Текст
                    МИКРОВОЛНОВЫЕ
АНТЕННЫ
(АНТЕННЫ СВЕРХВЫСОКИХ ЧАСТОТ)
РУДОЛЬФ кюн
Перевод с немецкого
В. И. Тарабрина и Э. В. Лабецкого
под редакцией проф. М. П. Долуханова
ИЗДАТЕЛЬСТВО
„СУДОСТРОЕНИЕ11
1967

MIRROWELLENANTENNEN RUDOLF KUHN УДК 621 396,677 029,66 3-18-5 109—67 VEB VERLAG technik BERLIN 1964 Книга P. Кюна «Микроволновые антенны» пред- ставляет собой обширную монографию по теории антенн сверхвысоких частот, а также вопросам их конструирования и практического применения При рассмотрении разновидностей антенн большое внимание уделяется их новейшим модификациям. Книга выгодно отличается от ранее изданных тем, что многие вопросы, подробно рассмотренные авто- ром, в литературе до последнего времени освеща- лись недостаточно. Книга рассчитана на специалистов, занимаю- щихся проектированием, изготовлением и эксплуа- тацией антенн в диапазоне дециметровых и санти- метровых волн; кроме того, она может служить по- собием для студентов, специализирующихся в об- ласти антенной техники, и преподавателей высших учебных заведений
Предисловие редактора Настоящая книга представляет собой серьезную монографию, в кото- рой на высоком теоретическом уровне излагается теория антенных систем диапазона СВЧ и приводятся сведения о техническом выполнении важ- нейших типов антенных устройств. При переводе мы сочли возможным опустить первую главу, посвя- щенную общему описанию электромагнитных полей и волн. Этот материал читатель может найти в любом современном курсе электродинамики. Теоретическая часть книги характеризуется строгостью и полнотой изложения. Наряду с обычно применяемым понятием о диаграмме напра- вленности антенны автор широко пользуется термином «характеристика излучения», вкладывая в него информацию и о характере поляризации излучения в заданном направлении. Подобное представление несравненно более полно характеризует излучающие свойства антенны.. Вообще вопро- сам поляризации автор уделяет очень много внимания, что несомненно является достоинством книги. Достаточно упомянуть, что при изложении принципа взаимности учитываются поляризационные соотношения. Весьма полно, в разных аспектах, рассмотрены проблемы синтеза излу- чающих систем Как известно, этим вопросам в современной антенной тех- нике придается исключительно большое значение. С этих же позиций иссле- дуются излучающие системы, использующие принцип распределения Дольфа—Чебышева, а также другие системы, обеспечивающие получение оптимальных в определенном смысле диаграмм направленности. Автор, пользуясь тем, что функции распределения и излучения связаны между собой преобразованием Фурье, получил весьма общие соотношения, чрезвычайно упрощающие расчет реальных антенных устройств. Необычным является подробный анализ и оценка искажений, возни- кающих в излучающих свойствах антенной системы вследствие неточности изготовления или нарушений режима питания. В части книги, посвященной вопросам практики, обстоятельно рас- смотрены основные типы антенн СВЧ и их наиболее интересные модифи- кации Большое внимание уделено ферритовым элементам и «электриче- скому качанию» диаграммы направленности антенн, что придает книге радиолокационную и радионавигационную специфику в отношении об- ласти применения рассматриваемых типов антенн. При переводе сохранены принятые в оригинале несколько необыч- ные обозначения скалярного и векторного произведений, в которых сомножители отделены запятыми. Это позволило значительно упростить запись многих выкладок и избежать внутренних скобок. Книга снабжена подробным библиографическим указателем, а в тексте даются ссылки на литературные источники, в которых читатель может найти сведения о других разновидностях рассматриваемых типов антенн. По нашему мнению, перевод фундаментального труда Кюна широкие круги специалистов в области антенной техники встретят с большим инте- ресом, и книга несомненно будет способствовать совершенствованию мето- дов расчета, проектирования и конструирования антенных систем СВЧ. М. Долухансв 1* 3
Предисловие автора Книга предназначена для ознакомления с теорией и техникой антенн СВЧ; она необходима научным работникам и инженерам, занятым реше- нием задач, возникающих в этой области техники. Кроме того, она может облегчить работу студентам и молодым специалистам соответствующего профиля. При обработке материала была сделана попытка по возможности систе- матизировать весь круг вопросов, относящихся к этой области. Само собой разумеется, нельзя требовать полного обзора в одной книге всех известных в настоящее время практически важных задач. Теоретические основы изложены в книге достаточно подробно, в част- ности рассмотрен общий случай эллиптически поляризованных антенн, получающих в настоящее время все большее применение. При описании ти- пов антенн, применяемых на практике, на первом плане стояла задача по возможности более наглядно представить особенности «механизма излучения», т. е. дать наиболее полное представление об излучении энергии и, кроме того, ознакомить читателей с возможно большим числом практически интересных вариантов антенн. При этом иногда приходилось ограничиваться лишь их качественным описанием . . .
Важнейшие обозначения Аш —действующая площадь антенны, Av — комплексная амплитуда v-ro излучателя в дискретной системе; А (Р') — комплексная функция пространственных координат для описания ампли- тудной и фазовой зависимостей; а — большая полуось эллипса поляризации, широкая сторона поперечного сечения прямоугольного волновода; длина края раскрыва пирамидального и сёкториального рупоров, av — скалярные эквиваленты напряженности электрического поля волн, вхо- дящих в переходный элемент, А — электрический вектор-потенциал; Ао — вещественная часть электрического вектор-потенциала при аппроксима- ции дальнего поля, 6 — малая полуось эллипса поляризации, узкая сторона поперечного сечения прямоугольного волновода, длина края раскрыва пирамидального и секториального рупоров, bv —скалярные эквиваленты напряженности электрического поля волн, выхо- дящих из переходного элемента, В—магнитная индукция; С — емкость; кривая или часть кривой; С — погонная емкость линии; С (ц) — интеграл Френеля; с — скорость света в вакууме; Ср — коэффициент силы, См — коэффициент момента; D, Dm, Dmm — коэффициенты перекрестной поляризации, Dv — переходный элемент; d — толщина линзы, толщина пластины, ширина антенны, диаметр антенны; расстояние между элементами в дискретной системе; dn — ослабление боковых лепестков, дб. D — электрическое смещение, Е — напряженность электрического поля в скалярном представлении, Еэфф — эффективное значение напряженности электрического поля; Е\р—групповая характеристика (скалярная), Ел — интеграл ошибок; Е — напряженность электрического поля, Е( — вектор напряженности тангенциальной составляющей электрического поля; Е(Г — вектор напряженности поперечной составляющей электрического поля; Ео — характеристика излучения; Еол — нормированная характеристика излучения; Е^е) — одиночная характеристика (векторная), Ер — вектор электрического поля первичного излучения; e.i, и т д — единичные векторы; F—часть поверхности; геометрическая поверхность антенны (апертура), / — частота; фокусное расстояние; коэффициент заполнения, f (р) — функция распределения; fg — граничная частота; F —магнитный вектор-потенциал, вещественная составляющая вектора напряженности электрического поля, Fo — основная часть магнитного вектор-потенциала при аппроксимации даль- него поля; С — усиление антенны; бэфф — эффективное усиление; Он — усиление без учета бокового излучения; 5
G' — погонная проводимость линии; g (u) — функция излучения; групповая характеристика дискретной системы; — функции Ханкеля n-го порядка 1-го и 2-го рода, h — высота; й(«; (?), Н (а) —функции для описания относительного уровня почек; Н — напряженность магнитного поля; Ht — вектор напряженности тангенциальной составляющей магнитного поля, Н|Г —вектор напряженности поперечной составляющей магнитного поля; tip — вектор магнитного поля первичного излучения; I — электрический ток; [ — плотность электрического тока, If,, — плотность магнитного тока; If — плотность электрического поверхностного тока; lmf — плотность магнитного поверхностного тока; — функция Бесселя в-го порядка; Im — мнимая часть; / — мнимая единица; К' — мера чувствительности к погрешностям антенной системы; X’’ — линейная комбинация сферических функций, Й — волновое число; fee(X — волновое число в среде с постоянными е и р; kx —постоянная распространения в направлении оси х, k[, — 2л/Аь, L — индуктивность; L! —погонная индуктивность линии, I — геометрическая длина пути распространения; длина излучателя; М. — момент вращения, .'V, Nn — мощность, входящая в переходный элемент или выходящая из него; Np — функция Неймана л-го порядка; п — коэффициент преломления; число элементов в дискретной излучающей системе; п2 — коэффициент преломления эквивалентной среды в теории антенн поверх- ностных волн; N — вспомогательная векторная величина (интеграл), используемая в апер- турном методе; и — нормальный единичный вектор; О — начало системы координат; Off), о (/) — символы Ландау; Р — точка в пространстве; отношение поляризационных составляющих, мощность, передаваемая по линии; сила ветра; Р (г) —интенсивность излучения; р’ — точка в пространстве при вычислении поля с помощью интегрирования, Р$ — мощность излучения; передаваемая мощность; Ре — принимаемая мощность; Ри — мощность потерь; Р — отношение поляризационных составляющих, отнесенное к левой системе, Рт — полином порядка т", Ртп —сферическая функция; р — переменная функции распределения; р„ —отношение излучаемой мощности к подводимой к переходному элементу; р (г) —функция связи (в антенных системах, питаемых бегущими волнами); р (X) — плотность вероятности, Р— вектор поляризации; вектор Герца; Р — вектор поляризации, отнесенный к левой системе, Ps, ₽<, Psp — векторы поляризации при передаче и приеме и вектор запирающей поля- ризации; rfpt-, dpm — электрический или, соответственно, магнитный момент; Q — электрический заряд; верхняя граница относительного уровня помех; <2™ — сферическая функция 2-го рода, д — коэффициент использования площади, 6
относительный уровень искажений; расстояние от начала системы координат до точки в пространстве, отношение dinax/d,nin в случае конических излучателей; гидродинамическое давление; Q — вектор Фитцджеральда; вектор поляризации, ортогональный к Р; радиус-вектор точки интегрирования; q — Q/<?; J? — сопротивление; сопротивление линии в определенном месте, радиус сферического зеркала, — погонное сопротивление линии; /?0 — сопротивление нагрузки; R — отнесенное к волновому сопротивление линии в определенном месте; Rf — действуй щая часть поверхностного сопротивления Zp, г — радиус поперечного сечения круглого волновода, измеряемое расстояние или дистанция до цели, г' — расстояние между точками Р' и Р при интегрировании, rs— радиус кривизны луча, Re — вещественная часть; г, г — коэффициент отражения; г — единичный вектор в направлении распространения; координатный единичный вектор в сферической системе координат; rv — коэффициент отражения переходного элемента; S — плотность потока излучения; 5 (и) — интеграл Френеля; si (х) — интегральный синус; s — волновое отношение; sMV — элементы матрицы рассеяния; sp (х) = sin х!х\ S — вещестеенный вектор Пойитинга; S, S — комплексный вектор Пойнтинга, S —среднее значение во времени вещественного вектора Пойнтинга при гар- монической зависимости от времени, s — единичный вектор в направлении излучения, тангенциальный единичный вектор; 5 — матрица рассеяния; Т — период колебаний; Тп (х) — полином Чебышева п-го порядка; t — время, глубина зон в линзовых антеннах; глубина проникновения; -цч — элементы матрицы рассеяния; Т — матрица передачи; U — напряжение в общем случае; и — переменная функции излучения; и — коэффициент передачи, Ugv — коэффициенты передачи переходного элемента, И — область пространства; о — скорость ветра; с, Цф —фазовая скорость; Цгр — групповая скорость, — скорость распространения электромагнитной волны в безграничной среде с постоянными е к р; W — энергия поля; U''e — энергия электрического поля, плотность энергии электрического поля; Wm — энергия магнитного поля, плотность энергии магнитного поля; Wq — энергия, преобразованная в теплоту, плотность тепловой энергии, л — случайная переменная; X — среднее значение случайной величины, вероятность возникновения X; Z — сопротивление поля; Zpn — волновое сопротивление свободной среды с постоянными е, р; Zo — волновое сопротивление свободного пространства; Zt — волновое сопротивление линии (как правило, волновое сопротивление поля); Zf — поверхностное сопротивление; Zn — линейная комбинация цилиндрических функций п-ro порядка, а — угол для обозначения положения эллипса поляризации; постоянная затухания, 7
[j — угол для обозначения эксцентриситета эллипса поляризации; фазовая постоянная; радиус корреляции; у — постоянная распространения; угол для обозначения поляризационного отношения, коэффициент сверхусиления, Г (Р; Р') — функция Грина; Д — оператор Лапласа, Д(г — поперечный оператор Лапласа, 6 — угол диэлектрических потерь, толщина слоя; отношение мощности потерь к подводимой к переходному элементу мощ- ности, б (I) — дельта-функция Дирака; 62 — сумма среднеквадратичных погрешностей; г — диэлектрическая проницаемость; малое положительное число, 8,; — диэлектрическая проницаемость свободного пространства, ег — относительная диэлектрическая проницаемость; а', е" — вещественная и мнимая части комплексной диэлектрической проницае- мости, ег — относительная диэлектрическая проницаемость эквивалентной среды в тео- рии антенн поверхностных волн, п и т. д —положительные корни линейных комбинаций цилиндрических функций, Т] — коэффициент полезного действия (к п д ), t] . — коэффициент полезного действия передачи; 6 —угол излучения антенны, возбуждаемой приходящими волнами, •& — угол излучения; 2,&/7 — ширина диаграммы по половинному уровню, к —параметр при распространении волн в линиях; к' — мера чувствительности к погрешностям для непрерывно возбуждаемых линейных источников; Л„ (г) — функция, образованная из функции Бесселя n-го порядка; % — длина волны, — длина волны в свободном пространстве, Х.ем — длина волны в среде с постоянными е, и, Хд — длина волны в линии; Kg — граничная длина волны; и т. д. — эквивалентная длина волны в направлении оси хит д.; р — магнитная проницаемость, — магнитная проницаемость свободного пространства, рт — относительная магнитная проницаемость; [л/, ц” — вещественная и мнимая части комплексной магнитной проницаемости, v — угол магнитных потерь; 5 — переменная функции корреляции, q — плотность электрического заряда, плотность воздуха; Со — внутренний радиус круглого волновода, — плотность магнитного заряда; qk — плотность электрического поверхностного заряда, QmF — плотность магнитного поверхностного заряда; а — электрическая проводимость; площадь рассеяния; относительный угол качания; о2 — среднеквадратичное отклонение, дисперсия; <тт — магнитная проводимость; т — тангенциальный единичный вектор на кривой, Ф — магнитный поток; Ф (£) — корреляционная функция функции распределения f (р), Ф — фазовый угол; скалярный потенциал; Ф1—фазовая погрешность в апертурных антеннах; % — e~,kr!r — умноженная на 4л функция Грина для свободного пространства при вы- полнении условий излучения; 2ф^, 2ф/у — углы раскрыва пирамидального и сектор и аль но го рупоров; — круговая частота, V — оператор Гамильтона, V/r — поперечный оператор Гамильтона.
Введение Передача электромагнитной энергии в основном осуществляется двумя способами: 1) с помощью материальной структуры, направляющей волны; 2) с помощью фокусирования волн на передающей стороне и их приема (преимущественно с направления излучения) без использования особых средств на пути распространения. Первый способ передачи осуществляется с помощью линий. При вто- ром способе для преобразования электромагнитных волн, связанных с ли- нией, в пространственные электромагнитные волны и обратно необходимы технические устройства, которые определенным образом распределяют излучение во всем пространстве или, соответственно, осуществляют его прием и обратное преобразование в волны, связанные с линией. Эти устрой- ства называются антеннами. Тем самым понятие антенны определяется требованием взаимного пре- образования электромагнитной энергии, связанной с линией, и энергии излучения. Из этого требования и физических законов о связи между элек- трическим и магнитным токами, с одной стороны, и электромагнитными по- лями, с другой стороны, вытекает определение антенны как технического устройства, которое с помощью некоторого распределения тока создает в непосредственной окрестности антенны электромагнитное поле излуче- ния с определенными свойствами (раздел 1.5.1). При этом в качестве токов, возбуждающих излучение, рассматриваются собственно токи в линиях и электрические и магнитные эквивалентные токи, которые могут быть определены на поверхности, окружающей антенну, с помощью существу- ющего на ней электромагнитного'поля (раздел 1.2 3). Требуемое распределение тока в окрестности антенны или, соответ- ственно, на самой антенне создается с помощью хорошо проводящих мате- риалов, с одной стороны, и с помощью диэлектриков с малыми потерями, с другой стороны (в исключительных случаях — с помощью сред, облада- ющих довольно значительными потерями). Совокупность этих сред, вклю- чая переход от линии питания, образует антенну. Конструкция антенны определяет характер преобразования волны из связанной с линией в про- странственное излучение. Способ осуществления этого преобразования и излучения энергии называется механизмом излучения антенны. Для антенн СВЧ, которые, как правило, велики по сравнению с длиной волны, механизм излучения может быть сведен в большинстве случаев к распро- странению энергии по определенному пути до некоторой поверхности, так называемой апертуры антенны, распределение поля на которой или, соот- ветственно, эквивалентные токи рассматриваются в качестве источников излучения энергии в пространство Исключение составляют излучатели малых размеров и антенны поверхностных волн. Используемые в технике типы антенн можно классифицировать по раз- личным параметрам, из которых решающую роль играют длина волны, механизм излучения, распределение излучения в пространстве, форма и структура излучающей части и др. Подразделение по длине волны целесообразно осуществить следующим образом (указываются лишь важнейшие типы антенн). 9
а) Антенны сверхдлинных волн (20—3 км). Передающими антеннами служат несимметричные излучатели; элек- трическая длина меньше %/4. В качестве приемных антенн в большинстве случаев применяются простые проволочные конструкции. б) Антенны длинных волн (3000—600 м). Передающими антеннами служат несимметричные излучатели; элек- трическая длина не превышает Х/4 (радиомачты, треугольные плоские антенны, зонтичные антенны и т. д). В качестве приемных антенн чаще всего применяются простые проволочные конструкции. в) Антенны средних волн (600—185 xt). Передающими антеннами служат несимметричные излучатели; элек- трическая длина составляет Х./4—Х/2 или несколько больше (антифедин- говые антенны). К таким антеннам относятся трубчатые или решетчатые мачты, треугольные плоские антенны или другие проволочные антенны. В качестве приемных антенн чаще всего применяются простые проволоч- ные конструкции. г) Антенны промежуточных волн (187—105 л<). В качестве передающих и приемных антенн применяются в большин- стве случаев несимметричные излучатели (штыревые или проволочные антенны). д) Антенны коротких волн (100—10 xt): В качестве передающих и приемных антенн для ближней связи приме- няются штыревые и проволочные антенны, иногда в широкополосном исполнении (цилиндрические антенны и т. д.) Антенны для дальней связи определяются спецификой условий распро- странения (отражением от ионосферы) Проволочные антенны в большин- стве случаев применяются с горизонтальной поляризацией: ромбические или более простые антенны в виде длинного провода, дипольные решетки и т. д, е) Антенны метровых волн (10—1 х<). Передающими антеннами в большинстве случаев являются сложные комбинации полуволновых диполей. Они имеют большую направленность в вертикальной плоскости и круговую или специального вида диаграмму излучения в горизонтальной'плоскости. Поляризация чаще всего гори- зонтальная. Наряду с этим применяются горизонтально или вертикально располо- женные диполи или простые комбинации их; кроме того, используются трубчатые щелевые антенны. В качестве приемных антенн применяются диполи, антенны типа ^волновой канал» (антенны Яги) и самые разнообраз- ные структуры из линейных проводников, в частности — сверхшироко- полосные структуры (логарифмически-периодические антенны и т. в.). Питание передающих антенн или, соответственно, передача энергии к приемнику в случае приемных антенн осуществляются почти всегда с помощью коаксиального кабеля. ж) Антенны дециметровых волн (1 м—10 см). Передающие и приемные антенны по форме до некоторой степени подобны антеннам метрового диапазона волн; применяются трубчатые щелевые антенны, диполи с уголковым отражателем и т. д,; кроме того, используются поверхностные антенны с непрерывным возбуждением, как, например, зеркальные антенны, рупорные излучатели и т. д. Питание зеркальных антенн осуществляется чаще всего дипольными системами. Передача энергии к антенне в большинстве случаев производится с по- мощью коаксиального кабеля, а на более коротких волнах диапазона — с помощью волноводов. з) Антенны сантиметровых волн (10—1 см). 10
К этим антеннам относятся поверхностные антенны с непрерывным возбуждением: зеркальные и линзовые антенны (питание которых в боль- шинстве случаев осуществляется с помощью рупорного излучателя), рупорные излучатели с большим раскрывом и т д. Кроме того, исполь- зуются продольные излучатели, преимущественно в качестве антенн по- верхностных волн (диэлектрические стержневые излучатели, металличе- ские гофрированные антенны и т. д.), волноводно-щелевые антенны (ди- польные системы применяются реже), системы из излучающих элементов в полосковом исполнении. Энергия подводится почти всегда с помощью волноводов, иногда посредством сверхвысокочастотных полосковых линий, а на более длинных волнах — с помощью коаксиальных линий. и) Антенны миллиметровых волн « 1 см). Обычно применяются поверхностные антенны (зеркальные, линзовые, рупорные излучатели), а также комбинации щелей и аналогичные струк- туры Передача энергии производится с помощью волноводов. Антенны, используемые в технике, по механизму излучения можно грубо подразделить на три группы. К первой группе относятся антенны, размеры которых сравнимы с дли- ной волны. Эти антенны, применяемые преимущественно на более длин- ных волнах, обладают различными механизмами излучения. В большинстве случаев распределение тока в проводниках антенны можно рассматривать в качестве непосредственного источника излучения. Типичными примерами таких антенн являются диполи, рамочные антенны и др. Вторая группа охватывает поперечные излучатели, т. е. днтенны или антенные системы, размеры которых велики по сравнению g длиной волны и которые излучают в основном в направлении, перпендикулярном к их главному размеру. Сюда относятся, в частности, поверхностные или апер- турные антенны диапазона СВЧ, механизм излучения которых может быть объяснен с помощью оптических принципов: В качестве эквивалента для большинства антенн СВЧ может служить излучающая апертура. Типич- ными примерами таких антенн являются линзовые и зеркальные антенны. Третья группа включает продольные излучатели, т. е антенны, кото- рые излучают в основном в направлении своего главного размера. Про- дольные излучатели диапазона СВЧ являются в большинстве случаев антеннами поверхностных волн; эти антенны характеризуются тем, что поверхностная волна, распространяющаяся вдоль антенной структуры, является промежуточным звеном между волной, связанной с линией, и про- странственным излучением. Настоящая книга посвящена антеннам СВЧ К ним относятся антенны для волн короче 30 см или для частот выше 1 Ггц = 10® гц. Размеры антенн СВЧ, представляющих практический интерес, как правило, велики по сравнению с длиной волны. Характерным признаком их является боль- шая концентрация излучаемой энергии в заданном направлении. Однако применяются также антенны СВЧ, которые имеют другое распределение излучения в угловой области пространства и размеры которых по порядку своей величины сравнимы с длиной волны. Попыткой дать систематический обзор всех антенн СВЧ является представленная в табл. В. 1 классифика- ция (см. вкладку в конце книги), в основу которой положена форма испол- нения антенн и механизм их излучения. Хотя эта классификация и доста- точно подробна, однако она охватывает не все варианты и взаимные связи, которые имеют место при рассмотрении этого вопроса с других точек зрения. Ссылки на эту таблицу содержатся в разделах 5—9. Важным фактором, пока не учитывавшимся, является частотный диапазон, в кото- ром антенна заданным образом работает. В разделе 10 рассматриваются 11
широкополосные антенны; эти антенны хотя и работают в диапазоне сверхвысоких частот, но не являются типичными антеннами СВЧ. Выбор типа антенны для определенной цели, т. е передачи информа- ции или обзора пространства (в радиолокации), определяется ее характер- ными свойствами. Наряду с основной задачей преобразования энергии, связанной с линией, в энергию электромагнитного излучения антенна должна удовлетворять следующим требованиям. Прежде всего преобразование вида энергии по возможности должно про- исходить без ее потерь и потерь содержания информации, т. е. антенна должна быть хорошо согласована с линией питания, а подводимая энергия должна излучаться или, соответственно, приниматься по возможности полностью, без искажения сигнала. Кроме того, должно быть создано за- данное распределение интенсивности излучения в пространстве. Если Рис. В 1. Важнейшие пространственные диаграммы излучения, а — ненаправлен- ная; б —ненаправленная в горизонтальной плоскости; в — игольчатая, г — веер- ная; д — в вертикальной плоскости специального вида (приблизительно косе- кансная) отложить корень квадратный из интенсивности излучения (под этим пони- мается мощность, излучаемая в единичном телесном угле) в простран- ственной полярной системе координат, то образуется поверхность, расстоя- ние которой от начала координат в каждом направлении пропорционально напряженности электрического поля на сфере достаточно большого ра- диуса, центром которой является антенна. Эта поверхность, которую мы назовем пространственной диаграммой излучения (это обозначение не совсем корректно, однако выражение «ха- рактеристика излучения» целесообразно сохранить для векторной функ- ции распределения излучения), наглядно изображает распределение излу- чения антенн. На рис. В. 1 показаны важнейшие из применяемых простран- ственных диаграмм излучения, которые также могут служить для оценки свойств антенны. Идеальный изотропный излучатель не может быть реали- зован (раздел 1.5.2) В случае антенн СВЧ наибольшее значение имеют игольчатые, веерные и различные специальные диаграммы излучения. Другими характерными свойствами антенны являются ее полоса про- пускания, т. е. диапазон частот, в котором ее электрические свойства (диаграмма излучения, согласование с линией питания) сохраняются в за- данных границах, и, кроме того, поляризация излучения. Помимо этого 12
иногда ставится требование изменения диаграммы излучения по заданной программе во времени (качание луча) или соблюдения определенных соот- ношений между параметрами передачи и приема. Для описания свойств антенн, и в частности антенн СВЧ, существует много понятий, которые вводятся в тексте в соответствующих местах. Важнейшими параметрами являются степень согласования антенны с пита- ющей линией, выраженная через коэффициент стоячей волны s или коэф- фициент отражения г, усиление антенны как мера интенсивности излуче- ния в направлении ее главного максимума по отношению ко всей излучае- мой мощности (раздел 1.5.2) и ширина лепестка диаграммы излучения по половинному уровню как важнейший параметр диаграммы излучения остронаправленной антенны, т. е. угол между двумя направлениями, в кото- рых интенсивность излучения спадает до половины своего максимального значения Усиление антенны и ширина лепестка диаграммы излучения по половинному уровню, а также другие характеристики излучения, каса- ющиеся распределения его интенсивности и поляризации, содержатся в векторной характеристике излучения, которая полностью описывает свойства поля антенны в дальней зоне (раздел 1 3.1). Первая часть книги содержит общую теорию антенн СВЧ без учета спе- циальных свойств и типов антенн Во второй части рассматриваются типы антенн, применяемые в технике, причем изложение построено соответственно классификации антенн, при- веденной в табл. В 1. Теория антенн СВЧ базируется на основных уравнениях теории элек- тромагнитных волн (уравнения Максвелла и др.) и краевых условиях, получающихся из рассмотрения граничных задач, и представляет собой физико-математический комплекс, с помощью которого реальные соотно- шения заменяются теоретической идеализированной картиной, в резуль- тате чего становится возможным простое математическое рассмотрение, Эту идеализацию важно осуществить таким образом, чтобы она содер- жала самые существенные свойства антенны. Как было уже упомянуто, наиболее целесообразным эквивалентом большинства антенн СВЧ является излучающая апертура Далее эту эквивалентную схему мы конкретизи- руем, рассматривая плоскую апертуру, возбуждаемую при постоянной поляризации, и выбираем ее в качестве исходной для ряда основных сообра- жений, которые ведут к общим выводам о связи между возбуждением апертурной антенны и ее полем излучения (разделы 4 2.3, 4.3 2—4.3.8). При этом оказывается целесообразным и для апертурных антенн, и для непре- рывно возбуждаемых антенн (см. раздел 1 3.2) ввести понятия одиночной и групповой характеристик- Скалярной групповой характеристикой, для которой в случае плоской апертуры получается довольно простое интег- ральное представление, в основном (без учета поляризации) и описывается распределение излучения. Дальнейшее упрощение достигается сведением апертуры к линейному источнику (раздел 4.3.2). В этом случае функции, представляющие дальнее поле и возбуждение, оказываются связанными пресбразованнем Фурье, что позволяет перенести на антенны некоторые выводы теории связи. Само собой разумеется, что не всякую антенну СВЧ можно рассматри- вать таким образом, поэтому теория должна выработать ряд разнообраз- ных методов, которые зачастую не так просты и очевидны. Несмотря на это, идеализация излучающей антенной структуры плоской апертурой, воз- буждаемой при постоянной поляризации непрерывными линейными источ- никами, может считаться характерной для антенн СВЧ.
ОБЩИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ 1. Взаимодействие между токами и волями. Основы теории антенн 1.1. Представление поля токами с помощью векторных потенциалов 1.1.1. Общие замечания. Введение векторного потенциала Реальное электрическое поле всегда связано с токами и зарядами. Связь между ними описывается уравнениями Максвелла и краевыми усло- виями. В подобной системе, состоящей из поля и заданного распределения токов и зарядов, в замкнутой области пространства, вообще говоря, всегда происходит убывание энергии, обусловленное излучением и потерями в материале Поэтому для поддержания стационарного состояния система постоянно должна пополняться энергией. Это осуществляется в основном либо с помощью непосредственного возбуждения заданного распределения токов, соответствующего системе, либо с помощью облучения энергией. Первый метод используется при эксплуатации передающих антенн, а вто- рой — приемных. Мы будем исследовать связь между токами и зарядами, с одной стороны, и электромагнитным полем, с другой, предполагая, что все токи и заряды расположены в ограниченной области пространства, а электромагнитное поле простирается до бесконечности. При этом прежде всего будем полагать, что энергия подводится с помощью токов и зарядов, и в этом смысле будем называть токи и заряды источниками поля. Электромагнитное поле в не- ограниченной области пространства назовем электромагнитным полем излу- чения. В дальнейшем будем рассматривать гармонические процессы и в основу положим уравнения Максвелла в следующем виде: rot Е —Im — /аду. И rot Н = I + /соеЕ. Пусть е и ц постоянны во всем пространстве, внешнем по отношению к токам I и Im. Мы можем отказаться от введения дополнительных уравне- ний, так как они непосредственно следуют из уравнений Непрерывности, с помощью которых определяются заряды. Распределения токов I, 1т считаются заданными; необходимо найти векторные поля Е и Н во всем пространстве. Так как поля, создаваемые различными источниками, накла- дываются без искажений, то общее решение может быть составлено из двух частных решений, которые можно получить, если положить равными нулю сначала магнитные, а затем электрические токи. Пусть сначала 1„, = 0. Тогда, поскольку дивергенция ротора равна нулю, справедливо div Н = 0. (1.1) 14
Следовательно, Н может быть представлено в виде H = rotA, (1.2) причем А определено только до множителя, равного градиенту. Поэтому из второго уравнения Максвелла мы получаем следующее выражение: Е = —— rot rot А — U— I. (1.3) ja>8 /шв 4 ’ Кроме того, с учетом (1.2) при 1,л = 0 первое уравнение Максвелла можно переписать в виде rot (Е 4- jfflpA) = 0; сумма в скобках может быть положена равной градиенту, так что для Е получается следующее выражение: Е = —/ирА ~ grad ф. (1.4) Если мы теперь образуем ротор (1.2), то из уравнений Максвелла при 1Я1 = 0 и тождественности векторов [см. (П. 15)] следует: grad div А — V2A = I + fe2A — grad <p, (1.5) где k — волновое число, равное k = ер. (1.6) Однако ф еще произвольно, поэтому выберем эту величину (а вместе с ней и вектор А) таким образом, чтобы выражение (1.5) имело по возмож- ности простой вид. Это справедливо для = —div А; так как в этом случае оба внешних члена в (1.5) можно сократить, то в ре- зультате получим V2A 4- ЙаА = — I. (1.7) Тем самым А удовлетворяет неоднородному волновому уравнению с возмущающим членом —I. Если рассмотреть другой частный случай, когда электрические токи равны нулю, то div Е = 0; поэтому Е может быть представлено в виде Е = —rotF, (1.8) после чего Н будет Н = —rot rot F----— L.. /соц (Е9) Аналогично для F может быть получено следующее волновое уравнение: V2F + A’F = —Ini; (1.10) здесь А называется электрическим, a F—магнитным вектор-потенциалом. 1.1.2. Представления паяя Если в области пространства V, ограниченной поверхностью F, задана векторная функция G (Р), а на F — скалярные функции А (Р), В (Р), причем выполнены точные условия регулярности, то граничная задача V2Z + fe2Z = G (в V); AZ + = 0 (на F) 15
решается с помощью следующей векторной функции: Z(P) = — J Г (Р; Р') G (/>') d V; (V) здесь Р — точка, в которой определяется поле, Р' — текущая точка интегрирования в пределах объема V, а Г — соответствующая однородной задаче (G = 0) функция Грина [А 12] [А 38] [В 2], Если V — неограниченное однородное пространство, то вместо краевого условия вводится условие излучения Зоммерфельда limfrf/AZ +РМ = 0, (1.11) ] \ ° Г / | откуда следует, что общая энергия излучения остается конечной (например, [А 38], [А 44], [В 7]). Функция Грина в этом случае имеет вид Г(Р;Р') = ±-Х, (М2) где е~^г * = —’> г = РР' = У(х — х')2 + (у — у')2+ (z — z')\ х, у, z — прямоугольные декартовы координаты точки Р; х', у', г' — то же точки Р'. % для Р' =Р Р удовлетворяет (в соответствии с определением функции Грина) волновому уравнению ДК + А2Х = 0. (1.13) Для векторных потенциалов из (1.7), (1.10) и (1.11) получается следу- ющее выражение: A = iJx(P;/’')«(ndV; (1-14) (V) F=iJ x(P-,P')im(P')dV. (1 15) (V) Полное электромагнитное поле в тех точках пространства, где отсут- ствуют источники, получается в виде суммы частных решений (1.2), (1.3) и (1.8), (1.9) следующим образом: Е = — rot F 4—— rot rot А; (1.16) jwe Н = rot А + J- rot rot F. (1.17) /соц Из этого следует, что поле в однородном пространстве определяется электрическими и магнитными токами. При заданном распределении тока решение, удовлетворяющее условию Зоммерфельда, единственно Это представление справедливо и для более сложных законов распределений тока (регулярных в области), так что оно может быть широко использо- вано при решении задач теории антенн. 16
Вместо векторных потенциалов А и F часто вводятся так называемые потенциалы излучения Р и Q, которые связаны с А и F следующим образом: . <ЭР _ А — 6 dt ; F — 11 dt или, соответственно, при гармонической зависимости от времени: А = /<оеР; F =/cnpQ; (1.18) Р называют также вектором Герца, a Q — вектором Фитцджеральда (напри- мер, [А 441). 1.1.3. Поверхностные, линейные н точечные тонн В соответствии с определением плотности поверхностного тока вектор- ные потенциалы (1. 14), (1. 15) могут быть выражены также через эту величину. Так как плотность тока может быть и не постоянной, то пред- ставление поля справедливо и в том случае, если ток сконцентрирован в тонком слое с постоянной плотностью вдоль элемента поверхности. Если устремить толщину слоя к нулю при сохранении величины общего тока на единицу длины, то приходим к определению плотности поверхностного тока, и интегралы по объему в (1.14), (1.15) переходят в поверхностные: А = 4ИХ(Р’ (М9) (>) f = P')U(PW (i-20) (F) Если пойти дальше и рассматривать токи, протекающие вдоль линии в части пространства, имеющей форму трубки, то можно их считать линей- ными. Эти токи могут быть получены, если окружающая линию трубка выбрана таким образом, чтобы общий ток в ее поперечном сечении оста- вался постоянным. Векторные потенциалы в этом случае принимают сле- дующий вид: А = ^^(Р; P')Is(P')dx; (1.21) (С) F = (1.22) (С) Здесь Is и Ims уже не функции плотности, а векторы полного тока вдоль линии С. Если s — единичный вектор, направленный по касательной к С, то Ь = I ЬI s; Ims = | UI s. Наконец, имеются случаи, когда ток целесообразно считать точечным. Тогда интегралы в (1.21), (1.22) заменяются подынтегральными выраже- ниями в соответствующих точках. Произведения ds и Imsds являются аналитическими представлениями электрического или, соответственно, магнитного элементов тока и называются электрическим или магнитным моментом. Моменты являются векторами. Это представление включает в себя также заряды, возникающие на обоих концах элемента тока. Единое представление векторных потенциалов получается, если счи- тать как для поверхностных, так и для объемных токов произведение плот- ности тока на дифференциал элементом тока или, соответственно, момен- том и определять электрический момент следующим образом: 2 Заказ № 1596 17
dpt = Is ds — в случае линейных токов и в граничном случае точеч- ного тока; dp, ~ IpdF ~ в случае поверхностных токов; dp, = 1 dV • в случае пространственных токов. Для магнитного момента dpm справедливы соответствующие соотноше- ния. Если обозначить затем через М — V + F + С множество всех точек, заключенных в пространственных, поверхностных и криволинейных эле- ментах, где электрический или, соответственно, магнитный момент отли- чен от нуля, То для векторных потенциалов справедливо: (1-23} (Л1) (1-24) (М) В некоторых случаях и при наличии поверхностных, линейных или точечных токов целесообразно пользоваться только плотностями простран- ственного тока, которые удовлетворяют известным условиям непрерывно- сти. В этих случаях плотность пространственного тока (которая в неко- торых местах становится бесконечно большой) можно определить с по- мощью б-функции Дирака и для поверхностных токов положить I = IF6(|); Im = ImF 6 (?), (1.25) где | — координата в точке Р, изменяющаяся в направлении нормали к поверхности. Соответственно для линейных токов справедливо I = 1,6 (?) б (п), (1.26) если ? и Г| — координаты, перпендикулярные к направлению распростране- ния тока. Для точечных токов можно записать: I = I. ds6 (?)б (л) б (□, (1.27) где ?, т], ? — координаты прямоугольной декартовой системы, начало которой совпадает с элементом тока. Во всех случаях с помощью этих формул векторные потенциалы могут быть выражены через объемные интегралы. Выраженный через б-функцию предельный переход может быть осуществлен после выполнения интегри- рования. 1.2. Представление поля интегралом по источникам 1.2.1. Представление поля объемный интегралом Так как дифференцирование по параметру, от которого зависит подын- тегральное выражение, может быть произведено лишь при постоянных относительно переменной интегрирования выражениях под знаком инте- грала, то представления поля (1.16), (1.17) с учетом (1.14), (1.15) могут быть записаны в интегральной форме, если выполнены необходимые усло- вия непрерывности. В этом случае Е = - i I {rot W") ” irot rot №)} dV'; (V) if/ i ! ; <L28) H = - i I {"rot ~ wrot rot (x1™)}d v'- (V) 18
Необходимо учитывать, что процесс дифференцирования относится к точке Р, а не к переменной точке интегрирования Р'. Следовательно, I и 1т при выполнении операции дифференцирования^могут считаться постоянными. Для того чтобы можно было осуществлять преобразования, а также чтобы выполнялись необходимые в дальнейшем предпосылки, будем счи- тать токи 1 и 1ш дважды непрерывно дифференцируемыми. Согласно векторным формулам (П. 11) и (П. 14), учитывая постоян- ство I и Im относительно переменной дифференцирования и формулу (1.13), получим rot (xl) = —II, grad yj; ' rot rot (xl) = (I, grad) grad x + Соответствующие соотношения справедливы для Введем сюда операторы дифференцирования по Р', которые обозначим grad' и т. д. Тогда, как легко можно показать, grad х = -^~(г — г') = — grad' х; (I, grad) grad х = О» grad') grad'х, (1-29) где г = -у- (ерс 4- + М; г' = ~~ (еХ + М' + ег2'). После выполнения этих преобразований формулы (1.28) переходят в следующие: Е = >grad' х + lI"” gracr dV'’ m H = 4sbu f grad')grad'x + feaxlm + /<op[l, grad'xJ} dW. (V) Тогда (в прямоугольных декартовых координатах х', у', z') (I, grad') grad'х = — div' I grad' x + e^div' (l-^) + (1.30) 4-e^div' (l^-,) + e^div'(l-|j). Кроме того, если F представляет собой замкнутую поверхность, на кото- рой токи отсутствуют и которая делит пространство на внутреннюю об- ласть Vt и внешнюю Va, то (vd (У а) ^(1,, n)dP = 0 (Г> (п — внутренняя нормаль к Р). То же самое справедливо и для других дивергенций. 2* 19
Тем самым получается: Е= 4^ f —/ft>8 [Im, grad'x] — div' 1 grad' %}dV', (V) н = f !fe3xU + /“P[I- grad'x]—div'1Шgrad'x}dV', а после использования уравнений непрерывности div'I = —/сое; div'Im = —/соеш получим Е = — f [/copxl + [lm. grad'x]—-|~grad'x)dV'; H = “ 4/Г f l/wexU—[b grad'x] — ^-grad'xjdV'. (1.31) (132) 1.2.2. Вввдвнив поверхностных интегралов Мы уже разделили все пространство введенной выше замкнутой и сво- бодной от источников поверхностью F на внутреннюю V( и внешнюю Va области (рис. 1.1). В этом случае напряженность электрического поля представляется следующим образом; Е=—-М {...Jdl/'— * f 4л J 1 1 4л: J 1 1 (VJ (va) Соответствующее уравнение справедливо и для Н. В этом представлении один из объемных интегралов, например по Va, может быть выражен через Рис. 1.1. К представлению поли объемными и поверх- ностными интегралами. поверхностный интеграл по F, причем перед этим в подынтегральные выражения с помощью уравнений Максвелла вводятся параметры поля Е и Н. Не будем останавливаться на про- межуточных выкладках, так как преобразова- ния довольно громоздки, если ограничиваться использованием обычных законов интегриро- вания Другой путь вывода формул для Е и Н следующий (см., например, (А 38], [А 35], [1.281). К векторам А = %G и В = Е или, соответственно, Н (G— постоянный вектор) применяется векторная формула Грина (П.31) для области прост- ранства V—К с граничной поверхностью F + Л, причем Л — сфера малого радиуса с центром в точке Р, а К —ее объем. После преобразова- ния интегралов постоянный вектор G может быть исключен, и в результате получается векторное уравнение. Если устремить радиус сферы К к нулю, то в качестве граничного значения поверхностного интеграла по К полу- чается вектор поля в точке Р, умноженный на 4л, в то время как объемный интеграл по Л обращается в нуль. Если п — нормаль к F в области У(, то Е (Р() = — j pcopLXl + (U grad' Xl------1" grad' x} dV' — (M — 4^|{/юрх[п, H] — [[n, E], grad'%] — (n, E) grad'x)dF; (1.33) (F) 20
Н = “ 4Н J {- [*. grad' 7J — Y gra<r X}dV' >t) — TT f H /ft>ex [n’ E1 “ [[n’ H]’ grad' Z1 — tn’ Hi grad' dF ‘34> (F) или E(PJ=-if (|</r + ^f I- \dF; 11.3S} (Va) (F) H<P») = -i J l---idK' + ^ J {.. }dF (1.36) (^) (подынтегральные выражения имеют тот же вид, что и выше). Такое представление поля было предложено Стрэттоном я Чу [1.28]. Поле в точке Р выражается через источники в области пространства, содер- жащей точку р, и через значения поля на границе этой области. Поверхностные интегралы определяют при этом составляющие поля, которые создаются источниками, расположенными вне V( или, соответ- ственно, Fo- Если все источники расположены в 1щ, то объемный интеграл по V, в (1.33) или, соответственно, в (1.34) обращается в нуль и поле во внутрен- ней точке Pt выражается через распределение поля по F. Напротив, в (1.35) или (1.36) объемные интегралы отличны от нуля, в то время как поверх- ностные интегралы исчезают. Следовательно, поле в Ра определяется только объемными интегралами. Формально одинаковые поверхностные интегралы в (1.33) и (1.34) равны нулю, а в (1.35) и (I. 36) не равны, так как уравнения справедливы в одном случае для внешней точки Ра, а в другом для вну- тренней Pit т. е. % в обоих случаях различно! Если представить таким же образом поле в свободной от источников области пространства через по- верхностные интегралы по замкнутой поверхности F, то это представле- ние справедливо только для внутренних точек, тогда как вне F векторы поля тождественно равны нулю. Аналогичные рассуждения справедливы и при представлении поля во внешнем пространстве. 1.2.3. Замена поля на граничной поверхности распределенными по поверхности источниками Сравнение объемных и поверхностных интегралов в (1. 33)—(1.36) показывает, что полная аналогия величин, стоящих под знаками интегра- лов, имеет место в том случае, если электрические и магнитные поверх- ностные токи и заряды вводятся с помощью следующих соотношений: Ь = [ti, Н]; I_F = — In, ЕЕ , (Е37) QF = E(n, Е); = p(n, H). Тем самым представления поля принимают следующий вид (V означает либо V7, либо Va, Р соответственно Р( или Ра; и — внутренняя нормаль к V): Е (Р) = — ~ j Моцх( + (k, grad' у] — 4“ grad' М dV' ~ (V) — 47F f IUf. grad' xl — ^grad'xJ^F; (1.38) <F) 21
Н = J {/шеХ1т — [I. g^d' xl — ~ grad' %} dV' — (V) — 47 J [IF, grad' %] — ~ grad' %} dF. (1.39) (F) Поверхностные плотности, определяемые уравнениями (1.37), соответ- ствуют поверхностным плотностям, введенным при формулировке краевых условий на границе раздела двух различных сред, если внешнее поле на поверхности раздела произвольно положить равным нулю. Следовательно, они не идентичны с поверхностно распределенными источниками, которые для выполнения уравнений Максвелла должны предполагаться на поверх- ностях разрыва среды. Введенные здесь поверхностные плотности служат только в качестве расчетных величин, с которыми можно поступать так, как будто речь идет о действительных поверхностных токах и зарядах. Они называются эквивалентными токами и зарядами (в частности, здесь имеется в виду эквивалентность 1-го рода; ср. раздел 9.2.2, где вводится второй принцип эквивалентности). Если F свободно от источников, т. е. свободно от действующих токов и зарядов, что всегда предполагалось, то справедливы уравнения непре- рывности /©pF + div'IF = 0; 1 (b40) /Wpmr+div'ImF = 0. ) Тем самым все заряды в представлениях поля могут быть заменены токами. 1.2.4. Фермулы Кирхгофа Интегралы по замкнутой поверхности F, определяющие поле, могут быть преобразованы таким образом, чтобы поле в V выражалось через интегралы по граничной поверхности F в следующем виде:1 Е(Р) = --L(£(x^— E-JUdF; ’ 4п | дп дп f tF1 /1 41 i - ! 4 л Ч7(л дп дп) (£) J Эти уравнения называются формулами Кирхгофа (Кирхгофом они были сформулированы для скаляров [4.431). Их устанавливают в большинстве случаев независимо от уравнений, выведенных в разделе 1.2.2, полагая во второй формуле Грина (П.30) <р = %, а ф равной составляющей векто- ров поля в декартовой системе координат, например Ех. При этом рассматривается область пространства V—К с границей F+K, которая получается, если исключить из V точку Р, окружив ее сферой К радиусом б (рис. 1.2). Если обозначить составляющую поля через Е, то формула Грина полу- чает вид $ f ME-E^dV'. (1.42) (F+K) (V—F) Соответствие интегралов доказывается в разделе 4.1.3 в общем виде. 22
Область V предполагается свободной от источников. Тогда % и £ в V—К удовлетворяют однородным волновым уравнениям Дх 4- = 0; ле — О, в результате чего объемный интеграл обращается в нуль. Интеграл по ма- лой сфере с центром в точке Р согласно теореме о среднем имеет следующий вид: (К) чертой сверху обозначается соответствующее среднее значение на сфере. При переходе к пределу 6 0 исчезает член, содержащий %, так как он стремится к бесконечности как 1/6. Вследствие того, что 1.2. К выводу формул Кирхгофа. получаем Й f {• ] dF — 4лЕ (Р), . (X) так что формула Кирхгофа для Е следует из (1.42), если взять производные для всех со- ставляющих и произвести сложение. То же самое получается для Н. С помощью формул Кирхгофа параметры поля в точке Р выражаются через поля на замкнутой границе F. Следовательно, эти формулы аналогич- ны формулам Стрэттона и Чу для свободной от источников области про- странства, но несколько проще их. 1.3. Поле в области излучения 1.3.1. Другая форма условий излучения. Понятие о характеристике излучения Если нет внешних источников, то при неограниченном увеличении V, и стремлении F к бесконечности поверхностные интегралы в (1.33) и (1.34) обращаются в нуль. Так как в любом случае, представляющем технический интерес, все источники могут быть объединены в области пространства, расположенной на конечном расстоянии, то поверхностные интегралы всегда должны быть равны нулю, если F стремится к бесконечности, как бы ни были распределены источники. Отсюда могут быть выведены условия для асимптотического характера поведения векторов поля, которые должны выполняться независимо от распределения источников в каждом конкретном случае. Эти условия эквивалентны условию излучения Зоммерфельда. Для простоты в качестве F принимаем поверхность сферы радиуса г0. Для F справедливо " = -(м + тт)^71г’ где г = —п. После применения теоремы о среднем и использования соотношения [[г, Е],г] = Е-г(г,Е) 23
поверхностный интеграл в (1.33) принимает следующий вид: (jj { } аГГ = 4л гое~Мг° / —/оац. [г, Н] — (/fe + -L)E (F) Е и Н—параметры поля в соответствующей точке F. Если теперь для zo значение на границе lim Ф{ • • ] dF = 4л limJ — /горг0 [ [г, Н] 4- 1Л— Е) — е) (Г) должно быть равно нулю, то прежде всего должно выполняться limJr0 ([г,Н] + |/^_g\J=O и lim Е = 0. Соответствующее требование получается из другого поверхностного интеграла. Эти условия справедливы в предположении регулярности Е и Н во всех направлениях, а не только для среднего значения. Кроме того, так как общая мощность излучения должна оставаться конечной,^можно доказать, что на бесконечности Е и Н стремятся к нулю как 1/г0. Тем самым при использовании символа Ландау О (f)1 условия излучения можно представить в следующем виде (см., например, IA 27, стр. 261J): [г, Н|+/Ае = о(4); Е - 0( — V \ г / > [г,Е1-/Кн=.0(4); н = о(4), (1-43) причем можно ввести еще волновое сопротивление свободной среды Z = 1/i. ем- г е Для е = ввир = р0 сопротивление ZS)i = Z6 (волновое сопротивле- ние свободного пространства). Первое и третье уравнения (1-43) называются условиями излучения в узком смысле. Из них следует, что асимптотически (в свободном про- странстве) справедливо соотношение H=J_[r, El, (1.44) 1 Если (г) = О ( — ), то в результате получается, что r-f1 (г) остается конечным • при неограниченно возрастающем г, /4 (г) = О остается конечным. 24 означает, что r2-fz (г) Для г со
т. е. поле излучения в каждой точке на достаточно большом расстоянии от источников ведет себя как плоская электромагнитная волна. Асимпто- тически Е и Н расположены перпендикулярно друг другу и направлению распространения, и эти три вектора в указанной последовательности обра- зуют прямоугольную систему. Кроме того, отношение значений Е и Н равно волновому сопротивлению среды. Можно показать, что при выполнении условий излучения вектор элек- трического поля может быть представлен в следующем виде: Е=Е(г, г) = Е0(г)^ + 0(4г). (1.45) Аналогичное представление справедливо и для Н. Это означает, что каждый вектор поля является суммой двух слагаемых, первое из которых ведет себя как сферическая волна и убывает в бесконечности как 1/г, а вто- рое — по меньшей мере как 1/га. Коэффициент Ео в слагаемом для сфери- ческой волны в случае вектора электрического поля называется характе- ристикой излучения соответствующего распределения тока. Характери- стика излучения имеет размерность объема. (Можно было бы выбрать соответствующий множитель и для напряженности магнитного поля, однако, учитывая введение вектора поляризации, указанное здесь опре- деление является более целесообразным) Любое распределение источников имеет однозначную до скалярного множителя, равного единице, векторную характеристику излучения.1 Она зависит только от направления г и описывает характер изменения поля излучения на сфере большого радиуса, центр которой расположен в непо- средственной близости от источников Для плотности потока излучения в удаленной точке и квадрата модуля характеристики излучения справед- ливо соотношение |S| = |S(r, Г)|=_^.^_(ЕО(Г)|\ (1,46) Интенсивность излучения в направлении г = 2к’|Ео(г)Р- (Г47) Под интенсивностью излучения здесь понимается мощность излучения в единичном телесном угле. Она связана с плотностью потока излучения в точке, расположенной на удаленной сфере, соотношением Р(г) = ra|S(r, г)|. (1.48) Недостатком понятия характеристики излучения является ее размер- ность. Поэтому часто пользуются характеристикой излучения, отнесенной к ее значению в направлении г0, УЧ-Т^Г (,л9> Векторная функция Ео„ (г) носит название нормированной характе- ристики излучения. Она безразмерна. Обычно в качестве основного направ- ления г о выбирают направление максимального излучения, так что зна- чение нормированной характеристики излучения всегда меньше или равно единице 1 Так как положение начала системы координат вблизи источников произвольно, то фаза определена неоднозначно. 25
