовой геометрии была впервые отмечена в 1854 г.
Б. Риманом *, то соответствующая геометрическая схема назы-
вается неэвклидовой геометрией Римана,
1 Бернгард Риман (1826—1866) — замечательный немецкий ученый,
автор многих первоклассных работ, относящихся к самым разным разделам
математики. В 1854 г. Б. Риман выступил перед советом профессоров Гёттин-
генского университета с лекцией «О гипотезах, лежащих в основании Геоме-
трии», на основа нии которой совет должен был решить, достоин ли Риман профес-
сорской должности (ср._с подстрочным примечанием на стр. 11—12); эта лекция,
во многом обогнавшая 'свое время, была по достоинству оценена лишь А. Эйн-
штейном, через 50 лет после смерти Римана. Одним из частных результатов,
содержащихся в этой лекции, было указание на существование трех в ряде
отношений равноправных геометрических систем: (обыкновенной) геометрии
Эвклида, «гиперболической» геометрии Лобачевского и «эллиптической» гео-
метрии Римана.
23.
Переход от сферической геометрии к неэвклидовой геометрии
Римана приводит к тому, что «полная площадь» всей области
действия рассматриваемой геометрии (т. е. полусферы о) ста-
новится равной 2л, а не 4л, как раньше. Заметим теперь, что
поскольку область о ограничена, то каждая замкнутая линия у
н£ поверхности о (например, треугольник АВС или окруж-
ность s) является границей сразу двух фигур, причем нам
нечем мотивировать отнесенные к этим фигурам названия «вну-
тренняя часть у» или «внешняя часть у». Поэтому уместнее всего
здесь будет считать, что Треугольник АВС является границей
сразу двух «треугольных областей» Т и Т с площадями Sabc и
Sabc', аналогично этому окружность s разбивает на два
«круга» К и К, площади которых можно обозначить через 8/<
и 8^* А так как, очевидно,
Sabc = 2л — Sabc и 8^ “ 2л — S#,
тоформулы (7) и*(11), (14) и (17) можно теперь Записать в следую-
щем симметричном виде:
= Рдвс и Пдвс == Sabc,	(18)
соответственно
и П/< = 8#.	(19)
А
Рис. 20
Формулы (18) и (19), свидетельствующие о большой близости
«точечной геометрии Римана» и «линейчатой геометрии Римана»,
могут быть выведены из справедли-
вости в неэвклидовой геометрии Ри-
мана так называемого принципа
двойственности, в силу ко-
торого каждой теореме точечной гео-
метрии Римана отвечает также вер-
ная теорема линейчатой геометрии
Римана, получаемая из первоначаль-
ной теоремы заменой слова «точка»
словом «прямая» и соответственно
этому — слова «расстояние» словом
«угол»; выражения «точечная площадь
8» выражением «линейчатая площадь
5» и т. д. Этот принцип двойствен-
ности связан с наличием в неэвклидовой геометрии Римана свое-
образного преобразования, сопоставляющего каждой большой
окружности а (понимаемой как множество пар диаметрально
противоположных точек сферы) пару точек — «полюсов» этой
большой окружности, принимаемой за «экватор» сферы. При этом
как нетрудно видеть,' образующие угол d большие окружности
а и b переходят в «точки» А а В неэвклидовой геометрии Римана^
расстояние между которыми равно d (см. рис. 20, на котором изо-
29
сражено перпендикулярное плоскостям а и Р окружностей а и В
сечение сферы), а множество F точек полусферы о, «точечной пло-
щади» Sp = D переходит в множество Ф больших окружностей,-
-«линейчатая площадь» 2ф которого имеет то же значение D:
2Ф= SF.	(20)
На более обстоятельном обсуждении принципа двойственности
(некоторые, так сказать, «рудиментарные остатки» которого
можно обнаружить и в обьЛной геометрии Эвклида !*) мы здесь
не остановимся; укажем, однако, что этот принцип подчеркивает
принципиальное равноправие точек и прямых как «образующих
элементов» геометрии.
