Текст
В.И.АРНОЛЬД
ы - математики
с Ленинских гор 5
ПОСВЯЩАЕТСЯ
выдающемуся учёному России,
крупнейшему математику XX - начала XXI века
академику
ВЛАДИМИРУ ИГОРЕВИЧУ АРНОЛЬДУ
12.VL1937 - 3.VL2010
МЫ - МАТЕМАТИКИ С ЛЕНИНСКИХ ГОР
№5
Воспоминания однокурсников, друзей, учеников
Москва, 2011 г.
ББК 94.3 (Рос=Рус)6-Я43
Арн 84
Перед вами пятая книга коллективных мемуаров математиков - выпускников 1959 го-
да механико-математического факультета Московского государственного университета име-
ни М.В. Ломоносова «Мы - математики с Ленинских гор».
Первая книга (2003 г.) была посвящена 70-летию механико-математического факуль-
тета. Сокурсники писали о поступлении в университет, о жизни и учёбе на Мехмате МГУ, о
своих преподавателях, о событиях, которые они наблюдали или были их участниками, о доб-
ровольном участии в уборке целинного урожая, о студенческом фольклоре.
Вторая книга (2005 г.) посвящена 250-летию Московского государственного универ-
ситета и 60-летию Победы в Великой Отечественной войне. «Война прошла сквозь наши
судьбы» - рассказ о родителях, сражавшихся на фронте за освобождение Родины, и об авто-
рах книги, которые пошли в первый класс во время жестокой войны, как сложилась судьба
каждого.
Третья книга (2007 г.) посвящена 70-летию и предстоящему полувековому юбилею
трудовой деятельности авторов. Беспокоясь, смогут ли они через четыре года выпустить
книгу - дань памяти великому учёному России, создателю Московского государственного
университета Михаилу Васильевичу Ломоносову к 300-летию со дня его рождения, авторы
уже тогда поместили в книгу материал «От Ломоносова до нас». Кем стали выпускники соз-
данного М.В. Ломоносовым университета, их труд и увлечения - об этом глава «Рядовые
свидетели века».
В четвёртой книге (2009 г.) звучит глубокая обеспокоенность состоянием нынешней
науки, преподаванием математики на всех уровнях. Авторы, имеющие полувековой опыт ра-
боты (научной, практической, преподавательской) посчитали полезным и интересным пред-
ставить разнообразные точки зрения на этот предмет, не оставаться в стороне от обсуждения
современного реформаторства в области образования (в частности, математического), кото-
рое большинство из них считает губительным для всей системы образования в нашей стране.
Страстным защитником высокого образования в России был Владимир Игоревич Ар-
нольд, академик РФ, выдающийся математик Мира, лауреат Ленинской, Государственной
РФ и многих международных премий. Он - наш однокурсник Дима, товарищ, гордость курса,
факультета, университета, страны.
Арнольд В.И. ушёл из жизни 3 июня 2010 года.
Пятая книга «Мы - математики с Ленинских гор» - воспоминания об Арнольде В.И.
его однокурсников, друзей и учеников. Авторы пишут, каким он был в жизни.
Мы не ставим своей задачей раскрыть во всей полноте и глубине профессиональные
стороны творчества Арнольда В.И.
Книга поможет познакомиться с личностью великого учёного и, надеемся, будет понят-
на и интересна каждому читателю.
ISBN 978.5.7330.06.634
© Составитель Белова А.Д., Мехмат МГУ,
Московский государственный университет
им. М.В. Ломоносова
«Происходит чествование первого советского математика -
не только по силе полученных результатов, но и по темперамен-
ту личности, по способности воспринимать новое и смелости в
преодолении препятствий... Обо всём, что угодно, его можно рас-
спросить, и обнаружатся очень широкие знания».
Академик Андрей Николаевич Колмогоров -
в 50-летие Владимира Арнольда
3
На протяжении всей жизни Владимир Игоревич являл собой
истинную единицу Творчества, заряжая всех окружающих неуга-
симыми и теперь жаждой непрестанного познания и созидания,
неисчерпаемым интересом к Великой Науке.
Ректор Московского государственного
университета им. М.В. Ломоносова,
академик РАН В.А. Садовничий
4
Владимир Игоревич обогатил математику, как чистую,
так и её приложения, прекрасными результатами,
Владимир Игоревич - всемирно известный, всемирно при-
знанный учёный и математик, и мы гордимся тем, что Владимир
Игоревич состоит членом Российской Академии наук и работает
в нашем Математическом институте имени Стеклова Академии
наук.
Директор математичекского
института им. В.А. Стеклова РАН,
Вице-Президент РАН, академик
В.В.Козлов
5
АРНОЛЬД ВЛАДИМИР ИГОРЕВИЧ-ОДИН ИЗ КРУПНЕЙШИХ МАТЕ-
МАТИКОВ СОВРЕМЕННОСТИ
С 1954 года его жизнь самым тес-
ным образом связана с Механико-
математическим факультетом МГУ.
Здесь он прошёл путь от студента, аспи-
ранта до профессора. В этот период им
получены яркие результаты по суперпози-
циям функций, выполнены пионерские ра-
боты по классической механике, которые
отмечены премией Московского матема-
тического общества в 1958 году, Ленин-
ской премией вместе с А.Н.Колмогоровым
в 1965 году, Крафоордской премией Коро-
левской Шведской Академии наук в 1982
году.
В 2008 году В.И. Арнольду присуж-
дена Государственная премия РФ и в этом
же году - Мировая премия.
Одновременно с интенсивной и пло-
дотворной научной деятельностью Ар-
нольд Владимир Игоревич вёл большую
преподавательскую работу на Механико-
математическом факультете, читая пре-
красные курсы лекций по различным разде-
лам современной математики, которые
стали основой его замечательных учебни-
ков и учебных пособий.
В 1984 году В.И. Арнольд избран
членом-корреспондентом, а в 1990 году -
действительным членом АН СССР. Мно-
гие университеты и академии мира при-
своили ему свои почетные степени и удостоили избрания в свои члены.
Но где бы ни был Владимир Игоревич, куда бы ни забросила его судьба читать
лекции или заниматься с учениками, или работать над новыми открытиями, он воз-
вращался в свой университет, где он в аудиториях, в которых когда-то слушал своих
учителей с мировым именем, теперь собирал Московское математическое общест-
во, вёл математический семинар, читал лекции, став уже одним из крупнейших учё-
ных современности.
Много сил, своего таланта, знаний, негасимой энергии отдал Владимир Игоре-
вич на благо науки и отечественного образования.
Мы гордимся выпускником нашего Московского государственного универси-
тета имени М.В. Ломоносова.
Декан Механико-математического факультета МГУ,
профессор В.Н. Чубариков
6
Владимир Игоревич Арнольд
(12.06.1937 - 03.06.2010)
ПАМЯТИ
ВЛАДИМИРА ИГОРЕВИЧА АРНОЛЬДА
/ Невозможно осознать, что никогда больше не доведется увидеть Влади-
мира Игоревича Арнольда, невозможно смириться с мыслью, что эта трагедия
действительно произошла.
Утрата огромна и невосполнима. Наука потеряла ученого широчайшего
диапазона. Мир утратил личность необычайной яркости и одаренности. Страна
лишилась человека, которым по праву могла гордиться. Ученики и друзья оси-
ротели, оставшись без учителя и верного товарища.
Вся жизнь Владимира Игоревича была восхождением. Детство его было
счастливым. Оно прошло в окружении выдающихся личностей. Он родился в
Одессе, где в Новороссийском университете у выдающегося математика
С.О.Шатуновского учился его отец, ставший замечательным математиком и пе-
дагогом - первым доктором педагогических наук в СССР. Четыре поколения
его родных были связаны с математикой. Среди близких родственников по отцу
было также множество людей, служивших в Черноморском флоте (двоюрод-
ными братьями отца были пять адмиралов). Мама В.И.Арнольда была по про-
фессии искусствоведом. Она была племянницей одного из выдающихся физи-
ков нашей страны - Леонида Исааковича Мандельштама, основоположника
знаменитой школы, среди учеников которого были И.Е.Тамм, М.А.Леонтович,
А.А.Андронов и другие. Общение с ними оказало очень большое влияние на
мальчика.
В Москве Арнольды жили в одном из арбатских переулков, в самом цен-
тре Москвы, которую мальчик знал, как никто. С самых ранних лет Арнольд
7
стал проявлять необычайную любознательность, распространяющуюся на са-
мые разнообразные области знания. Например, когда ему было семь лет, воо-
ружившись компасом и взяв себе в помощники младшего брата, Арнольд про-
вел «топографическую съемку» Садового кольца, измеряя расстояние шагами,
обнаружив при этом многие несоответствия с тем, что изображалось на картах
Москвы.
Он стал учиться в знаменитой пятьдесят девятой школе, из которой вы-
шло множество выдающихся людей. Владимир Игоревич с большой любовью
вспоминал своих учителей, особенно учителя математики Ивана Васильевича
Морозкина. Одну из задач, предложенных ему учителем, двенадцатилетний
мальчик обдумывал весь день, «и решение, - писал он спустя многие годы, -
снизошло на меня, как откровение. Испытанный мною тогда (1949) восторг был
в точности тем же, который я испытывал при решении гораздо более серьезных
проблем».
Большое влияние на юношу оказало и его участие в домашнем кружке
А.А.Ляпунова, носившем название «ДНО» - добровольное научное общество.
Там обсуждались самые глубокие проблемы науки. Первые научные выступле-
ния мальчика с докладами на этом кружке запомнились глубиной и совершен-
ством изложения трудных научных проблем.
В школьные годы Дима - так звали Арнольда родные и друзья - стал при-
нимать участие в московском математическом кружке и московских математи-
ческих олимпиадах. Об этом он как-то написал, что там «обычно получал вто-
рую премию (как в свое время Максвелл или Кельвин)».
В 1954 году Арнольд становится студентом механико-математического
факультета Московского университета. Это была пора расцвета механико-
математического факультета. «Плеяда великих математиков, собранных на од-
ном факультете, представляла собой явление совершенно исключительное, и
мне не приходилось встречать ничего подобного более нигде», - писал впослед-
ствии Владимир Игоревич. При этом им были названы имена
А.Н. Колмогорова, И.М. Гельфанда, И.Г. Петровского, Л.С. Понтрягина,
П.С. Новикова, А.А. Маркова, А.О. Гельфонда, Л.А. Люстерника, А.Я. Хинчина
и П.С. Александрова.
На первом курсе Арнольд принял участие в кружках А.Г.Витушкина и
Е.Б.Дынкина, а когда он учился на втором курсе, А.Н. Колмогоров объявил се-
минар для младшекурсников. На первом заседании, рассказывая о планах семи-
нара, Андрей Николаевич говорил о различных задачах номографии, в которых
процессы, задаваемые сложными функциями, приближенно представлялись бо-
лее простыми. Говоря о дальних перспективах, Колмогоров сказал, что можно
помечтать и о том, чтобы найти подходы к решению 13-й проблемы Гильберта.
В 1900 году на Парижском математическом конгрессе Давид Гильберт, один из
крупнейших математиков всех времен, поставил перед математическим миром
задачи, исследование которых представляло, по мнению Гильберта, значение
8
для будущего математической науки. 13-я из них касалась вопроса о том, суще-
ствуют ли непрерывные функции многих переменных и не сводимы ли они к
функциям от двух переменных. Гильберт определенно полагал, что не сводимы.
Вскоре после объявления своего семинара Колмогоров уехал за границу,
и семинар некоторое время продолжался без него. В это время Арнольд решил
одну из задач, предложенных Колмогоровым, что привело к его первой публи-
кации.
А далее произошло непредвиденное: Андрей Николаевич неожиданно для
самого себя с неслыханной энергией стал атаковать 13-ю проблему Гильберта и
сделал решительный прорыв в ее опровержении. Он доказал, что непрерывные
функции многих переменных можно свести к функциям трех переменных. По-
следний шаг в решении проблемы Гильберта он предоставил своим последо-
вателям. Этим последователем оказался третьекурсник Арнольд. И в апреле
1957 года на стол Колмогорова легла ученическая тетрадочка в клетку, на кото-
рой было написано, что это - курсовая работа студента третьего курса
В.Арнольда. В этой курсовой работе была решена тринадцатая проблема Гиль-
берта. Это была первая работа Арнольда, сделавшая его имя известным всему
математическому миру. А затем началась череда открытий, само перечисление
которых заняло бы несколько страниц.
В своей дипломной работе Арнольд далеко развил один колмогоровский
методов теории динамических систем. Дальнейшее развитие этот метод получил
в работах выдающегося математика Юргена Мозера. Теория, построенная эти-
ми тремя математиками, получила название «КАМ-теории» - теории Колмого-
рова-Арнольда-Мозера. Она нашла многочисленные приложения в математике,
механике, космологии и физике.
Арнольдом были преобразованы целые математические области.
Например - «теория особенностей». В философии с давних времен вы-
сказывалась идея о том, что «при переходе количества в качество» эволюцион-
ные процессы нередко совершают скачки. На этом во многом строилась «тео-
рия революций». Процессы со скачками стали интенсивно изучаться в первой
трети двадцатого века. Один из основоположников нового направления - фран-
цузский математик Рене Том - предложил для него название «теория катаст-
роф». В работах Арнольда эта теория получила выдающееся развитие. Всегда
избегающий неоправданной рекламы, В.И.Арнольд называет это направление
«теорией особенностей».
Арнольд далеко продвинул особый раздел современной геометрии, так
называемую симплектическую геометрию, и заложил новое направление в то-
пологии, получившее фундаментальное развитие, - симплектическую тополо-
гию.
Значителен вклад Арнольда в алгебраическую геометрию. Им были уста-
новлены связи шестнадцатой проблемы Гильберта об овалах вещественных ал-
гебраических кривых с четырехмерной топологией, связь алгебраической гео-
9
метрик и теории кос. Владимир Игоревич был выдающимся геометром, он за-
нимался алгеброй и теорией чисел, комбинаторикой, логикой и основаниями
математики, словом, его творчество охватило почти все разделы современной
математики.
Велики его достижения в естествознании - в гидродинамике, космологии,
теории потенциала. Он имел плодотворные контакты с крупнейшими физиками
своего времени - Н.Н.Боголюбовым, В.Л.Гинзбургом, Я.Б.Зельдовичем. С ув-
лечением и убежденностью В.И.Арнольд развивал и пропагандировал идеи Пу-
анкаре о том, что математика - это часть естествознания.
Арнольд служил своей профессии и просвещению на всех возможных по-
прищах. Он основал выдающуюся математическую научную школу, написал
множество замечательных учебников (его учебник по классической механике
сравнивают с величайшим произведением научной литературы - «Математиче-
скими началами натуральной философии» Ньютона), монографий и обзорных
статей, посвященных проблемам математики. Начиная с руководства знамени-
тым школьным математическим кружком в пятидесятые годы, В.И.Арнольд
очень много внимания уделял непосредственной работе со школьниками. В
1963 году он участвует в работе первой летней математической школы, а по-
следние десять лет ежегодно проводил на юношеских школах в Дубне. Прочи-
танный Владимиром Игоревичем курс для первых выпускников ФМШ (ныне
СУНЦ им. А.Н.Колмогорова), стал педагогическим шедевром. По инициативе
В.И.Арнольда были созданы Московский центр непрерывного математического
образования и Независимый Московский университет. Влияние В.И.Арцольда
на весь математический мир было огромно.
В.И.Арнольд был удостоен множества званий, докторских степеней и. на-
град. Среди премий - премия Московского математического общества (1958 г.,
которой Владимир Игоревич особенно гордился), Ленинская премия (1965,
вместе с А.Н.Колмогоровым), Крафоордская премия Шведской академии наук
(1982), Харвиевская премия Техниона (1994), премия Вольфа (2001), премия
Жунь Жуныпоу (2005) (ее называют Нобелевской премией Востока), Государ-
ственная премия Российской Федерации (2008).
Общая одаренность его личности проявлялась в самых разнообразных его
реакциях и увлечениях. Он был необычайно ярким экскурсоводом по Парижу.
Он совершал длительные (где-то около ста километров) велосипедные прогул-
ки по Подмосковью и по окрестностям Парижа. При этом он и здесь вел топо-
графические съемки, фиксируя места, где находились поляны с грибами, щаве-
лем или земляникой или кустарники с малиной. И когда наступало время, он
отправлялся километров за сорок от дома в избранные некогда места с рюкза-
ком, который заполнялся «дарами леса». Зимой Арнольд совершал лыжные
прогулки, порой до ста километров. Он также любил дальние плавания, ходил в
походы, в том числе в горы. Он необыкновенно много читал и массу из прочи-
танного помнил в деталях, что делало его необычайно интересным собеседни-
10
ком, а среди его собеседников были крупнейшие ученые нашего времени. По
ходу дела им совершались и гуманитарные открытия (вызвало всеобщий вос-
торг его открытие связи эпиграфа к пушкинскому «Евгению Онегину» с тек-
стом из «Опасных связей» Ш. де Лакло). Арнольд оставил множество замеча-
тельных автобиографических заметок, которые, думается, составляют лишь ма-
лую дрлю того, что могло бы быть им сказано. Им написаны прекрасные вос-
поминания о Колмогорове, Зельдовиче, Боголюбове.
Замечательную, на все времена характеристику дал Арнольду его учитель
- Андрей Николаевич Колмогоров в приветствии своему ученику к его пятиде-
сятилетию. В ту пору, когда Арнольд не имел крупных академических званий,
Колмогоров выразил «свое убеждение в том, что происходит чествование пер-
вого советского математика, не только по силе полученных результатов, но и
по темпераменту личности, по способности воспринимать новое и смелости в
преодолении препятствий». Послание учителя ученику удивительным образом
характеризует обоих: и Владимира Игоревича, личность и творчество которого
получили столь восторженную и проницательную оценку, и самого Андрея Ни-
колаевича, стоявшего на пороге смерти, но сохранившего запас душевной щед-
рости и способности восхищаться. Это послание не воспринимается как про-
щание. Это благословение!
Владимир Игоревич Арнольд начал свой путь в бессмертие. Все связан-
ное с ним - необыкновенная одаренность личности, творчество, служение че-
ловечеству - делает его образ незабываемым для всех, кому посчастливилось
соприкоснуться с ним на своем жизненном пути.
В. Тихомиров
Владимир Михайлович Тихомиров -
доктор физико-математических наук, про-
фессор, заведующий кафедрой общих про-
блем управления Мехмата МГУ, Заслужен-
ный профессор МГУ.
Материалы из журнала «Квант» №4, 2010 г. о В. И. Арнольде публикуются с согласия редак-
ции журнала и автора статьи.
И
Статья В.И Арнольда, которую мы предлагаем вашему внима-
нию, впервые была опубликована во втором и третьем выпус-
ках возобновленной серии «Математическое просвещение»
(первый выпуск этой серии вышел в 1956 году, второй и третий
- в 1957 и 1958 годах). В конце краткой аннотации к статье
(посвященной истории школьного математического кружка
при МГУ) автор пишет: «Ниже приводится изложение двух
занятий кружка (секция для десятиклассников) на темы
«Вариация кривой» и «Гармонические функции».Занятия про-
водит автор настоящей заметки». Представляется разумным
кое-что пояснить.
Судя по всему, Арнольд проводил свои занятия в 1955/56
учебном году. В ту пору еженедельно по вечерам собирались
секции школьного математического кружка, работавшие под
руководством аудентов и аспирантов мехмата. Всего тогда
было 13 секций. V каждой секции был старший руководитель
Дима Арнольд (так все звали тогда Владимира Игоревича) был
студентом второго курса. Он был младшим среди старших
руководителей секций.
В середине пятидесятых годов появились секции очень
широкого профиля, где обсуждались самые разнообразные
темы, нередко очень далекие отшкопьной математики. Такова
была и секция Арнольда.
По поводу возникновения первого сюжета статьи - о
вариации кривых - надо назвать два имени - Александра
Семеновича Кронрода и Анатолия Георгиевича Ви^ушкина.
А.СКронрод оставил большой след в математике, в становле-
нии того, что ныне называется Computer Science и в математи-
ческом просвещении. Он стал последним учеником Н.Н. Лузина
- одного из величайших научных наставников всех времен,
создателя московской математической школы. Лузин дал им-
пульс для творческих поисков Кронрода, которые привели его
к осмыслению понятия вариации функции двух переменных.
В1949 году Кронрод объявил семинар для младшекурсников.
Стиль семинара был необычным — это был по сути дела научно-
исследовательский семинар, посвященный разработке темати-
ки, где руководитель семинара занимал ведущее положение в
мире. Одним из участников семинара стал первокурсник А
Витушкин. ставший выдающимся математиком, академиком
Российской Академии наук. Витушкин глубоко продвинул тео-
рию Кронрода, определив понятия вариаций множеств. В 1954
году он объявил семинар для младшекурсников, в котором
принял участие Дима Арнольд. На следующий год тема «Вари-
ация кривых», находящаяся на самом острие науки того време-
ни, была прекрасно обработана Арнольдом для школьников.
Во второй части статьи перед нами блистает фейерверк
красивейших математических сюжетов, где сменяют друг друга
тригонометрия, геометрия, интегральное исчисление, комплек-
сный анализ, и всё это в итоге приводит к геометрическому
определению гармонической функции. С этим фундаменталь-
ным понятием анализа студенты мехмата МГУ знакомятся на
третьем и четвертом курсах. Но оказывается, что за определение
гармонической функции можно взять такое ее свойство:
среднее значение этой функции по любой окружности разно
значению этой функции в центре окружности, И далее следуют
замечательные комментарии, где доказываются фундаменталь-
ные свойства гармонических функций и даются им глубокие
физические интерпретации.
Статья второкурсника Арнольда написана рукой зрелого
мастера, воодушевленного красотой математики.
Два занятия школьного
кружка при МГУ
В.АРНОЛЬД
I. Вариация кривей
Пусть на плоскости дан отрезок АВ длины 1* Если
этот отрезок освещать параллельными лучами, то дли-
на тени, отбрасываемой на различные прямые, будет
колебаться от 0 до 1. Точнее, длина проекции отрезка
на прямые, лежащие в
разных прямых разная,
тй же плоскости, будет для
однако во всех случаях она
заключена между 0 и 1,
Д чина проекции А В на пря-
мую I называется вариаци-
ей отрезка АВ в направле-
нии I (рисЛ): мы будем ее
обозначать Vt (АВ) или про-
сто V/, если ясно, от какого
отрезка берется вариация.
Интуитивно ясно, что су-
ществует среднее значение
«тени» ло всем направлениям и что оно больше 0 и
меньше 1. Точно это означает, что если разделить
угол в 360° на я равных частей и взять среднее
арифметическое
v - Ч ~|~ЧI. * * 4'-чЧ
5 ” п
вариаций отрезка АВ в
направлениях
(рис 2), то существует пре-
дел
te. V* - X ,
И-
причем К заключено между О
и 1.
Это число X называется сред-
ней вариацией или просто
12
вариацией единичного отрезка АВ,
Найти предел К не очень трудно1; он равен — 0,637.
л
Мы, однако, сейчас не будем его находить, а вычислим
К позже - косвенным путем (задача 7); однако фактом
существования предела мы будем пользоваться с само-
го начала.
Задача L Чему равна вариация отрезка длины а?
Решение. Так как, очевидно, но любому направле-
нию такой отрезок имеет вариацию в а раз большую,
чем параллельный ему отрезок единичной длины, то и
среднее арифметическое вариаций по п направлениям
здесь будет в а раз больше, чем для единичного
отрезка, а предел этой величины, т.е. средняя вариация
отрезка длины а, равен Ка.
Вариация ломаной по какому-
нибудь направлению определя-
етсякак сумма длин проекций ее
звеньев на это направление
(рис.З).
Задача 2. Определите вариа-
ции квадрата со стороной 1 в
направлениях его сторон и диа-
гоналей.
Решение. Очевидно, вариация квадрата в направле-
нии каждой стороны равна 2, а в направлении каждой
диагонали равна 2^/2.
Средняя вариация ломаной по всем направлениям
или Просто вариация ломаной по всем направлениям
определяется, как и выше, с помощью предельного
перехода: V ~ lim Vn, где среднее арифметичес-
п ><* *»
кое вариаций ломаной по п направлениям сторон
правильного п-угольника.
Задача 3. Определите вариацию ломаной длины а.
Решение. Очевидно, вариация ломаной по каждому
направлению есть сумма вариаций ее звеньев по этим
же направлениям. А так как среднее значение суммы
равно сумме средних значений2, то вариация ломаной
есть сумма вариаций ее звеньев. Так как, в силу задачи
1, вариация каждого звена равна произведению длины
этого звена на К, то вариация ломаной есть Ка.
Перенесение определения вариации на кривые требу-
ет уточнения понятия кривой. В общей случае это
сделать трудно. Но пусть кривая выпуклая или состоит
из нескольких выпуклых кусков. Тогда при проектиро-
вании кривой на любое, но определенное, направление
можно разбить ее на конечное число кусков, каждый из
которых пересекается только один раз3 .любой проек-
^Сл.. например, в книгеА.МЛглома и И.М.Яглома«Элемен~
тарные задачи в weэлементарном изложении* (М.: Гостехиз-
дат, 1954) задачу 1476.
Точный смысл этой фразы такой: среднее арифметическое
вариаций ломаной по п направлениям равно сумме средних
арифметических вариаций ее звеньев по этим же направлени-
ям. Поэтому и предел при средних арифметических
вариаций ломаной по разным направлениям равен сумме предо
лов средних арифметических вариаций отдельных звеньев.
* Здесь не исключаются случаи, когда подобный кусок
представляет собой прямолинейный отрезок и, следователь-
но, при проектировании в одном из направлений полностью
попадает на проектирующую прямую.
тирующей прямой. Тогда
вариацией кривой по выб-
ранному направлению на-
зовем сумму длин проек-
ций ее кусков на это на-
правление (рис.4). Можпо
показать, что существует
среднее значение этой ве-
личины по всем направле-
ниям. Его мы и назовем
средней вариацией или про-
сто вариацией кривой ли-
нии.
Очевидно^ если кривая ~ ломаная, то мы приходим
к прежнему определению.
Задача 4. Найдите вариацию окружности диамет-
pa D.
Решение. Сначала выберем какое-нибудь направле-
ние. Диаметр этого направления делит окру леность на
два куска — на две дуги, каждая из которых пересека-
ется с любой перпендикулярной к выбранному направ-
лению прямой не более, чем в одной точке. Отсюда
вытекает, что вариация окружности относительно выб-
ранного направления рав-
на 2D. Очевидно, что
такова же и вариация и
по любому другому на-
правлению, а значит, и
средняя вариация окруж-
ности равна 2D.
Выберем теперь на кри-
вой несколько точек и
соединим их последова-
тельно, но подряд (рис.5). Получим ломаную. Можно
показать, что для достаточно хороших (например, для
всех выпуклых) кривых существует предел длий этих
ломаных, при условии, что при изменешти ломаной
длина ее наибольшего звена стремится к нулю. Этот
предел называется длиной кривой.
Можно показать также, чТо для кривых, которые
могут быть разбиты на конечное число выпуклых
кусков, существует' предел вариаций этих ломаных,
когда длина наибольшего звена стремится к 0.
Задача 5. Найдите предел, к которому стремится
вариация ломаной, вписанной в «достаточно хоро
тую» кривую длины а, когда ломаная изменяется
так, что длина наибольшего ее звена стремится к
нулю.
Решение. Так как для каждой ломаной длины ап
вариация равна Кап, а для «достаточно хороших»
кривых а„ а, то предел вариаций ломаных равен
Ка.
Задача 6. Докажите, что вариация («достаточно
хорошей») кривой длины а равна Ка.
Решение. Достаточно заметить, что в такую кривую
можно вписать ломаную со сколь угодно малыми
звеньями, вариация которой по каждому из п данных
направлений совпадает с вариацией кривой. Поэтому,
раз существует предел, отыскиваемый в задаче 5, то он
равен вариации кривой.
13
6 КВАНТ • 2010/HU
Задача 7. Найдите численное значение К, т.е.
вариацию отрезка длины /.
Решение. Так как, с одной стороны, окружность
диаметра D имеет длину я и, значит, вариацию KitD
(задачи 5 и 6), а с другой стороны (задача^), вариация
2
этой окружности равна 2D, то К•» -.
Д' •
Шириной кривой подан-
уг ному направлению назы-
X. вается наименьшее рассто-
/ \ яние между двумя прямы-
/ \ ми этого направления, меж-
/ уду которыми лежит кри-
/ у вая.
/ \ Кривая имеет постоян-
I I ную ширину, если ее ши-
рина по всем направлени-
Рисб --------- ям °Динакова- Примером
кривой постоянной шири-
ны может служить окружность или так называемый
треугольник Рело, составленный из трех равных дуг
окружностей (рис.6) 4 С помощью вариаций получает-
ся весьма изящное доказательство следующей теоре-
мы Варбье:
Задача 8. Докажите, что все кривые постоянной
ширины h имеют одну и ту же длину яй.
Решение. Это следует из того, что вариация каждой
такой кривой по любому направлению равна 2Л, из
результатов задач 6 и 7.
Вот еще одна задача, которая на первый взгляд
представляется довольно сложной:
Задача 9. В круге С радиуса 1 заключена какая-то
кривая L длины 22. Докажите, что найдется прямая,
пересекающая L не менее чем в 8 точках.
2
Решение. Вариация L равна - ♦ 22 > 14 (задача 6 и
я
7); с другой стороны, длина проекции L на любое
направление не превосходит 2 (L заключена внутри
С!). Отсюда вытекает, что для некоторых направлений
определенные участки проекции L будут покрываться
проекциями отдельных дуг L более чем 7-кратно (т.е.
не менее чем 8-кратно), что и доказывает наше утвер-
ждение.
Переходим к изложению занятия, посвященного теме
« Гармонические функции^.
II. Гармонические функции
Две первые задачи из приведенных ниже не имеют
отношения к основной теме. Для полноты освещения
занятия кружка мы приводим их; близкая к ним по
методу решения третья задача являлась подготови-
тельной к четвертой, с которой, по существу, и начи-
налась тема.
Задача 1. Найдите наибольшее и наименьшее значе-
ния выражения
a sin <р + 6 cos <р
Много сведений о кривых постоянной ширины можно
найти в книге И.М.Яглома и В. Г. Болтянского «Выпуклые
фигуры* (М,: Гостехиздат, 1951).
М
О
Рис 1
(а и b положитель- к
ны)\
Решение. Прове-
дем два взаимно-пер-
пендикулярных луча
ОМ и ОАГ и постро-
им прямоугольный
треугольник ОАВ с
катетами ОА « а и
АВ в Ь, расположив
их, как На рисунке 1
ориентированы против часовой стрелки). Обозначим
угол АОЫ через Ф, тогда, проектируя ломаную ОАВ
на ОМ (проекции направленные!), получаем5:
(О#)»пр.ОВ® пр.ОА + пр.АВ» азшф+бсоБф.
Если вращать треугольник ОАВ вокруг вершины О,
то угол Ф изменяется; наибольшее и наименьшее
значения проекции ( OB') достигаются, когда отрезок
ОВ коллинеарен ОМ, т.е. когда tg(p - ~; они равны
Va2 +62 и +К2 .
Задача 2. Докажите, что если
cos^+я2сб8ф2+...+ ezm coscp^, = 0 (1)
(прямые углы МОН и ОАВ
и
Щ cos(<^ 4-1)+ й2С0$(ф2 +1) + .• +z2wCOS(<Pm + 1) = 0
(2)
(все коэффициенты а{ положительны), то и при
любом а
at со$(ф + а) + а2 со$(фз + а)+... + аа соз(фЯ4 + а) - 0.
(3)
Решение. Выберем в плоскости луч ОМ и построим
ломаную линию OAiA2...Ani (рис. 2; т - 3), где
ОЛ( = , A{A2 « а2, .... А^А* ~ат, причем векто-
ры ОА{, А{А2,образуют с лучом ОМ соот-
ветственно углы ФрФ2»«-»Фм • Легко видеть, что усло-
вие (1) означает, что ОА^ ± ОМ, а условие (2) - что
О Ат 1 ОМ, где О Ат получается из ОАт вращением
против часовой стрелки (при обычном направлении
$ (OB') - величина направленной проекции.
14
V •
Xsin —
K = lim£si—1-2
Рис 3
отсчета углов) на угол 1 (радиан). Оба условия вместе
означают поэтому, что ОД, = 0, т.е. совпадаете О.
Нов таком случае проекция вектора ОА,п , ловернуто-
т
го на угол а (т.е. выражение cos(<p, + аР» тоже
i-l
равна нулю, что и доказывает (3).
Задача 3. Вычислите сумму т векторов с общим
началом в центре правильного т-уголъника и с конца-
ми в его вершинах (рис.3,а).
На занятии кружка было предложено три решения.
Решение 1. Пусть сумма этих векторов - вектор ОЙ .
Повернем многоугольник вокруг точки О на угол —.
„ 2п т
Каждый вектор-слагаемое повернется на —; тогда и
_________, т
сумма ОА повернется на тот же угол, приняв положе-
ние ОА7, Вместе с тем каждый вектор перейдет при
таком повороте в следующий, так что сумма не изме-
нится, следовательно, ОЛ' * ОЛ . Но эти векторы
образуют угол . Это может быть лишь при условии
ОА-О. W
Решение 2. Складывая векторы по «правилу треу-
гольника» в порядке следования вершин, получим,
очевидно, m-звенную ломаную, все звенья которой
равны (они равны радиусу окружности, описанной
около многоугольника) и все внешние углы равны (они
равны —; рис.3,6). Отсюда следует, что ломаная
х т
образует правильный /«-угольник; так как он замкнут,
то искомая сумма равна нулю.
Решение 3. Достаточно доказать это для правильно-
го /«-угольника, расположенного в комплексной плос-
кости так, что его вершины изображают все корни
m-й степени из 1 : (рис.3,в). Такой
правильный /«-угольник мы в дальнейшем будем назы-
вать основным /«-угольником. Центр основного
/«-угольника изображает число 0, а одна из вершин -
число 1.
Как известно, вершины основного /«-угольника изоб-
ражают все решения уравнения z™—1 - 0. По теоре-
ме Виета, сумма этих решений равна нулю, ибо ко-
эффициент при z7""1 в этом урав-
нении равен нулю. Но комплекс-
ные числа складываются по прави-
лу сложения изображающих их век-
з торов. Следовательно, сумма век-
торов, о которых говорится в усло-
вии задачи, равна нулю.
Задача 4. Вычислите предел К
rkn\
п
- среднее значение функции
у = sin х на отрезке
Решение. Рассмотрим снова пра-
вильный «/-угольник, о котором го-
ворилось в предыдущей задаче; на этот раз будем
считать радиус описанной окружности равным 1, а
число его сторон четным: т ~ 2п (рис. 4; т == 8).
Сложим теперь только «правую половину» векторов:
Рис 4
ОЛ1 + ОА2 +... + ОД, = OL . Замыкающая OL рассмат-
риваемой суммы будет совпадать с диаметром Dn
окружности, описанной около нового /н-угольника.
Легко видеть, что если вектор ОД направить горизон-
тально, то эта замыкающая при большом т близка к ее
проекции OL' на вертикальную прямую Of.'А так как
проекции единичных векторов ОД, ОЛ2 ,ОД на
эту вертикаль равны как раз
. л л . 2п .л 4л .2л
sm0~0, sin— = sin—, sin — = sm—, ...
tn n m n
. (n -1) к
sin-----~ ,
n
к которому
то среднее значение К равно пределу,
стремится частное —. Но из подобия щ-угольннков,
п
Г Оп f
изображенных на рисунке 4, ясно, что (ра-
71 2
диус ОД ®4), где 6r„=2sin—, а Ь„ = 1. Следош-
п
15
КВАНТ 2 0'0/No4
тельно,
2>п — 1ПГ| п
lim foO \Д,2 5= Hm 1—-- = lira —~
П-Хж- Й П-+™ n «-><» n
Л
SIH —
2n
л
2n
,. 2
— Цщ —--—..
fl—~ . n
n ’2sm —
2я
= lim
n +«>
lim
. n
sin
2n
Замечания,
1, Таким образом, этот предел оказался равным тому
значению К, которое мы раньше назвали средней
вариацией единичного отрезка. Это не случайно; реше-
ние всего цикла задач о вариациях кривых может
рассматриваться как
косвенное вычисление
указанного в этой за-
даче предела.
2. Полученный ре-
х зультат имеет следую-
щий геометрический
Рис 5
смысл: предел, к которому стремится площадь ступен-
чатой фигуры, изображенной на рисунке 5, между
полуволной синусоиды и осью абсцисс, равен 2.
Задача 5, Докажите, что среднее значение произ-
вольного многочлена с комплексными коэффициентами
Pk (z) = / -Г 1 ч-... ц ak
(О
в п вершинах правильного n-угольника на комплексной
плоскости, при п > k, равно значению многочлена в
центре этого многоугольника.
Решение производится в три этапа.
1°. Пусть сначала Pk (z) ~ zk и правильный n-уголь-
ник является основным (см. решение 3 задачи 3).
Тогда сумма k-x степеней комплексных чисел, изоб-
ражаемых вершинами «-угольника, равна нулю при
любом k < п.
В самом деле, при замене каждого числа z на
( 2л . . 2к'
2] cos—-+ ism —
In п
z - £ многоугольник переходит в
' ( 2л к
себя (он поворачивается на — ), а каждое значение z
k 2nk . . 2nk . о
умножается на е - cos---+ г si п-* • 1. Значит, сум-
п п
ма значений zk в вершинах n-уголышка не меняется и
в то же время умножается на tk. Следовательно, она
может равняться только нулю.
Это же рассуждение непосредственно переносится и
на случай Pk (z) = azk.
2°. Так как среднее значение (z) -az1 (t < I < n )
в вершинах основного «-угольника равно нулю, то и
среднее значение суммы zk + ... + ak^Z равно
нулю. Следовательно, среднее значение многочлена
Pk (г) в его вершинах равно ak , т.е* Рь (0).
3°. Обозначим теперь комплексные числа ~ верши-
ны основного n-угольника А$ через zf -1, z2 ~ ,
- е2 * * * ,. z® = е^1 (рис.6) и рассмотрим произволь-
но расположенный одноименный правильный много-
угольник А с. вершинами , Очевидно, пра-
вильный многоугольник А можно получить ИЗ Лф
поворотом, гомотетичесюнм расширением (или сжати-
ем) и параллельным переносом. Другими словами,
найдутся два таких комплексных числа аир, что
z^ - otzf + р (г ~ 1, 2, я).
Здесь модуль а равен отношению сторон многоуголь-
ников Л и 4, аргумент - углу поворота, а р -
комплексное число, изображаемое центроммногоуголь-
ника А.
Теперь заметим, что среднее значение многочлена .
(*) в вершинах zltz2,..*,z„ равно
х л (ог?+р) Ее* (4)
7-1 . = — 1-1
n n n 9
где
Qk (Л * Л (“*+₽) = («*+₽)*+
+ а, (а? + 0)*"' (az + P) + ak
есть многочлен k-й степени относительно z (той же, что
и РА (г)), принимающий в точках z®,,zJJ соответ-
ственно значения P(z2) , ..., P(^n). Поэтому
среднее значение AU) в точках zvz2,...,zft равно
среднему значению Qk(z) в точках т.е.
(см. этап 2° ) равно
О*(о>₽& * В+ +«я_,р+«й.
Но Qb (0) совпадает с значением многочлена (z) в
центре многоугольника А, что и завершает доказатель-
ство.
Пусть f(z) некоторая функция комплексного
переменного г. Рассмотрим последовательность пра-
вильных «-угольников (п = 3, 4, 5, вписанных в
определенную окружность комплексной плоскости, и
последовательность средних арифметических f(z) в
вершинах этих многоугольников. Если при п -> оо эти
16
h 'С л‘-'Л" '
.ДВА; ЗАНЯТИЯ Ш КО Л b H OI О К P У Ж К A JI P H MX У ^< 9
ком-
ЧЧй
•:. -•••• -:^.-
ружмыш. ч'-ЧЧ-й •Ч/'Ч:ч
:г НАИЛИН:5?л ' -,аЧ •• 'М-< -<:ШЧ -<
wпо лю^Ый^ Пчде^им;>
•.. • Йр ;Ч : 7 ч ,v
при этом 3Hafe^ff; >heifcrw в верхштах
основного л-угольникаравны значениям Р„ (^) в вер-
: Й с<^йдйявем
•' зада^5Х1Ш«^^
• корни ограниченного М: ..сред^
неегеометрическое $$$ .5>.--.равЫ
среднемугеометрическомуС^(^ «
.. .* Hp;^ ; Ио
1^р'^
• Задачам-Ha йлоскостиШе*^
ные -Й
шсчиты^^^ =
трицательноечисло
(аначён twc®’.^'?
г|фяЙрда/:\.-\Ч.-:^ ••• • * '• =
геомстриче<жо^^^
• • '
' ;,Ч" '
\4>\.п1^сть; ойружностъч .,;7.
; . •ЧЛеН;^^^
ч рйшИр^ • •
Это комплексное число есть значение многочлена
В точке я ш <? • <Старший ждо)х|од^^
Л (^) «И равен: единице^ а коршт его равны
поэдгск НЙ)«/^^НГ СШРЙ*
тель*й* ; Ч" '
. W»WM w ч.
Но тНкН ^ Му ^О
$Г$|& ».'':;
де;./
?4;4:HWW^
ф^ции^(М^пол^ойакр^жн^
'д:хй^)Ь«йсвШ^у . '^/:ч
Решение. Пусть
"":у-. шнс,::ййейш№
.з5айРВ,:Ш':Ч::Ч< ?-?;Ч?;':;"--4 .. •' -V-ЧЧ^-Ч/.<-/ : :•
- - • г^-ууу _• •<•; .• < ': ;•/'<;
Um fa а*) - -•+(ftn - ^>) - о
•?' /:Я*4«в, •.:•/••:•: . ' $ • <':<\?<;;-/7:<::;';’.';Л?, - "’’
Но,очевйдао,длядюбой
, у\!* • У- -
киж; то доказываемая теорема справедлива:?^.-Щй-'
Л1о<5^;::’^го€йнал':1?г^);
>:Й
................. '---•*-а——
.. -Ц - корни
У
звмныт
17
10 КВАНТ
таким образом, требуется доказать, что
.. fZOBM1+ZOW2 + ... + ZO#M„
lim -----i-------*--------—-
п
^OAMj f ZOAM2 4-.,. + АОАМп
п
т.е. что среднее значение угла ОВМ на окружное™ S
равно среднему значению угла ОАМ на этой окружно-
сти. Предположим теперь, что п « 2т четно и
2т-уголъник имеет прямую О А осью
симметрии, проходящей через середины сторон
и . В этом случае, очевидно,
ZOZAA+ZOXM>=2k,
АОАМ2 + AOAM2m~t = 2д,
АОАМп + ZQZMw_t = 2я
и, следовательно,
2т
^AOAMi
-El—-----= 7t
2т
независимо от значения п.
Отсюда вытекает, что если среднее значение функ-
ции АОАМ существует (а это мы будем предпола-
гать, не задерживаясь на доказательстве), то оно равно
я. Точно так же равно л и среднее значение по
окружности функции АОВМ , что и доказывает ( * ) и
требуемую теорему.
Функции, среднее значение которых на каждой
окружности равно значению в центре окружности,
называются гармоническими.
Из задачи 5 вытекает, что действительная часть и
коэффициент при мнимой части любого многочлена от
комплексного переменного (точки комплексной плос-
кости) являются гармоническими функциями; задача 6
связана с гармоничностью логарифма модуля много-
члена (в области, где многочлен не имеет корней),
задача 7 дает геометрический пример гармонической
функции.
Гармонические функции играют выдающуюся роль в
математике, физике и технике. Для примера упомянем
здесь о задаче нахождения распределения температур
в произвольной плоской однородной пластинке. Ясно,
что если распределение температур - установившееся,
т.е. самопроизвольного перераспределения температур
не происходит, то оно дается гармонической функцией,
ибо если бы среднее значение температуры на малой
окружности было, например, больше температуры в
центре О, то точка О нагревалась бы.
Очевидно, что заданная в некоторой области гармо-
ническая функция может принимать наибольшее и
наименьшее значения лишь на границе этой области,
ибо если бы наибольшее значение достигалось во
внутренней точке О, то среднее значение по окружно-
сти с центром в О не могло бы совпадать со значением
20 1 O/NsH
в О. Это предложение называется принципом максиму
ма и Играет большую роль в теории гармонических
функций. Из него следует, что значения гармоничес-
кой функции в области полностью определяются ее
значениями на границе этой области: так, например,
распределение температур на пластинке определяется
температурами на крае пластинки Действительно,
если бы существовали две разные гармонические фун-
кции, то их разность (которая, очевидно, тоже будет
гармонической функцией) была бы равна нулю на
границе области и отлична от нуля где-то внутри нее;
но это противоречит тому, что гармоническая функция
принимает наибольшее и наименьшее значения на
границе.
Функции, заданные в отдельных точках плоскости,
например в центрах квадратов бумаги «в клеткуь
называются функциями на сетке. Гармонической фун-
кцией на сетке называется такая, у которой значение
в каждой точке равно среднему арифметическому ее
значений в соседних точках. Как и для гармонических
функций на плоскости, здесь можно показать, что
наибольшее и наименьшее значения гармоническая на
сетке функция принимает на границе сетки и что
значения гармонической функции на сетке однозначно
определяются ее значениями в граничных узлах сетки.
При математическом приближенном решении задач,
связанных с гармоническими функциями, их часто
заменяют гармоническими на сетке функциями. Таким
образом, например, можно вычислить температуру в
точке однородной плоской пластинки, если известна
температура на краю. Для этого пластинка делится на
мелкие квадратики, где температура предполагается
неизменной, и выписывается условие гармоничности
на сетке, состоящей из центров квадратиков: среднее
арифметическое температур соседей данного квадрати-
ка равно его собственной температуре; решение задачи
удобно проводить методом последовательных прибли-
жений.
Легкая задача 8 касается одного важного свойства
гармонических функций на сетке.
Задача 8. В каждой клетке бесконечного листа
клетчатой бумаги написано натуральное число, рав-
ное среднему арифметическому чисел, стоящих в
четырех соседних клетках- Докажите, что во всех
клетках написано одно и и то же число.
Решение. Четыре соседа-числа в такой таблице, как
указано в условии, не могут быть все больше его и не
могут быть все меньше его. Вместе с тем среди любого
количества натуральных чисел всегда есть наименьшее
п. Все четыре его соседа равны п, так как они не меньше
и, и если хотя бы одно было больше, то среднее
арифметическое гоже было бы больше п, тогда как по
условию оно равно п.
Точно так же соседи этих соседей равны п и ъд. Так
мы убеждаемся, что все числа в клетках равны п
18
СЕРГЕЙ МИХАЙЛОВИЧ НИКОЛЬСКИЙ,
выдающийся российский математик, академик
АН СССР, 30 апреля 2010 года С.М. Никольскому
исполнилось 105 лет.
«У ВАС ЕЩЁ ВСЁ ВПЕРЕДИ»
с Сергеем Михайловичем произошла 3 августа 2010 го-
да. Я приехала навестить его по предложению Владимира Николаевича Чубарикова в санаторий в Пе-
ределкино. Зная Никольского С.М. только по рассказам Димы да по фотографиям из книги «Мой век»,
я сразу безошибочно узнала его, сидящего на скамейке в тени высоких раскидистых деревьев. Он дер-
жал в руках палку. Чувствовалось, что он очень плохо видит. Рядом с ним сидела его младшая дочь На-
талья Сергеевна. Узнав, что я с Мехмата, Сергей Михайлович принялся спрашивать меня о наших учи-
телях. Когда я стала называть: Колмогоров, Александров, Меньшов, Люстерник..., Сергей Михайлович
начал вспоминать разные эпизоды своей учёбы, встреч с этими прекрасными математиками и через не-
которое время спросил, когда я училась в университете. Я ответила: «Одновременно с Димой Арноль-
дом, на одном курсе». Сергей Михайлович мгновенно оживился и засмеялся: «Дима, ну задавака! Как
он любил чем-то похвастаться. Дачи у нас рядом. То приедет на велосипеде и обязательно покажет соб-
ранные грибы или клюкву: "Я новое место нашёл. Там так много клюквы!" Конечно, был он с аплом-
бом, но очень много знал и этим всех удивлял. Как-то я рассказывал о Москве в первые годы войны и
назвал город Жуковский. Арнольд тут же поправил: "В те годы это был не город Жуковский, а насе-
лённый пункт назывался рабочим посёлком Стаханове, и только 23 апреля 1947 года он переименован в
город Жуковский". Откуда он всё это выкопал?»
Сергей Михайлович говорил, что не только он, но и другие удивлялись любопытству Ар-
нольда и желанию много знать и обо всём, да, к тому же, всё носить в своей памяти. Он владел зна-
ниями из разных областей наук. Сергей Михайлович прмнит случай, как работу Колмогорова и Ар-
нольда по динамическим системам отклонила от Ленинской премии комиссия, состоявшая из матема-
тиков и механиков. Но потом премия была присуждена Комитетом, состоявшим из физиков, химиков,
биологов, инженеров. Каждый из них видел реальные открытия и пользу для себя.
«Когда выдвигали Арнольда на академика, я голосовал за него, - продолжает вспоминать
Сергей Михайлович. - Он потом пригласил меня в гости и сказал, чтобы я пришел непременно с по-
дарком. Я думал, думал, что принести. Тогда еще не очень часто цитировали его, и я принёс научную
книгу, в которой была пара ссылок на Арнольда. Увидев их, он так был рад! А теперь, говорят, на
него в научном мире ссылаются больше всего».
В конце своей жизни Андрей Николаевич Колмогоров полушутя говорил, что завидует
только двоим - Арнольду - за его необыкновенную физическую выносливость и Никольскому - ко-
торый всего на два года моложе его, но удивительно бодр. Сергей Михайлович сожалел, что такой
крепкий Дима ушёл так рано, а он говорил как-то лучшему другу: "У вас ещё всё впереди"».
Алла Белова
19
ОДНОКУРСНИКИ
КИРИЛЛОВ АЛЕКСАНДР АЛЕКСАНДРОВИЧ,
доктор физико-математических наук, профессор,
Мехмата МГУ 33 года,
США, Пенсильванский университет
ДИМА АРНОЛЬД
Прошло 4 месяца со дня трагической и неожиданной смерти нашего однокурсника,
замечательного математика и человека Владимира Игоревича (для нас Димы) Арнольда. Хо-
тя все еще трудно поверить, что его нет, но пора вспомнить и рассказать, каким он был. Ко-
нечно, разные люди вспомнят разное, но другого способа писать историю не существует.
Наше дело рассказать, что мы помним, а потомки решат, как это связать вместе и что из это-
го наиболее важно. В моей жизни Дима значил очень много, и обо всём я сейчас рассказать
не могу, да и не всё вспомню.
1. ГОДЫ УЧЁБЫ
С. Кириллов И. Г. Петровский Д. Арнольд
Начну с первых впечатлений. Мы встретились в сентябре 1954 года, оказавшись в од-
ной 109 группе на первом курсе Мехмата. До этого мы были знакомы заочно, участвуя в Мо-
сковских математических олимпиадах с 7-го по 10 класс. Дима ходил также в математиче-
ские кружки и вообще, как я узнал позже, вращался в научной среде. А я стеснялся и до 10
класса ходил только на олимпиады, где никто ни о чём не спрашивал, и надо было только
решать задачи. Это у меня получалось неплохо, и последние два года я получал первую пре-
мию, а Дима вторую. На первом курсе мы продолжали наше соперничество уже в очной
форме.
На нашем курсе ещё продолжалась традиция старого Мехмата на Моховой: все более
или менее знали всех. В каждой группе выявились заводилы, было известно, у кого какие та-
ланты, кому курс Мехмата даётся с трудом, а кто уже фактически знает программу первого
курса. Я принадлежал к компании студентов-москвичей, многие из которых знали друг друга
21
ещё со школы по математическим кружкам, олимпиадам, школьным вечерам или через
старших родственников. Начавшись с 5-10 человек, эта компания разрослась до 20-25, вклю-
чив не только москвичей, но и студентов, живших в общежитии. Их блоки стали центром
общения, в которых мы проводили немало времени после (иногда и вместо) занятий.
Помимо обязательных лекций и занятий на нашем курсе был объявлен семинар по
теории функций действительных переменных (ТФДП), самой популярной тогда области ма-
тематики с богатыми традициями, заложенными Д.Ф.Егоровым, Н.Н.Лузиным,
А.Н.Колмогоровым, А.Я.Хинчиным, Д.Е.Меныповым и др. Вёл этот семинар Анатолий Ге-
оргиевич Витушкин, который был тогда аспирантом первого года, и которого мы называли
просто Толя. Это был замечательный человек. Ослепши в 14 лет (после экспериментов с гра-
натой), он выучился самостоятельно играть на пианино, с блеском окончил Мехмат и был
избран академиком АН СССР.
Он тоже вошёл в нашу компанию и даже ходил в байдарочные походы. Некоторые его
советы нам очень пригодились. Так, он советовал каждый год писать статью, которую можно
использовать как курсовую работу на следующий год, а освободившееся время использовать
для написания следующей работы. В качестве подготовки к экзамену он советовал по каж-
дому экзаменационному билету подготовить какую-нибудь изюминку, которая позволила бы
проэкзаменовать экзаменатора. Дима Арнольд творчески воспринял первый совет, написав
на третьем курсе свою будущую кандидатскую диссертацию. Я, напротив, погорел на втором
Толином совете. Отвечая на один из вопросов Г.Е.Шилова по Анализу-3, я сослался на одну
лемму из книги Шилова, не входившей программу. На что Шилов, радостно засмеявшись,
сказал: «А лемма-то неправильная!» и предложил мне ещё подумать. Я очень сконфузился и
действительно задумался. Вскоре я понял, почему лемма неверна и как исправить её и тем
самым спасти моё доказательство.
Семинар Витушкина (как я узнал значительно позже) был продолжением знаменитого
семинара А.С.Кронрода1, в котором участвовал сам Витушкин. Семинар Витушкина про-
должал традиции Кронрода и отличался по стилю от многих прочих семинаров. Так, у уча-
стников заранее не предполагалось никаких предварительных знаний. Давались только опре-
деления и формулировались задачи. Таким образом, участники семинара заново переоткры-
вали основные факты вещественного анализа, включая меру Лебега, теорему Радона-
Никодима, дифференцируемость почти всюду монотонных функций, С-свойство Лузина из-
меримых функций и т.п.
Там мы познакомились с проблемой Гильберта о суперпозициях функций многих пе-
ременных. Гильберт спрашивал,’можно ли представить функцию п переменных суперпози-
циями функций меньшего числа переменных (точнее, в оригинале шла речь о корнях поли-
нома седьмой степени, которые выражались через коэффициенты с помощью функций трёх
переменных, и было неизвестно, можно ли обойтись функциями двух переменных). Вопрос
этот стал необычайно популярен после того, как А.Н.Колмогоров получил сенсационный ре-
зультат: всякая непрерывная функция п переменных представима суперпозицией непрерыв-
ных функций трёх переменных. Разумеется, все участники семинара Витушкина, включая
руководителя, бросились на оставшуюся часть проблемы.
Мы вместе с Димой получили одновременно и независимо друг от друга несколько
простейших результатов. В частности, нашли пример (один и тот же) непрерывной функции
f двух переменных х и у, не представимой в виде / (<р(х) + у(у)), где /, #>, и - непре-
рывные функции одной переменной. Наш результат, как и наша первая (и последняя) совме-
стная работа, остался неопубликованным. Потом наши пути разошлись. Я начал активно ра-
ботать в семинаре Е.Б.Дынкина по группам Ли. Дима продолжал думать над суперпозициями
и, ко всеобщему изумлению, через полтора года решил проблему Гильберта.
1 Об А.С. Кронроде см. статью В.М.Тихомирова в журнале Математическое просвещение,
2002, вып. 6.
22
Этот результат вызвал бурную и, как сейчас выражаются, неоднозначную реакцию.
Одни полагали, что это - типичное везение. Просто, дескать, Арнольд придумал хитроумный
трюк, позволяющий дотянуть теорему Колмогорова до искомого результата о представлении
функции трёх переменных суперпозициями функций двух переменных.
Другие говорили, что Гильберт имел в виду совсем другую задачу, в которой функции
предполагаются аналитическими, или хотя бы достаточно гладкими. Тогда и ответ должен
быть другим, отрицательным, как и было впоследствии доказано Витушкиным.
Третьи просто восхищались новой математической звездой и предсказывали ей бле-
стящее будущее. В конце концов, третьи оказались правы, но только сейчас, после того, как
опубликована почти тысяча математических работ Арнольда, мы начинаем понимать, как
эти работы связаны, и какие усилия и прозрения за ними стоят. Об этом я ещё скажу позже.
Но вернёмся назад, на первый курс. Главным спортивным увлечением, общим для
студентов Мехмата, был туризм: пеший, водный, горный. Математики вообще любят ездить.
Мы все знали о туристских подвигах математиков старшего поколения: О.Ю.Шмидта, Б.Н.
Делоне, А.Н.Колмогорова, П.С.Александрова и др. Наш курс тоже оставил заметный след в
истории туризма: Юра Хмелевский был научным руководителем знаменитого лыжного по-
хода на Северный полюс.
Летом 1955 года наша компания хотела, почти в полном составе, пойти в байдароч-
ный поход. Однако организационные и технические трудности отмели большую часть, и ос-
талось 7 или 8 человек. В спортивном клубе МГУ нам удалось получить две байдарки дово-
енного производства. Об их состоянии красноречиво сказал руководитель спортклуба
Д.А.Самарин: «Каждая группа, ходившая на этих байдарках, считала, что этот поход послед-
ний (для байдарок)». Действительно, когда мы высадились из пригородного поезда на берегу
реки Пры в Мещёре и развернули чехлы байдарок, то вначале пришли в уныние. К счастью,
из нас всех только Дима Арнольд, начальник нашего похода, раньше имел дело с байдарка-
ми. Поэтому остальные даже не представляли, сколь бедственно наше положение. Под руко-
водством Арнольда мы провели инвентаризацию и выяснили, какие части байдарок безна-
дёжно сломаны и какие вовсе отсутствуют. Потом занялись починкой и изготовлением час-
тей, склейкой и сборкой. На это ушёл весь первый день и большая часть второго. Особенно
Мы гордились новым носовым штевнем, вырезанным из ствола кривой берёзы. Кончили ра-
боты уже под вечер, но всем хотелось немедленно опробовать наши суда, и мы тронулись в
путь. Немедленно выяснилось, что одна из байдарок (ей было присвоено имя Умора) силь-
но течёт. Вторая (её назвали Зануда) почти не текла, но могла плыть прямо, только если гре-
сти одними левыми вёслами. При нормальной гребле она круто уходила влево, а при гребле
правым веслом, разворачивалась назад. Пришлось выгружаться на берег и продолжать ре-
монт. При высадке произошёл трагикомический эпизод. Миша Шур, которому было поруче-
но достать запас сахара из носа своей байдарки, вдруг издал громкий тревожный звук, вроде
пароходного гудка. Все воззрились на Мишу, который застыл в следующей позе: левая нога
в байдарке, правая на крутом берегу, в руках тяжёлый мешок с сахарным песком. Было вид-
но, как он с трудом пытается удержать байдарку у берега, а она медленно, но неумолимо от-
ходит от него. Разумеется, конец был закономерным: байдарка отошла почти на метр, Миша
с плеском сел в воду, но сахар остался цел. Даже сидя по шею в воде, Миша держал мешок в
поднятых руках, пока его не перехватил кто-то, шагнув в воду. Надо сказать, что это и все
последующие приключения не испортили нам настроение, и на другой день наш флот про-
должал плавание.
Через день, однако, мы поняли, что перегруженные байдарки плывут слишком мед-
ленно и все время рискуют опрокинуться. Начальник принял волевое решение и разбил нашу
группу на две: водную и пешую. Мы условились о месте встречи. На другое утро я поднял
пешую группу, и мы налегке, с полупустыми рюкзаками, бодро двинулись в путь. А Дима
остался приводить в порядок суда и вести их в дальнейшее плавание. Поход благополучно
завершился при впадении Пры в Оку, откуда мы на пароходе отправились домой. В этом по-
ходе Дима проявил свои лучшие качества как руководителя и как участника похода. Ещё за
23
полгода до этого, в зимнем лыжном походе по Подмосковью, Дима изобрёл термин «квази-
энтузиаст». Каждый участник похода мог объявить себя квазиэнтузиастом и тем самым при-
нять на себя обязательства:
1. Беспрекословно и с показным энтузиазмом выполнять любое распоряжение началь-
ника.
2. Быть готовым в любой момент поменяться с любым участником похода (по его
просьбе) местом, обязанностями и снаряжением.
Помня об этом зимнем походе, несколько человек и в байдарочном походе объявили
себя квазиэнтузиастами, что немало способствовало успеху похода.
Летом 1956 года мы собирались опять пойти в байдарочный поход. Но в это время
было решено поднимать целинные земли, и студенты в добровольном порядке поехали на
целину. Нашему курсу довелось работать в окрестности Алма-Аты, в полупустыне Южного
Казахстана. Кроме нас, студентов, туда были посланы также молодые механизаторы с Ук-
раины, только что закончившие краткосрочные курсы. Опыта работы у них было не намного
больше, чем у нас. К тому же, обнаружилась хроническая для России тех лет нехватка запас-
ных частей. Поэтому студенты, назначенные комбайнерами, в том числе и мы с Димой,
большую часть времени провели на других работах. Но пришёл и на нашу улицу праздник, и
мы встали за штурвалы комбайнов.
Помню наш разговор о разнице между комбайном и зенитной пушкой, которую мы в
тот год изучали в курсе военного дела. Дима сделал такое замечание: «Пушка сделана так,
что она не ломается даже при прямом попадании в неё небольшого снаряда. Комбайн же ло-
мается, даже если ты не загружаешь его работой, а крутишь на холостом ходу». Я думаю,
уже тогда у него зародились мысли о неэффективности многоступенчатого управления, поз-
же блестяще сформулированные в его книжке о жёстких и мягких математических моделях..
Много было на целине и других интересных событий, но о них уже рассказано в двух первых
выпусках этой книги. Для меня, среди прочего, целина запомнилась открытием звёздного
неба. До этого я не знал даже Большой Медведицы, а под руководством Арнольда с удоволь-
ствием выучил названия большинства ярких звёзд и многих созвездий, видимых в нашем по-
лушарии. Помню характерный стиль Арнольда, описывающего звёздное небо: «А вот здесь,
ниже Кассиопеи, мы видим созвездие Андромеды, в котором две левые звезды принадлежат
Персею, а две правые - Пегасу».
После окончания целинной страды нам сообщили, что нашему отряду удалось собрать
урожай пшеницы примерно 16 центнеров с гектара, что было тогда выше средней урожайно-
сти по Союзу. Нас распустили по домам, подарив нам месяц отдыха в компенсацию летних
каникул. Многие, особенно не москвичи, разъехались по домам, а другие решили воспользо-
ваться тем, что очутились за казённый счёт далеко от Москвы в экзотической Средней Азии.
Саша Крылов, тогда начинающий аспирант, и мы с Димой решили проделать извест-
ный среди горных туристов маршрут Алма-Ата - Иссык-Куль. Тогда ещё не было карт и пу-
теводителей, но в Клубе туристов Алма-Аты нам удалось найти и списать описание этого
маршрута и скопировать приближённую карту. Путешествие заняло четыре дня и три ночи,
которые мы провели, укрываясь одеялами, поскольку палатки у нас не было. К счастью, по-
года стояла отличная и, слегка подмерзая ночами, мы быстро отогревались утром и бодро
шагали по горной дороге, а потом по тропе, хорошо протоптанной многими поколениями
коров, овец, коз и ослов (ишаков). На пути нас ждало несколько препятствий: два не очень
сложных перевала через хребты Кунгей Ала-Тау и Илийский Ала-Тау и между ними серьёз-
ная переправа через довольно большую горную реку Чонг-Кемин. В описании маршрута бы-
ло сказано, что из-за бурного течения реку нельзя перейти ни вброд, ни на лошади, а только
на верблюде (поскольку у верблюда длинные ноги и вода не достает до живота). Там же со-
общалось, как раздобыть верблюда: надо найти юрту с киргизами и попросить у них. Они в
ответ попросят 500 рублей или маленькую пачку чая. Всё так и оказалось. Пачку чая мы за-
годя купили в Алма-Ате за 3 рубля и оплатили свою переправу. По дороге встретились и бо-
лее мелкие речки и ручьи. Переправа через один из них привела к другому смешному про-
24
исшествию. Арнольд и Крылов, считавшие себя опытными горными туристами (по сравне-
нию со мной, никогда раньше не бывавшим в горах), решили организовать образцовую верё-
вочную переправу. В один из моментов, когда мы с Димой удерживали в натяжении верёвку,
на которой висел самый тяжёлый из нас Саша Крылов, мы почувствовали, что верёвка всё
больше и больше провисает, и Сашин зад вот-вот коснётся воды. Картина была довольно
смешной, и смех ещё больше ослаблял нас, а верёвка ещё больше провисала. Наконец, Саша
коснулся.воды, дёрнулся, и с его головы слетела в воду белая кепка. Мы дружно расхохота-
лись, и вдруг Саша, глядя на нас, тоже стал хохотать. Почувствовав неладное, Дима спросил,
в чём дело. И Саша, захлёбываясь от смеха, ответил: «Это твоя кепка». И действительно, пе-
ред переправой они зачем-то поменялись кепками.
Озеро Иссык-Куль встретило нас маковыми полями необычайной красоты, теплой во-
дой и пустынным песчаным пляжем неподалёку от курортного посёлка Чолпон-ата. На бере-
гу я обнаружил 5-метровую вышку и пообещал научить Диму и Сашу с неё прыгать. Надо
сказать, что на первых двух курсах МГУ я занимался спортивной гимнастикой, а на втором
курсе нас пригласили попробовать себя в новом тогда виде спорта: прыжках в воду. Я сразу
понял, что этот спорт для меня. Несмотря на близорукость, я быстро выполнил норму 2-го
разряда, и мне не терпелось приложить свой знания. Арнольду я очень быстро объяснил на
языке механики, что если палку весом и длиной с человека поставить на край пятиметровой
вышки и отпустить, то она сделает в падении поворот на 180 градусов и воткнётся верти-
кально в воду. Я продемонстрировал это на своём примере, и Дима, забравшись на вышку,
послушно выполнил мои указания и вертикально вошёл в воду (не без брызг, поскольку вся-
кий начинающий невольно сгибает ноги при входе в воду).
Саша Крылов, вдохновлённый этим примером, тоже залез на вышку. Но ему не хвати-
ло веры в теорию, и он, после некоторых колебаний, слез обратно. Позже Дима Арнольд рас-
сказывал мне продолжение этой истории (надеюсь, с лёгкими преувеличениями). Через мно-
го лет он оказался вместе с Робертом Адольфовичем Минлосом и Михаилом Львовичем Ли-
ловым на берегу моря, где стояла вышка. Решив передать дальше свой опыт, он уговорил
обоих математиков прыгнуть с вышки. Результат оказался плачевным: Минлос повредил
спину, а у Лидова лопнула барабанная перепонка. Арнольд укорял меня за якобы неправиль-
ную методику обучения. Я отвечал ему, что, во-первых, результат зависит не только от учи-
теля, но и от ученика; а, во-вторых, спросил, точно ли он пересказал мою аналогию с палкой.
Дело в том, что если человек не ведёт себя, как палка, а, например, отталкивается от вышки
или в полёте сгибается, то вертикальный вход может и не получиться.
25
На старших курсах мы с Димой общались уже реже. Каждый работал в своей области.
Мне удалось найти в теории представлений новый подход, который я назвал методом орбит.
По существу, это было применение идей симплектической геометрии (то-есть, на языке Ар-
нольда, классической механики) и носящихся тогда в воздухе основ квантовой физики к за-
дачам теорий представлений. Я написал на эту тему мою первую крупную статью и предста-
вил ее в качестве кандидатской диссертации. Для меня стало полной неожиданностью, когда
один из оппонентов (М.И. Граев) предложил рассматривать мою диссертацию как доктор-
скую. Другой оппонент (Н.Я. Виленкин), как мне показалось, слегка опешил, но поддержал
это предложение. Правда, как выяснилось, возникшую проблему нельзя было решить на
данном учёном совете: требовался третий оппонент и поддержка так называемой передовой
организации, которой диссертация посылалась на отзыв. Всё это потребовало времени. В ре-
зультате защита растянулась на три месяца, но закончилась благополучно. В тот же день за-
щищал свою кандидатскую диссертацию и Дима. Его руководитель А.Н.Колмогоров также
внёс предложение расценить диссертацию как докторскую. Но один из оппонентов (А.Г. Ви-
тушкин) выступил против, мотивируя это аргументами, которые я приводил выше. К сча-
стью, Дима и в этом случае, творчески следуя старому совету Витушкина, уже имел в занач-
ке вторую диссертацию, которую и защитил блестяще примерно через год.
В это время И.Г. Петровский, тогдашний ректор МГУ, воспользовался открывшейся
вакансией и предложил Диме и мне досрочно закончить аспирантуру и поступить в МГУ на
работу в качестве ассистентов. Разумеется, предложение было с восторгом принято, и с осе-
ни 1961 года мы начали трудовую деятельность на Мехмате, которая продолжалась 25 лет у
Димы и 33 года у меня.
Наше последнее совместное путешествие состоялось в августе 1962 года. Это был
разгар Хрущёвской оттепели. Власти решили послать на Международный математический,
конгресс в Стокгольме (Швеция) не обычную делегацию в 25 человек, а представительную
группу математиков. Планировалось послать официальную делегацию (25 человек от АН
СССР и 25 от республиканских Академий) и группу в 400 человек научных туристов. Одна-
ко, в результате в Швецию поехала объединённая группа делегатов и туристов, всего около
50 человек. Новым было включение в эту группу молодых математиков: Д.В. Аносова, В.И.
Арнольда, А.А. Кириллова, Ю.И. Манина и Л.Д. Фаддеева. Старшему из нас было 28 лет,
младшим - 25.
2. Арнольд и естествознание
Здесь я расскажу, какое влияние Арнольд оказал на меня, и попробую осмыслить
предполагаемое влияние его работ на математику и науку в целом. Если первое более или
менее в моих силах, то второе, разумеется, чрезвычайно трудная задача, и я буду рад, если
внесу хотя бы малый вклад в ее решение.
Основное отличие Димы Арнольда от многих, даже очень сильных математиков, в
том, что он по своей природе естествоиспытатель. Из его автобиографических публикаций
видно, что он с детства был окружён замечательными учёными, энтузиастами в разных об-
ластях знаний (см., например, книгу И.В.Арнольда «Принципы отбора и составления ариф-
метических задач», Москва, МЦНМО, 2008, с предисловием Димы Арнольда). Конечно, этот
факт - не его заслуга. Но он сумел использовать его на сто процентов. В наши первые сту-
денческие годы это не слишком бросалось в глаза. Я, например, начал понимать, что он из
другого теста, только в годы аспирантуры и вполне осознал значительно позже, когда наши
судьбы окончательно разошлись, и я следил за его успехами по докладам и публикациям.
Я не хочу здесь описывать главные результаты Арнольда, о них уже много сказано, и
ещё больше и лучше скажут его многочисленные ученики. Не буду также обсуждать не-
сколько выпусков «Задач семинара Арнольда», завоевавших всемирную известность.
Мне хотелось бы отметить завораживающий стиль Арнольда, в котором написаны,
например, его учебники и обзорные статьи. Особенно замечательны в этом отношении не-
большие популярные книжки, которых Дима написал много в последние годы его жизни.
26
Вот, например, перечень брошюр, изданных Московским Центром Непрерывного Математи-
ческого Образования (МЦНМО):
«Жёсткие и мягкие математические модели», 2000; «Цепные дроби», 2001; «Группы
Эйлера и арифметика геометрических прогрессий», 2003; «Задачи для детей от 5 до 15 лет»,
2004; «Динамика, статистика и проективная геометрия полей Галуа», 2005; «Что такое мате-
матика?», 2008; «Вещественная алгебраическая геометрия», 2009; «Геометрия комплексных
чисел, кватернионов и спинов», 2009; «Математическое понимание природы. Очерки удиви-
тельных физических явлений и их понимания математиками (с рисунками автора)», 2009.
Эти книги - не только незаменимое пособие для школьников, студентов и аспирантов,
но и очень полезное (тут, пожалуй, лучше подойдет английский эпитет “provocative” (прово-
цирующий на размышление) чтение для взрослых математиков. Я думаю, что со временем
влияние этих публикаций на современную математику окажется сравнимым с влиянием чис-
то научных результатов Арнольда.
Приведу лишь два примера. В одной из книжек Арнольда я обнаружил следующее за-
мечание: «...тождество Якоби, вынуждающее три высоты треугольника пересекаться в одной
точке...» Я был поражён этим утверждением и немедленно стал его проверять. Не хочу ли-
шать читателей удовольствия самостоятельно убедиться в правоте Арнольда. Скажу лишь,
что это особенно наглядно не в плоской, а в сферической геометрии. Точка на сфере - это
единичный вектор в трёхмерном пространстве; прямая на сфере это большой круг с эпицен-
тром, который также задаётся единичным вектором в трёхмерном пространстве. С другой
стороны, трёхмерное вещественное пространство является аЛгеброй Ли относительно опера-
ции [А, В] векторного произведения. Оказывается, что прямая, проходящая через точки А и
В, соответствует единичному вектору, пропорциональному [А, В], а перпендикуляр, опу-
щенный из точки А на прямую, соответствующую вектору Р, задаётся единичным вектором,
пропорциональным [А, Р]. Значит, перпендикуляр, опущенный из точки А на прямую, со-
единяющую точки В и С, задаётся единичным вектором, пропорциональным двойному ком-
мутатору [А, [В, С]]. Из тождества Якоби вытекает, что единичные векторы, пропорциональ-
ные [А, [В, С]], [В, С, А]] и [С, [А, В]], линейно зависимы. А это значит, что соответствую-
щие прямые пересекаются в одной точке.
В другом месте Дима отметил, что радуга - одно из самых и красивых, и часто наблю-
даемых физических явлений, объясняется законами отражения и преломления света в капле
воды. В то же время, этот факт мало известен математикам, хотя он может отлично служить
для иллюстрации и пропаганды математического анализа среди неспециалистов. Я использо-
вал эту тему в лекциях для школьников и студентов Независимого Московского Университета.
Как отмечалось разными людьми, среди читателей работ Арнольда много нематема-
тиков: физиков, химиков, биологов и лингвистов. Такое же разнообразие наблюдалось среди
его научных коллег и личных друзей. Дима был редким примером универсального учёного-
естествоиспытателя и таким он запомнится всем, кто его знал.
А.А. Кириллов
В.И.. Арнольд, 2005 г
27
АРХАНГЕЛЬСКИЙ АЛЕКСАНДР ВЛАДИМИРОВИЧ,
преподавал на Мехмате МГУ 40 лет, доктор физмат наук,
профессор; Лауреат Премии Ленинского комсомола,
иностранный член Болгарской Академии наук
ВСПОМИНАЯ ОБ АРНОЛЬДЕ
(МОИ СТУДЕНЧЕСКИЕ ГОДЫ В МГУ)
Первый раз я увидел Арнольда, когда пришёл на публичное награждение победителей
Московской математической олимпиады 1954 года для школьников. Как я узнал позднее, к
тому времени уже сложилась школьная математическая «элита», состоявшая из старше-
классников, начавшая ходить в математические кружки при Московском университете с
седьмого класса или даже ранее и с того же времени участвовавшая в математических олим-
пиадах. Члены её не только владели виртуозной техникой решения школьных задач, но уже
склоняли свои головы над настоящими университетскими учебниками по высшей математи-
ке, овладевали идеями и методами математического анализа, высшей алгебры, аналитиче-
ской геометрии. Я к этой кружковой братии не принадлежал, ни с кем из тех, кто в неё вхо-
дил, не был знаком, узнал о математических олимпиадах только в 1954 году. Тогда же, по
приглашению Александра Львовича Крылова ( выпускника моей же, 135й школы Москвы),
заканчивающего тогда уже Мехмат) пришёл один раз на заседание кружка по математике для
десятых классов при МГУ в здание на Моховой.
На награждении победителей в старшем, десятом классе, первая премия была вручена
Александру Кириллову, две вторые премии были вручены Владимиру Арнольду и Юлию
Назарову; было вручено, кажется, три третьих премии. Я и сейчас, почти через 60 лет, хо-
рошо вижу, как Саша Кириллов, несколько сгибаясь под тяжестью внушительной двойной
связки премиальных книг по высшей математике, быстро взбирается по лестнице на самый
верх огромной, полностью заполненной аудитории. Ритм и пластика этого движения его на-
верх, быстрота его, передают, как дорога ему его добыча.
Вес наград Московской Математической Олимпиады был тогда необычайно высок.
Ведь премий присуждалось так мало: по десятому классу только одна первая, только две
вторых и три третьих. И конечно, вес этих премий был связан с высоким положением науки
и учёных в том обществе. Я помню, например, что ещё будучи школьником и ещё не решив
точно, что пойду на Мехмат, я прочёл в Советской Энциклопедии краткие биографии многих
выдающихся учёных - математиков и физиков: А.Н. Колмогорова, И.М. Виноградова, С.Л.
Соболева, Л.В. Келдыша и других. Поэтому победители Олимпиады получили изначально
необычайно высокий статус на курсе и на Мехмате в целом, сродни тому, который имели
победители спортивных олимпиад в Древней Греции, т.е. статус героев.
Итак, первый раз я увидел Арнольда на награждении победителей Олимпиады. Вто-
рой раз мы встретились в очереди на подачу документов на Мехмат. Так как у нас совпадали
первые две буквы фамилий, мы стояли в очереди к одному столику и случайно оказались
рядом, в одном месте этой длинной очереди. Я уже знал, кто такой Арнольд, а Арнольд, ра-
зумеется, не имел обо мне ни малейшего представления. Но его привлёк внешний вид папки
с документами, которую я держал в руках и которую взял с собой на счастье. На папке
большими золотыми буквами было вытеснено имя моего деда, Александра Семёновича Ар-
хангельского. Папка было дореволюционная, очень большая, и не заметить её было трудно.
Арнольд стал меня расспрашивать про то, кто такой Александр Семёнович и кем мне прихо-
дится. Таким образом мы познакомились. Открытость Арнольда для общения (впрочем, как я
сейчас думаю, не лишённая некоторой доли иронии) меня привлекла.
Когда в сентябре 1954 года начались занятия на Мехмате (уже на Ленинских Горах),
выяснилось, что мы с Арнольдом попали в одну группу - №109. Это была замечательно
сильная группа. Достаточно сказать, что в неё попали три победителя Олимпиады: Саша Ки-
28
риллов, Дима Арнольд и Марк Фрейдлин. В ней же учился Толя Карацуба и другие талант-
ливые молодые математики.
Арнольд, конечно, был знаком в группе не только со мной, но мы как-то оказались за
одной партой, в ряду у окна, по-моему, второй сзади или последней. Вскоре Арнольд стал
для меня Димкой, что, впрочем, не уменьшило ореола вокруг него в моих глазах. Однако
этот ореол не давил на меня, не мешал мне в общении с ним, хотя Димка и не скрывал своих
математических достоинств. Открытость Арнольда, его весёлость, эмоциональная искрен-
ность привлекали к нему и делали отношения лёгкими в хорошем смысле слова. Иногда я
узнавал от Димки неожиданные для меня вещи, не имеющие прямого отношения к матема-
тике. Так, зашла между нами речь об утренней зарядке и о том, что делать её надо, но труд-
но, так как лекции и занятия начинаются так рано, а ещё надо около часа добираться до
университета. На это Димка заметил, что у него есть особенные трудности в этом отноше-
нии, так как его утренняя зарядка включает несколько (кажется, пять) обязательных компо-
нент. Не помню порядка, в котором они были названы Арнольдом, но они включали сле-
дующее: прослушивание музыкального произведения, чтение стихотворения, чтение отрывка
из философского произведения, собственно физическая зарядка и душ с растиранием. Я был
сильно впечатлён этим сообщением. Мне такое и в голову не приходило и было не под силу.
Вскоре, всё ещё под впечатлением от этого разговора, я подарил Арнольду небольшую
книжку высказываний Марка Аврелия, дореволюционное издание, подаренное мне Марией
Александровной Скрябиной. Я тогда недавно её прочёл, она произвела на меня большое впе-
чатление, и мне захотелось разделить это впечатление с Димкой. Он поблагодарил, взял кни-
гу, но о своих впечатлениях от Аврелия не рассказывал.
Студенческая жизнь на нашем курсе, особенно среди москвичей-кружковцев и
примкнувших к ним, была весьма оживлённой. Мы все воспринимали излёт из школы в уни-
верситет, как обретение свободы и духовного простора. В школьном обществе часто правили
нахрапистые, заземлённые троечники, а здесь, на Мехмате, мы попали в светлый мир моло-
дых людей, объединённых любовью к математике.
Арнольд оказался в центре этого мира не только благодаря окружающему его ореолу,
но и потому, что он собой воплощал эту молодую любовь к математике с необычайной силой
и яркостью. Это впечатление усиливалось его внешними качествами - заливистым смехом,
быстротой движений и реакций, прекрасной физической формой. Наша компания, включав-
шая человек двадцать, встречалась раз или два раза в месяц у кого-нибудь дома, отмечая дни
рождения и праздники Рождества. Мы танцевали, разгадывали шарады, выпивали, но не
слишком, играли в карты и соревновались, кто в разгар этого веселья лучше даст определе-
ние предела последовательности или непрерывности функции. Встречи заканчивались про-
гулками по Москве, часто по Садовому кольцу, с математическими разговорами, пением пе-
сен, в том числе, мехматских и туристических. Кириллов и Шур, Назаров и Фрейдлин, Ло-
зинская и Брушлинская, Авербух и Кристи, Ставская и Мурский, Ветухновский и Софрониц-
кая, и многие другие там были или бывали. Ходили мы в походы, летние и зимние, байда-
рочные и лыжные, в том числе, с ночёвками. В этих походах большая часть курса участвова-
ла, мы узнавали лучше друг друга, и Арнольд во всём этом участвовал увлечённо. А ещё на-
ша компания и многие другие однокурсники наши регулярно по вечерам встречались в Кон-
серватории, где иногда можно было увидеть пол-Мехмата, Александрова, Колмогорова, Ша-
фаревича, Дынкина и многих других. Фойе перед концертным залом в антракте при этом
превращалось в ещё один коридор Мехмата.
Летом 1955 года большинство из нас поехало помогать убирать урожай в село Троиц-
кое, под Москвой. Помню, как неистово Арнольд собирал вилами сено в стог, как весело и
высоко взлетали его вилы с сеном, как укладывавшие это сено наверху стога еле успевали за
Димкой.
Мне представляется, что в Димке жила и била через край не только великая любовь к
математике, но и безмерная любовь к физическому труду. Эти два великих чувства сплавля-
лись в нём воедино. «Единое счастье - работа...» - это стихотворение Валерия Брюсова, мне
29
кажется, можно вполне отнести к Диме Арнольду. Любовь к математике и любовь к труду
привели, в частности, к тому, что он аккумулировал огромный запас знаний, и не только ма-
тематических, ещё в бытность студентом. Он способен был восхищаться чужими математи-
ческими достижениями не меньше, чем своими. Узнавая чей-нибудь результат, его пора-
жающий, он немедленно заявлял: «Это должны знать все!»
Учёба на первом курсе Мехмата не была для меня лёгким делом, хотя программа
Мехмата в то время не была ещё чрезмерно перегруженной. Я, как уже говорил, имел очень
маленькое знакомство с высшей математикой до поступления на первый курс. Да и было мне
тогда только 16 лет. Кроме того, я не обладаю хорошей памятью, и мне требуется долго при-
выкать к новым понятиям, идеям и конструкциям. А так как мы вели бурную студенческую
жизнь, то времени мне катастрофически не хватало на всё. В частности, я не всегда успевал
сделать семинарские домашние задания. Кстати, должен здесь заметить, что и Кириллов, и
Арнольд, были, практически, идеальными студентами, в том числе, и в отношении посещае-
мости, и в отношении выполнения домашних заданий.
В дополнение к обязательной программе, на Мехмате осенью 1954 года, как всегда,
было объявлено множество спецсеминаров и спецкурсов для студентов младших курсов. В
частности, такой семинар объявил Е.Б. Дынкин, замечательно читавший у нас курс высшей
алгебры. Семинар по самостоятельному построению основ теории функций и множеств на
прямой объявил А. Витушкин. Эти и другие семинары привлекли многих моих продвинутых
однокурсников. Некоторые из них посещали оба этих семинара (в числе последних были, ес-
ли я не ошибаюсь, Миша Шур, Саша Кириллов и Дима Арнольд). Увлечённый энтузиазмом
своих товарищей по поводу этих семинаров, я побывал раз или два на каждом из них, но по-
нял, что они требуют большой работы, и что на это мне совершенно не хватит времени. В
семинаре Витушкина, который был элементарней и ближе всего мне по духу, участниками
почти самостоятельно строились элементы теории множеств на прямой, включающие топо-
логические её аспекты и вопросы, относящиеся к теории меры. Витушкин давал необходи-
мые определения и ставил задачи, которые должны были быть решены участниками семина-
ра самостоятельно к следующему собранию семинара. Решивший первым рассказывал своё
решение, остальные его «ловили», пытаясь найти пробел или ошибки. Неделя между семи-
нарами оказывалась заполненной попытками решить эти задачи. Я не смог ходить на этот
семинар, но оказался вовлечённым в обсуждение этих задач и в попытки их решения. Задачи,
данные Витушкиным, обсуждались и во время перерывов между лекциями, и в очередях в
буфете и столовой, и самое главное, на пути в Университет утром из дома, в автобусе, либо
на обратном пути домой, в метро и в автобусе (в те времена почти все москвичи-студенты
ездили в университет либо через Киевский, либо через Калужскую площадь). Автобус в этих
случаях превращался в филиал семинара Витушкина. Участвуя в этих обсуждениях, делая
попытки самостоятельно решить задачи, рассказать свои решения товарищам их уже ре-
шившим, я стал как бы «заочным» участником семинара Витушкина.
Одной из первых задач Витушкина, меня заинтересовавших, было доказать, что мно-
жество рациональных чисел вещественной прямой не является на прямой множеством типа
SG delta S. К тому моменту, когда я о ней узнал, и Кириллов, и Арнольд уже эти задачи ре-
шили. Однако я их решений не слышал и захотел сам понять, почему это утверждение верно.
Чаще всего я на первом курсе возвращался домой вместе с Димкой. Он жил на Арба-
те, а я ехал на одну остановку дальше, до Площади Революции или до Проспекта Маркса.
Этим я и воспользовался, стал рассказывать Димке свои решения. Надо отдать ему должное
- он не отвергал моих попыток и не пропускал их мимо ушей. Напротив, в этом деле он вёл
себя как пограничный пёс, который ловит контрабанду на границе. Только со второй попыт-
ки, на следующий день после начала моих представлений я услышал наконец простое «Да,
уже верно» от Арнольда. И сейчас я помню радость и гордость, охватившие меня в эти мину-
ты и слегка озадачившее меня спокойствие Арнольда.
Это произошло в декабре 1954 года. Ещё предстояло начать свою работу новому се-
минару по общей топологии академика П.С. Александрова для младшекурсников (регуляр-
30
ные заседания этого семинара начались с сентября 1955, но два первых, рекламных, его засе-
дания - в мае 1955 года). Ещё предстояли поездки к Александрову и Колмогорову в Кома-
ровку, совместные плаванья в лодках по Волге, лыжные прогулки. Всё это и многое другое
было впереди. Но я уже сделал первый шаг по «раю, созданному Кантором для математи-
ков», говоря словами великого Давида Гильберта. И помогли мне сделать этот первый и ре-
шающий шаг А. Витушкин (заочно) и Д. Арнольд.
Сразу после летней сессии 1955 года многие из нашей первокурсной компании и не-
которые другие однокурсники собирались пойти в поход на байдарках. Одна из рек, по кото-
рым мы плыли, называлась Пра, места были очень комариные. В частности, собирались идти
Арнольд, Шур, Раздуваевы Ольга и Лена, Красовская и Чернышёва, Авербух, Брушлинская,
я и некоторые другие. Надо было ещё сдать сессию - уходили на следующий день после по-
следнего экзамена - по аналитической геометрии в моём случае. Оставалось ещё несколько
дней, чтобы подготовиться к походу, их должно было хватить. Но тут неожиданно для меня
обнаружилось, что надо проверить и подготовить походную амуницию, включая сами бай-
дарки. Это не удалось сделать заранее, так как все готовились к экзаменам. Пришлось срочно
решать эту проблему, проверять байдарки (путём их сборки) решили у меня (байдарки были
старые, спортклубовские). Готовиться к аналитической геометрии не получалось, а знал я
этот курс во втором семестре хуже, чем в первом (материала было много больше). Остава-
лась только последняя ночь перед экзаменом. Димка сказал, что он тоже ещё не готовился, и
что он готов сидеть эту ночь со мной и готовиться вместе. На том и порешили, так и сдела-
ли.
Но Арнольд, конечно, заранее всё или почти всё знал, ему требовалось только слегка
освежить материал. Я же совершенно не успевал его воспринять во множестве живописных
деталей. Нужно ли говорить, что на экзамене Арнольд без труда получил свою пятёрку? Я же
попал к Александрову, доброму экзаменатору, я плавал, отчаянно путая названия поверхно-
стей второго порядка, заданных каноническими уравнениями. Павел Сергеевич с неудоволь-
ствием поставил мне четвёрку, и я слетел с повышенной стипендии. Эта четвёрка погасила
пятёрки, полученные по аналитической геометрии в первом семестре, и вошла в диплом. Пе-
ресдавать я её не стал, оставив «на память» о подготовке к экзамену вместе с Арнольдом и о
сдаче экзамена самому Павлу Сергеевичу (это мне не помешало получить диплом с отличи-
ем).
После второго курса нас распределили на кафедры по нашему выбору, и я уже мень-
ше встречался с Арнольдом. Затем на третьем курсе Арнольд, довольно неожиданно для ме-
ня и одним из первых на нашем курсе, женился. Мы ещё несколько раз ходили друг к другу в
гости, но потом наши пути разошлись, хотя наши научные руководители, Колмогоров и
Александров, были друзьями.
Кстати, я никогда с Димкой не встречался в Комаровке, где жили Александров и Кол-
могоров, и где бывали многие их ученики.
Замечательные новые успехи Арнольда стали известны далеко за пределами нашего
курса. В 1961 году я был на защите им кандидатской диссертации. Но Димка не был на моей
защите кандидатской в Стекловке осенью 1962 года. Он не интересовался моими математи-
ческими делами, лежавшими в сфере общей топологии. Арнольд сам начал с теоретико-
множественных методов, сначала занимаясь в семинаре у Витушкина, а затем работая с
Колмогоровым над 13-й проблемой Гильберта. Это отсутствие интереса и понимания со сто-
роны Димки не было мне приятно и, к сожалению, содействовало моему отдалению от него.
В моей памяти Димка Арнольд сохранился как необыкновенно талантливый, яркий и
энергичный человек, украсивший молодость мою и многих моих однокурсников. Перефра-
зируя извечное высказывание Максима Горького о Сергее Есенине. Можно сказать, что сама
природа создала Диму Арнольда, чтобы выразить себя языком математики.
31
АРХАНГЕЛЬСКАЯ (РАЗДУВАЕВА) ОЛЬГА КОНСТАНТИНОВНА,
преподаватель МГПИ им. НК. Крупской
ПОХОД В НОВГОРОД
Сразу на первом курсе Мехмата МГУ мы начали ходить в походы. Первый поход был
в праздничные дни 7-8 ноября 1954 года. Мы пошли в "звездочку", т.е. несколько групп шли
разными путями и собирались под Звенигородом около озера Глубокое. В поход пошли
очень многие студенты. Я хорошо помню Диму Арнольда, Сашу Кириллова, Шуру Архан-
гельского, Феликса Ветухновского, Борю Авербуха, Иру Красовскую, Иру Чернышеву. Были
в походе и мы с моей сестрой Леной Раздуваевой (ныне Произволовой).
В зимние каникулы мы ходили в походы на две недели на лыжах. Ночевали в дерев-
нях, чаще всего в школах. Летом ходили на байдарках по рекам и озерам Подмосковья. Осо-
бенно хорошо мне запомнился зимний поход на третьем курсе в январе-феврале 1957 года. У
нас была маленькая группа : Дима Арнольд, Юра Рождественский, я и еще два студента вто-
рого курса. Мы шли по густым лесам в районе Великого Новгорода. Это была удивительная
зима. Было очень мало снега, мы в лесу собирали с кустиков бруснику. Кроме того было
очень тепло, лыжи прилипали к снегу, трудно было идти. В те годы лыжные мази в продаже
бывали очень редко, их невозможно было купить. У нас с собой нужных мазей не было. То-
гда Дима предложил намазать лыжи свечами. Мы старательно намазали лыжи, они стали
легко скользить по снегу, но появилась очень сильная отдача, при отталкивании лыжи быст-
ро скользили назад. Идти стало не легче, но мы были молоды, жизнерадостны, и никакие
жизненные невзгоды не могли нас огорчить, мы весело смеялись.
Наконец, мы пришли в Великий Новгород. Нас поразила красота реки Волхов и озера
Ильмень. Озеро было ярко-синего цвета, река Волхов - свинцового цвета. Вода не замёрзла.
Потом мы пошли осматривать Кремль и, прежде всего, памятник Тысячелетию России.
Дима оказался великолепным гидом. У него был путеводитель по всем историческим
местам Новгорода, путеводитель девятнадцатого века. Мы долго шли вокруг памятника Ты-
сячелетию Руси. В путеводителе у Димы была детально описана каждая фигура этого инте-
ресного памятника.
Все студенческие годы мы ходили в походы, но собирались уже другие группы со-
курсников. А с Димой был последним поход именно в Новгород, и он очень хорошо запом-
нился.
Башни Новгородского Кремля
32
АРХИПОВА ФАИНА МИХАЙЛОВНА,
программист п/я,
медаль «За доблестный труд»
МОЯ ДОЧЬ, СТУДЕНТКА МЕХМАТА, СЛУШАЛА ЛЕКЦИИ АРНОЛЬДА
Диму Арнольда я узнала, как и большинство сокурсников, на лекциях. Его активность
заставляла обратить на себя внимание, особенно, когда после объяснения нового материала
молодой профессор Дынкин задавал короткие задачи, и первым всегда решал их Дима.
Ближе я познакомилась с Димой в походе, попав в группу, которой он руководил. Нас,
новичков, было много, и он учил нас ставить палатки, готовить и укладывать лапник, разжи-
гать и гасить костёр, заботиться о природе - соблюдать экологию, хотя этого слова мы тогда
не знали.
Дима всегда был доброжелателен и демократичен. Всё это я оценила, когда после это-
го похода попадала в походы с другими старшими, не обладавшими этими качествами в той
степени, что были у Димы. В том первом походе я фотографировала Диминым фотоаппара-
том. Потом Дима напечатал эти фотографии и раздал каждому из нас.
Впечатления от первого похода подтолкнули меня увлечься туризмом, и лет десять
подряд я проводила свои отпуска в походах по стране, за что очень благодарна Диме.
После окончания университета на встречах однокурсников Дима был регулярно, со
всеми общался охотно. Как-то я сидела с Димой почти рядом, л мы разговаривали о внуках,
о его правнуке. Это был первый правнук на курсе.
Дочь моя Ульяна училась на Мехмате и слушала лекции Димы - профессора Мехма-
та - по дифференциальным уравнениям. На эти лекции приходили студенты разных факуль-
тетов. Так интересны были они и сама манера их чтения.
33
БОРОДИНА (ЛУГОВЦОВА) АЛЛА ИВАНОВНА,
кандидат экономических наук,
профессор Белорусского института правоведения,
г. Минск
2004 г. в гостях у Стоцкой. А. Бородина - на лестнице.
Слева-направо: К. Стоцкая, М. Ботина, Л. Зорикова, Д. Арнольд, А. Курочкина, Г. Искрова
Я С ГОРДОСТЬЮ ПРОИЗНЕСЛА ФАМИЛИЮ АВТОРА: «АРНОЛЬД!»
Во время учёбы на Мехмате в МГУ я и Дима находились в разных группах и встреча-
лись только на общих лекциях в аудитории 16-10.
Через несколько лет после окончания университета мы, выпускники отделения мате-
матики Мехмата, стали встречаться, обычно у памятника Ломоносову. Затем шли в какое-
нибудь кафе, и там начинались многочисленные воспоминания и разговоры. Запомнилось,
что Дима был очень прост в общении, никогда не показывал виду, что был на несколько го-
лов выше нас по знаниям, научным достижениям. Всегда был приветливым, доброжелатель-
ным собеседником. Когда он рассказывал нам что-либо на любую тему, его было очень ин-
тересно слушать.
Недавно я прочитала одну из его работ о значении математики в образовании школьни-
ков. Читала с большим интересом. Доступно, объективно, аргументированно, сопровождая
иногда анекдотичными примерами об изучении математики в западных школах.
Пару лет назад у нас на кафедре аспирантка рассказала, что она прочла интересней-
ший материал о мягких математических моделях, который ей очень пригодился для её ис-
следований по прогнозированию развития социальных процессов. Показала его нам. Я с ра-
достью и неимоверной гордостью произнесла фамилию автора: «Арнольд. Мы с ним вместе
учились на Мехмате МГУ.»
34
ВАНЬКО ВЯЧЕСЛАВ ИВАНОВИЧ,
Доктор технических наук,
профессор МГТУ им. Баумана,
Лауреат премии Правительства РФ
в области науки и техники
ПОДТВЕРДИЛИСЬ СЛОВА М.В. ЛОМОНОСОВА
Дима Арнольд... О нем время от времени упоминал учитель математики: на очередной
олимпиаде победили Арнольд и Кириллов, Кириллов и Арнольд.
А познакомился я с ним, вернее, увидел "в деле" в день собеседования в аудитории на
14-м этаже. Вхожу, сидят трое и о чем-то своем разговаривают. Сажусь, и начинаются во-
просы: по алгебре - ответил; по геометрии - решил задачу, но не смог четко сформулировать
принцип Кавальери (не проходили, но что-то слыхал); фиаско потерпел на тригонометрии,
не знал одного хитрого преобразования.
Вышел, весьма огорченный. Около дверей толпится народ, уже прошедшие процедуру
и еще не подвергавшиеся.
- Ну что у тебя?
- Да вот на тригонометрии провалился...
- Дай посмотреть.
На подоконнике сидел парнишка с каким-то очень светлым лицом и лучистыми гла-
зами (такие, я бы сказал "вдохновенные" глаза я видел впоследствии у Сергея Львовича Со-
болева на лекциях по урматфизу, которые мы посещали в Академгородке, уже будучи со-
трудниками Сибирского Отделения).
Три-четыре минуты размышления и ответ:
- Да вот же так нужно!
Я, понурясь, пошел, а кто-то вслед утешительное: «Уж если сам Арнольд сразу не
смог...»
Вот так я познакомился с Димой. Потом были походы по Подмосковью с его участи-
ем, в которых он проявлял себя опытным и находчивым туристом.
После окончания Университета мы следили за его успехами, гордились тем, что учи-
лись с ним на одном курсе и знали Арнольда как славного и надежного товарища.
На праздновании 70-летия Мехмата кто-то из выступающих (кажется, профессор
В.М.Тихомиров) сказал: "Пятидесятые годы... Это было время, когда в математику пришли
Дима Арнольд, Саша Кириллов и Шурик Архангельский."
Такие люди являются, чтобы еще и еще раз подтвердить слова Михайлы Васильевича
Ломоносова:
«.. .Что может собственных Платонов
И быстрых разумом Невтонов
Российская земля рождать.»
35
ВАСИН РУДОЛЬФ АЛЕКСЕЕВИЧ,
доктор физико-математических наук,
профессор Мехмата МГУ,
действительный член РАЕН,
лауреат Ломоносовской премии
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
13 октября 2005 года я, заместитель Председателя Правления Клуба учёных МГУ,
отвечал за проведение открытой лекции в МГУ академика РАН (к тому же, моего сокурсника
по Мехмату) Арнольда В.И.
Афиша гласила:
ЛЕКЦИЯ ВЛАДИМИРА ИГОРЕВИЧА АРНОЛЬДА
«ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА И ОБУЧЕНИЕ ЕЙ»
состоится в четверг 13 октября 2005 года в 17.00 в ауд.02 Главного здания МГУ.
Лекция организована Клубом ученых МГУ. Вход свободный.
Стандартная для объявлений фраза «Вход свободный» задала сложную задачу органи-
заторам выступления В.И.Арнольда в Клубе ученых - послушать его (да ещё при таком интри-
гующем названии лекции) собралось столько желающих, что в ауд. 02 народ и на ступеньках
сидел, и в проходах стоял плотно. Пришёл и ректор МГУ академик В. А. Садовничий.
Во вступительном слове я сказал, что В.И.Арнольд - мой однокурсник, что он не
только всемирно известный учёный, но и активный защитник системы математического об-
разования, созданной в нашей стране, сторонник развития творческих возможностей уча-
щихся.
...В самом начале лекции произошел небольшой инцидент, чуть было не сорвавший
выступление Димы (так звали его и однокурсники, и друзья): какой-то слушатель стал с мес-
та задавать ему вопросы, кричать, перебивать. Дима отреагировал жёстко: «Выведите этого
человека из аудитории, иначе я прекращаю лекцию. Когда я прихожу читать лекцию, гово-
рить в аудитории могу только я».
Действительно, кто бы, какой невежественный студент, мог бы прервать лектора во
время его чтения, когда мы учились? А тут - взрослый... Тем более, лектор - это приглашён-
ный академик, уважаемый всем научным миром.
Я изрядно понервничал, пока под воздействием соседей этот человек не вышел из ау-
дитории и пока не восстановилась тишина, и, честно говоря, не столько вникал в содержание
примеров, которые Дима приводил, сколько следил за аудиторией и просто восхищался экс-
прессией и живостью его выступления, лёгкостью и естественностью переходов от одного
раздела математики к другому.
Рефреном ко всем примерам, рассказам из истории математики настойчиво звучал
призыв: за индуктивный метод обучения! Дима «громил» сторонников дедуктивного мето-
да, которые, оперируя только общими утверждениями, скрывают от учащихся физический
смысл излагаемых теорем или утверждений (и тем самым делают их трудными для понима-
ния). Чувствовалось (и в ответах на вопросы - после окончания лекции), явно проявилось,
что активное неприятие Димой дедуктивного метода не является лишь разногласием по ме-
тодологическим вопросам («мне удобнее использовать именно этот метод»), но является вы-
ражением его принципиальной позиции в борьбе против формализма и схоластики в вопро-
сах обучения математике, против отупления учащихся. И эту борьбу - «в пользу сохранения
обучения математике» - он начал вести в Париже, где «в семинаре института математики
Университетов Париж-6 и Париж-7 15.06.2005 мнение автора, что студентов следует учить,
что 7 X 8 = 56, оспаривалось коллегами-французами, предпочитающими учить их, что 7X8 =
8X7». То же написано в книге В.И.Арнольда «Экспериментальная математика», вышедшей в
36
Москве в 2005 году (изд-во ФАЗИС). Книга начинается словами, читать которые мне, меха-
нику, было бальзамом на сердце: «Вопреки мнению большинства современных математиков,
я, вслед за Пуанкаре, считаю математику частью физики, то есть экспериментальной нау-
кой. Слово «математика» означает «точное знание», и соответствующие открытия бы-
ли получены из наблюдений явлений природы». В силу этого убеждения Дима и выбрал кра-
сивое и эффектное, с глубоким подтекстом название - «Экспериментальная математика».
И горячо убеждал читателя, что эксперимент, наблюдение помогают получать серьёзные
результаты даже в самых современных разделах математики. Содержание книги Дима пер-
воначально предполагал сообщить «коллегам-французам» и в значительной мере использо-
вал его в лекции 13.10.2005 г. Только в лекции, в отличие от книги, он, учитывая аудиторию,
сделал акцент не на противопоставлении названных выше методов, а на демонстрации про-
стоты, удобства, наглядности применения индуктивного метода в учебном процессе.
В заключение - несколько замечаний в связи с экспериментальной математикой, о
противопоставлении методов индукции и дедукции. Целиком поддерживаю точку зрения
Димы о полезности использования метода индукции в обучении; добавлю лишь, что этот ме-
тод не только более прост, доступен учащимся, но и пробуждает у них интуицию, развивает
исследовательские навыки наблюдения и обобщения фактов. Что же касается индуктивного
метода как метода научно-исследовательской работы, то я с Димой не вполне согласен (хотя
он и приводит примеры успешного использования этого метода им самим и другими учены-
ми). По-моему, это дело личное - все определяют склонности человека или полученное им
образование (у того или иного учителя). Не зря в студенческие наши годы ходил анекдот о
физиках как раз на тему метода индукции: «Докажем, что все нечётные числа - простые.
Проведём наблюдения: 1,3,5,7,9 - простые, кроме 9; пойдём дальше -11,13 опять простые.
Вероятно, 9 - ошибка эксперимента; все остальные - простые числа».
О фразе Димы в аннотации к книге «Автор не думал, что его речь в пользу сохранения обу-
чения математике нужна в России, где с ним и так все согласны, пока не прочёл в Извести-
ях...». Увы, дорогой Дима! Уже и в 2005году не только некий автор «Известий» с тобой не
был согласен. А уж теперь...Теперь требующих от учащегося безупречного знания того, что
7x8 = 8x7, и вовсе не интересующихся тем, знает ли он, что 7x8 = 56, и умеет ли он это зна-
ние использовать в жизни, - теперь таких пруд пруди и правят бал они не в дремучей Тьму-
таракани.
Р.А. Васин, В.А. Садовничий, В.И. Арнольд
37
О той же лекции - Лекторий МГУ
ТАГИРОВА ВАСИЛИНА,
Специальный корреспондент газеты
«Московский университет»
ЛЕКЦИЯ В.И. АРНОЛЬДА
(«Московский университет, № 36, 2005 г., с согласия редакции)
В рамках Лектория МГУ 13 октября перед университетской аудиторией выступил
академик, президент Московского математического общества Владимир Игоревич Арнольд с
лекцией «Экспериментальная математика и обучение ей». Впервые прослушав выступление
Арнольда, посвященное вопросам математики, я захотела разобраться в его дискуссии с
миром математиков подробнее. Начав поиск со статей Владимира Игоревича о математике и
закончив уже областью его научных интересов, убеждаешься, что Арнольд - личность миро-
вого масштаба. Не то, чтобы это не казалось очевидным ранее, вовсе нет, а потому, что вещи,
о которых говорил Владимир Игоревич на лекции, если и приходилось слышать дотоле, то
не из первых рук. Пусть про проблемы преподавания математики в мире он и говорит не
первый год, но, по крайней мере, его выступления всегда пополняются новыми примерами и,
зачастую, из его личного опыта.
Любопытно, что выступать перед российской публикой, рассуждая о проблемах ма-
тематики, он стал не так давно. А если говорить про лекцию, о которой сегодня идет речь, то
она вообще впервые была прочитана российским коллегам. По словам Владимира Игореви-
ча, написана она была на английском, прочитана на французском, а предназначалась для вы-
ступления 15 июня этого года перед аудиторией двух парижских университетов. Но, вер-
нувшись в Москву, он вдруг прочитал в российской печати заявления авторитетных лиц о
том, что «математика - не наука, потому что она никакого отношения к реальному не име-
ет.» И если ранее Арнольд считал, что с математикой в нашей стране все нормально, то сей-
час появляются примеры, говорящие о том, что некоторые важные математические факты
исчезают из российского образования. Какие именно, - этому Владимир Игоревич й посвя-
тил свое выступление 13 октября в МГУ. Надо сказать, что в этот вечер собрались преиму-
щественно ученые-математики, коллеги и соратники академика, для которых предмет разго-
вора был очень близок и понятен.
В.И. Арнольд начал с давних споров с французскими учеными о предмете математика
и о методах ее преподавания: «Основной предмет спора был в том, что я утверждал: матема-
тиком может быть только тот, кто знает, что 7 X 8 = 56. Французы утверждают: это знание
совершенно излишне, учить надо тому, что 7 X 8 = 8 X 7, а 56- это ерунда». Продолжая
свою речь, академик добавил, что в недавней дискуссии с французами он пытался показать,
что не только 56 важно, но еще и ряд других простых фактов, о которых те забывают.
Похожий пример академик Арнольд приводил еще в 2000 году в своих выступлениях
и интервью. «Французского школьника спросили: "Сколько будет два плюс три?" И этот от-
личник изрек: "Два плюс три будет столько же, сколько три плюс два, потому что сложение
коммутативно..." У него был компьютер, и преподаватель в школе научил им пользоваться,
но суммировать "два плюс три" в уме парень не мог. Министр был потрясен и предложил
убрать из всех школ преподавателей, которые учат детей компьютеру, а не математике».
Вернемся к лекции в Московском университете. Продолжая выступление, Арнольд
напомнил своим коллегам перевод слова математика. Оно означает «точное знание», и един-
ственной страной, которая пользуется данным переводом на свой язык, является Голландия.
Большинство же других стран использует греческое mathematike.
На этот раз академик много времени посвятил полезности двух основных методов
мышления: индукции и дедукции. Индукция - это переход от частного к общему. Дедукция -
это переход от общего к частному. «Лейбниц писал, что именно дедукция есть отличие чело-
века от животного, и на почве этого основал свое математическое доказательство бытия
38
Божьего ... Есть общий закон, есть частный случай. Надо применить частный случай и полу-
чить правильный вывод. Например, закон «не убий». Вывод: даже очень надоевшую жену
нельзя убить».
Однако Арнольд сказал про Лейбница, что тот был настоящим философом, но не был
математиком, поэтому вся его математика - «сплошное вранье». В пример академик привел
ошибочную формулу d(u v)=du dv, которую Лейбниц методом дедукции получил из верной
d(u+v)=du+dv. «Лейбниц рассуждал дедуктивно: он доказал, что производная от суммы равна
сумме производных, и заключил, что дифференцирование есть гомоморфизм абелевой груп-
пы, а значит и кольца, то есть производная от произведения есть произведение производных,
что неверно». Арнольд потом пояснил, что Лейбниц все же исправил ошибку.
«В действительности же, рассуждая индуктивно, а не дедуктивно, мы немедленно де-
лаем замечательные выводы!» - сказал Арнольд, а для иллюстрации привел два примера, по-
лученных индуктивным методом и представляющие собой интересные факты. Первый каса-
ется прямого произведения границ многогранников, а второй есть некая «формула рыбака».
Оба примера лектор подробно пояснил слушателям.
Возвращаясь к вопросу использования дедуктивного метода, Арнольд сформулировал
метод Сильвестра - некий общефилософский принцип, согласно которому «доказательство
общих фактов гораздо проще, чем доказательство частных случаев, которые в них содержат-
ся». Арнольд сказал, что Бурбаки основываются именно на том, чтобы не излагать частные
случаи, а доказывать общие. Бурбаки использовали этот метод Сильвестра, однако никогда
на него не ссылаются.
Бурбаки - псевдоним, под которым группа математиков во Франции предприняла
(начиная с 1939 г.) попытку изложить различные математические теории с позиций фор-
мального аксиоматического метода (многотомный трактат «Элементы математики»). Воз-
можно, стоит сказать, что полемика Арнольда с Бурбаками идет давно, чтобы это понять,
достаточно прочитать статью «Математическая дуэль вокруг Бурбаки», напечатанную в 2002
году в Вестнике РАН. Эта довольно интересная, даже полезная, в некотором смысле, статья
помогает лучше разобраться в том, что творится в мире высокой математики и какие проти-
воречия она в себе совмещает (прим, автора).
Из многочисленных фактов истории науки, приведенных на лекции, уважаемый мате-
матик Арнольд, видимо, стремился показать аудитории, что, несмотря на общепризнанность
метода дедукции, тот порою ошибочен, когда как метод индукции приводит не только к
важным выводам, но и очень полезен для саморазвития мыслящего.
Примеры математического мышления и полезного индуктивного метода Владимир
Игоревич привел из мировой литературы. «В «Исповеди» Авраам Руссо пишет, как его учи-
ли открывать скобки на уроках алгебры. Когда он научился открывать скобки, то нашел, что
квадрат суммы равен сумме квадратов увеличенной на удвоенное произведение слагаемых.
Но эта формула показалась ему настолько удивительна, что он месяц не верил, что правиль-
но раскрыл скобки, пока не нашел понятного доказательства: разрезал большой квадрат на
четыре прямоугольника, два из них квадраты - так и получил доказательство. Я думаю, что
такой индуктивный путь в нашем образовании совершенно необходим для того, чтобы наши
студенты что-то понимали».
Далее Арнольд погрузился в конкретные формулировки основных математических
определений, понятий и теорем, которые из-за формализма, присущего современной матема-
тике, не позволяют разглядеть в себе обыкновенные факты, физические законы, и поэтому не
дают полноценной пищи, так необходимой мыслящему студенту. Он привел альтернативные
формулировки, которые, на его взгляд, более полезны для понимания сущности понятия.
39
ВАСИНА (СТРИКЕЛЬ) ОЛЬГА ИВАНОВНА,
кандидат технических наук,
ведущий научный сотрудник НИИ МО
ВСЁ ВЫШЛО СЛУЧАЙНО
Здоровый сон после трудового дня
Порвалось одеяло!!!
Судьба меня свела с Димой Арнольдом в 1957 году. Наш 3-й курс Мехмата ехал по
комсомольским путёвкам убирать урожай на Алтае. Это был сентябрь, но для нашего курса
занятия сдвинули на месяц.
Мы узнали, что с нами едут несколько четверокурсников-отличников. (Они не ездили
со своим курсом, потому что летом были на Международном фестивале). Для них занятия не
отменялись. Среди этих отличников был и Дима Арнольд. Мы и весь математический мир уже
знали, что он сделал потрясающее открытие - решил 13-ю проблему Гильберта.
Моя подружка Галя Чеботаева и я оказались соседями Димы в теплушке, в которой
мы ехали на целину. В дороге много пели, рассказывали разные истории. Мы попросили Ди-
му рассказать нам, как он, будучи студентом 3 курса, решился заняться такой серьёзной про-
блемой. Он сказал, что всё вышло случайно. Дима был отличником и поэтому имел разреше-
ние на свободное посещение лекций. Руководителем курсовой работы у него был академик
А.Н. Колмогоров. Он уезжал в Сорбонну читать лекции и перед отъездом дал Диме задание -
тему курсовой работы.
Андрей Николаевич уехал, а Дима через некоторое время взялся за решение этой за-
дачи. Он был уверен, что легко с ней справится. Однако, решение не находилось. Дима по-
думал, что если он не сделает курсовую на отлично, то его лишат свободного посещения. И
он плотно «засел» за решение задачи, невзирая на время. И, наконец, у него получилось!
Когда вернулся А.Н. Колмогоров, Дима показал ему своё решение задачи. Андрей
Николаевич очень внимательно посмотрел на Диму и сказал: «Я Вам не эту задачу поста-
вил». Расстроенный Дима подумал, что он всё-таки не выполнил курсовую работу. А акаде-
мик вдруг стал поздравлять своего ученика, что тот даже не представляет, какую проблему
он решил. Это была проблема Века - 13-я проблема Гильберта.
Вот такие случайности бывают у гениальных людей!
На целине, при уборке свеклы, меня и Галю поставили в «тройку» с Димой. В этой
«тройке» студент выкапывал свёклу и бросал её в корзину, а студентки вдвоём относили эту
корзину в общий гурт. Дима сказал нам, что на каждую отнесённую корзину он будет рас-
сказывать нам про число, соответствующее номеру отнесённой корзины. Он рассказывал так
интересно, что мы обратно от гурта бежали с пустой корзиной, чтобы побыстрее услышать
его новый рассказ. К сожалению, в памяти не сохранились эти рассказы.
В последний раз я услышала лекцию Арнольда Владимира Игоревича о системе обра-
зования 13 октября 2005 года.
40
Спасибо Диме не только за его гениальность, но и за то, что он боролся (именно боролся)
за наше отечественное математическое образование, которое дало таких учёных, как он сам.
Светлая ему память!
ВЕДЕНЬЁВ ЛЕОНИД ТИМОФЕЕВИЧ,
кандидат физико-математических наук,
доцент, полковник, Лауреат премии
Ленинского комсомола, орден «Знак почёта»
ДВА СЛОВА ОБ АКАДЕМИКЕ В.И. АРНОЛЬДЕ
Андрей Николаевич Колмогоров в рукописной записке от 13.06.87 в связи с 50-летием
своего ученика В.И. Арнольда отмечал: «... происходит чествование первого советского матема-
тика - не только по силе полученных результатов, но и по темпераменту личности, по способно-
сти воспринимать новое и смелости в преодолении препятствий. В Арнольде меня всегда пора-
жала неограниченная активность...».
