ПРОЧНОСТЬ
ГОРНЫХ ПОРОД
И УСТОЙЧИВОСТЬ
> ВЫРАБОТОК
НА БОЛЬШИХ

ГЛУБИНАХ

МОСКВА „НЕДРА" 1985
УДК 622.012.24.823.23:622.83

Ставрогин А. Н., Протосеня А. Г. Прочность горных пород и устойчивость
выработок на больших глубинах.—М.: Недра, 1985, 271 с.

Рассмотрен комплекс вопросов, связанных с повышением устойчивости выра-
боток на больших глубинах. Изложены результаты исследований прочности
н деформируемости горных пород при различных видах напряженного состояния
н изменении скорости нагружения, приведены уравнения связи между напря-
жениями и деформациями в предельном и запредельном состояниях. Отмечены
особенности поведения горных пород при малых скоростях деформирования,
описан механизм разрушения при ползучести горных пород, а также случаи
хрупкого, вязкого и смешанного разрушения. Приведены методики прогнозиро-
вания процессов деформирования горных пород вокруг горных выработок
н оценки их устойчивости, выбора оптимальной податливости и несущей способ-
ности крепей.

Для работников научно-исследовательских и проектно-конструкторских
институтов. '

Табл. 20, нл. 108, список лит.—52 назв,

Рецензент: В. Т. Глушко, проф., д-р техн, наук (Днепропетровский ин»
статут инженеров железнодорожного транспорта им, М, И, Калинина)

„2501000000-446 „„ ,

С 043(01)-85 128'85

© Издательство «Недра», 1985
ПРЕДИСЛОВИЕ

В соответствии с Основными направлениями экономического
и социального развития на 1981—1985 годы и на период до
1990 года осуществляется опережающее развитие сырьевой базы
горнодобывающих отраслей промышленности.

Дальнейшее увеличение добычи полезных ископаемых связано
с разработкой месторождений на больших глубинах и в сложных
горно-геологических условиях. С переходом горных работ на
большие глубины геомеханические процессы в массивах пород
претерпевают качественные и количественные изменения. При
действии статических и динамических нагрузок горные породы
вокруг выработок и скважин переходят в предельное состояние
и разрушаются в условиях неоднородных объемных напряженных
состояний. Наблюдается динамическое разрушение пород в фор-
ме горных ударов и внезапных выбросов, частота и интенсивность
которых с глубиной возрастают. Поэтому решение проблем устой-
чивости выработок и скважин на больших глубинах, горных
ударов и внезапных выбросов угля, породы и газа, управления
процессами при промышленных взрывах имеет первостепенное
значение для горнодобывающей промышленности. От их решения
зависят размеры капиталовложений, технология добычи полезных
ископаемых, безопасность ведения горных работ и рентабельность
работы горных предприятий.

Вышеназванные проблемы связаны с рассмотрением геомеха-
нических процессов в массивах горных пород на основе уравнений
состояния от начала процесса нагружения и до полной потери
ими несущей способности при изменении скорости нагружения,
вида напряженного состояния, насыщенности среды газом и жид-
костью и фильтрационных свойств.

Горные породы представляют собой сложную, неоднородную
и многофазную среду, состоящую из структурных элементов (зе-
рен) с отличающимися друг от друга физическими и механиче-
скими свойствами и из пор, микротрещин и субмикротрещин,
насыщенных газом и жидкостью.

Неоднородность строения является причиной специфического
поведения горных пород при деформировании и разрушении их
в условиях сложных напряженных состояний и изменении скоро-
сти нагружения. Наиболее существенными особенностями в пове-
дении горных пород являются эффект увеличения объема (дила-
тансия) в процессе необратимой деформации в условиях трехос-
ного неравнокомпонентного сжатия и наличие максимума и
ниспадающей (запредельной) ветви на диаграмме «напряжение —
деформация».
Неупругое увеличение объема горной породы в результате
необратимой деформации может достигать нескольких десятков
процентов и существенно превосходить упругие объемные дефор-
мации.

Дилатансия оказывает существенное влияние на напряженно-
деформированное состояние массива горных пород вокруг вырабо-
ток, а образующаяся при дилатансии микротрещиноватость в ряде
случаев очень сильно (на несколько порядков) меняет фильтра-
ционные свойства пород, которые играют определяющую роль
при формировании и протекании внезапных выбросов угля, соли,
пород и газа.

Под влиянием дилатансии формируются и изменяются коллек-
торские свойства горных пород. Известно, что зоны аномально-
высоких пластовых давлений при разработке газовых месторожде-
ний всегда приурочены к участкам массивов, в которых про-
исходили интенсивные тектонические движения с образованием
необратимых деформаций. Наличие максимума и запредельной
ветви на диаграммах «напряжение — деформация» является причи-
ной эффектов, возникающих при хрупком разрушении горных пород
в виде разлета осколков и сейсмических колебаний. Такого типа
разрушения реализуются при горных ударах, а также некоторых
видах землетрясений.

Весьма актуальна также проблема изучения закономерностей
деформирования и разрушения насыщенных газом или жидко-
стью пористых сред. Именно в таких средах формируются и про-
исходят внезапные выбросы угля, соли, породы и газа.

При рассмотрении вышеназванных проблем авторами сделана
попытка доведения результатов экспериментальных исследований
до практического использования с помощью теоретического обоб-
щения и создания методик расчета.

В проведении экспериментов, отработке методики исследований
и в разработке оборудования, а также обработке эксперименталь-
ных результатов принимали участие Н. В. Фокеев, О. А. Ширкес,
Ю. П. Королев, Н. В. Стешова, В. С. Георгиевский, Е. Д. Певзнер,
А. Т. Карманский, Е. В. Лодус, Б. Г. Тарасов, М. С, Огнев,
Е. 10. Семенова, В. Ф. Авксентьева, Н. М. Полковская.
1.	МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЙ
МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ГОРНЫХ ПОРОД

Помещенные в предлагаемой монографии результаты экспери-
ментальных исследований физико-механических свойств горных
пород были получены с помощью обширного комплекса уникаль-
ного лабораторного оборудования, специально для этих целей
разработанного.

Условия экспериментов менялись в широких пределах и позво-
лили исследовать влияние вида напряженного состояния, скорости
деформирования, порового давления, а также изучить фильтра-
ционные свойства пород в процессе деформации при сложных
напряженных состояниях. Специальные жесткие прессы позволили
получать полные диаграммы «напряжение—деформация», вклю-
чая области, расположенные за пределом прочности.

Сложное осесимметричное напряженное состояние менялось
от одноосного сжатия до сжатия при различных уровнях бокового
давления, которое достигало более 200 МПа.

При этом скорость деформирования образца в осевом направ-
лении непрерывно изменялась от 10~10 до 10+2с-1, что охватывало,
с одной стороны, скорости ползучестти, а с другой — скорости уда-
ра, приближающиеся к скоростям деформаций при взрыве.

Поровое давление в образце, создаваемое газом или жидко-
стью, достигало 100 МПа.

Фильтрационные свойства изучались в двух взаимно перпенди-
кулярных направлениях: вдоль оси и поперек образца.

Жесткость испытательных прессов составляла 2 • 1010 Н/м, что
позволило исследовать запредельные области диаграмм у самых
хрупких горных пород.

1.1.	Методика экспериментальных исследований
при заданной скорости деформирования

При всех условиях эксперимента, кроме опытов на ползучесть,
общим являлось устройство образцов горной породы (рис. 1J.
Образец 1 в виде керна диаметром 30 и длиной 80 мм имеет на
концах сферические подпятники 3 с уплотняющей обоймой 4.
Сфера 2 необходима для надежной центрировки и устранения пе-
рекосов образца при испытании. Деформации измерялись с по-
мощью тензодатчиков 5 и 6, непосредственно наклеенных на
поверхность образца, а также с помощью экстензометров 7, пред-
ставляющих собой стальную балочку с наклеенными на нее с двух
сторон тензодатчиками сопротивления 8. Балочка упирается нако«
нечником 9 во втулку. Вертикальные перемещения втулок при
деформации образца изгибают балочку, которая предварительно
тарируется. Поперечные деформации измерялись с помощью
2

Рис. 2. Схема нагружающей части установки для испытаний в условиях одно
осного сжатия при скоростях деформирования от 1О~10 до 10— с-1
экстензометров 10, представляющих собой стальную скобочку
с наклеенными на нее с двух сторон тензодатчиками сопроти-
вления.

При деформации образца скобочка изгибается. Последнее реги-
стрируется измерительной аппаратурой. Скобочка также предва-
рительно тарируется. Термопара 11 применяется для контроля за
температурой образца.

Поверхность образца защищается от проникновения в него
передающей боковое давление жидкости полиэтиленовой пленкой,
которая обеспечивает надежную герметичность.

1.2.	Методика испытаний при скорости деформирования
от 10-10 до 10~2 с-1

Диапазон скоростей деформирования от 10-10 до 10+2 с-1 не-
возможно осуществить на одной установке или на одном виде
оборудования. В этом случае необходимо иметь по крайней мере
две методики и два типа оборудования (для исследований при
скорости деформирования от 10~10 до 10 2 с-1 йот 10-2 до 10+2 с-1).
В диапазоне скоростей от 1СН° до 10-2 с-1 при испытаниях в ус-
ловиях одноосного сжатия время опыта изменялось от нескольких
секунд до трех месяцев. Нагружение на образец задавалось на
установке, принципиальная схема которой показана на рис. 2. Ис-
пытуемый образец 4 помещался в специальном держателе — обой-
ме 3, рассчитанной на одновременную установку
последовательно трех образцов-близнецов. Дер-
жатель с образцами укреплялся в корпусе кли-
нового редуктора 2. Для. измерения усилия на
образце применяется динамометр 6, установлен-
ный последовательно в цепь с образцами. Редук-
тор установлен на механическом прессе, на кото-
ром нагрузка задается винтом 5, получающим
движение от двух электродвигателей 10 и И. От
двигателя 11 вращение на шкив 8 может пере-
даваться с помощью клиновой ременной пере-
дачи либо от шкива 7, либо от шкива 9. При
этом шкив вращается со скоростью 0,05 с-1,
а шкив 9 — 0,0025 с-1. Электродвигатель 10 на-
прямую связан с редуктором пресса, переда-
ющим движение силовому винту пресса. Таким
образом, двигатель 11 обеспечивает низкие ско-
рости деформирования (0,0025—0,05 с-1), а дви-
гатель 10 — высокие скорости (23,3 с-1).

Дополнительное уменьшение скорости деформирования полу-
чается за счет клинового редуктора. Сменный набор клиньев 1
позволяет изменять передаточное число от 1 : 4 до 1 : 64 за счет
изменения угла клиньев.

Опыты продолжительностью до 1 мин проводятся на прессе
без клинового редуктора, нагрузка задается двигателем 10. При
этом образец устанавливается на столе пресса в специальном
центрирующем устройстве, показанном на рис. 3. В корпусе 1
центрирующего устройства строго по вертикальной оси размеща-
ется образец 2. Последовательно с образцом помещены два
динамометра 3, представляющие собой упругие стальные стержни,
усилия в которых измеряются наклеенными на поверхность
тензометрами сопротивления. Предварительно динамометры тари-
руются. Показания динамометров регистрируются шлейфовым
осциллографом.

1.3.	Методы измерения деформаций

В диапазоне низких скоростей деформирования от 10-10 до
10-Б с-1 деформации измеряются с помощью индикаторов часового
типа с применением зеркальных экстензометров.

Рис. 4. Образец, оснащенный устройствами для измерения деформаций

Образец 5, оснащенный двумя зеркальными экстензометрами 10
для измерения продольных деформаций и индикатором часового
типа 8 с ценой деления 0,001 мм для измерения поперечной дефор-
мации, показан на рис, 4. Индикатор укреплен на скобе 7, име-
ющей упругие шарниры 11, изготовленные из стальных полосок,
которые одновременно применяются для прижима к поверхности
образца стойки индикатора и упора 3. Снизу пластинки 1 прикреп-
лены к детали 12, жестко связанной с нижним подпятником об-
разца 13.

Ножи зеркальных экстензометров установлены на образце
в средней его части с помощью струбцины (на рис. 4 не показа-
на), которая прижимает к образцу неподвижный 2 и поворотный
6 ножи. Поворотный нож одним острием упирается в поверхность
образца, другим — в призму 4. С ножом 6 жестко связаны рычаги
9 с укрепленными на них зеркальцами 10. База измерения равна
30 мм. Регистрация поворота зеркал при деформации выполняется
с помощью теодолита по схеме Мартенса.

Деформации и напряжения в опытах продолжительностью от
1 с до 10 мин регистрируются с помощью непрерывной записи на
8
многоканальном шлейфовом осциллографе. В качестве датчиков
используются тензометры сопротивления, наклеиваемые непосред-
ственно на поверхность образца, на тензометрические балочки и
скобочки (см. рис. 1), а также на рабочую поверхность упругого
динамометра, измеряющего величину осевой нагрузки, прилага-
емой к образцу. Динамометр представляет собой цилиндрический
упругий стержень длиной 1=90 мм, имеющий сферическую опор-
ную поверхность на торце. Деформация динамометра определяет-
ся в его средней цилиндрической части с помощью наклеенных
под углом 120° трех тензодатчиков, что позволяет устранить вли-
яние возможных перекосов. Динамометр изготовлен из термически
обработанной стали марки 45ХНМФА.

Тарировка динамометра выполняется на прессе. Погрешность
измерений не превышает 3—4 %- Имеется комплект динамометров,
рассчитанных на разные нагрузки от 3-104 до 200-104 Н и выше.
Применение того или иного типа динамометров определяется проч-
ностью исследуемых пород.

1.4.	Ползучесть и долговечность горных пород

Ползучесть есть частный случай проявления фактора времени
в проблеме прочности и разрушения твердых тел. Эксперимент
выполнялся в условиях постоянной заданной нагрузки, имеющей
разный уровень относительно предела прочности. Если рассмат-
ривать ползучесть с точки зрения опытов с заданной скоростью
деформирования, то это будет соответствовать тому условию, когда
задаваемая скорость деформирования точно совпадает со ско-
ростью ползучести, что и приводит к постоянно действующей
нагрузке. ।

Испытания выполнялись на пружинных прессах УДИ (устано-
вок длительных испытаний), позволяющих развивать максималь-
ное усилие 100-104 Н. Постоянство задаваемой нагрузки обеспе-
чивается упругой энергией сжатых пружин. На рис. 5 показана
принципиальная схема пресса. Образец 2 устанавливается на
подвижной траверсе 3. Нагрузка задается гидродомкратом 9. Уси-
лие на образец передается через фиксирующий винт 6, пакет
пружин 5 на траверсу 3. Когда нагрузка доведена до нужного
уровня, полученная стрела прогиба пружин фиксируется гайкой 7,
опирающейся на траверсу 8. После этого нагрузка на образец
замыкается через колонны 4 и неподвижные траверсы 1 и 10.
Величина задаваемой нагрузки контролируется по стреле прогиба
пружин, которые предварительно тарируются по контрольному
динамометру. Опыты на ползучесть позволяют охватить диапазон
скоростей деформирования от 10-10 до 10-8 с-1.

Общий вид образца для испытаний в режиме ползучести на
одноосное сжатие показан на рис. 6. Образец имеет форму приз-
мы размером 150X150x300 мм. Сжимающая нагрузка Р переда-
ется через сферический шарнир. Деформации измеряются систе-
мой индикаторов часового типа. Индикаторы 8 и 4 (последний на
рисунке не виден) измеряют продольную деформацию всего об-
разца. Индикаторы 5 и 3 (последний также не виден) измеряют
продольную деформацию образца в его средней части на базе
100 мм, а 6 и 2—поперечные деформации в двух взаимноперпен-
дикулярных направлениях в средней части образца. Индикаторы

/ и 7 измеряют также поперечные деформации, но в нижней части
образца, удаленной от торца примерно на */4 его длины.

На рис. 7 показан общий вид зала с установками УДИ.

1.5.	Методика исследований при сложных напряженных
состояниях

Испытания в условиях трехосного неравнокомпонентного сжа-
тия типа О1>О2 = оз проводились в камерах высокого давления.
Одна из таких камер, предназначенная для экспериментов в диа-
пазоне низких скоростей деформирования от 10~10 до 102 с-1, по-
казана на рис. 8. Давление в камере 2 создается насосом 12 и

Ю
замеряется манометром 8. Постоянство давления в системе под-
держивается гидравлическим аккумулятором 9, который при не-
обходимости может быть отключен краном 10. Камера рассчитана
на максимальное давление 300 МПа. Кран 11 применяется для
отключения насоса после достижения в системе нужного уровня
давления. У

Рис. 7. Общий вид зала
с установками УДИ

Образец 1 размещается в корпусе камеры между нижним и
верхним пуансонами. При этом верхний пуансон 3 является одно-
временно тензометрическим динамометром, измеряющим переда-
ваемое штоком 4 осевое усилие на образец. В верхней части раз-
мещена компенсационная камера 5, предотвращающая выталки-
вание штока 4 создаваемым в камере давлением. Компенсационная
камера с рабочей соединена каналами, проделанными в штоке.
В верхнем конце штока помещен электроввод высокого давления 7.
Опорный подпятник 6, имеющий сферу, применяется для передачи
осевого усилия, получаемого от пресса, на котором устанавливает-
ся камера. Тензометрические показания от динамометра и экстен-
зометра, измеряющих деформации образца в камере, регистриру-
ются при помощи мостовых схем.

Камера с образцом устанавливается на прессе УДИ (см. рис. 5),
и при скоростях деформирования от 1Q'10 до 10-4 с-1 нагрузка
задается ступенями, а от 10"4 до 1(Н2 с-’ — с помощью впрыски-
вания в рабочий гидродомкрат пресса УДИ сжатой жидкости из
дополнительного аккумулятора давления. Дросселирование впры-
скиваемой в гидродомкрат жидкости с помощью набора ниппелей
позволяет легко варьировать скорость нагружения.

Рис. 8. Схема камеры высокого давления для исследований при низких скоростях
деформи роваиия

1.6.	Методика исследований при скорости деформирования

от 101 до 10+2 с-1

Данный диапазон условий эксперимента реализуется на испы-
тательной установке, схема которой показана на рис. 9 [1]. Несу-
щая силовая конструкция выполнена в виде рамы 13, состоящей
из двух траверс, соединенных между собой четырьмя колоннами
10, имеющими силовые гайки И. Максимальное усилие, разви-
ваемое прессом, равно 300-104 Н. Устройство с испытуемым образ-
цом размещено в силовой раме. Принцип работы установки осно-
ван на расширении предварительно сжатой до высокого давления
жидкости в ресивере 12. Заключенная в ресивере жидкость отде-
лена от рабочего цилиндра 8 быстродействующим клапаном 6.
После открытия клапана 9 жидкость из ресивера 12 перетекает
в полость цилиндра 8 и воздействует на шток 7. Скорость переме-
щения штока 7 может изменяться в широких пределах. Последнее
12
достигается вариацией трех факторов: величиной начального дав-
ления в ресивере; сечением дросселирующего устройства, уста-
новленного по пути перетекания жидкости; изменением вязкости
жидкости. Все это вместе взятое позволило менять скорость дви-
жения штока более чем на 4 десятичных порядка. Скорость пере-

мещения штока определяет
скорость деформации испыту-
емого образца 3, размешенно-
го в камере высокого давления
2. Шток 7 приводит в движе-
ние шток 5 камеры высокого
давления, который, в свою оче-
редь через динамометр 4 воз-
действует на образец 3. В верх-
нем цилиндре 6 имеется ком-
пенсационная камера, благо-
даря которой шток 2 становит-
ся безразличным к гидростати-
ческому давлению в испыта-
тельной камере 2 и поэтому
при изменении давления оста-
ется неподвижным. Компенса-
ционная камера 6 с испыта-
тельной 2 соединена каналами
большого сечения, проделан-
ными в штоке 5. Каналы боль-
шого сечения уменьшают гид-
равлическое сопротивление пе-
ретеканию жидкости при быст-
рых перемещениях штока.

Работа на установке ведет-
ся в следующем порядке. Пе-
ред подачей давления в реси-
вер 12 нагружающая часть
пресса распирается давлением,
создаваемым в цилиндре 7 с
помощью насоса 15. Распор
необходим при динамическом

Рис. 9. Схема динамической испытательной
установки

нагружении, так как исключает

всякого рода аварии и, кроме того, обеспечивает надежную
работу уплотнений. После этого может создаваться давление
в ресивере 12 с помощью гидронасоса высокого давления 14. Испы-
тательная камера вместе с установленным в нее образцом вдвига-
ется в силовую раму пресса. Камера по высоте регулируется
установочным гидродомкратом 1, который позволяет дать некото-
рый предварительный распор ее в прессе. После этого задается
давление в испытательной камере, которое может достигать
300 МПа. Постоянство давления в камере во время опыта поддер-
живается гидравлическим аккумулятором давления 17. Все изме-

рения в камере выполняются тензометрами сопротивления, для
чего камера имеет электроввод высокого давления 17. Регистри-
руются поперечная и продольная деформации образца и осевое
усилие на образце. Запись ведется на шлейфовых осциллографах
при скоростях деформирования не выше 10+1 с-1. В диапазоне
скоростей от 10+1 до 10+2 с-1 регистрация ведется на катодных
осциллографах со ждущей разверткой. Камера имеет электроввод
высокого давления 16.

1.7.	Методика исследований полных диаграмм
«напряжение — деформация»

Изучение полных диаграмм «напряжение — деформация»,
включающих запредельную область, расположенную за пределом
прочности, позволяет выяснить весь резерв несущей способности
горной породы, учитывающий и тот крайний случай, когда в ма-
териале образовались поверхности разрушения, по которым пол-
ностью потеряна связность, а сопротивление внешним нагрузкам
оказывают силы трения, возникающие по поверхностям разруше-
ния. Использование всех резервов несущей способности материалов
характерно для задач горного дела, связанных с устойчивостью
подземных горных выработок, прогнозированием горных ударов
и внезапных выбросов угля, породы, газа и т. д.

В инженерных конструкциях и сооружениях, поддающихся
точным расчетам, знание запредельных характеристик материалов
не требуется, так как узлы и детали этих конструкций всегда ра-
ботают при нагрузках ниже предела прочности, так что запредель-
ная область здесь никогда не достигается. Изучение запредельных
характеристик получило широкое развитие во всем мире, в основ-
ном в последнее десятилетие, хотя сам по себе этот вопрос не
является новым (первые опыты при растяжении металлов с обра-
зованием шейки были проведены еще в прошлом веке).

Вследствие более высокой хрупкости горных пород по сравне-
нию с металлами изучение их запредельных характеристик воз-
можно только на прессах, имеющих высокую жесткость. Как
правило, выпускаемые промышленностью испытательные прессы
такой жесткостью не обладают.

Пресс с высокой жесткостью позволяет процесс деформирова-
ния за пределом прочности сделать управляемым, т. е. подводить
к образцу ровно столько энергии, сколько необходимо ему для
деформирования. Поэтому образец на жестком прессе никогда не
разлетается. Процесс идет спокойно, без звука и динамических
эффектов вплоть до полной потери несущей способности.

На прессе с низкой жесткостью после достижения предела
прочности дальнейшее деформирование образца идет за счет упру-
гой энергии, накопленной в нагруженных деталях пресса. Поэтому
процесс становится неуправляемым. Образец разрушается бурно,
а иногда даже взрывоподобно. Это происходит потому, что коли-
чество накопленной в прессе энергии велико. Оно-то и приводит
к динамическим эффектам, сопровождающим разрушение образца
хрупкого материала.
1.8.	Жесткий пресс для испытания при одноосном сжатии
в статических условиях нагружения

Схема жесткого пресса для испытания на одноосное сжатие при
статическом режиме нагружения показана на рис. 10 [3]. Пресс
без автоматики имеет жесткость 2-Ю10 Н/м, что позволяет испы-
тывать на нем самые хрупкие горные породы. Жесткость пресса
обеспечивается массивной цельнометаллической рамой 5, клиновой

Рис. 10. Схема жесткого пресса для статических испытаний

нагружающей самотормозящейся парой 14 и импульсной гидрав-
лической системой, размещенной в корпусе 6. Импульсная гидрав-
лическая система отдельными точками, аналогичными удару моло-
том, вдвигает нагружающий клин, создающий нагрузку на образец.
Импульсное вдвигание клина предотвращает накопление упругой
энергии в нагружающей системе, что значительно повышает жест-
кость пресса.

Пресс работает следующим образом. Образец 3 устанавлива-
ется на поверхность клина 2, который одновременно является
динамометром. Вдвиганием нижнего нагружающего клина образец
плотно поджимается к верхней поверхности рамы. Поджатие осу-
ществляется вручную винтом 10, который передает усилие на на-
гружающий клин через клиновую пару 8 и детали гидроцилиндра
9 и 7. После поджатия образца начинается его испытание на проч-
ность. Гидравлический импульс создается ручным насосом 11,
у которого снят нагнетательный клапан. Насос 11 имеет постоянно
открытую связь с гидродомкратом и питается от бачка 12.
Импульс жидкости продвигает на определенную величину нагру-
жающий нижний клин. После этого жидкость из гидроцилиндра
вытекает за счет поджатия клиновой пары 8, приводимой в дви-
жение грузом 13. Таким образом обеспечивается постоянное под-
жатие всей системы, которое, однако, недостаточно для того, чтобы
самостоятельно двигать нагружающий клин. Величина деформа-
ции образца за один импульс регулируется объемом впрыскива-
емой насосом И жидкости. Диапазон изменения деформации за
один цикл составляет 0,001—0,05 мм. Изменяя частоту импульсов
и объем жидкости в одном импульсе, можно изменять скорость
деформирования образца от 10-8 до 10~3 с-1, что соответствует
длительности опытов от нескольких недель до нескольких секунд.

Деформации образца измеряются: осевая — индикатором-нут-
ромером 4, поперечная — экстензометром, установленным на
образце.

После того как образец испытан, клиновая пара 8 возвраща-
ется в исходное состояние, а нагружающий нижний клин вдвига-
ется на первоначальное место вручную с помощью винта 1.

1.9.	Жесткий пресс для испытаний в условиях
одноосного сжатия при динамическом режиме нагружения

Испытания при скоростях деформирования свыше 10-3 с-1
проводятся на импульсном гидравлическом жестком прессе [2],
позволяющем охватить высокие скорости деформирования от 1СН3
до 10+1 с-1. Схема пресса показана на рис. 11. Образец 7 установ-
лен на клиновой самотормозящейся паре. Клин 8 является одно-
временно динамометром, работающим от датчиков сопротивления.
Клин 9 применяется для предварительного поджатия образца
силой Р. В этом случае образец верхним торцом упирается без
зазора в нагружающий плунжер 5, размещенный в массивной
жесткой раме пресса 6. В верхней части рамы 6 укреплен ресивер
переменной емкости 3. Сжатая жидкость в ресивере закачивается
гидронасосом. Объем ресивера отделен от нагружающего плун-
жера 5 быстродействующим клапаном 4.

Пресс работает на принципе расширения сжатой жидкости.
После того как жидкость в ресивер закачана до необходимого
давления и в нужном объеме, клапан 4 открывается, жидкость
начинает действовать на плунжер 5, который ею выталкивается
с большой скоростью, передающейся на образец 7. Продольная и
поперечная деформации образца, а также показания динамометра
регистрируются на шлейфовом или катодном осциллографах.
Деформации измеряются тензометрическими экстензометрами или
датчиками сопротивления, непосредственно наклеенными на по-
верхность образца.

Объем рабочего пространства ресивера регулируется положе-
нием плунжера 2, которое фиксируется винтом 1. Скорость движе-
ния рабочего плунжера изменяется в широких пределах за счет
16
Рис. 11. Схема жесткого
пресса для динамических
испытаний

Рис. 12. Зависимость на-
грузки на образец от его
запредельных деформаций

дросселирующего устройства, размещенного в корпусе клапана 4,
и изменения вязкости применяемой рабочей жидкости. Для того
чтобы был обеспечен режим быстрого нагружения при постоян-
ной, заданной перед началом эксперимента, скорости деформиро-
вания в допредельной и запредельной областях диаграммы «на-
пряжение— деформация», объем жидкости в ресивере

S(A-fm/Mn)

Р “ ₽Рр
а величина необходимого при этом давления в ресивере
р _ ^т(Д-^п)

Р S(A3-fm/Afn) ’

(1.1>

(1.2>

где Мп — жесткость пресса; S—площадь плунжера 5 (см,
рис. 11); р — сжимаемость рабочей жидкости; Д— полная абсо-
лютная деформация образца в допредельной и запредельной
частях диаграммы; Д3 — абсолютная запредельная деформация,
образца; Fm—нагрузка на образец на пределе прочности.

Типичная полная диаграмма «напряжение — деформация» для
горной породы показана на рис. 12. Расчет параметров динами-
ческого процесса сводится к тому, чтобы изменение усилия F,
которое развивает плунжер 5 (см. рис. 11), проходило по линии
(Fp—Л), имеющей н^е^дрко более крутой спад, чем крутизна

17

(7777206

ST4? 	: ;
линии (В—С]. Величина Гр равна усилию на плунжере 5 (см.
рис. 11), когда начальное давление в ресивере равно Рр. При на-
хождении величин Vp и Рр необходимо предварительно хотя бы
примерно знать параметры полной диаграммы «напряжение — де-
формация» исследуемого материала. Это получается на жестком
прессе при статических испытаниях. Располагая такой диаграм-
мой, при имеющемся навыке в работе обычно бывает достаточно
одного-двух опытов, чтобы точно установить необходимые для дан-
ной породы величины Vp и Рр и практически совместить линии
(Fp—А) и (В—С), что отвечает режиму «жесткого» нагружения.

1.10.	Универсальная жесткая испытательная установка
трехосного сжатия для исследований механических
и фильтрационных свойств горных пород

Установка предназначена для испытания образцов горных по-

разными уровнями гидроста-

род в условиях осевого сжатия под

Рис. 13. Схема универсальной испытатель-
ной установки

тического давления, которое
может достигать 300 МПа.

Испытательная камера
(рис. 13) помещается в
мощной силовой раме, име-
ющей сверху и снизу мас-
сивные траверсы 8, связан-
ные между собой четырьмя
стальными колоннами боль-
шого сечения 7. Осевое уси-
лие создается гидродомкра-
том 6, укрепленным на верх-
ней траверсе. При необхо-
димости давление в рабочей
полости домкрата, создава-
емое насосом 10, может под-
держиваться постоянным в
течение длительного време-
ни с помощью аккумулятора
давления 9. Плунжер дом-
крата 6 снизу имеет камеру
возврата, в которой посто-
янно поддерживается необ-
ходимое давление благодаря
аккумулятору И. Камера
возврата является гидравли-
ческой пружиной, что осо-
бенно важно при верхнем

расположении домкрата, когда возврат в исходное состояние под
действием собственного веса невозможен. Испытательная камера
4 имеет диаметр рабочей полости Da= 120 мм. Давление в камере
создается насосом 19 и поддерживается постоянным благодаря
аккумулятору давления 20. Осевое усилие на образец 3 передается
от гидродомкрата через шток 12, который вместе с компенсацион-
ной камерой 13, соединенной отверстиями с рабочей камерой 4Г
представляет собой массивный узел. Компенсационная камера
вместе с испытательной камерой расперта в раме пресса. В этом
случае шток 12 не выталкивается внутренним давлением из каме-
ры и вся нагрузка от гидродомкрата передается на образец и из-
меряется упругим динамометром 1.

Установка позволяет получать полную диаграмму «напряже-
ние— деформация», включая область за пределом прочности.
Кроме того, здесь же можно изучать фильтрационные свойства
пород, а также влияние порового давления на механическое пове-
дение горных пород.	/

Измерение продольной и поперечной деформаций образца осу-
ществляется с помощью экстензометров сопротивления 17, уста-
новленных непосредственно на образце (продольный экстензометр
на рис. 13 не показан). Электрические провода введены в камеру
через электроввод 18. Фильтрационные характеристики могут из-
меряться как вдоль оси образца, так и в поперечном направлении.
Для этих целей в штоке • сделаны четыре гидравлических ввода
в камеру: подводящие вводы от источников давления 5 и прием-
ные вводы, подведенные к расходомеру 15 и к вакуумному насосу
14. Вакуумный насос необходим для предварительной откачки
имеющихся в образце и в системе газов. Расходомер 15 измеряет
количество прошедшего в единицу времени газа. В случае изуче-
ния влияния порового давления на место расходомера устанавли-
вается манометр. Опыт по деформированию образца в этом случае
начинается тогда, когда давление подаваемого в поры вещества
на входе и на выходе становится равным. Подача вещества в об-
разец в осевом направлении осуществляется через стальные под-
пятники 2, а в поперечном направлении.— через накладные де-
тали 16. Подпятник 2 и детали 16 соединены, с каналами в штоке
12 металлическими трубками, способными выдерживать высокие
давления.

2.	ПРЕДЕЛЬНЫЕ СОСТОЯНИЯ ГОРНЫХ ПОРОД
ПРИ РАЗНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ СКОРОСТИ

ДЕФОРМИРОВАНИЯ

И ВИДАХ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

2.1.	Экспериментальные исследования прочности
и пластичности

Горные породы представляют типичный пример неоднородного
твердого тела. Степень неоднородности количественно может быть
оценена величиной дисперсии функции распределения числа У

1&
структурных элементов, составляющих данную горную породу, по
величине т, характеризующей прочностные показатели этих эле-
ментов. Чем дисперсия выше, тем более неоднородна горная
порода.

Породы могут быть условно разделены на три категории по
величине дисперсии (рис. 14): породы с малой дисперсией, когда
функция распределения имеет острый максимум (кривая 7); по-
роды с умеренной дисперсией, когда функция распределения имеет
расплывчатый максимум (кривая 2); породы с очень большой
дисперсией свойств, когда практически не наблюдается выражен-
ного максимума функции распределения (кривая.?).

Величина дисперсии определяет поведение горных пород в раз-
личных условиях эксперимента: увеличение прочности и пластич-
ности с ростом бокового давления, зависимость коэффициента
поперечной остаточной деформации и ориентировки плоскостей
•скольжения (линий Чернова — Людерса) от вида напряженного
состояния, увеличение объема при трехосном неравнокомпонент-
ном сжатии и наличие максимума объемной деформации расши-
рения при определенном для данной породы соотношении между
главными компонентами напряжений.

Перечисленные явления главным образом присущи породам,
имеющим функции распределения вида 2 и 3 (см. рис. 14).

Фактор неоднородности весьма полно проявляется в опытах
при широкой вариации скоростей деформирования и видов напря-
женного состояния.

В работе [38] приведены результаты исследований, получен-
ные на образцах коелгинского белого мрамора, диабаза и квар-
цевого песчаника при широкой вариации скоростей деформации
и видов напряженного состояния. Используя результаты назван-
ной работы, приведем их в несколько другой интерпретации. На
основании обработки результатов методами математической ста-
тистики с достоверностью не ниже разброса частных определений
удалось их представить в координатах 1g е и т в виде пучка лучей,
выходящего из одного полюса. Каждый луч в этом пучке отно-
сится к одному значению бокового давления о2. Одноосное сжатие
характеризуется как о2=0. Скорость деформирования lg ej изме-
няется в пределах 10—12 десятичных порядков, боковое давление
о2 — от 0 до 250 МПа.

Такое представление результатов позволило аппроксимировать
каждый (любой) луч единым кинетическим уравнением С. Н. Жур-
кова

. (Уо—у)

е = еое*г.	(2.1')

Наклон луча определяется величиной коэффициента у.	е0, К,

Т — постоянные величины.

Результаты исследований, полученные на образцах коелгин-
ского белого мрамора показаны на рис. 15. Экспериментальные
точки, относящиеся к разным величинам гидростатического давле-
20
ния о2 с разбросом, не превышающим 15 %, ложатся на соответ-
ствующие лучи, выходящие из одного общего полюса с коорди-
натой 1g е1=33. Каждая точка на графике построена в результате
усреднения 5—12 независимых испытаний такого же количества
идентичных образцов. Аналогичные зависимости получены и для
пределов упругости. Разброс точек в этом случае оказался не-
сколько больше, но не превышал 20 %. Экспериментальные точки,
полученные в опытах при боковом давлении о2=150 МПа, не легли
на луч, выходящий из общего полюса. Прочность мрамора при
этом давлении с ростом скорости не только не возросла, но даже
снизилась примерно на 7 % в диапазоне изменения скорости от
10-7 до 10 с-1. Таким образом, аппроксимация с помощью единого
уравнения С. Н. Журкова уже ограничена фактором бокового
давления о2.

В диапазоне высоких скоростей деформирования от 1 до 10+2с_ 1
экспериментальные точки не легли на лучи с координатой по-
люса 1g si = 33, а легли на пучок лучей с координатой полюса
lg si = 1,25, имеющий более крутой наклон. Результат, аналогичный
t9e,c-'	1дё,с-*

Рис. 16. Зависимость предельной ос-
таточной деформации мрамора от ско-
рости деформирования при различных
значениях бокового давления а2

Рис. 17. Зависимость предельных
объемных деформаций расширения
мрамора от скорости деформирования
при различных значениях бокового
давления а2

данному, был получен в работе [47] на образцах гранита, где в ди-
апазоне скоростей 1g ё! = 3 — 3,5 обнаружена более резкая зависи-
мость прочности от скорости деформирования по сравнению с более
низкими скоростями. Данный результат отвергает аппроксимацию
результатов с помощью единого уравнения.

На рис. 16, а и б показаны значения остаточной продольной де-
формации е", полученной при напряжениях на пределе прочности
в зависимости от скорости деформирования 1g ер На рис. 17 по
аналогии с рис. 16 показаны зависимости остаточного увеличения
объема на пределе прочности Ьп от Igei-

При боковом давлении 02 — 0 величина предельной пластичности
достигает максимальной величины е? = 4  10—3 при ej = 102с-1. При
скорости деформирования от е] = 10-9 с-1 до ej = 10-4 с~1 е'1
^0,5 • 10-3.
При боковом давлении а2=20 МПа максимальная пластичность
е" — 20  Ю~3 получена при скорости ei = Юс-1. При других ско-
ростях в этой серии опытов . 10“3. В серии опытов при а2=
= 50 МПа максимальная величина е" = 26 • 10-3 получена при
ei ~ 10с~'. При всех других скоростях е" = (10—г—15) - 10“3. При

Рис. 18. Зависимость предела прочности диабаза от скорости деформирования
при различных значениях бокового давления <г2

= 10“€с“’). В первом максимуме е" = 50-10“3, во втором е"= 135 X
X 10~3, т. е. почти в 3 раза больше, чем при высоких скоростях.
В промежутке между этими максимумами величина е"= (20-5-30). 10~3.

Зависимость е" от Ig ei при о2 = 150 МПа не имеет явно выра-
женных максимумов. По мере увеличения скорости пластичность е"
все время падает. Наибольшее значение е" = 180 • 10-3 получено
при 61 = 10“7с-1. В диапазоне высоких скоростей пластичность в
этой серии опытов стала несколько ниже, чем пластичность в этом
же диапазоне скоростей в опытах при а2 = 100 МПа.

