МИНИСТЕРСТВО АВИАЦИОННОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ СОЮЗА ССР
ЦЕНТРАЛЬНЫЙ АЭРО-ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
им. проф. Н. Е. Жуковского
ТРУДЫ ЦАГИ
№ 592
МАТЕРИАЛЫ ПО РАСЧЕТУ И ПРОЕКТИРОВАНИЮ
УПРУГО-ГИДРАВЛИЧЕСКОЙ АМОРТИЗАЦИИ
ШАССИ САМОЛЕТА
В. П. Ветчинкин
ИЗДАТЕЛЬСТВО БЮРО НОВОЙ ТЕХНИКИ
1946

ТРУДЫ ЦАГИ
№ 592
МАТЕРИАЛЫ ПО РАСЧЕТУ И ПРОЕКТИРОВАНИЮ
УПРУГО-ГИДРАВЛИЧЕСКОЙ АМОРТИЗАЦИИ ШАССИ САМОЛЕТА
В. И. ПЕТЧ ИН КИН
ПРЕДИСЛОВИЕ
Еще в 1912 г. появились проекты устройства жидкостной амортизации в дополнение
к резиновой, а также воздушно-жидкостной амортизации. Эти проекты не находили при-
менения, так как в то время была еще плохо разработана технология изготовления плот-
ных скользящих стыков, обязательных при выполнении такого рода амортизации.
В 1919 г. автором была предложена схема жидкостной амортизации, не требующая
столь большой герметичности в уплотнениях, так как сжатый воздух был заменен резиной
(опубликовано в „Динамике полетов*, стр. 148 152).
Одновременно был дан способ расчета площади проходных отверстий для жидкости,
но не на всем пути амортизации, а только на последней стадии хода амортизационной
стойки, где полное усилие давления колеса на землю можно было считать постоянным.
Задача упрощалась тем, что движение (опускание) центра тяжести самолета считалось
равномерно-замедленным. В этом случае расчет жидкостных сил получался очень простым.
В 1932 -1933 гг. начали применять жидкостную амортизацию, и в связи с этим по-
требовалось уточнение расчетов, главным образом расчета переходной стадии движения.
Этими вопросами почти одновременно занялись А. Г. Агладзе, Е. С. Щетинков и автор.
А. Г. Агладзе, базируясь на опубликованном в „Динамике полетов* способе расчета,
задавал при проектировании нового шасси всю кривую нарастания усилия на самолет,
и отсюда находил величину и скорость опускания центра тяжести для каждого момента
времени, от первого соприкосновения колеса с землей и до полной потери самолетом
вертикальной скорости.
Ту же задачу о переходном участке движения амортизационной стойки автор настоя-
щей работы решал применительно к поверочному расчету существующего шасси, для
которого и упругая составляющая силы обжатия и площади проходных отверстий счи-
таются известными, а отыскивается движение (поведение) шасси во время посадки—либо
выполненной, либо заданной нормами прочности. Такая задача требует составления ди-
ференциальных уравнений движения системы с двумя степенями свободы, если учитыва-
ется масса подвижных частей шасси, и с „полуторной* степенью свободы, — если массой
подвижных частей пренебрегать; автор решал последнюю задачу.
Для проектирования амортизации шасси метод А. Г. Агладзе был удобнее и получил
распространение на заводах, хотя результаты расчета давали заметное расхождение с
практикой, так что требовалась доводка рассчитанных таким способом амортизационных
стоек, сводившаяся обычно к значительному увеличению площади проходных отверстий
для прямого хода шасси.
J-. С. Щетинков, занимаясь разработкой проекта норм прочности на воздушно-жид-
воздуЮ амортизацию, проделал общее исследование такой амортизации, включая и во-
HJ. _ь. проектирования. Им был рассмотрен вопрос о наивыгоднейших формах диаграмм
работ и усилий как с конструкторской, так и с эксплоатационной точки зрения, а также
вопрос влияния начальных условий и других факторов на формы кривых. Массой по-
движных частей шасси он пренебрегал.
В 1937 г. автор занялся изучением вопроса о влиянии массы подвижных частей
шасси на его работу при посадке, и в декабре 1937 г. сделал в ЦАГИ доклад об уравне-
ниях движения шасси при посадке на ровную землю, учитывая как массу, так и силы
трения в амортизационной стойке, положение которой для простоты предполагалось вер-
тикальным.	! 
11 аг	I . Wb'H ft
Работа по расчету посадки продолжалась в более широком масштабе в 194? —1943
В поверочном расчете посадки были подробнее учтены силы трения, принимая во внИ
мание и наклонное положение амортизационной стойки и консольное прикрепленИ
колеса к ней, а также проведен ряд поверочных расчетов существующих и и спита и нЯ
на копре шасси. Оказалось, что подвижные части шасси, т. е. колесо со своей осью И
шток амортизационной стойки, колеблются с коротким периодом между неподвпжнЯ
землей и медленно надвигающимся на нее (в вертикальном направлении) корпусом сачЯ
лета. Силы давления шасси на самолет во второй полупериод колебательного движенЯ
нарастают так быстро, что приобретают ударный характер, расшатывая крепления фюзЯ
ляжа и неблагоприятно отражаясь на приборах и на самочувствии экипажа.	В
В связи с этим была поставлена задача о таком подборе закона изменения площадВ
проходных отверстий для жидкости, чтобы колебательное движение подвижных частеВ
было исключено, и давление шасси на самолет представлялось бы плавной, монотонЯ
нарастающей до своего максимума, кривой.	В
Эту задачу автору удалось разрешить в мае 1942 г., разработав метод проеВ
тирования новой амортизации с надлежащим подбором площади проходных отверстии
Математически решение сводится к такому подбору правой части1 линейного диференцВ
ального уравнения второго порядка с постоянными коэфициентами, при котором нужяаВ
нам интегральная кривая теряет свой колебательный характер на протяжений 1—1,5 пЛ
риода. Это удалось получить подбором подходящих кривых, изображающих относительной
движение штока амортизационной стойки. Таким образом, была решена прями,< н ббриЯ
ная задача — поверочного расчета существующего и проектирования нового шасси-
последняя на заданные нормами прочности наиболее тяжелые условия посадки.
Приблизительно в то же время — в 1942 — 1944 гг. — изучением амортизации шасс
занимался канд. технических наук А, А. Белоус. Задачу о проектировании нового шасс
А* А. Белоус решил примерно в такой же постановке, какая была дана автором, с то
разницей, что автор решал задачу, принимая за аргумент время, а А. А. Белоус—корен
кубичный из величины смещения штока амортизационной стойки; эта последняя величин
в начальный момент движения штока также пропорциональна времени. Следует признать
что решение А. А. Белоуса было получено независимо от решения, полученного авторы
в мае 1942 г. и тогда же доложенного на собрании научных сотрудников ЦАГИ.
Считаю долгом выразить благодарность сотрудникам ЦАГИ Л. X. Блюминой
И. М, Ляпунову, Т. В. Чуткерашвилли, А. В. Мишиной и М. Я. Гафанович, оказавши!
ценную помощь в проведении расчетов, и особенно Ю. Г, Клаус, Д. Б. Навроцкому i
И. А. Паничкину, внесшим дополнения и уточнения в способы расчета и проектирова-
ния амортизации,
1 Она сама, как то видно из уравнения (4.1) на стр. 47, является суммой другой искомой функции и
ее второй производной; в этом и заключается трудность решения задачи на проектирование амортизации.
ЧАСТЬ Т
ПОВЕРОЧНЫЙ расчет амортизации шасси
ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ (см. фигуру)
Zlk—расстояние от ц. т. самолета до земли в момент
первого соприкосновения колеса с землей,
So - длина амортизационной стойки в необжатом со-
стоянии.
расстояние от оси колеса до земли в момент
касания (радиус пневматика).
а— угол наклона оси амортизационной стойки к вер-
тикали.
Z — Zo - z - расстояние от ц. т. самолета до земли при обжатой
амортизации.
z — s cos а |- у — опускание и. г. самолета; отсчитывается вниз от
уровня Zo центра тяжести в момент первого при-
косновения колеса к земле.
So —$ — длина амортизационной стойки в обжатом состоя-
нии.
COS а
Уо—у
— обжатие амортизационной стойки.
расстояние от земли до оси колеса при обжатой
амортизации.
у— обжатие пневматика; отсчитывается вниз от
уровня Ко оси колеса в момент первого прикос-
новения колеса к земле.
В основной стадии посадки, когда центр тяжести понижается,
колесо и амортизационная стойка сжимаются, имеем:
0;
г>0;
0;
dz л
л > 0;
dt
ds
• 	и “Z
г —	<0, так как скорость опускания самолета уменьшается; Z> 0.
у—проекция на вертикаль ускорения оси колеса и поршня амортизационной стойки по от-
ношению к земле.
s=(z — у) sec а—ускорение поршня амортизационной стойки относительно самолета.
г — г — i cos 7 < 0, если опускание оси колеса замедленное, как и опускание центра тяжести самолета.
В этом случае Х^>0.
Сила инерции самолета — MZ'М z направлена вниз, если г <0, г. е. вертикальная проекция ускоре-
ния самолета 2 направлена вверх.
Сила инерции поршня и оси колеса — m w_v направлена вниз, если ускорение их относительно
кмли направлено вверх, т. е. когда
Г>0,	у<0.
М — масса самолета (без массы поршня с колесом), приведенная к оси колеса.
т - масса подвижных, относительно самолета во время посадки, частей шасси (поршень, колесо, вилка).
и — вертикальный компонент скорости самолета.
то же в момент первого прикосновения самолета к земле при посадке.
В работе амортизации шасси при посадке самолета можно различить несколько стадий.
Первая стадия начинается прикосновением пневматика к земле и продолжается до того момента,
когда начнет сжиматься амортизационная стойка. В этом случае работают только пневматики.
Вторая стадия начало обжатия амортизационной стойки, происходящее только за счет сжатия воздуха,
до включения в работу жидкости так называемый ход по воздуху (имеет место не во всех типах аморти-
зации).
Третья стадия дальнейшее обжатие амортизационной стойки, когда включается в работу и жидкость,
до максимального обжатия стойки.
Четвертая стадия амортизационная стойка остается сжатой и удерживается в таком положении
силами трения между поршнем и цилиндром до начала обратного хода .амортизационной стойки. Здесь, как
и в первой стадии, работают только пневматики,
Пятая стадия — обратное движение (удлинение) амортизационной стойки под действием упругих сил
воздуха и противодействующих им сил трения, сопротивления жидкости и давления земли на колесо.
Наконец, может быть и шестая стадия посадки, когда колесо уже отделилось от земли, а амортиза-
ционная стойка еще продолжает разжиматься в воздухе. Эту стадию мы называем обратным ходом аморти-
зационной стойки в воздухе.
§ 1. Первая стадия работы амортизации—обжимается только нненматик
Считая, что давление Pt земли на колесо связано с его обжатием у линейной
зависимостью ’
Pt = ky,	(1.1)
и пренебрегая вращательным движением самолета, приходим к уравнению движения:
+ky=--^G
Cl L
или
+-*- у= -«L .	(1.2)
dr- ЛЦ-m Л1+т
Здесь
5(7 —та доля разности между весом самолета и подъемной силой крыльев, которая
передается на шасси (остальная, меньшая, часть передается на хвостовой кос-
тыль).
— приведенная к оси колеса масса самолета, которая может:
а)	в случае посадки самолета на три точки соответствовать стояночной нагрузке на
колесо,
6)	в случае посадки с поднятым хвостом будет несколько больше и
в)	в случае посадки сначала на хвост может даже превзойти массу самолета.
А)	Интегрирование уравнения (1.2) по времени
Общий интеграл уравнения (1.2) будет:
у = A sin (nt - р) 4-	,	(1.3)
•V
где положено:
 / *
П 1 |	М-\-т '
Начальные условия будут следующие:
J = 0,	=u0=|/'2g/t при t—О,
Тогда найдем:
A sin р = —, An cos р = п0,
Таким образом, вертикальное движение какой-нибудь точки самолета, находящейся
над осью колеса, оказывается гармоническим колебательным движением с периодом
. Т = — =2r. I —	—
п у k
Если бы такое движение продолжалось до полной потери вертикальной скорости,
то наибольшее опускание оси колеса (а вместе с нею и всего самолета, так как аморти-
зационную стойку мы считаем пока несжимаемой) было бы:
Л I
.Утах — А .	(1.5)
2 Если эта зависимость нелинейная: = [A -f- z(_у)]Л то мы для сокращения будем писать в дальнешем
Pj = ky.
4
В)	Интегрирование уравнения (1.2) по пути
Уравнение (1.2) можно интегрировать не только по времени, но и по пути; для этого,
, dy
(означив -77-= я, напишем:
at
1	d'-y__ d (и? \ __	_ k	.
dP dy 2 ) 7И 4”m	'
Интегрируя по у в пределах от _у = 0 до у и от н--и„ до и, найдем:
£ =	v_.	(1.7)
2 M-j-m У М±т 2	2 ‘
Это можно было бы написать и непосредственно на основании теоремы живых сил.
Если бы закон нарастания силы Р, давления земли на колесо в зависимости от его
обжатия у был не линейным, а выражался бы некоторой функцией Р(у), то в последнем
члене уравнения (1.6) стояла бы величина F{y}-- ky вместо ky, и интеграл уравнения (1.6)
имел бы вид;
у
2	2 f 7 I 2JG
------------	kydy-^-r;—.-----у.	(1.8)
n М -f- mJ Л 1 Л) -|~ т -v‘
п
Применять уравнение (1.7) нужно до тех пор, пока не сдвинется амортизационная
стойка, т, е. до того момента, когда сила Р, давления земли на колесо, уменьшенная на
вес mg и силу инерции ту собственно колеса и поршня амортизационной стойки, станет
равна отпорной силе амортизационной стойки, которая составляется в начальный момент
движения из силы давления воздуха Q, и сил трения QTp (подробнее об этих силах
см. ниже, § 2); что же касается сил сопротивления жидкости, то они равны нулю, так
как поршень амортизационной стойки в начальный момент своего движения еще не имеет
относительной скорости х.
Сжатие амортизационной стойки начнется тогда, когда
(Pj — >ng4-/tty)cosx —QH Q*p
или, после подстановки у из уравнения (1.6) и преобразования;
"cos“= 41 +	- Л?т^)со5’-	<L9’
Пример 1 ♦
(/ = 3 490 кг (на одно колесо), — 120 кг,
М — 3,342 кг сек-1 см, т = ОД 223 кг сек-,'см,
k = 650 кг см,	В = 0,25,	— 2 900 кг,
а - 24', Q1>p — 662 кг.
Подставляя эти данные в уравнение (1.9), найдем величину обжатия колеса v к моменту начала движе-
нии поршня амортизационной стойки:
3 342	'	0 25*3400 \
650-0,9135 У464“У - 2 900 j-662 Д- 0,1223 ! 981 - ~з 464	;) 0>9135.
Откуда
у —. 6,37 см.
Скорость ц. т. самолета в момент прикосновения колеса к земле принимаем равной:
но --- V^gH = 396
Скорость к началу обжатия стойки определим, используя теорему живых сил:
и? — 1/0	X
(М | /н)---2--= — ^ J
о
9	k	о >
по М Д- т 1 Л1 Д т
и* -- 152300, и — 390,5 см^сек.
Время /, соответствующее величине обжатия колеса у, определим по формуле (1.3):
ео
у = A sin (nt - р) •
где	______
'-/тЬг = '3'7.
Л I 	“ ' „, я.
IR f> =	= 0,0452,
р = 2°36' или р= 0,0152.
Подставляя найденные величины в формулу (1.3), находим последовательно:
0,25-3400
v = 6,37=28.95 sin (13,7* - 0,0452) +	,
sin (13,7* - 0,0452) = 0,175,
13,7/ —0,0452 = 0,176,	/	0,61613 сек.
Ускорение ц. т. самолета получим из уравнения (1.2):
SG k
г = у = ЛГПГ “ + ы У' 2 = - 9>48 M>ceK'
При м е р 2.
G = 4200 кг (на одно колесо), (7Ш = 150 кг,
Л4 = 4,28 кг сек2 см, т - 0,153 кг сек2'см,
Ь = 500 кг/см, 5 = 0,25, а = 14°55',
QH = 2700 кг, QTp = 1056 кг.
Подставляя в уравнение (1.9), получим у = 82,8 мм.
Скорость ц. т. самолета п0 будет:
— | 2^/7= V2-981-72,3 376,5 см/сек.
Время определяем из формулы (1.3), для чего найдем:
\Г k 0,25-4200-10,62	_______
V М \ т ~	500-376,5	- 0,0592,
£ = 3°24', или в радианах р = 3°,4	= 0,0593.
Подставляя найденные величины в формулу (1.3), получим:
у = 8,28 ----- 35.5 sin (10,62 1 0,0593) 4- в'2^-2**0.
sin (10,62 1 0,0593) = 0,174.
10,62/ —0,0593 = 0,1744. / = 0,022 сек.
Скорость к началу обжатия стойки:
и = у = An cos (nt - Р) = 35,5-10,62 cos (10,62-0,022 0,0593) = 372 см сек.
Ускорение ц. т. самолета получим из уравнения (1.2):
W k 0,25-4200	500
У- М + т ~ Л/4 ту~ 4,433 — 4,43м8’28 = “ 697 см1гек‘
Период колебания:
г= та=°’592 сек-
б
§ 2. Общая задача об опускании шасси —стойка сжимается, преодолевая
силы упругие, жидкостные и трения
На самолет в общем случае действуют следующие силы.
1)	-G, направленная вниз и равная разности между весом и подъемной силой крыльев,
приведенным к месту крепления амортизационных стоек к фюзеляжу.
2)	.Упругая сила
Qi=4/(s),	.	(2.1)
направленная по оси стойки вверх и равная силе давления воздуха на верхнее дно
цилиндра.
3)	Жидкостная сила:
Q2 + Q;( = /fc (s) j + С6 (.$)	,	(2:2)
направленная по оси стойки вверх и равная силе давления жидкости на диафрагму, сквозь
отверстия которой проходит жидкость; одна часть этой силы пропорциональна квадрату-
скорости, так как зависит от живой силы струи; другая часть этой силы, зависящая of
вязкости, пропорциональна первой степени скорости.
Функции <ь(з) и !>($) зависят от изменения площади и формы сечения отверстий длЯ
протока жидкости.
Коэфициенты А, Ви С введены с целью обратить каждую из функций /(з), ъ(х)и^(5)
в единицу в каком-нибудь характерном положении амортизационной стойки (в начале
или конце хода, или в месте, где площадь отверстия принимает наибольшее значение,
и т, п.).
4)	Сила /V—равнодействующая сил, направленных нормально к оси стойки; при
правильной посадке (без сноса и заворота) она состоит из:
а)	силы P'sinx,
где	Р'Pi • m'g- tn'V	(2.3)
- вертикальная составляющая давления колеса па свою ось,
т' - масса колеса;
б)	силы/и'х cos а, где х — горизонтальная составляющая ускорения колеса;
в)	проекции 7’cos х горизонтальной силы Т (см. фиг. 2) сопротивления воздуха и
сопротивления грунта продвижению колеса (в большей части настоящей работы не учи-
тывается).
5) Силы трения, зависящие от коэфициента трения и сил прижатия трущихся ча-
стей, т. е. от конструкции шасси, материалов, регулировки, состава наполняющей жид-
кости и ее температуры. Эти силы разделяются на:
а)	постоянную силу трения Q4 (от затяжки манжет);
б)	силу
Q. = D^fis) -) [Я ?(s) ? -р Q(s)s],	(2.4)
развивающуюся при центральном сжатии стойки и зависящую от переменного давления
воздуха и жидкости внутри стойки;
в)	силу трения (Qfi-|- Q-), зависящую от момента, изгибающего шток поршня стойки,
и от плеча, на котором он воспринимается, т> е. от конструкции стойки и от величины
ее обжатия.
При этом под мы понимаем силу трения, получающуюся при прямой стойке (без
выноса), т. е. когда центр колеса находится на ее оси, а под Q- — силу трения, завися-
щую от выноса колеса в сторону по отношению к оси стойки с эксцентриситетом е. Как
увидим ниже (см. фиг. 1 на стр. 10), мы можем выразить силы трения так;
Q
M
|i (AT, + 4) — p. 6'(S) (P'sin a - 7cos a) + (s)	— -
= OWP'-rctgaH-O^)
Mill ;
лГрТй5
Здесь — коэфициевт трения,
a—угол наклона стойки к вертикали,
A/j и /^ — давления на опорные кольца стойки, зависящие от
речными силами:
Р sin a - Тcos a 4- m' x cos a	m" x cos а
tns COS a
(2.5)
нагружения ее попе-
7
(из которых первые три приложены к оси колеса, а четвертая к ц. т. Штока), причем
/?/" масса амортизационной стойки без колеса, и от соотношения плеч;
О (s) = 6' (s) sin я, Oj (s) = 6J (s) cos а	(2.5')
— функции1, зависящие от наклона стойки и от соотношения плеч.
Зависящая от выноса колеса (см. фиг. 2 на стр. 15) сила трения может быть пред-
ставлена в виде:
Q- — 2 [«.	= н (Р' cos я -ф Гз1п а) 0' (s) — j* (Р' -ф Т tg а)()., (х),	(2.6)
где функция (х) = 0 , (х) cos я зависит от соотношения плеч н пропорциональна величине
эксцентриситета е.
Если колесо вынесено вперед или назад, то силу можно вычислить отдельно,
после чего она или прибавляется к Qe, или вычитается из нее.
Если же колесо вынесено вбок от стойки, то силы Na, 7V;I, уравновешивающие
пару, вызываемую этим выносом, будут направлены перпендикулярно силам и
дающим силу трения QB. В этом случае силы Q,. и Q- нельзя вычислять отдельно, а
нужно сразу искать их сумму:
Q6 + Q, = / A'f+X2 + V )	<2’7)
Чтобы перейти от корней к линейным соотношениям, можно воспользоваться при-
ближенной формулой Понселе3, дающей ошибку, не превосходящую + 4%:
]/<i’4" Л® ~0,96 а 4-0,4 Ь, когда а^>Ь.	(2.7')
Такая ошибка в силах трения вполне допустима.
Кроме того, дополнительный изгиб стойки и отвечающие ему дополнительные силы
трения появляются при неправильной посадке (со сносом или заворотом) от сил, перпен-
дикулярных плоскости колеса.
Сумма сил, действующих по вертикали на самолет, будет равна:
- EG 4- [(1 + D,) Q, + (1 -ф D2) (Q,_ + Q3) 4-Q4 4- Q,; 4- Q-] cos a 4- W sin a =
= EAlg ф Hl/(.s)4-/yif(s)s24-C1'}< (s)s4~ Q, 4-!lf) (s)(/>i	'A (* s *) ? cos a p
Mm'
Ai 4* w
— X cos a cosa4~(/’i — Tctga— m'g 4- iti'y) sin® a -f-
m ,y~.------x sin я cos a,
Л44“ Ш
(2.8)
где обозначено:
Д, = Д (1 4-D,). В, = В(1 4 • G,), С| - С (I 1 /ф),
причем следует полагать Ds — D.,\ коэфициент в зависимости от конструкции шасси
может быть в одних случаях равен О.,, в других случаях отличаться от него.
Что касается жидкостных сил — инерционной, Q2 = B'f (s)s2, и вязкой, Q:l = Сф(х) s,
то последняя обычно во много раз меньше первой, и в большинстве случаев расчета
шасси ею можно пренебрегать, полагая С — 0.
На подвижную часть шасси — поршень, ось и колесо действуют силы:
1)	от колеса вверх по вертикали
Р' = РХ— m'g 4- m'y\	(2.9)
1 О функциях (T(.s) более подробно см. ниже, в § За.
s В. Л. Гончаров. Теория наилучшего приближения функций, гл. 1. «Научное наследие П. Л. Че-
бышева*, том I, стр. 122—126. Изд. Академии наук СССР, 1945 г.
8
2)	от колеса же вперед по горизонтали т'х, где л горизонтальная проекция уско-
рения колеса в абсолютном движении;
3)	упругая сила
Ql = Д/(«);
4) жидкостная сила
Q; + Qs;
5)	силы трения, зависящие от центрального нагружения стойки, т. е. постоянная
сила Q+ и переменная Q;;
6)	сила трения Qe Q-., зависящая от изгиба поршня поперечными и эксцен-
трично приложенными продольными силами.
Обозначим (Q4 + Q5) одной буквой Qu:
Qu	+	(2.10)
Далее положим 1:
Qc — !* * ft(s)(p_ rctga)44(s)	. Q; = tA(s)(^'+ng«).	(2.11)
7)	Проекция на вертикаль равнодействующей сил, направленных перпендикулярно
оси стойки:
(Pj — /n'я-гm,J,)sin, а _ m'xsin a cos я.	(2.12)
§ 3. Составление диференциального уравнения движения ц. т. самолета и поршня
амортизационной стойки (третья стадия работы амортизации шасси)
Сначала разберем, какие силы действуют на поршень.
Сила Q представляет собой сумму из центрального нагружения’стойки Qu и бокового
трения’ Q6 =Qe-^Q7, т. е.
Q = Qu + Q® •
Давление земли на колесо Pt — k(z 5 cos а); следовательно, давление колеса на
ось будет
Р1 — k (z — s cos a) — m’g — m' Y ~ k(z — s cos a) — m'g\- m'y,	(3,1)
Вес поршня равен m"g.
Боковые давления, возникающие от изгиба штока амортизационной стойки силами,
параллельными плоскости симметрии самолета, обозначим через \\ и
Кроме боковых давлений и N2, вообще могут появиться еще две равные силы
(также силы бокового давления), возникающие от изгиба штока амортизационной стойки
за счет выноса колеса в сторону от оси стойки; но мы пока не будем эти силы при-
нимать во внимание.
- т"х и — m"Y— силы инерции поршня со штоком, соответственно по осям х и у,
причем ось х направлена спереди назад (см. фиг. 1).
При составлении уравнений движения поршня мы будем также принимать в рас-
чет горизонтальную силу сопротивления колеса от земли и от воздуха. Надо отметить
то обстоятельство, что эта сила, как показывает практика, улучшает работу упруго-
гидравлического шасси, уменьшая боковые давления А/, и N., и, следовательно, силу
трения	№).
Составим уравнения движения поршня со штоком по вертикали и по горизонтали:
m"Y — Р1 — Q cos a — Af, sin a —- A^ sin a — m" g =
— k (z — s cos a) — m'g — m' Y — Q cos я. —	N2) sin « — nt "i,
или
m Y ---k (z — s cos a) — mg — Q cos a —	— N2) sin a ;	(3.2)
i В случае выноса колеса вбок сила Q6 - Qi вычисляется по формуле (2.7).
• 2 Сила Qi, зависящая от выноса центра колеса вбок от оси стойки, в настоящем параграфе далее не
фигурирует, так как мы для упрощения задачи в дальнейшем принимаем колесо вынесенным вперед.
в
далее
т"х = —т'х 4- м cos я — N. cos я — Q sin а 4~ Т,
или
mx = (Nt — Л7,) cos а — Q sin я 4-Л	(3.3)
Теперь перейдем к составлению уравнений движения самолета по тем же осям:
MZ — Q cos а 4“ 04 — Ms) sin а — tMg,
МХ=—(Х}— N2) cos я 4" Q sin e •	(3’4)
Из уравнений (3.3) и (3.4) вытекает:
MX,4- тх = Г, Х,= - £ х 4-Л ;
м м
при Т=0 получаем подтверждение теоремы о сохранении движения центра тяжести
системы.
Отсюда находим:
М •	. Т
х~ ЛГН5"”|П,+ М + Ш-	<3-5)
Переходим к определению величин сил, входящих в уравнения движения.
Движение самолета будем принимать поступательным, полагая, что угловые ско-
рости погашаются либо костылем, либо хвостовым оперением.
Прежде всего найдем разность реакций (сил давления), действующих на шток поршня.
Из уравнения проекций действующих сил на нормаль к штоку (фиг. 1—6), находим:
X = Ni — Nn = P' sin я 4-/n'xcos a4*m"xcos а — m" (g-(-K)sina Fcosa. (a)
Если к этому добавить уравнение моментов для стойки (по отношению к верхнему
опорному кольцу):
(b-\-s)Nx = 1{Р' sin я -\-m' х cos я) -|-7(w"jccos a — zw"£sln«— rn"Fsin я ) — Feos я, (3)
то можно найти Nx и Nz.
В уравнения (я) и (й) подставим вместо х его значение, выраженное через S:
N=N\ — N„ = k(z — s cos я) sin я — m(g4" И sln * 4~ ~д p	* sin “совя —
10
M ,r	'Y,	. .	1	“ .
—- / cos	a -- k (z	- s cos a) sin	a — nig sin a |	 niz sill	a —
m-	M
, -s sin a cos a-rj—।-Tcos a;
M 4- m	M^m
(3 6)
(b -]- s)	= I k(z — s cos a)
T
tn’g — m' Y — T ctg a
M .
-rm----i—rm— s sir) a
M 4- m 1 M -4~ m
/ T , ' M  .
• -TTi—I-S sin Я
— bn” g -|- Y -- -ctg a ( -77-j---------1-
01	“ l Лл_L_ m 1
= 1 k(z — s cos a) — m'g -f- m'z —
T'"t " 1 m	.
— Im £ — 2 * +	---scosa sin a
\ Af-f-m /
sin a —
mm ••
-jT-i--s cos a
7H4~m
sin x —
sin a -
_ [	тЧ^-m''l
|.	(M4-m)/
cos a.
(37)
Здесь (см. фиг. 1, а и 6) b -расстояние между серединами опорных колец на ци-
линдре и поршне амортизационной стойки в ее свободном состоянии; s— смещение
поршня, т. е. сжатие амортизационной стойки; / — длина штока амортизационной стойки,
от колесной оси до середины верхнего опорного кольца; I — расстояние от середины
верхнего опорного кольца до центра тяжести штока.
Подставляя Л/) из (3.7) в (3.6), получим:
ЛА, _ I
Sin a b-\-
Mm' ••
-rm---« COS a
M J- tn
k(z - s cos a) — m'g 4~ m' (z
_ Ьп"
& j- s
..	M
g - (z —scosa)-	m scosa
I T- , r .	m/4-m l\ ~	.	1	/•	vi
—:— Г ctg a i 1-777П-r? ) —	(z — s cos a) mg -4- m (z — s cos a) -k
>-|-s	\	(A!4-m)//	1	' 1
. Mtn 
4"	- 5 cos a
1 M 4- m
tn
- j-i-r-- S COS
Af-f- m
Л1 _ ,
M 4- tn C я [ \b -j- s
$ cos a) i 7—:— - - 1
’ \b + s
m (b -f- s)
\ , m" I - I
(3.8)
a
I
Для выражения главной части силы Q,- = p(/V, -j- М) нам надо знать сумму реакций
(Л/, -1- ЛА,). Легко вычислить, что
(Vi + '4 = A (z — s cos 0)
1	1 tn
— m \ g — z 4- i~t --------- $ cos a
\b	1 M 4- П1
2/
(^ 4- s)
rf /
mi 1
(& + $)
sin a - -
sin y. —
Л1 _
—----T cos a
21
in
M
/--/
(3.9)
тогда
Q6 = [x (,У, 4~ jVs) = !>• k (z — s cos a) 6 — m
— scosa Vn , (3.10)
M-t-m J 1	-	7
II
где обозначено’:
/ ‘7	\
О = О (s) — I 1— - — 1 I sin х,
'	(b --s /	’
0t = О, (s) = sin а
Q	_ __ 1
“ (b-{-s)m
21
-2L-1_________
b 4- s m (b 4- s)
--------4------ Sin
nf_l
M b +
62 = e, (s)=_-4L_
2 2V 7	M-\~m
Подставляя найденные силы /V, и приведем уравнения движения (3.2)
к виду:
COS а - [О (s) 4- г] cig х О ctg a .