Область пространства, в которой поле может быть описано с достаточной для любой задачи точностью первым членом правой части уравнения (1.45), т. е. характеристикой излучения и множителем X = е~1*г/г, зависящим только от расстояния, называется областью излучения, а поле в области излучения — дальним полем. Используя метод обозначения, принятый в теоретической оптике, говорят также о приближении Фраунгофера. Приближение Фраунгофера, вообще говоря, может быть использовано для случая гЛ > Иг, где d — наибольший линейный размер системы источников. 1.3.2. Представление дальнего поля через распределение источников. Общие формулы для характеристики излучения При исследовании антенн СВЧ во многих случаях представляет инте- рес только дальнее поле или характеристика излучения. Поэтому мы при- ведем общее представление поля (1.16) к виду (1.45), иными словами, опре- делим характеристику излучения. Для этого выберем представление поля векторными потенциалами, потому что при этом мы исходим лишь из пред- положения регулярности распределения тока в области, тогда как инте- гральное представление требует существования и непрерывности вторых производных. В антенной же технике наибольшее значение имеют как раз неравномерные распределения тока. По той же причине мы избегаем в даль- нейшем применения интегральных теорем, которые также требуют непре- рывной дифференцируемости второго порядка. Прежде всего для дальнего поля представим векторные потенциалы в следующем виде: А - хА0; F = XFO, где Ао = ~ J e-^<^I(P')dV'; (V) (1.50) (1-51) (1.52) г - y'x! + у2 + za; г' = y'(x — x')a + (у — у’)2 + (z — z')2. г представляет собой расстояние от начала системы координат О, рас- положенного в непосредственной близости от источников, до точки Р, в которой определяется поле, г' — расстояние от текущей точки интегри- рования Р' до Р В представлении векторных потенциалов в знаменателе было положено г = г', так как можно легко показать, что возникающая из-за этого погрешность — более высокого порядка, чем 1/г, и, следова- тельно, не влияет на характеристику излучения. Если Q = <?q — вектор, характеризующий положение Р’ относительно О (q — расстояние OP', q — единичный вектор в направлении ОР'; рис. 1.3), то, опять пренебрегая более высокими степенями 1/г, получим г' — г = —(Q, г) = — q (q, г). (1.53) Если учитываются и вторые степени координат источника х', у1, z', отнесенных к г, то г'—г больше не является независимым от г, как это предполагает определение характеристики излучения. В этом случае 26
получается не характеристика излучения или приближение Фраунгофера, а приближение Френеля, которое применяется в том случае, если не вы- полнено условие для дальнего поля. Тогда, пренебрегая более высокими степенями 1/г, получим rot А = rot (хА0) = х rot А0— [Ао, grad xl (1.54) и grad х = = —/Агх- (1.55) Для вычисления rot Ao в области дальнего поля заменим неравномер- ное в общем случае распределение тока 1 (Р') последовательностью регу- лярных распределений (lv (Р')] (-v = 1,2, . .), дится к I (Р'). Для любого значения -v вслед- ствие постоянства подынтегрального выра- жения операция ротора может быть введена под знак интеграла. Таким образом, rot А(> = ~- J rot (a-M<''-')Iv(P')} dV = (V) J grad (e~lk (r'~r))] dV' (V) которая 1 4 л, а — /А (Г'—'’) — grad (e~ik <r'~r>) — —jk -— ---------------------Q для Рис. 13. К расчету Г—/для дальнего поля. и с учетом получаем rot А, = =£ j [Q, Iv] dV'; (V) при этом Q = Q — г (Q, r). Теперь подынтегральные выражения, а тем самым и интеграл по огра- ниченной области пространства У, как легко видеть, равномерно ограни- чены относительно v, г. е. можно указать такое число М, что для любого v справедливо Ц dV' М. Следовательно, такое же неравенство справедливо и в пределе при т. е. для произвольного распределения тока I. Таким образом, rot А о на бесконечности стремится к нулю как 1/г, т е член X rot Ао стремится к нулю как 1/г2 и, следовательно, в характеристике излучения может не учитываться. Принимая во внимание (1.54) и (1.55), для дальнего поля получаем rot А = % [—/йг, А01 = [— jkr, А]. Если отсюда опять образовать ротор и пренебречь более высокими сте- пенями 1/г, то аналогичным образом находим rot rot А = [—jkr, [—jkr, А]]. Сходные выражения получаются для rot F и rot rot F. Тем самым ХЕ0 (г) = — [—jkr, F] + [—jkr, [—jkr, А]]; (1.56) хН0(г) = [—jkr, А} + -^—[—jkr, [—jkr, FH (1.57) 27
или E0(r) = — [—jkr, Fol + -~[—/Ar, [—/Ar, Ao]];_ (1.58) H0(r) = [—/Ar, Ao] + ’ [—/Ar, [—/Ar, F0H. (1.59) Следовательно, переход к дальнему полю осуществляется путем простой замены в уравнениях (1.16), (1.17) векторного дифференциального опера- тора V на —/Аг. В дальнейшем мы рассматриваем только характеристику излучения Ео (г), которая после несложных преобразований может быть получена из (1.58): Е0(г) = /A[r. Fo4 2ец[г, Ао]]=< J [г, Im+^[r, dV'. (V) (1 60) Наиболее простое и наглядное представление характеристики излу- чения можно получить, если в области V заменить токи I и общим ска- лярным множителем. В этом случае можно положить I (?') = А (Р') I; (Р') = А (Р') U (1-61) где I и Гт — постоянные векторы, которые характеризуют независящие от точки пространства свойства токов, а А (Р')—скалярная, вообще говоря, комплексная функция пространственных координат, определя- ющая амплитуды и фазы токов. Как следует из (1.60), характеристика излучения при справедливости (1.61) может быть записана в виде произведения скалярного и векторного- множителей следующим образом. Е0(г)^Е^(г)4г’(г), (1.62) где Е£»=^-[г, и + 2еДг, I]]; (1.63) Е^} (г) = J А (Р') е~1к (г'~г> dV'. (1.64) (V) По аналогии с обозначением, которое обычно применяется для сово- купности излучателей, назовем векторный множитель Е£е) одиночной харак- теристикой, а скалярный множитель — групповой характеристикой. Одиночная характеристика определяет в основном вид поляризации в характеристике излучения, в то время как групповая характеристика описывает главным образом амплитудное и фазовое распределения. Из дальнейшего будет видно, что введение этих понятий целесообразно при рассмотрении многих задач теории антенн и, в частности, позволяет сде- лать выводы об области применения скалярной приближенной формулы, часто используемой в случае поверхностных антенн. При распределении источников на плоскости эта формула идентична введенной групповой характеристике. 28
Рассмотрим частный случай соотношения (1.61) между токами, пред- положив справедливость следующих выражений для постоянных векторов тока: In, 'И; (и, Г) = (и, 'IJ = 0. (1.65) Подобная связь имеет место, если, например, рассматривать определяе- мую эквивалентными токами плоскую электромагнитную волну, которая распространяется в направлении и. В этом случае одиночная характери- стика принимает следующий вид: Е^=Л[г, [п + г, I]]. (1.66) Если теперь положить в прямоугольной декартовой системе координат n - е2; I = еЛ — (1.67) то после введения сферических координат г, е<>, согласно приложению 2 получается следующее выражение для одиночной характеристики: Е,'и +cos&) х X I—ео (L cos Ф ~г ^sm ф) 4- е.ф (Тхйтф — Тйсозф)}. (1.68) При этом выражение, стоящее в фигурных скобках, не зависит от 6, так что зависимость одиночной характеристики от угла между направле- нием излучения и п = ег определяется лишь множителем 1 4- cos ft Сле- довательно, мы можем констатировать, что уравнение (1.62) с учетом (1.64) и (1.68) строго справедливо для любого направления излучения г, если только токи удовлетворяют условиям (1.61) и (1.65). Объемный интеграл в групповой характеристике (1.64) в случае поверхностно или линейно рас- пределенных источников можно заменить поверхностным или, соответст- венно, линейным интегралом. Разделение характеристики излучения на одиночную к групповую возможно, в частности, и в тех случаях, когда плоская апертура возбуждается при постоянной поляризации. 1.4. Элементарный излучатель 1.4.1. Эквивалентность электрических и магнитных источников Магнитные токи и заряды рассматривались в предыдущих разделах с чисто формальной точки зрения, без объяснения их физической сущности. Принципиально в любой задаче магнитные токи и заряды можно пола- гать равными нулю и рассматривать только электрические источники, которые обычно имеют реальное физическое значение. Однако при введе- нии эквивалентных токов и зарядов с помощью уравнения (1.37) уже отме- чалось, что фиктивные магнитные величины могут оказать хорошую услугу по меньшей мере в качестве символов некоторых параметров поля. В даль- нейшем будет показано, что, кроме того, некоторые простые и часто встре- чающиеся излучатели могут быть идеализированы таким образом, что их целесообразно рассматривать в виде магнитных токов или их комбинаций. Покажем прежде всего, что принципиально можно ограничиться одним типом источника, электрическим или магнитным, для чего выведем экви- валентные соотношения между электрическими и магнитными токами. 29
Для этого рассмотрим распределение тока, при котором во всем про- странстве справедливы следующие соотношения: /сор! + rot lm == 0; 1 —+ rot I 0. 1 (1.69) При этом предположении уравнения Максвелла можно записать в виде rot E = —/ирН; rot H = /weE, (1.70) где E-E' i 4 1 H-H+ 2 4 (1.71) Если теперь применить формулу (1.33) Стрэттона и Чу и выбрать замкнутую поверхность F таким образом, чтобы все источники были рас- положены в то интеграл по F обращается в нуль. Однако объемный интеграл тоже обращается в нуль, так как в уравнениях (1.70) токи выра- жены неявно, т. е, Е и Н тождественно равны нулю во всем пространстве или, соответственно, Е и Н равны нулю во всех точках, где отсутствуют источники. Таким образом, существование соотношений (1.69) между электриче- скими и магнитными токами соответствует отсутствию источников, т. е. I и 1т создают в этом случае равные и противоположно направленные поля. В соответствии с этим для расчета поля вне источников можно по желанию рассматривать I или 1т, причем обе плотности токов связаны между собой эквивалентными соотношениями 1 = ТТД" rot <L72> I m ———-г-—— rot 1. (1.73} m ;<oe 4 В качестве определяющего для 1Г„ может быть принято, в частности, второе соотношение. Для пояснения рассмотрим следующие примеры, взятые из работы [1.18]. а) Пусть на бесконечной плоскости уг задан магнитный поверхностный ток с постоянной поверхностной плотностью = ег | Для применения уравнения (1.72) пространственная плотность тока представляется с помощью 6-функции Дирака: = 0.74) Таким образом, rot 1„, = | ImF | rot {ег6 (х)] = — | | 6' (х). Следовательно, согласно (1.72) эквивалентное распределение электри- ческого тока 1— (1.75) 30
Поскольку 6' (х) = +оо при х = —0; —оо при х = т0, то имеются две токовые поверхности с постоянной поверхностной плот- ностью, бесконечно близко прилегающие к обеим сторонам плоскости угг причем на одной стороне ток течет в положительном направлении у, а на второй — в отрицательном. Такая система называется двойным электри- ческим слоем. б) Пусть рассматривается линейный магнитный ток вдоль оси z Im = eJ Iml|6(x)6(jf). (1.76) Для эквивалентного распределения тока пересчет согласно формупе (1.72) дает 1 = I Не-6 wб' W s • d -77> J wr* Это — распределение тока, которым обладает бесконечно тонкая, окру- жающая ось г катушка. в) Элемент магнитного тока, расположенный в начале системы коорди- нат в направлении z, представляется через функцию плотности тока к = ег | U | dsS (х) & (у) 6 (z). (1.78) Эквивалентный электрический ток в этом случае 1 = 'Ims'dS в ~~ 6 ’ (L79> Это граничный случай малой __________________Oi+S петли тока, расположенной в пло- с скости ху вокруг начала коор- I динат. Последним обосновывается, I в частности, практическое значе- ' ние элемента магнитного тока. - » j 1.4.2. Электрический элементарный g— ________________________ излучатель В» г'ии, кулема ти чние предцтаыдсшие эле* случае короткой по сравне- ментарного электрического диполя. НИЮ с длиной волны проводнико- вой антенны, к концам которой подключены большие емкости (рис. 1.4), ток по всей длине приблизительно постоянен (не зависит от места). Такой излучатель можно приближенно считать элементом электричес- кого тока или (что вытекает отсюда) системой двух близко расположен- ных точечных зарядов + Q и — Q, которые изменяются в ритме тока. Расположение зарядов такого вида обычно называется диполем (также и в электростатике), и поэтому элемент электрического тока или, соот- ветственно, элементарный электрический излучатель мы также назовем элементарным электрическим диполем или диполем Герца. Кроме того, в антенной технике понятие диполя применяется к прямолинейным антен- нам, которые возбуждаются симметрично относительно их центра. Рассмотрим элементарный электрический излучатель и введем прямо- угольную декартову систему координат таким образом, чтобы элемент тока располагался в ее начале вдоль оси z (рис. 1.5). При dp, = e?|Is|ds (1.80) 31
(ds — длина излучателя) электрический векторный потенциал выражается формулой А = IJds. После проведения операции дифференцирования для векторов поля получаем Е = —— rot rot А = Рис. 1.5. К расчету поля излучения элементарного электрического излуча- теля. {е. (-£2 ™ + З/fe + 3^-) + + e,(-fes^-+3/fe-^+3^-) + (1.81) Н = rot А -- -— ! Is ds -—— х 4л 1 s 1 • г (е, - (-/й f- - -£) + е, (/А + -J-)} • (1.82) Если ввести более удобную для описания поля сферическую систему координат, то получим: Е = [ Is I ds --x 4 Л/(1)8 1 s 1 r X {er(^ + -^)cos^ + e# (— fe2^-^ + 4r)sinO* ; (1.83) (1.84) Рис. 1.6. Поперечный разрез поля из- лучения элементарного электрического диполя. Представление в цилиндрической системе координат можно найти, например, в [А 44]. Рис. 1.7. Характеристика излучения элементарного электрического диполя в вертикальной плоскости (диаграмма излучения). Для получения характеристики излучения необходимо опустить в (1.83) члены второй и более высоких степеней 1/г и разделить на %: Eo = ee^|It]dsslnO. (1.85) 32
Тот же результат получается при непосредственном использовании решений (1 58) или (1.60), справедливых для дальнего поля. Следовательно, распределение излучения в основном определяется множителем I [г, ej | = sin (г, e2) = sinfl. На рис. 1.6 показан поперечный разрез поля излучения элементарного диполя, а на рис. 1.7 характеристика излучения в вертикальной плоскости. Как можно видеть из уравнений поля, в направлении оси диполя излуче- ние отсутствует. Наоборот, ближнее поле в этом направлении весьма интенсивно. 1.4.Э. Магнитный элементарный иэлучатвль Рассмотрим теперь элемент магнитного тока (называемый также эле- ментарным магнитным излучателем или элементарным магнитным дипо- лем), который расположен так же, как и элемент электрического тока на рис 1.5. Как вытекает из эквивалентности электрического и магнитного токов, он эквивалентен бесконечно малому электрическому круговому току, расположенному в плоскости ху в начале системы координат. Сле- довательно, элементарный магнитный излучатель приближенно реализуется с помощью малой петли тока, малой катушки или малой рамочной антенны, плоскость витков которой перпендику- лярна направлению магнитного момента (рис. 1 8). Расчет поля излучения производится так же, как и в случае электрического диполя Если dpm = ег 11га5 [ ds (1.86) Рис. 18. Малая катушка как элементарный магнят- представляет собой магнитный момент, то поле ный диполь, магнитного Диполя получается в качестве дуаль- ной противоположности электрическому диполю, если заменить при этом Е на Н, Is на Ims, е на р, Н на —Е. Тогда в прямоугольных декартовых координатах Е = —ST I 1ds Ь ("^4" -?-)+ -г + ЯЬ (L87) + e, + 3/A + 3 -^) -U + e* + jk +- (1-88) В сферических координатах E = -^rlU|dsJ^-e4,(/A + 4-)slnO; (1.89) H = л ? I l„s I ds X X 4- -J-) cos fl + + ^- + -L.ysin fl). (1.90) 3 Заказ Mi 15S6 33
Характеристика излучения определяется выражением Е° = - (1.91) 1.5. Передающие и приемные антенны 1.5.1. Характеристика излучения и поляризация передающих и приемных антенн Под передающей антенной понимается техническое устройство, с по- мощью которого в самом устройстве или в непосредственной близости от него образуется определенное распределение тока с целью создания электромагнитного поля излучения. Приемной антенной называется техническое устройство, в котором электромагнитное поле, существующее в той же области пространства, создает распределение тока, в результате чего из электромагнитного поля отбирается энергия. В случае передающей антенны основной интерес представляет, как правило, только поле в области излучения, т. е. характеристика излу- чения. При рассмотрении приемной антенны, как правило, интерес пред- ставляет лишь случай падения на антенну плоской электромагнитной волны, т. е. когда приемная антенна находится в дальнем поле передаю- щей антенны. Характеристику излучения распределения тока мы будем также назы- вать характеристикой излучения соответствующей передающей антенны.1 Умноженная на у = ехр (—/&г)/г, она определяет напряженность элек- трического поля, создаваемого антенной на сферической поверхности большого радиуса (центр которой лежит вблизи антенны), расположен- ной в области излучения. В этом смысле характеристика излучения называется также характеристикой передачи антенны Eos (г). По аналогии с этим определим характеристику приема приемной ан- тенны следующим образом. Рассмотрим ток или напряжение на приемной антенне или на подключенном регистрирующем устройстве (например, на входе приемника), которые создаются падающей волной. Напряжение приема Ue (как мы сокращенно назовем эту величину) при постоянной плотности потока излучения падающей волны зависит, вообще говоря, от направления падения волны г и от ее поляризации; £/е=(/г(г; Р). При этом комплексный единичный вектор поляризации Р определяется следующим образом: Р = р(г) (1.92) 1 1 Е0(г) | т. е. представляет собой нормированный, вообще говоря, комплексный вектор напряженности электрического поля плоской волны, падающей в направлении г. Черточки над векторами означают, что направление распространения волны противоположно вектору г (в правой системе оно совпадает с г). Пусть теперь Рг — та оптимальная поляризация, при которой при тех же данных (направлении падения и плотности потока излучения) 1 Однако характеристика излучения передающей антенны, в противоположность характеристике распределения тока, определена только до постоянного скалярного мно жителя (произвольная амплитуда распределения тока; произвольное положение начала системы координат вблизи антенны) 34
Ue достигает максимума. Тогда характеристика приема антенны опре- деляется следующим образом: EOt.(r)-ty(r:PjPJr). (1.93) Ре — называется вектором веляризации приема и, вообще говоря, является функцией направления падения приходящей волны. Так как |Р0 = 1, то I Efe(r)| = U, (г, Ре). 1 (1.94) Если в случае передающей антенны с помощью соотношения р E°s(r) ’ I Eos (г) | ввести вектор поляризации излучения, то для характеристики передачи антенны получим соответствующее выражение: E0,(r) = |E0s(r)|Ps(r). (1.95) С помощью уравнений (1.93) и (1.95) характеристики приема и пере- дачи антенны представляются в виде произведений из вещественного скалярного множителя (амплитуды) и векторного множителя (поляриза- ции). При этом вектор поляризации определен только до скалярного множителя, по модулю равного единице, в соответствии с произвольным выбором начала координат. Во многих случаях целесообразно отделить скалярный множитель от вектора поляризации, что дает возможность при одновременном точном определении вектора поляризации оценить фазу характеристики. Тогда для характеристик передачи и приема антенн получаются следующие выражения: Eos(r) = |E0s(r)|e^P5(r); (1.96) Ёое(г) = £7,(г, Ре)е,ф<Ре (г). (1.97) Первый множитель описывает амплитуду, второй — фазу, а третий — поляризацию Произвол в разделении поляризации и фазы может быть устранен, если, например, считать составляющую вектора поляризации вещественной и положительной. 1.6.2. Усиление передающей антенны Хотя характеристики излучения приемной и передающей антенн описывают относительную напряженность поля в зависимости от направ- ления излучения или, соответственно, приема, однако в явном виде они не содержат никакой информации об абсолютном значении напряжен- ности поля или плотности потока излучения при заданной мощности или об абсолютном значении мощности, принимаемой антенной, при заданной плотности потока излучения падающей волны. Для оценки этих свойств в передающих антеннах вводится понятие об усилении, а в приемных — о действующей площади. Оба понятия на основании теоремы взаимности можно использовать как для приемных, так и для передающих антенн Усиление G передающей'антенны является безразмерной скалярной функцией направления излучения^ Оно равно интенсивности излучения 1 Характеристика приема антенны тоже определена только до постоянного скалярного множителя. 3* 35
в соответствующем направлении, умноженной на 4л и деленной на об- щую излучаемую мощность: G = G(r) = 4n-^-, (1.98) При этом Ps- § (S, r')dF | Ee (r) |2 (1.99) (л> 0 <X) представляет собой общую мощность, излучаемую антенной (Л — сфе- рическая поверхность в области излучения), а (г) = | S (г; г) | г2 =Ев (г)|2 (1.100) — интенсивность излучения в направлении г. Антенна, которая во всех направлениях излучает одинаковую мощ- ность, называется сферическим или изотропным излучателем. Можно показать, что такой излучатель не может существовать (см. [1.3], [1.16], [1.17 ]). Однако из-за простого распределения излучения он исполь- зуется в качестве эталонного излучателя при оценке реальных антенн. Если обозначить интенсивность излучения (постоянную) сферического излучателя через то для усиления справедливо соотношение G = G(r)=4^. (1.101) Следовательно, усиление антенны может быть определено также как частное от деления интенсивности излучения антенны Р (г) на интенсив- ность излучения Р^ ненаправленного излучателя, который излучает такую же общую мощность При подобном определении интенсивность излучения сравнивается с интенсивностью эталонной антенны, которая является изотропным излучателем. Необходимо расширить понятие усиления таким образом, чтобы и другие простые излучатели можно было использовать в качестве эталонных антенн, причем, как правило, за основу следует брать интенсивность излучения в направлении глав- ного максимума эталонной антенны. В качестве таких эталонов на прак- тике используют прежде всего диполь Герца и полуволновый диполь, а иногда и другие простые антенны. В противоположность эффективному усилению, вводимому ниже, здесь рассматривается усиление излучения, так как эталон выбирается по излучаемой мощности. В этом более широком смысле усиление излучения антенны представ- ляет собой такую скалярную функцию направления излучения, которая определяет интенсивность излучения антенны Р (г) в направлении г относительно интенсивности излучения Р в направлении главного излу- чения эталонной антенны, если они излучают одинаковую общую мощ- ность: 6(г)=^. 36
Обозначим функции усиления, для которых в качестве эталонной антенны выбирается сферический излучатель, диполь Герца или полу- волновый диполь, соответственно следующим образом: (1.102) бнг (г) = ; rHz (1.103) eD(r) = ^. (1.104) В дальнейшем будем оперировать исключительно с усилением, опре- деленным относительно сферического излучателя, как это обычно имеет место в технике антенн СВЧ, и для простоты опустим индекс Из (1.98) с учетом (1.99) и (1 100) получается следующее выражение для усиления: f Ео (г) ]3 jHEo<r) Р dF 4я [ Ео (г) р <Б I Е0(г)|* du (Л) (1.105) При этом da -- dFlr* — элемент телесного угла или, соответственно, элемент поверхности на сфере единичного радиуса. Если ввести еще про- странственные полярные координаты г, О, ф, то при dco = sin О d$ dty полу- чим выражение G (°о, %) 41^(0,,, -------- _ (1 10б) J J J Ео (О, л|>) .2 sin & dit dip ф=о-0Со Направление излучения здесь обозначено через ф0. Так как общие излучающие свойства антенны однозначно описы- ваются полной характеристикой излучения и усилением в некотором направлении, то усиление определяется в большинстве случаев только для характерного направления, как правило, •— направления макси- мума излучения. Если для усиления антенны указывается лишь числен- ное значение, то подразумевается усиление в направлении максимума излучения. Усиление в направлении главного максимума получается с помощью нормированной по этому направлению согласно уравнению (1-49) харак- теристики излучения <5 = -------. (1.107) J J I Ем (б, ф) р sin -ft dO dtp if—9 #=л Теперь необходимо сравнить величины усиления при использовании различных эталонных излучателей. Согласно (1.102) и (1.103) для уси- ления относительно диполя Герца справедливо z = G# р— • При этом частное Рд/Phi равно усилению сферического излучателя относительно диполя Герца (оно меньше единицы) или, наоборот, PhJPk 37
равно усилению диполя Герца относительно сферического излучателя. Обозначим последний через так что будет справедливо соотношение СШ., _ С учетом этого для произвольной антенны Сг — GK • Если в качестве эталонной антенны используется другая антенна, которую мы обозначим индексом а, то для усиления Ga произвольной антенны относительно антенны а справедливо G - Сл1- а ‘ (1.108) В более общем случае, если через а и 0 обозначены две произвольные эталонные антенны, получается При этом Ga или бд — усиления рассматриваемой антенны относи- тельно антенны а или, соответственно, 0, a — усиление антенны 0 относительно антенны а. Для усиления диполя Герца и полуволнового диполя относительно сферического излучателя с помощью нормированных характеристик излучения согласно уравнению (1 107) получаются следующие значения: 6дг) = 1,5; (1.1Ю) - 1,61 (1.111) Наряду с усилением излучения применяется понятие эффективного усиления. Под эффективным усилением понимается такое усиление, когда за основу берется не излучаемая мощность, а мощность, подводи- мая к реальной системе, которая вследствие потерь всегда больше излу- чаемой . Определим эффективное усиление с помощью к. п. д. антенны т|, который раве отношению излучаемой мощности Р$ к подводимой к ан- тенне мощности Робщ = Ps + (Рв — мощность потерь): ~~ Ps = рз ^1 Г общ Р s "Г Р® (1.112) Тогда для эффективного усиления антенны справедливо (1-113) причем может быть использован любой эталонный излучатель, который в каждом конкретном случае считается свободным от потерь. Усиление зачастую выражается в логарифмическом масштабе в деци- белах (дб) и в этом случае обозначается через g Имеет место следующее соотношение: g,5 = 101g G. (1.И4) Усилению G = 1000 соответствует, например, g = 30 дб. 38
1.5.3. Действующая площадь приемной антенны Если [S| — плотность потока излучения плоской волны, которая падает на приемную антенну, а Ре — мощность, отбираемая из поля ан- тенной без потерь (принимаемая мощность), то действующая площадь Aw приемной антенны определяется следующим образом: = W = 2Z0T?T (1-115) Действующая площадь зависит не только от свойств антенны, но и от направления падения плоской волны и ее поляризации: Л«, = Аш (г; И- Аш не является числом, как усиление, а имеет размерность площади. Единица измерения ее — м2. Ограничимся общим определением и в узком смысле обозначим в ка- честве действующей площади приемной антенны максимальное значение Аш относительно г и Р, т. е. частное от деления максимальной принимае- мой мощности Регаах, которая извлекается антенной из падающей на нее плоской волны с оптимальной поляризацией приема с главного направ- ления, на плотность потока излучения ] S | этой волны: = (1.II6) При применении этого понятия предполагается, что такая оптималь- ная комбинация направления падения и поляризации существует, и дей- ствительно, в реальных антеннах это всегда имеет место. Таким образом, в качестве действующей можно считать ту площадь, при которой в случае невозмущенной, нормально падающей плоской волны антенной извле- кается из волны максимальная мощность. Если учитываются потери в антенне или в фидере при Ретах, то говорят об эффективной площади Если — к. п. д приемной антенны то для эффективной действующей площади справедливо соотношение Лэфф = TpV (1.118) 1.5,4. Теорема веанмностн Теорема взаимности, которая в общем виде впервые была сформули- рована Рэлеем и Гельмгольцем и применена для антенн Кэрсоном, уста- навливает связь между параметрами антенны в режимах приема и излу- чения (см. [1.4], [1,8], [1.341 и указанную там литературу). При выводе теоремы взаимности мы предполагаем, как это делалось и ранее, что среда, заполняющая пространство, является постоянной во времени, линейной и изотропной; это предположение здесь особенно существенно (о соотношениях взаимности для случая гиротропных сред см. [1.10], [1.24]) Кроме того, для простоты рассматриваются только электрические токи, что можно сделать без ограничения общности на основе принципа эквивалентности (см. раздел 1.4.1). Рассмотрим два распределения токов — и 12 Распределение тока создает поле Е2, Н2, а 13 — поле Еа, На. Прочие токи, возникающие из-за свойств среды, учитываются с помощью проводимости о и тем самым 39
отличаются от собственных источников. Оба тока и поля связаны урав- нениями Максвелла (1.119) rot Ех = —/а>р,Нх; rot Ег = —/шр,Н2; rot Нх = li + (а + /we) Ех; rot На = 1г 4- (а + /we) Ea. Образуем отсюда (На, rot EJ — (Ер rot Н2) = —/wp (Hj, H2) — - (о +/we) (Ex, E2) — (EX, l^. (1.120) Левая часть этого выражения тождественна div [Ех, На]. Проинте- грируем теперь уравнение (1.120) по области пространства V, которая содержит все источники 1Х и 1а, и применим одновременно к левой части формулу Гаусса: [ div[Ex, Ha]dV = ~ d)([Elf На], n)dF; (V) (F) здесь F — граничная поверхность области V", а п — внутренняя нормаль к F. После выполнения необходимых действий получаем уравнение f (Ех, 12) dV = J {(в + (Ех, Еа) + р (Нх, Ha)ldV + (И) (V) 1 ’ + $ЦЕХ, Нг1, n)dF. (1.121) (F) Если еще раз проделать такие же преобразования при перемене ме- стами индексов 1 и 2 и вычесть результат из (1.121), то получим J {(Ер 1г) —(Е2, 1J) dV^ <£ ([Ех, На[ —[Еа, Н,], n)dF. (1.122) (Й) (А Граничная поверхность F может быть расположена сколь угодно далеко от источника, а также может перемещаться в бесконечность. По условиям излучения (1.43) или, соответственно, вследствие справед- ливости (1.44) в области излучения в этом случае для F справедливо [Ех, На] - [Ей> HXJ = Zo {[[г, Нх], На] - [[г, НJ, HJ} = = Zo {На, г) Нх— (Нх, г) Н2|. При этом было учтено векторное тождество (П.З). Так как вектор Н в дальнем поле расположен перпендикулярно к направлению распро- странения, то оба скалярных произведения и вместе с ними подынтеграль- ное выражение или, соответственно, правая часть уравнения (1.122) обращаются в нуль, так что в результате получаются следующие урав- нения: j |(ЕХ, Ia)-(Ep Ix)}dV-0, (1.123) (Ю $(1ЕХ, HJ — [Еа, HxJ,n)dF = 0 (1.124) ю (для любой поверхности F, охватывающей источники). Если все источники 1х находятся в области пространства а все источники 12 в области У2, то из.(1.123) следует' J (Еа, Ix)dF= f (Ех, I,)dV. (1.125) (V,) (V,) 40
Если перейти к точечным источникам, то при введенных в разделе (1.1.3) обозначениях получим (E2',lslds1) = (E1, Ijadss). (1.126) Если Sj и s2 — единичные векторы справедливы соотношения в направлении элемента тока, то 1S1 1 J ds^ •— Е2 — S|C 2 ds± "Е Е2, ^ss ^^2 = 1 f ds2 — s2Z2 ds2\ Ех ~ s2t/1 ds2 ~Т~ причем (sp Es) = (s2, Ej) = 0. Тогда получается va/x = UJ2. (1.127) (1.128) При равных силах тока, /х ~ /2, в частности, справедливо U1 -= L/z. Если представить, что обе конечные точки каждого элемента тока являются «клеммами» антенны (рис. 1.9), то связь, даваемую уравне- нием (1.128), можно выразить следующим образом. Если ток I на клеммах первой антенны создает на клеммах второй антенны напряжение U, то тот же ток I, протекая по клеммам второй антенны, создает на клеммах первой антенны такое же напряжение V. Так обычно формулируется теорема взаимно- сти для антенн. Она справедлива независимо от расстояния между антеннами, т. е. также и для ближнего поля. Из теоремы взаимности для антенн прежде всего следует, что излучающие свойства антенны можно определить, используя ее в качестве приемной антенны. Рис. 1.9 К объяснению теоремы взаимности. Если, кроме того, предположить, что обе антенны создают линейно поляризованные дальние поля и что каждая антенна расположена в дальнем поле другой и имеет ориен- тацию, соответствующую оптимальному приему излучения, то отсюда следует, что характеристики приема и излучения обеих антенн равны. А именно, если повернуть, например, первую антенну на определен- ный угол, то принимаемое второй антенной напряжение U± изменится пропорционально напряжению 17 2, принимаемому первой антенной, если она используется в качестве приемной антенны, а вторая антенна возбуждается током постоянной амплитуды. 1>Б.б. Соотношения взаимности между характеристиками и поляризацией в режимах передачи и приема Для вывода соотношений между характеристиками передачи и приема антенны при произвольной эллиптической поляризации рассмотрим сле- дующие распределения тока и поля (рис. 1.10). Пусть антенна находится в области пространства V2. Исключим точку Рг из V2 и будем рассматри- вать ее как точку, в которой осуществляется питание антенны в режиме излучения или, соответственно, как точку в режиме приема, в которой производится отбор энергии. Прежде всего запишем уравнение (1.125) относительно полей и токов в Л и У2. Ток /1 в точке Р{ создает в области Va распределение поля Е'г> 41
или, соответственно, распределение тока 1$. Наоборот, полученное в У2 распределение тока l?’ создает на «клеммах» в Pi напряжение 1Д2>. В этих условиях справедливо соотношение с!2)Л = j (е£п, l£3’)dV. Д.) Поскольку Пэ> = оЕ^, то выполняется также следующее соотношение: J (Е23), lV’)dV. <Pi) (1.129) Распределение тока Ip* в У2 создает теперь в области излучения в на- правлении г напряженность поля Ер*: отношений взаимности между характеристиками пере- дачи и приема. Е$’(г), (1.130) где г — расстояние от Рг до произвольной «точки приема» в области излу- чения, расположенной в направлении г. Кроме того, положим, что распределение тока ЦЭ) или, соответственно, поле Е^3) в у2 создаются плос- кой волной Ез3), падающей на V? с направления г (на- правление распростране- ния — г). Эта плоская волна может быть, в частности, создана соответствующим распределением тока в достаточно малой области пространства V3, которая расположена в направлении г от области излучения Кг. Следовательно, мы полагаем е£” = Е|3) (-г; г) = Е$ (—г), (1.131) где г — расстояние от точки приема до точки Р3 в V3. Далее согласно формуле (1.60) при Im = 0 справедливо E$(-r) = ^- J e~'k^'~r)W(P)dV'. (1.132) (v.) При этом 1з° = — [г, [г, 13Ц представляет собой поперечную состав- ляющую 1э относительно г. г'— расстояние от точки приема до точки интегрирования в V3. Применим теперь теорему взаимности в форме (1.125) к и У3 или> соответственно, к содержащимся в них токам и полям1 f (Е?\ J (Е3(2), 13) dV. (1.133) (й.) (у.) 42
Неоднородность среды, необходимая для создания распределения тока ls в Vg, может быть принята настолько малой, что падающая на К3 плоская волна Е3 искажается сколь угодно мало, что дает возможность согласно (1.130) подставлять Е32). Тем самым интеграл по V3 в уравнении (1.133) принимает следующий вид: J Е^> (г), l3)dK -- [ Е$ (г), J e^k(r-r^dV\, (1.134) щ.) ° \ (V,) I где г0 — расстояние P3PS. С учетом (1.132) далее следует: f dJ/= f (/>') dV' = E$ (—r). (1.135) J J Q)U- (И,) (V,) Если заменить левую часть уравнения (1.133) с помощью (1 129) на а правую часть с учетом (1.135) на (1.134), то получим: = (E<g) (г)> Е(3) {_г)); (1.136) здесь Б®*— характеристика передачи антенны, образованной распре- делением тока в V2 Полагаем далее Е^1 (г) EOs (г). (1.137) Из всех возможных плоских волн Ego* с постоянной плотностью по- тока излучения, которые могут падать с направления г на антенну, рас- положенную в У,, для определения характеристики приема пригодны только те, которые создают максимум напряжения приема У}2’ == Ue, т. е. прежде всего для этого должно выполняться соотношение FJ3> (—г) e0*s (г) |^>(-r)| !Eos(r)| Г (1 138) Кроме того, как показывает уравнение (1.136), изменение значения Eos при фиксированном токе вызывает аналогичное изменение напряжения приема Ue: I Eos (г)1~Шг)|. (1.139) Принимая во внимание определение характеристики приема [урав- нение (1.93)1, из (1.138) и (1.139) можно получить Е0Д—0 == Ео5 (г). Теперь запишем: Еог (—г) = Еое (г), здесь черточка сверху опять означает, что направление распространения падающей волны противоположно вектору г, но Еое представляется в тех же координатах, что и вектор Eos (правая система относительно на- правления г). Тогда для характеристик приема и передачи антенны, относящихся к той же системе координат, получается важное соотношение взаимности: Еое (г) = Е^ (г). (1.140) 43
(Согласно определению характеристики излучения знак равенства спра- ведлив только до постоянного скалярного множителя.) Если с помощью уравнений E0s = |E05|Pe; Еое = [Еое|Рг (1.141) ввести векторы поляризации, то получим соотношения |Ё0Дг)| = | Eos(r)]; (1142) Pe(r)=Ps’(r). (1.143) Следовательно, характеристики приема и передачи (при соответству- ющей нормировке) равны друг другу. Для поляризации излучения антенны и ее поляризации при приеме, т. е. поляризации падающей плоской волны, которая соответствует оптимальному приему, справедливо соотношение (1.143). Если падающая волна не должна создавать напряжение на приемной антенне, то, поскольку = 0, правая часть (1.136) также должна обращаться в нуль. При отличной от нуля плотности потока излучения это имеет место только в том случае, если (Ps, Р) = 0, где Р — комплекс- ный единичный вектор поляризации падающей волны. Назовем эту поля- ризацию «запирающей» поляризацией антенны Psp. Следовательно, (Ps, PJ-0 (1.144) и согласно (1.143) (р;, Psp) = 0. (1.145) Таким образом, любая антенна обладает относительно каждого направ- ления тремя видами поляризации: поляризацией передачи Ps, поляриза- цией приема Ре и запирающей поляризацией Р5Р. При справедливости тео- ремы взаимности эти три вида поляризации связаны соотношениями (1.143), (1.144) и (1.145). Выражение (1.145) означает, в частности, что поляриза- ция приема и запирающая поляризация ортогональны друг другу (ср. [1.21, [1.1], [1.251, [1.27]). Выведенные соотношения между характеристиками и векторами поля- ризации справедливы только в том случае, если условия, необходимые для справедливости теоремы взаимности, выполнены во всей рассматривае- мой области пространства вплоть до элемента тока (Они, например, несправедливы, если антенна содержит гиромагнитные элементы ) Для характеристики поляризационных свойств антенны зачастую ука- зывается только вид поляризации относительно направления максимума излучения. Просто поляризацией антенны называется поляризация пере- дачи в направлении максимума излучения или в другом характерном на- правлении, если таковое существует. Приведем примеры. а) Пусть излучение антенны линейно поляризовано, т е. Ps — веще- ственно. Тогда согласно (1.143) (% = PS, (1.146) т. е. антенна оптимально принимает линейно поляризованную волну с тем же самым направлением поляризации. Из (1 145), кроме того, сле- дует, что запирающая поляризация также линейна и перпендикулярна к поляризации приема. Вертикально поляризованная антенна не прини- мает, например, горизонтально поляризованного излучения. 44
б) Пусть излучение антенны имеет круговую поляризацию. В этом случае, например, до скалярного множителя, равного единице, рз = -^1ех + ЛЬ (1-147) ех и eF являются ортогональными (вещественными) единичными векторами, перпендикулярными направлению распространения г. В таком представлении волна оказывается разбитой на две перпендикулярные друг другу линейно поляризованные составляющие, которые равны по величине и сдвинуты по фазе на 90°, Согласно (1.143) рг=р;=(сне) В то время как при передаче имеет место левая поляризация, вектором поляризации приема представляется волна с правой круговой поляриза- цией. Если выразить поляризацию приема в правой системе относительно направления распространения падающей волны —г, то получается i/y + (1.149) Следовательно, антенна с левой круговой поляризацией оптимально принимает падающую волну с левой круговой поляризацией. То же самое справедливо для антенны с правой круговой поляризацией. Однако поля- ризация приема, согласно нашему определению, имеет направление вра- щения, противоположное поляризации передачи. 1.5.6. Соотношение взаимности между усилением и действующей площадью антенны при приеме Согласно уравнению (1.136) имеет место пропорциональность U,~ К (EOs, Ё), где Ue — напряжение на клеммах антенны при приеме; Ед, — характеристика передачи антенны; Е — вектор электрического поля падающей плоской волны. (Ток в режиме передачи определяет коэффициент пропорциональ- ности Eos и может не учитываться.) Пусть теперь падающая плоская волна поляризована таким образом, что С!е достигает максимума. Тогда согласно (1.140) справедливо соотно- шение здесь в качестве множителя добавляется отношение модулей, так как плот- ность потока излучения падающей волны используется при дальнейшем рассмотрении. Тем самым для максимального напряжения при приеме имеем Ue тах ~ X | Eos | |Ё|. (1.150) Теперь согласно (1.116) £7» max ' max ' — Аш 1 Sa |. Кроме того, имеет место |Se|~|E|2; |Е05Г~6. 45
С учетом трех последних соотношений пропорциональности выраже- ние (1.150) переходит в следующее: (1.151) Тем самым показано, что действующая площадь антенны пропорцио- нальна усилению этой антенны и квадрату длины волны. Определим коэффициент пропорциональности, рассмотрев частный случай. Пусть в абсолютно поглощающей плоскости находится отвер- стие F и пусть на F нормально падает плоская электромагнитная волна. Если считать отверстие приемной антенной, то принимаемая мощность Ре = F | Se |, если | Se | — плотность потока излучения падающей волны. Согласно этому действующая площадь Aw = F. Если считать теперь отверстие передающей антенной, то общая излу- чаемая мощность = (1.152) а интенсивность излучения в направлении нормали к поверхности имеет значение Р(п) = (1-153) Для характеристики передачи согласно (1.60), с учетом (1.37) и соот- ношения между векторами поля Е = Ze)i [ге, Н], получаем Ео^ J [«, -[n, E]J-Z0[n, [n, H]]]dF^ г г p-ii /fe/7 р = ~ ~2тГ [П’ Е1] = ~ЩГЕ' Тем самым |EosP = -g-|E|*. (1.154) С учетом (1.152), (1.153) и (1.154) для усиления в направлении нормали к поверхности получается следующее выражение: С 4л5 4л'4и> Таким образом, имеет место следующее общее соотношение между усилением G и действующей площадью Aw антенны: = (1.155) Л Уравнение взаимности дает возможность использовать понятие уси- ления и для приемных антенн Так как характеристики в режимах приема и передачи связаны между собой постоянным соотношением, то как пере- дающие, так и приемные свойства антенны можно описывать только уси- лением и характеристикой передачи. 46
1.В.7. Передача анергии между двумя антеннами Пусть две антенны A х и А 2 расположены на расстоянии г одна от дру- гой. Пусть Аг работает на определенной частоте как передающая антенна, а А 2 — на той же частоте как приемная. Нас интересует значение мощ- ности принимаемой антенной А2, при заданной излучаемой мощ- ности PS1 антенны А j [1.1], [1.27]. Для этого исходя из уравнения (1 136) и вытекающих из него следствий установим прежде всего, что существует пропорциональность между напряжением на приемной антенне Ла и скалярным произведением вектора поляризации Р падающей плоской волны на сопряженный комплексный вектор поляризации приемной' ан- тенны А 2 в направлении падения: (Л3~(Р, Р‘2)’). (1.156) Следовательно, для принимаемой мощности справедливо следующее выражение: | (Й, Р<2’ *) I2- (1-157) Эти соотношения верны независимо от происхождения падающей плоской волны. В случае передачи энергии между антеннами Аг и Ла следует положить Р = Р*1'. При этом Р*1* представляет собой вектор поля- ризации передающей антенны Л! в направлении г, выраженный в левой системе относительно г. Тем самым получается Рйз~1(Р^. Р^’*)Г (1-158) или, если отнести оба вектора поляризации к правой системе относи- тельно г, Лг-[ (Р^\ Р^*)12. (1.159) Если теперь предположить, что поляризация передачи относительно поляризации приема оптимальна, т. е. что значение скалярного произведе- ния в (1.158) или, соответственно, в (1.159) достигает своего максималь- ного значения, равного единице, то согласно (1.116) = Ла,21 Sx | При этом в соответствии с (1.98) и (1.100) плотность потока излуче- ния ISJ , создаваемая антенной Л! на расстоянии г, равна I С I _ ( Е1 I* _ -Psi6! 1311 ~ 2Z0 “ Из двух последних равенств следует: лг=л1-4,вД’ (i-i6°) Это соотношение справедливо при оптимальной поляризации При произвольной поляризации следует учитывать соотношение (1.159), так что в общем случае для принимаемой мощности справедливо следующее выражение; Pe^Ps> (Р^, РГ> *) I2- (1-161) 47
Если с помощью (1.155) ввести сюда усиление Gz или действующую площадь антенны Awl, то получаются следующие эквивалентные соот- ношения: ₽!"') Г; (1.162) p^p.^-i-y-^IW1, рР‘)|=. (1.163) Множитель, стоящий в правой части при Psi, называется к. п. д. передачи: П.=-ЙУ (1-164) Он обратно пропорционален квадрату расстояния передачи . и при постоянной длине волны прямо пропорционален значениям усилений или, соответственно, действующим площадям обеих антенн. При заданных значениях усиления к. п. д. передачи прямо пропор- ционален, а при фиксированных действующих площадях обратно пропор- ционален квадрату длины волны. Так как (это будет показано ниже) при определенном относительном распределении тока действующая пло- щадь поверхностной антенны пропорциональна ее геометрической поверх- ности, то при заданных размерах антенны к. п. д. передачи тем больше, чем меньше длина волны. Зависимость к. п. д. передачи от поляризации обеих антенн можно легко получить исходя из выводов, сделанных в разделе 1.5.5. Значение скалярного произведения обоих векторов поляризации в случае = = Ре2) достигает своего максимального значения, равного единице. Следует учитывать, что в этом случае поляризация передачи обеих антенн, вообще говоря, неодинакова. Оптимальная передача с помощью одинаково поляризованных антенн (например, при круговой поляриза- ции) происходит только fi том случае, если Р12) * = Ps2) [см. (1.143)]. Если P11j и Ре2) ортогональны или Р<п равно запирающей поляризации антенны Д2, т. е. Р^ = Psp* [см. (1.145) 1, то передача энергии не осуще- ствляется. Все выведенные соотношения справедливы только для случая, когда каждая из двух антенн расположена в дальней зоне другой. 1.5.8. Приближенный расчет усиления направленных антенн Если характеристика излучения нормирована к единице, то согласно (1.98), (1 99) и (1.100) для усиления антенны справедливо соотношение G = ^~, (1.165) где / = J F2 da (1.166) (К) (К — сфера единичного радиуса, da — элемент поверхности на единичной сфере или, соответственно, элемент телесного угла, F = | Ео[). Тем самым при известном распределении излучения принципиально можно рассчи- тать усиление антенны. Однако, как правило, распределение излучения 48
известно не полностью, а лишь на отдельных участках (например, по диа- граммам в вертикальной и горизонтальной плоскостях); кроме того, при точно известном F само интегрирование по сфере единичного радиуса было бы в большинстве случаев связано с очень большими трудностями. Поэтому необходимо иметь простые соотношения между легко измеряемыми параметрами излучения антенны и ее усилением. Для вывода подобных приближенных формул предположим, что F задана двумя простыми кри- выми на сфере единичного радиуса или что известны некоторые зна- чения главного лепестка в двух плоскостях измерения и что распре- деление интенсивности излучения вне известных областей удовлетворяет простому закону. При соответствующем выборе системы координат и при этих предположениях F удовлетворяет условиям разделения. В част- ности, в координатах ф и ft (см. приложение 2) приближенно справедливо соотношение (1.167) F = F (ф, ft) = F, (ф) F, (ft). Рис. 1.11. Flt как правило, представляет собой диаграмму в горизонтальной, a F2 — в вертикальной плоскостях. Тем самым (1.166) принимает сле- дующий вид I = Л4. (1.168) где F1W) <*Ф; +Л/2 It = J F? (ft) cos ft dft. —ir/2 (1 169) Оба интеграла можно легко вычислить графически. В случае направ- ленных антенн чаще всего достаточно провести интегрирование по глав- ному лепестку диаграммы направленности. Если обе площади /х и Л преобразовать согласно рис, 1.11 в прямо- угольники с высотой 1 и шириной 2ф1 или, соответственно, 2ftlt то 7Х = = 2фх, /2 = 2ftlt и для усиления получаем г 4л 41 зоо ° “ ~ 2ф! 2ftt (1.170) 2фх-2ftx представляет собой телесный угол, в котором сконцентриро- вано все излучение. Так как значения 2фя и 2ft я ширины диаграмм по поло- винному уровню (см. раздел 3.2.1) практически всегда меньше введенного угла, то справедливо также Г - с (1-171) 4 Заказ № 1596 49
где С < 41 300. В качестве практического максимального значения С можно принять приблизительно 4-104. В случае, когда лепесток диаграммы излучения обладает симметрией вращения относительно оси Ф = 0, для I в уравнении (1.165), как легко можно показать, справедливо я I = 2л С F2 (-&) sin О d$. (1.172) о I можно просто определить графическим путем. В некоторых случаях при расчете усиления следует хотя бы прибли- женно учитывать также излучение вне главного лепестка. Это необходимо прежде всего для остронаправленных антенн, если боковое излучение распространяется на большой телесный угол. Чтобы оценить влияние бо- кового излучения на усиление, предположим, что интенсивность излуче- ния вне главного лепестка распределена равномерно по всем направлениям. Пусть Н — часть сферы К единичного радиуса, которая соответствует главному лепестку, a F„ — относительная интенсивность излучения вне главного лепестка, которая считается постоянной. Тогда 1 = J F'2 da> = 1н + f F„d<B = Ih + F;, (4л — H), (1.173) (К) (К-Я) где IH — интеграл без учета бокового излучения. Если пренебречь величиной Н по сравнению с 4л, что можно сделать в случае направленных антенн, то для усиления с учетом бокового излу- чения получим При этом = (1.175) ‘н представляет собой усиление, определенное с учетом лишь главного лепестка. Если, например, для остронаправленной антенны GH = Ю4 и F„ = = 10-4 (среднее ослабление бокового излучения относительно основного G составляет 40 56), то G = —~, т. е. усиление лишь в два раза меньше, чем при учете одного основного лепестка. Этот пример показывает, что боковое излучение может значительно влиять на усиление. И, наоборот, с помощью выражения (1.174) можно оценить иногда появляющееся нежелательное боковое излучение (G измеряется, GH рассчитывается). 2. Электромагнитные волны в линиях 2.1, Общая теория электромагнитных волн в линиях 2.1.1. Вводные оамвчания. Понятие о линии Одной из главных задач антенной техники является создание такого распределения тока, при котором происходит наиболее сильное излучение энергии в заданном направлении. Иногда в этом смысле говорят о кана- 50
лизации электромагнитных волн. Технические средства, которые осуще- ствляют такую канализацию, находятся в этом случае только на пере- дающей стороне и не оказывают влияния на распространение волн в про- странстве. Существует другой вид канализации электромагнитных волн, который состоит в том, что вдоль заданного пути распространения раз- мещаются металлические или диэлектрические конструкции, влияющие на поле таким образом, что распространение волн происходит вдоль этого пути. Система такого вида называется линией в общем смысле. Хотя в соответствии с тематикой этой книги мы должны ограничиться рассмотрением лишь первого из указанных видов канализации электро- магнитных волн, по некоторым причинам представляется целесообразным кратко остановиться также на линиях и связанных с линиями волнах. Теория электромагнитных волн, связанных с линиями, использует те же методы, что и теория полей излучения. В обоих случаях исходными являются уравнения Максвелла. В теории волн, связанных с линиями, вместо условий излучения и соотношений между источниками и полем рассматриваются соображения о зависимости поля вдоль линии и краевые условия, определяемые структурой линии. Некоторые понятия теории линий в известном смысле можно перенести на процессы излучения, так что описание последних частично может производиться с использованием терминологии, более хорошо известной специалистам, работающим в обла- сти высоких частот. Кроме того, отдельные выводы теории линий нам потребуются при рассмотрении некоторых типов антенн, используемых в технике. Наконец, техника линий СВЧ на практике тесно связана с тех- никой антенн СВЧ, так как антенны, как правило, работают совместно с линиями и по своим параметрам должны быть согласованы друг с другом. После краткого изложения общей теории электромагнитных волн, связан- ных с линиями, мы остановимся более подробно на теории и практическом применении волноводов и в заключение рассмотрим теорию линий конечной длины и переходных элементов линий. Общая теория длинных линий находит непосредственное применение при рассмотрении лишь таких систем для канализации электромагнитных волн, размеры которых в направлении распространения значительно больше длины волны и их поперечных размеров. Кроме того, не должно изменяться поперечное сечение линий в направлении распространения. Линии с постоянным поперечным сечением называются однородными. Линии с переменным сечением, например конические линии, рассматри- ваются в той мере, насколько это необходимо в разделах, посвященных специальным типам антенн, используемых в технике. 2.1.2. Исходные уравнения Будем применять общую цилиндрическую систему координат (и, о, г) (см., например, [В 7, стр. 9]), ось г которой совпадает с продольным направлением однородной линии. Пусть линия имеет бесконечную длину. Если отсутствуют пространственные заряды, то напряженности электри- ческого и магнитного полей в непроводящих участках линии при гармони- ческой зависимости от времени связаны уравнениями Максвелла следу- ющего вида rot Е — — /юр, Н; rot Н = /<й8 Е; (2-1) div Е = div Н = 0. . При этом е и ц могут быть комплексными. Так как речь идет об одно- родной линии, то относительное распределение поля во всех поперечных 4* 51
сечениях одинаково, и с изменением г (и времени) изменяются лишь абсо- лютные значения параметров поля и их фазы. Представим напряженности поля в следующем виде: Е = Ео (и, и) е^’2; 1 (2.2) Н = Но (и, t>)e“vz, J где У = а + /₽. (2.3) у называется постоянной распространения, а — коэффициентом затухания, ар — фазовой постоянной. Для линии без потерь у является чисто мнимой: у - /р; « = 0. В этом случае ы/р представляет собой скорость, с которой определенное состояние поля распространяется в линии в направлении оси г. При учете (2.2) и при использовании векторной формулы (П. 11) (см. приложение 1) уравнения Максвелла принимают вид rot Ео — у [ег, Ео] = — jwp. Но; 1 rot Но — у [е2, Но] = /юе Ео. J • ( ' Разложим Ео и Но на продольные и поперечные составляющие: Ео (и, v) = Е0/г (и, о) — ЕОг (и, о), (2.5) где Еоь- = е«£о« («» о) + »); Ео* = e2£(u («. о)- и Н. (и, о) = Н0(г (и, о) + НЙ2 (и, о), (2. 6) где но6. = ецНОц (и, v) + еаН0„ (и, v); Н02 = е2ДЙ2 (и, о). После повторного применения формулы (П. 11) к rot Ед. = = rot (е2Е02) и к соответствующему выражению для напряженности магнитного поля получим из (2.4) систему уравнений К, ?ЕО,Г + grad,r £02] = /оор.Но^; rot. Eofr = — /®р,НОх; [е2. ?Н0/г 4- grad,r Д02] = — /шеЕ0#г; ' ’ Г°МН0/, = j В данной системе градиенты и роторы также разложены на продоль- ные и поперечные составляющие (следует учитывать, что члены разложе- ния являются векторами, например rot. Eoir = е2 (rot EWr)7. Система уравнений (2.7) определяет общую зависимость между параметрами поля в однородных линиях. Как будет показано ниже, несмотря на общ- ность предположений, при которых была выведена эта система, имеется ряд довольно сильных ограничений, касающихся векторов поля. 52
