tf ft V 1» 49 JO s.
й> (i
X
$f Is
<2 Jf $ ft
Я
y
fl
fl tf
&
ft
4 t6
8 fl If fl Ъ (S
<fC
11
55
53 Я 5$
fl if ft
fl fl
Я
fl
ft
ft I? fl

fl to
;/ » й £ w lb .
# 31
V?
ft
Я
fl	it	fl	fl	i
Jo	Si	fl	Й	$
ft	M	n	»
?31	rt	Й	"
Й	I	n	&	I
и	Зо	я	£t	fl	Л
Ю
y2
A
Й & H 21 »
Я
<!
I? It U JI
Й Y2 tf Я
% & Я & % О % 39 (5 ilOS
#2 29 X JO V
Я kt 32 №
О Я $
.. 14 ?5«
20 41 itil
0 Л a
& Й s
a n
® si
Л и
« if 5 V2 <6 1 s
w
Я JI a e
--19»
Я 2» да IS 21 «
H
ИЛ
Москва «Педагогика» 1981
i 
ББК 74.262
Ш.84
Перевод с хорватско-сербского
Д. П. Мансфельда
Редактор перевода и автор предисловия
Д. С. Апокорин
Художник
В. И. Шкарбан
Златко Шпорер
- ОХ, ЭТА МАТЕМАТИКА!
Заведующая редакцией Л. И. Коровкина. Редактор В. Г. Иоффе Художественный редактор Е. В. Гаврилин. Технический редактор Т. Е. Moposoea Корректор Р. П. Семченкова
ИБ № 482
Сдано в иабор 17.12.80. Подписано в печать 23.06.81. Формат 60X84f/n- Бумага тип.- № 3. Печать высокая. Гарнитура литературная. Усл. печ. л. 7,44. Уч.-нэд. л. 8,98. Усл. кр.-отт. 8,37. Тираж 50 000 экз. Заказ 2471. Цена 70 коп.
Издательств» «Педагогика» Академии педагогических наук СССР и Государственного комитета СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
Москва, 10784 7. Лефортовский пер., 8.
. Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, М-54, Валоваи, 28.
Шпорер 3. Ох, эта математика!: Пер. с хорватско-Ш.84 сербского.— М.: Педагогика, 1981,— 128 с., ил;
70 коп—
В аииге в иаучно-популяриой форме излагается ивсдеиие в изучаемую' школьниками VII—VIII классов теорию множеств и теорию чисел (натуральные числа), которые вместе с математической логикой составляют основу современной математики.
Книга адресована методистам и учителям средней школы. Может быть яолезйа для проведения факультативных и кружковых занятий по математике.	--
Ш SSivS 31 -81- <306010000	ББК 74.262
UU5(UI)-ol	51
© Zlatko Sporer. Uh, fa mafematika. Izdavacko poduzece „Skolska knjiga", Zagreb, 1976.
© Перевод на русский язык, предисловие и оформление. Издательство «Педагогика», 1981 г.
|>Г1^ПЪ|)1иОИС
РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Предлагаемая книга югославского математика и педагога 3. Шпорера по содержанию ближе всего к таким пуб--ликациям по математике, которые предназначены для формирования у читателей целостного общего представления о важнейших ее разделах. В нее включены главы, посвященные основам теории множеств, теории чисел и математической логике. Такая подборка материала хорошо отвечает новшествам современной школьной программы по математике. Символика и весь аппарат описания математических преобразований и доказательств в школьных учебниках основаны на применении правил теории множеств и математической логики. Широко используются в них свойства отображений множеств, частным случаем которых являются отображения, задаваемые различными алгебраическими функциями. Сам подход к м.атема-_ тическим построениям стал носить более строгий абстрактный характер, что требует овладения методами аксиоматического описания исходных понятий.
Однако в книге Шпорера мы не найдем строгих доказательств и развернутых описаний и выводов. Шпорер достаточно популярно, просто и в то же время научно излагает сложнейший материал. Его задача — пробудить интерес учащихся к данной проблематике, а затем дать определенные i ведения, которые могли бы стать иеновой для дальнейшего более детального изучения. При изложении материала автор следует правилу: «.Для популяризации математики нет нужны быть вульгарным, для простоты изложения нет необходимости все объяснять упрощенно, и, наконец, серьезное "ведение в математику совсем, не обя-«нпсльно должно быть скучным-».
Вместе с тем эти качества изложения еще не могут объяснить, почему оипатель, который «не любит мате-«атику», начав читать эту книгу, не. может и ми хочет бросить это-за
нятие, Более того, он Важе не вале-чает, что раз за разом возвращается к некоторым ее трудным местам, чтобы как следует понять написанное. Ответ на этот вопрос крайне прост {но не банален}. Всему «виной» замечательное педагогическое мастерство Шпорера.
Эффективное обучение, скажем, математике совершенно невозможно без создания определенной эмоциональной атмосферы вокруг ученика, которая характеризуется (так же, как погода — температурой, давлением и скоростью ветра) потребностью учащегося в усвоении учебного материала, уважением и любовью ко всему, что связано с учебным предметом. Шпорер, говоря о тех или иных теориях математики, рассказывает нам и об их творцах — современных и древних, подчеркивая и откровенно восхищаясь их высокими человеческими качествами: настойчивостью, изобретательностью, мудростью и творческой одержимостью. И вместе с тем для читателя это живые, вполне земные люди, которые и ошибаются, и часто не могут найти окончательных решений. Именно поэтому, кстати, читатель чувствует себя даже в какой-то мере приобщенным к творчеству этих великих людей науки.
Теперь давайте посмотрим, как умело Шпорер осуществляет необходимое для учащихся педагогическое руководство. Читатель своевременно найдет в книге подсказки в трудных местах, и одновременно ничего в ней не разжевывается и не преподносится в готовом виде. Шпорер никогда не забывает вовремя разрядить читателя остроумной шуткой или поучительной притчей. Материал книги очень удачно разбит на примерно равные куски по отношению к затратам труда на его усвоение. В конце такого куска автор просто предлагает ученикам отдохнуть или, скажем, пойти и поиграть в футбол.
Но педагогическое мастерство Шпорера характеризуется не только общими методическими приемами. Он прежде всего учитель математики. Математика, пользуясь определением знаменитого немецкого математика Д. Гильберта,— это «игра, в которую играют согласно простым правилам и
пользуются при этом обозначениями, не имеющими самостоятельного значения». «Язык математики» — один из наиболее важных Объектов изучения. Более того, можно было бы сказать, что математика в целом сама является хорошо структурированным и формализованным языком описания окружающей нас природы. Следовательно, изучать математику необходимо в том числе и так, как это делают при изучении языка, вводя обозначения {алфавит}, правила построения утверждений {предложений} и т. д.
Шпорер блестяще умеет пояснить вводимые обозначения и Целые схемы формализованных описаний. При этом, используя живой разговорный язык, массу примеров, казалось бы, отвлеченных, он добивается главного. У читателя необходимые понятия прочно закрепляются большим числом связей, ассоциаций и аналогий.
Хочется отметить и еще одно важное качество предлагаемой книги. Речь идет о том, как выстроён в ней учебный материал, как удалось Шпореру наложить на схему логических связей разделов математики, изучаемых в -книге, требования возрастной и детской
психологии. .
Многочисленные повторы, возвращения и дополнения к уже разобранным теоремам — не недостаток книги, а скорее ее достоинство. Усвоение определенных высказываний на должном уровне обобщения возможно лишь при использовании именно таково итеративного подхода к Обучению.
Итак, те, кому книга посвящена, будут читать ее с интересом, с пользой для своего образования. Но Одновременно эта книга должна помочь педагогам и воспитателям понять, как строить учебный процесс на материале математики, как добиться того, чтобы известные профессиональные приемы методики преподавания облечь в живую конкретную ткань.
И еще... Книга Шпорера читается с большим интересом, наверное, потому, что автор к тому же замечательный мастер слова.
Д. С, Апокорин, кандидат физико-математических наук, заведующий лабораторией НИЙ общей и педагогической психологии АПН СССР
ТЕМ, КТО НЕ ЛЮБИТ МАТЕМАТИКУ, ПОСВЯЩАЕТСЯ
Что за книга, спросите вы, невидимому, прочитав ее заглавие-. И добавите:
— Почему оно такое странное? Да и эпиграф необычен.
— Заглавия книги я ие придумывал, уверяю вас. Вы сами мне его подсказали вашими бесконечными жалобами. Вот я и решил написать книгу и именно под таким названием.
— Мы вам его подсказали?
— Да. Вы все, кто не любит математику. А вас таких предостаточно. Молодых й старых, детей и взрослых, школьников и студентов... словом, всех не перечесть. Впрочем, количество таких людей несложно установить.
— Каким образом?
— Самым простым. Прежде всего, надо пересчитать по пальцам тех, кто любит математику. Затем отнять
это число от общей численности населения страны и получить искомый результат. Простая операция. Не так ли?
— Ну что ж. Все правильно. Мы ие любим математику — и все тут! Уж не считаете ли вы,, что знакомство с вашей книгой заставит нас ее полюбить? Как бы не так! (Мы еще не раз подумаем, взяться ли за ее чтение или нет.)
— То, что вы после знакомства с моей книгой мгновенно воспылаете любовью к математике, я и думать не смел. Не столь я наивен. А если кто и найдет способ «заставить» ее полюбить, то ему математики при жизни воздвигнут памятник и выдвинут на соискание Нобелевской премии х. Та-1 Ежегодно с 1901 г. в день смерти Нобеля '•(10.XII) вручаются премии видным деятелям за достижения в об-
7
кой человек станет и всемирно известным. Какую премию, я сказал? Нобелевскую. Прожгите меня, я оговорился. Не Нобелевскую, а Филдса. Дело в том, что Нобелевская премия ие присуждается за заслуги в области математических исследований. Видать, Нобель, как и вы, недолюбливал математику, а потому и не позволил выделять из оставленного им наследства деньги на премии математикам.
— О премии Филдса мы ничего не слышали.
— Фй'лдс — несколько чудаковатый американский миллионер. Узнан, что Нобель лишил математиков возможности получать премии, он .принял решение (в силу своего эксцентризма, по-видимому) создать специальный фонд, чтобы раз в четыре года награждать тех, кто внес особый вклад в развитие математической науки. Помимо денежной премии лауреату вручают медаль, которая иосит имя Филдса — основателя фонда. Математики проявляют к медали уважение, считает честью получить ее в качестве награды и расценивают ее как признание своего труда. Вот что мне об этом известно.
— Хорошо, но почему книга посвящена именно тем, кто не любит математику? А если это шутка, то как не стыдно вам смеяться над такой бедой?!
— О, иет! Адресуя книгу вам, я был настроен вполне серьезно. Книга действительно писалась для вас и вам посвящена. И главным образом потому, что вас принуждают учить математику, хотя вы ее и ие любите.
ласти физики, химии, медицины, литературы. Из того же фонда выделяется Нобелевская премия за деятельность по укреплению мира.
Нет ни одной школы, начальной или средней, дневной или вечерней, и, пожалуй, почти ни одного вуза, где бы можно было обойтись без математики. С математикой, если хотите, надо мириться как с неизбежным злом, которого ъ наше время не ми но. вать, тем более учась в школе. А каждое зло, если оно неизбежно, следует изучить. Это прекрасный принцип, которым нужно всегда руководствоваться. Даже на войне. Мы ненавидим врага, боремся против него и в то же время стараемся его изучить как можно лучше. Или взять, к примеру, спорт. Как начинает тренер подготовку своей футбольной команды к решающему матчу? Прежде всего он знакомит своих питомцев с тактикой и особенностями игры соперника. А почему — вам понятно. Вот и мне хочется начать наше знакомство с разговора о математике. И ничего более.
— А принесет ли нам знакомство с вашей книгой сколько-нибудь пользы? Не пустая ли это трата времени? Мы и так перегружены домашними заданиями!
— Откровенно говоря, не знаю. Никаких гарантий дать не могу. Во всяком случае, полистайте ее от нечего делать. Это вас позабавит и, как знать, чему-нибудь научит.
— Позабавит? С каких пор математика стала развлечением?
— Ну, знаете, ваш скептицизм бес-пределен. Я же сказал вам, мы не-будем знакомиться с математикой, а только поговорим о ней, поскольку она таит в себе немало занимательного. К тому же я не склонен знакомить вас с математикой таким образом, каю это обычно делают ученые мужи:
научно, строго, серьезно,
8
с множеством доказательств, математическим языком.
Мы поговорим с вами попросту, без математических строгостей, без дока^ зательств. А если мне вспомнится походя какая-нибудь интересная история, то я обязательно ею с вами поделюсь. Смотрите на математику с развлекательной стороны и не воспринимайте ее слишком серьезно. Почти ко всему можно подойти с юмором. Давайте так и поступим. Пусть волнуются те, кто воспринимает все слишком серьезно и даже трагично. И в жизни, и в математике.'
Для начала поделюсь с вами одним . определением, которое меня развеселило. Я впервые услышал его достаточно давно в школе.
Учитель спросил ученика:
— Скажи мне, пожалуйста, что называется ромбом?
Тот думал, думал, даже вспотел думаючи. Вдруг его осенило, и он выпалил одним духом:
— Ромб — это покосившийся квадрат.
С тех пор прошло много лет. Я забыл многие «правильные» определения и теоремы, но это «определение» я запомнил навсегда. И должен вам признаться, что по сей день я ценю удачную шутку наравне с правильным определением. А вас прошу только об одном — не показывайте эту книгу, ради бога, математикам. Даже не упоминайте ее при них. Так будет лучше и для вас, и для меня. И не спрашивайте меня, почему. Когда вы се прочитаете, вы сами это поймете.
— Хорошо. Книгу мы им не покажем. Но интересно узнать, о чем она.
— Да обо всем понемногу. О древ-, псгреческих математиках и о про? блемах, которые их мучили, о натуральных числах, их Свойствах и законах,
об удивительных событиях в мире бесконечного, о математических аксиомах, о множествах н о путанице вокруг них, о необычных- обозначениях, охотно применяемых совре-.менными математиками, о различных отраслях математики и о возникающих среди математиков недоразумениях; словом, о самых разных вещах.
— А есть ли в этой книге задания?
— Разумеется, но пусть это вас не тревожит. Выполнять их ие обязательно. К тому же это не совсем обычные задания. Скорее это вопросы, возникающие в-, ходе беседы. И приводятся они в книге по инерции.
— Хорошо. Допустим, кто-то из нас отважится и выполнит то или иное задание.. Как он узнает правильное его решение?
— Очень просто. Каждое задание помечено цифрой, а в конце книги дано его решение. Но хочется посоветовать вам — хотя бы потому, что подобные советы есть почти в каждом задая-цике,— не заглядывайте предварительно в‘ответы. (Лучше, как видно, умолчать о своей дурной привычке постоянно подсматривать в решение. Но одно дело давать для очистки совести полезные советы другим, а другое — самому руководствоваться ими.) Чтобы найти в книге то, что вас интересует, нет нужды читать ее всю или одну из ее глав. Большинство известных мне умных людей так и поступают. Важно быть находчивым.
— Это неплохая идея, и, возможно, мы ею воспользуемся. И все-таки почему ваша книга такая толстая? Не лучше ли сделать ее потоньше? Легче решиться иа ее прочтение.
— Ну и придиры! Не стоит судить о книгах, да и о людях, по внешнему виду. Лучше познакомиться с их содержанием. Разве вы не встречали.
в жизни симпатичных толстячков или худощавых зануд? Так и с книгами. Конечно, нет ничего, хуже толстой н нудной книги. Разве что какая-нибудь надоедливая личность. Ну, а если моя книга все же показалась вам чересчур толстой, то начните читать ее с середины или с конца, как кому угодно. (Знали бы они, сколько я таким образом книг прочитал.) '
— А поймем ли мы ее, не заглянув в начало? (Я вижу эта идея им понравилась.)
— Поймете! Почему бы и нет? Это не роман. И не учебник. Только не приступайте к книге с половины фразы. Если взяться за чтение с середины книги, то всегда можно при желании возвратиться и к ее началу. Имеются ли еще вопросы, связанные с книгой? Что вас еще интересует?
— Пока ничего. Вот только прежде, чем приняться за нашу беседу (не так-то просто решиться на чтение эдакой книженции!), позвольте задать вам последний небольшой вопрос:
Что такое, собственно говоря, математика?
— Ну, братцы, вы меня просто
ошарашили! Такого вопроса я никак не ожидал. И все же попробую и а него ответить, хотя ие уверен, что мой ответ вас удовлетворит. Обратимся к афоризмам некоторых великих математиков. Их не сосчитать, но я воспользуюсь теми, которые мне особенно по душе. Возможно, отдельные афоризмы покажутся вам несколько необычными, но не следует восприни-. мать их слишком буквально. Поверьте на слово, математики знают, что-^о-ворят.
Математик можно определить как предмет, в котором всегда трудно понять, о чем идет речь и является ли истиной то, что мы утверждаем. Б. Расселл.
Математика — всего лишь игра, в которую играют согласно простым правилам и пользуются при этом ничего не значащими обозначениями. Д. Гильберт.
Математика — наука о бесконечном. X. Уэйл.
Математика — предмет, по которому чаще всего ставят единицу. Неизвестный ученик.
*
Каждый сам знает, что он понимает под множеством
Е. Борель
Обозначение множеств
Признак принадлежности элемента множеству
Равенство множеств — причина недоразумений
Множество, которое содержится в другом множестве
Как при помощи одних множеств конструировать другие (пересечение, объединение и дополнение множеств)
«Отображение», «присоединение», «присвоение» и «снятие копий» с множеств
Прямое произведение множеств
Множества и числа
Связь между операциями с множествами и действиями с числами
Упорядоченные и хорошо упорядоченные множества
11
— Во что превратилась в наши дня математика? Все изучают какие-то там множества. Куда ни оглянись — сплошные множества. И кто их только придумал? Лишь бы ими ребят мучить. Мы тоже когда-то учились, неплохо школу закончили. Спокойно^ жили без множеств и хорошо без них обходимся. А теперь что? Недавно ребенок ко мне обратился с просьбой — помочь ему построить из множеств какую-то там ассоциацию или объединение. Скажите, куда это годится?
— Стоп. Успокойтесь, ради бога! Что вы все на меня накинулись, будто я изобрел эти множества. Даю вам честное слово, что теория множеств — не мое изобретение и не я ввел ее в школьную практику. Правда, я готов допустить, что без теории множеств нельзя и представить себе математического образования. Хотя и математики, в порядке самокритики; готовы признать, что они малость увлеклись и толкают множества куда надо и не надо...
— Да, и нам так кажется. Хорошо. Возможно, эти множества и необходимы, ио трудно поверить, чтобы без них нельзя бьио сложить два числа. Что 2-|-3=5 известно и тем, кто множеств не изучал...
— Но множества ввели в математику не ради сложения. Они необходимы по другим соображениям. И появились множества в математике еще...
— Лет пять-шесть тому назад..? — Не пять-шесть, а сто.
— Как сто? Не может быть, чтобы множества насчитывали сто лет.
— Да, да. Математики утверждают, что теория множеств появилась на свет 7. XII 1873 г., т. е. более ста лет назад.
— А кто их придумал? v
— Один немецкий математик или философ по фамилии Кантор2.
— Стало быть, он давно умер?
— Разумеется. Он родился в 1845 г., а умер в 1918, т. е. в год окончания первой мировой войны.
— Что заставило Кантора ввести множества в математику?
— Это объясняется, по всей вероятности, его склонностью к философии, и особенно в области бесконечного. (Нет чтобы заняться более полезным делом!) Чудак, право. Вы представьте себе, что его заинтриговало; каких чисел больше — натуральных или действительных? (Скажите, как важно.) В одном из писем, адресованных к своему- приятелю, если не ошибаюсь, к Дедекинду3, Картор писал, что ему удалось доказать посредством множеств, что действительных чисел больше, чем натуральных. (Вот о чем чудаки переписывались, вместо того чтобы поинтересоваться здоровьем жены и детей.) День, которым было датировано это письмо, математики считают днем рождения теории множеств. (Еще начнут его праздновать!) Таково начало истории множеств.
— Не напиши' Кантор, стало быть, этого письма...
— Нет, нет. Я понимаю, на что вы намекаете. Но вы не правы. .Просто письмо было бы написано кем-нибудь другим несколькими годами - позже.
-т- Почему же математики придают все-таки множествам такое значение? Без них действительно никак не обойтись в наши дни?
2 Георг Кантор (1845—1918) — профессор математики и философии в Галле. Основоположник современной- теории множеств.
3 Рихард Дедекинд (1831—1916) — немецкий математик.
— Безусловно. И математик# могут привести по этому поводу уйму ве-' ских аргументов. Они утверждают, например, что благодаря множествам математический язык стал проще, чище и яснее, более конкретными стали формулировки. При помощи множеств можно единым взглядом охватить самые сложные структуры. Ученые доказывают, что множества лежат в самой основе современной математики, что их можно применять буквально везде; они настолько собирательны и удобны, что позволяют рассматривать и изучать различные бесконечности, что...
— Неужели множества так уни нереальны?
— Да! Рассматривая основные математические объекты — числа, точки, современные математики изучают их различные совокупности, или множества. (В основном бесконечные.) Бывают множества векторов, функций и даже множества свойств и структур... Одним словом, всякие.
— Что же все-таки представляет собой 'множество? Можно ли его опи . сать более простыми понятиями?
— Нет. Множество настолько простое понятие, принятое в повседневной жизни и перенесенное в математику, что его нельзя свести к чему-нибудь еще более простому. Впрочем, мы и сами часто говорим:
множество городов, множество государств, множество чисел, множество учащихся, множество автомобилей, множество...
Да и сам Кантор сказал, что под множеством мы подразумеваем объединение в целое определенных, различающихся между собой объектов нашего представления или мышления,
Аналогично говорили о множествах и другие математики (Борель, например).
— Следовательно, множество может быть, собрано любым способом. Можно взять несколько примеров и назвать их множеством?
— Можно, конечно. Но математики рассматривают только те множества, которые обладают четко определенными свойствами, состоят из элементов или членов, имеющих некоторые общие свойства, короче — математические множества.
— Пока нам не очень понятно,
— Попытаюсь объяснить. На примере. Можно, допустим, сказать, что морковь, автомобиль, жирафа и Марс или яблоко, карандаш, мяч и роза составляют множество из четырех элементов, но у этих элементов почти отсутствуют общие свойства. Для математиков такие множества интереса не представляют, и они их не изучают, хотя такие множества часто приводятся в качестве примеров множеств. Общие и характерные свойства элементов множеств должны быть всегда такими, чтобы можно бьио с уверенностью утверждать, есть у определен-вого объекта это свойство или нет, т. е. принадлежит он к данному множеству или нет. Говорят еще, что множество должно быть хорошо (или правильно) задано.
— Понятно. Множество городов — это хорошо заданное множество.
— Гм. Гм. Боюсь, что данный пример не из лучших.
— Почему? Это же предельно ясно, когда мы говорим: «множество городов».
— Нет. И на это есть много причин. Во-первых, следовало бы условиться, что мы имеем в виду^ когда говорим: город». Населенный пункт о таким-то
12
13
числом жителей или что-нибудь иное? (В чем разница между городком и городом?) Думаем ли мы о городах одной страны, континента или всего мира, затем...
В этом споре о понятии множеств, конечно, прав профессионал. Но что поделать, если мне нравится просто их рисовать...
— Как в таком случае правильно задать множество?
— Несколько конкретнее. Например, так:
множество столиц республик и автономных краев СФРЮ,
множество городов Социалистической республики Хорватии, насчитывающих свыше 200 тыс. жителей, множество городов в мире, превышающих 3 млн. жителей, или же: множество натуральных чисел, множество чисел, делимых на пять, множество учащихся школы им.
Матие Губеца в г. Загребе, множество учащихся третьих классов (какой-либо школы), .
множество дней недели
.....................
множество отличников в (вашем) классе.
— Ха, ха, ха. Да у нас в классе нет ни одного отличника!
— Не важно. В таком случае мы скажем, что такое множество существует, но оно — пустое.
— Как это пустое?
— Очень просто, только мне придется, по-видимому, объяснить это вам более обстоятельно, если вы не возражаете, разумеется. А вы наберитесь терпения, поскольку, прежде всего, нам необходимо определить некоторые основные понятия множеств.
ОБОЗНАЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ ‘
Есть несколько способов обозначения множеств, и мы с ними познакомимся. Каждый способ имеет одновременно свои преимущества и недостатки. Проще всего переписать все элементы и «загнать» их в фигурные скобки (как овец в загон), а после каждого члена — кроме последнего — поставить запятую. Вот так:
{Петр, Ивица, Марко, Милан}, {2, 4, 6}, {9}, {а, Ь', с, d, е], {т, п, г}, {1, 2}.
Преимущество такого обозначения заключается в том, что мы не сомневаемся в принадлежности отдельных элементов к определенному множеству, поскольку эта принадлежность явно приведена. Но вы, я уверен, увидели и слабость такой записи. Она очень неудобна при описании множеств с большим числом элементов. Когда речь идет о множестве учащихся вашей школы, например, или о множестве игроков первой футбольной лиги. Представьте себе, что вам надо переписать все эти множества. Подходящее было бы «развлечение». Кроме того, имеются множества, содержащие по миллиону человек, и даже бесконеч-гные множества (взять хотя бы все натуральные числа), и подобные множества мы просто-напросто не могли бы при всем нашем желании записать таким способом. Говоря' об этом, следует иметь в виду и то обстоятельство, что теория множеств возникла именно в процессе изучения свойств «больших множеств», т. е. множеств с большим количеством 1 элементов (включая, естественно, и бесконечное число). Можно с полным правом утверждать: ие будь больших множеств
(и связанных с ними проблем), не возникла бы и теория множеств. Вот почему математики придумали (недаром они такие умные) более краткий способ записи множеств, не зависящий от количества его элементов. Они рассуждали примерно так:
«Лучше отметить только характерное свойство, которым обладают эти элементы. Все объекты, наделенные этим характерным свойством, должны являться элементами, а те, которые им не наделены, не могут быть ими».
Я не знаю, кто из математиков придумал это первым, но я убежден: он не любил писать. Другим математикам эта идея понравилась, и, согласитесь, она неплоха. Посмотрите, как это получается иа практике. Давайте запишем, например, множество, которое составляют баскетбольные клубы первой союзной лиги в сезоне 1976/77 гг. («Задар», «Югопла-стика», «Првена звезда», «Партизан», «Работнички», «Босна», «Брест», «Ци-бона», «Раднички», «Металац», «Квар-нер», «Индустромонтажа», «Беко», «Иг-ман»). «Лентяи» математики запишут его так:
{х, обладающих свойством: х—является баскетбольной командой первой союзной лиги}
н при этом добавят: множество составляют все х с данным свойством. Им безразлично, чем будет этот х. Главное, чтобы он отвечал требуемым свойствам, а остальное математиков не касается. В одном случае х для них баскетбольная команда, в другом — левый‘ботинок ученика в классе. Нет, нет, я вовсе не шучу! Математики запишут множество левых ботинок учащихся вашего класса следующим образом:
{х, обладающих свойством: х—левый ботинок учащегося
VA класса}.
В третьем случае х — планета солнечной системы, в четвертом — целое число, в пятом — столица страны... и т. д.— словом, х может обозначать что угодно. Но и этот способ записи множеств показался математикам очень длинным. Они то и дело встречались с выражением «обладающий свойством ...» и решили ввести вместо него знак «обладающий свойством ...». Таким образом, их дружными усилиями появился символ |. А некоторым математикам показалось, что еще проще поставить знак (:). Поэтому во
всех современных математических книгах мы находим символ одного и того же значения:
I (читай) ... обладающий свойством, .	"	п	п
Вот почему известное нам с вами множество баскетбольных команд математики записывают так:
{х|х — баскетбольный’ клуб первой лиги}, или
{х : х — баскетбольный клуб первой лиги }.
Или, например, множество всех четных чисел, меньших 100, они записывают таким образом:
{х\х—четное число и меньшее, чем 100}. ’
В то же время если одно и то же множество повторяется неоднократно, то не думайте, что математик станет его всякий раз записывать. Этого вам не дождаться. При первой записи он поставит перед множеством заглавную
15
букву Р, например:
Р= {х]х‘— четное число меньше 100}.
Во второй раз ои запишет только;
множество,-Р— и все (а если тебя интересует, ’что обозначает Р, то посмотри выше).. Да, да, так это' у математиков. Не любят они много писать  (да и говорить тоже); а поэтому мы и вынуждены — без вины виноватые — разгадывать их «иероглифы». Они всегда стремятся, пользуясь небольшим количеством символов, выдать максимум информации, а когда переводят самую простую вещь на свой язык символов, обозначений и сокращений, она кажется нам предельно непонятной. И пока мы удивленно задаем себе вопрос, что бы это значило, они только загадочно улыбаются. Ну да ладно! Если им это приятно, то пусть любуются своими сокращениями и обозначениями, а мы назло им порассуждаем нудно и долго о символах. Раз уж мы остановились на обозначении символов, хорошо подумайте и ответьте на вопрос: «Какая разница между знаками т и {т}?»
Не позволяйте сбить себя этим вопросом с толку и ответьте, что знак т является обычным обозначением элемента множества, а {т} означает множество с одним элементом- (т). Между прочим, если во множестве нет ни одного элемента, -его обозначают в виде перечеркнутого нуля: ф. А на вопрос: «Что значит — {{а}}?» — заявите со знанием дела:
' — Конечно, ' это обозначение множества, каждым элементом которого является одночленное множество {с}, При этом притворитесь, что ие находите ничего, противоестественного в том, что и множества могут являться элементами множеств. Нет, например, никакого ' сомнения, что существуют
множества
{{a, b}, {с, d}, элементами .которых являются три двучлена. И вы, в свою очередь, спро сите собеседника, который намеревался вас сбить с толку: «Существует ли множество всех множеств?»
При любом ответе — положительном либо отрицательном — выразите этому мудрецу- свое самое искреннее «уважение» его (незнанию теории множеств. Я, собственно говоря, вообще сомневаюсь, что ои поймет суть вопроса, как и его дальний прицел, да и у самих математиков нет единого мнения иа этот счет. Позднее мы увидим, почему на этом вопросе споткнулась вся классическая теория множеств.
ОБОЗНАЧЕНИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ ЭЛЕМЕНТА
МНОЖЕСТВУ ч
Допустим, нам задано множество S, которое содержит три элемента: а, Ь, с; следовательно, 5= {а, Ь, с}. Это значит, что:
а—элемент множества S, Ь—элемент множества S, с—элемент множества S.
Вы, конечно, уже поняли, что ни один математик это так не запишет. Не любят они, повторяю, заниматься писаниной. Достаточно им столкнуться с необходимостью повторения, одних и тех же слов в одном и том же порядке, как они вводят взамен обозначения (и где они их откапывают в таком количестве?). Так, вместо слов «элемент множества», или «его член», или «принадлежит- множеству): они ввели обозначение £ и пишут,
16
следовательно:
а £ S, bfS, с £ S. Если объект не является элементом множества, то математики применят аналогичное обозначение, ио зачеркнут его: (£. Указывая, например, что число ,1 не является элементом множества S, они иапишут:
1<S.
ГРАФИЧЕСКОЕ
ИЗОБРАЖЕНИЕ МНОЖЕСТВ
— Можно ли множество показать графически?
Я знал, что вы зададите мне этот вопрос. Однажды я задал его одному математику, считая, что приведу его этим в восторг и в то же время покажу ему свою эрудицию в области теории множеств.
И знаете, как он мне ответил? Это надо было не только слышать, но и видеть. Сначала его лицо приняло такое кислое выражение, словно он съел половину зеленого яблока. Потом он посмотрел иа меня с сожалением, почесал за ухом и сказал:
— Да, да, я уже слышал, что это практикуется в некоторых детских садах и подобных учреждениях. Возможно, это и неплохо, надо же детям что-нибудь рисовать. Только я уверен, что рисованием множеств в серьезных математических книгах не занимаются. (Исключение составляет так называемая наивная теория множеств. В других случаях никогда.)
— Название «наивная», или классическая, теория множеств обычно используют, говоря о теории множеств, изучаемой в школе. Точнее, •но теория множеств, в основе которой ие лежат аксиомы. Но на практике иногда мы. встречаемся с какой-то
смешанной (это, конечно, ие официальное название) теорией множеств, которая не имеет отношения ни к «наивной», ни к аксиоматизированной теории множеств, ни вообще к математике.
— Это интересно. А что же собой представляет такая теория множеств?
— Представьте сёбе: рисуют трех коров, двух поросят и одного пса и все это обводят линией. Если не обвести, нет множества. Если окружить более тонкой линией отдельно коров, поросят и пса, то это уже подмножества. После такого примера каждый баран убежден, что отлично знает множества. Вот это, возможно, и есть самый большой недостаток графического изображения множеств, а в то же время и главная причина несерьезности подобной «теории». После такого объяснения у меня начисто отпало желание говорить этому математику, что и я, откровенно говоря, так же представлял себе множества и считал, что быстро изучил их лишь благодаря своим природным математическим за-  даткам, о которых я из скромности умалчиваю.
Впрочем, вы и сами убедились, что дальнейшие дискуссии с этим математиком потеряли бы всякий смысл. Не хватало мне еще расспросов с его стороны о моем мнении насчет каких-то там аксиом множеств. К чему они мне если при помощи рисунка можно все и так прекрасно объяснить, не говоря уже о красках и других способах обозначения элементов множеств; кружками, точками и треугольниками, красота! А он посмеивается и толкует мне о каких-то там аксиомах! Чепуха!
Если бы вы только могли видеть, как он на меня смотрел, говоря: «Каждый баран убежден, что отлично знает множества». Элементарная- невоспитан
17
ность! После разговора с этим заносчивым типом мне захотелось узнать мнение опытного и хорошего математика-педагога. И я отправился в гости к своему старому учителю, давно ушедшему на пенсию. Я спросил его:
— Объясните мне, пожалуйста, почему математики избегают графического изображения множеств.
То и дело покашливая, он любезнейшим образом мне объяснил:
— В основном потому, что при графическом изображении множеств возникает ряд проблем. Вот, например, если обозначить множество замкнутой линией, то не видна ее принадлежность к этому множеству. Мы часто обозначаем элементы множества одинаковыми точками или кружками, а нам известно, что в множестве нет одинаковых элементов. Некоторые множества, как множество всех точек на плоскости, например, невозможно обвести ограниченной линией. Впрочем, мы знаем, что, при обозначении направления мы обычно обращаем внимание только на его часть и говорим, что указали направление. Кроме того, надо быть особенно осторожным, когда хочешь обозначить внутри одного множества другое, которое называется подмножеством, потому что такое подмножество можно понять как элемент исходного множества. Встретятся вам, например, два таких подмножества, и одни будут утверждать, что это элементы, а другие, что это множества. Найдутся' и такие, кто, желая показать пустое множество, просто обведут часть чистого листа и будут утверждать... (Он мне привел еще ряд причин, но я, признаюсь, их запамятовал. Достаточно и тех, которые я запомнил.) Вот почему математики, при малейшей возможности, избегают графически изображать, множества.
— Значит ли это, что множества нельзя рисовать?
— Нет, я этого ие сказал. Иногда рисовать удобно. Я знаю из опыта, что дети рисунки любят, только всякий раз следует им напоминать, что речь идет только о иаглядиости, помогающей нам легче понять множества,— и ничего более. Во всяком случае, надо применять их осторожно н в меру, поскольку такое изображение дает, как правило, ошибочное представление о множествах. Впрочем, вы можете, если угодно, пользоваться графическим обозначением множеств, но не воспринимайте их уж очень всерьез.
— А какими способами графического изображения множеств можно пользоваться?
— Самыми различными. Тут нет никакй.х правил, поскольку любой способ к математике ие относится.
Существует, откровенно говоря, и математически правильный способ графического изображения множеств, но он пригоден лишь в том случае, если речь идет о бесконечных множествах, а точнее, о множествах с бесконечно большим числом элементов и при условии, что этими элементами являются точки.
— А как выглядит такой способ изображения множеств?
— А вот как. Сделаем набросок, например, множества как части плоскости и обведем ее замкнутой овальной линией. Если предположить, что все точки внутри овала являются элементами множества (а их бесконечно много), то эскиз множества выполнен правильно. Подобные схемы называются диаграммами Венна *. Такие
4 Джон Венн (1834—1923) — английский логик.