и (3.4)
— m (z — s cos a ) = k (z — s cos a) cos2 a — mg cos2 a —
19i Л4
sin3 a4- 77-; 7 cos a sin a,
1 M-~ m
— Q cos а — mz sin3 а -|-
m2
TT-,--- s COS a
M 4- m
(З.И)
/и2
MZ = Q cos a — ;Mg 4- k (z — s cos a) — mg mz—	— s cos a
Al	r ,
----i------ / COS a sin a;
sin3a —
(3.12)
отсюда находим:
'	/ , m . , \
ms cos а 1---------xr~,----sin-а = ms cos a
( Af J
М 4~ /п cos3 а
М 4- т
М
— k(z — s cos а) cos3 a — mg cos3 a-j-mz cos3 а — Q cos x 4~	Tcos a sin «;
(3.13)
..	~	m-
- z(M - m sin2 a) = k (z — s cos a) — mg — м~\~т s cos a
M ,r
— tt~,----' cos a sin a .
.Vf4~/n
sin3 а — Qcosx -
(3-14)
В уравнение (3.14) подставим значение s из (3.13) и объединим члены при z;
небольших преобразований получим:
после
Q , k(z— scosa . . h A14-/wcos
?. cos a 4-	-----sin2 a — tg -	.
M 1 M 4~ m	M 4- m
M
—iri---- Tcos a sin a .
Л44* m
^-sin2a-
(3.15)
В эти уравнения нужно еще вставить в развернутом виде силу бокового трения Q,
данную уравнением (3.10), и тогда уже окончательно можно будет исключить z
жения для s и s из выражения для z. Именно:
• Л . й	т
— z I f- [A cos a -г-
1 ‘ 1	Л/
о
из выра-
k(z—s cos а)
m sin2 a
g Af4-m
и далее:
Л/Г ) ~ -ТГ cos я 4
MJ M
. , . A4 4-/«\ Al-H/Mcos’a
sin3 a 4- «-0 cos а-—	-,g---------------
1 ‘	M I M 4- m
m _	/ sin a . pO, \
fAcosa M —7'cos ai M m 4- M 1
ms cos «
M 4- m
(3.16)
— z
M4-?w(cos2x — cos a) Т/	X/ о л \
ms cos a ———	,---—------- = k(z — s cos a)(cos2 а — p.0 cos a)
M-\- m
— Q„cos я — m ig — z) (cos3 а — чб, cos а) 4~ T cos	j 
(3.17)
’ О функциях 0(5) более подробно см. ниже, в § За.
12
В уравнения (3.16) и (3.17) для упрощения вводим следующие обозначения
Т 1 I ,.ц 41	Н т т ь
а. -1 + : > м “s •’ в'= лГ м+Ш ’ 
Qn . k(z — s cos а) / . , . М-\-т и \
С, —-тт-cos «4- -	,-----( sin-а-]---—ti&cosx
Л /	М-\- т \	1 М 1 J
г Л14 т cos’ а
"8 М 41
т sin8 а , ,, т \ т ( sin а .
«ЦТ +1‘° 1 cos а -м - 7 cos а	’ дГ
-.	,	I.V о /И; ш cos а (cos X 1*6])
Л2 — in cos а (cos а — |*»|),	= т------------!------д] ~\~Уп-----------------
С2 = k(Z — s cos а) cos а (cos а - р&) — Qu cos a — mg (cos’ а — |лв( cos x) -j~
,	/ Al sin а .
t / cos a -T-z—j--------r ;1.4„
1	( ai 4- 4i 1 1 2
Тогда эти уравнения примут вид:
— Axz 4- Bts cos a = Cj, — A2z 4- BjS cos a = C2.
Решая их относительно z и s, получим:
Qu ।
" ATCOSa +
k (z - s cos x)
7И -j- nt
sin1 a 4- H
(Al -|~/n)cos а
/И 4" 4i cos’ a
6-6( ~
1 M
+ « 4 cos-	sin- 4 - Eg I - -j— (sin- . + П», COS .)
— Z 'sj~r— (sin-я T-uS. cos «)4- 7'cos a I ,Jt~—I—T7~ I 
s м 4- m v	\M 4- 4i м j
_ k(Z — S COS x)
m
(cos X — jx9) — -ду- [1 (9 — &1)
Q„ M-\-m	hW L . । Г f J . M-\-ni
~m~ 'M-------------8 (1 ~ °(COS + lii (j5111 “ *--------------Й~ 1 2) •
(3.18)
(3.19)
Найденные выражения (3.18) и (3.19) справедливы при любом соотношении между
массами М и т.
Но масса т самолетного шасси мала по сравнению с массой М собственно само-
лета. Поэтому выражение для z можно упростить, отбросив некоторые члены, малые по
сравнению с основными.
Если принять максимальный угол наклона стойки с вертикалью а,пах = 30° и отноше-
7H	1	е-
пне массы подвижных частей шасси к массе самолета -гг-.----= —z, то можно отбро-
т -L- т	zo
г т т , 9	к	n ,,z
сить член 0.	:---sin-а, которым в 100 раз меньше члена 0. —г ,
1 М	г	1	М
тоже достаточно
малого.
13
Тогда окончательно выражение для z примет вид:
Qn	k(z — S cos а
z = L cos x 4—	-----:
M 1 M Ф m
. 2 . (М 4- in) cos а
sin-а 4“ Iх
_____0 1-
М ф in cos2 а
I 1,1	2
•ф -^(6 cos* а
— (Sin2a4'llfji cos *)
М ф гп 11
Teas v.' -Д7-",1 *-
1	М ф- ш
(3.20)
§ 3a. Определение 0(s)
Л) Случай выноса колеса вперед или назад
Если учитывать также и то, что колесо вынесено в сторону от оси стойки, то к уже
найденным силам N} и N., прибавится еще пара сил (ЛГ8, — N3), причем сооветственно из-
менится и сила трения
Значение силы V,
Qi,-
будет определяться из уравнения:
N:l (Ь ф s) =- Р'е cos «,
где е— эксцентриситет
*
приложения силы Р'\ отсюда
М.=
k (z — s cos а) — m'g ф m' (z — s cos а
cosa.
Если колесо вынесено от оси
прибавится к силам А/, и Nt, а во
Соответственно получим:
стойки
втором
вперед или назад, то сила Na в первом случае
вычтется из них.
М«) =
е
и— cos а.
е
Если вспомнить, что
6(s) =

sin а,
МФ
2J	2m
+ s	III
/-/
sin а,
Р', можно соединить в один коэфи-
то коэфициенты 0 и ф, имеющие множителем силу
циент 6(s), вид которого будет зависеть от величины и направления выноса центра ко-
леса от оси стойки.
Коэфнциент же 0,, имеющий множителем силу инерции колеса и поршня, должен
фигурировать отдельно. При желании, к нему можно присоединить силу Т лобового
сопротивления колеса, сложенную с сопротивлением трения о землю.
Таким образом, у нас может фигурировать два коэфициента, 6($) и Ms)> ВИД кото-
рых будет устанавливаться в зависимости от типа шасси [для О(s)| и от сделанных пред-
положений о полном сопротивлении колеса, направленном против движения самолета. Но
лучше эту последнюю силу Т выделить особо, написав:
N,= Т-т-^-— cos а,	/V. — N. — Тcos а
4 ft _[_ s	<	"	’
лМп-.-1
r / — b — s
COS а — Г —7—i------cos а,
b-\-s

cosa = |i T04(s),
14
где
Г>4 («) =-
cos a = &(s)ctg a,
В) Для шасси, у которого
угол а и колесо установлено на
образом.
Сила трения от установки колеса на кон-
соли:
Р' cos a — (Pt — mg -|- my) cos a,
P' a cos a — N' (b -]- s),
N’ — r-y— P' cos a
b-{- s ’
^rp = 2pg-^-sP'cosa.
С) Сила трения от наклона стойки под
углом а к вертикали:
Р' sin a _ Л/j
ft-H “ / “ i-b—s ;
ось амортизационной стойки составляет с вертикалью
консоли (фиг. 2), функция 0(s) определяется следующим
кг I — b —s п, ,
/V. — —г—,-----" sin a,
ft-j-s
Q, тр = (Д/, +	= j*	P' sin «•
Суммарная сила трения будет:
Q.p= Q'p + Qi тр =
= ll^-s Ул3 cos2 a-|-(2/ — ft — sfsin’x .
Приравниваем найденное значение силы трения силе Q,., получим:
рб (s) (Pt — mg + ту) [л
| </•’ cos’ у ' (21 b $)* sin’- 7
Отсюда
fl ~ /ГТ $ Vа* c°s3« 4 (2 / — ft — s)3 sin2 х ,
где s перемещение поршня.
Так как при расчетах известными являются углы х( и а„ то угол х выразится через
них'следующим образом:
,i., = ne^.+tg’^
Vtg2+ tg2 a, -I- 1
__________1_
I lg2«1 + tg2xa-j-l
Если угол X| равняется нулю, то /х2 —Za-
Если угол х„ равняется нулю, то Z «j = Z «•
Если колесо установлено не консольно, то"
,, v 2l-b-s ,	(21	, \ .
f)(s) = -E-i--- sin я — /	— 1 SIH X.
ft-|-s	«	)
Для расчета необходимо 0(s) представить в виде графика. Образец такого графика, при
менительно к одному из типов шасси, представленному на фиг. 3, дан на фиг. 4.
15
-14 50
1120-
1,7
0(S)
§ 4. Вторая стадия посадки —ход по воздуху
Здесь мы рассматриваем начальную стадию движения амортизационной стойки, когда
жидкость еще не дает сопротивления. Горизонтальной силой Т пренебрегаем.
В этом случае из уравнений (3.20) и (3.19) выпадают члены #,tp(s)s2 и С| p(s)s,
представляющие сопротивление жидкости. Вместе с этим движение самолета может быть
описано такими уравнениями лишь при небольшом смещении поршня (не больше 5 6 см),
что позволяет для f(s) принять линейный закон вида:
f(s) = л, +
причем всегда можно полагать а, — 1 и соответственно подбирать Д,.
Тогда уравнения (3.20) и (3.19) становятся линейными, если для 6($) принять его
среднее значение, и могут быть приведены к одному линейному уравнению четвертого
порядка, содержащему только четные производные от s.
Чтобы выполнить приведение, прежде всего определим (z — scos а) из уравнения (3.19);
z — s cos а = —
А
т
cos а - -10 —U (6 - О,)
Qu М + т
т Л1
+ «Ч-g(l-5)(cos а—|Л,)-
7И4-/М	.
“М ')
(4.1)
Полагая для простоты О(s)=6=const и вводя краткие обозначения для постоянных
(см. ниже), получим:
т (Qu «. ।	। - Г \	( Qu , I । Л ,л .м
z scose»^ fr-Hn + s — ~Р =—:-------------------+ s • (4.1)
ka \m	m / k(a + ^p) V	/
Здесь положено
T =	= ;*„£ (z — s cos a)
в предположении, что колесо, раскручиваясь, скользит по земле, имея коэфициент тре-
ния J»,.	“ .
Дифсренцируем это выражение дважды по времени:
z — s cos a =s«> -^7 4-	д I [/" (s)s’ + /'(«) «I
ka ka
16
н отсюда находим
sH>=(i-SOSa - Ад1(/"(5)?+/'(5)5]	(4.2)
1	ka	1
d^s
причем обозначено через s* ”.
Из последнего уравнения исключим г при помощи формулы (3.20):
,..	&	Q, .	....	7 / d . - cos а \ . b . ... .
sl” =-------—'   (ч	cos а 4- bd)	k [ .. -j--1- а —	) -4--А, f (s)	s —
т /И '	1	' \М \-tn	' м '	т
аС ih\ \
т ,J ' z ’ 1 " \ т М \ т )
Это уравнение обращается в линейное, если в нем положить:
/(«) = «! Н-/'(s) = *i. f'(s) = О
b
(1.3)
Тогда будет:
s,n-|- $
d . - cos a \ . bA,b
•jj-; H a ——   —
M~\-m 1 tn / 1 tn
k /1 ,/>,
tn Л1
k A । a 14~ Q 4 /*’	।	। У
----1 1 (a cos a + d) j- kg
т
М
t/т) \
tn M-\-rnJ
Л
(4.4)
Вводя еще раз сокращенные
обозначения, получим:
5<”4-2Нз4-№« = Л,
(4.5)
где
2 Н — k
d
- cos a \ , Mj/i
----r-a----I 4------
Л/4-w m / ,n
К- = — (a cos a -| rf),
m M
w? 1
и далее
L = -  Я,Я|.Т (acosa 4 d) 4- kg
tn M
а
in M-{-in
а --= cos а — — р ~ (0 - 0,).
b^—4___I ^ = (1 ;)(cosa — pO,)
m
M
.	. „ . (AH-/m)cos«
d -= I sin - a - p jr-r  —j—
|	1 M -J- tn cos2 a
d — d — p0 p cos a ,
C = 5 + (l —;)	— (sin8« + <x6, cos a),
p = sin a 4- p —Д4— 
sin2 а-|- |1Л COS а
Частный интеграл уравнения (4.5) будет:
I I •
j hrOF'.
Читальный зал № 1
1Ш	—;
j
*1
№
3
(4.6)
17
Общий интеграл уравнения без последнего члена будет:
з = С\е >' + С2е'»‘ + С,?'»' С^',
где X, определяются из характеристического уравнения:
X4 -|- 2	+ № - О
и равны:
(если Л’<//’)
Здесь
Хз.4 = ±1 ^ну 1-1-|/1-^ ,
Xi.2 = ±i
Х3.4- + ,/77(«-/р).
(если К->!Р)
(4.7)
(4.8)
(4.9)
(4.10)
З2— а*=1, 2ар = I/	— 1 '• М.2 = + Х1,	*“3.4 = 4О-2.
Произвольные постоянные С\, С.г, Сг, Ct определяются по начальным условиям,
Первые два условия
з — 0 и з = 0 при t = 0
очевидны (счет времени мы начинаем снова от момента строгивания поршня амортиза-
ционной стойки).
/ Чтобы найти s и з3’ в начале движения поршня, обратимся к физической стороне
задачи. Сила Pt давления земли на колесо непрерывно возрастает со временем. В тот
момент, когда проекция на направление оси стойки силы уменьшенной па проекцию
веса и силы инерции стойки, становится равна отпорной силе самой стойки (т. е. силе
давления воздуха на поршень, уменьшенной на силы трения), кончается первая стадия
посадки самолета и начинается вторая со сдвигом поршня. В начальный момент второй
стадии поршень еще не сдвинулся, и сила инерции его ms (в движении относительно
самолета), равная разности давлений на стойку сверху и снизу, равна нулю, т. е. з — О,
Сила же давления земли на колесо в этот момент будет Р10.
Диференцируя формулу (3.19) и полагая в ней s=0, з = 0, з = 0, найдем:
cos а — |л0о — р. (60 — 01О) .	(4. II)
Эта формула находит себе и чисто физическое толкование.
Сила Pj давления на колесо продолжает возрастать, отпорная же сила Q может
возрастать только за счет сил трения, так как сила центрального нагружения стойки
остается прежней вследствие того, что поршень еще не успел ни сместиться, ни набрать
скорость относительно своего цилиндра. Таким образом, нарастанию силы Р, будут от-
вечать только сила инерции колеса и поршня и дополнительные силы трения.
Нарастание силы инерции будет происходить по закону
т ^j=^(Pj — Р1(1) (cos а — рё);
но
/», — Р)0 = ЙЛ z = ku Д t,
где и средняя вертикальная скорость самолета для момента Л / в начале второй сталии
движения. Через иа обозначим вертикальную скорость самолета в момент начала второй
стадии движения, т. е. 11ппг = н„ и соответственно этому обозначим Нот 0 = 0,.
Таким образом,
т Д J = (cos а — р.0) Д/,	«(cos а - а0).
ГЬ
Переходя к пределу, найдем:
f 4f ' =	= - 4 «о(cos « - !*%)•	(4.12)
Это выражение отличается от выражения (4.11) лишь малым слагаемым (% 0().
Таким образом, мы нашли и последнее из начальных условий второй стадии дви-
жения.
Это условие одинаково применимо и в случае, когда жидкость вступает в работу
с первого же момента движения стойки, если только площадь проходных отверстий, от-
вечающая этому моменту движения, не равна нулю.
Действительно, сопротивление жидкости, пропорциональное квадрату скорости дви-
жения s, пропорционально четвертой степени времени Д t. Вязкая сила (вообще и при
конечных скоростях движения поршня малая) пропорциональна (Д t)\ т. е. тоже исчезающе
мала в первые моменты движения. Эго справедливо при любом конечном значении пло-
щади отверстий-для перетекания жидкости.
Для определения произвольных постоянных берем общее решение уравнения (4.5)
в тригонометрической форме:
s — С] sin ).| t |- С, cos / | t -j- С3 sin t |- С4 cos >.2 / 4 Si
(4.13)
где s(
-const — частный интеграл уравнения (4.5) с правой частью.
Л "
Диференцируя уравнение (4.13) три раза по времени и используя начальные условия,
найдем выражения произвольных постоянных:
г г г
/,(/f/4) ’ 4 4-Ч ‘ 3 МЧ '<)' ** Ц
Мы всегда можем расположить члены уравнения (4.13) так, что впереди будут стоять
главные долгопериодические колебания, т. е. полагать О <>., <Х2. Пользуясь найденными
выражениями произвольных постоянных и разложением тригонометрических функций
в ряды, приведем уравнение (4.13) к следующему виду:
(. ч+ч „, ч+чч+ч
<’> I 20	1 1 8Ю
$,44 ч+Ч М4-ЧЧ4-Ч
“4s03>" I 30-	1680
(4.14)
Величина хода поршня s от начала его движения до вступления жидкости в работу
определяется конструкцией амортизационной стойки.
Время определим из предыдущего уравнения, для чего представим его в виде:
6s
t.___________________________________________________
1	4sj3>	20	l20s«>
Удобно для ожидаемых значений t (например, 0,01; 0,015; 0,02; 0,025 сек} построить
график, представляющий величину фигурной скобки или ей обратную, и далее искать t
последовательными приближениями; исходным приближением будет:
t'" I "Ж 
Кроме того, для удобства вычисления Х1.2 и /.3,4 представим выражения (4.9) в еле
дующем виде:
, .	К А , 1 Л а	7	.
1,2—	1 \ 2Н V" 8 И2
. .. ^77 А 1	№	5 Ю _
8 jog/у*
(4.15)
19
Рассмотрим два примера. Начнем с типа шасси, показанною на фиг. 3,
Пример 3.
Дано:
G = 1200 кг (на одно колесо), --- 150 кг (на одно колесо),
М 4.28 кг секшем, ///--0,153 кг секшем,
Ai fW Qi Q-i ’ QTp 5=2600 300 I 700 = 3600 кг при $ - 0.
/1|^i	7,75» Л = 500 кг см, 1,72, з= 14’55',
Тогда коэфициенты и уравнении (4.5) будут:
№ = 59 100, 2 Н = 3060, Л = - I 575 000.
Уравнение (4 5) будет:
?4) + 3060 S 4- ЬУ100 S = — 1 575 0( X).
Характеристическое уравнение (4.8) напишется в данном случае гак:
М + 306QV-I 59 100 = 0.
Вычисляем корни ио уравнению (4.15):
Х12_ + 4.41Z,	XM-±55,2Z.
Соответственно этим корням периоды собственных колебаний самолета и шасси будут:
'	2г
’•	4,41	*'4 сек, т2 ~^2 = 0-11 сск-
Для определения постоянных служат следующие начальные условия:
t —• 0,	— 3,6	Н0 COS а, Л’|. =	.
Пример 4.
О — 3400 кг - стояночная нагрузка на колесо,
О’, -s 120 кг — вес поршня с осью колеса и колесом,
А* 3 см— ход поршня Впо воздуху",
Л) — 2900 кг |
| —получено из уравнения политропы, принимаемой за прямую:	bvs
b} 119 кг см) при ходе поршня .у <3 см,
k — 650 кг см по кривой обжатия пневматика,
Оср 1,44 среднее значение на ходе поршня 0<б ; 3 см,
У4 125 кг по графику статического обжатия незаряженной амортизационной стойки,
3400
М= ~3,466, т —=0,1223, р, = 0,1, з - 21\ cos х ~ 0,9135.
Для уравнения (4.5) найдем:
К2 - 165 800, 2// -- 4310, С 3 210 000.
Но уравнению (4.15) находим:
Х|2 = i 6,23 i, Х3 4 = HR 65,4 Z.
Соответственно этим корням периоды собственных колебаний самолета и шасси будут:
2к	’ 2л
6"23 1’01 сек' = 65~4 = °’0°70 сек.
Покажем теперь, как определяют произвольные постоянные. Это проделано нами для того же примера 4,
но при других значениях корней, а именно:
Х12 = + 6,38 Z. >3 4	±81,5Z,
2к	2гс
tj ~	= 0,914 сск ,	= у- = 0,0771 сек.
Предварительно найдем и полагая для простоты вычислений р = 0:
Л	650
m W|) cos а (ГГ223 390• 0,9!35 = 1 895 000 см сек\	= — 20 см.
Тогда
I 895 (ИХ)	-81,5« (- 20)_
С,— 6,38(81,5’ —6,382)	=45,	81,5’ —6,38»	~ 20>12'
-1895 000	п	6,38’(—20)
81,5’(8!,5* —6,38)’ --- '°22,	~ 81,5» -6,38’ ~ ”°’1232,
20
Подставим найденные числовые значения в уравнение (1.13), полу'Н1м;
6' — 45 sin 6,38 t -|- 20,12 cos 6,38 t * 3,522 sin 81,5 t --0,1232 cos 81,5 / — 2d.
Определим время обжатия стойки за счет сжатия только воздуха, т, с. для s ~ 3 см\
3
316000
fi ~ 1—0,713/ - -331,“Пг । • 158,9 Р ; 52 900 /4 — . . . '
Обозначим выражение в скобках через В -f(f) и представим его графически, определяя В для £—0,010;
0,015; 0,020; 0,025 сек и т, д Значения В даны в следующей таблице.
i t				1	at 1	№	c/3	i 		i	dti 	4
1,010-s	1.0-10 4	 1,0-10 (J 	1,0-10-^	71,3‘Ю^	334,1-10 4	1,589-IO-4	5,29-10-4	1 - 0.960
1,5-10-2	2,25-10 +	3,375-10-ti	5,06-10^	107,1-10“»	753,0-10“4	5,35-IO-4	26,8-10-4	I 0t917i
2,0-10	4,0-10-*	8,0-10 «	16,0-10-я	142,8-10^4	1337-10*	12,72-IO"4	84,6-10 4	| 0,862|
2,510-s	6,25-10-^	15,62-10 6	39,06-10~«	178,5-10 4	2087-10-<	24,82-10"4	206,05-10-4	i °'79'l
Иудеи искать t последовательными приближениями Для начала возьмем:
-= ЗТбООО 0,0000095,	- 0,0212 сек.
Пользуясь графиком, найдем второе, третье и четвертое приближения:
3 Л0,0000095
i>2"I/ 0,846
3 <0,‘(Й)0095
' I/ 0.830
3 /0,0000095
Z< у ~028
0,00001122 = 0,0224 сек,
0,00001145 = 0,02255 сек,
0,0000148 = 0,02256 сек.
Примем г ~ 0,0226 сек и подставим для проверки в уравнение (4.13); найдем л. З гл/.
§ 5. Третья стадия посадки в случае исчезающе малого веса
колеса и поршня
Полагая массу колеса и поршня равной нулю, мы из уравнения (2.8) получим вер-
тикальную проекцию силы давления шасси на самолет:
Р = 1 /+ В3 ? s“ -{ Ci 4- Q4) cos a 4” cos я ~ P\ Sn’3 a>	(5.1)
тогда как уравнение (3.4) почти не изменится и примет вид:
MZ = — Mz ~ (j4j/4~ ‘ ‘ ‘ + QJcos а Рг cos a sin2 я - ; G. (5.2)
Соединяя уравнения (5.1) и (5.2), получим:
Р} = k (2 — s cos a) =- -- Mz-j-	- 4~ Qjcos a4- Px p 0 cos x 4- Pi sin2a. (5.3)
Перенося члены с Р7 из правой части в левую, находим:
(1 - рб cos a - sin2 a) =r= P1 cos г (cos a — p-O) = k (z — s cos a) (cos a - pO) cos a =
(Д! У+ Bl ?s2 + С*, -bs 4- Q+) cos a.	(54)
Отсюда мы можем найти Рх как функцию s и $, а также s как функцию от s и z. По-
следнее получается как корень квадратного уравнения, который можно представить либо
в обычной форме:
•	— ОДТ V(С1 'И2 + 4 ? \k(z - s cos a) (cos a — ;»&) — Л, /— Q4i ft. r)
21
Либо в другой, удобной для решения на сЧеТной линейке методом последовательных
приближений и обычно дающей большую быстроту и точность результата; именно, выде-
ляя s множителем, получаем:
s (By <р s 4- С| •[>) = k (z — s COS a) (cos a — pA) — A, f Qt,
откуда
_ A: (z—s cos 7) (cos	- Л,/—Q4
h,j r
Вели сила давления на колесо не является линейной функцией осадки колеса, то
в эти уравнения следует подставить истинные значения Р,, взятые с графиков обжатия
колеса.
Если величиной вязкой силы Cj<p(s).s можно пренебречь, то из уравнения (5.6) полу-
чится:
s-|	——д-	.	(5.7)
Если, наоборот, можно пренебречь живой силой жидкости, то в формуле (5.6) сле-
дует положить В)=0; но в масляно-упругом шасси современных самолетов главным
является именно сопротивление, зависящее от квадрата скорости, так что всегда В,>0.
Определяя из уравнения (5.4) силу найдем:
Ру - -bt-----cos'T- .У ~ ~	s cos a) = — Mz + 'G •	(°-8)
Уравнения (5.5), (5.6), (5.7), (5.8) являются основными диференциальными уравнениями
для случая невесомого колеса и поршня амортизационной стойки. Чтобы интегрировать
их, из уравнения (5.8) определяем:
 _	_ Л1/+Дг^г + С1'^ + <?4	А5
М	TW(cosa--pO)
и затем находим интегрированием z по любой из формул численных квадратур или гра-
фически.
Формула (5.9) вытекает из формулы (3.20), если положить в ней т = 0. При этом
нужно заметить, что
Q,. = A f(s)4- Р1? (s)? 4- С,ф (s) s-Ь Q. =
k(z — s cos a) (cos a — pO (s)].
В предельном случае, если бы коэфициент трения р возрос настолько, что cosa —
— pO(s) обратится в нуль, формула (5.9) должна быть истолкована так, что не z обра-
щается в — <х>, a Qu обращается в нуль одновременно с (cosa —рО); формула же (5.8);
- Mz = k{z s cos a) — ;Mg
всегда справедлива при невесомом шасси.
Вставляя z в уравнения (5.6), находим s и затем обжатие стойки:
s = j‘sdt,	(5.10)
где интегрирование также выполняется по формулам численных квадратур или графи-
чески.
Начинать интегрирование системы уравнений (5.5), (5.6), (5.7) и (5.9) следует мето-
дом Рунге, который для уравнений первого порядка является наилучшим из экстраполя-
ционных методов. Для начала интегрирования уравнений высших порядков можно поль-
зоваться произведенным мною обобщением метода Рунге ’. Продолжать интегрирование
следует обобщенным мною методом Коуэлла3.
1 См., например, труды ЦАГИ, выпуск 210, глава VII.
’ Там же. глава VIII,
22
§ G. Графо-аналитический метод интегрирования диферСнЦиальных уравнений
для расчета амортизации самолета
Приводим графо-аналитический метод интегрирования диференциальных уравнений
для расчета амортизации самолета—хотя и менее точный, чем рекомендуемые нами числен-
ные методы, но допустимый по точности для практического применения.
Графо-аналитический метод следует применять лишь в третьей стадии работы амор-
тизатора, так как первая стадия (обжимается только пневматик) и вторая (обжимается
также и стойка, но жидкость не работает) рассчитываются очень просто- интегрированием
линейных диференциальных уравнений с постоянными коэфициентами.
В данном случае интегрирование можно нести как по времени, так и по пути.
Предположим, что в некоторый момент времени /0, который мы примем за началь-
ный, нам известны все обстоятельства движения (которые мы найдем в результате расчета
второй стадии работы амортизатора):
1) понижение центра тяжести самолета z(;
3) обжатие колеса у0;
3) укорочение амортизационной стойки s,> = (z„ — Vo) sec а, где a—угол наклона стойки
к вертикали;
4 и 5) вертикальные составляющие скорости г() и ускорения самолета;
6 и 7) то же для оси колеса:^ и у(1;
8 и 9) то же для амортизационной стойки (но уже в направлении ее оси): и $0.
Предположим далее, что за некоторый промежуток времени	- t0 самолет
опустился на величину Дг = г, —г0, чему соответствует некоторое дополнительное об-
жатие колеса:
= -Ju
и амортизационной стойки:
причем
= Ду -j- As cos a.
Угол будем считать во все время посадки неизменным (хотя и молено было бы
учесть его изменения при переходе от одного участка к другому).
Задача состоит в том, чтобы найти:
1) насколько опустится колесная ось и насколько сожмется амортизационная стойка;
2) какие будут скорости и ускорения z, z\ у, у*; s, s к концу промежутка АЛ
Ускорения будем находить из условия равновесия всех сил (включая силы инерции),
действующих на амортизатор.
При решении задачи будем предполагать, что в течение каждого .из промежутков
А/ все ускорения z9 у, s изменяются по времени линейно; при переходе к другому
промежутку производные от ускорений изменяются скачком, самые же ускорения разрывов
не имеют.
Рассмотрим отдельно обжатие колеса, ведущее к опусканию его оси на Aj', и от-
дельно сжатие амортизационной стойки на As.
Если бы к концу промежутка времени оказалось As = 0, то следствием этого было
бы Aj = Az. Соответственно возросла бы сила Р давления на колесо, а сила давления
от самолета на стойку осталась бы прежней.
Если бы, наоборот, оказалось As cos a = Az, то получилось бы Av О, и сила дав-
ления на колесо осталась бы прежней, т. е. PG, а сила давления на стойку сверху воз-
росла бы.
Переходим к силам. На самолет передается не вся сила Рх давления земли на колесо;
из нее нужно исключить вес mg и силу инерции — mY -ту собственно колеса и поршня
амортизационной стойки, причем	scosa. Таким образом, на самолет передается
сила
Р^= Рх — mg Jrmy — P] — mg^-rnz — ms cos a.	(6.1)
Входящие сюда величины z и s должны быть найдены из решения системы наших
диференциальных уравнений на участке времени А/ и пути Az.
Теперь переходим к амортизационной стойке. Если бы ее поршень на всем рассматри-
ваемом промежутке имел одно и то же ускорение s0, то за время А/ он прошел бы путь
As = s0 M
23
и имел бы в конце промежутка приращение ckopoctu:
A sn = sL, Д t
и скорость
s)0 Ч- Д /.
Но так как поршень движется с переменным ускорением, то на самом деле будем иметь:
приращение скорости
Д 4 = $Л Д t -f-s03’- -2— =	Д/;
2
скорость в конце промежутка
S, = S„ + So Д t 4-	= So + S' Д/ ;
пройденный за промежуток путь
Ы-4. « +	а/ +	;
(6.2)
положение поршня в конце промежутка
= As = s0 + s0Af-|-
2su + s, (Д/)2
3	2
(6.3)
Этому будет отвечать понижение оси колеса:
= Дх —
Д.У| — \z — ДЯ| cos а = Дх —
cos а =
COS а.
с А/ -	+	(Д'Г
S,,a 	3	--
(6.4)
Задавая ускорение zt в конце промежутка времени и зная из начальных условий
ускорение х0 в начале промежутка, можем найти осадку центра тяжести самолета:
аX = х0 Д/ + -^±£1_ _Х.	(6.5)
1
Если же мы задаемся величиной осадки Дх (например, -- с.и, или 1, или 2 см и т. д.),
то можем найти потребный для этого промежуток времени Д/ из условия:
Дх^хиД/4- .2г°ч+г‘
откуда
* j.
= • <5-6)
2o + -gC?xo + x1) д/
Теперь мы имеем все данные, чтобы решать уравнения движения либо на участке пути
Дх, либо за промежуток времени Д/.
Будем рассматривать ускорение самолета Z=— х-
Силу AlZ-f-tMg вертикального давления шасси на самолет мы будем представлять в
двух видах:
а)	как передающуюся непосредственно от колес, за исключением веса и вертикаль-
ной проекции силы инерции подвижных частей, т. е. собственно колес и поршней
стоек;
б)	как передающуюся через посредство поршней к цилиндрам.