§ 4. ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ ЛИНИЙ; ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКАЯ
ТЕОРЕМА
До сих пор мы говорили больше об определениях, чем о теоре*
•мах,— и это отсутствие содержательных результатов может
подорвать у неискушенного читателя веру в ценность излагае-
мых нами идей. Поэтому мы наметим здесь использующее род-
ственные изложенным выше соображения доказательство одной
замечательной теоремы плоской
О	геометрии, теоремы вовсе не
, V очевидной и не имеющей про-
‘ стых Доказательств. Эта теорема,
7П3—/	называемая обычно и-3 о п ери-
метрической теоре-
r v	мои, утверждает, что из всех пло-
ских фигур данного периметра Р
наибольшую площадь S имеет круг /С, причем тот результат,
вывод которого составляет главную цель настоящего параграфа,
является еще несколько более сильным, чем сформулированное
нами утверждение.
В основе доказательства изопериметрической теоремы будет
лежать одна формула, родственная установленному в § 2 настоя-
щей брошюры соотношению
=	(21)
где есть «линейчатая площадь» выпуклой линии у, понимае-
м ая как мера множества всех пересекающих у прямых, а Рч —
Добычная) длина линии у. Здесь мы примем за «образующий эле-
мент» | рассматриваемой геометрии произвольную дугу кривой
<рис. 21); «полем действия» А геометрии будет по-прежнему
являться вся плоскость, а роль группы @ будет играть группа
всех движений плоскости. Пусть тепе'рь у — произвольная дуга
лсакой-то (безразлично Какой!) линии; через SY (I) мы обозначим
1 По этому поводу см., например, § 5 гл. II второго тома книги [3].
39
ее «площадь» в смысле развиваемой здесь геометрии, т. е. меру
множества всех пересекающих у дуг £ (каждая из которых
должна еще засчитываться столько раз, сколько раз пересекает
сна дугу у). В точности аналогично выводу формулы (21) устанав-
ливается, что
(Е) = ^).рг,	(22)
где Р у есть (обычная) длина дуги у, a k (£) — коэффициент про-
порциональности, зависящий от выбора «образующего элемента»
£ (что подчеркивается самим обозначением этого коэффициента)
и от единиц измерения длин Р и «площадей» 2.
Предположим теперь, что мы варьируем выбор дуги В. Заме-
тим, что «множество подвижных дуг пересекающих неподвижную
Рис. 22
Рис. 23
дугу у», и «множество подвижных дуг у, пересекающих непод-
вижную дугу £», по существу изображаются одним и тем же чер-
тежом, только рассматриваемым, так сказать, «с позиции на-
блюдателя, связанного с дугой у», и «с позиции наблюдателя,
связанного с дугой |». Из этой равноправности дуг S и у вытекает,
что величина SY (g) пропорциональна не только длине Ру дуги
у, но также и длине Р^ дуги %:
IY(g) = /?-Pr/\,	(23)
где коэффициент k теперь зависит лишь от выбора единиц изме
рения длин Р и «площадей» 2.
Перейдем теперь к доказательству изопериметрической тео-
ремы. Заметим прежде всего, что интересующая нас замкнутая
линия у, отношение квадрата длины Р которой к площади S
ограниченной ею области Ф нас интересует (мы хотим доказать,
что наименьшим это отношение Р2 : S будет в том случае, когда у
является окружностью s!), можно с самого начала считать вы-
пуклой: в противном случае мы заменим у ее «выпуклой
оболочкой» у (под которой можно понимать форму натянутой
31
вокруг у
раДиуса,
«описанной
возможного
Па контур у резинки, которая стремится стать возможно более
короткой; рис. 22) — ведь длина у, очевидно, меньше длины у,
а площадь ограниченной ею фигуры Ф больше площади фигуры
Ф, ограниченной исходной линией у. Эту выпуклую линию у
(рис. 23) мы примем за ту, которая фигурирует в формуле (23);
за ? же мы примем окружность фиксированного радиуса р, от
которого потребуем лишь, чтобы он был не больше радиуса R
ги» (окружность наименьшего
;ая кривую у внутри себя) и
не меньше радиуса г «вписан-
ной в у окружности» (окруж-
ность наибольшего возмож-
ного рйднуса, заключающая-
ся внутри у; см. рис. 24). .