Зависимость объемных деформаций 6П от lgej на рис. 17 каче-
ственно повторяет ход только что описанных зависимостей е" от
lg ei, т. е. чем больше величина е?. тем больше получается и разрых-
ление 6П. Эти две величины связаны между собой через коэффициент
поперечной остаточной деформации, который является функцией бо-
кового давления а2 и не зависит от величины деформации е".
Рис. 19. Зависимость предельной ос-
таточной деформации диабаза от ско-
рости деформирования при различных
значениях бокового давления а2

Рис. 20. Зависимость предельных
объемных деформаций расширения ди-
абаза от скорости деформирования
при различных звачениях бокового
давления а2

Рис. 21. Зависимость пределов проч-
ности кварцевого песчаника от ско-
рости деформирования при различных
видах бокового давления а2

На рис. 18 показаны результаты исследований прочности диа-
база в зависимости от скорости деформирования. Каждая точка
на графике есть результат усреднения 6—12 независимых опытов,
проведенных с таким же количеством идентичных образцов.

Так же, как и в описанных выше результатах исследований на
образцах мрамора, экспериментальные точки удовлетворительно
легли на лучи, выходящие из одного полюса с координатой lgsi=«
= 33. Луч, относящийся к о2 = 250 МПа, построен по трем точкам,
которых недостаточно, чтобы по ним можно было бы с высокой
достоверностью построить луч. Однако наличие соседних лучей
позволяет провести и этот луч, так как известна координата об-
щего полюса. Точка, полученная в этой серии опытов при скорости
Ei-10-1 с-1, показала снижение прочности. Данный результат
находится за пределом ошибок эксперимента, связанного с раз-
бросом частных значений. Снижение вызвано явлением статисти-
ческого отбора и специфическими свойствами диабаза и объясня-
ется его структурой и составом. При более низких давлениях оа
подобного эффекта не, наблюдалось.
При одноосном сжатии (ст2 = 0) при скорости ei=10—1-j-10+2c—1
имеется участок сильной зависимости прочности от скорости,
так же как это было установлено на мраморе. Экстраполяция луча
до пересечения с осью скоростей деформации дала координату по-
люса Ig £1 = 3.

На рис. 19 показаны зависимости предельной деформации от
1g Ё1-

При одноосном сжатии наблюдается несколько максимумов
и минимумов. Имеется повышение пластичности в области высоких

Рис. 22. Зависимость предельных деформации кварцевого песчаника от скорости
деформирования при различных значениях бокового давления а2: i
а _ предельные осевые деформации б— предельные объемные деформации разрыхления

скоростей ё1 — Ю+'-т- 10+2с-1 и ei su 10-1 с-1. Минимум пластично-
сти иолучен при скорости ei = 10~5 с-1 и 10~9с-1. При о2=50МПа
пластичность во всем диапазоне скоростей примерно сохраняет оди-
наковые значения. В опытах при боковом давлении а2 = 100 МПа
получен явно выраженный максимум пластичности при скорости
Е] = 10“1с—На рис. 20 показана зависимость объемных остаточ-
ных деформаций расширения диабаза 6П от Igei. Как видно из
графика, кривые качественно воспроизводят зависимости предель-
ной пластичности от скорости (см. рис. 19). В описанных выше
условиях был исследован высокопористый (20—30 %) кварцевый
песчаник. На рис. 21 показана зависимость пределов прочности
этой породы от скорости деформирования при различных значе-
ниях бокового давления. Каждая точка на графике получена в
результате усреднения 6—12 независимых опытов, полученных на
таком же числе идентичных образцов.

Из графика видно, что экспериментальные точки достаточно хо-
роню расяоложились на лучах, выходящих из одного полюса с ко-
ординатой lg ei = 19,5 с-1. Предельная пластичность е" и разрыхлен-
ность 6П для этой породы показаны на рис. 22, а и б соответственно.
^п.МЛа

Рис. 23. Зависимость пределов проч-
ности НВО песчаника от скорости де-
формирования при различных значе-
ниях бокового давления

tge,r'

Ige,г’

чениях бокового давления

Рис. 24. Зависимость пределов
прочности ВО песчаника от скорости
деформирования при различных зна-

При одноосном сжатии (о2 = 0) пластичность при всех скоро-
стях оказалась очень низкой, не превышающей (3—5) • 10-3. При
с2=50 МПа пластичность заметно возросла при высокой скорости
деформации ei = 10+2 с-1. В опытах при о2=100 МПа наблюдается
высокая пластичность в диапазоне низких скоростей, начиная
с Е1 = 10-5 с-1 и ниже. С ростом скорости пластичность в этой
серии опытов снижается. Ход кривых разрыхления качественно
повторяет ход кривых пластичности. Обращает на себя внимание
величина разрыхления песчаника при сг2=100 МПа, пористость
которого составляет 20 %. Даже столь высокая пористость в этих
условиях опыта не может компенсировать эффекта разрыхления,
приводящего к возникновению новых микротрещин и пустот. Явле-
ние закрытия существующих пор и пустот, безусловно, должно
иметь место при боковом давлении сг2= 100 МПа, однако количест-
венно эффект закрытия пор оказался подавленным эффектом раз-
рыхления. В аналогичных условиях были исследованы невыбросо-
опасный (НВО) и выбросоопасный (ВО) песчаники Донбасса, ка-
менная соль Старобинского месторождения, каменная соль из
Таджикистана, калийная соль Старобинского месторождения [16].

На рис. 23 показаны значения пределов прочности НВО пес-
чаника Донбасса в зависимости от скорости деформирования при
боковых давлениях о2 = 0, о2=50 МПа, сг2 = 100 МПа и сг2= 150 МПа.
26
Каждая точка на графике контролировалась 5—6 независимыми
опытами на таком же количестве идентичных образцов. Как видно
из графиков, экспериментальные точки могут быть аппроксимиро-
ваны кривыми, ход которых качественно отличается от хода кри-
вых (лучей с единым полюсом), который наблюдался в преды-
дущих случаях. При о2 = 0 наблюдается некоторый рост прочности
по мере увеличения скорости, при этом экспериментальные точки

Экспериментальные зави-

Рис. 25.
симости,

полученные на образца^
природной каменной соли место-

рождения Таджикской ССР в ус-
ловиях одноосного сжатия при
различных скоростях деформиро-
вания:

а — пределы прочности 1 и упругости
2; б — предельные осевые деформации:
в — предельные объемные деформации
разрыхления

могут быть _аппроксимированы лучом, имеющим координату по-
люса Ig ei = 20,5. В опытах при сложных напряженных состояниях,
когда о2=й=0, во всех исследованных случаях наблюдается снижение
прочности с ростом скорости. В предыдущих случаях аналогичное
явление наблюдалось на образцах мрамора при о2=150 МПа.

Результаты исследований, полученные на образцах выбросо-
опасного (ВО) песчаника Донбасса, показаны на рис. 24. Сравни-
вая результаты рис. 23 и 24, можно сделать заключение, что эти
два вида песчаника показали практически неотличимые друг от
друга механические свойства как в качественном, так и в коли-
чественном отношении, хотя их поведение в массиве оказывается
качественно различным: на ВО песчанике выбросы происходят,
а на НВО песчанике их не происходит.

На рис. 25 показаны результаты исследований на образцах
природной каменной соли месторождения Таджикской ССР в усло-
виях одноосного сжатия. В этой серии опытов образцы имели диа-
метр 90 мм и длину 180 мм. Каждая точка получена в результате
усреднения 5—10 одинаковых опытов, проведенных на таком же
количестве идентичных образцов.

Как видно из графика (см. рис. 25, а), прочность соли с ростом
скорости от £] = 10—8 с-1 до ei = 10—6 с-1 возрастает, эксперимен-
тальные точки легли на луч с координатой полюса lg ej = 17,5. При

Рис. 26. Экспериментальные зависи-
мости, полученные на образцах при-
родной каменной соли Старобинского
месторождения в условиях одноосного
сжатия при различных скоростях де-
формирования:

а — пределы прочности 1 и упругости 2i
б — предельные осевые деформации;- в —
предельные объемные деформации раз*
рыхления

g	ло-иг3

8	£ ч г о г

1дг,с-»	1дё,с"

после чего начинает падать, несмотря на увеличение скоростей. Об-
щее падение прочности составило около 20 %. Эта цифра находится
за пределами погрешностей определений. Минимальная прочность
получена при скорости, близкой к ei ss 10+2 с—*. Предел упругости
качественно повторяет ход точек предела прочности. Эксперименталь-
ные точки пределов прочности и пределов упругости аппроксими-
рованы лучами, выходящими из одного полюса. По точкам, рас-
положенным правее максимума прочности, также проведены лучи
в общий полюс.

Пластичность существенно снижается с увеличением скорости
и при изменении последней от ei = 10~8 с-1 до ei = 10+2с-1 снизи-
лась больше, чем на порядок (см. рис. 25,6). Аналогичным образом
ведет себя объемная деформация разрыхления (см. рис. 25, в): в том
же интервале скоростей 6П снизилась более чем в 20 раз. Макси-
мальная величина разрыхления при скорости si = 10-8 с-1 достигла
почти 20 %.
По такой же программе была испытана природная каменная соль.
Старобинского месторождения. Образцы в виде керна имели диаметр
30 мм и длину 80 мм. Значения пределов прочности и пределов упру-
гости показаны на рис. 26, а по аналогии с рис. 25, а. На участке
скоростей от ej = 10~в с~* до ei = 10~5 с-1 экспериментальные точ-
ки легли на луч с координатой полюса lg ei = 16,5. При скорости
близкой к е, = 10-5 с-1 наблюдается скачкообразное падение проч-
ности. При дальнейшем возрастании скорости вплоть до величины
близкой к ё] = 10+2 с-1 прочность снизилась на 40 %. Пластичность
и деформация разрыхления качественно повторяют ход этих зави-
симостей, показанных на рис. 25, б и в, с той, однако, разницей,,
что старобннская соль проявила в 2 раза более низкую пластич-
ность (см. рис. 26, б и в). По этой же программе был испытан
природный сильвинит Старобинского месторождения. Образцы
имели форму кернов диаметром 30 мм и длиной 80 мм. Каждая
точка на графике получена как среднее в результате испытания
6—12 идентичных образцов. Материал образцов представлял собой
смесь двух солей в следующем соотношении: в среднем сильвини-
та 68—70 % и галита 30—32 %. Преобладающий размер зерен
сильвинита 0,2; 0,4; 0,5; 0,8 и 1 мм — 47 %; от 1 до 3 мм — 15 %;
свыше 3 мм — 4 %. Преобладающий размер зерен галита: 0,2;
0,3; 0,4; 0,5; 0,7 и 1 мм — 23 %; от 1 до 6 мм — 9 %.

На рис. 27 показаны результаты исследований, полученные на
образцах природного сильвинита в условиях одноосного сжатия.
Экспериментальные точки значений прочности в виде зачерненных
кружочков относятся к опытам с заданной скоростью деформи-
рования. На этом же графике нанесены результаты по ползучести
с доведением образца до разрушения. Образцы имели диаметр 30 мм
и длину 80 мм. Экспериментальные точки показаны зачерненными
треугольниками (см. рис. 27, а). Значения пределов упругости
были получены только в опытах с заданной скоростью деформи-
рования. Здесь же незачерненными треугольниками показаны ре-
зультаты опытов на ползучесть образцов старобинского сильви-
нита, доведенных в этих опытах до разрушения, вызванного дли-
тельным действием постоянной нагрузки [41].

В этих опытах образцы имели форму призм размером 150Х
X150X300 мм.

Экспериментальные точки по пределам прочности и пределам уп-
ругости аппроксимированы лучами 1 и 2 (см. рис. 27, а). При этом
лучами 1 аппроксимирована область малых скоростей деформирова-
ния, а лучами 2— высоких. Координата полюса лучей 1 имеет ве-
личину Igej = 12,5, а лучей 2 — Igei = 17,5. Точки, полученные
в опытах по ползучести, вполне удовлетворительно совместились
с точками, полученными в опытах с заданной скоростью деформи.
рования. При скорости g| = 10_£> с-1 наблюдается скачок прочности
в сторону ее снижения, после чего с дальнейшим ростом скорости
прочность опять начинает расти и точки располагаются вдоль
луча 2 (см. рис. 27, а).
Наличие двух групп лучей с разными полюсами объясняется
тем, что образцы исследованного сильвинита содержали галит
в количестве 30—32 %, как это видно из петрографического опи-
сания. Есть основание предполагать, что лучи 1 отвечают дефор-
мации с разрушением зерен сильвинита, а лучи 2 — галита. Коор-
динаты полюса 1g ei = 17,5, совпадают с координатами полюса для
двух других видов галита. Явление перехода деформации с одной

Рис. 27. Экспериментальные зависимости
полученные на образцах природного силь-
винита Старобинского месторождения в ус-
ловиях одноосного сжатия при различных
скоростях деформирования:

а — пределы пррчности и пределы упругости; б —
предельные осевые деформации; в — предельные
объемные деформации разрыхления; / — опыты
с заданной скоростью деформирования; 11 — опыты
на ползучесть образцов диаметром 30 и длиной
80 мм; /// — опыты на ползучесть образцов раз-
мером 150x150x300 мм; /V — пределы упругости

структурной компоненты твердого тела на другую, вызванное изме-
нением условий эксперимента, есть частный случай статистическо-
го отбора структурных элементов. Переход деформации с сильви-
нита на галит с возрастанием скоростей в данном случае вызвано
тем, что в области низких скоростей более выгодно с ростом на-
пряжения участвовать зернам сильвинита, нежели зернам галита,
так как сильвинит в этом диапазоне скоростей оказывается более
слабым (луч для сильвинита имеет более крутой наклон). После
точки пересечения лучей сильвинита и галита более слабым ока-
зывается галит, поэтому процесс деформации в этом диапазоне
скоростей переходит на галит. Здесь, однако, необходимо заме-
тить, что переход деформации с одной структурной компоненты
па другую возможен только в том случае, когда процентное содер-
жание компонент составляет несколько десятков процентов. При
меньшем содержании компонент они не смогут включиться в про-
цесс из-за невозможности составить макроскопические плоскости
30
сдвига, которые пересекли бы весь объем тела образца. Предель-
ная пластичность имеет максимум в диапазоне низких скоростей
(см. рис. 27, б). При этом часть точек из опытов на ползучесть
и из опытов с заданной скоростью деформирования легли очень
близко друг к другу.

Ход кривой зависимости величины разрыхления очень близок
к ходу кривой предельной пластичности (см. рис. 27, в). Однако
максимальная величина разрыхления получена в диапазоне скоростей
ei = 10~5-г-Ю—3 с-1 и достигла 10 %.

2.2.	Экспериментальные исследования ползучести
и долговечности горных пород

Исследования ползучести и долговечности выполнялись на
пружинных прессах УДИ по описанной выше методике. Исследо-
ваны несколько разновидностей калийных солей Верхнекамского
и Солигорского месторождений, а также каменная соль Солигор-
ского месторождения. Кроме того, испытаны две разновидности
каменной соли из месторождения Артемсоль, угли Кизеловского
бассейна и Шурабского месторождения, кембрийская глина из=
Ленинграда, а также несколько разновидностей искусственных
образцов из цемента и бетона разных составов.

Опыты проводились под различными уровнями постоянной на-
грузки, которые составляли определенный процент относительна
прочности, получаемой на обычном испытательном прессе, когда
относительная скорость деформирования 10~5—10~4 с-1. Основной
объем экспериментов был выполнен на образцах, имевших внеш-
нее изолирующее покрытие, чередующееся из нескольких слоев
резинового клея и парафина. Такое покрытие является надежной
защитой от окружающей среды. С целью проверки влияния окру-
жающей среды была проведена серия опытов с сильвинитом без
изолирующего покрытия. Экспериментальный материал дан на
рис. 34 в виде графиков, представляющих собой кривые ползу-
чести, а также в виде таблиц, Помещенных в приложении 3, где-
затабулнрованы также кривые ползучести всех исследованных
пород. Графики и таблицы содержат значения продольных ef,
поперечных ef и объемных 6’ деформаций в функции от времени
пребывания под заданной постоянной нагрузкой. Кроме того, от-
дельно представлены графики для ряда пород в координатах
«объемная деформация Qp — величина напряжения о, МПа» при
разной длительности опыта, а также графики зависимости долго-
вечности и скорости ползучести от величины приложенной нагруз-
ки. Последние графики приведены лишь для тех случаев, когда
было достигнуто разрушение, вызванное действием постоянной
приложенной нагрузки.

На рис. 28 показана серия кривых ползучести сильвинита Верх-
некамского месторождения при Опр=29,1 МПа [33, 36]. Образцы
были покрыты изолирующим защитным слоем. Возле кривых ука-
заны уровни нагрузки в процентах от оПр, полученной при испыта-
нии на стандартном прессе. Разрушение было достигнуто во всех
опытах при уровнях нагрузки на образец от 85 до 50 %. При
30 %-ной нагрузке опыты были прекращены по истечении 242 сут
без разрушения образцов.

На рис. 29 представлены зависимости долговечности lgt и ско-
рости установившейся ползучести Jg ер. Каждая точка на графике
получена как среднее из двух-трех независимых опытов на иден-
тичных образцах (см. приложение 3). Результат, относящийся
к скорости установившейся ползучести при 30 % -ной нагрузке,
также нанесен на рис. 29. В указанных координатах эксперимен-
тальные точки достаточно хорошо могут быть аппроксимированы
линиями, которые описываются математическими уравнениями
С. Н. Журкова

t = /оеа/°-
е = еоевб°-

После раскрытия коэффициентов а/ и а;

Г "о— Г
t = to exp------

Г и о — Г
е = ео ехр ——

где с заменено на : = а/2.

32
Рис. 28. Кривые ползу-
чести по показаниям осе-
вой и объемной вр де-
формациям изолирован-
ных образцов сильвинита
Верхнекамского место-
рождения при нагрузках:
а — 85 и 70 % от предела
прочности вир = 29,1 МПа;
6 — 60 % от апр; в —50 и
30 % ОТ апр

После математической обработки результатов на рис. 29 уста-
новлены следующие, весьма близкие значения коэффициентов а

а/ — 0,047, а ае = 0,045.

При этом частотные множители кинетических уравнений, стоя-
щие перед экспонентой, равны t =3,15 • 10_ 13 с-1 и во=6,15-1О9с~1.

На рис. 29 показаны аналогичные результаты, полученные и
для сильвинита Старобинского месторождения. Как видно, резуль-
таты получились очень близкими.

На рис. 30 показаны объемные деформации сильвинита Верхне-
камского месторождения в зависимости от приложенного напря-
жения при разной продолжительности опытов. Только в опытах
на сжатие на обычном прессе объемная деформация имеет знак
2 4-497	33
Рис. 29. Зависимость долговечности lg t и ско-
рости установившейся ползучести lg ef с—1 для
сильвинита Верхнекамского (/) и Старобинского
(2) месторождений

уплотнения (штриховая линия). Во
всех случаях объем сильвинита в про-
цессе остальных опытов увеличивается.
Последнее прослеживается также на
кривых ползучести: поперечные де-
формации велики и в большинстве
случаев существенно превосходят про-
дольные деформации. Как видно из
графика на рис. 30, объемная дефор-
мация расширения достигла более
10 %- Увеличение объема вызвано раз-
витием в материале пустот и трещин.
Это наглядно видно на фотографии
шлифа каменной соли месторождения
Артемсоль, простоявшего под нагруз-
кой (25,4 МПа) 225 сут (рис. 31).
Объем увеличился на 16 % по сравне-
нию с исходным материалом, когда
пористость была близка к нулю.

На рис. 32 показаны кривые ползучести каменной соли типа II
месторождения Артемсоль при напряжении 70 % от оПр = 29,1 МПа.
Разрушения достигнуто не было.

Кривые объемной деформации по этой же соли показаны на
рис. 33. После пребывания под напряжением, составляющим 70 %
от опр=29,1 МПа, в течение 450 сут. объем соли увеличился на
17 % за счет развития трещин и пор в процессе ползучести.
Исходный материал был практически лишен пористости.

На характер кривых ползучести существенное влияние оказы-
вает окружающая среда в том случае, когда поверхность образца
не покрыта защитным слоем.

На рис. 34 показаны кривые ползучести сильвинита, не защи-
щенного от внешней атмосферы герметичным покрытием [32]. Как
видно, кривые ползучести существенно отличаются от таких же
кривых, полученных на образцах с изолирующим покрытием. Опыт
при напряжении, составляющем 50 % от опр=29,1 МПа, продол-
жался около 800 сут. На оси времени римскими цифрами обозна-
чены месяцы года. Опыты были начаты в августе. Скорость пол-
зучести вначале была весьма велика. Примерно в середине сен-
тября скорость ползучести снизилась в 20 раз и оставалась такой
до июня следующего года. В июне скорость ползучести увеличи-
лась примерно в 15 раз и сохранялась такой до конца сентября,
после чего вновь снизилась примерно в 15 раз до значения, кото-
рое она имела ранее в интервале между сентябрем и июнем. Такое
низкое значение скорость имела до июня, после чего возросла
34
примерно в 15 раз и сохранялась такой до октября, после чего
образец разрушился.

Как видно из анализа, интервалы высокой скорости ползучести
падают на летний период года от июня до сентября — начала ок-
тября. На этом же графике внизу показаны кривые ползучести

Рис. 30. Зависимость объемных деформаций сильвинита Верхнекамского место-
рождения от величины напряжений

идентичного образца при напряжении, составляющем 30 % от
Опр = 29,1 МПа. Оъемная деформация расширения в этом случае
имеет малую величину. Такое различие в поведении сильвинита
объясняется отсутствием влияния влажности на слабо разрыхля-
ющиеся образцы. В первом случае объемные деформации были
велики, велики были образованные в процессе деформирования
трещины и велико было их число, что позволяло атмосфере с вы-
соким содержанием влаги легко проникать внутрь материала об-
разца, и, являясь веществом поверхностно-активным в отношении
солевых пород, влага облегчала процесс ползучести. Во втором
случае проникновение влаги внутрь образца было затруднено,
2*	35
и поэтому он вел себя как образец, изолированный от внешней
среды.

На рис. 35 показаны кривые ползучести из той же партии не-
изолированных образцов сильвинита Верхнекамского месторожде-
ния только под нагрузкой, составляющей 70 % от опр=29,1 МПа.

Для того чтобы убедиться еще раз, что на процесс ускорения
ползучести влияет влага, были поставлены дополнительные опы-

Рис. 31. Шлиф образца каменной соли (сечение в середине образца в плоскости
перпендикулярной к оси призмы) месторождения Артемсоль

ты с образцами как сильвинита, так и каменной соли. Сущность
опытов [32] заключалась в том, что испытывавшиеся на прессах
УДИ изолированные покрытием образцы быстро освобождались
от покрытия и к ним подносились тампоны ваты, смоченные водой.
Тампоны менялись один раз в сутки. В результате этих опытов
было установлено резкое возрастание скорости ползучести. При
этом образцы, нагруженные на 75 % от оПр, показали возрастание
скорости на два порядка, а на 40 % — на один порядок. Все об-
разцы разрушились значительно раньше, чем эта наступило бы,
если бы описанный эксперимент с ними не проводился.

Заслуживают внимания исследования ползучести и на образ-
цах ленинградской кембрийской глины. В естественном состоянии
эта глина обладает высокой влажностью. В процессе опытов
в условиях одноосного сжатия влага из образца выдавливается
и скапливается в зазоре между телом образца и непроницаемой
36
II

изолирующей рубашкой. После вскрытия рубашки выливалось до
100 см3 свободной воды. При этом процесс выдавливания проте-
кает во времени, и чем выше уровень нагрузки, тем выдавливание
идет интенсивнее. В результате потери влаги механические свой-
ства глины существенно изменяются: она становится много проч-
нее и начинает приобретать свойства хрупких материалов.
На рис 36 показаны кривые ползучести ленинградской кемб-
рийской глины. Обращает внимание тот факт, что поперечные
деформации при всех уровнях нагрузки меньше соответствующих
продольных деформаций. При этом коэффициент поперечной де-

100	200	300	000	500	000	700 fym.

1 ‘	1 1—'—1—1-1-‘—l—1—<-i—I-1-i--l—l-i-1 I faX

№22	Ш	I

Месяцы

Puc. 34. Кривые ползучести неизолированных защитным покрытием образцов
сильвинита Верхнекамского месторождения под нагрузкой, составляющей 50 и
30 % от апр

формации во всех случаях оказался меньше 0,5, что характеризует
процесс уплотнения материала.

На рис, 37 показаны объемные деформации ползучести ленин-
градской кембрийской глины от величины напряжений. Штрихо-
вой линией дана сжимаемость по закону Гука. Как уже было
видно из предыдущего графика (см. рис. 36), объем во всех слу-
чаях по мере роста нагрузки и продолжительности опытов умень-
шается, а материал образца уплотняется. Последнее является
функцией процесса закрытия пор и процесса выдавливания влаги.
38
Рис, 36, Кривые ползучести ленинградской кембрийской глины при спр =9,1 МПа
По мере потери влаги глина приобретает хрупкость и в ней начи-
нают образовываться трещины и пустоты разрушения точно так
же, как это наблюдается в соляных породах. Доказательством
этому могут служить максимумы на кривых объемных деформа-
ций (см. рис. 37). В этих точках уплотнение перестает расти,
а после максимума начинает уменьшаться. В опытах на ползу-
честь происходит изменение тех свойств глины, которые не
наблюдаются в натурных условиях, а если и наблюдаются, то

закономерности этих процессов

формации ползучести ленинградской
кембрийской глины от величины на-
пряжений

могут сильно отличаться от про-
исходящего в лаборатории.

Наиболее целесообразным
будет эксперимент на ползучесть
в условиях сжатия при боковом
давлении.

В исследованиях [34] изучено
влияние влажности на изменение
паспорта прочности известняка
из месторождения объединения
«Эстонсланец». Опыты проводи-
лись как при одноосном сжатии,
так и при сжатии под разными
уровнями бокового давления. Бы-
ло установлено выдавливание
влаги во всех опытах, начиная от
одноосного сжатия до сжатия
под боковым давлением 0,6 МПа.
При давлениях свыше 0,6 МПа
выдавливание влаги прекраща-
лось. Видимо, аналогичное явле-
ние следует ожидать от опытов с
кембрийской глиной, ибо в таких

опытах будут изменяться лишь те свойства, которые изучаются,
и после этого результаты могут быть более надежно перенесены

на натуру.

Необходимо обратить внимание на результаты по ползучести
цементных и бетонных образцов, специально приготовленных для
этих опытов. Образцы, изготовленные из бетона марки 300, в про-
цессе ползучести показали уплотнение. Разрыхление наблюдалось
в опытах при быстром нагружении с целью определения опр,

в остальных опытах процесс разрыхления имел подчиненное про-
цессу уплотнения значение. Максимальная продолжительность
опытов НО сут.

Образцы из цемента марки 500 во всех случаях показали объ-
емные деформации уплотнения, включая и быстрое нагружение
при определении одр- Максимальная продолжительность опытов
600 сут.

Результаты по бетонам, приготовленным из двух марок цемен-
та, также показали деформации уплотнения. Опыты продолжа-
лись на бетоне из цемента марки 300 ПО сут, а на бетоне из

40
цемента марки 500 600 сут. Кроме перечисленных пород испытаны
образцы углей Шурабского месторождения и Кизеловского бас-
сейна. Кизеловский уголь наряду с уплотнением проявил также и
разрыхление, особенно в первые 20 сут. Максимальная продолжи-
тельность опытов 300 сут.

Шурабский уголь показал деформации разрыхления при отно-
сительно высоких уровнях напряжений, составляющих примерно
70—80 % от Опр. При более низких уровнях нагрузки объемные
деформации имеют знак уплотнения. Максимальная продолжи-
тельность опытов 250 сут.

Результаты экспериментальных исследований предельных со-
стояний некоторых горных пород при разных значениях скорости
деформирования и видах напряженного состояния приведены
в приложении 3.

2.3.	Петрографические определения размеров зерен пород
и их описание

Рис. 38. Зависимость распределения
числа зерен п в мраморе от их

Для некоторых из исследованных пород были проведены петро-
графические определения размеров зерен по шлифам и аншлифам,
и на основании этих данных были построены функции распределе-
ния, числа зерен по их линейному размеру (диаметру).

На рис. 38 показана функция распределения числа зерен по
их размеру для мрамора. Дисперсия по диаметру сравнительно
невелика. Аналогичная функция
распределения для диабаза пока-
зана на рис. 39.

Распределение зерен по их
размеру для галита из Таджик-
ской ССР показано на рис. 40.
Обращает на себя внимание
исключительно большая диспер-
сия по размеру зерен.

Для каменной соли Старобин-
ского месторождения функция
распределения показана на
рис. 41.

Функция распределения числа
зерен в зависимости от их раз-
мера для сильвинита Старобин-
ского месторождения показана
на рис. 42.

На рис. 43 показано распределение числа зерен ВО песчаника
от их размера.

Для НВО песчаника функция распределения не определялась.

Ниже приведены петрографические описания некоторых пород.

Диабаз. Месторождение района Братской ГЭС. Структура пой-
килоофитовая. Состоит из крупных таблитчатых аллотриоморф-

* Подраздел написан совместно с В. Ф. Авксентьевой.
ных зерен моноклинного пироксена, в которые врастают идио-
морфные кристаллы-лейсты плагиоклаза. Плагиоклаз-лабрадор
(55—60 %) в виде удлиненно-призматических кристаллов разме-
ром от 0,1—0,4 до 1,5—0,25 мм. Кристаллы полисинтетические
сдвойникованные, различно ориентированные, образующие пойки-
литовые вростки в пироксен и иногда целиком заключены в круп-
ные кристаллы пироксена. Моноклинный пироксен (35—40 %)

Рис. 39. Зависимость распределения числа зерен в диабазе от их размера

1 — плагиоклаз (57,3%); 2 — пироксен (36,9 %); 3 — рудные (3,55 %); 4 — биотит (0,9 %)

типа авгита в виде крупных таблитчатых кристаллов (до 3,5 мм),
слегка буроватых, с низким двупреломлением, косым погасанием,
угол погасания 42—44°, с частыми пойкилитовыми вростками пла-
гиоклаза. Рудные минералы 3—4 %, черные непрозрачные, непра-
вильных очертаний от 0,02x0,9 до 0,6X1,2 мм.

Встречаются выделения хлорита до 1 % и биотита до 1 %.
Общая пористость 0,48—0,49 %.

Мрамор типа I. Месторождение Коелга. Структура гранобла-
стовая. Текстура массивная. Порода состоит из зерен карбоната,
имеющих более или менее изометрические формы (от 0,05 до
0,85 мм в диаметре с преобладанием 0,3—0,4 мм). Края зерен
округлые, ровные. Контакт зерен непосредственный. Истинная по-
ристость 0,9—2,5 %-
42
Рис. 40, Зависимость распределения числа зерен галита из Таджикской ССР
от их размера

Рис. 41. Зависимость распределения числа зерен галита Старобинского место-
рождения от их размера

Рис. 42. Зависимость распределения числа зерен сильвина и галита в сильвините
Старобинского месторождения от их диаметра:

1 — сильвин (67.7 %); 2 — галит (32,2 %)
		j  \				1
		1  i	1 j			1
						1
						А 11  1  / |
						/ /1  1 / л  /
						
							
					J	I"	/7'^""
		\’ 1		*	—			* зЙ
						< --уф л	„V
						nS
							4-

О 0,05 OJ 0,15	0,2	0,25	0.3	0,35	0,0	0,05	0,5	0,55 d,MM

Рис. 43. Зависимость распределения числа зерен слагающих минералов выбросоопасного песчаника на шахте «Кочегарка»
(Донбасс) от их размера:

1 — кварц (45,3 %); 7 — полевой шпат '(17,2 %); .5 — глинистосерицитовый материал (11.8 %); 4 — микроагрегатный кварц (7,7 %); 5 — карбо-
натный материал (7,3 %)j 6 — микрокварциты (3,6 %); 7 — мусковит (3,5 %) 8 — эффузивные породы (3,4 %)
Каменная соль. Старобинское месторождение (Белорусская
ССР). Структура кристаллически-зернистая, крупнозернистая и
весьма крупнозернистая.

Зерна галита имеют кубическую, реже параллелепипедную
или неправильную форму (от 0,24 до 10 мм) с преобладанием от
1 до 10 мм (84 %). В промежутках между зернами галита и иног-
да в скоплениях по зернам и в краях зерен встречается тонкодис-
персное вещество с микрозернистым строением и микроагрегатной
поляризацией. В составе глинистого материала можно различить
кристаллики микрозернистого (0,01—0,05 мм) карбоната и ан-
гидрита (от 0,1—0,15 до 0,4 мм) призматического и спутанно-
волокнистого строения. Общая пористость 0,78—1,06 %.

Сильвинит. Старобинское месторождение (Белорусская ССР).
Структура кристаллически-зернистая, мелко- и среднезернистая.
Микротекстура мелкополосчатая. Полосы различаются по составу,
форме и величине зерен, количеству примесей галита. Толщина
полос от 3 до 10 мм. Встречаются галопелитовые прослойки тол-
щиной 1—3 мм.

Средний состав сильвинита: сильвина 68—70 % и галита 30—
32 %; преобладающий размер зерен сильвина: 0,2—1 мм — 47 %,
1—3 мм —-15%, свыше 3 мм — 4 %; преобладающий размер зерен
галита: от 0,2—0,5 до 1 мм—23 %, 1—6 мм — 9 %. Открытая
пористость 0,32—1,16 %. Общая пористость 1,52—2,02 %.

Каменная соль (Таджикская ССР). Структура кристаллически-
зернистая, крупнозернистая, весьма крупнозернистая, гиганто-
зернистая. Каменная соль сложена зернами галита (от 0,1 до
15 мм) кубической, реже параллелепипедной формы. Преобла-
дающий размер зерен галита от 0,5 до 15 мм в количестве 90—
92 %. В промежутках между зернами галита и в краях зерен,
как бы оконтуривая их, наблюдается пелитоморфное темно-бурое
вещество (3—5 %) с микрозернистым карбонатом (1—2 %) и кри-
сталлами мелкозернистого (0,25%) кальцита (1%). Открытая
пористость 2,13—3,21 %.

Невыбросоопасный песчаник шахты «Кочегарка» (Донбасс).
Алевролит крупный, с песчаной примесью, сидеритовый, темно-
серый.

Структура алевритовая, крупная с песчаной примесью. Облом-
ки (50—60 %) размером 0,02—0,2 мм, преобладают полуокатан-
ные зерна (0,06—0,08 мм), преимущественно кварц, полевой
шпат, кварциты, эффузивные породы и др. Цемент (40—50 %) ба-
зального типа, пелитоморфно-мелкозернистый сидерит (25 %)
с незначительной примесью пелитоморфного глинистого материала,
пластинками мусковита (3%) (до 0,15 мм) и обугленным расти-
тельным детритом (5 %). Последний совместно с пятнами (0,25 мм)
пелитоморфного сидерита, иногда с мусковитом, образует тонкие
доли миллиметра, выклинивающиеся прослойки. Эффективная
пористость 6,7—7,1 %, предельное водонасыщение 2,9 %.

Выбросоопасный песчаник шахты «Кочегарка» (Донбасс). Мел-
козернистый, светло-серый. Структура псаммитовая, мелкозернистая.
Обломки силикатов (70—75 %) размером от 0,04 до 0,4 мм
плохо отсортированы: преобладают зерна с неровными краями
(0,2—0,25 мм), представленные кварцем, полевыми шпатами, квар-
цитами, эффузивными породами и др. Цемент (25—30 %) поро-
вого типа, глинисто-серицитовый с микротонкозернистым карбо-
натом (7 %), 5—6 % кальцита, 1—2 % сидерита. Встречаются:
мусковит (3 %) —пластинки (до 0,5 мм), выделения тонкочешуй-
чатого бесцветного хлорита (2 %), вторичный кварц (5—7%) и
единичный обугленный растительный детрит. Шлиф породы тре-
щиноватый и пористый. Поры (10—15 %) размером 0,04—0,25 мм.
Эффективная пористость 6,5—7,5 %, предельное водонасыщение
2,8—3%.

Кварцевый песчаник. Крупно-среднезернистый, полевошпато-
кварцевый, буро-красный, высокопористый. Структура псаммито-
вая, крупно-среднезернистая. Обломки (90 %) полуокатанные
размером от 0,2 до 1 мм с преобладанием 0,5 мм, преимуществен-
но кварц, полевые шпаты, реже микрокварцит. Пленочный цемент
(5 %)—из бурых пленок гидроокислов железа. Поровый (5 %),
глинистосерицитовый, участками хлоритовый (хлорит бесцветный,
радиально-лучистый). Встречаются в породе пустые поры до 20 %
размером от 0,05 до 0,6 мм, единичные до 1 мм. Эффективная по-
ристость 18,72 %, предельное водонасыщение 8,71 %.

Бурый уголь. Шурабское месторождение. Шахта им. Ленина
(пласт угля Б). Бурый уголь — гумусовый, физено-семифюзено-
вый, матовый, черный с тусклым смолистым блеском, относитель-
но мягкий. Излом угля неровный. Поверхность излома шерохо-
ватая.

Текстура массивная. Структура однородная. Микроструктура
аттритовофрагментарная. Основная масса угля физено-семифюзе-
нового состава; представлена измененными и обломочными остат-
ками стеблевых и листьевых частей растений. Присутствует при-
месь (до 10%) минерального вещества. Влажность угля 20,4—
26,2 %. Истинная пористость 33,5—35,5 %.

Каменный уголь. Кизеловский бассейн. Микромакроспоринит
(микроспоровый дюрен) —гумусовый уголь черный, матовый, вяз-
кий, плотный, со смолистым блеском, штриховатый.

Текстура массивная. Структура штриховатая. Основная масса
угля состоит из фюзенито-спорпнита. В состав угля входят: липо-
идные компоненты (группа лейптинита) до 90 %, представленные
споринитом-оболочками экзин микроспор (60 %) размером 0,02—
0,16 мм и макроспор (25 %) длиной до 1,4 мм и толщиной 0,2мм,
реже кутинитом — остатками кутикулы (3—5%), фюзинит (1—
3 %) —тонкие удлиненные линзы (0,88X0,12 мм, 1,6X0,16 мм)
с хорошо сохранившимися клеточным строением; семифюзинит
(3—5 %)—линзы (1,2x0,2 мм); витринит (1—2 %)—полосы
толщиной 0,6 мм и мелкие (0,1 мм) линзы; фрагментарные скоп-
ления (до 1 %) обломочного фюзинита (0,02—0,18 мм); цементи-
рующая основная масса, состоящая из мелких фрагментов — ко-
мочков растительных тканей размером 0,007—0,044 мм, и примесь
46
тонкодисперсного глинистого материала и зерна (0,007—0,25 мм)
пирита (1—2 %). Единичные тонкие (0,02—0,1 мм) трещины, вы-
полненные глинистым материалом. Открытая пористость 0,96—
1,22 %.

2.4.	Анализ результатов экспериментальных исследований
горных пород при разных значениях скорости деформирования
и видах напряженного состояния

Экспериментально исследована серия горных пород при разных
скоростях деформирования и видах напряженного состояния.
Среди них мономинеральные (мрамор, галит), полиминеральные
(диабаз, сильвин с галитом, песчаники), каменные и бурые угли
из месторождении, опасных по горным ударам и внезапным выбро-
сам, породы различной природы и происхождения. Всего испытано
несколько десятков тысяч образцов.

