/
Текст
В.И.АРНОЛЬД ы - математики с Ленинских гор 5
ПОСВЯЩАЕТСЯ выдающемуся учёному России, крупнейшему математику XX - начала XXI века академику ВЛАДИМИРУ ИГОРЕВИЧУ АРНОЛЬДУ 12.VL1937 - 3.VL2010 МЫ - МАТЕМАТИКИ С ЛЕНИНСКИХ ГОР №5 Воспоминания однокурсников, друзей, учеников Москва, 2011 г.
ББК 94.3 (Рос=Рус)6-Я43 Арн 84 Перед вами пятая книга коллективных мемуаров математиков - выпускников 1959 го- да механико-математического факультета Московского государственного университета име- ни М.В. Ломоносова «Мы - математики с Ленинских гор». Первая книга (2003 г.) была посвящена 70-летию механико-математического факуль- тета. Сокурсники писали о поступлении в университет, о жизни и учёбе на Мехмате МГУ, о своих преподавателях, о событиях, которые они наблюдали или были их участниками, о доб- ровольном участии в уборке целинного урожая, о студенческом фольклоре. Вторая книга (2005 г.) посвящена 250-летию Московского государственного универ- ситета и 60-летию Победы в Великой Отечественной войне. «Война прошла сквозь наши судьбы» - рассказ о родителях, сражавшихся на фронте за освобождение Родины, и об авто- рах книги, которые пошли в первый класс во время жестокой войны, как сложилась судьба каждого. Третья книга (2007 г.) посвящена 70-летию и предстоящему полувековому юбилею трудовой деятельности авторов. Беспокоясь, смогут ли они через четыре года выпустить книгу - дань памяти великому учёному России, создателю Московского государственного университета Михаилу Васильевичу Ломоносову к 300-летию со дня его рождения, авторы уже тогда поместили в книгу материал «От Ломоносова до нас». Кем стали выпускники соз- данного М.В. Ломоносовым университета, их труд и увлечения - об этом глава «Рядовые свидетели века». В четвёртой книге (2009 г.) звучит глубокая обеспокоенность состоянием нынешней науки, преподаванием математики на всех уровнях. Авторы, имеющие полувековой опыт ра- боты (научной, практической, преподавательской) посчитали полезным и интересным пред- ставить разнообразные точки зрения на этот предмет, не оставаться в стороне от обсуждения современного реформаторства в области образования (в частности, математического), кото- рое большинство из них считает губительным для всей системы образования в нашей стране. Страстным защитником высокого образования в России был Владимир Игоревич Ар- нольд, академик РФ, выдающийся математик Мира, лауреат Ленинской, Государственной РФ и многих международных премий. Он - наш однокурсник Дима, товарищ, гордость курса, факультета, университета, страны. Арнольд В.И. ушёл из жизни 3 июня 2010 года. Пятая книга «Мы - математики с Ленинских гор» - воспоминания об Арнольде В.И. его однокурсников, друзей и учеников. Авторы пишут, каким он был в жизни. Мы не ставим своей задачей раскрыть во всей полноте и глубине профессиональные стороны творчества Арнольда В.И. Книга поможет познакомиться с личностью великого учёного и, надеемся, будет понят- на и интересна каждому читателю. ISBN 978.5.7330.06.634 © Составитель Белова А.Д., Мехмат МГУ, Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
«Происходит чествование первого советского математика - не только по силе полученных результатов, но и по темперамен- ту личности, по способности воспринимать новое и смелости в преодолении препятствий... Обо всём, что угодно, его можно рас- спросить, и обнаружатся очень широкие знания». Академик Андрей Николаевич Колмогоров - в 50-летие Владимира Арнольда 3
На протяжении всей жизни Владимир Игоревич являл собой истинную единицу Творчества, заряжая всех окружающих неуга- симыми и теперь жаждой непрестанного познания и созидания, неисчерпаемым интересом к Великой Науке. Ректор Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, академик РАН В.А. Садовничий 4
Владимир Игоревич обогатил математику, как чистую, так и её приложения, прекрасными результатами, Владимир Игоревич - всемирно известный, всемирно при- знанный учёный и математик, и мы гордимся тем, что Владимир Игоревич состоит членом Российской Академии наук и работает в нашем Математическом институте имени Стеклова Академии наук. Директор математичекского института им. В.А. Стеклова РАН, Вице-Президент РАН, академик В.В.Козлов 5
АРНОЛЬД ВЛАДИМИР ИГОРЕВИЧ-ОДИН ИЗ КРУПНЕЙШИХ МАТЕ- МАТИКОВ СОВРЕМЕННОСТИ С 1954 года его жизнь самым тес- ным образом связана с Механико- математическим факультетом МГУ. Здесь он прошёл путь от студента, аспи- ранта до профессора. В этот период им получены яркие результаты по суперпози- циям функций, выполнены пионерские ра- боты по классической механике, которые отмечены премией Московского матема- тического общества в 1958 году, Ленин- ской премией вместе с А.Н.Колмогоровым в 1965 году, Крафоордской премией Коро- левской Шведской Академии наук в 1982 году. В 2008 году В.И. Арнольду присуж- дена Государственная премия РФ и в этом же году - Мировая премия. Одновременно с интенсивной и пло- дотворной научной деятельностью Ар- нольд Владимир Игоревич вёл большую преподавательскую работу на Механико- математическом факультете, читая пре- красные курсы лекций по различным разде- лам современной математики, которые стали основой его замечательных учебни- ков и учебных пособий. В 1984 году В.И. Арнольд избран членом-корреспондентом, а в 1990 году - действительным членом АН СССР. Мно- гие университеты и академии мира при- своили ему свои почетные степени и удостоили избрания в свои члены. Но где бы ни был Владимир Игоревич, куда бы ни забросила его судьба читать лекции или заниматься с учениками, или работать над новыми открытиями, он воз- вращался в свой университет, где он в аудиториях, в которых когда-то слушал своих учителей с мировым именем, теперь собирал Московское математическое общест- во, вёл математический семинар, читал лекции, став уже одним из крупнейших учё- ных современности. Много сил, своего таланта, знаний, негасимой энергии отдал Владимир Игоре- вич на благо науки и отечественного образования. Мы гордимся выпускником нашего Московского государственного универси- тета имени М.В. Ломоносова. Декан Механико-математического факультета МГУ, профессор В.Н. Чубариков 6
Владимир Игоревич Арнольд (12.06.1937 - 03.06.2010) ПАМЯТИ ВЛАДИМИРА ИГОРЕВИЧА АРНОЛЬДА / Невозможно осознать, что никогда больше не доведется увидеть Влади- мира Игоревича Арнольда, невозможно смириться с мыслью, что эта трагедия действительно произошла. Утрата огромна и невосполнима. Наука потеряла ученого широчайшего диапазона. Мир утратил личность необычайной яркости и одаренности. Страна лишилась человека, которым по праву могла гордиться. Ученики и друзья оси- ротели, оставшись без учителя и верного товарища. Вся жизнь Владимира Игоревича была восхождением. Детство его было счастливым. Оно прошло в окружении выдающихся личностей. Он родился в Одессе, где в Новороссийском университете у выдающегося математика С.О.Шатуновского учился его отец, ставший замечательным математиком и пе- дагогом - первым доктором педагогических наук в СССР. Четыре поколения его родных были связаны с математикой. Среди близких родственников по отцу было также множество людей, служивших в Черноморском флоте (двоюрод- ными братьями отца были пять адмиралов). Мама В.И.Арнольда была по про- фессии искусствоведом. Она была племянницей одного из выдающихся физи- ков нашей страны - Леонида Исааковича Мандельштама, основоположника знаменитой школы, среди учеников которого были И.Е.Тамм, М.А.Леонтович, А.А.Андронов и другие. Общение с ними оказало очень большое влияние на мальчика. В Москве Арнольды жили в одном из арбатских переулков, в самом цен- тре Москвы, которую мальчик знал, как никто. С самых ранних лет Арнольд 7
стал проявлять необычайную любознательность, распространяющуюся на са- мые разнообразные области знания. Например, когда ему было семь лет, воо- ружившись компасом и взяв себе в помощники младшего брата, Арнольд про- вел «топографическую съемку» Садового кольца, измеряя расстояние шагами, обнаружив при этом многие несоответствия с тем, что изображалось на картах Москвы. Он стал учиться в знаменитой пятьдесят девятой школе, из которой вы- шло множество выдающихся людей. Владимир Игоревич с большой любовью вспоминал своих учителей, особенно учителя математики Ивана Васильевича Морозкина. Одну из задач, предложенных ему учителем, двенадцатилетний мальчик обдумывал весь день, «и решение, - писал он спустя многие годы, - снизошло на меня, как откровение. Испытанный мною тогда (1949) восторг был в точности тем же, который я испытывал при решении гораздо более серьезных проблем». Большое влияние на юношу оказало и его участие в домашнем кружке А.А.Ляпунова, носившем название «ДНО» - добровольное научное общество. Там обсуждались самые глубокие проблемы науки. Первые научные выступле- ния мальчика с докладами на этом кружке запомнились глубиной и совершен- ством изложения трудных научных проблем. В школьные годы Дима - так звали Арнольда родные и друзья - стал при- нимать участие в московском математическом кружке и московских математи- ческих олимпиадах. Об этом он как-то написал, что там «обычно получал вто- рую премию (как в свое время Максвелл или Кельвин)». В 1954 году Арнольд становится студентом механико-математического факультета Московского университета. Это была пора расцвета механико- математического факультета. «Плеяда великих математиков, собранных на од- ном факультете, представляла собой явление совершенно исключительное, и мне не приходилось встречать ничего подобного более нигде», - писал впослед- ствии Владимир Игоревич. При этом им были названы имена А.Н. Колмогорова, И.М. Гельфанда, И.Г. Петровского, Л.С. Понтрягина, П.С. Новикова, А.А. Маркова, А.О. Гельфонда, Л.А. Люстерника, А.Я. Хинчина и П.С. Александрова. На первом курсе Арнольд принял участие в кружках А.Г.Витушкина и Е.Б.Дынкина, а когда он учился на втором курсе, А.Н. Колмогоров объявил се- минар для младшекурсников. На первом заседании, рассказывая о планах семи- нара, Андрей Николаевич говорил о различных задачах номографии, в которых процессы, задаваемые сложными функциями, приближенно представлялись бо- лее простыми. Говоря о дальних перспективах, Колмогоров сказал, что можно помечтать и о том, чтобы найти подходы к решению 13-й проблемы Гильберта. В 1900 году на Парижском математическом конгрессе Давид Гильберт, один из крупнейших математиков всех времен, поставил перед математическим миром задачи, исследование которых представляло, по мнению Гильберта, значение 8
для будущего математической науки. 13-я из них касалась вопроса о том, суще- ствуют ли непрерывные функции многих переменных и не сводимы ли они к функциям от двух переменных. Гильберт определенно полагал, что не сводимы. Вскоре после объявления своего семинара Колмогоров уехал за границу, и семинар некоторое время продолжался без него. В это время Арнольд решил одну из задач, предложенных Колмогоровым, что привело к его первой публи- кации. А далее произошло непредвиденное: Андрей Николаевич неожиданно для самого себя с неслыханной энергией стал атаковать 13-ю проблему Гильберта и сделал решительный прорыв в ее опровержении. Он доказал, что непрерывные функции многих переменных можно свести к функциям трех переменных. По- следний шаг в решении проблемы Гильберта он предоставил своим последо- вателям. Этим последователем оказался третьекурсник Арнольд. И в апреле 1957 года на стол Колмогорова легла ученическая тетрадочка в клетку, на кото- рой было написано, что это - курсовая работа студента третьего курса В.Арнольда. В этой курсовой работе была решена тринадцатая проблема Гиль- берта. Это была первая работа Арнольда, сделавшая его имя известным всему математическому миру. А затем началась череда открытий, само перечисление которых заняло бы несколько страниц. В своей дипломной работе Арнольд далеко развил один колмогоровский методов теории динамических систем. Дальнейшее развитие этот метод получил в работах выдающегося математика Юргена Мозера. Теория, построенная эти- ми тремя математиками, получила название «КАМ-теории» - теории Колмого- рова-Арнольда-Мозера. Она нашла многочисленные приложения в математике, механике, космологии и физике. Арнольдом были преобразованы целые математические области. Например - «теория особенностей». В философии с давних времен вы- сказывалась идея о том, что «при переходе количества в качество» эволюцион- ные процессы нередко совершают скачки. На этом во многом строилась «тео- рия революций». Процессы со скачками стали интенсивно изучаться в первой трети двадцатого века. Один из основоположников нового направления - фран- цузский математик Рене Том - предложил для него название «теория катаст- роф». В работах Арнольда эта теория получила выдающееся развитие. Всегда избегающий неоправданной рекламы, В.И.Арнольд называет это направление «теорией особенностей». Арнольд далеко продвинул особый раздел современной геометрии, так называемую симплектическую геометрию, и заложил новое направление в то- пологии, получившее фундаментальное развитие, - симплектическую тополо- гию. Значителен вклад Арнольда в алгебраическую геометрию. Им были уста- новлены связи шестнадцатой проблемы Гильберта об овалах вещественных ал- гебраических кривых с четырехмерной топологией, связь алгебраической гео- 9
метрик и теории кос. Владимир Игоревич был выдающимся геометром, он за- нимался алгеброй и теорией чисел, комбинаторикой, логикой и основаниями математики, словом, его творчество охватило почти все разделы современной математики. Велики его достижения в естествознании - в гидродинамике, космологии, теории потенциала. Он имел плодотворные контакты с крупнейшими физиками своего времени - Н.Н.Боголюбовым, В.Л.Гинзбургом, Я.Б.Зельдовичем. С ув- лечением и убежденностью В.И.Арнольд развивал и пропагандировал идеи Пу- анкаре о том, что математика - это часть естествознания. Арнольд служил своей профессии и просвещению на всех возможных по- прищах. Он основал выдающуюся математическую научную школу, написал множество замечательных учебников (его учебник по классической механике сравнивают с величайшим произведением научной литературы - «Математиче- скими началами натуральной философии» Ньютона), монографий и обзорных статей, посвященных проблемам математики. Начиная с руководства знамени- тым школьным математическим кружком в пятидесятые годы, В.И.Арнольд очень много внимания уделял непосредственной работе со школьниками. В 1963 году он участвует в работе первой летней математической школы, а по- следние десять лет ежегодно проводил на юношеских школах в Дубне. Прочи- танный Владимиром Игоревичем курс для первых выпускников ФМШ (ныне СУНЦ им. А.Н.Колмогорова), стал педагогическим шедевром. По инициативе В.И.Арнольда были созданы Московский центр непрерывного математического образования и Независимый Московский университет. Влияние В.И.Арцольда на весь математический мир было огромно. В.И.Арнольд был удостоен множества званий, докторских степеней и. на- град. Среди премий - премия Московского математического общества (1958 г., которой Владимир Игоревич особенно гордился), Ленинская премия (1965, вместе с А.Н.Колмогоровым), Крафоордская премия Шведской академии наук (1982), Харвиевская премия Техниона (1994), премия Вольфа (2001), премия Жунь Жуныпоу (2005) (ее называют Нобелевской премией Востока), Государ- ственная премия Российской Федерации (2008). Общая одаренность его личности проявлялась в самых разнообразных его реакциях и увлечениях. Он был необычайно ярким экскурсоводом по Парижу. Он совершал длительные (где-то около ста километров) велосипедные прогул- ки по Подмосковью и по окрестностям Парижа. При этом он и здесь вел топо- графические съемки, фиксируя места, где находились поляны с грибами, щаве- лем или земляникой или кустарники с малиной. И когда наступало время, он отправлялся километров за сорок от дома в избранные некогда места с рюкза- ком, который заполнялся «дарами леса». Зимой Арнольд совершал лыжные прогулки, порой до ста километров. Он также любил дальние плавания, ходил в походы, в том числе в горы. Он необыкновенно много читал и массу из прочи- танного помнил в деталях, что делало его необычайно интересным собеседни- 10
ком, а среди его собеседников были крупнейшие ученые нашего времени. По ходу дела им совершались и гуманитарные открытия (вызвало всеобщий вос- торг его открытие связи эпиграфа к пушкинскому «Евгению Онегину» с тек- стом из «Опасных связей» Ш. де Лакло). Арнольд оставил множество замеча- тельных автобиографических заметок, которые, думается, составляют лишь ма- лую дрлю того, что могло бы быть им сказано. Им написаны прекрасные вос- поминания о Колмогорове, Зельдовиче, Боголюбове. Замечательную, на все времена характеристику дал Арнольду его учитель - Андрей Николаевич Колмогоров в приветствии своему ученику к его пятиде- сятилетию. В ту пору, когда Арнольд не имел крупных академических званий, Колмогоров выразил «свое убеждение в том, что происходит чествование пер- вого советского математика, не только по силе полученных результатов, но и по темпераменту личности, по способности воспринимать новое и смелости в преодолении препятствий». Послание учителя ученику удивительным образом характеризует обоих: и Владимира Игоревича, личность и творчество которого получили столь восторженную и проницательную оценку, и самого Андрея Ни- колаевича, стоявшего на пороге смерти, но сохранившего запас душевной щед- рости и способности восхищаться. Это послание не воспринимается как про- щание. Это благословение! Владимир Игоревич Арнольд начал свой путь в бессмертие. Все связан- ное с ним - необыкновенная одаренность личности, творчество, служение че- ловечеству - делает его образ незабываемым для всех, кому посчастливилось соприкоснуться с ним на своем жизненном пути. В. Тихомиров Владимир Михайлович Тихомиров - доктор физико-математических наук, про- фессор, заведующий кафедрой общих про- блем управления Мехмата МГУ, Заслужен- ный профессор МГУ. Материалы из журнала «Квант» №4, 2010 г. о В. И. Арнольде публикуются с согласия редак- ции журнала и автора статьи. И
Статья В.И Арнольда, которую мы предлагаем вашему внима- нию, впервые была опубликована во втором и третьем выпус- ках возобновленной серии «Математическое просвещение» (первый выпуск этой серии вышел в 1956 году, второй и третий - в 1957 и 1958 годах). В конце краткой аннотации к статье (посвященной истории школьного математического кружка при МГУ) автор пишет: «Ниже приводится изложение двух занятий кружка (секция для десятиклассников) на темы «Вариация кривой» и «Гармонические функции».Занятия про- водит автор настоящей заметки». Представляется разумным кое-что пояснить. Судя по всему, Арнольд проводил свои занятия в 1955/56 учебном году. В ту пору еженедельно по вечерам собирались секции школьного математического кружка, работавшие под руководством аудентов и аспирантов мехмата. Всего тогда было 13 секций. V каждой секции был старший руководитель Дима Арнольд (так все звали тогда Владимира Игоревича) был студентом второго курса. Он был младшим среди старших руководителей секций. В середине пятидесятых годов появились секции очень широкого профиля, где обсуждались самые разнообразные темы, нередко очень далекие отшкопьной математики. Такова была и секция Арнольда. По поводу возникновения первого сюжета статьи - о вариации кривых - надо назвать два имени - Александра Семеновича Кронрода и Анатолия Георгиевича Ви^ушкина. А.СКронрод оставил большой след в математике, в становле- нии того, что ныне называется Computer Science и в математи- ческом просвещении. Он стал последним учеником Н.Н. Лузина - одного из величайших научных наставников всех времен, создателя московской математической школы. Лузин дал им- пульс для творческих поисков Кронрода, которые привели его к осмыслению понятия вариации функции двух переменных. В1949 году Кронрод объявил семинар для младшекурсников. Стиль семинара был необычным — это был по сути дела научно- исследовательский семинар, посвященный разработке темати- ки, где руководитель семинара занимал ведущее положение в мире. Одним из участников семинара стал первокурсник А Витушкин. ставший выдающимся математиком, академиком Российской Академии наук. Витушкин глубоко продвинул тео- рию Кронрода, определив понятия вариаций множеств. В 1954 году он объявил семинар для младшекурсников, в котором принял участие Дима Арнольд. На следующий год тема «Вари- ация кривых», находящаяся на самом острие науки того време- ни, была прекрасно обработана Арнольдом для школьников. Во второй части статьи перед нами блистает фейерверк красивейших математических сюжетов, где сменяют друг друга тригонометрия, геометрия, интегральное исчисление, комплек- сный анализ, и всё это в итоге приводит к геометрическому определению гармонической функции. С этим фундаменталь- ным понятием анализа студенты мехмата МГУ знакомятся на третьем и четвертом курсах. Но оказывается, что за определение гармонической функции можно взять такое ее свойство: среднее значение этой функции по любой окружности разно значению этой функции в центре окружности, И далее следуют замечательные комментарии, где доказываются фундаменталь- ные свойства гармонических функций и даются им глубокие физические интерпретации. Статья второкурсника Арнольда написана рукой зрелого мастера, воодушевленного красотой математики. Два занятия школьного кружка при МГУ В.АРНОЛЬД I. Вариация кривей Пусть на плоскости дан отрезок АВ длины 1* Если этот отрезок освещать параллельными лучами, то дли- на тени, отбрасываемой на различные прямые, будет колебаться от 0 до 1. Точнее, длина проекции отрезка на прямые, лежащие в разных прямых разная, тй же плоскости, будет для однако во всех случаях она заключена между 0 и 1, Д чина проекции А В на пря- мую I называется вариаци- ей отрезка АВ в направле- нии I (рисЛ): мы будем ее обозначать Vt (АВ) или про- сто V/, если ясно, от какого отрезка берется вариация. Интуитивно ясно, что су- ществует среднее значение «тени» ло всем направлениям и что оно больше 0 и меньше 1. Точно это означает, что если разделить угол в 360° на я равных частей и взять среднее арифметическое v - Ч ~|~ЧI. * * 4'-чЧ 5 ” п вариаций отрезка АВ в направлениях (рис 2), то существует пре- дел te. V* - X , И- причем К заключено между О и 1. Это число X называется сред- ней вариацией или просто 12
вариацией единичного отрезка АВ, Найти предел К не очень трудно1; он равен — 0,637. л Мы, однако, сейчас не будем его находить, а вычислим К позже - косвенным путем (задача 7); однако фактом существования предела мы будем пользоваться с само- го начала. Задача L Чему равна вариация отрезка длины а? Решение. Так как, очевидно, но любому направле- нию такой отрезок имеет вариацию в а раз большую, чем параллельный ему отрезок единичной длины, то и среднее арифметическое вариаций по п направлениям здесь будет в а раз больше, чем для единичного отрезка, а предел этой величины, т.е. средняя вариация отрезка длины а, равен Ка. Вариация ломаной по какому- нибудь направлению определя- етсякак сумма длин проекций ее звеньев на это направление (рис.З). Задача 2. Определите вариа- ции квадрата со стороной 1 в направлениях его сторон и диа- гоналей. Решение. Очевидно, вариация квадрата в направле- нии каждой стороны равна 2, а в направлении каждой диагонали равна 2^/2. Средняя вариация ломаной по всем направлениям или Просто вариация ломаной по всем направлениям определяется, как и выше, с помощью предельного перехода: V ~ lim Vn, где среднее арифметичес- п ><* *» кое вариаций ломаной по п направлениям сторон правильного п-угольника. Задача 3. Определите вариацию ломаной длины а. Решение. Очевидно, вариация ломаной по каждому направлению есть сумма вариаций ее звеньев по этим же направлениям. А так как среднее значение суммы равно сумме средних значений2, то вариация ломаной есть сумма вариаций ее звеньев. Так как, в силу задачи 1, вариация каждого звена равна произведению длины этого звена на К, то вариация ломаной есть Ка. Перенесение определения вариации на кривые требу- ет уточнения понятия кривой. В общей случае это сделать трудно. Но пусть кривая выпуклая или состоит из нескольких выпуклых кусков. Тогда при проектиро- вании кривой на любое, но определенное, направление можно разбить ее на конечное число кусков, каждый из которых пересекается только один раз3 .любой проек- ^Сл.. например, в книгеА.МЛглома и И.М.Яглома«Элемен~ тарные задачи в weэлементарном изложении* (М.: Гостехиз- дат, 1954) задачу 1476. Точный смысл этой фразы такой: среднее арифметическое вариаций ломаной по п направлениям равно сумме средних арифметических вариаций ее звеньев по этим же направлени- ям. Поэтому и предел при средних арифметических вариаций ломаной по разным направлениям равен сумме предо лов средних арифметических вариаций отдельных звеньев. * Здесь не исключаются случаи, когда подобный кусок представляет собой прямолинейный отрезок и, следователь- но, при проектировании в одном из направлений полностью попадает на проектирующую прямую. тирующей прямой. Тогда вариацией кривой по выб- ранному направлению на- зовем сумму длин проек- ций ее кусков на это на- правление (рис.4). Можпо показать, что существует среднее значение этой ве- личины по всем направле- ниям. Его мы и назовем средней вариацией или про- сто вариацией кривой ли- нии. Очевидно^ если кривая ~ ломаная, то мы приходим к прежнему определению. Задача 4. Найдите вариацию окружности диамет- pa D. Решение. Сначала выберем какое-нибудь направле- ние. Диаметр этого направления делит окру леность на два куска — на две дуги, каждая из которых пересека- ется с любой перпендикулярной к выбранному направ- лению прямой не более, чем в одной точке. Отсюда вытекает, что вариация окружности относительно выб- ранного направления рав- на 2D. Очевидно, что такова же и вариация и по любому другому на- правлению, а значит, и средняя вариация окруж- ности равна 2D. Выберем теперь на кри- вой несколько точек и соединим их последова- тельно, но подряд (рис.5). Получим ломаную. Можно показать, что для достаточно хороших (например, для всех выпуклых) кривых существует предел длий этих ломаных, при условии, что при изменешти ломаной длина ее наибольшего звена стремится к нулю. Этот предел называется длиной кривой. Можно показать также, чТо для кривых, которые могут быть разбиты на конечное число выпуклых кусков, существует' предел вариаций этих ломаных, когда длина наибольшего звена стремится к 0. Задача 5. Найдите предел, к которому стремится вариация ломаной, вписанной в «достаточно хоро тую» кривую длины а, когда ломаная изменяется так, что длина наибольшего ее звена стремится к нулю. Решение. Так как для каждой ломаной длины ап вариация равна Кап, а для «достаточно хороших» кривых а„ а, то предел вариаций ломаных равен Ка. Задача 6. Докажите, что вариация («достаточно хорошей») кривой длины а равна Ка. Решение. Достаточно заметить, что в такую кривую можно вписать ломаную со сколь угодно малыми звеньями, вариация которой по каждому из п данных направлений совпадает с вариацией кривой. Поэтому, раз существует предел, отыскиваемый в задаче 5, то он равен вариации кривой. 13
6 КВАНТ • 2010/HU Задача 7. Найдите численное значение К, т.е. вариацию отрезка длины /. Решение. Так как, с одной стороны, окружность диаметра D имеет длину я и, значит, вариацию KitD (задачи 5 и 6), а с другой стороны (задача^), вариация 2 этой окружности равна 2D, то К•» -. Д' • Шириной кривой подан- уг ному направлению назы- X. вается наименьшее рассто- / \ яние между двумя прямы- / \ ми этого направления, меж- / уду которыми лежит кри- / у вая. / \ Кривая имеет постоян- I I ную ширину, если ее ши- рина по всем направлени- Рисб --------- ям °Динакова- Примером кривой постоянной шири- ны может служить окружность или так называемый треугольник Рело, составленный из трех равных дуг окружностей (рис.6) 4 С помощью вариаций получает- ся весьма изящное доказательство следующей теоре- мы Варбье: Задача 8. Докажите, что все кривые постоянной ширины h имеют одну и ту же длину яй. Решение. Это следует из того, что вариация каждой такой кривой по любому направлению равна 2Л, из результатов задач 6 и 7. Вот еще одна задача, которая на первый взгляд представляется довольно сложной: Задача 9. В круге С радиуса 1 заключена какая-то кривая L длины 22. Докажите, что найдется прямая, пересекающая L не менее чем в 8 точках. 2 Решение. Вариация L равна - ♦ 22 > 14 (задача 6 и я 7); с другой стороны, длина проекции L на любое направление не превосходит 2 (L заключена внутри С!). Отсюда вытекает, что для некоторых направлений определенные участки проекции L будут покрываться проекциями отдельных дуг L более чем 7-кратно (т.е. не менее чем 8-кратно), что и доказывает наше утвер- ждение. Переходим к изложению занятия, посвященного теме « Гармонические функции^. II. Гармонические функции Две первые задачи из приведенных ниже не имеют отношения к основной теме. Для полноты освещения занятия кружка мы приводим их; близкая к ним по методу решения третья задача являлась подготови- тельной к четвертой, с которой, по существу, и начи- налась тема. Задача 1. Найдите наибольшее и наименьшее значе- ния выражения a sin <р + 6 cos <р Много сведений о кривых постоянной ширины можно найти в книге И.М.Яглома и В. Г. Болтянского «Выпуклые фигуры* (М,: Гостехиздат, 1951). М О Рис 1 (а и b положитель- к ны)\ Решение. Прове- дем два взаимно-пер- пендикулярных луча ОМ и ОАГ и постро- им прямоугольный треугольник ОАВ с катетами ОА « а и АВ в Ь, расположив их, как На рисунке 1 ориентированы против часовой стрелки). Обозначим угол АОЫ через Ф, тогда, проектируя ломаную ОАВ на ОМ (проекции направленные!), получаем5: (О#)»пр.ОВ® пр.ОА + пр.АВ» азшф+бсоБф. Если вращать треугольник ОАВ вокруг вершины О, то угол Ф изменяется; наибольшее и наименьшее значения проекции ( OB') достигаются, когда отрезок ОВ коллинеарен ОМ, т.е. когда tg(p - ~; они равны Va2 +62 и +К2 . Задача 2. Докажите, что если cos^+я2сб8ф2+...+ ezm coscp^, = 0 (1) (прямые углы МОН и ОАВ и Щ cos(<^ 4-1)+ й2С0$(ф2 +1) + .• +z2wCOS(<Pm + 1) = 0 (2) (все коэффициенты а{ положительны), то и при любом а at со$(ф + а) + а2 со$(фз + а)+... + аа соз(фЯ4 + а) - 0. (3) Решение. Выберем в плоскости луч ОМ и построим ломаную линию OAiA2...Ani (рис. 2; т - 3), где ОЛ( = , A{A2 « а2, .... А^А* ~ат, причем векто- ры ОА{, А{А2,образуют с лучом ОМ соот- ветственно углы ФрФ2»«-»Фм • Легко видеть, что усло- вие (1) означает, что ОА^ ± ОМ, а условие (2) - что О Ат 1 ОМ, где О Ат получается из ОАт вращением против часовой стрелки (при обычном направлении $ (OB') - величина направленной проекции. 14
V • Xsin — K = lim£si—1-2 Рис 3 отсчета углов) на угол 1 (радиан). Оба условия вместе означают поэтому, что ОД, = 0, т.е. совпадаете О. Нов таком случае проекция вектора ОА,п , ловернуто- т го на угол а (т.е. выражение cos(<p, + аР» тоже i-l равна нулю, что и доказывает (3). Задача 3. Вычислите сумму т векторов с общим началом в центре правильного т-уголъника и с конца- ми в его вершинах (рис.3,а). На занятии кружка было предложено три решения. Решение 1. Пусть сумма этих векторов - вектор ОЙ . Повернем многоугольник вокруг точки О на угол —. „ 2п т Каждый вектор-слагаемое повернется на —; тогда и _________, т сумма ОА повернется на тот же угол, приняв положе- ние ОА7, Вместе с тем каждый вектор перейдет при таком повороте в следующий, так что сумма не изме- нится, следовательно, ОЛ' * ОЛ . Но эти векторы образуют угол . Это может быть лишь при условии ОА-О. W Решение 2. Складывая векторы по «правилу треу- гольника» в порядке следования вершин, получим, очевидно, m-звенную ломаную, все звенья которой равны (они равны радиусу окружности, описанной около многоугольника) и все внешние углы равны (они равны —; рис.3,6). Отсюда следует, что ломаная х т образует правильный /«-угольник; так как он замкнут, то искомая сумма равна нулю. Решение 3. Достаточно доказать это для правильно- го /«-угольника, расположенного в комплексной плос- кости так, что его вершины изображают все корни m-й степени из 1 : (рис.3,в). Такой правильный /«-угольник мы в дальнейшем будем назы- вать основным /«-угольником. Центр основного /«-угольника изображает число 0, а одна из вершин - число 1. Как известно, вершины основного /«-угольника изоб- ражают все решения уравнения z™—1 - 0. По теоре- ме Виета, сумма этих решений равна нулю, ибо ко- эффициент при z7""1 в этом урав- нении равен нулю. Но комплекс- ные числа складываются по прави- лу сложения изображающих их век- з торов. Следовательно, сумма век- торов, о которых говорится в усло- вии задачи, равна нулю. Задача 4. Вычислите предел К rkn\ п - среднее значение функции у = sin х на отрезке Решение. Рассмотрим снова пра- вильный «/-угольник, о котором го- ворилось в предыдущей задаче; на этот раз будем считать радиус описанной окружности равным 1, а число его сторон четным: т ~ 2п (рис. 4; т == 8). Сложим теперь только «правую половину» векторов: Рис 4 ОЛ1 + ОА2 +... + ОД, = OL . Замыкающая OL рассмат- риваемой суммы будет совпадать с диаметром Dn окружности, описанной около нового /н-угольника. Легко видеть, что если вектор ОД направить горизон- тально, то эта замыкающая при большом т близка к ее проекции OL' на вертикальную прямую Of.'А так как проекции единичных векторов ОД, ОЛ2 ,ОД на эту вертикаль равны как раз . л л . 2п .л 4л .2л sm0~0, sin— = sin—, sin — = sm—, ... tn n m n . (n -1) к sin-----~ , n к которому то среднее значение К равно пределу, стремится частное —. Но из подобия щ-угольннков, п Г Оп f изображенных на рисунке 4, ясно, что (ра- 71 2 диус ОД ®4), где 6r„=2sin—, а Ь„ = 1. Следош- п 15
КВАНТ 2 0'0/No4 тельно, 2>п — 1ПГ| п lim foO \Д,2 5= Hm 1—-- = lira —~ П-Хж- Й П-+™ n «-><» n Л SIH — 2n л 2n ,. 2 — Цщ —--—.. fl—~ . n n ’2sm — 2я = lim n +«> lim . n sin 2n Замечания, 1, Таким образом, этот предел оказался равным тому значению К, которое мы раньше назвали средней вариацией единичного отрезка. Это не случайно; реше- ние всего цикла задач о вариациях кривых может рассматриваться как косвенное вычисление указанного в этой за- даче предела. 2. Полученный ре- х зультат имеет следую- щий геометрический Рис 5 смысл: предел, к которому стремится площадь ступен- чатой фигуры, изображенной на рисунке 5, между полуволной синусоиды и осью абсцисс, равен 2. Задача 5, Докажите, что среднее значение произ- вольного многочлена с комплексными коэффициентами Pk (z) = / -Г 1 ч-... ц ak (О в п вершинах правильного n-угольника на комплексной плоскости, при п > k, равно значению многочлена в центре этого многоугольника. Решение производится в три этапа. 1°. Пусть сначала Pk (z) ~ zk и правильный n-уголь- ник является основным (см. решение 3 задачи 3). Тогда сумма k-x степеней комплексных чисел, изоб- ражаемых вершинами «-угольника, равна нулю при любом k < п. В самом деле, при замене каждого числа z на ( 2л . . 2к' 2] cos—-+ ism — In п z - £ многоугольник переходит в ' ( 2л к себя (он поворачивается на — ), а каждое значение z k 2nk . . 2nk . о умножается на е - cos---+ г si п-* • 1. Значит, сум- п п ма значений zk в вершинах n-уголышка не меняется и в то же время умножается на tk. Следовательно, она может равняться только нулю. Это же рассуждение непосредственно переносится и на случай Pk (z) = azk. 2°. Так как среднее значение (z) -az1 (t < I < n ) в вершинах основного «-угольника равно нулю, то и среднее значение суммы zk + ... + ak^Z равно нулю. Следовательно, среднее значение многочлена Pk (г) в его вершинах равно ak , т.е* Рь (0). 3°. Обозначим теперь комплексные числа ~ верши- ны основного n-угольника А$ через zf -1, z2 ~ , - е2 * * * ,. z® = е^1 (рис.6) и рассмотрим произволь- но расположенный одноименный правильный много- угольник А с. вершинами , Очевидно, пра- вильный многоугольник А можно получить ИЗ Лф поворотом, гомотетичесюнм расширением (или сжати- ем) и параллельным переносом. Другими словами, найдутся два таких комплексных числа аир, что z^ - otzf + р (г ~ 1, 2, я). Здесь модуль а равен отношению сторон многоуголь- ников Л и 4, аргумент - углу поворота, а р - комплексное число, изображаемое центроммногоуголь- ника А. Теперь заметим, что среднее значение многочлена . (*) в вершинах zltz2,..*,z„ равно х л (ог?+р) Ее* (4) 7-1 . = — 1-1 n n n 9 где Qk (Л * Л (“*+₽) = («*+₽)*+ + а, (а? + 0)*"' (az + P) + ak есть многочлен k-й степени относительно z (той же, что и РА (г)), принимающий в точках z®,,zJJ соответ- ственно значения P(z2) , ..., P(^n). Поэтому среднее значение AU) в точках zvz2,...,zft равно среднему значению Qk(z) в точках т.е. (см. этап 2° ) равно О*(о>₽& * В+ +«я_,р+«й. Но Qb (0) совпадает с значением многочлена (z) в центре многоугольника А, что и завершает доказатель- ство. Пусть f(z) некоторая функция комплексного переменного г. Рассмотрим последовательность пра- вильных «-угольников (п = 3, 4, 5, вписанных в определенную окружность комплексной плоскости, и последовательность средних арифметических f(z) в вершинах этих многоугольников. Если при п -> оо эти 16
h 'С л‘-'Л" ' .ДВА; ЗАНЯТИЯ Ш КО Л b H OI О К P У Ж К A JI P H MX У ^< 9 ком- ЧЧй •:. -•••• -:^.- ружмыш. ч'-ЧЧ-й •Ч/'Ч:ч :г НАИЛИН:5?л ' -,аЧ •• 'М-< -<:ШЧ -< wпо лю^Ый^ Пчде^им;> •.. • Йр ;Ч : 7 ч ,v при этом 3Hafe^ff; >heifcrw в верхштах основного л-угольникаравны значениям Р„ (^) в вер- : Й с<^йдйявем •' зада^5Х1Ш«^^ • корни ограниченного М: ..сред^ неегеометрическое $$$ .5>.--.равЫ среднемугеометрическомуС^(^ « .. .* Hp;^ ; Ио 1^р'^ • Задачам-Ha йлоскостиШе*^ ные -Й шсчиты^^^ = трицательноечисло (аначён twc®’.^'? г|фяЙрда/:\.-\Ч.-:^ ••• • * '• = геомстриче<жо^^^ • • ' ' ;,Ч" ' \4>\.п1^сть; ойружностъч .,;7. ; . •ЧЛеН;^^^ ч рйшИр^ • • Это комплексное число есть значение многочлена В точке я ш <? • <Старший ждо)х|од^^ Л (^) «И равен: единице^ а коршт его равны поэдгск НЙ)«/^^НГ СШРЙ* тель*й* ; Ч" ' . W»WM w ч. Но тНкН ^ Му ^О $Г$|& ».'':; де;./ ?4;4:HWW^ ф^ции^(М^пол^ойакр^жн^ 'д:хй^)Ь«йсвШ^у . '^/:ч Решение. Пусть "":у-. шнс,::ййейш№ .з5айРВ,:Ш':Ч::Ч< ?-?;Ч?;':;"--4 .. •' -V-ЧЧ^-Ч/.<-/ : :• - - • г^-ууу _• •<•; .• < ': ;•/'<; Um fa а*) - -•+(ftn - ^>) - о •?' /:Я*4«в, •.:•/••:•: . ' $ • <':<\?<;;-/7:<::;';’.';Л?, - "’’ Но,очевйдао,длядюбой , у\!* • У- - киж; то доказываемая теорема справедлива:?^.-Щй-' Л1о<5^;::’^го€йнал':1?г^); >:Й ................. '---•*-а—— .. -Ц - корни У звмныт 17
10 КВАНТ таким образом, требуется доказать, что .. fZOBM1+ZOW2 + ... + ZO#M„ lim -----i-------*--------—- п ^OAMj f ZOAM2 4-.,. + АОАМп п т.е. что среднее значение угла ОВМ на окружное™ S равно среднему значению угла ОАМ на этой окружно- сти. Предположим теперь, что п « 2т четно и 2т-уголъник имеет прямую О А осью симметрии, проходящей через середины сторон и . В этом случае, очевидно, ZOZAA+ZOXM>=2k, АОАМ2 + AOAM2m~t = 2д, АОАМп + ZQZMw_t = 2я и, следовательно, 2т ^AOAMi -El—-----= 7t 2т независимо от значения п. Отсюда вытекает, что если среднее значение функ- ции АОАМ существует (а это мы будем предпола- гать, не задерживаясь на доказательстве), то оно равно я. Точно так же равно л и среднее значение по окружности функции АОВМ , что и доказывает ( * ) и требуемую теорему. Функции, среднее значение которых на каждой окружности равно значению в центре окружности, называются гармоническими. Из задачи 5 вытекает, что действительная часть и коэффициент при мнимой части любого многочлена от комплексного переменного (точки комплексной плос- кости) являются гармоническими функциями; задача 6 связана с гармоничностью логарифма модуля много- члена (в области, где многочлен не имеет корней), задача 7 дает геометрический пример гармонической функции. Гармонические функции играют выдающуюся роль в математике, физике и технике. Для примера упомянем здесь о задаче нахождения распределения температур в произвольной плоской однородной пластинке. Ясно, что если распределение температур - установившееся, т.е. самопроизвольного перераспределения температур не происходит, то оно дается гармонической функцией, ибо если бы среднее значение температуры на малой окружности было, например, больше температуры в центре О, то точка О нагревалась бы. Очевидно, что заданная в некоторой области гармо- ническая функция может принимать наибольшее и наименьшее значения лишь на границе этой области, ибо если бы наибольшее значение достигалось во внутренней точке О, то среднее значение по окружно- сти с центром в О не могло бы совпадать со значением 20 1 O/NsH в О. Это предложение называется принципом максиму ма и Играет большую роль в теории гармонических функций. Из него следует, что значения гармоничес- кой функции в области полностью определяются ее значениями на границе этой области: так, например, распределение температур на пластинке определяется температурами на крае пластинки Действительно, если бы существовали две разные гармонические фун- кции, то их разность (которая, очевидно, тоже будет гармонической функцией) была бы равна нулю на границе области и отлична от нуля где-то внутри нее; но это противоречит тому, что гармоническая функция принимает наибольшее и наименьшее значения на границе. Функции, заданные в отдельных точках плоскости, например в центрах квадратов бумаги «в клеткуь называются функциями на сетке. Гармонической фун- кцией на сетке называется такая, у которой значение в каждой точке равно среднему арифметическому ее значений в соседних точках. Как и для гармонических функций на плоскости, здесь можно показать, что наибольшее и наименьшее значения гармоническая на сетке функция принимает на границе сетки и что значения гармонической функции на сетке однозначно определяются ее значениями в граничных узлах сетки. При математическом приближенном решении задач, связанных с гармоническими функциями, их часто заменяют гармоническими на сетке функциями. Таким образом, например, можно вычислить температуру в точке однородной плоской пластинки, если известна температура на краю. Для этого пластинка делится на мелкие квадратики, где температура предполагается неизменной, и выписывается условие гармоничности на сетке, состоящей из центров квадратиков: среднее арифметическое температур соседей данного квадрати- ка равно его собственной температуре; решение задачи удобно проводить методом последовательных прибли- жений. Легкая задача 8 касается одного важного свойства гармонических функций на сетке. Задача 8. В каждой клетке бесконечного листа клетчатой бумаги написано натуральное число, рав- ное среднему арифметическому чисел, стоящих в четырех соседних клетках- Докажите, что во всех клетках написано одно и и то же число. Решение. Четыре соседа-числа в такой таблице, как указано в условии, не могут быть все больше его и не могут быть все меньше его. Вместе с тем среди любого количества натуральных чисел всегда есть наименьшее п. Все четыре его соседа равны п, так как они не меньше и, и если хотя бы одно было больше, то среднее арифметическое гоже было бы больше п, тогда как по условию оно равно п. Точно так же соседи этих соседей равны п и ъд. Так мы убеждаемся, что все числа в клетках равны п 18
СЕРГЕЙ МИХАЙЛОВИЧ НИКОЛЬСКИЙ, выдающийся российский математик, академик АН СССР, 30 апреля 2010 года С.М. Никольскому исполнилось 105 лет. «У ВАС ЕЩЁ ВСЁ ВПЕРЕДИ» с Сергеем Михайловичем произошла 3 августа 2010 го- да. Я приехала навестить его по предложению Владимира Николаевича Чубарикова в санаторий в Пе- ределкино. Зная Никольского С.М. только по рассказам Димы да по фотографиям из книги «Мой век», я сразу безошибочно узнала его, сидящего на скамейке в тени высоких раскидистых деревьев. Он дер- жал в руках палку. Чувствовалось, что он очень плохо видит. Рядом с ним сидела его младшая дочь На- талья Сергеевна. Узнав, что я с Мехмата, Сергей Михайлович принялся спрашивать меня о наших учи- телях. Когда я стала называть: Колмогоров, Александров, Меньшов, Люстерник..., Сергей Михайлович начал вспоминать разные эпизоды своей учёбы, встреч с этими прекрасными математиками и через не- которое время спросил, когда я училась в университете. Я ответила: «Одновременно с Димой Арноль- дом, на одном курсе». Сергей Михайлович мгновенно оживился и засмеялся: «Дима, ну задавака! Как он любил чем-то похвастаться. Дачи у нас рядом. То приедет на велосипеде и обязательно покажет соб- ранные грибы или клюкву: "Я новое место нашёл. Там так много клюквы!" Конечно, был он с аплом- бом, но очень много знал и этим всех удивлял. Как-то я рассказывал о Москве в первые годы войны и назвал город Жуковский. Арнольд тут же поправил: "В те годы это был не город Жуковский, а насе- лённый пункт назывался рабочим посёлком Стаханове, и только 23 апреля 1947 года он переименован в город Жуковский". Откуда он всё это выкопал?» Сергей Михайлович говорил, что не только он, но и другие удивлялись любопытству Ар- нольда и желанию много знать и обо всём, да, к тому же, всё носить в своей памяти. Он владел зна- ниями из разных областей наук. Сергей Михайлович прмнит случай, как работу Колмогорова и Ар- нольда по динамическим системам отклонила от Ленинской премии комиссия, состоявшая из матема- тиков и механиков. Но потом премия была присуждена Комитетом, состоявшим из физиков, химиков, биологов, инженеров. Каждый из них видел реальные открытия и пользу для себя. «Когда выдвигали Арнольда на академика, я голосовал за него, - продолжает вспоминать Сергей Михайлович. - Он потом пригласил меня в гости и сказал, чтобы я пришел непременно с по- дарком. Я думал, думал, что принести. Тогда еще не очень часто цитировали его, и я принёс научную книгу, в которой была пара ссылок на Арнольда. Увидев их, он так был рад! А теперь, говорят, на него в научном мире ссылаются больше всего». В конце своей жизни Андрей Николаевич Колмогоров полушутя говорил, что завидует только двоим - Арнольду - за его необыкновенную физическую выносливость и Никольскому - ко- торый всего на два года моложе его, но удивительно бодр. Сергей Михайлович сожалел, что такой крепкий Дима ушёл так рано, а он говорил как-то лучшему другу: "У вас ещё всё впереди"». Алла Белова 19
ОДНОКУРСНИКИ
КИРИЛЛОВ АЛЕКСАНДР АЛЕКСАНДРОВИЧ, доктор физико-математических наук, профессор, Мехмата МГУ 33 года, США, Пенсильванский университет ДИМА АРНОЛЬД Прошло 4 месяца со дня трагической и неожиданной смерти нашего однокурсника, замечательного математика и человека Владимира Игоревича (для нас Димы) Арнольда. Хо- тя все еще трудно поверить, что его нет, но пора вспомнить и рассказать, каким он был. Ко- нечно, разные люди вспомнят разное, но другого способа писать историю не существует. Наше дело рассказать, что мы помним, а потомки решат, как это связать вместе и что из это- го наиболее важно. В моей жизни Дима значил очень много, и обо всём я сейчас рассказать не могу, да и не всё вспомню. 1. ГОДЫ УЧЁБЫ С. Кириллов И. Г. Петровский Д. Арнольд Начну с первых впечатлений. Мы встретились в сентябре 1954 года, оказавшись в од- ной 109 группе на первом курсе Мехмата. До этого мы были знакомы заочно, участвуя в Мо- сковских математических олимпиадах с 7-го по 10 класс. Дима ходил также в математиче- ские кружки и вообще, как я узнал позже, вращался в научной среде. А я стеснялся и до 10 класса ходил только на олимпиады, где никто ни о чём не спрашивал, и надо было только решать задачи. Это у меня получалось неплохо, и последние два года я получал первую пре- мию, а Дима вторую. На первом курсе мы продолжали наше соперничество уже в очной форме. На нашем курсе ещё продолжалась традиция старого Мехмата на Моховой: все более или менее знали всех. В каждой группе выявились заводилы, было известно, у кого какие та- ланты, кому курс Мехмата даётся с трудом, а кто уже фактически знает программу первого курса. Я принадлежал к компании студентов-москвичей, многие из которых знали друг друга 21
ещё со школы по математическим кружкам, олимпиадам, школьным вечерам или через старших родственников. Начавшись с 5-10 человек, эта компания разрослась до 20-25, вклю- чив не только москвичей, но и студентов, живших в общежитии. Их блоки стали центром общения, в которых мы проводили немало времени после (иногда и вместо) занятий. Помимо обязательных лекций и занятий на нашем курсе был объявлен семинар по теории функций действительных переменных (ТФДП), самой популярной тогда области ма- тематики с богатыми традициями, заложенными Д.Ф.Егоровым, Н.Н.Лузиным, А.Н.Колмогоровым, А.Я.Хинчиным, Д.Е.Меныповым и др. Вёл этот семинар Анатолий Ге- оргиевич Витушкин, который был тогда аспирантом первого года, и которого мы называли просто Толя. Это был замечательный человек. Ослепши в 14 лет (после экспериментов с гра- натой), он выучился самостоятельно играть на пианино, с блеском окончил Мехмат и был избран академиком АН СССР. Он тоже вошёл в нашу компанию и даже ходил в байдарочные походы. Некоторые его советы нам очень пригодились. Так, он советовал каждый год писать статью, которую можно использовать как курсовую работу на следующий год, а освободившееся время использовать для написания следующей работы. В качестве подготовки к экзамену он советовал по каж- дому экзаменационному билету подготовить какую-нибудь изюминку, которая позволила бы проэкзаменовать экзаменатора. Дима Арнольд творчески воспринял первый совет, написав на третьем курсе свою будущую кандидатскую диссертацию. Я, напротив, погорел на втором Толином совете. Отвечая на один из вопросов Г.Е.Шилова по Анализу-3, я сослался на одну лемму из книги Шилова, не входившей программу. На что Шилов, радостно засмеявшись, сказал: «А лемма-то неправильная!» и предложил мне ещё подумать. Я очень сконфузился и действительно задумался. Вскоре я понял, почему лемма неверна и как исправить её и тем самым спасти моё доказательство. Семинар Витушкина (как я узнал значительно позже) был продолжением знаменитого семинара А.С.Кронрода1, в котором участвовал сам Витушкин. Семинар Витушкина про- должал традиции Кронрода и отличался по стилю от многих прочих семинаров. Так, у уча- стников заранее не предполагалось никаких предварительных знаний. Давались только опре- деления и формулировались задачи. Таким образом, участники семинара заново переоткры- вали основные факты вещественного анализа, включая меру Лебега, теорему Радона- Никодима, дифференцируемость почти всюду монотонных функций, С-свойство Лузина из- меримых функций и т.п. Там мы познакомились с проблемой Гильберта о суперпозициях функций многих пе- ременных. Гильберт спрашивал,’можно ли представить функцию п переменных суперпози- циями функций меньшего числа переменных (точнее, в оригинале шла речь о корнях поли- нома седьмой степени, которые выражались через коэффициенты с помощью функций трёх переменных, и было неизвестно, можно ли обойтись функциями двух переменных). Вопрос этот стал необычайно популярен после того, как А.Н.Колмогоров получил сенсационный ре- зультат: всякая непрерывная функция п переменных представима суперпозицией непрерыв- ных функций трёх переменных. Разумеется, все участники семинара Витушкина, включая руководителя, бросились на оставшуюся часть проблемы. Мы вместе с Димой получили одновременно и независимо друг от друга несколько простейших результатов. В частности, нашли пример (один и тот же) непрерывной функции f двух переменных х и у, не представимой в виде / (<р(х) + у(у)), где /, #>, и - непре- рывные функции одной переменной. Наш результат, как и наша первая (и последняя) совме- стная работа, остался неопубликованным. Потом наши пути разошлись. Я начал активно ра- ботать в семинаре Е.Б.Дынкина по группам Ли. Дима продолжал думать над суперпозициями и, ко всеобщему изумлению, через полтора года решил проблему Гильберта. 1 Об А.С. Кронроде см. статью В.М.Тихомирова в журнале Математическое просвещение, 2002, вып. 6. 22
Этот результат вызвал бурную и, как сейчас выражаются, неоднозначную реакцию. Одни полагали, что это - типичное везение. Просто, дескать, Арнольд придумал хитроумный трюк, позволяющий дотянуть теорему Колмогорова до искомого результата о представлении функции трёх переменных суперпозициями функций двух переменных. Другие говорили, что Гильберт имел в виду совсем другую задачу, в которой функции предполагаются аналитическими, или хотя бы достаточно гладкими. Тогда и ответ должен быть другим, отрицательным, как и было впоследствии доказано Витушкиным. Третьи просто восхищались новой математической звездой и предсказывали ей бле- стящее будущее. В конце концов, третьи оказались правы, но только сейчас, после того, как опубликована почти тысяча математических работ Арнольда, мы начинаем понимать, как эти работы связаны, и какие усилия и прозрения за ними стоят. Об этом я ещё скажу позже. Но вернёмся назад, на первый курс. Главным спортивным увлечением, общим для студентов Мехмата, был туризм: пеший, водный, горный. Математики вообще любят ездить. Мы все знали о туристских подвигах математиков старшего поколения: О.Ю.Шмидта, Б.Н. Делоне, А.Н.Колмогорова, П.С.Александрова и др. Наш курс тоже оставил заметный след в истории туризма: Юра Хмелевский был научным руководителем знаменитого лыжного по- хода на Северный полюс. Летом 1955 года наша компания хотела, почти в полном составе, пойти в байдароч- ный поход. Однако организационные и технические трудности отмели большую часть, и ос- талось 7 или 8 человек. В спортивном клубе МГУ нам удалось получить две байдарки дово- енного производства. Об их состоянии красноречиво сказал руководитель спортклуба Д.А.Самарин: «Каждая группа, ходившая на этих байдарках, считала, что этот поход послед- ний (для байдарок)». Действительно, когда мы высадились из пригородного поезда на берегу реки Пры в Мещёре и развернули чехлы байдарок, то вначале пришли в уныние. К счастью, из нас всех только Дима Арнольд, начальник нашего похода, раньше имел дело с байдарка- ми. Поэтому остальные даже не представляли, сколь бедственно наше положение. Под руко- водством Арнольда мы провели инвентаризацию и выяснили, какие части байдарок безна- дёжно сломаны и какие вовсе отсутствуют. Потом занялись починкой и изготовлением час- тей, склейкой и сборкой. На это ушёл весь первый день и большая часть второго. Особенно Мы гордились новым носовым штевнем, вырезанным из ствола кривой берёзы. Кончили ра- боты уже под вечер, но всем хотелось немедленно опробовать наши суда, и мы тронулись в путь. Немедленно выяснилось, что одна из байдарок (ей было присвоено имя Умора) силь- но течёт. Вторая (её назвали Зануда) почти не текла, но могла плыть прямо, только если гре- сти одними левыми вёслами. При нормальной гребле она круто уходила влево, а при гребле правым веслом, разворачивалась назад. Пришлось выгружаться на берег и продолжать ре- монт. При высадке произошёл трагикомический эпизод. Миша Шур, которому было поруче- но достать запас сахара из носа своей байдарки, вдруг издал громкий тревожный звук, вроде пароходного гудка. Все воззрились на Мишу, который застыл в следующей позе: левая нога в байдарке, правая на крутом берегу, в руках тяжёлый мешок с сахарным песком. Было вид- но, как он с трудом пытается удержать байдарку у берега, а она медленно, но неумолимо от- ходит от него. Разумеется, конец был закономерным: байдарка отошла почти на метр, Миша с плеском сел в воду, но сахар остался цел. Даже сидя по шею в воде, Миша держал мешок в поднятых руках, пока его не перехватил кто-то, шагнув в воду. Надо сказать, что это и все последующие приключения не испортили нам настроение, и на другой день наш флот про- должал плавание. Через день, однако, мы поняли, что перегруженные байдарки плывут слишком мед- ленно и все время рискуют опрокинуться. Начальник принял волевое решение и разбил нашу группу на две: водную и пешую. Мы условились о месте встречи. На другое утро я поднял пешую группу, и мы налегке, с полупустыми рюкзаками, бодро двинулись в путь. А Дима остался приводить в порядок суда и вести их в дальнейшее плавание. Поход благополучно завершился при впадении Пры в Оку, откуда мы на пароходе отправились домой. В этом по- ходе Дима проявил свои лучшие качества как руководителя и как участника похода. Ещё за 23
полгода до этого, в зимнем лыжном походе по Подмосковью, Дима изобрёл термин «квази- энтузиаст». Каждый участник похода мог объявить себя квазиэнтузиастом и тем самым при- нять на себя обязательства: 1. Беспрекословно и с показным энтузиазмом выполнять любое распоряжение началь- ника. 2. Быть готовым в любой момент поменяться с любым участником похода (по его просьбе) местом, обязанностями и снаряжением. Помня об этом зимнем походе, несколько человек и в байдарочном походе объявили себя квазиэнтузиастами, что немало способствовало успеху похода. Летом 1956 года мы собирались опять пойти в байдарочный поход. Но в это время было решено поднимать целинные земли, и студенты в добровольном порядке поехали на целину. Нашему курсу довелось работать в окрестности Алма-Аты, в полупустыне Южного Казахстана. Кроме нас, студентов, туда были посланы также молодые механизаторы с Ук- раины, только что закончившие краткосрочные курсы. Опыта работы у них было не намного больше, чем у нас. К тому же, обнаружилась хроническая для России тех лет нехватка запас- ных частей. Поэтому студенты, назначенные комбайнерами, в том числе и мы с Димой, большую часть времени провели на других работах. Но пришёл и на нашу улицу праздник, и мы встали за штурвалы комбайнов. Помню наш разговор о разнице между комбайном и зенитной пушкой, которую мы в тот год изучали в курсе военного дела. Дима сделал такое замечание: «Пушка сделана так, что она не ломается даже при прямом попадании в неё небольшого снаряда. Комбайн же ло- мается, даже если ты не загружаешь его работой, а крутишь на холостом ходу». Я думаю, уже тогда у него зародились мысли о неэффективности многоступенчатого управления, поз- же блестяще сформулированные в его книжке о жёстких и мягких математических моделях.. Много было на целине и других интересных событий, но о них уже рассказано в двух первых выпусках этой книги. Для меня, среди прочего, целина запомнилась открытием звёздного неба. До этого я не знал даже Большой Медведицы, а под руководством Арнольда с удоволь- ствием выучил названия большинства ярких звёзд и многих созвездий, видимых в нашем по- лушарии. Помню характерный стиль Арнольда, описывающего звёздное небо: «А вот здесь, ниже Кассиопеи, мы видим созвездие Андромеды, в котором две левые звезды принадлежат Персею, а две правые - Пегасу». После окончания целинной страды нам сообщили, что нашему отряду удалось собрать урожай пшеницы примерно 16 центнеров с гектара, что было тогда выше средней урожайно- сти по Союзу. Нас распустили по домам, подарив нам месяц отдыха в компенсацию летних каникул. Многие, особенно не москвичи, разъехались по домам, а другие решили воспользо- ваться тем, что очутились за казённый счёт далеко от Москвы в экзотической Средней Азии. Саша Крылов, тогда начинающий аспирант, и мы с Димой решили проделать извест- ный среди горных туристов маршрут Алма-Ата - Иссык-Куль. Тогда ещё не было карт и пу- теводителей, но в Клубе туристов Алма-Аты нам удалось найти и списать описание этого маршрута и скопировать приближённую карту. Путешествие заняло четыре дня и три ночи, которые мы провели, укрываясь одеялами, поскольку палатки у нас не было. К счастью, по- года стояла отличная и, слегка подмерзая ночами, мы быстро отогревались утром и бодро шагали по горной дороге, а потом по тропе, хорошо протоптанной многими поколениями коров, овец, коз и ослов (ишаков). На пути нас ждало несколько препятствий: два не очень сложных перевала через хребты Кунгей Ала-Тау и Илийский Ала-Тау и между ними серьёз- ная переправа через довольно большую горную реку Чонг-Кемин. В описании маршрута бы- ло сказано, что из-за бурного течения реку нельзя перейти ни вброд, ни на лошади, а только на верблюде (поскольку у верблюда длинные ноги и вода не достает до живота). Там же со- общалось, как раздобыть верблюда: надо найти юрту с киргизами и попросить у них. Они в ответ попросят 500 рублей или маленькую пачку чая. Всё так и оказалось. Пачку чая мы за- годя купили в Алма-Ате за 3 рубля и оплатили свою переправу. По дороге встретились и бо- лее мелкие речки и ручьи. Переправа через один из них привела к другому смешному про- 24
исшествию. Арнольд и Крылов, считавшие себя опытными горными туристами (по сравне- нию со мной, никогда раньше не бывавшим в горах), решили организовать образцовую верё- вочную переправу. В один из моментов, когда мы с Димой удерживали в натяжении верёвку, на которой висел самый тяжёлый из нас Саша Крылов, мы почувствовали, что верёвка всё больше и больше провисает, и Сашин зад вот-вот коснётся воды. Картина была довольно смешной, и смех ещё больше ослаблял нас, а верёвка ещё больше провисала. Наконец, Саша коснулся.воды, дёрнулся, и с его головы слетела в воду белая кепка. Мы дружно расхохота- лись, и вдруг Саша, глядя на нас, тоже стал хохотать. Почувствовав неладное, Дима спросил, в чём дело. И Саша, захлёбываясь от смеха, ответил: «Это твоя кепка». И действительно, пе- ред переправой они зачем-то поменялись кепками. Озеро Иссык-Куль встретило нас маковыми полями необычайной красоты, теплой во- дой и пустынным песчаным пляжем неподалёку от курортного посёлка Чолпон-ата. На бере- гу я обнаружил 5-метровую вышку и пообещал научить Диму и Сашу с неё прыгать. Надо сказать, что на первых двух курсах МГУ я занимался спортивной гимнастикой, а на втором курсе нас пригласили попробовать себя в новом тогда виде спорта: прыжках в воду. Я сразу понял, что этот спорт для меня. Несмотря на близорукость, я быстро выполнил норму 2-го разряда, и мне не терпелось приложить свой знания. Арнольду я очень быстро объяснил на языке механики, что если палку весом и длиной с человека поставить на край пятиметровой вышки и отпустить, то она сделает в падении поворот на 180 градусов и воткнётся верти- кально в воду. Я продемонстрировал это на своём примере, и Дима, забравшись на вышку, послушно выполнил мои указания и вертикально вошёл в воду (не без брызг, поскольку вся- кий начинающий невольно сгибает ноги при входе в воду). Саша Крылов, вдохновлённый этим примером, тоже залез на вышку. Но ему не хвати- ло веры в теорию, и он, после некоторых колебаний, слез обратно. Позже Дима Арнольд рас- сказывал мне продолжение этой истории (надеюсь, с лёгкими преувеличениями). Через мно- го лет он оказался вместе с Робертом Адольфовичем Минлосом и Михаилом Львовичем Ли- ловым на берегу моря, где стояла вышка. Решив передать дальше свой опыт, он уговорил обоих математиков прыгнуть с вышки. Результат оказался плачевным: Минлос повредил спину, а у Лидова лопнула барабанная перепонка. Арнольд укорял меня за якобы неправиль- ную методику обучения. Я отвечал ему, что, во-первых, результат зависит не только от учи- теля, но и от ученика; а, во-вторых, спросил, точно ли он пересказал мою аналогию с палкой. Дело в том, что если человек не ведёт себя, как палка, а, например, отталкивается от вышки или в полёте сгибается, то вертикальный вход может и не получиться. 25
На старших курсах мы с Димой общались уже реже. Каждый работал в своей области. Мне удалось найти в теории представлений новый подход, который я назвал методом орбит. По существу, это было применение идей симплектической геометрии (то-есть, на языке Ар- нольда, классической механики) и носящихся тогда в воздухе основ квантовой физики к за- дачам теорий представлений. Я написал на эту тему мою первую крупную статью и предста- вил ее в качестве кандидатской диссертации. Для меня стало полной неожиданностью, когда один из оппонентов (М.И. Граев) предложил рассматривать мою диссертацию как доктор- скую. Другой оппонент (Н.Я. Виленкин), как мне показалось, слегка опешил, но поддержал это предложение. Правда, как выяснилось, возникшую проблему нельзя было решить на данном учёном совете: требовался третий оппонент и поддержка так называемой передовой организации, которой диссертация посылалась на отзыв. Всё это потребовало времени. В ре- зультате защита растянулась на три месяца, но закончилась благополучно. В тот же день за- щищал свою кандидатскую диссертацию и Дима. Его руководитель А.Н.Колмогоров также внёс предложение расценить диссертацию как докторскую. Но один из оппонентов (А.Г. Ви- тушкин) выступил против, мотивируя это аргументами, которые я приводил выше. К сча- стью, Дима и в этом случае, творчески следуя старому совету Витушкина, уже имел в занач- ке вторую диссертацию, которую и защитил блестяще примерно через год. В это время И.Г. Петровский, тогдашний ректор МГУ, воспользовался открывшейся вакансией и предложил Диме и мне досрочно закончить аспирантуру и поступить в МГУ на работу в качестве ассистентов. Разумеется, предложение было с восторгом принято, и с осе- ни 1961 года мы начали трудовую деятельность на Мехмате, которая продолжалась 25 лет у Димы и 33 года у меня. Наше последнее совместное путешествие состоялось в августе 1962 года. Это был разгар Хрущёвской оттепели. Власти решили послать на Международный математический, конгресс в Стокгольме (Швеция) не обычную делегацию в 25 человек, а представительную группу математиков. Планировалось послать официальную делегацию (25 человек от АН СССР и 25 от республиканских Академий) и группу в 400 человек научных туристов. Одна- ко, в результате в Швецию поехала объединённая группа делегатов и туристов, всего около 50 человек. Новым было включение в эту группу молодых математиков: Д.В. Аносова, В.И. Арнольда, А.А. Кириллова, Ю.И. Манина и Л.Д. Фаддеева. Старшему из нас было 28 лет, младшим - 25. 2. Арнольд и естествознание Здесь я расскажу, какое влияние Арнольд оказал на меня, и попробую осмыслить предполагаемое влияние его работ на математику и науку в целом. Если первое более или менее в моих силах, то второе, разумеется, чрезвычайно трудная задача, и я буду рад, если внесу хотя бы малый вклад в ее решение. Основное отличие Димы Арнольда от многих, даже очень сильных математиков, в том, что он по своей природе естествоиспытатель. Из его автобиографических публикаций видно, что он с детства был окружён замечательными учёными, энтузиастами в разных об- ластях знаний (см., например, книгу И.В.Арнольда «Принципы отбора и составления ариф- метических задач», Москва, МЦНМО, 2008, с предисловием Димы Арнольда). Конечно, этот факт - не его заслуга. Но он сумел использовать его на сто процентов. В наши первые сту- денческие годы это не слишком бросалось в глаза. Я, например, начал понимать, что он из другого теста, только в годы аспирантуры и вполне осознал значительно позже, когда наши судьбы окончательно разошлись, и я следил за его успехами по докладам и публикациям. Я не хочу здесь описывать главные результаты Арнольда, о них уже много сказано, и ещё больше и лучше скажут его многочисленные ученики. Не буду также обсуждать не- сколько выпусков «Задач семинара Арнольда», завоевавших всемирную известность. Мне хотелось бы отметить завораживающий стиль Арнольда, в котором написаны, например, его учебники и обзорные статьи. Особенно замечательны в этом отношении не- большие популярные книжки, которых Дима написал много в последние годы его жизни. 26