Заметим, что если прене-
• бречь «одномерным» 1 мно-
жеством касающихся у ок-
ружностей I, то каждая дру-
гая пересекающая у окруж-
ность g будет иметь су не
меньше д в у х общих то-
чек; поэтому если обозна-
чить через ау (?) меру множе-
ства всех пересекающих ли-
нию у окружностей ?, каждая
Рис 24	из которых считается один
р а з (в то время как со-
гласно определению величины (?) здесь каждая окружность
засчитывается многократно!), то будем иметь
Sy (5) > 2ov (I).'	(24)
С другой стороны, «площадь» oY(?) множества окружностей ?
может быть определена как простая (эвклидова) площадь Sa
множества Фр центров всех этих окружностей: это следует из
того, что как «площадь» о множества бкружностей ?, так и пло-
щадь S множества Ф₽ центров этих окружностей определяются
одними и теми же условиями, родственными условиям (1)—(3)
(стр. 17), определяющими «площадь» 2 и длину Р отрезка а.
Поэтому
0y (?) = S.	(25)
•—и для того, чтобы найти ау©> нам достаточно подсчитать пло'
щадь SP области Фр. 1 2
1 Ср. с подстрочным примечанием на стр. 17.
2 См. по этому поводу, например, статью: В. А. Рохлин. Площадь
и объем.— Энциклопедия элементарной математики, кн. V. М., «Наука»,
1963, стр. 5—87.
32
Но ясно, что область Фр, заполненная центрами всех Пересе*
кающих у окружностей £ радиуса р, представляет собой не что
иное, как область, ограниченную «параллельной» у и отстоящей
от у на расстояние р линией ур (см. рис. 23)1 . Для того чтобы най-
ти площадь SP этой области, положим, что кривая у является
многоугольником; при этом область Фр будет состоять
из многоугольника Ф площади S, из ряда прямоугольников
Рис. 25
ширины р, построенных на сторонах многоугольника у (общая
площадь всех этих многоугольников будет равна Рр, где Р —
периметр многоугольника у), и из ряда секторов круга радиуса р,
вместе составляющих целый такой круг площади яр2 (см. рис. 25).
Таким образом, для случая, когда линия у является (выпуклым)
многоугольником, получаем:
5р = 5 + Рр + лр2.	(26)
А так как произвольная линия у может быть при-
ближена (вписанным в нее) многоугольником, площадь и пери-
метр которого сколь угодно мало отличаются от ограниченной у
площади S и от длины Р линии у, то формула (26) сохраняет силу
для произвольной (выпуклой) линии у.
Теперь, комбинируя формулы (23) (где еще следует положить
Р^ — 2лр, поскольку в нашем случае £ есть окружность радиу-
са р, и писать просто Р вместо PY), (24), (25) и (26), получаем
2 (S + Рр + яр2) < 2лрЛР.	(27)
Для того чтобы определить значение входящего в эту формулу
коэффициента А, достаточно принять за у окружность радиуса 1.
Из неравенств г < р в таком случае с неизбежностью сле-
дует, что р — 1; далее в этом случае S = л и Р = 2л. Кроме того,
неравенство (27) в этом случае обращается в равенство,
ибо никакая окружность g не пересекает (фиксированную) ок-
1 Неравенства г Р Р обеспечивают отсутствие «пустот» в заполняв*
мои центрами окружностей & фигуре Фр.
33
ружность ? более чей в двух точках. Поэтому мы имеем
2 (л 2л i 1 -f- ft • I2) — 2л * 1 *4 • 2jTi
откуда вытекает, что,
, _ 8л _ 2
Л’ S? л •
Таким образом, неравенство (27) можно переписать так’.
S + Рр + ЯР2 2Рр
или
S < Рр — пр2.	(28)
Нам будет более удобна несколько иная форма неравенства
(28). Поменяем в нем знаки и умножим обе его части на 4л:
—4л5 > — 4лРр + 4л2р2.
Далее дополним правую часть полученного неравенства до пол-
ного квадрата, увеличив соответственно этому и левую часть
неравенства:
Р2 — 4л8 > Р2 — 4лРр + 4л2р2.