Экспериментальные точки значений пределов прочности и упру-
гости для мрамора, диабаза, кварцевого песчаника при разных
скоростях и видах напряженного состояния в координатах Ige
и тп располагаются на лучах, выходящих из одного полюса.

Петрографическими исследованиями установлен различный ха-
рактер процентного распределения числа зерен по размеру у раз-
ных пород. У мрамора и диабаза распределение размера зерен
оказалось довольно узким. Последние меняются не более чем
в 2—3 раза. Малый разброс размера зерен установлен у выбросо-
опасного и кварцевого песчаника. Очень сильный — у каменной
соли Старобинского месторождения (в 30 раз) и каменной соли
из Средней Азии (в 20 раз). Сильвинит в основном дал разброс
размеров зерен сильвина и галита примерно в 10 раз.

В результате экспериментальных исследований были обнару-
жены различные аномалии зависимости прочности горных пород
от скорости деформирования при различных значениях бокового
давления.

У образцов мрамора снижение (около 7 %) прочности с уве-
личением скорости деформирования получено при о2=150 МПа,
а диабаза — при ог=250 МПа. При более низких давлениях экспе-
риментальные точки значений пределов прочности и упругости
для мрамора легли на лучи, выходящие из одного полюса.

В областях высоких скоростей деформирования у мрамора и
диабаза обнаружены более резкие зависимости предельных харак-
теристик от скорости, чем в диапазоне низких.

Снижение прочности с увеличением скорости деформирования
обнаружено у образцов каменной соли (породе мономинеральной).
От остальных пород обе разновидности каменной соли отличаются
сильной изменчивостью размера зерен.

На образцах сильвинита в отличие от мрамора и диабаза
установлены два участка зависимости предельных характеристик
от скорости: сильная зависимость в диапазоне малых скоростей
и слабая — в диапазоне высоких.
На образцах выбросоопасного песчаника, который является
полиминеральной породой, получено снижение прочности с увели-
чением скорости при а2=100 и 150 МПа.

Пластичность испытанных горных пород изменяется также
в зависимости от скорости деформирования и вида напряженного
состояния. При этом пластичность может как увеличиваться с ро-
стом скорости деформирования, так и уменьшаться. У образцов
мрамора, диабаза и выбросоопасного песчаника обнаружены мак-
симумы пластичности в диапазоне высоких скоростей деформиро-
вания, а солевых пород — в диапазоне низких скоростей.

При высоких давлениях максимум пластичности в области низ-
ких скоростей получен на образцах мрамора и кварцевого песча-
ника.

Увеличение объема (разрыхление) во всех случаях изменяется
аналогично показателю пластичности.

Угол ориентировки плоскости среза изменяется от 20 до 40°
в зависимости от вида напряженного состояния. Наиболее частое
значение угла а—30°.

Из полученных экспериментальных результатов качественно
новыми являются следующие:

а)	зависимость прочности горных пород от скорости деформи-
рования, имеющая несколько участков, описываемых разными
уравнениями;

б)	пластичность и энергоемкость разрушения горных пород
с ростом скорости могут и возрастать, и уменьшаться;

в)	прочность пород с возрастанием скорости деформирования
может как увеличиваться, так и уменьшаться в зависимости от
структурного состояния и состава породы;.

г)	экспериментальные точки, соответствующие пределам прочно-
сти и пределам упругости в координатах Ige и тп, при разных видах
напряженного состояния ложатся на лучи, выходящие из одного
полюса;

д)	экспериментами по ползучести установлены деформации
разрыхления и уплотнения.

2.5.	Условия предельных состояний

Пределы прочности и упругости для четырех типов горных по-
род показаны на рис. 44 в координатах 1g т и с, гдет = (с1— а2)/2,
а параметр с в общем случае определяется как отношение компо-
нент главных напряжений, образующих максимальное касательное
напряжение, и это отношение составляется так, чтобы одноосное
сжатие давало значение с = 0. Справа от начала координат отло-
жены положительные значения с, характеризующие виды напря-
женного состояния сжатия под боковым давлением, когда все ком-
поненты напряжений имеют одинаковый знак. Слева от начала
координат'отложены отрицательные значения с, характеризующие
напряженные состояния растяжения под боковым давлением и
плоское напряженное состояние «растяжение — сжатие», когда
48
компоненты главных напряжений имеют разные знаки. Условие
с=—оо характеризует одноосное растяжение, а условие с=1—
всестороннее гидростатическое сжатие, при котором разрушение
наступить не может и поэтому значение с = 1 недостижимо.

Наклонные прямые 1 и 2 и горизонтальные 4 и 3 на рис. 44, а
построены соответственно по экспериментальным значениям пре-
делов прочности и упругости, полученным при разных значениях

а	lgt-ДМПа	6 . >9гй?-МПа

Рис, 44. Зависимость пределов прочности и пределов упругости для мрамора
типов I (с) и II (б), талькохлорита (в) и диабаза (г) от параметра с

с, и при одной постоянной скорости деформирования е=10-Бч-
КНс-1 (см. рис. 44)'. Прямые 1 и 2 пересекаются в точке с ко-
ординатами ср и 1gТр. Здесь предел прочности начинает совпа-
дать с пределом упругости, макроскопические остаточные дефор-
мации исчезают, а разрушение становится совершенно хрупким,
плоскости разрушения совпадают с площадками действия макси-
мальных растягивающих напряжений. Условия прочности начинают
подчиняться теории максимальных нормальных напряжений
(I теория прочности), трактующей разрушение путем отрыва. При
напряженных состояниях, расположенных правее точки пересече-
ния линий 1 и 2, моменту разрушения предшествуют остаточные
деформации (см. рис. 45). При этом с удалением от точки пере-
сечения вправо более заметными становятся остаточные дефор-
мации перед разрушением. Наибольшие их значения были полу-
чены на образцах двух разновидностей белого мрамора типов I
и II при значениях ос о, соответствующих горизонтальным участ-
кам предельных линий 4 и 5. У талькохлорита горизонтальный
участок экспериментально был получен только для линии предела
упругости 3. У диабаза из-за его высокой прочности горизонталь-
ные участки достигнуты не были.

В области отрицательных значений параметра с наиболее полно
был исследован талькохлорит. Незачерненными квадратиками (см.
рис. 44, в) показаны точки, полученные при растяжении под боко-
вым давлением, черными кружочками нанесены результаты, полу-
ченные при «растяжении — сжатии». У остальных материалов в этой
области определялась лишь прочность на одноосное растяжение ср,
значения которой показаны на графике горизонтальной прямой
с координатой lgap/2<lgTp, для мрамора типов I и II и горизон-
тальной прямой, проведенной на уровне lg ар/2 > 1g тр, для талько-
хлорита и диабаза (см. рис. 44), где тр — координата точки пере-
сечения линий 1 и 2.

На графиках видно, что экспериментальные точки в принятых
координатах достаточно хорошо легли на прямые 1 и 2, что по-
зволяет аппроксимировать эти зависимости выражениями следу-
ющего вида [30]:

?п = т°е^;	(2.1)

ту = т°еа’,	(2.2)

где тп и ту — соответственно предел прочности и упругости; т°, т°,
А и В — определяемые из опыта константы материала, постоянные
при данной скорости деформирования.

Координата ср находится из условия ту ?= тп, т. е.

<2-3)

\ У /

Найденное из выражения (2.3) значение ср при подстановке
в уравнение (2.1) или (2.2) позволяет подсчитать вторую координату
тр точки пересечения предельных линий 1 и 2.

Располагая значениями координат ср и тр, можно подсчитать
прочность на отрыв по следующей формуле:

Формула (2.4) пригодна для подсчета ср лишь в том случае, если
выполняется условие

1ётр<1б^.	(2.5)

Если условие (2.5) изменяется и приобретает вид

lg тр > lg \	(2.6)
то прочность на отрыв

____2тр

р 0-ф'

(2-7)

При выполнении условия (2.5) ср в выражении (2.5) одновремен-
но является прочностью и на одноосное растяжение, и на отрыв.
В случае справедливости условия (2.6) величина ср в выражении
(2.6) характеризует лишь прочность на одноосное растяжение и не
является прочностью на отрыв ар, которая в этом случае может
быть достигнута лишь в условиях трехосного неравномерного рас-
тяжения с параметром с = ср и подсчитана по формуле (2.7). Коор-
дината Ср находится из выражения

с1 - с —с11
С/р - С/р Ор .

где с" (см. рис. 44, в, г) — координата точки пересечения горизон-
тальной линии	с линией предела прочности 1.

Имеющиеся горизонтальные участки пределов прочности линий
4 и 3 могут быть описаны теорией максимальных касательных нап-
ряжений (III теория прочности) ср и ср — координаты точек выхода
условий предельных состояний на горизонталь. Здесь характери-
стики предельных состояний перестают зависеть от с. Таким
образом, новые условия (2.1) и (2.2) описывают предельные со-
стояния материалов в промежутке между чистым отрывом, где
действует I теория прочности, и чистым срезом, где действует III
теория прочности либо IV теория прочности Мизеса, Губера, Генки.

Если линии пределов прочности, показанные на рис. 44, изобра-
зить в координатах огибающих кругов Мора, то наклонные участ-
ки 1 и 2 будут отражены криволинейной частью огибающей, где
угол внутреннего трения переменный, горизонтальные участки 4
и 3 дадут расположение огибающей, где теория Мора переходит
в III теорию прочности либо в IV. Разница между III и IV теори-
ями принципиального значения не имеет.

Соответствие условий (2.1) и (2.2) эксперименту было прове-
рено на нескольких сотнях разновидностей горных пород и мате-
риалов.

2.6.	Деформации за пределом упругости

Главные относительные деформации ej и е2 == гз разделяются на
упругие si и ег = 63 и остаточные ер и е2 = ез с помощью выраже-
ний

ef = ei — ef, е2 = ез = е2 — е2.	(2.8)

Остаточное изменение объема 6р выражается чепез главные оста-
точные деформации

6р = ef + 2ef.	(2.9)
Коэффициент остаточной поперечной деформации

(2.10)

После подстановки р. в выражение (2.9) для определения 6р бу-
дем иметь

6₽=е?(1— 2р).	(2.11)

Рис, 45. Экспериментальные зависимости для белого мрамора типа I (кривые 1
и 3) и типа II (кривые 2 и 4)

При деформации и разрушении плоскости сдвига ориентируются
по отношению к оси образца под углом а < 45°.

На рис. 45 показаны экспериментальные графики для двух ви-
дов белого мрамора. Отложенные на графиках значения с относятся
к сжатию под боковым давлением. Зависимость (6р; с) имеет макси-
мум при с~ст, при этом величина 0„г в максимуме у мрамора ти-
па I примерно в 30 раз, а мрамора типа II в 20 раз превышает
значение 6р, полученное у тех же пород при с = 0.

Изменения объема 6р = 6П имеют знак расширения и получены
при напряжениях, соответствующих пределу прочности т„. На пер-
вых порах кажется парадоксальным появление максимума 6П при
52
всестороннем неравномерном сжатии. Этот парадокс устраняется после
рассмотрения статистической модели неоднородного тела.

Коэффициент р. уменьшается от нескольких единиц до значения
0,5 при с = Он-0,35. Угол среза при этом возрастает от 20 — 25°
примерно до 45°. Сопоставляя графики рис. 45, а, б, в между собой,
можно отметить, что при а -> 45° коэффициент р, -> 0,5, а 6П -> 0.

При достижении указанными величинами своих пределов горные
породы приближаются по свойствам к модели сплошного пла-
стичного тела.

Зависимость (ef = е"; с) удовлетворительно описывается уравне-
нием вида

= =	(2.12)

а зависимости (р; с) и (а; с) могут быть описаны выражениями

Р = рое-Гс;	(2.131

а = аоеЛс.	(2.14)

Подставляя (2.12) и (2.13) в (2.11), будем иметь

6п = £оеБС (1 _ 2рое-Ге),	(2.15)

где е?, Б, р0, Г, а0 и Д — определяемые из опыта постоянные.

Уравнение (2.15) достаточно хорошо описывает эксперименталь-
ные зависимости. Координата ст расположения максимума О™ нахо-
дится с помощью выражения (2.15), причем производная от выра-
жения (2.15) по с приравнивается к нулю и из полученной форму-
лы определяется

^ = т1е[2!А0(^г£)]-	<2-16)

Увеличение объема 0р связано с явлением раскрытия микро-
трещин, которое происходит в процессе деформации. Результаты,
аналогичные описанным для двух видов мрамора, были получены
и подтверждены на разновидностях горных пород из различных
бассейнов и месторождений Советского Союза, а также на раз-
личных материалах совершенно иной физической природы.

2.7.	Анализ результатов экспериментальных исследований
свойств горных пород

Установленные факты разрыхления и увеличения объема, от-
клонения плоскости среза от площадок действия максимальных
касательных напряжений, рост предела прочности и упругости, по-
вышение пластичности с изменением параметра с, зависимость
коэффициента р. от с и достижение им величин, значительно пре-
вышающих 0,5, независимость р от величины остаточной деформа-
ции при данном с можно объяснить с помощью модельных
представлений о статически распределенных в реальном теле
микродефектах, являющихся причиной возникновения микропло-
щадок сдвига. Идея о распределенных дефектах использована во
многих статистических теориях прочности и, в частности, в теории
хрупкой прочности Я- И. Френкеля и Т. А. Конторовой и теории
масштабного эффекта горных пород М. М. Протодьяконова. Ста-
тистическая теория, развиваемая В. Т. Брэди [46], рассматривает
влияние на поведение материалов имеющихся трещин с разной
ориентировкой относительно осей главных напряжений. Данная

теория в основных положениях

Рис. 46. Схематическая модель однокомпонентной неоднородной среды

С. Д. Волкова. Схематическая модель однокомпонентной неодно-
родной среды показана на рис. 46, где четыре (а, б, в, г) единич-
ных сечения тела изображены нагруженными главными напряже-
ниями щ >02. При этом по мере перехода от сечения а к г
отношение c=o2/oi увеличивается, так как С1<с2<сз<с4. Все се-
чения разбиты на структурные микроквадратики, которые могут
интерпретироваться как зерна, из которых построен данный ма-
териал, или просто микрообъемы, равные по величине зерну.
Статистически распределенные дефекты при нагружении тела яв-
ляются причиной появления сдвигов по микроплощадкам, совпа-
дающим с дефектами. Дефекты одинаковой степени «опасности»
в силу закона вероятности распределяются в теле равномерно со
средним расстоянием между собой Ь. На рис. 46 микроплощадки
сдвига показаны жирными черточками, совпадающими с площад-
ками действия максимальных касательных напряжений.
i	Плотность дефектов TV, а следовательно, и совмещенных с ними

микроплощадок сдвига а растет с ростом параметра с, т. е.

Ni < N2 < N3 < N4.

При этом по мере перехода от первого сечения к последнему по
условию (2.1) растет с и предельное сопротивление сдвигу по микро-
площадкам а, т. е.

1 . 2 , з , _4
Тп < ТП

С увеличением /V уменьшается расстояние b между площад-
ками а. Как только касательные напряжения на микроплощадках
достигают критического значения, происходит сдвиг, который при-
водит к возникновению отрыва по вертикальной микроплощадке
размером Ь, обозначенной на схеме штриховой линией. Микропло-
щадки сдвига а и отрыва Ь образуют ступеньку. Многократное
повторение этих ступенек напоминает лестницу, которую макро-
скопически можно представить шероховатой плоскостью сдвига to,
обозначенной штрихпунктирной линией и наклоненной к оси оу
под углом а#=45°. По плоскости со часть тела сдвигается отно-
сительно другой части. Разрыв по микроплощадкам b является
причиной увеличения объема, так как по мере развития сдвига по
элементам а развиваются в ширину микротрещины по элементам Ь.
С увеличением N растет общая предельная пластичность тела,
определяемая эмпирическим уравнением (2.12), уменьшается вы-
сота ступенек Ь, а следовательно, угол а возрастает и постепенно
стремится к 46°. Размер микроплощадок а остается неизменным
и в первом приближении равным величине зерна. Последнее объя-
сняется тем, что сдвиг, где бы он не зародился, на границе зерен
встречает мощное препятствие развитию и поэтому вероятность
преодоления сдвигом границы раздела зерен очень мала.

Показанная на рис. 46 модель — объемная. Вид на единичные
объемы по стрелке К аналогичен изображенному. Если с2 = о3, то
вид по стрелке К полностью совпадает с изображенным. Если же
с2 > оз» то этот вид отличается от изображенного лишь величиной
Ь, которая будет несколько меньше.

Из простых геометрических преобразований

z = A = 2p.(ctg<z-l),	(2.17)

где а — угол наклона плоскости <в; Ъ и а — линейные размеры мик-
роэлемента.

Объем, занимаемый одним микроэлементом сдвига, примерно сос-
тавляет (а + &)3. Число микроэлементов сдвига в единице объема

)V ==---------L— =---------------!-------

(a + Z>)3 И (1 + х)]3 ’

(2.18)

Величина х находится по формуле (2.17), размер а может быть
определен петрографически под микроскопом.

I
. С увеличением N растет и предельное сопротивление сдвигу тп,
определяемое из уравнения (2.1). Учитывая последнее, выражение
(2.18) можно записать

(2-19)

где f(tn) — некоторая функция тп, которую можно представить как
эмпирическую функцию распределения N микроэлементов сдвига по
предельному сопротивлению сдвигу тп. С другой стороны, естествен-
но предположить, что (V распределено по тп в соответствии с зако-

Рис. 47. Статистические функции распределения Л' (кривая 1) по тп для мрамора
типов I (а) и II (б), талькохлорита (в) и диабаза (г)

иом нормального распределения. С целью проверки вышесказанного
предположения зависимости (2.19) были сопоставлены с кривой Га-
усса, уравнение которой имеет вид

27V	(*~Тп)2

(2.20)

Сравнение двух зависимостей проводилось в интервале значений
т от нуля до т„, где т„ = х подсчитывается по уравнению (2.1) при
с = со, когда предел прочности перестает зависеть от с и кривая
предела прочности становится горизонтальной. Сравнение произ-
водилось с привлечением графического метода проверки на соот-
ветствие закону нормального распределения.

На рис. 47 показаны графики распределения для четырех типов
пород. Внизу каждого графика в вероятностной сетке дана графи-
ческая проверка на соответствие закону нормального распреде-
ления. Прямая сплошная линия в этих координатах изображает
интегральную функцию нормального распределения. Эксперимен-
Б6
тальные точки достаточно хорошо группируются вокруг теорети-
ческой прямой. Особенностью гр’афиков является то, что на пра-
вых ветвях кривых Гаусса экспериментальных точек нет (функции
распределения имеют усеченный вид), а значение х=тГв, являясь
средней и наиболее вероятной величиной, характеризующей сопро-
тивление сдвигу на горизонтальном участке линии пределов проч-
ности. Величина Q может служить характеристикой однородности
материала: чем Q больше, тем

менее однороден материал.

Выясним, является ли при-
чиной изменения N изменение
т в процессе деформации тела
при разных с. Из схемы (см.
рис. 46) выделим одну сту-
пеньку, состоящую из элемен-
тов а и Ъ, и составим для нее
уравнение предельного равно-
весия. Все другие ступеньки, из
которых составляется «лест-
ница», совершенно одинако-
вы. На рис. 48 показаны одна
ступенька и все внешние (щ
и сг2) и внутренние (ор, т, ti)
напряжения, стремящиеся сдви-
нуть часть 1 относительно час-
ти 2. Спроектируем все силы
на ось А—А, расположенную
под углом 6 = 45°, и сумму
приравняем к нулю, т. е.

Рис. 48. Схема предельного равновесия
единичного плоского элемента

(та2) — (т[Ц2) — (враЪ cos2 8) — (c2czfe cos2 6) = 0,	(2.21)

где т = (cj — а2)/2; -и — предельное сопротивление сдвигу по микро-
площадке а; ар — прочность на отрыв по микроплощадке Ь.

Разделим все члены уравнения (2.21) на а2 и после преобразо-
ваний получим

Т1 = Т — (dp + с2) j.

Введем обозначение

[т(ар + °2)] = р'

Тогда

Ti — т — р.	(2.22)

В выражении (2.22) р составляет величину сопротивления отно-
сительному перемещению частей элемента, вызванного действием по
площадке b сопротивления отрыву ар и бокового внешнего напря-
жения а2 (см. рис. 46).

Продифференцируем выражение (2.22) по с

дт/дс = дт^дс др[дс.	(2.23)
Условие включения в процесс деформации новых микроплощадок
а с более высоким сопротивлением сдвигу имеет вид

dti/dc < др/дс.	(2.24)

Подставим условие (2.24) в (2.23) и примем в качестве ti вели-
чину Ту, полученную из выражения

ху = ту — А

где значение взято из уравнения (2.2) и тогда будем иметь

Рис. 49. Зависимость т(/ и р от параметра с (а) и их производных по с (б)
мрамора типов I и II

Условие (2.25) сравнено с результатами эксперимента для
мрамора типов I и II на рис. 49. Из рис. 49, б видно, что условие
(2.25), по крайней мере качественно, выполняется удовлетвори-
тельно, кривые довольно близко расположились друг от друга.
Расхождение, вероятно, объясняется ошибками, связанными с про-
цессом графического дифференцирования.

Включение в деформацию более прочных микроэлементов пре-
кращается при с=»Су, где функция р(с) приближается к макси-
муму, а ее производная стремится к нулю. Наличие максимума
у фукнции р является причиной прекращения отбора более проч-
ных микроэлементов и, как следствие, появления горизонтального
участка на линии пределов упругости.

Физическая сущность предела упругости заключается в воз-
никновении первой макроскопической плоскости со, наклоненной
58
при данном с под углом а к оси образца. Появление плоскостей со
за пределом упругости вызывается не условием (2.25), а процес-
сом деформационного упрочнения по предыдущим плоскостям.

Включение новых плоскостей <о и деформационное упрочнение
по ним продолжаются вплоть до разрушения тела.

Горизонтальный участок по линии пределов прочности начинается
в результате достижения числа Nm микроэлементов а со средним
сопротивлением сдвигу по ним т,',. Эти значения величин соответст-

Рис. 50. Схемы для вывода зависимостей коэффициента поперечной остаточной
деформации от угла среза для однородной (а) и неоднородной (б) сред

вуют расположению максимума на кривой нормального распределе-
ния. Вовлечение в деформацию элементов, расположенных на пра-
вой ветви кривой нормального распределения, с ростом с > с„ при-
вело бы к снижению предельной остаточной деформации при повыше-
нии напряжений, что экспериментально наблюдать не удалось.

Рассмотренная модель позволяет также получить теоретическое
выражение для коэффициента р. Выведем зависимость р от угла а
для случая, когда эффекта раскрытия микротрещин нет, и для слу-
чая, когда деформация идет в соответствии с предлагаемой моделью,
т. е. при раскрытии микротрещин.

В первом случае (рис. 50, а) сдвиг происходит по гладкой плос-
кости и, расположенной под углом а. Тог.ца

е2 1 tga

1X1 _ Ер 2 “ 2 •

(2.26)
е1 2 eln!2 fctga2 2 tga
угол 0 = 45°.

принципиально отличается от формулы (2.26),

Множитель 1/2 введен потому, что имеются две одинаковые сис-
темы плоскостей <».

Во втором случае (см. рис. 50, б) выражение для р может иметь
иной вид и выводится по-другому. Главные деформации

ef = e?ni; е2 = £2*«2,

где е?1 — перемещение в направлении ер, вызванное сдвигом по един -
ственной плоскости ш; е2*— аналогичное перемещение, в направлении
е2; и п2 — число плоскостей ш, пересекающих отрезок единичной
длины соответственно в направлении ef и е2. Выражения для них
имеют вид

п\ = 1/Ь; n2 = l/(btga).

Используя полученные соотношения,

е9 1	е9М91 h !	1

Р = _L ± = -J-L- =	== —L_	(9 97\

где е2 — еь так как

Формула (2.27)
не учитывающей эффекта раскрытия микротрещин. В удовлетво-
рительном согласии с экспериментом находится формула (2.27),
что еще раз указывает на качественную правильность предложен-
ной модели. Формулы (2.26) и (2.27) дают одинаковое значение
ц = 0,5, когда а=45°. В последнем случае материал ведет себя
как однородная среда.

На рис. 51 в полулогарифмических координатах показаны за-
висимости 1g р—с. Линия 1 построена по экспериментальным точ-
кам и удовлетворительно описывается эмпирическим уравнением
(2.13); линия 2 — по формуле (2.27), а 3 — по формуле (2.26).

Из графиков видно, что величины р,, получаемые из формулы
(2.27), оказываются несколько заниженными по сравнению
с экспериментом. Одной из причин этого отклонения может слу-
жить не вполне точное определение угла среза а при разрушении
образца.

Коэффициент р при данном с сохраняет постоянное значение
независимо от величины остаточной деформации ef, начиная от
предела упругости и до предела, прочности, и затем сохраняет
близкое допредельному значение за пределом прочности, вплоть
до полной потери связи в запредельной области. Специальными
экспериментами проверялась остаточная деформация, которая
достигала нескольких десятков процентов. Для исключения влия-
ния фактора формы при столь высоких остаточных деформациях
образцы после определенной величины деформации протачивались
до цилиндрической формы, после чего деформировались дальше.
Такая операция проводилась до 8 раз.
т

Рис. 51. Эксперимен-
тальные и теоретиче-
ские зависимости р от
с для мрамора типов
I (а) и II (б), диабаза
(б), талькохлорита (г)
2.8.	О статистической модели многокомпонентной
неоднородной среды

Рассмотренная выше статистическая модель неоднородной
среды характеризуется тем, что свойства отдельных составляющих
ее элементов отличаются друг от друга только по пределам упру-
гости и прочности. Такая среда называется однокомпонентной.

В реальных горных породах структурные элементы могут раз-
личаться не только по механическим показателям, но и по мине-
ралогическому составу, температуре плавления, величине тепло-
емкости и т. д., т. е. по физическим свойствам. Все эти показатели
могут сильно влиять на чувствительность отдельных элементов
к изменению внешних условий, например скорости деформирова-
ния. Показателями этой чувствительности могут служить констан-
ты «о и ео и to кинетического уравнения (2.1'). Наиболее сильное
влияние на различие свойств оказывает и0, поэтому в дальнейшем
будем говорить в основном об этой величине. По. аналогии с мо-
делью, показанной на рис. 46, может быть сконструирована стати-
стическая модель среды, состоящей из элементов различной
физической природы, различающихся хотя бы по одному из упомя-
нутых параметров. Такая среда называется многокомпонентной.

При о^нокомпонентпой среде в зависимости от внешних усло-
вий изменяется лишь число элементов, участвующих в процессе.
С увеличением скорости, например, элементы упрочняются в силу
кинетической природы деформации и с этим растет число вновь
вовлекаемых в процесс новых, более прочных элементов.

В многокомпонентной среде под влиянием внешних условий
изменяется не только число участвующих элементов, но и качество
этих элементов, определяемое их физическими параметрами.
В результате статистического отбора могут образовываться мак-
роскопические плоскости сдвига <о, состоящие из элементов только
одного вида, в то время как элементы другого вида в макроско-
пической остаточной деформации образца не принимают участия.
Процесс может происходить в зависимости от изменения внешних
условий, сначала по элементам одной разновидности, затем пере-
ходить на элементы другой разновидности. Безусловно, возможно
вовлечение в формирование плоскости со и некоторой части другой
составляющей. Но это возможно в том случае, когда механиче-
ские характеристики элементов чужеродной компоненты не очень
сильно отличаются от характеристик основной компоненты. Мо-
дель, во всяком случае, должна гарантировать как независимое
участие в деформации одной компоненты, так и возможное их
смешение.

Статистическая модель неоднородной среды позволяет анали-
зировать влияние скорости. Рассмотрим для начала случай одно-
компонентной среды, представителем которой может служить
исследованный и описанный ранее белый коелгинский мрамор.
Зависимость прочности от вида напряженного состояния (или от
величины бокового давления щ) ясна из предыдущего рассмот-
62
рения модели на рис. 46. Непосредственно из этой модели не
вытекает зависимость величины пластической деформации от ско-
рости нагружения. Как видно из экспериментальных графиков,
величина остаточной деформации (см. рис. 16, а и б) является
очень сложной функцией скорости.

Величина остаточной деформации, как это следует из модели,
прямо пропорциональна количеству щ вовлеченных в процесс пло-
скостей со и величины деформации (сдвигу) на каждой единичной
плоскости. На пределе упругости образуется первая плоскость со,
развивающаяся по ней деформация сдвига сопровождается пла-
стическим упрочнением (наклепом), которое приводит к повыше-

Рис. 52. Обобщенная кривая остаточной деформации и модуль пластичности

нию уровня действующих напряжений. Последнее и является
причиной образования и вовлечения в процесс деформации образ-
ца новых плоскостей со, максимальное число которых при данном
виде напряженного состояния достигается на пределе прочности.

Описанный процесс отбора плоскостей со наступает при любой
скорости деформирования, однако с изменением последней из-
меняется показатель деформационного упрочнения, а именно:
с ростом скорости деформирования, в силу кинетической приро-
ды необратимых деформаций, модуль пластичности возрастает,
т. е. упрочнение становится более интенсивным, а это приводит
к более интенсивному повышению уровня прикладываемых к образ-
цу напряжений. При более высоком уровне напряжений становится
возможным вовлечение в процесс деформации более прочных эле-
ментов, которые способны образовать новые плоскости о, допол-
нительные к тем, которые уже были при этом же виде напря-
женного состояния, но при более низкой скорости деформиро-
вания. Отсюда становятся понятными явления повышения пластич-
ности с ростом скорости, описанные ранее.

Для пояснения сказанного воспользуемся кривой остаточной де-
формации горных пород, единой для любых видов напряженного
состояния, показанной па^ рис. 52, а в координатах Дт — ef. Здесь
Дт = (т — ту), где Ту = туеес-—предел упругости, а т— приложен-
ное внешнее напряжение, превышающее предел упругости, как край-
ний случай, т может достигать значения предела прочности тп =
= ТпеЛс, ибо предельные значения напряжений также могут быть на
обобщенной кривой. Вторая координата е? представляет главную
остаточную предельную деформацию. Введение величины Дт вызва-
но тем, что предел упругости зависит от с. Использование в ка-
честве второй координаты главной компоненты остаточной деформа-
ции, а не величины сдвига, вызвано тем, что ввиду явления рас-
крытия в теле микротрещин по микроплощадкам «Ьу> зависимость
между Дт и величиной сдвига не дает единой обобщенной кривой
деформации для всех значений параметра с. Здесь для каждого с по-
лучается своя кривая. Кривая имеет выпуклость кверху, при боль-
ших деформациях становится близкой к прямой линии. Наибольшая
кривизна наблюдается вблизи начала координат. Углы аь а2, а3,
а4, а5 (см. рис. 52, а) образованы между касательными 1, 2, 3, 4,
5 к обобщенной кривой и осью деформации. Тангенсы этих углов
можно назвать модулями пластичности S в точках сопряжения ка-
сательных с обобщенной кривой. Модуль пластичности является ве-
личиной переменной и, как это видно из рис. 52, б, меняется от
максимального значения tgai=So до минимального tga5 = Sr.

Если исходить из рассмотренного выше предположения о после-
довательном включении в общую деформацию плоскостей <о, то мо-
дуль является коэффициентом пропорциональности между Дт и е?
в случае, когда в теле образовалась одна единственная плоскость о>.
При этом необходимо отметить, что So в принятой модели не зави-
сит от числа элементов сдвига а, образующих данную плоскость <»,
т. е. So не зависит от величины х и также не зависит от параметра
с, характеризующего вид напряженного состояния.

После возникновения первой плоскости ш появление следующих
аналогичных плоскостей приводит к уменьшению модуля S. Если
принять, что для любой единичной плоскости oj модуль So остается
одинаковым и притом не зависит от величины деформации е’(, то
снижение текущего модуля S оказывается обратно пропорциональ-
ным числу tii плоскостей ю. Зависимость между Дт и е? можно пред-
ставить в виде:

«О п

Дт=-^-е?,	(2.28)

где S0/ni = S — текущий модуль пластичности.

До тех пор, пока т меняется в процессе деформации тела, мо-
дуль S также является величиной переменной, когда «1 становится
постоянным, то S также становится константой.

Высказанное предположение о независимости So от е? до неко-
торой степени находит свое подтверждение в многочисленных опытах
П. Бриджмена по деформированию металлов при высоких давлени-
ях, где зависимости сохраняют прямолинейную форму при деформа-
циях в несколько тысяч процентов. Упомянутые исследования могут
служить прямым подтверждением постоянства не So, a Sr, которое,
64
исходя из выражения (2.28), означает прекращение [п\ =щ — const)
вступления в процесс деформации новых плоскостей о>. Таким обра-
зом, наступает насыщение из-за того, что исчерпывается, для рас-
сматриваемых условий опыта, весь возможный запас Nm микроэле-
ментов а. Линия пределов прочности в этом случае выходит на
горизонтальный участок.

Определим число плоскостей п из выражения (2.28)
т = Sq/S', Пг = So/Sr.

Отсюда получаем, что ксгда Sr = const и пг = const, то и So =
= const.

Зависимость S от е? на рис. 52, б получена путем дифференци-
рования графика обобщенной кривой. При некотором, достаточно
большом значении деформации ер когда кривые S и п пересекаются
с горизонтальными линиями Sr и «г, величины п\ и S одновременно
становятся постоянными, равными пг и Sr. В начале координат ei =
= О, S = So, а «1 = 1. Зависимость S от $ можно выразить анали-
тически следующим образом:

S = Soe-Le',	(2.29)

где L — постоянная, определяемая из опыта.

С учетом уравнения (2.29)

П! = еи*.	(2.30)

Подставив выражение (2.29) в (2.28), а затем заменив выраже-
нием (2.12), получим окончательный вид уравнения обобщенной кри-
вой остаточной деформации

М = [Soe-(L6‘e£c)U.	(2.31)

Данным уравнением можно пользоваться до значений параметра
с не более Ст- При с > Сг Дт перестает зависеть от с, поэтому в урав-
нении (2.31) после достижения параметра с = сг показатель степени
становится постоянным, равным (Бег). В результате последнего ве-
личина, заключенная в квадратные скобки, становится константой

Sr = [Soe-HeBcr)|.

Уравнение обобщенной кривой (2.31) после этого становится ли-
нейным, а прирост напряжения пропорциональным деформации

Дт « Sre?.	(2.32)

Прекращение включения в процесс деформации новых плоскостей
происходит из-за наличия максимума на кривой нормального рас-
пределения, когда имеет место соотношение dNjdt = 0, т. е. поступ-
ление новых элементов деформации равно нулю.

Более правильно было бы считать, что при с = сг после дости-
жения определенной величины деформации резко сокращается
3 4-497	65
число вновь появляющихся плоскостей со, что позволяет зависи-
мость (2.32) считать весьма близкой к линейной.

Обобщенные кривые остаточной деформации, построенные по
экспериментальным точкам, показаны на рис. 53. Параметры
обобщенных кривых остаточной деформации для ряда горных
пород приведены в табл. 1, где также даны коэффициенты корре-
ляции для этих кривых, которые в большинстве случаев близки

Рис. 53. Обобщенные кривые остаточной деформации для мрамора типов I (а)
и II (б), талькохлорита (в) и диабаза (г)

к единице. Зависимость (2.29) во всех случаях в исследованном
диапазоне деформаций очень близка к линейной, что имеет место,
когда показатель степени в уравнении (2.29) достаточно мал по
сравнению с единицей, т. е.

S = Soe~t£‘ So — Kept.	(2.33)

ТА В Л И ЦА 1

Порода	Дис-  Персия Q	тп>  МПа	So106, МПа	£г10\ МПА	ыо»	К10»	К, 10—3	Коэффициент корреляции обобщенной кривой
Мрамор I	1,74	360	0,18	0,041	0,11	0,17	3,7	0,93
Мрамор II	0,98	200	0,16	0,033	0,16	0,18	2,1	0,93
Талькохлорит	1,0	95	0,80	0,070	2,76	29,6	0,13	0,95
Диабаз	1,5	1600	2,68	1,15	0,69	17,2	0.9	0,85
Песчаник ВО	0,38	420	0,85	0,174	1,24	9,3	0,34	0,90
Песчаник ПВО	1,4	560	0,57	0,235	0,49	3,1	1,0	0,98
Зависимость для nt также достаточно хорошо описывается урав-
нением первой степени

n,«l+W.

(2.34)

Зависимости S и п\ от е? (рис. 54) очень близки к линейным
(особенно для ги). Их линейность является частным случаем, харак-
терным для многих пород, но не обязательным для всех, что видно,
например, из уравнений (2.29) и (2.30)

Рис. 54. Зависимость модуля пластичности и числа плоскостей сдвига о> величи-
ны остаточной деформации для мрамора типов I (а) и II (б), песчаника ВО (в)
и песчаника НВО (г)

Из линейности выражений (2.33) и (2.34) вытекает следующее.
Во-первых, обобщенная кривая остаточной деформации на довольно
большом участке может быть аппроксимирована уравнением парабо-
лы второй степени вида

е? = К2Дт2,

(2.35)

где К? — постоянная.

Во-вторых, уравнение (2.34) указывает на постоянство предель-
ной деформации е?, приходящейся на единичную плоскость «, что
в свою очередь приводит к постоянству предельной (соответствующей
пределу прочности) деформации единичного микроэлемента «а», а
сдвиг по всей плоскости о> равен сдвигу по отдельному микроэлементу
и не зависит от числа микроэлементов, образующих макроскопиче-
скую плоскость о>. При этом величина предельной деформации е? рав-
3*	<67
няется константе Ki независимо от того, какова величина сопротив-
ления сдвигу по этой плоскости.

Эта константа является физическим критерием предельного
состояния материала, которое в напряжениях описывается урав-
нениями (2.1) и (2.2). /<1 сохраняет постоянную величину лишь
когда справедливо уравнение (2.34). Вообще говоря, К\ должно

зависеть от скорости, вида напряженного состояния и, следова-
тельно, прочности отдельных микроэлементов.

Скорость деформирования влияет на вид обобщенной кривой
остаточной деформации, причиной чему является деформационное

упрочнение, интенсивность которого с ростом скорости увеличи-
вается, что приводит к возрастанию модуля пластичности So и
текущего модуля 5.

На рис. 55 показаны схематические зависимости Дт от е? для

Рис. 55. Зависимости Дт от
при различных скоростях
деформирования

единичной плоскости ы при различ-
ных скоростях деформирования (е1 <
< е2 < е3 < е4). Зависимости показа-
ны прямыми лучами, выходящими из
начала координат, что означает по-
стоянство модуля пластичности So
для данной скорости.

С увеличением скоростей модуль
пластичности

S! < S2 < S3 < S4 < Sg.

Скоростное деформационное упро-
чнение может существенно повлиять

на процесс статистического отбора числа tii плоскостей ю либо уве-

личивая «1, либо уменьшая. Предельная пластичность Ki = е? на
единичной плоскости <» зависит от скорости деформирования, так
как пластическая деформация — явление кинетическое.