Вот, например, перечень брошюр, изданных Московским Центром Непрерывного Математи- ческого Образования (МЦНМО): «Жёсткие и мягкие математические модели», 2000; «Цепные дроби», 2001; «Группы Эйлера и арифметика геометрических прогрессий», 2003; «Задачи для детей от 5 до 15 лет», 2004; «Динамика, статистика и проективная геометрия полей Галуа», 2005; «Что такое мате- матика?», 2008; «Вещественная алгебраическая геометрия», 2009; «Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов», 2009; «Математическое понимание природы. Очерки удиви- тельных физических явлений и их понимания математиками (с рисунками автора)», 2009. Эти книги - не только незаменимое пособие для школьников, студентов и аспирантов, но и очень полезное (тут, пожалуй, лучше подойдет английский эпитет “provocative” (прово- цирующий на размышление) чтение для взрослых математиков. Я думаю, что со временем влияние этих публикаций на современную математику окажется сравнимым с влиянием чис- то научных результатов Арнольда. Приведу лишь два примера. В одной из книжек Арнольда я обнаружил следующее за- мечание: «...тождество Якоби, вынуждающее три высоты треугольника пересекаться в одной точке...» Я был поражён этим утверждением и немедленно стал его проверять. Не хочу ли- шать читателей удовольствия самостоятельно убедиться в правоте Арнольда. Скажу лишь, что это особенно наглядно не в плоской, а в сферической геометрии. Точка на сфере - это единичный вектор в трёхмерном пространстве; прямая на сфере это большой круг с эпицен- тром, который также задаётся единичным вектором в трёхмерном пространстве. С другой стороны, трёхмерное вещественное пространство является аЛгеброй Ли относительно опера- ции [А, В] векторного произведения. Оказывается, что прямая, проходящая через точки А и В, соответствует единичному вектору, пропорциональному [А, В], а перпендикуляр, опу- щенный из точки А на прямую, соответствующую вектору Р, задаётся единичным вектором, пропорциональным [А, Р]. Значит, перпендикуляр, опущенный из точки А на прямую, со- единяющую точки В и С, задаётся единичным вектором, пропорциональным двойному ком- мутатору [А, [В, С]]. Из тождества Якоби вытекает, что единичные векторы, пропорциональ- ные [А, [В, С]], [В, С, А]] и [С, [А, В]], линейно зависимы. А это значит, что соответствую- щие прямые пересекаются в одной точке. В другом месте Дима отметил, что радуга - одно из самых и красивых, и часто наблю- даемых физических явлений, объясняется законами отражения и преломления света в капле воды. В то же время, этот факт мало известен математикам, хотя он может отлично служить для иллюстрации и пропаганды математического анализа среди неспециалистов. Я использо- вал эту тему в лекциях для школьников и студентов Независимого Московского Университета. Как отмечалось разными людьми, среди читателей работ Арнольда много нематема- тиков: физиков, химиков, биологов и лингвистов. Такое же разнообразие наблюдалось среди его научных коллег и личных друзей. Дима был редким примером универсального учёного- естествоиспытателя и таким он запомнится всем, кто его знал. А.А. Кириллов В.И.. Арнольд, 2005 г 27
АРХАНГЕЛЬСКИЙ АЛЕКСАНДР ВЛАДИМИРОВИЧ, преподавал на Мехмате МГУ 40 лет, доктор физмат наук, профессор; Лауреат Премии Ленинского комсомола, иностранный член Болгарской Академии наук ВСПОМИНАЯ ОБ АРНОЛЬДЕ (МОИ СТУДЕНЧЕСКИЕ ГОДЫ В МГУ) Первый раз я увидел Арнольда, когда пришёл на публичное награждение победителей Московской математической олимпиады 1954 года для школьников. Как я узнал позднее, к тому времени уже сложилась школьная математическая «элита», состоявшая из старше- классников, начавшая ходить в математические кружки при Московском университете с седьмого класса или даже ранее и с того же времени участвовавшая в математических олим- пиадах. Члены её не только владели виртуозной техникой решения школьных задач, но уже склоняли свои головы над настоящими университетскими учебниками по высшей математи- ке, овладевали идеями и методами математического анализа, высшей алгебры, аналитиче- ской геометрии. Я к этой кружковой братии не принадлежал, ни с кем из тех, кто в неё вхо- дил, не был знаком, узнал о математических олимпиадах только в 1954 году. Тогда же, по приглашению Александра Львовича Крылова ( выпускника моей же, 135й школы Москвы), заканчивающего тогда уже Мехмат) пришёл один раз на заседание кружка по математике для десятых классов при МГУ в здание на Моховой. На награждении победителей в старшем, десятом классе, первая премия была вручена Александру Кириллову, две вторые премии были вручены Владимиру Арнольду и Юлию Назарову; было вручено, кажется, три третьих премии. Я и сейчас, почти через 60 лет, хо- рошо вижу, как Саша Кириллов, несколько сгибаясь под тяжестью внушительной двойной связки премиальных книг по высшей математике, быстро взбирается по лестнице на самый верх огромной, полностью заполненной аудитории. Ритм и пластика этого движения его на- верх, быстрота его, передают, как дорога ему его добыча. Вес наград Московской Математической Олимпиады был тогда необычайно высок. Ведь премий присуждалось так мало: по десятому классу только одна первая, только две вторых и три третьих. И конечно, вес этих премий был связан с высоким положением науки и учёных в том обществе. Я помню, например, что ещё будучи школьником и ещё не решив точно, что пойду на Мехмат, я прочёл в Советской Энциклопедии краткие биографии многих выдающихся учёных - математиков и физиков: А.Н. Колмогорова, И.М. Виноградова, С.Л. Соболева, Л.В. Келдыша и других. Поэтому победители Олимпиады получили изначально необычайно высокий статус на курсе и на Мехмате в целом, сродни тому, который имели победители спортивных олимпиад в Древней Греции, т.е. статус героев. Итак, первый раз я увидел Арнольда на награждении победителей Олимпиады. Вто- рой раз мы встретились в очереди на подачу документов на Мехмат. Так как у нас совпадали первые две буквы фамилий, мы стояли в очереди к одному столику и случайно оказались рядом, в одном месте этой длинной очереди. Я уже знал, кто такой Арнольд, а Арнольд, ра- зумеется, не имел обо мне ни малейшего представления. Но его привлёк внешний вид папки с документами, которую я держал в руках и которую взял с собой на счастье. На папке большими золотыми буквами было вытеснено имя моего деда, Александра Семёновича Ар- хангельского. Папка было дореволюционная, очень большая, и не заметить её было трудно. Арнольд стал меня расспрашивать про то, кто такой Александр Семёнович и кем мне прихо- дится. Таким образом мы познакомились. Открытость Арнольда для общения (впрочем, как я сейчас думаю, не лишённая некоторой доли иронии) меня привлекла. Когда в сентябре 1954 года начались занятия на Мехмате (уже на Ленинских Горах), выяснилось, что мы с Арнольдом попали в одну группу - №109. Это была замечательно сильная группа. Достаточно сказать, что в неё попали три победителя Олимпиады: Саша Ки- 28
риллов, Дима Арнольд и Марк Фрейдлин. В ней же учился Толя Карацуба и другие талант- ливые молодые математики. Арнольд, конечно, был знаком в группе не только со мной, но мы как-то оказались за одной партой, в ряду у окна, по-моему, второй сзади или последней. Вскоре Арнольд стал для меня Димкой, что, впрочем, не уменьшило ореола вокруг него в моих глазах. Однако этот ореол не давил на меня, не мешал мне в общении с ним, хотя Димка и не скрывал своих математических достоинств. Открытость Арнольда, его весёлость, эмоциональная искрен- ность привлекали к нему и делали отношения лёгкими в хорошем смысле слова. Иногда я узнавал от Димки неожиданные для меня вещи, не имеющие прямого отношения к матема- тике. Так, зашла между нами речь об утренней зарядке и о том, что делать её надо, но труд- но, так как лекции и занятия начинаются так рано, а ещё надо около часа добираться до университета. На это Димка заметил, что у него есть особенные трудности в этом отноше- нии, так как его утренняя зарядка включает несколько (кажется, пять) обязательных компо- нент. Не помню порядка, в котором они были названы Арнольдом, но они включали сле- дующее: прослушивание музыкального произведения, чтение стихотворения, чтение отрывка из философского произведения, собственно физическая зарядка и душ с растиранием. Я был сильно впечатлён этим сообщением. Мне такое и в голову не приходило и было не под силу. Вскоре, всё ещё под впечатлением от этого разговора, я подарил Арнольду небольшую книжку высказываний Марка Аврелия, дореволюционное издание, подаренное мне Марией Александровной Скрябиной. Я тогда недавно её прочёл, она произвела на меня большое впе- чатление, и мне захотелось разделить это впечатление с Димкой. Он поблагодарил, взял кни- гу, но о своих впечатлениях от Аврелия не рассказывал. Студенческая жизнь на нашем курсе, особенно среди москвичей-кружковцев и примкнувших к ним, была весьма оживлённой. Мы все воспринимали излёт из школы в уни- верситет, как обретение свободы и духовного простора. В школьном обществе часто правили нахрапистые, заземлённые троечники, а здесь, на Мехмате, мы попали в светлый мир моло- дых людей, объединённых любовью к математике. Арнольд оказался в центре этого мира не только благодаря окружающему его ореолу, но и потому, что он собой воплощал эту молодую любовь к математике с необычайной силой и яркостью. Это впечатление усиливалось его внешними качествами - заливистым смехом, быстротой движений и реакций, прекрасной физической формой. Наша компания, включав- шая человек двадцать, встречалась раз или два раза в месяц у кого-нибудь дома, отмечая дни рождения и праздники Рождества. Мы танцевали, разгадывали шарады, выпивали, но не слишком, играли в карты и соревновались, кто в разгар этого веселья лучше даст определе- ние предела последовательности или непрерывности функции. Встречи заканчивались про- гулками по Москве, часто по Садовому кольцу, с математическими разговорами, пением пе- сен, в том числе, мехматских и туристических. Кириллов и Шур, Назаров и Фрейдлин, Ло- зинская и Брушлинская, Авербух и Кристи, Ставская и Мурский, Ветухновский и Софрониц- кая, и многие другие там были или бывали. Ходили мы в походы, летние и зимние, байда- рочные и лыжные, в том числе, с ночёвками. В этих походах большая часть курса участвова- ла, мы узнавали лучше друг друга, и Арнольд во всём этом участвовал увлечённо. А ещё на- ша компания и многие другие однокурсники наши регулярно по вечерам встречались в Кон- серватории, где иногда можно было увидеть пол-Мехмата, Александрова, Колмогорова, Ша- фаревича, Дынкина и многих других. Фойе перед концертным залом в антракте при этом превращалось в ещё один коридор Мехмата. Летом 1955 года большинство из нас поехало помогать убирать урожай в село Троиц- кое, под Москвой. Помню, как неистово Арнольд собирал вилами сено в стог, как весело и высоко взлетали его вилы с сеном, как укладывавшие это сено наверху стога еле успевали за Димкой. Мне представляется, что в Димке жила и била через край не только великая любовь к математике, но и безмерная любовь к физическому труду. Эти два великих чувства сплавля- лись в нём воедино. «Единое счастье - работа...» - это стихотворение Валерия Брюсова, мне 29
кажется, можно вполне отнести к Диме Арнольду. Любовь к математике и любовь к труду привели, в частности, к тому, что он аккумулировал огромный запас знаний, и не только ма- тематических, ещё в бытность студентом. Он способен был восхищаться чужими математи- ческими достижениями не меньше, чем своими. Узнавая чей-нибудь результат, его пора- жающий, он немедленно заявлял: «Это должны знать все!» Учёба на первом курсе Мехмата не была для меня лёгким делом, хотя программа Мехмата в то время не была ещё чрезмерно перегруженной. Я, как уже говорил, имел очень маленькое знакомство с высшей математикой до поступления на первый курс. Да и было мне тогда только 16 лет. Кроме того, я не обладаю хорошей памятью, и мне требуется долго при- выкать к новым понятиям, идеям и конструкциям. А так как мы вели бурную студенческую жизнь, то времени мне катастрофически не хватало на всё. В частности, я не всегда успевал сделать семинарские домашние задания. Кстати, должен здесь заметить, что и Кириллов, и Арнольд, были, практически, идеальными студентами, в том числе, и в отношении посещае- мости, и в отношении выполнения домашних заданий. В дополнение к обязательной программе, на Мехмате осенью 1954 года, как всегда, было объявлено множество спецсеминаров и спецкурсов для студентов младших курсов. В частности, такой семинар объявил Е.Б. Дынкин, замечательно читавший у нас курс высшей алгебры. Семинар по самостоятельному построению основ теории функций и множеств на прямой объявил А. Витушкин. Эти и другие семинары привлекли многих моих продвинутых однокурсников. Некоторые из них посещали оба этих семинара (в числе последних были, ес- ли я не ошибаюсь, Миша Шур, Саша Кириллов и Дима Арнольд). Увлечённый энтузиазмом своих товарищей по поводу этих семинаров, я побывал раз или два на каждом из них, но по- нял, что они требуют большой работы, и что на это мне совершенно не хватит времени. В семинаре Витушкина, который был элементарней и ближе всего мне по духу, участниками почти самостоятельно строились элементы теории множеств на прямой, включающие топо- логические её аспекты и вопросы, относящиеся к теории меры. Витушкин давал необходи- мые определения и ставил задачи, которые должны были быть решены участниками семина- ра самостоятельно к следующему собранию семинара. Решивший первым рассказывал своё решение, остальные его «ловили», пытаясь найти пробел или ошибки. Неделя между семи- нарами оказывалась заполненной попытками решить эти задачи. Я не смог ходить на этот семинар, но оказался вовлечённым в обсуждение этих задач и в попытки их решения. Задачи, данные Витушкиным, обсуждались и во время перерывов между лекциями, и в очередях в буфете и столовой, и самое главное, на пути в Университет утром из дома, в автобусе, либо на обратном пути домой, в метро и в автобусе (в те времена почти все москвичи-студенты ездили в университет либо через Киевский, либо через Калужскую площадь). Автобус в этих случаях превращался в филиал семинара Витушкина. Участвуя в этих обсуждениях, делая попытки самостоятельно решить задачи, рассказать свои решения товарищам их уже ре- шившим, я стал как бы «заочным» участником семинара Витушкина. Одной из первых задач Витушкина, меня заинтересовавших, было доказать, что мно- жество рациональных чисел вещественной прямой не является на прямой множеством типа SG delta S. К тому моменту, когда я о ней узнал, и Кириллов, и Арнольд уже эти задачи ре- шили. Однако я их решений не слышал и захотел сам понять, почему это утверждение верно. Чаще всего я на первом курсе возвращался домой вместе с Димкой. Он жил на Арба- те, а я ехал на одну остановку дальше, до Площади Революции или до Проспекта Маркса. Этим я и воспользовался, стал рассказывать Димке свои решения. Надо отдать ему должное - он не отвергал моих попыток и не пропускал их мимо ушей. Напротив, в этом деле он вёл себя как пограничный пёс, который ловит контрабанду на границе. Только со второй попыт- ки, на следующий день после начала моих представлений я услышал наконец простое «Да, уже верно» от Арнольда. И сейчас я помню радость и гордость, охватившие меня в эти мину- ты и слегка озадачившее меня спокойствие Арнольда. Это произошло в декабре 1954 года. Ещё предстояло начать свою работу новому се- минару по общей топологии академика П.С. Александрова для младшекурсников (регуляр- 30
ные заседания этого семинара начались с сентября 1955, но два первых, рекламных, его засе- дания - в мае 1955 года). Ещё предстояли поездки к Александрову и Колмогорову в Кома- ровку, совместные плаванья в лодках по Волге, лыжные прогулки. Всё это и многое другое было впереди. Но я уже сделал первый шаг по «раю, созданному Кантором для математи- ков», говоря словами великого Давида Гильберта. И помогли мне сделать этот первый и ре- шающий шаг А. Витушкин (заочно) и Д. Арнольд. Сразу после летней сессии 1955 года многие из нашей первокурсной компании и не- которые другие однокурсники собирались пойти в поход на байдарках. Одна из рек, по кото- рым мы плыли, называлась Пра, места были очень комариные. В частности, собирались идти Арнольд, Шур, Раздуваевы Ольга и Лена, Красовская и Чернышёва, Авербух, Брушлинская, я и некоторые другие. Надо было ещё сдать сессию - уходили на следующий день после по- следнего экзамена - по аналитической геометрии в моём случае. Оставалось ещё несколько дней, чтобы подготовиться к походу, их должно было хватить. Но тут неожиданно для меня обнаружилось, что надо проверить и подготовить походную амуницию, включая сами бай- дарки. Это не удалось сделать заранее, так как все готовились к экзаменам. Пришлось срочно решать эту проблему, проверять байдарки (путём их сборки) решили у меня (байдарки были старые, спортклубовские). Готовиться к аналитической геометрии не получалось, а знал я этот курс во втором семестре хуже, чем в первом (материала было много больше). Остава- лась только последняя ночь перед экзаменом. Димка сказал, что он тоже ещё не готовился, и что он готов сидеть эту ночь со мной и готовиться вместе. На том и порешили, так и сдела- ли. Но Арнольд, конечно, заранее всё или почти всё знал, ему требовалось только слегка освежить материал. Я же совершенно не успевал его воспринять во множестве живописных деталей. Нужно ли говорить, что на экзамене Арнольд без труда получил свою пятёрку? Я же попал к Александрову, доброму экзаменатору, я плавал, отчаянно путая названия поверхно- стей второго порядка, заданных каноническими уравнениями. Павел Сергеевич с неудоволь- ствием поставил мне четвёрку, и я слетел с повышенной стипендии. Эта четвёрка погасила пятёрки, полученные по аналитической геометрии в первом семестре, и вошла в диплом. Пе- ресдавать я её не стал, оставив «на память» о подготовке к экзамену вместе с Арнольдом и о сдаче экзамена самому Павлу Сергеевичу (это мне не помешало получить диплом с отличи- ем). После второго курса нас распределили на кафедры по нашему выбору, и я уже мень- ше встречался с Арнольдом. Затем на третьем курсе Арнольд, довольно неожиданно для ме- ня и одним из первых на нашем курсе, женился. Мы ещё несколько раз ходили друг к другу в гости, но потом наши пути разошлись, хотя наши научные руководители, Колмогоров и Александров, были друзьями. Кстати, я никогда с Димкой не встречался в Комаровке, где жили Александров и Кол- могоров, и где бывали многие их ученики. Замечательные новые успехи Арнольда стали известны далеко за пределами нашего курса. В 1961 году я был на защите им кандидатской диссертации. Но Димка не был на моей защите кандидатской в Стекловке осенью 1962 года. Он не интересовался моими математи- ческими делами, лежавшими в сфере общей топологии. Арнольд сам начал с теоретико- множественных методов, сначала занимаясь в семинаре у Витушкина, а затем работая с Колмогоровым над 13-й проблемой Гильберта. Это отсутствие интереса и понимания со сто- роны Димки не было мне приятно и, к сожалению, содействовало моему отдалению от него. В моей памяти Димка Арнольд сохранился как необыкновенно талантливый, яркий и энергичный человек, украсивший молодость мою и многих моих однокурсников. Перефра- зируя извечное высказывание Максима Горького о Сергее Есенине. Можно сказать, что сама природа создала Диму Арнольда, чтобы выразить себя языком математики. 31
АРХАНГЕЛЬСКАЯ (РАЗДУВАЕВА) ОЛЬГА КОНСТАНТИНОВНА, преподаватель МГПИ им. НК. Крупской ПОХОД В НОВГОРОД Сразу на первом курсе Мехмата МГУ мы начали ходить в походы. Первый поход был в праздничные дни 7-8 ноября 1954 года. Мы пошли в "звездочку", т.е. несколько групп шли разными путями и собирались под Звенигородом около озера Глубокое. В поход пошли очень многие студенты. Я хорошо помню Диму Арнольда, Сашу Кириллова, Шуру Архан- гельского, Феликса Ветухновского, Борю Авербуха, Иру Красовскую, Иру Чернышеву. Были в походе и мы с моей сестрой Леной Раздуваевой (ныне Произволовой). В зимние каникулы мы ходили в походы на две недели на лыжах. Ночевали в дерев- нях, чаще всего в школах. Летом ходили на байдарках по рекам и озерам Подмосковья. Осо- бенно хорошо мне запомнился зимний поход на третьем курсе в январе-феврале 1957 года. У нас была маленькая группа : Дима Арнольд, Юра Рождественский, я и еще два студента вто- рого курса. Мы шли по густым лесам в районе Великого Новгорода. Это была удивительная зима. Было очень мало снега, мы в лесу собирали с кустиков бруснику. Кроме того было очень тепло, лыжи прилипали к снегу, трудно было идти. В те годы лыжные мази в продаже бывали очень редко, их невозможно было купить. У нас с собой нужных мазей не было. То- гда Дима предложил намазать лыжи свечами. Мы старательно намазали лыжи, они стали легко скользить по снегу, но появилась очень сильная отдача, при отталкивании лыжи быст- ро скользили назад. Идти стало не легче, но мы были молоды, жизнерадостны, и никакие жизненные невзгоды не могли нас огорчить, мы весело смеялись. Наконец, мы пришли в Великий Новгород. Нас поразила красота реки Волхов и озера Ильмень. Озеро было ярко-синего цвета, река Волхов - свинцового цвета. Вода не замёрзла. Потом мы пошли осматривать Кремль и, прежде всего, памятник Тысячелетию России. Дима оказался великолепным гидом. У него был путеводитель по всем историческим местам Новгорода, путеводитель девятнадцатого века. Мы долго шли вокруг памятника Ты- сячелетию Руси. В путеводителе у Димы была детально описана каждая фигура этого инте- ресного памятника. Все студенческие годы мы ходили в походы, но собирались уже другие группы со- курсников. А с Димой был последним поход именно в Новгород, и он очень хорошо запом- нился. Башни Новгородского Кремля 32
АРХИПОВА ФАИНА МИХАЙЛОВНА, программист п/я, медаль «За доблестный труд» МОЯ ДОЧЬ, СТУДЕНТКА МЕХМАТА, СЛУШАЛА ЛЕКЦИИ АРНОЛЬДА Диму Арнольда я узнала, как и большинство сокурсников, на лекциях. Его активность заставляла обратить на себя внимание, особенно, когда после объяснения нового материала молодой профессор Дынкин задавал короткие задачи, и первым всегда решал их Дима. Ближе я познакомилась с Димой в походе, попав в группу, которой он руководил. Нас, новичков, было много, и он учил нас ставить палатки, готовить и укладывать лапник, разжи- гать и гасить костёр, заботиться о природе - соблюдать экологию, хотя этого слова мы тогда не знали. Дима всегда был доброжелателен и демократичен. Всё это я оценила, когда после это- го похода попадала в походы с другими старшими, не обладавшими этими качествами в той степени, что были у Димы. В том первом походе я фотографировала Диминым фотоаппара- том. Потом Дима напечатал эти фотографии и раздал каждому из нас. Впечатления от первого похода подтолкнули меня увлечься туризмом, и лет десять подряд я проводила свои отпуска в походах по стране, за что очень благодарна Диме. После окончания университета на встречах однокурсников Дима был регулярно, со всеми общался охотно. Как-то я сидела с Димой почти рядом, л мы разговаривали о внуках, о его правнуке. Это был первый правнук на курсе. Дочь моя Ульяна училась на Мехмате и слушала лекции Димы - профессора Мехма- та - по дифференциальным уравнениям. На эти лекции приходили студенты разных факуль- тетов. Так интересны были они и сама манера их чтения. 33
БОРОДИНА (ЛУГОВЦОВА) АЛЛА ИВАНОВНА, кандидат экономических наук, профессор Белорусского института правоведения, г. Минск 2004 г. в гостях у Стоцкой. А. Бородина - на лестнице. Слева-направо: К. Стоцкая, М. Ботина, Л. Зорикова, Д. Арнольд, А. Курочкина, Г. Искрова Я С ГОРДОСТЬЮ ПРОИЗНЕСЛА ФАМИЛИЮ АВТОРА: «АРНОЛЬД!» Во время учёбы на Мехмате в МГУ я и Дима находились в разных группах и встреча- лись только на общих лекциях в аудитории 16-10. Через несколько лет после окончания университета мы, выпускники отделения мате- матики Мехмата, стали встречаться, обычно у памятника Ломоносову. Затем шли в какое- нибудь кафе, и там начинались многочисленные воспоминания и разговоры. Запомнилось, что Дима был очень прост в общении, никогда не показывал виду, что был на несколько го- лов выше нас по знаниям, научным достижениям. Всегда был приветливым, доброжелатель- ным собеседником. Когда он рассказывал нам что-либо на любую тему, его было очень ин- тересно слушать. Недавно я прочитала одну из его работ о значении математики в образовании школьни- ков. Читала с большим интересом. Доступно, объективно, аргументированно, сопровождая иногда анекдотичными примерами об изучении математики в западных школах. Пару лет назад у нас на кафедре аспирантка рассказала, что она прочла интересней- ший материал о мягких математических моделях, который ей очень пригодился для её ис- следований по прогнозированию развития социальных процессов. Показала его нам. Я с ра- достью и неимоверной гордостью произнесла фамилию автора: «Арнольд. Мы с ним вместе учились на Мехмате МГУ.» 34
ВАНЬКО ВЯЧЕСЛАВ ИВАНОВИЧ, Доктор технических наук, профессор МГТУ им. Баумана, Лауреат премии Правительства РФ в области науки и техники ПОДТВЕРДИЛИСЬ СЛОВА М.В. ЛОМОНОСОВА Дима Арнольд... О нем время от времени упоминал учитель математики: на очередной олимпиаде победили Арнольд и Кириллов, Кириллов и Арнольд. А познакомился я с ним, вернее, увидел "в деле" в день собеседования в аудитории на 14-м этаже. Вхожу, сидят трое и о чем-то своем разговаривают. Сажусь, и начинаются во- просы: по алгебре - ответил; по геометрии - решил задачу, но не смог четко сформулировать принцип Кавальери (не проходили, но что-то слыхал); фиаско потерпел на тригонометрии, не знал одного хитрого преобразования. Вышел, весьма огорченный. Около дверей толпится народ, уже прошедшие процедуру и еще не подвергавшиеся. - Ну что у тебя? - Да вот на тригонометрии провалился... - Дай посмотреть. На подоконнике сидел парнишка с каким-то очень светлым лицом и лучистыми гла- зами (такие, я бы сказал "вдохновенные" глаза я видел впоследствии у Сергея Львовича Со- болева на лекциях по урматфизу, которые мы посещали в Академгородке, уже будучи со- трудниками Сибирского Отделения). Три-четыре минуты размышления и ответ: - Да вот же так нужно! Я, понурясь, пошел, а кто-то вслед утешительное: «Уж если сам Арнольд сразу не смог...» Вот так я познакомился с Димой. Потом были походы по Подмосковью с его участи- ем, в которых он проявлял себя опытным и находчивым туристом. После окончания Университета мы следили за его успехами, гордились тем, что учи- лись с ним на одном курсе и знали Арнольда как славного и надежного товарища. На праздновании 70-летия Мехмата кто-то из выступающих (кажется, профессор В.М.Тихомиров) сказал: "Пятидесятые годы... Это было время, когда в математику пришли Дима Арнольд, Саша Кириллов и Шурик Архангельский." Такие люди являются, чтобы еще и еще раз подтвердить слова Михайлы Васильевича Ломоносова: «.. .Что может собственных Платонов И быстрых разумом Невтонов Российская земля рождать.» 35
ВАСИН РУДОЛЬФ АЛЕКСЕЕВИЧ, доктор физико-математических наук, профессор Мехмата МГУ, действительный член РАЕН, лауреат Ломоносовской премии ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА 13 октября 2005 года я, заместитель Председателя Правления Клуба учёных МГУ, отвечал за проведение открытой лекции в МГУ академика РАН (к тому же, моего сокурсника по Мехмату) Арнольда В.И. Афиша гласила: ЛЕКЦИЯ ВЛАДИМИРА ИГОРЕВИЧА АРНОЛЬДА «ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА И ОБУЧЕНИЕ ЕЙ» состоится в четверг 13 октября 2005 года в 17.00 в ауд.02 Главного здания МГУ. Лекция организована Клубом ученых МГУ. Вход свободный. Стандартная для объявлений фраза «Вход свободный» задала сложную задачу органи- заторам выступления В.И.Арнольда в Клубе ученых - послушать его (да ещё при таком интри- гующем названии лекции) собралось столько желающих, что в ауд. 02 народ и на ступеньках сидел, и в проходах стоял плотно. Пришёл и ректор МГУ академик В. А. Садовничий. Во вступительном слове я сказал, что В.И.Арнольд - мой однокурсник, что он не только всемирно известный учёный, но и активный защитник системы математического об- разования, созданной в нашей стране, сторонник развития творческих возможностей уча- щихся. ...В самом начале лекции произошел небольшой инцидент, чуть было не сорвавший выступление Димы (так звали его и однокурсники, и друзья): какой-то слушатель стал с мес- та задавать ему вопросы, кричать, перебивать. Дима отреагировал жёстко: «Выведите этого человека из аудитории, иначе я прекращаю лекцию. Когда я прихожу читать лекцию, гово- рить в аудитории могу только я». Действительно, кто бы, какой невежественный студент, мог бы прервать лектора во время его чтения, когда мы учились? А тут - взрослый... Тем более, лектор - это приглашён- ный академик, уважаемый всем научным миром. Я изрядно понервничал, пока под воздействием соседей этот человек не вышел из ау- дитории и пока не восстановилась тишина, и, честно говоря, не столько вникал в содержание примеров, которые Дима приводил, сколько следил за аудиторией и просто восхищался экс- прессией и живостью его выступления, лёгкостью и естественностью переходов от одного раздела математики к другому. Рефреном ко всем примерам, рассказам из истории математики настойчиво звучал призыв: за индуктивный метод обучения! Дима «громил» сторонников дедуктивного мето- да, которые, оперируя только общими утверждениями, скрывают от учащихся физический смысл излагаемых теорем или утверждений (и тем самым делают их трудными для понима- ния). Чувствовалось (и в ответах на вопросы - после окончания лекции), явно проявилось, что активное неприятие Димой дедуктивного метода не является лишь разногласием по ме- тодологическим вопросам («мне удобнее использовать именно этот метод»), но является вы- ражением его принципиальной позиции в борьбе против формализма и схоластики в вопро- сах обучения математике, против отупления учащихся. И эту борьбу - «в пользу сохранения обучения математике» - он начал вести в Париже, где «в семинаре института математики Университетов Париж-6 и Париж-7 15.06.2005 мнение автора, что студентов следует учить, что 7 X 8 = 56, оспаривалось коллегами-французами, предпочитающими учить их, что 7X8 = 8X7». То же написано в книге В.И.Арнольда «Экспериментальная математика», вышедшей в 36
Москве в 2005 году (изд-во ФАЗИС). Книга начинается словами, читать которые мне, меха- нику, было бальзамом на сердце: «Вопреки мнению большинства современных математиков, я, вслед за Пуанкаре, считаю математику частью физики, то есть экспериментальной нау- кой. Слово «математика» означает «точное знание», и соответствующие открытия бы- ли получены из наблюдений явлений природы». В силу этого убеждения Дима и выбрал кра- сивое и эффектное, с глубоким подтекстом название - «Экспериментальная математика». И горячо убеждал читателя, что эксперимент, наблюдение помогают получать серьёзные результаты даже в самых современных разделах математики. Содержание книги Дима пер- воначально предполагал сообщить «коллегам-французам» и в значительной мере использо- вал его в лекции 13.10.2005 г. Только в лекции, в отличие от книги, он, учитывая аудиторию, сделал акцент не на противопоставлении названных выше методов, а на демонстрации про- стоты, удобства, наглядности применения индуктивного метода в учебном процессе. В заключение - несколько замечаний в связи с экспериментальной математикой, о противопоставлении методов индукции и дедукции. Целиком поддерживаю точку зрения Димы о полезности использования метода индукции в обучении; добавлю лишь, что этот ме- тод не только более прост, доступен учащимся, но и пробуждает у них интуицию, развивает исследовательские навыки наблюдения и обобщения фактов. Что же касается индуктивного метода как метода научно-исследовательской работы, то я с Димой не вполне согласен (хотя он и приводит примеры успешного использования этого метода им самим и другими учены- ми). По-моему, это дело личное - все определяют склонности человека или полученное им образование (у того или иного учителя). Не зря в студенческие наши годы ходил анекдот о физиках как раз на тему метода индукции: «Докажем, что все нечётные числа - простые. Проведём наблюдения: 1,3,5,7,9 - простые, кроме 9; пойдём дальше -11,13 опять простые. Вероятно, 9 - ошибка эксперимента; все остальные - простые числа». О фразе Димы в аннотации к книге «Автор не думал, что его речь в пользу сохранения обу- чения математике нужна в России, где с ним и так все согласны, пока не прочёл в Извести- ях...». Увы, дорогой Дима! Уже и в 2005году не только некий автор «Известий» с тобой не был согласен. А уж теперь...Теперь требующих от учащегося безупречного знания того, что 7x8 = 8x7, и вовсе не интересующихся тем, знает ли он, что 7x8 = 56, и умеет ли он это зна- ние использовать в жизни, - теперь таких пруд пруди и правят бал они не в дремучей Тьму- таракани. Р.А. Васин, В.А. Садовничий, В.И. Арнольд 37
О той же лекции - Лекторий МГУ ТАГИРОВА ВАСИЛИНА, Специальный корреспондент газеты «Московский университет» ЛЕКЦИЯ В.И. АРНОЛЬДА («Московский университет, № 36, 2005 г., с согласия редакции) В рамках Лектория МГУ 13 октября перед университетской аудиторией выступил академик, президент Московского математического общества Владимир Игоревич Арнольд с лекцией «Экспериментальная математика и обучение ей». Впервые прослушав выступление Арнольда, посвященное вопросам математики, я захотела разобраться в его дискуссии с миром математиков подробнее. Начав поиск со статей Владимира Игоревича о математике и закончив уже областью его научных интересов, убеждаешься, что Арнольд - личность миро- вого масштаба. Не то, чтобы это не казалось очевидным ранее, вовсе нет, а потому, что вещи, о которых говорил Владимир Игоревич на лекции, если и приходилось слышать дотоле, то не из первых рук. Пусть про проблемы преподавания математики в мире он и говорит не первый год, но, по крайней мере, его выступления всегда пополняются новыми примерами и, зачастую, из его личного опыта. Любопытно, что выступать перед российской публикой, рассуждая о проблемах ма- тематики, он стал не так давно. А если говорить про лекцию, о которой сегодня идет речь, то она вообще впервые была прочитана российским коллегам. По словам Владимира Игореви- ча, написана она была на английском, прочитана на французском, а предназначалась для вы- ступления 15 июня этого года перед аудиторией двух парижских университетов. Но, вер- нувшись в Москву, он вдруг прочитал в российской печати заявления авторитетных лиц о том, что «математика - не наука, потому что она никакого отношения к реальному не име- ет.» И если ранее Арнольд считал, что с математикой в нашей стране все нормально, то сей- час появляются примеры, говорящие о том, что некоторые важные математические факты исчезают из российского образования. Какие именно, - этому Владимир Игоревич й посвя- тил свое выступление 13 октября в МГУ. Надо сказать, что в этот вечер собрались преиму- щественно ученые-математики, коллеги и соратники академика, для которых предмет разго- вора был очень близок и понятен. В.И. Арнольд начал с давних споров с французскими учеными о предмете математика и о методах ее преподавания: «Основной предмет спора был в том, что я утверждал: матема- тиком может быть только тот, кто знает, что 7 X 8 = 56. Французы утверждают: это знание совершенно излишне, учить надо тому, что 7 X 8 = 8 X 7, а 56- это ерунда». Продолжая свою речь, академик добавил, что в недавней дискуссии с французами он пытался показать, что не только 56 важно, но еще и ряд других простых фактов, о которых те забывают. Похожий пример академик Арнольд приводил еще в 2000 году в своих выступлениях и интервью. «Французского школьника спросили: "Сколько будет два плюс три?" И этот от- личник изрек: "Два плюс три будет столько же, сколько три плюс два, потому что сложение коммутативно..." У него был компьютер, и преподаватель в школе научил им пользоваться, но суммировать "два плюс три" в уме парень не мог. Министр был потрясен и предложил убрать из всех школ преподавателей, которые учат детей компьютеру, а не математике». Вернемся к лекции в Московском университете. Продолжая выступление, Арнольд напомнил своим коллегам перевод слова математика. Оно означает «точное знание», и един- ственной страной, которая пользуется данным переводом на свой язык, является Голландия. Большинство же других стран использует греческое mathematike. На этот раз академик много времени посвятил полезности двух основных методов мышления: индукции и дедукции. Индукция - это переход от частного к общему. Дедукция - это переход от общего к частному. «Лейбниц писал, что именно дедукция есть отличие чело- века от животного, и на почве этого основал свое математическое доказательство бытия 38
Божьего ... Есть общий закон, есть частный случай. Надо применить частный случай и полу- чить правильный вывод. Например, закон «не убий». Вывод: даже очень надоевшую жену нельзя убить». Однако Арнольд сказал про Лейбница, что тот был настоящим философом, но не был математиком, поэтому вся его математика - «сплошное вранье». В пример академик привел ошибочную формулу d(u v)=du dv, которую Лейбниц методом дедукции получил из верной d(u+v)=du+dv. «Лейбниц рассуждал дедуктивно: он доказал, что производная от суммы равна сумме производных, и заключил, что дифференцирование есть гомоморфизм абелевой груп- пы, а значит и кольца, то есть производная от произведения есть произведение производных, что неверно». Арнольд потом пояснил, что Лейбниц все же исправил ошибку. «В действительности же, рассуждая индуктивно, а не дедуктивно, мы немедленно де- лаем замечательные выводы!» - сказал Арнольд, а для иллюстрации привел два примера, по- лученных индуктивным методом и представляющие собой интересные факты. Первый каса- ется прямого произведения границ многогранников, а второй есть некая «формула рыбака». Оба примера лектор подробно пояснил слушателям. Возвращаясь к вопросу использования дедуктивного метода, Арнольд сформулировал метод Сильвестра - некий общефилософский принцип, согласно которому «доказательство общих фактов гораздо проще, чем доказательство частных случаев, которые в них содержат- ся». Арнольд сказал, что Бурбаки основываются именно на том, чтобы не излагать частные случаи, а доказывать общие. Бурбаки использовали этот метод Сильвестра, однако никогда на него не ссылаются. Бурбаки - псевдоним, под которым группа математиков во Франции предприняла (начиная с 1939 г.) попытку изложить различные математические теории с позиций фор- мального аксиоматического метода (многотомный трактат «Элементы математики»). Воз- можно, стоит сказать, что полемика Арнольда с Бурбаками идет давно, чтобы это понять, достаточно прочитать статью «Математическая дуэль вокруг Бурбаки», напечатанную в 2002 году в Вестнике РАН. Эта довольно интересная, даже полезная, в некотором смысле, статья помогает лучше разобраться в том, что творится в мире высокой математики и какие проти- воречия она в себе совмещает (прим, автора). Из многочисленных фактов истории науки, приведенных на лекции, уважаемый мате- матик Арнольд, видимо, стремился показать аудитории, что, несмотря на общепризнанность метода дедукции, тот порою ошибочен, когда как метод индукции приводит не только к важным выводам, но и очень полезен для саморазвития мыслящего. Примеры математического мышления и полезного индуктивного метода Владимир Игоревич привел из мировой литературы. «В «Исповеди» Авраам Руссо пишет, как его учи- ли открывать скобки на уроках алгебры. Когда он научился открывать скобки, то нашел, что квадрат суммы равен сумме квадратов увеличенной на удвоенное произведение слагаемых. Но эта формула показалась ему настолько удивительна, что он месяц не верил, что правиль- но раскрыл скобки, пока не нашел понятного доказательства: разрезал большой квадрат на четыре прямоугольника, два из них квадраты - так и получил доказательство. Я думаю, что такой индуктивный путь в нашем образовании совершенно необходим для того, чтобы наши студенты что-то понимали». Далее Арнольд погрузился в конкретные формулировки основных математических определений, понятий и теорем, которые из-за формализма, присущего современной матема- тике, не позволяют разглядеть в себе обыкновенные факты, физические законы, и поэтому не дают полноценной пищи, так необходимой мыслящему студенту. Он привел альтернативные формулировки, которые, на его взгляд, более полезны для понимания сущности понятия. 39
ВАСИНА (СТРИКЕЛЬ) ОЛЬГА ИВАНОВНА, кандидат технических наук, ведущий научный сотрудник НИИ МО ВСЁ ВЫШЛО СЛУЧАЙНО Здоровый сон после трудового дня Порвалось одеяло!!! Судьба меня свела с Димой Арнольдом в 1957 году. Наш 3-й курс Мехмата ехал по комсомольским путёвкам убирать урожай на Алтае. Это был сентябрь, но для нашего курса занятия сдвинули на месяц. Мы узнали, что с нами едут несколько четверокурсников-отличников. (Они не ездили со своим курсом, потому что летом были на Международном фестивале). Для них занятия не отменялись. Среди этих отличников был и Дима Арнольд. Мы и весь математический мир уже знали, что он сделал потрясающее открытие - решил 13-ю проблему Гильберта. Моя подружка Галя Чеботаева и я оказались соседями Димы в теплушке, в которой мы ехали на целину. В дороге много пели, рассказывали разные истории. Мы попросили Ди- му рассказать нам, как он, будучи студентом 3 курса, решился заняться такой серьёзной про- блемой. Он сказал, что всё вышло случайно. Дима был отличником и поэтому имел разреше- ние на свободное посещение лекций. Руководителем курсовой работы у него был академик А.Н. Колмогоров. Он уезжал в Сорбонну читать лекции и перед отъездом дал Диме задание - тему курсовой работы. Андрей Николаевич уехал, а Дима через некоторое время взялся за решение этой за- дачи. Он был уверен, что легко с ней справится. Однако, решение не находилось. Дима по- думал, что если он не сделает курсовую на отлично, то его лишат свободного посещения. И он плотно «засел» за решение задачи, невзирая на время. И, наконец, у него получилось! Когда вернулся А.Н. Колмогоров, Дима показал ему своё решение задачи. Андрей Николаевич очень внимательно посмотрел на Диму и сказал: «Я Вам не эту задачу поста- вил». Расстроенный Дима подумал, что он всё-таки не выполнил курсовую работу. А акаде- мик вдруг стал поздравлять своего ученика, что тот даже не представляет, какую проблему он решил. Это была проблема Века - 13-я проблема Гильберта. Вот такие случайности бывают у гениальных людей! На целине, при уборке свеклы, меня и Галю поставили в «тройку» с Димой. В этой «тройке» студент выкапывал свёклу и бросал её в корзину, а студентки вдвоём относили эту корзину в общий гурт. Дима сказал нам, что на каждую отнесённую корзину он будет рас- сказывать нам про число, соответствующее номеру отнесённой корзины. Он рассказывал так интересно, что мы обратно от гурта бежали с пустой корзиной, чтобы побыстрее услышать его новый рассказ. К сожалению, в памяти не сохранились эти рассказы. В последний раз я услышала лекцию Арнольда Владимира Игоревича о системе обра- зования 13 октября 2005 года. 40
Спасибо Диме не только за его гениальность, но и за то, что он боролся (именно боролся) за наше отечественное математическое образование, которое дало таких учёных, как он сам. Светлая ему память! ВЕДЕНЬЁВ ЛЕОНИД ТИМОФЕЕВИЧ, кандидат физико-математических наук, доцент, полковник, Лауреат премии Ленинского комсомола, орден «Знак почёта» ДВА СЛОВА ОБ АКАДЕМИКЕ В.И. АРНОЛЬДЕ Андрей Николаевич Колмогоров в рукописной записке от 13.06.87 в связи с 50-летием своего ученика В.И. Арнольда отмечал: «... происходит чествование первого советского матема- тика - не только по силе полученных результатов, но и по темпераменту личности, по способно- сти воспринимать новое и смелости в преодолении препятствий. В Арнольде меня всегда пора- жала неограниченная активность...». Хочется сказать несколько слов о жизненной и гражданской позиции Владимира Игоре- вича. Он придавал большое значение математике как элементу общей культуры современного просвещенного человека, считал, что «математическое сообщество несет свою долю ответствен- ности за давление со стороны современного общества, в целом направленное на уничтожение математической культуры и особенно на уничтожение математического образования (тест вме- сто экзамена)». Посвятив всю свою творческую деятельность фундаментальной математике, он остро переживал пренебрежение фундаментальными науками в настоящее время, считая это по- зором современной цивилизации. Не воспринимая установившийся во второй половине XX века диктат неисчислимых прикладных наук (и столь же неисчислимых «академий») в угоду сиюми- нутной экономической выгоде, Владимир Игоревич был полностью солидарен с Луи Пастером, утверждавшим, что «никаких прикладных наук никогда не существовало и не существует. Суще- ствуют лишь приложения науки». В своих математических изысканиях Владимир Игоревич придерживался естественно- научного подхода, основанного на экспериментах, не придавал по возможности большого зна- чения дедуктивно-аксиоматическим построениям. Как рационально мыслящий математик, он не поддался соблазну «бурбакизации» алгебры, запутавшейся в Дебрях всеобъемлющих абстракций. Его, как ученого и гражданина, волновало состояние школьного образования в России. Он страстно втолковывал депутатам Госдумы и неизвестно откуда явившимся реформаторам отече- ственного школьного образования, что реформирование средней школы - опасное преступление против традиционно высокого образовательного и культурного уровня России, преступление перед будущими ее поколениями. Наши школьники и сегодня хотят настоящих научных знаний, без понимания которых человек остается рабом, население превращается в толпу, легко под- дающуюся манипулированию со стороны ловких политиков. Этим факирам на час безразлично будущее России. Они уповают на вечность рынка, а он также историчен и, как историческая ка- тегория, будет сметен с пути цивилизации. История России - череда сопротивлений попыткам явных и неявных недругов повалить ее, а она, как ванька-встанька, поднималась снова и снова. Она всегда находила в себе силы из- бавиться от недругов внешних. Даны ли ей силы уберечь себя от не знамо что творящих недру- гов доморощенных? Софья Ковалевская и Карл Вейерштрасс считали, что нельзя быть математиком, не буду- чи поэтом в душе. Как мыслитель, Владимир Игоревич не замыкался в математике и отличался поэтическим в самом широком смысле отношением к жизни, подтверждая слова Вольтера: «В голове Архимеда было больше воображения, чем в голове Гомера». Он писал и переводил стихи, создавал талантливые литературные зарисовки, проявлял живой интерес к истории и к искусству. Жизненная и гражданская позиция Владимира Игоревича Арнольда, большого ученого и крупного математика XX века, всегда была проникнута любовью к Отечеству и болью за него, бо- лью за все, что творит с Отечеством преступное невежество нашего времени. 41
ВЛАСОВ ВИКТОР КОНСТАНТИНОВИЧ, кандидат физико-математических наук, доцент, Заслуженный преподаватель МГУ В ПАМЯТИ СОХРАНИЛИСЬ ОТДЕЛЬНЫЕ ШТРИХИ, МОМЕНТЫ, СВЯЗАННЫЕ С ДИМОЙ Я долго сомневался - стоит ли мне что-либо писать в сборник. Беспокоили две мыс- лишки - не получится ли, что как-то примазываешься к славе великого человека, а также страх, что, не дай бог, получится, как у Маяковского - «Двое в комнате -Я и Ленин...». Но друзья убедили и ... Мы с Димой не были друзьями и даже приятелями - просто однокурсники. Хотя по- знакомились ещё будучи школьниками не то 8-го, не то 9-го класса. В то время существова- ла замечательная практика - в здании МГУ на Моховой в больших аудиториях еженедельно по воскресениям ведущие математики страны читали для школьников старших классов лек- ции по математике. Было очевидно, что это интересно не только школьникам, но и самим маститым учёным. Лекции читались в увлекательной и доступной форме. Аудитории были переполнены. Кроме того, работали математические кружки, которыми руководили молодые преподаватели и аспиранты Мехмата, большинство из которых в дальнейшем стали профес- сорами и академиками. Ежегодно проводились и математические олимпиады. Практически все мои однокурсники москвичи варились в этом котле. Вот в кулуарах этих мероприятий мой школьный учитель - Александр Абрамович Шершевский, известный всей школьно- математической Москве по прозвищу «Нос», и познакомил нас с Димой. При этом он неза- метно для Димы сказал о нём: «Это очень талантливый парень - будущее светило». На одной из последних встреч нашего курса я спросил Диму, помнит ли он Шершевского. Он ответил: «Носа?! Ну конечно помню». Надо ли говорить, что на всех олимпиадах Дима был в победи- телях. Знал ли уже тогда Дима себе цену? Думаю, что знал. Но это ни в коей мере не влияло на его взаимоотношения с ребятами. Он всегда был очень общителен и дружелюбен. Впро- чем, я и в дальнейшем ни разу не наблюдал в нём и тени зазнайства или пренебрежительного отношения к кому бы то ни было. Если он спорил, то спорил яростно и мнение своё отстаи- вал очень жёстко. Но подавлял оппонента не своим авторитетом, а умом, логикой и эрудици- ей. Кандидатские диссертации в один день защищали Кириллов и Арнольд. Блестящая диссертация Кириллова была признана докторской, а выдающаяся работа Арнольда по ре- шению одной из знаменитых проблем Гильберта таковой не стала. Вспомнил я сейчас это потому, что принципиальный Витушкин в дискуссии сказал, что если бы эту тему защищал А.Н. Колмогоров, то он бы не возражал против присуждения за работу докторской степени, намекая тем самым на неполную самостоятельность Димы в решении проблемы. На мой взгляд, это было совершенно несправедливо. Выручил А.Н. Колмогоров, заявив, что аудитория может не беспокоиться, ибо у Арнольда готова доктор- ская диссертация по другой теме - насколько я помню - по небесной механике. Ещё раз повторю, что, к моему сожалению, мы не были близки с Димой. Хотя как-то я был у него в его весьма скромном жилище. Был и он у меня. Это, пожалуй, любопытно. В то время он уже дружил с Надей Брушлинской, с которой я учился в одной группе. Надя - великолепная музыкантша и, по-видимому, хотела и из Димы сделать меломана. Однажды раздался неожиданный звонок в дверь, и на пороге появились Надя и Дима. Надя в свойст- венной ей безапелляционной манере заявила, что у меня хороший набор пластинок, и они пришли послушать, если не ошибаюсь, какой-то концерт Рахманинова. Впрочем, может быть и ошибаюсь. Ну и Дима слушал. Никаких особых эмоций не проявил. Я не знаю о его взаи- моотношениях с музыкой. Помню только, что, когда мы ехали в грузовике на какое-то обще- ственное мероприятие, он очень, ну очень громко, в основном, на одной ноте пел (а скорее орал) популярную студенческую песню : «Чилиндром на солнце сверкая, надев самый мод- 42
ный сюртук, по Летнему саду гуляя, с Маруськой я встретился вдруг...». Вполне возможно, что это громкое пение на одной ноте было, как теперь говорят, его фишкой. Но все искренне радовались и веселились. Ещё одно впечатление уже более позднего периода. Как-то случайно я оказался в Пущино на его лекции о творчестве Ньютона. Это было нечто феерическое. С каким пылом и увлечением он говорил! Он рассказывал о близком ему человеке и о близких ему самому проблемах. Прекрасный богатый русский язык. Глубочай- шее знание материала. Я ловлю себя на мысли, что в памяти сохранились отдельные штрихи, моменты, свя- занные с Димой, о которых легко и приятно вспоминать в кругу друзей. Но на бумаге всё не изложишь. Да, наверное, и не надо. Поймал себя на мысли, что ни разу не назвал Диму по фамилии. Да и то, что он Владимир, я узнал только, когда он уже защищал диссертацию. ГОЛУБЦОВ ВИКТОР ЕФИМОВИЧ, инженер-программист КБ «Стрела» НИИ Химмаш, Ветеран Великой Отечественной войны; ордена: «Красной Звезды», «Отечественной войны» 1й степени ЛИДЕР В ЛЮБОМ ДЕЛЕ Помню: весна 1955 года. Мы, первокурсники Мехмата, работаем на субботнике при строительстве стадиона в Лужниках. Девушки подметают территорию, собирают мусор. А юношам поручили перенести тяжелые балки к месту их назначения. Мы подошли к лежа- щим балкам. Первым попробовал приподнять конец балки Дима Арнольд. Но только накло- нился, взялся за конец её и, даже не приподнимая, произнёс: «Необходимо восемь человек». В эту первую восьмёрку вошёл и я. Дима, очень сцмпатичный, невысокого роста, но пре- красно сложен, что-то скомандовал, и мы дружно подняли балку и понесли. Груз нам оказал- ся по силам, именно восьмерым парням. Так мы и перенесли все балки. Как Дима понял, что нужно восемь человек? Не знаю. Но я почувствовал, что ему ока- залось виднее, чем остальным, как выполнить работу. После окончания МГУ мы узнавали больше и больше, что Дима становился лидером в науке. Чувствовалась у него удивительная твёрдость и стремление многого достичь. Настоя- щий фундаментальный творческий фейерверк во всех направлениях его жизненных интересов. 11 ЦЖ 43
ЕРМИЛОВА НИНА ИВАНОВНА, кандидат экономических наук, специалист по линейному и динамическому программированию, ВЦ Академии наук СССР, ЦЭМИ КОНСУЛЬТАЦИЯ ШАХМАТИСТА С Димой я училась на одном курсе, но в разных группах. Студенты из разных групп могли встречаться в основном только на лекциях. И всё же мне посчастливилось встретиться с Димой и очень интересно поговорить. Это случилось во время олимпиады школьников, которая проходила в старом здании МГУ на Моховой. Дежурившим студентам (в их числе был Дима Арнольд и я) по 2-3 чело- века в аудитории полагался перерыв. Меня попросили заменить кого-то в соседней аудито- рии. Я вошла в аудиторию и увидела с Диму. Он разбирал шахматную задачу и спросил ме- ня, играю ли я шахматы. Я ответила, что играю, но плохо. Он тут же стал мне рассказывать о рассматриваемой им задаче, подробно объясняя каждый ход. Если я задумывалась, не могла понять, почему лучше делать такой ход, он снова объяснял доступным для меня языком. Его объяснения были настолько подробны и ясны, что я стала легко и быстро думать и анализи- ровать ходы рассматриваемой партии. У меня возникла даже мысль, что я смогу теперь хо- рошо играть в шахматы, но. увы. Для этого нужно было постоянно и много играть и разби- рать партии с таким увлеченным и умным шахматистом. Его сосредоточенность в процессе работы и увлеченность, желание помочь мне оставили след в моей памяти о первом знаком- стве с Димой Арнольдом. 2004 г. Встреча у Елены Стоцкой: Брушлинская Н., Арнольд Д., Иванова Г., Поляккова В., Зорикова Л., Ботина М., Соловьёва С., Ермилова Н., Курочкина А., Курилов В. ИВАНОВА ГАЛИНА ПЕТРОВНА, кандидат физико-математических наук, доцент факультета ВМК МГУ, Заслуженный преподаватель МГУ НА ФОТОГРАФИИ МЫ РЯДОМ Мне не приходилось с Димой встречаться после окончания университета, кроме как на встречах курса. Или это были традиционные майские встречи, или редкие встречи на квартире Стоцких. И если бывал на таких встречах Дима, то это было всеобщей радостью. Меня всегда поражало, как трепетно он относился к нашим встречам. Вот на фотографии мы рядом и о чём-то беседуем. Помню только, что этот короткий разговор касался преподавания в университете и отношения к нам со стороны властей. Дима всегда отстаивал высокую ма- тематику. И это было ценно для всех нас, выпускников Мехмата. 44
КАЗАНДЖАН ЭМИЛЬ ПОГОСОВИЧ, кандидат технических наук, доцент МГТУ им. Баумана МИМОЛЁТНОСТИ В 1953-54 годах я учился в школе, в десятом классе. (Тогда это был выпускной класс). Головы старшеклассников, естественно, были забиты одним - куда поступать? Для меня во- прос был ясен - на Мехмат МГУ. Во-первых, все считали, что у меня хорошие математиче- ские способности (строго говоря, память была хорошая и техника счёта и преобразований). А во-вторых, я так боялся черчения, что о поступлении в любой ВТУЗ не могло быть и речи (кстати, и поступить-то в Бауманку, МЭИ, МАИ было тогда очень сложно - всюду зверские конкурсы). Случайно узнал, что при университете (ещё в старом здании - на Моховой) функцио- нирует математический кружок для школьников, где решают интересные задачи, причём прийти можно на любое заседание прямо так, «с улицы». Что ж, однажды выбрался. Действительно, всё было приятно и интересно - и задачи, и общая дружелюбная ат- мосфера. В конце предложили четыре или пять задач для домашнего рассмотрения. Первые я записал, а последняя оказалась столь сложной, громоздкой и экстравагантной, что я и запи- сывать не стал - ничего не понял даже в условии. Через неделю поехал снова - любопытно было узнать-и решения задач, и как отреаги- ровали на них мои сверстники. Обсуждение первых задач было очень оживлённым - их решили несколько человек, и каждому из них было что сказать, тем более, чувствовалось, что все они здешние завсегда- таи. Я сидел тихо, «не высовывался», но конечно, был рад видеть, что кое-что удалось сде- лать и мне. Дошла очередь до последней задачи, тут все умолкли, и я был уверен, что её никто не решил (повторяю, она была какая-то слишком сумасшедшая, непонятная даже по условию). Однако, после некоторой паузы, встал один интеллигентно-серьёзный юноша и пошёл к дос- ке (до этого он, по-моему, тоже «не высовывался», ну разве что позволял себе ультра корот- кие реплики с места, не более того). Мягко, спокойно, вежливо он прежде всего начал рассказывать условие задачи - вдруг выяснилось, что это всё же задача, хоть и трудная, но не «сумасшедшая». Переводя задачу на нам понятный школьный язык, неизвестный юноша так же мягко и вежливо пока- зал её решение. Это был Дима Арнольд. Фамилия нечастая, так что я её запомнил сразу. Больше на занятия кружка я не ходил (некогда было - я тогда ещё параллельно учился в музыкальной школе). А когда в сентябре начались занятия на Мехмате ( уже в новом зда- нии на Ленинских горах), я стал встречать Арнольда, увы, только в коридорах - мы оказа- лись на разных потоках (я на механике, он, естественно, на математике). Мехмат тех лет был очень силён по составу, особенно отделение математики. Скажем, на курсе старше учились Юра Манин и Саша Вентцель. Вскоре выяснилось, что и нашему курсу есть кем похвастать - от студентов-математиков я много раз слышал восторженные отзывы о своих сокурсниках. И всегда, скольких бы ни хвалили, начинали с «дуэта»: Дима Арнольд и Саша Кириллов (Арнольд был как бы эталоном, и Кириллов считался таким же или почти таким же). Кроме коридорных встреч и «здрасьте» никаких контактов с Арнольдом у меня не было - разные потоки, разные преподаватели, разные кафедры, к тому же оба москвичи, а не общежитейцы. Но один раз мы всё же «пересеклись». Это произошло на военной кафедре на восьмом этаже. Там все готовились к экзаменам, и скученность способствовала общению. Я чего-то не знал, стал искать, у кого бы спросить. Опытные ребята-математики сказали, что в военном деле лучше всех у них на потоке «сечёт» (модное словечко из нашего лексикона тех 45
лет) Валерий Тутубалин. Но где его искать? А тут как раз Арнольд проходил мимо, попроси- ли его помочь. Он охотно откликнулся и в знакомой спокойно вежливой манере всё, что на- до, мне объяснил - я всё понял и парой ответных фраз показал, что понял и как. Он в знак подтверждения мягко улыбнулся, тут же. не удержавшись, я задал ему ещё один вопрос. Арнольд (ещё одна мягкая улыбка!), сказав всего одно слово «подумай», внимательно по- смотрел мне в глаза. Под его пристальным взглядом я «не устоял» и, быстро сообразив, в чём дело, сам ответил на свой вопрос. В ответ он радостно улыбнулся. Вот, собственно, и весь «сюжет». Но даже в этом микроэпизоде легко можно увидеть большой педагогический талант, что вообще-то редкость, а среди математиков и физиков особенно. Причина проста: преподаватель должен уметь, во-первых, терпеливо выслушать любые ученические глупости, а, во-вторых, чувствовать свою «паству», оперативно привя- зываться к её уровню. А как показывают биографии, скажем, Колмогорова и Ландау, даже самым великим это может оказаться не под силу. Арнольд - это фигура такого масштаба, что любое самое мимолётное общение с ним врезается в сознание на всю жизнь. А вот какое место в его сознании занимал я? Точно ска- зать, конечно, не берусь. Думаю, что у Арнольда была абсолютная память, и он помнил про- сто всех. К тому же я участвовал в факультетской самодеятельности (играл на рояле), а Ар- нольд был любителем музыки - я встречал его в Большом зале консерватории, хотя и не так часто, как Колмогорова и Александрова. Ещё один микроэпизод. Лет 15 назад в «Магистершуме» готовился том под условным названием «Кентавр». Я был членом редколлегии и позвонил Арнольду - без особой надеж- ды, так, на всякий случай: вдруг он захочет для нас что-нибудь написать. Выслушав мой рас- сказ о нашем «Кентавре», он сразу отказался в нём участвовать, объяснив, почему - это ни- как не вяжется с тем, чем он занят в настоящее время, но замысел книги он горячо одобрил и подсказал, к кому нам было бы полезно обратиться. Я не мог не отметить: прошло несколько десятилетий, а Арнольд всё тот же, что и в студенческие годы - всё та же простота и дружелюбность в общении, всё та же готовность пойти навстречу, всё то же понимание - ощущение окружающих. В конце разговора я упо- мянул про наше однокурсничество. Он очень оживился; выяснилось, что он меня помнит, причём по участию в самодеятельности. Говорить о том, что Арнольд - великий математик, видимо, слишком банально, да и не мне об этом судить - я-то ведь не математик, а инженер, прикладной математик, препода- ватель, а это совсем не то. Всё же отмечу ещё одно его качество. Несколько лет назад я прочитал в «Известиях» статью Арнольда о математическом образовании в нашей стране. Читал, конечно, взахлёб - всё так разумно, трезво-реалистично, а главное, настолько просто изложено, что доступно даже дилетантам: что такое математика, где её место в нашей жизни, каково положение дел с математическим образованием в нашей стране, что нам угрожает (общество образованных рабов может смениться обществом необ- разованных рабов - сформулировано кристально чётко и очень точно по существу). Считается, что впечатления детства самые сильные в человеке. Видимо, так оно и есть. Я, по крайней мере, могу засвидетельствовать: то личностное обаяние Арнольда, про- изведённое на меня 15-летнего, осталось со мной на всю жизнь. И если бы меня спросили, на кого из великих математиков я хочу быть похожим, ответил бы: на Эйлера и Арнольда. Пер- вого, правда, я не видел, а вот со вторым повезло - хоть немного, но знал. 46
КЛИМЕНКО (ЖУРАВСКАЯ) ИДА АНТОНОВНА, программист, зав. сектором ВЦ С Димой Арнольдом мы учились в разных группах, никогда не пересекались на семи- нарах, но и тогда, как и все остальные, я знала, что он самый талантливый на нашем курсе. Одна моя хорошая знакомая позавидовала мне - ей ни разу в жизни не удавалось ви- деть рядом с собой гения, а вот мне не только удалось видеть, но и слышать. Дима был пре- красным рассказчиком. Слушать его было необычайно интересно. У него был такой широ- кий кругозор й круг интересов, что он мог на встречах курса говорить о чём угодно - о про- блемах, интересующих нас в данный момент, будто, и для него они были самыми важными. Дима был удивительно тактичен, никогда не показывал своего превосходства, живо реагировал на слова собеседников. И хоть я всегда была только слушательницей, но однаж- ды получила от него совет. На одной из встреч я попросила написать автограф для своего внука, который, мне казалось, будет математиком. Дима написал на своей книжке: «Буду- щему математику» и тут же сказал: «Только не принуждайте». Очень жаль, что на телеканале «Культура» в проекте «Academia» уже не выступит академик Владимир Игоревич Арнольд. А как много его лекция могла бы дать молодым лю- дям, начинающим свой путь в учебе и науке. Беседа профессора С.П. Капицы с академиком В.И. Арнольдом 26.XII 2009 г. на телевидении 47
КУЗИЧЕВ АЛЕКСАНДР СЕРГЕЕВИЧ, кандидат Физико-математических наук, старший научный сотрудник Мехмата МГУ ДИМА АРНОЛЬД: ЧТО ВСПОМИНАЕТСЯ С Димой Арнольдом мы пересекались мало: я занимался и занимаюсь математиче- ской логикой, которая Диму, кажется, никогда всерьёз не увлекала. Тем не менее, когда мне доводилось встречаться с ним на заседаниях Московского математического общества или на конференциях, я рассказывал ему о своих результатах, особенно о тех, что связаны с колмо- горовскими основаниями математики, и дарил ему что-то из своих рукописей и оттисков публикаций. Не думаю, что его интересовали чисто логические построения (ассоциировав- шиеся у него, по-видимому, с «бурбакизмом», который он недолюбливал), но предыстория и история вопроса, которыми я часто сопровождаю свои работы, проблемы оснований матема- тики, методологические аспекты его интересовали вполне. На одной из встреч сокурсников он мне сказал: «Знаешь, я с большим интересом прочитал всё, что ты написал». Это он про мои публикации во втором и третьем томах книги «Мы - математик» с Ленинских гор». Помню, как-то встретились с ним волею слу- чая на Мехмате, возле кафедры теории динамиче- ских систем (она находится по соседству с кабине- том истории и методологи математики и механики, в котором я работаю), поговорили немного (много не могли - и у Димы, и у меня были неотложные дела на факультете). Дима поинтересовался, чем я зани- маюсь. Я сказал, что продолжаю исследовать теории на предмет полноты и непротиворечивости, что опираюсь при этом на идеи Шейнфинкеля, Генцена, Чёрча, Колмогорова, Маркова-младшего. У меня бы- ла с собой напечатанная на бумаге рукопись и я предложил Диме с ней ознакомиться, но на всякий случай спросил: «Тебе дать бумажный вариант или лучше выслать файл по электронной поч- те?» - «Нет-нет, - поспешно сказал Дима, - не надо по электронной почте. Давай бумажный вариант». Я тогда не придал значения этому предпочтению распечатанного на бумаге текста электронному. А оказалось, что.для Димы это было принципиально. Не так давно в Интерне- те мне попалась статья об Арнольде с заголовком «Умер математик, ненавидевший компью- теры», из которой я узнал, что Дима не жаловал ни компьютер, ни Интернет с электронной почтой. Писал по старинке, ручкой на листе бумаги. А на компьютере тексты ему набирали помощники. Цитирую строчки из этой статьи: «Арнольд до последних дней своей жизни упорно не пользовался электронной почтой и верил, что компьютерщики «разрушают миро- вую науку и культуру». В последние годы, казалось, Дима стал ближе к нам, однокурсникам: благодаря регулярным встречам сокурсников, творческим вечерам Аллы Беловой мы чаще виделись в неформальной обстановке, где всё располагало к душевному общению, и Дима неизменно оказывался в центре всеобщего внимания, излучая жизнерадостные флюиды молодого и душой и телом человека. Ему явно было хорошо среди нас. Я и помыслить не мог, что Дима уйдёт так рано. 48