Хочется сказать несколько слов о жизненной и гражданской позиции Владимира Игоре-
вича. Он придавал большое значение математике как элементу общей культуры современного
просвещенного человека, считал, что «математическое сообщество несет свою долю ответствен-
ности за давление со стороны современного общества, в целом направленное на уничтожение
математической культуры и особенно на уничтожение математического образования (тест вме-
сто экзамена)». Посвятив всю свою творческую деятельность фундаментальной математике, он
остро переживал пренебрежение фундаментальными науками в настоящее время, считая это по-
зором современной цивилизации. Не воспринимая установившийся во второй половине XX века
диктат неисчислимых прикладных наук (и столь же неисчислимых «академий») в угоду сиюми-
нутной экономической выгоде, Владимир Игоревич был полностью солидарен с Луи Пастером,
утверждавшим, что «никаких прикладных наук никогда не существовало и не существует. Суще-
ствуют лишь приложения науки».
В своих математических изысканиях Владимир Игоревич придерживался естественно-
научного подхода, основанного на экспериментах, не придавал по возможности большого зна-
чения дедуктивно-аксиоматическим построениям. Как рационально мыслящий математик, он не
поддался соблазну «бурбакизации» алгебры, запутавшейся в Дебрях всеобъемлющих абстракций.
Его, как ученого и гражданина, волновало состояние школьного образования в России. Он
страстно втолковывал депутатам Госдумы и неизвестно откуда явившимся реформаторам отече-
ственного школьного образования, что реформирование средней школы - опасное преступление
против традиционно высокого образовательного и культурного уровня России, преступление
перед будущими ее поколениями. Наши школьники и сегодня хотят настоящих научных знаний,
без понимания которых человек остается рабом, население превращается в толпу, легко под-
дающуюся манипулированию со стороны ловких политиков. Этим факирам на час безразлично
будущее России. Они уповают на вечность рынка, а он также историчен и, как историческая ка-
тегория, будет сметен с пути цивилизации.
История России - череда сопротивлений попыткам явных и неявных недругов повалить
ее, а она, как ванька-встанька, поднималась снова и снова. Она всегда находила в себе силы из-
бавиться от недругов внешних. Даны ли ей силы уберечь себя от не знамо что творящих недру-
гов доморощенных?
Софья Ковалевская и Карл Вейерштрасс считали, что нельзя быть математиком, не буду-
чи поэтом в душе. Как мыслитель, Владимир Игоревич не замыкался в математике и отличался
поэтическим в самом широком смысле отношением к жизни, подтверждая слова Вольтера: «В
голове Архимеда было больше воображения, чем в голове Гомера». Он писал и переводил стихи,
создавал талантливые литературные зарисовки, проявлял живой интерес к истории и к искусству.
Жизненная и гражданская позиция Владимира Игоревича Арнольда, большого ученого и
крупного математика XX века, всегда была проникнута любовью к Отечеству и болью за него, бо-
лью за все, что творит с Отечеством преступное невежество нашего времени.
41
ВЛАСОВ ВИКТОР КОНСТАНТИНОВИЧ,
кандидат физико-математических наук,
доцент, Заслуженный преподаватель МГУ
В ПАМЯТИ СОХРАНИЛИСЬ ОТДЕЛЬНЫЕ ШТРИХИ, МОМЕНТЫ,
СВЯЗАННЫЕ С ДИМОЙ
Я долго сомневался - стоит ли мне что-либо писать в сборник. Беспокоили две мыс-
лишки - не получится ли, что как-то примазываешься к славе великого человека, а также
страх, что, не дай бог, получится, как у Маяковского - «Двое в комнате -Я и Ленин...». Но
друзья убедили и ...
Мы с Димой не были друзьями и даже приятелями - просто однокурсники. Хотя по-
знакомились ещё будучи школьниками не то 8-го, не то 9-го класса. В то время существова-
ла замечательная практика - в здании МГУ на Моховой в больших аудиториях еженедельно
по воскресениям ведущие математики страны читали для школьников старших классов лек-
ции по математике. Было очевидно, что это интересно не только школьникам, но и самим
маститым учёным. Лекции читались в увлекательной и доступной форме. Аудитории были
переполнены. Кроме того, работали математические кружки, которыми руководили молодые
преподаватели и аспиранты Мехмата, большинство из которых в дальнейшем стали профес-
сорами и академиками. Ежегодно проводились и математические олимпиады. Практически
все мои однокурсники москвичи варились в этом котле. Вот в кулуарах этих мероприятий
мой школьный учитель - Александр Абрамович Шершевский, известный всей школьно-
математической Москве по прозвищу «Нос», и познакомил нас с Димой. При этом он неза-
метно для Димы сказал о нём: «Это очень талантливый парень - будущее светило». На одной
из последних встреч нашего курса я спросил Диму, помнит ли он Шершевского. Он ответил:
«Носа?! Ну конечно помню». Надо ли говорить, что на всех олимпиадах Дима был в победи-
телях. Знал ли уже тогда Дима себе цену? Думаю, что знал. Но это ни в коей мере не влияло
на его взаимоотношения с ребятами. Он всегда был очень общителен и дружелюбен. Впро-
чем, я и в дальнейшем ни разу не наблюдал в нём и тени зазнайства или пренебрежительного
отношения к кому бы то ни было. Если он спорил, то спорил яростно и мнение своё отстаи-
вал очень жёстко. Но подавлял оппонента не своим авторитетом, а умом, логикой и эрудици-
ей.
Кандидатские диссертации в один день защищали Кириллов и Арнольд. Блестящая
диссертация Кириллова была признана докторской, а выдающаяся работа Арнольда по ре-
шению одной из знаменитых проблем Гильберта таковой не стала.
Вспомнил я сейчас это потому, что принципиальный Витушкин в дискуссии сказал,
что если бы эту тему защищал А.Н. Колмогоров, то он бы не возражал против присуждения
за работу докторской степени, намекая тем самым на неполную самостоятельность Димы в
решении проблемы. На мой взгляд, это было совершенно несправедливо. Выручил А.Н.
Колмогоров, заявив, что аудитория может не беспокоиться, ибо у Арнольда готова доктор-
ская диссертация по другой теме - насколько я помню - по небесной механике.
Ещё раз повторю, что, к моему сожалению, мы не были близки с Димой. Хотя как-то я
был у него в его весьма скромном жилище. Был и он у меня. Это, пожалуй, любопытно. В
то время он уже дружил с Надей Брушлинской, с которой я учился в одной группе. Надя -
великолепная музыкантша и, по-видимому, хотела и из Димы сделать меломана. Однажды
раздался неожиданный звонок в дверь, и на пороге появились Надя и Дима. Надя в свойст-
венной ей безапелляционной манере заявила, что у меня хороший набор пластинок, и они
пришли послушать, если не ошибаюсь, какой-то концерт Рахманинова. Впрочем, может быть
и ошибаюсь. Ну и Дима слушал. Никаких особых эмоций не проявил. Я не знаю о его взаи-
моотношениях с музыкой. Помню только, что, когда мы ехали в грузовике на какое-то обще-
ственное мероприятие, он очень, ну очень громко, в основном, на одной ноте пел (а скорее
орал) популярную студенческую песню : «Чилиндром на солнце сверкая, надев самый мод-
42
ный сюртук, по Летнему саду гуляя, с Маруськой я встретился вдруг...». Вполне возможно,
что это громкое пение на одной ноте было, как теперь говорят, его фишкой. Но все искренне
радовались и веселились.
Ещё одно впечатление уже более позднего периода.
Как-то случайно я оказался в Пущино на его лекции о творчестве Ньютона. Это было
нечто феерическое. С каким пылом и увлечением он говорил! Он рассказывал о близком ему
человеке и о близких ему самому проблемах. Прекрасный богатый русский язык. Глубочай-
шее знание материала.
Я ловлю себя на мысли, что в памяти сохранились отдельные штрихи, моменты, свя-
занные с Димой, о которых легко и приятно вспоминать в кругу друзей. Но на бумаге всё не
изложишь. Да, наверное, и не надо. Поймал себя на мысли, что ни разу не назвал Диму по
фамилии. Да и то, что он Владимир, я узнал только, когда он уже защищал диссертацию.
ГОЛУБЦОВ ВИКТОР ЕФИМОВИЧ,
инженер-программист КБ «Стрела» НИИ Химмаш,
Ветеран Великой Отечественной войны;
ордена: «Красной Звезды», «Отечественной войны» 1й степени
ЛИДЕР В ЛЮБОМ ДЕЛЕ
Помню: весна 1955 года. Мы, первокурсники Мехмата, работаем на субботнике при
строительстве стадиона в Лужниках. Девушки подметают территорию, собирают мусор. А
юношам поручили перенести тяжелые балки к месту их назначения. Мы подошли к лежа-
щим балкам. Первым попробовал приподнять конец балки Дима Арнольд. Но только накло-
нился, взялся за конец её и, даже не приподнимая, произнёс: «Необходимо восемь человек».
В эту первую восьмёрку вошёл и я. Дима, очень сцмпатичный, невысокого роста, но пре-
красно сложен, что-то скомандовал, и мы дружно подняли балку и понесли. Груз нам оказал-
ся по силам, именно восьмерым парням. Так мы и перенесли все балки.
Как Дима понял, что нужно восемь человек? Не знаю. Но я почувствовал, что ему ока-
залось виднее, чем остальным, как выполнить работу.
После окончания МГУ мы узнавали больше и больше, что Дима становился лидером в
науке. Чувствовалась у него удивительная твёрдость и стремление многого достичь. Настоя-
щий фундаментальный творческий фейерверк во всех направлениях его жизненных интересов.
11 ЦЖ
43
ЕРМИЛОВА НИНА ИВАНОВНА,
кандидат экономических наук, специалист
по линейному и динамическому программированию,
ВЦ Академии наук СССР, ЦЭМИ
КОНСУЛЬТАЦИЯ ШАХМАТИСТА
С Димой я училась на одном курсе, но в разных группах. Студенты из разных групп
могли встречаться в основном только на лекциях.
И всё же мне посчастливилось встретиться с Димой и очень интересно поговорить.
Это случилось во время олимпиады школьников, которая проходила в старом здании
МГУ на Моховой. Дежурившим студентам (в их числе был Дима Арнольд и я) по 2-3 чело-
века в аудитории полагался перерыв. Меня попросили заменить кого-то в соседней аудито-
рии. Я вошла в аудиторию и увидела с Диму. Он разбирал шахматную задачу и спросил ме-
ня, играю ли я шахматы. Я ответила, что играю, но плохо. Он тут же стал мне рассказывать о
рассматриваемой им задаче, подробно объясняя каждый ход. Если я задумывалась, не могла
понять, почему лучше делать такой ход, он снова объяснял доступным для меня языком. Его
объяснения были настолько подробны и ясны, что я стала легко и быстро думать и анализи-
ровать ходы рассматриваемой партии. У меня возникла даже мысль, что я смогу теперь хо-
рошо играть в шахматы, но. увы. Для этого нужно было постоянно и много играть и разби-
рать партии с таким увлеченным и умным шахматистом. Его сосредоточенность в процессе
работы и увлеченность, желание помочь мне оставили след в моей памяти о первом знаком-
стве с Димой Арнольдом.
2004 г. Встреча у Елены Стоцкой: Брушлинская Н., Арнольд Д., Иванова Г., Поляккова В.,
Зорикова Л., Ботина М., Соловьёва С., Ермилова Н., Курочкина А., Курилов В.
ИВАНОВА ГАЛИНА ПЕТРОВНА,
кандидат физико-математических наук, доцент
факультета ВМК МГУ, Заслуженный преподаватель МГУ
НА ФОТОГРАФИИ МЫ РЯДОМ
Мне не приходилось с Димой встречаться после окончания университета, кроме как
на встречах курса. Или это были традиционные майские встречи, или редкие встречи на
квартире Стоцких. И если бывал на таких встречах Дима, то это было всеобщей радостью.
Меня всегда поражало, как трепетно он относился к нашим встречам. Вот на фотографии мы
рядом и о чём-то беседуем. Помню только, что этот короткий разговор касался преподавания
в университете и отношения к нам со стороны властей. Дима всегда отстаивал высокую ма-
тематику. И это было ценно для всех нас, выпускников Мехмата.
44
КАЗАНДЖАН ЭМИЛЬ ПОГОСОВИЧ,
кандидат технических наук,
доцент МГТУ им. Баумана
МИМОЛЁТНОСТИ
В 1953-54 годах я учился в школе, в десятом классе. (Тогда это был выпускной класс).
Головы старшеклассников, естественно, были забиты одним - куда поступать? Для меня во-
прос был ясен - на Мехмат МГУ. Во-первых, все считали, что у меня хорошие математиче-
ские способности (строго говоря, память была хорошая и техника счёта и преобразований). А
во-вторых, я так боялся черчения, что о поступлении в любой ВТУЗ не могло быть и речи
(кстати, и поступить-то в Бауманку, МЭИ, МАИ было тогда очень сложно - всюду зверские
конкурсы).
Случайно узнал, что при университете (ещё в старом здании - на Моховой) функцио-
нирует математический кружок для школьников, где решают интересные задачи, причём
прийти можно на любое заседание прямо так, «с улицы». Что ж, однажды выбрался.
Действительно, всё было приятно и интересно - и задачи, и общая дружелюбная ат-
мосфера. В конце предложили четыре или пять задач для домашнего рассмотрения. Первые я
записал, а последняя оказалась столь сложной, громоздкой и экстравагантной, что я и запи-
сывать не стал - ничего не понял даже в условии.
Через неделю поехал снова - любопытно было узнать-и решения задач, и как отреаги-
ровали на них мои сверстники.
Обсуждение первых задач было очень оживлённым - их решили несколько человек, и
каждому из них было что сказать, тем более, чувствовалось, что все они здешние завсегда-
таи. Я сидел тихо, «не высовывался», но конечно, был рад видеть, что кое-что удалось сде-
лать и мне.
Дошла очередь до последней задачи, тут все умолкли, и я был уверен, что её никто не
решил (повторяю, она была какая-то слишком сумасшедшая, непонятная даже по условию).
Однако, после некоторой паузы, встал один интеллигентно-серьёзный юноша и пошёл к дос-
ке (до этого он, по-моему, тоже «не высовывался», ну разве что позволял себе ультра корот-
кие реплики с места, не более того).
Мягко, спокойно, вежливо он прежде всего начал рассказывать условие задачи -
вдруг выяснилось, что это всё же задача, хоть и трудная, но не «сумасшедшая». Переводя
задачу на нам понятный школьный язык, неизвестный юноша так же мягко и вежливо пока-
зал её решение.
Это был Дима Арнольд. Фамилия нечастая, так что я её запомнил сразу.
Больше на занятия кружка я не ходил (некогда было - я тогда ещё параллельно учился
в музыкальной школе). А когда в сентябре начались занятия на Мехмате ( уже в новом зда-
нии на Ленинских горах), я стал встречать Арнольда, увы, только в коридорах - мы оказа-
лись на разных потоках (я на механике, он, естественно, на математике).
Мехмат тех лет был очень силён по составу, особенно отделение математики. Скажем,
на курсе старше учились Юра Манин и Саша Вентцель. Вскоре выяснилось, что и нашему
курсу есть кем похвастать - от студентов-математиков я много раз слышал восторженные
отзывы о своих сокурсниках. И всегда, скольких бы ни хвалили, начинали с «дуэта»: Дима
Арнольд и Саша Кириллов (Арнольд был как бы эталоном, и Кириллов считался таким же
или почти таким же).
Кроме коридорных встреч и «здрасьте» никаких контактов с Арнольдом у меня не
было - разные потоки, разные преподаватели, разные кафедры, к тому же оба москвичи, а не
общежитейцы. Но один раз мы всё же «пересеклись». Это произошло на военной кафедре на
восьмом этаже. Там все готовились к экзаменам, и скученность способствовала общению. Я
чего-то не знал, стал искать, у кого бы спросить. Опытные ребята-математики сказали, что в
военном деле лучше всех у них на потоке «сечёт» (модное словечко из нашего лексикона тех
45
лет) Валерий Тутубалин. Но где его искать? А тут как раз Арнольд проходил мимо, попроси-
ли его помочь. Он охотно откликнулся и в знакомой спокойно вежливой манере всё, что на-
до, мне объяснил - я всё понял и парой ответных фраз показал, что понял и как. Он в знак
подтверждения мягко улыбнулся, тут же. не удержавшись, я задал ему ещё один вопрос.
Арнольд (ещё одна мягкая улыбка!), сказав всего одно слово «подумай», внимательно по-
смотрел мне в глаза. Под его пристальным взглядом я «не устоял» и, быстро сообразив, в чём
дело, сам ответил на свой вопрос. В ответ он радостно улыбнулся.
Вот, собственно, и весь «сюжет». Но даже в этом микроэпизоде легко можно увидеть
большой педагогический талант, что вообще-то редкость, а среди математиков и физиков
особенно. Причина проста: преподаватель должен уметь, во-первых, терпеливо выслушать
любые ученические глупости, а, во-вторых, чувствовать свою «паству», оперативно привя-
зываться к её уровню. А как показывают биографии, скажем, Колмогорова и Ландау, даже
самым великим это может оказаться не под силу.
Арнольд - это фигура такого масштаба, что любое самое мимолётное общение с ним
врезается в сознание на всю жизнь. А вот какое место в его сознании занимал я? Точно ска-
зать, конечно, не берусь. Думаю, что у Арнольда была абсолютная память, и он помнил про-
сто всех. К тому же я участвовал в факультетской самодеятельности (играл на рояле), а Ар-
нольд был любителем музыки - я встречал его в Большом зале консерватории, хотя и не так
часто, как Колмогорова и Александрова.
Ещё один микроэпизод. Лет 15 назад в «Магистершуме» готовился том под условным
названием «Кентавр». Я был членом редколлегии и позвонил Арнольду - без особой надеж-
ды, так, на всякий случай: вдруг он захочет для нас что-нибудь написать. Выслушав мой рас-
сказ о нашем «Кентавре», он сразу отказался в нём участвовать, объяснив, почему - это ни-
как не вяжется с тем, чем он занят в настоящее время, но замысел книги он горячо одобрил и
подсказал, к кому нам было бы полезно обратиться.
Я не мог не отметить: прошло несколько десятилетий, а Арнольд всё тот же, что и в
студенческие годы - всё та же простота и дружелюбность в общении, всё та же готовность
пойти навстречу, всё то же понимание - ощущение окружающих. В конце разговора я упо-
мянул про наше однокурсничество. Он очень оживился; выяснилось, что он меня помнит,
причём по участию в самодеятельности.
Говорить о том, что Арнольд - великий математик, видимо, слишком банально, да и
не мне об этом судить - я-то ведь не математик, а инженер, прикладной математик, препода-
ватель, а это совсем не то. Всё же отмечу ещё одно его качество.
Несколько лет назад я прочитал в «Известиях» статью Арнольда о математическом
образовании в нашей стране. Читал, конечно, взахлёб - всё так разумно, трезво-реалистично,
а главное, настолько просто изложено, что доступно даже дилетантам: что такое математика,
где её место в нашей жизни, каково положение дел с математическим образованием в нашей
стране, что нам угрожает (общество образованных рабов может смениться обществом необ-
разованных рабов - сформулировано кристально чётко и очень точно по существу).
Считается, что впечатления детства самые сильные в человеке. Видимо, так оно и
есть. Я, по крайней мере, могу засвидетельствовать: то личностное обаяние Арнольда, про-
изведённое на меня 15-летнего, осталось со мной на всю жизнь. И если бы меня спросили, на
кого из великих математиков я хочу быть похожим, ответил бы: на Эйлера и Арнольда. Пер-
вого, правда, я не видел, а вот со вторым повезло - хоть немного, но знал.
46
КЛИМЕНКО (ЖУРАВСКАЯ) ИДА АНТОНОВНА,
программист, зав. сектором ВЦ
С Димой Арнольдом мы учились в разных группах, никогда не пересекались на семи-
нарах, но и тогда, как и все остальные, я знала, что он самый талантливый на нашем курсе.
Одна моя хорошая знакомая позавидовала мне - ей ни разу в жизни не удавалось ви-
деть рядом с собой гения, а вот мне не только удалось видеть, но и слышать. Дима был пре-
красным рассказчиком. Слушать его было необычайно интересно. У него был такой широ-
кий кругозор й круг интересов, что он мог на встречах курса говорить о чём угодно - о про-
блемах, интересующих нас в данный момент, будто, и для него они были самыми важными.
Дима был удивительно тактичен, никогда не показывал своего превосходства, живо
реагировал на слова собеседников. И хоть я всегда была только слушательницей, но однаж-
ды получила от него совет. На одной из встреч я попросила написать автограф для своего
внука, который, мне казалось, будет математиком. Дима написал на своей книжке: «Буду-
щему математику» и тут же сказал: «Только не принуждайте».
Очень жаль, что на телеканале «Культура» в проекте «Academia» уже не выступит
академик Владимир Игоревич Арнольд. А как много его лекция могла бы дать молодым лю-
дям, начинающим свой путь в учебе и науке.
Беседа профессора С.П. Капицы с академиком В.И. Арнольдом 26.XII 2009 г. на телевидении
47
КУЗИЧЕВ АЛЕКСАНДР СЕРГЕЕВИЧ,
кандидат Физико-математических наук,
старший научный сотрудник Мехмата МГУ
ДИМА АРНОЛЬД: ЧТО ВСПОМИНАЕТСЯ
С Димой Арнольдом мы пересекались мало: я занимался и занимаюсь математиче-
ской логикой, которая Диму, кажется, никогда всерьёз не увлекала. Тем не менее, когда мне
доводилось встречаться с ним на заседаниях Московского математического общества или на
конференциях, я рассказывал ему о своих результатах, особенно о тех, что связаны с колмо-
горовскими основаниями математики, и дарил ему что-то из своих рукописей и оттисков
публикаций. Не думаю, что его интересовали чисто логические построения (ассоциировав-
шиеся у него, по-видимому, с «бурбакизмом», который он недолюбливал), но предыстория и
история вопроса, которыми я часто сопровождаю свои работы, проблемы оснований матема-
тики, методологические аспекты его интересовали вполне. На одной из встреч сокурсников
он мне сказал: «Знаешь, я с большим интересом прочитал всё, что ты написал». Это он про
мои публикации во втором и третьем томах книги «Мы - математик» с Ленинских гор».
Помню, как-то встретились с ним волею слу-
чая на Мехмате, возле кафедры теории динамиче-
ских систем (она находится по соседству с кабине-
том истории и методологи математики и механики, в
котором я работаю), поговорили немного (много не
могли - и у Димы, и у меня были неотложные дела
на факультете). Дима поинтересовался, чем я зани-
маюсь. Я сказал, что продолжаю исследовать теории
на предмет полноты и непротиворечивости, что
опираюсь при этом на идеи Шейнфинкеля, Генцена,
Чёрча, Колмогорова, Маркова-младшего. У меня бы-
ла с собой напечатанная на бумаге рукопись и я
предложил Диме с ней ознакомиться, но на всякий
случай спросил: «Тебе дать бумажный вариант или лучше выслать файл по электронной поч-
те?» - «Нет-нет, - поспешно сказал Дима, - не надо по электронной почте. Давай бумажный
вариант». Я тогда не придал значения этому предпочтению распечатанного на бумаге текста
электронному. А оказалось, что.для Димы это было принципиально. Не так давно в Интерне-
те мне попалась статья об Арнольде с заголовком «Умер математик, ненавидевший компью-
теры», из которой я узнал, что Дима не жаловал ни компьютер, ни Интернет с электронной
почтой. Писал по старинке, ручкой на листе бумаги. А на компьютере тексты ему набирали
помощники. Цитирую строчки из этой статьи: «Арнольд до последних дней своей жизни
упорно не пользовался электронной почтой и верил, что компьютерщики «разрушают миро-
вую науку и культуру».
В последние годы, казалось, Дима стал ближе к нам, однокурсникам: благодаря
регулярным встречам сокурсников, творческим вечерам Аллы Беловой мы чаще виделись в
неформальной обстановке, где всё располагало к душевному общению, и Дима неизменно
оказывался в центре всеобщего внимания, излучая жизнерадостные флюиды молодого и
душой и телом человека. Ему явно было хорошо среди нас.
Я и помыслить не мог, что Дима уйдёт так рано.
48
КУЗИЧЕВА КАРОЛИНА КАРЛОВНА,
научный сотрудник
С МАРСИАНСКОЮ ЖАЖДОЮ ТВОРИТЬ ...
С Сашей мне не раз удавалось бывать на встречах его однокурсников. С некоторыми я
познакомилась и общалась. Удалось познакомиться с Владимиром Игоревичем Арнольдом
на творческом вечере Аллы Беловой осенью 2008 года. Он сидел примерно в центре пятого
ряда и с большим воодушевлением реагировал на всё происходящее на сцене: улыбался, шу-
тил, аплодировал громче и раньше всех (так мне запомнилось, во всяком случае).
По окончании вечера он охотно фотографировался в кругу сокурсников (я тоже сде-
лала несколько фотографий. На них Владимир Игоревич весел и счастлив). Потом был дру-
жеский фуршет, на котором к Арнольду было приковано всеобщее внимание, потому что он
увлечённо рассказывал одну историю за другой, то обращаясь к малоизвестным фактам ми-
ровой истории, то вспоминая занимательные случаи из собственной жизни. И такая тёплая и
душевная атмосфера царила на этом вечере, что можно было охарактеризовать её строчками
из стихотворения Аллы Беловой:
Опять в кругу друзей.
Так мирно, так спокойно.
И некуда бежать.
И незачем спешить.
И в прошлое уводит
Разговор нестройный,
То разрывая,
То скрепляя прочно нить.
Мы все там молоды.
И что издревле вечно,
Волнуя, радует
И, негодуя, злит,
И время тратится
Бездумно и беспечно,
Оно как будто нам
Бессмертие сулит...
А при взгляде на Владимира Игоревича мне почему-то приходили в голову строчки из
другого стихотворения - Николая Тихонова:
Праздничный, весёлый,...
С марсианской жаждою творить...
Я была знакома с некоторыми видеолекциями, видеозаписями докладов, публикация-
ми Арнольда, и у меня сложилось определённое представление о нём. Так, меня поразило
смелое, откровенное стихотворение Марселины Деборд-Вальмор, которое Владимир Игоре-
вич перевёл на русский язык и опубликовал в одной из книг серии “Мы - математики с Ле-
нинских гор”. Меня привлекали в Арнольде смелость суждений, целеустремлённость и мак-
симально возможная степень независимости в предлагаемых условиях, а также его серьёзная
озабоченность настоящим и будущим не только математического образования, но и науки в
целом, и связанная с этим активная просвещенческая деятельность.
49
И вот так распорядились звёзды, что после окончания вышеупомянутого фуршета я
столкнулась в холле Московского Дома учителя с Владимиром Игоревичем, держащим в об-
нимку корзину, которую ему, как страстному грибнику и ягоднику, подарили сокурсники, и
между нами завязывается непринуждённый разговор.
“Вы прекрасный рассказчик”, - сделала я ему комплимент. “Это у меня наследствен-
ное, - сказал Арнольд. - Я ведь внучатый племянник Бориса Житкова. Знаете такого писате-
ля?” Я утвердительно кивнула. “Он много путешествовал, - продолжал Владимир Игоревич,
- и по итогам этих путешествий писал занимательные и увлекательные рассказы для детей”.
Далее последовало захватывающее повествование о перипетиях творческой судьбы Бориса
Житкова, слушать которое из уст внучатого племянника было весьма трепетно, и в какой-то
момент я произнесла: “Как интересно...”, на что Владимир Игоревич не без детской радости
заметил: “А знаете, что сказала мне Алиса Фрейндлих (на президентском приёме по случаю
вручения Государственной премии - прим, авт.)? Она сказала: “Никогда бы не подумала, что
с математиком может быть так интересно”.
Затем, предварительно поинтересовавшись, насколько хорошо я знаю историю Ма-
рии-Антуанетты (и услышав от меня ответ: “В общих чертах”), Владимир Игоревич с энту-
зиазмом поведал мне о мытарствах и злоключениях бедовой французской королевы, и я с
ним даже подискутировала немного по поводу одного из обвинений, выдвинутых против
опальной Марии-Антуанетты.
И эта беседа, и то труднообъяснимое чувство, когда ты сразу, с первых минут обще-
ния понимаешь, что перед тобой - близкий по духу человек, родственная душа, - безогово-
рочно расположили меня к Арнольду.
И потом, Владимир Игоревич разговаривал со мной, словно отец с дочерью, причём
дочерью не взрослой, а маленькой. Мне, потерявшей отца в весьма раннем детском возрасте,
такое обращение было очень приятно.
Конечно, после этой памятной встречи я предполагала рано или поздно вновь уви-
деться и поговорить с Владимиром Игоревичем. Поговорить о чём угодно, ведь с ним так ин-
тересно. А когда ничего не предвещавшим июньским днём я просматривала в Интернете но-
вости, и мой взгляд обжёг заголовок “3 июня в Париже скончался выдающийся матема-
тик...”, я подумала, что это какая-то нелепая ошибка. Арнольд, который «живее всех жи-
вых», с его многокилометровыми пешими, лыжными и велосипедными прогулками, купа-
ниями в проруби...
Владимир Игоревич Арнольд не был ни моим родственником, ни другом, ни учите-
лем, ни коллегой, но его кончину я восприняла как глубокую личную потерю. Наверное, по-
добное чувство испытали все, кому довелось пообщаться с этим неординарным математиком
и человеком...
В Интернете на сайте “Математические этюды” размещена видеозапись рассказа Вла-
димира Игоревича “Устойчивость перевёрнутого маятника”, привожу ссылку:
http://www.etudes.ru/ru/mov/mov047/index.php
Там Владимир Игоревич такой, каким я его увидела и запомнила: светлый, увлечён-
ный и непосредственный, как ребёнок.
В августе 2010 г., на Международном конгрессе математиков в Хайдарабаде, я в оче-
редной раз убедилась, насколько значимой фигурой в математическом мире был и остаётся
Арнольд. На международных математических конгрессах традиционно подводят итоги дея-
тельности Международного союза математиков (IMU) за период, истекший после предыду-
щего конгресса, и вспоминают математиков, ушедших из жизни за это время. Среди тех, чью
память почтили минутой молчания, был и Владимир Игоревич Арнольд - вице-президент
IMU в 1995-1998 гг., член Исполкома IMU в 1999-2002 гг. Имя Арнольда звучало на кон-
грессе ежедневно - на докладах всех рангов, на круглых столах, в кулуарах, в дружеских бе-
седах за чашечкой кофе. Тезисы докладов в соответствующих секциях, как обычно, пестрили
ссылками на Арнольда. Когда мои многочисленные собеседники - участники конгресса из
разных стран и континентов - узнавали о том, что я из России, многие из них вспоминали
50
Арнольда. Своими мыслями об Арнольде поделился со мной и Седрик Виллани, француз-
ский математик, получивший в Хайдарабаде медаль Филдса. “Я не был лично знаком с Вла-
димиром Арнольдом, только несколько раз посещал его лекции, но он сильно повлиял как на
преподавание мною математики, так и на мои научные исследования, - признался Седрик. -
Я с воодушевлением прочитал его книгу “Математические методы классической механики”
- курс, который впоследствии я преподавал в Высшей нормальной школе Лиона; конечно
же, читал я также и его книги по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Помню его
горячие споры с Серром (Жан-Пьер Серр - выдающийся французский математик, прим,
авт.). Теорию КАМ я изучал для собственных научных исследований, и одну из своих недав-
них статей о затухании Ландау я посвятил Владимиру Арнольду и Карло Черчиньяни (кото-
рый тоже скончался в 2010 году)”.
И когда осенью того же года мне довелось поехать во Францию, я понимала, что про-
сто не могу не посетить университет Париж-Дофин, в котором работал Арнольд. В Париже
меня сопровождал хороший знакомый, математик из Лилля Оливье Рамаре, который любез-
но вызвался помочь мне в моих передвижениях по французской столице. Университет Па-
риж-Дофин находится рядом со станцией метро “Порт Дофин”. В окрестностях - хайтеков-
ские высотки Дефанса, Булонский лес, бульвар Периферик, проспект Польши, бульвар Лан,
проспект Фош, далее по прямой площадь Шарля де Голля и Триумфальная арка, далее -
Елисейские поля, площадь Согласия, сад Тюильри, Лувр. В пешеходной доступности от уни-
верситета и Сена, и Эйфелева башня. В сравнении с Москвой Париж довольно компактный
город. Зная о страсти Владимира Игоревича к длительным прогулкам, могу предположить,
что эти расстояния он с лёгкостью и удовольствием преодолевал пешком.
Минута ходьбы от метро - и мы на площади Маршала де Латр де Тасиньи, у входа в
университет Париж-Дофин. Поскольку у нас не было пропуска в университет, на случай по-
вышенного интереса к нам со стороны службы безопасности мы подготовили обстоятельный
рассказ о благородных целях нашего визита. Но наши волнения были напрасны - приветли-
вого “бонжур” в адрес охранника оказалось достаточно.
Здание университета Париж-Дофин - бывшая штаб-квартира НАТО - выполнено в
монументальном стиле архитектором Жаком Карлю и, на мой взгляд, внешне не вызывает
большого интереса. Во всяком случае, с архитектурной точки зрения сильно проигрывает
зданию Московского университета на Ленинских горах. Центр математических исследова-
ний теории принятия решений (CEREMADE), в котором работал Владимир Игоревич, рас-
полагается на пятом этаже. У каждого штатного сотрудника CEREMADE персональный, до-
вольно просторный кабинет с большим, на всю ширину комнаты, окном, из которого, если
повезло, открываются живописнейшие панорамные виды на Булонский лес и деловой феше-
небельный квартал Дефанс. А если повезло не очень - окна выходят на внутренний универ-
ситетский дворик. К сожалению, мне не удалось узнать, куда выходили окна из кабинета
Владимира Игоревича.
В CEREMADE нам посчастливилось повстречаться с директором этого центра, мате-
матиком Жаном Дольбо. Он устроил нам экскурсию по зданию, незатейливыми галереями
переходов провёл нас на последний этаж, где располагается нечто вроде палубы, которую
можно рассматривать как единый длинный балкон и как смотровую площадку. С этой «па-
лубы» открывается ещё более панорамный вид, чем из окон кабинетов: кроме Булонского
леса и Дефанса также обозреваются зелёный тенистый скверик и детская площадка, наполо-
вину скрытое кронами деревьев здание российского посольства, красивые, в привычном
изящном парижском стиле, дома на бульваре Лан, а если посмотреть влево и вдаль, то можно
увидеть затуманенную смоговой дымкой верхнюю часть Эйфелевой башни.
Естественно, во время этой экскурсии мы говорили об Арнольде. Я спросила, дейст-
вительно ли так уж рьяно Арнольд критиковал французскую систему образования. “Да”, -
сказал Жан, а Оливье с улыбкой добавил: “И не только систему образования. Он критиковал
всё, что заслуживало критики”.
51
Оливье сказал, что Франция гордилась Арнольдом: тем, что он при возможности ши-
рокого выбора предпочёл именно Францию, тем, что именно во Франции жил и работал ма-
тематик такого экстрауровня.
Я ознакомилась с публикациями Владимира Игоревича в Cahiers du CEREMADE. Это
научное издание CEREMADE, что-то вроде “Вестника МГУ”. В этих публикациях, в частно-
сти, проявилась известная нелюбовь Арнольда к компьютерам: в каждой работе он благода-
рит за помощь в наборе текста на компьютере своих коллег и учеников. Так, упоминаются G.
Capitanio, R. Uribe-Vargas, A. Ortiz-Rodriguez.
Я бродила по коридорам CEREMADE, заглядывала в ярко освещённые послеполу-
денным солнцем учебные аудитории, лекционные залы, библиотеку, и меня не покидало
ощущение безысходной грусти оттого, что в стенах этого гостеприимного университета ни-
когда больше не раздастся жизнеутверждающий голос удивительного человека, имя которо-
му - Владимир Арнольд.
Пользуясь возможностью, сердечно благодарю Жана Дольбо (университет Париж-
Дофин) и Оливье Рамаре (Лилльский университет наук и технологий) за помощь, оказанную
мне во время посещения университета Париж-Дофин.
Международный конгресс математиков в Хайдарабаде (Индия), 19 августа 2010 года.
Дань памяти руководителям Международного союза математиков (IMU),
ушедшим из жизни в период 2006 - 2010 гг.
Минута молчания.
На экране фотография В.И. Арнольда - вице-Президента IMU в 1995 - 1998 гг.,
члена Исполкома IMU в 1999 - 2002 гг.
За трибуной Президент Международного союза математиков Ласло Ловаш.
В президиуме члены оргкомитета конгресса. Фото с сайта конгресса.
52
М WBS «* ^ЫМ|ЦГ||П|^
des 1е ВАС
ejoindre I’Universite Paris-Dauphine apres le bac
pour une formation en Mathematiques
www.mido.dauphin
Xcii
management
finance, contrOle, audit et comptabilite
На первом лйсте фотографий: университет и плакаты с информацией о математических специально-
стях, которые можно получить в университете. На втором листе: вид из окон университета на Булонский лес,
некоторые аудитории центра CEREMADE, в котором работал Владимир Игоревич; университет и внутренний
двор.
53
К
Жан Дольбо показал мне статью об Арнольде бывшего Президента университета Па-
риж-Дофин Ивара Экланда, напечатанную в университетском издании “Dauphine
Recherches”. По возвращении в Москву я написала Ивару Экланду письмо, на которое он от-
ветил, что с удовольствием предоставляет свою статью для публикации и русского перевода
в нашей книге и будет рад получить в подарок её экземпляр.
RtCHERCHES
Le Сог.£гёз mondial de maihemalKjues a ete
par* и iasie pox r Universe Pads
Daupffine. Cedric Mani у a recu la jfedaflle
Reklf. action la plus prestignusa de la
discipline. Il avail sowenu sa these a l*Umver-
sfie Paris-Dai-phme en1993 sous ia direction
d’un autro HeHfe, Rene Louie Lions.
Aprfes avoir cornpfe un laucat de ce prix dans
son ceps professoral, Oatjphifp en compte
desooras ^jatement un dans ses alumni.
Yvos Меугг a ensei®te а ОзирЬлте de 1985
i 1995 et у a ^olanmnt (fevefcope sa ttfeo
ne (fes ondetettes я a recu fe prix Geuss qui
(fisUngue k: con tribute remarqoabu s ayaM
dcnnie lieu й des applications signfficatives.
La cpmprossbn d’images ’л>еп2000’ HQure
nonbre des appncabons des travaar
d Y«s Meyer WC ohen (wr DAUPHINE
RECHERCHES n* 2) est aujpurtf hui иг, I batse
/ер &йгпап Ее» mil emobq*j £: a upl nr' ^r>
dans ie domaine de nmagerie. U pretent rw
mero rend iioomaye a cri autre ma tliematfcfen
luphinofc, VfetSmL AmokL decddd en 201C,
et dorrt *es kavaux om inarque Ce XX* s^cle
cxnme nous I'expuQve Ear Ekeiand. tes deux
autres artictes de ce numcro rous emmenei,!
0 ms de tout a?fires univtrs - I'assuran Oans
И pays pauvres et fe corparaism des .Pte
naticnaux tef>jmer&d!ustn;ansi.urn fejsde
plus, '3 rk^esse, la diversHe et la pualite de &
rechcrciie ikiuouirwse
D UPHINE
UNIVERSITY rARIS
55
Vladimir Arnold est decode Ie3juin dernier. Mathematician, professeur
a FUniversit6 Paris-Dauphine jusqu’a sa retrace, И a eu un rayonnement
international considerable. II est particulierement connu pour te
* theorem© KAM » qui est considers comme fondamental pour la theorie
du chaos etdessytemes dynamiques. П a regu te prixCrafoord en 1962,
ce qui te place dans one (tris courte) fote aux cotes de prix Nobels de
diverses disciplines el de quelques ntedailtes Fields, et aussi te prix Wort
en2001.
। Vladimir Arnold est arrive a I’Unrversite Paris-Dau-
; phine aureote (Tune gfoire jeritafclmnt univer-
i sdfe. C’etait la grande cpoque de la theorie du
; chaos, et tout le monde avail entendu parier du
I chat d’Amofd, селе etrange figure qui se mor-
i cefait d’elape en elape, сотню une goutte de
i last se dissfoe dans le cafe, avant de se recons-
; tite comme par miracle qitand fa machine re-
§ parfait a Ferners. Sa renomntee s’ftendait тшпе
i a la sphere poSOque, ce qui n’est pas реи due,
I et le mimstere de Kdpoque, ansi que la marie
I (te Paris, qui s’opposaient sur bien des choses,
i s'dtafem entente pour bi offrir des conditions
.. veritabfement exceptfonnelfes.
: S await pu alter aux Etats-Utes, sans difficufte
I aucune, et trouver un posts mfoux psye et moms
i contraignant, mas 8 aimait te France, Il у dfait
• теви иле fols, ff у а bien des anrees, et В avail
fait une serie de cows qw avaieni hit grand bruit.
i et qui avalent dote feu a un livre, co-signe
: avec Andte Avez, sur les systemes dynarmaties.
' C'etait un des premiers qui avaient owert te porte
; de ей reavers Grange ou wait fe chaos, et je
me souviens encore des«tores moustachus * et
I des tesfos qui, bien avant que les ordinatews
! ne renter facile ce genre de visualisation, es-
sayaient de rendre compte de ce oui se passair
dans fes regions hyperboilques. D^uts, a avail
f ete intend'd de sortie enURSS, el sans doute cette
I longue absence avaii-ele ajoute a noire pays te
i charme de l interdit Toujours est-й qifii 1ш donna
i la preference kxsque,CGHin'ie teJild’autres,ildul
| chercherwiposteaFetranger.
I S parfait parfaitement te f rangais; a Favait appns
! tout jeune, (tens sa famine, et В stencrgueilfc-
s salt de savrer sur Ftestoke et la geographic de
s la France des ctaes que beaucoup de Fraogas
’ ignorant H fwsait du veto dans te fotet Notre-
Dame, (font fignorais tolalement Г existence, et II
у cuefflait ces champignons. Un риг, 11 у fit one
chute grave qui te iaissa dans te coma line se-
mate. A son сетей. il avait tout oublfo, et й ne
savait plus parter; heureusement, tous ses sou-
venirs kii revinrent trBs vite, et te langage avec,
mate ies premieres paroles quU prononca turent
en franjais. et non en russe.
Pour autant, il aval gante des contacts tresdtroits
avec te Rote, et й etait convene qu'il у passeraft
te rooifie de Famtee, tm semesire a Paris, I'autre
a Moscow II s’tescrivait dans une ties longue
tradition, celle de I’ecote matttematfoue rosse
ош cwnpte des noms gforieux, comme cetai de
Lobatchevski, te ttecouvreur des geontetries non
eucfkhennes, cu celw de Uapounov, qui avait 6te
le premier a etufe fa stabilise des systoes dy-
namiques. Атой lui-тёте йай Пег d’avou
I’eteve de Kolmogorov, un geant des math^ma-
tiQues celui qui, entre autres exploits, a dcrme
un fonoement rigoweux a te tone des probfc-
б lines et a fa theorte de la coptexite. 1 en avait
herite te st ns de 1’hisioire des matltemariques,
et it tachart de te communiquer a ses sieves en
lew montrant comment lew recherche sTnscrfvait
dans one corfcite venue <fe trte torn. La culture
malbemaiique est faite de questfocs posees, sw
fesquelfes on avance tenteraent mate qu’fl ne taut
pas oublier, et de tesultats accumules, qu’il faut
соппайге pour avancer. Arnold efait te phis ardent
(tefenseur de cette culture. Cefa pouvaft te rendre
Ires aga^am, par exempte quand й reprodiait sans
menagemont a desspecialistes d'analyse mmteri-
que d*gnorer fes bases<fe fa thereie desfonctkrns
elliptiques, mate c‘est bien lw qw, en Russie, a
porte pendant des annees fa tradition de Poincare,
a une epoque ou, en France, fes mathematictens
Favajeni range au rang des viedles lunes. Сотте
Bourteki n'avail pas sort! de traite sur fes equa-
56
Sur Vladimir Arnold
tions difterentieltes, ils en avaient conclu
que celtes-ci n’existaient plus, el seuls
quelques ntecaniciens et autres astronomes
s’interessatent encore aux oscillations non
lindanes et й la mecanique celeste. Je me
souviens qu’en 1964, akxs Jeune dtudiant,
favais cherche un cours sur les equations
dnferentiefe: il n’y en avail pas sur la pla-
ce de Paris C’est ainsi que j*ai decouvert
Arnold, car dans une collection de livres de
mathematiques tradults du russe, la collec-
tion MIR. dans une couverture rouge que |e
vois encore, il у avail un livre mervetlleux qui
s’appeiait Methodes mathematiques de la
mdcamque classique,
Cela m'amdne a parier de cette immense
qualite d'Amold: personne mieux que lui
ne savait expliquer les mathematiques II
n'y a que deux matltematiciens au monde
(tent on puisse lire les livres pour le plaisir:
Arnold, et, dans un tout autre style, Mil-
nor En France, on a I'habitude d’exposer
la theorie la plus generale, puis, A la fin du
cours, quand tout le monde est Ыеп abruti,
d'expliquer que la theorie s’applique й des
exemptes, mats que malheureusement on
n’a pas le temps de les trailer. Arnold, lui,
parfait des exemples, suscnait la curiosite
des auditeurs, et leur ouvrait ainsi les portes
de la thdone. Je vtens de parier й un ancien
de rUniversrte Paris-Dauphine, actuellement
directeer de la recherche dans une grande
sooete financidre. II me dit qu’Aleve A I’EN-
SAE, ayant appris par les journaux I’arrhtee
d'Amold Й I'UniversitA Paris-Dauphine, II
stetait prAcipitA pour suivre ses cours, ne
vouiant pas rater cette occasion inesperee.
C’dtart un cours sur les equations differen-
RtCHEBCHES
farts-O-iuohrr-.,. (Service Wmmun Reclwche
• Anr»*-
вдлол .'.i’-iH F Elyes Joum et
: •
‘ П v • e
iChampaqnac
tieltes, justement, celui que je cherchais en
France dans les annees 60 et qui n’existait
pas, mais pendant le premier cours, Arnold
n’a pas parte d’dquations dHterentieltes. II a
raconte aux eiudlants fasciites une histone
de requins en Adnatique qui mangeaient des
poissons; mais au bout de la stance mon
ami s’est aper^u qu’il venait d’ingurgiter les
premiers principes de la theorie des syste-
mes dynarmques
Quant a moi, je me souviens d’une discussion
avec Arnold, ou je lui pariais du pendule ren
verse. II s’agit d’un exercice classique dans
la theone des oscillations. Si on prend une
tige rigide, fotee й une extremity elle tombe
natureitement dans la position verticale, sus
pendue A son point d’attache Mais si celui-d
oscille verticatement avec une frequence suf-
fisante, la tige oscille dans la position inverse:
elle est debout sur son point d’attache et se
balance de gauche A droite sans passer par
en bas.« Oui, me dit Arnold, c’est classique.
et c’est d’ailteurs une experience que (e mon-
trais toujours A mes Atudiants quand je faisais
mon cours a Moscou - Joi, Dima, une expe-
rience 9 Mais avec quoi ? - Vois-tu, quand tu
pcends un rasoir Alectrique et que tu le (te-
monles, tu vas trouver un bitonniau qui vibre.
J’avais fait confecfionner une tige de bois qui
s'adaptait dessus, et quand je branchais le
rasoir elle faisait le pendule renverte.»
Et comme tous les grands professeurs, il
adorait les etudiants, qui le lui rendaient
bien. Ceux qui sont passes par I’Universite
Paris-Dauphine et qui ont eu la chance de
I’avoir en garden! un souvenir inoubliabte.
L’ami que je citais m’a dit:«J’ai suivi son
cours A un moment ou Je doutais, et c’est Ar-
nold qui m’a rameite aux matttematiques».
Depuis, il a fait une belie camere, dans la
Formule 1 A ses debuts et dans la finance
aujourd'hui, mais'd fait toujours des matite
matiques. Combien sont-ils de par le monde
dont Arnold a change la vie ? Des cental-
nes ? Des miiliers ? Plus ? Et ce n est pas
fini: ses livres sont toujours IA. C’est la mort
de Bergotte...
Ivar Ekeland, ancten president
Universite Paris-Dauphine.
Статья опубликована в № 5 сентябрь 2010 г. издания университета Париж-Дофин
57
ИВАР ЭКЛАНД,
французский математик норвежского происхождения. Экс-президент
университета Париж-Дофин (1989 -1994). В настоящее время заведу-
ющий кафедрой математической экономики на факультете матема-
тики и экономики в университете Британской Колумбии, г. Ванкувер,
Канада. Директор Тихоокеанского института математических наук.
Директор Института финансов Дофин, Париж.
О ВЛАДИМИРЕ АРНОЛЬДЕ
Перевод с французского языка Каролины Кузичевой
3 июня умер Владимир Арнольд. Математик, профессор университета Париж-Дофин
вплоть до выхода на пенсию, он обладал значительным международным влиянием. В част-
ности, он известен “теорией КАМ”, которая считается фундаментальной для теории хаоса и
динамических систем. В 1982 году он получил премию Крафорда, что помещает его в список
(очень короткий) рядом с Нобелевскими лауреатами по различным дисциплинам и несколь-
кими Филдсовскими медалистами; также он получил премию Вольфа в 2001 году.
Владимир Арнольд приехал в университет Париж-Дофин в ореоле поистине вселен-
ской славы. Это было время расцвета теории хаоса, и все слышали о кошке Арнольда, этом
странном образе, который распадался шаг за шагом, как капля молока растворяется в чашке
кофе, прежде чем, словно по волшебству, восстановиться во время движения в обратном на-
правлении. Слава Арнольда распространялась даже на сферу политики, это о многом гово-
рит; и тогдашнему министерству образования, и мэрии Парижа пришлось противостоять
многим вещам, чтобы предложить ему действительно исключительные условия.
Он мог без каких-либо проблем уехать в Соединённые Штаты и найти там более оп-
лачиваемую и менее обязывающую должность, но он любил Францию. Однажды, много лет
назад, он приезжал туда и прочёл курс лекций, имевших огромный резонанс и приведших к
изданию книги о динамических системах, которую он написал совместно с Андре Авецем
(Andre Avez). Это была одна из первых книг, открывших дверь в этот странный мир, в кото-
ром жил хаос, и я до сих пор помню “усатые торы” и рисунки, которые задолго до того, как
компьютеры сделали доступным этот жанр визуализации, пытались представить то, что про-
исходит в гиперболических областях. С той поры ему был запрещён выезд из СССР и, несо-
мненно, это длительное отсутствие прибавило нашей стране (Франции - прим, переводчика)
очарование запрещённой. Тем не менее, именно ей он отдал предпочтение, когда, как и мно-
гие другие, был вынужден искать работу за рубежом.
Он превосходно говорил на французском языке: выучил он его, будучи совсем юным,
в своей семье, и он гордился своими познаниями в области истории и географии Франции,
знанием того, чего не знают многие французы. Он совершал велосипедные прогулки в Нотр-
Дамском лесу, о существовании которого я даже не подозревал; он собирал там грибы. Од-
нажды он там сильно упал с велосипеда, после чего впал в недельную кому. Когда он при-
шёл в себя, обнаружилось, что он всё забыл и не может говорить; к счастью, память к нему
довольно скоро вернётся, и речь тоже, но первые слова, которые он произнесёт, будут на
французском, а не на русском.
Тем не менее, он сохранял очень тесные связи с Россией, и было решено, что он там
будет проводить полгода: один семестр в Париже, другой - в Москве. Он был частью давних
традиций русской математической школы, которая насчитывает такие прославленные имена,
как имя Лобачевского, первооткрывателя неевклидовой геометрии, или Ляпунова, который
был первым в исследовании устойчивости динамических систем. Сам Арнольд гордился тем,
что был учеником Колмогорова, этого гиганта математики, который, помимо прочих дости-
58
жений, дал строгое обоснование теории вероятностей и теории сложности. От него Арнольд
унаследовал чувство историчности математики и старался передать это чувство своим уче-
никам, демонстрируя им, каким образом их исследования являются частью непрерывного
процесса, корнями уходящего в далекое прошлое. Математическая культура формируется из
поставленных задач, которые нескоро решаются, но забывать которые нельзя, и из накоп-
ленных результатов, которые надо знать, чтобы двигаться вперёд. Арнольд был самым стра-
стным защитником этой культуры. Например, он беспощадно критиковал специалистов в
области численного анализа, не знавших основ теории эллиптических функций, и это могло
сильно его раздражать, но именно он в течение многих лет поддерживал в России традиции
Пуанкаре, в то время, когда во Франции математики были причислены к рангу носителей ус-
таревших идей. Поскольку у Бурбаки не было трактовки дифференциальных уравнений, они
(тогдашние французские математики - прим, переводчика) сделали вывод, что дифференци-
альные уравнения больше не существуют, и лишь некоторые механики и астрономы всё ещё
интересовались нелинейными колебаниями и небесной механикой. Я вспоминаю, как в 1964
году, будучи юным студентом, искал курс по дифференциальным уравнениям; в Париже его
не было. Именно так я открыл Арнольда, поскольку в коллекции математических книг, пере-
ведённых с русского языка издательством “Мир”, была его чудесная книга в красной облож-
ке “Математические методы классической механики”.
Это подводит меня к тому, чтобы сказать о неизмеримом качестве Арнольда: никто
лучше него не умел объяснять математику. В мире есть только два математика, чьи книги
можно читать с удовольствием: Арнольд и (в совершенно другом стиле) Милнор. Во Фран-
ции мы привыкли сначала излагать наиболее общую теорию" а затем, в конце лекции, когда
все уже достаточно утомлены, объяснять, как теория применяется к примерам, но, к сожале-
нию, уже не остаётся времени эти примеры разбирать. Арнольд же начинал с примеров, вы-
зывал у слушателей любопытство и тем самым открывал входные двери теории. Недавно я
разговаривал с одним выпускником университета Париж-Дофин, ныне директором по иссле-
дованиям в крупной финансовой компании. Он мне рассказал, что когда-то, будучи студен-
том Высшей Национальной школы статистики и экономического управления (ENSAE), он
узнал из газет о приезде Арнольда в университет Париж-Дофин и, не желая упускать эту не-
предвиденную возможность, стал ходить на его лекции. Это был курс по дифференциальным
уравнениям, точно такой, какой я искал во Франции в 60-х годах и которого не существовало
тогда, но на первой лекции Арнольд не говорил о дифференциальных уравнениях. Он рас-
сказывал зачарованным студентам историю про акул из Адриатического моря, которые по-
едали рыб, а к концу лекции мой друг осознал, что он только что “проглотил” (имеется в ви-
ду - усвоил, понял. Прим, переводчика) начальные принципы теории динамических систем.
Что касается меня, я вспоминаю наш с Арнольдом разговор о перевёрнутом маятнике.
Речь идёт о классическом упражнении из теории колебаний. Если взять жёсткий стержень,
закреплённый на одном конце, он упадёт, естественно, в вертикальном положении, подве-
шенный в месте крепления. Но если точка подвеса совершает колебательные движения в
вертикальном направлении с достаточно большой частотой, стержень колеблется противо-
положным образом: он стоит на своей точке подвеса и раскачивается слева направо, не па-
дая.
- Да, - сказал мне Арнольд, - это классика, и, между прочим, это опыт, который я все-
гда показываю своим студентам, когда читаю лекции в Москве.
- Ты показываешь опыт, Дима? Но с чем?
- Видишь ли, если ты возьмёшь и разберёшь электрическую бритву, ты сразу же заме-
тишь вибрирующую детальку. Я изготовил деревянный стержень, водрузил его на эту де-
таль, и когда я включал бритву, стержень превращался в перевёрнутый маятник.
И, как все выдающиеся преподаватели, он обожал студентов, а они платили ему доб-
ром. Это те, кто прошёл через университет Париж-Дофин, и кому посчастливилось сохра-
нить о нём незабываемые воспоминания. Друг, которого я цитировал выше, сказал мне: “Я
посещал его лекции в то время, когда пребывал в сомнениях, и именно Арнольд вернул меня
к математике”. С тех пор он сделал блестящую карьеру, сначала в Формуле 1, а теперь - в
59
области финансов, но при этом он всегда занимался математикой. Сколько их в мире - тех,
кому Арнольд изменил жизнь? Сотни? Тысячи? Больше? И это не конец: с нами всегда его
книги. Это смерть Бергота...
Примечание переводчика
Бергот - персонаж пятой книги «Пленница» семитомной эпопеи Марселя Пруста «В
поисках утраченного времени». В письме переводчику Ивар Экланд, беспокоясь о том, пой-
мут ли последнюю фразу его статьи русскоязычные читатели, сделал небольшое пояснение к
ней: «Это ссылка на Марселя Пруста, где Бергот - писатель-перфекционист (прототип само-
го Пруста), который, несмотря на слабое здоровье, идёт в музей, поскольку критик отметил
жёлтую стену в картине Вермеера "Вид Дельфта", а он её (стену) совсем не помнит. В музее
он смотрит на картину, видит жёлтую стену, думает, что "вот так и я должен был написать,
это так просто ...» и умирает перед картиной. Но его книги переживут его, и у Пруста есть
красивое предложение об этом, Вы можете процитировать соответствующее место из рус-
ского перевода».
Согласно пожеланию Ивара Экланда приводим замечательный фрагмент из "Пленни-
цы" Пруста:
«Он (Бергот) всё повторял: «Кусочек жёлтой стены с навесом, кусочек жёлтой стены».
Тем временем он опустился на круглый диван и, внезапно перестав думать, что дело идёт о
его жизни, снова проникся оптимизмом и сказал себе: «Просто у меня несварение желудка от
этой недоваренной картошки, пустяки». Новый удар поразил его, он свалился с дивана на
пол. Тотчас же сбежались посетители и сторожа. Он был мёртв.
Умер ли он навсегда? Кто может сказать? Правда, спиритические опыты, равно как и
религиозные догмы, не дают доказательств того, что душа продолжает существовать. Можно
сказать лишь, что всё в нашей жизни происходит так, как если бы мы вступали в неё с бре-
менем обязательств, взятых на себя в какой-то предшествующей жизни; в условиях нашей
жизни на этой земле нет никаких оснований для того, чтобы мы считали своим долгом де-
лать добро, быть деликатными и даже вежливыми, как нет оснований для требовательного
художника считать себя обязанным двадцать раз переделывать какой-то фрагмент, дабы вы-
звать восхищение, которое телу его, изглоданному червями, будет безразлично так же, как
куску жёлтой стены, изображённой с таким мастерством и изысканностью художником, на-
всегда потонувшим в неизвестности, оставившим от себя только имя - Вермеер, - и то едва
ли достоверное. Все эти обязанности, ничем не санкционированные в теперешней жизни,
принадлежат словно иному миру, основанному на доброте, совестливости, самопожертвова-
нии, миру, совершенно отличному от здешнего, откуда мы являемся, рождаясь на этой земле,
и куда снова, может быть, вернёмся под власть таинственных законов, которым мы повино-
вались, потому что носили в себе их предписания, не зная, кем они начертаны, - законов, к
которым нас приближает всякая углубленная умственная работа и которых не видят - всё
еще! - только глупцы. Так что мысль о том, что Бергот умер не навсегда, не лишена правдо-
подобия.
Бергота похоронили, но всю траурную ночь его книги, выставленные по три в осве-
щённых витринах, бодрствовали, словно ангелы с простёртыми крыльями, и казались сим-
волом воскрешения того, кого больше не было ...».
60
КУРИЛОВ ВАДИМ ИВАНОВИЧ,
кандидат физико-математических наук,
старший научный сотрудник ВЦ МГУ
На концерте в Доме учителя, октябрь 2008 г. Справа от Д. Арнольда - В. Курилов, Н. Новгородова
ВСЕ МЫ, СОКУРСНИКИ ДИМЫ АРНОЛЬДА, ПОНИМАЛИ,
ЧТО С НАМИ УЧИТСЯ ГЕНИАЛЬНЫЙ МАТЕМАТИК
Владимир Игоревич (Дима) Арнольд!
Все мы, сокурсники Димы Арнольда, понимали, что с нами учится гениальный мате-
матик, знания которого на порядки превосходили знания многих из нас. Понимали это и на-
ши профессора.
Личность этого замечательного Ученого и Человека побуждают каждого, кто был с
ним знаком, пусть даже не очень близко, к коим относится и автор этих строк, поделиться
своими воспоминаниями о нем.
На первых двух курсах университета я с Димой Арнольдом встречался очень часто,
но не на научной стезе, а в студенческой секции по плаванию, где все были почти равны, и
уже с тех пор я не мог избавиться от чувства искренней симпатии к этому энергичному и,
вместе с тем, исключительно скромному и доброжелательному человеку.
На первых курсах Мехмата большинство обычных студентов с известным напряжени-
ем справлялось с обязательными учебными нагрузками, в особенности в части матанализа,
где хорошо, если к очередному занятию успевалось прорешать задания из задачника
Б.П. Демидовича. Как-то в читальном зале, измученный осмыслением тонких соотношений
признаков сходимости рядов, я увидел, как Дима штудирует книгу Г.Филипса "Дифферен-
циальные уравнения". Стало ясно, что у этого студента с математическим анализом все в по-
рядке.
Уже на втором курсе Дима Арнольд прекрасно знал математику, которую предписано
было знать на Мехмате, понимая ее творчески и глубоко. Видимо такой уровень знаний по-
мог развиться творческому сотрудничеству Димы с его гениальным учителем А.Н. Колмого-
ровым, ознаменовавшимся решением на 3-м курсе 13-й проблемы Д. Гильберта о суперпози-
ции функций.
Вспоминается эпизод на экзамене 4-го курса, который я сдавал по спецкурсу профес-
сора Г.Е. Шилова "Обобщенные функции". Этот экзамен сдавал и Дима. Отвечая на вопросы
билета, экзамен Димы стал плавно приобретать другую ориентацию, меняя роли ученика и
61
учителя. Г.Е. Шилов - этот прекрасный педагог и глубоко эрудированный математик -
засыпал Диму вопросами по различным аспектам современного анализа, никак прямо не
связанными с обобщенными функциями, а Дима с присущим ему педагогическим талантом
увлеченно излагал свою точку зрения по этим вопросам.
Эта математическая беседа оставила неизгладимые впечатления.
В 1963-64 учебном году Владимир Игоревич Арнольд уже в звании профессора читал
на Мехмате курс, посвященный собственно дифференциальной топологии, но своим содер-
жанием покрывавший практически всю современную математику: диффеоморфизмы, гомо-
топическая теория, перестройки Морса, алгебры Ли и многое, многое другое. Лекции чита-
лись в большой потоковой аудитории 16-го этажа главного здания МГУ и посещались не
только студентами и аспирантами, но и уже сложившимися маститыми учеными. Интерес к
лекциям был громадный: неизменно дефицитными были места даже на ступеньках большой
аудитории. Этот интерес вызывался не только современностью рассматриваемых вопросов,
но и мастерски доходчивой формой изложения, не лишавшей вместе с тем их своей содер-
жательности. Для самостоятельного изучения многих рассматриваемых там математических
конструкций потребовались бы недели, если не месяцы. Каждая лекция оставляла чувство
адекватности усвоения тех или иных математических вопросов и могла служить добротной
основой для более глубокого их изучения в дальнейшем. Это был настоящий триумф гени-
альной математической педагогики!
Несколько лет назад в частной беседе я спросил у Владимира Игоревича, не собирается
ли он подарить широкой математической общественности тот замечательный "ликбез", какой
несли с собой те давние лекции, но уже в условиях повзрослевшей на 50 лет современной ма-
тематики? В его лице я уловил творческое озарение, и он ответил, что и сам размышляет над
тем, когда и как это сделать. Но, к сожалению, этим планам не суждено было сбыться.
Все, кто имел счастье общаться с Владимиром Игоревичем, часто или только эпизо-
дически, несомненно ощущали на себе тот посыл оптимизма, демократичности и любозна-
тельности, который источал этот человек. Я думаю, источником этих качеств была его уве-
ренность в том, что его собеседник, так же как и он сам, тонко чувствуют красоту мысли и
особенно мысли научной, творческой. Приведенные мною штрихи воспоминаний о Влади-
мире Игоревиче носят скорее лишь эмоциональный характер, его ученики и коллеги смогут
полнее и интереснее осветить тот громадный научный, творческий и гуманистический по-
тенциал, который нес с собой этот замечательный Ученый и Человек!
P.S.
Совсем не так давно, 3-4 года тому назад, на дружеской встрече с Димой Арнольдом,
которая происходила в доме нашей сокурсницы Мальвины Ботиной, присутствовало много
университетских однокашников Димы. Пришли не столько лицезреть гениального ученого
или обсудить с ним какие-то научные вопросы, сколько пообщаться с исключительно эруди-
рованным человеком, который знал почти все и почти обо всем. Сам Дима весьма благо-
склонно относился к таким встречам, много рассказывая на них, в частности, об истории
развития наук. Помнится, на этой встрече он помог истолковать интересовавшее меня изре-
чение И. Ньютона "Если я видел дальше других, то потому, что стоял на плечах гигантов".
Оказывается, это изречение было адресовано Р. Гуку - современнику и научному сопернику
И. Ньютона. Оба они - и Гук, и Ньютон были людьми маленького роста, а гигантами науч-
ной мысли были Галилей и Декарт.
По обыкновению на подобных встречах многие просили Диму дать свой автограф на
какой-то его книге. Попросил об автографе и я на его книге «Задачи для детей от 5 до 15»,
насыщенной "математическими изюминками".
Дима не ограничился просто автографом, но и приписал туда "изюминку" (полный
текст этого автографа приводится здесь), еще раз продемонстрировав подкупающие качества
своей личности, где так естественно уживались и человеческая простота и гениальность.
62
Дх-осЛД1?ЛЧ)
рл с 9. j UAv S *^-
(^ЫСЛ <и .( ЦкУ\л^Ср Ц>
г”Ъи v.<\
С
^LC/Umv.K^ '. 3^/HLQca <Н гкЛ'сч;^
76379Н 42.35^^) ^^6^
И^х
56^354^^0? ?
В.И. Арнольд
Задачи
для
5 15 лет
В.П \PIIQ1M
ТЕОРИЯ
КАТАСТРОФ
10.10.2006 г. Вместе с Д. Арнольдом у Мальвины Ботиной в гостях были Г. Иванова, В. Кури-
лов с сыном Дмитрием (слева от Г. Ивановой).
63
ЛЕВАШОВА (КУЗИЧЕВА) ЗИНАИДА АНДРЕЕВНА,
кандидат физмат наук,
старший научный сотрудник Мехмата МГУ
НЕСКОЛЬКО СЛОВ О ДИМЕ АРНОЛЬДЕ - РЕДАКТОРЕ
Я почти не общалась с Димой, хоть мы и учились на одном курсе, но учились в раз-
ных группах. Каждый из нас имел свой круг друзей, чаще всего - в своей группе. На факуль-
тете мы, уже как сотрудники (после окончания учёбы), также работали в разных коллекти-
вах.
Мне вспоминается всего два эпизода, связанных с редакторской деятельностью.
Как-то (в семидесятые годы) мне поручили написать в нашу стенную газету, которая
называлась «За передовой факультет», заметку о работе факультетского методологического
семинара. Заметку я написала, и мне сказали, что требуется отзыв редактора газеты. А редак-
тором тогда был Дима Арнольд. Он (став доктором физмат наук и профессором) читал лек-
ции в аудитории 16-10, и я в перерыве подошла к нему получить «добро» на публикацию
заметки в газете. Он взял у меня заметку и попросил подойти через некоторое время. В ука-
занное время он мне сказал: «Заметку я отдал машинистке. Я слежу только, чтобы в каждом
предложении имелось подлежащее и сказуемое».
В начале 80-х годов Д. Арнольд и А. Паршин готовили к изданию «Избранные труды.
Математика, теоретическая физика» Германа Вейля (они были опубликованы в 1984 году,
В.И. Арнольд - ответственный редактор). В числе переводчиков оказалась и я, как сказал
А.Н Паршин, по рекомендации В.И. Арнольда. Мне поручили перевести (с немецкого и с
английского) четыре статьи. Готовые переводы я отдала А.Н. Паршину, а спустя некоторое
время мне передали, что В.И. Арнольд хотел бы пообщаться со мной по поводу этих перево-
дов. Я ужасно боялась этого разговора. Но при встрече он очень мягко и корректно сказал,
что у него есть одно замечание по поводу перевода статьи «Феликс Клейн и современная ма-
тематика»: «Вот здесь речь идёт просто о том, что одна окружность накрывает остальные.
Вы слишком усложнили это место». Я была потрясена, поскольку ожидала, что получу раз-
громный отзыв.
Конец 50-ых годов XX века. На ступеньках клубной части МГУ (слева направо) Игорь Шары-
гин, Дима Арнольд, Толя Карацуба и Юра Оревков.
64
ЛИВШИЦ МИХАИЛ ИСААКОВИЧ
кандидат физмат наук, доцент, Технологический
Институт пищевой промышленности, МИЭМ
ЗДРАВЫЙ СМЫСЛ МАТЕМАТИКА
В родстве со всем, что есть, уверясь
И знаясь с будущим в быту,
Нельзя не впасть к концу, как в ересь,
В неслыханную простоту.
Борис Пастернак.
Строки эпиграфа взяты из стихотворения, про которое Арнольд сказал: «это - специ-
альное стихотворение про математику, одно из самых замечательных стихотворений
Пастернака. На мой взгляд, он очень много про науку понимал, про математику».
Здравый смысл (несмотря на неоднозначность термина) удобен и понятен при обозна-
чении совокупности неконъюнктурных взглядов отдельного человека. Эти устоявшиеся
взгляды складываются как объединение образовательных знаний и зависящего от них повсе-
дневного опыта.
Достаточная стандартизированность, уверенность, категоричность и конкретность в
доступных внешних проявлениях - свойства здравого смысла.-
Здравый смысл Арнольда имеет отдельную ценность на фоне его выдающихся мате-
матических достижений и глубокого общего образования.
Взгляды Арнольда на математику и математическое образование безусловно привле-
кательны.
Приводимые в тексте близкие к дословным высказывания Арнольда выделены
курсивом.
Принятие и понимание взглядов Арнольда неотделимо от точки зрения, с которой они
рассматриваются. Наше основное утверждение: математика это результаты мыслительной
деятельности сформированного по определенным специфическим правилам человеческого
мышления.
Утверждение, являющееся очевидным, но явно неконструктивным, требует описания
“специфических правил” мыслительной деятельности с виртуальными объектами, обозна-
чаемыми терминами и символами.
Можно описать способы и свойства формирования правил и терминов, а также при-
вести классификацию математических результатов, перечисляя многообразные теории и раз-
делы математики. Абстрактное, теоретическое, идеализированное, логическое, дедуктивное,
количественное, пространственное, моделирующее и, наконец, прикладное - обычные сло-
весные атрибуты, сопутствующие внешним подходам к математике.
Не пользующаяся математическими символами человеческая логика зачастую запу-
тывает в словесных определениях, но, к сожалению, некорректно определять математику,
пользуясь математическими символами.
Представления Арнольда о внутреннем характере математики выражены в высказы-
ваниях о том, что
Написанное Маратом: из всех математиков самые лучшие те, которые всё вычис-
ляют по заранее приготовленным формулам, является признаком полного непонимания ре-
волюционерами математики, главное в которой — свободное мышление вне рамок каких бы
то ни было заранее заготовленных схем,
или, что
Роль доказательств в математике подобна роли орфографии или даже каллиграфии
в поэзии. Во внешних проявлениях представляются наиболее важными следующие три свой-
ства математики:
65
• Главное, но редко упоминаемое, свойство математики - определять стиль мыс-
лительной деятельности;
• Феноменальная полезность математики. Замечательное свойство математи-
ки, которым можно только восхищаться, является непостижимая эффективность её наи-
более абстрактных, и на первый взгляд, совершенно бесполезных, но красивых областей',
• Общеобразовательная ценность математики как основной дисциплины обуче-
ния.
Суть первого свойства достаточно глубоко реализуется у Арнольда в описании ’’мяг-
ких” и "жестких” математических моделей.
Здравый смысл проявляется при реализации идей на известных объектах.
Поясняя жесткую модель примером таблицы умножения и, приводя в качестве про-
стейшего примера мягкой модели - принцип "чем дальше в лес, тем больше дров", Арнольд
дает достаточно содержательное изложение различия между “мягким и жестким математи-
ческим моделированием”: Между математиками есть двоякого рода люди:
1 )” математики-философы”, т.е. математики высшей математической мысли, для
которых цифры и исчисления есть ремесло; этого рода математиков увлекают сами ма-
тематические идеи. Одним словом, это математики, так сказать, чистой философской
математики;
2 ) напротив, есть “ математики-исчислители ”, которые всю суть математики ви-
дят в исчислениях, цифрах и формулах.
Основываясь на первоначальном утверждении, подчеркнем, что “мягкое и жесткое
моделирование” - это не часть математики, а ясное проявление двух сторон ее сущности:
мыслительной работы над математическими идеями и результатов этой работы, выражаю-
щихся в “исчислениях, цифрах и формулах”.
Использованный термин математическое моделирование не имеет отношения к тому,
что широко принято называть математическим моделированием в других науках и вопросах.
Именно мягкие математические модели в той или иной мере используются каждым
образованным человеком. Например, Арнольд говорит, что сила государственного деятеля
С.Ю. Витте заключалась вовсе не в применении какой-либо математики, как "исчисления ",
а в том способе мышления, который назван "математикой-философией" и который за-
ставляет человека с математическим образованием думать о всех реалиях окружающего
мира с помощью (сознательного или бессознательного) мягкого математического модели-
рования.
Более того, считая идею достаточно глубокой, Арнольд пишет об открытой отно-
сительно недавно возможности полезной математической теории мягких моделей и много
говорит о них при обсуждении вопросов математического образования. Он добавляет, что
идея о необходимости этого рода мышления для успеха в любой экономической или произ-
водственной деятельности была хорошо понята уже сто лет назад.
Обсуждение второго из рассматриваемых свойств приводит ко многим вопросам, свя-
занным с противопоставлением прикладного и экспериментального формальному и теорети-
ческому.
Изначально исторически и во многих случаях в последующем развитии математики
создавались и исследовались (невольно или целенаправленно) образы, порождаемые опреде-
ленными характеристиками реальных объектов.
В одном и том же математическом образе повторяются аналогичные черты разнооб-
разных реальных объектов. Это делает математические образы универсальными обобще-
ниями, отделенными от реальности. Виртуальные объекты математики, обозначаемые тер-
минами и символами, заменяют реальные.
Обратно, отделенные от реальности математические образы в своих конкретных про-
явлениях становятся инструментом для описания и исследования характеристик реальных
(просто наблюдаемых, наблюдаемых с помощью приборов или “гипотетически наблюдае-
мых”) объектов.
66
На этом пути человек получил математику, придав точную определенность и одно-
значность создаваемым объектам - абстрактным образам, и наделив ее внутренней истинно-
стью, основанной на доказательствах.
При этом именно математика обладает не присущей реальности возможностью широ-
кого манипулирования над своими объектами с полным использованием свободы фантазии.
Фантазия проявляется как неосознанное качество, присущее человеку, или возникающее из
мыслительных процессов, проводимых над математическими образами.
Математика - активно функционирующее и совершенствующееся создание мысли,
которое непрерывно развивается, оформляется и используется. Как живой организм матема-
тика плодотворно участвует, явно или неявно, почти во всех видах творческой деятельности.
Практически нет сферы содержательной деятельности, качество которой не зависит от мате-
матики. Это понятно в любой науке, и это имеет место в повседневной жизни.
Существенным следствием особенностей здравого смысла Арнольда является исполь-
зование мягкого математического моделирования при изложении своих взглядов на матема-
тику. К этому добавляется то, что кажущиеся парадоксальными некоторые высказывания
Арнольда о математике обычно окружает целенаправленный познавательный или образова-
тельный контекст.
Рассмотрение высказываний о самой математике и высказываний, связанных с про-
цессом математического творчества или математического образования, сделанные при не-
формальном отношении к вопросам, приводят к представлению о непротиворечивости точки
зрения Арнольда.
Проявления позиции Арнольда определены его активным противостоянием предвзя-
тым мнениям классических ортодоксов, отрицающих пользу математики, и несведущих лю-
дей, не имеющих ответа на вопрос о пользе математики.
Отношение к математике как к науке выражено в мнении Арнольда о бессмысленно-
сти понятия прикладной математики.
На самом деле никаких “прикладных наук” не существует и никогда не существова-
ло, как это отметил более ста лет назад Луи Пастер. Великий прикладник говорил, что
есть только обычные фундаментальные науки, где открывают новые истины, и есть их
приложения, где эти истины используются.
Предпочтительнее говорить не о "внедрении", а об использовании научных резуль-
татов.
К традиционно проходному термину “прикладная математика” исторически привела
внешняя природа математики.
Свобода в выборе терминов ограничена смыслом разных понятий, обозначаемых в
ряде случаев одинаковыми или похожими терминами.
Термин “прикладная математика” может обозначать существование многих реализа-
ций математики, не являющихся частями математики.
К вопросу о “прикладной математике” примыкает внешне сходный вопрос об экспе-
риментальной науке и вопрос о взаимоотношении математики и физики.
Здесь проявляется как здравый смысл, так и ясно выраженный подход к математике
как к творческому процессу.
Арнольд пишет об экспериментальном подходе в математике, который в наглядном
виде представлен в геометрии и связывает математику и физику.
Единственным “недостатком” геометрии, как раздела математики, является ее назва-
ние, происхождении которого для математики несущественно. В математике также не может
возникнуть проблема с часто используемым названием фундаментального раздела ’’Уравне-
ния математической физики”.
Безусловно отрицательно отношение Арнольда к принципам Декарта. Согласно Де-
карту: Чтобы математика сделалась наукой, прежде всего нужно изгнать из нее все следы
эксперимента, которые в ней проявляются в виде чертежей. Рисуя прямые, окружности в
67
евклидовой геометрии, мы совершаем ненужную деятельность, которая к науке не имеет
отношения.
Ясно, что элементарная геометрия - результат длительного эксперимента с обобще-
нием понятных для нас объектов реальности. Вместе с их аналогами в геометрии представ-
лены математические образы и специфические правила оперирования.
Использование “экспериментального подхода” указывает на методы творческой дея-
тельности в ряде областей. Различие в математическом и физическом эксперименте заложе-
но в характере объектов эксперимента и в методах его проведения. В физическом экспери-
менте над тонкими сложно наблюдаемыми или ’’гипотетически наблюдаемыми” реальными
объектами возникают ситуации, требующие необычного теоретического аппарата для описа-
ния процесса исследования и его результатов. Идеи решения возникающих проблем может
дать только математика. При появлении новых идей математика приходит к своему очеред-
ному расширению, удаляя из своего рассмотрения первоначальный физический объект и за-
меняя его виртуальным образом.
Физика в современной науке исследует и организует с помощью математики сложно
доступные объекты реальности. Внешнее развитие математики во многом определяется ее
участием в рассмотрении физических задач.
Сказанное может пояснить внешнее восприятие математики, представленное доста-
точно прагматическим высказыванием Арнольда о том, что
Взаимодействие между физикой и математикой, которые преодолели нелепые
попытки сверхабстрактных "бурбакистов"разделить эти две важнейшие науки, единые в
течение предшествовавших тысячелетий. Прогресс человечества последних столетий в
значительной мере опирается на достижения этих наук. Я всегда считал, что матема-
тика - часть теоретической физики и, как и физика, является экспериментальной наукой.
Общее и математическое образование людей неотделимо от математики, т.к. матема-
тика стала существенной частью природы достаточно высокоорганизованного общества.
Математика не возникает и не развивается в сознании человека вместе с его рождени-
ем и ростом без вмешательства общества. (Может быть, когда-нибудь мутации и технологии
приведут к иному.)
Отсюда следует жизненная необходимость поддерживать и улучшать качество обра-
зования.
Неизмерима вина тех, кто умышленно или по самоуверенной неосторожности закла-
дывает изменение будущего, возвращая его в нецивилизованное прошлое, а также преобра-
зуя мышление человека в предпинимателько-потребительскую схему.
Большинство работ Арнольда, имеющих публицистический характер, или посвящены
или не обходятся без обращения к вопросам математического образования.
Здесь уместно сказать о так называемом "бурбакизме". В примитивном пояснении не-
гативное отношение к этому явлению возникло как неприятие формального изложения ма-
тематики исключительно методами математики, без использования любых видов иллюстра-
ций.
Из сказанного раньше следует несоответствие «бурбакизма» взглядам на математику,
как на необходимую часть природы существования человека со всеми вытекающими из это-
го следствиями.
“Бурбакизм” удобно использовать для приведения примеров, противопоставляемых
содержательному творческому обучению математике.
Для Арнольда ’’бурбакизм” неприемлем как неконструктивный и затуманенный под-
ход в творческой и просветительской деятельности.
Ущербно обучение французских школьников математике, как своеобразной юридиче-
ской казуистике, основанной на произвольно выбранных законах и тому, что все общее и аб-
страктное важнее частного, конкретного.
Наиболее характерными приметами формализованного преподавания является изо-
билие немотивированных определений и непонятных (хотя логически безупречных) доказа-
68
тельств. Отсутствие примеров, отсутствие анализа предельных случаев и предела приме-
нимости математических теорий, отсутствие чертежей и рисунков - столь же постоян-
ный недостаток математических текстов, как и отсутствие внематематических прило-
жений и мотивировок понятий математики.
В адрес французского образования направлено обвинение в том, что современное
формализованное бурбакизированное образование в математике - полная противополож-
ность обучению умению думать и основам науки.
Наконец, в связи с “бурбакизмом“ возникает категорическое подтверждение изложен-
ных ранее взглядов Арнольда на математику:
Все попытки избежать вмешательства реального мира в математику - сектант-
ство, которое восстанавливает против себя любого разумного человека и вызывает у него
отвращение к этой науке и к любым доказательствам. "Абстрактное" описание матема-
тики непригодно ни для обучения, ни для каких-либо практических приложений.
Бесперспективность применения формализованных методов обучения математике в
общем образовании подчеркивается словами Декарта, высказавшего относящийся уже пря-
мо к министерству образования принцип о необходимости немедленно запретить все другие
методы преподавания, кроме метода Декарта, потому что его метод образования являет-
ся единственным истинно демократическим. Демократический характер метода образо-
вания по Декарту заключается в том, что среди обучающихся по этому методу самый ту-
пой, самый посредственный ум достигнет таких же успехов, как и самый гениальный.
Дальнейшее усиление нелепости приводит к тому, что всю геометрию надо из школь-
ного образования исключить, потому что демократическая эволюция должна сделать все
понятным меньшинствам.
К этому полезно добавить отмеченное уже Леонардо да Винчи, что любой тупица,
занявшись исключительно одной узкой темой, поупражнявшись достаточно долго, достиг-
нет в ней успеха.
С другой стороны, полное отрицание цивилизации следует из запланированного в об-
разовании воспитания потребителя с целенаправленно погашенным творческим началом и с
мышлением по “правильным” правилам.
Здравый смысл и конкретность Арнольда позволяют ему говорить о неблаговидных
целях общественных деятелей, ведущих к развалу, в первую очередь, школьное образование.
Оправданием подобных деятелей может быть искаженное из-за безграмотности вос-
приятие предмета математики и представление о математике, как о трудно воспринимаемой
необязательной конструкции, препятствующей развитию человеческих потребностей.
Преступные действия в образовании, граничащие с мракобесием, нельзя считать про-
стительными. Об этом часто пишет Арнольд, приводя примеры обыденно-бытового отноше-
ния к образованию вообще и к математике в частности.
От примитивной реализации принципа развития - все старое надо выбрасывать до
сознательного достижения низкого уровня общей культуры и школьного образования ради
экономических целей. Экономика общества потребления и, прежде всего, доходы хозяев
жизни страдают в условиях культурности и образованности (которые, вдобавок, мешают
манипулировать населением, как лишённым интеллекта стадом).
Образованный человек, начитавшийся книг, становится худшим покупателем: он
меньше покупает и стиральных машин, и автомобилей, начинает предпочитать им Мо-
царта или Ван Гога, Шекспира или теоремы.
Возвращаясь к позитивной позиции в подходе к математике, следует сказать, что ис-
кусство строгого логического рассуждения и возможность получать этим способом на-
дежные выводы не должно оставаться привилегией Шерлока Холмса - каждый школьник
должен овладеть этим умением. Умение составлять адекватные математические модели
реальных ситуаций должно составлять неотъемлемую часть математического образова-
ния.
69
Экономисты, не знающие математики, находятся в положении людей, желающих
решить систему уравнений, не зная ни того, что она собой представляет, ни того даже,
что представляет собой каждое входящее в нее единичное уравнение.
Тот, кто не научился искусству доказательства в школе, не способен отличить пра-
вильное рассуждение от неправильного. Такими людьми могут легко манипулировать без-
ответственные политики. Результатом могут стать массовый гипноз и социальные по-
трясения.
Надежду вселяет лишь то, что существующие пока тысячи прекрасно подготовлен-
ных учителей будут продолжать выполнять свой долг и обучать всему этому новые поко-
ления школьников, несмотря на любые приказы Министерства. Здравый смысл сильнее бю-
рократической дисциплины.
Наука математика имеет живые возобновляемые носители. Но их возобновление, в
свою очередь, определяется уровнем математического образования.
Математическое сообщество несет свою долю ответственности за повсеместно
наблюдаемое давление со стороны правительств и общества в целом, направленное на
уничтожение математической культуры как части культурного багажа каждого человека
и, в особенности, на уничтожение математического образования.
Доминирование "математиков-исчислителей" и привело к тому засилью аксиомати-
ческо-схоластической математики, особенно в преподавании (в том числе и в средней шко-
ле), на которое общество естественно и законно реагирует резко отрицательно. Резуль-
татом явилось повсеместно наблюдаемое отвращение к математике и стремление всех
правителей отомстить за перенесенные в школе унижения ее изничтожением.
Неформальный пример здравого смысла - это приход Арнольда на педагогическую
практику в школу в студенческие годы с проволочными головоломками, предназначенными
для демонстрации школьникам.
Задача цивилизованного общества защитить обучающуюся и развивающуюся моло-
дежь от “успешных” людей, имеющих силу для внедрения неприемлемых “реформаторских”
идей в образовании.
Продолжим эпиграф последующими строками стихотворения Бориса Пастернака
Но мы пощажены не будем, Когда ее не утаим.
Она всего нужнее людям, Но сложное понятней им.
Для прагматичного человека приемлемое - это удобное и не требующее ответствен-
ного понимания.
Здравый смысл, порождаемый математикой, помогает, раздвигая заросли накопив-
шихся ассоциаций, выйти на чистую ясную поляну прозрачного понимания сути.
20.10.2009 г.
70
МАЙЗЛИН ИСААК ЕВСЕЕВИЧ,
программист, г. Бостон, США
МОИ ВСТРЕЧИ С ДИМОЙ АРНОЛЬДОМ
С первых недель первого курса Дима Арнольд вместе с Сашей Кирилловым показали
себя не только как блестящие студенты-математики, но и лучшие абсолютно по всем пред-
метам, включая историю. Их же, вдобавок, спортивные успехи для меня были фантастикой,
Особенно “хулиганский” спорт - хоккей у Кириллова, и при этом я ещё не знал о Диминых
лыжных марафонах.
С Димой я учился в одной группе. Дима сидел за партой сзади меня, но, надеюсь, что
я его не очень отвлекал, хотя с Шурой Архангельским они, по-моему, частенько беседовали.
Помню, как на субботнике в Лужниках Дима гордо управлял электротележкой, по-
дающей брёвна внутрь станка (пилорамы), который распиливал их (брёвна) на доски.
Зимняя сессия на втором курсе. На башенном этаже общежития наша группа отмечает
не то Новый год, не то день рождения. Я запомнил Диму, танцующего с миловидной перво-
курсницей. Вечеринка затянулась и потому завершилась дружеским визитом коменданта
общежития, который переписал всех нас как нарушителей режима экзаменационной сессии,
пообещав доложить в деканат.
Один эпизод, прошедший не замеченным.
На втором курсе меня избрали секретарём комсомольской организации потока мате-
матиков Мехмата. В начале лета 1956 года меня попросили написать комсомольские харак-
теристики на Диму Арнольда и Сашу Кириллова для выдвижения их на Ленинскую стипен-
дию. Разумеется, я написал хорошие характеристики, при этом общественные заслуги их
сильно преувеличил, будучи уверенным, что в будущем все мы это наверстаем.
В 1993 году Дима был приглашён работать на один год профессором в Массачусет-
ский Институт Технологии (Кембридж - фактически часть Бостона, где мы жили в это вре-
мя). Моя дочка Дина, тогда студентка МИТ, увидела табличку на двери «Профессор Ар-
нольд» и, будучи девушкой смелой, зашла и представилась. Димина первая реакция: «Нико-
гда бы не подумал, что у Исаака такая красивая дочка.»
Началась серия наших встреч, представленных на фотографиях. Рядом с Димой его
жена Эля, приятная женщина. Наши бостонские друзья Ира (обнимает Дину) и её муж Лев
(он вообще- то врач, но на снимке он фотограф, т.е. его не видно). Ира тоже врач, окончила
Первый мед. в один год с Элей. Есть на фото также моя жена Неля и сын Давид.
Мы старались, чтобы Дима и Эля почувствовали себя как дома, и я надеюсь, что это
нам удалось.
У всех нас остались очень тёплые воспоминания об этих встречах.
71
МОРОЗ АЛЕКСАНДР ИВАНОВИЧ,
доктор физико-математических наук,
старший научный сотрудник Института
проблем управления АН СССР, Института
проблем транспорта РАН
С ДИМОЙ АРНОЛЬДОМ Я УЧИЛСЯ В ОДНОЙ ГРУППЕ
С Димой Арнольдом я учился в одной группе два года, после чего наши пути разо-
шлись по разным кафедрам. До сих пор в памяти он остался как доброжелательный, откры-
тый и светлый парень. Я замечал, что и преподаватели к нему относились как-то по особен-
ному, причину чего я тогда не осознавал. Если у какого-то студента возникали затруднения
с решением задачи, то Дима всегда готов был помочь, причем делал это доброжелательно,
чего не скажешь про некоторых других «продвинутых» студентов.
С работами Арнольда, точнее только с одной его работой, монографией «Теория ката-
строф», я познакомился только в 2010-м году. Причиной этого было следующее. С 1991 года
я разрабатываю теорию динамики управляемых экономических систем. Полученная матема-
тическая форма описания этой динамики содержит ряд матричных разностных уравнений и
неравенств.
Одной из задач было выяснить, к чему приводит постоянный рост цен на производи-
мые продукцию и услуги. Так как в силу сложности математических соотношений эту задачу
решить на абстрактно-теоретическом уровне было невозможно, то были и использованы вы-
числительные эксперименты. В моей статье «Проблемы управления в децентрализованных
экономических системах» в журнале «Обозрение прикладной и промышленной математики»,
2008, №3, приведен результат этих экспериментов, которые «... выявили один феномен ...
феномен бифуркации. Были обнаружены два стабильных состояния рассматриваемой систе-
мы: одно характеризуется эффективным её функционированием, а другое - резким спадом и
остановкой производства. Переход из одного состояния в другое ... происходит скачком.» И
далее: «Из изложенного следует такой экономический вывод. Рост цен в связи с инфляцией
может не оказывать заметное влияние на экономическую активность до момента достижения
критического значения цен. Но незначительное превышение этого значения приведёт к ката-
строфическим последствиям.»
До этого времени я не интересовался ни бифуркациями, ни катастрофами. Когда Ар-
нольду присвоили Государственную премию, я узнал, что он также работал в области теории
катастроф. У меня возник вопрос: имеется ли в теории катастроф какие-нибудь условия для
нахождения точек бифуркации. Выяснить это я решил в указанной книге Арнольда. Хотя для
моей задачи таких условий я не нашел, но я нашел близкие мысли, где он пишет: «Это объ-
ясняет, почему так трудно бороться с катастрофой, когда её признаки сделались уже замет-
ными: скорость её приближения неограниченно возрастает по мере приближения к катаст-
рофе.» Неограниченная скорость означает скачок.
Так через много лет после совместной учебы наши пути немного сблизились, но уже
на «не-материальном» уровне.
НОВГОРОДОВА НАТАЛЬЯЗОСИМОВНА,
программист
ДЛЯ ЧЕГО МЫ ИЗУЧАЕМ МАТЕМАТИКУ ?
В прошлом году, пересматривая свезенные на дачу старые книги и журналы, я обна-
Фужила номер «Кванта» за январь-февраль 1993 года. Номер открывается статьёй
’ВАрнольда «Для чего мы изучаем математику?» Что об этом думают сами математики». С
каким интересом я её перечитала, вернее, прочла заново!
В 70-е годы у старшеклассников был очень популярен этот физико-математический
журнал для школьников. Появился он благодаря объединению усилий группы ученых-
академиков И.К.Кикоина, А.Н.Колмогорова, П.Л.Капицы и, с другой стороны, талантливых
Представителей молодого поколения - аспирантов, преподавателей, ученых. Журнал входил
rfapyr чтения не только школьников, но и студентов, молодых специалистов-технарей, на-
столько интересно и не стандартно подавался в нём материал.
:' Когда дочь училась в старших классах и потом в МГУ, мы регулярно покупали
«Квант». Читали журнал все члены семьи, тем более, что в редакционную коллегию входили
В числе других знакомые нам выпускники мехмата.
Автор завладевает вниманием читателя с первой же фразы, ошеломляя его парадок-
|Сальным высказыванием жившего в 13-м веке философа Роджера Бэкона: «Тот, кто не знает
'математики, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего не-
ежества». И далее: «Может, что-то изменилось за семь веков? Послушаем более современ-
ное свидетельство. Поль Дирак утверждает, что при построении физической теории «следует
Не доверять всем физическим концепциям». Чему же доверять? «Доверять математической
|схеме, даже если она на первый взгляд не связана с физикой». Действительно, все чисто фи-
Нпеские концепции начала века физикрй отброшены, а математические модели, взятые фи-
рИГОЙ на вооружение, постепенно обретают физическое содержание. И в этом проявилась
устойчивость математики».
Удивительно, насколько злободневны в наши дни те проблемы математического обра-
зования, которые волновали учёных (и не в последнюю очередь, автора статьи) в 90-е годы.
В статье приведены простые, очень забавные, убедительные примеры опасности и пагубно-
сти «американизации математического образования в нашей стране. В её основе лежит
принцип: учить тому, что нужно для практики. А если кто-то считает, что математика ему не
нужна, то может не изучать её совсем. Вторая особенность американского подхода к препо-
даванию математики - компьютеризация. Само по себе увлечение компьютерами не способ-
ствует развитию мышления».
Ещё одна тема статьи - математическая модель не всегда даёт немедленную отдачу:
«...конические сечения были открыты и описаны в древней Греции Аполлонием Пергским
(ок. 260-170 г.г. до н.э.). А понадобилась эта теория Иоганну Кеплеру в 16-м веке, когда он
выводил законы движения планет».
«Первую суммирующую машину сконструировал французский
математик Блез Паскаль в 1641 г.»
Вечная российская «головная боль» - экономика: «... милитариза-
ция, монополия, некомпетентность руководства привели к тому, что сде-
лалась устойчиво отрицательной вторая производная (систематически за-
медляются темпы роста). Первая производная всё-же была положитель-
ной (благосостояние росло). Но математики знают, что постоянно отри-
цательная производная (даже высокого порядка), в конце концов, приво-
дит к отрицательности первой производной, т.е. к падению производства
и благосостояния общества».
И ещё много интересного. Прочтите!
73
ПАНКРАТОВ МИХАИЛ МИХАЙЛОВИЧ,
кандидат физмат наук, ведущий специалист ЦКБМ-
НПО Маш, Лауреат Государственной премии СССР,
награждён орденами «Трудового Красного Знамени»,
«Знак Почёта», медалями.
Биографическая справка в энциклопедии
«Космонавтика и ракетостроение»
В Московском центре непрерывного математического
образования, 18 октября 2008 г.
1959 г.
На фотографии мы рядом:
великий учёный Арнольд и я. И
такая гордость разливается по
всему телу, что Я! РЯДОМ! -
будто и я причастен к чему-то
очень высокому.
74
ПОЛЯКОВА ВАРВАРА МИХАИЛОВНА,
научный сотрудник Московского института
теоретической и экспериментальной физики
2006 г. Встреча у Елены Стоцкой
В. Полякова, Д. Арнольд, Н Ермилова, М. Ботина
Д. Арнольд., В Маканин
В ПАМЯТЬ О ДИМЕ
3 июня умер наш однокурсник Дима Арнольд, Владимир Игоревич Арнольд, наша
общая гордость и радость. Действительно, с кем бы я ни говорила, при упоминании о Диме у
всех всегда светлеют лица. И никогда никакой тени зависти. Значит, так велико осветляющее
действие Димы на людей.
Первое мое впечатление. Лекция по высшей алгебре. Артистический лектор
Е;Б.Дынкин, хитро-весело прищурясь, выбирает из нас объект для вопроса. Встает быстрый
и аккуратный мальчик. Отвечает замечательно четко и как-то весело. Как сейчас помню,
возникла мысль - какой-то кристальный мальчик.
1961 год. Ленинград. Общежитие ЛГУ, куда поселили участников IV Математическо-
го съезда. Утро. Столовая. Сижу одна. Завтра выступать. Тревожно и грустновато. Вдруг
подсаживается Дима. Так легко, непринужденно, как будто мы не просто товарищи, а какие-
то родственники. Узнаю - ездит по Ленинграду на привезенном складном велосипеде. Вот
здорово! Тогда это было большой редкостью.
Однажды Ира Кристи позвала меня встречать Новый Год. В компании был Дима.
Скучновато. Никто толком не танцует. «Дима, давай я тебя научу танцевать вальс. Показы-
ваю. Серьезно, но как всегда, весело слушает. Вывод - «Да, логичная схема»... Но - не полу-
чается.
Как-то так вышло, что последние три года Дима писал мне письма. Чего там только не
было! Экскурсы в историю Древнего Мира, карты Подмосковья с отмеченными им памят-
ными местами. Стихи, хочется сказать, всех возможных поэтов всех возможных жанров. От-
тиски своих математических работ...
От него, к примеру, я узнала, что район, в котором живу, называется «Ленино-
Дачное» не в честь В.И.Ленина. Оказывается, князь Кантемир, владелец этих мест, имел трёх
дочерей: Анну, Марию и Елену. Наследственные их поместья и назывались Аннино, Марьи-
но и Ленино. Эти названия, и ныне сохранившиеся, сразу для меня обрели смысл.
Восторгался в письмах Дима дикой земляникой, взятой им с берегов Оки, которая вы-
росла громадной у него на даче. Как грибник, очень подробно описал мне и нарисовал не-
употребляемый нами в пищу, но съедобный (по его словам) и вкусный древесный гриб
75
"Chicken on Wood ". Что-то подобное я находила в лесу, но так и не успела его с помощью
Димы идентифицировать. Знаю, что сестре Димы известен этот гриб. Хочется научиться
распознавать его, дать ему русское имя «Димин гриб» и попробовать...
Меня всегда очень подкупала не просто искренность, но удивительная непосредствен-
ность Диминого поведения. Конечно, он мог себе это позволить. Но это - большая редкость.
Много сил Владимир Игоревич отдавал борьбе с реформой образования, явно сни-
жающей общий уровень обучения. Он стремился к соединению математики с жизнью, чтобы
оживить интерес к познанию как таковому. Его усилия, хочется думать, еще сработают на
пользу новым поколениям.
Думая о смерти, невозможно не думать о вечности. Дима знал массу радостей. А мне
хочется видеть его там с улыбкой счастья, несущимся в кружении вальса. Быть может - да-
же с Галиной Улановой.
ПОПОВИЧ (СТРЕЛКОВА) РАИСА ИВАНОВНА,
преподаватель МФТИ, программист, зав. отделом
ПКБ АСУ текстильной промышленности
ОН БЫЛ РАД ВНИМАНИЮ ОДНОКУРСНИКОВ
О том, что Дима -талантливый математик, все мы знали ещё со студенческих лет. По-
этому никто не был удивлён его дальнейшими успехами. Невзирая на многочисленные сте-
пени и награды, Дима всегда оставался скромным, доброжелательным. Не было у него
звёздной болезни, хотя цену себе он знал. Когда мы, сокурсники, собирались на наши встре-
чи (сначала через пять лет, потом - чаще), Дима всегда, когда мог, приходил на них. И даже
после операции, через несколько дней, он пришёл на встречу в Московский центр непре-
рывного математического образования.
О себе Дима говорил, что он больше физик или даже гуманитарий. Он удивлял всех
своими энциклопедическими знаниями; что ни спроси, всё знал, всё помнил. Любил литера-
туру, стихи, увлекался спортом, был прекрасным рассказчиком и собеседником.
Если Дима находился на загородной прогулке или в новых местах других стран, то он
интересовался происхождением’ любой деревеньки, забирался в пещеры и однажды обнару-
жил старую-престарую подземную церквушку. Ему было всё интересно.
После присуждении Диме Государственной премии РФ, а затем - «Восточный Но-
бель», мы присутствовали на большом вечере в Московском городском Доме учителя и там
преподнесли ему Адрес с пожеланием законсервировать своё здоровье так же, как он консер-
вирует собранные им грибы и клюкву. Мне поручили преподнести ему двухведёрную корзи-
ну для сбора ягод и грибов. Как он был рад такому вниманию однокурсников! Это надо было
видеть, как Дима принимал корзину, с радостной улыбкой, а зал неистово аплодировал. Ко-
нечно, он чувствовал теплоту отношения к нему со стороны друзей.
Дима был патриотом Родины и отстаивал развитие науки в России, страстно защищая
наше образование, которое, по его мнению, было выше американского, французского. Как
же ему не верить, если многие страны мира приглашали его читать лекции в свои универси-
теты и академии.
Дима - многогранная личность, и изучать его труды будут десятилетия, столетия...
Мы любим Диму - своего сокурсника и гордимся им.
76
На презентации книги МАЛЬВИНЫ БОТИНОЙ
«К 40-летию Димы Ботина, математика и учителя» 18.Х.2008 г. в МЦНМО
Справа от Д. Арнольда и М. Ботиной - Ерёменко В.Г., профессор МЭИ, отец одноклассницы
Димы Ботина; Клепина Л.И., доцент МАИ.
Книга М. Ботиной о сыне М.Панкратов, Т. Баранович, В. Сухов
Н. Хохлова, Д. Арнольд, А. Белова, С. Соловьева, Р. Попович
77
РУБИНШТЕЙН АЛЕКСАНДР ИОСИФОВИЧ,
доктор физмат наук, профессор
Университета леса и МИФИ,
Соросовский учитель, медаль М.В. Келдыша
КОГДА, СГОРАЯ, ПАДАЕТ ЗВЕЗДА...
По моему мнению, в математике (по крайней мере) каждое столетие, начиная с семна-
дцатого, можно указать три-четыре имени (может, пять), определяющие лицо науки в этот
период. Чисто субъективно, думаю, в 17-ом веке это Ферма, Ньютон, Лейбниц; в 18-ом -
Бернулли, Эйлер, Лагранж; в 19-ом («урожайный век») - Гаусс, Коши, Риман, Вейерштрасс,
Пуанкаре, Гильберт; в 20-ом - Г. Вейль, Колмогоров, Арнольд. Понимаю, кто-то будет в
претензии, что не названы Абель, Галуа, Кантор, Эрмит, Чебышев, Адамар, Лузин, С. Берн-
штейн, Гельфанд, Шафаревич, Понтрягин, да и другие. Высказано сугубо «приватное» мне-
ние, к тому же, называть по 15-20 имён - размазывать кашу по тарелке. Недовольные всегда
будут. Предполагаемая к изданию книга касается последнего из великих математиков - Вла-
димира Игоревича (Димы) Арнольда. Как подтверждение его права на лидерство в послед-
ней трети 20-го столетия в математике приведу слова человека, компетентность которого в
данном вопросе сомнения не вызывает - Андрея Николаевича Колмогорова: «Если бы мне
было позволено, то я перед всеми столпами нашего факультета высказал своё убеждение в
том, что происходит чествование первого советского математика - не только по силе полу-
ченных результатов, но и по темпераменту личности, по способности воспринимать новое и
смелости в преодолении препятствий...» («Мы - математики с Ленинских гор, М., 2003, стр.
287). Эти слова сказаны к пятидесятилетию В.И. Арнольда в 1987 году, за четыре месяца до
смерти Андрея Николаевича. В другой раз (ранее) Колмогоров сказал: «Только в беседах с
двумя из моих учеников - Гельфандом и Арнольдом я ощущаю наличие высшего разума».
И ещё один маленький штрих. В уже цитированной выше книге, на стр. 244 Айзик
Серебряный, как и я, учащийся на 3-5 курсах в одной с Димой Арнольдом мехматской груп-
пе, пишет: «Когда я был туристом на Селигере, встретил в лесу человека с рюкзаком, как вы-
яснилось, окончившим Мехмат. На мой вопрос: «В каком году» он ответил: «Через два года
после Арнольда». Так что есть три системы летоисчисления: от Рождества Христова, от бег-
ства Магомета в Медину и от окончания МГУ Арнольдом». (Почему Серебряный игносирует
летоисчисление «от сотворения Мира»?)
Безусловно, судьба сделала нам - математикам набора 1954 года (в том числе, и мне)
- подарок: на пять лет превратила нас в соучеников Димы.
Получив предложение изложить свои «воспоминания», я долго колебался. Не уверен
и сейчас, что поступаю правильно. Говорить о Диме, и вообще о любом человеке, в первом
приближении, можно двояко: как о специалисте (профессионале) и как о человеке (собесед-
нике, контактёре). Оценивать Арнольда - математика я не могу, так как научный потенциал
несравним, да и мои узкие математические интересы не попадают в чрезвычайно широкую
область его интересов. А число личных прямых моих с Димой контактов можно указать на
пальцах рук; хотя увидел его впервые в конце 1953 года, когда стал посещать занятия мате-
матического кружка в МГУ, а три года 1956-1959, после распределения по кафедрам, учился
в одной с ним группе. Самой, как оказалось, «смертной»: из 21 выпускника группы 506, чьи
фотографии помещены в выпускном альбоме, Дима - двенадцатый ушедший. Судьба ещё
двоих мне не известна, и, дай Бог, чтобы они были живы.
Может, это и повлияло на моё решение всё же написать эти строки.
Очень боюсь , что «воспоминания» о Диме превратятся в микроэссе «Арнольд и Я», -
категорически не допустимую ситуацию. Да и память человеческая - вещь ненадёжная.
У юристов бытует присказка (слышал от профессионалов по части юриспруденции:
«Врёт, как очевидец». Как иллюстрацию, к тому же касающуюся предмета обсуждения, про-
78
цитирую воспоминания двоих наших уважаемых соучеников, помещённые в первой книге
«Мы - математики с Ленинских гор», (М. 2003). Виктор Константинович (Витя) Власов: «На
олимпиадах сверкали Саша Кириллов, Дима Арнольд. Помню, в восьмом классе первую
премию получил Кириллов, вторую - Арнольд, Назаров, третью - Фрейдлин. Мне тогда в
числе прочих удалось отхватить третью.» (стр. 168). Александр Александрович (Саша) Ки-
риллов: «На олимпиаде в восьмом классе получил второе место (первое никому не присуди-
ли). В девятом классе получил первую премию. В десятом получил первую премию. Дима
Арнольд получил вторую; Авербух, Мурский и Фрейдлин тоже получили какие-то», (стр.
293). Вот такова память. Чего же стоят воспоминания о давно минувшем.
К слову, приведённые цитаты относятся к 2003-му году, а сейчас 2010-й. Большинство
из нас (поток 225 студентов) учились с Димой Арнольдом не вместе, а параллельно, рядом .
К тому же, уже в 1956-начале 1957 (публикация 1957-го) Арнольд поставил точку в решении
13-й проблемы Гильберта о представлении любой непрерывной в «-мерном кубе функции п-
переменных в виде суперпозиций функций двух переменных. Для более точного понимания
дальнейшего, и почему Анатолий Георгиевич (Толя) Витушкин в 1962 году воспротивился
присуждению Арнольду сразу докторской степени (в тот же день Кириллов получил-таки
докторскую степень за представленную кандидатскую диссертацию) напомню следующее.
В 1956 году А.Н. Колмогоров, который и поставил Диме задачу, показал, что любую
непрерывную функцию «-переменных можно представить в виде суперпозиций непрерыв-
ных функций трёх переменных. В том же номере ДАН СССР 114 (1957), где помещена за-
метка Арнольда об окончательном решении 13-й проблемы Гильберта, Колмогоров несколь-
ко улучшил (не стоит приводить точную формулировку результата А.Н.) Димину теорему.
Указанная публикация В.И. Арнольда была его первой напечатанной работой - студента 3-го
курса! Однако раньше, в 1956 г. Арнольд выполнил работу, которую опубликовали в Успе-
хах математических наук в 1957 г. Мне представляется она очень интересной (и, ближе к то-
му, чем занимаюсь в «чистой» математике я).
В 1955 году Андрей Николаевич показал, что любую непрерывную в прямоугольнике
функцию двух переменных можно наилучше (в чебышевской метрике) приблизить суммой
двух непрерывных функций, каждая из которых зависит только от одного переменного. Ар-
нольд же показал, что если рассматривать функции от указанной выше суммы, то наилучше-
го приближающего агрегата подобного вида не существует. Это подобно тому, как в интер-
вале чисел, строго больших единицы, нет числа, ближайшего к нулю.
Всего же за студенческое время ( до конца 1959 года) Дима опубликовал пять работ
(все посвящены суперпозициям), включая доклад на Всемирном Конгрессе математиков в
Эдинбурге (или в Кембридже?) в 1958 году. На этом Конгрессе Дима Арнольд представлял
СССР вместе с Львом Семёновичем Понтрягиным (имена ещё двух-трёх советских матема-
тиков я не знаю). С тех пор Дима был участником всех тринадцати прошедших Конгрессов
(каждые четыре года). На конгрессе в 2010 году в Индии он уже не смог быть.
Мне хотелось бы попытаться понять, в какой момент Арнольд стал Арнольдом, то
есть как формально отмеченные ранние успехи в математике реализовались в дальнейшем.
Вспомним, что успехи в школьные годы у Саши Кириллова были больше, чем у Димы. И
Кириллов стал первым в нашем потоке доктором физико-математических наук в 1962 году, в
26 лет. Дима доктором стал в 1963 году - вторым, но также в 26 лет (Саша 1936 года рожде-
ния, а Дима - 1937-го). Из 225-ти наших сокурсников 15 (!) имели публикации в 1957-1959
годах в математических изданиях. Наибольшее число - 8 у В. Пономарёва, 5 - у В. Арноль-
да, по 3 - у А. Кириллова и М. Шура, по 2 - у Б. Авербуха, Л. Ивановского, В. Тутубалина, по
1 - у А. Архангельского, Ф. Ветухновского, Э. Винберга, Б. Пасынкова, В. Поляковой, А.
Рыбникова, М. Фрейдлина, Ю. Черемных. Десятеро (по моим сведениям) стали докторами
физико-математических наук. Всего же 31 наших сокурсников выпуска 1959 года из 208 (?)
защитили докторские диссертации (в том числе, по техническим, экономическим наукам). А
если говорить вообще о мехматских рекордах, то И.Р. Шафаревич за один (!) год в 17 лет
окончил Мехмат, в 20 лет защитил кандидатскую, а в 23- докторскую диссертацию. Также в
79
23 года стал доктором наук Л.В. Канторович - Нобелевский лауреат по экономике. В 18 лет
окончил Мехмат М.М. Постников, в 20 лет- кандидат, в 26 - доктор наук.
Есть и другие рекорды: С.П. Новиков в 28 лет избран в Академию Наук СССР; в 25
лет защитили докторские диссертации Е.М. Никишин и Б.С. Кашин. Но создание к 28-ми го-
дам КАМ - теории (Колмогоров- Арнольд- Мозер) - факт удивительный и феноменальный.
К этому времени Арнольд - уже Лауреат Ленинской премии, совместно с Колмогоровым, и
автор 32-х публикаций - за 7 лет! Дима публикует ряд работ об устойчивости планетных
систем, в том числе, в 1962 году делает доклад на Международном Конгрессе математиков в
Стокгольме.
Ещё в 1772 году Лагранж опубликовал знаменитый мемуар «О задаче трёх тел» (зада-
чу двух тел решил ещё Ньютон, найдя закон всемирного тяготения. Феноменологически её
решил Кеплер на основании обработки наблюдений Тихо Браге - законы Кеплера). Лагранж
указывает на существование двух элементарных решений, находимых геометрически на ос-
новании закона всемирного тяготения. Первое - когда небесные тела находятся всегда на од-
ной прямой, меняющейся во времени, и меняющие на ней свои положения друг относитель-
но друга (ранее, в 1767 г. это решение указал Эйлер); второе - когда тела (планеты) находят-
ся в вершинах равностороннего треугольника, вращающегося вокруг общего центра масс и
меняющего длину своих сторон.
Достаточно давно было установлено, что расположение планет по прямой всегда не-
устойчиво. Из результатов Э. Рауса и А.М. Ляпунова, когда массы двух «тяжёлых» тел много
больше массы «лёгкого» третьего, для устойчивости треугольного расположения при движе-
нии всех тел по окружности и в единой плоскости необходимо, чтобы произведение масс
«тяжёлых» тел, делённое на квадрат их суммы, было меньше 1/27. Используя результаты
КАМ-теории, А. Леонтович (1962), А. и Б. Депри (1967), и окончательно в 1969 году, устано-
вили, что при всех значениях Рауса-Ляпунова треугольное расположение тел в плоской кру-
говой ограниченной задаче трёх тел устойчиво, за исключением найденных двух значений
отношения меньшей из масс двух «тяжёлых» тел к сумме этих масс. В 1907 году астрономы
обнаружили астероид (Ахиллес), движущийся вблизи орбиты Юпитера, впереди него на 60
градусов, так что солнце, Юпитер и Ахиллес образуют равносторонний треугольник. Потом
обнаружили вблизи Ахиллеса ещё 8 астероидов, получивших имена греческих участников
Троянской войны, и позади Юпитера на 60 градусов - пять астероидов (троянцы), получив-
ших имена троянских героев. Эксцентриситет эллиптической орбиты Юпитера 0,048 (у Зем-
ли - 0,017), так что допустимо считать её круговой.
За громадный вклад Арнольда в теорию, позволяющую оценивать движение космиче-
ских тел, Международный Астрономический Союз в 2000 году присвоил малой планете
№10031 его имя Vladamolda.
Вообще же Дима был удостоен около десятка престижных международных премий, в
том числе, Крафоордской премии Королевской шведской АН, Вольфовской премии Иеруса-
лимского Университета, премии ШУ (Китайский Нобель), приравниваемые в области мате-
матики к Нобелевской. Он был лауреатом Ленинской премии и Государственной премии
РФ. Вообще же, как мне передавала Димины слова наша соученица В. Яблонская (Вита), он
был ЧВАНом - Членом Всех Академий Наук (термин придумал кто-то из наших физиков -
лауреатов Нобелевской премии).
Теперь немного (много и нет) в части «Арнольд и я». Не помню, чтобы я видел, как на
3-5 курсах (на 1-2 мы учились в разных группах) Дима сдавал экзамены. К этому времени он
уже достиг весьма больших успехов и, думаю, сдавал все экзамены задолго до положенного
срока. Помню лишь экзамен по историческому материализму, когда преподаватель Куроедов
поставил Диме четвёрку. Это была первая в Диминой жизни четвёрка, и он выглядел очень
удивлённым. Думаю, что «корифею-историку» объяснили, кто такой Арнольд, и через пару
дней экзамен был пересдан, разумеется, на отлично. И дело не в снисхождении к будущему
светилу науки - Дима действительно делал всё отлично: прекрасно знал историю, говорил на
трёх иностранных языках (он мне говорил, что после несчастного случая в Париже, когда его,
80
ехавшего на велосипеде, сбил автомобиль, придя в сознание после несколько недельной комы,
он сначала вспомнил французский язык, через несколько дней английский и лишь ещё через
несколько дней - родной русский). Дима писал и переводил стихи, нашёл источник эпиграфа к
одной из глав «Евгения Онегина», рисовал; не говоря о 30-50 километровых лыжных пробегах
в любую погоду оголённым по пояс, о длинных заплывах. Передвигаться даже по городу он
предпочитал на велосипеде. В книге «Мой век» Сергей Михайлович Никольский (ему сейчас
105 лет а ещё в 2009 году он вёл заседания своего семинара в МИАН) приводит слова А.Н.