Обнаруженные в описанных экспериментах сложные зависи-
мости пластичности горных пород от скорости могут быть объяс-
нены с помощью рассмотренной схемы, которая трактует суммар-
ную пластичность тела, как произведение числа плоскостей ып на
величину деформации по каждой из этих плоскостей

е? — щ/Сь

С изменением скорости может изменяться как так и Ki- Воп-
рос о постоянстве Ki является дискуссионным. На это обстоятель-
ство указывает решение уравнения равновесия (2.23).

Уравнение предельного равновесия (2.21) единичного микроэле-
мента, составляющего плоскость сдвига «>, учитывает как сопротив-
ление сдвигу, так и сопротивление отрыву <зр. Как только произо-
шел отрыв, член уравнения, учитывающий ар, можно отбросить
и тогда уравнение приобретает вид

(та2) — (tjc2) — (сгйЬ cos26) — 0.
При дальнейшем деформировании сдвиг в элементе по площадке
а уменьшает ее размер на Да, в результате чего размер площадки
определяется выражением

[а (а — Да)].

По микроплощадке происходит деформационное упрочнение (нак-
леп), в результате чего сопротивление сдвигу т( (см. рис. 55) воз-
растает, что учитывается следующим выражением!

Ti = (4 +$о

где ту — предел упругости по микроплощадке а, характеризующий
уровень напряжения, при котором начинается сдвиг по этой пло-
щадке; So — модуль пластичности по микроплощадке а, который
можно принять так же, как модуль пластичности по макроскопичес-
кой плоскости сдвига ш, исходя из «одинаковости» составляющих ее
элементов. Первый член в уравнении предельного равновесия также
будет изменяться в силу деформационного упрочнения по микропло-
щадке а

f 9 । е Да
хуа2 + So — а

2

где ту — макроскопический предел упругости по плоскосги ш.

Третий член в уравнении предельного равновесия также будет
изменяться с возрастанием Да, последнее может быть учтено выра-
жением

/1	2	.	1 А \

у o2azx + а2аДа),

где v. = Ыа.

Учитывая сказанное, можем записать уравнение
равновесия в развернутом виде

предельного

ТуО2 + So а2) —	+ So -^4 [а (а — Да)] — ~	(* + -^) = 0.

В случае малых деформаций величина Да/а много меньше и, и ею
можно пренебречь, тогда

туа2 + So ~ а2\ — /ту -J- So [а (а — Да)] — у а2агх =я 0.

Продифференцируем это уравнение по Да и найдем экстремальные
значения сдвига по микроэлементу. В результате ряда преобразова-
ний получим

Да/а = ту/ (2S0).
Экстремальный, соответствующий пределу прочности относитель-
ный сдвиг определяется отношением предела упругости на микро-
площадке сдвига а к модулю пластичности по этой же микропло-
щадке. Полученная таким образом величина относительного сдвига
по микроэлементу может рассматриваться как критерий разрушения
или достижения предела прочности. Порядок величины La/a состав-
ляет 10-3. Это видно из следующих приближенных расчетов. Величина
So составляет порядок 104 МПа, величина ту имеет порядок 10 МПа;
отсюда получаем порядок Де/а;=:10_3, что вполне согласуется с ве-
личинами /<!, приведенными в табл. 1.

Если принять во внимание влияние скорости, то в этом случае
постоянство /Ci можно ожидать, так как и ту, и So с ростом ско-
рости возрастают. Это чисто качественный результат. Что же каса-
ется влияния вида напряженного состояния, то на этот счет нет
достаточных экспериментальных данных. При изменении вида на-
пряженного состояния изменяется ту и по поводу этой величины
экспериментальные данные имеются, а вот об изменении So ска-
зать что-либо определенное пока затруднительно.

Исходя из кинетического уравнения, вероятность возникнове-
ния элементарного акта в решетке твердого тела пропорциональ-
на множителю еиэф//<7'. Принимая за элементарный акт, например
возникновение дислокации, можно записать:

т = тоеи^КТ,

где т — число появившихся дислокаций; т0 — константа.

Данное уравнение показывает, что число возникающих дислока-
ций с увеличением скорости деформации постоянно уменьшается, так
как с ростом уровня напряжений (а следовательно, и с ростом
уменьшаются {7Эф, и при (7эф = 0 достигает своего минимального ко-
личества то, которое, однако, достаточно для того, чтобы решетка
твердого тела в некотором минимальном объеме была доведена
до такой степени искажения, что тело приходит в состояние пол-
ного разрушения. Это число дислокаций локализируется в пло-
скости разрушения, где их плотность достигает предельного зна-
чения, которое можно принять, по данным работы [8], т0=
-109 см-2.

Общая деформация в одной плоскости сдвига пропорциональна
ширине линии скольжения [8], которая представляет собой сечение
плоскости сдвига. Чем выше скорость протекания процесса дефор-
мирования, тем тоньше получается линия скольжения, меньше
общая деформация по длинной плоскости и больше становится
модуль сдвига. So. Плоскость скольжения можно представить
в виде набора большого количества сложенных вместе более тон-
ких плоскостей.

Таким образом, общая пластичность тела ef является величиной
статистической, зависящей как от вида напряженного состояния,
так и от скорости деформирования.
Исходя из кинетических уравнений С. Н. Журкова для долго-
вечности и скорости деформирования, в результате совместного
их решения

/е = const,
где t — время до разрушения; е — скорость деформирования.

Рис. 56. Схематическая модель двухкомпонентной

неоднородной средь»

Очевидно, что данное произведение представляет собой вели-
чину необратимой деформации, которая представляется как кон-
станта. Данное положение справедливо только на микроуровне,,
когда в процессе участвует весь набор элементарных частиц. Для
элементарных частиц, заключенных в плоскости сдвига, данное
соотношение в какой-то мере применимо, и оно согласуется с ранее
полученными результатами о постоянстве предельной дефор-
мации К\.		•,

В макроскопическом плане указанное условие не выполняется,
предельные деформации, как это видно из экспериментов, в широ-
ких пределах меняются.

Рассмотрим двухкомпонентную среду, состоящую для упроще-
ния из микроэлементов одинакового размера. На рис. 56 показан
элемент твердого тела, состоящий из микроэлементов 1 и 2 раз-
личной физической природы. Число компонентов того и другого
вида примерно одинаково, а именно 2/1 как 5/4 (рис. 56, а). Под
действием приложенных напряжений щ и ог в теле начинают воз-
никать микросдвиги и микроразрывы. Первая особенность такой
структуры — это ее изотропность. Микросдвиги по одной из компо-
нент в отдельности могут проходить одинаково по всем направ-
лениям. При этом микроразрывы должны захватывать и первую
и вторую компоненты. Ввиду большого различия у горных Пород
в прочностях на отрыв и на сдвиг, отрыв по смешанной плоскости
может не оказывать существенного влияния на условия образо-
вания макроскопических плоскостей <о. Здесь значительно большее
значение оказывает величина бокового давления о2- Микропло-
щадки отрыва получаются в 2 раза больше микроплощадок сдви-
га, поэтому угол а ориентировки плоскости ы получается около
20°. Последнее может привести к тому, что процесс деформации
по данной схеме с повышением бокового давления может скачко-
образно переключиться на элементы только 1-й или только 2-й
компонент. Плоскости со в этом случае будут переориентированы
под углом а=45°, т. е. становится возможным немонотонное изме-
нение а с изменением вида напряженного состояния. При этом
могут исчезнуть объемные деформации разрыхления или, во вся-
ком случае, сильно уменьшиться. Число возможных макроскопи-
ческих плоскостей сдвига со как по 1-й, так и по 2-й компонентам
здесь оказывается одинаковым как в направлении действия оь
так и действия о2. Элементы одинаковой природы непосредствен-
ного контакта друг с другом не имеют. На рис. 56, б показана
двухкомпонентная среда, где содержание компонент 2/1 как 2/1.
Компоненты распределены в теле равномерно. Отличие данной
структуры от предыдущей заключается в том, что здесь элементы
2, процентное содержание которых в 2 раза выше, имеют непосред-
ственный контакт друг с другом, в то время как элементы 1 друг
от друга разрознены и непосредственного контакта не имеют.

Число возможных плоскостей со по элементам 2 здесь в 2 раза
больше, чем по элементам 1. При этом угол а ориентировки пло-
скостей по обоим элементам одинаков, что означает равенство
коэффициентов поперечных остаточных деформаций.

По элементам 2 материал одинаков в направлениях о1 и о2,
а по элементам 1 имеется анизотропия. По элементам 1 в направ-
лении 02 плоскости со могут проходить только под углом 45°, что
в условиях, близких к одноосному сжатию, в большинстве случаев
ве может реализоваться. В условиях, близких к одноосному сжа-
тию, сдвиг по элементам 1 в этом случае может произойти по
плоскостям, угол наклона которых относительно направления о2
близок к 90°, коэффициент поперечной деформации здесь будет
велик, а пластичность мала. Таким образом, хрупкость материала
может меняться в зависимости от ориентировки плоскостей
сдвига го.

В случае одинаковых размеров элементов и их равномерного
в объеме распределения количество возможных плоскостей сдвига
пропорционально процентному содержанию каждой компоненты.

Данный вывод правилен и применителен к средам, состоящим
из большего числа компонент.

Картина изменяется, если размер структурных элементов ком-
понент будет разный.

Пример. Предположим среду, состоящую из двух компонент с весовым про-
центным содержанием 50 на 50 % прн одинаковой плотности. Линейный размер
минеральных зерен 1-й компоненты в 10 раз меньше, чем 2-й, например, at =
= 0.1 мм и а2 = 1 мм соответственно.
Для образования одной плоскости со площадью 1 см2, расположенной под
углом 45°, требуется число элементов п = (1/а)2. Для 1-й и 2-й компонент будем
соответственно иметь

«’= (Ю/0,1)2 = I04 и «’=(10/1)»= 102.

В единице объема полное число N структурных элементов 1-й и 2-й компонент
будет

Nt = (10/0,1)3 = 10е, Л'2 = (Ю/I)3 = 10s.

Число плоскостей со в единице объема в первом и во втором случаях

«! = NjJn' = 102 и п2 = Njn" = 10.

Плоскость, расположенная под углом 45°, как это следует из модели, пол-
ностью «выложена» из элементов без зазоров. Наиболее вероятное расположение
плоскостей при равномерном заполнении под углом 30°. В этом случае для по-
строения плоскости со требуется примерно в 2 раза меньше элементов, т. е.

п' ss; 0,5 • 104 и п” = 0,5 - 10».

Число плоскостей со в этом случае также удвоится:

пх = 10в/(0.5 • 104) = 2 • 102, па = 103/(0,5 • 102) = 20.

Таким образом, разница размера структурного элемента на порядок приводит
к изменению возможных плоскостей сдвига, составленных из этих элементов, так-
же на порядок.

Из рассмотренных моделей вытекает следствие: для образо-
вания плоскостей сдвига типа со необходимо иметь определенный
минимум микроэлементов одной разновидности, который по про-
центному составу должен быть не ниже десятков процентов, в про-
тивном случае сдвиг будет происходить по другим, более много-
численным компонентам. В том случае, когда малочисленная
компонента имеет более низкую прочность, чем все остальные,
хотя и более многочисленные, она может приводить к разрушению
путем отрыва в условиях одноосного или близкого к нему напря-
женного состояния. Примером этому могут служить широко из-
вестные факты образования вертикальных трещин отрь^а при
осевом сжатии образцов горных пород. При испытаниях под вы-
сокими боковыми давлениями таких трещин не образуется и в этих
условиях слабые компоненты могут не участвовать в процессах
сдвигообразования и не оказывать существенной роли на проч-
ность и на весь процесс деформации тела.

2.9.	Возможности и основные положения кинетической
теории прочности

Рассмотренные выше результаты по влиянию скорости дефор-
мирования при различных видах напряженного состояния частично
поддаются количественному описанию с помощью кинетического
уравнения С. Н. Журкова. Это относится как к результатам, по-
лученным при заданной скорости деформирования, так и к резуль-
татам, полученным при ползучести.

Однако наряду е этим необходимо отметить и ограничения
в непосредственной применимости кинетической концепции. Глав-
ная причина этого обстоятельства заключается в неопределенности
применимости к твердым телам понятия грамм-моля, а отсюда
и неопределенности понятия входящих в уравнение величин Uo, 7
и во. Неопределенность вызвана тем, что неизвестен процент участ-
вующих в деформировании и разрушении элементарных частиц,
заключенных в единице объема исследуемого твердого тела. Кроме
того, в процессе деформации и разрушения твердого тела относи-
тельные перемещения частиц имеют различный характер: полный
разрыв связей, перемещения типа замещения и внедрения в пре-
делах кристаллической решетки, диффузия и т. д. Каждое из этих
перемещений сопровождается преодолением характерного для
этого случая потенциального барьера, представляющего энергию
активации данного процесса. Количественно упомянутые барьеры
могут различаться в несколько раз, что приводит к дополнитель-
ной неопределенности упомянутых выше величин.

В координатах т и 1g е по чисто формальным признакам кине-
тическое уравнение может описывать только те случаи, когда
величина напряжения возрастает с увеличением скорости дефор-
мации. Такие случаи, как это видно из приведенного экспери-
ментального материала, встречаются достаточно часто, однако
предсказать их заранее нельзя: нужны экспериментальные опре-
деления.

Случаи, когда кинетическое уравнение не применимо либо для
его применения требуются поправки и дополнения, как это видно
из описанных экспериментальных результатов, также достаточно
распространены. Предсказать такие случаи также невозможно без
экспериментальных исследований.

Статистическая теория и модель неоднородной среды позволя-
ют выделить из общего объема тела те микрообласти, где процесс
искажения и разрушения решетки твердого тела идет относительно
более однородно и, таким образом, количество участвующих в про-
цессе элементарных частиц становится более определенным, что
поможет существенно укрепить позиции кинетического подхода
к проблеме деформации и разрушения неоднородного твердого
тела типа горных пород.

Входящие в кинетическое уравнение С. Н. Журкова величины
имеют следующий смысл.

Uo — энергия активации, характеризующая энергию связи эле-
ментарных частиц в твердом теле. Для каждого твердого тела
энергия связи имеет свое значение и, таким образом, является
константой данного тела. Параметр у — структурно чувствитель
ный коэффициент, который интерпретируется в кинетической
теории как произведение активационного объема на коэффициент
локального перенапряжения. Величина у зависит от термической
обработки, режима отжига и размера зерен компонент. С ростом
размера зерен 7 возрастает. Под активационным объемом подра-
зумевается часть объема кристаллической решетки размером
10 23 см3, в которой происходит процесс ее перестройки и разру-
шения, вызванного действием приложенного внешнего напряже-
ния т, усиленного коэффициентом локального перенапряжения.
Величина (U — ?с) называется эффективной энергией активации
и обозначается U^. Прикладываемое напряжение т уменьшает
энергию и тем самым снижает потенциальный барьер, препят-
ствующий атому покинуть свое положение равновесия. Чем меньше
Uэф, тем меньше атому требуется времени ожидания для выхода из
потенциальной ямы.

В уравнении С. Н. Журкова для долговечности величина to
означает период собственных колебаний атома около положения
равновесия. Еще эту величину, равную 10)2 с, называют частот-
ным множителем. В уравнении С. Н. Журкова для скоростей де-
формирования [20] величина е0 представляет предельно возмож-
ную скорость деформирования в твердом теле и также играет
роль частотного множителя. Об этом более подробно будет сказа-
но ниже.

Несколько ранее работ С. Н. Журкова и его школы под руко-
водством Н. Н. Давиденкова [6] были начаты исследования пла-
стических деформаций металлов при разных значениях скоростей
деформирования, включая распространение в них волн пластич-
ности [45]. В этих исследованиях развивалась кинетическая кон-
цепция пластической деформации. Уравнение, связывающее время
релаксации t с приложенным внешним напряжением о, имеет вид

t = /ое[П<,-ПДЬ(1а)]/(К7’)>

где Uo — энергия активации, имеющая тот же смысл, что и в урав-
нении С. Н. Журкова; — некоторая постоянная, характеризу-
ющая коллективность процесса диффузии; to — период собствен-
ных колебаний атома около положения равновесия;? —структур-
но чувствительный коэффициент, имеющий тот же смысл, что
и в формуле С. Н. Журкова; К — постоянная Больцмана; Т —
абсолютная температура; 7(7 = 2463,7 Дж/моль при 20оС._

Как видно, приведенное уравнение отличается от уравнения
С. Н. Журкова для долговечности наличием тангенса гиперболи-
ческого при произведении ?о. По физическому смыслу рассматри-
ваемые уравнения очень близки. В обоих случаях имеются струк-
турно нечувствительные постоянные Uo, величина которых умень-
шается действием внешнего приложенного напряжения. Разница
между Uo и работой внешних напряжений, названная эффективной
энергией активации Us$, преодолевается атомом за счет энергии
тепловых флуктуаций, что и приводит в одном случае к разру-
шению тела, в другом — к образованию в теле остаточной дефор-
мации. Тангенс гиперболический введен с целью наиболее точно
отразить форму потенциальной кривой, описывающей энергию
связи между двумя атомами.

Интересные результаты получены в работе [8] при исследова-
нии подвижности дислокаций прямыми экспериментальными ме-
тодами на кристаллах фтористого лития. В опытах установлена
зависимость скорости движения дислокаций от величины прило-
женного напряжения. Авторы получили сложную кривую, име-
ющую два участка: участок слабой зависимости в области низких
скоростей и участок сильной зависимости при высоких скоростях.
Помещенный в работе [8] график качественно имеет вид, анало-
гичный приведенным выше зависимостям прочности от скорости
деформирования для мрамора и диабаза, у которых имеются
участки слабой зависимости прочности от скорости и участки
сильной зависимости в диапазоне высоких скоростей.

Исследуя зависимость скорости движения дислокации от тем-
пературы, авторы доказали справедливость следующего урав-
нения:

v =f(a)e_Uo/(Kr>.	(2.36)

Оказалось, что Uo от приложенного напряжения не зависит, а по
величине близка к энергии активации диффузии отрицательного
иона в решетке фтористого лития и равно 0,6 электроновольта.

Приведенный краткий анализ в какой-то мере показывает пер-
спективность кинетической концепции в проблеме прочности и де-
формации самого широкого круга твердых тел, включая и горные
породы.

В дальнейшем будет использовано кинетическое уравнение
С. Н. Журкова для скорости деформирования, поэтому подробнее
рассмотрим входящую в это уравнение величину е0. В отличие от
универсальной константы t0 в уравнении долговечности величина ео
не имеет такого универсального смысла.

В работе [8J получена эмпирическая зависимость (2.36) скорости
движения дислокации и, от напряжения. Это выражение можно
заменить близким ему по смыслу

vs = v0e~u^/(KT},	(2.37)

где по —- предельная скорость распространения дислокации.

Выражение для скорости относительной деформации е имеет
вид [5];

е = btnvs,
или, учитывая выражение (2.37), получим
е = 6тпсе-^(КТ).

При 1/эф = 0 получим

е = bmvo-	(2.38)

Выражение (2.38) позволяет подсчитать величину ео, физи-
ческий смысл которой — максимально возможная скорость проте-
кания процесса. Максимально возможная скорость передвижения
дислокации п0 близка скорости распространения поперечной волны
и составляет около 10s см/с. Так как ео отражает процесс разру-
шения твердого тела, то плотность дислокаций т должна дости-
гать критической величины. В качестве таковой можно принять
т=109 [8].

Подставляя это значение в выражение (2.38) и принимая величину
вектора Бюргерса b = 108, получим

6; = IO-8 . 109 • 10Б = 106с-'.
т  •	k для уравне- ния (2.39)	й||  о	Рп	₽У	Дж-см2	п’ моль-кг	м=о- с 1	К ч  <	иор 1 ’ моль 1	Дж-см2	моль-кг	q ю», —32L. моль	е» S о й  ч	У* МОЛЬ-KF |
10е	1,1	222,1	19	М р г 22,7	1 мор  377,1		(К о е л г а)  3,2 • 10~42	389,7		11 522		250		
107	1,1	227,1	19	22,7	377,1		3,2 • 10~42	397,2		11 522		250	528	
108	1,1	232,5	19	22,7	377,1		3,2 • 10-42	402,2		11 522		250		
10»	1,1	238,8	19	22,7	377,1		3,2 • 10-42	408,5		11 522		250		

Диабаз (Братская ГЭС)

10е	0,95	204,0	8,45	12,9	105,6	3,98 • 10~24	252,6	3163	—	130
107	0,95	209,5	8,45	12,9	105,6	3,98 • 10-24	257,7	3163	—	130
ю8	0,95	215,8	8,45	12,9	105,6	3,98 • IO'24	263,1	3163	—	130
109	0,95	221,2	8,45	12,9	105,6	3,98  10~24	269,4	3163	—	130

Галит (Таджикская ССР)

106	1,25	127,8	—	—	387,6			—	—	150,8	1022
ю7	1,25	133,2	—.	—-	387,6	—.	—	—	150,8	1022
ю8	1,25	139,1	—	1  —	387,6			—	—-	150,8	1022
109	1,25	145,0	—	—	387,6	—	—	—	150,8	1022

Галит (Старобинское месторождение)

10°	1,03	127,8	—	—	358,2			—	—	—	846
107	1,03	133,2	—	—	358,2	—	—	—	.1».	846
108	1,03	139,1	—	—	358,2	—	—	—	—	846
109	1,03	145,0	—	—	358,2	—	—	—	—	846

Сильвинит (Старобинское месторождение)

10е	0,96	99,7	—	—	240.9	__	—	—	125,7	427
107	0,96	105,1	—	—	240,9	—	—-	—	125,7	427
108	0,96	111,0	—	—-	240,9		—	—	125,7	427
109	0,96	116,5	—	—	240,9	—	—	—	125,7	427

Кварцевый песчаник

10е	0,985	144,5	5,97	9,1	192,7	6,2  10~24	3100	10014	2	248
107	0,985	149,6	5,97	9,1	192,7	6,3 • 10~24	318,4	10 014	—	248
108	0,985	155,0	5,97	9,1	192,7	6,3 • IO-24	324,7	10 014	—	248
10»	0,985	161,0	5,97	9,1	192,7	6,3 • 10~24	329,3	10 014	—	248

ВО песчаник (Донбасс)

10е	0,85	105,6	—	—	—	—	—	—		
107	0,85	155,0	—	—	—	—	—	—		
108	0,85	158,0								—	—	—	—	
10®	0,85	166,8	—	—	—	—	—	—	—	
Оценку величины е0 можно получить и другим путем, если
использовать эмпирическое соотношение [5]

/ёо =* её.	(2.39)

Постоянная е0 по порядку величины составляет 10-3 (табл. 2)
и имеет смысл деформации. Показатель степени k (см. табл. 2), как
было установлено специальными расчетами, очень близок к единице.
Подставляя значение 10-а в выражение (2.39) и принимая во внима-
ние t -- 10_ 12 с, получим

ёо = ю-3 - 1012 • 1 = 109с-»,

т. е. получили величину более высокую, чем при первой оценке.
Причина такой разницы в оценках объясняется отсутствием точ-
ных данных о предельной (критической) плотности дислокаций т
в первой оценке. Величина т в зависимости от различных факто-
ров [8] может принимать значения от 109 до 1012 Внесение послед-
ней величины приблизило бы первый результат ко второму. С дру-
гой стороны, во второй оценке использование величины ?=10-12 с
также достаточно произвольно. Более обоснованный выбор ука-
занных величин может быть сделан только на основании непосред-
ственных экспериментальных определений и, в частности, при
введении в эксперимент фактора температуры. Не располагая
такими данными, целесообразно провести расчеты для всего диа-
пазона возможных значений ео от 106 до 109 с-1, что позволит
оценить соответствующие вариации величины Uo. Результаты таких
расчетов приведены в табл. 2. Как видно, изменение величины Uo
при вариации ео на три порядка не превышает 10 %, что объясня-
ется структурой кинетического уравнения. Для мрамора, галита
и сильвина рассчитанные значения Uo сравнивались со значениями
энергии активации диффузии Q (см. табл. 2), заимствованными
из других источников, где они были получены экспериментально
совершенно другими методами. Так, величина Q для мрамора
определялась методом меченых атомов [49] и оказалась близкой
к энергии диффузии молекул СаСО3 в решетке кальцита. Как
видно из табл. 2, рассчитанные величины Uo на основании меха-
нических испытаний и Q оказались весьма близкими. Значения Q
энергии активации диффузии в галите и сильвине заимствованы
из справочного материала. Величина Q и в этом случае также
оказалась весьма близкой к рассчитанным по результатам меха
нических испытаний значениям Uo.

2.10.	Синтез кинетической и статистической теорий прочности
горных пород

Рассмотрим несколько моделей предельных состояний в координатах
Ige и т. Простейший вариант такой модели показан на рис. 57 для
однокомпонентной среды с умеренной дисперсией свойств соответ-
ствующей функции распределения 2 на рис. 14. Луч 1 соответствует
прочности пород при боковом давлении: а2 = р\ = 0, луч 2 — с2 — ръ
78
луч 3 — с2 = р3, луч 4 — с2 =р4. При этом р2 < р3 < р4. Лу-
чи, изображенные штриховыми линиями, дают значения соот-
ветствующих пределов упругости. Все лучи пересекаются в одном

Рис. 57. Зависимость Ig e* —т для однокомпонентиой среды с умеренной
дисперсией свойств структурных элементов

полюсе с координатой ет=о- Такой пучок лучей описывается единым
кинетическим уравнением (2.1') С. Н. Журкова для скоростей дефор-
мирования. Входящие в это уравнение величины были объяснены
ранее. При описании разных лучей в пучке в уравнении меняется
величина у, которая и определяет наклон луча. Произведение ут
при какой-либо одной скорости е сохраняется постоянным для всех
лучей. Например, при е! величина р в точках a, b, с, d, е, f, d, h.
имеет одинаковое значение как для пределов прочности, так и для
пределов упругости независимо от величины бокового давления а2.
С увеличением с2 величина у уменьшается. В силу условия постоян-
ства произведения -pt при заданной скорости с уменьшением у
соответственно увеличивается величина предела прочности и предела
упругости. По мере повышения скорости деформирования ej < е2 <
< е3 < е4 и т. д. величина ут также растет за счет величины т.

Величины пределов прочности и упругости при какой-то одной
скорости деформирования и при разных боковых давлениях с2 опи-
сываются уравнениями предельных состояний (2.1) и (2.2).

С изменением скорости в этих уравнениях меняются величины
tn, ^у, А, В и с, которые являются функциями скорости деформи-
рования.
При постоянной скорости деформирования указанные величины
считаются константами, характеризующими свойства данного твер-
дого тела.

Величины т® (е) и т® (е) получаются из кинетических уравнений:

(2.40)

(2-41)

Рис. 58. Паспорт прочности (сплош-
ная линия) и упругости (штриховая
линия) для однокомпонентной среды
при разных скоростях деформирования

где -[п и — коэффициенты, отно-
сящиеся к лучам при с2 — 0.

Пользуясь уравнениями (2.40)
и (2.41), можно подсчитать вели-
чины т,® и Ту для любой скорости
и для любого луча, относящегося
к разным значениям с2. Для этого
достаточно в уравнения (2.40) и
(2.41) подставить соответствующие
этим лучам величины коэффициен-
тов '(° и у® и задаваться нужными
скоростями. Значения у® и надо
получить из эксперимента. О спо-
собах нахождения этих величин
будет сказано ниже.

Проведя такие расчеты для не-

скольких значений скоростей ej <

<ег<ез<Е4, можно построить в координатах 1g т и с паспор-

та прочности для каждого значения скорости в отдельности
(рис. 58). Паспорта показаны прямыми линиями. В области от-
рицательных значений параметра с паспорта упругости пересе-
каются с паспортами прочности. Точка пересечения при с = с„
означает переход к разрушению от чистого отрыва. Правее этой
точки деформирование и разрушение идут в соответствии со стати-
стической моделью, где одновременно происходят сдвиг и отрыв.
Чистый сдвиг без отрыва наступает на горизонтальных участках
паспортов прочности при сп > спг. Эта область паспортов прочности
начинается при гидростатическом давлении о2 = рг — с2г. Луч, соот-
ветствующий этому давлению (см. рис. 57), числится под номером 4,
т. е. а2 = р4 = О2Г. Коэффициент у для этого давления имеет значение
Тп.г для пределов прочности и уп.у для пределов упругости. С воз-
растанием скорости наклон прямых линий 1, 2, 3, 4 паспортов
(см. рис. 58) увеличивается, что объясняется соответствующим из-
менением величии Л и В в условиях (2.1) и (2.2). Величины пре-
дельных напряжений, входящие в паспорта на горизонтальном участке
при разных скоростях, определяются из уравнений.

Тп.г (е) = Г In	КТ + t/ol —,	(2.42)

I \ ео /	J1пг

ту.г (ё) = [In (Л\КТ + С701 -L.	(2.43)

I \ е0 /	Руг

В результате построения графика (см. рис. 58) могут быть
найдены функции А (е) и В(е). Каждая из наклонных линий паспор-
тов описывается уравнениями (2.1) и (2.2), в которые входят соот-
ветствующие значения А и В, определяющие наклоны лучей. Под-
считав таким образом величины А и В при разных скоростях,
можно построить вспомогательные функции А (е) и В (е), которые,
как показала математическая обработка результатов, хорошо аппрок-
симируются уравнениями вида

Л(ё) = 1п(^-Ц;	(2.44)

\ЕЛ=0/ Рп

S(e)=lnf^-H,	(2.45)

\Ел=о/ рУ
где рп и ру — дополнительные константы, которые характеризуют
наклон прямых линий в полулогарифмических координатах; ел=о —
координата по оси скоростей, при которой А я В одновременно
становятся нулями.

Уравнения (2.44) и (2.45) используются Для определения
величин А и В при любой скорости. Параметр с также меняется
с изменением скорости. Это видно из того, что по мере продви-
жения вдоль одного из лучей, относящегося к определенному
(постоянному) давлению о2, изменяются величины тп и *гу. Из
определения параметра с получаем

G<)	Gn	Gn

С = X = (°24-А°1) = (°2 + 2т)’	<2'46)

С увеличением т при O2=const параметр с уменьшается. При-
нятая в экспериментах схема нагружения — осевое сжатие (Аси)
под боковым постоянным давлением также в соответствии с выра-
жением (2.46) сопровождается в процессе нагружения образца
изменением с от единицы при т=0 до величины, соответствующей
разрушению образца при напряжении тп. Изменение скорости не-
сколько количественно изменяет соотношение (2.46), сохраняя
полностью качественную сторону.

Произведем совместное решение кинетического уравнения с
уравнениями предельных состояний (2.1) и (2.2) и учитывая по-
стоянство ут для всех лучей при в = const получим

Тп = Тпе-Ле;	(2.47)

Ту = 7£е-Вс.	(2.48)
Показатели степеней Ас и Вс в уравнениях (2.47) и (2.48) и
в уравнениях (2.1) и (2.2) соответственно одинаковы по величинам
и противоположны по знакам.

Для построения полных уравнений предельных состояний, учи-
тывающих вид напряженного состояния и скорость деформиро-
вания, необходимо произвести совместное решение полученных
выше выражений (2.1) и (2.2), (2.40) и (2.41), (2.44) и (2.45),
(2.47) и (2.48).

Окончательные уравнения предельных состояний:

тп(е) = [lnf-ДЛкТ + t/ol 4-exp — lnf-г^—Yl;	(2.49)

L \eo/	J tn	LPn	\e4=0/J

Ту(Б) =	+ f/ol4-exp Г—Inf^—^1.	(2.50)

L \eo7	by	Lpy	\ед=о/]

Эти уравнения позволяют расчетным путем построить паспорта
прочности при любой скорости деформирования. Координата точ-
ки выхода паспорта на горизонтальный участок при разных ско-
ростях может быть найдена из соотношений:

(2.51)

Сп.Г (е)

°2г	°2г

с1п(е) °2г + 2тп.г(ё)’

(2.52)

Подставив в эти выражения условия (2.42) и (2.43), будем
иметь:

с„.г(ё) =----- г-т-Л--------й-р	(2 53)

а2г + 2 1п4-ет+1/0 —

\ е0 /	J <п.г

Су.г (ё) =-------------------- у—.	(2.54)

а2г + 2 1п Д КТ+£70 —-

[	\ Ё0 /	J >у-г

Как следует из этих выражений, по мере увеличения скорости
параметры сп.г и су.г уменьшаются. Последнее видно на рис. 58,
где ci.r; Сп.г; Сп.г и с„.г относятся к разным скоростям. Из уравнений
(2.47) и (2.48) следует независимость произведения Ас и Вс от
скорости деформирования, так как в этих выражениях все коэффи-
циенты у от скорости не зависят. Произведения Ас и Вс сохраняют
постоянное значение вдоль всего луча, относящегося к определенной
величине бокового давления <?2. С изменением с2 указанные произ-
ведения меняются.

В уравнения (2.49) и (2.50) вместо параметра с можно непо-
средственно ввести величину бокового давления а2. При этом
изменится и все выражение показателя степени экспоненты. В ре-
зультате математической обработки экспериментальных зависи-
.82
мостей были получены эмпирические выражения для коэффици-
ентов у:

Тп = Т°аГКп;	(2.55)

Ту = Т°°ГКу.	(2.56)

где уп, уу, у° и у°— имеют соответственно те же самые значения,
что и в выражениях (2.47) и (2.48); Л'п и Ку— новые константы,
зависящие от свойств материала.

При решении уравнений (2.55) и (2.56) с выражениями (2.44)
и (2.45) соответственно с учетом условия постоянства у т при за-
данной скорости деформирования получим

Ас = Кп in а2;

Вс = Лу In а2.

(2.57)

(2.58)

Из этих выражений следует независимость произведений Ас и Вс
от скорости. Они зависят только от бокового давления <?2.

После подстановки выражений (2.57) и (2.58) в уравнения (2.49)
и (2.50) получим:

(2.59)

(2.60)

Эти уравнения аналогичны уравнениям (2.49) и (2.50), различие
состоит в том, что берется за основную константу рп и ру или Кп
и /Су. Выбор может определяться тем, чем в данном конкретном
случае удобнее пользоваться: параметром с или величиной а2Т Не-
достатком уравнений (2.59) и (2.60) является то, что при а2 < 1
или при а2 с отрицательным знаком ими пользоваться нельзя, так
как а2 стоит в них под знаком логарифма. Уравнения (2.49) и (2.50)
этого недостатка лишены, и, пользуясь этими уравнениями, можно
расчетом определить прочность на отрыв ар при разных скоростях
деформирования. Методика такого расчета для одной скорости
деформирования описана в начале главы и выполняется при помощи
уравнений (2.1), (2.2) и (2.3). С помбщью этих выражений подсчи-
тываются величины тр и ср, являющиеся константами точек пере-
сечения линий пределов прочности и упругости в области отрица-
тельных значений параметра с на рис. 58. Для этого в выражения
(2.1), (2.2) и (2.3) подставляются величины тп(е) и ту(е) из условий
(2.49) и (2.50), в результате определяются координаты точек пере-
сечения а, Ь, с, d. Полученные таким образом величины тр(е)
и Ср(е) подставляются в уравнение (2.4), после чего может быть
построена функция

°р = Ф (₽)•

(2.61)

83
Кинетическое уравнение для условий отрыва запишем в виде
^op-fe)

е = ёоре ™	.	(2.62)

Отличие уравнения (2.62) от кинетического уравнения для области
сжатия заключается в разнице констант еор, П()р и ур, которые
в этом случае существенно отличаются от констант, входящих в урав-
нение для сжатия.

Причина различия заключается в физике процессов деформи-
рования и разрушения, протекающих при сдвиге и отрыве. Сдви-
говые процессы геометрически характеризуются изменением формы
тела и с физической точки зрения определяются не полным на-
рушением связей между элементарными частицами, а лишь их
взаимной перегруппировкой. Преодолеваемые при этом энерге-
тические барьеры могут быть одного порядка с барьерами, прео-
долеваемыми при диффузии элементарных частиц в теле.
Таким образом, есть основания предполагать, что процессы сдви-
гового пластического деформирования на уровне элементарных
частиц контролируются явлением типа диффузии [49]. Это поло-
жение в некоторой степени подтверждается близким совпадением
величин Uo и Q в табл. 2.

Процессы отрыва связаны с полным разрывом связей между
элементарными частицами. Здесь явления диффузии могут играть
лишь второстепенное значение, поэтому константы (кроме ео), вхо-
дящие в кинетическое уравнение, здесь существенно количественно
отличаются от констант того же уравнения для области сжатия.
Приведенные высказывания были сравнены с экспериментом. На
рис. 59 показана зависимость ар от Ige, рассчитанная указанным
образом. Здесь экспериментально была определена лишь одна точка,
а именно <зр при е = Ю^с-1, равная для мрамора 3 МПа, для
диабаза 6 МПа. Остальные точки получены расчетом. Значения
ПОр и тР, рассчитанные при е0, изменяющемся в интервале от 106
до 109 с~*, приведены в табл. 2. Эти же величины были подсчитаны
для диабаза и кварцевого песчаника и также приведены в табл. 2.

Как видно, величины Uop во всех случаях почти в 2 раза ока-
зались больше, чем соответствующие значения По. Коэффициенты
7 р возросли более чем на порядок. В работе [43] было установ-
лено, что энергия активации при кручении оказалась примерно
в 2 раза ниже, чем в опытах на разрыв. Это также является
некоторым подтверждением высказанных положений.

Для расчета всех входящих в уравнения предельных состояний
величин при разных скоростях и боковых давлениях необходимо:
а) получить полный паспорт прочности и упругости, включая
переход на горизонтальный участок, при одной какой-либо скоро-
сти деформирования; выбор скорости не имеет принципиального
значения и определяется возможностями и удобствами экспери-
мента; обычно наиболее подходящей скоростью оказывается вели-
84
чина 10 4—10 5 с ’, получаемая на обычном стандартном испы-
тательном оборудовании;

б) получить в широком диапазоне скоростей лучи одноосного
сжатия (о2=0) для пределов прочности и упругости.

Этих данных вполне достаточно, чтобы, пользуясь рассмотрен-
ными математическими зависимостями, рассчитать все условия
предельных состояний. Однако этих данных достаточно лишь в том
случае, когда точно известно, что применительно к интересующему

Рис. 59. Зависимость прочности иа отрыв мрамора (/) с 7р = 11522 ~^~ь~ к~
диабаза (2) с 7р = 3163	и кварцевого песчаника (3)

Дж • с№

с тр = 10014 ~0J^ ; кг от скорости деформирования

нас материалу выполняется схема, показанная на рис. 57. Из при-
веденных ранее экспериментальных результатов было видно,
что указанная схема далеко не всегда выполняется и для проверки
этого обстоятельства число необходимого минимума эксперимен-
тов должно быть увеличено. В каждом конкретном случае к дан-
ному вопросу нужно подходить индивидуально.