2.1.8. £-, Н- и /.-волны В основу дальнейшего рассмотрения положим следующие три частных случая: а) Нг = 0; Е2 =Ь 0; Е-волны или ТМ (поперечно-магнитные)-волны; б) Ег = 0; Нг ф 0; Й-волны или ТЕ (поперечно-электрические) - волны; в) Нг — Ег~ 0; 4-волны (лехеровы) или ТЕМ (поперечно-электро- магнитные)-волны. а) Е-во л н ы Так как Наг = 0, то из третьего уравнения системы (2.7) следует: E0</-^[e„ Hw,], (2.8) т. е. поперечные составляющие Е,г и Н,г перпендикулярны друг другу и при отсутствии затухания (у = /р) синфазны; E^t Hir и направление распространения в этой последовательности образуют правую систему. Путем исключения Н0(г или, соответственно, Е0(г из первого и третьего уравнений (2.7) определяются поперечные составляющие, выраженные через продольные £ог. E<«r = у2 4- соавц £rarf6-£oz; (2‘9) Но^ = [е” (2'10) Если исключить Н0(г нз (2 10) и четвертого уравнения (2.7), то rot, (е,, grad,,. Ete] + (у2 + »гец) Ео, = 0. С помощью векторной формулы (П.14) получаем rot, [е„ grad(, E0,J =е, div grad/r Еог = е,Д/гЕ„ так что для Ео, справедливо волновое уравнение Д„ЕОг + х®Ем = О, (2.11) где ха=уг + <оаер. (2.12) При этом Д,г = Д —(2.13) является «поперечным оператором Лапласа» (см., например, [В 7, стр. 91). б) Н-в о л н ы С помощью аналогичных операций, как и в случае Е-воля, из системы уравнений (2.7) при Ео, = 0 получаются следующие соотношения: = (2.14) Ho^ = ^-grad/rffoz; (2.15) E0„ = ^[e« grad/rffozl; (216) Д„ЯОг + = 0, (2Л7) где хя определяется выражением (2.12). 53
В этом случае поперечные составляющие электрического и магнитного полей перпендикулярны друг другу и в той же последовательности, как и для £-волн, с направлением распространения образуют правую систему и при отсутствии затухания синфазны. в) L-в о л н ы Если в уравнениях (2.9) и (2.10) £ог устремить к нулю, то танген- циальные составляющие будут также стремиться к нулю, т. е. в предель- ном случае все составляющие поля обращаются в нуль. То же получится, если устремить к нулю Н02 в уравнениях (2.15) и (2.16). В результате, согласно принципу непрерывности, справедливому для макроскопических процессов, могут существовать лишь L-волны, если знаменатель и2 = = у® + (о8ец, одинаковый для всех четырех уравнений, также равен нулю. Следовательно, для L-волн у2 + (в®ер = 0 или у = /со У ер. (2-18) Из первого и третьего уравнений системы (2.7) при £ог = Наг = О для параметров поля получаются следующие выражения: Нсиг = 1ег> EWr], Ео/, =[ег, H0J, (2.19) а из второго и четвертого уравнений, с учетом (2.19), после некоторых пре- образований VtEOfr = V?,HOf, = 0. (2.20) Общее состояние поля в линии определяется суперпозицией £-, Н- и £-волн. Для важнейших типов линий, например линий с идеально проводящими граничными поверхностями и диэлектриком без потерь, доказано, что любое состояние поля, которое может иметь место в линии, обусловлено £-, И- и L-волнами (т. е. система собственных функций крае- вой задачи, состоящей из волнового уравнения и краевых условий, яв- ляется полной; см., например, [В 7]) Определение типов волн, которые могут иметь место в линии, осуществляется с помощью решения волновых уравнений (2.11) и (2.17) с учетом граничных условий. При этом, как правило, решение возможно лишь в том случае, если и принимает опреде- ленные дискретные значения (собственные числа краевой задачи). Каждому собственному числу соответствует система собственных решений для пара- метров поля.1 Они определяют тип волны. Ограничимся указанными общими соображениями и рассмотрим в по- следующем разделе линию с проводящими граничными поверхностями, имеющую большое практическое значение. Однако в заключение необ- ходимо указать некоторые свойства волн в линиях, которые следуют из выведенных уравнений независимо от типа линии. а) В случае чистых Е-, И- или £-волн, которые образуются с помощью единственного типа волны, поперечные составляющие напряженностей электрического и магнитного полей перпендикулярны друг другу, а Е/г, Н(г, ег (направление распространения) образуют в этой последовательно- сти правую систему. Они синфазны, если линия не имеет потерь. 1 Если одному собственному числу соответствует несколько систем собственных реше- ний, то оно называется вырожденным. 54
б) В случаях чистых Е~, Н- или L-волн отношение абсолютных значе- ний поперечных составляющих электрического и магнитного полей в сече- нии постоянно, если 8 или, соответственно, р постоянны. в) L-волна, существующая в линии без потерь, распространяется со скоростью света в диэлектрике: v = . 2.2. Теория однородной линии с проводящими граничными поверхностями 2.2.1. Краевые задачи для продольных составляющих к общие свойства волн Особо важный класс линий, различные конструкции которых нашли применение, в частности, в высокочастотной технике, составляют линии, которые ограничены проводящими цилиндрическими поверхностями. На практике наибольшее значение имеют линии, обладающие малыми потерями, т. е. с очень хорошей проводимостью стенок и диэлектриком без потерь или с малыми потерями. Будем считать, что потери отсутствуют, и сформулируем для этого случая следующие предположения и определе- ния (рис. 2.1) а) Идеально проводящие граничные поверх- ности образуют в поперечном сечении «-связ- ную область F, площадь которой также обоз- начена F. б) Граничные кривые (сечение граничных поверхностей), которые обозначены через С, должны быть кусочно аналитическими, т. е. С должно составляться из конечного числа отдель- ных отрезков таким образом, чтобы каждый отрезок мог быть представлен в соответствую- щей системе координат с помощью бесконечно дифференцируемой функции. (Это допущение может быть не таким строгим; поскольку мы рассматриваем как физические, так и техничес- кие задачи, то сформулированное здесь пред- Рис. 2.1 К формулировке краевых задач для продоль- ных составляющих в случае однородной линии с проводя- щими граничными поверхно- положение охватывает, очевидно, все практи- стами. чески возможные случаи.) в) В любой точке граничной кривой С (кроме возможных точек излома) единичные векторы нормальный и и тангенциальный s определены таким образом, что и направлен внутрь F, а л, s и ег в этой последовательности образуют правую систему. г) Пусть внутренний объем (поперечное сечение F) заполнен однород- ным диэлектриком без потерь с диэлектрической проницаемостью 8 и ма- гнитной проницаемостью р. С учетом указанных предположений и граничных условий для про- дольных составляющих векторов поля на идеально проводящих поверх- ностях можно сформулировать следующие краевые задачи: для Е-волны Д/7ЕОг + х2Е0, = 0, ) } (2.21) ЕОг = 0 на С; ) 1 ' для Н волны д.Лог + = 0; = 0 на С. дп (2.22) 55
Так как поперечные составляющие могут однозначно выражаться через Ейг или, соответственно, НОг, то в этих граничных условиях уже содержатся все индивидуальные свойства линии. В случае //-волны можно вывести характерное свойство продольной составляющей. А именно из формулы Грина для двумерного случая [урав- нение (П.ЗЗ) 1 с учетом волнового уравнения и граничного условия для ЯОг следует: J H^dF = 0. (2.23) (F) В случае L-волны получаются две равноценные краевые задачи: , V-'E“' = °; I (2.24> (s, Е0/л) = 0 на С J и Vo-Hot, = 0; ) 2- (п, Н0(г) = 0 на С. ) Решение краевых задач целесообразно производить в такой системе координат (и, о), в которой С совпадает с одной или кусочно с несколькими координатными линиями. Можно показать, что все собственные решения при заданном положении линии образуют полную ортогональную систему и что любое возможное распределение поля в линии можно представить в виде разложения в ряд по функциям этой ортогональной системы. Следовательно, любое возмож- ное распределение поля в линии может рассматриваться как суперпози- ция Е-, Н- и L-волн (см., например, [В 71). Рассмотрим прежде всего условия возникновения L-волн и для этого запишем краевую задачу (2 24) в более удобном виде. Так как ЯОг = О, то в случае L-волны второе уравнение системы (2.7) принимает вид rotz Ео/, = 0. Поскольку Е0(г не зависит от г, то поперечная составляющая rot Е0/г также равна нулю, так что E0Zf как безвихревой вектор внутри F можно выразить через скалярный потенциал (р: Еогг = gradir<p. (2.26) Так как £02 == 0, то далее справедливо div Е = div Е/г = div Е0,г = 0 и с учетом (2.26) Д/гФ = 0. (2.27) Так как, кроме того, EOfr = grad/rcp перпендикулярен к С, то отрезки кривой С являются эквипотенциальными линиями. Тем самым граничное условие принимает вид Ф = = const на (v = 1, 2, . . ., п), (2 28) если С составлено из п кривых Cv. Теперь краевая задача (2.27), (2.28) в случае односвязной области имеет, как известно, лишь тривиальное решение Ф = const, т. е. в этом случае все составляющие поля тождественно равны нулю. Следовательно, /.-волна при идеальной проводимости стенок линии 56
существует лишь в том случае, если поперечное сечение линии представ- ляет собой многосвязную область (как, например, в случае концентриче- ской двухпроводной линии). Если поперечное сечение является много- связной областью, но стенки обладают конечной проводимостью, чистая L-волна не возникает. Так как поле убывает в направлении токов в стенке, которые протекают в продольном направлении (поскольку Hz = 0), то вдоль пути распространения существует электрическая составляющая. 2.2.2. Свойства и параметры Е- н Я-волн Так как L-волны (в технике СВЧ) возникают лишь в исключительных случаях, то в дальнейшем будем рассматривать преимущественно Е- и Я-волны. Из общего представления (2.2) следует, что в случае линии без потерь (у = /Р) скорость распространения какого-либо состояния поля чистой волны (т. е. собственного решения волнового уравнения) в линии опре- дел яется фазовой скоростью (2.29) Согласно этому длину волны в линии целесообразно определять с помощью следующего соотношения Р=-^. (2.30) Если положить далее (2.31) лец где скорость распространения, а % = 2^ ,2 33. (I) х ' длина волны в неограниченной среде с постоянными е и |х, то „2 __ , 2 л2 __ ь2 и2 И — СО 8р — р — р ИЛИ ₽2 = - X2. (2.34) Следовательно, существование вещественной фазовой постоянной ₽ предполагает, что > Z В противном случае 0 чисто мнимое: 0 — следовательно, у = —0', т. е. поле в направлении оси г убывает по экспоненциальному закону. Если положить х = (2.35) 57
и ввести в (2.34) длины волн и Хеи согласно (2.30) и (2.31) или, соот- ветственно, длину волны в свободном пространстве Хо, то получаем 1 *_______ВгЦг ______I 1 /п QC\ I2 I2 I2 1! !' (2.36) ЛЛ лед Ай 1 л0 Ag ) Поэтому условие распространения волн гласит: (2.37) На этом основании лг называется граничной или критической длиной волны. Если необходимо, чтобы волна распространялась вдоль линии, то длина волны в свободном пространстве Хо не должна превышать гранич- ную длину волны Для волны в линии или волноводе из (2.36) находим >.L- (2-38) V 1- ’ Величина (2.39) называется граничной или критической частотой. Это такая частота, которая не может быть превышена, если должно происходить распростра- нение волн. Следует учитывать, что и зависят не только от геометри- ческого строения линии, но и от свойств диэлектрика. Для любой краевой задачи (2.21) или (2.22) существует последователь- ность дискретных граничных длин волн ^gV), соответствующих числам xv. В случаях, представляющих практический интерес, последовательность собственных чисел неограниченно растет, т. е. последовательность XgV) неограниченно убывает, так что, следовательно, неравенству (2.37) всегда удовлетворяет лишь конечное число kgV>. Тип волны с максимальной гра- ничной длиной в линии, т. е. решение, соответствующее минимальному собственному числу я,, называется основной волной (англ., dominant mode, principal mode). В практике особо важную роль играют волноводы, в которых из-за соотношения их размеров возникает лишь основная волна. Граничная волна может считаться важнейшей характеристикой типа волны. Для L-волны х = 0, т. е. = сю. Другим важным понятием является понятие волнового сопротивления поля. Согласно разд. 2.1.3 отношение поперечных составляющих элек- трического и магнитного полей для любого типа волны постоянно в попе- речном сечении и оба вектора перпендикулярны друг другу. Назовем это отношение, которое имеет размерность сопротивления, волновым сопротивлением поля ZL и определим его уравнением = [ег, EJ. (2.40) Из сравнения с уравнением (2.8) или, соответственно, (2.14) следует: для Д-волн ^’ = ^; (2.41) ДЛЯ Я-волн = 2^.. (2.42) 58
При отсутствии затухания получаем 21s’ = -V'=Z1 - (£)’; <2«) Й” _ w = z _ z ---------- I (2.44) Р Лгц 1 / 1 f Л|> X Д ► \ ч) где = Z° Vi~ = 120л 0M- <2'45) Для L-волн ZL = ZEll. (2.46) (Однако здесь целесообразно применять волновое сопротивление линии; см. раздел 2,4.1.) При этом всегда выполняются неравенства (2.47) В предельном случае при стремлении длины волны к нулю № = = Ze(l. (2.48) В предельном случае Z^£) обращается в нуль, в то время как становится бесконечно большим. Волновое сопротивление поля в волноводах ц подобных им линиях играет такую же роль, как и волновое сопротивление элементарных линий или линий L-типа, правда с той лишь разницей, что волновое сопротивле- ние поля является свойством не только линии, но и зависит от типа волны или, соответственно, граничной длины волны и частоты. Понятие волнового сопротивления в основном применяется в различ- ных задачах согласования линии с нагрузкой. Согласование должно производиться таким образом, чтобы отсутствовало полное или частичное отражение энергии, переносимой волной. Для этого должны быть выпол- нены определенные условия согласования, т е. картины поля или соотно- шения между напряжением и током в соответствующих поперечных сече- ниях линии при подключенной нагрузке должны быть одинаковы. Так как в случае волноводов, используемых преимущественно в технике СВЧ, короткое замыкание линии осуществляется чаще всего по поверхности или, соответственно, связь между двумя волноводами или волноводом и другим конструктивным элементом происходит главным образом через поля в попе- речном сечении, то мерой согласования являются эти поля или отношение напряженностей электрического и магнитного полей в этом сечении. Правда, имеются исключения. Если, например, концентрическую двухпро- водную линию подключить к волноводу таким образом, чтобы ее внутрен- ний и внешний проводники соединялись с различными точками попереч- ного сечения волновода, то мерой согласования в этом случае будет отно- шение напряжения между этими точками к току в них. В подобных случаях используется волновое сопротивление линии, обычно применяемое в теории элементарных линий. 59
2.2.8. Мощность, передаваемая вдоль лини hi Мощность Р, передаваемую в направлении оси г, можно определить путем интегрирования г-составляющей вектора Пойнтинга по поперечному сечению линии: J (ег, S)dF = ±- J (ег, [Е, H*J) dF = -A- f |[Е/г, H*r]|dF. (F) (F) (>} Если рассматривать лишь один тип волны и считать, что линия не обла- дает потерями (ZL вещественно), то справедливо соотношение |[Е(Г, H;r]| = ^|[Ew,|’ = ZL|HOf,|*, следовательно, Р = 1Z- [ |Е0ir\*dF = 4- J |H0(r]a dF. (2.49) (Г) (F) Подставим теперь сюда выражение для Еогг в случае f-волны и для Н0^г в случае //-волны из выражения (2.9) или, соответственно, (2.15) и при у = /р получим: для Ё-волны Р = (2.50) для //-волны z(W С Р = Igrad^l2^. (2.51) Если с помощью формул £ог = Е^/(и, у): 1 HOz = /№g(u,v) ) ввести максимальные напряженности продольных полей Ео?’ или предполагая что fw gn поперечном сечении принимают максимальные зна- чения, равные единице, то получаем: для Е-волн г 1 д-р--------------------> у—”/ Р1/ | |grad,r/]’dF Г (>) для Н волн 7/^> уР--------------------/2 =. (2.54) ₽ У р/ J igradt,g|a dF Мощность, передаваемая по линии, при наличии нескольких типов волн равна сумме мощностей, переносимых отдельными типами их (см , например, [В 7, стр 2451). 60
2.2.4. Фавовая н групповая скорости, скорость расиростраиеиия сигнала и анергии С помощью выражения (2.29) была введена фазовая скорость Уфаэ волны в линии как скорость распространения определенного волнового состоя- ния в линии без потерь: Сфаз = -—===-. (2.55) V \Ье) Так как второй множитель всегда превышает единицу, то фазовая ско- рость волны всегда больше скорости света в свободной среде с постоян- ными 8 и р. Само собой разумеется, что это не противоречит теории относи- тельности, так как фазовая скорость является расчетной величиной, кото- рая не идентична скорости распространения энергии или сигнала. До сих пор мы ограничивались рассмотрением лишь стационарного состояния при фиксированной частоте. Хотя таким образом энергию и можно передавать, но нельзя выделить ее отдельных составляющих для измерения их ско- рости. Для этого необходимо, чтобы имело место изменение во времени передаваемой энергии, т. е, образование сигнала, что требует некоторой полосы частот. В практике никогда не применяются сигналы строго по- стоянной частоты, так как начало любого процесса передачи связано с изме- нением во времени. До сих пор ничего не говорилось о скорости, с которой передается сигнал (например, скачок напряженности поля). Для ответа на этот вопрос рассмотрим две волны одного типа, распространяющиеся в линии в одном направлении, или две соответствующие составляющие £х и £2 с мало раз- личающимися частотами и с одинаковыми амплитудами. Пусть круговая частота и фазовая постоянная составляющей Ег соответственно и и 0, а составляющей Ег — ы + А со и 0 + Д0. Сигнал, возникающий в резуль- тате суперпозиции, будет Е = £х + £2 = £ое”/рге/ы {I + е“/Л₽гем“'}- Пусть теперь частотный интервал Д<о и тем самым Д0 настолько малы, что можно пренебречь второй и более высокими степенями этих величин по сравнению с единицей. Тогда г , ™.t 1 + = 2 — /Д0г + jbot = 2е 2 е 3 и тем самым £ = 2£0еНе(г~Т '). (2.56) Из выражения (2.56) следует, что благодаря суперпозиции появляется модулированная волна, которая распространяется с фазовой скоростью Цфаэ = са/0, причем фаза модулированного колебания распространяется со скоростью Дсо/Др. При малом Д0 частота модуляции очень мала или, соответственно, период (длина волны) модулированного колебания очень велик. Очевидно, что при таком способе можно говорить о передаче сигнала, хотя на практике используют другие методы. На основании приведенного рассмотрения понятно, почему предельное значение отношения Д<в/Д0 в этом и во всех подобных случаях называется скоростью сигнала. В общем случае групповая скорость определяется выражением «п-3?. (2.57) 61
или, так как си может считаться независимой переменной, 1 = d|l rrp dco ’ Понятие групповой скорости является одним из основных сматриваемой здесь области. Очевидно, что в нашем случае скорость идентична скорости распространения сигнала. В вычислений получается , (2.58> и вне рас- групповая результате т. е. Групповая скорость всегда меньше скорости света в свободной среде. Из (2.55) и (2.59) следует: ^фаз^гр = = Уец- (2.60)1 Это соотношение всегда выполняется. Возникновение двух различных скоростей 0фаз и угр, как в случае рассматриваемых нами волн в линиях, называется дисперсией. Если офаз > угр, то говорят о нормальной диспер- сии, в противном случае — об аномальной. При нормальной дисперсии, имеющей место в волноводах и подобных им линиях, групповая скорость идентична скорости распространения сигнала. В предельном случае = = групповая скорость равна нулю. Известный недостаток понятия групповой скорости состоит в том, что ггр определена для фиксированной частоты, в то время как при рас- пространении сигнала принимают участие частоты всей полосы. Какая из групповых скоростей, соответствующих различным частотам, является скоростью распространения сигнала? На это следует сказать, что группо- вые скорости, соответствующие содержащимся в сигнале частотам, обычно близко примыкают одна к другой, но при более длинных путях распростра- нения из-за дисперсии фактически происходит изменение формы сигнала, т. е. его «расплывание». Однако на практике в большинстве случаев оно незначительно. Например, для волновода с воздушным заполнением при = 4,6 см групповые скорости, соответствующие Хо(1) = 3,2 щи и Xq2) = = 3,21 см (разность частот приблизительно 50 Мгц), различаются меньше чем на 3%. Скоростью распространения энергии обычно называется отношение ^=4’ <2-61> где Р — мощность, проходящая через поперечное сечение линии, a W — энергия поля, содержащаяся в отрезке линии единичной длины (усреднен- ная во времени). Можно показать, что определенная таким образом ско- рость распространения энергии также равна групповой скорости (см., например, IB 7J). (Следует рассматривать это не как физическое определе- ние, а лишь как признак справедливости введенного выше определения понятия скорости распространения энергии.) 62
2.2.6. Линия с потерями. Диэлектрические и магнитные потери Положим теперь постоянную затухания а отличной от нуля, что соот- ветствует случаю реальных линий. Согласно определению справедливо у’2 = (а + J0)a = ха — и2ер, (2.62) причем правая часть также комплексна. Если предположить теперь, что диэлектрик, заполняющий линию, не имеет потерь, т. е. е и р— веще- ственные величины, то учет затухания, которое в этом случае вызывается, очевидно, лишь потерями тока в проводящих стенках, требует комплекс- ного значения я. Но и как собственное число задачи (2.21) или, соответ- ственно, (2.22), вещественно, пока сохраняются указанные выше гранич- ные условия. Изменение граничных условий фактически было бы равно- сильно учету затухания в стенках, т. е. конечной проводимости последних, так как при конечной проводимости появляется тангенциальная состав- ляющая электрического поля, совпадающая с направлением тока в стенках. Однако точный или лишь до некоторой степени точный учет изменения поля, обусловленного конечной проводимостью стенок, чрезвычайно сло- жен. С другой стороны, поскольку в линии не происходит больших потерь, можно, как правило, ограничиться случаем незначительного затухания и тем самым для его расчета рассматривать невозмущенное, т. е. возни- кающее в случае без потерь распределение поля в поперечном сечении линии. Так как к при этом вещественно, то произведение ер должно быть комплексным. В действительности это имеет место, а потому можно по- ложить е = е' — je* = s0 (в, — /е") = е' (1 — j tg 6); Р = р' — ill" = р0 (р; — /р") = р' (1 ; tg V), (2.63) где (2 64) представляют собой тангенсы углов диэлектрических и магнитных потерь среды. Следовательно, в таком понимании проявляются лишь диэлектри- ческие и магнитные потери в веществе. Обусловленное этим затухание можно непосредственно рассчитать по формулам (2.62)—(2 64). Потери в стенках можно, таким образом, рассматривать чисто формально; однако для их расчета необходим еще дальнейший анализ, который будет проведен в следующем разделе, В дальнейшем распределение поля в поперечном сечении принимается таким же, как и при отсутствии потерь, т. е. считается, что влияние зату- хания проявляется лишь в убывании поля в направлении распростране- ния. Кроме того, при расчете предполагается а < 0, а именно, как пра- вило, учитывается лишь первая степень а/0. Это предположение означает, что не только должна быть мала постоянная затухания, но и что необхо- димо выбирать длину волны, достаточно отличающуюся от граничной. (При приближении к граничной длине волны неограниченно возрастает, а 0 стремится к нулю, так что отношение а/ft при еще достаточно малом а становится сколь угодно большим.) 63
Сравнение (2.62) и (2.63) дает где /? = юае'р' — ха = 0'“; 1 I = й^е'р/ (tg 6 + tg v). / (2.65) (2.66) (2.67) 0' представляет собой фазовую постоянную при отсутствии потерь. Для а < 0 или, соответственно, а < 0' a = -2^ = -^(tg6 + tgv); (2.68) 0=₽'{1+"г(^У}- <2-69) При учете лишь первой степени а/0 справедливо 0 = ₽', (270) т. е. фазовая постоянная и тем самым длина волны в волноводе остаются в первом приближении неизменными. То же самое справедливо и для длины волны %ец в свободной среде. На этом основании в приближенном выраже- нии (2.68) для а полагалось 0' = 2л/ZL и со ]/8'р/ = 2лДе(1. Более точное значение получается непосредственно из (2.66). Отсюда в качестве приближения второго порядка следует {,2 1 Кг (271) где .' 2л Ль - р, . Для волнового сопротивления поля справедливо: в случае Е-волн = TSF “ Z'P' (1 -/т} " р - ; <2-72’ в случае Я-волн = If- = Z^'jl 4- jf} = Z£"’'{1 + j (273) При этом ?(£)' _ ₽ 7{НГ _ сор L шв ’ L Р представляют собой волновые сопротивления при отсутствии потерь. 64
2.2.6. Скин-эффект и поверхностное сопротивление Для расчета потерь в стенках прежде всего должно быть известно рас- пределение поля или тока в линии на высоких частотах. Для простоты рассмотрим бесконечную линию с плоской граничной поверхностью. Пусть в прямоугольной декартовой системе координат полупространство z > О заполнено проводником, а полупространство z < О — воздухом или оно является свободным пространством (рис. 2.2). Пусть проводимость ст на- столько велика, что справедливо ст <ое, т. е. током смещения в про- воднике по сравнению с током проводимости можно пренебречь. Уравне- ния Максвелла для полей в проводнике при таком предположении имеют вид rot Е = —/юцН; ) rot Н = стЕ. I 5 ' Будем считать далее, что изменением поля вдоль поверхности проводника по сравнению с изменением поля в направлении внутренней нормали к поверхности провод- ника можно пренебречь (на практике это условие в большинстве случаев выпол- няется). Тем самым из (2.74) для Е получается волновое уравнение tFE — /<ороЕ = 0 (2.75) Рис. 2.2. Амплитудное распре- деление така вблизи хорошо проводящей граничной поверх- ности (I — глубина проникно- вения). с решением Е = Е / V/“но2 (2.76) (Перед корнем в экспоненте должен стоять знак минус, так как в против- ном случае напряженность поля в проводнике возрастала бы с увеличе- нием расстояния от его поверхности по экспоненциальному закону, что физически невозможно.) Ео представляет собой вектор поля на поверхности проводника г = 0. Если в (2.76) положить //(йИст=-Ц^-, (2.77) где <2-78> то Е = е/11+Лт, (2.79) Соответственно получаем Н = Ное" <Ж) Т (2.80) и плотность тока -п+/>4 I = оЕ = 1ое (2.81) 5 Заказ JA 1596 65
в частности, справедливо |1| = !1о|е (2.82) Плотность тока и напряженности полей убывают по экспоненциальному закону в направлении внутренней нормали к поверхности проводника. При z = t значение тока и напряженности поля в е раз меньше значений на поверхности t называется глубиной проникновения. Как показывает уравнение (2.78), t обратно пропорционально корню квадратному из ча- стоты, так что на высоких частотах и при хорошей проводимости весь ток практически концентрируется в тонком слое вдоль поверхности про- водника. Это явление называется скин-эффектом. Пусть теперь Е; и Н( представляют собой тангенциальные составляю- щие напряженности полей на поверхности проводника. Если пренебречь напряженностью магнитного поля в проводнике, то справедливо [п, Н] = [n, Ht] - (2.83) (п — единичный вектор, направленный вдоль внешней нормали), причем плотность поверхностного тока IF определяется полным током, отнесен- ным к поверхности проводника: » СО Р р _ (1 ) 21 IF=JldZ = lJe (2.84) о и Следовательно, для тангенциальных составляющих напряженности электрического и магнитного полей справедливо соотношение Е, ~-ZF[n, HJ (2.85) с поверхностным сопротивлением г,—= (1+Л VS- <2-86> Далее ,Ь=^-Ч- (2-87) Соотношение, определяемое выражением (2.85), иногда называется практическим граничным условием. При известных ZF и Н( из него можно определить Е(. При этом без существенной ошибки может быть подстав- лено Н,, рассчитанное в предположении идеальной проводимости. 'Вещественная часть величины ZF называется поверхностным со- противлением в узком Смысле- = (2.88) Следует учитывать, что поверхностное сопротивление имеет размер- ность [сии], а не [ок/л2]. Мощность, проходящая через единицу поверх- ности проводника (усредненная во времени), определяется z-составляющей вектора Пойнтинга. На основании ,(2.85) получаем Р = |(n, S)| = 4 |Re {(n, [Е, Н“])}j = 4 Re {} = (2-89) GG
Согласно этому T?F представляет собой активное сопротивление поверх- ности проводника на соответствующей частоте. В согласии с выраже- нием (2.88) можно истолковать также как сопротивление постоянному току квадрата, вырезанного из поверхностного слоя толщиной t, через который протекает ток в направлении одной из сторон квадрата, т. е. сопротивление переменному току или, соответственно, высокочастотное сопротивление бесконечного проводника с плоской граничной поверх- ностью равно сопротивлению постоянному току плоского проводника толщиной t, С достаточной точностью это справедливо также в случае конечных размеров, проводник а и искривленной поверхности, за исключе- А,см Рис 2 3 Глубина проникнове- ния /для различных приводящих материалов в зависимости от час- тоты. A,cw Рис. 2.4. Поверхностное сопроти- вление Ир различных проводящих материалов в зависимости от час- тоты., / — латунь, 2 — алюминий, J — медь, 4 — серебро J — латунь, G = 13* 10е олс-л, 2 — алюминий, <т = 33* 10е о-М'Л* Я — медь, а = 57* 10е м, 4’ — depe^PQ- U = 61 * 10е ом- лс» нием экстремальных случаев (когда толщина проводника или радиус кривизны сравнимы с глубиной проникновения). На рис. 2.3 представлена зависимость от частоты глубины проникно- вения, а на рис. 2.4 — поверхностного сопротивления для различных про- водящих материалов при р — р0. Эти значения справедливы для гладких поверхностей Для шероховатых .поверхностей принимает несколько большие значения. 2.2.7. Затухание, обусловленное конечной проводимостью стенок. '' 1 ’ , ? (ТоЛное затухание Мощность, проходящая через поперечное сечение линии в точке г, в случае линии с затуханием равна —2uz P^-Ptf , (2.90) если Ро — мощность в точке г == 0. Так как 2аР> - - йг < то для постоянной затухания получаем .а = (2.91) 5* 67
здесь дР1дг — изменение мощности на единицу длины в направлении распространения, т. е. значение этой производной со знаком минус равно мощности потерь на единицу длины. Часть мощности потерь, обусловлен- ная конечной проводимостью стенок, может быть определена интегриро- ванием Р, представляемого выражением (2.89), по всему контуру. Следовательно, —(2.92) Так как мы рассматриваем параметры поля линии без потерь, а в этом случае нормальная составляющая вектора Н на контуре равна нулю, то на контуре С имеют место соотношения Н, Н ад н2 и |Н,|В = |HJ* + (Н/ = над + М e~2az. (2.93) Тем самым - < = 4- _2<1г J11+1”^1}ds- <2-94> (С) Мощность Р определяется из (2.90) путем замены Ро значением из (2.49), соответствующим случаю без потерь: j |ад^р. (2.95) (Л Следовательно, постоянная затухания f {[HWr|« + |H„|*)^ а = • (2.96) Д | ад (fl Выразим теперь поперечную составляющую Н0(, через продольные составляющие. Прежде всего для f-волны справедливо Hotr 35 -~j— [®г> grad^oJ; НОг = 0. Тем самым J (|ад + |ад)^ = ^£ J igradAfds = j (^ps. (С) (С) (С) ^Так как на С составляющая = 0, то на этом контуре grad/r£e, = -grad„£Oz = n^-J Далее получаем J (ад<^ J IgradAI*^- (F) (F) Для Н-волны справедливо Н0/г = grad(rZ/or, 68
следовательно, J {| Hw< Is + I Hw PJ ds = Ж J I grad,гНаг P ds + (Ct (Ct + f = J j &ds. (С) (C) <C) ^Так как на С —& - 0, то на этом контуре grad^Hoi = grad,//Oi = = \ s й ' ) Далее справедливо J jHwJadf =Ж J )grad,A//<JW (₽) (Г) Если подставить эти выражения в формулу (2.96), то для постоянной затухания получаем: для Е-волн I Igrad^pdf (F) (2.97) ДЛЯ //-ВОЛН (2.98) При этом для малых затуханий было введено допустимое приближение |? Р = ₽3. При Хо -► Xg затухание в обоих случаях становится бесконечно большим (однако при этом сделанные ранее предположения уже не соот- ветствуют действительности). С возрастанием частоты, т. е. с убыванием Ло, затухание в обоих случаях также неограниченно возрастает, а именно, как и /в, величина а становится бесконечной. Исключение, однако, со- ставляют //-волны, у которых т. е. Н0/г, на контуре обращается в нуль. В этом случае затухание убывает с увеличением частоты, причем для неограниченно возрастающей частоты справедливо а 69
(На этом основано, например, применение Ящ-волны в круглом волноводе для передачи энергии на большие расстояния при небольшом поглощении.) При незначительных затуханиях общее затухание складывается из отдельных частей, обусловленных различными факторами. Оно представ- ляет собой сумму электрической' и магйитной постоянных затухания, а также постоянной затухания, вызванной потерями в’ стенках. Если в проводнике имеется диэлектрик, то в области высоких частот, как пра- вило, преобладает затухание, обусловленное потерями в диэлектрике. По этой причине почти всегда в волноводах применяется воздушное заполнение Формулы (2.97) или, соответственно, (2.98) для затухания в стенках справедливы лишь при идеально гладкой поверхности послед- них. Даже при незначительных шероховатостях поверхностей, например в случае необработанных волноводов, затухание в стенках возрастает [2.3] [2.18] [2 47]. 2.2.8. Токи в стенках При сделанных ранее предположениях (малое затухание, распределе- ние поля в поперечном сечении, как и в случае без потерь) токи в стен- ках такие же, как и в линии без потерь. Согласно (2.83) If = ln> причем плотность поверхностного тока 1F следует понимать в смысле выражения (2.84). Так как приняты идеальные граничные условия, то Н; = И.', 4- Нг Применяя соотношения, которые использовались при выводе формул (2.97) и (2.98) [с той разницей, что здесь рассматриваются Hfr вместо и т. д., т е. вводится множитель ехр (—az)], получаем: для Е’-волн ж —/ые г г , г, —/<ве д£г г г ,, If = [^. ьгасЬг £г]] = [п, [е2, пЦ, т. е. для Я-воли lp=- ДДп,ег), т. е. = (2.100) (Необходимо учитывать, что и, s и ег в указанной последовательности образуют правую систему.) । Следовательно, в случае Е-волн имеют место лишь продольные токи, т. е. для передачи этих волн могут, напрймер, применяться цилиндриче- ские линии. Кроме того, волновод, возбуждаемый Е-волнами, может иметь продольную щель в любом месте поперечного сечения (например, для введения измерительного зонда). В случае Я-волн, для которых или, соответственно, Н(/. на контуре равны нулю (упомянутые ниже типы волн, у которых затухание 70
убывает с возрастанием частоты), напротив, протекают лишь поперечные токи. В данном случае линия может быть разрезана вдоль поперечного сечения и при этом не будет возникать существенных искажений (расстоя- ние между обеими частями проводника, естественно, должно оставаться малым). 2.3. Волноводные линии 2.3.1. Волноводная линия с прямоугольным поперечным оечением Вывод параметров поля в волноводных линиях с прямоугольным и круглым поперечными сечениями (и другими формами поперечного сече- ния) дается во многих работах (например, IA 16], ]А 20], [А 24], [В 7]) и поэтому здесь подробно не рассма- тривается. Для прямоугольного вол- новода мы укажем важнейшие этапы решения задачи о нахождении собст- венных значений, а для других форм поперечного сечения ограничимся при- ведением окончательного решения. В случае прямоугольной декарто- вой системы координат и размеров поперечного сечения волновода, ука- занных на рис. 2.5, задача нахождения собственных значений может быть за- писана в следующем виде: для £-волн Рис. 2 5. Система координат и основ- ные размеры прямоугольного волно- вода. А(г£Ог + ка£Ог 0; ЕОг = ЕоЛх’У) (0 S х а; 0 S У S- &); £ог (о, у) = £о2 (а, у) — ЕПг (х, 0) = £Ог (х, Ь) = 0; для //-волн ^Нйг = 0; Наг ~ НпЛХ’У) (О^х^а; 0 =>£/>&); Г дН ог 1 _ Г дНдг 1 _ Г дН az "1 _ Г дНог 1 _q L д* J^Q— [ дх Jz—а— [ ду — L &У ]^=б ~ (2 101) (2.102) (Очевидно, что индексы х = 0, х = а и т. д. предполагают математически корректные предельные переходы из внутренней области поперечного сечения к границе после проведения операции дифференцирования.) В этом случае £-волны возникать не могут, так как поперечное сече- ние является односвязной областью. Представляя £Ог в виде Е.г = ! (*)£(//) (2-ЮЗ) (можно показать, что такое представление фактически охватывает все решения задачи), для £-волны получим уравнение Г W g (у) + f W g" (у) + «7 W g (У) = о или, соответственно, + + <2Д04> где С1+С2 = хг. (2.105) 7)
Так как х и у не зависят друг от друга, то каждое из обоих выражений в скобках в уравнении (2.104) должно быть тождественно равно нулю: Г + с!/ = 0; £4-с&=0, (2.106) С помощью линейно независимых частных решений cos (срс); sin (сгх) или cos (сах); sin (с2х) общее решение с учетом представления (2.103) можно сформировать в сле- дующем виде: Е9г = Mi cos (срО + Ег sin (стх)} {Л2 cos (с^у) + В2 sin (с^у)]. (2.107) Выполнение граничного условия при х = 0 и у = 0 требует прежде всего Ai = = 0, так что Ео? = Е±ВЪ sin (cjjc) sin (сгу). (2.108) Кроме того, так как £Ог при х = а и у = b должно обращаться в нуль, то сх = с3= ™ (^,« = 0,1, ...). (2.109) Принимая во внимание (2.105), получим собственные значения: (2.110) и тем самым граничные длины £-волн: 1 = = — У^ГГ ------- ' (2.111) Я £.тп к Г гГг 1//т\» । (JL.X И V 2d ) +\2Ь ) Если подставить теперь (2.109) в (2.108), то прежде всего получим £Ог и отсюда, используя (2.9) и (2.10), прочие составляющие поля. Положим ещеВ1Вг = и отнесем тем самым все составляющие к максимальному значению продольной составляющей в поперечном сечении. В случае Е- волны формулы для составляющих поля имеют вид 12 - r*(m) ЛП . / Л/П \ / ЛП \ Еоу - — /£йг —Sin —xjcos у); Ейг = ЕоГ’ Sin sin у) ; (2.112) /7ох — / р(т) .2 с0г лг лп b Е<т> I2 М _ ; Д(>г п /7 9тт1 ЛЛ1 а Соответствующее решение для //-волны с учетом' граничных условий дает такое же выражение для граничной длины волны: 72
и следующее представление составляющих поля: ,, Лс пт . / тп \ /пп \ Яох = }Нъ — Sin (—X )cos ( — у у 12 , г_т ►тт(ш) ЛЯ I Я1Л Л \ , { ПЛ \ - м vcos(—XJsin (v у) ; Ног = Н<£} COS COS у') ; 12 & -m.^-xcos^)sln^^; I2 , „ Ле пт „ / тл \ /пл \ sm (vx;cos \~у ) (2.113) Рис 2.6. Графическое представление возможности существования простей- ших типов волн в прямоугольном вол- новоде. Зависимость от z при отсутствии потерь определяется множителем ехр (—j0z). £- или Я-волны, соответствующие собственным числам zmn, называются Етп- или волнами. В случае £-волн т и п должны быть отличны от нуля, так как иначе продольные, а тем самым и прочие составляющие обращаются в нуль. Следовательно, простейшей электри- ческой волной является £и-волна. Для Я-волн по крайней мере одно из чисел т или п должно быть отлично от нуля, так как в противном случае ЯОг постоянно, и тем самым поперечные со- ставляющие обращаются в нуль, т. е, передачи энергии не будет. Следова- тельно, простейшей Я-волной являет- ся Я10- или Я01-волна. Как видно из представлений составляющих поля (для любого типа волны), т определяет число полуволн в направлении оси х (вдоль стороны а), а п — число полу- волн в направлении оси у (вдоль сто- роны Ь). На рис. 2.6 графически представлены граничные волны простейших типов и возможность их существования при различных поперечных раз- мерах волновода, а на рис. 2.7 и 2.8 — распределения поля для важней- ших £- и Я-волн. Для длины волны в волноводе обоих типов справедливо общее выражение (2.38) при Xg, определяемом формулой (2.111). Пере- даваемую по волноводу мощность можно найти, используя выражение (2.50) и (2.51), а максимальное значение напряженности продольного поля — выражение (2.53) или, соответственно, (2.54). Получающиеся при этом интегралы можно легко вычислить. Для £-волны имеем (21И) для Я-ВОЛНЫ Р = 1 - (т, п 0) (2.115) 73
или, соответственно, Р = ~ (-&У 1/1 — (т 0, п = 0 или т - 0, п 0). 4 \ Aq / У \Ag/ (2.116) С помощью (2.114) и (2.115) или, соответственно, (2.116) по известной мощности можно вычислить абсолютные значения составляющих поля. Особенно простые зависимости имеют место при таких Я-волнах, у которых либо т, либо п равно нулю. В случае ti = 0, т. е. при Нта- волнах, существуют лишь составляющие НОх, ЕОу и НОг, и они не зависят от Ь Следовательно, в частно- сти, b можно выбрать очень малым, т. е. ис- пользовать узкий волно- вод (волновод с плоским профилем) Границы опре- деляются лишь возраста- нием затухания и убыва- нием удельной мощности (см. ниже). С другой стороны, b может стать произвольно большим, так что, в частности, в предельном случае b &о, т. е. при распространении волн между двумя параллельными проводя- щими плоскостями получается такое же распределение поля, как и в случае //т0-волны. Затухание, обусловленное диэлектрическими и магнитными потерями, определяется формулами (2.65)—(2.69). Затухание, обусловленное потерями в металлических стенках волно- вода, определяется формулами (2.97) и (2.98) Входящие в эти формулы Рис. 2 8 Картины поля простейших Я-волн в прямоугольном волноводе. интегралы могут быть легко вычислены, причем для /У-волн необходимо особо рассмотреть случай т-п = 0. Затухание, обусловленное потерями за счет конечной проводимости стенок, определяется следующими выра- жениями1 для £-волн (2.117) (2.118) 74
для Я-волн при т =£ 0, и = О где (2,119) . 2а , i—~ Ла = — у » m 7 (при m = Он п^= Оаи b необходимо поменять местами). На рис. 2,9 графически представлена зависимость затухания Ят0-волм, Для волнового сопротивления линии, которое имеет большое значение для некоторых задач согласования, получаем Волновое сопротивление линии пропорционально b Для волноводов плоского профиля, у которых соотношение сторон а : b несколько больше 10, оно значительно меньше волнового сопротивления поля. Поэтому волновод плоского профиля легче согласовать с коаксиальным кабелем, волновое сопротивление которого обычно меньше 100 ом. 75
Для составляющих поля основной волны справедливы следующие выражения: = sin Я02 = COS ; Еоу = — jHoz)~~Zeile/.}irsin (У*)- Затухание в стенках определяется формулой (2.119), где Xg = 2а У"ег£- (2.123) Для расчета максимальной мощности, которая может передаваться по прямоугольному волноводу с помощью Я10-волны, введем в (2.116) максимально допустимую напряженность электрического поля Из (2.123) следует: — “J ,2-ВЦ"Ог ВгЦг , Л8И следовательно, л<т)г , L р = 1 а1> е2|л2 4 (2.124) Если рассматривать волновод с воздушным заполнением и принять значение электрической прочности воздуха = 106 еЛн = 104 в/см, то ___ = Р^ = 6,63- 10е амьму 1 - (У)2 ва или Л™ = 66,ЗасЛ« У 1 — квт- (2.125) Мощность, которая может быть передана, пропорциональна стороне Ь, так что последняя при больших мощностях не может произвольно умень- шаться. 2.3.2. Волноводная линия с круглым поперечным сечением Для волноводных линий с круглым поперечным сечением, которые кратко называются также круглыми волноводами, задачу нахождения собственных значений целесообразно сформулировать в цилиндрической системе координат р, ф, z (рис. 2.10). Для £-волны [£ог]0=г = 0; 1 для Я-волны Г ог 1 _и 1 ае J0=r~u (2.126) (2.127) определяется формулами (2.13) и (П.27)). 76
С помощью представлений EOz = /i (р) gi 0р); (р) g2 (-ф) осуществляем разделение волновых уравнений. Решение для fv (р) полу- чается в виде комбинации цилиндрических функций, а для gv (ф) — в виде комбинации тригонометрических функций, которые с учетом граничных условий и требования конечности значений поля в поперечном сечении упрощаются следующим образом: f2 (q) J'Wm ( tmn ~ gi (Ф) = Bl cos (тф); gi (ф) = B2 cos (щф); : (2.128) здесь m — натуральное число или нуль; л — натуральное число, Jm — функция Бесселя /n-го порядка; tmn — л-й положительный корень уравнения Jт (Q = 0; t'mn — л-й положительный корень уравнения J'm (t,) = 0. следовательно, рис. 2.10. система координат и 1 .. т/и ,, /о i основные размеры круглого Ай V 8гНг‘ волновода. Ьтл Для того чтобы параметры поля можно было отнести к или, соответственно, к Яо7\ функции Бесселя Jm должны быть нормированы, J т- вид: 1 т. е. их необходимо поделить на максимальное значение Тем самым составляющие поля принимают следующий для Д-вснлн J' ft _ (ml Хо m \ Г ! До0 = —М cos (тф); С J т • m Egz = Ek —— COS (m$); m />.1 I2 m ( £mtt ^7 J fft>Q = —fE^ 2^ Y sinfmiph j' (r —i—--------^cos(mTp); (2J31) 77
для Я-волн J'г _ч_ = —jHoz —Цр55—- COS (лггф); L •> т. т " "Л ^тп ~Г ) 2± V ------------51П W)1 Д * tn J (t — Zm4 ™ 1 s/ля х i Нъ = HL ——- cos J tn 1Л m Jm\ ™ r ) £o0 - i^ZE, f Sin (m^t Z-o- ~r~') = jttL }Z^ —V (m) 7 cos (mi|>). ЛЕД J' ’ (2.132) представляет собой максимальное значение, которое принимает функция Бесселя Jm при положительных аргументах: , при т = О, т I /m(Ui) при т>0 Типы волн, соответствующие собственным числам xmn, называются Етп- или, соответственно, Я,„„-волнами. Индекс п появляется лишь в гранич- ных длинах волн согласно уравнению (2.129) или, соответственно, (2.130). Численные значения первых корней £mn и приведены в табл. 2.1 и 2.2. п 1 2 3 0 2,40 5,52 ' 8,65 1 3,83 7,02 10,17 2 5,14 8,42 11,62 3 6,38 9,76 13,02 Таблица 2 1 Таблица 2 2 Кории функций Бесселя Корни t.mn производных функций Бесселя /п 1 2 3 0 3,83 7,02 10,17 1 1,84 5,33 8,54 2 3,05 6,70 9,96 3 4,30 8,05 11,30 Число т определяет количество полуволн вдоль концентрической окруж- ности поперечного сечения, а число п — количество полуволн вдоль ра- диуса. Все параметры поля, как этого требует круговая симметрия задачи, по азимуту определены лишь до произвольного относительного угла.1 Типы волн с т — 0, т. е. Едп- и #0Л-волны, не зависят от ф; их картины поля обладают круговой симметрией. Поэтому Я0П-волны из-за их относи- тельно хороших характеристик затухания имеют большое значение. Основ- ной волной является Яп-волна ci4 = 2лг ]/егрг/^ц. На рис, 2.11 графи- 1 Собственны^ значения при т =/= 0 двукратно вырождены. 18
чески представлены граничные волны простейших типов, на рис. 2.12 и 2.13 — распределения поля для важнейших Е- и Я-волн. Для мощности, передаваемой по волноводу, и потерь на затухание за счет конечной проводимости стенок справедливы выражения (2 50) и (2.51) или, соответственно, (2.97) и (2.98). Точное вычисление интегралов, входящих в эти уравнения, можно осуще- ствить с помощью выражений для и НОг из (2.131) и (2.132). Укажем путь вы- числения лишь для поверхностного интег- рала (подробности можно найти, напри- мер, в [А 16]): Рис. 2.11. Графическое представле- ние возможности существования простейших типов волн в круглом волноводе х cos2 (шф) о d-ф = 2 = т для щ О J т (см. [В 3, стр. 148, 149]; следует учитывать, что из-за граничного условия в (2.126) Jm (2яг/кг) = Jm (£m„) = 0). В случае т = 0 необхо- димо добавлять множитель 2. В конечном счете получаются следующие выражения для передавае- мой мощности Р: Рис 2 12. Картины поля простей- ших Е-волн в круглом волноводе. Рис. 2 13 Картины поля простейших Я-волн в круглом волноводе. для £-волны с0г Пг2 4"” 2 4 ZL^r Р = Е^)г~ - ДЛЯ /71 О, (2. 133) Р V для т = О, 79
Для Н-волны Р = ,(т}2 V ;2 е „ ^т") Ь “ ( < I ДЛЯ т °’ J т fuLe‘rrr ( *тп } J P^fW2 для т = 0. (2.134) Затухание, обусловленное конечной проводимостью стенок, опреде- ляется выражениями: для £-волн1?1 (2. 135) для Н-волны (2.136) В частности, для Я0„-волн а = ^- (2.137) Токи в стенках определяются из (2.99) и (2.100). Для Яц-волны, основной волны в круглом волноводе, справедливы следующие соотношения: ^1/84*7 = 2г-1,71 KW (2-138) (ml J1 Ног = ЯЙ” ) у,- / cosTp; F 1 Л(Сп~^) £°“ - }Ног Ze>* 2лхед Q Jt (^) Sin (2.139) (ml .Z/cosip. 'f /; (£u) 80
Для в случае р = 0 необходимо определить граничное значение: lim —™ , (2.140) c->o 0 h ' Для затухания Яи-волны, обусловленного потерями в металле, спра- ведливо ________ (М2 а = 0,42 j ]/ 1 — (^-У-3,38—. (2 141) rZ^ ' Для расчета допустимой мощности необходимо знать максимальное значение напряженности электрического поля в поперечном сечении. Оно получается как экстремальное значение выражения Е = Е (р, -ф) - + I I2- Максимальное значение имеет место при р = 0, = л/2 и равно ^max = f^Orl я • q=0, Ф= — Вводя £raaJt в (2.134), для максимального значения передаваемой мощ- ности после некоторых преобразований получим <2142) или при воздушном заполнении и Ze|i = Zj -- 120л ом P = ElaK-2-10~3^ | 1 в (2.143) Если опять принять электрическую прочность воздуха равной Етяк - = 104 в!см, то Р = 200г2 ]z 1 — ( кет, (2 144) Если отнести максимальную передаваемую мощность к поперечному сечению лг2, то появится численный множитель 63,7, в то время как в слу- чае Д10-волны в прямоугольном волноводе — множитель 66,3, Мощность, обоих 1 которая может быть передана, при одинаковом отношении -Р2- в As случаях практически одинакова. 2.3.3. Другие формы поперечного сечения В настоящем разделе мы укажем важнейшие соотношения для основ- ных типов волн в концентрических двухпроводных линиях, в волноводах с эллиптическим поперечным сечением и в волноводах с сечением в виде кругового сектора. 6 Заказ № 1бс6 81
В случае двухпроводной линии поперечное сечение представляет собой двусвязную область и имеет вид кольца (рис. 2.14). Как и для круглого волновода, задача нахождения собственных значений формулируется в ци- Рис. 2 14. Геометрические пара- метры, используемые Для описания концентрической двухпроводной линии. линдрических координатах. Однако здесь граничные условия должны быть выпол- нены при р = гх и р = г2. Решение волнового уравнения опять может быть представлено с помощью круговых цилин- дрических функций, причем теперь наряду с функциями Бесселя Jm необходимо ис- пользовать также функции Неймана (они были неприменимы в случае цилин- дрического волновода, так как для нуле- вого аргумента обращаются в бесконеч- ность, в то время как поле и в центре по- перечного сечения должно оставаться ко- нечным). Для составляющих [поля получаются следующие выражения: для ,£-волн £00 — — }ЕOz ^Се уу Zm * (р; cos (шф); £оф= iE^Ce-^—Z^ (q, £mn)sin(mip); ЕВг = e№ceZ%} (q; Uj cos (тф); = — jE^Ce sin = —jE^Ce (в; CmJcos(miJj), для /f-волн #о0 = — }Ног'Снуу(е; cos(тф), к2 #вф ' (б! s*n (тФ)> Нъг (q; U„) cos (тф); 12 Ей0 = jH№CHZ^ EL (q, Sin (тлф); Е'оФ = ]H&CnZeii, (q; cos (тф). При этом Z(£) (о- t ) — J (£ JM _ м (£ ) • Zfn Ц>, Ьтл/ Jm\y,nn riJ ЫтЫ V™ r8 )' Zm (o- £' ) — J (t JL\ — N (r' 6 t>mn/ — Jm I famn "7^ I — . - ; J* m I tmn ) • ' a Z ATm (£„„) \ / ГП \=П1И/ (2.145) (2.146) (2.147) 82
означает /г-й положительный корень уравнения Zffi I) = 0. — н-й положительный корень уравнения [-^-Zm* (р; О] =0- СЕ и Си представляют собой нормирующие множители: Д = тах fZ^£)(e; для Ge •г-— max \Zm (p; Ji для гx ' Q r.j. (2.148) Граничная длина волны определяется выражениями: для Е-волн I _ umri) _ 2ла , —— — Ag “ 7 г ®гГг> <=nw ДЛЯ Я-волн lg = ^mn) = Ътп 1 (2.149) (Un 11 Un зависят от rjrj. Наибольшей граничной длиной волны обладает Яи-волна, затем следует ^«д-волна (как в цилиндрическом волноводе). На рис. 2.15 показаны граничные длины про- стейших Е- и /7-волн, Верхним пределом всех граничных длин волн является = 2лг2 (предельный случай г3/га —1 для Ни- вол.чы). Практика доказывает, что если длина волны в свободной среде больше внешнего периметра поперечного сечения Рис. 2.15. Графическое пред- ставление граничных длин про- стейших Е- и //-воли в концен- трической двухпроводной ли- нии. линии, то в коаксиальном кабеле может распространяться только волна типа L. Для /.-волны в концентрической двухпроводной линии получаем £oe = Zn//O11 где Zo ~ 120л ом. Волновое сопротивление линии составляет Z = 60 Inf—\ ом. И I \ П / (2.150) (2.151) Сведения о других данных (токи в стенках, затухание и т п.) можно найти, например, в {А 24], [А 26]. Для волновода с эллиптическим поперечным сечением (который может рассматриваться как деформированный волновод с круглым поперечным сечением) задача нахождения собственных значений формулируется в эллиптических цилиндрических координатах. Граничные условия имеют такой же вид, как и в случае круглого поперечного сечения. В решении появляются эллиптические цилиндрические функции (функции Матье; см. [В 3, стр, 279]), которые определены как четные или нечетные частные решения дифференциального уравнения Магье. Вследствие этого, что соот- 6* 83
ветствует также характеру симметрии поперечного сечения, существуют1 две группы Е- и //-доли, которые называются четными и нечетными типами волн (в случае EQn- и//0л-волн существуют лишь четные типы) Обозначе- ния выбираются таким образом, чтобы при постепенном переходе эллипти- ческого поперечного сечения в круглое четные и нечетные типы волн пере- ходили в соответствующие волны круглого цилиндрического волновода. На рис. 2.16 в целях сопоставления показаны картины поля для некоторых типов волн в эллиптическом и круглом цилиндрических волноводах. Ана- литическое представление параметров поля и волновых параметров можно найти, например, в [А 24, стр. 80]. При рассмотренных типах волн в различных волноводах, как правило, и внутри поперечного сечения имеются линии, на которых выполняются Четная Нц~Велна. (основная Веяна) Четная Е^-Вояна, Рис 2.16, Сопоставление картин поля простейших типов волн в волноводах с эллиптическим и круг- лым поперечными сече- ниями. граничные условия. Вдоль таких линий волновод можно разделить тон- кими металлическими стенками, не изменяя картины поля. Таким образом, например, прямоугольный волновод, в котором распространяется Нтй- волна, можно разделить в т — 1 местах _ а 2а (т — 1) а ~~ т ’ т ’ ' ' ' ’ т металлическими стенками на т отдельных волноводов, в каждом из кото- рых будет распространяться Я10-волна. В общем случае для £-волн разде- ление можно производить вдоль узловых линий £Ог = 0, а для //-волн — вдоль линий = 0. Таким образом получаются новые формы поперечных сечений. В случае круглого волновода с радиальной перегородкой (рис. 2 17, а) могут существовать все Е- и //-волны Круглого цилиндрического волно- вода при т 1 (причем относительный угол уже не произволен), а также все //on-BcMiHbf. Это непосредственно вытекает из того, что Еог (для f-волн) пропорционально cos (нп|>) или, соответственно,—^ (для //-волн) пропор- ционально sin (тф), а следовательно, при tn 1 всегда имеются углы ф/ при которых эти величины обращаются в нуль. Для //0„-волн тожде- ственно равно нулю. Но кроме этих типов волн, существующих в полном 84
круглом цилиндрическом волноводе, здесь имеются также другие типы волн, которые возникают из измененной задачи нахождения собственных значений. Рассмотрим случай цилиндрического волновода, поперечное се- чение которого представляет собой круговой сектор. Пусть поперечное сечение определяется сектором, заключенным между углами ip = и ф = ipj (рис. 2.17, б). Как и в случае круглого цилиндрического волновода, с учетом допол- нительных граничных условий при ip = и ip = получаем: для Е-волн Ео, == E^CEJa ( 4) sin [а (ф - ip0)l; для //“ВОЛН = H^CfiJa ( lan ~~ ) cos [а (ip — 1р0)]. (2.152) Здесь введены следующие обоз- начения: тл а — ------ ; Тр1 — Vo ’ — л-й положитель- ный корень урав- нения (С) = 0; — n-й положитель- ный корень урав- нения /а (t) — 0; СЕ, Сн — нормирующие мно- Рис 2.17. Волноводы- круглый с радиальной перегородкой (а) н секторный (5). жители. Граничные длины волн определяются следующими выражениями: для Е-волн = Ч =-^-V 8,1V. ДЛЯ //-волн 1 » (тп) 2лг -.г' \ = 4 = V ел- ’Ort (2.153) В частном случае ipt —ip0 = л, т. е. при поперечном сечении в виде полукруга, а = т и получаются такие же граничные длины волн, а в рассматриваемом полу- круге — такие же картины поля, как и в случае круговой цилиндрической линии, однако здесь относительный угол фиксирован. Для Е-волн случай т = 0 выпадает, так как он приводит к равенству нулю всех составляющих. В случае^ —ф0 ~ 2л, т. е. для круглого цилиндрического волновода с радиальной перегородкой (рис. 2.17, а), и для целочисленных т опять получаются все волны круглого цилиндриче- ского волновода (за исключением т = 0 для Е-волны), что соответствует указанным выше соображениям. При этом здесь индекс т всегда в два раза больше соответствующего индекса для круговой цилиндрической линии (например, 7/а1-волне соответствует //п-волна в круглом волноводе).