18
чертежи часто помогают размышлять, делать выводы, поскольку позволяют увязать «абстрактные» множества с
конкретными. Более того, при подобном изображении множества не возникает дилеммы или проблем, характерных для графического изображения множеств с несколькими элементами. Если же у нас появляется желание показать два множевтва, у которых есть общие элементы, то н это можно легко выполнить. Следует, однако, помнить, что совмещенная часть этих множеств в общем случае выступает так же, как множество с бесконечно большим числом элементов, и на схеме оно заштриховано дважды. Как видишь, показана, таким образом, возможность, хотя и несколько необычным путем, графического изображения множества с бесконечным числом элементов, когда этими элементами являются точки плоскости. Против такого способа показа множеств математики не возражают. Следовательно, если ты намерен проиллюстрировать множества графически, делай, как я говорил. Когда же ты иТигешь дело с множеством, которое состоит только из нескольких элементов, лучше его записать, а не рисовать.
— Жаль. Я-то думал, что благодаря рисункам и малые множества у меня «в кармане».
— Многие так считают, сынок. Только лучше, знаешь ли, хранить такие вещи в голове, а не в кармане.
РАВЕНСТВО МНОЖЕСТВ — ИСТОЧНИК
НЕДОРАЗУМЕНИЙ
— Почему источник недоразумений? — спросите вы тут же. .
— Потому что обычно мы забываем об одной очень важной особенности множеств. Она заключаётся в том, что в множестве нет одинаковых элементов, а вернее, что все они отличны друг от друга.
' — Значит ли это, что нельзя поместить одинаковые элементы внутри одного множества?
— Нет, не означает. Можно представить себе сколько угодно одинаковых элементов, ио выступать они будут как один элемент множества. Это будет примерно так же, как если бы купить на одного человека пять входных билетов на футбольное состязание. Контролер пропустит его, надорвет все билеты — если человек этого пожелает,— но они выполнят роль всего лишь одного билета. Человек напрасно заплатил за пять билетов, так же как вы напрасно старались поместить несколько одинаковых элементов в множество. Вот о чем идет речь. Предполагают, что все элементы одного множества отличаются друг от друга. Другими словами, множество (по определению) не может содержать одни и те же элементы В нескольких вариантах.
— Понятно, только не ясно одно, почему это стало причиной недоразумений?
— Сейчас убедитесь в этом. Только прежде всего я должен вам сказать, в каких случаях два множества равны.
19
Итак, два множества равны, если содержат одни и те же элементы,
— А это уже совсем простое определение.
— Согласен. Простое и понятное, и все же посмотрим на пример.
Возьмем множества {а, Ь, с} и {а, Ь, с}. Они явно равны, и их можно записать {а, Ь, с}= {а, Ь, с}.
А равны ли множества а, Ь, с и {Ь, а, с}?
— Да, оии равны, так как содержат одни и те же элементы.
— Правильно. В определении ничего не говорят о последовательности написания элементов, важно только, чтобы множества содержали одинаковые элементы. А поэтому {а, Ь, с}= = {Ь, а, с}. Если попытаться нарисовать равные множества, то следует быть особенно осторожным, так как постоянно возникают какие-то проблемы, а также и псевдопроблемы, особенно в тех случаях, когда люди слабо знают теорию множеств, а ду-
{Петр, Марко, Ивица, Иосиф} = {3, 5, 7, 9,-11, 15} = {9, мают, что оии в ней разбираются профессионально. Вот когда наступают настоящие премудрости. Поверьте мне, я очень часто читал «научные» трактаты на тему:
равен ли треугольничек одного множества треугольничку второго?
равен ли кружочек одного множества кружочку второго?
равен ли ..?
В этом одна и» причин отрицательного отношения математиюв к рисункам. И они правы. А если вам очень захочется рисовать множества, то я бы вам рекомендовал обозначать каждый элемент внутри множества по-разному, чтобы ие запутаться.
Только после того, как мы это поняли и запомнили, мы можем, если это понадобится, рисовать элементы в виде точки, поскольку -нам--теперь известно, что все элементы различны. И мы знаем также, что рисунок носит вспомогательный характер — ие более. Ну, а об использовании в качестве примера- множества предметов, с которыми мы встречаемся в жизни, лучше и не говорить. Я имею в виду яблоки, груши, тарелки, стулья и т. д.
Один «специалист», который никак не мог примириться с требованиями воспринимать одинаковые элементы множества в качестве одного, объяснял так все: «В кино все стулья одинаковые, а это значит, что, согласно теории множеств, там находится всего один стул». Он так и не понял, чао с математической точки зрения во всем мире нет двух одинаковых стульев. Ну, а теперь посудите сами: разве равенство множеств не является источником недоразумений?
▼
{Иосиф,- Марко, Петр, Ивица}, 5, 7, 3, 15, 11}.
Здесь проблем нет. Приведенные мно-• жества равны. А теперь — внимание.
Равны ли множества {3, 4, 3, 5} и {3, 4, 5}?
— Не равны, так как в первом множестве четыре элемента, а во втором — только три. Не может же четыре равняться трем.
— Этого никто и не утверждает, но разве вы забыли, о чем я говорил
только что? Во множестве нет одинаковых элементов, а если они и написаны, то мы их рассматриваем в ка-_ честве одного. И в нашем первом множестве совершенно напрасно два раза появляется число три, поскольку это один элемент. Поэтому {3, 4, 5}= О, 4, 5}.
— Да, именно так. Странно как-то. Означает ли это, й*го {2, 2, 2, 2, 2}= {2}?
— Правильно. Угадали. Также и {2, 3, 2, 4, 2, 5, 2, 6, 2, 7}= {2, 3, 4, 5, 6, 7}, а также и ▼
/1, 1,1,1,1, 1,1,1,1,1, 1, 1,1,1,1, (Теперь представьте себе, что все единицы в вашем классе станут множеством единиц, а это множество превратится затем в одну-единственную , единицу. И если бы оценки входили н множества, то такой оборот стал бы реальностью!) ▼
{U, A, A, S, К, U..P, О, V, I, 1}
Видите, как легко можно все перепугать, если забыть определение равенства множеств.
МНОЖЕСТВО, КОТОРОЕ СОДЕРЖИТСЯ В ДРУГОМ МНОЖЕСТВЕ
— Что это опять за множество? И как понимать — содержится в другом множестве?
— Ну, это примерно как квартиросъемщик у множества.
— Пест, только бы математик не услышал этого «определения».
— Ха, ха, ха. Следовательно, и у множества имеются «квартирные проблемы». Это даже интересно.. Давайте познакомимся с этим жильцом. (А он платит за квартиру?)
— Хорошо, хорошо, сейчас. Только приведите мне в качестве примера какое-нибудь множество, в котором бы вы хотели познакомиться с его жильцом.	'
— А есть ли у каждого множества свой жилец?
— Есть. Чём больше множество (чем. больше в нем элементов), тем больше и подмножеств.
— Но, наверное, существует и множество, в котором нет подмножества?
— Нет, такого множества нет. А ка- кое вы множество имели в виду? 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1} = {1}.
— Да вы' только-что сказали, что множество отличных учащихся в нашем классе — пустое множество Не может быть, чтобы такое множество имело еще и свое подмножество.
— Да,' имеет.
— Каким образом, если оио само пустое?
•= {U, A, S, К, U, Р, О, V, /}.
— Спору нет — ситуация несколько необычна, но математики утверждают: «Пустое множество является подмножеством каждого множества». Поскольку пустое множество, как множество, равноправно со всеми другими множествами, то оно имеет в качестве подмножества — самого себя. С паршивой овцы хоть шерсти клок! Но ответьте мне, вы придумали, наконец множество, в котором нужно найти подмножество?
— Пусть им будет множество дней в неделе.
•— Согласен. Запишем множество £>= {воскресенье, понедельник, вторник, среда-, четверг, пятница, суббота},
6 О пустом множестве, говорится более подробно на с» 25—26.
20 .
Отберем только рабочие дни. Оии составляют множество R= {понедельник, вторник, среда, четверг, пятница}.
— Э, неправильно. Мы посещаем школу и в субботу. А значит, это рабочий день.
— Допустим. В нашем случае это не меняет положения, и возьмем, коли вам угодно, ваше множество R'= {понедельник, вторник, среда, чет, верг, пятница, суббота}.
Теперь посмотрим, в каком соотношении находятся множества R и R', учитывая их элементы, по отношению к множеству D.
— Ну, это просто. Сразу видно, что •все элементы множеств R и R' входят в множество D.
— Правильно. Все множества, обладающие таким свойством (признаком). называются подмножествами множества D. Следовательно, если каждый элемент какого-то множества R яй-ляется в то же время элементом множества D, то можно сказать, что R — подмножество множества D.
У математиков есть и особое обозначение для подмножества: с=.
Следовательно, в нашем примере и R^D и R'^D. Из определения подмножества вытекает, что и R^R'.
— А может ли множество быть своим подмножеством?
— Может. Определение подмножества этого, не запрещает, а что не запрещено — так, по крайней мере, считают математики,— то и допускается. Таким образом: Di=D, R^R, R'czR'. Согласно определению подмножества, будет и фс^ф.
И все же, чтобы такие подмножества (которые могут выступать в качестве своих подмножеств) отличались от истинных подмножеств...
— Какие же истинные подмножества?	,
Если множество содержит хотя бы одни элемент, ие принадлежащий и подмножеству, то мы говорим, что такое подмножество — истинное подмножество. В нашем примере и R и R' являются истинными подмножествами множества D, так как множество D содержит на один элемент (воскресенье) больше, чем множество R’, и даже на два элемента (суббота, воскресенье) больше, чем множество R. Обычно для истинного подмножества применяется значок с, а поэтому можно записать это подмножество и так: RdD, R'cD, RcR’
Если же выписать все подмножества любого множества, то нужно внимательно следить за тем, чтобы ие забыть пустое множество.
— Ладно, не забудем. Только есть еще один вопрос: как подмножество изобразить рисунком?
•— Странно, что вы мие раньше не задали этот вопрос. Я зиаю, что во множествах вас больше всего интересует— рисование. Ну, раз уж вы спросили, то покажу. Подмножество можно нарисовать так:
Теперь обратите внимание на рисунок на следующей странице. По нему трудно определить (и об этом меня предупреждал мой профессор, говоря, о рисовании множеств), идет ли речи о двух подмножествах или на рисунке показано множество с двумя элемен--тами, которые, естественно, могут яв-!
литься и множествами? Найдутся и те, к го попытается таким способом нарисовать даже и два пустых множества. I! каждый будет утверждать, что на рисунке изображено то, о чем он думает, а точнее, то, о чем он думал, пока рисовал. И вы ие сможете докалить ему, что это не так, что вы под »1им рисунком подразумеваете нечто Другое.
— Какое максимальное количество Подмножеств может иметь множество?
— Это зависит от числа элементов Множества. Чем больше элементов, тем больше и подмножеств. Если же вы захотите выписать все подмножё-стиа любого множества, лучше всего записать их следующим образом: сперва — пустое множество, так как оно является подмножеством каждого Множества, затем все одночленные подмножества, дальше двухчленные подмножества, трехчленные ... и т. д. и, наконец, все множество, которое понимается как подмножество самого себя. Вот, например, если множество состоит нз трех элементов 5= {а, Ь, с}, io его подмножествами являются
0,{а}, {&}, {с}, {а,Ь}, {а, с}, {Ь,с} И {а,Ь, с}.'
Их в общей сложности восемь.
— Действительно, предостаточно. Больше, чем мы предполагали.
Теперь давайте посмотрим, как можно строить новые множества при помощи известных.
— А это возможно?
•— Почему бы и нет? При этом по
ступают так же, как с числами. А чгэ делают с числами?
— Ну, известно, что числа можно складывать, умножать, вычитать... и каждый раз, когда мы прибегнем к одной из этих операций с двумя числами, получаем новое число.
— Значит лн это, что можно сложить два множества и получить новое множество?
— Да, что-то в этом роде. Только названия операций несколько иные, хотя они мало чем отличаются от числовых. Операции, при помощи которых монтируется новое множество, называются множественными операциями.
— А какие это операции?
— У множеств оии называются: пересечение, объединение, дополнение.
— Применяются для них и другие обозначения?
— Безусловно. И мы с ними познакомимся.
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ
Вы слышали когда-нибудь слово «пересечение»?
— Слышйли, ио в геометрии. Там говорят о пересечении двух прямых линий, а у множеств подразумевается, вероятно, нечто иное.
— Нет. То же самое.
— А как устроено место пересечения двух прямых?
— Это Точка, в которой прямые пересекаются.
— Правильно. Но скажите, к какой из двух прямых отнести эту точку?
— И к той, и к другой, поскольку речь идет об общей точке.
— Правильно. Так и у множеств.
22
23
Впрочем, и наши две прямые мы воспринимаем как два множества точек и говорим, что прямая имеет точечную структуру, а их пересечение есть мно-• жество, которое составляют общие точки. А поскольку речь идет об одной-единственной точке, то пересечение в данном случае является одночленным множеством.
Взгляните теперь на эти множества:
Л = {1,2,3,4,5,6}, В = {5, 6, 7,8,9},
Как вы думаете, где они пересекаются? Что у них общее?
— Общими у них являются элементы 5 и 6. -
— Следовательно, пересечение этих множеств есть
—... множество {5, 6}.
'— Вот видите. Опять я вас научил чему-то —- вам уже известному. Следовательно, пересечением множеств А и В будет множество, которое состоит из тех, и только тех (я должен был это написать, чтобы математику не сердились, поскольку они утверждают, что только так надо говорить), эле-< меитов, которые принадлежат и мно-' жеству А, и множеству В.
Таким образом, когда говорят: «...тех, и- только тех...»,— то хотят сказать, что мы берем точно определенные элементы и. никакие другие.
— А как обозначают пересечение; множеств?
— Хорошо, что вы мне напомнили, а то я чуть было .не забыл сказать
- об этом. Знак пересечения похож на опрокинутую вниз головой большую латинскую букву “U”. (Вот, не хватает им знаков, так они буквы стали опрокидывать. II как только они додумались до этого?) Вот таким образом:
п
А теперь я покажу вам еще, как все это записывают «математической стенографией»:
А П В = {х|х £ А и х £ В}.
Надо признаться, что это довольно декоративна выглядит. И все же да
24
вайте переведем эту декорацию на язык обычных смертных.
Если вас случайно математик спро-:ит: «Что такое пересечение множеств?»,— вы молча напишите ему только это выражение. И будьте уверены, что он вполне удовлетворится таким ответом, хотя вам он показался несколько странным и не совсем логичным. Математики утверждают, что
Ничего -нет, а все же пустое множество существует.
— Все же трудно себе представить, что есть и такое множество,— скажете вы.
— Не только есть, но и занимает почетное место в иерархии множеств. Хотя иногда и создает путаницу. Особенно у новоиспеченных математиков.
— Почему путаницу?
такой язык точнее, чем наш разговорный, и что многословие чаще всего затуманивает смысл сказанного. (И как тут не согласиться и не вспомнить некоторых своих знакомых?) Запомните еще, что при пересечении множеств последовательность их записи несущественна: дпв=впл.
— А может ли произойти так, что при пересечении двух множеств ие обнаружится ии одного общего элемента?
— Может, еще бы. Вот, например, пусть будет
М = {2,4,6}, М = {1,3,5}.
Поскольку эти два множества не имеют ни одного общего элемента, их пересечение пустое, и мы пишем: М П
— Потому что это множество без элементов.
Пустое множество имеет и еще некоторые занятные особенности. Исходя из них, можно построить прн желании очень много различных новых множеств.
— Каким образом, если существует только одно-единствеиное пустое множество? Кроме того, как можно из «пустоты» что-то построить?
— Можно. Я покажу вам сейчас, как это делается. (Если существуют люди, которые из пустых слов строят целые теории и пишут «научные» трактаты, то почему бы математикам из пустого множества не построить какой-нибудь математический объект?)
Начнем о пустого множества: ф.
25
Создадим теперь множество, в котором единственным элементом является пустое множество: {ф }.
Следующее множество построим из этих двух множеств: {ф, {<£}}.
Итак, мы получили двучленное множество, которое состоит рз пустого
А как можно пересекаться с пустым множеством?
— Очень просто. Пустое множество является, как и псикое другое, множеством, а пересечение диух множеств, как мы видели, есть множество, состоящее из элементов, которые при*
множества и множества, в котором единственным элементом является пустое множество. Следовательно, мы имеем уже три множества, а четвертое построим из, этих трех:
{0, {0}. {0 {0}}}-
Если продолжить построение-так, чтобы каждое следующее множество включало в себя предыдущее, можно дойти до бесконечного ряда различающихся между собой множеств. Так выстраивается один из самых интересных рядов теории множеств. И все это получилось из пусюго множества. Вот видите, каким важным оно является.
— Надо признаться, мы от пустоты такого не ожидали. Зато теперь мы знаем все о пересечении множеств и о пустом множестве. ,
— Хорошо, если вы знаете все, то скажите мне, что выходит в - результате пересечения непустого множества с пустым?
— Пересечение непустого множества с пустым множеством дарт...
надлежат и одному, и друюму множеству, отсюда я пересечение любого множества с пустым множен гном дает ...
— Пустое множество.
— Вы угадили. Л как такое действие записать?
— А вот так:
/ П 0 * 0.,^-
— Ты смотри, неплохо. Быстро вы его усвоили. (Лучше и нс говорить им, сколько мне иоилдоПилоеь времени, чтобы нее это сабе уяснить.) А что обозначает АП-4, Т. е. пересечение множества с самим собой? (Тут-то они и сноткпуICH.)
— Множество Л.
— Почему?
*— Потому что пересечение должно содержать элементы как одного, так и второго множества, п если оба они одинаковы, то пересечением станет каждое из иих.
— Могли бы вы покатать это на каком-нибудь примере?
— Да это проще простого. Пусть множество А={1, 2, 3). Значит»
(1, 2, 3} П {1, 2, 3}={1, 2, 3}, или A (1 A = A.
(Гляди ты, еще немного, и они меня учить будут. А я-то думал, что оии мне ие ответят.)
— Хорошо. Вы все правильно записали, ничего не скажешь. Если так будет продолжаться, то вы начнете писать и говорить только формулами.
Итак, я надеюсь, вы запомнили: пересечение множеств есть множество.
— Естественно, а чем бы другим оно могло быть?
— Ничего, ничего. Я просто повторяю, чтобы вы ие забыли, и я буду очень рад, если это утверждение прочно закрепится в вашей памяти. Теперь давайте разберем еще один пример. Посмотрите на рисунок. На нем изображена прямая р и плоскость л. Что даст пересечение этих множеств? Напоминаю, между прочим, что мы принимаем р и л за множества точек, хотя и не заключаем их в фигурные скобки.
— Очень «трудный» вопрос. Естественно, что их пересечение даст точку S.
— А как вы это запишете?
.— Очень просто. Вот так: рПл=5.
— Ну, так я и думал. Неправильно сформулировали и неправильно записали.
— Почему неправильно? И что неправильно?
— Я вам уже сказал. И то, и другое. Пересечение двух множеств есть множество. Не так ли? А что есть точка S?
— Оиа — элемент этих множеств.
— Значит, согласно вашему выводу, пересечение двух множеств является элементом, а не множеством.
— Ну да,- ио ...
— Никаких «но». Сначала вы неправильно сформулировали, а затем неправильно записали.
— Значит, следовало сказать: «Пересечение прямой р и плоскости л даст одночленное множество {S}»?
— Совершенно верно. И пишется, как известно, так:
р П я ={ S }.
— Ну, данное пересечение мы хорошо запомним.
— Охотно верю.. (И я его запомнил только после того, как профессор трижды отсылал меня на местом повторяя: «Спасибо, достаточно». Но что произошло с моими собеседниками? Как видно, м&й последний вопрос их так обескуражил, что они забыли меня спросить: «Как можно графически изобразить пересечение множеств?» Не важно, когда закончим разговор об объединении й дополнении множеств, я покажу им, как это делается.)
— И все же, перед тем как нам расстаться, я задам вам еще один вопрос, а вы хорошо подумайте и ответьте мне при следующей встрече.
— С удовольствием ответим. А что это за вопрос?
1 — Всегда ли независимо от расположения прямой и плоскости их пересечение даст одночленное множество?
— Ответ у нас готов, но мы спешим.,.
27
ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ
— Давайте рассмотрим сейчас операцию, которая называется, как вы уже слышали, объединением множеств. Знак объединения напоминает латинскую букву “(7” и выглядит вот так:
и
— А как определяется объединение множеств?
— Я покажу вам это на примерах, потом мы сформулируем определение, а затем посмотрим, как объединение записывают символами. Начнем с двух произвольных множеств, например: 4={1, 2, 3, 4}, В={5, 6, 7}.
Результатом их объединения будет A(JB= {1, 2, 3, 4, б, 6, 7}.
— Так это очень просто. Словно мы эти множества сложили.
— Вы правы. И бывает, что вместо слова «объединение» иногда употребляется и слово «сумма», но мы все-таки будем охотнее применять термин «объединение», потому что, как вы сами убедитесь, это ие совсем обычное сложение элементов. Ознакомьтесь с еще несколькими примерами. Если заданы множества
С={т, п, р, q} и D = {r, s, р, q, /},
Как найти их объединение?
— Объединением данных множеств будет множество
{т, п, Pi q, r, s, р, q, /}, т. е.
— Почему вы два • раз записали элементы р и q? Когда мы говорили о равенстве множеств, мы видели, что этого делать не надо.
— Да, действительно. Мы забыли. Объединение множеств С и D следо-вало бы записать так:
С (J D — {m,n,p,q,r,s,t}.
— Теперь правильно записали?
— Правильно. Вот сейчас можно дать и определение объединения. Что называется объединением множеств?
— Объединением двух множеств называется множёство, составленное из элементов этих двух множеств.
— Правильно. Математики сформулируют более точно: объединение множеств А и В есть множество, которое образуют все элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств А и В.
— Так мы и- думали.
— Верю, только тай вы не сказали. А теперь я запишу вам это определение .так, как это делают математики:
A U S = {x | х £ А или х £ В}.
Вы сможете это прочитать?
— Сможем. Это следует читать так: объединением множеств А и В является множество, состоящее из элементов х, обладающих свойством: х является элементом множества А или множества В.
— Отлично, поздравляю. Как только захотите получить объединение множеств, постройте его в соответствии с этим- определением и не ошибетесь.
— Ав чем все-таки разница между сложением и объединением?
— Сложение — операция с числами, а объединение — с множествами. И это не одно и то же. Сравните, например,
U D — {m, п, p,q, г, s, р, q, /).
сумму, которую мы получаем в результате сложения двух положительных целых чисел, е числом элементов или с самими элементами |объедииения двух множеств, и вы убедитесь, какие превращения могут произойти после объединения множеств с их элементами. Мы знаем, что при сложенйи
28
сумма чисел всегда больше, чем отделы иые слагаемые.
Например: 3-f-4=7 и 7 больше трех и четырех.
— То же наблюдается и при объ-гдииеиии множеств?
— Возможно, но не обязательно. В нашем первом примере мы имели дело только с множеством А, состоявшим из четырех элементов, и В — из трех элементов....
— Ив итоге мы получили объединение из семи элементов.
— Допустим. Но посмотрите теперь иа второй пример объединения множеств С и D. Множество С состоит из четырех элементов, а множество D из пяти. Посчитайте,- сколько элементов в их объединении?
— Странно. В нем всего семь элементов.
— Вот видите, только в том случае, когда у множеств нет -общих элементов, т. е. когда они дизъюнктны, число элементов объёдинения равно сумме элементов отдельных множеств. В Других случаях их число меньше.
— Все правильно.
— А теперь посмотрите на результат. объединения множества • самим собой.
Например, если Л={1, 2", 3, 4}, ЛиА={1, 2, 3,'4}(J {1, 2, 3, 4}={1, 2, 3. 4}.
— Правильно. Теперь построим объединение любого множества с его подмножеством. Допустим, например, что
М = {а, b, с, d, e,~f}, N=[b, с, d}.
Каким будет объединение этих множеств?
— Объединение этих множеств будет
Af (J N — {а,. Ь, с, d, е, f}.
Но это же множество М?
— Да, если то
— Объединение действительно обладает интересными свойствами.
— А оно (объединение) не изменяется от перемены мест множеств?
— Нет, конечно. Для каждых двух "множеств А и В
A U В = В U А
и говорят, что объединение множеств коммутативно.
— А используют ли объединение множеств и в геометрии?
— Безусловно.' При помощи объ--единения можно —- помимо прочего — задавать разные фигуры, например: треугольник, круг и т. д.
— При помощи объединения? Как?
— Ну, скажем: чем является треугольник, если представить себе его как множество всех его точек? Возьмем
на плоскости три точки А, В, С, которые не лежат на одной прямой. Соединим точки В и С прямой. Теперь можно сказать, что треугольник является -объединением множеств точек всех прямых, один конец которых лежит в точке А, а другой на прямой ВС.
На основании рисунка можно также сделать вывод, что круг является объединением множеств точек прямых, одни конец которых лежит в точке S, а второй иа окружности К.
29
ДОПОЛНЕНИЕ МНОЖЕСТВ
— После того как вы познакомились с пересечением и объединением множеств,- мы играючи определим их дополнение, или разность (различие) множеств.
«— Если так, то нам это очень приятно.
— Вы сейчас убедитесь. Я напишу разность двух множеств, .а вам достаточно будет посмотреть на нее, чтобы определйть, как я ее получил. Прежде всего давайте познакомимся с обозначением дополнения. Ойо напоминает обычный знак минус, только штрих несколько длиннее и лежит наклонно. Вот так: \.
.— Хорошо. Мы запомнили.
— А теперь возьмем два произвольных множества. Пусть ими будут множества
А = {1, 2, 3, 4, 5} и В = {4,-5, 6, 7}.
Их разность будет
{1, 2, 3, 4, 5} \ {4, 5, 6, 7} = {1,2,3}, или Л\В = {1, 2, 3}.
Теперь вам понятно, как появилось это новое множество?
— Конечно. Вы получили его, взяв те элементы первого множества, которые не включены во второе.
— Правильно. Я знал, что вы сразу поймете.
— А станут ли математики так определять разность множеств? 
— Посмотрите, какими они стали осторожными. Настоящими математиками. Ничего не скажешь. Вот как это определение построит математик: разностью множеств или дополнением элементов множества В до А является множество, которое составляют эле
менты, принадлежащие множеству А и не принадлежащие множеству В.
— Мы не верим, чтобы математик так выразил данное определение.
— Что? Не верите? Почему? (Неужели я ошибся? Нет, все правильно. Не знаю, что вы имеете в виду.)
— Ои бы его записал символами.
(Красиво они меня «обошли». Это действительно так. Задам-ка теперь я им один вопросик, и посмотрим, захотят ли они меня и дальше разыгрывать.)
— А как бы математик записал это определение?
— Очень просто:
А\В = {х|х € А и х$в}.
— Откуда вам это известно? Может быть, вы где-либо уже это видели?
— Нет. Мы просто еще раз посмотрели, как записывается объединение, а потом прочитали определение дополнения.
(Неплохая комбинация. Воспользоваться тем, что уже известно, увязать свои знания с изучаемым материалом и таким образом усвоить его.)
— Прочтите мне теперь свою запись.
— Ее читают так:
«Разность множеств А и В является множеством, состоящим из элементов х, обладающих свойством: х является элементом множества А и ие является элементом множества В».
— Отлично. Должен признаться, что вы меня удивили вашими знаниями. (Как они быстро все это усвоили. Словно они более развиты, чем люди моего поколения. Наверное, это результат употребления каких-нибудь витаминов. Надо будет поинтересоваться у врача, когда пойду опять к нему за мазью от ревматизма.) Ну, а теперь, когда вы знаете, что такое
разность множеств, попробуйте найти
— Хорошо. Только прежде всего мы выпишем эти множества:
— Ну, вот опять вы со своими шутками. Я всерьез настроился приобщить вас к одному из самых важных понятий современной математики, которое является ее краеугольным кам-
В={4, 5, 6, 7}, Л={1, 2, 3, 4, 5} и поэтому {4, 5, 6/7} \ {1, 2, 3, 4, 5}, или
В \ Л={6, 7}.
—Правильно. А какое свойство разности множеств можно отметить?
— Можно отметить, что
А X В Ф В \ А.
— Это значит, что при Вычитании множеств нельзя менять их местами.
— Правильно. Таким образом, в случае вычитания множеств не имеет места свойство коммутативности. И еще один вопрос. Но прежде чем ответить на него, хорошенько подумайте.
2 В каком случае количество элементов у разности множеств А\В будет равно разности количеств элементов множеств А и В?
— Ух, это вопрос не из легких. Мы ответим на него, выполняя домашнее задание. Сейчас мы уже немного устали.
— Хорошо. Я вам верю. И все же не забудьте об этом задании.
— Наверняка не забудем.
Ура-а-а-а, а теперь мы создадим два множества игроков и посмотрим, какие из них лучше играют в футбол. А где мяч? Неужели превратился в пустое множество? Ах, вот он. Пошли...
«ОТОБРАЖЕНИЕ», «ПРИСОЕДИНЕНИЕ»,
' «ПРИСВОЕНИЕ» И «СНЯТИЕ КОПИЙ» С МНОЖЕСТВ
— Ха, ха, ха. Разве множества документы, чтобы с них снимали копии?
нем,— к понятию отображения, перенесенного в математику из повседневной жизни...
'— При чем здесь отображение, если только что вы говорили о снятии каких-то копий?
— Есть еще термины «присоединение», «присвоение», и все они относятся к одному понятию, которое мы чаще всего будем называть термином «отображение множеств».
— Что подразумевается под данным термином?
— Начнем, пожалуй, с примеров. Представьте себе множество мальчиков. И я вам его нарисую, как это обычно делают дети. (Пусть думают, что я хороший педагог. Никто не догадается, что лучше я и рисовать-то не умею.)
Естественно, что каждого из них надо как-то назвать. И мы присвоили им имена: Саша, Ивица, Желько, Марьян и Роберт. Вот вся эта операция и называется отображением, поскольку каждому элементу одного множества ставятся в соответствие (присоеди-
31
няются) элементы другого. Возьмите, например, эту книгу. Ее страницы можно представить себе как элементы -множества, а их порядковый номер 1, 2, 3, 4, ..., 228, . . . как элементы второго множества. Каждой странице присвоен иомер. И здесь элементы одного множества присоединены к элементам второго. Или взять множество учащихся вашей школы и множество классов. Каждый учащийся посещает какой-то класс. Вот вам опять отображение множеств. Могу свободно допустить, что вы и сами сумеете привести много примеров отображения (найример, множества государств на множество их столиц; множества школ на множество их директоров; множества зданий на множество их жильцов и т. д.).	•
Теперь скажите: что в этих примерах общего?	-
— В каждом идет речь о двух множествах.
— Правильно. Назовем их начальным (исходным) и завершающим (выходным) множеством. Кроме того, известна и операция, при помощи которой можно отобразить одно множество на другое, т. е. задан способ присоединения элементов одного множества к элементам другого. Теперь вам понятно?
— Да. (Не столь уж мы глупые, чтобы не понять этого.)
— Ну, хорошо, если вам ясно, то повторите мне, что надо зиать об отображениях множеств...
(Смотри, он действительно считает, что нам это трудно понять,—; по-видимому, судит по себе.)
— В случае отображения множеств всегда надо иметь два - множества, начальное и завершающее, и знать операцию, при помощи которой элементам одного множества ставят в
соответствие элементы второго множества.
— Отлично.' Значит, можно ’продолжать.	—
— Что продолжать? Разве это не все об отображениях множесть?
— Это самбе важное, но еще яе все. В процессе отображения могут возникнуть различные ситуации, и 'я вам их объясню (возможно, Лучше было бы сказать, попытаюсь объяснить) на примере раздела конфет.
— Раздела конфет? А где конфеты?
(Вот хитрецы. Притворяются простачками. Я же не Дед Мороз. Лучше было бы использовать в качестве примера отрицательные отметки, их-то никто не хочет иметь.)
— Но я не говорил, что буду вам раздавать конфеты. Я намерен лишь проиллюстрировать некоторые случаи отображения множеств, а примеры привожу для большей наглядности и прошу вас меня не перебивать. Вот первый пример: у нас шесть конфет и восемь ребят. Это наши два множества — начальное, мы его назовем домена, и выходное, или кодомена. Конфеты разделим так, чтобы ни один ребенок не получил больше одной конфеты. Что получится после раздела этих конфет?
— Два ребенка останутся без конфет.
— А как бы вы это изобразили графически?
— Вот так:
— Прекрасно. Обозначим множество конфет буквой А, множество детей
32
буквой В. Если хорошо разобраться в рисунке, то можно сделать следующие выводы:
1.	Каждая стрелка направлена из различных точек множества А в различные точки множества В. В нашем случае это означает, что конфеты делятся по принципу: одиа конфета — один ребенок, пока все конфеты не будут розданы.
2.	Из каждой-точки множества А выведена только одна (или, точнее, одна, и только одна) стрелка. Если бы были выведены, например, две стрелки, то это означало бы, что одна конфета делится на двух детей, а при нашем разделе этого случиться не может.
3.	В каждой точке множества В заканчивается максимум одна стрелка. Следовательно? каждый ребенок получает ие больше одной конфеты, а может случиться, что_ ие получит ни одной и будет «наказан». Понятно?
— Понятно. Вопросов нет.
— Теперь вы сами нарисуйте еще одни пример отображения, в котором есть элементы «наказанных».
— Проще простого. Надо нарисовать два множества таким образом, чтобы начальное (исходное) имело меньше элементов, чем выходное, и провести между ними стрелки вот •таким образом:
— Хорошо. А ие-могли бы вы привести пример такого отображения.., из жизни вашей школы?
— Охотно. В нашем классе имеют^ три свободных стула, пусть исходное множество будет множеством учащих
ся, а выходное — множеством стульев. Когда каждый ученик займет свое место, три стула останутся свободными.
— Правильно. Вижу: поняли. Теперь запомните, что такое отображение иногда называют инъекцией.
— Как вы назвали?
— Инъекцией. Несколько непривычно, но зато легко запоминается. Инъекцией, или инъективным отображением, называется такой способ отображения, при котором различные элементы исходного множества переходят в различные элементы выходного множества.
А мы-то думали, что только врачи пользуются инъекциями.
— Вот видите, и математики их применяют, только без иголки.
-— Возьмем другой пример. Представим себе, что у иас шесть конфет и четверо детей, а конфеты делим так, чтобы каждый ребенок получил хотя бы одну конфету. Как в таком случае окончится раздел конфет?
— Два ребенка полечат по две конфеты, а остальные дети по одной.
— Правильно. Но можно разделить конфеты и так, чтобы один ребенок получил три конфеты, а остальные дети по одной. Давайте нарисуем и этот пример деления.
— Есть ли здесь «наказанные» дети (точки)?
— Нет, нету. Но есть такие, которые получили по две конфеты.
— Да. Теперь посмотрим, как можно охарактеризовать такое отображение.
2 3. Шпорер
зз-
1.	Каждая стрелка начинается в одной из точек множества А и заканчивается в соответствующей точке множества В-
2.	Из каждой точки множества А «выпущена» одна, и только одна, стрелка.
3.	В каждой точке множества В за-кайчивается хотя бы одна стре'лка (а их может быть и больше). Вот такое отображение множеств математики называют сурьективным отображением, или сурьекцией. Ее особенностью является отсутствие «наказанных» элементов, т. е. элементов, которых не достигает хотя бы одна стрелка. При таком присоединении все элементы исходного множества «перекрыты», т. е. к каждому элементу выходного множества присоединен, как минимум, один элемент исходного.
— Подумайте и приведите мне еще пример такого отображения ... из жизни вашей школы.
— Ну, это множество всех учащихся и множество классов.
. — Правильно. Если учащиеся школы составляют одно множество, • а классы второе множество, то в каждом элементе второго множества, т. е. в каждом классе, завершат свой путь-
стрелки, идущие от учащегося к соответствующему классу. Каким станет отображение, если доменой является множество всех учебников, принадлежащих ученику одного класса, а кодо-меной — множество их портфелей?
— Оно станет сурьективным отображением, так как в каждый портфель попадет хотя бы одна книжка.
— Правильно. Я вижу, вы поняли суть такого отображения. Но меня интересует еще один вариант и именно в
вашем классе. Предположим, что входное множество состоит из всех отличных отметок, полученных по любому предмету в вашем классе, а выходное множество — из учащихся вашего класса. Является ли такое отображение множества оценок на множество учащихся сурьективным?