КУЗИЧЕВА КАРОЛИНА КАРЛОВНА, научный сотрудник С МАРСИАНСКОЮ ЖАЖДОЮ ТВОРИТЬ ... С Сашей мне не раз удавалось бывать на встречах его однокурсников. С некоторыми я познакомилась и общалась. Удалось познакомиться с Владимиром Игоревичем Арнольдом на творческом вечере Аллы Беловой осенью 2008 года. Он сидел примерно в центре пятого ряда и с большим воодушевлением реагировал на всё происходящее на сцене: улыбался, шу- тил, аплодировал громче и раньше всех (так мне запомнилось, во всяком случае). По окончании вечера он охотно фотографировался в кругу сокурсников (я тоже сде- лала несколько фотографий. На них Владимир Игоревич весел и счастлив). Потом был дру- жеский фуршет, на котором к Арнольду было приковано всеобщее внимание, потому что он увлечённо рассказывал одну историю за другой, то обращаясь к малоизвестным фактам ми- ровой истории, то вспоминая занимательные случаи из собственной жизни. И такая тёплая и душевная атмосфера царила на этом вечере, что можно было охарактеризовать её строчками из стихотворения Аллы Беловой: Опять в кругу друзей. Так мирно, так спокойно. И некуда бежать. И незачем спешить. И в прошлое уводит Разговор нестройный, То разрывая, То скрепляя прочно нить. Мы все там молоды. И что издревле вечно, Волнуя, радует И, негодуя, злит, И время тратится Бездумно и беспечно, Оно как будто нам Бессмертие сулит... А при взгляде на Владимира Игоревича мне почему-то приходили в голову строчки из другого стихотворения - Николая Тихонова: Праздничный, весёлый,... С марсианской жаждою творить... Я была знакома с некоторыми видеолекциями, видеозаписями докладов, публикация- ми Арнольда, и у меня сложилось определённое представление о нём. Так, меня поразило смелое, откровенное стихотворение Марселины Деборд-Вальмор, которое Владимир Игоре- вич перевёл на русский язык и опубликовал в одной из книг серии “Мы - математики с Ле- нинских гор”. Меня привлекали в Арнольде смелость суждений, целеустремлённость и мак- симально возможная степень независимости в предлагаемых условиях, а также его серьёзная озабоченность настоящим и будущим не только математического образования, но и науки в целом, и связанная с этим активная просвещенческая деятельность. 49
И вот так распорядились звёзды, что после окончания вышеупомянутого фуршета я столкнулась в холле Московского Дома учителя с Владимиром Игоревичем, держащим в об- нимку корзину, которую ему, как страстному грибнику и ягоднику, подарили сокурсники, и между нами завязывается непринуждённый разговор. “Вы прекрасный рассказчик”, - сделала я ему комплимент. “Это у меня наследствен- ное, - сказал Арнольд. - Я ведь внучатый племянник Бориса Житкова. Знаете такого писате- ля?” Я утвердительно кивнула. “Он много путешествовал, - продолжал Владимир Игоревич, - и по итогам этих путешествий писал занимательные и увлекательные рассказы для детей”. Далее последовало захватывающее повествование о перипетиях творческой судьбы Бориса Житкова, слушать которое из уст внучатого племянника было весьма трепетно, и в какой-то момент я произнесла: “Как интересно...”, на что Владимир Игоревич не без детской радости заметил: “А знаете, что сказала мне Алиса Фрейндлих (на президентском приёме по случаю вручения Государственной премии - прим, авт.)? Она сказала: “Никогда бы не подумала, что с математиком может быть так интересно”. Затем, предварительно поинтересовавшись, насколько хорошо я знаю историю Ма- рии-Антуанетты (и услышав от меня ответ: “В общих чертах”), Владимир Игоревич с энту- зиазмом поведал мне о мытарствах и злоключениях бедовой французской королевы, и я с ним даже подискутировала немного по поводу одного из обвинений, выдвинутых против опальной Марии-Антуанетты. И эта беседа, и то труднообъяснимое чувство, когда ты сразу, с первых минут обще- ния понимаешь, что перед тобой - близкий по духу человек, родственная душа, - безогово- рочно расположили меня к Арнольду. И потом, Владимир Игоревич разговаривал со мной, словно отец с дочерью, причём дочерью не взрослой, а маленькой. Мне, потерявшей отца в весьма раннем детском возрасте, такое обращение было очень приятно. Конечно, после этой памятной встречи я предполагала рано или поздно вновь уви- деться и поговорить с Владимиром Игоревичем. Поговорить о чём угодно, ведь с ним так ин- тересно. А когда ничего не предвещавшим июньским днём я просматривала в Интернете но- вости, и мой взгляд обжёг заголовок “3 июня в Париже скончался выдающийся матема- тик...”, я подумала, что это какая-то нелепая ошибка. Арнольд, который «живее всех жи- вых», с его многокилометровыми пешими, лыжными и велосипедными прогулками, купа- ниями в проруби... Владимир Игоревич Арнольд не был ни моим родственником, ни другом, ни учите- лем, ни коллегой, но его кончину я восприняла как глубокую личную потерю. Наверное, по- добное чувство испытали все, кому довелось пообщаться с этим неординарным математиком и человеком... В Интернете на сайте “Математические этюды” размещена видеозапись рассказа Вла- димира Игоревича “Устойчивость перевёрнутого маятника”, привожу ссылку: http://www.etudes.ru/ru/mov/mov047/index.php Там Владимир Игоревич такой, каким я его увидела и запомнила: светлый, увлечён- ный и непосредственный, как ребёнок. В августе 2010 г., на Международном конгрессе математиков в Хайдарабаде, я в оче- редной раз убедилась, насколько значимой фигурой в математическом мире был и остаётся Арнольд. На международных математических конгрессах традиционно подводят итоги дея- тельности Международного союза математиков (IMU) за период, истекший после предыду- щего конгресса, и вспоминают математиков, ушедших из жизни за это время. Среди тех, чью память почтили минутой молчания, был и Владимир Игоревич Арнольд - вице-президент IMU в 1995-1998 гг., член Исполкома IMU в 1999-2002 гг. Имя Арнольда звучало на кон- грессе ежедневно - на докладах всех рангов, на круглых столах, в кулуарах, в дружеских бе- седах за чашечкой кофе. Тезисы докладов в соответствующих секциях, как обычно, пестрили ссылками на Арнольда. Когда мои многочисленные собеседники - участники конгресса из разных стран и континентов - узнавали о том, что я из России, многие из них вспоминали 50
Арнольда. Своими мыслями об Арнольде поделился со мной и Седрик Виллани, француз- ский математик, получивший в Хайдарабаде медаль Филдса. “Я не был лично знаком с Вла- димиром Арнольдом, только несколько раз посещал его лекции, но он сильно повлиял как на преподавание мною математики, так и на мои научные исследования, - признался Седрик. - Я с воодушевлением прочитал его книгу “Математические методы классической механики” - курс, который впоследствии я преподавал в Высшей нормальной школе Лиона; конечно же, читал я также и его книги по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Помню его горячие споры с Серром (Жан-Пьер Серр - выдающийся французский математик, прим, авт.). Теорию КАМ я изучал для собственных научных исследований, и одну из своих недав- них статей о затухании Ландау я посвятил Владимиру Арнольду и Карло Черчиньяни (кото- рый тоже скончался в 2010 году)”. И когда осенью того же года мне довелось поехать во Францию, я понимала, что про- сто не могу не посетить университет Париж-Дофин, в котором работал Арнольд. В Париже меня сопровождал хороший знакомый, математик из Лилля Оливье Рамаре, который любез- но вызвался помочь мне в моих передвижениях по французской столице. Университет Па- риж-Дофин находится рядом со станцией метро “Порт Дофин”. В окрестностях - хайтеков- ские высотки Дефанса, Булонский лес, бульвар Периферик, проспект Польши, бульвар Лан, проспект Фош, далее по прямой площадь Шарля де Голля и Триумфальная арка, далее - Елисейские поля, площадь Согласия, сад Тюильри, Лувр. В пешеходной доступности от уни- верситета и Сена, и Эйфелева башня. В сравнении с Москвой Париж довольно компактный город. Зная о страсти Владимира Игоревича к длительным прогулкам, могу предположить, что эти расстояния он с лёгкостью и удовольствием преодолевал пешком. Минута ходьбы от метро - и мы на площади Маршала де Латр де Тасиньи, у входа в университет Париж-Дофин. Поскольку у нас не было пропуска в университет, на случай по- вышенного интереса к нам со стороны службы безопасности мы подготовили обстоятельный рассказ о благородных целях нашего визита. Но наши волнения были напрасны - приветли- вого “бонжур” в адрес охранника оказалось достаточно. Здание университета Париж-Дофин - бывшая штаб-квартира НАТО - выполнено в монументальном стиле архитектором Жаком Карлю и, на мой взгляд, внешне не вызывает большого интереса. Во всяком случае, с архитектурной точки зрения сильно проигрывает зданию Московского университета на Ленинских горах. Центр математических исследова- ний теории принятия решений (CEREMADE), в котором работал Владимир Игоревич, рас- полагается на пятом этаже. У каждого штатного сотрудника CEREMADE персональный, до- вольно просторный кабинет с большим, на всю ширину комнаты, окном, из которого, если повезло, открываются живописнейшие панорамные виды на Булонский лес и деловой феше- небельный квартал Дефанс. А если повезло не очень - окна выходят на внутренний универ- ситетский дворик. К сожалению, мне не удалось узнать, куда выходили окна из кабинета Владимира Игоревича. В CEREMADE нам посчастливилось повстречаться с директором этого центра, мате- матиком Жаном Дольбо. Он устроил нам экскурсию по зданию, незатейливыми галереями переходов провёл нас на последний этаж, где располагается нечто вроде палубы, которую можно рассматривать как единый длинный балкон и как смотровую площадку. С этой «па- лубы» открывается ещё более панорамный вид, чем из окон кабинетов: кроме Булонского леса и Дефанса также обозреваются зелёный тенистый скверик и детская площадка, наполо- вину скрытое кронами деревьев здание российского посольства, красивые, в привычном изящном парижском стиле, дома на бульваре Лан, а если посмотреть влево и вдаль, то можно увидеть затуманенную смоговой дымкой верхнюю часть Эйфелевой башни. Естественно, во время этой экскурсии мы говорили об Арнольде. Я спросила, дейст- вительно ли так уж рьяно Арнольд критиковал французскую систему образования. “Да”, - сказал Жан, а Оливье с улыбкой добавил: “И не только систему образования. Он критиковал всё, что заслуживало критики”. 51
Оливье сказал, что Франция гордилась Арнольдом: тем, что он при возможности ши- рокого выбора предпочёл именно Францию, тем, что именно во Франции жил и работал ма- тематик такого экстрауровня. Я ознакомилась с публикациями Владимира Игоревича в Cahiers du CEREMADE. Это научное издание CEREMADE, что-то вроде “Вестника МГУ”. В этих публикациях, в частно- сти, проявилась известная нелюбовь Арнольда к компьютерам: в каждой работе он благода- рит за помощь в наборе текста на компьютере своих коллег и учеников. Так, упоминаются G. Capitanio, R. Uribe-Vargas, A. Ortiz-Rodriguez. Я бродила по коридорам CEREMADE, заглядывала в ярко освещённые послеполу- денным солнцем учебные аудитории, лекционные залы, библиотеку, и меня не покидало ощущение безысходной грусти оттого, что в стенах этого гостеприимного университета ни- когда больше не раздастся жизнеутверждающий голос удивительного человека, имя которо- му - Владимир Арнольд. Пользуясь возможностью, сердечно благодарю Жана Дольбо (университет Париж- Дофин) и Оливье Рамаре (Лилльский университет наук и технологий) за помощь, оказанную мне во время посещения университета Париж-Дофин. Международный конгресс математиков в Хайдарабаде (Индия), 19 августа 2010 года. Дань памяти руководителям Международного союза математиков (IMU), ушедшим из жизни в период 2006 - 2010 гг. Минута молчания. На экране фотография В.И. Арнольда - вице-Президента IMU в 1995 - 1998 гг., члена Исполкома IMU в 1999 - 2002 гг. За трибуной Президент Международного союза математиков Ласло Ловаш. В президиуме члены оргкомитета конгресса. Фото с сайта конгресса. 52
М WBS «* ^ЫМ|ЦГ||П|^ des 1е ВАС ejoindre I’Universite Paris-Dauphine apres le bac pour une formation en Mathematiques www.mido.dauphin Xcii management finance, contrOle, audit et comptabilite На первом лйсте фотографий: университет и плакаты с информацией о математических специально- стях, которые можно получить в университете. На втором листе: вид из окон университета на Булонский лес, некоторые аудитории центра CEREMADE, в котором работал Владимир Игоревич; университет и внутренний двор. 53
К
Жан Дольбо показал мне статью об Арнольде бывшего Президента университета Па- риж-Дофин Ивара Экланда, напечатанную в университетском издании “Dauphine Recherches”. По возвращении в Москву я написала Ивару Экланду письмо, на которое он от- ветил, что с удовольствием предоставляет свою статью для публикации и русского перевода в нашей книге и будет рад получить в подарок её экземпляр. RtCHERCHES Le Сог.£гёз mondial de maihemalKjues a ete par* и iasie pox r Universe Pads Daupffine. Cedric Mani у a recu la jfedaflle Reklf. action la plus prestignusa de la discipline. Il avail sowenu sa these a l*Umver- sfie Paris-Dai-phme en1993 sous ia direction d’un autro HeHfe, Rene Louie Lions. Aprfes avoir cornpfe un laucat de ce prix dans son ceps professoral, Oatjphifp en compte desooras ^jatement un dans ses alumni. Yvos Меугг a ensei®te а ОзирЬлте de 1985 i 1995 et у a ^olanmnt (fevefcope sa ttfeo ne (fes ondetettes я a recu fe prix Geuss qui (fisUngue k: con tribute remarqoabu s ayaM dcnnie lieu й des applications signfficatives. La cpmprossbn d’images ’л>еп2000’ HQure nonbre des appncabons des travaar d Y«s Meyer WC ohen (wr DAUPHINE RECHERCHES n* 2) est aujpurtf hui иг, I batse /ер &йгпап Ее» mil emobq*j £: a upl nr' ^r> dans ie domaine de nmagerie. U pretent rw mero rend iioomaye a cri autre ma tliematfcfen luphinofc, VfetSmL AmokL decddd en 201C, et dorrt *es kavaux om inarque Ce XX* s^cle cxnme nous I'expuQve Ear Ekeiand. tes deux autres artictes de ce numcro rous emmenei,! 0 ms de tout a?fires univtrs - I'assuran Oans И pays pauvres et fe corparaism des .Pte naticnaux tef>jmer&d!ustn;ansi.urn fejsde plus, '3 rk^esse, la diversHe et la pualite de & rechcrciie ikiuouirwse D UPHINE UNIVERSITY rARIS 55
Vladimir Arnold est decode Ie3juin dernier. Mathematician, professeur a FUniversit6 Paris-Dauphine jusqu’a sa retrace, И a eu un rayonnement international considerable. II est particulierement connu pour te * theorem© KAM » qui est considers comme fondamental pour la theorie du chaos etdessytemes dynamiques. П a regu te prixCrafoord en 1962, ce qui te place dans one (tris courte) fote aux cotes de prix Nobels de diverses disciplines el de quelques ntedailtes Fields, et aussi te prix Wort en2001. । Vladimir Arnold est arrive a I’Unrversite Paris-Dau- ; phine aureote (Tune gfoire jeritafclmnt univer- i sdfe. C’etait la grande cpoque de la theorie du ; chaos, et tout le monde avail entendu parier du I chat d’Amofd, селе etrange figure qui se mor- i cefait d’elape en elape, сотню une goutte de i last se dissfoe dans le cafe, avant de se recons- ; tite comme par miracle qitand fa machine re- § parfait a Ferners. Sa renomntee s’ftendait тшпе i a la sphere poSOque, ce qui n’est pas реи due, I et le mimstere de Kdpoque, ansi que la marie I (te Paris, qui s’opposaient sur bien des choses, i s'dtafem entente pour bi offrir des conditions .. veritabfement exceptfonnelfes. : S await pu alter aux Etats-Utes, sans difficufte I aucune, et trouver un posts mfoux psye et moms i contraignant, mas 8 aimait te France, Il у dfait • теви иле fols, ff у а bien des anrees, et В avail fait une serie de cows qw avaieni hit grand bruit. i et qui avalent dote feu a un livre, co-signe : avec Andte Avez, sur les systemes dynarmaties. ' C'etait un des premiers qui avaient owert te porte ; de ей reavers Grange ou wait fe chaos, et je me souviens encore des«tores moustachus * et I des tesfos qui, bien avant que les ordinatews ! ne renter facile ce genre de visualisation, es- sayaient de rendre compte de ce oui se passair dans fes regions hyperboilques. D^uts, a avail f ete intend'd de sortie enURSS, el sans doute cette I longue absence avaii-ele ajoute a noire pays te i charme de l interdit Toujours est-й qifii 1ш donna i la preference kxsque,CGHin'ie teJild’autres,ildul | chercherwiposteaFetranger. I S parfait parfaitement te f rangais; a Favait appns ! tout jeune, (tens sa famine, et В stencrgueilfc- s salt de savrer sur Ftestoke et la geographic de s la France des ctaes que beaucoup de Fraogas ’ ignorant H fwsait du veto dans te fotet Notre- Dame, (font fignorais tolalement Г existence, et II у cuefflait ces champignons. Un риг, 11 у fit one chute grave qui te iaissa dans te coma line se- mate. A son сетей. il avait tout oublfo, et й ne savait plus parter; heureusement, tous ses sou- venirs kii revinrent trBs vite, et te langage avec, mate ies premieres paroles quU prononca turent en franjais. et non en russe. Pour autant, il aval gante des contacts tresdtroits avec te Rote, et й etait convene qu'il у passeraft te rooifie de Famtee, tm semesire a Paris, I'autre a Moscow II s’tescrivait dans une ties longue tradition, celle de I’ecote matttematfoue rosse ош cwnpte des noms gforieux, comme cetai de Lobatchevski, te ttecouvreur des geontetries non eucfkhennes, cu celw de Uapounov, qui avait 6te le premier a etufe fa stabilise des systoes dy- namiques. Атой lui-тёте йай Пег d’avou I’eteve de Kolmogorov, un geant des math^ma- tiQues celui qui, entre autres exploits, a dcrme un fonoement rigoweux a te tone des probfc- б lines et a fa theorte de la coptexite. 1 en avait herite te st ns de 1’hisioire des matltemariques, et it tachart de te communiquer a ses sieves en lew montrant comment lew recherche sTnscrfvait dans one corfcite venue <fe trte torn. La culture malbemaiique est faite de questfocs posees, sw fesquelfes on avance tenteraent mate qu’fl ne taut pas oublier, et de tesultats accumules, qu’il faut соппайге pour avancer. Arnold efait te phis ardent (tefenseur de cette culture. Cefa pouvaft te rendre Ires aga^am, par exempte quand й reprodiait sans menagemont a desspecialistes d'analyse mmteri- que d*gnorer fes bases<fe fa thereie desfonctkrns elliptiques, mate c‘est bien lw qw, en Russie, a porte pendant des annees fa tradition de Poincare, a une epoque ou, en France, fes mathematictens Favajeni range au rang des viedles lunes. Сотте Bourteki n'avail pas sort! de traite sur fes equa- 56
Sur Vladimir Arnold tions difterentieltes, ils en avaient conclu que celtes-ci n’existaient plus, el seuls quelques ntecaniciens et autres astronomes s’interessatent encore aux oscillations non lindanes et й la mecanique celeste. Je me souviens qu’en 1964, akxs Jeune dtudiant, favais cherche un cours sur les equations dnferentiefe: il n’y en avail pas sur la pla- ce de Paris C’est ainsi que j*ai decouvert Arnold, car dans une collection de livres de mathematiques tradults du russe, la collec- tion MIR. dans une couverture rouge que |e vois encore, il у avail un livre mervetlleux qui s’appeiait Methodes mathematiques de la mdcamque classique, Cela m'amdne a parier de cette immense qualite d'Amold: personne mieux que lui ne savait expliquer les mathematiques II n'y a que deux matltematiciens au monde (tent on puisse lire les livres pour le plaisir: Arnold, et, dans un tout autre style, Mil- nor En France, on a I'habitude d’exposer la theorie la plus generale, puis, A la fin du cours, quand tout le monde est Ыеп abruti, d'expliquer que la theorie s’applique й des exemptes, mats que malheureusement on n’a pas le temps de les trailer. Arnold, lui, parfait des exemples, suscnait la curiosite des auditeurs, et leur ouvrait ainsi les portes de la thdone. Je vtens de parier й un ancien de rUniversrte Paris-Dauphine, actuellement directeer de la recherche dans une grande sooete financidre. II me dit qu’Aleve A I’EN- SAE, ayant appris par les journaux I’arrhtee d'Amold Й I'UniversitA Paris-Dauphine, II stetait prAcipitA pour suivre ses cours, ne vouiant pas rater cette occasion inesperee. C’dtart un cours sur les equations differen- RtCHEBCHES farts-O-iuohrr-.,. (Service Wmmun Reclwche • Anr»*- вдлол .'.i’-iH F Elyes Joum et : • ‘ П v • e iChampaqnac tieltes, justement, celui que je cherchais en France dans les annees 60 et qui n’existait pas, mais pendant le premier cours, Arnold n’a pas parte d’dquations dHterentieltes. II a raconte aux eiudlants fasciites une histone de requins en Adnatique qui mangeaient des poissons; mais au bout de la stance mon ami s’est aper^u qu’il venait d’ingurgiter les premiers principes de la theorie des syste- mes dynarmques Quant a moi, je me souviens d’une discussion avec Arnold, ou je lui pariais du pendule ren verse. II s’agit d’un exercice classique dans la theone des oscillations. Si on prend une tige rigide, fotee й une extremity elle tombe natureitement dans la position verticale, sus pendue A son point d’attache Mais si celui-d oscille verticatement avec une frequence suf- fisante, la tige oscille dans la position inverse: elle est debout sur son point d’attache et se balance de gauche A droite sans passer par en bas.« Oui, me dit Arnold, c’est classique. et c’est d’ailteurs une experience que (e mon- trais toujours A mes Atudiants quand je faisais mon cours a Moscou - Joi, Dima, une expe- rience 9 Mais avec quoi ? - Vois-tu, quand tu pcends un rasoir Alectrique et que tu le (te- monles, tu vas trouver un bitonniau qui vibre. J’avais fait confecfionner une tige de bois qui s'adaptait dessus, et quand je branchais le rasoir elle faisait le pendule renverte.» Et comme tous les grands professeurs, il adorait les etudiants, qui le lui rendaient bien. Ceux qui sont passes par I’Universite Paris-Dauphine et qui ont eu la chance de I’avoir en garden! un souvenir inoubliabte. L’ami que je citais m’a dit:«J’ai suivi son cours A un moment ou Je doutais, et c’est Ar- nold qui m’a rameite aux matttematiques». Depuis, il a fait une belie camere, dans la Formule 1 A ses debuts et dans la finance aujourd'hui, mais'd fait toujours des matite matiques. Combien sont-ils de par le monde dont Arnold a change la vie ? Des cental- nes ? Des miiliers ? Plus ? Et ce n est pas fini: ses livres sont toujours IA. C’est la mort de Bergotte... Ivar Ekeland, ancten president Universite Paris-Dauphine. Статья опубликована в № 5 сентябрь 2010 г. издания университета Париж-Дофин 57
ИВАР ЭКЛАНД, французский математик норвежского происхождения. Экс-президент университета Париж-Дофин (1989 -1994). В настоящее время заведу- ющий кафедрой математической экономики на факультете матема- тики и экономики в университете Британской Колумбии, г. Ванкувер, Канада. Директор Тихоокеанского института математических наук. Директор Института финансов Дофин, Париж. О ВЛАДИМИРЕ АРНОЛЬДЕ Перевод с французского языка Каролины Кузичевой 3 июня умер Владимир Арнольд. Математик, профессор университета Париж-Дофин вплоть до выхода на пенсию, он обладал значительным международным влиянием. В част- ности, он известен “теорией КАМ”, которая считается фундаментальной для теории хаоса и динамических систем. В 1982 году он получил премию Крафорда, что помещает его в список (очень короткий) рядом с Нобелевскими лауреатами по различным дисциплинам и несколь- кими Филдсовскими медалистами; также он получил премию Вольфа в 2001 году. Владимир Арнольд приехал в университет Париж-Дофин в ореоле поистине вселен- ской славы. Это было время расцвета теории хаоса, и все слышали о кошке Арнольда, этом странном образе, который распадался шаг за шагом, как капля молока растворяется в чашке кофе, прежде чем, словно по волшебству, восстановиться во время движения в обратном на- правлении. Слава Арнольда распространялась даже на сферу политики, это о многом гово- рит; и тогдашнему министерству образования, и мэрии Парижа пришлось противостоять многим вещам, чтобы предложить ему действительно исключительные условия. Он мог без каких-либо проблем уехать в Соединённые Штаты и найти там более оп- лачиваемую и менее обязывающую должность, но он любил Францию. Однажды, много лет назад, он приезжал туда и прочёл курс лекций, имевших огромный резонанс и приведших к изданию книги о динамических системах, которую он написал совместно с Андре Авецем (Andre Avez). Это была одна из первых книг, открывших дверь в этот странный мир, в кото- ром жил хаос, и я до сих пор помню “усатые торы” и рисунки, которые задолго до того, как компьютеры сделали доступным этот жанр визуализации, пытались представить то, что про- исходит в гиперболических областях. С той поры ему был запрещён выезд из СССР и, несо- мненно, это длительное отсутствие прибавило нашей стране (Франции - прим, переводчика) очарование запрещённой. Тем не менее, именно ей он отдал предпочтение, когда, как и мно- гие другие, был вынужден искать работу за рубежом. Он превосходно говорил на французском языке: выучил он его, будучи совсем юным, в своей семье, и он гордился своими познаниями в области истории и географии Франции, знанием того, чего не знают многие французы. Он совершал велосипедные прогулки в Нотр- Дамском лесу, о существовании которого я даже не подозревал; он собирал там грибы. Од- нажды он там сильно упал с велосипеда, после чего впал в недельную кому. Когда он при- шёл в себя, обнаружилось, что он всё забыл и не может говорить; к счастью, память к нему довольно скоро вернётся, и речь тоже, но первые слова, которые он произнесёт, будут на французском, а не на русском. Тем не менее, он сохранял очень тесные связи с Россией, и было решено, что он там будет проводить полгода: один семестр в Париже, другой - в Москве. Он был частью давних традиций русской математической школы, которая насчитывает такие прославленные имена, как имя Лобачевского, первооткрывателя неевклидовой геометрии, или Ляпунова, который был первым в исследовании устойчивости динамических систем. Сам Арнольд гордился тем, что был учеником Колмогорова, этого гиганта математики, который, помимо прочих дости- 58
жений, дал строгое обоснование теории вероятностей и теории сложности. От него Арнольд унаследовал чувство историчности математики и старался передать это чувство своим уче- никам, демонстрируя им, каким образом их исследования являются частью непрерывного процесса, корнями уходящего в далекое прошлое. Математическая культура формируется из поставленных задач, которые нескоро решаются, но забывать которые нельзя, и из накоп- ленных результатов, которые надо знать, чтобы двигаться вперёд. Арнольд был самым стра- стным защитником этой культуры. Например, он беспощадно критиковал специалистов в области численного анализа, не знавших основ теории эллиптических функций, и это могло сильно его раздражать, но именно он в течение многих лет поддерживал в России традиции Пуанкаре, в то время, когда во Франции математики были причислены к рангу носителей ус- таревших идей. Поскольку у Бурбаки не было трактовки дифференциальных уравнений, они (тогдашние французские математики - прим, переводчика) сделали вывод, что дифференци- альные уравнения больше не существуют, и лишь некоторые механики и астрономы всё ещё интересовались нелинейными колебаниями и небесной механикой. Я вспоминаю, как в 1964 году, будучи юным студентом, искал курс по дифференциальным уравнениям; в Париже его не было. Именно так я открыл Арнольда, поскольку в коллекции математических книг, пере- ведённых с русского языка издательством “Мир”, была его чудесная книга в красной облож- ке “Математические методы классической механики”. Это подводит меня к тому, чтобы сказать о неизмеримом качестве Арнольда: никто лучше него не умел объяснять математику. В мире есть только два математика, чьи книги можно читать с удовольствием: Арнольд и (в совершенно другом стиле) Милнор. Во Фран- ции мы привыкли сначала излагать наиболее общую теорию" а затем, в конце лекции, когда все уже достаточно утомлены, объяснять, как теория применяется к примерам, но, к сожале- нию, уже не остаётся времени эти примеры разбирать. Арнольд же начинал с примеров, вы- зывал у слушателей любопытство и тем самым открывал входные двери теории. Недавно я разговаривал с одним выпускником университета Париж-Дофин, ныне директором по иссле- дованиям в крупной финансовой компании. Он мне рассказал, что когда-то, будучи студен- том Высшей Национальной школы статистики и экономического управления (ENSAE), он узнал из газет о приезде Арнольда в университет Париж-Дофин и, не желая упускать эту не- предвиденную возможность, стал ходить на его лекции. Это был курс по дифференциальным уравнениям, точно такой, какой я искал во Франции в 60-х годах и которого не существовало тогда, но на первой лекции Арнольд не говорил о дифференциальных уравнениях. Он рас- сказывал зачарованным студентам историю про акул из Адриатического моря, которые по- едали рыб, а к концу лекции мой друг осознал, что он только что “проглотил” (имеется в ви- ду - усвоил, понял. Прим, переводчика) начальные принципы теории динамических систем. Что касается меня, я вспоминаю наш с Арнольдом разговор о перевёрнутом маятнике. Речь идёт о классическом упражнении из теории колебаний. Если взять жёсткий стержень, закреплённый на одном конце, он упадёт, естественно, в вертикальном положении, подве- шенный в месте крепления. Но если точка подвеса совершает колебательные движения в вертикальном направлении с достаточно большой частотой, стержень колеблется противо- положным образом: он стоит на своей точке подвеса и раскачивается слева направо, не па- дая. - Да, - сказал мне Арнольд, - это классика, и, между прочим, это опыт, который я все- гда показываю своим студентам, когда читаю лекции в Москве. - Ты показываешь опыт, Дима? Но с чем? - Видишь ли, если ты возьмёшь и разберёшь электрическую бритву, ты сразу же заме- тишь вибрирующую детальку. Я изготовил деревянный стержень, водрузил его на эту де- таль, и когда я включал бритву, стержень превращался в перевёрнутый маятник. И, как все выдающиеся преподаватели, он обожал студентов, а они платили ему доб- ром. Это те, кто прошёл через университет Париж-Дофин, и кому посчастливилось сохра- нить о нём незабываемые воспоминания. Друг, которого я цитировал выше, сказал мне: “Я посещал его лекции в то время, когда пребывал в сомнениях, и именно Арнольд вернул меня к математике”. С тех пор он сделал блестящую карьеру, сначала в Формуле 1, а теперь - в 59
области финансов, но при этом он всегда занимался математикой. Сколько их в мире - тех, кому Арнольд изменил жизнь? Сотни? Тысячи? Больше? И это не конец: с нами всегда его книги. Это смерть Бергота... Примечание переводчика Бергот - персонаж пятой книги «Пленница» семитомной эпопеи Марселя Пруста «В поисках утраченного времени». В письме переводчику Ивар Экланд, беспокоясь о том, пой- мут ли последнюю фразу его статьи русскоязычные читатели, сделал небольшое пояснение к ней: «Это ссылка на Марселя Пруста, где Бергот - писатель-перфекционист (прототип само- го Пруста), который, несмотря на слабое здоровье, идёт в музей, поскольку критик отметил жёлтую стену в картине Вермеера "Вид Дельфта", а он её (стену) совсем не помнит. В музее он смотрит на картину, видит жёлтую стену, думает, что "вот так и я должен был написать, это так просто ...» и умирает перед картиной. Но его книги переживут его, и у Пруста есть красивое предложение об этом, Вы можете процитировать соответствующее место из рус- ского перевода». Согласно пожеланию Ивара Экланда приводим замечательный фрагмент из "Пленни- цы" Пруста: «Он (Бергот) всё повторял: «Кусочек жёлтой стены с навесом, кусочек жёлтой стены». Тем временем он опустился на круглый диван и, внезапно перестав думать, что дело идёт о его жизни, снова проникся оптимизмом и сказал себе: «Просто у меня несварение желудка от этой недоваренной картошки, пустяки». Новый удар поразил его, он свалился с дивана на пол. Тотчас же сбежались посетители и сторожа. Он был мёртв. Умер ли он навсегда? Кто может сказать? Правда, спиритические опыты, равно как и религиозные догмы, не дают доказательств того, что душа продолжает существовать. Можно сказать лишь, что всё в нашей жизни происходит так, как если бы мы вступали в неё с бре- менем обязательств, взятых на себя в какой-то предшествующей жизни; в условиях нашей жизни на этой земле нет никаких оснований для того, чтобы мы считали своим долгом де- лать добро, быть деликатными и даже вежливыми, как нет оснований для требовательного художника считать себя обязанным двадцать раз переделывать какой-то фрагмент, дабы вы- звать восхищение, которое телу его, изглоданному червями, будет безразлично так же, как куску жёлтой стены, изображённой с таким мастерством и изысканностью художником, на- всегда потонувшим в неизвестности, оставившим от себя только имя - Вермеер, - и то едва ли достоверное. Все эти обязанности, ничем не санкционированные в теперешней жизни, принадлежат словно иному миру, основанному на доброте, совестливости, самопожертвова- нии, миру, совершенно отличному от здешнего, откуда мы являемся, рождаясь на этой земле, и куда снова, может быть, вернёмся под власть таинственных законов, которым мы повино- вались, потому что носили в себе их предписания, не зная, кем они начертаны, - законов, к которым нас приближает всякая углубленная умственная работа и которых не видят - всё еще! - только глупцы. Так что мысль о том, что Бергот умер не навсегда, не лишена правдо- подобия. Бергота похоронили, но всю траурную ночь его книги, выставленные по три в осве- щённых витринах, бодрствовали, словно ангелы с простёртыми крыльями, и казались сим- волом воскрешения того, кого больше не было ...». 60
КУРИЛОВ ВАДИМ ИВАНОВИЧ, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник ВЦ МГУ На концерте в Доме учителя, октябрь 2008 г. Справа от Д. Арнольда - В. Курилов, Н. Новгородова ВСЕ МЫ, СОКУРСНИКИ ДИМЫ АРНОЛЬДА, ПОНИМАЛИ, ЧТО С НАМИ УЧИТСЯ ГЕНИАЛЬНЫЙ МАТЕМАТИК Владимир Игоревич (Дима) Арнольд! Все мы, сокурсники Димы Арнольда, понимали, что с нами учится гениальный мате- матик, знания которого на порядки превосходили знания многих из нас. Понимали это и на- ши профессора. Личность этого замечательного Ученого и Человека побуждают каждого, кто был с ним знаком, пусть даже не очень близко, к коим относится и автор этих строк, поделиться своими воспоминаниями о нем. На первых двух курсах университета я с Димой Арнольдом встречался очень часто, но не на научной стезе, а в студенческой секции по плаванию, где все были почти равны, и уже с тех пор я не мог избавиться от чувства искренней симпатии к этому энергичному и, вместе с тем, исключительно скромному и доброжелательному человеку. На первых курсах Мехмата большинство обычных студентов с известным напряжени- ем справлялось с обязательными учебными нагрузками, в особенности в части матанализа, где хорошо, если к очередному занятию успевалось прорешать задания из задачника Б.П. Демидовича. Как-то в читальном зале, измученный осмыслением тонких соотношений признаков сходимости рядов, я увидел, как Дима штудирует книгу Г.Филипса "Дифферен- циальные уравнения". Стало ясно, что у этого студента с математическим анализом все в по- рядке. Уже на втором курсе Дима Арнольд прекрасно знал математику, которую предписано было знать на Мехмате, понимая ее творчески и глубоко. Видимо такой уровень знаний по- мог развиться творческому сотрудничеству Димы с его гениальным учителем А.Н. Колмого- ровым, ознаменовавшимся решением на 3-м курсе 13-й проблемы Д. Гильберта о суперпози- ции функций. Вспоминается эпизод на экзамене 4-го курса, который я сдавал по спецкурсу профес- сора Г.Е. Шилова "Обобщенные функции". Этот экзамен сдавал и Дима. Отвечая на вопросы билета, экзамен Димы стал плавно приобретать другую ориентацию, меняя роли ученика и 61
учителя. Г.Е. Шилов - этот прекрасный педагог и глубоко эрудированный математик - засыпал Диму вопросами по различным аспектам современного анализа, никак прямо не связанными с обобщенными функциями, а Дима с присущим ему педагогическим талантом увлеченно излагал свою точку зрения по этим вопросам. Эта математическая беседа оставила неизгладимые впечатления. В 1963-64 учебном году Владимир Игоревич Арнольд уже в звании профессора читал на Мехмате курс, посвященный собственно дифференциальной топологии, но своим содер- жанием покрывавший практически всю современную математику: диффеоморфизмы, гомо- топическая теория, перестройки Морса, алгебры Ли и многое, многое другое. Лекции чита- лись в большой потоковой аудитории 16-го этажа главного здания МГУ и посещались не только студентами и аспирантами, но и уже сложившимися маститыми учеными. Интерес к лекциям был громадный: неизменно дефицитными были места даже на ступеньках большой аудитории. Этот интерес вызывался не только современностью рассматриваемых вопросов, но и мастерски доходчивой формой изложения, не лишавшей вместе с тем их своей содер- жательности. Для самостоятельного изучения многих рассматриваемых там математических конструкций потребовались бы недели, если не месяцы. Каждая лекция оставляла чувство адекватности усвоения тех или иных математических вопросов и могла служить добротной основой для более глубокого их изучения в дальнейшем. Это был настоящий триумф гени- альной математической педагогики! Несколько лет назад в частной беседе я спросил у Владимира Игоревича, не собирается ли он подарить широкой математической общественности тот замечательный "ликбез", какой несли с собой те давние лекции, но уже в условиях повзрослевшей на 50 лет современной ма- тематики? В его лице я уловил творческое озарение, и он ответил, что и сам размышляет над тем, когда и как это сделать. Но, к сожалению, этим планам не суждено было сбыться. Все, кто имел счастье общаться с Владимиром Игоревичем, часто или только эпизо- дически, несомненно ощущали на себе тот посыл оптимизма, демократичности и любозна- тельности, который источал этот человек. Я думаю, источником этих качеств была его уве- ренность в том, что его собеседник, так же как и он сам, тонко чувствуют красоту мысли и особенно мысли научной, творческой. Приведенные мною штрихи воспоминаний о Влади- мире Игоревиче носят скорее лишь эмоциональный характер, его ученики и коллеги смогут полнее и интереснее осветить тот громадный научный, творческий и гуманистический по- тенциал, который нес с собой этот замечательный Ученый и Человек! P.S. Совсем не так давно, 3-4 года тому назад, на дружеской встрече с Димой Арнольдом, которая происходила в доме нашей сокурсницы Мальвины Ботиной, присутствовало много университетских однокашников Димы. Пришли не столько лицезреть гениального ученого или обсудить с ним какие-то научные вопросы, сколько пообщаться с исключительно эруди- рованным человеком, который знал почти все и почти обо всем. Сам Дима весьма благо- склонно относился к таким встречам, много рассказывая на них, в частности, об истории развития наук. Помнится, на этой встрече он помог истолковать интересовавшее меня изре- чение И. Ньютона "Если я видел дальше других, то потому, что стоял на плечах гигантов". Оказывается, это изречение было адресовано Р. Гуку - современнику и научному сопернику И. Ньютона. Оба они - и Гук, и Ньютон были людьми маленького роста, а гигантами науч- ной мысли были Галилей и Декарт. По обыкновению на подобных встречах многие просили Диму дать свой автограф на какой-то его книге. Попросил об автографе и я на его книге «Задачи для детей от 5 до 15», насыщенной "математическими изюминками". Дима не ограничился просто автографом, но и приписал туда "изюминку" (полный текст этого автографа приводится здесь), еще раз продемонстрировав подкупающие качества своей личности, где так естественно уживались и человеческая простота и гениальность. 62
Дх-осЛД1?ЛЧ) рл с 9. j UAv S *^- (^ЫСЛ <и .( ЦкУ\л^Ср Ц> г”Ъи v.<\ С ^LC/Umv.K^ '. 3^/HLQca <Н гкЛ'сч;^ 76379Н 42.35^^) ^^6^ И^х 56^354^^0? ? В.И. Арнольд Задачи для 5 15 лет В.П \PIIQ1M ТЕОРИЯ КАТАСТРОФ 10.10.2006 г. Вместе с Д. Арнольдом у Мальвины Ботиной в гостях были Г. Иванова, В. Кури- лов с сыном Дмитрием (слева от Г. Ивановой). 63
ЛЕВАШОВА (КУЗИЧЕВА) ЗИНАИДА АНДРЕЕВНА, кандидат физмат наук, старший научный сотрудник Мехмата МГУ НЕСКОЛЬКО СЛОВ О ДИМЕ АРНОЛЬДЕ - РЕДАКТОРЕ Я почти не общалась с Димой, хоть мы и учились на одном курсе, но учились в раз- ных группах. Каждый из нас имел свой круг друзей, чаще всего - в своей группе. На факуль- тете мы, уже как сотрудники (после окончания учёбы), также работали в разных коллекти- вах. Мне вспоминается всего два эпизода, связанных с редакторской деятельностью. Как-то (в семидесятые годы) мне поручили написать в нашу стенную газету, которая называлась «За передовой факультет», заметку о работе факультетского методологического семинара. Заметку я написала, и мне сказали, что требуется отзыв редактора газеты. А редак- тором тогда был Дима Арнольд. Он (став доктором физмат наук и профессором) читал лек- ции в аудитории 16-10, и я в перерыве подошла к нему получить «добро» на публикацию заметки в газете. Он взял у меня заметку и попросил подойти через некоторое время. В ука- занное время он мне сказал: «Заметку я отдал машинистке. Я слежу только, чтобы в каждом предложении имелось подлежащее и сказуемое». В начале 80-х годов Д. Арнольд и А. Паршин готовили к изданию «Избранные труды. Математика, теоретическая физика» Германа Вейля (они были опубликованы в 1984 году, В.И. Арнольд - ответственный редактор). В числе переводчиков оказалась и я, как сказал А.Н Паршин, по рекомендации В.И. Арнольда. Мне поручили перевести (с немецкого и с английского) четыре статьи. Готовые переводы я отдала А.Н. Паршину, а спустя некоторое время мне передали, что В.И. Арнольд хотел бы пообщаться со мной по поводу этих перево- дов. Я ужасно боялась этого разговора. Но при встрече он очень мягко и корректно сказал, что у него есть одно замечание по поводу перевода статьи «Феликс Клейн и современная ма- тематика»: «Вот здесь речь идёт просто о том, что одна окружность накрывает остальные. Вы слишком усложнили это место». Я была потрясена, поскольку ожидала, что получу раз- громный отзыв. Конец 50-ых годов XX века. На ступеньках клубной части МГУ (слева направо) Игорь Шары- гин, Дима Арнольд, Толя Карацуба и Юра Оревков. 64
ЛИВШИЦ МИХАИЛ ИСААКОВИЧ кандидат физмат наук, доцент, Технологический Институт пищевой промышленности, МИЭМ ЗДРАВЫЙ СМЫСЛ МАТЕМАТИКА В родстве со всем, что есть, уверясь И знаясь с будущим в быту, Нельзя не впасть к концу, как в ересь, В неслыханную простоту. Борис Пастернак. Строки эпиграфа взяты из стихотворения, про которое Арнольд сказал: «это - специ- альное стихотворение про математику, одно из самых замечательных стихотворений Пастернака. На мой взгляд, он очень много про науку понимал, про математику». Здравый смысл (несмотря на неоднозначность термина) удобен и понятен при обозна- чении совокупности неконъюнктурных взглядов отдельного человека. Эти устоявшиеся взгляды складываются как объединение образовательных знаний и зависящего от них повсе- дневного опыта. Достаточная стандартизированность, уверенность, категоричность и конкретность в доступных внешних проявлениях - свойства здравого смысла.- Здравый смысл Арнольда имеет отдельную ценность на фоне его выдающихся мате- матических достижений и глубокого общего образования. Взгляды Арнольда на математику и математическое образование безусловно привле- кательны. Приводимые в тексте близкие к дословным высказывания Арнольда выделены курсивом. Принятие и понимание взглядов Арнольда неотделимо от точки зрения, с которой они рассматриваются. Наше основное утверждение: математика это результаты мыслительной деятельности сформированного по определенным специфическим правилам человеческого мышления. Утверждение, являющееся очевидным, но явно неконструктивным, требует описания “специфических правил” мыслительной деятельности с виртуальными объектами, обозна- чаемыми терминами и символами. Можно описать способы и свойства формирования правил и терминов, а также при- вести классификацию математических результатов, перечисляя многообразные теории и раз- делы математики. Абстрактное, теоретическое, идеализированное, логическое, дедуктивное, количественное, пространственное, моделирующее и, наконец, прикладное - обычные сло- весные атрибуты, сопутствующие внешним подходам к математике. Не пользующаяся математическими символами человеческая логика зачастую запу- тывает в словесных определениях, но, к сожалению, некорректно определять математику, пользуясь математическими символами. Представления Арнольда о внутреннем характере математики выражены в высказы- ваниях о том, что Написанное Маратом: из всех математиков самые лучшие те, которые всё вычис- ляют по заранее приготовленным формулам, является признаком полного непонимания ре- волюционерами математики, главное в которой — свободное мышление вне рамок каких бы то ни было заранее заготовленных схем, или, что Роль доказательств в математике подобна роли орфографии или даже каллиграфии в поэзии. Во внешних проявлениях представляются наиболее важными следующие три свой- ства математики: 65
• Главное, но редко упоминаемое, свойство математики - определять стиль мыс- лительной деятельности; • Феноменальная полезность математики. Замечательное свойство математи- ки, которым можно только восхищаться, является непостижимая эффективность её наи- более абстрактных, и на первый взгляд, совершенно бесполезных, но красивых областей', • Общеобразовательная ценность математики как основной дисциплины обуче- ния. Суть первого свойства достаточно глубоко реализуется у Арнольда в описании ’’мяг- ких” и "жестких” математических моделей. Здравый смысл проявляется при реализации идей на известных объектах. Поясняя жесткую модель примером таблицы умножения и, приводя в качестве про- стейшего примера мягкой модели - принцип "чем дальше в лес, тем больше дров", Арнольд дает достаточно содержательное изложение различия между “мягким и жестким математи- ческим моделированием”: Между математиками есть двоякого рода люди: 1 )” математики-философы”, т.е. математики высшей математической мысли, для которых цифры и исчисления есть ремесло; этого рода математиков увлекают сами ма- тематические идеи. Одним словом, это математики, так сказать, чистой философской математики; 2 ) напротив, есть “ математики-исчислители ”, которые всю суть математики ви- дят в исчислениях, цифрах и формулах. Основываясь на первоначальном утверждении, подчеркнем, что “мягкое и жесткое моделирование” - это не часть математики, а ясное проявление двух сторон ее сущности: мыслительной работы над математическими идеями и результатов этой работы, выражаю- щихся в “исчислениях, цифрах и формулах”. Использованный термин математическое моделирование не имеет отношения к тому, что широко принято называть математическим моделированием в других науках и вопросах. Именно мягкие математические модели в той или иной мере используются каждым образованным человеком. Например, Арнольд говорит, что сила государственного деятеля С.Ю. Витте заключалась вовсе не в применении какой-либо математики, как "исчисления ", а в том способе мышления, который назван "математикой-философией" и который за- ставляет человека с математическим образованием думать о всех реалиях окружающего мира с помощью (сознательного или бессознательного) мягкого математического модели- рования. Более того, считая идею достаточно глубокой, Арнольд пишет об открытой отно- сительно недавно возможности полезной математической теории мягких моделей и много говорит о них при обсуждении вопросов математического образования. Он добавляет, что идея о необходимости этого рода мышления для успеха в любой экономической или произ- водственной деятельности была хорошо понята уже сто лет назад. Обсуждение второго из рассматриваемых свойств приводит ко многим вопросам, свя- занным с противопоставлением прикладного и экспериментального формальному и теорети- ческому. Изначально исторически и во многих случаях в последующем развитии математики создавались и исследовались (невольно или целенаправленно) образы, порождаемые опреде- ленными характеристиками реальных объектов. В одном и том же математическом образе повторяются аналогичные черты разнооб- разных реальных объектов. Это делает математические образы универсальными обобще- ниями, отделенными от реальности. Виртуальные объекты математики, обозначаемые тер- минами и символами, заменяют реальные. Обратно, отделенные от реальности математические образы в своих конкретных про- явлениях становятся инструментом для описания и исследования характеристик реальных (просто наблюдаемых, наблюдаемых с помощью приборов или “гипотетически наблюдае- мых”) объектов. 66
На этом пути человек получил математику, придав точную определенность и одно- значность создаваемым объектам - абстрактным образам, и наделив ее внутренней истинно- стью, основанной на доказательствах. При этом именно математика обладает не присущей реальности возможностью широ- кого манипулирования над своими объектами с полным использованием свободы фантазии. Фантазия проявляется как неосознанное качество, присущее человеку, или возникающее из мыслительных процессов, проводимых над математическими образами. Математика - активно функционирующее и совершенствующееся создание мысли, которое непрерывно развивается, оформляется и используется. Как живой организм матема- тика плодотворно участвует, явно или неявно, почти во всех видах творческой деятельности. Практически нет сферы содержательной деятельности, качество которой не зависит от мате- матики. Это понятно в любой науке, и это имеет место в повседневной жизни. Существенным следствием особенностей здравого смысла Арнольда является исполь- зование мягкого математического моделирования при изложении своих взглядов на матема- тику. К этому добавляется то, что кажущиеся парадоксальными некоторые высказывания Арнольда о математике обычно окружает целенаправленный познавательный или образова- тельный контекст. Рассмотрение высказываний о самой математике и высказываний, связанных с про- цессом математического творчества или математического образования, сделанные при не- формальном отношении к вопросам, приводят к представлению о непротиворечивости точки зрения Арнольда. Проявления позиции Арнольда определены его активным противостоянием предвзя- тым мнениям классических ортодоксов, отрицающих пользу математики, и несведущих лю- дей, не имеющих ответа на вопрос о пользе математики. Отношение к математике как к науке выражено в мнении Арнольда о бессмысленно- сти понятия прикладной математики. На самом деле никаких “прикладных наук” не существует и никогда не существова- ло, как это отметил более ста лет назад Луи Пастер. Великий прикладник говорил, что есть только обычные фундаментальные науки, где открывают новые истины, и есть их приложения, где эти истины используются. Предпочтительнее говорить не о "внедрении", а об использовании научных резуль- татов. К традиционно проходному термину “прикладная математика” исторически привела внешняя природа математики. Свобода в выборе терминов ограничена смыслом разных понятий, обозначаемых в ряде случаев одинаковыми или похожими терминами. Термин “прикладная математика” может обозначать существование многих реализа- ций математики, не являющихся частями математики. К вопросу о “прикладной математике” примыкает внешне сходный вопрос об экспе- риментальной науке и вопрос о взаимоотношении математики и физики. Здесь проявляется как здравый смысл, так и ясно выраженный подход к математике как к творческому процессу. Арнольд пишет об экспериментальном подходе в математике, который в наглядном виде представлен в геометрии и связывает математику и физику. Единственным “недостатком” геометрии, как раздела математики, является ее назва- ние, происхождении которого для математики несущественно. В математике также не может возникнуть проблема с часто используемым названием фундаментального раздела ’’Уравне- ния математической физики”. Безусловно отрицательно отношение Арнольда к принципам Декарта. Согласно Де- карту: Чтобы математика сделалась наукой, прежде всего нужно изгнать из нее все следы эксперимента, которые в ней проявляются в виде чертежей. Рисуя прямые, окружности в 67
евклидовой геометрии, мы совершаем ненужную деятельность, которая к науке не имеет отношения. Ясно, что элементарная геометрия - результат длительного эксперимента с обобще- нием понятных для нас объектов реальности. Вместе с их аналогами в геометрии представ- лены математические образы и специфические правила оперирования. Использование “экспериментального подхода” указывает на методы творческой дея- тельности в ряде областей. Различие в математическом и физическом эксперименте заложе- но в характере объектов эксперимента и в методах его проведения. В физическом экспери- менте над тонкими сложно наблюдаемыми или ’’гипотетически наблюдаемыми” реальными объектами возникают ситуации, требующие необычного теоретического аппарата для описа- ния процесса исследования и его результатов. Идеи решения возникающих проблем может дать только математика. При появлении новых идей математика приходит к своему очеред- ному расширению, удаляя из своего рассмотрения первоначальный физический объект и за- меняя его виртуальным образом. Физика в современной науке исследует и организует с помощью математики сложно доступные объекты реальности. Внешнее развитие математики во многом определяется ее участием в рассмотрении физических задач. Сказанное может пояснить внешнее восприятие математики, представленное доста- точно прагматическим высказыванием Арнольда о том, что Взаимодействие между физикой и математикой, которые преодолели нелепые попытки сверхабстрактных "бурбакистов"разделить эти две важнейшие науки, единые в течение предшествовавших тысячелетий. Прогресс человечества последних столетий в значительной мере опирается на достижения этих наук. Я всегда считал, что матема- тика - часть теоретической физики и, как и физика, является экспериментальной наукой. Общее и математическое образование людей неотделимо от математики, т.к. матема- тика стала существенной частью природы достаточно высокоорганизованного общества. Математика не возникает и не развивается в сознании человека вместе с его рождени- ем и ростом без вмешательства общества. (Может быть, когда-нибудь мутации и технологии приведут к иному.) Отсюда следует жизненная необходимость поддерживать и улучшать качество обра- зования. Неизмерима вина тех, кто умышленно или по самоуверенной неосторожности закла- дывает изменение будущего, возвращая его в нецивилизованное прошлое, а также преобра- зуя мышление человека в предпинимателько-потребительскую схему. Большинство работ Арнольда, имеющих публицистический характер, или посвящены или не обходятся без обращения к вопросам математического образования. Здесь уместно сказать о так называемом "бурбакизме". В примитивном пояснении не- гативное отношение к этому явлению возникло как неприятие формального изложения ма- тематики исключительно методами математики, без использования любых видов иллюстра- ций. Из сказанного раньше следует несоответствие «бурбакизма» взглядам на математику, как на необходимую часть природы существования человека со всеми вытекающими из это- го следствиями. “Бурбакизм” удобно использовать для приведения примеров, противопоставляемых содержательному творческому обучению математике. Для Арнольда ’’бурбакизм” неприемлем как неконструктивный и затуманенный под- ход в творческой и просветительской деятельности. Ущербно обучение французских школьников математике, как своеобразной юридиче- ской казуистике, основанной на произвольно выбранных законах и тому, что все общее и аб- страктное важнее частного, конкретного. Наиболее характерными приметами формализованного преподавания является изо- билие немотивированных определений и непонятных (хотя логически безупречных) доказа- 68
тельств. Отсутствие примеров, отсутствие анализа предельных случаев и предела приме- нимости математических теорий, отсутствие чертежей и рисунков - столь же постоян- ный недостаток математических текстов, как и отсутствие внематематических прило- жений и мотивировок понятий математики. В адрес французского образования направлено обвинение в том, что современное формализованное бурбакизированное образование в математике - полная противополож- ность обучению умению думать и основам науки. Наконец, в связи с “бурбакизмом“ возникает категорическое подтверждение изложен- ных ранее взглядов Арнольда на математику: Все попытки избежать вмешательства реального мира в математику - сектант- ство, которое восстанавливает против себя любого разумного человека и вызывает у него отвращение к этой науке и к любым доказательствам. "Абстрактное" описание матема- тики непригодно ни для обучения, ни для каких-либо практических приложений. Бесперспективность применения формализованных методов обучения математике в общем образовании подчеркивается словами Декарта, высказавшего относящийся уже пря- мо к министерству образования принцип о необходимости немедленно запретить все другие методы преподавания, кроме метода Декарта, потому что его метод образования являет- ся единственным истинно демократическим. Демократический характер метода образо- вания по Декарту заключается в том, что среди обучающихся по этому методу самый ту- пой, самый посредственный ум достигнет таких же успехов, как и самый гениальный. Дальнейшее усиление нелепости приводит к тому, что всю геометрию надо из школь- ного образования исключить, потому что демократическая эволюция должна сделать все понятным меньшинствам. К этому полезно добавить отмеченное уже Леонардо да Винчи, что любой тупица, занявшись исключительно одной узкой темой, поупражнявшись достаточно долго, достиг- нет в ней успеха. С другой стороны, полное отрицание цивилизации следует из запланированного в об- разовании воспитания потребителя с целенаправленно погашенным творческим началом и с мышлением по “правильным” правилам. Здравый смысл и конкретность Арнольда позволяют ему говорить о неблаговидных целях общественных деятелей, ведущих к развалу, в первую очередь, школьное образование. Оправданием подобных деятелей может быть искаженное из-за безграмотности вос- приятие предмета математики и представление о математике, как о трудно воспринимаемой необязательной конструкции, препятствующей развитию человеческих потребностей. Преступные действия в образовании, граничащие с мракобесием, нельзя считать про- стительными. Об этом часто пишет Арнольд, приводя примеры обыденно-бытового отноше- ния к образованию вообще и к математике в частности. От примитивной реализации принципа развития - все старое надо выбрасывать до сознательного достижения низкого уровня общей культуры и школьного образования ради экономических целей. Экономика общества потребления и, прежде всего, доходы хозяев жизни страдают в условиях культурности и образованности (которые, вдобавок, мешают манипулировать населением, как лишённым интеллекта стадом). Образованный человек, начитавшийся книг, становится худшим покупателем: он меньше покупает и стиральных машин, и автомобилей, начинает предпочитать им Мо- царта или Ван Гога, Шекспира или теоремы. Возвращаясь к позитивной позиции в подходе к математике, следует сказать, что ис- кусство строгого логического рассуждения и возможность получать этим способом на- дежные выводы не должно оставаться привилегией Шерлока Холмса - каждый школьник должен овладеть этим умением. Умение составлять адекватные математические модели реальных ситуаций должно составлять неотъемлемую часть математического образова- ния. 69
Экономисты, не знающие математики, находятся в положении людей, желающих решить систему уравнений, не зная ни того, что она собой представляет, ни того даже, что представляет собой каждое входящее в нее единичное уравнение. Тот, кто не научился искусству доказательства в школе, не способен отличить пра- вильное рассуждение от неправильного. Такими людьми могут легко манипулировать без- ответственные политики. Результатом могут стать массовый гипноз и социальные по- трясения. Надежду вселяет лишь то, что существующие пока тысячи прекрасно подготовлен- ных учителей будут продолжать выполнять свой долг и обучать всему этому новые поко- ления школьников, несмотря на любые приказы Министерства. Здравый смысл сильнее бю- рократической дисциплины. Наука математика имеет живые возобновляемые носители. Но их возобновление, в свою очередь, определяется уровнем математического образования. Математическое сообщество несет свою долю ответственности за повсеместно наблюдаемое давление со стороны правительств и общества в целом, направленное на уничтожение математической культуры как части культурного багажа каждого человека и, в особенности, на уничтожение математического образования. Доминирование "математиков-исчислителей" и привело к тому засилью аксиомати- ческо-схоластической математики, особенно в преподавании (в том числе и в средней шко- ле), на которое общество естественно и законно реагирует резко отрицательно. Резуль- татом явилось повсеместно наблюдаемое отвращение к математике и стремление всех правителей отомстить за перенесенные в школе унижения ее изничтожением. Неформальный пример здравого смысла - это приход Арнольда на педагогическую практику в школу в студенческие годы с проволочными головоломками, предназначенными для демонстрации школьникам. Задача цивилизованного общества защитить обучающуюся и развивающуюся моло- дежь от “успешных” людей, имеющих силу для внедрения неприемлемых “реформаторских” идей в образовании. Продолжим эпиграф последующими строками стихотворения Бориса Пастернака Но мы пощажены не будем, Когда ее не утаим. Она всего нужнее людям, Но сложное понятней им. Для прагматичного человека приемлемое - это удобное и не требующее ответствен- ного понимания. Здравый смысл, порождаемый математикой, помогает, раздвигая заросли накопив- шихся ассоциаций, выйти на чистую ясную поляну прозрачного понимания сути. 20.10.2009 г. 70
МАЙЗЛИН ИСААК ЕВСЕЕВИЧ, программист, г. Бостон, США МОИ ВСТРЕЧИ С ДИМОЙ АРНОЛЬДОМ С первых недель первого курса Дима Арнольд вместе с Сашей Кирилловым показали себя не только как блестящие студенты-математики, но и лучшие абсолютно по всем пред- метам, включая историю. Их же, вдобавок, спортивные успехи для меня были фантастикой, Особенно “хулиганский” спорт - хоккей у Кириллова, и при этом я ещё не знал о Диминых лыжных марафонах. С Димой я учился в одной группе. Дима сидел за партой сзади меня, но, надеюсь, что я его не очень отвлекал, хотя с Шурой Архангельским они, по-моему, частенько беседовали. Помню, как на субботнике в Лужниках Дима гордо управлял электротележкой, по- дающей брёвна внутрь станка (пилорамы), который распиливал их (брёвна) на доски. Зимняя сессия на втором курсе. На башенном этаже общежития наша группа отмечает не то Новый год, не то день рождения. Я запомнил Диму, танцующего с миловидной перво- курсницей. Вечеринка затянулась и потому завершилась дружеским визитом коменданта общежития, который переписал всех нас как нарушителей режима экзаменационной сессии, пообещав доложить в деканат. Один эпизод, прошедший не замеченным. На втором курсе меня избрали секретарём комсомольской организации потока мате- матиков Мехмата. В начале лета 1956 года меня попросили написать комсомольские харак- теристики на Диму Арнольда и Сашу Кириллова для выдвижения их на Ленинскую стипен- дию. Разумеется, я написал хорошие характеристики, при этом общественные заслуги их сильно преувеличил, будучи уверенным, что в будущем все мы это наверстаем. В 1993 году Дима был приглашён работать на один год профессором в Массачусет- ский Институт Технологии (Кембридж - фактически часть Бостона, где мы жили в это вре- мя). Моя дочка Дина, тогда студентка МИТ, увидела табличку на двери «Профессор Ар- нольд» и, будучи девушкой смелой, зашла и представилась. Димина первая реакция: «Нико- гда бы не подумал, что у Исаака такая красивая дочка.» Началась серия наших встреч, представленных на фотографиях. Рядом с Димой его жена Эля, приятная женщина. Наши бостонские друзья Ира (обнимает Дину) и её муж Лев (он вообще- то врач, но на снимке он фотограф, т.е. его не видно). Ира тоже врач, окончила Первый мед. в один год с Элей. Есть на фото также моя жена Неля и сын Давид. Мы старались, чтобы Дима и Эля почувствовали себя как дома, и я надеюсь, что это нам удалось. У всех нас остались очень тёплые воспоминания об этих встречах. 71
МОРОЗ АЛЕКСАНДР ИВАНОВИЧ, доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Института проблем управления АН СССР, Института проблем транспорта РАН С ДИМОЙ АРНОЛЬДОМ Я УЧИЛСЯ В ОДНОЙ ГРУППЕ С Димой Арнольдом я учился в одной группе два года, после чего наши пути разо- шлись по разным кафедрам. До сих пор в памяти он остался как доброжелательный, откры- тый и светлый парень. Я замечал, что и преподаватели к нему относились как-то по особен- ному, причину чего я тогда не осознавал. Если у какого-то студента возникали затруднения с решением задачи, то Дима всегда готов был помочь, причем делал это доброжелательно, чего не скажешь про некоторых других «продвинутых» студентов. С работами Арнольда, точнее только с одной его работой, монографией «Теория ката- строф», я познакомился только в 2010-м году. Причиной этого было следующее. С 1991 года я разрабатываю теорию динамики управляемых экономических систем. Полученная матема- тическая форма описания этой динамики содержит ряд матричных разностных уравнений и неравенств. Одной из задач было выяснить, к чему приводит постоянный рост цен на производи- мые продукцию и услуги. Так как в силу сложности математических соотношений эту задачу решить на абстрактно-теоретическом уровне было невозможно, то были и использованы вы- числительные эксперименты. В моей статье «Проблемы управления в децентрализованных экономических системах» в журнале «Обозрение прикладной и промышленной математики», 2008, №3, приведен результат этих экспериментов, которые «... выявили один феномен ... феномен бифуркации. Были обнаружены два стабильных состояния рассматриваемой систе- мы: одно характеризуется эффективным её функционированием, а другое - резким спадом и остановкой производства. Переход из одного состояния в другое ... происходит скачком.» И далее: «Из изложенного следует такой экономический вывод. Рост цен в связи с инфляцией может не оказывать заметное влияние на экономическую активность до момента достижения критического значения цен. Но незначительное превышение этого значения приведёт к ката- строфическим последствиям.» До этого времени я не интересовался ни бифуркациями, ни катастрофами. Когда Ар- нольду присвоили Государственную премию, я узнал, что он также работал в области теории катастроф. У меня возник вопрос: имеется ли в теории катастроф какие-нибудь условия для нахождения точек бифуркации. Выяснить это я решил в указанной книге Арнольда. Хотя для моей задачи таких условий я не нашел, но я нашел близкие мысли, где он пишет: «Это объ- ясняет, почему так трудно бороться с катастрофой, когда её признаки сделались уже замет- ными: скорость её приближения неограниченно возрастает по мере приближения к катаст- рофе.» Неограниченная скорость означает скачок. Так через много лет после совместной учебы наши пути немного сблизились, но уже на «не-материальном» уровне.