Однако наряду с этими типами волн существуют еще другие типы, а именно с нечетным т, у которых а, т. е. порядок функций Бесселя, уже не является целым числом. Максимальную граничную длину волны для Е-волн имеет Еи-волна с = 2г |/егр,г, для Я-волн — Еп-волна с Ag = 5,42г Г егцг. Наоборот, в круглом цилиндрическом волноводе граничная длина Не- полны (основная волна) составляет = 3,41 г егр.г. Следовательно, благодаря введению перегородки граничная длина основной волны возрас- тает, т. е. становится возможной передача типа волны с большим значе- нием граничной длины волны Если же рассматривать лишь Е-волны, то введение перегородки оказывает обратное действие. Е01-волна с макси- мальной граничной длиной для Е-волн = 2,61г У вгц,, которая способна распространяться в круглом волноводе без перегородки, при установке такой перегородки уже не может существовать. (Более общая формули- ровка этого факта приводится в IA 15, стр. 23, 24].) 2.4- Рациональное описание процессов распространения в линиях, нагрузочных элементах и звеньях 2.4.1. Напряжение, ток и сопротивление в случае двухпроводной линии Рис 2Л8 Ток и напря- жение в линии из парал- лельных проводников L-волна в двухпроводной линии (обычная двухпроводная линия, концентрическая линия и т. п.) в элементарной теории линий описывается в первую очередь с помощью понятий напряжения, тока, сопротивления Пусть в двухпроводной линии (рис. 2. 18) U — напряжение между обоими проводниками, а / — ток в проводнике в точке г. Их отношение (2.154) представляет собой сопротивление линии в этой точке. Если распространение энергии происходит лишь в одном направлении, например в положи- тельном направлении оси г, то справедливо (2 155) Z является волновым сопротивлением линии. Индексом h при напряже- нии и токе обозначается волна, «бегущая» в направлении оси z. Волновое сопротивление не зависит от координаты г и, как характеристический па- раметр линии, определяет отношение напряжения к току бегущей волны в любой точке линии. В случае линии без потерь Z вещественно. Наряду с волновым сопротивлением большое значение имеет постоян- ная распространения у = <х Н- /р. (2.156) а является постоянной затухания, ар — фазовой постоянной. Z и у обычно выражаются через погонные индуктивность L' [е-а“х X х м^-сек], емкость С' [в-1-а-сек-м-1 ], сопротивление R' [в-о-1-м-1] 56
и проводимость G' [в*-1 - а-л*-1 ]. Для них справедливы дифференциальные уравнения -J = P?'+/W; (2.157) выведенные с помощью известных законов теории цепей для отрезка линии бесконечно малой длины. Отсюда, исключая /, получаем телеграфное урав- нение для t/: (2-158) где Т = V(R' + /<о£') (G' + /соС'). (2 159) Соответствующее уравнение справедливо и для /. у представляет собой введенную выше постоянную распространения Для напряжения и тока волны, бегущей в положительном направлении оси г. справедливо и = uk = и^*-, 1 / = Л = /0Ле-^. / (2.160) гр U * 7 (5/ _ г Так как для распространяющейся волны = —уО\ а = —yl, то из (2.157) следует: При отсутствии потерь ? = /Р = /^ = /ГС'; (2.162) Z== (2.163) (с — скорость света в вакууме). Отсюда Следует общая зависимость с = 4=- (2.164) L'C Общие выражения (для прямой и отраженной волн) для напряжения и тока имеют вид U = UOhe^ + UOrW, I = + /Оге?* = 4 I v _ ийге^}. (2.165) Отсюда для сопротивления следует: R R (z) = lBhe~yz^ia^ или после пересчета при £ = / — г (рис. 2.19): П п (ГХ 7 Ro Ch (Y~) + Z sh (yi) /n 1CC\ к - Я (о - z г ch (y£) + sh (y0 . (2.100) Ro представляет собой сопротивление в точке £ = 0. 87
Для сопротивления, отнесенного к волновому, справедливо п _ Б /м = Ko ch (V0+ sb СЮ ch (уО + Ro sh (YO Для линии без_цотерь d m _ Kocos (K) + J sin (pg) cos(Pg) 4- ?R0 sm (Pg) ’ (2 167) (2.168) Предыдущие уравнения определяют сопротивление линии или, соответ- ственно, ее сопротивление, отнесенное к волновому, как функцию коорди- наты t точки линии и сопротивления Я о в этой точке. В частности, в случае линии конечной длины 7?0 представляет собой сопротивление нагрузки, а £ — расстояние от конца линии. Другими понятиями, необходимыми для описания состояния поля в линии, являются коэффициент отражения г и коэффициент стоячей волны s. Оба понятия рассматриваются в следующем разделе. 2.4.5. волновой представление процессов в линии. Нагрузочные элементы 2=3 t=t-z Z = L I I I (.в Рис. 2.19. Схематичное представление линии конечной длины, нагруженной сопротивле- нием. В СВЧ-линиях понятия напряжения и тока играют второстепенную роль. Основным здесь является понятие электромагнитного поля, в част- ности распределение поля в поперечном сечении линии. Как было пока- зано в разделе 2.2.2, волновое сопротивление поля определяется урав- нением - [ег, (2.169) где и — векторы попе- речного поля волны, распростра- няющейся в положительном на- правлении оси 2 (прямая волна). Это определение имеет смысл, так как ZL в поперечном сечении по- стоянно. При отсутствии потерь ZL вещественно и 1 I = (2.170) Общее понятие сопротивления, как и в случае L-волны, можно ввести также для прямой и отраженной волн. В частности, если линия конечной длины нагружена на конце (£ = 0, рис 2.19) поверхностным сопротивле- нием ZF = то для этой точки справедливо = EJ, (2 171) причем поперечные составляющие складываются из прямых и отражен- ных волн Е(г = Е^ЧЕ^; | н(, - н£’+ н!;>. I (2.172) «8
к ( ' Теперь для прямой волны (направление распространения +z) спра- ведливо уравнение (2.169): • ^нй>=. к. е!?’], а для отраженной волны (направление распространения —г): i Z£H^=-[ez, (2.173) : Из последних уравнений следует: ( ~ 1Е^Ч:м>- (2.174) Для описания поведения волны в линии часто применяется понятие f о коэффициенте отражения г, определяемом следующим соотношением: > Е^=гЕ|?>. (2.175) ' Согласно (2.174) для коэффициента отражения линии, нагруженной на » поверхностное сопротивление /?0, справедливо (2Л76> Если для коэффициента отражения в соответствующем поперечном сече- нии линии при £ = 0 положить Го = [ г0 [ е/ч\ (2.177) то для полной напряженности электрического поля на расстоянии £ от этой точки (опорная точка) при отсутствии потерь справедливо Е(Л = Е(?} + Е^> = Ej?’e;K + Е&>-'0е = = Е^Уге{1 +|го|е;(фе~2Ш} (2.178) и [ = I Е{?> Р {1 + I гор + 2( Го!СОЗ (фо— 2р£)}. (2.179) Как легко можно видеть, выражение имеет максимумы при <Ро — 2р£ = 2пл (п - 0, ±1, ±2, . . .) и минимумы при <р0 — 2₽S = (2п + 1) л (ц = 0, ±1, m2, . . .); здесь р = 2л/KL, a XL — длина волны в линии. Следовательно, если Emm — расстояние от первого минимума напряженности поперечного электрического поля до точки £ = 0, то фаза ср0 коэффициента отражения при £ = 0 определяется (до кратного 2л) выражением Фо = fl + л. (2.180) X At / Далее из (2.179) следует: I Etr |max 1 Ч~ [ Гр | I Efr (mln 1 — | Tq | (2.181) s называется коэффициентом стоячей волны. Для модуля г0 получаем |гИ = |^-. (2.182) •* I 1 89
При хорошем согласовании ({г01 < I) справедливы следующие при- ближенные равенства: s = 1 + 2|г(||; (2.183) !г0| = ~. (2.184) г0 — полностью определяется формулами (2 180) и (2 182) и выражается через параметры s и £га1п, которые легко могут быть вычислены, например, с помощью измерительной линии. Так как опорная точка выбиралась произвольно, то, согласно изложен- ному, любой точке линии соответствует коэффициент отражения г Абсо- лютная величина г при отсутствии потерь вдоль линии постоянна. Для коэффициента отражения г на расстоянии t, от опорной точки справедливо — г = Где . (2.185) При нагрузке линии поверхностным сопротивлением Ro коэффициент г0 на конце ее определяется уравнением (2.176). В частности, для коэффициент отражения г0 == О, т. е отраженная волна отсутствует (нагрузка, не вызывающая отражения, случай полного согласования). При коротком замыкании (J?o = 0) г„ = —1, а при электрически разомкнутой линии (Ro = со) г0 = 1. При г0 = —1, т е. । г01 1 и ф0 = л, поперечная составляющая элек- трического поля в (2.179) для £ = 0 обращается в нуль. Вследствие этого любое нулевое значение напряженности поперечного электрического поля в случае стоячей волны может рассматриваться как короткое замыкание линии. Хотя состояние поля в линии в основном описывается с помощью коэффициента отражения, иногда целесообразно использовать понятие сопротивления. Согласно (2.176) поперечному сечению линии с коэффи- циентом отражения г соответствует сопротивление (2 186) В этих случаях целесообразно использовать также сопротивление, отнесенное к волновому: Конструктивный элемент, расположенный на конце линии, называется нагрузочным элементом. Он представляет собой двухполюсник. Согласно приведенным выше рассуждениям нагрузочный элемент с точки зрения структуры поля в линии, обусловленной этим элементом, определяется коэффициентом отражения от места его включения. 90
2.4.3. Описание процессов в звеньях Конструктивный элемент, к которому подходят две или несколько линий, связанных с ним характерным для данного элемента способом, называется ячейкой или звеном. При п линиях говорят также об п входах. При этом в каждой линии рассматривается лишь один тип волны. (Если необходимо рассмотреть несколько не связанных Друг с другом типов волн, то для каждого из них должна быть взята своя линия.) Элемент с п входами соответствует 2м-полюснику Рассмотрим прежде всего четырехполюсник, который ограничен попе- речными сечениями / и II (рис 2.20) линий 1 и 2. Линии по обе стороны сечений или, соответственно, типы волн могут быть неодинаковы. Пусть в линиях отсутствуют потери (это не ограничивает анализа переходного элемента, так как принципиально можно рассматривать сколь угодно короткий отрезок линии). Для обобщения волнового представления, введенного для простой линии, нагруженной сопротивлением, в обеих линиях, входящие в звено и выходящие из него (см., например, 12.5]). Волны можно представлять век- торами поперечного электрического поля, или, соответственно, их ком- плексными амплитудами. Однако это лишено смысла, когда обе линии и типы волн одинаковы, так как тогда также имеет место пропорциональность между составляющими магнитного поля. При неодинаковых линиях или, соот- ветственно, типах волн, в особенности при различных волновых сопротивле- ниях, следует обязательно рассматри- рассмотрим здесь также волны Рис. 2. 20. Схематичное представле- ние четырехполюсника. вать векторы электрического поля или их комплексные амплитуды, в частности в тех случаях, когда необходимо получить данные о пере- даче мощности. Волны, входящие в четырехполюсник,—точнее комплекс- ные амплитуды векторов их поперечного электрического поля, — в опор- ном поперечном сечении обозначим через аг и а2, а выходящие волны через Ьг и Ь2. Будем рассматривать лишь линейные звенья, т. е. элементы, для кото- рых справедлива линейная зависимость между составляющими волн. Тогда, в частности, выполняются соотношения bl ^11^1 ^13^2» bl "Т $2'2^2 или в матричном представлении (2.187) (2.188) Л' Sn Sla Га/ . S21 S22. 1а. Матрица 5 = [s^] называется матрицей рассеяния (или матрйцей отражения; англ.: scattering matrix) четырехполюсника. С помощью матрицы рассеяния отраженные волны представляются волнами, входя- щими в переходный элемент. Как легко видеть из (2.187), элементы матрицы рассеяния обладают следующими значениями: 5ц = Г1 = 0 — коэффициент отражения в поперечном сече- 91
нии I, если а2 равно нулю, т. е. коэффициент отражения, отнесенный в линии 1 к попереч- ному сечению 7, который измеряется при под- ключении без отражений линии 2; S22 S12 S21 ' Тем — соответстствующий коэффициент отражения в поперечном сечении 77, если линия 7 под- ключается без отражений; — коэффициент передачи в направлении 2 — 1; — коэффициент передачи в направлении 1 — 2. самым матрица рассеяния принимает вид Г.1 1,21 U12 г; 5- (2.189) В дальнейшем линии 1 и 2 считаются одинаковыми, так что в частности справедливо %L1 ~ Если матрица рассеяния симметрична, uia = u2i = u- то звено называется обратимым. В этом случае передающие свойства в обоих направлениях одинаковы. Обычные пассивные конструктивные элементы СВЧ (в частности, не содержащие ферритовых элементов) всегда обратимы. Если, кроме того, П - г, г, то звено называется симметричным В этом случае оба входа электрически одинаковы. Любой обратимый четырехполюсник без потерь при соответ- ствующем выборе опорного поперечного сечения является симметричным. Пусть теперь, кроме равенства обеих линий, предполагается отсутствие потерь в звене. Однако звено может быть необратимым. В этом случае справедливо соотношение |bil2 + = |Й1Р + |а2|а. (2.190) Если положить п2 = <за± и ввести элементы матрицы рассеяния, то получим |Г1 + оиа1[2 + I и12 Ч- ог2[2 = I + № Так как это уравнение должно быть справедливо для любого комп- лексного ст, то (например, путем подстановки различных соответствующих значений о) получаем I г, |2 + |ue1|e = [ r2[2 + [ un |2 = 1, (2.191) T1U12 + U2if2 = о- (2-192) Это — условие единственности для матрицы рассеяния, т. е. матрица рассеяния переходного элемента без потерь унитарна. И наоборот, можно показать, что переходный элементе унитарной матрицей рассеяния не обла- дает потерями. [Матрица 5 согласно определению унитарна в том случае, если S-S'* = 1; 1 является единичной матрицей; S'— транспонированная матрица (строки и столбцы поменялись местами); 5* — сопряженная ком- плексная матрица.] В случае обратимости (u21 = и12) из (2.191) следует: I h I = I П). 92
В общем случае необратимого четырехполюсника положим Uji “ = q- Тогда из (2.191) следует: IIL Г = 1 I U12 Р I I 1-1 «1г Р и из (2.192) Оба уравнения не противоречат друг другу, если Ы = 1. т. е. liin] = |uia|. (2.193) Следовательно, четырехполюсник без потерь может быть необратимым лишь относительно электрической длины или, соответственно, фазы коэф- фициентов передачи (см. также [1.10]) Абсолютные величины коэффи- циентов передачи, т. е. амплитудные изменения, возникающие при пере- даче, в обоих направлениях одинаковы. Так как из (2.191) и (2.193) далее следует, что |Г11 = |га|, (2.194) то модули коэффициентов отражения также равны. В частности, из (2.193) вытекает, что необратимые конструктивные элементы, которые в обоих направлениях прохождения обладают существенно различными коэф- фициентами передачи, всегда обладают потерями. (Следовательно, «односто- ронний отражатель», т. е. четырехполюсник, который в одном направле- нии беспрепятственно пропускает волну, а в другом полностью ее отражает, невозможен.) Определение элементов матрицы рассеяния в принципе можно свести к измерению коэффициента отражения на входе в условиях, когда на другой стороне четырехполюсник соответствующим образом загружается. Коэффициенты отражения Гх и га согласно их определению измеряются как коэффициенты отражения в поперечных сечениях I и II, если другая линия подключена согласованно (без отражений). Простое измерение коэф- фициентов передачи возможно лишь в обратимом случае (и1г = и.л = и). Например, в поперечном сечении II (или на расстоянии пХ/2 за ним в ли- нии 2) производится короткое замыкание. Так как оно эквивалентно коэф- фициенту отражения, равному —1, то = —Ь2. Тогда из линейной зави- симости для отдельных волн следует: При этом представляет собой коэффициент отражения в линии 1, отнесенный к поперечному сечению I и измеренный при указанном усло- вии (короткое замыкание в поперечном сечении II). Если этот коэффициент •отражения обозначить через rj, то для коэффициента передачи из (2.195) получаем ii2 = (1 + г2) (п — п). (2.196) Рассмотрение переходных элементов с несколькими входами (элементы с п входами, где п > 2) производится как и для четырехполюсника. 93
Отраженные волны с помощью матрицы рассеяния 5 = [sMV ] выра- жаются через входящие волны av (рис. 2.21): Рис. 2.21. Схематичное представление элемента с п входами. av и опять означают напряженности электрического поля в опреде- ленных опорных поперечных сечениях, которые ограничивают переходный элемент. Если все о,, при v о равны нулю и лишь 0, то S = W м<г L «0 Kv=0; (V*a) Это реализуется согласованным под- ключением всех ветвей, в том числе и ветви о, которой осуществляется пи- тание. В этом случае представляет собой отношение волны, выходящей из ветви р, к волне, входящей в ветвь о. При р — о справедливо s « FjM CTcr L aa Jav=O, (v*<j) t. e. saa — коэффициент отражения на входе ветви о при согласованном под- ключении (без отражений) всех других ветвей. Если матрица рассеяния симметрична (sMV = sv„), то элемент с п вхо- дами называется обратимым. Обычные пассивные СВЧ-элементы с п вхо- дами (без ферритовых конструктивных элементов и т. д.) обратимы. Если звено не обладает потерями, то на основании энергетического рассмотрения, как и в случае четырехполюсника, можно показать, что матрица рассеяния унитарна, и наоборот, что любую унитарную матрицу можно считать матрицей рассеяния переходного элемента без потерь. Измерение элементов матрицы рассеяния в обратимом случае можно свести к измерению четырехполюсников, т. е. в конечном счете — к изме- рению коэффициентов отражения. Для этого рассматриваются два входа <т, т, а остальные подключаются в согласованном режиме (без отражений), так что а.,, = 0 при т о, v =Ь т. Тогда справедливо . S-rt и измерение указанных четырех элементов (из которых из-за обратимости лишь три отличаются друг от друга) производится так же, как и в случае четырехполюсника. 94
Примером элемента с тремя входами без потерь является трехветвевой циркулятор, в котором волна, входящая в ветвь 1, полностью поступает в ветвь 2, входящая в ветвь 2 —в ветвь 3, а входящая в ветвь 3 — в ветвь 1. Его матрица рассеяния имеет вид ГО О И 5-100 О ! 0 (2.198) 3. Теория антенных систем из дискретных излучающих элементов 3.1. Основные определения и принципы расчета 3.1.1. Система из точечных излучателей В разделе 1.3.1 было показано, что любое электромагнитное поле излу- чения, создаваемое заданным распределением тока, асимптотически, т. е. на очень большом расстоянии от источников, ведет себя как сферическая волна, причем распределение поля по амплитуде и фазе задается характе- ристикой излучения. Согласно этому любое распределение тока или, соот- Рис. 3.1. а — система из л точечных излучателей, расположенных в точках Qi, <2а, - . > Qn, б — к расчету r0—rv для дальнего поля. ветственно, любая антенна в случае, если представляет интерес только дальнее поле, может рассматриваться как точечный источник излучения. Когда имеется несколько таких точечных излучателей, то на основании принципа суперпозиции дальние поля, создаваемые отдельными излуча- телями, можно складывать, учитывая пространственное расположение, фазовые сдвиги и характеристики отдельных излучателей. Поскольку целый ряд важных типов антенн целесообразно рассматривать в указанном смысле как системы из дискретных точечных излучателей, выведем общие соотношения, характеризующие свойства подобных систем. Пусть в точках Q2, . . ., расположены п точечных излучателей (рис. 3. 1, й). Если Eov (rv) — характеристика излучения v-ro излучателя, то создаваемая им в дальней точке Р напряженность электрического поля определяется выражением Ev — EOv (rv) -—. 95
При этом rv — расстояние QVP и rv — единичный вектор, совпада- ющий с направлением QVP. Если мы выберем вблизи излучателя точку О в качестве начала системы координат и обозначим единичный вектор с на- правлением ОР через г, а расстояние ОР — через г0, то с обычным для зоны дальнего поля приближением справедливо также выражение Ev = Eov (г) — . । (3,1) Поле в точке Р, создаваемое системой в целом, представляет собой сумму отдельных полей: п п Е=S (г) S e°v (*)г,к (г^го) м V=1 Таким образом, согласно (1.45) характеристика излучения системы выражается формулой п Е0(г) = ^Е07(г)^(г^Г(,). (3.3) V=1 При этом в отдельных характеристиках излучения необходимо учиты- вать фазы излучающих элементов. Особый интерес представляет случай, когда все характеристики излучения в основном одинаковы, т. е различа- ются лишь по амплитуде и фазе. Тогда можно положить Е^(г) = ^(г)Еу, (3.4) где Ev - |£v|?V (3.5) Амплитуда и фаза v-ro излучателя заданы и не зависят от направле- ния г Тем самым формула (3.3) переходит в следующую: Е0(г) = Eie)(rHs> (г), (3.6) где Е^(г) = J (3.7) v=I Е^е) называется одиночной характеристикой, а Е<р — групповой характе- ристикой или характеристикой системы. Таким образом, для случая системы излучателей проведено такое же разложение характеристики излучения, как и в частном случае, рассмо- тренном в разделе 1 3.2 [формула (1.62)1. Одиночной характеристикой здесь также описываются в основном поляризационные свойства, в то время как групповая характеристика главным образом определяет ампли- туду и фазу результирующей характеристики. Групповая характеристика описывает излучающие свойства системы, независимо от излучающих свойств отдельных излучателей, ->та характе- ристика определяется геометрическим расположением и амплитудными и фазовыми соотношениями в элементах. Так как комплексная амплитуда Ev v-ro излучателя пропорциональна току /v в любой точке этого излуча- теля, то групповая характеристика может быть выражена также с помощью токов в антенне, если заменить EvHa /v. В случае простых излучающих элементов, поляризационные свойства которых могут быть легко заданы, 96
обычно оперируют со скалярной одиночной характеристикой, определя- ющей лишь амплитуду и фазу дальнего поля, создаваемого одним излуча- телем, в зависимости от направления излучения Дальнейшее исследова- ние относится прежде всего к установлению связи между групповой харак- теристикой и распределением тока на излучающей системе, заданным через Ev или Iv. Введем для разности rv — г0 в экспоненте выражения (3.7) приближе- ние, справедливое для дальнего поля. Если Qv ~ qvqv является вектором, направленным от начала координат к точке источника Qv (<?v — расстоя- ние 0Qv, qv — единичный вектор в этом направлении), то справедливо выражение (рис. 3.1, б): — rv = (Qv, г) = qv (qv, г). (3.8) В результате групповая характеристика принимает следующий вид- п , (3 9) V=s! 3.1.3. Решетчатые системы Взяв за основу прямоугольную декартову, систему координат, рассмо- трим прежде всего случай, когда излучающие элементы распределены в виде пространственной решетки, ориентированной параллельно осям координат (рис. 3. 2). Пусть начало координат совпадает с одной из вершин решетки. Предположим, что в направлении х расположены т. Рис. 3.2. а — пространственная решетка из точечных излучателей; б — сферическая система координат для описания характеристики излучения. в направлении у — пив направлении z — s элементов, расстояния между которыми составляют в каждом направлении соответственно dx, d^ dg. Предположим, что все одиночные характеристики идентичны. Если обоз- начить каждый элемент в соответствии с его положением тройным ин- дексом pvcr, то для групповой характеристики получаем ' m п $ Elf = S S S (3.10) р=1 V=1 <7=1 Если теперь предположить, что излучающие элементы в любой пло- скости, перпендикулярной оси х, обладают равными относительными 7 Заказ .Vs 1596 97
амплитудным и фазовым распределениями, а также и в любой плоскости, перпендикулярной осям у и z, то можно записать: ^jxve = E]>,EvEe. (3. 11) Далее, если (и — 1) dx + еу (V — 1) dy + ez (о — I) d2 и x । у । г г =«*— + <!„ —+ ez — , для скалярного произведения (QMVcr, г) получаем выражение (Орл-а. Г) = (р-- 1)4~ + (V-1)4 + (О— l)d^- = = (р — 1) <2хсозфз1п О + (v — 1) 4sin фзшй (а— 1) d2cos &. (3.12) При этом с помощью формул х = r cqs> ф sin &; у = г sin ф sin Z = г cos О (3.13) введены пространственные полярные координаты (рис. 3.2, б). Если под- ставить (3.11) и (3.12) в (3.10), то тройная сумма может быть представлена как произведение трех простых сумм, и для групповой характеристики получаем = (3.14) где „(g) V1 р dxQOS sltl й м=1 V=1 е№= У sZ 0=1 (3.15) При этом одному или двум сомножителям можно приписать свойства одиночных характеристик, что позволяет всю решетку разбить на линей- ные или плоские группы элементов 3.1.3. Линейные системы. Понятие о диаграмме иялучення Линейные системы играют важную роль, поскольку, основываясь на разложении групповой характеристики (3. 14), представляется возможным с их помощью исследовать при относительно малых затратах на вычисле- ния многие явления, возникающие также в случае плоских и простран- ственных систем. Пусть линейная система расположена вдоль оси х (n = s = 1, см. раздел 3.1 2). Групповая характеристика для этого случая имеет простой вид т E{os} = Е^ d cos *sitl *. (3.16) g=i 98
Если элементы представляют собой сферические излучатели, то (3.16) одновременно является результирующей характеристикой. В частности, для распределения излучения в плоскости ф = О (для упрощения, отходя от первоначального определения, установим для О область изменения----~ S '& zS 4- справедливо выражение т Е'Л = 2£^feU,-I,dsine (3.17) Н=1 (рис. 3.3). Вследствие симметрии системы аналогичная зависимость имеет место в любой плоскости, проходящей через ряд излучателей. Подобное се- чение характеристики излучения, которая определяется только одной независимой переменной, называется диаграммой излучения. Характерис- тика излучения в ее самых сущест- венных чертах на практике часто за- Рис 3 3. Линейная система из точечных излучателей с равными расстояниями между элементами. Плоскость рисунка является плоскостьюО» меняется двумя соответствующими диаграммами излучения. При этом кривая в сечении не обязательно должна лежать в плоскости, в некоторых случаях она может определяться сферой. В более узком смысле диаграммой излучения называется выражение (3.17) или его графическое представление. 3.1.4. Присоединенный полином* Из выражения (3.17) для групповой диаграммы излучения линейной системы с равными расстояниями между элементами и идентичными оди- ночными характеристиками следует, что ее можно представить в виде полинома. Если положить z = eMdsin *, (3,18) ТО m Е^ = (3.19) м=1 При этом 2 — комплексная переменная, которая определена на еди- ничном круге. Это представление, введенное Щелкуновым в 1943 г. 13. 441, весьма удобно для некоторых исследований. Так как любой полином можно записать в виде произведения, справедливо также Ео£> = (z — 2i) (г — г2) . . (z — zm_i); (3.20) zg — корни полинома, число которых (m — 1). Таким образом, подставляя для z^ определенные значения на единичном круге, можно получать диаграммы излучения с заданными значениями корней полинома. 7* 99
3.2. Линейные системы 3.2.1. Поперечный и продольный излучатели. Понятия, характеризующие диаграмму излучения Относительно рассматриваемых ниже линейных систем мы предпола- гаем прежде всего, что расстояния между элементами одинаковы и их одиночные характеристики идентичны и, кроме того, что разность фаз между соседними излучателями постоянна. Тогда комплексная амплитуда v-го излучателя получит следующий вид: Ev = J4ve/(v-1>’, (3.21) где >- 0 — амплитуда v-ro излучателя, <р — разность фаз между соседними излучателями (отрицательная амплитуда учитывается этим выражением с помощью изменения фазы на л). Тем самым для групповой характеристики получаем Eoe) = J <V~M (3.22) V=1 Полагая для краткости в (3.22) и = q> + kd sin О, (3.23) находим п (3.24) Для групповой характеристики справедливо неравенство, которое часто представляет самостоятельный интерес, rt l£(«)IS (3.25) V=I При этом знак равенства имеет место лишь при и = 4_2лр (р = 0, 1, 2, . . .). (3.26) В этих точках значение групповой характеристики достигает макси- мума. Тем самым с учетом (3. 23) направления главного излучения опре- деляются из уравнения Sln«m = -4(i±p). (3.27) Имеются два важных частных случая. Первым из них является случай, когда направление главного излучения перпендикулярно линейному раз- меру системы (&т = 0°). Такая система называется поперечным излучате- лем. Так как sin = 0, то Ф = + 2лр Следовательно, если отказаться от кратности 2л, то поперечный излу- чатель характеризуется условием Ф = 0, у (3.28) т. е. все излучающие элементы возбуждаются синфазно. Для того чтобы Существовало только одно направление главного излучения, уравнение 1 sin =-- - -j- р (р = 0, 1,2,...) 100
при-----+ у должно быть разрешимо однозначно, т. е. лишь для р = 0. Это справедливо для случая d < А. (3.29) Следовательно, для того чтобы излучение происходило в основном лишь перпендикулярно к линейной системе и не возникало так называемых вторичных главных лепестков, расстояния между элементами у попереч- ного излучателя должны быть меньше длины волны. Это вытекает также из простого геометрического рассуждения. На рис. 3.4 показан поперечный излучатель с одним максимумом излучения. Так как гипотенуза в прямо- угольном треугольнике АВС всегда больше любого катета, синфазное сложение отдельных волн, кроме 6 = 0, может возникать лишь в том слу- чае, если А < d. Иногда о поперечном излучателе говорят еще и тогда, когда направление глав- ного излучения лишь при- близительно перпендику- лярно линейному размеру системы, т. е. если только незначительно от- личается от нуля. Необхо- димое для этого несинфаз- ное возбуждение с малой разностью фаз tp соседних излучателей при системах питания, обычно исполь- зуемых в технике СВЧ, часто можно реализовать легче, чем синфазное (син- Рис 3.4. Возникновение вторичных главных лепестков в случае поперечной системы излучателей из еиифазно возбуждаемых элементов фазное возбуждение в большинстве случаев позволяет получить очень малую полосу пропускания относительно частоты согласования). Вторым частным случаем является случай, когда направление главного излучения совпадает с направлением расположения излучателей (6Ш = Я \ = + — к Такую излучающую систему называют продольным излучателем. Так как sin 6т = ± 1, то в этом случае Ф , , d £ + Р~±Т Из-за периодичности ф опять достаточно рассмотреть лишь значение р = 0, так что <р= 4 2л~ = + kd. (3 30) л X Случаю = 4- -g- соответствует знак минус. В частном случае d = разность фаз между соседними излучателями составляет 180°. Если амплитуды всех излучающих элементов равны, то возможно зам- кнутое представление групповой характеристики или, соответственно, групповой диаграммы. Полагая ~ А, из (3.24) после применения фор- мулы суммирования получим для суммы геометрической прогрессии Ае * J — sin (3.31) 10)
Для модуля справедливо IЯ («) I = (3.32) На рис. 3.5 представлены в полярных координатах некоторые типичные диаграммы излучения поперечных излучателей, а на рис. 3.6 — диаграмма Рис. 3.5. Некоторые типичные диаграммы излучения поперечных излучателей. продольного излучателя. Области, расположенные между отдельными ну- левыми значениями диаграммы, называются лепестками диаграммы излу- чения. В частности, различают основной и боковые, или побочные, лепе- стки Для характеристики остроты направленности, т. е., грубо говоря, Рис. 3.6 Типичная диаграмма излучения про- дольного излучателя. величины угловой области, в которой в основном сконцен- трировано главное излучение, используют преимущественно понятия ширины основного ле- пестка по половинному уровню или ширины по нулевым значе- ниям. Ширина по половинному уровню определяется углом между двумя направлениями по обе стороны от направления главного излучения, на кото- рых плотность потока излуче- ния уменьшается до половины своего максимального значения. Так как плотность излучения пропорциональна квадрату напряжен- ности поля, то это — угол между двумя направлениями, на которых диаграмма излучения равна j/2/2 = 0,707. . . своего максимального зна- чения. Под шириной по нулевым значениям понимают угол между 102
двумя нулевыми значениями диаграммы, ограничивающими основной лепесток (рис. 3.7). Наряду с этим иногда используют понятие ширины основного лепестка на уровне п дб. Под ней понимают угол между двумя направлениями по обе стороны от направления главного излучения, в которых плотность излучения уменьшается на пдб относительно главного излучения. Ширина по половинному уровню при таком способе выражения повинному уровню, по нулевым значениям и по уровню п дб: а — пред- ставление диаграммы в полярных координатах, б — представление диа- граммы й декартовых координатах с логарифмическим масштабом по оси ординат (s до). называется шириной на уровне 3 дб. Наряду с этим часто указывается ширина на уровне 10 дб. Понятия ширины основного лепестка по половинному уровню, по нуле- вым значениям и т. д. относятся к диаграмме излучения, а не к про- странственной характеристике излучения. 3.2.2. Усиление поперечных излучателей Групповая характеристика поперечного излучателя обладает симме- трией вращения относительно оси системы. Одностороняя направлен- ность может быть получена только с помощью соответственно подобранных одиночных характеристик излучающих элементов. Это широко используется в технике антенн СВЧ. Для простоты пред- положим, что элементами системы являются сферические излучатели. Чтобы упростить расчет усиления, положим, кроме того, что линейная система расположена вдоль оси z. Вследствие этого характеристика излу- чения делается независимой отф. Результирующая характеристика описы- вается последней групповой характеристикой в (3.15), причем число излу- чателей мы опять обозначаем через п, а индекс •— через v: п Ей £0 (&) = A^lk (v'1) d cu? e' (3.33) V = 1 Так как речь идет об одном поперечном излучателе, Xv являются веще- ственными [см. (3.21)1 Поскольку, далее, в соответствии со сделанным предположением сумма (3.33) равна сумме векторных результирующих ЮЗ
характеристик, для усиления в направлении ft = (ip произвольно) согласно (1.106) получаем 12 2Я л J j | £0 (#) I* sin 0 M ffip 41=0 e=o (3.34) Так как £0 не зависит от ip, это выражение упрощается следующим обра- зом: ia 2 £0(-s- G = 1 к 2 71------- Л [ | fo (#) |! sin # rfft Подставим в это выражение (3.33) и одновременно введем новую пере- менную интегрирования 5 - cos #. Тем самым получим G = n 12 rf- (3 35) Так как Av вещественны, интеграл в знаменателе может быть вычислен следующим образом: 2 4-1 * -f-1 л fl n ft “ J s S£ 2/М, iintj“(i;)l>11 — 1 V=1 Jl = l V=1 11=1 Таким образом, для усиления справедливо выражение (П \2 П П Лу j УМуЛц и = Z--“—F1-----------------> (3.36) ЛуЛ Л у Л gSVJit V=1 ц=1 v=l 11=1 где = 511\['У-7Г)] = sp ikd <v - ^]- <3'37> Расстояния между элементами должны составлять d = mX/2 (т = 1, 2, . . .). Тем самым kd (v — р) - щл (v — р) и 1 для v = р; 0 для v =т= р. 104
В соответствии с этим выражение для усиления упрощается следу- ющим образом: п п f Л I2 2 2 { У G = V=1 . (3.38) 24 24 - v=l v=»l Выясним теперь, какие необходимо выбрать амплитуды Аv, чтобы уси- ление достигло максимума. Для этого образуем (3 39) Необходимое условие достижения максимума заключается в том, чтобы это выражение при любом о обращалось в нуль. Следовательно, амплитуды Лв, при которых усиление достигает максимума, должны удовлетворять следующим уравнениям, получающимся после приравнивания нулю числи- теля выражения (3.39): 2 Л(4~ Д„) = 0 (о = 1, 2, : ,п). V=1 Эти уравнения справедливы только тогда, когда все j4v равны. Можно показать, что в этом случае вторые производные отрицательны, следова- тельно, действительно имеет место максимум. Таким образом, при син- фазно возбуждаемой линейной системе из дискретных излучателей с рас- стоянием между ними А/2 максимальное усиление возникает в том случае, если амплитуды равны. Распределение с равными фазами и амплитудами называется однородным При Av = А получаем максимальное усиление G = п, (3.40) т. е. усиление однородно возбуждаемой линейной системы из сферических излучателей с расстоянием между элементами Х/2 равно числу излучателей. Для такой же системы при синфазном возбуждении, но неодинаковых ам- плитудах усиление всегда меньше числа излучателей. Если рассмотреть однородно возбуждаемую линейную систему из п элементов, расстояния между которыми равны, но не обязательно половине длины волны, то усиление, кроме числа излучателей, зависит еще и от рас- стояния между элементами. При Av = 1 числитель в выражении (3.36) ста- n rt новится равным п2, в то время как знаменатель принимает вид 2 2 svn- V—1 g=l В этом выражении все sVJX, у которых разность индексов суммирова- ния одинакова, идентичны. Разноеть, равная нулю (т. е. члены вида svv), появляется п раз. Разность индексов о встречается (п — о) раз, разность —о — столько же раз, так что 2'(п — а) членов могут быть объединены. Следовательно, знаменатель принимает следующий вид: ' л-1 « + 2 2 (« — °)w <7=1 105
Тем самым величина, обратная усилению линейной системы из п эле- ментов с расстоянием между элементами d, обладающей однородным рас- пределением, определяется выражением I 1 9 2 (« — о) sp (kda). V П П О=1 (3.41) На рис. 3.8 показана зависимость усиления от расстояния между эле- ментами для различного числа излучателей. Как видно из рисунка, усиле- ние принимает максимальное значение практически независимо от п при d^ 0,9К. Рис 3*8* Усиление однородно возбуждае- мой линейной дискретной системы с оди- наковыми расстояниями между элемен- тами в зависимости от этого расстояния для различного числа излучателей Если в (3.41) положить dcr = х, d (п — I) I, d = Дхи при постоян- ной длине излучателя I неограни- ченно увеличивать число излучате- лей п (тем самым d 0, Дх -> dx), то в качестве предельного значения ве- личины, обратной усилению непре- рывного линейного источника с одно- родным распределением, получается следующее выражение: i sp dx- о Интеграл легко может быть све- ден к известным функциям. Таким образом, , / И \ I _ п Si (fel) \ 2 / G ~ 2 kl (“У или „ k4- ~—ттг\- <3 42) 2Ы si (fei) — 4 sin2 ( I При очень большом //А в первом приближении получаем 6=2-^-. (3.43) [При неограниченном возрастании А/ интегральный синус si (kl) пола- гался равным его предельному значению п/2; квадратом синуса по сравне- нию с kl пренебрегалось. 1 При дискретном распределении и конечной длине излучателя усиление несколько меньше. X. Е. Кинг [3 29] в качестве эмпирической формулы приводит G - 1,9 4- Л (3-44) Теорема о том, что для получения максимального усиления излучатели должны возбуждаться с одинаковыми амплитудами, была выведена лишь в предположении, что имеется синфазность и расстояние между элемен- тами составляет А./2. 106
Если эти ограничивающие предположения не вводятся или считается выполненным лишь одно из них, то могут быть указаны расположения излучателей, которые приводят к усилению, большему, чем при однородном распределении. В этом случае говорят о сверхусилении. Антенны со сверх- усилением, которые подробно будут рассмотрены далее, практически не используются, так как они имеют незначительную полосу пропускания, обладают высокой чувствительностью к механическим и электрическим погрешностям, а также создают значительные напряженности поля в непо- средственной близости от антенны (вследствие этого имеют место большие токи в антенне, что при конечном сопротивлении потерь приводит к значи- тельному снижению к. п. д.) 3.2.3. Амплитудное распределение Дольфа—Чебышева Одной из главных задач антенной техники является стремление полу- чить возможно более острую направленность излучения в заданном на- правлении. При этом практически всегда существующие боковые лепестки диаграммы излучения должны быть во избежание помех по возможности малыми. Значительное ослабление боковых лепестков при постоянной длине антенны, как правило, может быть достигнуто только за счет остроты направленности, т е из всех диаграмм излучения некоторой системы излу- чателей, полученных с помощью различных амплитудных рас- пределений, диаграммы с малой шириной по половинному уров- ню обладают относительно боль- шими боковыми лепестками, и наоборот. Возникает вопрос, какое нужно выбрать амплитудное распределение при заданной системе излучателей (с синфаз- ным возбуждением и одинако- выми расстояниями между эле- ментами), чтобы при заданной ширине по половинному уровню левым значениям) ослабление боковых лепестков было максимальным. Это амплитудное распределение решает и обратную задачу, т е. при за- данном ослаблении боковых лепестков оно дает диаграмму излучения с минимальной шириной по нулевым значениям. Из соображений симметрии амплитудное распределение можно также принять симметричным. Пронумеруем излучатели иначе, чем до сих пор, соединив два симметрично расположенных излучателя в одну пару (рис. 3.9), и применим для диаграммы излучения уравнение (3.24). При чет- ном числе излучателей п = 2р получим л' л' ш А? । а! S) а] А'г а; л; Рис 3.9. Условное обозначение одиночных излу- чателей в симметричных линейных системах' a— с четным числом излучателей; б — с нечетным числом излучателей. Al А, (точнее •— при заданной ширине по ну- 4 л; р Р ^ (^) ^ -~ S <2V-1) + е~'= Лv cos ((2v - 1) 4Н • v=l ^=1 (3 45) При нечетном числе излучателей п = 2р + 1 р £(н) = -^-Ло + Avcos(2v-^-). (3 46) 107
В этих выражениях каждая cps-функция с аргументом, кратным и/2, может быть представлена суммой степеней функции cos (u/2). Так как при разложении cosfm — 1 появляются лишь показатели т, т — 2, , , , то при четном числе излучателей £Bvco^-i(4); (3.47) V—1 при нечетном числе р g(u) = Bvcos2v (3.48) Самой высокой степенью функции cos — ) в обоих случаях является п — 1. Если ввести теперь в качестве новой переменной величину х = х0 cos I -g-}, то при четном числе излучателей g(u) = 2 Dv№',“1; Dv = Bvxl~2v- (3.49) v=i при нечетном числе р g (и) = 2 DyXВ * * * * * 14; DV^B.^V (3.50) v=0 В дальнейшем предполагается, что х имеет величину, не меньшую чем —1. Чтобы это предположение безусловно выполнялось при любом значении х0, ограничимся положительными значениями х. Для этого должно быть « - , Л —- л Т = ЛТ81П4^—, т. е. (3.51) Тогда х изменяется в пределах 0 S Направление главного из- лучения характеризуется значением х = х0. С помощью выражений (3. 49) или, соответственно, (3.50) функция g (и) представляется полиномом (п — 1)-й степени по х. Тем самым задача полу- чения при заданной ширине главного лепестка (ширине по нулевым значе- ниям) максимально возможного ослабления боковых лепестков сводится к следующему. При постоянном расстоянии от х0 до первого нулевого зна- чения, меньшего х0, необходимо найти такой полином по х степени (п — 1), который при убывании от х0 до х изменяется монотонно и до значения х = О лучше всего аппроксимирует нулевое значение. При этом под наилучшей аппроксимацией следует понимать аппроксимацию в смысле Чебышева, т. е. максимальное отличие полинома от значения, равного нулю, должно быть возможно меньшим. Известно, что эта задача решается полиномом Чебышева степени (л — 1). 108
Полиномы Чебышева (или функции Чебышева 1-го рода) — это такие полиномы по х, которые в интервале —1 < х < -J-1 аппроксимируют функ- цию f (х) sO в смысле Чебышева, т. е. таким образом, чтобы максимальные отклонения от суммы были одинаковы. Они обозначаются символом Тт (х). Полиномами Чебышева являются: = 1; Тг (х) = х; Тг (х) = 2 х® — I; Т3 (х) = 4 х3 — 3 х; (х) = 8 х4 — 8 хй + 1; Т6 (х) = 16 х* — 20 х3 + 5 х; Та (х) = 32 Xе — 48 х4 -Ь 18 xs — 1; 7, (х) = 64 х7 — 112 х5 + 56 х® — 7 х; Т0 (х) = 128 х3 — 256 х’ + 160 х4 — 32 х® + 1; Г8 (х) = 256 х® — 576 х7 + 432 х® — 120 х3 + 9 х; Ти (*) = 512 х10 — 1280 х8 + 1120 ха — 400 х4 + 50 х® — 1. Из всех аналитических форм представления полиномов Чебышева наи- более употребительными являются следующие три: Tm (х) = cos (tn arccos х); (3.52) cos (mi), где x = cos/ при |x| < 1; 1 ch (mt), где x = ch/ при |x| > 1; j (3.53) (x) -- 4 |(x 4- 4- (x - (3.54) На рис. 3.10 изображено несколько полиномов Чебышева. На рис. 3.11 показано более точное графическое представление поли- нома Ть (х). Таким образом, задача определения оптимальной диаграммы излучения в отношении остроты направленности и ослабления брковых лепестков ре- шается с помощью функции g(u) = T^Jx), (3.55) где x^x0cos(yj (3.56) (этот метод впервые применил Дольф [3.15]). Для направления главного излучения справедливо S (0) = Тп-1 (х0). Боковые лепестки определены максимумами и минимумами для | х | < 1 и имеют значения, равные 1. Следовательно, имеет место соотношение „ , , _ q _ Напряженность поля в главном максимуме ,3 п-1 \ о) ~~ ч Напряженность поля в одном из боковых максимумов ’ 1 1 Ослабление боковых лепестков в децибелах определяется выражением 20 log Q = 20 log [Тп_г (х0)}. х^ при заданном Q определяется формулой ( 1 1 i - 4- 'И<2 ~ KW7!)"-1 (Q - }. (3.58) 109
При большом Q для х0 справедливо приближенное равенство 1 1 3—2п 2*о = (2Q) "-1 + (2Q) ~ (2Q) . (3.59) Последним членом при большом числе излучателей можно пренебречь. На практике число излучателей п и требуемое ослабление боковых лепестков 20 log Q обычно бывают заданы, и задача состоит в том, чтобы найти амплитудное распределение, которое создает необходимую опти- мальную диаграмму излучения. Для решения этой задачи нужно вычис- лить прежде всего величину х0 из выражений (3.58) или (3.59). Для опре- деления амплитуд A'v исходим из следующих формул: для четного числа излучателей (п = 2р) Рис. 3 11. Полином (х) в более детальном представлении. Рис. 3 10 Графическое пред- ставление некоторых полиномов Чебышева. Р р g(и) = cos [?2v “ т] = S DvX^ = Tn~l{x}' (3 60) V=1 V=1 для нечетного числа излучателей (п = 2р + 1) р р g(u)-4"X’ + S 4vCOs(2v-^)= ^Dvx^ -= Тп^(х), (3.61) v=l v=0 где X == x0 cos (3.62) Для того чтобы было возможно выразить амплитуды через коэффи- циенты Dv полинома Чебышева (п — 1)-й Степени, необходимы следующие ПО
формулы, с помощью которых степени функции косинуса выражаются через функции косинуса от кратного аргумента: cos2v—1 (у) = 4^ 1 cos [(2v —2p — 1)-^] ; ц=0 (V^l) COS2V = 2-2v (2*) _L 21-ZV Q) cos [2(V-P)i] . g=0 (3.63) Если ввести эти выражения в (3.60) или, соответственно, в (3.61), то после приравнивания коэффициентов получим для амплитуд излучателей: при четном числе излучателей (п = 2р) pt=O 2v + 2ц — Г1 И I (3.64) при нечетком числе излучателей (п = 2р 4~ 1) р—V / 2v + 2ц \ Н (3.65) Тем самым амплитуды Av при заданном числе излучателей выражены через х0 и коэффициенты полинома Чебышева (п — 1)-й степени. Теперь для полинома Чебышева (п — 1)-й степени справедливо следующее пред- ставление в виде суммы: м 2 (-и"сы*-1- <366) и=0 При этом символ [у], стоящий в верхнем пределе суммы, означает наи- большее натуральное число, которое не превосходит значения у (при чет- [п —11 п . Гн— 1 1 п — 1 \ —2~ =~2" — 1’ ПРИ нечетном П- I—2—I ~ —2—Г Следовательно, коэффициенты Dv могут быть представлены следующим образом: при четном п (п = 2р) Dv = = (-i)P-V”1 (2р - 1) (.Д+^221ут ; (3.67) при нечетном п (п = 2р + 1) D, - В“ = (-1)>^4> <3'68’ Если подставить эти выражения в (3.64) или, соответственно, в (3.65), то для амплитуд излучателей получаются следующие выражения: при четном числе излучателей (п = 2р) р—у л;-йр-од-; <3-69) к—о 111
при нечетном числе излучателей (п = 2р -г 1) д; - 2РхГ S Xй-и,, o.ro; Тем самым амплитуды выражены только через величину х0 (характери- зующую ослабление боковых лепестков) и число излучателей, причем в виде, удобном для расчета на машине. Другой метод расчета базируется на следующих представлениях функ- ций излучения: при четном числе излучателей (п = 2р) g (u) = T„_i (xoz) = S A'vT2v-i (г); (3.71) v=l при нечетном числе излучателей (п = 2р + 1) g{и) = Tn-i (хаг) = 5 A'vT2v(г) (3.72) v=o здесь— Ао заменена на Ло)> При этом z = cos(-^-). (3.73) Т ак как Tsv-i(z) = cos [(2v — 1)-|-], / ы \ (3.74) Tav(z) = cos(2v-^), то эти представления идентичны (3.60) и (3.61). Задача определения коэффи- циентов этих разложений содержится, например, в работах [3.10], [3.17], [3.421. В заключение рассмотрим следующий пример амплитудного распреде- ления Дольфа—Чебышева (по [А 21 ]). Нужно определить оптимальную диаграмму излучения и необходимое для этого амплитудное распределение в линейной системе из 8 отдельных излучателей при требуемом ослаблении боковых лепестков в 26 дб. Диаграмма излучения задана в виде g(u) = T4(x) = V = 1 где х = х0 cos ( у). При Q « 20 из выражения (3.59) следует: х0 = 1,15. Коэффициенты Dv полинома Т- вычисляются с помощью уравнения (3.67) при р = 4. Амплитуды излучателей определяются из (3. 69) при р = 4 и вычисленном х0. Получаем следующие относительные величины (от краев к середине): 1; 1,7; 2,6; 3,1. 112
3.2.4. Распределение излучения Дольфа—Чебышева при неограниченно воврастапщем число излучателей и постоянном размере системы Пусть длина системы излучателей I = (п — 1) d = meh tn = п — 1. 1 (3.75) Определим распределение излучения, которое возникает при амплитуд- ном распределении Дольфа — Чебышева, если число излучателей неограни- ченно растет, а общая длина / остается постоянной. В этом случае одновре- менно расстояние между излучателями d 0. Положим 1 l d в =-----г = — ' ~г п — 1 m I И исследуем полиномы Чебышева Тт (х) при т оо или б -> 0. При этом будем учитывать малые величины до второго порядка малости* Предельное рассмотрение проводим не полностью, а указываем лишь наиболее существенные промежуточные действия. Из (3.58) прежде всего следует: х0 = 1 + 4“ In® (Q + Далее из уравнения (3.23) при <р = 0 получаем cos - 1-------у л3-—-sin2 й. Тем самым x=x„cos(y) - 1 +еМ = 1 + А, (3.77) где 2А - In3 (Q + V'Q^T) - (-у-)2 sin2 Ф. (3.78) Следовательно, мы должны исследовать функцию Тт ( I + —г) при неограниченно возрастающем т. Для этого в соответствии с представле- нием (3.54) для (х) рассмотрим функции f± (m)=ix ± --(1+4 ± /1+4- f. Для логарифма F± (т) после применения разложения в ряд логарифм^ и биномиального закона получаем: причем более высокие степени l/т опущены. Тем самым Tra(l + 12Ц = = ch{y2A(l---fAF)} = chy21--d1^-Sh У2А. 8 Заказ № 1566 ,1'13
Если теперь положить — sin О — и'; In (<? +]/Q® — 1) = arcch Q = ла, (3.79) то с учетом 2А -- ла (а2 — а'2) получаем представление функции излуче- ния, справедливое для больших т = п — 1: £(«) = Tw(l + ^r) = - со. . (3.80) При этом ch (ла) = Q. (3,81) В частности, при переходе к непрерывному распределению тока (d 0) g (и) = cos (л }Ли'г —а2). (3,82) Впервые уравнение (3.82)’было получено Маасом 13.32]. 3.2.S. Оптимальная диаграмма научения при деуотароинам уаняронтраивяии знаргии При передаче электромагнитной энергии между двумя одинаковыми антеннами, максимум излучения или приема которых совпадает с линией, соединяющей обе антенны, принимаемая мощность пропорциональна квадрату действующей площади антенн или, соответственно, квадрату их усиления (см. раздел 1.5.7). Если обе антенны идентичны, как это имеет место в устройствах с общей передающей и приемной антенной, работаю- щих радиолокационным методом, то сказанное справедливо и для этого случая. Следовательно, напряжение на входе антенны, которое использова- лось для определения характерис- Рис. 3.12. Пояснение принципа двусто ТИКИ направленности антенны в ре- роннего распространения энергии. жиме приема, в этих случаях про- порционально усилению или, соответ- ственно, квадрату характеристики излучения (предполагается справедли- вость принципа взаимности). На рис. 3.12 показан принцип такой пере- дачи энергии, который в противоположность простой передаче между двумя точками (односторонняя передача или одностороннее распростране- ние) называется двусторонней передачей или двусторонним распростране- ниемэнергии. Если R — объект, частично отражающий радиоволны в на- правлении на антенну А, и антенна вращается, например, по часовой стрелке таким образом, что основной лепесток диаграммы направленности движется в плоскости рисунка, то принимаемое антенной напряжение, обусловленное отраженным излучением, пропорционально квадрату зна- чения характеристики излучения. Следовательно, при двустороннем рас- пространении эксплуатационные свойства антенны определяются не непосредственно функцией излучения g (и), а квадратом этой величины: V (и) = [g (и) ]2. (3.83) 114