Таким образом, мы имеем
Р2 — 4л5 > (Р — 2лр)2.	(28Э
Теперь нам остается только подставить в неравенство (28')
значения р == Р и р = г:
Р2 — 4лЗ > (2лР — Р)2	(28, а)
и
Р2 — 4nS > (Р — 2лг) 2	(28, б)
(так как круг радиуса Р содержит выпуклую кривую у длины Р,
а круг радиуса г содержится внутри нее, то, очевидно, 2лР >
Р > 2лг). Составив* полусумму неравенств (28, а) и (28, б),
получаем
Р2 — 4л5	1(2лР — Р)2 + (Р — 2лг)2].	(29)
Но (при любых X и у\)
1(Х2 + у2) = I [(X + у)2 + (X - Z/)2] > | (X + у)2,
поэтому правая часть неравенства (29) не меньше, чем
| [(2лР — Р) + (Р — 2лг))2 = л2 (Р — г)2,
Их значит, это неравенство можно переписать так:
Р2 — 4л5 > л2 (Р — г)2.	(30)
Неравенство (30) мы и хотели получить. Из него следует, что
для любой выпуклой кривой у
Р2 — 4nS>0, т.е. -^->4л;	(31)
таким образом, если периметр (длина) Р кривой у нам известен
то площадь S ограниченной этой линией фигуры Ф не может
быть больше величины Р2/4л, т. е. площади круга радиуса
р = ^, ограниченного окружностью s длины Р. Но более того,
из неравенства (30) следует, что отношение P2:S равно 4л
л и ш ь в том случае, когда разность Р — г радиусов описанной
и вписанной окружностей линии у равна нулю, т. е. когда у
сама является окружностью (радиуса R — г). Кроме того, не-
равенство (30) позволяет оценить разность Р2 — 4л5, сравнив,
ее с разностью Р — г радиусов описанной и вписанной окруж-
ностей кривой у. Именно это обстоятельство мы и имели в виду,
говоря, что полученный нами результат будет даже сильнее
изопериметрической теоремы.
§ 5. ОБРАЗУЮЩИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИИ КАК СМЕЖНЫЕ
КЛАССЫ ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ
Вернемся теперь к идущей от Ф, Клейна «теоретико-группо-
вой» точке зрения на геометрию, в основе которой лежит «группа-
движений» @, преобразования которой сохраняют все изучаемые
рассматриваемой геометрией свойства геометрических фигур.
При этом понятие «образующего элемента» g нашей геометрии
может быть описано следующим образом. Рассмотрим все пре-
образования g из группы @, оставляющие на месте геометриче-
ский образ £ (т. е. переводящие его в себя). Эти преобразования
также будут образовывать некоторую группу g преобразо-
ваний (ибо тождественное преобразование е переводит i в себя;
если преобразование g переводит | в себя, то и обратное g преоб-
разование g~i переводит £ в себя; если преобразования gt и gx
переводят g в себя, то и их произведение gzgi переводит | в себя).
Эга группа будет составлять лишь часть группы $ или, как го-
ворят, являться ее подгруппой; она называется стацио-
нарной подгруппой, отвечающей геометрии с данным образую-
щим элементом. (Если подгруппа 9 состоит из в с е х преобра-
зований группы т. е. все «движения» нашей «геометрии» ос-
тавляют «образующий элемент» | на месте, то область А вообще-
не будет содержать отличных от единственного элемента £ «об-
разующих элементов»; ясно, что подобная «геометрия» будет со-
вершенно бессодержательной.) Так, например, если группа ®
35-
состоит из всевозможных движений плоскости *, а элемент
| есть точка, то подгруппа g состоит из всех вращений
вокруг g, а если элемент т] есть прямая линия, то подгруппа
0 состоит из параллельных переносов в направ-
лении 1] и центральных симметрий относительно
точек прямой г].
Заметим теперь, что если образующие элементы В и т] двух
геометрий с одной и той же группой движений ® таковы, что
отвечающие им стационарные подгруппы одинаковы, то
@ ®
Рис. 26
одинаковы и сами рассматриваемые геометрии. Рассмотрим,
Например, две геометрии, областью действия А которых является
Плоскость, группа ® совпадает с группой движений, а образую-
щими элементами | и ц являются соответственно точка и окруж-
 ноете фиксированного радиуса а. Ясно, что подгруппа g группы
@ движений, оставляющая на месте точку ?, совпадает с подгруп-
пой группы @, оставляющей на месте окружность т} с центром
Это обстоятельство обеспечивает тождественность геометрии с об-
разующим элементом Г] с обычной, «точечной» геометрией. В гео-
1 Здесь (и всюду дальше) мы под «движениями» понимаем лишь так назы-
ваемые «собственные движения» (или «движения первого рода»), которые можно
осуществить Непрерывным перемещением плоскости по себе без ее «перевора*
кивания» (см., йапримёр» т. 1, книги [3]).