НОВГОРОДОВА НАТАЛЬЯЗОСИМОВНА, программист ДЛЯ ЧЕГО МЫ ИЗУЧАЕМ МАТЕМАТИКУ ? В прошлом году, пересматривая свезенные на дачу старые книги и журналы, я обна- Фужила номер «Кванта» за январь-февраль 1993 года. Номер открывается статьёй ’ВАрнольда «Для чего мы изучаем математику?» Что об этом думают сами математики». С каким интересом я её перечитала, вернее, прочла заново! В 70-е годы у старшеклассников был очень популярен этот физико-математический журнал для школьников. Появился он благодаря объединению усилий группы ученых- академиков И.К.Кикоина, А.Н.Колмогорова, П.Л.Капицы и, с другой стороны, талантливых Представителей молодого поколения - аспирантов, преподавателей, ученых. Журнал входил rfapyr чтения не только школьников, но и студентов, молодых специалистов-технарей, на- столько интересно и не стандартно подавался в нём материал. :' Когда дочь училась в старших классах и потом в МГУ, мы регулярно покупали «Квант». Читали журнал все члены семьи, тем более, что в редакционную коллегию входили В числе других знакомые нам выпускники мехмата. Автор завладевает вниманием читателя с первой же фразы, ошеломляя его парадок- |Сальным высказыванием жившего в 13-м веке философа Роджера Бэкона: «Тот, кто не знает 'математики, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего не- ежества». И далее: «Может, что-то изменилось за семь веков? Послушаем более современ- ное свидетельство. Поль Дирак утверждает, что при построении физической теории «следует Не доверять всем физическим концепциям». Чему же доверять? «Доверять математической |схеме, даже если она на первый взгляд не связана с физикой». Действительно, все чисто фи- Нпеские концепции начала века физикрй отброшены, а математические модели, взятые фи- рИГОЙ на вооружение, постепенно обретают физическое содержание. И в этом проявилась устойчивость математики». Удивительно, насколько злободневны в наши дни те проблемы математического обра- зования, которые волновали учёных (и не в последнюю очередь, автора статьи) в 90-е годы. В статье приведены простые, очень забавные, убедительные примеры опасности и пагубно- сти «американизации математического образования в нашей стране. В её основе лежит принцип: учить тому, что нужно для практики. А если кто-то считает, что математика ему не нужна, то может не изучать её совсем. Вторая особенность американского подхода к препо- даванию математики - компьютеризация. Само по себе увлечение компьютерами не способ- ствует развитию мышления». Ещё одна тема статьи - математическая модель не всегда даёт немедленную отдачу: «...конические сечения были открыты и описаны в древней Греции Аполлонием Пергским (ок. 260-170 г.г. до н.э.). А понадобилась эта теория Иоганну Кеплеру в 16-м веке, когда он выводил законы движения планет». «Первую суммирующую машину сконструировал французский математик Блез Паскаль в 1641 г.» Вечная российская «головная боль» - экономика: «... милитариза- ция, монополия, некомпетентность руководства привели к тому, что сде- лалась устойчиво отрицательной вторая производная (систематически за- медляются темпы роста). Первая производная всё-же была положитель- ной (благосостояние росло). Но математики знают, что постоянно отри- цательная производная (даже высокого порядка), в конце концов, приво- дит к отрицательности первой производной, т.е. к падению производства и благосостояния общества». И ещё много интересного. Прочтите! 73
ПАНКРАТОВ МИХАИЛ МИХАЙЛОВИЧ, кандидат физмат наук, ведущий специалист ЦКБМ- НПО Маш, Лауреат Государственной премии СССР, награждён орденами «Трудового Красного Знамени», «Знак Почёта», медалями. Биографическая справка в энциклопедии «Космонавтика и ракетостроение» В Московском центре непрерывного математического образования, 18 октября 2008 г. 1959 г. На фотографии мы рядом: великий учёный Арнольд и я. И такая гордость разливается по всему телу, что Я! РЯДОМ! - будто и я причастен к чему-то очень высокому. 74
ПОЛЯКОВА ВАРВАРА МИХАИЛОВНА, научный сотрудник Московского института теоретической и экспериментальной физики 2006 г. Встреча у Елены Стоцкой В. Полякова, Д. Арнольд, Н Ермилова, М. Ботина Д. Арнольд., В Маканин В ПАМЯТЬ О ДИМЕ 3 июня умер наш однокурсник Дима Арнольд, Владимир Игоревич Арнольд, наша общая гордость и радость. Действительно, с кем бы я ни говорила, при упоминании о Диме у всех всегда светлеют лица. И никогда никакой тени зависти. Значит, так велико осветляющее действие Димы на людей. Первое мое впечатление. Лекция по высшей алгебре. Артистический лектор Е;Б.Дынкин, хитро-весело прищурясь, выбирает из нас объект для вопроса. Встает быстрый и аккуратный мальчик. Отвечает замечательно четко и как-то весело. Как сейчас помню, возникла мысль - какой-то кристальный мальчик. 1961 год. Ленинград. Общежитие ЛГУ, куда поселили участников IV Математическо- го съезда. Утро. Столовая. Сижу одна. Завтра выступать. Тревожно и грустновато. Вдруг подсаживается Дима. Так легко, непринужденно, как будто мы не просто товарищи, а какие- то родственники. Узнаю - ездит по Ленинграду на привезенном складном велосипеде. Вот здорово! Тогда это было большой редкостью. Однажды Ира Кристи позвала меня встречать Новый Год. В компании был Дима. Скучновато. Никто толком не танцует. «Дима, давай я тебя научу танцевать вальс. Показы- ваю. Серьезно, но как всегда, весело слушает. Вывод - «Да, логичная схема»... Но - не полу- чается. Как-то так вышло, что последние три года Дима писал мне письма. Чего там только не было! Экскурсы в историю Древнего Мира, карты Подмосковья с отмеченными им памят- ными местами. Стихи, хочется сказать, всех возможных поэтов всех возможных жанров. От- тиски своих математических работ... От него, к примеру, я узнала, что район, в котором живу, называется «Ленино- Дачное» не в честь В.И.Ленина. Оказывается, князь Кантемир, владелец этих мест, имел трёх дочерей: Анну, Марию и Елену. Наследственные их поместья и назывались Аннино, Марьи- но и Ленино. Эти названия, и ныне сохранившиеся, сразу для меня обрели смысл. Восторгался в письмах Дима дикой земляникой, взятой им с берегов Оки, которая вы- росла громадной у него на даче. Как грибник, очень подробно описал мне и нарисовал не- употребляемый нами в пищу, но съедобный (по его словам) и вкусный древесный гриб 75
"Chicken on Wood ". Что-то подобное я находила в лесу, но так и не успела его с помощью Димы идентифицировать. Знаю, что сестре Димы известен этот гриб. Хочется научиться распознавать его, дать ему русское имя «Димин гриб» и попробовать... Меня всегда очень подкупала не просто искренность, но удивительная непосредствен- ность Диминого поведения. Конечно, он мог себе это позволить. Но это - большая редкость. Много сил Владимир Игоревич отдавал борьбе с реформой образования, явно сни- жающей общий уровень обучения. Он стремился к соединению математики с жизнью, чтобы оживить интерес к познанию как таковому. Его усилия, хочется думать, еще сработают на пользу новым поколениям. Думая о смерти, невозможно не думать о вечности. Дима знал массу радостей. А мне хочется видеть его там с улыбкой счастья, несущимся в кружении вальса. Быть может - да- же с Галиной Улановой. ПОПОВИЧ (СТРЕЛКОВА) РАИСА ИВАНОВНА, преподаватель МФТИ, программист, зав. отделом ПКБ АСУ текстильной промышленности ОН БЫЛ РАД ВНИМАНИЮ ОДНОКУРСНИКОВ О том, что Дима -талантливый математик, все мы знали ещё со студенческих лет. По- этому никто не был удивлён его дальнейшими успехами. Невзирая на многочисленные сте- пени и награды, Дима всегда оставался скромным, доброжелательным. Не было у него звёздной болезни, хотя цену себе он знал. Когда мы, сокурсники, собирались на наши встре- чи (сначала через пять лет, потом - чаще), Дима всегда, когда мог, приходил на них. И даже после операции, через несколько дней, он пришёл на встречу в Московский центр непре- рывного математического образования. О себе Дима говорил, что он больше физик или даже гуманитарий. Он удивлял всех своими энциклопедическими знаниями; что ни спроси, всё знал, всё помнил. Любил литера- туру, стихи, увлекался спортом, был прекрасным рассказчиком и собеседником. Если Дима находился на загородной прогулке или в новых местах других стран, то он интересовался происхождением’ любой деревеньки, забирался в пещеры и однажды обнару- жил старую-престарую подземную церквушку. Ему было всё интересно. После присуждении Диме Государственной премии РФ, а затем - «Восточный Но- бель», мы присутствовали на большом вечере в Московском городском Доме учителя и там преподнесли ему Адрес с пожеланием законсервировать своё здоровье так же, как он консер- вирует собранные им грибы и клюкву. Мне поручили преподнести ему двухведёрную корзи- ну для сбора ягод и грибов. Как он был рад такому вниманию однокурсников! Это надо было видеть, как Дима принимал корзину, с радостной улыбкой, а зал неистово аплодировал. Ко- нечно, он чувствовал теплоту отношения к нему со стороны друзей. Дима был патриотом Родины и отстаивал развитие науки в России, страстно защищая наше образование, которое, по его мнению, было выше американского, французского. Как же ему не верить, если многие страны мира приглашали его читать лекции в свои универси- теты и академии. Дима - многогранная личность, и изучать его труды будут десятилетия, столетия... Мы любим Диму - своего сокурсника и гордимся им. 76
На презентации книги МАЛЬВИНЫ БОТИНОЙ «К 40-летию Димы Ботина, математика и учителя» 18.Х.2008 г. в МЦНМО Справа от Д. Арнольда и М. Ботиной - Ерёменко В.Г., профессор МЭИ, отец одноклассницы Димы Ботина; Клепина Л.И., доцент МАИ. Книга М. Ботиной о сыне М.Панкратов, Т. Баранович, В. Сухов Н. Хохлова, Д. Арнольд, А. Белова, С. Соловьева, Р. Попович 77
РУБИНШТЕЙН АЛЕКСАНДР ИОСИФОВИЧ, доктор физмат наук, профессор Университета леса и МИФИ, Соросовский учитель, медаль М.В. Келдыша КОГДА, СГОРАЯ, ПАДАЕТ ЗВЕЗДА... По моему мнению, в математике (по крайней мере) каждое столетие, начиная с семна- дцатого, можно указать три-четыре имени (может, пять), определяющие лицо науки в этот период. Чисто субъективно, думаю, в 17-ом веке это Ферма, Ньютон, Лейбниц; в 18-ом - Бернулли, Эйлер, Лагранж; в 19-ом («урожайный век») - Гаусс, Коши, Риман, Вейерштрасс, Пуанкаре, Гильберт; в 20-ом - Г. Вейль, Колмогоров, Арнольд. Понимаю, кто-то будет в претензии, что не названы Абель, Галуа, Кантор, Эрмит, Чебышев, Адамар, Лузин, С. Берн- штейн, Гельфанд, Шафаревич, Понтрягин, да и другие. Высказано сугубо «приватное» мне- ние, к тому же, называть по 15-20 имён - размазывать кашу по тарелке. Недовольные всегда будут. Предполагаемая к изданию книга касается последнего из великих математиков - Вла- димира Игоревича (Димы) Арнольда. Как подтверждение его права на лидерство в послед- ней трети 20-го столетия в математике приведу слова человека, компетентность которого в данном вопросе сомнения не вызывает - Андрея Николаевича Колмогорова: «Если бы мне было позволено, то я перед всеми столпами нашего факультета высказал своё убеждение в том, что происходит чествование первого советского математика - не только по силе полу- ченных результатов, но и по темпераменту личности, по способности воспринимать новое и смелости в преодолении препятствий...» («Мы - математики с Ленинских гор, М., 2003, стр. 287). Эти слова сказаны к пятидесятилетию В.И. Арнольда в 1987 году, за четыре месяца до смерти Андрея Николаевича. В другой раз (ранее) Колмогоров сказал: «Только в беседах с двумя из моих учеников - Гельфандом и Арнольдом я ощущаю наличие высшего разума». И ещё один маленький штрих. В уже цитированной выше книге, на стр. 244 Айзик Серебряный, как и я, учащийся на 3-5 курсах в одной с Димой Арнольдом мехматской груп- пе, пишет: «Когда я был туристом на Селигере, встретил в лесу человека с рюкзаком, как вы- яснилось, окончившим Мехмат. На мой вопрос: «В каком году» он ответил: «Через два года после Арнольда». Так что есть три системы летоисчисления: от Рождества Христова, от бег- ства Магомета в Медину и от окончания МГУ Арнольдом». (Почему Серебряный игносирует летоисчисление «от сотворения Мира»?) Безусловно, судьба сделала нам - математикам набора 1954 года (в том числе, и мне) - подарок: на пять лет превратила нас в соучеников Димы. Получив предложение изложить свои «воспоминания», я долго колебался. Не уверен и сейчас, что поступаю правильно. Говорить о Диме, и вообще о любом человеке, в первом приближении, можно двояко: как о специалисте (профессионале) и как о человеке (собесед- нике, контактёре). Оценивать Арнольда - математика я не могу, так как научный потенциал несравним, да и мои узкие математические интересы не попадают в чрезвычайно широкую область его интересов. А число личных прямых моих с Димой контактов можно указать на пальцах рук; хотя увидел его впервые в конце 1953 года, когда стал посещать занятия мате- матического кружка в МГУ, а три года 1956-1959, после распределения по кафедрам, учился в одной с ним группе. Самой, как оказалось, «смертной»: из 21 выпускника группы 506, чьи фотографии помещены в выпускном альбоме, Дима - двенадцатый ушедший. Судьба ещё двоих мне не известна, и, дай Бог, чтобы они были живы. Может, это и повлияло на моё решение всё же написать эти строки. Очень боюсь , что «воспоминания» о Диме превратятся в микроэссе «Арнольд и Я», - категорически не допустимую ситуацию. Да и память человеческая - вещь ненадёжная. У юристов бытует присказка (слышал от профессионалов по части юриспруденции: «Врёт, как очевидец». Как иллюстрацию, к тому же касающуюся предмета обсуждения, про- 78
цитирую воспоминания двоих наших уважаемых соучеников, помещённые в первой книге «Мы - математики с Ленинских гор», (М. 2003). Виктор Константинович (Витя) Власов: «На олимпиадах сверкали Саша Кириллов, Дима Арнольд. Помню, в восьмом классе первую премию получил Кириллов, вторую - Арнольд, Назаров, третью - Фрейдлин. Мне тогда в числе прочих удалось отхватить третью.» (стр. 168). Александр Александрович (Саша) Ки- риллов: «На олимпиаде в восьмом классе получил второе место (первое никому не присуди- ли). В девятом классе получил первую премию. В десятом получил первую премию. Дима Арнольд получил вторую; Авербух, Мурский и Фрейдлин тоже получили какие-то», (стр. 293). Вот такова память. Чего же стоят воспоминания о давно минувшем. К слову, приведённые цитаты относятся к 2003-му году, а сейчас 2010-й. Большинство из нас (поток 225 студентов) учились с Димой Арнольдом не вместе, а параллельно, рядом . К тому же, уже в 1956-начале 1957 (публикация 1957-го) Арнольд поставил точку в решении 13-й проблемы Гильберта о представлении любой непрерывной в «-мерном кубе функции п- переменных в виде суперпозиций функций двух переменных. Для более точного понимания дальнейшего, и почему Анатолий Георгиевич (Толя) Витушкин в 1962 году воспротивился присуждению Арнольду сразу докторской степени (в тот же день Кириллов получил-таки докторскую степень за представленную кандидатскую диссертацию) напомню следующее. В 1956 году А.Н. Колмогоров, который и поставил Диме задачу, показал, что любую непрерывную функцию «-переменных можно представить в виде суперпозиций непрерыв- ных функций трёх переменных. В том же номере ДАН СССР 114 (1957), где помещена за- метка Арнольда об окончательном решении 13-й проблемы Гильберта, Колмогоров несколь- ко улучшил (не стоит приводить точную формулировку результата А.Н.) Димину теорему. Указанная публикация В.И. Арнольда была его первой напечатанной работой - студента 3-го курса! Однако раньше, в 1956 г. Арнольд выполнил работу, которую опубликовали в Успе- хах математических наук в 1957 г. Мне представляется она очень интересной (и, ближе к то- му, чем занимаюсь в «чистой» математике я). В 1955 году Андрей Николаевич показал, что любую непрерывную в прямоугольнике функцию двух переменных можно наилучше (в чебышевской метрике) приблизить суммой двух непрерывных функций, каждая из которых зависит только от одного переменного. Ар- нольд же показал, что если рассматривать функции от указанной выше суммы, то наилучше- го приближающего агрегата подобного вида не существует. Это подобно тому, как в интер- вале чисел, строго больших единицы, нет числа, ближайшего к нулю. Всего же за студенческое время ( до конца 1959 года) Дима опубликовал пять работ (все посвящены суперпозициям), включая доклад на Всемирном Конгрессе математиков в Эдинбурге (или в Кембридже?) в 1958 году. На этом Конгрессе Дима Арнольд представлял СССР вместе с Львом Семёновичем Понтрягиным (имена ещё двух-трёх советских матема- тиков я не знаю). С тех пор Дима был участником всех тринадцати прошедших Конгрессов (каждые четыре года). На конгрессе в 2010 году в Индии он уже не смог быть. Мне хотелось бы попытаться понять, в какой момент Арнольд стал Арнольдом, то есть как формально отмеченные ранние успехи в математике реализовались в дальнейшем. Вспомним, что успехи в школьные годы у Саши Кириллова были больше, чем у Димы. И Кириллов стал первым в нашем потоке доктором физико-математических наук в 1962 году, в 26 лет. Дима доктором стал в 1963 году - вторым, но также в 26 лет (Саша 1936 года рожде- ния, а Дима - 1937-го). Из 225-ти наших сокурсников 15 (!) имели публикации в 1957-1959 годах в математических изданиях. Наибольшее число - 8 у В. Пономарёва, 5 - у В. Арноль- да, по 3 - у А. Кириллова и М. Шура, по 2 - у Б. Авербуха, Л. Ивановского, В. Тутубалина, по 1 - у А. Архангельского, Ф. Ветухновского, Э. Винберга, Б. Пасынкова, В. Поляковой, А. Рыбникова, М. Фрейдлина, Ю. Черемных. Десятеро (по моим сведениям) стали докторами физико-математических наук. Всего же 31 наших сокурсников выпуска 1959 года из 208 (?) защитили докторские диссертации (в том числе, по техническим, экономическим наукам). А если говорить вообще о мехматских рекордах, то И.Р. Шафаревич за один (!) год в 17 лет окончил Мехмат, в 20 лет защитил кандидатскую, а в 23- докторскую диссертацию. Также в 79
23 года стал доктором наук Л.В. Канторович - Нобелевский лауреат по экономике. В 18 лет окончил Мехмат М.М. Постников, в 20 лет- кандидат, в 26 - доктор наук. Есть и другие рекорды: С.П. Новиков в 28 лет избран в Академию Наук СССР; в 25 лет защитили докторские диссертации Е.М. Никишин и Б.С. Кашин. Но создание к 28-ми го- дам КАМ - теории (Колмогоров- Арнольд- Мозер) - факт удивительный и феноменальный. К этому времени Арнольд - уже Лауреат Ленинской премии, совместно с Колмогоровым, и автор 32-х публикаций - за 7 лет! Дима публикует ряд работ об устойчивости планетных систем, в том числе, в 1962 году делает доклад на Международном Конгрессе математиков в Стокгольме. Ещё в 1772 году Лагранж опубликовал знаменитый мемуар «О задаче трёх тел» (зада- чу двух тел решил ещё Ньютон, найдя закон всемирного тяготения. Феноменологически её решил Кеплер на основании обработки наблюдений Тихо Браге - законы Кеплера). Лагранж указывает на существование двух элементарных решений, находимых геометрически на ос- новании закона всемирного тяготения. Первое - когда небесные тела находятся всегда на од- ной прямой, меняющейся во времени, и меняющие на ней свои положения друг относитель- но друга (ранее, в 1767 г. это решение указал Эйлер); второе - когда тела (планеты) находят- ся в вершинах равностороннего треугольника, вращающегося вокруг общего центра масс и меняющего длину своих сторон. Достаточно давно было установлено, что расположение планет по прямой всегда не- устойчиво. Из результатов Э. Рауса и А.М. Ляпунова, когда массы двух «тяжёлых» тел много больше массы «лёгкого» третьего, для устойчивости треугольного расположения при движе- нии всех тел по окружности и в единой плоскости необходимо, чтобы произведение масс «тяжёлых» тел, делённое на квадрат их суммы, было меньше 1/27. Используя результаты КАМ-теории, А. Леонтович (1962), А. и Б. Депри (1967), и окончательно в 1969 году, устано- вили, что при всех значениях Рауса-Ляпунова треугольное расположение тел в плоской кру- говой ограниченной задаче трёх тел устойчиво, за исключением найденных двух значений отношения меньшей из масс двух «тяжёлых» тел к сумме этих масс. В 1907 году астрономы обнаружили астероид (Ахиллес), движущийся вблизи орбиты Юпитера, впереди него на 60 градусов, так что солнце, Юпитер и Ахиллес образуют равносторонний треугольник. Потом обнаружили вблизи Ахиллеса ещё 8 астероидов, получивших имена греческих участников Троянской войны, и позади Юпитера на 60 градусов - пять астероидов (троянцы), получив- ших имена троянских героев. Эксцентриситет эллиптической орбиты Юпитера 0,048 (у Зем- ли - 0,017), так что допустимо считать её круговой. За громадный вклад Арнольда в теорию, позволяющую оценивать движение космиче- ских тел, Международный Астрономический Союз в 2000 году присвоил малой планете №10031 его имя Vladamolda. Вообще же Дима был удостоен около десятка престижных международных премий, в том числе, Крафоордской премии Королевской шведской АН, Вольфовской премии Иеруса- лимского Университета, премии ШУ (Китайский Нобель), приравниваемые в области мате- матики к Нобелевской. Он был лауреатом Ленинской премии и Государственной премии РФ. Вообще же, как мне передавала Димины слова наша соученица В. Яблонская (Вита), он был ЧВАНом - Членом Всех Академий Наук (термин придумал кто-то из наших физиков - лауреатов Нобелевской премии). Теперь немного (много и нет) в части «Арнольд и я». Не помню, чтобы я видел, как на 3-5 курсах (на 1-2 мы учились в разных группах) Дима сдавал экзамены. К этому времени он уже достиг весьма больших успехов и, думаю, сдавал все экзамены задолго до положенного срока. Помню лишь экзамен по историческому материализму, когда преподаватель Куроедов поставил Диме четвёрку. Это была первая в Диминой жизни четвёрка, и он выглядел очень удивлённым. Думаю, что «корифею-историку» объяснили, кто такой Арнольд, и через пару дней экзамен был пересдан, разумеется, на отлично. И дело не в снисхождении к будущему светилу науки - Дима действительно делал всё отлично: прекрасно знал историю, говорил на трёх иностранных языках (он мне говорил, что после несчастного случая в Париже, когда его, 80
ехавшего на велосипеде, сбил автомобиль, придя в сознание после несколько недельной комы, он сначала вспомнил французский язык, через несколько дней английский и лишь ещё через несколько дней - родной русский). Дима писал и переводил стихи, нашёл источник эпиграфа к одной из глав «Евгения Онегина», рисовал; не говоря о 30-50 километровых лыжных пробегах в любую погоду оголённым по пояс, о длинных заплывах. Передвигаться даже по городу он предпочитал на велосипеде. В книге «Мой век» Сергей Михайлович Никольский (ему сейчас 105 лет а ещё в 2009 году он вёл заседания своего семинара в МИАН) приводит слова А.Н. Колмогорова: «Я завидую лишь двоим своим ученикам - Никольскому, который всего на два года моложе меня, но очень бодр, и Арнольду - за его фантастическую физическую выносли- вость». И вот Дима прожил много меньше Сергея Михайловича (пожалуй, неповторимый ре- корд в мире науки), но и на одиннадцать лет меньше своего учителя А.Н. Колмогорова. Как ни странно, более всего мы общались с Димой во время военной стажировки по- сле пятого курса на зенитной батарее. Однажды он подошёл ко мне (дело было в тени пуш- ки) и спросил что-то о тригонометрических рядах. В то время Дима уже занимался малыми знаменателями. Я выказал полную импотентность в заданном вопросе, и после пяти минут разговора он ушёл, вежливо сказав «спасибо». В другой раз Дима нашёл меня читающим в палатке, и сказал, что у него для меня неприятное сообщение: Надя (Брушлинская) написала ему, что меня «вычистили» из аспирантуры. «Меня,- сказал он, - тоже вычистили, но на сле- дующий день Колмогоров и Александров пошли к Петровскому, и всё было восстановлено. А за тебя некому было заступиться, так как ни Бари, ни Меньшова найти не смогли». Ещё раз, как-то перед заседанием Математического общества, я остановил Диму в ко- ридоре 16-го этажа и спросил, можно ли его отвлечь на пару минут. «Не более двух минут»,- ответил он. Я сказал, что на кафедре лесной таксации (в Университете леса, где я работаю) висит портрет Фёдора Арнольда - автора первой в России книги о лесах России. Так как дед Димы - Владимир Фёдорович, то не портрет ли это его прадеда. Если это так, то Дима полу- чит портрет (литографию) в подарок. Дима ответил, что об этом человеке он знает, это род- ственник, но не его прадед, и портрет ему не нужен. Уложились в две минуты. 24 июня 2008 года, после награждения (12 июня) Арнольда Государственной премией России, в аудитории 01 он читал публичную лекцию. Когда я минут за двадцать до начала зашёл в аудиторию, то в проходе пустого почти ещё зала увидел Диму, беседующего с А.И. (Аллой) Курочкиной. Я подошёл к ним и поздравил Диму с премией. Он сообщил, что когда президент Д.А. Медведев пожимал ему руку, то сказал: « Я знаю, что тебя зовут Дима, и се- годня день твоего рождения». Потом последовал рассказ, как на банкете он (Дима) сидел за одним столиком с экс-Президентом Франции Жаком Шираком и народной артисткой СССР Алисой Бруновной Фрейндлих, и он много всего им рассказывал. После Фрейндлих сказала: «Я не знала, что математики бывают такими интересными людьми». Ещё раз я общался с Димой 24 октября 2008 года на вечере Аллы Беловой в Москов- ском Доме Учителя. Справа-налево: Саша Рубинштейн, Дима Арнольд, Саша Кузичев, Василиса Белова Пока накрывали столы, мы с Димой оказались рядом, и Дима, назвав мне несколько чисел, спросил, каков, по моему мнению, закон образования этой последовательности. Я от- 81
ветил, что не знаю, тем более, воспринимая на слух. Дима сказал, что это остатки от деления на 100 степеней 11 (как мне кажется), и он знает закономерности такой последовательности. Я спросил, не связано ли это с теоремой Германа Вейля о дробных частях произведений на- туральных чисел на иррациональное число. «Разумеется», - ответил Дима. Тут позвали к сто- лу. В последний раз я видел Диму и последний раз пожал ему руку в октябре 2009 года перед заседанием Математического общества, посвящённого памяти Израиля Моисеевича Гельфанда, которое Арнольд вёл как Президент общества. Через неделю после похорон Димы, 22 июня 2010 г. происходило заседание Матема- тического общества, на котором его вспоминали. К сожалению, я, кажется, был единствен- ным из нашего потока математиков 1954-1959 гг. После многих выступлений осталось не- сколько минут, и ведущий заседание Сергей Петрович Новиков спросил, не желает ли ещё кто-нибудь выступить. Я не решился говорить, хотя и было желание прочесть следующие строки. И. Борисов - Исаак Борисович Борухович Ты видел ли падучую звезду? Ей отпылать и в травы прахом лечь. Она летит и чертит борозду, Похожую на занесённый меч... Когда, сгорая, падает звезда, Мне хочется кричать, будить людей - Вставайте поскорей. Стряслась беда - Ещё на каплю света мир темней. С уходом Димы Арнольда наш математический мир стал темней не на каплю. Солнце скрылось в тучах. Будем надеяться, что не навсегда. В ночь после смерти Димы я написал следующие строки: Приходит час печальной тризны, Горчит вино, и горек хлеба вкус. И не спасает дым Отчизны, И давит дней минувших груз. И как соломинка спасенья, Картины юности встают, Промыты, словно день весенний, Что дарит радость и уют. Опять в застолье небогатом Сидят ушедшие навек, И полон силы каждый атом, В грядущее берёт разбег... Но в душу возвращается печаль. И меркнет свет, чернеет даль. К сожалению, лишь несколько недель назад Алла Белова передала мне два листа, на- писанные рукой Димы Арнольда, адресованные мне. Это французский текст, вероятно, само- го известного стихотворения Гийома Аполлинера (Вильгельма Костровицкого) «Мост Ми- рабо» - Димин текст, как мне представляется, более чем, подстрочник. 82
АлессаиОД Н«/с1чци< ня**’) ’, IE P6NT М1£АВДШ{9Ис0о63%Зу ^oas» £е Hlza#eaa сса&. 1э~ ^чие £•£ nos amourA JW-i? «ju '(£ ли'-еи sz>avt€HMC I#. J®4c Vena if- -tcwjtoury Э/к’З A peine \Агеим_ fa. fiurf- &)>,,?£ j»«nJ 5’ej? vt>n€ к der^eur^. fa £?«• f&d JUl noy Qr^S P&ysc тлдачсЬ dobck rZ J&sie И^иие fsL hurt Sohn* ^Я-еоге. joari <seu /’d+ je c/e^eure Л^л’овг Уо» 6451 сб>»»т€ cfife • фи С0аг<ям£е Z?a™oc*r 4'«и Coo, же v£€ zii: 'вщ/е- til wmw. Ve?p^m tst \rt(M Vtennt Hut/ S6HV)€ ^^ure Les jouvs ±Jen vont j*c ete/n^rc T^srM- Да jouGS fWS-ы/ Qu №№№ X't 'temps p&SSe^ JPt amours 4JLvtehne.lit o t Деэил & f>*>*if c&uJk 3€t^e Иеии< £л ии^ So<<M< 'feure 1&-5 jounr s’en uo*f6 je deniear^. tes Lt- Ms GlH^ ^T-€X-ae_l not) мосГ налили лмосГо^бю - Вспоминай, Т^^но2 Но егдехъе- Б^З не^ойчэнс.мме ПГ^аКоскст НО2€>У и бкю Т Э-СК-- ЗэсоЖ ^кц з^ч, тълькг) мН. f^c-9- -в х лиъьом (с- лицу^ Мост иэ-uaux К £лЛеГ G. (реич^. T|OY*<^ ^CThVnZ, ^С^лкяос ^олч es'bdk)^, 'ТЦилуа^сст vusib^ и £ьч>х -^Ch— \)xx£bЙГ <зчч; осдХл'ЭСЬ ТЬ • Лс©<Гсг€ь ^Тех^ш ;va<- &ДА— ka^Aga cqp-uiv-o <4CQ_vuota > Л>о^е^х> ^utA9; Д 9*л^ £>сГэлЭСЬ < nz^isobctf и<П4> с/ь^Г ?a£b — У$£<Ъ?<Т Ж*' > мь ' ^YTUzv7X)W\ VUL^4AM— —- VtLL ^wd((<K Av&fUUc м. ^ЭнЯЪЗи /к 4о№ -^С!^ V^YHW^eVM >Mui) tAfcc!^ МчрЭгтб $уч*вх}иТ kCs'M); * БЦ^Г 7^еН " * 'd М *Shm J ОсЦ^Э-СЬ ТЬ . Увы, я не могу уже обсудить с Димой эти листы. Хотел ли он сделать ещё один пере- вод строк Аполлинера (мне известны 9 русских стихотворных переводов). Не дано узнать. Как много мы не успеваем сделать, думаем - время есть... 83
САЛИХОВ НИКОЛАЙ ПАВЛОВИЧ, полковник Вооружённых сил, кандидат физмат наук, старший научный сотрудник Московской в/ч, авторские свидетельства на изобретения, медаль «За трудовую доблесть», знак «Почётный сотрудник Федеральной Правительственной связи и информации» СТИХИ ПАСТЕРНАКА В сентябре 2010 года в телепередаче «Вести» рассказали о полёте астероида на расстоянии всего 80 тысяч километров от Земли. На одной из встреч однокурсников в декабре 2004 года я спросил у Димы, способна ли современная математика заранее предсказать время столкновения астероида с Землёй. Дима, автор известной книги «Математические методы классической механики», ответил, что это пока не под силу математике. Готовясь к этой встрече, я взял из своей библиотеки книгу стихотворений Б.Л. Пастернаки. Все стихотворения этой книги приведены на двух языках: русском и французском. Зная, что Дима в совершенстве владеет французским, я решил подарить ему эту книгу на память об учёбе в МГУ. На обложке расписались все присутствующие на встрече однокурсники. Дима был очень рад подарку, сказав, что Пастернак - один из любимых его поэтов и прочитал небольшое стихотворение Пастернака «Хлеб» на русском и французском языках. В этот же вечер мы слушали его интересный рассказ о встрече с Папой Римским, в частности, почему католическая церковь не реабилитировала Джордано Бруно. Многим он в тот раз подарил свою книгу «Теория катастроф». Я часто перечитываю воспоминания Димы в наших четырёх книгах «Мы- математики с Ленинских гор», особенно - в третьей книге (издание 2007 г.) на стр. 63-81. Чувствуется, что он знаток французской поэзии; привёл перевод одного стихотворения поэта шестнадцатого века, которое вдохновйло А.С. Пушкина на написание письма Татьяны в «Евгении Онегине». СТАФЕЕВ ВАЛЕНТИН ИВАНОВИЧ, начальник лаборатории спецпрограммирования п/я - ОАО МАК «Вымпел». Орден «Знак почёта» ОН РЯДОМ С НАМИ Когда я узнал, что будет создаваться книга памяти об Арнольде, я осознал, что сделал основное дело в своей жизни относительно его памяти: записал на диск его рассказ о вулка- нах, когда мы собирались в Московском центре непрерывного математического образования, на Арбате. Предлагаю вложить диск с выступлениями Арнольда в книгу воспоминаний. Ди- мы нет, а, слушая его и видя, как он эмоционально и интересно рассказывает, будем ощу- щать, что он рядом с нами. 84
САРМИН ЭРНЕСТ НИКОЛАЕВИЧ, кандидат физмат наук, ведущий инженер, начальник сектора ЦАГИ, доцент МФТИ ЕМУ ДО ВСЕГО БЫЛО ДЕЛО, ОН ИНТЕРЕСОВАЛСЯ ВСЕМ Мне повезло на первых курсах учиться в группе 109, в которой учились Дима Ар- нольд, Саша Кириллов, Саша Архангельский, Марк Фрейдлин, Вадим Мурский, Толя Кара- цуба, Исаак Майзлин - будущие профессора, ведущие фигуры в своих отраслях математики. В демократичной и дружеской обстановке, царящей в этой группе, тем не менее, выделялась своей подготовкой пара друзей: Кириллов и Арнольд как существенно особые точки в ряде других особенностей среди сильных студентов нашего курса. Эта пара фамилий всегда склонялась вместе в разговорах и всех проявлениях студен- ческой жизни. В туристических походах, в походах за билетами в Большой театр среди ини- циаторов были Кириллов и Арнольд. В 1956 году по дороге на целину наш эшелон тащился по берегу Сыр-Дарьи. Стояла жара - настоящее пекло, и на одном из полустанков весь эшелон высыпал к воде. Из воды я наблюдал, как эти двое отрабатывали сальто вперёд при прыжках в воду с крутого берега Сыр-Дарьи. Кириллов учил Арнольда. Тому, как было замечено потом, до всего было дело; он охотно осваивал новые знания и умения. Надо ли говорить, что эти двое оказались рядом в одной бригаде. Дима интересовался всем и охотно проявлял свои знания, делился ими с друзьями. Вёл себя, как ребёнок, радовался, не смущаясь: «Никто не знает, а я знаю», - как-то говорил он, но потом с удовольствием рассказал анекдот из области истории математики. Стоит ли говорить, что он отлично учился. Но вспоминаю один курьёзный случай. Математики сдавали экзамен по уравнениям в частных производных в аудитории 16-10. На левом краю одного из средних рядов сидел Дима, готовился. Вдруг в какой-то момент с ним оказалась рядом О.А. Олейник. Она что-то его спрашивала, он отвечал, но по разговору чувствовалось, что он «поплыл». В их диалоге больше говорила она, наверно, помогала дока- зать какую-то теорему. Так мне показалось. Вскоре экзамен закончился. Она расписалась в зачётке будущего академика, они улыбнулись друг другу, и он ушёл. Что ж, и у гениев бы- вают «проколы», отчего они не перестают быть гениями. Не берусь оценивать научные достижения Димы. Судя по всему, они велики. Но по- ражает его подвижническая деятельность в защиту фундаментальных наук, в том числе, ма- тематики и отечественных методов об объёме её преподавания, от посягательств всё пере- строить под западный стандарт. Мне нравится его убеждённость, мужество и стойкость, проявившиеся в его статьях, интервью, разговорах с сильными мира сего на всех этажах научной, государственной и по- литический иерархии. САРМИНА (САЧКОВА) ЛЮБОВЬ АЛЕКСАНДРОВНА, ведущий инженер ЦАГИ ТАКИМ ОН ОСТАЁТСЯ В НАШЕЙ ПАМЯТИ Студенческие годы - самые яркие в нашей жизни. Одним из интереснейших моментов этих лет вспоминается совместная учёба на Мехмате с Димой Арнольдом. Я не была с ним в одной учебной группе, но мы слушали лекции в одних аудиториях, работали вместе на цели- не в Казахстане на уборке урожая пшеницы. И после окончания университета, уже будучи признанным великим учёным - академиком - математиком, он участвовал в наших много- численных встречах однокурсников, оставаясь простым, общительным, остроумцым нашим ровесником. Таким он и остаётся в нашей памяти. 85
СКОРОХОДОВА ГАЛИНА ВЛАДИМИРОВНА, ведущий специалист НИИА, академик международной Академии «Лидеры Бизнеса и Администрации», руководитель женской общественной организации «Бабушкина забота», вошла в энциклопедическое издание «Россия - женская судьба» век XX-XXI» СПб, 2004 МОЙ ПЕРВЫЙ ЗНАКОМЫЙ С МОЕГО КУРСА В 1954 году, окончив среднюю школу города Каширы с серебряной медалью, я поеха- ла в Москву, чтобы поступать на Мехмат МГУ. Мне тогда казалось, что я, победительница многих каширских олимпиад, поступлю туда без проблем. Вид университета на Ленинских горах потряс меня своим величием: высотное здание, скоростные лифты, фонтан... Провинциальной каширской девочке всё это показалось ино- планетной цивилизацией. И стало мне тогда не по себе, и задрожали от страха мои колен- ки... Но я всё-таки собрала волю в кулак и переступила порог университета. Перед началом основных экзаменов надо было пройти собеседование. Чтобы запи- саться на него, требовалось заполнить анкету. Здесь я столкнулась с новыми трудностями. В одной графе анкеты нужно было ответить на вопрос: сидели ли мои ближайшие родственни- ки в тюрьме и если это было, то в какие годы и по какой статье? «Если на это обращают внимание, значит, всё!» - решила я тогда, - «Кончилось моё поступление». Мой дед сидел в 1937ом году (это год моего рождения), а отец - в 1948ом. Но номеров статей я не знала. В растерянности я подошла к пожилому мужчине, который выдавал анкеты, и срывающимся от волнения голосом рассказала о возникших затруднениях. Он посоветовал мне успокоиться и ничего не писать, «ведь это было так давно». Наверное, вид у меня при этом был такой не- счастный, что он решил посодействовать мне в поступлении. Он специально записал меня на собеседование только через неделю, но посоветовал всё это время приходить каждыц день с утра к комнате, где проходят эти самые собеседования. «Как правило, там все собираются и решают задачки, которые даются на собеседованиях. Это очень полезно: походите, послу- шайте, порешайте. Через неделю вы как раз будете готовы к любому математическому испы- танию», - доброжелательно сказал мне он. Это был очень мудрый совет. Дни оставшейся недели я просиживала возле комнаты для собеседований и пыталась вместе со всеми что-то решать. Конечно, мальчики-выпускники московских школ были под- готовлены лучше меня. Они друг друга знали, спорили, активно общались между собой, держались обособленно и, кажется, принципиально ни с кем не собирались знакомиться. Ти- пично московская манера поведения. Но я всё равно старалась следить за общим ходом мыс- ли и что-то усваивала. Было очень интересно. Неделя пролетела незаметно, и наступил день моего собеседования. И вот, с минуты на минуту должны вызвать меня. Вдруг из комнаты собеседования выходит расстроенная девушка и, рыдая, рассказывает нам задачу, которую она только что не решила. Вся толпа поступающих замолкает. Все начинают эту задачу усиленно решать и... решить не может никто. А меня вот-вот вызовут. И, конечно (в этом я была совершенно уверена) предложат именно эту задачу. А я её никак не могу решить. Даже подхода не вижу. И никто из нас не видит. У меня тогда снова началась паника... Вдруг со стороны лифтов к нашей компании подходит худенький мальчик и тихо са- дится у окна, доброжелательно всем улыбаясь. Чей-то голос громко объявляет: «Пришёл Дима Арнольд! Он сейчас всё нам решит!» И вся толпа кидается к этому мальчику - москви- чи-то его знали. Я чудом оказалась на лавке прямо рядом с ним. Он деловито закинул ногу на ногу, сверху положил сумку, на неё - открытую тетрадь. Задачу мы сформулировали ему всем «коллективом» практически хором. Дима задумался. Тишина при этом стояла идеаль- ная. Через две минуты нам было выдано гениальное решение, которое мы встретили всещего 86
восторга. В этот момент открылась дверь, и меня вызвали на собеседование. Я встала. Дима Арнольд пожелал мне успеха, в котором я уже не сомневалась. И я пошла на собеседование абсолютно уверенная в себе. Но эту задачу мне, к сожалению, не задали. А я так этого ждала. Я очень хотела про- извести на вступительную комиссию впечатление, решив у них на глазах эту сложнейшую задачу, которую никто, кроме Димы Арнольда, осилить тогда не мог. Но комиссия меня по- жалела. Все вопросы были какие-то слишком простые. Или я за последнюю неделю действи- тельно хорошо подготовилась. Короче, собеседование я прошла и на Мехмат поступила... Так моим первым знакомым с нашего курса стал Дима Арнольд. Чуть позже той исто- рии мы столкнулись с ним в битком набитом лифте. Дима меня спросил: «А ту-то задачу на собеседовании тебе задали?». «Нет, не задали», - ответила я с таким безмерным сожалением, что мы даже рассмеялись. Он, так же как и я, как и все, ходил тогда к комнате, где проходили собеседования, каждый день. Только цели у него были другие. Он ходил помогать всем нам, кто в этом нуж- дался, объяснять, натаскивать... А вот обратила я на него внимание только благодаря той, виртуозно решённой им, задаче... У Димы была удивительная улыбка. В ней всегда чувствовалась готовность помочь, объяснить, откликнуться. На одном из последних вечеров встречи нашего курса мы разгово- рились о внуках. Узнав, что мой внук уже в девятом классе и учится в математической шко- ле, он сразу сказал, что у него, к сожалению, нет возможности сходить и поговорить с ребя- тами этой школы, потому что он уезжает. Хотя я его об этом специально не просила. Просто видимо Дима и так считал это своей обязанностью. Но недели через две пришла бандероль с двумя его математическими книгами для моего внука. С началом последнего кризиса во многих газетах появились ссылки на книгу Арноль- да «Теория катастроф». Было очень приятно читать в современной газете не про очередные разводы-скандалы, а про математика, про его книгу... И есть у меня одно сожаление... Жалею я, что когда учились мы на пятом курсе, не увидел и не запечатлел какой-нибудь художник или фотограф того неповторимого взгляда, каким смотрел тогда влюблённый Дима Арнольд на Надю Брушлинскую (нашу отличницу и красавицу). Вот и нет в мире такой картины. Но она всё равно существует в моей памяти. И есть у той любви реальное воплощение - сын Димы и Нади, который родился во время наших госэкзаменов. Потом появились внуки, правнуки... Жизнь продолжается... Вход в Университет через сектор «В» в годы нашей учёбы, 1954-1959. Вид с 15 этажа 87
СУББОТИН АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ, кандидат физмат наук, зам. начальника отдела Росийского федерального ядерного центра г. Саров Нижегородской обл., старший научный сотрудник, Лауреат Государственной премии СССР, медаль «За трудовую доблесть», звание «Почётный ветеран ВНИИЭФ» В ОЖИДАНИИ ДОЖДИЧКА Обжился я в Нижегородской области. На сбор однокурсников всегда пытаюсь вырваться и приехать. Иногда удавалось встретиться с Димой Арнольдом. Это мне доставляло настоящую радость. Появлялась возможность что-то спросить у него, что-то сказать. Он всегда очень дружелюбен. Вместе, т.е в одной бригаде, мы были на целине. К сожалению, мало помнится что-то из целинных будней. Но вспоминаю один смеш- ной случай. Было очень жарко, всегда около плюс сорока градусов. На небе обычно ни облачка. И вдруг заметили небольшую тучку. Наши кори- феи-заводилы Арнольд и Кириллов заспорили, будет ли дождик. Саша пессимистически произнёс: «Вряд ли». Но сначала стали придумывать, что называть дождём. Дима сказал: «Если хоть три капли капнет на мою шляпу, то это явление и назовём дож- дём»,- и пошёл к палатке. И вдруг начался реденький, тощенький дождик. Дима заторопился, побежал. И только успел схватить шляпу, как дождик закончился, так и не уронив на шляпу ни одной капли. Так был дождь или нет? По определению - не был. (В октябре 2010г. я, А. Белова, позвонила Саше Кириллову. Он что-то не совсем отчётливо помнит об этом эпизоде и относительно того, был ли дождь, уверенно произнёс: «По определению - не был») А ещё знаменательный факт: около кустика осоки я заметил чуть влажный Песок. Я откопал руками небольшой родничок. Вот радость-то была. Нам ведь возили воду за .80 ки- лометров, и даже при 40 градусах на улице от неё шёл пар, когда открывали кран металличе- ской цистерны. Мы наслаждались родниковой водичкой, её было очень мало, но можно бы- ло умыться и набрать в кружку .Когда мы уже вернулись в Москву, механизаторы бригады написали нам в письме, что на районную карту нанесли родник «Субботинские воды». Субботинские воды. Рисунок А. Ярцевой, 1956 г. 88
СУХОВА АЛЕКСАНДРА ДМИТРИЕВНА, программист КБ «АЛМАЗ» ПОДАРОК СУДЬБЫ Я всего несколько раз видела Диму Арнольда на встречах выпускников Мехмата, куда приходила вместе с моим мужем Славой Суховым. Может быть, мои впечатления бы- ли сильнее, ярче, чем у людей, знавших Арнольда ранее. Впервые увидела я его в Реутово в 2002 году на встрече сокурсников. Я помню, что мы со Славой приехали, когда уже собралось в просторном зале много людей. Усаживались за длинные накрытые столы. И вдруг слышу: «Дима, Дима Арнольд приехал». Арнольд появился в зале, быстро прошел и сел ровно на свободное место почти в центр. Все головы повернулись к нему. На лицах улыбки и ожидание чего-то необычного. Дима начал говорить, все потянулись к нему. Как магнит притягивает частицы, так и вокруг Арнольда образовался плотный круг. Когда собрались все, начались выступления у микрофона поднимавшихся на сцену. Вскоре к микрофону на сцену поднялся Дима, стал рассказывать об истоках математической науки, об Евклиде, Плутархе, Платоне, Копернике... Он рассказывал очень интересно. Как его все слушали! Потом говорил о поэзии, об истории, о проблемах образования в нашей стране и за рубежом. К обращающимся Арнольд поворачивался всем корпусом, выслушивал, кого что ин- тересует, с радостью на лице отвечал очень подробно на каждый вопрос, чётко, с датами, именами, цитатами. Интереснейший разговор Димы с залом длился приблизительно час, и я поняла, что вижу уникальное явление — живого гения. Знания его во всех областях, очевидно, были глубочайшими, а готовность делиться ими подкупала искренностью. На очередной встрече у Лены Стоцкой я решилась на юмористический комплимент в адрес Димы: - Дима, в книге «Мы - математики с Ленинских Гор» перечислены твои звания, а одного не хватает. - Какого? - Многим известно высказывание Владимира Ильича Ленина, которое украшало пар- тийные кабинеты: «Настоящим коммунистом можно стать только тогда, когда овладеешь всеми знаниями, которое выработало человечество». - Я увидела в тебе человека, который может считать себя «настоящим коммуни- стом». Арнольд рассмеялся: - По-моему Ленин такого никогда не говорил. Я читал много работ Ленина. Он начал рассказывать, что его бабушка по матери, когда жила в Швейцарии, позна- комилась с В.И. Лениным, имела партийный билет, который отослала Ленину, когда узнала, что он возглавил правительство, что это посчитала предательством по отношению к револю- ции. Мой муж всегда по отношению к Арнольду говорил « Да, Дима - гигант», - и при этом покачивал головой, как будто знал о нем еще что-то, что и выразить нельзя. Я благодарна судьбе, что получила такой подарок - знать Владимира Игоревича Ар- нольда. 89
ТКА Ч (ШКИТИНА) ЛИДИЯ СЕРГЕЕВНА, разработчик программного обеспечения системы контроля атомных электростанций ТКА Ч ВИТАЛИЙ ФЕДОРОВИЧ, кандидат технических наук, начальник лаборатории, Сертификат космодрома Байконур, заслуженный конструктор НИИ ЭМ, г. Истра ДОБРОВОЛЬНЫЙ НАСТАВНИК После выпускного вечера 27 июня 1954 г. я уехала в Москву поступать на механико- математический факультет МГУ. В эти дни я уже познакомилась с Димой Арнольдом. Он сидел за огромным столом перед аудиторией, где проходило собеседование, и решал задачи, которые предлагали решать абитуриентам, объяснял типовые задачи и отвечал на типовые вопросы, которые сам же задавал подходившим к столу ребятам. Он был добровольным на- ставником. Я видела его за этой работой несколько дней. Он уже был зачислен на Мехмат, но ходил в университет каждый день и всё время объяснял, решал, решал... Я прошла собе- седование и была зачислена в студенты 8 июля. Тогда же поступил на Мехмат мой будущий муж Виталий Ткач. Я, уже работая после окончания университета, когда приезжала в Москву, то покупа- ла книжки, написанные однокурсниками: Арнольда, Розендорна, Тутубалина, Хазен, и др. Однажды удалось купить «Дифференциальные уравнения» Арнольда у себя в Истринском книжном магазине, хотя у меня была уже такая книжка, но другого издания. В ней были при- ведены вопросы, примеры с решениями - в помощь экзаменующимся. Прихожу с книжкой домой, а дома переполох: сын Сергей, студент Мехмата, собира- ется в Москву за книгой в общежитие, потому что завтра экзамен по диф. уравнениям, а он не может ответить на ряд вопросов, зная, что есть чудесная книга Арнольда с ответами и, быть может, в общежитии. А книга, только что купленная мной, лежит у меня в сумке. Я протянула её сыну. Что тут было! Он схватил книгу, тут же стал листать её, читать, прижи- мать книгу к груди и звонить в общежитие друзьям: есть книга! До глубокой ночи сын занимался. На экзамене попал к Арнольду, отвечал почти че- тыре часа и экзамен успешно сдал. Сейчас мы говорим: «Ты учился по книге нашего сокурс- ника, сейчас выдающегося математика, и помнить будешь это всю жизнь». Студенты очень уважали Владимира Игоревича. Он пытался растормошить экзаме- нующегося, чтобы тот начал думать над тем, что он не понял, чтобы тут же дошёл до сути, а «неуд» поставить всегда можно успеть. Главное не в этом. Диму Арнольда наш курс, да и не только, считали гением, Моцартом в математике. О его заслугах писать очень трудно. Его имя знают математики не только в нашей стране, но и во всём мире. Иногда раздавался телефонный звонок: «Включайте телевизор. Об Арнольде говорят». Я видела передачу, в которой участвовал Дима. Это было 26 апреля 2003 года, ко- гда А.Н. Колмогорову, нашему бывшему декану, академику, исполнилось бы 100 лет. Я как- то ехала в машине и читала статью о Колмогорове. Спросила водителя Володю: «Вы знаете, кто такой Колмогоров?» Он мне сразу ответил: «Известный крупный математик, а его самый сильный ученик - Арнольд». Водитель, молодой человек, с увлечением смотрит регулярно передачи «Гении и злодеи». Когда мы бывали в Москве у своих друзей, видели, с каким вниманием все относи- лись к любым вестям об Арнольде - вырезали из газет о нём статьи, покупали брошюры Ар- нольда. На курсе все относились к нему с почтением и любовью. Несмотря на свои успехи в науке, он относился к нам очень легко, по-приятельски, старался приезжать на встречи одно- курсников, оставался скромным и приветливым. В студенческие годы мы с Виталием не раз ходили в походы вместе с Димой. В пеших походах он носил очень большой рюкзак, догадываясь, что кто-то непременно дома забудет 90
Впереди: Д. Арнольд, Ю.Назаров, в байдарке - О.Ставская, сзади: М. Шур и В. Ткач На берегу с веслом - Дима Арнольд 91
что-то взять. Ставил палатки, разжигал костёр, налаживал быт. Виталий ходил в лыжные и байдарочные походы с Димой. В этих походах участвовали однокурсники: Иры Чернышёва и Красовская, Саша Кириллов, Оля Ставская, Юлик Назаров, Миша Шур, Лёша Шабат. В по- ходе по реке Дубне у Ольги Ставской опрокинулась байдарка, но она ухватилась за дерево. Но что бы ни случалось, Дима поддерживал у всех хорошее настроение. 3 июня этого года наш сын Сергей ехал на машине из Москвы в Истру и услышал со- общение о смерти Владимира Игоревича Арнольда. Грустный, он принёс эту горькую весть в наш дом. Мы знаем, что в последние годы Дима читал «Историю Рима от основания Горо- да» в трёх томах издательства «Наука», серия «Памятники исторической мысли». Был бы жив, он при встрече с однокурсниками обязательно рассказал бы об этой книге. Он любил рассказывать. Но теперь нам остаётся только вспоминать о нашем Диме Арнольде. И вспом- нить есть что. Автограф Д. Арнольда сыну Л. и В. Ткачей Серёже на книге 92
(ЯРЦЕВА) БЕЛОВА АЛЛА ДМИТРИЕВНА математик, кандидат педагогических наук, Заслуженный учитель Профтехобразования РФ, член Союза писателей, Союза журналистов РФ и Союза славянских журналистов, Почётный выпускник МГУ ПЛАНЕТА ГЕНИЯ Однажды я прочитала и записала себе в записную книжку понравившееся мне выска- зывание Наполеона Бонапарта: «Гениальные люди - это метеоры, призванные сгореть, чтобы озарить свой век». Когда 3 июня 2010 года сгорел такой метеор, я рассказала о нём своим землякам в нашей городской газете «Реут». Сейчас я приведу частично этот рассказ-статью и то, что из-за ограниченности количества материала и личных соображений в газете не уда- лось написать. Мы - математики, выпускники 1959 года Механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова, первый раз встретились через десять лет после окончания учёбы и затем стали регулярно собираться, вспоминать студенческую жизнь, рассказывать, кто, где и кем работает, о своих семьях, как сложилась жизнь... Организаторами встреч были чаще всего наши «девушки»: Мальвина, Оля, Рая ... 8 декабря 2002 года встречу однокурсников - математиков и механиков - проводила я в нашем городском клубе «Дружба», где до этого мною было организовано немало город- ских мероприятий. Поэтому, узнав, кто будет гостями, в этот раз, нашлись добровольные по- мощники. Обстановку теплоты, музыки и света создавал Саша Ветошенко. Мы делились своими воспоминаниями о преподавателях, об учёбе, о целине, пели, шутили, танцевали... Саша тихо восхитился: «Сразу видно, какие собрались великие, интел- лектуальные л ю ди!» Среди наших сокурсников были и работники Реутовского Научно-производственного объединения Машиностроения: Вячеслав Семашко - начальник отдела, Михаил Панкратов - ведущий инженер, лауреат Государственной премии. В Реутове, городе-наукограде, живёт и трудится немало выпускников Мехмата МГУ. И участниками встречи были повзрослевшие и поседевшие сокурсники - доктора и кандидаты наук, профессора, орденоносцы, лауреаты го- сударственных и других премий, заслуженные преподаватели МГУ... - обычные люди, чест- но и самоотверженно служившие стране долгие годы и продолжающие служить. Но один - действительно великий человек, почитаемый всем математическим науч- ным миром планеты, выдающийся математик Владимир Игоревич Арнольд, академик Рос- сийской Академии наук и нескольких иностранных академий. Он мог даже отвергнуть пред- ложение стать почетным академиком. Так, во время беседы с Папой Римским, ему предло- жили стать почётным академиком Академии Ватикана. Арнольд ответил, что даст своё со- гласие, когда католическая церковь посмертно реабилитирует Джордано Бруно, сожженно- го на костре инквизицией в 1600 году. Несмотря на многочисленные открытия Арнольда, звания и титулы, мы, его одно- курсники, его коллеги, друзья, русские и иностранные математики звали его просто Димой (другого обращения к себе он не признавал, знакомившись с кем-то, называл себя Димой). Узнали мы, что он - Владимир Игоревич, только тогда, когда ему вручали красный диплом, назвав по имени и отчеству. 93
А. Белова - организатор встречи, Д. Арнольд рассказывает о Евклиде. Брушлинская Надя и Дима Арнольд - на курсе первые бабушка и пра- бабушка, де • душка и пра- дедушка Ансамбль девушек-математиков «И память невпопад, и песня невпопад» Поют механики. ХДБ - хор домашних баритонов Дима рассказывает что-то очень интересное. Некоторые факты биографии Димы Арнольда В его родословной были крупные учёные: знаменитый физик Л.И. Мандельштам; прадед С.В. Житков - первый из поколения математиков, а дед Житков Б.С. - писатель, ав- тор известной многим книжки «Что я видел». Среди родственников и знакомых немало крупных ученых, и с раннего детства мальчику позволялось быть в их кругу, общаться с ни- ми, впитывать манеру разговора, утверждений, доказательств. Он получал советы о необхо- димости прочесть определённые книги. Отец Димы был профессором математики в МГУ и первым доктором педагогических наук. Можно сказать: ещё бы не стать великим, имея такие 94
гены и условия. Но мало ли у кого были подобные условия, но не было, как у него любопыт- ства и интереса к познанию нового и неистового желания всё услышанное запоминать и тру- диться, трудиться с ранних лет. Отец у Димы умер, когда мальчику было 11 лет, и ни в подростковом, ни в юноше- ском возрасте он не имел «за спиной» влиятельного покровителя. Но уже в школьные годы, а тем более, в студенческие, было понятно, что это одарённейший математик. Руководителем аспиранта В. Арнольда был академик А.Н. Колмогоров. Он говорил : «Только в беседах с этими двумя учениками (первый, старший - имелся в виду И.М. Гельфанд) испытываешь ощущение присутствия Высшего Разума». Ещё в студенческие годы Дима вёл занятия математического кружка для школьников, многие из которых позже стали его учениками на Мехмате. Потом он стал преподавать в ин- тернате для одарённых школьников, которых разыскивали по всей стране, а он напридумы- вал множество развивающих задач, и вскоре вышла книжка «Задачи Арнольда». Когда в 26 лет Арнольд стал доктором физико-математических наук, у него появился свой семинар. В дальнейшем его ученики стали заниматься - кто-то небесной механикой (о ней у Арнольда вышла книга), кто-то - физикой, кто-то - теорией чисел... Дима был хорошо физически развит, прекрасно плавал, на лыжах ходил по 30-50 ки- лометров без верхней одежды, а только в плавках при любой температуре. У наших профес- соров А.Н. Колмогорова и П.С. Александрова была дача в Комаровке. Колмогоров предлагал Диме (зимой) еженедельно «приезжать» в Комаровку. Это примерно сорокакилометровый совместный лыжный пробег. Сначала Колмогоров шёл впереди (оба были в лёгкой одежде), а под конец Дима обгонял своего учителя. Вот таким был великий математик, что совер- шенно не совпадает с мнением многих, будто математики - сухие люди, только сидящие за письменным столом и решающие задачи. Дима любил лес. Он говорил, что большая часть его работ написана в лесу. В последние десять лет мы (однокурсники Мехмата) создали четыре увесистых тома воспоминаний о жизни и учёбе в университете «Мы - математики с Ленинских гор», в кото- рых представлено много Диминых материалов. Он, вместе с восхищением этими книгами, выразил однажды недоумение: почему один раз (в третьем томе) «напечатано В. Арнольд, а не Д. Арнольд?» йандожъ- ** их «Ла*. 4- 'МЙ®*) & 4&Л «ЫЭД Я' R &$»»»&, а. м. -с^.Л52-ч Так он и остался для нас на всю оставшуюся жизнь просто Димой. 95
Имя Арнольда вошло прочно в мировую науку, причём в разные области: математи- ка, физика, астрономия,... на развитие которых повлияли его научные работы. Арнольда счи- тают гением двадцатого столетия, легендой, явлением природы. Люди, пишущие научные работы на разные совершенно темы, ссылаются на Арнольда значительно чаще, чем на дру- гих учёных. Многие отмечают, что уникальность его заключается в его универсальности. Ещё в восемнадцатом веке Д. Дидро отметил: «Широта ума, сила воображения и активность души - вот что такое гений», будто тогда он предвидел, что в двадцатом веке родится такой человек, который помимо работ о дифференциальных уравнениях, физических исследовани- ях напишет и «Теорию катастроф». Колоссальной энергией Арнольда, результатами его многоплановой деятельности, его природной одарённостью, его видением науки и мира не- возможно не восхищаться. Арнольд был убеждён: всё, что происходит в мире, в природе, можно описать матема- тически. У него был удивительный и заразительный энтузиазм и в математике, и в её препо- давании, и в отстаивании изучения высокой математики: «Невостребованность науки в но- вой России я считаю преступлением перед грядущими поколениями. Мой оптимизм в том, что я верю: страна не допустит этого преступления». Он ярко и возмущённо выступал в Го- сударственной Думе по поводу пагубного влияния школьных реформ на образование, много об этом писал, доказывая, что пока наше математическое образование выше американского, и скатываться ниже, до американского уровня, нельзя. Арнольд был прекрасным увлечённым учителем, выявлявшим будущих одарённых математиков, организовавшим Московский центр непрерывного математического образова- ния. Ему ли не знать, как и чему учат в разных странах. Трудно перечислить академии, университеты, научные общества, куда приглашали Арнольда читать лекции, где он (имея основную работу профессором в МГУ, затем главным научным сотрудником в Математическом институте им. В. А. Стеклова Российской Академии наук) по несколько месяцев работал: в двадцать одном учреждении СССР - от Киева, Воро- нежа, Тбилиси... до Хабаровска, Магадана; в тринадцати университетах Франции, в двадцать одном учреждении Америки (университеты, институты), в Швейцарии, Ирландии, Польше, Китае, Японии, Индии, Израиле, Бразилии... Там он читал лекции. Но, к счастью, можно ска- зать, что не обошёл стороной наш небольшой подмосковный Реутов. Об этом чуть ниже. Арнольд настолько был внутренне богат, что любая тема, любая мысль, случай вызы- вали у него неиссякаемый поток ассоциаций. Он был прекрасным рассказчиком. На упоминаемой встрече однокурсников 8 декабря повзрослевшие выпускники вспо- минали студенческую жизнь, пели студенческие песни, читали стихи... Саша Рубинштейн поднялся на сцену и прочитал свой опус, заканчивающийся каждый раз именем выдающего- ся математика древности - Евклида. Мехмата дети! Насучили грызть гранит Науки Колмогоров, Александров и Евклид. Кто математикой в России знаменит? Пафнутий Чебышов и Лузин, и Евклид. Европы голос тоже музыкой звучит - Лагранж, Коши и Гаусс, и Евклид. Наш курс достойный выдал габарит: Арнольд, Архангельский, Кириллов и Евклид! Дима не смог не продолжить рассказ об Евклиде (впрочем, если бы речь зашла о другом математике, он и о нём бы рассказал много интересного). Он тут же поднялся на сцену. 96
Не в Киевском или Воронежском университете, не в Бостоне или Париже, а в нашем небольшом подмосковном городе - наукограде, на сцене фабричного клуба «Дружба» академик Арнольд чи- тал настоящую лекцию. Он увлечённо рассказывал о математике, жившем около 300 лет до нашей эры. Тогда, в эпоху Птолемея, были созданы условия для развития науки, и влияние греческой культуры распространилось далеко за пределы Эллады. Первое подобие учебнику математики «Начала» Евклида, состоящее сначала из тринадца- ти книг и затем двух дополнительных, - это вовсе не достижения самого Евклида. Он ничего но- вого не внёс, а просто обобщил то, что до него считали учёные еще со времён Пифагора своей тайной. А он вот взял да и открыл другим эту тайну. Первые четыре книги - о геометрии, другие - об арифмегике, теории чисел. Многое разработано ещё пифагорийцами, что-то взято от Евдокла, некоторые правила взяты от математиков из Афин. Т.е. всё почти существовало до Евклида. К Евклиду можно отнести слова Паскаля: «Пусть не говорят, что я не дал ничего нового; располо- жение предмета у меня новое». И собранное вместе в «Началах» всё существовавшее до Евклида в математике, и его новое расположение до сих пор поражает математиков своей целесообразно- стью. В школе и сейчас проходят теорему Евклида: площадь квадрата, построенного на высоте прямоугольного треугольника, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу, равна пло- щади прямоугольника со сторонами, равными отрезкам гипотенуз, полученным от пересечения её высотой. В «Началах» Евклида нет вопросов, связанных с применением математики на практике. По этому поводу есть «байка»: однажды молодой человек, изучавший «Начала», спросил у Евклида, для чего нужно изучать геометрию. Евклид обратился к своему рабу, чтобы тот дал молодому че- ловеку три монеты: «Этот человек стремится получить материальную пользу от науки». Потом Арнольд возмущенно стал говорить о мнении некоторых политиков, которые не понимают значения науки и стремятся уничтожить Академию наук. Владея в совершенстве несколькими языками, Арнольд писал статьи начисто без черновиков на любом из этих языков, не обращаясь при этом к переводу на русский или с русского, а думая и рассуждая на этих языках. Его любопытство, постоянные поиски неизвестных фактов в библиотеках мира приводили к интереснейшим выводам. Так в одной из парижских библиотек он отыскал, отку- да А.С. Пушкин заимствовал эпиграф к «Евгению Онегину» и начало письма Татьяны. Мы, однокурсники Димы Арнольда, не перестаём восхищаться его энциклопедичностью, знаниями в любых областях науки, его прекрасными, удивительно интересными рассказами. С Димой мы ходили в походы, он знал множество маршрутов, исходив на лыжах, изъездив на велосипеде всё Подмосковье; узнавал по голосам птиц, правда, говорил, что его отец в этом преуспевал, а Дима не успел перенять у отца его умение; с ним мы два лета убирали (по личному желанию!) целинный урожай, и некоторые студенты (включая Диму) освоили вождение трактора и не уступали местным механизаторам в этом искусстве. Там, на целине, ночами мы восхищённо слушали Димины рассказы об изумительных юж- ных звёздах, созвездии «Скорпион», которое в Москве невозможно разглядеть, а «Альдебаран» называл прекрасным. Мы удивлялись: как он знал звёздное небо! Едем на целину (вверху - Ю.Рождественский, Л.Чураева, А.Ярцева; внизу — Дима Арнольд) - в неизведанный край в обыкновенных товарных вагонах и радуемся жизни. 97
I
2* Ак&^а> - ^uk&^cuk^^ C^a^hic^ •х »£* с’ ' - Уё^шэ^семЦ %W ‘J^ua€7^ (& (йэлбшеЗ *~Ч * * - г Uu<=su?2^ ч*>езисл V ~ ijмй4^с^ёЖ(& K^‘^fefCQ) Эаи(4^сх^^- Cfi^l^ooi —*Т(^и<^иС4Ь^ Ut<4^>O-<A-e. кЭЛчМп. ‘т'э-пеА- ) ^*4<&^с.аче4£, ДОЭДвНЗСС Q |^&^je4TO^ -ч^и^мч-тхг^^^ Р^и0^) UM6iMb?£. £frcu<u)0 №чгм^с Ucc4^^uu^ ^исЗЬ^ b4k^o*xes^ f-8 Т^силб 0Оич<^ -^it’A-uo^wit0^ Уии^б^04-^^ Ог«?и«<. •^ки^еролге-^ ^ЬЦЭэ-йс Q& М^^гЧЗ<ттУе^7 <о&е^>~ Ъос^гчм^ у kctjftsy еи^Ж Во^о tu^ } ^ссде^о^Те^и>|^ и^с?<Л)\^ иэ^х-С 8 беясд^/ _X^^j^j-— 99
- Ллочериом»^ ^UkyCu^ £\U& ^4-4- — 2>2<SamM4X£«Y^ ^cxX^cuvef£i> СЛЦЛ2 *’*•.*- — V^aoVo CV^ohu&j) —^рхиош^ ^ун&^си-хечеС'^^^4'5') > ~ yUu&L^CMA€(e V>3-^^ M. ^,KM^cquc< e VouCrVbuf^ C — TteJcuucce$\, — HvtcWJbK Shcu^ щаХ -^.чЦси\^б^ 'jbA^?9-p_ ( LX^M\ . тк *~ I vfr—^Очг^-tcpcc--^Y^ce^ — UAa^u^J^ <X4<cVz>£r и ич^О-^uai^ Л'^ро^^ О^ъ ~^ — Hvv4^<^cuAt4£ ?<Си«^>Чу К j ~t)uJU^e^>e^eg МЭ1М^се_у 'k^O^tAUS^ Р^ОЛ^Т иX ууУЛш<ц>м —Xv^*CUX)KQ_ ; -^_йцсиле^ Те^>- ) — . ^]^емСАМА> у ии^>си>ея< ^£fipyca<4^^j 100
Мы, многие Димины однокурсники, только приехав из разных уголков страны и по- ступив в университет, уже слышали: «Это корифеи науки - Арнольд и Кириллов». Москвичи, победители математических олимпиад, они пришли на Мехмат уже со своими доказательст- вами новых теорем и с решением многочисленных задач, которые получали от выдающихся математиков - А.Н. Колмогорова, П.С. Александрова... - наших будущих профессоров. По- знакомившись на олимпиадах, они стали друзьями, первыми (по знаниям) студентами, со- перниками в хорошем смысле слова. На третьем курсе Дима получил от Колмогорова в качестве задания на курсовую ра- боту одну задачу и решил её. Это оказалась - 13-я проблема Гильберта (в числе 23), сфор- мулированная 8 августа 1900 года.. В 26 лет Дима защитил докторскую диссертацию, стал профессором Мехмата МГУ. Часть наших однокурсников остались работать в Москве, часть - в Подмосковье. Но из газет или друг от друга мы узнавали о научном росте Димы, гордились им. Кто-то имел возможность даже бывать на его лекциях в университете. За разные открытия в области математики Дима получил орден «За заслуги перед Отечеством», несколько премий иностранных академий наук. В начале лета 2008 года нас быстро облетела весть о том, что Диме будут вручать Го- сударственную премию РФ. Да ещё в какой день! - в День России 12 июня, совпадающий с днём рождения Димы. Некоторые из нас взволнованно смотрели по телевизору, как Дима шёл по ковровой дорожке, как Президент РФ Д.А. Медведев прикреплял к его пиджаку знак государственной награды, как Дима держал короткую речь, как после этого они вместе с Президентом смеялись. «Чему вы смеялись?» - спрашивали мы после Диму. И он ответил, что Медведев сказал, улыбаясь: «Я знаю, что Вас все зовут Димой и что у Вас сегодня день рождения. Я поздравляю Вас с днём рождения!» - 101
102
12 нюня—День России * ♦ * Когда ты шёл в торжественный свой час Тропой ковровой меж дворцовых кресел. С каким восгоргом миллионы глаз В тебя впились. Ты был спокоен, светел. И с Президентом в диалоге прост. Не раболепствовал, держался прямо. В ответном слове встала в полный рост Наука, что трудна, горда, упряма. Дима! Поздравляю Вас с днём рождения! 103
В сентябре того же года в Гонконге Арнольду вручали Мировую премию « The Shaw Prize» - «Восточный Нобель». The Shaw Prize Lecture 2008 Presented by Shaw College, The Ch nese University of Hong Kong 5pm on 10 Septemlr * Z006 (Wednwdii' / ГЬ ia CoMegr Lecture Tneatn- The CNrmr University of Hong Kong The SI ]aw Laureates in Mathematical Scier ices 2008 The Shaw Prize The Shaw Prize is an international award to honour individuals who arc currently active in their respective fit Ids and who have achieved distinguished and significant advances, who have made outstanding contributions in culture and the arts, or who m other domains have achieved excellence. The award is dedicated to furthering societal progress, enhancing quality of life, «nd enriching humanity's spiritual civilization. Preference will be given to individuals whose significant work was recently achieved Fhc Shaw Prize is administered by The Shaw Pnze Foundation bused in Hong Kong. The Shaw Pnze consists of three annual awards. Astronomy, Life Science and Medicine, and Mathematical Sciences. The prizes were first awarded in 2004. THE SHAW PRIZE 104