Пользуясь паспортами прочности и упругости при соответствую-
щей им постоянной скорости, строится система точек с координатами
тп и Ту, отвечающих разным значениям с2 вплоть до с2 = °2Г- Для
этого на паспортах берутся точки на различных участках, по которым
определяются координаты тп и сп, ту и су и по значениям этих
величин вычисляется а2 по известной формуле

Таким образом, стали известны с2, тп, с„, ту и су. Через полу-
ченные точки с координатами тп и ту проводятся лучи в точку
Рис. 60. Паспорта прочности мрамора
при разных скоростях деформирова-
ния

Рис. 61. Паспорта прочности диабаза
при разных скоростях деформирова-
ния

Рис. 62. Паспорту прочности кварце-
вого песчаника при разных скоростях
деформирования

полюса с координатой ет=0. Располагая построенным полным
пучком лучей, можно определить, пользуясь кинетическим уравне-
нием и учитывая, что ут = const при е = const, любые значения
коэффициентов уп и уу и, подставляя в уравнения (2.40) и (2.41),
подсчитать тп и ту при любых скоростях и давлениях с2. Зная тп
и ту при любой скорости и при любом значении а2, включая с2 =
= с2г, можно в координатах 1g т и с построить систему паспортов
для различных скоростей деформирования. Располагая системой
таких паспортов, можно построить вспомогательные функции А (е)
и fi(e), описываемые уравнениями (2.44) и (2.45).

Пользуясь величинами уп> Ту и соответствующими им а2, с и т,
можно подсчитать значения произведений Ас и Вс для каждого
луча. Как уже известно, вдоль луча при данном с2 Ас и Вс посто-
янны и не зависят от скорости, в то время как произведение ут не зави-
сит от с2 при данной скорости и изменяется с изменением последней.

Как показано в работе [39], зависимость произведений Ас и Вс
от о2 и независимость их от скорости приводит к искривлению
«паспортов» в координатах 1g т и с при вариации скорости. При
этом расчеты показали [39], что искривление вносит отклонение
не более чем на 10—15 % при экстраполяции на длительность
опытов, исчисляемую сотнями миллионов лет.
На рис. 60, 61 и 62 построены паспорта прочности соответствен-
но для мрамора, диабаза и кварцевого песчаника при разных
скоростях, указанных на графиках. Прямолинейные. паспорта
(прямые 1, 2, 3, 4 и 5) построены по описанной методике, криво-
линейные по методике, приведенной в работе [39]. Цифрами ука-
заны отклонения в процентах.

2.11.	Предельные состояния двухкомпонентной среды
с умеренной дисперсией свойств

В отличие от однокомпонентной среды в двухкомпонентной
среде, как это видно из модели, деформация в зависимости от ус-
ловий эксперимента может протекать либо по одной компоненте,
либо по другой, а при высоких давлениях может протекать по
всем одновременно.

На рис. 63 показаны предельные лучи 1 (1 тi) и 2 (2-р) для двухкомпо-
нентной среды. С целью упрощения картины изображены только два
луча, относящиеся к одной величине бокового давления а2> которое
выделяет из среды элементы с коэффициентами -у, для первой ком-
поненты и у2 — для второй. Первая компонента имеет координату
полюса sit=o, вторая е2^=о. Первая компонента начинает деформиро-
ваться и разрушаться при напряжении не ниже тДр вторая — при
напряжении не ниже тД2, что соответственно в кинетическом выра-

Рис. 63. Зависимость 1g е — т для двухкомпоиентной неоднородной среды

жении дает произведения и тД272. которые и являются харак-
теристиками начала процесса необратимого деформирования, а сами
величины тд, и тД2 равноценны пределу длительной прочности.

Проведем анализ, двигаясь от малых скоростей, начиная с ко-
ординаты полюса первой компоненты, в сторону высоких скоростей
деформирования. Процесс остаточной деформации и разрушения
первой компоненты тела начнется, как только напряжение достиг-
нет величины тд1. Для определенности примем, что тД1>тД2. В этом
случае процесс разрушения начнется раньше на второй компоненте.
По мере роста скорости и достижения ею величины ед2) что
па луче 2 соответствует точке а, процесс разрушения также будет
проходить по лучу второй компоненты, вплоть до точки Ь, так как
в этом интервале скоростей ее прочность ниже прочности первой
компоненты. В точке b при скорости ев лучи первой и второй ком-
понент пересекаются и их прочности становятся одинаковыми.
При скоростях деформирования выше ев процесс разрушения пере-
ходит на первую компоненту вдоль луча (Ь—с), так как при этих
скоростях она стала менее прочной, чем вторая компонента.

Описанная схема помогает понять результаты, полученные на
сильвините Старобинского месторождения, состоящего на 70 % из
сильвина и на 30 % из галита. В диапазоне низких скоростей,

компонентной среды при разных ско-
ростях деформирования

где экспериментальный луч прохо-
дит круто, деформация и разруше-
ние развивались по сильвину. В ди-
апазоне более высоких скоростей
процесс переключается на галит.

Проделанный расчет по кинети-
ческому уравнению подтвердил вы-
сказанные соображения.

Паспорта прочности для такой
сложной среды также могут сущест-
венно видоизменяться. На рис. 64
показано возможное изменение па-
спорта двухкомпонентной среды с
увеличением скорости. При малой
скорости ei наклонный участок пас-

порта («1 — bi) связан с деформацией и разрушением первой компонен-
ты. При более высокой скорости е2 на участке («2— Ь2) процесс идет
по второй компоненте, далее, на участке (Ь2 — с2) процесс переходит
на вторую компоненту. При скорости е3 наклонная часть паспорта
(а3 — Ь3) опять идет по первой компоненте. При достаточно высоких
боковых давлениях с2, соответствующих значениям с в точках
/ц, с2 и Ьз, условия предельных состояний выходят на горизонтальные
участки, так как при таких давлениях процесс может протекать по
всем компонентам одновременно.

Рассмотренная схема носит пока что чисто качественный харак-
тер, однако с точки зрения рассматриваемых моделей такая схема
вполне логична.

2.12.	Деформация и разрушение однокомпонентной среды
с большой дисперсией свойств отдельных элементов

Рассмотрим среду, состоящую из структурных элементов оди.
наковой физической природы, но имеющих сильно отличающиеся
от элемента к элементу характеристики предельных напряжений.
Разницу этих показателей, исходя из кинетического уравнения,
можно представить как набор элементов с разными структурно-
чувствительными коэффициентами у.
На рис. 65 показана зависимость предельных значений на-
пряжений тп от lg ei для одного значения о2, которое в частном
случае может быть равно нулю. Полюс имеет координату eix=o- На-
пряжение Пу в точке а соответствует пределу длительной прочно-
сти, который от времени не зависит или зависит весьма слабо.
Поведение среды на участке а — b луча 1 подчиняется кинетиче-
скому уравнению. Отобранный в точке а в соответствии с условием
отбора (2.25) необходимый для данного <т2 комплект элементов 1
(будем обозначать элементы по номеру луча) с увеличением ско-
рости упрочняется, при этом значение yi не меняется и луч 1
имеет постоянный наклон.

Рис. 65. Зависимость lget от тп для однокомпонентной среды с большой дис-
персией свойств

По достижении уровня напряжений, соответствующего точке Ь,
дальнейшее упрочнение отобранного комплекта элементов 1 стано-
вится невозможным из-за того, что на подмену им приходят эле-
менты 2, относящиеся к лучу 2 с более высоким значением^коэф-
фициента рис более низким сопротивлением сдвигу. Действую-
щее напряжение претерпевает скачок (& — с), при этом величины
у- в точках b и с равны, как это и следует из условия для пучка,
выходящего из единого полюса. Здесь переход с компоненты 1
на компоненту 2 произошел по принципу минимального напряже-
ния. С дальнейшим увеличением скорости процесс идет по лучу 2
на его участке (с—d). По достижении уровня напряжений в точ-
ке d вступает в процесс на подмену новый комплект элементов 3
с коэффициентом уз, наступает новый скачок напряжений (d —
е). По лучу 3 процесс скоростного упрочнения комплекта элемен-
тов 3 с коэффициентом уз идет до точки f, после чего переходит
на луч 4 и т. д. Предельная кривая во всем диапазоне скоростей
приобретает сложную форму а — Ь — d — f — h — k.

Описанный механизм переключения процесса деформации с од-
ного сорта элементов на другой носит декларативный характер и
поэтому нуждается в физическом обосновании. Переключение про-
цесса по энергетическим соображениям не может происходить,
так как ут при заданной скорости для всех лучей одинаково.
Остается «силовой» фактор, т. е. включение или подмена одного
сорта элементов другим происходит потому, что это выгодно с точ-
ки зрения сопротивления приложенным внешним напряжениям.

Поскольку рассматриваемая среда однокомпонентная, то в ней
главным фактором, определяющим различие в прочности отдель-
ных зерен, является размер этих зерен: чем размер зерна больше,
тем ниже его прочность. Данное явление широко известно и изу-
чено на материалах различной физической природы. Причиной
изменения прочности с изменением размера зерна является мас-
штабный эффект, суть которого кроется в статистической природе
прочности твердых тел.

В статистической теории прочности Вейбулла зависимость проч-
ности образца т от его объема V имеет вид

1

т = LVm,	(2.63)

где L — постоянная, зависящая от материала и вида напряженно-
го состояния; т — постоянная, учитывающая характер дефектов,
распределенных в материале.

Для того чтобы учесть влияние размера зерна, надо в формуле
(2.63) объем образца V заменить объемом зерна. Зависимость
прочности от величины зерна аналогична формуле (2.63)

т = БП-'/з,	(2.64)

где Б — постоянная; D — диаметр зерна.

Формула (2.64) является частным случаем уравнения (2.63).

Впервые явление масштабного эффекта было экспериментально
исследовано в работе А. П. Александрова и С. Н. Журкова в
1933 г. Была установлена более высокая в среднем прочность тон-
ких стеклянных нитей по сравнению с более толстыми. При этом
разброс частных значений при разрушении тонких нитей оказался
значительно больше, чем при разрушении более толстых нитей.
Эти результаты и послужили основой для привлечения статистиче-
ских методов при толковании природы прочности твердых тел.
Размер зерна связан со структурно чувствительным коэффициен-
том у . Чем меньше размер зерна, тем меньше у. В зоне большего
размера вероятность нахождения более опасного дефекта выше,
поэтому получается выше значение у.

В координатах 1g е и т наклон луча определяется величиной у.
Если иметь в виду размер зерен, то при прочих равных условиях
материал с разными размерами зерна даст в указанных координа-
тах свои лучи. При этом лучи, полученные на материале с более
крупным зерном, будут иметь меньший наклон, чем лучи, относя-
щиеся к более мелкозернистому материалу. В первом случае у
будет больше, чем во втором.

Лучи 1, 2, 3, 4 и 5 на схеме рис. 65 могут относиться к зернам
разного размера. Экспериментально падение прочности с увеличе-
нием скорости было установлено в опытах на образцах природной
каменной соли.

Таким образом, с увеличением скорости процесс деформирова-
ния постепенно переключается на зерна более крупного размера.
90
I

I

i

♦

Puc. 66. Зависимость прочности ис-
кусственных образцов из поваренной
соли от скорости деформирования (а)
и размера зериа (б)

Без прямой экспериментальной проверки сделанный вывод не-
достаточно убедителен. Для его проверки была проведена специ-
альная серия опытов с искусственно приготовленными образцами
каменной соли. Методика приготовления образцов изложена в
работе [17]. Молотая поваренная соль из месторождения Артем-
соль с помощью набора сит фракционировалась по размеру зерен.
Таким образом, каждая фракция получалась весьма однородной.
Размеры зерен в разных фракциях менялись от одной-двух деся-
тых долей миллиметра до 1,5—2 мм. Полученные таким образом
фракции затем прессовались в специальной прессформе при давле-
нии 700 МПа, что позволяло получать образцы с плотностью, прак-
тически не отличающейся от плотности монокристалла галита.
Приготовленные таким способом образцы подвергались испытани-
ям при широкой вариации скорости деформирования. На рис. 66, а
в координатах Ige — т представлены результаты испытания искус-
ственных образцов в условиях одноосного сжатия [37].По экспери-
ментальным точкам построены три луча. Верхний луч 1 относится
к образцам, изготовленным из фракции со средним размером
зерна </<0,24 мм, промежуточный луч 2 — из фракции с размером
зерна </=0,344-0,7 мм и нижний луч 3— из фракции с размером
зерна d= 1,1ч-2,1 мм. Как видно, лучи имеют разные наклоны, что
объясняется соответствующими этим размерам зерна величинами
коэффициентов у. Полюс лучей имеет координатуeix=o = 10-16с-1, что
практически совпадает со значением, полученным на образцах при-
родной каменной соли. Прочность образцов из мелких фракций во
всех случаях оказалась выше прочности образцов, изготовленных
из более крупных фракций.

Была приготовлена партия образцов из смеси указанных фрак-
ций. Бралось по 33 весовых процента каждой фракции, смесь
тщательно перемешивалась до получения равномерного состава
и после этого из нее прессовались образцы.

Результаты испытаний образцов из смеси (33%) аппроксими-
рованы на рис. 66, а прямой 4, имеющей существенно отличающий-
ся наклон. При скорости деформирования, лежащей в интервале
10-6—10-5 с-1, прочность образцов из смеси оказалась практически
равной прочности образцов, приготовленных из мелкой фракции
с размером зерна </<0,24 мм.

При скорости деформирования, лежащей в интервале 10 4—
10-3с-1, прочность образцов из смеси стала равной прочности
образцов, приготовленных из промежуточной фракции с размером
зерна </ = 0,344-0,7 мм. При высокой скорости деформирования,
лежащей в интервале 1—10 с-1, прочность образцов из смеси
практически совпала с прочностью образцов, приготовленных из
самой крупной фракции с размером зерна </=1,14-2,1 мм. Таким
образом, описанный эксперимент подтверждает возможность
включения в процесс деформации с ростом скорости все более
и более крупных зерен при испытании мономинерального мате-
риала.

На рис. 66, б показаны экспериментальные зависимости проч-
ности и коэффициента у от скорости и размера зерна [35], полу-
ченные на искусственных образцах из поваренной соли. Как видно,
в логарифмических координатах зависимости получились прямо-
линейными. Прямые 1, 2 и 3 характеризуют прочность в зависи-
мости от размера зерна при разных скоростях деформирования,
указанных на графике, а прямая 4 — зависимость коэффициента
у от размера зерна. Прямолинейные зависимости в указанных
координатах описываются уравнениями вида

tn = Kdb\	(2.65)

уп = К1</-ь.	(2.66)

Как видно, уравнение (2.65) аналогично уравнению (2.64).
К, Кь Ь, —Ь — константы, зависящие от свойств пород.

Как показал анализ результатов, константы Ь и — b одинаковы
по величине, но противоположны по знаку, т. е. b = —b.

Эксперименты подтвердили предположение о включении в про-
цесс деформации при повышенных скоростях более крупных зерен,,
однако физическая сущность этого явления осталась не выяв-
ленной.

Из статистической модели неоднородного твердого тела следует,
что число возможных плоскостей сдвига © пропорционально при
прочих равных условиях количеству имеющихся в единице объема
структурных элементов N. Число п плоскостей © определяет сум-
марный модуль пластичности на обобщенной кривой деформации,
который снижается от максимальной величины Sn на единичной
плоскости и до величины S=S0/n.

Из опытов с искусственными образцами из поваренной соли,
приготовленными из смеси трех фракций, определим возможное
число плоскостей ©, образованных на каждой из фракций, т. е. из
зерен одинакового размера. Принимая средний размер зерен в
каждой фракции, получим следующее количество зерен в 1 мм3
объема: «1 = 40 зерен; «2 = 2,6 зерна; «3=0,1 зерна.

Полученные числа различаются на порядок. На такую же
величину будет различаться и число п возможных плоскостей ©,.
которые могут быть образованы из зерен каждой фракции. Таким
образом, в образце, приготовляемом нз смеси фракций, число
плоскостей ©, образованных самой мелкой фракцией, будет при-
мерно в 20 раз больше, чем плоскостей, образованных из проме-
жуточной фракции, и в 400 раз больше, чем плоскостей, образо-
ванных из самой крупной фракции. Такое различие в числе воз-
можных плоскостей может оказать существенное влияние на их
отбор при скоростном деформационном упрочнении.

Деформационное упрочнение различных фракций при измене-
нии скорости деформирования показана на рис. 67. Рассмотрим
опыт при низких скоростях, находящихся в интервале IO-6 —
10—5с_ 1. По мере роста напряжения в этом интервале скорости
в первую очередь встречаются с лучом 3 (см. рис. 66, а). Пределы
упругости у всех фракций разные и зависят от скорости деформи-
рования. На рис. 67, о, б и в значения пределов упругости соот-
ветственно обозначены т®, Ту и Ту. В результате встречи с лучом 3
образуются плоскости сдвига и>, состоящие из крупных фракций <3.
Процесс деформации идет по обобщенной кривой (см. рис. 67, а).
Ввиду малого для этой фракции количества возможных плоскостей w
модуль пластичности S высок и упрочнение идет интенсивно, так
как оказывается к тому же высокой и скорость деформирования
из-за малого числа плоскостей.

В результате общее напряжение растет и достигает обобщен-
ной кривой 2, относящейся к промежуточной фракции 2, предел
упругости которой Ту. Фракция 2 может образовывать число
плоскостей о в 20 раз больше, поэтому обобщенная кривая оста-
точной деформации здесь идет менее круто и процесс с фракции 3
переключается на фракцию 2. Дальнейший рост напряжений при-
водит к достижению предела упругости Ту по фракции 1. Вклю-
чаются в деформацию плоскости со из фракции 1. В этом случае
обобщенная кривая 1 проходит еще более полого, так как плос-
костей со, состоящих из зерен первой фракции, почти в 30 раз
больше, чем плоскостей ш из фракции 2. Дальнейшее развитие
процесса проходит уже только по фракции 1, так как уровень
необходимых при этом напряжений оказывается самым низким,
поэтому более крупные фракции полностью из деформации исклю-
чаются и процесс идет и заканчивается в этой серии на фракции 1,

Рис. 67. Зависимость деформационного упрочнения различных фракций от
скорости деформирования

как только деформация по микроэлементам достигнет критического
значения ein. Этот вывод подтверждается ходом кривой 4 на рис. 66, а.

Рассмотрим опыт при скорости деформирования в интервале
10~4—10~3с~1 (см. рис. 67, б). Пределы упругости по всем фракциям
возросли и стали ty, Ту, Ту. При этом больше всего возрос ty,
несколько меньше ту и меньше всего увеличился т®.

При нагружении процесс деформации опять начинается с фрак-
ции 3 и идет по обобщенной кривой 3. По достижении уровня
напряжений, равного Ту, в процесс вступает фракция 2, которая
деформируется по обобщенной кривой 2. После точки пересечения
кривых 3 и 2 фракция 3 исключается. Процесс переключается на
кривую 2 и дальше идет по фракции 2. Фракция 1 в процессе также
участвует, так как включается в него, как только уровень напря-
жений достигнет Ту. Но разрушение наступает по фракции 2, так
как на элементах этой фракции раньше достигается величина
критической деформации на единичном микроэлементе е?п, чем
это может быть достигнуто на фракции 1, имеющей большое число
94
плоскостей to. Данное положение также не противоречит ходу
кривой 4 на рис. 66, а.

Наконец, проделаем эксперимент при скорости деформирования
в интервале 1—10 с-1 (см. рис. 67, в). Пределы упругости всех
фракций соответствующим образом еще больше возросли и стали
такими же, как это показано на схеме. Началось нагружение.
Первой в процесс вступает опять фракция 3 и деформация разви-
вается по обобщенной кривой 3. Фракции 2 и 1 вступают в про-
2	1

цесс, как только достигаются пределы упругости ту и ту , но
процесс заканчивается на фракции 3, так как на ней раньше всего
достигается критическая деформация на единичном микроэлемен-
те е?п и это приводит к разрушению образца по элементам самой
крупной фракции, что подтверждается ходом кривой 4 на рис. 66, а.

Приведенный анализ носит пока чисто качественный характер
и не претендует на строгость доказательства. Однако он помогает
понять физическую природу и механизм явления снижения проч-
ности горных пород с увеличением скорости и, в первую очередь,
результаты, полученные на образцах природной каменной соли.
По разбросу размера зерен каменная соль из всех рассмотренных
пород оказалась на первом месте. Это видно по петрографическим
определениям и об этом уже говорилось. С точки зрения показате-
ля неоднородности, представленного в виде функций 1 и 2
(см. рис. 14), каменная соль ближе всего подходит к функции
распределения 3, не имеющей явно выраженного максимума.

Кроме снижения прочности с увеличением скорости наблюдается
снижение пластичности е?. Последнее также указывает на уменьшение
числа плоскостей <о с увеличением скорости деформирования.

2.13.	Зависимость прочности горных пород от скорости
деформирования при динамическом нагружении

Не рассмотренной осталась область высоких скоростей дефор-
мирования, где наблюдается более сильная зависимость прочности
от скорости деформирования, чем в диапазоне низких скоростей.
Диапазон этих скоростей достаточно полно изучен различными
исследователями.

, Причина резкого изменения наклона линий при скорости
8i = 10-;-10~2 с-1 имеет совсем иную физическую природу по сравне-
нию с рассмотренными случаями. В качестве главного фактора
здесь выступает скорость подвода энергии в зону разрушения. Эта
скорость зависит от общего количества энергии, поступающей в
деформируемое тело. Чем это количество энергии выше, тем более
интенсивно поступает энергия в зону (очаг) разрушения.

Исследованиями, в которых изучался рост трещин разрушения
в зависимости от величины напряжений, скорости приложения
нагрузки, температуры и т. д., установлена конечная величина
скорости роста трещины разрушения.

Скорость роста трещины в силикатном стекле при ударе пулей
изучал X. Шардин, а при ударе летящим со скоростью 1 м/с
95
стальным шаром — Барстоу. Установлено два этапа роста трещин:
этап ускорения роста при низком уровне напряжений и этап роста
трещины с постоянной скоростью, который наступает при высоких
уровнях напряжений. Аналогичный результат получен на стекле
и канифоли в работе [14]. Здесь показано, что скорость роста
трещины возрастает при динамическом нагружении.

Предельная величина скорости роста трещины составляет око-
ло 0,3 от скорости распространения продольных волн в данном
теле. Таким образом, общим результатом является установление
предельно возможной скорости распространения трещины разруше-
ния. Объясняется этот факт возможностями подвода энергии в
устье трещины, необходимой для образования новой свободной
поверхности и необратимых деформаций в устье трещины.

При анализе экспериментальных данных по горным породам,
полученных в условиях сжатия, когда главным потребителем энер-
гии является сдвиг, а не отрыв, результаты работы [14] непосред-
ственно применить нельзя, однако главная идея о конечности
скорости распространения разрушения непременно должна учиты-
ваться. В случае сдвига скорость распространения разрушения
ниже, чем при отрыве, и проявление фактора постоянства скорости
здесь может наступать и при довольно низких скоростях нагруже-
ния, как это имеет место в описанных выше результатах по мрамо-
ру и диабазу. Прн достижении скоростей, соответствующих началу
крутого участка скоростной зависимости, магистральный сдвиг не
успевает за время протекания опыта пересечь все тело образца.
В этом случае напряжения должны быть существенно повыше-
ны. Уровень напряжений можно снизить, если уменьшить размеры
образца. Тогда точка начала крутого участка переместится в сто-
рону более высоких скоростей.

Высказанные соображения, безусловно, не объясняют пробле-
мы, они являются весьма упрощенными и дискуссионными.

3.	ПОЛНЫЕ ДИАГРАММЫ
«НАПРЯЖЕНИЕ — ДЕФОРМАЦИЯ»,
ВКЛЮЧАЮЩИЕ ЗАПРЕДЕЛЬНЫЕ ОБЛАСТИ

3.1.	Одноосное сжатие

Одноосное напряженное состояние считается простейшим и с
него всегда начинаются все исследования горных пород. При
исследованиях полных диаграмм «напряжение — деформация»
горных пород, включающих ниспадающую (запредельную) ветвь,
расположенную за пределом прочности, наибольшие методические
трудности встречаются именно в опытах на одноосное сжатие,
причем эти трудности подчас значительно превосходят сложность
экспериментов на сжатие под высокими боковыми давлениями.
прямолинейным участком диа-

Рис. 68. Полная диаграмма
«напряжение — деформация»

Причина методических затруднений кроется в весьма высокой
хрупкости горных пород и эта хрупкость наиболее высока при
одноосном сжатии. Последнее определяет крутизну спада запре-
дельной ветви диаграммы, характеризуемой так называемым моду-
лем спада М. У хрупких пород модуль спада при одноосном сжа-
тии может более чем на два порядка превосходить модуль Юнга
этих пород, который обычно находится в интервале величин
105 МПа. Типичная полная диаграмма «напряжение—деформа-
ция» показана на рис. 68. В начале нагружения проходим область
упругих деформаций, описываему
граммы, наклон которого опре-
деляется модулем Юнга Е. По
достижении предела упругости пу
наступает область необратимых
деформаций, которая продолжает-
ся до предела прочности оп. отве-
чающего максимуму нагрузки.
После перехода через максимум
наступает область запредельного
деформирования, которая продол-
жается до достижения предела
остаточной прочности оо. В этой
области деформирование часто
идет по прямой линии либо по ли-
нии, очень близкой к прямой,
имеющей наклон, тангенс угла
которого М называется модулем

спада. В момент достижения оо теряется полностью сцепление на
плоскости сдвига и образец в этом случае легко разделяется по
этой плоскости на части.

Площади под диаграммой означают работы, затраченные на
деформирование образца; /7., — работа необратимой деформации на
пределе прочности; /7У — работа упругих деформаций на пределе
прочности; Пэ — работа необратимых деформаций в запредельной
области: eV, е[ и е®—соответствующие названным областям дефор-
мации.

Линия, касающаяся точки предела прочности и проведенная
под углом, тангенс которого обозначен Мв, характеризует жест-
кость испытательной машины или пресса. Мв является коэффи-
циентом жесткости этой машины.

Если жесткость машины такова, как это показано на схеме
рис. 68, т. е. М>МВ, то в этом случае получить ниспадающий
участок диаграммы не удается, так как по достижении предела
прочности разрушение образца начинается и завершается за счет
упругой энергии /7К, запасенной в машине, и процесс этот является
неуправляемым. Для того чтобы экспериментально получить
ниспадающую ветвь, необходимо соблюдать условие

А1<МВ.	(3.1)

4 4-497

97.
						
						.1
						(X  1х
	X \			__-Jr— Х —	—	'X		
	хК 4			£	\ \				
						
00£ к DUW'S		У  г	гоо	<<3	S	<•11 jO О*“	к
		1	' 7		 к		C\j/'		
						/СО к
						
						V

Ч)







Рис. 69. Полные диаграммы «напряжение — деформация» для серии горных пород:

— коелгаиский мрамор; 2 — биотитовый гранит (Карелия;; ?— биотитовый плагиогранит (Южуралзолото); 4 — песчаник НВО (Дон-
басе)? 5 — плагиограиит (Южуралзолото); 6 — диабаз (Братская ГЭС); 7 — талькохлорит (Сег-озеро); 8 — песчаник ВО (Донбасс)

0)
В этом случае процесс деформирования оказывается контроли-
руемым и ниспадающая ветвь может быть построена точно таким
же образом, как и ветвь нагружения до предела прочности. На
рис. 69 показана серия полных диаграмм для пород разной хруп-
кости, получаемых в условиях одноосного сжатия на жесткой уста-
новке. Как видно из графиков, ниспадающие ветви проходят у
некоторых пород намного круче, чем участок, описываемый зако-
ном Гука. Обращают на себя внимание поперечные деформации ег,
которые на порядок превосходят продольные еь Наблюдается очень
сильное разрыхление породы за пределом прочности. На рис. 70
показаны полные объемные деформации этих же пород. На
рис. 70, а показаны объемные деформации за пределом проч-
ности. На рис. 70, б в другом масштабе показаны объемные де-
формации до предела прочности. Здесь общие объемные деформа-
ции не меняют знака на расширение, в то время как в запредель-
ной области общие деформации имеют знак расширения и дости-
гают у некоторых пород более 10 %. В табл. 3 приведены значения
модуля Юнга Е, модуля спада М, предела прочности оп, предела
упругости Оу, величины деформаций е? и ef, коэффициента Пуас-
сона V.

ТАБЛИЦА 3

Порода	Е-10°. МПа	Л4 • 10ь, МПа	’п, МПа	°У> МПа	Ье" ю-3	ез.н>-3	V
Мрамор (Коелга)	0,4	0.17	76,0	70,0	0,6	4,4	0,18
Биотитовый гранит (Карелия)	0,55	1,85	175,0	144,0	0,63	1.2	0,17
Биотитовый плагиограиит (Уралзолото)	0,57	4,17	293,0	250,0	0,36	0,6	0,24
НВО песчаник (Донбасс)	0,31	3,0	142,0	116,0	0,5	1,0	0,12
Плагиограиит (Урал-	0,6	8,0	335,0	290,0	0,2	9,25	,0,18
золото)  Диабаз (Братская ГЭС)	0,67	13,2	295,0	260,0	0,28	0.28	0,22
Талькохлорит (Сег-озеро)	0,41	10,3	110,0	95,0	08	0,3	0,25
ВО песчаник (Донбасс)	0,25	8,0	157,0	—	1,1	1,0	0.33

Крутизна спада характеризует хрупкость горной породы, а мо-
дуль спада М есть количественная характеристика хрупкости. До
получения полных диаграмм «напряжение — деформация» хруп-
кость пород оценивалась параметрами диаграммы до предела
прочности. В частности, Я. А. Бич предложил оценивать хрупкость
пород следующим соотношением:

где ei и е? — соответственно упругая и остаточная деформации.

Указанный коэффициент был предложен в качестве критерия
удароопасности участков угольных пластов, и поэтому входящие
в выражение (3.2) значения ej и е? подбирались в каждом случае
исходя из шахтных определений механических характеристик
4*	99
&-Ю'3	100	50	о -ООО'3 0	1	2	3 -0-Ю’'

Рис. 70. Зависимость объемных д; формаций от напряжения для восьми разновидностей пород

(условные обозначения см. рис. 69)
о — до полной потери несущей способности; б — до предела прочности


участков пласта и из конкретной горнотехнической обстановки,
в частности указанные величины брались на уровне нагрузки,
составляющей 0,8 от разрушающей. Получаемый таким образом
эмпирический коэффициент используется в качестве критерия при
прогнозировании горных ударов. В лабораторных условиях может
быть получен лишь коэффициент хрупкости, который может
характеризовать склонность горной породы к разрушению за счет
упругой энергии, запасенной в теле этой породы на пределе проч-
ности. Коэффициент Ki в этом случае будет определяться из сле-
дующего выражения:

где ап — предел прочности; е"— остаточная деформация на пределе
прочности; Е— модуль Юнга.

Близким по смыслу к коэффициенту может быть получен
коэффициент Кг, определяемый через работы деформации

Пу	°п

По+Пу	2£Еу4-ап’

(3-4)

где Пу и По — соответственно упругая и остаточная работа дефор-
мации на пределе прочности.

Коэффициент К3 может быть определен как отношение работ

77 у °П
по 2£е? ‘

Л'з =

(3-5)

Перечисленные коэффициенты, получаемые только на основании
допредельных характеристик, могут служить надежным критерием
хрупкости только в том случае, если есть хорошая корреляция
между допредельными и запредельными характеристиками данной
породы. На солях такая корреляционная связь была установлена
в работе [17]. На породах более хрупких по сравнению с солями
надежной корреляционной связи получить не удалось.

Использование запредельных характеристик позволило полу-
чить коэффициенты хрупкости, которые наиболее полно отражают
физическую природу процесса хрупкого разрушения, так как в их
определение непосредственно входят величины, прямым образом
ответственные за энергетические показатели процесса хрупкого
разрушения. Коэффициент хрупкости

= = <3-6>

где П3 — необратимая работа деформации в запредельной области;
М — модуль спада запредельной ветви диаграммы «напряжение —
деформация».

В работе [23] предложен коэффициент хрупкости, определяемый
из выражения

К6 = ПУ1П3 = М/Е.	(3.7)
Пределы изменения данного коэффициента от нуля до беско-
нечности в отличие от коэффициента Л'4, который изменяется от
нуля до единицы. Коэффициент Kg при условии, что Е модуль
вмещающих пород, применяется в качестве критерия при прогнози-
ровании степени удароопасности [23]. В этом случае модуль
упругости характеризует жесткость нагружающей системы, анало-
гичную величине Л4В на схеме рис. 68. Опасность бурного разру-
шения может наступить при условии М>-Е.

Для серии пород (см. рис. 69) все коэффициенты хрупкости
приведены в табл. 4. Предел изменения для этой серии пород при
полной вязкости равен нулю, а при полной хрупкости — единице.
Мрамор по коэффициентам Кг и Кз оказался в 2 раза более хруп-
ким, чем по коэффициентам К4 и Kg, а биотитовый гранит, наобо-
рот, оказался более хрупким по коэффициентам К4 и Kg. Обе раз-
новидности плагиогранитов показали по всем коэффициентам
одинаковую хрупкость. ВО и НВО песчаники оказались более
хрупкими по коэффициентам /\4 и К5, то же можно сказать о таль-
кохлорите и диабазе. Следует отметить, что по коэффициентам
К и Кз ИВО песчаник оценивается как более хрупкий по сравнению
с ВО песчаником, а по коэффициентам К4 и Кз, наоборот, ВО пес-
чаник оказался более хрупким, чем НВО.

ТАБЛИЦА 4

Экспериментальное значение коэффициента хрупкости для

Коэф- фициент хрупкости	мра- мора	биотито- вого гранита	биотито- вого плагио- граиита	НВО песча- ника	плагио- гранита	диа- база	1алько- хлорита	ВО песчаника
К1	0.77	0,82	0,93	0,87	0,96	0,84	0,85	0,85
к2	0,76	0,72	0,94	0,90	0,97	0,94	0,70	0,85
к3	1,6	2,5	5	4,7	14	7,5	1,7	2,8
Ki	0,30	0,77	0,88	0,91	0,93	0,95	0,96	0,97
к,	0,55	3,3	7,3	14.5	13.3	19.7	25	15,3
Имеющиеся		расхождения		объясняются,		как уже говорилось,		

отсутствием корреляционной связи между допредельными и заире-
дельными характеристиками. Коэффициенты, учитывающие запре-
дельные характеристики, дают более обоснованную и надежную
оценку склонности горных пород к хрупкому разрушению.

3.2.	Полные диаграммы «напряжение —деформация» при
трехосном напряженном состоянии

Эксперименты в условиях сжатия при боковом давлении прово-
дились на жестких установках в камерах высокого давления,
описание которых дано в разделе 1.

Полные диаграммы «напряжение — деформация», полученные
при разных уровнях бокового давления (Прочность и деформация
горных пород в допредельной и в запредельной областях /
А. Н. Ставрогин, Б. Г. Тарасов, О. А. Ширкес и др. ФТПРПИ,
1981, № 6, с. 2—11) для серии горных пород, приведены ниже. На
рис. 71 показаны результаты по мрамору, вертикальной оси
102
гиъ. <1. -<з,..исимосп. напряжение — деформация* при разных напряжеиннх состояниях «ля мрамор. ti\oeJira)
отложена величина осевого главного напряжения Дсп, которое
является превышением над гидростатическим давлением о2. По
горизонтали вправо отложены осевые главные деформации ei,
влево — поперечные деформации е2.

При малых давлениях о2 наблюдается резко выраженный мак-
симум и затем идет интенсивный спад. По мере повышения о2 спад
становится более пологим, а максимум напряжения менее выражен-
ным, остаточные деформации очень сильно возрастают и достигают
30 и 40%.

Рис, 72. Зависимость «напряжение—деформация» при разных напряженных со-
стояниях для шурабского бурого угля

Аналогичные мрамору результаты для угля, биотитового грани-
та и НВО песчаника показаны соответственно на рис. 72, 73 и 74.

Кривые, относящиеся к углю при о2>25 МПа, не имеют мак-
симума и запредельной области.

Зависимости по песчанику и граниту во всех случаях имеют
выраженный максимум, за которым следует крутой спад. Наиболь-
шая крутизна в запредельной части кривых получена на граните.
С увеличением бокового давления о2 крутизна спада несколько
уменьшается, особенно это заметно у песчаника.

Полные диаграммы «напряжение — деформация» позволяют
провести анализ с целью выяснения механизма и природы дефор-
мации на каждом участке кривых. Обозначим криволинейный
участок (АВ), расположенный между пределом упругости и пре-
делом прочности, цифрой I (см. рис. 68), участок (ВГ) за преде-
лом прочности — цифрой II, а участок остаточной прочности, начи-
ная от точки Г и правее,— цифрой III.
		1 типа  1		г					
		и “	г					
				1UH00!  1		£ J	1  5МПа	
						50 М.	10 МПа	♦ £
					ь.		U,	-я Ot^ML 	।
								°	1
б,,мпа 800	700	600	00S	ЧОО	300	§	В'	
						ч		
					t			
								
								
						X	1X. ।	
							i-L	
								
I	1						X 1	
								

«о

<o

Ri

73. Зависимость «напряжение—деформация» при разных напряженных состояниях для биотитового гранита
(Карелия)

<o


<1

								
	= юз мпа  I							
	i							
			DUP/t					
				'I VUiH‘ CL_			моа	
			л-	c<i  -x—				Ci II  <0 ,
										
	350	300	250	200	§	СЭ		
			X		n			
								
					\\\			
								
								
								
								
								

&г-Ю'3	30	20	Ю	О	'0	20	30	£;10'3

Рис. 74. Зависимость «напряжение — деформация» при разных напряженных состояниях для НВО песчаника Донбасса
Для каждого участка кривой и для каждой пары кривых, отно-
сящихся к разным уровням бокового давления с2, построим зави-
симости между поперечной остаточной деформацией е2 и продольной
остаточной деформацией е?. На рис. 75 такие зависимости построены
Для мрамора На графиках, относящихся к давлениям а2 = 2,5: 10;
25; 50 и 100 МПа, точки, рассчитанные для участков I и II кривых
Деформаций с точностью проделанных определений, легли на одни,
практически прямые лучи, выходящие из начала координат. При
а2 =-- 150 МПа имеется некоторое расхождение точек для участков I
и II. Участок III здесь отсутствует: при давлении 250 МПа имеется
только участок I. Тангенс угла наклона этих лучей, получаемый
из отношения

efM =	(3.8)

представляет собой коэффициент поперечной остаточной деформа-
ции. То, что точки, снятые с двух участков кривых деформаций,
легли на один луч, означает равенство коэффициентов поперечной
остаточной деформации. Указанные расхождения точек участков
I и II при о2=150 МПа приводят к разнице отношения (3.8) менее
чем в 2 раза. Такую погрешность в определении ц следует считать
допустимой и связанной с тем, что измерение поперечной деформа-
ции в опытах проводится в одном направлении одним поперечным
экстензометром.