Ж
метрии с образующим элементом i] можно определить в с е по*
нятия, существующие в «точечной» геометрии: так, роль «пря~
мой» в этой геометрии будет играть заполненная окружностями
радиуса а полоса (рис. 26, а); роль «угла» с «вершиной» т}0 — две
такие «прямые», имеющие общую окружность q0 (рис. 26, б);
«расстоянием» между двумя окружностями rji и т]2 следует на*
звать расстояние между их центрами или длину общей внешней
касательной этих окружностей (рис. 26, в); под «величиной»
изображенного на рис. 26, б «угла» следует понимать величину
угла между средними линиями соответствующих полос и т. д.
При этом все предложения этой «геометрии окружностей» будут
полностью совпадать с предложениями обычной (эвклидовой)
геометрии: например, здесь также «рас-
стояние» между двумя самыми далеки-
ми из трех принадлежащих одной «пря-
мой» окружностей равно сумме двух
других попарных «расстояний» между
этими окружностями (рис. 26, г); окруж-
ность^ радиуса а, не принадлежащая
данной «прямой» /, входит в состав един-
ственной «параллельной» I «прямой» /0,
т. е. «прямой», не содержащей общих с I
окружностей (рис. 26, $), и т. д. Это
тождество геометрий с образующими
элементами £ и г] вытекает из возможно-
сти отображения одной из этих геомет-
рий на другую: достаточно сопоставить
каждой окружности ц радиуса а ее центр
g (или каждой точке £ — окружность ц радиуса а с центром 5),
чтобы каждый образ одной из этих двух геометрий перешел в
соответствующий ему образ второй геометрии, а каждое пред-
ложение одной геометрии — в аналогичное предложение дру-
гой геометрии.
Совпадение геометрий с одной и той же группой <3 движений
и с одинаковыми стационарными подгруппами вытекает из сле-
дующей общей конструкции. Рассмотрим множество всевозмож-
ных преобразований группы <3 как некоторый «геометрический»
образ, который впоследствии будет играть роль «поля действия»
А геометрии с группой движений @. Образующему элементу £
нашей геометрии мы сопоставим подмножество элементов груп-
пы образующее стационарную подгруппу g. Рассмотрим те-
перь некоторый другой образующий элемент нашей геометрии.
Если gi — какое-то одно из преобразований группы @, переводя-
щее ё в h (см. рис. 27, а, где элементы £ и изображаются точ-
ками), то в с е преобразования из переводящие 5 в об-
разуют множество gig преобразований; здесь под gig пони-
мается совокупность всех преобразований gig, где g при-
надлежит подгруппе g. В самом деле, любое преобразование,
37
представимое в виде gig, переводит £ в (ибо g переводит £
в себя, agi переводит £ в Si). С другой стороны, если преобразова-
ние^ переводит £ в &, a g есть такое преобразование из @, что
g' — gig, то g оставляет 5 на месте, т. е. принадлежит подгруппе
g: ведь если бы g переводило I в отличный от | элемент S', то
преобразование g' — gig переводило бы S в элемент S/= gi (£');
но так как Si = gi (S), то Si' не может совпадать с
Таким образом, каждому отличному от В образующему эле-
менту .Si нашей геометрци отвечает множество gtg преобразований
из Все такие множества:
gig {множество всех gig, где g принадлежит g}
элементов из @, а также и сама подгруппа g, которую можно
записать, например, в виде eg, где е — тождественное
преобразование, называются смежными классами группы в
по подгруппе g.