Колмогорова: «Я завидую лишь двоим своим ученикам - Никольскому, который всего на два
года моложе меня, но очень бодр, и Арнольду - за его фантастическую физическую выносли-
вость». И вот Дима прожил много меньше Сергея Михайловича (пожалуй, неповторимый ре-
корд в мире науки), но и на одиннадцать лет меньше своего учителя А.Н. Колмогорова.
Как ни странно, более всего мы общались с Димой во время военной стажировки по-
сле пятого курса на зенитной батарее. Однажды он подошёл ко мне (дело было в тени пуш-
ки) и спросил что-то о тригонометрических рядах. В то время Дима уже занимался малыми
знаменателями. Я выказал полную импотентность в заданном вопросе, и после пяти минут
разговора он ушёл, вежливо сказав «спасибо». В другой раз Дима нашёл меня читающим в
палатке, и сказал, что у него для меня неприятное сообщение: Надя (Брушлинская) написала
ему, что меня «вычистили» из аспирантуры. «Меня,- сказал он, - тоже вычистили, но на сле-
дующий день Колмогоров и Александров пошли к Петровскому, и всё было восстановлено.
А за тебя некому было заступиться, так как ни Бари, ни Меньшова найти не смогли».
Ещё раз, как-то перед заседанием Математического общества, я остановил Диму в ко-
ридоре 16-го этажа и спросил, можно ли его отвлечь на пару минут. «Не более двух минут»,-
ответил он. Я сказал, что на кафедре лесной таксации (в Университете леса, где я работаю)
висит портрет Фёдора Арнольда - автора первой в России книги о лесах России. Так как дед
Димы - Владимир Фёдорович, то не портрет ли это его прадеда. Если это так, то Дима полу-
чит портрет (литографию) в подарок. Дима ответил, что об этом человеке он знает, это род-
ственник, но не его прадед, и портрет ему не нужен. Уложились в две минуты.
24 июня 2008 года, после награждения (12 июня) Арнольда Государственной премией
России, в аудитории 01 он читал публичную лекцию. Когда я минут за двадцать до начала
зашёл в аудиторию, то в проходе пустого почти ещё зала увидел Диму, беседующего с А.И.
(Аллой) Курочкиной. Я подошёл к ним и поздравил Диму с премией. Он сообщил, что когда
президент Д.А. Медведев пожимал ему руку, то сказал: « Я знаю, что тебя зовут Дима, и се-
годня день твоего рождения». Потом последовал рассказ, как на банкете он (Дима) сидел за
одним столиком с экс-Президентом Франции Жаком Шираком и народной артисткой СССР
Алисой Бруновной Фрейндлих, и он много всего им рассказывал. После Фрейндлих сказала:
«Я не знала, что математики бывают такими интересными людьми».
Ещё раз я общался с Димой 24 октября 2008 года на вечере Аллы Беловой в Москов-
ском Доме Учителя.
Справа-налево: Саша Рубинштейн, Дима Арнольд, Саша Кузичев, Василиса Белова
Пока накрывали столы, мы с Димой оказались рядом, и Дима, назвав мне несколько
чисел, спросил, каков, по моему мнению, закон образования этой последовательности. Я от-
81
ветил, что не знаю, тем более, воспринимая на слух. Дима сказал, что это остатки от деления
на 100 степеней 11 (как мне кажется), и он знает закономерности такой последовательности.
Я спросил, не связано ли это с теоремой Германа Вейля о дробных частях произведений на-
туральных чисел на иррациональное число. «Разумеется», - ответил Дима. Тут позвали к сто-
лу.
В последний раз я видел Диму и последний раз пожал ему руку в октябре 2009 года
перед заседанием Математического общества, посвящённого памяти Израиля Моисеевича
Гельфанда, которое Арнольд вёл как Президент общества.
Через неделю после похорон Димы, 22 июня 2010 г. происходило заседание Матема-
тического общества, на котором его вспоминали. К сожалению, я, кажется, был единствен-
ным из нашего потока математиков 1954-1959 гг. После многих выступлений осталось не-
сколько минут, и ведущий заседание Сергей Петрович Новиков спросил, не желает ли ещё
кто-нибудь выступить. Я не решился говорить, хотя и было желание прочесть следующие
строки.
И. Борисов - Исаак Борисович Борухович
Ты видел ли падучую звезду?
Ей отпылать и в травы прахом лечь.
Она летит и чертит борозду,
Похожую на занесённый меч...
Когда, сгорая, падает звезда,
Мне хочется кричать, будить людей -
Вставайте поскорей. Стряслась беда -
Ещё на каплю света мир темней.
С уходом Димы Арнольда наш математический мир стал темней не на каплю. Солнце
скрылось в тучах. Будем надеяться, что не навсегда.
В ночь после смерти Димы я написал следующие строки:
Приходит час печальной тризны,
Горчит вино, и горек хлеба вкус.
И не спасает дым Отчизны,
И давит дней минувших груз.
И как соломинка спасенья,
Картины юности встают,
Промыты, словно день весенний,
Что дарит радость и уют.
Опять в застолье небогатом
Сидят ушедшие навек,
И полон силы каждый атом,
В грядущее берёт разбег...
Но в душу возвращается печаль.
И меркнет свет, чернеет даль.
К сожалению, лишь несколько недель назад Алла Белова передала мне два листа, на-
писанные рукой Димы Арнольда, адресованные мне. Это французский текст, вероятно, само-
го известного стихотворения Гийома Аполлинера (Вильгельма Костровицкого) «Мост Ми-
рабо» - Димин текст, как мне представляется, более чем, подстрочник.
82
АлессаиОД Н«/с1чци< ня**’) ’,
IE P6NT М1£АВДШ{9Ис0о63%Зу
^oas» £е Hlza#eaa сса&. 1э~ ^чие
£•£ nos amourA
JW-i? «ju '(£ ли'-еи sz>avt€HMC
I#. J®4c Vena if- -tcwjtoury Э/к’З A peine
\Агеим_ fa. fiurf- &)>,,?£
j»«nJ 5’ej? vt>n€ к der^eur^.
fa £?«•
f&d JUl noy Qr^S P&ysc
тлдачсЬ dobck rZ J&sie
И^иие fsL hurt Sohn* ^Я-еоге.
joari <seu /’d+ je c/e^eure
Л^л’овг Уо» 6451 сб>»»т€ cfife • фи С0аг<ям£е
Z?a™oc*r 4'«и
Coo, же v£€ zii: 'вщ/е-
til wmw. Ve?p^m tst \rt(M
Vtennt Hut/ S6HV)€ ^^ure
Les jouvs ±Jen vont j*c ete/n^rc
T^srM- Да jouGS fWS-ы/ Qu №№№
X't 'temps p&SSe^
JPt amours 4JLvtehne.lit o t
Деэил & f>*>*if c&uJk 3€t^e
Иеии< £л ии^ So<<M< 'feure
1&-5 jounr s’en uo*f6 je deniear^.
tes
Lt-
Ms
GlH^ ^T-€X-ae_l not) мосГ
налили лмосГо^бю
- Вспоминай, Т^^но2
Но егдехъе- Б^З не^ойчэнс.мме
ПГ^аКоскст НО2€>У и бкю Т Э-СК--
ЗэсоЖ ^кц з^ч, тълькг) мН.
f^c-9- -в х лиъьом (с- лицу^
Мост иэ-uaux К £лЛеГ G. (реич^.
T|OY*<^ ^CThVnZ, ^С^лкяос ^олч es'bdk)^,
'ТЦилуа^сст vusib^ и £ьч>х -^Ch—
\)xx£bЙГ <зчч; осдХл'ЭСЬ ТЬ •
Лс©<Гсг€ь ^Тех^ш ;va<- &ДА—
ka^Aga cqp-uiv-o <4CQ_vuota >
Л>о^е^х> ^utA9;
Д 9*л^ £>сГэлЭСЬ <
nz^isobctf и<П4> с/ь^Г ?a£b —
У$£<Ъ?<Т Ж*' > мь '
^YTUzv7X)W\ VUL^4AM— —-
VtLL ^wd((<K Av&fUUc м. ^ЭнЯЪЗи
/к 4о№ -^С!^ V^YHW^eVM >Mui) tAfcc!^ МчрЭгтб
$уч*вх}иТ kCs'M); * БЦ^Г 7^еН "
* 'd М *Shm J ОсЦ^Э-СЬ ТЬ .
Увы, я не могу уже обсудить с Димой эти листы. Хотел ли он сделать ещё один пере-
вод строк Аполлинера (мне известны 9 русских стихотворных переводов). Не дано узнать.
Как много мы не успеваем сделать, думаем - время есть...
83
САЛИХОВ НИКОЛАЙ ПАВЛОВИЧ,
полковник Вооружённых сил, кандидат физмат наук,
старший научный сотрудник Московской в/ч, авторские
свидетельства на изобретения, медаль «За трудовую
доблесть», знак «Почётный сотрудник Федеральной
Правительственной связи и информации»
СТИХИ ПАСТЕРНАКА
В сентябре 2010 года в телепередаче «Вести» рассказали о полёте астероида на
расстоянии всего 80 тысяч километров от Земли. На одной из встреч однокурсников в
декабре 2004 года я спросил у Димы, способна ли современная математика заранее
предсказать время столкновения астероида с Землёй. Дима, автор известной книги
«Математические методы классической механики», ответил, что это пока не под силу
математике.
Готовясь к этой встрече, я взял из своей библиотеки книгу стихотворений
Б.Л. Пастернаки. Все стихотворения этой книги приведены на двух языках: русском и
французском. Зная, что Дима в совершенстве владеет французским, я решил подарить ему
эту книгу на память об учёбе в МГУ. На обложке расписались все присутствующие на
встрече однокурсники. Дима был очень рад подарку, сказав, что Пастернак - один из
любимых его поэтов и прочитал небольшое стихотворение Пастернака «Хлеб» на русском и
французском языках. В этот же вечер мы слушали его интересный рассказ о встрече с Папой
Римским, в частности, почему католическая церковь не реабилитировала Джордано Бруно.
Многим он в тот раз подарил свою книгу «Теория катастроф».
Я часто перечитываю воспоминания Димы в наших четырёх книгах «Мы- математики
с Ленинских гор», особенно - в третьей книге (издание 2007 г.) на стр. 63-81. Чувствуется,
что он знаток французской поэзии; привёл перевод одного стихотворения поэта
шестнадцатого века, которое вдохновйло А.С. Пушкина на написание письма Татьяны в
«Евгении Онегине».
СТАФЕЕВ ВАЛЕНТИН ИВАНОВИЧ,
начальник лаборатории спецпрограммирования
п/я - ОАО МАК «Вымпел». Орден «Знак почёта»
ОН РЯДОМ С НАМИ
Когда я узнал, что будет создаваться книга памяти об Арнольде, я осознал, что сделал
основное дело в своей жизни относительно его памяти: записал на диск его рассказ о вулка-
нах, когда мы собирались в Московском центре непрерывного математического образования,
на Арбате. Предлагаю вложить диск с выступлениями Арнольда в книгу воспоминаний. Ди-
мы нет, а, слушая его и видя, как он эмоционально и интересно рассказывает, будем ощу-
щать, что он рядом с нами.
84
САРМИН ЭРНЕСТ НИКОЛАЕВИЧ,
кандидат физмат наук, ведущий инженер,
начальник сектора ЦАГИ, доцент МФТИ
ЕМУ ДО ВСЕГО БЫЛО ДЕЛО, ОН ИНТЕРЕСОВАЛСЯ ВСЕМ
Мне повезло на первых курсах учиться в группе 109, в которой учились Дима Ар-
нольд, Саша Кириллов, Саша Архангельский, Марк Фрейдлин, Вадим Мурский, Толя Кара-
цуба, Исаак Майзлин - будущие профессора, ведущие фигуры в своих отраслях математики.
В демократичной и дружеской обстановке, царящей в этой группе, тем не менее, выделялась
своей подготовкой пара друзей: Кириллов и Арнольд как существенно особые точки в ряде
других особенностей среди сильных студентов нашего курса.
Эта пара фамилий всегда склонялась вместе в разговорах и всех проявлениях студен-
ческой жизни. В туристических походах, в походах за билетами в Большой театр среди ини-
циаторов были Кириллов и Арнольд.
В 1956 году по дороге на целину наш эшелон тащился по берегу Сыр-Дарьи. Стояла
жара - настоящее пекло, и на одном из полустанков весь эшелон высыпал к воде. Из воды я
наблюдал, как эти двое отрабатывали сальто вперёд при прыжках в воду с крутого берега
Сыр-Дарьи. Кириллов учил Арнольда. Тому, как было замечено потом, до всего было дело;
он охотно осваивал новые знания и умения.
Надо ли говорить, что эти двое оказались рядом в одной бригаде.
Дима интересовался всем и охотно проявлял свои знания, делился ими с друзьями.
Вёл себя, как ребёнок, радовался, не смущаясь: «Никто не знает, а я знаю», - как-то говорил
он, но потом с удовольствием рассказал анекдот из области истории математики.
Стоит ли говорить, что он отлично учился. Но вспоминаю один курьёзный случай.
Математики сдавали экзамен по уравнениям в частных производных в аудитории 16-10.
На левом краю одного из средних рядов сидел Дима, готовился. Вдруг в какой-то момент с
ним оказалась рядом О.А. Олейник. Она что-то его спрашивала, он отвечал, но по разговору
чувствовалось, что он «поплыл». В их диалоге больше говорила она, наверно, помогала дока-
зать какую-то теорему. Так мне показалось. Вскоре экзамен закончился. Она расписалась в
зачётке будущего академика, они улыбнулись друг другу, и он ушёл. Что ж, и у гениев бы-
вают «проколы», отчего они не перестают быть гениями.
Не берусь оценивать научные достижения Димы. Судя по всему, они велики. Но по-
ражает его подвижническая деятельность в защиту фундаментальных наук, в том числе, ма-
тематики и отечественных методов об объёме её преподавания, от посягательств всё пере-
строить под западный стандарт.
Мне нравится его убеждённость, мужество и стойкость, проявившиеся в его статьях,
интервью, разговорах с сильными мира сего на всех этажах научной, государственной и по-
литический иерархии.
САРМИНА (САЧКОВА) ЛЮБОВЬ АЛЕКСАНДРОВНА,
ведущий инженер ЦАГИ
ТАКИМ ОН ОСТАЁТСЯ В НАШЕЙ ПАМЯТИ
Студенческие годы - самые яркие в нашей жизни. Одним из интереснейших моментов
этих лет вспоминается совместная учёба на Мехмате с Димой Арнольдом. Я не была с ним в
одной учебной группе, но мы слушали лекции в одних аудиториях, работали вместе на цели-
не в Казахстане на уборке урожая пшеницы. И после окончания университета, уже будучи
признанным великим учёным - академиком - математиком, он участвовал в наших много-
численных встречах однокурсников, оставаясь простым, общительным, остроумцым нашим
ровесником. Таким он и остаётся в нашей памяти.
85
СКОРОХОДОВА ГАЛИНА ВЛАДИМИРОВНА,
ведущий специалист НИИА,
академик международной Академии «Лидеры
Бизнеса и Администрации», руководитель
женской общественной организации «Бабушкина
забота», вошла в энциклопедическое издание
«Россия - женская судьба» век XX-XXI» СПб, 2004
МОЙ ПЕРВЫЙ ЗНАКОМЫЙ С МОЕГО КУРСА
В 1954 году, окончив среднюю школу города Каширы с серебряной медалью, я поеха-
ла в Москву, чтобы поступать на Мехмат МГУ. Мне тогда казалось, что я, победительница
многих каширских олимпиад, поступлю туда без проблем.
Вид университета на Ленинских горах потряс меня своим величием: высотное здание,
скоростные лифты, фонтан... Провинциальной каширской девочке всё это показалось ино-
планетной цивилизацией. И стало мне тогда не по себе, и задрожали от страха мои колен-
ки... Но я всё-таки собрала волю в кулак и переступила порог университета.
Перед началом основных экзаменов надо было пройти собеседование. Чтобы запи-
саться на него, требовалось заполнить анкету. Здесь я столкнулась с новыми трудностями. В
одной графе анкеты нужно было ответить на вопрос: сидели ли мои ближайшие родственни-
ки в тюрьме и если это было, то в какие годы и по какой статье? «Если на это обращают
внимание, значит, всё!» - решила я тогда, - «Кончилось моё поступление». Мой дед сидел в
1937ом году (это год моего рождения), а отец - в 1948ом. Но номеров статей я не знала. В
растерянности я подошла к пожилому мужчине, который выдавал анкеты, и срывающимся от
волнения голосом рассказала о возникших затруднениях. Он посоветовал мне успокоиться и
ничего не писать, «ведь это было так давно». Наверное, вид у меня при этом был такой не-
счастный, что он решил посодействовать мне в поступлении. Он специально записал меня на
собеседование только через неделю, но посоветовал всё это время приходить каждыц день с
утра к комнате, где проходят эти самые собеседования. «Как правило, там все собираются и
решают задачки, которые даются на собеседованиях. Это очень полезно: походите, послу-
шайте, порешайте. Через неделю вы как раз будете готовы к любому математическому испы-
танию», - доброжелательно сказал мне он. Это был очень мудрый совет.
Дни оставшейся недели я просиживала возле комнаты для собеседований и пыталась
вместе со всеми что-то решать. Конечно, мальчики-выпускники московских школ были под-
готовлены лучше меня. Они друг друга знали, спорили, активно общались между собой,
держались обособленно и, кажется, принципиально ни с кем не собирались знакомиться. Ти-
пично московская манера поведения. Но я всё равно старалась следить за общим ходом мыс-
ли и что-то усваивала. Было очень интересно. Неделя пролетела незаметно, и наступил день
моего собеседования.
И вот, с минуты на минуту должны вызвать меня. Вдруг из комнаты собеседования
выходит расстроенная девушка и, рыдая, рассказывает нам задачу, которую она только что
не решила. Вся толпа поступающих замолкает. Все начинают эту задачу усиленно решать
и... решить не может никто. А меня вот-вот вызовут. И, конечно (в этом я была совершенно
уверена) предложат именно эту задачу. А я её никак не могу решить. Даже подхода не вижу.
И никто из нас не видит. У меня тогда снова началась паника...
Вдруг со стороны лифтов к нашей компании подходит худенький мальчик и тихо са-
дится у окна, доброжелательно всем улыбаясь. Чей-то голос громко объявляет: «Пришёл
Дима Арнольд! Он сейчас всё нам решит!» И вся толпа кидается к этому мальчику - москви-
чи-то его знали. Я чудом оказалась на лавке прямо рядом с ним. Он деловито закинул ногу
на ногу, сверху положил сумку, на неё - открытую тетрадь. Задачу мы сформулировали ему
всем «коллективом» практически хором. Дима задумался. Тишина при этом стояла идеаль-
ная. Через две минуты нам было выдано гениальное решение, которое мы встретили всещего
86
восторга. В этот момент открылась дверь, и меня вызвали на собеседование. Я встала. Дима
Арнольд пожелал мне успеха, в котором я уже не сомневалась. И я пошла на собеседование
абсолютно уверенная в себе.
Но эту задачу мне, к сожалению, не задали. А я так этого ждала. Я очень хотела про-
извести на вступительную комиссию впечатление, решив у них на глазах эту сложнейшую
задачу, которую никто, кроме Димы Арнольда, осилить тогда не мог. Но комиссия меня по-
жалела. Все вопросы были какие-то слишком простые. Или я за последнюю неделю действи-
тельно хорошо подготовилась. Короче, собеседование я прошла и на Мехмат поступила...
Так моим первым знакомым с нашего курса стал Дима Арнольд. Чуть позже той исто-
рии мы столкнулись с ним в битком набитом лифте. Дима меня спросил: «А ту-то задачу на
собеседовании тебе задали?». «Нет, не задали», - ответила я с таким безмерным сожалением,
что мы даже рассмеялись.
Он, так же как и я, как и все, ходил тогда к комнате, где проходили собеседования,
каждый день. Только цели у него были другие. Он ходил помогать всем нам, кто в этом нуж-
дался, объяснять, натаскивать... А вот обратила я на него внимание только благодаря той,
виртуозно решённой им, задаче...
У Димы была удивительная улыбка. В ней всегда чувствовалась готовность помочь,
объяснить, откликнуться. На одном из последних вечеров встречи нашего курса мы разгово-
рились о внуках. Узнав, что мой внук уже в девятом классе и учится в математической шко-
ле, он сразу сказал, что у него, к сожалению, нет возможности сходить и поговорить с ребя-
тами этой школы, потому что он уезжает. Хотя я его об этом специально не просила. Просто
видимо Дима и так считал это своей обязанностью. Но недели через две пришла бандероль с
двумя его математическими книгами для моего внука.
С началом последнего кризиса во многих газетах появились ссылки на книгу Арноль-
да «Теория катастроф». Было очень приятно читать в современной газете не про очередные
разводы-скандалы, а про математика, про его книгу...
И есть у меня одно сожаление... Жалею я, что когда учились мы на пятом курсе, не
увидел и не запечатлел какой-нибудь художник или фотограф того неповторимого взгляда,
каким смотрел тогда влюблённый Дима Арнольд на Надю Брушлинскую (нашу отличницу и
красавицу). Вот и нет в мире такой картины. Но она всё равно существует в моей памяти.
И есть у той любви реальное воплощение - сын Димы и Нади, который родился во
время наших госэкзаменов. Потом появились внуки, правнуки... Жизнь продолжается...
Вход в Университет через сектор «В» в годы нашей учёбы, 1954-1959. Вид с 15 этажа
87
СУББОТИН АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ,
кандидат физмат наук, зам. начальника отдела Росийского
федерального ядерного центра г. Саров Нижегородской обл.,
старший научный сотрудник, Лауреат Государственной
премии СССР, медаль «За трудовую доблесть»,
звание «Почётный ветеран ВНИИЭФ»
В ОЖИДАНИИ ДОЖДИЧКА
Обжился я в Нижегородской области. На сбор однокурсников
всегда пытаюсь вырваться и приехать. Иногда удавалось встретиться с
Димой Арнольдом. Это мне доставляло настоящую радость. Появлялась
возможность что-то спросить у него, что-то сказать. Он всегда очень
дружелюбен.
Вместе, т.е в одной бригаде, мы были на целине. К сожалению,
мало помнится что-то из целинных будней. Но вспоминаю один смеш-
ной случай.
Было очень жарко, всегда около плюс сорока градусов. На небе
обычно ни облачка. И вдруг заметили небольшую тучку. Наши кори-
феи-заводилы Арнольд и Кириллов заспорили, будет ли дождик. Саша
пессимистически произнёс: «Вряд ли». Но сначала стали придумывать, что называть дождём.
Дима сказал: «Если хоть три капли капнет на мою шляпу, то это явление и назовём дож-
дём»,- и пошёл к палатке. И вдруг начался реденький, тощенький дождик. Дима заторопился,
побежал. И только успел схватить шляпу, как дождик закончился, так и не уронив на шляпу
ни одной капли. Так был дождь или нет? По определению - не был.
(В октябре 2010г. я, А. Белова, позвонила Саше Кириллову. Он что-то не совсем отчётливо помнит об
этом эпизоде и относительно того, был ли дождь, уверенно произнёс: «По определению - не был»)
А ещё знаменательный факт: около кустика осоки я заметил чуть влажный Песок. Я
откопал руками небольшой родничок. Вот радость-то была. Нам ведь возили воду за .80 ки-
лометров, и даже при 40 градусах на улице от неё шёл пар, когда открывали кран металличе-
ской цистерны. Мы наслаждались родниковой водичкой, её было очень мало, но можно бы-
ло умыться и набрать в кружку .Когда мы уже вернулись в Москву, механизаторы бригады
написали нам в письме, что на районную карту нанесли родник «Субботинские воды».
Субботинские воды. Рисунок А. Ярцевой, 1956 г.
88
СУХОВА АЛЕКСАНДРА ДМИТРИЕВНА,
программист КБ «АЛМАЗ»
ПОДАРОК СУДЬБЫ
Я всего несколько раз видела Диму Арнольда на встречах выпускников Мехмата,
куда приходила вместе с моим мужем Славой Суховым. Может быть, мои впечатления бы-
ли сильнее, ярче, чем у людей, знавших Арнольда ранее.
Впервые увидела я его в Реутово в 2002 году на встрече сокурсников. Я помню, что
мы со Славой приехали, когда уже собралось в просторном зале много людей. Усаживались
за длинные накрытые столы. И вдруг слышу: «Дима, Дима Арнольд приехал».
Арнольд появился в зале, быстро прошел и сел ровно на свободное место почти в
центр. Все головы повернулись к нему. На лицах улыбки и ожидание чего-то необычного.
Дима начал говорить, все потянулись к нему.
Как магнит притягивает частицы, так и вокруг Арнольда образовался плотный круг.
Когда собрались все, начались выступления у микрофона поднимавшихся на сцену. Вскоре
к микрофону на сцену поднялся Дима, стал рассказывать об истоках математической науки,
об Евклиде, Плутархе, Платоне, Копернике... Он рассказывал очень интересно. Как его все
слушали!
Потом говорил о поэзии, об истории, о проблемах образования в нашей стране и за
рубежом.
К обращающимся Арнольд поворачивался всем корпусом, выслушивал, кого что ин-
тересует, с радостью на лице отвечал очень подробно на каждый вопрос, чётко, с датами,
именами, цитатами.
Интереснейший разговор Димы с залом длился приблизительно час, и я поняла, что
вижу уникальное явление — живого гения.
Знания его во всех областях, очевидно, были глубочайшими, а готовность делиться
ими подкупала искренностью.
На очередной встрече у Лены Стоцкой я решилась на юмористический комплимент
в адрес Димы:
- Дима, в книге «Мы - математики с Ленинских Гор» перечислены твои звания, а
одного не хватает.
- Какого?
- Многим известно высказывание Владимира Ильича Ленина, которое украшало пар-
тийные кабинеты: «Настоящим коммунистом можно стать только тогда, когда овладеешь
всеми знаниями, которое выработало человечество».
- Я увидела в тебе человека, который может считать себя «настоящим коммуни-
стом».
Арнольд рассмеялся:
- По-моему Ленин такого никогда не говорил. Я читал много работ Ленина.
Он начал рассказывать, что его бабушка по матери, когда жила в Швейцарии, позна-
комилась с В.И. Лениным, имела партийный билет, который отослала Ленину, когда узнала,
что он возглавил правительство, что это посчитала предательством по отношению к револю-
ции.
Мой муж всегда по отношению к Арнольду говорил « Да, Дима - гигант», - и при
этом покачивал головой, как будто знал о нем еще что-то, что и выразить нельзя.
Я благодарна судьбе, что получила такой подарок - знать Владимира Игоревича Ар-
нольда.
89
ТКА Ч (ШКИТИНА) ЛИДИЯ СЕРГЕЕВНА,
разработчик программного обеспечения
системы контроля атомных электростанций
ТКА Ч ВИТАЛИЙ ФЕДОРОВИЧ,
кандидат технических наук, начальник лаборатории,
Сертификат космодрома Байконур, заслуженный
конструктор НИИ ЭМ, г. Истра
ДОБРОВОЛЬНЫЙ НАСТАВНИК
После выпускного вечера 27 июня 1954 г. я уехала в Москву поступать на механико-
математический факультет МГУ. В эти дни я уже познакомилась с Димой Арнольдом. Он
сидел за огромным столом перед аудиторией, где проходило собеседование, и решал задачи,
которые предлагали решать абитуриентам, объяснял типовые задачи и отвечал на типовые
вопросы, которые сам же задавал подходившим к столу ребятам. Он был добровольным на-
ставником. Я видела его за этой работой несколько дней. Он уже был зачислен на Мехмат,
но ходил в университет каждый день и всё время объяснял, решал, решал... Я прошла собе-
седование и была зачислена в студенты 8 июля. Тогда же поступил на Мехмат мой будущий
муж Виталий Ткач.
Я, уже работая после окончания университета, когда приезжала в Москву, то покупа-
ла книжки, написанные однокурсниками: Арнольда, Розендорна, Тутубалина, Хазен, и др.
Однажды удалось купить «Дифференциальные уравнения» Арнольда у себя в Истринском
книжном магазине, хотя у меня была уже такая книжка, но другого издания. В ней были при-
ведены вопросы, примеры с решениями - в помощь экзаменующимся.
Прихожу с книжкой домой, а дома переполох: сын Сергей, студент Мехмата, собира-
ется в Москву за книгой в общежитие, потому что завтра экзамен по диф. уравнениям, а он
не может ответить на ряд вопросов, зная, что есть чудесная книга Арнольда с ответами и,
быть может, в общежитии. А книга, только что купленная мной, лежит у меня в сумке. Я
протянула её сыну. Что тут было! Он схватил книгу, тут же стал листать её, читать, прижи-
мать книгу к груди и звонить в общежитие друзьям: есть книга!
До глубокой ночи сын занимался. На экзамене попал к Арнольду, отвечал почти че-
тыре часа и экзамен успешно сдал. Сейчас мы говорим: «Ты учился по книге нашего сокурс-
ника, сейчас выдающегося математика, и помнить будешь это всю жизнь».
Студенты очень уважали Владимира Игоревича. Он пытался растормошить экзаме-
нующегося, чтобы тот начал думать над тем, что он не понял, чтобы тут же дошёл до сути, а
«неуд» поставить всегда можно успеть. Главное не в этом.
Диму Арнольда наш курс, да и не только, считали гением, Моцартом в математике. О
его заслугах писать очень трудно. Его имя знают математики не только в нашей стране, но и
во всём мире. Иногда раздавался телефонный звонок: «Включайте телевизор. Об Арнольде
говорят». Я видела передачу, в которой участвовал Дима. Это было 26 апреля 2003 года, ко-
гда А.Н. Колмогорову, нашему бывшему декану, академику, исполнилось бы 100 лет. Я как-
то ехала в машине и читала статью о Колмогорове. Спросила водителя Володю: «Вы знаете,
кто такой Колмогоров?» Он мне сразу ответил: «Известный крупный математик, а его самый
сильный ученик - Арнольд». Водитель, молодой человек, с увлечением смотрит регулярно
передачи «Гении и злодеи».
Когда мы бывали в Москве у своих друзей, видели, с каким вниманием все относи-
лись к любым вестям об Арнольде - вырезали из газет о нём статьи, покупали брошюры Ар-
нольда. На курсе все относились к нему с почтением и любовью. Несмотря на свои успехи в
науке, он относился к нам очень легко, по-приятельски, старался приезжать на встречи одно-
курсников, оставался скромным и приветливым.
В студенческие годы мы с Виталием не раз ходили в походы вместе с Димой. В пеших
походах он носил очень большой рюкзак, догадываясь, что кто-то непременно дома забудет
90
Впереди: Д. Арнольд, Ю.Назаров, в байдарке - О.Ставская, сзади: М. Шур и В. Ткач
На берегу с веслом - Дима Арнольд
91
что-то взять. Ставил палатки, разжигал костёр, налаживал быт. Виталий ходил в лыжные и
байдарочные походы с Димой. В этих походах участвовали однокурсники: Иры Чернышёва и
Красовская, Саша Кириллов, Оля Ставская, Юлик Назаров, Миша Шур, Лёша Шабат. В по-
ходе по реке Дубне у Ольги Ставской опрокинулась байдарка, но она ухватилась за дерево.
Но что бы ни случалось, Дима поддерживал у всех хорошее настроение.
3 июня этого года наш сын Сергей ехал на машине из Москвы в Истру и услышал со-
общение о смерти Владимира Игоревича Арнольда. Грустный, он принёс эту горькую весть
в наш дом. Мы знаем, что в последние годы Дима читал «Историю Рима от основания Горо-
да» в трёх томах издательства «Наука», серия «Памятники исторической мысли». Был бы
жив, он при встрече с однокурсниками обязательно рассказал бы об этой книге. Он любил
рассказывать. Но теперь нам остаётся только вспоминать о нашем Диме Арнольде. И вспом-
нить есть что.
Автограф Д. Арнольда сыну Л. и В. Ткачей Серёже на книге
92
(ЯРЦЕВА) БЕЛОВА АЛЛА ДМИТРИЕВНА
математик, кандидат педагогических наук,
Заслуженный учитель Профтехобразования РФ,
член Союза писателей, Союза журналистов РФ
и Союза славянских журналистов,
Почётный выпускник МГУ
ПЛАНЕТА ГЕНИЯ
Однажды я прочитала и записала себе в записную книжку понравившееся мне выска-
зывание Наполеона Бонапарта: «Гениальные люди - это метеоры, призванные сгореть, чтобы
озарить свой век». Когда 3 июня 2010 года сгорел такой метеор, я рассказала о нём своим
землякам в нашей городской газете «Реут». Сейчас я приведу частично этот рассказ-статью и
то, что из-за ограниченности количества материала и личных соображений в газете не уда-
лось написать.
Мы - математики, выпускники 1959 года Механико-математического факультета
МГУ имени М.В. Ломоносова, первый раз встретились через десять лет после окончания
учёбы и затем стали регулярно собираться, вспоминать студенческую жизнь, рассказывать,
кто, где и кем работает, о своих семьях, как сложилась жизнь... Организаторами встреч были
чаще всего наши «девушки»: Мальвина, Оля, Рая ...
8 декабря 2002 года встречу однокурсников - математиков и механиков - проводила я
в нашем городском клубе «Дружба», где до этого мною было организовано немало город-
ских мероприятий. Поэтому, узнав, кто будет гостями, в этот раз, нашлись добровольные по-
мощники. Обстановку теплоты, музыки и света создавал Саша Ветошенко.
Мы делились своими воспоминаниями о преподавателях, об учёбе, о целине, пели,
шутили, танцевали... Саша тихо восхитился: «Сразу видно, какие собрались великие, интел-
лектуальные л ю ди!»
Среди наших сокурсников были и работники Реутовского Научно-производственного
объединения Машиностроения: Вячеслав Семашко - начальник отдела, Михаил Панкратов -
ведущий инженер, лауреат Государственной премии. В Реутове, городе-наукограде, живёт и
трудится немало выпускников Мехмата МГУ. И участниками встречи были повзрослевшие и
поседевшие сокурсники - доктора и кандидаты наук, профессора, орденоносцы, лауреаты го-
сударственных и других премий, заслуженные преподаватели МГУ... - обычные люди, чест-
но и самоотверженно служившие стране долгие годы и продолжающие служить.
Но один - действительно великий человек, почитаемый всем математическим науч-
ным миром планеты, выдающийся математик Владимир Игоревич Арнольд, академик Рос-
сийской Академии наук и нескольких иностранных академий. Он мог даже отвергнуть пред-
ложение стать почетным академиком. Так, во время беседы с Папой Римским, ему предло-
жили стать почётным академиком Академии Ватикана. Арнольд ответил, что даст своё со-
гласие, когда католическая церковь посмертно реабилитирует Джордано Бруно, сожженно-
го на костре инквизицией в 1600 году.
Несмотря на многочисленные открытия Арнольда, звания и титулы, мы, его одно-
курсники, его коллеги, друзья, русские и иностранные математики звали его просто Димой
(другого обращения к себе он не признавал, знакомившись с кем-то, называл себя Димой).
Узнали мы, что он - Владимир Игоревич, только тогда, когда ему вручали красный диплом,
назвав по имени и отчеству.
93
А. Белова - организатор встречи,
Д. Арнольд рассказывает о Евклиде.
Брушлинская
Надя и Дима
Арнольд - на
курсе первые
бабушка и пра-
бабушка, де •
душка и пра-
дедушка
Ансамбль девушек-математиков
«И память невпопад, и песня невпопад»
Поют механики. ХДБ - хор домашних баритонов
Дима рассказывает что-то очень интересное.
Некоторые факты биографии Димы Арнольда
В его родословной были крупные учёные: знаменитый физик Л.И. Мандельштам;
прадед С.В. Житков - первый из поколения математиков, а дед Житков Б.С. - писатель, ав-
тор известной многим книжки «Что я видел». Среди родственников и знакомых немало
крупных ученых, и с раннего детства мальчику позволялось быть в их кругу, общаться с ни-
ми, впитывать манеру разговора, утверждений, доказательств. Он получал советы о необхо-
димости прочесть определённые книги. Отец Димы был профессором математики в МГУ и
первым доктором педагогических наук. Можно сказать: ещё бы не стать великим, имея такие
94
гены и условия. Но мало ли у кого были подобные условия, но не было, как у него любопыт-
ства и интереса к познанию нового и неистового желания всё услышанное запоминать и тру-
диться, трудиться с ранних лет.
Отец у Димы умер, когда мальчику было 11 лет, и ни в подростковом, ни в юноше-
ском возрасте он не имел «за спиной» влиятельного покровителя. Но уже в школьные годы, а
тем более, в студенческие, было понятно, что это одарённейший математик. Руководителем
аспиранта В. Арнольда был академик А.Н. Колмогоров. Он говорил : «Только в беседах с
этими двумя учениками (первый, старший - имелся в виду И.М. Гельфанд) испытываешь
ощущение присутствия Высшего Разума».
Ещё в студенческие годы Дима вёл занятия математического кружка для школьников,
многие из которых позже стали его учениками на Мехмате. Потом он стал преподавать в ин-
тернате для одарённых школьников, которых разыскивали по всей стране, а он напридумы-
вал множество развивающих задач, и вскоре вышла книжка «Задачи Арнольда».
Когда в 26 лет Арнольд стал доктором физико-математических наук, у него появился
свой семинар. В дальнейшем его ученики стали заниматься - кто-то небесной механикой (о
ней у Арнольда вышла книга), кто-то - физикой, кто-то - теорией чисел...
Дима был хорошо физически развит, прекрасно плавал, на лыжах ходил по 30-50 ки-
лометров без верхней одежды, а только в плавках при любой температуре. У наших профес-
соров А.Н. Колмогорова и П.С. Александрова была дача в Комаровке. Колмогоров предлагал
Диме (зимой) еженедельно «приезжать» в Комаровку. Это примерно сорокакилометровый
совместный лыжный пробег. Сначала Колмогоров шёл впереди (оба были в лёгкой одежде),
а под конец Дима обгонял своего учителя. Вот таким был великий математик, что совер-
шенно не совпадает с мнением многих, будто математики - сухие люди, только сидящие за
письменным столом и решающие задачи.
Дима любил лес. Он говорил, что большая часть его работ написана в лесу.
В последние десять лет мы (однокурсники Мехмата) создали четыре увесистых тома
воспоминаний о жизни и учёбе в университете «Мы - математики с Ленинских гор», в кото-
рых представлено много Диминых материалов. Он, вместе с восхищением этими книгами,
выразил однажды недоумение: почему один раз (в третьем томе) «напечатано В. Арнольд, а
не Д. Арнольд?»
йандожъ- ** их «Ла*.
4- 'МЙ®*) & 4&Л «ЫЭД Я'
R &$»»»&, а. м.
-с^.Л52-ч
Так он и остался для нас на всю оставшуюся жизнь просто Димой.
95
Имя Арнольда вошло прочно в мировую науку, причём в разные области: математи-
ка, физика, астрономия,... на развитие которых повлияли его научные работы. Арнольда счи-
тают гением двадцатого столетия, легендой, явлением природы. Люди, пишущие научные
работы на разные совершенно темы, ссылаются на Арнольда значительно чаще, чем на дру-
гих учёных. Многие отмечают, что уникальность его заключается в его универсальности.
Ещё в восемнадцатом веке Д. Дидро отметил: «Широта ума, сила воображения и активность
души - вот что такое гений», будто тогда он предвидел, что в двадцатом веке родится такой
человек, который помимо работ о дифференциальных уравнениях, физических исследовани-
ях напишет и «Теорию катастроф». Колоссальной энергией Арнольда, результатами его
многоплановой деятельности, его природной одарённостью, его видением науки и мира не-
возможно не восхищаться.
Арнольд был убеждён: всё, что происходит в мире, в природе, можно описать матема-
тически. У него был удивительный и заразительный энтузиазм и в математике, и в её препо-
давании, и в отстаивании изучения высокой математики: «Невостребованность науки в но-
вой России я считаю преступлением перед грядущими поколениями. Мой оптимизм в том,
что я верю: страна не допустит этого преступления». Он ярко и возмущённо выступал в Го-
сударственной Думе по поводу пагубного влияния школьных реформ на образование, много
об этом писал, доказывая, что пока наше математическое образование выше американского,
и скатываться ниже, до американского уровня, нельзя.
Арнольд был прекрасным увлечённым учителем, выявлявшим будущих одарённых
математиков, организовавшим Московский центр непрерывного математического образова-
ния. Ему ли не знать, как и чему учат в разных странах.
Трудно перечислить академии, университеты, научные общества, куда приглашали
Арнольда читать лекции, где он (имея основную работу профессором в МГУ, затем главным
научным сотрудником в Математическом институте им. В. А. Стеклова Российской Академии
наук) по несколько месяцев работал: в двадцать одном учреждении СССР - от Киева, Воро-
нежа, Тбилиси... до Хабаровска, Магадана; в тринадцати университетах Франции, в двадцать
одном учреждении Америки (университеты, институты), в Швейцарии, Ирландии, Польше,
Китае, Японии, Индии, Израиле, Бразилии... Там он читал лекции. Но, к счастью, можно ска-
зать, что не обошёл стороной наш небольшой подмосковный Реутов. Об этом чуть ниже.
Арнольд настолько был внутренне богат, что любая тема, любая мысль, случай вызы-
вали у него неиссякаемый поток ассоциаций. Он был прекрасным рассказчиком.
На упоминаемой встрече однокурсников 8 декабря повзрослевшие выпускники вспо-
минали студенческую жизнь, пели студенческие песни, читали стихи... Саша Рубинштейн
поднялся на сцену и прочитал свой опус, заканчивающийся каждый раз именем выдающего-
ся математика древности - Евклида.
Мехмата дети!
Насучили грызть гранит
Науки Колмогоров, Александров
и Евклид.
Кто математикой в России знаменит?
Пафнутий Чебышов и Лузин,
и Евклид.
Европы голос тоже музыкой звучит -
Лагранж, Коши и Гаусс,
и Евклид.
Наш курс достойный выдал габарит:
Арнольд, Архангельский, Кириллов
и Евклид!
Дима не смог не продолжить рассказ об Евклиде (впрочем, если бы речь зашла о другом
математике, он и о нём бы рассказал много интересного). Он тут же поднялся на сцену.
96
Не в Киевском или Воронежском университете, не в Бостоне или Париже, а в нашем небольшом
подмосковном городе - наукограде, на сцене фабричного клуба «Дружба» академик Арнольд чи-
тал настоящую лекцию. Он увлечённо рассказывал о математике, жившем около 300 лет до нашей
эры. Тогда, в эпоху Птолемея, были созданы условия для развития науки, и влияние греческой
культуры распространилось далеко за пределы Эллады.
Первое подобие учебнику математики «Начала» Евклида, состоящее сначала из тринадца-
ти книг и затем двух дополнительных, - это вовсе не достижения самого Евклида. Он ничего но-
вого не внёс, а просто обобщил то, что до него считали учёные еще со времён Пифагора своей
тайной. А он вот взял да и открыл другим эту тайну. Первые четыре книги - о геометрии, другие -
об арифмегике, теории чисел. Многое разработано ещё пифагорийцами, что-то взято от Евдокла,
некоторые правила взяты от математиков из Афин. Т.е. всё почти существовало до Евклида. К
Евклиду можно отнести слова Паскаля: «Пусть не говорят, что я не дал ничего нового; располо-
жение предмета у меня новое». И собранное вместе в «Началах» всё существовавшее до Евклида в
математике, и его новое расположение до сих пор поражает математиков своей целесообразно-
стью. В школе и сейчас проходят теорему Евклида: площадь квадрата, построенного на высоте
прямоугольного треугольника, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу, равна пло-
щади прямоугольника со сторонами, равными отрезкам гипотенуз, полученным от пересечения её
высотой.
В «Началах» Евклида нет вопросов, связанных с применением математики на практике. По
этому поводу есть «байка»: однажды молодой человек, изучавший «Начала», спросил у Евклида,
для чего нужно изучать геометрию. Евклид обратился к своему рабу, чтобы тот дал молодому че-
ловеку три монеты: «Этот человек стремится получить материальную пользу от науки».
Потом Арнольд возмущенно стал говорить о мнении некоторых политиков, которые не
понимают значения науки и стремятся уничтожить Академию наук.
Владея в совершенстве несколькими языками, Арнольд писал статьи начисто без черновиков
на любом из этих языков, не обращаясь при этом к переводу на русский или с русского, а думая и
рассуждая на этих языках. Его любопытство, постоянные поиски неизвестных фактов в библиотеках
мира приводили к интереснейшим выводам. Так в одной из парижских библиотек он отыскал, отку-
да А.С. Пушкин заимствовал эпиграф к «Евгению Онегину» и начало письма Татьяны.
Мы, однокурсники Димы Арнольда, не перестаём восхищаться его энциклопедичностью,
знаниями в любых областях науки, его прекрасными, удивительно интересными рассказами.
С Димой мы ходили в походы, он знал множество маршрутов, исходив на лыжах, изъездив
на велосипеде всё Подмосковье; узнавал по голосам птиц, правда, говорил, что его отец в этом
преуспевал, а Дима не успел перенять у отца его умение; с ним мы два лета убирали (по личному
желанию!) целинный урожай, и некоторые студенты (включая Диму) освоили вождение трактора
и не уступали местным механизаторам в этом искусстве.
Там, на целине, ночами мы восхищённо слушали Димины рассказы об изумительных юж-
ных звёздах, созвездии «Скорпион», которое в Москве невозможно разглядеть, а «Альдебаран»
называл прекрасным. Мы удивлялись: как он знал звёздное небо!
Едем на целину (вверху - Ю.Рождественский, Л.Чураева, А.Ярцева; внизу — Дима Арнольд) -
в неизведанный край в обыкновенных товарных вагонах и радуемся жизни.
97
I
2* Ак&^а>
- ^uk&^cuk^^ C^a^hic^
•х »£* с’ '
- Уё^шэ^семЦ %W ‘J^ua€7^ (& (йэлбшеЗ
*~Ч * * - г
Uu<=su?2^ ч*>езисл V
~ ijмй4^с^ёЖ(& K^‘^fefCQ)
Эаи(4^сх^^- Cfi^l^ooi
—*Т(^и<^иС4Ь^ Ut<4^>O-<A-e.
кЭЛчМп. ‘т'э-пеА-
)
^*4<&^с.аче4£, ДОЭДвНЗСС Q
|^&^je4TO^ -ч^и^мч-тхг^^^ Р^и0^)
UM6iMb?£. £frcu<u)0 №чгм^с Ucc4^^uu^ ^исЗЬ^
b4k^o*xes^ f-8 Т^силб 0Оич<^
-^it’A-uo^wit0^ Уии^б^04-^^ Ог«?и«<.
•^ки^еролге-^ ^ЬЦЭэ-йс Q& М^^гЧЗ<ттУе^7
<о&е^>~ Ъос^гчм^ у kctjftsy еи^Ж Во^о tu^ }
^ссде^о^Те^и>|^ и^с?<Л)\^ иэ^х-С 8 беясд^/
_X^^j^j-—
99
- Ллочериом»^ ^UkyCu^ £\U&
^4-4-
— 2>2<SamM4X£«Y^ ^cxX^cuvef£i> СЛЦЛ2
*’*•.*-
— V^aoVo CV^ohu&j)
—^рхиош^ ^ун&^си-хечеС'^^^4'5') >
~ yUu&L^CMA€(e V>3-^^ M. ^,KM^cquc< e VouCrVbuf^ C
— TteJcuucce$\,
— HvtcWJbK Shcu^ щаХ
-^.чЦси\^б^ 'jbA^?9-p_ ( LX^M\ .
тк
*~ I vfr—^Очг^-tcpcc--^Y^ce^
— UAa^u^J^ <X4<cVz>£r и ич^О-^uai^ Л'^ро^^ О^ъ ~^
— Hvv4^<^cuAt4£ ?<Си«^>Чу К j
~t)uJU^e^>e^eg МЭ1М^се_у 'k^O^tAUS^
Р^ОЛ^Т иX ууУЛш<ц>м
—Xv^*CUX)KQ_ ;
-^_йцсиле^ Те^>- )
— . ^]^емСАМА> у ии^>си>ея< ^£fipyca<4^^j
100
Мы, многие Димины однокурсники, только приехав из разных уголков страны и по-
ступив в университет, уже слышали: «Это корифеи науки - Арнольд и Кириллов». Москвичи,
победители математических олимпиад, они пришли на Мехмат уже со своими доказательст-
вами новых теорем и с решением многочисленных задач, которые получали от выдающихся
математиков - А.Н. Колмогорова, П.С. Александрова... - наших будущих профессоров. По-
знакомившись на олимпиадах, они стали друзьями, первыми (по знаниям) студентами, со-
перниками в хорошем смысле слова.
На третьем курсе Дима получил от Колмогорова в качестве задания на курсовую ра-
боту одну задачу и решил её. Это оказалась - 13-я проблема Гильберта (в числе 23), сфор-
мулированная 8 августа 1900 года.. В 26 лет Дима защитил докторскую диссертацию, стал
профессором Мехмата МГУ.
Часть наших однокурсников остались работать в Москве, часть - в Подмосковье. Но
из газет или друг от друга мы узнавали о научном росте Димы, гордились им. Кто-то имел
возможность даже бывать на его лекциях в университете.
За разные открытия в области математики Дима получил орден «За заслуги перед
Отечеством», несколько премий иностранных академий наук.
В начале лета 2008 года нас быстро облетела весть о том, что Диме будут вручать Го-
сударственную премию РФ. Да ещё в какой день! - в День России 12 июня, совпадающий с
днём рождения Димы. Некоторые из нас взволнованно смотрели по телевизору, как Дима
шёл по ковровой дорожке, как Президент РФ Д.А. Медведев прикреплял к его пиджаку знак
государственной награды, как Дима держал короткую речь, как после этого они вместе с
Президентом смеялись. «Чему вы смеялись?» - спрашивали мы после Диму. И он ответил,
что Медведев сказал, улыбаясь: «Я знаю, что Вас все зовут Димой и что у Вас сегодня день
рождения. Я поздравляю Вас с днём рождения!» -
101
102
12 нюня—День России
* ♦ *
Когда ты шёл в торжественный свой час
Тропой ковровой меж дворцовых кресел.
С каким восгоргом миллионы глаз
В тебя впились. Ты был спокоен, светел.
И с Президентом в диалоге прост.
Не раболепствовал, держался прямо.
В ответном слове встала в полный рост
Наука, что трудна, горда, упряма.
Дима! Поздравляю Вас с днём рождения!
103
В сентябре того же года в Гонконге Арнольду вручали Мировую премию « The Shaw
Prize» - «Восточный Нобель».
The Shaw Prize Lecture 2008
Presented by Shaw College, The Ch nese University of Hong Kong
5pm on 10 Septemlr * Z006 (Wednwdii' /
ГЬ ia CoMegr Lecture Tneatn-
The CNrmr University of Hong Kong
The SI ]aw Laureates in Mathematical Scier ices 2008
The Shaw Prize
The Shaw Prize is an international award to honour individuals who arc currently active
in their respective fit Ids and who have achieved distinguished and significant advances,
who have made outstanding contributions in culture and the arts, or who m other domains
have achieved excellence. The award is dedicated to furthering societal progress,
enhancing quality of life, «nd enriching humanity's spiritual civilization. Preference will
be given to individuals whose significant work was recently achieved
Fhc Shaw Prize is administered by The Shaw Pnze Foundation bused in Hong Kong. The
Shaw Pnze consists of three annual awards. Astronomy, Life Science and Medicine, and
Mathematical Sciences. The prizes were first awarded in 2004.
THE
SHAW
PRIZE
104
С некоторыми друзьями Дима переписывался, сообщая, где он путешествовал, в какие
деревушки заезжал, в какие пещеры проникал, какие грибы собирал, каких интересных лю-
дей встречал.
Получала и я его письма. Как-то он узнал, что в районе реки Онего сгорел погост, а он
так любил его и рисовал, поэтому просил меня отыскать где-то фотографию этого погоста,
переснять её и прислать ему. Я выполнила его просьбу. Иногда он просил исправить строчки
какого-то стихотворения, которое он немного забыл. А то написал, что прошлой зимой в Ба-
лашихе шёл по льду речки, а в этом году её не нашёл; просил отыскать карту Балашихи с
этой речкой... и даже прислал две задачи.
© (£л>До V-fecCc) у5<^Л~(А-е> Го ,
исжаЛъ ?
U.b» ; Ч ?
АЛЛ
о кило
ч-издАД мА} u fr
<&•**»' Оцой.») «. к &55е. (,ламш А,
О)сен«-а.. 7
И© ОДрЗД 'ЯЪи ч£Г (Ллсслючча Кэрф-
Г^о. всй> «£ W*.u44. теЯвим. и Окя cflA tsjc'?
Удивительно, сколько любопытства, какой интерес вызывали у него подобные эпизо-
ды, различные места, которые он посещал во время прогулок, - лыжных, велосипедных...
105
Дима прекрасно знал мировую поэзию, читал многое в подлинниках, переводил, пи-
сал стихи сам. Любил и знал стихи Тютчева, Северянина, Пастернака.
Я никогда не слышала, чтобы он даже в компании пел, но он очень любил стихи Була-
та Окуджавы, особенно:
Давайте восклицать, друг другом восхищаться.
Высокопарных слов не стоит опасаться.
Давайте говорить друг другу комплименты -
ведь это всё любви счастливые моменты.
Давайте горевать и плакать откровенно,
то вместе, то поврозь, а то попеременно.
Не нужно придавать значения злословью -
поскольку грусть всегда соседствует с любовью.
Давайте понимать друг друга с полуслова,
чтоб, ошибившись раз, не ошибиться снова.
Давайте жить, во всём друг другу потакая, -
тем более, что жизнь короткая такая.
Когда вышла наша третья книга «Мы-математики...», он просил передать автору сти-
хотворения о математике «Лист Мёбиуса» Наташе Ивановой (она окончила тоже Мехмат ,
училась у наших сокурсников, ставших к тому времени профессорами, работала инженером
на НПО Маш, а сейчас - учитель в школе), что оно ему очень понравилось. На лист бумаги
Дима переписал несколько строчек из этого стихотворения:
Лист Мёбиуса - символ математики,
Что служит высшей мудрости венцом...
Он полон неосознанной романтики:
В нём бесконечность свёрнута кольцом.
В нём - простота и вместе с нею - сложность,
Что недоступна даже мудрецам...
... Путь в бесконечность - Мёбиуса лист!
Дима поставил свой автограф.
На творческом вечере Наташи я подарила ей этот лист. Как же она была взволнована
вниманием великого учёного!
Быть может, кто-то из её учеников когда-то поступит в Московский университет или
в серьёзный технический ВУЗ и после «Теоремы Пифагора», «Формулы Герона», «Теоремы
Евклида»... будет решать «Задачи Арнольда», изучать «Диффузию Арнольда», «Уравнение
Эйлера-Арнольда»... Одну из задач, сформулированную Арнольдом еще в 1965 г., смогли
решить только в 1983 году. А эти понятия, связанные с именем нашего сокурсника - велико-
го математика Владимира Игоревича Арнольда, будут жить десятилетия, столетия, и его за-
дачи будут решаться, теоремы доказываться.
В последние годы (более 10 лет) Дима почти по пять месяцев жил в Париже ( имея
там квартиру), преподавал в Парижском университете «Paris-Dauphine». Другие полгода он
работал в Математическом институте им. В.А.Стеклова РАН (МИАН).
Как мы все переживали, узнав, что в Париже с Димой случилось несчастье; его, с
пробитым лбом, лежащего без сознания рядом со своим велосипедом, подобрала Парижская
полиция и увезла в больницу. Он долго был на грани жизни и смерти. Сам он потом расска-
зывал нам об этом. Но выжил и ещё с большим энтузиазмом принялся за работу.
106
У Димы была привычка посылать друзьям публикации (копии) своих статей, брошю-
ры, и у некоторых из нас создались настоящие библиотечки работ Арнольда.
и. И . АГНиЛРД
Л
Е. И. Арнольд
ШАНРОФ
ИЗД-.ТЬЧЬСТоО
В. И Апиольд
С1Л
WMUttza,,.
СТАТИСТИКА
и ПРОЕКТИВНАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
паяю
В.И.АРНОЛЬД
2003-2004
В. И. Арнольд
*Л7
НОВЫЙ ОБСКУРАНТИЗМ
И
СИЙСКОЕ ПРОСВЕЩЕНИЕ
инергетика
От прошлого
будущему
Вещественная
алгебраическая
геометрия
107
Когда-то Стендаль писал: «Гением можно назвать лишь того человека, который на-
ходит такое глубокое наслаждение в своём творчестве, что он работает, несмотря на все пре-
пятствия». Это полностью относится к Диме.
Монодромия и слой Милнора, Воронеж 1979
Мы, сокурсники Димы, поздравили его 24 октября 2008 г. с присуждением Государст-
венной и Мировой премиями в Московском городском Доме учителя во время большого му-
зыкально-поэтического вечера моей семьи. Мои дочери - профессиональные музыканты;
старшая, Ольга (скрипка), младшая, Василиса (фортепиано, дипломант Международного
конкурса), внук Андрей (тогда десятиклассник) - классическая гитара. В исполнении доче-
рей звучал Моцарт, Шостакович, Свиридов, в исполнении внука - итальянская и испанская
музыка. Я читала свои стихи, народный ансамбль Дома учителя «Родные напевы» и детский
хор (руководитель Ольга) исполняли мои песни. Все исполнители - лауреаты различных
конкурсов.
Переполненному залу зрителей мы представили Диму, нашего выдающегося сокурс-
ника, зачитали АДРЕС, в котором поздравляли его с присуждением Государственной пре-
мии, выражали свою гордость за Диму - Владимира Игоревича Арнольда, академика РАН и
многих иностранных академий наук, выдающегося математика современности; желали за-
консервировать своё здоровье так, как он консервирует грибы и клюкву. А нашим подарком
была большая двухведёрная корзина для грибов и клюквы, специально сплетённая по заказу
для данного события. (Он прекрасно знал грибные и клюквенные места и ездил собирать
грибы и ягоды на велосипеде за 40-60 километров.) В зале царило особое воодушевление -
ведь среди зрителей присутствовал такой великий человек! Зал приветствовал его длитель-
ными и мощными аплодисментами. И было заметно, как Дима взволнован, рад, неожиданно
ощутив такую искреннюю любовь и внимание к нему.
На банкете Дима рассказывал о знакомстве с Алисой Фрейндлих, которая ему сказа-
ла, что никогда не думала о том, что математики могут быть такими интересными людьми;
о встречах с бывшим Президентом Франции Жаком Шираком и с настоящим Президентом
Саркози, о разных эпизодах во время преподавания в Парижском университете. И, как все-
гда, он призывал бороться за настоящее образование, которое в нашей стране пока остаётся
выше, чем в других странах - уж это-то он знает, объездив весь Мир, читая лекции.
108
ГУК Московский городской Дом учителя
приглашает Вас
24 октября 2008 года
на творческий вечер
семьи Аллы Беловой
руководителя ЛИТО “Московский учитель’
заслуженного учителя России»
члена союза писателей РФ
' зсе.что есть:
109
Банкет
1 ряд: С. Соловьёва, Р. Попович, Г. Скороходова;
Д. Арнольд - «байки»; об образовании в США,
Франции и у нас.
2 ряд: Д. Арнольд, А. Белова, О. Курганова, Дима
Арнольд, С. Белоусов;
3 ряд: Г. Сухинин, Р. Васин, Н. Орлова, Н. Новго-
Родова, С. Борисов, О. Архангельская, А. Архан -
Гельский, А. Рубинштейн.
ПО
24 октября 2008 г. Архангельская (Раздуваева) Ольга, Скороходова (Панкина) Галина,
Попович (Стрелкова) Раиса, Березняк Татьяна, Арнольд Дима, Сухинин Гима, Курочкина
Алла, Белова (Ярцева) Алла, за ней Васин Рудольф, Курилов Вадим, Борисов Борис, Панкра-
тов Михаил, Орлова Нина, Белова Василиса, Курганов Андрей.
111
Два года назад, во время небольшой операции на шее, у Димы было выявлено серьёз-
ное заболевание, но он не признавал его, не чувствовал боли; как прежде, очень много рабо-
тал. В письме из Парижа в марте он сообщил: «...Меня ... мучают разными обследования-
ми... Надеюсь, позволят лететь в Москву 15 мая... Прилагаемая статья - 29 страниц (он
иногда присылал друзьям копии своих статей, всегда написанных рукой, ещё до публикации)
отняла у меня много времени, но она свидетельствует, что я ещё не доконан болезнью. Писал
я её, кормя фазанов...»
Обычно мы, сокурсники, традиционно встречаемся в последнюю субботу мая у па-
мятника Ломоносову. У Димы не получалось приехать из Парижа к этому времени. И вот
приедет 15 мая. Сколько радости доставит он нам всем встречей с ним!
Прошло 15-е мая. Видно, много дел у Димы в Математическом институте, скоро по-
звонит. Но телефон молчал... Наконец 3 июня раздался звонок. Я бросилась к телефону. Не
он. Незнакомый голос с другого конца провода: «Печальное известие. Сегодня скоропо-
стижно умер Дима».
...Нет... Нет... Невозможно....
Сначала панихида будет в Париже. 10 июня гроб доставят в Москву.
15 июня состоится панихида в Академии наук и похороны на Новодевичьем кладбище.
Тяжкое, горькое ожидание последней встречи.
10 июня. Гроб в Москве и... совпадение: в почтовом ящике письмо от Димы, напи-
санное 12 мая: «... ещё одно обследование... займёт пару недель... Неделю чудесно провёл в
Португалии... ездил много на велосипеде и на машине... расскажу, когда вернусь..»
’ •. . • • • » ’
" • •*. • * • ' •
I
Новодевичье кладбище 15 июня 2010 года навсегда закрыло землёй Диму. Арнольда
ВЛадимира Игоревича, великого учёного XX столетия, нашего дорогого сокурсника.
• • • • » *
• • i. - • t. . . • •.
Улетела душа, улетела
Высоко, за. земные миры,
Где ничто не имеет предела:
Нет ни холода, нет и жары;
Там нет времени, нет расстояний,
Ни разлук, ни прощаний, ни встреч,
Нет ни радостей, нет и страдании,
Ничего -
ни терять, ни беречь...
Не вернёшься назад, не напишешь,
Не расскажешь про звёзды и Рим...
Нет, не верю, не верю -
ты слышишь,
Как тепло о тебе говорим.
112
2
ПРИХОДИМ К ЛОМОНОСОВУ
Книгу первых воспоминаний о выдающемся математике современности, академике
Российской Академии наук и многих иностранных академий Владимире Игоревиче Арноль-
де, ушедшем из жизни 3 июня 2010 года, мы публикуем в год, когда весь научный мир от-
мечает 300-летие со дня рождения великого учёного, основоположника нашей отечественной
науки Михаила Васильевича Ломоносова.
Авторами книги воспоминаний являются те, кто прошёл через Московский государ-
ственный университет имени М.В. Ломоносова.
Когда мы подходим к Московскому университету, мы уже понимаем, что
деятельность этого рассадника науки и просвещения в России есть развитие
мысли Ломоносова.
Академик, Президент Академии наук СССР С.И. Вавилов
С именем великого русского учёного Михаила Васильевича Ломоносова связаны ста-
новление и первые этапы развития отечественной науки. С необычайной силой и вырази-
тельностью раскрылись в Ломоносове наиболее яркие черты научного гения - глубокое зна-
ние достижений науки своего времени, умение предвидеть основные направления научного
прогресса, постоянно сочетать в своей работе теоретические исследования с потребностями
практики, неустанно использовать достижения науки в интересах развития экономики и
культуры страны. Эти черты и в последующие годы определили творческую деятельность
корифеев отечественной науки - Лобачевского и Менделеева, Сеченова и Павлова, Жуков-
ского и Циолковского, Курчатова, Королёва, Келдыша и др.
Ломоносов был человеком универсальных знаний, подлинным учёным-
энциклопедистом. Трудно назвать область науки, техники и культуры, в которую он бы не
внёс весомый вклад. Его работы в области физики, химии, техники, истории, экономики, гео-
графии и литературы на много лет определили пути их развития. Он сформулировал многие
важные идеи, которые легли в основу современной науки.
В последние десять лет своей жизни Ломоносов выступил как талантливый организа-
тор науки, как убеждённый просветитель. Его научно-организационная деятельность, про-
никнутая идеей беззаветного служения Родине, была не менее разнообразной, чем исследо-
вательская работа. Создание первой в России научной Химической лаборатории, организа-
ция географических исследований, снаряжение географических экспедиций, подготовка пла-
ваний с целью освоения Северного морского пути, разработка многочисленных проектов пе-
реустройства Петербургской Академии наук.
Просветительское направление деятельности учёного, его борьба за русскую нацио-
нальную культуру и науку привело его к созданию проекта организации Московского уни-
верситета, русского. В 1754 году Ломоносов выступил с этой инициативой. Пользуясь под-
держкой известного русского мецената графа И.И. Шувалова, Ломоносов разработал ориги-
нальный проект русского университета с учётом особенностей общественного строя России
и состояния научной мысли того времени. Защищая демократические основы развития оте-
чественной науки, Ломоносов выдвинул требование, чтобы к обучению в университете до-
пускались лица разных сословий. Он предполагал возможность поступления в университет и
лиц крепостного состояния, которые должны иметь «увольнительную» от помещика. Естест-
венно, что большего в условиях крепостнической России середины XVIII века Ломоносов
требовать не мог. (Г.Е. Павлов, А.С. Фёдоров «Михаил Васильевич Ломоносов», изд. «Нау-
ка», М. 1980, некоторые фрагменты)
При составлении проекта создания Московского университета Ломоносов учитывал
все трудности, связанные с комплектованием студентов из числа лиц недворянского проис-
хождения, и в связи с этим он предусмотрел основание гимназии, «без которой Университет,
как пашня без семян» (Ломоносов М.В. Поли. собр. Соч., т.10, с. 514).
114
Основной принцип организации нового учебного заведения, предложенный Ломоно-
совым, заключался в том, что при установлении числа университетских кафедр следует ис-
ходить не из числа имеющихся в данное время кандидатов, способных заместить профессор-
ские должности, а из потребностей университета.
Ломоносов предусматривал создание научно-экспериментальной базы преподавания:
лабораторий, кабинетов, анатомического театра, библиотеки и т.д. По мысли учёного, осно-
вой подготовки научных кадров в Московском университете должны стать широкое внедре-
ние опыта, эксперимента в учебном процессе, связь с практикой. Он требовал «гласности»
преподавания, предусматривая чтение публичных лекций профессорами университета для
пропаганды научных знаний.
Распространение науки и просвещения, привлечение в науку разночинных слоёв рус-
ского общества должны были, согласно общественно-политическим воззрениям Ломоносова,
привести к экономическому и культурному прогрессу России, к улучшению положения на-
родных масс. Важную роль в осуществлении этой программы Ломоносов отводил Москов-
скому университету - будущему центру передовой демократической мысли в России.
Ломоносов вёл за собой русскую науку, русских людей-отечестволюбцев.
И главное во всём этом - страстное желание служить России, возвышать её, подни-
мать её потенциал, дух русских людей, бороться за их просвещение, продвижение молодых.
Он был неутомимым в этом борении за Россию, не останавливался ни перед какими автори-
тетами. Спорил, ругался с ними, порой был несдержан, учинял «предерзости», даже подвер-
гался домашнему аресту. Не чванился и, извинившись в Академическом собрании «по пред-
писанной формуле», продолжал быть столь же настойчивым и неуступчивым в служении
Отечеству.
Его надежды на появление отечественных кадров учёных оправдываются:
«... может собственных Платонов
И быстрых разумом Невтонов
Российская земля рождать.»
Владимир Игоревич Арнольд в 1959 г. окончил механико-математический факультет
МГУ, носящего имя Михаила Васильевича Ломоносова, основавшего с графом Шуваловым
в 1755 году первый в России Университет.
С начала XX века в МГУ образовалась мощная Московская математическая школа во
главе с Н.Н. Лузиным. Одно упоминание имён членов «Лузитании» - гимн Отечественной
математике: Д.Е. Меньшов, П.С. Александров, А.Н. Колмогоров и многие, многие другие.
Научным «внуком» Лузина, учеником А.Н. Колмогорова, был величайший математик второй
половины XX века Владимир Игоревич Арнольд, памяти которого и посвящена эта книга,
написанная, в основном, его сокурсниками 1954-1959 годов, а также учениками и друзьями.
115
* * *
Приходим к монументу мы на встречи,
Кому наш МГУ вручил диплом;
И возникают снова споры, речи,
Оставленные прежде «на потом».
Мы иногда между собой судачим:
Был Ломоносов наш простолюдин,
На редкость гениален, не иначе,
Поднялся над толпой в свой век
один.
На стылом побережье сын помора
Блеснул сияньем северным в ночи.
Продвинувшись в науках очень скоро,
Свои открытия он нам вручил.
Всегда ум ясный, страстное желанье
И беспокойство - всё узнать, понять.
Не это ль гениальных состоянье -
Стремиться необъятное объять.
Он много сделал - рудокоп и химик,
Философ, минералог, астроном,
Поэт, естествоиспытатель, физик...
Как всё могло собраться в нём одном!
Влияние гения неизмеримо:
Грамматика, риторика, язык.
Культурное наследие так зримо,
Объём его открытий так велик!
Мозаичным стеклянным разноцветьем
Создал картины лучшие свои,
И будут восхищать через столетья
«Пётр Первый» и «Полтавские бои».
Но как талантлив человек бы ни был,
Людская память лишь о том жива,
116
Кто смысл служения России видел;
Как о святом, о нём пойдёт молва.
Мысль пробудилась русская впервые
В науке с Ломоносовым. И Мир
Его - у русских
силы волевые
Заметил. Ломоносов - наш кумир.
Он у научной знати и поэтов
В почёте. Но, народа зная быт -
Как зимы долги, как коротко лето,
Каким трудом бывает хлеб добыт,
Задачу задал сам себе:
науки
Должны помочь людской облегчить труд;
И новых поколений дети, внуки
По тропам, им проторенным, пойдут.
Он тысячи нелёгких километров
Осилил, чтоб за ним не пеший след,
Остался, а под - шум попутных ветров
Дел добрых свет - вперёд на много лет.
Вся жизнь его была стремленьем, делом
Создать Российский университет.
В конце пути, осмысленном и смелом,
Успел увидеть просвещенья свет.
Путь проторил для собственных Платонов
И был уверен, что начнёт рождать
Россия быстрых разумом Невтонов
И будет пестовать их, словно мать.
Мы говорить о той науке вправе,
Что выросла гигантски за наш век
В Российской Ломоносовской державе,
117
Так высоко поднялся человек.
И родились Арнольды и Писковы,
Кирилловы, Субботины, Ткачи,
Петровы, Карацубы, Веденьёвы...
Из городов и сёл, и москвичи.
И сверху вниз
великий Ломоносов
На нас глядит сегодня с высоты,
Нам для раздумий задаёт вопросы,
Где по сей день ответы не просты.
И то, что мы стоим у пьедестала,
Свидетельство - основа из основ:
Не оскудела Русь, не перестала
Рождать своих
талантливых сынов!
1979 г. 20 лет окончания Университета. Э. Сармин, М. Фрейдлин, В. Арнольд,
В. Харченко, Е. Фильчагина, В. Говердовская, А. Мороз, А. Рыбников
118
ВОСПОМИНАНИЯ АРНОЛЬДА В.И.,
напечатанные в четырёхтомнике
«Мы - математики с Ленинских гор»
Выпускники 1959 года Мехмата МГУ - это интеллектуальная частица нашего обще-
ства, активно участвовавшая как в развитии Московского Университета, так и всей нашей
страны в период от момента окончания университета (т.е. самого начала 60-х годов XX сто-
летия) до начала второго десятилетия XXI века. Мемуары раскрывают процесс формирова-
ния профессионально состоявшихся граждан, необходимых обществу, востребованных при
любой власти и являющихся национальным достоянием.
В каждой из четырёх книг «Мы - математики с Ленинских гор» - много интересней-
ших материалов Димы Арнольда: о семье, о родственниках старших поколений; о людях
высокого научного и интеллектуального уровня, окружающих его с детских лет и способст-
вовавших его раннему развитию; о первых математических опытах, об «историях давних и
недавних», о значении математики в жизни общества и развитии науки... Д. Арнольд был
активным автором во всех четырёх книгах. Мы представляем его материалы, опубликован-
ные в первых четырёх книгах.
2003г.
120
ГРУППА 1-09
АРНОЛЬД ВЛАДИМИР ИГОРЕВИЧ
Стр. 272-287 и 363
Русская математическая традиция восходит к старинным купеческим задачам. Дети в
совсем юном возрасте решают такие задачи, еще не имея представления о числах. Эти задачи
очень нравятся детям пяти-шести лет, которые могут их решить, в отличие от многих универси-
тетских выпускников, испорченных натаскиванием. Вот типичный пример подобной задачи:
Ложка вина из бочки вина переливается в чашку чая. Затем ложка (неоднородной!)
смеси из чашки переливается обратно в бочку. Теперь инородная жидкость (вино) находит-
ся в чашке и инородная жидкость (чай) - в бочке. Чего больше: чая в вине или вина в чае?
Детям постарше, уже немного знакомым с числами, нравится следующая задача.
Маша и Миша хотят купить книжку. Маше нужно на семь копеек больше, чем у нее
есть, а Мише - на одну копейку больше. Они решили купить книжку вместе, но обнаружили,
что и общих денег им не хватает. Сколько стоит книжка?
(Нужно иметь в виду, что книги в России были очень дешевы.)
Во многих российских семьях существует традиция давать детям сотни подобных задач. В
такой семье рос и я.
О своей родословной «Род Арнольдов» написано в книге В.И. Арнольда «Истории
давние и недавние». Изд. «ФАЗИС» 2002 г.
Приводятся фрагменты из книги.
Вера Степановна Арнольд (Житкова), отцова мать, была большевичкой и бестужевкой, в
1905 году посажена, но отпущена за границу (в Париж и Цюрих) лечиться. Отец учился в гимна-
зии в Цюрихе, сохранял карты своих походов, резал по дереву; А.Н. Колмогоров, позже учивший-
ся с ним в аспирантуре МГУ, говорил мне, что была в отце какая-то не русская обязательность и
добросовестность.
Отец рано начал показывать мне математику, вывешивая у кровати плакаты.
Но я не знал, что это математика, думал - просто игрушки. Задач не помню. Помню скало-
лазные упражнения на пятиметровых стенках - не падал, но освоил нужду в трех опорах.
Братом Веры Степановны был писатель Борис Степанович Житков - отличные воспоми-
нания об обоих оставил Корней Иванович Чуковский, учившийся с Житковым в одном классе
гимназии в Одессе. Рассказы Житкова и особенно его книжка «Что я видел», одним из героев ко-
торой была наша собака, пудель Инзол, входила в число моих первых книг. В семье считалось, что
меня роднит с Б.С. и деспотический характер... и умение рассказывать, и специфическая лю-
бовь к географии дальних странствий и картам.
121
Прадед, Степан Васильевич Житков (у могилы которого в Ваганькове похоронены и
мои бабушка, отец и мать) был первым из шести поколений математиков в нашей семье
(седьмое - мои малолетние правнуки - пока еще не выбрали себе специальности). Хотя пра-
дед командовал в банке, а учебники математики писал уже заодно, все же от своих детей он
ежевечерне требовал отчета: «А что ты сегодня сделал для меньшого брата?» (т.е. для экс-
плуатируемых трудящихся). В результате все они выросли революционерами, а его сын же-
нился на племяннице Плеханова.
На меня сильно влияли обе бабушкины сестры. Химик и художник тетя Саша пыта-
лась исправить мою манеру рисовать и мои акварели.
Тетя Саша пыталась учить моего брата то спектральному анализу, то взрывчатым ве-
ществам, но он все же выбрал не химию, а физику и работает теперь в Институте атомной
энергии им. Курчатова.
Художником же стал не я, а моя сестра Катя, которой был год (а мне - одиннадцать),
когда умер наш отец (так что с тех пор мне пришлось играть его роль в ее воспитании).
Другая сестра Веры Степановны - тетя Надя - преподавала французский в Институте
иностранных языков. Для нее я должен был каждую неделю писать по-французски сочинение
на какую-нибудь интересующую нас обоих тему: от стихов Пушкина до французских эпи-
грамм XVII века, от истории и архитектуры Риги до географии озер Валдайской возвышенно-
сти.
Мой дед, Владимир Фёдорович Арнольд, окончив Тимирязевку, занимался математи-
ческой экономикой в стиле Вальраса и Парето и даже переписывал теории Маркса об обмене
топоров на полотно в виде дифференциальных и конечно-разностных уравнений.
Вера Степановна спаслась от репрессий каким-то чудом и искусством, накопленным
подпольщицей до революции. Она, смеясь, читала не то в «Правде», не то в «Известиях» ста-
тьи, где она упоминалась как давно погибшая революционерка. Вернувшись после револю-
ции в Россию, она стала сперва высокопоставленным работником в области статистики, по-
рой заведовала кафедрой в Университете, порой губернским статбюро (в Одессе), позже бы-
ла членом коллегии ЦСУ в Москве. Но когда рядом начали сажать (в конце 20-х годов), она
быстро бросила все свои ответственные посты и занялась искусством: она снимала у себя на
столе диафильмы (например, по басням Крылова и детским сказкам), героев которых лепила
из пластилина, а декорации к которым (включая тропический лес) делала из дров.
Первые научные воспоминания
Быть может, наибольшее научное влияние оказали на меня из числа моих родственни-
ков двое моих дядьев: Николай Борисович Житков (сын брата моей бабушки писателя Бори-
са Житкова, инженер-буровик) за полчаса объяснил двенадцатилетнему подростку матема-
тический анализ (иллюстрируя его параболоидальной формой поверхности чая, вращающе-
гося вокруг оси в стакане), а Михаил Александрович Исакович (брат моей матери, физик)
пробовал на мне многочисленные задачи и главы учебника физики, который он писал в со-
ставе большого коллектива, руководимого Г.С. Ландсбергом (оба были учениками Л.И. Ман-
дельштама, крупнейшего физика и радиотехника, брата другой моей бабушки).
Свой первый научный доклад я сделал в возрасте лет десяти в «добровольном науч-
ном обществе», организованном Алексеем Андреевичем Ляпуновым у себя дома. Там мы за-
нимались то физикой, то биологией (включая запрещенную генетику и кибернетику), то
космологией, то геологией. Мой доклад был об интерференции волн, с опытами в ванне, с
описанием определенного положения самолета над Тихим океаном по пересечению двух ги-
пербол (заданных разностями фаз сигналов от трех радиостанций): заодно я разобрал и объ-
яснил теорию конических сечений, сферы Данделена, переход от эллипсов к параболам и к
гиперболам, с одной стороны, и принцип Гюйгенса теории распространения волн, с другой.
«Общество» собиралось еженедельно, и мы все сохранили наилучшие отношения, хотя в
122
дальнейшем занимались разными вещами: один стал знаменитым кардиологом, несколько
членов общества теперь академики РАН...
Быть может, главным для меня выводом из моих частых детских разговоров с замеча-
тельными учеными разных специальностей было ощущение глубокого единства всех наук
(включая не только математику, физику и астрономию, но и лингвистику, и археологию, и
генетику) да и всей европейской культуры, от Лукреция до Бенвенуто Челлини и от Марка
Аврелия до капитана Скотта. Один и тот же человек мог рассказывать нам и об особенностях
греческого театра, и о квантово-механическом соотношении неопределенностей. Алексей
Андреевич Ляпунов, математик и логик, демонстрировал детям теорию Канта-Лапласа обра-
зования Солнечной системы, вращая в колбе смесь анилина с глицерином, пока анилин не
собирался в подобные планетам шары. И он же давал нам читать сочинения шлиссельбуржца
Морозова, дискутировавшего историческую хронологию с астрономических позиций; но при
обсуждении этих проблем никогда не возникал тот вздор, которым их окружили безответст-
венные продолжатели Морозова позже.
Удивительно, сколь много могут перенимать дети от людей этого «нобелевского»
уровня просто в повседневном общении.
Род Арнольдов
Род Арнольдов происходит от прусского офицера Петро Арнольда, убившего друга на
дуэли и спасшегося в России XVIII века от преследований своего жестоко наказывавшего за
дуэли короля. Его потомки были уже офицерами русской службы, дойдя даже до генераль-
ских чинов и должности предводителя дворянства. Среди их жен встречаются и шведка, и
персиянка, и француженка, но жили все всегда в России и большинство жен были исконно
русскими. Мой дед, экономист и математик Владимир Федорович Арнольд, умер в 1918 году
в Херсоне.
Дед по матери, Александр Соломонович Исакович, жил в Одессе и был адвокатом до
того, как его арестовали в 1938 году; в соответствии с общим планом распределения репрес-
сий по специальностям за год до этого его уже арестовывали, но выпустили, сказав ему, что
он им уже больше не нужен, «так как план на этот месяц уже выполнен».
Через некоторое время после ареста семье ответили, что он «признал себя шпионив-
шим в пользу Германии, Англии, Греции и Японии», и отправлен в концлагерь «на 10 лет без
права переписки».
Наконец, уже во время перестройки родственникам показали все чудом сохранившее-
ся дело, и выяснилось, что нелепое и внутренне противоречивое «признание» было добыто
обычной в то время технологией, а приговор к расстрелу был приведен в исполнение при-
мерно через неделю после ареста. Это объяснение содержало также утверждение о полной
реабилитации деда.
Странное обвинение в шпионаже в пользу враждебных друг другу стран имело, одна-
ко, некоторое обоснование. Дело в том, что дед, по своим профессиональным обязанностям,
занимался также по линии Красного Креста розыском в пределах СССР родственников
умерших за границей эмигрантов, оставивших этим, находившимся в СССР, своим родст-
венникам, наследства. Поэтому дед получал письма из зарубежных стран и даже отвечал на
них - отсюда и происходит странный список: Германия, Англия, Греция, Япония.
Тот факт, что меня в 1954 году приняли учиться в Московский университет, несмотря
на судьбу деда, является, конечно, следствием смерти Сталина, с одной стороны, и, с другой
стороны, желанием ставшего тогда ректором МГУ математика Ивана Георгиевича Петров-
ского по возможности помогать и науке, и пострадавшим семьям. Много позже он рассказы-
вал мне: «Они вызывали меня в партком и кричали: «За такое ответишь, положишь партби-
лет на стол!» Сердце стучало, но я про себя повторял: «А вот и не положу! А вот и не поло-
жу!» Мало кто знал и мог представить себе, что Иван Георгиевич, ректор Московского уни-
верситета и член «коллективного президента страны» (Президиума Верховного Совета), ве-
давший представлениями к амнистии и реабилитации, никогда не был членом коммунисти-
123
ческой партии. Но на самом деле его административная карьера была во многом основана не
на его коммунистичности (он был даже внуком священника и сам поступил в Университет
лишь благодаря своей службе дворником в детском саду), а на его хорошем преподавании
математики студентам инженерных специальностей, один из которых - А.Н. Косыгин - в бу-
дущем сделался Председателем Совета Министров СССР и инициатором первого проекта
экономической реформы в СССР.
Недавно я почел в книге одного из творцов водородной бомбы В.Л. Гинзбурга «О науке,
о себе и о других» (М.: Физматлит, 2002, с. 389), что брат моей бабушки, один из крупнейших
советских физиков Л.И. Мандельштам не получил Нобелевской премии за свое (вместе с
Г.С. Ландсбергом) открытие комбинационного рассеяния света (1928 г.) из-за того, что он не-
достаточно занимался писанием статей о своем открытии, особенно на западных языках...
Так или иначе, влияние Л.И. Мандельштама на советскую, российскую (и особенно Мос-
ковскую) физическую школу было совершенно исключительным. Перечислю лишь несколько
знаменитейших из его учеников разных поколений: Н.Н. Папалекси, Г.С. Ландсберг, И.Е. Тамм,
А.А. Андронов, М.А. Леонтович, С.М. Рытов,...
Таммы и Леонтовичи, Ландсберги и Папалекси входили в число ближайших друзей моих
родителей, и я имел счастье немало разговаривать с ними с ранних лет.
Домашняя библиотека
В отцовской библиотеке половина книг была на иностранных языках, и мне дозволялось
рыться во всей библиотеке по своему разумению...
Из математических книг (которых было много) я сперва прочел курс анализа Грэнвилля и
Лузина, который легко понял, так как уже крутил чашку с чаем на диске патефона.
Моя первая (совместно с А. А. Кирилловым) математическая работа никогда не была опуб-
ликована, хотя мы (студенты-младшекурсники) и переписали ее (по приказу поставившего нам
задачу профессора Е.Б. Дынкина) семь раз. Дело в том, что переписав седьмую версию, я совер-
шенно случайно открыл в своей библиотеке древний французский кожаный томик учебника Коши
и наткнулся на практически ту же самую теорему, которую я только что доказал.
Школьные годы
Школа, в которой я учился, была обычной, но очень хорошей. Ее окончили
С.С. Аверинцев, В.П. Маслов и Ю.А. Рыжов. Однажды на выборах в РАН кандидатами были трое
моих одноклассников, сейчас двое из них - члены РАН. Даже учителя биологии, истории, геогра-
фии, литературы подходили к своим предметам почти как к точным наукам, временно попавшим в
трудное положение.
Отец мой, Игорь Владимирович, (1900 - 1948) окончил в 1929 г. Московский государ-
ственный университет, доктор педагогических наук, профессор, член-корреспондент АПН
РСФСР. С 1930 по 1947 г. работал в Московском университете.
Он был другом И.Е. Тамма и М.А. Леонтовича и обучал математике физиков, многие
из которых с благодарностью рассказывали мне впоследствии, какое большое влияние на
них оказал этот ученик Эмми Нетер (также читавшей лекции в Москве). А.Д. Сахаров тепло
написал об этом в своих опубликованных воспоминаниях.
Физики редко способны воспринимать математические идеи. Например, редакция
журнала «Успехи физических наук» поместила в своем юбилейном номере (1999 г. - к 2000-
летию чуда) статьи трех математиков: К. Вейерштрасса (бывшего, впрочем, вначале учите-
лем физкультуры в средней школе, но представившего для оставления в этом звании экспер-
та по параллельным брусьям статью об эллиптических интегралах), К. Якоби (написавшего,
впрочем, об опыте бурбакиствующего мракобеса Декарта, который «доказывал», что ско-
рость света в воде на 30% больше, чем в воздухе) и В. Арнольда («Математика и физика -
родитель и дитя или сестры?»).
124
Я привел пример математической (топологической) задачи для дошкольников: «на
полке стоят 2 тома Пушкина, страницы каждого занимают 2 см, каждая обложка - 2 мм.
Червь прогрыз (по нормали) от первой страницы первого тома до последней второго. Какое
расстояние он прогрыз?» Я указал, что ответ (4 мм) удивителен. Физики-редакторы исправи-
ли поэтому условие на «от последней страницы первого тома до первой второго».
Геометрическое и топологическое мышление - совсем не то, что умножение много-
значных чисел! Хотя Кельвин основал теорию узлов, а Максвелл - «теорему Стокса», боль-
шинство физиков воспринимают математику как аппарат для вычислений и не воспринимают
идей, подобно редакторам «Успехов», не понявшим, где у стоящей на полке книги первая
страница, а где последняя.
Я же, напротив, не мог понять в школе «правил» арифметики отрицательных чисел,
пока не разобрался с ними, продумывая, почему промежуток между приливом и отливом -
не шесть часов.
Первый настоящий математический опыт я приобрел в школе, когда наш учитель
И.В. Морозкин предложил классу следующую задачу:
Две старушки вышли на рассвете и каждая шла с постоянной скоростью. Одна шла из
А в В, другая — из В в А. Они встретились в полдень и, не прекращая движения, дошли одна в в
4 часа вечера, а другая — в Ав9 часов вечера. Во сколько в тот день встало солнце?
Я обдумывал эту задачу весь день, и решение (основанное на том, что ныне модно на-
зывать скейлингом) снизошло на меня как откровение. Испытанный мною тогда (1949) вос-
торг открытия был в точности тем же, который я испытал при решении гораздо более серь-
езных проблем, например, такой, как при открытии связи между алгебраической геометрией
вещественных плоских кривых и четырехмерной топологией (1970).
Именно жажда испытывать столь замечательное чувство вновь и вновь и является ос-
новным побудительным мотивом моих математических занятий по сей день.
Когда я был старшеклассником, то посещал математический кружок, организованный на ме-
ханико-математическом факультете МГУ и принимал участие в математических олимпиадах вместе
с Ю.Назаровым, АКирилловым, Ф.Ветухновским, М.Фрейдлиным, В.Мурским. Мы занимали при-
зовые места.
Окончив школу с золотой медалью, я по собеседованию поступил на механико-
математический факультет.
В 1955-1956 гг. я занимался по наущению А.Н. Колмогорова 13-й проблемой Гиль-
берта о возможности представления любой непрерывной функции трех вещественных пере-
менных в виде конечной суперпозиции непрерывных функций двух переменных. Колмого-
ров только что свел эту задачу к следующему вопросу:
Можно ли вложить универсальное дерево в евклидово пространство так, чтобы любая
непрерывная функция на нем представлялась в виде суммы непрерывных функций, каждая
из которых зависит лишь от одной из координат?
Мне удалось построить такое вложение универсального дерева в трехмерное евклидо-
во пространство. Из этого результата следует положительность ответа на вопрос Гильберта:
требуемая суперпозиция существует. Колмогоров сказал мне, что я решил 13-ю проблему
Гильберта, и что теперь следующую проблему я должен выбирать сам.
Работа над проблемой Гильберта была моей первой серьезной математической рабо-
той. Я все еще был студентом-младшекурсником, совершенно невежественным почти во
всей остальной математике. Поэтому я решил продолжить занятия представлением функций
в виде суммы слагаемых, зависящих лишь от одной из координат. Если кривая - не дерево,
то она содержит «окружность» (замкнутый цикл). Представление функций на цикле быстро
привело меня к динамическим системам, заданным диффеоморфизмами окружности на себя.
Я пытался доказать несколько своих гипотез об аналитических диффеоморфизмах ок-
ружности. Первая гипотеза о том, что гомеоморфизм Данжуа является гладким при выпол-
нении обычных диофантовых условий на число вращения, была доказана лишь спустя 20 лет
М. Эрманом.
125
Вторая гипотеза касается естественной границы комплексной окрестности вещест-
венной окружности, в которую гомеоморфизм Данжуа продолжается голоморфно (в ограни-
ченной ею области, как правило, не должно быть периодических точек).
В 1958-1959 годах я обсуждал работы об отражениях окружности на себя со многими
математиками. И.М. Гельфанд объяснил мне связь отображений окружности; М.Л. Цейтлин
- исследования сердечных аритмий1. С.Л. Соболев и его ученики Н.Н. Вахания и Р.А. Алек-
сандрян указали мне на близость этих задач к некоторым вопросам спектральной теории
дифференциальных операторов, возникшим в связи с работами С.Л. Соболева о колебаниях
жидкости во вращающихся ракетах. Эти работы С.Л. Соболева, выполненные в 1943 году,
были только что рассекречены (они опубликованы в 1960 году). Проф. Гольденвейзер объяс-
нил мне связь задачи Дирихле для волнового уравнения, ради которой я начал исследование
отображений окружности на себя, с изучением устойчивости тонких оболочек гиперболиче-
ской кривизны.
Еще Коши доказал, что выпуклая замкнутая поверхность устойчива: ее нельзя изо-
гнуть, не растягивая, все нерастягивающие деформации - просто движения.
Для невыпуклой поверхности, вроде отрезка однополостного гиперболоида между
двумя параллелями, нерастягивающее изгибание иногда возможно, т.е. наблюдалось в экспе-
риментах строителей (космических кораблей, где приходится порой использовать невыпук-
лые соединения выпуклых объемов).
А именно, асимптотические линии невыпуклой поверхности (для Шуховского гипер-
болоида на Шаболовке это - прямолинейные образующие) определяют динамическую сис-
тему, отображающую точку одной окружности основания поверхности в точку другой (на
той же образующей). Передвигаясь по образующей вверх и по другой вниз, мы получаем
диффеоморфизм нижней окружности. Оказывается, если он имеет периодические точки
(«резонансы»), то наблюдается неустойчивость кольцевой области гиперболоида (ограни-
ченной двумя горизонтальными жесткими дисками вдоль параллелей).
Насколько я знаю, это наблюдение экспериментаторов математически до сих пор не
доказано: это - трудная задача нелинейной динамики, нетривиальная уже в линеаризованном
приближении (очень близком к предмету моей дипломной работы о диффеоморфизмах ок-
ружности).
Все это обсуждалось в моей дипломной работе, защищенной на кафедре теории функ-
ций и функционального анализа мех-мата МГУ в апреле 1959 года. Тема: «Об отображениях
окружности на себя».
Эта работа была в том же году отправлена в журнал Известия АН СССР, серия мате-
матическая.
Так закончились мои студенческие математические открытия.
Но было еще так много интересного, без чего студенческая жизнь, наверное, не мыс-
лится.
Обе целины (после 2 курса я убирал пшеницу на комбайне и потом пахал на тракторе
в Южном Казахстане, а после 3-го - убирал свеклу на Алтае, около Тальменки) были замеча-
тельными: спать удавалось иногда целых 4 часа подряд под изумительными южными звез-
дами, вроде созвездия Скорпиона, которое в Москве не разглядишь, а в Отаре Альдебаран
прекрасен, - это в Казахстане, на Алтае же видны были и полярные сияния, и первые спутни-
ки. Урожай я намолачивал рекордный, больше 30 центнеров с гектара, но воду возили за
80 км (по бочке раз в неделю), и в соревновании с местными механизаторами мне на спор
пришлось выпить среди ночи 400 г водки подряд без закуски (спор был о том, сколько трак-
торных кругов с ночной жатвой без огрехов каждый из соревнующихся осилит после этого
1 Мои результаты об этих аритмиях опубликованы пару десятилетий спустя в моей статье, составляющей часть тома
3 собрания сочинений И.М. Гельфанда. (Причем чуть позже канадский врач Л. Гласс независимо применил мои теоремы
1961 года к динамике аритмий и не только получил такие же, как и у меня, результаты об аритмиях, но и подтвердил их
справедливость наблюдениями больных - позже он рассказал об этом в книге «От часов к хаосу», переведенной и на рус-
ский язык.
126
без остановок). Но кончился он плохо: загорелась несжатая степь в нескольких от нас кило-
метрах, и, вместо рекордного урожая, эти сутки пришлось завершать в огне, где проспирто-
ванность нам мешала.
Вл щимир Арнольд
Обе целины были замечательными
Обе целины были замечательными; спать удава-
:ь и hoi да целых 4 часа подряд под изумительными
злами, вроде созвездия Скорпиона, которые в Мо~
ie не разглядишь, а i Огаре Альдебаран прекрасен.
Урожай я намолачивал рекордный, более
ценгнеров с гектара, но воду возили за 80 км (по
гке, раз в неделю), и в соревновании с местными
инизаторами мне на спор пришлось выпить среди
ночи 400 г. водки подряд без закуски (спор был •
том, сколько тракторных кругов с ночной жатвой бе
огрехов каждый из соревнующихся осилит после это
го без остановок).
Но окончился он плохо: загорелась несжатое по
ле в нескольких от нас километрах, и вместо рекорг
кого урожая, эти супси пришлось завершать в огне
где проспиртованность нам мешала.
Д. Апнольд (в «шляпе») спеди механизаторов. Д. Арнольд (впереди) на зерне
После трех целинных месяцев на заработанные деньги мы еще путешествовали по
Средней Азии: сначала пешком через Заилийский Алатау и реку Чонг-Кемин на Иссык-Куль,
а оттуда в Ташкент, Самарканд и Бухару, так что в обратный поезд в Москву еле вместились
наши дыни и виноград.
Эти путешествия были началом - сотни других составили много десятков тысяч ки-
лометров.
Начав со всех подмосковных речек (это Подмосковье простирается на Восток за Ниж-
ний Новгород, а на Север - до Онеги с Кожей, Кен-озера и Боровицкого порога на Мете), я
уже не мог остановиться в поисках горных львов у Беркли и Стенфорда, обезьян в Гвинее,
морских коров в Амазонке, медведей в Армении. Много был в разных горах, в том числе на
горных лыжах или с альпинистскими веревками, был и на байдарках по горным рекам, с по-
исками трупов утонувших товарищей. Я однажды неделю искал и затем нашел на полуост-
рове Ямал тело жены друга, утонувшей на байдарке в пороге реки Лонгатюган, благодаря
птицам, кружившим над одним местом в десятке километров ниже по реке.
В одном из предшествовавших путешествий с ней мы каждый день переходили Кав-
казский хребет на горных лыжах, ночуя иногда в вырытых нами в фирне у перевала пещерах.
Ночевка в стогу сена в подмосковном лыжном походе - не редкость.
В более далеком походе мне привелось неделю проработать змееловом (в Супутин-
ском заповеднике в Сихоте-Алине). Я ловил десятками змей-щитомордников, яд которых
смертелен при третьем за жизнь укусе и который местные биологи собирались научиться ис-
пользовать в медицине. Трудность этой ловли змей в парности их половых органов: грею-
127
щиеся на камнях клубки змей соединены, как застежки молнии, из-за этой проклятой амо-
ральности вытащить и одну змею при ловле, избегая смертельно опасных укусов остальных
- особое искусство. Вдобавок по моим следам ходил там шестиметровый уссурийский тигр
(но я его не видел, а только следы размером с суповую тарелку). Меня щитомордники не
укусили ни разу.
Из-за приливов я не сумел переплыть ни Белое море (от Кеми до Соловков на байдар-
ке при 7°С), ни пролив Голден Гейт (вплавь при 14°С) - прилив отнес меня к тюремному
острову Аль Катрац, откуда, говорят, никто вплавь не бежал, опасаясь акул. Там неподалеку
сохранился еще исконно русский (см. «Юнону и Авось») «Форт Росс», проданный Россией
Калифорнии лишь в 60-х годах XIX века.
Атмосфера на мех-мате в пятидесятые годы 20 в. - время моего студенчества - под-
робно описана в книге «Golden Years of Moscow Mathematics», S. Zdravkovska and P.L. Duren,
eds., изданной совместно Американским математическим обществом и Лондонским матема-
тическом обществом (1993). Там собрано большое
число воспоминаний.
Плеяда великих математиков, собранных на
одном факультете, представляла собой явление
совершенно исключительное, и мне
не приходилось встречать ничего подобного
более нигде. Колмогоров, Гельфанд, Петровский,
Понтрягин, П. Новиков, Марков, Гельфонд, Люс-
терник, Хинчин и П.С. Александров учили таких
студентов, как Манин, Синай, С. Новиков.
В.М. Алексеев, Аносов, А.А. Кириллов и я сам.
И все эти математики были столь непохожи друг
на друга! Лекции А.Н. Колмогорова было совер-
шенно невозможно понимать, но они были насы-
щены идеями, и это в полной мере вознаграждало С Я. Синаем, 1963 г.
слушателей. Помню, как он объяснял свою теорию размеров минимального куба, в который
можно вложить граф с N вершинами (шарами фиксированного радиуса), каждый из которых
соединен не более чем с К другими вершинами проводами заданной толщины. Он доказывал,
что при очень большом N (и фиксированном К) сторона куба растет как следующим об-
разом: серое вещество (тела нейронов) располагается на поверхности человеческого мозга,
тогда как белое вещество (связи) заполняет его внутренность. Так как мозг заполняет череп-
ную коробку наиболее экономичным образом, достаточно сложный мозг из У нейронов
можно вложить только в куб со стороной порядка Jn (тогда как линейные размеры про-
стейшего мозга, например, мозга червя, имеют порядок ijN).
Размышления Колмогорова над тем, что сейчас называется КАМ-теорией гамильто-
новых систем, явились побочным продуктом обязательных упражнений, которые он вел у
второкурсников.
Когда я был студентом Мехмата, Л.С. Понтрягин был уже очень слаб. Но он был,
вероятно, самым блестящим из наших лекторов. Он только что оставил топологию, заняв-
шись теорией управления, и его личность тоже претерпела значительные изменения. Позд-
нее он объяснил причины, побудившие его заняться прикладной математикой, в своей ав-
тобиографии, опубликованной в «Успехах математических наук».
Во время войны его лучший студент В.А. Рохлин был ранен и попал в немецкий ла-
герь для военнопленных. Позднее В.А. Рохлин был освобожден армией союзников, вернулся
в СССР и продолжал служить в армии, которая еще воевала. Как-то он вел пленного немец-
кого офицера к своему командиру и встретил пьяного офицера НКВД, который захотел не-
медленно застрелить пленного. В.А. Рохлин отказался подчиниться. К счастью, командир
В.А. Рохлина в тот момент спас его, переведя его немедленно в другую часть. Однако в кон-
128
це концов, как и все, освобожденные союзниками, Рохлин был отправлен в лагерь (на севере
России).
Спустя несколько месяцев освобожденный солагерник Рохлина добрался до Москвы и
сообщил Л.С. Понтрягину, что тот еще жив, но умирает от голода в лагере. Л.С. Понтрягин, при
поддержке Л.Н. Колмогорова, П.С. Александрова и других, написал письмо Берии, требуя не-
медленного освобождения талантливейшего молодого математика. Берия подписал приказ об
освобождении В. А. Рохлина, тому выдали автомат, и он продолжал служить охранником в своем
же лагере. Л.С. Понтрягин вместе с остальными написал второе письмо Берии, и В.А. Рохлин
получил, наконец, возможность вернуться в Москву.
В.А. Рохлин, вернувшийся из лагеря, не имел права на московскую прописку.
Л.С. Понтрягин, который был полностью слепым, имел право нанять личного секретаря в
Стекловке. У него достало храбрости пригласить на эту должность В.А. Рохлина, который
впоследствии стал одним из ведущих советских специалистов по топологии и динамическим
системам. В.А. Рохлин оказал значительное влияние на следующее поколение математиков
(среди них С. Новиков, Синай, Аносов и я сам). Впоследствии В.А. Рохлин создал мощную
математическую школу в Ленинграде.
Я встретился с В.А. Рохлиным в шестидесятые годы на его семинаре. В.А. Рохлин был
евреем и выжил в немецком лагере для военнопленных только благодаря тому, что назвался
мусульманином
Действительно, он родился в Баку. Помогать В.А. Рохлину и писать Берии было для
Л.С. Понтрягина смертельно опасно. Л.С. Понтрягин продолжал высоко ценить
В.А. Рохлина.
Мои личные взаимоотношения с Л.С. Понтрягиным были довольно хорошими. Он при-
глашал меня к себе домой и на свой семинар, проявлял неподдельный интерес к моей работе,
в первую очередь, в теории особенностей. Частично это объяснялось нашим общим интере-
сом к дифференциальной топологии, теории управления и теории игр.
Кстати, сейчас я занимаю его пост, представляя Россию в Международном математиче-
ском союзе (ММС).
Петровский, бывший тогда ректором Университета, обычно встречался с Рохлиным в
лифте перед семинаром. Мне кажется, ему было опасно показываться в компании с Рохлиным.
В то время Петровский уже не занимался математикой, однако он всегда приносил пользу ма-
тематическому сообществу, поддерживая настоящих математиков. Его математические вкусы
были весьма классическими, в их основе лежала скорее итальянская школа алгебраической
геометрии, а не теоретико-множественные понятия. Петровский пользовался алгебраической
геометрией в свих работах по УрЧП (уравнения в частных производных).
Работы И.Г. Петровского (1933 и 1938) по вещественной алгебраической геометрии
(связанные с 16-й проблемой Гильберта об овалах плоских алгебраических кривых) положи-
ли начало важной новой ветви современной математики - топологии вещественных алгебраиче-
ских многообразий. Работы И.Г. Петровского и его ученицы О.А. Олейник, опубликованные в
сороковые годы, были использованы А.Г. Витушкиным для отрицательного решения 13-й
проблемы Гильберта (о суперпозициях) в классе гладких функций. Позже неравенства
О.А. Олейник были переоткрыты Дж. Милнором и Р. Томом (в ослабленной форме), и теперь
результаты И.Г. Петровского и О.А. Олейник по вещественной алгебраической геометрии на
Западе чаще связывают с этими именами запоздавших на 15 лет авторов.
Я об этом написал подробнее в УМН, 2002, августовский номер.
И.Г. Петровский никогда не был членом партии. Большинство коммунистов этого не
знали. Он был очень влиятелен, что частично объяснялось его связями со своими бывшими
учениками, занявшими высокие посты в советской иерархии. И.Г. Петровского сделали чле-
ном Президиума Верховного Совета СССР. Он умер перед дверью здания ЦК КПСС в Моск-
ве от сердечного приступа после долгой борьбы на заседании, посвященном финансирова-
нию фундаментальной науки. Последние его слова были: «Я победил».
Моим научным руководителем был Андрей Николаевич Колмогоров.
129
После работы над проблемой Гильберта он предоставил мне полную свободу зани-
маться чем угодно. Он даже сказал мне, что считал бы вредными для меня любые свои сове-
ты, в особенности в том, что касается выбора направления дальнейших исследований. Впро-
чем, позже А.Н. посоветовал мне включить в аспирантский план работы Милнора о диффе-
ренцируемых структурах на сферах, что бы чрезвычайно полезным (и привело меня к учебе у
С.П. Новикова, Д.Б. Фукса и В.А. Рохлина).
В 1961 г. я защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата физико-
математических наук «О представлениях непрерывных функций трех переменных суперпо-
зициями непрерывных функций двух переменных» (защищена в Институте прикладной ма-
тематики, г. Москва).
В 1963 г. защитил диссертацию на соискание ученой степени доктора физико-
математических наук «Малые знаменатели и проблемы устойчивости в классической и не-
бесной механике» (защищена в Институте прикладной математики, г. Москва)
Должности
1961-1965: Ассистент, доцент механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломо-
носова;
1965-1986: Профессор Механико-математического факультета МГУ им.
М.В. Ломоносова;
С 1986: Главный научный сотрудник Математического института АН СССР (с 1991-
РАН) им. В.А.Стеклова;
С 1993: Профессор Центра математических исследований теории принятия решений
(CEREMADE), Университет Париж-Дофин, Франция.1
Членство в академиях и обществах
1976: Почетный член Лондонского математического общества;
1983: Иностранный член Национальной Академии наук США;
1984: Иностранный член Парижской Академии наук;
1984: Член-корреспондент Академии наук СССР;
1987: Член Американской Академии искусств и наук;
1988: Иностранный член Лондонского Королевского общества;
1989: Действительный член Accademia dei Lincei в Риме;
1990: Член Американского Философического общества;
1990: Действительный член Академии наук СССР (с 1991 - Российской Академии наук);
1991: Действительный член Российской Академии естественных наук;
1991: Член Европейской Академии;
1995-1998: Вице-президент Международного математического союза;
1979-2002: Член исполнительного комитета этого союза;
С 1996: Президент Московского математического общества.
Почетные докторские степени
1979: Университет Пьера и Марии Кюри (Париж);
1988: Университет Варвика (Ковентри);
1991: Университет Утрехта;
1991: Университет Болоньи;
1994: Complutense (Мадрид);
1997: Университет Торонто.
Премии в области математики
1958: Премия Московского математического общества;
1965: Ленинская премия (вместе с А.Н. Колмогоровым);
1 В.И. Арнольдом опубликовано более 300 работ.
130
ЯШ « *'
ОСТАНОВЛЕНИЕМ КОМИТЕТА
ПО ЛЕНИНСКИМ ПРЕМИЯМ
В ОБЛАСТИ НАУКИ И ТЕХНИКИ
ПРИ СОВЕТЕ МИНИСТРОВ СССР
’ ОТ 21 АПРЕЛЯ 1965 ГОДА
ПРИСУЖДЕНА ЛЕНИНСКАЯ ПРЕМИЯ
АРНОЛЬДУ Владимиру Игоревичу, доктору
фивико-математических наук, профессору
Московского государственного университета
имени И. В, Ломоносова, КОЛМОГОРОВУ Андрею
Николаевичу, академику, заведующему. кафедрой
того же университета,—ва цикл работ по проб-
* леме устойчивости гамильтоновых систем.
Настоящий диплом выдан
* * ' ’ ' ' Л ' • , • . 4- 'Ь1 ч i •. *
АРНОЛЬДУ
Владимиру Игоревичу
283
1982: Крафоордская премия Королевской Шведской Академии наук (одновременно с
JI. Ниренбергом);
1992: Премия Лобачевского Российской Академии наук;
1994: Харвиевская премия Техниона (Хайфа);
2001: Премия Хейнемана (Американского физического общества);
2001: Вольфовская премия (Иерусалим).
2000: Международный астронокщческий Союз (МАС) назвал именем В.И. Арнольда
малую планету (Vladamolda № 10031) (Minor Planet Arcular №39653), эта планета имеет
диаметр около 6 км и радиус ее орбиты примерно втрое больше радиуса орбиты Земли.
131
Сын и внук - компьютерщики. Двое правнуков 4 и 2 лет.
Правнук Владимир Владимирович в 3 года решил поздравить прабабушку с днем
рождения по телефону и впервые заговорил с ней по этому поводу на «Вы»: «Вы напрас-
но говорите, что Вас не любит ни один мужчина: я Вас очень люблю» (это о нашей со-
курснице Наде Брушлинской).
Об Андрее Николаевиче Колмогорове
Андрей Николаевич Колмогоров прожил большую и счастливую жизнь.
Колмогоров - Пуанкаре - Гаусс - Эйлер - Ньютон: всего пять таких жизней отделяют
нас от истоков нашей науки.
Пушкин сказал как-то (в письме к Бенкендорфу), что он оказал на юношество и рос-
сийскую словесность больше влияния, чем всё министерство народного образования, не-
смотря на полное неравенство средств. Таким же было влияние Колмогорова на математику.
Я познакомился с Андреем Николаевичем в студенческие годы. Тогда он был деканом
механико-математического факультета Московского университета. Это были годы расцвета
факультета, расцвета математики. Уровня, которого достиг тогда факультет, благодаря пре-
жде всего Андрею Николаевичу Колмогорову и Ивану Георгиевичу Петровскому, он более
никогда не достигал и вряд ли когда достигнет.
Андрей Николаевич был замечательным деканом. Он говорил, что надо прощать та-
лантливым людям их талантливость, и я мог бы назвать очень известных сейчас математи-
ков, которых он тогда спас от исключения из Университета. Снимая буйного студента со
стипендии, этот декан сам же тайком помогал ему пережить трудное время.
От других известных мне профессоров Андрея Николаевича отличало полное уваже-
ние к личности студента, от которого он всегда ожидал услышать что-то новое и неожидан-
ное.
Мне всегда хотелось понять, как Андрей Николаевич переходил от одной темы к дру-
гой: занятия разными предметами прихотливо сменялись у него непредсказуемым, по-
видимому, образом. Например, работы по малым знаменателям в классической механике ни-
как не были подготовлены ничем предыдущим и появились в 1953-1954 годах совершенно
неожиданно. Так же неожиданно появились в 1935 году и топологические работы Андрея
Николаевича.
В конце пятидесятых годов на доске объявлений механико-математического факуль-
тета МГУ была вывешена им программа семинара по теории динамических систем и гидро-
динамике (программа включала среди прочего проблему доказательства практической не-
возможности долгосрочного динамического прогноза погоды вследствие сильной ее зависи-
мости от высоких гармоник начальных условий).
Вот полный текст программы (темы семинара):
1. Краевые задачи для гиперболических уравнений, решения которых всюду разрывно
зависят от параметра (см., например: Соболев С.Л. ДАН, 1956,109, 707).
2. Задачи классической механики, в которых собственные функции всюду разрывно
зависят от параметра (обзор проблематики - в докладе А.Н. Колмогорова на Амстердамском
конгрессе 1954 г.)
3. Моногенные функции Бореля и квазианалитические функции Гончара (в надежде
на применения к задачам типа 1 и 2).
4. Возникновение высокочастотных колебаний при стремлении коэффициентов при
старших производных к нулю (работы Волосова и Лыковой для обыкновенных дифференци-
альных уравнений).
5. В математической теории уравнений в частных производных с малым параметром
при старших производных до настоящего времени изучены явления типа пограничных слоев
и внутренних слоев, сходящихся к поверхностям разрыва предельных решений или их про-
изводных при «исчезновении вязкости». В реальной турбулентности решения портятся всю-
132
ду плотным образом. Математическое изучение этого явления предполагается провести хотя
бы на модельных уравнениях (модель Бюргерса?).
6. Вопросы устойчивости ламинарных течений. Асимптотически исчезающая устой-
чивость (хотя бы на модельных уравнениях).
7. Обсуждение возможностей применения к реальным механическим и физическим
задачам представлений метрической теории динамических систем. Вопросы устойчивости
различных типов спектра. Грубые системы и грубые свойства (в этом последнем направле-
нии для систем с несколькими степенями свободы почти ничего не известно!)
8. Рассмотрение (хотя бы на моделях) гипотезы, что в обстановке конца п. 5 в пределе
динамическая система превращается в случайный процесс (гипотеза практической невоз-
можности долгосрочного прогноза погоды).
Дело было так. Андрей Николаевич ввел в это время на механико-математическом
факультете МГУ математический практикум и подбирал для него задачи.
Хотя сам Андрей Николаевич считал основной причиной своей работы надежды, поя-
вившиеся в 1953 году, о Сталине он (следуя старому принципу говорить о покойниках толь-
ко хорошее) всегда отзывался с благодарностью: «Во-первых, он подарил каждому академи-
ку по одеялу в тяжелый военных год». И о Лысенко, попавшем в опалу, Андрей Николаевич
старался говорить хорошее, утверждая, что тот искренне заблуждался по невежеству.
Когда ученица Лысенко Н.И. Ермолаева опубликовала (в журнале «Яровизация»
2(23), 1939) антименделевскую статью «Расщепление гибридов», описывающую отклонение
статистики гороховых гибридов от менделевского отношения 1:3, Колмогоров ответил
статьей (в ДЛЯ 28 № 6, 1940, «Об одном новом подтверждении законов Менделя»).
Андрей Николаевич говорил, что никогда не мог с полным напряжением интенсивно
думать о математической проблеме более двух недель. И считал, что любое разовое откры-
тие можно изложить на четырех страницах заметки в «Докладах», «потому что человеческий
мозг не способен разом создать что-либо более сложное». Живой интерес к предмету своих
занятий сохранялся у Андрея Николаевича, по его словам, только до тех пор, пока было не-
ясно, в какую сторону вопрос решается («как будто идешь по острию бритвы»). Как только
ситуация прояснялась, Андрей Николаевич старался как можно быстрее отделаться от писа-
ния доказательств и начинал искать, какому бы подмастерью отдать всю область. В такие
моменты следовало держаться от него подальше.
В развитии каждой области науки можно различить три стадии. Первая - пионерская,
это прорыв в новую область, яркое и обычно неожиданное открытие.
Затем следует техническая стадия - длительная и трудоемкая. Теория обрастает дета-
лями, становится труднодоступной и громоздкой, но зато охватывает все большее число
приложений. Наконец, в третьей стадии появляется новый, более общий взгляд на проблему
и на ее связи с другими, по-видимому, далекими от нее вопросами: делается возможным про-
рыв в новую область исследований.
Для математических работ Андрея Николаевича характерно то, что он явился пионе-
ром и первооткрывателем во многих областях, решая порой двухсотлетние проблемы. Тех-
нической работы по обобщению построенной теории Андрей Николаевич старался избегать.
Зато на третьей стадии, где надо осмыслить полученные результаты и увидеть новые
пути, на стадии создания фундаментальных обобщающих теорий Андрею Николаевичу при-
надлежат замечательные достижения.
Но у Андрея Николаевича были на всё свои готовые точки зрения. Например, он го-
ворил мне, что спектральные последовательности содержатся в казанской работе Павла Сер-
геевича Александрова. И что после шестидесяти лет заниматься математикой не следует
(этот вывод, видимо, основывался на опыте общения с математиками предшествующих по-
колений). Так что мои попытки объяснить Андрею Николаевичу гомотопическую топологию
окончились так же неудачно, как и обучить его кататься на велосипеде и поставить его на
водные лыжи. Андрей Николаевич мечтал после шестидесяти лет пойти в бакенщики и за-
133
долго пытался подобрать себе подходящий участок на Волге. Но когда подошло время, ба-
кенщики уже перешли с гребных лодок на ненавистные Андрею Николаевичу моторки, и
проект пришлось оставить. Так Андрей Николаевич решил вернуться к профессии
школьного учителя, с которой он когда-то начинал.
Разговаривать с Андреем Николаевичем всегда было очень интересно, и я жалею, что
не записывал его рассказов. К счастью, остались письма. Несколько отрывков, приведенных
ниже, дают, мне кажется, довольно отчетливое представление об их авторе и его мироощу-
щении.
Москва, 28 марта 1965.
«...Был очень рад получить Ваше письмо от 14 февраля по возвращении с Кавказа,
куда я уехал 5 марта и оттуда вернулся 23-го. Ездили мы впятером (Дима Гордеев, Леня
Бассалыго, Миша Козлов и Пер Мартин-Лёв - двадцатидвухлетний мой шведский стажер).