Точки, рассчитанные для участка III кривых, легли на лучи III,
имеющие существенно другой наклон и не совпадающие с лучами
для участков I и II (см. рис. 75). Равенство коэффициентов р, для
участков I и II или их довольно близкие значения указывают на
одинаковую природу и механизм остаточной деформации на этих
двух участках. Как известно из статистической модели, коэффици-
ент |1 определяется ориентировкой плоскости со относительно оси
действия Oi и не зависит от числа этих плоскостей. Выражение для
|1, связывающее эту величину с ориентировкой плоскости*"®, дано
уравнением (2.27). Коэффициент р, зависит от вида напряженного
состояния и от давления о2, поскольку угол ориентировки плоскос-
ти ® в уравнении (2.27) зависит от этих факторов. По мере увели-
чения о2 величина ц уменьшается и при о2=250 МПа р=0,5, что
означает неизменность объема при деформации. При этом давлении
деформация носит чисто пластический характер сдвига без раз-
рыхления. В соответствии со статистической моделью в условиях
указанного эксперимента исчезают площадки микроотрыва типа в
и остаются только микроплощадки сдвига типа а.

Механизм деформации на участке III отличается от механизма
деформации на участках I и II. Для проверки этого утверждения
проводился следующий эксперимент. В процессе проведения опыта
образец неоднократно извлекался из камеры и обследовался визу-
альным путем. Извлечение происходило на пределе прочности, а
также на нескольких участках ниспадающих ветвей. Такими на-
блюдениями было установлено, что образец сохраняет целостность
вплоть до выхода на участок III остаточной прочности. После
Рис. 75. Зависимость между попереч-
ными и продольными остаточными де-
формациями по трем участкам для
мрамора
выхода на участок III. образец полностью теряет сцепление по
плоскости макроскопического сдвига со и свободно разделяется на
части. Если образец опять составить по плоскости разрушения,
изолировать его от передающей давление 02 жидкости и затем
поместить опять в камеру высокого давления и продолжить экспе-
римент при тех же условиях, при которых он был прерван, то даль-
нейшее деформирование пойдет по участку III кривой деформации.

Описанный эксперимент наглядно раскрыл механизм деформа-
ции на участке III, где он сводится к скольжению друг относитель-

Рис. 76. Зависимость между поперечными и продольными остаточными деформа'
циями по трем участкам для песчаника (а) и гранита (б)

но друга двух частей образца по шероховатой плоскости разру-
шения. Части образца скользят как два клина и представляют
в этом случае уже не среду, а просто механическую систему, у кото-
рой отсутствует объемная деформация, а отношение поперечного
перемещения к продольному, имеющее смысл коэффициента попе-
речной деформации, определяется из уравнения (2.26), принци-
пиально отличающегося от уравнения (2.27). По этой причине лучи
III на рис. 75 имеют другой наклон, чем лучи I и II.

Зависимость, аналогичная рис. 75 для биотитового гранита и
НВО песчаника, показана на рис. 76. Граница между участками I,
II и III обозначена крестиками. Как видно, точки, рассчитанные по
участкам I и II, легли на одни лучи. Участок III имеет другой
наклон. Почти вертикальное расположение участка III связано
с расположением экстензометра для измерения поперечных дефор-
маций относительно плоскости разрушения (сдвига).
На рис. 77 показана зависимость остаточных объемных дефор-
маций мрамора от осевой продольной деформации для трех участ-
ков кривых при разных уровнях бокового давления <т2. Зависимости
получились очень близкими к линейным. Точки участков 1 и II
легли на эти линейные зависимости. При боковом давлении 02=2,5;
10; 25 МПа имеются горизонтальные участки III, на которых отсут-
ствуют объемные деформации. При давлении <т2= Ю0; 150 МПа
участки III в экспериментах получены не были. Зависимости, ана-
логичные описанным, для биотитового гранита и НВО песчаника
показаны на рис. 78, а и б. Точки, снятые с участков I и II кривых
деформации, легли на одни лучи. Во всех случаях получены гори-
зонтальные участки III для области остаточной прочности.

На полных диаграммах «напряжение — деформация» имеются
критические точки (см. рис. 68): предел упругости с координатой
оу (точка Л), предел прочности с координатой оп (точка В) и пре-
дел остаточной прочности с координатой оо (точка Г).

По всем названным точкам при разных уровнях бокового дав-
ления о2 находятся условия предельных состояний. По точкам
пределов упругости и пределов прочности строятся условия пре-
дельных упругих и предельных прочных состояний, аналитически
записанные уравнениями (2.1) и (2.2). Аналогичным образом
могут быть построены и условия для пределов остаточной проч-
ности. На рис. 79 в координатах Igr — с показаны графики для
пределов прочности I и пределов остаточной прочности II для
четырех видов испытанных пород. Экспериментальные точки до-
статочно хорошо аппроксимируются прямыми линиями, что в ука-
занных координатах доказывает правомерность аналитического
описания этих зависимостей уравнениями экспоненциального вида

О Ас.
тп — тпе ,

о Ос
То = тое .

(3.9)

Первое уравнение есть не что иное, как уравнение (2.1), второе
аналогично по виду, но имеет другие константы т° и О. Константа
означает остаточную прочность при одноосном сжатии, а константа
О определяет наклон предельных линий II на рис. 79. Участки III
на рис. 79 означают выход паспортов предельных состояний на
горизонтальный участок, где выполняется условие Кулона, или
условия Губера, Мизеса, Генки.

В точке выхода на горизонтальный участок условия пределов
прочности и пределов остаточной прочности пересекаются, а соот-
ветствующие критические напряжения становятся равными. В этой
точке коэффициент поперечной остаточной деформации ц стано-
вится равным 0,5, объемные деформации исчезают, угол ориенти-
ровки плоскостей сдвига ю становится равным 45°, т. е. плоскости
ю начинают совпадать с площадками действия максимальных
касательных напряжений.

В эксперименте точка выхода на горизонтальный участок была
получена на образцах мрамора при о2=250 МПа и на шурабском
ПО
Рис. 77. Зависимость между объемной остаточной деформацией расширения и
главной осевой остаточной деформацией образцов мрамора

Рис. 78. Зависимость между объемной остаточной деформацией расширения и ве«
личиной главной осевой остаточной деформацией образцов НВО песчаника (а)
и гранита (б)
угле при <т2=50 МПа. На остальных породах точки пересечения
получены в результате экстраполяции. Для их экспериментального
определения требуется давление ог«1800 МПа для гранита иог^
1200 МПа для песчаника.

Изложенные результаты можно интерпретировать с позиций
статистической модели неоднородного деформируемого тела.

Рис. 79. Паспорта прочности и паспорта остаточной прочности для мрамора (а),
шурабского угля (б), биотитового гранита (в), сплошной сульфидной руды (д),
НВО песчаника (а). ВО песчаника (с)

Для начала рассмотрим растяжение образцов из малоуглеро-
дистой стали на испытательном прессе, когда на пределе прочности
(временное сопротивление) начинает образовываться «шейка».
После этого общая нагрузка на образец начинает падать. До
начала образования «шейки» пластическая деформация стального
образца идет равномерно или, как это принято говорить, однород-
но по всей длине образца. Если в этот период опыта проанализи-
ровать картину линий скольжения Чернова-Людерса, то по всей
длине образец будет покрыт равномерной сеткой этих линий,
ориентированных под углом 45° к оси образца и, таким образом,
совпадающих с площадками действия максимальных касательных
112
напряжений. Разрыхление ® этом случае отсутствует. В момент
образования «шейки» равномерная деформация по всей длине
образца прекращается и начинает локализироваться на части ли-
ний скольжения. Другие линии скольжения после этого перестают
участвовать в процессе деформации, так как необходимого напря-
жения для их участия уже нет — нагрузка начала падать. Лока-
лизация деформации иа части линий скольжения есть не что иное,
как результат статистического отбора определенного числа наибо-
лее слабых плоскостей сдвига из общей совокупности, которая
образовалась в теле образца на пределе прочности при максимуме
нагрузки. Часть диаграммы, полученной на стальном образце до

Рис. 80. Схема, поясняющая развитие процесса деформации горных пород
в допредельной и запредельной областях

предела прочности, может быть названа допредельной областью,
а часть диаграммы после перехода через предел прочности —
। запредельной областью диаграммы. Визуально наблюдаемая
«шейка» приводит к снижению общей нагрузки.

В случае горных пород понятия «шейки» в таком виде, как это
наблюдается на стали, нет. Ведь горные породы вещества значи-
тельно более неоднородные, чем сталь, и в них плоскости сдвига
го, как это видно из статистической модели, состоят из площадок
сдвига at и отрыва bi (рис. 80). После образования отрыва по
площадке bi, который происходит на пределе упругости, даль-
I нейший сдвиг ведет к уменьшению площадки сдвига а, на вели-
чину Дсп. Это уменьшение площадки и равноценно, по своему
значению и смыслу, «шейке» в стальном образце. Схема повто-
ряет весь механизм деформации, вытекающий из статистической
модели. Образец нагружен напряжениями щ и о2. По достижении
предела упругости появляется первая макроскопическая плоскость
го, ориентированная в соответствии с условиями статистического
отбора элементов под углом а=^45°. По площадке отрыва Ь} про-
изошел отрыв, сдвиг с упрочнением идет по площадке сдвига
упрочнение приводит к вовлечению в процесс новых плоскостей ©.
Это продолжается вплоть до предела прочности, где число пло-
скостей максимально (см. рис. 80, б). Участок диаграммы от пре-
дела упругости до предела прочности характеризуется однород-
ностью деформации по всему объему образца. На пределе проч-
ности однородность деформации прекращается. Процесс локали-
зуется на наиболее слабых плоскостях сдвига (рис. 80, в), осталь-
ные плоскости из процесса исключаются. На оставшихся в работе
плоскостях начинают уменьшаться площадки сдвига а, на вели-
чину Дщ. Это приводит к уменьшению «сечения» образца, а сле-
довательно, и к снижению общего усилия, необходимого для
продолжения деформации. Таким образом, образуется максимум
на диаграмме «напряжение — деформация». Процесс продолжа-
ется дальше при постоянно снижающейся нагрузке, так как Ай)
продолжает увеличиваться. Как только наступает полное сполза-
ние с площадки сдвига ал и деформация сдвига достигает вели-
чины Ani = cZi (рис. 80, г), исчезает сцепление на этой плоскости,
а это соответствует выходу на участок остаточной прочности, где
деформация представляет собой скольжение с трением частей
образца как целых по шероховатой плоскости разрушения.

Крутизна спада, характеризуемая модулем спада М, опреде-
ляется числом плоскостей со, оставшимся в процессе деформации
после перехода за предел прочности. Чем число плоскостей <о
больше, тем крутизна спада меньше. Соотношение между числом
плоскостей п„ на пределе прочности и числом плоскостей п3, остав-
шимся за пределом прочности, определяется показателем однород-
ности материала.

Чем отношение пп/п3 ближе к единице, тем более однороден
материал и тем большую необратимую деформацию и работу в
запредельной области этот материал проявляет. С ростом бокового
давления число п3 растет, но одновременно растет и пп, так что
отношение этих величин может даже оставаться постоянным или
изменяться не в очень больших пределах. Корреляционная связь
между допредельными и запредельными характеристиками, о кото-
рой говорилось выше, собственно и сводится к выяснению отноше-
ния величин njn3. Это вытекает из статистической модели.

В экспериментах наблюдаются случаи, когда ниспадающая
ветвь не прямая линия, а кривая, что указывает на изменение в
процессе запредельного деформирования числа п3. Разрушение
•или, правильнее, разделение образца на части обычно происходит
по одной поверхности. Особенно это характерно для опытов под
давлением. Однако разделение образца по одной поверхности не
•означает, что все время работала одна плоскость: просто эта
плоскость оказалась наиболее слабой из всей совокупности плос-
костей п3, остальные плоскости пришли в состояние, очень близкое
к полной потере связности. Последнее подтверждается; оставшиеся
связные части образца легко рассыпаются в руках на мелкие части.

Изменение модуля спада М в наиболее широком диапазоне
получено на мраморе, где он от максимальной величины при одно-
осном сжатии по мере увеличения 02 постоянно уменьшается и до-
114
ходит до нуля при 02—200 МПа. При о2=250 МПа и более
наступает область давлений, при которых идет чисто пластическая
деформация без разрыхления, и наклон кривой деформации в этой
области определяется модулем пластичности, знак которого про-
тивоположен знаку модуля спада.

Объемные деформации расширения горных пород есть резуль-
тат пластической деформации, которая в неоднородном теле при
относительно низких гидростатических давлениях без разрыхления

Рис. 81. Зависимость объемной деформации расширения мрамора от бокового
давления

нены О. А. Ширкесом. Кривые построены для разных уровней
нагрузок относительно предела прочности при каждом уровне
гидростатического давления. Кривая 1 описывает объемные дефор-
мации на пределе прочности ст., кривая 2 — деформации на уровне
напряжений^ составляющих 66 % от разности между пределом
прочности и пределом упругости оу, кривая 3 — деформации па
уровне напряжений, составляющих 33 % 6т указанной разности
(см. рис. 81).

Кривые имеют максимум при о2=150 МПа; наличие максимума
объясняется в статистической теории прочности и связано с про-
цессом статистического отбора определенного числа плоскостей со.

Линиями 4, 5, 6 показаны объемные деформации расширения
за пределом прочности на разных расстояниях от последнего (см,
рис. 81). Линия 4 построена по деформациям, на 20-10—3 превыша-
ющим соответствующие деформации на пределе прочности. Линия
5—по деформациям, на 55-10~3 выше деформаций предела проч-
ности и линия 6 — по деформациям, на 150-10-3 выше деформаций
предела прочности. Как видно из графика, деформации расшире-
ния на пределе прочности при о2<50 МПа сравнительно малы, при
дальнейшем росте бокового давления расширение увеличивается
и в максимуме при 02=150 МПа достигает 20 %, при давлении
02 = 250 МПа объемные деформации расширения исчезают. Мра-
мор переходит в пластическое состояние.

Объемные деформации расширения за пределом прочности
особенно проявляются в диапазоне значений о2 от 0 до 75 МПа,
при больших значениях о2 вклад в общую объемную деформацию
от запредельной части диаграммы относительно невелик.

Существенное разрыхление в запредельной области при о2<
<50-ь 75 МПа объясняется возможностью при этих давлениях
развиваться большим по длине трещинам разрыва в теле образца.
Когда 02 велико, то большие по длине трещины появиться не
могут.

3.3.	Поровое давление и механическое поведение
горных пород

Введенное или каким-либо образом оказавшееся в поровом
пространстве горной породы газообразное или жидкое вещество
может изменить ее свойства. Если вещество в химическом отноше-
нии нейтрально, и не является поверхностно-активным, то оно
никакого влияния на механические свойства иметь не будет. Если
вещество химически активно, т. е. может вступать в химические
реакции с частицами горной породы, или является поверхностно-
активным, т. е. может оказывать расклинивающее действие (эффект

порового давления при разных уровнях бокового давления

Ребиндера) в устьях микротрещин, то оно может очень сильно
изменить механические характеристики породы. При этом химиче-
ская активность может как упрочнять, так и ослаблять горную
породу. Когда же проявляется эффект Ребиндера, то в этом случае
породы снижают свою прочность. Если же при прочих равных
условиях поровое вещество находится в порах под давлением, то
в этом случае несущая способность горной породы еще снижается
и из-за растягивающего действия, которое создает в скелете гор-
но ! породы поровое давление.
Результаты, приводимые ниже, относятся к случаю, когда поро-
вое вещество было нейтральным (газ азот) и действовал только
фактор — поровое давление. Исследования проводились на уни-
версальной установке для изучения механических и фильтрацион-
ных свойств, описанной в разделе 1. Эксперименты проводил
О. А. Ширкес.

Были исследованы бурый уголь Шурабского бассейна и коел-
гинский белый мрамор. Зависимость прочности тп угля от порового

Рис. ИЗ. Полные диаграммы «напряжение — деформация» при разных значениях
бокового и порового давлений для бурого угля

давления р„ при разных уровнях бокового давления о2 показана
на рис. 82. Экспериментальные точки довольно хорошо аппрокси-
мируются прямыми линиями. По мере роста о2 наклон линий
несколько снижается, что связано с закрытием пор и уменьшением
порового пространства.

Величина порового давления при испытании мрамора достигла
50 МПа. Наклон прямых у мрамора меньше, чем у угля, что объяс-
няется его более низкой пористостью.

На рис. 83, а и б показаны полные диаграммы «напряжение —
деформация» для бурого угля. Возле кривых указаны соответству-
ющие уровни бокового о2 (МПа) и порового давления рп (МПа).

На рис. 83, а показаны кривые, полученные при давлениях <з2 =
= 2,5 и 5,0 МПа и при рп = 12,5 и 4,0 МПа. На рис. 83,6 анало-
гичные кривые получены при давлениях с2 = 2,5 и 5,0 МПа и при
Рп~® и 2,5 МПа. Анализируя экспериментальные зависимости,
можно отметить практическое совпадение хода кривых, для которых
эффективное давление аэ$ одинаково, т. е.

Оэф= (02—Рп).	(3.10)

Имеющиеся на графике расхождения соизмеримы с разбросом
частных определений, объясняемых неоднородностью свойств.

Серия полных диаграмм для мрамора показана на рис. 84.

Обозначения такие же, как и на рис. 83. Рассматривая графики

Рис. 84. Полные диаграммы «напряжение — деформация» при разных значениях
бокового и порового давления для мрамора

рис. 84, можно сделать заключение, аналогичное заключению по
углю: диаграммы практически совпадают при одинаковых эффек-
тивных давлениях, определяемых соотношением (3.10).

Таким образом, поровое давление, создаваемое инертным газом,
оказывает чисто механическое действие на скелет породы, которо-
му противодействует внешнее давление о2, алгебраически сумми-
руемое с поровым давлением рп. Таким образом, происходит
изменение параметра с, характеризующего вид напряженного
состояния.

Влияние порового давления на прочность при разных боковых
давлениях может быть пояснено с использованием уравнений, вы-
текающих из статистической модели. Выражение (2.22) запишем
в несколько ином виде

тп = т] 4- р,	(3.11)

где р—дополнительное сопротивление сдвигу, которое создается

118
боковым давлением а2 и сопротивлением отрыву ар; тп — полное
сопротивление сдвигу по элементу статистической модели.

Поровое давление рп работает против с2, поэтому в выражение
для р введем величину

Р = "I" [(°2 + Ор)—-Рп],	(3.12)

где у = Ь/а\ b и а—размеры микроплсщадок соответственно отрыва
и сдвига.

Функция х зависит от угла ос, ориентировки плоскости <о, коэф-
фициента поперечной остаточной деформации ц, которые в свою
очередь зависят от вида напряженного состояния, в частности от
величины бокового давления о2. Выражение для определения
функции х имеет вид

X = ^(ctga-l) = -^-(2H-l).	(3.13)

При постоянном значении а2 увеличение рп в уравнении (3.12)
приводит к уменьшению р, так как величина х при этом также
сохраняет постоянное значение. Пределы изменения х в соответ-
ствии с уравнением (3.13) находятся в интервале от нескольких
единиц при напряженном состоянии одноосного сжатия до нуля
при напряженном состоянии, характеризуемым выходом огибающей
кругов Мора на горизонтальный участок, когда увеличение объема
за счет раскрытия трещин исчезает.

При одноосном сжатии, когда о2 = О, из формулы (3.12) р =
= X (ар—рп)№- Пока р в этом выражении величина положительная,
что означает ор > рп, разрушение не наступает. Как только рп
станет больше ар, произойдет разрушение. Чтобы разрушения, при
условии рг. > ар, не произошло, нужно приложить боковое давление
о2, которое в соответствии с выражением (3.12) не даст образцу
разрушиться от внутрипорового давления.

После образования микротрещины по площадке отрыва Ь\
сопротивление отрыву ор в уравнении (3.12) перестает работать
и выражение можно записать

х(02 —Рп)/2,	(3.14)

т. е. при постоянном заданном а2, когда у = const, величина р
уменьшается пропорционально увеличению порового давления рп.
Уменьшение р приводит к снижению сопротивления сдвигу тп
в уравнении (3.11). Последнее подтверждается экспериментальными
графиками (см. рис. 82). Изменение наклона прямых с увеличением а2
объясняется происходящим при этом уменьшением величины у. Более
сильное изменение наклона прямых у бурого угля по сравнению
с мрамором вызвано высокой пористостью угля.
3.4.	Фильтрационные свойства горных пород

Явления разрыхления и увеличения объема, сопутствующие
необратимому деформированию горных пород, оказывают суще-
ственное влияние на фильтрационные свойства.

По описанной в разделе 1 методике были исследованы мрамор,
бурый шурабский уголь, ВО и НВО песчаники Донбасса.

На рис. 85 показаны зависимости газовой фильтрации образцов
мрамора [И]. Давление газа на входе было 1,5—2 МПа. По гори-
зонтали отложена осевая компонента напряжения Aoi, являющаяся
превышением над о2- Были исследованы допредельная и запре-
дельная области вплоть до предела остаточной прочности.

Обращает на себя внимание существенное различие в измене-
нии коэффициента проницаемости, вызванное деформацией в про-
дольном и поперечном направлении. В первом случае коэффициент
проницаемости возрос на порядок, во втором — на два и даже три
порядка. Эта разница может быть вызвана двумя причинами.
В случае продольной фильтрации в опыте участвуют торцевые
части образцов, где напряженное состояние искажено влиянием
трения на торцах, процесс деформации затруднен, в образце обра-
зуется бочка. Части образца, примыкающие к торцам, как бы
остаются не деформированными, а поэтому их фильтрационные
свойства слабо изменяются по сравнению с исходным материалом
образца. Вторая причина различия состоит в том, что развива-
ющиеся в процессе деформации микротрещины ориентируются по
своей длине вдоль оси образца, с торцов трещины прикрыты сдви-
гающимися структурными элементами так, как это объясняется
в статистической модели. Таким образом, микротрещины оказыва-
ются открытыми в поперечном направлении и закрытыми либо
полузакрытыми в продольном. На продольную фильтрацию оказы-
вают влияние оба упомянутых фактора. Основной рост фильтрации
приходится на область напряжений, примыкающую к пределу
прочности. В области упругих деформаций трехосное сжатие при-
водит к закрытию микротрещин и пор, фильтрация снижается,
либо очень мало изменяется.

 В области необратимых деформаций начиная от предела упру-
гости и до предела прочности механизм роста коэффициента прони-
цаемости может быть пояснен схемой, показанной на рис. 80.
Начиная от предела упругости и до предела прочности в теле в
силу явления статистического отбора идет интенсивный рост числа
плоскостей со, а вместе с ними и соответствующего йисла микро-
трещин, способных пропускать газ в поперечном направлении. При
этом микротрещины растут как по ширине, так и в количественном
отношении, пропорционально увеличению числа плоскостей сдвига
со. После перехода за предел прочности часть плоскостей со из
деформации выходит и внесенная ими доля в общий показатель
фильтрации уже больше не изменяется. Дальнейший рост фильтра-
ции идет за счет увеличения ширины трещин на оставшихся в
120
>

I

1
процессе запредельной деформации плоскостях <в, а этот вклад
в общую фильтрацию уже не столь велик.

Результаты исследований фильтрации бурого шурабского угля
[11] представлены на рис. 86.

Рис. 86. Зависимость коэффициента продольной (о) и поперечной (б) проннпае-
мостей бурого шурабского угля при различных значениях бокового давления

С увеличением бокового давления коэффициент проницаемости
снижается. Осевая компонента напряжения по мере увеличения
также приводит к дальнейшему уменьшению коэффициента прони-
цаемости. На пределе прочности роста проницаемости не установ-
лено. С переходом в запредельную область при боковых давлениях
2,5 и 5 МПа наблюдается некоторое увеличение коэффициента
проницаемости. При давлениях 2.5 и 5 МПа на диаграммах «напря-
жение— деформация» у бурого угля имеются резко выраженные
максимумы на пределе прочности и достаточно крутой спад ниспа-
дающей ветви. При о2=10 МПа диаграмма для угля не имеет
резко выраженного максимума.
Коэффициент проницаемости в поперечном направлении оказал-
ся в среднем в 2—2,5 раза выше, чем в продольном направлении,
т. е. получен результат, качественно аналогичный результатам по
мрамору.

Снижение фильтрационных свойств во всех случаях объясняет-
ся высокой пористостью бурого угля, составляющей более 40 %.
Явление раскрытия микротрещин при деформации здесь также
имеет место, однако процесс закрытия пор превалирует над про-
цессом образования микротрещин.

На рис. 87, а, б показаны графики по ВО и НВО песчаникам.
Проницаемость изучалась только в поперечном направлении. Экс-
перименты проводил Б. Г. Тарасов.

песчаников Донбасса при различных значениях бокового давления

Начальная при <i2=0 проницаемость ВО песчаника в 10—15
раз выше проницаемости НВО песчаника. Данный результат неод-
нократно подтверждался на этих же песчаниках из различных
районов Донбасса. С увеличением гидростатического давления <т2
проницаемость обоих песчаников уменьшается за счет закрытия
каналов. Эта зависимость хорошо описывается уравнением экспо-
ненциального вида

^ = ^е-^,	(3.15)

где Лф и d — эмпирические константы, зависящие от свойств мате-
риала.

Аналогичное уравнение ранее использовано в работе В. В. Ходота.
На рис. 88 показаны зависимости коэффициента проницаемости
(десятичный логарифм) от величины гидпосгатического давления
для двух типов песчаников. Эксперт е ггальные точки хорошо
легли на прямые линии, что указывает на хорошую аппроксимацию
полученных данных уравнением (3.15). Константы и d для поме-
щенных на рисунке кривых имеют следующие значения: fe^ = 0,153,
d = 1,8 - 10-3 для ВО (/) песчаника; k$ = 0,248, d = 2,0 • Ю-3 для
ВО (/') песчаника; = 0,033, d = 2,5 • 10~3 для НВО (2) песчаника;
&Ф = 0,018, d = 1,9 • 10~3 для НВО (2') песчаника. По мере роста
осевой компоненты напряжения в упругой области проницаемость
у обоих песчаников снижается при всех уровнях начального
давления <т2 за счет закрытия пор и каналов. По достижении пре-
дела упругости начинают образовываться плоскости <о и соответ-
ствующие микротрещины отрыва. Этот процесс так же, как и в
случае для образцов мрамора, интенсивно растет вплоть до преде-
ла прочности. Проницаемость очень резко увеличивается. При этом
в ВО песчанике прирост проницаемости за счет деформации соста-
вил примерно один порядок, в то время как в НВО песчанике

Рис. 88. Зависимость коэффициен-
та поперечной проницаемости ВО

(1 и /') и НВО (2 и 2')песчаииков

проницаемость возросла для этих
же условий на три-четыре поряд-
ка, т. е. после деформации про-
ницаемость НВО песчаника стала
выше, чем у деформированного
ВО песчаника. По своим механи-
ческим характеристикам при са-
мой широкой вариации условий
эксперимента ВО и НВО песча-
ники (см. раздел 2) очень мало
друг от друга отличаются. Наибо-
лее существенное различие было
установлено по показателю проч-
ности на отрыв. Это различие
составляет 30—40%. ВО имеет
меньшую прочность на отрыв.
По данным более ранней работы
121], разница была получена в 2
раза. Данный результат, безус-

ловно, указывает на возможность
более легкого разрушения ВО песчаника под действием заключенно-

го в его порах газа под высоким давлением, который способствует
разрушению путем отрыва. Однако учитывая большой разброс

в определениях прочности на отрыв и имея в виду не очень
существенную разницу полученных величин, этому фактору не сле-
дует придавать главенствующее значение. Описанные опыты по про-
ницаемости песчаников позволяют установить более существенное
различие свойств этих двух разновидностей пород. Разница по
проницаемостям объясняется различием петрографического строе-
ния этих песчаников. Существенно различается цемент. У ВО пес-
чаника зерна имеют непосредственный контакт, цемент порового
типа. У НВО песчаника карбонатный цемент базального типа.

В основном по цементу и развиваются микротрещины разрыва при
деформации. Различие в цементе, по-видимому, является также
причиной более низкой прочности на отрыв у ВО песчаника: в мес-
тах непосредственного контакта зерен возникают более высокие
концентрации напряжений, чем в тех случаях, когда зерно погру-
жено в пластичный карбонатный цемент и в нем «плавает».
Более высокая начальная проницаемость у ВО песчаника ведет
и к более высокому газовыделению в шахте, а это также является
одним из признаков выбросоопасности.

Результаты по фильтрации песчаников помогают в какой-то
мере разобраться в механизме явления выброса. ВО песчаник имеет
более высокую проницаемость и соответствующую газоотдачу. При
механическом его деформировании силами горного давления про-
ницаемость не очень сильно изменяется и не может приводить
к очень сильной дегазации деформированной области пласта, а
приток газа в эту область по-прежнему остается большим. Дефор-
мированный объем пласта, потеряв свою прочность, особенно проч-
ность на отрыв, и постоянно выводимый из массива газ могут
существенно способствовать возникновению разрушения пласта.

В случае НВО песчаника процесс может быть представлен
несколько иначе. Начальная проницаемость низкая, газоотдача
также низкая. Деформированный объем пласта резко увеличивает
свою проницаемость, пласт интенсивно дегазируется, подводимый
из массива газ (а его подводится из-за более низкой начальной
проницаемости НВО песчаника значительно меньше по сравнению
с ВО песчаником) успевает уходить и в деформированной зоне
пласта не способен создавать давлений, необходимых для разру-
шения.

3.5.	Влияние скорости деформирования на
запредельные характеристики

Влияние скорости деформирования на участке диаграммы, рас-
положенном до предела прочности, достаточно полно было рас-
смотрено в разделе 2. Некоторые породы с увеличением скорости
повышали прочность и пластичность, как, например, мрамор и
диабаз. Другие породы, наоборот, с увеличением скорости ^стано-
вились более хрупкими и менее прочными, как, например, несколь-
ко разновидностей природного галита.

При анализе возможной корреляционной связи между харак-
теристиками допредельной и запредельной областей было высказа-
но предположение о том, что в запредельной области оставшееся
число плоскостей <о чаще всего оказывается тем больше, чем боль-
ше было число плоскостей и на пределе прочности. Но это суждение
относилось к области статических исследований. В области
динамики данное положение вряд ли может быть отвергнуто пол-
ностью, скорее всего его следует принять с некоторыми поправками.

Исследования полных диаграмм «напряжение — деформация»
в динамике были проведены рядом авторов. В работе 151] иссле-
довался бетон. Было установлено увеличение модуля спада и пре-
дела прочности. В опытах при скорости деформирования е«10~9с~1
(длительность опыта — год) модуль спада приближается к нулю.
Исследованиями мрамора и песчаника [52] в интервале скоростей
ей*10-7-? 10-2 с-1 установлено падение модуля спада на мраморе
в 20 раз и на песчанике в 3,7 раза. В работе [48] исследовался
125
Рис. 89. Полные диаграммы «напряжение — деформация» для коелгинского мра-
мора при разных скоростях деформирования:

/ = <’ = 2 • 10~6с~1; 2 — А= 2-10—5 с-1; 3 — ё, = 2  10~4с_*; 4 — sj = 2 - 10~30—Ч

б — ё, = 2  10“2с~; 6 — ё, = 2  10—к-1

Рис, 90, Полные диаграммы для сплошной сульфидной руды из Норильска при
разных скоростях деформирования:

1— = 10—5е~*; 2 — ^ = Ь Ю-2с~•; 3 — е, =2  10— U-1
карарский мрамор и известняк при скорости от 510-7 до 2,5х
X 10~4 с-1. На карарском мраморе получен рост модуля спада
с ростом скорости, а на песчанике, наоборот, падение модуля
спада.

Как видно из работ, результаты, на первый взгляд, кажутся

Рис. 91. Полные диаграммы для биотитового гранита (о) и НВО песчаника (б)
при разных скоростях деформирования:

= 10—Sc—г — ;, = 2. 10—’с—*; 3 —«, = 5 10—2с——е', = 2- 10—1С—1;

S — «, = 3 10—6с—6 — •’ = 10—1С—1

шее, чем описанные в разделе 2 результаты по изменению пластич-
ности и прочности. По методике, описанной в разделе 1, была
проведена серия экспериментов на нескольких разновидностях
горных пород в условиях одноосного сжатия [42].

На рис. 89 показаны результаты экспериментов на образцах
мрамора. Поперечные деформации из-за большой их величины
построены в более крупном масштабе.
С ростом скорости наблюдается увеличение прочности и пла-
стичности на пределе прочности и уменьшение модуля спада.
Данные результата находятся в полном соответствии с данными
по влиянию скоростей, описанными в разделе 2 и полученными на
этом же мраморе до предела прочности. Возрастание пластичности
на пределе прочности с увеличением скорости приводит к росту
запредельной пластичности и к соответствующему уменьшению
модуля спада.

На рис. 90 показаны результаты экспериментов на образцах
руды из Норильска. Также наблюдается увеличение прочности и
запредельной пластичности, уменьшение модуля спада с ростом
скорости. Аналогичные результаты получены на биотитовом грани-
те (рис. 91, а) и на НВО песчанике Донбасса (рис. 91, б).

Результаты, противоположные описанным, были получены в ус-
ловиях одноосного сжатия на образцах солевых пород 114]. Здесь
с ростом скорости снижаются как прочность, так и допредельная
и запредельная пластичность и повышается модуль спада. Резуль-
тат находится в полном соответствии с экспериментом по влиянию
скорости на солевые породы, описанным в разделе 2. Для солевых
пород в работе 114] была показана достаточно хорошая корреля-
ционная связь между допредельными и запредельными характе-
ристиками.

В табл. 5 приведены значения модуля Юнга Е, коэффициента
Пуассона v, предела прочности ап, пластичности на пределе проч-
ности е?, модуля спада М, общей величины остаточной деформации,
включающей запредельную величины остаточной прочности ао,
объемной деформации разрыхления на пределе прочности 6₽, полной
объемной деформации разрыхления коэффициентов поперечной
деформации в допредельной рп и запредельной р.э областях, а также
три типа коэффициентов хрупкости /Сь А2 и Ка- Увеличение модуля
спада приводит к повышению хрупкости пород.

4.	ПЛАСТИЧНОСТЬ ГОРНЫХ ПОРОД

4.1.	Особенности пластического деформирования
горных пород

Проблема выбора, обоснования и составления уравнений состо-
яния при пластическом деформировании горных пород имеет пер-
востепенное значение. Решения ее традиционно для теории плас-
тичности может быть выполнено двумя путями. В первом случае
для вывода уравнений можно использовать теоретические пред-
ставления физики твердого тела. Нужно отметить, что процесс
пластической деформации горных пород достаточно сложен, свя-
зан с микро- и макронеоднородностыо их строения и различными
128
Таблица

	0,35	SS‘0	0,35	0,35	0,26	0,18	0,66	0,58	0,54	см 00  о	0,78	0,65	8  О	0,88	0,62	1	1
к	°O	oo	oo	°0	2,85	4,50	0,52	0,73	0,85	0,21	0,28	0,54	0,5	0,13	0,6	1	1
к	0,9	0,87	0,85	0,8	0,75 I	0,74	0,95	0,94	0,94	об	0,95	ОО	0,8	0,85	0,84	1	1
tn  Л	2,5	2,5	2,5	2,5	2,5	2,5	r-	Г-	Г-	ь-	г-		Г-	сО	СО	1	1
С d.	в—1	—4	11	—<		—<	tn	in	ш	см	см	см	см	ч<		1	1
e_OId0S	55	co co	LO Ю	38	tn	GO co	75	Op	74	8	105	100	О	001	120	1	1
g—flldfi	0,55	0,13	0,60	0,45	1,25	1,60	3,5	in			0,8	о		3,0	5,0	1	1
-	Ю	Ш	Ш	1П	in	m	О CM	20 i	о см	о со	0S	о со	30	о	tn	to	ш
£_01 d3S	3,49	4,08	4,06	4,28	7,11	7,36	co	2,14	2,75	1,63	1,43	2,92 :  I	2,93	1,59	4,44  ।	3,3	3,2
s'S SgS	2,2	CM  of	2,2	2,2		О	9,6	8,2	О	0S	СО  СМ	см	СО	СМ	5,2	1	58
е-оф	0,25	0,30	0,35	0,50	О  О	0,75	0,18	0,18	0,25	0,48	0,15	0,90	о	0,85	1,00	о	0,17
BHW	74,5	79,0	0*18	82,5	90,0	89,0	148	173	193	203	200	231	247	142	156		32  1
>	0,18	81*0	81*9	81*0	81*0	0,18	0,22	0,22	0,22	0,17	0,17	6,17	0,17	0,12	0,12	1	1
bjjw ‘,oi a	4,					4,5	Ю	CO	СО	6,5	6,5	6,5	6,5	СО	СО	оо	8*1
I  .«Г	g-OI • Z	g—01 ’ 6 J	I о  CM	£—01 ‘ 3	2 • 10-2	i-0I • Z	Ю  1 о	О) 1 О  in	(-01 -z	з-01  I	1 2 • 10-4	г—01 • 9	2 • 10-1	СО  L  со	!-01 ' I	7 о	<£>
Парода, источник	Мрамор (Коелга) [42J						Сплошная суль-	фи дна я руда (Но- рильск) 1421		Биотитовый гранит	(Карелия) [42]			НВО	песчаник  (Донбасс) [42]		Мрамор [40]	
Продолжение табл.

ЮЮЮО1 I I I о о О СМ CM СМ

е_01 ‘»к	со О О О |	.	.	I	сО *“1  со' О'	ю 1	1	1	1	of см см °°
М10«, МПа	о со	Ч	Ч	ч.	-г	оз	4 °°  —•	ОО	СМ О	О Q0 см	см	см см	о	со
£-012э	Ю CM CD	ю Ю LQ О  со сГоооосГоо—Гооооо
4JW ‘“о	оо^смг^оооиог-ооо^ооо т СОСОхЬ^СОООООООГ^СЛСОСМСОСО

О Q0 О. О	—и	—О'	СО СО СО' LO

BUW 401 3 см" см" см со со со со см" со оГ см" см" см"
дефектами кристаллической решетки. Поэтому понятны те трудно-
сти задачи при решении ее в свете первого направления.

Остается второй путь — обобщение экспериментальных данных
и формулировка уравнений пластического деформирования, описы-
вающих главные определяющие эффекты его протекания. В процес-
се накопления знаний могут быть получены эти уравнения на
основе физических представлений. В работе [40] содержатся фунда-
ментальные экспериментальные исследования прочности и деформи-
руемости 23 типов горных пород, а также гипса, бетона, цемент-
ного камня и кирпича. Исследования выполнены в условиях
объемных напряженных состояний при пропорциональном нагру-
жении ci>02=оз- В результате исследований получены экспери-
ментальные зависимости между напряжениями и деформациями.

Условия предельных состояний. Для описания предельного
состояния горных пород в настоящее время наибольшее распрост-
ранение получила теория прочности Мора

т = -с(а),	(4.1)

где т = у (щ — О3); а = у (at + а3); <4 > а2 > а3.

Для аппроксимации функции т(а) используются прямолинейная,
экспоненциальная, параболическая, гиперболическая и другие зави-
симости.

Наиболее полно предельное состояние широкого класса горных
пород описывается условием [40]

т = ^еЛс,	(4.2)

где с = аз/ас, -tn, А — постоянные. Условие выполняется для раз-
личных типов пород и строительных материалов.

Учитывая переменные тио, коэффициент вида напряженного
состояния	-

a —- т

С = —;—.
a т

Тогда условие (4.2) записывается в виде

г = Т°ехр (д ^р).

Заметим, что уравнение (4.4) разрешимо относительно а

А + 1пт/т®
а •= т------—.