С некоторыми друзьями Дима переписывался, сообщая, где он путешествовал, в какие деревушки заезжал, в какие пещеры проникал, какие грибы собирал, каких интересных лю- дей встречал. Получала и я его письма. Как-то он узнал, что в районе реки Онего сгорел погост, а он так любил его и рисовал, поэтому просил меня отыскать где-то фотографию этого погоста, переснять её и прислать ему. Я выполнила его просьбу. Иногда он просил исправить строчки какого-то стихотворения, которое он немного забыл. А то написал, что прошлой зимой в Ба- лашихе шёл по льду речки, а в этом году её не нашёл; просил отыскать карту Балашихи с этой речкой... и даже прислал две задачи. © (£л>До V-fecCc) у5<^Л~(А-е> Го , исжаЛъ ? U.b» ; Ч ? АЛЛ о кило ч-издАД мА} u fr <&•**»' Оцой.») «. к &55е. (,ламш А, О)сен«-а.. 7 И© ОДрЗД 'ЯЪи ч£Г (Ллсслючча Кэрф- Г^о. всй> «£ W*.u44. теЯвим. и Окя cflA tsjc'? Удивительно, сколько любопытства, какой интерес вызывали у него подобные эпизо- ды, различные места, которые он посещал во время прогулок, - лыжных, велосипедных... 105
Дима прекрасно знал мировую поэзию, читал многое в подлинниках, переводил, пи- сал стихи сам. Любил и знал стихи Тютчева, Северянина, Пастернака. Я никогда не слышала, чтобы он даже в компании пел, но он очень любил стихи Була- та Окуджавы, особенно: Давайте восклицать, друг другом восхищаться. Высокопарных слов не стоит опасаться. Давайте говорить друг другу комплименты - ведь это всё любви счастливые моменты. Давайте горевать и плакать откровенно, то вместе, то поврозь, а то попеременно. Не нужно придавать значения злословью - поскольку грусть всегда соседствует с любовью. Давайте понимать друг друга с полуслова, чтоб, ошибившись раз, не ошибиться снова. Давайте жить, во всём друг другу потакая, - тем более, что жизнь короткая такая. Когда вышла наша третья книга «Мы-математики...», он просил передать автору сти- хотворения о математике «Лист Мёбиуса» Наташе Ивановой (она окончила тоже Мехмат , училась у наших сокурсников, ставших к тому времени профессорами, работала инженером на НПО Маш, а сейчас - учитель в школе), что оно ему очень понравилось. На лист бумаги Дима переписал несколько строчек из этого стихотворения: Лист Мёбиуса - символ математики, Что служит высшей мудрости венцом... Он полон неосознанной романтики: В нём бесконечность свёрнута кольцом. В нём - простота и вместе с нею - сложность, Что недоступна даже мудрецам... ... Путь в бесконечность - Мёбиуса лист! Дима поставил свой автограф. На творческом вечере Наташи я подарила ей этот лист. Как же она была взволнована вниманием великого учёного! Быть может, кто-то из её учеников когда-то поступит в Московский университет или в серьёзный технический ВУЗ и после «Теоремы Пифагора», «Формулы Герона», «Теоремы Евклида»... будет решать «Задачи Арнольда», изучать «Диффузию Арнольда», «Уравнение Эйлера-Арнольда»... Одну из задач, сформулированную Арнольдом еще в 1965 г., смогли решить только в 1983 году. А эти понятия, связанные с именем нашего сокурсника - велико- го математика Владимира Игоревича Арнольда, будут жить десятилетия, столетия, и его за- дачи будут решаться, теоремы доказываться. В последние годы (более 10 лет) Дима почти по пять месяцев жил в Париже ( имея там квартиру), преподавал в Парижском университете «Paris-Dauphine». Другие полгода он работал в Математическом институте им. В.А.Стеклова РАН (МИАН). Как мы все переживали, узнав, что в Париже с Димой случилось несчастье; его, с пробитым лбом, лежащего без сознания рядом со своим велосипедом, подобрала Парижская полиция и увезла в больницу. Он долго был на грани жизни и смерти. Сам он потом расска- зывал нам об этом. Но выжил и ещё с большим энтузиазмом принялся за работу. 106
У Димы была привычка посылать друзьям публикации (копии) своих статей, брошю- ры, и у некоторых из нас создались настоящие библиотечки работ Арнольда. и. И . АГНиЛРД Л Е. И. Арнольд ШАНРОФ ИЗД-.ТЬЧЬСТоО В. И Апиольд С1Л WMUttza,,. СТАТИСТИКА и ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ паяю В.И.АРНОЛЬД 2003-2004 В. И. Арнольд *Л7 НОВЫЙ ОБСКУРАНТИЗМ И СИЙСКОЕ ПРОСВЕЩЕНИЕ инергетика От прошлого будущему Вещественная алгебраическая геометрия 107
Когда-то Стендаль писал: «Гением можно назвать лишь того человека, который на- ходит такое глубокое наслаждение в своём творчестве, что он работает, несмотря на все пре- пятствия». Это полностью относится к Диме. Монодромия и слой Милнора, Воронеж 1979 Мы, сокурсники Димы, поздравили его 24 октября 2008 г. с присуждением Государст- венной и Мировой премиями в Московском городском Доме учителя во время большого му- зыкально-поэтического вечера моей семьи. Мои дочери - профессиональные музыканты; старшая, Ольга (скрипка), младшая, Василиса (фортепиано, дипломант Международного конкурса), внук Андрей (тогда десятиклассник) - классическая гитара. В исполнении доче- рей звучал Моцарт, Шостакович, Свиридов, в исполнении внука - итальянская и испанская музыка. Я читала свои стихи, народный ансамбль Дома учителя «Родные напевы» и детский хор (руководитель Ольга) исполняли мои песни. Все исполнители - лауреаты различных конкурсов. Переполненному залу зрителей мы представили Диму, нашего выдающегося сокурс- ника, зачитали АДРЕС, в котором поздравляли его с присуждением Государственной пре- мии, выражали свою гордость за Диму - Владимира Игоревича Арнольда, академика РАН и многих иностранных академий наук, выдающегося математика современности; желали за- консервировать своё здоровье так, как он консервирует грибы и клюкву. А нашим подарком была большая двухведёрная корзина для грибов и клюквы, специально сплетённая по заказу для данного события. (Он прекрасно знал грибные и клюквенные места и ездил собирать грибы и ягоды на велосипеде за 40-60 километров.) В зале царило особое воодушевление - ведь среди зрителей присутствовал такой великий человек! Зал приветствовал его длитель- ными и мощными аплодисментами. И было заметно, как Дима взволнован, рад, неожиданно ощутив такую искреннюю любовь и внимание к нему. На банкете Дима рассказывал о знакомстве с Алисой Фрейндлих, которая ему сказа- ла, что никогда не думала о том, что математики могут быть такими интересными людьми; о встречах с бывшим Президентом Франции Жаком Шираком и с настоящим Президентом Саркози, о разных эпизодах во время преподавания в Парижском университете. И, как все- гда, он призывал бороться за настоящее образование, которое в нашей стране пока остаётся выше, чем в других странах - уж это-то он знает, объездив весь Мир, читая лекции. 108
ГУК Московский городской Дом учителя приглашает Вас 24 октября 2008 года на творческий вечер семьи Аллы Беловой руководителя ЛИТО “Московский учитель’ заслуженного учителя России» члена союза писателей РФ ' зсе.что есть: 109
Банкет 1 ряд: С. Соловьёва, Р. Попович, Г. Скороходова; Д. Арнольд - «байки»; об образовании в США, Франции и у нас. 2 ряд: Д. Арнольд, А. Белова, О. Курганова, Дима Арнольд, С. Белоусов; 3 ряд: Г. Сухинин, Р. Васин, Н. Орлова, Н. Новго- Родова, С. Борисов, О. Архангельская, А. Архан - Гельский, А. Рубинштейн. ПО
24 октября 2008 г. Архангельская (Раздуваева) Ольга, Скороходова (Панкина) Галина, Попович (Стрелкова) Раиса, Березняк Татьяна, Арнольд Дима, Сухинин Гима, Курочкина Алла, Белова (Ярцева) Алла, за ней Васин Рудольф, Курилов Вадим, Борисов Борис, Панкра- тов Михаил, Орлова Нина, Белова Василиса, Курганов Андрей. 111
Два года назад, во время небольшой операции на шее, у Димы было выявлено серьёз- ное заболевание, но он не признавал его, не чувствовал боли; как прежде, очень много рабо- тал. В письме из Парижа в марте он сообщил: «...Меня ... мучают разными обследования- ми... Надеюсь, позволят лететь в Москву 15 мая... Прилагаемая статья - 29 страниц (он иногда присылал друзьям копии своих статей, всегда написанных рукой, ещё до публикации) отняла у меня много времени, но она свидетельствует, что я ещё не доконан болезнью. Писал я её, кормя фазанов...» Обычно мы, сокурсники, традиционно встречаемся в последнюю субботу мая у па- мятника Ломоносову. У Димы не получалось приехать из Парижа к этому времени. И вот приедет 15 мая. Сколько радости доставит он нам всем встречей с ним! Прошло 15-е мая. Видно, много дел у Димы в Математическом институте, скоро по- звонит. Но телефон молчал... Наконец 3 июня раздался звонок. Я бросилась к телефону. Не он. Незнакомый голос с другого конца провода: «Печальное известие. Сегодня скоропо- стижно умер Дима». ...Нет... Нет... Невозможно.... Сначала панихида будет в Париже. 10 июня гроб доставят в Москву. 15 июня состоится панихида в Академии наук и похороны на Новодевичьем кладбище. Тяжкое, горькое ожидание последней встречи. 10 июня. Гроб в Москве и... совпадение: в почтовом ящике письмо от Димы, напи- санное 12 мая: «... ещё одно обследование... займёт пару недель... Неделю чудесно провёл в Португалии... ездил много на велосипеде и на машине... расскажу, когда вернусь..» ’ •. . • • • » ’ " • •*. • * • ' • I Новодевичье кладбище 15 июня 2010 года навсегда закрыло землёй Диму. Арнольда ВЛадимира Игоревича, великого учёного XX столетия, нашего дорогого сокурсника. • • • • » * • • i. - • t. . . • •. Улетела душа, улетела Высоко, за. земные миры, Где ничто не имеет предела: Нет ни холода, нет и жары; Там нет времени, нет расстояний, Ни разлук, ни прощаний, ни встреч, Нет ни радостей, нет и страдании, Ничего - ни терять, ни беречь... Не вернёшься назад, не напишешь, Не расскажешь про звёзды и Рим... Нет, не верю, не верю - ты слышишь, Как тепло о тебе говорим. 112
2 ПРИХОДИМ К ЛОМОНОСОВУ
Книгу первых воспоминаний о выдающемся математике современности, академике Российской Академии наук и многих иностранных академий Владимире Игоревиче Арноль- де, ушедшем из жизни 3 июня 2010 года, мы публикуем в год, когда весь научный мир от- мечает 300-летие со дня рождения великого учёного, основоположника нашей отечественной науки Михаила Васильевича Ломоносова. Авторами книги воспоминаний являются те, кто прошёл через Московский государ- ственный университет имени М.В. Ломоносова. Когда мы подходим к Московскому университету, мы уже понимаем, что деятельность этого рассадника науки и просвещения в России есть развитие мысли Ломоносова. Академик, Президент Академии наук СССР С.И. Вавилов С именем великого русского учёного Михаила Васильевича Ломоносова связаны ста- новление и первые этапы развития отечественной науки. С необычайной силой и вырази- тельностью раскрылись в Ломоносове наиболее яркие черты научного гения - глубокое зна- ние достижений науки своего времени, умение предвидеть основные направления научного прогресса, постоянно сочетать в своей работе теоретические исследования с потребностями практики, неустанно использовать достижения науки в интересах развития экономики и культуры страны. Эти черты и в последующие годы определили творческую деятельность корифеев отечественной науки - Лобачевского и Менделеева, Сеченова и Павлова, Жуков- ского и Циолковского, Курчатова, Королёва, Келдыша и др. Ломоносов был человеком универсальных знаний, подлинным учёным- энциклопедистом. Трудно назвать область науки, техники и культуры, в которую он бы не внёс весомый вклад. Его работы в области физики, химии, техники, истории, экономики, гео- графии и литературы на много лет определили пути их развития. Он сформулировал многие важные идеи, которые легли в основу современной науки. В последние десять лет своей жизни Ломоносов выступил как талантливый организа- тор науки, как убеждённый просветитель. Его научно-организационная деятельность, про- никнутая идеей беззаветного служения Родине, была не менее разнообразной, чем исследо- вательская работа. Создание первой в России научной Химической лаборатории, организа- ция географических исследований, снаряжение географических экспедиций, подготовка пла- ваний с целью освоения Северного морского пути, разработка многочисленных проектов пе- реустройства Петербургской Академии наук. Просветительское направление деятельности учёного, его борьба за русскую нацио- нальную культуру и науку привело его к созданию проекта организации Московского уни- верситета, русского. В 1754 году Ломоносов выступил с этой инициативой. Пользуясь под- держкой известного русского мецената графа И.И. Шувалова, Ломоносов разработал ориги- нальный проект русского университета с учётом особенностей общественного строя России и состояния научной мысли того времени. Защищая демократические основы развития оте- чественной науки, Ломоносов выдвинул требование, чтобы к обучению в университете до- пускались лица разных сословий. Он предполагал возможность поступления в университет и лиц крепостного состояния, которые должны иметь «увольнительную» от помещика. Естест- венно, что большего в условиях крепостнической России середины XVIII века Ломоносов требовать не мог. (Г.Е. Павлов, А.С. Фёдоров «Михаил Васильевич Ломоносов», изд. «Нау- ка», М. 1980, некоторые фрагменты) При составлении проекта создания Московского университета Ломоносов учитывал все трудности, связанные с комплектованием студентов из числа лиц недворянского проис- хождения, и в связи с этим он предусмотрел основание гимназии, «без которой Университет, как пашня без семян» (Ломоносов М.В. Поли. собр. Соч., т.10, с. 514). 114
Основной принцип организации нового учебного заведения, предложенный Ломоно- совым, заключался в том, что при установлении числа университетских кафедр следует ис- ходить не из числа имеющихся в данное время кандидатов, способных заместить профессор- ские должности, а из потребностей университета. Ломоносов предусматривал создание научно-экспериментальной базы преподавания: лабораторий, кабинетов, анатомического театра, библиотеки и т.д. По мысли учёного, осно- вой подготовки научных кадров в Московском университете должны стать широкое внедре- ние опыта, эксперимента в учебном процессе, связь с практикой. Он требовал «гласности» преподавания, предусматривая чтение публичных лекций профессорами университета для пропаганды научных знаний. Распространение науки и просвещения, привлечение в науку разночинных слоёв рус- ского общества должны были, согласно общественно-политическим воззрениям Ломоносова, привести к экономическому и культурному прогрессу России, к улучшению положения на- родных масс. Важную роль в осуществлении этой программы Ломоносов отводил Москов- скому университету - будущему центру передовой демократической мысли в России. Ломоносов вёл за собой русскую науку, русских людей-отечестволюбцев. И главное во всём этом - страстное желание служить России, возвышать её, подни- мать её потенциал, дух русских людей, бороться за их просвещение, продвижение молодых. Он был неутомимым в этом борении за Россию, не останавливался ни перед какими автори- тетами. Спорил, ругался с ними, порой был несдержан, учинял «предерзости», даже подвер- гался домашнему аресту. Не чванился и, извинившись в Академическом собрании «по пред- писанной формуле», продолжал быть столь же настойчивым и неуступчивым в служении Отечеству. Его надежды на появление отечественных кадров учёных оправдываются: «... может собственных Платонов И быстрых разумом Невтонов Российская земля рождать.» Владимир Игоревич Арнольд в 1959 г. окончил механико-математический факультет МГУ, носящего имя Михаила Васильевича Ломоносова, основавшего с графом Шуваловым в 1755 году первый в России Университет. С начала XX века в МГУ образовалась мощная Московская математическая школа во главе с Н.Н. Лузиным. Одно упоминание имён членов «Лузитании» - гимн Отечественной математике: Д.Е. Меньшов, П.С. Александров, А.Н. Колмогоров и многие, многие другие. Научным «внуком» Лузина, учеником А.Н. Колмогорова, был величайший математик второй половины XX века Владимир Игоревич Арнольд, памяти которого и посвящена эта книга, написанная, в основном, его сокурсниками 1954-1959 годов, а также учениками и друзьями. 115
* * * Приходим к монументу мы на встречи, Кому наш МГУ вручил диплом; И возникают снова споры, речи, Оставленные прежде «на потом». Мы иногда между собой судачим: Был Ломоносов наш простолюдин, На редкость гениален, не иначе, Поднялся над толпой в свой век один. На стылом побережье сын помора Блеснул сияньем северным в ночи. Продвинувшись в науках очень скоро, Свои открытия он нам вручил. Всегда ум ясный, страстное желанье И беспокойство - всё узнать, понять. Не это ль гениальных состоянье - Стремиться необъятное объять. Он много сделал - рудокоп и химик, Философ, минералог, астроном, Поэт, естествоиспытатель, физик... Как всё могло собраться в нём одном! Влияние гения неизмеримо: Грамматика, риторика, язык. Культурное наследие так зримо, Объём его открытий так велик! Мозаичным стеклянным разноцветьем Создал картины лучшие свои, И будут восхищать через столетья «Пётр Первый» и «Полтавские бои». Но как талантлив человек бы ни был, Людская память лишь о том жива, 116
Кто смысл служения России видел; Как о святом, о нём пойдёт молва. Мысль пробудилась русская впервые В науке с Ломоносовым. И Мир Его - у русских силы волевые Заметил. Ломоносов - наш кумир. Он у научной знати и поэтов В почёте. Но, народа зная быт - Как зимы долги, как коротко лето, Каким трудом бывает хлеб добыт, Задачу задал сам себе: науки Должны помочь людской облегчить труд; И новых поколений дети, внуки По тропам, им проторенным, пойдут. Он тысячи нелёгких километров Осилил, чтоб за ним не пеший след, Остался, а под - шум попутных ветров Дел добрых свет - вперёд на много лет. Вся жизнь его была стремленьем, делом Создать Российский университет. В конце пути, осмысленном и смелом, Успел увидеть просвещенья свет. Путь проторил для собственных Платонов И был уверен, что начнёт рождать Россия быстрых разумом Невтонов И будет пестовать их, словно мать. Мы говорить о той науке вправе, Что выросла гигантски за наш век В Российской Ломоносовской державе, 117
Так высоко поднялся человек. И родились Арнольды и Писковы, Кирилловы, Субботины, Ткачи, Петровы, Карацубы, Веденьёвы... Из городов и сёл, и москвичи. И сверху вниз великий Ломоносов На нас глядит сегодня с высоты, Нам для раздумий задаёт вопросы, Где по сей день ответы не просты. И то, что мы стоим у пьедестала, Свидетельство - основа из основ: Не оскудела Русь, не перестала Рождать своих талантливых сынов! 1979 г. 20 лет окончания Университета. Э. Сармин, М. Фрейдлин, В. Арнольд, В. Харченко, Е. Фильчагина, В. Говердовская, А. Мороз, А. Рыбников 118
ВОСПОМИНАНИЯ АРНОЛЬДА В.И., напечатанные в четырёхтомнике «Мы - математики с Ленинских гор»
Выпускники 1959 года Мехмата МГУ - это интеллектуальная частица нашего обще- ства, активно участвовавшая как в развитии Московского Университета, так и всей нашей страны в период от момента окончания университета (т.е. самого начала 60-х годов XX сто- летия) до начала второго десятилетия XXI века. Мемуары раскрывают процесс формирова- ния профессионально состоявшихся граждан, необходимых обществу, востребованных при любой власти и являющихся национальным достоянием. В каждой из четырёх книг «Мы - математики с Ленинских гор» - много интересней- ших материалов Димы Арнольда: о семье, о родственниках старших поколений; о людях высокого научного и интеллектуального уровня, окружающих его с детских лет и способст- вовавших его раннему развитию; о первых математических опытах, об «историях давних и недавних», о значении математики в жизни общества и развитии науки... Д. Арнольд был активным автором во всех четырёх книгах. Мы представляем его материалы, опубликован- ные в первых четырёх книгах. 2003г. 120
ГРУППА 1-09 АРНОЛЬД ВЛАДИМИР ИГОРЕВИЧ Стр. 272-287 и 363 Русская математическая традиция восходит к старинным купеческим задачам. Дети в совсем юном возрасте решают такие задачи, еще не имея представления о числах. Эти задачи очень нравятся детям пяти-шести лет, которые могут их решить, в отличие от многих универси- тетских выпускников, испорченных натаскиванием. Вот типичный пример подобной задачи: Ложка вина из бочки вина переливается в чашку чая. Затем ложка (неоднородной!) смеси из чашки переливается обратно в бочку. Теперь инородная жидкость (вино) находит- ся в чашке и инородная жидкость (чай) - в бочке. Чего больше: чая в вине или вина в чае? Детям постарше, уже немного знакомым с числами, нравится следующая задача. Маша и Миша хотят купить книжку. Маше нужно на семь копеек больше, чем у нее есть, а Мише - на одну копейку больше. Они решили купить книжку вместе, но обнаружили, что и общих денег им не хватает. Сколько стоит книжка? (Нужно иметь в виду, что книги в России были очень дешевы.) Во многих российских семьях существует традиция давать детям сотни подобных задач. В такой семье рос и я. О своей родословной «Род Арнольдов» написано в книге В.И. Арнольда «Истории давние и недавние». Изд. «ФАЗИС» 2002 г. Приводятся фрагменты из книги. Вера Степановна Арнольд (Житкова), отцова мать, была большевичкой и бестужевкой, в 1905 году посажена, но отпущена за границу (в Париж и Цюрих) лечиться. Отец учился в гимна- зии в Цюрихе, сохранял карты своих походов, резал по дереву; А.Н. Колмогоров, позже учивший- ся с ним в аспирантуре МГУ, говорил мне, что была в отце какая-то не русская обязательность и добросовестность. Отец рано начал показывать мне математику, вывешивая у кровати плакаты. Но я не знал, что это математика, думал - просто игрушки. Задач не помню. Помню скало- лазные упражнения на пятиметровых стенках - не падал, но освоил нужду в трех опорах. Братом Веры Степановны был писатель Борис Степанович Житков - отличные воспоми- нания об обоих оставил Корней Иванович Чуковский, учившийся с Житковым в одном классе гимназии в Одессе. Рассказы Житкова и особенно его книжка «Что я видел», одним из героев ко- торой была наша собака, пудель Инзол, входила в число моих первых книг. В семье считалось, что меня роднит с Б.С. и деспотический характер... и умение рассказывать, и специфическая лю- бовь к географии дальних странствий и картам. 121
Прадед, Степан Васильевич Житков (у могилы которого в Ваганькове похоронены и мои бабушка, отец и мать) был первым из шести поколений математиков в нашей семье (седьмое - мои малолетние правнуки - пока еще не выбрали себе специальности). Хотя пра- дед командовал в банке, а учебники математики писал уже заодно, все же от своих детей он ежевечерне требовал отчета: «А что ты сегодня сделал для меньшого брата?» (т.е. для экс- плуатируемых трудящихся). В результате все они выросли революционерами, а его сын же- нился на племяннице Плеханова. На меня сильно влияли обе бабушкины сестры. Химик и художник тетя Саша пыта- лась исправить мою манеру рисовать и мои акварели. Тетя Саша пыталась учить моего брата то спектральному анализу, то взрывчатым ве- ществам, но он все же выбрал не химию, а физику и работает теперь в Институте атомной энергии им. Курчатова. Художником же стал не я, а моя сестра Катя, которой был год (а мне - одиннадцать), когда умер наш отец (так что с тех пор мне пришлось играть его роль в ее воспитании). Другая сестра Веры Степановны - тетя Надя - преподавала французский в Институте иностранных языков. Для нее я должен был каждую неделю писать по-французски сочинение на какую-нибудь интересующую нас обоих тему: от стихов Пушкина до французских эпи- грамм XVII века, от истории и архитектуры Риги до географии озер Валдайской возвышенно- сти. Мой дед, Владимир Фёдорович Арнольд, окончив Тимирязевку, занимался математи- ческой экономикой в стиле Вальраса и Парето и даже переписывал теории Маркса об обмене топоров на полотно в виде дифференциальных и конечно-разностных уравнений. Вера Степановна спаслась от репрессий каким-то чудом и искусством, накопленным подпольщицей до революции. Она, смеясь, читала не то в «Правде», не то в «Известиях» ста- тьи, где она упоминалась как давно погибшая революционерка. Вернувшись после револю- ции в Россию, она стала сперва высокопоставленным работником в области статистики, по- рой заведовала кафедрой в Университете, порой губернским статбюро (в Одессе), позже бы- ла членом коллегии ЦСУ в Москве. Но когда рядом начали сажать (в конце 20-х годов), она быстро бросила все свои ответственные посты и занялась искусством: она снимала у себя на столе диафильмы (например, по басням Крылова и детским сказкам), героев которых лепила из пластилина, а декорации к которым (включая тропический лес) делала из дров. Первые научные воспоминания Быть может, наибольшее научное влияние оказали на меня из числа моих родственни- ков двое моих дядьев: Николай Борисович Житков (сын брата моей бабушки писателя Бори- са Житкова, инженер-буровик) за полчаса объяснил двенадцатилетнему подростку матема- тический анализ (иллюстрируя его параболоидальной формой поверхности чая, вращающе- гося вокруг оси в стакане), а Михаил Александрович Исакович (брат моей матери, физик) пробовал на мне многочисленные задачи и главы учебника физики, который он писал в со- ставе большого коллектива, руководимого Г.С. Ландсбергом (оба были учениками Л.И. Ман- дельштама, крупнейшего физика и радиотехника, брата другой моей бабушки). Свой первый научный доклад я сделал в возрасте лет десяти в «добровольном науч- ном обществе», организованном Алексеем Андреевичем Ляпуновым у себя дома. Там мы за- нимались то физикой, то биологией (включая запрещенную генетику и кибернетику), то космологией, то геологией. Мой доклад был об интерференции волн, с опытами в ванне, с описанием определенного положения самолета над Тихим океаном по пересечению двух ги- пербол (заданных разностями фаз сигналов от трех радиостанций): заодно я разобрал и объ- яснил теорию конических сечений, сферы Данделена, переход от эллипсов к параболам и к гиперболам, с одной стороны, и принцип Гюйгенса теории распространения волн, с другой. «Общество» собиралось еженедельно, и мы все сохранили наилучшие отношения, хотя в 122
дальнейшем занимались разными вещами: один стал знаменитым кардиологом, несколько членов общества теперь академики РАН... Быть может, главным для меня выводом из моих частых детских разговоров с замеча- тельными учеными разных специальностей было ощущение глубокого единства всех наук (включая не только математику, физику и астрономию, но и лингвистику, и археологию, и генетику) да и всей европейской культуры, от Лукреция до Бенвенуто Челлини и от Марка Аврелия до капитана Скотта. Один и тот же человек мог рассказывать нам и об особенностях греческого театра, и о квантово-механическом соотношении неопределенностей. Алексей Андреевич Ляпунов, математик и логик, демонстрировал детям теорию Канта-Лапласа обра- зования Солнечной системы, вращая в колбе смесь анилина с глицерином, пока анилин не собирался в подобные планетам шары. И он же давал нам читать сочинения шлиссельбуржца Морозова, дискутировавшего историческую хронологию с астрономических позиций; но при обсуждении этих проблем никогда не возникал тот вздор, которым их окружили безответст- венные продолжатели Морозова позже. Удивительно, сколь много могут перенимать дети от людей этого «нобелевского» уровня просто в повседневном общении. Род Арнольдов Род Арнольдов происходит от прусского офицера Петро Арнольда, убившего друга на дуэли и спасшегося в России XVIII века от преследований своего жестоко наказывавшего за дуэли короля. Его потомки были уже офицерами русской службы, дойдя даже до генераль- ских чинов и должности предводителя дворянства. Среди их жен встречаются и шведка, и персиянка, и француженка, но жили все всегда в России и большинство жен были исконно русскими. Мой дед, экономист и математик Владимир Федорович Арнольд, умер в 1918 году в Херсоне. Дед по матери, Александр Соломонович Исакович, жил в Одессе и был адвокатом до того, как его арестовали в 1938 году; в соответствии с общим планом распределения репрес- сий по специальностям за год до этого его уже арестовывали, но выпустили, сказав ему, что он им уже больше не нужен, «так как план на этот месяц уже выполнен». Через некоторое время после ареста семье ответили, что он «признал себя шпионив- шим в пользу Германии, Англии, Греции и Японии», и отправлен в концлагерь «на 10 лет без права переписки». Наконец, уже во время перестройки родственникам показали все чудом сохранившее- ся дело, и выяснилось, что нелепое и внутренне противоречивое «признание» было добыто обычной в то время технологией, а приговор к расстрелу был приведен в исполнение при- мерно через неделю после ареста. Это объяснение содержало также утверждение о полной реабилитации деда. Странное обвинение в шпионаже в пользу враждебных друг другу стран имело, одна- ко, некоторое обоснование. Дело в том, что дед, по своим профессиональным обязанностям, занимался также по линии Красного Креста розыском в пределах СССР родственников умерших за границей эмигрантов, оставивших этим, находившимся в СССР, своим родст- венникам, наследства. Поэтому дед получал письма из зарубежных стран и даже отвечал на них - отсюда и происходит странный список: Германия, Англия, Греция, Япония. Тот факт, что меня в 1954 году приняли учиться в Московский университет, несмотря на судьбу деда, является, конечно, следствием смерти Сталина, с одной стороны, и, с другой стороны, желанием ставшего тогда ректором МГУ математика Ивана Георгиевича Петров- ского по возможности помогать и науке, и пострадавшим семьям. Много позже он рассказы- вал мне: «Они вызывали меня в партком и кричали: «За такое ответишь, положишь партби- лет на стол!» Сердце стучало, но я про себя повторял: «А вот и не положу! А вот и не поло- жу!» Мало кто знал и мог представить себе, что Иван Георгиевич, ректор Московского уни- верситета и член «коллективного президента страны» (Президиума Верховного Совета), ве- давший представлениями к амнистии и реабилитации, никогда не был членом коммунисти- 123
ческой партии. Но на самом деле его административная карьера была во многом основана не на его коммунистичности (он был даже внуком священника и сам поступил в Университет лишь благодаря своей службе дворником в детском саду), а на его хорошем преподавании математики студентам инженерных специальностей, один из которых - А.Н. Косыгин - в бу- дущем сделался Председателем Совета Министров СССР и инициатором первого проекта экономической реформы в СССР. Недавно я почел в книге одного из творцов водородной бомбы В.Л. Гинзбурга «О науке, о себе и о других» (М.: Физматлит, 2002, с. 389), что брат моей бабушки, один из крупнейших советских физиков Л.И. Мандельштам не получил Нобелевской премии за свое (вместе с Г.С. Ландсбергом) открытие комбинационного рассеяния света (1928 г.) из-за того, что он не- достаточно занимался писанием статей о своем открытии, особенно на западных языках... Так или иначе, влияние Л.И. Мандельштама на советскую, российскую (и особенно Мос- ковскую) физическую школу было совершенно исключительным. Перечислю лишь несколько знаменитейших из его учеников разных поколений: Н.Н. Папалекси, Г.С. Ландсберг, И.Е. Тамм, А.А. Андронов, М.А. Леонтович, С.М. Рытов,... Таммы и Леонтовичи, Ландсберги и Папалекси входили в число ближайших друзей моих родителей, и я имел счастье немало разговаривать с ними с ранних лет. Домашняя библиотека В отцовской библиотеке половина книг была на иностранных языках, и мне дозволялось рыться во всей библиотеке по своему разумению... Из математических книг (которых было много) я сперва прочел курс анализа Грэнвилля и Лузина, который легко понял, так как уже крутил чашку с чаем на диске патефона. Моя первая (совместно с А. А. Кирилловым) математическая работа никогда не была опуб- ликована, хотя мы (студенты-младшекурсники) и переписали ее (по приказу поставившего нам задачу профессора Е.Б. Дынкина) семь раз. Дело в том, что переписав седьмую версию, я совер- шенно случайно открыл в своей библиотеке древний французский кожаный томик учебника Коши и наткнулся на практически ту же самую теорему, которую я только что доказал. Школьные годы Школа, в которой я учился, была обычной, но очень хорошей. Ее окончили С.С. Аверинцев, В.П. Маслов и Ю.А. Рыжов. Однажды на выборах в РАН кандидатами были трое моих одноклассников, сейчас двое из них - члены РАН. Даже учителя биологии, истории, геогра- фии, литературы подходили к своим предметам почти как к точным наукам, временно попавшим в трудное положение. Отец мой, Игорь Владимирович, (1900 - 1948) окончил в 1929 г. Московский государ- ственный университет, доктор педагогических наук, профессор, член-корреспондент АПН РСФСР. С 1930 по 1947 г. работал в Московском университете. Он был другом И.Е. Тамма и М.А. Леонтовича и обучал математике физиков, многие из которых с благодарностью рассказывали мне впоследствии, какое большое влияние на них оказал этот ученик Эмми Нетер (также читавшей лекции в Москве). А.Д. Сахаров тепло написал об этом в своих опубликованных воспоминаниях. Физики редко способны воспринимать математические идеи. Например, редакция журнала «Успехи физических наук» поместила в своем юбилейном номере (1999 г. - к 2000- летию чуда) статьи трех математиков: К. Вейерштрасса (бывшего, впрочем, вначале учите- лем физкультуры в средней школе, но представившего для оставления в этом звании экспер- та по параллельным брусьям статью об эллиптических интегралах), К. Якоби (написавшего, впрочем, об опыте бурбакиствующего мракобеса Декарта, который «доказывал», что ско- рость света в воде на 30% больше, чем в воздухе) и В. Арнольда («Математика и физика - родитель и дитя или сестры?»). 124
Я привел пример математической (топологической) задачи для дошкольников: «на полке стоят 2 тома Пушкина, страницы каждого занимают 2 см, каждая обложка - 2 мм. Червь прогрыз (по нормали) от первой страницы первого тома до последней второго. Какое расстояние он прогрыз?» Я указал, что ответ (4 мм) удивителен. Физики-редакторы исправи- ли поэтому условие на «от последней страницы первого тома до первой второго». Геометрическое и топологическое мышление - совсем не то, что умножение много- значных чисел! Хотя Кельвин основал теорию узлов, а Максвелл - «теорему Стокса», боль- шинство физиков воспринимают математику как аппарат для вычислений и не воспринимают идей, подобно редакторам «Успехов», не понявшим, где у стоящей на полке книги первая страница, а где последняя. Я же, напротив, не мог понять в школе «правил» арифметики отрицательных чисел, пока не разобрался с ними, продумывая, почему промежуток между приливом и отливом - не шесть часов. Первый настоящий математический опыт я приобрел в школе, когда наш учитель И.В. Морозкин предложил классу следующую задачу: Две старушки вышли на рассвете и каждая шла с постоянной скоростью. Одна шла из А в В, другая — из В в А. Они встретились в полдень и, не прекращая движения, дошли одна в в 4 часа вечера, а другая — в Ав9 часов вечера. Во сколько в тот день встало солнце? Я обдумывал эту задачу весь день, и решение (основанное на том, что ныне модно на- зывать скейлингом) снизошло на меня как откровение. Испытанный мною тогда (1949) вос- торг открытия был в точности тем же, который я испытал при решении гораздо более серь- езных проблем, например, такой, как при открытии связи между алгебраической геометрией вещественных плоских кривых и четырехмерной топологией (1970). Именно жажда испытывать столь замечательное чувство вновь и вновь и является ос- новным побудительным мотивом моих математических занятий по сей день. Когда я был старшеклассником, то посещал математический кружок, организованный на ме- ханико-математическом факультете МГУ и принимал участие в математических олимпиадах вместе с Ю.Назаровым, АКирилловым, Ф.Ветухновским, М.Фрейдлиным, В.Мурским. Мы занимали при- зовые места. Окончив школу с золотой медалью, я по собеседованию поступил на механико- математический факультет. В 1955-1956 гг. я занимался по наущению А.Н. Колмогорова 13-й проблемой Гиль- берта о возможности представления любой непрерывной функции трех вещественных пере- менных в виде конечной суперпозиции непрерывных функций двух переменных. Колмого- ров только что свел эту задачу к следующему вопросу: Можно ли вложить универсальное дерево в евклидово пространство так, чтобы любая непрерывная функция на нем представлялась в виде суммы непрерывных функций, каждая из которых зависит лишь от одной из координат? Мне удалось построить такое вложение универсального дерева в трехмерное евклидо- во пространство. Из этого результата следует положительность ответа на вопрос Гильберта: требуемая суперпозиция существует. Колмогоров сказал мне, что я решил 13-ю проблему Гильберта, и что теперь следующую проблему я должен выбирать сам. Работа над проблемой Гильберта была моей первой серьезной математической рабо- той. Я все еще был студентом-младшекурсником, совершенно невежественным почти во всей остальной математике. Поэтому я решил продолжить занятия представлением функций в виде суммы слагаемых, зависящих лишь от одной из координат. Если кривая - не дерево, то она содержит «окружность» (замкнутый цикл). Представление функций на цикле быстро привело меня к динамическим системам, заданным диффеоморфизмами окружности на себя. Я пытался доказать несколько своих гипотез об аналитических диффеоморфизмах ок- ружности. Первая гипотеза о том, что гомеоморфизм Данжуа является гладким при выпол- нении обычных диофантовых условий на число вращения, была доказана лишь спустя 20 лет М. Эрманом. 125
Вторая гипотеза касается естественной границы комплексной окрестности вещест- венной окружности, в которую гомеоморфизм Данжуа продолжается голоморфно (в ограни- ченной ею области, как правило, не должно быть периодических точек). В 1958-1959 годах я обсуждал работы об отражениях окружности на себя со многими математиками. И.М. Гельфанд объяснил мне связь отображений окружности; М.Л. Цейтлин - исследования сердечных аритмий1. С.Л. Соболев и его ученики Н.Н. Вахания и Р.А. Алек- сандрян указали мне на близость этих задач к некоторым вопросам спектральной теории дифференциальных операторов, возникшим в связи с работами С.Л. Соболева о колебаниях жидкости во вращающихся ракетах. Эти работы С.Л. Соболева, выполненные в 1943 году, были только что рассекречены (они опубликованы в 1960 году). Проф. Гольденвейзер объяс- нил мне связь задачи Дирихле для волнового уравнения, ради которой я начал исследование отображений окружности на себя, с изучением устойчивости тонких оболочек гиперболиче- ской кривизны. Еще Коши доказал, что выпуклая замкнутая поверхность устойчива: ее нельзя изо- гнуть, не растягивая, все нерастягивающие деформации - просто движения. Для невыпуклой поверхности, вроде отрезка однополостного гиперболоида между двумя параллелями, нерастягивающее изгибание иногда возможно, т.е. наблюдалось в экспе- риментах строителей (космических кораблей, где приходится порой использовать невыпук- лые соединения выпуклых объемов). А именно, асимптотические линии невыпуклой поверхности (для Шуховского гипер- болоида на Шаболовке это - прямолинейные образующие) определяют динамическую сис- тему, отображающую точку одной окружности основания поверхности в точку другой (на той же образующей). Передвигаясь по образующей вверх и по другой вниз, мы получаем диффеоморфизм нижней окружности. Оказывается, если он имеет периодические точки («резонансы»), то наблюдается неустойчивость кольцевой области гиперболоида (ограни- ченной двумя горизонтальными жесткими дисками вдоль параллелей). Насколько я знаю, это наблюдение экспериментаторов математически до сих пор не доказано: это - трудная задача нелинейной динамики, нетривиальная уже в линеаризованном приближении (очень близком к предмету моей дипломной работы о диффеоморфизмах ок- ружности). Все это обсуждалось в моей дипломной работе, защищенной на кафедре теории функ- ций и функционального анализа мех-мата МГУ в апреле 1959 года. Тема: «Об отображениях окружности на себя». Эта работа была в том же году отправлена в журнал Известия АН СССР, серия мате- матическая. Так закончились мои студенческие математические открытия. Но было еще так много интересного, без чего студенческая жизнь, наверное, не мыс- лится. Обе целины (после 2 курса я убирал пшеницу на комбайне и потом пахал на тракторе в Южном Казахстане, а после 3-го - убирал свеклу на Алтае, около Тальменки) были замеча- тельными: спать удавалось иногда целых 4 часа подряд под изумительными южными звез- дами, вроде созвездия Скорпиона, которое в Москве не разглядишь, а в Отаре Альдебаран прекрасен, - это в Казахстане, на Алтае же видны были и полярные сияния, и первые спутни- ки. Урожай я намолачивал рекордный, больше 30 центнеров с гектара, но воду возили за 80 км (по бочке раз в неделю), и в соревновании с местными механизаторами мне на спор пришлось выпить среди ночи 400 г водки подряд без закуски (спор был о том, сколько трак- торных кругов с ночной жатвой без огрехов каждый из соревнующихся осилит после этого 1 Мои результаты об этих аритмиях опубликованы пару десятилетий спустя в моей статье, составляющей часть тома 3 собрания сочинений И.М. Гельфанда. (Причем чуть позже канадский врач Л. Гласс независимо применил мои теоремы 1961 года к динамике аритмий и не только получил такие же, как и у меня, результаты об аритмиях, но и подтвердил их справедливость наблюдениями больных - позже он рассказал об этом в книге «От часов к хаосу», переведенной и на рус- ский язык. 126
без остановок). Но кончился он плохо: загорелась несжатая степь в нескольких от нас кило- метрах, и, вместо рекордного урожая, эти сутки пришлось завершать в огне, где проспирто- ванность нам мешала. Вл щимир Арнольд Обе целины были замечательными Обе целины были замечательными; спать удава- :ь и hoi да целых 4 часа подряд под изумительными злами, вроде созвездия Скорпиона, которые в Мо~ ie не разглядишь, а i Огаре Альдебаран прекрасен. Урожай я намолачивал рекордный, более ценгнеров с гектара, но воду возили за 80 км (по гке, раз в неделю), и в соревновании с местными инизаторами мне на спор пришлось выпить среди ночи 400 г. водки подряд без закуски (спор был • том, сколько тракторных кругов с ночной жатвой бе огрехов каждый из соревнующихся осилит после это го без остановок). Но окончился он плохо: загорелась несжатое по ле в нескольких от нас километрах, и вместо рекорг кого урожая, эти супси пришлось завершать в огне где проспиртованность нам мешала. Д. Апнольд (в «шляпе») спеди механизаторов. Д. Арнольд (впереди) на зерне После трех целинных месяцев на заработанные деньги мы еще путешествовали по Средней Азии: сначала пешком через Заилийский Алатау и реку Чонг-Кемин на Иссык-Куль, а оттуда в Ташкент, Самарканд и Бухару, так что в обратный поезд в Москву еле вместились наши дыни и виноград. Эти путешествия были началом - сотни других составили много десятков тысяч ки- лометров. Начав со всех подмосковных речек (это Подмосковье простирается на Восток за Ниж- ний Новгород, а на Север - до Онеги с Кожей, Кен-озера и Боровицкого порога на Мете), я уже не мог остановиться в поисках горных львов у Беркли и Стенфорда, обезьян в Гвинее, морских коров в Амазонке, медведей в Армении. Много был в разных горах, в том числе на горных лыжах или с альпинистскими веревками, был и на байдарках по горным рекам, с по- исками трупов утонувших товарищей. Я однажды неделю искал и затем нашел на полуост- рове Ямал тело жены друга, утонувшей на байдарке в пороге реки Лонгатюган, благодаря птицам, кружившим над одним местом в десятке километров ниже по реке. В одном из предшествовавших путешествий с ней мы каждый день переходили Кав- казский хребет на горных лыжах, ночуя иногда в вырытых нами в фирне у перевала пещерах. Ночевка в стогу сена в подмосковном лыжном походе - не редкость. В более далеком походе мне привелось неделю проработать змееловом (в Супутин- ском заповеднике в Сихоте-Алине). Я ловил десятками змей-щитомордников, яд которых смертелен при третьем за жизнь укусе и который местные биологи собирались научиться ис- пользовать в медицине. Трудность этой ловли змей в парности их половых органов: грею- 127
щиеся на камнях клубки змей соединены, как застежки молнии, из-за этой проклятой амо- ральности вытащить и одну змею при ловле, избегая смертельно опасных укусов остальных - особое искусство. Вдобавок по моим следам ходил там шестиметровый уссурийский тигр (но я его не видел, а только следы размером с суповую тарелку). Меня щитомордники не укусили ни разу. Из-за приливов я не сумел переплыть ни Белое море (от Кеми до Соловков на байдар- ке при 7°С), ни пролив Голден Гейт (вплавь при 14°С) - прилив отнес меня к тюремному острову Аль Катрац, откуда, говорят, никто вплавь не бежал, опасаясь акул. Там неподалеку сохранился еще исконно русский (см. «Юнону и Авось») «Форт Росс», проданный Россией Калифорнии лишь в 60-х годах XIX века. Атмосфера на мех-мате в пятидесятые годы 20 в. - время моего студенчества - под- робно описана в книге «Golden Years of Moscow Mathematics», S. Zdravkovska and P.L. Duren, eds., изданной совместно Американским математическим обществом и Лондонским матема- тическом обществом (1993). Там собрано большое число воспоминаний. Плеяда великих математиков, собранных на одном факультете, представляла собой явление совершенно исключительное, и мне не приходилось встречать ничего подобного более нигде. Колмогоров, Гельфанд, Петровский, Понтрягин, П. Новиков, Марков, Гельфонд, Люс- терник, Хинчин и П.С. Александров учили таких студентов, как Манин, Синай, С. Новиков. В.М. Алексеев, Аносов, А.А. Кириллов и я сам. И все эти математики были столь непохожи друг на друга! Лекции А.Н. Колмогорова было совер- шенно невозможно понимать, но они были насы- щены идеями, и это в полной мере вознаграждало С Я. Синаем, 1963 г. слушателей. Помню, как он объяснял свою теорию размеров минимального куба, в который можно вложить граф с N вершинами (шарами фиксированного радиуса), каждый из которых соединен не более чем с К другими вершинами проводами заданной толщины. Он доказывал, что при очень большом N (и фиксированном К) сторона куба растет как следующим об- разом: серое вещество (тела нейронов) располагается на поверхности человеческого мозга, тогда как белое вещество (связи) заполняет его внутренность. Так как мозг заполняет череп- ную коробку наиболее экономичным образом, достаточно сложный мозг из У нейронов можно вложить только в куб со стороной порядка Jn (тогда как линейные размеры про- стейшего мозга, например, мозга червя, имеют порядок ijN). Размышления Колмогорова над тем, что сейчас называется КАМ-теорией гамильто- новых систем, явились побочным продуктом обязательных упражнений, которые он вел у второкурсников. Когда я был студентом Мехмата, Л.С. Понтрягин был уже очень слаб. Но он был, вероятно, самым блестящим из наших лекторов. Он только что оставил топологию, заняв- шись теорией управления, и его личность тоже претерпела значительные изменения. Позд- нее он объяснил причины, побудившие его заняться прикладной математикой, в своей ав- тобиографии, опубликованной в «Успехах математических наук». Во время войны его лучший студент В.А. Рохлин был ранен и попал в немецкий ла- герь для военнопленных. Позднее В.А. Рохлин был освобожден армией союзников, вернулся в СССР и продолжал служить в армии, которая еще воевала. Как-то он вел пленного немец- кого офицера к своему командиру и встретил пьяного офицера НКВД, который захотел не- медленно застрелить пленного. В.А. Рохлин отказался подчиниться. К счастью, командир В.А. Рохлина в тот момент спас его, переведя его немедленно в другую часть. Однако в кон- 128
це концов, как и все, освобожденные союзниками, Рохлин был отправлен в лагерь (на севере России). Спустя несколько месяцев освобожденный солагерник Рохлина добрался до Москвы и сообщил Л.С. Понтрягину, что тот еще жив, но умирает от голода в лагере. Л.С. Понтрягин, при поддержке Л.Н. Колмогорова, П.С. Александрова и других, написал письмо Берии, требуя не- медленного освобождения талантливейшего молодого математика. Берия подписал приказ об освобождении В. А. Рохлина, тому выдали автомат, и он продолжал служить охранником в своем же лагере. Л.С. Понтрягин вместе с остальными написал второе письмо Берии, и В.А. Рохлин получил, наконец, возможность вернуться в Москву. В.А. Рохлин, вернувшийся из лагеря, не имел права на московскую прописку. Л.С. Понтрягин, который был полностью слепым, имел право нанять личного секретаря в Стекловке. У него достало храбрости пригласить на эту должность В.А. Рохлина, который впоследствии стал одним из ведущих советских специалистов по топологии и динамическим системам. В.А. Рохлин оказал значительное влияние на следующее поколение математиков (среди них С. Новиков, Синай, Аносов и я сам). Впоследствии В.А. Рохлин создал мощную математическую школу в Ленинграде. Я встретился с В.А. Рохлиным в шестидесятые годы на его семинаре. В.А. Рохлин был евреем и выжил в немецком лагере для военнопленных только благодаря тому, что назвался мусульманином Действительно, он родился в Баку. Помогать В.А. Рохлину и писать Берии было для Л.С. Понтрягина смертельно опасно. Л.С. Понтрягин продолжал высоко ценить В.А. Рохлина. Мои личные взаимоотношения с Л.С. Понтрягиным были довольно хорошими. Он при- глашал меня к себе домой и на свой семинар, проявлял неподдельный интерес к моей работе, в первую очередь, в теории особенностей. Частично это объяснялось нашим общим интере- сом к дифференциальной топологии, теории управления и теории игр. Кстати, сейчас я занимаю его пост, представляя Россию в Международном математиче- ском союзе (ММС). Петровский, бывший тогда ректором Университета, обычно встречался с Рохлиным в лифте перед семинаром. Мне кажется, ему было опасно показываться в компании с Рохлиным. В то время Петровский уже не занимался математикой, однако он всегда приносил пользу ма- тематическому сообществу, поддерживая настоящих математиков. Его математические вкусы были весьма классическими, в их основе лежала скорее итальянская школа алгебраической геометрии, а не теоретико-множественные понятия. Петровский пользовался алгебраической геометрией в свих работах по УрЧП (уравнения в частных производных). Работы И.Г. Петровского (1933 и 1938) по вещественной алгебраической геометрии (связанные с 16-й проблемой Гильберта об овалах плоских алгебраических кривых) положи- ли начало важной новой ветви современной математики - топологии вещественных алгебраиче- ских многообразий. Работы И.Г. Петровского и его ученицы О.А. Олейник, опубликованные в сороковые годы, были использованы А.Г. Витушкиным для отрицательного решения 13-й проблемы Гильберта (о суперпозициях) в классе гладких функций. Позже неравенства О.А. Олейник были переоткрыты Дж. Милнором и Р. Томом (в ослабленной форме), и теперь результаты И.Г. Петровского и О.А. Олейник по вещественной алгебраической геометрии на Западе чаще связывают с этими именами запоздавших на 15 лет авторов. Я об этом написал подробнее в УМН, 2002, августовский номер. И.Г. Петровский никогда не был членом партии. Большинство коммунистов этого не знали. Он был очень влиятелен, что частично объяснялось его связями со своими бывшими учениками, занявшими высокие посты в советской иерархии. И.Г. Петровского сделали чле- ном Президиума Верховного Совета СССР. Он умер перед дверью здания ЦК КПСС в Моск- ве от сердечного приступа после долгой борьбы на заседании, посвященном финансирова- нию фундаментальной науки. Последние его слова были: «Я победил». Моим научным руководителем был Андрей Николаевич Колмогоров. 129
После работы над проблемой Гильберта он предоставил мне полную свободу зани- маться чем угодно. Он даже сказал мне, что считал бы вредными для меня любые свои сове- ты, в особенности в том, что касается выбора направления дальнейших исследований. Впро- чем, позже А.Н. посоветовал мне включить в аспирантский план работы Милнора о диффе- ренцируемых структурах на сферах, что бы чрезвычайно полезным (и привело меня к учебе у С.П. Новикова, Д.Б. Фукса и В.А. Рохлина). В 1961 г. я защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата физико- математических наук «О представлениях непрерывных функций трех переменных суперпо- зициями непрерывных функций двух переменных» (защищена в Институте прикладной ма- тематики, г. Москва). В 1963 г. защитил диссертацию на соискание ученой степени доктора физико- математических наук «Малые знаменатели и проблемы устойчивости в классической и не- бесной механике» (защищена в Институте прикладной математики, г. Москва) Должности 1961-1965: Ассистент, доцент механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломо- носова; 1965-1986: Профессор Механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова; С 1986: Главный научный сотрудник Математического института АН СССР (с 1991- РАН) им. В.А.Стеклова; С 1993: Профессор Центра математических исследований теории принятия решений (CEREMADE), Университет Париж-Дофин, Франция.1 Членство в академиях и обществах 1976: Почетный член Лондонского математического общества; 1983: Иностранный член Национальной Академии наук США; 1984: Иностранный член Парижской Академии наук; 1984: Член-корреспондент Академии наук СССР; 1987: Член Американской Академии искусств и наук; 1988: Иностранный член Лондонского Королевского общества; 1989: Действительный член Accademia dei Lincei в Риме; 1990: Член Американского Философического общества; 1990: Действительный член Академии наук СССР (с 1991 - Российской Академии наук); 1991: Действительный член Российской Академии естественных наук; 1991: Член Европейской Академии; 1995-1998: Вице-президент Международного математического союза; 1979-2002: Член исполнительного комитета этого союза; С 1996: Президент Московского математического общества. Почетные докторские степени 1979: Университет Пьера и Марии Кюри (Париж); 1988: Университет Варвика (Ковентри); 1991: Университет Утрехта; 1991: Университет Болоньи; 1994: Complutense (Мадрид); 1997: Университет Торонто. Премии в области математики 1958: Премия Московского математического общества; 1965: Ленинская премия (вместе с А.Н. Колмогоровым); 1 В.И. Арнольдом опубликовано более 300 работ. 130
ЯШ « *' ОСТАНОВЛЕНИЕМ КОМИТЕТА ПО ЛЕНИНСКИМ ПРЕМИЯМ В ОБЛАСТИ НАУКИ И ТЕХНИКИ ПРИ СОВЕТЕ МИНИСТРОВ СССР ’ ОТ 21 АПРЕЛЯ 1965 ГОДА ПРИСУЖДЕНА ЛЕНИНСКАЯ ПРЕМИЯ АРНОЛЬДУ Владимиру Игоревичу, доктору фивико-математических наук, профессору Московского государственного университета имени И. В, Ломоносова, КОЛМОГОРОВУ Андрею Николаевичу, академику, заведующему. кафедрой того же университета,—ва цикл работ по проб- * леме устойчивости гамильтоновых систем. Настоящий диплом выдан * * ' ’ ' ' Л ' • , • . 4- 'Ь1 ч i •. * АРНОЛЬДУ Владимиру Игоревичу 283 1982: Крафоордская премия Королевской Шведской Академии наук (одновременно с JI. Ниренбергом); 1992: Премия Лобачевского Российской Академии наук; 1994: Харвиевская премия Техниона (Хайфа); 2001: Премия Хейнемана (Американского физического общества); 2001: Вольфовская премия (Иерусалим). 2000: Международный астронокщческий Союз (МАС) назвал именем В.И. Арнольда малую планету (Vladamolda № 10031) (Minor Planet Arcular №39653), эта планета имеет диаметр около 6 км и радиус ее орбиты примерно втрое больше радиуса орбиты Земли. 131
Сын и внук - компьютерщики. Двое правнуков 4 и 2 лет. Правнук Владимир Владимирович в 3 года решил поздравить прабабушку с днем рождения по телефону и впервые заговорил с ней по этому поводу на «Вы»: «Вы напрас- но говорите, что Вас не любит ни один мужчина: я Вас очень люблю» (это о нашей со- курснице Наде Брушлинской). Об Андрее Николаевиче Колмогорове Андрей Николаевич Колмогоров прожил большую и счастливую жизнь. Колмогоров - Пуанкаре - Гаусс - Эйлер - Ньютон: всего пять таких жизней отделяют нас от истоков нашей науки. Пушкин сказал как-то (в письме к Бенкендорфу), что он оказал на юношество и рос- сийскую словесность больше влияния, чем всё министерство народного образования, не- смотря на полное неравенство средств. Таким же было влияние Колмогорова на математику. Я познакомился с Андреем Николаевичем в студенческие годы. Тогда он был деканом механико-математического факультета Московского университета. Это были годы расцвета факультета, расцвета математики. Уровня, которого достиг тогда факультет, благодаря пре- жде всего Андрею Николаевичу Колмогорову и Ивану Георгиевичу Петровскому, он более никогда не достигал и вряд ли когда достигнет. Андрей Николаевич был замечательным деканом. Он говорил, что надо прощать та- лантливым людям их талантливость, и я мог бы назвать очень известных сейчас математи- ков, которых он тогда спас от исключения из Университета. Снимая буйного студента со стипендии, этот декан сам же тайком помогал ему пережить трудное время. От других известных мне профессоров Андрея Николаевича отличало полное уваже- ние к личности студента, от которого он всегда ожидал услышать что-то новое и неожидан- ное. Мне всегда хотелось понять, как Андрей Николаевич переходил от одной темы к дру- гой: занятия разными предметами прихотливо сменялись у него непредсказуемым, по- видимому, образом. Например, работы по малым знаменателям в классической механике ни- как не были подготовлены ничем предыдущим и появились в 1953-1954 годах совершенно неожиданно. Так же неожиданно появились в 1935 году и топологические работы Андрея Николаевича. В конце пятидесятых годов на доске объявлений механико-математического факуль- тета МГУ была вывешена им программа семинара по теории динамических систем и гидро- динамике (программа включала среди прочего проблему доказательства практической не- возможности долгосрочного динамического прогноза погоды вследствие сильной ее зависи- мости от высоких гармоник начальных условий). Вот полный текст программы (темы семинара): 1. Краевые задачи для гиперболических уравнений, решения которых всюду разрывно зависят от параметра (см., например: Соболев С.Л. ДАН, 1956,109, 707). 2. Задачи классической механики, в которых собственные функции всюду разрывно зависят от параметра (обзор проблематики - в докладе А.Н. Колмогорова на Амстердамском конгрессе 1954 г.) 3. Моногенные функции Бореля и квазианалитические функции Гончара (в надежде на применения к задачам типа 1 и 2). 4. Возникновение высокочастотных колебаний при стремлении коэффициентов при старших производных к нулю (работы Волосова и Лыковой для обыкновенных дифференци- альных уравнений). 5. В математической теории уравнений в частных производных с малым параметром при старших производных до настоящего времени изучены явления типа пограничных слоев и внутренних слоев, сходящихся к поверхностям разрыва предельных решений или их про- изводных при «исчезновении вязкости». В реальной турбулентности решения портятся всю- 132
ду плотным образом. Математическое изучение этого явления предполагается провести хотя бы на модельных уравнениях (модель Бюргерса?). 6. Вопросы устойчивости ламинарных течений. Асимптотически исчезающая устой- чивость (хотя бы на модельных уравнениях). 7. Обсуждение возможностей применения к реальным механическим и физическим задачам представлений метрической теории динамических систем. Вопросы устойчивости различных типов спектра. Грубые системы и грубые свойства (в этом последнем направле- нии для систем с несколькими степенями свободы почти ничего не известно!) 8. Рассмотрение (хотя бы на моделях) гипотезы, что в обстановке конца п. 5 в пределе динамическая система превращается в случайный процесс (гипотеза практической невоз- можности долгосрочного прогноза погоды). Дело было так. Андрей Николаевич ввел в это время на механико-математическом факультете МГУ математический практикум и подбирал для него задачи. Хотя сам Андрей Николаевич считал основной причиной своей работы надежды, поя- вившиеся в 1953 году, о Сталине он (следуя старому принципу говорить о покойниках толь- ко хорошее) всегда отзывался с благодарностью: «Во-первых, он подарил каждому академи- ку по одеялу в тяжелый военных год». И о Лысенко, попавшем в опалу, Андрей Николаевич старался говорить хорошее, утверждая, что тот искренне заблуждался по невежеству. Когда ученица Лысенко Н.И. Ермолаева опубликовала (в журнале «Яровизация» 2(23), 1939) антименделевскую статью «Расщепление гибридов», описывающую отклонение статистики гороховых гибридов от менделевского отношения 1:3, Колмогоров ответил статьей (в ДЛЯ 28 № 6, 1940, «Об одном новом подтверждении законов Менделя»). Андрей Николаевич говорил, что никогда не мог с полным напряжением интенсивно думать о математической проблеме более двух недель. И считал, что любое разовое откры- тие можно изложить на четырех страницах заметки в «Докладах», «потому что человеческий мозг не способен разом создать что-либо более сложное». Живой интерес к предмету своих занятий сохранялся у Андрея Николаевича, по его словам, только до тех пор, пока было не- ясно, в какую сторону вопрос решается («как будто идешь по острию бритвы»). Как только ситуация прояснялась, Андрей Николаевич старался как можно быстрее отделаться от писа- ния доказательств и начинал искать, какому бы подмастерью отдать всю область. В такие моменты следовало держаться от него подальше. В развитии каждой области науки можно различить три стадии. Первая - пионерская, это прорыв в новую область, яркое и обычно неожиданное открытие. Затем следует техническая стадия - длительная и трудоемкая. Теория обрастает дета- лями, становится труднодоступной и громоздкой, но зато охватывает все большее число приложений. Наконец, в третьей стадии появляется новый, более общий взгляд на проблему и на ее связи с другими, по-видимому, далекими от нее вопросами: делается возможным про- рыв в новую область исследований. Для математических работ Андрея Николаевича характерно то, что он явился пионе- ром и первооткрывателем во многих областях, решая порой двухсотлетние проблемы. Тех- нической работы по обобщению построенной теории Андрей Николаевич старался избегать. Зато на третьей стадии, где надо осмыслить полученные результаты и увидеть новые пути, на стадии создания фундаментальных обобщающих теорий Андрею Николаевичу при- надлежат замечательные достижения. Но у Андрея Николаевича были на всё свои готовые точки зрения. Например, он го- ворил мне, что спектральные последовательности содержатся в казанской работе Павла Сер- геевича Александрова. И что после шестидесяти лет заниматься математикой не следует (этот вывод, видимо, основывался на опыте общения с математиками предшествующих по- колений). Так что мои попытки объяснить Андрею Николаевичу гомотопическую топологию окончились так же неудачно, как и обучить его кататься на велосипеде и поставить его на водные лыжи. Андрей Николаевич мечтал после шестидесяти лет пойти в бакенщики и за- 133
долго пытался подобрать себе подходящий участок на Волге. Но когда подошло время, ба- кенщики уже перешли с гребных лодок на ненавистные Андрею Николаевичу моторки, и проект пришлось оставить. Так Андрей Николаевич решил вернуться к профессии школьного учителя, с которой он когда-то начинал. Разговаривать с Андреем Николаевичем всегда было очень интересно, и я жалею, что не записывал его рассказов. К счастью, остались письма. Несколько отрывков, приведенных ниже, дают, мне кажется, довольно отчетливое представление об их авторе и его мироощу- щении. Москва, 28 марта 1965. «...Был очень рад получить Ваше письмо от 14 февраля по возвращении с Кавказа, куда я уехал 5 марта и оттуда вернулся 23-го. Ездили мы впятером (Дима Гордеев, Леня Бассалыго, Миша Козлов и Пер Мартин-Лёв - двадцатидвухлетний мой шведский стажер). В Бакуриани сначала шесть дней шел снег, что не мешало нам путешествовать кругом. Вдвоем с Пером мы, в частности, преодолели большой спуск в Цагвери по ущелью Черной речки. Дима же Гордеев упорно тренировался по восемь часов в сутки на слаломной горке. Потом приехал С.В. Фомин и привез солнечную погоду. В первый же солнечный день мы по- шли на склоны местного хребтика Цхара-Цхара, и там за три часа на высоте около 2400 все мои мальчики так обожглись (гуляя в плавках и без оных), что две следующие ночи даже не спали как следует. В четвертый солнечный день мы прошли упомянутый хребтик (высо- тою в 2800) по верху, что оказалось своевременно, так как в следующий день горы покры- лись облаками, из-под которых дул противный ветер. В Тбилиси я, Миша Козлов и Мартин- Лёв делали доклады, а все осматривали всякие достопримечательности и спаивались мест- ными математиками. Потом еще уместились две целодневные экскурсии: а) в Бетанию - недалеко от Тбилиси, где в лесу было возле остатков снега множест- во весенних цветов (обычных наших голубых подснежников, маленьких цикламенов, крокусов, ранних ирисов). Целью, впрочем, была церковь 12 в. с фресками; б) в Кинцвисси - недалеко от Гори на склонах Триалетского хребта, где имеется дей- ствительно замечательная роспись начала 13 в., впечатление от которой, как от произведения большого и вполне индивидуального (хотя и безымянного) художника, сравнимо с впечатле- нием от Дионисиевых фресок в Ферапонтове. Конец пути к самому памятнику оказался не- сколько затруднителен, так что туда кроме нас попал только Г.С. Чогошвили, а остальные, насколько я мог понять, в течение четырех часов ожидания неплохо пировали в ближайшей доступной автомобилям деревне. Потом, впрочем, был ещ торжественный ужин в интурист- ском ресторане в Гори рядом с домиком, где родился Сталин. Из Гори мы сразу и отбыли в Москву (наши лыжи были в Тбилиси погружены в поезд в сопровождении молодого тбилис- ского математика, для того отряженного. Вероятно, после нашего отъезда наши компаньоны свою собственную активность, а иногда даже на более легкие усилия, требующиеся, например, для вместе с ним еще не раз посетили тот же ресторан). Вам же кататься на лыжах полагается на пасхе (т.е. в течение двух недель с 18 апреля по 2 мая). По путеводителю по Савойе, или Дофине, Вы можете выбрать себе там лыжную станцию по вкусу, в это время желательно из самых высоких (1700-2000 м). Место в гостинице любого ранга (начиная с общежития с койками в два яруса) надо зака- зывать заранее. Прокатные лыжи Вас, вероятно, вполне удовлетворят, если Вы не соби- раетесь покупать их для импорта нам... Я несколько скуп на усилия по изучению вещей, в которых не предполагаю проявлять того, чтобы с пониманием слушать обзорные доклады (или, скажем, Ваши объяснения). У моих молодых друзей здесь часто бывает непонимание неизбежных возрастных отличий, такое же, как при желании научить меня непременно кататься на велосипеде или на водных лыжах. Но склонности отрицать объективный интерес и значительность новых направле- ний, возникающей из такого самоограничения, я за собой не наблюдаю. Иногда я воздер- жваюсь от суждения, иногда даже активно поддерживаю и рекомендую для изучения мо- 134