В Бакуриани сначала шесть дней шел снег, что не мешало нам путешествовать кругом.
Вдвоем с Пером мы, в частности, преодолели большой спуск в Цагвери по ущелью Черной
речки. Дима же Гордеев упорно тренировался по восемь часов в сутки на слаломной горке.
Потом приехал С.В. Фомин и привез солнечную погоду. В первый же солнечный день мы по-
шли на склоны местного хребтика Цхара-Цхара, и там за три часа на высоте около 2400
все мои мальчики так обожглись (гуляя в плавках и без оных), что две следующие ночи даже
не спали как следует. В четвертый солнечный день мы прошли упомянутый хребтик (высо-
тою в 2800) по верху, что оказалось своевременно, так как в следующий день горы покры-
лись облаками, из-под которых дул противный ветер. В Тбилиси я, Миша Козлов и Мартин-
Лёв делали доклады, а все осматривали всякие достопримечательности и спаивались мест-
ными математиками. Потом еще уместились две целодневные экскурсии:
а) в Бетанию - недалеко от Тбилиси, где в лесу было возле остатков снега множест-
во весенних цветов (обычных наших голубых подснежников, маленьких цикламенов, крокусов,
ранних ирисов). Целью, впрочем, была церковь 12 в. с фресками;
б) в Кинцвисси - недалеко от Гори на склонах Триалетского хребта, где имеется дей-
ствительно замечательная роспись начала 13 в., впечатление от которой, как от произведения
большого и вполне индивидуального (хотя и безымянного) художника, сравнимо с впечатле-
нием от Дионисиевых фресок в Ферапонтове. Конец пути к самому памятнику оказался не-
сколько затруднителен, так что туда кроме нас попал только Г.С. Чогошвили, а остальные,
насколько я мог понять, в течение четырех часов ожидания неплохо пировали в ближайшей
доступной автомобилям деревне. Потом, впрочем, был ещ торжественный ужин в интурист-
ском ресторане в Гори рядом с домиком, где родился Сталин. Из Гори мы сразу и отбыли в
Москву (наши лыжи были в Тбилиси погружены в поезд в сопровождении молодого тбилис-
ского математика, для того отряженного. Вероятно, после нашего отъезда наши компаньоны
свою собственную активность, а иногда даже на более легкие усилия, требующиеся,
например, для вместе с ним еще не раз посетили тот же ресторан).
Вам же кататься на лыжах полагается на пасхе (т.е. в течение двух недель с
18 апреля по 2 мая). По путеводителю по Савойе, или Дофине, Вы можете выбрать себе
там лыжную станцию по вкусу, в это время желательно из самых высоких (1700-2000 м).
Место в гостинице любого ранга (начиная с общежития с койками в два яруса) надо зака-
зывать заранее. Прокатные лыжи Вас, вероятно, вполне удовлетворят, если Вы не соби-
раетесь покупать их для импорта нам...
Я несколько скуп на усилия по изучению вещей, в которых не предполагаю проявлять
того, чтобы с пониманием слушать обзорные доклады (или, скажем, Ваши объяснения). У
моих молодых друзей здесь часто бывает непонимание неизбежных возрастных отличий,
такое же, как при желании научить меня непременно кататься на велосипеде или на водных
лыжах.
Но склонности отрицать объективный интерес и значительность новых направле-
ний, возникающей из такого самоограничения, я за собой не наблюдаю. Иногда я воздер-
жваюсь от суждения, иногда даже активно поддерживаю и рекомендую для изучения мо-
134
лодым вещи, которые по общему впечатлению кажутся мне значительными и перспектив-
ными, хоть и выходящими за пределы моего собственного репертуара. Если же я более ак-
тивно и темпераментно защищаю значительность направлений, которые ценю в силу зна-
ния их структуры (иногда скрытой от пассивно читающих готовые работы) и перспекти-
вы, то это мне кажется понятным и законным. Таковы наши «малые знаменатели» и мно-
гое другое.
...Заключительная фраза с поправками... (раскаиваюсь) казнюсь, что Вас (обижал)
огорчал... мне очень нравится. Вторая поправка безусловно правильна, так как «обидеть»
меня не так легко. Замена «раскаиваюсь» на «казнюсь», видимо, означает, что раскаивать-
ся в чем-либо Вам не свойственно...»
Москва, 11 октября 65
«...Только сейчас собрался отвечать на Ваше письмо от 29 августа из Шамони, так
как в начале сентября был очень занят, а потом уезжал в Югославию (Белград, экскурсия в
«старую Сербию» в поисках неких фресок 13 в., Загреб и экскурсия на берег Адриатического
моря).
Я действительно довольно много наблюдал мнения и нравы самых различных кругов
во Франции и других странах, но кое-что из того, что Вы пишете, мне было интересно. В
положении молодого человека на равной ноге со студентами я был во Франции лишь в 1930-
31 годах, а в 1958 хоть и прожил несколько дней в общежитии лыжников со спальными
местами, расположенными в два яруса, воспринимался окружающими все же в виде про-
фессора (каковым, конечно, и Вы являетесь, но пока на Вас это не написано).
Из ста одного выпускника школы-интерната лишь 44 пожелали идти на мех-мат и 32
приняты (около 70%, из седьмой школы (Кронрод) около 60%, из остальных много меньше). Зато
в физико-техническом институте всех наших кандидатов приняли; видимо, наша подготовка
там больше подходит (конкурс там был не меньше). На физическом факультете интернатцы
имели еще несколько меньше успеха (около 60%) из-за крайнего формализма требований по ма-
тематике «под Новоселова», ам.б.и недоброжелательностью к нашему заведению»...
Я вспоминаю, как однажды (в середине пятидесятых годов) Андрей Ни-
колаевич, собрав у себя дома учеников (студентов, аспирантов) на Рож-
дество, произнес целую речь о математических способностях. По его
теории математические способности человека тем выше, чем на более
ранней стадии общечеловеческого развития он остановился. «Самый
гениальный наш математик, - говорил Андрей Николаевич, - остановил-
ся в возрасте четырех-пяти лет, когда дети любят отрывать ножки и
крылышки насекомым». Себя Андрей Николаевич считал остановив-
шимся на уровне тринадцати лет, когда мальчишки очень любознатель-
ны и интересуются всем на свете, но взрослые интересы их еще не от-
влекают (уровень П.С. Александрова он оценивал, помнится, шестна-
дцатью или даже восемнадцатью годами).
Так или иначе, Андрей Николаевич всегда предполагал в собеседнике равный себе
интеллект — не потому, вероятно, что он неправильно оценивал реальность («большинству
студентов все равно, что говорится на лекциях, - они просто заучивают наизусть к экзамену
формулировки нескольких теорем», - говорил он о студентах мех-мата МГУ), а потому, что
он был так воспитан (и, вероятно, считал подобное доверие к слушателю полезным и возвы-
шающим). Вероятно, именно поэтому замечательные лекции Андрея Николаевича были
столь непонятными для большинства студентов.
Следующее письмо дает представление о педагогической нагрузке Андрея Николае-
вича (снятого только что с должности декана из-за связанных с венгерским восстанием вол-
нений на факультете).
135
Кисловодск, 31-5-57.
«.. .Вы еще не ответили мне насчет кружка или семинара для первого курса. Без Вас я
все же ничего открывать для 1-го курса не буду, так как моя программа и так состоит из
1) более активного, чем в прошлые годы, руководства нашим постоянным семинаром
кафедры теории вероятностей,
2) регулярных собраний сотрудников и аспирантов стекловского института и ка-
федры по различным прикладным работам (мы же взяли с теперешнего пятого курса, кроме
аспирантов, Айвазяна, Гладкова, Колчина и Леонова в младшие научные сотрудники под оп-
ределенные прикладные темы),
3) курса «случайные процессы» - это обязательный курс для студентов четвертого
года нашей специальности, я думаю, что Вам будет не вредно его слушать,
4) семинара по динамическим системам и случайным процессам для аспирантов
Алексеева, Мешалкина, Ерохина, Розанова и для Вас (там будут и другие участники, но эти
подготовлены уже с тем, чтобы работать достаточно интенсивно и систематически),
5) семинара с В. Тихомировым для 3-го и 4-го курса по избранным вопросам теории
вероятностей и комбинаторике (?!), на который Вам не запрещается приходить, но кото-
рый я хочу выдержать во вполне общедоступном стиле.
Тем не менее мое обещание еженедельно бывать на кружке или семинаре для перво-
курсников и приносить туда достаточно задач, а также уберегать Вас от возможного уклона в
сторону приучения маленьких мальчиков к безответственной и косноязычной болтовне, как
бывает (при всем их интересе) в кружках Т.В., я берусь, если вся затея состоится... Мне пи-
шут, будто все московские студенты на июль мобилизуются в помощь московской милиции
(?!) в связи с фестивалем, но м.б. это в такой форме некий злостный пасквиль?...
Теперь немного о Ваших нападках на меня. В Вашем письме перепутаны три во-
проса
1) об обязательности логической строгости изложения,
2) об обязательности ясного изложения наглядной стороны дела,
3) о недостатках моих публикаций.
По первому вопросу, возможно, мы с Вами и разойдемся. Я считаю формальную
строгость обязательной и думаю, что в конечном счете после большой (и обычно полез-
ной для окончательного понимания) работы она всегда может быть соединена (при из-
ложении важных, т.е. по сути для простых результатов) с полной простотой и есте-
ственностью. Единственное средство добиться осуществления этих идеалов, это стро-
го требовать логической отчетливости даже там, где она пока обременительна!
136
Фрагмент письма А. IL Колмогорова В. Арнольду
Калькутта, 16 апреля 1962 года.
«...Многочисленные слуги, работающие в саду профессора Махалонобиса, видят, что
комната почетных гостей занята седым и загорелым человеком, не говорящим по-
английски, который встает с восходом солнца и прогуливается в саду молча. К тому же пе-
ред моим приездом им было велено чистить пруд, чтобы я мог купаться по утрам (из чего
ничего не вышло). Так что девочка лет десяти в ярком платке, увешанная бусами, довольно
настойчиво желала получить ответ, что я индус, и мое «I am Russian» ее не убедило - м.б.
она подумала, что это какая-то особая индийская народность...»
Последнее десятилетие жизни Андрея Николаевича было омрачено тяжелой болез-
нью. Сначала он стал жаловаться на зрение, и обычные сорокакилометровые лыжные мар-
шруты вдоль Вори пришлось сократить до двадцатикилометровых вдоль Скалбы.
Но и во время последней нашей лыжной прогулки почти совсем ослепший Андрей
Николаевич перепрыгивал на лыжах через забереги на лед Клязьмы. Позже, летом, Андрею
Николаевичу стало трудно бороться с морскими волнами, но осенью он еще убегал за забор
«Узкого» от строгого надзора Анны Дмитриевны и врачей купаться в пруду (и учил меня,
где удобнее перелезать через забор, чтобы попасть в «Узкое» из Ясенева; впрочем, Андрей
137
Николаевич никогда не был слишком добронравным и не без гордости рассказывал о своей
драке с милицией на Ярославском вокзале). В последние годы жизнь Андрея Николаевича
была очень тяжелой, иногда его буквально приходилось носить на руках. Анна Дмитриевна,
медсестра Ася Александровна Буканова, ученики Андрея Николаевича и выпускники соз-
данной им школы-интерната дежурили при нем круглосуточно в течение нескольких лет.
Порой Андрей Николаевич мог произнести лишь несколько слов в час, но все равно с
ним было всегда интересно - помню, как за несколько месяцев до смерти Андрей Николае-
вич рассказывал, как удивительно медленно летели в войну трассирующие снаряды под Ко-
маровкой.
Андрей Николаевич страстно любил музыку и готов был бесконечно слушать свои
любимые пластинки, которых у его было множество и в Комаровке, и в Москве. Для меня
всегда ставился квинтет Шумана, и это превращало в праздник даже те тяжелые дежурства,
когда Андрей Николаевич почти не мог говорить.
* * *
Более, чем своими математическими достижениями, Андрей Николаевич гордился
достижениями спортивными. «В 1939 году, - рассказывал он, - уже будучи академиком-
секретарем, я решил испытать, сколько смогу проплавать в ледяной воде Клязьмы, - и вер-
нулся на лыжах в Комаровку со столь высокой температурой, что в больнице на улице Гра-
новского (где полагалось лечиться академику-секретарю) опасались за мою жизнь. Так я по-
нял, что мои возможности ограничены. Но вот уже семидесятилетним побежал я в начале
зимы из Университета купаться на Москву-реку, к Нескучному саду. Набережная так обле-
денела, что вылезти было невозможно, а рядом никого не было. Я искал место, чтобы вылез-
ти, дольше, чем тогда на Клязьме, еле вылез - и не болел нисколько».
С удовольствием вспоминал Андрей Николаевич свои юношеские путешествия по Се-
веру, самое длинное: Вологда - Сухона - Вычегда - Печора - Шугор - Сосьва - Обь - Бийск
(и далее босиком по Алтаю). В путешествии по Кулою и Пинеге ему удалось установить па-
рус, не поддававшийся усилиям местных рыбаков, после чего Андрей Николаевич был ими
признан за своего (проявилось это в том, что его стали материть наравне со своими).
Один из последних длинных разговоров с Андреем Николаевичем - о будущем чело-
вечества. Андрей Николаевич всегда с сомнением относился к перечню бывших редакторов
на обложке «Mathematische Annalen».
«Как будет выглядеть обложка через 500 лет?» - спрашивал он Гильберта. Более того,
он сомневался в возможности существования нашей культуры столь долгое время, прежде
всего вследствие демографической катастрофы, предсказанной Мальтусом. Андрей Нико-
лаевич мечтал о новом устройстве общества, в котором богатство духовной жизни победит
инстинкты. Как ни странны и наивны эти идеи, трудно всерьез с ними спорить: человечест-
во, скорее, опоздало прислушаться к предупреждению мыслителей, и Андрей Николаевич
считал своим долгом о нем напоминать в конце своей долгой и счастливой, несмотря ни на
что, жизни.
В.М.Тихомиров (проф., док. мат. наук) вспоминает:
«Отправляясь поздравить В.И. Арнольда с его пятидесятилетием, я спросил у
А.Н. Колмогорова, не хочет ли он что-нибудь сказать своему ученику. Андрей Николаевич
сразу же стал диктовать. Слова давались ему с трудом: уже несколько лет ужасный недуг -
болезнь Паркинсона - сковывал его речь. Но разум его оставался ясным...»
Об Арнольде:
«Если бы мне было позволено, то я перед всеми столпами нашего факультета выска-
зал свое убеждение в том, что происходит чествование первого советского математика - не
только по силе полученных результатов, но и по темпераменту личности, по способности
воспринимать новое и смелости в преодолении препятствий».
138
«Послание учителя ученику замечательным образом характеризует обоих: Владимира
Игоревича, личность и творчество которого получили столь восторженную и проницатель-
ную оценку, и самого Андрея Николаевича, стоявшего на пороге смерти (через четыре меся-
ца его не стало), но сохранившего запас душевной щедрости и способности восхищаться.
Это было последнее выступление Андрея Николаевича в его жизни. Но оно не вос-
принимается как прощание. Это - благословение».
139
2005 г.
Стр. 96-107, 320-323
АРНОЛЬД ВЛАДИМИР
Математика и математическое образование в современном мире
«No star wars — no mathematics* — говорят американцы. Тот прискорбный факт, что с
(временным?) прекращением военного противостояния математика, как и все фундаменталь-
ные науки, перестала финансироваться, является позором для современной цивилизации,
признающей только «прикладные» науки , ведущей себя совершенно подобно свинье под
дубом.
На самом деле никаких прикладных наук не существует и никогда не существовало,
как это отметил более ста лет назад Луи Пастер (которого трудно заподозрить в занятиях, не
нужных человечеству). Согласно Пастеру, существуют лишь приложения науки.
Опыты с янтарем и кошачьим мехом казались бесполезными правителям и военачаль-
никам XVIII века. Но именно они изменили наш мир после того, как Фарадей и Максвелл
написали уравнения теории электромагнетизма. Эти достижения фундаментальной науки
окупили все затраты человечества на нее на сотни лет вперед. Отказ современных правите-
лей платить по этому счету — удивительно недальновидная политика, за которую соответст-
вующие страны, несомненно, будут наказаны технологической и, следовательно, экономиче-
ской (а также и военной) отсталостью.
Нет звездных войн — нет математики (англ.)
Непрекращающееся финансирование псевдоспиритических наук вроде парапсихологии и антиисторического
вздора академика А.Т. Фоменко (зам. академика-секретаря отделения математики РАН) еще ждет своего
объяснения.
140
Человечество в целом (перед которым, ведь, стоит тяжелейшая задача выживания в
условиях мальтузианского кризиса) должно будет заплатить тяжелую цену за близоруко-
эгоистическую политику составляющих его стран.
Математическое сообщество несет свою долю ответственности за повсеместно на-
блюдаемое давление со стороны правительств и общества в целом, направленное на уничто-
жение математической культуры как части культурного багажа каждого человека и в осо-
бенности на уничтожение математического образования.
Выхолощенное и формализованное преподавание математики на всех уровнях сдела-
лось, к несчастью, системой. Наиболее характерными приметами формализованного препо-
давания является изобилие немотивированных определений и непонятных (хотя логически
безупречных) доказательств. Отсутствие примеров, отсутствие анализа чертежей и рисунков
— столь же постоянный недостаток математических текстов, как и отсутствие внематемати-
ческих приложений и мотивировок понятий математики.
Уже Пуанкаре отмечал, что есть только два способа научить дробям — разрезать (хо-
тя бы мысленно) либо пирог, либо яблоко. При любом другом способе обучения (аксиомати-
ческом или алгебраическом) школьники предпочитают складывать числители с числителями,
а знаменатели — со знаменателями.
Математика является экспериментальной наукой — частью теоретической физики и
членом семейства естественных наук. Основные принципы построения и преподавания всех
этих наук применимы и к математике. Искусство строгого логического рассуждения и воз-
можность получать этим способом надежные выводы не должны оставаться привилегией
Шерлока Холмса — каждый школьник должен овладеть этим умением. Умение составлять
адекватные математические модели реальных ситуаций должно составлять неотъемлемую
часть математического образования. Успех приносит не столько применение готовых рецеп-
тов (жестких моделей), сколько математический подход к явлениям реального мира. При
всем огромном социальном значении вычислений (и computer science) сила математики — не
в них, и преподавание математики не должно сводиться к вычислительным рецептам.
В истории России был премьер-министр с математическим образованием (окончив-
ший университет по математике в школе Чебышева). Вот как он описывает разницу между
мягким и жестким математическим моделированием:
«Между математиками есть двоякого рода люди: 1) математики-философы, т.е. мате-
матики высшей математической мысли, для которых цифры и исчисления есть ремесло; для
этого рода математиков цифры и исчисления не имеют никакого значения, их увлекают не
цифры и исчисления, а сами математические идеи; 2) напротив, есть такие математики, кото-
рых философия математики, математические идеи не трогают, которые всю суть математики
видят в исчислениях, цифрах и формулах... Математики-философы, к которым принадлежу и
я, относятся всегда с презрением к математикам-исчислителям, а математики-исчислители,
среди которых есть много ученых весьма знаменитых, смотрят на математиков-философов
как на людей в известном смысле «тронутых»».
Сейчас мы знаем, что описанные Витте различия имеют физиологическое происхож-
дение. Наш мозг состоит из двух полушарий. Левое отвечает за умножение многочленов,
языки, шахматы, интриги и последовательности силлогизмов, а правое — за пространствен-
ную ориентацию, интуицию и все необходимое в реальной жизни. У «математиков-
исчислителей», по терминологии Витте, гипертрофировано левое полушарие, обычно за счет
недоразвития правого. Это заболевание составляет их силу (вспомним «Защиту Лужина» На-
бокова). Но доминирование математиков этого типа и привело к тому засилью аксиоматиче-
ско-схоластической математики, особенно в преподавании (в том числе и в средней школе),
на которое общество естественно и законно реагирует резко отрицательно. Результатом яви-
лись повсеместно наблюдаемое отвращение к математике и стремление всех правителей
отомстить за перенесенные в школе унижения ее изничтожением. Мягкое моделирование
требует гармоничной работы обоих полушарий мозга.
141
После окончания университета Витте не нашел работы по специальности и принял
предложение частной компании стать начальником дистанции на Юго-Западной железной
дороге. Для занятия этого поста ему пришлось по неделе простажироваться в должности ка-
ждого из своих подчиненных (стрелочника, путевого обходчика, багажного раздатчика, би-
летного кассира, машиниста, начальника станции...) — неоценимый опыт для будущего пре-
мьер-министра.
Однажды царский поезд, следующий в Крым, был замедлен по приказу Витте на его
дистанции. Несмотря на возмущение Александра III, машинист подчинился не его приказу, а
приказу своего начальника дистанции. Когда поезд перешел на следующую, уже не подчи-
нявшуюся Витте дистанцию, скорость была, естественно, повышена. Вскоре царский поезд
сошел с рельсов и опрокинулся (катастрофа у станции Борок). Царь запомнил имя непокор-
ного начальника дистанции, и Витте был назначен министром (кажется, путей сообщения), а
впоследствии стал и премьер-министром.
Но Витте лучше разбирался в реальной жизни страны и в проблемах экономики и тех-
ники, чем в политических интригах (к которым большой талант имеют люди левополушар-
ные). С приходом к власти деятелей типа Распутина он был отправлен в отставку. Витте
вновь призывался к власти для ликвидации критических ситуаций, созданных политиками
(русско-японская война, революция 1905 года), я даже предполагаю, что если бы Витте оста-
вался руководителем России в течение следующего десятилетия, то наша история была бы
совсем иной: не было бы ни мировой войны, ни революции, и мы жили бы сейчас, как Фин-
ляндия или Швеция.
Конечно, сила Витте заключалась вовсе не в применении какой-либо математики
(«исчислений»), а в том способе мышления, который он называет «математикой-
философией» и который заставляет человека с математическим образованием думать о всех
реалиях окружающего мира с помощью (сознательного или бессознательного) мягкого мате-
матического моделирования.
Идея о необходимости этого рода мышления для успеха в любой экономической или
производственной деятельности (исключая, быть может, политические интриги) была хоро-
шо понята уже сто лет назад :
«Не пользующаяся математическими символами человеческая логика зачастую запу-
тывается в словесных определениях и делает вследствие этого ошибочные выводы — и
вскрыть эту ошибку за музыкою слов иногда стоит огромного труда и бесконечных, часто
бесплодных споров».
К сожалению, и сейчас остаются актуальными слова классика математической эконо-
мии Парето :
«Экономисты, не знающие математики, находятся в положении людей, желающих
решить систему уравнений, не зная ни того, что она из себя представляет, ни того даже, что
представляет из себя каждое входящее в нее единичное уравнение».
На приеме в честь президента Франции, приезжавшего недавно в Москву, я обсуждал
проекты перестройки преподавания математики в средних школах Франции с министром на-
родного образования, исследований и технологии Клодом Аллегре и его советником Винсен-
том Куртийо, который так описал их планы: берем учебник математики, рвем его на куски,
оставляем одну треть, выкидывая остальное, но зато требуем, чтобы оставшуюся треть
школьники знали как следует.
Хочу предупредить возможных российских реформаторов-последователей: математи-
ка-живой организм, вдобавок, подобный лестнице, в которой выкидывание даже отдельных
ступенек чрезвычайно опасно.
* В.Ф. Арнольд. Политико-экономические этюды. Одесса: Изд. Распопова, 1904 г., с. 5.
V. Pareto. Anwendung der Mathematik auf Nationalokonomie. Enzyklopaedie der Mathematischen Wissenschaften
Band I, Heft 7, S. 1114.
142
Выводы: планируемое во всех странах подавление фундаментальной науки и, в част-
ности математики (по американским данным, на это им потребуется лет 10—15), принесет
человечеству (и отдельным странам) вред, сравнимый со вредом, который принесли костры
инквизиции западной цивилизации (и Испании).
Математическое образование должно составлять неотъемлемую часть культурного
багажа каждого школьника.
Основной целью математического образования должно быть воспитание умения ма-
тематически исследовать явления реального мира, умение» так хорошо описанное Витте в
его характеристике «математики-философии» и гак блестяще использованное им в вовсе не
математической деятельности. Искусство составлять и исследовать мягкие математические
модели является важнейшей составной частью этого умения.
Применяя таблицу умножения, легко получить следующий результат: уменьшение
средней продолжительности жизни на десять лет приводит в масштабах СССР к такой же
потере человеко-лет, как одновременный расстрел порядка 80 миллионов человек (в масшта-
бах России - порядка 40 миллионов). Здесь использована лемма: когда расстреливают вас,
вы теряете в среднем порядка половины своей жизни.
Математика, подобно физике, — экспериментальная наука, отличающаяся от физики
лишь тем, что в математике эксперименты очень дешевы. Видимо, именно поэтому бюджет
отделения математики в РАН в сорок раз меньше бюджета физических отделений (а следова-
тельно, производительность наших математиков — в соответствующее число раз выше).
Как мне сообщил на днях академик-секретарь отделения математики РАН Л. Д. Фад-
деев, затраты СССР на математику в год составляли стоимость одного танка, а современные
затраты России - стоимость примерно одной десятой танка в год. Мы живем в сумасшедшем
мире, будущее которого представляется весьма сомнительным. То, что в России еще оста-
лись математики, упорно не желающие эмигрировать и воспитывающие новые поколения
талантливых студентов, — свидетельство своеобразного героизма (с точки зрения наших за-
падных коллег — глупости), традиционного для российской интеллигенции. Но долго удер-
живаться такое состояние не может.
Математика в образовании и воспитании
Сост. В.Б.Филиппов. - М: ФАЗИС, 2000; 256 с.
Сборник составлен из статей, в которых авторы затрагивают наиболее общие пробле-
мы образования и воспитания, в том числе, связанные с математическим образованием. Одна
из главных целей издания - возвратить в культурный обиход непреходящие работы выдаю-
щихся мыслителей прошлого и современности, находящиеся и труднодоступных изданиях.
Сборник адресован самому широкому кругу читателей; любой человек, небезразличный к
воспитанию и образованию подрастающего поколения, найдет здесь много полезного и важ-
ного для себя.
Что ждет школу в России?
Аналитическая записка
"Следующий краткий анализ являемся сокращенным пересказом плана модернизации
образования в России (проект 2001 года). Его оценка дана после пункта 4 описания «страте-
гии».
1. Основными целями образования объявляются «воспитание самостоятельности,
правовой культуры, умения сотрудничать и общаться с другими, толерантности, знания эко-
номики, права, менеджмента, социологии и политологии, владения иностранным языком».
Никакие науки и «цели обучения» не включены.
2. Основными средствами для достижения этих целей объявляются «разгрузка об-
щеобразовательного ядра», «отказ от сциентистского (т. е. научного — В. А.) и предметоцен-
143
трического подходов» (т.е. от обучении таблице умножения — В. А.), «существенное сокра-
щение объема образования» (см. ниже. п. 4). Специалистов необходимо отстранить от обсу-
ждения программ «своих специальностей» (кто же согласится с мракобесием? — В.А.).
3. Систему оценки «следует» изменить, «предусмотрев безотметочную систему обу-
чения», «оценивать не учеников, а коллективы», «отказаться от учебных предметов» (уж
очень они «узки»: уроки литературы, географии, алгебры...), «отказ от требовательности
средней школы по отношению к начальной» (зачем знать русский алфавит и уметь считать
на пальцах, когда есть компьютеры! — В. А.), «переход к объективизации процедур оценки с
учетом международного опыта» (то есть с тестом вместо экзаменов — В. А.), отказ «от рас-
смотрения обязательного минимума содержания образования» (это рассмотрение якобы
«перегружает стандарты» — некоторые начинают требовать, чтобы школьники понимали,
почему зимой холодно, а летом тепло).
4. В средней школе в неделю «должно быть»: три часа русского языка, три часа ма-
тематики, три_- иностранного языка, три — обществоведения, три — естествознания; вот и
вся программа, отменяющая «тупиковый предметно-ориентированный подход» и позволяю-
щая «включение дополнительных модулей», а именно «гуманизацию и гуманитаризацию»,
«отражение культуры местных народов», «интеграцию представлений о мире», «сокращение
домашней работы», «дифференциацию», «обучение коммуникативной технологии и инфор-
матике», «использование общих теорий обучения». Таков план «модернизации» школы.
Короче говоря, план состоит в том, чтобы отменить обучение всем фактическим зна-
ниям предметам («литература», «физика», к примеру, полностью выкинуты даже из тех пе-
речней, теперь появились разные виды военной подготовки, называемой «дифференциаци-
ей»: Калашников вместо Шекспира).
Вместо знания того, что столица Франции — Париж (как говорил Манилов Чичикову,
наших школьников будут теперь учить, что «столица Америки — Нью-Йорк» и что Солнце
вращается вокруг Земли (опуская уровень знаний ниже требовавшегося при царе в церковно-
приходской школе).
Это торжество мракобесия — удивительная черта нового тысячелетия, а для России -
самоубийственная тенденция, которая приведет к падению сначала интеллектуального и ин-
дустриального, а впоследствии — и довольно быстро — также и оборонного, и военного
уровня страны.
Надежду вселяет только то, что (аналогичные предпринимаемым сейчас) попытки
уничтожить высокий уровень образования в России, ознаменовавшиеся в двадцатые и три-
дцатые годы «бригадно-потоковым методом» и уничтожившие как гимназии, так и реальные
училища, увенчались успехом: уровень образования в современных школах России остается
высокими (что признают даже авторы обсуждаемого документа, находящие этот уровень
«чрезмерным»).
Подготовка новой культурной революции
29 ноября 2001 г. я участвовал в многочасовой беседе с собеседниками, которые, по
их словам, активно участвуют в подготовке проекта реформы средней школы. Из этой бесе-
ды я узнал много для себя нового об этом проекте (за что их благодарю).
1. Мне сообщили, что «распространенное мнение, будто имеется какая-то программа
реформирования и заговор для ее осуществления — ложно»: на самом деле весь процесс,
якобы, «является стихийным ответом общества на падение уровня образования в России ни-
же уровня большинства африканских стран», особенно вследствие перегруженности дейст-
вующих школьных программ «сайентифизированностью» (которую я воспринял как излиш-
нее внимание к атомам и электронам, химическим молекулам и логарифмам), причем «сай-
ентифизировались даже уроки физкультуры, где школьники должны теперь писать псевдо-
научные рефераты».
144
Из этого рассказа я сделал для себя вывод, что такой «антинаучный заговор» (о кото-
ром раньше я не подозревал), действительно по-видимому, существует (и, естественно, что
его частью является стремление его скрыть).
Пример: при публикации в «Известиях» решения Ученого Совета Математического
института им. В. А. Стеклова Российской академии наук о проекте школьной реформы, ре-
дакция исключила из этого решения ключевую фразу: «ослабление научного образования в
стране вредно повлияло бы не только на интеллектуальный, но и на индустриальный, а впо-
следствии и на военный, уровень России».
2. Мне сообщили, что слабость нашего сегодняшнего школьного обучения, якобы,
«выявлена международной комиссией», а в ответ на мой вопрос, как проводилось исследова-
ние, меня уведомили, что наши школьники слабо справляются со «стандартными вопроса-
ми», вроде: «что общего у ежа с молоком?». Я тоже не знал, что у них общего, и тогда меня
обучили правильному ответу: «оба сворачиваются».
А знакомство наших школьников со, скажем, названиями столиц основных европей-
ских государств и с таблицей умножения — не в счет: все это устарело.
При моей попытке сослаться на то, что у нас в школах повсеместно сохраняется даже
более высокий уровень, чем был в церковно-приходских школах при царе, выяснилось, что
мои собеседники-реформаторы не знают, что это была за школа, да и не ценят отличие на-
ших школьников от, скажем, американских студентов: умение делить 111 на 3 без компью-
тера и отличить сумму дробей ’/г +1/3 от двух пятых, да и четкое понимание того, что поло-
вина больше трети.]
К «недостаткам» нашей школы реформаторы отнесли также «требование читать мно-
го книг» (и Пушкина, и Толстого в том числе), а также требование понимать логарифмы
(якобы сделавшиеся ненужными с приходом компьютеров).
Что касается неоспоримых олимпиадных успехов наших школьников, то они были
объявлены представляющими лишь уровень элитарного образования ничтожного меньшин-
ства школьников, большинство из которых, якобы, «вовсе ничему не научаются в школе,
разве лишь пользоваться шпаргалками». Реформаторы мыслят реалистически и хотят при-
вести уровень школы к уровню двоечников.
3, При моих попытках объяснить экономистам критику тоталитарного - экономиче-
ского «Великого Могола Аурензеба (публикованную Бернье, одноклассником Мольера), да и
значение для экономики логарифмов (оценивающих возраст Евы и закон Мальтуса роста на-
селения Земли и нужных также для вычисления сложных процентов в банке, или нынешней
стоимости царских долгов, или долговременного эффекта малой ежегодной инфляции) —
при этих попытках выяснилось, что реформаторы-экономисты ни в одном из указанных
предметов (не говоря уже о законах Лотка—Вольтерра конкуренции и борьбы за существо-
вание) не разбираются. А ведь понимание логарифмов абсолютно необходимо во всех этих
теориях, как и во множестве других, включая, например, барометрический закон изменения
давления воздуха с высотой («вот и нечего высоко подниматься»).
Зато школьные уроки «информатики» реформаторы оценили высоко, так как им уда-
валось записать на них перфокартами, на которых было удобно писать шпаргалки по всем
предметам.
4. Наиболее важной чертой будущей организации реформ мои собеседники считали
то, что составление программ по разным дисциплинам не должно быть доверено соответст-
вующим специалистам («иначе химики станут требовать серьезно изучать химию, математи-
ки — математику, и т.д.).
Вероятно, именно эта идея привела к прошлогодней попытке полностью исключить
из школьного обучения курс геометрии (чему воспротивились не только математики из РАН,
но и представители оборонных предприятий). Сейчас обсуждается новый проект, где исклю-
чены всего-то только логарифмы и синусы, степенные функции и стереометрия. За этим
придется исключить из физики законы Кулона и всемирного тяготения, которые основаны на
145
исключаемой математической теории, а из географии — параллели и меридианы. Но рефор-
маторов-двоечников это не смущает, а только радует.
Главная цель реформы, по словам моих собеседников, состоит в том, чтобы осчастли-
вить родителей, сделав их детей-двоечников отличниками, меняя не уровень их знаний и
умений, а просто уровень требований к ним.
5. Крайне отрицательно «реформаторы» отнеслись к моим словам о необходимости
повысить зарплату учителям. По их мнению, «это только закрепило бы нынешнюю оккупа-
цию школ малокомпетентными старушками».
Мне трудно понять, почему наша страна все это терпит, доверяя руководство своей
образовательной системой сторонникам такого мракобесия: ведь отношение и учителей, и
родителей к мракобесным проектам резко отрицательно, и все это знают.
6. Одной из важных черт будущей реформы мои собеседники считают введение в пе-
речень основных задач средней школы «обучение практически важным навыкам» (вроде
умения въезда задним ходом в гараж, вверх по обледенелой горке).
Что умение это важнее для киллера, чем знать, кто такие Колумб или Шекспир, Плу-
тарх и Максвелл, трудно оспаривать.
Но мое общее впечатление от всего этого проекта состоит в том, что подготавливает-
ся опасное преступление против традиционно высокого образовательного и культурного
уровня России - реформа, осуществление которой нанесло бы долговременный и трудно по-
правимый вред могуществу нашей страны — и интеллектуальному, и индустриальному, и
военному, т. е. оборонному; а наших потомков все это реформирование сделало бы несчаст-
ными (даже если бы им и разрешили, как это сейчас планируют, писать «вада»): я надеюсь,
что не все же школьники в России будут готовиться в киллеры!
Выступление академика В. И. Арнольда на парламентских слушаниях
в Государственной думе 23 октября 2002 года
Страна без науки не имеет будущего, и принятие обсуждаемого плана было бы пре-
ступлением против России. Как это ни удивительно, уровень подготовки школьников в Рос-
сии до сих пор остается, особенно в области математики, очень высоким по сравнению с
большинством стран мира (несмотря даже на ничтожность затрат нашей страны на науку и
образование по сравнению с другими странами): Франция, например, перешла недавно от
примерно 5% ВНП до примерно 7% (затраты на науку и образование, обсуждавшиеся На-
циональным комитетом науки и исследований Франции, членом которого меня назначило их
Министерство образования научных исследований).
Россия, напротив, сократила свои расходы (за 10 лет примерно в 10 раз) на науку.
Трагическая утечка мозгов, происходящая вследствие этой ошибки, — только одно из по-
следствий той антинаучной и антиинтеллектуальной политики, частью которой является и
обсуждаемый безобразный проект «стандартов». Из-за этих «стандартных» нелепостей уро-
вень подготовки школьников опустится гораздо ниже обычного уровня реальных училищ
царского времени, а кое в чём — даже ниже уровня церковноприходских училищ.
Этот план производит общее впечатление плана подготовки рабов, обслуживающих
сырьевой придаток господствующих хозяев: этих рабов учат разве что основам языка хозяев,
чтобы они могли понимать приказы. Не случайно подготавливаемая реформа финансируется
иностранцами, давно мечтавшими избавиться от конкуренции со стороны российской науки
и техники.
Насколько я сумел понять планы, они сводятся, в основном, к снижению нашего
уровня образования в средней школе до американских стандартов. Чтобы составить впечат-
ление о последних, напомню, что комитет по подготовке школьников штата Калифорния
(возглавлявшийся Тленном Сиборгом, физико-химиком и нобелевским лауреатом, занимав-
шимся открытием новых трансурановых элементов) принял несколько лет назад решение
146
требовать при поступлении в университеты штата следующего стандарта знаний по матема-
тике: школьники должны уметь делить 111 на 3 без компьютера.
Этот уровень требований оказался для американских школьников непосильным, и ва-
шингтонские федеральные власти (по-моему, даже Сенат) потребовали отменить эти анти-
конституционные» и «расистские» стандарты. Один из сенаторов заявил, что он никогда не
позволит, чтобы кто бы то ни было в какой бы то ни было части США учил кого-либо чему-
либо, чего этот сенатор не понимает (например, делить 11 1 на 3).
Другой сенатор объяснил, что целью калифорнийских стандартов (требовавших, на-
пример, в курсе физики знакомства с тремя состояниями воды) является расистское препят-
ствие поступлению в университеты черных, ибо «ни один из них никогда не поймет, что та-
кое водяной пар, не имеющий ни цвета, ни запаха, ни вкуса». Впрочем, подобный довод тре-
тий президент США Т. Джефферсон опубликовал в 1781 году свое заключение, что «ни один
негр никогда не поймет ни геометрию Евклида, ни кого-либо из его современных толковате-
лей» А Джефферсон, отец-основатель и автор Декларации независимости, знал, о чем гово-
рил: у него было несколько детей-негритят, и он пытался их обучать.
По статистике Американского математического общества в сегодняшних Штатах раз-
делить число 1 1/2 на число 1/4 может, в зависимости от штата, от одного до двух процентов
школьных учителей математики. Из «стандартов» простые дроби давно у них исчезли, по-
скольку компьютеры считают только десятичные. Большинство американских университет-
ских студентов складывают числители с числителями и знаменатели со знаменателями дро-
бей: 1/2 + 1/3 есть, по мнению, сумма равна 2/5. Обучить после такого «образования» думать,
доказывать, правильно рассуждать никого уже невозможно, население превращается в толпу,
легко поддающуюся манипулированию со стороны ловких политиков без всякого понимания
причин и следствий их действий.
Всё это делается не по невежеству, а, как мне объяснили мои американские коллеги,
сознательно, просто по экономическим причинам: приобретение населением культуры (на-
пример, склонности читать книги) плохо влияет на покупательную способность в их общест-
ве потребителей, и вместо того, чтобы ежедневно покупать новые стиральные машины или
автомобили, испорченные культурой граждане начинают интересоваться стихами или музы-
кой, картинами и теоремами и не приносят хозяевам общества ожидаемого дохода.
Вот к этому-то состоянию общества наши реформаторы и стремятся привести Рос-
сию, традиции которой совершенно противоположны. Наши школьники и сегодня хотят на-
стоящих знаний, вечных истин, без понимания которых человек остается рабом. Но сверху
на них сыплется антинаучная мракобесная болтовня вроде опубликованного в сентябре 2002
года «Независимой газетой» прославления «пирамид», заклеймившего Российскую акаде-
мию наук как собрание ретроградов, ошибочно полагающих, будто наука способна объяс-
нить мир.
Предлагаемый вздорный проект «стандартов» является очередной порцией подобной
антинаучной болтовни. Я не стану здесь перечислять многочисленные детали недостатков
математических стандартов: имеются протоколы их обсуждения в Центре непрерывного ма-
тематического образования, где десятки преподавателей и учителей из разных областей Рос-
сии выразили свое мнение о предлагаемом проекте. Один из их главных выводов состоит в
том, что стандарты должны заключаться не в философских фразах о том, что «математика
является областью человеческой деятельности, применимой в полезных ее областях», а в
списке простых, но необходимей задач, которые должны остаться легкими для школьников
следующих поколений (вроде уменья вычесть семь из двадцати пяти).
Современные мировые тенденции американизации обучения постепенно разрушают
эту древнюю культуру во всех странах. «Ретроградные» науки, утверждающие, что «столица
Франции — Париж», заменяются «современными стандартами», согласно которым вместо
этого школьников учат, будто «столица Америки — Нью-Йорк» (для слушающих меня пар-
ламентариев, возможно, уже достигших этого нового уровня мировой «культуры», поясню,
что здесь все неверно: и Америка - не государство, и Нью-Йорк - не столица).
147
Но вот пример этой новой культуры: студент-математик четвертого курса одного из
лучших Штат университетов спросил меня во время трехчасового письменного экзамена по
теории динамических систем: «Помогите, пожалуйста: дробь четыре седьмых больше или
меньше единицы? Я свел задачу о поведении системы к исследованию сходимости интегра-
ла, а это исследование - к асимптотике подынтегральной функции, и показатель степени этой
асимптотики оказался 4/7, но ведь для окончательного вывода о сходимости интеграла нуж-
но знать, больше ли это число, чем 1. А вы компьютером на экзамене пользоваться не разре-
шаете, и я не могу решить задачу до конца».
Это был хороший студент, и он правильно решил трудные вопросы теории динамиче-
ских систем, которой я его учил целый год, и дробь 4/7 он нашел правильно. Но простым
дробям его учил не я, а «современные дидактики», извратившие элементарное обучение так,
что все простые и полезные навыки, вроде умения посчитать хотя бы на пальцах сумму 2 + 3,
были утрачены.
Между прочим, французский министр образования сам возмущался неумением луч-
ших школьников Парижа сложить 2 и 3 (по его словам, они отвечали: «Это будет 3 + 2, так
как сложение коммутативно», а сосчитать ответ не могли). Вот к чему ведет американизация
школьного образования и к чему склоняет российскую школу обсуждаемый проект.
Недавно руководство нашего Министерства образования опубликовало свой список
задач для фиксации уровня экзаменационных требований. Эти задачи фиксировали крайне
низкий уровень, а в новом проекте стандарта они не заменены лучшим новым списком. При-
мер «геометрической» задачи из этого списка: «У какого четырехугольника больше всего
свойств?» Проект предлагаемого «решения»: свойства параллелограмма занимают в учебни-
ке столько-то строк, ромба - столько-то, прямоугольника — столько-то, трапеции — столько-
то. Значит, наибольшее число свойств у квадрата.
Быть может, для адвокатов или законодателей такая псевдонаучная казуистика и по-
лезна, но к геометрии и к математике вопрос этой задачи никакого отношении не имеет.
При обсуждении проекта реформы с его создателями я обнаружил, что они хотят из-
гнать из школьной математики прежде всего логарифмы, считая, что «ни приведение к виду,
удобному для логарифмирования, ни таблицы Брадиса в век компьютеров больше не нуж-
ны». Я пытала объяснить необходимость экспонент и логарифмов и в физике (где ими опре-
деляется и барометрическая формула падения давления воздуха с высотой, и законы кванто-
вой, и статистической механики), и в экологии (закон Мальтуса), и в экономике («сложные
проценты» и «инфляция валюты», включая, например, подсчет сегодняшней стоимости цар-
ских долгов). Но выяснилось, что мои собеседники, экономисты, которым было поручено
реформировать программы по математике, никакого представления об упомянутых мною
законах экономики и фактах финансовой политики не имеют.
Из сказанного следует, что вся обсуждаемая программа составлена людьми некомпе-
тентными, а принятие этих «стандартов» нанесет серьезный и длительный вред делу образо-
вании России. Стандарты по математике должны бы были обсуждаться, например, Матема-
тическим институтом РАН, и без экспертного заключения Академии никак не должны при-
ниматься. В обсуждении могло бы принять участие и Московское математическое общество
(старейшее в мире, основанное еще во времена Н. Е. Жуковского). Необходима также экс-
пертиза со стороны лучших учителей математики, хотя бы московских.
В современной Франции 20% новобранцев полностью неграмотны, не понимают
письменных приказов начальства и способны поэтому направить свои ракеты не в ту сторо-
ну. Надеюсь, что попытки направить и Россию по этому пути уничтожения образования,
науки и культуры, проявляющиеся в обсуждаемых «стандартах» безграмотности (не только в
математике, но и во всех областях, включая, например, литературу, где стандарты преду-
сматривают изучение Пушкина в объеме стихотворения «Памятник» - с возможным добав-
лением учителем двух или трёх произведений по своему выбору), — все эти мракобесные
мероприятия, я надеюсь, не будут поддержаны нашим законодательством.
Редакционная коллегия: В.А. Садовничий (председатель), В. В. Белокуров, академик; А. А. Болибрух,
А.В Михалев, М.К. Потапов, О.В. Раевская. Техническая группа: Г.В. Крюкова, А.Е. Пентус.
148
Образование, которое мы можем потерять. Сборник. Под общей редакцией ректора МГУ академика В.А. Са-
довничего. Изд. 2-е, дополненное. Москва: Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова; Институт ком-
пьютерных исследований, 2003. - 368 стр.
Книгу открывают тексты выступлений Президента РФ В.В. Путина на заседании Государственного Совета РФ и на
VII съезде Российского Союза Ректоров.
Книга содержит статьи выдающихся ученых и педагогов нашей страны, имеющих неоспоримый высочайший ав-
торитет, которые представляли свои суждения на тему образования: каким должно в нашей стране и каким быть не должно.
В книгу включены ряд выступлений и постановление VII съезда Российского Союза ректоров.
В ней опубликованы также переводы доклада Национальной комиссии США и проекта програ реформ в области
образования Президента США Дж. Буша.
© Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, составление, статьи, перс 2002, 2003.
© Институт компьютерных исследований, оформление, 2002, 2003.
МГУ
Ответы на вопросы «Новой газеты»
1. ВОПРОС:
Как Вы оцениваете разработанную Министерством образования и науки «Концеп-
цию участия РФ в управлении государственными организациями, осуществляющими дея-
тельность в сфере науки» и компромиссный вариант, к которому пришли позже руководи-
тели министерства, РАН и Союза ректоров?
ОТВЕТ:
1. Подробности зловещей «концепции» держатся в секрете. В Отделении Математики
РАН объявили лишь, что (неназываемый) разработчик концепции угрожал: «хоть я даже и не
кандидат наук, вы, академики, будете меня слушаться». После чего Академия и согласилась
с концепцией.
Эти слова напоминают классические лозунги «республике не нужны учёные» и «уче-
ные - не мозг нации, а...» (предшествовавшие гильотинированию и высылке учёных).
Борьба правителей с наукой и образованием идёт во всём мире, но Россия пока отста-
вала от этого мирового движения. Американские студенты не умеют и не хотят делить сто
одиннадцать на три без компьютера, а русские школьники пока еще умеют; они хотят и
учиться наукам, и развивать их (хотя у родителей часто и не хватает денег одеть и обуть их,
чтобы идти в школу).
Разработанная концепция - новое и естественное проявление «американизации», соз-
дающее наше общество потребителей.
Пока имущество Академии является федеральной собственностью, Президиум РАН
не вправе продавать ни землю, занимаемую Академией и её институтами, ни ее драгоценное
оборудование. А продать хочется (это - «рыночная экономика»).
Поэтому «Концепция», для реализации своего плана распродажи институтов Акаде-
мии частным фирмам, нуждается в том, чтобы Дума сделала эту собственность продаваемой,
лишив ее федерального характера (уже в начале 2005 года).
Принятие подобных законов было бы со стороны Думы пособничеством преступле-
нию перед своим народом, совершаемому лично заинтересованными в этом продающими
Академию и предающими науку лицами.
Быстрым последствием реализации этих планов была бы массовая утечка мозгов мо-
лодёжи (мечтающей, ведь, прокормить свои семьи и недооплачиваемой уже сейчас). Герма-
ния до сих пор не восстановила свой научный потенциал, подорванный массовой утечкой
мозгов в тридцатые годы.
Курчатова осуждали перед войной за «неприкладную направленность» его исследова-
ний атомного ядра (ориентируя его на работы о магнитном поле кораблей).
149
Сегодня многие понимают, как и я, каким преступлением перед страной было бы
уничтожение ее интеллектуального и научного потенциала (за которым последовало бы
снижение и индустриального потенциала, и оборонного).
Я надеюсь, что понимающие это руководители страны не допустят намечаемого пре-
ступления перед будущими поколениями России, а Дума не допустит «разгосударствлива-
ния» имущества Академии.
2. ВОПРОС:
Нуждается ли наша наука, в том числе академическая, в реформировании, в приведе-
нии в соответствие с новъши реалиями экономической, общественной жизни России? Если
да, то какой вам видится суть академической реформы?
ОТВЕТ:
По моему мнению, в РАН соединены механически две разнородные вещи: наука (за-
нимающаяся открытием новых истин) и её применения (где ранее открытые наукой истины
используются для нужных человечеству и стране целей). Их коренное различие всегда под-
чёркивал великий прикладник и учёный Пастер.
Маяковский говорил, что «учёный, открывший, что дважды два — четыре, был вели-
ким математиком, лаже если он открыл это, считая окурки, а тот, кто сегодня считает, по той
же формуле, гораздо большие предметы, например, локомотивы, вовсе не учёный».
Стоимость открывания истин и их использования совершенно различны. Вся матема-
тика в стране стоит ежегодно 1/10 стоимости одного танка. Напротив, «приложения» стоят
во много тысяч раз больше — и на оплату не даром едящих свой хлеб «прикладников», и на
оборудование, и на энергию внедрения (будь то генная инженерия или космические полеты,
борьба с раком или осуществление проекта управляемых термоядерных реакций, компьюте-
ризация химических производств или противоракетная оборона).
Наблюдаемая нехватка средств на финансирование РАН объясняется именно дорого-
визне прикладной части ее деятельности. Уменьшение же единого финансирования науки
больше свего бьёт именно по наиболее важным для будущего дешёвым фундаментальным
исследованиям, не сразу раскупаемым.
Доход от электромагнитной теории и уравнений Максвелла во столько миллионов раз
превосходит затраты на открытие этих научных фактов, что ни одна страна до сих пор не
расплатилась с фундаментальной наукой, облагодетельствовавшей человечество этими от-
крытиями (а тем самым — и электрическим освещением, и телевидением, и электропоезда-
ми, и рентгенограммами, и радиолокаторами, и атомными электростанциями).
Закрыть путь к таким открытиям в будущем — прискорбно недальновидная политика
«концепции». Она напоминает мне точку зрения недоучек-Митрофанушек (не желающих
учить науку географию как науку извозчиков).
Но и наша Академия тоже оказалась недальновидной, не отделив своевременно (лет
50 назад) дешёвую фундаментальную науку от дорогостоящих приложений (за которые мог-
ли доплачивать и потребляющие прикладные достижения фирмы).
Во Франции, кроме Академии наук, есть ещё «Национальный Центр Научных Исследо-
ваний», независимо от Академии финансирующий прикладные институты высокого уровня.
В США финансирование многих научных исследований перешло не так давно от го-
сударственного «Национального Научного Фонда» к более специализированным организа-
циям, вроде «Департамента Энергии», занимающегося в основном Средним Машинострое-
нием.
Заодно, правда, реформаторы засыпали песком начатые ранее стройки новых ускори-
телей мирового класса.
Стремление оплачивать только потребляемое везде приводит реформаторов к унич-
тожению посевов пшеницы, как производящих и ненужную солому. Обсуждаемый проект
реформы РАН именно таков: распродав накопленное, погубить будущее.
Ни первые достижения Ампера и Фарадея в теории электричества, ни первые самолё-
ты, первые пароходы не были экономически выгодными.
150
Ставить развитие подобных проектов (а они и составляют суть фундаментальной на-
ук) в зависимость от их оплаты бизнесменами — прямое преступление перед своей страной.
Финансировать их — наш долг перед следующими поколениями. Расходы нашего го-
сударства на науку составляют сейчас малую долю годового национального дохода (по раз-
ным данным не то полтора процента, не то гораздо меньше). В других странах на науку тра-
тится гораздо большая доля национального дохода (во Франции я участвовал в работе «Ко-
митета по науки» обсуждавшего переход от пяти к семи процентам).
Я думаю, что путь к исполнению нашего долга — не сокращение государственного
финансирования фундаментальных исследований, а его дополнение поощрением вкладов
частных фирм в поддержку нужных им прикладных разработок (причем прозорливый биз-
несмен может поддержать и иные области науки).
3. ВОПРОС:
Должен ли избранный академическим сообществом президент РАН утверждаться
затем президентом РФ?
ОТВЕТ:
Императрица Екатерина II, поставив во главе Академии (по совету Эйлера) княгиню
Екатерину Романовну Дашкову, принесла стране огромную пользу. В тяжёлые годы нашей
истории явно недемократическое управление наукой привело её к небывалому расцвету (в
руках тех, кто, подобно С.И. Вавилову, остался жив, потеряв лишь уморенного в тюрьме
брата).
Сегодня тоже можно надеяться на разумное управление наукой со стороны ненаучных
руководителей. Они могут оказаться даже менее коррумпированными, чем демократически
избранное руководство Академии, собирающееся её распродать.
Но завтра назначающим президента императором может оказаться очередной Гитлер
(чему история самых развитых стран знает немало примеров).
Черчиль говорил, что «как ни много недостатков у демократического выбора, все ос-
тальные еще страшнее».
Поэтому решение о назначении Президента РАН ненаучными властями кажется мне
для Академии самоубийственно опасным (не сегодня, а вследствие риска непоправимых бед,
которые от этого решения могут произойти в будущем).
4. ВОПРОС:
Любые реформы, направленные на развитие науки в России, обеспечиваются у нас
доводом, против которого, как «против лома, нет приема»: у государства нет денег. И это
при том, что основные богатства страны оказались у частных лиц, у которых есть деньги
на покупку иностранных футбольных клубов и королевских дворцов на Лазурном Берегу.
Разрешимо ли это противоречие? Если да, то каким путем?
ОТВЕТ:
В других странах поддержка науки считается «общественно полезной благотвори-
тельностью», так сильно снижающей годовой налог фирмы, что многие бизнесмены предпо-
читают финансировать полезные в перспективе научные исследования (вместо того, чтобы
тратить деньги на покупку футбольных клубов).
Мои учителя ездили учиться в Европу на деньги фонда Рокфеллера — не потому, что
он что либо знал в их науках, а потому, что ему было выгоднее тратить деньги на поддержку
ученых, чем сдавать их налоговому ведомству.
Но, разумеется, уважение к науке тоже нужно воспитывать. Доступное неспециалисту
изложение сущности науки многим необходимо, и мы должны прилагать все усилия для
удовлетворения традиционной любознательности российского читателя, издавая недорогие
хорошие книги.
151
Творчество Димы Арнольда
152
Переводы
Н'Э^ц'Ж в
(х &аа Т\л12£щ С<2_Н.Ь\ сГдмО^С-
be.eri^(?cw\^eJKH.(y\u \Utat мо?|£еТ ра$кс>о|^щно
СепТ’А по Иэ- после сцуско
Зебамь } cn^cica^tG» по еуиицепдсл киэке.
1ГПо лц*пие этнои тишину 6 IKsjpnX^.?
Ща едъ^/м И-алл нем Топ©Лк
ЛмхдЪх ИCSJtoVVA. Tien rUyA<3W смараете ц
f^jecu, р€Л-£к VuiQb^xUAho ЛИ9Ц^\и ,
Не. иле^едеуд е^стал^Ч) V^|o°u j
MoAV^Vh Sa^dJa-CRHHA t ос&А$)ЩЦС6 НаД щедром
МосШп СГЛ^НИЬиу 6(>£Ou
ГАч&и> & '^олле€ nor^wtw^____________________
d __n-ept^ f
2- u.'^tiA.Cy^etc/ y^v^/ ^vcsr \£ f^jupcnu(
\ZsJC oA<4.^t£) CViiaVYV сбеТ AyvtVtp-гЧ VKcissMbe ,
^cxjo CO- с^Шк M^1! V\yCAb A^CCA^tL °A^C
5/" og£u ИНбЧЬ; YYHAUAub'ok
me глрмсньии c^o^-VO.
m Q^^^^ccoAeag Q/j^LytocVL cfl3 bi&H
§£>х& ?6^Ас>эЦ-ек icP^wuKt^JMH S/kV^mu ,
R сА&СЬ'' jAGAb^ ц U/<£)3> C-cS И С/Х
'Ъсша СЭАС 5^C^ua ,7R^Ha
Ь OGVW?) АКЬд 1 &S ow %A.q Ap ^A-CiQ^hcb —ТЭХ£Н(
e-toMOk^ ^сОЧ^МпХ. Ho MfA^
ЪС-МлАхН CAUCUS А ЬЬДСЬб)(Ц оЙл(УиОА^
АЛОГНЧ /^XYioJVv eMxUX&Tb U9< ,
153
ПАРИЖ В 1965 ГОДУ
К печальным водам тихой Сены ближе
Бесчувственный лишь может равнодушно
Сойти по Кэ д Анжу и после скучно
Зевать, спускаясь по ступеням ниже.
Что лучше этой тишины в Париже?
Над старым камнем тополи воздушны
Листы роняют. Пёс гулять старушку
Ведёт. Река неслышно берег лижет.
Рыбак не шевелит усталою рукой.
Молчат влюблённые, обнявшись над рекой,
И у стены на прелых листьев груде
Клошар спокойно спит. Деревья, люди,
Мосты старинные водой отражены,
Глубоко в тень домов погружены.
ВЕНЕЦИАНСКИЙ КУПЕЦ,
АКТ У. ШЕКСПИР, ПЕРЕВОД
Как сладко спит свет лунный на скамье!
Здесь сядем мы, и пусть ласкают слух
Нам звуки музыки: и ночь, и тишина
Обнимут нас гармонией своею.
Сядь, Джессика: смотри, как свод небес
Весь выложей крупинками златыми.
В своем движении мельчайшая из них
Поёт, как ангел Божий. Песни эти
Доступны ясноглазому младенцу - такова
Гармония бессмертных душ. Но мы
Покрыты слишком толстой оболочкой
Греховной плоти, чтобы слышать их.
ИЗ Р. БЕРНСА
Но радости - как мака цвет:
Сорвал - а лепестков уж нет.
Или как снег, упавший в речку:
Мгновенье бел - исчез навечно.
Иль как полярного сиянья
Неуловимо колыханье,
Или как радуга, в лазури
Исчезнувшая вслед за бурей.
154
I
*.< fc t
155
й--_____
***
**Н1йлИ^*1»^*йи****
К и p ил л о в - I Se л о зе рс к и i i м о насты р ь
156
Как собирали материал к следующим книгам
Алла >
G' ^yyou ^^doTih'ba ₽C<SU’K cUticcQ }
д^члес^уч ( ure -€И и«ч^ cTDcqJJC- > Ka^6u,Q./
CenjUnCuuAUc^ v'X в]^дм>ли.7ъ) .фгн'ычрскрцц. (^>c тСгкс,
u3 A~bO e^Aib ^L)'1Cf'*: у koto') '
€ i<-oH4£-z £<Л>> "Me.
ААОИ««-Л1Х>6 " ч u ПЧлА£&>—
Сиф€©^иеи|>б
кл Л-Ь 3to ч> Ьу£ /AUoto Q> Уч’ХЛлМ? » <?ии. >r evJ^Q рьсг-С
№С<СГ>Ц^-2>^cF^v-im фо1ъл5>^Тич ^-тек/
^v*^-i,XL<A ) iSe^A>»4M сГ|> • 17 К Ол мо^-е-у^в) у
Uy U cty ^Q-fc^; 1?еГ^еЛ4сЛ, ) у
— (?<-?> u ^VLOto '^чЛ’-рч.уС' и-сс ид L\uftAbU&\ < те-КСДТ!^
T^btf'QNs-. *,
НорЦуц <\ч § смСелд. /илГсм t-Я ^ДЛЦМЦ^ 2<?Cj_ 29<J|>7
'V vuc иэкеиКч! |М<»ТедХй<г»с<А«./^Лелм* (ЧЦ1Н/Ч0/'1С£)б).32оГу>(/эГь—
'Л^ГЧолааЭ 091<хмиклр*7 йЪмиу>«С^^цик Qyeeу/деибк *Ъсс ч
цО /ид-Г^мэ/ъсл'' у/4 Н /*??£’ т ъЗм\г,22^3
c/f • 2^-^ 4 cv»i
157
Дима предложил напечатать фотографии из книги «Владимир Игоревич Арнольд ИЗ-
БРАННОЕ 60» в книгах «Мы — математики с Ленинских гор»
Фотографировал А.Н. Колмогоров, 1960 год
158
Отчет В.И. Арнольда,
главного научного сотрудника отдела геометрии и топологии
Математического института им. В.А. Стеклова,
о научной работе 2004 года.
Основные научные результаты этого года относятся к исследованию теоретико-числовой
турбулентности эргодическими и статистическими методами, включая изучение феноменов
перемежаемости и странной асимптотики чисел диаграмм Юнга. Этот анализ включает также во-
просы среднего (чезаровского) роста делителей больших чисел и периодов геометрических про-
грессий Ферма и Эйлера, а также привел к новым сравнениям для биномиальных и для мультино-
миальных коэффициентов.
Эти результаты были опубликованы в 2004 году в статьях [1]-[6], причем большая статья [5]
содержит обзор всей построенной теории, основанной большей частью на численных эксперимен-
тах (из которых часть привела к теоремам, которые уже удалось доказать, в то время как гораздо
большая часть привела пока лишь к гипотезам, хорошо подтвержденным несколькими миллиарда-
ми нетривиальных примеров, но еще не доказанными в полной общности).
Другая серия исследований посвяшена топологической сложности собственных полей за-
дач математической физики и оценкам роста этой сложности с номером собственного поля (на-
пример. речь идет о трансцендентных обобщениях теоремы Безу, где исследуется число точек пе-
ресечения линий нулей двух собственных функций оператора Лапласа на поверхности с одинако-
вым собственным числом).
1 (слученные здесь результаты (являющиеся обобщением теоремы Куранта, согласно которой
нули /?-ой собственной функции делят колеблющееся многообразие не более, чем на п частей) из-
ложены в статье [7] (где обсуждается также ошибка Куранта и Гильберта, пытавшихся оценить то-
пологию линейных комбинаций первых собственных функций, а также попытки исправления этой
ошибки, приводящие к своеобразному аналогу теории Штурма).
В работе L8J доказано неожиданное обобщение теоремы о трех высотах треугольника: ока-
зываемся. в геометрии Лобачевского высоты пересекаются в одной точке, только если пополнить
плоскость Лобачевского релятивистским миром де Ситтера, аналитически продолжающим мо-
дель Клейна геометрии Лобачевского на дополняющий плоскость Лобачевского до проективной
плоскости лист Мёбиуса.
Удивительно в этом доказательстве то, что теорема о пересечении высот в одной точке ока-
зывается не чем иным, как тождеством Якоби для алгебры Ли квадратичных форм на сим-
плсктической плоскости (операция в этой алгебре Ли сопоставляет паре квадратичных форм их
скобку Пуассона, тоже являющуюся квадратичной формой).
Тот факт, что алгебра этих квадратичных форм изоморфна геометриям Лобачевского и де
Cimcpa вместе, имеет много неожиданных приложений (в обе стороны).
В статье [91 построена своеобразная геометрическая теория полей Галуа (т. е. полей из ко-
нечного числа элементов). Эта геометрия приводит к неожиданным связям теории полей Галуа с
динамическими системами и со статистикой, доставляющим необычные эргодические свойства
таблиц сложения в этих полях (обладающих целым рядом черт таблиц случайных чисел).
159
Некоторые из этих наблюдений оказываются новыми и нетривиальными уже для простейших
нолей вычетов по простому модулю. Например, геометрическая прогрессия Ферма, образованная
степенями одного вычета по модулю р, оказывается асимптотически равномерно распределенной
по целочисленной окружности вычетов при стремлении простого числа р к бесконечности: на по-
луокружность попадает примерно половина рассматриваемых вычетов.
С другой стороны, та же геометрическая теория сопоставляет каждому полю Галуа ряд про-
ективных структур на конечных проективных пространствах (для поля из р2 элементов — на
множестве из р+7 точки, образующем «проективную прямую вычетов»).
Преобразования Фробениуса поля Галуа действуют на описанной «прямой», переставляя эти
специальные проективные структуры (например, для р-13 таких специальных структур на множе-
стве из 14 точек три. и 48 преобразований Фробениуса переставляют их циклически).
В этой новой области столь же удивляет красота геометрических фактов алгебраической тео-
рии, как и то, что эти, казалось бы, напрашивающиеся исследования не были (сотни лет назад)
проведены специалистами по теории чисел: результаты получаются здесь методом Ферма, то есть
анализом простейших числовых примеров, где даже без компьютера обнаруживаются неожидан-
ные закономерности геометрического характера и своеобразная эргодически-стохастическая сто-
рона поведения больших естественных объектов.
За истекший год я опубликовал также ряд книг ([10], [11], [12]), задачников ([15], [19]) и
статей о преподавании математики и о ее истории и перспективах ([13], [15], [16], [17], [18]).
Хотя книга [10| (совместная с Б.А. Хесиным) — перевод ранее вышедшего английского из-
дания. русское издание существенно переработано и улучшено, оно потребовало большого труда.
Книга [11] является (переработанным) переводом с русского ранее вышедшего оригинала, но
она включает новый материал, который подготовлен теперь и к включению в готовящееся русское
издание.
Книга [12] является переработанным переводом с русского сочинения участников моих се-
минаров в Москве и Париже, здесь тоже много нового, но писали в основном ученики, а я только
проверял.
Описывать содержание статей о преподавании и об истории здесь заняло бы слишком много
места — замечу только, что в них выражено мое мнение о необходимости сохранения высокого
математического уровня в нашей стране, вызвавшее возражение многих коллег и широкие обсуж-
дения. вплоть до Государственной Думы.
160
Список публикаций В.И. Арнольда 2004 года.
1. Динамика Ферма, арифметика матриц, конечная окружность и конечная плоскость Лобачевско-
го, Функциональный анализ и его приложения, 2004, том 38, выпуск 1, с. 1-15.
2. Fermat dynamics of matrices, finite circles and finite Lobachevsky planes. Cahiers du CEREMADE,
Uni versite Paris-Dauphine, 2004, № 0434, 31 pp.
3. Ergodic arithmetical properties of geometric progressions dynamics. Moscow Mathematical Journal,
2004. т.4, 20 pp.
4. On the matricial version of Fermat-Euler congruences, 2004,28 pp. (Сдано в «Selecta».)
5. Number-theoretical turbulence in Fermat-Euler arithmetics and large Young diagrams geometry statis-
tics. Journal Mathematical Fluid Dynamics, 2004, 50 pp. (Сдано в печать.)
6. Матричная теорема Ферма-Эйлера. Известия Российской Академии Наук/Серия математическая,
2004. т. 68.№6, Юс.
7. On the topology of the eigenfields. Topological Methods of Nonlinear Analysis, 2004, 20 pp. (Сдано в
печать.)
8. Lobachevsky triangles altitudes theorem as the Jacobi identity in the Lie algebra of quadratic forms on
symplectic plane. Journal of Geometry and Physics, 2004,24, 7 pp. (Перевод этой статьи готовит «Ма-
ге.\ । ати чес кое просвещение».)
9. 1 ео.метрия и статистика полей Галуа. Успехи Математических Наук, 2004, 59, № 6, 25 с.
10. Топологические методы в гидродинамике. Фазис, 2004, 376 с. (совместно с Б.А. Хесиным).
11. Arnold Problems. Phasis — Springer, 2004, 640 pp.
12. Lectures on partial differential equations. Springer, 2004,166 pp. (Одновременно они издали и не-
мецкий перевод этой книги.)
13. Abel’s theory and modern mathematics. Stockholm Intelligener, 4-th European Congress of Mathe-
matics. Springer. 2004. pp. 6-7.
14. Problems to the Seminar; 2003-2004. Cahiers du CEREMADE, Universite Paris-Dauphine, 2004,
№ 0416, 38 pp. (Перевод на русский язык готовится МЦНМО.)
15. А.Н.Колмогоров и естествознание. Успехи Математических Наук, 2004, т. 59, №1, с. 25-44.
16. Что такое математическая физика? Успехи Физических наук, 2004, т.174, № 12, 8 с.
17. Как выбирали академиков и как их ликвидировали. Вестник Российской Академии наук, 2004,
т. 74, № 7. с. 670-672.
18. Эксперты против простоты. Математическое просвещение, 2004, 6 с.
19. Задачи для школьников 5-15 лет, МЦНМО, 2004,16 с. (Сдано в печать.)
161
2007 г.
АРНОЛЬД ВЛАДИМИР ИГОРЕВИЧ
Стр. 63-81
Профессор, доктор физмат. Наук, действительный член АН СССР (с 1991 г.-РАН), действительный член РАЕН,
член академий наук США, Парижской, Американской академии искусств и наук, Европейской Академии, Aca-
demia dei Lince в Риме; Почётный член обществ: Лондонского математического, Лондонского Королевского,
Американского философического; вице-президент Международного математического союза, президент Мос-
ковского математического общества; почётные докторские степени университетов: Пьера и Марии Кюри (Па-
риж), Варвика (Ковентри), Утрехта, Болоньи, Мадрида, Торонто; премии в области математики: Московского
математического общества, Ленинская, Крафоордская Королевской Шведской Академии наук, Лобачевского
РАН, Харвиевская премия Техниона (Хайфа), Американского физического общества, Вольфовская (Иеруса-
лим): именем В.И. Арнольда названа малая планета Vladamolda №10031; вошёл в энциклопедический словарь
«Отечество. История. Люди. Регионы России», 1999г.
Весной 1998 года Парижская полиция подобрала меня, лежащего без чувств с проби-
тым лбом рядом с моим велосипедом, и доставила меня в больницу. За несколько недель
французские врачи вытащили меня из бессознательного состояния. Но я не узнавал сына и
сказал о жене: «Эта женщина утверждает, что она моя жена». Врач поинтересовалась: «А
сколько лет вы женаты?» Я правильно ответил: «Двадцать четыре». Врачи записали: «Ариф-
метические способности сохранены».
Потом французские врачи говорили мне, что при таких повреждениях мозга любой
француз умер бы сразу. «Но русские - двухжильные, - добавили они. - Несколько месяцев
ещё проживёте». В западном учебнике я прочёл о смертельных дозах ядов: «Что касается ал-
коголя, то для русских смертельная доза в несколько раз выше». Видимо, с травмами дело
обстоит аналогично.
162
Впрочем, когда я и через полгода не умер, а напротив, стал вы-
здоравливать, то врачи нашли для этого научное оправдание:
они обнаружили, что я, не зная того, переученный левша. А в
таком случае неповреждённое полушарие мозга может вре-
менно взять на себя функции повреждённого, пока то не опра-
вится, что и произошло.
(В.И. Арнольд. Истории давние и недавние. М. ФАЗИС. 2002.
Фрагмент предисловия)
ОТЧЁТ
главного научного сотрудника отдела геометрии и топологии
Математического института им. В. А. Стеклова
Российской Академии наук
В. И. Арнольда о работах за 2006 год
Из новых открытий этого года выделяется целая серия работ о числах Фробениуса ад-
дитивных полугрупп целых чисел. Число Фробениуса N(a\,. . . ,ап), где наибольший общий
делитель натуральных чисел as равен 1, определяется как наименьшее целое число N, такое,
что и оно само и все большие целые числа входят в аддитивную полугруппу линейных ком-
бинаций вида xi«i + ...+хпап с целыми неотрицательными коэффициентами.
Если п = 2, то N(a\,az) = («1-1)( 02-1), но, начиная с п = 3 функция А аргументов as ве-
дет себя довольно хаотически, меняясь при небольших изменениях аргументов, и вопрос о
порядке скорости роста числа Фробениуса при росте вектора а до сих пор не решен. В [2]
I+-L_
доказано, что число Фробениуса растет не медленнее, чем const а (п °, и не быстрее, чем
const о2, причем и та и другая границы достигаются для векторов а нужных направлений
(здесь о(а) = ai+ ... + ап).
Численные эксперименты [3] показывают, что в среднем (по всем направлениям а/о(а)
векторов а с данным значением числа о(а)) скорость роста приближается при больших зна-
н—!—
чениях о(а) к const о (п ° (что было предсказано в качестве гипотезы в статье В. И. Ар-
нольда «Слабые асимптотики чисел решений Диофантовых задач» в 1999 году, но полно-
стью не доказано и до сих пор).
Исследования этого роста сильно облегчает доказанная в работе [4] связь чисел Фробе-
ниуса N(a,b,c) с цепными дробями (и чисел Фробениуса N(a\,. . . ,ап)) с «-2-мерными цепны-
ми дробями).
1+—!—
Средний рост порядка с (п-1) объясняется тем, что более быстрый рост (порядка о2)
хотя и встречается, нетипичен: он наблюдается вблизи резонансных соотношений между
компонентами as вектора а (вроде as= («1+ аД, а такие резонансные направления составляют
меньшинство.
Особенно ясно эта статистика видна в серии компьютерных вычислений, проделанных
по просьбе В. И. Арнольда в Калифорнии (опубликованной в [3]).
Эти компьютерные эксперименты еще не доказывают предполагаемые асимптотиче-
ские теоремы, но доставляют большой шаг к ним.
163
Вопросы общего характера о соотношениях между экспериментальными эмпирически-
ми исследованиями и предельными теоремами подробно обсуждаются в книгах В. И. Ар-
нольда «Экспериментальная математика», Фазис, М. 2005, и «Экспериментальное открытие
математических фактов» [5].
Эта последняя книга представляет собой издание лекций В. И. Арнольда в проведенной
в июле 2006 года в Объединенном Институте Ядерных Исследований в Дубне школе для
старшеклассников, бывших в прошлом году победителями математических олимпиад.
Другие лекции Арнольда в этой школе в Ратмине, у впадения Дубны в Волгу, организо-
ванной Московским Центром Непрерывного Математического Образования, уже привели к
целой серии открытий, сделанных слушателями в направлении решения предложенных лек-
тором задач.
Несколько лекций было посвящено статистике функций Морса (на сфере и на торе) [6],
[7], [8]. Теория топологического строения функций Морса на двумерной сфере является пря-
мым продолжением вопроса 16-й проблемы Гильберта об алгебраических вещественных
кривых фиксированной степени на вещественной проективной плоскости.
Разница состоит в том, что вместо линий уровня многочленов (являющихся алгебраиче-
скими кривыми) Арнольд исследует топологическое строение самого многочлена [6].
В случае многочленов от одной переменной топологическая классификация функций
Морса с данным числом критических точек приводит (в качестве экспоненциальной произ-
водящей функции) к ряду Тейлора функции тангенс.
В случае двух переменных роль тангенса переходит к некоторому эллиптическому ин-
тегралу. Гипотеза Арнольда в статье [6] о росте числа топологических типов функций Морса
на двумерной сфере по мере роста числа Т критических точек (а именно, о росте порядка
Т2т) была доказана американским математиком румынского происхождения Ливиу Николае-
ску. Он отыскал в Интернете видеозаписи прочитанных в конце 2005 года лекций Арнольда
об этой гипотезе (на заседании Московского Математического Общества в ноябре 2005 г. и
для школьников в Дубне в августе 2005 г.).
Николаеску, связавший эту задачу Арнольда с идеями квантовой теории поля, опубли-
ковал свое доказательство в издающемся в Москве журнале «Функциональный анализ и дру-
гая математика» в 2006 году.
Арнольдом получены в 2006 году другие обобщения [7], [8] тех же результатов 2005
года работы [6] (о функциях на сфере): они относятся к топологической классификации
функций на торе (и тригонометрических многочленов) вместо функций на сфере (и обычных
многочленов) из [6].
Неожиданное изменение при переходе от сферы к тору состоит в том, что число аабасов
топологической эквивалентности функций Морса с заданным числом критических точек бы-
стро становится бесконечным, но число типов, реализуемых при этом тригонометрическими
многочленами заданной степени, остается конечным (см. [8]).
Эти исследования работ [7] и [8] потребовали новых результатов о топологическом
строении тригонометрических многочленов, где, например, даже вопрос о росте числа кри-
тических точек на торе с ростом степени (или диаграммы Ньютона) тригонометрического
многочлена в общем виде не решен и глубоко нетривиален (см. [8]).
Уже для тригонометрических многочленов степени 1 с диаграммой Ньютона, достав-
ляемой аффинной группой Коксетера А2, вычисление числа критических точек потребовало
серьезного исследования геометрии эллиптических кривых [8].
Другая лекция в Дубне была посвящена статистике перестановок точек конечного тора,
2 1
доставляемых его автоморфизмами. Уже для автоморфизма Фибоначчи (с матрицей )
статистика разбиения п2 точек конечного тора Z 2 на циклы оказывается совершенно непо-
хожей на статистику разбиения на циклы случайной перестановки такого же числа точек (см.
[5], [9]).
164
Наряду с большим числом теорем об этих разбиениях, указанные работы Арнольда со-
держат полуэмпирические данные об асимптотике разбиения на циклы членов случайных
перестановок [9].
Случайные перестановки доставлялись в этих Монте-Карло экспериментах а) номерами
телефонов членов Национальной Академии Наук США в Вашингтоне, б) номерами автомо-
билей, проезжавших по улице Вавилова мимо Математического института им. В. А. Стекло-
ва в Москве и в) полями Галуа изр2 элементов [9], [10]. Полученные в этих трех эксперимен-
тах распределения длин циклов перестановок оказались сходными между собой, подтвер-
ждая гипотезу В. И. Арнольда об асимптотиках этих распределений, усредненных по всем ml
Перестановкам т элементов.
Но осуществляемые элементами группы SL(2,Z) перестановки точек конечных торов
имеют совсем непохожие на эту асимптотику распределения длин циклов [9].
В 2006 году В. И. Арнольд находился в январе и феврале в командировке в Париже, в
университете Париж-Дофин, факультет Исследования операций (CEREMADE), где В. И.
Арнольд является с осени 2005 года почетным профессором.
Кроме того, в марте и апреле 2006 года он работал в Институте нобелевского лауреата
Абдуса Салама «Международный центр теоретической физики» (в Мирамаре около Триеста,
в Италии).
Список опубликованных и подготовленных к печати в 2006 году работ
1. Statistics of the Symmetric Group Representation as a Natural Science Question on Asymp-
totics of Young Diagrams. American Mathematical Society Translations, Series 2, Volume 217
(Advances in Mathematical Sciences, fonnely “Advances in Soviet Mathematics”, Volume 58):
“Representation theory, Dynamical Systems and Asymptotic combinatorics”, 2006, pp. 1-7.
2. Geometry and growth rate of Frobenius numbers for additive semigroups. Mathematical
Physics Analysis and Geometry Journal, 2006,12 pp.
3. Arithmetical turbulence of selfsimilar fluctuations statistics of large Frobenius numbers of
additive semigroups of integers. The Abdus Salam International Centre for Theoretical Physics,
ICTP, Miramare, Trieste, June 2006, 24pp.: IC/2006/037<http: //www.ictp.it/~pub_off>.
4. Geometry of continued fractions, associated to Frobenius numbers. The Abdus Salam Inter-
national Centre for Theoretical Physics, ICTP, Miramare, Trieste, June 2006, 12pp.:
IC/2006/038<http://www.ictp.it/~pub_off>.
5. Экспериментальное открытие математических фактов. Лекции для школьников в
Дубне, Объединенный Институт Ядерных Исследований, июль 2006. Московский Центр Не-
прерывного Математического Образования (МЦНМО), 2006, 100 страниц.
6. Smooth functions statistics. The Abdus Salam International Centre for Theoretical Physics,
ICTP, Miramare, Trieste, April 2006, 10pp.: 1С/ 2006/012<http://www. ictp.it/~pub_off>.
7. Статистика и классификация топологий периодических функций и тригонометриче-
ских многочленов. Труды Института Математики и Механики Уральского Отделения Рос-
сийской Академии Наук, том 12, № 1, Екатеринбург, 2006, стр. 15-24.
8. Topological classification of trigonometric polynomials, related to affine Coxeter group A2.
The Abdus Salam International Centre for Theoretical Physics, ICTP, Miramare, Trieste, June
2006,16pp.: IC/2006/039 <http: //www.ictp.it/~pub_off>
9. Statistics of Young diagrams of cycles of dynamical systems for finite tori automorphisms.
Moscow Mathematical Journal, Vol. 6, №1 (2006), pp. 43-56.
10. Dynamics, statistics and projective geometry of Galois Fields, Cambridge University
Press, 2006, 72 pp. (это - перевод книги «Динамика, статистика и проективная геометрия по-
лей Галуа», изданной в Москве в 2005 году издательством Московского Центра Непрерыв-
ного Математического Образования).
165
11. Complexity of finite sequences of zeros and ones and geometry of finite spaces of func-
tions. Functional analysis and other mathematics, Volume 1, issue 1,2006, pp.1-18.
12. On the aa6ady version of Fermat-Euler congruences. Japanese Journal of Mathematics,
Vol. 1,№1 (2006), p. 1-24.
13. Недооцененный Пуанкаре. Успехи математических наук, т. 61, вып. 1 (137), стр. 3-
34.
14. Mathematical Methods of Classical and Celestial Mechanics (совместно с В. В. Козло-
вым и А. И. Нейштадтом), 3-е издание на английском языке, Springer.
15. Mathematical Models of Catastrophes. Control of catastrophic processes (совместно c A.
А. Давыдовым, В. А. Васильевым, В. M. Закалюкиным). В книге: Mathematical Models of Life
Support Systems. IASA (International Institute for Applied Systems Analysis, Laxenburg, Austria)
<www.iiassa.acat./publications> 2006,48 стр.
16. Mathematical .Models. Springer-Verlag, 2006,300 pp.
17. Война против науки. Издательство ГУ-ВШЭ, М. 2006,300 стр.
В 2006 году В. И. Арнольд был президентом Московского Математического Общества,
главным редактором журнала «Functional analysis and other mathematics» и членом редколле-
гий следующих журналов: Успехи математических наук, Доклады Академии Наук, Известия
Академии Наук, серия математическая, Moscow Mathematical Journal, Topological Methods of
Nonlinear Analysis, Geometry and Physics, Bulletin des sciences mathematiques, Advanced in So-
viet Mathematics.
ВИКТОР ГЮГО. НАУКА И ВЫЧИСЛЕНИЯ
«Вычисленья тянут в бездну» -
«Умных не брани, болезный,
Лучше - чем-нибудь живым
Разгони абстрактный дым:
Ощутимые предметы
Бесконечностью задеты,
И никто не объяснит,
Что за термином стоит.
Джунгли нужны ягуару,
Нет без спирта перегару,
Гром за молнией спешит,
Птица в воздухе летит -
- приземлённость - от земли,
В королевстве короли,
А тайфун и ураган
Баламутят океан.
Без основы пониманья
Нету пользы от названья,
Вычислитель же, взамен,
Понимает формул член».
Отказавшийся от света
Он совсем не видит цвета,
166
Луч зенита, вонь надира -
Кверх ногами вся квартира:
Формы - саван заменил,
Мысль - от жизни отлучил.
В страхе следует природа
За наукою народа:
Ночи разума темны,
«Только формулы умны».
Числа темноту считают,
Реомюра заменяют,
Защитившись цифр стеной,
Покорной алгебре одной.
Этой алгебры ступеней
Каблуком касался гений -
Как Гермес, так и Дедал
Стену здесь перелезал.
Здесь конических сечений
Не услышишь песнопений,
Но гипербола стремится
В асимптоту превратиться.
Многогранные тела,
Заменив колокола,
Темнотой наполнив ночь,
Всё живое гонят прочь.
Мира вечное движенье
Здесь зовут «предположенье»,
Теорем беззвучен гром,
Без огня сгорает ром.
Странных чисел сталактиты
На стене давно прибиты -
В подземелье вычисленья
Не найдут пути моленья.
Жизнь, и кровь и семена -
Не для вас оголена.
Здесь абстрактная система -
Роковых дедукций схема.
Математика - провал
В шахту истины. Нелепы
Мёртвых идеалов склепы,
Славен - красоты овал.
А под тению акаций,
Камень кто грызёт науки,
Звёзд абстракций
Слышит звуки,
Видит стены и туманы -
Фресок тёмные обманы
Ночью - мыслей превращенье,
И ошибок наблюденье.
Вычислений сила злая -
Чисел страшная Сикстина -
Свет увидеть здесь мечтая,
Микеланджело зовёт
В шахте сей зарытый крот.
И слепое прозябанье
Разбудить должно б желанье
Перейти, где жизнь другая,
Где прекрасных мыслей стая -
Созидание навек,
Вот, что любит человек!
Это стихотворение В. Гюго я заметил в 2006 году, обнаружив в своей библиотеке, в по-
даренной мне в 1965 году Франсуазой Трамони в Париже книжке «Anthologie du chant roman-
tique» (rennie et presentee par Maurice Toesca), Edition Albin Michel, Collection Dilecta, Paris,
1964,286 p.
Франсуаза, желая приобщить меня к гуманитарной культуре, написала на книжке, что,
«хоть я и заслужил Ленинскую премию за любовь физическую» (т.е. к физическим наукам),
не следует пренебрегать в любви и романтической поэзией.
Очень хорошо помню, как она устраивала для меня осенью 1965 г. музыкальные вечера
в своей гостиной, где её дочка чудесно играла мне на арфе многочисленных классиков.
Но антологию романтической поэзии я тогда, к сожалению, не полюбил, и ни приве-
денных выше стихов Гюго, ни приведенных ниже стихов Марселины Дербор-Вальмор до
2006 года не заметил.
167
Необыкновенная слава Гюго среди французов казалась мне аналогом популярности Черны-
шевского у русских писателей XIX века, и его неожиданно правильное понимание атематики
удивляет меня даже сегодня. В его тексте есть такие стихи (не подряд):
Mathematiques! Chute au fond du vrai! Tombeau
Ou descerd Г ideal qui rejette le beau!
Abstrait! Cher aux rongeurs comme Г etoile aux guebres!
Mur de bronze et du brume! O, fresque des tenebres
Ou ces damnes, perdus dans le labeur qu’ils font
S’ecroulent a jamais daus le calcul sans fond!
Sur la nuit torsion de Г idee en dehors
Des etres, des aspects, des rayons et des corps.
En dehors des vivants du sang ou de la seve,
En dehors de toute etre errant, peasant, aimant,
On dehors des object sur qui le jour se leve...
В моём (вольном) переводе
Чуждается абстрактная наука
И моря трепетанья, и реки,
Не видит красоты, не слышит звука
В своей пещере, сердцу вопреки.
Абстракция нужна, как звёзды осам:
Она чревата жизни перекосом.
Но заканчивает Гюго оптимистической надеждой на «математического Микеланджело», ко-
торый выведет вычислителей из их пещеры к живому, где цветёт вдохновение:
... vie et monde, qu’on devine
Au fond de la pensee etemelle et divine.
А пока что - одни «таинственные письмена» алгебры:
Regarde. La science exacte est devant to I...
Ces aa6ady, muets, sourdes, sur leur aile funebre
Apportent au songeur cetle echelle, I’algebre;
L’echelle, faite d’ombre, et dout les aa6ady
De Dedale et Hermes aut use les talons.
Точная наука в голом виде: немые и глухие привидения, приносящие тебе на своих погре-
бальных крыльях лестницу алгебры, сделанную из теней, ступени которой помнят ещё ступ-
ни и Дедала, и Гермеса.
168
Галилей
У Галилея была незаконная дочь Мария, на матери которой он не мог жениться, хотя
у них было трое детей, так как, во-первых, учёному не полагалось отвлекаться семьёй от
науки, а во-вторых из-за того, что Марина Гамба происходила из нехорошего города (Вене-
ции), а не из благородных мест: Тосканы или Пизы, Флоренции или Сиены, Падуи или Ман-
туи, откуда прилично было бы взять жену сыну обедневшего музыковеда и композитора,
внуку врача, предки которого ставили свои подписи под государственными актами города и
княжества сотней лет раньше.
Дочка обожала отца и мечтала поскорее уморить себя голодом, чтобы, представ перед
Господом, умолять его облегчить мучения преследуемого инквизицией отца. Она писала ему
по нескольку писем в неделю, и они сохранились (в отличие от ответов Галилея, которые
были уничтожены близкими после смерти дочки как сочинения еретика). В этих письмах (я
прочёл их в очень интересной книге Д. Собель «Дочь Галилея», изд. О. Жакоб, Париж, 2001,
366) дочь, например, пишет отцу, что «прилагаемое сваренное варенье из лимонов и апель-
синов, которые он вырастил в своём саду из косточек, недостаточно хорошо, чтобы подвер-
гать и дальше его здоровье угрозе сквозняков и дождей в саду, которым он так гордит-
ся»... У мерла Мария в возрасте около 30 лет, в монастыре Сен-Матео над Флоренцией в Ар-
кетри, около которого Галилей купил себе дачу «II Gioiello», которая впоследствии стала ему
и тюрьмой. Галилея преследовали после сожжения Джордано.Бруно и нападок на Вителиуса
- врача, осуждённого (почти одновременно с Коперником, т.е. сразу после смерти aa6adytro)
за то, что он публично пересчитывал рёбра во время демонстрируемых им вскрытий, и тем
саамы доказывал, что их у мужчин и женщин одинаковое число, вопреки канонической ис-
тории производства Евы.
Галилей писал, что «великие учёные, подобно орлам, встречаются редко и малозамет-
ны, шум же производят хорошо сорганизовавшиеся банды скворцов».
Начинал он, по совету отца, мечтавшего о больших заработках для сына, в качестве
студента-медика в Университете Пизы (где в разговорах со мной до сих пор настаивают на
том, что своей славой и Галилей, и Ферми обязаны именно этому Университету, который Га-
лилей, впрочем, не окончил, поленившись сдавать дипломные экзамены). Здесь около биб-
лиотеки сохранилась описанная Данте башня Уголино, включая камеру, где его замуровали с
изображёнными Роденом сыновьями, которых он и съел.
Славная научная деятельность Галилея началась с составления гороскопа Великому
Герцогу Тосканскому Фердинанду Первому Медичи. Составление гороскопов входило в обя-
зательную программу студентов-медиков, и именно ради этого Галилею пришлось выучить и
математику, и астрономию (которые так ему понравились, что обещавшая лучшие заработки
медицина была им оставлена).
Гороскоп был настолько благоприятен, что герцог тотчас сделал Галилея Первым Ма-
тематиком Великого Герцогства Тосканского (со столицей во Флоренции), назначив его
также учителем и воспитателем своего сына и наследника Козимо II.
Несмотря на прекрасный гороскоп, герцог через три недели умер, но положение Га-
лилея было уже прочным, и он процветал в качестве Первого Математика, открыв, в частно-
сти, 4 спутника Юпитера, вошедшие в герб Медичи как «Медицейские звёзды», почти два-
дцать лет, пока не умер и благоволивший ему Козимо (игравший для Галилея такую же роль,
как А.Н. Косыгин для И.Г. Петровского), после чего «скворцы» и начали мстить Галилею за
его высокомерное презрение к миру безграмотности и невежества.
Галилей вовсе не говорил инквизиторам “eppur si muove” (“а всё-таки она вертится”):
наоборот, он и говорил, и писал, что «никогда не верил, не верит и не собирается верить в
теорию Коперника, так как эта гипотеза отнюдь не доказана». Он также указывай, что дока-
зана она будет тогда, когда улучшение качества телескопов позволит измерить параллакс
звёзд, т.е. изменение направления на звезду за счёт полугодового перемещения Земли на 300
169
миллионов километров по орбите вокруг Солнца; этот параллакс и был измерен, в 1838 году,
Бесселем, для звезды 61 созвездия Лебедя.
Всё же Галилей приводил и свои оригинальные доводы в пользу теории Коперника
(хотя и не считал вопрос решенным). А именно, наблюдая движение солнечных пятен по
диску Солнца, он заметил, что в некоторые месяцы года видимая траектория - прямая хорда,
но в другие - кривая, причём направление выпуклости сменяется за полгода на противопо-
ложное.
Объяснил это Галилей тем, что ось вращения Солнца не точно перпендикулярна плос-
кости эклиптики (плоскости орбиты Земли), поэтому в некоторые месяцы мы видим (круго-
вую в действительности) орбиту пятна немного сверху, в другие - немного снизу, а четверть
года спустя - прямо в плоскости этой окружности, что и доставляет прямолинейную види-
мую орбиту.
Для «Первого Математика Великого Герцогства Тосканского» такое антирелятивист-
ское рассуждение несколько удивительно, ведь эта кинематика совершенно не зависит от то-
го, какая точка принята за начало координат, так что объяснение одинаково годится и в Пто-
лемеевой (геоцентрической) системе координат, и в Коперниковски-Пифагорейской (как
правильно называл её Галилей), гелиоцентрической.
На его современников сочинения Галилея оказали мало влияния (хотя они и сохрани-
ли один его палец, залив его стеклом, в своём музее): только Ньютон прочёл главное из этих
сочинений “Les discourse concemant deux sciences nouvelles”, опубликованное в Лейдене из-
дательством «Эльзевир» в 1638 году. В Италии публиковать Галилея было нельзя до 1835
года. Но зато для Ньютона эти «Новые науки» были замечательно важны, и именно их он в
1687 году положил в основу своих «Математических начал натуральной философии» (Нью-
тон родился в год смерти Галилея, в 1642 году, и является прямым наследником его науки).
Мне приятно отметить, что издательство «Эльзевир» продолжает и сегодня оставаться
одним из лучших и математических издательств мира.
Издательство «Шпрингер» перевело мой английский teh-овский файл на свой амери-
канский язык так: они напечатали «египетский треугольник 32+42=52» (у меня, конечно, бы-
ло 32+42=52, но это им показалось недостаточно американским).
Путь от Галилея до Абеля и до топологии не так уж длинен, как кажется на первый
взгляд, а мракобесное преследование Вазалия и Галилея не так уж далеко от сегодняшней
борьбы обществ и государств против науки, культуры и образования. Одно из лучших мате-
матических издательств приписало мне формулу 32+42=52 (было 32+42=52).
Несколько лет назад мне пришлось в Университете Париж-Дофин участвовать в ра-
боте комиссии по переводу студентов на следующий курс. Обнаружил, что «средние отмет-
ки» у некоторых из студентов превосходят все частные отметки, из которых компьютер вы-
вел эти «средние». Я добился переделки преступной компьютерной программы, и с тех пор
меня, слава Богу, не включают в эту ежегодную комиссию. Зато министр науки Франции
включил меня в «комиссию по борьбе за защиту наследства французской науки от иностран-
цев». Пример такой защиты. В комиссии по оценке претендентов на профессорское звание в
университете лучшего кандидата отвергли за то, что «на каждой странице его работы идёт
речь либо о группах Ли, либо об алгебрах Ли, а у нас их никто не знает». Мои французские
друзья объяснили мне, что группы Ли - это повод, а причиной отвержения было то, что пре-
тендент был иностранец (из США).
Вот ещё несколько забавных деталей из жизни Галилея, о которых я узнал из книги о
его дочери.
Одно из первых научных открытий Галилея - изохронизм малых колебаний маятника,
период которых, как обнаружил Галилей, зависит только от длины маятника, но не зависит
от амплитуды его колебаний - было сделано им в соборе Пизы, где он мерил периоды коле-
баний свисающих с потолка ламп (современных часов тогда не было, и Галилей использовал
вместо секундной стрелки свой пульс). Я видел, как нынешние экскурсоводы в Пизе спорят
между собой, за какой именно из шести ламп наблюдал Галилей.
170
В книге же объяснено, что ни за какой: все эти лампы повешены несколько лет спустя
после наблюдений Галилея. Ещё Фукидид говорил, что не следует доверять историкам (на-
пример, по собственным описаниям событий, в которых он участвовал).
Маятниковые часы, изобретённые Галилеем, не принесли ему богатства, так как он,
хоть и брал деньги за то, чтобы посмотреть в телескоп, был учёным, а не бизнесменом. Но
ещё при жизни Галилея его проект усовершенствовал президент Парижской Академии наук
Гюйгенс, взявший на своё изобретение патент и хорошо на нём заработавший. Галилей пы-
тался оспаривать приоритет Гюйгенса, но ему ничего не удалось, так как он своего открытия
не только не патентовал, но и не публиковал. (Только с большим трудом удаётся мне застав-
лять своих учеников публиковать их открытия.) Мало заработал Галилей и на изобретённом
им аналоговом компьютере (который он назвал «военным циркулем»), так как он бесплатно
раздавал инструкцию, как им пользоваться.
Одно из главных обвинений против Галилея на суде инквизиции состояло в том, что
он распространял свои сочинения и мнения без должного цензурного разрешения из Рима.
Оказывается, это обвинение справедливо, но вина Галилея не так уж велика. Дело в
том, что почта из Флоренции в Рим, с которой он должен бы был отправить рукопись цензо-
рам, отнюдь не доставляла тогда в Рим даже дипломатические письма: во Флоренции была
эпидемия чумы, и карантин по дороге в Рим уничтожал все опасные отправления.
Современная электронная почта не должна бы чумы бояться, но я сталкиваюсь посто-
янно с неожиданно большим процентом недоставленных мне писем (или неполученных в
разных странах моих писем).
Недавно электронная почта нашего университета Париж-Дофин известила меня, что
мне «было бы слишком вредно» читать письмо, посланное мне академиком Ф. Хирцебрухом
(его и свой титул Я.Б. Зельдович произносил как «ЧВАН» - «Член всех Академий Наук»).
Мне так и не удалось узнать, какая была в Бонне чума (или компьютерный вирус), - всё же я
прошу всех заинтересованных в связи со мной лиц пользоваться обычной бумажной почтой,
не доверяя ни е-шай’ам, ни ГАХ’ам. Надо только избегать ещё заказной корреспонденции -
она не доставляется, даже будучи бумажной.
Набережные Дивы и пещеры Митры
Март и апрель 2006 года я прожил в деревне Систиана у самой северной точки Адриа-
тического моря. В трёх километрах севернее дома проходила по горам заметная только на
карте «Державная Межа», то есть граница Италии со Словенией. На работу я бегал по этим
горам за 10 километров, к замку «Мирамаре» (т.е. «Любуйся Морем») австрийского принца
Максимилиана (убитого в 1867 году в своём качестве императора Мексики). Пролив кило-
метров в 20 шириной отделяет Мирамаре от Хорватии, занимающей большую часть Истрий-
ского полуострова восточного берега.
Сейчас в имении Максимилиана два научных института: я работал в ICTP («Между-
народный Центр Теоретической Физики имени А.Салама»), а рядом стоит его Итальянский
напарник SISSA, национальный Институт Высших Научных Исследований ( в имя которого
вторая буква $ введена ради уничтожения созвучия с итальянским словом «сиськи»).
Основанная папой Сикстом (в честь которого и Сикстинская капелла) деревня Сис-
тиана была в конце второй мировой войны американской базой подводных лодок. Одна из
этих лодок до сих пор лежит в бухте Систианы под водой.
Отвесные и местами почти стометровой высоты скалы, составляющие берег, были,
говорят жители, коралловым рифом 60 миллионов лет назад, и недавно близ устья соседней
реки Тимаво нашли остатки динозавра.
Могучий поток Тимаво, шириной метров в 50, вырывается из-под гор за километр
примерно до своего впадения в море, а уходит под землю километров на 50 выше по тече-
нию, в Словении. Местные жители утверждают, будто Язон вернулся из Колхиды именно по
реке Тимаво (поднявшись сперва к её истокам по притокам Дуная из Чёрного моря).
171
Проверить эту версию я не сумел, хотя заплыть снизу в подводную реку и можно. Те-
чение мешает плыть вверх (но Язон ведь плыл на лодке вниз!). Зато я проверил другие
странные теории, связанные с местной географией (см. ниже).
Путь от впадения Тимаво к Систиане идёт по «тропе Рильке», проложенной им в со-
сновом лесу между деревнями Дюино и Систианой по вершинам скал. Море бьётся внизу о
вылизанные им камни сосем рядом, но к нему спуститься трудно. Рильке начал здесь «Эле-
гии Дюино». Но особенно любил эту деревню долго живший в ней Джойс. Джойс мечтал,
чтобы его похоронили в здешнем лесу, без надписи и кладбища. Бегая по горам я нашёл у
самой границы заброшенную могилу вблизи вершины горы Монте Эрмадо, в сосновом лесу
красивой карстовой воронки. Но говорят, Джойс умер и похоронен в Цюрихе, так что это
могила другого, хоть и ровно такая, о которой он мечтал.
В замке деревни Дюино, где жил Джойс, было древнее имение Турне-Таксиков, от
имени которого мы наследовали и слово «такси», и слово «taxes» (=налоги).. Сейчас на шос-
се около этого места надпись «Naberezhnye Divine», т.е. «Прибрежные Дивы». Здешнее насе-
ление - в основном словенское, хотя они и проголосовали после войны за включение района
в Италию, а не в Югославию. Жители рассказали мне, что всё это побережье Адриатики
вплоть до самой даже Равенны от немцев отвоевали русские войска, «братушки», вместе со
словенскими партизанами, исключая лишь Венецию, отданную американцам. Я раньше не
доверял рассказам солословского (подмосковного) учителя истории, как он освободил цер-
ковь в Классах около Равенны и любовался её и правда чудесной мозаикой 6-7 века, а оказы-
вается, так оно всё и было.
Мой ежедневный путь в горы вёл из деревни Систианы мимо её «Покопалища» и
«Игрища» (т.е. кладбища и стадиона). На баках для мусора написайо «да» и «не», причём на
первом баке около «да» нарисована бутылка, а на втором - остатки арбуза. Русский язык
здесь понимают лучше французского.
Уже через метров 300 от моего дома начинаются совершенно пустые поросшие со-
сной горы, обжитые только стадами оленей, не боящихся людей. Мать-олениха, почти летя
по лесу, с белым пятном на заду, ведёт за собой целый детский сад из оленят, и они обраща-
ются ко мне, прося хлеб и ласки, хотя мать кричит им, чтобы бежали за ней.
Вся эта местность называется Фриули - Джулия, так как к Италии её присоединил
Юлий Цезарь, завоевавший всю «Предальпийскую Галлию» (именно после этого он перешёл
Рубикон, чтобы завоевать Рим). Проложенные здесь Цезарем дороги видны лучше всего в
лесу: путь метра в три в ширину выложен ровными камнями, а от окружающего леса отделён
двумя каменными заборами из наваленных друг на друга обломков скал, суммарной высотой
примерно в рост человека. Похожие на римские дороги есть в Англии, под Кембриджем.
От тех времён остался в Италии крайний (в сторону Северо-Востока) населённый
пункт, где Цезарь установил римские порядки; сейчас это городок Фриули (бывший «Форум
Цезаря»), Он лежит у подножья снежных ещё в апреле Альп (вершины которых видны и с
вершин гор района Систианы, километров за тридцать).
В этом городке Цезаря меня поразил «Мост Дьявола» - арка метров в 15 высотой над
небесно-голубой горной рекой, в которой, прямо под мостом, ходят стада золотистых форе-
лей полуметровой длины каждая.
«Мостом Дьявола» он называется потому, что перестал обрушиваться только при лан-
гобардах, завоевавших эти древние места в 8 веке: они заключили с дьяволом договор, по
которому первый, кто перейдёт мост, от этого погибнет (и пустили первым осла). Сейчас по
этому мосту, не чиненном с тех пор, ходят междугородние автобусы типа «Икарус».
Двадцатиметровой высоты стены ущелья, по которому протекает под мостом река,
украшены входами в (кельтские) пещеры 3 века до новой эры, с надписью «жилища Трогло-
дитов», восходящей, видимо, к длиннобородым лангобардам, построившим в одной из этих
пещер чудесный десятиметровый в длину христианский храм (фрески которого, впрочем,
обновлены лет на 200 позже).
172
Бегая ежедневно по ближним лесным горам (высотой всего лишь 300-400 метров) за
оленями, я наоткрывал множество удивительных деталей, особенно в многочисленных здесь
карстовых воронках, глубиной метров по сто каждая. Есть, например, таинственные трёх-
метровые озёра - поилки для оленей, полные лягушек-головастиков и поедающих их трито-
нов-аксолотлей. А есть и пещеры, ведущие неизвестно куда, с разнообразными ходами в
пропасти и обитаемыми летучими мышами гротами со сталактитами.
Особенно поразила меня находящаяся примерно на километр восточнее устья реки
Тимаво большая пещера, бывшая пару тысяч лет назад храмом Митры.
Таинственная религия Митраистов родилась (как я узнал в Интернете
(http://en.wikiDedia.org/wiki/Mithraism <info@mithra.it>) после исследования этой пещеры)
примерно за 4 тысячи лет до новой эры в восточном Иране. Зароострийцы—огнепоклонники —
это более поздняя секта митраизма.
Митру изображают убивающим быка, кровью которого он «крестил» молодых людей
(ради повышения плодородия их земель). Он увлекался астрономией (так как хотел учиты-
вать предварение равноденствий для точного выбора дня сева), а родился около дня зимнего
солнцестояния, а именно 25 декабря. Христиане заимствовали эту дату Рождества у Митраи-
стов около четвертого века. Эпифания (т.е. поклонение рождённому божеству Бальтазара,
Каспара и Мельхиора) праздновалась митраистами за тысячелетия до христиан (которые за-
имствовали этот обычай у митраистов решением своего Собора 813 года).
Тертуллиан обвинял митраистов в том, что они «пренебрегают вечным спасением ду-
ши, а заботятся только об установлении социальной справедливости на Земле».
В Европу митраизм принесли с Востока римские солдаты. Например, имя «Митридат»
означает: «получивший (власть) от Митры».
Первые века Новой эры митраисты и христиане соревновались за завоевание паствы,
но христиане к четвёртому веку победили (главным образом из-за того, что митраисты ис-
ключали женщин и нищих, а христианство на них-то и опиралось).
Слово «Папа», означавшее первосвященника митраистов задолго до христианства,
последние заимствовали у митраистов вместе с другим их словом «месса».
Тысячелетиями считалось, что Митру убили враги, что его похоронили в каменном
гробу и что он воскрес через три дня. Перед тем, как отправиться затем на небо, Митра за-
дал пир своим ученикам (которых было 12, по числу зодиакальных созвездий, использован-
ных им в астрономии).
Храмы Митры (человек на 40 каждый) были всегда обязательно подземными, без све-
та, в естественных или искусственных пещерах с семью ступенями. В них посвящаемых не-
делями мучили переодетые зверями священнослужители. В современной Италии таких пе-
щерных храмов найдено около 2000, но над большинством из них впоследствии были воз-
двигнуты христианские церкви.
Иерархия миртаистов включала семь степеней: ворона - дружок - воин - лев — перс -
солнцевестник - отец. При крещении митраистов освящаемому давали хлебец с вылеплен-
ным сверху крестом (в знак освящённости хлебца).
Некоторые учёные считают, что митраисты заимствовали всё у христиан, и спорить
трудно, потому что из-за чрезвычайной любви к секретности своей религии митраисты не
оставили никакого текста своего учения. Мне понравилось замечание исследовавших эту
проблему специалистов, что «те, кто утверждает, будто митраисты всё заимствовали у древ-
них христиан - сами все христиане».
Напротив, польский математик и дипломат Ян Потоцкий в своей «Рукописи, найден-
ной в Сарагосе», явно указывает, что христианские заимствования из митраизма хорошо из-
вестны. Он знал их так же хорошо, как знал о заимствованиях братьями Бернулли, с которы-
ми переписывались его герои, теорий Ньютона (который, ведь, как и митраисты, не публико-
вал своих утверждений и держал их в тайне).
173
Например, Ньютон не опубликовал известную ему топологическую теорию римано-
вых поверхностей, а лишь использовал её в своих «математических началах натуральной фи-
лософии» для доказательства одной леммы (при исследовании «закона площадей» Кеплера и
«уравнения Кеплера» для определения места планеты на её эллиптической орбите в данный
момент времени).
Лейбниц, не знавший топологию римановых поверхностей, счел эту лемму ошибоч-
ной, но Ньютон умел доказывать её (при помощи топологии и своего «параллелограмма
Ньютона», доставляющего «решение всех уравнений: алгебраических, дифференциальных и
интегральных»). Метод параллелограмма опубликован Ньютоном лишь в виде «длинной
диаграммы», которую он считал своим крупнейшим вкладом в математику, и почему-то не
входит в современные учебники анализа.
В митраистском пещерном храме около деревни Дюино, который я исследовал, со-
хранились странные митраистские скульптурные изображения (ворона видна хорошо, а лев и
остальные могут и оспариваться) Видно то место, вроде алтаря, куда клали быка для крово-
пускания, видны непонятные надписи на неизвестном мне языке. Специалисты твёрдо уве-
рены, что эта пещера - типичный митраистский храм, они эти надписи расшифровали.
Другая исследованная мною подобная пещера - менее очевидный пример. Она назы-
вается «грот Александр» и находится километрах в двух северо-восточнее описанной, на
склоне горы Коко, метрах в 160 над уровнем моря, вблизи так называемой «Тропы Войны»,
сохранившей следы тяжёлых боёв первой мировой войны, происходивших в этих пустынных
горах.
В мало кому известной пещере «Александр», примерно вдвое большей, чем описанная
выше, есть и подобие быкоубийственного алтаря, и подобные скульптурам колонны, и ста-
лактиты, и сталагмиты, и летучие мыши, и таинственно уходящий вниз боковой ход (воз-
можно, ведущий в сторону недалёкой реки Тимаво). Но я не обнаружил следов исследования
этой пещеры специалистами по митраизму, так что оставляю решение вопросов о её истории
своим последователям.
О «Тропе Войны» в Интернете приведено много сведений: сколько человек, какого
полка погибло в бою такого-то числа у такого-то поворота этой глухой лесной тропы, учиты-
вая альпийские и спелеологические разметки разных цветов разных развилок (на участки
«А», «С» и другие), но эта местность показалась мне скорее заброшенной и недоизученной:
кроме меня и оленей ни на одной из троп никого не было, и никто не мешал мне любоваться
с высоты этой тропы прекрасным видом на Адриатику.
И принадлежащая Хорватии огромная часть восточного полуострова Истрия, примы-
кающего своей Словенской частью к Триесту, и находящийся километрах в двадцати Триест,
и замок Мирамар на полпути к нему, и ближние деревни Ауризино, Систиана и Дюино с
замком, и устье реки Тимаво с городом и верфью Монфальконе, за которыми была бы видна
Венеция, если бы не отделяющие её 130 километров, - всё видно в открывающейся панораме
прекрасно, хотя тропа поднята над недалёким морем всего на 200 метров. Из-за сферичности
Земли с высоты h метров над уровнем Земли виден круг радиусом 4 Vh километров (то есть
60 км при высоте 225 метров).
Правда, в итальянской таблице логарифмов для школьников я прочёл недавно, что
«радиус Земли в Италии несколько меньше, чем в других местах». Они вдобавок ещё и
включили единицу в итальянский список простых чисел, отличающийся этим от общеприня-
того: например, формула произведения Эйлера для дзета-функции места иметь не может.
Остающийся до «Державной Межи» (которая заметна лишь на карте) километр - со-
вершенно пустынный и местами обгоревший горный сосновый лес, с вершинами, не дости-
гающими и 400 метров, снега и сморчков, которым в марте-апреле самое время.
* http://xoomer.virgilio.it/dfrandol/sentieri%20di/%20guerra.htm
174
Зато из-под колючих метрового роста зарослей дикой спаржи лезут новые побеги,
ростом сантиметров двадцать, толщиной до полусантиметра. Они так нежны, что ещё не ко-
лют и только чуть горчат, если съешь слишком много.
Местные жители собирают их, как у нас грибы, и я тоже, хоть весь и искололся до
крови, собрал примерно с ведро (т.е. несколько тысяч побегов). Но я, видимо, не умею гото-
вить спаржу, как нужно, так что больше удовольствия получал, собирая в здешнем диком
лесу дикую сирень, вдруг бурно расцветшую, вслед за жёлтым кизилом и дроком, вишнями и
атласскими кедрами, фигами и другими украшениями здешней флоры. Место, где я нашёл
сирень, могло быть обитаемым разве до первой мировой войны (от которой видны ещё и
окопы, и руины домов горных селений, теперь же здесь встречаешь только оленей и «га-
дов»).
Эти «гады» - итальянское слово, означающее странных мохнатых гусениц, сантимет-
ров пяти в длину, живущих на соснах в гнёздах полуметрового диаметра. Гнёзда эти - вроде
осиных, только скорее белые, чем серые, из паутинного материала. И «гады», выползая из
них, составляют извилистые «процессии» метровой и больше длины, сцепившись друг с дру-
гом и передвигаясь, подобно отряду термитов (их французское название - «les
processionaires»).
Удивительно, как часто итальянские слова похожи на русские: например, слово
«странный» будет у них «strano». За месяц я прочёл по-итальянски целую книгу в 500 стра-
ниц, почти не заглядывая в словарь (где, впрочем, половины нужных слов не было, так как
они относились не к стандартному языку, а к специфическому арго алмазоискателей Южной
Африки, переехавших в Нью-Йорк.
Зато математическим занятиям на «Тропе Войны» и в её окрестностях никто не ме-
шал, и я наоткрывл много нового, и даже написал, в окружении здешних оленей, с десяток
математических статей.
В горах писать было легче, потому что дома (то по случаю католической Пасхи, то
православной) всё время передавало чудесную музыку радио Любляны: страсти Баха были в
самом лучшем исполнении, а в виде добавления к музыке можно было слушать по радио
дискуссии словенских (и других) экспертов то с Иваном Карамазовым, то с Фёдором Михай-
ловичем Достоевским, то о христианской этике, то об инквизиции, то о террористах, то о
панславянизме.
Здесь чувствуешь себя почти дома, только запад называется заходом, а восток - вос-
ходом. Но, когда радио предупредило, что завтра «в покрайнах дождиво», то дописывать
атематическую статью о статистике топологического строения тригонометрических много-
членов пришлось дома.
Фазаны Венсенского леса
В Венсенском лесу, расположенном по отношению к Парижу примерно так, как Из-
майловский парк по отношению к Москве, я часто работаю на образовавшейся после пова-
лившей лес бури поляне, под двадцатиметровыми белыми акациями, пытавшимися меня
удушить своим запахом, среди редких дубов и грабов (которых латинское название - Carpi-
nus Betulus - напоминает об их родстве с берёзой - Betula alba или Betula verrucosa, мне не-
заметном).
Однажды записываемые теоремы начали путаться в моей голове из-за странного шу-
ма. В десятке метров от меня две жар-птицы красно-оранжевого-жёлто-крапчатого цвета,
длиной (как я прочёл в последствии в учебнике) метр восемьдесят пять сантиметров (а на
мой взгляд - двухметровые), затеяли драку, токуя ради обладания своей скромной пестрень-
кой полуметровой фазанкой, обращавших на дуэлянтов меньше внимания, чем я.
Мне казалось, что целью соперников было расклевать друг другу головы, но на самом
деле это не так легко осуществить, так что они ограничивались звонкими пощёчинами, нано-
175
симыми друг другу сильными ударами огромных крыльев. Эти удары и производили шум:
нечеловеческие выкрики, которыми они сопровождались, добавляли уже немного.
Я встречал фазанов на этой полянке, у пересечения «дороги полумесяца» с «дорогой
чистого неба» и раньше, но они ходили по ней по одному пешком, отыскивая в кустах пищу,
не обращая на меня никакого внимания с тех пор, как я загорел там дочерна и без пробелов.
Между прочим, французское название “route de la belle etoile”, переведённое выше как
«дорога ясного неба», точно перевести я не умею: “a la belle etoile” («под ясным небом» -
указание не столько на хорошую погоду, сколько на бездомность, «без крыши над головой»,
по-английски соответствует скорее выражению “out door life”, «на открытом воздухе», чем
образ какой бы то ни было звезды).
Подравшись с полчаса в десятке метров к западу от меня, один из моих фазанов ре-
шил, видимо, сдаться. Он перелетел у меня над головой на восток от меня, опустившись на
таком же десятиметровом от меня расстоянии, как и точка взлёта.