И в том и в другом случае мы должны получить один и тот же результат.
24
По нам неизвестно ускорение s поршня в сю движении относительно самолета, а
(акже и вертикальное ускорение z самолета в конце рассматриваемого участка ^zi его
осадки (в предыдущих кинематических формулах мы обозначили эти величины через
»1 и Z|).
Чтобы найти искомые величины, будем, откладывая по оси абсцисс искомое уско-
рение s, строить кривые ускорений za и zb, рассчитанные по обоим только что указан-
ным способам, и искать точку их пересечения.
По пункту (а) находим, что самолету передается полное давление земли на колеса
Pi = A(z -scosa) за вычетом веса mg и силы инерции — mY my = m(z— scosa) по-
движных частей шасси. Эта сила дает самолету ускорение
Z —
а М
К '	'	.
k (z s cos a) mg ; Mg -ф- m z m s cos a

1________
M -j-- m
k (z s cos a) — g (; M -f- m) m s cos a
которое, очевидно, убывает с возрастанием s и непосредственно, при множителе т cos a,
и посредственно, при множителе k s cos a =	7. — «cos a)l «cos a, потому что вычитае-
мое смещение s поршня стойки возрастает вместе с $, как то видно из кинематических
формул. Из них же видно, что входящая сюда величина $ зависит и от начальных дан-
ных (г. е. величин, имеющих место в начале рассматриваемого участка Дгу осадки само-
лета), и от промежутка времени Д/1.
Методом последовательных приближений очень быстро придем к ряду окончатель-
ных величин Za = — z0, в каждой из которых s определяется по формуле (6.3), а входя-
щее в нее время Д/—по формуле (6,6), параметром же служит ускорение s.
По
пункту (б) находим:
Z,,=- -zb—	=) | Q COS a A (z — S COS a) sin a (<i0 cos a f-sin a)
— 5 Mg — mg sin a (pOj cos a sin a) —
,fis — sin a cos a [u6. (s)cos i. 4- sin »l, .
M 4- ffi	ir । \ /	।	। j
(6.8)
где
1 4- e = 1 4-^sin a [14ц (s) cos a 4“ siu «I.
Q cos a —- Д t cos <х f(s) 4 cos a't (s) s’ -L Qt cos a (- C} cos a ф (s) s
полагаем С, =
(обычно
Как видно, Zb возрастает вместе с s, так как главную роль в ней играет сила Q,
все члены которой (за исключением постоянного Qt) возрастают вместе с s; особенно
быстро возрастает вместе с s второй член, пропорциональный $2.
Убывающие с s второй и пятый члены формулы (6.8) играют лишь подчиненную
роль, имея при себе малые множители, и совсем исчезают при а = 0, т. е. при стойке,
направленной по силе Р* полного давления земли и сопротивления воздуха на колесо (вер-
тикальная составляющая этой силы у нас равна Pj.
Время Д/, входящее в выражения s и s, для простоты будем брать из уже найден-
ного по формуле (6.7).
Это не будет верно для любой точки кривой Zb, но зато значительно упрощает
вычисления и не нарушает правильности вашего решения, так как из всех точек обеих
кривых Za и Zb нам нужна лишь точка их пересечения. Координаты этой точки дают
нам обе искомые величины: s и z, а также позволяют найти ДА
1 Если задача решается по пути, то промежуток А/ является искомым; он очень мало меняется с изме-
нением i’p
Найдя их, переходим к следующему иромежутку Azifi, сЧитая только чго найден-
ные величины: zt, zh zit sit s,, sh соответствующие концу /-го промежутка, за начальные
для	промежутка.
Таким образом, решение выполняется по основным формулам (6.7) и (6.8) при по-
мощи дополнительных формул (6.2), (6.3) и (6.5).
§ 7.	Четвертая стадия посадки, или первая стадия обратного хода — остановка
движения амортизационной стойки
В третьей стадии посадки поршень амортизационной стойки строгивается с места,
ускоряет свое движение, потом замедляет его и, наконец, останавливается.
Момент остановки наступает, когда s обращается в нуль.
После этого начинается четвертая стадия посадки, во время которой пор-
шень амортизационной стойки неподвижен относительно цилиндра, и только колесо по-
степенно разжимается.
Уравнения движения получаются такие же, как в первой стадии посадки, только с
другими начальными условиями. Ввиду того, что четвертая стадия посадки длится гораздо
дольше первой, и в это время колеса шасси нагружены гораздо большими силами, на
точность интегрирования уравнений необходимо обращать надлежащее внимание.
В конце третьей и в начале четвертой стадии посадки мы должны знать все обстоя-
тельства движения:
1)	обжатие колеса у,
2)	силу давления земли на колесо Р(;
3)	вертикальную скорость самолета z = у;
4)	вертикальное ускорение самолета z=y.
Эти данные послужат нам начальными условиями. Кроме того, мы из уравнений
третьей стадии знаем:
5)	давление воздуха на поршень Q,;
6)	силу трения, направленную вдоль поршня.
Эти данные позволят нам найти момент окончания четвертой стадии движения, кото-
рый наступит, когда сила давления Q, воздуха на поршень, уменьшенная на сумму
сил трения, окажется равной проекции на направление стойки силы давления земли
на колесо, уменьшенной на такую же проекцию веса и силы инерции колеса и поршня
амортизационной стойки.
Уравнения движения могут быть составлены, принимая за независимое переменное
либо время, либо путь.
В первом случае получается линейное уравнение второго порядка с постоянными
коэфициентами, если можно считать
Р1 = ky или Pt = k0 -f- kу.
Во втором случае получается уравнение первого порядка с разделенными перемен-
ными, которое сводится к квадратурам при любом виде функции
Pi = kF(y) = ky.
Начнем поэтому с интегрирования по пути. Обозначив
напишем уравнение движения
,। ,d*Y ... . d-y М-\-т d (id)	...
(Л)+,и) — = _ (М f- т) d(2 = —f—	р( .. 5l7 = kf. (y}	.	(7.2)
Отсюда сразу находим:
V
М-\-т	2И-| т . , Гс. . ,
—g-----«2 = —5— «! + А | (У) dy	(j -уя),	(7.3)
л
где Нц и jig— вертикальная скорость и осадка самолета в конце третьей и начале четвер-
той стадии движения.
26
Uy
Найдя отсюда и? Й затем и = на^Дем вРемя движений;
(7.4)
Интегрирование следует вести до того момента, когда давление воздуха начнет
выдвигать поршень из цилиндра амортизационной стойки, т. е. когда
’^1	J cosa=	^—(Р, -£(7) cosa= Qi -Qmp— А,/(s3) - Q< -
- >ng-\- m 'y)V (s;,);
это дает окончательно:
(cosa4-ufi'){	 -P, — ~G — mg\ = A}f(s^ — Qr
1 '	M-\-m 1 1 M-\-m	* J 17 v
Заесь знаком Qi и O'(s;J обозначены соответственные величины, взятые для начала об-
ратного хода амортизационной стойки.
§ 8.	Пятая стадия посадки, или вторая стадия обратного хода
Когда поршень амортизационной стойки сдвинется в обратном направлении — в сто-
рону расширения воздуха — кончается четвертая и начинается пятая стадия посадки,
вполне аналогичная третьей стадии, но с обратным направлением движения стойки и сил
трения.
Чтобы составить уравнения движения, напишем новые значения действующих сил,
которые для прямого хода были даны в § 2.
На самолет в вертикальном направлении действуют силы:
1)	;О, направленная вниз;
2)	упругая сила Q1 = Д/(з)соя а, направленная по оси стойки вверх;
3)	жидкостная сила, направленная вниз
(Q* + Qi) COS X (s) Ss + C'% (s) sj С0Ч x;
4)	сила постоянного трения (от затяжки манжет) Qi cos a;
5)	сила трения
[^i ^/(^)(s) s2-I-Cz <>i (s) s] cos а; направлены
вниз
G) сила бокового трения
Q^ — и — mg-\- mz — ws cos x) cos x; *
7) сила (Л/; — AQsina, направленная вверх.
Центрально действующая по стойке сила имеет выражение:
Q>4(1-	+
Мы будем считать ее направленной, как и раньше, т. е. действующей вверх на са-
молет и вниз на поршень, так как полагаем, что сила давления сжатого воздуха пре-
восходит все остальные силы.
Сумма вертикальных проекций этих сил напишется так:
— Е G + Qy cos a 4- (Л/ J — sin a — Q6 cos a.
Повторяя все рассуждения § 3, приходим к таким же уравнениям движения, с той
только разницей, что все силы сопротивления жидкости и силы трения изменяют свое
направление.
27
Именно, для движения стойки имеем уравнения:
т Y = Рх — mg— Qn cos а 4" Qfi cos а — (N\	ЛА?) cos а;
,к,' кг\	. л' , л» ,	Мт ,	. Тт
/W X =- (Л'1 — ,V2) cos а + Qu sin а	Qe, sin а — -гг-г-SSina-j- vf-r
(8.1)
(8.2)
Уравнение вертикального движения самолета будет:
MZ = - М2= —	Qu cos а 4" (М — М) si па — Qe cos а-
(8.3)
Уравнения (3.6) и (3.9) § 3 для поперечных сил ЛА, и i\'2 остаются без изменения,
так же как и уравнение (3.10) для силы трения Q,.„ но сама сила Qn меняет направле-
ние. Выражения для 6(s) и 0, (s) также остаются прежними.
Повторяя все преобразования § 3, приходим к уравнениям:
- Mz ( 1-р
т	\	~	( /И sin’a
м 0, cos a 1 = Qn cos a 4- k (z — s cos a) (
— cos a
- 'Mg
M 4- COS3 a
м 4-
Alsin’a
— mg ----------i p m (>t cos a g -j- —— s cos a
15 M-\-m ' r 1 \b 1 M-\-m
T cos a
sin a	p0«
M 4- m	M
(8.4)
М 4-/«(cos2 а 4-1XG, cos a) ~	„	. ,	.	_
т s cos a----!----—,	-----— — k(z — s cos a) (cos2 a 4- pG cos a) Q„ cos a
M 4- m
- m (g — z ) (COS3 a 4- pG( cos a) 4~ T cos a I	— pG, ).
(8.5)
Чтобы решить их, вводим те же сокращенные обозначения § 3, которые отличают-
ся от прежних лишь знаками при 0(s), 9, (s) и (s).
Сохраняя за величиной В’ — -^-р—- -^-pGtcosa положительный знак, мы получим:
A'z —В's cos a — С, — z f- В\ s cos a = С !.
(8.6)
Решая их, приходим к уравнениям таким же, как в § 3, только с измененными
знаками при G и 0v
Производя те же сокращения, приходим к окончательным выражениям:
Qn , k (z - scosa . (7W4-w)cosa
z =• — 7е.-cos a-J-Hn—,--sna-i?--------------
Л1 1 M 4- in
——j-----	0 (icOS’O
M 4~ m cos- a 1 M
н i /л	Hl z . о	\ qn / sin a pG*>
S ?4~ ('• — 4 ЛЛ~i---- (sin-a —pO. COS a) — / cos a -------------
b 1 v ' M-}-m v 11	4	\7И4-/м M
(8.7)
k(z — scosa)	m .. tl . Qa MA-m
-----—-	(cosa4-u0)4-^-p(0 — 6,) _-г	— g(l- ;)(COia + p01)4-
sin a — p02
M 4- m
~ЛГ
(8-8)
§ 9. Шестая стадия посадки — обратный ход масляно-упругого
шасси в воздухе
Предполагая, что площадь отверстий для прохода жидкости при обратном ходе
может быть иная, нежели при прямом, мы будем выражать сопротивление жидкости
формулой:
Q« = Q’4- Q'3= В'ъ (s) s’ -f- С ф, (s) s.
28
Учитывая же и часть силы’трения, вызываемой прижатием манжет вследствие давления
жидкости:
D‘2Bf^(s)s^D3C М$)з,
найдем полное сопротивление, зависящее от жидкостных сил, равным
где
&2?t(s)? + C'Ms)s,
В» = В'(Ч -D.) и С. = С'(1 + Ао .
Выталкивать поршень стойки из цилиндра будет воздушное давление Af(s).
Препятствуют этому выталкиванию, кроме жидкостных сил (вместе с зависящими
от них силами трения), еще другие две силы трения — постоянная Q4 и зависящая от
давления воздуха DtAf(s) 
Здесь мы считаем, что колесо уже отделилось от земли, поэтому из других сил
останутся лишь силы трения, зависящие от веса подвижных частей шасси (колесо и
амортизационная стойка) и от лобового сопротивления воздуха R. Их мы оценим так:
Qli = p0(x)(//^sina4-R) .	(9.1)
Теперь мы можем составить уравнение движения:
in =- A.,f(s) — B3s-! (s) s3 — C., '}>! (s)s — Q4 — y.9' (s) (mgsiti x -r- R) ,	(9.2)
w£
где A2 = 4 (1 — D') .
Это нелинейное уравнение второго порядка может быть проинтегрировано, как и
предыдущие, только численным путем. Но после небольших упрощений его можно свес-
ти к линейному уравнению первого порядка, общий интеграл которого находится по
хорошо известной формуле.
Именно, при движении шасси скорости таковы, что членом с первой степенью
скорости в сопротивлении жидкости можно пренебречь (т, с. будет С2^=0). В последнем
члене достаточно функцию О'($) заменить ее средним значением и считать сопротивление
Q-, зависящее от сил, нормальных к амортизационной стойке, постоянным.
Тогда, обозначая через //, найдем:
at
(9.3)
Общин интеграл этого уравнения будет:
=	J ¥,<J' ds |c-j—[[.4;./(л') — Q4 QJ с m !>1 J '°<Л ds j .	(9.4)
Входящие сюда интегралы при произвольно заданных функциях /(х) и л(?) прихо-
дится брать численным путем (например, вычисляя их по формуле Симпсона, либо по
формуле трапеций с учетом площадей сегментов между соседними ординатами, либо по
одной из простейших формул типа Гаусса или Чебышева). За нижний предел интегриро-
вания .можно брать значение $1( при котором колесо отделилось от земли. Но удобнее
брать интегралы от постоянного нижнего предела х0, соответствующего наибольшему
обжатию стойки, считая ds положительным при удлинении амортизационной стойки.
Тогда интегралы можно вычислить для данного шасси раз навсегда, и в случае различных
s лишь определять надлежащим образом произвольную постоянную С.
Обычно площадь проходных отверстий при обратном ходе постоянна. В этом случае
?i (s) ~ const = 1,
29
и roi да интеграл уравнения (9.1) еще упрощается и принимает вид:
=	Q4 - Q-|e«flr'rfS| = cr «e”- --j—+
4~— Ate m I f(s) em "' cis.	(9.5)
Если, сверх того, действие упругой амортизации на стойку можно приближено пред-
ставить в виде
(9.6)
то интеграл уравнения движения принимает совсем простой вид:
и2 =.Се т
. di
В2 В2 + а/л •
(9.7)
Если амортизационная стойка масляно-пневматическая, то давление воздуха в ней
приближенно определится уравнением политропы:
pv' — const.	(9.8)
При этом давление воздуха над поршнем будет приближенно следовать формуле:
f,,Sl
Р~ M~sy '
где под s0 следует понимать фиктивную длину цилиндра, отвечающую объему воздуха
при наибольшем сжатии амортизационной стойки, а под s — величину расширения стойки,
считая от этого положения. В этом случае будет:
s (во4-«)х ’
(9.9)
где
Подставив это в формулу (9.5), найдем:
в»'» —/ 2 ,, s0 —] s
е т а I — B,s0 —
•	S,,
I f(s)en ds = —B2St,e т
9	-*»<> *'
т 1 20 sn
d .\	С
1 л5~*
2 — х ~2 3“=~z	6 4—х 24 5 - х
2 ..	— •— в^„	2 ..	/ .
- е т , х = — Н2 s0 1
т	’ т 2 \
Ряд (9.10) сходится быстрее, чем ех , и так как в
2, то приведенным разложением в ряд вполне можно
В приложении III даны таблица и график (фиг. 40) функции
X
, (9.10)
большинстве случаев практики
пользоваться.
Показатели политропы х взяты изменяющимися от 1,0 до 2,0.
Показатель х < 1,4 можно ожидать при медленно протекающем процессе, когда
тепло успевает передаваться стенкам амортизационной стойки.
При быстром протекании процесса, наоборот, можно ожидать, что показатель поли-
тропы х будет больше показателя адиабаты k =sl ,4, так как жидкость, протекающая с боль-
шой скоростью сквозь узкие отверстия, будет сильно нагреваться при потере скорости
внутри стойки, с переходом движения в вихревое.

1
X1 » ,	1 X3-’
s
so
30
§ 10. Расчет сброса на копре’ шасси, изображенного на фиг. 3
Горизонтальная сила Т в данном случае отсутствует.
Расчет производим графоаналитическим методом.
1.	Начальные данные
(7 — 4200 кг вес, приходящийся на одну ногу шасси.
М = 4,28 кг сек1 см— масса самолета без массы поршня с колесом, приведенная к оси
колеса.
tn ----- 0,153 кг сек1 см — масса подвижных частей шасси.
<7, = 150 кг — вес подвижных частей ноги шасси (колесо с поршнем).
с = 0,25 — коэфициент разгрузки веса самолета подъемной силой крыла.
Q4 --=300 кг — сила постоянного трения в манжетах и уплотнениях поршня.
k = 500 кг?ем — угловой коэфициент прямой, приближенно изображающей обжа-
тие пневматика.
я = 14°55' — угол наклона амортизационной стойки на стоянке.
= 0 — начальное обжатие амортизационной стойки.
sfl = 0— начальная скорость поршня амортизационной стойки относительно
самолета.
= 0 - начальное ускорение поршня амортизационной стойки относи-
тельно самолета,
zg — 7,786 ем — опускание ц. т. самолета.
= 3,716 см’сек — скорость ц. т. самолета.
z,( = 6,08 см<сек9 — ускорение ц. т. самолета.
jpe = 7,786 см — опускание оси колеса к моменту строгивания стойки с места.
Эта излишняя для техники точность необходима при численном интегрировании
диференциального уравнения для увязки между собою начальных условий.
2.	Расчетные формулы
Задаемся участком пути As, равным 1 см, найдем время:
zf,4--|-(2z0--s1) St
Так как поршень движется с переменным ускоренном, то путь его будет:
где величина s, задастся сначала произвольно, а затем уточняется. Скорость в конце
промежутка
Жидкостные силы подсчитываются по формуле:
Qw=^’,
где а~ коэфициент жидкостных сил, равный в данном случае 3 300 при измерении ско-
ростей s в м сек, площадей а в см? и сил в кг.
з - площадь проходных отверстий поршня; снимается с графика фиг. 5.
Ускорение ц. т. самолета подсчитывается по двум формулам:
= — ~ ”>,ts cos Я1 >
• - Q cos г -! - ky (рО cos х sin2 а) - IMg - mg(pf) cos а 4- sin2 x)- -
l?l~S	,	i  fl \
—	.---COS X (u*i COS X -f- SJ113 x) ,
ЛТ -; m	7
(10.1)
(10.2)
причем Sj нужно подобрать так, чтобы в результате расчета но формулам (10.1) и (10.2)
для z получилась одна и та же величина.
1 § 10 составила инж. А. В. Мишина.
31
f) = 0 (s) — некоторая функция смещения стойки; она снимается с графика фиг. 5,
Р — коэфициент трения,
1 г = 1 yj (р® COS х Sin2 а),
QH cos а — A f (s) cos а 4 (s)s 'cos ® + Qt cos а >
где Af(s)— воздушная сила; она снимается с кривой АВ фиг. 6;
Въ (s) s2 — жидкостная сила.
Фиг. 5
Коэфициент трения р принимаем равным 0,1;
cos а = 0,966, sin2 а = 0,066,
sin х— 0,257, y = z—scosa.
После подсчета zn и zb строим график z„ и zb
по s. и находим точку пересечения (фиг. 7). Для
того, чтобы za и zb пересекались в одной точке,
надо подобрать соответствующим образом вели-
чину s. Чтобы не считать одну точку по два и
три раза, надо строить вспомогательный график s
по sue этого графика, продолжая кривую $ пу-
тем экстраполирования на один промежуток впе-
ред, можно довольно точно находить такое зна-
чение для s, чтобы оно по подстановке в уравне-
ния (10.1) и (10.2) давало почти одинаковые зна-
чения для za и zb. Когда мы найдем z„ и zb, а
отсюда и уточненное значение для s, то начнем ис-
правлять величины As, s и Q«, так как они за-
висят от s. Инерционные силы подсчитываются
по формуле:
Qi.it — ту cos a,
где у = z — s cos a.
Сила трения подсчитывается по формуле:
где Pj —давление земли на колесо, которое про-
порционально обжатию j.
♦
г[м/сенг]
12
Фиг, 7
32
Сумма сил, действующих по вертикали на самолет, равна:
Q — A f ($) -]-	-J- Q4 --- QMH •   QTp.
Скорость центра тяжести самолета:
u
z0
Давление шасси на самолет
Р- Af(s)-'i-QM-\
mg - m у) .' uO (s) —- ;— scosa
' 1 ' v 1 M -.m
cos a -f

\	. ivun
my) snr a 4’ -vj-n------s sin a cos a.
* 7	1 M + m
3- Подсчет
Пользуясь начальными значениями и данными расчета, найдем две характерные точ-
ки; тогда будет ясно, как пользоваться этими формулами. Берем величину Дг, равную
1 он, и, полагая для первой точки г0 =	= — 6,08, получим уравнение:
д( _______0Л1______
3,716 - 3,04 М ’
откуда время Л7-~ 0,002607 сек.
Задаемся для первой точки произвольным ускорением поршня s — 30 М'Сек\ тогда
находим As --0,00363 с.!/, так как в начальный момент sfl —0 и sft — 0.
Величина s для каждой точки равна LAs; таким образом, мы будем постепенно ох-
ватывать весь путь, проходимый поршнем, сообразно найденным значениям $, снимая для
каждой точки свои значения A f (s), 0 (s), з.
Что же касается осадки самолета, то нужно учесть, что в момент начала обжатия
стойки мы уже имеем осадку z,, —7,786 см. Поэтому в следующих точках будем иметь
z —ztt4-SAz, т. е. в первой точке будет Zj- -8,786, во второй — г, = 9,786 и т. д.
Пользуясь формулами § 6, находим последовательно:
S] — 0,0404 м сек, Q* - 0,000982 кг,
г„ = — 6,21 .w/ce№, 1 -4- г = 1,00827, г„ =- - - 6,31.
Наносим zn и zb на график фиг. 7; так как наши точки не совпали, то надо изме-
нить ускорение.
Берем s - -27 м сек- и отыскиваем заново:
At — 0,002697, As --- 0,00327, s -- 0,03635,	— 0,000795, z 3,6993.
Здесь Q* очень мало, и мы ее можем принять за нуль, поэтому второй раз подсчи-
тывать zb не будем, так как оно с изменением s изменится очень незначительно, и это
изменение на окончательный результат нс повлияет, а сосчитаем только zn. Найдем
s-^ 0,00327, za — -6,31. Таким образом, величина s -= 27 м-сек2 оказалась заданной пра-
вильно.
Далее находим:
Q„h- ~479, s = 0,00327, Af 2600, 0^=1,715, a-=74,
Qrp=- 643, v-8,7825, Q = 4022, j=--32,41, 7J = 3831, my^~ — 496.
Теперь следовало бы перейти ко второй точке; но так как и во второй точке жид-
костные силы будут столь малы, что учитывать их невозможно, то опишем прямо, как
вычисляются силы для десятой точки, где жидкостные силы уже близки к 2000 кг, и
посмотрим, как в этом случае находятся ускорения ц. т. ztt и zb.
5 ----------------------------------------------------------------------------------
33
При подсчете десятой точки за исходные значения возьмем величины, отвечающие
концу девятого промежутка Az. Задавая s = 30 м]секг, находим последовательно:
0,01
А/=----------—т-Тзз— «0,00293,
3,4306 — -—LLLLJii д,
6
2-70 + 30
As = 4,122 • 0,00293 -|-------- 0,00293s = 1,2333,
6
70 + 30
s = 4,122 + — — AZ = 4,2685,
<5ж=1985, + = —12,85,
1+г= 1,00717, +=- 13,45.
Значение s = 30 .и сек-
зать, как влияют жидкостные силы на zh
могли бы снять с вспомогательного графика
находим:
точное значение s мы
мы взяли заведомо преувеличенным для того, чтобы пока-
с изменением s. Более
по s; оно будет 17,5 Mice к'2-, при этом
5
As = 1,2316,
г = 21,786,
з = 5,5,
s = 4,251,
zd=- 13,3,
s = 7,3618,
у = 14,676,
Q» = 1970,
у = - 30,2,
Af =3300,
tn у — — 462.
6=1,4.
za = — 13,3,
Фиг. 8
160
3,2 - 8000 120
80
Р j [см/се1<1]
i
[м/сек1]
4 -100001-200
1,6 I- 4000
j
О 0	0,05	0,10 t [сен]
Л—давление колеса на землю, IIJ— давление шасси на самолет
Фиг. 9
0,8  2000 -120
34
Таким образом, с точностью счетной линейки получилось равенство между za и zb, и
данные, доставляемые вспомогательными графиками, позволили для десятого промежут-
ка найти искомую точку с одного раза, а не с двух. После этого находим:
QHH = — 446, QTp = 942, Q — 6958, Р = 6837, z = 3,394.
Ниже приводим табл. 1 —3 расчета, по которым построены кривые на фиг. 6, 8 и 9.
Излишнее число знаков в таблицах объясняется тем, что при суммировании послед
ние (уже ненужные) цифры не отбрасывались, хотя это и следовало сделать, округляя
скорости s до 0,001 мсек, перемещения As и s до 0,001 см (т. е. сохраняя лишь по
3 знака после запятой), а промежутки времени А£ до 0,00001 сек, т. е. сохраняя 5 зна-
ков после запятой. Время	в таблице можно округлять до 4 знаков после запя-
той, производя самое суммирование со всеми 5-ю знаками.
Такое число знаков отвечает значению ускорения s с точностью до +1 мсек" и сил
Р и Q с точностью ~ 15 кг.
Таблица 1
№ п/п	Д/ [сек]	/ [сея]	Д5 [сл/]	s [сл/]	| л' [ле/с^ле]	л' [м/сек2]	
0		0		i 0	i	0	0	
1	0,002695	0,002695	0,00327	0,00327 j	0,03635	27	
2	0,002710	0,005405	0,02280	0,02607	0,14195	52	
3	0,002721	0,008126	0,06066	0,08673	0,31465	75	
4	0,002735	0,010861	0,11685	0,20358	0,55055	97,5	
5	0,005520	0,016380	0,47290	0,67648	1,19855	137,5	
6	0,005580	0,021961	0,89700	1,57348	2,04055	164,5	
7	0,005650	0,027611	1,42200	2,99550	2,99550	174	
8	0,005730	0,033341	1,97600	4,97600	3,84500	121	
9	0,002900	0,036240	I,15870	6,13020	4,12200	70	
10	0,002930	0,039171	1,23160	7,36180	4,25100	17,5	
11	0,002965	0,042136	1,25720	8,61900	4,19690	-54	
12	0,003000	0,045136	1,23060	9,84960	3,98390	—88	
13	0,003050	0,048186	1,17250	11,02200	3,70040	—97,5	
14	0,003100	0,051286	1,09920	12,12130	3,38340	107	
15	0,003150	0,054436	1,01490	13,13620	3,07140	—91	
16	0,003200	0,057636	0,93850	14,07470	2,79990	—79	
17	0,003254	0,060890	0,87125	14,94600	2,55440	-67	
18	0,003310	0,064200	0,81100	15,76700	2,34740	58	
19	0,003365	0,067565	0,76000	16,52700	2,17740	-43	
20	0,003430	0,070995	0,72370	17,25070	2,04780	—32,5	
21	0,003490	0,074485	0,69470	17,94540	1,93880	—30	
22	0,003565	0,078050	0,67405	18,61945	1,83970	20	
23	0,003630	0,081680	0,65525	19,27470	1,77070	—18	
24	0,003710	0,085390	0,64460	19,92000	1,70400	—17	
25	0,003800	0,089190	0,63770	20,55800	1,64790	13	
26	0,003900	0,093090	0,63337	21,19110	1,59330	-15	
27	0,004000	0,097090	0,62526	21,81700	1,53530	-14	
28	0,004120	0,101210	0,62040	22,43700	1,47350	—16,5	
29	0,004250	0,105460	0,61110	23,04800	1,40350	—16,5	
30	0,004410	0,109870	0,60247	23,65100	1,32740	— 18	
31	0,004580	0,114450	0,58980	24,24000	1,24950	— 16	
32	0,009790	0,124240	1,13770	25,37770	1,06350	-22	
33	0,010940	0,135180	1,03360	26,41130	0,83350	-20	
35
Т а б л и на 2
IIII	Az[c.w]	Z tc.«]	J [.И < l'k |	..	у	у |.«/1'<ч’|	yB |«г|	Уж 1* 1
0	1	7.786	3.71600		6.08	7,7860	0	2600	0
1	1 1	8,786	3,69930	-6,31	8,7825	—32,41	2600	0,000795
2	1 1	9,786	3,68185	-6,57	9,7610	-56.57	2600	0 01212
3	1 1	10,786	3,66355	- 6,86	10,7u23	79,26	2625	0,063
4	1	11,786	3,64445	7,12	11,589	101.22	2640	0,2012
5	z	13,786	3,60415	7,51	13,132	110.51	2651	1,46
6	z	15,786	3,56115	-7,89	14,266	166,89	2710	7,42
7	z	17,786	3,51630	8,32	14 886	176.4	2825	53.8
8	z 1	19,786	3.46245	— 10,40	1 1,981	127 14*	3050	678
9	1 1	20,786	3,43060	- 11,71	14,866	79,3|	3175	1288
10	I 1	21,786	3,39395	-13,30 ,	, H.076	30,20 1	1	3300	1970
И	1 1	22,786	3,35145	15,40	14 465	36,50 1	3471	2750
12	1 1	23,786	3,30385	16,32	14.275	68,68	3649	<3028
13	1 1	24,786	3,25385	-16,475	14,13i	77.725	3800	2<Ю8
14	1 1	25,7Sb	3,20235	16,75	14,076	86,65	4000	2920
ь	1 1	26,786	3,15050	-16.22	14,096	71,68	4150	2540
16	I 1	27,786	3,09980	15,95	14,186	60,35	4350	2250
17	1	28,786	3,01830	15,69	14,3.36	49,01	45(M)	1980
18	1 1	29,786	2.99647	-15,62	14,516	40,48	4672	1775
19	I 1	30,786	2 94117 i	-15,475	14,826	26,10	4850	1528
20	1 1	31,786	2,89100	—15,45	15,126	15,95	5005	1346
21	I 1	32,786	2,83670	15,68	15,446	13,32	5225	1211
22	1	33,786	2.78067	15,75	15,786	3,57	5375	1090
23	1 1	34.786	2.72287	16,11	16.156	1.265	5575	1010
21	1 t	35,786	2,66240	- 16,50	16,536	0.08	5810	938
25	1 1	36,786	2.59907	16,84	16,931	4.29	6(ХЮ	874
26	I 1	37,786	2,53250	— 17,31	17.286	-2,81	<•240	818
27	1 1	38,786	2.46210	— 17,67	17,686	4,15	6150	760
28	I 1	39,786	2,38850	18.24	18,096	2,24	6725	600
29 1	1	40,786	2,30987	18,75	18,536	2,80	7(XX)	631 II
Табл и и а 3
.N? I li/ii	Уин («1	Угр M		Q |av| j		3 [.</* -]	8
	oo	625	3895	36.5	3446	74	'	1,72 1
0	479	643	4345	4022	3831	74	1.72
1	9	- 835	661	4S8O	4396	4004	74	1.71
	— 1 170	<>81	5350	4776	4197	72	1,71
1 3	1495	697	5795	5132	4448	70	1,70
। 4	2J7.5	716	65 .0	5743	4644	57	1,68
1 5	2162	730	7130	6209	4881	43	1.6»
6	26JO	722	715 J	6501	5083	23,5	1,57
7	-1875	803	7480	6705	5714	8.5 .	1,49
8	1171	880	7435	6817	6246	6,6	1,45
9	-416	942	.	7340	6958	6837	5,5	1,40
' 10	543	1040	7230	7025	7516	4.6	1,36
1 1 1 о	1014	1059	7140	7019	7809	4.2	1,32
1 Z	1149	1031	7065	3453	78 38	3,9	1.28
। 1 3	1280	1019	7» MO	6959	7926	3,6	1.24
1 1	1058	965	7016	6897	7731	3,5	1,21
15	891	928	7095	6937	7666	3,4	1,18
i	723	893	7164	(>950	7577	3,3	1,15
17	598	874	7270	7023	7578	3,2	1J3
18	385	850	7414	7143	7544	3,2	1,11
	235,5	831	7560	7250	7566	3,2	1,19
	196.5	838	7720	7377	7578	3,2	1,08
9i 21	52,8	826	7895	7538	7817	3,2	1,06
22	18,7	834	8080	7 00	7894	3.2	1,05
23 1 О fl	1.2	835	8266	7885	8063	3.2	1,03
24 ' I i 1 r •	63,3	842	8465	8079	8217	3,2	1,02
1	“°	H	84U	8640	8240	8409	3,2	1,00
26	61,3	854	1	8840	8415	8583	3.2	0,99
27	-33,8	867	9040	8626	8804	3,2	0,98
j 28	11,0	880	U2(>0	8855	9038	3,2	0,97
29 30	27,0	882	9460	9026	9216	3.2	0,95
36
§ II. Расчет сброса на копре того же шасси без учета влияния
массы подвижных частей' (см. (риг. 10 13)
Для количественной оценки влияния массы подвижных частей шасси на работу
амортизации воспользуемся данными примера, разобранного в § 10, положив массу т и
вес С?! равными нулю. Расчет будем вести графоаналитическим методом, причем инте-
грирование будем вести не по опусканию центра тяжести самолета z, как в § 10, а по
времени t. Такое изменение способа расчета несколько упрощает промежуточные вычи-
сления и дает возможность обойтись без решения квадратных уравнений для А/ в каж-
дой точке. Данные, зависящие от положения поршня, изображены на фиг. К).