Назовем у (и) действующей функцией излучения системы двусторон* него действия. Если g (и) выбрана оптимальной согласно выводам раздела 3.2.3, а следовательно (при п излучающих элементах) g (и) = Т„_х (х), то ?{lf)^g®(M) = r«_1W = rm(x); « = (3.84) Т21П (х) является полиномом степени 2m, который не определяет опти- мальную действующую функцию излучения. Напротив, она определяется выражением У опт (u) = T'im (*)• (3.85) Таким образом, для реализации оптимальной функции излучения Уопт (и) необходимо функцию g (и) в отличие от оптимального вида ее при одностороннем распространении выбирать равной функции Яопт (“) = (3.86) Из-за справедливости соотношения Г2т-27^-1 (3.87) Som (и) отлична от Тт. Для непрерывного распределения имеет место подобное же соотношение £опт («) = V*cos (2л Vи'9 — аа) cos (я V iP — а2), (3.88) так как и в этом случае cos (2л "К&'2—а2) = 2 cos® (я Vил — а2)—1. (3.89) Однако, как показал Маттинли (3.33), оптимальная функция системы может быть реализована другим способом, если рассматривать необрати- мые антенны. Для действующей функции излучения согласно (3.87) справедливо ? (и) = Г2п (в) = 2 (гт (в) -ь (п, (и) - . (3.90) Эта зависимость возникает, например, в случае необратимой антенны, передающие свойства которой в излучении определяются функцией излу- чения g^(u) = Тм(и) + , (3.91) а приемные свойства — «функцией приема» gt(u) = Tm(u)—^. (3.92) Такая антенна может быть реализована, например, если излучатель соответствующим образом питается с помощью ферритового направленного аттенюатора или используется другой необратимый вспомогательный излу- 8* 1I&
чатель (более- подробные данные содержатся s работе [3.33]). То же самое справедливо и для случая непрерывного распределения. При этом имеем у (и) = со? (,2л./и'2 — а®) = g.e(u), (3.93) где gs («) = cos (л У ы'2—аа) + ; 1 __ К } (3.94) ' j|g,(u) =cos(л.Уи'2 — а3) — | 3.2.6. Биномиальное н угловое распределении. Метод умножения диаграмм Рассмотрим два частных случая оптимальной функции излучения Дольфа для Q = оо,и Q = 1 (см. раздел 3.2.3), т. е. случай, когда боковые лепестки отсутствуют, и случай, когда «боковые» лепестки равны главному. Так как для1 Q -> со при конечном числе излучателей и х0 -> оо, а тем самым неограниченно растет и Т,^ (х), то для того, чтобы функции рас- пределения и излучения оставались конечными, необходимо добавить соответствующий множитель, неограниченно убывающий при возраста- нии Q. Положим i(w) ^^Trt_1(x0cos(4-)). (3..95) Легко показать, что для больших значений Q и со равенства х0 = 4-(2<2)^; (3.96) n-i(«*)=4<2ft))n“1 <3-97) асимптотически выполняются. Для to = х0 cos получаем r,t_1(x0cos(-^)) = Qcosrt-1(^), следовательно, ‘ ' (3.98) Диаграмма ’принимает нулевые значения при и = kd sin •& = (2s + 1) л (s = 0, ± 1, . . .). Таким образом, имеют место следующие три случая: kd< л: g(u)>0 для--------+ kd = ЦГ g (и) = О ДЛЯ О = + ; 1 £(ц) = о при И<4г’ т. е. в последней'случае возникают боковые лепестки. Й6
Следовательно, для того чтобы диаграмма не рмелц боковых лепестков, должно быть kd S«, т. е. • . ' и; ' dS-K '' ' (3.99) 1 l"j При этом излучение во всех направлениях отлично от нуля, за исклю- чением случая d = когда нулевые значения имеют, место при ± Какое амплитудное распределение должна иметь такая излучающая система? Для ответа на этот вопрос проведем следующее преобразование: 2й-1 cos'1"1 (-£-) = {?(U/S) +е-/<“/2’}я;1= , _ е-1 (л-1) («/2) {i д_ Л — 1 = е“/(л-D («А) у1 /п — ! \ e;vu v = A V ' Следовательно, до постоянного вещественного множителя и- меняю- щейся фазы общая диаграмма получается в виде ’ п (3JOO> s=i Сравнение с выражением (3.24) показывает, что (теперь опять непре- рывная нумерация) амплитуда v-ro излучателя равна биномиальному коэффициенту разложения в ряд бинома (п — 1)-й степени: ( \ __ (я— О? \v — 1) ~ (п— v)l (v — 1) 1 (3.101) Как известно, биномиальные коэффициенты можно расположить в виде треугольника Паскаля, так что для первых значений числа излучателей получается следующее относительное амплитудное' распределение: 1 п = 1: 1 1 п ~ 2: 1 2 1 п = 3: 13 3 1 п = 4: 1 4 6 4 1 п — 5: 1 5 10 10 5 1 п ~ 6' 1 6 15 20 15 6 1 п ~ 7: 1 7 21 35 35 21 7 1 Биномиальное распределение, которое впервые было предложено Стоуном (патенты США 1 643 323 и 1 715 433), для практики большого значения не имеет. Направленность получается слишком слабая, кроме того, могут появляться боковые лепестки (хотя в некоторых случаях и с очень сильным ослаблением), так что целесообразно выбирать другое распределение излучения. Помимо этого, чрезвычайно трудно реализовать большие различия по амплитудам, необходимые при биномиальном рас- пределении, особенно когда число излучателей велико. Последнее заме- чание касается также большинства случаев распределения Дольфа— Чебышева. 117
Рассмотрим теперь предельный случай, когда главный и боковые лепестки равны по величине, т. е. случай Q — 1. Согласно (3.58) при этом х0 — 1 и тем самым g(u) = Tn-! (cos (-£-)) = cos[(n — 1)~] . (3.102) Сравнение с выражениями (3. 45) или (3. 46) дает: А’ч = 0 для v - 0. 1, . . р — 1; Л>1. Следовательно, большие одинаковые по величине лепестки диаграммы излучения возникают в том случае, когда возбуждаются только два край- них излучателя, расстояние между которыми составляет (п— 1)4 или, Рис. 3 13. Нормированные диаграммы излучения синфазно возбуждаемых линейных диск- ретных систем излучателей (поперечных излучателей), состоящих из пяти элементов, кото- Л рые считаются сферическими. Расстояние между излучателями d — . а—равномерное распределение (максимальное усиление), б—биномиальное амплитудное распределение (боковые лепестки отсутствуют); в — оптимальное амплитудное распределе- ние по Дольфу—Чебышеву, обеспечивающее ослабление боковых лепестков на 20 дб; г — «угловое» распределение (боковые лепестки имеют тот же уровень, что и главный). соответственно, когда имеются только два излучателя, отстоящие друг от друга на расстоянии, большем длины волны. Так как при таком распре- делении излучения х0 = 1, то при этом суммы в формулах (3.69) и (3.70) при v < р обращаются в нуль. На рис. 3.13 показаны диаграммы излучения линейных систем из пяти элементов с равномерным распределением, биномиальным распределением, распределением Дольфа—'Чебышева и «угловым» распределением. Спра- ведливо общее правило, согласно которому с увеличением остроты направ- ленности (следовательно, с уменьшением ширины основного лепестка по половинному уровню) боковые лепестки увеличиваются. Диаграмму излучения, создаваемую биномиальным распределением, можно получить также другим методом. Для этого обратимся к разделу 118
3.1.4 и, изменив обозначения, запишем выражение (3.19) в следующем виде: g(u) = 2 Avzv-1, (3,103) где г == е1и; и = kd sin О. (3.104) Если g (и) как полином (п — 1)-й степени выбирается таким образом, что при г = —1 возникает лишь одно нулевое значение кратности (ц — 1) и и ограничивается значением, меньшим или равным л (это соответствует уже введенному условию d S М2), то очевидно, что диаграмма излучения не имеет никаких боковых лепестков. Чтобы все нулевые значения при z = —I совпадали, необходимо положить л —1 g(«) = А (I + zf"1 = A J] (я-1) Л (3.105) v=»C Это выражение с точностью до постоянного множителя А совпадает с (3 100) (при замене v на v — 1 индекс суммирования изменяется от 1 до п). Тот факт, что функция излучения g (и) может быть представлена в виде полинома, можно использовать для получения диаграмм излучения с заданными свойствами (в определенных границах). Если обозначить полином степени т по z через Рт (z), то функцию излучения можно пред- ставить в виде g («) = (?) = (З.Ю6) где mi + тч + ... + ms = п — 1. Соответствующим выбором s полиномов от до Pms могут быть за- даны в определенных границах свойства функции излучения. Амплитуды определяются перемножением, как коэффициенты (3.103). Этот метод синтеза характеристик направленности называется умножением диаграмм. Пользуясь этим методом, можно, в частности, произвольным образом зада- вать нулевые значения диаграммы. 3.2.7. Линейные антенные системы с неодинаковым расстоянием между излучателями Из последнего раздела следует, что для достижения существенного ослабления боковых лепестков, как правило, требуется амплитудное распределение линейной дискретной системы, спадающее к краям. Однако в некоторых случаях оказывается трудно выбрать такие различные ампли- туды токов в отдельных излучателях, при которых обеспечивается тре- буемое распределение излучения. Поэтому были сделаны попытки вместо неравномерного амплитудного распределения при одинаковых расстоя- ниях между элементами (как это предполагалось ранее) осуществить тре- буемое распределение излучения с достаточным ослаблением боковых лепестков при помощи дискретной системы с различными расстояниями между элементами, которые возбуждаются равными фазами и амплитудами. Такая система во многих случаях чрезвычайно облегчает ее питание. Идея замены неравномерного амплитудного распределения неодинаковыми расстояниями между элементами с равномерным возбуждением возникла потому, что плотность потока энергии в ближнем поле непосредственно 119
перед антенной' с увеличением расстояния-между излучателями, возбуж^ даемыми с одинаковой амплитудой, уменьшается так же, как с уменьше- нием амплитуд возбуждения. По меньшей мере это справедливо в тех слу- чаях, когда расстояния между излучателями малы по сравнению с длиной волны, так как в противном случае однородность поля в ближней зоне уже не обеспечивается. , Необходимо заметить, что математическое рассмотрение дискретных линейных систем с неодинаковыми расстояниями между элементами принципиально может быть проведено с помощью уже указанных методов, при условии, если расстояния между излучателями находятся в рацио- нальных соотношениях (что практически всегда выполняется с достаточ- ной степенью точности). В этом случае наименьший общий делитель всех расстояний может рассматриваться как расстояние между элементами эквивалентной дискретной системы излучателей с одинаковыми расстоя- ниями между ними, у которой амплитуды частично равны нулю. Для наглядности на рис. 3.14 представлена линейная дискретная система с неодинаковыми расстояниями между элементами, которая может рас- сматриваться как система с одинаковыми расстояниями dg и у которой 4 f •-----о------»- & Рис 3.14. Линейная система излучателей с неодинаковыми расстояниями между элементами, рассматриваемая как система с одинаковыми расстояниями между элементами, часть которых имеет амплитуды возбуждения, равные нулю. амплитуды 1, 4, 6, 10, 12 и 14-го излучателей отличны от нуля, а амплитуды остальных излучателей равны нулю. Рациональным принципом исследования дискретной системы с нерав- ными расстояниями между элементами является метод умножения диа- грамм, рассмотренный в предыдущем разделе. Если образовать произве- дение из нескольких полиномов по z и позаботиться о том, чтобы коэффи- циенты всех появляющихся при этом степеней были равны единице, то получим функцию излучения дискретной системы, возбуждаемой одинако- выми амплитудами, расстояния между элементами которой равны лишь в том случае, если полином содержит все степени. В противном случае мы имеем дело с неодинаковыми расстояниями. Чтобы все коэффициенты произведения полиномов равнялись единице, отдельные множители должны содержать лишь показатели степени, превышающие сумму наи- высших показателей всех предыдущих множителей (в дальнейшем исполь- зуются выводы работы [3.6]), а их разности должны превосходить эту сумму. Чтобы в произведении полиномов PtPr = (1 +* + + z3) (1 -Ь г” + ?') == 1 + z + z2 + z3 + zf + г?*1 + gp+2 4- %р+з %г _у гг+1 + zr^'i -у zr+3 все указанные степени были различны, должно быть, например, р > 3 и г > р -т- 3. Соответствующая дискретная система состоит из 12 излуча- телей, расстояния между которыми соответственно равны ^о> ^о> (р — 3) do, d0, d0, (г p 3) dg, d0, d0, d0. Наиболее простые соотношения получаются, если множители выбрать в виде gv («) = gv (г) = 1 + zmv (3.107) 120
Тогда при г = ехр (/и) для v-ro множителя функции излучения спра- ведливо gv (и) = (“Ж + e-^v = 2e'"*v(u/2) так что модуль общей функции излучения (с точностью до множителя 2s) получается в следующем виде: [g(«)| = cos^i . ..cos(m5~). (3.108) Нули функций косинуса дают возможность сразу же указать нулевые значения диаграммы излучения, что позволяет реализовать диаграмму излу- чения с заданными нулевыми значениями. Пусть, например, = т;та = т + 1; т3 — ~т + 2. Тогда I g (w) I = cos X, cos (3. 109) Для т = 5 получается диаграмма, представленная на рис. 3.15. На рисунке показан, кроме того, принцип построения диаграммы излучения с помощью трех функ- ций косинуса. Эта диаграмма создается дис- кретной антенной системой, состоящей из 8 отдельных излучателей с неодинаковыми расстояниями между ними. При т излуча- телях эти расстояния составляют md0, da, d0, (tn — 1) d(), dQ, df), md0. Метод равномерной аппроксимации нуля в смысле Чебышева с помощью функции излу- чения, т. е. аналог распределения Дольфа, расстояниях между элементами описан в малого числа излучателей). Эти вопросы 13.21], 13.28], 13.43], [3.51]. л Л г i 4 f 2 /J JT J ft 7 j u/.T Рис. 3 15. Диаграмма излуче- ния по (3.109) для т = 5, ко- торая создается системой из 8 элементов с неодинаковыми расстояниями между ними (по Бауэру). —Чебышева при одинаковых . [3. 6] (преимущественно для обсуждаются также в 13.4], 3.2.8. Замена дискретного распределен ня непрерывным для упрощения анализа диаграмм Общий вид (3.24) функции излучения может быть представлен замкну- тым выражением лишь в некоторых случаях (например, при однородном распределении). При большом числе излучателей п (что характерно для техники антенн СВЧ) расчеты обычно становятся очень трудоемкими. Поэтому в этих случаях целесообразно перейти к приближенному рас- чету функции излучения, заключающемуся в том, что амплитуды Av п излучателей (с одинаковыми расстояниями между элементами d) рассма- тривают как значения непрерывно определенной функции f (х) в точках xv = (v — 1) d, а диаграмму описывают функцией излучения непрерыв- ного распределения, заданного функцией f (х). Благодаря этому для многих практически важных распределений удается получить замкнутое представ- ление функции излучения g (и). Применение этого метода в технике антенн СВЧ оправдывается, в частности, тем, что излучатели здесь в большин- 121
стве случаев не могут считаться точечными вследствие конструкции антенн, обусловленной стремлением увеличить направленность (стенки рупора или диэлектрический пластинчатый излучатель при волноводно-щелевых антеннах). Методика расчета функций излучения линейных источников с непрерывным распределением приводится в разделе 4.3. Указанные там методы в известной мере могут быть использованы и для систем из дискрет- ных излучателей. Предполагается, что система последних без труда может быть дополнена до непрерывного распределения. Это условие практически всегда выполняется. И наоборот, с помощью теоремы отсчетов, применяе- мой в теории информации, при известных условиях непрерывную функцию можно выразить через ее значения в дискретных точках. Исходя из этого, с помощью средств функционального анализа по дискретным амплитудам излучающей системы можно определить функцию излучения [3.13) [3.27]. Э.Э. Влияние случайных погрешностей на взлучение ЭЛ.1. Вводные вамачаннн. Оснввы математической ететкотеп Исследование влияния механических и электрических погрешностей, имеющих место в дискретной системе, осуществляется методами математи- ческой статистики. Приведем поэтому прежде всего основные определения и теоремы, необходимые в дальнейшем. При описании дискретных систем ограничимся случаем статистической независимости всех погрешностей, т. е., иначе говоря, будем полагать, что погрешности совершенно некоррелированы. При этом не учитывается, например, влияние связи соседних излучающих элементов, так что полу- ченные результаты неприменимы, в частности, для малых расстояний между излучателями, и предельный переход к непрерывному возбуждению лишен физического смысла. По этой причине при рассмотрении чувстви- тельности поверхностных антенн к погрешностям или вообще при непре- рывном возбуждении применяются методы корреляционного анализа (см. раздел 4.3.6). Проблемы чувствительности к погрешностям дискретных систем при- обретают все большее значение, так как для современных высококачествен- ных антенн стремятся достигнуть теоретического оптимума их свойств. Вследствие этого неизбежными погрешностями при изготовлении антенн нельзя пренебрегать, поскольку они оказывают существенное влияние на процесс излучения. Из экономических соображений интересен также вопрос о необходимой точности изготовления, если заданное количество (например, 95%) большого числа изготовленных антенн должно обладать требуемыми эксплуатационными свойствами. Дальнейшее изложение имеет целью объяснить способы применения статистических методов, ука- зать литературу поданному вопросу и привести некоторые важные резуль- таты, Последующие определения и теоремы, на которых мы останавливаемся лишь вкратце, подробно изложены в соответствующей литературе (см., например, [В 1), [В 7]). Если р (X) dX представляет собой вероятность того, что величина X заключена в интервале от X до X + dX своей области определения, то р (X) называется плотностью вероятности случайной переменной X. 122
Так как X наверняка (с вероятностью, равной I) принимает значения в своей области задания, то J7 (X) dX = 1, (3.110) если интегрирование проводится по всей области значений X. Средним или ожидаемым значением X называется величина X -\Хр (X)dX, (3. Ill) Разность X — X характеризует отклонение случайной величины X от ее среднего значения в конкретном случае. Если / (X) — произвольная (интегрируемая) функция от X, то для ее среднего статистического значе- ния справедливо ДхУ = J / (X) р (X) dX. (3.112) В частности, X2 - f XV (X) dX (3.113) является среднеквадратичным значением, или моментом второго порядка случайной величины X. Дисперсией величины X называется выра- жение о2 - J (X — X? р (X) dX - (X — X)2 X2 — (X)2. (3.114) о называют средним квадратичным отклонением. С помощью а опи- сывается ожидаемое в среднем отклонение от среднего значения исследуе- мой величины. Если X и У — две случайные переменные с одинаковой областью задания, то справедливо X У = X + У. (3.115) В частности, если X и У статистически независимы, то имеет место соотношение ХУ = ХУ. (3.116) Относительно плотности вероятности в дальнейшем мы предполагаем, что она соответствует нормальному или гауссову распределению, т. е. р (/) '{t — вещественная величина) при заданной дисперсии оа должна иметь вид = _(3. 117) З.Э.2. Влияние на процесс излучения случайных механических й электрических погрешностей Впервые, по-видимому, проблемой влияния случайных погрешностей на излучение дискретных систем занимался Руце [3.40]. Он исследовал влияние электрических погрешностей на распределение излучения в пред- положении, что погрешности токов по модулю одинаковы и все возможные фазовые отклонения равновероятны. Ашмед [3.1] продолжил исследова- ния, но сделал более реальное предположение, допустив, что абсолютные величины погрешностей токов пропорциональны их номинальным значе- ниям. Впервые объяснение электрических погрешностей неточностью изготовления дали Байлин и'Эрлих [3.31, исследуя волноводно-щелевую антенну, возбуждаемую стоячими волнами, и рассматривая влияние 123
неточностей положения и длины щелей на излучение (см. также [3.34]). Гильберт и Морган 13.19] взяли за основу пространственную дискретную систему из одинаковых и равнонаправленных отдельных излучателей, которая обладала погрешностями в расположении элементов и токов возбуждения. При этом одиночные характеристики считались свободными от погрешностей. Мерой чувствительности системы к погрешностям служил характерный для системы параметр К. Наименее чувствительными к погрешностям оказались .системы с «нормальным» возбуждением (см. стр. 127). Кроме того, в этой работе определялось максимально возможное усиление в заданном направлении для конкретной пространственной дис- кретной системы, которое может быть получено изменением токов возбуж- дения, и находилось необходимое для этого распределение тока. На этой проблеме мы не останавливаемся. Эллиот [3.18] рассматривает плоскую дискретную систему с погрешностями в расположении и возбуждении элементов и в их ориентации (например, отклонения в осевом направлении у диполей). Он указывает формулу для расчета влияния погрешностей на боковые лепестки при электрическом качании луча. В частности, с по- мощью диаграммы исследуется влияние погрешностей на степень ослабле- ния боковых лепестков для систем с амплитудным распределением Дольфа—Чебышева. Во всех работах предполагается статистическая неза- висимость погрешностей, так что полученные результаты не могут быть перенесены на антенны с непрерывным возбуждением. Влияние погреш- ностей изготовления волноводно-щелевых антенн рассматривается также в [3.23] и [3.35], В этих работах исследовалось несколько случаев, свя- занных с конкретными погрешностями, которые были выбраны из воз- можного распределения погрешностей, и приведены соответствующие диаграммы излучения. Расчеты, произведенные с помощью электронной вычислительной машины «Deuce», позволили получить интересные выводы о статистических закономерностях (см., кроме того, [3.39]). Для исследования чувствительности излучающих систем к погрешно- стям рассмотрим систему, состоящую из п излучающих элементов с одина- ковыми одиночными характеристиками Е(е) (г), расположенных в точках (rv, yv, 2V) (v = 1,2, . . ., ri) в любой последовательности. Для харак- теристики излучения справедливо выражение Е(г) = Е<е,(г)£(*>(г), (3.118) где л E(fi)(r) = S^J(Rv’r) (З.Н9) V=1 представляет собой групповую характеристику. Комплексная амплитуда Av характеризует амплитуду и фазу возбуждения v-ro излучателя. Выра- жение R. - A;QV = e£v 4- e^v + e^v (3.120} определяет положение соответствующих элементов. Предполагается, что одиночная характеристика не имеет погрешностей. Погрешности в расположении элементов и в их возбуждении выразим сле- дующим образом: j4v = >4qv =* /lov ( 1 + Ay)(3.121) Rv — Rov 'I' Rvj (3 122) ЛОу и Rov — номинальные значения для дискретной системы, свободной от погрешностей, Av и Rv — величины погрешностей, и Rv — истин- 124
ные значения. Для представления комплексной амплитуды введены, кроме того, относительная погрешность амплитуды и фазовая погреш- ность ф',. Полагая, что все погрешности по абсолютной величине малы по сравнению с единицей, с учетом (3.121) и (3.122) для групповой характе- ристики получаем следующее выражение: п (г) = S (Ан- + е' (Rov+ Rv 0 = v=i = 2 (А»-4) 11 + /(R»| V = 1 = S Mov + Av [Лу-НЧР*+ /(Rv> r)]}ey(Rovr) = = 4S) (r) + £(i)' (r). (3.123) Следовательно, групповая характеристика (при малых отклонениях от номинальных значений) представляет собой сумму свободной от погреш- ностей характеристики £ог> и характеристики £(г) , обусловленной откло- нениями. Для последней справедливо Е(г)'(г)= 2 XovMv + M4-/(^> r)}e;<Rov’r). (3.124) Из этого равенства устанавливаем прежде всего, что погрешность Rv расположения v-ro элемента относительно направления г излучения может быть заменена эквивалентной фазовой погрешностью <pv = (Rv, г). Если теперь погрешности рассматривать как случайные переменные, опи- сывающие распределение погрешностей при большом числе подобных антенных систем, то для среднеквадратичного значения модуля харак- теристик»,' обусловленной погрешностями, имеем |£(й>' (г) |2 = £(ю'(г) £(дГ‘(г) = п п _ |____________________________________ = 2 /Vv “F i (Rv, r)l (Лц - /Фи / (Rh> r)} x V=1 H=1 x e'(Rov~Rojr r). (3.125) Положим теперь средние значения всех погрешностей равными нулю (.4 v — 0 и т. д.), а все различные погрешности статистически независимыми C4n<pv = 0 и т. д,). Тогда в (3.125) «смешанные» произведения обращаются в нуль, и для «уровня искажений» получается простое представление |£^-(г)|2= 21^Г(^Чф^+(r;, г)2}. (3.126) v=l Положим среднеквадратичные значения в этом выражении неза- висящими от v. Это означает, между прочим, что в процентном отноше- нии амплитудные погрешности во всех элементах обладают одинаковым среднеквадратичным отклонением относительно их среднего значения, 125
равного нулю. Для дисперсий вводятся следующие обозначения: л;2 = л-, (jpv (Rv, г)2 = (*Х')а 4- y'vrv + г>г)2 = al (г). (3.127) При статистической независимости координатх',, y’v, z'v, обусловленных погрешностями, будем иметь oi (г)=(-т-)’("*/5+<зл28> Если далее дисперсии а-х, а2у, координат расположения элементов принимаются равными, то о2 = ( )* = const &129> При введенных обозначениях выражение для ожидаемого значения уровня искажений принимает следующий вид: |£<8>'(г)|2 = йа 2 ИоЛ (злзо> где S2 — о®, + а2 + Таким образом, функция погрешности результирующей характери- стики определяется выражением jfw= «3Не) (r)j2 х |л0#. ' (3.131) V=1 Введем теперь относительный уровень искажений q, представляющий практический интерес, отнеся (3.131) к уровню излучения в направлении г0: а — — Л2 1 |Е° * К' /3 132Ъ |E,(r0F ° пН'’(го)Г ’ (3'132> где к'=п1гшг (3133) Это выражение означает следующее. Угловая зависимость относитель- ного уровня искажений в случае постоянства только одной aL определяется в основном одиночной характеристикой. При постоянном числе излуча- телей п уровень искажений зависит от параметра К', К'- является мерой чувствительности антенной системы к погрешностям. Можно показать (см. [3.191, где вместо К' рассматривается величина X = К'In), что К' как функция амплитуд возбуждения Ло^ (при фиксированном расположе- нии элементов) не может быть меньше единицы: 7С = Х' {Л„} 1. (3.134) 126
Знак равенства справедлив при- нормальном возбуждении, т. е. при таком возбуждении элементов с одинаковыми амплитудами, когда в направ- лении г0 происходит синфазное сложение всех отдельных значений. При нормальном возбуждении комплексные амплитуды имеют следующий вид: = е~‘ (Rov-ro).‘ (3.135) Следовательно, система с нормальным возбуждением менее всего чувствительна к погрешностям возбуждения и расположения элементов. Наряду с этим при синфазном сложении она обладает максимальным усилением, как было показано в разделе 3.2.2 для специального класса дискретных систем. Если возбуждение производится таким образом, что отдельные волны в направлении г0 складываются в фазе или в противофазе, то (3.136) J Доу. (3.137) где 40v — вещественная величина. Тогда параметр К' может быть пред- ставлен следующим образбм: (3.138) Это справедливо для большинства антенных систем, в частности для линейных или плоских, действующих как поперечный излучатель. Формула (3.138) показывает, что К1 при существенно различном возбуждении эле- ментов может достигать довольно больших значений. Это имеет место особенно в том случае, если величины часто меняют знак, что присуще некоторым антеннам со сверхусилением. Такое специальное возбуждение, с помощью которого можно создавать (теоретически!) самые различные диаграммы излучения, в частности диаграммы с направленностью бблыпей, чем в случае нормально возбуждаемой системы (антенны со сверхусиле- нием), обладает, следовательно, повышенной чувствительностью к рассмо- тренным погрешностям. Более подробно мы остановимся на этом в разде- лах 4.3.6 и 4.3.7. Другая замечательная связь существует между чувствительностью к погрешностям и коэффициентом полезного действия или, соответственно, эффективным усилением антенной системы, возбуждаемой токами прово- димости. Если для простоты принять, что элементами антенны являются сферические излучатели, то усиление свободной от погрешностей дискрет- ной системы в направлении г0 [ср. формулы (1.98) и (1.100)1 составляет При этом Р, — общая мощность излучения, а £0 согласно разделу 1.3.1 имеет размерность напряжения. Если, кроме того, Rv— сопротивление потерь излучающего элемента, отнесенное к той же точке проводника, 127
к которой отнесена и амплитуда тока, то для полной мощности потерь си- стемы справедливо р. = Hod2- Отсюда с учетом (3.133) и (3.139) следует: ^-^бОШгЛ'-v- (3. МО) Г s « И ^эфф G0T] Go Ps+ Pt> ______Gn_____ 1 + 60йДо№ -^2- n (3.141) Следовательно, при конечном сопротивлении потерь эффективное усиление тем меньше, чем больше чувствительность системы к погрешно- стям, выраженная через Л'. Так как, с другой стороны, при усилении антенны выше нормального (точнее: при усилении излучения выше нор- мального) К' также велико, то в этих случаях эффективное усиление зна- чительно меньше, чем усиление излучения; поэтому практическое значе- ние антенн со сверхусилением по меньшей мере очень сомнительно. При нормальном возбуждении Л' = 1 и Ga = п, так что в этом случае °эфф = J + я’.бОЯ * (3.142) Поясним результаты следующим примером. Пусть дана дискретная система из п элементов с нормальным возбуждением, так что К' = 1. Для простоты положим, что элементы являются сферическими излучателями. Тогда в соответствии с (3.132) (3.143) гдеЦ6а;=- и2А + о2 + Пусть далее дисперсии погрешностей расположения элементов в трех координатных направлениях равны о,-_ = 2л -5е-. Значение дисперсии можно установить из следующих соображений. При гауссовом распределении с плотностью р (0, 'определяемой вы- ражением (3.117), имеет место соотношение -i-jc l^z) jp(Od/= f ^dt = E2[^. ‘ (3.144) Здесь (x/a ]/2)—так называемый интеграл ошибок (см., напри- мер, [В Зг стр. 23 и сл.1). Известно, что (сю) = 1. Согласно (3.144) (х/сту'2) представляет вероятность того, что в данном конкретном слу- чае погрешность не превышает х. Другими словами, это означает, что если х — некоторая абсолютная погрешность рассматриваемой величины, то для относительного числа случаев, определяемого выражением (<иН) 100%, погрешность меньше или равна х. При х = о £\ = 100% = 68%. , ' 128
Таким образом, при принятом нами распределении Гаусса о пред- ставляет собой то отклонение, которое не превышается в 68% всех слу- чаев. На рис. 3.16 представлена функция р (/) согласно (3.117), а на рис. 3,17 — в зависимости от х/<з в соответствии с (3.144). Считают, что для х = 2о£2 0,95, т. е. в 95% всех случаев фактические погреш- ности меньше значения 2<т. Пусть в Вашем примере о2. = = 0,01, Л р L, ' т. е. пусть величиныЛ^, 2лх7Х и т. д в 95% всех случаев меньше 0,2. При этих значениях 62 = 0,03. Это означает, что, например, при числе излучателей п = 20 на характеристику по мощности накладывается отно- сительный уровень искажений, среднее значение которого Рис. 3.16. Плотность вероятности p’(f) для Рис 3 17. Интеграл ошибок [по распределения Гаусса [по (3. 117)]. (3.144)]. Следовательно, средний уровень искажений меньше основного излу- чения приблизительно на 28 дб. Пример показывает, что при нормальном возбуждении влияние погрешностей незначительно. При возбуждении, отличном от нормального, влияние погрешностей становится более заметным. Эллиот [3.18] приводит кривые, характери- зующие степень ослабления боковых лепестков при амплитудном распре- делении Дольфа—Чебышева. В случае биномиального распределения (раздел 3.2.6) /п— В Лоу= tv- Тем самым (2л —2)1 (л — 1)1а * Следовательно, согласно (3.133) __ п (2л — 2)! ~ 4',~1(л — 1)1» (3.145J 9 Заказ № 1596 129
Если в этом выражении факториалы выразить с помощью формулы Стирлинга, справедливой при больших п, х! = У%йхххе~\ то Л' = . «К 1/4. (3.146) 1) г я ' ' Таким образом, при биномиальном распределении параметр /(' не является постоянной величиной и при большом числе излучателей про- порционален ]/п, т. е. в этом случае чувствительность к погрешностям с увеличением числа излучателей возрастает. 4. Теоретические основы и методы расчета поверхностных антенн 4.1. Дифракционная задача 4.1.1. Постановка задачи теории дифракции Задача определения электромагнитного поля излучения по заданному распределению источников не всегда соответствует действительному положению вещей, так как во многих случаях распределение источников неизвестно. Источники, возникающие, например, на поверхностях неодно- родности среды в виде поверхностных токов и зарядов, связаны с полем и в большинстве задач не могут считаться заданными. В связи с этим целе- сообразно различать первичные и вторичные источники. Под первичными источниками мы понимаем те токи или поля, которые при поставленной задаче считаются заданными. К ним относятся, например, токи на клем- мах антенны, токи на антенне (если их можно задать с достаточной точно- стью) или поля на поверхности, окружающей антенну. Вторичными источ- никами мы назовем те, которые из-за особого распределения среды в окре- стности первичных источников связаны с создаваемым последними полем и не рассматриваются с самого начала как заданные. Это, например, поля на поверхности раздела различных сред или поверхностные токи, возникающие из-за граничных условий. Деление на первичные и вторич- ные источники произвольно. В каждом конкретном случае оно выбирается таким образом, чтобы, с одной стороны, результат был по возможности более точным (представление распределения излучения), а с другой сто- роны, затраты на расчет оставались в допустимых пределах. При значи- тельном ограничении числа первичных источников (рассматривая, напри- мер, только клеммы антенны или поперечное сечение линии ее питания) затраты на вычисления при определении поля излучения, если принять во внимание граничные условия на поверхностях разрыва, чрезвычайно велики; с другой стороны, при слишком большом числе первичных источ- ников (если, например, распределение поля на поверхности, окружающей антенну, принимается заданным) уже в самом подходе к решению задачи содержатся погрешности, снижающие точность результатов до такой сте- пени, которая недопустима во многих задачах. 130
В уравнениях Максвелла первичными источниками считаются токи 1, а вторичные источники выражаются с помощью комплексных диэлек- трической и магнитной проницаемостей: 8 = 8'-/-Sr; 1* = н'-/-£• (4.1) Следовательно, ограничиваясь процессами с гармонической зависимо- стью от времени, мы берем за основу систему уравнений rotE = —1„ —/арН; 1 rot Н = I + /юеЕ, J где е и р определяются формулами (4.1). Проблема теории дифракции заключается в определении распределения поля по заданным распределениям первичных источников I, Im и пара- метрам среды е, ц в рассматриваемой области пространства [А 121 [А 271 [А 38]. Поскольку из этой общей формулировки практически не следует новых выводов, необходимых для решения задачи, мы рассмотрим частный случай, когда параметры среды виц локально постоянны. Тогда в любой области пространства вне первичных источников с постоянными вир выполняются уравнения rot Е - —/<вцН; 1 f (4-3) rotH=/«>eE. J На граничных поверхностях в случае равенства нулю поверхностных токов и зарядов должны быть выполнены краевые условия: [п, Н2 —=0; [и, Е3 — EJ = 0; (п, 83Е2-8^1 = 0; ' (4Л) (и, — pjij) - 0, т. е. тангенциальные составляющие Е и Н и нормальные составляющие еЕ и pH должны быть постоянными. Обычно обходятся двумя первыми условиями, так как два других легко могут быть выведены из первого уравнения Максвелла. Для расчета антенн особенно важен тот случай, когда в качестве поверхностей неоднородности фигурируют только поверх- ности раздела сред с очень большой и с бесконечно малой проводимостями. В этом случае на граничной поверхности выполняется краевое условие (п, Е1 = 0. (4.5) Можно показать, что благодаря этому условию, которое требует равенства нулю тангенциальной составляющей напряженности электри- ческого поля, решения уравнений (4.3) определяются однозначно для про- странства вне тела, проводимость которого принимается бесконечно боль- шой (см., например, [А 121). В случае, если граничная поверхность имеет углы или ребра, электромагнитная энергия в окрестности этих мест для обеспечения однозначности должна предполагаться конечной (граничное условие, см., например, [А 12, стр. 14]). 4.1.2. Приближенный метод теории дифракции Кирхгофа Строгое решение задачи дифракции даже при локально постоянных параметрах среды может быть получено только в исключительных слу- чаях. Поэтому, как правило, ограничиваются приближенными методами. 9* 131
Самым известным из них является приближенный метод теории дифракции Кирхгофа [А 121 [А 31] [А 38] [А 44] [4.43] [4.44] [4.47] [4.841 [4.7]. В этом методе для расчета поля дифракции за основу берутся вытекающие из геометрической оптики невозмущенные значения первичного поля волны, падающей на граничную поверхность. Для пояснения метода рассмотрим пример, лежащий в основе многих методов расчета, применяемых в антенной технике. Пусть задан бесконеч- ный экран с бесконечно большой проводимостью, который имеет некоторое число отверстий. На рис. 4.1 представлен разрез части экрана с отверстием. Экран делит все пространство на области и Vs. Пусть в ограниченной /// области пространства Уп> расположенной в содержатся источники (точнее первичные ис- точники). Если принять за основу теорию Кирх- гофа, поле излучения рассчитывается следую- щим образом. Представим себе две поверх- ности Fi и F2, плотно прилегающие к экрану. За вторичные источники в отверстии экрана как на поверхности Fn таки на поверхности FB мы принимаем первичные поля Ер и Нр, а на сплошных участках экрана на поверхности Ej = О, Н, = 2Нр( и на поверхности F2 Е= — Н = 0, как это следует из законов геоме- трической оптики, если предположить, что экран обладает бесконечно большой проводи- мостью. Для расчета поля излучения можно использовать формулы Кирхгофа. Однако предпочтительнее воспользоваться формулами (1.16), (1.17): Е (Р) = — rot F + -—- rot rot А; v jcoe Рис. 4.1. К пояснению при- ближенного метода Кирхгофа. И (Р) = rot А + -г-— rot rot F, ' ! jcap. (4-6) так как они в противоположность формулам Кирхгофа справедливы и при дискретном распределении источников (при использовании формул Кирхгофа для более точных расчетов необходимо вводить поправки). При этом для векторного потенциала в области справедливы следующие выражения: F> = lH tn, EUdf. (4.7) 11 Так как поля в отверстии экрана не вносят никакого вклада во вторич- ное поле в области VT, можно ограничиться интегрированием по сплошным участкам. На оставшейся поверхности, которую мы обозначим Fi, поверх- ностный магнитный ток равен нулю, поскольку тангенциальная состав- ляющая электрического поля обращается в нуль, так что Fi также равно нулю. Тем самым вторичное поле в области Vi определяется выражениями E1S — ——rot rot А.; ls /сое 1 Hls = rot A„ (4.8) 132
где А! = 4г f [П1 (4.9) (Fi) Общее поле в объеме Vx составляется из первичного и вторичного полей = Ер + Els; Ну = Нд + Hls. (4. 10) Для расчета поля в области достаточно проинтегрировать по уча- стку Fs поверхности FSf который совпадает с отверстием экрана. Недостатком теории Кирхгофа является то, что при таком способе расчета полей излучения не воспроизводятся граничные значения, задан- ные на экране. Теория Кирхгофа и для предельного случая исчезающе малой длины волны (предельный случай в оптике) не позволяет определить точные значения поля. Оправданием ее в основном служит то, что в боль- шинстве практически важных случаев она дает достаточно хорошую аппроксимацию, что подтверждается экспериментом и сравнением с точ- ными решениями. Более существенный недостаток теории Кирхгофа состоит в том, что она нарушает краевое условие. Согласно приближению Кирхгофа плот- ность потока энергии на границе не принимает конечного значения. Для устранения этого недостатка метод Кирхгофа был видоизменен Браунбе- ком (1950; [4.13] [4.241) следующим образом. Каждый линейный элемент границы рассматривается так же, как и в точной теории дифракции Зом- мерфельда у края полуплоскости [4.89]. Это приближение тем точнее, чем меньше кривизна границы или, соответственно, чем меньше длина волны, В предельном случае при X -> 0 этот метод становится точным. Простым следствием из теории Кирхгофа является принцип Бабине IA 121 [А 41 14.711. Если замкнутая поверхность F, охватывающая все источники, раз- бивается на две поверхности F' и F", а Е', Н' — поля, возникающие во внешнем пространстве при Наличии только F', или, соответственно, Е", Н" — поля во внешнем пространстве при наличии только F”, то сумма обоих полей, определяемых по теории Кирхгофа, равна невозмущенному первичному полю; Е' + Е* = Ер; Н' + Н" = Н,. (4.11) То же самое справедливо и для случая, когда поверхность F устрем- ляется в бесконечность, а все источники расположены на одной стороне поверхности. В несколько другой формулировке принцип Бабине гласит, что дифракционные поля на дополняющих друг друга поверхностях1 F' и F" равны по величине и противоположны но знаку. Степень приближе- ния, при которой справедлив принцип Бабине, такая же, как и в случае теории Кирхгофа. Принцип Бабине строго выполняется для идеально отражающего плоского экрана. 4.1.3, Интегральное представление поля с помощью источников на незамкнутой поверхности При объяснении принципа Кирхгофа мы представляли дифракционное поле параметрами, рассчитанными средствами геометрической оптики на поверхности дифракции с помощью векторного потенциала. Эти формулы справедливы в предположении локальной регулярности токов и вследствие 1 Дополняющими называются поверхности (экраны), для которых отверстия в одном экране соответствуют непрозрачным частям в другом, и наоборот. Примечание редактора. 133
этого могут быть применены к любому физически возможному распределе- нию источников. В частности, эти формулы справедливы также, если за- даны поверхностные токи на незамкнутой поверхности. В противоположность этому интегральные представления, введенные в разделе 1.2, справедливы лишь в предположении, что токи в рассма- триваемой области пространства или, соответственно, на положенной в основу замкнутой поверхности дважды непрерывно дифференцируемы. Их применение к распределению тока на незамкнутой поверхности, вообще говоря, невозможно без дополнительной коррекции. Теперь мы укажем две формы интегрального представления, которые справедливы и для незам- кнутых поверхностей. Они получаются из уравнений (1.38) и (1.41) путем добавления поправочных членов. Для упрощения мы указываем только выражение для электрического вектора. Магнитный вектор можно полу- чить, заменяя в этих выражениях Е на Н, Н на —Е, в на ц и р на е. Если F — регулярная (в частности, незамкнутая) поверхность, огра- ниченная кривой С, то вектор электрического поля излучения, создавае- мого источниками на поверхности F, в свободном от зарядов изотропном пространстве вне F может быть представлен следующим образом: а) Е = — rot F -1- -j—rot rot А, (4.12) где А = ~4Г J * Н] F = “ J *[п* Е1 } (Г) б) Е== — "ТТ J IWXln, Н]— Цп, Е], grad'х] - (и, EJgrad'x} dF — T)grad'Xrfs; (С) "> E=-if {*>- (Fi (С) -4йЬф<Н- x^s. (С) При этом справедливы следующие соотношения: е— ikr ,_ 1 Х~ —k = top eg; г = У(х~ х')2 + (^ — у')2 -г (г — г')2; , здесь х, у, z являются координатами точки Р, в которой определяется поле, а х', у’, г' — координатами точки интегрирования по F. Операции вектор- ного дифференцирования, обозначенные штрихом, относятся к переменной точке интегрирования, п представляет собой единичный вектор, нормаль- ный к F, а т — единичный вектор, касательный к С, имеющий направление по часовой стрелке, если смотреть вдоль нормали п (рис. 4.2). Как показывает второе выражение, при представлении поля в зависи- мости от распределения его на незамкнутой поверхности добавляется кри- волинейный интеграл по контуру, который отсутствует в случае замкну- тых поверхностей. Этот интеграл называют поправкой Коттлера [4.531. Он был введен Коттлером, предположившим такое равномерное распре- деление электрических зарядов вдоль контура незамкнутой поверхности, 134
Рис. 4.2. К объ- яснению вели- чин в выраже- ниях (4.12) — при котором решения удовлетворяют уравнениям Максвелла или вол- новым уравнениям. В третьем выражении, являющемся обобщением формулы Кирхгофа на незамкнутые поверхности, наряду с поправкой Коттлера появляется еще один криволинейный интеграл по контуру. Этот интеграл физического смысла не имеет, а вытекает из преобразова- ния поверхностного интеграла в б) и в). Для доказательства совпадения трех представлений поля мы образуем — rot F = — j rot {х in, E]J dF. (/о Так как ротор содержит лишь дифференциальные отношения для коор- динат х, у, z, то Е можно считать постоянным. Согласно уравнению (П. 11) rot {х In, Е]} = — Цп, Е], grad xl = Цп, Е], grad' xl, так”как справедливо соотношение grad' % - — grad х 1см. (1.29) J. Следовательно, имеет место уравнение — rot F = j [[n, Е], grad' %]dF. (4.16) <F} Теперь образуем rot rot А = —j rot rot {xln, H]] dF. Так как вектор Н постоянен относительно х, у, г, то rot {х [n, Н]} « — Цп, Н], grad xl = Цп, Н], grad' xl и rot rot (xln, H]} = ([n, H], grad') grad 'x— [n, H]Ax. Поскольку вне поверхности F справедливо волновое уравнение А X + X = О, то Ах = —так что мы получаем rot rot А = ~ j {feax In, Н] + ([n, Н], grad') grad' x} dF. (4.17) Преобразуем теперь криволинейный интеграл во втором представлении. Справедливо следующее равенство: (j) (Н, r)grad'xds = ех^-^у(Н, г) ds + е^ф-^-(Н, т) ds + (С) (С) (С) -г ^ds. (С) По формуле Стокса первый интеграл может быть записан в виде rj ds| (п, rot'ftt >}j^. (С) (>) ' Так как rot' (Н 1F] = Х1™1 И - [«• й™-1' (»] • 135
то = J {(n, rotH)-g--(n, [н, grad'(^)])} dF. &) (F) В соответствии с первым уравнением Максвелла заменим в этом урав- нении rot Н на /соеЕи согласно правилу замены при смешанном произве- дении запишем: (л, [н, grad- (»])-([". Hl, grad- (») . Таким образом, мы получаем ^>^т(Н. T)ds= J р©е(п, E)^--([n, Н], grad' (-gr))JdF. (С) {F) Проделав аналогичные операции над двумя другими интегралами и произведя сложение, получаем окончательно (Н. т) grad'% ds = J jws(n, E)grad'xdf— (С) (F) J ([П, H], grad') grad' %dF. IF) Разрешим это уравнение относительно второго интеграла по поверх- ности и результат подставим в (4.17); в итоге получим следующее соотно- шение: rot rot А =-4^- [ {йаХ[п, Н]-f-/ше (n, E)grad'x)df — (F) ~4г|<Н’ т) grad'% ds. (4. 18) Из (4.16) и (4.18) вытекает совпадение первого и второго представлений поля, т. е. выражений (4.12) и (4.13). Для доказательства совпадения представлений б) и в) преобразуем поверхностный интеграл в (4.13). Прежде всего справедливо /<врх[п, Н] = —x[n, rot'Е) и —[[«, Е], grad'x] = (E, grad'x)n —(п, grad' х) Е. Тем самым ~тН (F) где Л =----4^г f rot'E]4-(E, grad'x)n —(n, E)grad'x + (F) + xn div' E — x (n, grad') E} dF и 4 = J H(n, grad'x)E — xndiv'E-H %(n, grad')E)df. (F) 136
При этом в первом интеграле оба последних члена добавлялись, а во втором вычитались. Для вычисления первого интеграла используем сле- дующие уравнения, которые получаются из векторных формул, указанных в приложении: (п, grad') (Xе) = grad')E + (n, grad' х)Е; [п, rot'(хЕ)1 = [n, xrot'E — [Е, grad'хП = Xln- rot'E] — — (n, grad' %) Е + (п, Е) grad' %; ndiv' (хЕ) = 4-n(E, grad'х) + пх div'Е. Тем самым после применения других векторных тождеств подынте- гральное выражение в /х принимает следующий вид: {. ..} = — (п, grad')(xE) — [п, rot' (хЕ)] т л, div' (хЕ) = = —V(xE- nJ + n(V, Xе) =-“[[n, V] Xе!-1 Если теперь применить к формулу Стокса в векторной форме, то 4 = -й- J Пп, V!, IE. rjzds. (Г) <с> Следовательно, равен первому криволинейному интегралу в выра- жении (4.14) Если далее подставить в Za (n, grad'x) = -Jb (n, grad') Б = ~ и считать поверхность F свободной от зарядов, так что div Е = 0, то 12 становится равным поверхностному интегралу в (4.14). Тем самым дока- зано совпадение второго и третьего представлений — выражений (4.13) и (4.14). При решении задач об излучении в случае поверхностных антенн часто применяют представления б) и в) без криволинейных интегралов. Обсуждение этих и других известных приближенных формул, а также их сравнение в отношении степени приближения к результатам экспери- мента содержатся в работе [4.47]. В основу наших исследований положим первое представление, т. е. представление с помощью векторного потен- циала. В этом случае, кроме погрешностей, уже содержащихся в приня- том распределении источников, никакие другие погрешности не возни- кают. 4.2. Приближенные методы расчета поверхностных антенн 4.2.1. Общие замечании относительно применяемых приближенных методов Очень многие антенны СВЧ можно рассматривать как поверхностные излучатели, т. е. их поле излучения рассчитывается по распределению тока или поля на поверхности, лежащей в ближнем поле антенны. При- мерами таких антенн являются рупорный излучатель, зеркальные и линзовые антенны. 1 Индекс при пе указывает, что при применении оператора V (дифференцирование) п следует считать постоянным. 137
на рис. 4.с помощью л рупорному женнои дится с мере — ленным состоит теперь в Для расчета излучения поверхностных антенн прежде всего должны быть заданы определяемые питанием или конструкцией антенны первич- ные источники, по которым рассчитываются вторичные источники и поле излучения. Питание, как правило, осуществляется таким образом, чтобы можно было достаточно точно указать путь распространения электромагнитной энергии через линию питания и собственно антенну в пространство излу- чения. Если мы применим наши рассуждения к зеркальной антенне, изобра- то увидим, что (в режиме излучения) энергия подво- нии питания к первичному излучателю (в нашем при- злучателю), отражается далее от зеркала и с опреде- [ием попадает в окружающее пространство. Задача чтобы по известному распределению тока или поля в «поперечном сечении» этого пути распространения (от источника энергии до дальнего поля) опреде- лить характеристику излучения или, соответствен- но, общее поле излучения. Различные приближен- ные методы расчета поверхностных антенн отличаются в основном выбором этого поперечногосечения. Рас- пределение поля в самом поперечном сечении, т. е. распределение первичных источников, должно быть известно с достаточной точностью. Оно определяется либо экспериментально, либо на основании прос- тых теоретических соображений (например, рас- пределение поля в поперечном сечении волновода), либо, наконец, приближенно вычисляется при известных упрощающих предположениях (бази- рующихся обычно на принципах геометрической оптики). Взяв в качестве примера зеркальную антенну, рассмотрим возможные способы расчета поля, на которых основываются обычные приближенные ме- тоды, а) Распределение поля в поперечном сечении волновода, питающего рупор, на достаточном рас- стоянии от его горловины (поперечное сечение 4) может считаться извест- ным абсолютно точно (распределение поля при известном типе волны; измерение коэффициента отражения). Предположив, что стенки рупора и зеркала обладают идеальной про- водимостью, принципиально возможно рассчитать излучение исходя из распределения поля в поперечном сечении А Однако эта задача настолько сложна, что на практике не находит себе применения. б) Распределение поля в апертуре рупорного облучателя (поперечное сечение В), как правило, может быть задано с относительно высокой точ- ностью, однако даже если взять за основу это распределение первичных источников, расчет все еще слишком сложен. в) За основу берется поперечное сечение С (рис. 4 3), т. е. считается известным распределение тока на зеркале. По этому распределению тока с помощью указанных в разделе 4.1.3 формул может быть рассчитано поле излучения, если пренебречь искаже- нием поля первичным излучателем и другими элементами конструкции, расположенными перед апертурой антенны. Этот часто применяемый метод расчета называется методом расчета по распределению тока. При этом распределение тока на зеркале рассчитывается приближенно по законам 138 В С Схематичное зер- Рис. 4.3. представление кальной антенны для объяснения различных приближенных мето- дов расчета поверхно- стных антенн