Но второй фазан тотчас тоже перелетел с запада на восток, и драка продолжалась, по-
ка всю компанию не вспугнула японка с двумя детьми-дошкольниками, сыном и дочкой....
Так или иначе, фазаны улетели, а я прошёл к соседнему ручью, соединяющему между
собой озёра Венсенского леса.
Воду из Марны закачивают в самое верхнее озеро Гравель, на водоразделе между Се-
ной и Марной, на восточном краю Венсенского леса (недалеко от места, где Наполеон сокра-
тил пятнадцатиметровую петлю Марны, выкопав километровый туннель, по которому суда
проходят и сегодня, срезая петлю, в метрах ста под Жанвильским перешейком, соединяю-
щим Венсенский лес с полуостровом Сент Мор, через который наступал на Париж ещё
Атилла.
Из верхнего озера Гравель ручьи с водопадами (ширина ручья - два-пять метров, вы-
сота и ширина каждого водопада - метр) самотёком доставляют воду в полдюжины осталь-
ных озёр. Самое большое - имени Наполеоновского генерала Домениля, коменданта Венсен-
ского замка, организовавшего всё это водоустройство, но не впустившего в Венсенн русские
войска в 1813 году, угрожая взорвать Париж вместе с Венсенном накопленным им в замке
порохом: он сказал, что не откроет замка, пока враги не отдадут ему ногу, оторванную ядром
в битве при Ваграме.
Другое озеро - «Святая Мамда», у городка с таким же именем, между Венсенном и
Парижем, третье - «Минимов», и т.д.
Ручей, ближний к фазаньей поляне, зарос по берегам белой акацией, бурно цветущи-
ми грабами, липами и даже кое-где смородиной. На одном из плёсов, между двумя водопа-
дами, я обнаружил (в июне) внезапное появление аршинного размера рыб неизвестной мне
породы: ленивые, чёрные, спокойные, не похожие ни на щук, ни на окуней, ни на карпов, с
круглым жёлтым пятачком рта впереди, они предпочитают тёмные места плёса, избегая сол-
нечного света, и могут подолгу лежать, уткнувшись носом в прибрежный камень, ниже пи-
тающего плёс водопада, приносящего рыбам, видимо, и кислород, и пищу.
Мелкие (сантиметров пяти-десяти в длину) рыбы толпятся на плёсе сотнями, но три
крупные (которых я быстро научился отличать друг от друга) не обращают на них никакого
внимания.
Проходящие изредка мимо французы тоже не замечают рыб - ни крупных, чёрных, ни
мелких, серебристых. Всего в полукилометре от этого места я видел троих рыболовов с
удочками, тщетно пытавшихся что-либо выловить (на следующем вверх по течению плёсе).
Конечно, там ничего не ловилось, но зато туда можно было подъехать на автомобиле, мой же
тихий плёс, равно (и заметно) удалённый от всех больших дорог, остаётся нетронутым лес-
ным уголком, хотя на маленьком островке, почти замыкающем плёс снизу, и поставлена
уютная скамья (впрочем, уже изрезанная ножами посетителей, оставивших странные надпи-
си, вроде «KAFKA» и «та femme en shorts, la leite dedans»).
176
Последняя фраза требует от читателя некоторого филологического интеллекта: для
рифмы следует заменить одно слово противоположным, и тогда фраза становится столь же
голубой, как и сопровождающее её изображение «жены» в шортах.
Наглядевшись на рыб, я решил навестить ещё и «орнитологическую обсерваторию»
Венсенского леса. Эта обсерватория - избушка, снабжённая, вместо окон, прорезями в сте-
нах, через которые можно заглянуть вглубь окружающего леса. Этот участок леса, полный
недавно отцветшей черёмухи, огорожен (от людей и от собак) колючей проволокой, птицы
же вьют в нём гнёзда и выращивают потомство.
На стенах обсерватории, внутри её, висят портреты всех птиц, и про каждую - под-
робный рассказ. Например, сказано, когда прилетает (19 марта) и когда улетает (16 октября),
чем питается и где гнездится, причём песни каждой записаны и французским алфавитом, и
нотной грамотой. Да, вдобавок, рассказаны и ... легенды, так что я узнал в этой обсервато-
рии много для себя нового о происхождении Семирамиды и многих других, включая Ови-
диевых Филомелу, Прокму и Терея.
Например, там сказано, что стриж высыпается так: он сначала залетает километра на
два в высоту, а потом, планируя, медленно спускается (с открытым, ради пищи у земли,
ртом) во сне. Причём, утверждает текст описания, зачастую они успевают так выспаться да-
же вместе с подругой, вследствие чего и растёт их поголовье. Причём спит, как говорят, в
каждый момент только половина мозга.
Про жаворонка объяснено (со ссылкой на Элиана) происхождение его хохолка, воспе-
того Плутархом («как у каждого жаворонка появляется хохолок, так в каждом цивилизован-
ном государстве появляются сексоты»): оно доказывает (на что указывает и Аристофан в
«Птицах»), что птицы старше всех других животных и даже богов, так как они существовали
ещё до того, как земля была отделена от воды и хаоса.
У жаворонка, в это время скончались, говорят, родители, а похоронить, за неимением
земли в природе, было негде. Считается, что он взрыхлил перья у себя на голове, вырыл сре-
ди них могилу и там и похоронил родителей - от того-то теперь и хохолок.
Про ласточек сказано, будто они ближе всех к Афродите, и вот почему. Утверждается,
что, в отличие от остальных птиц, обращающихся с супругами, подобно петуху с курицей
(Петух сзади), ласточка обращена к супругу лицом.
Не могу поручиться за справедливость всех этих многочисленных историй, но одна из
них - история имени птицы «королёк» («крапивник»), по-французски «aa6adyte», тоже заим-
ствованная из «Птиц» Аристофана, заведомо ошибочна, как пишут комментировавшие Ари-
стофана филологи - вследствие того, что он спутал два похожие греческие корня, и назвал
птицу «царской» (откуда и «королёк», и похожие названия её в других языках), тогда как
речь шла о части человеческого тела, которую эта птица напоминает своим размером и фор-
мой.
Французское имя «троглодит» объясняется тем, что много гнёзд этой птицы обнару-
жили в пещерах, где, по представлениям исследователей, никто, кроме троглодитов, жить не
мог.
Раздумывая над всеми этими птицами, я подошёл к смотровой прорези и рассмотрел
окрестности в свой бинокль. Метрах в двадцати от избы в лесу - дикое озеро, слегка зарос-
шее по краям тростником. Хотя это озерцо всего метров пятьдесят величиной, птицы и гнез-
дятся вокруг, и плавают по нему, и прячутся в его тростниках.
И вот, разглядывая эту птичью жизнь в бинокль, я вдруг заметил на противоположном
берегу озера яркорыжее пятно. Я принял его за собаку, как-то преодолевшую колючий забор,
окружающий птичий заказник. Но при более внимательном рассмотрении эта собака оказа-
лась растянувшейся на берегу озера лисой, высматривающей, видимо, добычу.
Французы этих городских лис боятся, так как считают, что они заражены бешенством
и распространяют заразу стекающей слюной, из-за чего, якобы, опасно собирать в лесу яго-
ды, вроде земляники.
177
Не знаю, бешены ли мои знакомые лисы, но я ягоды собирал в большом количестве
(землянику в июне - по литру в час), после неё вишню и черешню, падающие прямо в Сену,
а позже ежевику - ведрами, но это осенью, а вот облепиху лучше всего собирать в январские
и февральские морозы, когда она градом сыплется с отряхиваемых веток, а не рвется, расте-
каясь в пальцах.
Странным образом, дикой облепихи, которую никто здесь не знает и не собирает, я
нахожу довольно много совсем близко от Парижа, например там, где большая автодорога
«Франсильенка» пересекает лес Нотр Дам. В этом месте через дорогу устроен мост для ааба-
нов и косуль леса, чтобы они могли переходить из одной части леса в другую (навестить
родственников), не попадая под машины (отстреливают их только несколько дней в году).
Шоссе окружено непроходимой стеной, которая защищает и автомобилистов от ааба-
нов, и обитателей леса от автомобилистов, - а без автомобиля какой же француз отправится
в лес? Над шоссе сделан обсаженный кустами переход для зверей (так, чтобы они и на мосту
думали, что идут по лесу и не пугались).
Так вот, эти-то кусты, защищающие кабанов от вида автомобилей, и представляют
собой, в большинстве, колючую облепиху, голые ветви которой в январе-феврале имеют ян-
тарный от ягод цвет. Научиться не слишком колоться острейшими и длиннейшими шипами,
отрясая горох примёрзших к ветвям облепивших их ягод, - не так уж трудно, а вкусна обле-
пиха замечательно.
Из других достопримечательностей Венсенского леса меня поразили многочисленные
в нём рощи атласских кедров. Этот кедр, совсем не похожий на обычный ливанский или ал-
тайский, на вид напоминает нечто среднее между ёлкой и лиственницей. Но он не сбрасыва-
ет иголок, как лиственница, и направляет шишки» скорее вверх, а не вниз, как их направляет
ёлка. Сами эти шишки больше похожи на еловые, чем на сосновые, но форма их скорее сфе-
рическая, а диаметр - сантиметров десять-пятнадцать.
Белки добывают из шишек семена, разбрасывая под кедрами чешуйки, подобные «ле-
песткам» артишока, только дюймовой величины и довольно твёрдые (а само семечко, спря-
танное под чешуйкой, меньше горошины).
Атласские кедры, родина которых южнее Гибралтара, - не человеком посаженный сад,
а дико распространяющиеся деревья, хотя в истории Франции они появились недавно. А
именно, в 1734 году французский ботаник Жюсье купил в Лондоне два атласских кедра и пе-
ревёз во Францию, посадив один из них в Париже в Ботаническом Саду, а другой - в Нуази-
ле-руа, километрах в пяти северо,-западнее Версаля. Оба атласских кедра Жюсье стоят и жи-
вут до сих пор, а от их семян, разносимых птицами, кедры распространились повсюду. В
Венсенском лесу они встречаются целыми рощами, по 10-20 ёлкообразных деревьев, но,
приглядевшись к шишкам, легко заметить разницу.
Самое старое дерево Венсеского леса - дуб, посаженный в 1795 году, после того, как
предыдущий вырубили из-за нехватки дров для отопления революционною Парижа. Теперь
он украшен облепихой и находится около Минимского озера ~ (это затопленный кольцевой
ров монастыря Минимов, о котором напоминают два сохранившихся дома у Жёлтых Ворот
Венсенского леса).
178
Мы - математики
с Ленинских гор
2009 г.
АРНОЛЬД ВЛАДИМИР ИГОРЕВИЧ
Действительный член Российской Академии наук,
Почётный доктор и академик математических обществ и академий разных стран,
Лауреат многих международных престижных премий,
Лауреат Ленинской премии, Государственной премии России-2008 г.
ПЕРЕОРИЕНТАЦИЯ НАУКИ НА «ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ»
ПРИВЕДЁТ К СНИЖЕНИЮ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОГО УРОВНЯ СТРАНЫ
Стр. 19-25
23 Дек 2008. «Троицкий вариант», Рубрика: Бытие науки
Один комментарий от редакции газеты «Троицкий вариант»; Для нас уходящий 2008
год был особенным — ведь это год рождения нашей газеты, провозгласившей своей целью борьбу с деградаци-
ей науки. Перефразируя слова одного из наших авторов, кредо «Троицкого варианта» можно определить так:
стране и самим ученым нужна настоящая наука, а не ее имитация. Именно поэтому газета регулярно высту-
пает в поддержку самостоятельности научных работников и групп, составляющих основную движущую силу
науки, в поддержку прозрачности, конкурсности, независимой экспертизы, «гамбургского счета». Именно по-
этому среди наших авторов и героев интервью — Анатолий Вершик, Виталий Гинзбург, Владимир Захаров,
Юрий Манин, Валерий Рубаков, Исаак Халатников. Теодор Шанин. Владимир Ядов, Евгений Ясин и многие дру-
гие ученые, которыми наша наука может гордиться и которым действительно есть что сказать. К сожале-
нию, несмотря на все заявления с высоких трибун о важности перехода страны на инновационный путь раз-
вития, в 2008 году недооценка значимости науки лишь усугубилась. Как уже отмечалось в ТрВ, в последнее
время из уст руководителей страны звучат слова о том, что финансовая поддержка ученых со стороны госу-
дарства — все больше и больше, а отдача от ученых — все меньше и меньше. Вместо вдумчивого анализа —
как создать нормально работающую систему связи между научными идеями и их использованием в реальной
экономике — эти тезисы в стиле «чего изволите» были мгновенно подхвачены и доведены до абсурда рядом
«экспертов». В публикуемых ими материалах ставится под сомнение необходимость развития фундамен-
179
шальной науки в России и делается вывод, что всерьез поддерживать следует лишь прикладную науку, что
РФФИ надо переориентировать на поддержку инноваций, и т. п.
Мы обратились к выдающемуся российскому математику, доктору физико-
математических наук, академику РАН Владимиру Игоревичу Арнольду с просьбой оценить
последствия возможных шагов в этом направлении.
- В последние пару месяцев звучат призывы переориентировать науку с фунда-
ментальных на прикладные задачи. Если эти призывы будут реализованы, что от этого
получит российский народ в ближней и дальней перспективе?
- Тенденции заменить «теоретические» науки прикладными не новы. Восставая про-
тив них еще в середине XX века, английский математик Харди в старости писал: «Если бы
мне сейчас пришлось выбирать себе специальность, то я бы выбрал либо теорию относи-
тельности, либо теорию чисел, ибо только эти две области никогда не будут иметь никаких
военных приложений».
Кое-что о многочисленных приложениях математики Харди знал от своего соавтора и
соседа по Кембриджскому Тринити-Колледжу Литтлвуда (занимавшегося даже артиллерий-
ской стрельбой и адиабатическими инвариантами небесной механики в связи с устойчиво-
стью планетных орбит) [1]. Но Харди следовало бы к тому времени уже знать и о «формуле
атомной бомбы» Эйнштейна Е=тс2 из теории относительности, и об успехах криптографии,
основанных на теории чисел (и приведших Тьюринга как к расшифровке немецких кодов,
так и к изобретению им компьютеров, называемых сегодня машинами Тьюринга).
«Гуманист» Харди был недоучкой, считавшим «самым гуманным оружием» горчич-
ный газ — иприт. Впрочем, не одному лишь Харди «переход от теорем к практически полез-
ным приложениям» напоминал переход от музыки Моцарта к литаврам военных оркестров
или от клятвы Гиппократа к бактериологическому оружию.
Величайший прикладник Пастер сказал о приложениях следующее: «Никаких при-
кладных наук не было, нет и никогда не будет. Есть науки, совершающие научные открытия,
и есть их приложения (т.е. использование именно открытий этой науки на пользу человече-
ству). А «прикладные науки» — это лицемерный псевдоним, выбранный для своей деятель-
ности теми, кто желает отнять у фундаментальных наук средства, естественно выделяемые
обществом на научные открытия, которые так ему нужны».
Я хотел бы подчеркнуть, что это сказал не абстрактный аксиомофил вроде Декарта
или Бурбаки, а замечательный биолог Пастер, которого все больше знают именно за его при-
кладные работы. Но начинал он с гораздо более теоретических исследований, открыв, в ча-
стности, значение киральности для биологии и жизнеобразования.
Хиральность (или хиральность) — это отличие левых винтов от правых [2]. Сложные
органические молекулы часто бывают закручены винтом, и такая молекула имеет два вари-
анта (одинакового химического состава, но являющиеся зеркальным отражением друг дру-
га). И вот Пастер открыл этот эффект «левовращения поляризации» для важнейших органи-
ческих соединений (включая даже глюкозу) — причем оказалось, что в живой природе всю-
ду встречается только один из двух симметричных вариантов.
Если кормить животное вторым (а при синтетическом производстве химиков оба ва-
рианта появляются в виде смеси, пятьдесят процентов — с левыми, а пятьдесят — с правыми
винтами), то организм сначала разберет эти неправильно ориентированные молекулы на
атомы, а потом заново соберет из них такие же молекулы другой киральности и только тогда
сможет их использовать. Естественно, на эту перестройку придется израсходовать дополни-
тельную энергию — из открытия Пастера следует, что лучше отбирать односторонние моле-
кулы корма (которые образуются при его биологическом производстве).
Один директор пары научных институтов сказал мне: «Все академики делятся на две
категории — директора и завлабы. Завлаб все свои силы тратит на научные исследования, и
за это боги посылают ему замечательные открытия. Директорам же в качестве компенсации
за отсутствие научных открытий боги посылают много денег».
180
«А кто ж ты?» — спросил я этого академика (за работы которого Нобелевскими пре-
миями наградили его последователей). Он сказал, что собирается уйти с обоих директорских
постов — и вскоре сделал это.
Для развития науки нужно поощрять не директоров, а именно завлабов. Как это ни
удивительно, но ни столь прославляемые Нобелевские премии, ни Филдсовские медали ма-
тематиков, ни избрание в члены всевозможных академий не оказали почти никакого влия-
ния на поступательное развитие науки XX века — это относится не только к российским
лауреатам (странным образом Нобелевские премии они получили именно по предложениям
иностранных, а не русских специалистов), но и ко всем им. Ни А.Пуанкаре, ни Г. Вейль, ни
Дж.Биркгоф, ни Д.Гильберт, ни А.Тьюринг не получили вполне заслуженных ими Нобелев-
ских премий (я называю только первые пришедшие в голову имена из многих и не называю
награжденных слабых лауреатов — а они тоже есть).
Ближняя перспектива для России: «переориентация» ее науки на «прикладные иссле-
дования» — резкое снижение сначала интеллектуального уровня страны, затем вследствие
этого и индустриального, а значит и оборонного.
Один мой друг-математик сформулировал «основную пользу» математики как «реше-
ние основной проблемы современного постиндустриального человечества». По его словам,
эта проблема — «перейти от наблюдавшегося более века ускорения научно-технического
прогресса к его замедлению». В этом математика, думается, и помогает: «занятия ею отвле-
кают лучшие умы от более опасных занятий, вроде усовершенствования автомобилей и са-
молетов».
Я пишу об этом вовсе не для того, чтобы согласиться с ним или с его предшественни-
ком Г.Харди. Как-то раз Харди сказал, что Гаусс правильно называл математику «королевой
наук». А именно, по словам Харди, «общая черта королевы и математики — полная беспо-
лезность обеих».
Такие безответственные высказывания и явились причиной тех опасных тен-
денций, о которых вы спрашиваете: как не уничтожить такие науки?
Эта тенденция — не российское изобретение, а гибельное явление мирового характе-
ра, напоминающее мне средневековый обскурантизм инквизиторов. Объяснение этой тен-
денции — стремление недоучек, держащих власть в своих руках, защитить себя от прихода
более компетентных конкурентов, лучше обученных молодых людей. Этим и объясняется
борьба против науки, культуры и образования, распространившаяся сейчас во всем мире.
Россия в этой мировой тенденции (как и во многих других) отстает, к счастью, лет на
тридцать. Наши школьники еще хотят учиться наукам, а не банковскому делу, решают зада-
чи олимпиад, приходят на лекции и семинары в университетах.
В отличие от, например, американских школьников, наши понимают, что 1/2 + 1/3 во-
все не 2/5 (хотя 1 + 1 = 2 и 2+3=5): не бездумно выполнять какие-то инструкции, их учат по-
нимать сущность вещей, а не действовать по готовым рецептам.
А.Пуанкаре, великий французский математик и физик (первым сформулировавший в
1895 г. принцип относительности, заимствованный у него Эйнштейном через 10 лет), гово-
рил, что понять простые дроби, вроде 2/3, можно только, разрезая на дольки либо яблоко,
либо круглый пирог.
Наших школьников так и учат до сих пор, а во Франции, как написал в недавней ста-
тье «Пятое правило арифметики» профессор физики одного из университетов Парижа, про-
стые дроби перестали объяснять школьникам (следуя американскому образцу и десятично-
сти дробей компьютера), заставив их зато учить наизусть, как таблицу умножения, «пятое
правило»: 3/б ='/з
Это пример того, к чему ведет предполагаемая «переориентировка». Ракеты полетят
не в ту сторону, понять письменный приказ офицера эти безграмотные новобранцы (состав-
ляющие до 15%) тоже не сумеют, и, как говорил Салтыков-Щедрин, хорошо, если за наш
181
рубль будут давать полтинник, «будет хуже, если за наш рубль станут давать в морду». Но я
искренне надеюсь, что эта чаша минет нас, — героические учителя школ в глубинках России
будут продолжать учить детей и дробям, и Пушкину, и Толстому, что бы ни велели им из
Москвы.
- Все знают шутку «наука есть способ удовлетворения собственного любопытства
за государственный счет». Некоторые чиновники воспринимают ее всерьез. Что на са-
мом деле оплачивает налогоплательщик, финансируя науку?
- Наука стоит гроши по сравнению с тем доходом, который от нее получают. Ни стра-
ны, ни правительства до сих пор не расплатились с учёными (начиная от Фарадея и Мак-
свелла) снабдившими их и электрическим током, и динамомашинами, и электромоторами, и
освещением, и радио, и телевидением, и электропоездами. Стоили все эти открытия малую
долю процента того дохода, который налогоплательщики получили. Академик-секретарь от-
деления математики Российской академии наук опубликовал (в ленинградской газете) свои
подсчеты: все расходы Советского Союза на математику в год составляли малую долю стои-
мости одного танка.
Между прочим, Мстислав Всеволодович Келдыш, будучи президентом Академии на-
ук, объяснил руководству страны, что, в отличие от США, советская атомная бомба (да и во-
дородная) была рассчитана задешево, потому что, в отличие от фон Неймана, использовав-
шего для расчета американских бомб компьютеры, наши бомбы были рассчитаны математи-
ком-теоретиком Леонидом Витальевичем Канторовичем (впоследствии лауреатом Нобелев-
ской премии по экономике) безо всяких компьютеров. Хотя я и не соглашался тогда со сде-
ланным отсюда выводом Келдыша о ненужности компьютеров для СССР, переубедить его
мне не удалось: возникло то наше отставание в компьютерной технике, которое тяжело ска-
зывается даже сейчас.
Замечу, кстати, что Л.В.Канторович был, по его словам, заочным учеником моего де-
да, В.Ф.Арнольда, бывшего первым математиком-экономистом в России (и опубликовавшего
в 1904 г. свою книгу, где он перевел все экономические теории, включая марксизм, на язык
теории дифференциальных уравнений). Его теории привели его к выводу, что Российская
империя по экономическим причинам распадется менее чем через сотню лет. Свои выводы
он основывал на теориях Вальраса и Парето, которые заимствовал у него позже и Канторо-
вич. За это экономисты выгнали Канторовича из Ленинградского университета, когда он
предложил там свои методы оптимизации, — его объявили проповедником в СССР фашиз-
ма, так как незадолго перед этим Муссолини объявил (давно умершего) Парето крупнейшим
итальянским математиком. Из-за этого Канторовичу, ставшему безработным, и пришлось
заниматься расчетом атомных бомб.
Сейчас его методы оптимизации используют все экономисты. Но несколько лет назад,
когда его последователи рассчитали оптимальный режим железнодорожных перевозок гру-
зов в одной из больших областей России, местная администрация отказалась внедрить эти
предложения, потому что они сокращали расходы по их перевозке на 40%. А зарплата чи-
новника, принявшего такое отказывающее решение, составляла, по определению, опреде-
ленную долю расходов на перевозку — вот он и не захотел уменьшить свою зарплату.
Этот пример ясно показывает, что науке нужна помощь общества и государства — без
такой помощи налогоплательщики, и правда, не получат даже от самой совершенной науки
той выгоды, которую она могла бы принести.
- В школе учат многим лишним вещам, которые человеку в его жизни никогда
не понадобятся. Например, доказательству теорем. Соответственно появляются призы-
вы сделать и образование более «прикладным» — учить детей непосредственно тому,
что им понадобится в жизни. В той или иной степени эти призывы реализуются в раз-
182
ных государствах. К чему приводит и может привести подобное реформирование обра-
зования?
- Мнение, будто доказательства теорем — лишние «вещи, которые никому никогда не
понадобятся», - распространенное заблуждение. Не понадобятся они послушному стаду ра-
бов, готовых исполнять не понимаемые ими приказы начальства.
А сознательное, творческое в любой деятельности настолько близко к доказательству
теорем, что нет лучшего способа воспитать его, чем решение математических задач, в том
числе и доказывание теорем.
В детективной повести Виктории Токаревой «Коррида» (о смерти каскадера на съем-
ках фильма) режиссер объясняет следователю, зачем нужна математика (при расследовании
- чья жертва каскадер): «Математика - это все то, что можно объяснить». Вот это стремле-
ние все понимать и все объяснять и воспитывается доказательством теорем (о пользе гимна-
стики для физического развития человеческого тела все уже узнали, а с теоремами дело ведь
обстоит аналогично).
Хорошо известен случай с государственным деятелем, критиковавшим своего про-
тивника так: «Это не просто отрицательная величина, это — отрицательная величина в квад-
рате!».
Беды, к которым приводит такая безмозглость, слишком хорошо известны, чтобы о
них говорить. Причем образованность здесь не помогает. Академик-естественник
И.И.Майский, бывший послом СССР в Великобритании, пишет о своей беседе с видным
английским руководителем: «Я сразу понял, что мы с ним отталкиваемся как разноименные
электрические заряды». Надеюсь, что читатели «Троицкого варианта» знают, что эти заряды
как раз притягиваются.
Учить детей «непосредственно тому, что понадобится» невозможно и бессмысленно:
надо учить их понимать причины вещей, думать (и предвидеть результаты принимаемых ре-
шений).
Слесарь Валентин Дмитриевич в академическом поселке сказал хозяйке одной из дач:
«Что вы натворили на последних выборах? Выбрали Кольку, а какой он академик? Он в про-
фессора не годится — я просил его закрутить гайку под раковиной, а он не знал, в какую
сторону она завинчивается!». Я очень любил (покойного) В.Д., но не уверен, что обучение
академиков должно сводиться к умению завинчивать гайки.
Вот еще один довод против обучения «тому, что понадобится в жизни». Живя в
1994 г. в Хайфе, около их Техниона, в квартире израильского педагога, я прочел у него (по-
английски) труды их конференций по школьному образованию. Там было сказано: «Есть две
основные системы образования: европейская и американская. В Европе школьника учат ду-
мать, воспитывают мыслящую личность. В США об этом не заботятся, зато учат тому, что
нужно в реальной жизни, — например, вождению автомобиля и поведению на бензоколонке.
Ни тот, ни другой способ в Израиле не подходит — потому что ни тот, ни другой не
решает нашей основной задачи: воспитать НАСТОЯЩЕГО ЕВРЕЯ.
Я думаю, что автор этой речи приехал из Москвы, сохранив привычный образ мыс-
лей, — он только заменил «строителя коммунизма» на «еврея».
Но на следующих страницах он объяснил, как нужно поступать. Вот, — говорит он,
— пример: урок математики. Американскому школьнику дают задачу: «Отец подарил Джону
на день рождения 100 долларов, а велосипед, который хочет купить Джон, стоит 500 долла-
ров. Отец с Джоном положили эти деньги в банк, приносящий 5% годового дохода. Через
сколько лет сможет Джон купить велосипед?»
Автор продолжает: «Для американского школьника — это хорошая задача, нужная
для практической жизни. Но у нас, в Израиле, она неприменима, она не воспитывает НА-
СТОЯЩЕГО ЕВРЕЯ».
Можно, конечно, перевести доллары в шекели — это легко. Но это не спасет задачу.
Чтобы ее спасти, надо сделать другое — надо эти сто долларов ученику реально дать!»
183
Я не стану фантазировать аналогичным образом на тему, чем заменить наше традици-
онное обучение. Оно, кстати, остается и сегодня, по моему мнению, одним из лучших в ми-
ре. Мои коллеги в Париже, в комитете по отбору профессоров для Университета Париж-
Дофин, сказали мне: «Не можем мы никак последовать твоему предложению выбирать в
профессора tex ученых, которые достигли лучших научных результатов — тогда на все по-
сты придется брать одних русских, ведь то, насколько лучше их подготовка, нам всем оче-
видно!».
В 2006 г. по результатам международного сравнительного исследования PISA россий-
ские школьники оказались на 33-34-м месте (из пары сотен), ниже французских и американ-
ских [3]. Я решил понять, в чем дело (первые места заняли школьники Тайваня, Финляндии,
Кореи и Гонконга). Оказалось, что погубила нас такая задача:
«В стране N в прошлом году бюджет тратил на науку столько-то, на оборону столько-
то, на образование столько-то, на медицину столько-то, а в следующем году по плану цифры
такие...
Завтра вам предстоит выступать на собрании «зеленых» — докажите, что страна
крайне миролюбива.
Завтра вам предстоит выступать на собрании «ястребов» — докажите, что страна
крайне милитаристская».
Наши школьники получили двойки за свой ответ, бывший таким: «вывести из одного
и того же два противоположных вывода — невозможно». А победителей в школе обучили
именно этому «важному для жизни» искусству.
Раз уж вы дали мне возможность говорить об этой жизненно важной для страны про-
блеме образования, скажу еще несколько слов, выходящих за рамки прямого ответа только
на ваш вопрос.
Недавно на совещании Совета ректоров университетов, которое проводил в МГУ
В.А.Садовничий, я выступил с предложением обсудить (и осудить) обсуждаемое в мини-
стерстве предложение — отменить доплату преподавателям университетов за кандидатские
и докторские степени, за звания доцентов и профессоров.
Сидевший напротив меня за огромным столом в кабинете ректора МГУ министр
А.А.Фурсенко ответил так: «Всем известен анекдот о воздушном шаре: заблудившиеся на
нем путешественники спрашивают у сидевшего внизу у костра жителя: «Где мы?». Он долго
не отвечает, но потом ответил: «на воздушном шаре!». Один из улетевших путешественни-
ков говорит другому: а ведь это.был математик: во-первых, он ничего не говорил, не поду-
мав, во-вторых, его ответ был совершенно верным, а в-третьих, — полностью бесполезным».
И вот, — продолжил министр, — сегодня Владимир Игоревич опроверг эту историю:
хотя он и выступил, подумав, и сказал совершенную правду, его выступление вовсе не было
бесполезным. Только зря он так волнуется — пока я министр, этот проект не будет реализо-
ван!
Я и сегодня надеюсь принести некоторую пользу этой статьей. Закончу ее более спе-
циальным обсуждением школьного именно математического образования (заимствуя это об-
суждение из американской печати: речь пойдет об американских школах, но и у нас грозят
произойти, хотя и чуть позже, аналогичные события).
В 1950 г. в школьном задачнике стояло: «Фермер затратил на выращивание своей ку-
курузы 120 долларов, а продал ее за 150. Сколько процентов составляет прибыль?».
В 1960 г. та же задача формулировалась иначе: «Землевладелец затратил х долларов
на выращивание продукта, проданного за у долларов. Каков процент дохода?».
В 1970 г. условие задачи было таким: «Собственник, тративший по х долларов расхо-
дов на обработку каждого из п акров своего участка, получил z процентов дохода. Определи-
те, за сколько долларов он продавал урожай с каждого акра?».
К 1980 г. задача изменилась опять: «Собственник тратил по х долларов на обработку
каждого из п акров своего участка, потратил, таким образом, их долларов, а дохода получил
znx. Определите, сколько процентов дохода приносит его работа».
184
В 1990 г. (сборник, из которого я все это заимствовал, вышел в 1995 г.) — снова дру-
гая формулировка: «Фермер, тративший по х долларов расходов на обработку каждого из п
акров своего участка, потратил, таким образом, пх долларов. Доход его составляет z процен-
тов от расхода, то есть znx долларов. Нарисуйте график зависимости суммы дохода от пло-
щади участка и напишите статью об этом явлении реальной экономической жизни в «Эконо-
мическую газету штата W»».
Надеюсь, что мне не нужно объяснять читателям «Троицкого варианта», что описан-
ная история «совершенствования» обучения свидетельствует о полном изгнании и математи-
ки и умения думать, и вообще воспитания интеллекта, суля обществу и стране экономиче-
ский (и иной) упадок (эти предсказания американцев 1995 г. теперь можно сравнивать с ре-
альностью).
Да минет нас чаша сия! Я надеюсь даже, что замечательные математические учебники
Киселева (особенно геометрия) будут вновь допущены к использованию школьными учите-
лями литературы (откуда его сейчас систематически исключают).
Интересно, что в США столь хороших учебников для школьников просто не было,
пока (около 2000 г.) один из приехавших в Беркли из Москвы математиков, А.Б.Гивенталь,
не перевел на английский язык и не издал там «Геометрию» Киселева.
Работая над этим переводом, он заметил, что единственным школьным учебником,
сравнимым с Киселевым по качеству (и даже по похожим на него деталям), является фран-
цузский учебник Адамара. Гивенталь подумал даже, что Киселев использовал это сочинение
великого французского математика, но оказалось, что учебник Киселева был опубликован
десятком лет раньше.
Замечу еще для составителей учебников, что книги Киселева переиздавались много
десятков раз и столь замечательными они стали лишь после первого десятка изданий: учите-
ля, пользовавшиеся ими по всей России, внесли массу улучшений, исправили немало оши-
бок.
Нынешние наши академики писать такие хорошие учебники не умеют: даже мой лю-
бимый учитель Андрей Николаевич Колмогоров давал (для примерно десятилетних школь-
ников) «научное определение угла», длина которого составляла около двадцати страниц. Он
объяснял это тем, что «угол в 721 градус — это вовсе «не часть плоскости между двумя лу-
чами».
По-моему, школьные учебники надо писать не академикам, а (лучшим) школьным
учителям — таким и был Андрей Петрович Киселев (1852-1940), преподававший математи-
ку, механику и черчение в Воронежском реальном училище.
Примечания от редакции:
1. Начиная с 1911 г., Годфри Харольд Харди очень плодотворно сотрудничает с
Джоном Литтлвудом. Большинство работ Харди написано именно в соавторстве с Литтлву-
дом. Ходила даже шутка, что в Англии живут три великих математика — Харди, Литтлвуд и
Харди-Литтлвуд, причем третий из них самый великий (из Википедии.ру).
2. Хиральность (киральность) (англ, chirality, от др.-греч. xsip — рука) — отсут-
ствие симметрии относительно правой и левой стороны. Например, если отражение объекта
в идеальном плоском зеркале отличается от самого объекта, то объекту присуща хираль-
ность. Впервые свойство хиральности сформулировано в 1884 г Уильямом Томсоном, но
распространение получило только после 1966 г., когда было введено в стереохимию Влади-
миром Прелогом.
3. P1SA — это международное сравнительное исследование образовательных
достижений учащихся (Programme for International Student Assessment), которое проводится
раз в три года и оценивает знания и навыки учащихся 15-летнего возраста (начало — в 2000
г, далее в 2003, 2006 гг.). Согласно результатам последнего исследования 2006 г., в котором
участвовали 400 тыс. ребят из 57 стран, наилучшие знания в математике продемонстрирова-
ли школьники Тайваня, Финляндии, Кореи и Гонконга. Знания выше среднего показали под-
185
ростки из Голландии, Швейцарии, Макао, Лихтенштейна, Японии, Канады, Новой Зеландии,
Бельгии, Австралии, Эстонии, Дании, Чехии, Исландии, Австрии и Словении. Россия поде-
лила 33-34-е место с Азербайджаном, попав в ту часть стран, где знание математики сущест-
венно ниже, чем в среднем по странам Организации экономического сотрудничества и раз-
вития, проводящей это исследование. См. результаты исследования PISA 2006 г. для России
на странице http://centeroko.ru/pisa06/pisa06 res.htm1
Ст. 67-69. Выступление Академика В.И. Арнольда на парламентских слушаниях в Гос.
Думе 23 октября 2002 года. - См. стр. 144-146 этой книги.
ВЛАДИМИР ИГОРЕВИЧ АРНОЛЬД
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПОНИМАНИЕ ПРИРОДЫ
Очерки удивительных физических явлений и их понимания математиками
(с рисунками автора)
Стр.108-113
Предисловие
Расследование убийства привело кинорежиссёра (в детективной повести «Коррида»
В.Токаревой) к выводу: «математика — это то, что можно объяснить».
Основной вклад математики в естествознание состоит вовсе не в формальных вычис-
лениях (или других применениях готовых математических достижений), а в исследовании
тех неформальных вопросов, где точное выяснение постановки вопроса (того, что именно
следует искать и какие именно модели использовать) составляет обычно полдела.
Собранные ниже 38 очерков преследуют именно эту цель: научить читателя не столь-
ко умножать большие числа (что иногда тоже приходится делать), но и догадываться о не-
ожиданных связях непохожих на вид явлений и фактов, относящихся порой к разным облас-
тям естествознания и других наук.
Примеры учат не меньше, чем правила, а ошибки — больше, чем правильные, но не-
понятные доказательства. Разглядывая рисунки настоящей книги, читатель сможет понять
больше, чем выучивая десятки аксиом (даже вместе с выводом из них следствий о том, куда
впадает Волга, и что едят лошади).
Б.Пастернак писал, что «вопрос о пользе поэзии возникает только при её упадке, в то
время как в периоды её процветания никто не сомневается в полной её бесполезности».
Математика — не совсем .поэзия, но я и в ней стремлюсь не допустить упадочничест-
ва, проповедуемого врагами всех естественных наук.
Добавлю ещё, что Нильс Бор делил верные утверждения на два класса: тривиальные и
гениальные. А именно, он считал верное утверждение тривиальным тогда, когда противопо-
ложное утверждение является очевидно неверным, и гениальным тогда, когда оно столь же
неочевидно, как и исходное утверждение, так что вопрос о справедливости утверждения,
противоположного к исходному, интересен и заслуживает исследования.
Пользуюсь случаем поблагодарить Н.Н.Андреева, заставившего меня написать эту
книжку.
Эксцентриситет кеплеровой орбиты Марса
Математическая модель следующих трех задач одинакова:
Гипотенуза прямоугольного треугольника имеет длину 1 м, а катет — 10 см. Найти
длину второго катета.
Математическое «решение»—по теореме Пифагора
д/1 — (1/10)2 м
1 Обзор этого исследования написан для «Независимой газеты» (2005 г., 8 июля, стр. 15) акад. В.А.Васильевым.
186
— неудовлетворительно. Дело в том, что, поскольку
(1 -а)2=1 -2а + а2~ 1-2а
(при малых а с весьма малой ошибкой а2),
VbA ~ 1-А/2.
В случае А= 1/100 получается (1 - 1/200) м, т.е. 99,5 см:
длинный катет на вид неотличим по длине от гипотенузы, разница в полпроцента не-
заметна, хотя малый угол треугольника не так уж мал (около 6°).
Эксцентриситет кеплерова эллипса Марса составляет примерно 0,1. Когда Кеплер
нарисовал орбиту Марса, он принял её за окружность, со смещённым из центра Солнцем.
Почему он так ошибся?
(На основании глазомерных наблюдений своего учителя Тихо Браге, сделанных за
много десятков лет в обсерватории Ураниборг, на принадлежавшем Тихо Браге острове
между Эльсинором и Копенгагеном: впоследствии Ньютон посылал в эту обсерваторию
Г аллея с телескопом, чтобы доказать, что и телескопические наблюдения могут давать столь
же высокую точность, что и наблюдения Тихо Браге).
Решение.
Эллипс - это геометрическое место точек плоскости; сумма расстояний которых от
двух фиксированных (называемых фокусами) точек Р и Q постоянна. Обозначим эту сумму
расстояний через 2 а. Тогда для эллипса с центром О (посредине между фокусами) и полу-
осями ОХ и OY мы находим
\ОХ\ = а (поскольку |РА] + |(Z¥|= 2 а);
12У| - а (поскольку \PY | = |0У|, |РУ| + \YQ\= 2а).
\OQ\ = еа (это - определение эксцентриситета е).
Из прямоугольного треугольника OYQ мы находим
Y
|ОУ| = э/|^у|2-|<W = -\la2-a2e2 =ayl\-e2 ^а(1-е2/2).
X
Для эксцентриситета е = 0,1 фокус сдвинут от центра
на 10% длины большой полуоси, ОХ = а, а малая ось короче
большой всего на полпроцента (какой разницы Кеплер внача-
ле и не заметил).
Спасение хвостового оперения самолётов
Реактивная струя из моторов первых реактивных самолётов сжигала хвостовое
оперение. Но конструкторы предложили слегка повернуть моторы (на небольшой
угол а). Струя перестала сжигать хвостовое оперение (отклонившись на I tg а , где I —
расстояние до него).
Какой частью силы тяги 2F пришлось для этого пожертвовать?
187
Решение. Результирующая сила тяги составляет
2Feos а « 2Г(1- а2!2).
При вполне заметном отклонении в 3° находим а ® 1/20 радиана, т.е. потеря а2/2
составляет 1/800 силы тяги, что пренебрежимо мало (тогда как отклонение струи / tg а ® I /
20 достигает нескольких метров).
Глубина воды и картезианская наука
Насколько кастрюля с водой, стоящая на столе, кажется смотрящему на неё сверху
зрителю менее глубокой, чем её истинная глубина?
Решение. Треугольники ВАС и BAD прямоугольные,
{АВ{ =jAС| tg а 1 = |ЛП| tg а 2.
тин-
Для малого угла падения a i находим
I AD I tga, sin а. 4
----1 =----L ® -----L = п = —,
| АС | tga2 sin а2 3
то есть кажущаяся глубина |ЛС| на четверть меньше ие-
ной глубины |Л£>|.
Замечание. На эту кастрюлю стоило бы взглянуть Декарту, который утверждал, буд-
то свет распространяется в воде на 30% быстрее, чем в воздухе.
К этому выводу он пришел потому, что знал, что звук распространяется в воде быст-
рее, чем в воздухе (примерно впятеро).
Дедуктивные заключения на основании таких аналогий крайне опасны - их всегда
следует проверять экспериментами. Но Декарт торжественно объявил, что наука - это после-
довательность нахождения дедуктивных следствий из произвольных аксиом, а эксперимен-
тальная проверка этих аксиом в науку не входит (хотя и может оказаться полезной для ры-
ночной экономики).
Из нескольких десятков подобных «принципов» Декарта опаснее всего такой:
«Правительству следует немедленно запретить все другие методы преподавания, кроме мое-
го, так как только мой метод политически корректен: двигаясь моим путём, любой тупица
188
преуспевает столь же быстро, как и любой гений, в то время как при всех других методах
обучения таланты доставляют обучаемым преимущества».
Следуя этим своим принципам, Декарт изгнал из геометрии чертежи, как, с одной
стороны, следы экспериментов с рисованием прямых и окружностей, а с другой— нишу для
воображения, которое он из науки старался исключить.
Бывший президент Франции Жак Ширак сказал мне (12 июня 2008 года, в Кремле), что
именно за эти черты картезианской науки с детства ненавидит математику. Но он добавил (по-
русски): «Впрочем, вероятно, это относится только к французской, бурбакистской математике,
а здесь я всё понимаю, что ты говоришь. Ведь ваш Федор Иванович не зря сказал:
Умом Россию не понять,
Аршином общим не измерить:
У ней особенная стать -
В Россию можно только верить.»
В России никто не верит в теорию Декарта, будто свет распространяется в воде быст-
рее, чем в воздухе, - зато его замечательная теория радуги известна здесь больше, чем во
Франции.
Какая сила гонит велосипед вперёд?
Нижнюю педаль неподвижно стоявшего на горизонтальном полу велосипеда потяну-
ли назад. Куда переместится велосипед и в какую сторону .сместилась потянутая назад
нижняя педаль относительно пола?
Решение. Обозначим через I длину шатуна (от педали до каретки), через par радиусы
передней и задней звёздочек, через R радиус заднего колеса.
Обозначим через х перемещение педали относительно каретки (направленное назад).
Нижний зуб передней (а значит, и задней) звёздочки переместится назад на расстояние у =
Значит, заднее колесо повернётся на такой угол, что точка касания его с
полом пройдёт расстояние
(ЛА fp"! m
z = у — =х — — .
V г ) \ I ) \.г J
Поглядев на велосипед, мы оценим значения параметров как
I ~2p,R « Юг.
Значит, перемещение z велосипеда относительно пола составит расстояние
189
z ~ 5х (вперёд!).
Так смещается каретка, педаль же сдвинется относительно каретки на х назад, а отно-
сительно пола на 4х вперёд.
Ответ. Велосипед сдвинется вперёд, и потянутая назад нижняя педаль тоже вперёд,
но она сдвинется вперёд на 20 % меньше, чем весь велосипед.
Замечание. Кажется удивительным, что направленная назад (приложенная к педали)
сила сдвинула велосипед вперёд. Но вращение заднего колеса вызвало в точке его касания с
полом направленную вперёд силу трения, которая и победила.
АРНОЛЬД ВЛАДИМИР ИГОРЕВИЧ
Стр. 141-143
ЧТО ТАКОЕ АРИФМЕТИКА?
Введение к брошюре Игоря Владимировича Арнольда (отца В.И. Арнольда)
«Принципы отбора и составления арифметических задач»
Б.Л. Пастернак писал, что «заготовленные неожиданности скучнее арифметических
задач». Идея, будто арифметические задачи — образец скучности, не случайна: многочис-
ленные сборники их полны отупляющих упражнений в применении заранее заготовленных
рецептов, не предполагающем ни умственных усилий, ни какого-либо интереса к обсуждае-
мым вопросам (и к их ответам).
Простейшим путем избежать этой нудной потери времени, во время которого, как го-
ворил Маяковский, «ведь растет человек— глуп и покорен», является полная отмена ариф-
метики в школе (а «ежесекундно извлекать квадратный корень», как продолжил свою мысль
Маяковский, мог бы и компьютер).
Предлагаемая книжка защищает другой путь — арифметические задачи таят огром-
ные возможности для того, чтобы научить решающих их школьников самостоятельно ду-
мать, анализируя неочевидные жизненные ситуации, приходя к пониманию первопричин
разных явлений природы и жизни (а также к оценке возможных последствий принимаемых
решений).
Дело в том, что за одной и той же (и даже иногда простой) математической процеду-
рой скрываются порой совершенно разные жизненные ситуации, и арифметические задачи
— прекрасный путь к умению в этих ситуациях разбираться.
190
Вот ряд таких задач (из пары десятков примеров со страниц книги 21—23, посвящен-
ных одной и той же процедуре):
— сколько из трех яблок останется, если съесть одно из них?
— сколько распилов делят бревно на 3 части?
— на сколько число братьев в Таниной семье больше числа сестер, если у Тани на 3
брата больше, чем сестер?
— сколько сотен лет назад основан университет, который будет через 100 лет празд-
новать свой трехсотлетний юбилей?
Трудности этих четырех несхожих вопросов совсем разные. Хотя все они решаются
«одинаково», догадаться об этом нелегко.
Не стану утомлять читателя другими иллюстрациями формулы 3 — 1=2: в книге он
найдет и их, и десятки более трудных арифметических задач. Эти задачи, по моему опыту,
легче даются дошкольникам, чем школьникам, а школьникам легче, чем студентам, превос-
ходящим в этом, впрочем, своих профессоров.
Фигаро недаром говорил, что его работа требует ежедневно «больших умственных
усилий, чем управление и Гренадой, и Севильей вместе». Точно так же приведенные ниже
арифметические задачи учат куда большему, чем сложение пятизначных чисел столбиком
(или чем то вычитание единицы из тройки, которое решает приведенные выше 4 задачи).
Из стакана с красным вином перелили ложку в бочку с белым вином, а потом такую
ложку (плохо перемешанной) смеси перелили обратно в стакан. Чего больше в результате:
красного вина в бочке белого или белого в стакане красного? (См. с. 25.)
В заключение приведу еще другую арифметическую задачу (где дошкольники обго-
няют нобелевских лауреатов, как я проверил экспериментально):
— книжный червь прогрыз (кратчайшим путем) от первой страницы стоявшего на
полке первого тома Пушкина до последней страницы стоявшего рядом второго. Страницы
каждого тома составляют (в толщину) 2 сантиметра, а каждая обложка — 2 миллиметра. Ка-
кое расстояние прогрыз червь?
Ответ в этой задаче (4 миллиметра!) столь неожидан, что родители решивших ее до-
школьников неспособны обычно ни найти его, ни понять (я посоветовал бы затруднившему-
ся читателю нарисовать чертеж, как выглядят соседние тома, стоящие рядом на полке). Де-
карт запретил в математике чертежи, чтобы сделать подобные задачи недоступными.
Хотя предлагаемая книжка адресована не решателям задач, а их составителям, школь-
ники (не боящиеся пропускать мимо ушей философские обобщения уже понятых ими оче-
видных доводов) тоже сумеют её использовать: эта книга учит разбираться в жизни больше,
чем в хитросплетениях псевдонаучной болтовни.
Написавший эту книгу математик, мой отец Игорь Владимирович Арнольд (1900—
1948) был первым доктором педагогических наук в СССР и членом-корреспондентом Ака-
демии педагогических наук.
В год его смерти мне исполнилось 11 лет, но я ничему математическому у него не
научился: он обучал меня скорее альпинизму и любви к дальним странствиям, резьбе по де-
реву и строительству шалашей, рыбной ловле и лыжам.
А когда я пытался узнать от него, почему в школе учат, будто произведение минуса на
минус есть плюс, то этот ученик алгебраиста Эмми Нётер ответил так: «Вещественные числа
удовлетворяют аксиомам кольца (например, что (а + Ь)с = ас + be), а если бы произведение
минуса на минус не было плюсом, то эта аксиома дистрибутивности нарушалась бы».
Я никак не мог понять: а зачем мне нужно, чтобы выполнялись аксиомы? С тех пор я
сохраняю полное неприятие всех дедуктивно-аксиоматических картезиански-декартовских
построений как антинаучной болтовни, противоречащей естественно-научному подходу, ос-
нованному на экспериментах.
Для себя я понял правило знаков (—) • (—) = (+) только год спустя, решая такую зада-
чу: «Прилив в городе N был сегодня в полдень. Когда он будет завтра?»
191
Длительности суток и месяца позволяют легко сообразить, что разница составит око-
ло 50 минут. Но будет ли прилив на 50 минут раньше полудня или позже его, позволяет оп-
ределить только правило знаков (если знаешь, что вращение Земли происходит «с запада на
восток» и вокруг оси, и вокруг Солнца).
Арифметика — самый короткий путь к пониманию природы, так как имеет дело с са-
мыми простыми, самыми фундаментальными экспериментальными фактами (например, что
пересчёт камней «по строкам» и «по столбцам» всегда приводит к одному результату):
5 + 5 + 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3.
Именно эти экспериментальные факты и составляют базу арифметики (называемую
алгебраистами «набором аксиом»: ab = Ьа и т.д.).
Способность нашего мозга к обобщению таких наблюдений сродни выработке услов-
ных рефлексов Павлова у собак. Например, разрезая (вслед за Жан-Жаком Руссо) квадрат со
стороной длины а+b на четыре прямоугольника, мы получаем начинающую «бином Ньюто-
на» алгебры арифметическую теорему
<г иЬ
ub
а b
(а + Ь)2 = а2 + 2аЬ + Ь2, так что простые арифметические задачи — кратчайший путь
ко всей математике и ко всему естествознанию.
192
В НАШИХ КНИГАХ (№1 -№4)
«МЫ - МАТЕМАТИКИ С ЛЕНИНСКИХ ГОР»
ДИМА АРНОЛЬД - С НАМИ РЯДОМ
Книга 1.
Стр. 19. АРХИПОВА ФАИНА МИХАЙЛОВНА
... Очень тепло вспоминаю походы в группе, руководимой Димой Арнольдом, в груп-
пе с Хмелевским.
Стр. 49. СОЛОМАТИНА РАИСА ДМИТРИЕВНА
... В школьные годы очень любила литературу и математику и до 9 класса не знала,
куда пойду учиться дальше. Но в это время мне попала в руки книга Сергея Боброва «Вол-
шебный двурог», в которой в крайне остроумном и завлекательном виде рассказывается о
некоторых понятиях математики (вплоть до определённого интеграла и теории вероятно-
стей) и решаются различные задачки. Научным редактором этой книги был И.В. Арнольд,
отец нашего сокурсника В.И. Арнольда. (Кстати, на днях в книге В.И. Арнольда «Истории
давние и недавние» я об этой книге прочитала следующие слова: «.. .мой отец был математи-
ческим редактором этого шедевра популярной математики с задачами и дискуссиями, в ко-
тором описаны приключения десятилетнего мальчика, попавшего в таинственный математи-
ческий мир»). С восторгом прочитав и многократно перечитав эту книгу, я решила, что пой-
ду на Мехмат.
Стр. 117. СТЕПЧЕНКОВ ОЛЕГ ПЕТРОВИЧ
... Помню, как осенью 1957 года Дима Арнольд, Володя Рубцов, я и ещё кто-то двое
просили у декана разрешения поехать на уборку урожая в Алтайский край в сентябре-
октябре вместе с третьим курсом, который направлялся туда в полном составе приказом Рек-
тора. Разрешение мы получили с условием, что поблажек на зимней сессии не будет.
Стр. 168. ВЛАСОВ ВИКТОР КОНСТАНТИНОВИЧ
... в один день защищали кандидатские диссертации Кириллов и Арнольд. Блестящая
диссертация Кириллова была признана докторской, а выдающаяся работа Арнольда по ре-
шению одной из знаменитых проблем Гильберта таковой не стала. Вспомнил я сейчас это
потому, что принципиальный Витушкин в дискуссии сказал, что если бы эту тему защищал
А.Н. Колмогоров, то он бы не возражал против присуждения за работу докторской степени,
намекая тем самым на неполную самостоятельность Димы в решении проблемы. На мой
взгляд, это было совершенно несправедливо. Выручил А.Н. Колмогоров, заявив, что аудито-
рия может не беспокоиться, ибо у Арнольда готова докторская диссертация по другой теме -
насколько я помню - по небесной механике.
Стр. 182. ЧЕРНАВСКИЙ АЛЕКСЕЙ ВИКТОРОВИЧ
... Наибольшее влияние на меня оказал безусловно Дима Арнольд, который 15 сен-
тября спрашивал: «Уже полсентября прошло, а что дальше?»
Стр. 193. БЕЛОУСОВ ЛЕВ ЮЛИАНОВИЧ
... Многие наши выпускники (предмет нашей особой гордости) после окончания
Мехмата остались работать на кафедрах < ’ > дифференциальные уравнения: В. Арнольд,
С. Кружков. ...
Друзьям
Вам признаюсь: в сердце берегу
Я любовь, как прежде к МГУ. ...
Здесь Арнольд, мой охлаждая пыл,
Нас всерьёз радиотехнике учил.
193
Стр. 209. ПАНКРАТОВ МИХАИЛ МИХАЙЛОВИЧ
... Окончить Мехмат - это благородно в любом случае: не став «законченным матема-
тиком (Чебышевым, Колмогоровым, Арнольдом...), всё равно обретаешь математическую
культуру, которой «цены нет» , и которая всю последующую жизнь будет тебе помогать...
Стр. 219. МОРОЗОВА ЕЛЕНА АЛЕКСАНДРОВНА
... Помню лето 1954 г. Идёт приём на Мехмат, очень большой. Поступают много-
кратные победители Московских математических олимпиад: Дима Арнольд, Шура Архан-
гельский, Саша Кириллов...
Стр. 288. АРХАНГЕЛЬСКИЙ АЛЕКСАНДР ВЛАДИМИРОВИЧ
... Очень благодарен сокурсникам Диме Арнольду и Саше Кириллову, которые при-
носили задачи повышенной сложности, что позволило мне стать участником семинара П.С.
Александрова. Позднее по этой тематике защитил кандидатскую диссертацию, затем - док-
торскую.
Стр. 290. ГОВЕРДОВСКАЯ ВЕРА МАКСИМОВНА
... наш светила науки (с 1 курса и сейчас) с мировым именем, Дима Арнольд - совсем
не заносчивый, походник. Благодаря ему я обошла всё Подмосковье.
Стр. 293. КИРИЛЛОВ АЛЕКСАНДР АЛЕКСАНДРОВИЧ
... В Московском университете проводили олимпиаду... В 9 классе получил первую
премию. Мой друг Паша Ильин увлекался географией, тоже участвовал в своей олимпиаде.
В 10 классе у нас была одна ручка на двоих, и оба мы писали на олимпиадах этой ручкой, и
оба получали первые премии. Дима Арнольд получил вторую. ...
На 1 курсе мы с Димой Арнольдом ходили в семинар Толи Витушкина - неформаль-
ный кружок по теории функций действительного переменного. ...
На 2 курсе мы с Димой ходили в семинар Е.Б. Дынкина. Он читал оригинальный курс
о кривой Михайлова. Нам с Димой была дана задача, которую мы решали вместе, о вычисле-
нии числа корней многочлена внутри многочлена. Задачу мы решили, и Дынкин, обрадовав-
шись, хотел опубликовать это решение, но Арнольд раскопал эту задачу, уже решённую. Это
была наша с Димой несостоявшаяся совместная работа. А после 2 курса наши пути разо-
шлись: Дима пошёл к Е.Б. Дынкину, а я - к И.М. Гельфанду. ...
Целина. ... Мы с Димой Арнольдом сравнивали устройства комбайна и пушки, как
противоположное - комбайн, как его ни холь, он даже, если просто стоит, то всё равно лома-
ется. А пушка, хоть стреляй по ней, всё равно будет стрелять. ...
И.М. Гельфанд был главным редактором журнала «Функциональный анализ и его
приложения»....когда ему стало трудно им заниматься (год рождения 1913), он передал его
А. Кириллову, затем Арнольду. ...
Со 2-го года аспирантуры нас всех перевели в ассистенты. В 1962 г.был первый выезд
за границу молодых учёных. На математический конгресс в Стокгольм поехали я, Арнольд,
Фаддеев , Манин, Аносов... Мы с Димой Арнольдом были самые молодые. Выступали на
конгрессе с докладами. ...
...в годы перестройки ... уровень математической мысли на Мехмате стал ниже, ... и
чтобы хоть самые способные студенты смогли почувствовать атмосферу настоящего обще-
ния с высокой математикой, чтобы помочь сохранить Российскую математическую школу,
мы организовали Университет непрерывного математического образования. У истоков его
стояли: Арнольд, я, Бейлинсон, Добрушин, Новиков, Синай, Хованский, Ильяшенко, Руда-
ков, Тихомиров, Фаддеев, Шубин и др. ... Сейчас читают лекции выдающиеся математики:
Васильев В.В. (ученик Арнольда, профессор, член-корр. Академии наук, Э.Б. Винберг, Б.Л.
Фейгин (докладчик на международных конгрессах), В.И. Арнольд, Я.Т. Синай, А.Б. Сосин-
ский А.Б..
194
Стр. 306. САРМИНА (САЧКОВА) ЛЮБОВЬ АЛЕКСАНДРОВНА
... Горжусь, что училась на Мехмате с выдающимися Димой Арнольдом, Сашей Ки-
рилловым, Юрой Хмелевским и многими другими интересными ребятами и девчатами, что
слушала лекции замечательных профессоров, увековеченных в наших студенческих мехмат-
ских песнях.
Стр. 320. КРАСОВСКАЯ ИРИНА АЛЕКСАНДРОВНА
... Впервые попав в Среднюю Азию (после окончания работы на 1-й целине - ред.),
мы впятером (Чернышёва, Кириллов, Арнольд, Крылов и я), объездили её всю на те деньги,
что заработали.
Стр. 351. БЕЛОВА (ЯРЦЕВА) АЛЛА ДМИТРИЕВНА
12 июля 1956 г. (Целина - Казахстан, из дневника - ред.) В час ночи Димка Арнольд
показывал созвездия. Он очень хорошо знает звёздное небо. Решили встретить рассвет. В 4
часа взошла Венера, потом восточный горизонт становится всё светлее и светлее. Как в ту-
мане, виднеются силуэты гор.
Стр. 383. ИСКРОВА ГАЛИНА ИВАНОВНА
Г. Искрова и Д. Арнольд на встрече однокурсников, 1979 г.
Книга 2.
Стр. 107. ЖУРАВСКАЯ И.П.
Ягь£1
195
Задняя обложка книги № 3
ММ.. foUOHOCOt:
ПР* ffpt CCOp
Ю.Максимов, профессор-
экономист, депутат
Московской гор. думы
^^,докт“рфи^
Объединенный чмг,„
Ю. Черемных, доктор
эконом, наук, Заслуженный
профессор МГУ, академцк
Мсжоународной академии
менеджмента
B-nucK^p <^em(,e
констрУкгпор
Д .Сксроглавный
конструктор системы
опознавания системы
"Свой-чужой"
Почетный донор СС 'СР
•^Веденьёв, криптограф
О вы. которых ожидает
Отечество от недр своих
И видеть тиковых.желает,,.
О ваши дни о.шгос.ювенны*
Раченьем вашим покашть.
Что может собственных
И штонов
// быстры н разудюм Невтонок
Российская 1смля рождать.
Ф“““" МП
B0'U0U1е.ветераны
почетные нет Р ики
атомной энер^
196
Стр. 10. ЯРЦЕВА АЛЛА ДМИТРИЕВНА
Наши математики, выпускники Мехмата 1959 г., часто совмещали свою науч-
ную, профессиональную деятельность с увлечениями, непосредственно не связанными с ма-
тематикой. Академик РАН В. Арнольд - поэт, художник, спортсмен, астроном;..
Стр. 279. РУБИНШТЕЙН АЛЕКСАНДР ИОСИФОВИЧ
Не случайно большие достижения в математике принадлежат совсем молодым людям.
... в 21 год Андрей Николаевич Колмогоров построил пример всюду расходящегося ряда
Фурье и направил по новому пути теорию тригонометрических рядов и всю теорию функ-
ций; в 18 лет студент третьего курса Мехмата МГУ (ныне академик РАН) В.И. Арнольд сде-
лал работу, позволившую ему вскоре совместно с его учителем А.Н. Колмогоровым решить
13-ю проблему Гильберта.
Стр. 340. СТАВСКАЯ ОЛЬГА НИКОЛАЕВНА
У нас с Яшей были продукты, палатка и байдарка, взятая Яшей у Д. Арнольда.
Книга №4
Стр.43. РУБИНШТЕЙН АЛЕКСАНДР ИОСИФОВИЧ
Наш соученик Дима (простите, Владимир Игоревич) Арнольд, отсвет фантастическо-
го таланта которого делает более значительным весь наш поток математиков 1954-1959 го-
дов МГУ, говорит об ошибках в книге Куранта и Роббинса ( «Что такое математика?», изда-
на на русском языке, 600 стр., под ред. А.Н. Колмогорова - ред.). Арнольд сам издал книгу с
таким же названием всего в 104 страницы объёмом. И думаю, сумевший до конца понять её
может с полным основанием считать себя математиком... Собственно говоря, вместо ответов
на вопросы, предложенные Архангельским, Лившицем и Беловой, можно было бы предло-
жить как следует проштудировать книгу Арнольда.
Стр. 45. Так вот следующей по «простоте устройства» после математики точной нау-
кой, мне представляется, является физика. В.И. Арнольд считает, что математика и физика -
суть одна наука (косвенно, так считает и ВАК, поскольку мы - ... «физико-математических
наук». Опять же это моё «субъективное мнение», но в математике значительное место зани-
мают задачи, возникающие из самой математики - выясняются связи между ранее введён-
ными понятиями. Не в этом ли причина большого числа ущербных (по Арнольду) математи-
ческих публикаций?
Стр. 65. ПАХОМОВ ВАЛЕРИЙ ФЁДОРОВИЧ
В первом выпуске (Математической школы-интерната при МГУ - ред.) работали со-
всем ещё молодые - математик В.И. Арнольд и филолог-лингвист А. Зализняк. Арнольд,
только что защитивший докторскую диссертацию, а Зализняк, по-моему, был ещё аспиран-
том. Впоследствии оба стали академиками. Кстати, оба получили в 2008 году Государствен-
ные премии РФ.
Стр. 144. КОНСТАНТИНОВ НИКОЛАЙ НИКОЛАЕВИЧ
... я сошлюсь на статью В.И. Арнольда «Математический тривиум». Он Цишет, что
наша система экзаменов «специально рассчитана на систематический выпуск брака, т.е.
псевдоучёных, которые математику выучивают, как марксизм: зубрят наизусть формулиров-
ки и ответы на наиболее часто встречающиеся экзаменационные вопросы».
Стр. 149. ШАРЫГИН ИГОРЬ ФЁДОРОВИЧ
Академик В.И. Арнольд, начиная свою лекцию «Зачем нужна математика?», процити-
ровал слова Роджера Бекона, сказанные более семисот лет тому назад: «Человек, не знающий
197
математики, не способен ни к каким другим наукам. Более того, он даже не способен оце-
нить уровень своего невежества, а потому не ищет от него лекарства.» По мнению В.И. Ар-
нольда, роль математики в современном обществе, если и изменилась, то в сторону увеличе-
ния её значимости.
Стр. 154. Много опасностей угрожает сегодня российскому математическому образо-
ванию, но главной из них, по мнению В.И. Арнольда, является начавшаяся американизация.
... (Американская наука «питается мозгами» всего мира, мы же - только своими. - И.Ф. Ша-
рыгин).
Стр. 156. .. .ярким примером может служить Франция. ... Главным итогом изменений
стала всеобъемлющая формализация содержания школьного математического образования.
В результате, например, ученики начальных классов на вопрос: «Чему равно 2 + 3 ?» - отве-
чали: «Поскольку сложение является коммутативной операцией, то 2 + 3 равно 3+ 2». (Этот
пример взят из лекции В.И. Арнольда.)
Стр. 179. ... автору посчастливилось общаться в своей жизни со многими умными
людьми и выслушивать их рассуждения об образовании, о математическом образовании, о
геометрии. С некоторыми мыслями автора настолько сжился, что теперь уже не может отде-
лить, где мысли его личные, а какие он впервые услышал от В.М. Тихомирова, В.И. Арноль-
да, Ю.П. Соловьёва или от другого умного человека.
Стр. 186. ХАРШИЛАДЗЕ АЛЕКСАНДР ФИЛИППОВИЧ
Один доклад Арнольда
Несколько лет назад в Математическом институте им. В.А. Стеклова проходила меж-
дународная конференция по «Художественной математике», посвященная разным увлека-
тельным темам в области математики, способным привлечь интерес молодежи к математике.
Доклад Владимира Игоревича Арнольда несколько выбивался из темы конференции, Ар-
нольд «ругался», Т.е. очень эмоционально и даже агрессивно возмущался уровнем математи-
ческого образования школьников и студентов в разных странах. Он находил уровень матема-
тического образования молодежи во Франции и Америке более низким, чем в России, но ут-
верждал, что в России этот уровень быстро снижается. Арнольд гневно осуждал тех специа-
листов в области образования, которые предлагают уменьшить объем изучаемой в школе
математики. Затем он стал говорить о катастрофическом положении в связи с изучением
геометрии в школе, тут его и без того агрессивный тон перешел в крик, он стал называть
вредителями, стоящими на службе американского империализма, тех, кто считает, что
школьную геометрию следует исключить из школьной программы... «Эти люди, - почти
орал Арнольд, - хотят исключить из школьной программы даже великую теорему о пересе-
чении высот треугольника в одной точке, в то время как эта теорема является важнейшей
наглядной иллюстрацией тождества Якоби в алгебрах Ли».
Это была эмоциональная кульминация, после которой мощь и энергия докладчика
стихли, и он уже спокойно добавил: «Впрочем, если не объяснять школьникам, каким обра-
зом теорема о пересечении высот треугольника в одной точке связана с тождеством Якоби,
эта теорема не имеет никакого смысла».
С этим последним утверждением Владимира Игоревича Арнольда я абсолютно согласен.
Стр. 230. КЕРИМОВА (МАНСУРОВА) ДИЛЯРА ХАБИРОВНА, КРАСОВСКАЯ
ИРИНА АЛЕКСАНДРОВНА
Кто прислушался к словам В.И. Арнольда в Госдуме? Какой была реакция на его вы-
ступление?
198
4
УЧЕНИКИ, ДРУЗЬЯ
КИСЛЯКОВА ОЛЬГА ИГОРЕВНА,
программист ВИНИТИ
ЗАПОМНИЛА.. .КАК ОКАЗАЛОСЬ, НАВСЕГДА
В пятидесятые годы я училась в 71-й школе, находившейся на Спасо-Песковской
площадке около Арбата («МОСКОВСКИЙ ДВОРИК» Поленова), и году в 57-м моя подруга
Нина показала мне невысокого молодого человека с кудрявыми волосами, шедшего через
скверик, и сказала: «Это Дима Арнольд. Очень талантливый математик, учится на Мехмате.
Живет здесь в особнячке, рядом с домом американского посла. Моя бабушка была дружна с
его бабушкой». Я посмотрела и запомнила внешне, как оказалось, навсегда.
Не то вскоре после этого, а может быть и до этого (уж очень я хорошо запомнила эту
картинку) в газете «Комсомольская правда» или в «Литературке» (я читала обе) была боль-
шая статья, что студент 3-го курса Мехмата решил 13-ю проблему Гильберта; Колмогоров
фигурировал, но в каком контексте - не помню. Два впечатления соединились.
После этого, гуляя после уроков, много раз я смотрела, как Дима с папочкой или тет-
радками, слегка наклонившись,- идет к метро Смоленская (вероятно) или в обратном направ-
лении, и (ей-Богу, не сочиняю) у меня было ощущение, что вижу живого гения - от него что-
то исходило.
В 1958 г. я поступила на Мехмат, отделение - математика, и в нашей 7-й группе было
пять восторженных девочек, которые выскакивали в перерыве из аудитории в коридор, услы-
шав, что там проходит или с кем-то разговаривает Арнольд, чтобы еще раз посмотреть на него.
Вот и всё. Я не ходила на его лекции и в его семинар, но в небольших осенне-
весенних походах слышала о нем от людей, хорошо знавших его, какими большими таланта-
ми и высокими человеческими достоинствами он обладал, слышала истории про то, как их
курс был на целине, и про серьезные походы, в которые с ним ходил Саша (Александр Льво-
вич) Крылов. Какое-то время в нашей походной компании бытовала поговорка «Арнольд бы
так не поступил» , употреблявшаяся в шутку и не в шутку при каких-то отлыниваниях от
обязанностей или других не очень благовидных поступках. Т.е. это имя было эталонным.
Потом я встречала его в ясеневском лесу на велосипеде и видела, как он работает, ле-
жа в гамаке на поляне в том же лесу. С удовлетворением читала, что он стал член-корром и,
наконец, академиком. Иногда смотрела на ТВ передачи о нем и всё, что он говорил, было
всегда важно и очень хорошо сформулировано. Его отношение к Пуанкаре, например.
Когда услышала о его смерти, было ощущение личной потери (и остается). Вот жили
в одном времени и пространстве с действительно великим человеком, а теперь его не стало,
и мир стал .... ну и т.д.
200
ЗЕМБЕКОВ АЛЕКСАНДР АЛЕКСАНДРОВИЧ,
доктор физмат наук, ведущий научный сотрудник
Института химической физики
ЛЕКЦИИ АРНОЛЬДА ПО КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
Я учился на химическом факультете МГУ в 1958-1964 годах. На третьем курсе была
сформирована спецгруппа с физико-математическим уклоном. Можно было посещать раз-
личные курсы Мехмата. Я и ещё несколько человек выбрали курс классической механики,
как факультатив, который вёл Владимир Игоревич Арнольд. Он недавно (тогда) стал докто-
ром физмат наук, и это была его первая попытка преподавать классическую механику. Чи-
тать аналитическую механику с единой топологической точки зрения было вновинку. Нас
это заинтересовало. Стали слушать курс не только студенты третьего курса химфака и физ-
фака, но и аспиранты, и преподаватели.
Считалось раньше, что механика начинается с гамильтоновых уравнений. Гамильто-
нов формализм лёг в основу квантовой механики и являлся одним из наиболее часто упот-
ребляемых орудий в математическом арсенале физики. Вначале, когда речь шла о Галилее-
вой структуре, о принципах относительности Галилея и принципах детерминированности
Ньютона, об уравнениях Ньютона, приводились примеры механических систем (падение
камня на землю, падение с большой высоты ...), казалось, можно будет всё это понять. Но
быстро я и мои сокурсники, выбравшие этот семинар, поняли, что рядом с нами сидят, как
говорят сейчас, «продвинутые» в смысле высокой математики люди. Речь шла о взаимно
обогащающем взаимодействии идей механики и геометрии многообразий. Центральное ме-
сто стали занимать не вычисления, а геометрические понятия и их приложения в конкретных
механических ситуациях (теория колебаний, механика твердого тела, гамильтонов форма-
лизм).
Читал В.И. не просто, не разжевывал, в логической последовательности. Уделялось
много внимания качественным методам изучения движения в целом, в том числе асимптоти-
ческим (теория возмущений, методы осреднения, адиабатические инварианты). Т.е. необхо-
димо было знать хорошо не только ту математику, которую преподавали нам, но и знать
массу неизвестных нам понятий, которые только начали появляться в литературе. С нами ря-
дом сидели и научные работники. Чувствовалось, что и у них наблюдаются затруднения.
Нужно было знать хорошо топологию. Понималось чётко то, что связи классической меха-
ники с другими отделами математики и физики многочисленны и разнообразны. Понимался
материал нами, моими сверстниками, трудно, приходилось по рекомендации лектора обра-
щаться к дополнительной литературе, разбираться в незнакомом материале, а на лекциях на-
слаждаться заразительным стремлением Арнольда дать нам как можно больше .
Мы судачили меж собой: такой молодой, а так много знает и понимает.
Семинаров не было, но хорошо, что не устраивали нам ни зачётов, ни экзамена.
Через несколько лет, когда я уже работал, в нашем Институте химической физики
Арнольд вёл семинар по теории катастроф. Всё, что он нам преподносил, требовало хорошей
работы мозга. А в нём чувствовалась страсть к образованию, к познанию нового.
Мир много потерял с уходом Арнольда из жизни. Он был выдающимся не просто ма-
тематиком, а выдающимся учёным вообще. И мне дорого то, что я слушал его, и его мысли
волей-неволей впитывались в мой мозг.
201
АВЕТИСОВА (НИОРАДЗЕ) ТАТЬЯНА ВИССАРИОНОВНА,
училась на мехмате в 1962-1967 гг.
На первом курсе, в 1962 году, к нам на перемене зашел в группу В.И.Арнольд, кото-
рый, представившись, сказал, что будет у нас агитатором.
- А что это значит?
- Это значит, что я не буду вас агитировать.
И стал говорить о том, что готов помогать в решении разных проблем. Странно, но
народу вокруг него было совсем немного. Стали жаловаться на то, что трудно записывать
лекции за Л.А. Скорняковым. Курс высшей алгебры был очень интересным, но записывать
многие не успевали. Арнольд дал совет, который, подозреваю, был невыполним не только
для меня: «А вы попробуйте просто слушать, а дома вспомнить и записать услышанное».
Помню, что он предложил провести консультацию по матанализу. Объяснял разложе-
ние в ряды: он рисовал график синуса и график сумм двух, трех и т.д. членов ряда Тейлора.
Было наглядно, понятно, просто.
Встреч с агитатором у нас было очень мало, почему-то народ не воспользовался воз-
можностью общаться с большим математиком. Это у меня было восторженное отношение к
нему, а скорее, к его имени. Об Арнольде я знала до поступления на Мехмат: моя тетя Рая
Соломатина была его однокурсницей, и от нее я слышала и о необыкновенно одаренном
мальчике с необыкновенным именем, и о решении проблемы Гильберта, и о шутках, стихах
на целине.
Ходит Арнольд по коридорам 15-го этажа, такое впечатление, что ищет, с кем бы по-
общаться. Видимо, поэтому несколько раз сам обращался ко мне с каким-нибудь незнача-
щим вопросом, вроде «Как ваши дела?» Но даже о таких минутных беседах осталась память
как о чем-то важном для меня. На Мехмате я вообще не помню пустых разговоров, но от Ар-
нольда исходил какой-то неслышный поток информации, в котором плыли обычные слова.
Помню какой-то разговор о французском языке (боюсь, я вела себя слишком самоуверенно),
о том, как надо готовиться к экзаменам (но тут его рекомендации не могли помочь). Все лю-
били цитировать «так жить нельзя, надо застрелиться», но он сказал фразу полностью: «Если
бы Каштанка была человеком, то, наверное, подумала бы: "Нет, так жить невозможно! Нуж-
но застрелиться!»
Сдавала матпрактикум Р.А. Минлосу, как-то пыталась отстоять свое мнение, вдруг
Арнольд стал прислушиваться, подошел, и они принялись очень весело обсуждать эту зада-
чу. Просто слушать их было наслаждением.
Еще один раз я услышала Арнольда на заседании Ученого совета. Моя подруга защи-
щала диссертацию, а до защиты что-то обсуждалось, видимо, как и чему учить. Взял слово
Арнольд, мне кажется, одет был, как всегда, в ковбойку. И начал: «Я хочу напомнить слова
Алексея Николаевича Крылова о том, что математика - не бульварный роман, который мож-
но читать с любого места».
Трудно предположить, что заметки обычного человека, лишь случайно оказавшегося
недалеко от великого, могут быть кому-то интересны. Наверное, они нужны только для того,
чтобы сказать, что и мы видели свет, который «просиял над целым Мирозданьем» (А. Фет).
202
СОЛДАТЕНКОВ АНАТОЛИЙ МАКСИМОВИЧ,
ведущий программист Института динамики
ГЕОСФЕР
МОИ ЗНАНИЯ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ
ПРИЗНАЛ ХОРОШИМИ САМ АРНОЛЬД !
Я окончил Мехмат в 1967 году. Но уже раньше я и все студенты Мехмата знали, что у
нас преподавателями работают два недавних выпускника Мехмата (молодые корифеи нау-
ки), которые в двадцать шесть лет стали докторами физмат наук, а в 28 лет - профессорами -
Кириллов и Арнольд. Мы, юноши, восторгались этим явлением молча, а девушки часто -
вслух. В лицо я их знал, всегда с ними здоровался, но представить себе не мог, что с кем-то
из них сведёт меня судьба.
Очень хорошо запомнился экзамен в весеннюю сессию по обыкновенным дифферен-
циальным уравнениям. Этот курс нам читал прекрасно профессор Понтрягин.
Наша большая лекционная аудитория 16-10. Внизу у доски, за высокими столами,
расположились экзаменаторы. Перед ними на столе лежат билеты, а рядом с каждым уже си-
дят отвечающие сокурсники. Человек 20 рассыпались по рядам аудитории и готовятся к от-
ветам. Кто-то, глубокомысленно рассуждая, пишет, зачёркивает, снова пишет, значит, без
шпаргалки. А кто-то, сразу видно, пользуется шпаргалками; некоторые сдувают прямо из
книжки. Я учил данный курс и, конечно, тоже запасся некоторыми записями.
Вот мой согруппник Борька встал из-за стола, начал неловко оправдываться, что он совер-
шенно случайно дал неверный ответ при решении уравнения
Х4+1=0
Но ему сказали: «Придёте ещё раз». Он огорчённо вышел.
В это время вошёл в аудиторию Владимир Игоревич Арнольд. Просто снял пиджак,
повесил на спинку стула и сел. Тут назвали мою фамилию и пригласили отвечать на билет. У
меня было всё аккуратно написано. Я отвечал. Владимир Игоревич спокойно слушал. Дошло
до лампового генератора. Экзаменатор посмотрел на написанное, не стал об этом меня слу-
шать, а стал задавать вопросы. Первым был вопрос, на который неверно ответил Борька.
Х4+1=0
Я нашёл все четыре корня. В это время вошла какая-то девушка, сказала, что Влади-
мира Игоревича кто-то просит выйти. Он взял мою зачётку, поставил «ХОР», снял со стула
пиджак и вышел из аудитории.
Уже тогда мне было лестно, что мои знания на «хорошо» оценил всем известный мо-
лодой профессор, подающий большие надежды в науке. А теперь, по прошествии более со-
рока лет, тем более, когда не стало Владимира Игоревича Арнольда, выдающегося мирового
ученого, первого математика Мира, я вспоминаю с неподдельной гордостью, что мне дове-
лось сдавать ему экзамен и получить хорошую оценку. Оценку самого Арнольда!
203
ИВАНОВА (ФИЛИППОВА) НАТАЛИЯ ЮРЬЕВНА,
учитель физики и информатики,
победитель конкурса лучших учителей России
приоритетного национального проекта «Образование»
ЛИСТ МЁБИУСА
Лист Мёбиуса - довольно простой объект. Взял обыкновенную бумажную ленту, по-
вернул один конец на пол-оборота, склеил в кольцо... Чему тут удивляться? А ведь в этой
ленте - целая философия. Сколько у нее сторон? Две? Одна? А если попробовать разрезать
эту ленту вдоль - что будет? Снова лист Мёбиуса и получится! Только в два раза длиннее.
Жизнь поворачивается к нам то одной стороной, то другой, но мы идем по ней, порой
не замечая этого.
На фотографии, подаренной Наташе - автограф В.И. Арнольда
Тридцать лет назад студенты механико-математического факультета МГУ, на котором
я тогда училась, ходили на лекции по теории дифференциальных уравнений как на все про-
чие лекции. В сетке расписания эти лекции не были отмечены ничем особым. Особой была
их атмосфера. Читал их потоку математиков Владимир Игоревич Арнольд. Молодые люди,
еще не перешагнувшие двадцатилетний рубеж, погружались в удивительный мир, который
открывал им не менее удивительный человек. Дух мехмата - это тема особого разговора.
Есть какая-то необъяснимая аура в этих коридорах, лекционных аудиториях, даже на лест-
ницах между этажами. И в аудитории 16-24 это чувствовалось особенно остро. Основы ма-
тематической логики нам, еще не повзрослевшим второкурсникам, читал Андрей Николае-
вич Колмогоров, а на «дифуры» мы приходили к его не менее талантливому и удивительно-
му ученику В.И.Арнольду. Мне кажется, для нас имя «Арнольд» уже тогда звучало как что-
то вневременное, и, выражаясь математически, инвариантное. Не было имени, не было даже
фамилии, было некое явление - «Арнольд». Он умел так изложить непростой материал
предмета, что даже самому нерадивому студенту (а много ли на мехмате нерадивых?) откры-
204
валась красивая, изящная и неожиданная истина, и никто не чувствовал, что здесь и сейчас
совершается невероятное погружение в глубины современной науки. Лекция по «дифурам»
превращалась в захватывающий рассказ, где была интрига теорем и виртуозная развязка этой
интриги и где задачи находили простое и неожиданное решение.
И, пожалуй, никому из студентов не приходило в голову, что дорогу в науку им от-
крывает человек необыкновенный, уникальный, неповторимый и по-настоящему великий.
Более четверти века назад мы вышли из университета, и с тех пор многое изменилось
в нашей жизни, и в жизни страны, и в науке.
У каждого из нас, выпускников, определилась своя дорога, но то, что нам дал мехмат,
отразилось на наших судьбах и осталось с нами навсегда.
Лист Мёбиуса изображен на эмблеме механико-математического факультета, это как
некий пароль, известный только посвященным.
Конечно, о Владимире Арнольде будет написано много воспоминаний, его научной и
педагогической деятельности дадут оценку специалисты. А мне хочется рассказать об одном
маленьком, но бесценном для меня эпизоде.
Наверняка многие слышали историю, как у великого математика Гильберта спросили
об одном из его учеников. «А, такой-то! - вспомнил ученика Гильберт. - Он стал поэтом.
Для математики у него было слишком мало воображения.» Видимо, у меня тоже было вооб-
ражения не слишком много, поэтому наряду со своей программистской, а потом педагогиче-
ской деятельностью, я стала писать стихи. Среди них был один, который был посвящен на-
учному поиску, научной мысли, научному дерзновению.
Случилось так, что это стихотворение с благословения Аллы Дмитриевны Беловой,
было опубликовано в 3-м выпуске сборника «Мы - математики с Ленинских гор». Об этом
уникальном издании можно говорить бесконечно. И среди воспоминаний выпускников мех-
мата, людей удивительных судеб, выдающихся ученых, талантливых инженеров, прекрасных
педагогов, оказались и мои несколько строк воспоминаний и два-три стихотворения.
Случилось так, что стихотворение «Лист Мёбиуса» чем-то запомнилось Владимиру
Игоревичу. Видимо, сработал тот самый «пароль» выпускников мехмата...
Сейчас в моем семейном архиве хранится несколько фотографий и копия письма, на-
писанного В.Арнольдом Алле Беловой. В письме - глубокий и удивительный анализ стихо-
творения, рисунки, сделанные рукой великого математика, а на фотографиях - отдельные
стихотворные строки. Сейчас уже с уверенностью и без преувеличения можно сказать, что
каждое слово, написанное Владимиром Игоревичем - достояние мировой науки и цивилиза-
ции в целом. Я даже мечтать не могла о таком счастье: быть не только прочитанной вели-
чайшим математиком нашей эпохи, но и получить от большого знатока мировой поэзии ве-
ликодушный отзыв: «стихи запоминаются невольно».
Лист Мёбиуса
Лист Мёбиуса - символ математики,
Что служит высшей мудрости венцом...
Он полон неосознанной романтики:
В нем бесконечность свернута кольцом.
В нем - простота, и вместе с нею - сложность,
Что недоступна даже мудрецам.
Здесь на глазах преобразилась плоскость
В поверхность без начала и конца.
Здесь нет пределов, нет ограничений,
Стремись вперед и открывай миры,
Почувствуй силу новых ощущений,
205
Прими познанья высшего дары:
Познай любовь и ненависть изведай,
Низвергнись в ад - тотчас увидишь рай.
Ты в одночасье насладись победой
И горечь пораженья испытай.
На грани бесконечного блаженства,
Испытывая суеверный страх,
Найдешь свой путь. Достигнув совершенства,
Окажешься в таинственных мирах.
И, вдохновленный этим дерзновеньем,
По экспоненте поднимаясь ввысь,
Ты ощутишь восторг освобожденья,
Почувствуешь, как возникает Мысль.
Покажется, что распростерлась Вечность,
Что взломан Мироздания пароль.
И вдруг твое стремленье в бесконечность
Тебя вернет к исходной точке: в ноль.
Как о порог, об этот ноль споткнешься.
Но как бы ни был прежний путь тернист,
Вновь выбирай (и ты не ошибешься!)
Путь в бесконечность - Мёбиуса лист!
Мне кажется, жизнь Арнольда - это и есть тот самый бесконечный, таинственный и
неожиданный лист Мёбиуса, такой простой и одновременно невероятно сложный!
206
КОЗЛОВ ВАСИЛИЙ ВАСИЛЬЕВИЧ,
кандидат физико-математических наук,
старший преподаватель Мехмата МГУ
НАШИМ УЧИТЕЛЕМ БЫЛ АНДРЕЙ НИКОЛАЕВИЧ КОЛМОГОРОВ
Так мы назвали воспоминания Василия Васильевича об Арнольде, которые я услы-
шала и кратко записала. И главная мысль, что воспоминания эти неотделимы от того, что
очень ярко помнится о Колмогорове.
Василий Васильевич был учеником Андрея Николаевича Колмогорова, как и Влади-
мир Игоревич, но немного позже его. Когда я стала спрашивать его о Владимире Игоревиче,
Василий Васильевич даже растерялся, сказав, что не может отделить друг от друга этих двух
великих учёных. Это что-то единое целое во всём: в широте их научного мира, в мировоз-
зрении, в жажде всё знать, в глубине знаний; в отношении к своим ученикам, которые, полу-
чив себе в дар, отпущенный судьбой, учителя, слились с ним во всём, и невозможно разо-
рвать эту связь. Это в самой большой степени относится к А.Н. Колмогорову и В.И. Арноль-
ду. И у того, и у другого каждый ученик - любимый, а руководитель - это всё на свете: от
поставленных задач, их решений, докладов, разговоров на любые темы до купанья в ледяной
воде, многокилометровых походов на лыжах и путешествий по стране.
Андрей Николаевич в последние годы был очень болен, в свою любимую Комаровку
редко выезжал с помощниками, чаще оставался в университетской квартире, но ежедневно
делал зарядку у шведской стенки. В 1984 году, весной и летом, Андрей Николаевич с Анной
Дмитриевной жили в санатории «Узкое» и «Десна». Кто-то из сотрудников и ученики еже-
дневно посещали Андрея Николаевича, потому что он катастрофически быстро терял зрение
и не мог самостоятельно читать и писать. Читали своему учителю то, что он просил, что-то
записывали по его просьбе, гуляли с ним по парку: А. Абрамов, Д. Арнольд, А. Булинский,
В. Тихомиров, В. Успенский... Общение с Андреем Николаевичем было для всех настоя-
щей радостью. Незабываемыми были и встречи друг с другом самих учеников в присутствии
учителя. Разговоры, дискуссии... Там иногда Василий Васильевич встречался с Владимиром
Игоревичем, который, несмотря на свою занятость, нёс посильное дежурство у Андрея Ни-
колаевича. Бывали они вместе у А. Н. Колмогорова в московской квартире, выводя его на
прогулку и захватывая с собой раскладное кресло для отдыха Андрея Николаевича.
207
Василию Васильевичу удалось запечатлеть на фотографии рядом двух дорогих ему
людей, великих учёных, математиков - Андрея Николаевича Колмогорова, уже очень боль-
ного, и Владимира Игоревича Арнольда, пятидесятилетнего, полного сил.
За полгода до ухода из жизни Андрей
Николаевич в день своего рождения 25 марта
(его мучила болезнь Паркинсона, язык пере-
ставал слушаться, но мысль его была ясная)
продиктовал
В.М. Тихомирову очень медленно, но раз-
борчиво к 50-летию В.И. Арнольда неболь-
шой текст, в котором, в частности, дана та-
кая оценка своего любимого ученика: «Про-
исходит чествование первого советского ма-
тематика - не только по силе полученных
результатов, но и по темпераменту личности,
по способности воспринимать новое и сме-
лости в преодолении препятствий... Обо
всём, что угодно, его можно расспросить, и
обнаружатся очень широкие знания».
20 октября 1987 года Колмогоров
умер в 14 часов 9 минут. На траурном ми-
тинге, который открыл Е.И. Велихов, высту-
пали в числе других В.А. Садовничий, В.М.
Тихомиров... На Новодевичьем кладбище
выступали три Колмогоровских ученика:
С.М. Никольский, В.И. Арнольд, Б.В. Гне-
денко, высказав своё отношение к Великому
Учителю. И это всё стоит перед глазами и
находится в памяти Василия Васильевича.
Ученики, как правило, становятся по-
хожими на своих учителей в некоторых характерных чертах. Все ученики Колмогорова ко-
пировали его жизнь. Но больше* всех, лучше всех, отчётливее и ярче всех получилось это у
Первого ученика - Арнольда. Когда он выступал с докладами, то чувствовалась манера Кол-
могорова. Он проявлял интерес к фундаментальным знаниям в области науки, современной
жизни.
Нередко раскрытие человека у того и у другого происходило в простой обстановке.
Повстречался как-то Василий Васильевич с Владимиром Игоревичем на лыжне в Ясе-
нево. «И его взмахи палками, и остановка, и начало разговора, и рисунки на снегу ,... опять
же преследовали меня - Колмогоровские. Но ещё и ощущение - одиночества Арнольда..., -
говорил с некоторой грустью Василий Васильевич, - обсуждали маршруты в Поливанове,
Дубровицы. Поразительно чувствовалось присутствие Колмогорова, как будто вновь вместе
с ним на лыжне в Ивантеевке и на Скалбе.
А ещё Владимир Игоревич унаследовал от Андрея Николаевича сбор семинара в ау-
дитории 1408. До ночи у того и у другого не хватало времени наговориться о задачах, о про-
блемах, о личных открытиях. И я постоянно живу под знаком совмещения двух великих
личностей.»
В.В. Козлов не был тем человеком, который часто беседовал с В. И. Арнольдом, об-
суждал какие-то проблемы или просто разговаривал о чём-то отвлечённом. Но когда вдруг
пришла скорбная весть о его неожиданной кончине, Василий Васильевич был ошеломлён,
растерян; осознал невосполнимую потерю; возникла настойчивая потребность звонить кому-
нибудь из учеников, близко знавших Владимира Игоревича, сообщить об этой вести, поде-
208
литься личной скорбью и задать один-единственный вопрос: кто любил Арнольда? Кто-то
говорил о стиле работы Владимира Игоревича: всесторонен, критичен,., но главное - неот-
делим, необходим,., что-то упало, исчезло,., без чего невозможно представить дальнейшее.
Владимир Игоревич, выступая с лекцией в 2008 году в аудитории 01 по поводу на-
граждения его Государственной премией, сказал о том, что на многих произвело незабывае-
мое впечатление (можно немного ошибиться в тексте высказывания, но смысл точный):
«Слушайте, Мехмат и Московский университет - последний оплот науки в мире. Единствен-
ный - только Мехмат!..»
Это был крик души Арнольда. Этот человек шёл по истинному пути, продолжал дело
Андрея Николаевича Колмогорова и создавал своё, прошёл своей жизнью смело и открыто.
Я думаю: Господь избавил его от страданий, выпавших на долю его Учителя в конце
жизни.
Я прочитала в книге воспоминаний об Андрее Николаевиче Колмогорове, что сказал
Владимир Михайлович Тихомиров в марте 1987 года при вручении Андрею Николаевичу
Международной премии Лобачевского: «Колмогоров был тем гением, само существование
которого освещало жизнь». Он просил всех, кто соприкасался с Колмогоровым, передать де-
тям и внукам ощущение соприкосновения с великой личностью.
Вот и наша книга воспоминаний о Владимире Игоревиче Арнольде важна и значима
тем, что она поможет людям, даже не знавшим этого великого математика, соприкоснуться с
его личностью.
Воспоминания В.В. и М.В. Козловых
записаны составителем в ходе бесед с ними.
1987 г. У А.Н. Колмогорова в Комаровке Абрамов А., Арнольд Д., Сосинский А.
209
КОЗЛОВ МИХАИЛ ВАСИЛЬЕВИЧ,
кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры математической статистики
и случайных процессов Мехмата МГУ
ЕСЛИ СМОТРЕТЬ СО СТОРОНЫ
С Михаилом Васильевичем у меня произошёл короткий, но интересный разговор, ка-
сающийся того, что кажется более важным в отношении памяти о Владимире Игоревиче Ар-
нольде, если смотреть на это не непосредственно, не лично, а будто со стороны кого-то дру-
гого, причастного к личности интересного человека.
Побывав в разных высших учебных заведениях России и других стран, Михаил Ва-
сильевич подметил, что каждое мощное учебное заведение имеет свой неповторимый об-
раз, какой-то особый штрих, дух, который накладывает отпечаток на формирование лично-
сти. Один из главных штампов на Мехмате: дух научной конкуренции. Он ярко присутство-
вал у Андрея Николаевича Колмогорова, буквально спортивный дух при его величии. Он пе-
редался Арнольду и приумножился - дух первенства, соревновательности, соперничества.
Но любой верующий человек ощущает (уверен Михаил Васильевич): не только зем-
ной жизнью, в которой присутствует соперничество, стремление выдвинуться, быть впереди,
характеризуется, измеряется человек. Дух конкуренции даёт много для науки, но жизнь от
этого не становится более приятной и осмысленной. Это понимание должно как-то отра-
жаться на земной жизни.
Михаил Васильевич отмечает, что Владимира Игоревича, как учёного, достигшего
высочайших вершин в науке, отличает от многих, несколько подобных ему учёных, высокое
чувство патриотизма, постоянная связь с Россией. Он не отождествлял себя с Западом, как,
может быть, некоторые его ученики. Он отстаивал свои, патриотические позиции: Россия
достигла в математике вершин гораздо более высоких, чем Запад, и именно Россия велика
своими научными достижениямй. Таким учёным должна гордиться Россия.
210
ЧЕРНЫШ ЛЮДМИЛА ГРИГОРЬЕВНА,
инспектор диссертационного совета
В 1970 году я с должности медсестры городской клинической больницы №64 перешла
работать в научный отдел очного отделения механико-математического факультета МГУ.
Там кипела мехматская жизнь: олимпиады, конференции, Ломоносовские чтения, конкурсы
студенческих работ. Я, одна из немногих, могу похвастаться, что пила чай в кабинете Ректо-
ра Университета Ивана Георгиевича Петровского на 9 этаже, где он просматривал студенче-
ские и аспирантские работы, поданные на конкурс; писал отзывы. Там распределяли места:
первое, второе, третье
Нередко, пробегая по коридорам с какими-то делами, заданиями, я слышала: «Сего-
дня лекция Арнольда. Идёшь?» и однажды, набравшись храбрости, я зашла в поточную ау-
диторию, забралась на самый верх и стала слушать. Вначале была такая тишина, что каждый
мог слышать дыхание соседа. Лекция заканчивалась, и начиналась дискуссия. Вопросы, от-
веты. Владимира Игоревича, заметно было, это радовало. Он отвечал на вопросы весело,
улыбался иногда с иронией. Я подумала: зубастый «препод» (уже тогда возникло это слово).
Мне нравилось слушать Владимира Игоревича. Тогда его лекции переписывали один у дру-
гого.
Я часто по делам научного отдела заходила на кафедру дифференциальных уравнений
и там часто встречала Владимира Игоревича, который принимал активное участие в прове-
дении научных конференций, Ломоносовских чтениях.
Но вот появились первые аппараты для ксерокопирования материалов. Я перешла в
лабораторию, где мы копировали лекции преподавателей, вопросы для экзаменов, учебные
планы. Профессора сами искали машинисток, которые перепечатывали лекции, написанные
рукой, платили сами за работу, подбирали по порядку листы, сшивали. Такую работу выпол-
нял и Владимир Игоревич. Всё было для студентов. В библиотеку шло 40 или больше кон-
спектов лекций разных лекторов. Они очень помогали студентам готовиться к экзаменам.
Это были лекции В.М. Тихомирова, Л.И. Камынина, других лекторов.
В 1976 г. меня перевели инспектором в диссертационный совет. Причём такие люди,
как член-корреспондент РАН Гончар А.А., профессора, доктора наук: Никишин Е.М., Тихо-
миров В.М., пока я сомневалась, как быть, взяли мой тяжёлый сейф с бумагами и перенесли
туда, где он должен стоять при диссертационном совете. Моей обязанностью было правиль-
ное оформление всех диссертационных документов. Я освоилась с этой работой.
Совет в то время возглавлял Андрей Николаевич Колмогоров. Как-то Андрей Нико-
лаевич Колмогоров спросил: «О чём диссертация?». Я, пожав плечами, ответила: «Не знаю».
Он взял бумаги из моих рук и вышел.
С тех пор, прежде чем подать документы Андрею Николаевичу, я заучивала название
диссертации, аннотацию, главы, выводы,... и у Андрея Николаевича видимо складывалось
впечатление, что я что-то понимаю в математике. Но разве в ней разберёшься, не изучая спе-
циально. Однажды я произнесла слово «комплексные» с ударением на О, Андрей Николае-
вич меня поправил: «КомплЕксные». Он даже не имел представления, что у меня нет ника-
кого математического образования. Но, прочитав много документов, постановок задач, их
решений, любопытства ради и желания что-то понять, спрашивая у диссертантов, о чём они
пишут, я стала не то что понимать суть работ, но, главное, как их верно оформить.
Я очень внимательно относилась к диссертантам всех научных руководителей и, в
том числе, Владимира Игоревича Арнольда. А он всегда интересовался: «Такой-то был?»
В совет входили: А.И. Маркушевич, В.И. Арнольд, В.И. Гаврилов, Ю.В. Егоров, М.К.
Потапов, П.Л. Ульянов, В.А. Севастьянов, А.А. Гончар, Е.М. Никишин, Б.В. Гнеденко, А.Г.
Костюченко, А.Н. Ширяев, В.А. Садовничий. У каждого была своя манера что-то спраши-
вать у диссертантов, выражать согласие или, наоборот, с чем-то не соглашаться.
211
Андрей Николаевич сидел обычно с чуть прикрытыми глазами и спрашивал: « А вот
если Вы рассмотрите это... или это...» или обращался к членам Совета восхищённо: «Смот-
рите, какая прозрачная (или - «изящная») теорема...»
Арнольд обычно, если восхищался, то более бурно, а если что-то не нравилось, то го-
ворил о недостатках диссертации резко.
Работы, выполненные под руководством Андрея Николаевича, всегда соответствова-
ли требованиям, в них нельзя было в чём-то не разобраться, за каждый промах становилось
очень стыдно.
Арнольда обычно окружало множество студентов и аспирантов, которые впоследст-
вии стали докторами наук, академиками: В.А. Васильев, Давыдов А.А., Закалюкин В.М., Бо-
гданов Р.И., Ландо С.К. ... У них были сильные работы. В совете после защит начинались
бурные диспуты. Иногда Владимир Игоревич произносил: «Я не понимаю, что сделано...»
или «Это прекрасный результат!»
Избиралась комиссия для написания проекта заключения. Когда в комиссию входил
Арнольд, он начинал что-то добавлять от себя. Я подходила и говорила: «Перепишите», а он
отвечал: «Не хочу». А я: «Не шалите. Это надо». Он смеялся и переписывал, т.к. нужно было
делать всё по стандарту.
Когда Дима стал почти по полгода жить и работать в Париже, он очень изменился. К
тому времени я знала его уже тридцать лет. И если раньше он ругал наши порядки, то, пожив
за рубежом, а не просто поездив по разным странам, он, приезжая из Франции, всегда гово-
рил: «В России лучше».
К своим аспирантам Владимир Игоревич был очень внимателен и даже к некоторым
привязан. Они к нему относились так же, всегда посещали его большой семинар, который
работает и теперь, но уже, к сожалению, без уникального руководителя. Однажды его аспи-
рант из-за материального положения в семье бросил аспирантуру и ушёл работать в банк.
Владимир Игоревич очень переживал. Через 10 лет этот человек вернулся. Арнольд хотел
проучить своего ученика и написал резкий отзыв. «Владимир Игоревич, это отрицательный
отзыв?» - спросила я. Человек был очень способный, и В.И. отзыв переписал, но на защиту
не пришёл, сказав: «Математику бросать нельзя».
В 1999 г. меня пригласили стать техническим секретарём Московского математиче-
ского общества. Обычно по вторникам на 14 этаже проходил семинар под руководством ака-
демика В.И. Арнольда, а затем с 18 часов - заседание Московского математического общест-
ва. Владимир Игоревич всегда шёл по коридору 16 этажа очень стремительной походкой и
даже если очень торопился, то всё равно хоть несколькими фразами обращался ко мне.
Однажды я видела его в страшном гневе.
- Владимир Игоревич, что случилось?
- Люда, они (издательство) не хотят платить налоги и хотят воспользоваться моим
именем. Никогда ни с кем я не пойду на сделку.
Был смешной эпизод по отношению ко мне не очень давно. Перед предстоящим мо-
им 60-летием Владимир Игоревич спросил: «Что Вам подарить к дню рождения?» Я, смеясь,
ответила: «Да что уж теперь дарить, в мои-то годы? Разве что кастрюлю для борща». Вовсе
не подумала, что он отнесётся к моему юмористическому ответу серьёзно. И вот в день мое-
го рождения Владимир Игоревич мне преподносит четырёх с половиной литровую блестя-
щую кастрюлю с какими-то заворотами - для выхода лара, для прозрачности бульона... и на
этикетке - даже страшно сказать - 15 с тремя нулями рублей. Вот такой он мог быть непред-
сказуемый.
Нет Владимира Игоревича, быстрого, весёлого, энергичного. И нет теперь такой радо-
сти, которую он излучал своим появлением.
Мехмат обеднел так, что до сих пор невозможно осознать потерю.
212
БУЛИНСКИЙ АЛЕКСАНДР ВАДИМОВИЧ,
доктор физико-математичесих наук, профессор
Мехмата МГУ, кафедра теории вероятностей
ЭКСКУРСИЯ, ЛУЧШЕ КОТОРОЙ В ЖИЗНИ Я НЕ ЗНАЛ
Я расскажу об одном очень ярком эпизоде - встрече с Владимиром Игоревичем, ко-
торая запомнилась мне надолго и очень чётко - в деталях, жестах, интонациях...
Я встретился с Владимиром Игоревичем в 2005 году в Парижском университете. Он
сразу же предложил свои услуги - показать мне Париж. Это была настоящая экскурсия,
лучше которой в жизни я не знал. Владимир Игоревич сказал, что полюбил Париж с первого
его посещения в 1965 году, когда первый раз был послан сюда молодым учёным - делать
доклад.
Он водил меня по Парижу несколько часов, рассказывал о каждой улице, каждом
встречавшемся нам памятнике. Он знал такие подробности об истории всех достопримеча-
тельностей и помнил так много, что такого не мог знать и помнить ни один экскурсовод и
парижанин. Много рассказывал о жизни королей. Он, к примеру, долго искал, где был убит
Генрих IV. Оказывается, есть доска на мостовой.
Владимир Игоревич повёл меня в музей Орсэ (museee d ' Orsay). Он занимает ог-
ромное помещение бывшего вокзала. Коллекция музея - более 6000 произведений искусства
(Делакруа, Домье, Дега, Мане, Ренуар...) охватывает период с 1848 г. (Вторая Республика)
по 1914 г. (Первая мировая война). Владимир Игоревич поинтересовался, знаю ли я, какие
русские картины находятся в музеях Парижа. Моим ответом он был удовлетворён.
Потом Владимир Игоревич пригласил меня к себе в гости и много рассказывал вся-
ких историй о жизни математиков. Это был незабываемый день общения с великим челове-
ком.
Я знал, что Арнольд был любимым учеником Колмогорова. Когда Андрей Николае-
вич был очень болен и одно лето (1984г.) находился в санатории «Узкое», его ученики при-
езжали с ним гулять, и я иногда пересекался с Арнольдом. Меня всегда удивляло и потряса-
ло: человек всё любил, он мог увлечь любого тем, что его интересовало. Он многое перенял у
Андрея Николаевича и главное: заботу о своих учениках.
Я собирался пригласить Владимира Игоревича на свой день рождения, устроить
пикник, но попал на горестную панихиду. Очень, очень жаль.
213
ХАРШИЛАДЗЕ АЛЕКСАНДР ФИЛИППОВИЧ,
доктор физико-математических наук, ведущий научный
сотрудник Института Земного Магнетизма, Ионосферы
и распределения радиоволн РАН, заместитель директора
Института Новых Технологий
«С БОЕМ» ОТСТАИВАЛ СВОИ ПОЗИЦИИ
Еще будучи школьником в Тбилиси я знал, что есть на свете великий математик Ар-
нольд, который решил 13-ю проблему Гильберта. Тогда в моем детском воображении Ар-
нольд представлялся, как математик, не обладающий широким математическим образовани-
ем, но сконцентрировавший весь свой интеллект на узком и необыкновенно трудном участ-
ке, что позволило ему решить проблему, которая устояла даже перед великим Колмогоро-
вым.
Когда я поступил на Мехмат МГУ и впервые увидел его, еще совсем молодого про-
фессора МГУ, это мое детское представление было полностью разрушено. Оказалось, что
Арнольд является математиком, про которого невозможно сказать, в какой области матема-
тики он является специалистом, точнее, трудно назвать область, в которой он не является
специалистом.
Думаю, о широте и глубине научных взглядов и открытий Арнольда будет написано
немало теми, кто непосредственно соприкасался с ним и изучал его работы. Я приведу лишь
пример, как он неистово отстаивал то, в чём был совершенно уверен, особенно касающееся
математического образования в стране. (Наверняка, многие знакомы с его выступлением в
Государственной думе по поводу изменения программы по образованию в России).
Несколько лет назад в Математическом институте им. В.А.Стеклова проходила меж-
дународная конференция по «Художественной математике», посвященная разным увлека-
тельным темам в области математики, способным привлечь интерес молодежи к математике.
214
Доклад Владимира Игоревича Арнольда несколько выбивался из темы конференции,
Арнольд «ругался», т.е. очень эмоционально возмущался уровнем математического образо-
вания школьников и студентов в разных странах. Он находил уровень математического обра-
зования молодежи во Франции и Америке более низким, чем в России, но утверждал, что в
России этот уровень быстро снижается. Арнольд гневно осуждал тех специалистов в области
образования, которые предлагают уменьшить объем изучаемой в школе математики. Затем
он стал говорить о катастрофическом положении в связи с изучением геометрии в школе, тут
он стал называть вредителями, стоящими на службе американского империализма тех, кто
считает, что школьную геометрию следует исключить из школьной программы. Себя я при-
числяю именно к этой категории людей, и мне стало не по себе от такого мощного потока
обвинений, которые я воспринимал направленными на себя, от этого я стал невольно опус-
каться на стуле, стараясь быть незаметным. «Эти люди, - гневно кричал Арнольд, - хотят
исключить из школьной программы даже великую теорему о пересечении высот треугольни-
ка в одной точке, в то время как эта теорема является важнейшей наглядной иллюстрацией
тождества Якоби в алгебрах Ли». Это была эмоциональная кульминация, после которой
мощь и энергия докладчика стихли, и он уже спокойно добавил: «Впрочем, если не объяс-
нять школьникам, каким образом теорема о пересечении высот треугольника в одной точке
связана с тождеством Якоби, эта теорема не имеет никакого смысла». С этим последним ут-
верждением Владимира Игоревича Арнольда я абсолютно согласен.
215
МОЛЧАНОВ СТАНИСЛАВ АЛЕКСЕЕВИЧ,
доктор физико-математических наук,
профессор Мехмата МГУ (1988-1991 г.),
с 1992 г. prof. UNC Charlotte (USA)
АРНОЛЬД В МОЕЙ ЖИЗНИ
Я не являюсь ни учеником В.И. Арнольда, ни даже просто его хорошим знакомым. Мои
контакты с ним относятся к 60-70 годам, когда я начал работать на Мехмате после аспиранту-
ры. Тем не менее, эти контакты сыграли определяющую роль в моей научной карьере.
Мой научный руководитель, профессор Е.Б. Дынкин (который в середине семидеся-
тых эмигрировал в США; сейчас он профессор в известном Корнелльском университете
США) в 60-х начал менять свою традиционную тематику (случайные блуждания и процессы
на группах Ли и т.п.) на абстрактные проблемы общей теории Марковских процессов.
Я, однако, имел интерес к более конкретным задачам с ясным физическим подтек-
стом. Книга В.И. Арнольда «Математические методы классической механики», которая то-
гда начала публиковаться (первоначально в виде записок лекций), произвела на меня гро-
мадное впечатление. Я и сейчас считаю её одной из лучших математических книг.
Под влиянием этой книги, с одной стороны, и замечательных работ М. Фрейдлина и
А. Вентцеля по «большим уклонениям», с другой, я решил перевести для популярного в те
годы журнала «Математик» (представляющего сборники избранных статей из иностранной
периодики) статью И. Зингера и Г. Мак Кино «Кривизна и спектры операторов Лапласа».
Эта работа, до сих пор рассматриваемая как фундаментальная, содержала много от-
крытых вопросов, и я стал заниматься некоторыми из них, иногда сам, иногда с учениками
Арнольда, в частности, с А. Варченко.
Неожиданно В.И. Арнольд, к этому времени один из выдающихся математиков, во
всяком случае, в СССР, предложил мне выступить на его семинаре. После доклада он сфор-
мулировал несколько интересных и вполне допустимых задач. Умение формулировать такие
задачи, будь то задачи для математических олимпиад или же исследовательские задачи для
аспирантов и стажеров, было характерной особенностью Владимира Игоревича.
Я сумел (не до конца) разобраться в вопросах Арнольда и написал статью о так назы-
ваемом разложении Минакшасандарама для переходной плотности Броуновского движения
в области. Эта статья была представлена в «Функциональный анализ», известный Гельфан-
довский журнал, где В.И. Арнольд был членом редколлегии. Арнольд посоветовал расши-
рить текст статьи, добавить в неё общематематическое введение и т.п. и отдать её в «Успехи
математических наук». Так Владимир Игоревич стал крестным отцом моей первой большой
статьи «Диффузионные процессы и Риманова геометрия».
С этого момента математическая физика, понимаемая достаточно широко, стала глав-
ной областью моих интересов.
В 80-е годы мои встречи с Арнольдом стали регулярными, но касались, главным обра-
зом, олимпиадной деятельности, как школьного, так и студенческого уровней.
С начала 90-х годов, после распада Советского Союза, я практически ни разу не видел
Владимира Игоревича, но с большим интересом и сочувствием следил за его титанической,
но, видимо, безуспешной борьбой с обскурантизмом и антинаучной революцией (начиная со
знаменитого доклада в Ватикане).
Последний раз я увидел Владимира Игоревича Арнольда, увы, уже мёртвым в начале
июня 2010 г. в госпитале Сент-Антуанского предместья Парижа. Вместе с небольшой груп-
пой российских и французских математиков я присутствовал на самой первой гражданской
панихиде после внезапной смерти Владимира Игоревича.
Я встречался и разговаривал со многими ведущими математиками СССР и Запада, но
никто не олицетворял, мне думается, так ярко существо математического гения, как Андрей
Николаевич Колмогоров и его любимый ученик Владимир Игоревич Арнольд. Когда я раз-
говаривал с ними, меня всегда охватывал священный трепет, который, видимо, испытывает
правоверный католик, разговаривая с Папой.
216
ДЕМИДОВИЧ ВА СИЛИЙ БОРИСОВИЧ,
кандидат физико-математических наук,
доцент Мехмата МГУ
ЗАОЧНАЯ БЕСЕДА
В качестве воспоминаний о профессоре кафедры дифференциальных уравнений Мех-
мата МГУ, академике РАН Владимире Игоревиче Арнольде я привожу «заочную беседу».
Я написал ряд вопросов для интервью, и Владимир Игоревич любезно согласился написать
ответы. Выполнил он это очень чётко, прилагая рукописный текст записки с подробным от-
ветом на все мои вопросы.
Содержание записки таково: «Дорогой Василий Борисович, Ваше любезное письмо
(от 1 сентября 2008), со «сценарием», достигло меня только 1 октября. Прилагаемые ответы
можно публиковать только вместе с вопросами, которые я не переписываю: ответы были бы
непонятны, если бы в вопросах что-либо было изменено ! Рисунки обязательны !».
U 4
д V-^Cj2v*v-trV4' ' /
-< AMbS^UJdl VA^OfcAzo
0 ’’'3й4 MiHcecoAv
4
J
к.
b.Wowu? Cc.ц.С.Тэм^^Л.Лйо^-^
z C.H,ptWe лх~съо сйелд *<&.-*«4
- а Л - нб-А,
'«ъ
t f, ~Z^ X B“L
„“«» - “W*
а Ла^а^ — Kc^u^ovtQ
л,. «ад<с-ГАе /гтГ
ч
217
Согласно воле Владимира Игоревича, ниже приводятся его ответы на мои вопросы
(оформленные в виде нашей «беседы») с необходимыми рисунками («отсканированными с
оригиналов», по моей просьбе, моими университетскими друзьями - физиком Эдуардом Ио-
ханнесовичем Кэбиным и математиком Александром Савельевичем Кочуровым). При этом
приводится и нумерация вопросов, поскольку в некоторых случаях Владимир Игоревич счёл
необходимым дать единый ответ, объединяя сразу несколько вопросов.
(Вопросы Демидовича В.Б.обозначаются Д-№, ответы Арнольда В.И. - А. ред.)
Д - 1. Я очень рад, Владимир Игоревич, что Вы согласились на это интервью. В пер-
вом своём вопросе я всегда прошу рассказать немного о себе и о своих родителях.
Я знаю, что родились Вы в Одессе, и что отец Ваш - Игорь Владимирович Арнольд -
был известным математиком и педагогом. Более того, я знаю от своего отца, что Игорь Вла-
димирович заведовал организованными (кажется, в 20 -ые годы прошлого века для имею-
щих высшее «педагогическое» образование) при Научно-исследовательском институте ма-
тематики и механики МГУ (НИИММ) «курсами» (а по существу «спецаспирантурой» -
отобранных туда специальной «Комиссией» к обучению официально называли «аспиранта-
ми») для подготовки преподавателей ВТУЗов, и у меня даже сохранилось Удостоверение
(выписанное 15 июня 1932 года, N 255) об окончании этих курсов моим отцом (выпуск-
ником педагогического факультета Белорусского государственного университета) за подпи-
сями Директора НИИММ А.Я. Хинчина и Зав. курсами И.В. Арнольда, где перечисляют-
ся все «проработанные аспирантом» дисциплины (математические, общественные и ино-
странный язык), на основании чего заключается, что «... гр. Демидович Б.П. признан под-
готовленным для преподавания во ВТУЗах по специальности «Математика»».
Из Вашей интересной книги «Истории давние и недавние» я узнал, что Ваш дед, Вла-
димир Фёдорович Арнольд, был земским статистиком и занимался матэкономикой в стиле
Леона Вальраса и его ученика Вильфредо Парето (в честь этих выдающихся специалистов,
работавших в Швейцарии, в Лозаннском университете ныне открыт даже так называемый
«Центр междисциплинарных исследований Вальраса-Парето»).
Но как звали Вашу маму и была ли она «связана с математикой»? Из Вашей книги я
только понял, что она прекрасно владела английским языком.