Мы видим, что на языке группы ® множество образующих,
элементов S рассматриваемой геометрии можно описать как
множество смежных классов gtg группы @ по стационарной
подгруппе g. Пусть теперь g' — произвольное преобразование
группы в. Рассмотрим два образующих элемента Si и S2 нашей
геометрии, такие, что g' переводит Si в S2 (рис. 27, б), а также
отвечающие этим элементам смежные классы gtg и g2g. Мы ут-
верждаем, что
g23=g'(?i9)	(=(g'gi)g),
—другими словами, что, умножив слева все преобразования из
смежного класса g$ на преобразование g' (т. е. образовав все-
возможные произведения g'g, где g принадлежит смежному классу
gtg), мы получим преобразования, принадлежащие смежному
классу g2$. В самом деле, так как преобразование g из gtg
переводит S в Si, а преобразование g' переводит Si b,S2, то произ-
ведение g'g преобразований g и g' переводит образующий эле-
мент В в элемент S2, т. е. принадлежит отвечающему S2 смежному
классу g2g. (Обратно, если преобразование g2'= g'g принадле-
жит смежному классу g#, то g принадлежит g4g.) Ясно, что
полученное таким путем множество £'(ё^)преобразований
совпадает со смежным классом g&.
Окончательно мы приходим к следующей геометрической
схеме, исчерпывающим образом описывающей рассматриваемую
«геометрию». За «поле действия» А нашей геометрии принимается
множество @ преобразований; роль «образующих элементов» S
играют смежные классы g’g группы в по подгруппе g (так что
под «геометрическими фигурами» придется понимать множества
смежных классов). Роль «движений» нашей геометрии играют
преобразования группы @, причем преобразование g из этой
группы переводит смежный класс g4g в смежный класс (gg4)g
(=g2g). «Равными» Считаются те «геометрические фигуры»
(множества смежных классов) и Ф2, которые переводятся одна
в другую каким-либо преобразованием g из группы в (действую-
щим" на множестве смежных классов описанным выше образом).
Поскольку это описание интересующей нас геометрии (точнее —
одной из ее «моделей», однако «модели», в которой можно оты-
скать все присущие рассматриваемой геометрии понятия и пред-
ложения) зависит лишь от групп ® и 9, то ясно* что две геоме-
трии с одинаковыми группа-
ми @ и 9 также будут
одинаковы.
Для того чтобы проиллю-
стрировать эту общую схему,
остановимся подробнее на том
случае, когда @ есть группа,
движений плоскости Каж-
дое движение б представляет
собой произведение тр вра-
щения р вокруг начала
О системы координат на угол
а:
Xi = х cos а — у sin а, (32, а)
z/i = х sin а + У cos а
Рис. 28
и параллельного переноса т на вектор р = (a, Ь)1
х' — Xi + а,	(32, б)
у' = У1 + Ь.
Отсюда следует, что каждое движение 8 может быть записано
в виде
хг = х cos а — у sin а + а,	(33)
1 у' = х sin а + у cos а + Ь,
где а (здесь 0 а < 2л) — величина угла вращения р, а
(a, b) — координаты вектора р, характеризующего параллельный
перенос т (см, рис. 28).
Рассмотрим теперь трехмерное пространство, отнесенное к де-
картовым прямоугольным координатам X, У, Z. Множество пре-
образований (33) можно изобразить множеством точек слоя
О Z 2л, сопоставив движению (33), характеризующемуся
углом а и вектором р, точку трехмерного пространства с коорди-
натами X — a, Y — b, Z = а. При этом точки (а, б, 0) и (а, Ь, 2л)
ограничивающих рассматриваемый слой плоскостей Z = 0 и
Z — 2л придется отождествить между собой, поскольку этим
точкам отвечает одно и то же движение б — параллельный пере-
нос (32, б).
1 См. подстрочное примечание на стр. Зв.