геометрической оптики. В основе метода лежат, в частности, следующие упрощающие допущения, которые всегда должны выполняться с доста- точной .степенью точности: 1) первичный излучатель является точечным, если (как в нашем при- мере) такую идеализацию допускает конструкция первичного источника (для линейных первичных излучателей справедливо соответственно изме- ненное допущение), 2) первичное излучение, падающее на зеркало из центра излучателя под различными углами, соответствует значениям напряженности поля в дальнем поле облучателя, измеренным под соответствующими углами, , т. е , зная характеристику излучения облучателя, можно рассчитать токи на зеркале, 3) ток в любой точке зеркала равен току, который возбуждался бы в этой точке первичным излучением на идеально проводящей плоскости, совпа- дающей с касательной, если первичное излучение в этом месте представ- ляет собой плоскую волну; 4) на обратной (теневой) стороне зеркала токи не возбуждаются. Метод, использующий распределение тока, дает результаты тем точнее, чем меньше длина волны по сравнению с размерами антенны. г) За основу берется распределение поля в апертуре антенны (попереч- ное сечение D). Под апертурой в случае антенн СВЧ понимают обычно ’ часть поверхности, через которую проходит основная часть излучения. ’ В случае зеркала, представляющего собой параболоид вращения с круго- |вым раскрывом, апертура совпадает с плоскостью, ограниченной раскры- вом зеркала. В общем случае апертура выбирается более или менее про- извольно таким образом, чтобы распределение поля на ней давало воз- можность произвести расчет поля излучения с достаточной степенью точ- 1 ности. Такой метод расчета называют апертурным. При этом поле в апер- туре рассчитывается по законам геометрической оптики, т. е. допущения ; 1 — 4, сделанные при рассмотрении метода, использующего распределе- ние тока, считаются выполненными, а первичное излучение по закону зер- кального отражения транспонируется в апертуру с учетом длин лучей и плотности потока излучения. Расчет поля излучения по полю в апертуре 1 производится с помощью уравнений, приведенных в разделе 4.1.3, д) Простейшая возможность определения поля излучения состоит в расчете с чисто оптической точки зрения, т. е. дальнее поле определяется по закону зеркального отражения. При таком методе, в некоторых слож- ных случаях являющемся единственно возможным и выполнимым с допу- стимыми затратами, поперечное сечение, в котором поле определяется с помощью простых средств без привлечения теории Максвелла, известным образом переносится в дальнее поле. Многие параметры характеристики излучения, например остроту направленности и боковые лепестки, при этом определить не удается. В последующих разделах описываются наиболее употребительные методы расчета 1А101 [А351. 4.2.2. Метод, использующий распределение тока Рассмотрим зеркальную или рефлекторную антенну, не делая ка- ких-либо специальных допущений о форме зеркала и о свойствах пер- вичного излучателя. Пусть первичное излучение, падающее на зеркало, известно достаточно точно. Тогда в соответствии с допущениями можно рассчитать ток в любой точке зеркала, предполагая, что первичное излучение представляет собой плоскую волну, падающую на идеально проводящую плоскость, 139
касательную к данной точке зеркала. Если на зеркале в точке Р' з0 —еди- ничный вектор, совпадающий с направлением падающей волны, ап — нормаль к поверхности зеркала (рис. 4.4), то в соответствии с выводами, сделанными в разделе 4.1.2, поверхностный ток в точке Р' определяется первичным полем “ Ep, Hp с помощью следующего выражения: I/(P,) = 2[n, Нр]=^[п, [s0, ЕД]. (4.19) So Up Вследствие идеальной проводимости поверхност- ный магнитный ток равен нулю. Электрические токи на поверхности зеркала F принимаются за первичные источники, которые, если учесть (4.6) и (4.7), опреде- ляют поле излучения: E ==--------rot rot A; juie H = rot A, (4.20) где Рис. 4*4. К расчету поверхностного тока, создаваемого падающей плоской волной, в точке Р' зеркала. 2^ j Xtn, [s0, Ep]]dF. (fj (4.21) Для характеристики излучения согласно (1.60) справедливо выражение Е0(г) =/го|а[г, [г, Ао]], и>) (4.22) где IF) [п, Нр] dF = J [s0, Ер]] dF. (4.23) EIt (F) 4.2.3. Апертурный метод За апертуру F принимается часть поверхности, через которую прохо- дит основное излучение антенны (рис. 4.5). Пусть поле на апертуре F известно. Как правило, оно рассчитывается методами геометрической, оптики. Для расчета поля излучения используем опять формулы (4.6) и (4.7): Е = —rot F Н------ rot rot А; 1 jcoe г Н - rot А Ц- ——— rot rot F, I W ’ J (4.24) где А = ^г f X[n, Н] dF; (F) f = -1F J XI"’ вы'7- (F) (4.25) Так как поля Е и Н в апертуре встречаются только в векторных про- изведениях с нормалью п, то приходится оперировать с составляющими, расположенными по касательной к апертуре. Если поле в апертуре опре- 140
делается по законам геометрической оптики (чем, как правило, ограничи- вается апертурный метод), то напряженность магнитного поля на поверх- ности связана с напряженностью электрического поля следующим соот- ношением: Н ” я Is- ЕГ- (4.26) здесь s — единичный вектор, совпадающий с направлением распростране- ния излучения, а 2 — сопротивление поля в общем смысле. Однако пред- ставления поля (4.24), (4.25) справедливы и в том случае, когда соотноше- ние (4.26) не может быть использовано. Рис, 4,5 К объясне- нию апертурного ме- тода» Характеристику излучения мы получаем, применяя опять формулу (1.60): где Ео(г) =+ Ао]], Ао= J Н] dF-, IF) Ро = -^- j E\dF. IF) (4.27) (4.28) Применим для г'—г приближение, справедливое для дальнего поля. Аналитически оно получается следующим образом. Выбирается прямо- угольная декартова система координат с началом в точке О на апертуре F или вблизи от нее (рис. 4.6). Так как г — расстояние от точки О до удален- ной точки поля Р (х, у, z), аг' — расстояние от точки интегрирования Р' (х', у', г') на F до Р (х, у, z), то г' — г = У(Х — х')2 + (у — у'У + (? — г")2 — У"ха + уъ + z\ Учитывая лишь первые степени х', у', z', получим г' — г = ур — 2 (хх' + уу' + zz') — г -- — 1 = ~{-^x' + ^ryf +^2'У (4.29) 141
Тогда, введя вектор Q с началом в О и концом в Р' и представив г в виде получим Q -- еХ - ^Уу‘ + e2z' х . у , г Г — + Ьуу + ez” ' (4.30) г' —г = — (Q, r) = —<7(q, г); (4.31) здесь q — единичный вектор, направленный от О к Р', a q — расстояние 0Р‘. Найдем выражения характеристики излучения для некоторых специаль- ных случаев. Положим прежде Рис 4*7. Система координат для представления характеристики из- лучения. всего, что для поля в апертуре справедливо выражение (4.26), т. е. поле в любой точке апертуры F может рассматриваться как плоская волна, и что, кроме того, направ- ление распространения- волн s совпадает с нормалью п к поверхности. Это предпо- ложение означает, что апертура пред- ставляет собой поверхность постоянной фазы проходящей волны. Апертура необя- зательно должна быть плоской. При s = п [п, [s, E]J = [п, [n, Е]] = —Е, так как Е перпендикулярно к п. Тем самым, если подставить ZEAl = Zo, после несложных преобразований для характе- ристики излучения (4.27) с использова- нием (4,28) получаем следующее выра- жение: Е"«-тт[г' I e"*’w,r’ . (F) [п + ~?-г, е] dF (4.32) Если апертура представляет собой часть плоской поверхности, которая совпадает с фазовой поверхностью проходящего излучения, то выраже- ние (4.32) можно упростить. В этом случае п постоянно, так что характе- ристику излучения можно представить в виде ["+4г’ "]]• <4-м> где N = J Еем^4’ r)dF. (4-34) Введем специальную систему координат, Предположив, что плоскость апертуры совпадает с плоскостью ху этой системы. Пусть интегрирование проводится как в декартовых координатах х', у', так и в плоских поляр- ных координатах Q, ф', которые связаны друг с другом следующими соотношениями: х1 = е cosip'; у' ~ q sin ф', (4.35) 142
причем dF = dx'dy' — q dQ dip'. (4.36) Для представления поля используем прежде всего системы коорди- нат г, О, ip и г, ft) ip) связанные с декартовыми координатами х, у, z сле- дующим образом (рис. 4.7): х — г cos ip sin ft = г sin ip sin ft; у = г sin ip sin О = г cos ft; z = г cos О = г cos ip sin О. (4.37) Тогда — (г' — г) — у (q, г) = (х' cos ip + у' sin ip) sin Ф = = х' sin ip sin ft + у’ cos ft. (4.38) Тем самым для N получаются следующие четыре представления: *2 »2 (х) N = J J Е(х', У)?*<*'СО5ф + у'5!пф,’1п*йх^У; у (/) д2 *2 (*') N = J J Е(х) y')eMM’'s!r*3fnd + “'cos^dx'd/; X ^у'^у’^х) 4>2 01 (^ ) N = J J Е (с, ip')e!k u' с“ф + у'sin ф) sin*pdpdip'; *'=t) e«01 (<) Ч>2 02 (Ч1) _ _ _ N = J J E (q, ip') elk (x'3in *!ln ° + cos *’ q dQ dqr. 4>' =4>! О=(Ц (ii> ) }. (4.39) Профиль апертуры определяется в декартовых координатах уравне- ниями у' — у[ (х') и у' = у'2 {х) в пределах от х, до х2, а в полярных координатах — уравнениями 0 = (h (Ф') и Q = (?я (ip') в пределах от ipj до ipj" Если поля Е и N в апертуре разложить по декартовым координатам Е = ехЕх 4- еуЕу, N = + (4.40) и подставить в (4.33) г = е, cos ip sin # + es sin ip sin 0 + ег cos ft, то для характеристики излучения в координатах ft, ip получается выраже- ние Ео(г) = (е*Ео* + еи>£оч>}> (4'40 143
где Ew = — + JV^) (1 + ~ c#) ; 1 4 f (4.42) £(r$ = (^xsih— (^co H; j при этом для сокращения введены обозначения cos & ~ sin -ft = s#; cos ф = sin ф = s^. При различных значениях угла ф получаются самые различные диа- граммы излучения. Если, например, подставить в (4. 42) в качестве ф постоянное значение, то получаются диаграммы излучения в соответствую- щей плоскости, зависящие от О (—п/2 S •& Sn/2). Ео$ является состав- ляющей, поляризованной в указанной плоскости, а Ео^ — составляющей, поляризованной перпендикулярно к этой плоскости. Если считать плоскость ф = 0 горизонтальной, а плоскость ф = п/2 вертикальной, то получаем: для диаграммы в горизонтальной плоскости горизонтально поляризо- ванной составляющей [Еи]ф-о = -Л^0> (1 Ч- COS *) ; (4.43) для диаграммы в горизонтальной плоскости вертикально поляризован ной составляющей [£0ф]ф=0 = (4- + cos «); (4.44) для диаграммы в вертикальной плоскости горизонтально поляризован- ной составляющей + cos ; (4 45) для диаграммы в вертикальной плоскости вертикально поляризованной составляющей 0 + 4^). <4'45а> При этом х2 (*') №’ = J Е^!кх'sIn » dF = J eikx'sin # j Ех (х', у') dy' dx'; N^m = J Ехе^'sln *dF = J eiky'sin * J Ex (xr, y') dx' dy'. у x'=x'i(.y) В выражениях для и Л^2) под знаком интеграла Ех необходимо заменить на £у. Если ввести координаты й1, ф, то после преобразования получаем следующие выражения для характеристики излучения: Ео W !е^о5 + , <4-47> 144
где / Z X (4.48) ~ "Nx (% + “J-) - ‘ ^ys^c5- j В выражениях (4. 48) приняты следующие обозначения: cs = cos fl; = sin fl; c-г = cos ф; s-7 = sin ф. V '17 ф T Ip T Задаваясь разными значениями угла, получаем различные диаграммы излучения. Выражения (4.43)—(4.48) являются точными для характеристики излу- чения раскрыва F в плоском полностью поглощающем экране. При этом апертура F возбуждается перпендикулярно падающей плоской волной. Если поляризация поля в апертуре F постоянна, то в выражении (4.34) Е может быть представлено в виде Е = Е (Р') = | Е (Р') | Р = А (Р') Р, (4.49) где Р — постоянный вектор поляризации. При постоянстве поляризации синфазного поля, проходящего через плоскую апертуру, характеристика излучения в соответствии с выводами раздела 1.3,2 может быть представ- лена в виде произведения одиночной и групповой характеристик: Е0(г) = Е(‘)(т)Е(в)(г). (4.50) При этом одиночная характеристика описывается выражением ЕПг) = ^г[г- + Р]] , (4.51) а групповая характеристика Мв’= j Д (P')e-M(r'-r)tiP, (4.52) (Г) где A (/*') вещественно [см., однако, замечание в конце этого раздела и уравнение (4.60)]. В соответствии с формулами (4.41) и (4.47) одиночную характеристику можно выразить в координатах О, ф или О, ф. При этом, если вектор поляризации записывается в виде Р = ехРх + еуРу, (4.53) то Nx необходимо заменить на Рх, a N у на Ру- В координатах fl, ф для одиночной характеристики справедливо сле- дующее выражение: № (г) = (4.54) где 0,-+4ч,- ] , 7 (4.55) С помощью этого представления можно легко оценить степень отличия поляризации в дальнем поле от существующей ’В апертуре постоянной поляризации. При этом целесообразно, учитывая особенности системы Ю Заказ № 1596 145
координат, составляющую £0^ в дальней зоне поставить в соответствие с составляющей Ех в апертуре, а составляющую Е^ — с составляю- щей Еу. Как следует из формул (4.55), соотношения ----(4 56) имеют место лишь при & = л/2, ф = 0, т. е., вообще говоря, излучение поляризовано только в направлении, перпендикулярном к F. Однако в случае Z == Zo, представляющем значительный интерес, соотношения (4.56) выполняются для обеих главных плоскостей й1 = л/2 и ф = О си- стемы координат, взятой за основу Поскольку последнее имеет место и в том случае, когда апертура вместе со своим распределением поля про- извольно вращается вокруг оси z, из этого следует, что поляризация в лю- бой плоскости, проходящей через ось а, остается неизменной, если систему координат выбирать соответствующим образом, а сохранение поляризации понимать в указанном выше смысле. В заключение рассмотрим случай плоской апертуры, когда фаза воз- буждающего поля не обязательно постоянна. К этому случаю можно прийти, рассматривая выражения (4.27) и (4.28). Предположим, что апертура опять расположена в плоскости ху, что позволяет принять п = ег. Пусть, далее, напряженность электрического поля в апертуре пред- ставляется выражением Е Е/*, причем зависимость амплитуды и поляризации от координат точки выра- жается уравнением Ет = Ei (х', у'}, а фазовая зависимость — уравне- нием ср = <р (х', у'). Если s, как и раньше, представляет единичный вектор, совпадающий с направлением излучения, проходящего через апертуру, то справедливо выражение s =----grad ср. (4.57) Характеристику излучения можно получить из (4.27) и (4.28), исполь- зуя (4.26), в следующем виде. ег, lk <г ° Is, Е] dF . (F) J. (4.58) Если в (4.58) положить s = ег (плоская волна в направлении г) и вместе с тем не учитывать взаимосвязи между направлением распростра- нения и изменением фазы вдоль апертуры [формула (4.57)), то Ео (г) == Г г, 4 Г г, - j E(re~>k dF ег, [ Ee~lk<,t'~r} dF]~ = (F) J _ e2 + r^> J E£re~jk (r‘~r) dF {F) (4.59) 146
Поле Efr в апертуре теперь имеет постоянную поляризацию с ампли- тудой А (Р'), которая, вообще говоря, комплексна: Etr = А (Р') Р. (4.60) В этом случае характеристику излучения можно разложить на оди- ночную и групповую, в результате чего получаются выражения (4 50)— (4.52). Это справедливо в указанном смысле (без учета зависимости между направлением распространения возбуждающей волны и изменением фазы в апертуре), а следовательно и для несинфазного возбуждения, если пред- полагать поляризацию постоянной. 4.2.4. Метод геометрической оптики В методе геометрической оптики рассматриваются траектории лучей распространения электромагнитной энергии. При этом теряются многие особенности распределения излучения (главным образом у антенн, кото- рые фокусируют в одном направлении). Применение этого метода целесо- образно лишь в том случае, если размеры антенны велики по сравнению с длиной волны, а ее диаграмма излучения имеет специальный вид, отлич- ный от простой диаграммы, характерной для направленных антенн. Этот метод не следует применять для антенн, излучение которых может быть определено по распределению поля на плоской апертуре с синфазным рас- пределением. В этом случае все лучи параллельны, так что характеристика излучения, определенная методом геометрической оптики, оказывается отличной от нуля только в этом направлении. При применении метода геометрической оптики первичный источник обычно предполагается идеально точечным или линейным, а при необхо- димости идеализируется иным образом. Ход лучей от первичного источника, отражение от идеально проводя- щей поверхности или преломление в среде, обладающей малыми потерями, рассматриваются согласно принципам геометрической оптики, иными сло- вами, в случае отражения предполагается, что оно происходит таким образом, как если бы плоская волна отражалась от идеально проводящей плоскости, касательной к отражающей поверхности в соответствующей точке (справедливость закона зеркального отражения). В случае преломле- ния предполагается справедливость закона преломления, который строго выполняется для плоской электромагнитной волны при ее падении на гра- ницу раздела двух сред, не имеющих потерь. Если поверхности постоянной фазы заданы уравнением <p (х, yr z) = = const, то согласно (4.57) вектор излучения определяется Выражением s =----^gradcp, (4.61) где п = 1 \у.г. После скалярного умножения на s получаем дифференциальное урав- нение волновых поверхностей teradtf _ (£)'+ (*)+ (*)’ = е _ &f. (4.62> В однородной среде лучи представляют собой прямые линии. 10* 147
Что касается свойств лучей в неоднородной среде, то, предполагая изменение коэффициента преломления на расстоянии порядка длины волны незначительным, можно считать, что уравнение (4.61) выполняется, причем теперь k = kon зависит от координат точки. Если ds — элемент траектории луча, то = (s, grad) s - — Is, rot s]. (4.63) Для определения кривизны луча применяем понятие о радиусе кри- визны г, в соприкасающейся плоскости. На рис. 4.8 rs = ZQi = ZQ2, где и — смежные точки на криво- линейном луче. Единичный вектор, совпадающий с направлением от точки Qi к центру кривизны Z, обозначим через rs. Согласно рис. 4.8 Рис. 4.8. К выводу степени искри- вления траектории лучей при рас- пространении в неоднородной среде. SiSa QiJ? QiQt~ QiZ ’ Так как векторы г, и ds в предельном случае при <?2 Qi параллельны, выпол- няется равенство Если подставить сюда из уравне- ния (4.63) и умножить обе части скалярно на rs, то получим (после использования коммутативного закона смешанного про- изведения) у- = — (to- «trots). г S Теперь rot s = — rot f -у-grad (p) = — fgradf-L^, gradcp = k [grad(-p), s] , так что получаем = — k ([rs, s], [grad (-J-), s] ) = — k (rs, grad (4")) • При этом было использовано векторное тождество ([А, В], [С, £>]) = (А, С) (В, D) - (A, D) (В, С) с учетом, что векторы rs и s перпендикулярны друг другу, а следователь но, (r£, s) равно нулю. Принимая во внимание, что grad = --Т grad (1п й) = -- 4- Srad (ln ko -4- In п) = = — 7Tgrad окончательно получим “ = <г*> Srad ОМ)- (4.65) 1 э 148
Поскольку rs положительно, то это же справедливо и для:тжаляр- ного произведения, т. е. проекция grad (inn) на радиус кривизны'поло- жительна (в направлении к центру кривизны). Следовательно, коэффициент преломления увеличивается в направлении г, или, иначе говоря, лучи искривляются в направлении возрастания показателя преломления. Сведения о плотности потока излучения или, соответственно, о напря- женности поля вдоль луча можно получить, если рассматривать трубку переменного сечения, ограниченную соседними лучами (представление потока энергии по аналогии с гидродинамикой). Так как мощность излу- чения в любом поперечном сечении одинакова, то плотности излучения Sx иЗгв поперечных сечениях dFx и dFa (рис. 4.9) обратно пропорциональны соответствующим площадям поперечных сечений: S^Ft. = SadF2. (4.66) В это выражение, поль- зуясь уравнением * ^ev)iv & ' Pv можно ввести значения на- пряженности электрического поля. В том случае, если р не зависит от места, то Zei»i _ «а ZejHj Bl ’ Рис. 4.9. К объяснению изменения плотности по- тока излучения вдоль луча. в результате чего выражение (4.66) принимает вид «х | Ех |а dFx = п21 Еа |2 dFs. Для однородной среды справедливо равенство JEX JMFj = |E3|4F2. (4.67) (4.68) В этом случае лучи представляют собой прямые линии, и это дает воз- можность вывести простое соотношение между поперечными сечениями или, соответственно, напряженностями поля. Пусть dFx — бесконечно малое поперечное сечение на фазовой поверхности <Рх. Из дифференциаль- ной геометрии известно, что любая поверхность в окрестности регулярной точки Q в первом приближении ведет себя как поверхность второго по- рядка в ее вершине, т. е. при надлежащем выборе декартовой прямоуголь- ной системы координат £, т), £ с началом в точке Q и направлением нор- мали Е, разложение элемента поверхности в окрестности точки Q в ряд Тейлора имеет вид (2ci 2qs Здесь (?х и р2 являются главными радиусами кривизны поверхности в точке Q. Если оба радиуса положительны, то в обеих плоскостях сим- метрии они идентичны радиусам кривизны соприкасающегося в точке Q элли псоида. Рассмотрим вторую фазовую поверхность, расположенную на расстоя- нии г от первой, с поперечным,сечением dFв, соответствующим dFx. Как видно из рис. 4,9, для двух соответствующих линейных размеров 1г на dFx и /2 на dF2 в плоскости, определяемой и точкой Q, выполняется следующая пропорция: к = + г 4 Qi 149
Соответствующее соотношение для линейных размеров имеет место и в другой плоскости кривизны. Можно показать, что отношение площадей поперечных сечений равно произведению обоих отношений: jp _ (&l 4~ 0 (&s + r) J-C Если подставить это выражение в (4.68), то получим Если один из радиусов главной кривизны, например р3, бесконечен, т. е. лучи в этой плоскости сфокусированы, то справедливо выражение 1МЯ = етТ7^12’ а при г > pi 1 Еа |* = ^-|EJ2 (4.71) Если 0J и 02 конечны, то для дальнего поля (г > сц, г > Q2) справед- ливо уравнение IEJ3 =^|Е1[2. (4.72) 4.2.5. Принцип стационарной фазы Формула (4.32) описывает характеристику излучения и тем самым поле в области излучения синфазно возбуждаемой, но не обязательно плоской апертуры. Если разложить выражение для характеристики излучения на составляющие в заданной системе координат, то они для любого выбран- ного направления г в основном определяются интегралами вида / (£) = J А (Pf) e~lkr'dF; (4.73) (Я) А (Р1) означает амплитуду волны или, соответственно, составляющую поля в точке Р' на поверхности, k = 2л/X — волновое число, аг' — рас- стояние от Р' до точки Р, в которой определяется поле (рис. 4,10). В скалярном представлении формула (4.73) является математическим выражением принципа Гюйгенса, согласно которому каждую точку волно- вого фронта можно рассматривать как элементарный излучатель, а поле в точке Р представляет собой сумму сферических волн, создаваемых этими элементарными излучателями.-Ограничимся случаем, когда поверхность F или, соответственно, волновой фронт, как показано на рис. 4.10, искрив- лен и обращен выпуклостью в направлении распространения. Тогда, по- скольку X г', показатель степени kr’ в (4.73) меняется с изменением Р' очень быстро; исключение составляет лишь непосредственная окрестность точки Pq, где г' достигает минимума или, как принято говорить, где фаза стационарна. Амплитуда А (Р') при изменении Р', напротив, изменяется относительно медленно. Так как вещественная и мнимая части показатель- ной функции e~lkr' = cos (kr ) — } sin (kr ) при X C г' с изменением г' очень быстро осциллируют, в то время как амплитуда в течение периода осцилляции остается практически постоян- 150
Рис. 4.10 К обоснованию принципа ста- ционарной фазы. ной, вклады от смежных участков интегрирования практически взаимно уничтожаются, за исключением вклада, вносимого в непосредственной бли- зости от Ро. Это выполняется тем точнее, чем меньше X. Таким образом, из принципа Гюйгенса, описываемого уравнением (4.73), для пренебрежимо малых длин волн можно точно вывести выражение (4.69) или (4 72) (см. [А 35, стр 122]). Метод, при котором для длин волн, стремящихся к нулю, напряженность поля в точке Р определяется лишь напряжен- ностью Поля в непосредственной окрестности точки Р', называется прин- ципом стационарной фазы. Принцип стационарной фазы можно рас- сматривать как связующее звено между апертурным методом и методом геометрической оптики Точное обоснование метода стационарной фазы мы приведем лишь для одномерного случая Для этого рассмотрим обобщенный интеграл Р (0) == J (4.74) П1 (обозначения аналогичны общепри- нятым в литературе). Пусть f (т|) соответствует ампли- тудному распределению поля вдоль волнового фронта и согласно предпо- ложению изменяется медленно. Пусть, кроме того, волновой фронт обращен выпуклостью по направлению распро- странения, и точка Р'о, в которой фаза стационарна, соответствует зна- чению т) = h (iq) h (т]в) для 7] =/= T|o, h' (Т|) = 0 только для т^ ц0. В нашем обозначении 0 равно вол- новому числу k ~ 2л/X. Необходимо вывести асимптотическое выражение для F (0) При 0 ->оо, т. е. с физической точки зрения получить значение поля в точке Р при пренебрежимо малых значениях длины волны. Для решения этой задачи введем t = + УйТпЬ^Г(п7), (4 75) причем знак минус справедлив для р < iq0, а знак плюс — для т] > ц0. Тогда (4.74) перепишется в виде F ф) <Tlt’ j ф (0 di, (4.76) ii где ti,2 = - У* Ob 2) ~ MV , В (4.76) 0 входит в явном виде, т е. существующие величины и функции не охватываются предельным переходом, который должен быть проведен. Из (4.75) следует: tfi _ h' (гр Л] “ 2/ 151
и далее Г£1 .limOklim -4^ Г£1 . L □ f=0 f —>0 I J f->0 * • / 2 [_ dt J f=G Следовательно, Г*Ц = V 2 L dt Jt=o V Л"(т)0) и ф(о) = Ж)]/^ (4-78) Согласно этому функция <р (t) при t = 0 регулярна [предполагается, что Л" (»]0) 0] и может быть разложена в этой точке в ряд Тейлора: <р(°’ (0) = Ф(0); Ф{1) (0) = [ф ^)]<=о; • Тем самым получаем следующее выражение для F ф): F ф) = е-*А (ад У-^ У 4г1 (4.79) v=D где 7V = У-^-pe-^’dt (4.80) Интегрированием по частям получаем следующую рекуррентную фор мулу. А’+5 FW 2 h >+^T/v <v=0)' Далее справедливо /о = с(/г + 1 /2л|3 -J Stl e i здесь Си S — интегралы Френеля (например, [В 3, стр. 35]). Это представление 7V показывает, что любое /v для v 1 при неог- раниченном возрастании |5 стремится к нулю как UFP, в то время как !7о V = 1 + J, (4.81) так как С (оо) = S (оо) = 1/г. Следовательно, асимптотический вид урав- нения (4. 79) при неограниченном возрастании р можно получить, учиты- вая в сумме лишь член с v = 0. J52
С помощью формул (4.78) и (4.81) находим f (₽) = (1 (4-82) Тем самым получено искомое выражение. Интеграл в (4.74) в предпо- ложении, что ₽ > 1, оказался представленным через значения функ- ций f (т|) и h (т)), а также вторую производную функции h (т|) в точке т]0, где фаза стационарна. 4.3. Лоле в апертуре и поле излучения 4.8.1. Усиление новерхностной антенны Для вывода общих закономерностей, характеризующих процесс излу- чения поверхностных антенн (за исключением антенн специальной формы), необходимо принять за основу модель, удовлетворяющую всем поверхност- ным антеннам и содержащую отличительные признаки, определяющие распределение излучения. В качестве такой модели предлагается апертура, возбуждаемая электромагнитным полем. В дальнейшем мы будем (за не- многими исключениями) представлять антенну плоской апертурой и именно так рассматривать все поверхностные антенны, имея в виду те антенны, свойства излучения которых могут быть описаны с помощью распределе- ния поля на плоской части поверхности. Прежде всего выведем формулы для усиления поверхностной антенны при различных специальных допущениях. Если Ps — полная мощность, излучаемая антенной, и Р (г) — интенсивность излучения в направле- нии г, то, как известно, усиление антенны в направлении г выражается формулой б = 4л-^-, (4.83) причем Р (г) с помощью формулы pw = w|E°(r)|2 <4-84* можно свести к характеристике излучения. В то время как в разделе 1.5 2 мы определяли мощность излучения Ps интегрированием по бесконечно удаленной сфере, здесь мы рассматриваем Ps как полный поток мощности через апертуру, т. е. интегрируем нормальную составляющую вектора Пойнтинга по апертуре F: Л = f (S, и) dF = J | Е |а (s, n) dF- (4.85) (F) (F) здесь s — опять вектор, совпадающий с направлением излучения [см, фор- мулу (4.61)], и Z — волновое сопротивление в общем смысле, т. е. отно- шение значений напряженностей электрического и магнитного полей. Для характеристики излучения справедливо выражение (4.27) с учетом (4.28). Если апертура совпадает с поверхностью равных фаз проходящей волны, т. е. имеет место равенство s = п, то, применяя (4.32), для харак- теристики излучения получаем J [.+Аг,Е]]^|г 153
При этом апертура F не обязательно должна быть плоской. В случае плоской апертуры, о которой пойдет речь в дальнейшем, можно было бы считать п = е2, т. е, что апертура расположена в плоскости ху. Определим усиление в на- правлении, перпендикулярном к апертуре, т. е полагаем также г-е2. Для характеристики излучения при замене г на ег справедлива фор- мула (4.59). Далее (если принять за основу, например, систему коорди- нат г, Ф, ф) согласно выражению (4.38) г' — г = О, так как направление ег определяется значением # = 0. Таким образом, экспоненциальная функция под интегралом становится равной единице. Так как [ег, [ег, А]] = (ег, А) ег — А = —А ф- егАг = — Atr, (4.87) то выражение (4.59) упрощается следующим образом: (ег) = <- J {Е„ - А- [ег, Is, E]]l dF. (4.88) (F) J В дальнейшем мы полагаем, что вдоль апертуры фаза изменяется не- значительно или, соответственно, что у вектора излучения 1 1 1 I д<р . дф . д<р 1 s - ~grad*р = + Л / = = ехея ф- ф- e7s7 составляющие по осям х и у по абсолютной величине значительно меньше единицы: М-ф|-ф|«1; 1%1 = ф|^|«>- Так как вектор напряженности электрического поля перпендикуля- рен s, то равным образом справедливо |£г|«|Е„|. Будем учитывать малые величины, степень которых не превышает второй. При этом условии 1 /' 7" 2 Д' 1 + еу 5г =- У 1 — е.х — = 1 — 2 • Далее, если пренебречь всеми произведениями, содержащими три или более малых множителя, получаем [е2, [s, Е]] = — згЕ„ + £Аг> где Eir = Е — e7f.; str = s — ezs2. Тем самым для Е() (еф получаем приближение второго порядка: Е0(е7)=.А- f {(1+-^5г)Е/г-А£А IdF (4.89) (F) 1 154
Второй член под знаком интеграла можно рассматривать в качестве поправочного. Для усиления антенны получается следующее выражение: Если учитывать только первые степени малых величин, то можно по- ложить = 1 и = 0, в результате чего для усиления в качестве приближения первого порядка получаем I f EtrdF? G=4г 4- (1+4-У L • <4-91) х Zo ' Z ' \ |E^F (>) Так как | Е |а = | Е,г - ег£г[а = I |Ч | Ег |* - I Е„ |\ то, если пренебречь квадратом малой величины |Е'г| в соответствии с по- ложенной в основу степенью приближения, также справедливо _____л Z /. । Zg V “ J,! Zg \ 1 Z ) (Е) <F} В частности, если Z = Zo, то G th |Etr|s<if (F) (4.92) (4.93) Аналогичное выражение получаем в случае синфазного распределения в апертуре; при этом точно выполняется равенство Е = Е/г Для оценки величины усиления при синфазном распределении исполь- зуем неравенство Шварца: J EdfI E|2dF. (/) (И Эта векторная форма не очень употребительна, однако она легко может быть получена из скалярной, которая хорошо известна. Если подставить F из неравенства Шварца в (4.93), то усиление (4.94) Поскольку g=4^x- <4-95> (см. раздел 1.5.6), то выражение (4.94) равносильно соотношению Л.5Л (4.96) 155
т. е. при синфазном распределении (и Z = Zo) действующая площадь всегда меньше или равна геометрической поверхности апертуры. При этом знак равенства имеет место только в том случае (в чем легко убедиться), если напряженность электрического поля в апертуре постоянна, т. е. наряду с фазами равны также амплитуды и векторы поляризации. Следовательно, из всех синфазных распределений данной апертуры к максимальному уси- лению приводит распределение с постоянной амплитудой и поляризацией. В этом случае говорят об однородном распределении. Величина q = (4.97) называется коэффициентом использования площади. Если возбуждение апертуры не предполагается синфазным, то неравен- ство (4.94) или, соответственно, (4.96) уже не выполняется. В этом случае могут иметь место такие распределения в апертуре, при которых (по мень- шей мере теоретически) усиление значительно больше, чем усиление при однородном распределении Антенны с таким «сверхусилением» из-за их значительных недостатков (низкий к. п. д., высокая чувствительность к ме- ханическим и электрическим погрешностям, малая полоса пропускания), как дальше будет показано (см. раздел 4.3.7), практически не применяются. Выведенные уравнения справедливы при оценке усиления излучения при условии, что за мощность излучения принята мощность, проходя- щая через апертуру. В некоторых типах антенн, прежде всего зеркальных, через апертуру проходит не все первичное излучение, вследствие чего усиление их меньше тех значений, которые получаются при пользовании приведенными формулами. 4.8.2. Формулировка вааимосвнзн между полем а апертуре: и полем иолучения в качестве скалярной и линейной задач» В случае плоской синфазно возбуждаемой апертуры диаграммы излу- чения составляющих с горизонтальной и вертикальной поляризацией в главных плоскостях определяются выражениями (4.43)—(4.46). Следо- вательно, угловая зависимость (до множителя 1 -j- cos О в случае Z == Zo) выражается интегралом вида (4.46) При постоянной поляризации в син- фазно возбуждаемой апертуре угловая зависимость характеристики излу- чения в основном определяется групповой характеристикой (4.52), а сле- довательно, и интегралом того же вида по F. Подобное представление по- лучается также из групповой характеристики (3. 17) группы линейно рас- положенных излучателей с одинаковым расстоянием между элементами, когда при сохранении общей длины системы число излучателей неогра- ниченно растет и тем самым расстояние между элементами стремится к нулю. Если ввести обозначения d = Дх, (р — 1) d = хц, (т — 1) d = = *т = Л = £ (хд) Ах, то получаем следующее представление: = lim V Е(хр)ЛМп*Дх = С Е (х) sln * dx. (4.98) При этом функция Е (х) может пониматься как функция распределе- ния электрических токов вдоль оси х для OSxs/. Формула (4.98) выражает также распределение излучения электрического линейного источ- ника в любой плоскости, проходящей через этот источник. О — угол между перпендикуляром к линейному источнику в плоскости измерения и напра- влением луча (рис. 4.11, в). На основании этого при общем анализе взаимосвязи между полем в апертуре и полем излучения или, соответственно, диаграммой излучения 156
можно ограничиться исследованием интеграла указанного вида в одной плоскости. Учитывая приведенные выше соображения, можно сказать, что подобное представление приближенно справедливо и для апертур с неравномерным фазовым распределением. Оно выполняется строго в тех случаях, когда возможно разделение на одиночную и групповую харак- теристики согласно (4.50). Поверхностный интеграл, описывающий процесс при поверхностном возбуждении, целесообразно свести к линейному интегралу со скалярным подынтегральным выражением. Для этого поступим следующим образом. Пусть апертура расположена в плоскости ху. Рассмотрим диаграмму излу- чения в плоскостиф = 0 (плоскость xz) и положим, что возможно разделе- ние ее на одиночную и групповую характеристики. Тогда для групповой Рис. 4.11. а —сведение поверхностного возбуждения к линейному источнику, б — пояснение преобразования (4 102); а — эквивалентный линейный источник и угол излучения *&. Теперь представим себе, что апертура разбита на полосы бесконечно малой ширины, параллельные оси у, и все возбуждение в каждой полосе сконцентрировано на осн х. Таким образом, в качестве эквивалента мы получаем линейный источник, расположенный вдоль оси х, который в плоскости xz приводит к такой же диаграмме, как и первоначальное по- верхностное возбуждение. В частности, если апертура является односвяз- ной областью и выполнена так, что ее контур может быть представлен ку- сочно бесконечно дифференцируемыми верхней и нижней граничными кри- выми (рис. 4. 11, а) у' = у{(х") МёхЧхг); У' = yi(x') (х^х ^х2), то для эквивалентного распределения по оси х справедливо у'ъ (х) Цх') = j Е (х', y')dyr. (/) (4 100) 157
Тем самым групповая характеристика (4.99) принимает вид £^(«)= J {(x'je^’^dx. (4,101) xi Выражение (4.101) является представлением диаграммы излучения ли- нейным интегралом, которое в случаях, допускающих разделение на оди- ночную и групповую характеристики, по существу определяет зависимость напряженности поля в области излучения от направления луча. Это пред- ставление скалярно. Поляризация излучения определяется одиночной характеристикой. Наряду с линейным источником, расположенным на оси х между и Хз, который обладает в любой плоскости, проходящей через ось х, такой же диаграммой излучения, как и рассматриваемая апертура в плоскости xz, может также применяться простой поверхностный эквивалентный источ- ник. Если представить себе бесконечную в направлении оси у полосу между Xi и Х2 с таким распределением тока, что плотность тока в направ- лении у постоянна, а в направлении х описывается эквивалентным распре- делением (4.100), то такая полоса создает цилиндрическую пространствен- ную характеристику излучения, у которой любое сечение, параллельное плоскости хг, тоже описывается выражением (4. 101). & представляет в этом случае угол в системе цилиндрических координат, ось которой сов- падает с осью у. Для упрощения выражения (4.101), без ограничения общности, можно положить = —a; xj — а. Тогда длина излучателя или, соответственно, протяженность апертуры в направлении оси х делается равной I — 2а. Введем теперь новые пере- менные (рис. 4.11, б) р = = u = ^-sin& (4.102) и положим /(х)=/(р); E^(-^=-Lg{u) (4.103) (0 заменяется на —О, чтобы последующие обозначения совпадали с обще- принятыми в литературе). Тем самым (4.101) принимает вид +i g(u) = f / (р) e_'pw dp. (4.104) Это уравнение является основой для многих теоретических исследова- ний. Функцию f (р) назовем функцией распределения, a g (и) — функцией излучения. Функция g (и) выражается с помощью преобразования Фурье через функцию f (р). И, как это следует из теории интеграла Фурье, на- оборот = f §<u)elp!idu- (4.105) —» 158
Таким образом, функции излучения и распределения связаны между собой преобразованием Фурье. Подобная связь, как известно, существует между частотным спектром к зависимостью сигнала от временя. Однако аналогия эта неполная, так как переменная и согласно (4.102) для абсо- лютных значений, больших л1/X, не имеет физического смысла, поскольку в этих случаях sin 6* становится больше единицы, что соответствует Чисто мнимым значениям Ф. Кроме того, f (р) рассматривается здесь только для | р | 1; при рас- ширении области интегрирования f (р) для jp| > 1 необходимо полагать равной нулю. В дальнейшем нас будет интересовать прежде всего уравнение (4.104), с помощью которого по заданной функции распределения может быть рассчитана функция излучения. Эту задачу называют анализом диаграммы излучения. Из уравнения (4.104) можно получить следующие простые выводы. а) Если f (р) действительна, т. е. распределение синфазно, то справед- ливо 2 V Г I = J /= (р) cos (ра) dp 4- J f (р) sin (ра) dp | . I2 (4.106) Отсюда следует: |g(—«)| = |g(«)l, т. е. диаграмма симметрична (с точностью до фазового множителя, который обычно не представляет интереса). б) Если ((—р) = f (р), т. е. распределение симметрично относительно центра, то у g (и) = 2 J / (р) cos (ри) dp (4.107) —1 Отсюда следует: g (—и) = g («), т. е. диаграмма симметрична. Кроме того, если f (р) действительна, то g (и) также действительна. В этом случае в каждом нулевом значении диаграммы происходит скачок фазы на 180°. t 4.3.3. Поле нелучения для важнейших функций распределения. Синфаено воэвуждаемая прямоугольная апертура В табл. 4.1 представлены наиболее важные параметры излучения для некоторых функций распределения (о величине х' в последнем столбце будет сказано в разделе 4.3.6). При этом речь идет о действительных сим- метричных функциях распределения, соответствующих апертуре, возбу- ждаемой синфазно и симметрично относительно центра. Функции излу- чения рассчитывались по формуле (4.107) (расчет не представляет никаких трудностей и здесь не приводится). Для простейшего распределения, одно- родного, при f (/?) = 1 получается функция e~/pu dp = sp (и) (4.108) 159
Сводка функций излучения и важнейшие данные Функция распределения Функция излучения -/ a i р 1 , « , , sin и ~g (я) =sp (и) -- —~ f (р)=1 - (1 - а> р> -f 0 / 1 Лг -A- g (я) = зр (и) + (1 — 6) -^- sp (и) = , . , „ (2 — и*) sin И — lu cos и = sp («> 4- а - 6) -! '—£г-“ !Xf7Z%7b>?\ f (р) = t 4- (1 - 1) cos (а р) -1 0 / g [и) {21 +-i- (1 - t)|sp (и) 4- + Д^ J^±zU2^P<„ + ™) + V=1 l a cos ti 4-sp (И- vit)} =2t sp (u) + — (1 - f) -J^J- 1 n5- 4-^s. > НР) = = t + (1 — 0 cos" - pj = I 1 + f I — i _ , , ~1 g j = ~2~ +-j—cos (лр) «(«)-(! + /) «Р (н> + Ц^ Up (“ + •”) + 4-sp (M - Л)] - (1 4- i) sp (u) - (1 - t) 1 ( . - \Лт7/%/%^\ f (P) = cos” ( ~ p ] -/ В t ' ! tl I gU}=V-— sp (и) для n = 2m; *п{^-Я V=1 , . 4 ft 1 cos и . , , g (и) = — —— для p = 2m 4-1 it ffl П {<2V + l)-4£4 <m=°’L > v=0 4--a l 1 >%£X 1 1^^Ж| f (p) =* 1 - J -1 В f 1 Коэффициент использования площади относит g(«)=sp- ся к прямоугольной апертуре шириной / и высотой 160
о некоторых специальных функциях распределения Таблица 4.1 Ширине диаграммы Ширина диаграммы Ослабление первого бонового Коэффициент использования плошали 1 Чувствительность к погрешностям « по юловинному по нулевым значениям уровню 20^ 20o лепестка rfn, дб ЛЛ> F 0 0,88?./Z^50,5°WZ 2X/Z ~ 115П/1 13,2 1 1 6 = 1 0.88X/Z £50,5°;.// 6=1' 2?./ZriH5°?./Z 6=1 13,2 6= 1 1 6 = 1 ] 0,8 0,92J,/Z^52.5oX// 0,8 2,12X/Z~ Ш.Б’Л/' 0,8 15,8 0,8 0±994 0d8 1,005 0,5 о,етл//^55,5°х// 0,5 2.28?./Ж 130.5°WZ 0,5 17,1 0,5 0,97 0,5 1,025 0 1,15X/ZSO6”VZ 0 2,86A/Z~164’M 0 20,6 0 0,333 0 1.1 t = 1 0.88?./Z S 50,5°;.// t -= 1 2?.// 115’Z/Z I =1 13,2 ( -1 1 f =1 1 0d8 0,9U/Z^52°?./Z 0,s 2.1VZ~ iao°vz 0,8 14 0,8 0,99 0,8 1,032 0dG 0,94?,/Z^54"Z/Z 0,6 2.22?.//~ 127“?.// 0,6 16 0,6 0т975 0,6 lt09 0,4 t./l £ 57,5’X// 0,4 2.Ж/1 - 137’X/Z 0,4 18,6 0,4 0,95 0,4 1,145 0,2 1,08Л//^62°Х/7 0,2 2.62Z/Zr^l50"WZ 0,2 21,8 0t2 0,915 0,2 1,196 0 0 3X/Z ~172“A/Z 0 23 0 0,81 0 1,25 I = 1 0,88X/Z^50,S°X/Z t = 1 2Vi^H5°VZ t = I 13,2 t = 1 1 t = 1 1 0,8 0,92X/Z^52,5°X/Z 0,8 2.12X/Z iil21,5°x/z 0,8 18,2 0.8 0.99 0,8 1,006 0,6 0,98?.// a 56°X/Z 0,6 2.3X/Z - 132“?,// 0t6 18,7 0,6 0,97 0,6 1,03 0.4 1.16X//^60.5“?./Z 0,4 2,51X/Z ^144^/7 0,4 24,3 0,4 0,94 0,4 1,09 0,2 1,18X/Z^67,5‘,X/Z 0,2 3.36J./Z - |87"X/Z 0,2 30,3 0,2 0,885 0,2 1,23 0 1,45VZ^83"WZ 0 4X/Z^229“X/Z 0 32 0 0,667 0 1,5 n = 0 0,88X/Z^50,5°VZ n = 0 21/7 ~ 115’X/Z Д==0 13,2 1^0 1 д ==0 1 1 1.2X/Z ^68,5“//Z 1 31/Z 172“?.// 1 23 1 0,81 1 1±25 2 l,45X/Zri83%/Z 2 4?./Z 229’1/Z 2 32 2 0,667 2 1,5 ' 3 l,66?,//^9S“//Z 3 51/Z^287“1/Z 3 40 3 0,875 3 1,75 4 i.sax/zsiio.o'vz 4 61/Z s 344’?.// 4 43 4 0,515 4 1,95 1,28X/Z^ 73°X/Z 4X/Z 229’1,// 28,4 0,75 1,136 h ^F/l d которая одноро. ;но возбуждается в вертик альиом сеченн и 11 Заказ № 1596 161
Хотя однородное распределение создает максимальное усиление ан- тенны, на практике оно используется редко. Это объясняется двумя при- чинами. Во-первых, ослабление боковых лепестков на 13,2 дб в большинстве случаев недостаточно. Во-вторых, однородное распределение вряд ли может быть реализо- вано с хорошим к. п. д. Если, например, апертура зеркальной антенны однородно возбуждается первичным излучателем и если не приняты спе- циальные меры, то сравнительно большая часть первичного излучения неизбежно пройдет мимо зеркала, так что эффективное усиление, как правило, незначительно. В1 противоположность этому в случае распреде- ления, спадающего к краям до нуля (такое распределение графически изображено, например, в 5-й горизонтальной графе), может быть исполь- зовано все первичное излучение. Однако такое распределение также нецелесообразно. На практике используются преимущественно функции распределения, подобные указанной в 4-й горизонтальной графе. С их помощью можно достаточно хорошо аппроксимировать,апертурные распределения, реали- зуемые с допустимыми затратами Отношение t амплитуд на краях и в центре распределения обычно вы- бирается в пределах 0,1 —0,3 соответственно спаду первичного излучения на краях относительно центра приблизительно на 10—20 дб в зависи- мости от назначения и формы антенны. Для расчета ширины диаграммы по нулевым значениям и по половин- ному уровню или вообще ino уровню п дб можно поступить следующим образом Функция g (и) раскладывается в ряд Тейлора в точке и = 0: g(«) = g(0) + g'(0)“W(“)4 + --- = । ^==0 При этом v-я производная в точке и = 0 определяется выражением 4-1 gv(0) = r f p7(p)dp = /K (4.109) — 1 щ называется моментом v-ro порядка распределения в апертуре / (р) полностью характеризуется заданием всех моментов. Вследствие этого функция излучения, нормированная к g (0), представляется фор- мулой = у -vjfv (4.Ц0) V — 1 Если / (р) симметрична, то моменты нечетного порядка обращаются в нуль и Ш Цо (2х)1 >t=0 Значение и = ие, при котором напряженность поля изменяется на величину в, определяется ;из выражения Ш='- <4Л12> 162
Если в случае симметричного распределения ограничиться членами, содержащими и в степени не выше второй, то для угла (е = 1'2/2) получаем выражение = |/(2-У2)-^^- 0,243А (4.113) Для остронаправленных антенн можно полагать sin бн, так что для ширины диаграммы по половинному уровню получаем приближен- ное соотношение 2&я==0,48б4 (4-114) С теми же допущениями для ширины диаграммы по уровню п дб получаем 2й(пдб) = -4 (4.П5) где п— —20 1g 8, а е определяется но(4.112). Эти значения в большинстве случаев недостаточно точны, по крайне# мере,для, п > 3. Более строгие результаты получаются с учетом членов, содержащих Высшие степени и (см. 1А 35, стр. 185)], или, что лучше, при взятии требуемых значений непосредственно из вычерченной диаграммы излучения. К,ак вытекает из данных о ширине диаграммы по половинному уровню, приведенных в табл. 4.1, можно представить себе, что излучение направ- ленной антенны в довольно грубом приближении сконцентрировано в угло- вой области, определяемой параметром Л//, если I — линейный размер антенны в соответствующей плоскости. Однако точное значение ширины диаграммы по половинному уровню колеблется довольно сильно, а именно, как это нетрудно заметить, при ббльшем ослаблении боковых лепестков направленность меньше (ширина диаграммы по половинному уровню больше), чем при меньшем ослаблении-, и наоборот. При заданной функции распределения произведение ширины по половинному уровню на вели- чину отношения длины антенны к длине волны является постоянной вели- чиной, которая согласно табл. 4.1 тем больше, чем больше ослабление бо- ковых лепестков соответствующего распределения. Возникает вопрос, су- ществует ли независимо от специального распределения (исключая рас- пределения, обеспечивающие сверхнаправленность) простая по возмож- ности линейная зависимость между произведением ширины диаграммы по половинному( уровню (или ширины по уровню п дб) на отношение //X, с одной стороны, и ослаблением боковых лепесткой, с другой. Этот вопрос, который имеет значение при выборВ оптимальных размеров антенн, рас- сматривается в разделе 4.3.8. Очень часто распределение в апертуре выбирается таким образом, чтобы функция распределения монотонно спа- дала к краям до конечного значения. Такие распределения, как уже упо- миналось, в первом приближении можно Определять с помощью функции распределения, указанной в 4-й горизонтальной графе табл. 4.1: f(p) = *+(1 — 0cos2(4'p) = Д^- + -Ц^с°5(л/э). (4. 116} На рис. 4.12 приведены соответствующие функции излучения для не- которых значений t, а на.рис. 4.13 — важнейшие параметры функции излучения в зависимости от t, 11* 163
4104
С уменьшением t первый боковой лепесток 1 сильно уменьшается и обращается в нуль при t = 0. Боковой лепесток 2 и последующие также уменьшаются, сохраняя, однако, при ния. При t 0,43 величина боко- вых лепестков 1—2 одинакова и при- близительно на 24 дб меньше основ- ного. Для радиолокационных антенн, ослабление первого бокового ле- пестка которых должно составлять по меньшей мере 23 дб, целесооб- разно выбирать t 0,3, что соот- ветствует спаду распределения на краях, превышающему 10 дб. t = 0 конечную величину ослабле- Рис. 4.13. а — ширина диаграммы по половинному уровню, по уровню 20 дб и угол нулевого значения как функции от i для распределения, определяемого (4 116); б — ослабление боковых лепестков для того же распределения. 4.34. Сияфазно возбуждаемая круговая апертура Возбуждение круговой апертуры обычно осуществляется и л несим- метрично относительно центра, или таким способом, который допускает простое представление его в плоской полярной системе координат с нача- лом в центре апертуры. Исходя из этого, целесообразно отказаться от линеаризации задачи, рассматриваемой в разделе 4.3,2 (хотя этот путь и может быть использован), и вместо нее сформулировать задачу в поляр- ных координатах х = Q cos ф'; у — q sin ф'. (4.117) Пусть апертура радиуса q0 опять рас- положена в плоскости ху (рис. 4.14). До- пустим также, что возможно разложение характеристики на одиночную и групповую (или, соответственно, пусть задано какое- нибудь другое предположение, необходимое для скалярной трактовки задачи). Рве 4 14. Координаты в случае круговой апертуры. 166
Тогда, используя первое уравнение (4.38) и (4.117), согласно (4.52) можно записать: 2я Q* £<«>(*, ф) = J J E(q, (4.118) В частности, если распределение обладает круговой симметрией и так как £ (е, ц»') = £ (е) и Йя ^os^-^sino^, = 2«J0(feesin*) (4.119) с равномерным распределением. (см., например, [В 7, стр. 1761), это выра- жение упрощается и принимает вид о» £(,«) («) = 2л f q£ (q) Jv (kQ sin *) dg, (4.120) где Jo — функция Бесселя нулевого порядка. Как и при линеаризации задачи в раз- деле 4.3.2, введем новые переменные и новые обозначения функций: Р~-£; и — 2 л 4s-sin Со л е (боР) = / (ph ^£’ (О) = 2лegg- (й), (4.121) в результате чего получаем следующее пред- ставление: 1 g (й) = f pf (p)JD dp. (4.122) В случае однородного распределения при f (р) = 1 находим g (й) = J pjo (ри) dp = (4.123) о и (см. [В 3, стр. 149]). На рис. 4.15 приведен график функции g (и). В случае распределения, спадающего к краям по закону ftp) = (1-дТ, (4.124) справедливо выражение (4.125) (расчет см. [А 35, стр. 1941), где = (4.126) (см. [В 3, стр. 127]). 1&6
В табл. 4.2, которая также взята из 1А 35}, приведены важнейшие пара- метры диаграмм для первых значений п. Таблица 4. 2 Важнейшие данные о диаграммах направленности круговой апертуры при возбуждении ее в условиях круговой симметрии согласно формуле (4.124) Распределение1 f (р) — (1 — р3)". Излучение: g (и) — л Ширина диаграммы по половинному уровню 20^ Ширина диаграммы по нулевым значениям 2^» Ослабление первого бокового лепестка, дб Коэффициент использова- ния площади 4 = AW/F 0 1,02-^— = Б8,5°-Д- 2р# 2qb 2,44-Д- = 140°—~ 2ро 2Qo 17,6 1 1 1,27-™- =/73° -~— 2р# 2Q0 3,26 -^-= 187°-^- 2q0 2q0 24,6 0,75 2 1,47 2Qft 2о0 4,06 -——/= 232,5° -£~ 2q0 2q0 30,6 0 56 3 1.65-^-='94,5° ~ 2Qo 2go 4,84-^^277°^- 2ро 2q0 — 0,44 4 1,81 JuC103,5° ~ . 2q0 2q, 1 3l 5,58— = 320° — 2fia 20o — 0,36 Апертурным распределением, не обладающим круговой симметрией, £ (е, ij,') = 1 — cos2 ф' (4.127) могут быть аппроксимированы многие распределения, характеризующие зеркальные антенны. Эти распределения обычно создаются линейно поля- ризованным первичным излучателем. В плос- кости ф' = 0 распределение изменяется по закону 1 — ( — Г, а в плоскости ф' = л/2 оно постоянно. Диаграмма излучения в плоскости ф' = 0 определяется формулой ЕН*, 0) = 4я^А2(й), (4.128) а в плоскости ф' = л/2 формулой W (*. 4г) = {л^—ЛдС")}. (4.J29) Функции Лх и Лв определяются формулой (4.126). Обе диаграммы изображены на рис. 4.16. /1 4.3.8. Влияние фазовых искажений в апертуре на излучение В направленных антеннах плоская апер- тура, как правило, возбуждается синфазно, так что в дальней зоне в направлении глав- ного излучения имеет место синфазное сло- жение отдельных волн. Однако вследствие Рис. 4.16. Диаграммы излуче- ния круговой апертуры в обеих главных плоскостях при рас- пределении согласно выраже- нию (4 127). 167
неточностей, возникающих: при изготовлении антенны, и других причин фаза в апертуре может являться функцией места. Ниже исследуется влия- ние таких фазовых погрешностей на поле излучения. Функция распределения (4.104) в этих условиях принимает вид МР)=(4.130) где /0 (р) — действительная величина. Отклонение фазы <р (р) является причиной того, что в точке р опре- деленное состояние поля возникает на интервал времени A t = ф/ со позднее, чем при синфазном распределении, или, соответственно, что фазовый фронт в этой точке отстает в направлении излучения на отрезок $ = —X. Прежде всего представляют интерес следующие виды отклонения фазы: 1) линейное ф (р) = ф^; 2) квадратичное ф (р) = Ф1Р*: 3) кубическое ф (р) Ф1Р3. Рис. 4.17. Возникновение фазовых погрешностей в случае параболических антенн, а — неправильное расположение облучателя (или его центра излучения) как причина фазовых погрешностей в апертуре, смещение перпендикулярно оси в точку Ft, смещение вдоль оси в точку f2; б — смещение облучателя перпендикулярно оси вызывает в первом приближении линейную фазовую погрешность (поворот луча на угол при большом откло- нении возникают фазовые погрешности 3-го или более высокого нечетного порядка; а — сме- щение облучателя вдоль оси вызывает квадратичную фазовую погрешность или при большом смещении — фазовую погрешность более высокого четного порядка. <рх = ф (I)— отклонение фазы на краю. Отклонение фазы в центре по- лагаем равным нулю: ф (0) = 0. х В то время как у параболической зеркальной антенны, которая воз- буждается расположенным в фокусе точечным облучателем, имеет место синфазное распределение в апертуре (см. раздел 7.1.2), при выносе облу- чателя из фокуса возникают фазовые отклонения. При выносе в направле- нии, перпендикулярном оси параболы, например в точку F± (рис. 4.17, б), возникает линейнай фазовая погрешность. Волновые фронты наклоняются относительно апертуры, и излучение происходит под углом к оси параболы. При более значительном выносе дополнительно возникает кубическая фа- зовая погрешность. Если же облучатель переместить из фокуса вдоль оси, например в точку (рис. 4.17, в), то в первом приближении в апертуре возникает квадратичная фазовая погрешность Фазовые поверхности в этом случае уже не плоские, а выпуклые. 1 Влияние периодической фазовой погрешности рассмотрел Шере дь ко [4.79]. 168