— Нет. В нашем классе 32 ученика и всего семь отличных отметок, и ни у одного учащегося нет двух пятерок. (Надо сказать, что аналогичное положение было и в моем классе.)
— Какое это отображение?
— Да это же... да это же инъекция.
— Правильно. А будет ли в конце учебного года сурьекция?
— Не знаю. Возможно.
— Итак, мы дошли до третьего типа отображения...,
— (Слава богу, подходим к концу...) _ — Что вы сказали?
— Да ничего. Мы говорим, что все это очень интересно.
34
— i..и представим себе, что у нас шесть конфет и шестеро детей, а конфеты мы разделим между ними так...
— ...чтобы каждый ребенок получил по одной конфете.
— Правильно, давайте нарисуем и этот тип отображения. Глядя на рисунок, легко можно определить, что:
1.	Стрелки, выведенные из различных точек множества А, направлены в различные точки множества В.
2.	Из каждой точки множества А выводится одна, и только одна, стрелка.
3.	В каждой точке множества В заканчивается путь одной, и только одной, стрелки.
Этому отображению свойственны, следовательно, признаки и инъективного (но без «наказанных» элементов), и сурьективного (но без «награжденных» элементов) отображения. Отображение, в котором различные элементы входного множества соединяются с различными элементами выходного множества и нет неприсоеди-ненных элементов, называется биективным, или биекцией. Более точное определение гласит: биекцией называют такую форму отображения элементов входного множества на выходное, которая является одновременно и сурьекцией, и инъекцией. Скажите мне, пожалуйста: что характерно, по вашему мнению, для множеств, между которыми возможна биекция?
— В нЦх одинаковое количество элементов.
— Правильно. Биективное отображение можно осуществить только между множествами с одинаковым количеством элементов. А является ли всегда отображение биективным, если множества имеют равное число элементов?
— Думаем, что нет. Могло бы быть и . , . вот так:
— Правильно. Можно было бы, естественно, соединить все четыре элемента первого множества с одним-*единственным элементом второго мно-, жества.
Так или иначе, если между двумя множествами существует биективное отображение, то они содержат равное количество элемец^ов. Это присущее конечным множествам свойство Кантор распространил иа бесконечные множества. Следует помнить, что математики считают такое распространение чрезвычайно важным. И с теми, кто возражает, они просто... не желают разговаривать.
— Спасибо за предупреждение. Постараемся это запомнить, чтобы не ссориться с ними.
— Приведите мне еще несколько примеров множеств, между которыми можно осуществить биективное отображение.
— Пожалуйста. Сколько угодно. Вот, например:
множество государств Европы — множество столиц европейских государств;
множество автомобилей — множество их номеров;
множество предметов в витрине — множество их цен;
множество районов в республике — множество представителей районных советов;
множество страниц в книге — множество их номеров.
— Достаточно, пожалуй. Теперь пару примеров с числами.
2*
35
— С числами? Хорошо. Вот, например:
множество четных чисел — множество нечетных чисел; ие так ли?
.— Правильно, правильно. Сдаюсь, должен признаться, что биективное отображение у вас в кармане, простите, в голове. И если вы его столь хорошо поняли, то воспользуемся предоставленной нам возможностью, чтобы познакомить вас с еще одним чрезвычайно важным понятием, связанным с биективным отображением.
— А что это за понятие?
—- Понятие эквивалентных множеств. Говорят, что два множества эквивалентны, если между ними мбжно установить биективное отображение.
— Не означает ли это, что все мно-
жества, которые мы тут перечислили, эквивалентны?
— Бесспорно. Все они эквивалентны между собой. Есть у вас вопросы?
— Вводится ли для обозначения эквивалентности множеств отдельный знак?
—Конечно, да. Знак эквивалентности изображается так:
Таким образом, A s В следует читать: «множества А и В эквивалентны». А теперь давайте повторим три случая .отображения множеств на примере почтальона, который разносит по домам письма. Итак, представьте себе почтальона с полной сумкой, который разносит письма от квартиры к квартире до тех пор, пока его сумка не опустеет. Мы имеем дело, следовательно, с двумя множествами: с множеством писем в сумке и с множеством квартир, по которым почтальон их разносит.
3 Теперь подумайте и скажите: в ка
ком случае эта операция с письмами инъективна, в каком — сурьективна, а в каком — биективна?
— Задание интересное,’но мы решим его самостоятельно дома.
— Хорошо. Только не забудьте про свое обещание. А если вы действительно разобрались с отображениями, то вам это очень поможет при изучении математики, поскольку отображение является в ней одним из ключевых понятий.
— Даже не верится, что все так просто. Не может быть, чтобы настоящие математики именно так определяли это понятие. Они наверняка формулируют его сложнее...
— Конечно, они не пользуются таким языком, как мы, тем более столь-
36
ко не рисуют и не приводят подобные примеры, но по сути дела утверждают то же самое. Вот, например, как один из математиков определил отображение:
«Допустим, что А и В — два множества. Отображение множества1 А на множество В определяется тройкой (Л, В, f), которая состоит из: множества' Л, называемого входным множеством, или областью определения, или доменой; множества В, называемого выходным множеством, или областью значений, или кодоменой; и некоего правила f, при помощи которого каждому элементу х£А ставится в соответствие некоторый элемент у^В (который зависит от х). Элемент у, полу, чаемый из х по правилу f, обозначается как f(x). Об элементах х£Л часто говорят как о независимой переменной, или аргументе отображения, а об элементах у£В говорят как о зависимой переменной отображения».
Вот так математик определил бы отображение. Скажите мне откровенно: вы все поняли?
— Серьезно. Мы действительно все поняли.
— Тогда повторите, что вы запомнили .
— Согласны. Но все же мы воспользуемся рисунком, потому что так легче...
— Ладио, ладио. Рисуйте и объясните, что вы запомнили.
— Итак, мы имеем множества Л и В:
Отображение описывается входным множеством Л, называемым доменой, выходным множеством В — кодоменой и операцией, или правилом, согласно которому каждому элементу множества Л ставится в соответствие элемент множества В. Элементы множества А называются независимой переменной, а элементы множества В — зависимой. Правильно мы говорим?
— Правильно; Думаю, что и настоящий математик не упрекнул бы вас, если только ои не какой-нибудь придира. Самыми характерными моментами, которые вы отметили в данном определении, являются: входное множество А — домена, выходное множество В — кодомена и операция — правило f, при помощи которого элементы входного множества отображаются на элементы выходного множества.
Иногда' операция отображения может быть выражена требованием: «приплюсуй пять», и будет записана в виде: р=хф-5. Или еще: «умножь иа четыре, а затем' отними два», т. е. у=4х—2, или в виде приказа: «возведи в квадрат», т. е. t/=x2, или в форме иной аналогичной просьбы. Вот что мы получим, например, потребовав: «приплюсуй пять», если возьмем в качестве входного множества Л={1,'2, 3, 4}, а выходного множества — подмножество множества натуральных чисел:
37
— Действительно, просто и интересно. Операция отображения, следовательно, выступает как «приказание», которое необходимо выполнить, чтобы получить из элементов входного множества элементы выходного.
— Да, именно так вы должны ее понимать.
ПАРЫ
— Разве они имеют отношение к математике? Неужели пара туфель — математическое понятое? Не говоря уже о брачных парах, ха, ха, ха.
— Смейтесь, смейтесь. Но пара в математике очень важное понятие. Она обозначает двоих, множество из двух элементов, т. е. то же самое, что и в повседневной жизни. Разумеется, что в математике рассматривают объекты, в которых парами представлены в основном числа, а не чулки или перчатки.
— А чему служат пары в математике?	*	’ ,
— Наберитесь терпения! Прежде всего надо хорошо познакомиться с этим понятием, и тогда вы увидите, где и как его применяют. Как известно, можно, взять любые два числа, они и составят пару. Парами могут быть не только числа, но и буквы. Вот, впрочем, несколько пар:
4,8 7,5 т, п R, Q . х, у
Для пары существенно наличие двух объектов, а последовательность их записи не важна. Приведенные в качестве примера пары можно записать и так:
8,4 5,7 п, т Q, R у, х
Между тем в математике очень часто имеет значение и последовательность в записи объектов пары, т. е. какой объект стоит первым, а какой вторым. В таком случае говорят, что пара упорядочена. Числа чаще всего приводят в порядок по принципу: меньшее — большее. Но можно и иначе. А буквы обычно пишут в алфавитном порядке. Упорядоченные пары ставятся, как правило, в скобки:
(2,5) (6,8) (х, у) (а, Ь)
4 Отметим еще, что неупорядоченная пара составляет множество из двух элементов, а упорядоченная пара, в общем, не является множеством из двух элементов.
5 Какая из нижеприведенных пар упорядоченная?
а) два платочка? или б) два ботинка?
Разумеется, что у упорядоченных пар (о, Ь) будет отличаться от (Ь, а), т. е. (а, Ь) (Ь, а), если а^Ь.
Пример, который хорошо отражает применение упорядоченных пар,— система координат, в которой...
— А что такое «система координат»?
— Система координат состоит, из двух числовых осей, которые...
— А что такое «числовые оси»?
— Вы и этого не знаете? Или решили развлечься, чтобы скоротать  время?
(Видно, они, как и я в молодости, прибегают к испытанному способу увиливания от ответов, постоянно задавая вопросы учителю, чтобы выиграть время. А если учитель на один из
38
вопросов не сможет ответить, то они с удовольствием отмечают, что и он чего-то не знает. Поэтому в ответ на их вопросы скажу коротко.)
Я согласен объяснить вам, что такое числовая ось и система координат, но надеюсь, что вы не спросите меня: «А что такое ось?» (Я> конечно, знаю, что они приняли это за шутку и даже не предполагают, что на такой вопрос у меня нет ответа.) Числовой осью является линия, на которой выделены две точки:
начальная, она помечается обычно буквой О, и
единичная точка (£).
Этими двумя точками определена и единичная длина ОЕ. При помощи числовой оси устанавливается связь между точками и числами по принципу: каждой точке соответствует только одно число и каждому числу — одна точка. Направление ОЕ берется как положительное, а противоположное ему направление — как отрицательное. Если мы захотим, например, на числовой оси определить точку, которая соответствует числу четыре, мы перенесем единичную длину ОЕ четыре раза в этом направлении. Точку, которая соответствует числу минус три, можно получить после перенесения единичной длины от исходной точки, но в противоположном направлении три раза.
-3	" 1.4^
ОС
Система координат состоит из двух числовых осей, которые имеют общую начальную точку. Если эти две оси взаимно перпендикулярны, то такая система координат называется прямоугольной. Посмотрите внимательно ри
сунок на с. 40 и скажите: что здесь изображено?
— Здесь изображены пары чисел и точки.
— Правильно. Системой координат устанавливается связь между упорядоченными парами чисел и точками плоскости по принципу: каждой упорядоченной паре чисел отвечает только одна точка плоскости, и наоборот...
— ...каждой точке плоскости отвечает одна, и только одна, упорядоченная пара чисел.
— Это чрезвычайно важное приме* нение упорядоченных пар. И числовая ось, и система координат являются своеобразным мостом, который связывает числа и точки, т. е. арифметику с геометрией.
— Разве система координат играет такую важную роль в математике?
— Мало сказать, важную роль. Ее открытие — это начало новой эры в математике,
— Она, следовательно, важнее, чем мы могли и предполагать. А какие существуют вообще основные этапы в истории математики?
— Один из самых видных современных математиков, А. Н. Колмогоров в, указывает на четыре таких этапа развития математики.
• 1. Первый этап — античный, а точнее, с момента рождения в античный период математики как науки примерно до середины XVI в., т. е. до открытия геометрических координат Декарта * 7. В этот период формировались основные понятия геометрии и арифметики и математика достигла достаточно высокой степени абстракции, осо-
8 Андрей Николаевич Колмогоров (1903) — выдающийся советский математик.
7 Рене Декарт (1596—1650)—французский философ, математик и физик.
39
бенно в трудах Архимеда, Аполлония и Евклида. Для данного периода характерна «статичная» математика, так как в то время математики манипулирова. ли в основном с постоянными величинами и геометрическими построениями.
2.	Второй этап длился начиная с. открытия Декартовой системы координат и переменных величин и кончая примерно серединой XIX в. На этом этапе получили свое полное развитие понятия функции и геометрических преобразований.
3.	Третий этап начался где-то в 60-е гг. XIX столетия и продолжался до 30-х гг. XX. Он характерен значительным усилением роли теории множеств н математической логики Кантора. Заметно возросло также значение понятий системы и математических пространств, через которые синтезируются различные области математики.
4.	Последний, современный период длится вот уже около сорока лет. Он начался, по мнению Колмогорова, с появлением счетных машин,, которые придали математике некоторую специфику. В этот период важное значение приобрело развитие абстрактной алгебры, топологии, математической логики и вообще «абстрактных» областей математических знаний. Между тем именно данный период характерен все большим уменьшением различия меж ду теоретической и прикладной математикой, поскольку самые абстрактные математические теории благодаря электронным вычислительным машинам находят конкретное применение в практическом решении многочисленных технических и других при кладных проблем. Одной из них-, например, является вычисление траекторий искусственных спутников. В настоящий период стала вполне самостоя-
40
льной такая дисциплина, как история математики. Но' давайте' пока оставим в стороне исторические аспекты математики, вернемся к нашим множествам и познакомимся с еще одним конкретным случаем применения упорядоченных пар при ' умножении множеств.
ПРЯМОЕ
ПРОИЗВЕДЕНИЕ
МНОЖЕСТВ
мер? Одни исповедуют один способ, а другие — другой. Только мне кажется, что тот, кто поймет, разберется в любом случае, а кто не поймет, ему и так все равно.) Возьмем два произвольных множества А и В. Для упрощения — только для того, чтобы много не писать,— возьмем множества с небольшим числом элементов. Пусть, например, множество А состоит из кружков и звездочек, а множество В из треугольника, четырех-
«Вот еще одно странное название. А не лучше ли сказать просто: «произведение множеств»? Поскольку термин «Декартово» ие сулит ничего хорошего. Видно, за ним кроется какой-то подвох. До чего математики любят все усложнять. Так примерно вы подумали, прочитав заголовок.
— Хорошо, если вам не нравится название «Декартово произведение», 'будем говорить «прямое». Вот все, что мы можем написать в заглавии, не изменив смысла понятия.
Если так, то благодарим за предложение. Нам одинаково не ясно ни одно, ни другое.
— Я объясню вам это на ряде примеров, а потом мы сформулируем определение. (Конечно, я не очень уверен, что это лучший способ. Возможно,
{(О. л), (о. □). (О. -). (*, следовало бы оттолкнуться от определения понятия, а затем привести при-
угольника и черточки. Итак, д={О, *},	в={д, □,
Превратим сейчас элементы этих множеств в упорядоченные пары таким образом, чтобы первый член пары был из первого множества, а второй — из второго. Если на первое место поставить кружок, то можно сделать три' пары, а именно:
(О- д). (О- □). (О. -).
и если на первое место поставить звездочку, то тоже можно получить трн пары:
(*,-Л), (*»□); (*»—)•
. Построим теперь новое множество, элементами которого будут эти упорядоченные пары:
Л). (». □).(*, -)}=ЛХВ.
Полученное таким образом множество называется прямым произведением
41
множеств А и Ви обозначается ЛХД.
— И это все?
- Да.
— Не так страшен черт, как его малюют. Мы рассчитывали на худшее.
— Конечно. Вы можете теперь сами получить прямое произведение множеств М и N, если: М= {(карандаш, перо)}, Л-= {(мел, губка)}.
— Да это бирюльки. Вот, пожалуйста:
ТИХ М= {(карандаш, мел), (карандаш, губка), (перо, мел), (перо, губка)}. . — А как получить произведение Л'ХМ?
— Вот так:
МХЛ4={(мел, карандаш), (мел, перо), (губка, Карандаш), (губка, перо)}.
— Правильно. Теперь запишите несколько вопросов и в следующий раз ответите на них.
6 Равны ли множества МУ N и MX 7W? Объясните.
7 Эквипотентны * ли множества МУП и NyM? Объясните.
8 Определите множества МУМ и NXN.
9 Какая связь между числом элемен
тов множеств, из которых состоит прямое произведение, и числом его элементов, т. е. числом упорядоченных пар прямого произведения мно-жеств?
— Фу ты, столько вопросов. Мы не сумеем ответить на них быстро.
— Хорошо. Срок мена мало интересует, но без ответов на математи-
ческую олимпиаду не появляйтесь, ' — Можно прямое произведение множеств изобразить графически?
— Можно. Только меня удивляет, как вы раньше этого не спросили?
* Эквипотентными называются такие множества, которые имеют одинаковое количество элементов.— Прим. ред.
(Нет чтобы поинтересоваться строго математическим определением, им рисунок подавай!)
Особенно важным и интересным является произведение MX N, в котором М обозначает множество натуральных чисел М={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,. . .}.
(tt) fa) fa) -
-------f
—
।	• > ।
1	£ 3 X
Оно содержит, естественно, бесконечно много упорядоченных пар, и мы можем его поэтому изобразить при помощи сеткн целочисленных координат, Если задумать любую пару натуральных чисел, то мы найдем ее в такой сетке. Если же представить себе эту сетку с находящимися в ней всеми возможными парами натуральных чисел,
42
нам станет ясным, например, что произведение чисел можно воспринимать как функцию, в которой исходное множество — это сетка, т. е. множест-
во NY.N, а выходным множеством является множество натуральных чисел N. Следовательно, произведение чисел есть функция, переводящая {N'X.N} в {А}. Можно пояснить это так: каждой упорядоченной паре (а, i>) £	ставится в соответствие
совершенно определенное натуральное число с, которое называется '«произведением», или производным числом от а и Ь, с—а-Ь.
Например, произведение 8X7 понимается как точка из N, в которой отображается элемент (8,7) множества {МХМ}. Это натуральное Число 56 из множества N,
Считаю, что пришло время познакомиться с определением прямого произведения множеств. Оно звучит так:
«Прямое произведение множеств А и В есть множество всех упорядоченных пар (а, Ь), в котором а является элементом множества А и Ь элементом
множества В». Если вас математик по-просит записать определение прямого произведения, то возьмите карандаш, бумагу и запишите следующее:
МНОЖЕСТВА И ЧИСЛА
— Имеется ли какая-либо связь между множествами и числами?
— Конечно, имеется. Вспомните эквипотентные множества,
— Это множества, для которых можно ввести взаимно однозначное отображение, или, как его называют, би..» би...би.... Ах да4 биективное отображение,
— Приведите мне в качестве примеров несколько эквипотентных множеств.
— Вот, например, такие множества:
43
— Правильно. Вы их не забыли. Итак, у эквипотентпых множеств есть общие признаки. Обычно говорят, что у них одинаковая мощность, или одно и то же главное (кардинальное) число.
— Разве есть кроме главных и другие числа?
— Есть. Мы отличаем главные, или кардинальные, числа от простых, нлн ординальных. Главное число дает нам ответ на вопрос: сколько имеется чего? А простое число отвечает на вопрос: какое оно по порядку? Следовательно, один, пять, десять, сто пять...— главные числа, а первый, пятый, десятый, сто пятый — простые числа. Какие в соответствии с этим числа главные, или кардинальные, в наших множествах?
— Три и пять.
— Правильно. Давайте познакомимся еще с обозначениями. Возьмем некое множество S, обозначение его кардинального числа будет- кард S, или k (S), или k S. Согласно этому, для приведенных нами в качестве примера множеств можно записать такцм образом: k[A)=k(B)=k(C)=3, k(R)=k(S)=5.
Кардинальное число каждого одночленного множества равно единице.
Кардинальное число каждого двучленного множества равно двум.ч
Кардинальное число каждого трехчленного множества равно трем.
Каким является кардинальное число пустого множества?
— Нуль.
— А как его записать?
— А вот так: k<p=O.
— Правильно. Вот видите, как нам и в данном случае помогло пустое множество. Теперь вам ясна суть утверждения: натуральные числа являются
Кардинальными числами конечных множеств.
— Да. Это значит, что каждому конечному множеству соответствует определенное натуральное число.
— Вы угадали.
— Не угадали, а поняли, о чем идет речь.
—’ Примите мои извинения.
связь
МЕЖДУ ОПЕРАЦИЯМИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
И ДЕЙСТВИЯМИ С ЧИСЛАМИ
— Если вы усвоили связь между множествами и натуральными числами, вам нетрудно будет понять и связь между операциями над множествами и действиями с числами, т. е. связь между объединением множеств и сложением, дополнением множеств и вычитанием, прямым произведением множеств и соответствующими действиями, с числами.
— И нам казалось, что какая-то связь между этими операциями должна быть, но мы точно не знаем, какая...
— Все очень просто, в чем вы и сами быстро убедитесь. Начнем с объединения множеств и сложения чисел. Если взять два любых конечных множества Л и В, то может показаться, что в общем случае верно равенство
k(a U B)+k(A Л В) = А(А)4-Л(В), (I)
или, иными словами: сумма кардинальных чисел объединения множеств Л и В и пересечения множеств А и В равна сумме кардинальных чисел множеств А и В.
— Не так уж просто. Как показать это на конкретном примере?
— Вот как; допустим, нам задали множества А= {1, 2, 3, 4, 5} и В— = {4, 5, 6, 7}. Определите теперь сами
44
объединение и пересечение данных множеств, а также кардинальные числа множеств А, В, объединения AU-В и пересечения A(~]B. Сможете?
— Сможем. Вот: AU6={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, АП В = {4, 5}, а кардинальными числами являются k (4) =5, fc(B)=4, k(A(JB)=7 и k (ЛПС) =2.
Вели надо, то мы можем эти множества и нарисовать:
— Теперь осталось убедиться, дей- . ствнтельна ли для заданных множеств " связь (1).
— Как это проверить?
— Путем подстановки в равенство (1) полученных кардинальных чисел.
— Давайте посмотрим:
k(A{}B) + 'k(A{\B)= k(A) k(B), или 74-2=5+4. Правильно, потому что. 9 = 9.
— А если вместо заданных множеств взять любые другие конечные множества А и В, найти для них объединение, пересечение и кардинальные числа, то можно убедиться, что данное равенство всегда истинно. В этом, следовательно, и заключается суть связи между объединением и сложением. Однако особенно важен и интересен случай, когда у множеств А и В нет общих элементов, т. е. когда’их пересечение пустое. Если AQB = ф, то, как мы уже знаем, кардинальное число пересечения множеств равно 0, т.е. из А П В = ф = 0 следует: k (А П В) =
' = кф = 0.
Так что равенство (1) принимает вид
k(A U B) = k(A)+k{B).	(2)
Можно, таким образом, сделать вывод: Если А и В являются двумя множествами без общих , элементов, то тогда кардинальное число объединения множеств А и В равно сумме кардинальных чисел множеств А - и В. Следовательно, равенство (2) является особым случаем равенства (1). Попытайтесь теперь привести такой пример множеств.	’ .
— Хорошо. Возьмем, предположим, множества: А= {2, 4, 6, 8} и В={1, 3, 5, 7, 9}. Их объединение A(JB={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, а кардинальные числа к(А)=4, k(B)=5 и k(A (JB)=9. Теперь надо еще проверить, действительно ли k(A{JB)=k(A)-]-k(B). Если учесть, что fc(A(Jfi)=9, k(A)=4 и k(B)—5, то получим: 9=4+5. Стало быть, равенство k (A (JВ)=/г (А)+/г(В) является истинным.
— Безусловно, хотя такой вывод нельзя делать на основании одного примера. Проследим теперь за связью между разностью множеств и вычитанием чисел. Если взять любых два конечных множества Ан* В, то можно, в общем, показать, что верно равенство
k (А \ В) = k (A)—k (А Г) В), (3)
*
т. е. что кардинальное число разности множеств А и В равно разности кардинальных чисел множества А н пересечения множеств. А и В. Приведем тут же пример: пусть заданы множества А= {2, 3, 4, 5, 6, 7} и В= {6, 7, 8, 9}.
Теперь покажем множества рисунком иа числовой оси, затем определим
45
разность и пересечение-этих множеств: 4\В = {2, 3, 4, 5}, А(]В = {6,7}.
Каковы же кардинальные числа этих' множеств?
— Это можно сразу указать: k (4)= =6, k(B)=4, k(A\B)=4 nk(A(]B)= =2.
— И как поступить дальше?
— Проверить, верно ли для этих множеств равенство (3).
— Правильно. Проверьте.
— Прежде всего напишем равенство, а затем соответствующие числа: k (A\B)=k (A)—k (4 Л В), или 4=6—2. Действительно, верно.
— Видите, я вас не обманул. Но, обратите внимание, и здесь мы имеем дело с особым случаем, который очень важен для понимания связи между разностью множеств и вычитанием чисел. Предположим, что множество В является подмножеством множества А, т. е. BczA. Каково в таком случае пересечение множеств А и В, т. е.'4Л В?
— Сию минуту (только дайте вспомнить, что называется пересечением множеств. Пересечение . . , пересечение — это множество, состоящее из элементов одного и другого множества, а если множество В содержится во множестве А, то это значит, что все.элементы В являются одновременно эле-, ментами множества А, а следовательно...), если В^А, то тогда 4ЛВ=В.
— Правильно, по. совести говоря, вам понадобилось немало времени, чтобы это вспомнить, но я вижу, что вы знаете определение пересечения множеств. Итак, если 4ЛВ=В, то тогда
Л (4 Л £)=£(£)- Как в таком случае будет записано равенство k(A\B)= =Л(4)-М4Ле)?
— Оно представится нам в таком виде: k(A\B)=k (4)—k(B).
— Это хорошо, запомните: Если для конечных множеств А и В,справедливо В^А, то тогда кардинальное число разности множеств А и В равно разности кардинальных чисел множеств А и В. Давайте рассмотрим и этот случай на примере. Пусть заданы множества 4= {2, 3, 4, 5, 6, 7} и В= {4,5,6}. Ясно, что В^А.
Какова разность множеств 4 и В? — Разность 4\В = {2, 3, 7}.
— Теперь следует проверить, справедливо ли для этих множеств равенство k(A\B)=k(A)—k(B). Определите прежде всего кардинальные числа,-
6(4\В)=3, /г(4)=6, k(B)=3. Из k (A\B)=k (А)—k(B), если заменить символы числами, получим 3=6—3, а это верно.
На основании данных примеров мож на сделать вывод, что операции объе динения и разности между множествами носят более обобщенный и.широкий характер, чем сложение и вычитание чисел. Можно сказать, что только в особых случаях, когда выполнены какие-то особые условия (4 Л В= ф), объединение сводится к сложению, а дополнение к вычитанию (В—4). Этот
46
обобщенный и широкий характер свойств множеств и придает им такую значимость в современной математике. Впрочем, это ясно уже и потому, что элементы множеств могут быть выражены не только в числах, но и во многих других понятиях (точки, направления, векторы, функции...). Это, кстати, очень хорошо сформулировал известный математик Н. Н. Лузин8:
«Элементами множеств могут быть самые различные предметы: слова, атомы, числа, функции, точки, углы и т. д. Поэтому с самого начала была ясна исключительная широта теории множеств и возможность -ее применения во многих областях знания (в математике, механике, физике...)».
— Хорошо. Мы поняли, в какой связи находится объединение множеств и сложение, разность множеств и вычитание. Как быть с прямым произведением множеств и умножением чисел и каков характер связи между ними?
— Как раз это я и хотел показать. Начнем прежде всего с примеров. Возьмем множества Х={1, 2, 3} и Y— {1, 2}. Посмотрим их прямое произведение
ХХУ=(1,1) (1, 2) (2, 1) (2, 2) (3, 1) (3, 2). .
Теперь обратимся к' кардинальным числам. Явно, что'А: (Х)=3, k(Y)=2 и /г(ХХУ)=6.
Здесь видно, что k(X)Xk(Y)= =k(XXY), потому что 3x2=6.
Другой пример для множеств А— = {а, Ь, с} и В={1, 2, 3}. АхВ={(а, 1), (а, 2), («, 3), (b, I), (Ь, 2), (Ь, 3), (с, 1), (с, 2), (с, 3)}.
Кардинальными числами в данном случае являются числа: -
fe(4)=3, fe(B)=3, fe(4XB)=9. Сле
8 Николай Николаевич Лузин (1883— 1950) — советский математик.
довательно, и тут k(A)Xk(B)=k(AX ХВ), или 3X3=9.
Посмотрим это произведение на рисунке:
Как вы видите, количество стрелок совпадает с кардинальным числом прямого произведения множеств. В принципе, простой пересчет стрелок позволяет определить число, которое Соответствует прямому произведению множеств. То, что мы обнаружили в наших двух примерах, можно отнести к любым множествам. Следовательно, можно сформулировать правило: «Если k (Л) и k (В) — кардинальные числа множеств А и В, то произведение этих чисел определяет кардинальное число прямого произведения АХВ, т. е. k(AXB)=k(A)Xk(B)».
— Очень сложное умножение.
— Согласен, не простое.
— Означает ли все это, что мы должны были бы умножить, например, 39 на 67, для того чтобы найти кардинальные числа, а затем и построить соответствующее прямое произведение
47
множеств, одно йз которых имело бы 39 элементов, а другое 67.
— Да, именно так. Вы могли бы, естественно, и нарисовать множества с 39 и 67 элементами, соединить стрелками элементы одного множества с-элементами другого и пересчитать их.
— Благодарим покорно за такую рекомендацию, лучше мы будем умножать числа по-старому.
о.. -fS fa '.тз' ы \ fas м : 10.7
10» ДЛ 10.10 Ш1 та 10.13 ~1ЫЧ : 10.1S 7'76
п
и
и
и
и
и
и
А)
X
ИИПМЭЗШ
Л и
$ в)
г
X
К1
А
А
А
(8
3 =
А А ’Й
(В В А В X
(А А
(А
=|в '
ДвР
В)
— А я вам и не советовал умножать таким образом числа. Я только сказал вам, как можно было бы в принципе это делать при помощи прямого произведения множеств. Однако ему от-
А А А
А А А А л
А А А А К К К
в в (В (в А А
/В
в в
(А
области операций над множествами, то можете это сделать таким способом (см. таблицу слева).
Пусть заданы множества:
10 Д = {1, 2, 3, 4}, В = {1,3,5}, С = {2, 4, 6}.
Верны ли.равенства таблицы? (Проверьте подстановкой.)
11 Если а, Ь, с являются натуральными числами, то проверьте, справедливы ли для них равенства 11,1 —11.12 (например, для а=2, 6=3, с=4 и т. д.).
12 Сравните связь между свойствами действий над числами (11.1—11.12) } с соответствующими равенствами для множеств и объясните, каким способом первые связаны се вторыми.

й,
&
кй
н.н
11.7
м g-^fL
Jf.? а(&)=(д£)с, и.ч &+(&&(&&(> 00=0-__________
ведеиа в теории множеств исключительно важная роль.
— Если так, то возражений нет. Мы уже испугались, что вы нас заставите в дальнейшем умножать числа, пользуясь упорядоченными парами прямого произведения множеств,
— Если вам нечего делать, то Для упражнения — и это неплохо. Если же’вы хотите закрепить свои знания тз
УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ХОРОШО
УПОРЯДОЧЕННЫЕ
МНОЖЕСТВА
— Хорошо, что мы уже усвоили кое-что об аналогиях между множествами и числами и об операциях с множествами и числами. Теперь нам все-таки ясна роль множеств. Но нам не-
48
понятно, что означает данное название. Разве можно упорядочить множества? Или существуют среди множеств и. неупорядоченные множества? Ха, ха, ха...
— Это не так. Мы говорим о некоторых множествах, что они упорядоченные, а о некоторых, что они хорошо упорядоченные. Множество упорядоченно в том случае, если в нем известна последовательность элементов, а это значит, что точно определено, какой из двух элементов предшествует другому. Таково, например, множество букв	алфавита: а, б,	в,	г, д, е,	ё,
ж, з, и,	й, к, л, м, н, о,	п,	р, с, т,	у,
ф, х, ц,	ч, ш, щ, ъ, ы, ь,	э,	ю, я.
Если взять, например, любые две буквы алфавита, скажем «е» и «к», то известно, что буква «г» находится перед «к». Это н есть особенность упорядоченного множества. Множество месяцев в году также является упорядоченным множеством. Таким является и множество натуральных чисел {1, 2, 3, 4, 5, 6,...}. Однако математики отличают упорядоченное множество от хорошо упорядоченного множества.
— Что же из себя представляет хорошо упорядоченное множество?
, — Собственно говоря, те множества, которые я вам здесь привел в качестве примеров упорядоченных множеств, являются хорошо упорядоченными, а чтобы вы усвоили различие между упорядоченным и хорошо упорядоченным множеством, разберите пример. Множество целых чисел {...—3, —2,
1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,..}, которое можно показать на числовой осн: .
-3 -I -1 О
— Это упорядоченное множество?
— Да, упорядоченное.
— Почему?
— Потому что можно определить, какое из двух чисел меньше, а какое больше. *
— Правильно, из двух чисел всегда больше то, которое справа. И все же это множество существенно отличается от множества натуральных чисел. Вы заметили, в чем это различие?
— Различие? Ну-у-у, мы не знаем его первого члена.
— Правильно. В этом-то и суть отличия этих множеств. Поэтому мы говорим: такое множество упорядоченное, но не хорошо упорядоченное. А хорошо упорядоченным множеством является то, в котором каждое его не пустое подмножество имеет свой первый, или начальный, член. Теперь вам
ясна разница между упорядоченным и хорошо упорядоченным множеством?
— Да.‘Нам неясно только, для чего служат эти понятия. Почему нужны хорошо упорядоченные множества?
—Они необходимы в- математике по многим прйчинам, а одна и з них заключается в том, что при их помощи определяются порядковые числа (первый, второй, третий...*), а кроме того...
— А много ли еще интересного таят в себе множества? Разве мы всего не выяснили?
49
— О, нет! Мы только познакомились с некоторыми самыми основными понятиями и символами, которые применяются в теории множеств.
— Что же еще надо знать о множествах?
— Мы, как видно, не совсем поняли друг друга. Мы с множествами еще ничего серьезного' не предпринимали и даже по-настоящему с ними и не познакомились.
— Как же назвать все то, что мы до сих пор делали? Разве Этого мало для понимания множеств?
— Я повторяю. Мы познакомились
только с некоторыми основными понятиями и символами, которые необходимы для того, чтобы можно было пользоваться учебником математики и... (впрочем, может быть, они правы, им кажется немного надоело; а поэтому нечего их мучить построением функций, операциями Бойля над множествами, относительностью эквивалентности, понятием полугруппы, группы, . ,  когда все это они и так узнают, а если нет, то проживут хорошо н без этого. Лучше изменить тему. К счастью, математика богата и другими интересными областями).
ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ1
Можно утверждать, что математики и философы всех времен более или менее сознательно пользовались теоретико-множественными рассуждениями. Однако в истории развития их взглядов по этому, предмету необходимо четко отделить все вопросы, связанные с понятием кардинального числа (и, в частности, с понятием бесконечности), от вопросов, связанных только с понятиями "принадлежности и включения. Эти последние более интуитивны н, по-видимому, никогда не возбуждали полемики... До конца XIX в. никто не углублялся в определение множества... объектов, обладающих теми нли иными данными свойствами. Знаменитое «определение» Кантора: «Под множеством понимают объединение в одно общее объектов, хорошо различаемых нашей интуицией или нашей мыслью» после его опубликования не вызвало почти никаких возражений. Но как только к понятию множества присоединяются понятия числа и величины, положение в корне меняется. Вопрос о бесконечной делимости пространства... привел, как известно, к значительным затруднениям в философии... математики и философы не в силах были разрешить парадокс о конечной величине, состоящей из бесконечного числа точек, не имеющих величины...
1 Из, книги Н. Бурбаки «Очерки по истории математики» (М., 1963), с. 37—38.
Простые и сложные числа
Сколько существует натуральных чисел?
В мире бесконечного
Множество натуральных чисел Аксиомы — правила . игры 'Как математики «играют»? Счетные операции с натуральными числами Разговор о нуле Еще несколько слов об остальных числах Может ли 10-\-10 равняться 10(f?