В9
Предположим теперь,' что за образующий элемент нашей
Геометрии принята точка £ или окружность т| фиксированного
радиуса а. Если 5 совпадает с началом О системы координат или
центр т] совпадает с О, то соответствующая такому выбору обра-
зующего элемента стационарная подгруппа $ группы движений
состоит из вращений (32, а) — иными словами, из движе-
ний (33), для которых а = b — 0; в трехмерном (X, Y, Z)- про-
странстве этим вращениям отвечает отрезок X —Y = 0 оси OZ
(рис. 29). Смежный класс g$ состоит из тех движений (33)t
которые переводят начало координат х = 0, у == 0 в фиксирован-
ную точку с координатами х — а, у — Ь; эти движения б
изображаются точками слоя 0 Z 2л, принадлежащими
прямой X — a, Y — b (см. тот же рис. 29). Таким образом, наша
геометрия совпадает с геометрией слоя 0 «С Z 2л трехмерного
(X, Y, 2)-пространства с отождествленными («склеенными»)
плоскостями Z = 0 и Z = 2л; роль образующих элементов этой
геометрии играют «столбики» X — a, Y = b (рис. 29), а в каче-
стве «движений» выступают преобразования
а' = a cos а — b sin а + а0,	(34)
b' = a sin а + b cos а Ьо,
переставляющие «столбики» X = a, Y — b между собой (перево-
дящие «столбик» X = a, Y = b в «столбики» X = a', Y — Ь')-
Тождественность построенной нами геометрии с обычной плани-
метрией вытекает из того,; что, заменив «столбик» X == Y = Ь*
&
О C Z 2л точкой X — a, Y = Ь плоскости Z = О, мы придем,
очевидно, к обычной геометрии на плоскости.
По-другому выглядит «модель» линейчатой геоме-
трии, получаемая при предположении, что образующим эле-
ментом геометрии является прямая линия £. Если прямая £ имеет
уравнение#=0, т. е. совпадает с осью Ох плоскости, то стацио-
нарная подгруппа 0, отвечающая прямой С, будет состоять из
всевозможных параллельных переносов (32, б)
в направлении оси Ох Ч
х' = х + а,	(35)
У' = У>
этим движениям отвечают точки X — a, Y = О, Z = 0 оси ОХ
трехмерного (X, У, /^пространства (рис. 30, а). Смежный класс
gi$ состоит из движений (33), переводящих прямую у = 0
в фиксированную прямую Ci с уравнением
У — tg Р-х + Z ИЛИ = tgP, где Ъ — tgP-a = /;	(36)
здесь Р — угол, образованный прямой с. осью Ox, а I — отре-
зок, высекаемый прямой на оси Оу (рис. 30, б). Эти движения
(33) имеют вид
х' = х cos а — у sin а + л,	(37)
у' — х sin а + У cos а + Ь, где а = Р и b = tg а-а + /.
1 Здесь мы вынуждены считать прямую Ох и прямую «направленной»,
т. е. снабженной стрелкой, выделяющей одно из двух возможных направ-
лений движения по прямой (рис. 30, б). Это связано с тем, что, как мы указы-
вали ранее, в формулах (33) 0 а < 2л, в то время как для ненаправ-
ленной прямой & приходится считать, что 0^ g < л и, следовательно.
41
В трехмерном (X, Y, ^-пространстве смежный класс (37) изобра*
жается прямой
Z = a, r = tgaX + /;	(38)
эта прямая лежит в плоскости Z = а и образует угол а с осью
ОХ (см. рис. 30,а). Таким образом, «линейчатая эвклидова
планиметрия» совпадает с геометрией того же слоя
трехмерного (X, Y, /^пространства,4где в качестве образующих
элементов фигурируют прямые (38), а «движения» переставляют
между собой эти прямые в точности таким же образом, каким
преобразуют обыкновенные движения плоскости Z — 0 прямые,
являющиеся ортогональными проекциями прямых (38) на плос-
кость Z = 0. Ясно, что построенная нами «геометрия» тожде-
ственна с линейчатой геометрией обыкновенной плоскости
Эвклида.
установление взаимнооднозначного соответствия между множеством значений
Р и множеством значений а становится невозможным. (Ненаправленная прямая
плоскости изображается в нашей модели парой прямых слоя 0 Z 2л
трехмерного (X, К, ^-пространства, что значительно менее удобно; ср. по
этому поводу литературу, указанную в подстрочном примечании на стр. 30).
ЛИТЕРАТУРА *
к § 1
1*	. Ф. Клейн. Сравнительное обозрение новейших геометрических
исследований [«Эрлангенская программа»].— В сб.: Об основаниях геометрии.
М., Гостехиздат, 1956, стр. 399—434.
2.	И. М. Я гл ом и Л. С. Атанасян. Геометрические преобразо-
вания. Энциклопедия элементарной математики [ЭЭМ]. Кн. IV. М., Физматгиз,
1963, стр. 49—158.
3.	И. М. Я гл ом. Геометрические преобразования. Тт. I—II. М.,
Гостехиздат, 1955—1956.