Кривые представляют собой графическую интерпретацию уравнения
0*  । Qu Ч Qtp
cos а «16 (<?) ' cos а — ;t6 ($)
выражающего внутренние усилия амортизационной стойки. Второе слагаемое правой части
(1 4- (Э1Р
l7— зависит только от величины обжатия стойки s, а первое
cos а —
____________________________&
cos а ;aO(s) а2 [cos а u О (<?))
кроме того, и от скорости х.
Для подсчета сил, действующих на самолет в момент строгивания поршня аморти-
зационной стойки, необходимо задаваться весьма малыми промежутками времени &Л
1>М
6000
5000
4000
3000
2000
1000
100
200
Фиг. 10
S[MMj 300
1	\
— сек , так как в этот на-
400	)
чальный период движения ско-
рость поршня резко меняет
свою величину.
Допустив, что колесо и
шток амортизационной стойки
безииертны, мы также вправе
считать, что скорость поршня
возрастает мгновенно, и в
начальный момент, когда пло-
щадь проходных отверстий
для жидкости очень велика, * 1
определяется только кинемати-
ческими условиями; опускание
колеса и дальнейшее его об-
жатие мгновенно приостанав-
ливаются, тогда как вертикаль-
ная скорость самолета сохра-
няет свою величину. Отсюда
найдем:
z.	3.716
cos а 0.9665
3,85 м'сек.
Порядок расчета
1) Задаемся промежутком
времени:
0
1 § 11 составил инж. Д. D. Нав-
роцкий.*
37
2)	Имея начальные данные, задаемся ожидаемым ускорением центра тяжести само-
лета z1 = —6,3 м!сек2 в конце первого промежутка времени и, пользуясь вторым интегра-
лом формулы трапеции ’, найдем величину опускания центра тяжести самолета за время А/:
или 12 = 0,00931 м.
Ошибка в определении Аг, вызванная ошибкой в задании zb не превзойдет 0,01 %
для двух-трех первых точек, в дальнейшем же надо строить график z = /(/) и экстрапо-
лировать значения 2 на одну точку вперед. Фиг. 11 показывает, что такая экстраполяция
в подобных расчетах приводит к очень малым ошибкам.
Полученные значения AZ, t и Az заносим в табл. 4.
3)	Найдя величину опускания центра тяжести самолета Агза время М, откладываем его
на графике P=f(bz) (фиг. 12). Полученное нами значение Аг представляет собой сумму
двух перемещений: обжатия амортизационной стойки, приведенного к вертикали, т. е.
As cos а, и обжатия пневматика А_у;
Аг = As cos a -f- Ay.
4)	Из точки (Ро, Аг) проведем кривую обжатия пневматика Р— ky -\-&у- (в данном
примере заменена прямой линией Р ~ky), откладывая \у влево т. е. вычитая его из Az.
5)	На том же графике (фиг. 12) строим кривую по уравнению:
р— Q* +	+ QrP
cos а — цО (s)
откладывая As cos а слева направо.
Задаваясь рядом
значений As cos а,пай- z
дем скорости поршня
по формуле:
или для первой точки
s, = 800 As-3,85.
Задавать величи-
ны As cos а надо с таким
расчетом, чтобы коли-
чество точек кривой ю
р — Q* 4~ Qtp
cos а — |10 (s)
необходимое для нахо-
ждения точки пересе-
чения, не превышало 0
двух-трех. Вычисления
сводим в табл. 5.
Фиг. И
Таблица 4
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	
	№№	At	t	Дг	Р	А/'	Дг	Z	Д$ COS а	д$	s		Z	
	точек	l<w]		(ж]	м	ргг|	[м!сек'*\	[м/сек*]	(«1	[ж]	[ж]	[м/сек]	[м/сек]	
	0	1	0	—р.	70	—		6,080	—.	—	0	3,850	3,7160	
		0,0025	0,0025	0,00931	3783	113	0,264	314	0,00705	0,(0730	0,00730	1,990	3,7005	
	II	0,0025	0,0050	0,00928	asei	178	0,416	6,760	0,00571	0,00591	0,01320	2,725	3,6841	
	j ш	0,0025	0,0075	j 0,00924	4112	151	0,353	7,113	0,00642	0,00665	0,01985	2.585	3,6668	
1 В. П. Ветчин кин. Методы приближенного и численного интегрирования обыкновенных диферен-
циальных уравнений, вып. 1, стр. 101, издание Военно-воздушной академии РККА имени проф. Жуковского
193'2 1935 гг. (в 3 выпусках).
38
Таблица 5
11	2	3	4	5	6	7	8	9 ;	1 10		" .1	
X и X	As COS a W	As W	Л' [3d 				a	as*	QTp	84 9 P		
				s [м!еек]		зДсов a— j.G (,$) j pez С4?лг2Зи2} | 1	1	a- Jcos a—jxO (5)|	COS 01—pfl (5)		Примечание	
!	1 0,0060	। 0.006210.00621		1 JI	1 230	11,0	13,5	3720		3733,5		i. = 800As -
, I											
11	0,0070	0,00725 0,00725		1,95	! 3,800	13,0	49,4	3730	।	3779,4 1	T		‘ -3,85
	0,0080	0,00828 0,00828		2,78	7,730	15,0	115,9	3740	3856,0		
	i 0,0050	0,005170,01250 0,00621'0,01350		1 2,15	4.610	25,0	115,2	3760	3875,2		1	= 8004s —
и '	| 0,0060			2,97	8,820	27,2	1	239,6 s	3770	4009,6		j  -1,99
III	0,0060	0,00621 0,01940		2,24	5,018	43,2	;	216,4	3800	4016,4		I s.j = 8004s —
	0,0065	0,00672|o,0199<)		2,65	7,033	45,0	316,0	3815	4131,0		- ,725
За начало отсчета времени для первой точки берется момент строгивания поршня
амортизационной стойки, причем st, = 0 и даваемые нами приращения пути поршня As
будут в данном случае являться и полным обжатием стойки. Таким образом, для первой
ТОЧКИ ~ Д$1( для второй точки
As2 и т, д. Это необходимо
учитывать при пользовании вспомо-
гательными кривыми фиг, 10,
По кривой	а— ----— ? (s)
a3 [cos X—
ищем значения ? (s) для заданных s.
Подсчитываем величины жидкост-
ных сил, т. е. произведения
а
и'2 [cos а — р-6 (s)]
п	Qe "h Q-
Далее с кривой----—----------,
cos а — аО (s)
при тех же s, берем значения f (s)
и затем две последние величины
суммируем.
По полученным координатам
(As cos а, Р) на фиг. 12 строим
кривую:
р __Q1K Чг Qb н- QTp__
cos а — u6 (s)
и находим точку ее пересечения с
прямой P^ky,
Действия, произведенные по
пунктам 4 и 5, являются совместным
графическим решением двух урав-
нений:
р -— Q*	Qb 4 Qtp
cos a — |iO(s)
P^ky,
которое дает нам возможность определить силу Рх в конце первого промежутка време-
ни и смещение поршня As за гот же промежуток времени,
6)	Координаты точки пересечения будут искомыми Рх и As. Пользуясь начальными
данными, подсчитываем все необходимые нам величины, которые в свою очередь послу-
жат исходными данными при отыскании второй точки. Расчет сводим в табл. 4.
Графа 5, В точке пересечения /\~3783 яг, Asj cos a = 0,00705 м.
Графа 6, ЬР=РХ — Ро, ДР-113^2.
39
\ Р	114
Графа 7. Дг = —, Дг —--------------—— 0,264 м!сек\
11	и	428
Графа 8. г, = г0 -|- Дг, z, -=	(6,08 -ф 0,264) -= — 6,344 м)сек\
Графа 9. В точке пересечения Д s cos а —-0,00705 м.
г , ,л 	0,00705
Графа 10. Д.?=---------— 0,0073 м.
0,9665
9 Д <г
Графа 12. Sj = ----- =* srt, s, = 800-0,0073 — 3,85 = 1,99 м;еек.
Графа 13. г, = z0 - -	+	Д/\ z1 - 3,7005 лгсек.
11а графике фиг. 13 приведена кривая (1) давления шасси на самолет, полученная в
результате поверочного расчета амортизации без учета массы подвижных частей, а также
две кривые из § 10:
Р- давление шасси на самолет,
-давление колеса на землю.
Из рассмотрения этих кривых видно, что влияние инерционных сил сказывается
главным образом в начале движения поршня, достигая в нашем примере максимальною
значения 1 300 кг при t = 0,05 сек. Нарастание силы Р, действующей на самолет, имеет
ударный характер, что является результатом неправильного подбора площади проходного
отверстия. Более правильный подбор этой площади, получаемый методом проектирования,
изложенным в части II этой работы, позволяет получить гораздо более плавное нараста-
ние силы давления шасси на самолет. Кривая Р' нарастания усилия и соответствующая
ей кривая изменения площади проходных отверстий, полученные этим методом, приведены
на фиг. 13 пунктиром.
§ 12. Переезд самолета через
кочку
1.	Оценка сил, действующих на колесо
при переезде через кочку
Будем предполагать, что давле-
ние на каждый элемент поверхности
соприкосновения между землей
и пневматикой равно давлению воз-
духа в пневматике, умноженному
на площадь элемента. Такое пред-
положение даст возможность со-
вершенно элементарным графиче-
ским приемом найти равнодейству-
ющую давления земли на колесо
по величине и направлению при
любой форме и размерах кочки —
лишь бы пневматик не был обжат
до обода.
Давление воздуха будем вы-
числять по изменению внутреннего
объема пневматика до наезда на
кочку и во время обжатия, прини-
мая адиабатический закон.
Наконец, объем пневматика
будем вычислять приближенно,
разбивая его радиальными сече-
ниями на элементы, принимая каж-
дый элемент поперечного сечения
деформирующимся независимо от
соседних и вычисляя его площадь
в обжатом состоянии под условием
сохранения длины дуги (т. е. пола-
гая, что диаметр пневматика при
возрастании внутреннего давления
не изменяется).
Фиг, 13
40
Можно решать задачу более точно, учитывая как растяжимость пневматика, так и
пространственный характер его деформации. Но такой способ решения, приводя к гораздо
более сложным выкладкам и последующим вычислениям, не даст существенной поправки
к предлагаемому решению первого приближения. В то же время разнообразие в формах
и размерах кочек, которые могут встретиться на плохо подготовленном аэродроме, тре-
бует лишь приближенной оценки действующих на колесо сил, а не точного знания их в
каждом частном случае.
Поэтому на получении более точных решений для вычисления сил давления кочки
на колесо останавливаться не будем.
Самым неблагоприятным в смысле величины действующих сил будет случай длин-
ной кочки-валика, расположенной перпендикулярно пути пробега, через которую само-
лет переезжает двумя колесами одновременно.
Чтобы решать динамическую задачу о переезде самолета через кочку, нужно по-
строить диаграммы вертикальной и горизонтальной составляющих давления кочки на ко-
лесо в функции двух параметров:
1)	величины набегания .v колеса на кочку, измеряемой по горизонтальной проекции
расстояния между подошвой кочки и осью колеса, и
2)	возвышению оси колеса над поверхностью аэродрома (от которой отсчитываются
и высота кочки и высота отдельных ее точек).
Такие диаграммы следует строить по „методу гамаков", подробно описанному нами
в работе „Динамика самолета" ’.
Легкость интерполяции по обоим параметрам дает этим графикам значительное пре-
имущество перед другими способами изображения функций двух независимых переменных.
2.	Полная система диференциальных уравнений движения шасси н самолета
Считая горизонтальную скорость V либо постоянной, либо наперед заданной функ-
цией времени (т. е. учитывая незначительное торможение самолета за малый промежу-
ток времени переезда через кочку), найдем, что набегание х колеса на кочку может быть
выражено в функции времени.
Если построить только что упомянутый график, то для каждого момента времени
сможем найти силу давления земли на колесо (по вертикали и по горизонтали) как функ-
цию возвышения у оси колеса над поверхностью аэродрома.
Теперь мы имеем задачу, вполне аналогичную решенной в § 3 для случая посадки
самолета на ровную землю.
Все силы взаимодействия между шасси и самолетом будут иметь выражения, указан-
ные в § 2, и только сила /Jj и за нею Р', данная уравнением (2.9), будет иметь другое
выражение, а именно:
вертикальная составляющая:
=	(12.П
горизонтальная составляющая:
7'1=Ф1(М-),	(12.2)
где под y = z — scosa мы попрежнему будем понимать опускание колеса, отсчитываемое
от высоты его над поверхностью аэродрома при необжатом пневматике.
Таким образом, в уравнения движения (3.19) и (3.20) вместо независящей явно от
времени величины
A (s —scosa)	(12.3)
войдет новая величина
Ф [£,(г - scosa)],	(12.4)
которая берется с графика, соответствующего той кочке, па которую ведется расчет,
3.	Приближенное решение задачи о движении центра тяжести самолета
Способ, описанный в пункте 2, § 12, позволяет решить задачу при любых предполо-
жениях о величине кочки и о движении самолета перед наездом на нее. Но решение
системы уравнений достаточно сложно и может быть только числовым.
Чтобы получить упрощенное решение, дающее качественный характер явления, мы
можем сделать предположения, ведущие сначала к увеличению действующих от шасси
на самолет сил, а затем к их уменьшению против истинной величины.
1 Госмашметяздат, 1933, приложение IV п графики в главах VII и V111.
6
41
Первое предположение будет состоять в том, что ось колеса движется так, как
если бы кочки не было (например, горизонтально, если самолет ровно бежал по земле),
и в этом предположении вычисляется сила f\ давления от кочки на колесо.
11редполагая, что сила Рг полностью передается на самолет (т. е. что стопка стала
несжимаемой), разделим ее на сумму масс ЛИ-т и найдем ускорение самолета, после
чего интегрированием найдем его вертикальную скорость и перемещение, которые, оче-
видно, будут больше истинных, отвечающих точному решению задачи.
Истинная траектория центра тяжести самолета будет промежуточной между перво-
начально предположенной (при отсутствии кочки) и только что найденной, ближе к по-
следней,
4.	Приближенное решение задачи о движении колеса с поршнем амортизационной стойки
Если траекторию движения центра тяжести самолета считать заданной, то изучаемая
система будет иметь одну степень свободы, а не две, как в общем случае. На колесо
снизу будет действовать сила давления земли (кочки) Ри а на поршень стойки сверху^
давление сжатого воздуха, сила жидкостного сопротивления и сила трения.
Скорость s, ускорение s и перемещение s поршня стойки относительно самолета
вычисляются с учетом движения центра тяжести самолета, приближенно найденного, как
было только что указано в пункте 3, § 12.
Замечая, что
s = (z — jj) sec a, s (2! — v) sec а,
S '- (z — j/) sec а,
найдем
ту=Рх —Д/[(с — _у) sec х] sec а — Вх ?[(z — >')seca](z —jp)2sec-
— Р' sec а Р' 6 [(z - _у) sec а] .	(12,5)
Здесь zr zt z считаются известными функциями времени, а сила Рх находится по описан*
ному в разделе 1, § 12 графику как функция времени t и расстояния у оси колеса от
плоскости отсчета.
Интегрирование и здесь может быть выполнено только численным путем; ни одно
уравнение всегда проще решать, чем два совместных.
Если в уравнении (12,5) принять функцию ? за постоянную, а / и 0 за линейные
функции времени, то оно не будет содержать явно у, и порядок его можно будет по-
низить на одну единицу; тогда мы получим:
m	~ const ' zy — В2у2,	(12.6)
причем z— известная функция времени.
Положив здесь Р1С~Ф0(^), приходим к уравнению типа Риккати.
На самом деле у нас Рх — Ф(/, jz); но можно и здесь положить в первом приближении
_y=^0 = const или >о = !>(} (/) и получить jzt = затем найти по графику
и интегрировать уравнение типа Риккати вторично и т. д.
В некоторых случаях можно ограничиться и первым приближением, если желательно
оценить максимальные значения сил f\ и Р давления земли на колесо и шасси на самолет.
Решение уравнения (12.6) по первому приближению можно считать и точным: для
этого нужно отнести решение к несколько измененной по величине и форме кочке — так,
чтобы Ф(^,Д5) совпадала при одинаковых значениях t со значением
Ф(Оо) = <1Ш	(127)
В случае пологой кочки (длина которой в направлении пробега равна 1,5 —2 лг)
искомая форма кочки будет получена почти точно путем прибавления к первоначально
заданным ее ординатам разности (j>0— Ji), т. е. новая кочка будет иметь ординаты
(12.8)
Относительно знаков заметим, что осадка у оси колеса считается положительной вниз;
поэтому кочка, подбрасывающая ось колеса вверх, приводит к отрицательным ординатам.
ЧАСТЬ II
ПРОЕКТИРОВАНИЕ АМОРТИЗАЦИИ ДЛЯ НОВОГО ШАССИ
§ 1. Обозначения и основные положения
Напомним из первой части статьи наши обозначения и соотношения:
осадка центра тяжести самолета —
z =у 4“ SCOS я,
обжатие колеса —
y — z— s cos я,
обжатие амортизационной стойки —
s = (z — у) sec а.
Соответственно скорости и ускорения	будут:	
dz dtscosa-	d2z 	 . • _2 = z = y -j-s cos a,	
dy	• - < — у. -- z — S COS a, dt z	d2v 	 dZ* -y = z- scosst,	(1.1)
ds •	.•	•.	d'-y  ^r==s = (z —j/) sec a.	
Давление колеса на землю для аналитического решения будем принимать пропор-
циональным его обжатию у~
Pl = ky-	(1.2)
при графических интегрированиях или при повторных решениях будем пользоваться
действительной кривой обжатия.
Сила Р, передающаяся от шасси на самолет, равна давлению Рх земли на колесо,
уменьшенному на вес подвижных частей шасси и на вертикальную проекцию их силы
инерции:
Р = Pi — mg -|- ту.	(1.3)
Эта сила уравновешивается силон инерции самолета — Mz и разностью IMg между
его весом и подъемной силой крыла. Поэтому можем еще написать:
P=--Mz + tMg.	(1.4)
Относительно знаков заметим, что во время осадки самолета
2>0, 2 > 0, г<0;
то же для колесной оси:
^>0, j>0, j/<0;
в обоих случаях z<0 и _у<0, когда ускорения самолета и колесной оси направлены
вверх (по отношению к неподвижной земле), а силы инерции — вниз.
Скорости z и у положительны вниз.
Для поршня амортизационной стойки в его движении относительно самолета имеем
для начала движения (в первые моменты после строгивания поршня с места):
s > 0, $ > 0, s > 0.
Здесь смещения, скорости и ускорения положительны в относительном движении вверх.
Полная сила Q взаимодействия между неподвижной (цилиндр) и подвижной (пор-
шень) частями стойки состоит из:
а)	силы постоянного трения Q<;
б)	давления сжатого воздуха Af(s) и сопутствующей ему силы трения DiAf(s), что
вместе дает
Qu =
43
&) сопротивления перетеканию жидкости	и сопутствующей силы тре-
ния D,fB'f(s) s\ что вместе лает
X.	г) силы трения, зависящей от нагружения стойки
/Х^.	поперечными (изгибающими) силами:
I	.	QtP = (5) Ру,
/у X где /($), ?($) и 0(s) -функции смещения стойки зави-
ЛУ /	сящие от политропического сжатия воздуха, переменности
II/	площади проходных отверстий и изменения плеч между
//г	точками приложения поперечных сил,
р' UJ	и —коэфициент трения, близкий к 0,1,
/	На фиг 14 показано, что составляющая веса стоики
/'	у	на направление ее оси равна ///g-cosa; вертикальная
/	проекция силы инерции стойки равна- - ту, а полная сила
'	;f V \	инерции, направленная вдоль оси стойки\ равна -znvseca;
\	4—7	/	величина силы Pf = Рх — mrg т'у.
\	/	' '	Условие равновесия проекций сил на направление
inn! 1 >.*»т*  ’ оси стойки напишется гак:
Фиг. 14	(Pf — mg) cos a Q --- — ту sec а;	(1,5)
отсюда находим полную силу сопротивления стойки:
Q^(/*i - mg) cos а -г- ту sec ъ.	(1.6)
§ 2. Постановка задачи и основное уравнение
Теперь мы можем приступить к проектированию амортизации нового шасси без-
ударного действия.
Для этого нужно, чтобы сила P~Pt—mg -\-ту давления шасси на самолет изме-
нялась во время посадки плавно, без резких скачков и подъемов, а также без „провалов"
на кривой, изображающей силу Р но времени.
При этом сила Q взаимодействия между поршнем и цилиндром стойки является
неизвестной, которая должна быть установлена в результате решения. В соответствии
с назначенной таким образом силой Q и скоростями движения поршня мы будем задавать
площади проходных отверстий для жидкости в разных точках пути поршня вдоль ци-
линдра стойки.
При такой постановке задачи составлять уравнения движения самолета в колеса
с его осью мы можем лишь на основании формул (1.2), (1.3) и (1.4).
Соединяя их в одну, находим:
ky mg +т у = — Mz-\$Mg.	(2.1)
Исключая отсюда г на основании кинематических соотношений (1.1), получим:
k (z — s cos a) — mg - {- m (z — s cos a) - - — Mz -}- ? Mg
или
kz }-(Л/-}- m)z =- (As-J- ms) cos я [-(£M l-m)g--	(2.2)
Полученное уравнение можно написать иначе:
(As Г ms) cos х = Az (Л-1 т) z — (;Л4 -|- т) g,	(2.3)
Если нам задано исполненное или спроектированное шасси, то между суммами
(As -Г ms) и [Az } (/И |-m)z] устанавливается дополнительное соотношение через площади
1 Здесь мы полагаем, что продольное ускорение самолета во время посадки ничтожно мало, и им прене-
брегаем. Тогда горизонтальная проекция ускорения поршня равна а полное ускорение равно у sec л.
Maccv тподвижных частей шасси мы разделяем на массу т’ собственно колеса и т" - поршня амортизаци
онной стойки.
44
проходных отверстий, и уравнение (2.2) обращается в систему двух диференциальных
уравнений поверочного расчета.
Но перед нами стоит задача проектирования амортизации, т. с. установления
величины площади проходных отверстий и закона ее изменения по ходу поршня. К урав-
нению (2.2) у нас нет второю уравнения, и его решение нужно выбрать таким, чтобы
сила Р- давления шасси ла самолет—удовлетворяла предъявляемым к ней требованиям.
Это 'значйт, что в уравнении (2.2) мы должны так назначить правую часть, чтобы вторая
производная интегральной кривой (т. е. z) обладала рядом наперед заданных свойств
в начале и конце движения поршня и, кроме того, условию плавности и монотонности
изменения на всем пути поршня.
Если бы правая часть уравнений (2.2) и (2.3) являлась функцией времени, то найти
ее при заданной левой части (и заданных начальных условиях) не представило бы ни-
какого труда. Но в нашем случае функцию, входящую в правую часть уравнения (2.2)
или (2.3), нельзя задавать произвольно, так как она представляет сумму (As-j-»?*’) или [kz 
4-(Л44_ т)г], для получения которой необходимо, задав одну из функций z, z, z или s, s.
s, подвергнуть се еще операции двукратного интегрирования, или диференцирования, или
однократного интегрирования и однократного же диференцирования.
Все это существенно отличает нашу задачу от обычных, где требуется разрешить
диференциалыюе уравнение с заданными коэфициентами при искомых функциях и с заданной
правой частью.
Ясно, что и способы решения этой задачи должны отличаться от обычных.
Суммы (As-|- /пх) и [kz -! (М in)zj входят в уравнения (2.2) и (2.3) совершенно оди-
наково.
Если бы мы знали или задали одну из сумм как функцию времени, то ио отношению
к друзой из них уравнение (2.2) или (2.3) явилось бы линейным диференциальным урав-
нением второго порядка с постоянными коэфициентами и с правой частью.
Все искусство решения одного из этих уравнений заключается в том, чтобы правиль-
но задать функцию, входящую в его правую часть; тогда результат решения, представ-
ленный графиками изменения силы Р давления шасси на самолет и площади з отверстий
для перетекания жидкости, должен будет удовлетворять конструктора, производственника
и летчика в смысле выполнения шасси и его взлетно-посадочных качеств.
В зависимости от того, какую из функций и в каком виде принимать за данную
и какую за искомую, можно наметить три различных способа решения поставленной
задачи.
§ 3. Первый способ решения — задается сила Р как функция времени
Задаем
Р — F(f} .	(3.1)
На основании уравнения (1.4) напишем
— Mz — P— IMg----F(t) - ?TI4g.	(3.2)
При иомоши двух последовательных квадратур найдем г и г в функции времени и можем
составить выражение:
kz - mz — F\ (t).	(3.3)
Подставляя в уравнение (2.2), получаем:
ks ! т s —(/'; (0	(0 Wil] sec а — Л, (б).	(3.4)
Если мы задаемся ускорением z, то по уравнению (1.4) находим:
Mz -I- = Mg
и далее пишем:
ks 4 ins — (kz -*-ntz P — mg} sec -j. [kz < (Л1 i m) z — (;Л4 4~ >n) £| sec a — A’» (0.
И в том и в другом случае вся правая часть уравнения (3.4), т. е. функция F.,((), будет
нам вполне известна, уравнение может быть до конца проинтегрировано методом изме-
нения произвольных постоянных, опять же при любом виде функции F..(t), так как
квадратуры могут быть выполнены графически.
Таким образом, задача о проектировании амортизации нового шасси при учете
массы его подвижных частей сводится не к уравнению четвертого порядка, а к двум
45
квадратурам и к решению одного линейного уравнения второго порядка. Эго дает
существенное упрощение сравнительно с задачей о поверочном расчете совершенной
летчиком посадки (или сброса на копре) при заданных параметрах шасси и заданных
начальных условиях. Но уравнение (3.4), которое могло бы казаться окончательным для
решения задачи о проектировании амортизации нового шасси, является неудобным для
практического ее решения, и нужно искать другие способы.
Дело в том, что общий интеграл уравнения (3.4) без правой части, имеющий вид
z — С| sin nt + С, cos nt,
где	пг = —,	(3.5)
т ’
представляет колебания довольно большой частоты, соответствующей колебаниям только
подвижных частей шасси (т. е. колеса с осью и поршня стойки) на своих пневматиках.
В одном из ранее разобранных примеров1 мы имели:
к — 50000 кг/м, т = \Ь,3 кгсек-tM, — = 3260 „„г >	« = 1/ -- = 57,1 г;
т	сек	у т	сек
отвечающий этому период колебания будет:
Т= 2" =0,11 сек ,
п
полупериод
-Z- = 0,055 сек.
2
Время осадки самолета (от момента начала строгивания амортизационной стойки до
потери вертикальной скорости z центра тяжести) в данном примере равно 0,20 сек,
т. е. почти 4 полупериода.
_	ds	,
За это время скорость . поршня в его колебательном движении должна дважды
(< I
менять знак с положительного на отрицательный. Между тем, на самом деле поршень
стойки, стронувшись с места, должен все время двигаться вперед и остановиться лишь
в конце движения, через 0,2 сек после строгивания. Остановка поршня раньше этого
времени в действительном шасси недопустима (или допустима с упреждением на 0,01
0,02 сек, не больше). Значит, нам так нужно подобрать функцию Л'2 (/), чтобы зависящие
от нее интегралы, входящие в выражение общего интеграла для искомой s, были в неко-
торой части противоположны интегралу slt данному выражением (3.5). Задача подбора
функции F(t) или удовлетворяющей поставленному условию, является неопреде-
ленной. Например, принимая за функцию F(t) кривую Агладзе (см. ниже, фиг. 17 и 18),
принятую им для только что разобранного примера, мы получили, что скорость поршня s
обращается в нуль (с тем, чтобы изменить знак на отрицательный) в момент t, близкий
к 0,08 сек вместо 0,20 сек (см. ниже, фиг. 19 и 21, кривая /). Изменение вида кривой
Агладзе, имевшее целью дать поршню этого шасси в начале его движения .ход по
воздуху" (т. е. чтобы гидравлическое сопротивление на некотором начальном участке
хода отсутствовало), привело к еще более ранней остановке поршня (смотри там же,
кривая //).
§ 4. Второй способ решения—задается ход поршня
Чтобы не происходило преждевременной остановки поршня амортизационной стойки,
надо изменить порядок решения задачи и, задавая в качестве первоначальной функции
скорость s поршня, искать, каково будет вертикальное движение самолета, т. е. его уско-
рение z, скорость z и осадка z, и после этого искать силу Pv
Первые попытки получать те и другие решения мы делали методом последователь-
ных интегрирований (методом Пикара). Оказалось, что для s последовательные прибли-
жения сходятся очень медленно, а для z- достаточно быстро.
Позднее в мае 1942 г, —нам удалось развить аналитический метод решения поста-
вленной задачи; можно также решать эту задачу графическим или графоаналитическим
способом.
> Пример 2, часть I, § I.
46
Исключая из уравнения (2.2) силу P — F(t) при помощи уравнения (1.4), получим:
Р— - Mz -f-t Mg = k(z — s cos a) -|- m (z — scos a) — mg.
Выделим теперь z и z в левую часть уравнения:
kz (М -|- m)z = (ks -f- ms)cos a -}- (EAf-f- m)g.	(4.1)
В этом уравнении функции z и s входят совершенно одинаковым образом, и любую
из них можно задать как функцию времени, чтобы получить линейное диференциальное
уравнение для другой. Задавая z, приходим к уравнению (3.4).
Если же в этом уравнении мы зададим, как функцию времени, сумму (ks-Pms), то
можем написать:
Аг + (Л4 + ?н)д = Ф(0.	(4.2)
Это уравнение, так же как (3.3) и (3.4), является линейным второго порядка, с постоян-
ными коэфициентами и правой частью, и может быть до конца проинтегрировано мето-
дом изменения произвольных постоянных. Но существенное отличие его от уравнения
(3.4) заключается в том, что общий интеграл этого уравнения без правой части выражает
колебательное движение всего самолета на своих пневматиках (считая стойки несжимае-
мыми), которое имеет гораздо больший период, чем колебания одних подвижных частей
шасси на тех же пневматиках. Именно, для примера ‘2, § 1, части I, имеем:
М = 484 кг сек2:м, М-^-т — 499,3,
/' ь	,__ о-
«1=1/	---= УЮ0-10, тх = ~ = 0,628 сек.