«Что можно сказать нового и интересного о натуральных числах?» — спросите вы разочарованно, прочитав оглавление. В некотором отношении вы правы. Любому человеку, даже не
изучавшему математику, натуральные числа хорошо знакомы. Но не станем, как говорят, опережать события. Очень скоро вы убедитесь в том, что натуральные числа, несмотря на их завидно
- 51
почтенный возраст, достойны более пристального внимания, чем вы предполагали. Их знали и изучали еще древнегреческие философы 2 тысячи с лишним лет назад, а столетняя теория множеств по сравнению с ними — наивное дитя. Так что не стоит оценивать натуральные числа только по их привычному и непритязательному внешнему виду. Даже математики не сумели за 20 с лишним столетий изучить их до конца. Натуральные числа напоминают своей простотой и давностью ' египетские пирамиды. О них мы, к слову сказать, тоже еще очень мало знаем, несмотря на многочисленные открытия и разгаданные «тайны». Натуральные числа мы начнем рассматривать в связи с их делением на четные и нечетные, которое было сделано еще в античной Греции.
Итак, четные числа: 2, 4, 6, 8, 10, 12...
Запишем их с помощью символов: {2n : n£N}. Здесь п обозначает любое натуральное число, a N — множество всех натуральных чисел. Аналогично нечетные числа 1, 3, 5, 7, 9... записываются в виде {2nil: n£N} (что следует читать: если прибавить или отнять у любого четного числа единицу, то получим нечетное число). Какое значение придавали греки такому делению натуральных чисел, лучше всего просматривается в следующем определении, которое -дал математике великий греческий философ и математик Платон . (427—347 лет до н. э.). Он назвал математику . . . наукой о свойствах четных и нечетных чисел.
Давно была обнаружена интересная закономерность: сумма первых, следующих друг за другом нечетных чисел всегда равна натуральному числу, возведенному в квадрат (квадрату целого числа).
ц-3=4= 2?
1+3+5=9=32
1+3+5+7=16= 4s
1+3+54-7+9= 25= 52
............или	в общем случае:
1+3+5+. . .+ (2п— 1)=п2.
Следующая особенность натуральных чисел связана с таблицей умножений. Давайте выпишем ее. По диагонали расположены квадраты целых
чисел. Если два таких числа, следующих по диагонали друг за другом, обвести квадратом, в котором содержатся четыре числа, и сложить их, то получим квадрат целого -числа:
,1+2+2+4=9=32, или 18+2Х2+-+22=9,
4+б+6+9=25=52, или 22+2Х2Х Х3+32=25
52
Напоминает ли вам это4 выражение (a+6)==a2+2afe+/r?
Сумма первых п четных чисел равна произведению двух последовательно расположенных натуральных чисел и и (п+1). Такое произведение называют иногда «числом прямоугольника».
2+4=6=2ХЗ
2+4+6=12=3X4
2+4+6+8=20=4x5
. ..........или	обобщенно:
2+4+6+. . ,+2п—пХ (п+1).
Общую сумму всех натуральных чи
сел от единицы до п греки называли «числом треугольника», поскольку его слагаемые могут быть представлены точками, которые можно расположить а виде равностороннего треугольника.
1
1+2=3=-^-Х2(2+1)
1+2+3=6=уХ 3(3+1)
1+2+3+4= Ю=у X 4 (4+1)
............или обобщенной 1+2+3+- . .+n=-i-Xn(n+l).
Легко заметить также, что между квадратами чисел и «числами треугольника» имеется простая связь. Сумма двух последовательных «чисел тре-
/
угольника» всегда является квадратом целого числа.
13 Попытайтесь объяснить это сами, пользуясь соответствующим рисунком. Если же не сумеете, не поверите или вам будет лень это самим проверить, то поинтересуйтесь решением в конце книги.
Как формируются «кубические числа» (кубы целых чисел), можно легко понять по рисунку.
Чнсла, которые равны сумме своих делителей, греки называли совершенными числами. Такими, например, являются числа 6 и 28, потому что 6= 1+2+3, и одновременно 6=1-2-Зг а 28=1+2+4+7+14, и 28 делится только на 1, 2, 4, 7, 14. В связи с совершенными числами греки оставили иам «в наследство» две «маленькие» проблемки, которые математики и по сей день решить не могут. Они настолько «просты», что каждый сможет понять их суть:
1. Найти общую формулу, которая задает все совершенные числа.
2. Доказать или опровергнуть предположение, что нечетные числа не могут быть совершенными.
Вот видите, несмотря иа то что прошло уже 2300 дет после открытия совершенных чисел, все еще нет правила, с помощью которого можно их вычислять, и даже неизвестно, существуют иди нет нечетные совершенные числа.
53
Не подумайте, что проблема совершенных чисел не решена, потому что математики считали ее «малозначащей», серьезно ею не занимались, а интересовались ею только любители в качестве хобби. Ни в коей мере. Более того. Над этой проблемой бились мно-ги&математики, даже самые выдающиеся, но она все еще остается за семью замками, хотя кое-какие результаты этих усилий уже имеются. Так, например, известный швейцарский математик Эйлер (1707—1783), занимаясь этой проблемой, показал, что четное число совершенно тогда, и только тогда, когда его можно записать в виде
2»> (2»»+1—1), /71 = 1, 2,3 ...,
где 2m+1—1 — простое число.
Итак, вот вам подходящий случай, чтобы войти в историю математики н чтобы одну из ее теорем назвали вашим именем. Смело беритесь за решение данной проблемы, не считаясь с тем, что на вас лягут проклятия будущих поколений, тех, кто невзлюбит математику.
14 Если же вы не возьметесь за ее решение, то найдите Хотя бы одно совершенное число (естественно, кроме 6 и 28).
ПРОСТЫЕ
И СЛОЖНЫЕ ЧИСЛА
Особенно важным в математике является деление натуральных чисел на простые и сложные. Простыми числами называют те числа, которые можно поделить только на единицу' и на самих себя. Такими являются, например, числа 2, 3, 5, 7... .
Сложными числами являются те натуральные числа, которые отличаются от единицы, но не принадлежат к простым числам ®.
15 Займемся пока простыми числами. Здесь, как и в случае совершенных чисел, возникают проблемы, связанные с заданием простых чисел:
1. Как найти выражения (формулы), при помощи которых могут быть определены простые числа?
2. Сколько существует простых чисел?
Еще греческий географ и математик Эратосфен (2 в. до н. э.), который вычислил объем земли, дал ответ на первый вопрос. Он изобрел метод, при помощи которого можно находить простые числа. Натуральные числа Эратосфен как бы Просеивает» определенным образом, и в «сите» остаются только простые числа. Этот метод был так и назван ситом Эратосфена. Вот
8 Число 1 не считается ни простым, ни сложным числом.
54
как он это делал. Прежде всего он выписал подряд натуральные числа начиная от двух:
затем в этом ряде перечеркнул все числа, которые делятся на два, т. е* числа, кратные двум. Остались числа
затем он зачеркнул и все числа, делимые на 3. Остался ряд
Д’ % 11, 13,17,13,
теперь вычеркиваются числа, делящиеся на пять:
Ъ 11,13,17,13,*3,33,^
И так каждый раз вычеркиваются числа, кратные первому числу ряда. Все первые числа в полученных таким образом рядах являются простыми числами:
На вопрос: «Сколько простых чисел?» — остроумно ответил один из величайших математиков античности Евклид10, живший примерно с 330 по .275 г. до н. э.
Он рассуждал примерно так: «Надо перемножить все известные простые числа между собой и прибавить к полученному произведению единицу. Если в результате появится простое
1° Основатель и глава математической школы в Александрии.
числа, то оно будет больше любого известного нам простого числа. Если же получим не простое, то в нем мы обнаружим простые множители, отличные от известных нам простых чисел, поскольку после деления полученного нового числа на любое нам известное в остатке всегда возникнет та единица, которую мы прибавили к произведению чисел. Следовательно, существуют простые числа, которые больше любого нам известного». Итак,; согласно Евклиду, сколько бы ни было простых чисел, всегда можно получить новое. Поскольку такое действие может повторяться беспрерывно, легко сделать вывод, что простых чисел существует бесконечное множество. На примерах выводов Эратосфена и Евклида нетрудно себе представить, какими были древнегреческие математики. Онн не любили много считать (знаю, вам эта особенность импонирует), они не придавали большого, значения практическим вычислениям, таким, например, как измерение объема земли и тому подобное (что египтяне,- напротив, чрезвычайно ценили), но греки любили ставить проблемы и решать их путем рассуждений. Пользуясь таким методом, они добивались очень многого и в математике, и в философии. Но, предупреждаю вас, что данным методом не стоит злоупотреблять, и особенно в повседневной жизни. Чтобы лучше познакомить вас с тем, как древнегреческие математики решали,'возникавшие передними проблемы, я расскажу вам, как один из них, а именно Фалес из Милета и, 11
11 Фалес нз Милета (2-я половина VII в. до н. э.) — греческий философ, астроном, физик и математик. Один нз «семи мудрецов» античного периода. Считается первым европейским философом.
55
во время своего пребывания в Египте поразил египетских жрецов оригинальным решением задачи, которую те ему задали. Чтобы проверить знания и мудрость гостя, египтяне привели его к большой пирамиде в пустыне и попросили . измерить ее высоту. Они считали это серьезной математической задачей. Жрецы были уверены, что чужестранец не решит проблемы. Однако грек ие смутился и после краткого размышления попросил дать ему палку. Жрецы выполнили его просьбу, предполагая, что он полезет на пирамиду и начнет палкой измерять ее высоту; Между тем Фалесу это даже не приходило в голову. Он воткнул' палку в песок и сказал: «Когда длина тени палки станет равной ее высоте, измерьте длину тени пирамиды и получите ее высоту».
Египетские мудрецы были поражены простым и остроумным способом решения столь сложной для них проблемы и были вынуждены признать, что грек — превосходный математик.' И в самом деле, математики уже в те времена блистали своими знаниями.
Однако хватит об этом. Я так разболтался, что чуть было не забыл о следующей проблеме — о том, как найти формулу, задающую простые числа.
Ответ иа этот вопрос очень прост. Такой формулы математики еще не создали. («О чем они только думают?»— заметите вы.) Если бы вы знали, сколько математики бились над ее изобретением! Какие только попытки они не предпринимали в течение многих столетий. Более того, они не раз считали уже ее найденной, но вскоре выяснялось, что в чем-то был допущен промах. Ошибся даже великий француз-'ский математик Ферма'(1601—1665) —
основатель теории чисел. Он принял за искомую формулу
Е„=22л +1, п=1, 2, 3..., в соответствии с которой получаются Последовательно числа: если и=1,'то Е1=22+1=4+1=5, если п=2, то Е2=2224-1=24+1=16+ +.1= 17, если л=3, то Е3=22®+1=28+1= =256+1=257 и т. д.
Числа Flt F2, F3, , . ., Fn... были названы именем Ферма. Сам он не доказал, что Fn — простое число для каждого п. Позднее выяснилось, что это не так для п=6, 7, 8, 9, 11, 12, 18, 23, 36, 38, 73. Кроме того, когда п — трехзначное число, формулу практически нельзя проверить, так как она дает числа, записываемые с помощью миллионов знаков. Хотя Ферма ие открыл формулу простых чисел, его исследование помогло обнаружить некоторые интересные особенности отдельных групп простых чисел. Так, например, он доказал, что всякое простое число, которое-можно представить в виде 4«+1, равно сумме двух квадратов. Рассмотрим, несколько примеров:
если п=1, то получим 4Х 1+1=5= = 12+22,
если п=3, то получим 4x3+1=13= =4+9= 22+ З2,
если и=4, то получим 4X4+1=17= = 1+16=12+42,	• -
если п=7, то получим 4X7+1=29= =4+25=22+52 и т. д. -
Внешне простая, но все еще нерешенная проблема, связанная с простыми числами, заключается в следующем: существует ли бесконечное множество простых чисел, которые i можно записать в виде п2+1?
56
Если здесь <п=1, то получим число 11 2+1=2,
для п=2 получаем число 22~Н=5, для п~4 получаем число 42+1= 17
Таким образом, известно, что су. ществует бесконечное множество простых чисел, но неизвестно, бесконечно ли много из них представлено в виде я2+1. И еще одна знаменитая проблема Ферма, которая, правда, не относится к простым числам,, но связана с
целые, а точнее, натуральные числа, которые бы удовлетворяли этому уравнению. Такие числа называют тройками Пифагора. Существует даже простая формула, при помощи которой можно найти тройки Пифагора х, у, г. Если взять любые два натуральных числа тип так, что т>п, то тройку Пифагора образуют числа х, у и г, вычисляемые следующим образом: х=/п2—п2, у=2тп, z=/n2+«2.
z Искомые тройки чисел можно записать в таблицу:
т	п.	X	У
2	1	3	4
3	1	8	6
3	2	5	12
4	1	15	8
4	2	12	16
4	3	7	24
5	1	24	10
5	2	•	а
•	•	•	•
г	хг-±у2 = г2
5	3?4- 42= 52
10	82 + 62 = 102
13	52+122 = 132
17	152+ 82 = 172
20	122+162 = 20?
25	72-(-242 = 252
26	242+Ю2 = 262
а •	• • •
а а	...
числами, нам знакомыми, и поэтому стоит ее вспомнить. Это так называемая великая теорема Ферма12. Она-возникла в середине XVII в. и по сей день не решена, несмотря на усилия многих математиков. Прежде чем познакомиться с самой проблемой, следует вспомнить некоторые понятия, которые вы наверняка знаете. Речь идет о теореме Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Если обозначить катеты буквами х и у, а гипотенузу г, теорему мы можем написать в виде уравнения: x2+z/2=z2.
Не представляет трудности найти
12 Теоремой в математике называют
каждое утверждение, которое доказывается в рамках определенной теории.
 Ясно, что -таких троек чисел насчитывается бесконечно много. Это было известно еще древнегреческим математикам, а следовательно, и Ферма. Между тем его интересовало другое, а именно: пригодно ли это уравнение и для более высоких показателей степени, чем два, т. е. разрешимо ли уравнение
= z«, .
если х, у, г — целые числа, ап — число больше 2? Так, например, для п=3 проблема формулируется таким образом:
«Можно ли найти такие три целых числа, чтобы сумма ку^о.в двух из них была равна кубу третьего числа?», или короче:
57
«Существуют ли три целых числа х, у, г, которые удовлетворяли бы уравнению x3+jib=z3?»
Для п=4 надо было бы найти три целых числа х, у, г таким образом, чтобы Xi+yi—2i И T. Д.
Такова великая теорема Ферма (существует и так называемая малая теорема Ферма, но мы, как великие математики, не будем заниматься малыми проблемами). Необходимо найти только три соответствующих числа и ничего более. С этой проблемой и именем Ферма связан один анекдот, рассказы о котором и по сей день сердят математиков. И только поэтому я его вам расскажу. Известно, что Ферма имел обыкновение делать пометки на полях книг. Однажды он на полях одной из них написал: «Я убежден, что нашел прекрасное решение данной проблемы, но оно не умещается на полях книги»,
Представьте себе, что бы дали мате-’ матики за то, чтобы поля этой книги были более широкими. Сколько бы они сэкономили усилий за истекшие два столетия. Ведь и по сей день у них нет уверенности, что эта проблема вообще может быть решена. И все же они не могут так просто пройти мимо проблемы, притворяясь, будто ее нет, так как это не согласуется с их пониманием научной чести. Когда же речь идет о математике, то, нужно признать, люди обычно остаются до конца честными, сколько бы им это ни стоило времени и трудов. Степень сложности данной проблемы Ферма можно определить и по ответу одного из великих математиков XX столетия Гильберта13 на вопрос, почему он не взялся за ее решение. Гильберт ска
13 Давид Гильберт (1862—1943) — немецкий математик.
зал; «Прежде чем решать эту проблему, я должен был-бы в течение трех лет только знакомиться с ней, а у меня нет столько времени, чтобы тратить его на поиск возможной промашки Ферма».
Великая теорема Ферма оказала огромное влияние на развитие математики в конце XVIII в. В это время математики были вынуждены создать теорию чисел, которая помогла им ответить на множество других вопросов и сделать большой шаг в исследовании свойств чисел. Так в математике получила свое подтверждение народная мудрость: «Гнались за зайцем, а поймали медведя». Этот небольшой экскурс в историю создания теории чисел мы ,за-о кончим словами из предисловия к книге «Введение в теорию чисел» английского математика Диксона:
«В течение двадцати столетий числа были любимым предметом исследований не только ведущих математиков, но и тысяч любителей. Новые исследования ни в чем не уступают старым. Будущие открытия превзойдут прошлые».
Не стоит, следовательно, расстраиваться, что в области чисел (даже натуральных) все известно и что в ней нет больше дел для тех, кто любит математику. А мы, которые ее совсем не любим, ограничимся знакомством с еще кое-какими свойствами натуральных чисел, которые были открыты в основном за последние сто лет и не были известны древнегреческим математикам, Мы убедились, что самые интересные открытия еще впереди,
сколько СУЩЕСТВУЕТ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ?
Этим вопросом занимались математики ещё с древних времен. Они понимали, что натуральных чисел очень
много, чрезвычайно много, но их интересовало точное количество таких чисел. Великий греческий, (опять эти греки!) математик, физик и изобретатель Архимед14, например, еще в III столетии до н. э. доказывал в своем трактате «Песчаник», что количество песчинок на морском берегу можно представить в виде натурального числа только в том случае, если ввести обозначение' последовательно увеличивающихся натуральных чисел. Философ Платон высказал предположение, что натуральным числам нет предела, а мы уже видели, как великий Евклид
то говоря, гордимся и никогда не жалуемся на его отсутствие). Точно так же, как и на наглядные доказательства («верю только тому, что вижу»).
В МИРЕ БЕСКОНЕЧНОГО
Как, собственно говоря, понимать, что натуральных чисел — бесконечное множество? Чтобы ответить на этот вопрос, посмотрим, прежде всего, на то, как возникают натуральные числа в их естественной последовательности. Все начинается, естественно, с единицы:
1 + 1=2 2+1=3 3+1=4 4+1=5 5+1=6
(один) (два) (три) . (четыре) (пять) (шесть)
путем прибавления единицы получаем
Ч. путем повторного прибавления единицы получаем путем еще одного прибавления единицы получаем • » » »
доказал, что даже простых чисел (а они тоже являются натуральными) имеется бесконечное множество.
Таким образом, посредством натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, .Л можно подойти вплотную к одному из самых важных понятий во всей математике, и понятию бесконечности, а точнее — бесконечно большого. Это понятие, по-вндимому, необходимо рассмотреть, не только учитывая его значение в математике, но еще и потому, что оно вводит нас в новый, необычный мнр, наглядно не представляемый нами, с которым, однако, можно частично ознакомиться путем логически правильно построенного умозаключения. Руководствуясь этим понятием, мы убедимся, что нельзя всегда полагаться только на свой «здравый смысл» (которым мы, вообще-
14 Архимед (примерно 287—212 гг. до н. э.) — велнкий математик и физик древности.
Таким вот простым прибавлением единицы строятся все последовательности’ натуральных чисел. Давайте пропустим, например, первую тысячу чисел и посмотрим, каким станет следующее натуральное число. Если мы проделаем известную уже нам операцию, т. €. прибавим к данному числу единицу, то получим следующее число: 1000+1=1001.
Поэтому мы говорим, что любое натуральное число имеет своего «последователя», т. е. число, которое непосредственно следует за ннм. Значит, если задано натуральное число п, его последователем является число п+1, .и далее (п+1)+1 ,  ,
Проявив упорство, мы можем получить таким образом натуральное число любой величины. Если же принять во внимание возможность многократного повторения одной этой вычислительной операции (т. е. прибавления к числу единицы), осуществляемой в одинаковых условиях, то можно заметить,
59
что иет причины, по которой бы это действие должно было бы когда-ни-- будь прекратиться. Продвигаясь от одного натурального Числа к другому беспредельно, мы «получим» бесконечное множество натуральных чисел.
Если вы всё хорошо поняли, то сможете легко ответить на следующие два вопроса:
16 1. Существует ли самое большое натуральное число?
17 2. Имеет ли каждое натуральное ' число своего предшественника?
МНОЖЕСТВО г НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Все натуральные числа удобно охарактеризовать одним целостным понятием. Для этого мы говорим о мно-
- жестве натуральных чисел и обычно обозначаем его символом N.
множеств. В противном случае можно провалиться, образно говоря, в такое бесконечно глубокое ущелье, что не найдется такого каната, который помог бы нам выбраться из него. И все же не надо бояться пропасти, разделяющей конечные и бесконечные множества, потому что и она преодолима. Хочу вас сразу утешить. Мы не будем учить все заново, поскольку основные известные нам операции (объединение, пересечение, разность н др.) одинаково определяются и для конечных, и для бесконечных множеств. Различ
ные натуральные числа, как мы уже убедились, обладают определенными общими свойствами: числа бывают четными и нечетными, простыми и сложными и т. д. Говоря языком множеств, все они могут образовывать подмножества множества натуральных чисел. И притом не любые подмножества, а истинные. (Какие подмножества называются истинными? Вопрос задан лишь для того, чтобы вспомнить свойства множеств.) А теперь давайте посмотрим, что за чудеса таятся в бесконечных множествах и чем онр так отличаются от конечных. Мы покажем это па примере множества натуральных чисел
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
В отличие от уже знакомых нам множеств (множество учащихся в классе, множество столиц, множество чисел 'от единицы до десяти и т. д.), имеющих ограниченное число элементов, множество натуральных чисел — бесконечное множество. Эти два вида множеств отличаются друг от друга, как «бог от шляпных дел мастера». Вот почему нужно быть осторожным и не переносить механически на бесконечные множества свойства конечных
10, 11, 12, 13, 14, 15,
Если выделить из этого множества все четные числа, то они образуют новое множество, которое, как нам известно, является истинным подмножеством натуральных чисел
(2, 4, 6, 8, 10, 12,-44, 16, 18, ,..).
Посмотрите теперь внимательно на оба множества и ответьте на вопрос, является ли множество четных чисел частью множества натуральных чисел.
60
— Несомненно. Это сразу бросается в глаза,— отвечаете вы.
— Не возражаю. -Множество четных чисел является частью множества натуральных чисел, потому что последние содержат в себе все четные числа н некоторые другие, т. е. нечетные. Хорошо, в этом у нас единое мнение. Теперь перейдем к следующему вопросу: каких чисел больше — натуральных или четных?
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18,
— Натуральных, конечно. Это ясно. Они включают в себя и.четные, и нечетные числа,— ответите вы, недолго думая.
— Гм, ответ, безусловно, разумный и опирается на здравый смысл. Четные числа— это часть натуральных, а часть меньше, чем целое; следовательно, четных чисел должно быть меньше, чем натуральных. Итакой вывод нам кажется на первый взгляд предельно разумным и естественным.
' Кроме того, он согласуется и с тем опытом, который мы приобрели в повседневной жизни. Но, на всякий случай (враг не дремлет!), проверим его.
— А как его проверить? — заинтригованы вы. ’
— Очень просто. Так же, как безграмотный пастух проверял наличие овец в стаде, не пересчитывая их: одна засечка на палке — одна овца. Если после того, как все овцы вошли в загон, на палке оставалась засечка, он делал вывод, что овца-пропала. Подразумевается, что такое действие пригодно для любых множеств — безотносительно, конечные они или бесконечные. Наличие биективного отобра
жения принимается как определение равенства кардинальных чисел для бесконечных множеств. Г1оскольку мы желаем определить соотношение всех натуральных и четных чисел, то для этого каждЬму натуральному числу будем ставить в соответствие какое-нибудь четное число. Рассмотрим, всем Ли натуральным числам соответствуют четные. Начнем, стало быть: ▼
10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, ...
$ $ I I t I t
20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, .
— И что, получилось? — смотрите вы на меня несколько озадаченно.
— Да, да, мы каждому натуральному ‘числу сумели поставить в соответствие по одному четному  числу. Это значит...
— Да, именно то, что вы подумали. Несколько странно, но факт. Четных чисел такое же количество, как и натуральных.
— Хорошо, но четные числа являются только частью натуральных.
— Правильно, четные числа — часть натуральных.
— А следовательно...
— Не- стесняйтесь. Следовательно, выходит, что (в данном случае) часть равна целому. Но это лишь первый сюрприз мира бесконечного;
— Цо возможно, что «правило» часть = целому пригодно только для соотношения между натуральными и четными^ числами. Возможно, четные числа являются исключением, а исключения, как известно, подтверждают правило,— попытается кто-то из вас защитить «здравый смысл». Нет, этот случай не исключение, а правило, и подтверждается оно, впрочем, многими другими примерами. Возьмем,
61
свойства бесконечного. Представим себе поэтому
гостиницу с бесконечным количеством комнат.
Такую гостиницу не сразу нарисуешь, но это не. беда.
8 9 10 11 12 13 t J J I t t 40 45 50 55 60 65
Представьте себе, пожалуйста, что все комнаты в гостинице .односпальные й они заняты. Как hi положено, каждая комната имеет свой порядковый номер:
1,2, 3, 4, 5,6,7, 8, 9, 10, 11, ...
В холле администратор отводит комнаты гостям и предъявляет им счета, которые не должны быть непомерно высокими. Все комнаты заняты. Значит, в гостинице бесконечное число гостей. Но, .как назло, должен появиться еще один важный гость, которому администратор не может просто так заявить:
8,	9,	10,	11,	12, ...
™. Л L. L. ...
«Сожалею, у нас мест нет, попыт айтесь найти комнату в другой гостинице». Ему надо во что бы то ни стало поместить важного гостя, но так,'чтобы никого не пришлось выселять. Администратор нисколько не смущается и говорит неожиданно прибывшему гостю: «Прошу Вас, подождите немного, мы Вам освободим номер». Затем, извиняясь, он просит гостей перейти последовательно из комнаты № 1 в комнату № 2, из комнаты № 2 в комнату № 3, из 3-й в 4-ю, из 4-й в 5-ю и т. д. Чего он добился этими перемещениями? А того, чего и желал. В первую комнату он может поместить неожиданно прибывшего гостя; Я надеюсь, вы не спросите
скажем, все числа, делимые иа • 5:
5, 10, 15, 20, 25, ...
и сравним это множество с множеством натуральный чисел:	‘
▼
1 2 3 4 5 6 7
' 5 10 15 20 25 30 35
Опять то же самое. Эти два множества обладают равным числом элементов, несмотря на то, что во втором множестве каждый элемент является элементом первого. Чтобы успокоить себя, попытаемся рассмотреть еще пример. Возьмем теперь множество, которое составляют числа, делимые на 100. Сравним его с .множеством натуральных чисел. Возможно, у множества, элементы которого делятся на 100, будет' меньше элементов, (чем у множества натуральных чисел? Давайте посмотрим: ▼
1,	2,	3,	4,	5,	6,	7, ’
:	:	:	:	t	1	i
100, 200, 300, 400, 500, 600, 700,
Тщетно. Не нужно больше пытаться. Мы получили бы тот же результат и в случае сравнения множества натуральных чисел с множеством многозначных чисел, делимых на миллион. Их было бы такое же количество, как и натуральных чисел.
18 Поэтому можно попробовать сделать пока такой вывод: все бесконечные множества обладают одинаковым количеством элементов, часть у них равна целому. Ничего не поделаешь, никто не сможет иас упрекнуть, что мы не пытались сделать все, чтобы спасти наш «здравый смысл». А коли так, то давайте хотя бы немножко развлечемся за счет этого необычного
62
у меня: «Что случилось с гостем из последней комнаты?» Администратор, зная хорошо особенности своей гостиницы, без трудностей и ненужных объяснений решил' эту проблему..
«А что если бы в гостиницу прибыло, например, три новых гостя?» Он бы легко решил и эту проблему. Гостей из 1, 2 и 3-го номеров администратор переселил бы в 4, 5 и 6-й, затем из этих номеров — в 7, 8 и 9-й и т. д., а первые три номера освободил бы для приезжих.
/ z з v s е г г s ю ц /з й is
*
На следующий день перед админ ист-ратором возникла более сложная проблема: в гостиницу прибыло еще бесконечно большое число новых гостей. Как он поступит в данном случае? Куда он их поместит? После небольшого шока администратор глотнул немного виски с содовой, подумал и.»« принял решение. Он последовательно переводил гостей из комнаты 1 в комнату 2, из комнаты 2 в комнату 4, из комнаты 3 в комнату 6, затем гостя из комнаты 4 в комнату 8 и т. д. Вы поняли, что он делал? Гостей из комнат с порядковым номером п он помещал’ в комнаты под номером 2п.
' г. з v s с t s э w н и и п к п
. П^2П
— Нам непонятно только, чего ои достиг путем такого перемещения?
— Очень многого. Он решил проблему, освободив все нечетные номера, а мы знаем, что их бесконечно много. В них-то и будут жить вновь прибывшие гости. При этом ни одни из проживавших в гостинице людей из нее не выехал.
Очень удобная гостиница, не так ли? Только, к сожалению, построить ее нельзя. В противном случае одним махом были бы решены все наши жилищные проблемы. Теперь посмотрим, что произойдет, если гости начнут покидать нашу гостиницу.. Опустеет ли она? Мы прекрасно знаем, что в гостиницах не любят, когда номера пустуют. Но в нашей свами необыкновенной гостинице такой, проблемы нет. 19 — Люди уезжают, а гостиница полна? Не сказка ли это? — заметите вы.
— Признаюсь, что это удивительно, но досмотрим, как в таком случае поступает администратор. Предположим, гость покинул комнату 9, и опа опустела. Чтобы ее занять, администратор начнет переводить гостей последовательно из комнаты 10 в комнату 9, из комнаты 11 в комнату 10, нз 12-й в 11-ю, из 13-й в 12-ю и т. д. Вижу, вижу, вам все понятно, поскольку вы не спрашиваете, останется ли пустым последний номер.
"~~€? 3 & to If it is iv if й Jg 1
•ЙО Давайте предположим теперь, что гостиницу покинуло бесконечное ’число людей. «В таком случае,— скажете вы,— гостиница останется, по крайней мере, полупустой. Вовсе не так! Администратор проделает операцию, прямо противоположную той,
63
которую осуществил, когда "в гостиницу дополнительно прибыло бесконечное число гостей.
21 Как он поступит?
Вот какие события могут происходить по ту сторону границы, отделяющей мир конечного от мира бесконечного. Для жителей по ту сторону границы такие явления считались бы нормальными, привычными, соответствующими их «здравому смыслу» и повседневному опыту, в то время как наш мир конечного казался бы им необыкновенным, странным, нелогичным и даже... смешным. Представьте себе только, как бы они отнеслись к математику,' предложившему, например, гостиницу па 50 мест, притом пустующую в связи с отъездом всех ее гостей. Они бы восприняли такое предложение примерно так:
— Что за глупости! Вечно эти математики придумают неизвестно что, а потом удивляются, что наши дети не любят математику.
Поскольку мы так много говорили о бесконечных величинах, давайте посмотрим, какими символами их обозначают, как записывают «число» бесконечной величины. Обычный символ бесконечности вам, по-видимому, известен. Он похож на восьмерку, которая легла немного подремать:
Между тем у математиков есть еще и обозначение для числа, характеризующего множество с бесконечным числом элементов. Это главное, или карди
н альное, число такого множества, которое можно биективно отобразить на множество натуральных чисел. В этом случае используется символ, позаимствованный (взяли взаймы под процент) из древнееврейского алфавита, а именно ^fn (алеф-нуль).
— А почему из древнееврейского алфавита? — спросите вы.
— Потому что еще старые геометры исчерпали все буквы греческого алфавита и были вынуждены прибегнуть к еврейскому. Но не станем их упрекать в этом. Хорошо еще, что они не воспользовались китайским. Итак, если символом N обозначить множество натуральных чисел (а их, какизвестно, бесконечно много), то
(читай: кардинальное число множества натуральных чисел равно алеф-нулю).
— Хорошо, все это прекрасно, но есть ли и практическая польза от введения числа «о?
— Есть, конечно. Математики часто применяют это число, и оно помогает им, помимо прочего, короче и точнее изъясняться. Вот, например, все то, о чем мы говорили так долго и пространно относительно событий ,в гостинице с бесконечным числом комнат, математик напишет в виде равенства, пользуясь числом алеф. Взять, к примеру, первый случай, когда в переполненную гостиницу явился важный гость и администратор поместил его, никого не лишая комнаты. Этой ситуации. соответствует равенство
1 — А? о
(читай: алеф-нуль плюс один равно алеф-нуль).
Равенство, которое описывает случай с тремя гостями, математик запишет так:
Ло+3 —/fo,
а приход бесконечного множества гостей в переполненную гостиницу — так:
/fo+fto— Но-
Отъезд одного гостя обозначает, что К- 1=Ло.
а отъезд бесконечного числа гостей — что
22
Достаточно и этих нескольких примеров, чтобы убедиться в целесообразности введения числа алеф хотя бы потому, что оно значительно сокращает запись. Математики отдавали себе отчет, когда вводили его. Умные это люди, только...
— Надо надеяться,— перебиваете вы меня, устав от всех этих примеров, обозначений и названий,— что нам, наконец, известно все, что надо знать о натуральных числах и их свойствах...
— К сожалению, не совсем так, но для начала достаточно. Хотелось бы, правда, еще показать, что множество натуральных чисел упорядочено, относительно хорошо упорядочено... но оставим кое-что и для математиков, ко
торые вам это не только покажут, но и докажут (они глубоко убеждены, что без доказательств им не верят). Я забыл объяснить еще, почему я просил вас (в самом начале книги) ие показывать ее математикам и не говорить им, что вы ее читали.
— Почему? Может быть, в ней что-нибудь не так?
— Нет, пет. Не о том речь, она им не понравится по другой причине. Они скажут примерно так: «Здесь много болтовни- и мало математики. Все это можно было бы сказать проще, короче и яснее. Вот, например, вместо всех этих сказок (для младенцев) о бесконечных множествах в гостинице и пр. достаточно было заявить следующее: Множество бесконечно в том, и только в том, случае, если его можно биективно отобразить на свою истинную часть. И ни слова больше или меньше. В этом определении содержится практически все, о чем вы рассуждали на полных семи страницах. Жаль бумаги. И времени».
Таким будет мнение настоящего математика. И вас, конечно, интересует, правильно ли оно? Безусловно, в определении математика четко сформулированы все свойства бесконечных множеств. На основе данного определения можно привести сколько угодно примеров. Вот почему я просил вас эту книгу не показывать математикам. Она написана не для них, а для вас, которые ие знают и не любят математику. Возможно, кое-кому из вас эта книга и понравится. Но и того, который скажет: «Ох, до чего все это скучно»,— я ие особенно упрекну, потому что знаю, что упрек адресован не столько мне, сколько самой математике. Меня бы больше встревожили слова: «Все это обычно». Или того хуже: «Тривиально». И довольно осуждать мате
3 В. Шпорер
65
матиков. Со многими из них я хорошо знаком, и, поверьте мне, это очень приятные и симпатичные люди. Любят шутку и анекдоты и строги лишь тогда, когда речь идет о математике. Они стремятся научить многому, пользуясь малым количеством слов (и большим количеством формул). И поэтому их трудно подчас понять. Такова суть возникающих недоразумений. Математики искренне удивятся вашим словам, что вам ничего или почти ничего не говорит определение: «Множество бесконечно в том, и только в том, случае, если его можно биективно отобразить на его истинную часть». А определение это донельзя ясное, содержательное, точное, полное. И вы его действительно понимаете? Просто невероятно!
АКСИОМЫ — ПРАВИЛА ИГРЫ
В начале книги приводилось изречение великого магема1ика первой половины XX в. Гильберта 1В, которого считают последним всесторонним математиком — математиком-энциклопедистом. Он говорил: «Математика — всего лишь игра, в которую играют согласно простым правилам и пользуются при этом обозначениями, не
№ Давид Гильберт, XIX—XX вв. (1862—1913),— немецкий математик, внес значительный вклад в различные области математики. Его считают последним всесторонним математиком. Помимо прочего, он занимался теорией чисел, математической логикой, основами математики, дифференциальными и интегральными уравнениями. Он поставил элементарную геометрию на строго аксиоматическую основу. Его работы оказали значительное влияние на математику XX в. 
имеющими самостоятельного значения».