Для функции излучения в соответствии с (4.104) справедливо следую- щее выражение: g(«) = f f6(p)e^!^tt+v(^dp. (4.131) — 1 При линейной фазовой погрешности +1 g (и) = g (U-, Ф1) = /0 (р) ё~/р '“+ф1> dp. (4.132) Если обозначить функцию излучения при отсутствии фазовой погреш- ности через g0 (u) = g (и; 0), то g («) = go (и + cpi), (4.133) так как величина и по сравнению с (4.104) заменена здесь на и + Ф1. Следовательно, все свойства функции излучения, которые были установ- лены в разделе 4.3.3 для специальных видов распределения, сохраняются (вплоть до значений на краю области изменения и), изменяется лишь на- правление главного излучения. Угол на который отклоняется излу- чение, определяется из выражения ft/ и + Ф1 = sm &i -J- <Pi = О, т. е. = — агсзш ~7“) (4.134) При квадратичной фазовой погрешности gW = }iZo(p)e-Hup + <Plp!’dp. (4.135) Вводя новую переменную интегрирования t * ='/¥('’+ 2^)’ <4136> интеграл можно привести к следующему виду: g(U)= (4.137) У 2(р1 Пределы интегрирования в этом случае уСК(± ! + ,£.), (4.138) и с учетом (4.136) справедливо f0 (/) = /0 (р). Если разложить f0 (t) в степенной ряд To(t)= Ж (4.139) v=o что возможно для обычно используемых функций распределения, то g (и) можно рассчитать следующим образом. 169
С помощью рекуррентного соотношения <«/=> ‘‘dt = J_ ter’a-''+ -- W2} tL n. ~ t । Ч — (V— 1) J которое получается, например, при интегрировании по частям, каждый член можно свести к одному из следующих двух интегралов: 'f аг- •«> it - ± (е-"т- Г'ат -); (_ ч J е-Нл/2) I- dt = с _ с (Q _ j {5 J . С (о) и S (о) являются интегралами Френеля (см. [В 3, стр. 35), [В 4, стр. 132]) и связаны между собой соотношением С (v) — jS (a) = j е~! (л/2) *’ dt = и = J cos f®) dt — j J sin (--- dt, (4.140) При постоянном амплитудном распределении = /^F^!/(^’{C(Z+)-C(t)-/[S(Q-S(L)]}. (4.141) Интегралы Френеля характерны для поля излучения при квадратич- ной фазовой погрешности. Они были применены Френелем при теорети- ческих исследованиях дифракции световых волн, например, на щели, причем он рассматривал область, в которой Ноле хотя и не являлось ближ- ним, но еще не были выполнены условия дальней зоны (приближение Фраунгофера), а в этом случае при разложении г' — г в показателях сте- пени учитываются вторые степени координат в апертуре [ср. (1.53) и по- следующие выводы]. Если /0 (р) в (4.135) разложить в ряд Фурье оо Zo(p) = -?+ S Kcos(v4rp) +^stn (v (4.142) то при вычислении g (и) появляются интегралы следующего вида: +: ' j cos (v — р) е~1 dp = H-i Ц-I j [(H-I-VJT/2) p-3-(₽!₽“] dp_L_ j e~ J , — 1 —1 170
+ 1 J sin ( v-g- p\e dp = —i (+1 +1 „ 1 . J g— i t(u~v я/2} p+vip'} _ j g— я/г}р+Ф1Р’] l—i —1 Теперь + 1 /(£, ц) = Je-jffi₽+’»p,,dp = = /#e' C(t_)-j[S (Q-S (/_)]}- (4.143) C (/) и S (/) — опять интегралы Френеля, причем <±=/¥(±l+i). (4.144) Таким образом, g(w) = -^/(«, фх) + + 2 А)/(« + v^-, фх) + + К +А)^(“ —v-J', Ф1)}. (4.145) Выражение (4.143) справедливо лишь при г) 0. Для г, = 0 непосред- ственное вычисление дает /(g, 0) = 2-^- = 2sp(g). (4.146) Следовательно, / (ы, 0) представляет собой функцию излучения g (и) при равномерном распределении, не обладающем фазовыми погрешностями, а / (u, qpT) — функцию излучения g (и) при равномерном распределении с квадратичной фазовой погрешностью <рхр2. Функции /^u±v-^-, являются функциями излучения при равномерном распределении с линей- ными фазовыми погрешностями ± Vy р и квадратичной фазовой погреш- ностью ф1р2. Следовательно, общую функцию излучения линейного источника с рав- номерным фазовым распределением, функция распределения которого мо- жет быть разложена в ряд Фурье, можно представить в виде суммы функций излучения линейного источника с равномерным распределением и линейными фазовыми погрешностями, Пусть, в частности, /о (р) = t +' (1 - О cos* ( р ) = 1±1 + cos (лр) (4.147) fa0 =-- 1 + /; = 1 ; остальные av и все равны нулю). 171
Тогда g («) = ^4^ 7 + "4“^ (7 + л’ ф1> + 7 <u ~ rt’ ф1^‘ <4' 148> С помощью этого выражения можно оценить влияние квадратичных фазовых погрешностей в апертуре на диаграмму излучения для наиболее употребительных функций распределения. Распределение такого вида ис- следовалось в [4.3]. При малых фазовых погрешностях для расчета поля излучения, кроме указанных методов, можно применить следующий. Разложим множи- тель ехр (—/ф1Ра) в уравнении (4.135) в степенной ряд: v=0 Тем самым сс -рр «(U) -- У (- /)’ J f. (?) P2'‘~lp“ dp- Теперь, если + 1 £о(«) = J fa(p)e~,PU dP — 1 опять представляет собой функцию излучения при равной нулю фазовой погрешности, то +1 - g^} («) = (- IГ J /о (P) P^~!PU dp. (4.149) —1 Сл едовате л ь но, ес <4-i5°) v=X) В качестве приближения второго порядка по фх получаем Ф, g(u) = gD(u) + j(p1g}(u) — (4.151) Отсюда для квадрата абсолютного значения при действительной (или чисто мнимой) функции g (и) следует: I £ («) Г = (“) ~ Ф!{ £а («) $,1V) (“) “ [^ (“) П 0-152) Если положить в последнем выражении и = 0, то приходим к выводу об изменении усиления в направлении главного излучения, обусловлен- ном фазовой погрешностью. Так как выражение, стоящее в фигурных скобках, всегда положи- тельно ]это можно показать с помощью уравнения (4.149)], то из-за фазо- вой погрешности усиление всегда уменьшается. [Замечание: Уравнение (61) в [А 35], из которого следует, что усиле- ние возрастает, неверно; его вывод из (60) приводит лишь к приближению первого порядка! ] 172
Изменения диаграммы, возникающие из-за фазовой погрешности, пред- ставляют интерес в технике антенных измерений, так как при измерении диаграмм излучения при слишком малых удалениях возникает эквивалент- ная фазовая погрешность в апертуре. Эквивалентная фазовая погрешность в первом приближении может быть определена из рис. 4.18 для Фх = т4’ <4.153) где г — расстояние до измерительного прибора, a d — ширина антенны. При этом предполагается, что в точке Р расположен точечный центр излучения; практически в большинстве случаев это выполняется с доста- точной степенью точности. Фазовая погрешность ф1 = -^- = 22,5® (4.154) обычно считается еще допустимой. Тем самым из уравнения (4,153) можно получить минимально требуемое расстояние до измерительного прибора (для синфазно возбуждаемых апер- турных антенн) ''min = 2Г <4'155) ИЛИ -^1П- = 4Г' <4'156> ~2~ Следовательно, отношение рас- стояния до индикатора к ширине антенны должно быть по крайней мере не меньше, чем отношение ширины антенны к половине длины Mt” Рис. 4 18 К определению эквивалентной фа- зовой погрешности при конечном расстоянии до места измерения. ВОЛНЫ. Для исследования влияния кубической фазовой погрешности разложим множитель ехр (—/Ф1РЭ), стоящий под знаком интеграла в функции излу- чения = l Ше-1{ир+^}4р, „1 (4.157) в степенной ряд и в результате почленного интегрирования, как и в случае квадратичной фазовой погрешности, получим Ж«) = g(3v)(„). (4.158) v = 0 Для малой фазовой погрешности в^качестве приближения второго по- рядка справедливо 2 g (и) = g0 (и) - q^g"' (и) + g(V1) (и). (4.159) 173
4.3.6. Влияние случайных погрешностей на излучение При исследовании чувствительности систем, состоящих из дискретных излучателей (раздел 3.3.2), к погрешности механические и электрические погрешности отдельных элементов принимались статистически независи- мыми. Однако даже для дискретного возбуждения при расстояниях между излучателями, не превышающих половины длины волны, что обычно имеет место на практике, это допущение уже не выполняется с достаточной точ- ностью. Напротив, из-за связи между элементами по излучению и связи их через систему питания любая погрешность в возбуждении одного эле- мента (будь то амплитудная или фазовая) всегда сказывается на соседних излучателях. Следовательно, переход к непрерывному возбуждению путем неограниченного уменьшения расстояния между излучателями при сохра- нении предположения о статистической независимости погрешностей с фи- зической точки зрения тем более нереален. Теоретические выводы раздела 3.3.2 свидетельствуют о том, что при предельном переходе к расстоянию между излучателями, равному нулю, погрешность уже не сказывается Эти выводы получены вследствие того, что из-за принятого математиче- ского подхода все погрешности, обусловленные взаимным влиянием, в пре- дельном случае взаимно уничтожались. В действительности же при не- прерывном возбуждении любое отклонение возбуждения от его номиналь- ного режима влияет еще на соседние элементы (например, неровности на зеркале антенны). Поэтому при исследовании влияния погрешностей при непрерывном возбуждении необходимо априорно предполагать наличие корреляции между погрешностями в соседних элементах. Ниже мы рас- смотрим непрерывно возбуждаемый линейный источник, который в из- вестном смысле можно принимать за эквивалентный источник, например, излучающей апертуры (раздел 4.3.2), и исследуем влияние погрешностей в функции распределения на функцию излучения. Функция излучения g (и) и функция распределения f (р) связаны соот- ношениями V J /(p)e"^dp; — 1 +и /(р) = f g(ti)elp“du, -—«я (4.160) где p = -^-j « = -^-81п#; (4.161) 4 Л здесь I — длина антенны, Ф — угол излучения относительно перпенди- куляра к линейному источнику (рис. 4. 11). Функция g (и) определяет относительную напряженность дальнего поля в направлении fr. Из (4.160) для характеристики излучения по мощности получаем —рес ос I е («) I2 = е (и) (и) = f J / (р) /* (р) е~! u dp dq = —’Ов — ОС 1 ( -j- I» = J И /(р)Г(р + ^)йр — » к (4.162) где в качестве новой переменной интегрирования вместо q введена величина § = Я — Р- 174
Пределы интегрирования могут быть расширены до ±оо, что допу- стимо, если / (р) вне интервала ее определения полагается равной нулю. Определим теперь Ф(Ю = Ф& {/})= J Hp)r(p + l)dp (4.163) и назовем функцию Ф, зависящую от переменной £ и функции распределе- ния f (р), корреляционной функцией функции распределения / (р). Функ- ция Ф соответствует функции автокорреляции в теории связи. Однако наше определение отличается тем, что в данном случае не имеют места ни образование среднего значения, ни предельный переход, принятые в тео- рии связи для функций, зависящих от времени. В нашем случае функ- ция / (р) обращается в нуль для абсолютных значений аргумента, которые превышают единицу. С помощью корреляционной функции из (4.162) получаются следующие соотношения: 00 |g(u)|a= J — 00 “Г0® Ф(Ю = J 1S (и) I2 ^Udu. —ею (4.164) Эта система уравнений соответствует известной в теории связи теореме Винера—Хинчина. В (4.164) в противоположность (4 160) фаза функции излучения уже не .-содержится. При £ = 0 из (4.164) следует равенство Парсеваля для интеграла Фурье -роо 4“®° Ф(0)= J |/(p)|adp = 4г J (4.165) — се — со Для исследования влияния случайных погрешностей функции распре- деления на функцию излучения представим теперь функцию f (р) в виде f (Р) = /о (Р) + /' (Р) = /о (Р) {1 + 2 Г (Р)} 2 <₽>. (4.166) С помощью Д, описывается свободное от погрешностей распределение, на которое накладывается погрешность, обозначаемая через f (р) (смеше- ния с производной от / (р) здесь не следует опасаться). Подфункцией f (р) понимаются относительные погрешности ио амплитуде, а под гр' (р) — погрешности по фазе I/' (р) как комплексная функция содержит оба вида погрешностей). Знак суммирования означает, что многие погреш- ности, которые вызываются различными причинами, допускают разделе- ние. Добавление погрешности к амплитудному значению целесообразно потому, что практически отклонения, как правило, пропорциональны номинальной амплитуде. Положим теперь, что все погрешности f и ф' для любого р настолько малы, что могут учитываться только их первые степени. Тогда из (4.166) для /' (р) следует: НР)=Ъ(Р){2Г(Р) + ]'%Ч'(Р)}' (4.167) Так как функция излучения связана с функцией распределения по- средством линейной операции, то для нее справедливо также g («) = go («) + ё' («). (4-168) 175
причем g' (и) получается из f (р) с помощью (4.160). Далее характеристики по мощности складываются, так как согласно предположению погрешности статистически независимы от f0(p). Используя уравнения (4.164) и при- нимая во внимание правила для средних статистических значений, ука- занные в разделе 3.3.1, для среднего статистического значения характери- стики излучения по мощности с учетом погрешностей получаем -j-Op | g' « = J Ф'(1)е”^< (4.169) — 00 где Ф' (|) = Ф(£; П = J Г (р)Г'{р+$ dp. (4.170) — 00 Это среднее значение уровня искажений, которые накладываются в дальней зоне на свободную от погрешностей характеристику излучения по мощности. Подставляя (4.167) в (4.170), находим +» ф' (&) = j /о (р) г0 (р + а) {2 г (р) + / 2 ф' И х ---------00 X !£Г(р + 1)-/2<р'(р + ^Нл (4.171) Допустим теперь, что различные погрешности f и <р' статистически независимы. На практике в большинстве случаев это выполняется. Пусть, далее, линейное среднее значение погрешностей равно нулю. Тогда сред- ние значения всех «смешанных» произведений в (4.171) обращаются в нуль; отсюда следует: +00 г ____________ Ф' (?)- j MP)f^P + $%^(P)%(P + ®dp. (4.172) — сю Q = 1 Отдельные погрешности, относящиеся к г различным вызывающим их причинам, обозначены через <р0 (р -- 1, 2, . . , г) независимо от того, идет ли речь об амплитудных или фазовых погрешностях. Выражение (4.172) позволяет произвести аддитивное разделение кор- реляционной функции погрешностей на г корреляционных функций, каждая из которых соответствует одной вызывающей погрешность причине: Ф'®= 2Фе(Ю- (4-173) 0=1 где ®e© = J /о (р) /о (Р + §) Фе (Р) Фе (Р + В) dp. (4.174) —с® Теперь каждая отдельная погрешность описывается ее среднеквадра- тичным отклонением или ее дисперсией (см раздел 3.3.1). Положим, что квадраты погрешностей не зависят от р и = Ф* (Р). (4.175) 176
Тогда (4 174) для | = 0 принимает следующий вид: -^СО Фе (0) = J l/o«dp. — во (4.176) Представим теперь корреляционную функцию Ф' (|) следующим об- разом. ф0©= Фе(0)е-^. (4.177) Такой подход целесообразен, так как, во-первых, корреляция погреш- ностей, как правило, убывает с возрастанием расстояния между очагами их и, во-вторых, для описания необходима регулярная функция. Правда, выражение (4.177) содержит противоречие, которое заключается в том, что Фд (£) всегда положительны, т. е. отличны от нуля, в то время как согласно (4.172) для | 2 они тождественно равны нулю [так как f (р) =0 при р > 1 ]. Однако с этим можно примириться, так как экспо- ненциальная функция с ростом |, как правило, быстро убывает. Такой подход (4.177) можно обосновать, если рассмотреть распределенную вдоль линейного размера антенны амплитудную погрешность Ло(р)Л(р) = Ле“<р Р1)1/р“ (4.178) (рис. 4.19). Функция корреляции такой погрешности согласно (4.174) имеет вид °. (4.179) Сравнение с (4.177) показывает, что можно положить |30 = р0 ]/2. Следо- вательно, для р — р! = Ро погрешность составляет Ае~2 = 0,13 А, т. е является тем значением, при котором принятая погрешность умень- шается на 13% от своей максимальной величины. Например, если погреш- ность распределяется в указанном смысле, т. е. спадает на дой половины размера антенны, то р0 = 0,5. р0 называется 13% для каж- радиусом кор- реляции. Для среднеквадратичного значения помехи согласно (4.164) с уче- том (4.173), (4 176), (4.177) получаем + * Г I g' (u) Is = Ул j I /0 (р)|а dp 2 V4. -1 0 = 1 (4.180) Чтобы оценить влияние искажений, это выражение необходима поде- лить на значение характеристики излучения по мощности в соответствую- щей точке ий (как правило, на главном направлении луча). По аналогии со случаем дискретного возбуждения определим в этом смысле относитель- ный уровень искажений а: Ч “ ТГЭТТ = Т (4.181) 0 = 1 где <4Л82> 12 Заказ № 1505 177
[последнее преобразование проводилось с использованием равенства Пар- севаля, уравнение (4.165)1. Если рассматривать только одну погрешность (г = 1), то уровень искажений оказывается пропорциональным дисперсии функции рас- пределения при действии погрешностей и величине х' и, кроме того, зависит от радиуса корреляции погрешностей р через функцию Р ехр (—и2Ра/4). х' является мерой чувствительности к погрешностям линейного источника и поэтому играет здесь такую же роль, как X' в слу- чае дискретного возбуждения (раздел 3.3.2). Можно показать, что x's=l, (4.183) причем знак равенства имеет место только для случая однородного возбу- ждения [/ (р) = const]. Следовательно, однородно возбуждаемый линей- ный источник менее всего чувствителен к погрешностям возбуждения. В табл. 4,1 приведены значения х' для наиболее употребительных функций распределения. Если положить, как и в случае дискретного возбуждения, /о(р) = /о (р)е^, (4.184) то |£Ж)12 = +1 J /о (р) dp -1 и 4-1 J I ?»(р) 1гар —1 + 1 2 \h(p)dp (4,185) На основании этого представления с помощью неравенства Шварца можно доказать соотношение (4.183). Как правило, радиус корреляции погрешностей указать трудно. Для того чтобы получить лучшее представление о зависимости характеристик излучения от погрешностей, положим все равными Друг другу и обо- значим их через р. Тогда сопоставление выражения (3.132) для уровня помехи при дискретном возбуждении и выражения (4.181) для уровня помехи при непрерывном возбуждении приводит к следующей картине: при непрерывном возбуждении при дискретном возбуждении i |Е‘*>(г)Р й = — 7 | п 1ЕГ (г0) |2 ;х; б3 = £ 0=1 \к'. I (4.186) (4.187) Имеет место явное соответствие расположенных друг под другом вели- чин. При Дискретном возбуждении справедливо равенство I = dn (I — длина антенны; d — расстояние между элементами) Если ввести теперь с помощью равенства р'=₽4 <4-188> 178
радиус корреляции (?', отнесенный к переменной х, то при непрерывном возбуждении на основании упомянутой выше аналогии можно определить эффективное расстояние между элементами: ^Эфф = Р'|/л- (4.189} На рис. 4.20 представлены функция распределения ~f4 (х), соответствую- щая одному элементу, и его функция излучения £эфф< которые необхо- димо положить в основу расчета, если непрерывный источник понимается в этом смысле как дискретный. Можно видеть, что возбуждение одного элемента почти не влияет на соседние элементы, что практически не соот- ветствует действительности из-за связи по излучению и вследствие других причин (связь через систему питания). Результат этот, однако, понятен, так как при расчете излучения, обусловленного помехами в случае ди- скретного возбуждения, погрешности в соседних элементах полагались некоррелированными. Однако на основании сопоставления выражений (4.186) и (4.187) корреляцию погрешностей при дискретном возбуждении Рис. 4.20. Функции распределения (а) и излучения (б) эквивалентного непрерывно возбу- ждаемого линейного источника. можно приближенно учесть, используя и при дискретном возбуждении выражение (4.186) с соответственно увеличенным радиусом корреляции. Исходя теперь из выражения (4.186), рассмотрим влияние радиуса корреляции Р погрешностей на угловую зависимость мешающего излуче- ния. Для этого запишем это выражение следующим образом: q =- 8Wk(u-, Р), (4.190) где h(w, (4.191) Уровень искажений, определенный через погрешности, сказывается прежде всего на ослаблении боковых лепестков.1 Если необходимо получить определенное ослабление боковых лепестков диаграммы направленности антенны, то надо обеспечить по меньшей мере такое же ослабление ожидаемого значения уровня помехи. Однако, как правило, требования к ослаблению боковых лепестков зависят от направ- ления излучения. В большинстве случаев в области основного лепестка допускается относительно малое ослабление бокового излучения, в то время как ослабление вне этой области должно быть выше (например, для радиолокационных антенн ослабление боковых лепестков диаграммы 1 Влияние на излучение в главном направлении, которым нельзя пренебрегать при острой а прав ленных антеннах, рассматривается в работе [4.59]. 12* 1791
направленности в области ±10° больше чем 23 дб, а вне этой области больше чем 30 дб). Выполнению этих общепринятых требований способствует зависимость уровня искажений от и, так как уровень искажений вследствие экспонен- циальной зависимости при больших значениях а принимает также малые значения (если и = 0 — главное направление излучения). На рис. 4.21 Рис. 4.21. Зависимость уровня искажений от направления для различных радиусов корреляции. показана зависимость уровня искажений ср (и) от направления для раз- личных значений радиуса корреляции 0. Для сравнения приведена функ- ция излучения G (и) при однородном возбуждении. Из рисунка видно, что большие значения 0 отнюдь не всегда обусловливают высокий уровень искажений в интересующей нас угловой области. Хотя вблизи главного направления излучения при большом 0 уровень искажений относи- тельно велик, при отклонении от этого направления он очень быстро убывает. Очень малые значения 0 (например, 0 = 0,01 на рис. 4.21) вы- 180
зывают незначительный уровень искажений, который, однако, сказывается еще и при больших значениях и. Некоторые значения р являются особенно неблагоприятными (например, Р = 0,2). Это обстоятельство заставляет при общей оценке чувствительности к погрешностям линейного источ- ника рассматривать все возможные радиусы корреляции и вводить оги- бающую функции h (и; р), которая содержится в уравнении (4.190). Она определяется следующим выражением: И(„) = )1(и;О)=^. (4.192) Тем самым для уровня искажений получается верхняя граница, ко- торую обозначим через Q и которая уже не зависит от радиуса корреляции: = (4.193) Теперь для радиуса корреля- ции и тем самым для м можно указать определенные границы. Прежде всего согласно (4.188) и (4.189) справедливо и тем самым, так как в (4.192) р = У2[и, Рис. 4.22. Функция излучения при однород- ном возбуждении и характер изменения уровня искажений. (4.194) » u-эфф Однако, как показывает по- ведение обычных функций излу- чения, можно выбрать и 2л. Тем самым в качестве приближенной формулы для вероятного уровня искажений из (4.193) получаем неравенство q 5X0,12164'. (4.195) Для большинства применяемых на практике функций распределения уровень искажений можно указать точнее или еще более повысить требо- вания к точности возбуждения. На рис. 4.22 представлены функция излу- чения при однородном возбуждении If (р) = const] и ее огибающая и, кроме того, показан характер изменения уровня искажений Q. Обе кривые пересекаются в точке и = uL. Для функций излучения, с которыми наиболее часто приходится встречаться на практике, во многих случаях характер изменения огибающих сохраняется. Очевидно, что уровень иска- жений сказывается лишь при и wL, т. е. если для него задана гра- ница то она представляет интерес только для и и1, причем необ- ходимо определять из уравнения = (4-196) (Н [ • . .} — огибающая функции излучения). J81
Тогда сумма допустимых квадратичных погрешностей «'3^, (4.197) и «критический» радиус корреляции (4 198) где pi — значение 0 , которое в точке «1 определяет величину Q. Для других значений радиуса корреляции уровень искажений меньше. Во многих случаях применяются функции распределения вида Цр) = t + 0 — = -L±l- + (4.199) (ср. раздел 4.3.3, табл. 4.1), причем OSlsl. Для функции излучения и для х' в этом случае получаются следующие выражения: g(u) = (1 + 0sp(u) + -Ц-^- (sp(u — л) + sp (и + «)} = = (14-/)Sp(u)_(l_0^±± (4.200) (4.201) Важнейшие параметры этого распределения указаны в табл. 4.1 и на рис. 4.12 и 4.13. Для огибающей функции g (и) в этом случае имеем f I Я («) 1 _ 1 I 1 — t л«/и» I | j g (0) I u I 1 + t 1 + t 1 — л’/u» | ’ (4.202) Тем самым для значений t не слишком малых (приблизительно t >• 0,2) и значений не слишком больших (приблизительно < 0,01) согласно уравнению (4.196) для иг получаем и = t_____2£_ 1 ко; 1+*’ (4.203) а отсюда согласно уравнению (4.197) (4.204) где F (() — монотонно возрастающая функция, причем F (0,3) = 0,53 и F (1) = 1,32. Кроме того, критический радиус корреляции (4-205) Для направленных антенн с уровнем помехи меньшим, чем Qx, этой формулой можно пользоваться, если сумма квадратов погрешностей экви- валентного линейного источника удовлетворяет условию 62 S 0,5 . (4.206) 182
Последнее неравенство можно рассматривать в качестве приближенной формулы для допустимой среднеквадратичной погрешности. Оно справед- ливо для наиболее употребительных функций распределения, которые, в частности, принадлежат к классу (4.199) с ограничением t >0,2. Нера- венство не выполняется, если к' принимает значение, много большее единицы, т. е., как показано в следующем разделе, для функций излуче- ния с особыми свойствами, которые не могут быть определены с помощью простых функций распределения. Полученные соотношения справедливы для случая линейного источ- ника, к которому и необходимо приводить апертуру поверхностной ан- тенны при применении этих соотношений (см. раздел 4.3.2) При двумер- ном распределении погрешностей нужно рассматривать эквивалентное рас- пределение их на линейном источнике. Если провести анализ влияния по- грешностей для двумерного случая, то оказывается, что средний уровень помехи зависит от радиусов корреляции не линейно, а квадратично [4 8]. В качестве примера рассмотрим антенну, представляющую собой зам- кнутый параболический цилиндр (сегментная антенна, см. раздел 7.1.5). Пусть поверхность зеркала этой антенны произвольно изогнута, причем предположим для упрощения, что каждый изгиб равномерно распреде- ляется по всей высоте зеркала (так как высота зеркала относительно мала, то это предположение вполне допустимо). Апертурное распределе- ние, включая погрешность, в первом приближении может приниматься за распределение, свойственное линейному источнику. Амплитудными по- грешностями в распределении, вызванными изгибами, можно пренебречь и следует учитывать лишь фазовые погрешности. Если b — та высота не- ровностей, которая не превышается в 68% всех случаев, то С л _ о - о„ = 4 л г Л Если, кроме того, уровень помехи на 30 дб меньше главного излуче- ния, то = 0,001, и из (4.206) для b вытекает требование 4-S 0,01. А (4 207) Тогда для распределения Гаусса справедливо двойное значение (4.207) для такой высоты неровностей, которая не превышается в 95% всех слу- чаев. Если положить далее в (4.205) t = 0,3, то для критического радиуса корреляции получается ft = 0,0484 % 0,05. Согласно (4. 207) требования, предъявляемые к точности изготовления зеркала, достаточно высоки. Однако эти жесткие требования оправданы лишь в случае неравномерных изгибов, о протяженности которых нельзя сделать никаких ограничивающих предположений. При гладкой и пра- вильной поверхности зеркала (по визуальной оценке) радиусы корреляции возможных отклонений от идеальной формы зеркала превышают крити- ческое значение. В этих случаях требования к точности изготовления зеркала определяются допустимой величиной фазового отклонения в соот- ветствии с выводами раздела 4.3.5. 183
4.3.7. Общий синтез диаграммы направленности и саерхиалравленность Часто возникает задача определить по заданной функции излучения функцию распределения. Эта задача называется синтезом диаграммы направленности. Ограничим наше рассмотрение (как это обычно и делают) такими антеннами, у которых связь между характеристикой излучения и возбуждением может описываться функциями излучения и распределе- ния, как указано в разделе 4.3.2. Функция излучения g (и) и функция распределения / (р) связаны пре- образованием Фурье [см (4.104) и (4.105)]; 4-1 g (и) — j" f (р)е~'^и dp [(4.208) Е7 (р) = j g[(«)^₽“ du, (4.209) х » где p и «Дописываются следующими выражениями: р = ^~, « = 4j-sinfl. (4.210) t A Уравнение (4 208) является интегральным уравнением Фредгольма 1-го рода для f (р), которое в общем случае, т. е. при произвольно задан- ной g (и) неразрешимо относительно / (р). Так как / (р) ограничена интер- валом от —1 до +1, то при расширении области интегрирования в (4.208) до значений от —оо до -фоо для |р | > 1 необходимо положить / (р) = 0, в результате чего на / (р) накладывается дополнительное ограничивающее условие, так что решение с помощью преобразования Фурье вообще невозможно. При произвольно заданной g (и) функция f (р) согласно (4.209) для | р | )> 1 также отлична от нуля. Однако теперь задача решения уравнения (4 208) при произвольно заданной g («) уже не точно соответ- ствует задаче синтеза диаграммы. В этой задаче g (и) может считаться заданной лишь в ограниченном интервале, а именно для | и | S. -у-, по- скольку для больших абсолютных значений и угол излучения Остановится мнимым. Следовательно, можно ожидать, что значения функции g (и) для |«|>-у, которые при синтезе диаграммы не устанавливаются, могут быть с успехом использованы для выполнения дополнительного условия f (р) = 0 при | р | > 1. Область | и | S — называется явной областью функции излучения; область же для больших абсолютных зна- чений, при которых б является мнимой, носит название неявной области. Установим прежде всего следующее Во-первых, под синтезом диа- граммы будем понимать задачу определения / (р), когда g (и) задана в яв- ной области, а в неявной области не подвержена никаким ограничениям Во-вторых, задача синтеза диаграммы, вообще говоря, не может быть решена с помощью простого преобразования Фурье, а требует чрезвы- чайно сложного решения интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода с конечными пределами. Теоретические исследования по реализации заданной функции излу- чения первоначально базировались на задаче нахождения распределения токов на дискретной излучающей системе конечных размеров, приводя- щего к усилению больше нормального. При этом под нормальным усиле- нием понимают такое усиление, которое имеет место при возбуждении ряда 184
излучателей одинаковыми фазами и амплитудами или, соответственно, при возбуждении одинаковыми амплитудами и такими фазами, что проис- ходит алгебраическое сложение всех отдельных волн в одном направле- нии, Такие антенны, которые имеют усиление, превышающее нормальное, называются сверхнаправленными. Ниже мы уточним понятие сверхнаправ- ленности в более общем смысле. Уже в 1938 г. Хансену и Вудварду 14.29] удалось показать, что с по- мощью ряда антенн, излучающих в продольном направлении, при спе- циальном выборе фаз возбуждения можно достигнуть усиления, превы- шающего нормальное (см, также [4,451, [3.20]), В случае антенн поверх- ностных волн (глава 9) теоретически справедливо аналогичное положение, если фазовая скорость принимает определенные значения, не превышающие скорости света [см, раздел 9.2.2, особенно уравнение (4,64) и рис, 4.14], Щелкунов [3.44] пошел по новому пути, выражая групповую характе- ристику ряда излучателей с одинаковыми расстояниями между ними поли- номом (раздел 3,1 4) и определяя алгебраическими методами возбуждение, необходимое для получения сверхнаправленности, В других методах исходят из того, что функцию излучения ряда излу- чателей с конечным числом элементов можно представить конечным рядом Фурье [3.53], причем коэффициенты Фурье пропорциональны амплитудам элементов. Тем самым заданная диаграмма излучения может быть аппроксимирована соответствующим выбором амплитуд. Приближе- ние будет тем лучше, чем больше число излучателей. Вудвард [4.1061 указал метод аппроксимации заданной диаграммы излучения, согласно которому возбуждение группы излучателей может быть выбрано таким образом, чтобы функция излучения в конечном числе точек принимала наперед заданные значения. Задача синтеза диаграммы была окончательно решена (по крайней мере принципиально) Баукэмпом и Брайдженом [4.11]. Они показали, что с помощью электрического линейного источника заданной длины соответ- ствующим выбором возбуждения можно создать диаграмму излучения, значения которой в любом направлении отличаются от требуемых на вели- чину, меньшую любой наперед заданной. Это положение можно считать фундаментальным в теории антенн Из него, в частности, следует, что тео- ретически с помощью сколь угодно малой антенны можно реализовать любое сколь угодно большое усиление При этом «теоретически» означает следующее. Хотя для создания диаграммы излучения с наперед заданным максимальным отклонением от заданной диаграммы может быть указано распределение тока, но оно, вообще говоря, не может быть реализовано. Это вызывается двумя причинами Во-первых, значения токов по величине не ограничены, т. е с ростом приближения к заданной диаграмме их амплитуды неограниченно растут. Во-вторых, изменения амплитуды и фазы вдоль линейного источника не подчиняются никаким ограниче- ниям, так что при хорошей аппроксимации диаграммы возникают значи- тельные амплитудные и фазовые флуктуации и наряду с этим большие напряженности поля в ближней зоне антенны. Следовательно, практи- ческая граница уже задана, с одной стороны, максимально допустимой величиной токов в антенне и, с другой стороны, электрической прочностью материала вблизи антенны. Практическое осуществление синтеза диаграммы, вообще говоря, чрезвычайно сложно [N 2] [N 3] и при высоких требованиях к степени аппроксимации возможно лишь с привлечением современных вычисли- тельных машин. При этом используют, например, указанные ниже пред- ставления (4 222), (4 223) функций рядами, аппроксимируя g (и) парци- альной суммой (например, в пределах от v = —п до v = +п) и подстав- 185
ляя для и последовательно 2n + 1 значений, равномерно распределенных по явной области. Тем самым получается 2п -f- 1 неоднородных линейных уравнений для неизвестных приближенных значений функции излучения g (тл), которые после подстановки в (4,222) дают требуемую аппроксима- цию для функции распределения, С возрастанием п найденная функция распределения неограниченно приближается к искомой, которая в явной области определяет заданную функцию излучения. Этому и другим мето- дам решения интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода посвящен ряд математических работ, на которых мы здесь останавливаться не будем (см., например, [N 1, стр, 92] и указанную там литературу). Используя значения функции излучения в неявной области, при известных обстоя- тельствах можно получить хорошие результаты. Специальная задача синтеза диаграммы рассматривается в разделе 4.3.8 (кроме того, [3.9], [3.41], [4.14], [4.85], [4.88], [4.109]). Само собой разумеется, что многие функции излучения могут быть получены точно и без указанных затруднений, а именно те, которые опре- деляются простыми функциями распределения f (р) согласно (4.208). Однако к ним не принадлежат функции излучения, которые создают сверх- направленность, очень большую крутизну диаграммы или другие особые свойства. На основании этого совокупность линейных источников или, соответственно, антенн можно грубо подразделить на нормальные и сверх- направленные антенны. Под сверхнаправленной антенной понимают не только антенну с усилением, значительно превышающим нормальное, но и любую антенну, для которой реализация заданной диаграммы излучения вызывает указанные выше затруднения. Для того чтобы дать количествен- ную оценку сверхнаправленных свойств антенны, Тейлор [4.94] ввел понятие о коэффициенте сверхусиления у: +’= J |g(u)|®du (4.211) J \g (и) Is du С помощью равенства Парсеваля [уравнение (4.165)1 у может быть представлено также в следующем виде: +1 f I f(P) 1а V = J lff(u)l®4« — л/Д (4.212) Для линейного источника с однородным возбуждением If (р) = 11 справедливо 2 . , , г sin t ,, Y “Vo / 2л/ \ sin2 (л/Д)' S1 W “ J t dt’ (4.213) Для / X y0 практически равно 1 (точнее: для Z/l 5 выполняется 1 < Уо S 1,02). Все другие функции распределения приводят к более высокому значению у, т. е. справедливо У^Уо- (4.214) Для характеристики сверх направленных свойств могут быть исполь- зованы, кроме того, два других критерия. Для этого мы введем понятие 186
об удельном усилении линейного источника с помощью следующего выражения: G А - _AAAf_____. /4 215) J Шйи — ni/K Если обозначить через ^Go предельное значение удельного уси- ления при I -> оо, то имеют место соотношения V = (4216) \Go 21 /» = 7(4 217) (°4). у-х'С.А. (4,218) Равенство (4 217) непосредственно вытекает из (4.182). Как предельное значение удельного усиления, так и параметр х', который был введен в раз- деле 4 3 6 для описания чувствительности к погрешностям, наряду с коэф- фициентом сверхусиления могут служить для характеристики сверхна- правленных свойств антенны. Относительно у и х' могут быть приведены те же соображения о связи между сверхнаправленными свойствами и к. п. д., что и в разделе 3.3.2 для случая дискретного возбуждения. Следующие величины соответствуют друг другу: К' (4.219) Равным образом у и х' пропорциональны отношению мощности потерь к мощности излучения [ср. (3.140)1. Из приведенных соображений вытекает далее, что свойствами функции излучения в неявной области (| и [ > nl/ty не следует пренебрегать, так как они оказывают значительное влияние на коэффициент сверх усиления. Большие значения в неявной области влекут за собой большие значения у и х', т. е. малый к. и. д., большую чувствительность к погрешностям и, кроме того, высокие значения напряженности поля в ближней зоне. В этой связи иногда вводится понятие «добротности» антенны как отношение энер- гии в непосредственной окрестности антенны к половине энергии, излу- чаемой в течение периода. В этом смысле у пропорционально «добротности» антенны. Такую связь можно установить и из других соображений. А именно, если поле излучения разложить по функциям выбранной соответ- ствующим образом ортогональной системы, например по сферическим функциям, то для того, чтобы получить специальные свойства характери- стики излучения, необходимо, вообще говоря, применять функции более высокого порядка и с большими коэффициентами (см., например, [А 161). Однако даже для малых аргументов (ближняя зона) эти коэффициенты принимают достаточно большие значения.1 1 Несколько интересных примеров сверх направленных антенн приводит Хеллер [3.22] 187
Проблематику сверхнаправленных антенн можно относительно просто построить при помощи следующего подхода. Функция распределения раскладывается в ряд Фурье (что всегда возможно). /(Р) = + *> ^2 для |o|S 1; V=—ое О для | р | > 1. (4.220) (4.221) (4.222) (4.223) (4.224) Тогда преобразование Фурье (4.208) дает для функции g (и) g (и) = 2 У Dvsp (и — тл). V= — <эо Если положить и = пл (п = 0, ±1, . .), то g (пл) -- 2Dn. Следовательно, справедливы уравнения -|- СО f(p)=4" У £(w)e”/wl для IpI S 1; v=— * g (и) = У g (vn) зр (и — W) V =— во и, кроме того [согласно формуле (4.182)], _ V । g(VJT) I3 Zu If («о) la ’ Vi=—co Как уже упоминалось выше, система уравнений (4.222), (4 223) может служить основой для синтеза диаграммы. С помощью выражения (4.223) g (и) определяется через свои значения в дискретных (реперных) точ- ках vn. Так как явная область характеризуется соотношением л/Д, число реперных точек в ней меньше или равно 2//Х. Следует указать, что связь функции распределения с реперными точками функции излучения, определяемая уравнением (4.222), верна только при условии, если g (и) может быть представлена интегралом Фурье от функции / (р), ограниченной в области значений от —1 до +1 (при выводе предполагалась справедли- вость [4.208]). Это предположение для функций излучения, представля- ющих практический интерес, если их свойства в неявной области устанав- ливаются произвольно, вообще говоря, не выполняется. Положим, на- пример, 1 для |и|^ 0 для ]и)>и} (секторная диаграмма излучения, см. также раздел 7.3.4 и дальше) Тогда аппроксимацией для функции распределения согласно (4.222) будет fn (р) = 4 ё (°) = для | Р I S 1 (при других значениях р функция f (р) равна нулю). Следовательно, аппроксимирующая функция излучения имеет вид £(«) = { 188
Для получения точного выражения g (и) необходимо было бы выбрать в соответствии с (4.209) / (р) = -J-sp (puj при —оо <Zp <+©о (рис. 4.23). Если функция распределения f (р) является действительной и сим- метричной, то g (—vn) = g (vn), и уравнения (4.222)—(4 224) переходят в следующие: Рис. 4.23. Синтез секторной диаграммы согласно (4.223). Приближение^ (и) является недостаточным. сс £(и) = g (0) sp (и) + g (vn) {sp (a — vn) sp {и + ул)) = V=1 - g (0) sp (u) + 2 V g (ул) (- L)v -ДДИ-iL; (4.226) V JI V=1 x'“1+2S4w- <4-227) V=1 Вытекающий отсюда частный случай описывается уравнениями <4.199)-(4.201). Из приведенных уравнений получаются те же выводы, что и из инте- гральных представлений для у и и'. Для создания специальной функции излучения, которая не вытекает из простой функции распределения, в уравнении (4.223) необходимо сохранять достаточно много членов, при- чем коэффициенты при членах с большим номером должны быть относи- тельно большими, чтобы имело место заметное влияние в явной области. Вследствие этого х' становится большим, т. е. антенна приобретает зна- чительную чувствительность к погрешностям и другие недостатки сверх- направленных антенн. Резюмируя, можно охарактеризовать сверхнаправленные антенны следующим образом: а) высокая напряженность поля \ в С^ижней зоне (большая «доброт- f ность») [ б) большие амплитуды токов J -> более низ- кий к. п. Д. в) высокая чувствительность к погрешностям физическое ограничение практическое ограничение 189
г) малая полоса пропускания ограничение с точки зрения тех ники связи. Очень сомнительно, чтобы сверхнаправленные антенны когда-либо приобрели практическое значение. Даже если погрешности изготовления свести к минимуму и с помощью специальных мер уменьшить сопротивле- ние потерь, то все равно останется самый существенный недостаток — очень малая полоса пропускания. Этот недостаток сводит на нет преиму- щество большого усиления, так как согласно теории информации полоса пропускания в значительной мере определяет свойства системы связи. Возникает еще ряд вопросов, связанных с проблемой синтеза диаграммы или, соответственно, сверхнаправленных антенн К ним относится вопрос о достижимой крутизне фронта диаграммы излучения при заданном отно- шении длины антенны к длине волны и заданном коэффициенте сверх- усиления. К слову сказать, эта проблема играет важную роль для пере- дающих антенн, которые должны излучать под малым углом к горизонту. 4.3.8. Оптимальные распределения Специальная задача синтеза диаграммы состоит в том, чтобы создать большую напряженность поля в одном направлении при возможно мень- шем излучении в направлениях, находящихся за пределами главного лепестка. При этом острота направленности определяется обычно шириной основного лепестка по половинному уровню, а степень уменьшения излу- чения вне главного лепестка — ослаблением боковых лепестков. Предпо- ложим опять, что заданное распределение источников приводится к ли- нейному источнику, и допустим, что функция распределения / (р) и функ- ция излучения g (и) связаны одна с другой преобразованием Фурье (4.160). Ту функцию распределения, для которой функция излучения пред- ставляет оптимальный компромисс между требованиями малой ширины основного лепестка по половинному уровню и большим ослаблением боко- вых лепестков, мы назовем оптимальной.1 Проблема оптимизации в тео- ретическом аспекте решается с помощью функции излучения g (и) = cos У — п2А2, (4.228) указанной Маасом [3 32 ] (обозначения несколько отличаются). Эта функция была нами получена в разделе 3.2.4 из распределения излучения Дольфа—Чебышева путем предельного перехода к неограниченному числу излучателей. Все боковые лепестки имеют одинаковый уровень, равный единице, так что отношение напряженностей поля главного и боковых лепестков составляет g (0) = g0 = ch (nA) (4.229) или, соответственно, ослабление боковых лепестков имеет значение 4 = 20 lg g0. (4.230) Для ширины основного лепестка по половинному уровню 20 й из (4.228) получаем = -±- УaW-arcch*l^\ (4.231) 1 Непосредственное изложение задачи для круговых апертур содержится в [4.93) (см. также 14.28)). 190
или, пренебрегая более высокими степенями у-2Фн = ~ |/ л2Л2 — arcch2— (4.232) (см. также 13.49], [3.50]). При этом мы отнесли ширину по половинному уровню к величине -у-, которая называется также стандартной шириной по половинному уровню. На рис. 4.24 (кривая для т = оо) произведе- ние у- 2^ представлено в виде функции ослабления боковых ле- пестков dn. Выявление SokoSux депесткоВ Рис. 4.24. Зависимость произведения относительной длины антенны на ширину диаграммы по половинному уровню от ослабления боковых лепестков при раз- личных т. 1 — при распределении (4,246). II —,в соответствии с эмпирической формулой (4.248) jipn Однако такая идеальная функция излучения не может быть реализо- вана. С помощью выражения (4.211) можно легко убедиться, что коэффи- циент сверхусилеиия при g (и), представляемой формулой (4.228), ста- новится бесконечно большим. Волее точный анализ показывает, что функ- ция распределения / (р) при р = ±1 обращается в бесконечность (см. [4.94]). Тейлор указал класс функций излучения, зависящих от ослабле- ния боковых лепестков и индекса т, каждая из которых в отдельности (по крайней мере теоретически) может быть реализована и при неограниченном возрастании т сходится к соответствующей идеальной функции излу- чения. 191
К этим функциям излучения Тейлора мы приходим следующим путем. Положим прежде всего gt (u; а) = cos ]/~а2и2 — лЫ3, (4.233) где а — действительное число, сходящееся в предельном случае к еди- нице. Так как эта функция излучения при неограниченно возрастающем и является периодической, а следовательно интеграл от | gj I2 и вместе с тем коэффициент сверхусиления становятся бесконечными, то к ней в качестве множителя должна добавляться функция, которая при и сю сходится соответствующим образом к нулю. В качестве такой функции предлагается 8Р(ц) = ^. (4.234) Однако если в качестве аппроксимации идеальной функции излуче- ния принять просто произведение из (4.233) и (4.234), то значения g (vn) для любого v, кроме v = 0, обращаются в нуль, так что приближенное уравнение (4.222) для f (р) дает лишь постоянное значение и дальнейшая аппроксимация таким способом не может быть осуществлена. Чтобы устра- нить этот недостаток, рассмотрим прежде всего известные представления выражений (4.233) и (4.234) в виде произведений gi (м; «) = cos У — лМ3 = = ch (лЛ) П/1-4-------------; (4.235) г)) v—1 зр(а)-=^=П(1-т£4 (4.236) Д-1 Образовывая таким образом произведения, можно получить относи- тельно простую последовательность аппроксимирующих функций для идеальной функции излучения, если умножение на функцию sp (и) начи- нается лишь при определенном индексе т, а соответствующие множители У Si опускаются. Кроме того, выбирается ““V КЛ’ + ('"—5-)’ ,4-237> так, чтобы нулевые точки произведения равномерно следовали одна за другой и при т -> сю число а сходилось к единице. Тем самым в качестве аппроксимирующей функции получаем т—1 П( с М”--Н’1 ту * (4.238) Для второго произведения справедливо замкнутое представление (4.239) 192
Функция g (и; А; т) имеет нули при ип = пп для п = 1, 2, . . . , т — I; для n = m, т + 1, . . (4.240) Далее g (пл; А; т) = ch (лД) П 1_________2_L1 х Ur mi (ffl, , Л)Ц^-1 ~n)l для п = 1, 2.т-1; О для п = т, т + 1, . . . (4.241) При подстановке этих значений в (4.222) получаем функцию распре- деления f (р), функция излучения для которой, как правило, хорошо аппроксимируется выражением g (и; А; т). При неограниченном воз- растании т функция g (ц; А;т) сходится к идеальной функции излучения: lim g (и; А; т) = cos — лМ2. (4.242) Одновременно неограниченно растет / (±1). Чем точнее должна быть аппроксимирована идеальная функция излучения, тем больше должны быть амплитуды на краях линейного источника. Ширина основного лепестка по половинному уровню или, соответ- ственно, произведение выраженной в длинах волн протяженности антен- ны на ширину по половинному уровню аппроксимирующей функции g (и; А; т) с хорошим приближением к [4.94] определяется формулой Л ОС l л J идеал 4 — arc cha (g0/ /2) (4.243) Боковые лепестки до (т — 1)-го убывают медленно, а затем сильнее. Тогда согласно Тейлору коэффициент сверхусиления принимает допусти- мое значение (у несколько больше единицы), если порядок величины т меньше или равен Однако в большинстве случаев т выбирается мень- шим, чтобы функция распределения на краях не принимала слишком больших значений (приблизительно 5SmS10) (см. также [4.27], [4 95]). Для т 1 имеем g(u; A; I) = ch(n4)^. (4.244) 13 Заказ № 1®6 193
Это соотношение достаточно хорошо реализуется линейным источником с равномерным возбуждением Для т = 2 справедливо g (0; А; 2) = ch (лЛ) = g0, , , 1 ЗЯ2—1,25 £(л, А; 2) = -у- g(1 4лг + , ИсмЬденав iKsibtr niiiiiml d^M Рис. 4.25 Зависимость величин ga и А2, входящих в выражение (4.245), от ослабле- ния боковых лепестков. т е, функция распределения приобретает вид fiP) = ёо (1 - 4Л2+ t cos (пр)j. (4.245) На рис, 4,25 изображены графики зависимости А1 и g0 = ch (nA) от требуемой величины ослабления боковых лепестков. На рис, 4.24 представлена зависимость ширины основного лепестка по половинному уровню, отнесенной к стандартной ширине ‘Ш по тому же уровню, от степени ослабления боковых лепест- ков для различных значений т [со- гласно (4.243)]. Кривая для т =оо дает абсолютный оптимум, кото- рый практически не достигается. На рис. 4,26 в качестве примера пока- заны функции распределения и из- лучения для ослабления боковых ле- пестков в 20 дб при т = 10 Дру- гие примеры приводит в своей ра- боте Тейлор [4.94]. Как видно из рис, 4.24, увеличение т сопровож- дается лишь незначительным улуч- шением характеристик излучения. При т ~ 5 ширина по половин- ному уровню только на 6—7% больше, чем в случае идеальной функции излучения. Следовательно, на практике к улучшению диаграммы с по- мощью увеличения т имеет смысл прибегать лишь в случае, не требующем больших затрат. Это возможно в пределах определенных границ для тех поверхностных антенн, которые возбуждаются очень большим количеством отдельных излучателей, например для волноводно-щелевых антенн Для антенн с преимущественно оптическим механизмом излучения, например зеркальных и линзовых, свобода выбора функции распределения, как правило, весьма ограничена. Для функции распределения f<P) = f (р-, О = t + (1 — О cos3 р) = -Ш- ф -Ц^-cos (лр), (4,246) о которой шла речь в разделах 4 3.3 и 4.3.6, на рис. 4.24 также указана связь ширины по половинному уровню с ослаблением боковых лепестков, полученная с помощью точных расчетов [кривая, соответствующая т — 2, была получена, напротив, из приближенного уравнения (4.243), которое для малых т является неточным]. 194
Кроме представления (4.246), для функции распределения оказывается пригодным, особенно для больших ослаблений боковых лепестков, сле- дующее представление: f(p) = f(p; i\ ₽) = + (1 - /)cos® (-2- p) . (4.247) Согласно [3.23] при t = 0,565 и 0 = —2,3 ослабление боковых ле- пестков получается равным 44 дб. Как показывает рис. 4.24, существует почти линейная зависимость между шириной основного лепестка по половинному уровню, отнесенной к стандартной ширине, и ослаблением боковых лепестков в децибелах при постоянном т для распределения Тейлора. Приблизительно линейная зависимость имеет место также, если рассматривать ширину по половин- ному уровню и ослабление боковых лепестков для простых функций распределения, указанных в табл. 4.1. Эти зависимости хорошо экспери- ментально подтверждаются для антенн, обладающих оптическим меха- Рис 4 26. Функции распределения (а) и излучения (6) по Тейлору для ослабления боковых лепестков в 20 Дбприт= 10. низмом излучения и при синфазном возбуждении. Последнее дает возмож- ность установить независимо от специального (синфазного) вида возбужде- ния следующую простую зависимость между параметрами диаграммы и длиной антенны: 2#„/° = da + B, (4 248) где dn — ослабление боковых лепестков (в дб). Для константы В на практике выполняется соотношение 36 В S 39. (4.249) Для распределения Тейлора при больших значениях т константа В принимает меньшие значения Эта полуэмпирическая формула может быть положена в основу прибли- женных расчетов при выборе размеров поверхностных антенн. 4.3.8. Итоговый обзор соотношений, связывающих возбуждение и излучение, для поверхностных и линейных нсточнниов „ В табл. 4.3 достаточно полно представлена систематизированная структу- ра элементов теории поверхностных и линейных источников в ее наиболее 13й 195