А. Моя мать, Нина Александровна Арнольд (урожденная Исакович) была по профес-
сии искусствоведом, работала в юности в Пушкинском музее, участвовала в археологических
экспедициях в Причерноморье, позже преподавала английский язык. В математике она ниче-
го не понимала. Но её мать была сестрой замечательного физика академика Леонида Исаако-
вича Мандельштама, основателя московской школы теории колебаний, волн, радиофизики и
даже радиолокации. В число его учеников входили, например, Н.Д. Папалекси, Г.С. Ланд-
сберг, И.Е. Тамм, М.А. Леонтович, А.А. Андронов, С.М. Рытов и много других светил на-
шей физики и техники. Нобелевскую премию за его открытие «комбинационного рассея-
ния света» получил его друг Раман, открывший «Раман-эффект» того же рода позже, но
опубликовавший его несколькими неделями раньше, так как Мандельштам (по словам В.Л.
Гинзбурга) тратил время, скорее, на попытки извлечь из ГУЛАГа попавшего туда родствен-
ника, чем на пропаганду своего открытия. Поэтому и мне с раннего возраста (даже до 4 лет)
довелось общаться с собеседником этого Нобелевского уровня. Меня до сих пор поражает,
как много может ребёнок дошкольного уровня почерпнуть из подобных разговоров. Причём,
в основном, это вовсе не профессиональные знания, а понимание того, как собеседник дума-
ет во время разговора, какие доводы убедительны и какие доказательны, что его удивляет, а
что ему очевидно.
По дошедшим до меня рассказам, Игорь Евгеньевич Тамм утверждал, что разница
между школами Нильса Бора в Копенгагене и Ландау у нас состоит в том, что Нильс Бор
гордился тем, что «никогда не скрывал от своих учеников, какие мы дураки», а Ландау -
«какие они» (т.е. ученики).
218
Правдив ли этот рассказ об ответе Бора на вопросы московских студентов, я не знаю,
но что Игорь Евгеньевич строго придерживался именно его позиции, я твердо знал несмотря
даже на то, что, когда мне было лет 10, на мои вопросы о его науке Игорь Евгеньевич
отвечал мне рассказами об альпинистских походах за мумиё на Памире и помогал закоптить
стекла для наблюдения солнечного затмения, хотя после этих разговоров ехал из района
Братовщины на Скалбе на полигон ближе к Семипалатинску.
Помимо его рассказов о восхождении на Эльбрус - то с моим отцом, то с Дираком - и
о тысячах километров, проеханных им по Дании и Англии на велосипедах то с Дираком, то с
Бором, он и меня пытался научить ездить так же ловко, но его роскошная белая брючина по-
пала в цепь моего велосипеда, и есть даже фотография, где Игорь Евгеньевич лежит под
этим велосипедом у моих ног.
Георгий Гамов был другом детства моей матери (но она осуждала его за то, что он не
помогал из Лос-Аламоса голодавшему в России отцу). По-моему, именно Гамов заслужил 3
Нобелевских премии - за теорию а-распада (основанную на туннельной асимптотике, откры-
той его учителями, Мандельштамом и Леонтовичем), за объяснение реликтового излучения
большим взрывом Вселенной и за начало расшифровки генетического кода, завершённой
Криком и Уотсоном на базе его работы.
В Лос-Аламосе Гамов работал с другим членом нашей семьи - Рудольф Пайерлс, воз-
главлявший до того английский ядерный проект, был женат на Евгении Николаевне, кузине
моей матери, а я, в возрасте лет 12, посылал продуктовые посылки её сестре, сосланной и за
это в Алма-Ату, Нине Николаевне.
Другой великий физик, и близкий друг моих родителей, Михаил Александрович Леон-
тович, рассказывал, что «не получил Нобелевской премии за обломовскую свою лень». По его
рассказу, он вычислял какие-то интегралы теории дальнего распространения радиоволн, когда
к нему зашёл Франк и попросил помощи в одном расчёте (для объяснения наблюдений Черен-
ковым эффекта, предсказанного Сергеем Ивановичем Вавиловым). «Я и сказал ему - сегодня
не могу, очень много надо быстро сосчитать, а вот, в соседней комнате, сидит Игорь Евгенье-
вич, он сегодня свободнее, может и помочь». Черенков, Франк и Тамм получили Нобелевскую
премию за это открытие Вавилова (которого наградить было нельзя, так как он умер).
Экзаменуя меня, Михаил Александрович спросил как-то: «А откуда взял Чичиков
деньги покупать мертвые души?». И показал, что Гоголь на это явно указывает: первона-
чальный капитал (ещё до таможенных махинаций) был украден у всеимперского строитель-
ства, «проект которого вследствие этого пришлось полностью переделывать, изменив дан-
ные и место этого здания». Читателям того времени было ясно, что речь идёт о монументе в
честь победы в Отечественной войне, который строили на Воробьёвых горах (где теперь
МГУ), но, когда всё раскрали, то и перенесли этот храм Христа Спасителя к Москве-реке.
Д - 2. В своей книге Вы упоминаете, что в детстве были членом «добровольного
научного общества» (ДНО), организованного Алексеем Андреевичем Ляпуновым у себя до-
ма. В это общество он приглашал и моего старшего брата Колю (естественно, через на-
шего отца, которого Алексей Андреевич хорошо знал), поступившего на Мехмат МГУ в
1953 году. Но как-то с братом это «не сложилось», о чём отец потом часто с сожалением
вспоминал.
Как Вы думаете, существует ли в наше время необходимость подобного «эксклю-
зивного домашнего образования» или эту роль ныне должны взять на себя элитные школы ?
А. «ДНО» Алексея Андреевича вовсе не было «домашним образованием» - это была
скорее своеобразная Академия Наук, где важнее было открывать новое (и объяснять другим),
чем изучать старое. Так что школы, будь они элитными или нет, справиться с таким делом
никак не могли бы. Алексей Андреевич обладал особенным талантом зажигать детей любо-
знательностью совсем не школьной - с ним можно было обсуждать все интересное (и нельзя
- ничто скучное).
219
Вопрос «почему Земля похожа скорее на репу, чем на лимон» - правильный. Будь она
похожа на лимон, можно было бы использовать (решённую Якоби) задачу о притяжении дву-
мя неподвижными точками, сдвинутыми от центра к полюсам, для расчёта влияния несферич-
ности Земли на движения её спутников. Если эти две такие заменяющие лимоновидность Зем-
ли точки сдвинуты от центра к полюсам на расстояние ±а, то орбиты движения спутников бу-
дут отличаться от Кеплеровых эллипсов с фокусом в центре Земли на поправку порядка а, ко-
торую по формулам Якоби можно явно вычислить (через эллиптические функции).
Когда настоящие (искусственные) спутники стали запускаться вокруг настоящей (ре-
пообразной) Земли, то формулы Якоби удалось применить и тут. А именно, надо считать
притягивающие точки сдвинутыми на мнимые расстояния а = ip. Это направление сдвига
столь же осесимметрично, как и направления к полюсам, а потому соответствует замене сфе-
рической Земли близким осесимметричным телом. Но это тело - не лимонообразное (что бы-
ло бы при вещественных сдвигах а), а репообразное - и значение 0 можно подобрать так,
чтобы аппроксимировать реальное сжатие (у Земли полярный радиус примерно на 1/300 сво-
ей величины короче экваториального).
Делать такого рода открытия - вот чему учило ДНО, а вовсе не школьному умноже-
нию десятизначных чисел «столбиком» (хотя Алексея Андреевича интересовало и то, нельзя
ли сократить число п2 элементарных операций при умножении n-значных чисел до, скажем,
п3/2, в связи с построением компьютеров).
Я сразу вспомнил ДНО Алексея Андреевича, когда дошкольники, с которыми я ехал
из Москвы в Дубну читать лекции олимпиадным победителям, стали меня экзаменовать:
достоин ли я такой чести. Они предложили мне свои 3 задачи - я их успешно решил, вспоми-
ная образ мыслей Алексея Андреевича.
Первая задача:
Кто медведям лапы рвёт,
Зайчиков под дождь суёт,
Танин мячик бросил в речку,
Поломал быкам дощечку?
Каждый знает, это кто?
Это - ? ....
Мне помогло здесь то, что Агния Львовна была моей соседкой по даче и интересно
рассказывала, как она предала своего учителя Маршака, а он её и понял, и простил - и нау-
чил написать «Снегиря».
Вторая задача:
Альпинист стоит на вершине вертикальной скалы высотой 100 метров, где растёт де-
рево. На середине высоты скалы из неё растет вбок ещё одно дерево. У альпиниста есть ве-
рёвка длиной 75 метров. Как ему спуститься?
Третья задача:
Бикфордов шнур прогорает от одного конца до другого за час, но горит неравномер-
но: за полчаса огонь дойдёт не до середины шнура. Имея два таких (по-разному неравномер-
ных) шнура и не располагая часами, отмерить 45 минут.
Умение решать такие задачи - совсем не то, что искусство умножать многозначные
числа столбиком. Мой друг и однокурсник Игорь Шарыгин, в своих социологических иссле-
220
дованиях школ Магаданской области, пришёл к заключению, что отстающие на последних
партах двоечники куда умнее сидящих впереди отличников, потому что двоечнику, чтобы
выжить в классе, «нужно больше ума, чем для управления Гренадой и Севильей вместе», как
говорил Фигаро.
Д-З. Как я понял, школу Вы окончили в 1954 году. С медалью ли Вы её окончили?
А. В 1954 году я окончил 59-ую Московскую школу, в Староконюшенном переулке, с
золотой медалью. Медалистов в нашем классе было много, чуть не четверть учеников -
помню год, когда четверо из нас одновременно были кандидатами на выборах в разные отде-
ления Академии Наук. Двое были (впоследствии) выбраны академиками, и это не исключи-
тельный случай - лет за 5 до нас из другого класса той же школы были тоже выбраны (в
разные отделения) два академика РАН, ректор МАИ и посол России во Франции в том числе.
Эта школа - бывшая гимназия Медведниковых - долго оставалась лучшим в Москве
центром подготовки математиков. Мой учитель математики, Иван Васильевич Морозкин,
был по первоначальной профессии художником-гравёром на Трехгорной мануфактуре. Как
рабфаковец, он попал на мехмат, был выпущен учителем математики. Вернувшийся с фронта
офицером-артиллеристом, он военными методами заставлял всё понимать каждого.
Не так давно замечательный скульптор Елена Борисовна Преображенская, начав меня
лепить на Николиной горе, сказала мне, что, когда она лепила Петра Леонидовича Капицу,
он потребовал, чтобы портрет не вышел со скучным выражением, чтобы во всё время пози-
рования она травила ему анекдоты. «Чем я хуже?» - ответил я, и Ёла немедленно рассказала
следующее.
- Я с детства ненавидела математику, потому что ничего в ней не понимала - ведь, как
говорил Пастернак, «заготовленные неожиданности скучнее арифметических задач». Нена-
видела же я её из-за того, что наш учитель всегда мне говорил: «Сотри с доски эту гадость и
напиши другую».
Услышав знакомые слова, я тут же спросил Ёлу: «А как звали учителя ?»
Она ответила - «Иван Васильевич» - и мы поняли, что из одной школы (Ёла училась
даже в одном классе с другим мехматянином, вице-президентом Московского математиче-
ского общества, Юлием Сергеевичем Ильяшенко).
Оказалось, что Морозкин решил проблему Ёлы так: «Я не буду проверять ни одну
твою работу, буду за всё, не читая, ставить тройку, хотя больше, чем на двойку, ты не потя-
нешь, я вижу, никогда. Но ты зато, почаще, дари мне свои рисунки - ведь я вижу, как ты лю-
бишь рисовать, и как здорово у тебя получается».
Мой учитель Андрей Николаевич Колмогоров, будучи деканом, всегда говорил:
«нужно уметь прощать талантливым людям их талантливость (хоть это нам и трудно)».
И он спас от исключения из МГУ немало талантливых студентов (вплоть до уровня
академиков).
Одного, например, хотели исключить за игру в карты в общежитии (он же, впрочем,
«не выпускался за границу за то, что облевал милиционера») - Колмогоров же сослался на
открытые им теоремы.
Другого студента хотели исключить за то, что он напал на комсомольский патруль,
проверявший (в общежитии), кто с кем спит. А у этого студента (ученика Колмогорова Толи
Карацубы, родом из Грозного) ночевал в это время навещавший его брат - хорошо, что аль-
пинист Толя, взявший впоследствии три семитысячника на Памире, не пустил тогда в ход
свой ледоруб, так что патруль остался в живых. Спасти Толю от снятия со стипендии не уда-
лось - но Андрей Николаевич из своих личных денег платил ему тогда сумму большую, чем
отнятая стипендия, и Толя благополучно окончил мехмат (став впоследствии заведующим
Отделом Теории чисел Математического института имени В.А. Стеклова Российской Акаде-
мии Наук - он скончался 28 сентября 2008 года).
221
Возвращаясь к 59-ой школе, вспоминаю ещё нашего завуча, Марию Сергеевну Бори-
севич, преподававшую нам литературу. Например, она вдохновенно читала нам на уроках
стихи (Пастернака и Ахматовой, Мандельштама и Цветаевой, Гумилёва и Есенина, Волоши-
на и Ходасевича, Маяковского и Северянина) - чтобы объяснить, «как низко пало искусство»
в предреволюционные годы. Мы до сих пор помним именно с её слов и акмеистов, и Блока, и
сонеты Шекспира, и «папу Вильяма» Льюиса Кэрролла, и лимерики Лира, и Бёрнса (Марша-
ка) - а ведь в те годы никакой «иностранной литературы» в школе не предполагалось!
Зато политическое образование школа давала безупречное. Например, Вера Владими-
ровна Сказкина, учившая нас истории, так объяснила преимущество колхозного строя перед
кулацкой деревней: «а чем коллективно вести хозяйство легче и удобнее, чем единолично,
вам лучше меня объяснят ваши родители».
Но мне было как-то приятнее то, что рассказывал у нее дома Сергей Данилович Сказ-
кин, её муж, знаменитый историк Средневековья (и академик АН СССР). Зато Вера Влади-
мировна ежегодно вывозила свой класс к Парамоновскому оврагу на Волгуше (около
Влахернской Обители близ станции «Турист», не доезжая немного до Яхромы и Дмитрова)
- кататься неделю весенних школьных каникул на лыжах.
Бывая и сейчас то в Горках и Шиблове, то в Стрекове и Ольгове близ Парамонова, я у
каждого белого гриба и лесного родника вспоминаю, как бегал здесь на лыжах шестикласс-
ником и как класс едва успевал высушить насквозь промокшую одежду на топившейся всю
ночь русской печи в доставшейся нам избе.
Д - 4. Расскажите, пожалуйста, как происходило Ваше поступление на Мехмат МГУ.
Именно, если Вы закончили школу с медалью, то кто проводил с Вами всту-
пительное собеседование и чем оно Вам запомнилось ?
А если медали не было, то кто принимал у Вас устный экзамен по математике и был
ли он для Вас трудным ?
А. Про собеседование при поступлении ничего не помню - я каждый год награждался
на Московских Математических Олимпиадах, но обычно получал вторую премию (как в своё
время Максвелл или Кельвин) - возможно, это тоже учитывалось при приёме.
Д-5.Я у всех своих собеседников спрашиваю, кто были у них первыми лекторами:
а) по Математическому анализу,
б) по Алгебре,
в) по Аналитической геометрии ?
Этот же вопрос я обращаю и к Вам.
А. Анализ читал Лев Абрамович Тумаркин, алгебру - Евгений Борисович Дынкин,
аналитическую геометрию - Павел Сергеевич Александров.
Лекции Льва Абрамовича я и сейчас вспоминаю с удовольствием. Хотя он сам и был
менее крупным по своим личным открытиям математиком, чем другие лекторы (а ведь ря-
дом такие же лекции читал Александр Яковлевич Хинчин), его лекции были удивительно
богатыми (не всеми оцениваемой информацией).
По-видимому, он просто добросовестно излагал классические французские курсы ти-
па (трехтомного) учебника Гурса - а ведь в них было много такого, чего в «более современ-
ном» изложении из анализа вычеркнули (хотя кое-что восходило и к «Введению в анализ
бесконечно малых» Эйлера, который я тоже очень полюбил на первом курсе).
222
Вот пример: Тумаркин (говоря о теореме о неявной функции) рассказал первокурсни-
кам, что алгебраическое уравнение степени п
f(x,y) = Q
задает алгебраическую кривую на проективной плоскости СР2, комплексные точки которой
(включая бесконечно удаленные) образуют поверхность, диффеоморфную (как вещественное
многообразие) сфере S2 с g ручками. Число g («род» римановой поверхности кривой) для
8 2
гладкой поверхности выражается через степень п формулой (при степенях п, равных 1 и 2
поверхность сферична).
Если же есть особые точки, то их число не превосходит указанного числа (даже с учё-
том их кратностей), а род поверхности уменьшается на число особых точек.
Если риманова поверхность сфера, то любой интеграл от рациональной функции R
X
I(X) = jR(x,y)dx
берётся в элементарных функциях. Например, это всегда так при п = 1 и 2, причём интегралы
тогда берутся уже при помощи таблиц Ньютона или «подстановок Эйлера».
Если же поверхность не сфера, то существуют такие рациональные функции R, что
интеграл через элементарные функции от х не выражается. Например, это так, когда римано-
ва поверхность - тор, как для интеграла,
7(Л')={-п-±----
у X + их + b
называемого эллиптическим, g = 1.
Кроме того, если кривая рода g = 0 вещественна, то всю её можно нарисовать (на про-
ективной плоскости) одним росчерком пера, не отрывая его от бумаги. Например, это так для
случая п = 2.
Гипербола тоже рисуется одним росчерком, а не двумя: около бесконечно-удалённой
проективной прямой в RP2 картинки таковы:
223
2 3 2
Напротив, эллиптическая кривая у = х + ах + b в RP может состоять из одной или
из двух компонент связности (даже если она гладкая и её комплексные точки образуют тор,
g = О
Вдобавок, из того, что риманова поверхность окружности у2 + х2 = 1 есть сфера (то
есть комплексная проективная прямая СР1), сразу видно, как найти все «египетские тре-
угольники», имеющие катеты и гипотенузы целых длин (32+42=52, 122+52=132 и т.д.)
Для этого проведем через точку А (х= -1, у-0) на окружности прямую y=t(x+l) накло-
на t (t=tg <р/2 при <p~arg(x+iy)). Одна из точек пересечения этой прямой с окружностью, нам
известна - это А. Подстановка у из уравнения прямой в уравнение окружности дает для х
квадратное уравнение. Зная один из его корней (х = -1 в точке А), находим (по теореме Вие-
та) второй:
х2 + t2 (х2 + 2х + = 1 С х2(1 +t2) + 2t2x + (t2-I)-0 □
Числа х и у рациональны если и только если t рационально. А если t = u/v (с целыми
и и v), то
х =
v2 - и1
v2 +U1 ’
2uv
и числа составляют (любой) египетский треугольник:
-iT,
X = v
Y = 2wv, Z = v2 +и2
x2 + y2 = z2.
224
Эти странички из лекции Тумаркина доставляют первокурсникам, например, следую-
щие 11 вещей:
- ясное понимание проективной геометрии кривых;
- понятие римановой поверхности алгебраической кривой;
- понятие топологического рода g поверхности;
- формулу («Римана-Гурвица») для рода (вместе с желанием доказать её);
- понятие абелева интеграла:
- элементарность абелевых интегралов рода 0;
- неэлементарность эллиптических (и других) абелевых интегралов;
- геометрический смысл подстановок Эйлера;
- рациональность кривых рода 0;
- связь рациональности кривых с явной разрешимостью диофантовых уравнений;
- уникурсальность вещественных алгебраических кривых (и неуникурсальность,
например, левой кривой хотя правая и уникурсальна).
Все эти многообразные связи разных областей математики (вплоть до логики и теории
чисел с одной стороны, топологии и элементарного интегрирования — с другой) скрываются
за простыми примерами скучнейших интегралов, в которых можно часами упражняться, во-
все не понимая красоты огромного мира идей десятка выделенных выше теорий, осознание
тесной связи которых между собой само является, быть может, самым ярким вкладом опи-
санной выше лекции Тумаркина в воспитание его слушателей.
Я с сожалением должен заметить, что десятки более «современных» курсов анализа
проходят мимо всего этого богатства классического материала (боюсь, что из-за того, что
сами лекторы им не владеют). Некоторые из моих сверстников пытаются оживить сложив-
шиеся традиции скучных курсов. Но, к сожалению, иногда и они уступают классическому
совершенству стиля Гурса и Тумаркина.
Например, я встречал рассуждение такого типа: «Площадь Мадагаскара в 10 раз
больше площади Сицилии. Величина площади имеет размерность квадрата линейного раз-
мера. Следовательно (согласно П-теореме классической статфизики) жители Мадагаскара в
среднем в VlO « 3 раза выше жителей Сицилии».
Евгений Борисович Дынкин в своем курсе лекций по алгебре явно следовал школе
Ландау. Например, типичная его лекция начиналась со слов: «В прошлый раз мы рассматри-
вали чётные и нечётные перестановки. Девушка в третьем ряду, слева, в красном платье -
ответьте, пожалуйста, перестановка (3, 2,1) цифр 1,2, 3 - чётная она или нечётная?».
Как это ни странно, сейчас я вижу, что он многого сам не понимал как следует в той
элементарной и линейной алгебре, которую нам преподавал (и которую он обогатил своими
замечательными теоремами, например, в теории групп и алгебр Ли).
Например, это относится к «теории параллелограмма Ньютона», которую Ньютон на-
зывал «своим главным вкладом в математику, доставляющим решения всех её уравнений - и
алгебраических, и дифференциальных и интегральных», или к «правилу знаков» Декарта
(оценивающим число вещественных корней системы многочленов числом ненулевых коэф-
фициентов этих многочленов), или к «характеристике Штурма» пары вещественных много-
членов (перенесенной Кронекером на наборы п + 1 вещественного многочлена от п вещест-
225
венных переменных) - связи всего этого с вещественной алгебраической геометрией (и её - с
квантовой теорией поля) - явно не были известны нашему лектору.
Зато для подготовки к экзамену Евгений Борисович приготовил нам десятки задач,
некоторые из которых хотелось решать.
Формулируя эти задачи, он заметил: «вот, задачу 18 я и сам решать не умею - если
кто-нибудь из вас её решит, сообщите мне об этом на консультации перед экзаменом, это
ведь будет новый научный результат!»
К указанной консультации задачу решили двое - В.И. Арнольд и А.А. Кириллов. Рас-
сказанные ими решения были совершенно разными: у меня - скорее, топологические, а у
Кириллова - скорее, алгебраические рассуждения.
Я помню, что Евгений Борисович сразу же заподозрил моё геометрическое решение в
несамостоятельности. Он стал (публично) задавать мне вопросы о соотношении моих идей с
понятиями индекса векторного поля и степени гладкого отражения, с гомологиями и гомото-
пиями. Я никаких этих терминов и понятий не знал, понимал вопросы с трудом - придумал
всё совершенно независимо от каких-либо теорий, а Евгений Борисович пытался уличить
меня в плагиате. Минут через десять он понял, что ничего я заранее не знал и не использо-
вал, что никто мне не помогал. Тогда он предложил нам написать (в Успехи математических
наук) совместную статью, с обоими доказательствами. Так возникла моя первая научная ра-
бота.
Переписывали мы эту статью с Кирилловым семь раз - и каждый из нас критиковал
часть другого, и Дынкин громил обоих. В конце концов, возник текст, удовлетворявший всех
троих. Мне было поручено перепечатать его и отнести в редакцию (в те годы я уже подраба-
тывал в редакции ДАН СССР как «формулист» - вставлял формулы в перепечатанные тек-
сты). Но я, вернувшись домой, случайно взял на книжной полке отцовской библиотеки ста-
ринную книгу в толстом кожаном переплете - «Analis» Коши (кажется, даже «Алгебраиче-
ский анализ») - это была та самая книга, где Коши впервые навел бурбакистскую строгость
£-5 определений, изгоняя очевидные Ньютону понятия его анализа «предел при п —► оо» или
«предел при х —> 0». Открыв этот томик на случайной странице, я обнаружил там свою тео-
рему: Коши выражал число нулей комплексного многочлена в области через индекс заданно-
го многочленом векторного поля вдоль границы этой области, а из его формулы вывести на-
ши результаты было уже нетрудно.
Так наша с Кирилловым первая научная работа и осталась неопубликованной.
Все же, эта ситуация не .столь плоха, как история, происшедшая с читавшим Коши
Абелем. Молодой человек, приехав в Париж, прочёл первую «строгую теорему», доказанную
в курсе Коши: «если на отрезке [0, 1] последовательность непрерывных функций сходится в
каждой точке, то и предельная функция тоже непрерывна на этом отрезке». Абель, занима-
ясь степенными рядами, хорошо знал, что хп при п —> оо стремится к 0 при 0 < х <1, но стре-
мится к 1 при х = 1. Он сообщил об этом Коши.
В то же время Академия Наук отправила Коши на отзыв статью Абеля, где он доказы-
вал невозможность решить в радикалах общее уравнение степени 5 (например, уравнение х5
+ ах = 1).
Коши умер через много лет, так и не дав на работу Абеля никакого отзыва. Она оста-
валась неизвестной несколько десятков лет, и когда Абель давно уже умер, Лиувилль обна-
ружил его мемуары в бумагах, оставшихся после Коши (рядом с мемуарами Галуа, которого
постигла похожая участь, хотя он ошибок Коши и не указывал). В результате такого поведе-
ния Коши развитие и теории групп, и теории уравнений, и алгебраической геометрии, и даже
теории чисел отстало лет на сорок (от того, что было бы, если бы релятивистские идеи Абеля
о нормальных делителях стали сразу известными).
Так обстояло дело с анализом и с алгеброй для меня - первокурсника.
Что же касается аналитической геометрии, то здесь положение было иным: я перестал
ходить на лекции Александрова, как только увидел, что он вовсе ничего не понимает в своей
науке (путает аксиомы с теоремами и доказательства с определениями).
226
Вот типичный пример: что такое «геометрия Лобачевского»? Не стану повторять
ошибочных её описаний, скажу только (обычно скрываемую) правду.
Лобачевский сформулировал гипотезу : постулат Евклида, что «через точку вне дан-
ной прямой на плоскости проходит одна и только одна прямая, не пересекающая данную
прямую» независим от остальных (то есть не может быть из них выведен). Он пытался дока-
зать эту гипотезу от противного в течение нескольких десятилетий. Для этого он пытался
вывести из существования больше одной не пересекающей данную прямой противоречие, а
для этого выводил из такого существования всё новые и новые следствия. Если бы какое-
нибудь из этих следствий оказалось бы неверным, независимость была бы опровергнута. Од-
нако работа Лобачевского к таким неверным следствиям его все не приводила. Он сделал
вывод, что все эти следствия составляют новую геометрию, где постулат Евклида не выпол-
няется, а противоречий нет.
Никакой теоремой этот вывод не был: это просто гипотеза. Лобачевский всегда пони-
мал, что он её не доказал. Восхвалители Лобачевского восторженно говорят, что он свою
геометрию построил. Но точный смысл этих слов - только то, что его попытки опровергнуть
её не удались ему. Замечательно, однако, то, что гипотеза Лобачевского на самом деле верна.
Это доказали (уже после него) несколько математиков
Мне больше всего нравится доказательство, данное Артуром Кэли (недооцененным,
на мой взгляд, английским математиком XIX века). Кэли предлагает следующую модель
геометрии Лобачевского (обычно называемую «Модель Клейна», подобно тому, как Амери-
ка не носит имени Колумба):
Рассмотрим в качестве «плоскости Лобачевского» открытый круг на Евклидовой
плоскости и назовем «прямыми Лобачевского» все его хорды. Легко проверить, что все
обычные аксиомы («через две разные точки Р и Q проходит одна и только одна прямая» и
т.д.) выполнены, но через точку А вне прямой а проходит много прямых, не пересекающих
прямой а.
Если бы предположенное Лобачевским нарушение аксиомы параллельных Евклида
противоречило остальным аксиомам геометрии Евклида, то противоречивой оказалась бы
уже представляющая её модель: обычная геометрия Евклида (хорд круга).
Ни в одном учебнике геометрии этого рассуждения нет - и я быстро понял, что Алек-
сандров ни геометрии Лобачевского, ни проективной геометрии (о которой Кэли говорил,
что «она - вся геометрия») просто не знал. Даже тот факт, что дополнение к точке на веще-
ственной проективной плоскости есть лист Мёбиуса (каковой потому этот лист и открыл)
был для Александрова «трудным примером абстрактной общей теории».
Векторное произведение тоже выходило за рамки его понимания. Даже тождество
Якоби для него в курсе Александрова отсутствовало.
Взамен я читал на первом курсе увлекательный учебник Делоне и Райкова.
227
Борис Николаевич Делоне, альпинистский друг моего отца, еще до университета не-
мало разговаривал со мной о математике - больше всего о квадратичных формах и решётках,
цепных дробях и диофантовых приближениях.
Я тогда не стал всерьез этим заниматься, но после 1980 года вернулся к этим темам и
использовал многие его советы в десятках своих статей о цепных дробях, их статистиках,
палиндромах, многомерных обобщениях и связях с классификацией коммутативных градуи-
рованных алгебр Ли.
Из работ первого курса об этом я помню такую. Рассмотрим в «-мерном пространстве
Лобачевского «спираль» постоянной геодезической кривизны kj, постоянного «геодезиче-
ского кручения» к2 и т.д. (до «кручения» kn.i, измеряющего отклонение кривой от проектив-
ной плоскости размерности п - 1). «Как они выглядят?» - спросил я себя.
Если, например, п = 2, то кривые постоянной геодезической кривизны к (на плоскости
Лобачевского) оказываются окружностями при к > 1 и эквидистантами (равноудаленными
везде от единой прямой) при к < 1:
А как обстоит дело в больших размерностях ?
Оказывается, ответ зависит от величины некоторой цепной дроби (элементы которой
просто выражаются через кручения (ki,..., kn-i)). А именно, если значение этой дроби больше
1, то кривая ограничена, а замыкание кривой компактно (и является тором некоторой раз-
мерности, чаще всего равной п - 1). Если же значение цепной дроби меньше 1, то кривая не
ограниченна (а именно, равномерно движущаяся по ней точка уходит в бесконечность, как
для эквидистанты).
Как это ни удивительно, я до сих пор нигде не видел опубликованного доказательства
ни этой теоремы, ни других моих открытий того времени из аналитической и проективной
геометрии.
Вот пример моего результата пятидесятых годов, который я опубликовал только не-
давно: три высоты треугольника Лобачевского пересекаются в одной точке.
Эта теорема является просто тождеством Якоби
[[а, Ь], с] + [[Л, с], а] + [[с, а], Ь] = 0
в алгебре Ли квадратичных форм 2
Ер2 + Fpq + Gq2
на симплекстической плоскости R2 (с формой m = dpAdq).
Интересно, что к этой теореме имеются и контрпримеры, очень тупоугольные тре-
угольники, один из углов которых больше 120 градусов:
2 «Скобка Пуассона» [а, Ь] квадратичных форм а и b определяется формулой [а, б] =
да дЬ да дЬ
др dq dq др
228
эти три высоты в геометрии Лобачевского общей точки не имеют.
Оказывается, в таких случаях точка пересечения высот, все же есть, только она не
принадлежит плоскости Лобачевского, а лежит в релятивистском «мире де Ситтера».
Мир де Ситтера получается из модели Кэли плоскости Лобачевского так: круг модели
Кэли надо считать частью своей проективной плоскости. Лист Мёбиуса, дополняющий круг
до этой проективной плоскости (грубо говоря, это дополнение к кругу геометрии Лобачев-
ского на плоскости, содержащей этот круг) и есть двухмерный мир де Ситтера.
Теорема о пересечении высот верна для треугольников с вершинами внутри или вне
плоскости Лобачевского всё равно, - только эти точки пересечения тоже могут оказаться где
угодно. В описании при помощи квадратичных форм точки плоскости Лобачевского - это
знакоопределённые квадратичные формы (рассматриваемые с точностью до скалярного
множителя), а точки мира де Ситтера - гиперболические. Причём точки s мира де Ситтера
можно рассматривать как прямые uv плоскости Лобачевского, а точки плоскости Лобачев-
ского - как прямые мира де Ситтера (чтобы понять это, полезно нарисовать соответствую-
щую точке А прямую X в мире де Ситтера).
Ни всей этой геометрии, ни проективной теории, ни мира де Ситтера, ни замечатель-
ных эллиптических координат элементарной аналитической геометрии в курсе Александро-
ва, к сожалению, не было - он их и не знал, и, вдобавок, (в отличие от Делоне) изгнал из сво-
его курса, следуя требованию Декарта, все чертежи (вместе со всевозможными связями с
физической реальностью, экспериментами и воображением).
Подобная аналитическая геометрия изучает не кривые и поверхности, а, скорее, идеа-
лы и модули. Но уж тогда следовало бы сообщить, хотя бы, о теоремах Гильберта о ко-
нечности базисов и о сизигиях, о базисах Грёбнера вычислительной математики и экологии,
о теореме Тарского-Зайденберга и о проблемах алгоритмической разрешимости задач ал-
гебраической и диофантовой геометрий - а ничего этого Александров, я думаю, не знал.
229
Д - 6. Легко ли Вы влились в "студенческую атмосферу" Мехмата МГУ ? Или та-
кой проблемы для Вас не существовало, поскольку уже на 1-ом курсе сразу же оказалось
много Ваших знакомых по ляпуновскому «добровольному научному обществу» ?
А. Проблема была (и остаётся) в том, что мои точки зрения на математику и её роль в
науке всегда резко отличались от господствовавших.
Несколько лет назад (около 2000 года) мой давний друг Юра Манин так объяснил мне
разницу. «Ты утверждаешь, - сказал он, - что математика полезна для научно-технического
прогресса: и физика, и техника, и ускорители, и спутники без математики не были бы по-
строены. Между тем, на самом деле огромный вклад математики в дело человечества не ус-
корение, а именно замедление этого научно-технического прогресса. Если бы талантливей-
шие люди, доказавшие теорему Ферма, использовали бы свои таланты для совершенствова-
ния самолетов или автомобилей, то вреда было бы гораздо больше».
Положение остается примерно таким же и сегодня. Другой мой давний друг, Дима
Аносов, сказал о наших разногласиях так: «Арнольд верно пишет, что Гильберт в своей ста-
тье 1930 года «Математика и естествознание» утверждает, что геометрия - часть физики. И
тот же Арнольд цитирует слова Серра, что «математика и физика не имеют ничего общего».
Если бы Арнольд, как я, прочёл и понял Аристотеля, то он увидел бы, как и я, что противо-
речия у этих двух великих математиков нет: раз геометрия - часть физики, а у математики с
физикой нет ничего общего, то у математики с геометрией нет ничего общего, так что гео-
метрию пора исключить из курсов средней школы (чего Арнольд, не понимая, не хочет)».
Но я всегда старался заниматься такой математикой, которая позволяет разбираться в
естественнонаучных вопросах. Когда в 1960-е годы мои с А.Н. Колмогоровым работы были
выдвинуты на Ленинскую премию, математическая комиссия забраковала их. Мне рассказы-
вали, что доводы были такие: эти работы не доставляют никаких новых сведений ни об эле-
ментах пустых множеств, ни о всюду расходящихся рядах, ни о нигде не дифференцируемых
функциях.
Против этих доводов возражали специалисты других специальностей. Например,
М.В. Келдыш хвалил работы по небесной механике, которые его ученики использовали при
анализе движения искусственных спутников Земли, а занимающиеся ускорителями и управ-
ляемыми термоядерными реакциями физики - для удержания заряженных частиц в магнит-
ных ловушках и для обеспечения устойчивости пучков ускоряемых частиц.
Общее собрание комитета премию присудило, но Людмила Всеволодовна Келдыш
(бывшая оппонентом моей кандидатской диссертации) предупредила меня: «бойся Славки -
он хочет и Серёжу (её сына) и тебя сделать такими же генералами от науки, каким стал сам.
Но у него, когда кончал мехмат, был выбор - либо делаться генералом от науки, либо рас-
стреляют, как многих его друзей. А вас с Серёжей теперь никто расстреливать не хочет - за-
нимайтесь спокойно своей наукой, не поддавайтесь на приманки, закидываемые Славкой».
К тому времени, однако, я и сам уже всерьёз спорил с Мстиславом Всеволодовичем. А
именно, у меня было предложение о компьютерном расчёте многолетних орбит небесных
тел. Дело в том, что уравнения Гамильтона небесной механики не имеют аттракторов (так
как фазовый поток сохраняет объёмы передвигаемых им областей фазового пространства).
Между тем, при компьютерных расчетах такие аттракторы наблюдались. Объяснялось
это тем, что разностные схемы, по которым вычислялось движение точек фазового простран-
ства, аппроксимировали непрерывный поток разностной схемой, а для неё аттракторы уже
возможны (так как аппроксимирующий поток объёмов уже не сохраняет). И поэтому я пред-
ложил М.В. Келдышу, что коэффициенты аппроксимирующих схем надо бы подобрать так,
чтобы получающийся поток с дискретным временем состоял из симплектоморфизмов («ка-
нонических преобразований» в терминах механики), тогда аттракторы станут невозможными
и у разностных схем, так что парадоксальные компьютерные выводы о стремлении орбит с
разными начальными условиями к одному предельному положению исчезнут.
230
Ответ Келдыша крайне меня удивил: он сказал, что «вычислить такие коэффициенты
схем невозможно потому, что для этого нужны были бы большие компьютерные мощности,
а у нас в стране их нет и не будет, потому что я доложил руководству, что стране компью-
терную технику развивать незачем: американские атомные бомбы рассчитывались фон Ней-
маном при помощи компьютеров, а советские - такими замечательными математиками, как
Канторович, который сумел и без компьютеров вычислить всё, что было нужно».
Я не в силах был с этим согласиться: пытался убедить Мстислава Всеволодовича, что
отставания в компьютерной технике нанесли стране большой ущерб, причём, не только в де-
ле расчёта взрывов бомб и орбит ракет, но и в многообразных хозяйственных проблемах,
вплоть даже до выбора цен в супермаркетах.
Единственное, чего я добился, был совет Мстислава Всеволодовича передать моё
предложение представителям NASA, которые должны вскоре приехать в Москву. Но и аме-
риканцы отказались реализовывать мои предложения. Они сказали, что у них столь дешевы
и столь многочисленны компьютеры, что они в состоянии в тысячи раз уменьшить шаг рас-
четов орбит по времени. И тогда аппроксимация будет столь мало отличаться от истинного
(несжимаемого) фазового потока, определяемого дифференциальными уравнениями Гамиль-
тона, что нужда в реализации моего предложения отпадёт - только расчёт станет, правда, до-
роже.
Через несколько лет я встретил в Париже китайского стажёра Фенг Канга, который
сразу оценил мое предложение положительно. И когда он, вернувшись в Китай, стал там
главным действующим лицом в деле расчёта спутниковых орбит, то он нашёл достаточно
компьютеров, чтобы вычислить нужные коэффициенты аппроксимирующих разностных
уравнений.
Но начавшаяся затем культурная революция отправила его в шахты простым шахтё-
ром. Его здоровья хватило на те годы, после которых начальство узнало, что и американцы
переняли его схемы и рассчитывают теперь свои орбиты по ним (позже у американцев их
позаимствовали и российские исследователи орбит спутников). В результате Фенг Канг был
избран в академики, вернулся к расчётам спутниковых орбит в Пекине, его труды были рос-
кошно изданы с золотым тиснением на обложке.
В 1998 году я провел семестр в Гонконге (в качестве профессора Университета Науки
и Технологии), но пекинские представители сагитировали меня заехать на несколько недель
и туда. Я надеялся снова встретить Фенг Канга, но, к несчастью, он не дожил до моего при-
езда: умер вследствие чрезмерно утомительных торжеств, устроенных Академией для его
чествования. Предложенный таким образом метод расчёта называется сегодня «симплекти-
ческим интегрированием».
Несмотря на сопротивление большинства, мне удалось реализовать многие свои идеи
- и симплектическое интегрирование, и восстановление школьного математического образо-
вания в России (включающего и логарифмы, и геометрию, и понимание того, что в арифме-
тике дробей 1/2 + 1/3 2/5).
Но, отвечая на Ваш вопрос, я вспомнил и о неприятии А. Пуанкаре математиками его
эпохи: его учитель Эрмит, например, браковал его (даже на вступительном экзамене в Эколь
Нормаль) за то, что «на его чертежах окружности неотличимы от треугольников».
Пуанкаре нашел выход - он поступил не в Эколь Нормаль, а в Эколь Политехник, да и
в Академию Наук был избран не по математике, а по астрономии (для чего и написал свою
главную математическую книгу «Новые методы небесной механики»).
Но самое главное - он изобрел топологию, в которой треугольники и окружности эк-
вивалентны.
Я понял, что и мне нужно идти по его пути - перечислять созданные мною за 60 лет
работы области математики и физики было бы слишком длинно, но я упомяну, например,
«теорию КАМ», «диффузию Арнольда», «квантовую теорию катастроф», «теорию каустик и
волновых фронтов», «вещественную алгебраическую геометрию», «симплектическую и кон-
тактную топологию», «статистику многомерных цепных дробей», «теорию сложности дина-
231
мических систем», «теорию бифуркаций инвариантных многообразий», «исследование резо-
нансов в теории сердечной аритмии», «теорию адиабатических инвариантов», «теорию
арифметической турбулентности», «проективную геометрию и эргодическую теорию полей
Г алуа».
Д - 7. Вы с 1 -го курса начали посещать спецсеминары и спецкурсы ? Чей-нибудь
спецкурс или спецсеминар Вам особенно запомнился ?
А. Среди многочисленных замечательно интересных семинаров я помню огромный
семинар И.М. Гельфанда, оказавший решающее влияние на математическую жизнь в Москве
- несмотря на его крайнее бесчеловечие (разносы были тем более резкие, чем выше был со-
циальный статус охаиваемого, будь он докладчиком или слушателем, указавшим докладчику
контрпример).
Напротив того, А.Н.Колмогоров поражал (неожиданно) доброжелательным отноше-
нием ко всем участникам семинара - он исходил из (странного) предположения, будто вся-
кий собеседник столь же умён, как он сам, и ему не мешала даже явная ошибочность этого
благородного предположения. Зато, в отличие от сразу становившихся знаменитыми резких
высказываний Гельфанда, предложения Колмогорова обычно оставались никем не понятыми
(и, во многих случаях - например, в описании «природы турбулентности» - появились деся-
тилетия спустя в печати под именами списавших эти предложения математиков других
стран).
Когда я начинал читать лекции на мехмате, Колмогоров сказал мне: «Ни одно слово
лекции никакого значения для слушателей не имеет - они всё равно ничего не поймут. Нуж-
но только, чтобы они поняли из курса лекций, какие вопросы будут им заданы на экзамене и
как на эти вопросы надо отвечать».
Меня поразило здесь то, насколько точно Колмогоров понимал реакцию студентов на
его курсы: его действительно никто не понимал (да и невозможно это было, так как ни одна
фраза не была грамматически правильной - то ни одного подлежащего, то сразу три сказуе-
мых, с неразборчивым мычанием вместо дополнения). Я, правда, извлек из этих (непонят-
ных) лекций (о самых разных предметах, включая теорию случайных процессов и гидроди-
намику, теорию передачи информации и эргодическую теорию динамических систем) чрез-
вычайно много полезного, так как никогда не пытался разгадывать его грамматические ребу-
сы, а стремился поскорее понятв его цели, идеи и методы, превращая эти замыслы в теоремы
и доказательства (иногда совсем не те, что у него) совершенно самостоятельно. Гельфанд
или Дынкин запрезирали бы меня за такое (чего я, впрочем, не боялся), но Колмогоров, на-
против, только радовался.
Ближе к Колмогорову, чем большинство математиков, оказались такие мои многолет-
ние собеседники, как Я.Б. Зельдович, И.Г. Петровский, В.А. Рохлин, М.М. Постников,
С. Смейл, Ю. Мозер, Р. Том, Дж. Милнор, Э. Брискорн, X. Уитни, Ж. Лере, Л. Шварц,
А. Вейль, Д.К. Фаддеев, Ю.В. Линник. О семинарах каждого из них можно было бы долго
рассказывать, и список, конечно, не полон, я включил в него только тех, от кого устно нау-
чился особенно многому.
Д - 8. Правильно ли я понял (всё из той же Вашей книги), что первую свою курсо-
вую работу (на 2 -ом курсе) Вы писали у Евгения Борисовича Дынкина и лишь на 3 -ем
курсе стали учеником Андрея Николаевича Колмогорова ?
А. Ещё до обучения у Дынкина, в течение всего первого курса, я многому научился у
Анатолия Георгиевича Витушкина - это был «кружок по анализу», где давались только оп-
ределения и формулировки теорем, а доказательства (неделю спустя) предлагали студенты.
Именно эта суровая школа (с беспощадной критикой со стороны ровесников и нетерпимо-
стью к любым ссылкам на что-либо прочитанное) научила меня отличать правильное доказа-
232
тельство от неправильного. К каким только измышлениям друзей не приходилось ежедневно
придумывать контрпримеры !
Учение у Колмогорова заключалось для меня в том, что он сформулировал к семина-
ру десяток задач - и уехал в Париж. Когда он вернулся, я показал ему свои решения - и он
объяснил мне, что я, не зная об этом, решил 13-ю проблему Гильберта (доказав противопо-
ложное предположению Гильберта утверждение). Но уроки Колмогорова были многообраз-
ны: еще до отъезда он одобрил одну мою (мелкую) работу, и я отдал ему пять страниц для
математической статьи, чтобы он представил её в ДАН СССР.
Через неделю Андрей Николаевич вернул мой текст с такими словами: «Ни один, да-
же самый гениальный, студент не в состоянии написать хорошую научную статью, даже если
у него правильно доказаны интересные результаты: искусство доказывать теоремы и решать
задачи - совсем не то, что искусство писать статьи. Поэтому долг научного руководителя -
переписать, от слова до слова, весь текст первой работы студента. Не надо добавлять ника-
ких новых результатов или точек зрения: иногда достаточно разбить фразу на три, иногда
нужно отделить определение изучаемого объекта от формулировки теоремы о нём, иногда
следует сделать где-нибудь красную строку. Если студент умён, его вторую работу перепи-
сывать уже не придется, он научится, как писать самому. Но бывают и другие ученики -
причём вовсе не обязательно их результаты слабее, чем у умного...»
Мне не раз случалось потом узнавать стиль Колмогорова в чьих-либо первых работах
(даже у таких математиков, о которых я узнавал лишь позже, что они действительно были
его учениками).
Если мне не изменяет память, в трёх томах собрания сочинений Гельфанда имеются
всего две статьи без соавторов. Одна из них (в томе III) подписана одним В.И. Арнольдом (я
отказался писать с Израилем Моисеевичем совместные работы, сказав ему, что «предпочи-
таю сохранить с Вами хорошие личные отношения». Израиль Моисеевич ответил: «О, так
значит, не только я, но и Вы это тоже понимаете ! Ни о какой совместной работе речи нет -
она будет Ваша, только опубликовать её я прошу в моем собрании сочинений»).
Вторая работа без соавторов - «Нормированные кольца» (то есть «Банаховы алгеб-
ры»), Я думаю, это, в сущности, первая работа Израиля Моисеевича (а он был, как и я, уче-
ником Колмогорова - Андрей Николаевич говаривал даже, что «только в беседах с этими
двумя учениками испытывал ощущение присутствия высшего разума (то есть, нечеловече-
ское провидение)»).
После моей студенческой работы о проблеме Гильберта Колмогоров сказал мне, что я
ему больше не ученик - обсуждать со мной он готов что угодно, но не как с учеником, а как
с независимым самостоятельным исследователем. Жаль, что я не записывал эти интересней-
шие разговоры.
Д - 9. Регулярно ли Вы встречались с Андреем Николаевичем или (как нередко
сейчас бывает у студентов с их научными руководителями) подолгу "исчезали" из его поля
зрения ?
А. Когда Колмогоров был в Москве, он обычно просил меня еженедельно приезжать к
нему на дачу в Комаровку - зимой это означало примерно сорокакилометровый лыжный
пробег в плавках, причем я даже обычно его обгонял под конец, хотя вначале одевался теп-
лее.
В последний год своей жизни, когда ученики устраивали непрерывную смену восьми-
часовых дежурств у Андрея Николаевича, что и я исполнял раза два в неделю, Андрей Нико-
лаевич однажды (в марте) встретил меня такими словами: «Не заболели ли Вы ? У меня тут
был Леня Бассалыга, и он рассказал о Вас странную вещь: он встретил Вас на лыжах где-то
между Ясеневым и Дубровицами. Ваш маршрут, 60 км: Ясенево - Дубровицы - Троицк - Те-
плый Стан я знаю и одобряю. Но Леня говорит, что, хотя было всего -20°С, и рубахи на вас
не было, штаны Вы, все-таки, не сняли. В чем тут дело - может быть, пора уже вас лечить ?»
233
Но в более ранние годы Андрей Николаевич ездил так много (да и я немало), что встре-
чи с ним были вовсе не еженедельными. Только под конец Андрей Николаевич стал жаловать-
ся, что из-за болезни Паркинсона с трудом справлялся с морскими волнами у Батума. А после
этого, когда мы бегали с ним на лыжах и переходили по мартовскому (или даже февральско-
му) льду Клязьму, ему стало трудно перепрыгивать на лыжах через забереги (лужи воды по-
верх льда вдоль его примыкающей к берегу линии). Уже почти ослепнув, Андрей Николаевич
все же хотел пройти свой обычный сорокакилометровый маршрут по моей лыжне.
Зато в байдарочном походе (от Селижарова до Дубны, через озеро Селигер, озеро Се-
ремо, реку Граничную, озеро Граничное, реку Шлину, озеро Шлино, Вышневолоцкое Заво-
дское водохранилище, реку Тверцу, Волгу, Лисицкий Бор, остров «Грабиловоу» на Москов-
ском море) Андрей Николаевич убедил меня, что проходить, как мы это делали, в день на
веслах по семьдесят километров - норма (хотя я и пытался выгадать время для сбора земля-
ники, которую он тоже любил).
Помню его рассказ, как он еще до войны с опасением переплывал на байдарке много-
километровой ширины залив озера Ильмень: волны были много выше метра высотой. И
вдруг, посредине залива, встретилась лошадь, спокойно переходившая этот залив вброд, та-
ща за собой телегу.
В походе Андрей Николаевич вдохновенно фотографировал (особенно, любимую им
гранитную архитектуру Вышнего Волочка, где шлюзы, плотины, мосты, Сиверсов канал и
каналы Меты и Тверды имеют вполне Петербургский вид, хотя назначенный для этого Ека-
териной Сиверс, устроитель водного пути с Волги в Петербург, и был голландцем).
Д - 10. При окончании Мехмата МГУ Вас, разумеется, рекомендовали в факультет-
скую аспирантуру, поскольку Вы уже математически прославились решением XIII пробле-
мы Гильберта. Но для поступления в аспирантуру требовалось ещё успешно сдать Госэкза-
мен по основам марксизма-ленинизма. С его сдачей не было ли у Вас проблем, подобных
тем, которые Вы красочно описали в своей книге, когда уже Вам самим довелось участво-
вать в его приёме ? (примеч. Д.: Поскольку Владимир Игоревич объединил ответ на этот во-
прос с ответами на последующие четыре вопроса, то я привожу сразу и эти вопросы).
Д - 11. Я думаю, излишне спрашивать, как прошёл для Вас экзамен по математике
при поступлении в аспирантуру - несомненно, он прошёл блестяще. Но всё же, кто его у
Вас принимал ? И запомнилось ди Вам что-нибудь с этого экзамена ?
Д - 12. Кандидатскую диссертацию Вы защитили в 1961 году, то есть за год до окон-
чания аспирантуры. Кто по ней были у Вас оппоненты и где происходила её защита - на
Мехмате МГУ ? И вообще, запомнилась ли Вам её защита чем-нибудь особенным ?
Д - 13. После защиты кандидатской диссертации Вы стали ассистентом Мехмата МГУ
(как я понимаю, по кафедре дифференциальных уравнений) и начали преподавать на нашем
факультете. Сразу Вы нашли «свой стиль» проведения занятий ? Много ли Вы к ним гото-
вились или Вы предпочитали «педагогические экспромты» ?
Д - 16. Вы защитили вою докторскую диссертацию в 1963 году. Кто были по ней оп-
поненты и где происходила её защита ?
А. На вопросы 10, 11, 12, 13 и 16 подробно отвечать не буду - кое-что об этом со-
держится в предыдущих ответах, а интересного добавить вроде бы нечего. Пожалуй, только
одна фраза: когда за решение проблемы Гильберта кто-то предложил присудить сразу док-
торскую степень, то Колмогоров ответил: «А зачем ? Не надо - у него другие результаты
прекрасно составят докторскую диссертацию на совсем другую тему».
234
И правда, в 1961 году, во время защиты кандидатской диссертации, у меня уже было
немало результатов по той «теории КАМ», которая была защищена в 1963 как докторская
диссертация «Проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике». На-
пример, работа с решением проблемы Биркгофа (об устойчивости эллиптических неподвиж-
ных точек отображений плоскости на плоскость) была опубликована уже в 1961 году, а ос-
новные результаты об устойчивости планетных систем, опубликованные в 1962 году, уже
были во время защиты 1961 года получены - только «диффузия Арнольда» добавлена в
1963 году, да и к этому открытию я был в 1961 году близок.
Д -14. Когда появился на нашем факультете Ваш собственный спецсеминар ? Быстро
ли он "оброс" студентами ? Легко ли Вы находили к ним свой подход ? (примеч. Д.: здесь
я также привожу сразу следующий вопрос, так как Владимир Игоревич, по существу, дал
объединённый ответ на оба эти вопроса).
Д -15. Кто был Вашим первым аспирантом ?
А. Ещё в студенческие годы я еженедельно вёл занятия («кружок») со школьниками,
многие из которых стали впоследствии моими учениками на мехмате.
Помню, что Андрей Николаевич Колмогоров, будучи председателем оргкомитета
очередной московской математической олимпиады, рассказал мне, как происходило награж-
дение одного из моих учеников. Рядом с Андреем Николаевичем сидела дама из Гороно, и на
неё вид этого призера произвел особое впечатление. «Как приятно, - сказала она, - что пер-
вую премию на московской математической олимпиаде (это была целая связка чудесных
книг, вроде «Что такое математика» Куранта и Роббинса, «Числа и фигуры» Радемахера и
Теплица, «Наглядная геометрия» Гильберта и Кон-Фоссена, «Задачи из анализа» Полна и
Сеге) получает простой деревенский школьник: вот, он учится в школе деревни Хотьково !»
Колмогоров не стал ей объяснять, что Андрей Леонтович, действительно имевший вполне
деревенский вид, живёт в соседнем с Хотьковым академическом посёлке Абрамцево, а его
отец - академик Михаил Александрович Леонтович (впрочем, навещавшим Михаила Алек-
сандровича в деревне профессорам приходилось иногда подолгу ждать его, так как «акаде-
мик пошёл выгонять корову», но это было не в Хотькове, а на Москвс-реке у Кремешни, на-
против Тучкова).
В сочинениях Колмогорова есть работа (о площади окрестности траектории Броунов-
ского движения), про которую редакция сообщает: «У этой работы 2 автора, математик и фи-
зик, и две части - физическая и математическая. Читателя следует предупредить, что мате-
матическую часть написал физик, а физическую - математик».
Точно такое же примечание сопровождает эту статью и в сочинениях Михаила
Александровича Леонтовича: он лучше Колмогорова считал интегралы (преобразуя контуры
интегрирования на римановых поверхностях, т.е. используя теорию Пикара-Левшеца выяв-
ления абелевых интегралов), но физические приближения асимптотик, сводящие вопрос о
Броуновских траекториях к интегралам, придумал Колмогоров.
Андрей Леонтович был одним из первых моих аспирантов - он сделал много замеча-
тельного, и, в частности, им написаны современные комментарии к одной математической
теореме ученика моего отца, Андрея Дмитриевича Сахарова. Андрей Дмитриевич так полю-
бил математику, что сделал впоследствии десятки математических открытий, а после его
смерти меня попросили их комментировать (при издании тетрадки, куда он, ничего не пуб-
ликуя, записывал свою математику).
Теорема, которую комментировал Андрей Леонтович - о рубке капусты. Жена попро-
сила Андрея Дмитриевича порубить осенью кочаны капусты для шинкования. Он пишет, что
кочан режется сначала на горизонтальные круговые слои, а затем каждый такой круг кладет-
ся на стол и рубится на мелкие кусочки случайным ударом ножа.
235
Занимаясь этой утомительной физической работой, Андрей Дмитриевич не мог не
думать, а потому задал себе вопрос: некоторые кусочки - треугольники, некоторые - пяти-
угольники (встречаются всевозможные выпуклые многоугольники). А сколько вершин у та-
кого многоугольника в среднем?
Посчитав свои кусочки, Андрей Дмитриевич пришел к выводу, что среднее равно че-
тырём. Впоследствии оказалось, что он был не первым, кто исследовал этот вопрос стати-
стической геометрии: уже в 1852 году немецкий геометр Шлэфли в своей диссертации ре-
шил аналогичную задачу, даже для «-мерной капусты. А именно, он доказал, что для полу-
чающихся «-мерных выпуклых многоугольников среднее число ^-мерных граней такое же,
как число ^-мерных граней «-мерного куба.
Например, в обычном трехмерном пространстве среднее число граней кусочка равно
6, среднее число вершин равно 8 и среднее число ребер равно 12. При этом сами кусочки во-
все не похожи на кубики или параллелепипеды: ведь эти средние достигаются не на одном и
том же кусочке, так что у типичного кусочка вовсе не обязательно (6,8,12) граней размерно-
стей (2,0,1).
Кроме школьного кружка 1950-х годов (где моим учеником был ещё, например, Анд-
рей Николаевич Тюрин, ставший после поступления в университет учеником Игоря Рости-
славовича Шафаревича, но продолжавший ходить на мой семинар и впоследствии, до своей
недавней безвременной смерти, он стал замечательным алгебраическим геометром и работал
в МИАН), я стал в 1963 году, по просьбе А.Н. Колмогорова, преподавать в созданном им в
Давыдкове Интернате (№18) для одарённых математически школьников.
Мои лекции 1963-1964 года были позже изданы одним из слушателей (они доставля-
ли школьникам, в виде серии задач, топологическое доказательство теоремы Абеля о нераз-
решимости общих уравнений степени 5 в радикалах, причём в процессе решения этих задач
мои ученики больше узнавали о группах и о римановых поверхностях, комплексных числах
и спинах, косах и кубах Кеплера (вписанных им в додекаэдр), монодромии и разветвлённых
накрытиях, разрешимых группах и релятивистских идеях, чем дают любые университетские
курсы).
Из моих замечательных учеников этого класса школы-интерната № 18 Н. Нехорошее
стал специалистом по теории гамильтоновых систем и небесной механике, С. Воронин и
Г. Архипов - по теории чисел, В. Алексеев - по компьютерам, а вначале в эту группу входил
еще и вернувшийся затем в Ленинград Ю. Матиясевич (доказавший, в частности, алгоритми-
ческую неразрешимость диофантовых уравнений высокой степени).
Одновременно начался и студенческий семинар - причём, школьники иногда бывали
и там. Впрочем, среди активнейших участников моего студенческого семинара на мехмате
были и такие замечательные математики, как В.М. Алексеев и Я.Г. Синай, Д.В. Аносов и
С.П. Новиков, А.Г. Хованский, А.Н. Тюрин и Т.Н. Тюрина, Д.Б. Фукс и Д.А. Каждан,
Г. Маргулис, А. Каток, А. Стёпин и т.д. - полный список слишком длинен, а обзор, в каком
году кто что сделал, можно извлечь из сборника «Задачи Арнольда», где изданы задачи се-
минара за примерно полвека. Ю.И. Манин и А.А. Кириллов, И.И. Шапиро-Пятецкий и
М.Л. Лидов постоянными членами семинара не были, но их работы занимали в нём большое
место.
В начале каждого семестра я формулировал пару десятков задач, которые участники
семинара затем решали - период полураспада задачи (после которого она на 50% решена)
составил, по многолетним наблюдениям, в среднем 7 лет, так что даже некоторые из задач
60-х годов и сегодня остаются нерешёнными. В других случаях решения задач семинара ста-
ли сегодня знаменитыми теориями. Например, теория «Систем Аносова» является замеча-
тельным развитием контрпримера Аносова к ошибочному решению одной из задач семинара
(опубликованному с этой ошибкой в статье Арнольда с Синаем в 1963 году).
Никакого «подхода» к студентам я не находил - просто формулировал интересующие
меня вопросы. При этом я не считал нужным рекомендовать определенному студенту опре-
делённую задачу. Пусть выбирает себе сам, это - как выбор невесты сыну !
236
Что из этого вышло - судить лучше ученикам, а не мне. Их мнение изложено в статье
«Владимир Игоревич Арнольд глазами учеников» в «Трудах МИАН», том 259, 2007, стр. 5-9.
Д - 17. В 1965 году Вы стали уже профессором Мехмата МГУ. И в том же году по-
ехали на годичную научную стажировку во Францию (в Сорбоннский университет), где за-
нимались под руководством Жана Лере.
Показалось ли Вам что-нибудь «необычным» в общении во Франции «шефа» с по-
допечными стажёрами по сравнению с тем, как это происходит у нас ?
А. Лере сразу сказал мне: «Хоть ты мне и студент, требовать я от тебя буду не сдавать
экзамены, а читать лекции (о теории динамических систем, у нас почти не известной, хотя
основал её и Пуанкаре - ведь продолжатели Пуанкаре живут, в основном, в России !)»
Слушатели этого семестрового курса лекций включали много академиков. Помню
участие Лере и Шварца, А. Картана и М. Фреше, Серра, Тома и Лихнеровица, Годемана и
Дуади, и даже Данжуа, рассказавшего мне, как Пуанкаре принимал у него аспирантский эк-
замен во время еженедельного «чая математиков»: «Мы мешали чай с лимоном ложечками в
своих чашках у вот этой доски, как мешаем сейчас с тобой, и я говорил: «а это слагаемое по-
лучается в формуле в верхнем правом углу доски из этой формулы в левом нижнем» и пока-
зывал ногой, так как руки были заняты, а гимнастом я тогда был лучшим, чем сейчас, в 90
лет». Других учеников у Пуанкаре во Франции, видимо, не было.
Один из профессоров-слушателей, Андре Авец, записал, мои лекции 1965 года и издал
их в виде книжки: Arnold and Avez « Ergodic Problems of Classical Mechanics».
В это время я сформулировал уже «гипотезу Арнольда» (о неподвижных точках сим-
плектоморфизмов, и о пересечениях лагранжевых многообразий) в основанной мною около
1960 года симплектической топологии - эта гипотеза до сих пор не доказана, несмотря на
многие сотни посвященных ей работ, доказывающих её ослабленные версии.
В литературе «гипотезой Арнольда» часто называют такую ослабленную версию, где
число неподвижных точек или лагранжевых пересечений оценивается снизу суммой чисел
Бетти нужного многообразия, в то время как я всегда задавал вопрос об оценке снизу
большим числом Морса (минимальным числом критических точек гладкой функции на мно-
гообразии).
Первые случаи, где доказана гипотеза Арнольда в простейшей ситуации (для тора, где
эта гипотеза является прямым обобщением «последней геометрической теоремы» Пуанкаре,
в главе о которой в лекциях 1965 года стояла гипотеза) были найдены в 1983 году Конли и
Цендером. Наилучшие из известных более общих её случаев доказаны А. Флоером (покон-
чившим, однако, самоубийством, когда ему не удалось справиться с самым общим случаем):
это привело его к знаменитым «гомологиям Флоера», а затем - к связям всей этой тематики с
квантовой теорией поля, с «инваринтами Зайберга-Виттена и Громова» и т.д.
Э. Виттен объяснил мне как-то, что он относит мою гипотезу, скорее, к физике, чем к
математике: «Она утверждает, что с бесконечномерной топологией можно смело обращаться
так, как если бы её трудностей не было и все расходящиеся ряды сходились. Конечно, такая
математика (нужная и для обоснования всей квантовой теории поля) пока отсутствует, при-
чем, отсутствует не только доказательство, но и точные теоремы. Но нам с тобой лучше не
обращать внимания на эти временные трудности: пройдет лет двести, и они будут преодоле-
ны».
Необычным во Франции было то, что, согласно до сих пор не отмененному приказу
правительства 1793 года, жителям Парижа запрещается называть друг друга дворянским ме-
стоимением «Вы»: все обязаны друг другу «тыкать», а кто нарушит - подлежит гильотини-
рованию.
Ж.-П. Серр, хоть и старше меня лет на 15, строго требует от меня выполнения этого
правила (уже с 1965 года), так что мы были с ним на «ты» даже во время публичной дуэли в
Институте А. Пуанкаре (13 марта 2001 года).
237
В 1965 году он научил меня, как отличать хорошую математическую работу от пло-
хой. Надо пойти в библиотеку Института Анри Пуанкаре, где образцовый библиотекарь
Бельгодер (обгонявший когда-то Кошуля, как лучший студент курса) пустит нас к книжным
полкам. Там нужно найти номер журнала со статьей, о которой идёт речь: если её еще не ук-
рали, работа была слабой. У нас у обоих были статьи в недавнем томе журнала «Апл. Inst.
Fourier» (Grenoble). Том оказался уже украденным. Сейчас, с появлением ксероксов, этот чу-
десный метод Серра уже не действует: вместо того, чтобы уносить том или вырезать бритвой
нужные страницы, проще сделать копию.
Но другие черты французских математиков более устойчивы. Абель, например, писал
друзьям в Христианию, что в Париже 1820 года ни с одним математиком поговорить нельзя,
«так как они все хотят учить, но ничему они не желают учиться». (Лесков отмечал в «Не-
смертельном Головане», что «одни только французы умеют учить тому, чего сами вовсе не
понимают»).
Согласно Абелю, каждый французский математик - специалист в одной узкой облас-
ти, не интересующийся ничем другим: «Один знает много о теории тепла [это Фурье] - но не
спрашивай его ничего о теории чисел», «Другой - специалист по теории упругости [это Пу-
ассон], но не спрашивай его о многогранниках», «Третий - знает всю небесную механику
[это Лаплас], но не понимает алгебраических кривых».
А.Н. Колмогоров говорил мне: «Ни с одним французским математиком нельзя гово-
рить ни о чём вне его математической специальности - таков даже мой друг Лере, который
доверил мне пятку внука при его купании в ванночке (что не совсем обычно для приёма ака-
демика одной страны академиком другой и служит явным доказательством нашей давней
дружбы). Только один математик во всей Франции может рассматриваться как естествоис-
пытатель и интересуется более широко разными областями - с ним интересно, но он далеко
от Парижа, в Бюр-сюр-Иветг, это Рене Том».
И я, действительно, больше всего подружился в 1965 году именно с Томом. Беда
только в том, что я никак не мог понять его теоремы из статьи «О топологических методах в
биологии», где он заложил основы теории катастроф.
Том ясно отвечал мне (пару десятков лет) на вопросы об этой теореме: «Всегда най-
дутся дураки, чтобы находить для наших теорем доказательства». В конце концов, я попро-
сил своего аспиранта Б.А. Хесина разобраться с этой ситуацией, и тот обнаружил, что объяв-
ленная Томом много десятков лет назад теорема не верна. А именно, Том утверждал, что
число «элементарных катастроф», (бифуркаций общего положения в пространстве парамет-
ров для фазовых портретов градиентных динамических систем, рассматриваемых с точно-
стью до топологической эквивалентности) равно семи (при четырех параметрах нашего про-
странства-времени). Оказалось же, что это «число катастроф Тома» не может быть меньше
13 (и, вдобавок, до сих пор никто не знает даже, конечно ли их число, или же существует
бесконечно много различных катастроф).
И всё же Колмогоров прав в главном - с Томом было интересно, и я многому у него
научился (хотя и сохранил не признаваемое Томом уважение к логической строгости и к не-
обходимости доказательств).
Замечу, кстати, что и сам Колмогоров говорил мне не раз: «Не ищите в моих работах
по теории турбулентности доказательств - их там нет, и я не знаю, появятся ли они когда-
либо. Я нигде не утверждаю, что мои результаты вытекают из исходных уравнений Навье-
Стокса. Они не доказаны, а верны, и это - гораздо важнее !»
Хотя я и пытаюсь многое доказывать, верных открытий у меня тоже во много раз
больше, чем доказанных теорем. И.М. Виноградов называл Колмогорова «математиком без
теорем» - ссылаясь даже на мою работу 1963 года, доказывающую теорему Колмогорова,
анонсированную им в 1954 году.
238
Д-18. В том, что состоялась эта Ваша зарубежная стажировка («тогда» и сразу «в
капстрану» !), большую роль, как я понимаю, сыграл Иван Георгиевич Петровский. Не рас-
скажете ли Вы что-нибудь про Ваше общение с ним ?
А. Иван Георгиевич сыграл удивительно большую роль в моём математическом раз-
витии (не говоря уже о его огромной роли ректора в создании неповторимой атмосферы
мехмата вообще).
Около 1970 года он вручил мне докторскую диссертацию своего ученика, Дмитрия
Андреевича Гудкова, посвящённую 16-й проблеме Гильберта - о топологии алгебраических
кривых степени п на вещественной проективной плоскости. Он сказал: Гудков продолжает
мои работы 30-х годов по вещественным алгебраическим кривым, решая, в частности, задачу
Гильберта о кривых степени 6, состоящих из 11 овалов (а больше их быть не может).
В своей формулировке проблемы 1900 года Гильберт пишет, что возможных тополо-
гически различных расположений 11 овалов только два: лишь один овал содержит в ограни-
ченном им диске другие, и их число может быть лишь 1 или 9. Но Гильберт так и не опубли-
ковал доказательства своей теоремы. Гудков, используя (в Нижнем Новгороде) работы сво-
его второго учителя, физика А.А. Андронова, доказал теорему Гильберта, и я опубликовал
его заметку с этим доказательством в ДАН СССР с год назад.
Но теперь вот Гудков привез диссертацию, в которой опровергнута и теорема Гиль-
берта, и его собственное её доказательство: бывает, он утверждает, еще третье расположение
одиннадцати овалов (с пятью овалами внутри и пятью снаружи). Поэтому, - добавил Иван
Георгиевич, - очень необходимо серьезно разобрать эту огромную работу по вещественной
алгебраической геометрии (использующую и бифуркационные методы физиков): кто же
прав, Гильберт или Гудков ?
Хотя эта тема никак меня не касалась, я все же заинтересовался работой Гудкова и
стал её читать. Результатом оказался мой восторженный положительный отзыв. Только я не
сумел включить в него формулировки пары сотен доказанных Гудковым теорем, и заменил
их единым более общим утверждением, содержавшим и все теоремы Гудкова, и еще беско-
нечный набор далеких обобщений.
Этот общий результат я назвал в своем отзыве «гипотезой Гудкова», так как доказа-
тельства этого результата (в самом общем случае) в диссертации не было, а была всего лишь
пара сотен частных случаев общего факта.
Дмитрий Андреевич быстро стал моим близким другом, он ежегодно приезжал в
Москву из Нижнего, привозил даже своих учеников, и мы проводили в моей квартире в Ясе-
неве долгие вечера, обсуждая новые теоремы и гипотезы, примеры и контрпримеры послед-
него года.
Думая о «гипотезе Гудкова», я пришел к выводу, что её утверждение о делимости на
16 Эйлеровой характеристики поверхности с краем, заданной неравенством {f(x, у)>0},
должно бы было быть связанным с теоремой топологии четырехугольных гладких многооб-
разий, где на 16 делится сигнатура формы пересечений (на пространстве двумерных гомоло-
гий). Вопрос состоял в том, чтобы связать топологию вещественных кривых (задачи Гиль-
берта и гипотезы Гудкова) с вещественно- четырехмерными многообразиями.
Размышляя об этом, я придумал такую конструкцию: для комплексификации неравен-
ства {f(x, у)>0} заменим его равенством {f(x, у) = /}, и будем считать координаты (x,y,z)
комплексными числами. Тогда поверхность, краем которой является изучаемая кривая
{f(x,y)=0}, превратится в двумерную в комплексном смысле (то есть четырехмерную в веще-
ственном смысле) поверхность - к ней можно применять теоремы топологии четырёхмерных
многообразий.
Эта идея привела меня к доказательству ослабленного варианта гипотезы Гудкова (со
сравнением по модулю 8 вместо сравнения по модулю 16). Через несколько лет В.А. Рохлин,
которому я всё это рассказал, дополнил мои рассуждения своим доказательством «сравнений
по модулю 16 в 16-й проблеме Гильберта».
239
Сегодня все эти теории составили основу большой новой области математики - веще-
ственной алгебраической геометрии, где переход от топологии кривых к топологии четы-
рехмерных многообразий доставляет также полезные связи с квантовой теорией поля, с сим-
плектической геометрией и с инвариантами Флоера-Виттена-Громова (о которых шла речь
выше).
И всё это - развитие замечательных идей И.Г. Петровского, который первым понял
все значения фундаментальной проблемы Гильберта и первым после Гильберта не побоялся
исследовать её.
Д - 19. Вы были кандидатом на Филдсовскую медаль 1974 года, но, как Вы пишете в
своей книге, не получили её, поскольку представлявший Советский Союз в Филдсовском
Комитете Лев Семёнович Понтрягин ультимативно заявил что «... если присуждение меда-
ли Арнольду состоится, то СССР выйдет из Международного Математического Союза». Не
думаете ли Вы, что (неизбежно) субъективные решения подобных вопросов (о присуждении
или не присуждении той или иной награды) негативно влияют на развитие математики ?
А. Я много раз писал уже и повторю ещё раз: по моему мнению, Нобелевские пре-
мии, медали Филдса и другие подобные награды оказывают, к счастью, мало влияния на по-
ступательное развитие нашей науки. Так ли задержало развитие Нового Света то, что его на-
звали Америкой, а не Колумбией ?
После Понтрягина одним из следующих представителей России в Филдсовском Ко-
митете назначили В.И. Арнольда. И, хотя я однажды даже вышел из состава Комитета в знак
протеста против несправедливого, по моему мнению, решения, даже это (несправедливое)
решение не принесло столь уж большого вреда.
А.Н. Колмогоров сказал мне как-то, что большее значение для математика, чем все-
возможные премии и выборы во всевозможные научные академии, играет избрание в Почёт-
ные Члены Лондонского Математического Общества - здесь дискриминация минимальна, и
список почётных членов сильнее любого списка академиков, лауреатов медалей Филдса и
т.п.
Он сказал мне это, когда меня избрали таким почётным членом ЛМО - и, как он и
предвидел, десяток Академий разных стран так же выбрали меня в свои иностранные члены
(через несколько лет).
Для себя я расцениваю все подобные награды как своеобразный дождь: он может
быть и стихийным бедствием, и подарком Данае от Зевса.
В одном недавнем очерке о награждении Арнольда (в «Троицком варианте» №8, 2008)
я прочитал, что и сам-то Владимир Игоревич - это просто стихийное бедствие, критиковать
которое столь же бесполезно, как и критиковать Везувий за его извержения. Я говорю это
здесь не для характеристики Арнольда, а о премиях: то, что они существуют, что научная
деятельность человечеством может быть иногда вознаграждена, оказывает, вероятно, скорее
положительное влияние на развитие наук (хотя хорошие открытия делаются не ради премий,
а зачастую ими и не награждаются).
В актовом зале Математического института имени В.А. Стеклова висят портреты ра-
ботавших в нём академиков, но до сих пор отсутствует портрет Алексея Николаевича Кры-
лова, основавшего институт, и портрет Якова Викторовича Успенского (учителя Ивана Мат-
веевича Виноградова, который добился оставления последнего в аспирантуре, несмотря на
отсутствие самостоятельных научных результатов в студенческие годы: «Верно, результатов
ещё нет, но я, Успенский, говорю вам: они будут»).
Именно Крылов (вместе со своим другом Л.И. Мандельштамом, о котором я писал
выше) посоветовали Сталину назначить президентом АН СССР Сергея Ивановича Вавилова,
несмотря на то, что его гениальный брат, Николай Иванович, погиб в тюрьме.
А Успенский передал в Кембридж, в Кавендишскую лабораторию П.Л. Капице пись-
мо от Крылова, чтобы тот опасался своих ежегодных возвращений в Россию, так как Сталин
240
собирается однажды его не отпустить обратно (об этом подробно написано в книге «Мои
воспоминания», опубликованной недавно внуком Крылова, Сергеем Петровичем Капицей).
П.Л. Капица все же возвращался ежегодно, а вот сам Успенский внял предупрежде-
нию Крылова и не вернулся (в 1929 году), отчего и «исчез» из списков на стене МИАН.
Негативно влияет на развитие науки (в том числе, и математики) невозможность про-
кормить своих детей нищенской зарплатой - вклад в это влияние несправедливых награжде-
ний составляет ничтожную долю этой беды (из-за которой лучшие ученики, которые у нас
всё ещё появляются, вынуждены искать работы за границей).
Д - 20. Как обмолвился в своём интервью Марко Иосифович Вишик, у Вас «также»
были «сложные отношения» с зав. кафедрой Ольгой Арсеньевной Олейник. Возможно ли
подобное во взаимоотношениях между руководителем и авторитетнейшим подчинённым в
западных университетах, скажем, в той же Сорбонне ?
А. Об Ольге Арсеньевне Олейник я хотел бы сказать здесь хорошее - оно известно
куда меньше, чем её (очевидные) недостатки.
Диссертация Ольги Арсеньевны, написанная по следам пионерских работ её учителя,
Ивана Георгиевича Петровского, заложивших основу вещественной алгебраической геомет-
рии, ценились ею самою ниже последующих работ по уравнениям с частными производны-
ми, и мало кто о ней знает.
Между тем, эта замечательная работа обогнала уровень науки своего времени на деся-
тилетия и не была должным образом оценена именно вследствие этого. (Правда,
А.Г. Витушкин вывел из этих работ Олейник свое решение 13-й проблемы Гильберта для
гладких функций, но и он почему-то в конце жизни забывал на неё ссылаться).
Основной целью этой работы было исследование топологических свойств веществен-
ных алгебраических многообразий фиксированной степени в вещественных проективных
пространствах. Для кривых на плоскости аналогичная работа была выполнена двадцатью го-
дами раньше И.Г. Петровским, но случай поверхностей ему не поддавался. Теоремы Ольги
Арсеньевны оценивали числа Бетти этих многообразий некоторыми сложно выписываемыми
многочленами от степеней их уравнений.
В 1965 году мои друзья Дж. Милнор (в США) и Р. Том (в Париже) прислали мне свои
(независимые друг от друга) препринты об этих числах Бетти. При сравнении с результатами
Ольги Арсеньевны (которых они не знали) я обнаружил, что, хотя их оценки и выглядят при-
ятнее, они во много раз слабее полученных Ольгой Арсеньевной оценок.
Том и Милнор доказывали неравенство Ь<1 ООО 000, когда у Олейник было Ь<98. Бо-
лее того, неравенства Олейник достигаются (при подходящем выводе коэффициентов урав-
нения числа Бетти достигают указанных ею оценок), тогда как неравенства Тома и Милнора
нереалистично завышены. Я тотчас послал обоим друзьям - филдсовским лауреатам - ин-
формацию о статьях Ольги Арсеньевны, и они успели вставить ссылки на эти статьи в свои
опубликованные работы. Но и сегодня неравенства Олейник на Западе цитируются под име-
нем «неравенства Милнора-Тома».
Удивительным образом я встретился с теми же неравенствами еще раз по совсем дру-
гому поводу. Живя ещё в Москве, Израиль Моисеевич Гельфанд пригласил меня раз к себе,
чтобы обсудить свои сложные результаты в теории представлений групп. Сложность состоя-
ла в том, что ответы доставлялись очень длинной формулой (занимавшей много страниц), и
Израиль Моисеевич предположил (с обычной своей интуицией), что формулы такого рода
могут быть связаны с моей областью математики - теорией особенностей гладких отображе-
ний.
Он угадал верно - посмотрев несколько минут на его формулы, я понял, что уже раза
три встречал их в разных областях математики, в том числе и в диссертации Ольги Арсень-
евны, где они использовались для оценок чисел Бетти.
241
Сущность дела состоит в следующем. Рассмотрим десять точек на плоскости. Их вы-
пуклая оболочка представляет собой многоугольник. Площадь этого выпуклого многоуголь-
ника выражается через двадцать координат этих точек. Но это явное выражение записывает-
ся довольно сложно: ведь даже записать координаты вершин выпуклой оболочки заданных
точек не так уж просто !
Если же точек не десять, а с сотню, и лежат они не на плоскости, а в пятимерном про-
странстве, то формулы становятся совсем сложными - они-то и испугали Гельфанда.
Мой совет состоял в том, что, вместо длинных формул, надо писать «объём выпуклой
оболочки таких-то точек» (или, иногда, «смешанный объём Минковского») - и все формулы
заменятся простой геометрией (разработанной, вдобавок, моими учениками, Хованским и
Варченко, под именем «теории многогранников Ньютона», так как Ньютон считал изобрете-
ние этой науки своим лучшим вкладом в математику, опубликовав его даже в виде «длинной
диаграммы» о решении всех уравнений).
Сообразив всё это, я вспомнил, где видел те же формулы еще раз: Пьер Делинь, при-
езжая в Москву, когда он был ещё женихом дочери Лены моего друга Володи Алексеева,
рассказал (переплывая со мной вплавь Десну или Пахру около Дубровиц) о своей теории
смешанных структур Ходжа полуалгебраических многообразий. Продумывая его теорию, я
просчитал, в качестве примера, чему равны числа Ходжа этой структуры для простейших
особых многообразий (называемых сферами Брискорна).
Оказалось, что ответы выражаются через данные задачи довольно сложными форму-
лами - теми же, что у Олейник и Гельфанда, так что я быстро свёл их вычисление к теории
многогранников Ньютона (и использовал всё это для решения интересовавшей меня тогда
задачи об индексах особых точек голоморфных дифференциальных форм на особых гипер-
поверхностях).
Продумывая всю эту ситуацию вследствие вопроса Гельфанда, я сообразил, что в ра-
боте Олейник было сделано гораздо больше, чем она сказала. А именно, за пару десятков лет
до Делиня она изобрела смешанные структуры Ходжа комплексных многообразий, оценила
через них числа Бетти вещественных многообразий и вычислила упомянутые смешанные
структуры в интересовавших её частных случаях.
Разумеется, определение смешанных структур в самом общем случае в работах Олей-
ник не содержится - оно и не было ей нужно. Она выписала всё, что нужно, в том случае, ко-
торый был ей нужен для получения оценок чисел Бетти общих гиперповерхностей фиксиро-
ванных степеней - но получить эти оценки она смогла только благодаря найденным ею свой-
ствам её смешанных структур.
Жалко, конечно, что ни сама Ольга Арсеньевна, ни Иван Георгиевич Петровский, ни
Дмитрий Андреевич Гудков, ни Владимир Абрамович Рохлин, продолжавшие её работы, не
заметили их связей с теорией смешанных структур Ходжа.
Я пытался сделать это, поручив детали своему польскому студенту Мариушу Водзит-
скому, но тут в Польше разразилось военное положение Ярузельского, и я потерял право на-
учного руководства польскими аспирантами в МГУ (это разрешалось только коммунистам).
Из-за этого Мариуша нельзя было взять в аспирантуру в МГУ.
Но я нашёл выход - попросил Юру Манина взять это руководство на себя (в Институ-
те Стеклова, где Юра работал, драконовские меры против польских аспирантов не были еще
приняты). Мариуш (сейчас он в Беркли) стал замечательным математиком и в школе Мани-
на, так что его удалось спасти. Но вот его исследование связей смешанных структур Ходжа -
Делиня с вещественной алгебраической геометрией осталось незаконченным. Тут можно ви-
нить и кафедру, руководимую Ольгой Арсеньевной, но как она могла помочь?
Зато Ольга Арсеньевна замечательно помогла мне, когда издательство «Классики
науки» отказалось принять моё предложение перевести на русский язык избранные сочине-
ния Пуанкаре. Главный редактор А.А. Логунов, написал мне (около 1970 года), что «В.И.
Ленин камня на камне не оставил от идеалиста Пуанкаре в своей книге «Материализм и эм-
242
пириокритицизм», а потому никакие сочинения Пуанкаре в нашей стране изданы быть не
могут».
Увидев этот ответ Логунова, Ольга Арсеньевна тут же нашла выход:
«Во-первых, предлагать Пуанкаре надо не одному, а вместе со мной - тогда отказать
будет труднее.
Во-вторых, надо попросить помочь Николая Николаевича Боголюбова, потому что:
1. Он очень любит А. Пуанкаре, его работы по методу усреднения - прямое развитие
теории Пуанкаре;
2. Он очень любит В.И. Арнольда - был у него оппонентом при защите докторской
диссертации, а после этого написал книжку, где решает свои задачи заимствованным из дис-
сертации Арнольда методом;
3. Логунов - личный ученик Николая Николаевича, он не посмеет отказать, если мы
включим и Николая Николаевича в число редакторов перевода».
Николай Николаевич (днем позже) помог мне - об этом я подробно рассказываю в по-
священной ему статье, повторять здесь не буду.
Логунов вскоре ответил, раскритиковав наше предложение только так: «лучше издать
не два тома, как вы предлагаете, а три». Эти три тома вышли в 1972 году и являются сейчас
лучшим в мире изданием Пуанкаре: комментарии, написанные крупнейшими специалиста-
ми, описывают сегодняшнее состояние соответствующих вопросов, вместе с историей оши-
бок Пуанкаре и их исправления, обобщений, найденных самим Пуанкаре и другими и так да-
лее. И всё это полезнейшее издание осуществилось только благодаря её мудрой поддержке
(тома изданы под редакцией В.И. Арнольда, Н.Н. Боголюбова и О.А. Олейник).
Д - 21. В 1986 году Вы перешли на работу (на полную ставку) в Стекловский матема-
тический институт, оставшись на Мехмате МГУ лишь на полставки. Декан нашего факульте-
та, Олег Борисович Лупанов, не отговаривал ли Вас от этого шага ? Или сразу с пониманием
отнёсся к Вашим аргументам ?
А. Факультет явно демонстрировал мне свою враждебность уже несколько лет: то не
находил помещений для спецкурсов и спецсеминаров, то требовал заполнения ненужных
бумаг о давно истекших хоздоговорных работах (в МИЭМ). Вспоминать об этом неохота - я
просто вспомнил слова Гумилева (в «Мои читатели»): «повернуться, и уйти, и не возвра-
щаться боле». Но всё это - не в момент перехода на полставки, а позже, когда я и это совмес-
тительство оставил (то есть перестал получать за него деньги: семинар-то работает без пере-
рыва до сегодняшнего дня).
Зато руководить аспирантами в МГУ мне начали запрещать давно. Например, один
раз Комитет Комсомола отверг моего кандидата в аспирантуру за то, что в его деле было
письмо из милиции о том, что он «подозревался в краже рыбы». К счастью, эта рыба не по-
мешала мне устроить его в аспирантуру в другом месте - помогали и ИПМ, и Институт Сис-
темных Исследований, так что сейчас этот мой ученик - один из лучших математиков Рос-
сии (к сожалению, редко в ней живущий - а все из-за рыб).
Д - 22. Весной 2001 года в Институте Анри Пуанкаре (Париж) состоялась Ваша зна-
менитая «математическая дуэль вокруг школы Бурбаки», на которую Вас вызвал известный
лидер бурбакистской школы Жан-Пьер Серр. Не изменила ли Ваша эмоциональная критика
«бурбакизма» отношение к Вам французских математиков ?
А. Французские математики сформулировали свою точку зрения так: «сколько бы ты
не критиковал бурбакизм, мы-то знаем, что главный бурбакист в Москве - это ты». А быв-
ший (при Шираке) министром науки, образования и технологии геофизик Клод Аллегре,
продлив мой профессорский век на 3 года после предельного возраста «65 лет», назначил
меня еще и членом своей «Комиссии по борьбе за защиту наследия французской науки от
243
иностранцев». Он сказал мне при этом: «Ты, ведь, лучше всех знаешь и наследие француз-
ской науки, вроде Пуанкаре, и самых опасных для нас иностранцев - русских !»
Большого толка от меня в этой Комиссии не было, потому что при выборах новых
профессоров в Университете я получил такую отповедь: «Твое предложение основываться
при выборе лучшего кандидата на его научных достижениях для нас неприемлемо, потому
что тогда на все посты придётся назначать одних только русских - ведь каждому из нас ясно,
и насколько лучше они подготовлены, и насколько сильнее их научные результаты».
Зато некоторую пользу я принес в «Комитете Республики Франции по науке» (где за-
седала сотня крупнейших французских учёных, причём математику представляли двое: Ж,-
Л. Лионе и В.И. Арнольд). Многочасовое заседание было посвящено дележу денег: парла-
мент постановил увеличить годовые ассигнования на науки с 5% валового дохода страны до
7% (для сравнения: в России по официальным сведениям это 1,5 %, но, как рассказали мне
знающие люди, в действительности речь идет о сумме в 0,5%, так как в эти 1,5% входят рас-
ходы на военные науки).
Важные «крупнейшие французские учёные» в течение нескольких часов доказывали,
что «Франция, как старшая дочь католической церкви, ни в каких новых научных исследова-
ниях не нуждается: у нас наука уже есть, были Лаувазье, Пастер, Кюри, мы вот ещё есть. По-
этому добавленные деньги надо потратить на покупку разработанных в США рецептов но-
вых лекарств - изготавливать их, продавать, а заработанные тем самым деньги положить в
карман».
Выдержав несколько часов такой болтовни, я все же взял слово, сказав: «Франция,
как старшая дочь католической церкви, не вправе лишать ни свой народ, ни Европейское со-
общество, частью которого она теперь является, ни мировую науку, своего, традиционно
значительного, вклада в научные исследования».
Я победил - следующие несколько часов шла уже серьёзная дележка новых 2% (от-
клонили поддержку космических исследований, медицины, атомной энергетики, вирусоло-
гии, информатики и многого другого, но, в конце концов, постановили поддержать три нау-
ки: исследование СПИДа, психоанализ и разработку психотропных средств, способных за
пять минут превратить миллионную восставшую толпу в послушное стадо). С тех пор я на
заседания таких комитетов не хожу (даже в комиссию по переводу студентов Университета
на следующий курс - это после того, как я обнаружил студента со средним баллом 11,8 из
сорока отметок, которые все были ниже 10, при «отлично» = 20). Но изменилось тут отноше-
ние не французских математиков .ко мне, а моё к ним. Впрочем, Тютчев правильно сказал:
Не рассуждай, не хлопочи !
Безумство ищет, глупость студит;
Дневные раны сном лечи,
А завтра быть чему, то будет.
Д - 23. Вы совершенно справедливо ратуете за стилистически чёткое изложение тек-
стов, представляемых к публикации. Но ведь пресловутой «нечёткостью» грешат порой и
«маститые» специалисты. В частности, просматривая свои ранние работы, не находите ли
Вы и в них повод для подобной критики ? И делал ли Андрей Николаевич Колмогоров ли-
тературные замечания по их первоначальному изложению ?
А. Поводов для критики писаний разных математиков очень много. Я расскажу здесь
только один необычный случай, когда я согласился с критиком - и до сих пор об этом не-
множко жалею (хотя он и желал мне добра).
Дело началось со звонка Якова Борисовича Зельдовича (как обычно, в седьмом часу
утра). Он просил меня о помощи. Я, как всегда, охотно согласился, только спросил: «А что
надо делать ?» Он ответил: «Да вот, некролог надо помочь написать». Тут я осмелился осве-
домиться: «А чей ?» Яков Борисович ответил: «Да мой: тут Академия к юбилею хочет из-
244
дать мои сочинения, и к ним нужно предисловие. Вот про математические мои работы я и
прошу Вас написать: хвалить себя самого неловко, а Вы знаете все эти работы прекрасно и
сумеете их похвалить».
Я написал несколько страниц и отправил их в издательство. И вот тут (уже не в седь-
мом часу утра, а в шестом часу вечера) - неожиданный звонок: « Владимир Игоревич, с Ва-
ми говорит Юлий Борисович. Я с удовольствием прочитал Ваш текст о математических ра-
ботах Якова Борисовича. Но Академия назначила меня главным редактором его Сочинений,
так что я должен подписывать и Ваши страницы. Так вот, с некоторыми вашими математи-
ческими утверждениями я не согласен - подписывать их не хочу, вот и звоню Вам, чтобы эти
разногласия обсудить». Он не сомневался, что в СССР только один Юлий Борисович (Хари-
тон). Я тоже об этом знал. Читатель может найти жизнеописание Юлия Борисовича в книге
«Научный руководитель», Саров, 2004 к столетию основавшего «Саров» научного руководи-
теля Ядерного центра Арзамас-16 («Лос-Арзамас»).
В данном случае речь шла о моей похвале книги Я.Б. Зельдовича «Высшая математи-
ка для начинающих физиков и техников», о которой я сказал, что она даёт читателю гораздо
больше, «чем элементарный учебник Куранта и Гильберта». Именно это сравнение и не по-
нравилось Харитону. Он сказал: ««Методы математической физики» Куранта и Гильберта -
крупнейшее достижение науки XX века, мы постоянно его используем. Как же можно назы-
вать это монументальное сочинение «элементарным учебником» ?»
И Игорь Евгеньевич Тамм, и Яков Борисович Зельдович, и Андрей Дмитриевич Саха-
ров - все они давно уже научили меня, что советов Юлия Борисовича, каким бы мягким то-
ном он их ни высказывал и какими бы ни были контр доводы, следует немедленно слушаться:
они всегда глубоко продуманы (хотя это может и быть не видно невооруженным глазом), ра-
зумны и, как правило, предлагаемые им варианты лучше всех других. Поэтому я не стал объ-
яснять своей фразы и согласился вычеркнуть слово «элементарный» - в таком виде мои сло-
ва и опубликованы в Сочинениях Я.Б.Зельдовича.
Мои сегодняшние сожаления объясняются тем (не известным Харитону) обстоятель-
ством, что характеристика «элементарный учебник» замечательной книги Куранта-
Гильберта принадлежит не мне, а самому Рихарду Куранту. Вот как обстояло дело (я постес-
нялся тогда рассказывать об этом Харитону, а сейчас, я думаю, полезно рассказать правду).
Все знали, что Гильберт не имел к этой книге никакого отношения. Курант добавил к
своей книге имя своего учителя и из уважения к нему, и вследствие огромного влияния идей
Гильберта на излагаемые в книге теории. Например, Гильберт не знал, что такое «гильберто-
во пространство» и никогда не пользовался ни им, ни теоремой Рисса-Фишера, ни обоб-
щающими Гильбертово пространство функций пространствами Соболева и обобщающими
теорему Рисса-Фишера теоремами вложения. Главным для Гильберта было то, что сейчас
обычно называется предгильбертовым пространством - эта аналогия между геометрией бес-
конечномерных функциональных пространств и геометрией обычного евклидова простран-
ства уже без доставляемого теоремой о полноте пространства I? обоснования позволяет да-
леко продвинуться в изучении задач математической физики. В современном (основанном
Курантом) Математическом Институте Университета в Гёттингене Гильбертово пространст-
во, все же, существует: это большое фойе перед главной аудиторией, украшенное бронзовым
бюстом Гильберта.
Журналистка М. Рейд написала о Куранте большую книгу, представляющую собой
продиктованные самим Рихардом Курантом объяснения того, почему он был известен в
США под прозвищем «Грязный Дик». В этой книге Рейд сказано, что «Методы математиче-
ской физики» не писал не только Гильберт - Курант тоже не писал этой книги, а только по-
ручил писать разные главы разным своим ученикам, а потом вывешивал распечатанные
страницы на факультете и платил по марке любому студенту за любую найденную в этих
страницах ошибку.
Книга Рейд писалась так: Курант еженедельно диктовал ей на магнитофон свой новый
рассказ, а она, одновременно, приносила ему на проверку распечатанный текст рассказа пре-
245
дыдущей недели. Но, если упоминались живые ещё лица, Рейд обращалась и к ним, для про-
верки, и их комментарии также включены в её книгу (с согласия Куранта). Один из учеников
(возможно, Фридрихе ?) на вопрос Рейд, правда ли, что книгу писал не Курант, а ученики,
ответил: «Конечно, это страшная клевета. Но, если бы эта клевета была правдой, то учени-
ком, писавшим пятую главу, был бы я !»
Читая замечательную книгу «Методы математической физики», я нашел в ней доказа-
тельство удивительной теоремы Куранта о колебаниях многообразий любой размерности
(например, струн, мембран и т.д.). Эта теорема связывает номер соответствующей гармоники
(упорядочивая собственные колебания по величинам собственных частот) с топологией
«многообразия узлов» этой гармоники (где амплитуда колебаний обращается в ноль). На-
пример, для плоской струны с закреплёнными концами нули п -ой гармоники делят струну
не более, чем на п частей: первая гармоника не имеет нулей внутри колеблющейся области,
вторая имеет (для струны) не больше 1 -го нуля и т.д.
Доказав эту теорему, авторы добавили, что она имеет замечательное обобщение: вме-
сто и-й гармоники можно было бы взять её линейную комбинацию со всеми предыдущими -
число областей, на которые делят колеблющееся многообразие нули такой линейной комби-
нации, тоже не превосходит «.
Но это обобщение в книге не доказано - сказано лишь, что его доказал ученик Куран-
та (по фамилии Герман) и что его доказательство будет вскоре опубликовано. Несколько де-
сятилетий спустя я, будучи не в силах найти доказательство Германа, написал Куранту
письмо с просьбой о помощи. Он ответил мне, что «в элементарный учебник было естест-
венно поместить не только полностью доказанное, с подробными доказательствами», доба-
вив, что на учеников всегда опасно полагаться (он знал это, как ученик Гильберта), и что
Герман не выполнил обещанного.
К этому времени я сумел уже вывести из теоремы о линейных комбинациях замеча-
тельные топологические следствия в вещественной алгебраической геометрии, развивающие
результаты Петровского, Олейник, Гудкова, мои и Рохлина в направлении 16-й проблемы
Гильберта.
Узнав об этих следствиях (имеющих приложения и в квантовой теории поля), Олег
Виро написал мне, что знает контрпримеры к некоторым из них. Между тем, я знал, что мои
доказательства безупречно правильно выводят эти следствия из теоремы книги Куранта и
Гильберта.
Следовательно, я знал, что теорема Германа не только не доказана, но и не верна - её
опровергают результаты Виро. Курант умер, не успев об этом узнать. Однако обобщение
теоремы Куранта на линейные комбинации было найдено в случае одномерных сред (с ис-
пользованием статистики Ферми-Дирака электронов). Это обобщение рассказал мне И.М.
Гельфанд, но оно еще нигде не опубликовано.
Вот как много интересного скрывается за редактированием простого текста с похва-
лами Зельдовичу - я написал о книге Куранта и Гильберта «элементарный учебник», хотя
знал (от Куранта), что это - соединение интереснейших правдоподобных ошибочных утвер-
ждений с полезнейшими и не всегда доказанными правильными.
Зельдович очень любил слова Пушкина (1829):
246
О, сколько нам открытий чудных
Готовят просвещенья дух,
И опыт, сын ошибок трудных,
И гений, парадоксов друг,
И случай, бог-изобретатель.
Из-за этих строк он выбрал себе псевдонимом фамилию «Парадоксов» (у Пушкина
стояло, конечно, «парадоксов»). Расшифровывается этот псевдоним так: «друг гения (Саха-
рова), т.е. Зельдович».
«Трудная ошибка» книги Куранта-Гильберта готовит нам чудные открытия. О своём
величии Яков Борисович говаривал мне и такое: «И мы оба, и Сахаров, и Колмогоров - про
каждого из нас можно сказать «ЧВАН» (существительное от глагола «чваниться», то есть
«заражённый чванством»). Расшифровывается же это сокращение просто так: «член всех
академий наук».
Чтобы я чванился поменьше, С.П. Новиков сказал мне как-то: «Недавно ты обогнал
Зельдовича по годовому числу ссылок, опубликованному в журнале «Science Citations
Index». Но это потому, что они относят совместные работы первому по алфавиту автору -
вот все ваши совместные статьи Arnold and Zeldovich, достались тебе, а не ему».
Чтобы Новиков чванился побольше, замечу, что число ссылок на него в этом журнале
раза в 2 меньше, чем, скажем, на Олейник, или на Ладыжинскую, или на Синая (хотя работы
его явно сильнее). Дело здесь в том, что при ссылке на теорему Новикова в списке литерату-
ры стоит обычно не его статья, а изложение этой его теоремы кем-либо из ссылающихся на
него учеников: Дубровиным, или Кричевером, или Бухштабером. Их понять легче. Чтобы
много ссылались на тебя, надо писать попонятнее, чтобы не пришлось переписывать другим.
Фарадей говорил: «Изложение может быть либо популярным, либо поучительным.
Соединить оба достоинства невозможно».
Д - 24. И всё же, за чёткость изложения текстов, безусловно, нужно бороться. И мне
представляется, что наиболее эффективный способ борьбы содержится как раз в Вашей же
книге, где приведены несколько «прелестных» фраз великих людей (Бальзака, описываю-
щего «квадрат длинный и очень узкий», Дюма-сына, наблюдавшего «дома, сделанные напо-
ловину из дерева, наполовину из камня, наполовину из штукатурки» и тому подобное).
Может Вам следует издать отдельную «подборку» таких «милых несуразностей»,
если их у Вас «набралось» достаточно много ?
А. Во Франции существует обширный «Словарь глупостей», переписывать можно
сотни страниц из него. Удивительно, насколько похожи глупости разных стран и веков друг
на друга.
Но это - не моя специальность. Как сказала Виктория Токарева, «математика - это то,
что можно объяснить», а глупость объяснить нельзя.
Впрочем, вот пример, когда мне это удалось.
В книге Татьяны Толстой «Кысь» герой получает библиотеку, в которой книги рас-
ставлены по непонятному принципу: не по росту и не по алфавиту, не по году издания и не
по языкам. Например, на одной полке стояли математик Лобачевский, педагог Ушинский,
криминалист Шейнин, детский писатель Носов и т.д.
Прочитав список до этого места, я уже понял, в чем дело. Но понять это - настоящая
математическая задача. Я ещё не видел читателя, заметившего и решившего её (автор нигде
ничего не объясняет, вдобавок, поиздевавшись над глупостью читателя).
247
Д - 25. Не чрезмерным ли нагрузкам Вы подвергаете свой организм - 60-
километровые лыжные «пробеги», 90 -километровые (я слышал) велосипедные «прогул-
ки» ? Ведь известно, что спортсмены не всегда остаются самыми здоровыми людьми.
А. Не знаю, где Вы берете свои цифры. На лыжах я не раз бегал и больше ста кило-
метров - главное здесь не длина пути, а то, есть ли лыжня. Когда я веду семинар на 60 кило-
метров (Малые Вяземы - Ямщины - Скоротово - Дунино - Аксиньино - Чесноково - Велья-
миново - Николо-Урюпино - Опалиха), лыжню прокладываем по очереди - так что это вовсе
и не перегрузка.
Для велосипеда «90» - это, вероятно, всего 84 по счетчику под Парижем, с женой.
Один же я ездил, бывало, за сутки из Москвы в Пущино и обратно, (по просёлкам, избегая
шоссе). Это вовсе не 90 км (но думаю, всё же, что меньше 300).
Здоровье моё французские врачи, вытащившие меня из могилы после аварии 10 лет
назад, ежегодно проверяют, и диагноз 2008 года был «impeccable». Я понимаю это француз-
ское слово как «безупречный», но словарь Ларусс объясняет его для самих французов иначе:
«incappable de pecher» (то есть «неспособный грешить»).
Правилен ли диагноз врачей, не мне судить. Но в том же словаре я прочёл, например,
что «Опята - очень распространённый, но не съедобный гриб», и что «Анри Пуанкаре - ав-
тор теории фуксовых функций» (ничего другого о нём не сказано).
Что спортсмены не всегда остаются самыми здоровыми людьми, вероятно, верно.
«Китайскую нобелевскую премию» вручал мне в Гонгконге 9 сентября 2008 года китайский
Нобиле (по имени Shaw), которому исполнился 101 года и который стойко выдержал много-
часовую процедуру с китайскими церемониями (удивительно напоминающими кремлёв-
ские), торжественными и научными речами и обедами - всё при самом активном участии его
и его жены.
Он рассказал мне, что женился «недавно» (ему было тогда 82 года, а жену он взял, для
симметрии, возраста 28 лет).
Но Shaw (державшийся не хуже Д.А. Медведева, заменявшего его на аналогичной це-
ремонии в Кремле 12 июня 2008 года) - вовсе не спортсмен: он - главный в Гонгконге теле-
визионный магнат, так разбогатевший от этого, что доверил международной Комиссии вы-
бор для награждения его деньгами - и английских авторов овечки Долли, и немецкого от-
крывателя черных дыр, и японского исследователя стволовых клеток, и российских матема-
тиков.
Рассматривая списки награждённых за несколько лет, мы с Фаддеевым заключили,
что уровень достижений, отмечавшихся премией Shaw, в общем, выше нобелевского.
Математиков в этом году отбирала комиссия во главе с сэром Майклом Атьей, быв-
шим ещё недавно Президентом Лондонского Королевского Общества (Академии Наук Вели-
кобритании), мастером Тринити Колледжа в Кэмбридже и директором построенного там Ин-
ститута Ньютона. Свой отзыв на наши с Фаддеевым работы он заранее прислал нам (для ис-
правления своих ошибок).
Он, например, утверждал в своём первоначальном отзыве, будто Фаддеев - математик
«целиком квантовый», а Арнольд - «целиком классический» (хоть и создавший «квантовую
теорию катастроф» и «характеристический класс, входящий в условия квантования»).
Сэр Майкл приехал на награждение в Гонгконг - и его здоровью тоже можно только
позавидовать (как и здоровью Shaw). Перед этой поездкой он сказал мне, что, в отличие от
Кэмбриджа, в Гонгконге я не найду ядовитых грибов (рыжиков), которыми десятью годами
раньше «пыталась его отравить» моя жена (научившая для этого его жену Лили их готовить).
Д - 26. Мои вопросы подошли к концу. Последний мой традиционный вопрос таков:
довольны ли Вы, как сложилась у Вас судьба и ни о чём ли Вы не жалеете ?
248
A. He то, чтобы я был очень доволен собой - но вот на судьбу, посланную мне свыше,
жаловаться не могу. В ответ на этот вопрос продолжу начатое выше рассуждение Тютчева:
Живи, умей всё пережить:
Печаль, и радость, и тревогу.
Чего желать ? О чём тужить ?
День пережит - и слава Богу.
Добавлю, пожалуй, ещё его загадочно прозорливое описание последних лет жизни
Понтрягина, пригодное нам (для самокритики):
Когда дряхлеющие силы
Нам начинают изменять,
И мы должны, как старожилы,
Пришельцам новым место дать,
Спаси тогда нас, добрый гений,
От малодушных укоризн,
От клеветы, от озлоблений
На изменяющую жизнь;
От чувства запоздалой злости
На обновляющийся мир,
Где новые садятся гости
За уготованный им пир;
От желчи горького сознанья,
Что нас поток уж не несёт
И что другие есть призванья,
Другие вызваны вперёд;
Ото всего, что тем упорней,
Чем глубже крылось с давних пор,
И старческой любви позорней
Сварливый старческий задор.
Д. Большое спасибо Вам, Владимир Игоревич, что Вы согласились на это интервью.
В заключение позвольте мне от всей души пожелать Вам крепкого здоровья и испол-
нение всех Ваших дальнейших замыслов.
Ноябрь 2008 г.
С сыном по реке Мезе, 1969 г.
249
2007 год, РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК.
ТОРЖЕСТВЕННОЕ ПРАЗДНОВАНИЕ 70-ЛЕТИЯ
ВЛАДИМИРА ИГОРЕВИЧА АРНОЛЬДА,
АКАДЕМИКА РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК,
ЛАУРЕАТА ЛЕНИНСКОЙ ПРЕМИИ,
ГОСУДАРСТВЕННОЙ ПРЕМИИ РФ,
ПРЕМИЙ МНОГИХ СТРАН МИРА И НАУЧНЫХ ОБЩЕСТВ
250
Академики РАН В.И. Арнольд и В.А. Садовничий,
Ректор Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова
251
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А.СТЕКЛОВА, 2007, т. 259, с.5-9
Владимир Игоревич Арнольд глазами учеников
К семидесятилетию со дня рождения
О работах Владимира Игоревича написано много. Еще одна статья вряд ли доба-
вит что-нибудь новое. Мы попытаемся начать новый сюжет - Арнольд глазами учени-
ков. Эти строки субъективны ц очень многое оставляют в стороне. Мы надеемся, что
продолжение последует: новый сюжет достоин книги, а не статьи.
В Староконюшенном переулке близ Арбата стоит старинная школа с большими
окнами, бывшая Медведниковская гимназия, а ныне 59-я школа. Ее двухэтажной высоты
актовый зал украшен гипсовыми орлами с крыльями, распростертыми под потолком. На
сцене от пола до потолка, во всю двухэтажную высоту зала, возвышались в полный рост
портреты вождей - Ленина и Сталина. Владимир Игоревич учился в этой школе, когда
оба портрета еще стояли нетронутыми, а часть преподававших в школе учителей помни-
ли дореволюционное время.
Математику в 59-й школе вел один из лучших учителей Москвы - Иван Василье-
вич Морозкин. Школьники во все времена хорошо владели искусством изводить учите-
лей, но на уроках Морозкина вопрос о дисциплине не стоял. "Сотри эту гадость и напи-
ши другую", - говорил он растерявшемуся у доски ученику. "Как стоишь!? Где нога? Но-
га где?" - кричал он криво ставшему ученику, вызванному отвечать с места. Он учил, как
не надо писать математические тексты. "Что ты пишешь "очевидно"? Понтрягин, луч-
ший геометр мира, слеп, он ничего очами не видит!" И он же умел зажигать творческий
огонь в своих учениках. Уже в пятом классе, в первый год знакомства, он давал задачи
без всяких комментариев, требовавшие полного напряжения от самых сильных. "Две
старушки вышли на рассвете, и каждая шла с постоянной скоростью. Одна шла из А в В,
252
другая - из В в А. Они встретились в полдень и, не прекращая движения, дошли одна в В
в 4 часа вечера, а другая в А в 9 часов вечера. Во сколько в тот день встало солнце?"
"Я обдумывал эту задачу весь день, - вспоминает Арнольд, - и решение снизошло
на меня как откровение. Испытанный мною тогда (1949) восторг открытия был в точно-
сти тем же, который я испытал при решении более серьезных проблем ... " В 1957 г.
Иван Васильевич показывал своим ученикам тонкий оттиск из Докладов Академии наук:
"Третьекурсник решил проблему Гильберта. За это полагается докторская!"
Но Арнольду за эту работу, завершающую решение 13-й проблемы Гильберта о
суперпозициях, дали лишь кандидатскую степень. Когда кто-то из членов Ученого сове-
та отдела (теперь Института) прикладной математики предложил дать Арнольду доктор-
скую, другой член совета сказал: "Подождем. У Арнольда есть другие результаты".
Прежде чем переходить к этим результатам, сделаем одно отступление. В студен-
ческое. время Владимир Игоревич был последовательно учеником А.Г. Витушкина, Е.Б.
Дынкина и, наконец, А.Н. Колмогорова. Андрей Николаевич и предложил Арнольду в
качестве курсовой 13-ю проблему Гильберта о суперпозициях. Эта проблема имеет ал-
гебраический вариант, называемый проблемой резольвент. Если 13-я проблема Гильбер-
та усилиями Колмогорова и Арнольда полностью решена, то проблема резольвент до
сих пор открыта. Владимир Игоревич нашел замечательные результаты и в этой про-
блеме. Они связаны с изучением топологии многозначных алгебраических функций и
их дискриминантов. Как всегда, эти результаты Владимира Игоревича имели огром-
ный резонанс. Они не только совершенно преобразили облик теории групп кос Арти-
на, но и стимулировали возникновение новых разделов теории узлов и новых вариан-
тов теории Галуа.
В начале 60-х годов по Мехмату пронесся слух, что Арнольд решил задачу
трех тел, которую, не мог решить Пуанкаре. Владимир Игоревич читал спецкурс по
теории КАМ (Колмогорова, Арнольда-Мозера, которая тогда ещё так не называлась).
Корреспонденту, пришедшему перед лекцией интервьюировать Арнольда, сказали,
что лектор молод и трудно отличим от студентов. «Выберите того, кто посолиднее».
Корреспондент выбрал, подошёл к А. Б. Катку, тогда третьекурснику, а сейчас извест-
ному математику, работающему в Соединённых Штатах, и обратился к нему: "Профес-
сор, расскажите...» Арнольд был не только молод, как слушавшие его студенты, но
и как они, небогат. Одна из студенток начала 60-х годов вспоминает, как Владимир
Игоревич приходил вести упражнения по анализу в ботинках, подошва одного из
которых была подвязана шнурком.
В 1963 г. вышли в "Успехах» две большие статьи Арнольда, содержавшие пер-
вое полное изложение теории КАМ. Героический период создания новой теории был
закончен. Ждали, чем удивит нас Арнольд в следующем году.
Следующий, 1964 год. принес диффузию Арнольда. Оказалось, что в гамиль-
тоновых системах более чем с двумя степенями свободы устойчивости может не
быть: колмогоровские торы не разделяют пространства, и орбита может дрейфо-
вать между ними, уходя сколь угодно далеко. Диффузии Арнольда посвящены кни-
ги и множество статей. С ней связана проблема, которую эксперты считают основ-
ной в теории гамильтоновых систем: типична ли диффузия Арнольда?
В 1965 г. Арнольд начал читать блистательный спецкурс "Наглядная топология".
Но спецкурс был прерван к огорчению и одновременно радости слушателей: Ар-
нольда выпустили за границу! Оформление этой поездки продолжалось годы, с тех
пор как Арнольд ещё был студентом. И вот профессор Арнольд поехал во Францию
как студент профессора Лере. В Париже обнаружилось, что студент и профессор по-
разному смотрят на природу турбулентности. Лере считал, что турбулентность вы-
зывается потерей единственности: решения уравнений Навье-Стокса с гладкими
начальными условиями теряют гладкость и становятся настолько нерегулярными,
что для них больше не выполняется теорема единственности. Ветвление решений,
253
связанное с неединственностью, и объясняет явление турбулентности по Лере. Следует
отметить, что в ЗО-е годы Лере доказал глобальную по времени теорему существова-
ния слабых, т.е. негладких, как позже стали говорить, обобщенных, решений урав-
нений Навье-Стокса с трехмерной областью течения. Напротив, следуя Ландау и
Хопфу, Арнольд считал, что уравнение Навье-Стокса ведет себя как бесконечномер-
ная дифференцируемая динамическая система. Решения этой системы гладкости не
теряют, но приближаются к гиперболическому аттрактору. Экспоненпиальное разбе-
гание траекторий на аттракторе и их хаотическое поведение и порождают невос-
производимость эксперимента и турбулентность в гидродинамике. Спор Арнольда и
Лере не разрешен до сих пор. Основная проблема - существуют ли гладкие решения
уравнения Навье-Стокса, определенные глобально по времени для любого гладкого
начального условия, - включена в число "проблем тысячелетия". Математический
институт Клэя обещает за ее решение миллион.
Что до законченных результатов, Арнольд доказал, что решения уравнения
Эйлера течения идеальной жидкости - это не что иное, как геодезические на груп-
пе диффеоморфизмов области течения. Как обычно, эта работа Владимира Игореви-
ча подхвачена другими математиками. В той же работе (1966) Арнольд открыл экс-
поненциальную неустойчивость специальных решений уравнений Эйлера на по-
верхностях и доказал невозможность долгосрочного прогноза погоды, правда в том
упрощающем предположении, что Земля имеет форму тора.
Из Франции Арнольд привез известие о возникновении под влиянием работ Хасслера
Уитни и Рене Тома новой науки - теории особенностей. Всем своим ученикам он давал зада-
чу: классифицировать особенности отображений общего положения плоскости на себя - и
при этом указывал, что теория особенностей имеет точно локализованную дату рождения -
1955 год, когда появилась работа Уитни об этой классификации (о складках и сборках Уит-
ни). Долгое время с тех пор семинар, который вел В.И. Арнольд, назывался "Теория особен-
ностей". До поездки Владимира Игоревича во Францию он назывался "Динамические систе-
мы", а в последние годы называется просто "Семинар Арнольда".
Вскоре после возвращения Арнольда из Франции на его семинаре обсуждалась "по-
следняя геометрическая теорема Пуанкаре". Согласно этому результату, открытому Пуанка-
ре и доказанному Биркгофом, отображение кольца в себя, "поворачивающее граничные ок-
ружности в разные стороны" и сохраняющее площадь, имеет не менее двух неподвижных
точек. Владимир Игоревич нашёл неожиданное многомерное обобщение этой теоремы.