Такое «определение» математики представляется вам, по-видимому, остроумным, несколько игривым, но не серьезным. Между тем в нем содержится глубокая и правдивая оценка математики, если ее понимать аксиоматически, т. е. как науку, которая основывается на системе аксиом. Аксиомы, как известно, являются истинами, не требующими доказательства. Они не нуждаются в нем благодаря своей ясности, очевидности, логичности, которые нельзя обосновать более простыми доводами. Так было, во всяком случае, когда-то. В те давние времена, когда жил-был король, который имел трех сыновей... Сегодня это не так (по-видимому, из-за отсутствия королей...). Аксиомы в современной математике далеко не очевидны. Некоторые утверждают, что аксиомы не всегда правильны. Чго касается доказательств, то о них мы поговорим потом. Давайте воспримем поэтому аксиомы скорее как предположения. Тот, кто ими пользуется, вовсе не обязан кому-то давать отчет в том, почему он провозгласил аксиомой именно то, а не другое предложение. Это его дело. Но если в этой системе аксиом чго-то «не ладится», математики созовут свой синдрнон и приговорят такую систему к смерти. Дело в том, что аксиомы отражают основные свойства определенных математических теорий или систем. И если с аксиомами что-то «не ладится», рушится и вся система, в которую входят эти аксиомы. Тут не до шуток. Каждая система аксиом, удовлетворяя двум главным требованиям, должна быть полной и непротиворечивой.
Система является полной в том случае, если в ней содержится всё необ
66
ходимое для построения определенной теории, к которой она относится. А для того, чтобы система аксиом была непротиворечивой, она не должна позволять делать выводы о том, что нечто одновременно имеется в наличии и отсутствует или что некоторое утверждение верно и в то же время ложно. Если бы это случилось, то автор (не этой книги, а аксиомы) должен был бы нести уголовную ответственность. Значение аксиомы в науке первым заметил, вероятно, самый великий ум античных времен — Аристотель 1в. Он считал, что во всех областях наук имеются взгляды и высказывания, которые настолько очевидны, что не нуждаются в доказательствах. Они и составляют основу и суть определенной науки. В геометрии Евклид был первым создателем подобной системы аксиом, которая помогла ему сделать все известные в то время геометрические выводы. Поэтому можно смело утверждать, что с тех пор математика, а точнее, геометрия стала дедуктивной наукой, которая на основе определенного числа исходных предположений выводит все последующие. Чтобы познакомить вас с аксиомами Евклида, приведем только первые пять аксиом геометрии на плоскости. Они заключаются в следующем:
1. Через любые две точки можно провести единственную прямую (любые две точки определяют прямую).
2.	Каждую прямую можно бесконечно продолжать.
16 Аристотель (384—322 гг. до н. э.) — величайший древнегреческий философ и ученый.
3.	В любом месте на плоскости можно описать окружность произвольного радиуса.
4.	Все прямые углы конгруэнтны.
5.	Если при пересечении двух прямых третьей образуются два смежных угла, в сумме составляющие угол, меньший, чем два прямых угла, то при этом исходные прямые обязательно пересекутся по ту сторону от третьей прямой, где расположены эти два смежных угла.
И хотя в аксиомах Евклида были неточности, практически вплоть до XIX в. эта система аксиом была единственной в геометрии. Но продолжим речь об этих аксиомах. Если присмотреться к ним повнимательнее, то увидим, хотя мы и не математики, значительную разницу между первыми четырьмя и пятой аксиомой. Первые четыре — короткие, ясные и наглядные, их можно принять без оговорок. Но пятая «подозрительна». Во-первых, она длинна, ее трудно запомнить и повторить, а кроме того, она не очень ясна. Чтобы ее понять, надо взять в руки карандаш, бумагу, линейку и взяться за черчение. Начнем, пожалуй.
3*
67
Если хорошо изучить чертеж, ситуация прояснится, ио сомнение не исчезнет. И не только у нас, не специалистов. И математикам эта аксиома всегда казалась несколько проблематичной. Они считали, что Евклид их несколько «подвел», но доказательств, чтобы снять сомнения, у них ие было. Поэтому они поручили исследовать аксиому лучшим математикам. Что они только с ней не делали (да и она с ними). Они упрощали ее, сокращали, выводили из других аксиом, иначе формулировали ее, словом, делали с ней все, что только можно. Бились над пятой аксиомой полных девятнадцать веков (до чего упорные люди!), но так и не смогли ее ни опровергнуть, ни доказать. Аксиома по сей день осталась такой, какой была 2 тысячи лет назад. Вот это постоянство!.. Но самое интересное заключается в том, что вся эта работа была небесполезна. (Предполагаю, как вы злорадно желали, чтобы математики хотя бы раз «оступились».) И вот что произошло.
Возмущенные более чем тысячелетней возней вокруг этой аксиомы, математики решили применить крайние меры, к которым вообще они прибегают неохотно. Впрочем, терять им было нёчего. Они и решили с аксиомой больше не считаться и притворились, будто ее нет вовсе. Вот тут-то они и пришли в изумление. Даже сами не поверили своим глазам, когда открыли новую геометрию, в которой тоже все было непротиворечиво. Мало того, они пришли к выводу, что таких геометрий много, причем довольно удивительных.
23 В одной из иих (на плоскости): «из данной точки можно провести две /прямые, параллельные заданной прямой».
В другой: «из данной точки нельзя провести ни одной прямой, параллельной заданной».
Л
Сумма углов треугольника может быть и меньше, и больше 180° (а я помню очень хорошо, что мой лучший школьный товарищ Петя схватил еди
ницу по математике, когда заявил учителю, что сумма углов в треугольнике равна 150°).
Такую геометрию, в которой не действует пятая аксиома Евклида, назло ему назвали неевклидовой геометрией.
КАК МАТЕМАТИКИ
«ИГРАЮТ»?
Мы видели, что даже великий Гильберт считал математику игрой.
— Каким образом математики в нее «играют»?
— Одна из самых любимых ими игр заключается в следующем: берется система аксиом и на ее основе строятся разные теоремы, леммы, зависимости, определения17.., Потом смотрят, что из них можно вывести. Лучшим игроком считается тот, кто мож.ет пост-
17 Лемма — вспомогательная теорема, являющаяся этапом в доказательстве какой-либо сложной теоремы. С помощью определений вводятся новые понятия, которые описываются при помощи уже известных.
68
роить сложную теорию, «охватывающую» большие области знаний. Чем больше выводов он сделает и чем меньше аксиом при этом использует, тем лучше. Эта игра напоминает шахматы. И здесь имеются правила игры, по которым каждую фигуру можно передвигать определенным способом. Эти правила надо уважать, иначе игра потеряет смысл. Такими правилами являются и аксиомы. И хотя все игроки знаки правила игры (аксиомы), по все одинаково хорошо играют. Как и среди шахматистов, здесь имеются гроссмейстеры (вспомните только Алехина, Ботвинника, Таля, Фишера, Карпова, Глигорича и др.), заслуженные мастера, мастера, ‘средние игроки и никчемные, которые проигрывают после пятого хода. В шахматной игре, а тем более в занятиях математикой мало обладать только талантом. Надо хорошо знать теорию, изучать игру великих мастеров. Возможно, теперь вам стал несколько яснее смысл определения математики, которое сделал Гильберт. В математике, как и в шахматной игре, не любой может стать гроссмейстером, но, приложив немного труда в изучении теории, можно хотя бы наслаждаться игрой.
— Все это действительно очень интересно и занимательно,— заметите вы, выслушав мой рассказ об аксиомах,— но, по нашему мнению, для изучения натуральных чисел никаких аксиом не требуется.
— Мне очень жаль, но вот уже более восьмидесяти лет такое мнение не соответствует истине.
— Неужели и для изучения натуральных чисел нужны аксиомы?
— Да, нужны. Их выдвинул итальянский математик Пеано18 еще в
18 Джузеппе Пеано (1858—1932) — итальянский математик и логик.
1891 г., и по его имени они названы аксиомами Пеано. Но вы не пугайтесь, его аксиомы достаточно просты и понятны. Впрочем, вот они:
1)	1 — натуральное число;
2)	каждое натуральное число п имеет одного «соседа» и' (п'=п+1);
3)	1 не является «соседом» ни одного числа;
4)	если т'~п', то m=n;
5)	каждое множество, в котором имеется 1 и в котором вместе с каждым числом п содержится п’ (п'=п+1), включает, все натуральные числа.
Это и есть аксиомы Пеано. Как видите, ничего страшного. Можно понять почти сразу. И все же мы рассмотрим их более подробно. Первая аксиома объяснения не требует. Она только устанавливает тот факт, что 1 — натуральное число (знаю, вы тут же подумаете; «Это нам известно и без аксиом»). Вторая аксиома утверждает, что за каждым натуральным числом прямо следует только одно натуральное число, которое называется «соседом». Обозначается он обычно штрихом. Так, например: 1'=2 (читать; «соседом» единицы является двойка).
2'=3, 7'=8, или обобщенно п'=п+1 („соседом" п является пф-1).
Согласно третьей аксиоме, единица является наименьшим натуральным числом, или, иначе: единица не имеет предшественника среди натуральных чисел. Четвертая аксиома утверждает: если «соседи» двух чисел равны, то и эти числа равны между собой. Естественно, что ни одно натуральное число не может иметь разных предшественников. Особенно важна пятая аксиома (опять пятая!), которая называется также принципом тотальной индук
69
ции. Она сообщает нам следующее: «Если множество содержит в себе 1 и оно же при наличии любого числа п содержит в себе его «соседа» (т. е. п+1), то в нем должны содержаться вообще все натуральные числа. Итак, каждое множество, которое содержит единицу и которое «автоматически» содержит вместе спи п+1, является множеством, включающим натуральные числа. Вот мы и познакомились с одной из современных математических аксиоматик.
— Прекрасно,— говорите вы.
— Наконец-то и вам в математике что-то понравилось. Значит, я вас кое-чему научил (придется математикам отдать должное).
— Но у нас к вам вопрос,— продолжаете вы.
— Не стесняйтесь. Отвечать на вопросы — мой долг. (Видно, я уверенно вхожу в роль профессора математики.)
— Нам ие совсем ясна роль аксиом, если мы и без них разобрались с натуральными числами.
(Вот этого мне еще не хватало! Только стал наслаждаться своей репутацией, и вот, иа тебе, такой вопрос. И поделом. Нечего корчить из себя профессора. А может, найду какой-нибудь выход..?)
— Ну, это... Гм, как вам сказать (надо выиграть время и что-то придумать). Оправдание для наличия аксиом, безусловно, есть, безотносительно к тому, что нам известны свойства натуральных чисел. Как вы знаете, существуют самые различные множества: конечные и бесконечные. (На этот раз, кажется, обойдется, но в будущем во избежание нежелательных вопросов мне надо хорошо следить за тем, что я говорю.) Итак, если мы установим, что определенное множество
соответствует аксиомам Пеано, то можно утверждать, что оно обладает свойствами множества натуральных чисел (я уверен, что они мне поверят на слово и не станут просить еще и Доказательств). Все это является достаточно хорошим доказательством необходимости аксиоматики. (Я вспомнил еще одну причину и теперь могу говорить с еще более умным видом.) Кроме того, наличие аксиом придает всей теории натуральных чисел большую строгость, как это любят говорить математики. Итак, правила игры имеются, а как мы воспользуемся ими — зависит от нашего мастерства.
СЧЕТНЫЕ ОПЕРАЦИИ С НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ
Я хорошо знаю, что вы не любите считать (как, впрочем, и я). Но вы не беспокойтесь. Мы не станем здесь считать. Мы лишь поговорим немного о счете. Впрочем, и математики все меньше считают. В крайнем случае, они разрабатывают программы, дают указания, что надо считать, а счетные операции производят машины. Я уверяю вас, что почти каждый официант искуснее в счете, чем математик. Однако не следует уменьшать значения счета. Об этом не может быть и речи. Он иам необходим в повседневной жизни, и мы обязаны его знать. И все же я хочу обратить ваше внимание на совершенно ошибочное, но очень распространенное (особенно среди родителей) мнение, что ребенок, который быстро считает, обязательно и хороший математик. Это разные вещи, почти независимые между собой.
Теперь посмотрим, что это такое — счетные операции с натуральными числами. Вам они, конечно, известны.
70
Это: сложение, умножение-, вычитание и деление.
— А почему именно в такой последовательности? — спросите вы.— Не случайно ли это?
— Нет, не случайно. Первые две операции прямые, а вторые — обратные, или опосредованные.
— Хорошо, а в чем суть их отличия?
— Вот в чем. Если два любых натуральных числа сложить или умножить, то в результате всегда появится натуральное число. Следовательно, первые две счетные операции не выводят пас из множества натуральных чисел. Попытайтесь, впрочем, и сами сложить или умножить два любых натуральных числа, и вы всегда получите третье натуральное число.
Например: 9+15= 24, 3+24= 27, 9X15=135, 5X6=30
И т. д.
Вторые две счетные операции не всегда дают в результате натуральное число. Например:
читання натуральных чисел является натуральное число?
25 2. Когда результат деления будет натуральным числом?
Теперь давайте посмотрим, что представляет собой, по сути дела, сумма двух чисел?
На этот вопрос можно ответить так: Если а и b — натуральные числа, то существует одно, и только одно, как любят говорить математики, натуральное число, которое называется их суммой и обозначается а-\-Ь.
— Ничего особенного,— скажете вы.
— Ладно, ладно. Не будьте самонадеянны (вы еще посмотрите, что такое сумма). На основании определения суммы попытайтесь сами сформулировать определение произведения двух чисел. На протяжении многих столетий математики установили, что есть определенные правила, которым удовлетворяют операции сложения и умножения. Они названы законами, и горе тому, кто их нарушит.
9—6 = 3
6—9=—3
20:4 = 5
(3—натуральное число), но вот
(—3—не натуральное число) или (5—натуральное число), но / 4
I-g—не натуральное число
Вот почему мы говорим, что множество натуральных чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения, а относительно операций вычитания и деления — не замкнуто.
для каждых а; b £ А
Если немного поразмышлять, то можно легко ответить на следующие вопросы:
24 1. В каких случаях результатом вы-
Не верите? А вы попытайтесь. Вот эти законы:
1.	Свойство коммутативности сложения:
о+Ь = 5 + с.
Этот закон говорит нам, что от перемены мест слагаемых сумма не изменяется (например: 4-|-6=6+4. Поменяешь местами числа, а получишь тот
71
же результат). Аналогичный действует и для умножения:
закон
для каждых а,Ь £ W
(действительно, 4Х 7=7X4).
Справедлив ли этот закон и в случае вычитания?
2.	Свойство ассоциативности сложения и умножения:
▼
для каждых a, b, с £ N
В соответствии с данным законом сумма и произведение трех натуральных чисел не зависят от способа включения слагаемых или множителей в действия.
В соответствии с этим:
(54-8) + 3 = 5+(8+3), т. е» 13+3 = 5-}-11,
16 = 16.
(Зх5)Х6 = Зх(5х6), т. е. 15x6=3x30,
90 = 90.
Если бы вам удалось найти три натуральных числа, на которые бы этот закон не распространялся, то математики впали бы в отчаяние. Они потеряли бы веру в математику, а многие из них бросили бы ее и стали заниматься... филателией. Общим в этих законах является, как мы видим, то, что они действительны и для сложения, и для умножения (этим можно воспользоваться, чтобы не учить законы дважды и хоть в чем-нибудь выгадать).
Обратимся теперь к следующим двум законам сложения.
3.	Пусть а и b — натуральные числа.
a-b=b-a
Тогда я+fe^c. Этот закон утверждает, что нуль не является натуральным числом, потому что только для нуля верно равенство а+0=а.
Например: для двух натуральных чисел будет
2+3 #2, 5+1 ^5 и т.д.
4.	Если а, b и с — натуральные числа (а, Ь, с, g N) и если й+с=&+с, то а=Ь. Этот закон нам говорит О' следующем:
«Если суммы двух слагаемых рав-
(е+й)+с=с + (й+с), (a-b)-c=a-(b-c}.
ны и если в этих суммах равны первые слагаемые, то тогда и вторые слагаемые должны быть равны. Например, из x+6=t/+6 вытекает х=у.
Теперь рассмотрим два закона умножения.
5.	Для каждого натурального числа а справедливо «X 1=а. Этот закон говорит об умножении чисел на 1. Если умножить любое натуральное число
72
на единицу, то получится само это число. Например: 3X1=3, 7X1=7, 1X1=1 и т. д.
И наконец, свойство дистрибутивности умножения.
6.	Умножение натуральных чисел является дистрибутивным по отношению к сумме натуральных чисел, т. е.
13
20 7 29 40 11
60
для каждых a, b, с a(b-]-c)= —ab-^-ac.
Проследим это на некоторых примерах:
3 (5+7) =3X54-3X7* 3x12=15+21,
36 = 36.
4(3+8) = 4ХЗ+4Х8, 4X11 = 12+32, 44 = 44.
26 Тут, следовательно, речь идет о том, как правильно «раскрывать» скобки.
Посмотрите, в каких случаях обычно применяются нами свойства коммутативности и ассоциативности сложения. Если мы располагаем несколько чисел «столбиком», то для удобства вычисления делаем иногда сверху вниз, а иногда снизу вверх. В соответствии со свойством коммутативности и ассоциативности сложения результат должен быть в обоих случаях один и тот же:
14 I t
1з{|
33
Если необходимо получить сумму большого количества слагаемых, их соби
или 13+29+7+11 =(13+7) + (29+П) = 20 +40 = 60.
рают в группы и производят действия последовательно для каждой группы-Затем суммируются результаты, полученные в каждой группе слагаемых (опять мы использовали свойства ассоциативности и, возможно, коммутативности сложения):
В случае умножения (например, 7X26) используется прежде всего свойство дистрибутивности умножения, а затем ассоциативности сложения. Это делается таким образом: 7Х26=7Х (20+6)= 140+42= 140+ + (40+2)= (140+40)+2= 180+2= = 182.
Итак, эти законы иам известны, мы их даже применяем, часто не отдавая себе отчета в том, что это законы. (Пожалуй, так оно лучше. Зная об их наличии, мы бы, возможно, преднамеренно их нарушали. Ведь запрещенный плод всегда сладок.) Теперь все предельно просто и ясно, будто это и не математика. Но не стоит радоваться преждевременно и, тем более, хвастаться перед математиком, что, по крайней мере, сложение с умножением вы усвоили. Если вы ему откроете все ваши познания, то он вас вежливо выслушает и заметит: «Действительно, интересно. А я совсем забыл об этом. Правильно, именно так объясняли сложение и умножение в Австро-Венгрии еще во времена правления императрицы Марии Терезии и императора Франца Иосифа; возможно, и позднее, вплоть до первой мировой войны, если я не ошибаюсь». И ои вас собьет
73
с толку, потому что императоров этих вы, скорее всего, не знаете. Но так вам и надо. Никто не просил вас говорить с математиком о математике. Да это все равно, что рассказывать арабам о песке или эскимосам о снеге.
— Хорошо, а как бы вы сейчас определили понятие сложения? — про" должаете вы свой диалог с математи" ком (не понимая еще, во что это вам обойдется).
— Да это проще простого: «Сложение есть функция АХАДДЛ', которая задана соотношением (a, b)t—>a-\-b (я, b£N)»,— ответит математик, посматривая на вас поверх очков.
— Что, что, сложение это..?
— Функция Л'Х ЛД^Л',— повторит он, считая, что вы его плохо слушали.
— А как все это объяснить? — пытаетесь вы выйти из положения и заодно прийти в себя.
— Не понимаю, что тут объяснять, если все содержится в определении.—
ЛГ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, И ваш разговор с математиком на этом оборвется.
— Но вы забыли спросить у него, что такое произведение. А жаль! Вы упустили случай получить такой ответ: «Произведение есть функция Л'ХЛГ '; N, которая Задана соотноше-
знаю это определение. Его объяснил мне один студент-математик в знак благодарности за подаренный ему входной билет на футбол. Он, правда, после трех лет занятий на первом курсе математического факультета перешел на стоматологический, но это не имеет значения. Возможно, именно поэтому он и сумел мне толково все объяснить. Вот его объяснение: «АХВ или ТИХА', XX Y и т. д. являются обычными обозначениями прямого (Декартова) произведения множеств18 19, которое состоит из всех упорядоченных пар этих множеств. Например, если А= {а, Ь, с} и В={1, 2}, то АХб={(я, 1) (Ь, 1) (с, 1), (я, 2), (Ь, 2), (с, 2)} является множеством из шести элементов, а его элементы — упорядоченные пары. Точно так же, например, ВХВ={(1, I), (2, 1), (1, 2), (2, 2)} и т. д. Символом Л! обозначается множество натуральных чисел; следовательно,
▼
8, 9, 10, 11, 12, ...},
a WXW — множество всех возможных упорядоченных пар натуральных чисел.' Их, естественно, бесконечно много, и поэтому NXN представляет собой следующую бесконечную таблицу упорядоченных пар:
г (Ы).	(1.2).	(1.3),	(1,4),	(1.5) ..
(2,1),	(2.2),	(2,3),	(2,4),	(2,5) ..
(3,1),	(3,2),	(3,3),	(3,4),	(3,5) ..
(4,1),	(4,2),	(4,3),	(4,4),	(4,5) ..
1(5,1).	(5,2),	(5,3),	(5,4),	(5,5) ..
нием {я, &)>—»яХЬ(я, b£N)».
Естественно, теперь вы обратитесь ко мне за разъяснениями. И должен вам сказать, что, несмотря на все ваше легкомыслие, вам повезло. Я случайно
Два любых натуральных числа, которые мы намерены сложить, будут па-
18 С ним мы познакомились ранее, при
изучении теории множеств (с. 41).
74
ходиться в одной из этих пар. Возьмем, например, числа 4 и 2. Если пара (4, 2) находится в нашей таблице в четвертом ряду и во втором столбце, пара (42, 156) будет находиться соответственно в 42-м ряду и в 156-м столбце. Обозначение «+» над стрелкой (_1>) указывает, что числа а и b надо сложить. Значит, если говорят, что сложение является функцией
NXN-1+N, заданной соотношением (с, b)l-*«+fc(<3, b£N), тем самым высказывают факт, что некоторой, а точнее, каждой паре чисел множества NXN ставится в соответствие одно-едннст-венное число из множества Д'. Наглядно это можно показать таким образом:
матикой, но, к счастью, я тут же одумался. Правда, столь быстро приобретенные знания мне удалось неплохо реализовать. Раза два я поспорил с друзьями, доказывая, что они не знают сложения. Оба легкомысленно приняли пари, рассчитывая на бесплатный ужин в дорогом ресторане. Они объясняли мне сложение, опираясь на «здравый смысл». Один из них пытался даже рисовать что-то вроде числовой оси, но тщетно. Когда я поделился с ними знаниями. приобретенными у студента, они без слов оплатили счет в ресторане, глядя на меня так, словно я свалился с Марса. При этом я уверен, что они считают себя просто околпаченными. Мне недавно передали по секрету, что они говорили нашим общим знакомым, будто я, общаясь с математиками, сам немного «тронулся». Обыкновенная зависть. Не я виноват в плохом знании ими сложения.
а,
—*—>—1—1 1—i t 1 1 । । । »
-5~4~3-Z~l О i Z 3 Ч S
В нашем случае паре (4, 2) первого множества ставится в соответствие число 6 второго множества. При умножении каждой паре чисел первого множества также ставится в соответствие одно число (элемент) второго множества. Из рисунка видно, что это обозначает, например (2, 4)_1>.8».
Так объяснил мне сложение и умножение несостоявшийся математик. И если он в чем-то ошибся, то и я ввел вас в заблуждение. Я не без гордости, надо сказать, осознал, что мне понадобилось всего лишь каких-то два часа, чтобы все это усвоить. У меня даже возникло желание заняться мате-
— Что можно сказать о нуле? — спросите вы. Нуль — все равно что ничто, нуль вообще не число, а самый
75
обычный нуль. И что тут еще говорить?
— Это не совсем так, а потому я прошу вас — наберитесь терпения и вынесите свой приговор нулю в конце нашего разговора. Не такой уж он беззначительный, этот нуль, как вам кажется на первый взгляд. Число нуль обладает самыми разнообразными и интересными свойствами, и именно о них мне хотелось бы с вами поговорить. Посмотрим прежде всего, как он возник. Попытайтесь вычесть — простате — сложить два противоположных числа, например:
3+ (—3)=0,	7+ (—7)=0,	105+
+ (_105)=0,
или обобщенно «+ (—с)=0.
В результате мы получим всегда нуль.
Вот видите, в процессе вычитания мы пришли к числу нуль. Но всегда это было так быстро и просто, как у нас сейчас? О, нет, нужно было вложить много труда и много времени, пока все, и даже математики, поняли и признали, что нуль равноправен с другими числами. Первыми признали нуль настоящим числом математики Индии еще тысячу лет назад, но все европейские математики очень долго гадали, делать это или нет. Как известно, один прославленный и уважаемый английский математик20 еще в XVII в. утверждал, что нуль не число. Споры вокруг нуля (как и вокруг отрицательных чисел) полностью прекратились только и а рубеже XVIII и XIX вв. Этот факт говорит о том, что нуль «моложе» натуральных чисел.
20 Джон Воллис (1616—1703) — профессор геометрии в Оксфорде. Один из выдающихся математических авторитетов своего времени.
— К каким числам можно отнести нуль, к положительным или отрицательным?
— Ни к тем, ни к другим. Он и а самой границе между ними и занимает там почетное место, так что нуль «персона». Словом, нуль — это нуль.
— Можно ли нуль увязать с множествами? — вероятно, заинтересуетесь вы.
— Естественно! Он прямо с ними связан, потому что происходит от пустого множества. Мы уже давали, если помните, определение нулю (с. 44) как главному (кардинальному) числу пустого множества и записывали 60=0.
Следовательно, нуль — это количество элементов в пустом множестве. Надо очень внимательно следить за тем, чтобы вместо данного обозначения не написать Л{0}, так как последняя запись обозначает кардинальное число множества, состоящего из одного элемента, и поэтому Л{0}=1.
А теперь посмотрим, какими свойствами обладает нуль. Если прибавить нуль к любому числу, оно не меняется. Например:
2+0=2, 16+0=16, 129+0=129 и
т. д„
или обобщенно для любого числа а «+0 = а.
Поэтому математики говорят, что нуль при сложении является нейтральным элементом. Напоминаю, что таким же свойством обладает и единица, но при умножении. Я знаю, что данное свойство нуля для вас привычно. Более содержательные свойства нуля связаны с умножением. Давайте попробуем умножить на нуль любое число, каким бы оно большим ни было.
76
Взгляните:
9X0=0, • 76X0=0, 1478X0=0,
34782X 0=0,
2345346789876523467892374658923 45678923475269X 0=0.
Что вы теперь скажете? Разве нуль ие сила среди чисел? Итак, если умножить любое число на нуль, то результат всегда будет равен нулю:
аХ0=0.
Попробуйте, если сможете, найти еще хотя бы одно число, обладающее подобным свойством. Но и это не все. О делении на нуль лучше не говорить.
— Почему?
— Да потому, что любую попытку деления числа на нуль математики рассматривают как более тяжкое нарушение, чем переход перекрестка на красный свет или езду на велосипеде по левой стороне магистрали. Математики утверждают, что в соответствии с их законами делить число на нуль запрещается, и больше на эту тему не говорят. Когда речь идет об их законах, они неумолимы. Поверьте мне, математические законы не идут ни в какое сравнение с юридическими, в которых всегда можно пытаться найти лазейку. О, нет, нет! Математические законы несравненно более строги. В отличие от других законов, они так
часто не меняются, остаются в силе сотни, а то и тысячи лет и одинаково действуют во всех странах мира. Так обстоит дело с математическими законами. Значит, если мы хотим заниматься математикой, то должны уважать их, безотносительно к тому, где мы проживаем — в Югославии, в Японии, в Канаде, Непале или Австралии.
Итак, запомним:
Делить любое число на нуль строго возбраняется!
— А можно ли делить нуль и а другое число?
— Можно. Это разрешается. Нельзя только делить нуль на нуль. Если же поделить нуль на любое число, то в результате всегда будет нуль. Например:
0 : 4=0, 0 : 16=0, 0 : 3578=0 и т. д., или вообще для любого числа С56О
0:а=0.
Итак, вы убедились, что нуль — ие пустяк, а очень интересное число, которое занимает особое место среди чисел. Кроме того, нуль — единственное число, из-за которого математики были вынуждены ввести особое правило (для деления). А это не мелочь, поскольку математики не любят исключений. В будущем никогда не говорите о нуле с пренебрежением! Вот о чем я хотел сказать вам в заключение.
ЕЩЕ НЕСКОЛЬКО СЛОВ ОБ ОСТАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ
После того, как вы познакомились в основных чертах с натуральными числами и некоторыми их свойствами, необходимо сказать несколько слов и об остальных членах семейства чисел (хотя бы для того, чтобы их ие обидеть).
Какими бы значительными натуральные числа ии были и- какими бы они
77
ни были древними, их одних недостаточно для выполнения самых простейших вычислений повседневной жизни. Например: «У человека 2800 динаров, а он должен 3400 динаров. Каким будет его долг после того, как он отдаст все свои деньги кредиторам?» Этот человек, естественно, будет еще должен 600 динаров (так как 2800—3400= =—600). Возможен и такой ответ: «После погашения долга у человека осталось минус 600 динаров». Даже для решения таких задач нас не может удовлетворить множество натуральных чисел. Мы вынуждены эту область несколько расширить. С одним таким расширением мы уже знакомы. Новое множество, объединяющее нуль вместе с натуральными числами, обычно обозначается No (читай: эн-нуль), в отличие от множества N натуральных чисел. Следовательно, это множество
М0={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}.
Его можно записать и с помощью операции объединения множеств: No= = WU {0}.
Путем вычитания больших натуральных чисел из меньших мы получаем отрицательные числа. Например: 3—7=—4, 12—25==—13 и т. д.
Натуральные числа, нуль и отрицательные целые числа составляют множество целых чисел, которое обычно обозначается как Z. Его можно показать на числовой оси:
-f-v -з -а. -1 о 1 я s ч s-
где {—п}=—1, —2, —3, ,.— множество отрицательных чисел (следует читать: множество целых чисел Z равно объединению множества натуральных чисел, множества, единственным элементом которого является нуль, и множества отрицательных целых чи-
сел). Следующей сферой расширения числовых областей являются дроби, или рациональные числа. Они вводятся, когда надо разделить любое целое число а на другое целое число b (Ь=£0). Рациональными числами называются те числа, которые можно записать в виде где а и b (f>=#0) — целые чис-о
ла. Такими являются, например, числа 1	5	9	4
, —г > тё > -ч- и т. д. Следователь-2	6	10 7
но, и целые числа являются рациональными (равно как натуральные числа принадлежат множеству целых чисел), потому что каждое целое число можно записать в виде дроби, в которой знаменатель — единица, например:
4	8	56	237
1 ’	1 ’ 1 ’	1 "•
Множество рациональных чисел обозначается, как правило, буквой Q. Итак, в соответствии с определением, Q = /-^-1 £	0, a, b € А.
Z={... —3, —2, —1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, или Z={0, 1, —1, 2, —2, 3, —3, 4, —4, 5, ...}, т. е. Z = N U {0} U
78
Интересно, что рациональные числа можно при желании выстроить в ряд таким образом, чтобы в нем были помещены все рациональные числа. Для этого необходимо выписать последовательно дроби, в которых сумма знаме
нателя и числителя составляет сначала 1, потом 2, 3 и т. д. Такой ряд будет выглядеть следующим образом:
на числовой оси множество натуральных чисел?
— Посмотрите, как рациональные числа располагаются на числовой оси:
Л ‘ Л
Однако даже в множестве рациональных чисел нельзя решить всех задач, которые практически возникают. Вот некоторые нз них:
1. Определить длину диагонали квадрата, в котором известна его сторона. Решение: 4=оУ2; число У2
нельзя написать в виде дроби -у (а, b£Z, b=/=0), и, следовательно, оно не является рациональным числом.
1’ 2 ’ 1’ 3’ 2 ’ 1’ 4’ 3’ 2 ’ 1’ 1’ 2’ 3’ 4 ’ 5’ 1’*"
Затем в этом ряду необходимо опустить числа, которые повторяются (на-
2	3	. 4	1
пример,-g-=Bl, у=1, — =1 и т. д.), прибавить к этому ряду нуль и вместе с каждым положительным числом записать отрицательное. В результате получится ряд всех рациональных чисел: ▼
о, 1, -1. 4’ “Т’ 2’ ~2, 3’ ~3,
Поэтому математики говорят, что можно «пересчитать» множество рациональных чисел. Кроме того, оно является «всюду плотным» на числовой оси. Это означает, что между каждыми двумя числами, как бы они близко на числовой оси ни располагались, имеются рациональные числа.
27 — Может ли быть «всюду плотным»
2. Вычислить длину окружности, если задан ее радиус. Решение: 0=2лг; число л также нельзя записать в виде дроби. Как известно, л равно 3,14159....
1	1
3 ’	3 ’ "
3. Найти число, которое, будучи помноженным само на себя, даст число 5. (Данная задача, записанная с помощью уравнения, гласит: реши уравнение х2=5.) Решение: х=+У5и х— ——У 5. Число Уб нельзя также за-
.	а
писать в виде дроби, т. е. -в виде — (fl, b£Z,
79
Таких задач можно было привести еще очень много. Некоторые из них были известны даже математикам Древней Греции. Они зиали, например, о числе V2, но понимали его лишь как длину диагонали единичного квадрата, а не, как число, подобное другим числам. Только начиная с XVIII в. все числа, которые нельзя записать в виде дроби -у, стали признаваться равноправными числами. Такие нерациональные числа называются сейчас иррациональными (множество иррациональных чисел обозначается через /). Рациональные и иррациональные числа составляют множество действительных чисел R. Итак,
28 — А знаете ли вы, сколько имеется действительных чисел? Считается аксиомой, что действительных чисел именно столько, сколько расположено точек на прямойи. Канадой точке на числовой оси соответствует одно действительное число, и, наоборот, каж-
21 Посмотрите текст на 39.
дому действительному числу соответствует точка числовой оси.
— Вы скажете, следовательно, что их, как и натуральных чисел, бесконечное множество, кардинальное число которого а0 (при этом вы с гордым видом дадите мне знать, что понятие бесконечного вы усвоили).
— Ну что ж, вы частично правы. Их действительно бесконечное множество, но при этом все-таки намного больше, чем натуральных чисел.
— Каким образом их может быть больше, если натуральные числа составляют бесконечное множество?
— Ваше недоумение понятно, и все же каждый математик не побоится дать клятву, что действительных чисел больше, чем натуральных,— поверьте мне.
— Хорошо, но как быть тогда с понятием бесконечного? Выходит, что существуют различные бесконечности. Одна бесконечность меньше, другая больше. Ха, ха, ха.
— Это именно так и есть, причем «наименьшая» бесконечность равна (алеф-нуль), а бесконечность, которая характеризует множество действительных чисел, обозначается как 2®° или с. При этом, естественно, c>/f0. Кстати, математики долго думали иад тем, является ли 2^°
— Вы что, решили нас разыграть?— думаете вы раздраженно.— Или воспринимаете нас как безнадежных тупиц? Как можно представить себе две бесконечности?
— Успокойтесь, ради бога. Не надо волноваться. Тем более, что не я говорю об их существовании, а математики. Но я где-то прочитал, что это можно доказать. И я когда-нибудь сделаю это, поверьте мне. Только теперь я должен идти. Простите, я очень спешу.
80
(Хорошо, что я не сообщил им еще о существовании числа /f2. Вот было бы дело!)
МОЖЕТ ЛИ 10+10=100?
— Это что еще за вопрос? Каждому ребенку ясно, что 10+10 равно 20,— заявите вы уверенно.
— Вопрос, конечно, необычный, но именно так вычисляют современные вычислительные машины.
торые имеют, следовательно, одинаковое численное значение. Но в то же время каждая из них имеет иную ценность, связанную с расположением. Если смотреть справа налево, то первый знак обозначает количество единиц, второй — десятков, третий — сотен, четвертый — тысяч. В десятичной системе счисления каждое число записывается при помощи разложения в сумму по степеням десяти: 10°, 101, 102, 103, 10*, 10б, 10е, 10’.....
Итак, наше число 6666 может быть написано следующим образом:
6666=бХ103+6Х102+6х10г+6Х10° ( = 6X1000+6X100+6X10+6X1).
— Значит, и они допускают ошибку? Еще примеры:
— Нет, просто они считают в другой у
756 = 7ХЮ2+5Х1О1+6Х1О°, 1ОЗ=1Х1О2+ОХ1О1+ЗХ1О°, 1ООО = 1ХЮ3 + ОХ1О2 + ОХ1О1+ОХ1О° и т.,д.