А — 1Пт/г°

(4-3)

(4-4)

(4-5)

Запишем условие предельного состояния в виде, аналогичном урав-
нению (4.2), учитывая связь между интенсивностью касательных
напряжений Т и наибольшим касательным напряжением т. Для
условий проведения экспериментов a( > a2 = а3 величина Т равна

1	2

Т —	(я| — а3) = ——т.

Vз'	’ Уз

(4.6)
Условие предельного состояния

т — ?

/ з Тпе

(4.7)

Коэффициент вида напряженного состояния выражается через Т
и а следующим образом)

c-Ll?

2
С =--. ,— .

(4.8)

Учитывая уравнение (4.8), условие предельного состояния получим

ЙгТп°ехр

о — Г3 т

А—7=-

(4-9)

Соотношение (4.9) также разрешимо относительно а

А + In

/3 т

2 <

(4.10)

У 3 Г

2 г

В общем случае показатель вида напряженного состояния с выра-
жается через инварианты о0, Т и I3(DO) следующим образом:

2	/	2 \

Г7=ТсО8 Фо + -з *)+°о

С = ----2—^-------------’	(4Л1>

Т COS фа + а0

где а0 = у (в! + а2 + a3), а <ра находится из уравнения

cos3^=3/^2(Pg).	(4.12)

Таким образом, условие предельного состояния (4.7) с учетом
соотношения (4.11) связывает между собой три инварианта

f[T, Оо, 13(Д,)] = 0.	(4.13)

Аналогичным образом, учитывая зависимость (4.8), может быть
записано условие предельного состояния в виде связи -г, оо и I3 (£)а)
/[Т, ОО, 13(£>а)] = 0.	(4.14)

Упрочнение при пластическом деформировании горных пород.
Механизм пластического деформирования горных пород как неод-
нородных тел рассмотрен в работе [401. Развитие пластического
деформирования на основе статистической модели определяется
числом плоскостей скольжения, по которым происходит сдвиг.
132
С ростом числа плоскостей скольжения пластическая деформация
пород увеличивается. Для ее описания в работе 140] предлагается
единая кривая пластической деформации-

ef = <р (т — т°еВс),	(4.15)

где В — постоянные; ef — величина главной пластической дефор-
мации; ср — известная функция.

Обобщенная кривая пластической деформации обращена выпук-
лостью вверх. Кривизна ее имеет наибольшее значение вблизи
начала координат. По мере удаления от начала координат кривая
постепенно спрямляется и при достаточно больших значениях ар-
гумента приближается к прямой. Наклон кривой определяется
модулем пластичности, равным тангенсу угла наклона касательной
к единой кривой, и осью ef.

Запись единой кривой пластической деформации в координатах
Дт = т — т°ев', ef вызвана тем, что предел упругости горной породы
зависит от показателя с. Использование в качестве второй коорди-
наты величины главной пластической деформации ef, а не величины
сдвига ef — ef вызвано тем, что из-за раскрытия микротрещин зави-
симость между ef и ef — ер не имеет единой кривой для всех значе-
ний с. Коэффициент поперечной деформации является функцией
параметра с, поэтому для каждого его значения получается своя
кривая. Единую кривую деформации можно записать в виде

ef = ср (т, с).	(4.16)

Учитывая связь между с и т, а в общем виде уравнение единой
кривой деформации можно представить

ef=<p(x, a).	J4.17)

В инвариантах 7, а0 единая кривая с учетом соотношений (4.11)
может быть записана следующим образом:

ef = <р [7, о0, 13 (£>□)].	(4.18)

Для аппроксимации единой кривой в работе [40] предлагается
использовать параболу

ef = /Сг — т°еВс)2.	(4.19)

Пластическое разрыхление горных пород. Явление дилатансии
было обнаружено О. Рейнольдсом в прошлом веке (1885 г.). Про-
водя опыты с песком, он установил изменение объема под воздей-
ствием простого сдвига. О. Рейнольдс назвал это явление дила-
тансией и объяснил его переупаковкой шаров в модели из различ-
ным образом уложенных шаров.

При плотной начальной упаковке шаров каждый шар касается
шести шаров, поэтому в результате сдвига образуется неплотная
упаковка, когда каждый шар касается четырех шаров. В этом
случае объем тела, сложенный из шаров, в результате переупа-
ковки увеличивается и имеет место разрыхление среды. При не-
плотной начальной упаковке в результате сдвига образуется плот-
ная упаковка, которая приводит к уплотнению тела.

Дилатансия наблюдается при деформировании грунтов и горных
пород. Многочисленные экспериментальные данные по деформиро-
ванию широкого класса пород в условиях объемных напряженных
состояний показывают, что для пористых пород имеет место уплот-
нение, а для плотных — разрыхление [401. Уменьшение объема
пористых пород происходит в результате сокращения числа дефек-
тов — пор, микротрещин и т. п., а увеличение объема — в резуль-
тате их развития.

Положительная (уплотнение) и отрицательная (разрыхление)
дилатансии горных пород связаны с величиной начальной эффек-
тивной пористости. Как показывают эксперименты, при величине
эффективной пористости 0,36—7,4 % У горных пород при их пла-
стическом деформировании наблюдается разрыхление, а при зна-
чении эффективной пористости 18—30 % уплотнение. Поэтому
в интервале 7,4—18 % можно ввести некоторое предельное значе-
ние эффективной пористости, при котором объем породы при
сдвиге не меняется. Если величина эффективной пористости мень-
ше ее предельного значения, то порода является плотной и при
пластическом деформировании разрыхляется. При величине эф-
фективной пористости большей ее предельного значения происхо-
дит уплотнение горной породы. Однако уплотнение породы может
происходить до некоторого определенного значения, после чего
может иметь место ее разрыхление. Большое число эксперимен-
тальных данных для различных типов горных пород показывает,
что пластическая дилатансия зависит от показателя с [401

е₽ = (с).	(4.20)

С учетом связи между показателем с и a, г условие дилатансии
записывается

е₽ = 6₽(т, а).	(4.21)

В общем случае с учетом связей (4.8) и (4.11) условие дилатансии
горных пород можно представить

е₽ = [г, а0, 13 (Г>а)]	(4.22)

или

= ег[7, а0, 13(£>,)].	(4.23)

Экспериментальные данные показывают, что дилатансия горных
пород пропорциональна наибольшему сдвигу у = ei—е3. В простей-
шем случае эта связь может быть записана

е₽ = Х(с)Т,	(4-24)

где Х(с) — известная функция, определяемая на основе эксперимен-
тальных данных. Запишем уравнение (4.24) с учетом выражения (4.3)

= X (т, а) у.	(4.25)
При нелинейной зависимости между дилатансией и наибольшим
сдвигом условия (4.24) и (4.25)' принимают вид

6₽ = 6₽(с, у)	(4.26)

и

6р = 6р(т, а, у).	(4.27)

Отметим, что наибольший сдвиг 7 зависит от с и т или т и а.
Поэтому условия дилатансии (4.24) (4.25), (4.26) и (4.27) можно
преобразовать и записать соответственно в виде (4.22) и (4.23).

У равнение деформационной теории пластичности. Рассмотрен-
ные выше особенности процесса деформирования горных пород
позволяют записать основные положения деформационной теории
пластичности, которые частично были сформулированы [401 ранее:

1)	тело изотропно;

2)	относительное остаточное изменение объема горной породы
при пластическом деформировании может быть записано в виде
зависимостей (4.20) — (4.27), что следует из результатов экспери-
ментальных исследований;

3)	тензор деформации Те является функцией тензора напряже-
ний То

Те = F (То).	(4.28)

Не ограничивая общности, можно считать, что функция (4.28) может
быть представлена в виде бесконечного ряда

То = /0Т, + ДТО + /2т^ + ... + /ПТ" +	(4.29)

где коэффициенты fn являются скалярами вследствие изотропности
среды и могут зависеть от инвариантов тензора Та

fn = fn [I, (Та), 12(ТО), 13(Та)] (n=0, 1, 2, ...),

где То — единичный тензор.	*

Бесконечный ряд (4.29) можно преобразовать [28] к его отрезку,
содержащему только три члена. Для этого необходимо использовать
теорему Гамильтона-Кэли, согласно которой каждая матрица явля-
ется корнем своего характеристического уравнения. В частности,
тензор напряжений Та является корнем уравнения

Т« —1| (ТО)Т* + I2 (Та) То -13 (То) Ti = 0.	(4.30)

Применяя последовательно формулу (4.30) к ряду (4.29), после
преобразований получим

ТЕ = Д0Т( + ЛТО + Д2Т*,	(4.31)

где До, Дь Д2— некоторые функции инвариантов тензора Та, [28].

Для выбора определяющих уравнений деформационной теории
пластичности горных пород в качестве тензоров в формуле возьмем
девиаторы £>е и Da. Тогда

D^ZTr + ^ + YDl,	(4.32)

где X, Y, Z — некоторые искомые функции инвариантов девиатора
напряжений.
Одна из неизвестных функций в правой части зависимости нахо-
дится из условия, чтобы первый инвариант тензора ZT{ -ф ZD0 +
4- YDl был равен нулю, поскольку с левой стороны стоит девиатор.
Отсюда получаем Z = —2У/312.

Таким образом, связь между девиаторами напряжений и дефор-
маций в самом общем виде для любого вида изотропного нелинейного
тела записывается так

А = Wo + Y ]Dl - j I2 (DJ	(4.33)

Опытами установлено, что при простом нагружении имеет место
подобие напряженного и деформированного состояния. В этом случае
между девиаторами деформаций D* и напряжений Da существует
линейная связь

De = W	(4.34)

Уравнения связи (4.34) получили значительное распространение.
При простом нагружении или близком к нему результаты расчетов
по деформационной теории пластичности и теории пластического
течения согласуются;

4)	упрочнение пород в процессе пластического течения описы-
вается единой кривой деформации, в качестве которой может быть
принята одна из зависимостей (4.16), (4.17)' или (4.18).

Эти зависимости могут быть использованы для определения
искомой функции х при упрочнении горных пород.

В предельном состоянии компоненты напряжений удовлетворя-
ют одному из приведенных выше условий предельного состояния,
которое применяется для нахождения неизвестной функции у.
Полные деформации при пластическом деформировании можно
записать в виде суммы пластических и упругих составляющих
ео = е& + ео*, 6 = 6₽ + 0е,	(4.35)

гд: е0-, 6е — соответственно упругие составляющие деформации и из-
менения объема, определяемые на основе закона Гука.

4.2.	Ассоциированный закон течения

В теории пластического течения металлов наибольшее распро-
странение получил ассоциированный закон течения. Зависимости
между напряжениями и скоростями деформирования для этого
закона имеют вид

=	(4.36)

где )~р > 0 — некоторый неопределенный множитель, постоянный для
данных значений компонент скоростей пластического деформирования;
Ф (°«/) — пластический потенциал, в качестве которого может быть
принята функция текучести /(а,/).

При совпадении пластического потенциала Ф и функции теку-
чести f пластическое течение развивается по нормали к поверх-
ности текучести.
Из ассоциированного закона следует, что если функция теку-
чести не зависит от среднего давления, то выполняется условие
несжимаемости. Имеются теоретические построения, обобщающие
концепцию ассоциированного закона течения (4.36) на среды,
обладающие трением и сцеплением. Для условия пластичности
Мизеса-Шлейхера на основе закона (4.36) могут быть построены
зависимости Друккера-Прагера,

е?/ = Хр Га08о- + J— (at7 -	8Д|	(4.37)

2 V Х2 Ша) \	/J

где ао — параметр текучести, который выражается через угол
внутреннего трения.

Из зависимостей (4.37) следует, что скорость объемной пласти-
ческой деформации

6₽ = За0Хр	(4.38)

и является неотрицательной, поскольку а0 > О, Хр > 0. Сопоставле-
ние расчетных (4.38) и экспериментальных значений скорости дила-
тансии грунтов [20] показывает их значительное расхождение.

Применим концепцию ассоциированного закона для описа-
ния пластического течения горных пород с дилатансией. В работе
1201 для описания дилатансии грунтов предложено второе, так
называемое условие предельных скоростей деформаций

е?1 + е22 + езз = X (о, т) (ец — £33)',	(4.39)

где Х(а, t) — некоторая функция.

Для описания скорости дилатансии горных пород второе условие
предельных скоростей деформаций

е?1 + е22 -|- езз — X (с) (е‘j j — £33),	(4.40)

где X (с) — некоторая функция.

Заметим, что с учетом связи (4.3) из условия (4.40) следует за-
висимость (4.39). В общем случае, учитывая условия предельных
состояний горных пород, рассмотренных выше, скорость объемной
пластической деформации

ё₽ = Х[т, Оо, 13 (£>.)! (&-&).	(4-41)

Покажем, что условие дилатансии следует из ассоциированного зако-
на течения. Действительно, из зависимости (4.36) имеем

efi +£22 +е£з = Х Л-4-JLV X =	~ еЬ..	(4.42)

^*11	6’22 *зз/ df__df_	'	’

даи *зз

Тогда из соотношений (4.42) следуют условия дилатансии
(4.40), (4.41), в которых

_ Йап + йа22*йа33
df	df

*11	*33

(4.39),

(4-43)
С учетом выражения (4.43) условие дилатансии (4.40) записывается
в виде

I ip , -V _	1 Г йа22 г Й3зз гр -р \	dd,

£11 + е22 + £33-------------------------IеИ ----£ЗЗЛ	(4.44)

Примем в качестве пластического потенциала условие пластич-
ности (4.2). Тогда условие дилатансии (4.44) можно представить

-р_	Л(1-<_-

2 + Л(1 —с2) *'

(4.45)

При проведении экспериментов показатель вида напряженного со-
стояния с оставался постоянным. Для сопоставления теоретических
и экспериментальных данных проинтегрируем выражение (4.45) по
пути деформирования при начальном условии 0 = 0 и у — 0. Тогда
получим

6Р=	Л(1-<

2+Д(1 —с2) 1

(4.46)

Сравнение теоретических величин пластического разрыхления,
вычисленных по формуле (4.46), с экспериментальными приведено
в табл. 6. Анализ данных таблицы показывает, что между теоре-
тическими и экспериментальными данными имеется качественное
согласие. Для некоторых пород сходимость расчетных и экспери-
ментальных данных в количественном отношении следует признать
удовлетворительной.

Таким образом, для описания пластического деформирования
некоторых горных пород можно признать допустимым использо-
вание ассоциированного закона течения. В первом приближении
пластическое разрыхление некоторых горных пород можно оцени-
вать расчетным путем по формуле (4.46).

Вместе с тем следует признать, что ассоциированный закон
течения неудовлетворительно описывает в качественном отношении
пластическое течение некоторых пород. Теоретические и экспери-
ментальные данные по пластическому разрыхлению калийной соли
(А = 3,2) приведены ниже.

С . 		  .	•	0	0,069	0,116 0,208 0,238
т 10-3	.	. . .	26,57	49.705	41,53 60,45 55,44
X		0,615	0,534	0,484 0,397 0.371
вр (теоретические значения) . .	16,34	26,54	20,10 23,99 20,57
6Р (экспериментальные значения)	11.55	10,01	4.52 5.39 2,31

Анализ этих данных показывает, что между ними имеются ка-
чественное и количественное расхождения. Использование ассоци-
ированного закона течения для описания пластического деформи-
138
Горная порода, значение А	С	710“3	X	RP 10—3 (теоретиче- ское значение)	вр ю—3 (эксперимент тальное значение)
Талькохлорит,	0	0,66	0,5	0,33	0,44
Л = 2	0,069	1,6	0,434	0,68	1,48
	0,116	2,25	0,393	0,88	1,29
	0,178	2,05	0,342	0,7	1,26
	0,233	3,41	0,303	1,04	1,29
	0,322	3,54	0,242	0,85	0,95
	0,407	4,13	0,191	0,79	0,5
	0,510	6,47	0,138	0,89	0,74
Мрамор I, А =	0	1,78	0,759	1,35	1,78
= 6,3	0,069	2,68	0,66	1,76	2,68
	0,116	2,68	0,599	1,605	2,68
	0,178	8,03	0,524	1,4	2,68
	0,232	85,66	0,467	39,98	56,25
	0,313	103,64	0,386	40,08	73,43
	0,405	66,97	0,306	20,57	16,07
Мрамор II,	0	0,74	0,67	0,49	0,74
Л = 4,1	0,069	0,93	0,583	0,54	0,74
	0,116	1,64	0,529	0,87	1,48
	0,178	2,73	0,469	1,14	1,85
	0,232	15,74	0,409	6,44	10,37
	0,321	53,8	0,333	17,79	22,22
	0,408	72,325	0,264	17,79	10,2
Диабаз, А—5,1	0	0,7	0,178	0,50	0,50
	0,068	0,945	0,625	0,59	0,69
	0,116	2,09	0,568	1,19	2,19
	0,182	1,075	0,491	0,528	0,2
	0,227	1,71	0,445	0,76	0,78
ВО песчаник,	0	1,58	0,802	1,26	1,8
Л = 8,1	0,069	4,02	0,698	2,8	4,2
	0,116	6,19	0,634	3,92	4,75
	0,178	4,52	0,556	2,5	3,73
	0,227	4,8	0,5	2,4	0,9
НВО песчаник.	0	2,4	0,777	1,86	2,2
Л=7	0,069	4,4	0,676	2,974	4,0
	0,116	4,0	0,614	2,48	2,4
	0,178	5,5	0,539	2,96	2,6
	0,227	9,8	0,265	2,60	2,2
Песчаник Д-8,	0	1,2	0,756	0,9	2
Л = 6,2	0,069	1,87	0,68	1,27	2,15
	0,116	2,7	0,597	1,61	3,9
	0,176	7,45	0,56	4,172	5
	0,232	12,55	0,465	5,84	8,6
Песчаник Д-12,	0	4,5	0,730	3,28	3,6
Л = 5,4	0,116	3,5	0,581	2,03	3,4
	0,233	11,4	0,423	4,82	5,4
Горная порода, значение <4				ОР 10—3	ОР 10—3
	С	•(10—3	X	(теоретиче- ское	(эксперимен- тальное
				значение)	значение)
Алевролит Д-19,	0	1,95	0,762	1,48	1,2
А = 6,4	0,116	3,95	0,602	2,38	1,6
	0,227	15,63	0,473	7,39	3,07
Аргиллит, Л=3	0	1,6	0,6	0,96	0,8
	0,190	3,93	0,4	1,57	1,85
	0,316	6,07	0,3	1,82	1,77
Песчаник П-0,	0	0,75	0,71	0,355	0,75
А = 4,9	0,069	1,205	0,62	0,74	1,3
	0,116	3,4	0,59	2,00	2,45
	0,178	3	0,49	1.47	2,4
Известняк Д-6,	0	1,6	0,722	1,15	1,1
Л =5,2	0,069	1,8	0,628	1,13	1,35
	0,116	5,05	0,569	2,88	3,21
	0,185	9,11	0,492	4,48	Д21
	0,233	28,7	0,441	12,66	17,8
Песчаник П-01,	0	0,863	0,726	0,626	0,91
Л = 5,3	0,069	2,09	0,63	1,319	2,0
	0,115	1,91	0,512	0,976	1,73
	0,168	2,04	0,451	0,92	1,78
Песчаник П-02,	0	0,92	0,756	0,69	1
Л = 6,2	0,068	2,65	0,659	1,74	2,71
	0,116	4	0,596	2,38	3,71
Песчаник П-03,	0	1,225	0,726	0,885	1,4
Л = 5,3	0,07	3,99	0,636	2,53	2,8
	0,116	3,14	0,573	1,8	1,7
	0,189	5,45	0,489	2,66	2,5
	0,233	5,31	0,443	2,35	1,17
Песчаник П-021,	0	1	0,759	0,759	1,4
Л =6,3	0,07	1,35	0,657	0,88	0,9
	0,116	1,95	0,649	1,26	2
	0,189	3,95	0,513	2,02	2,5
Песчаник П,	0	1,76	0,759	1,34	1,43
Л = 6,3	0,069	2,07	0,66	1,36	2,43
	0,116	3,145	0,6	1,88	2,45
	0,178	8,705	0,53	4,61	5,71
	0,232	8,41	0,47	3,95	4,4
Уголь, Л = 5,8	0	0,510	0,429	0,22	0,57
	0,071	0,315	0,369	0,116	0,18
	0,116	0,325	0,336	0,12	0,17
	0,2	0,350	0,279	0,097	0,1
Уртит, А = 5,8	0	0,485	0,74	0,36	0,64
	0,069	0,79	0,647	0,51	0,83
	0,116	1,845	0,587	1,08	1,2
	0,175	2,025	0,518	1.05	2,1
Горная порода, вначенне А	С	ЦО-3	Л	ОР 10-3 (теоретиче- ское значение)	io—3 (эксперимен- тальное значение)
Фойяит, А =8,8	0	1,33	0,815	1,08	0,56
	0,069	1,23	0,704	0,86	0,95
	0,116	1,36	0,644	0,88	0,62
	0,175	5,25	0,568	2,98	2,69
	0,227	2,51	0,508	1,27	1,5
Диабаз № 5, 7,	0	0,54	0,72	0,38	0,33
А =5,2	0,069	0,27	0,63	0,17	0,12
	0,116	1,59	0,57	0,9	0,85
	0,175	1,86	0,50	0,93	1,12
	0,227	0,74	0,45	0,34	0,25
Диорит Ns 11,	0	0,202	0,72	0,145	0,12
А = 3,5	0,068	1,25	0,55	0,69	0,75
	0,116	2,44	2,44	1,22	1,25
	0,277	1,55	1,55	0,6	0,8
Кварцевый дио-	0	0,675	0,817	0,55	0,6
рит Д-2, А=8,9	0,068	0,855	0,712	0,608	0,51
	0,116	1,165	0,645	0,75	0,8
	0,176	2,75	0,569	1,56	1,9
	0,227	11,935	0,51	5,08	5,87
Песчаник П-04,	0	2,85	0,75	2,14	3
А = 6	0,069	2,22	0,652	1,45	3,6
	0,116	3,91	0,592	2,31	5,87
	0,178	3,9	0,519	2,02	2,1
	0,232	2,59	0,461	1,19	1.4

рования калийных солей требует корректировки результатов, по-
лученных расчетным путем или применения других зависимостей.

Ассоциированный закон неудовлетворительно описывает пла-
стическое разрыхление горных пород и строительных материалов
со значительной пористостью (известняк, бетон, цементный камень
и др.). При пластическом деформировании таких сред, наряду
с разрыхлением, происходит уплотнение, которое не может быть
описано ассоциированным законом. Сравнение экспериментальных
и расчетных величин (4.46) по остаточному относительному изме-
нению объема для бетона, цементного камня и глинистого извест-
няка из эстонских сланцев показало качественное их расхождение.

4.3.	Интегрирование уравнений теории предельного равновесия
при плоской и осесимметричной деформациях *

При определении несущей способности целиков, прочности по-
толочин и горных выработок и решения ряда других практических
задач значительное распространение получили методы горной

Подраздел написан совместно с А. К. Черниковым.
геомеханики. Предельное состояние горных пород при пластичес-
ких деформациях рассматривалось в подразделе 4.1.

Для условий плоской деформации условие предельного состоя-
ния и два уравнения равновесия образуют замкнутую систему,
содержащую три неизвестные сх, оу, тху. Ниже анализируется [27]
основная система уравнений в напряжениях плоской и осесим-
метричной задач теории предельного равновесия при условии пла-
стичности (4.2) и обсуждаются способы ее интегрирования. Отме-
чается, что основным способом интегрирования является чис-
ленный метод характеристик. При плоском деформированном
состоянии условие предельного равновесия иногда удается отож-
дествить подстановкой вида

А | = D + В cos 2<р; тху = В sin 2<р,	(4.47)

где D и В — функции некоторого параметра с; <р— угол между
первым главным напряжением и осью ох.

В этом случае уравнения равновесия могут быть представлены
в виде

(1 + Ф cos 2?) | + Ф sin 2Т g- - 2В (g sin 2Т - g cos 2<р) = X;'

ф sin 2<f £+(1 -ф cos 2?>+2В (йcos 2?+Jsin 2<р)=у’

<ь dBIdD, „ nldD. v v!dD. „ I dD v

где ф = &/йР B = X = X/dP V==YI^'X' ^-массо-
вые силы.

Уравнения характеристик этой системы имеют вид

dy____sin 2? т 1^1 — Ф2

dx cos 2<р -|- Ф

(4.49)

Очевидно, что при | Ф | < 1
болическому типу. Будем в
случай. Положим, что

система уравнений относится к гипер-
дальнейшем рассматривать именно этот

Ф = sin ф.

(4.50)

Тогда уравнения характеристик и соотношения вдоль них для си-
стемы уравнений

dy = dx tg (<р + е);	1

dc Т Я. d,f = ±Xsin-(y±e)Tycos(y±e) ,
COSp т	COS фсоз (<р д: е)	J

где е = тг/4 — <р/2.

Для условия пластичности (4.2)

В = exp (Ac); D = т° exp (Ac) pip С = р;

ф= (1ТС)2-Г= f = ^ехр(Дс)4; (|Ф|<1)
+-А

(4-51)

(4.52)
Поэтому в случае плоской задачи (/=0, у = ч‘> Т—плотность
породы) уравнения переписываются в виде

dy = dx tg (у + е); A ctg tydc + 2d<f>=+-^ exp (—Ле)	(y * dx.

т n	Iy + eJ

(4.53)

При этом

1 = ''ne'4'7 (7-^7 ± cos 2y\ <zXfj = т°ел<: sin 2<p.	(4.54)

ay>	V b	/

Параметр с связан с величиной среднего давления с зависимостью

О 1 + С Ас	/л ГГч

с=тпр777е .	(4.55)

Поэтому
а—т	а—«т

( = е °+т ("лс + tncos2<p)’ = е °+т t,°sin2<p. (4.56)
°и)	'е	'

По аналогии в случае осесимметричной задачи при условии Хаара-
Кармана условие предельного равновесия можно отождествить под-
становкой вида

оЛ

? = D ± В cos 2<р; ае = D zB; txy = В sin 2<р,	(4.57)

azJ

где х = +1.

Тогда уравнения характеристик и соотношения вдоль них основ-
ной системы уравнений осесимметричной задачи теории предельного
равновесия имеют вид

dz = dr tg (<р + е);

de Т dtf = ± в ^1п(У±в) + 81п(ут1 dr

COS Ф T	COS ф COS (f T s) r

(4.58)

 ± x Sin (у T e) У cos (y ± e)
' cos cos (у т e)

При условии (4.2) уравнения характеристик (/ = О, У~^) dz=s
e dr tg (у Т е);

A ctg Т 2d. - ±	rL. т J. х

При этом

xexp(-ZC)c-2|^dr.

г 4	' cos (<р т е)

’’')=,;е^('рЦ+сО52Д

б2)	\1 — с—

trz = ,t°eA;sin2<f>;

rj. / с '
со == тпеЛ; I [777 х

(4.59)

(4.60)
Вторые уравнения из систем (4.53) и (4.59) можно переписать в виде
соответственно

A ctg tydc Т 2d<? = Т exp (—Ac) cos (у + e) ds;
xn

A ctg фde + 2d<? = + -L [x sin (<f> + e) 4- sin (<p + e)] ds =F

+	exp (—Ac) cos (<p ± e) ds,	(4.61)

zn

где ds — дифференциал дуги линии скольжения.

Если допустить, что форма линии скольжения известна, lods/dy
известная функция и <р, тогда дифференциальные уравнения легко
могут быть проинтегрированы. Таким образом, уравнения могут
быть использованы для приближенного интегрирования (способом
Ф. Кёттера) основной системы уравнений плоской и осесимметрич-
ной задач теории предельного равновесия при условии разруше-
ния вида (4.2). Если решение плоской задачи в напряжениях а°,
с°, zxU с граничными условиями Ло, Ро, То теории предельного рав-
новесия идеально-связной невесомой среды известно, причем пара-
метр с = (а — т)/(с4-т) есть величина постоянная, то решение ана-
логичной задачи с граничными условиями А, [3, у теории предель-
ного равновесия при условии (4.2) получается в виде

Лс (0).	Ас (0).	Ас (0)

а* = е 4; а9=е а'9'; тед==е	(4.62)

Проиллюстрируем сказанное на примере. Рассмотрим невесомую
полуплоскость под действием распределенной нагрузки. Пусть на
прямолинейном участке границы вдоль оси ох

= ро, тху = т,°;/0 при у = 0 (р0, /о = const).

Решение этой задачи для идеально-связной среды при условии

40> = р;	и у = 0 (р, t = const)	(4.63)

для всей полуплоскости запишется в виде

(0) _	„ п 01/, Л- -° _

СУ --- Pt ах - Р	г 1	» ^ху —

При этом величина

а поэтому

ох — еЛе (р — 2т0 V1 — /2); Gy = р; txy =	(4.64)

где неизвестные величины р и t определяются из уравнений

еЛср = р0; ел7 = /0.
Некоторого упрощения при решении основной системы уравнений
теории предельного равновесия при условии (4.2) удается добиться
искусственным введением неоднородности. Например, допустим, что»
параметр в условии (4.2) меняется по линейному закону вдоль
радиуса г полярной системы координат г; 6

=	— const-

Положив

= "р-а® (6); ав = уГав”; т,в —	(6),

представим основную систему уравнений плоской задачи теории
предельного равновесия в виде

ла(°)

-^-4°> + 2a<0> = sin6; ±L+3^ = coSe;

1/Z (0)	0\2 . . (0)2 Ло„

У (о; — Об) + 4т)в' = у ехр

^, + аГ+К(а<0)-сН2 + 4<°В’£ /

(4.65)

В случае невесомой среды можно положить

?п = korn,	(4.66)

а напряжения искать в виде

сг = А<°’(6); ав = А(в°’(е); тг0 =	(6).	(4.67)

Тогда основная система уравнений принимает вид

^ + („+1)4">_4»> = 0; ^-’ + (2 + »),» = 0;

> ’)п+°im - И-У" - °ЯЧ ЧТ ) ‘

I. »;°>+-р+И(«™-»!">)’+чт /'”

(4.68)

Системы уравнений (4.65) и (4.68) допускают дальнейшее упро-
щение. Например, отождествим условие пластичности в системе (4.68)
подстановкой

а<°>

= /гоеАс<

г—!- ± cos2<pi ;	= /гое

1 и	/

Sin2<J>i.

(4.69)

Но тогда система уравнений (4.68) примет вид

.	„ de.

A sin 2<р(	4- 2 cos

1 -|“ с«

п cos 2<pi + п 7------------- = 0;

1 — с.

1 - ci + 1“

— cos2<pi

dci Л	\

+	1] 4-nsin2<f>i = 0.

Эти уравнения разрешаются относительно производных.

(4.70)

А

(l-^i)2
Окончательно получим

1 л	1 -Г

п-----sin2yI	-----ID — COS 2с? л

dCj 1—<т____________. ^?1	_ п_ ,	1 —ср__________

<!6 Л(Лсоз2<?|— 1) ’ dO '	2	D cos 2<?j— 1	’

где

Р=(1-с? + 2/Л)/(1-C1)2.

Можно показать, что основная система уравнений в напряжениях
плоской и осесимметричной задач теории предельного равновесия
при условии (4.2) в общем случае неприводима. В случае невесо-
мой среды система уравнений (4.48) при Ф = sin ф может быть,
однако, записана в виде

[lrcos + s) ± sin + s)]cos Ф Т 2В | cos (? + £) +
4-gsin(? + e)]=0.	(4.71)

Введением функций £ = ф — г; = ф + ?. таких, что ф = -If Cl?

J D \С)
система уравнений приводится к виду, в точности совпадающему
с аналогичной системой при условии Кулона [29]

g+gte(T-.)-O-, 2-gtg(? + .)=0.	(4.72)

Однородная нелинейная система уравнений (4.72) приводима,
так как обращением переменных приводится к линейной при усло-
вии, что якобиан преобразования отличен от нуля [29].

Линейная система уравнений, в свою очередь, подстановкой
С. Г. Михлина — В. В. Соколовского сводится к телеграфному
уравнению. Функция Грина для телеграфного уравнения известна,
а это открывает новые возможности интегрирования основной си-
стемы уравнений плоской задачи теории предельного равновесия
невесомой среды способом Л. С. Агамирзяна или Хилла.

4.4. Деформирование горных пород при разупрочнении

Явление наличия остаточной прочности материалов после
достижения предельного состояния известно давно. Вместе с тем
процессы протекания этого явления изучены недостаточно. В раз-
деле 3 приведены экспериментальные данные по деформированию
горных пород в условиях объемных напряженных состояний при
наличии разупрочнения. С помощью статистической модели дано
объяснение механизма протекания разупрочнения.

При выборе уравнений связи между напряжениями и деформа-
циями ограничимся вариантом деформационных зависимостей при
неупругом поведении материалов. В теории пластичности с упроч-
нением и нелинейной теории ползучести устанавливается зависи-
146
мость между интенсивностью касательных напряжений Т и интен-
сивностью Г деформаций сдвига

Т = т (Г),	(4.73)

где Т (Г) — известная функция.

Представляется естественным обобщение зависимости (4.73) на
деформирование материалов с разупрочнением. При разных значе-
ниях а3 имеют место различные ветви деформирования, поэтому
в зависимости нужно учесть влияние компоненты а3

У = У (Г, а3).	(4.74)

Уравнение является одним из определяющих при описании процесса
деформирования горных пород с учетом упрочнения и разупрочне-
ния. При выборе определяющих уравнений можно исходить из связи
между т и у. Тогда уравнение состояния

Т = Т (у, а3).	(4.75)

Заметим, что использование уравнения (4.75) вместо (4.74) в ряде
случаев снижает математические трудности при решении задач.

Выбор функции Т в уравнениях (4.74) и (4.75) можно произ-
вести, основываясь на экспериментальных данных.. Переходя к вы-
бору их, проведем вначале обсуждение возможных аппроксимаций
экспериментальных кривых непрерывными функциями, описыва-
ющими участки упрочнения и разупрочнения. Наиболее естествен-
ным является выбор функции в виде степенного ряда с конечным
числом членов по переменной Г-.

N

т = £ (Йо + 2П («з)1 г«,	(4.76)

Я=1	ш

где Йо — const, й„(с3) — некоторые функции компоненты а3, опре-
деляемые на основе экспериментальных данных.

Значения параметров Йо и число слагаемых N находятся из
условий аппроксимации экспериментальной зависимости «интенсив-
ность касательных напряжений Т — интенсивность деформаций сдви-
га Г», полученной при одноосном сжатии а3 = 0.

Функции Йп (а3) характеризуют влияние а3 на зависимость «У — Г»,
для их определения нужно привлечь семейство экспериментальных
кривых «У — а3» при фиксированных значениях интенсивности дефор-
маций сдвига Г.

Аппроксимация экспериментальных данных полиномом третьей
степени показана на рис. 92, а значения коэффициентов приведены
в табл. 7. Зависимость коэффициентов й0> аппроксимации от
компоненты напряжений сг3 показана на рис. 93. Для аппроксима-
ции экспериментальных данных могут быть предложены и другие
зависимости, в которых учитываются особенности поведения кри-
вых. Построим искомую функцию в виде суммы двух слагаемых,
первое из которых характеризует восходящий и ниспадающий
Рис. 92. Зависимость между интен-
сивностью касательных напряжений
Т и интеисивиостью деформаций сдви-
га Г для гранита:

/ — экспериментальная; 2 — расчетная по
формуле (4.77); 3— расчетная по формуле
(4.76)

Рис. 93. Экспериментальная зависи-
мость коэффициентов аппроксимации
Qj, и Q3 (а), То и Тм (б). Г (в)

ОТ

Таблица 7

Компонента напряжений а8, МПа	Коэффициенты аппроксимации			
	ео1О-1	2,10—1	ег10—1	2,10-*
0	0,12 - 10-3	—7,7 • 10-3	0,12	0,26
50	0,16 • 10-3	—15,5 • Ю~3	0,39	—0,49
100	0,1 • Ю-3	—14,2  10-3	0,53	—0,69
150	0,23 • 10“3	—21,3 • 10-3	0,56	—0,83’
участки экспериментальной кривой, а второе — поведение ее вбли-
зи асимптоты. В качестве такой функции можно принять

kV	г

Т“н^ + 7’"7+Т'	<*•”)

где ₽ — постоянные; п=1, 2, 3, ..k = k (а3), а=а(а3),	=

= Т№ (а3) — неизвестные функции, определяемые на основе экспери-
ментальных данных.

Из зависимости следует, что с возрастанием Г интенсивность
касательных напряжений Т->Т^, Значение Т — является урав-
нением горизонтальной асимптоты. Значение постоянной 0, учиты-
вая, что Г измеряется долями 10~3, можно принять в первом при-
ближении равной р = 1.10~3. Показатель п характеризует степень

крутизны ниспадающего участка
кривой. С увеличением п степень
крутизны возрастает.

Выразим функции a, k урав-
нения (4.77) через координаты Го,
То экстремума экспериментальной
зависимости «Т — Г». Найдем точ-
ку экстремума функции

dT/dT = 0.	(4.78)

Рис. 94. Зависимость Т от Г при раз-
личных значениях показателя и

Определяя отсюда k и внося его
в соотношение (4.77) при Т = То,

получим

Г0Гоо _ т _ g ^Го

₽Н-Г0	°	Р(? + Го)2

(₽ + го)2

(2п-1)Г2«

(4-79)





При известных а, Т„ значение k находится из уравнения (4.78)
при Т = То, Г = Го

(4.80)

Для частного случая Т<* = 0, уравнение записывается в виде

г

Т 2п	го

То — 2п—1	1

1 + 2п—1

(4-81)

Влияние показателя п на характер изменения этой зависимости по-
казано на рис. 94.

Перейдем к выбору зависимостей То, Т№ и Го от компоненты
а3, для чего привлечем экспериментальные данные. На рис. 93 пока-
зана зависимость Го, То, Т^ от а3, полученная в результате объем-
ных испытаний гранита при > а2 = о3.
Для аппроксимации экспериментальных данных можно исполь-
зовать, как следует из рис. 93, функции

То = «о -Ь С!1аз> Та, = Ьо -|- ^1аз> Го = Со + С1О3»	(4.82)

где «о, оц, bo, b\, со, ci, ₽, у, 8—постоянные. Значения этих коэф-
фициентов для данных, представленных на рис. 93, равны:

ао = 85,54 МПа; 0 = 0,788; а{ = 8,24 МПа’-₽; Ьо = 19,65 МПа;
у = 0,80;	= 3,97 МПа1-?; с0 = 6,93-10-3;

Ct = 1,40 МПа-г; 8 = 0,538.

По зависимостям (4.82) вычисляются параметры а и k, как функ-
ции составляющей напряжений а3. Для значений составляющей
а3 = 0; с3 = 50 МПа; с3 = 150 МПа по вышеприведенным формулам
вычислены параметры a, k, и построены расчетные и экспери-
ментальные зависимости Т —Г (см. рис. 93).

Из сравнения результатов следует, что предложенная зависи-
мость удовлетворительно описывает экспериментальные данные на
восходящем и ниспадающем участках кривой деформирования. Из
зависимостей следует, что с возрастанием а3 увеличиваются То, Тх,
Го. Заметим, что при гидростатическом давлении а( = а2 = а3 горные
породы деформируются упруго. Следовательно, с увеличением а3
ниспадающая ветвь кривой деформирования будет уменьшаться и
при некотором значении а3 будет отсутствовать.