1	\/ M-j-m	1	10
ПолупериодГ— == 0,314 сек, т. е. в I1,., раза больше всего времени опускания
самолета. Это показывает, что влияние правой части уравнения (4.2) на его общий
интеграл не должно быть так значительно, как в уравнении (3.4).
Поэтому мы получаем решение для z и для z при любом практически приемлемом
i/s
виде функции “51 • Далее, по уравнению (1.2) найдем
§ 5* III, IV, V и VI способы решения
Кроме только что разобранных, можно мыслить и другие варианты способов реше-
ния той же задачи в такой же ее постановке.
Третьим способом решения будем называть обращение первого способа, т. е.
задание вертикальной скорости z самолета, отсчитываемое не от начала строгивания
поршня стойки с места, а от конца его движения (т. е. от момента остановки) в обрат-
ную сторону.
Четвертым способом — обращение второго, г. е. задание скорости s поршня
как функции времени, также отсчитываемого от конца движения поршня к началу.
Лроф. Н. Г. Ченцов сделал замечание, что можно задавать также и движение
оси колеса относительно земли, т. е.
у Z — S COS х ;
при этом выполнять решение можно двумя способами:
а)	исходя от начала строгивания поршня амортизационной стойки, т. е. от t = 0 до
t- -- (способ V);
б)	исходя от конца движения поршня, т. е. от t = в сторону убывающих t и
доходя до t = 0 (способ VI). На развитии этих способов мы здесь не останавливаемся.
1 Здесь условия для <v в начале и
назначаем при первоначальном задании
в конце хода поршня
функции.
всегда будут удовлетворены, гак как мы их
47
Инж. А. А Белоус в своей работе развивает аналогичный, но несколько видоизме-
ненный способ решения той же задачи: он залает скорость д.зижения поршня амортиза-
ционной стойки нс как функцию времени, а как функцию ею смешения, т. е.
Краткое содержание его способа опубликовано в сборнике, посвященном 25-летию ЦАГИ.
§ 6.	Вычисление площади проходных отверстий
Ко1да мы удовлетворимся выбранной функцией <!’(/) и найденной через нее функ-
цией F(f) = P, мы можем найти все остальные величины:
кинема1ические
z, z, z\ s, s, $; у, у, у,
и силовые
Ру - A’J, Р' Ру- "’К 4- "'У, Qip = Р' ltf’ ($)>
Q. I Q* — P'Jcos a
Кроме того, мы еще ранее знаем QB = A,/(s).
Таким образом, найдем:
<?ж — Р' [cos а — |16 (s)) — Q„.	(6.1)
Зная скорость поршня и жидкостную силу Qlh, мы легко найдем площадь т проход-
ных отверстий уже из алгебраического уравнения.
а)	Если принять сопротивление жидкости пропорциональным скорости ее перете-
кания v в степени1 q, т. е. вызванную ее движением разность давлений (/>	д„) выразить
формулой
Р - Р» =	,
то сила сопротивления будет:
/ Р X»	aFv-W •
=	\ з7	s",	(6.2)
где F— площадь поршня,
з—суммарная площадь проходных отверстий.
Благодаря прижатию манжет давлением жидкости усилие на стойку будет больше
вычисленного в (1-|-D2) раз, где D., коэфициент, подлежащий определению особо для
каждого тина манжет. Окончательно
Q» = QI (1 + D. ) - а (1 Ц- D2) Р'ч Н .	(6.3)
Зная и л, находим:
</(1	/ 7/-“i(|	/,.)
Q*	J I Q.
\з
(?ж-(14-£)?) Л ь
б)	Если сопротивление жидкости выражается двучленной формулой вида -| Cv,
т. е.
Р — Р» bv^-^cv,
то
4 s}	’’ +сЛ- (6>5)
Отсюда получаем квадратное уравнение для определения з:
С(хз В,? О,	(6.6)
1 Обычно принимается 7=2, что отвечает теореме живых сил.
43
где все коэфициенты нужно считать известными для каждого з. По уравнениям (6.4)
или (6.6) находим а как функцию смешения з поршня стойки;
J = <?1 (^)-	(6.7)
Полученную площадь наносим на график и, если она нас удовлетворяет, считаем
расчет окончательным. Если в ходе кривой, вычисленной по уравнению (6.4) или (6.6),
наблюдаются ненормальности с точки зрения конструктивной, или представляющие
опасность резкого нарастания сил при посадке, отличной от заданной нормами (посадка
может быть более легкая, более тяжелая, с переездом через кочку и т, п.), то намечают
желательные исправления в кривой о и от них переходят к исправлениям в кривой з
скорости поршня. Например, если площадь □ перед концом хода вдруг начинает возра-
стать, чтобы вслед за этим упасть до нуля, нужно несколько уменьшить скорость з,
что поведет и к уменьшению площади.
После двух-трех попыток можно ясно увидеть, как нужно исправлять кривую s, чтобы
добиться надлежащей плавности в ходе кривой □. Вместе с изменением кривой s изменя-
ются и s, и s, и fes 4- ms, и Р.
Эти изменения, в свою очередь, отразятся на кривой а, но гораздо слабее, чем
изменение самой скорости з.
Все это будет ясно видно при выполнении практических или примерных расчетов.
Примеры найденных площадей проходных отверстий см. ниже на фиг. 22, 23 и 24.
§ 7.	Классическое решение основного линейного уравнения задачи
Переходим к аналитическому рещению уравнения (4.2). Разделив его на М-\-гп,
получаем:
=	(7.1)
где
И 2 - ------
п т-\-М*
...	1 л./хх cos а ..	,
и (/) ----—  . Ф it) =	---ks -1 - ms) 4---у- .. g.
v ’ m -j- M ' УИ 4- m 1	' ' mA-M
Такое уравнение часто встречается в практических приложениях, и для него известно
окончательное выражение общего интеграла1:
t
Z = До sin nt-\- В cos J tli sin n •“ О	(7.2)
о
где под знаком интеграла переменное t заменено новым переменным с, которое снова
обращается в t при подстановке предела.
Виды функций, удовлетворяющих нашей задаче для выражения скорости s, подробное
исследование которых будет помещено ниже, все же являются довольно сложными, так как
по необходимости содержат произведение полинома ф (t) третьей-шестой степени на дру-
гую функцию <?(t), прототипом которой может служить показательная функция
с одним параметром а. Чтобы менять форму кривой, приходится брать другие функции с
одним параметром, например:
1 Подробный вывод этой формулы, с определением всех функций и произвольных постоянных, дан в
книге акад. А. Н. Крылова и Ю. Л, Круткова „Общая теория гироскопов*, 1932 г., § 19.
7
49
или, лучше, более сложные функции с двумя параметрами, например;
«=1-
а2
~ /
(1
ltJ -	(«0°  5(а/)”
Функция и имеет сложный вид, который дополнительно усложняется умножением на
cos nt и на sin nt.	f
Поэтому нет смысла вычислять интеграл, входящий в формулу (7.2) и зависящий
от правой части диференциального уравнения (7.1), в аналитическом виде, и формулу
(7.2) следует представить в виде:
t
z — Ci sin nt -ф С,, cos nt = (clu -ф -- J* п (?) cos п 5 d Ej sin nt -ф
о
C.2O —	| w (?) sin n; d E j cos nt
b
(7,3)
и вычислять входящие в нее интегралы графически.
Произвольные постоянные С1о и С»о определяются по начальным условиям. Для лю-
бого значения t интегралы вычисляются как площади построенных кривых n(E)cosnE и
zz(E)sinnE, и прибавляются к постоянным С10 и Сзи.
Такой способ вычисления даже при аналитически заданных функциях s (t) и
и (t)— нам представляется наиболее выгодным; тем более, что тогда всякое внесение из-
менений и поправок в функцию s (0, уже не аналитических, а чисто графических, не бу-
дет изменять способа вычисления искомых z, z и Ро.
Когда найдена величина z как функция t, легко найти и z, входящую, согласно
уравнению (1.4), в выражение силы Р давления от шасси на фюзеляж.
Ускорение
,й п Ф(0~ kz	ИЛ\
(7.4)
§ 8.	Случай нелинейной характеристики колеса
Если желательно перейти к действительной кривой обжатия колеса, которая являет-
ся не вполне линейной, то получающиеся уравнения могут быть полностью решены ме-
тодами графического интегрирования или последовательными приближениями, лишь немного
более кропотливо, чем только что разобранная линейная задача.
Положим, что давление колеса на землю выражается в виде
Р, — £_у-ф / (jz) — А(г — s cos а.) ] •/(«— scosa),	(8.1)
где /(у) — дополнительная нелинейная функция, по величине значительно меньшая основ-
ного члена.
В этом общем случае имеем:
Р - F(t) = P1 — mg-\- m(z -- scos a) — k(z — scos a)ф-•/(г — scos a) — /«g-ф ni (z — scos a), (8.2)
kz -ф (Al -ф m) z = (ks ф- i::s} cos a -ф (E 7И-ф m) g—/(z — s cos a).	(8,3)
Это уравнение можно решать как линейное с правой частью, если известна функция
/(у). По она нам неизвестна, так как мы наперед не знаем величины y = z— s cos а в функ-
ции t, поэтому придется решать задачу последовательными приближениями, задавая в
исходном приближении некоторую вероятную величину для у и уточняя ее в следующих
50
приближениях. Эти уточнения функции у (_у) можно вести параллельно с изменениями
функции s при подборе всего решения в целом. Так же, как и в предыдущем параграфе,
величиной z надо воспользоваться для отыскания
Z =	[(As +///s) cos а 4- (; Ж + /«) £ — у (z — s cos a) As)	(8.4)
и вставлять ее в уравнение (1.4) для нахождения силы Р.
§ 9.	Подбор наклона и кривизны кривой для s(t)
Мы уже указывали, что наиболее удобным для интегрирования основного уравне-
ния (2.2) является переход к уравнению, в котором прежде всего задается скорость s
поршня, и от скорости уже, с помощью диференцирования и интегрирования, делается пе-
реход к функции
« (0 =	। — [(As 4- ms) cos а 4- ($ Af 4- т) я),	(9.1)
фигурирующей в уравнении (7.1). Произведенные подсчеты (чисто числовыми способами)
применительно к одному из самолетных шасси дали ориентировочные указания, какой
общий характер должна иметь кривая s. Об ее свойствах в начале строгивания поршня
с места (при £ = 0) и в конце его движения на прямом ходу (т. е. вблизи его остановки,
при t—S— »0) можно сделать и более детальные суждения, которыми и займемся.
А) Начнем с определения кривизны кривой, изображающей s (() в ее начальной
d^s
точке, при (=0, т. е. с определения величины ~^3- . Эта величина уже была нами най-
дена в § 4 части I и равна:
s о* = ^г0 (cos а — цб*),	(9.2)
гле	о*=Л4-^(во-Л0).
Плавность изменения силы Р со временем существенным образом зависит от плав-
ности кривой s; при этом до вершины кривой $ и немного после ее главную роль играет
член ms, получаемый диференцированием, а в правой части кривой, при	глав-
ную роль начинает играть член As, получаемый интегрированием.
Поэтому левую часть кривой, примерно до tt или , следует задавать авали-
2 о
тически, а правую, при можно задавать и графически, т. е. подрисовывать кривую
s, первоначально заданную аналитически, и тем подправлять ее в желательную для кон-
структора сторону’.
Б) Переходим к отысканию свойств кривой s в конце хода поршня. Нам желатель-
но, чтобы кривая, изображающая силу Р давления шасси на самолет, имела в конце
движения поршня горизонтальную касательную, как в случае, когда за аргумент прини-
мается время t, так и принимая за аргумент смещение поршня s, т. е. чтобы выполнялись
dP .. (IP „ п
условия 9 и 0. Для выполнения последнего условия необходимо, чтобы вто-
t>t,
1 В этом случае величину s s’i =J s d/также придется находить путем графического интегрировании.
Л
51
сРР
рая производная в конце движения также обращалась в нуль, так как в противном
случае производная
rfP
rfP _dt_
ds ds *
dt
принимающая в конце движения поршня неопределенный вид -ц , будет оставаться ко-
нечной.
Действительно, раскрывая неопределенность по правилу Допиталя, найдем при t -* t*,
d3P \
~dP )
d2s \
~di3 )
здесь
d2s
— конечно; поэтому
d2P
достаточно, чтобы было нулем.
В конце движения, при т —0, т. е. при t==t*, обжатие колеса не изменяется, так
как действующая на него в этот момент по вертикали сила Р* имеет первую и вторую
производные по времени равными нулю. Поэтому
№ = const, _У* = 0, у* = z* — s* cos к = О,
Из этого кинематического условия находим:
= z* seca =
*
;g sec a.
(9.3)
Чтобы судить о величинах производных более высокого порядка при нужно зцаИ)
характер кривой изменения силы Р при малых t — t* — t.
Полагая приближенно (что допустимо при т<Сту
Р = Ртах —Л р— (Причем |р_— р 1) ,
найдем, что
если
/? = 3, и, сверх того,
(9.4)
Таковы условия, которым должна удовлетворять кривая s в конце движения при t=f*,
в идеальном случае, когда обращение в нуль вертикальных скоростей самолета и колес-
ной оси происходит строго одновременно.
Если такая одновременность не достигнута — указанные условия не будут выпол-
няться в точности, и кривая, изображающая силу Р давления шасси на самолет, будет
иметь в конце движения поршня наклонную касательную вместо горизонтальной.
Действительно, если к моменту остановки поршня осадка центра тяжести самолета
еще не окончилась, и он имеет вертикальную скорость то и давление земли на
колесо будет нарастать со скоростью
.dtj^
=
52
Так как в момент Остановки поршня не только 6’* = 0, но й s* - О', то в абсолютном
движении подвижные части шасси будут иметь общее ускорение с самолетом; следова-
тельно, давление шасси на самолет будет изменяться по закону:
А _ М .
dt)*~ м+т kZi
(9-5)
Если шасси поглотит к этому моменту большее количество движения, чем имел са*
молет перед посадкой, то центр тяжести его в момент t* будет подниматься, скорость
z* станет отрицательной, и сила Р к концу движения, пройдя через максимум, начнет
убывать.
Как же подгадать, чтобы к моменту £* остановки поршня обратилась бы в нуль и
вертикальная скорость z# центра тяжести самолета?
Сложность уравнения не позволяет нам задать это наперед, и приходится итти
последовательными приближениями, руководствуясь теоремой о количестве движения.
Сила РаУ при которой поршень строгивается с места, задается конструктором и мо-
жет в небольших пределах варьироваться при помощи подкачки воздуха, находящегося
над поршнем. Максимальная сила (Ртах) задается конструктором в соответствии с норма-
ми прочности. Закон изменения силы Р по времени, от которого зависит коэфициент
полноты диаграммы, не может быть предугадан наперед; приближенное значение его,
при накоплении расчетно-конструкторского опыта, можно будет находить на основании
ранее выполненных проектов.
Ниже будет показано, каким дополнительным (сверх здесь указанных) условиям
должна удовлетворять кривая s скорости поршня в начале движения, при Z = 0, чтобы
полученные из расчета площади □ проходных отверстий утля жидкости удовлетворяли
требованиям производства, и чтобы шасси было удобно в эксплоатации, например, при
повторных ударах о землю-
Здесь же мы разберем лишь вопрос об одновременности остановки поршня аморти-
зационной стойки в его движении относительно самолета, и потери самолетом верти-
кальной скорости. Для этого необходимо, чтобы вертикальная составляющая импуль-
са силы Р была равна количеству движения самолета MzOt сложенному с произведением
EMgZ*., выражающим импульс силы тяжести (за вычетом подъемной силы крыльев) за
время осадки самолета, т. е. чтобы
S = J Pdt = MzA + W*,	(9.6)
О
где под Za следует понимать скорость опускания самолета в момент строгивания поршня
амортизационной стойки.
Удовлетворить этому равенству с первого раза можно лишь случайно, и потому
требуется решать задачу последовательными приближениями. Самым лучшим способом
подхода к решению нам представляется изменение первоначально назначенного времени
движения Предполагая, что коэфициент полноты диаграммы (Р, t) остается в обоих
случаях одинаковым, можем написать:
S' = .s; ..	- J’ Pdt - tMgt*a= Pmax -- IMgt^ -. MzA ;
0
аналогично напишем:
s; = 5, - lMgt*t (Pm„ 0 - W) t„ = MzA .
Вычитая, находим:
(ЛпахО - W (41 - 4o) =	- So ^MzA -So,
и далее:
у  ,  	5o
г*о~	^Mg ’
где коэфициент полноты диаграммы
spdt
* max
(9.7)
(9-8)
53
§ 10. Подбор коэфициентов для кривых ф(/) и
А) Первую часть расчета нового шасси производим обычным способом: ио нормам
прочности назначаем максимальную перегрузку при посадке и величину поглощаемой
работы. Этим определяется (если не была задана еще раньше) и величина вертикальной
скорости z0 самолета в момент прикосновения колес к земле.
Далее, руководствуясь уже накопленным опытом проектирования (например, по
статье А. Г. Агладзе) и рекомендациями, заключающимися в нормах прочности, распре-
деляем поглощаемую энергию между колесом и амортизационной стойкой; вместе с этим
намечаем размер колеса и его пневматика, степень накачки его воздухом, длину хода
поршня стойки и ее зарядку сжатым воздухом (начальное давление).
Задаваясь коэфициентами трения в амортизационной стойке и ее конструкцией, нахо-
дим и усилие Ра, при котором поршень должен стронуться с места. С этого момента
начинается проектирование гидравлической амортизации безударного действия.
Если бы можно было пренебречь массой подвижных частей шасси, то мы могли бы
задать по произвол)' „кривую Агладзе" и, вычитая из намеченного полного сопротивления
ту часть его, которая воспринимается сжатым воздухом и трением, выделить величину
гидравлического сопротивления; зная же скорость поршня в каждый момент времени и
коэфициенты сопротивления перетеканию жидкости, найти и площади проходных отвер-
стий. Но, как было изложено ранее, мы не умеем в полном решении задать силу Р
давления шасси на самолет и найти закон движения поршня. Задавая же скорость s пор-
шня, как функцию времени, мы не можем наперед указать, каков будет закон изменения
по времени для силы Р. Выход из этого положения такой: задаемся законом движения
поршня, удовлетворяя вышеперечисленным условиям в начале и конце движения, и до
водим решение до конца, т. е. до вычисления z, z, силы Р и площади а отверстий для
перетекания жидкости.
Вычисляя поглощенное амортизацией количество движения, увидим, что оно лишь
приблизительно совпадает с обусловленным нормами прочности, и требуется уточнить
решение, так как без этого не будет достигнута и одновременность обращения в нуль
скорости s поршня и вертикальной скорости z самолета. Кроме того, конструктора мо-
жет не удовлетворить форма кривых, изображающих нарастание силы Р по времени и
изменение площади а по пути. Тогда нужно произвести перерасчет, руководствуясь фор-
мулой (9.7) для изменения времени осадки самолета и нижеизложенными сообра-
жениями (см. §§ 11 — 12) для исправления кривой <з.
После перерасчета, который тоже не даст полного совпадения в моментах обраще-
ния в нуль скоростей s* и гж, можно остановиться на окончательных исходных данных при
помощи интерполяции, подвергая небольшим изменениям не только время но также
и заданные нормами Ртах и z0.
Так как изменения в задание приходится вносить небольшие, то их можно внести
и в проект шасси без опасения ухудшить его.
Самое незначительное отступление от начальных условий посадки будет сильно
отражаться на виде кривой Р, особенно в конце хода поршня. Но наша задача — спро-
ектировать шасси, у которого сила Р не должна носить ударного характера, — все же
может считаться решенной, так как в начале хода поршня разница в ординатах, выра-
жающих силу Р при разных начальных условиях посадки, должна быть невелика, а в
конце хода поршня, когда инерция подвижных частей шасси уже погашена, силы не
могут носить ударного характера. Окончательное подтверждение этого можно будет иметь
после ряда просчетов спроектированного безударного шасси па посадки при измененных
начальных условиях.
Б) Переходим собственно к подбору коэфициентов.
В начале и конце хода поршня нам нужно удовлетворить целому ряду условий.
Здесь мы еще раз перечислим эти условия, чтобы применить их к составлению уравнений
для коэфициентов при функциях ф(/) и Ф(£).
Условия so = O и so = O в начале хода поршня (условимся обозначать точкой А) удов-
летворяются сами собой благодаря надлежащему выбору функции ф.
Если мы задаем в начале хода поршня конечную (хотя бы и очень малую) площадь
проходных отверстий, то первая производная от ускорения поршня, т. е. So3' имеет в точ-
ке А вполне определенное значение:
s*;" — -— Za (cos а — |лй*) = const.	('0-3)
54
h то же время для разных типов кривой (см. § 7) мы нмееМ'
sn’’ = 2«0а2, или а((аа, или а0«2(1 — р).	(10.4)
Это -первое условие, налагаемое на наши коэфициенты.
Второе условие:
$ж = 0 при t — t*	(10.5)
показывает, что все движение поршня (от строгивания с места до остановки по прохож-
дении назначенного пути $,) должно продолжаться Л1; секунд.
Третье условие:
*.=((й -fc) = 7	00-6)
при £ = /* определяет максимальную величину P# силы Р давления шасси на самолет
в конце хода поршня.
Четвертое и пятое условия:
<3>-о и *;4‘ = о
обеспечивают нулевые значения производных:
(10.7)
(10.8)
ио времени и по пути в конце хода поршня.
Шестое условие: полный ход поршня
s* — )sdf (я* заданная величина)
о
требует, чтобы кривая s охватывала заданную площадь.
Для выполнения этих шести условий мы должны иметь, как минимум, шесть свобод-
ных параметров:
^0*	^2» ^3» ^4
Седьмой параметр, t3, мы будем использовать для выправления формы кривой, изоб-
ражающей площадь проходных отверстий. Иногда может оказаться желательным ввести
еще дополнительные параметры, например, а-, и а,, в кривую ф и (— в кривую соответ-
ственно уменьшая число параметров сопряженной кривой.
Ранее, когда у нас было лишь небольшое количество различных кривых ?(/), мы
должны были восполнять недостаток свободных параметров, задавая второй множитель —
функцию ф(^) —в виде полинома с достаточно большим числом параметров.
Позднее нам удалось разработать значительное число разнообразных функций z(x),
где л' = а?, при помощи которых можно удовлетворить всем условиям в начале движения
поршня. Поэтому в начале движения поршня при малых	! функцию р можно за-
менить горизонтальной прямой AD' с ординатой <|>( (/) — ап.
Для выбора параметра а у функции <р будет служить условие:
а(, — ?— заданной величине.	(10.9)
I dt- с = о
Предлагаемые в настоящей работе функции -л таковы, что все они принимают зна-
чение, практически не отличающееся от единицы при t =
Поэтому в конце хода поршня мы имеем возможность заменить функцию ф прямой
линией Е'С, пересекающей ось абсцисс при t = и наклоненной к ней под углом, от
которого зависит величина силы Р.и в конце движения поршня.
Таким образом, функция 'р в основе представляет ломаную линию АВС (фиг. 15),
которую в середине, на некотором участке D'E', следует сгладить плавной кривой. Са-
мое сглаживание нужно производить, как на фиг. 16, где изображена кривая s, сначала
в виде ломаной кривой ОВ'С и затем в виде сглаженной ODFEC.
55
Если кривая ф на всем своем протяжении выражена аналитически, то и кривая s бу-
дет выражена аналитически на всей своей длине.
ПРИМЕЧАНИЕ. Чтобы в выражении s не появились довольно грубые ошибки графического ди-
ференцирования, следует, нарисовав кривую s и продиференцировав ее графически, здесь же построить
плавную кривую и, проинтегрировав ее тоже графически, получить исправленные в этом смысле
точки для кривой Л’.
Для ф(/) можно взять функцию.
, ...	( . t . 1	( . nt . 1	. nt \ । . ( 2nt .1	. 2r.i\ )
1 -77+v "v‘"c+'6'sln x7+*vslnf+esln rj|r
(10.10)
Диференцируя, находим последовательно:
^Ф_
dt ~
, . nt
— 1 4-а cos -р
/ . . 1 . „ nt \	2nt; ,
( 1 4- -5- Sin- — I 2Ь COS ~T~ ( 1
\	* J	Г* \
</3ф
dt-
3 «0 it
T ~t* t~
• (10.11)
I
.,nt 1 «. • ч 2кп
~r +	sin 7- I'
'*	t* r
отсюда видно, что и третья и четвертая производные будут нулями при / = 0 и при
t = t^, т. е. кривая ф имеет со своими касательными на концах соприкосновение четвер-
того порядка.
Переходим к определению постоянных.
Из условия ф = 0 при t — О имеем а 4~26=1. Из условия ф— — D при t — t*, полу-
чаем:
-^(a-26)=D- 1
и отсюда находим:
2а = 14-(/)_1)/* ,
“о
46=1 -(0 — 1) f*-.
«о
Можно, конечно, варьировать и виды функций ф(/), и коэфициенты при них, напри-
мер, дать кривой ф (t) в конце движения поршня, т. е. на участке Е'С, обратный выгиб
(выпуклостью вниз), если кривая <р(0 в этом месте еще не обратилась в единицу и имеет
прямой выгиб (выпуклостью вверх), который нужно компенсировать.
Заметим, что при задании кривой скоростей поршня, как на фиг. 24, максимальная
скорость не превзойдет величины s < О А = аЛ} фтах, а проходимый поршнем путь s*, рав-
ный площади кривой ODFEC, всегда будет меньше площади ODB'C.
56
§ II. О площадях проходных отверстий гидравлическою амортизатора
в начале хода поршня 1
В §4 второй части настоящей статьи дано основное диференциальное уравнение (4.1),
из которого мы и будем исходить при аналитическом решении вопроса о площадях про-
ходных отверстий в начале хода поршня.
Нам нужно найти решение линейного диференциального уравнения с правой частью:
kz 4- (М 4- tn) z = (ks -ф ms) cos ь Л1 tn) g
или
z 4- n3 z — </„ -|- 0 4- n - s) cos a.
(П.1)
при начальных условиях, отвечающих моменту строгивания поршня амортизационной
стойки с места:
t = 0, z — za — z.\, z = zQ — Za .
Здесь обозначено:
Предположим, что смещение поршня амортизатора в начальной стадии представляется
в виде ряда:
где первый коэфициент г/, имеет вполне определенное значение, наперед заданное, осталь-
ные коэфициенты ряда остаются пока неопределенными, и от значения их будет зависеть
закон изменения площади проходных отверстий с течением времени (для малого смеще-
ния поршня).
На основании формулы (11.2) мы можем получить скорость и ускорение поршня
амортизационной стойки, которые соответственно будут равны:
Подставляя эти значения в уравнение (11.1) получим:
V ?
z + n*z=aQ + > а, г-
(И.4)
где обозначено
= (>-2 rf, + |4"	- ,)cosa (v=l, 2, 3,...)
(H.5)
Общее решение уравнения (11.4), как известно, состоит из суммы:
1) общего решения уравнения без правой части:
z, = A cos /»74~ Л sin nt,
и 2) из частного решения уравнения с правой частью, которое представим в следую-
щем виде:
т. е.
Z = 2, 4 Z2 = Л <-os	sln nt “Г zv
(11.6)
1 §§ И и 12 написаны канд. техн, наук И. А. Паничкиным.
8
57
Теперь нам нужно найти неизвестные коэфициенты /i. (v = 2, 3,
Из уравнения (11.6) находим скорость и ускорение самолета по вертикали.
Они соответственно будут равны:
Z = Ап sin nt I Ни COS nt 4 7 P, ----->
Z । v— 1
(H.7)
\1
z = —An2 cos nt — Bn"- sin nt -|- z P
Подставим значения z из уравнения (11.6) и z из уравнения (11.7) в диференциальное
уравнение (11.4) и, сравнивая коэфициенты при одинаковых степенях в левой и правой
частях, получим бесконечную систему уравнений:
Л + 2 +	= rt, (* = 0. 1, 2, ...),
(11-8)
причем надо иметь в виду, что коэфициенты	=0.
Последовательным решением уравнений (11.8) находим:
Р-> =
Pt=Ol'
/>4 -- а2 — п Зао,
/г а., — n2ah
Pc = <h~ п3а2-\-п*а„,
Pt = (i;,
или, подставив вместо коэфициентов а. (* = 0, 1, 2, ...) их значения из (11.5), получим:
А = П + (1-?)>г1я.
ря — d., k- cos а,
/»4 = cos	а	- п-[' -j- (1 f) I -|	g,
Pt, COS	а	4" d., (1	—	к3) п- cos	а,
Рл = d-, k3 cos	а	-j- d.t (1	-	к3) /I2 COS	а Н- //• [5	(1	-	$)к3]	g,
р- d,._ к3 cos	а	-J- d4 (1	—	к3) n* cos	a	d„ (1	— к2) n* cos	а,
Итак, мы будем считать, что нами получено общее решение z диференциалыюго уравне
ния (11.4), удовлетворяющее начальным условиям.
Теперь определим жидкостную силу из формулы (3.18) первой части настоящей статьи.
Силу Q центрального нагружения стойки примем состоящей из жидкостной силы
Q>«, воздушной Q, и силы постоянного трения Q4, т. е.
Q — £?ж 4-	4- Qt-
Тогда из формулы (3.18) первой части следует, что
Q»=(l—k3) k (z — s cos a) cos a —	p. (6	0])
m(l—k«)s —(1 k«)/Hg(l ?)(cosa-^i)-/''(5);
(H.9)
58
входящие сюда переменные функции 0, 6] и F мы можем йыразить в виде рядов, рас;
положенных по степеням смещения поршня $;
ОС
(11.10)
Для практических расчетов от каждого из этих рядов достаточно взять два-три члена.
Коэфициенты <\(v = 0, 1, 2, ...) определяются параметрами политропы сжатого в стойке
воздуха, причем в значение входит еще постоянное трение.
Значение связано с коэфициентом = (Qe )0Q4 следующим соотношением:
G = (1 ~
cosx —	|l(60 - 01О) -(1 --X*)/ng(l — ?) (cosа —’i610).
Если подставить в уравнение (11.9) значения s, s, z, F(s), fl(s), 6](s), взятые соответственно
из формул (И.2), (11.3), (11.6) и (11.10), то получим:
Qw
(11.11)
Коэфициенты Лл,(v = l,2, 3, . . . ) оказывается проще получить путем непосред-
ственного диференцирования выражения (11.9) по времени.
В самом деле. Первая производная
--9л	(1 — ' *) k(z — s cos а) [ •] -|- (1 — k2) k (z — s cos а) s — in (1 — ).9) s<3> +
U t	If о
-Hl-
 dF(s) •
’ ds " ds '
откуда
cos а - «А, — ™ u (60 — (i10) m (i — >*) </,,
).-) kz«
(11.12)
д/ _ (	\ — (I
так как s при t = 0 есть нуль.
Таким же образом мы можем найти и другие коэфициенты. Например, значения
М, Л'3 и Л’4 соответственно будут:
Л', = (I _kz0
cos х — [Ло — [л (% — б10) - т (1	л2) г/,
(11.13)
Д/3 = (1 — л2) k (z<3> — d., cos a) cos x — tjuG0 -
in
M:
- ° I о) — m (I - A2)	— Cidi -
a; (i
- (1 -i.*)kz„d#
°n) +0 — '2)	(1 ->;) f/Ai.
(И.14)
}.2)Л(2^’- d:i cos a) cos a
Г	W	t X
Iх Jo	yjj !h (Jo
— 4(1 —	0o p
3»
4^ Oh — ®и) j	(I ' 3) j yvj 0Ji Gn) ni(\ t *) rf- cAd34-
+ (1 x2)mgy(i	(11.15)
59
Известно, чго площадь проходных отверстии з можно представить в зависимости of
жидкостной силы QiK в следующем виде:
где С постоянный коэфициент.
В начале хода поршня
00
£
V ~ 2
-j.-;»
00
У N.
/ , v
(11.16)
Из этой формулы легко усмотреть, в каких случаях з будет изменяться с тече-
нием времени от нуля, от конечной величины или от бесконечно большой площади с
дальнейшим уменьшением.
Все это будет зависеть от того, какими будут выбраны коэфициенты t/,(v = 3, 4, . ..)
при заданном законе изменения хода поршня амортизатора.