«системе счисления» — в двоичной. То, что написано в заглавии, просто значит, что 2+2=4 только в переводе из десятичной в мало привычную для нас
29 Попытайтесь теперь сами написать при помощи цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 и степеней десяти числа:
19, 234, 879, 903, 1024, 1469, 23456, 32470 и 3400892.
двоичную систему, имеющую ряд преимуществ. Я попытаюсь вам это объяснить, Мы считаем н пишем все числа в системе, основанной на десятках, поэтому она и называется десятичной. В ней натуральное число можно записать при помощи 10 цифр: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Однако каждая цифра в записи числа имеет не только численную Ценность. Вы спросите, что я хотел этим сказать? Я объясню вам на примере. Возьмем, скажем, число 6666. Оно состоит из четырех одинаковых цифр, ко-
Если за основу числовой системы взять число больше 10, то нужно ввести и новые цифры, однако запись чисел будет короче. Например, система с базой 12 имела бы и 12 цифр. Между тем, если взять за базу систему чисел меньше 10, нам нужно будет иметь меньше обозначений, ио зато запись будет значительно длиннее. Так, при двоичной системе, т. е. системе с базой 2, достаточно только два знака для записи любого числа. Здесь это цифры 0 и 1, а число 2 носит роль десятки десятичной системы.
81
Вот как бы мы записывали одни и те же числа в обеих системах:
Десятичная система
1 (=г2° = 1Х2°)
2 ( = 21 = 1Х214-ОХ2«)
3 ( = 24-1 = 1Х214-1х2°)
4 (= 22 = 1Х224-ОХ214-0Х20)
5 ( = 44- 1 = 1 Х224-0х2х4- 1 Х2°)
6 (= 4 + 2 = 1Х224-1Х214-ОХ2°)
7 (= 4 + 2+ 1 = 1Х22+1 Х2х+ 1 Х2°)
8 ( = 2» = 1 Х2» + ОХ22 + ОХ21+ОХ2°)
9 ( = 8+ 1 = 1Х23 + ОХ22+ОХ21+ 1x2°)
10 ( = 8+2=1Х23 + 0х22+1Х21 + 0х2°)
11 ( = 8+ 2+ 1 = 1 Х23 + ОХ22+1 X2J+ 1 Х2°)
12 ( = 8+4 = 1Х23+1х22+0х21+0Х2°)
13 (=8+4+ 1 =1Х23+1Х22+ОХ2*+1Х2°)
При этом говорят:, нуль и нуль — это нуль (пишем нуль), один и один равно 10 (пишем два, но в двоичной системе).
Двоичная система = 1 = 10 = 11 = 100 = 101 = 110 = 111 = 1000 = 1001 = 1010 = 1011 = 1100 = 1101
100 ( = 64 + 32+4)
256 ( = 28)
429 (=2564-1284-324-84-44-0
= 1100100
= 100000000
♦ =110101101
Мне уже надоело считать, а вам бы я рекомендовал записать в двоичной системе еще такие числа:
30 17, 23, 45, 78, 115, 187, 324, 640.
Думаю, что вы уже усвоили прием разложения чисел иа степени числа 2 при переводе из десятичной в двоичную систему счисления.
Легко запомнить, что:
2°=1, 2Х=2, 22=4, 23=8, 2*=16, 2°= 32, 2°= 64, 2’= 128, 28=256.
Теперь вы и сами убедились, что в десятичной системе 2+2=4, а в двоичной 10410=100. Таблица сложений в двоичной системе выглядит так:
0+0 = 0, 1+0=1, 1 + 1 = 10.
В соответствии с ней
4-10
+ 10
100*
Если хотим, например, сложить 12+ +13, то в двоичной системе мы запишем это так:
, 1100
+ 1101 пооГ
Естественно, что данная система применима и для других счетных операций: вычитания, умножения, деления, возведения в степень... Таблица умножения, например, выглядит так:
0x0=0, 0x1=0, 1X1=1.
— Хорошо, все это прекрасно, только нам не совсем понятно, в чем заключается преимущество двоичной системы перед десятичной, если при записи даже маленьких чисел приходится использовать в ней больше знаков, чем в десятичной системе?
— Да, вы правы. Писать числа в двоичной системе не совсем просто. Поэтому оиа и не применяется в повседневной
82
жизни. Представляете себе, сколько было бы у вас карманных денег, если бы их записать в двоичной системе, а тратить так, как будто они записаны в десятичной? И все же двоичная система обладает рядом преимуществ именно потому, что в ней используются только два знака. Ими могут быть не только 0 и 1. Это могут быть, например, два штриха, один — горизонтальный, второй — вертикальный: —, | , или точка со штрихом: •, —, или даже огонек, который либо горит, либо нет. Пользуясь огоньком, мы бы считали. Ну, скажем, так:
31 Вы, конечно, угадали, что на картинке при помощи огоньков обозначена вычислительная операция 5+6=11» Эта особенность двоичной системы хорошо использована в работе быстродействующих вычислительных машин, поскольку при помощи электрических соединений легко реализовать два знака:
электрический ток включен . . . 1, электрический ток выключен ... 0.
Принимая во внимание, что при таких соединениях знаки реализуются
5+6=я)-> ° • J
О • о о
сотни тысяч раз в секунду, ясно, что длина записи чисел в данном случае не играет никакой роли. Следовательно, если мы видим подобное «подозрительное» однообразие, прежде чем утверждать, что запись неправильна, мы должны спросить себя: «В какой она числовой системе реализована?»
— Как вам нравится оглавление? Разве оно не говорит само за себя?
— Еще бы! Чудеснее быть не может! Мы вне себя от радости, когда читаем нечто подобное, хотя оглавление нам кажется неполным.
— Неполным? Возможно, но я ие могу понять, к чему вы клоните.
— Нужен еще большой вопросительный знак.
— Вы правы. Скажите откровенно: о чем, по вашему мнению, в оглавлении идет речь?
— По-видимому, о задачах?
— Нет.
— Гм, гм. Тогда, возможно, о шифре?
— Тоже не угадали.
— Пожалуй, это отрывок из модернистского романа. А то и просто набор слов. Кто его знает? Нет, скорее всего это какие-то математические выражения.
— Тут вы близки к истине. В оглавлении приведены отдельные символы, которые используются в современной
84
математике и чаще всего — в математической логике.
— Нам тоже так вначале показалось, хотя ваши символы не похожи на математические. Что они обозначают?
— Мы познакомимся с ними, не вда-ваясь, естественно, в подробности, при изучении основных понятий математической логики и раскроем их суть, т. е. переведем их на обычный язык. Эти символы, собственно говоря, яв' ляются сокращениями отдельных слов или заменяют несколько слов.
— А чем занимается математическая логика?
— В нескольких словах передать это довольно трудно. И все же можно сказать, что математическая логика — наука о «мышлении», наука, которая занимается изучением так называемых логических форм мышления и их взаимосвязи, а также операций, помогающих их реализовать. Логическими формами мышления являются понятия, суждения, или высказывания.
СУЖДЕНИЯ,
ИЛИ ВЫСКАЗЫВАНИЯ
— Что в математике называют суждением? Имеет ли суждение хоть какое-то отношение к осуждению людей или к их судимости?
— Прямой связи, конечно, нет, но ваш вопрос не лишен логики. Суд, как известно, может вынести решение только на основании установленных фактов. И суждение в математике понимается как утверждение определенного факта. Например, утверждение: «Ученики любят математику» — является суждением...
— Но это неправда, мы ее не любим.
— Ничего, в таком случае суд придет к выводу: «Высказывание (свиде
теля) недостоверно». В математике суждения, или высказывания, ие могут быть случайными. Они должны быть осмысленными и обладать, кроме того, одним из таких свойств, как достоверность нли недостоверность.
— Как понимать требование «высказывание должно быть осмысленным»?
— На примере можно легко понять это и убедиться в необходимости такого требования. Утверждение: «Тепловоз танцует вальс с мыльным пузырем» — не является суждением, так как оно бессмысленно, а поэтому мы даже не станем ставить вопрос о его достоверности. Однако, имея дело с подобными примерами, следует быть крайне осторожным, так как некоторые из них бывают для одних людей бессмысленными, а для других понятными и осмысленными.
— Какие высказывания вы имеете в виду, например?
— А вот какие: «Белая пуговица поет». Для тех, кто не знаком с современными поп-ансамблями (каких ансамблей только нет!), это заявление бессмысленно (как может пуговица, пусть даже белая, петь?). Однако для тех, кто, как вы, хорошо знает, что «Белая пуговица» является названием известного поп-ансамбля, это высказывание будет ясным и полным смысла. Нельзя, например, считать суждением объявление одного шутника — владельца ресторана, которое он повесил в своем заведении: «Сегодня счета оплачиваются, а завтра все продаю в долг». Он свободно мог написать и так: «Завтра раздаю все бесплатно», не боясь прогореть. Дело в том, что каждое суждение должно быть либо достоверным, либо нет, а если высказывание одновременно недостоверно и достоверно, то оно не является суждением.
— Разве есть одновременно досто
85
верные и недостоверные высказывания?
— Есть. Таким, например, является высказывание: «Иду в школу». Оно осмысленно, но недостоверно, хотя может быть и достоверным.
— Это нам хорошо известно. Мы часто слышим такие высказывания. А существуют ли высказывания, про кото, рые нельзя сказать, что они достоверные или недостоверные?
— Это... например... (футы, как назло не могу вспомнить ии одного такого примера. Вспомнил, наконец!). . . метеорологический прогноз. Теперь вам понятно?
— Да, понятно. Скажите, является ли суждением, например, утверждение: 3+4=7?
— Конечно, это суждение, причем достоверное. А чтобы не надо было каждый раз выделять то утверждение, которое является суждением, математики обозначают их обычно заглавными (прописными) буквами латинского алфавита (Я, В, С, D. . .). Так, например, они введут обозначение А=3+ +4=7 и позднее вместо суждения 3+ +4=7 поставят только букву А. Или: Д=«Ученики любят математику» и т. д. Обозначая заглавной буквой суждение (достоверное или недостоверное), они ставят перед иим знак т. Так, например, вместо слов:
суждение А пишут: тА,
суждение В пишут: тВ,
суждение С пишут: тС и т. д. (буквой А обозначено: 3+4=7).
— Поняли. Значит, математики вместо: «Суждение 3+4=7 достоверно» запишут: тА=достоверно или вместо: «Суждение 2—1=2 недостоверно» за-, пишут: rD=недостоверно (D^2—1= =2).
— Нет, они запишут это еще короче. А именно, для слов достоверно и недо
стоверно они используют особые обозначения, потому что данные слова постоянно повторяются. Вместо них математики ввели такие обозначения:
вместо: достоверно ... "Г (читай: («тэ»),
вместо недостоверно. . , | (читай: («не-тэ»),
В соответствии с этим приведенные выше суждения записываются так:
тА=”Г (читай: суждение А достоверно),
т£>=_|_ (читай: суждение D недостоверно).
Если, например, С — обозначение суждения: «Париж — столица Албании», то мы можем кратко записать:
тС = £,
что обозначает: суждение С недостоверно.
— Это, собственно говоря, довольно практично, не надо много писать.
— Я уже говорил вам, что математики не любят писанины. Их лозунг: чем короче, тем яснее. Кроме того, их интересует ие содержание высказывания, а его истинная ценность, следовательно, только свойства Т и которыми суждение обладает, и ничего больше.
ОПЕРАЦИИ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ, ИЛИ КАК
ИЗ ОДНИХ СУЖДЕНИЙ ПОЛУЧАЮТСЯ НОВЫЕ
— Можно ли с суждениями проделывать операции сложения, вычитания, умножения... как и с числами?
— Это не совсем аналогичные операции, но нечто похожее. Вспомните, впрочем, что, рассматривая множества, мы оперировали такими действиями, как объединение, пересечение, разность, ...и получали новые множества. Основные операции над суждениями,
86
а точнее, над их элементами (Т и _L) носят, правда, несколько странное название н необычные обозначения. Однако пусть вас это не смущает. Вы очень быстро к ним привыкните.
— А как называются эти операции? — Конъюнкция &.
Дизъюнкция V. Импликация =^>. Эквивалентность <=?. Отрицание ”].
— Вот так названия! Да мы их никогда не запомним.
— Вы и не обязаны сразу все запоминать. Мы рассмотрим их по порядку. Начнем с конъюнкции. Итак...
Конъюнкция
— Можете запомнить ее и как операцию «и».
— Почему именно «и»?
— Потому что она связывает сужде-
стоверно в том, и только в том, случае, если оба суждения А и В достоверны.
— А если одно из них недостоверно?
— В таком случае и суждение А&В будет недостоверным. Следовательно, мера его оценки будет _|_. Рассмотрим, однако, несколько примеров. Предположим, что суждения:
А 4Д-5 =9, В = 8—3 = 5.
Поскольку оба суждения достоверны, т. е. тА=-]_, тВ=-]-, тогда и т(А & В)— =Т- Если же суждение Css2-f-4=3, т. е. tC=J_, то н t(A&C)=J\ Или, например, если суждение А=5—4=6, т. е. tA=J_, то отсюда следует также, что т(А & Q=J_, так какова суждения недостоверны. В общем случае при объединении двух суждений путем определенной операции в новое суждение могут возникнуть следующие четыре случая:
▼
суждение А достоверно, суждение А достоверно, суждение А недостоверно, суждение А недостоверно,
суждение А достоверно;
суждение А недостоверно;
суждение В достоверно;
суждение В недостоверно.
ния А и В связкой «и», т. е. знак & читается как «эт», что по-латыни обозначает «и». Следовательно, если А и В являются суждениями, то нх конъюнкция будет обозначаться так: А & В, т. е. суждение «А и В», или «А эт В». Представим себе, например, что А = Сегодня хороший день, В = Мария пошла гулять. Суждение А&В будет: (Сегодня хороший день) и (Мария пошла гулять).
— А новое суждение достоверно или нет?
— Ну, это зависит от суждений А и В. Суждение А&В будет в целом до-
Все эти случаи можно кратко и наглядно отобразить в так называемой таблице оценки достоверности. Для операции конъюнкции она выглядит так:
87
Примеры:
д = 2+3=5, Д=2+3=5, Д^2+3 = 4, Л=2+3=3,
В = 4+5 = 9, В = 4+5 = 7, £ = 4+5 = 9, В = 4 + 5 = 8,
т(Д&В) = Т; т(А &В)=±; т (А & B)=J_; т(л& B)=_L.
— А почему именно так?
— Как почему? Так получается согласно определению конъюнкции. Вспомните, что конъюнкпия, т. е. суждение А&.В, согласно определению достоверно в том, и только в том, случае, если оба суждения А и В достоверны. Во всех остальных случаях суждение А & В недостоверно, что четко просматривается по таблице достоверности. Теперь вы уяснили себе смысл этой таблицы?
— Да, с таблицей все ясно, но нас интересует, применимо ли обозначение конъюнкции в других случаях кроме суждений?
— Безусловно. Путем конъюнкции можно описывать сложные предложения, соединенные связкой «и». Следовательно, где бы нам ни повстречалась в математическом выражении эта связка, мы можем заменить ее знаком &.
— Где, например?
— Связка «и» появляется, например, в определении пересечения и разности множеств, прямого произведения... Вот как математик применит знак конъюнкции &. Известно, что пересечение множеств А и В есть множество, которое содержит элементы, входящие и во множество А, и во множество В одновременно, следовательно:
АПВ = {х|х^Аих^В}.
Если мы применим знак &, то запишем так:
А П В = {х|*€ А&.Х € В}.
Этот знак применим и в случае раз
ности множеств:
А\В = {х|х £А&х£ В},
а также в случае прямого произведения:
ЛхВ —{(х, у)\х£ А&у£ В}
и т. д. Примеров много.
— Можно ли и для других операций построить таблицу... как ее там называют . . . таблицу достоверности?
— Естественно, можно. Но прежде всего надо познакомиться с самими, операциями.
Дизъюнкция
— Рассмотрим теперь дизъюнкцию, которая еще называется операцией «или».
— Почему «или»?
— Потому что дизъюнкция — это новое суждение, возникающее из суждений А и В, которое является достоверным в том, и только в том, случае, когда достоверно хотя бы одно из суждений, А или В. Вот пример таких суждений: «В старший класс могут записаться или те ученики, которые успешно окончили предыдущий класс, или те, которые сдали дополнительный экзамен». Достаточно, следовательно, выполнить лишь одно из условий, чтобы суждение в целом было достоверным. Мы видели, что дизъюнкцию обозначают символом v (читай: «гэл» —
88
латинское «или»). Дизъюнкция достоверна в том, и только в том, случае.
если один из ее компонентов достове-
рец. Следовательно, если Я и В являются суждениями, то А\/В будут в целом недостоверными суждениями только в том случае, если оба суждения Я и В недостоверны. Смогли бы вы на основании данного определения составить таблицу достоверности дизъюнкции?
— Конечно! Вот она:
строить таким образом:

цнрует В», или: «Из А следует В», или: «Если А, то В». Такое суждение в це
лом отражает связь между А н В, кото
рую можно выразить словами: «Не может быть, чтобы было Я, но не было В». По сути дела, импликация также возникла из двух суждений. Опа недостоверна только в том случае, если первое суждение достоверно, а второе нет. Во всех других случаях импликация достоверна. Следовательно, таблицу достоверности импликации можно по-
Я = 2+4 = 6, Я=1 + 5 = 6, Я = 7—8=5, Я = 3—3=5,
В = 4—3=1, В=5+4 = 8, В = 54-3=8, В = 2+4 = 9,
т(Я V В)=Т; т(Я V В) = Т; т(Я V В) = Т; т(Я V В)=Д_.
Я^2Х2=4, Я = 2Х2=4, Я = 2Х2 = 5, Я =2x2=7,
Применяется ли еще где-то знак V?
— Безусловно. При определении объединения множеств. Например: ‘
Импликация
— А теперь рассмотрим операцию импликации, которая обозначается так: =ф. Посредством данной операции
устанавливаются причинно-следственные связи. Например: «Если идет дождь, то улицы мокрые». Если пометить буквами Я и В определенные суждения, то Я=фВ обозначает, что: «А требует выполнения В», или: «Я импли-
В = ЗхЗ=9, В = 3X3 = 8, В = ЗХЗ = 9,
В = 3X3 = 6,
т(Я=?>В)=Т; т(Я=>В)=£; т(я->в)=Т; т(Я=фВ)=Т.
Последнюю строчку в примере следует читать: «Если дважды два — семь, то суждение «трижды три равно шести»
является достоверным».
— До чего же странно! В таком случае получается, что недостоверное предположение может иас привести к достоверному выводу.
— Да, что-то в этом роде. Можно было бы обратиться еще и к таким примерам импликации: «Если улитка быстрее автомобиля, то тогда 2+3=8», Или: «Если сутки равны 20 часам, то
89
мост в таком случае нз шоколада». Согласно определению достоверности импликации (которая недостоверна только в том случае, когда первое суждение достоверно, а второе нет), последнее суждение достоверно. А если оно н представляется вам несколько необычным, то не беспокойтесь, так как в этом никакой опасности не кроется. Дело в том, что на основе подобного определения достоверности никто не сможет доказать, что, например, 2+3=8 или что день содержит 20 часов.
— Кто бы мог подумать, что математика позволяет из двух ложных утверждений получать правду!
— Правильно. Но запомните, даже согласно столь необычному определению, следующее высказывание является ложным: «Если у тебя единица по математике, то ты «отличник». (В случае, конечно, достоверности первой части высказывания.)
Эквивалентность
Рассмотрим теперь еще один специальный случай импликации, когда можно менять местами высказывания А и В, т. е. если для суждений А и В действительны обе импликации А=>В и В=>А. Мы по.кажем это на ряде примеров. Подумай te н ответьте: можно ли на основании высказывания: «Если идет дождь, то улицы мокрые» — сделать обратный вывод: «Если улицы мокрые, то идет дождь»?
— Ясно, что такой вывод возможен. Улицы не могут быть мокрыми, если не прошел дождь.
— Не совсем так. А что, если коммунальное предприятие помыло улицы?
— Вот эту возможность мы не предусмотрели.
— И не удивительно (такое столь редко случается, что было бы стран
ным, если бы вы учли подобный случай). И все же будьте осторожны в своих выводах. Все то, что теоретически допустимо, следует учитывать. Итак, здесь несправедливо обратное утверждение. Но возьмем, например, две параллельные прямые а н Ь. Напишем сложное высказывание; «Если а параллельно Ь, то и b параллельно о». Илн короче: «Если о||й, то тогда и й||п». Действительно ли при данной импликации обратное утверждение: «Если b параллельно с, то и а параллельно 6»?
— В данном случае такая логика бесспорна.
— Правильно. Если обозначить через
А = а || Ь, В b || а, то можно написать:
А —> В и В =£> А.
В таком случае мы говорим, что суждения А и В связаны операцией эквивалентности., символом которой является знак Ф+ Вместо А=>В и В=>А мы напишем АФ^В. Обратимся к еще одному высказыванию: «Если треугольник прямоугольный, то применение теоремы Пифагора возможно». Данный пример допускает и обратное утверждение: «Если к треугольнику применима теорема Пифагора, то такой треугольник прямоугольный». Оба эти суждения можно связать отношением эквивалентности. Математики такие ситуации описывают следующим образом: «А=>В», «В — необходимое и достаточное условие для А», «Условие А эквивалентно условию В» и т. д.
Интересно, понятно лн вам теперь, что означает запись
т[(А=4>В) & (В => А)]?
90
— Да. Она отражает суждение, при котором из А следует В, а из В следует А.
— Правильно. Вместо иее можно
написать т(ЛФФВ), и, следовательно, т (Л <=> В) =т [(Л =Ф В) & (В =ф Л)].
Это равенство можно понимать и как определение эквивалентности. При этом суждение ЛФ^В будет в целом достоверным, т. е. будет обладать достоверностью только тогда, когда взаимно равны степени достоверности суждений Л и В. Следовательно, суждение (Л<=>В) может быть достоверным только в том случае, если оба суждения либо достоверны, либо нет. Построим теперь таблицу достоверности операции эквивалентности, но так, чтобы можно было проследить и ее связь с импликацией:
Примеры:
Отрицание
— Разве существует операция, для которой лишь одно суждение является
исходным для получения нового суждения?
— Существует. Такой операцией является, например, отрицание. Ее сим-
Л^2+2 = 4, Л = 2+2=4, Л = 2+2 = 3, Л = 2-+-2=5,
В = 3+4 = 7, В з= 3+4=5, В = 3+4 = 7, В=3+4=8,
т(Л<=>в)=Т: т(Л <=>B) = J_; т(Л<==>В) = 1; т(Л <=>В)=Т-
Все операции, с которыми мы познакомились, т. е. операции конъюнкции (&), дизъюнкции (v), импликации (=ф) и эквивалентности (^) являются бинарными операциями.
— А что значит бинарная операция?
— Это операция, которая связывает два суждения и таким образом получает новое суждение.
вол —|. Читается он как «нон», что по-латыни значит «нет».
— Значит ли это, что если А какое-то суждение, то А является суждением не-Л?
— Да, так. Суждение ~1Л станет достоверным только в том случае, если суждение Л недостоверно, и наоборот. Поэтому таблица достоверности здесь
91
очень проста:
значит, что:
Д&В = В&Д, Д v В —В v А, А	В = В<=>Д.
Следовательно, если А обозначает суждение: «Мы любим математику»...
— ... Мы о себе напишем коротко: ~1Д.
— Вот как проста эта операция.
АЛГЕБРА ЛОГИКИ
— Вы.видели, что одно из названий подзаголовка—«Алгебра логики», а другое — «Операции алгебры суждений». Что бы это значило? Неужели и в логике есть алгебра?
— Да, есть. Дело в том, что и операции логики суждений обладают определенными алгебраическими свойствами...
— Какими именно?
— Свойствами уже вам известными, такими же, что и числа. Вот несколько примеров:
свойство коммутативности (а-|-6= = &+«),
свойство ассоциативности (a+fe)+c= =а+(£>+с),
свойство дистрибутивности (e+ft)c= =пс+6с,
свойство наличия нейтрального элемента (й-]-0=о) и т. д.
Рассмотрим, например, свойство коммутативности. Оно справедливо и для таких операций, как конъюнкция, дизъюнкция и эквивалентность. Это
Если вы спросите любого математика: «Что такое алгебра логики?»'— он вам коротко ответит:
«Алгебра логики является структурой {{Т,	&, V, =>,	“1}, в
которой операции &, V, =>, <——1 определены соответствующими таблицами».
— Если так, то лучше ни о чем его ие спрашивать. Хорошо еще, что тут иет никаких формул.
— Чтобы не было формул? Вы здорово ошиблись. Что это за математика без формул и аксиом?
— А как определить формулы в алгебре логики?
—Формулы алгебры логики — это (гм, дай бог памяти)... это выражения, построенные нз постоянных констант и переменных величин при помощи операций &, V,=?>, <=>, ~1 с применением скобок (дозволенным способом, т. е. так, что&, V, =>, <—> действуют как бинарные операции). Формулы алгебры логики, как правило, обозначаются заглавными курсивными латинскими буквами Д, В, С, D. . .
— Вы упомянули о каких-то константах. Что это за величины?
— Константами алгебры логики являются элементы Д' и j_. Таким образом, множество объектов алгебраической структуры, которая называется алгеброй логики, имеет только два элемента, т. е. множество S= ГГ, ±Ь
— А что обозначают переменные?
— Это знаки, а точнее, буквы х, и, г, ... А, В, С, ... .
— Как же, следовательно, строятся формулы алгебры логики?
92
— Очень просто. Вот несколько таких формул:
А (Д & В) V С,
С=х V (—1#)=ФТ>
— Хорошо, а по каким признакам мы узнаем, можно или нельзя ставить знак =?
— Очень просто. Выписывается таблица достоверности для обеих формул, и если они обладают достоверностью (недостоверностью) во всех возможных комбинациях, то это значит, что можно ставить знак равенства. Вот, например, так:
~1 (Д V В) = (—1 Д) & (-] В), —1 (Д & В) = (—1 Д) V (~1 В).
Теперь попробуйте сами доказать справедливость формул:
32	Д&В=В&Д,
33 Ау В = Ву А,
34 А <=}В = В <=> А,
35 A => (В & (-| В)), 36 Д =?> (В & Д), 37 А & В => А,	38 В => А V В.
— Достаточно. Нас кое-что интересует.
— Что именно?
— Нас интересуют, например, аксиомы алгебры логики.
Д v В	~) (Д v В)	~1А
~1В (-|Д)&(~В)
т т
± ±
— Интересно. Смотрится, как кроссворд.
— В какой-то мере это и есть логический кроссворд. А мы,- таким образом, доказали справедливость формулы ~1(Д vB)=(—1Д)&(~1|В), или что выражение в левой стороне равенства равно выражению справа.
— Это и меня когда-то заиитересова. ло, и я задал аналогичный вопрос одному математику, думая при этом, что речь идет, по-видимому, о каких-то основных логических выводах, которые легко понять. А знаете, что этот математик сделал? Он взял без слов лист бумаги (я и по сей день его берегу, сам не знаю, почему) и написал:
а =г>(в=?>Д),
(Д =J> В) =£ ((Д (В =ф С) =г> (Д =?> С)), Д, А В
В ’
A =J> (В Д & В), А&В=$>А, ' А & В =ф В,
93
В => А V В, А =£> A v В, (А=>С)^> ((В => С) ->. ((Л v В) => С)), (А =Ф В) =J> ((Л =J> -1 В) =ф -п Л),
—]—1Л =ФЛ.
А потом и говорит: «Вот основные аксиомы алгебры логики, которые позволяют вывести любую ее теорему. Кроме того, имеются еще и дополнительные аксиомы логики предикатов и теории чисел...».
Мне не оставалось ничего другого, как поблагодарить его с таким видом, будто я в восторге от простоты, логичности и «доступности» аксиом. И теперь, когда кто-либо пытается убедить меня в их очевидности и ненужности их доказательства, у меня возникает желание... о котором лучше не распространяться.
ПРЕгШЙ5т[>1
— Вы только что упомянули о предикатах. Это что еще за штуковина? Нам хорошо известно, что в предложении существуют подлежащее и сказуемое, т. е. предикат, но откуда сказуемое в математике?
— Итак, вас интересуют предикаты. Прежде всего вы мне ответьте: являются ли такие утверждения суждениями: х — отличный ученик, у — государство в Европе, г>7?
— Нет, не являются, поскольку мы ие знаем, кто ученик х, какая страна у и что за число г. Следовательно, мы не можем знать, являются ли эти высказывания достоверными или иет, а раз нам это неизвестно, они не могут быть суждениями.
— Правильно, я вижу, вы поняли значение понятия суждения в математике. Такие утверждения, о которых мы только что говорили, называются предикатами. Могут ли они стать суждениями?
— Безусловно, если заменить х, у, 1 определенными конкретными значениями. Например, так: Маркович — отличный ученик, Бельгия — страна в Европе, 9>7. Теперь это суждения, причем достоверные.
— Могли бы вы теперь объяснить разницу между суждениями и предикатами?
— Могли бы. Предикат становится суждением, когда неизвестное приобретает определенное значение.
Математики часто применяют в качестве очень важного понятия, для которого они ввели даже отдельный символ V, понятие «для каждого». Это символ называется еще иногда квантором, или квантификатором, обобщения.
— Неужели и его ввел Кантор?
— Кантор тут ни при чем. Символ квантора ставят обычно рядом с предикатом. Если Р — предикат, то
( V х ) Р
будет служить обозначением для нового предиката: «для каждого хР». Так, например, если предикат
Р X > У,
(ух)Р будет обозначать: «для каждого х в неравенстве х>у».
— Попользуют ли данный символ еще где-либо?
— Конечно, и очень часто. Вот, например, как мы описываем понятие
94
подмножества, используя знакомые нам символы:
А £ В (Vx) (х £ А =£> х £ В).
Вам ясно, что я написал?
— Еще бы. Здесь написано: высказывание «А является подмножеством В» эквивалентно высказыванию «любой ху если он является элементом А, является также и элементом В».
— Хорошо. А теперь посмотрим,как в теории множеств определяется отношение «равно»: А=В<=ф(А^В)&(В^ А), а можно итак: А=В<=> (Vx)(x£ едх=»(хев)).
— Интересно, и все же хорошо, что это определение нам не надо запоминать. Наверное, больше нет символов, с которыми бы мы не познакомились. Так можно и живое слово забыть.
— Символы еще имеются. Есть, например, так называемый квантор существования Э.
— Что это еще за чудо?
— Никакого чуда, просто символ, обозначающий: «имеется хотя бы один», и знак этот является зеркальным отражением буквы Е: (3) Вот даже какие нден приходят в голову математикам, чтобы придумать новый знак. Если Р — предикат, то (3 х)Р будет обозначением нового предиката: «Существует хотя бы один такой х, что Р».
— Мы никогда не думали, что есть символ такого значения.
— Конечно! И вот несколько" примеров его применения: пусть х и у являются элементами множества натуральных чисел, следовательно, х, y£N, и пусть предикат Р(х, у)^х~>у. В таком случае (3 х)Р (х, у) значит: «Существует хотя бы одни такой х, что х>у», или (V х)(3 у)Р(х, у>з«для каждого х имеется как минимум одни такой у, для которого х>у». Правильность такого утверждения можно выразить следующим образом:
т (V х ) ( Э у ) Р (х, у) = Т.
А вот как можно определить истинное подмножество:
ACZB <=> (va) ((« С А) => а £ В) & (3b) (b С В & b £ А).
95
А теперь попробуйте только сказать, что применение такой символики не доставляет истинного наслаждения! Запишем еще утверждение; для каждых двух натуральных чисел а, b имеется хотя бы одно число, обладающее свойством а-\-Ь=с. Если использовать символы математической логики, то оно будет сформулировано таким образом:
(Va, b£N) (Зс £ N)\a-\-b=c.
Можно было бы привести еще ряд примеров, где . » .
— Спасибо, спасибо, достаточно. Голова забита этими ква... ква... ква..,
— Вы имеете в виду кванторы.
— Ни о чем больше мы думать не можем.
— Я понимаю, что вы устали от всех этих символов, определений, правил, таблиц... но не следует их бояться. Если возникнет необходимость, то вы по
степенно все усвоите и в порядке развлечения будете составлять таблицы достоверности различных формул или переводить различные высказывания на язык математики. Ну, а если это вам не понадобится, тем лучше.
— Каким же будет тот минимум, который бы нужно было знать в любом случае?
— Думаю, что неплохо было бы запомнить хотя бы основные символы, возможности их применения и их смысл.
— Какие символы?
— Естественно, все. Не каждый же второй. Вот, например, эти:
Т	нА функция, которая отра-
жает достоверность или недостоверность сужде» ния.
“Г	'гА="Г достоверность; сужде-
ние А достоверно.
|	тб=_|_ недостоверность; сужде-
ние В недостоверно.
&	А&В	символ конъюнкции; А
и В (операция «и»).
V	АуВ	символ дизъюнкции; А
или В (операция «или»), =J>	А=фВ	знак импликации; если
А, то и В\ из А следует В.
знак эквивалентности; А и В эквивалентны; если А, то В и, наоборот, если В, то и А.
“1	~1А знак отрицания; не-А.
У	(Vx)P квантор обобщения; для
каждого хР.
3	(Э*)В квантор наличия; имеет-
ся хотя бы один такой х, что Р.
Для начала и этого, пожалуй, достаточно.
о математик и юкруг неё
Легко ли задавать задачи?
СОС! СОС! СОС! Множества в «соусе», или как математики спасли множества Чем математики занимаются сегодня
Математик, который не стареет
Где больше точек: на отрезке или на прямой?
ЛЕГКО ЛИ
ЗАДАВАТЬ ЗАДАЧИ?
«Это и нам под силу, но проблема в том, как их решать...»— примерно так думаете вы почти всякий раз, когда Baig преподаватель задает вопрос, на который вы не в силах ответить. Между
тем вы не правы, делая такой вывод.
— Почему не правы? Неужели трудно задать задачу? Это может каждый.
— Ладно. Я покажу вам на иесколь-" ких примерах, что задавать задачи далеко не всегда так просто, как вы думаете. Вы увидите, как легко можно очутиться в глупом положении, если
4 з. Шпорер
97
задавать их бездумно, без проверки, Для начала я задам вам десяток самых простых задач. Вы их решите, а затем мы подробно рассмотрим каждую задачу и ее решение. Начнем опять с множеств: Заданы два множества А и В.
Л = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {1, 3, 5}.
Ответьте: какое множество больше?
— Здесь и думать нечего. Множество А больше, чем множество В.
— Перейдем ко второй задаче. •
Множества А, В, С, D и Е заданы так:
А = множество больший городов.
В ss множество хороших книг.
С = множество умных мальчиков.
D множество толстяков.
Е множество красиво одетых женщин.
Хорошо ли заданы перечисленные множества?
— Мы думаем, что да. Почему бы они были плохо заданы?
— Ответьте теперь на следующий вопрос. Одна записная книжка стоит* 5 динаров. Сколько вы заплатите за три записных книжки?
— Каждому малышу ясно, что три записных книжки будут стоить 15 динаров.
— А если множество из 16 учеников разделить на четыре группы, сколько учащихся придется на каждую группу?
— Каждая группа составит, естественно, 4 учащихся,
— Теперь представьте себе следующую ситуацию: у вас 4 книжки и два портфеля. Сколькими способами можно положить имеющиеся у вас книги в эти два портфеля?
— Восемью способами.
— А теперь несколько слов о геометрии:
На отрезке прямой VZ расположена точка А, Какой отрезок больше — VZ или AZ?
— Странный вопрос. Нет и сомнения в том, что отрезок VZ больше, чем отрезок AZ.
— Чему равна площадь, которая ограничена двумя параллельными прямыми:
— Величину площади можно определить путем умножения длины прямой на расстояние между двумя прямыми, но нам должно быть задано это расстояние.
— Хорошо. А могли бы вы мне ответить, какая из двух заданных на рисунке' площадей больше — или Р2?
________к
lllirilllllllllll
— Площадь Р2, разумеется, больше.