Согласно гипотезам Арнольда гамильтоново дифференциальное уравнение на произ-
вольном симплектическом многообразии с периодическим по времени гамильтонианом
имеет много периодических орбит (нижняя оценка числа периодических траекторий
зависит от топологии многообразия). Владимир Игоревич доказал свои гипотезы
лишь для достаточно малых гамильтонианов. Сейчас эти гипотезы в основном доказаны. Их
доказательства потребовали тяжелого труда и затянулись на долгие годы. В результате воз-
никла симплектическая топология - новая интенсивно развивающаяся область математики.
Владимир Игоревич страстно пропагандировал философию общности положения,
восходящую к Пуанкаре, Андронову-Понтрягину, Уитни и Тому. Согласно этой философии
решение любой классификационной задачи должно начинаться с исследования случаев об-
щего положения, и только после этого можно переходить к изучению вырожденных слу-
чаев в порядке возрастания коразмерности вырождения. Вырожденные случаи следует
изучать вместе с их деформациями. Исследование вырожденных случаев, пока не изучен
общий - напрасный труд.
Эту идеологию Владимир Игоревич систематически применял в исследованиях по
теории особенностей. На ней основан и его подход к теории локальных бифуркаций, совер-
шенно преобразивший ее облик. Его дипломник А. Шошитайшвили доказал принцип
сведения, позволивший отбросить лишние "гиперболические" переменные в исследо-
254
вании локальных бифуркаций. Другой его студент Р. Богданов исследовал первую бифур-
кацию коразмерности 2, в которой вместе с локальными явлениями возникают нелокаль-
ные: петля сепаратрисы и рождающиеся из нее предельные циклы. "Не зря я запустил
двух человек с двух сторон", - говорил потом Владимир Игоревич.
Арнольд опубликовал лишь одну статью по локальным бифуркациям ко-
размерности 2, исследовав потерю устойчивости автоколебаниями. Вместе с работой Бо-
гданова эти исследования открыли новую эпоху в теории локальных бифуркаций. Теория
бифуркаций ростков векторных полей и отображений с вырождениями коразмерности 2
создана в основном Арнольдом и его учениками.
В начале 70-х годов Владимир Игоревич классифицировал простые особые точки
функций многих переменных, связав их с теорией дискретных групп, порожденных отраже-
ниями. Опять совершенно неожиданная связь двух объектов разной природы, и опять работа
Арнольда вызвала поток замечательных результатов других математиков.
На семинаре Арнольда обсуждалось всё на свете. Например, вещественная алгеб-
раическая геометрия. Гильберт потратил много труда на построение плоских веществен-
ных алгебраических кривых заданной степени, имеющих максимальное возможное чис-
ло овалов. Неудачные попытки построения таких кривых с a priori возможной топо-
логией расположения на проективной плоскости привели его к убеждению, что не все
возможности действительно реализуются. Открытые задачи вещественной алгебраиче-
ской геометрии Гильберт поместил в свою 16-ю проблему. Д.А. Гудков решил одну из
этих задач для кривых степени 6, но картина в целом оставалась совершенно неясной. Ар-
нольд нашёл общие удивительно красивые топологические препятствия, доказывающие, что
многие a priori возможные расположения кривых с максимальным числом овалов не могут
реализоваться. Работа Арнольда была подхвачена В.А. Рохлиным, Д.А. Гудковым и их уче-
никами. В результате вещественная алгебраическая геометрия вышла на совершенно новый
современный уровень.
Первый результат, относящийся к алгебраической части 16-й проблемы
Гильберта, был получен в середине прошлого века И.Г. Петровским. Он нашел замеча-
тельные оценки эйлеровых характеристик вещественных алгебраических множеств.
Арнольд обнаружил, что удивительные неравенства Петровского тесно связаны с (от-
крытой значительно позже) формулой Левина-Эйзенбада-Химшиашвили, вычисляю-
щей индекс особой точки векторного поля. Это открытие позволило Арнольду найти
общие оценки индексов особых точек однородных (не обязательно градиентных) век-
торных полей, обобщающие неравенства Петровского (оценки Арнольда в отличие от
неравенств Петровского точны}. Владимир Игоревич связал оценки Петровского со
смешанными структурами Ходжа в исчезающих когомологиях и объяснил, что неравенст-
ва Петровского, неравенства Харламова и формула Левина-Эйзенбада-Химшиашвили
теснейшим образом связаны между собой.
Каждую осень семинар Арнольда начинается с оглашения новых задач и гипо-
тез Владимира Игоревича и длинного списка новых замечательных работ других ма-
тематиков, которые по его мнению, необходимо срочно разобрать и понять. К сожа-
лению, у участников далеко не на всё хватает сил и времени. Многие задачи и гипо-
тезы остаются на будущее. Решить задачу, поставленную Арнольдом, большое сча-
стье. Решения многих из них дали начало новым направлениям в математике. В 2000
г. издательство "Фазис" выпустило большой том "Задачи Арнольда". Ему предпослан
эпиграф, который не нуждается в комментариях: «Я очень благодарен большому
числу своих бывших и нынешних учеников, написавших эту книгу.
В.И. Арнольд".
Поражает математическая интуиция Владимира Игоревича. Им были сфор-
мулированы сотни гипотез, часто основанных на множестве просчитанных им
примеров. Часть гипотез можно найти в упомянутой книге "Задачи Арнольда", дру-
255
гие формулировались в его многочисленных лекциях. Ряд из них удалось доказать.
Некоторые математики ставили своей целью опровергнуть какую-либо из гипотез
Арнольда, однако никому это всерьез не удалось. Можно сказать, что опровер-
жение гипотезы Арнольда в некотором смысле более почётно, чем её доказательство.
Прйрода наградила Владимира Игоревича широким спектром необычайных
талантов. Он стремился к совершенству в любом деле, за которое берётся, будь то
лыжные прогулки в плавках и купание в проруби, исследование переписки Гука и Нью-
тона или изучение творчества Пушкина. Удивительна его способность быстро ре-
шать административные дела. Рецензии и рекомендации он пишет сходу, почти без
черновиков и без правок, удивительно точно схватывая суть проблемы. Трудно пове-
рить, но Владимир Игоревич имел четкое представление и собственное мнение о каж-
дой из сотен работ, присланных в журнал "Функциональный анализ и его приложе-
ния", которым он долгие годы руководил.
Владимир Игоревич замечательный педагог. Специальные курсы и семи-
нары, которые он читал и вел на Мехмате МГУ с 50-х по 90-е годы, привлекали
сотни слушателей. В более поздний период такое же яркое впечатление на студентов
парижских университетов производили его лекции в Эколь Нормаль и в Институте
Пуанкаре. Арнольду присуща яркая эмоциональная манера изложения. Его умение
кратко, геометрически наглядно и проникая в самую суть излагать математические
теории, историю науки и житейские мелочи просто необычайно.
Всё, что Владимир Игоревич прочел, понял, продумал, придумал, он спешит передать
слушателям и читателям. Ни одна новая статья не залеживается недописанной. По его
словам , если что-то не написал сразу, то потом возвращаться гораздо труднее. Из конспек-
тов его курсов по теоретической механике, дифференциальным уравнениям, теории особен-
ностей родились замечательные учебники, аналогов которым не было и нет. Несмотря на то
что в курсах Арнольда суть вещей объясняется на простейших примерах, сдавать такие
курсы было нелегко - в них мелочи не разжевывались, от слушателей предполагалась твор-
ческая работа.
Всегда, когда доказательство какого-нибудь факта опирается на длинную цепь преоб-
разований и выкладок, Владимир Игоревич говорит: доказательство есть, а почему так - не-
понятно. Геометрическая наглядность и красота доказательств, полученных Арнольдом, - на
самом деле плод многочасовых вычислений и оценок, произвести которые - большой труд.
Иногда кажется, как же это просто, почему мы не придумали. А дело еще в огромной эру-
диции, энциклопедическом образовании, знании разных, даже и не смежных областей
математики и физики, и многого другого.
Вся его жизнь - процесс познания и передачи новых знаний всем: ученикам, чи-
тателям, слушателям, среди которых школьники, студенты , ученые.
Вот неполный список математиков, которые защитили кандидатские диссер-
тации под руководством Арнольда: С. Анисов, Ф. Айкарди , Э. Белага, И. Богаевский,
Р. Богданов, Л. Брызгалова, А. Варченко, В. Васильев, С. Вишик, М. Гарай, А. Гивенталь,
В. Гинзбург, В. Горюнов, А. Давыдов, X. Жолондек, В. Закалюкин, М.Казарян, Ж. Капита-
нио, О. Карпенков, В. Карпушкин, О. Козловский, В. Костов, А. Кушниренко, Е. Ландис,
С. Ландо, Л. Левантовский, А. Леонтович, О. Ляшко, В. Матов, М. Мишустин, Ж. Мусса-
фир, Ф. Наполитано, Н. Нехорошее, Л. Ортис, О. Платонова, П. Пушкарь, А. Пяртли, Э. Ро-
залес, А. Ройтварф, М. Севрюк, В. Седых, Р. Урибе, Э. Ферран, Б. Хесин, А. Хованский,
Э. Хорозов, Ю. Чеканов. Б. Шапиро, М. Шапиро, А. Шмелев, А. Шошитайшвили, И. Щер-
бак, О. Щербак.
На самом деле учеников у Арнольда было гораздо больше, но не все они защищались
под его руководством. Многие из его учеников стали известными учеными.
Удивительно цельный и сильный характер и интеллект Владимира Игоревича яр-
ко проявились и в процессе его выздоровления после трагического инцидента на велоси-
педной прогулке. Там, где обычный человек вообще бы не выжил, Арнольд проявлял просто
256
чудеса. В самый тяжелый период, с трудом открывая глаза, он безошибочно вспоминал ме-
сто работы каждого из более чем сотни участников конференции, подписавших
присланное ему письмо.
Владимир Игоревич является одним из создателей и главой Попечительского со-
вета Независимого московского университета (1991) и Центра непрерывного матема-
тического образования (1994), где работают со студентами и школьниками многие его
ученики. В последние годы Владимир Игоревич сделал многое для того, чтобы планируе-
мая в России реформа образования не стала губительной.
Арнольд написал более 600 статей, около 30 монографий и 4 учебника. Он пять раз
был приглашенным докладчиком Международных математических конгрессов, из них дваж-
ды пленарным. Работы Владимира Игоревича изменили облик современной математики. Эти
строки - скромная дань благодарности Арнольду за его титанический труд. Творчество Вла-
димира Игоревича - бесконечная тема. Мы лишь едва коснулись результатов, полученных им
в молодости. Эта творческая молодость никогда не прекращалась и продолжается сейчас.
Как и десятилетия назад, Арнольда переполняют новые идеи, желание двигаться
дальше в новые области, желание просвещать и работать, работать.
Так пожелаем Владимиру Игоревичу многих лет молодости на радость ему и
всему математическому миру!
А.Н. Варченко, В.А. Васильев, С.М. Гусейн-Заде, А.А. Давыдов,
В.М. Закалюкин, Ю.С. Илъяшенко, М. Э. Казарян,
А. ГКушниренко, С.К. Ландо, А.ГХованский
Крым, 1971 г. После лекции школьникам
257
АЛЕКСЕЕВ ВАЛЕРИЙ БОРИСОВИЧ,
доктор физико-математических наук,
зав. кафедрой математической кибернетики МГУ им. М.В .Ломоносова,
заслуженный профессор МГУ
Я ВСЕГДА СЧИТАЛ В.И. АРНОЛЬДА
ОДНИМ ИЗ ЛУЧШИХ МОИХ УЧИТЕЛЕЙ
Я знал Владимира Игоревича Арнольда с 1963 года. В эти годы школьные математи-
ческие олимпиады вышли на Всероссийский уровень. Весной 1961 года в МГУ была прове-
дена 1-я Всероссийская олимпиада школьников по математике. Каждый год весной в Москве
стали собирать около 70 команд по 4 человека от всех регионов России. Участвовали только
4 старших класса. Мне посчастливилось участвовать в 1-й, 2-й, 3-й и 4-й Всероссийских ма-
тематических олимпиадах. На первые три олимпиады я приезжал в составе команды Яро-
славской области, а в 4-й участвовал уже в составе команды Колмогоровского интерната, ко-
торая считалась сборной России.
В 1963 году по инициативе выдающегося российского математика академика Андрея
Николаевича Колмогорова была организована первая летняя математическая школа для уча-
щихся старших классов России. В Красновидово под Москвой в дом отдыха МГУ на берегу
Можайского водохранилища в августе 1963 года пригласили 40 школьников из числа побе-
дителей и призеров 3-й Всероссийской математической олимпиады, закончивших 9-е и 10-е
классы (в это время в школе была И-летка). Я перешел в 10 класс и оказался в числе при-
глашенных.
Школа была организована на высоком научном уровне. Для преподавания А.Н. Кол-
могоров пригласил своего друга академика Павла Сергеевича Александрова, а также многих
своих молодых учеников. Среди них был и В.И. Арнольд. Мы сразу узнали, что этот моло-
дой математик решил 13-ю проблему Гильберта, и он стал для нас большим авторитетом.
В течение 24 дней нам читалось несколько математических курсов. А.Н. Колмогоров
прочитал курс, посвященный конечным полям и булевским алгебрам. П.С. Александров про-
читал курс по теории множеств и основам топологии. Н.Х. Розов и О.Н. Найда провели курс
«Избранные вопросы механики». Также было организовано два курса: «Математический
анализ» и «Математический анализ для начинающих». Первый курс, который был рассчитан
на продвинутых школьников, прочитал В.И. Арнольд. К сожалению, я не был продвинутым
школьником в смысле высшей математики. Только в Красновидово я в первый раз услышал
термин «производная». Поэтому я не посещал курс Арнольда, а ходил на «Математический
анализ для начинающих».
В Красновидово мы узнали, что осенью в Москве откроется специальная физико-
математическая школа-интернат и мы можем попасть туда, если успешно сдадим зачеты в
конце летней школы по двум курсам. Я сдал зачеты по математическому анализу и конеч-
ным полям и был приглашен приехать в интернат. Поскольку его открытие затянулось до
начала декабря, то я успел экстерном сдать экзамены за 10 класс и приехал в интернат уже в
11 класс. Если в 10-е классы был проведен дополнительный набор, то в 11 класс попали
только те, кто прошел сито олимпиад и летней школы. В результате в декабре 1963 года в
интернате был сформирован только один 11-й класс из 19 школьников.
Кроме обязательных предметов (включая стандартную школьную математику, кото-
рую у нас вел директор школы Н.И. Кузнецов) А.Н. Колмогоров решил организовать у нас и
несколько специальных (но обязательных) математических курсов. Один из курсов, «Диффе-
ренциальные уравнения», он попытался читать сам, но в результате разочаровался в нас и
ушел работать с 10-классниками.
Еще один курс вел у нас Андрей Тоом, молодой математик, известный нам тем, что он
придумал алгоритм для умножения «-разрядных чисел с почти линейной (от и) сложностью
258
(вместо квадратичной сложности умножения «в столбик»), улучшив тем самым результат
А.А. Карацубы. Тоом знакомил нас с дискретной математикой, логическими схемами, алго-
ритмами, что, возможно, сыграло затем роль в выборе мною специальности.
Но наибольшее впечатление произвел на меня (да я думаю, что и на моих однокласс-
ников) курс, который нам представил В.И. Арнольд (Дима, но на «Вы», как мы его тогда на-
зывали, хотя ему тогда было уже 26 лет, а нам 15-17). Первая часть этого курса содержала
введение в теорию групп от определения основных понятий до понятия разрешимой группы
и доказательства неразрешимости группы подстановок 5-й степени. Особенностью этой час-
ти курса было то, что Владимир Игоревич иллюстрировал все понятия на геометрических
объектах - группах симметрий треугольника, квадрата, прямоугольника, тетраэдра, куба, до-
декаэдра. Как я заметил позднее по его высказываниям, он вообще считал наглядность важ-
ным элементом математического исследования и особенно образования.
Однако все теоремы он давал нам с полными доказательствами. Хотя все факты, ко-
торые Арнольд рассказывал нам по теории групп, были известными, доказательства для не-
которых теорем он придумывал свои. Поскольку у него была исключительная математиче-
ская интуиция, то на подготовку к очередному занятию ему хватало того времени, когда он
ехал на автобусе в интернат. Случались и накладки. Мы изучили разрешимые группы, и на
очередном занятии Арнольд ввел новое понятие квазиразрешимой группы и стал доказывать
эквивалентность обоих понятий. В одну сторону доказательство прошло легко, а вот в об-
ратную тот вариант доказательства, который он заготовил, не прошел. Доказательство он от-
ложил на следующий раз. В следующий раз он ввел еще одно понятие псевдоразрешимой
группы и уже затем показал эквивалентность всех 3 понятий, проводя доказательства по
циклу длины 3. Поскольку весь класс активно участвовал в обсуждении первого варианта
доказательства, то новое доказательство хорошо сохранилось в памяти.
Вторая часть курса В.И. Арнольда была посвящена теории функций комплексного пе-
ременного. Мы начинали с непрерывности и производных комплексных функций, а закан-
чивали римановыми поверхностями многозначных функций и группами монодромии. Одним
из следствий, вытекавших из результатов первой и второй частей курса, была теорема Абеля
о том, что для общего алгебраического уравнения 5-й степени не существует формулы, вы-
ражающей корни уравнения через его коэффициенты с помощью арифметических операций
и радикалов (аналогичных известным формулам для корней квадратного уравнения).
Свой курс Владимир Игоревич сопровождал большим числом задач, которые активно
решались всем классом. Хочу отметить, что он не побоялся дать нам тяжелый материал. Нам
было непросто его осваивать. Вспоминается контрольная работа, за которую мы получили
одну тройку и остальные двойки. Но все равно было очень интересно. Я считаю, что курс
Арнольда не только познакомил меня с новыми разделами математики, но и многому нау-
чил в плане последующей педагогической деятельности.
Иногда Владимир Игоревич давал другие разделы, например группы гомологий, ко-
торые плохо улеглись в памяти и быстро выветрились. Для меня этот курс остался как одно
большое доказательство теоремы Абеля, требующее знакомства с двумя важными разделами
математики - теорией групп и теорией функций комплексного переменного. Я считаю, что
методически это был прекрасный курс. К сожалению, он был прочитан В.И. Арнольдом один
раз и, насколько я знаю, после нас Арнольд в интернате больше не работал.
В 1969 году я, окончив мехмат МГУ, поступил в аспирантуру. В это время мой одно-
классник по интернату Саша Абрамов, ученик А.Н. Колмогорова, предложил мне поработать
в интернате преподавателем математики и восстановить курс Арнольда. Я проработал в ин-
тернате полтора года ив 1971 году выпустил класс. Параллельно с этим я объявил математи-
ческий кружок по доказательству теоремы Абеля, который проходил у нас по вечерам, по-
моему, больше года. На кружок ходило много ребят. К сожалению, у меня к тому времени не
сохранились записи по курсу Арнольда, поэтому все приходилось восстанавливать по памя-
ти. Но курс Арнольдом был так хорошо прочитан, что восстанавливался достаточно легко.
Правда, я сделал больший уклон в сторону кружка. Я старался практически не доказывать
259
теорем, а разбивать их доказательство на части и давать участникам кружка в виде задач.
Быстрому решению таких задач способствовала здоровая конкуренция.
Параллельно я решил записать этот курс, хотя я был аспирантом и поэтому ситуация
осложнялась необходимостью работать над диссертацией. С В.И. Арнольдом мы договори-
лись о совместной публикации. По некоторым причинам с совместной публикацией возник-
ли проблемы, и я сообщил В.И. Арнольду, что я не буду участвовать в работе. На что он мне
сказал, что для него важно, чтобы этот курс не пропал, и предложил мне подготовить и
опубликовать его в одиночку. Такой вариант я встретил без энтузиазма, но согласился, по-
скольку считал, что этот материал очень полезен для школьников. В результате работа шла
не быстро, и книга «Теорема Абеля в задачах и решениях» была опубликована в 1976 году.
Книга была написана именно в стиле кружка, причем для того, чтобы она действительно ста-
ла доступной школьникам, мне пришлось отказаться от использования производных, что ус-
ложнило написание второй части.
После публикации я счел свою задачу исчерпанной и книгой больше не интересовал-
ся, хотя слышал, что ее во многих местах и у нас в стране и за границей использовали для
работы со школьниками.
Неожиданно для меня в начале 2000-х годов интерес к книге снова проявил В.И. Ар-
нольд. По его инициативе она была переиздана в МЦНМО в 2001 году, а также он стал на-
стойчиво предлагать осуществить ее перевод. По-видимому, эта настойчивость объяснялась
следующими обстоятельствами. Я всегда был уверен, что Арнольд прочитал нам известные
вещи. Я считал, что основным его достижением здесь явилось то, что он сумел адаптировать
материал для школьников. Именно это я старался развить еще дальше в книге. Однако оказа-
лось, что Арнольд рассказал нам новое доказательство теоремы Абеля, причем этот новый
подход позволял значительно усилить результат Абеля. Идеей подхода было топологическое
доказательство результатов о неразрешимости, о невозможности представления одних функ-
ций через другие. Это направление уже в научном плане Владимир Игоревич дал развивать
своему ученику моему однокурснику А. Хованскому.
По-видимому, в молодые годы на фоне других своих достижений В.И. Арнольд не
очень ценил новое доказательство известной теоремы. Однако позднее в зарубежной печати
появились научные статьи, в которых тот же топологический подход был представлен уже
как новое научное достижение. В.И. Арнольд счел необходимым отстоять свой приоритет,
показать, что он предложил такой подход еще в 60-е годы.
Перевод книги на английский язык был сделан итальянской ученицей Арнольда
Франческой Аикарди и был опубликован в 2004 году в издательстве Kluwer Academic Pub-
lishers. Я предлагал В.И. Арнольду поставить на переводе двух авторов. Он отказался. Тогда
я добавил к названию «Основано на лекциях профессора В.И. Арнольда». Владимир Игоре-
вич написал к переводу предисловие, а также небольшое приложение, а в конце был добав-
лен написанный Хованским обзор научных результатов, полученных в предложенном Ар-
нольдом направлении.
Я всегда считал В.И. Арнольда одним из лучших моих учителей и полагаю, что это
издание позволяет подтвердить его приоритет в указанной области и послужит еще одним
памятником его выдающемуся математическому таланту.
1965 г. В Париже
260
ДАВЫДОВ АЛЕКСЕЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ,
доктор физмат наук, профессор Владимирского
университета, заведующий кафедрой
функционального анализа и его приложений
ИНДИКАТРИСЫ НА СНЕГУ
Предлагаемые небольшие зарисовки - это лишь малый вклад в то, что ученики, дру-
зья и коллеги ещё напишут о Владимире Игоревиче Арнольде. Сказать что-то нужно уже
сейчас, не откладывая, когда разумом мы уже понимаем утрату, но в чем-то не смирились с
ней, когда ещё есть ощущение недавнего присутствия Владимира Игоревича с нами и нет
практически искажений, накладываемых прожитыми годами на восприятие событий да и на
нашу память. Эти зарисовки написаны по просьбе Аллы Беловой, - сокурсницы Владимира
Игоревича по мехмату МГУ, - и посвящены они впечатлениям от моих первых лет работы в
школе В.И.Арнольда, - уже далеким событиям. То, о чем мне хочется рассказать, в своё
время показалось мне лишь интересными эпизодами, и лишь существенно позднее было от-
несено мною к категории наиболее важных событий, оказавших существенное влияние и на
мои занятия самой математикой и на сложившийся у меня стиль общения с коллегами и уче-
никами.
Начать нужно с истории со счастливым концом, как вообще я попал в ученики Вла-
димира Игоревича. Вероятно, к первым из связанных с этим .событий, нужно отнести посе-
щение Владимиром Игоревичем общежития механико-математического факультета в филиа-
ле Дома студентов на Ломоносовском проспекте весной 1976 года. Скорее всего, это посе-
щение произошло в рамках традиционного ознакомления студентов 2-го курса с кафедрами
факультета, когда В.И.Арнольд пришел в читальный зал нашего общежития рассказать нам
о кафедре дифференциальных уравнений, на которой он тогда работал. В те годы эта кафед-
ра, несомненно, была одной из лучших кафедр факультета, а, по моему нынешнему понима-
нию, и одной из сильнейших в мире в области дифференциальных уравнений.
Владимир Игоревич жил тогда совсем рядом с нашим студенческим городком, что
возможно и стало отчасти причиной, что на встречу со второкурсниками пришёл именно он.
Однако вполне разумно предположить, что его приход с рассказом о кафедре был обуслов-
лен более серьезными доводами - желанием привлечь к обучению на кафедре как можно
больше сильных студентов, ибо найти более яркого рассказчика о математике, в том числе о
дифференциальных уравнениях и их приложениях, вряд ли возможно. И, конечно, на ка-
федре хорошо знали об этом.
Из самого рассказа Владимира Игоревича в памяти сохранился лишь один эффектный
(а в плане агитации несомненно и эффективный) пример, который привел он в конце своего
рассказа - пример маятника на стержне с колеблющейся точкой подвеса: при подходящем
подборе частоты колебаний верхнее положение маятника можно сделать устойчивым. Эм-
пирически в нас заложена неустойчивость этого положения, и сами мы устойчиво можем на-
ходиться в этом положении благодаря непрерывной работе своего вестибулярного аппарата.
Закончив популярное изложение сути примера (строгое научное объяснение этого эффекта
можно найти в одной из книг В.И.Арнольда), Владимир Игоревич достал обычную элек-
трическую бритву, переделанную (вероятно, им самим) для наглядной демонстрации этого
эффекта устойчивости верхнего положения маятника и местами замотанную изолентой, и
привел её в действие. И, действительно, верхнее положение маятника оказалось устойчивым.
Этот факт удивил меня и крайне обрадовал, поскольку мне хотелось заниматься в математи-
ке именно задачами, приходящими из приложений. Полезность же приведенного примера
для практики у меня не вызывала ни малейших сомнений.
Следует сказать, что по правилам Мехмата МГУ студент должен сделать выбор ка-
федры для обучения своей будущей специальности и научного руководителя на этой кафедре
до окончания второго курса. Учитывая это, уже на втором курсе считается правильным по-
261
сещать различные научные семинары, всегда представленные в большом количестве на
Мехмате по вечерам. И не малая часть студентов-второкурсников делала это, чтобы лучше
познакомиться с различными направлениями в математике и точнее определиться с выбором
и кафедры, и научного руководителя. Ходил на различные семинары и я, и к моменту, когда
нужно было высказать свои пожелания о выборе, он однозначно был сделан в пользу кафед-
ры дифференциальных уравнений, и пример с маятником в этом выборе несомненно сыграл
свою положительную роль. Однако нужно было ещё выбрать руководителя и получить его
согласие на научное руководство.
О Владимире Игоревиче я знал со времен обучения в физико-математической школе-
интернате при МГУ, одним из создателей которой был Андрей Николаевич Колмогоров -
научный руководитель Владимира Игоревича. Конечно, мне хотелось заниматься у Влади-
мира Игоревича, но были и опасения, что его согласие на научное руководство можно и не
получить, ибо у него в те годы не было недостатка в сильных студентах, желающих у него
заниматься.
Своими мыслями о выборе кафедры, и возможного руководителя, я поделился с Сер-
геем Соболевым и Иваном Мельниковым. С Сергеем Игоревичем Соболевым мы познако-
мились на математической олимпиаде во Владимирской области, когда я был семиклассни-
ком Чертковской восьмилетней школы и участвовал в олимпиаде от Селивановского района.
Наше знакомство произошло, по-моему, в марте 1971 года, а затем Сергей Игоревич при-
мерно в течение полутора лет помогал мне заниматься математикой, присылая задачи и кни-
ги и проверяя написанные мною решения, вплоть до моего поступления в физико-
математическую школу-интернат при МГУ. С Иваном Ивановичем Мельниковым (ныне од-
ним из лидеров Коммунистической партии Российской Федерации) мы познакомились уже
в интернате, где он был секретарем комсомольской организации в те годы.
Дело в том, что в то время оба они уже обучались на кафедре дифференциальных
уравнений, и к мнению каждого из них я относился с уважением, что естественно и мотиви-
ровало мое желание посоветоваться с ними после того, как кафедра была выбрана. Нужно
сказать, что их советы о возможном выборе отличались, и мое первоначальное решение было
другим. Однако после повторных обсуждений и разговора с Михаилом Александровичем
Шубиным мною было решено обратиться к Владимиру Игоревичу за согласием быть науч-
ным руководителем. Михаил Александрович вел в нашей группе второго курса практические
занятия по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Его занятия проходили инте-
ресно, работа на них доставляла, удовольствие, а после его занятий суть изучаемого материа-
ла становилась ясной, поэтому мнение Михаила Александровича о выборе научного руково-
дителя и о методах исследований, которым следует больше уделять внимание, оказало на
меня решающее влияние.
Вскоре состоялся и мой разговор с Владимиром Игоревичем. По-моему, это про-
изошло после его очередного семинара для студентов и аспирантов, когда он стремительно
поднимался по лестнице на кафедру, находящуюся на шестнадцатом этаже главного здания
МГУ, а я вприпрыжку поспевал за ним. На ходу изложив свою просьбу и пообещав сокра-
тить свои спортивные занятия, чтобы иметь больше времени для научной работы, в ответ
услышал что-то типа «что Вы где-то так долго ходите?» (что могло быть лишь следствием
того, что М.А.Шубин предварительно разговаривал с Владимиром Игоревичем обо мне) и
что занятия спортом ни в коем случае бросать нельзя, а нужно продолжать, ибо для успеш-
ных занятий математикой хорошее физическое здоровье крайне важно, и, наконец, что он, в
принципе, согласен быть моим научным руководителем, но окончательный ответ даст после
решения мною задач из определенного списка. Это условие меня не удивило, ибо об этом
тесте я знал от сокурсника Андрея Вятчина, обучавшегося в экспериментальном потоке, где
курс обыкновенных дифференциальных уравнений читал Владимир Игоревич.
Довольно скоро я принес написанные решения задач Владимиру Игоревичу, он их
быстро при мне проверил, объяснил допущенные мною ошибки, а затем сообщил о своём
согласии быть мои научным руководителем и сразу же спросил, какими задачами мне хоте-
262
лось бы заниматься. После некоторого обсуждения выбор был сделан в пользу анализа ти-
пичных особенностей в задачах управления. Эта тематика стала одной из основных в моих
математических исследованиях в последующие годы, а сегодня ей занимаются также неко-
торые из моих учеников.
Так началась моя исследовательская работа в научной школе В.И.Арнольда. За все
прошедшие годы общения с Владимиром Игоревичем у меня сложилось впечатление, а ско-
рее убеждение, что своим ученикам он уделял столько времени, сколько его нужно было для
обсуждения сути полученных результатов и перспектив последующих исследований. Рабо-
тоспособность Владимира Игоревича поражала многих и меня, в том числе. Практически на
каждом научном семинаре он получал тексты своих учеников с новыми результатами, а на
последующий семинар приносил их уже прочитанными, с подробными замечаниями, вопро-
сами, иногда полностью переписанными страницами рукописи. Последнее было особенно
характерно для текстов, находящихся на стадии подготовки к печати. Рукописи с такими его
правками есть и в моем архиве, а полагаю, что и у каждого из учеников Владимира Игоре-
вича. Помимо этого, Владимир Игоревич приносил новые интересные работы, уже просмот-
ренные или прочитанные им, которые следовало бы, по его мнению, разобрать на семинаре.
К тому же он и сам активно занимался научной работой и регулярно делал доклады о новых
научных результатах и на своих семинарах, и на заседаниях Московского математического
общества, и других научных мероприятиях.
В работе с учениками Владимир Игоревич был очень терпелив, всячески поддержи-
вая успехи своих учеников и помогая им их развивать.
Как уже отмечено выше, задача, на которой мы остановились с Владимиром Игоре-
вичем, была в области математической теории управления, которая сама как наука была мо-
лода. Немало задач в этой области ещё оставалось вне поля зрения исследователей, осо-
бенно в плане анализа этих задач методами бурно развивавшейся тогда теории особенностей
дифференцируемых отображений. Возможно, внимание В.И.Арнольда к этой области при-
влекла статья С. Смейла, перевод которой был опубликован в «Успехах математических на-
ук» в 1972 году (С. Смейл, Глобальный анализ и экономика, I. Оптимум Парето и обобщение
теории Морса, УМН, 1972, 27:3(165), 177-187).
В 1976 году наиболее близким исследованиями к этой области из учеников Владими-
ра Игоревича занимались Владимир Закалюкин, изучавший особенности волновых фронтов
и выпуклых оболочек, и Людмила Брызгалова (возможно, что в 1976 году у неё еще была
девичья фамилия), классифицировавшая типичные особенности максимума семейства функ-
ций. Сегодня их результаты хорошо известны, стали классическими и подробно изложены в
математической литературе, в том числе в книгах Владимира Игоревича. По своей сути ре-
зультаты В.М. Закалюкина и Л.Н. Брызгаловой касались особенностей оптимальных реше-
ний как функций параметров, анализ же области существования решений, например, мно-
жеств достижимости (или управляемости) и их зависимости от начальных данных (точки или
стартового множества) были ещё слабо изучены. Это и стало темой моих исследований под
руководством Владимира Игоревича в студенческие годы и в аспирантуре.
Первые простейшие результаты у меня появились довольно скоро, как это обычно и
бывало у учеников Владимира Игоревича, ибо задачи для нас он, по-моему, всегда ставил
удачно, но чего-то цельного и завершенного у меня никак не получалось. Отчасти это объ-
яснялось и сложностью тематики, ибо в ней объединялись и структурная устойчивость век-
торных полей (уравнений без управления) и востребованный тогда, да и сейчас, анализ ло-
кальной и нелокальной управляемости нелинейных систем, а отчасти, возможно, и недоста-
точной моей настойчивостью. Владимир Игоревич тщательно читал мои тексты и регулярно
обсуждал со мной возможные последующие направления исследований.
Одно из таких обсуждений состоялось во время одного из лыжных походов, которые
Владимир Игоревич обычно устраивал для участников своих семинаров в начале второго
семестра. Благодаря легкому морозу лыжня обычно ещё была твёрдой, и лыжи хорошо ка-
263
тили, но уже хорошо пригревало солнце, и участникам похода было приятно загорать, раз-
девшись по пояс или до трусов (ибо «зимой принцип стыда не действует!»).
Так вот, во время одного из таких походов произошло обсуждение ряда новых поня-
тий, которые были введены мною при описании типичных особенностей множеств дости-
жимости. Ввод правильного нового понятия Владимир Игоревич считал важной частью ра-
боты и высоко оценивал естественность его происхождения и как бы его емкость, то есть по-
лезность его для анализа подобных ситуаций в других задачах. Помню, мы остановились на
открытом месте, где лыжня с небольшим уклоном уходила в сторону леса. Владимир Игоре-
вич лыжной палкой быстро набросал рисунок из моего текста - множество возможных ско-
ростей в точке плоскости, ограниченное гладкой кривой с двойной касательной, проходящей
через точку приложения этого множества, а затем спросил, правильно ли он понимает вве-
денное мною понятие обгона на предельном направлении типов этого обгона. Обсудив это и
выяснив, что введенные понятия естественны, и их он правильно понимает, мы двинулись
дальше. Владимир Игоревич сделал несколько энергичных шагов и, сильно отталкиваясь,
быстро покатил по пологому спуску к лесу. Так, во время лыжного похода, затевались по-
добные обсуждения как работ участников семинара, так и новые результаты из работ других
математиков. Всё это перемежалось с рассказами Владимира Игоревича о местах и насе-
лённых пунктах, которые мы проезжали, происходивших там когда-то событиях, или просто
о случаях из предыдущих походов или индивидуальных лыжных прогулок Владимира Иго-
ревича.
Так один раз мы узнали, как, если я правильно помню, уже в сумерках Владимир
Игоревич, будучи на лыжной прогулке, случайно попал по льду замерзшей реки на террито-
рию дачи одного из известных деятелей советских времен, по-моему, Полянского. Бдитель-
ная охрана, прозевав сам момент «проникновения», была крайне удивлена, увидев
В.И.Арнольда на территории дачи, и успешно задержала его. К счастью, после выяснения
личности (документов, вероятно, у В.И. с собой не было) и звонков в Москву, Владимира
Игоревича отпустили, вероятно, по разрешению из Москвы, проводив за территорию дачи
уже через главный вход.
Ещё одной традиционной составляющей лыжных походов семинара было зимнее ку-
пание. Выбиралось пологое место на берегу реки с открытой водой, и все желающие и доста-
точно привычные к этой процедуре участники смело окунались в речке, а менее подготов-
ленные, к которым я относил и себя, не отваживались это делать. Затем снова активное дви-
жение по маршруту, чтобы снова разогреться после купания. Также в каком-то месте пути
устраивался небольшой перерыв с перекусом тем, что участники захватили с собой. В конеч-
ную точку маршрута, которой чаще всего это была некоторая железнодорожная станция (на-
пример, Опалиха), мы приходили уже затемно и довольно подуставшими, ибо обычно про-
тяженность пройденного маршрута, по моим подсчётам, доходила до 50-ти, 60-ти километ-
ров. Мы покупали что-нибудь перекусить, садились в ближайшую электричку и ехали в Мо-
скву. Конечно, лыжные походы делали их участников ближе, в них мы больше и лучше уз-
навали друг друга, а потом быстрее находили взаимопонимание в общих делах. Кроме ак-
тивного отдыха, лыжные походы помогали нам вырабатывать определенные навыки коллек-
тивизма, может, точнее, совместной работы, которые, я думаю, всем нам пригодились по-
том.
Владимир Игоревич очень радовался успехам и результатам своих учеников, отстаи-
вал их научный приоритет и внутри страны, и за рубежом, воспитывал в нас должное уваже-
ние к результатам других, в том числе, к полноценным ссылкам на предшественников, как
обязательному правилу подготовки работы. Однажды (было это, по-моему, на одном из засе-
даний конференции имени И.Г.Петровского) Алексей Федорович Филиппов рассказывал о
топологической классификации локальных картин фазовых портретов полей предельных на-
правлений аналитических полисистем на плоскости. Это было близко к моим исследовани-
ям, и типичные особенности здесь были расклассифицированы в одной из моих работ, как
необходимый этап в анализе локальной управляемости типичных систем. Алексей Федоро-
264
вич знал об этих моих результатах, но в силу каких-то причин не упомянул о них. Сразу по-
сле окончания доклада присутствовавший на нем Владимир Игоревич задал корректный во-
прос по этому поводу и был удовлетворен ответом Алексея Фёдоровича, в котором приори-
тет по типичным случаям был отдан его ученику. На этом докладе присутствовал и
С.И.Соболев, тогда уже работавший в Петрозаводске. После доклада он подошёл ко мне и
сказал, что рад, что школьник, которого он когда-то нашел и помог начать заниматься мате-
матикой, имеет хорошие научные результаты, и очень хорошо, что Владимир Игоревич, к
которому он посоветовал мне в своё время пойти в ученики, так отстаивает научный при-
оритет своих воспитанников.
С того заседания уже прошла почти четверть века, у большинства учеников школы
Арнольда появились свои ученики - научные внуки Владимира Игоревича и правнуки Анд-
рея Николаевича Колмогорова. И мне кажется, что в общении со своими учениками многие
из нас стремятся походить на своего Учителя, стремятся создать для них ту атмосферу науч-
ного творчества, в которой выросли сами, и которую для них на протяжении многих лет
создавал Владимир Игоревич Арнольд.
265
АБРАМОВ АЛЕКСАНДР МИХАЙЛОВИЧ,
доктор физико-математических наук,
член-корреспондент РАО
ВСТРЕЧИ С ВЛАДИМИРОМ ИГОРЕВИЧЕМ
О том, что в СССР появился необычайно талантливый математик Арнольд, я узнал в
апреле 1963-го года из заметки в «Известиях». Там же была помещена фотография, сделан-
ная замечательным мастером портрета Виктором Ахломовым. Фото появилось по случаю,
очень приятному (это видно по выражению лица) для Ивана Георгиевича Петровского: док-
торские диссертации защитили В.И.Арнольд и А.А.Кириллов, и ректор МГУ поздравил их,
пригласив в свой кабинет.
Мое внимание к заметке было вполне осмысленным. Незадолго до этого, в конце мар-
та я участвовал в III Всероссийской математической олимпиаде, проходящей в МГУ, и тогда
я принял твердое решение поступать на мехмат университета. Поэтому все публикации об
университете и математике меня живо интересовали.
В последние годы, разыскивая статьи А.Н.Колмогорова в широкой печати, я обнару-
жил, что А.Н. неоднократно упоминал имя своего ученика. Так, например, статью «В добрый
путь» («Правда», 8 сентября 1963 г.) он начинает с сообщения о решении В.И.Арнольдом
проблемы Гильберта и проблемы устойчивости движения планет. А заканчивает словами:
«Если бы такая атмосфера (атмосфера уважения к сделанному в науке ранее - А. А.) создава-
лась еще в студенческих коллективах, то в каждом выпуске были бы свои Арнольды и Ки-
рилловы». А в статье «Наука требует горения» («Известия», 20 февраля 1962 г.) А.Н. специ-
ально отметил: «Из кружка школьников, собранных в 1954-м году (ими руководил
В.И.Арнольд), в 1957-м году 17 человек поступили по конкурсу в МГУ. С 1959-го года стали
появляться научные публикации представителей этой группы молодых математиков в «Док-
ладах АН СССР» и других научных изданиях....»
Сообщения о В.И.Арнольде встречаются и в газете «Московский университет». Пер-
вое из них, в котором сообщается о решении проблемы Гильберта студентом-
третьекурсником, относится к 1957-му году. Несколько раз его имя встречается в списках
студентов, зачисленных на Сталинскую стипендию.
Моя первая очная встреча с Владимиром Игоревичем произошла 1 августа 1963-го го-
да, в день открытия летней математической школы для призеров Всероссийской олимпиады
в Красновидове, на базе МГУ. Подробный рассказ приведен в моей статье «Первая летняя
школа: Красновидово-63» (см. книгу «Кикоин. Колмогоров. ФМШ МГУ», М., Фазис, 2009).
Ознакомившись с этой книгой, В.И. сказал мне о нескольких небольших неточностях, но яв-
но отметил одну деталь: оказывается, после массового заплыва через Московское море (око-
ло 1,5 км) во главе с П.С.Александровым и А.Н.Колмогоровым он был единственным участ-
ником, вернувшимся обратно вплавь.
После зачетов по завершении летней школы в числе 19-ти человек, успешно их сдав-
ших, я был зачислен в 11-й класс - первый выпускной класс ФМШ при МГУ, открывшейся
2 декабря 1963-го года. С этого дня до конца мая 1964-го года Владимир Игоревич был од-
ним из наших учителей математики; другие спецкурсы читали А.Н. Колмогоров и Андрей
Тоом, элементарную математику преподавал первый директор школы П.А.Кузнецов.
266
Подпись под фотографией Арнольда В.И. на коллективной фотографии: В.И. Арнольд,
доктор ф/м наук, препод.
математики
Курс, который прочитал нам «Дима» (здесь нет фамильярности: в соответствии с тра-
дицией мехматских кружков ученики и молодые учителя обращались друг к другу по имени,
но на «Вы»), - событие выдающееся. К большому списку теорем, им доказанных, хочу доба-
вить еще две «теоремы Арнольда», относящихся к 1963-му году.
Первая теорема - непосредственно математическая. Поставив целью найти новое до-
казательство теоремы Галуа, В.И. в конце курса, который он выстраивал на наших глазах,
получил неожиданное обобщение: оказывается, что уравнения степени выше четвертой, не
разрешимы не только в радикалах, но и в элементарных функциях.
267
Вторая «теорема» - из сферы педагогики: доказано, что продвинутым школьникам
можно относительно доступно рассказывать о современной математике.
Летние красновидовские встречи. Д. Арнольд с А.Н. Колмогоровым
В.И.. Арнольд и А.А. Карацуба со своими аспирантами
Курс состоял из большого числа задач, формулируемых после кратких фрагментов
теории. Сначала речь шла о не очень сложных вещах - элементы анализа, ТФКП, теории
групп. Но позднее, когда речь зашла о более тонких и абстрактных понятиях теории групп и
топологии, потребовались уже большие и коллективные усилия для понимания существа де-
ла.
Самые яркие воспоминания связаны с контрольной работой, которую В.И. провел в
марте. Приведя определения «разрешимой», «квазиразрешимой» и «псевдоразрешимой»
групп, он дал нам пять задач. Через неделю В.И. сообщил, что оценок он ставить не будет - в
противном случае придется поставить 18 «двоек» и одну «тройку с минусом» (ее, кажется,
заслужил Сергей Воронин - в будущем очень известный математик). Последующие 2 месяца
В.И. рассказывал нам решения 5-ти задач, данных на контрольной....
Мне представляется, что эта история характеризует кредо В.И.Арнольда как Учителя.
Предъявляя к самому себе очень высокие требования, он требовал полной отдачи и от уче-
268
ников. Позиция жесткая: не все достигали планки, заданной Арнольдом. Но эффективная: те,
кто успешно прошел школу Арнольда, внесли и продолжают вносить большой вклад в науку.
Уроки (два часа подряд в неделю) проходили в очень живой атмосфере, поддержи-
вающейся благодаря острым репликам и шуткам Арнольда. Так, например, когда при иссле-
довании непрерывности какой-то функции была предложена формула 8 (g), он решил ее про-
верить вопреки традиции не для малого е, а для е =100. Более рискованным было его пред-
ложение о введении «единицы несекучести», за которую принималась вполне конкретная
фамилия. Но поскольку с чувством юмора в классе дела обстояли неплохо, обид это не вы-
звало. Вспоминается и такая деталь: хотя в Москве продолжались снегопады, начиная с се-
редины марта В.И. приезжал в интернат на велосипеде и в легкой одежде.
Зачет, проведенный «Димой» в конце мая, стал для нас самым трудным выпускным
экзаменом. Но мы испытывали некоторое чувство гордости: после трудной работы всем 19-
ти ученикам Арнольд поставил «пятерки». Впоследствии мои одноклассники Боря Ивлев и
Коля Нехорошее стали аспирантами Арнольда.
Следующий фрагмент моих воспоминаний относится к теме «Колмогоров и Ар-
нольд». Эта тема заслуживает обсуждения в отдельной книге, главным украшением которой
станет переписка А.Н. и В.И. - переписка Великого Учителя и Великого Ученика, которых
связывали десятилетия дружбы. У А.Н.Колмогорова - необычайно большое число выдаю-
щихся учеников. Но среди них В.И.Арнольд несомненно занимал совершенно особое место.
Из известных мне эпизодов остановлюсь на следующих.
- Весной 1965-го года мы, выпускники первого выпуска ФМШ, ставшие студентами-
первокурсниками, неожиданно были приглашены А.Н.Колмогоровым на его университет-
скую квартиру. За ужином человек на 20 А.Н. задавал нам много вопросов об университет-
ской жизни и планах, но неожиданно отвлекся и довольно долго рассказывал о жизни
В .И. Арнольда, который в то время находился на стажировке во Франции.
В 80-е годы, когда я много общался с А.Н., он кратко рассказывал о ходе выборов в
АН СССР. Его, в частности, огорчало, что В.И.Арнольд, кандидатура которого была выдви-
нута уже в 1964-м году, долгое время не был избран. Но после выборов 1984-го года,
В.И.Арнольд был избран членом-корреспондентом, а другой выдающийся ученик А.Н. -
Й.М.Гельфанд - стал академиком. Их избранию А.Н. был очень рад и определенно гордился
результатом, не без основания считая это своим политическим достижением.
В жизни В.И.Арнольда Андрей Николаевич (о нем В.И. часто говорил: «Мой дорогой
учитель») также занимал уникальное место. В этом я убедился в 80-е годы, когда ввиду тя-
желой болезни А.Н. необходимыми стали круглосуточные дежурства. Одно время я выпол-
нял и диспетчерские функции, составляя график и обзванивая 10-15 человек. Жизнь есть
жизнь, и часто возникали сбои. Практически у всех. За одним исключением: если
В.И.Арнольд называл время, то можно было не беспокоиться; он приходил вовремя.
К сожалению, мы уже не сможем восстановить те беседы, которые вели А.Н. и В.И.
Частично об этом можно судить по замечательной речи, произнесенной В.И. Арнольдом на
похоронах А.Н. Колмогорова и опубликованной в мемориальном номере «Успехов матема-
тических наук» (1988, №6).
После кончины А.Н. Анна Дмитриевна Колмогорова в памятные дни несколько раз
собирала учеников - были В.И.Арнольд, Я.Г.Синай, В.М.Тихомиров, В.А.Успенский и др.
Была высказана идея неформального Ордена Колмогорова, объединяющего учеников А.Н.
В.И.Арнольд очень много сделал в память об А.Н. В частности к 100-летию со дня рождения
А.Н.Колмогорова вышла брошюра В.И. «Новый обскурантизм и российское просвещение».
Думаю, не случайно несколько абзацев посвящено выпускникам ФМШ.
В «нулевые» годы было несколько встреч с В.И. - встреч нечастых, но очень мне па-
мятных. Эти эпизоды в основном связаны с проблемами математического образования.
Собственно, впервые я заговорил на эту тему с В.И. еще при жизни А.Н.Колмогорова
в Комаровке. Мне казалось, что В.И. своим авторитетом может оказать большое влияние на
269
позитивное развитие событий. Но он тогда честно ответил, что понимает значимость этой
работы, но за отсутствием времени не может заниматься ею всерьез.
Однако уже с начала «нулевых» В.И.Арнольд активно интересуется проблемами шко-
лы. Он написал несколько брошюр; ежегодно (до кончины в 2010-м) проводил две недели на
математических школах, организованных в «Ратмино» (Дубна).
В 2000-м году В.И.Арнольд в том же «Ратмино» прочитал большой доклад на Всерос-
сийской конференции по математическому образованию. Доклад был чрезвычайно ярким,
полным блестящих мыслей и фраз. Но должен признать, что тогда у меня не возникло жела-
ние возобновить обсуждение проблем школы с В.И. С одной стороны В.И. в докладе долго
развивал идею совершенно особой роли Тота (Древний Египет) в истории мировой науки,
что не вызвало у меня энтузиазма. С другой стороны, явно высказанное тогда В.И. полное
осуждение «колмогоровской реформы» я тоже не приемлю. Боюсь, что эта позиция была вы-
звана некоей аберрацией. Так, В.И. говорил, что на предложение А.Н. участвовать в созда-
нии школьных учебников (в одном из набросков А.Н. встречается фамилия Арнольда как
возможного члена авторского коллектива) он ответил категорическим отказом. К такому ре-
шению его подвиг текст А.Н.Колмогорова, где на 20-ти страницах говорится о том, как нуж-
но определять треугольник. Я хорошо знаю «школьные тексты» А.Н. и могу твердо утвер-
ждать, что речь шла о тексте, не принадлежащем А.Н. Но убедить в этом В.И., хотя он и не
раз возвращался к этому примеру, я так и не смог.
Однако в декабре 2000-го г. произошло событие, резко сблизившее позиции: злобо-
дневность приобрели не прошлые ошибки, а решения современные. На Парламентских слу-
шаниях в Государственной Думе предстояло обсуждение проекта школьных «Стандартов».
Игорь Федорович Шарыгин (однокурсник Арнольда), Николай Петрович Долбилин и я были
очень встревожены возможностью принятия явно несовершенного документа, и решили, что
нужно просить Арнольда участвовать в обсуждении. Время - 10 часов утра 4 декабря - было
выбрано явно неудачно. В.И.Арнольд был явно чем-то сильно раздражен и говорил на по-
вышенных тонах. Удалось, однако, убедить его в том, что дело серьезное. В.И. сказал, что
ему нужно поработать часа два. Мы зашли к нему в комнату по истечении срока, и В.И. про-
читал 8 страниц только что написанного от руки текста его будущего выступления. Затем он
сказал, что видит свой долг в необходимости противостоять дурным идеям, и поэтому поедет
в Думу.
В итоге весь день до позднего вечера мы провели вчетвером. По дороге В.И. с боль-
шим чувством юмора рассказырал о пребывании его в парижской больнице, вспоминал
ФМШ. На заседании в Думе мы сидели рядом и постоянно обменивались впечатлениями,
несколько раздражая окружающих. Речь В.И.Арнольда была исключительно яркой по форме
и убедительной по содержанию. В большой мере именно выступление Арнольда (текст
опубликован) решило проблему: проект был отклонен. Через несколько месяцев на заседа-
нии Московского математического общества В.И. изложил свои конструктивные взгляды на
то, каким должен быть школьный курс математики. Появился ряд его критических статей,
одна из которых начиналась примерно с такой фразы: «На днях в одной из известных орга-
низаций я был подвергнут четырехчасовой беседе...... Вообще, надо заметить, что литера-
турный стиль, как и стиль устной речи В.И.Арнольда, отчетливо проявляющийся в его уст-
ных беседах и выступлениях, заслуживает специального внимания. Он был блестящим рас-
сказчиком, полемистом и стилистом с отточенными и неповторимыми фигурами речи.
В.И.Арнольд обладал удивительной работоспособностью во все времена. Но думаю,
что в 2000-е годы активность его выступлений и публикаций резко возросла. Остается впе-
чатление, что он не успевал высказаться и торопился это делать. - У меня есть две гипотезы
на этот счет. Во-первых, он наверстывал упущенное - не секрет, что в советский период он
считался чуть ли не диссидентом. А во-вторых, после парижской травмы и длительного пре-
бывания в коме (1999 г.) его взгляд на жизнь как на нечто очень долгое, по-видимому, изме-
нился. Но очень многое хотелось еще сделать....
270
Характерен такой эпизод. Направляясь в «Стекловку», на углу Ленинского и
ул. Губкина я встретил В.И. Он неожиданно остановился и начал разговор, который в итоге
продолжался около часа.
Оказывается, был повод: он только что прочитал в верстке книги С.М.Никольского,
подготавливаемой к его столетию, мою реплику. - Я процитировал Л.Н.Колмогорова, кото-
рый однажды мне сказал, что он завидует только двум людям - В.И.Арнольду за его необы-
чайную выносливость, и С.М.Никольскому, который моложе А.Н. всего на два года, но уди-
вительным образом сохраняет хорошую физическую форму. Я добавил, что А.Н. не без вос-
хищения рассказывал мне о том, что Арнольд способен пробежать в плавках при 30-
тиградусном морозе 50 км на лыжах, а затем искупаться в проруби; что гуляя по лесу в поис-
ках грибов, он измеряет скорость роста грибов. В.И. это подтвердил, но сказал, что А.Н. и
ошибался - он полагал, что В.И. к тому же понимает и язык птиц, но это неверно: язык птиц
понимал не он, а его отец, Игорь Владимирович Арнольд.
За час беседы В.И. рассказал мне о подлинной истории появления теории обобщен-
ных функций, о его переписке с А.Н.Колмогоровым по школьным делам, о непонимании
серьезных вещей крупными математиками и физиками (с указанием фамилий) и т.п. Особый
сюжет, к которому В.И. возвращался не раз, связан с подготовкой перевода книги
В.Б.Алексеева на французский и английский языки. Признавая, что сделано важное дело -
опубликован курс, прочитанный в ФМШ, В.И. настаивал на дополнительной работе - дока-
зательстве обобщенной теоремы Галуа (неразрешимость в элементарных функциях). По-
скольку Валера Алексеев - мой одноклассник, В.И. просил меня поговорить с ним и убедить
в необходимости доработки. По моим прикидкам, из часа 'беседы на мою долю пришлось
минут 7. Когда я впоследствии рассказывал об этом людям, хорошо знающим В.И., мне го-
ворили, что это очень высокая доля в диалоге с Арнольдом.
В августе 2006-го года произошла история с отказом Г.Перельмана от медали Филдса.
Перельмана я знал лично: в начале 80-х я был руководителем команды СССР на Междуна-
родных математических олимпиадах, а Гриша был победителем Будапештской олимпиады
1982-го года с абсолютным результатом: 42 из 42-х. Поэтому когда пресса начала совершен-
но разнузданную компанию, я позвонил В.И.Арнольду с предложением: математическое со-
общество должно каким-то образом проявить солидарность с коллегой. В.И. внимательно
слушал и задавал много вопросов.
Через некоторое время он сообщил, что по его инициативе в «Успехах математиче-
ских наук» будет опубликован перевод объективной статьи о Г.Перельмане из «New Yorker».
А вскорости мне позвонили из фонда «Династия» и просили связаться с Г.Перельманом: по
предложению В.И.Арнольда фонд был готов выделить крупный грант Г.Перельману или его
маме. В.И. предложил также передать Г.Перельману приглашение выступить на заседании
Московского математического общества с докладом. К сожалению, все эти предложения
Г.П. отклонил.
Летом 2007-го года я специально приехал в Дубну для обсуждения с В.И. ситуации,
возникшей в связи с введением Единого государственного экзамена (ЕГЭ). Он резко отрица-
тельно относился к этой затее, но не видел реальных возможностей для противодействия.
В связи с 70-тилетием В.И.Арнольда был устроен праздничный ужин, после которого
мы долго говорили на разные темы. В.И. был полностью раскован. Как всегда, много расска-
зывал - на этот раз основной темой было его детство - встречи с И.С.Мандельштамом, Г.С.
Ландсбергом, И.Е.Таммом; «открытие» им подлинных причин возникновения правил дейст-
вий с отрицательными числами, задача из учебника Киселева по геометрии, подсказавшая
В.И. новую проблему и многое-многое другое. Но почему-то немалое место заняли разгово-
ры о человеческой жизни - житейские истории и проблемы.
В «нулевые» годы я бывал на многих лекциях В.И.Арнольда. Думаю, что пока не
стерлись воспоминания, по возможности полный их список, а желательно, и коллекция ви-
деозаписей были восстановлены. Мне наиболее памятна лекция «Экспериментальная мате-
матика», собравшая в аудитории 02 МГУ более пятисот человек. В 2007-м году В.И. сделал
яркий доклад в Доме ученых на вечере «20 лет без Колмогорова».
271
Удивительно ярким был диалог В.И.Арнольда и В.Л.Гинзбурга после доклада В.Л. на
заседании ММО: В.Л. рассказывал о его списке 30-ти ключевых задач современной физики.
Между ними произошел внешне довольно резкий обмен репликами, но чувствовалось,
что этот дружелюбный спор далеко не первый - В.И. и В.Л. были соседями по даче. Так по-
лучилось, что и их могилы на Новодевичьем кладбище соседствуют....
Мой последний разговор с В.И.Арнольдом был на летней школе в Дубне-2009. День
открытия математической школы совпал с последним днем работы школы лингвистической.
По этому случаю 2 академика и лауреата Государственной премии (она вручалась им в один
день) прочитали лекции для школьников: сначала А.А.Зализняк рассказал о происхождении
системы ударений в русском языке, а затем В.И. Арнольд прочел лекцию о найденных им за-
кономерностях при обобщении известной игры в слова: из букв одного слова требуется со-
ставить возможно больше существительных в именительном падеже.
В ходе разговора после как всегда блистательных «историй от Арнольда» довольно
неожиданно для себя я спросил: «Кого Вы считаете своими лучшими учениками?». Похоже,
вопрос был нов. - Впервые в моей практике В.И. говорил медленно, явно обдумывая фразы.
Начал он с того, что вопрос о лидерах появляющегося в 60-е годы нового поколения
математиков он откровенно обсуждал с А.Н.Колмогоровым, а сейчас, по прошествии време-
ни, ясно, что лидеров в этом поколении два: С.П.Новиков и В.И.Арнольд. Что касается уче-
ников самого В.И., то он назвал 7-8 имен. Среди них имя выпускника ФМШ Коли Нехоро-
шева, скончавшегося в 2008-м году. Но после размышлений В.И. остановился на одном име-
ни. По понятным причинам конкретной фамилии я не хочу называть.
Последний раз я видел В.И.Арнольда на заседании Отделения математики РАН в де-
кабре 2009-го года; обсуждались проблемы школьного математического образования. Вопреки
обыкновению, В.И. не выступал при обсуждении, а ограничился в самом конце репликой о вы-
слушанных им «бюрократических докладах». Возможно, давала о себе знать болезнь....
Владимир Игоревич Арнольд, несомненно, принадлежит к числу очень крупных уче-
ных XX века. В основе его великих достижений - необычайные свойства личности. Для себя
я придумал такую его характеристику: человек-фейерверк. Недавно услышал, пожалуй, бо-
лее точное выражение: «Арнольд - это человек-вулкан». Всем нам, кому посчастливилось
встречаться с В.И., предстоит очень многое сделать, чтобы сохранить во всей полноте его
громадное творческое наследие и сохранить историю его удивительно яркой жизни.
1987 г. В Комаровке у А.Н. Колмогорова - А. Сосинский, А. Абрамов, Д. Арнольд
272
КОНСТАНТИНОВ НИКОЛАЙ НИКОЛАЕВИЧ,
кандидат физмат наук, Президент Международного
математического турнира городов для старших школьников,
Лауреат премии Правительства РФ в области образования (2008)
Осенью 1948 года мы с товарищем (мы тогда учились в 10-м классе) пошли в Универ-
ситет слушать объявленную лекцию Игоря Владимировича Арнольда, посвященную тео-
ретической арифметике. Но нас встретило объявление, что лектор умер, и лекции не будет.
Так я впервые встретил фамилию Арнольд.
К школьникам вышел один из руководителей математических кружков - кажется это
был Олег Локуциевский, и пригласил нас послушать лекцию Алексея Андреевича Ляпунова
по теории множеств. (Алексей Андреевич - мой будущий аспирантский руководитель).
Моя следующая встреча с фамилией Арнольд произошла, когда Дима Арнольд был
уже студентом мехмата.
Кружок по теории функций действительного переменного вел Анатолий Георгиевич
Витушкин - аспирант первого года, ученик Александра Семеновича Кронрода. Вместе с Ди-
мой на кружок приходил Саша Кириллов - это были два очень сильных студента, и занима-
лись они с такой энергией, какая отличает будущих настоящих математиков. Витушкин и
сам был человеком такой энергии. И он, и эти его ученики не признавали никаких барьеров и
брались за любые задачи.
Я, как и Витушкин, был воспитанником семинара Кронрода, и приходил на кружок
Витушкина в качестве его помощника по приему задач. Тут я и познакомился с Димой Ар-
нольдом. И хотя моя роль в образовании Димы была очень скромной, он пару раз называл
меня в числе своих учителей.
В течение примерно трех лет наше общение было частым, но потом оно ослабло - Ди-
ма убежал вперед в своих областях математики, а я застрял в своих. Он не раз упрекал меня в
том, что я ограничился знаниями в своей узкой области. Можно считать, что мы дружили.
Он жил тогда в Спасо-Песковском переулке, д. 8 кв. 8. Из той квартиры не выветрился дух
истории. Я там видел бабушку Димы Веру Степановну Житкову, старую большевичку, жив-
шую в Швейцарии когда там в эмиграции жили Ленин с товарищами, а Житкова была про-
фессором Цюрихского университета. Потом эту квартиру у Арнольдов отобрали в пользу
американского посольства.
Когда я звонил Диме, к телефону иногда подходила мама Димы. У нее был такой уди-
вительный, глубокий, волшебный голос, что я иной раз звонил почти только для того, чтобы
его услышать. Она говорила, что боится за Диму - он так много работает, что может повре-
дить здоровье.
Иногда мы что-нибудь дарили друг другу. Я подарил ему какие-то любимые мной
книжки про музыку. Расскажу про один царский подарок, который он сделал позже. Свою
знаменитую на весь мир книгу по обыкновенным дифференциальным уравнениям он начал с
моей задачи про возы, задачи, которая, по его мнению, хорошо иллюстрирует использование
фазового пространства, и тем сделал мое имя широко известным среди математиков (но,
кроме этого момента, про мои занятия математикой почти никто ничего не знает).
Наше старое знакомство сыграло свою роль при создании Независимого Московского
Университета. Все мы боялись, что в организуемый университет набегут плохие люди (по
выражению Валерия Сендерова "крысы, потопившие корабль"). Я как-то высказал среди
своих друзей мысль, что этого не произойдет, если во главе создания НМУ будет стоять
В.И.Арнольд, который точно не допустит ничего подобного. Эти мои слова передали Ар-
нольду, и он сказал, что согласен возглавить эту работу, если выполнять ее будет Константи-
нов, то есть я. Невидимому он считал, что я "крыс" не допущу. И мне ничего не оставалось,
как взяться за эту работу (но в ней, разумеется, активно участвовала немалая компания еди-
номышленников, мое же участие эта компания отметила тем, что дала мне почетную долж-
ность "основателя НМУ".
273
В заключение считаю уместным вспомнить о Славе Цуцкове, который учился у Димы,
когда Дима, будучи студентом, вёл математический кружок для школьников на мехмате.
Слава учился на физфаке. Он жил с бабушкой, жили вдвоем на пенсию бабушки. И Слава
был вынужден зарабатывать на стройке. А это приводило к прогулам занятий. Слава хотел
учиться на кафедре биофизики, но инспектриса распоряжалась распределением по кафедрам
как поощрениями и наказаниями за дисциплину, и Слава попал на одну из кафедр по теоре-
тической физике. Он тянул учебу на двух кафедрах, кроме того постоянно занимался про-
блемой близнецов. Понятно, что это уже была перегрузка, но Слава к тому же вёл школьный
кружок. Он попытался провести для школьников кружок по квантовой механике, но успеха g
не достиг, так как слишком слаба была математическая подготовка школьников. |
И тогда мы договорились начать такой кружок для 9 класса, в котором школьники по- |
лучили бы математическую подготовку, достаточную для того, чтобы понимать уравнения |
электродинамики и квантовой механики. В кружке пришлось ввести строгую дисциплину,
так как обычно в кружках, в результате традиционной вольницы, не удается добиться твер-
дого усвоения пройденного материала. Придумали работать с листочками, и дело, вроде бы,
пошло, но 30 апреля 1960 года, в день своего рождения (двадцатилетия) Слава застрелился.
Кружок пришлось провести по сокращенной программе, так как я не был готов зани-
маться со школьниками квантовой механикой. Но этот кружок стал предтечей математиче-
ских классов 7 школы, а затем и некоторых других школ. А первая тема этой программы -
комбинаторика - почти в точности повторяет первые занятия кружка Димы Арнольда, в ко-
тором занимался Слава.
Краевые особенности. Воронеж, 1979г.
274
АРХИПОВ ГЕННАДИЙ ИВАНОВИЧ ,
доктор физико-математических наук,
профессор Мехмата МГУ, ведущий научный
сотрудник отдела теории чисел МИАН,
лауреат премии им. А.А. Маркова РАН
ДЛЯ МЕНЯ ИМЕННО ОН ОТКРЫЛ МИР СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКИ
Мои воспоминания о В.И.Арнольде
Мои первые впечатления от общения с Владимиром Игоревичем Арнольдом относят-
ся к августу 1963 г., когда он был одним из лекторов в летней математической школе, орга-
низованной механике - математическим факультетом МГУ для участников IV Всероссий-
ской олимпиады школьников по математике и проводившейся на базе университетского до-
ма отдыха «Красновидово» под Москвой.
В июне того же года В.И.Арнольду исполнилось 26 лет, а несколько ранее он уже за-
щитил докторскую диссертацию. Чувствовалось, что в коллективе преподавателей школы (а
она, в основном, состояла из сотрудников, аспирантов и студентов МГУ, входивших в науч-
ное окружение академиков А.Н.Колмогорова и П.С.Александрова, которые были её фактиче-
скими руководителями) к В.И.Арнольду относились как к молодому гению математики. За-
мечу, что помимо интенсивных занятий математикой с учащимися школы, её преподаватели
много времени уделяли неформальному общению с ними.
Например, академик П.С. Александров всякий раз ранним утром ходил по спальням,
поднимал нас и вёл купаться на Можайское море в любую погоду. И вот во второй половине
августа сильно похолодало; утром вода в водохранилище стала очень холодной, я думаю,
градусов 12. Тем не менее, следовать призыву П.С. Александрова находилось немало охот-
ников.
Молодые преподаватели школы создавали очень демократичную обстановку в обще-
нии, поэтому к тем преподавателям, которым по возрасту было меньше тридцати лет, мы,
школьники, обращались на «ты». В частности, Владимира Игоревича мы звали просто Ди-
мой, как обращались к нему его сверстники; почему не Володя - это до конца не ясно мне и
до сих пор. Он же фамильярность, по-видимому, не очень любил, и к школьникам обращался
на «вы». Кстати, эта ситуация сохранилась и позже, когда он преподавал нам уже в ФМШ
№18 при МГУ.
Моё общение с Владимиром Игоревичем началось на его первой лекции. Он решил
прочитать нам свой оригинальный цикл лекций, посвященный некоторым фактам из теории
динамических систем дифференциальных уравнений, но прочитать его так, чтобы он был
доступен школьникам. Правда, для этого от слушателей требовалось хотя бы начальное зна-
комство с понятием производной. Он предложил нам некоторый простой качественный при-
мер для того, чтобы проверить доступность этого понятия. Я в ту пору о производной не знал
ничего, но попытался что-то изобразить на бумаге. «Ничего не понимаю», - произнес Влади-
мир Игоревич, взглянув на мои потуги, и я понял, что на его цикле лекций мне делать нечего.
Несколько позднее Толя Кушнеренко, один из наших молодых руководителей, под-
вел меня к Владимиру Игоревичу для беседы по некой заумной математической проблеме,
которая меня тогда волновала. «Как ужасно вы говорите», - эти обращенные ко мне слова
Владимира Игоревича только и запомнились от этого разговора. Надо сказать , что и тогда, а
еще больше впоследствии, я всегда восхищался удивительной способностью Владимира
Игоревича говорить экспромтом так складно и ярко, как мало кому удается даже после пред-
варительной подготовки. Настоящий артист - всегда думал я о его выступлениях.
После Красновидова большинство из нас - школьников продолжили своё обучение в
Физико-математической школе- интернате № 18 при МГУ, которая сейчас называется СУНЦ
им. А.Н.Колмогорова. 19 человек, из числа тех, кто окончил до этого 10 классов, составили
её первый выпуск. Андрей Николаевич попросил своего ученика Арнольда прочитать нам
275
какой-либо спецкурс. Следует заметить, что Владимир Игоревич никогда не упускал случая
подчеркнуть, что он является учеником А.Н.Колмогорова, хотя его мировой авторитет уче-
ного в какой-то момент сравнялся, а может быть, и превзошел авторитет учителя.
Владимир Игоревич творчески подошел к просьбе. Он поставил задачу: в рамках сво-
их занятий подвести нас к решению знаменитой задачи Руфани-Абеля о неразрешимости в
радикалах общего уравнения пятой степени, опираясь при этом на очень скудные исходные
математические представления слушателей. С этой задачей Владимир Игоревич блестяще
справился. Впоследствии один из наших одноклассников, будущий профессор В.Б.Алексеев,
опубликовал обработанные записи этих занятий в виде отдельной книги, предназначенной
для школьников, интересующихся математикой. На мой взгляд, публикация получилась бле-
стящей. Но здесь следует сказать, что какие-то штрихи в этой публикации не вызывали по-
ложительных откликов у Владимира Игоревича. В чем тут дело, мне выяснить не удалось.
Вообще, я думал, что Владимир Игоревич очень легко относился к нашим занятиям.
Но оказалось, что это не совсем так. В своих поздних общественно-публицистических бро-
шюрах Владимир Игоревич неоднократно об этих занятиях упоминал, считая нас своими
учениками. И это действительно справедливо. Для меня, в частности, именно он открыл мир
современной математики, познакомил с её начальными понятиями, сформировал мои пред-
ставления о строгости математических рассуждений. От всех нас Владимир Игоревич требо-
вал чёткости и в записях, и в речи. От него я впервые усвоил определение предела функции
по Коши на языке эпсилон-дельта. Мы написали отдельную контрольную, посвященную яв-
ному нахождению дельта как функции от эпсилон для различных функций комплексного пе-
ременного.
Конечно, среди нас были школьники с очень разной начальной подготовкой в области
высшей математики. Был, например, среди нас Серёжа Воронин, который к девятому классу,
обучаясь в маленьком городе Бугуруслан Оренбургской области, ухитрился не только со-
вершенно самостоятельно прочитать, но и полностью усвоить знаменитый двухтомник Ван-
дер-Вардена «Современная алгебра». Впоследствии он стал доктором наук и доказал знаме-
нитую теорему об универсальности дзета-функции Римана. Я же, как и некоторые другие ре-
бята, знаний по математике, выходящих за рамки средней школы, по существу не имел. Од-
нако Владимир Игоревич преподавал так, что я и другие школьники практически усвоили
весь его курс. Интересно заметить, что позднее я с некоторым удивлением прочел у Влади-
мира Игоревича, что строгости изложения математического материала он придавал меньшее
значение, чем его идейному содержанию.
Запомнились еще такие эпизоды. Весной 1964 года мы заканчивали 11 класс. Ходили
на различные олимпиады по математике и физике. На втором туре Московской городской
математической олимпиады были довольно трудные задачи. Одну из них не решил никто.
После олимпиады мы узнали её решение. Старый «олимпиадчик» Арнольд поинтересовался
у нас олимпиадными делами. Когда я предложил ему послушать решение этой трудной за-
дачи, он сказал в ответ: «Не надо, не надо. Я хочу сам её решить».
Май 1964 года был очень теплым. Два раза А.Н. Колмогоров приглашал всех одинна-
дцатиклассников в Филевский парк купаться в Москве реке. Мы шли пешком. С нами был
и Владимир Игоревич Арнольд. По дороге он и А.Н.Колмогоров говорили, как я потом понял
по обрывкам их беседы, о небесной механике. Наверное, они обсуждали детали совместных
исследований по знаменитой КАМ-теории, за которую в 1965г. им была присуждена Ленин-
ская премия.
А.Н.Колмогоров очень ценил В.И.Арнольда, восхищался им и как математиком, и как
личностью. Он, например, говорил, как в некоторый трудный период жизни Владимир Иго-
ревич для поднятия настроения зимой ежедневно проходил на лыжах по 100 км. Сам я за-
помнил, как еще в Красновидове, во время массового заплыва через Можайское водохрани-
лище Владимир Игоревич плыл брассом далеко впереди всех, заныривая так, что его голова
постоянно скрывалась под водой.
276
В последние годы жизни Владимир Игоревич Арнольд проявил интерес к аналитиче-
ской теории чисел. Он сформулировал некоторые интересные задачи. Но в целом, видимо,
это была не его стихия. Зато из докладов Владимира Игоревича по теории чисел я узнал, что
он в уме способен быстро умножать сорокаразрядные числа. До этого я встречал только од-
ного человека, своего сокурсника по Мехмату МГУ, который умножал в уме десятизначные
числа, и уже одно это казалось мне достойным удивления.
В заключение я бы сказал, что в целом Владимир Игоревич Арнольд был совершенно
уникальной личностью, обладающей феноменальными способностями, в существование ко-
торых порой не веришь до самой встречи с ним. Лично я глубоко благодарен ему за всё то
доброе, что он сделал для моего математического развития.
С С.П. Новиковым.
ШИКИН ЕВГЕНИЙ ВИКТОРОВИЧ,
доктор физико-математических наук, профессор,
зав. кафедрой математических методов в управлении
факультета государственного управления МГУ
ОДИН КУРЬЁЗНЫЙ эпизод
В семидесятые годы ушедшего века ВАК являлся одним из подразделений
Министерства высшего и среднего специального образования СССР. Кандидатские и
докторские диссертации после защиты вместе с сопровождающими документами попадали в
соответствующие экспертные комиссии, которые в ходе рассмотрения имели право посылать
их на дополнительный отзыв, как тогда нередко говорили чёрному оппоненту.
Как-то на заседании комиссии по математике по предложению эксперта было принято
решение послать одну из кандидатских диссертаций на отзыв В.И. Арнольду. Ответ от него
пришёл довольно скоро, и в нём говорилось буквально следующее: по-видимому, в
экспертной комиссии по математике считают, что я придерживаюсь двойной морали - одни
высказывания о работе могу делать открыто во время публичной защиты и другие,
противоположные, по этой же работе втайне от большинства коллег.
Причиной такого ответа был один из редких казусов, когда по недосмотру В.И.
послали на дополнительный отзыв диссертацию, при защите которой он участвовал в
качестве официального оппонента и написал на неё положительный отзыв.
Вскоре на коллегии министерства эта диссертация была утверждена.
277
БАГДАСАРЯН АРМЕН ГЕОРГИЕВИЧ,
кандидат физмат наук, старший научный
сотрудник Института проблем управления
имени В.А. Трапезникова РАН
В.И. АРНОЛЬД-ЧЕЛОВЕК И УЧЁНЫЙ
3 июня этого года научный мир потерял выдающегося математика, человека и учено-
го, обладателя многих наград и медалей, члена ряда академий и научных обществ, академика
РАН В.И. Арнольда. Хотелось бы поделиться своими впечатлениями об этом удивительном
человеке.
Мне посчастливилось побывать на нескольких лекциях и докладах Арнольда. Харак-
терный эмоциональный фон, живость изложения и своеобразная атмосфера во время его
докладов, не дающие расслабиться и потерять нить его рассуждений, и речь, подкрепленная
лёгким юмором, оставили во мне неизгладимое впечатление. Особенно поразительна была
его способность удивительно ясно и чётко излагать свои мысли, идеи, результаты, а затем
перекладывать их на бумагу. Ясность, чёткость и прозрачность изложения делают каждую
его работу понятной даже неспециалисту. Все его произведения, будь то курсы лекций, кни-
ги или статьи, написаны живым и совершенным языком. Преданность математике и науке, в
целом, его отношение к коллегам и студентам - яркий пример для подражания. Его книги,
статьи, лекции всегда будут напоминать нам о совершенстве и гениальности этого человека
- Владимира Игоревича Арнольда - математика и педагога.
На юбилее И.М. Гельфанда в МГУ, 1983г.
278
ЗАКАЛЮКИН ВЛАДИМИР МИХАЙЛОВИЧ,
доктор физико-математических наук,
профессор МГУ
КАКОЙ УДИВИТЕЛЬНО ПРЕКРАСНЫЙ И ОГРОМНЫЙ МИР НОСИЛ ОН В СЕБЕ!
ВЕЛИКИЙ МИР ВЕЛИКОГО АРНОЛЬДА!
Последний раз я видел Владимира Игоревича накануне нового 2010 года. Послед-
ние годы мы встречались не часто: то он уедет куда-нибудь в Италию, Францию на несколь-
ко месяцев, то я.
Был последний в уходящем году семинар в отделе дифференциальных уравнений
Стекловского института. Когда семинар кончился, уже темнело; я по привычке заглянул на
следующий этаж в отдел топологии и постучал в дверь комнаты с именами Арнольда, Ва-
сильева, Казаряна на табличке. Застать никого я не надеялся, но оказалось, что Арнольд си-
дел за столом и разбирал почту.
Мы проговорили несколько часов, долго не включали свет.
Владимир Игоревич, как всегда, энергично и подробно рассказал все свои новости,
заботы и планы. Он казался немного грустным. Начал он со своих недавних результатов
по статистике распеределений множителей целых чисел. С благодарностью вспоминал сво-
их помощников, в частности, Франку Аикарди. Посетовал на новый математический фа-
культет Высшей Школы экономики, перетягивающий математиков из Независимого уни-
верситета и с Мехмата МГУ. Жаловался на своего издателя Филиппова, на все еще неза-
вершенные, из-за медлительности некоторых своих учеников, рукописи книг. Обсуждали
мы и некоторые задачи.
Эта, казалось бы, рядовая встреча, запомнилась мне надолго каким-то ясным и
спокойным чувством понимания и полного согласия с учителем.
Не отдавая себе отчёта, почему это так, я долго радовался этой встрече — и думал:
как хорошо заканчивается год.
Я не мог представить, что больше я не увижу Владимира Игоревича никогда.
А первый раз я увидел его осенью 1969 года на лекциях по обыкновенным диффе-
ренциальным уравнениям, которые он читал тогда для нас, студентов второго курса Мех-
мата. Лекции производили сильнейшее впечатление продуманностью каждой детали,
красотой исполнения. Приходилось следить за каждым замечанием, иногда напряженно
думать над поставленным для слушателей вопросом. Лекции увлекали. И сейчас, читая
такой же курс лекций для таких же второкурсников, я с сожалением понимаю, насколько
недостижим уровень Арнольда, как ни старайся. Я сразу стал ходить на оба его се-
минара — был маленький семинар для студентов, в основном, младших курсов и большой
семинар Арнольда по теории особенностей, на который ходили многие.
Весной я записался к Арнольду в ученики. Он брал не всех - давал задачи, которые
надо было решить за неделю. Потом я рассказывал решение — оказалось, что я не так понял
условие, упустил главное (сохранение симплектической формы при бильярдном преобразо-
вании).
Так получилось, что потом всю свою жизнь я занимаюсь близкими объектами.
А затем побежали годы и годы ...
Я счастлив, что был рядом с ним, слушал его яркие доклады, мог понять красоту его
новых открытий. Мог решать задачи, поставленные им. Для меня всегда Владимир Иго-
ревич был высшим судьей. Бывало, несколько месяцев думаешь о чем-то, пытаешься ра-
зобраться, решить. Потом приходишь на беседу к нему и если получаешь одобрение -- то
счастлив, а если не получаешь, то хотя бы понимаешь, куда дальше двигаться.
Всегда после беседы с ним у меня возникало ощущение, что узнал истину в по-
следней инстанции. По-видимому, оно сродни ощущению религиозного человека, по-
знавшего Сверхестественный опыт.
279
Личность Арнольда совершенно уникальна. Я не знал и не знаю никого, кто хотя
бы приблизительно мог сравниться с ним. Мало того, что Владимир Игоревич был гений,
наделенный сверхчеловеческими способностями, памятью, работоспособностью и увле-
ченностью, он был величайший педагог, которой, по-видимому, не повторится никогда. К
каждому семинару, который в лучшие годы насчитывал до 40 человек, почти каждому уча-
стнику были подготовлены материалы: то есть, либо комментарии, либо исправления к
текстам, либо новые задачи, подборка статей.
Сами семинары были уроками творчества. Идеи и даже доказательства рождались
прямо у доски, в аудитории. Каждое слово докладчика должно было быть понято. И оно
было понято, Арнольд и аудитория работали вместе. Атмосфера была накалена азартом,
он умел зажигать учеников своим примером гения. Многие лучшие тянулись за ним, учи-
лись, подражали, Это была уникальная школа — конечно, на нее уходило много сил, но
она приносила величайшее удовлетворение.
Теперь такого уже не увидишь.
Помимо нескольких десятков выдающихся книг и сотен статей и открытий, Ар-
нольд своим примером и постоянной заботой вырастил замечательную школу настоящих
математиков, рассеянных теперь по всем странам.
Позже я много раз оказывался рядом с ним, в разных ситуациях. Везде его гениаль-
ность и работоспособность поражали. Например, он вёл заседания редколлегии журнала,
обсуждая с пятнадцатью другими членами редколлегии сотни сложнейших работ на раз-
личные темы, и всегда понимал значение каждой, мог объяснить ее результаты.
Он обладал уникальной эрудицией — знал сотни направлений в математике, знал
сотни людей, их результаты, возможности.
Но самое потрясающее и неповторимое в нём — это его понимание и ощущение
единства мира во всём: в математике он любил искать разные проявления универсальных
законов; в физике, в природе, истории, в человеческой психологии он ценил простоту, ес-
тественность. Он мог объяснить почти всё и многое предвосхитить. Он любил геометрию --
как видимую красоту. Ничего искусственного, бессмысленного. Это видели все, стал-
киваясь с ним в обычной жизни — на прогулке, в лыжном походе, катании на винд-серфере
на Истринском водохранилище.
Какой удивительно прекрасный и огромный мир носил он в себе, гораздо лучше все-
го того, что окружает нас... Где он теперь? Отблеск этого мира был виден в его глазах.
Мне кажется, он очень хотел отдать нам этот Великий мир Великого Арнольда.
Особенно это стало заметно после тяжелого несчастного случая в 2000 году, когда он ос-
тался жить благодаря заботе и любви самого близкого ему человека Элеоноры Александ-
ровны.
Ему нужны были слушатели, аудитория, у него было так много важного сказать.
Нам так его не хватает.
280
АНДРЕЙ КУРГАНОВ,
студент 2 курса Мехмата МГУ
МНЕ ПОВЕЗЛО - Я БЫЛ ЗНАКОМ С ВЛАДИМИРОМ ИГОРЕВИЧЕМ
24 октября 2008 г.
Я сидел в гримёрке Московского городского Дома учителя и ждал начала концерта, в
котором мне предстояло принять участие. От нечего делать наблюдал за тем, что происходит
за окном (с улицы оно находилось почти у самой земли). Мимо окон по дороге шли вплот-
ную одна за другой множество машин. Вдруг прямо передо мной за окном появился человек
в распахнутой куртке и без головного убора. Он на секунду остановился, и я узнал в нём
Владимира Игоревича Арнольда. Раньше я никогда не видел его вживую - только на фото-
графиях, видеозаписях и по телевизору. Через минуту меня уже знакомили с ним, вот так
просто - с выдающимся математиком, о котором очень много слышал, читал его задачки в
брошюре.
Шёл концерт почти два часа, и приятно было, что в зале среди слушателей был такой
великий человек, учёный, академик, и много было его однокурсников, которые поздравляли
Владимира Игоревича с недавним присуждением ему Государственной премии, зачитали
специальный адрес и подарили большую корзину для сбора грибов. После концерта его ок-
ружили бывшие однокурсники, пошли на банкет.
И так получилось, что на банкете я (в то время ещё школьник) сидел рядом с Влади-
миром Игоревичем. Он очень много говорил, говорил о математике, предлагал мне замысло-
ватые задачки, сейчас уже не очень хорошо помню, да и тяжеловато было все запомнить -
шел уж очень большой поток информации, но на пару задач (одна из них про червяка, про-
грызшего книжку) я дал ответ сразу, т.к. читал их в книжке В.И. Арнольда.
Почему-то тогда мне показалось, что я разговариваю с Владимиром Игоревичем в
последний раз. К сожалению, так и вышло. Почти. Еще один раз мне всё же представилась
возможность его повидать на собрании Московского Математического общества. Мне было
поручено передать ему фотографии. Владимир Игоревич опаздывал, и я лишь успел с ним
перекинуться несколькими словами, попросил разрешения посидеть и послушать его.
Сначала выступал Сабир Меджидович Гусейн-Заде (секретарь ММО и наш лектор по
аналитической геометрии в первом семестре), и после его выступления делал доклад
В.И. Арнольд. Я сидел и слушал, многое было непонятно, но несмотря на это, почему-то
слушал с интересом. Так Владимир Игоревич мог привлечь слушать себя, даже если было
непонятно то, о чём он говорил.
281
Когда я только с ним познакомился, еще не особо понимал, с кем я общаюсь. Сейчас я
учусь на Мехмате и пока тоже не в состоянии понять работы Арнольда. Однако если он ещё
третьекурсником решил одну из проблем Гильберта, а потом сделал много открытий в ма-
тематике и других науках, его часто цитируют (в том числе у нас преподаватели), это о мно-
гом говорит.
Сейчас мы изучаем предмет «Обыкновенные дифференциальные уравнения» по учеб-
нику В.И. Арнольда. Мне очень дорого, что я имею этот учебник, подаренный самим авто-
ром с его дарственной надписью к моему дню рождения, и ещё несколько его книг.
Мне очень повезло, что я был знаком с Владимиром Игоревичем.
Наука математика
и искусство мигематмкор
R, И, Арнольд
1
Российской Федерации 2lX>7 fuau
в Mot ыэ&ско)» государственж>м университете
Б Лпмпнпсоаа
Москнл. 2% <нюпя 2QISS т.
’*•* М- v ад •. С
4 *•" ** Ив<"р -*ч , V»'-*•«
rtf
(W v fc.JU* yi h it .. ъ -Vrx
A'.t’,' *Г.- •ЧадЛ.МмЛ Л*1 • *В*^-*Э
U-U--•*
™,.. у.. >« ( i
ft. jii триты;
Обыкновенные
дафференшты1ьье
уравнения
282
ГУБАРЕВ ВЛАДИМИР СТЕПАНОВИЧ,
научный журналист
ПУТЕШЕСТВИЕ В ХАОСЕ
Владимир Арнольд. Мы встречались редко. Но однажды наша беседа случалась
обстоятельной, необычайно важной не только для нас, но и для всех, кто прикоснулся к
тому, о чем шла беседа с академиком В.И. Арнольдом. Чаще всего подобные встречи
стираются временем, но этого не произошло на этот раз...
Таким и запомнился мне навсегда Владимир Игоревич...
Мне иногда чудилось, что мы перенеслись в Древнюю Грецию или даже “глубже” - в
Египет, в те времена, о которых известно мало, а оттого они кажутся сказочными. Однако
Владимир Игоревич чувствовал себя там вольно, привычно и даже чуть-чуть обыденно. Он
произносил то или иное имя, и создавалось впечатление, что этот египтянин или грек побы-
вал у него на семинаре. Оставалось выяснить только, где это было - в Москве или Париже,
потому что семинары академика Арнольда проходят в обоих городах, и их участники пере-
летают из одной столицы в другую столь же естественно, как мы переходим улицу.
И еще. Наша беседа походила на путешествие в Хаосе. Сначала мы оказывались в од-
ной точке, потом в другой, третьей, и казалось - между ними не существует связи, но чуть
позже выяснялось, что именно математика ( и математик!) прокладывает между этими точ-
ками почти невидимые нити, и именно они служат той основой, на которой держится совре-
менная наука.
Впрочем, не исключено, что характер разговора задал я сам, когда напомнил, что вся
история Российской Академии наук есть ничто иное, как история математики, потому имен-
но она всегда была в Академии в почете, а имена ее выдающихся представителей яркими
звездами сияют на небосводе мировой науки. Перечислять имена не решусь, боясь какие-то
из них опустить, но прошу верить на слово - так оно и есть!
Академик Арнольд сразу же вернул меня к действительности. Он сказал:
- Попробуем разобраться с тем, что происходит сегодня в образовании. Мне кажется,
что это главная тема, которая должна нас беспокоить.
- Согласен.
- С математическим образованием в мире дела обстоят очень плохо. В России - чуть
получше, но все равно плохо!.. Я начну с высказывания, прозвучавшего на одном из заседа-
ний в Париже, где выступал Министр науки, образования и технологий Франции. То, что он
говорил, относится к Франции, но это столь же актуально для США, Англии и России. Про-
сто во Франции катастрофа наступила чуть раньше, в других странах она еще впереди.
Школьное образование начало гибнуть в результате тех реформ, которые проводятся интен-
сивно во второй половине XX века. И что особенно печально, что некоторые выдающиеся
математики, к примеру, мной уважаемый академик Колмогоров, имеют к ним отношение...
Министр Франции отметил, что из школьного образования математика постепенно вытесня-
ется. Аналогичный процесс наблюдается и у нас, где математика ликвидируется во имя того,
чтобы заменить ее более “важными” науками - такими, как коневодство, вышивание и баль-
ные танцы.
- Мы отвлеклись от министра...
- Я понимаю, что такое неприятно слышать, но тем не менее... Французский министр
не математик, а геофизик. Итак, он рассказал о своем эксперименте. Он спросил школьника:
“Сколько будет два плюс три?” И этот школьник, умный мальчик, отличник не ответил, так
как он не умел считать... У него был компьютер, и преподаватель в школе научил им пользо-
ваться, но суммировать “два плюс три” он не мог. Правда, это был способный мальчик и он
ответил: “ Два плюс три будет столько же, сколько три плюс два, потому что сложение ком-
283
мутативно...” Министр был потрясен ответом и предложил убрать из всех школ преподава-
телей - математиков, которые так учат детей.
Из выступления в Ватикане: Особенно опасна тенденция изгнания всех доказа-
тельств из школьного обучения. Роль доказательств в математике подобна роли орфо-
графии и даже каллиграфии в поэзии. Тот, кто не научился искусству доказательства в
школе, не способен отличить правильное рассуждение от неправильного. Такими
людьми могут легко манипулировать безответственные политики. Результатом могут
стать массовый психоз и социальные потрясения.
Л. Толстой писал, что сила правительства основана на невежестве народа, что
правительство знает об этом и потому будет всегда бороться против просвещения.
-Ив чем вы видите основную причину случившегося?
- Процветает пустая болтовня, и она заменяет подлинную науку. Я могу продемонст-
рировать это еще одним примером. Несколько лет назад в Америке шли так называемые
“Калифорнийские войны”. Штат Калифорния вдруг заявил, что школьники недостаточно
подготовлены, чтобы учиться в Университете. Ребятишки, приезжающие в Америку, к при-
меру, из Китая, оказывается, подготовлены гораздо лучше, чем американские. Причем не
только в математике, но и физике, химии, в других науках. Американцы превосходят своих
зарубежных коллег во всевозможных “сопутствующих” предметах - тех, которые я называю
“кулинариях” и “вязании”, а в “настоящих науках” сильно отстают. Таким образом, при по-
ступлении в Университет американцы не выдерживают конкуренции с китайцами, корейца-
ми, японцами.
- Понятно, что такое наблюдение вызвало шок в американском обществе, так как в
нем не принято отводить соотечественникам “вторые места ”?!
- Американцы тут же создали комиссию, которая определила круг проблем, вопросов
и задач, который должен старшеклассник знать и уметь решать при поступлении в универси-
тет. Комитет по математике возглавил Нобелевский лауреат Гленн Сиборг. Он должен уметь
111 делить на три!
- Вы шутите?
- Отнюдь! К 17 годам школьник должен эту арифметическую операцию делать без
компьютера. Оказывается, сейчас они этого не умеют... 80 процентов современных учителей
математики в Америке понятия не имеют о дробях. Они не могут сложить половину с тре-
тью. Среди учеников эта цифра уже составляет 95 процентов!
- Звучит анекдотично!
- Я надеюсь, что у наших школьников еще сохраняется какое-то представление о
дробях, и могут подсчитать сумму половины с одной третью...Теперь о физике. Я сам читал
требования к Федеральной программе. Там, в частности, говорится о том, что школьник
должен знать о двух фазовых состояниях воды, которая в холодильнике превращается из од-
ного в другое. Гленн Сиборг потребовал, чтобы было введено в программу три фазовых со-
стояния - еще и водяной пар. Однако конгресс и сенаторы запротестовали, прошли бурные
дебаты, и штат Калифорния был осужден и осмеян, что он посмел усомниться в качестве об-
разования американцев. Один из сенаторов ( фамилию его забыл) в своем выступлении ска-
зал, что он набрал 41, 3 процентов голосов избирателей, и это свидетельствует о доверии к
нему народа, а потому он всегда боролся в образовании только за то, что он понимает. Если
же нет, то и учить такому не следует... Аналогичными были и другие выступления. Причем
инициативе Калифорнии старались придать и “расовую” и “политическую” окраски. Два го-
да продолжалась битва. И все-таки победил штат Калифорния, так как очень дотошный ад-
вокат нашел в истории США прецедент, при котором Закон штата становился в случае кон-
фликта выше Федерального. Таким образом, образование в США временно все-таки победи-
ло...
- А вы не преувеличиваете? Значит, теперь там научатся делить 111 на тройку?
284
- Ирония ваша понятна, но она не существенна... Я попытался докопаться до сути
проблемы, а потому следовало выяснить: почему в Америке подобное смогло случиться?
Оказывается, источник - это Томас Джефферсон.
- Второй президент США ?
- Он - голубчик! Отец-основатель Америки, творец конституции, идеолог независи-
мости и так далее. В своих письмах из Вирджинии у него есть такой пассаж: “Я точно знаю,
что ни один негр никогда не сможет понять Евклида и разобраться в его геометрии.” Поэто-
му американцы вынуждены отвергать Евклида, математику и геометрию. И все это заменя-
ется на знание того, на какую кнопку надо нажимать... Размышления, мыслительный процесс
заменяется механическим действием, и это выдается за борьбу с расизмом!
- Это слишком болезненная проблема для Америки, и то, что они “перестраховыва-
ются ”, понять можно... А может быть, им проще купить тех, что знает дроби, чем самим
этому учиться ?!
- Они и покупают! Американские ученые в основном эмигранты из Европы, а аспи-
ранты сегодня - это китайцы и японцы.
- Но тем не менее успехи американской науки вы не можете отрицать?
- Я не делаю сейчас обзор о состоянии науки в США или американского “образа
жизни”. Я говорю о состоянии преподавания математики в школах США, и здесь ситуация
плачевная. Я обсуждал эту проблему с выдающимися математиками Америки, многие из
них мои друзья, достижениями их я горжусь, но тем не менее я задавал им такой вопрос:
“Как вам удалось при столь низком школьном образовании достичь столь высокого уровня в
науке?” И один из них мне ответил так: “Дело в том, что я рано научился “двойному мышле-
нию”, то есть у меня было одно понимание предмета для себя, а другое - для начальства в
школе. Мой учитель требовал, чтобы я ему отвечал, что дважды три - восемь, но сам-то я
знал, что это шесть... Я твердо знал, что надо отвечать на уроках и что есть на самом деле...
Я много занимался в библиотеках, благо, есть прекрасные книги”.
- Неплохо, когда школьное образование подталкивает к книге!
- Я приведу еще один пример, которые показывает всю подноготную американского
образования. Хаксли Уиттли, один из великих ученых США, рассказал мне историю о том,
как он стал математиком. Незадолго до его смерти мы с ним встречались в Принстоне. Ис-
тория его такова. Он учился в Йельском университете... играть на скрипке! После второго
курса он был послан в Европу, чтобы усовершенствовать свое мастерство. Кажется, он по-
пал в Вену. Там ему сказали, что кроме основного предмета, нужно в конце года сдать еще
один - “чужой”, мол, такое уж правило у нас. Он спросил у своих товарищей: “Какая сейчас
самая модная наука, я хочу ею заняться?” Ему ответили, что это квантовая механика. Он
пришел на лекцию, но ни слова не понял. После лекции он подошел к профессору и сказал
ему, что с его лекцией что-то не все в порядке, так как он - лучший студент Иеля - ничего не
понял. Профессор тут же заметил, что Уиттли, наверное, прекрасный скрипач, но математи-
ческий анализ и линейную алгебру знает слабовато. И профессор ( а это был сам Паули) ре-
комендовал ему два учебника. Через две недели Уиттли уже начал разбираться в лекциях
профессора, а в конце семестра понял, что квантовая механика гораздо лучше скрипки, и он
стал математиком.
Из выступления в Ватикане: Недавно возник новый вид работорговли. Мои друзья
- биологи, химики, физики - рассказывали мне, что американские и европейские уни-
верситеты приглашают российских исследователей, платят им гроши ( превосходящие,
однако, российские профессорские зарплаты). Эти русские рабы трудятся изо всех сил,
но публикации подписывают не они, а сотрудники приглашающей лаборатории. Тех-
нология присвоения результатов российских математиков иная, но итог такой же: эти
результаты по большей части приписываются западным эпигонам.
Нынешняя позорная дискриминация российских ( а равно индийских, китайских и
т.д.) ученых западным научным сообществом наносит мировой науке очевидный
ущерб. До падения коммунизма нас не пускали за границу коммунисты. Теперь дверь
285
закрыта с другой стороны системой бесполезных “виз”, без которых обходились в XIX
столетии, а сейчас их не требуют от американцев и других “истинно белых”.
- Как вы стали математиком?
- Учился в Москве, в нормальной школе на Арбате. Их нее вышло несколько извест-
ных людей. Один из них был ректором МАИ, потом Послом во Франции. В нашем классе -
два академика...
- И это “нормальная “школа?!
- Ничего особенного в ней не было - таких школ миллион!.. Поступил на мехмат
МГУ. Впрочем, интерес к математике появился рано. Помню на уроке учитель дал задачку,
я над ней долго думал, но решил только на следующий день. Оказалось, что смог это сделать
только я один. Это было в пятом классе. Задача, казалось бы, очень простая. Из города А в
город Б и из города Б в город А на рассвете одновременно вышли две старушки. В 12 часов
они встретились. Потом продолжили свой путь. Одна пришла в конечный пункт в 4 часа, в
другая - в 9. Вопрос: в каком часу был восход в этот день?.. Прекрасная задача, замечатель-
ная! На меня она произвела сильнейшее впечатление. Позже я делал разные математические
открытия, но удовольствие получал точно такое же, как тогда в пятом классе, когда я нашел
решение задачки со старушками...
- Характер творчества не меняется?
- Открытие есть открытие!
- А решение задачки не подскажете?
- Есть такая идея, которая принадлежит Леонардо да Винчи. В его Атлантическом кодек-
се есть такие тексты, относящиеся к тому, что теперь называются “теорией турбулентности”.
Там у него есть соображения подобия. Он, например, обсуждает вопрос: почему кит больше
слона? И далее идут сравнения... В общем, это надо читать Леонардо, чтобы понимать суть
проблемы... Из его соображений легко видеть, что отрезки пути, которые прошли старушки
до встречи, пропорциональны их скоростям. А после этой встречи обратно пропорциональ-
ны, потому что той старушке, которая идет медленней, надо пройти больший кусок. Поэтому
времена, которые им потребуются, пропорциональны квадратам скоростей. Но времена по-
сле встречи “4” и “9 часов”, и теперь уже легко найти ответ.
- Дадимлишь конечную цифру, хорошо?
- Восход был в шесть часов.
- Значит, этот “восход ” и завлек вас в математику?
- Хорошие учителя были в школе, увлеченные и прекрасно подготовленные. Потом
был математический кружок, олимпиады. На них читали лекции профессора. Еще до поступ-
ления в МГУ я уже знал, кто был хорошим ученым и плохим преподавателем, а кто умело
сочетал и то и другое.
Из выступления в Ватикане: Расцвет математики в уходящем столетии сменяет-
ся тенденцией подавления науки и научного образования обществом и правительства-
ми большинства стран мира. Ситуация сходна с историей эллинистической культуры,
разрушенной римлянами, которых интересовал лишь конечный результат, полезный
для военного дела, мореплавания и архитектуры. Американизация общества в боль-
шинстве стран, которую мы наблюдаем, может привести к такому же уничтожению
науки и культуры современного человечества.
Математика сейчас, как и два тысячелетия назад, - первый кандидат на уничто-
жение. Компьютерная революция позволяет заменить образованных рабов невежест-
венными. Правительства всех стран начали исключать математические науки из про-
грамм средней школы.
- Что вы делали в Ватикане и как туда попали?
- В Ватикане есть Папская Академия наук. Меня в нее пригласили... Я состою членом
трех американских академий, французской и некоторых других, однако согласиться еще
быть и членом Папской академии не мог.
286
- Это почему же?
- И они мне задали тот же вопрос. Я сказал, что Галилея они реабилитировали, и это я
одобряю. Джордано Бруно сожгли, но до сих пор не реабилитировали, а он относится к тем
ученым, которых я уважаю... Но, тем не менее, они пригласили принять участие в конферен-
ции. Один доклад делал Папа Римский, я - другой, были, конечно же, еще несколько десят-
ков докладов. Это происходило в саду Ватикана, было очень красиво. Мы обсуждали с Па-
пой Римским ряд проблем, в том числе поговорили и о Джордано Бруно. Мне кажется, Папа
Римский - самый прогрессивный человек в Ватикане. Он читал лекцию о том, как наука и
религия не ссорятся, и это было весьма любопытно. Идея его выступления была такая. Наука
и религия очень заинтересованы в открытии истины. Наука располагает для этого экспери-
ментальной техникой. Религия же пользуется весьма необычной технологией поиска истины,
а потому она не должна оспаривать те открытия, которые делает наука. У ученых больше
средств, больше контроля, а потому пусть они находят истину, а религия будет с ними со-
глашаться. Это первое. Теперь - второе. Ученые сами не могут использовать свои открытия,
в этом они совершенно беспомощны. Они бросают атомные бомбы, придумывают звездные
войны и так далее. Напротив, религия может более правильно и точно подсказать людям, как
они должны использовать знания, полученные наукой... Конечно, Папа Римский говорил об
этой идее долго, приводил множество примеров, доказывал, что между наукой и религией не
должны возникать противоречия.
- Он не покаялся, что был сожжен Джордано Бруно?
- Он не мог этого сделать, так как в этом случае он начнет разрушать основы католи-
цизма....
- Что вы имеете в виду?
- Почему Ватикан реабилитировал Галилея? Дело в том, что его взгляды сейчас призна-
ются церковью. У нас неточно излагают причины, почему преследовался Галилей. Фраза “И
все-таки она вертится!” - это, по-моему, выдумка средневекового журналиста. Признаю,
придумано неплохо... Однако Галилей утверждал, что теория Коперника не противоречит
Священному писанию. И в конце концов, Ватикан с этим согласился. Именно поэтому все
обвинения с Галилея были сняты. Кстати, о теории Коперника...
- Вы увлекаетесь историей?
- Точнее - историей науки. Мне интересно это... Итак, откуда взялась теория Копер-
ника? Оказывается, за две тысячи лет до его рождения она была хорошо известна. Египет-
ские жрецы, которые в своих пирамидах создавали всевозможные забавные устройства, пре-
красно знали всю эту теорию - и в каком порядке идут планеты, и то, что они вращаются во-
круг Солнца. В 700 году до новой эры был сделан планетарий в Риме в храме Весты. В цен-
тре стоял огонь, символизирующий солнце, а жрецы вокруг переносили планеты. На самом
деле и теория Ньютона была им известна, и это признавал сам ученый. В его неопублико-
ванных теологических и алхимических работах есть упоминание о том, что ему принадлежит
восстановление египетских доказательств происхождения миров. У них была книга, где все
было записано, но она погибла во время пожара Александрийского музея. Пришла демокра-
тия, и народ сжег многие тысячи томов научных книг, не понимая, что тем самым уничтожил
знания древних.
- И потом пришлось все “переоткрывать ”?
- Египетская наука была очень мощной. Там появились цифры, алфавит, геометрия,
астрономия... Скажу, к примеру, что египтяне умели определять радиус земного шара, и
ошибка составляла менее одного процента! Вся греческая наука - Евклид, Пифагор и другие
- это лишь “слепок” науки Египта. Пифагор более десяти лет провел в Египте, и всему там
научился. В Египте жрецы всю науку секретили, это было связано с пирамидами, с теологи-
ей. Пифагор не был связан никакими обязательствами, а потому, вернувшись в Грецию, от-
крытия египтян сделал гласными в своей школе. А его ученики эти открытия приписали
ему... Далее - музыка. Гаммы, созвучия, октава, - все это было перенесено в Грецию Орфеем
из Египта...
287
- И все-таки вернемся к Джордано Бруно?
- Пока я рассказывал о Галилее, о том, что имеет отношение к его реабилитации Ва-
тиканом. Итак, наука подтвердила его выводы, а следовательно, и религия вынуждена была с
этим согласиться. К сожалению, современная наука до сих пор утверждает, что то, что сказал
Джордано Бруно, пока гипотеза. Если бы наука подтвердила его теорию, то Ватикан оправ-
дал бы его. По крайней мере, меня так заверили в Папской Академии наук.
- В чем же суть его теории?
- Как известно, Бруно был монахом, священником. Даже после того, как его отлучили
от церкви, он настаивал на своей теории, хотя обоснований у него не было. Это была теория
множественности обитаемых миров. С него началась “эпоха инопланетян”, именно он ут-
верждал, что они обязательно должны быть. А следовательно, они могут прилетать на Зем-
лю. Он не отрекся от своих взглядов, и заплатил за них жизнью. И тем самым вошел в исто-
рию не только науки, но и всей цивилизации.
- Вам в нынешней работе помогают экскурсы в историю?
- Мне помогают... Но есть среди нас математики, которые по поводу тех или иных ис-
торических событий делают такие вздорные заявления, что о них и говорить-то стыдно!
Один математик - академик опубликовал теорию, по которой Куликовская битва случилась
где-то в районе Москвы. Это очень модно применять математические методы в истории, но
чаще всего это заканчивается печально... Нельзя к этому относиться с юмором, так как это
крайне опасный вздор! У нас в Академии наук есть комиссия, которая занимается антинау-
кой, и ей приходится разоблачать подобные “исследования”. К сожалению, лженаука подчас
приносит деньги, и она уже превращается в финансовое предприятие.
Из выступления в Ватикане: Учитывая взрывной характер всевозможных псев-
донаук ( вроде астрологии) во многих странах, в грядущем столетии вполне вероятно
наступление новой эры обскурантизма, подобной средневековой. Нынешний расцвет
науки может смениться необратимым спадом, подобным тому, который произошел с
живописью в период после итальянского Возрождения.
- Чем вы объясняете, что в последнее десятилетие лженаука пошла в тотальное на-
ступление на общество?
- Примерно в 1500 году при Иване 111 был такой епископ Геннадий. В то время уже
устанавливались контакты с Западной Европой, а потому пошло в Россию много ереси. И
Геннадий написал Московскому митрополиту письмо, в котором он сетовал на молодежь, и в
нем были такие строчки: “Иной и учится, но неусердно, и потому живет долго”.
- Значит, неучи живут долго, и потому процветает современная ересь?
- Когда все разрешено, то на свет появляется и хорошее и плохое. Я против этого не
выступаю - пусть плохое будет видно.
- Но если это касается математики, то вы протестуете, не так ли?
- У нас есть много учебников по математике, и некоторые из них хорошие. На мой
взгляд, надо возвратить Киселева...
- Мы все учились по нему!
- К сожалению, сейчас наука заменяется подчас философской болтовней, и делают это
те люди, которые ничего другого не умеют. Но они на виду, к их мнению прислушиваются, и
это наносит непоправимый вред как науке в целом, так и математике в частности. Но тем не
менее у нас еще не все потеряно, у нас пока лучше, чем в той же Франции... Приведу еще
один пример. Получил я недавно письмо от одного математика. Он пишет, что один профес-
сор из Бостона прислал ему рекомендацию на аспиранта. Дается очень лестная характери-
стика на этого молодого человека. В ней говорится, что он лучше всех остальных аспирантов
в Бостоне, а это потому, что учился он в Москве! У нас есть у кого учиться и кого учить. И
это очень важно сохранить. Это верно, что молодые ученые стараются побыстрее уехать из
России, чтобы на Западе лучше жить и лучше кормить своих детей. Нужно, конечно же,
больше платить здесь, и тогда уезжать не будут. Однако до сих пор математическая культу-
288
ра в России очень высокая. Причем это настоящая культура, которая во Франции и Америке
заменена абстрактным вздором...
- На вас там не обижаются, когда вы им говорите такое?
- Они вынуждены слушать, так как это правда... И что печально, их заблуждения дос-
таточно глубоки, они уходят далеко в прошлое. Это еще одна из причин того, что мне при-
ходится заниматься историей. Она помогает мне находить убедительные доказательства соб-
ственной правоты.
- Эта аксиома требует примеров.
- Извольте... По сути дела вся французская наука началась с Декарта. Он в ее основе. И
он же - причина ее гибели. Декарт провозгласил ряд принципов, которым и сегодня следуют
ученые Франции. Первый принцип: “Не имеет никакого значения соответствие исходных
положений науки с какой-либо реальностью”. Это произвольное высказывание, которое пу-
тем всевозможных преобразований превращается в новой высказывание. Вот и все! Когда
Ньютон это прочитал, у него волосы встали дыбом. Он вскипел, сказал, что это губит всю
физику... Второй принцип Декарта: “Столь же мало смысла имеет сравнивать с эксперимен-
том выводы наших теорий”. Значит, никакого реального значения наши исследования не
имеют... Третий принцип: “Чтобы математика стала наукой, надо прежде всего изгнать из
нее чертежи”. Расшифровка этого принципа показывает, что надо избегать эксперимента и
выключить из исследования воображение... Четвертый принцип: “Надлежит немедленно и
навсегда исключить все методы обучения. Только мой метод является основательным, серь-
езным, научным, разрешенным. Преимущества моего метода'состоят в том, что это единст-
венный демократический метод. С его помощью любая посредственность получит такие же
результаты, как и самый умный ученик.” У Декарта было всего около двадцати принципов, я
привел только четыре...
- Но его высказывания имеют чисто историческое значение?
- К сожалению, нет. Сегодня у Декарта множество последователей. Причем весьма
воинственных. И если мы говорим о невежестве, о лженауке, то должны учитывать, что они
развивались параллельно с наукой, а потому так легко носители антинауки находят “под-
держку” в прошлом - в их работах вы найдете множество ссылок на разные авторитеты, в
том числе и на тех великих ученых, на которых я ссылался. Это не должно обманывать! Осо-
бенно активно ведется сегодня атака на математику. Это естественно, так как она лежит в
основе современной науки.
- Ине только. В бизнесе очень много математиков, у вас есть этому объяснение?
- Математика подобно гимнастике вырабатывает умственную способность, что необ-
ходимо и олигархам. Есть определенная корреляция между математиками и бизнесом, но, на
мой взгляд, не она решает - есть люди, у которых особый талант в зарабатывании денег. Но
не нужно путать это с математикой в экономике. Был у нас знаменитый академик Леонид
Витальевич Канторович, который стал Нобелевским лауреатом по экономике, хотя и был ве-
ликим математиком. Его теория была признана на Западе, и лишь потом пришла к нам.
- Вам никогда не хотелось заняться экономикой и бизнесом?
- Мне это резко противопоказано.
- Почему?
- Не очень это чистое дело. В нашей стране (да и не только у нас!) заниматься бизнесом
- значит, быть вором.
Из выступления в Ватикане: Затраты маркизы де Помпадур на науку и культуру
составляли около полутора процентов ее затрат на наряды и косметику, и этого хвати-
ло для того, чтобы создать век Просвещения, Энциклопедию и т.п. В России нет марки-
зы де Помпадур и угроза наступления века невежества кажется совершенно реальной.
- Есть ли у вас работа, которой вы гордитесь?
- Нелегко отвечать на такой вопрос... Работ у меня около пятисот. Из них порядка ста,
которыми я горжусь. Так что выделить одну трудно, пожалуй, даже невозможно...
289
- Говорят, что XXI век - это век вычислительных машин. Зачем же тогда нужны
математики?
- ЭВМ - вещь замечательная, но они абсолютно беспомощны!
- Чем объяснить, что во второй половине XX века в СССР появилось много хороших
математиков, и это, на мой взгляд, позволило решить и атомную проблему, и выход в кос-
мос?
- Я размышлял об этом... Наверное, из-за того, что произошел “разрыв поколений”.
Что я имею в виду? Многие ученые и преподаватели после революции уехали из страны,
других просто расстреляли. Поэтому преподавать стали очень молодые люди. Они быстро
впитывали знания, стремительно развивались. Старшее поколение не тормозило их, а это
очень важно.
- Значит, молодежи нельзя мешать!? Как вам это удается?
- Я приведу пример моего спора с Маниным. Он еще жил тогда в Москве. Мне нужна
была консультация по теории чисел, и я позвонил ему, мол, Юра мне нужны такие-то дан-
ные... Вдруг он мне отвечает, что уже три месяца, как бросил теорию чисел и занимается ло-
гикой, а потому ничего существенного мне сказать не может. Тогда я попросил назвать кого-
то из его учеников или аспирантов, который ввел бы меня в курс дела. Юра мне ответил:
“Какой же ты наивный! Если я три месяца назад бросил теорию чисел, то разве кто-то из мо-
их аспирантов может теперь ею интересоваться!?” Да, я - наивный, но и остаюсь таким же,
потому что суть научной школы как раз в ином!.. Только что вышла книга моих аспирантов.
Она называется “Задачи Арнольда”. В ней около тысячи моих задач, которые за сорок лет я
сформулировал для своего семинара. Среди них половина еще до сих пор не решены, а по
тем, которые удалось решить, даны аннотации - где и какие работы опубликованы у нас и за
границей. Мне приятно, что в названии книги есть моя фамилия, но на самом деле исследо;-
вания ведут мои ученики.
- Как рождаются “задачи Арнольда ”?
- У меня два семинара. Один в Москве, другой в Париже. Семинар для студентов. Но
в них участвуют и аспиранты, и профессора. Обычно человек тридцать. Семинар существует
сорок лет. Он идет непрерывно - приходят молодые, а совсем старые уходят... Я прихожу на
заседание и формулирую десяток - другой задач. Это нерешенные проблемы, которые хотел
бы решить. Потом на следующих занятиях участники семинара рассказывают о том, что они
придумали. Размышления чаще всего записываются... Иногда проходят годы, прежде чем
кто-то даст решение... К примеру, на днях на заседании Московского математического обще-
ства я рассказывал о решении одной из таких задач, которое было получено двумя моими
учениками. Они были студентами, когда узнали об этой задаче, а решили ее, уже став аспи-
рантами. Задача была сформулирована восемь лет назад.
- Труднее придумать задачу или ее решить?