Таблица 4.3 Систематизация самых существенных элементов в теории поверхностных и линейных антенн Апертура F, возбуждаемая излучением [уравнения (4.27), (4 28)] (F) Система из дискретных элементов [уравнение (3.3)]; Ео(г)= SEw(r)e“^^-rt>; („|П Ej + + ^]r, [П, Н]]} dF Постоянная одиночная характеристика [уравнения (3 6}т (3 7)] Постоянная поляризация в апертуре [уравне ння (4 50)-(4.52)] !.(')= J[r. [" + 4г, ₽]] Е<£> (г) = J А (/>') е^к <r'~r> dF; (/} Е0(т)^Е<*> (г)£<«> (г); v=l Представление для ряда излучателей [уравнение (3 17)) (Приведение к линейному источнику лГ . _ р =—г- ; и = —т— sin v * Л J [уравнения (4 104). (4-105)] +1 g W = J f (Р) e~ipudp\ /(₽) = i J g(.u)e^^du; преобразева- нив коорди- нат gls) ~ ^£vajft (v-1) d sIn "1 I Предельный переход л-т <» [уравпе- j иие (4.98)] I E<*> = f Е(х)е^аа^х (Функции излучения' и распределения как сопряженные по Фурье) | Образование характеристики излучения по I мощности [уравнение (4 164)] +°= <W = i J \g(u)\^“da,z v —- о» ф(£)= J f(P)r(P + l)dp, —» [ Разложение функции распределения б ряд Фурье [уравнения <4 222}t (4.223)] I (Р) ~= 4- 3 S (vat) е_/',я₽ “ v=s—« для | р J 1 (вне этих пределов [ (р) рав- на 0) “^Сф £(«)= S g(vn)sp(u — vn);3 V=—со (Связь между коэффициентами Фурье функции / (р) и «реперными точками» функции g(u)) (£(«)l2- J Ф^е-^dl, (Характеристика излучения ио мощности и функция автокорреляции Ф (|) от /(р) как связанные преобразованием Фурье) Анализ влияния погрешностей ([уравнения (4.182), (4 224)] V Ig(vn)p. Zj lg(Uo)l2’ I Синтез диаграммы ’ При действительной и симметричной функции f (р) справедливы (4 250). (4 251) 1 При действительной и (или) симметричной f (р) справедливы (4 253), (4,254). ’’ При действительной и симметричной f (р) справедливы (4 225), (4.226), (4 227). 196
характерных чертах. Общие представления для непрерывного и дискрет- ного возбуждений при известных предположениях, которые на практике в большинстве случаев достаточно точно выполняются, приводят к функ- циям излучения и распределения, связанным между собой преобразова- нием Фурье. Отсюда вытекает, во-первых, связь между характеристикой излучения по мощности и функцией корреляции функции f (р) с помощью преобразования Фурье, которая в технике связи соответствует теореме Винера—Хинчина, а во-вторых (с помощью разложения Фурье функции распределения), — представление функций / (р) и g (и) в виде рядов, ана- логом которого в технике связи является теорема отсчетов. Как то, так и другое может служить основой при анализе погрешностей, а представле- ние функции g (и) в виде ряда может применяться также для синтеза диа- граммы. В некоторых случаях представления упрощаются. Если / (р) действи- тельна (синфазное возбуждение), то (ц) симметрична. Если / (р) симметрична (и не обязательно действительна), то функция g (и) симме- трична и справедливо соотношение 1 g («) = 2 [ f (р) cos (ри) dp (4.250) 6 Равным образом справедливо и обратное, а именно: при симметричной функции g (и) функция f (р) всегда симметрична. В этом случае f (р) = J cos du- (4-25 О о Если функция корреляции удовлетворяет условию ф (-$ = ф* ф, (4.252) то IgW - 2Re ф а) . (4.253) Если, наконец, функция распределения / (р) действительна или сим- метрична (или и то, и другое), то, согласно указанному выше выводу, характеристика излучения по мощности |g (и) )а симметрична, и поэтому функция корреляции становится действительной и симметричной. Дл» последней в этом случае справедливо - 4D ф Ш = -J- J I g («) Is cos ($u) du. (4.254) О 197
АНТЕННЫ СВЧ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ТЕХНИКЕ 5. Рупорные антенны 5.1. Излучение открытых волноводов 6,1.1. Вывод формул распределения излучения в поперечном сечении волновода Под рупорными антеннами, или рупорными излучателями, понимают класс антенн СВЧ, у которых по аналогии с обычными акустическими излучателями направленность излучаемой энергии создается с помощью рупорной или воронкообразной конструкций. Обычно рупорные излуча- тели в литературе называются просто рупорами (англ.: horn radiator). Основные их виды можно рассматривать как короткие линии СВЧ с пере- менным сечением, на конце которых (раскрыв рупора) происходит излу- чение волн, распространяющихся вдоль линии. В качестве простой свойствами типичного Рис 5.1 Система координат для расчета поля излучения открытого волновода конструкции, обладающей самыми основными рупорного излучателя, рассмотрим открытый волновод. Пусть волновод про- извольного сечения разрезан перпендикулярно его оси. Рас- положим в плоскости сечения начало прямоугольной декар- . товой системы координат, ось г которой совпадает с направле- нием распространения волн (рис. 5.1). Пусть в волноводе возбуждается электромагнитная волна с единственным типом колебаний, в результате чего из-за наличия поля а плоскости раскрыва г = 0 во внешней области создается электромагнитное поле излучения. Для точного расчета поля излучения можно было бы, например, рас- сматривать сечение волновода, достаточно удаленное от раскрыва, в ка- честве Места питания и, исходя из первичного распределения источников в этом сечении, решать уравнения Максвелла с граничными условиями, зависящими от расположения волновода. При этом необходимо было бы учитывать не только форму и качество внутренних поверхностей стенок волновода, но и влияние внешних поверхностей и конфигурации раскрыва (толщина стенок, радиус кривизны ребер и т д.)„ Однако даже при идеали- зированных допущениях (бесконечно малая толщина стенок и т, д.) стро- гий расчет настолько сложен, что практического значения не имеет. Отсюда следует, что (в особенности для раскрыва специального вида) идеализация проблемы без пренебрежения многими важными свойствами в большинстве случаев невозможна. Поэтому с самого начала необходимо найти один из наиболее пригодных методов приближения, а именно такой, 1'98
при котором легко измеряемые или легко рассчитываемые величины предполагаются заданными. Расчет поля излучения методом, использующим распределение тока вблизи раскрыва на внутренней и внешней стенках волновода, не основы- вается на величинах, которые могут быть измерены или вычислены простым путем. Это объясняется тем, что обусловленное раскрывом волновода иска- жение нормального распределения тока, имеющее место в неограниченном проводнике, едва ли может быть оценено. Напротив, апертурный метод, основанный на теории Кирхгофа, как показывает практика, более удобен для расчета. Проведем расчет апертурным методом с использованием следующих допущений: 1) в качестве апертуры принимается раскрыв волновода; возбужда- ющее поле вне раскрыва полагается равным нулю; 2) поле в раскрыве волновода принимается таким же, как и в попереч- ном сечении волновода, удаленном от раскрыва на несколько длин волн, т, е, поле складывается из невозмущаемой прямой волны и обратной, отраженной от раскрыва; 3) волновод возбуждается только одним типом волны. При этих предположениях не учитываются, например, особенности конфигурации раскрыва волновода, кроме того, пренебрегаете я типами волн более высокого порядка, которые всегда имеют место вблизи раскрыва. Поэтому этот метод дает лишь ориентировочное распределение излуче- ния Несмотря на это, излучение, рассчитанное указанным способом, хорошо совпадает с измеренным. При использовании определенного типа волны результаты тем точнее, чем больше размер апертуры по срав- нению с длиной волны. Пусть г0 представляет собой комплексный коэффициент отражения линии, отнесенный к плоскости раскрыва z = 0: Го = ) г01 № Тогда для поперечной составляющей напряженности электрического поля в апертуре имеет место следующее соотношение: Еи-=(1 (5.1) где Е^ — поперечная составляющая прямой волны. Магнитные поперечные составляющие прямой и обратной волн соответственно равны [ег, Е<?>]; [- ег, = - -£ Е<«], 4г£. где ZL — волновое сопротивление данного типа волны в волноводе. С учетом (5.1) для общей напряженности поперечного магнитного поля пол учаем Ио =2-(1 ~ 7о)[ег, Е|?>] = * [ег, Е^]. (5.2) ч. 1 -р го Следовательно, параметры поля Е(г и Н(г, служащие критериями для расчета, выражаются через известную из теории напряженность попереч- ного электрического поля в невозмущенном волноводе и коэффициент отражения, который может быть легко измерен. 199
Характеристика излучения получается с помощью формул (4.33) и (4.34), причем согласно (5.2) необходимо положить Z = ZL±±^. (5.3) 1 — Го Если выбрать одну из двух систем координат в соответствии с фор- мулами (4.37) или рис. 5.1, то поле может быть представлено выражениями (4.41), (4.42) или, соответственно, (4.47), (4.48) с учетом (5.3). Следова- тельно, выражение для характеристики излучения в обеих системах коор- динат получает следующий вид: Мг) = ^еА + Ш (5.4) где I 1 “Г Г0 Ь L ( 1-7 Z 1 I (5'5) - ад Ь + 1 I “Т“ Г О 1 или, соответственно, Eo(r)=5£{^ + ^M- (5-6) где Er.v = — N * ~~ Гд С г__L Л7 1с_к 1 ~ Г° С_1 . » - i+-„zt Vo + N.\4+ 1+-г,ZL ’«)• ) £0ф ~ I>L'\ + J +r‘°7C^ ~^ns«c« При этом введены следующие обозначения: Сф = соэф; 8ф = sin ф и т. д. = cos ф; = sin ф и т. д Величины Nx и Nv являются составляющими R = J E(reM?(q’ r)dF = (1 + Fo) J r}dF, (5.8) (F) (F) где Ef?1 = ex£x + evEy Следовательно, Nx = (1 +r0) J E^^dF; (F) , (5.9) N, = (1 +r0) J E^^dF. (F) При этом согласно формуле (4.38) в зависимости от выбора системы координат Я (я, г) = (*' cos ф + у' sin ф) sin О (5.10) или, соответственно, Я (Ч> г) = х' sin ф sin & у' cos Ф (5.11) (х', у* — координаты в апертуре). 200
Тем самым определение поля излучения сводится к вычислению инте- гралов для Nx и Ny и к измерению коэффициента отражения. В большинстве встречающихся в практике случаев удовлетворительное приближенное решение получается, если положить г0 = 0. 6.1.2. Иалучвнив открытого круглого волновода Для расчета излучения открытого волновода с круглым поперечным сечением с помощью выведенных формул необходимо прежде всего пере- считать в выражениях (2.131), (2.132) составляющие, записанные в поляр- ных координатах, в прямоугольную декартову систему координат. Подроб- ный расчет здесь не приводится и указываются лишь конечные результаты для основной волны (#и-волна) (см., например, [А 35]). При использовании системы координат г, О, ф с началом в центре рас- крыва имеют место следующие соотношения: = Ашр. р + ^cos& + г0 (1 — х „ , / 2л \ J, (Ао0 sin ft) , х А -г-е» - д—isiniK 1 \ ке sin О т £0M, = Ай)цА>е0|со8й + у^- +ГО (cosб — ^)}А(^е<») х Л (йро sin О') х-----ТЬ------ 1 — ~ Sin Ф| \ ^0 / (5.12) где k = 2л/X0 — волновое число; ра — внутренний радиус сечения круглого волновода; hL = - —— — длина волны в волноводе с воздушным заполне- /'-(-и) нием; = 2р0-1,71 — предельная длина волны, Jj и — функция Бесселя первого порядка и ее производ- ная по аргументу; А — постоянная, пропорциональная амплитуде волны в волноводе. Так как электрический вектор волны в волноводе расположен вдоль его оси в плоскости ф = л/2 а магнитный вектор перпендикулярен к нему, то плоскость ф == л/2 называется обычно 5-плоскостью, а плоскость ф = = 0 — //-плоскостью. Характеристика излучения содержит в 5-плоскости лишь составляющую 50#, расположенную в этой плоскости, а в //-пло- скости лишь перпендикулярную к ней составляющую Согласно формуле (5.12) диаграмма излучения в 5-плоскости выра- жается через £0# при sin ф = 1, а в //-плоскости — через 50$ при cos ф = 1. Диаграммы излучения симметричны относительно направле- ния главного излучения О = 0. Угол нулевого значения, т. е. угол Фо, которому соответствует первый нуль диаграммы, для углов излучения <90° определяется положением первого нулевого значения функции Ji или, соответственно, Ji. Следовательно, в 5-плоскости Sin^> = -g*; 201
в //-плоскости □ ,па(Н) SIH vq 5,33 kQa Нулевые значения для & < 90е появляются только при относительно большом диаметре волновода, т. е в /z-плоскости при 2р0>1,22^0, а в //-плоскости при 2р0 > 1,7Х0. В противном случае значения синусов будут больше единицы. Если появляются указанные нулевые значения, то главный лепесток в Е-плоскости уже, чем в //-плоскости. Можно пока- зать, что если даже нулевые значения не возникают, то в £-плоскости Рис. 5.2. Диаграммы излучения открытого круглого волновода: а — расчетные; б — сравнение расчетных и экспериментальных данных. ------ Е-плоскосТь расчетная, — — — //-плоскость расчетная, — эксперимен- тальные данные Н ^плоскость волновод имеет большую направленность, чем в //-плоскости. На рис. 5,2, а приведены расчетные диаграммы излучения в Е - и //-плоскостях для четырех различных диаметров волновода, а на рис 5.2, б — резуль- таты сравнения расчетных и измеренных диаграмм [А 351. Видно, что не- смотря на специальные допущения, положенные в основу расчета, совпа- дение с экспериментом довольно хорошее. Однако это не всегда имеет место и особенно в том случае, если конфигурация раскрыва волновода сильно отличается от идеальной формы Для ширины диаграммы излучения по половинному уровню и по уровню 10 дб Сильвер (см [А 35, стр 340]) указывает следующие значения, кото- рые являются достаточно точными при р0 > X. 202
Ширина диаграммы по половинному уровню в Е- или, соответственно, В Я-ПЛОСКОСТИ' 20$Р = 2$(£) [3 дб] = 14,7° — ; Qo 20hH> = 2®{Ю [3 дб] = 18,6е —. Оо (5.13) Ширина диаграммы по уровню 10 дб в Е- или, соответственно, в Я-плоскости: 2О<£) [10 дб] == 25° —; 2fl(//) [10 дб] — 32,3° — . (5 14) &о 0о Используя метод, изложенный в разделе 4.3.1, для усиления получаем следующее выражение (5.15) Если положить в первом приближении г0 = 0 и = Хо (диаметр много больше длины волны), то получается приближенная формула G 10,5 (5.16) Aq где F = лро — площадь раскрыва. Отсюда коэффициент использования поверхности приблизительно составляет (5-17) БЛ.З. Излучение открытого прямоугольного волновода В случае прямоугольного волновода также ограничимся указанием результатов для основной волны, т. е Я10-волны (данные о типах волн более высокого порядка см., например, в [А 35, стр. 341]). Пусть а — большая, a Ь — малая стороны поперечного сечения вол- новода (рис. 5 3, а). Для составляющих поля Eofl, и £01ф при возбуждении Д10-волной имеют место следующие соотношения: £0<> = А20^-з1пф[1 +-^cosO+;0(l-£-coSd))x cos a sin 0 Х , л» ₽ ' а2 —г в, , . . (5.18) £ОФ = А^оуусозф jcos& 4 + ro(cosd — ^)} X cos а sin р 4 где w = -т— sin flcosip; 0 = sm йsin i|); (5.19) л o '-a 203
= —----° •—тт—длина волны в волноводе; А — амплитудный коэф- К'-(£) фициент. Начало системы координат расположено в центре раскрыва волновода. Диаграмма излучения в £-плоскости (ф = л/2) выражается через £й# при sin 4 = 1 иа = 0, а в //-плоскости (ф = 0) через £01|, при cos ф = 1 и р = 0, т. е. sin р/р = 1. В £-плоскости диаграмма в основном опреде- ляется функцией { лЬ „ \ sin (-т— sin ft) \ Ад/ (5.20) ЛЬ , д -г— Sin ft Aq которая, вообще говоря, имеет место в случае возбуждаемого постоянной амплитудой и фазой прямоугольного раскрыва (или линейного источ- «I £ Рис. 5 3. а — система координат в случае открытого прямоугольного вол- новода; б —ширина основного ле- пестка диаграммы излучения откры- того прямоугольного волновода по уровню 3 и 10 дб (возбуждение основ- ной волной) ника) длиной Ь в плоскости диаграммы (см. раздел 4.32). В Я-плоскости угловая зависимость в основном определяется функцией (5.21) Как было показано в разделе 4.3.3, эта зависимость существует обычно при синфазном возбуждении и амплитудном распределении типа Первые нулевые значения 0о£) или Диаграмм, т. е. первые нулевые значения функций (5.20) или, соответственно, (5.21), определяются выра- жениями sin ft££) = ф-; sin Ь ' 2 а При малых размерах волновода, что типично для фидеров, нулевые значения в диаграмме не появляются, так как в этом случае правые части равенств больше единицы. Значения ширины лепестка по уровням 3 и 10 дб в £- и Я-плоскостях, необходимые для оценки диаграммы, приве- дены на рис. 5.3, б. 204
Для усиления излучения справедливо I 1 г ; /1 \ 8 ab Хл Г + TZ+ °\ й) л Ь» 1 (5.22) Если положить го = О и = Хо, что приблизительно справедливо для больших размеров раскрыва, то получается приближенная формула G 10,24 • (5.22а) 6.1.4. Волноводный излучатель, нагруженный на феррит Уже около десяти лет в технике СВЧ применяются гиромагнитные материалы, так называемые ферриты. Ферриты — мягкомагнитные мате- риалы, имеющие весьма малую проводимость и незначительные потери даже на очень высоких частотах. Если на феррит наложить постоянное магнитное поле, то его проницаемость принимает вид кососимметриче- ского тензора. Можно показать, что в Случае электромагнитной волны, распространяющейся в материале в направлении постоянного магнитного поля, составляющие с правой и левой круговой поляризацией имеют различные постоянные распространения (двойное круговое преломление). При отсутствии потерь (предположение, которое с хорошим приближением выполняется на практике) это проявляется в том, что плоскость поляри- зации линейно поляризованной волны поворачивается. Подобный эффект, называемый эффектом Фарадея, послужил основой для использования ферритов в технике СВЧ. В ротаторе Фарадея он используется для воздей- ствия на поперечную составляющую Дц-волны в круглом волноводе. Если продольное магнитное поле создается с помощью катушки, охваты- вающей волновод, то поворот плоскости поляризации происходит всегда в направлении тока в катушке, независимо от направления распростра- нения волны. Следовательно, ротор Фарадея работает необратимо. Этим большинство ферритовых конструктивных элементов СВЧ отличается от классических конструктивных элементов СВЧ. Наряду с эффектом Фарадея в технике СВЧ используются также и другие необратимые явления (как следствие двойного кругового преломления), например необратимый по- верхностный эффект (скин-эффект) в прямоугольном волноводе и необра- тимое резонансное поглощение. Оба эффекта используются преимуще- ственно в направленных аттенюаторах, а поверхностный эффект, кроме того, в циркуляторах и подобных им конструктивных элементах. Из- вестны также обратимые ферритовые конструктивные элементы СВЧ, например разработанный Реджиа и Спенсером [5.54] ферритовый фазо- вращатель. Если в прямоугольный волновод, в котором может распро- страняться только основная волна, поместить в продольном направлении ферритовый стержень и намагнитить его в том же направлении, то элек- трическая длина этого отрезка волновода может регулироваться с по- мощью прикладываемого магнитного поля, т. е. конструктивный элемент действует как электрически регулируемый фазовращатель. Изменение фазы в обоих направлениях прохождения одинаковое. Благодаря необратимым свойствам в диапазоне СВЧ большинства ферритовых конструктивных элементов появилась возможность приме- нить новые методы в измерительной технике и приборостроении. Кроме того, электрические свойства элементов могут регулироваться чисто элек- трическим путем, а следовательно, с большой скоростью; этим достоинством 2G5
обладают также известные обратимые ферритовые элементы. В тех- нике линий ферриты нашли разностороннее применение, но в технике антенн СВЧ до сих пор известно только несколько примеров использова- ния ферритов. Это можно объяснить тем, что во многих случаях, например в радиолокационной технике, где задача электрического качания луча играет важную роль, должна быть обеспечена обратимость распределения излучения. Однако требование обратимости распространяется только на распределение интенсивности излучения, а не на его поляризацию, так что в этом отношении допустимы и даже желательны известные исключе- ния. Антенны с необратимыми поляризационными свойствами рассматри- ваются в разделе 5.4.3. Кроме того, в радиолокаторах из-за применения одной и той же антенны в режимах приема и передачи иногда необходимо сформировать необратимое распределение излучения таким образом, чтобы диаграмма для обеспечения двустороннего распространения волн обладала требуемыми свойствами (см. раздел 3.2 5) Помимо этого ферриты исполь- зуются для чисто электрического качания луча антенных систем с отно- г0=3375Мгц HgfMOajcH Рис. 5.4. Заполненный ферритом открытый прямоугольный волновод с по- перечным магнитным полем1 а — схема; б — Диаграммы излучения в ре- жимах приема (7) и передачи (2). сительно высокой направленностью, которое в случае системы из дискрет- ных элементов достигается с помощью фазовращателей (см. раздел 8.1.1) или же с помощью специальных методов в случае системы из ферритовых излучателей (см. раздел 9.2.3). Подобные системы обладают такими же обратимыми свойствами, как и ферритовые фазовращатели, т. е. они обра- тимы, в частности, в том случае, когда используется фазовращатель Реджи а и Спенсера. Наконец, в качестве излучателей исследовались откры- тые волноводы, нагруженные на феррит, излучающие свойства которых в смысле чисто электрического качания диаграммы направленности могут регулироваться с помощью статического магнитного поля в раскрыве. Эти излучатели рассматриваются ниже. Известны три основных типа нагруженных на феррит волноводных излучателей, с помощью которых может осуществляться чисто электри- ческое качание диаграммы. Прежде всего это открытый прямоугольный волновод [5.2 ] [5.68], в котором может распространяться только основная волна и раскрыв которого заполнен ферритом (рис. 5 4). Если поместить раскрыв в постоянное магнитное поле, направление которого параллельно узкой стенке а прямоугольного волновода, то в плоскости широкой стенки Ь последнего (//-плоскость) происходит поворот луча. Этот поворот необ- ратим. На рис. 5.4, б показаны диаграммы в режимах приема (7) и пере- дачи (2). Другой необратимый излучатель СВЧ представлен на рис. 5.5. Откры- тый круглый волновод вблизи раскрыва имеет ферритовую сферу [5.70]. 206
С помощью относительно сложной системы катушек в раскрыве может создаваться статическое магнитное поле, которое содержит как продоль- ную, так и поперечную составляющие. Питание излучателя производится волной с круговой поляризацией. Можно показать, что направление мак- симального излучения приблизительно совпадает с направлением статиче- ского магнитного поля. При этом поляризация излучаемой волны при больших углах качания диа- граммы заметно отличается от круговой. Этот излучатель ра- ботает необратимо в следующем смысле: волна, например, с ле- вой круговой поляризацией оптимально принимается с на- правления, в котором имеет место максимальное излучение волны с правой круговой поля- ризацией; однако в случае обра- тимого излучателя оптимальная поляризация приема также оказалась бы правой. Такой излучатель, несмотря на его необратимость, может приме- няться в радиолокационной технике, так как обычные слож- ные радиолокационные цели, I JI < г............ г III Г.........I И I t I I t 1 1-- ЛГИ В ЧВ 8ВЧВ°Ч0 О ЧВ 88°8В°Ч8 8 ЧВ 80 Рис. 5.6. Открытый прямоугольный волновод с несимметрично расположенным ферритовым стержнем. При наложении продольного магнит- ного поля про и сходит обратимый поворот луча1 а и б — дна различных расположения феррито- вых стержней; в — диаграммы излучения, изме- ренные в //-плоскости. Рис. 5.5. Открытый круглый волновод с ферритовой сферой и системой кату- шек для создания в раскрыве слож- ного магнитного поля. 1 — четыре U-образных полюса; 2 — об- мотки для создания поперечного поля, 3 — обмотки для создания продольного поля; 4 — ферритовая сфера как правило, отражают сигналы с нерегулярной поляризацией. Излучатель, который в противоположность первым двум создает обратимое качание диаграммы направленности с помощью ферритов, получается следующим образом [5 34]. Если в известном обратимом фазовращателе Реджиа и Спенсера ферритовый стержень расположить не в центре прямоугольного волновода, а сдвинуть в сторону, то следует ожидать, что поворот фазы вблизи феррита в сечении волновода будет 207
несимметричным. Если разрезать волновод непосредственно за ферритовым стержнем, то в результате возникнет несинфазное распределение в рас- крыве волновода и, следовательно, будет наблюдаться поворот луча. Измерения подтверждают, что построенный таким образом излучатель СВЧ с электрически регулируемым поворотом луча работает обратимо как соот- ветствующий конструктивный элемент линии (обратимый фазовращатель по Реджиа и Спенсеру). На рис. 5.6, а, б схематично показаны два типа излучателя. В обоих случаях волновод вблизи раскрыва окру- жается катушкой, которая создает регулируемое продольное магнитное поле. У излучателя, изображенного на рис. 5.6, а, максимальный угол ка- чания относительно мал (приблизительно до 15°). Второй тип был разра- ботан на основании сообщения Клэвина [5.19], в котором указывается, что расположение в центре волновода двух ферритовых полос, изобра- женных слева на рис. 5.6, б, вызывает запаздывание по фазе и, напротив, расположение их на узких сторонах — опережение. В соответствии с этим следует ожидать, что в обоих случаях будет наблюдаться значительное изменение фазы в раскрыве волновода. Измерения подтверждают это предположение. На рис. 5,6, е показан ряд измеренных диаграмм излучения в Н-пло- скости излучателя, представленного на рис. 5.6, б. Указанные значения тока относятся к катушке с числом витков 4300, длиной 70 мм и внутренним диаметром 30 мм. Сила токов относительно велика, так как ферриты в основном намагничиваются только полем рассеяния катушки. При небольших значениях тока происходит прежде всего поворот главного лепестка, соответствующий фазовому распределению в апертуре. При более сильных токах на стороне, противоположной направлению поворота, появляется большой добавочный лепесток, который в конце концов увеличивается настолько, что оба лепестка становятся одинако- выми. При дальнейшем увеличении тока в катушках величина первоначаль- ного основного лепестка уменьшается, а величина первоначального доба- вочного лепестка не меняется. Это легко объясняется изменением фазы в апертуре. В первом приближении апертуру можно представить в виде двух точечных излучателей с приблизительно равными амплитудами и сдвигом по фазе, зависящим от магнитного поля Так как фаза всегда изме- няется в одном направлении, то луч при возрастающем токе в катушках поворачивается в том же направлении. Случай, когда оба лепестка равны по величине, соответствует сдвигу фаз обоих эквивалентных излучателей на 180°. Подобные диаграммы излучения действительно имеют место в слу- чае комбинации двух излучателей. Обратимость излучения получается непосредственно, если при измере- нии поменять приемное и передающее устройства. Согласно теореме Харрингтона и Виленеза [1.10] обратимость можно доказать также, если изменить знак магнитного поля и показать, что при этом излучающие свойства не меняются. Указанный обратимый излучатель СВЧ может применяться в радио- локационной технике для чисто электрического качания луча, если отно- сительно слабая направленность повышается с помощью специальных методов. Как показали Уиллер [5.701 и Медвед [6.38], это в принципе можно осуществить с помощью систем, аналогичных линзовым. Однако так как качание луча всегда происходит в направлении магнитного поля, то при качании, симметричном относительно направления главного излу- чения, требуется специальное устройство для регулировки и коммутации тока в катушках. 208
5.2. Излучение простого рупорного излучателя Рис. 5.7. Важнейшие типы рупорных антенн: а— Е-плоскостной секториальный рупор; б — //-плос- костной секториальный рупор; в — пирамидаль- ный рупор; г — конический рупор, 3 —экспонен- циальный рупор; е— параболический рупор; ж —биконический рупор. 5.2.1. Различные типы рупорных излучателей На практике применяются различные типы рупорных излучателей, которые служат главным образом в качестве облучателей для зеркальных и линзовых антенн, однако находят применение также как самостоятель- ные антенны, обладающие умеренной или острой направленностью. Мы будем рассматривать только такие излучатели, в которых излучение осу- ществляется через явно выраженный раскрыв. Другие типы излучателей, не имеющие явно выражен- ного рупорообразного строе- ния, но обычно тоже назы- ваемые рупорными, как, на- пример, специальные облу- чатели, рассматриваются в другом разделе при описании соответствующих вторичных излучателей. Для простоты подразде- лим все рупорные излуча- тели на следующие группы (рис. 5.7). I. Рупорные излучатели е двумя параллельными стен- ками. Самыми простыми типами являются секториальные ру- поры, которые при питании Я10-волной прямоугольного волновода имеют раскрыв в плоскости электрического или магнитного вектора. В со- ответствии с этим гово- рят о Е-плоскостном сек- тор иальн ом (Ё-plane horn) и //-плоскостном секториаль- ном (Я-plane horn) рупорах (рис. 5.7, а, б). 2. Рупорные излучатели, у которых сечение при при- ближении к раскрыву рас- ширяется равномерно во всех направлениях. Самой простой формой этого вида, соответствующей прямоугольному волноводу, является пирамидальный рупор (рис. 5.7, в), у которого в про- тивоположность секториальному обе пары стенок при приближении к рас- крыву расходятся. В случае конического рупора (рис. 5.7, г) питание производится преимущественно круглым волноводом. Особенностью экс- поненциального рупора (рис. 5.7, д) с прямоугольным или круговым сече- нием при правильном выборе размеров является согласование в широкой полосе частот. Кроме того, применяются сложные рупорные излучатели, которые соответствующим образом составлены из плоских частей стенок. 3, Рупорные излучатели, у которых внутри самого рупора происходит полное или частичное отклонение хода лучей. 14 Заказ № 1598 2 09
Рис. 5.8. Обозначения, принятые для рупорных излучателей. 1 —. горловина; 2 — раскрыв. Рис. 5.9. К расчету распределения поля (а) и излучения (б) в секторнальном рупоре. К ним относятся прежде всего так называемые параболические (рис. 5.7, а) рупоры (англ.: hoghorn) или рупорно-параболические антенны (последнее название используется в тех случаях, когда речь идет о само- стоятельной антенне с большой плоскостью раскрыва, которая приме- няется, например, в технике радиорелейной связи). Излучаемая энергия отражается внутри рупора на параболической поверхности таким обра- зом, что излучение происходит приблизительно перпендикулярно к на- правлению питания. 4. Рупорные излучатели с круговой характеристикой излучения (рис. 5.7, ж). Эти излучатели рассматриваются в разделе 5.5. Поверхность раскрыва рупора, через которую проходит излучаемая энергия, будем называть раскрывом рупора. Обоз- начение «апертура» сохраним для поверх- ности, лежащей в основе расчета излуче- ния и не обязательно совпадающей с рас- крывом. Место перехода от линии питания непосредственно к рупору называется гор- ловиной рупора. Длина рупора I — расстояние между горловиной и рас- крывом (при параллельных сечениях). На рис. 5.8 эти обозначения показаны для пирамидального рупора. Электрической длиной рупора будем называть его электрическую длину от горловины до апертуры (не раскрыва!), т. е. полную разность фаз между волной, падающей на апер- туру, и волной в горловине рупора (при этом разность фаз волны рас- сматривается непосредственно в рупоре, иначе говоря, скачок фазы, появляющийся при идеализированных предположениях при переходе от линии питания к рупору, не входит в электрическую длину рупора). Это определение предполагает, что поверхность, рассматриваемая в качестве апертуры, совпадает с поверхностью постоянной фазы, что, как правило, выполняется. Рупорные излучатели, которые могут работать на нескольких типах волн, имеют обычно для каждого типа волны свое значе- ние электрической длины. Основным типом рупорного излучателя является сектори- альный рупор, который рас- сматривается ниже. 5.2.2. Распределение поля в секторнальном рупоре В основу расчета распределе- ния поля в секторнальном ру- поре положим рис. 5.9, а и рас- смотрим цилиндрические коор- динаты р, ф, у, связанные с де- картовыми координатами соот- ношениями " г — q cos ф; х = q. sin ф; У = У- (5.23) 210
Для внутреннего пространства рупора, свободного от токов и зарядов, которое представляет изотропную среду с параметрами е, р., справедливы уравнения Максвелла в виде rot Е — —/ипН; rot Н = /wsE; } div Е = 0; div Н = 0. } ^5‘2^ Это эквивалентно восьми скалярным уравнениям в цилиндрической системе координат: = <б> (в) (г> = (е) _L (±_ (0Е } ч. ц_^ = о- (ж) Q | <эе dip J 4 ду и’ w — (qH0) -Н = о, (з) 2 | dg 0/ сНр J ду ' 7 Любое поле в рупоре удовлетворяет этим уравнениям. Кроме того, граничным условием является равенство нулю поперечной составляющей электрического поля на стенках волновода (которые считаются идеально проводящими). Секториальные и другие простые типы рупоров, такие, как пирами- дальные или конические, возбуждаются в большинстве случаев на основ- ной волне волновода с соответствующим поперечным сечением. Вследствие этого ограничимся расчетом двух случаев возбуждения Л10-волной (f-плоскостной секториальный рупор) и Н01-волной (JT-плоскостной сек- ториальный рупор) и для Е-плоскостного секториального рупора положим Ео = Еу = Н* = 0. Тем самым уравнения (5.25) переходят в следующие: - п- Ей 1 dip dip dip w (б) Т = — <в) >-4г=/й>8£'0; <г) т4(еЯ«)+^=0 << (5.26) 14 211
с граничным условием Е = 0 для у = 0 и у = — Ь. (5.27) Для расчета составляющих поля подставим Нб из (5.26, б) 'и Ну из (5.26, в) в (5.26, г), в результате чего получим дифференциальное уравне- ние для Е^\ + + J- + ( \ Еф = 0. (5.28) dtfl 1 сЭд® 1 g dg \ r ga / v Тогда величины Н и Ну могут быть выражены через Е^, Можно предположить, что картины поля на всех координатных поверх- ностях Q = const, так же, как на координатных поверхностях у — const, подобны (как и в случае прямоугольного волновода). Иначе говоря, представим £ф в виде = f (9) S (У) (5-29) и будем решать уравнение (5.28) методом Фурье. Подставляя (5.29) в (5.28) и деля на fg, получим c+r | J (6.30) Так как первый член не зависит от р, а другие члены не зависят от у, то каждая часть должна быть равна постоянной, а их сумма — равна нулю, в противном случае дифференциальное уравнение не будет являться тождеством. Положим первый член равным —с2, а сумму других членов равной с2, в результате чего получаем два обыкновенных дифференциаль- ных уравнения S" (у) + <?g(y) = 0; (5.31) Г (е) + ~-f' (в) + (Не) - 0. (5.32) Первое из этих уравнений имеет общее решение вида g (у) — Ае^ + Ве~№. Легко показать, что при учете граничного условия (5.27) можно ограни- читься только частным решением (до постоянного множителя) g(y) = sin(«4“) (5-33) и что одновременно отсюда определяется постоянная с = -=- (5.34) Общее решение уравнения (5.32) с учетом (5.33) можно представить в виде линейной комбинации двух линейно независимых цилиндрических функций первого порядка с аргументом Q |/Л<о2ер-------(см. [В 3, стр. 150]). Выберем для этого функции Ханкеля и положим /(е) - А (М2) (е₽) + ((?₽)}, (5.35) где d=/лн—£ = <5-зб> 212
Тем самым из (5.29) с учетом (5.33) и из (5.26, б, в) для отличных от нуля составляющих поля получаются следующие выражения: = A sin у) ШР (?Q) ~ гМ1’ (₽е)}; на = 1яР(₽е)4’гя{1,(₽е)}; (5.37) я, = Sin (J- у) |яр (Ре) + ГН^ (Ре)}. Асимптотически при больших Pq для функций Ханкеля справедливы выражения — -if, ЗР+1 А Н^(х)^У^е ' 4 ' ях V лх Следовательно, все параметры поля при возрастании расстояния q от горловины рупора убывают как 1/ре- Я^ и Яр представляют собой волны, которые распространяются в направлении возрастающих значе- ний q, а Яр и Я}11 — волны, распространяющиеся в противоположном направлении. Поэтому комплексную постоянную интегрирования г в уравнениях (5.37) можно считать коэффициентом отражения линии, образованной стенками рупора, в определенной точке. Соответствующий вывод для Я-плоскостного секториального рупора при £0 = = Ну ™ = 0 приводит к следующему представлению поля: Еу = A cos (рф) (Яр (Ае) + гЯР (А-q)}; = + (5.38) н* ” = cos (W)|я”' <w+W <feo>1 / л . ,<— 2л где р ~ и k = а у ей = -у— — волновое число. Лгц Нр' (kg) представляет собой производную функции Ханкеля р-го порядка по аргументу kg. Как следует из указанных выше асимптотиче- ских формул для функции Ханкеля, поперечные составляющие Еу и Я^ с возрастанием Q убывают как 1/у р, в то время как продольная состав- ляющая Яо убывает как I/eVV- Поле асимптотически переходит в плоское. На практике часто применяются пирамидальные рупоры с малым углом раскрыва в одной плоскости (преимущественно в качестве облучателей для зеркала в виде параболического цилиндра или цилиндрических линз). Поле в таком рупорном излучателе незначительно отличается от поля в секторнальном рупоре. Для пирамидальных рупоров с квадратным поперечным сечением Пифке [5.50] привел общее представление возмож- ных полей, аппроксимируя рупор с помощью «кругового секториального рупора», у которого стенки совладают с координатными поверхностями обычной сферической системы координат. Типы волн в этом рупоре соот- ветствуют волнам Етр и Нтп в прямоугольном волноводе. С возрастанием расстояния от горловины рупора поперечные составляющие убывают как 1/Q, а продольные составляющие — как 1/q2. 213-
5.2.3. Поле излучения сеиториального, пирамидального и конического рупоров j (ч, r) (f) e0 + ^-r, . (5.39) Метод, основанный на использовании распределения тока, из-за формы рупорного излучателя и незнания в связи с этим точного распределения тока непригоден для расчета поля излучения (см., однако, [5.59]). По- этому для расчета предлагается апертурный метод. В качестве апертуры целесообразно выбирать не раскрыв рупора, а часть поверхности Q = р2, расположенную непосредственно перед раскрывом рупора (рис. 5.9, а). Обозначим эту часть поверхности («прямоугольная» часть кругового цилиндра),;совпадающую с поверхностью равной фазы, через F. Поле излучения обычно определяется с помощью формул (4.24). Для расчета характеристики излучения используется выражение (4.32) при и = е0: При этом k =(о ]/е0р,0 = 2л/Х0 представляет собой волновое число в сво- бодном пространстве, а за Z с хорошей точностью принимается волновое сопротивление поля соответствующего типа волны в однородном прямо- угольном волноводе, поперечное сечение которого равно раскрыву рупора. Другие параметры рассмотрены в разделе 4.2.3 и представлены на рис. 5.9, б. Для описания характеристики излучения введем пространственные полярные координаты г, fl, ф с помощью соотношений г = г cos ф sin fl; х — г sin ф sin fl; у = г cos fl. } (5.40) Цилиндрические координаты в апертуре обозначим через ф', у'. Бла- годаря введению этих координат прежде всего получаем q (q> г) = Qs cos (ф' — ф) sin fl + у' cos fl (5.41) и тем самым для характеристики излучения Ш Ф) = т 1г’1 (5-42) где 1 (ф, ф) = J J g/ft cos«} х = — i|>0 jr' = — 6 X [e0 + ^- r, 9a dy' йф'. (5.43) В случае Е-плоскостного секториального рупора под интегралом сле- дует положить = ея>' ^е=ои взяв Е^ из формулы (5.37), и заменить у' на у, а в случае //-плоскостного секториального рупора Eq—q. = еХ 1(5-44) где Еу берется из формулы (5.38), а ф' заменяется на ф. Если положить в первом приближении коэффициент отражения г равным нулю, то полу- чаем: 214
для Е-плоскостного секториального рупора Ее=о= = Ч' Л sin (5.45) для Я-плоскостного Eq=Q, секторнального рупора - еу- A cos ( -J- Н&ъ (Aq2). (5.46) Единичные векторы е0, е^-, е^' связаны с единичными векторами ис- пользуемой сферической системы координат следующим образом: е0 == г sin ft cos (ф' — ф) + cos ft cos (ф' — ф) + + e^sin (ф' — ф); вф' = —г sin ft sin (ф' — ф) — е^-cos ft sin (ф' —ф) + + вф cos (ф' — ф); efi, = г cos ft — е- sin ft. (5-47) Если подставить эти соотношения в (5.43), то после вычисления ного векторного произведения с г для характеристики излучения чается для следующее представление: Е-плоскостного секториального рупора Ео (*, Ф) = =£ (₽&) {е^Е* + е^}, ДВОИ- п олу- (5.48) где + '1’0 Eg = -J- sin ft j sin (ф' — ф) e^e. cos <ф--ф) sin « x —Фо о x j sin ^y')eik‘i'^dy'-, —ъ (5.49) p.. = +Фо _ j COS (ф' — Ф) + Sin ft] cos (r-w sin « £(ф' X —te о (5.50) —b для /7-плоскостного секториального рупора Ео (ft, Ф) = (^а) (е*Её + е^}, (5.51) где = J -hcosflp' — -ф) J COS^-^-^-^eJAQ<COS W'-Waln x —Фй 0 x J e!ky‘cos ♦ dy’; -ь (5.52) 215
£ф Н-фо = cos* f COS (I'D —Фо sin (ф' — ф) eMoscos (Ф'-Ф) si" #ch|/ x j elky' ROS^y' —b (5.53) Получившиеся интегралы по у' вычисляются элементарно. В интегра- лах по if' целесообразно cos (ф' — ф) в экспоненте разложить в ряд по степеням ф' и ограничиться квадратичным членом (это приближение, при котором сферический фазовый фронт заменяется квадратичной зави- симостью, может применяться без существенных погрешностей для углов раскрыва 2ф0 S 60°). Кроме того, целесообразно представить тригономе- трические функции, содержащие ф', с помощью экспоненциальных функ- ций. Тогда получаются интегралы вида J = f е~> (“Ф'г+₽Ф'+т) ^ф'. (5.54) —фо С помощью подстановки они сводятся к интегралам Френеля (ср. раздел 4.3.5): е-1 (л/2) = 1/jL е1 ЩМа-т) X г 2а х (С (О - С (/_) - j [S (f+) - s (/_)}]; (5.55) В итоге расчеты становятся очень громоздкими (окончательные резуль- таты см. [5.16], [5.45]). При малых углах раскрыва (приблизительно 2ф0^ 35°) с достаточной точностью могут применяться формулы для излучения прямоугольного волновода с таким же раскрывом [5.45]. Усиление секториального рупора согласно разделу 1.5.2 определяется как частное от деления интенсивности излучения в главном направлении О = л/2, ф = 0 на среднюю интенсивность излучения: 4л (5.56) Мощность излучения Ра можно получить интегрированием вектора Пойнтинга по бесконечно удаленной сфере. Однако проще интегрировать непосредственно по раскрыву рупора, так как все излучение проходит через рупор. С помощью обычного приближения (ф' в экспоненте подын- тегрального выражения учитывается до второй степени) получается: для Е-плоскостного секториального рупора ° Iе’ (*• /¥)+sa (*•/¥)} • <5-57> 216
для Я-плоскостного секториального рупора G = {[С (U - С (L)P + [S &) - 5 (L)]2}, (5.58) А ^0 где ^=/-Йг-2^{1±4^-т1 ' -^У2 vO \ А ) (точное представление усиления, но также не в замкнутой форме, приво- дят Мюллер и Гёллер 15.45]). На рис. 5.10 и 5.11 приведены кривые усиления, полученные из (5.57) и (5.58), для Е- и Я-плоскостных секториальных рупоров при ширине раскрыва b = X (по Щелкунову с приближением ф0 = a/2Q2). При фикси- Рис 5 11. Усиление //-плоскостного сек- ториального рупора. Рис. 5.10. Усиление Е-плоскостного сек- ториального рупора. шается. Ширина раскрыва а, которой при заданном соответствует мак- симум усиления, приближенно определяется следующими соотноше- ниями: для Е-плоскостного секториального рупора а __ т/2ог 1 V к ’ (5.59) для Я-плоскостного секториального рупора д rcQj, % V х • (5.60) При постоянной величине раскрыва с возрастанием р3 усиление асим- птотически приближается к значению усиления прямоугольного волновода с таким же раскрывом, возбуждаемого основной волной. Действующая площадь А.„ секториального рупора при оптимальном выборе размеров согласно (5.59), (5.60) приблизительно составляет: для Я-плоскостного секториального рупора Aw = 0,52F = 0,52 aft; (5.61) 217
для //-плоскостного секториального рупора Лда = 0,665 = 0,66 ab. (5.62) Для усиления справедливо /._____ь Для пирамидального рупора мы не располагаем точными значениями поля в апертуре, необходимыми для расчета излучения, так как из-за отсутствия соответствующей системы координат, как правило, возможен лишь приближенный расчет поля в рупоре (стенки последнего обычно не совпадают с координатными поверхностями простой системы координат). Расчет поля в рупоре простыми спосо- бами возможен только при таких разме- рах рупора, которые позволяют аппрок- симировать его с помощью «сферического , секториального» рупора (см. замечание х в конце раздела 5 2.2 и, кроме того, [А 16]). Однако практика показывает, что диаграммы излучения в главных плос- костях лишь незначительно отличаются Рис. 5.12. К расчету фазовой зави- симости распределения в апертуре для пирамидального рупора. от диаграмм секториальных рупоров, расширяющихся в соответствующей плос- кости, если углы раскрыва не слишком велики. Следовательно, диаграмма излу- чения пирамидального рупора в 5-плос- кости практически совпадает с диаграммой излучения £-плоскостного секториального рупора с таким же продольным сечением в £-плоскости, а диаграмма пирамидаль- ного рупора в //-плоскости равна диа- грамме Я-плоскостного секториального рупора с таким же продольным сечением в //-плоскости (совпадение в £-плоскости лучше, чем в //-плоскости; см. [А 35, стр. 362], [5.45]). Вследствие этого полу- чается удобное приближенное выражение для общего поля излучения пирамидального рупора, возбуждаемого основной волной, если поло- жить амплитуду напряженности электрического поля в апертуре в 5-плос- кости постоянной, а в//-плоскости спадающей к краям рупора по коси- нусоидальному закону. При этом в качестве апертуры целесообразно рассматривать раскрыв рупора (т. е. напряженности поля в раскрыве полагать равными поперечным составляющим) и аппроксимировать фазо- вое распределение квадратичной зависимостью, предполагая, что фазо- вый центр поля в рупоре расположен в центре раскрыва питающего вол- новода. Следовательно, в выражение (5.39) для характеристики излуче- ния следует подставить (рис. 5.12) Е = e^cos Гл-уЛ е~lk (*'s+y'a)/2^ (5.63) е0 = ег; dF = dx.'dy'. 218
Тогда она принимает следующий вид: е.(М) = -£ Г +ь/2 " [ L у'=—Ь/Ч +а/2 j х'=—all Xe~lk (.(хл+у,к)/21)е}^ (ч. «) Гег 4- -у- г, dx' dy' (5.64) Кроме того, справедливо q (q, г) = х’ sin ф sin О + у' cos О. (5.65) Для длинных рупорных излучателей фаза в апертуре в первом прибли- жении может считаться постоянной. В этом случае интегралы вычис- ляются элементарно. Результат соответствует результату, полученному для раскрыва волновода таких же размеров. Рис. 5.13. Пояснение величин, входящих в формулу (5.66) для усиления пира- мидального рупора. Для усиления излучения пирамидального рупора на основании выра- жений (5.63)—(5.65) получаем (см., например, [5.45], [А 44]) 0 = «;(с’ + s’(l/¥*0)x х |[C (U) -- с (U)]! + is (Ьи) - s (WI. (5-66) При этом q2E и q2J7 представляют собой образующие пирамиды, а ф£ и фя— половинные углы раскрыва в Е- и Я-плоскостях (рис. 5.13). 5+н и 1-н — значения, взятые из выражения (5.58) при р2 = q2/f и ф0 = = фя Следовательно, усиление пирамидального рупора пропорционально произведению усилений £- и Я-плоскостных секториальных рупоров при фиксированной ширине b [уравнения (5.57) и (5.58)1. Усиление пирамидального рупора без существенных затруднений можно рассчитать достаточно точно (до десятых долей децибела) в области справедливости выражения (5.66). Поэтому рупорные излучатели очень часто используются в качестве эталона усиления. Указания по выбору размеров дают Браун [5.11] [5.12] и Слейтон [5.63] [5.62] (см., кроме того, [5.45]). При использовании подобных эталонов усиления для сравнительных измерений необходимо учиты- вать особенность рупорного излучателя, которая заключается в несин- фазном распределении поля в раскрыве. При синфазном возбуждении 219
плоской апертуры согласно разделу 4.3.5 расстояние измерения необхо- димо выбирать, принимая во внимание формулу (4.155), т е. таким обра- зом, чтобы эквивалентная фазовая погрешность не превышала 22,5°. При этом предположении кажущимся изменением усиления, которое полу- чается из (4,152), в большинстве случаев можно пренебречь. Для рупорного излучателя при идеальных допущениях квадратичная фазовая погреш- ность также отлична от нуля, tpj при конечном расстоянии измерения увеличивается еще на указанную в (4.153) величину. Это увеличение ска- зывается на кажущемся усилении сильнее, чем в случае синфазного воз- буждения при прочих равных условиях. Это вытекает из квадратичной зависимости характеристики излучения по мощности от <рх согласно (4.152), в результате чего увеличение фазовой погрешности от нуля до значения 6 изменяет интенсивность излучения в главном направлении меньше, чем увеличение от до (р£ + 6. Следовательно, для того чтобы при измерении Рис. 5.14. Диаграммы излучения пирамидальных рупоров с постоянным углом раскрыва в Е-плоскости и различными углами раскрыва в Я-плоскости. 1 — плоскость измерения. 0) Р=Ш 8 18 /4 18 22 28 38 3548 45 50к «ooomwmw •ewwwv оценить с достаточной точностью истинное усиление рупорного излуча- теля, необходимо выбирать большее расстояние между излучателем и при- емником, чем следует из неравенства (4.155). Если этого не учитывать, то погрешности измерения могут быть довольно велики. Количественные результаты в виде семейства кривых приводятся в [5.11], [5.12]. Если в случае пирамидального рупора стремятся получить лепесток диаграммы излучения с приблизительна вращательной симметрией, то раскрыв следует выбирать не квадратным, а таким, чтобы сторона в Я- плоскости (при нашем обозначении сторона Ь) была больше стороны в Е- плоскости; иначе из-за равномерного распределения в /--плоскости диа- грамма излучения в этом направлении при квадратном рупоре была бы острее, чем в Я-плоскости. В заключение сопоставим некоторые экспериментальные результаты, которые могут быть полезны при расчете рупорных излучателей с прямо- угольным поперечным сечением. На рис. 5.14, б приведены различные диаграммы в £-плоскости для пирамидального рупора с 2ф₽ = 40° (рис. 5.14, а) и различных углов раскрыва в Я-плоскости. Диаграммы, экспериментально полученные Родесом [5.55], показывают, что угол раскрыва в Я-плоскости практи- чески не влияет на диаграмму излучения. Через R обозначена длина образующей пирамиды рупора от его раскрыва до питающего волновода. На рис. 5.15 приведены некоторые измеренные диаграммы излучения пира- мидального рупора в £-и Я-плоскостях в зависимости от/? и угла раскрыва. 220
При этом угол раскрыва в плоскости, перпендикулярной плоскости изме- рения, постоянен и равен 40°, Измерения проводились на длине волны 1,25 см, а при коротких рупорных излучателях — 10 см. Появление пиков в диаграмме в £-плоскости при больших длинах рупора можно объяснить возникновением в последнем типов волны более высоких порядков. На рис. 5.16 приведена зависимость оптимального угла раскрыва 2фв или, соответственно, 2ф^ от длины рупора I аня Е- и /f-плоскостей (по [А 21 ]). При этом под оптимальным углом раскрыва следует понимать такой угол, а) R= 1А 2 3 4 5 6 2 8 10 12 14 18 18 20 22 24 25 28 30 35 40 45 50А ^’ОООООООООО О Q О Q Q Q О О О О О О J «ООООООООШ НИППКН ЯО О О О О Н О II IIIII Н Н П П •”0 s о о о о п н О OVOO ш во ш “О О И ^"'0 О О О О OVWVWtWVWW, 4 й= и г з в s в 7 в зв вз я я я зв ззгвзв зв зв зв«вв ввв ^QQQQQQQQOQOOOOOOOOOPIII «Ооооооооомошшшн «ООО о о о ошнпшннп *оо о о о о iiiiiiiiiiiiiim “00 О Ш ПОШШООРНООО г^»'О О О О О О О О Q 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 0 0 Рис. 5.15. Диаграммы излучения (по Родесу) пирамидального рупора в £-плоскости (а) и Я-плоскости (б). который при соответствующей длине рупора дает минимальное значение ширины диаграммы по половинному уровню. На кривых указаны, кроме того, соответствующие значения ширины диаграммы по половинному уровню и длйны сторон раскрыва рупора. Для ширины диаграммы по уровню 10 дб пирамидальных рупоров наиболее часто применяемой формы (раскрыв приблизительно 20°) и малых размеров Сильвер (см. [А 35, стр. 365]) приводит следующие эмпирические формулы: в £-плоскости 2^f[10 дб] = — -88° (4- < 2,5^ ; (5.67) 0 \ л / 221
в Н- плоскости 2^ [10 56] = Х.79° + 31° (4<з). Излучение конического рупора (рис. 5.7, г) может быть рассчитано в первом приближении как излучение раскрыва круглого волновода таких же размеров. Однако в случае коротких излучателей необходимо учиты- вать фазовую погрешность в раскрыве (аппроксимация изменения фазы квадратичной зависимостью). При постоянной длине излучателя с возра- станием угла раскрыва возникает тот же эффект, что и в случае секториаль- Рис 5 16. Экспериментально определенные оптимальные углы раскрыва 2фк и пирамидальных рупоров (по Краусу). ного и пирамидального рупоров, который состоит в том, что острота диаграммы растет до оптимального значения, а затем убывает. Для зави- симости между длиной излучателя I и половинным углом раскрыва при оптимальных размерах Домбровский [А 8] указывает следующее соотношение: cos ф0 ==----!—г. (5.68) 1 + 0,3-^- 6.2.4. Параболический рупор Параболиче