— Еще одна задачка с углами. Предположим, что угол образуется путем вращения отрезка прямой вокруг некоторой исходной точки и что под углом мы подразумеваем плоскость между двумя отрезками прямых, т. е. сторонами угла, если начертить его следующим образом:
98
Скажите: какой угол больше — A VB или AV1BJ
— Нет сомнения в том, что угол AVB больше, причем на ту часть плоскости, которая расположена между сторонами VB и
— Если парашютист прыгнет из самолета, падает ли он по воображаемой вертикали, проведенной от самолета на поверхность земли?
— А как иначе он может падать, если не по вертикали?
— Является ли возведение в квадрат инъективной функцией, т. е. функцией, которая отображает различные элементы исходного множества в различные элементы выходного' множества?
— Конечно, так как мы знаем, например, что 22=4, 32=9, 62=36.„ Следовательно, различным элементам исходного множества {2, 3, 6. . соответствуют различные значения выходного множества {4, 9, 36. ,
— После того, как вы столь хорошо «решили» все наши задачи, могу вам сообщить, что ни один из ваших отве
тов нельзя считать правильным, как и то, что большинство задач было неверно задано.
— Не может быть. Они были предельно ясными и простыми,
— Да, но только для тех, кто не зна ет математики или знает ее поверхностно. Впрочем, рассмотрим все по порядку:
В первой задаче был задан вопрос: какое множество больше — А или В? Недоразумение заключается в том, что множествам свойственны не соотношения «быть больше» или «быть меньше», т. е. >, <, и поэтому вообще нельзя говорить о больших или меньших множествах, Такие соотношения возможны между числами, а у множеств мы имеем дело с подмножествами (S, Э). В нашем случае можно считать, что Вс=А. Следовательно, как только вас кто-либо спросит: «Какое из двух множеств больше?» — можно считать, что ваш собеседник никаких знаний о множествах не имеет. Во второй задаче ни одно из множеств А, В, С, D и Е не задано правильно, потому что определения большой, красивый, умный, толстый, красиво одетый не являются свойствами, по которым можно с уверенностью определить принадлежность кого-либо к данному множеству,
— Хорошо, согласны, но хотя бы задачу с записными книжками мы решили правильно?
— Она, как и следующая, с делением 16 учащихся на четыре группы, задана неверно и неточно. Достаточно взглянуть в собственный портфель, как можно убедиться, что все ваши записные книжки разнятся и по размеру, и по цене. Следовательно, если одна из них стоит 5 динаров, другая может стоить 7, а третья 4,
— Действительно, в задаче ничего не говорится о том, что куплены оди-
4*
99
лаковые записные книжки. Теперь нам понятно, что и множество из 16 учащихся можно разделить на четыре подмножества самыми различными способами. Главное, чтобы сумма учащихся во всех четырех группах равнялась 16.
— Правильно. Как видите, давая задание, следует быть очень внимательными и предельно точными. Если вам кто-либо ответит, например, что три записных книжки стоят 23 динара или что в одной группе' находятся 5 учащихся, во второй 4, а в третьей и . четвертой по 3, вы не сможете ему доказать, что ответ неточен.
— А какая Погрешность в следующей задаче?
— Она правильно задана, только значительно сложнее, чем вам это показалось на первый взгляд. Каждый математик ответит на подобным образом сформулированную задачу, что 4 ' книжки можно положить в два портфеля 16 способами. Впрочем, давайте выпишем все способы, которыми мы сможем поместить книги в портфели. Для итого обозначим книги буквами А, В, С, D, а портфели — 7\ и Тг. В портфель Ti помещаем:
а)	по одной книге, а именно А или В или С или D (следовательно, 4 способами), а в портфель — остальные;
б)	по две книжки: А, В; А, С; A, D; В, С\ В, D', С, D (6 способов), а в порт* фель Т2 — остальные;
в)	по три книги: А, В, С; А, В, D;
А, С, D; В, С, D (4 способа), а в порт-. фель Т2 — остальные.
В общей сложности мы воспользовались (4+6+4) 14 способами, а можно поместить в портфель или Т2 и все четыре книжки (2 способа). Итак, мы имеем 16 способов размещения четырех книг в двух портфелях.
— Так, а в чем ошибочность нашего ответа на задачу с отрезками прямой?
— Здесь неправильно был задан вопрос, как и в первой задаче с множествами. Соотношение «быть больше» для множеств на прямой не определено, а поэтому вопрос теряет смысл. Задачи с плоскостями тоже бессмысленны...
— Почему?
— Да потому, что о численном значении площадей разумно говорить (на уровне элементарной математики) только для ограниченных геометрических фигур.
Бессмысленным был бы и вопрос: какова площадь небосвода?
— А разве площадь. Рг ие больше площади PJ
— Опять вы принялись за свое. Если вы мне докажете, что чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, . . . больше, чем чисел 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, , , . , я соглашусь, что Р2>Р1.
— Нб этого мы не сможем доказать.
— В таком случае Поехали дальше..,
— Мы теперь сами убедились, что вопрос с углами лишен смысла, так как если угол — часть плоскости, то мы не можем определить, какой она величины.
— Верно. Углы, правда, можно сравнивать, но только после введения размеров угла. Мы можем сказать, например, что угол в 50° больше угла в 40°; потому что мы ввели размер угла и знаем, что 50>40, Так как соотношения > и < применимы к числам.
— Как быть с парашютистом? Разве его падение не вертикально?
.— Разумеется, нет. В физике вы подробно познакомитесь с данной проблемой и узнаете, что парашютист падает по довольно сложной траектории, котбрая в идеальном случае соответствует дуге параболы.
— А почему возведение в квадрат не является инъективной функцией?
100
— Я не сказал, что нет. Возможно, да, а возможно — и 'нет. Проблема заключается в том, что и вопрос неверно сформулирован, так как не было сказано, в каком множестве рассматривается возведение в квадрат. Если мы рассматриваем возведение в квадрат ^а множестве натуральных чисел как функцию, отображающую множество натуральных чисел на множество натуральных чисел (т. е. как f : N —у N), то в таком случае возведение в квадрат является инъективной функцией. Между тем возведение в квадрат на множестве целых (или рациональных) чисел — не инъективная функция, так как она отображает множество целых чисел Z на множество неотрицательных- целых чисел No и при этом иногда соответствует двум различным целым числам, т. е. f : Z -> N0. Например, 2 и —2 ставят в соответствие одно и то же целое число; +4. Итак, вы видите, что неточен вопрос, так как ответ зависит от . того, в каком множестве рассматривается возведение в квадрат.
— Действительно, давать задачи не так просто, как мы это думали.
— Да, и при этом по поставленным задачам можно определить, хорошо ли знает математику тот, кто их задает, или. нет.
СОС! СОС! СОС!
МНОЖЕСТВО В «СОУСЕ», ИЛИ
КАК МАТЕМАТИКИ СПАСЛИ МНОЖЕСТВО
— Не может быть! Разве и множества подвергались опасности? Интересно все’же узнать: почему? Мы всегда считали, что опасность от множеств грозит нам, а теперь выясняется, что и множества были в опасности. Неужели это правда?
— Да, такой случай действительно ичел место, и математики очень неохотно говорят сейчас об этом. Им подумать страшно, что могло произойти с множествами и произошло в действительности. Впрочем, послушайте: это случилось еще в начале нашего века, примерно через 30 лет после создания теории множеств. Именно в то время, когда математики принялись вовсю разрабатывать и применять новую теорию, наслаждаясь той свежестью, Которую она внесла в их науку. Правда, это была еще молодая теория, но перед ней раскрывалась блестящая перспектива, ей предрекали большое будущее. Все протекало нормально, пока один известный философ^ который •занимался математикой, или, если хотите, математик, который занимался и философией (это всегда самая неудобная комбинация), а был им не кто иной, как Б. Расселл22, додумался задать самый неожиданный вопрос: «Существует ли множество всех множеств?».
Как безобидно звучал этот вопрос! Почти как игра слов. Однако он возымел эффект разорвавшейся бомбы.
«Одним множеством больше, другим меньше. Какое это имеет значение и какой вред это может принести множествам? — сказали математики.— Не понимаем, почему наш уважаемый коллега г. Расселл так разволновался? Здесь нет ничего сенсационного».
— Но если подобное множество существует,— заявил Расселл,— а этого мы не, можем в принципе отрицать, то я смогу доказать, что его наличие приводит теорию множеств к парадоксу, и тем самым,ценность всей теории подвергается сомнению, так как ее основы непрочны. Скажите, прошу вас,
22 Бертран Расселл (1872—1970) — английский философ и математик.
101
что это за строгая математическая теория, которая скрывает в себе парадокс?
— Неслыханно! Скандал! Как затесался парадокс в ряды множеств? Этого нельзя допустить! — взбунтовались математики.— Нам достаточно в обыденной жизни существования различных парадоксов. А им, видите ли, теперь захотелось проникнуть и в математику. Это уже слишком. Клянемся теоремой Пифагора, что мы этого не позволим! Мы будем бороться до по-_ следнего дыхания, а если понадобится, то введем в бой и аксиомы, но парадоксов в математике ие допустим.
— Я понимаю, что вам интересно узнать, из-за чего все же разгорелся среди математиков весь этот сыр-бор и что за парадокс выявил Расселл. Но прежде чем познакомить вас с парадоксом Расселла, я попытаюсь показать на примере суть парадокса как явления и объяснить, почему его возникновение рассматривается как катастрофа для любой теории. Под парадоксом мы подразумеваем вывод, который противоречит, пусть даже внешне, логике рассуждений. В математике хорошо известен один парадокс, который ана. логичен на первый взгляд парадоксу Расселла, но который значительно про-' ще и носит даже симпатичное название: «парадокс парикмахера». Вот его содержание: представьте с,ебе, что в каком-то селе живет парикмахер.
— Хорошо, мы представили себе это.	z  .
— Представьте себе теперь, что наш парикмахер бреет тех, и только тех, жителей села, которые сами не бреются.
— Ну, это ясно.
— Допустим. Теперь хорошо подумайте и ответьте на вопрос: бреет ли парикмахер сам себя?
— Безусловно, бреет. Не пойдет же бй бриться в соседнее село,
— Но обратите внимание: мы подчеркивали, что парикмахер бреет только тех жителей села, которые сами не бреются. Следовательно...
. — Этот парикмахер не может бриться сам. Признаться, это несколько необычная ситуация, но неужели данный парадокс заключается в том, чтр и парикмахер ходит бриться на сторону?
— Именно в том-то и заключается суть проблемы. Если парикмахер сдм не бреется, то он является одним' из жителей села, которые должны бриться у него, а поэтому он обязан брить себя сам.
— Значит, он все же сам бреется...
— Но, как только что мы убедились, он не имеет права это делать.
. — Да как же так? Получается, что ему нельзя ни бриться самому, ни бриться на стороне.
— Именно так оно и есть. В том-то и заключается «парадокс парикмахера», из которого он никогда не выпутается. Тут явно что-то не так, хотя ход наших рассуждений правильный. Сможете ли вы помочь парикмахеру? Когда я впервые узнал, об этом парадоксе, то я попытался решить его «экспериментально» самым простым способом. Я отправился в ближайшую парикмахерскую бриться. Пока разговорчивый парикмахер меня брил, я. рассказал ему о «парадоксе парикмахера» и поинтересовался его мнением относительно данной проблемы. Парикмахер принял серьезный вид, подумал, со значением покачал головой и сказал: «Послушайте, уважаемый. Я толком не разбираюсь ни в философии, ни в математике, но с уверенностью Скажу вам, что нет того села, в котором бы парикмахер не брился сам». 39 Таким образом, мой парикмахер .очень просто решил парадокс его коллеги, и, поверьте, он был прав.
102
Но обратимся опять к парадоксу Расселла, хотя и нельзя решить его аналогичным способом. Я попытаюсь вам изложить суть данного парадокса в несколько упрощенной форме. Отправная точка рассуждений Расселла заключалась в следующем. Все мнс-жества можно разделить на две категории — на:
1) множества, которые содержат сами себя как элемент,— назовем их d-множествами; .
2) множества, которые не содержат сами себя как элемент,— назовем их «-множествами.
Рассматривая произвольное множество с таких позиций, мы можем отнести его либо к множествам d, либо — п. Если же существует «множество всех множеств», т. е. множество, которое в качестве своих элементов содержит все множества, то его явно можно отнести к множеству типа d, содержащему в качестве элементов и самого себя. Итак, мы вплотную приблизились к ключевому пункту парадокса Расселла. Если определить множество Р таким, которое в качестве элементов содержит в себе все «.-множества и ни одного d-множества, то множество Р составят, следовательно, все те множества, которые не содержат в качестве элемента самих себя. Возникает вопрос: является ли само множество Р множеством типа d или типа «? (Бреет ли парикмахер сам себя?) Если бы множество Р было d-множеством, т. е. если бы онр содержало само себя как элемент, то оно было бы (по определению множества Р) одним из п-миожеств, т. е. не содержало бы само себя как элемент. Но не надо спешить с выводом, что множество Р является одним из «-множеств. Если бы множество Р было «-множеством, т. е. не содержало бы само себя как элемент,
103
то множество Р было бы (опять согласно определению множества Р) одним из элементов множества Р; значит, оно бы содержало само себя как элемент и являлось бы d-множеством. Итак, можно сделать вывод, что множество Р не может быть ни d-множеством, ни «-множеством. В этом и состоит парадокс. Уверяю вас, подобный парадокс ни один парикмахер в мире решить не в состоянии! Парадокс Расселла запутал и измучил математиков. Сперва они наивно полагали, что его можно будет решить, так сказать, мирно, путем обычной «проверки документов» множества Р, т. е. наличия у него разрешения находиться в среде множеств. Они считали, что множество Р (определенное как множество всех множеств, которое не содержит себя в качестве элемента) нелегально перекочевало в классическую «наивную» теорию множеств и что не в порядке только его документы. А когда это выяснится, все будет легко. Блюстители порядка выбросят его из числа множеств так же, как они это делают с безбилетниками на футбольном матче. Однако эти ожидания не сбылись. Множество Р, спокойно, не без ехидства улыбаясь, предъявило свои документы полномочного представителя множеств и спросило проверяющих, не'интересуются ли они случайно еще номером его сберегательной книжки. Те,* скре-пя сердце, были вынуждены признать его законным членом сообщества множеств. И тут математикам стало не до шуток. От такого наглого и неприятного гостя надо было, долго не рассуждая, избавляться, причем любым способом, чтобы не позволить ему важничать и хитро посмеиваться. Одновременно следовало оградить себя от возможных повторных просчетов, поскольку сегодня возникло множество всех
множеств, а завтра предъявит претензии своими парадоксами кто-либо другой, и с теорией множеств будет покончено. Сколько усилий было положено в эту теорию, и вот какой-то субъект вознамерился испортить все дело. Возникла срочная необходимость в восстановлении законного порядка, в надежной защите множеств, в четком определении, что дозволено, а что — нет. Чтобы оградить себя от неприятных сюрпризов, математики срочно поместили множества в массивное строение из армированного бетона и выставили вокруг него надежную охрану, вооруженную аксиомами. Таким образом, они обрели хоть какую-то уверенность, что ни одно нежелательное множество не протащит контрабандой в «крепость» свои парадоксы.
— Не является ли такой способ охраны теории несколько необычным в математике?
— Нет, и более того, в последнее время к такой охране теории прибегают почти во всех областях математики. Свой метод строгого отбора «допустимых» множеств математики назвали аксиоматизацией теории множеств и изолировали себя от «наивных» теорий множеств, которая принимает всех, кому не лень. Теперь свободный доступ в компанию множеств имеет тот, кого пропустят аксиомы. И первая из них, которая была принята и оглашена математиками и а торжественном заседании, звучала так:
Множества всех множеств не существует!
— Разве такой акт не противоречит существующему законодательству?
— Нет. Это решение имеет силу закона только на территории крепости, в которой математики содержат свою аксиоматизированную теорию множеств, а вне крепости данный закон
теряет силу. И если вы, гуляя, натолкнетесь на массивное здание, металлические ворота которого украшены, надписью: «вход множеству всех множеств строго воспрещен!»,— имейте в виду, что вы приблизились к области аксиоматизированной теории множеств. Правда, маловероятно, что вы, гуляя, приблизитесь к ней, так как она расположена в очень недоступной местности и посещают ее в основном математики-альпинисты. Вот как математики спасли множества от парадоксов и возвратили себе спокойный сон.
. — Значит, в итоге все окончилось благополучно и математики были рады своему успеху?
— Да, но нельзя сказать, что радость была такой уж полной. Дело в том, что цена победы была достаточно высока.
— Почему?
— Вскоре после того, как математики заточили множества «в крепость», думая, что тем самым решена проблема парадоксов, некоторые молодые, честолюбивые математики взбунтовались. «Почему,— сказали они,— мы должны; когда нам нужны множества, забираться так далеко и чувствовать себя в крепости не совсем удобно. ‘А о комфорте лучше и не говорить. И, кроме того, содержание множеств в крепости дорого обходится, не дешевле, чем в первоклассном отеле. Но хуже всего то, что все наши множества должны подчи
104
няться охраняющим их аксиомам и придерживаться составленного для них распорядка дня. Нам было бы проще, да и дешевле, построить собственное здание, более красивое и современное, в котором множества вели бы себя по правилам, установленным-нами.
— Чем же закончился, конфликт?
— Очень скоро молодые математики, построили собственное здание на месте, которое они сами выбрали. Они выставили свою охрану, вооружили ее своими аксиомами, словом, привели все в соответствие со своими вкусами.
— Стало быть, появилась вторая система аксиом теории множеств...
— Если бы вторая, то было бы не так страшно. Но, как вы понимаете... — ...вскоре появилась и третья группа математиков со своими аксиомами..,
— ...да, да, а затем четвертая... И теперь у нас несколько аксиоматик и теорий множеств. При этом приверженцы каждой из них уверяют, что именно их здание наиболее пригодно для содержания р нем множеств и что оно построено на таком месте, с которого открывается самая красивая перспектива на различные математические структуры.
— Но это, по-видимому, неудобно, когда математики вынуждены выбирать одну из аксиоматик теории множеств, чтобы недопустить возникновения парадоксов. И все-таки они не желают больше прибегать к «наивной» теорив множеств. «Дорога» к ней достаточно доступна, но зато ни одно страховое общество не станет пн за какие деньги страховать от возможного возникновения парадоксов. Вот какой ценой математики спасли множества, расхлебали  «кашу», которую онн сами же и заварили.
ЧЕМ МАТЕМАТИКИ
ЗАНИМАЮТСЯ СЕГОДНЯ
Вместо ответа на ваш вопрос я хочу спросить вас: «Чем они не занимаются?» Потому что цет в настоящее время почти ни одной области человеческих знаний, в которую бы математики не вмешались. Чтобы убедиться в справедливости моих слов, достаточно перечислить самые главные отрасли современной математики, которые стали объектом «увлечений» математиков. Вот они, эти отрасли:
логика и основания математики, теория множеств,
теория чисел,
алгебраическая теория чисел, теория поля,
коммутативные кольца и алгебры, алгебраическая геометрия, линейная и мультилинейная алгебра, теория матриц,
ассоциативные кольца и алгебры, теория категорий, гомологическая алгебра,
теория групп,
топологические группы, группы Ли, действительные функции, теория меры,
функции комплексной переменной, теория потенциалов, специальные функции, дифференциальные уравнения, частные дифференциальные уравнения,
преобразование Фурье, интегральные операторы, функциональный анализ, теория операторов, численные методы, конвексные множества и геометрические неравенства,
дифферен ци а льн а я, геометри я, общая топология,
анализ многовариантности,
105
теория вероятностей и стохастические процессы,
информация и связь, числовая..,
. ........(разве и это математика)?
— С нас достаточно. Откуда столько названий? Разве все они вошли в математику? Да их невозможно запомнить. Мы считали, что математика состоит из арифметики и геометрии, ну и из этих вот множеств, которые появились несколько лет тому назад.
— Да, это общепринятое мнение, но оно соответствует состоянию математики 500—600-летней давности.
Когда же возникло это множество математических дисциплин? Сколько им лет?
— Они появились в разное время. Некоторые из них имеют 30-летний возраст, некоторым 50 лет, а другим 100, ну, а остальным намного больше.
— Должен ли каждый человек, желающий стать математиком, изучить сначала все эти предметы?
— Ни в коем случае. Будь это так, то множество математиков, по всей вероятности, стало бы пустым. Каждый математик занимается своей областью и еще некоторыми другими родственными ей, а в остальных областях он, по сути дела, разбирается слабо.Часто случается так, что при встрече двух современных математиков — специалистов разных областей матаиатиче-ских знаний каждый из них изъясняется и пишет на «своем» языке. Они друг друга не понимают, и после нескольких минут беседы им не о чем говорить. Естественно, такого не случится, если они начнут говорить об основных, фундаментальных понятиях математики, хотя и здесь могут возникнуть различного рода заминки, так что...
— Существует ли все же нечто общее,
что характерно для всей современной математики, для всех ее областей?
— Математики утверждают, что практически во всех областях современной математики можно встретить: логику, множества и структуры. Существуют даже такие, которые считают (если не передумают), что, по логике вещей, современную математику можно вывести из теории множеств. И что для этого необходимы, даже очерь необходимы, чрезвычайно тонкие логические рассуждения.
Современная алгебра, например, изучает только те множества, внутри которых определена, по меньшей мере, одна операция или отношение, т. е. множества, которые обладают структурой, независимо от того, что представляют собой его элементы. Главная задача при'этом заключается в поиске структуры и свойств операций в структурах. Принимая во внимание, что два разлйчных множеств^ с совершенно разными элементами могут иметь одинаковую структуру — если в них действует та же операция,— задача современной алгебры заключается в том, чтобы раскрыть одинаковую структуру различных объектов. Раскрытие общего при внешнем отличии является одной из главных задач современной алгебры. Если принять этот поиск за игру, то: стратегию игры определяют основные понятия формальной логики и теории множеств.
Правила игры — алгебраические операции и свойства структуры. Игровое поле — определенная алгебраическая структура.
Вот почему в настоящее время изучение’различных структур представляется математикам столь значительным.
— Мы говорили о самых разных вещах, но ни разу не рассмотрели примеров из геометрии. Разве геометрия
106
не является обширной областью математики?
— Вы правы. Геометрия очень важная и при этом довольно старая отрасль математики. Ее начало мы находим еще в Древнем Египте, где геометрия получила достаточно бурное развитие в связи с необходимостью измерения земельных участков. Но мы о ней не говорили просто потому, что не успели. Возможно, поговорим в другой раз. Чтобы нас не упрекали в том, что мы ее даже не упомянули, ответьте мне, пожалуйста, на один вопрос: «Что такое геометрия?»
— Геометрия... геометрия — это наука...
— Достаточно. Не утруждайте себя. Я знаю, что вам известно, чем занимается геометрия, но я вам приведу всего лишь одно определение геометрии О. Веблена, которое очень понравилось великому математику Ф. Клейну 23. Вот оно:
Геометрией называем отрасль математики, о которой достаточное число компетентных людей говорит, что она названа этим именем из-за сентиментальных и «традиционных» причин,
— Нам тоже понравилось это определение.	'
— Я так и предполагал. Его, по сути дела, никак не назовешь шуточным, поскольку в нем отражена глубокая истина о геометрии. Вы хорошо пой-. мете это только после близкого знакомства со всей математикой.
МАТЕМАТИК,
КОТОРЫЙ НЕ СТАРЕЕТ
— Как это понимать?- Уж не откры-• ли ли ^математики эликсир молодо
Феликс Клейн (1849—1925)—немецкий математик.
сти? Смешно. Как можно не стариться?
—Нет, эликсира вечной молодости они не изобрели, однако вечно молодой математик — и по возрасту, и по своим идеям — существует.
— Интересно. Что за математик? Где он живет? II как он достиг вечной молодости?
— Очень просто. Прежде всего, я расскажу вам, как вообще, возникла идея «создания» математика, который не старится. Общеизвестно, что люди с годами приобретают больше знаний и опыта, в целом это явление положительное. В то же время накопленный опыт мешает иногда понять новое, люди к нему трудно приспосабливаются, что уменьшает их творческие способности...
— Нам хорошо известно, чем мы отличаемся от старших...
— Я ие имел в виду вас, но пусть будет так. Размышляя о данной проблеме, математики пришли к выводу, что для более стремительного развития математической науки в целом не мешало бы иметь такого математика, который бы одновременно обладал большими математическими знаниями, был бы, так сказать, человеком опытным, оставаясь при этом всегда молодым, легко воспринимающим новое и беспрерывно творящим. И матема\ тики его создали сами.
— Каким таким образом?
— А вот как. Группа молодых французских математиков договорилась совместно писать и издавать математические произведения под вымышленным именем Никола Бурбакй.
— Это и есть тот всесторонний математик? Но нам непонятно, почему он не старится? Ведь и молодые математики будут со временем стареть и станут однажды группой . . , старых математиков.
107
— Правильно, но им удалось избежать этого, очень оригинальным способом. Как только члену группы исполняется определенное количество лет, на его место выбирается новый молодой математик. Таким образом, средний возраст группы практически всегда тот же, т. е. Никола Бурбаки не стареет.
, — Очень интересное решение. Но нас интересует, как эти математики умудряются совместно писать?
— Как возникает их произведение, неизвестно, но, по всей вероятности, они трудятся примерно так: одного члена группы обязывают что-либо написать. Потом рассылают его произведение всем участникам группы. Затем они встречаются, и каждый высказывает свое мнение, ищет ошибки, критикует...
— ... Как это делают учителя с нами на экзамене...
— Возможно, и так, только этот «экзамен» намного сложнее. Когда написанный таким образом текст основательно отработан, его публикуют за подписью Никола Бурбаки.
— Почему не пишут таким образом и наши учебники?
— Не спрашивайте чепухи!
ГДЕ БОЛЬШЕ ТОЧЕК:
НА ОТРЕЗКЕ
ИЛИ НА ПРЯМОЙ?
— Согласитесь, что вопрос несколько странный.
— Не странный, а смешной.
— Почему смешной?
— Потому что достаточно посмотреть на рисунок или представить себе прямую или ее отрезок, чтобы без каких-либо знаний математики дать ясный
ответ. На прямой намного больше точек, чем на отрезке.
—• Вы уверены в этом? Как вы аргументируете свое утверждение?
— Что тут аргументировать, когда и так все ясно. Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Следовательно, все точки отрезка являются одновременно и точками прямой, ио на прямой есть еще много точек, которые не являются и точками отрезка, из чего вытекает, что на прямой больше точек, чем на ее отрезке. В этом-то мы убеждены. Пусть математика не является нашей сильной стороной, но глаза нас не обманывают.
— Допустим, у вас хорошее зрение. Но давайте вспомним все-таки: каким образом можно доказать, что два множества имеют, равное число элемен тов?
— Путем отображения этих множеств. Если между двумя множествами можно построить биективное отображение, то у них одинаковое число элементов. Если же одно множество отображается лишь на подмножество второго, то у него (у второго) больше элементов. Этого мы не забыли.
— Мне очень приятно, что вы это помните. Однако прежде чем ответить на заданный вопрос, поступим для очистки совести так, как рекомендуется в теории, и с нашими двумя множествами. Попробуем поставить точки отрезка в соответствие точкам прямой.
— Можно, если вы настаиваете (хотя зря потеряем время). Как выполнить это отображение?
— Очень просто. Геометрическим путем. Представим себе наш отрезок АВ согнутым в полукруг АС В (словно он из нитки), а прямую р в виде касательной в точке С. Вот так:
108
Установим соответствие между точками полукруга и точками прямой следующим образом. Предположим, что Т является точкой полукруга; если S — центр полукруга, то луч ST пересечет прямую р в определенной точке. Обозначим эту точку f (Г), 1 поскольку она находится в зависимости от точки Т. Следовательно, точке Т полукруга можно поставить в соответствие точку , f(T) прямой р. Допустим, что точка Т скользит по дуге СВ от точки С к точке В. Путешествуя по дуге, точка Т «потянет» за собой точку f(T) по лучу справа от точки С. Путешествуя по левой дуге СА, точка Т аналогичным образом потянет за собой точку f(T) по левой стороне отрезка прямой р. Таким образом каждую точку полукруга АСВ (который получен путем сгибания отрезка Л В) мы поставили в соответствие определенной точке прямой. Мы осуществили фактически биективное отображение отрезка прямой на всю прямую и на этом основании пришли к выводу...
— Чудеса. Выходит, что отрезок прямой имеет ровно такое же количество точек, как на прямой. Просто фокус какой-то,
— Нет, это не фокус, а доказательство, которое показывает, что нельзя полностью полагаться на свои глаза. Вот почему математики не рассматривают «наглядные» картинки в качестве доказательства определенного утверждения. И надо признать, что они правы. Рисунки бывают часто
полезными, но .иногда они ведут нас по ошибочному пути.
— Мы запомним это, чтобы не обманывать себя больше. Но нас интересует еще кое-что в связи с прямой.
— А что именно?
— Сколько, собственно говоря, на прямой точек?
— Гм,, гм. Поверьте мне, что это далеко не простой вопрос. _ (Надо как можно скорее закончить этот разговор, не то я смогу оказаться в плохом по‘ ложении, если мои собеседники не перестанут задавать ропросы.) Следует признаться, что я никогда не подсчитывал точки прямой, но давайте поверим математикам, ' которые утверждают (возможно, кто-либо из них действительно пересчитал точки, как знать...): «На прямой столько точек, сколько действительных чисел». «Число» точек прямой или действительных чисел обозначается буквой с (первой буквой латинского слова continue, что значит — непрерывно). Если множество действительных точек пометить буквой R, то его кардинальное число будет kR=c.~
Кантор еще. в 1873 г. доказал (о чем он написал Дедекинду в письме, упомянутом нами в начале книги), что кардинальное число множества действительных чисел больше кардинального числа, множества натуральных чисел, следовательно, kR>kN, или с>Ц0. К данному выводу Кантор пришел, установив, что невозможно «пересчитать» все точки прямой, или все
109
действительные числа, ставя им в соответствие натуральные числа. Поскольку не существует биективного отображения между прямой и множеством натуральных чисел, значит, c>kN. Этот вывод стал одновременно началом теории множеств, и мы могли бы на этом закончить наш разговор. Однако добавим. Данный пример говорит также о том, что теория множеств необ
ходима и незаменима при преобразованиях бесконечных величин. Эта теория и в самом деле возникла по необходимости, когда математики начали заниматься такими проблемами, которые без нее нельзя было бы решить. Если бы не было теории множеств, то ее надо было бы придумать. Вы согласны?
ПАРАДОКСЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И КРИЗИС ОСНОВАНИЙ 1
Первые «парадоксальные» множества появились в теории кардинальных и порядковых чисел..» В 1899 г. Кантор в письме Дедекинду отметил, что, не впадая в противоречие, нельзя сказать, что кардинальные числа образуют множество, или говорить о «множестве всех множеств»...
Можно было бы предположить, что подобные  «антиномии» 'могут возникать только на периферии математической мысли... Однако вскоре возникли другие «парадоксы», угрожающие наиболее классическим положениям математики. Действительно, Берри и Рассел, упрощая рассуждение Ж- Ришара, замечают, что множество целых чисел, определение которых содержит не более тринадцати русских слов, является конечным, но тем не менее определение целого числа как «наименьшего целого, которое не может быть определено менее чем тринадцатью русскими словами», противоречиво, так как это определение само содержит только двенадцать русских слов.
Хотя подобные рассуждения, слишком необычные в повседневной практике математиков, могли показаться многим из них своего рода каламбурами, тем не менее они явно указывали на необходимость пересмотра основ математики, имеющего целью уничтожить «парадоксы» такого рода. Но если математики единодушно признавали необходимость пересмотра, мнения их радикально расходились по вопросу о способе его осуществления...
1 Из книги Н. Бурбаки «Очерки по истории математики» (М., 1963), с. 44—45.
Тест с выбором
Великие математики
Знание математических символов и' обозначений
Математические понятия и определения
КВИЗ — значит шутка, игра, экзамен и определение уровня знаний путем решения задач... Это слово придумал один английский артист, который поспорил, что сможет в течение 24 часов ввести новое слово в обиходный язык... За одну ночь он написал на многих домах своего родного города ничего не значащее слово КВИЗ. Утром, все горожане спрашивали друг друга, что оно обозначает... Таким-образом, слово было принято, и артист выиграл пари.
Я предлагаю вам организовать КВИЗ, или ВИКТОРИНУ, как только вы прочитаете данную книгу, в противном случае вы зря ее читали. Естественно, что к предлагаемой вам викторине, как и к каждой другой, надо подготовиться. Прежде всего нарежьте 62 листа чистой бумаги такой же величины, как карты, которыми ваш папа играет в преферанс (но ни в коем случае не используйте для викторины папины карты). На этих листках в углу карандашом напишите числа,
111
но так, чтобы их можно было позднее стереть. Это необходимо сделать для того, чтобы можно было изменять очередность вопросов и не позволить участникам заранее выбрать по известному ему номеру вопрос и вызубрить ответ. Затем перепишите на лист бумаги все учебные вопросы книги, Вопро’сы, как видите, систематизированы в три группы, а именно:
а)	с 1-го по 12-й...........вели-
кие математики,
б)	с 12-го по 30-й . . . , . знание математических символов,
в)	с 1-го по 20-й ...» математические понятия и определения.
За каждую группу вопросов определены очки. Когда будет * выполнено все, что от вас требуется, выберите жюри. В него могут войти, например, мама, папа и кто-либо из гостей (так хотя бы вы отобьете у нас охоту слишком часто приходить к вам). Если старшим некогда или они испугаются большой ответственности, то выберите в жюри своих физически сильных (это очень важно) товарищей. Ваше жюри не должно сидеть без дела. Обяжите его записывать и подсчитывать число очков, которое Получит каждый кандидат (но жюри необхо* димо периодически проверять). Теперь вам остается выбрать участников. Имейте в виду, что среди тех шестисеми желающих участвовать в Викторине всегда найдется несколько бестолковых, которые не имеют ни о чем никакого понятия, ио любят появляться на экране или участвовать в викторинах. Таких можно сразу устранить посредством предварительного теста ТО (тест отсева). Вызовите поочередно всех участников и каждому задайте хотя бы два вопроса, на которые он должен будет ответить в те
чение десяти -секунд. Без сожаления отсеивайте тех участников, которые не смогут ответить правильно ни на один вопрос: либо заявят, что натуральные числа приготовлены из естественного сырья, или что Декарт — вратарь французской сборной команды. Следите также и за тем, чтобы в состав участников не пробрался хороший математик. Направьте его в школу, и пусть он обратится к учителю математики, поскольку вы организуете викторину для тех, кто не любит математики и только вынужден ее изучать. Право участия в викторине имеют все лица с 8 до 80 лет, не испытывающие к математике теплых отношений. Тот, кто моложе 8 лет, непригоден, так как любит шуметь и может еще начать реветь, если не ответит на вопрос, а те, кто постарше 80 лет, просто-напросто плохо слышат. После окончания всех приготовлений викторину можно будет .начинать. Как ведущий, вообразите себя в роли Александра Маслюкова и ведите себя, как он (можно, ио не обязательно, быть при галстуке), так как успех викторины зависит в конечном счете от вас (только наивные считают, что для успеха викторины самым важным является знание математики). Сначала! поприветствуйте всех присутствующих," представьте жюри (предупредив предварительно маму не бегать то и дело иа кухню, а папу не играть в карты и не читать газету), познакомьте кандидатов с правилами поведения (на протяжений викторины нельзя подсказывать, Подглядывать в шпаргалку — плохая школьная привычка — и толкаться).
Зрителям представьте участников такими словами:
«Уважаемые зрители и уважаемые слушатели, разрешите представить вам
П2
наших сегодняшних кандидатов большой математической викторины Ох, эта математика! (Имена участников произносите ясно и четко, например: Петр Единичкин, Иво Двоичкин и т. д.) Затем поговорите с каждым участником, чтобы как-то их приободрить. Не забудьте, что самым важным на каждой викторине для ведущего является поддержание благожелательной атмосферы. Участникам задайте несколько вопросов для разминки, которые им придадут уверенности. Спросите их, например:
«Сколько раз вы получали до сих пор единицу по математике? Как вы чувствовали себя на последнем осеннем экзамене? Боитесь ли вы экзаменов? Оставались ли вы на второй год?» (Если участник ответит иа ваши вопросы отрицательно, то пусть вас это не смущает, и вы ему скажите: «Жаль, жаль. Но ничего, все еще впереди»). Создав таким (или подобным) образом благоприятную атмосферу, начните первый круг викторины.