- Конечно, придумать! Есть 21 задача Гильберта, а даже работал над двумя - 13-й и
16-й... Есть теорема Ферма, над которой математики долго бились и даже признавали, что
она нерешаема, но тем не менее недавно эта проблема была решена... По поводу этих задач
есть высказывания крупнейшего математика XIX и XX века Пуанкаре: “ Эти задачи выде-
ляются из всех проблем, которые есть у нас в математике, тем, что их можно решить по
принципу “да” или “нет”. Но самые интересные проблемы, к решению которых нужно идти
постепенно - каждое решение становится частным по отношению к следующему...” Так что
“придумать задачу” - это очень сложно... И вообще, совсем непросто определить “хорошая”
задача или “плохая”...Один из величайших математиков XX века Миша Громов, который
долго был ленинградским математиком, а теперь парижский, в одной из своих книг сформу-
лировал так: “Есть только один способ узнать хороша проблема или нет - ее просто надо ре-
шить!”
- Так что в математике вопросы живут дольше?
- Из моих задач есть и такие, которые я сформулировал еще в студенческие годы, и
они до сих пор не решены.
290
- Например?
- Недавно в научном американском журнале я видел статью, где воспроизводится по-
пытка решить одну “задачу из фольклора” ( там так и написано!) На самом деле это моя за-
дача, сформулированная 50 лет назад, когда я был студентом на первом или втором курсе...
У нас имеется лист бумаги, мы его складываем - получается какой-то многоугольник. Скла-
дываем еще. Периметр нового многоугольника, получившегося после нескольких складыва-
ний, будет больше, чем периметр исходных. Да или нет?.. Решения пока нет.
- Вы довольны, что не удается решить эту проблему?
- Не знаю... Я бываю доволен, когда что-то удается понять.
- Иногда говорят, что математика - это искусство!?
- Абсолютно не согласен! Математика - это наука. Она была ею всегда, есть и будет!
Так же , как я считаю, что нет “теоретической” науки и “прикладной”. Я полностью согласен
с великим Пастером, который сказал: “Прикладных наук никогда не было, нет и не будет,
потому что есть наука и есть ее приложения.”
- Вы больше времени проводите в Париже или в Москве?
- Есть правило: по-моему, на один день больше я должен быть здесь.
- Вы не чувствуете себя эмигрантом?
- Вовсе нет! Кроме всего прочего, мои парижские студенты приезжают в Москву, а
московские - в Париж.
- За чей счет?
- За счет Франции, которая финансирует этот проект. •
- Вы считаете такую ситуацию нормальной?
- Для мировой науки такого рода отношения являются стандартными. Мои француз-
ские коллеги ведут аналогичную жизнь, половину своего времени они проводят в Германии,
Америке, Англии. Во всем мире всегда так было. И в России до революции тоже. Да и после
революции некоторые крупные ученые долго работали за границей. Повторяю, для науки и
ученых - это нормальная жизнь, и иной она быть не может!
- Вернемся к школьному образованию. Если тенденция по выхолащиванию матема-
тики из учебного процесса у нас продолжится, чем это грозит России?
- Она превратится в Америку!
- Не говорите так, иначе у нас завтра математика в школе будет уничтожена пол-
ностью!
- Во Франции я читаю лекции студентам, такие же, как и московским. Принимаю там
экзамены. И во время письменного экзамена студент спрашивает меня: “Профессор, я нахо-
жусь в затруднении: скажите, четыре седьмых меньше или больше единицы?” Это студент
четвертого курса, математик. Он провел сложные вычисления, решил дифференциальное
уравнение, и получил верную цифру - четыре седьмых. Но дальнейшие расчеты шли двумя
путями, и это зависело от того, больше полученный результат единицы или меньше. Все,
чему я его учил, а это дифференциальные уравнения, интегралы и так далее, он понял, но я
его не учил дробям, и он этого не знает... Аналогичная ситуация грозит и нам. А это приве-
дет к тому, что не только атомоходы будут тонуть, но и все остальное, не только башня бу-
дет гореть, но и остальное тоже...
- И наконец, последнее - верно, что у математиков особый склад ума?
- Наверное... Но его можно воспитать практически у каждого человека. Только начи-
нать надо рано, именно поэтому нас, математиков, так беспокоит качество школьного обра-
зования. Математики в основном бывают двух типов - “левые” и “правые”. Сейчас это уста-
новлено с помощью достаточно тонких экспериментов, а психологи знают об этом уже доб-
рые сто лет.
- Я надеюсь, что деление на “левых” и “правых” не связано с политическими при-
страстиями?
- Два полушария мозга - левое и правое - анатомически различны и “заведуют” разны-
ми областями человеческой деятельности. Грубо говоря, одно полушарие скорее “ логиче-
291
ское и алгебраическое”, а второе - “геометрическое”. Левое полушарие отвечает за последо-
вательности, например, за умножение многозначных чисел, за логические длинные рассуж-
дения, а второе отвечает за “геометрию”, за то, чтобы не заблудиться в лесу и городе, оно
также заведует эмоциями. Очень часто любую задачу можно решать и алгебраически, и гео-
метрически. Одни люди решают так, другие иначе. Так вот: “гуманитарное мышление” чаще
всего бывает у тех людей, у которых развито “правое мышление”. Им свойственны эмоции,
образное восприятие действительности. Среди математиков есть и такие, которые совершен-
но неспособны к “правополушарному мышлению”, они умеют только умножать. Еще Марат,
прежде чем его убила Шарлота Корде, успел произнести оценку математике и сказал глу-
пейшую фразу: “Из всех математиков самые лучшие те, кто все время решает задачи, вычис-
ляя по заранее заданной формуле”. С современной точки зрения это делают только тупицы,
но тем не менее фраза Марата весьма популярна среди тех, которые совершенно не способен
к мышлению, но тем не менее старается навязать свое мнение обществу.
- Такое впечатление, что вы постоянно спорите с кем-то?
- Так и есть! Я стараюсь объяснить, что суть математики совсем в ином, чем это пы-
таются нам представить. Математика подобна деятельности детектива, который должен, за-
давая разные вопросы и обращая внимание на детали, путем нестандартных размышлений
придти к истине. Романы Агаты Кристи гораздо ближе к математике, чем умножение много-
значных чисел. Ну а рассказы Эдгара По тем более! Представления о математике у гумани-
тариев в большинстве случаев фальшивые, неправильные. А они, к сожалению, составляют
все программы обучения, поэтому я и стараюсь предотвратить катастрофу.
- Если бы не было математики, какую область науки вы выбрали бы для себя?
- Со мной происходят странные вещи. Есть такое понятие в науке - “ссылки на работы
автора”. К моему удивлению, выяснилось, что на меня очень многие исследователи ссыла-
ются, но не математики, а физики, астрономы, даже химики. Огромное количество моих ра-
бот “спровоцировано” исследованиями в физике, механике, гидродинамике, да и печатаюсь я
часто в журналах, относящихся к другим областям науки. У меня есть работы, которые ма-
тематики даже не понимают! Многие из них занимаются в очень узкой области и ничего кру-
гом не видят, и это печально.
- А как определить, что это хороший ученый или не очень?
- Нужно обратиться к опыту Леонардо да Винчи. Он писал, правда, о художниках, но
это в равной мере относится и к науке. У него двадцать учеников, и ему надо определить, кто
из них станет хорошим художником, кто талантлив, на кого стоит тратить время... Леонардо
говорил: начинаешь их учить и замечаешь, что одному удается натюрморт, у другого - пей-
заж, третьему хорошо дается перспектива и так далее. А вот шестой уступает в натюрморте
первому, в пейзажах второму, в перспективе третьему... У него нет склонности к специали-
зации, но зато он всем интересуется. Вот он-то и будет настоящим художником, заключает
Леонардо. Сам Леонардо интересовался многим. Следующая глава после размышлений о
художниках посвящена... диверсантам-аквалангистам! И он подробно описывает, как надо к
вражескому кораблю подплыть, продырявить его и ввести туда отравляющие вещества, но
самому при этом не отравиться... А если враг тебя обнаружит, пишет Леонардо, то нужно по-
вернуть рычажок и потопить акваланг, чтобы он не достался врагу и тот не узнал бы секреты
его устройства. Как вы видите, и в далеком прошлом забота о государстве была прежде все-
го.
- А математическое мышление изменилось?
- Отнюдь! Оно осталось таким же, каким было при Декарте, Пифагоре или в Древнем
Египте. Однако одним наблюдением я хочу поделиться. Сейчас во всем мире, практически
одновременно во всех странах идет грустный процесс: это плохое отношение к науке и куль-
туре и устранение их из жизни общества. Начинает торжествовать бюрократия и админист-
рация, которые уничтожают образование, науку и культуру целиком. Это самоубийство че-
ловечества. Озоновые дыры, загрязнение атмосферы, “парниковый эффект”, радиоактивное
заражение и уничтожение культуры - все это единый процесс, который ведет к гибели жизни
292
на Земле. Мы являемся свидетелями этого, наш долг предупредить о катастрофе и призвать
людей остановиться, если это возможно...
Из выступления в Ватикане: Тот факт, что мы все еще имеем активно рабо-
тающих математиков, отчасти объясняется традиционным для российской интелли-
генции идеализмом ( с точки зрения большинства наших зарубежных коллег, просто
глупостью), отчасти же - большой помощью, оказанной западным математическим со-
обществом.
Значение российской математической школы для мировой математики всегда
определялось оригинальностью российских исследований и их независимостью от за-
падной моды. Чувство, что занимаешься областью, которая станет модной лет через 20,
чрезвычайно стимулирует. К сожалению, этот период теперь начал сокращаться, чему
в немалой степени способствует и “утечка мозгов”.
1996 г., Беркли
293
КИМ НИКОЛАЕВИЧ СМИРНОВ,
научный обозреватель «Новой газеты»
КОГДА УХОДЯТ ЛЕГЕНДЫ
Слово памяти об академике Владимире Арнольде
По странному сближению, утром 3 июня, еще не зная о смерти Владимира
Игоревича, я беседовал с академиком Виктором Масловым, тоже выдающимся
математиком, о влиянии прорывов в фундаментальной науке на самые разные
практические области. И он в качестве блистательного примера привел арноль-
дову теорию катастроф.
Самый известный математик..., самый упоминаемый в научной литера-
туре ученый России..., великий..., — читаю в Интернете в связи с завершением
этой человеческой жизни. Все так. Но у него была еще одна ипостась. Он был ле-
гендой отечественной и мировой математики.
С этой легендой я впервые встретился еще в университетские годы. По факуль-
тетам МГУ бродил тогда апокриф о гениальном студенте Мехмата, доказавшем тео-
рему, которую до него никто не смог доказать в течение нескольких столетий. Его
ждали лавры победителя. Но он сам от них отказался, обнаружив, что решение еще в
начале XX века нашел какой-то киевский профессор. В действительности (о чем рас-
сказал сам этот студент уже в ранге академика в своей книге «Истории давние и не-
давние») дело было так:
«Моя первая (совместная с А.А. Кирилловым) математическая работа нико-
гда не была опубликована, хотя мы (студенты-младшекурсники) и переписали ее (по
приказу поставившего нам задачу профессора Е.Б. Дынкина) семь раз. Дело в том,
что, переписав седьмую версию, я совершенно случайно открыл в своей библиотеке
древний французский книжный томик учебника Коши и наткнулся на практически
ту же самую теорему, которую я только что доказал».
Легенды — легендами, но рядом с этим апокрифом — реальный факт (по вре-
мени они почти совпадают): в 24 года Владимир Арнольд выполнил работу, за кото-
рую три года спустя получил Ленинскую премию. Вместе со своим учителем в науке
академиком Андреем Колмогоровым. А ещё раньше, двадцатилетним, он решил 13-ю
проблему Гильберта, более чем через полвека после того, как на Парижском матема-
тическом конгрессе 1900 года она была поставлена в докладе Давида Гильберта в ря-
ду других проблем, во многом определивших развитие математики в XX веке.
Откуда он такой? Гены родителей? Школа? Да, и гены родителей: математики в
нескольких поколениях. И школа...
Совсем недавно на экранах ТВ до хрипоты спорили о сериале «Школа». А чего
спорить? Для кого-то школа такой и была. Это правда. Но у других была другая шко-
ла. И это тоже правда. У Арнольда, например:
294
«Школа, в которой я учился, была обычной, но очень хорошей. Ее окончили
С.С. Аверинцев, В.П. Маслов и Ю.А. Рыжов. Однажды на выборах в РАН кандида-
тами были трое моих одноклассников, сейчас двое из них — члены РАН. Даже учи-
теля биологии, истории, географии, литературы подходили к своим предметам поч-
ти как к точным наукам, временно попавшим в трудное положение. Помню, что на
«трудные» вопросы наивных школьников мудрые учителя отвечали: «А об этом вы
спросите своих родителей — они сумеют лучше меня объяснить, почему надо счи-
тать, что 3 < 2».
Родители кое-как объясняли, но яс ранних лет усвоил, что о некоторых вещах
нельзя ни с кем говорить, например, не следует называть имена и отчества наших
гостей и адреса в тех городах, удаленных от Москвы немного больше, чем на 100 км,
куда я отсылал продуктовые посылки (то в Александров, то в Малоярославец, а то и
в Киргизию или Сибирь). Среди гостей, впрочем, бывали то К.И. и Л.К. Чуковские, то
И.Е. Тамм или М.А. Леонтович, да и АД. Сахаров был учеником моего отца и другом
тетки».
Первые школьные неприятности были связаны у него с.... таблицей умноже-
ния. Учительница в первом классе опасалась, что второй класс он не осилит — никак
не может выучить таблицу умножения наизусть, а просто складывает цифры в уме.
Впрочем, его бабушка Вера Степановна в один вечер разрешила проблему, переведя
ее в карточную игру типа «пьяницы», где на одной стороне карты был вопрос («се-
мью восемь», например, на другой — ответ («пятьдесят шесть»).Ну а потом...
Избрание членом авторитетнейших мозговых центров планеты: Национальной
академии наук США, Французской академии наук, Лондонского королевского обще-
ства, АН СССР (потом - РАН). К стыду нашему (нет пророков в своём отечестве!) на
родине академиком он стал, когда число избравших его в свои ряды академий мира
уже приближалось ко второму десятку... Присуждение самых престижных нацио-
нальных и международных премий... Ну и, как водится, малая планета Владарнольд в
подарок от Международного астрономического союза. Впрочем, не только на небес-
ных картах, но и на «карте» самой математической науки это имя оставило яркий
след: теорема Колмогорова - Арнольда - Мозера, проблема Гильберта - Арнольда,
диффузия Арнольда, языки Арнольда, течение ABC (Arnold — Beltrami - Childress)...
Неповторимый почерк в науке. Неотделимый, впрочем, от почерка в жизни, от
того, какой личности он принадлежал. «Известия» написали: «Моцарт в науке». Кра-
сиво. И действительно схватывает ту сверкающую гениальность, которая есть и в ма-
ленькой трагедии Пушкина, и в музыке Моцарта, и, бесспорно, в личности Владимира
Арнольда. Но я бы всё-таки акцент поставил на другой черте. На его предельной
внутренней независимости.
Он был абсолютно свободен от рабского служения каким бы то ни было авто-
ритетам, стереотипам и догматам. Обладал отчаянной смелостью человека, владею-
щего истиной и по сему смеющего «свое суждение иметь». Даже когда оно резко
расходилось и с официальными предписаниями, и с диктатом «общественного мне-
ния». Как он издевался над авторитетной редколлегией «Успехов математических на-
ук», отвергнувшей в 2004 году спорную статью на том основании, что она «выражает
295
мнение автора»! Статью, кстати, тут же опубликовали гинзбурговские «Успехи физи-
ческих наук». Последняя его публикация в «Новой газете» вышла под заголовком:
«Не плодите трусов!»
По всему по этому Арнольд был крайне неудобен носителям догматов как ле-
вого, так и правого толка.
Когда Папа Римский удостоил его личной беседы (дело было в 1998 году), они
не о толерантной связи религии и науки в XX веке говорили, исходя из общеприня-
тых дипломатических условностей. Арнольд сразу спросил: когда католическая цер-
ковь посмертно реабилитирует Джордано Бруно, сожженного по приговору суда свя-
той инквизиции на римской Площади Цветов 27 февраля 1600 года? Понтифик, по су-
ти, ушел от ответа, сказав, что Бруно невозможно амнистировать, пока наука не дока-
зала его еретическую гипотезу о множественности обитаемых миров: «Вот найдите
инопланетян, тогда можно будет обсудить!»
Имя другого Бруно Арнольд поминал в контексте, куда более близком к нашим
сегодняшним «кострам». Читая в 2000 году лекцию для учителей «Нужна ли в школе
математика», он вспомнил, как знаменитый итальянский физик Бруно Понтекорво,
долгие годы живший в России, ставший у нас академиком АН СССР, заблудился од-
нажды в окрестностях Дубны. К дому его вывез на тракторе тракторист, по пути веж-
ливо поинтересовавшийся, чем он занимается. Понтекорво ответил: «Нейтринной фи-
зикой» (он был одним из ее создателей). Тракторист его «поправил»: «Вы хорошо го-
ворите по-русски, но физика все же не нейтринная, а нейтронная».
Позже Понтекорво, вспоминая этот случай, говорил: «Надеюсь, я доживу до
времени, когда никто не будет путать нейтрино и нейтроны». Арнольд прокомменти-
ровал это в том духе, что сегодня люди не только ничего не знают, ни о нейтрино, ни
о нейтронах, но и вообще скоро никто в мире не будет знать, чем отличается тре-
угольник от трапеции». Это слова не скепсиса. Это слова боли.
Наши реформаторы образования и науки от гильдии чиновничества оказыва-
лись куда менее находчивыми, чем Папа Римский, и просто раздраженно молчали,
когда Арнольд говорил, что он думает об их «реформотворческих» экзерсисах —
крыть было нечем. Вот некоторые из опубликованных в «Новой» его ответов на мои
вопросы.
«Пока ещё мы умеем делить в уме, нельзя делить имущество Академии...
Стремление оплачивать только потребляемое везде приводит реформаторов к унич-
тожению посевов пшеницы как производящих и ненужную солому. Обсуждаемый про-
ект реформы РАН именно таков: распродав накопленное, погубить будущее».
«Маяковский говорил: «ученый, открывший, что дважды два — четыре, был
великим математиком, даже если он открыл это, считая окурки, а тот, кто сего-
дня считает по той же формуле гораздо большие предметы, например, локомотивы,
вовсе не ученый». Стоимость открывания истин и их использования совершенно
различна. Вся математика в стране стоит ежегодно 1/10 стоимости одного танка.
Напротив, «приложения» стоят во много тысяч раз больше — и на оплату не даром
едящих свой хлеб «прикладников», и на оборудование, и на энергию внедрения (будь
296
то генная инженерия или космические полеты, борьба с раком или осуществление
проекта управляемых термоядерных реакций, компьютеризация химических произ-
водств или противоракетная оборона)».
«Ни первые достижения Ампера и Фарадея в теории электричества, ни пер-
вые самолеты, ни первые пароходы не были экономически выгодными. Ставить раз-
витие подобных проектов (а они и составляют суть фундаментальной науки) в за-
висимость от их оплаты бизнесменами — прямое преступление перед своей страной.
Финансировать их — наш долг перед следующими поколениями. Расходы нашего го-
сударства на науку составляют сейчас малую долю годового национального дохода.
В других странах на науку тратится гораздо большая доля национального дохода (во
Франции я участвовал в работе Комитета по науке, обсуждавшего переход от пяти
к семи процентам)».
«Никакие вредные реформы не повлияют на образование так, как хотелось бы их ав-
торам. Во всех школах России, вплоть до сельских глубинок, квалифицированные и добросо-
вестные учителя долго еще будут продолжать учить своих школьников, что дважды два
четыре, несмотря ни на какие столичные инструкции, утверждающие будто это пять».
«Невостребованностъ науки в новой России я считаю преступлением перед
грядущими поколениями. Мой оптимизм в том, что я верю: страна не допустит
этого преступления».
Он был отцом-вдохновителем знаменитого Московского центра непрерывного
математического образования. Многое сделал для успехов этой «малой академии» в
непростых нынешних условиях. В последнем интервью нашей газете на вопрос: «Ве-
рите, что — как там у Визбора? — «придут другие времена»?» ответил:
«Я безусловно верю, что «другие времена придут» и даже скоро. Центр про-
должает делать много полезного и даже необходимого. Я был поражен весной 2007
года, увидев в окрестностях «Силиконовой долины» в Калифорнии, что тамошние
математики развили в Калифорнии аналогичную деятельности центра в Москве об-
разовательную систему. Они добились у американских школьников 10—15 лет тако-
го же интереса к математике, который так восхищает меня и в Московском цен-
тре непрерывного математического образования, и в проводимых ежегодно в Дубне
(на базе Объединенного института ядерных исследований) школах по современной
математике для победителей математических олимпиад России (среди участников
которых бывают школьники и из других бывших республик СССР)».
И последний штрих. Он говорил, что не считает себя математиком в чистом
виде, что у него скорее гуманитарное мировосприятие и мышление. И это не было так
распространенное в среде научной интеллигенции бравирование хорошим знакомст-
вом с искусством. Он действительно был энциклопедически, а главное — глубоко об-
разован в области гуманитарного знания. И не случайно к своей «Экспериментальной
математике» поставил эпиграф из Пастернака:
«...Да, простота нужнее людям,
Но сложное понятней им».
297
При этом Арнольд любил задавать ключевые, но «простые», «детские» задачи.
Детские, потому что задачи такие, по его мнению, лучше всего решают школьники,
похуже — студенты и еще хуже — «взрослые», уже зараженные профессиональной
ограниченностью.
Проблема соотношения «темного» и до детской ясности «просветленного» и в
науке, и вообще в жизни, как видно, долговременно занимала его ум. Но — удиви-
тельно! — сталкиваясь с этой проблемой в своих, математических краях, ключ к ней
он подыскивал именно в гуманитарных закромах:
«Будучи членом редакционных коллегий многих математических журналов
разных стран, я вынужден читать много непонятных текстов, представляемых к
публикации. Читая их, я невольно вспоминаю двадцать восьмую песню философа
Григория Сковороды:
То поет и вся Вселенна,
В сем законе сотворенна,
Что нужность не трудна,
Что трудность не нужна.
И слова Пушкина (1816):
Писали слишком мудрено,
То есть и хладно, и темно,
Что очень стыдно и грешно.
Некоторые ошибки повторяют столь часто, что мне уже надоело всякий раз
заново объяснять авторам, почему недопустим избранный ими способ выражения.
Как говорил Пушкин, ’«эти люди никогда не скажут «рано поутру», они пи-
шут «едва первые лучи восходящего солнца озарили восточные края лазурного неба».
В памяти у меня одно остановленное - теперь уж навсегда - мгновение. Новое здание
РАН, что рядом с площадью Гагарина. В большом зале, по инициативе Фонда Дмитрия Зи-
мина «Династия» в поддержку науки, Владимир Игоревич Арнольд читает лекцию о самом-
самом новом в математике московским школьникам уже нового, XXI века. Они хорошо по-
нимают друг друга, лектор и аудитория. Сотни горящих молодых глаз (так непохожих на за-
туманенные пивом глаза других молодых, тусовки которых ежедневно вижу у вестибюля
метро, когда вечером возвращаюсь с работы). И в ответ - его улыбка. Доброжелательная, от-
крытая. «Здравствуй, племя младое, незнакомое...»
Что остается от человека? Книги, вобравшие поиски, сомнения, открытия
блестящего, гениального ума? Да. Воспоминания родных, друзей, товарищей по
работе? Да. «Имидж», как теперь говорят (вот бы он поиздевался над примене-
нием сего термина по отношению к нему лично!) самого цитируемого ученого? И
это, конечно, да. Но всё это повторимо. И новые гении, и новые «самые цити-
руемые»...
298
Легенды же - они единственны. Случаются раз в несколько столетий. А то
и реже. Как погибший двадцатилетним Эварист Галуа во Франции. Как умуд-
рённый годами (он не дожил девяти дней до 73-х), но так и не успевший соста-
риться душой Владимир Арнольд в России.
299
5
ПОСЛЕДНЕЕ
СЕРГЕЕВ АРМЕН ГЛЕБОВИЧ,
доктор физико-математических наук,
заместитель директора по научной работе
Математического института имени В.А. Стеклова РАН
Многое было сказано и написано за последние годы о выдающихся достижениях Вла-
димира Игоревича Арнольда в математике и других науках. Его интересы включали в себя
все направления современной математики и большую часть физики. Другие естественные
науки также не представляли для него «терра инкогнита». Кроме того, были его многочис-
ленные выступления и статьи, посвященные экономике, лингвистике, литературоведению и
т.д. Владимир Игоревич относится к тому редкому типу ученых, которые смогли максималь-
но полно раскрыть свои уникальные способности в течение жизни. Чего удалось достигнуть,
безусловно, благодаря его фантастической работоспособности.
В связи с этим мне вспоминается беседа с В.И.Арнольдом, которая состоялась неза-
долго до его кончины. Тогда он сказал, что почти каждый день пишет около 100 страниц ру-
кописного текста по математике и другим вопросам. «Каждое утро, - говорил Владимир Иго-
ревич, - я иду в ближайший к моей даче лес, если нахожусь в Москве, или в Булонский лес,
когда я в Париже. В этих местах у меня есть любимые пеньки, заменяющие мне столы, и
упавшие деревья в качестве стульев. Не люблю работать дома или в рабочем кабинете - в ле-
су и думается, и пишется гораздо легче. Я сажусь и пишу до тех пор, пока не выполню свою
норму». Тексты, написанные В.И. в это время, очень поучительны и представляют интерес
даже в тех случаях, когда твои собственные взгляды расходятся со взглядами автора.
Еще одна интересная черта Владимира Игоревича, ярко проявившаяся в последние
годы. Он всегда делал массу вычислений, особенно в период его увлечения теорией чисел.
Такую деятельность он называл «экспериментальной математикой» и придавал ей исключи-
тельно важное значение. Нередко приходилось слышать, что он не доверяет компьютеру.
«Компьютер ошибается чаще меня», - одно из любимых высказывание В.И.
Думаю, что среди математиков мало найдется тех, кого можно было бы сравнить с
Владимиром Игоревичем по его удивительной работоспособности, продуктивности и разно-
сторонности. На память приходит Леонард Эйлер, оставивший после себя, помимо матема-
тических текстов, огромное количество заметок и писем на самые различные темы, подчас
весьма далекие от математики. (Стоит напомнить, что издание полного собрания сочинений
Эйлера, предпринятое в Швейцарии, до сих пор еще не завершено.) Похоже, что сравнение с
Эйлером приходило в голову и самому Владимиру Игоревичу, поскольку в уже упомянутой
мною беседе он заметил: «Теперь я пишу почти столько же, сколько и Эйлер». Думаю, что
это сравнение можно отнести не только к количеству написанных В.И. текстов, но и к их ка-
честву.
301
302
Отчет В. И. Арнольда
о научной деятельности 2008 года
Главным направлением моей работы в 2008 году было исследование стохастиче-
ских свойств классических и теоретико-числовьЕхдинамических систем ({3}, [5], [6],
и, (8], (10], (12], (13, И, (171).
К этой тематике относится прежде всего серия работ о статистиках элементов
цепных дробей. Среди полученных тут результатов - исследование средней скорости
роста длин периодов цепных дробей (и средних значений их элементов) для квадра-
тичных иррациональностей ([2], (3), (7], [8], (12], (13], (17]).
В частности, оказалось, что цепные дроби иррациональных собственных чисел
случайных модулярных матриц второго порядка имеют необычную статистику не-
полных частных (отличную от статистики Гаусса-Кузьмина элементов цепных дро-
бей случайных чисел общего положения).
Эти исследования связаны также с периодичностью перестановок точек и пря-
мых конечных торов, осуществляемых такими матрицами при их действии в воде
автоморфизмов торов ((14], [5]).
Например, соответствующие проективные преобразования конечной проективной
Прямой
P4Z») XX (z* \ (J ра£ ] / к \ □ рД?)
\ / \ nsspq /
(р пробегает делители натурального числа п) приводят (как это эксперименталь-
но обнаружил английский нобелевский лауреат, физик Дайсон, в своем исследова-
нии “кошки Арнольда”) к поразительной статистике необычно коротких периодов Т,
после которых перестановка точек пространства P1(Zn), заданная матрицей А из
SL(2, Z), повторяется.
Исследование функции Т(А, п) приводит к анализу числа |P1(Zn)| =А7(п) точек
проективной прямой над Это число X(n) = пК(п) бывает иногда во сколь угодно
раз большим, чем число п точек аффинной прямой Z» (например, К(6) — 2, так
что А/*(6) = 12). Но столь большие значения коэффициента К редки: я обнаружил
(вначале экспериментально, но затем и доказательно), что Чезаровские средние
-К(1) + ...+К(п)
47 п
при п со к конечному пределу
V X С(2) 15 t с
Птп КМ == = — Яй 1.5 .
Х Ч £(4) *2
Эргодически-вероягносгные соображения, приводящие к этим теоретико-число-
вым результатам, доставляют и много других правдоподобных гипотез, часть из ко-
торых удалось даже доказать, в то время как некоторые из которых обоснованы пока
только миллионами примеров ([8], (10], (13], (14]).
К числу таких гипотез относится анализ поведения параметра “степени случайно-
сти” Колмогорова Л» различных детерминированных наборе® п чисел. В частности,
дня драбвых долей арифметических и геометрических прогрессий с рациональны-
ми разностями или знаменателями доказано стремление степени случайности к нулю
303
при п—♦ оо. В то же время для некоторых иррациональных разностей (хотя и редко)
значения степени случайности достигают при сколь угодно больших п сколь угод-
но больших значений (стремясь, впрочем, к нулю для почти всех, в смысле меры
Лебега, разностей) ([8], [13]).
Для геометрических прогрессий с иррациональными знаменателями значения
степени случайности Колмогорова Ап ведут себя хаотическим образом ([10]): рас-
пределение значений Хп для этих прогрессий оказываются распределенными на оси
А по универсальному распределению Колмогорова (с функцией распределения
ф(л) = .
fcaa—ОО
доставляющей вероятность события А < Л).
Другая теория, полученная из экспериментов с цепными дробями, касается ариф-
метики периодов цепных дробей квадратичных иррациональностей вида y/Q, где Q
целое [if].
Длины этих периодов чаще четны, чем нечетны: длина периода Т четна только
если Q — а2 4- Ь2 - сумма квадратов двух натуральных чисел (да и то не всегда,
например, 34 = 25 4- 9, но Т(34) = 4 четно).
В связи с этим я исследовал распределение на оси Q тех натуральных значений,
для которых длина T(Q) периода цепной дроби числа >/Q нечетна. Эти “красные
точки” Q составляют примерно половину сумм квадратов, распределены столь же
“равномерно с убывающей на бесконечности плотностью”, и обладают другими заме-
чательными свойствами.
Например, простые делители красных чисел всегда красные, а не простые - не
всегда: числа 125 и 5 красные, а 25 - нет.
Векторы (а, Ь) доставляемые цепными дробями чисел для красных Q, тоже
распространены на плоскости с координатами (а, Ь) “асимптотически равномерно, с
убывающей на бесконечности плотностью”.
Анализ всех этих объектов приводит также к рассмотрению комплексных версий
функции Эйлера р и групп Эйлера Г (для комплексных чисел Гаусса а+Ы в качестве
аргументов).
А именно, фактор-кольцо 2о+ы кольца Zc чисел Гаусса по делящимся на а 4- Ы
числам Гаусса
Za+ь» = Zc/(a 4- M)Zc
содержит мультипликативную группу обратимых элементов
Г(а 4- bi) = {z € : 3w € Za+ы : zw = 1}.
Эта “комплексная группа ” Г(а 4- bi) состоит из <р(а 4- bi) = |Г(а 4- Ы)| элементов,
“взаимно-простых с а 4- Ы”.
Из многочисленных результатов о группах Эйлера Г и о значениях функции Эйле-
ра (р в комплексных точках упомяну следующий вывод “геометрии формул” (которую
я построил лет десять назад):
r((34-a)“)«Z8xZxxZtf, # = 3П"\
^((3 4- Of)”) = 233ЗЛГ~2 = 32п - З2*"2.
304
Вся арифметика, включая распределение простых чисел (список которых начи-
нается с {1,1 + i, 3,2 +», 7,11,3 + 2»,...}), дзета-функцию и теорию простых дробей,
тоже должна иметь комплексификации (подобно тому, как выше описана комплекс-
ная версия групп Эйлера). Но эти теории, сколько я знаю, не исследованы еще до
сих пор (даже эмпирически, путем компьютерных экспериментов).
Список работ В. И. Арнольда 2008 года
1. - Наука математика и искусство математиков. Изд. МГУ, 2008, 58 стр.
2. - Задачи семинара 2007-2008 года. МЦНМО, 2008,45 стр.
3. - Математика хаоса. Вестник РАН, 12 стр.
4. - Что такое арифметика? МЦНМО, 2008,4 стр. (в книге И.В.Арнольда “Прин-
ципы отбора и составления математических задач ”)
5. - Стохастические и детерминистские статистики орбит в хаотически выгля-
дящих динамических системах. Сдано в печать в 2008 в “Труды московского
математического общества”.
6. - Равномерное распределение множеств неделимых векторов в целочисленных
пространствах. Известия РАН, 2009, 30 стр.
7. - Статистика периодов цепных дробей квадратичных иррациональностей. Из-
вестия РАН, 2008, т.72, №1, 3-38.
8. - Насколько случайны арифметические прогрессии дробных долей? Успехи ма-
тематических наук, 2008, т.63, №2, 5-20.
9. - Gibbs phenomenon for Fourier series on finite sets. Functional Analysis and other
Mathematics, 2008, т.З, 5 стр.
10. - Empirical study of stochastisity for deterministic chaotical dynamics of geometrical
progressions of residues. 17 p. Г
11. - Математик или естествоиспытатель? Воспоминания о Н.Н.Боголюбове. (Сда-
но в печать в 2008 в сборник памяти Н.Н.Боголюбова, РАН), 12 стр.
12. - Orbits’ statistics in chaotic dynamical systems, Nonlinearity, 2008, 5 p.
13. - To what extent are stochastic the arithmetical progressions of fractional parts?
International Center of Theoretical Physics, Miramare, 2008,20 p.
14. - Перестановки. Сдано в печать в 2008 в Успехи математических наук, 80 стр.
15. - На сколько частей делят плоскость п прямых? Математическое просвещение,
2008, выпуск 12, стр. 95-104.
16. - Математическое понимание природы, МЦНМО, 2008, 90 стр.
17. - On the period’s lengths of square roots of integers. Functional Analysis and other
Mathematics., 2008, 24 p.
305
Отчет В. И. Арнольда
главного научного сотрудника Отдела геометрии и топологии
Математического института имени В.А.Стеклова РАН за 2009 год
Основные новые научные результата 2009 г. были получены В. И. Арнольдом в
области исследования статистических свойств геометрии распределений конечных
подмножеств из данного числа к элементов для множеств из большого числа п эле-
ментов.
Примеры таких подмножеств доставляются, например, арифметикой остатков от
деления на целое число, вроде набора квадратичных вычетов среди всех п остатков
{0,1,..., п — 1} от деления на п. Для п = 8 число квадратичных вычетов {0,1,4}
равно к = 3
Случайные к точек множества Zn всех п остатков имеют (в среднем) вполне опре-
деленную статистику. Например, эти к точек делят целочисленную окружность Zn
длины п на к дуг длин dj,..., а* (так что 52 аз — п)- Сколько (в среднем) встреча-
ется среди них дуг длины 1? длины 2? длины т? Каков порядок величины суммы
квадратов длин этих дуг В = 52 a2? Для к = 3 квадратичных вычетов (mod 8)
{aj} = {1,3,4}, В = 26.
Проанализировав, с одной стороны, подобные статистики для к случайных неза-
висимо распределенных точек в Zn, а с другой - для наборов квадратичных вычетов,
В. И. Арнольд обнаружил значительные различия между этими статистиками: квад-
ратичных вычеты распределены не случайно и не независимо друг от друга (при-
тягиваются они друг к другу или скорее отталкиваются зависит, как показывает
эксперимент, от соотношения между числами к и п).
Обзор этих исследований содержится в лекциях “Измерение объективной степе-
ни случайности конечного набора точек”, прочитанных В. И. Арнольдом в школе
“Современная математика” в Дубне (“Объединенный институт ядерных исследова-
ний”) в июле 2009 года (поселок Ратмино), текст сдан в печать в Московский центр
непрерывного математического образования, (МЦНМО), 2009.
Удивительным экспериментальным выводом из этих исследований явилось от-
крытие В. И. Арнольдом неожиданной функциональной зависимости между средни-
ми значениями двух “параметров стохастичности” - параметром А, определенным в
1933 году А.Н.Колмлгоровым в его (опубликованной на итальянском языке) работе
по страховой статистике, и параметром fl, определенным в 2003 году В. И. Арнольдом
в его работе по арифметическим группам Эйлера.
Например, для всевозможных (случайных) шестерок точек конечной окружности
длины п — 17 значения параметров А и /? образуют на плоскости с координатами А
и /3 “облако” из 728 “случайных” точек. Но эти точки оказываются не равномерно
распределенными на плоскости, а тяготеющими к параболе
& ~ р + qX + тА2
(где р ~ 1.11^» —1.57, г ~ 4.44).
Для этой функциональной зависимости неизвестно никаких причин, она явилась
неожиданным результатом длительных экспериментальных исследований В. И. Ар-
нольда.
В другой серии лекций в той же школе “Современная математика” в ОИЯФ,
Дубна, 2009, В. И. Арнольд исследовал статистику случайных подслов в различных
306
Семинар Арнольда. Октябрь 2009 г.
307
текстах. Например, для текста из п = 25 букв “Мой дядя самых честных правил”
исследовано N = 370 подслов (нарицательных существительных в именительном
падеже единственного числа, из не менее 4 букв каждое).
Числа подслов длин 4, 5 и 6 составляют при этом 141, 113 и 41.
Подобные примеры приводят к экспериментальным заключениям, что число под-
слов N текстов из п букв растет степенным образом (N ~ Спр), причем значение р
для достаточно длинных текстов, недалеко от 2 (и, по-видимому, убывает с ростом
п).
Удивительна здесь малая зависимость всех подобных статистик от текста - про-
заический он или стахотворный, написан Пушкиным или Гумилевым и т.д. На-
пример, для строчки Цветаевой “Кладбищенской земляники крупнее и слаще нет”
(п = 38, N = 781) средние сходны с таковым для Пушкинского “Примите исповедь
мою: себя на суд вам отдаю” (п = 35$ N = 576)7
Распределение подслов по длинам также обнаруживает удивительную универ-
сальность (это распределение напоминает гауссово). Например, для “Мой дядя самых
честных правил” подслова длины т = 4,5,..., 9 встречаются в количествах Nm:
Отсюда видно, что
lg Nm « am2 + bm + c
(где а ~ —0.26, Ъ ~ 2.40, с « -3.29).
Максимум гауссовой плотности достигается при
т, я* — — « 4:62
2а
(средняя длина ближе к 5, так как распределение одностороннее: т > 4).
К сожалению, все приведенные экспериментальные статистики - эмпирические
результаты (к тому же относящиеся только к русским текстам - сохраняются ли за-
ключения о степенных и гауссовских распределениях для, скажей, латинских, ита-
льянских, французских и английских стихотворных и прозаических текстов разных
веков не проверено).
Наряду с указанными новыми математическими исследованиями, В. И. Арнольд
опубликовал в 2009 году целый ряд книг и статей на другие темы (см. библиографию
в конце, например, статьи [9],[10],[11] были написаны до 2009 г.).
308
Книга “Вещественная алгебраическая геометрия” представляет собой издание сту-
денческих конспектов лекций, прочитанных в средних школах Калифорнии (в Сан
Хосе, в Беркли и в Стенфорде) для тамошних школьников.
Книга “Математическое понимание природы” состоит из нескольких десятков фи-
зических теорий, описанных в виде доступных школьникам упражнений: например,
почему небо синее? Отчего в пустынях видны миражи? Почему всякая радуга имеет
угловой радиус 42°? Кто и когда опубликовал и доказал теорему Пифагора? Что
изобрел и что доказал Лобачевский?
К сожалению, нынешнее школьное образование делает все эти фундаменталь-
ные веши ненужно недоступными школьникам (В. И. Арнольд обсуждает, в частно-
сти, достоинства классических учебников Киселева й Адамара и опасность изгнания
фундаментальных наук для интеллектуального (а впоследствии - индустриального и
оборонного) уровня идущих на такое изгнание стран (это “реформирование” препода-
вания объясняется прежде всего опасением руководителей конкуренции со стороны
более квалифицированной молодежи, от которой, поэтому, и стараются скрыть и уже
достигнутые научные достижения, и возможность получать их в дальнейшем). *
“Воспоминания о Н.Н.Боголюбове” - пример того, как наши лучшие классики
умели преодолевать эти трудности. В. И. Арнольд пытается продолжить эти тра-
диции, много занимаясь даже и со школьниками (кое-что ‘об этом опубликовано в
газете ‘Троицкий вариант”, 2009, №18, о работе со школьниками в Объединенном
институте ядерных исследований в Дубне по математике).
Библиография (работ В. И. Арнольда, опубликованных в 2009)
1. Математическое понимание природы (очерки удивительных физических явле-
ний и их понимания математиками). МЦНМО, 2009, 144стр.
2. Вещественная алгебраическая геометрия. МЦНМО, 2009, 88стр.
3. Математик или естествоиспытатель? В книге “Воспоминания о Н.Н.Боголюбове
к 100-летию со дня рождения”, МИАН, М. 2009, стр.44-51.
4. Поэзия математики. “Троицкий вариант”, 2009, №18, стр.11.
5. Переориентация науки на “прикладные исследования” приведет к снижению
интеллектуального уровня страны. “Троицкий вариант", №857, стр. 1-3.
6. Статистика подслов. Лекция в школе “Современная математика”, Объединен-
ный институт ядерных исследований, Дубна, Ратмино, июль 2009 (МЦНМО,
2009, 10стр.).
7. Измерение степени случайности конечного набора точек. Лекция в школе “Со-
временная математика”, Объединенный институт ядерных исследований, Дуб-
на, Ратмино, июль 2009 (МЦНМО, 2009, 20стр.).
8. ' Comparision of two stochasticity parameters, Functional Analysis and other Mathe-
matics, 2009, 17pp.
9. Empirical study of stochastisity for deterministic chaotical dynamics of geometrical
progressions of residues, Functional Analysis and other Mathematics, 2009, №2,
p. 139-149.
309
10. Lengths of periods of continued fractions of square roots of integers. Functional
Analysis and other Mathematics, 2009, №2, pp. 151-164.
11. Geometry of continued fractions associated with Frobenius numbers. Functional
Analysis and other Mathematics, 2009, №2, pp. 129-138.
12. Стохастические и детерминистские статистики орбит в хаотически выглядящих
динамических системах. Труды ММО 2009, т.70, с.46-101.
13. Особенности дифференцируемых отображений, М.МЦНМО, 2009, 672 с. (3-е
издание, совм. с С.М.Гусейн-Заде и А.Н.Варченко).
14. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов, М.МЦНМО, 2009, 40с.
15. Цепные дроби, М.МЦНМО, 2009, 40с.
16. “Математика”, 1 сентября. №7(2009) и №6(2009). Мягкие и жесткие математи-
ческие модели.
310
11 января 2010 года.
Конференция, посвящённая 60-летию В.В. Козлова, директора Математического института
Академии наук РФ. Доклад В.И. Арнольда «Случайны ли квадратичные вычеты ?»
311
Следующий доклад - М.А. Королева, кандидата физико-математических наук, ученика
А. А. Карацубы.
КОРОЛЁВ МАКСИМ АЛЕКСАНДРОВИЧ,
кандидат физико-математических наук,
старший научный сотрудник МИАН
СОДОКЛАДЧИКИ
Обычно в математическом докладе перед широкой аудиторией приходится жертво-
вать строгостью формулировок и излагать содержание несколько неформально, быть может,
даже небрежно. Специалисту из другой области такой подход часто помогает понять основ-
ную идею вашего рассказа и не утонуть во второстепенных деталях. Так собирался посту-
пить и я, готовясь к выступлению на конференции в МИАНе 11 января 2010 года.
Хочется верить, что доклад тот показался присутствовавшим не совсем уж скучным.
Но одно могу сказать определённо: по крайней мере, одного из слушателей он не оставил
равнодушным. Для меня особенно ценно и дорого то, что слушателем этим был сам Влади-
мир Игоревич Арнольд. Дело в том, что задача, которой было посвящено выступление, была
придумана за несколько лет до этого моим учителем Анатолием Алексеевичем Карацубой
после долгой дискуссии с Владимиром Игоревичем.
Едва на доске появилась основная теорема, последовал первый вопрос Владимира
Игоревича: «А где тут у вас кванторы? Пока здесь не появятся кванторы, я не пойму смысла
вашей теоремы!» (За дословный пересказ не ручаюсь, но смысл вопроса передаю точно).
Требуемые кванторы были тотчас расставлены, и Владимир Игоревич одобрительно кивнул.
Но не прошло и двух минут, как рассказ был прерван вторым его вопросом, потом третьим.
Вопросы следовали так быстро, что на миг ко мне вернулось давно забытое ощущение экза-
мена. Так я "поплатился" за попытку неформального изложения. В конце концов Владимир
Игоревич поднялся с места, прошёл к доске, вооружился мелком, и доклад, принявший было
форму диалога, вновь превратился в монолог.
Владимир Игоревич много говорил о той самой дискуссии с Анатолием Алексееви-
чем, вспоминал затронутые в ней задачи и под конец посетовал, что часть из них до сих пор
не решена. Через несколько минут бразды правления были мне возвращены, и я приготовил-
ся "финишировать". Однако под конец Владимир Игоревич вновь оживился и задал ещё не-
сколько вопросов, касавшихся вычисления на компьютере некоторых констант. В его глазах
отражался неподдельный интерес; как мне показалось, он был неравнодушен к разного рода
теоретике - числовым подсчетам.
Вот так, нежданно-негаданно, довелось мне побывать "содокладчиком" у Владимира
Игоревича Арнольда.
312
Доклад 11 января 2010 г. «Случайны ли квадратичные вычеты?», который не-
которые из нас, соучеников В.А. Арнольда, слушали в МИАНе, стал его последним докла-
дом в России. Мы благодарны руководству журнала «Нелинейная динамика», отнёсшемуся с
пониманием того, что нам дорога бы была публикация этого последнего доклада в нашей
книге «Мы - математики с Ленинских гор», посвящённой памяти Арнольда В.И. И мы полу-
чили файлы этой статьи ещё до выхода журнала на русском языке, а вскоре - и экземпляр
самого журнала (В.И. Арнольд. «Случайны ли квадратичные вычеты?» Нелинейная динами-
ка, 2010, т.6, №3, с.513-519). Спасибо.
ISSN 1816-448Х
Том 6 Номер 3 2010
НЕЛИНЕЙНАЯ
ИНАМИКА
ЭЛЕКТРОННАЯ ВЕРСИЯ
http://ics.org.ru/journais/nd
ISSN 1817-5155
313
УДК 511
Случайны ли квадратичные вычеты?
В. И. Арнольд
Получено 28 декабря 2009 г.
От редакции: Последняя опубликованная статья Владимира Игоревича Арнольда. Ан-
глийский перевод напечатан в журнале Regular and Chaotic Dynamics (2010, vol. 15, no. 4-5,
pp. 425-450.). Результаты этой работы были изложены в одноименном докладе В. И. Ар-
нольда, прочитанном 11 января 2010 г. в Москве на Научной конференции «Избранные
проблемы современной математики», посвященной 60-летию В. В. Козлова. Видеозапись
доклада доступна на Общероссийском математическом портале Math-Net.Ru.
Ключевые слова: арифметическая динамика, квадратичные вычеты
V. I. Arnol’d
Are quadratic residues random?
Keywords: arithmetical dynamics, quadratic residue, randomness
MSC 2010: 11A07, 1N69
НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА, 2010, T. 6, № 3, с. 513-519-
314
Случайны ли квадратичные вычеты?
В. И. Арнольд
2 декабря 2009 г.
1 Статистика различных квадратичных выче-
тов
Множество Zri (всех п остатков от деления на целое число п, т. е. конечная
окружность длины п) содержит подмножество из к квадратичных вычетов
по модулю п (т.е. остатков от деления на п всех элементов вида х2. х е Zn,
кольца Z„).
Пример. Число к всех (различных) квадратичных вычетов по модулю п =
100 равно 22.
Эти к точек делят конечную окружность длины п па. к дуг длин а/
G] + «2 н-4- щ - = п.
В предыдущем примере (п — 100. к = 22) значения aj — т встречаются
g(m) раз, где кратности q(m) таковы:
т 1 2 3 4 5 6 7
Ч 2 0 5 2 8 0 5
Общее число дуг. 52g(m): равно 22.
Вопрос о том. случайны ли к — 22 точки {.г2} па окружности длины п =
100. мы исследуем, сравнив распределение {q(m}} длшт т дуг. па которые
эти 22 точки делят окружность длины п. с распределением длин тех к ~ 22
дуг. на которые деля г конечную окружность длины п = 100 независимые к
случайных точек той же окружности.
Ответ оказывается отрицательным: все статистические характеристики
наборов квадратичных вычетов резко отличаются от таких же характери-
стик случайных вычетов.
Легко доказывается (ср. [1], [2]) комбинаторная
315
Теорема 1. Числа U(?n) дуг длин т, на которые разбивают окружность
Zn длины п все различные распределения k точек вдоль этой целочисленной
окружности, доставляются биномиальными коэффициентами
#(т) = , 1 < т < п - (fc - 1).
Здесь два распределения не считаются различными, если одно из них
переводится в другое поворотом конечной окружности ZM (так что общее
число дуг различных распределений к точек составляет nC^Z])-
Следствие. Доля, р(т), дуг длины т среди всех дуг различных распреде-
лений к точек на окружности 7Ln длины п составляет дробь
s-vk—i
Пример. Для к = 22 точек деления окружности длины п — 100 доля дуг
длины т есть
хч20
°99
т 1 2 3 4 5 6 7
Р 0.212 0.169 0.132 0.105 0.086 0.069 0.052
Р 0.09 0 0.23 0.09 0.36 0 0.23
В последней строке таблицы выписаны наблюденные для 22 квадратич-
ных вычетов по модулю 100 доли F(m) == q(m)/22 дуг длины т.
Сравнение строчки распределения р длин дуг порожденных 22 точками
со строчкой Р долей длин дуг порожденных 22 квадратичными вычетами
по модулю 100 показывает, что эти 2 распределения длин дуг имеют совер-
шенно разные статистики:
Мы приходим к выводу, что распределение 22 квадратичных вычетов
по модулю 100 совершенно не случайно.
316
2 Статистика квадратичных вычетов с повто-
рениями
Поскольку .г2 = (-г-)2, мы будем рассматривать к = п/2 — 50 квадратич-
пых вычетов (с повторениями) по модулю 100.
Эти (пс обязательно различные) точки конечной окружности Zn делят
ее па к “дуг” (считая повторяющиеся квадратичные вычеты)
• • • У0 < У1 = У2 Уз =
— Ув ys+li
делящими конечную окружность на “дуги’* длин
... (&1- у0). О, 0 0, (уя+1 - уД ....
я — 1 раз
Это разбиение па к “дуг” мы сравним с аналогичным разбиением, порож-
денным на конечной окружности Zn случайным набором к независимых (не
обязательно различных) точек.
Легко доказывается (ср. [1], |2]) комбинаторная
Теорема 2. Числа *'(т) “дуг” длины т, на которые разбивают окруж-
ность Zn длины п все различные распределения k (не обязательно различ-
ных) точек вдоль этой целочисленной окружности, доставляются бино-
миальными коэффициентами:
й'(т) = п€%+у_т, гдеу = к - 2, 0 С т < п
Следствие. Доля. р'(т), “дуг” длин т (среди всех дуг различных распре-
делений к не обязательно различных точек на окружности Zn длины п)
составляет дробь
р\т) = > гдеу = к- 2.
Пример. При п = 100, к — 50 эти доли таковы:
т 0 1 2 3 4 5 6 7
Р' 0.32 0.22 0.15 0.10 0.067 0.044 0.029 0.019
i' 28 2 0 5 2 8 0 5
Р' 0.56 0.04 0 0.10 0.04 0.16 0 0.10
317
В строке #' этой таблицы выписаны количества “дуг” длин т, разделяе-
мых пятьюдесятью (не обязательно различными) квадратичными вычетами
на конечной окружности Zioo длины 100.
В строке Р'(т) указаны доля “дуг” длины т 0 (среди общего числа 50
“дуг”, на которые делят окружность Zioo к = 50 не обязательно различных
квадратичных вычетов).
Сравнение “теоретической” строки р1 (долей различных длин “дуг” т
при к — 50 случайных точках деления) со строкой Р' (долей различных
длин “дуг” т при делении окружности к = 50 не обязательно различными
точками деления) показывает, что их распределения совершенно различны:
Мы приходим к выводу, что распределение Pf не обязательно различных
квадратичных вычетов, столь же мало похоже па распределение р' такого
же числа не обязательно различных случайных точек окружности вычетов,
как различаются распределения различных вычетов (без учетов их повто-
рений).
3 Взаимодействие квадратичных вычетов
Рассматривая к точек .конечной окружности Z„ длины п. делящих ее па к
дуг длин aj,
СИ Н---h ак = п.
я исследовал (в статье [1]) величину
= а 1 + * • • .
Наименьшее возможное значение этой величины, очевидно, равно Во =
п2/к (оно достигается на “воинском строе” равноудаленных от соседей то-
318
чек: aj = п/к). Среднее (по всевозможным расположениям к точек на
окружности) значение величины В есть
2к
г Во ~ 2В$ (см. статью [1]).
«4-1
Составим безразмерный “параметр случайности” /3 = В/Во. Среднее
значение этого параметра (для набора большого числа независимых точек
деления) есть примерно [3 — 2.
Бблыпие среднего значения параметра (/? > 2) указывают на взаимное
притяжение точек деления (имеющих тенденцию скапливаться в одно ме-
сто, вплоть до “полного коллапса” ai — п, когда В — п2, /3 — к).
Меньшие среднего значения параметра (/3 < 2) также указывают на вза-
имодействие точек деления (имеющих тенденцию взаимно отталкиваться,
чтобы выстроиться солдатским строем (aj = n/fc, В = n2/fc, (3 = 1)).
Для исследования степени случайности квадратичных вычетов я сосчи-
тал значения параметра случайности [3 для набора к — п/2 квадратичных
вычетов (не обязательно различных) по модулю п.
В этом случае Во = п2/к = 2п. Чтобы получить ббльшую информацию
о поведении параметра (3 = В/Bq при изменении значения п, я усреднил
значения /3(п) по десяткам соседних значений аргументу п:
/?(10и) = 52
10(u-l)<n^l()u
Это усреднение приводит к таким средним значениям параметра [3:
и 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0(1Ои) 1.01 1.60 1.44 1.90 1.88 2.10 2.13 2.36 2.20 2.43
График этих средних близок к прямой линии (непонятно почему):
319
Эта зависимость среднего значения /3 параметра стохастичности от п
неплохо аппроксимируется линейной функцией, /3 « 1.22 + п/70.
Значение /3 равно 2 при п/70 « 0.78, т. е. при п — 55. Мы заключаем, что
п/2 квадратичных вычетов по модулю п в среднем отталкиваются друг
от друга, пока п < 50, и в среднем притягиваются друг к другу, когда
п > 60.
Возникает даже гипотеза, что при п —* оо средние значения параметра
стохастичности неограниченно растут: [3 —> оо (хотя бы для чсзаровских
средних).
Иными словами, средние квадратичные вычеты по модулю большого
числа, предположительно, притягивают друг друга.
4 Взаимодействие случайных вычетов
Чтобы сравнить поведение квадратичных вычетов по модулю п с распре-
делением по конечной окружности случайных точек, я построил шесть
наборов I-VI “псевдослучайных” вычетов при помощи следующего алго-
ритма.
Начнем с десятичных цифр (и:п vj) квадратов всех вычетов
j2 = lOuj:+vj; OsSjclOO.
Из последовательности п = 100 десятичных цифр квадратов,
(*l) = {«0,’A),'lO,t4,...,U49,t’49h
составим сто “случайных” двузначных вычетов по модулю 100 следующим
образом:
(I) = (Юно 4- vo, 10vo + vi, 10ui + vi,...)
(т.е. читая цифры последовательности (*i) подряд, не обращая внимания
на разницу между и и и).
“Псевдослучайную” последовательность к — 100 точек (I) в Zn можно
считать линейным образом системы квадратичных вычетов, и мы будем
применять к пей описанную выше теорию параметров стохастичности В
и (3 = В/Во, Во = п2/к.
Вычисления показывают, что число разных вычетов в последовательно-
сти I составляет Zj = 51, а сумма квадратов расстояний между ними (на
конечной окружности Zn) есть, при п = 100,
Bi = 300, Boi = 100,
320
так что безразмерный параметр стохастичности принимает в этом случае
значение
/3i = 3.00.
Для остальных пяти случаев построение “псевдослучайной” последова-
тельности получается из последовательности цифр совершенно таким же
образом, только вместо последовательности (*i) берутся ее простые моди-
фикации:
(*Il) = {tt0}U0,Vi,Ui,...,V49,U49}.
Затем, последовательность (*i) можно заменить ее левой или правой поло-
виной:
(*ш) = (*!') ~ (^0,^0, • - >^24,^24),
(*iv) — (*1") (^25,^25^ • ,^49^49)-
Аналогичным образом из последовательности (* п) строятся последователь-
ности
(*v) = 1^241^24),
(*Vl) = (*П") = (^25)^25, • --^49, W49).
Проделав эти вычисления, я получил следующие ответы:
I II III IV V VI
Во 100 100 200 200 200 200
В 300 202 366 374 484 394
1 51 47 39 40 37 38
0 3.00 2.02 1.83 1.87 2.42 1.97
п 100 100 100 100 100 100
к 100 100 50 50 50 50
Полученные значения показателя стохастичности /3 оказались для наших
псевдослучайных последовательностей не слишком далекими от средне-
го значения /3 « 2 для истинно случайных последовательностей. Среднее
арифметическое наших значений
& = + + = 2Л85
6
незначительно отличается от (3 = 2.
Последовательности II VI уже более или менее забывают свое проис-
хождение из исходной последовательности квадратичных вычетов, I.
321
Найденные выше для исходных квадратичных вычетов значения усред-
ненного параметра стохастичности
^L22+^i
(доставляющие сильно бблыпие 2 значения параметра стохастичности при
п > 60), свидетельствуют о серьезном взаимодействии (притяжении) квад-
ратичных вычетов по большому модулю, отсутствующем у независимо вы-
бранных случайных вычетов по тому же модулю (выбранных в таком же
числе).
Цитированная литература
[1] В. И. Арнольд. Группы Эйлера и арифметика геометрических прогрес-
сий. М., МЦНМО, 2003, с.18-22.
[2] V. I. Arnold. Ergodic and arithmetical properties of geometric progression’s
dynamics. Moscow Mathematical Journal, V. 5, No 1 (2005), p. 5-22.
Через полтора месяца после отъезда Арнольда В.И. в Париж у него была готова новая
статья.
322
Мы благодарны Главному
Э.Б. Винбергу, куда была прислана
книге. ( Набор Л.Т. Веденьёва).
редактору журнала «Математическое просвещение»
рукопись, за разрешение публикации статьи в нашей
............. ' | 1
. отталкивание. .. .SlTMtKr®. •
’’ L' ’"!£ L. ..................
..ио Mc^jAio VV Д__________________________j?^guMK> иросйТк
...._______________________________________J- '_' __5 - 1 __LJ.-J... _X .. _ ‘_/ Л..;J._
...... .... ... ,.. rjisv . ..T ' Г"”..' ' T XXX' !
Уз, s Й Ж st? :
^43?;^ t9X. = X XX!XX< _££X’XXX£X f L.X^XIXj'
X^--_'""‘‘‘X_С" ~ _,----t. .-r~- - -* r-111 L'"**"" * I
I '• ~ ч __ -j t i 7”’; 4 _ -! i )
' X^SiZ ЙЙХ
Jw&waajo we: V» ...Суч) ал.уi ^ 6 *1И О*
~1Хл___...............
_. _____
.. ZjA^aUL„_ ними LJ.
fcdqpeTZ>u>Tc4 j6uh
"ТсуМЛ
! . • ’ ' ‘s t ’ ! ; ! 1 >__• ‘ । i * i 1 • »
_ L..S1 ..<r^pats _:._
--------:Sxa . Jhtetau^..Ji8...
’га?....• - ’
•—,—_}-------______♦ ...t ’,—u —•—i. X .> j—J—I—.-—I—]—,—xX------1—'-.. .L-X. :
_ _Vy>^'JP^<4CAJ :____J •_______L±J .' ; L xJ _,..J X. .!....; .....
.. ...„.J.....^.^..1 .•..^-a/e\-=x---nv ...:.?._l....^. . .j....
323
Взаимное отталкивание примитивных вычетов
В.И. Арнольд
ytia7-€/-7>f игеслда сХърьЛ OTHJкъ
ХЙ* <* -е^ *>**** Тшс** а <^/>ч?р<Ч4м
^jaut^ ?| Лу^за Ле & &з@& j То 6}?a-ve^& z с)
p^U ijT £ c)>cS№~ ^^лг>е» “'^StfWfrTX ^~can^M^-j2,^vr-/ ^г<?£Я7ъ)‘х ом/ук Ty^ypC-j
/f^x слл ^b^)-"-4 «х n^^tuo f 6
Эос^и t ^ </« ^*7^ип a4;?7w)
Примитивными вычетами по модулю п я называю взаимно простые с натуральным
числом п остатки от деления на п. Например, при и=100 имеется А: =40 примитивных
вычетов, а именно:
х = 1,3.7,9,11,13,17,19,21,23,27,29,31,33,37,39,41,43,47,49,51,
53,57,59,61,63,67,69,71,73,77,79,81,83,87,89,91,93,97,99.
Ниже обсуждается вопрос, случайно ли распределены среди п точек конечной
окружности длины п, Zn=Z/nZ, состоящей из всех остатков от деления на п,
эти к(п) примитиыных вычетов (вхаимно протых с п)?
Примеры показывают, хотя примитвные вычеты расположены среди всех вычетов
довольно равномерно, их распределение статистически сильно отличается от распределения
такого же числа к(п) независимых случайных точек на целочисленной окружности Zn
длины п.
А именно, примитивные вычеты взаимно отталкиваются: малые расстояния между
соседними примитивными вычетами встречаются гораздо реже, чем они встречаются для
случайных выборок такого же числа к(п) независимых точек в Zn.
§ 1. Вычисление безразмерного параметра случайности /7.
Для к точек на целочисленной окружности длины п обозначим через (а],а2,...,аЛ)
длины дуг, на которые эти точки делят окружность, т.е. расстояния между соседними
точками:
а, +а2 +... + ак = п .
Пример. Для сорока примитивных вычетов по модулю п = 100 предыдущий список
доставляет сорок последовательных дуг, с длинами
2,4,2,2,2, 4,2,2,2, 4,2,2,2, 4,2,2,2, 4,2,2,2, 4,2,2,2, 4,2,2,2, 4,2,2,2, 4,2,2,2, 4,2,2
(расстояние между остатками 99 и 1 по окружности Z]00 равно 2).
324
Рассмотрим сумму квадратов длин всех этих к дуг,
В = а2 + а.2 + ••• + ,
на которые делят целочисленную окружность длины п примитивные вычеты по модулю п .
Эта сумма квадратов сильно зависит от распределения изучаемых к точек на окруж-
ности Zn.
В предыдущем примере (где п =100) мы замечаем десять троек последовательных дуг
длины 2, дающие в сумму квадратов длин дуг вклад
10(4+4+4)= 120,
и еще десять дуг длины 4, дающие вклад
1016=160.
Таким образом, при и =100 мы вычислили значение
5(100) = 120+160 = 280.
Можно доказать (см.,например, [1]), что значение В всегда заключено между наи-
меньшим значением
7
R
°~к
и наибольшим значением (превосходящим наименьший в к раз)
В}=п2.
Чтобы определить безразмерный аналог «числа Рейнгольдса», (позволяющий сравни-
вать распределения к точек на окружностях Zn разных длин п ) я предложил в [1] рассмат-
ривать «безразмерный параметр стохастичности»
/3 = В / Bfj= В Кп2/к).
В рассмотренном выше примере (л =100, к =40) получаются такие значения:
Вп= — =250, В = В/250о =1,120.
0 40 0
Для случайных к точек, независимо набросанных на окружность длины п , в [1] вы-
числены следующие значения параметров стохастичности,
(оказалось, что ~ 2 при больших к).
325
А именно, там доказано, что математическое ожидание значения безразмерного пара-
метра стохастичности составляет
2к
к+1
В приведенном выше примере значение параметра /3 = 1,12 гораздо меньше среднего
значения /3 = 1,951 (из-за того, что примитивные вычеты не независимы статистически, а
«отталкиваются» от своих соседей).
Если для набора к точек в Zn наблюдается значительно меньшее, чем /3 (т.е., чем 2)
значение безразмерного параметра стохастичности (3, то это свидетельствует об отталкива-
нии соседних точек. А если наблюдается значительно большее, чем (3 (т.е., чем 2) значение
/3, то это свидетельствует об их взаимном притяжении.
Мы увидим сейчас, что для примитивных вычетов получаются значительно меньшие,
чем 2, значения безразмерного параметра стохастичности /3,
В следующей таблице приведены значения параметров (n,k,B,fi) для примитивных
остатков от деления на 30 целых чисел, 2 < п < 31.
Число аа в этой таблице означает число дуг длины а .
(при п = 100 вышеприведенный список доставляет «2 = 30, а4 = 10).
Всегда выполняюися соотношения
Ца20Са=В-
Еще Эйлер заметил (в своей работе о дзета-функции), что в среднем
£/и«6/я-2=1/£(2)» 0,608
(при больших п ), а также, что для простого п-р выполнены соотношения
ад=р-1,*(р")=(р-1)р^',
и что « г -функция» к - к(п) мультипликативна: k(uv) = к(и)к(у),
Если и и v взаимно просты (обычное в теории чисел обозначение этой мультипликативной
функции & аргумента п есть г(и)).
Вычисление указанных в таблице значений повторяет приведенное выше в случае
п = 100 прямое перечисление примитивных вычетов, но оно проще, так как значения п
меньше. Например, примитивные вычеты по модулям п — 2,...,12 образуют такие картинки:
л = 2: |-о’ -|, и=3: |-о'-<?2-|, п = 4: |-о'---о3 -1,
326
п = 5: р1 -о2 -о3 -о4 -о5 -|, /7 = 6: |-о1-о5 -1,
п = 7: \-о'-о2-о3-о4-о5-о6-\, п = 8: |-О'---о3 —о5--о7 -|,
/7 = 9: |- о1- о2-о4 — о5-о7- о8-|,
/7 = 10: р1--о3-----------о7--о9-|,
/7 = 11: р-о2-о3-о4-о5-о6-о7-о8-о9-о10 -|,
/7 = 12: Р1-------о5—-о7---------оп-|.
Подобные рисунки доставляют следующие значения параметров стохастичности сис-
тем примитивных вычетов: 4 5 6 7 8 9 10 11
и 2 3
к 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10
В 4 5 8 7 20 9 16 15 28 13
Во 4 4,5 8 6,25 18 8,167 16 13,5 25 12,1
Р 1 1,111 1 1,120 1,111 1,102 1 1,111 1,120 1,074
ai 0 1 0 3 0 5 0 3 0 9
а2 1 1 2 1 1 1 4 3 3 1
а3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
ад 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0
А 2 2 2 2 4 2 2 2 4 2
Величина А в этой таблице - длина наиболее длинной из дуг, на которые примитивные
вычеты делят окружность Zn .При больших значениях п встречаются и более длинные дуги.
п 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
к 4 12 6 8 8 16 6 18 8 12
В 40 15 36 33 32 19 60 21 56 43
Во 36 14,1 32,67 28,125 32 18,06 54 20,05 50 36,75
Р 1,111 1,065 1,102 1,173 1 1,052 1,111 1,047 1,12 1,17
О1 0 1 0 3 0 15 0 17 0 5
а2 2 1 5 3 8 1 3 1 6 5
а3 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2
ад 2 0 1 0 0 0 3 0 2 0
А 4 2 4 3 2 2 4 2 4 3
327
Третий десяток значений п приводит к следующим значениям параметров стохас-
тичности.
п 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
к 10 22 8 20 12 18 12 28 8 30
В 52 25 80 35 60 45 72 31 132 33
Во 48,4 24,04 72 31,25 56,333 40,5 65,333 30,036 112,5 32,033
₽ 1,074 1,059 1,111 1,12 1,065 1,111 1,102 1,032 1,173 1,030
си 0 21 0 15 0 9 0 27 0 29
а2 9 1 4 5 11 9 10 1 3 1
а3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
ад 1 0 4 0 1 0 2 0 3 0
«5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
аб 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0
А 4 2 4 2 4 2 4 2 6 2
Сопоставляя найденные выше значения безразмерного параметра стохастичности 0,
мы замечаем, что, хотя все они гораздо меньше критического значения 2, они заметно осцил-
лируют при изменении числа п.
Чтобы сгладить эти осцилляции и выделить систематическое поведение чисел
составим их чезаровские средние
п п п
А") = (£>(т))/(£1) = -1).
т-2 т-2 т-2
п
В следующей таблице приведены значения сумм ^Г(и) = и значения чеза-
//7=2
ровских средних /7(и) = (п)/(п -1):
п 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Еоо /?(и) 1,00 2,111 3,111 4,231 5,342 6,444 7,444 8,565 9,675 10,749 1,00 1,056 1,037 1,058 1,068 1,074 1,063 1,069 1,075 1,075
Второй десяток значений
п доставляет еще более медленный рост чезаровских сред-
них /3(п):
п 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Х(п) 11,860 12,925 14,027 15,20 16,20 17,252 18,363 19,5 20,62 21,79
3(«) 1,075 1,077 1,079 1,086 1,080 1,078 1,080 1,083 1,085 1,089
328
Третий десяток значений п почти прекращает рост значений чезаровских средних
3(«):
п 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
Ew 22,864 23,923 25,034 26,154 27,219 28,33 29,432 30,464 31,537 32,567
fa) 1,089 1,087 1,088 1,089 1,089 1,090 1,090 1,088 1,089 1,086
В пределах первого десятка значений (2 < п < 11) величина чезаровского среднего
fl(n) возрастает от 1 до 1,075, т.е. на 0,075.
В пределах второго десятка значений (12 < п < 21) величина чезаровского среднего
fl(ri) возрастает на 0,011, т.е. примерно в семь раз меньше, чем в предыдущем дксятке. При
дальнейшем росте п (в пределах 22 < п < 31) прирост значения чезаровского среднено fl(n)
мало заметен.
Все это позволяет предположить, что чезаровское среднее Д(и) остается и при боль-
ших значениях п ограниченным (и даже - недалеким от 1).
Чтобы эмпирически проверить эту гипотезу, я вычислил значения параметров стохас-
тичности для п=100 и для окрестности этого значения, 96 < п < 104. Вот полученные 9 зна-
чений безразмерного параметра стохастичности fl :
. п 96 97 98 99 100 101 102 103 104
к 32 96 42 60 40 100 32 102 48
В 320 99 252 189 280 103 372 105 290
Во 288 98 — 96 228— 3 163,35 250 102,01 325- 8 104,09 225 — 3
Р 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0
Д 4 2 4 3 4 2 6 2 4
<т 1,111 2,121 3,223 4,380 5,500 6,510 7,654 8,663 9,728
П А Здесь <т(н) = ^fl(ni). Поэтому среднее значение fl параметра fl по указанной де- ш=96
вятке значений п (вблизи п = 100) составляет
Д(Ю0) = И2211 = 1,081.
Мы видим, что средние знаяения безразмерного показателя стохастичности fl(n) (сис-
темы примитивных вычетов по модулю п) мало отличаются друг от друга при п » 20 и при
п «100. Это подтверждает высказанную выше гипотезу о стабилизации fl(n)
329
при п -> да (утверждающую, что значения 0(п) не только остаются ограниченными при
п -> оо , но что они приближаются к стабильному значению 0* »1,08).
Однако даже такая стабилизация чезаровских средних не означает еще стремления к
пределу самих значений показателя стохастичности 0(п) :они могут сильно отличаться от
средних Д(и) столь редко, что эти различия не разрушат стабилизации Д(и) —> 0*.
§2. Параметр стохастичности Колмогорова, 2.
А.Н.Колмогоров [2] ввел свой параметр стохастичности 2 в работе 1933 года, опубли-
кованной по-итальянски в журнале страховой ствтистики.Он использовал этот параметр для
решения практически важного вопроса, правдоподобно ли утверждениео случайн ом про-
исхождении данной числовой последовательности {х1,х2,...}.
Для к вещественных чисел х(. (1 < i < к) Колмогоров определил значение своего па-
раметра 2 следующей конструкцией, обозначим через fk "эмпирически считывающую
функцию", определенную условием
fk (х) = (число не превосходящих х значений х(.).
Колмогоров обсуждает вопрос о правдоподобности гипотезы, что {х,.} суть к незави-
симых значений случайной величины х, распределенной на вещественной оси, с данной не-
прерывной функцией распределения F:
F(X) = (вероятность события х < X).
Составим "теоретическую считывающую функцию" Fk (X) = kF(X)
(это значение есть математическое ожидание числа меньших или равных X значений х, в
выборке из к независимых значений с данным распределением F).
Для вычисления своей характеристики 2 множества к вещественных чисел х, Кол-
могоров упорядочивает их (так, чтобы х( < х2 <... < хк).
Если все к значений х(. различны, то ступенчатая считающая функция fk равна 0 а
точках х < Xj, 1 в точках х2 < х < х3, и т.д., до значения к в точках х > хк. Считающая
функция fk множества к - 4 взаимно простых с числом п = 10 вычетов по модулю 10, име-
ет график
330
Если же в наборе {х(} есть повторения, то величина fk(z + 0)-fk(z-0) скачка в точке
г равеа числу совпавших с z точек изучаемого набора (т.е. числу тех i, для которых х£ = z
)•
Основной шаг в конструкции Колмогорова - исследование отличия эмпирической
считающей функции fk от теоретической считающей функции Fk.
Определение 1. Отклонение Колмогорова, Sk, определяется (для к точек {х(})
как Sk=su$fk(n)-Fk(n)\.
xeR
Определение 2. Параметр Колмогорова, Лк, имеет (для данного набора к точек {х£.})
значение Лк =Sk/ 4к .
Замечание. Деление на квадратный корень из к позволяет сравнивать между собою
(по значению параметра стохастичности Л) наборы из разного числа точек {хе}.
Дело в том, что разность fk - Fk можно представить как сумму к независимых сла-
гаемых порядка 1 с математическим ожиданием ноль для каждого слагаемого (считающих
но 1 точке в каждом слагаемом). По закону больших чисел типичные значения этой суммы
имеют порядок величины 4к (и они велики при больших к).
Деление на Jk уничтожает это масштабирующее влияние числа изучаемых точек -
велико или мало значение А.к определяется не тем, велико или мало значение к точек х,, а
тем, насколько они случайны.
Колмогоров в [1] доказал, что для к независимых случайных величин х(. с одинако-
вой непрерывной функцией распределения F
Получаемые из разных выборок к точек {х£} значения параметра стохастичности Лк
имеют (на положительной полуоси Л > 0 ) универсальную функцию распределения ФА (не
331
зависящую от F), а при к -+ оо эти функции стремятся к универсальной функции распреде-
ления Колмогорова,
+00
Ф(Л)= £((-1)-е-!- А’).
$ = -00
Здесь функции распределения определяются условиями
ФДЛ)= (вероятность события Лк < Л.).
Сходимость ФА —> Ф (при к —> оо) - равномерная (на полуоси Л > 0).
Функция Ф равномерно растет от Ф(0) = 0 (где равны нулю все ее производные) до .
Ф(оо) = 1.
Среднее значение так распределенной величины Л равно
Л = 4л71 In 2 «0,869.
Вдали от среднего значения Л функция Ф быстро стремится к 0 (слева) и к 1 (спра-
ва). Например,
Ф(0,4)« 0,003, Ф(1,8)« 0,997.
Поэтому как слишком малые значения параметра Колмогорова Лк (данного набора
{%, }), так и слишком большие значения, указывают на малое правдоподобие стохастически
изучаемого набора к чисел {%, }.
Вот значения функции Ф в некоторых точках Л:
Л 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
104Ф 28 1357 4558 7300 8877 9603 9888 9969 9993
Медианное значение Л* параметра стохастичности Колмогорова (для которого как
меньшие, так и большие его значения параметра стохастичности в распределении Колмого-
рова Ф имеют одинаковую вероятность 1/2) составляет Л* «0,83.
Описанная выше теорема Колмогорова [2] (об универсальном распределении Ф) до-
казана им из релятивистских соображений в предположении непрерывности функции рас-
пределения F независимых вещественных величин х (релятивистское соображение состо-
ит в том, что величины с разными такими распределениями превращаются друг в друга за-
менами координат на оси х ). Поэтому независящие от выбора координаты на оси х величи-
ны (вроде колмогоровского отклонения S и параметра Колмогорова Л) ведут себя для любо-
го непрерывного распределения так же, как для равномерного распределения вдоль некото-
рого отрезка (где все вычисления сводятся к суммированию объемов симплексов, биноми-
альным коэффициентам и формуле Стирлинга для их асимптотик). Я же собираюсь (неза-
конно) применить эту теорию к наборам точек на окружностях Zn, к которым она формально
332
не относится. Прежде всего, вычеты образуют дискретное множество, так что функция рас-
пределения никак не может быть непрерывной. Я надеюсь, однако, что при больших п ко-
нечная окружность Zn приближается к вещественной окружности S1, и что естественно-
научные факты, доказанные для предельного случая непрерывного множества значений х,-,
дают хорошее приближение к положению дел для значений, принадлежащих к дискретным
множествам значений, апроксимирующим непрерывные.
Другая трудность состоит в том, что конечная окружность апроксимирует не прямую
R , к которой относится теорема Колмогорова, а гладкую окружность 51. Беда здесь в топо-
логическом различии: одномерная группа когомологий окружности нетривиальна, и задан-
ные на ней распределения обычно не имеют поэтому однозначных функций распределения.
Ведь функция распределения - это первообразная его плотности, так что многознач-
ная функция на накрывающей окружность прямой при полном обходе окружности получает
приращение (равное массе изучаемого распределения на окружности).
Чтобы преодолеть эту топологическую трудность, я использую следующую конст-
рукцию.
Рассмотрим на окружности два распределения одинаковой суммарной массы
(в нашем случае одно из распределений дискретное, сосредоточенное в точках х;, другое -
непрерывное).
Рассматривая окружность S' = R/Z при помощи ее универсальной накрывающей R ,
мы поднимем оба распределения на окружности до Z - периодических распределений на
накрывающей прямой.
На прямой распределение с плотностью р уже имеет функцию распределения
X
f(X) = J p(x)dx.
Хо
Выбор этой первообразной (зависящей от “начальной точки” Хо) неоднозначен - она
определена лишь с точностью до “постоянной интегрирования”, первообразными являются
также и функции f + С при любой постоянной С .
Чтобы определить диалог отклонения Колмогорова S для пары распределений одина-
ковой массы на окружности, я поступлю следующим образом.
Обозначим через fk и Fk фунции распределения на накрывающей прямой, получен-
ные поднятием исходного дискретного распределения к точек на окружности и “теоретиче-
ского” непрерывного распределения той же суммарной массы к (у нашем случае это будет
равномерное распределение Fk(y) = ру на накрывающей прямой).
333
Коэффициент р выбирается так, чтобы приращение величины Fk при увеличении у
на длину рассматриваемой окружности составляло число к точек (массу) изучаемого рас-
пределения.
В нашем случае конечной окружности Zn = Z /(nZ) длины п мы получаем для коэф-
фициента р значение к/п.
Чтобы определить отклонение Sk, остается лишь выбрать постоянные интегрирова-
ния (с и С) для интегралов fk и Fk вдоль накрывающей прямой.
Определение 3. Отклонение Sk между эмпирическим распределением к точек на ок-
ружности длины п и непрерывным распределением массы к на ней определяется как
Sk = inf (sup | fk (x) - (Ft (x) + c) |),
сеЯ хеЛ
где fk и Fk - какие угодно две первообразные функции поднятий на накрывающую прямую
(для эмпирического распределения Сточек на окружности и для непрерывного распределе-
ния массы £ вдоль нее).
Замечание. Величина отклонения Sk не зависит от того, какие именно первообразные
взяты: при взятии нижней грани по с вторая первообразная согласуется с первой.
Пример 1.
Рассмотрим величины
M = sup(/-F), w = inf(/-F).
Величина отклонения есть
М -т
2 ’
так как к F можно прибавить оптимизирующую постоянную с = (М + т)/2 (для которой
отклонения вверх и вниз одинаковы).
334
Пример 2. Для четырех взаимно простых с п = 10 остатков {1,3,7,9} от деления на 10
получается такая оптимальная первообразная F4 + с:
ПриведеннойвыШе определение 3 отклонения 5^9позволяет определить значение
P=k/n=2/5
S4=4/5
14=4/(5л/4)=2/5
Лк = Sk /ук параметра Колмогорова для распределения к точек на окружности.
Я предполагаю, что теорема Колмогорова об универсальном распределении обобщается и на
этот вариант его теории (только универсальное предельное распределение параметра Колмо-
горов 2 в этом случае несколько изменится).
Например, математическое ожидание значения параметра Колмогорова,
А = л/я721п2 « 0,869, должно в случае распределений на окружности несколько уменьшить-
ся (примеры десятков наборов случайных точек на окружности подсказывают средние зна-
чения параметра Колмогорова порядка 0,53, но соответствующая предельная теорема не до-
казана). Не доказана и сформулированная выше гипотеза о существовании универсального
предельного распределения, обобщающего на случайные точки на окружности распределе-
ния Колмогорова Ф (доказанные им для наборов независимых случайных вещественных
чисел).
Переход от точек на непрерывной окружности S1 к точкам на конечных окружностях
Zn (с большими значеними п) также строго не обоснован. Но это, я предполагаю, лишь
временное техническое затруднение - асимптотика поведения ответов для Zn при и -> оо,
согласуется, вероятно, с обобщением на случай случайных величин на окружности S1 ре-
зультатов Колмогорова о вещественных случайных величинах.
§ 3. Вычисление значений параметра стохастичности Колмогорова й, для групп Эй-
лера примитивных вычетов по модулю п.
Приведенные в § 1 сведения о семействах примитивных вычетов позволяют легко
нарисовать картинки типа примера из § 2 выше для рассмотренных в § 1 значениий п.
Эти вычисления дают следующие значения величины отклонения Sk и параметра Колмого-
рова Лк:
п 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
к 2 4 2 6 4 6 4 10 4 12
sk 1/2 4/5 2/3 11/12 1/2 2/3 4/5 10/11 2/3 12/13
А 0,354 0,400 0,471 0,374 0,250 0,272 0,400 0,287 1/3 0,266
335
Второй десяток значений параметров Ак делает столь же маловероятной гипотезу о
случайности примитивных вычетов по этим модулям (при А < 0,4 вероятность случайности
меньше 3/1000, по таблице функции Колмогорова Ф, приведенной выше):
п 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
к 6 8 8 16 6 18 8 12 10 22 8
sk 6/7 14/15 1/2 16/17 2/3 18/19 4/5 8/7 10/11 22/23 2/3
4 0,350 0,330 0,177 0,235 0,272 0,223 0,283 0,330 0,287 0,204 0,236
Оставшиеся 7 значений (25 < п < 31) доставляют следующие значения параметров
Колмогорова Ак:
И 25 26 27 28 29 30 31
к 20 12 18 12 28 8 30
4 4/5 12/13 2/3 6/7 28/29 14/15 30/31
4 0,179 0,289 0,157 0,247 0,182 0,330 0,177
Распределение получившихся 283 значений параметров Колмогорова Ак совершенно
непохоже на распределение Колмогорова Ф.
Разделим ось значений А на 6 частей:
Я<0,2; 0,2<Л<0,25; 0,25<2<0,3; 0,3 < А < 0,35 ; 0,35<Я<0,4; 2>0,4.
Мы получим в этих частях, соответственно,
5, 6, 7, 5, 4, 1
значений. Суммы этих значений составляют, соответственно,
0,875; 1,385; 1,956; 1,673; 1,528; 0,471
2
°0.15 0.20 0.25 0.30 0.35
Среднее значение А по всем 28 значениям параметра А составляет примерно 0,282. В
распределении Колмогорова суммарная вероятность всех 28 таких значений сотавляет менее
1/300, так они малы.
Мы заключаем, что изучаемые распределения £ примитивных вычетов на окружности
Zn весьма сильно отличаются от случайных распределений к независимых точек. Это еще
одно подтверждение вывода § 1 о зависимости между примитивными вычетами, которые-
ведь, отталкиваются от своих соседей).
336
Ясно также, что вычисленные значения Ak(ri) имеют тенденцию убывать с ростом п.
Это можно было бы объяснить ростом с п знаменателя в формуле Лк = Sk I Jk , если бы от-
клонения Sk не слишком росли с ростом п (следовательно, с ростом к ~ (6/ л"2)п).
Приведенные выше значения наводят на мысль, что величины отклонений Sk остают-
ся ограниченными (и даже величинами порядка 1) при росте к.
Однако, в действительности дело обстоит иначе: при некоторых натуральных значе-
ниях п отклонения Sk сколь угодно велики.
А именно, возьмем в качестве п произведение всех J простых чисел, меньших неко-
торого pj+i: п - 2 • 3 • 5 • 7 • 11 •...• pj.
Лемма 1. Ни одно из целых чисел в интервале 2 < х < pj+x не взаимно просто с п.
Действительно, все простые множители числа х, меньшего pj+i, являются делителями
числа п, а значит - его общими делителями с х.
Лемма 2. Имеет место следующее неравенство для отклонения D, построенного по
к(п) примитивным вычетам по модулю п:
D>-(pJ+l-l)/2^
п
Доказательство. График ступенчатой считающей функции f примитивных вычетов
по модулю п содержит горизонтальный участок {1,...,/?у+1} длины pj+x -1 .Функция распре-
деления для равномерного распределения массы к вдоль окружности длины п (определен-
ная на накрывающей окружность прямой) линейна с наклоном р -к!п.
Отклонение никакой линейной функции наклона р от функции, постоянной на отрез-
ке L, не может быть меньшим половины произведения pL, что и доставляет утверждение
леммы 2 (при р-к!п, L = pj+}-\).
Лемма 3. Произведение
п
принимает сколь угодно большие значения для чисел п, являющихся произведениями дос-
таточно большого числа j последовательных простых чисел,
л = 2-3-5-...-р;.
Запишем число к(п) взаимно простых с п остатков от деления на п по формуле муль-
типликативности Эйлера
337
^ГКа-о.
Мы получим тогда
к _~гч Pt~\
п
Pi
1
Pi
Следовательно,
(для подходящего значения положительной постоянной с,, не зависящей! от j).
Воспользуемся теперь законом распределения простых чисел, из которого для i -того
простого числа вытекает при i > 1 неравенство
/л >c2zlnz
(для подходящего значения положительной не зависящей от z постоянной с2).
Таким образом, мы приходим к неравенству
М Pi
Из монотонного убывания функции-аргумента х > 1 вытекает оценка
xlnx
(см. рисунок):
(1) У—<—!—Л-^-
“zzlnz 21n2 ' xlnx
Равенство площадей левого и правого прямоугольников в отмеченных заливкой парах
доставляет неравенство (1).
338
Здесь слагаемое выделено из-за того, что график имеет вертикальную асимпто-
1 1
ту х = 1, так что прямоугольник высоты---сдвигать влево нецелесообразно вследствие
2 In 2
расходимости интеграла в точке х = 1.
Стоящий в правой части равенства (1) интеграл берется явно: при у = In х находим
dy
—— = —= <Z(lny),
xlnx у
так что
(2) j—= In(lnj)-ln(ln2)
* xlnx
Соединяя соотношения (1) и (2), мы приходим к неравенству
^2 — < — + с2 (—— + 1п(1п j) - 1п(1п2)), которое можно переписать в виде
“7 р. 2 In 2
22—<c3+c4ln(lnj)
<=i Р>
(с явно выписанными положительными постоянными с3 и с4, не зависящими от j).
к
Возвращаясь к исходной оценке величины In—, мы приходим к неравенству
п
1г
ln->-(c5+c6ln(lnj))
п
(с явно выписанными положительными постоянными с5 и с6, не зависящими от у).
к
Это неравенство доставляет оценку снизу отношения — , а именно
п
(3) ~ >---------
' ' п e^+c6lnlnj)
Воспользовавшись тем, что elnz = z, мы можем (при z = In j) переписать неравенство (3) в
виде
(4) ~> d'v1
и c7(lnj)
(с явно указываемыми положительными константами с6 и с7, не зависящими от j).
Воспользуемся теперь очевидным неравенством
(положительную постоянную с8, не зависящую от j, легко указать явно).
339
Соединяя это неравенство с неравенством (4), мы получаем неравенство
к Pj^~X „ J
« 2 9(1п7Г
(с независящими от j положительными постоянными с6 и с9).
Это неравенство (5) доказывает лемму 3, так как его правая часть стремится к оо при
7->оо.
Пример. Рассмотрим значение
л = 2-3-5-7-11-13-17-19-23-29-31-37-41-43-47.
(соответствующее j = 15). В этом случае pj+i = 53,
к(п) = 1-2-4-6 10-12-16-18-22-28-30 36-40-42-46 .
Значение к / п можно сосчитать, умножая выписанные сомножители, но проще заменить это
умножение сомножителей сложением их логарифмов.
Таблица логарифмов дает (десятичные) логарифмы
1g и» 17,78879, IgA; «16,93088.
Поэтому 1g п(к) « 0,85791, так что — « 7,21, и — « 0,139 .
к п
Зная длину L = 52 горизонтального участка [1,53] графика эмпирической функции
распределения, мы получаем (лемма 2) для отклонения S оценку снизу
S >-—«0,139-26 «3.61.
п 2
Этот пример показывает, что предположение S <2 , доставляемое приведенными вы-
ше таблицами (где т < 31) ошибочно: отклонения 5 бывают сколь угодно большими.
Правда, нужные для этого значения п очень велики (так что величина показателя сто-
хастичности Колмогорова A = SI 4к в приведенном выше примере и других, подобных ему,
мала). Можно предполагать, что большие отклонения Sk(m} встречаются столь редко, так что
чезаровские средние
п
'У \
остаются при п -» оо ограниченными (или даже имеют конечный предел). Кажется правдо-
подобным, что соответствующие значения показателей стохастичности Колмогорова
к(п) ~ Тад
340
(семейств к(п) примитивных вычетов по модулю п) остаются ограниченными при « -> <»
(или даже стремятся к 0). Но эти гипотезы также не доказаны (даже для чезаровских сред-
них, для которых эта ограниченность вызывает мало сомнений).
Чтобы получить больше эмпирического материала для оценки правдоподобия этих
гипотез, я посчитал значения отклонений и показателей Колмогорова для групп Эйлера вза-
имно простых с п остатков от деления на и в окрестности значения п = 100 (для
96<и<104).
Вот таблица полученных в этих девяти случаях значений параметра Колмогорова.
п 96 97 98 99 100 101 102 103 104
к 32 96 42 60 40 100 32 102 48
S 0,667 0,990 0,857 1,061 0,800 0,990 1,196 0,990 0,923
Я 0,118 0,101 0,132 0,137 0,126 0,099 0,211 0,098 0,133
Из .той таблицы видно, что среднее значение показателя Колмогорова Лк(п)
стохастичности системы примитивных вычетов по модулю п’ (для девяти значений,
96 < п < 104) составляет Я ® 0,128.
Сравнение с таблицей значений показателя Лк(п) при п < 31, на стр. 13 (где среднее
было 0,282) показывает систематическое уменьшение Ai(ri) с ростом натурального числа п:
примитивные вычеты по модулю п становятся все менее и менее случайными, когда значе-
ние п растет.
Я предполагаю, что Л^п) —> 0 при и -> оо, но не решаюсь высказать здесь никакой ги-
потезы о скорости уменьшения с ростом п значений показателя стохастичности Колмогоро-
ва систем взаимно простых остатков от деления на п. Гипотеза об их убывании, подобном
убыванию 1 / 4п , была бы естественной, если бы отклонения S не росли, а отношение к / п
стремилось бы при и ч ® к эйлеровскому пределу 6/ яг: ведь Я = $4к.
Но наблюденные значения Я » 0,20 при п « 25 , Я « 0,13 при п » 100 свидетельствуют
о более медленном, чем 1/л/л , убывании с ростом п значений показателя стохастичности
Колмогорова Я.
Переход от п = 25 к п = 100 увеличивает число п в четыре раза, так что при убывании
типа 1 / 4п значение показателя Колмогорова должно было бы уменьшиться (при переходе
от п ~ 25 к п ~100) вдвое.
„ 0,13 пг_ 1
Но, ведь, = 0,65 > —, т.е. уменьшения показателя стохастичности вдвое нет.
341
Было бы интересно изучить поведение отношения Sk(n) / п при п -> оо. Малость этого
отношения (1пп5Л,п) / и = 0) означает асимптотически равномерное распределение к(п) при-
митивных вычетов по модулю п вдоль конечной окружности Zn (большой длины п).
Нетрудно видеть, что величина отклонения мала по сравнения с п, если некото-
рые из простых множителей числа п входят в него с большими кратностями.
Действительно, расположение примитивных вычетов по модулю п = р“ перио-
дично, с периодом Т = pj (ибо вычеты х и х + Т взаимно просты с п одновременно).
Отклонение S для периодической системы ограничено сверху длиной периода, Т.
Поэтому предельное поведение Т / п -> 0 имело бы следствием требуемую асимпто-
тическую распределенность примитивных вычетов.
Даже для чезаровских средних при п -> оо такой вывод был бы полезен (означая рав-
номерную распределенность объединения примитивных вычетов по всем модулям m < п,
перенесенных на окружность длины 1).
Но я не знаю, существуют ли при каком-нибудь £ > 0 (в бесконечном количестве)
«исключительные» значения п, для которых S(n) > sn.
Если их нет, то предыдущие рассуждения доказывают асимтотически равномерную
распределенность примитивных вычетов вдоль Zn при и -> со.
В противном случае эти рассуждения доказывают асимтотически равномерную рас-
пределенность только для большинства значений п, или для чезаровских средних при
И —> СО .
Цитированная литература
[1] В.И. Арнольд. Группы Эйлера и арифметика геометрических прогрессий. МЦНМО, М.,
2003,43 стр.
[2] A.N. Kolmogorov. Sulla determinazione empirica di una legge di destribuzione.Giom. 1st. Ital.
Attuari,4:l (1933), 83-91.
Взаимное отталкивание примитивных вычетов.
В.И. Арнольд
(Резюме)
Исследование распределения остатков от деления на натуральное число п, которые
взаимно просты с п, среди всех п остатков {0,1,..., п -1}, показывает, что взаимно простые с
342
п остатки распределены вдоль конечной окружности Zn длины п совсем не так, как были бы
распределены независимые случайные точки, расположенные на этой окружности в таком
же количестве. А именно, взаимно простые с п остатки отталкивают своих соседей.
Ключевые слова. Стохастичность - число Рейнольдса- распределение Колмогорова -
равномерная распределенность - дзета-функция Эйлера - группы Эйлера.
343
В память о Владимире Игоревиче Арнольде Научный портал публикует статью о вы-
дающемся ученом, написанную учеником академика, профессором кафедры дифференци-
альных уравнений Юлием Сергеевичем Ильяшенко в соавторстве с А.Г.Хованским
Владимир Игоревич Арнольд
3 июня 2010 года в Париже скончался один из великих математиков современности
Владимир Игоревич Арнольд. Математическое творчество В.И.Арнольда началось более пя-
тидесяти лет назад и повлияло на весь облик современной математики. В.И.Арнольд был чле-
ном всех ведущих академий мира и лауреатом многих отечественных и международных пре-
мий. В.И.Арнольд создал блистательную математическую школу. Его влияние на математиче-
скую науку и образование в России и во всем мире огромно и сохранится на долгие годы.
Математические открытия Арнольда трудно перечислить. Давид Гильберт на рубеже
девятнадцатого и двадцатого веков сформулировал список из двадцати трёх проблем, кото-
рые девятнадцатый век завещал двадцатому. Малейшее продвижение в любой из этих задач
привлекает внимание всего математического сообщества. В 19 лет, будучи студентом третье-
го курса, Арнольд вместе со своим учителем А.Н.Колмогоровым решил тринадцатую про-
блему Гильберта. Гильберт предположил, что решение уравнения седьмой степени не выра-
жается в виде суперпозиции непрерывных функций двух переменных. Арнольд и Колмого-
ров опровергли эту гипотезу.
Другая студенческая работа Арнольда была его первым вкладом в знаменитую тео-
рию КАМ (Колмогоров-Арнольд-Мозер). Эта теория, начало которой положил Колмогоров,
была нацелена на решение классических проблем небесной механики, например, насколько
долговечна Солнечная Система?. В течение всего лишь четырех лет Арнольд завершил соз-
дание теории, решившей двухсотлетние проблемы.
В.И.Арнольд является одним из создателей теории особенностей. Эта теория описы-
вает скачкообразные изменения в окружающих нас процессах, которые происходят при мед-
ленных, плавных изменениях параметров, характеризующих процесс. Такие резкие измене-
ния называются иногда катастрофами, а сама теория - теорией катастроф. Она имеет прило-
жения не только в физике и химии, но и в биологии и социологии.
Одна из ветвей теории катастроф - теория бифуркаций, описывающая скачкообраз-
ные изменения, происходящие в дифференциальных уравнениях при потере устойчивости.
Работы Арнольда и его учеников начали новый этап в развитии этой теории, который
продолжается до сих пор.
Еще одна проблема Гильберта, связанная с описанием линий уровня многочленов на
плоскости, явилась для Арнольда стимулом создания новой теории - вещественной алгеб-
раической геометрии.
344
Работы Арнольда не только далеко продвинули решение 16-й проблемы Гильберта, но
и открыли новую область исследований.
Еще одна ветвь математики, созданная Арнольдом - симплектическая топология. Это
неожиданный сплав геометрии и гамильтоновой механики, возникший из гипотезы Арнольда
о числе неподвижных точек сохраняющих площадь отображений тора.
Арнольд ощущал математику как единое целое. Она была для него не башней, по-
строенной из абстракций, а естественной частью окружающего нас прекрасного мира. Чув-
ство гармонии, ощущении красоты и единства мира присущи всем работам Арнольда. Его
можно назвать Пушкиным в математике. Видимо, неслучайно именно Арнольд нашел раз-
гадку эпиграфа к «Евгению Онегину».
У Владимира Игоревича был необычный творческий метод, перенятый им у его учи-
теля. Когда задача не получалась, он становился на лыжи (в плавках) и бежал километров
сорок. Коллеги не раз встречали его в этом костюме на пронзительном ветру. По его словам,
когда он возвращался, новая идея всегда являлась. Правилом Арнольда было купаться все-
гда, когда он выходил на открытую воду. Он не только сам купался зимой, но и пристрастил
к этому многих своих учеников.
С начала шестидесятых годов по вторникам на Мехмате МГУ собирался семинар Ар-
нольда. Семинар не был ограничен никакой узкой темой и занимался самой разнообразной
математикой. Каждый семестр Арнольд открывал семинар новым списком задач. Владимиру
Игоревичу приходило в голову столько идей, что довести их до конца было не по силам даже
ему. Эти идеи формулировались в виде задач и предлагались участникам семинара. Решение
этих задач привело к возникновению новых областей математики и новых ярких учёных.
Владимир Игоревич делал огромное количество дел, и всё, за что брался, делал с та-
лантом и страстью. Участникам его экскурсий по Парижу случалось падать в обморок от ус-
талости: Владимир Игроевич часами рассказывал об истории любимого города, переходят от
квартала к кварталу, от эпохи к эпохе, перескакивая с одного языка на другой. Про него го-
ворили: человек Ренессанса.
Он был главным редактором замечательного журнала «Функциональный анализ и его
приложения», имел своё собственное мнение о таком количество чужих статей, так ясно пред-
ставлял всю картину современной математики, что кажется - это физически невозможно.
Арнольд был страстным борцом против губительных реформ образования, направ-
ленных на его выхолащивание. В своей речи на парламентских слушаниях в Государствен-
ной думе Арнольд резко выступил против плана реформ, который «производит общее впе-
чатление плана подготовки рабов, обслуживающих сырьевой придаток господствующих хо-
зяев.»
Сам Арнольд был воплощением свободы в творчестве, в наставничестве, в жизни и
этой свободе учил всех, кто имел счастье попасть в сферу его влияния.
345
* * *
Ярчайшее явленье - дар богов
И редкостное в Мире - гениальность.
Взметнулся в выси из земных оков
Ты, не забывший ни на миг реальность.
Талантливых немало знает Мир,
Но ты один - явление природы
И за такие выси воспарил -
Другим лететь бы световые годы.
Ты в нашей доброй памяти храним.
Твоё лицо - не семь десятков зим,
А отраженье мудрости, свершений.
Открытия потомкам передать,
Внять лаконичности твоих суждений
И в том бессмертие твоё признать.
346
ПРИМЕЧАНИЯ
1. Список сокращений
ВАК - Высшая Аттестационная Комиссия
ВМК - (факультет) вычислительной математики и кибернетики МГУ
ВЦ - Вычислительный центр
ВЧ - воинская часть
ДАН - Доклады Академии Наук
ЕГЭ - Единый государственный экзамен
КБ - Конструкторское бюро
МГПИ - Московский государственный педагогический институт
МГТУ - Московский государственный технический университет
Мехмат - механико-математический факультет (МГУ)
МИАН - Математический институт Академии Наук
МИЭМ - Московский институт электронного машиностроения
МФТИ - Московский физико-технический институт
МЦ НМО - Московский центр непрерывного математического образования
НИИ - Научно-исследовательский институт
НПО Маш - Научно-производственное объединение машиностроения
ОАО МАК «Вымпел» - Открытое акционерное общество Международная акционерная
корпорация «Вымпел»
ПКБ АСУ - Производственное конструкторское бюро автоматизированных систем
Управления
СССР - Союз Советских Социалистических республик (1922 - 1991)
СУНЦ - Специализированный учебно-научный центр МГУ - физико-математическая школа
им. А. Н. Колмогорова
ФМШ - физико-математическая школа
ЦАГИ - Центральный аэрогидродинамический институт
ЦКБМ - Центральное конструкторское бюро машиностроения
2. Фотографии на стр. 20, 118, 157, 248, 259, 273, 276, 277, 292 по желанию Арнольда
В.И. были скопированы при его жизни из книги «Владимир Игоревич Арнольд
- 60 Избранное» для печати в следующих книгах «Мы - математики с Ленинских гор» (см.
фрагмент письма на стр. 156).
Фотографии на стр. 206, 207, 208, 271 выполнены В.В. Козловым.
Фотографии на стр. 19 (внизу) скопированы из книги «С.М. Никольский. Мой век».
ФАЗИС. М. 2005.
За качество фотографий типография ответственности не несёт.
3. Рисунки на стр. 35, 72, 299 - Д. Арнольда
4. Автор стихотворений на стр. 102, 111, 345 - А. Белова
347
СОДЕРЖАНИЕ
СЛОВО ОБ АРНОЛЬДЕ
А.Н. Колмогоров ...........................................................3
В.А. Садовничий............................................................4
В.В. Козлов................................................................5
В. Н. Чубариков............................................................6
В.М. Тихомиров. Памяти Владимира Игоревича Арнольда........................7
С.М. Никольский. «У вас ещё всё впереди»..................................19
1. ОДНОКУРСНИКИ
А.А. Кириллов. Дима Арнольд...............................................21
А.В. Архангельский. Воспоминания об Арнольде (Мои студенчесие
годы в МГУ)...............................................................28
О.К. Архангельская (Раздуваева). Поход в Новгород..........................32
Ф.М. Архипова. Моя дочь, студентка Мехмата, слушала лекции Арнольда.......33
А.И. Бородина (Луговцова). Я с гордостью произнесла
фамилию автора: « Арнольд!»...............................................34
В.И. Ванько. Подтвердились слова М.В. Ломоносова..........................35
Р.А. Васин. Экспериментальная математика..................................36
В. Тагирова. Лекция В.И. Арнольда.........................................38
О.И. Васина (Стрикелъ). Всё вышло случайно................................40
Л. Т. Веденъёв. Два слова об академике В.И. Арнольде......................41
В. К. Власов. В памяти сохранились отдельные штрихи, моменты,
связанные с Димой.........................................................42
В.Е. Голубцов. Лидер в любом деле.........................................43
Н.И. Ермилова. Консультация шахматиста....................................44
Г.П. Иванова. На фотографии мы рядом......................................44
Э.П. Казанджан. Мимолётности..............................................45
И.А. Клименко (Журавская). «С Димой мы учились в разных группах...».......47
А. С. Кузичев. Дима Арнольд. Что вспоминается.............................48
К.К. Кузичева. С марсианской жаждою творить...............................49
Ивар Экланд. О Владимире Арнольде.........................................58
В.И. Курилов. Все мы, сокурсники Димы Арнольда, понимали,
что с нами учится гениальный математик....................................61
З.А. Левашова (Кузичева). Несколько слов о Диме Арнольде - редакторе......64
М.И. Лившиц. Здравый смысл математика.....................................65
И.Е. Майзлин. Мои встречи с Димой Арнольдом...............................71
А.И. Мороз. С Димой Арнольдом я учился в одной группе.....................72
ИЗ. Новгородова. Для чего мы изучаем математику?..........................73
М.М. Панкратов. «На фотографии мы рядом...»...............................74
В.М. Полякова. В память о Диме............................................75
Р.И. Попович (Стрелкова). Он был рад вниманию однокурсников...............76
348
На презентации книги Мальвины Ботиной...................................77
А.И. Рубинштейн. Когда, сгорая, падает звезда...........................78
Н.П. Салихов. Стихи Пастернака..........................................84
В.И. Стафеев. Он рядом с нами...........................................84
Э.Н. Сармин. Ему до всего было дело, он интересовался всем..............85
Л.А. Сармина (Сачкова). Таким он остаётся в нашей памяти................85
Г. В. Скороходова. Мой первый знакомый с моего курса....................86
А.Н.Субботин. В ожидании дождичка ......................................88
АД. Сухова. Подарок судьбы..............................................89
Л.С. Ткач (Шкитина), В.Ф. Ткач. Добровольный наставник..................90
А.Д.(Ярцева) Белова. Планета гения......................................93
2. ПРИХОДИМ К ЛОМОНОСОВУ
Развитие мысли Ломоносова ..............................................113
3. ВОСПОМИНАНИЯ АРНОЛЬДА В.И.,
НАПЕЧАТАННЫЕ В ЧЕТЫРЁХТОМНИКЕ
«МЫ - МАТЕМАТИКИ С ЛЕНИНСКИХ ГОР»
Книга Ns1, 2003 г.
« Русская математическая традиция...»...................................121
Первые научные воспоминания.............................................122
Род Арнольдов..........................................................123
Домашняя библиотека. Школьные годы.....................................124
Обе целины были замечательными.........................................127
Должности. Почётные докторские степени. Премии в области математики....130
Об Андрее Николаевиче Колмогорове......................................132
Книга №2, 2005 г.
Математика и математическое образование в современном мире.............140
Что ждёт школу в России?...............................................143
Подготовка новой культурной революции..................................144
Выступление академика В.И. Арнольда на парламентских
слушаниях в Государственной думе 23 октября 2002 года..................146
Ответы на вопросы «Новой газеты».......................................149
Творчество Димы Арнольда (рисунки, стихи - переводы)...................152
Как собирали материал к следующим книгам...............................157
Отчёт В.И. Арнольда, главного научного сотрудника
отдела геометрии и топологи Математического института
им. В.А. Стеклова, о научной работе 2004 года..........................159
Книга №3, 2007 г.
«Весной 1998 года Парижская полиция подобрала меня...»................ 162
Отчёт... о работах за 2006 год.........................................163
Виктор Гюго. Наука и вычисления (перевод Арнольда).....................166
349
Галилей..................................................................169
Набережные Дивы и пещеры Митры...........................................171
Фазаны Венсенского леса..................................................175
Книга №4, 2009 г. Переориентация науки на «прикладные исследования»
приведёт к снижению интеллектуального уровня страны.....179
Математическое понимание природы.........................................186
Что такое арифметика?....................................................190
В наших воспоминаниях в книгах (1-4)
«Мы - математики с Ленинских гор» Дима Арнольд - с нами рядом............193
Архипова Ф.М., Соломатина Р.Д., Степченков О.П., Власов В.К., Чернавский А.В.,
Белоусов Л.Ю., Панкратов М.М., Морозова Е.А., Архангельский А.В.,
Говердовская В.М., Кириллов А.А., Сармина Л.А., Красовская И.А., Белова А.Д.,
Искрова Г.И., Журавская И.П., Рубинштейн А.И., Ставская О.Н., Пахомов В.Ф.,
Константинов Н.Н., Шарыгин И.Ф., Харшиладзе А.Ф., Керимова (Мансурова) Д.Х.,
Красовская И.А.
4. УЧЕНИКИ, ДРУЗЬЯ
О.И. Кислякова. Запомнила,... как оказалось, навсегда.......:.............200
А.А. Зембеков. Лекции Арнольда по классической механике...................201
Т.В. Аветисова (Ниорадзе). «На первом курсе, в 1962 году...»..............202
А.М. Солдатенков. Мои знания по обыкновенным дифференциальным уравнениям
признал хорошими сам Арнольд!........................................203
Н.Ю. Иванова (Филиппова). Лист Мёбиуса.....................................204
В.В. Козлов. Нашим учителем был Андрей Николаевич Колмогоров...............207
М.В. Козлов. Если смотреть со стороны......................................210
Л.Г. Черныш. Мехмат обеднел так, что до сих пор
невозможно осознать потерю....:...........................................211
А. В. Булинский. Экскурсия, лучше которой я не знал........................213
А.Ф. Харшиладзе. «С боем» отстаивал свои позиции...........................214
С.А. Молчанов. Арнольд в моей жизни.......................................216
В.Б. Демидович. Заочная беседа.............................................217
Фотографии в 70-летие Арнольда В.И........................................250
В.И. Арнольд глазами учеников (Труды Математического института имени
В.А. Стеклова).
А.Н. Варченко, В.А. Васильев, С.М. Гусейн-Заде, А.А. Давыдов,
В.М. Закалюкин, Ю.С.Ильяшенко, М.Э.Казарян,
А.Г. Кушниренко, С.КЛандо, А.Г.Хованский.......................252
В.Б. Алексеев. Я всегда считал В.И. Арнольда одним из лучших моих учителей.258
А. А. Давыдов. Индикатрисы на снегу.......................................261
А.М. Абрамов. Встречи с Владимиром Игоревичем.............................266
Н.Н. Константинов. «Осенью 1948 года мы пошли в Университет слушать лекцию
Игоря Владимировича Арнольда...».......................273
Г.И. Архипов. Для меня именно он открыл мир современной математики........275
350
Е.В. Шикин. Один курьёзный эпизод........................................277
А.Г. Багдасарян. В.И. Арнольд - человек и учёный.........................278
В.М. Закалюкин. Какой удивительно прекрасный и огромный мир носил он в себе!
Великий мир Великого Арнольда!...........................279
А. Курганов. Мне повезло - я был знаком с Владимиром Игоревичем..........281
В.С. Губарев. Путешествие в хаосе.........................................283
К.Н. Смирнов. Когда уходят легенды.......................................294
5. ПОСЛЕДНЕЕ
А.Г. Сергеев. «Многое было сказано и написано за последние годы о выдающихся
достижениях Владимира Игоревича Арнольда...»..............................301
Отчёт В.И. Арнольда, главного научного сотрудника
Отдела геометрии и топологии
Математического института имени В.А. Стеклова РАН
о научной деятельности за 2008 год..................303
Отчёт В.И. Арнольда о научной деятельности за 2009 год...................306
11 января 2010 года. Доклад Арнольда В.И. «Случайны ли квадратичные вычеты?»
на открытии конференции, посвящённой 60-летию
В.В. Козлова, директора Математического института
Академии наук РФ.......................................311
М.А. Королёв. Содокладчики...............................................312
Обложка журнала «Нелинейная динамика»....................................313
В.И. Арнольд. Доклад «Случайны ли квадратичные вычеты?» Публикация
в журнале «Нелинейная динамика», 2010, Т.6, №3, с. 513-519..........314
В.И. Арнольд. Взаимное отталкивание примитивных вычетов.
Последняя статья Арнольда В.И. Первая публикация.........................323
Ю.С. Илъяшенко в соавторстве с. А.Г. Хованским. Владимир Игоревич Арнольд.344
Приложение - диск DVD:
1.26.12.2009. Беседа профессора С.П. Капицы, ведущего телепередачи
«Очевидное - невероятное», с крупнейшим математиком современности,
академиком В.И. Арнольдом о проблемах математики и физики.
2. Последний доклад В.И. Арнольда «Случайны ли квадратичные вычеты?»,
прочитанный 11 января 2010 года в Математическом институте имени
В.А. Стеклова Российской академии наук на Научной конференции
«Избранные проблемы современной математики», посвящённой
60-летию В.В. Козлова, директора МИАН.
351
МЫ - МАТЕМАТИКИ С ЛЕНИНСКИХ ГОР 5
В.И. АРНОЛЬД
ВОСПОМИНАНИЯ ОДНОКУРСНИКОВ,
ДРУЗЕЙ, УЧЕНИКОВ
Составитель и главный редактор А.Д. Белова
Редакторы: Архангельский А.В., Архангельская О.К., Васин Р.А., Курилов В.И.,
Курочкина А.И., Левашова (Кузичева) З.А., Рубинштейн А.И., Чубариков В.Н.
Корректоры: Левашова (Кузичева) З.А., Панова Л.А.
При подготовке книги активное участие принимали:
Веденьёв Л.Т., Новгородова Н.З., Pay О.В., Черемных Ю.Н.
Компьютерный набор авторов и составителя
Верстка Бишеновой Н.
Независимое литературное агентство «Московский Парнас»,
123995, Москва, Поварская ул., 52, офис 24
Формат 60/90/8. Печать офсетная
Объём 44 п.л. Тираж 999. Заказ 1075
Отпечатано в типографии ОАО «ВПК «НПО машиностроения»,
143966, Московская обл., г. Реутов, Гагарина,33
АРНОЛЬД В.И.:
Математическое образование должно составлять неотъемлемую
часть культурного багажа каждого школьника.
Математика является экспериментальной наукой - частью теоретик
ческ >й физики и членом семейства естественных наук. Основные принципы
построения и преподавания всех этих наук применимы и к математике -
искусство строгого логического рассуждения и возможность получать этим
снос >бом надёжные выводы.
Основной частью математического образования должно быть воспи-
тание умения математически исследовать явления реального мира.
Математическое сообщество несёт свою долю ответственности за
повсеместно наблюдаемое давление со стороны правительств и общества в
целом, направленное на уничтожение математической культуры как части
культурного багажа каждого человека и в особенности на уничтожение ма-
тематического образования. Выхолощенное и формализованное преподавание
математики на всех уровнях сделалось, к несчастью, системой... изобилие
немотивированных определений и непонятных доказательств... Отсутствие
призеров, отсутствие чертежей и рисунков... внематематических прило-
жений и мотивировок понятий математики...
Математика - живой организм, вдобавок, подобный лестнице, в кото-
рой t ыкидывание даже отдельных ступенек чрезвычайно опасно.
То, что в России ещё остались математики, упорно не .желающие
эмигрировать и воспитывающие новые поколения талантливых студентов, -
свидетельство своеобразного героизма (с точки зрения наших западных коллег
-глупости), традиционно для российской интеллигенции. Но долго удержи-
ваться такое состояние не может.
... Уважение к науке тоже нужно воспитывать. Доступное неспециа-
лисп у изложение сущности науки многим необходимо, и мы должны прила-
гать все усилия для удовлетворения традиционной любознательности рос-
сийского читателя, издавая недорогие хорошие книги.
Мнение, будто доказательства теорем - лишние «вещи, которые нико-
му н {когда не понадобятся», - распространённое заблуждение. Не понадобят-
ся О! и послушному стаду рабов, готовых исполнять не понимаемые ими при-
казы начальства... стремление всё понимать и всё объяснять и воспитыва-
ется доказательством теорем.
По-моему, школьные учебники надо писать не академикам, а (лучшим)
IUKOJ ьным учителям - таким и был Андрей Петрович Киселёв (1852-1940),
нреп 'дававший математику, механику и черчение в Воронежском реальном
учил\ пце.
Страна без науки не имеет будущего, и принятие обсуждаемого плана
было бы преступлением против России. Как это ни удивительно, уровень
подготовки школьников в России до сих пор остаётся, особенно в области
математики, очень высоким по сравнению с большинством стран мира.