4.	И. М. Я г л о м и В. Г. А ш к и н у з е. Идеи и методы аффинной и
проективной геометрии. Ч. I. Аффинная геометрия. М., Учпедгиз, 1962»
к § 2
5.	Я. С. Дубнов. Измерение отрезков. М., Физматгиз, 1962.
6*	. Л. А. Сан тало. Введение в интегральную геометрию. М., Изд.
иностр, лит., 1956.
7*	. W. В 1 a s с h к е (В. Бляшке). Vorlesungen fiber Integralgeometrie
(Лекции по интегральной геометрии). Berlin, 1955. (Русский перевод более
раннего издания первой части книги: «Успехи математических наук», 1938,
вып. V, стр. 97—149.)
к §3
8.	Б. А. Розенфельд. Основные понятия сферической геометрии и
тригонометрии.— ЭЭМ. Кн. IV, стр. 518—557.
9.	Ж- Ада мар. Элементарная геометрия. Ч. 2. М., Учпедгиз, 1958,
гл. VI и VII пятой книги; дополнения I и II ко второй части.
10.	Д. И. Перепелкин. Курс элементарной геометрии. Т. II»
М.— Л., Гостехиздат, 1949, гл. XVI.
(См. также Приложение к гл. 2 второго тома книги [3].)
к § 4
11.	Д. А. К р ы ж а н о в с к и й. Изопериметры. М., Физматгиз, 1959.
12.	Р. К у р а н т и Г. Роббинс. Что такое математика? Элементарный
очерк идей и методов. М., «Просвещение», 1967; гл. VII.
* Звездочками отмечена литература, не рассчитанная на начинающего.
43
15. Д. П о й а. Математика и правдоподобные рассуждения. М., Изд.-во
иностр, лит., 1957, гл. X.
14. И. М. Я гл ом и В. F. Болтянский. Выпуклые фигуры. М.—
JL, Гостехиздат, 1951, § 5.
15. В. Г. Болтянский и И.М.Яглом. Геометрические задачи
Ла максимум и минимум.— ЭЭМ. Кн. V. М., «Наука», 1966, стр. 338—340.
16*. В. Бляшке. Круг и шар. М., «Наука», 1967.
(См. также книги [6] и [7]).
к § 5
17. П. С. Александров. Введение в теорию групп. М., Учпедгиз,
1951.
18*. Э. Кар тан. Теория конечных непрерывных групп и дифференциаль-
ная геометрия,, изложенные методы подвижного .репера.Изд-во Москов-
ского университета, 1963.
19t. S h i i ng -S h e n C h e r m (Шен-шень Чжень) On integral geo-
metry in Klein spaces (Об интегральной геометрии в пространствах Клей-
на). Annals of Mathematics, т. 43, 1942. стр. 178—189.
СОДЕРЖАНИЕ	Ctnp.
Предисловие.......... .................................  $
$ 1.	Геометрия и геометрические преобразования ....	5
§ 2.	Геометрии с разными образующими элементами; поня-
тие о линейчатой геометрии........................   12
§ 3.	Сферическая геометрия и неэвклидова геометрия Ри-
мана; принцип двойственности ...........	21
§ 4.	Геометрия кривых линий; изопериметрическая теорема	30
§ 5.	Образующие элементы геометрии как смежные классы
группы движений .••••••••••••«..•	35
Литература	9 9 9	43
к
ИСААК МОИСЕЕВИЧ ИГЛОМ
ГЕОМЕТРИЯ ТОЧЕК И ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ
Редактор В. Ю. Иваницкий
Художник Л. П. Ромасенко
Худож. редактор Е. Е. Соколов
Техн, редактор Е. М. Лопухова
Корректор В. И. Казакова
А10138 Сдано в набор 20/VIII-1968 г.
Подписано к печати 16/Х—1968 г.
Формат бумаги 60x90Vi6. Бумага типографская № 3.
Бум. л. 1,5. Печ. л. 3,0. Уч.-изд. л. 2,26. ТиражЗИОЭ
Цена 9 коп.
Издательство «Знание». Москва, Центр. Новая пл., д. 3/«
Набрано во 2-й типографии изд-ва «Наука»
Отпечатано в типографии изд-ва «Знание». Москва,
Центр, Новая пл., д. 3/4. Зак. 3084,