Великие математики. Участник сам выбирает номер с первого по двенадцатый, затем вы берете листок с этим номером, предупреждаете участника, что он в течение десяти секунд обязан ответить на следующие вопросы:
а)	в каком веке жил такой-то математик?
б)	чем он известен (достаточно привести хотя бы один пример, говорящий о значении данного математика)?
Затем после небольшой паузы примите соответствующую позу и во весь голос (пытаясь подражать артисту) огласите имя, записанное на листочке. После того, как каждый кандидат ответит (или нет) на свои три вопроса, сделайте небольшой перерыв, во время которого жюри подсчитает
очки, а кандидат освежится лимонадом. Затем вы сообщаете результат первого круга и объявляете начало второго.
Знание математических символов и обозначений. Первый участник вновь выбирает номер, но теперь с 12-го по тридцатый. Вы предупреждаете участника, что он обязан в течение 30 секунд ответить на вопрос: «Как называется символ, который ему покажут, и каково 'его значение?» Заодно вы сообщаете, сколько очков дает правильный ответ. Во втором круге каждый участник отвечает, как минимум, на шесть вопросов. По ходу дела вы сообщаете каждому участнику о числе набранных им очков. Когда какой-либо участник правильно ответит иа вопрос, похвалите его, создавая тем самым на викторине благожелательную атмосферу. Правильные ответы вы сопровождаете такими комментариями: «Браво, браво! Прекрасно! Да это же великолепно! Какие знания! Поразительно! Поздравляю, поздравляю, отлично!» Подобные реплики благоприятно влияют иа соревнующихся.
Затеь! вы продолжаете: «А тейерь посмотрим, так ли хорошо подготовился и следующий участник?» Если и он ответит правильно, поддерживайте дух йротивоборства словами: «Соревнование становится все более интересным. Какие равноценные знания! Такого еще не бывало! У всех трех участников по четыре очка! Волнение нарастает! Невероятно!» Зрителям: «Прошу вас, без аплодисментов. Дайте участникам сосредоточиться!»
После окончания второго круга объявите еще один перерыв (на этот раз более длительный, чтобы папа мог спокойно выпить свой коктейль, а участники — выпить лимонад и отдохнуть от волнения). Затем вы бгла-
113
шаете результаты второго круга и объявляете о начале третьего, решающего круга викторины.
Математические понятия и определения. Прежде всего поддержите участника, получившего минимальное количество очков, и сообщите ему, что еще не все потеряно. Скажите, что он может догнать лидеров, так как за все положительные ответы в последнем круге дают максимальное количество очков. Время, в течение которого участник должен ответить, составляет теперь одну минуту (чтобы показалось больше, скажите: «полных 60 секунд»), В остальном изменений нет, и участникам предлагаются на выбор первые 20 вопросов. После того, как вы отыскали листок с номером, который назвал участник, вы сообщаете ему, какое количество очков приносит правильный ответ, и предупреждаете его, что он обязан: прочитать символ, указать его название и объяснить его значение. Если потребуется сослаться на определение, то участник обязан дать полную его формулировку. Затем вручаете ему листок с вопросом (и пока он._ду-мает, вы знакомитесь с ответом).В заключительном круге викторины каждый участник отвечает на три вопроса (можно и меньше, если возникла опасность, что кто-либо потеряет сознание-от волнения). Затем жюри подсчитывает очки, вы проверяете правильность отсчета и торжественно оглашаете имя победителя большой супе^викторины Ох, эта математика!
Победителю вы выражаете свои сердечные поздравления: «Поздравляю, поздравляю! Браво, вы обнаружили воистину хорошие знания! Конечно, элемент везения есть, но вы хорошо подготовились».
Занявшему второе место вы скажете: «Не плохо, не плохо, Вам чуть-чуть
не повезло. Но ничего, все еще впереди».
А оказавшемуся на последнем месте; «Мне очень жаль. Но я думаю, что следующий раз вы будете более удачливы. Не теряйте надежды. Никогда не поздно. Вы еще молоды (этого можно не говорить, если участнику более 60 лет). Только вперед».
А затем всем присутствующим: «Спасибо вам всем за внимание. Всего хорошего».
Дорогие зрители, через несколько минут посмотрите телевизионную рекламу, а затем многосерийный детектив...	1
ТЕСТ С ВЫБОРОМ
, Все участники из трех ответов а), Ь) или с) обязаны указать правильный:
1.	Натуральные числа:
а)	0, 1, —1, 2, —2 3, —3, ...
b)	1, 2, 3, 4, 5, 6, ... ‘
. . 1	1	1 1	1
С 1 2	’ 3’	4	’ 5’	6	‘
2)	Георг Кантор является основоположником:
а)	теории множеств,
6)	теории чисел,
с)	теории вероятностей.
3)	Конъюнкцией является: а) способ отображения, Ь) операция в алгебре логики, С) отрасль современной математики.
4)	Два множества- равны:
а)	если у них равное количество элементов,
Ь)	если они содержат одинаковые элементы,
с)	если их элементы могут быть поставлены во взаимно-однозначное соответствие.
114
5)	Рене Декарт является:
а) математиком и философом XVII в.,
;Ь) древнегреческим математиком, с) современным французским математиком.
6)	Биекцией является:
а)	геометрическая фигура,
Ь)	операция в алгебре логики, с) способ отображения.
7)	На нуль можно делить:
а)	каждое число,
Ь)	только положительное число, с) любое число нельзя делить на нуль.
8)	Простые числа:
а)	знали древнегреческие математики,
Ь)	открыли математики в конце XVI в.
с)	открыли математики в начале XX в.
9)	Два множества дизъюнктивны, если:
а)	у них имеется общий элемент,
Ь)	у них нет ни одного общего элемента,
е) все их элементы общие, 10)Нуль принадлежит множеству:
а)	Целых чисел,
Ь)	натуральных чисел, с) простых чисел.
И) Теорема Пифагора действительна для:
а)	равностороннего треугольника,
Ь)	любого треугольника,
X) прямоугольного треугольника, 12) Рациональные числа являются: а) подмножеством множества действительных чисел,
Ь)	подмножеством множества натуральных чисел,
с)	подмножеством множества целых чисел.
13)	Число 1:
а)	постое число,
Ъ)	сложное число,	'
с)	ни простое, ни сложное число.
14)	Свойство ассоциативности не удовлетворяется в случае: а) деления чисел, Ь) сложения чисел, с) умножения чисел.-
15)	Которое из множеств:
а) множество желтых карандашей, Ь) множество чисел, которые делимы на 3,
с) множество мальчиков с голубыми глазами — правильно задано?
16)	Стандартные обозначения множества целых чисел:
a)	N,
Ь)	С, с) Z.
ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ (НЕОБХОДИМО ОХАРАКТЕРИЗОВАТЬ)?
1.	Ферма.	7.	Пифагбр,
2.	Евклид.	8.	Пеано.
3.	Декарт.	9.	Архимед.
4.	Гильберт.	IO,	Колмогоров.
5.	Ератосфен.	11.	Эйлер.
6.	Кантор.	12,	Бурбакй,
Каждый правильный ответ дает по три очка.
ЗНАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СИМВОЛОВ
И ОБОЗНАЧЕНИЙ
1.	т тА,
2.	S A crS,
3,	v А V в,
4.	U A U В,
5.	2» а^Ь,
6.	(,) (а, Ь),
115
7.	3 (Зх)Р,
8.	£ и С *->»
9.	P(S),
10.	& А&В,
11.	\ А\В,
12.	/Со kN = fio
13.	$ a$S,
14.	=> А=$>В,
15.	_L tA=J_,
16.	X Ay. В,
17.	< a<&,
18.	V (Vx)P,
Каждый правильный ответ приносит по пять очков.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1.	Что называется конъюнкцией? Составить таблицу дострвериости конъюнкции.
2.	ЛиВ={.напиши и скажи словами.
3.	Что называется полугруппой?
4.	Какие, согласно Колмогорову, можно выделить основные периоды в развитии математики?
5.	Объясни ’значение: f : WX N .±+N(a, b)-+a+b (a, b € N).
6.	Какое множество обозначается P(S) (для некоторого множества S)? Выпиши Р (5) для произвольного трехчленного множества S.
7.	Л\В= .... напиши и скажи словами.
. 8. Приведи аксиомы Пеано.
9.	АПВ= { ... напиши и скажи словами.
10.	Что называется импликацией? Составь таблицу достоверности импликации.	—
11.	АХВ={ . . . напиши и скажи
19.	<Z AcS,
20.	0, V,
21.	~1 ~1А,
22.	<=> А <—> В,
23.	Л АЛ В,
24.	Т тА = Т,
25.	| {х|...},
26.	♦, О.
27.	—> ft А—+ В,
28.	< а < Ь,
29.	N а£ N,
30.	хн->/(х).
словами.
12.	Как формулируется отношение >, — , <? Напиши и объясни.
13.	Сформулируй так называемую великую теорему Ферма.
14.	" Объясни понятие функции,- проиллюстрируй на отдельном примере.
15.	Приведи хотя бы три закона, действительные на множестве натуральных чисел. Примеры.
16.	В каком случае множество будет упорядоченным? Какая разница между упорядоченным и хорошо упорядоченным множеством? Примеры.
17.	Объясни, что называется биективным отображением? Примеры.
18.	Напиши в десятичной системе число, которое в двоичной системе записывается как 110101.
19.	Объясни .значение символа Ца и приведи хотя бы два его свойства.
20.	' Дай еще два примера множеств чисел, в которых множество натуральных чисел является подмножеством. Сформулируй определение этих множеств и покажи, в каком они находятся вз аимоотношении.
Каждый правильный ответ приносит по 10 очков.

116
1.	Пересечение прямой р и плоскости л является одночленным множеством, которое' записывается рПл= = {S } в том случае, когда прямая пересекает плоскость в точке S. Если прямая р параллельна плоскости, их пересечением является пустое множество, следовательно, pf)n=0, а если прямая и плоскость находятся в таком положении, .что плоскость п содержит в себе прямую р, то пересечением прямой с плоскостью является сама прямая, т. е, рПл=р.
2.	Число элементов разности множеств Д\В равно разности чисел элементов множеств А и В' только в том случае, когда множество В является подмножеством множества А, т. е. если В^А.
3.	Раздача писем будет:
а)	инъективным отображением, если почтальон разносит их таким образом, что в каждой квартире оставляет не более одного письма;
Ь)	сурьективным отображением, если почтальон в каждой квартире оставляет хотя, бы одно письмо (естественно, что почтальон может в одной квартире оставить и больше писем; важг.о, чтобы множество квартир было «перекрыто» письмами);
- - с) биективным отображением, если почтальон в каждой квартире оставит по одному (точно) письму (следовательно, писем должно быть столько, сколько и квартир).
4.	Упорядоченная пара (а, Ь) не является множеством из двух элемен
117
тов, если а=Ь, потому что множество {а, а} рассматривается как одночленное множество.
 5. Два платка составляют пару, а два ботинка упорядоченную пару.
6.	Множества MXN и NXM не равны, так как не содержат одинаковых элементов. Упорядоченная пара (например, карандашей, мела) отличается от пары как элемент множества (мел, карандаш).
7.	Множества MXN и NXM обладают равными мощностями, и между ними можно установить биективное отображение.
8.	MXМ= {(карандаш, карандаш), (карандаш, перо), (перо, карандаш), (перо, перо)}.
NX N— {(мел, мел), (мел, губка), (губка, мел), (губка, губка)}.
9.	Число элементов прямого произведения множеств А и В (АХВ) равно произведению числа элементов множеств -А и В.
10.	10.2. Равенство верно.
Неравенства 11,1, 11.2, 11.3 и 11.4 действительны для любых натуральных чисел а, Ь, с.
11.5.	Действительно только с=1.
11.6.	Недействительно ни для . одного натурального числа (0 не считаем натуральным числом).
11.7.	Действительно для любого натурального числа.
11.8.	Недействительно для натуральных чисел.
11.9	и 11.10 действительны для любых натуральных чисел.
11.11.	Действительно только, если а=Ь.
11.12.	Действительно для любого па-Туральпого числа.
12	.,Сравнение соотношений 10.1— 10.12 с равенствами 11.1—11.12 показывает, что равенства 11 получаются из равенств 10 путем замены знаков:
П на X, (J на +, \ на — и, естественно, заменой множеств А, В, С числами а, Ь, с.
13.	Покажем на чертеже два последовательных числа- «треугольника», например: 3 и 6. Их сумма 3+6=9, а 9 есть (З2) квадрат целого числа. Аналогично можно рассуждать и в общем случае.
14.	Для m=4 : 2m + 1—1=24+1—1= =2?—1=31, а 31 является простым числом, и поэтому’ 2"!(2'п+1—1)= =24Х31=16Х31=496 — совершенное число. Его делители 1, 2, 4, 8, 16,- 31, 62, 124 и 248, а 1+2+4+8+16+31+ +62+124+248= 496.
15.	Квадрат числа является сложным числом, потому- что может быть записан в виде произведения нескольких простых чисел.
16.	Самого большого натурального числа не существует. Если предположить, что некое число М является самым большим натуральным числом, то можно всегда путем прибавления единицы получить еще большее натуральное число А1+1.
17.	Число 1 не имеет своего пред-дпественника в множестве натураль. ных чисел, а все остальные натуральные числа имеют. Предшественнико'м любого натурального числа п является число п—1.
18.	Это точно, ’ио только для так называемых счетных * бесконечных множеств. Дело в том, что бесконечные множества делятся на счетные и несчетные. Счетными являются те, у которых такое же количество элементов, как и у множества натуральных чисел. Бесконечное множество можно
118
пересчитать, если его' элементы могут быть пронумерованы натуральными чис- ' лами, а это значит, что счетными могут являться только те множества, которые биективны с множеством натуральных чисел. Несчетными являются те множества, элементы которых нельзя пронумеровать натуральными числами. Такими являются, например, множества всех точек прямой, всех действительных чисел. Можно показать (а это сделал еще Кантор в 1873 г.), что действительные числа нельзя выстроить в ряд (как это мы делали, например, с четными и нечетными числами) и этот ряд пронумеровать натуральными числами. Нельзя, следовательно, произвести биективное отображение между множествами натуральных и действительных чисел. На ос- > новании этого делается вывод, что действительных чисел больше, чем натуральных, хотя и тех и других — бесконечное множество. В общем слу; чае несчетные множества имеют больше элементов, чем счетные.
19.	Это не совсем так, потому что могут возникнуть два случая, при которых в гостинице не останется бесконечно много гостей: либо она останется пустой, либо с конечным (ограниченным) числом гостей. Гостиница останется пустой, если ее покинут все N посетителей, где N обозначает множество натуральных чисел. В таком случае будет А7\М=ф.
Если же покинут гостиницу все гости, которые помещаются в комнатах, номера которых больше n(n£N), в гостинице останется конечное число п посетителей. Такой случай можно записать таким образом: КХ{ЛГ\{1, 2, 3, . . ., п}}={1, 2,3, ... , п}.
Во всех остальных случаях в гостинице останется бесконечно много гостей, безотносительно к тому, сколько че- .
ловек оставило гостиницу. Если ее ос тавят все гости, проживающие в комнатах с нечетными номерами, то это мы запишем таким образом: 7У\{2л+ +1 |n€7V}={2n|n€7V}.
20.	Вопрос бы потерял смысл (был бы нецелесообразным), поскольку при подобной нумерации в гостинице с бесконечным количеством комнат нет последней комнаты (потому что' и в множестве натуральных’ чисел нет «последнего» числа).
21.	Предположим, что гостиницу покинули все посетители, проживающие в номерах, обозначенных нечетными числами 1, 3, 5, 7, 9..т. е. беско-
нечно много проживающих. Пустые комнаты администратор заполнит таким образом, что проживающий в комнате 2 переместится в первую комнату, из комнаты 4 во 2, из 6 в 3, из 8 в 4 и т. д., обобщенно: из комнаты 2п Г'сетитель переместится в комнату с номером n(n=t, 2, 3, 4, 5, . . .); следовательно, 2п->п.
22.	Разностью Ко—Ко может стать каждое конечное число, может быть и 0, а может быть, и Ко, поэтому пишем Ко—Ко<Ко- Посмотри еще раз решение под номером 19.
23.	Здесь подразумеваются геометрии Лобачевского 24 и Римана 25. Геометрия Евклида называется еще и параболической геометрией, геометрия Римана — эллиптической, а геометрия Лобачевского — гиперболической.
?4 Николай Иванович Лобачевский (1794—1856) —русский математик. Профессор Казанского университета. 25 Бернгард Риман (1826—1866) — немецкий математик. Профессор Гё-тингснского университета.
119
У этих трех геометрий аксиомы о парал- -лелях существенно отличаются одна от 'другой. Речь идет о параллелях, которые можно провести через точку вне прямой (или о геодезических линиях плоскости). В эллиптической геометрии через точку вне геодезической линии не проходит ни одна параллель, в параболической геометрии — одна параллель, а в гиперболической геометрии можно провести через точку вне' геодезической прямой две параллельные ей линии. В данном случае действительна теорема: «Через всякую точку вне прямой проходят две прямые, которые параллельны заданной прямой, и бесконечно много прямых, которые заданную прямую не пересекают и ие параллельны ей». Естественно, что" в данном случае параллельность определена несколько иначе, чем в геометрии Евклида. Эти три геометрии отличаются помимо прочего по сумме углов треугольника. В гиперболической геометрии сумма углов . треугольника меньше, чем два прямых угла, в эллиптической — больше, а в параболической — равна двум прямым углам.
24.	Путем вычитания меньшего натурального числа из большего в результате мы всегда получим натуральное число; следовательно,, для a,b£N будет а—Ь натуральное число, если а>Ь.
25.	Если натуральное Число, Которое мы делим, является многозначным числом, содержащим в качестве делителя то, на которое мы делим, результат деления будет всегда натуральным числом.
26.	В данном случае введены и отрицательные числа, которые не входят в множество натуральных чисел (и законы, которые действительны для натуральных чисел, мы не можем «автоматически» применять к целым или .к
отрицательным числам). Предполагается также, что известно, как умножать отрицательное число на положитель ное, а это необходимо доопределить.
27.	Множество натуральных чисел не является всюду- плотным, так как между соседними числами нет отличного от них натурального числа.
28.	Можно ли показать, что верна теорема: «Всех действительных чисел именно столько, сколько и бесконечных двухзначных рядов:
k R = 2АЛГ»?
Если обозначить кардинальное число множества действительных чисел R буквой е (с называют еще и мощностью континуума), а кардинальное число множества натуральных чисел то можно писать: с=2^°. Напомним, что существенное различие между множеством .натуральных чисел N и множеством действительных чисел R заключается в том, "Vto множество N бесконечно и счетно, в то время как множество R бесконечно, но не счетно. Напоминаем:#! является первым трансфинитным числом, следующим за #0.
29.	19=1X104 9X10°.
234= 2Х ЮЧ-ЗХ 10Ч-4Х 10е. 879= 8Х 104+х 104-9Х16°. 903=9х ЮЧ-ОХ 10Ч-ЗХ 10°. 1024= IX 10Ч-0Х 10Ч-2Х 10Ч-4Х 10е. 1469= IX 10Ч-4Х 10Ч-6Х 10Ч-9Х 10°. 23456= 2Х 10Ч-ЗХ 10Ч-4Х 102+ +5Х 10Ч-6Х 10°.
32470=ЗХ 10Ч-2Х 16Ч-4Х 104-+7Х 10Ч-0Х 10°.
3400897=ЗХ 10е+4х 10®+0х 104-+0Х 10Ч-8Х 10Ч-9Х 10Ч-7Х 10°.
30.	17> 16 + 1= 1 X 240 Х28 + +0X24-0X24-1X2°= 100Q1.
23= 16+4+2+ 1=1X24-0X24- IX X24-1X24-1x2°= 10111.
45= 32+8^-4+1= 1X 2Б+0Х 2«+1X X 24-1X 2Ч-0Х 24-1x24= 101101.
120
78=64+8+4+2= 1X 2®+0Х 25+0Х X 2*+1 х 24-1XS4-IX 24-0x2°= = 1001110.
115=64+32+16+2 + 1 = 1 Х26+ 1 X 25+1Х24+0Х23+0Х22+ 1 Х24 + 1 X Х2°= 1110011.
187= 128+32J+16+8+2 + 1= 1 X 27 + +0Х 26+1X 2-+1X 24+1X 23+ОХ 22+ + 1Х21+1Х2«= 10111011.
324= 256+64+4= 1X2»+ 0 Х27 + 1 X Х2°+0 Х2Н-0 Х24+0 Х23+ 1 Х22 + +0Х 24+0Х 2°= 101 000 100.
640= 512+128= 1X 29+0Х 2«+1X 27+ +0Х 26+0Х 26-+0Х 24+0Х 23+0Х 22+ +0X24-0X2°= 1010000000.
31.	Можно сделать этот вывод пу тем замены знаков: огонек светится — 1 и огонек не светится — 0. Рассматривая соответствующие записи в двоичной и десятичной системе, получаем, что в двоичной
, 101 ‘	,5
+ 101	, + 6-
—так же, как в десятичной —=
32.	А&В—В&А
36. А=3>(В&А)
В&А
А =$> {В & А)
А&В
В&А
А
В
35. Л=£'(В&(~|В))
А	в	~1В		Л=5>В&(-1В)
Т	Т	±	±.‘	±
т	±	т	_L	±
±	т	1 :	±	±
±	±	т	±	±
121
38. В=$>А\/В
А В А v В В=^Л V В
39. Путем анализа этой проблемы можно утверждать, что вопрос («Если парикмахер бреет тех, и толвко тех, 'жителей села, которые сами не бреются, то бреет ли он сам себя?») неправильно сформулирован. Правильной формулировкой * вопроса будет: «Может ли существовать село с парикмахером, который работает указанным образом?» Ответ: «Такого села не существует». В этом смысле ответ парикмахера правильный.
Тест с выбором ответа
1. в) 2. а) 3. в) 4. в) 5. а) 6. с) 7. с) 8. а) 9. в) 10. а) 11. с) 12. в) 13. с) 14. а) 15. в) 16. с).
Великие математики
Пьер Ферма, XVII в. (1601—1665),— французский математик. Занимался теорией чисел, а также заложил основы теории вероятностей, он автор многих теорем, особенно известен по так называемой великой теореме Ферма, которая и по сей день не решена.
Евклид, 4—3 вв. до н. э. (примерно 330—275),— один из самых великих греческих математиков античного периода. Основатель математическом школы в Александрии. Написал ряд работ по геометрии, оптике и астрономии. В своем известном трактате «Элементы» первым систематизировал и разработал аксиоматику известной в то время геометрии.
Рене Декарт, XVII в. (1596—1650),— французский философ, математик и физик. Создал ряд важных теорем в различных областях математики. С появлением его произведения «Геометрия» началась новая эра в развитии математики с применением координатной системы и введением взаимозавися-щих переменных величин. Тем самым он установил связь между алгеброй и геометрией и был основоположником' аналитической геометрии.
Давид Гильберт, XIX—XX вв. (1862—1943),— немецкий математик, который внес значительный вклад в разные области математики. Его считают последним всесторонним математиком. Он занимался, помимо прочего, теорией чисел, математической логикой, основами математики, дифференциальными и интегральными уравнениями и, кроме того, поставил элементарную геометрию на строго аксиоматическую основу. Его труды оказывали значительное влияние на математику XX в.
Эратосфен из Кирены, III в. до н. э. (276—194),— великий древнегреческий ученый, написал труды по астрономии, Математике, географии и философии. Основатель научной географии. Он занимался измерением объема земного шара и доказывал возможность кругосветного плавания. Придумал метод, при помощи которого можно находить простые числа в их естественном порядке (так называемое сито Эратосфена).
Георг Кантор, XIX—XX вв. (1845—1918),— немецкий математик, один из главных представителей математической мысли на рубеже XIX и XX вв. Основатель современной теории множеств, которая открыла пути к совершенно новым знаниям в математике.
122
Пифагор, VI в. до и. э. (580— 500),— древнегреческий философ и математик. Первым заложил основы ма* тематики как науки, имел свою школу (школа Пифагора). Ему приписывают и открытие так называемого правила Пифагора, хотя геометрическая интерпретация этой проблемы была известна и раньше.
Джузеппе Пеано, XIX—XX вв. (1858—1932),— итальянский	мате-
матик и логик. Ему принадлежат известные исследования, связанные с формальнологической критикой основ арифметики. Он является автором первой аксиоматики натуральных чисел, так называемых аксиом Пеано.
Архимед, III в. до н. э. (примерно 287—212),— самый великий математик и физик античных времен. Он написал ряд произведений по геометрии и физике. Определил приблизительное значение числа л (3,14), вычислил собственным методом поверхности многих плоских фигур и объемов тел. Основатель гидростатики, И сегодня известны спираль Архимеда, закон Архимеда, аксиома Архимеда.
Андрей Николаевич Колмогоров, XX в. (1903),—известный русский математик. Занимается различными областями математики. Внёс значительный вклад в теорию функций, топологию, в математическую логику и функциональный анализ. Он 'поставил теорию вероятностей на аксиоматическую, основу. Помимо прочего, Колмогоров занимается проблематикой математического образования,
Леонард Эйлер, XVIII в. (1707— 1783),— швейцарский математик, физик и астроном. Один из великих математиков своего времени. Он способствовал развитию теории рядов, ввел так называемые интегралы Эйлера, а в геометрии создал известную теорему,
которая также названа его именем. Он доказал большое число теорем теории чисел и нашел частичное решение великой теоремы Ферма.
Николд Бурбакй, XX в.,— вымышленное имя большой группы выдающихся французских математиков (которая поставила себе задачу систематизации математики в соответствии с современными' взглядами). Группа публикует свои работы в сборнике «Основы математики». До настоящего времени вышло более 3ft томов сборника. Своими работами «Бурбакй» оказали большое влияние на современную математику.
Знание математических символов и обозначений
1,	Обозначение функции, которая характеризует достоверность суждения А,
2.	Обозначение подмножества; А — подмножество S.
3.	Символ дизъюнкции; А или В (операция «или»),
4.	Обозначение объединения; объединение множеств А и В,
5.	Больше или равно; а больше или равно Ь.
6.	Символ упорядоченной пары; упорядоченная пара элементов а и 6,
7,	Квантор существования; существует (хотя бы один х такой, что Р.,.),
8.	Обозначение принадлежности к множеству; а — элемент множества S,
9.	Множество всех множеств S,
10.	Символ конъюнкции; А и В (операция «и»),
11.	Обозначение разности множеств;, разность множеств А и В.
12.	Символ «числа», обозначает бесконечно большое число элементов множества, которые можно пересчитать, алеф-нуль. Кардинальное число
123
множества натуральных чисел — алеф--нуль.
13.	Обозначение непринадлежности к множеству; а — не элемент множества S.
14.	Символ импликации; из следует В, А требует В. •
15.	Символ недостоверности; суждение А недостоверно.
16.	Обозначение произведения; произведение множеств А и В.
17.	Меньше или равно; а меньше Или равно Ь.
18.	Квантор обобщения; для каждого
х-Р.	.
19.	Обозначение истинного подмножества; А —истинное подмножество множества В.
20.	Символ пустого множества.
21.	Знак отрицания; не-Л.
22.	Знак эквивалентности; Л и В эквивалентны.
23.	Обозначение пересечения; пересечение множеств А и В.
24.	Символ достоверности; суждение А достоверно.
25.	Символ, обозначающий: «обладающий свойством».
26.	'Обозначение бинарной операции.
27.	Функция от Л и В.
28.	Знак «меньше»; а строго меньше, чем Ь.
29.	Обозначение множества натуральных чисел; а — элемент множества N.
30.	Отображение элемента х на элемент )(х).
Математические понятия
И определения
1.	Конъюнкцией является операция алгебры логики, при помощи которой из двух суждений А и В получается новое суждение Л& В.
Суждение Л& В является в целом достоверным только в том случае, если оба суждения Л и В имеют значение достоверностиТаблица достоверности:
Л	В	Л &В
2.	ЛиВ=(х| x£Avx£B).
Объединение множеств Л и В является множеством, составленным из элементов х, обладающих свойством, заключающимся в том, что х является элементом множества Л или элементом множества В.
3.	Если S — не пустое множество, а * — бинарная операция в S, упорядоченная пара (S, *) называется полугруппой, если в этой структуре действует и закон ассоциативности.
Примеры: (N, +), (N, ), (P(S), U).
4.	Согласно Колмогорову, важнейшие этапы’ в развитии математики:
а)	с начала античного периода до появления координатной геометрии Декарта XVI в. Математики в этот период изучали постоянные величины и утвердившиеся геометрические фигуры (тела);
б)	от Декарта до середины XIX в. Основным является формирование понятия функции (в математику вводят переменные величины и геометрические
системы);
в)	с середины XIX в. до' 30-х гг. XX в. центр интересов математиков заключался в формировании и изучении множеств и математической логики. Различные области математики (геометрйя, арифметика, ...") поставле
124
ны на аксиоматическую основу. Бросается в глаза роль и значение изучения различных систем, посредством которых осуществляется синтез иеко- -торых областей математики;
г)	современный период начинается с использования быстродействующих электронно-счетных машин. Наступает стремительное развитие абстрактной алгебры, топологии, логики, анализа, теории чисел и др. Исследования в абстрактных областях математики на-ходя'1’ все большее применение на практике, уменьшается различие между теоретической и прикладной математикой.
5.	Записью: f : АХ6)—* (c+b); a£N, b£N символически показано, что сложение является функцией в NXN, которое, следовательно, является исходным множеством, а множество натуральных чисел А является выходным множеством. При этом каждой упорядоченной паре (a, b) (a, b£N) исходного множества ставится "в соответствие один-единст-венный элемент (число с) выходного множества. Это значит, что для двух чисел с, b существует только одно число c£N, которое называется их суммой: а-{-Ь=с.
6.	Множество P(S) для какого-либо множества S является множеством, которое составляют все подмножества множества S. Для трехчленного множества 3= (а, Ь, с) будет Р (3)= = {ф, (а), (6), (с), (а, Ь), (а, с), (6, с), (а, 6, с)}.
7.	А\В=(х | х^А&х^В).
Разность множеств А и В является множеством, составленным из элементов х, обладающим свойством, что х являетёя элементом множества А И х не является элементом множества В.
8.	Аксиомы Пеано:
1.	1— натуральное число.
2.	Каждое натуральное число п имеет точно одного следующего за иим соседа п' (п'=п+1).
3.	1 ие является последующим числом ни для какого натурального числа.
4.	Если m'=n', то тогда и m=n.
5.	Каждое множество, которое содержит единицу и которое вместе с каждым числом п содержит и п' (п'=п+1), содержит все натуральные числа.
9.	АГ)В=(*1
Пересечение множеств А и В является множеством, составленным из элементов х, обладающих следующим свойством: х является элементом множества А и х является элементом множества В.
10.	Импликация является операцией алгебры логики, при помощи которой из двух суждений А и В получают новое суждение: Л=>В. Суждение А=>В в 'Целом недостоверно только в том случае, если суждение А достоверно, а суждение В нет. Таблица достоверно-
11. АХВ=(х. у) | х^А&у^В).
Прямым произведением множеств А и В является множество всех упорядоченных пар х и у, обладающих свойством, которое заключается в том, что х является элементом множества А, а у элементом множества В.
12. A=B=4>(A^B)&(BSA).
Утверждение: А=В эквивалентно утверждению: А является подмножеством В, а В — подмножеством А.
125
13; Великая теорема Ферма гласит: если х, у и г являются целыми числами, то имеет ли уравнение хл+г/”=гп решение в множестве целых чисел для п>2 (и£Л?)?
14,	Если А и В — два непустых множества, то функцией называется отображение, которое любым способом каждому элементу множества А ставит в соответствие только один элемент множества В. Символически это записывается:	или f: А-±В,
где А является исходным множеством, В — выходным множеством, а / является действием отображения,
15.	Свойство коммутативности:
b = 6-|-Ц
a-b = b-a. a, b £ N.
Свойство ассоциативности:
-4й+^)+с=й+(^+с)
(a>b)‘C=a'(b-c), a, b, с £ N,
Свойство дистрибутивности умножения по отношению к сложению:
a(b-j-c) = ab-j-ac a, b, с £ N.
16.	Множество упорядочено, если для любых двух элементов множества известно, которое из них является предшествующим, или, точнее: говорят, что некоторое множество 5 линейно упорядоченному отношению < , если для каждого a, b, c£S выполняются отношения:
1,	Если аФЬ, то тогда или а<6, или Ь<а.
2.	Если а <Ь и 6<с, то тогда и а<с.
3.	а<а недостоверно ни для какого элемента а.
Упорядоченное множество может не иметь начального элемента, но если ' упорядоченное множество и каждая его' часть, которая не пуста, имеет
начальный член, то говорят, что множество хорошо. упорядочено.
17.	Биективное отображение является таким отображением, при котором различным элементам исходного множества ставятся в соответствие различные элементы выходного и не существует элементов, которым не поставлен в соответствие ни один элемент.
Следовательно: функция f : А-+В является биекцией, если она инъекция и сурьекция, Если между двумя множествами можно установить биективное отображение, то эти множества эквивалентны, '
18.	110101= 1Х25+ 1 X 24+0 Х23+ + 1Х23 + 0Х^+ 1Х2«=32+16+0+ .+4+0+1=53.
19.	Алеф-нуль Ло является кардинальным числом множества натуральных чисел, т. е. kN=f(0. Алеф-нуль удовлетворяет, например, следующим равенствам:
Ло + Ло = Ло.
Ло — Ло < Ло. •
Ло * Ло = Ло-
20.	Множество целых чисел
Z=N U {0} U {-«!« € N}.
Множество Z равно объединению множеств натуральных чисел, множества, у которого единственным элементом является нуль, и множества отрицательных чисел. Множество рациональных чисел
Q =	6 * 0, a,b£Z
Множество равно множеству чисел а ,	,	'	,
вида — , обладающих свойствами: b b
отлично от нуля, а и b являются элементами множества целых чисел, Множество действительных чисел
R = Q U I.
12G
Множество R равно объединению Множества N, Z, Q, R находятся множеств рациональных и иррацио- в отношении:
нальных чисел.	N С Z с Q С R.
A'Sot и мнение; некоторых wSecthmb у нас	которые озн^корз^лись
с книгой ао её появлений Ъ СВЕТ.
у	7
А. ЯОПЪ И МНЕНИЕ ННМатеМ&ТИК0&
uz. ^оме. -do	J
СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА	ПЕРЕВОДА	5
ЧТО ЗА КНИГА?	7
МНОЖЕСТВА	.11
Обозначение множеств	14
Обозначение принадлежности элемента	множеству.	16
Графическое изображение множеств	17
Равенство множеств—источник	недоразумений	19
Множество, которое содержится в другом	множестве	21
Пересечение множеств	23
Объединение множеств	28
Дополнение множеств	30
«Отображение», «присоединение», «присвоение» и «снятие копий» с множеств	31
Пары	38
Прямое произведение множеств	41
Множества и числа	43
Связь между операциями над множествами	и действиями с числами 44
Упорядоченные и хорошо упорядоченные	множества '	48
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА	51
Простые и сложные числа	54
Сколько существует натуральных чисел?	58
В мире бесконечного	»	59
Множество натуральных чисел	60
Аксиомы — правила игры	66
Как математики «играют» ?	—	68
Счетные операции с натуральными числами	70
Разговор о нуле	75
Еще несколько слов об остальных числах	77
Может ли 10+10=100?	.	81
АЛГЕБРА ЛОГИКИ	84
Суждения, или высказывания	,»	.		85
Операции алгебры логики, или как на основе одних суждений получаются новые	86
Конъюнкция	87
Дизъюнкция	88
Импликация	89
Эквивалентность -	90
Отрицание	91
Алгебра логики	92
Предикаты	'	94
НЕСКОЛЬКО СЛОВ О МАТЕМАТИКЕ И	ВОКРУГ НЕЕ	97
Легко ли задавать задачи?	—
СОС! СОС! СОС! Множество в «соусе», или как математики спасли множество	101
Чем математики занимаются сегодня	105
Математик, который не стареет	107
Где больше точек: на отрезке или иа прямой?	. 108
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ВИКТОРИНА	(КВИЗ)	111
Тест с выбором	114
Великие математики	115
Знание математических символов	и	обозначений	—
Математические понятия и определения	.	116
РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ	117