Коэфициент d2 является вполне определенной величиной, значение которого, полу-
ченное путем диференцирования формулы (3,19) первой части, будет:
= —0
т
cos я - (ЛО,, — ^и(0о — 61П) .
(11.17)
Остальными коэфициентами мы можем варьировать для подбора более удачного закона
изменения площади проходных отверстий для амортизационной стойки.
Из формулы (11.16) следует: для того, чтобы площадь проходных отверстий з изме-
нялась от конечной величины в начале хода поршня, коэфициенты Л7П №, и N3 должны
обращаться в нули.
Приравнивая нулю N.,, N:h определяемые соответственно
(11.13), (11.14), получим однозначно коэфициенты t/4, d3 и d.,, причем последнее совпадает
с его значением, данным формулой (11.17).
Следовательно, в этом случае для хода поршня s будут уже
три первых коэфициента.
Значения d.t и <74 будут:
.1	kZ с
т
== cos я - |лОв —	(0о -
формулами (11.12),
вполне
определены
(11.18)
s
k
, к ...	т
— («о — cos я) cos я — иОп — — Ц (0о — 6|0) 4-
т
J.
[~0
т
—fi-
rn (1 -X2)
(11.19)
В этом случае площадь проходных отверстий
1 -  1
2
6
|	24	120
(11.20)
Из формулы (11.20) видно, что от величины d:>, входящей в коэфициент
сеть начальное значение площади проходных отверстий, т. е.
а
5°=16СГЖ’
будет зава-
(11.21)
Варьируя коэфициентом с/., мы можем получить изменение зм от желаемой конечной ве-
личины.

2
60
Заметим, что для определения начальной площади надо знать еще второй коэфи-
циенг определяемый начальным наклоном касательной кривой Q„, изображающей
воздушную силу, т. е. величиной -Lq* при 5 = 0.
При Л',	N.. — Na — N4 — 0 площадь проходных отверстий изменяется от бесконечно
большой величины при t — О и с течением времени убывает. При этом значения коэфи-
циентов и </4 остаются теми же, что и в предыдущем случае, а коэфициент
k
di = т ('г<и” ” cos
cos а — |Л0—	и(60	01о)
, к  .
— 4 Ц— zod.,
'in 0
го^з	(®i f)n)
+ УМз
(11.22)
В случае ^ = ^ = 0, /^>0, площадь проходных отверстий начинается от нуля
при t—О и с течением времени возрастает, по крайней мере в начале хода поршня.
Значения Zo, z<3) и в формулах (11.12), (11.13), (11.14) и (11.15) и последующих
определяются, согласно § 1 первой части настоящей работы, следующими формулами:
г- = -г-'1’ + ;8 + (|-5Ь.'лгЬг
-=-г0/г24-р3,
Если потребовать, чтобы значение в начале хода поршня было конечной величиной,
ds
то тогда должно быть нулем. Это следует из того, что
di di .
dt ~~ ds s>
а скорость s в начале хода поршня равна нулю.
Из условия (11.23) и формулы (11.20) при / = 0 мы можем определить еще один
коэфициент, а именно в зависимости от /V4, или коэфициент dr> в зависимости от </5.
При Nt /-0 будем иметь:
di _ 10rfa^-3^M
dt
(11.23)
10 /6 N'^
где г(/) обращается в нуль вместе с t\ откуда
V — — N
3 rf, г
§ 12. Подбор функций, у которых первые коэфициенты разложения в ряд
имеют наперед заданные значения
Представим скорость хода поршня как произведение двух функций, т. е. s = '?•{/, и
предположим, что функция 6 в начале движения поршня имеет постоянное значение,
которое примем равным некоторому числу а„.
Чтобы иметь возможность управлять коэфициентами у третьей, четвертой и пятой
степени разложения скорости хода поршня по времени, остановимся на вспомогательных
функциях:
?ю —	+ 24"'т'з»	?i2 = ?в + ~2~	>
где
- 1 - ( 1 +* + ? у ) е-', (л- = а/),
?S= 1 — (1 4-Х>е г,
?4=(1-е-х)2.
61
R принятой за основу для них функции <?6 будем пока считать коэфициенты х и р
произвольными положительными числами.
Допустим, что нам задана скорость поршня в виде ряда
(12.1)
причем коэфициенты d, будем считать известными; это обеспечивает наперед заданную
величину начальной площади о0 проходных отверстий.
Возьмем функцию
(12.2)
содержащую четыре, пока произвольных, параметра, и положим, что приближенное зна-
чение скорости поршня
s, = ? ф = аи®.	(1г>3)
Раскладывая (12.3) в ряд по степеням t, найдем:
5, = «о (1 - 3) ’	- (2 -3,3) ~ + (3-6 3 -j- 24 7 + 6 8) । - -
_(4-_10? + 2407 + 40д)^-Ь • • •
(12.4)
Сравнивая в формулах (12.1) и (12.4) первые коэфициенты при одинаковых степенях t
(включительно до <*), получим уравнения:
rf2 = (l-Р)»Ч.	d4==(3 —6? + 24Т-|-65)аЧ.	(125)
d3 = (3 р — 2) а’а0,	= - (4 -10 р Д- 240 7 4- 40 8) а»ав.
Будем сначала рассматривать а0 в уравнениях (12.5) величиной заданной.
Из первых двух уравнений (12.5) находим:
а =	1-Р = т-4-(3?-2Г-.	(12.6)
у а^з
Последнее уравнение позволяет очень быстро найти коэфициент р последователь-
ными приближениями.
2
Действительно, обозначив р=-х-----е, приходим к уравнению:
О
..__W_L+,Y
9^’	3 ~ )
легко разрешаемому относительно г; отыскав е и затем р, находим а, после чего без
труда определяем 7 и 8 из третьего и четвертого уравнений формулы (12.5).
Остальные коэфициенты в разложении (12.4) получаются уже определенными.
Если а0 не задано, то четырех коэфициентов J,, d:i, d4 и d-o недостаточно для опре-
деления пяти неизвестных величин: а0, а, р, 7 и 8. В этом случае нужно еще ввести не-
которое дополнительное соотношение между коэфициентами. Например, можно ввести
в рассмотрение коэфициент d,. и приравнять его коэфициенту при формулы (12.4);
тогда все неизвестные коэфициенты будут определены, но система уравнений получается
довольно сложной. Решим более простой пример, когда коэфициент </с = 0. В этом слу-
чае дополнительное условие можно будет наложить на искомые коэфициенты, например,
положить 8 = 0, или 7 = 0, или 7 = 8 и т. п.
Предположим, что 8 = 0; тогда, подставляя значение а из уравнения (12.6) в послед-
ние два уравнения формулы (12.5), получим из них третье уравнение:
2~3р 9з	4—10Р4-2407 d3d.	(
1-р	З-бр + 247 d2d4 ‘	k '
62
Наконец, четвертое уравнение:
(г0 а3 =
подставляя в него п0 из третьего
уравнения формулы (12.5), получим:
247
d2rf4 (2 -3fr3
1-?
(12.8)
Другой путь решения этой сложной системы будет следующий.
Задаваясь величиной & находим:
<L 1 - 3
а = —— - ——
d, 33-2 ’
_d-2 (2-зз)-
а°~ <ц (1-3)’ *
ds dt (2 — ЗЗ)3 . J_„ J
“	24г/-; " Г-3	4 ‘ " 8"'
Для различных значений 3 построим кривую, ординаты которой выражают правую часть
уравнения:
rf3<-.__ 2 - 33	4 - 1034-2407
d2dt ~ 1 -3	3 - 63 h24Т	V ’
по параметру 3- Абсцисса точки пересечения этой кривой с горизонталью, выражающейся
dj d-
d2 d±
уравнением у =
дает нам искомое значение после чего без труда находим а, а0 и
Таким образом, наряду с заданной скоростью хода поршня в виде ряда (12.1) мы
можем построить также приближенное значение скорости sb выражаемой формулой (12.3),
т. е.	причем у s и первые коэфициенты разложения в ряд будут одинаковыми
до F включительно, при рассмотрении же коэфициента dfl~до t? включительно.
Для малых промежутков времени скорости s и Sj мало отличаются друг от друга,
поэтому для этих промежутков времени можно брать значение скорости хода поршня
не в виде ряда (12.1), а в виде
(12.10)
Для больших промежутков времени хода поршня приближенное значение скорости под-
бирается другой комбинацией из функций; здесь мы не будем на ней останавливаться.
Выбор вышеуказанных функций, а не каких-нибудь других, оправдывается кинема-
тическими условиями в отношении скорости хода поршня амортизатора.
§ 13.	Обзор проделанных примеров расчета амортизации
Здесь говорится о пути, который привел нас к решению задачи о проектировании
амортизации безударного действия.
Поверочные расчеты, выполненные по уравнениям, изложенным в части I, убедили
нас в том, что силы давления шасси на самолет имеют колебательный характер, т. е.
сначала они быстро нарастают, затем убывают и снова быстро нарастают, после чего
кривая, изображающая силу Р, становится более плавной.
Попытки добиться плавного нарастания силы Р на всем протяжении осадки само-
лета мы начали с изменения силы Р, полученной в результате поверочного расчета сброса
на копре, и соответствующего изменения площади проходных отверстий, основываясь
на методе поверочного расчета, т. е. выполняя вычисления шаг за шагом и не зная, куда
они приведут в дальнейшем. Но такие попытки к желаемому результату не приводили.
Тогда мы перешли на расчет методом проектирования, т. е. задавали закон изме-
нения силы Р по времени и отыскивали отвечающее ему движение поршня (см. § 3),
63
„Кривая Агладзе" и близкие к ней тоже привели к преждевременной остановке поршня
амортизационной стойки.
После этого мы перешли к расчету по второму способу (см. § 4), т. е. задавали
движение поршня и вычисляли отвечающую этому движению силу Р. Развитие этого
способа решения выразилось в выполнении шестнадцати постепенно улучшающихся рас-
четов, описанию которых и посвящен настоящий параграф.
Для выполнения примерных расчетов мы остановились на шасси, изображенном
на фиг. 3, так как для него имеются:
а)	полный заводский расчет;
б)	испытания сбросами на копре;
в)	теоретический расчет одного из сбросов, показавший достаточно хорошее совпа-
дение с экспериментом;
г)	ряд теоретических расчетов, преследовавших одну общую цель—так переделать
Таблица 6
	Обжатие	Сила ! Обжатие! Сила			Обжатие	Сила ;!
	_V [.им]	/’[.«сг]	У'Рил/) j	Р [кг]	V [ЛКJf]	Рр«]г
	0	0	100	I 4750	200	; i 10700 1
	10	350	по	! 5300	210	?	11300
	20	750	120	5850	220	i 1 KM>0
	30	1200	130	6150	230	12900
	40	1600	140	7100	240	131001
	50	2050	150	7700	250	(13750)
	60	2550	160	8300	1	1
	7U	3050	;	170	8900	1	I
	80	3600	180	9500		
	90 1	4100	190	10100		II
конструкцию жидкостной части амортизации,
чтобы действующие на самолет силы поте-
ряли ударный характер.
Вес самолета, приходящийся на одну
половину шасси, принимаем в 4754 кг, тогда
масса 714 — 484,61 кг сек21м*. Вес подвижных
частей шасси (колесо, ось колеса, вилка, пор-
шень) /Л£=150,9 кг, масса т—15,39 кгсек-’М*.
Суммарная масса Af-|-m=500 кгсек^м*.
Колеса ставятся размером 1100x400 мм.
Данные обжатия колеса приведены в табл. 6
и на фиг. 17.
Далее принимаем Р1 = 50000 у, т. е.
k = 50000 кг)м.
Поделив Рг на Al-j-/n, затем на т, по-
лучаем квадраты частот: н|=100, п| = 3249,
а самые частоты выражаются числами:
= 10, п2=57.
64
Вертикальную составляющую силы Р давления шасси на самолет в точке А, н ко-
торой начинается строгивание поршня, принимаем равной
Рл = 3650 кг,
что определяет и вертикальную проекцию ускорения центра тяжести самолета в этот
момент:
= (^о —	: М 5,09 сек9-
(мы принимаем '	0/25, т. е. 0,25 веса самолета не компенсируется подъемной силой
крыльев).
Вертикальную скорость центра тяжести самолета принимаем
zt} = 3,716 мсек.
Наконец, осадка самолета от первого прикосновения колеса к земле до точки А
(т. е. до начала строгивания поршня) принимается (при линейном законе обжатия колеса)
=- 0,07786 л(.
Максимальную силу давления шасси на самолет в момент остановки поршня назначаем:
Р* = 12220 кг для кривой XI, и
Р*-- 12820 кг для кривой XV
(в заводским расчете принята сила Р* = 12600 кг).
Полное время движения поршня принимаем, в согласии с заводским расчетом,
^-* = 0,2 сек.
Полное смещение стойки, ось которой наклонена к вертикали под углом а=14°55/
(003 00 = 0,9663), также в согласии с заводским расчетом, назначаем х* 0,290 м.
О разделении полной силы сопротивления стойки на части, зависящие от трения,
от сжатия воздуха и от динамического (жидкостного) сопротивления, нам не нужно
заботиться до тех пор, пока мы еще не дошли до расчета площади проходных отверстий.
Переходим к более детальному описанию тех расчетов, с помощью которых был со-
вершен переход от диференциальных уравнений проектирования амортизации к доста-
точно разработанному методу, позволяющему фактически спроектировать амортизацию,
удовлетворяющую наперед поставленному заданию во всем, кроме формы кривой, изобра-
жающей силу Р давления шасси на самолет.
В этой длительной, трудоемкой и кропотливой расчетной работе главную роль
играла Ю. Г. Клаус, без сотрудничества которой метод проектирования не был бы до-
веден до конца.
1)	Расчет по первому способу задана кривая Агладзе для сил (см. кривую / па
фиг. 18 и 20), а по уравнениям движения отыскиваются скорость, смещение и ускорение
поршня (см. фиг. 19, кривая /, и фиг. 21), Получилось, что поршень останавливается че-
рез 0,08 сек, тогда как он должен останавливаться через 0,2 сек,
2)	Кривая Агладзе для сил Р изменена так, что вначале дан ход по воздуху (см. кри-
вую //, фиг. 18 и 20), Оказалось, что скорость поршня еще быстрее нарастает и быстрее
гасится (см, кривую II на фиг. 19 и 21).
3)	Кривая Агладзе для сил Р изменена в другую сторону в начале хода поршня
поднимается более круто. Результат получился тоже неудовлетворительный (см, кри-
вые III на фиг. 19, 20, 21).
4а) Кривая 1! полученной скорости х (II на фиг, 19 и 21) поршня подрисована от
руки так, чтобы остановка произошла через 0,2 сек. Решение выполнено по второму
способу. Изменение силы Р по времени получается с преждевременным максимумом и
последующим провалом, после чего снова монотонно возрастает (см* кривые IVa на фиг. 20).
46) Внесено небольшое видоизменение в подрисовку кривой II для х. Решение по
второму способу дало для силы Р площадку (без провала) с последующим монотонным
возрастанием (см. кривые IVb).
5) Кривая х нарисована от руки заново (см. фиг. 19). Решение (по второму способу)
дало гораздо более удовлетворительный ход изменения силы Р (без провалов и площа-
док). Но принимать эту кривую за типичную еще нельзя, так как недостаточно удовле-
творительными оказались кривые Р и □ (фиг. 20 и 22). Поэтому потребовалось дальней-
шее усовершенствование типов кривых. В частности, входящая в диференциальное урав-
нение функция ms требует диференцирования функции х, что для графически заданной
кривой затруднительно. Поэтому потребовался переход к заданию кривых для х в ана-
литическом виде но крайней мерс для начала движения, при	где член ms
является преобладающим в сумме (ks -] ms).
9
65
Фиг 19
tb
Фиг, 22
После этого началась разработка функций, выражающих s в аналитическом виде
и содержащих свободные параметры, подбор которых позволял бы удовлетворить сле-
дующим условиям:
1)	наперед заданной условиями посадки производной $(3) в начале хода поршня;
2)	надлежащим образом подобранной плавности изменения этой производной при
малых t, для управления законом изменения площади проходных отверстий вблизи начала
движения;
3)	заданной величины ss полного смещения поршня;
4)	заданному времени f* движения поршня;
5)	величины силы Р* в конце хода поршня;
/ ds \	Л/3Р\
6)	условиям в конце хода поршня (	— О и (
7)	наконец, качественному условию плавности изменения силы Р около середины
хода поршня.
Поставленную задачу удалось решить лишь путем последовательных попыток, до-
затем
силу
ds
~dt '
биваясь сначала удовлетворения лишь небольшого числа главнейших условий, и
постепенно накладывая новые условия, улучшающие вид кривых, изображающих
Р (по времени) и площадь проходных отверстий з (по пути). Заданные кривые Ь(£),
а также полученные в результате расчета кривые Р и о даны на фиг. 23, 24 и 25.
Кривая VI — первая и наиболее простая из аналитических кривых (фиг. 23). Ее
пение:
урав-

Из всех математически выраженных условий в ней были удовлетворены только усло-
вия (3) и (4); качественное условие (7) также было удовлетворено только частично.
4
s. ?
fMfcex]
I
I
0
U.S
10.0
7,5
5.0
U
D
।—
vi
xixii
Фиг, 23
0	0;05	0,10	0,15	0,20 0,2)6
Координаты кривых по времени
сметены но 0.05 сея
_________0________0,05	0,10	0,15	0,20________|_________[_
О 0.05	0.Ю	015	0.20
Ж
0.05	030
давление на фюзеляж
давление на землю

68
Фиг, 24
В	этом смысле гораздо лучший результат дает кривая VII:
a2 Р
5 = ТТр^72<ао+ «1 О-
Но и в ней другие условия, кроме (3), (4) и (7), ие были удовлетворены.
Кривая VIII:
s = th2 (a I) (ап -|- t -f- /2 + п-л
была подобрана более тщательно. В ней при задании были выполнены условия (1, 3, 4,
5 и 6) и качественное условие (7). После того, как уравнения были решены, оказалось
что условие (5) удовлетворено лишь приблизительно, а условие (6) не удовлетворено:
dP
dt
Это можно объяснить недостаточным коэфициентом полноты диаграммы, вследствие
чего вертикальная скорость z самолета оказалась непогашенной к моменту остановки
поршня (это обстоятельство, на которое мы сначала не обращали внимания, имело место
во всех кривых от VI до X включительно).
Кривая IX:
s=	1 («о + «t
отличается от VIII главным образом переходом к другому типу кривой «(а^), что значи-
тельно увеличило плавность хода кривых $ и Р.
70
В кривой Л* сохранен тин кривой
соблюдения требований, обращающих в
а кривая О подобрана более тщательно в смысле
fdP\ fd2P\
нули производные: □ , ) ,	1 в конце
\ at j \ аР 1
с первоначальной заданной величиной: 12220л.-?,
хода поршня. Сила Р в точности совпала
[ dP\
но производная । j снова оказалась
тикальной скорости самолета.
Когда мы убедились, что трудно удовлетворить горизонтальности кривой Р в конце хода
г	ds
поршня подбором аналитических кривых для , мы стали подрисовывать ее конец от
руки, чтобы быстрее добиться желаемых результатов. Для этого пришлось подрисовывать
кривую ускорений я, прототипом которой была взята аналитическая кривая я^. Так
были построены кривые Л/, XII, XIII и Л71/ для я. Из них в последней инж. 10. А. Клаус
удалось добиться горизонтального участка кривой Р в конце хода поршня. Ход рассуж-
дений IO. Г. Клаус заключался
положительной, из-за неполного погашения вер-
в стремлении повлиять на функцию
И (О
cos а
М - - т	М - - гп
чтобы величина z — и (t) — яАг,
движения по возможности постоянной. Стремление сохранить время движения Л
поршня я:
пий я, что в свою очередь отражается на я, я, на u(t) и на г, от которых зависит z.
Конструктору надо дать вполне определенное средство для достижения задаш
ной цели. Поэтому мы задали еще раз аналитическую кривую ЛЧЛ, в которой для достиже-
ния плавности изменения площади проходных отверстий ввели в функцию коэфициент 3
(задаваясь им по ориентировочным соображениям) равным
Чтобы полностью или даже с небольшим избытком погасить вертикальную скорость
самолета к концу движения, максимальная сила/<J: также была назначена выше прежнего
значения —12 820 кг вместо 12 220 кг—это отразилось на повышении наклона
в конце хода. Результат интегрирования все же
сила Р* оказалась равной всего 12 150 кг,
f dp\	<
производная (	\ оказалась больше нуля
да смой величины 50000*0,073 кг f сек.
Таким образом, назначение параметров
поршня, выполняемое в ожидании, что результат интегрирования выполненного с начала
к концу, приведет в конце хода к тем самым величинам, которые были предположены
до интеграции, должно рассматриваться лишь как ориентировочное, требующее даль-
нейшей подправки в том смысле, чтобы добиться предполагаемого совпадения назначен-
ных и полученных величин в конце хода поршня.
На кривой XVI сделана другая попытка: не увеличивая силы Р.<. , увеличить время
движения Л}. от 0,20 до 0,21 сек. Результат интегрирования оказался вполне благоприят-
ным в том смысле, что сила Р получила максимальное значение при t = 0,12 сек и после
этого начала убывать. Количество же движения оказалось полностью поглощенным ранее
остановки поршня — именно, при f -0,205 сек. Таким образом, имеется полная возмож-
ность управлять ходом кривой, представляющей силу Р, и добиваться для нее горизон-
тальной касательной в конце хода поршня.
На основании проделанного расчетного исследования можно
для проектирования амортизации.
Назначая время движения £* и силу P.i: в конце хода поршня
соображений о ходе кривой Р по времени, назначаем кривую я в
ближения. Выполняя интегрирование и получая кривую Р, не удовлетворяющую кон-
структора по своему виду и вследствие неполного (или избыточного) поглощения коли-
чества движения, назначаем кривую я второго приближения, изменяя в ней либо время
ds
движения поршня, либо наклон ~тг , и снова выполняем интегрирование уравнении, до-
w с-
водя его до построения кривых Р и z по времени.
от которой зависит изменение силы Р, стала бы в конце
и путь
заставляет заблаговременно, т. е. на половине пути, изменять кривую ускоре-
повы шени и
не оправдал ожиданий:
скорость г* недопогашена па
и, сверх того, примерно вдвое
кривой я с конца к началу
кривой s
максимальная
0,073 м сек,
больше ожи-
в конце хода
на метить такой путь
и з п р е д в а р и те л ьн ы х
качестве первого пря-
71
Имея два расчета, выполненные с
отношения:
4
As*
надлежащей степенью точности, можно найти
Az*
ИЛИ
м,
*
подвергался изменению) и на основании этих
Нс »
(в зависимости от того, какой параметр
отношений, которые в пределе можно было бы рассматривать как производные от ре-
зультатов интегрирования по изменяемому параметру, найти такую величину прираще-
ния As* или А/*, при которой вертикальная скорость z центра тяжести самолета обра-
тится в нуль одновременно с остановкой поршня амортизационной стойки в его движе-
нии относительно самолета.
В предположении, что коэфициент полноты диаграммы Р по t не изменится, соот-
ветствующие уравнения даны в конце § 9.
Во всех приведенных расчетах площади а проходных отверстий начинаются от
нуля в момент строгивания поршня с места и затем быстро принимают почти постоян-
ное значение. Но нулевая площадь проходных отверстий может оказаться неприемлемой
в эксплоатационном смысле, так как перетекающая из верхней камеры в нижнюю жид-
кость не может возвратиться обратно для воспринятая повторного удара *.
Поэтому в начале хода поршня нужно иметь конечную площадь а. Было уже ясно,
что величина этой площади и закон дальнейшего ее изменения зависят от надлежащего
ds
подбора коэфициентов разложения в ряд функции . Эту работу—подбор коэфициен-
тов и связь их с функциями и ф(/), составляющие содержание §§ Ии 12,—по моей
просьбе выполнил кандидат технических наук И. А. Паничкин.
§ 14.	Пример проектирования амортизации нового шасси -
Исходные данные
Полетный вес			 0=12800	кг.
Посадочная скорость		•	Ип	-- 40 м 'сек.
Стояночное усилие па колесо 				Рст	= 5400 кг.
Угол наклона оси амортизационной стойки	к вертикали на стоянке а — 16°,
Эксплоатационная перегрузка 		
Площадь поршня			 127,3	с
Вес подвижных частей шасси			=	182 кг,
Расчетный ход амортизатора		.......	...	= 360 мм
По требованиям норм прочности работа, воспринимаемая амортизацией шасси, должна
быть равна А’ = 10600 кг м.
Эксплоатационное усилие на одно колесо
Р’ = пн Рсг = 2,5 • 5400 = 13 500 кг.
Усилие но оси амортизатора на стоянке
рст а = Р„ COS а = 5400 • 0,96 = 5 180 кг.
Эксплоатационное усилие по оси амортизатора
рэ = Рст. а пе = 5180 • 2,5 = 12 950 кг.
Конструктивно размер пневматика принят равным 1200X450.
Начальное давление в пневматике р ~ Ро. п — 3 кг/см7.
Характеристика для пневматика выбранного размера снимается с диаграммы, приве-
денной в каталоге „Самолетные колеса", изд. НКАП, 1940 г., откуда имеем:
обжатие пневматика на стоянке 8ст=100 мм\
эксплоатационное обжатие пневматика S’= 210 мм.
Работа, поглощаемая пневматикой, .4’ — 1420 кг м.
В данном методе расчета амортизации для удобства интегрирования диференциальных
уравнений посадки закон изменения усилия пневматика в функции осадки принят прямо-
1	Это ценное замечание сделал инж. Д. В. Навроцкий.
2	Составила инж. IO. Г. Клаус.
72
линейным. Тогда жесткость пневматика будет определяться коэфициентом k = 64 500 к?/ и.
Работа, которую должен воспринять амортизатор одной ноги шасси, будет равна:
А» = 0,5Л’ — Л» — 5 300 - 1420 = 3 880 кг м.
Переходя к расчету амортизатора, необходимо определить усилие, при котором начнет
обжиматься стойка. Обжатие стопки начнется в тот момент, когда внешняя сила, дей-
ствующая на поршень, превзойдет силу сопротивления, состоящую из:
1) силы сопротивления воздуха, определяемой относительной величиной начального
давления ($), равной отношению силы давления воздуха на поршень при полностью
выпущенной стойке (Ро. в) к усилию по оси стойки на стоянке (Рст.»);
2) силы трения в опорах поршня и уплотняющих манжетах.
Исходя из конструктивных особенностей данного шасси, имеющего большие размеры
амортизационной стойки и пневматика, можно значительно снизить величину начального
давления, тем самым сделав амортизацию более мягкой, что без ущерба для количества
поглощаемой амортизационной стойкой работы, значительно улучшит свойства амортиза-
ции, сделает работу амортизации более плавной и при соответствующем подборе
площадей проходных отверстий даст возможность увеличить время нарастания усилия.
Основываясь на этих соображениях, относительная величина начального давления при-
нимается s = 0,5.
Силу трения в амортизаторе в момент строгивания принимаем как сумму следующих
сил:
Q,— постоянная сила трения, зависящая от затяжки манжет:
где F — площадь поршня,
Pi — давление, при котором по техническим условиям стойка должна стронуться при
сборке манжет.
Обычно давление это равно 2—3 кг см3.
Q4 = 127,3-2 = 255 кг.
Qe — сила трения в опорах штока:
Q,. = u	। a2cos’a-f-(2/—А —s)2sin2a= рР0. »^(s),
и { S
где и — коэфициент трения,
Ро., — усилие строгивания амортизационной стойки,
6($) функция, зависящая от геометрических размеров шасси,
Q. — сила трения в манжетах,
Qs== Р>
где a# = p-dh |(«	—2)+[« — (я—1)]},
п — число манжет,
ц. — коэфициент трения скольжения материала манжет по стали,
d — диаметр штока,
Л—высота манжеты,
р — давление воздуха.
Усилие строгивания амортизационной стойки с учетом сил трения будет:
Ро. а = Ро. и F 4-	+ Qr. "Ь Qd>
где p„ » начальное давление воздуха в амортизационной стойке:
еРстСОва 0,5-5180	...	.	,
Ро. н = —F— = -727-3 = 20>34 кг^см3-,
принимаем ро. к = 20 кг см3.
В выражение для Ро. а подставляем значения сил трения и получаем
р До. н(^4~ g*)4~ Qi
1-----0(s)
COS a ’
10
73
Или в числах:
Р. аД20(127,3+13?6)±25б _357()кг
1 -	1,334
Давление самолета на подвижные части шасси в момент строгивания амортизацион-
ной стойки:
Р —	= 3720 кг.
cos а 0,96
о. а
Ускорение центра тяжести самолета при предусмотренной нормами посадке в момент
строгивания амортизационной стойки:
; _ P-;Q,5(O-gl) _ 3720-0,25-6218
Zu —	м	—	6;)4	,-ti J .н сел .
Давление на землю в момент строгивания:
Р, = р -J--	m 'zn — 3720 4- 182 4- 63 = 3965 кг.
Величина опускания центра тяжести самолета в момент строгивания:
Р)	3 965
г°~ k	64 500 “ ,0, 4э ”
Скорость центра тяжести самолета в момент строгивания:
2
.1/ т	’ 2(.ll j ///)
где
Zpacq = SpacM cos J -j-J, = 360 • 0,06 4~ 210	556 MM,

0.25 • 9,S) ((1,556-0.06145)
652,5a
^^—0,06145-3,668 м сек.
2-6э2,55
Определение времени обжатия амортизационной стойки
1) Определение времени обжатия „по трапеции" ОНСс, фиг. 26. На участке от О до В
обжимается пневматик при нестронувшейся амортизационной стойке. Время обжатия на
этом участке определяется по уравнениям, приведенным в§ 1,
части I.
Общий интеграл уравнения движения по времени на этом
участке будет (движение синусоидальное):
у — Л sin (at
Для решения этого уравнения определяем значения входящих
в него величин:
64 500
!	652,55
— | 98,8 9,94.
Скорость подхода самолета к земле:
9	/ Д а	\
,<0= 2 (/И+т ” 5gZpac4 ;•
иа=г2Л-^-
2 652,55
0,25-9,81-0,556^ == 13,830,
74
откуда
3,7'2 м сек,
л JT® ¥’• /»<>¥ ./7°-5-Ь40’°¥ WsT
л=|/	1 -WST " 90
№	0,25 6 400 9.94
nT--- с 4 Елл”6"а ~ UfUbbZ,
64 500’3,/2
У-% — 210 мм.
Подставляя в уравнение, получаем выражение, из которого можно определить время
обжатия пневматика на участке ОЬ:
0,210 — 0,375 sin (9,94 /2 — 0,0662)	0,0248,
из него находим:
• mow о пг^и °-10 0,0248 '
sin (9,94/?	0,0662)	----- О7Г »
U,о/О
отку да
,	0,4915-1-0,0662
/„	— 	----— 0,0оЬ 1 сек.
9,94
Время обжатия пневматика на участке Оа — 0,06145 .и будет:
0,06145 — 0,375 sin (9,94 Г, - 0,0662) 4-0,0248,
.	0,0977-40,0662	,.П|.,Г
tf =	----=0,0165 сек.
На участке ВС центр тяжести самолета движется впил равнозамедленно, п время обжатия
на участке 1>с определяется из уравнения
//*	\	z 13 500	\ Р
°Л»6- И4 .0.25.9.SI ) Л.
откуда
t3 0,1991 сек.
Таким образом, время обжатия всей амортизации (пневматик плюс амортизационная стойка)
будет равно:
f -	 tx	0,05614-0,1991	0,2552 сек.
Время обжатия амортизационной стойки с момента строгивания будет равно:
t} — 0,2552 - 0,0165 — 0,2387 сек.
Несколько большее время обжатия получается, если характер изменения силы Р задавать
по закону параболы 3-й или 4-й степени, убывающей от точки С к точке А.
2) Сила Р изменяется по закону параболы степени п— 4;
441/строгие
G '
634-3,85	ПП1 Л
--------Vnc/h—i--------=0,24 сек.
13500-1-	1-1600
4 1 5
3) Сила Р изменяется по закону параболы степени и 3
ta.
Принимаем время обжатия
634-3,85	___
•i oGO ' 3	-0,25 сек.