лодым вещи, которые по общему впечатлению кажутся мне значительными и перспектив- ными, хоть и выходящими за пределы моего собственного репертуара. Если же я более ак- тивно и темпераментно защищаю значительность направлений, которые ценю в силу зна- ния их структуры (иногда скрытой от пассивно читающих готовые работы) и перспекти- вы, то это мне кажется понятным и законным. Таковы наши «малые знаменатели» и мно- гое другое. ...Заключительная фраза с поправками... (раскаиваюсь) казнюсь, что Вас (обижал) огорчал... мне очень нравится. Вторая поправка безусловно правильна, так как «обидеть» меня не так легко. Замена «раскаиваюсь» на «казнюсь», видимо, означает, что раскаивать- ся в чем-либо Вам не свойственно...» Москва, 11 октября 65 «...Только сейчас собрался отвечать на Ваше письмо от 29 августа из Шамони, так как в начале сентября был очень занят, а потом уезжал в Югославию (Белград, экскурсия в «старую Сербию» в поисках неких фресок 13 в., Загреб и экскурсия на берег Адриатического моря). Я действительно довольно много наблюдал мнения и нравы самых различных кругов во Франции и других странах, но кое-что из того, что Вы пишете, мне было интересно. В положении молодого человека на равной ноге со студентами я был во Франции лишь в 1930- 31 годах, а в 1958 хоть и прожил несколько дней в общежитии лыжников со спальными местами, расположенными в два яруса, воспринимался окружающими все же в виде про- фессора (каковым, конечно, и Вы являетесь, но пока на Вас это не написано). Из ста одного выпускника школы-интерната лишь 44 пожелали идти на мех-мат и 32 приняты (около 70%, из седьмой школы (Кронрод) около 60%, из остальных много меньше). Зато в физико-техническом институте всех наших кандидатов приняли; видимо, наша подготовка там больше подходит (конкурс там был не меньше). На физическом факультете интернатцы имели еще несколько меньше успеха (около 60%) из-за крайнего формализма требований по ма- тематике «под Новоселова», ам.б.и недоброжелательностью к нашему заведению»... Я вспоминаю, как однажды (в середине пятидесятых годов) Андрей Ни- колаевич, собрав у себя дома учеников (студентов, аспирантов) на Рож- дество, произнес целую речь о математических способностях. По его теории математические способности человека тем выше, чем на более ранней стадии общечеловеческого развития он остановился. «Самый гениальный наш математик, - говорил Андрей Николаевич, - остановил- ся в возрасте четырех-пяти лет, когда дети любят отрывать ножки и крылышки насекомым». Себя Андрей Николаевич считал остановив- шимся на уровне тринадцати лет, когда мальчишки очень любознатель- ны и интересуются всем на свете, но взрослые интересы их еще не от- влекают (уровень П.С. Александрова он оценивал, помнится, шестна- дцатью или даже восемнадцатью годами). Так или иначе, Андрей Николаевич всегда предполагал в собеседнике равный себе интеллект — не потому, вероятно, что он неправильно оценивал реальность («большинству студентов все равно, что говорится на лекциях, - они просто заучивают наизусть к экзамену формулировки нескольких теорем», - говорил он о студентах мех-мата МГУ), а потому, что он был так воспитан (и, вероятно, считал подобное доверие к слушателю полезным и возвы- шающим). Вероятно, именно поэтому замечательные лекции Андрея Николаевича были столь непонятными для большинства студентов. Следующее письмо дает представление о педагогической нагрузке Андрея Николае- вича (снятого только что с должности декана из-за связанных с венгерским восстанием вол- нений на факультете). 135
Кисловодск, 31-5-57. «.. .Вы еще не ответили мне насчет кружка или семинара для первого курса. Без Вас я все же ничего открывать для 1-го курса не буду, так как моя программа и так состоит из 1) более активного, чем в прошлые годы, руководства нашим постоянным семинаром кафедры теории вероятностей, 2) регулярных собраний сотрудников и аспирантов стекловского института и ка- федры по различным прикладным работам (мы же взяли с теперешнего пятого курса, кроме аспирантов, Айвазяна, Гладкова, Колчина и Леонова в младшие научные сотрудники под оп- ределенные прикладные темы), 3) курса «случайные процессы» - это обязательный курс для студентов четвертого года нашей специальности, я думаю, что Вам будет не вредно его слушать, 4) семинара по динамическим системам и случайным процессам для аспирантов Алексеева, Мешалкина, Ерохина, Розанова и для Вас (там будут и другие участники, но эти подготовлены уже с тем, чтобы работать достаточно интенсивно и систематически), 5) семинара с В. Тихомировым для 3-го и 4-го курса по избранным вопросам теории вероятностей и комбинаторике (?!), на который Вам не запрещается приходить, но кото- рый я хочу выдержать во вполне общедоступном стиле. Тем не менее мое обещание еженедельно бывать на кружке или семинаре для перво- курсников и приносить туда достаточно задач, а также уберегать Вас от возможного уклона в сторону приучения маленьких мальчиков к безответственной и косноязычной болтовне, как бывает (при всем их интересе) в кружках Т.В., я берусь, если вся затея состоится... Мне пи- шут, будто все московские студенты на июль мобилизуются в помощь московской милиции (?!) в связи с фестивалем, но м.б. это в такой форме некий злостный пасквиль?... Теперь немного о Ваших нападках на меня. В Вашем письме перепутаны три во- проса 1) об обязательности логической строгости изложения, 2) об обязательности ясного изложения наглядной стороны дела, 3) о недостатках моих публикаций. По первому вопросу, возможно, мы с Вами и разойдемся. Я считаю формальную строгость обязательной и думаю, что в конечном счете после большой (и обычно полез- ной для окончательного понимания) работы она всегда может быть соединена (при из- ложении важных, т.е. по сути для простых результатов) с полной простотой и есте- ственностью. Единственное средство добиться осуществления этих идеалов, это стро- го требовать логической отчетливости даже там, где она пока обременительна! 136
Фрагмент письма А. IL Колмогорова В. Арнольду Калькутта, 16 апреля 1962 года. «...Многочисленные слуги, работающие в саду профессора Махалонобиса, видят, что комната почетных гостей занята седым и загорелым человеком, не говорящим по- английски, который встает с восходом солнца и прогуливается в саду молча. К тому же пе- ред моим приездом им было велено чистить пруд, чтобы я мог купаться по утрам (из чего ничего не вышло). Так что девочка лет десяти в ярком платке, увешанная бусами, довольно настойчиво желала получить ответ, что я индус, и мое «I am Russian» ее не убедило - м.б. она подумала, что это какая-то особая индийская народность...» Последнее десятилетие жизни Андрея Николаевича было омрачено тяжелой болез- нью. Сначала он стал жаловаться на зрение, и обычные сорокакилометровые лыжные мар- шруты вдоль Вори пришлось сократить до двадцатикилометровых вдоль Скалбы. Но и во время последней нашей лыжной прогулки почти совсем ослепший Андрей Николаевич перепрыгивал на лыжах через забереги на лед Клязьмы. Позже, летом, Андрею Николаевичу стало трудно бороться с морскими волнами, но осенью он еще убегал за забор «Узкого» от строгого надзора Анны Дмитриевны и врачей купаться в пруду (и учил меня, где удобнее перелезать через забор, чтобы попасть в «Узкое» из Ясенева; впрочем, Андрей 137
Николаевич никогда не был слишком добронравным и не без гордости рассказывал о своей драке с милицией на Ярославском вокзале). В последние годы жизнь Андрея Николаевича была очень тяжелой, иногда его буквально приходилось носить на руках. Анна Дмитриевна, медсестра Ася Александровна Буканова, ученики Андрея Николаевича и выпускники соз- данной им школы-интерната дежурили при нем круглосуточно в течение нескольких лет. Порой Андрей Николаевич мог произнести лишь несколько слов в час, но все равно с ним было всегда интересно - помню, как за несколько месяцев до смерти Андрей Николае- вич рассказывал, как удивительно медленно летели в войну трассирующие снаряды под Ко- маровкой. Андрей Николаевич страстно любил музыку и готов был бесконечно слушать свои любимые пластинки, которых у его было множество и в Комаровке, и в Москве. Для меня всегда ставился квинтет Шумана, и это превращало в праздник даже те тяжелые дежурства, когда Андрей Николаевич почти не мог говорить. * * * Более, чем своими математическими достижениями, Андрей Николаевич гордился достижениями спортивными. «В 1939 году, - рассказывал он, - уже будучи академиком- секретарем, я решил испытать, сколько смогу проплавать в ледяной воде Клязьмы, - и вер- нулся на лыжах в Комаровку со столь высокой температурой, что в больнице на улице Гра- новского (где полагалось лечиться академику-секретарю) опасались за мою жизнь. Так я по- нял, что мои возможности ограничены. Но вот уже семидесятилетним побежал я в начале зимы из Университета купаться на Москву-реку, к Нескучному саду. Набережная так обле- денела, что вылезти было невозможно, а рядом никого не было. Я искал место, чтобы вылез- ти, дольше, чем тогда на Клязьме, еле вылез - и не болел нисколько». С удовольствием вспоминал Андрей Николаевич свои юношеские путешествия по Се- веру, самое длинное: Вологда - Сухона - Вычегда - Печора - Шугор - Сосьва - Обь - Бийск (и далее босиком по Алтаю). В путешествии по Кулою и Пинеге ему удалось установить па- рус, не поддававшийся усилиям местных рыбаков, после чего Андрей Николаевич был ими признан за своего (проявилось это в том, что его стали материть наравне со своими). Один из последних длинных разговоров с Андреем Николаевичем - о будущем чело- вечества. Андрей Николаевич всегда с сомнением относился к перечню бывших редакторов на обложке «Mathematische Annalen». «Как будет выглядеть обложка через 500 лет?» - спрашивал он Гильберта. Более того, он сомневался в возможности существования нашей культуры столь долгое время, прежде всего вследствие демографической катастрофы, предсказанной Мальтусом. Андрей Нико- лаевич мечтал о новом устройстве общества, в котором богатство духовной жизни победит инстинкты. Как ни странны и наивны эти идеи, трудно всерьез с ними спорить: человечест- во, скорее, опоздало прислушаться к предупреждению мыслителей, и Андрей Николаевич считал своим долгом о нем напоминать в конце своей долгой и счастливой, несмотря ни на что, жизни. В.М.Тихомиров (проф., док. мат. наук) вспоминает: «Отправляясь поздравить В.И. Арнольда с его пятидесятилетием, я спросил у А.Н. Колмогорова, не хочет ли он что-нибудь сказать своему ученику. Андрей Николаевич сразу же стал диктовать. Слова давались ему с трудом: уже несколько лет ужасный недуг - болезнь Паркинсона - сковывал его речь. Но разум его оставался ясным...» Об Арнольде: «Если бы мне было позволено, то я перед всеми столпами нашего факультета выска- зал свое убеждение в том, что происходит чествование первого советского математика - не только по силе полученных результатов, но и по темпераменту личности, по способности воспринимать новое и смелости в преодолении препятствий». 138
«Послание учителя ученику замечательным образом характеризует обоих: Владимира Игоревича, личность и творчество которого получили столь восторженную и проницатель- ную оценку, и самого Андрея Николаевича, стоявшего на пороге смерти (через четыре меся- ца его не стало), но сохранившего запас душевной щедрости и способности восхищаться. Это было последнее выступление Андрея Николаевича в его жизни. Но оно не вос- принимается как прощание. Это - благословение». 139
2005 г. Стр. 96-107, 320-323 АРНОЛЬД ВЛАДИМИР Математика и математическое образование в современном мире «No star wars — no mathematics* — говорят американцы. Тот прискорбный факт, что с (временным?) прекращением военного противостояния математика, как и все фундаменталь- ные науки, перестала финансироваться, является позором для современной цивилизации, признающей только «прикладные» науки , ведущей себя совершенно подобно свинье под дубом. На самом деле никаких прикладных наук не существует и никогда не существовало, как это отметил более ста лет назад Луи Пастер (которого трудно заподозрить в занятиях, не нужных человечеству). Согласно Пастеру, существуют лишь приложения науки. Опыты с янтарем и кошачьим мехом казались бесполезными правителям и военачаль- никам XVIII века. Но именно они изменили наш мир после того, как Фарадей и Максвелл написали уравнения теории электромагнетизма. Эти достижения фундаментальной науки окупили все затраты человечества на нее на сотни лет вперед. Отказ современных правите- лей платить по этому счету — удивительно недальновидная политика, за которую соответст- вующие страны, несомненно, будут наказаны технологической и, следовательно, экономиче- ской (а также и военной) отсталостью. Нет звездных войн — нет математики (англ.) Непрекращающееся финансирование псевдоспиритических наук вроде парапсихологии и антиисторического вздора академика А.Т. Фоменко (зам. академика-секретаря отделения математики РАН) еще ждет своего объяснения. 140
Человечество в целом (перед которым, ведь, стоит тяжелейшая задача выживания в условиях мальтузианского кризиса) должно будет заплатить тяжелую цену за близоруко- эгоистическую политику составляющих его стран. Математическое сообщество несет свою долю ответственности за повсеместно на- блюдаемое давление со стороны правительств и общества в целом, направленное на уничто- жение математической культуры как части культурного багажа каждого человека и в осо- бенности на уничтожение математического образования. Выхолощенное и формализованное преподавание математики на всех уровнях сдела- лось, к несчастью, системой. Наиболее характерными приметами формализованного препо- давания является изобилие немотивированных определений и непонятных (хотя логически безупречных) доказательств. Отсутствие примеров, отсутствие анализа чертежей и рисунков — столь же постоянный недостаток математических текстов, как и отсутствие внематемати- ческих приложений и мотивировок понятий математики. Уже Пуанкаре отмечал, что есть только два способа научить дробям — разрезать (хо- тя бы мысленно) либо пирог, либо яблоко. При любом другом способе обучения (аксиомати- ческом или алгебраическом) школьники предпочитают складывать числители с числителями, а знаменатели — со знаменателями. Математика является экспериментальной наукой — частью теоретической физики и членом семейства естественных наук. Основные принципы построения и преподавания всех этих наук применимы и к математике. Искусство строгого логического рассуждения и воз- можность получать этим способом надежные выводы не должны оставаться привилегией Шерлока Холмса — каждый школьник должен овладеть этим умением. Умение составлять адекватные математические модели реальных ситуаций должно составлять неотъемлемую часть математического образования. Успех приносит не столько применение готовых рецеп- тов (жестких моделей), сколько математический подход к явлениям реального мира. При всем огромном социальном значении вычислений (и computer science) сила математики — не в них, и преподавание математики не должно сводиться к вычислительным рецептам. В истории России был премьер-министр с математическим образованием (окончив- ший университет по математике в школе Чебышева). Вот как он описывает разницу между мягким и жестким математическим моделированием: «Между математиками есть двоякого рода люди: 1) математики-философы, т.е. мате- матики высшей математической мысли, для которых цифры и исчисления есть ремесло; для этого рода математиков цифры и исчисления не имеют никакого значения, их увлекают не цифры и исчисления, а сами математические идеи; 2) напротив, есть такие математики, кото- рых философия математики, математические идеи не трогают, которые всю суть математики видят в исчислениях, цифрах и формулах... Математики-философы, к которым принадлежу и я, относятся всегда с презрением к математикам-исчислителям, а математики-исчислители, среди которых есть много ученых весьма знаменитых, смотрят на математиков-философов как на людей в известном смысле «тронутых»». Сейчас мы знаем, что описанные Витте различия имеют физиологическое происхож- дение. Наш мозг состоит из двух полушарий. Левое отвечает за умножение многочленов, языки, шахматы, интриги и последовательности силлогизмов, а правое — за пространствен- ную ориентацию, интуицию и все необходимое в реальной жизни. У «математиков- исчислителей», по терминологии Витте, гипертрофировано левое полушарие, обычно за счет недоразвития правого. Это заболевание составляет их силу (вспомним «Защиту Лужина» На- бокова). Но доминирование математиков этого типа и привело к тому засилью аксиоматиче- ско-схоластической математики, особенно в преподавании (в том числе и в средней школе), на которое общество естественно и законно реагирует резко отрицательно. Результатом яви- лись повсеместно наблюдаемое отвращение к математике и стремление всех правителей отомстить за перенесенные в школе унижения ее изничтожением. Мягкое моделирование требует гармоничной работы обоих полушарий мозга. 141
После окончания университета Витте не нашел работы по специальности и принял предложение частной компании стать начальником дистанции на Юго-Западной железной дороге. Для занятия этого поста ему пришлось по неделе простажироваться в должности ка- ждого из своих подчиненных (стрелочника, путевого обходчика, багажного раздатчика, би- летного кассира, машиниста, начальника станции...) — неоценимый опыт для будущего пре- мьер-министра. Однажды царский поезд, следующий в Крым, был замедлен по приказу Витте на его дистанции. Несмотря на возмущение Александра III, машинист подчинился не его приказу, а приказу своего начальника дистанции. Когда поезд перешел на следующую, уже не подчи- нявшуюся Витте дистанцию, скорость была, естественно, повышена. Вскоре царский поезд сошел с рельсов и опрокинулся (катастрофа у станции Борок). Царь запомнил имя непокор- ного начальника дистанции, и Витте был назначен министром (кажется, путей сообщения), а впоследствии стал и премьер-министром. Но Витте лучше разбирался в реальной жизни страны и в проблемах экономики и тех- ники, чем в политических интригах (к которым большой талант имеют люди левополушар- ные). С приходом к власти деятелей типа Распутина он был отправлен в отставку. Витте вновь призывался к власти для ликвидации критических ситуаций, созданных политиками (русско-японская война, революция 1905 года), я даже предполагаю, что если бы Витте оста- вался руководителем России в течение следующего десятилетия, то наша история была бы совсем иной: не было бы ни мировой войны, ни революции, и мы жили бы сейчас, как Фин- ляндия или Швеция. Конечно, сила Витте заключалась вовсе не в применении какой-либо математики («исчислений»), а в том способе мышления, который он называет «математикой- философией» и который заставляет человека с математическим образованием думать о всех реалиях окружающего мира с помощью (сознательного или бессознательного) мягкого мате- матического моделирования. Идея о необходимости этого рода мышления для успеха в любой экономической или производственной деятельности (исключая, быть может, политические интриги) была хоро- шо понята уже сто лет назад : «Не пользующаяся математическими символами человеческая логика зачастую запу- тывается в словесных определениях и делает вследствие этого ошибочные выводы — и вскрыть эту ошибку за музыкою слов иногда стоит огромного труда и бесконечных, часто бесплодных споров». К сожалению, и сейчас остаются актуальными слова классика математической эконо- мии Парето : «Экономисты, не знающие математики, находятся в положении людей, желающих решить систему уравнений, не зная ни того, что она из себя представляет, ни того даже, что представляет из себя каждое входящее в нее единичное уравнение». На приеме в честь президента Франции, приезжавшего недавно в Москву, я обсуждал проекты перестройки преподавания математики в средних школах Франции с министром на- родного образования, исследований и технологии Клодом Аллегре и его советником Винсен- том Куртийо, который так описал их планы: берем учебник математики, рвем его на куски, оставляем одну треть, выкидывая остальное, но зато требуем, чтобы оставшуюся треть школьники знали как следует. Хочу предупредить возможных российских реформаторов-последователей: математи- ка-живой организм, вдобавок, подобный лестнице, в которой выкидывание даже отдельных ступенек чрезвычайно опасно. * В.Ф. Арнольд. Политико-экономические этюды. Одесса: Изд. Распопова, 1904 г., с. 5. V. Pareto. Anwendung der Mathematik auf Nationalokonomie. Enzyklopaedie der Mathematischen Wissenschaften Band I, Heft 7, S. 1114. 142
Выводы: планируемое во всех странах подавление фундаментальной науки и, в част- ности математики (по американским данным, на это им потребуется лет 10—15), принесет человечеству (и отдельным странам) вред, сравнимый со вредом, который принесли костры инквизиции западной цивилизации (и Испании). Математическое образование должно составлять неотъемлемую часть культурного багажа каждого школьника. Основной целью математического образования должно быть воспитание умения ма- тематически исследовать явления реального мира, умение» так хорошо описанное Витте в его характеристике «математики-философии» и гак блестяще использованное им в вовсе не математической деятельности. Искусство составлять и исследовать мягкие математические модели является важнейшей составной частью этого умения. Применяя таблицу умножения, легко получить следующий результат: уменьшение средней продолжительности жизни на десять лет приводит в масштабах СССР к такой же потере человеко-лет, как одновременный расстрел порядка 80 миллионов человек (в масшта- бах России - порядка 40 миллионов). Здесь использована лемма: когда расстреливают вас, вы теряете в среднем порядка половины своей жизни. Математика, подобно физике, — экспериментальная наука, отличающаяся от физики лишь тем, что в математике эксперименты очень дешевы. Видимо, именно поэтому бюджет отделения математики в РАН в сорок раз меньше бюджета физических отделений (а следова- тельно, производительность наших математиков — в соответствующее число раз выше). Как мне сообщил на днях академик-секретарь отделения математики РАН Л. Д. Фад- деев, затраты СССР на математику в год составляли стоимость одного танка, а современные затраты России - стоимость примерно одной десятой танка в год. Мы живем в сумасшедшем мире, будущее которого представляется весьма сомнительным. То, что в России еще оста- лись математики, упорно не желающие эмигрировать и воспитывающие новые поколения талантливых студентов, — свидетельство своеобразного героизма (с точки зрения наших за- падных коллег — глупости), традиционного для российской интеллигенции. Но долго удер- живаться такое состояние не может. Математика в образовании и воспитании Сост. В.Б.Филиппов. - М: ФАЗИС, 2000; 256 с. Сборник составлен из статей, в которых авторы затрагивают наиболее общие пробле- мы образования и воспитания, в том числе, связанные с математическим образованием. Одна из главных целей издания - возвратить в культурный обиход непреходящие работы выдаю- щихся мыслителей прошлого и современности, находящиеся и труднодоступных изданиях. Сборник адресован самому широкому кругу читателей; любой человек, небезразличный к воспитанию и образованию подрастающего поколения, найдет здесь много полезного и важ- ного для себя. Что ждет школу в России? Аналитическая записка "Следующий краткий анализ являемся сокращенным пересказом плана модернизации образования в России (проект 2001 года). Его оценка дана после пункта 4 описания «страте- гии». 1. Основными целями образования объявляются «воспитание самостоятельности, правовой культуры, умения сотрудничать и общаться с другими, толерантности, знания эко- номики, права, менеджмента, социологии и политологии, владения иностранным языком». Никакие науки и «цели обучения» не включены. 2. Основными средствами для достижения этих целей объявляются «разгрузка об- щеобразовательного ядра», «отказ от сциентистского (т. е. научного — В. А.) и предметоцен- 143
трического подходов» (т.е. от обучении таблице умножения — В. А.), «существенное сокра- щение объема образования» (см. ниже. п. 4). Специалистов необходимо отстранить от обсу- ждения программ «своих специальностей» (кто же согласится с мракобесием? — В.А.). 3. Систему оценки «следует» изменить, «предусмотрев безотметочную систему обу- чения», «оценивать не учеников, а коллективы», «отказаться от учебных предметов» (уж очень они «узки»: уроки литературы, географии, алгебры...), «отказ от требовательности средней школы по отношению к начальной» (зачем знать русский алфавит и уметь считать на пальцах, когда есть компьютеры! — В. А.), «переход к объективизации процедур оценки с учетом международного опыта» (то есть с тестом вместо экзаменов — В. А.), отказ «от рас- смотрения обязательного минимума содержания образования» (это рассмотрение якобы «перегружает стандарты» — некоторые начинают требовать, чтобы школьники понимали, почему зимой холодно, а летом тепло). 4. В средней школе в неделю «должно быть»: три часа русского языка, три часа ма- тематики, три_- иностранного языка, три — обществоведения, три — естествознания; вот и вся программа, отменяющая «тупиковый предметно-ориентированный подход» и позволяю- щая «включение дополнительных модулей», а именно «гуманизацию и гуманитаризацию», «отражение культуры местных народов», «интеграцию представлений о мире», «сокращение домашней работы», «дифференциацию», «обучение коммуникативной технологии и инфор- матике», «использование общих теорий обучения». Таков план «модернизации» школы. Короче говоря, план состоит в том, чтобы отменить обучение всем фактическим зна- ниям предметам («литература», «физика», к примеру, полностью выкинуты даже из тех пе- речней, теперь появились разные виды военной подготовки, называемой «дифференциаци- ей»: Калашников вместо Шекспира). Вместо знания того, что столица Франции — Париж (как говорил Манилов Чичикову, наших школьников будут теперь учить, что «столица Америки — Нью-Йорк» и что Солнце вращается вокруг Земли (опуская уровень знаний ниже требовавшегося при царе в церковно- приходской школе). Это торжество мракобесия — удивительная черта нового тысячелетия, а для России - самоубийственная тенденция, которая приведет к падению сначала интеллектуального и ин- дустриального, а впоследствии — и довольно быстро — также и оборонного, и военного уровня страны. Надежду вселяет только то, что (аналогичные предпринимаемым сейчас) попытки уничтожить высокий уровень образования в России, ознаменовавшиеся в двадцатые и три- дцатые годы «бригадно-потоковым методом» и уничтожившие как гимназии, так и реальные училища, увенчались успехом: уровень образования в современных школах России остается высокими (что признают даже авторы обсуждаемого документа, находящие этот уровень «чрезмерным»). Подготовка новой культурной революции 29 ноября 2001 г. я участвовал в многочасовой беседе с собеседниками, которые, по их словам, активно участвуют в подготовке проекта реформы средней школы. Из этой бесе- ды я узнал много для себя нового об этом проекте (за что их благодарю). 1. Мне сообщили, что «распространенное мнение, будто имеется какая-то программа реформирования и заговор для ее осуществления — ложно»: на самом деле весь процесс, якобы, «является стихийным ответом общества на падение уровня образования в России ни- же уровня большинства африканских стран», особенно вследствие перегруженности дейст- вующих школьных программ «сайентифизированностью» (которую я воспринял как излиш- нее внимание к атомам и электронам, химическим молекулам и логарифмам), причем «сай- ентифизировались даже уроки физкультуры, где школьники должны теперь писать псевдо- научные рефераты». 144
Из этого рассказа я сделал для себя вывод, что такой «антинаучный заговор» (о кото- ром раньше я не подозревал), действительно по-видимому, существует (и, естественно, что его частью является стремление его скрыть). Пример: при публикации в «Известиях» решения Ученого Совета Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук о проекте школьной реформы, ре- дакция исключила из этого решения ключевую фразу: «ослабление научного образования в стране вредно повлияло бы не только на интеллектуальный, но и на индустриальный, а впо- следствии и на военный, уровень России». 2. Мне сообщили, что слабость нашего сегодняшнего школьного обучения, якобы, «выявлена международной комиссией», а в ответ на мой вопрос, как проводилось исследова- ние, меня уведомили, что наши школьники слабо справляются со «стандартными вопроса- ми», вроде: «что общего у ежа с молоком?». Я тоже не знал, что у них общего, и тогда меня обучили правильному ответу: «оба сворачиваются». А знакомство наших школьников со, скажем, названиями столиц основных европей- ских государств и с таблицей умножения — не в счет: все это устарело. При моей попытке сослаться на то, что у нас в школах повсеместно сохраняется даже более высокий уровень, чем был в церковно-приходских школах при царе, выяснилось, что мои собеседники-реформаторы не знают, что это была за школа, да и не ценят отличие на- ших школьников от, скажем, американских студентов: умение делить 111 на 3 без компью- тера и отличить сумму дробей ’/г +1/3 от двух пятых, да и четкое понимание того, что поло- вина больше трети.] К «недостаткам» нашей школы реформаторы отнесли также «требование читать мно- го книг» (и Пушкина, и Толстого в том числе), а также требование понимать логарифмы (якобы сделавшиеся ненужными с приходом компьютеров). Что касается неоспоримых олимпиадных успехов наших школьников, то они были объявлены представляющими лишь уровень элитарного образования ничтожного меньшин- ства школьников, большинство из которых, якобы, «вовсе ничему не научаются в школе, разве лишь пользоваться шпаргалками». Реформаторы мыслят реалистически и хотят при- вести уровень школы к уровню двоечников. 3, При моих попытках объяснить экономистам критику тоталитарного - экономиче- ского «Великого Могола Аурензеба (публикованную Бернье, одноклассником Мольера), да и значение для экономики логарифмов (оценивающих возраст Евы и закон Мальтуса роста на- селения Земли и нужных также для вычисления сложных процентов в банке, или нынешней стоимости царских долгов, или долговременного эффекта малой ежегодной инфляции) — при этих попытках выяснилось, что реформаторы-экономисты ни в одном из указанных предметов (не говоря уже о законах Лотка—Вольтерра конкуренции и борьбы за существо- вание) не разбираются. А ведь понимание логарифмов абсолютно необходимо во всех этих теориях, как и во множестве других, включая, например, барометрический закон изменения давления воздуха с высотой («вот и нечего высоко подниматься»). Зато школьные уроки «информатики» реформаторы оценили высоко, так как им уда- валось записать на них перфокартами, на которых было удобно писать шпаргалки по всем предметам. 4. Наиболее важной чертой будущей организации реформ мои собеседники считали то, что составление программ по разным дисциплинам не должно быть доверено соответст- вующим специалистам («иначе химики станут требовать серьезно изучать химию, математи- ки — математику, и т.д.). Вероятно, именно эта идея привела к прошлогодней попытке полностью исключить из школьного обучения курс геометрии (чему воспротивились не только математики из РАН, но и представители оборонных предприятий). Сейчас обсуждается новый проект, где исклю- чены всего-то только логарифмы и синусы, степенные функции и стереометрия. За этим придется исключить из физики законы Кулона и всемирного тяготения, которые основаны на 145
исключаемой математической теории, а из географии — параллели и меридианы. Но рефор- маторов-двоечников это не смущает, а только радует. Главная цель реформы, по словам моих собеседников, состоит в том, чтобы осчастли- вить родителей, сделав их детей-двоечников отличниками, меняя не уровень их знаний и умений, а просто уровень требований к ним. 5. Крайне отрицательно «реформаторы» отнеслись к моим словам о необходимости повысить зарплату учителям. По их мнению, «это только закрепило бы нынешнюю оккупа- цию школ малокомпетентными старушками». Мне трудно понять, почему наша страна все это терпит, доверяя руководство своей образовательной системой сторонникам такого мракобесия: ведь отношение и учителей, и родителей к мракобесным проектам резко отрицательно, и все это знают. 6. Одной из важных черт будущей реформы мои собеседники считают введение в пе- речень основных задач средней школы «обучение практически важным навыкам» (вроде умения въезда задним ходом в гараж, вверх по обледенелой горке). Что умение это важнее для киллера, чем знать, кто такие Колумб или Шекспир, Плу- тарх и Максвелл, трудно оспаривать. Но мое общее впечатление от всего этого проекта состоит в том, что подготавливает- ся опасное преступление против традиционно высокого образовательного и культурного уровня России - реформа, осуществление которой нанесло бы долговременный и трудно по- правимый вред могуществу нашей страны — и интеллектуальному, и индустриальному, и военному, т. е. оборонному; а наших потомков все это реформирование сделало бы несчаст- ными (даже если бы им и разрешили, как это сейчас планируют, писать «вада»): я надеюсь, что не все же школьники в России будут готовиться в киллеры! Выступление академика В. И. Арнольда на парламентских слушаниях в Государственной думе 23 октября 2002 года Страна без науки не имеет будущего, и принятие обсуждаемого плана было бы пре- ступлением против России. Как это ни удивительно, уровень подготовки школьников в Рос- сии до сих пор остается, особенно в области математики, очень высоким по сравнению с большинством стран мира (несмотря даже на ничтожность затрат нашей страны на науку и образование по сравнению с другими странами): Франция, например, перешла недавно от примерно 5% ВНП до примерно 7% (затраты на науку и образование, обсуждавшиеся На- циональным комитетом науки и исследований Франции, членом которого меня назначило их Министерство образования научных исследований). Россия, напротив, сократила свои расходы (за 10 лет примерно в 10 раз) на науку. Трагическая утечка мозгов, происходящая вследствие этой ошибки, — только одно из по- следствий той антинаучной и антиинтеллектуальной политики, частью которой является и обсуждаемый безобразный проект «стандартов». Из-за этих «стандартных» нелепостей уро- вень подготовки школьников опустится гораздо ниже обычного уровня реальных училищ царского времени, а кое в чём — даже ниже уровня церковноприходских училищ. Этот план производит общее впечатление плана подготовки рабов, обслуживающих сырьевой придаток господствующих хозяев: этих рабов учат разве что основам языка хозяев, чтобы они могли понимать приказы. Не случайно подготавливаемая реформа финансируется иностранцами, давно мечтавшими избавиться от конкуренции со стороны российской науки и техники. Насколько я сумел понять планы, они сводятся, в основном, к снижению нашего уровня образования в средней школе до американских стандартов. Чтобы составить впечат- ление о последних, напомню, что комитет по подготовке школьников штата Калифорния (возглавлявшийся Тленном Сиборгом, физико-химиком и нобелевским лауреатом, занимав- шимся открытием новых трансурановых элементов) принял несколько лет назад решение 146
требовать при поступлении в университеты штата следующего стандарта знаний по матема- тике: школьники должны уметь делить 111 на 3 без компьютера. Этот уровень требований оказался для американских школьников непосильным, и ва- шингтонские федеральные власти (по-моему, даже Сенат) потребовали отменить эти анти- конституционные» и «расистские» стандарты. Один из сенаторов заявил, что он никогда не позволит, чтобы кто бы то ни было в какой бы то ни было части США учил кого-либо чему- либо, чего этот сенатор не понимает (например, делить 11 1 на 3). Другой сенатор объяснил, что целью калифорнийских стандартов (требовавших, на- пример, в курсе физики знакомства с тремя состояниями воды) является расистское препят- ствие поступлению в университеты черных, ибо «ни один из них никогда не поймет, что та- кое водяной пар, не имеющий ни цвета, ни запаха, ни вкуса». Впрочем, подобный довод тре- тий президент США Т. Джефферсон опубликовал в 1781 году свое заключение, что «ни один негр никогда не поймет ни геометрию Евклида, ни кого-либо из его современных толковате- лей» А Джефферсон, отец-основатель и автор Декларации независимости, знал, о чем гово- рил: у него было несколько детей-негритят, и он пытался их обучать. По статистике Американского математического общества в сегодняшних Штатах раз- делить число 1 1/2 на число 1/4 может, в зависимости от штата, от одного до двух процентов школьных учителей математики. Из «стандартов» простые дроби давно у них исчезли, по- скольку компьютеры считают только десятичные. Большинство американских университет- ских студентов складывают числители с числителями и знаменатели со знаменателями дро- бей: 1/2 + 1/3 есть, по мнению, сумма равна 2/5. Обучить после такого «образования» думать, доказывать, правильно рассуждать никого уже невозможно, население превращается в толпу, легко поддающуюся манипулированию со стороны ловких политиков без всякого понимания причин и следствий их действий. Всё это делается не по невежеству, а, как мне объяснили мои американские коллеги, сознательно, просто по экономическим причинам: приобретение населением культуры (на- пример, склонности читать книги) плохо влияет на покупательную способность в их общест- ве потребителей, и вместо того, чтобы ежедневно покупать новые стиральные машины или автомобили, испорченные культурой граждане начинают интересоваться стихами или музы- кой, картинами и теоремами и не приносят хозяевам общества ожидаемого дохода. Вот к этому-то состоянию общества наши реформаторы и стремятся привести Рос- сию, традиции которой совершенно противоположны. Наши школьники и сегодня хотят на- стоящих знаний, вечных истин, без понимания которых человек остается рабом. Но сверху на них сыплется антинаучная мракобесная болтовня вроде опубликованного в сентябре 2002 года «Независимой газетой» прославления «пирамид», заклеймившего Российскую акаде- мию наук как собрание ретроградов, ошибочно полагающих, будто наука способна объяс- нить мир. Предлагаемый вздорный проект «стандартов» является очередной порцией подобной антинаучной болтовни. Я не стану здесь перечислять многочисленные детали недостатков математических стандартов: имеются протоколы их обсуждения в Центре непрерывного ма- тематического образования, где десятки преподавателей и учителей из разных областей Рос- сии выразили свое мнение о предлагаемом проекте. Один из их главных выводов состоит в том, что стандарты должны заключаться не в философских фразах о том, что «математика является областью человеческой деятельности, применимой в полезных ее областях», а в списке простых, но необходимей задач, которые должны остаться легкими для школьников следующих поколений (вроде уменья вычесть семь из двадцати пяти). Современные мировые тенденции американизации обучения постепенно разрушают эту древнюю культуру во всех странах. «Ретроградные» науки, утверждающие, что «столица Франции — Париж», заменяются «современными стандартами», согласно которым вместо этого школьников учат, будто «столица Америки — Нью-Йорк» (для слушающих меня пар- ламентариев, возможно, уже достигших этого нового уровня мировой «культуры», поясню, что здесь все неверно: и Америка - не государство, и Нью-Йорк - не столица). 147
Но вот пример этой новой культуры: студент-математик четвертого курса одного из лучших Штат университетов спросил меня во время трехчасового письменного экзамена по теории динамических систем: «Помогите, пожалуйста: дробь четыре седьмых больше или меньше единицы? Я свел задачу о поведении системы к исследованию сходимости интегра- ла, а это исследование - к асимптотике подынтегральной функции, и показатель степени этой асимптотики оказался 4/7, но ведь для окончательного вывода о сходимости интеграла нуж- но знать, больше ли это число, чем 1. А вы компьютером на экзамене пользоваться не разре- шаете, и я не могу решить задачу до конца». Это был хороший студент, и он правильно решил трудные вопросы теории динамиче- ских систем, которой я его учил целый год, и дробь 4/7 он нашел правильно. Но простым дробям его учил не я, а «современные дидактики», извратившие элементарное обучение так, что все простые и полезные навыки, вроде умения посчитать хотя бы на пальцах сумму 2 + 3, были утрачены. Между прочим, французский министр образования сам возмущался неумением луч- ших школьников Парижа сложить 2 и 3 (по его словам, они отвечали: «Это будет 3 + 2, так как сложение коммутативно», а сосчитать ответ не могли). Вот к чему ведет американизация школьного образования и к чему склоняет российскую школу обсуждаемый проект. Недавно руководство нашего Министерства образования опубликовало свой список задач для фиксации уровня экзаменационных требований. Эти задачи фиксировали крайне низкий уровень, а в новом проекте стандарта они не заменены лучшим новым списком. При- мер «геометрической» задачи из этого списка: «У какого четырехугольника больше всего свойств?» Проект предлагаемого «решения»: свойства параллелограмма занимают в учебни- ке столько-то строк, ромба - столько-то, прямоугольника — столько-то, трапеции — столько- то. Значит, наибольшее число свойств у квадрата. Быть может, для адвокатов или законодателей такая псевдонаучная казуистика и по- лезна, но к геометрии и к математике вопрос этой задачи никакого отношении не имеет. При обсуждении проекта реформы с его создателями я обнаружил, что они хотят из- гнать из школьной математики прежде всего логарифмы, считая, что «ни приведение к виду, удобному для логарифмирования, ни таблицы Брадиса в век компьютеров больше не нуж- ны». Я пытала объяснить необходимость экспонент и логарифмов и в физике (где ими опре- деляется и барометрическая формула падения давления воздуха с высотой, и законы кванто- вой, и статистической механики), и в экологии (закон Мальтуса), и в экономике («сложные проценты» и «инфляция валюты», включая, например, подсчет сегодняшней стоимости цар- ских долгов). Но выяснилось, что мои собеседники, экономисты, которым было поручено реформировать программы по математике, никакого представления об упомянутых мною законах экономики и фактах финансовой политики не имеют. Из сказанного следует, что вся обсуждаемая программа составлена людьми некомпе- тентными, а принятие этих «стандартов» нанесет серьезный и длительный вред делу образо- вании России. Стандарты по математике должны бы были обсуждаться, например, Матема- тическим институтом РАН, и без экспертного заключения Академии никак не должны при- ниматься. В обсуждении могло бы принять участие и Московское математическое общество (старейшее в мире, основанное еще во времена Н. Е. Жуковского). Необходима также экс- пертиза со стороны лучших учителей математики, хотя бы московских. В современной Франции 20% новобранцев полностью неграмотны, не понимают письменных приказов начальства и способны поэтому направить свои ракеты не в ту сторо- ну. Надеюсь, что попытки направить и Россию по этому пути уничтожения образования, науки и культуры, проявляющиеся в обсуждаемых «стандартах» безграмотности (не только в математике, но и во всех областях, включая, например, литературу, где стандарты преду- сматривают изучение Пушкина в объеме стихотворения «Памятник» - с возможным добав- лением учителем двух или трёх произведений по своему выбору), — все эти мракобесные мероприятия, я надеюсь, не будут поддержаны нашим законодательством. Редакционная коллегия: В.А. Садовничий (председатель), В. В. Белокуров, академик; А. А. Болибрух, А.В Михалев, М.К. Потапов, О.В. Раевская. Техническая группа: Г.В. Крюкова, А.Е. Пентус. 148
Образование, которое мы можем потерять. Сборник. Под общей редакцией ректора МГУ академика В.А. Са- довничего. Изд. 2-е, дополненное. Москва: Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова; Институт ком- пьютерных исследований, 2003. - 368 стр. Книгу открывают тексты выступлений Президента РФ В.В. Путина на заседании Государственного Совета РФ и на VII съезде Российского Союза Ректоров. Книга содержит статьи выдающихся ученых и педагогов нашей страны, имеющих неоспоримый высочайший ав- торитет, которые представляли свои суждения на тему образования: каким должно в нашей стране и каким быть не должно. В книгу включены ряд выступлений и постановление VII съезда Российского Союза ректоров. В ней опубликованы также переводы доклада Национальной комиссии США и проекта програ реформ в области образования Президента США Дж. Буша. © Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, составление, статьи, перс 2002, 2003. © Институт компьютерных исследований, оформление, 2002, 2003. МГУ Ответы на вопросы «Новой газеты» 1. ВОПРОС: Как Вы оцениваете разработанную Министерством образования и науки «Концеп- цию участия РФ в управлении государственными организациями, осуществляющими дея- тельность в сфере науки» и компромиссный вариант, к которому пришли позже руководи- тели министерства, РАН и Союза ректоров? ОТВЕТ: 1. Подробности зловещей «концепции» держатся в секрете. В Отделении Математики РАН объявили лишь, что (неназываемый) разработчик концепции угрожал: «хоть я даже и не кандидат наук, вы, академики, будете меня слушаться». После чего Академия и согласилась с концепцией. Эти слова напоминают классические лозунги «республике не нужны учёные» и «уче- ные - не мозг нации, а...» (предшествовавшие гильотинированию и высылке учёных). Борьба правителей с наукой и образованием идёт во всём мире, но Россия пока отста- вала от этого мирового движения. Американские студенты не умеют и не хотят делить сто одиннадцать на три без компьютера, а русские школьники пока еще умеют; они хотят и учиться наукам, и развивать их (хотя у родителей часто и не хватает денег одеть и обуть их, чтобы идти в школу). Разработанная концепция - новое и естественное проявление «американизации», соз- дающее наше общество потребителей. Пока имущество Академии является федеральной собственностью, Президиум РАН не вправе продавать ни землю, занимаемую Академией и её институтами, ни ее драгоценное оборудование. А продать хочется (это - «рыночная экономика»). Поэтому «Концепция», для реализации своего плана распродажи институтов Акаде- мии частным фирмам, нуждается в том, чтобы Дума сделала эту собственность продаваемой, лишив ее федерального характера (уже в начале 2005 года). Принятие подобных законов было бы со стороны Думы пособничеством преступле- нию перед своим народом, совершаемому лично заинтересованными в этом продающими Академию и предающими науку лицами. Быстрым последствием реализации этих планов была бы массовая утечка мозгов мо- лодёжи (мечтающей, ведь, прокормить свои семьи и недооплачиваемой уже сейчас). Герма- ния до сих пор не восстановила свой научный потенциал, подорванный массовой утечкой мозгов в тридцатые годы. Курчатова осуждали перед войной за «неприкладную направленность» его исследова- ний атомного ядра (ориентируя его на работы о магнитном поле кораблей). 149
Сегодня многие понимают, как и я, каким преступлением перед страной было бы уничтожение ее интеллектуального и научного потенциала (за которым последовало бы снижение и индустриального потенциала, и оборонного). Я надеюсь, что понимающие это руководители страны не допустят намечаемого пре- ступления перед будущими поколениями России, а Дума не допустит «разгосударствлива- ния» имущества Академии. 2. ВОПРОС: Нуждается ли наша наука, в том числе академическая, в реформировании, в приведе- нии в соответствие с новъши реалиями экономической, общественной жизни России? Если да, то какой вам видится суть академической реформы? ОТВЕТ: По моему мнению, в РАН соединены механически две разнородные вещи: наука (за- нимающаяся открытием новых истин) и её применения (где ранее открытые наукой истины используются для нужных человечеству и стране целей). Их коренное различие всегда под- чёркивал великий прикладник и учёный Пастер. Маяковский говорил, что «учёный, открывший, что дважды два — четыре, был вели- ким математиком, лаже если он открыл это, считая окурки, а тот, кто сегодня считает, по той же формуле, гораздо большие предметы, например, локомотивы, вовсе не учёный». Стоимость открывания истин и их использования совершенно различны. Вся матема- тика в стране стоит ежегодно 1/10 стоимости одного танка. Напротив, «приложения» стоят во много тысяч раз больше — и на оплату не даром едящих свой хлеб «прикладников», и на оборудование, и на энергию внедрения (будь то генная инженерия или космические полеты, борьба с раком или осуществление проекта управляемых термоядерных реакций, компьюте- ризация химических производств или противоракетная оборона). Наблюдаемая нехватка средств на финансирование РАН объясняется именно дорого- визне прикладной части ее деятельности. Уменьшение же единого финансирования науки больше свего бьёт именно по наиболее важным для будущего дешёвым фундаментальным исследованиям, не сразу раскупаемым. Доход от электромагнитной теории и уравнений Максвелла во столько миллионов раз превосходит затраты на открытие этих научных фактов, что ни одна страна до сих пор не расплатилась с фундаментальной наукой, облагодетельствовавшей человечество этими от- крытиями (а тем самым — и электрическим освещением, и телевидением, и электропоезда- ми, и рентгенограммами, и радиолокаторами, и атомными электростанциями). Закрыть путь к таким открытиям в будущем — прискорбно недальновидная политика «концепции». Она напоминает мне точку зрения недоучек-Митрофанушек (не желающих учить науку географию как науку извозчиков). Но и наша Академия тоже оказалась недальновидной, не отделив своевременно (лет 50 назад) дешёвую фундаментальную науку от дорогостоящих приложений (за которые мог- ли доплачивать и потребляющие прикладные достижения фирмы). Во Франции, кроме Академии наук, есть ещё «Национальный Центр Научных Исследо- ваний», независимо от Академии финансирующий прикладные институты высокого уровня. В США финансирование многих научных исследований перешло не так давно от го- сударственного «Национального Научного Фонда» к более специализированным организа- циям, вроде «Департамента Энергии», занимающегося в основном Средним Машинострое- нием. Заодно, правда, реформаторы засыпали песком начатые ранее стройки новых ускори- телей мирового класса. Стремление оплачивать только потребляемое везде приводит реформаторов к унич- тожению посевов пшеницы, как производящих и ненужную солому. Обсуждаемый проект реформы РАН именно таков: распродав накопленное, погубить будущее. Ни первые достижения Ампера и Фарадея в теории электричества, ни первые самолё- ты, первые пароходы не были экономически выгодными. 150
Ставить развитие подобных проектов (а они и составляют суть фундаментальной на- ук) в зависимость от их оплаты бизнесменами — прямое преступление перед своей страной. Финансировать их — наш долг перед следующими поколениями. Расходы нашего го- сударства на науку составляют сейчас малую долю годового национального дохода (по раз- ным данным не то полтора процента, не то гораздо меньше). В других странах на науку тра- тится гораздо большая доля национального дохода (во Франции я участвовал в работе «Ко- митета по науки» обсуждавшего переход от пяти к семи процентам). Я думаю, что путь к исполнению нашего долга — не сокращение государственного финансирования фундаментальных исследований, а его дополнение поощрением вкладов частных фирм в поддержку нужных им прикладных разработок (причем прозорливый биз- несмен может поддержать и иные области науки). 3. ВОПРОС: Должен ли избранный академическим сообществом президент РАН утверждаться затем президентом РФ? ОТВЕТ: Императрица Екатерина II, поставив во главе Академии (по совету Эйлера) княгиню Екатерину Романовну Дашкову, принесла стране огромную пользу. В тяжёлые годы нашей истории явно недемократическое управление наукой привело её к небывалому расцвету (в руках тех, кто, подобно С.И. Вавилову, остался жив, потеряв лишь уморенного в тюрьме брата). Сегодня тоже можно надеяться на разумное управление наукой со стороны ненаучных руководителей. Они могут оказаться даже менее коррумпированными, чем демократически избранное руководство Академии, собирающееся её распродать. Но завтра назначающим президента императором может оказаться очередной Гитлер (чему история самых развитых стран знает немало примеров). Черчиль говорил, что «как ни много недостатков у демократического выбора, все ос- тальные еще страшнее». Поэтому решение о назначении Президента РАН ненаучными властями кажется мне для Академии самоубийственно опасным (не сегодня, а вследствие риска непоправимых бед, которые от этого решения могут произойти в будущем). 4. ВОПРОС: Любые реформы, направленные на развитие науки в России, обеспечиваются у нас доводом, против которого, как «против лома, нет приема»: у государства нет денег. И это при том, что основные богатства страны оказались у частных лиц, у которых есть деньги на покупку иностранных футбольных клубов и королевских дворцов на Лазурном Берегу. Разрешимо ли это противоречие? Если да, то каким путем? ОТВЕТ: В других странах поддержка науки считается «общественно полезной благотвори- тельностью», так сильно снижающей годовой налог фирмы, что многие бизнесмены предпо- читают финансировать полезные в перспективе научные исследования (вместо того, чтобы тратить деньги на покупку футбольных клубов). Мои учителя ездили учиться в Европу на деньги фонда Рокфеллера — не потому, что он что либо знал в их науках, а потому, что ему было выгоднее тратить деньги на поддержку ученых, чем сдавать их налоговому ведомству. Но, разумеется, уважение к науке тоже нужно воспитывать. Доступное неспециалисту изложение сущности науки многим необходимо, и мы должны прилагать все усилия для удовлетворения традиционной любознательности российского читателя, издавая недорогие хорошие книги. 151
Творчество Димы Арнольда 152
Переводы Н'Э^ц'Ж в (х &аа Т\л12£щ С<2_Н.Ь\ сГдмО^С- be.eri^(?cw\^eJKH.(y\u \Utat мо?|£еТ ра$кс>о|^щно СепТ’А по Иэ- после сцуско Зебамь } cn^cica^tG» по еуиицепдсл киэке. 1ГПо лц*пие этнои тишину 6 IKsjpnX^.? Ща едъ^/м И-алл нем Топ©Лк ЛмхдЪх ИCSJtoVVA. Tien rUyA<3W смараете ц f^jecu, р€Л-£к VuiQb^xUAho ЛИ9Ц^\и , Не. иле^едеуд е^стал^Ч) V^|o°u j MoAV^Vh Sa^dJa-CRHHA t ос&А$)ЩЦС6 НаД щедром МосШп СГЛ^НИЬиу 6(>£Ou ГАч&и> & '^олле€ nor^wtw^____________________ d __n-ept^ f 2- u.'^tiA.Cy^etc/ y^v^/ ^vcsr \£ f^jupcnu( \ZsJC oA<4.^t£) CViiaVYV сбеТ AyvtVtp-гЧ VKcissMbe , ^cxjo CO- с^Шк M^1! V\yCAb A^CCA^tL °A^C 5/" og£u ИНбЧЬ; YYHAUAub'ok me глрмсньии c^o^-VO. m Q^^^^ccoAeag Q/j^LytocVL cfl3 bi&H §£>х& ?6^Ас>эЦ-ек icP^wuKt^JMH S/kV^mu , R сА&СЬ'' jAGAb^ ц U/<£)3> C-cS И С/Х 'Ъсша СЭАС 5^C^ua ,7R^Ha Ь OGVW?) АКЬд 1 &S ow %A.q Ap ^A-CiQ^hcb —ТЭХ£Н( e-toMOk^ ^сОЧ^МпХ. Ho MfA^ ЪС-МлАхН CAUCUS А ЬЬДСЬб)(Ц оЙл(УиОА^ АЛОГНЧ /^XYioJVv eMxUX&Tb U9< , 153
ПАРИЖ В 1965 ГОДУ К печальным водам тихой Сены ближе Бесчувственный лишь может равнодушно Сойти по Кэ д Анжу и после скучно Зевать, спускаясь по ступеням ниже. Что лучше этой тишины в Париже? Над старым камнем тополи воздушны Листы роняют. Пёс гулять старушку Ведёт. Река неслышно берег лижет. Рыбак не шевелит усталою рукой. Молчат влюблённые, обнявшись над рекой, И у стены на прелых листьев груде Клошар спокойно спит. Деревья, люди, Мосты старинные водой отражены, Глубоко в тень домов погружены. ВЕНЕЦИАНСКИЙ КУПЕЦ, АКТ У. ШЕКСПИР, ПЕРЕВОД Как сладко спит свет лунный на скамье! Здесь сядем мы, и пусть ласкают слух Нам звуки музыки: и ночь, и тишина Обнимут нас гармонией своею. Сядь, Джессика: смотри, как свод небес Весь выложей крупинками златыми. В своем движении мельчайшая из них Поёт, как ангел Божий. Песни эти Доступны ясноглазому младенцу - такова Гармония бессмертных душ. Но мы Покрыты слишком толстой оболочкой Греховной плоти, чтобы слышать их. ИЗ Р. БЕРНСА Но радости - как мака цвет: Сорвал - а лепестков уж нет. Или как снег, упавший в речку: Мгновенье бел - исчез навечно. Иль как полярного сиянья Неуловимо колыханье, Или как радуга, в лазури Исчезнувшая вслед за бурей. 154
I *.< fc t 155
й--_____ *** **Н1йлИ^*1»^*йи**** К и p ил л о в - I Se л о зе рс к и i i м о насты р ь 156
Как собирали материал к следующим книгам Алла > G' ^yyou ^^doTih'ba ₽C<SU’K cUticcQ } д^члес^уч ( ure -€И и«ч^ cTDcqJJC- > Ka^6u,Q./ CenjUnCuuAUc^ v'X в]^дм>ли.7ъ) .фгн'ычрскрцц. (^>c тСгкс, u3 A~bO e^Aib ^L)'1Cf'*: у koto') ' € i<-oH4£-z £<Л>> "Me. ААОИ««-Л1Х>6 " ч u ПЧлА£&>— Сиф€©^иеи|>б кл Л-Ь 3to ч> Ьу£ /AUoto Q> Уч’ХЛлМ? » <?ии. >r evJ^Q рьсг-С №С<СГ>Ц^-2>^cF^v-im фо1ъл5>^Тич ^-тек/ ^v*^-i,XL<A ) iSe^A>»4M сГ|> • 17 К Ол мо^-е-у^в) у Uy U cty ^Q-fc^; 1?еГ^еЛ4сЛ, ) у — (?<-?> u ^VLOto '^чЛ’-рч.уС' и-сс ид L\uftAbU&\ < те-КСДТ!^ T^btf'QNs-. *, НорЦуц <\ч § смСелд. /илГсм t-Я ^ДЛЦМЦ^ 2<?Cj_ 29<J|>7 'V vuc иэкеиКч! |М<»ТедХй<г»с<А«./^Лелм* (ЧЦ1Н/Ч0/'1С£)б).32оГу>(/эГь— 'Л^ГЧолааЭ 091<хмиклр*7 йЪмиу>«С^^цик Qyeeу/деибк *Ъсс ч цО /ид-Г^мэ/ъсл'' у/4 Н /*??£’ т ъЗм\г,22^3 c/f • 2^-^ 4 cv»i 157
Дима предложил напечатать фотографии из книги «Владимир Игоревич Арнольд ИЗ- БРАННОЕ 60» в книгах «Мы — математики с Ленинских гор» Фотографировал А.Н. Колмогоров, 1960 год 158
Отчет В.И. Арнольда, главного научного сотрудника отдела геометрии и топологии Математического института им. В.А. Стеклова, о научной работе 2004 года. Основные научные результаты этого года относятся к исследованию теоретико-числовой турбулентности эргодическими и статистическими методами, включая изучение феноменов перемежаемости и странной асимптотики чисел диаграмм Юнга. Этот анализ включает также во- просы среднего (чезаровского) роста делителей больших чисел и периодов геометрических про- грессий Ферма и Эйлера, а также привел к новым сравнениям для биномиальных и для мультино- миальных коэффициентов. Эти результаты были опубликованы в 2004 году в статьях [1]-[6], причем большая статья [5] содержит обзор всей построенной теории, основанной большей частью на численных эксперимен- тах (из которых часть привела к теоремам, которые уже удалось доказать, в то время как гораздо большая часть привела пока лишь к гипотезам, хорошо подтвержденным несколькими миллиарда- ми нетривиальных примеров, но еще не доказанными в полной общности). Другая серия исследований посвяшена топологической сложности собственных полей за- дач математической физики и оценкам роста этой сложности с номером собственного поля (на- пример. речь идет о трансцендентных обобщениях теоремы Безу, где исследуется число точек пе- ресечения линий нулей двух собственных функций оператора Лапласа на поверхности с одинако- вым собственным числом). 1 (слученные здесь результаты (являющиеся обобщением теоремы Куранта, согласно которой нули /?-ой собственной функции делят колеблющееся многообразие не более, чем на п частей) из- ложены в статье [7] (где обсуждается также ошибка Куранта и Гильберта, пытавшихся оценить то- пологию линейных комбинаций первых собственных функций, а также попытки исправления этой ошибки, приводящие к своеобразному аналогу теории Штурма). В работе L8J доказано неожиданное обобщение теоремы о трех высотах треугольника: ока- зываемся. в геометрии Лобачевского высоты пересекаются в одной точке, только если пополнить плоскость Лобачевского релятивистским миром де Ситтера, аналитически продолжающим мо- дель Клейна геометрии Лобачевского на дополняющий плоскость Лобачевского до проективной плоскости лист Мёбиуса. Удивительно в этом доказательстве то, что теорема о пересечении высот в одной точке ока- зывается не чем иным, как тождеством Якоби для алгебры Ли квадратичных форм на сим- плсктической плоскости (операция в этой алгебре Ли сопоставляет паре квадратичных форм их скобку Пуассона, тоже являющуюся квадратичной формой). Тот факт, что алгебра этих квадратичных форм изоморфна геометриям Лобачевского и де Cimcpa вместе, имеет много неожиданных приложений (в обе стороны). В статье [91 построена своеобразная геометрическая теория полей Галуа (т. е. полей из ко- нечного числа элементов). Эта геометрия приводит к неожиданным связям теории полей Галуа с динамическими системами и со статистикой, доставляющим необычные эргодические свойства таблиц сложения в этих полях (обладающих целым рядом черт таблиц случайных чисел). 159
Некоторые из этих наблюдений оказываются новыми и нетривиальными уже для простейших нолей вычетов по простому модулю. Например, геометрическая прогрессия Ферма, образованная степенями одного вычета по модулю р, оказывается асимптотически равномерно распределенной по целочисленной окружности вычетов при стремлении простого числа р к бесконечности: на по- луокружность попадает примерно половина рассматриваемых вычетов. С другой стороны, та же геометрическая теория сопоставляет каждому полю Галуа ряд про- ективных структур на конечных проективных пространствах (для поля из р2 элементов — на множестве из р+7 точки, образующем «проективную прямую вычетов»). Преобразования Фробениуса поля Галуа действуют на описанной «прямой», переставляя эти специальные проективные структуры (например, для р-13 таких специальных структур на множе- стве из 14 точек три. и 48 преобразований Фробениуса переставляют их циклически). В этой новой области столь же удивляет красота геометрических фактов алгебраической тео- рии, как и то, что эти, казалось бы, напрашивающиеся исследования не были (сотни лет назад) проведены специалистами по теории чисел: результаты получаются здесь методом Ферма, то есть анализом простейших числовых примеров, где даже без компьютера обнаруживаются неожидан- ные закономерности геометрического характера и своеобразная эргодически-стохастическая сто- рона поведения больших естественных объектов. За истекший год я опубликовал также ряд книг ([10], [11], [12]), задачников ([15], [19]) и статей о преподавании математики и о ее истории и перспективах ([13], [15], [16], [17], [18]). Хотя книга [10| (совместная с Б.А. Хесиным) — перевод ранее вышедшего английского из- дания. русское издание существенно переработано и улучшено, оно потребовало большого труда. Книга [11] является (переработанным) переводом с русского ранее вышедшего оригинала, но она включает новый материал, который подготовлен теперь и к включению в готовящееся русское издание. Книга [12] является переработанным переводом с русского сочинения участников моих се- минаров в Москве и Париже, здесь тоже много нового, но писали в основном ученики, а я только проверял. Описывать содержание статей о преподавании и об истории здесь заняло бы слишком много места — замечу только, что в них выражено мое мнение о необходимости сохранения высокого математического уровня в нашей стране, вызвавшее возражение многих коллег и широкие обсуж- дения. вплоть до Государственной Думы. 160
Список публикаций В.И. Арнольда 2004 года. 1. Динамика Ферма, арифметика матриц, конечная окружность и конечная плоскость Лобачевско- го, Функциональный анализ и его приложения, 2004, том 38, выпуск 1, с. 1-15. 2. Fermat dynamics of matrices, finite circles and finite Lobachevsky planes. Cahiers du CEREMADE, Uni versite Paris-Dauphine, 2004, № 0434, 31 pp. 3. Ergodic arithmetical properties of geometric progressions dynamics. Moscow Mathematical Journal, 2004. т.4, 20 pp. 4. On the matricial version of Fermat-Euler congruences, 2004,28 pp. (Сдано в «Selecta».) 5. Number-theoretical turbulence in Fermat-Euler arithmetics and large Young diagrams geometry statis- tics. Journal Mathematical Fluid Dynamics, 2004, 50 pp. (Сдано в печать.) 6. Матричная теорема Ферма-Эйлера. Известия Российской Академии Наук/Серия математическая, 2004. т. 68.№6, Юс. 7. On the topology of the eigenfields. Topological Methods of Nonlinear Analysis, 2004, 20 pp. (Сдано в печать.) 8. Lobachevsky triangles altitudes theorem as the Jacobi identity in the Lie algebra of quadratic forms on symplectic plane. Journal of Geometry and Physics, 2004,24, 7 pp. (Перевод этой статьи готовит «Ма- ге.\ । ати чес кое просвещение».) 9. 1 ео.метрия и статистика полей Галуа. Успехи Математических Наук, 2004, 59, № 6, 25 с. 10. Топологические методы в гидродинамике. Фазис, 2004, 376 с. (совместно с Б.А. Хесиным). 11. Arnold Problems. Phasis — Springer, 2004, 640 pp. 12. Lectures on partial differential equations. Springer, 2004,166 pp. (Одновременно они издали и не- мецкий перевод этой книги.) 13. Abel’s theory and modern mathematics. Stockholm Intelligener, 4-th European Congress of Mathe- matics. Springer. 2004. pp. 6-7. 14. Problems to the Seminar; 2003-2004. Cahiers du CEREMADE, Universite Paris-Dauphine, 2004, № 0416, 38 pp. (Перевод на русский язык готовится МЦНМО.) 15. А.Н.Колмогоров и естествознание. Успехи Математических Наук, 2004, т. 59, №1, с. 25-44. 16. Что такое математическая физика? Успехи Физических наук, 2004, т.174, № 12, 8 с. 17. Как выбирали академиков и как их ликвидировали. Вестник Российской Академии наук, 2004, т. 74, № 7. с. 670-672. 18. Эксперты против простоты. Математическое просвещение, 2004, 6 с. 19. Задачи для школьников 5-15 лет, МЦНМО, 2004,16 с. (Сдано в печать.) 161
2007 г. АРНОЛЬД ВЛАДИМИР ИГОРЕВИЧ Стр. 63-81 Профессор, доктор физмат. Наук, действительный член АН СССР (с 1991 г.-РАН), действительный член РАЕН, член академий наук США, Парижской, Американской академии искусств и наук, Европейской Академии, Aca- demia dei Lince в Риме; Почётный член обществ: Лондонского математического, Лондонского Королевского, Американского философического; вице-президент Международного математического союза, президент Мос- ковского математического общества; почётные докторские степени университетов: Пьера и Марии Кюри (Па- риж), Варвика (Ковентри), Утрехта, Болоньи, Мадрида, Торонто; премии в области математики: Московского математического общества, Ленинская, Крафоордская Королевской Шведской Академии наук, Лобачевского РАН, Харвиевская премия Техниона (Хайфа), Американского физического общества, Вольфовская (Иеруса- лим): именем В.И. Арнольда названа малая планета Vladamolda №10031; вошёл в энциклопедический словарь «Отечество. История. Люди. Регионы России», 1999г. Весной 1998 года Парижская полиция подобрала меня, лежащего без чувств с проби- тым лбом рядом с моим велосипедом, и доставила меня в больницу. За несколько недель французские врачи вытащили меня из бессознательного состояния. Но я не узнавал сына и сказал о жене: «Эта женщина утверждает, что она моя жена». Врач поинтересовалась: «А сколько лет вы женаты?» Я правильно ответил: «Двадцать четыре». Врачи записали: «Ариф- метические способности сохранены». Потом французские врачи говорили мне, что при таких повреждениях мозга любой француз умер бы сразу. «Но русские - двухжильные, - добавили они. - Несколько месяцев ещё проживёте». В западном учебнике я прочёл о смертельных дозах ядов: «Что касается ал- коголя, то для русских смертельная доза в несколько раз выше». Видимо, с травмами дело обстоит аналогично. 162
Впрочем, когда я и через полгода не умер, а напротив, стал вы- здоравливать, то врачи нашли для этого научное оправдание: они обнаружили, что я, не зная того, переученный левша. А в таком случае неповреждённое полушарие мозга может вре- менно взять на себя функции повреждённого, пока то не опра- вится, что и произошло. (В.И. Арнольд. Истории давние и недавние. М. ФАЗИС. 2002. Фрагмент предисловия) ОТЧЁТ главного научного сотрудника отдела геометрии и топологии Математического института им. В. А. Стеклова Российской Академии наук В. И. Арнольда о работах за 2006 год Из новых открытий этого года выделяется целая серия работ о числах Фробениуса ад- дитивных полугрупп целых чисел. Число Фробениуса N(a\,. . . ,ап), где наибольший общий делитель натуральных чисел as равен 1, определяется как наименьшее целое число N, такое, что и оно само и все большие целые числа входят в аддитивную полугруппу линейных ком- бинаций вида xi«i + ...+хпап с целыми неотрицательными коэффициентами. Если п = 2, то N(a\,az) = («1-1)( 02-1), но, начиная с п = 3 функция А аргументов as ве- дет себя довольно хаотически, меняясь при небольших изменениях аргументов, и вопрос о порядке скорости роста числа Фробениуса при росте вектора а до сих пор не решен. В [2] I+-L_ доказано, что число Фробениуса растет не медленнее, чем const а (п °, и не быстрее, чем const о2, причем и та и другая границы достигаются для векторов а нужных направлений (здесь о(а) = ai+ ... + ап). Численные эксперименты [3] показывают, что в среднем (по всем направлениям а/о(а) векторов а с данным значением числа о(а)) скорость роста приближается при больших зна- н—!— чениях о(а) к const о (п ° (что было предсказано в качестве гипотезы в статье В. И. Ар- нольда «Слабые асимптотики чисел решений Диофантовых задач» в 1999 году, но полно- стью не доказано и до сих пор). Исследования этого роста сильно облегчает доказанная в работе [4] связь чисел Фробе- ниуса N(a,b,c) с цепными дробями (и чисел Фробениуса N(a\,. . . ,ап)) с «-2-мерными цепны- ми дробями). 1+—!— Средний рост порядка с (п-1) объясняется тем, что более быстрый рост (порядка о2) хотя и встречается, нетипичен: он наблюдается вблизи резонансных соотношений между компонентами as вектора а (вроде as= («1+ аД, а такие резонансные направления составляют меньшинство. Особенно ясно эта статистика видна в серии компьютерных вычислений, проделанных по просьбе В. И. Арнольда в Калифорнии (опубликованной в [3]). Эти компьютерные эксперименты еще не доказывают предполагаемые асимптотиче- ские теоремы, но доставляют большой шаг к ним. 163
Вопросы общего характера о соотношениях между экспериментальными эмпирически- ми исследованиями и предельными теоремами подробно обсуждаются в книгах В. И. Ар- нольда «Экспериментальная математика», Фазис, М. 2005, и «Экспериментальное открытие математических фактов» [5]. Эта последняя книга представляет собой издание лекций В. И. Арнольда в проведенной в июле 2006 года в Объединенном Институте Ядерных Исследований в Дубне школе для старшеклассников, бывших в прошлом году победителями математических олимпиад. Другие лекции Арнольда в этой школе в Ратмине, у впадения Дубны в Волгу, организо- ванной Московским Центром Непрерывного Математического Образования, уже привели к целой серии открытий, сделанных слушателями в направлении решения предложенных лек- тором задач. Несколько лекций было посвящено статистике функций Морса (на сфере и на торе) [6], [7], [8]. Теория топологического строения функций Морса на двумерной сфере является пря- мым продолжением вопроса 16-й проблемы Гильберта об алгебраических вещественных кривых фиксированной степени на вещественной проективной плоскости. Разница состоит в том, что вместо линий уровня многочленов (являющихся алгебраиче- скими кривыми) Арнольд исследует топологическое строение самого многочлена [6]. В случае многочленов от одной переменной топологическая классификация функций Морса с данным числом критических точек приводит (в качестве экспоненциальной произ- водящей функции) к ряду Тейлора функции тангенс. В случае двух переменных роль тангенса переходит к некоторому эллиптическому ин- тегралу. Гипотеза Арнольда в статье [6] о росте числа топологических типов функций Морса на двумерной сфере по мере роста числа Т критических точек (а именно, о росте порядка Т2т) была доказана американским математиком румынского происхождения Ливиу Николае- ску. Он отыскал в Интернете видеозаписи прочитанных в конце 2005 года лекций Арнольда об этой гипотезе (на заседании Московского Математического Общества в ноябре 2005 г. и для школьников в Дубне в августе 2005 г.). Николаеску, связавший эту задачу Арнольда с идеями квантовой теории поля, опубли- ковал свое доказательство в издающемся в Москве журнале «Функциональный анализ и дру- гая математика» в 2006 году. Арнольдом получены в 2006 году другие обобщения [7], [8] тех же результатов 2005 года работы [6] (о функциях на сфере): они относятся к топологической классификации функций на торе (и тригонометрических многочленов) вместо функций на сфере (и обычных многочленов) из [6]. Неожиданное изменение при переходе от сферы к тору состоит в том, что число аабасов топологической эквивалентности функций Морса с заданным числом критических точек бы- стро становится бесконечным, но число типов, реализуемых при этом тригонометрическими многочленами заданной степени, остается конечным (см. [8]). Эти исследования работ [7] и [8] потребовали новых результатов о топологическом строении тригонометрических многочленов, где, например, даже вопрос о росте числа кри- тических точек на торе с ростом степени (или диаграммы Ньютона) тригонометрического многочлена в общем виде не решен и глубоко нетривиален (см. [8]). Уже для тригонометрических многочленов степени 1 с диаграммой Ньютона, достав- ляемой аффинной группой Коксетера А2, вычисление числа критических точек потребовало серьезного исследования геометрии эллиптических кривых [8]. Другая лекция в Дубне была посвящена статистике перестановок точек конечного тора, 2 1 доставляемых его автоморфизмами. Уже для автоморфизма Фибоначчи (с матрицей ) статистика разбиения п2 точек конечного тора Z 2 на циклы оказывается совершенно непо- хожей на статистику разбиения на циклы случайной перестановки такого же числа точек (см. [5], [9]). 164
Наряду с большим числом теорем об этих разбиениях, указанные работы Арнольда со- держат полуэмпирические данные об асимптотике разбиения на циклы членов случайных перестановок [9]. Случайные перестановки доставлялись в этих Монте-Карло экспериментах а) номерами телефонов членов Национальной Академии Наук США в Вашингтоне, б) номерами автомо- билей, проезжавших по улице Вавилова мимо Математического института им. В. А. Стекло- ва в Москве и в) полями Галуа изр2 элементов [9], [10]. Полученные в этих трех эксперимен- тах распределения длин циклов перестановок оказались сходными между собой, подтвер- ждая гипотезу В. И. Арнольда об асимптотиках этих распределений, усредненных по всем ml Перестановкам т элементов. Но осуществляемые элементами группы SL(2,Z) перестановки точек конечных торов имеют совсем непохожие на эту асимптотику распределения длин циклов [9]. В 2006 году В. И. Арнольд находился в январе и феврале в командировке в Париже, в университете Париж-Дофин, факультет Исследования операций (CEREMADE), где В. И. Арнольд является с осени 2005 года почетным профессором. Кроме того, в марте и апреле 2006 года он работал в Институте нобелевского лауреата Абдуса Салама «Международный центр теоретической физики» (в Мирамаре около Триеста, в Италии). Список опубликованных и подготовленных к печати в 2006 году работ 1. Statistics of the Symmetric Group Representation as a Natural Science Question on Asymp- totics of Young Diagrams. American Mathematical Society Translations, Series 2, Volume 217 (Advances in Mathematical Sciences, fonnely “Advances in Soviet Mathematics”, Volume 58): “Representation theory, Dynamical Systems and Asymptotic combinatorics”, 2006, pp. 1-7. 2. Geometry and growth rate of Frobenius numbers for additive semigroups. Mathematical Physics Analysis and Geometry Journal, 2006,12 pp. 3. Arithmetical turbulence of selfsimilar fluctuations statistics of large Frobenius numbers of additive semigroups of integers. The Abdus Salam International Centre for Theoretical Physics, ICTP, Miramare, Trieste, June 2006, 24pp.: IC/2006/037<http: //www.ictp.it/~pub_off>. 4. Geometry of continued fractions, associated to Frobenius numbers. The Abdus Salam Inter- national Centre for Theoretical Physics, ICTP, Miramare, Trieste, June 2006, 12pp.: IC/2006/038<http://www.ictp.it/~pub_off>. 5. Экспериментальное открытие математических фактов. Лекции для школьников в Дубне, Объединенный Институт Ядерных Исследований, июль 2006. Московский Центр Не- прерывного Математического Образования (МЦНМО), 2006, 100 страниц. 6. Smooth functions statistics. The Abdus Salam International Centre for Theoretical Physics, ICTP, Miramare, Trieste, April 2006, 10pp.: 1С/ 2006/012<http://www. ictp.it/~pub_off>. 7. Статистика и классификация топологий периодических функций и тригонометриче- ских многочленов. Труды Института Математики и Механики Уральского Отделения Рос- сийской Академии Наук, том 12, № 1, Екатеринбург, 2006, стр. 15-24. 8. Topological classification of trigonometric polynomials, related to affine Coxeter group A2. The Abdus Salam International Centre for Theoretical Physics, ICTP, Miramare, Trieste, June 2006,16pp.: IC/2006/039 <http: //www.ictp.it/~pub_off> 9. Statistics of Young diagrams of cycles of dynamical systems for finite tori automorphisms. Moscow Mathematical Journal, Vol. 6, №1 (2006), pp. 43-56. 10. Dynamics, statistics and projective geometry of Galois Fields, Cambridge University Press, 2006, 72 pp. (это - перевод книги «Динамика, статистика и проективная геометрия по- лей Галуа», изданной в Москве в 2005 году издательством Московского Центра Непрерыв- ного Математического Образования). 165
11. Complexity of finite sequences of zeros and ones and geometry of finite spaces of func- tions. Functional analysis and other mathematics, Volume 1, issue 1,2006, pp.1-18. 12. On the aa6ady version of Fermat-Euler congruences. Japanese Journal of Mathematics, Vol. 1,№1 (2006), p. 1-24. 13. Недооцененный Пуанкаре. Успехи математических наук, т. 61, вып. 1 (137), стр. 3- 34. 14. Mathematical Methods of Classical and Celestial Mechanics (совместно с В. В. Козло- вым и А. И. Нейштадтом), 3-е издание на английском языке, Springer. 15. Mathematical Models of Catastrophes. Control of catastrophic processes (совместно c A. А. Давыдовым, В. А. Васильевым, В. M. Закалюкиным). В книге: Mathematical Models of Life Support Systems. IASA (International Institute for Applied Systems Analysis, Laxenburg, Austria) <www.iiassa.acat./publications> 2006,48 стр. 16. Mathematical .Models. Springer-Verlag, 2006,300 pp. 17. Война против науки. Издательство ГУ-ВШЭ, М. 2006,300 стр. В 2006 году В. И. Арнольд был президентом Московского Математического Общества, главным редактором журнала «Functional analysis and other mathematics» и членом редколле- гий следующих журналов: Успехи математических наук, Доклады Академии Наук, Известия Академии Наук, серия математическая, Moscow Mathematical Journal, Topological Methods of Nonlinear Analysis, Geometry and Physics, Bulletin des sciences mathematiques, Advanced in So- viet Mathematics. ВИКТОР ГЮГО. НАУКА И ВЫЧИСЛЕНИЯ «Вычисленья тянут в бездну» - «Умных не брани, болезный, Лучше - чем-нибудь живым Разгони абстрактный дым: Ощутимые предметы Бесконечностью задеты, И никто не объяснит, Что за термином стоит. Джунгли нужны ягуару, Нет без спирта перегару, Гром за молнией спешит, Птица в воздухе летит - - приземлённость - от земли, В королевстве короли, А тайфун и ураган Баламутят океан. Без основы пониманья Нету пользы от названья, Вычислитель же, взамен, Понимает формул член». Отказавшийся от света Он совсем не видит цвета, 166
Луч зенита, вонь надира - Кверх ногами вся квартира: Формы - саван заменил, Мысль - от жизни отлучил. В страхе следует природа За наукою народа: Ночи разума темны, «Только формулы умны». Числа темноту считают, Реомюра заменяют, Защитившись цифр стеной, Покорной алгебре одной. Этой алгебры ступеней Каблуком касался гений - Как Гермес, так и Дедал Стену здесь перелезал. Здесь конических сечений Не услышишь песнопений, Но гипербола стремится В асимптоту превратиться. Многогранные тела, Заменив колокола, Темнотой наполнив ночь, Всё живое гонят прочь. Мира вечное движенье Здесь зовут «предположенье», Теорем беззвучен гром, Без огня сгорает ром. Странных чисел сталактиты На стене давно прибиты - В подземелье вычисленья Не найдут пути моленья. Жизнь, и кровь и семена - Не для вас оголена. Здесь абстрактная система - Роковых дедукций схема. Математика - провал В шахту истины. Нелепы Мёртвых идеалов склепы, Славен - красоты овал. А под тению акаций, Камень кто грызёт науки, Звёзд абстракций Слышит звуки, Видит стены и туманы - Фресок тёмные обманы Ночью - мыслей превращенье, И ошибок наблюденье. Вычислений сила злая - Чисел страшная Сикстина - Свет увидеть здесь мечтая, Микеланджело зовёт В шахте сей зарытый крот. И слепое прозябанье Разбудить должно б желанье Перейти, где жизнь другая, Где прекрасных мыслей стая - Созидание навек, Вот, что любит человек! Это стихотворение В. Гюго я заметил в 2006 году, обнаружив в своей библиотеке, в по- даренной мне в 1965 году Франсуазой Трамони в Париже книжке «Anthologie du chant roman- tique» (rennie et presentee par Maurice Toesca), Edition Albin Michel, Collection Dilecta, Paris, 1964,286 p. Франсуаза, желая приобщить меня к гуманитарной культуре, написала на книжке, что, «хоть я и заслужил Ленинскую премию за любовь физическую» (т.е. к физическим наукам), не следует пренебрегать в любви и романтической поэзией. Очень хорошо помню, как она устраивала для меня осенью 1965 г. музыкальные вечера в своей гостиной, где её дочка чудесно играла мне на арфе многочисленных классиков. Но антологию романтической поэзии я тогда, к сожалению, не полюбил, и ни приве- денных выше стихов Гюго, ни приведенных ниже стихов Марселины Дербор-Вальмор до 2006 года не заметил. 167
Необыкновенная слава Гюго среди французов казалась мне аналогом популярности Черны- шевского у русских писателей XIX века, и его неожиданно правильное понимание атематики удивляет меня даже сегодня. В его тексте есть такие стихи (не подряд): Mathematiques! Chute au fond du vrai! Tombeau Ou descerd Г ideal qui rejette le beau! Abstrait! Cher aux rongeurs comme Г etoile aux guebres! Mur de bronze et du brume! O, fresque des tenebres Ou ces damnes, perdus dans le labeur qu’ils font S’ecroulent a jamais daus le calcul sans fond! Sur la nuit torsion de Г idee en dehors Des etres, des aspects, des rayons et des corps. En dehors des vivants du sang ou de la seve, En dehors de toute etre errant, peasant, aimant, On dehors des object sur qui le jour se leve... В моём (вольном) переводе Чуждается абстрактная наука И моря трепетанья, и реки, Не видит красоты, не слышит звука В своей пещере, сердцу вопреки. Абстракция нужна, как звёзды осам: Она чревата жизни перекосом. Но заканчивает Гюго оптимистической надеждой на «математического Микеланджело», ко- торый выведет вычислителей из их пещеры к живому, где цветёт вдохновение: ... vie et monde, qu’on devine Au fond de la pensee etemelle et divine. А пока что - одни «таинственные письмена» алгебры: Regarde. La science exacte est devant to I... Ces aa6ady, muets, sourdes, sur leur aile funebre Apportent au songeur cetle echelle, I’algebre; L’echelle, faite d’ombre, et dout les aa6ady De Dedale et Hermes aut use les talons. Точная наука в голом виде: немые и глухие привидения, приносящие тебе на своих погре- бальных крыльях лестницу алгебры, сделанную из теней, ступени которой помнят ещё ступ- ни и Дедала, и Гермеса. 168
Галилей У Галилея была незаконная дочь Мария, на матери которой он не мог жениться, хотя у них было трое детей, так как, во-первых, учёному не полагалось отвлекаться семьёй от науки, а во-вторых из-за того, что Марина Гамба происходила из нехорошего города (Вене- ции), а не из благородных мест: Тосканы или Пизы, Флоренции или Сиены, Падуи или Ман- туи, откуда прилично было бы взять жену сыну обедневшего музыковеда и композитора, внуку врача, предки которого ставили свои подписи под государственными актами города и княжества сотней лет раньше. Дочка обожала отца и мечтала поскорее уморить себя голодом, чтобы, представ перед Господом, умолять его облегчить мучения преследуемого инквизицией отца. Она писала ему по нескольку писем в неделю, и они сохранились (в отличие от ответов Галилея, которые были уничтожены близкими после смерти дочки как сочинения еретика). В этих письмах (я прочёл их в очень интересной книге Д. Собель «Дочь Галилея», изд. О. Жакоб, Париж, 2001, 366) дочь, например, пишет отцу, что «прилагаемое сваренное варенье из лимонов и апель- синов, которые он вырастил в своём саду из косточек, недостаточно хорошо, чтобы подвер- гать и дальше его здоровье угрозе сквозняков и дождей в саду, которым он так гордит- ся»... У мерла Мария в возрасте около 30 лет, в монастыре Сен-Матео над Флоренцией в Ар- кетри, около которого Галилей купил себе дачу «II Gioiello», которая впоследствии стала ему и тюрьмой. Галилея преследовали после сожжения Джордано.Бруно и нападок на Вителиуса - врача, осуждённого (почти одновременно с Коперником, т.е. сразу после смерти aa6adytro) за то, что он публично пересчитывал рёбра во время демонстрируемых им вскрытий, и тем саамы доказывал, что их у мужчин и женщин одинаковое число, вопреки канонической ис- тории производства Евы. Галилей писал, что «великие учёные, подобно орлам, встречаются редко и малозамет- ны, шум же производят хорошо сорганизовавшиеся банды скворцов». Начинал он, по совету отца, мечтавшего о больших заработках для сына, в качестве студента-медика в Университете Пизы (где в разговорах со мной до сих пор настаивают на том, что своей славой и Галилей, и Ферми обязаны именно этому Университету, который Га- лилей, впрочем, не окончил, поленившись сдавать дипломные экзамены). Здесь около биб- лиотеки сохранилась описанная Данте башня Уголино, включая камеру, где его замуровали с изображёнными Роденом сыновьями, которых он и съел. Славная научная деятельность Галилея началась с составления гороскопа Великому Герцогу Тосканскому Фердинанду Первому Медичи. Составление гороскопов входило в обя- зательную программу студентов-медиков, и именно ради этого Галилею пришлось выучить и математику, и астрономию (которые так ему понравились, что обещавшая лучшие заработки медицина была им оставлена). Гороскоп был настолько благоприятен, что герцог тотчас сделал Галилея Первым Ма- тематиком Великого Герцогства Тосканского (со столицей во Флоренции), назначив его также учителем и воспитателем своего сына и наследника Козимо II. Несмотря на прекрасный гороскоп, герцог через три недели умер, но положение Га- лилея было уже прочным, и он процветал в качестве Первого Математика, открыв, в частно- сти, 4 спутника Юпитера, вошедшие в герб Медичи как «Медицейские звёзды», почти два- дцать лет, пока не умер и благоволивший ему Козимо (игравший для Галилея такую же роль, как А.Н. Косыгин для И.Г. Петровского), после чего «скворцы» и начали мстить Галилею за его высокомерное презрение к миру безграмотности и невежества. Галилей вовсе не говорил инквизиторам “eppur si muove” (“а всё-таки она вертится”): наоборот, он и говорил, и писал, что «никогда не верил, не верит и не собирается верить в теорию Коперника, так как эта гипотеза отнюдь не доказана». Он также указывай, что дока- зана она будет тогда, когда улучшение качества телескопов позволит измерить параллакс звёзд, т.е. изменение направления на звезду за счёт полугодового перемещения Земли на 300 169
миллионов километров по орбите вокруг Солнца; этот параллакс и был измерен, в 1838 году, Бесселем, для звезды 61 созвездия Лебедя. Всё же Галилей приводил и свои оригинальные доводы в пользу теории Коперника (хотя и не считал вопрос решенным). А именно, наблюдая движение солнечных пятен по диску Солнца, он заметил, что в некоторые месяцы года видимая траектория - прямая хорда, но в другие - кривая, причём направление выпуклости сменяется за полгода на противопо- ложное. Объяснил это Галилей тем, что ось вращения Солнца не точно перпендикулярна плос- кости эклиптики (плоскости орбиты Земли), поэтому в некоторые месяцы мы видим (круго- вую в действительности) орбиту пятна немного сверху, в другие - немного снизу, а четверть года спустя - прямо в плоскости этой окружности, что и доставляет прямолинейную види- мую орбиту. Для «Первого Математика Великого Герцогства Тосканского» такое антирелятивист- ское рассуждение несколько удивительно, ведь эта кинематика совершенно не зависит от то- го, какая точка принята за начало координат, так что объяснение одинаково годится и в Пто- лемеевой (геоцентрической) системе координат, и в Коперниковски-Пифагорейской (как правильно называл её Галилей), гелиоцентрической. На его современников сочинения Галилея оказали мало влияния (хотя они и сохрани- ли один его палец, залив его стеклом, в своём музее): только Ньютон прочёл главное из этих сочинений “Les discourse concemant deux sciences nouvelles”, опубликованное в Лейдене из- дательством «Эльзевир» в 1638 году. В Италии публиковать Галилея было нельзя до 1835 года. Но зато для Ньютона эти «Новые науки» были замечательно важны, и именно их он в 1687 году положил в основу своих «Математических начал натуральной философии» (Нью- тон родился в год смерти Галилея, в 1642 году, и является прямым наследником его науки). Мне приятно отметить, что издательство «Эльзевир» продолжает и сегодня оставаться одним из лучших и математических издательств мира. Издательство «Шпрингер» перевело мой английский teh-овский файл на свой амери- канский язык так: они напечатали «египетский треугольник 32+42=52» (у меня, конечно, бы- ло 32+42=52, но это им показалось недостаточно американским). Путь от Галилея до Абеля и до топологии не так уж длинен, как кажется на первый взгляд, а мракобесное преследование Вазалия и Галилея не так уж далеко от сегодняшней борьбы обществ и государств против науки, культуры и образования. Одно из лучших мате- матических издательств приписало мне формулу 32+42=52 (было 32+42=52). Несколько лет назад мне пришлось в Университете Париж-Дофин участвовать в ра- боте комиссии по переводу студентов на следующий курс. Обнаружил, что «средние отмет- ки» у некоторых из студентов превосходят все частные отметки, из которых компьютер вы- вел эти «средние». Я добился переделки преступной компьютерной программы, и с тех пор меня, слава Богу, не включают в эту ежегодную комиссию. Зато министр науки Франции включил меня в «комиссию по борьбе за защиту наследства французской науки от иностран- цев». Пример такой защиты. В комиссии по оценке претендентов на профессорское звание в университете лучшего кандидата отвергли за то, что «на каждой странице его работы идёт речь либо о группах Ли, либо об алгебрах Ли, а у нас их никто не знает». Мои французские друзья объяснили мне, что группы Ли - это повод, а причиной отвержения было то, что пре- тендент был иностранец (из США). Вот ещё несколько забавных деталей из жизни Галилея, о которых я узнал из книги о его дочери. Одно из первых научных открытий Галилея - изохронизм малых колебаний маятника, период которых, как обнаружил Галилей, зависит только от длины маятника, но не зависит от амплитуды его колебаний - было сделано им в соборе Пизы, где он мерил периоды коле- баний свисающих с потолка ламп (современных часов тогда не было, и Галилей использовал вместо секундной стрелки свой пульс). Я видел, как нынешние экскурсоводы в Пизе спорят между собой, за какой именно из шести ламп наблюдал Галилей. 170
В книге же объяснено, что ни за какой: все эти лампы повешены несколько лет спустя после наблюдений Галилея. Ещё Фукидид говорил, что не следует доверять историкам (на- пример, по собственным описаниям событий, в которых он участвовал). Маятниковые часы, изобретённые Галилеем, не принесли ему богатства, так как он, хоть и брал деньги за то, чтобы посмотреть в телескоп, был учёным, а не бизнесменом. Но ещё при жизни Галилея его проект усовершенствовал президент Парижской Академии наук Гюйгенс, взявший на своё изобретение патент и хорошо на нём заработавший. Галилей пы- тался оспаривать приоритет Гюйгенса, но ему ничего не удалось, так как он своего открытия не только не патентовал, но и не публиковал. (Только с большим трудом удаётся мне застав- лять своих учеников публиковать их открытия.) Мало заработал Галилей и на изобретённом им аналоговом компьютере (который он назвал «военным циркулем»), так как он бесплатно раздавал инструкцию, как им пользоваться. Одно из главных обвинений против Галилея на суде инквизиции состояло в том, что он распространял свои сочинения и мнения без должного цензурного разрешения из Рима. Оказывается, это обвинение справедливо, но вина Галилея не так уж велика. Дело в том, что почта из Флоренции в Рим, с которой он должен бы был отправить рукопись цензо- рам, отнюдь не доставляла тогда в Рим даже дипломатические письма: во Флоренции была эпидемия чумы, и карантин по дороге в Рим уничтожал все опасные отправления. Современная электронная почта не должна бы чумы бояться, но я сталкиваюсь посто- янно с неожиданно большим процентом недоставленных мне писем (или неполученных в разных странах моих писем). Недавно электронная почта нашего университета Париж-Дофин известила меня, что мне «было бы слишком вредно» читать письмо, посланное мне академиком Ф. Хирцебрухом (его и свой титул Я.Б. Зельдович произносил как «ЧВАН» - «Член всех Академий Наук»). Мне так и не удалось узнать, какая была в Бонне чума (или компьютерный вирус), - всё же я прошу всех заинтересованных в связи со мной лиц пользоваться обычной бумажной почтой, не доверяя ни е-шай’ам, ни ГАХ’ам. Надо только избегать ещё заказной корреспонденции - она не доставляется, даже будучи бумажной. Набережные Дивы и пещеры Митры Март и апрель 2006 года я прожил в деревне Систиана у самой северной точки Адриа- тического моря. В трёх километрах севернее дома проходила по горам заметная только на карте «Державная Межа», то есть граница Италии со Словенией. На работу я бегал по этим горам за 10 километров, к замку «Мирамаре» (т.е. «Любуйся Морем») австрийского принца Максимилиана (убитого в 1867 году в своём качестве императора Мексики). Пролив кило- метров в 20 шириной отделяет Мирамаре от Хорватии, занимающей большую часть Истрий- ского полуострова восточного берега. Сейчас в имении Максимилиана два научных института: я работал в ICTP («Между- народный Центр Теоретической Физики имени А.Салама»), а рядом стоит его Итальянский напарник SISSA, национальный Институт Высших Научных Исследований ( в имя которого вторая буква $ введена ради уничтожения созвучия с итальянским словом «сиськи»). Основанная папой Сикстом (в честь которого и Сикстинская капелла) деревня Сис- тиана была в конце второй мировой войны американской базой подводных лодок. Одна из этих лодок до сих пор лежит в бухте Систианы под водой. Отвесные и местами почти стометровой высоты скалы, составляющие берег, были, говорят жители, коралловым рифом 60 миллионов лет назад, и недавно близ устья соседней реки Тимаво нашли остатки динозавра. Могучий поток Тимаво, шириной метров в 50, вырывается из-под гор за километр примерно до своего впадения в море, а уходит под землю километров на 50 выше по тече- нию, в Словении. Местные жители утверждают, будто Язон вернулся из Колхиды именно по реке Тимаво (поднявшись сперва к её истокам по притокам Дуная из Чёрного моря). 171
Проверить эту версию я не сумел, хотя заплыть снизу в подводную реку и можно. Те- чение мешает плыть вверх (но Язон ведь плыл на лодке вниз!). Зато я проверил другие странные теории, связанные с местной географией (см. ниже). Путь от впадения Тимаво к Систиане идёт по «тропе Рильке», проложенной им в со- сновом лесу между деревнями Дюино и Систианой по вершинам скал. Море бьётся внизу о вылизанные им камни сосем рядом, но к нему спуститься трудно. Рильке начал здесь «Эле- гии Дюино». Но особенно любил эту деревню долго живший в ней Джойс. Джойс мечтал, чтобы его похоронили в здешнем лесу, без надписи и кладбища. Бегая по горам я нашёл у самой границы заброшенную могилу вблизи вершины горы Монте Эрмадо, в сосновом лесу красивой карстовой воронки. Но говорят, Джойс умер и похоронен в Цюрихе, так что это могила другого, хоть и ровно такая, о которой он мечтал. В замке деревни Дюино, где жил Джойс, было древнее имение Турне-Таксиков, от имени которого мы наследовали и слово «такси», и слово «taxes» (=налоги).. Сейчас на шос- се около этого места надпись «Naberezhnye Divine», т.е. «Прибрежные Дивы». Здешнее насе- ление - в основном словенское, хотя они и проголосовали после войны за включение района в Италию, а не в Югославию. Жители рассказали мне, что всё это побережье Адриатики вплоть до самой даже Равенны от немцев отвоевали русские войска, «братушки», вместе со словенскими партизанами, исключая лишь Венецию, отданную американцам. Я раньше не доверял рассказам солословского (подмосковного) учителя истории, как он освободил цер- ковь в Классах около Равенны и любовался её и правда чудесной мозаикой 6-7 века, а оказы- вается, так оно всё и было. Мой ежедневный путь в горы вёл из деревни Систианы мимо её «Покопалища» и «Игрища» (т.е. кладбища и стадиона). На баках для мусора написайо «да» и «не», причём на первом баке около «да» нарисована бутылка, а на втором - остатки арбуза. Русский язык здесь понимают лучше французского. Уже через метров 300 от моего дома начинаются совершенно пустые поросшие со- сной горы, обжитые только стадами оленей, не боящихся людей. Мать-олениха, почти летя по лесу, с белым пятном на заду, ведёт за собой целый детский сад из оленят, и они обраща- ются ко мне, прося хлеб и ласки, хотя мать кричит им, чтобы бежали за ней. Вся эта местность называется Фриули - Джулия, так как к Италии её присоединил Юлий Цезарь, завоевавший всю «Предальпийскую Галлию» (именно после этого он перешёл Рубикон, чтобы завоевать Рим). Проложенные здесь Цезарем дороги видны лучше всего в лесу: путь метра в три в ширину выложен ровными камнями, а от окружающего леса отделён двумя каменными заборами из наваленных друг на друга обломков скал, суммарной высотой примерно в рост человека. Похожие на римские дороги есть в Англии, под Кембриджем. От тех времён остался в Италии крайний (в сторону Северо-Востока) населённый пункт, где Цезарь установил римские порядки; сейчас это городок Фриули (бывший «Форум Цезаря»), Он лежит у подножья снежных ещё в апреле Альп (вершины которых видны и с вершин гор района Систианы, километров за тридцать). В этом городке Цезаря меня поразил «Мост Дьявола» - арка метров в 15 высотой над небесно-голубой горной рекой, в которой, прямо под мостом, ходят стада золотистых форе- лей полуметровой длины каждая. «Мостом Дьявола» он называется потому, что перестал обрушиваться только при лан- гобардах, завоевавших эти древние места в 8 веке: они заключили с дьяволом договор, по которому первый, кто перейдёт мост, от этого погибнет (и пустили первым осла). Сейчас по этому мосту, не чиненном с тех пор, ходят междугородние автобусы типа «Икарус». Двадцатиметровой высоты стены ущелья, по которому протекает под мостом река, украшены входами в (кельтские) пещеры 3 века до новой эры, с надписью «жилища Трогло- дитов», восходящей, видимо, к длиннобородым лангобардам, построившим в одной из этих пещер чудесный десятиметровый в длину христианский храм (фрески которого, впрочем, обновлены лет на 200 позже). 172
Бегая ежедневно по ближним лесным горам (высотой всего лишь 300-400 метров) за оленями, я наоткрывал множество удивительных деталей, особенно в многочисленных здесь карстовых воронках, глубиной метров по сто каждая. Есть, например, таинственные трёх- метровые озёра - поилки для оленей, полные лягушек-головастиков и поедающих их трито- нов-аксолотлей. А есть и пещеры, ведущие неизвестно куда, с разнообразными ходами в пропасти и обитаемыми летучими мышами гротами со сталактитами. Особенно поразила меня находящаяся примерно на километр восточнее устья реки Тимаво большая пещера, бывшая пару тысяч лет назад храмом Митры. Таинственная религия Митраистов родилась (как я узнал в Интернете (http://en.wikiDedia.org/wiki/Mithraism <info@mithra.it>) после исследования этой пещеры) примерно за 4 тысячи лет до новой эры в восточном Иране. Зароострийцы—огнепоклонники — это более поздняя секта митраизма. Митру изображают убивающим быка, кровью которого он «крестил» молодых людей (ради повышения плодородия их земель). Он увлекался астрономией (так как хотел учиты- вать предварение равноденствий для точного выбора дня сева), а родился около дня зимнего солнцестояния, а именно 25 декабря. Христиане заимствовали эту дату Рождества у Митраи- стов около четвертого века. Эпифания (т.е. поклонение рождённому божеству Бальтазара, Каспара и Мельхиора) праздновалась митраистами за тысячелетия до христиан (которые за- имствовали этот обычай у митраистов решением своего Собора 813 года). Тертуллиан обвинял митраистов в том, что они «пренебрегают вечным спасением ду- ши, а заботятся только об установлении социальной справедливости на Земле». В Европу митраизм принесли с Востока римские солдаты. Например, имя «Митридат» означает: «получивший (власть) от Митры». Первые века Новой эры митраисты и христиане соревновались за завоевание паствы, но христиане к четвёртому веку победили (главным образом из-за того, что митраисты ис- ключали женщин и нищих, а христианство на них-то и опиралось). Слово «Папа», означавшее первосвященника митраистов задолго до христианства, последние заимствовали у митраистов вместе с другим их словом «месса». Тысячелетиями считалось, что Митру убили враги, что его похоронили в каменном гробу и что он воскрес через три дня. Перед тем, как отправиться затем на небо, Митра за- дал пир своим ученикам (которых было 12, по числу зодиакальных созвездий, использован- ных им в астрономии). Храмы Митры (человек на 40 каждый) были всегда обязательно подземными, без све- та, в естественных или искусственных пещерах с семью ступенями. В них посвящаемых не- делями мучили переодетые зверями священнослужители. В современной Италии таких пе- щерных храмов найдено около 2000, но над большинством из них впоследствии были воз- двигнуты христианские церкви. Иерархия миртаистов включала семь степеней: ворона - дружок - воин - лев — перс - солнцевестник - отец. При крещении митраистов освящаемому давали хлебец с вылеплен- ным сверху крестом (в знак освящённости хлебца). Некоторые учёные считают, что митраисты заимствовали всё у христиан, и спорить трудно, потому что из-за чрезвычайной любви к секретности своей религии митраисты не оставили никакого текста своего учения. Мне понравилось замечание исследовавших эту проблему специалистов, что «те, кто утверждает, будто митраисты всё заимствовали у древ- них христиан - сами все христиане». Напротив, польский математик и дипломат Ян Потоцкий в своей «Рукописи, найден- ной в Сарагосе», явно указывает, что христианские заимствования из митраизма хорошо из- вестны. Он знал их так же хорошо, как знал о заимствованиях братьями Бернулли, с которы- ми переписывались его герои, теорий Ньютона (который, ведь, как и митраисты, не публико- вал своих утверждений и держал их в тайне). 173
Например, Ньютон не опубликовал известную ему топологическую теорию римано- вых поверхностей, а лишь использовал её в своих «математических началах натуральной фи- лософии» для доказательства одной леммы (при исследовании «закона площадей» Кеплера и «уравнения Кеплера» для определения места планеты на её эллиптической орбите в данный момент времени). Лейбниц, не знавший топологию римановых поверхностей, счел эту лемму ошибоч- ной, но Ньютон умел доказывать её (при помощи топологии и своего «параллелограмма Ньютона», доставляющего «решение всех уравнений: алгебраических, дифференциальных и интегральных»). Метод параллелограмма опубликован Ньютоном лишь в виде «длинной диаграммы», которую он считал своим крупнейшим вкладом в математику, и почему-то не входит в современные учебники анализа. В митраистском пещерном храме около деревни Дюино, который я исследовал, со- хранились странные митраистские скульптурные изображения (ворона видна хорошо, а лев и остальные могут и оспариваться) Видно то место, вроде алтаря, куда клали быка для крово- пускания, видны непонятные надписи на неизвестном мне языке. Специалисты твёрдо уве- рены, что эта пещера - типичный митраистский храм, они эти надписи расшифровали. Другая исследованная мною подобная пещера - менее очевидный пример. Она назы- вается «грот Александр» и находится километрах в двух северо-восточнее описанной, на склоне горы Коко, метрах в 160 над уровнем моря, вблизи так называемой «Тропы Войны», сохранившей следы тяжёлых боёв первой мировой войны, происходивших в этих пустынных горах. В мало кому известной пещере «Александр», примерно вдвое большей, чем описанная выше, есть и подобие быкоубийственного алтаря, и подобные скульптурам колонны, и ста- лактиты, и сталагмиты, и летучие мыши, и таинственно уходящий вниз боковой ход (воз- можно, ведущий в сторону недалёкой реки Тимаво). Но я не обнаружил следов исследования этой пещеры специалистами по митраизму, так что оставляю решение вопросов о её истории своим последователям. О «Тропе Войны» в Интернете приведено много сведений: сколько человек, какого полка погибло в бою такого-то числа у такого-то поворота этой глухой лесной тропы, учиты- вая альпийские и спелеологические разметки разных цветов разных развилок (на участки «А», «С» и другие), но эта местность показалась мне скорее заброшенной и недоизученной: кроме меня и оленей ни на одной из троп никого не было, и никто не мешал мне любоваться с высоты этой тропы прекрасным видом на Адриатику. И принадлежащая Хорватии огромная часть восточного полуострова Истрия, примы- кающего своей Словенской частью к Триесту, и находящийся километрах в двадцати Триест, и замок Мирамар на полпути к нему, и ближние деревни Ауризино, Систиана и Дюино с замком, и устье реки Тимаво с городом и верфью Монфальконе, за которыми была бы видна Венеция, если бы не отделяющие её 130 километров, - всё видно в открывающейся панораме прекрасно, хотя тропа поднята над недалёким морем всего на 200 метров. Из-за сферичности Земли с высоты h метров над уровнем Земли виден круг радиусом 4 Vh километров (то есть 60 км при высоте 225 метров). Правда, в итальянской таблице логарифмов для школьников я прочёл недавно, что «радиус Земли в Италии несколько меньше, чем в других местах». Они вдобавок ещё и включили единицу в итальянский список простых чисел, отличающийся этим от общеприня- того: например, формула произведения Эйлера для дзета-функции места иметь не может. Остающийся до «Державной Межи» (которая заметна лишь на карте) километр - со- вершенно пустынный и местами обгоревший горный сосновый лес, с вершинами, не дости- гающими и 400 метров, снега и сморчков, которым в марте-апреле самое время. * http://xoomer.virgilio.it/dfrandol/sentieri%20di/%20guerra.htm 174
Зато из-под колючих метрового роста зарослей дикой спаржи лезут новые побеги, ростом сантиметров двадцать, толщиной до полусантиметра. Они так нежны, что ещё не ко- лют и только чуть горчат, если съешь слишком много. Местные жители собирают их, как у нас грибы, и я тоже, хоть весь и искололся до крови, собрал примерно с ведро (т.е. несколько тысяч побегов). Но я, видимо, не умею гото- вить спаржу, как нужно, так что больше удовольствия получал, собирая в здешнем диком лесу дикую сирень, вдруг бурно расцветшую, вслед за жёлтым кизилом и дроком, вишнями и атласскими кедрами, фигами и другими украшениями здешней флоры. Место, где я нашёл сирень, могло быть обитаемым разве до первой мировой войны (от которой видны ещё и окопы, и руины домов горных селений, теперь же здесь встречаешь только оленей и «га- дов»). Эти «гады» - итальянское слово, означающее странных мохнатых гусениц, сантимет- ров пяти в длину, живущих на соснах в гнёздах полуметрового диаметра. Гнёзда эти - вроде осиных, только скорее белые, чем серые, из паутинного материала. И «гады», выползая из них, составляют извилистые «процессии» метровой и больше длины, сцепившись друг с дру- гом и передвигаясь, подобно отряду термитов (их французское название - «les processionaires»). Удивительно, как часто итальянские слова похожи на русские: например, слово «странный» будет у них «strano». За месяц я прочёл по-итальянски целую книгу в 500 стра- ниц, почти не заглядывая в словарь (где, впрочем, половины нужных слов не было, так как они относились не к стандартному языку, а к специфическому арго алмазоискателей Южной Африки, переехавших в Нью-Йорк. Зато математическим занятиям на «Тропе Войны» и в её окрестностях никто не ме- шал, и я наоткрывл много нового, и даже написал, в окружении здешних оленей, с десяток математических статей. В горах писать было легче, потому что дома (то по случаю католической Пасхи, то православной) всё время передавало чудесную музыку радио Любляны: страсти Баха были в самом лучшем исполнении, а в виде добавления к музыке можно было слушать по радио дискуссии словенских (и других) экспертов то с Иваном Карамазовым, то с Фёдором Михай- ловичем Достоевским, то о христианской этике, то об инквизиции, то о террористах, то о панславянизме. Здесь чувствуешь себя почти дома, только запад называется заходом, а восток - вос- ходом. Но, когда радио предупредило, что завтра «в покрайнах дождиво», то дописывать атематическую статью о статистике топологического строения тригонометрических много- членов пришлось дома. Фазаны Венсенского леса В Венсенском лесу, расположенном по отношению к Парижу примерно так, как Из- майловский парк по отношению к Москве, я часто работаю на образовавшейся после пова- лившей лес бури поляне, под двадцатиметровыми белыми акациями, пытавшимися меня удушить своим запахом, среди редких дубов и грабов (которых латинское название - Carpi- nus Betulus - напоминает об их родстве с берёзой - Betula alba или Betula verrucosa, мне не- заметном). Однажды записываемые теоремы начали путаться в моей голове из-за странного шу- ма. В десятке метров от меня две жар-птицы красно-оранжевого-жёлто-крапчатого цвета, длиной (как я прочёл в последствии в учебнике) метр восемьдесят пять сантиметров (а на мой взгляд - двухметровые), затеяли драку, токуя ради обладания своей скромной пестрень- кой полуметровой фазанкой, обращавших на дуэлянтов меньше внимания, чем я. Мне казалось, что целью соперников было расклевать друг другу головы, но на самом деле это не так легко осуществить, так что они ограничивались звонкими пощёчинами, нано- 175
симыми друг другу сильными ударами огромных крыльев. Эти удары и производили шум: нечеловеческие выкрики, которыми они сопровождались, добавляли уже немного. Я встречал фазанов на этой полянке, у пересечения «дороги полумесяца» с «дорогой чистого неба» и раньше, но они ходили по ней по одному пешком, отыскивая в кустах пищу, не обращая на меня никакого внимания с тех пор, как я загорел там дочерна и без пробелов. Между прочим, французское название “route de la belle etoile”, переведённое выше как «дорога ясного неба», точно перевести я не умею: “a la belle etoile” («под ясным небом» - указание не столько на хорошую погоду, сколько на бездомность, «без крыши над головой», по-английски соответствует скорее выражению “out door life”, «на открытом воздухе», чем образ какой бы то ни было звезды). Подравшись с полчаса в десятке метров к западу от меня, один из моих фазанов ре- шил, видимо, сдаться. Он перелетел у меня над головой на восток от меня, опустившись на таком же десятиметровом от меня расстоянии, как и точка взлёта. Но второй фазан тотчас тоже перелетел с запада на восток, и драка продолжалась, по- ка всю компанию не вспугнула японка с двумя детьми-дошкольниками, сыном и дочкой.... Так или иначе, фазаны улетели, а я прошёл к соседнему ручью, соединяющему между собой озёра Венсенского леса. Воду из Марны закачивают в самое верхнее озеро Гравель, на водоразделе между Се- ной и Марной, на восточном краю Венсенского леса (недалеко от места, где Наполеон сокра- тил пятнадцатиметровую петлю Марны, выкопав километровый туннель, по которому суда проходят и сегодня, срезая петлю, в метрах ста под Жанвильским перешейком, соединяю- щим Венсенский лес с полуостровом Сент Мор, через который наступал на Париж ещё Атилла. Из верхнего озера Гравель ручьи с водопадами (ширина ручья - два-пять метров, вы- сота и ширина каждого водопада - метр) самотёком доставляют воду в полдюжины осталь- ных озёр. Самое большое - имени Наполеоновского генерала Домениля, коменданта Венсен- ского замка, организовавшего всё это водоустройство, но не впустившего в Венсенн русские войска в 1813 году, угрожая взорвать Париж вместе с Венсенном накопленным им в замке порохом: он сказал, что не откроет замка, пока враги не отдадут ему ногу, оторванную ядром в битве при Ваграме. Другое озеро - «Святая Мамда», у городка с таким же именем, между Венсенном и Парижем, третье - «Минимов», и т.д. Ручей, ближний к фазаньей поляне, зарос по берегам белой акацией, бурно цветущи- ми грабами, липами и даже кое-где смородиной. На одном из плёсов, между двумя водопа- дами, я обнаружил (в июне) внезапное появление аршинного размера рыб неизвестной мне породы: ленивые, чёрные, спокойные, не похожие ни на щук, ни на окуней, ни на карпов, с круглым жёлтым пятачком рта впереди, они предпочитают тёмные места плёса, избегая сол- нечного света, и могут подолгу лежать, уткнувшись носом в прибрежный камень, ниже пи- тающего плёс водопада, приносящего рыбам, видимо, и кислород, и пищу. Мелкие (сантиметров пяти-десяти в длину) рыбы толпятся на плёсе сотнями, но три крупные (которых я быстро научился отличать друг от друга) не обращают на них никакого внимания. Проходящие изредка мимо французы тоже не замечают рыб - ни крупных, чёрных, ни мелких, серебристых. Всего в полукилометре от этого места я видел троих рыболовов с удочками, тщетно пытавшихся что-либо выловить (на следующем вверх по течению плёсе). Конечно, там ничего не ловилось, но зато туда можно было подъехать на автомобиле, мой же тихий плёс, равно (и заметно) удалённый от всех больших дорог, остаётся нетронутым лес- ным уголком, хотя на маленьком островке, почти замыкающем плёс снизу, и поставлена уютная скамья (впрочем, уже изрезанная ножами посетителей, оставивших странные надпи- си, вроде «KAFKA» и «та femme en shorts, la leite dedans»). 176
Последняя фраза требует от читателя некоторого филологического интеллекта: для рифмы следует заменить одно слово противоположным, и тогда фраза становится столь же голубой, как и сопровождающее её изображение «жены» в шортах. Наглядевшись на рыб, я решил навестить ещё и «орнитологическую обсерваторию» Венсенского леса. Эта обсерватория - избушка, снабжённая, вместо окон, прорезями в сте- нах, через которые можно заглянуть вглубь окружающего леса. Этот участок леса, полный недавно отцветшей черёмухи, огорожен (от людей и от собак) колючей проволокой, птицы же вьют в нём гнёзда и выращивают потомство. На стенах обсерватории, внутри её, висят портреты всех птиц, и про каждую - под- робный рассказ. Например, сказано, когда прилетает (19 марта) и когда улетает (16 октября), чем питается и где гнездится, причём песни каждой записаны и французским алфавитом, и нотной грамотой. Да, вдобавок, рассказаны и ... легенды, так что я узнал в этой обсервато- рии много для себя нового о происхождении Семирамиды и многих других, включая Ови- диевых Филомелу, Прокму и Терея. Например, там сказано, что стриж высыпается так: он сначала залетает километра на два в высоту, а потом, планируя, медленно спускается (с открытым, ради пищи у земли, ртом) во сне. Причём, утверждает текст описания, зачастую они успевают так выспаться да- же вместе с подругой, вследствие чего и растёт их поголовье. Причём спит, как говорят, в каждый момент только половина мозга. Про жаворонка объяснено (со ссылкой на Элиана) происхождение его хохолка, воспе- того Плутархом («как у каждого жаворонка появляется хохолок, так в каждом цивилизован- ном государстве появляются сексоты»): оно доказывает (на что указывает и Аристофан в «Птицах»), что птицы старше всех других животных и даже богов, так как они существовали ещё до того, как земля была отделена от воды и хаоса. У жаворонка, в это время скончались, говорят, родители, а похоронить, за неимением земли в природе, было негде. Считается, что он взрыхлил перья у себя на голове, вырыл сре- ди них могилу и там и похоронил родителей - от того-то теперь и хохолок. Про ласточек сказано, будто они ближе всех к Афродите, и вот почему. Утверждается, что, в отличие от остальных птиц, обращающихся с супругами, подобно петуху с курицей (Петух сзади), ласточка обращена к супругу лицом. Не могу поручиться за справедливость всех этих многочисленных историй, но одна из них - история имени птицы «королёк» («крапивник»), по-французски «aa6adyte», тоже заим- ствованная из «Птиц» Аристофана, заведомо ошибочна, как пишут комментировавшие Ари- стофана филологи - вследствие того, что он спутал два похожие греческие корня, и назвал птицу «царской» (откуда и «королёк», и похожие названия её в других языках), тогда как речь шла о части человеческого тела, которую эта птица напоминает своим размером и фор- мой. Французское имя «троглодит» объясняется тем, что много гнёзд этой птицы обнару- жили в пещерах, где, по представлениям исследователей, никто, кроме троглодитов, жить не мог. Раздумывая над всеми этими птицами, я подошёл к смотровой прорези и рассмотрел окрестности в свой бинокль. Метрах в двадцати от избы в лесу - дикое озеро, слегка зарос- шее по краям тростником. Хотя это озерцо всего метров пятьдесят величиной, птицы и гнез- дятся вокруг, и плавают по нему, и прячутся в его тростниках. И вот, разглядывая эту птичью жизнь в бинокль, я вдруг заметил на противоположном берегу озера яркорыжее пятно. Я принял его за собаку, как-то преодолевшую колючий забор, окружающий птичий заказник. Но при более внимательном рассмотрении эта собака оказа- лась растянувшейся на берегу озера лисой, высматривающей, видимо, добычу. Французы этих городских лис боятся, так как считают, что они заражены бешенством и распространяют заразу стекающей слюной, из-за чего, якобы, опасно собирать в лесу яго- ды, вроде земляники. 177
Не знаю, бешены ли мои знакомые лисы, но я ягоды собирал в большом количестве (землянику в июне - по литру в час), после неё вишню и черешню, падающие прямо в Сену, а позже ежевику - ведрами, но это осенью, а вот облепиху лучше всего собирать в январские и февральские морозы, когда она градом сыплется с отряхиваемых веток, а не рвется, расте- каясь в пальцах. Странным образом, дикой облепихи, которую никто здесь не знает и не собирает, я нахожу довольно много совсем близко от Парижа, например там, где большая автодорога «Франсильенка» пересекает лес Нотр Дам. В этом месте через дорогу устроен мост для ааба- нов и косуль леса, чтобы они могли переходить из одной части леса в другую (навестить родственников), не попадая под машины (отстреливают их только несколько дней в году). Шоссе окружено непроходимой стеной, которая защищает и автомобилистов от ааба- нов, и обитателей леса от автомобилистов, - а без автомобиля какой же француз отправится в лес? Над шоссе сделан обсаженный кустами переход для зверей (так, чтобы они и на мосту думали, что идут по лесу и не пугались). Так вот, эти-то кусты, защищающие кабанов от вида автомобилей, и представляют собой, в большинстве, колючую облепиху, голые ветви которой в январе-феврале имеют ян- тарный от ягод цвет. Научиться не слишком колоться острейшими и длиннейшими шипами, отрясая горох примёрзших к ветвям облепивших их ягод, - не так уж трудно, а вкусна обле- пиха замечательно. Из других достопримечательностей Венсенского леса меня поразили многочисленные в нём рощи атласских кедров. Этот кедр, совсем не похожий на обычный ливанский или ал- тайский, на вид напоминает нечто среднее между ёлкой и лиственницей. Но он не сбрасыва- ет иголок, как лиственница, и направляет шишки» скорее вверх, а не вниз, как их направляет ёлка. Сами эти шишки больше похожи на еловые, чем на сосновые, но форма их скорее сфе- рическая, а диаметр - сантиметров десять-пятнадцать. Белки добывают из шишек семена, разбрасывая под кедрами чешуйки, подобные «ле- песткам» артишока, только дюймовой величины и довольно твёрдые (а само семечко, спря- танное под чешуйкой, меньше горошины). Атласские кедры, родина которых южнее Гибралтара, - не человеком посаженный сад, а дико распространяющиеся деревья, хотя в истории Франции они появились недавно. А именно, в 1734 году французский ботаник Жюсье купил в Лондоне два атласских кедра и пе- ревёз во Францию, посадив один из них в Париже в Ботаническом Саду, а другой - в Нуази- ле-руа, километрах в пяти северо,-западнее Версаля. Оба атласских кедра Жюсье стоят и жи- вут до сих пор, а от их семян, разносимых птицами, кедры распространились повсюду. В Венсенском лесу они встречаются целыми рощами, по 10-20 ёлкообразных деревьев, но, приглядевшись к шишкам, легко заметить разницу. Самое старое дерево Венсеского леса - дуб, посаженный в 1795 году, после того, как предыдущий вырубили из-за нехватки дров для отопления революционною Парижа. Теперь он украшен облепихой и находится около Минимского озера ~ (это затопленный кольцевой ров монастыря Минимов, о котором напоминают два сохранившихся дома у Жёлтых Ворот Венсенского леса). 178
Мы - математики с Ленинских гор 2009 г. АРНОЛЬД ВЛАДИМИР ИГОРЕВИЧ Действительный член Российской Академии наук, Почётный доктор и академик математических обществ и академий разных стран, Лауреат многих международных престижных премий, Лауреат Ленинской премии, Государственной премии России-2008 г. ПЕРЕОРИЕНТАЦИЯ НАУКИ НА «ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ» ПРИВЕДЁТ К СНИЖЕНИЮ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОГО УРОВНЯ СТРАНЫ Стр. 19-25 23 Дек 2008. «Троицкий вариант», Рубрика: Бытие науки Один комментарий от редакции газеты «Троицкий вариант»; Для нас уходящий 2008 год был особенным — ведь это год рождения нашей газеты, провозгласившей своей целью борьбу с деградаци- ей науки. Перефразируя слова одного из наших авторов, кредо «Троицкого варианта» можно определить так: стране и самим ученым нужна настоящая наука, а не ее имитация. Именно поэтому газета регулярно высту- пает в поддержку самостоятельности научных работников и групп, составляющих основную движущую силу науки, в поддержку прозрачности, конкурсности, независимой экспертизы, «гамбургского счета». Именно по- этому среди наших авторов и героев интервью — Анатолий Вершик, Виталий Гинзбург, Владимир Захаров, Юрий Манин, Валерий Рубаков, Исаак Халатников. Теодор Шанин. Владимир Ядов, Евгений Ясин и многие дру- гие ученые, которыми наша наука может гордиться и которым действительно есть что сказать. К сожале- нию, несмотря на все заявления с высоких трибун о важности перехода страны на инновационный путь раз- вития, в 2008 году недооценка значимости науки лишь усугубилась. Как уже отмечалось в ТрВ, в последнее время из уст руководителей страны звучат слова о том, что финансовая поддержка ученых со стороны госу- дарства — все больше и больше, а отдача от ученых — все меньше и меньше. Вместо вдумчивого анализа — как создать нормально работающую систему связи между научными идеями и их использованием в реальной экономике — эти тезисы в стиле «чего изволите» были мгновенно подхвачены и доведены до абсурда рядом «экспертов». В публикуемых ими материалах ставится под сомнение необходимость развития фундамен- 179
шальной науки в России и делается вывод, что всерьез поддерживать следует лишь прикладную науку, что РФФИ надо переориентировать на поддержку инноваций, и т. п. Мы обратились к выдающемуся российскому математику, доктору физико- математических наук, академику РАН Владимиру Игоревичу Арнольду с просьбой оценить последствия возможных шагов в этом направлении. - В последние пару месяцев звучат призывы переориентировать науку с фунда- ментальных на прикладные задачи. Если эти призывы будут реализованы, что от этого получит российский народ в ближней и дальней перспективе? - Тенденции заменить «теоретические» науки прикладными не новы. Восставая про- тив них еще в середине XX века, английский математик Харди в старости писал: «Если бы мне сейчас пришлось выбирать себе специальность, то я бы выбрал либо теорию относи- тельности, либо теорию чисел, ибо только эти две области никогда не будут иметь никаких военных приложений». Кое-что о многочисленных приложениях математики Харди знал от своего соавтора и соседа по Кембриджскому Тринити-Колледжу Литтлвуда (занимавшегося даже артиллерий- ской стрельбой и адиабатическими инвариантами небесной механики в связи с устойчиво- стью планетных орбит) [1]. Но Харди следовало бы к тому времени уже знать и о «формуле атомной бомбы» Эйнштейна Е=тс2 из теории относительности, и об успехах криптографии, основанных на теории чисел (и приведших Тьюринга как к расшифровке немецких кодов, так и к изобретению им компьютеров, называемых сегодня машинами Тьюринга). «Гуманист» Харди был недоучкой, считавшим «самым гуманным оружием» горчич- ный газ — иприт. Впрочем, не одному лишь Харди «переход от теорем к практически полез- ным приложениям» напоминал переход от музыки Моцарта к литаврам военных оркестров или от клятвы Гиппократа к бактериологическому оружию. Величайший прикладник Пастер сказал о приложениях следующее: «Никаких при- кладных наук не было, нет и никогда не будет. Есть науки, совершающие научные открытия, и есть их приложения (т.е. использование именно открытий этой науки на пользу человече- ству). А «прикладные науки» — это лицемерный псевдоним, выбранный для своей деятель- ности теми, кто желает отнять у фундаментальных наук средства, естественно выделяемые обществом на научные открытия, которые так ему нужны». Я хотел бы подчеркнуть, что это сказал не абстрактный аксиомофил вроде Декарта или Бурбаки, а замечательный биолог Пастер, которого все больше знают именно за его при- кладные работы. Но начинал он с гораздо более теоретических исследований, открыв, в ча- стности, значение киральности для биологии и жизнеобразования. Хиральность (или хиральность) — это отличие левых винтов от правых [2]. Сложные органические молекулы часто бывают закручены винтом, и такая молекула имеет два вари- анта (одинакового химического состава, но являющиеся зеркальным отражением друг дру- га). И вот Пастер открыл этот эффект «левовращения поляризации» для важнейших органи- ческих соединений (включая даже глюкозу) — причем оказалось, что в живой природе всю- ду встречается только один из двух симметричных вариантов. Если кормить животное вторым (а при синтетическом производстве химиков оба ва- рианта появляются в виде смеси, пятьдесят процентов — с левыми, а пятьдесят — с правыми винтами), то организм сначала разберет эти неправильно ориентированные молекулы на атомы, а потом заново соберет из них такие же молекулы другой киральности и только тогда сможет их использовать. Естественно, на эту перестройку придется израсходовать дополни- тельную энергию — из открытия Пастера следует, что лучше отбирать односторонние моле- кулы корма (которые образуются при его биологическом производстве). Один директор пары научных институтов сказал мне: «Все академики делятся на две категории — директора и завлабы. Завлаб все свои силы тратит на научные исследования, и за это боги посылают ему замечательные открытия. Директорам же в качестве компенсации за отсутствие научных открытий боги посылают много денег». 180
«А кто ж ты?» — спросил я этого академика (за работы которого Нобелевскими пре- миями наградили его последователей). Он сказал, что собирается уйти с обоих директорских постов — и вскоре сделал это. Для развития науки нужно поощрять не директоров, а именно завлабов. Как это ни удивительно, но ни столь прославляемые Нобелевские премии, ни Филдсовские медали ма- тематиков, ни избрание в члены всевозможных академий не оказали почти никакого влия- ния на поступательное развитие науки XX века — это относится не только к российским лауреатам (странным образом Нобелевские премии они получили именно по предложениям иностранных, а не русских специалистов), но и ко всем им. Ни А.Пуанкаре, ни Г. Вейль, ни Дж.Биркгоф, ни Д.Гильберт, ни А.Тьюринг не получили вполне заслуженных ими Нобелев- ских премий (я называю только первые пришедшие в голову имена из многих и не называю награжденных слабых лауреатов — а они тоже есть). Ближняя перспектива для России: «переориентация» ее науки на «прикладные иссле- дования» — резкое снижение сначала интеллектуального уровня страны, затем вследствие этого и индустриального, а значит и оборонного. Один мой друг-математик сформулировал «основную пользу» математики как «реше- ние основной проблемы современного постиндустриального человечества». По его словам, эта проблема — «перейти от наблюдавшегося более века ускорения научно-технического прогресса к его замедлению». В этом математика, думается, и помогает: «занятия ею отвле- кают лучшие умы от более опасных занятий, вроде усовершенствования автомобилей и са- молетов». Я пишу об этом вовсе не для того, чтобы согласиться с ним или с его предшественни- ком Г.Харди. Как-то раз Харди сказал, что Гаусс правильно называл математику «королевой наук». А именно, по словам Харди, «общая черта королевы и математики — полная беспо- лезность обеих». Такие безответственные высказывания и явились причиной тех опасных тен- денций, о которых вы спрашиваете: как не уничтожить такие науки? Эта тенденция — не российское изобретение, а гибельное явление мирового характе- ра, напоминающее мне средневековый обскурантизм инквизиторов. Объяснение этой тен- денции — стремление недоучек, держащих власть в своих руках, защитить себя от прихода более компетентных конкурентов, лучше обученных молодых людей. Этим и объясняется борьба против науки, культуры и образования, распространившаяся сейчас во всем мире. Россия в этой мировой тенденции (как и во многих других) отстает, к счастью, лет на тридцать. Наши школьники еще хотят учиться наукам, а не банковскому делу, решают зада- чи олимпиад, приходят на лекции и семинары в университетах. В отличие от, например, американских школьников, наши понимают, что 1/2 + 1/3 во- все не 2/5 (хотя 1 + 1 = 2 и 2+3=5): не бездумно выполнять какие-то инструкции, их учат по- нимать сущность вещей, а не действовать по готовым рецептам. А.Пуанкаре, великий французский математик и физик (первым сформулировавший в 1895 г. принцип относительности, заимствованный у него Эйнштейном через 10 лет), гово- рил, что понять простые дроби, вроде 2/3, можно только, разрезая на дольки либо яблоко, либо круглый пирог. Наших школьников так и учат до сих пор, а во Франции, как написал в недавней ста- тье «Пятое правило арифметики» профессор физики одного из университетов Парижа, про- стые дроби перестали объяснять школьникам (следуя американскому образцу и десятично- сти дробей компьютера), заставив их зато учить наизусть, как таблицу умножения, «пятое правило»: 3/б ='/з Это пример того, к чему ведет предполагаемая «переориентировка». Ракеты полетят не в ту сторону, понять письменный приказ офицера эти безграмотные новобранцы (состав- ляющие до 15%) тоже не сумеют, и, как говорил Салтыков-Щедрин, хорошо, если за наш 181
рубль будут давать полтинник, «будет хуже, если за наш рубль станут давать в морду». Но я искренне надеюсь, что эта чаша минет нас, — героические учителя школ в глубинках России будут продолжать учить детей и дробям, и Пушкину, и Толстому, что бы ни велели им из Москвы. - Все знают шутку «наука есть способ удовлетворения собственного любопытства за государственный счет». Некоторые чиновники воспринимают ее всерьез. Что на са- мом деле оплачивает налогоплательщик, финансируя науку? - Наука стоит гроши по сравнению с тем доходом, который от нее получают. Ни стра- ны, ни правительства до сих пор не расплатились с учёными (начиная от Фарадея и Мак- свелла) снабдившими их и электрическим током, и динамомашинами, и электромоторами, и освещением, и радио, и телевидением, и электропоездами. Стоили все эти открытия малую долю процента того дохода, который налогоплательщики получили. Академик-секретарь от- деления математики Российской академии наук опубликовал (в ленинградской газете) свои подсчеты: все расходы Советского Союза на математику в год составляли малую долю стои- мости одного танка. Между прочим, Мстислав Всеволодович Келдыш, будучи президентом Академии на- ук, объяснил руководству страны, что, в отличие от США, советская атомная бомба (да и во- дородная) была рассчитана задешево, потому что, в отличие от фон Неймана, использовав- шего для расчета американских бомб компьютеры, наши бомбы были рассчитаны математи- ком-теоретиком Леонидом Витальевичем Канторовичем (впоследствии лауреатом Нобелев- ской премии по экономике) безо всяких компьютеров. Хотя я и не соглашался тогда со сде- ланным отсюда выводом Келдыша о ненужности компьютеров для СССР, переубедить его мне не удалось: возникло то наше отставание в компьютерной технике, которое тяжело ска- зывается даже сейчас. Замечу, кстати, что Л.В.Канторович был, по его словам, заочным учеником моего де- да, В.Ф.Арнольда, бывшего первым математиком-экономистом в России (и опубликовавшего в 1904 г. свою книгу, где он перевел все экономические теории, включая марксизм, на язык теории дифференциальных уравнений). Его теории привели его к выводу, что Российская империя по экономическим причинам распадется менее чем через сотню лет. Свои выводы он основывал на теориях Вальраса и Парето, которые заимствовал у него позже и Канторо- вич. За это экономисты выгнали Канторовича из Ленинградского университета, когда он предложил там свои методы оптимизации, — его объявили проповедником в СССР фашиз- ма, так как незадолго перед этим Муссолини объявил (давно умершего) Парето крупнейшим итальянским математиком. Из-за этого Канторовичу, ставшему безработным, и пришлось заниматься расчетом атомных бомб. Сейчас его методы оптимизации используют все экономисты. Но несколько лет назад, когда его последователи рассчитали оптимальный режим железнодорожных перевозок гру- зов в одной из больших областей России, местная администрация отказалась внедрить эти предложения, потому что они сокращали расходы по их перевозке на 40%. А зарплата чи- новника, принявшего такое отказывающее решение, составляла, по определению, опреде- ленную долю расходов на перевозку — вот он и не захотел уменьшить свою зарплату. Этот пример ясно показывает, что науке нужна помощь общества и государства — без такой помощи налогоплательщики, и правда, не получат даже от самой совершенной науки той выгоды, которую она могла бы принести. - В школе учат многим лишним вещам, которые человеку в его жизни никогда не понадобятся. Например, доказательству теорем. Соответственно появляются призы- вы сделать и образование более «прикладным» — учить детей непосредственно тому, что им понадобится в жизни. В той или иной степени эти призывы реализуются в раз- 182
ных государствах. К чему приводит и может привести подобное реформирование обра- зования? - Мнение, будто доказательства теорем — лишние «вещи, которые никому никогда не понадобятся», - распространенное заблуждение. Не понадобятся они послушному стаду ра- бов, готовых исполнять не понимаемые ими приказы начальства. А сознательное, творческое в любой деятельности настолько близко к доказательству теорем, что нет лучшего способа воспитать его, чем решение математических задач, в том числе и доказывание теорем. В детективной повести Виктории Токаревой «Коррида» (о смерти каскадера на съем- ках фильма) режиссер объясняет следователю, зачем нужна математика (при расследовании - чья жертва каскадер): «Математика - это все то, что можно объяснить». Вот это стремле- ние все понимать и все объяснять и воспитывается доказательством теорем (о пользе гимна- стики для физического развития человеческого тела все уже узнали, а с теоремами дело ведь обстоит аналогично). Хорошо известен случай с государственным деятелем, критиковавшим своего про- тивника так: «Это не просто отрицательная величина, это — отрицательная величина в квад- рате!». Беды, к которым приводит такая безмозглость, слишком хорошо известны, чтобы о них говорить. Причем образованность здесь не помогает. Академик-естественник И.И.Майский, бывший послом СССР в Великобритании, пишет о своей беседе с видным английским руководителем: «Я сразу понял, что мы с ним отталкиваемся как разноименные электрические заряды». Надеюсь, что читатели «Троицкого варианта» знают, что эти заряды как раз притягиваются. Учить детей «непосредственно тому, что понадобится» невозможно и бессмысленно: надо учить их понимать причины вещей, думать (и предвидеть результаты принимаемых ре- шений). Слесарь Валентин Дмитриевич в академическом поселке сказал хозяйке одной из дач: «Что вы натворили на последних выборах? Выбрали Кольку, а какой он академик? Он в про- фессора не годится — я просил его закрутить гайку под раковиной, а он не знал, в какую сторону она завинчивается!». Я очень любил (покойного) В.Д., но не уверен, что обучение академиков должно сводиться к умению завинчивать гайки. Вот еще один довод против обучения «тому, что понадобится в жизни». Живя в 1994 г. в Хайфе, около их Техниона, в квартире израильского педагога, я прочел у него (по- английски) труды их конференций по школьному образованию. Там было сказано: «Есть две основные системы образования: европейская и американская. В Европе школьника учат ду- мать, воспитывают мыслящую личность. В США об этом не заботятся, зато учат тому, что нужно в реальной жизни, — например, вождению автомобиля и поведению на бензоколонке. Ни тот, ни другой способ в Израиле не подходит — потому что ни тот, ни другой не решает нашей основной задачи: воспитать НАСТОЯЩЕГО ЕВРЕЯ. Я думаю, что автор этой речи приехал из Москвы, сохранив привычный образ мыс- лей, — он только заменил «строителя коммунизма» на «еврея». Но на следующих страницах он объяснил, как нужно поступать. Вот, — говорит он, — пример: урок математики. Американскому школьнику дают задачу: «Отец подарил Джону на день рождения 100 долларов, а велосипед, который хочет купить Джон, стоит 500 долла- ров. Отец с Джоном положили эти деньги в банк, приносящий 5% годового дохода. Через сколько лет сможет Джон купить велосипед?» Автор продолжает: «Для американского школьника — это хорошая задача, нужная для практической жизни. Но у нас, в Израиле, она неприменима, она не воспитывает НА- СТОЯЩЕГО ЕВРЕЯ». Можно, конечно, перевести доллары в шекели — это легко. Но это не спасет задачу. Чтобы ее спасти, надо сделать другое — надо эти сто долларов ученику реально дать!» 183