13 500-1-	-1600
амортизационной стойки равным:
/*- 0,23 сек.
Далее задаемся скоростью
поршня:
s=/(t)
центра тяжести самолета z, скорость z, осадку z и силу
и затем ищем ускорение
(см. часть II, § 4).
Кривая скорости поршня s —	задается как произведение двух функций 's(f) и ф(/)
и должна удовлетворять ряду условий в начале и конце движения поршня.
Для данного шасси функции «(/) и ф(0 залаем в виде:
?(0
\
1 _ . р-
2	'
Ф (О —
t . 1 ( ,	t 1 , , t
Т + —	SHI - - - •?,- sin3* T
h \	О	I*
Назначив начало кривой s=f(t) аналитически (произведение ?(/)ф(/)], изменяем ее
конец таким образом, чтобы окончательная кривая Р имела первую и вторую производ-
ные по времени равными нулю, и тогда окончательно имеем для конца кривой s (t) зна-
чение /# = 0,235 сек и наклон кривой s в конце хода, или ускорение поршня в конце
хода ф#=16 м/сек2.
Зная ф*, определяем постоянный коэфициент а0.
Имеем:
откуда <z0=l,84; принимаем а0 = 1,8.
Постоянный коэфициент а, входящий в выражение '4(0» определяем, имея следую-
щую зависимость:
3{д = 2<10 а8, а =
12 800
2-1,8
= 59,6.
По этим данным составляем табл. 7.
Таблица 7
t	а,005	(1.01	0.01'J	0,02	0,025|	0.03	OfcO35	0,01	0,05	
	0,0$)5	а,эб	0,71	(1.4'1	1,158	1J8	1.П	1,052	1,00	
?(0	0,57	1,074	1,195	0,79	0,25	—-	—•	—	—	
л: = уа0	о,17|	0,648	1,278 I	।	1,78	2,083	2,123	2,00	1 ,895	1,8	
S = 1 и„ у	Ь1,7	П5.4	128,3		26,85					
По данным табл. 7 строим кривую скорости s поршня по времени, подрисовывая
вершину и выполняя условие заданного наклона в конце хода. Затем строим кривую
ускорения поршня s. Начало ее выражено аналитически, а среднюю часть и конец полу-
чаем путем графического диференцирования кривой s. Так как графическое диференци-
рование дает довольно грубые ошибки, то полученную кривую s необходимо сгладить
76
и затем, графически обинтегрировав ее, получить исправленные точки кривой s. Строим
кривую s=f(t) (см. фиг. 27).
Дальнейший расчет сводим в табл. 8,
Таблица 8
1 f [«'*]	Л’ [лг rvtf]	s |.V	[.«]	«(0	z w	z [м/сек2]	P M	1 P COS a (л-г]	z
1	2	3	4		6	7		8	9		10	
1 0,00	0,000	0,0	0,00000	2,622	0,06145	—3,415	3720	3570	3,668
0,005	0,171	61,7	0,00028	4,372					
I 0,01	0,648 j	115,4	0,00228	6,035	0,09795	3,657	3875	3720	3,632
। 0,02	1,780 i	81,8	0,01442 1	6,342	0.13400	6,932	5950	5713	3,579
1 0,03	2,340	10,0	0,03592	7,077	0,16940	9,712	7710	7100	3,496
0.04	2,645	16,0	0,05995	8,787	0,20380	— 11,424	8800 i	8445	3.391
0,05	2,710	2,0	0,08623	10,902	0,23710	—12,615	9550	9170	3,271
0,06	2,680	—6,0	0,11318	13,232	0,26920	-13,470	10090	9(580	3,141
t 0,08	2,460	— 14,8	0,16458	17,872	0,32920	- 14,792	10935	10190	2,858
0,10	2,160	—16,0	0,21078	22.222	. 0,38330	— 15,830	11590	1113J	2,552
0,12	1,840	- 16,0	0,25078	25,992	0.43100	-16,829	12220	11730	2,226
0,14	1,510 1	1	16,0 1	0,28430	29,212	0,47210	- 17,707	12780	12260	1,881
0,16	1,200 ;	1 —16,0	0,31110	31,772	: 0,50610	18,566	13330	128C0	1,518
0,18	0,880 1	 —16,0	0,33220	33,762	0,53270	-19,261	13760	13210	1.140
0,20	0,560	- 16,0	0,31660	35,082	0,55160	-19,854	14140	13580	0,749	।
0,22	0,245	16,0	0,35460	35,862	0,56250	20,22-3	14370	13800	0,349
0.235	0.000	16,0	0,35710	36,082	0,56290 ]	—20,483	14540	13950	-0,041 i
COS a — p/j (5)	P I COS 7 - ;j.9 (5)]l	' ! - 1		/_pu \M \	1	МАГ:	Л i * \ />	/	\ЬЗ ri		J 0,3335 .	. Iе* 1
						yr^roe		
li	12 I	13	14	15	16	17		18	3	 19	
0,8256	3070	6560 :	। 1,001)1	1,0000	2546	|	2818	0	
0,8270	3205	6531	1,005	1,0063	2562	|	2836	114	2.026 j
0,8332	4960	6376	1,028	1.0400	2618	]	2930	1775	1,410
0,8425	6495	6114	1,073	1,1000	2800	I	3100	3140	1,390
0,8528	7505	6798	1,132	1,1800	3000	i	3323	3927	1.378
0,8619	8230	5463	1,201	1,2700	3230	3575	4400	1,361
0,8700	।	8780	5120	1,282	I,3800	3510	3885	4640	'	1.310
0,8829	।	9650	4466	1,470	1,6500	4200	4650	4745:	1.190	
0,8922	|	10340	3880	1,691	1,9800	5040	5580	4505	1,074
0,8990	1	10990	3370	! 1,947	2,3800	1	6055	6700	4035	0,930
0,9046	11560	2910	। 2,232	2,8510	:	7255	8030	3275	j	0,880
0,9081	12100	2597	2,526	3,3340	j	8480	9385	2460	0,807
0,9110	12540	2330	’ 2,817	3,8400	;	9770	10810	1475	0,761
0,9126	12900	2150	I 3.950	4,2650'	10850	12000	6-15	0,736
0,9135	13130	2050	1 3,200	4,5300	11525	12760	115	
0,9137	13290	2011	3,258	4,6109	,	11800	13060		।	0.762
77
В приведенной таблице получаем:
1) 2 и 3 столбцы — снимая точки с кривых s и s,
2) 4 столбец — проинтегрировав графически кривую s(t\
3) 5 столбец — находим некоторую функцию времени и (Г) по формуле
,cos а	'М~\~т
lift) - ~лл "7" («*’ W j/-. Г g,
v 7 М4-т '	7 ' Л4 4-Ш
ранее приведенной, Зная функцию n(t), решаем основное линейное уравнение:
7/?' ~ п'~ ~
методом Коуэлла; получим осадку центра тяжести самолета z для каждой точки с про-
межутком времени Л (Л - 0,01; 0,02 сек), Формула Коуэлла дает возможность определить г
только со второй точки:
Л2 ..
-у —	12 “И 4’п (4)]
Значение z в нулевой точке определяется начальными условиями, а г в первой точке
находим по обобщенному методу Рунге, который имеет примерно тот же порядок
точности, как и метод Коуэлла,
Приводим здесь обобщенную вычисли гельную схему Рунге1 для уравнений второго
порядка.
Ускорение центра тяжести самолета z в каждой точке будет:
Z и ({) ~ fpZ,
z в третьей точке и далее находим по топ же формуле, сдвигая на единицу все
индекс!я (столбцы 6 и 7 табл. 8).
Сил а Р, передающаяся от шасси на самолет,
Р^ - Mz'-zMg.
Обобщенная схема Рунге
Точка	Аргумент t	У	У	1	у" =f(x, V)
t! : Л		|	3’о=Л	У«~Уа	/0 /д
i:	h	t л	, Л , . £, h 2	z У h '	'
D	Ci — 2*	-Уд У 2 41	>л  2	~ 2 к 2 'Л	( И’ 2	УУу1
Е	, Л С * г о	Г	fl Л1 Ч- ~2	^л + -2-Зл--8-/Ь	fz — f\ ^У-ту’	Уе } ч z	/
Н	*о h	I I	, J',4 "Г <>/е	t 1 h-	У 7о У 1 г yA-thy.e.- 2--	3	y'ff УцУ
J	fu -j- Л	Л 3'Д'~ (<(/д	У--Л/)	У а ^гУа^ 2- 94(9/д Vp+5y g -t-f н)| I	Ь 1
Скорость центра тяжести самолета z (столбец 10) получаем графическим интегри-
рованием кривой z.
Жидкостную силу Q?K (столбцы 11—18) определяем по следующей формуле, учиты-
вающей все силы трения:
Q* - Р [cos а - ц& (s)] - Ро. . (-	_Г (1 , .а* J ...Q4j
1 См. В. IL Вегчинкнн- Руководство по приближенным вычислениям. Труды ЦАГИ, вып, 210, 1935 г.,
стр. 95.
78
где ^0—начальный объем воздушной камеры:
[сл?].
^0 —
1 -
PQ. в - сила давления воздуха в начало
хода поршня:
Р„. в — Ри. к F --- 20  127,3 — 2546 кг,
Рк.в — сила давления воздуха в конце хода,
Р. pK'0Sg - ’A (s)] -	. 1 1540 (0,96 —0,1 -0,4621-255	118ад
К- в
1 Д-7*-
; F
1 • 13/
1 127,3
127.3-35,71
-y -- 6560 6М£<
Г.з
4i
Площадь проходных отверстии о (столбец 19) определяем по формуле:
• , / н
>	- X |
где
2g ’
—коэфициент при живой силе струи, зависящий от формы и длины проходных
отверстий; принимаем ;i—- 1,3,
7 — вес единицы объема смеси,
7 — 1,1238-1('-3 л'г/езг'1,
FK—площадь калиброванного кольца,
FK = 53
[,3-1,1238-10 М49-103
2-981	'

В результате расчета амортизатора
шасси получены следующие данные
(фиг. 28).
Начальное давление в амортиза-
торе р0.н—20 кг см2.
Начальный объем воздуха ~
--6560 слг\
Расчетное обжатие амортизатора
хра( ч = 357 зил
Площадь основных проходных
отверстий (график фиг. 28).
Расчетное усилие по осн амир-
тизатора Ра 13950 кг.
Максимальная перегрузка п
- 2,69.
Время обжатия амортизатора t —
0,235 сек.
Работа, поглощаемая а морги за-
тором на прямом ходе 3680 кгм,
Коэфициент полноты диаграммы
работы Tj — 0,74.
При пневматике 1200 <450 с начальным давлением а>. п = 3 кг см- суммарная работа
пневматика и амортизатора на одну ногу шасси будет равна:
А 1620 --Н 3680 = 5300 кг м.
Полная работа шасси Л1([ = 10600 кгм в точности удовлетворяет требованиям норм проч-
ности.
79
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ТИПЫ КРИВЫХ s(t)
§ 1. Вышеперечисленные требования, предъявляемые к назначаемой кривой s, являются
достаточно высокими, и выполнить их, подбирая полином или ряд Фурье, весьма затруд-
нительно, если ограничиться небольшим числом членов. Самый удобный аналитический
вил кривой s, почти удовлетворяющий предъявляемым к безударному шасси требованиям,
получается, если составить произведение некоторой функции ф(/), имеющей конечное
значение а0 и горизонтальную касательную при 2 = 0 и пересекающей ось абсцисс при
t t,l:, на другую функцию <р(0> которая при £ = 0 равна нулю вместе со своей первой
производной, а затем быстро нарастает и достигает значения единицы при t, приближаю-
щемся к t*. Прототипом такой функции может служить показательная функция
?l(£)= 1(1.1)
причем а — довольно большая величина.
Того же типа, но с менее крутым подъемом вверх и с менее крутым изгибом в
области максимальной отрицательной кривизны, является функция
?2(/) = М’(«0;	(1-2)
еще более пологой кривой изображается функция
h(W - г-9')1.	(1.3)
Наконец, дробная функция
|	(1.4)
идет ниже всех перечисленных.
Более сложной по своему происхождению, но более удобной для интегрирования,
чем ср4(О, является весьма близкая к ней по численному значению интегральная функция
t
ъ (f) = 1 - (1 -фа0 е(1.5)
о
Здесь а —довольно большая величина (порядка 30 в разобранном нами примере). Эти
функции, с одним свободным параметром каждая, позволяют назначить кривизну кривой
s при £ = 0, тогда как максимальная абсцисса Z#, при которой s обращается в нуль, а
также наклон и кривизна кривой s при t -»управляются функцией ф. Пройденный
стойкой путь
г*
s*= j sdt
о
зависит и от ф и от показательной функции.
Что же касается угла наклона и кривизны кривой $ в левой ее части, примерно при
г<_тп г*> то он главным образом зависит от показательного множителя.
О
Влиять на ход кривой s в ее левой части, не изменяя ни кривизны s<3> при t = 0, ни
величин s*, а также s* и имея в первом (показательном) множителе лии1ь один
свободный параметр а, можно только путем перехода от одной кривой к другой.
Чтобы вносить непрерывные изменения, например, в кривизну кривой s вблизи ее
вершины, нужно вводить в кривые » еще один или два свободных параметра.
НО
Самое простое аналитическое выражение для функции с двумя параметрами будет
при 0<?<=/.,.
'й(0 = 1 - (1 - аН- ? —2"} 6’-’' ’
Можно взять и другие функции, о которых речь будет ниже.
На фиг. 29 представлены указанные кривые, с таким подбором параметра а,
при х х/ О кривизна всех кривых —- оыла бы одинакова.
Ла	•
(1-Ь)
чтобы
§ 2, Первый тип кривой (фиг. 29)
i!	s = ?(0'?(0 = (1-	+	«Л2+ ...)	(2.1)
Диференцируя, находим:
s = ? (0 ф (i) + ? (0 ф(0 = (1 - е-«’ П ф (0 4- 2*а (0 е-” ",	(2.2)
s-.З) = ? 0 4- 2 i ф 4- з ф = (1 - е~л‘") о (0 + 4я2 е~’а " [ф (0 t — я8t2 ф (0],	(2.3)
S(4)	?ф(.ч . J. з| 3 i о. |..	(1	/>) .1,(3) (04- 6^ е~* t ф (0 I 6а! е -	(1 -2а3 0) ф (0 —
—	4-2а'0/ -~2»4^]ф(0.	(2.4)
Чтобы изучить влияние уравнения кривой на закон изменения площади проходных
отверстий в начале хода поршня; дадим разложение функции <р в ряд по степеням х~ nt.
Имеем:
у-4	уЪ	у <8	у2	у 4	у 6
?1 (л) = 1 - е- ~л-2 -+	+ . • • -= 2- 12±. -1-120-
VS	А-П>	,12
- 1680 4^ 4 30240-7, - 665280	]- ...
[о	11U	11Z
(2.5)
Разлагая по степеням t также и скорость s хода поршня, найдем при малых t-.
~ =- а0 a312 4- <ix а31? — (ao^j-аг —
‘	2^ « I /	х,
— (	~ а I ‘ ( ^0 | 3	| 2
а(; а4
а,ГЗ ~ ая |2
Г - ... (2.6)
11
81
Первому члену этого ряда отвечает параболическое движение поршня, которое
может быть осуществлено только при условиях: сопротивление жидкости полностью
отсутствует (т, е. имеет место так называемый „ход по воздуху*); сопротивление сжатого
воздуха не возрастает; давление земли на колесо нарастает пропорционально времени,
что возможно только в случае, если поршень относительно самолета не смещается, а
самолет не теряет вертикальной скорости. Нарушение каждого из этих условий дает
уменьшение скорости поршня; отсюда с несомненностью следует, что из последующих
членов ряда (2.6) первый, не обращающийся в нуль, должен быть отрицателен.
Второй тип кривой (фиг. 29)
Другой вид функции, могущей удовлетворить требованиям, предъявляемым к кри-
вой .$ , является
s = th3 (at) («„ + a}t Т -г + •••)>	(2.7)
где <?(( — ветчина существенно положительная, a и и? — во большей части отрица-
тельные.
Находим производные:
s == tlf (at) 0 (/)-*— 2 a	'? ,	I
X > , X > . СП3 {а/)  	.	t
«’=t"‘ <’<> ? (0+4 * ® Ж +4 *’»1 “Ж6®  i
Интегралы вычисляются по формулам приведения:
j*th3x dx — х — th х,
‘	X’	Г
x th4xdx—-^ — xthл ; I thxdK— C)- - xthx- -Inchx,
J*x3 th2 xdx = — x3 th x-p 3 [> th x dx -	— x5 thx ^3 x? In ch x — 6 | x In ch x dx .
Ход поршня:
t
S j’ j dt -- J [X - th (x)] 4- J ( у
0
(I /
л th a- -hi ch x ’	4 I 3—	th x
j 1 aJ \ 3
2 A' In ch A’ —
— 2 pn ch a dx	^4— A" th a 4 3 x4 In ch x — 6 | x In ch xdx'j ,	(2.10)
0	'	(1	'
где обозначено at= x.
В последние два члена этой формулы входя г интегралы, в замкнут jh форме не
выражающиеся. Но их легко проинтегрировать с помощью рятов как при малых, так п
/ 1 1 \
при оольших значениях А' под первыми можно понимать х	—=, иод вторыми х_> —.
При малых х будем исходить из известного ряда:
х3 j 2 Xя 17 х- , 62 Xs	1382 а-11
3 1 15 ’ 315 "г 2835	155925
_х-2~-| 16 jy
-272р 4-7936 <
(2.Н)
82
Ряд для нашей функции th’л содержит те же коэфициенты, что и ряд для th л*, только
смещенные на одно место, а именно:
у 2	yt	у1’	V*	уЮ
?г (X) = th2 д’ = 2	- 16	+ 272	- 7936 ф 353792	.	(2.12)
Кроме того, для th дс имеется еще другой ряд, сходящийся вообще при любых зна-
чениях а-, и сходящийся достаточно быстро при	:
l—p-2-V	9р-2л
th Л- ==	=1-2 (е~2х - е~'х -ф е-<* - е~*х -ф...) - 1 - f -Tv,	(2.13)
Это даст нам
	* * - •
|	th л dx == х -f- е~2х— у е~11 -ф е~'х — i е~вх -ф. . . -ф С.	(2.14)
О	4
Если нижним пределом интегрирования является нуль, то
С=-(|-4+|-т + - •)=-"’2>
а
X
th л dx— In ch л* = л -ф In (1 — е~2г) — In 2.
о
Значение интеграла
X
Г	X"	1 /	л-4х z>-G.tf л-g.v	\
|	In ch л dx= -2- - л- In 2 - 2 (е~^-ф- ---ф... ) ф Си
О	\	/
где
с. “ И1 - Т + 4	+ • • ) =0.“112335= -g .	(2.15)
Наконец, последний интеграл
X	XX
С	Х^	9 F	9 Г
х1п ch х dx= -к-b- In 2 -ф -г 2 хе~2х dx —	4 xc~ixdx -ф
J —	<3	2	’4 J	16 J
о	о	о
-+-36.16те - • • • = -з - -2 1»2- 21-^,—	-
О	*
,if- -Ц#£<'-ьх+-..) |-С3,	(2.15')
где
с, = ( Г -	ф 4г -	+ • • •) = 0,225386 .
Ряды (2.13) — (2.15) позволяют все функции, входящие в интегральное выражение
(2.10) для х, объединить в ряды, содержащие лишь степени величины
и = е~2п1 — е~2х.
83
Опуская выкладки, мы можем написать:
, , аЛ* , а,/3 . аЛ.' (а„ «. . „ , 2ц,	. бгг3 n fincoec ,	\ ,
*=«.н--у-+--г-+-h-(v2 + э’ят .. 0-'253Ю
Г
2и
1 и
а
а3
2
а3
ll1 ! IIя	II*
11 ~ 2Г + 3®	4Т
6(1;,	1 /
а4	4 \
и*
Тг
(2.16)
( _ !_
23 ' з3
Эгон формулой удобно пользоваться, когда и становится величиной малой; напри-
3
мер, при х>у будет и <0,05. Если же под рукой нет таблиц гиперболических функ-
ций и натуральных логарифмов, облегчающих применение формулы (2.10), то и при
л*т. е. при	=0,24332.
Разложение в ряд скорости поршня дает:
/Ус
dl = ?з (Z)'? (0 =	+ «1»’^
2	4
- fl!*4 -- п37.
V
г ц(1а4 - <V-3 t'
а,а4 -(
2
3
0 х
' 17	9	X
(	«1а" т«зяЧ «;.«2 }t'~
62
315
17	2	\
- «2аг’ < ~ <z.,x4 — пва- jl* —

где
2-62 s 34
'630'“** "9o‘,,a
«.а4 — ц-а3
(‘14175 "°’'"'
Третий тип кривой (фиг. 29)
ds i4- f , t . t2 ,	, tn \
dt^ \ + a3 Z3 U|’ ”r U1 I 1 + “3 ]~2 'r • ‘ ‘ ”r ,_п_) ‘
= a()a3Z’ -ф- at3.‘2t3 — ( ci0a4 — ~ «Л Z4 —
k 2 J
~ I?a2) f’ ~ ba" 22 al+T r =
I. h itt I +
 "j/i 1 1 4~ a-t- /’
(2.18)
_____«2_____Г «4
| 2 a4 ' | 4 aB
_ tia
|3_a‘
ьг = L2.. (“[2<
b — —
aS
a9
|6 a1
a;t
3 a.'
a-
| 7 a14
_ _I _
‘| 4 a4 ^|6< '
ai ।	_
|_5 a4 ‘r|_£af'
i 5 a,;

h — a
1	7?
84
Дифереицйруя, находим:
I
1-
d"s
dt"
ft	/<-• л
»”2	1
/v-l-ft,/’
(1 4-a’H= *
1 rf3s
a3 t/F
t2
= ft,4-^+^ ^-4
fn->
l/Lz2
(2.19)
(2.20)
Интегрирование дает нам:
J3s = V+*.	+	+	-4rctg(aZ)--^3 ln(l + «3Z«).	(2.21)
Кривизна кривой s в начале хода поршня
s<3> = s<;, = 2«oa3.	(2.22)
Четвертый тип кривой
| 141V‘
, 62х"	126х:
” IJL	L7 "’
(2.23)
почти не отличается от нижеразбираемого пятого типа, но имеет перед ним тот недоста-
ток, что содержит и е~л' и е-2*'. Поэтому детальным разбором этого типа кривой зани-
маться не будем и дадим только разложение $ в ряд по степеням х = а/:
1
4 ао
«0—	+	) —х5
7
12
О] -) Й2 — Оз | 4“
4
4
**(>-тг«:+4+-.	<224)
ф = о0 4- a,14- а2Г- 4- o,Z» -р... = а0 + ojx 4- о^х’ 4~ о>-’ 4-...	(2.25)
Пятый тип кривой (фиг. 29)
(х)	» 1 - (1 + Х)с-  - i - 2 4- +3 -рг - 4 4~ + -	(2 26)
о	—	—-	—
причем, как обычно, x — it.
Умножая это на
Ф (0 = «о + 4- «2^ + - +	.
получим:
S = (О •? (П = (1-04- e-f] (О„ 4- a {t 4-... 4- "ntn)
4-1-6.5-4-3^-) 4г"~-	(2-27)
a / |_>
85
Диференцируя, находим:
s'=-_ [1 - (i	i(0 4-•?(/)(2.28)
[1 — (1 + at) 6-“'] О (г1) + 2а3й?-«' О (О | - а2 (1 at) е^1 * (/).	(2.29)
Здесь ’j(t), Ф (f) означают производные по времени.
Интегрирование дает нам:
t	•
s = J,?(0 dt^(l .e-r) - -C^±^ [1 _(1 +x)F-x]
0	**
Шестой тип кривой (фиг. 29)
(2.30)
(2 30')
Этот тип кривой- естественное обобщение предыдущего введением в него второго
свободного параметра р:	.
(<-3 \	у*3
+	Х2	(2-3?) I-
(2'31)
| Т: • \ •	£	/	1 О \	£	1
Производные этой функции
d'9 d-s
~dtT~~°'~dx~~Ze
у3
(1-₽)* + ? 2
? = «2	| (1 - ю - (1 - 23) X - P 4-
(2.32)
= аЧР) = аае~г — (2
ЗЮ Hi-3S)x+P-*-
Как и раньше, находим:
-Ml -Ю у
(a0-4«^4--.-4-rtZ)=x
<i0(2 —3р)--3
а2
Н12^7(1-Ю
Л))(3-СЗ)-4-^-(2-33)4-
л
*
•	(2.33)
5 =
Производные при больших значениях t не будем выписывать подробно, а дадим
лишь в общем виде:	/
s = cf.6;	$• — ур 4~ 4?;	3) = ?’? Т 2^'Р --1 - 'Р'р;
Si4)= ур(й)_L Зс’р 4~ 3fi + ’W3).
86
JB конце хода поршня, при / — Л; будет я* —6, поэтому
'?* = 0.
sf ’^ ?*?# + 2
Г’4’ = -4>.!ДЗ) 4- 3Ф ,р Зф л
•j	в ।	। ь । *т*	।	л ^Т" । sp
(2.35)
Здесь необходимо заметить, что почти всегда очень близко к единице, а <р*,
?(3> очень мало отличаются от нуля; поэтому первые члены последних формул являются
главными, а все остальные играют роль малых поправок к ним.
При интегрировании кривой s введем функции Хп из пятого случая [формула (2.30')]
получим:
t
s—| sdt — ( y(t)dt~- (7) e dt — a | 0 (f) dt —
O	t
I n X„ -L >+_] X„.! + /I  2 X„ , 2 \
(2.36)
причем AY = 1 - f и т. л.
Мы уже знаем, что первый член ряда разложения функции s по степеням t дает
параболу движения поршня без сопротивлений, наличие которых заставляет поршень в
своем движении отставать от этого параболического движения. Поэтому первая из не-
обратцающнхся в нуль производных функции s (не считая второй, существенно положи-
тельной) должна быть отрицательна; отсюда находим максимальное допустимое значение
для второго параметра:
Р <	;	(2.37)
3aoa - 3nt
при этом определять р по знаку равенства можно лишь в том случае, если подстановка
этого значения в коэфициент при х4 делает его отрицательным.
§ 3. Дальнейшее развитие типов кривых
Все перечисленные типы кривых удобны тем, что позволяют произвести аналити-
ческий подбор параметров для функций ?(0 и ^(/), при котором искомая кривая скорости
s =	в начале и конце хода поршня удовлетворяет всем наложенным на нее
условиям. Но большое число параметров и связанная с этим трудность составления и
решения уравнений, их определяющих, заставляют нас ввести также и другие типы
аналитических кривых, где параметры определяются легко; но зато эти кривые, везде
диференцируемые, не поддаются интегрированию в аналитическом виде для определения
как наперед заданного хода поршня я*, так и текущей координаты я — J sdt, входящей
о
в основное диференциальное уравнение в виде суммы (ks-\-ms).
Мы считаем этот недостаток несущественным, поскольку при сложных формулах
для вычисления интегралов мы на практике уже отказались от их выражения в анали-
тическом виде и перешли к графическому интегрированию, которое, как известно,
всегда может быть выполнено с надлежащей точностью.
87
Диференцируемость кривой s наоборот, является необходимым свойством,
так как в начале движения поршня член ins является главным, — это и заставляет нас
ds
начало кривой непременно представлять в аналитическом виде.
Функцию мы задаем в виде монотонно убывающей кривой, имеющей в начале
движения, при Z- - О, начальную ординату <i0 и горизонтальную касательную — 0, и
еще по меньшей мере одну производную (I равную нулю, а в конце движения, при
f rf’P \ 4
t*, имеющую заданный наклон j и по меныпей мере две низшие производные
(т. е. и ’У3)) равные нулю.
Функция ®(0 такова, что в конце движения, при Z = ее ордината всегда равна
постоянной величине (в большинстве случаев единице).
Таким образом, начало движения управляется только функцией ?, а конец - только
функцией % что значительно облегчает как исследование кривых, так и назначение
параметров.
Одно из аналитических выражений для функции р, удовлетворяющее всем поставлен-
ным условиям, дано в конце § 10 части II (формула 10.10).
Переходим к функции ?(/).
Чтобы обеспечить в начале хода движение без помех от жидкостного сопротивления,
т. е. при конечной площади проходных отверстий, мы должны дать поршню отвечаю-
щие этому условию ускорения.
При наших предположениях, где не принимается во внимание разница между тре-
нием покоя и трением скольжения, статическая часть силы сопротивления поршня при
его продвижении на 1 2 мм практически остается неизменной, так как повышение дав-
ления воздуха при таком смещении ничтожно мало. Сила же давления земли на колесо
возрастает пропорционально времени; таким образом, и ускорение s поршня будет расти
пропорционально времени, начиная от нуля в момент его строгивания с места, а скорость
s будет расти пропорционально квадрату времени. В начале хода движение поршня управ-
ляется только функцией о(/).
Все ранее рассмотренные нами кривые ?(/) разлагались в знакопеременный ряд по
степеням t, начиная с tz, причем в одних случаях (первый и второй типы кривых),
разложение происходило по четным степеням, в других — по всем подряд, а в шестом
типе кривых можно было пропустить член с если положить в ней рГ-_-Л
О
Для одного из вариантов проекта амортизации мы, задаваясь целью получит конеч-
ную площадь - в начале хода поршня, пользовались кривою:
/ Л 4
9	S	Q
= л3  - p- + p-.e - p-x1" -i-..., (3.1)
в которой пропускается член с t*.
В ряде (3.1) разности между соседними чис-
лителями составляют арифметическую прогрессию
с разностью 1.
График этой функции представлен на фиг. 30.
Полагая
$ = ?(0Я0.
найдем
s0 = 2н01-
88
и отсюда, зная и а1И найдем оЛ Что касается величины о(|1 то ее нужно подбирать
так, чтобы площадь всей кривой s была равна заданному ходу поршня $Н;.
r,	ds
Если полученная кривая для в средней своей части окажется неудовлетвори-
тельной (например, будет иметь горб, как на фиг. 30), то ее нужно подрисовать, сохра-
няя аналитическую часть в начале кривой и прямолинейный, заданного уклона, участок
в ее конце,
Из фиг, 30 и 27 видно, что принятая функция *(л') является неудачной, и пришлось
сильно отступить от нее, чтобы получить правильного вида кривую s.
Гораздо лучших результатов можно добиться, суммируя степени функций ?(s) и
подбирая множители при них так, чтобы исчезли (или почти исчезли) те члены, которые
нам нужно исключить для подбора надлежащего закона приращения площади □ в начале
хода поршня.
Например:
«.И-м-г’-л* т+к~ у + к---....
s. 2 ж*- 4	+-3^-
1	хй Xs 7л-10 jc1s
= + -^0-+-2Т
(фиг. 31).
В более общем виде мы можем взять:
U) = ?,(-*) +4“ °-'(Л)’	(3,2)
где	0 < 0 < 1.
Если 6 = 1, то член с Л'4 исчезает. Если 0 близко к 1, то член с х4 становится очень
малым. Также можно поступить и с другими функциями (фиг. 32):
2	17	69
Ъ(х) th2х = л3 — х4 +	х'1 - 3'5 Xs 4- ...,
42(х) = th4 х = х4 — Xй + Ц Xs -	х10+„.,
12
89
Далее:
v4
?3 (V) -	- X3 - X4 -НX1’ - Л* + .
(х) — х* (1 - 2х- 4-Зх4 — 4х“ j- 5xs — ...),
?»(*) = Ъ (Л) + ?з(*) = *’ - A'r' + 2-vs “ Зх’о Н-4л-13 - ...
В более общем виде можно брать:
О
где	0 < б << 1.
(3.3)
(3-4)
Если взять функции содержащие все степени х (начиная со второй), то там для
исключения члена с множителем х3 пришлось бы ?(х) возводить в степень 3;2> что во
всех отношениях неудобно.
Функцию ?G(x) можно соединить с предыдущими типами кривых, предварительно
возводя их в квадрат, например:
। 1 2 _ х2	11 .	. 19 7	.	239 s
?|« ?и + 24 ?4 б~	180 Л 280 Х	1	4608 х	(3‘5)
।	1	2	х~ *“ । 7a'g । 107л”	.