Я не стану фантазировать аналогичным образом на тему, чем заменить наше традици- онное обучение. Оно, кстати, остается и сегодня, по моему мнению, одним из лучших в ми- ре. Мои коллеги в Париже, в комитете по отбору профессоров для Университета Париж- Дофин, сказали мне: «Не можем мы никак последовать твоему предложению выбирать в профессора tex ученых, которые достигли лучших научных результатов — тогда на все по- сты придется брать одних русских, ведь то, насколько лучше их подготовка, нам всем оче- видно!». В 2006 г. по результатам международного сравнительного исследования PISA россий- ские школьники оказались на 33-34-м месте (из пары сотен), ниже французских и американ- ских [3]. Я решил понять, в чем дело (первые места заняли школьники Тайваня, Финляндии, Кореи и Гонконга). Оказалось, что погубила нас такая задача: «В стране N в прошлом году бюджет тратил на науку столько-то, на оборону столько- то, на образование столько-то, на медицину столько-то, а в следующем году по плану цифры такие... Завтра вам предстоит выступать на собрании «зеленых» — докажите, что страна крайне миролюбива. Завтра вам предстоит выступать на собрании «ястребов» — докажите, что страна крайне милитаристская». Наши школьники получили двойки за свой ответ, бывший таким: «вывести из одного и того же два противоположных вывода — невозможно». А победителей в школе обучили именно этому «важному для жизни» искусству. Раз уж вы дали мне возможность говорить об этой жизненно важной для страны про- блеме образования, скажу еще несколько слов, выходящих за рамки прямого ответа только на ваш вопрос. Недавно на совещании Совета ректоров университетов, которое проводил в МГУ В.А.Садовничий, я выступил с предложением обсудить (и осудить) обсуждаемое в мини- стерстве предложение — отменить доплату преподавателям университетов за кандидатские и докторские степени, за звания доцентов и профессоров. Сидевший напротив меня за огромным столом в кабинете ректора МГУ министр А.А.Фурсенко ответил так: «Всем известен анекдот о воздушном шаре: заблудившиеся на нем путешественники спрашивают у сидевшего внизу у костра жителя: «Где мы?». Он долго не отвечает, но потом ответил: «на воздушном шаре!». Один из улетевших путешественни- ков говорит другому: а ведь это.был математик: во-первых, он ничего не говорил, не поду- мав, во-вторых, его ответ был совершенно верным, а в-третьих, — полностью бесполезным». И вот, — продолжил министр, — сегодня Владимир Игоревич опроверг эту историю: хотя он и выступил, подумав, и сказал совершенную правду, его выступление вовсе не было бесполезным. Только зря он так волнуется — пока я министр, этот проект не будет реализо- ван! Я и сегодня надеюсь принести некоторую пользу этой статьей. Закончу ее более спе- циальным обсуждением школьного именно математического образования (заимствуя это об- суждение из американской печати: речь пойдет об американских школах, но и у нас грозят произойти, хотя и чуть позже, аналогичные события). В 1950 г. в школьном задачнике стояло: «Фермер затратил на выращивание своей ку- курузы 120 долларов, а продал ее за 150. Сколько процентов составляет прибыль?». В 1960 г. та же задача формулировалась иначе: «Землевладелец затратил х долларов на выращивание продукта, проданного за у долларов. Каков процент дохода?». В 1970 г. условие задачи было таким: «Собственник, тративший по х долларов расхо- дов на обработку каждого из п акров своего участка, получил z процентов дохода. Определи- те, за сколько долларов он продавал урожай с каждого акра?». К 1980 г. задача изменилась опять: «Собственник тратил по х долларов на обработку каждого из п акров своего участка, потратил, таким образом, их долларов, а дохода получил znx. Определите, сколько процентов дохода приносит его работа». 184
В 1990 г. (сборник, из которого я все это заимствовал, вышел в 1995 г.) — снова дру- гая формулировка: «Фермер, тративший по х долларов расходов на обработку каждого из п акров своего участка, потратил, таким образом, пх долларов. Доход его составляет z процен- тов от расхода, то есть znx долларов. Нарисуйте график зависимости суммы дохода от пло- щади участка и напишите статью об этом явлении реальной экономической жизни в «Эконо- мическую газету штата W»». Надеюсь, что мне не нужно объяснять читателям «Троицкого варианта», что описан- ная история «совершенствования» обучения свидетельствует о полном изгнании и математи- ки и умения думать, и вообще воспитания интеллекта, суля обществу и стране экономиче- ский (и иной) упадок (эти предсказания американцев 1995 г. теперь можно сравнивать с ре- альностью). Да минет нас чаша сия! Я надеюсь даже, что замечательные математические учебники Киселева (особенно геометрия) будут вновь допущены к использованию школьными учите- лями литературы (откуда его сейчас систематически исключают). Интересно, что в США столь хороших учебников для школьников просто не было, пока (около 2000 г.) один из приехавших в Беркли из Москвы математиков, А.Б.Гивенталь, не перевел на английский язык и не издал там «Геометрию» Киселева. Работая над этим переводом, он заметил, что единственным школьным учебником, сравнимым с Киселевым по качеству (и даже по похожим на него деталям), является фран- цузский учебник Адамара. Гивенталь подумал даже, что Киселев использовал это сочинение великого французского математика, но оказалось, что учебник Киселева был опубликован десятком лет раньше. Замечу еще для составителей учебников, что книги Киселева переиздавались много десятков раз и столь замечательными они стали лишь после первого десятка изданий: учите- ля, пользовавшиеся ими по всей России, внесли массу улучшений, исправили немало оши- бок. Нынешние наши академики писать такие хорошие учебники не умеют: даже мой лю- бимый учитель Андрей Николаевич Колмогоров давал (для примерно десятилетних школь- ников) «научное определение угла», длина которого составляла около двадцати страниц. Он объяснял это тем, что «угол в 721 градус — это вовсе «не часть плоскости между двумя лу- чами». По-моему, школьные учебники надо писать не академикам, а (лучшим) школьным учителям — таким и был Андрей Петрович Киселев (1852-1940), преподававший математи- ку, механику и черчение в Воронежском реальном училище. Примечания от редакции: 1. Начиная с 1911 г., Годфри Харольд Харди очень плодотворно сотрудничает с Джоном Литтлвудом. Большинство работ Харди написано именно в соавторстве с Литтлву- дом. Ходила даже шутка, что в Англии живут три великих математика — Харди, Литтлвуд и Харди-Литтлвуд, причем третий из них самый великий (из Википедии.ру). 2. Хиральность (киральность) (англ, chirality, от др.-греч. xsip — рука) — отсут- ствие симметрии относительно правой и левой стороны. Например, если отражение объекта в идеальном плоском зеркале отличается от самого объекта, то объекту присуща хираль- ность. Впервые свойство хиральности сформулировано в 1884 г Уильямом Томсоном, но распространение получило только после 1966 г., когда было введено в стереохимию Влади- миром Прелогом. 3. P1SA — это международное сравнительное исследование образовательных достижений учащихся (Programme for International Student Assessment), которое проводится раз в три года и оценивает знания и навыки учащихся 15-летнего возраста (начало — в 2000 г, далее в 2003, 2006 гг.). Согласно результатам последнего исследования 2006 г., в котором участвовали 400 тыс. ребят из 57 стран, наилучшие знания в математике продемонстрирова- ли школьники Тайваня, Финляндии, Кореи и Гонконга. Знания выше среднего показали под- 185
ростки из Голландии, Швейцарии, Макао, Лихтенштейна, Японии, Канады, Новой Зеландии, Бельгии, Австралии, Эстонии, Дании, Чехии, Исландии, Австрии и Словении. Россия поде- лила 33-34-е место с Азербайджаном, попав в ту часть стран, где знание математики сущест- венно ниже, чем в среднем по странам Организации экономического сотрудничества и раз- вития, проводящей это исследование. См. результаты исследования PISA 2006 г. для России на странице http://centeroko.ru/pisa06/pisa06 res.htm1 Ст. 67-69. Выступление Академика В.И. Арнольда на парламентских слушаниях в Гос. Думе 23 октября 2002 года. - См. стр. 144-146 этой книги. ВЛАДИМИР ИГОРЕВИЧ АРНОЛЬД МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПОНИМАНИЕ ПРИРОДЫ Очерки удивительных физических явлений и их понимания математиками (с рисунками автора) Стр.108-113 Предисловие Расследование убийства привело кинорежиссёра (в детективной повести «Коррида» В.Токаревой) к выводу: «математика — это то, что можно объяснить». Основной вклад математики в естествознание состоит вовсе не в формальных вычис- лениях (или других применениях готовых математических достижений), а в исследовании тех неформальных вопросов, где точное выяснение постановки вопроса (того, что именно следует искать и какие именно модели использовать) составляет обычно полдела. Собранные ниже 38 очерков преследуют именно эту цель: научить читателя не столь- ко умножать большие числа (что иногда тоже приходится делать), но и догадываться о не- ожиданных связях непохожих на вид явлений и фактов, относящихся порой к разным облас- тям естествознания и других наук. Примеры учат не меньше, чем правила, а ошибки — больше, чем правильные, но не- понятные доказательства. Разглядывая рисунки настоящей книги, читатель сможет понять больше, чем выучивая десятки аксиом (даже вместе с выводом из них следствий о том, куда впадает Волга, и что едят лошади). Б.Пастернак писал, что «вопрос о пользе поэзии возникает только при её упадке, в то время как в периоды её процветания никто не сомневается в полной её бесполезности». Математика — не совсем .поэзия, но я и в ней стремлюсь не допустить упадочничест- ва, проповедуемого врагами всех естественных наук. Добавлю ещё, что Нильс Бор делил верные утверждения на два класса: тривиальные и гениальные. А именно, он считал верное утверждение тривиальным тогда, когда противопо- ложное утверждение является очевидно неверным, и гениальным тогда, когда оно столь же неочевидно, как и исходное утверждение, так что вопрос о справедливости утверждения, противоположного к исходному, интересен и заслуживает исследования. Пользуюсь случаем поблагодарить Н.Н.Андреева, заставившего меня написать эту книжку. Эксцентриситет кеплеровой орбиты Марса Математическая модель следующих трех задач одинакова: Гипотенуза прямоугольного треугольника имеет длину 1 м, а катет — 10 см. Найти длину второго катета. Математическое «решение»—по теореме Пифагора д/1 — (1/10)2 м 1 Обзор этого исследования написан для «Независимой газеты» (2005 г., 8 июля, стр. 15) акад. В.А.Васильевым. 186
— неудовлетворительно. Дело в том, что, поскольку (1 -а)2=1 -2а + а2~ 1-2а (при малых а с весьма малой ошибкой а2), VbA ~ 1-А/2. В случае А= 1/100 получается (1 - 1/200) м, т.е. 99,5 см: длинный катет на вид неотличим по длине от гипотенузы, разница в полпроцента не- заметна, хотя малый угол треугольника не так уж мал (около 6°). Эксцентриситет кеплерова эллипса Марса составляет примерно 0,1. Когда Кеплер нарисовал орбиту Марса, он принял её за окружность, со смещённым из центра Солнцем. Почему он так ошибся? (На основании глазомерных наблюдений своего учителя Тихо Браге, сделанных за много десятков лет в обсерватории Ураниборг, на принадлежавшем Тихо Браге острове между Эльсинором и Копенгагеном: впоследствии Ньютон посылал в эту обсерваторию Г аллея с телескопом, чтобы доказать, что и телескопические наблюдения могут давать столь же высокую точность, что и наблюдения Тихо Браге). Решение. Эллипс - это геометрическое место точек плоскости; сумма расстояний которых от двух фиксированных (называемых фокусами) точек Р и Q постоянна. Обозначим эту сумму расстояний через 2 а. Тогда для эллипса с центром О (посредине между фокусами) и полу- осями ОХ и OY мы находим \ОХ\ = а (поскольку |РА] + |(Z¥|= 2 а); 12У| - а (поскольку \PY | = |0У|, |РУ| + \YQ\= 2а). \OQ\ = еа (это - определение эксцентриситета е). Из прямоугольного треугольника OYQ мы находим Y |ОУ| = э/|^у|2-|<W = -\la2-a2e2 =ayl\-e2 ^а(1-е2/2). X Для эксцентриситета е = 0,1 фокус сдвинут от центра на 10% длины большой полуоси, ОХ = а, а малая ось короче большой всего на полпроцента (какой разницы Кеплер внача- ле и не заметил). Спасение хвостового оперения самолётов Реактивная струя из моторов первых реактивных самолётов сжигала хвостовое оперение. Но конструкторы предложили слегка повернуть моторы (на небольшой угол а). Струя перестала сжигать хвостовое оперение (отклонившись на I tg а , где I — расстояние до него). Какой частью силы тяги 2F пришлось для этого пожертвовать? 187
Решение. Результирующая сила тяги составляет 2Feos а « 2Г(1- а2!2). При вполне заметном отклонении в 3° находим а ® 1/20 радиана, т.е. потеря а2/2 составляет 1/800 силы тяги, что пренебрежимо мало (тогда как отклонение струи / tg а ® I / 20 достигает нескольких метров). Глубина воды и картезианская наука Насколько кастрюля с водой, стоящая на столе, кажется смотрящему на неё сверху зрителю менее глубокой, чем её истинная глубина? Решение. Треугольники ВАС и BAD прямоугольные, {АВ{ =jAС| tg а 1 = |ЛП| tg а 2. тин- Для малого угла падения a i находим I AD I tga, sin а. 4 ----1 =----L ® -----L = п = —, | АС | tga2 sin а2 3 то есть кажущаяся глубина |ЛС| на четверть меньше ие- ной глубины |Л£>|. Замечание. На эту кастрюлю стоило бы взглянуть Декарту, который утверждал, буд- то свет распространяется в воде на 30% быстрее, чем в воздухе. К этому выводу он пришел потому, что знал, что звук распространяется в воде быст- рее, чем в воздухе (примерно впятеро). Дедуктивные заключения на основании таких аналогий крайне опасны - их всегда следует проверять экспериментами. Но Декарт торжественно объявил, что наука - это после- довательность нахождения дедуктивных следствий из произвольных аксиом, а эксперимен- тальная проверка этих аксиом в науку не входит (хотя и может оказаться полезной для ры- ночной экономики). Из нескольких десятков подобных «принципов» Декарта опаснее всего такой: «Правительству следует немедленно запретить все другие методы преподавания, кроме мое- го, так как только мой метод политически корректен: двигаясь моим путём, любой тупица 188
преуспевает столь же быстро, как и любой гений, в то время как при всех других методах обучения таланты доставляют обучаемым преимущества». Следуя этим своим принципам, Декарт изгнал из геометрии чертежи, как, с одной стороны, следы экспериментов с рисованием прямых и окружностей, а с другой— нишу для воображения, которое он из науки старался исключить. Бывший президент Франции Жак Ширак сказал мне (12 июня 2008 года, в Кремле), что именно за эти черты картезианской науки с детства ненавидит математику. Но он добавил (по- русски): «Впрочем, вероятно, это относится только к французской, бурбакистской математике, а здесь я всё понимаю, что ты говоришь. Ведь ваш Федор Иванович не зря сказал: Умом Россию не понять, Аршином общим не измерить: У ней особенная стать - В Россию можно только верить.» В России никто не верит в теорию Декарта, будто свет распространяется в воде быст- рее, чем в воздухе, - зато его замечательная теория радуги известна здесь больше, чем во Франции. Какая сила гонит велосипед вперёд? Нижнюю педаль неподвижно стоявшего на горизонтальном полу велосипеда потяну- ли назад. Куда переместится велосипед и в какую сторону .сместилась потянутая назад нижняя педаль относительно пола? Решение. Обозначим через I длину шатуна (от педали до каретки), через par радиусы передней и задней звёздочек, через R радиус заднего колеса. Обозначим через х перемещение педали относительно каретки (направленное назад). Нижний зуб передней (а значит, и задней) звёздочки переместится назад на расстояние у = Значит, заднее колесо повернётся на такой угол, что точка касания его с полом пройдёт расстояние (ЛА fp"! m z = у — =х — — . V г ) \ I ) \.г J Поглядев на велосипед, мы оценим значения параметров как I ~2p,R « Юг. Значит, перемещение z велосипеда относительно пола составит расстояние 189
z ~ 5х (вперёд!). Так смещается каретка, педаль же сдвинется относительно каретки на х назад, а отно- сительно пола на 4х вперёд. Ответ. Велосипед сдвинется вперёд, и потянутая назад нижняя педаль тоже вперёд, но она сдвинется вперёд на 20 % меньше, чем весь велосипед. Замечание. Кажется удивительным, что направленная назад (приложенная к педали) сила сдвинула велосипед вперёд. Но вращение заднего колеса вызвало в точке его касания с полом направленную вперёд силу трения, которая и победила. АРНОЛЬД ВЛАДИМИР ИГОРЕВИЧ Стр. 141-143 ЧТО ТАКОЕ АРИФМЕТИКА? Введение к брошюре Игоря Владимировича Арнольда (отца В.И. Арнольда) «Принципы отбора и составления арифметических задач» Б.Л. Пастернак писал, что «заготовленные неожиданности скучнее арифметических задач». Идея, будто арифметические задачи — образец скучности, не случайна: многочис- ленные сборники их полны отупляющих упражнений в применении заранее заготовленных рецептов, не предполагающем ни умственных усилий, ни какого-либо интереса к обсуждае- мым вопросам (и к их ответам). Простейшим путем избежать этой нудной потери времени, во время которого, как го- ворил Маяковский, «ведь растет человек— глуп и покорен», является полная отмена ариф- метики в школе (а «ежесекундно извлекать квадратный корень», как продолжил свою мысль Маяковский, мог бы и компьютер). Предлагаемая книжка защищает другой путь — арифметические задачи таят огром- ные возможности для того, чтобы научить решающих их школьников самостоятельно ду- мать, анализируя неочевидные жизненные ситуации, приходя к пониманию первопричин разных явлений природы и жизни (а также к оценке возможных последствий принимаемых решений). Дело в том, что за одной и той же (и даже иногда простой) математической процеду- рой скрываются порой совершенно разные жизненные ситуации, и арифметические задачи — прекрасный путь к умению в этих ситуациях разбираться. 190
Вот ряд таких задач (из пары десятков примеров со страниц книги 21—23, посвящен- ных одной и той же процедуре): — сколько из трех яблок останется, если съесть одно из них? — сколько распилов делят бревно на 3 части? — на сколько число братьев в Таниной семье больше числа сестер, если у Тани на 3 брата больше, чем сестер? — сколько сотен лет назад основан университет, который будет через 100 лет празд- новать свой трехсотлетний юбилей? Трудности этих четырех несхожих вопросов совсем разные. Хотя все они решаются «одинаково», догадаться об этом нелегко. Не стану утомлять читателя другими иллюстрациями формулы 3 — 1=2: в книге он найдет и их, и десятки более трудных арифметических задач. Эти задачи, по моему опыту, легче даются дошкольникам, чем школьникам, а школьникам легче, чем студентам, превос- ходящим в этом, впрочем, своих профессоров. Фигаро недаром говорил, что его работа требует ежедневно «больших умственных усилий, чем управление и Гренадой, и Севильей вместе». Точно так же приведенные ниже арифметические задачи учат куда большему, чем сложение пятизначных чисел столбиком (или чем то вычитание единицы из тройки, которое решает приведенные выше 4 задачи). Из стакана с красным вином перелили ложку в бочку с белым вином, а потом такую ложку (плохо перемешанной) смеси перелили обратно в стакан. Чего больше в результате: красного вина в бочке белого или белого в стакане красного? (См. с. 25.) В заключение приведу еще другую арифметическую задачу (где дошкольники обго- няют нобелевских лауреатов, как я проверил экспериментально): — книжный червь прогрыз (кратчайшим путем) от первой страницы стоявшего на полке первого тома Пушкина до последней страницы стоявшего рядом второго. Страницы каждого тома составляют (в толщину) 2 сантиметра, а каждая обложка — 2 миллиметра. Ка- кое расстояние прогрыз червь? Ответ в этой задаче (4 миллиметра!) столь неожидан, что родители решивших ее до- школьников неспособны обычно ни найти его, ни понять (я посоветовал бы затруднившему- ся читателю нарисовать чертеж, как выглядят соседние тома, стоящие рядом на полке). Де- карт запретил в математике чертежи, чтобы сделать подобные задачи недоступными. Хотя предлагаемая книжка адресована не решателям задач, а их составителям, школь- ники (не боящиеся пропускать мимо ушей философские обобщения уже понятых ими оче- видных доводов) тоже сумеют её использовать: эта книга учит разбираться в жизни больше, чем в хитросплетениях псевдонаучной болтовни. Написавший эту книгу математик, мой отец Игорь Владимирович Арнольд (1900— 1948) был первым доктором педагогических наук в СССР и членом-корреспондентом Ака- демии педагогических наук. В год его смерти мне исполнилось 11 лет, но я ничему математическому у него не научился: он обучал меня скорее альпинизму и любви к дальним странствиям, резьбе по де- реву и строительству шалашей, рыбной ловле и лыжам. А когда я пытался узнать от него, почему в школе учат, будто произведение минуса на минус есть плюс, то этот ученик алгебраиста Эмми Нётер ответил так: «Вещественные числа удовлетворяют аксиомам кольца (например, что (а + Ь)с = ас + be), а если бы произведение минуса на минус не было плюсом, то эта аксиома дистрибутивности нарушалась бы». Я никак не мог понять: а зачем мне нужно, чтобы выполнялись аксиомы? С тех пор я сохраняю полное неприятие всех дедуктивно-аксиоматических картезиански-декартовских построений как антинаучной болтовни, противоречащей естественно-научному подходу, ос- нованному на экспериментах. Для себя я понял правило знаков (—) • (—) = (+) только год спустя, решая такую зада- чу: «Прилив в городе N был сегодня в полдень. Когда он будет завтра?» 191
Длительности суток и месяца позволяют легко сообразить, что разница составит око- ло 50 минут. Но будет ли прилив на 50 минут раньше полудня или позже его, позволяет оп- ределить только правило знаков (если знаешь, что вращение Земли происходит «с запада на восток» и вокруг оси, и вокруг Солнца). Арифметика — самый короткий путь к пониманию природы, так как имеет дело с са- мыми простыми, самыми фундаментальными экспериментальными фактами (например, что пересчёт камней «по строкам» и «по столбцам» всегда приводит к одному результату): 5 + 5 + 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3. Именно эти экспериментальные факты и составляют базу арифметики (называемую алгебраистами «набором аксиом»: ab = Ьа и т.д.). Способность нашего мозга к обобщению таких наблюдений сродни выработке услов- ных рефлексов Павлова у собак. Например, разрезая (вслед за Жан-Жаком Руссо) квадрат со стороной длины а+b на четыре прямоугольника, мы получаем начинающую «бином Ньюто- на» алгебры арифметическую теорему <г иЬ ub а b (а + Ь)2 = а2 + 2аЬ + Ь2, так что простые арифметические задачи — кратчайший путь ко всей математике и ко всему естествознанию. 192
В НАШИХ КНИГАХ (№1 -№4) «МЫ - МАТЕМАТИКИ С ЛЕНИНСКИХ ГОР» ДИМА АРНОЛЬД - С НАМИ РЯДОМ Книга 1. Стр. 19. АРХИПОВА ФАИНА МИХАЙЛОВНА ... Очень тепло вспоминаю походы в группе, руководимой Димой Арнольдом, в груп- пе с Хмелевским. Стр. 49. СОЛОМАТИНА РАИСА ДМИТРИЕВНА ... В школьные годы очень любила литературу и математику и до 9 класса не знала, куда пойду учиться дальше. Но в это время мне попала в руки книга Сергея Боброва «Вол- шебный двурог», в которой в крайне остроумном и завлекательном виде рассказывается о некоторых понятиях математики (вплоть до определённого интеграла и теории вероятно- стей) и решаются различные задачки. Научным редактором этой книги был И.В. Арнольд, отец нашего сокурсника В.И. Арнольда. (Кстати, на днях в книге В.И. Арнольда «Истории давние и недавние» я об этой книге прочитала следующие слова: «.. .мой отец был математи- ческим редактором этого шедевра популярной математики с задачами и дискуссиями, в ко- тором описаны приключения десятилетнего мальчика, попавшего в таинственный математи- ческий мир»). С восторгом прочитав и многократно перечитав эту книгу, я решила, что пой- ду на Мехмат. Стр. 117. СТЕПЧЕНКОВ ОЛЕГ ПЕТРОВИЧ ... Помню, как осенью 1957 года Дима Арнольд, Володя Рубцов, я и ещё кто-то двое просили у декана разрешения поехать на уборку урожая в Алтайский край в сентябре- октябре вместе с третьим курсом, который направлялся туда в полном составе приказом Рек- тора. Разрешение мы получили с условием, что поблажек на зимней сессии не будет. Стр. 168. ВЛАСОВ ВИКТОР КОНСТАНТИНОВИЧ ... в один день защищали кандидатские диссертации Кириллов и Арнольд. Блестящая диссертация Кириллова была признана докторской, а выдающаяся работа Арнольда по ре- шению одной из знаменитых проблем Гильберта таковой не стала. Вспомнил я сейчас это потому, что принципиальный Витушкин в дискуссии сказал, что если бы эту тему защищал А.Н. Колмогоров, то он бы не возражал против присуждения за работу докторской степени, намекая тем самым на неполную самостоятельность Димы в решении проблемы. На мой взгляд, это было совершенно несправедливо. Выручил А.Н. Колмогоров, заявив, что аудито- рия может не беспокоиться, ибо у Арнольда готова докторская диссертация по другой теме - насколько я помню - по небесной механике. Стр. 182. ЧЕРНАВСКИЙ АЛЕКСЕЙ ВИКТОРОВИЧ ... Наибольшее влияние на меня оказал безусловно Дима Арнольд, который 15 сен- тября спрашивал: «Уже полсентября прошло, а что дальше?» Стр. 193. БЕЛОУСОВ ЛЕВ ЮЛИАНОВИЧ ... Многие наши выпускники (предмет нашей особой гордости) после окончания Мехмата остались работать на кафедрах < ’ > дифференциальные уравнения: В. Арнольд, С. Кружков. ... Друзьям Вам признаюсь: в сердце берегу Я любовь, как прежде к МГУ. ... Здесь Арнольд, мой охлаждая пыл, Нас всерьёз радиотехнике учил. 193
Стр. 209. ПАНКРАТОВ МИХАИЛ МИХАЙЛОВИЧ ... Окончить Мехмат - это благородно в любом случае: не став «законченным матема- тиком (Чебышевым, Колмогоровым, Арнольдом...), всё равно обретаешь математическую культуру, которой «цены нет» , и которая всю последующую жизнь будет тебе помогать... Стр. 219. МОРОЗОВА ЕЛЕНА АЛЕКСАНДРОВНА ... Помню лето 1954 г. Идёт приём на Мехмат, очень большой. Поступают много- кратные победители Московских математических олимпиад: Дима Арнольд, Шура Архан- гельский, Саша Кириллов... Стр. 288. АРХАНГЕЛЬСКИЙ АЛЕКСАНДР ВЛАДИМИРОВИЧ ... Очень благодарен сокурсникам Диме Арнольду и Саше Кириллову, которые при- носили задачи повышенной сложности, что позволило мне стать участником семинара П.С. Александрова. Позднее по этой тематике защитил кандидатскую диссертацию, затем - док- торскую. Стр. 290. ГОВЕРДОВСКАЯ ВЕРА МАКСИМОВНА ... наш светила науки (с 1 курса и сейчас) с мировым именем, Дима Арнольд - совсем не заносчивый, походник. Благодаря ему я обошла всё Подмосковье. Стр. 293. КИРИЛЛОВ АЛЕКСАНДР АЛЕКСАНДРОВИЧ ... В Московском университете проводили олимпиаду... В 9 классе получил первую премию. Мой друг Паша Ильин увлекался географией, тоже участвовал в своей олимпиаде. В 10 классе у нас была одна ручка на двоих, и оба мы писали на олимпиадах этой ручкой, и оба получали первые премии. Дима Арнольд получил вторую. ... На 1 курсе мы с Димой Арнольдом ходили в семинар Толи Витушкина - неформаль- ный кружок по теории функций действительного переменного. ... На 2 курсе мы с Димой ходили в семинар Е.Б. Дынкина. Он читал оригинальный курс о кривой Михайлова. Нам с Димой была дана задача, которую мы решали вместе, о вычисле- нии числа корней многочлена внутри многочлена. Задачу мы решили, и Дынкин, обрадовав- шись, хотел опубликовать это решение, но Арнольд раскопал эту задачу, уже решённую. Это была наша с Димой несостоявшаяся совместная работа. А после 2 курса наши пути разо- шлись: Дима пошёл к Е.Б. Дынкину, а я - к И.М. Гельфанду. ... Целина. ... Мы с Димой Арнольдом сравнивали устройства комбайна и пушки, как противоположное - комбайн, как его ни холь, он даже, если просто стоит, то всё равно лома- ется. А пушка, хоть стреляй по ней, всё равно будет стрелять. ... И.М. Гельфанд был главным редактором журнала «Функциональный анализ и его приложения»....когда ему стало трудно им заниматься (год рождения 1913), он передал его А. Кириллову, затем Арнольду. ... Со 2-го года аспирантуры нас всех перевели в ассистенты. В 1962 г.был первый выезд за границу молодых учёных. На математический конгресс в Стокгольм поехали я, Арнольд, Фаддеев , Манин, Аносов... Мы с Димой Арнольдом были самые молодые. Выступали на конгрессе с докладами. ... ...в годы перестройки ... уровень математической мысли на Мехмате стал ниже, ... и чтобы хоть самые способные студенты смогли почувствовать атмосферу настоящего обще- ния с высокой математикой, чтобы помочь сохранить Российскую математическую школу, мы организовали Университет непрерывного математического образования. У истоков его стояли: Арнольд, я, Бейлинсон, Добрушин, Новиков, Синай, Хованский, Ильяшенко, Руда- ков, Тихомиров, Фаддеев, Шубин и др. ... Сейчас читают лекции выдающиеся математики: Васильев В.В. (ученик Арнольда, профессор, член-корр. Академии наук, Э.Б. Винберг, Б.Л. Фейгин (докладчик на международных конгрессах), В.И. Арнольд, Я.Т. Синай, А.Б. Сосин- ский А.Б.. 194
Стр. 306. САРМИНА (САЧКОВА) ЛЮБОВЬ АЛЕКСАНДРОВНА ... Горжусь, что училась на Мехмате с выдающимися Димой Арнольдом, Сашей Ки- рилловым, Юрой Хмелевским и многими другими интересными ребятами и девчатами, что слушала лекции замечательных профессоров, увековеченных в наших студенческих мехмат- ских песнях. Стр. 320. КРАСОВСКАЯ ИРИНА АЛЕКСАНДРОВНА ... Впервые попав в Среднюю Азию (после окончания работы на 1-й целине - ред.), мы впятером (Чернышёва, Кириллов, Арнольд, Крылов и я), объездили её всю на те деньги, что заработали. Стр. 351. БЕЛОВА (ЯРЦЕВА) АЛЛА ДМИТРИЕВНА 12 июля 1956 г. (Целина - Казахстан, из дневника - ред.) В час ночи Димка Арнольд показывал созвездия. Он очень хорошо знает звёздное небо. Решили встретить рассвет. В 4 часа взошла Венера, потом восточный горизонт становится всё светлее и светлее. Как в ту- мане, виднеются силуэты гор. Стр. 383. ИСКРОВА ГАЛИНА ИВАНОВНА Г. Искрова и Д. Арнольд на встрече однокурсников, 1979 г. Книга 2. Стр. 107. ЖУРАВСКАЯ И.П. Ягь£1 195
Задняя обложка книги № 3 ММ.. foUOHOCOt: ПР* ffpt CCOp Ю.Максимов, профессор- экономист, депутат Московской гор. думы ^^,докт“рфи^ Объединенный чмг,„ Ю. Черемных, доктор эконом, наук, Заслуженный профессор МГУ, академцк Мсжоународной академии менеджмента B-nucK^p <^em(,e констрУкгпор Д .Сксроглавный конструктор системы опознавания системы "Свой-чужой" Почетный донор СС 'СР •^Веденьёв, криптограф О вы. которых ожидает Отечество от недр своих И видеть тиковых.желает,,. О ваши дни о.шгос.ювенны* Раченьем вашим покашть. Что может собственных И штонов // быстры н разудюм Невтонок Российская 1смля рождать. Ф“““" МП B0'U0U1е.ветераны почетные нет Р ики атомной энер^ 196
Стр. 10. ЯРЦЕВА АЛЛА ДМИТРИЕВНА Наши математики, выпускники Мехмата 1959 г., часто совмещали свою науч- ную, профессиональную деятельность с увлечениями, непосредственно не связанными с ма- тематикой. Академик РАН В. Арнольд - поэт, художник, спортсмен, астроном;.. Стр. 279. РУБИНШТЕЙН АЛЕКСАНДР ИОСИФОВИЧ Не случайно большие достижения в математике принадлежат совсем молодым людям. ... в 21 год Андрей Николаевич Колмогоров построил пример всюду расходящегося ряда Фурье и направил по новому пути теорию тригонометрических рядов и всю теорию функ- ций; в 18 лет студент третьего курса Мехмата МГУ (ныне академик РАН) В.И. Арнольд сде- лал работу, позволившую ему вскоре совместно с его учителем А.Н. Колмогоровым решить 13-ю проблему Гильберта. Стр. 340. СТАВСКАЯ ОЛЬГА НИКОЛАЕВНА У нас с Яшей были продукты, палатка и байдарка, взятая Яшей у Д. Арнольда. Книга №4 Стр.43. РУБИНШТЕЙН АЛЕКСАНДР ИОСИФОВИЧ Наш соученик Дима (простите, Владимир Игоревич) Арнольд, отсвет фантастическо- го таланта которого делает более значительным весь наш поток математиков 1954-1959 го- дов МГУ, говорит об ошибках в книге Куранта и Роббинса ( «Что такое математика?», изда- на на русском языке, 600 стр., под ред. А.Н. Колмогорова - ред.). Арнольд сам издал книгу с таким же названием всего в 104 страницы объёмом. И думаю, сумевший до конца понять её может с полным основанием считать себя математиком... Собственно говоря, вместо ответов на вопросы, предложенные Архангельским, Лившицем и Беловой, можно было бы предло- жить как следует проштудировать книгу Арнольда. Стр. 45. Так вот следующей по «простоте устройства» после математики точной нау- кой, мне представляется, является физика. В.И. Арнольд считает, что математика и физика - суть одна наука (косвенно, так считает и ВАК, поскольку мы - ... «физико-математических наук». Опять же это моё «субъективное мнение», но в математике значительное место зани- мают задачи, возникающие из самой математики - выясняются связи между ранее введён- ными понятиями. Не в этом ли причина большого числа ущербных (по Арнольду) математи- ческих публикаций? Стр. 65. ПАХОМОВ ВАЛЕРИЙ ФЁДОРОВИЧ В первом выпуске (Математической школы-интерната при МГУ - ред.) работали со- всем ещё молодые - математик В.И. Арнольд и филолог-лингвист А. Зализняк. Арнольд, только что защитивший докторскую диссертацию, а Зализняк, по-моему, был ещё аспиран- том. Впоследствии оба стали академиками. Кстати, оба получили в 2008 году Государствен- ные премии РФ. Стр. 144. КОНСТАНТИНОВ НИКОЛАЙ НИКОЛАЕВИЧ ... я сошлюсь на статью В.И. Арнольда «Математический тривиум». Он Цишет, что наша система экзаменов «специально рассчитана на систематический выпуск брака, т.е. псевдоучёных, которые математику выучивают, как марксизм: зубрят наизусть формулиров- ки и ответы на наиболее часто встречающиеся экзаменационные вопросы». Стр. 149. ШАРЫГИН ИГОРЬ ФЁДОРОВИЧ Академик В.И. Арнольд, начиная свою лекцию «Зачем нужна математика?», процити- ровал слова Роджера Бекона, сказанные более семисот лет тому назад: «Человек, не знающий 197
математики, не способен ни к каким другим наукам. Более того, он даже не способен оце- нить уровень своего невежества, а потому не ищет от него лекарства.» По мнению В.И. Ар- нольда, роль математики в современном обществе, если и изменилась, то в сторону увеличе- ния её значимости. Стр. 154. Много опасностей угрожает сегодня российскому математическому образо- ванию, но главной из них, по мнению В.И. Арнольда, является начавшаяся американизация. ... (Американская наука «питается мозгами» всего мира, мы же - только своими. - И.Ф. Ша- рыгин). Стр. 156. .. .ярким примером может служить Франция. ... Главным итогом изменений стала всеобъемлющая формализация содержания школьного математического образования. В результате, например, ученики начальных классов на вопрос: «Чему равно 2 + 3 ?» - отве- чали: «Поскольку сложение является коммутативной операцией, то 2 + 3 равно 3+ 2». (Этот пример взят из лекции В.И. Арнольда.) Стр. 179. ... автору посчастливилось общаться в своей жизни со многими умными людьми и выслушивать их рассуждения об образовании, о математическом образовании, о геометрии. С некоторыми мыслями автора настолько сжился, что теперь уже не может отде- лить, где мысли его личные, а какие он впервые услышал от В.М. Тихомирова, В.И. Арноль- да, Ю.П. Соловьёва или от другого умного человека. Стр. 186. ХАРШИЛАДЗЕ АЛЕКСАНДР ФИЛИППОВИЧ Один доклад Арнольда Несколько лет назад в Математическом институте им. В.А. Стеклова проходила меж- дународная конференция по «Художественной математике», посвященная разным увлека- тельным темам в области математики, способным привлечь интерес молодежи к математике. Доклад Владимира Игоревича Арнольда несколько выбивался из темы конференции, Ар- нольд «ругался», Т.е. очень эмоционально и даже агрессивно возмущался уровнем математи- ческого образования школьников и студентов в разных странах. Он находил уровень матема- тического образования молодежи во Франции и Америке более низким, чем в России, но ут- верждал, что в России этот уровень быстро снижается. Арнольд гневно осуждал тех специа- листов в области образования, которые предлагают уменьшить объем изучаемой в школе математики. Затем он стал говорить о катастрофическом положении в связи с изучением геометрии в школе, тут его и без того агрессивный тон перешел в крик, он стал называть вредителями, стоящими на службе американского империализма, тех, кто считает, что школьную геометрию следует исключить из школьной программы... «Эти люди, - почти орал Арнольд, - хотят исключить из школьной программы даже великую теорему о пересе- чении высот треугольника в одной точке, в то время как эта теорема является важнейшей наглядной иллюстрацией тождества Якоби в алгебрах Ли». Это была эмоциональная кульминация, после которой мощь и энергия докладчика стихли, и он уже спокойно добавил: «Впрочем, если не объяснять школьникам, каким обра- зом теорема о пересечении высот треугольника в одной точке связана с тождеством Якоби, эта теорема не имеет никакого смысла». С этим последним утверждением Владимира Игоревича Арнольда я абсолютно согласен. Стр. 230. КЕРИМОВА (МАНСУРОВА) ДИЛЯРА ХАБИРОВНА, КРАСОВСКАЯ ИРИНА АЛЕКСАНДРОВНА Кто прислушался к словам В.И. Арнольда в Госдуме? Какой была реакция на его вы- ступление? 198
4 УЧЕНИКИ, ДРУЗЬЯ
КИСЛЯКОВА ОЛЬГА ИГОРЕВНА, программист ВИНИТИ ЗАПОМНИЛА.. .КАК ОКАЗАЛОСЬ, НАВСЕГДА В пятидесятые годы я училась в 71-й школе, находившейся на Спасо-Песковской площадке около Арбата («МОСКОВСКИЙ ДВОРИК» Поленова), и году в 57-м моя подруга Нина показала мне невысокого молодого человека с кудрявыми волосами, шедшего через скверик, и сказала: «Это Дима Арнольд. Очень талантливый математик, учится на Мехмате. Живет здесь в особнячке, рядом с домом американского посла. Моя бабушка была дружна с его бабушкой». Я посмотрела и запомнила внешне, как оказалось, навсегда. Не то вскоре после этого, а может быть и до этого (уж очень я хорошо запомнила эту картинку) в газете «Комсомольская правда» или в «Литературке» (я читала обе) была боль- шая статья, что студент 3-го курса Мехмата решил 13-ю проблему Гильберта; Колмогоров фигурировал, но в каком контексте - не помню. Два впечатления соединились. После этого, гуляя после уроков, много раз я смотрела, как Дима с папочкой или тет- радками, слегка наклонившись,- идет к метро Смоленская (вероятно) или в обратном направ- лении, и (ей-Богу, не сочиняю) у меня было ощущение, что вижу живого гения - от него что- то исходило. В 1958 г. я поступила на Мехмат, отделение - математика, и в нашей 7-й группе было пять восторженных девочек, которые выскакивали в перерыве из аудитории в коридор, услы- шав, что там проходит или с кем-то разговаривает Арнольд, чтобы еще раз посмотреть на него. Вот и всё. Я не ходила на его лекции и в его семинар, но в небольших осенне- весенних походах слышала о нем от людей, хорошо знавших его, какими большими таланта- ми и высокими человеческими достоинствами он обладал, слышала истории про то, как их курс был на целине, и про серьезные походы, в которые с ним ходил Саша (Александр Льво- вич) Крылов. Какое-то время в нашей походной компании бытовала поговорка «Арнольд бы так не поступил» , употреблявшаяся в шутку и не в шутку при каких-то отлыниваниях от обязанностей или других не очень благовидных поступках. Т.е. это имя было эталонным. Потом я встречала его в ясеневском лесу на велосипеде и видела, как он работает, ле- жа в гамаке на поляне в том же лесу. С удовлетворением читала, что он стал член-корром и, наконец, академиком. Иногда смотрела на ТВ передачи о нем и всё, что он говорил, было всегда важно и очень хорошо сформулировано. Его отношение к Пуанкаре, например. Когда услышала о его смерти, было ощущение личной потери (и остается). Вот жили в одном времени и пространстве с действительно великим человеком, а теперь его не стало, и мир стал .... ну и т.д. 200
ЗЕМБЕКОВ АЛЕКСАНДР АЛЕКСАНДРОВИЧ, доктор физмат наук, ведущий научный сотрудник Института химической физики ЛЕКЦИИ АРНОЛЬДА ПО КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ Я учился на химическом факультете МГУ в 1958-1964 годах. На третьем курсе была сформирована спецгруппа с физико-математическим уклоном. Можно было посещать раз- личные курсы Мехмата. Я и ещё несколько человек выбрали курс классической механики, как факультатив, который вёл Владимир Игоревич Арнольд. Он недавно (тогда) стал докто- ром физмат наук, и это была его первая попытка преподавать классическую механику. Чи- тать аналитическую механику с единой топологической точки зрения было вновинку. Нас это заинтересовало. Стали слушать курс не только студенты третьего курса химфака и физ- фака, но и аспиранты, и преподаватели. Считалось раньше, что механика начинается с гамильтоновых уравнений. Гамильто- нов формализм лёг в основу квантовой механики и являлся одним из наиболее часто упот- ребляемых орудий в математическом арсенале физики. Вначале, когда речь шла о Галилее- вой структуре, о принципах относительности Галилея и принципах детерминированности Ньютона, об уравнениях Ньютона, приводились примеры механических систем (падение камня на землю, падение с большой высоты ...), казалось, можно будет всё это понять. Но быстро я и мои сокурсники, выбравшие этот семинар, поняли, что рядом с нами сидят, как говорят сейчас, «продвинутые» в смысле высокой математики люди. Речь шла о взаимно обогащающем взаимодействии идей механики и геометрии многообразий. Центральное ме- сто стали занимать не вычисления, а геометрические понятия и их приложения в конкретных механических ситуациях (теория колебаний, механика твердого тела, гамильтонов форма- лизм). Читал В.И. не просто, не разжевывал, в логической последовательности. Уделялось много внимания качественным методам изучения движения в целом, в том числе асимптоти- ческим (теория возмущений, методы осреднения, адиабатические инварианты). Т.е. необхо- димо было знать хорошо не только ту математику, которую преподавали нам, но и знать массу неизвестных нам понятий, которые только начали появляться в литературе. С нами ря- дом сидели и научные работники. Чувствовалось, что и у них наблюдаются затруднения. Нужно было знать хорошо топологию. Понималось чётко то, что связи классической меха- ники с другими отделами математики и физики многочисленны и разнообразны. Понимался материал нами, моими сверстниками, трудно, приходилось по рекомендации лектора обра- щаться к дополнительной литературе, разбираться в незнакомом материале, а на лекциях на- слаждаться заразительным стремлением Арнольда дать нам как можно больше . Мы судачили меж собой: такой молодой, а так много знает и понимает. Семинаров не было, но хорошо, что не устраивали нам ни зачётов, ни экзамена. Через несколько лет, когда я уже работал, в нашем Институте химической физики Арнольд вёл семинар по теории катастроф. Всё, что он нам преподносил, требовало хорошей работы мозга. А в нём чувствовалась страсть к образованию, к познанию нового. Мир много потерял с уходом Арнольда из жизни. Он был выдающимся не просто ма- тематиком, а выдающимся учёным вообще. И мне дорого то, что я слушал его, и его мысли волей-неволей впитывались в мой мозг. 201
АВЕТИСОВА (НИОРАДЗЕ) ТАТЬЯНА ВИССАРИОНОВНА, училась на мехмате в 1962-1967 гг. На первом курсе, в 1962 году, к нам на перемене зашел в группу В.И.Арнольд, кото- рый, представившись, сказал, что будет у нас агитатором. - А что это значит? - Это значит, что я не буду вас агитировать. И стал говорить о том, что готов помогать в решении разных проблем. Странно, но народу вокруг него было совсем немного. Стали жаловаться на то, что трудно записывать лекции за Л.А. Скорняковым. Курс высшей алгебры был очень интересным, но записывать многие не успевали. Арнольд дал совет, который, подозреваю, был невыполним не только для меня: «А вы попробуйте просто слушать, а дома вспомнить и записать услышанное». Помню, что он предложил провести консультацию по матанализу. Объяснял разложе- ние в ряды: он рисовал график синуса и график сумм двух, трех и т.д. членов ряда Тейлора. Было наглядно, понятно, просто. Встреч с агитатором у нас было очень мало, почему-то народ не воспользовался воз- можностью общаться с большим математиком. Это у меня было восторженное отношение к нему, а скорее, к его имени. Об Арнольде я знала до поступления на Мехмат: моя тетя Рая Соломатина была его однокурсницей, и от нее я слышала и о необыкновенно одаренном мальчике с необыкновенным именем, и о решении проблемы Гильберта, и о шутках, стихах на целине. Ходит Арнольд по коридорам 15-го этажа, такое впечатление, что ищет, с кем бы по- общаться. Видимо, поэтому несколько раз сам обращался ко мне с каким-нибудь незнача- щим вопросом, вроде «Как ваши дела?» Но даже о таких минутных беседах осталась память как о чем-то важном для меня. На Мехмате я вообще не помню пустых разговоров, но от Ар- нольда исходил какой-то неслышный поток информации, в котором плыли обычные слова. Помню какой-то разговор о французском языке (боюсь, я вела себя слишком самоуверенно), о том, как надо готовиться к экзаменам (но тут его рекомендации не могли помочь). Все лю- били цитировать «так жить нельзя, надо застрелиться», но он сказал фразу полностью: «Если бы Каштанка была человеком, то, наверное, подумала бы: "Нет, так жить невозможно! Нуж- но застрелиться!» Сдавала матпрактикум Р.А. Минлосу, как-то пыталась отстоять свое мнение, вдруг Арнольд стал прислушиваться, подошел, и они принялись очень весело обсуждать эту зада- чу. Просто слушать их было наслаждением. Еще один раз я услышала Арнольда на заседании Ученого совета. Моя подруга защи- щала диссертацию, а до защиты что-то обсуждалось, видимо, как и чему учить. Взял слово Арнольд, мне кажется, одет был, как всегда, в ковбойку. И начал: «Я хочу напомнить слова Алексея Николаевича Крылова о том, что математика - не бульварный роман, который мож- но читать с любого места». Трудно предположить, что заметки обычного человека, лишь случайно оказавшегося недалеко от великого, могут быть кому-то интересны. Наверное, они нужны только для того, чтобы сказать, что и мы видели свет, который «просиял над целым Мирозданьем» (А. Фет). 202
СОЛДАТЕНКОВ АНАТОЛИЙ МАКСИМОВИЧ, ведущий программист Института динамики ГЕОСФЕР МОИ ЗНАНИЯ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ПРИЗНАЛ ХОРОШИМИ САМ АРНОЛЬД ! Я окончил Мехмат в 1967 году. Но уже раньше я и все студенты Мехмата знали, что у нас преподавателями работают два недавних выпускника Мехмата (молодые корифеи нау- ки), которые в двадцать шесть лет стали докторами физмат наук, а в 28 лет - профессорами - Кириллов и Арнольд. Мы, юноши, восторгались этим явлением молча, а девушки часто - вслух. В лицо я их знал, всегда с ними здоровался, но представить себе не мог, что с кем-то из них сведёт меня судьба. Очень хорошо запомнился экзамен в весеннюю сессию по обыкновенным дифферен- циальным уравнениям. Этот курс нам читал прекрасно профессор Понтрягин. Наша большая лекционная аудитория 16-10. Внизу у доски, за высокими столами, расположились экзаменаторы. Перед ними на столе лежат билеты, а рядом с каждым уже си- дят отвечающие сокурсники. Человек 20 рассыпались по рядам аудитории и готовятся к от- ветам. Кто-то, глубокомысленно рассуждая, пишет, зачёркивает, снова пишет, значит, без шпаргалки. А кто-то, сразу видно, пользуется шпаргалками; некоторые сдувают прямо из книжки. Я учил данный курс и, конечно, тоже запасся некоторыми записями. Вот мой согруппник Борька встал из-за стола, начал неловко оправдываться, что он совер- шенно случайно дал неверный ответ при решении уравнения Х4+1=0 Но ему сказали: «Придёте ещё раз». Он огорчённо вышел. В это время вошёл в аудиторию Владимир Игоревич Арнольд. Просто снял пиджак, повесил на спинку стула и сел. Тут назвали мою фамилию и пригласили отвечать на билет. У меня было всё аккуратно написано. Я отвечал. Владимир Игоревич спокойно слушал. Дошло до лампового генератора. Экзаменатор посмотрел на написанное, не стал об этом меня слу- шать, а стал задавать вопросы. Первым был вопрос, на который неверно ответил Борька. Х4+1=0 Я нашёл все четыре корня. В это время вошла какая-то девушка, сказала, что Влади- мира Игоревича кто-то просит выйти. Он взял мою зачётку, поставил «ХОР», снял со стула пиджак и вышел из аудитории. Уже тогда мне было лестно, что мои знания на «хорошо» оценил всем известный мо- лодой профессор, подающий большие надежды в науке. А теперь, по прошествии более со- рока лет, тем более, когда не стало Владимира Игоревича Арнольда, выдающегося мирового ученого, первого математика Мира, я вспоминаю с неподдельной гордостью, что мне дове- лось сдавать ему экзамен и получить хорошую оценку. Оценку самого Арнольда! 203
ИВАНОВА (ФИЛИППОВА) НАТАЛИЯ ЮРЬЕВНА, учитель физики и информатики, победитель конкурса лучших учителей России приоритетного национального проекта «Образование» ЛИСТ МЁБИУСА Лист Мёбиуса - довольно простой объект. Взял обыкновенную бумажную ленту, по- вернул один конец на пол-оборота, склеил в кольцо... Чему тут удивляться? А ведь в этой ленте - целая философия. Сколько у нее сторон? Две? Одна? А если попробовать разрезать эту ленту вдоль - что будет? Снова лист Мёбиуса и получится! Только в два раза длиннее. Жизнь поворачивается к нам то одной стороной, то другой, но мы идем по ней, порой не замечая этого. На фотографии, подаренной Наташе - автограф В.И. Арнольда Тридцать лет назад студенты механико-математического факультета МГУ, на котором я тогда училась, ходили на лекции по теории дифференциальных уравнений как на все про- чие лекции. В сетке расписания эти лекции не были отмечены ничем особым. Особой была их атмосфера. Читал их потоку математиков Владимир Игоревич Арнольд. Молодые люди, еще не перешагнувшие двадцатилетний рубеж, погружались в удивительный мир, который открывал им не менее удивительный человек. Дух мехмата - это тема особого разговора. Есть какая-то необъяснимая аура в этих коридорах, лекционных аудиториях, даже на лест- ницах между этажами. И в аудитории 16-24 это чувствовалось особенно остро. Основы ма- тематической логики нам, еще не повзрослевшим второкурсникам, читал Андрей Николае- вич Колмогоров, а на «дифуры» мы приходили к его не менее талантливому и удивительно- му ученику В.И.Арнольду. Мне кажется, для нас имя «Арнольд» уже тогда звучало как что- то вневременное, и, выражаясь математически, инвариантное. Не было имени, не было даже фамилии, было некое явление - «Арнольд». Он умел так изложить непростой материал предмета, что даже самому нерадивому студенту (а много ли на мехмате нерадивых?) откры- 204
валась красивая, изящная и неожиданная истина, и никто не чувствовал, что здесь и сейчас совершается невероятное погружение в глубины современной науки. Лекция по «дифурам» превращалась в захватывающий рассказ, где была интрига теорем и виртуозная развязка этой интриги и где задачи находили простое и неожиданное решение. И, пожалуй, никому из студентов не приходило в голову, что дорогу в науку им от- крывает человек необыкновенный, уникальный, неповторимый и по-настоящему великий. Более четверти века назад мы вышли из университета, и с тех пор многое изменилось в нашей жизни, и в жизни страны, и в науке. У каждого из нас, выпускников, определилась своя дорога, но то, что нам дал мехмат, отразилось на наших судьбах и осталось с нами навсегда. Лист Мёбиуса изображен на эмблеме механико-математического факультета, это как некий пароль, известный только посвященным. Конечно, о Владимире Арнольде будет написано много воспоминаний, его научной и педагогической деятельности дадут оценку специалисты. А мне хочется рассказать об одном маленьком, но бесценном для меня эпизоде. Наверняка многие слышали историю, как у великого математика Гильберта спросили об одном из его учеников. «А, такой-то! - вспомнил ученика Гильберт. - Он стал поэтом. Для математики у него было слишком мало воображения.» Видимо, у меня тоже было вооб- ражения не слишком много, поэтому наряду со своей программистской, а потом педагогиче- ской деятельностью, я стала писать стихи. Среди них был один, который был посвящен на- учному поиску, научной мысли, научному дерзновению. Случилось так, что это стихотворение с благословения Аллы Дмитриевны Беловой, было опубликовано в 3-м выпуске сборника «Мы - математики с Ленинских гор». Об этом уникальном издании можно говорить бесконечно. И среди воспоминаний выпускников мех- мата, людей удивительных судеб, выдающихся ученых, талантливых инженеров, прекрасных педагогов, оказались и мои несколько строк воспоминаний и два-три стихотворения. Случилось так, что стихотворение «Лист Мёбиуса» чем-то запомнилось Владимиру Игоревичу. Видимо, сработал тот самый «пароль» выпускников мехмата... Сейчас в моем семейном архиве хранится несколько фотографий и копия письма, на- писанного В.Арнольдом Алле Беловой. В письме - глубокий и удивительный анализ стихо- творения, рисунки, сделанные рукой великого математика, а на фотографиях - отдельные стихотворные строки. Сейчас уже с уверенностью и без преувеличения можно сказать, что каждое слово, написанное Владимиром Игоревичем - достояние мировой науки и цивилиза- ции в целом. Я даже мечтать не могла о таком счастье: быть не только прочитанной вели- чайшим математиком нашей эпохи, но и получить от большого знатока мировой поэзии ве- ликодушный отзыв: «стихи запоминаются невольно». Лист Мёбиуса Лист Мёбиуса - символ математики, Что служит высшей мудрости венцом... Он полон неосознанной романтики: В нем бесконечность свернута кольцом. В нем - простота, и вместе с нею - сложность, Что недоступна даже мудрецам. Здесь на глазах преобразилась плоскость В поверхность без начала и конца. Здесь нет пределов, нет ограничений, Стремись вперед и открывай миры, Почувствуй силу новых ощущений, 205
Прими познанья высшего дары: Познай любовь и ненависть изведай, Низвергнись в ад - тотчас увидишь рай. Ты в одночасье насладись победой И горечь пораженья испытай. На грани бесконечного блаженства, Испытывая суеверный страх, Найдешь свой путь. Достигнув совершенства, Окажешься в таинственных мирах. И, вдохновленный этим дерзновеньем, По экспоненте поднимаясь ввысь, Ты ощутишь восторг освобожденья, Почувствуешь, как возникает Мысль. Покажется, что распростерлась Вечность, Что взломан Мироздания пароль. И вдруг твое стремленье в бесконечность Тебя вернет к исходной точке: в ноль. Как о порог, об этот ноль споткнешься. Но как бы ни был прежний путь тернист, Вновь выбирай (и ты не ошибешься!) Путь в бесконечность - Мёбиуса лист! Мне кажется, жизнь Арнольда - это и есть тот самый бесконечный, таинственный и неожиданный лист Мёбиуса, такой простой и одновременно невероятно сложный! 206
КОЗЛОВ ВАСИЛИЙ ВАСИЛЬЕВИЧ, кандидат физико-математических наук, старший преподаватель Мехмата МГУ НАШИМ УЧИТЕЛЕМ БЫЛ АНДРЕЙ НИКОЛАЕВИЧ КОЛМОГОРОВ Так мы назвали воспоминания Василия Васильевича об Арнольде, которые я услы- шала и кратко записала. И главная мысль, что воспоминания эти неотделимы от того, что очень ярко помнится о Колмогорове. Василий Васильевич был учеником Андрея Николаевича Колмогорова, как и Влади- мир Игоревич, но немного позже его. Когда я стала спрашивать его о Владимире Игоревиче, Василий Васильевич даже растерялся, сказав, что не может отделить друг от друга этих двух великих учёных. Это что-то единое целое во всём: в широте их научного мира, в мировоз- зрении, в жажде всё знать, в глубине знаний; в отношении к своим ученикам, которые, полу- чив себе в дар, отпущенный судьбой, учителя, слились с ним во всём, и невозможно разо- рвать эту связь. Это в самой большой степени относится к А.Н. Колмогорову и В.И. Арноль- ду. И у того, и у другого каждый ученик - любимый, а руководитель - это всё на свете: от поставленных задач, их решений, докладов, разговоров на любые темы до купанья в ледяной воде, многокилометровых походов на лыжах и путешествий по стране. Андрей Николаевич в последние годы был очень болен, в свою любимую Комаровку редко выезжал с помощниками, чаще оставался в университетской квартире, но ежедневно делал зарядку у шведской стенки. В 1984 году, весной и летом, Андрей Николаевич с Анной Дмитриевной жили в санатории «Узкое» и «Десна». Кто-то из сотрудников и ученики еже- дневно посещали Андрея Николаевича, потому что он катастрофически быстро терял зрение и не мог самостоятельно читать и писать. Читали своему учителю то, что он просил, что-то записывали по его просьбе, гуляли с ним по парку: А. Абрамов, Д. Арнольд, А. Булинский, В. Тихомиров, В. Успенский... Общение с Андреем Николаевичем было для всех настоя- щей радостью. Незабываемыми были и встречи друг с другом самих учеников в присутствии учителя. Разговоры, дискуссии... Там иногда Василий Васильевич встречался с Владимиром Игоревичем, который, несмотря на свою занятость, нёс посильное дежурство у Андрея Ни- колаевича. Бывали они вместе у А. Н. Колмогорова в московской квартире, выводя его на прогулку и захватывая с собой раскладное кресло для отдыха Андрея Николаевича. 207
Василию Васильевичу удалось запечатлеть на фотографии рядом двух дорогих ему людей, великих учёных, математиков - Андрея Николаевича Колмогорова, уже очень боль- ного, и Владимира Игоревича Арнольда, пятидесятилетнего, полного сил. За полгода до ухода из жизни Андрей Николаевич в день своего рождения 25 марта (его мучила болезнь Паркинсона, язык пере- ставал слушаться, но мысль его была ясная) продиктовал В.М. Тихомирову очень медленно, но раз- борчиво к 50-летию В.И. Арнольда неболь- шой текст, в котором, в частности, дана та- кая оценка своего любимого ученика: «Про- исходит чествование первого советского ма- тематика - не только по силе полученных результатов, но и по темпераменту личности, по способности воспринимать новое и сме- лости в преодолении препятствий... Обо всём, что угодно, его можно расспросить, и обнаружатся очень широкие знания». 20 октября 1987 года Колмогоров умер в 14 часов 9 минут. На траурном ми- тинге, который открыл Е.И. Велихов, высту- пали в числе других В.А. Садовничий, В.М. Тихомиров... На Новодевичьем кладбище выступали три Колмогоровских ученика: С.М. Никольский, В.И. Арнольд, Б.В. Гне- денко, высказав своё отношение к Великому Учителю. И это всё стоит перед глазами и находится в памяти Василия Васильевича. Ученики, как правило, становятся по- хожими на своих учителей в некоторых характерных чертах. Все ученики Колмогорова ко- пировали его жизнь. Но больше* всех, лучше всех, отчётливее и ярче всех получилось это у Первого ученика - Арнольда. Когда он выступал с докладами, то чувствовалась манера Кол- могорова. Он проявлял интерес к фундаментальным знаниям в области науки, современной жизни. Нередко раскрытие человека у того и у другого происходило в простой обстановке. Повстречался как-то Василий Васильевич с Владимиром Игоревичем на лыжне в Ясе- нево. «И его взмахи палками, и остановка, и начало разговора, и рисунки на снегу ,... опять же преследовали меня - Колмогоровские. Но ещё и ощущение - одиночества Арнольда..., - говорил с некоторой грустью Василий Васильевич, - обсуждали маршруты в Поливанове, Дубровицы. Поразительно чувствовалось присутствие Колмогорова, как будто вновь вместе с ним на лыжне в Ивантеевке и на Скалбе. А ещё Владимир Игоревич унаследовал от Андрея Николаевича сбор семинара в ау- дитории 1408. До ночи у того и у другого не хватало времени наговориться о задачах, о про- блемах, о личных открытиях. И я постоянно живу под знаком совмещения двух великих личностей.» В.В. Козлов не был тем человеком, который часто беседовал с В. И. Арнольдом, об- суждал какие-то проблемы или просто разговаривал о чём-то отвлечённом. Но когда вдруг пришла скорбная весть о его неожиданной кончине, Василий Васильевич был ошеломлён, растерян; осознал невосполнимую потерю; возникла настойчивая потребность звонить кому- нибудь из учеников, близко знавших Владимира Игоревича, сообщить об этой вести, поде- 208
литься личной скорбью и задать один-единственный вопрос: кто любил Арнольда? Кто-то говорил о стиле работы Владимира Игоревича: всесторонен, критичен,., но главное - неот- делим, необходим,., что-то упало, исчезло,., без чего невозможно представить дальнейшее. Владимир Игоревич, выступая с лекцией в 2008 году в аудитории 01 по поводу на- граждения его Государственной премией, сказал о том, что на многих произвело незабывае- мое впечатление (можно немного ошибиться в тексте высказывания, но смысл точный): «Слушайте, Мехмат и Московский университет - последний оплот науки в мире. Единствен- ный - только Мехмат!..» Это был крик души Арнольда. Этот человек шёл по истинному пути, продолжал дело Андрея Николаевича Колмогорова и создавал своё, прошёл своей жизнью смело и открыто. Я думаю: Господь избавил его от страданий, выпавших на долю его Учителя в конце жизни. Я прочитала в книге воспоминаний об Андрее Николаевиче Колмогорове, что сказал Владимир Михайлович Тихомиров в марте 1987 года при вручении Андрею Николаевичу Международной премии Лобачевского: «Колмогоров был тем гением, само существование которого освещало жизнь». Он просил всех, кто соприкасался с Колмогоровым, передать де- тям и внукам ощущение соприкосновения с великой личностью. Вот и наша книга воспоминаний о Владимире Игоревиче Арнольде важна и значима тем, что она поможет людям, даже не знавшим этого великого математика, соприкоснуться с его личностью. Воспоминания В.В. и М.В. Козловых записаны составителем в ходе бесед с ними. 1987 г. У А.Н. Колмогорова в Комаровке Абрамов А., Арнольд Д., Сосинский А. 209
КОЗЛОВ МИХАИЛ ВАСИЛЬЕВИЧ, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математической статистики и случайных процессов Мехмата МГУ ЕСЛИ СМОТРЕТЬ СО СТОРОНЫ С Михаилом Васильевичем у меня произошёл короткий, но интересный разговор, ка- сающийся того, что кажется более важным в отношении памяти о Владимире Игоревиче Ар- нольде, если смотреть на это не непосредственно, не лично, а будто со стороны кого-то дру- гого, причастного к личности интересного человека. Побывав в разных высших учебных заведениях России и других стран, Михаил Ва- сильевич подметил, что каждое мощное учебное заведение имеет свой неповторимый об- раз, какой-то особый штрих, дух, который накладывает отпечаток на формирование лично- сти. Один из главных штампов на Мехмате: дух научной конкуренции. Он ярко присутство- вал у Андрея Николаевича Колмогорова, буквально спортивный дух при его величии. Он пе- редался Арнольду и приумножился - дух первенства, соревновательности, соперничества. Но любой верующий человек ощущает (уверен Михаил Васильевич): не только зем- ной жизнью, в которой присутствует соперничество, стремление выдвинуться, быть впереди, характеризуется, измеряется человек. Дух конкуренции даёт много для науки, но жизнь от этого не становится более приятной и осмысленной. Это понимание должно как-то отра- жаться на земной жизни. Михаил Васильевич отмечает, что Владимира Игоревича, как учёного, достигшего высочайших вершин в науке, отличает от многих, несколько подобных ему учёных, высокое чувство патриотизма, постоянная связь с Россией. Он не отождествлял себя с Западом, как, может быть, некоторые его ученики. Он отстаивал свои, патриотические позиции: Россия достигла в математике вершин гораздо более высоких, чем Запад, и именно Россия велика своими научными достижениямй. Таким учёным должна гордиться Россия. 210
ЧЕРНЫШ ЛЮДМИЛА ГРИГОРЬЕВНА, инспектор диссертационного совета В 1970 году я с должности медсестры городской клинической больницы №64 перешла работать в научный отдел очного отделения механико-математического факультета МГУ. Там кипела мехматская жизнь: олимпиады, конференции, Ломоносовские чтения, конкурсы студенческих работ. Я, одна из немногих, могу похвастаться, что пила чай в кабинете Ректо- ра Университета Ивана Георгиевича Петровского на 9 этаже, где он просматривал студенче- ские и аспирантские работы, поданные на конкурс; писал отзывы. Там распределяли места: первое, второе, третье Нередко, пробегая по коридорам с какими-то делами, заданиями, я слышала: «Сего- дня лекция Арнольда. Идёшь?» и однажды, набравшись храбрости, я зашла в поточную ау- диторию, забралась на самый верх и стала слушать. Вначале была такая тишина, что каждый мог слышать дыхание соседа. Лекция заканчивалась, и начиналась дискуссия. Вопросы, от- веты. Владимира Игоревича, заметно было, это радовало. Он отвечал на вопросы весело, улыбался иногда с иронией. Я подумала: зубастый «препод» (уже тогда возникло это слово). Мне нравилось слушать Владимира Игоревича. Тогда его лекции переписывали один у дру- гого. Я часто по делам научного отдела заходила на кафедру дифференциальных уравнений и там часто встречала Владимира Игоревича, который принимал активное участие в прове- дении научных конференций, Ломоносовских чтениях. Но вот появились первые аппараты для ксерокопирования материалов. Я перешла в лабораторию, где мы копировали лекции преподавателей, вопросы для экзаменов, учебные планы. Профессора сами искали машинисток, которые перепечатывали лекции, написанные рукой, платили сами за работу, подбирали по порядку листы, сшивали. Такую работу выпол- нял и Владимир Игоревич. Всё было для студентов. В библиотеку шло 40 или больше кон- спектов лекций разных лекторов. Они очень помогали студентам готовиться к экзаменам. Это были лекции В.М. Тихомирова, Л.И. Камынина, других лекторов. В 1976 г. меня перевели инспектором в диссертационный совет. Причём такие люди, как член-корреспондент РАН Гончар А.А., профессора, доктора наук: Никишин Е.М., Тихо- миров В.М., пока я сомневалась, как быть, взяли мой тяжёлый сейф с бумагами и перенесли туда, где он должен стоять при диссертационном совете. Моей обязанностью было правиль- ное оформление всех диссертационных документов. Я освоилась с этой работой. Совет в то время возглавлял Андрей Николаевич Колмогоров. Как-то Андрей Нико- лаевич Колмогоров спросил: «О чём диссертация?». Я, пожав плечами, ответила: «Не знаю». Он взял бумаги из моих рук и вышел. С тех пор, прежде чем подать документы Андрею Николаевичу, я заучивала название диссертации, аннотацию, главы, выводы,... и у Андрея Николаевича видимо складывалось впечатление, что я что-то понимаю в математике. Но разве в ней разберёшься, не изучая спе- циально. Однажды я произнесла слово «комплексные» с ударением на О, Андрей Николае- вич меня поправил: «КомплЕксные». Он даже не имел представления, что у меня нет ника- кого математического образования. Но, прочитав много документов, постановок задач, их решений, любопытства ради и желания что-то понять, спрашивая у диссертантов, о чём они пишут, я стала не то что понимать суть работ, но, главное, как их верно оформить. Я очень внимательно относилась к диссертантам всех научных руководителей и, в том числе, Владимира Игоревича Арнольда. А он всегда интересовался: «Такой-то был?» В совет входили: А.И. Маркушевич, В.И. Арнольд, В.И. Гаврилов, Ю