-?Г. .	6	?5-	6	- 30 + 216^“ 8640	(3‘6)
Соединяя функцию ?(1(х) с ее же квадратом, получим:
/ Л3 _____ Л4 , X5 Лв х' Xs .
ё' 24 ’	141 ±“б30"- 345б’+,“’
х8 I
36	72 ' 135	1728 '
, .	, , । 3 2 , л3 . х;'	х'’’	8х* Xя ,	ч
?12('<) -?с.(Л Т-2 ?6(*1--б-4- 45“ 36+ 6ШГ“ 861-	”	{3 /)
В утих рядах положено 8 — -3-, так как в противном случае сохранился бы член с х3.
9Q
Функцию (3.7) можно применять лишь в случае, если положительный член с мне-
жителем л'; будет уничтожен соответствующим отрицательным членом в функции (5(х).
В кривых, изображенных на фиг. 33, положено ? = 2/3.
Фиг. 33
ПРИЛОЖЕНИЕ П
СЕДЬМОЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ПРОЕКТИРОВАНИИ АМОРТИЗАЦИИ
УПРУГО ЖИДКОСТНОГО ШАССИ БЕЗУДАРНОГО ДЕЙСТВИЯ
§ 1. Путь решения, намеченный в § 3 части И, является трудоемким, так как тре-
бует численного интегрирования сложных диференциальных уравнений задачи.
Решение еще более усложняется тем, что не всякая наперед намеченная кривая
сил Р\ отвечает задаче, как мы в этом убедились на проделанных двух расчетах.
Чтобы уменьшить трудоемкость задачи, нужно по возможности сократить участок
кривой, подлежащей численному интегрированию. Это можно сделать за счет введения
участков, поддающихся аналитическому решению. Именно, „кривую Агладзе*1 AEFC
(фиг. 34 и 35) для давления, шасси на самолет мы видоизменяем и разбиваем на три
участка: АЕ, EF и FC, из которых первый и последний являются прямолинейными, под-
J А. Г. Агладзе. Конструирование и расчет масляных ЗхМортизаторов шасси самолетов. Техн, замет-
ки ЦАГИ, № 59, 1935 г.
91
дающимися аналитическому решению, а средний ВС криволинейным, требующим
численного интегрирования'.
Начальные условия н точке /1 будем считать заданными. Силу Р давления земли на
колесо будем считать пропорциональной обжатию колеса v, т. е. положим:
P=ky.	(ПЛ)
Угловой коэфициент k кривой обжатия колеса может выбираться либо по направлению
касательной At к этой кривой АН в точке А, либо по направлению ее хорды ЛВ, где орди-
ната точки В соответствует максимальному давлению земли на колесо.
Силу обжатия амортизационной стойки на участке ДА'будем считать пропорциональ-
ной величине обжатия я, т. е.
Р, cos я — Л] f(s) — Л। (и -j- bs) г Qi •	(И.2)
Эта сила является результирующей из сил: постоянного трения Q,, сопротивлений
воздуха QB и жидкости QM с сопутствующими им трениями, и силы трения uO(s, у*),
зависящей от изгиба стойки.
Силу давления шасси на самолет будем считать независящей от скорости поршня
s; найдя же из решения эту скорость, так подберем площади з проходных отверстий для
жидкости, чтобы сила Q* в точности равнялась разности между силой Рг и силами
Qu 4* QtP •	.
Решение такой задачи было нами получено в § 4 части I о поверочном расчете
шасси на выполненную посадку, именно для стадии „хода по воздуху". Перепишем урав-
нение (4.5) этого параграфа:
(11.3)
где
....	1	, М4-т Д. b sec а \
2Н~ — k - -А----------1-----,
т \ /И cos а — рО /
2 — JL- b sec ж
т ЛЦсояа—;>/})’
A,£+Q4___________
М cos а (cos i— uO)	Afcosa
Общий интеграл уравнения (1.3) равен:
s Cj ё'* U С2 е’>‘	С.. ё<‘ -t С\ё-‘	,
А-
(11.4)
где (если A- < Н)
(П.5)
Меньшие корпи (ль 2) соответствуют вертикальному колебанию центра тяжести самолета,
бблыпие 0-3,4) --колебаниям подвижных частей шасси, зажатых между землей и самоле-
том при помощи двух пружин. Очевидно, решение теряет смысл, когда 5 обращается в
нуль, чтобы переменить знак, так как на самом деле вслед за этим моментом следуют
остановка поршня н начало колебательного движения самолета относительно земли, как
системы с одной степенью свободы; единственной пружиной в это время является
пневматик.
1 По мере расширения числа подсчетов и наших знаний о характере кривых можно будет постепенно
удлинить „числовой* участок f:F, если в этом встретится практическая надобность, т. е. если прямолинейные
участки кривой Агладзе окажутся неудовлетворительными с практической или конструктивной точки
зрения.
92
Имея s, найдем величину
<4| (<i | bs) ~4~^4 I ’О	и. с\
2 ~ М (cos а — ub j ’ М
и затем z и z.
Далее найдем давление земли на колесо:
P=ky = k(z — scosa).	(11.7)
Полученное решение доведем до точки I), соответствующей максимальному усилию
на колесо, с тем, чтобы иметь представление, как отклониться от полученного решения,
начиная с точки Е и кончая точкой F.
Если выбранная прямая AED окажется не отвечающей заданным условиям, можно
выбрать другую прямую, АЕ'1У, наклоненную к оси абсцисс более полого или более
круто, и снова повторить решение, пользуясь его сравнительной простотой.
Для участка EF решение выполняется, как уже было описано, методом последова-
тельных интегрирований, или методом численного интегрирования, переходя от точки к
точке. При этом нужно так задавать кривую EF, чтобы в точке F полечилось у — 0 и
у = 0.
Наконец, последний участок ЛС решается так, как было указано еще в „Динамике
самолета”1 под условием постоянного давления от шасси на самолет и постоянного
ускорения z.
Так как точка С есть точка остановки вертикального движения самолета, то в ней
должно быть 2 = 0, а также и s == 0; кроме того, на всей линии ЕС должно быть у = 0,
j' = 0. Чтобы разрешающие формулы были проще, будем решать задачу на этом участке
в обратном направлении: от С к F. Тогда, обозначая индексами (Л) конечные значения
всех величин в точке С, найдем:
z = zK(t-tK), z=~zK(t-tK^,
sK =——— , s» — 0,	sK = Zk sec a,
cos a
s — zK (t-- tK) sec a, s = *2 zK (t—lK )2 sec a.
§ 2. Пример для шасси,
Вычерчивая кривые продолженных участков
AEDt и CFD., по аргументу времени, найдем,
что они пересекутся между собою; плавная
кривая EF, соединяющая эти две кривые, и
касательная к каждой из них соответственно
в точках Е и F и может быть принята за
желательную эпюру сил Pt , на промежу-
точном „числовом" участке кривой Агладзе
(см. фиг. 36).
Числовое решение можно выполнить
либо по времени, либо но перемещению s.
В первом случае промежуточную кривую EF
будем вычерчивать на фиг. 36, во втором слу-
чае нужно будет, наоборот, нанести аналити-
ческие решения AEDX и CFD., (получаемые
в функции t) на фиг. 34 и 35, и на одной
из них нанести исходную (задаваемую) кри-
вую EF.
изображенного на ф и г. 3
Для нею
k — 500 кг см, 0 = 4 750 кг на одно колесо,
М = 484,3 кг сек2, .и,	/л£ = 150кг, т 15,3 кг сек2 м, «».==0,1,	$ = 0,25,
1 В. 11. Вет чинкин. Динамика самолета. Госмашметиздаг, Москва, 1933 г.
93
гд Va = 0,0'786 м,	zA — уА ~ 3,716 м сек,	zA =— 6,08 Miceг2, ’
sa---0,	— 0,	s'a=O, 0(0) =1,715,	цО (0) = 445 кг,
-4jf(sA ) = 2600 кг, Q, 300 кг, Д,/(0)-|-Q44-uG(0) == 3345кг,
среднее значение 0(s) принимаем равным 1,4.
За прямую AED па фиг. 35 возьмем прямую, проходящую через точку А и каса-
те 1ьную к кривой Агладзе; ее уравнение будет:
Р; cos 1 A4f(s) = А, (а -4- bs) Q4 = (3 345 4- 50 000 s) кг
(здесь s выражено в метрах). Таким образом,
Q44-Alf; —=3345 кг, Avb =50 000 кг1м.	(П.8)
Найдем прежде всего коэфициенты диференциалыюго уравнения (II.3):
2А/	15,3
rnmOL499-3	50000	I ,_,оп
° °° ^ 484 (0,9663 — 0,14)0,96631 749°’
50000	50000
А “ - 15,3 4844)78263 cos а
423 000,
50000/.	3345
15,3 7 “4'84- 0,8263 cos а
—Р------\ == — 20000
4-484-0,9663/	’
Z
14.107	0,0302,
1/ 1 ’	= /0.9698 - 0,9849,
У	fl
кЗА =г + i 61,25 | 1,9849 = + 86,6 i = + iq,
. 650	.
‘«“-'wg—xW‘“±*-
Подставляя найденные числа в общий интеграл (11.4) и переходя к тригонометри-
ческим функциям, найдем:
s = C’j (cos 7,5/ - i sin 7,5t)~- C., (cos 7,5 t - i sin 7,5 /) -j - C3(cos 86,6/4“ /80186,6/) -j-
4~ C4 (cos 86,6 / / sin 86,6 /) — 0,04735.
Последовательно диференцируя, находим:
ds
— Cj p (- sin pt 4- i cos pt) C., p (— sin pt.— i cos pt) -f-
Cg q ( sin qt-\ - i cos qt) -j- C4 q (— sin qt i cos qt),
d'S
= C’i p2 (cos pt -j- i sin pt) — C., p" (cos pt — i sin pt) —
— C., q- (cos qt — i sin qt) q2 (cos qt i sin qt),
—p-’ (- sin pt 4 i cos pt) — G,/?1 (- sin pt — i cos pt)--
C-^q3 (— sin qtl4- /cos qt) - C4q3 (— sin qt — (cos qt).
94
При t — Q имеем:
. s = С, + С2Н-С3-i-C4-0,04735 = U,
i |р (С. - С2) 4- q (Ся - С4)] = О,
[рЧ^ , С,) |-<72(С3 -| С4)] О,
' [/»’ (С, - Q |  q* (С, - CJ) = -{-	3,716 cos а 11 730.
Отсюда видно, что (С, - • С„) и (С. — (/)
действительные.
Следовательно,
числа комплексные, a	и (Ся 4 • С4) -
С
с
и далее:
s(1 = 2/4- -7" - - 0,04735 = О,
$0=	2g’p- -2g"q • О,
s<>
С.
sp = 2g'p;i-l-2gV^ Н73О,
P—g' — - 0,0866 g,
- 2/'/r--2/V = 0,
0,04/35 опочив
(Г-бЖ5)2 ’
4 „	0075/.
Найдя постоянные, получаем окончательно:
s = (/'--g'0(cos/rt-!- i sin pt) H/' -g'i)(cospt — i sin pt)± g"i)(gosqt +
-1- i sin qt) 4- (/" - g"i) (cos qt — i sin qt) — 0,04735 2f cos pt 4 2 f’ cos qt —
— 2g' sinpZ- 2 g" sin qt - 0,04735.
Отсюда находим:
2f' = .0,0‘1^°- = 0,04771,	2/" =..-0,000357,
1 0,007о	7
-j™.... =___________Н730_
“й ptp* -q-)	7,5(7500-56)
2 g' = 4 0,01820,
Теперь можем написать';
s 0,017707 cos 7,51 - 0,000357 cos 86,61 -4 0,2102 sin 7,51 - 0,01820 sin 86,6 1	0,04735.
При малых значениях t удобно эту формулу разложить в ряд:
S-- 0.04735 , 0.0,-707 1	+. . .
(86,6 О3 ; (86,6 ty (86,6Z/ (86,6 t)s
' 2 ' ;	24 ’	720 ’ f’ 40320" '
4-0,2102 7,51

6 ' '	120
С3 --1- С( = 2/",
(86,6 /)г'	(86,61)'
120	‘ 5040
11 730— -19910 ;fr
t>	24
88,5-10,; f-
'120’ ' ‘h
-4-150 500000
95
Вычисление сводим в табл. П.1.				Таблица 11.1		
	t [сек]	11730 JL 6	19910 — 24	88,5 10» s 12	15,05-10* , 72	I'd
	0,01	0 001952	0,0000083	0,00000737	0,<ХЮ000208	0,0019365 1
	0,02	0,015620	0, (XX) 1327	0,1 И >023560	0,000013320	0,0153600
	0,03	0,0526.50	0,0006727	0,01790000	0,00015231X1	0,03422!» |
	0,04	0,125200 . •«	0,0021200	0,07550000	0,0008.560(H)	0,0481360
Скорость поршня
— = — 0,3575 sin pt -|- 0,0309 sin qt 1,576 cos pt — 1,576 cos qt.
(I t
По этой формуле составляем табл. 11.2.	Таблица 11.2
t [сел]	0,3575 sin pt	’ 0,0309 sin i)t	1,576 cos pt	1,576 cos qt	ds ~dT	
0	0	0				
0,01						
0,02	-0.Q532	0,03040	1,558	0,2546	1,7898	
0,03	-0,0797	0,01590	1,536	1,3500	2,8220	
0,04	0,1056	--0,00980	1.505	1,4930	2,8826	
0,05	0.1310	-0,02860	1,466	0,5740	1,8800	
0,06	-0,1556	-0,02730	1,419	0,7360	0,5000	
l'l 0.07	0,1790	—0,00665	1,362	— 1,5390	-0,3626 j	
0,08	0,201.5	0,01864	1,300	-1,2560	—0,1759	1	
0,09	-0,2230	0,03080	1,230	—0,0865	0,9510	,	
0,10	-0,2440	0,02110	1,152	4-1,1430	2,0300	
§ 3. Меняя силу A{1>, действующую на стойку, будем получать различные коэфи- циенты Н и К- (L от силы не зависит) и различные периоды колебаний. Результаты решения сводим в табл. II.3 *.	т ,	.... г	"	Таблица 11.3						
		1	2	3	4	
	Аф	10000	25000	50000	кххюо	
	2/1	4110	5370	7480	11700	г
	К'	81500	211250	422500	845О(Х)	
	Н*	4,22-10®	7,20-10®	14,0.10®	34,25-10*	
	А’ //2	0,0200	0,0293	0,0302	0,02-166	
		64,05	73,0	86,25	107,8	
		4,545	6,300	7,54	8,54	
	г >	0,989950	0,98527	0,98488	0,98759	
	г».<	0,0980	0,0860	0,0729 j	0,0582	
		1,382	0,997	0,834	|	. 0,736	
ПРИМЕЧАНИЕ. 1 столбец мягкая пружина, действующая как воздух в начале сжатия.
2 столбец средняя пружина; уклон ее характеристики примерно соответствует хорде, соединяющей
концы политропы сжатого воздуха. .
3 столбец-характеристика пружины касательна к кривой Агладзе в точке / фиг. 35.
4 столбец—пружина, еще ндное более жесткая.
1 Составил инж. М. Я. Гафаиовпч.
96
Продолжая расчет, получим для всех остальных значении силы А{Ь скорость поршня,
ход поршня и площади цроходных отверстий. Данные расчета приведены в табл. П.4
и на фиг. 37. 38 и 39.
13
97
Таблица 11.4
Л,Л		1	'' I			8'	|	f" 1	g"
нюоо	64,05	4,515	0,023790	0,06325	- 0,0001198'	0,001488
25000	73,00	6,300	0,023855	0,08805	- 0,00017771	0,007600
50000	86,60	7,500	0,023850	0,10510	0,0001785,	0ДЮ9100
100000	107,80	8,540	0,023825	- 0,11900	- 0, 0001495	0,009425  ।
f lA'tf] 1		10000			А|& = 25000	I		
	>' W |	5 [,W	’ [сл‘-]	!	д'	|	-[^] А
0	0	0		0	0	
; 0,01	0,00008	0,1126	2,655	0,00095	0,2788	1,939
J 0,0‘2	0,00281	0,4033	4.483	0,00697	С,9652	3,114
li 0,03	0,00864	0,7521	4,069	0,02043	1,6982	3,212
!1 0,04	0,01787	1,0152	5,565	0,03976	2.0841	2,961
" 0,05	0,0281!)	1,0830	3,918	0,06028	1,9181	2,257
п 0,06	0,03848	0,9248	4,050	0,07648	1,2576	1.327
li 0,07	0,04621	 -		0,08482	0 4214	—
			Л ,6 = 50000 л- \м сек]	i	Atb = 100000	I			
			1	5 [ж]	| л' [м!сек\	
0	0		 		0	0	—. !
0,00)88	0,5472	2,015	0,00368	1,0573	2,195	1
0,01332	.1,7898	2,739	0,02427	3,0837	2 372	1
0,03606	2.8222	2,616	0, (Xi 105	3,8840	1,886 j
0,06644	2 8826	2,012	ОД >9474	2,5411	0,991	!
0,09106	1,880-!	1,123	0,10908	0.3822	0,139 i
0,10299	0,5001	0,282		—	
0,09917	- -	—			
Мы видим, что во всех случаях поршень амортизационной стойки получает прежде-
временную остановку при любой силе Р, линейно возрастающей по времени; следова-
тельно, такой закон нарастания силы для упруго-жидкостной амортизации является недо-
пустимым, и никакие попытки слегка подправить его не могут дать непрерывного сжа-
тия амортизационной стойки во все время осадки самолета.
ПРИЛОЖЕНИЕ ПР (к стр. 30)
i
-/ А /	/, = 1,0	X -‘-= 1 ,2	х -1,4	! X:-l,6 i			j *=-5,8	x -2,0
0.1	|	—3,5179	—4,3218	5,4085	—6,8994	-'8,9630	; - 11,8516
0,2	;	-2,7169	-3,1379	—3,6567	—4,2996	—5,1010	- 6,1056
!	0,3	—2,1978	-2,4507	— 2,7455	-3,0918	-3,4987	j - 3,9789
0,4	|	--1,7903	— 1,9169	- 2,1233	- —2,3222	-2,5471	i —2,8016
0,5	- -1,4409	-1,5367	1,6413	- 1,7562	—1,8820	-2,0200
0,6	—1,1252	 1,1809	1,2399	-1,3033	1,3712	!	1,4438
0,7	0,8302	— 0,8589	0,8892	—0,9204	1	0,9540	1 —0,9887
0,8	—0,5477 !	- 0,5596	- 0,5720	-0,5848	i -0,5977	'	-0,6114
0,9	-0,2723 '	-0,2751	-0,2779 ;	—0,2809	— 0,2840	 — 0,2869
1.0	0	1	0	0	0	0	0
IJ	0,2723	!	0,2695	0,2671	0,2645	0,2621	0,2595
1 ,2	0,5470	0,5366	0,5269	0,5171	0,5079	0,4985
1,3	0,8263	0,8039	0,7823	0,7615	0,7417	0,7221 
М	1,1121	1,0730	1.0358	1,0003	0,9662	0,9338
1,5	1,4062	1,3 lt-Л	1t2894	1,2356	1,1846	1,1367
1,6	1.7102	1,6246	1,5445	1,4692	1,3987	1,3328
1,7	2,0259	1,9101	1,8027	1,7030	1,6105	1,5242
1,8	2,3548	2,2041	2,0658	1,9380	1,8201	1,7120
1,9	2,6986	2,5081	2,3346 ;	2,1753	2,0311	1,8979
2,0	3,0591	2,8234 !	2,6106 1	2,4172	2,2420	2,0828
1	Составил mi ж. М. Я. 1 афаповпч.
2	Составил ийж. М. Я. Гафашлшч.
98
С©
•x>
Фиг. 40 к приложению 111
приложение iv
РАСКРУЧИВАНИЕ САМОЛЕТНОГО КОЛЕСА О ЗЕМЛЮ1
§ 1. Давление колеса па землю будем считать функцией осадки колеса у в виде:
-j zOOJj' = *У.	(IV.1) В
причем для наших целей достаточно будет двучленной формулы:
P = kly-\-k2yI.	(IV.2)	И
Или же можно принять одночленную степенную формулу:
P=r.ky”,	(IV.3)	Д
где показатель п близок к *1
В первой стадии посадки амортизация еще не вступает в работу, и потому у нас
будет у = z, у = z, у — z и т. д.
Осадку самолета (и равную ей осадку оси колеса) примем в виде трехчленной фор-
мулы:	।
z == у - zf/ . z„ £ -Н 4	[1 -Ь'(')!.	(IV.4)
’	(3)
где	Zo — вертикальная скорость, ускорение и производная от него по времени
в начальный момент раскрутки колеса, т. е. в первый момент прикосновения колеса к
земле, а	а
4+f4-	(iv.5)	ж
Окружное усилие, действующее на колесо от земли, равно	
Р/= k yf,	(1V.6)	|
где /— коэфициент трения шины колеса о землю.	Я
Крутящий момент:	
^-/^-P/(/?-v),	(IV.7)
где /?и/- радиус пневматика и момент инерции колеса, а у осадка оси колеса.
Касательное напряжение шипы от трения о землю в среднем будет:	i
Р/
(IV.8)
где Г —опорная площадь соприкосновения шины с землей.	I
Так как
P^Fp,	(IV.9)
где р — внутреннее давление в шине, то
“ =р/.	(IV. 10)	।
Все силы и моменты мы выразили через осадку колеса у, которая у нас представлена
как функция времени. Поэтому вся задача будет решена в функции времени, и все ин-
теграции легко могут быть доведены до конца.
1 Продолжение этого раздела см, и Технических отчетах ЦАГИ № 62, 1946 г.
100
Подставляя в (IV.7) v in формулы (IV.4) и Р из формулы (IV.2), найдём:
/	- (*,У 1- k2y'-)f(R у) =f[Rkiy -f- (Rk.2 - *,)у - А2У) -
f[Rktz„t(i i :)-j-(Rkt~-ьуЯг(1 4-43- Моч/.’(1 -rJ.	(iv.i i.
Взяв для P выражение (IV.3), получим:
1 <77 ^fkyn(^ " У) fkRy"-- ffty + i -
—fkRz'!ttn
n (n — I) , n(n — 1)(n — 2)F!)
T 2	Г_!“’	f-2-3	’
-fkz^ ' tn 11
1 i (n 4-1)
: (fl4-l)/tr„	(«4-i)n(«-i).,
r 1-2	’ '	1-2-3 “ *
(IV. 12)
н
Представим функции Z и (1
’(О- 5
зависимости от времени. Имеем:
t J	_at о/2
г4-	6- - t
['.(/)р^а2/3-42аЗ/3 -г?**4,
:»--= а8/»4 - За'З/4 4- За?’/5 -F ?’**,
!+:=--! 4^4-1^, (1 4-0’= 1 4 2а/ | (2р» 4-а’П’4- 2аЗ/8рг/4,
(1 4- ')я - 1 4- За/ j- 3 (,3 4 а-’) /8 I - (6аЗ | а3) Р : (З?1 j - 3a«fi) Р 4- 3<ф!/г> 4~ fisZs.
Здесь мы оставили только те степени t, которые могут оказать влияние на результат
вычисления.
И в том и в другом случае после интеграции найдем степенную функцию от t.
Ограничиваясь четвертыми степенями t в формуле (1V.H) и третьими —в квадратных
скобках формулы (IV. 12), получим:
1 / Rk^, t(\ -| 7.1 | у44-(/?^ - k\)zl	J-2а/4-(2H-*4^1
-	4-Зя/),
(IV. 13)
или
L /	= kRz№ j 1 4 да/ j- w,3/» -4	-2	(a1/1 -j - 2«3/»)4-
fll!L—0(£l—2)an^	AzoH/n+'
1-2-3
1 4-(«4- l)a/ i (Л 4 1)3/2 r
+	1 2a p/8) - i- ()	} a8/8 .	(IV. 14)
1 * Z	1 4 J ' J
Интеграция дает нам:
1 . n, • (P	, P . „	/4\ . tn. f,.'2/'P	. 2a/4 . 2,3 j-a« \
•yr-/w - ./?Л|20 ( 2	I	г 'j” T ?	^l)2o I	f- ' + - —5-	/' )
-A3z^4-3a^-J	(IV. 15)
101
fa> — kRz"t
ill L2
// ) 2 '
n (n 1 ) „
1 -2
J»27.	, '’J" '2,y-
1 -2-3
Л^+1
у.
tt -|'2
(n I.'-	*3
fn ♦ 3
«Тз
/.»I 1
n • | 4
(n -}-1) n o . . (It -I- 1) nn — 1) ..	/"+*
fa m •
(IV, 16)
Наконец, n первом приближении, по малости t (до приобретения колесом полной
угловой скорости), можно полагать С--О, что равносильно предположению а = р = 0; тогда
формулы существенно упрощаются:
V/t0- ^>го Т-(*•	*<• 4 - k-^ Г .	(IV.17)
J	z	о	4
ИЛИ
1	.	/«4-1	.	, /П\Ч
}R>=Rk zlt -Ц-, АдГ' -4 5.	(IV.18)
/	п I 1	п |-2
Пользуясь любыми из формул (IV. 15) или (IV.16), можно решить вопрос о времени
потребном для полной раскрутки колес, когда
w = __C_t	(IV. 19)
R у
|де V скорость горизонтального движения самолета при посадке.
Из уравнений (IV. 17) и (IV.4) найдем:
И
/^i ; /1*	/ //, пл \	_ л ;3 /*
у  — (| ,, у 1^1	R^'t) —<1.^ —о
пли
И - z fl ।	z t.
kxR
2
R
3
«4
+i„fi (А, ад
3
z\R
‘г
(IV.20)
Это уравнение легко решается последовательными приближениями, определяя f\ как
частное от деления скорости V на фигурную скобку, в которой можно сначала положить
/«= 0, затем t’ из первою приближения, затем t" из второго, и т. д.
Ио формуле (IV. 18) нашли бы:
Г __________ fRh :" t\‘ ' //гги 1 /?
R г./.Н д /	"	1 J " \ -
или
1/	/и 1	fR^z'i	//?/•У,		. (IV 21)
V —г.	/(п 1)	/(//4-2)	/(«4-D ’’ 1 ’’ 1 /(« I 2) ,( ь’’	V ,*.1 )
Здесь также уравнение легко решается последовательными приближениями.
Пользуясь более общими формулами (IV.15) и (IV.16), получим аналогичные, поболее
сложные выражения для также всегда легко (но более кропотливо) разрешаемые по-
следовательными приближениями.
102
ПРИЛОЖЕНИЕ V J
Работы по расчету и проектированию амортизации требуют знания коэфициентов
сопротивления при перетекании жидкости через отверстия различной величины и формы.
Для этой цели нами был спроектирован и построен .прибор малых опытов", на котором мы
изучали сопротивление протекающей жидкости при разности давлений по обе стороны
отверстий, доходящей до 3 ат.
Схема прибора представлена на фиг. 41, а фотография его на фиг. 42.
Прибор спроектирован по типу амортизационной стойки с характерным для нее дви-
жением струи жидкости, Струя направлена вверх, и истечение происходит под уровень
жидкости.
1.0'3
Основными частями прибора (фиг. 41) являются цилиндр (1) и поршень (2), в смен-
ном дне которого (3) расположено круглое проходное отверстие (4). Для создания коль-
цевых отверстий в дно цилиндра вставляется „игла" постоянного сечения (5). Поршень име-
ет лабиринтное уплотнение (G). К поршню крепится трубчатый шток (7), в котором по-
мешается жидкость, вытесненная из цилиндра. К штоку приварена траверса (8), скользя-
щая по направляющим (9) и несущая на себе груз (10), Стрелка (11) скользит вдоль гра-
дуированной шкалы пути (12), включая и выключая подставляемый под нее секундомер.
К дну прибора присоединен манометр (13), измеряющий давление жидкости под на-
грузкой, По его показаниям проверялись величина сил трения и их постоянство. Подъ-
ем поршня с грузами производился ручной талью (14).
Идея прибора принадлежит В. IL Ветчин кину. Проектировала его инж. Ю. Г. Клаус.
Выполнялся он под наблюдением В. П. Ветчинкина и Д. Б. Навроцкого; последний ведал
его сборкой, наладкой и регулировкой в лаборатории ЦАГИ и руководил опытами. В
опытах принимали участие (в разное время) инженеры: А. В, Мишина, Т. В. Гуткера-
швили, И. А. Паничкин, А. Ф. Гусев и техники А. Карякина и Н. Юксина.
Полученный в результате опытов на этом приборе коэфициент сопротивления р был
представлен в функции двух параметров —числа Рейнольдса и отношения длины отвер-
стия I к его гидравлическому радиусу г., (фиг. 43). Оказалось, что при малой длине
/ I \	'
отверстия. - -^0у, что соответствует отверстию в тонкой стенке, коэфициент и остает-
ся почти неизменным для отверстий разных диаметров и форм как круглых, так и коль-
цевых, и почти не зависящим от разности давлений.
Коэфициент сопротивления р для тонкой стенки оказался близким по величине
к 1,3 по отношению к квадрату скорости струи, т. е. применительно к формуле:
I/**
Of в. редактор ДФ А. Горяйнов
Объем 13 веч. л., 42 880 зн. в псч. л.
Г-03164	Тип. изд-ва Б ЦТ
Подписало к печати 27/1X 1946 г.
Учетно-авторских листов 13,9
Зэю № Н)29
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие.......................................................*	1
Часть 1. Поверочный расчет амортизации шасси
Обозначения и определения........................................... 3
§ 1, Первач стадия работы амортизации — обжимается только пнеяматик . . .	4
§ 2. Общая задача об опускании шасси — стойка сжимается, преодолевая силы
упругие, жидкостные и трения......................................... 7
§ 3. Составление диференциального уравнения движения ц. т. самолета и пор-
шня амортизационной стоики (третья стадий работы амортизации шасси) .	9
§	За. Определение 0	(^).................................................... 14
§	4, Вторая стадия	посадки — ход по воздуху................................ 16
§	5- Третья стадия	посадки в случае исчезающе	малого веса колеса и поршня .	21
§ 6. Графо-аналитический метод интегрирования диференциальных уравнений
для расчета амортизации самолета..................................... 23
§ 7. Четвертая стадия посадки, или первая стадия обратного хода остановка
движения амортизационной стонкЙ *..................................... 26
§ 8. Пятая стадия посадки, или вторая стадия обратного хода................ 27
§ 9. Шестая стадия посадки—обратный ход масляно-упругого шасси в воздухе , 28
§ 10. Расчет сброса на копре'шасси, изображенного на фиг. 3..................................................................... 31
§ 11	, Расчет сброса на копре то!*о же шасси без у чета влияния массы подвижных
частей .................................................................. 37
§ 12.	Переезд самолета через кочку.............................................................................................. 40
Часть 11. Проектирование амортизации для нового шасси
§	1.	Обозначения и	основные положения............................ 43
§	2.	Постановка задачи и основное уравнение............................................... 44
§	3.	Первый способ	решения — задается сила Р	как функция времени. 45
§	4.	Второй способ	решения — задается ход поршни................. 46
§	5.	III» IV, V и VI	способы решения...........................................................................   47
§ 6,	Вычисление площади проходных отверстий................................................................................... 48
§ 7.	Классическое решение основного линейного уравнения задачи................................................................ 49
§ 8.	Случай нелинейной характеристики колеса ................................................................................. 50
§ 9.	Подбор наклона и кривизны кривой для s(f)................................................................................ 51
§ 10.	Подбор коэфициентов для кривых ?(/) и ф(/)	....................... 54
§ 11,	О площадях проходных отверстий гидравлического амортизатора в начале
хода поршня.............................................................. 57
§ 12.	Подбор функций, у которых первые коэфициенты разложения в ряд имеют
наперед заданные значения................................................ 61
§	13.	Обзор проделанных примеров	расчета	амортизации.................................... 63
§	14,	Пример проектирования амортизации	нового	шасси........................................... 72
ПРИЛОЖЕНИЯ
I. Типы кривых $ (/).................................................... 80
II. Седьмой способ решения задачи о проектировании амортизации упруго-
жидкостного шасси безударного действия............................. 91
х
f ех
П1. Таблица и график интеграла dx............................................................................................... 98
- Ш	I
IV. Раскручивание самолетного колеса о землю . .........................100
V, О жидкостных силах...................................................103
Цена 20 руб