Предложенные уравнения состояния описывают полную кри-
вую деформирования Т—Г. Во многих случаях для решения
практических задач можно ограничиться кусочно-линейной или
кусочно-нелинейной аппроксимацией. Наиболее простой является
кусочио-линейная аппроксимация. Для случая четырех участков
уравнения связи между т и у могут быть записаны так:

С|,т;(при 0 < у < -	°з))

/|(оь Оз) (1 —(А

(прим^д)<1<

\	1	^2 /

т = L ,	, М\ „	(4.83)

fcfci. °з) (1 +

/ fi , f2~fi h fz~/з\

(ПРИ Gf + G2 <T<G2 + М )

/з(а1, а3); (при т =	+ А-23),

где Gi, G2, М—соответственно модули сдвига и модуль спада для
первых трех участков аппроксимации.

150
В точках излома прямых компоненты напряжений удовлетво-
ряют условиям пластичности, которые могут быть записаны соот-
ветственно

т = /1(аь а3); т=/2(а1, <*)', т=/з(аь а3),	(4.84)

где fi, ft, f3 — известные функции.

В качестве их могут быть использованы наклонная прямолиней-
ная, экспоненциальная, параболическая, гиперболическая и другие
огибающие кругов главных наибольших напряжений. При аппрок-

Рис. 95. Огибающая кругов Мора
для гранита:

/ — в точке максимума иа пределе проч-
ности; 2 — на пределе остаточной проч-
ности? 3 — экспериментальная; 4 — экспо-
ненциальная зависимость; 5 — линейная
аппроксимация

симации экспериментальной кривой тремя ломаными уравнения
связи могут быть записаны в виде

Г I' О	°з)\

Git; (при о < т < —'

h (а., °з) (1 + щ) - AfT; (при	< Т <

т==	< М°*>°з) , f /1 , i\\	(4-85)

< м + '2 (лГ + I

/1	1 \	/з(°1» аз)\

/з (аг, аз): (при т > /2 (аь а3) (— + —)------.

По аналогии с зависимостями (4.83) и (4.85) могут быть записа-
ны уравнения связи между т и у для пяти и более участков аппрок-
симации. Аналогичным образом записываются уравнения состояния
при связи между Т и Г. Представляет интерес конкретизация усло-
вий пластичности. На рис. 95 показаны экспериментальные зави-
симости между т и а = (oi + а3)/2 и аппроксимация их прямоли-
нейной

т = sin р(с k ctg р)	(4.86)

и экспоненциальной

/з

г = ?°е °'	(4.87)

огибающими, где k, р, т,°г, А — параметры. Значения их в точке
максимума равны k = 48,2 МПа; р = 34°;	= 82 МПа; А — 11,4,

151
а на участках с остаточной прочностью k = 6,03 МПа; р = 34°;
тп = 17,5 МПа; А = 10,4. Сопоставление результатов показывает,
что экспоненциальная зависимость лучше аппроксимирует экспери-
ментальную зависимость.

Наряду с кусочно-линейными для аппроксимации эксперимен-
тальных данных могут быть использованы кусочно-нелинейные за-
висимости, имеющие горизонтальные асимптоты. При использова-
нии для аппроксимации степенной и гиперболической функции,
уравнения связи между т и у можно записать в виде

Му-; (при 0<у< '2

[fzfci, а3) — /3(аь а3)] -2	- + /з (<?1, а3)

/"г (с1- дз)\

где М, т, а — параметры аппроксимации.

°3

м1'т

/з (°ь аз) + [/г (оь аз)—/з(аь a3)J е
/ ^/т(аи °з)\

(4 88)

(4.89)



Для аппроксимации экспериментальных данных возможны
также различные комбинации линейных и нелинейных зависимо-
стей, соответствующие уравнения связи для которых на основании
вышеизложенного могут быть легко написаны.

Деформирование горных пород на пределе прочности и вблизи
него сопровождается необратимым увеличением объема. Остаточ-
ное изменение объема горных пород носит, по-видимому, в основ-
ном сдвиговой характер. Для описания явления дилатансии при
необратимых деформациях на ниспадающих участках предложено
второе предельное условие.

6P = eP(y, as).	(4.90)

Функция ф в общем случае является нелинейной. Для ее аппрок-
симации могут быть предложены различные зависимости. В пер-
вом приближении при кусочно-линейной аппроксимации условие
(4.90) записывается так

е₽ =X(a3)y + Xi(a3).	(4.91)

Функции X (а3), Х[ (а3) в первом приближении также будут линейными

X (а3) = Хга3 Х3; Xj (а3) = Х4а3 -ф- Xg,	(4.92)

где Х2, Х3, Х4, Х5 — постоянные величины.
Аналогичным образом записывается условие дилатансии, если
вместо у ввести интенсивность деформаций сдвига

6Р = еР(Г, а3).	(4.93)

Таким образом, соотношения (4.74), (4.93) или (4.75), (4.90)
обобщают экспериментальные данные и являются уравнениями со-
стояния при деформировании пород с разупрочнением.

Перейдем к обобщению уравнений. Выразим главное напряже-
ние аз через т и с. Из наибольшего касательного напряжения сле-
дует

а3 = 2тс/(1 — с).	(4.94)

Тогда соотношение на ниспадающей ветви и условие дилатансии
записываются в виде

т = т (у, с) и ер = 0р (р, т, с).	(4.95)

Учитывая связь (4.11), соотношения (4.95) могут быть представлены

т = т (у, ао, I3 (Da))	(4.96)

и

ер = GP (т, а0, I3 (Da)).	(4.97)

Аналогичным образом могут быть записаны уравнения состояния

Т = Т(Г, ао, 1з(£>о)),	(4.98)

ер = 6Р (7, со, 13 (Оо)).	(4.99)

характеризующие поведение горных пород при разупрочнении.

Проведенные выше уравнения состояния написаны для случая,
когда в качестве меры упрочнения принята величина достигнутой
интенсивности деформаций сдвига Г или наибольшего сдвига р.
Вместе с тем упрочнение горных пород может быть описано с помо-
щью единой кривой пластической деформации (4.16), в качестве
меры упрочнения может быть взята работа пластической дефор-
мации и использованы другие параметры.

В общем случае в качестве меры упрочнения будем принимать
некоторый параметр g, характеризующий предыдущую пластиче-
скую деформацию. Тогда уравнение состояния, обобщающее соот-
ношение (4.73), определяется зависимостью

1	T = T(g).	(4.100)

Разупрочнение горных пород на ниспадающих ветвях кривых
деформирования- согласно приведенным экспериментальным дан-
ным характеризуется величиной наименьшей компоненты о3- С уве-
личением и3 кривые выполаживаются и степень разупрочнения
снижается.

В общем случае в качестве меры разупрочнения примем неко-
торый параметр и. Тогда уравнение состояния горных пород при
деформировании, обобщающее соотношение (4.75)>, может быть за-
писано в виде

T = T(g, ш).

(4.101)

153
В частности, в качестве меры разупрочнения может быть приня-
та величина 6Р остаточной пластической деформации. В этом случае
связь (4.101) имеет вид

Т = Т (g, 0₽).

Условия предельных состояний (4.84) будут содержать параметр
ш разупрочнения и записываться в форме

Т — /1 (сь а3, <!)); т = /2 (<ц, а3, и>); т = f3 (ab а3, о).

Взаимосвязь задач теории предельного равновесия с разупроч~
нением и неоднородной теории пластичности. В неявной форме
учет разупрочнения горных пород возле выработок производился
путем введения переменных прочностных характеристик в прикон-
турной области [40]. Представляет интерес выявление этой связи
в общем случае. Ограничимся для простоты случаем аппроксима-
ции экспериментальной кривой деформирования тремя участками
ломаной.

Уравнение состояния на ниспадающем участке запишем в виде

С1 — а3 = sin р (а! + а3 + 2А ctg р) — 2М (у — уД (4.102)

где у* —значение у на пределе упругости.

Предельное состояние породы на горизонтальных участках
кривой деформирования может быть описано условием Мора

°1 — а3 = sin р (а! + а3 + 2/г0 ctg р),
где ft о — остаточное сцепление.

Перепишем условие (4.102) в виде

(а* — а^) -J- 4тЛ# = sin р (аЛ -|- ~у 4~ 2k ctg р) 4*

+ 2М (ь -	(4.103)

Тогда с учетом соотношения (условие соосности а(;- и et;j

<4-104)

1ху

условие (4.103) можно записать в виде

,<7------.о , а—'	sin о .	,	. . 2(k cos р + М-гл

V (^ — ^у)2 + 4т^ = (ах + оу) + -А-------------1*',

/д = 1 + М = 1 4- 2М	(4.105)

\	Хху	~х °у/

Условие (4.105) можно представить так:

V (а* — ай)й 4- 4т2у = sin р* (аЛ 4- ау 4- 2/г* COS р Д	(4.106)

где

sin р* =

sin р.

~А~’

/? COS р 4- M-f*

± V А2 — sin2 р
Заметим, что соотношение (4.102) на ниспадающем участке яв-
ляется условием пластичности в неоднородной теории пластичности.

Рассмотрим горную выработку круглого поперечного сечения,
находящуюся в условиях плоской деформации. В этом случае задача
сводится к нахождению напряжений и перемещений в бесконечной
плоскости с отверстием, по контуру которого приложены усилия
сг — р, т,в = 0, а на бесконечности ах = <зи = где Н — глубина
заложения выработки; у — средняя плотность толщи пород.

Учитывая зависимости

Е,

du

dr'

условие (4.91) можно записать следующим образом:
du и ./ и du \

d7 + - = A(-—Й?)+Ль	<4J07)

где Л, Л[—постоянные.

Общее решение уравнения (4.107) имеет вид

Л.

и — с\г л+* 4- -у г,	(4.108)

где Ci — произвольная постоянная. Найдем из (4.108) значение

= 2 с*

Т 1 + А г2/(14-Л)

и внесем его в условие (4.102)

°е — cr = Sin р (а, + ав + 2k ctg р) + 2Л4Ь — -j-j-j ~^(1+А~
Введя обозначения

1 nMci	2

k* = k 4---—; ki =------; n — , , 

COS P	COS P	1 + Л

запишем условие пластичности (4.110) так:

ае —Or = sin р Га, 4-ав 4- 2 [k* — ctg pl.

(4.109)

(4.110)

(4.1Н)

(4.112)

Заметим, что учет ниспадающей ветви в зависимости между т
и у приводит к неоднородной упруго-пластической задаче [40] о рас-
пределении напряжений вокруг горной выработки. Таким образом,
пластическая неоднородность в неявной форме учитывает ниспа-
дающий участок кривой деформирования.

Компоненты напряжений в пластической зоне около горной вы-
работки имеют вид

аг = Qra — k* ctg р 4-

2Л, cos р i i

I — sin p a 4- n rn ’

Tre = 0;

CB = Q *+S1‘np /«---p* c[g p _]_

1 — sin P	Srl

2k{ cos P 1 _ n 1

1 — sin P a 4- и fn’

(4.113)
где

1 — sin р’ **	" ’т’ 1 — sin р (a a-j-п/

Радиус области неупругих деформаций г0 находится из уравнения

2rctgp+2^ = Q(2 + a)ro-2T^|^^.	(4.114)

Перейдем к нахождению постоянных Ci и у*. В упругой зоне
компоненты напряжений известны

св = уН (1	аг — уН ^1---trQ =? 0,	(4.115)

где Pi — произвольная постоянная.

Значение pi найдем из условия (4.102) при М =0, которому
удовлетворяют напряжения при г = г0 (4.115). Дополнительное пе-
ремещение на границе пластической области равно

(4.Н6)

где Е, v — соответственно модуль упругости и коэффициент Пуас-
сона.

Значение произвольной постоянной су найдем из равенства пере-
мещений (4.108) и (4.116) на границе пластической зоны

ci = Цр sin р (уН + k[ ctg р) го — -у г«-	(4.117)

Для определения у* заметим, что на границе пластической зоны
напряжения удовлетворяют закону Гука

ое — a, = 2Gy,	(4.118)

где G — модуль сдвига.

Учитывая соотношения (4.115) и (4.118), из уравнения (4.110)
получим

* fl I G S™1 sin р (7//+ft* ctg р)

7 ~ 11 ~r At )	At

Из постановки задачи следует, что предложенные
симости имеют место, если

се — > 0.

Используя формулы (4.113), условие (4.120) можно
так:

/ 2cos р 1 п ctg р 1 \ ,	2cos р ft*

\1 — sin р а -|- п а ф- п а ф- 2/ 1 Р ' I — sin р а *

Таким образом, решение задач о предельном состоянии с разуп-
рочнением горных пород и сред при плоской деформации может
быть сведено к рассмотрению соответствующих задач для плас-
156

(4.119)

выше зави-

(4.120)

представить

(4.121)
тически неоднородной среды. Это позволяет с помощью методов
неоднородной теории пластичности учесть разупрочнение горных
пород на ниспадающих ветвях кривых деформирования.

К решению задач теории предельного равновесия с разупроч-
нением вариационными методами (написано совместно с В. В. Бе-
ляевым). Вариационный подход к решению задач механики гор-
ных пород получил в настоящее время значительное распростра-
нение. В ряде работ с помощью метода конечных элементов
рассматриваются решения нелинейных задач механики сплошной
среды. Как известно, для применимости вариационного метода
необходимо выяснение условий существования экстремума функ-
ционалов.

Для горных пород с помощью экспериментов па жестких прес-
сах получены полные диаграммы деформирования, имеющие вос-
ходящие и ниспадающие ветви. На восходящих участках зависи-
мости «интенсивность касательных напряжений Т — интенсив-
ность деформации сдвига Г» и в предельном состоянии Т= const-
выполняется неравенство dT/с?Г^0. При его выполнении по-
тенциальная энергия системы при истинных деформациях дости-
гает минимума. При разупрочнении dT/dV<S) в запредельной
области вопрос о существовании экстремума остается открытым.

Для решения задач теории предельного состояния с разупроч-
нением представляется перспективным использование вариацион-
ных методов, однако вопрос об их применимости в запредельной
области деформирования среды остается открытым.

Схема применения вариационных методов к решению двумер-
ных задач теории пластичности может состоять в следующем.
Область s, занимаемая телом, дискретизируется конечными раз-
ностями, в результате чего энергия системы может быть записана
в виде

П = И 5-ds + И £Tds - Е, (4.122)
(S) С	(S)

где kc — модуль объемного сжатия; 6 — объемная деформация; Е —
работа внешних сил заменяется дискретным аналогом [ 12].

Отыскание значений \иу,	минимизирующих дискретный

аналог энергии системы (4.122) можно провести путем прямой ми-
нимизации, используя метод локальных вариаций [44].

После нахождения перемещений с помощью диаграмм дефор-
мирования (см. рис. 97) можно выделить области допредельного
и запредельного состояния с разупрочнением.

Необходимым условием того, что минимум (4.122) достигается
в точке (u°, v°) является

8П (и0, о°) == 0; 82П (ы°, п°) > 0.

(4.123)

15?
В явном виде [12] вторая вариация выглядит следующим обра-
зом:

8*Л (uv) = j J {г2(8ех, 8e„8W)+	+ &-^jds. (4.124)

Введя обозначения

,	• dT л,	dT

А = min з=-; М = — max

Cl

= max Г;

*L>o
dr '

с2 = min Г
^<о
dr

и учитывая то, что первое слагаемое неотрицательно [12], получим
следующие оценки для 82П(н, о):

82П (uv) > J J ^3! Ads_ [ j Q^Mds > D (8м, 8ц) X
(SJ 4r	(S,) 4r

Zp.(s,) Мц (s2)

(Sl)

,2

C2

где £)(8м, 8o) = max [8Г2]2 > 0; Si, s2 — области допредельного и
запредельного состояния соответственно; р. (si), р- (s2) — площади этих
областей.

Учитывая равенство (4.125), запишем необходимое условие (4.123)
так:

Неравенство (4.126) позволяет оценить результаты, полученные
приближенными методами. Если площади p-(Si), p.(s2) областей до-
предельного и запредельного состояний не удовлетворяют неравен-
ству (4.126), то можно утверждать, что применение данных мето-
дов неправомерно. В случае выполнения равенства (4.126) вопрос
о применимости метода нуждается в дополнительном исследовании.

Заметим, что нахождение р. (si) и p.(s2) в аналитическом виде
является сложной задачей, поэтому для оценки p-(s2) можно вос-
158
пользоваться опытными данными или решениями, получаемыми из
модельных задач.

Рассмотрим ряд модельных задач для целика, сжатого кров-
лей и почвой (рис. 96). Длину целика обозначим через 2Z, высоту
через 2а, давление на верхней и нижней гранях примем равными
Р. Будем считать, что проскальзывание на поверхности контакта
целика и массива отсутствует. В силу геометрической и силовой
симметрии достаточно рассматривать */4 целика (см. рис. 96, а).

Среда с упрочнением. В случае упруго-пластической модели
при условии пластичности Мизеса (рис. 97) связь между дефор-
мациями и напряжениями имеет вид

(6Г (при Г < Гр)

» = 3^; 7 = |То (приГ>Гр)	(4.127)

Рис. 97. Зависимость между интенсивностью касательных напряжений Т и ин-
тенсивностью деформаций сдвига Г:

°— кривая деформирования (/—участок упрочнения; // —участок разупрочнения; /// —
участок остаточной прочности)} б — упруго-пластическая модель} в — модель среды с разу-
прочнением

а потенциальная энергия системы выражается равенством (4.J22),
в котором

Gr2/2	(при Г < Гр)

г(Г)~ 1СГ2/2 + 7о(Г —Гр) (прйГ>Гр); (4’128>

i

Е = f Pv (х, a)dx.	(4.129)

Выбрав Л4, 2V, строим равномерную прямоугольную сетку, коор-
динаты узлов которой Xi = illM\ yj~jalN-, (i = 0, 1........ М; j =

= 0, 1, ..., AZ). Обозначим через м,/; vi/ вертикальные и горизон-
тальные перемещения в (Z, /) узле, сведем задачу к нахождению
{«//п(/}/=о, /=о, которые минимизируют функционал

М—1 N— 1 Г	е2 1	N— 1

П(м, п)= s S к(Го) + т^ РЛ-Е PViNhx, (4.130)
i=0 /=0 L	0/7cj	i=0

где

/р V. — “<+». /+1 + “Ж. / ~ Ui. Ж ~ Ul, i. е _ z X , Z X .

(Мй-----------------— (£*)«7 + (£мй>
™ ~ ----------- ~2hu	’ hx~~M' П“~ N*

, \ _	/'+ + ui. /+i ~ “<+i. /~ ui. I ।

W</-------------------f

i ^+1. 7+1 + PH-1. i ~ г»7+' ~ VU .

"T"	2hx

^ij — "з l(ex)»7 + (e</)i7 — (ел)о + (Tx«/)1;

Puc. 98. Развитие областей пластического (а) и запредельного (б) состояний
с увеличением нагрузки р

м удовлетворяют ограничениям

«о, / = 0, (/ = 0, 1, ..N); Vt, о = Ui (i = 0, 1, .... М). (4.131)

Решение производилось методом локальных вариаций при сле-
дующих значениях параметров; / = 2а; E/Tq = 103; ч = 0,3; N = 16;
М = 16.

Развитие пластических зон при росте нагрузки Р показано на
рис. 98. Совпадение геометрии зон с известными решениями, по-
строенными другими методами, подтверждают удовлетворительность
выбора /И, Заметим, что поскольку в данном случае в зависи-
мости Г — Т нет ниспадающих участков, то неравенство (4.126)
заведомо выполнено.
Среда с разупрочнением при наличии ниспадающего участка.
В этом случае связь между деформациями и напряжениями имеет
вид

п п, _ ( 6Г (при Г < Гр)

= з еа0; Т = (Г _ Гр) + То (при г	(4.132)

Потенциальная энергия системы выражается равенством (4.122), где

(	GP/2	(при Г < Гр)

ё \GV2p/2 + (Г - Гр) [То + М/2 (Г - Гр)] (при Г > Гр), (4.133)
М — модуль спада.

Выбрав прямоугольную сетку как в предыдущей задаче, мини-
мизируем потенциальную энергию системы при тех же ограниче-
ниях (4.131). Получив значения и и v в узлах, строим зоны допре-
дельного и запредельного состояний (см. рис. 98).

Решение производилось при следующих значениях параметров!
I = 2а; E/Tq= 103; v = 0,3; М = 16; N ~ 16; М = —G/5 и нагруз-
ках р = 2,О5То; р — 1,85Т0; р = 1,7570.

Заметим, что в данном случае неравенство (4.126) может быть
представлено в более простом виде, поскольку Ci = сг,

Gp (s.) + Мр (s2) > 0 или	(4.134)

Из соотношения (4.134) следует, что если отношение площади
области упругих деформаций к площади области запредельного
состояния меньше V&» то полученное решение не может быть при-
знано правдоподобным. Анализ результатов расчетов показывает,
что при нагрузке р=2,05 То неравенство (4.134) не выполняется,
а при меньших нагрузках оно имеет место.

Следует отметить, что приведенные выше оценки для обоснова-
ния применимости вариационных методов могут быть обобщены
при решении объемных задач.

4.5. Решение некоторых геомеханических задач
теории предельного равновесия

Основная система уравнений в напряжениях плоской и осесим-
метричной задачи теории предельного равновесия допускает неко-
торые точные простые решения, которые, в силу гиперболичности
системы, могут быть использованы как составная часть более
сложных задач.

Расчет прочности системы «целик — кровля — почва» по несу-
щей способности кровли или почвы. При разработке методов рас-
чета неоднородных целиков в сложных массивах необходимо
рассматривать взаимодействие системы «целик — кровля — почва».
Расчет несущей способности такой системы производится по сла-
бому элементу, в качестве которого может быть целик, кровля или
почва 1271. Рассмотрим несущую способность этой системы, если
в качестве слабого элемента может быть кровля или почва. Целик
6 4-497'	161
в этом случае можно моделировать жестким штампом. Тогда зада-
ча о несущей способности системы «целик — кровля — почва» сво-
дится к задаче о внедрении жесткого гладкого штампа (целика)
шириной В в невесомую однородную полуплоскость (кровлю или
почву). Рассматриваемая задача является плоской задачей теории
предельного равновесия с граничными условиями

= <?;	= 0 при у = 0, х > О,

ххи = 0 при у = 0, 0 < х < 2В,	'	'

где q — нагрузка. Поскольку имеет место гладкий штамп, на плос-
кости ху (слева от оси симметрии) будем различать области пре-
дельного равновесия ОД0^Г, О А1А2; ОА2А3. Компоненты напряжений
в предельной области удовлетворяют условию (4.2). Тогда уравне-
ния характеристик имеют вид

dy = dx tg (? + е); A ctg tydc + 2dy> = 0.	(4.136)

Значения компонентов напряжений определяются по формулам
(4.56). Из граничных условий с учетом зависимостей (4.56), (4.136)
следует: в области OA3Ai <р = 0, а величина с == Со определяется из
уравнения

с0 = 4- ~ (1 — с0) ехр (—Л Со);

в области радиального сдвига OAiA? величина с определяется из
решения задачи Коши дифференциального уравнения

de 2 , . ,.
^ = -7-tg<Hc)

на интервале |0, с начальными данными с(0) = Со’, в области

(М2Д3 угол v

Окончательно отдельные результаты численного решения задачи
в виде безразмерного среднего предельного давления на штамп р/т®
при различных значениях А и q/z„ приведены в табл. 8.

Аналогичным образом была рассмотрена задача о разрушении
цилиндрическим жестким гладким штампом (г < /?) невесомого од.

ТАБЛИЦА 8

А	Р/Тп ПРИ значениях						
	0	0,1	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0
3	11,56	12,38	13,09	14,32	15,36	16,31	17,22
4	14,17	15,41	16,45	18,21	19,75	21,10	22,28
5	16,98	18,75	20,19	22,61	24,63	26,48	28,13
6	20,00	22,40	24,36	27,49	30,23	32,54	34,68
7	23,25	26,41	28,87	32,90	36,31	39,29	42,00
8	26,71	30,75	33,89	38,97	43,07	46,75	50,09
9	30,40	35,46	39,33	45,51	50,49	54,95	59,00
нородного полупространства (z>0) при условии (4.2). Предпола-
галось, что условие Хаара-Кармана также имеет место.

Окончательно отдельные результаты численного решения зада-
чи в виде безразмерного среднего предельного давления на штамп
р/т“ при различных значениях А и <7/т° приведены в таблице 9.

ТАБЛИЦА 9

р/т® при значениях <//т®

1.0

3,0	14.92	15,80	16,56	17,86	18,97	20,00	20,98
4,0	19,06	20,42	21,58	23,54	25,25	26,74	28,03
5,0	23,76	25,79	27,44	30,24	32,52	34,58	36,53
6,0	29,05	31,80	34,33	37,94	41,19	43,90	46,41
7,0	34,97	38,85	41,88	46,81	50,98	54,59	57,86
8,0	41,54	46,66	50,64	57,06	62,18	66,81	70,97
9,0	48,80	55,42	60,45	68,51	74,97	80,70	85,88

Для условия (4.2) удается построить решение задачи, когда
усилия действуют на всей границе полуплоскости (полупростран-
ства).

Рассмотрим весомую полуплоскость под действием распреде-
ленного давления. На прямолинейном участке границы вдоль оси
ох приложены усилия <ju=p; ixy=t, где р и t=const. Тогда ос-
новная система уравнений в напряжениях допускает решение

= Р + W

Сх = т°Гехр (АС) \ f ехр(2Ас) —’

где с определяется из соотношения



Решение справедливо при условии

При

|/| < exp (AC).

этом линии скольжения — кривые вида

х —

f tg е dy = const,
J tgcp±tge

где

tg¥ =



; tge

. Ф	sin Ф	.

lgf = -—7л—	-2-; sm^ =

z i + V i - sin-fy

(1 —

(4.137)

6*

.	2	2 ‘

*-с + А

163
Рассмотрим весомое полупрос транство под действием нормаль-
ного равномерно распределенного давления (осесимметричная зада-
ча). На поверхности z = 0 полупространства z < О имеют место
напряжения ог = р = const; = 0. Тогда основная система уравне-
ний осесимметричной задачи теории предельного равновесия допу-
скает следующее решение:

ог = р + yz; хгг = 0; ое = ог;

or = ехр (Де) ± 1)
где с определяется из соотношения

\ /

При этом линии скольжения — кривые вида

z	1

р + 4

r ± I -----77 dz — const.

J ‘-м-
о

где tgy определяется из уравнений (4.137).

Упруго-пластическое распределение напряжений в монолитной
кольцевой крепи. Рассмотрим вначале задачу о распределении плас-
тических напряжений вокруг кругового отверстия радиусом г = R,
находящегося в условиях плоской деформации, на контуре которого
при г = R заданы усилия ar =s р и -м = t. Тогда основная система
уравнений плоской задачи теории предельного равновесия допу-
скает такое решение

се = т°(е^^±Р);

При этом величина с определяется из решения задачи Коши диф-
ференциального уравнения

<{е-1±_‘тЬ}тМ = о

при начальном условии с(7?) = Оо, где со — величина, определяемая
из соотношения

В частности, при t =•= О

°о = i	м 35 $	< °" °'’00 0)
либо

°r = 2т°	; се = 2т°	; м = 0; (о, < О0).	(4.140)

При этом величина с определяется из выражения

А (с — со) + A In I 1 4- р-1— _ —L- = In у (О0 < ог)

либо

=-Ь|. (»<«•).

где со определяется соответственно из уравнений

Теперь рассмотрим крепь в виде цилиндрической трубы, нахо-
дящуюся под действием внутреннего усилия р, представляющего
собой гидростатическое давление от глинистого раствора для ство-
лов, проводимых способом бурения и внешнего q давления — на-
грузка на крепь. Обозначим внутренний радиус крепи через R, а
внешний — Ь. Будем считать, что крепь находится в условиях
плоской деформации.

Начальное упругое состояние описывается формулами Ламе.
Под действием усилий р около внутреннего контура образуется
пластическая зона радиусом d.

В упругой области компоненты напряжений

О/- = ? + с2^1 —	ое = q + c2fv-|-	(4.141)

где с2— произвольная постоянная, определяемая из условий не-
прерывности напряжений на границе раздела упругой и пластиче-
ской областей.

Радиус пластической области

d = j/^b2 ^“еЛе — д] + еЛс»

где постоянная Ci находится из уравнения

с2 = ^Ae,r~—Q-
I — с.

Значение с? равно

(4.142)
Рассмотрим предыдущую задачу при условии, когда напряжения
в пластической области вокруг кругового отверстия описываются
зависимостями (4.138).

В упругой области компоненты напряжений аг, а6 имеют вид
(4.141), а значение касательной составляющей

d2

м = с3 -=•,
Г

где Сз — постоянная, определяемая из условий непрерывности на-
пряжений на границе раздела упругой и пластической областей.
Значение величины Ci на границе пластической области нахо-
дится из уравнения

в котором постоянная

и является радиусом пластической области.

При проведении расчетов вначале находится численным путем
решение уравнения (4.143), а затем вычисляется значение d.

Постоянная с2 определяется по формуле (4.142), а

П рогнозирование перемещений контура выработки с учетом
дилатансии пород в предельной области. Рассмотрим задачу о на-
пряженно-деформированном состоянии массива вокруг выработки
кругового очертания. Постановка ее сводится к исследованию рас-
пределения напряжений и перемещений в бесконечной плоскости

с круговым отверстием, по контуру которого приложены усилия
Ог—р и тГ1р=0. На бесконечности плоскость сжимается усилием
ог^]Н, где у —средняя плотность; И — глубина заложения выра-
ботки.

Радиус области неупругих деформаций для условия пластич-
ности вычисляется по формуле

/ 2А____________

2	—In kyll/^n

(4.144)
-2

р = 2^1--_

a k является корнем уравнения

ЛХ~к 1гЛД

А I + k ~ in то •

п

л-In 21

При определении перемещения в пластической области пренеб-
режем в условии дилатансии упругой составляющей. Тогда эго
условие может быть записано в виде

jy+y = еоеЛ,с (1—2^ е-Гс).	(4.145)

Перемещение контура выработки может быть найдено из урав-
нения (4.145) путем интегрирования и соблюдения условия непре-
рывности перемещений на границе раздела упругой и пластической
сред
kr2	г«

и = (1 4- v)-^TW — ЯоМ еЛ1с0 — 2|ioe-r‘)rd/-,	(4.146)

где /?о — радиус выработки.

Интеграл в выражении (4.146) может быть найден численно с
учетом связи между сиг

е2Ас (А-Ас)2А '

Определим пластическую зону и перемещения контура горной
выработки, расположенной в известняке, при следующих исходных
данных: Н = 1200 м; А = 5,2; р = 0, х° = 3 МПа; р.о = 1,22; ~Т =
= 1,05; М = 12,1; е0== 0,587.10-3; /б.= 2 м; Е = 2,7-104 МПа; v = 0,5.

Согласно формуле (4.144) радиус пластической зоны равен го =
= 2,2Цо. Перемещения контура горной выработки, вычисленные
без и с учетом дилатансии, соответственно равны и = 0,84 см и
и = 8,5 см. В данном случае дилатансия пород увеличивает пере-
мещения контура примерно в 10 раз.

5.	ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ
ГАЗОНАСЫЩЕННЫХ ГОРНЫХ ПОРОД

5.1.	Условия предельных состояний газонасыщенных
пористых горных пород

При горных ударах, выбросах угля, соли и газа происходит раз-
рушение газонасышенных массивов горных пород. В настоящее вре-
мя прочность и разрушение горных пород изучены в определенной

167
степени для однофазных сред, т. е. без учета влияния газового
фактора. Исследование процессов деформирования и разрушения
пористых газонасыщенных пород имеет большое значение для
выявления закономерностей формирования и протекания динами-
ческих проявлений горного давления, механизма разрушений в
земной коре при землетрясениях и т. д.

Уравнения предельных состояний. Перейдем к рассмотрению
предельного деформирования газонасыщенной пористой среды,
считая вначале фильтрацию газа отсутствующей. Насыщенную
газом пористую среду с точки зрения механики сплошной среды
можно рассматривать как двухфазную. Одной из фаз является газ,
а другой — твердые частицы скелета. При этом все пространство
элементарного макрообъема заполнено двумя сплошными средами,
которые проникают друг в друга. В пористых средах микрочастицы
уложены случайным образом, поэтому в элементарном макрообъе-
ме Д1/=ДХ|%2Ахз имеют место случайные тензорные поля. Струк-
туру двухфазной среды можно Характеризовать с помощью неко-
торой случайной функции

/(2Иш) = X (Мш),

где М (х{, х2, х3) — произвольная точка макрообъема ДУ; ю— харак-
теризует выбор объема ДУ из множества реализаций <о подобных
объемов ДУш. Пористость среды может быть определена на основе
осреднения по объему ДУ

п (ш) = Xv (<о) = -1- j X (Mu)dM.	(5.1)

Усреднение может быть выполнено по объему ДУ или плоскости
AS. Для однородных сред имеет место эквивалентность усреднения
по объему и плоскости. Будем рассматривать в дальнейшем масси-
вы газонасыщенных пород в виде однородных изотропных сред.
Для оценки пористости двухфазных сред в теории фильтрации
нашла распространение модель среды в виде шаров одинакового
размера, для которой расчетом может быть найдено значение
пористости. Наиболее плотной упаковкой является «ромбоэдриче-
ское» расположение шаров, при котором пористость [24]

n = 1 — Я ]Л2/6 0,26.

При кубическом расположении шаров, когда их можно считать
вписанными в кубическую решетку, пористость среды будет больше
и составит

п = 1 — тг/6 ~ 0,476.

При «тетраэдральной» упаковке, когда четыре шара размеща-
ются в вершинах тетраэдра, пористость среды равна 0,66. Нужно
отметить, что построены более разреженные упаковки с большей
пористостью [24].

Построение уравнений состояния твердой фазы для двухфазной
среды осложняется наличием двух систем напряжений, одна из
которых представляет гидростатическое сжатие сплошного матери-
168
ала под действием порового давления, а вторая — деформацию
скелета имеющимися в нем напряжениями. Средние напряжения
в скелете обозначим через оц, а полные средние напряжения в
двухфазной среде через Г(7.

Связь между напряжениями в этом случае можно записать так

Г// = (1 — п) ац — рп%ц,	(5.2)

где п — средняя пористость среды; р — давление газа.

Соотношение (5.2) является фундаментальным и имеет место
для любой двухфазной среды. Нужно отметить, что в уравнении
(5.2) учитывается объемное соотношение фаз, в котором твердая
фаза составляет (1—п) частей, и жидкая п.

Для описания предельного состояния однородных однофазных
горных пород наибольшее распространение получила в настоящее
время теория прочности Мора

т=/(о),’	(5.3)

где

Т = -J (С1 — °з)> О = у (oi + а3).	(5.4)

Заметим, что в случае прямолинейной огибающей условие (5.3)
в главных напряжениях записывается так

°i — о3 = sin р (oi 4- о3) + 2k cos р,	(5.5)

где k и р — соответственно сцепление и угол внутреннего трения
изотропной однофазной среды.

В механике грунтов при рассмотрении двухфазных сред исполь-
зуются так называемые эффективные (фиктивные) напряжения

°'ц = (! — «) (°и + РМ-	(5.6)

Средние напряжения для двухфазной среды в этом случае

Гу = с'ц— pbit.	(5.7)

Из вышеизложенного следует, что напряженное состояние ске-
лета в двухфазной среде может быть описано с помощью средних
напряжений в скелете Гу и эффективных напряжений оу.

Для обоснования выбора вида напряжений в условии пластич-
ности двухфазной среды запишем соотношение (5.5) соответственно
относительно Гу, оу и ayi

(1 —n)(oi —о3) = (1 —n)sin р (oi -ф о3) — 2npsin р + 2Acos р; (5.8)

Г1 — Г3 == sin р (Г1 4- Г3) 4- 2пр sin р 4- 2 (1 — п) k cos р (5.9)
и

ci — о3 = sin р (о{ + о3) — 2/7 sin р 4- 2^ cos р.	(5.10)

Анализ связей (5.8), (5.9) и (5.10) показывает, что предельное
состояние двухфазных сред (рис. 99) может быть описано только
с помощью зависимостей (5.8) и (5.10). В уравнении (5.9) с ростом
порового давления прочность пород увеличивается, что противоречит

169
экспериментальным данным (см. рис. 99). Угол наклона экспе-
риментальных линий (т—р) зависит от величины относительного
объемного содержания п газовой фазы, однако в уравнении (5.10)
показатель п в явном виде отсутствует. Таким образом, в дальней-
шем при описании предельного состояния газонасыщенных пород
будем рассматривать связь вида (5.8), записанную через напряже-
ния в скелете. Заметим, что эта связь представляет собой условие
Кулона (5.5), записанное относительно полных напряжений Г,/.

Предельное условие Мора (5.3) для полных напряжений (5.2)
в двухфазной газонасыщенной среде можно обобщить так

г=Г^Л(1-п)а-Ир].	(5.11)

На величину п в предельном состоянии горных пород оказывает
влияние развитие процесса деформирования. Под действием нор-
мальных напряжений происходит объемное упругое сжатие среды
и уменьшение ее пористости. В допредельном, предельном и за-
предельном состоянии на этот процесс накладывается процесс накоп-
ления повреждений под действием сдвиговых и нормальных напря-
жений. В результате этого среда пластически разрыхляется, объем
пор в ней увеличивается. На основании статистической модели
[40] прочности горных пород можно полагать, что разрыхление
пород приводит к появлению микротрещин и, следовательно, допол-
нительной пористости. Тогда можно считать, что пористость в пре-
дельном состоянии горных пород приближенно равна истинному
ее значению п0 в начальный момент времени и дополнительной
пористости, вызванной процессом деформирования. Величину ее
можно найти из уравнения

п = п0 + &,	(5.12)

где 0р — пластическое разрыхление горных пород в предельном
состоянии.
Для наиболее простого случая линейной аппроксимации огиба-
ющей кругов главных наибольших напряжений могут быть написа-
ны соответствующие условия. При плоской деформации они выгля-
дят таким образом

(°. —	= sln®p	«ptgp)ctgplz; (5.13)

(«, - «„)’ + Ц. sin", (»« + <., + ^IP-h + ^PlPI-n (5., 4)
I	1—n0—r	J

где k и p — соответственно средние значения сцепления и угла
внутреннего трения двухфазной среды.

Для обоснования выбора параметра п проведем определение
показателей k, р, п в уравнении (5.13), основываясь на результа-
тах экспериментальных данных исследований образцов мрамора.

Уравнение предельного состояния для условий проведения экспе-
риментов (о1>ог=оз) имеет вид (5.8).

Аппроксимация экспериментальных данных показывает, что
значения параметров равны: 6 = 9,21 МПа; р=19°30; /г = 0,66.

Сопоставление расчетных и экспериментальных зависимостей
сдвигового предельного напряжения от давления газа (рис. 99)
свидетельствует об их удовлетворительной сходимости. Заметим,
однако, что величина параметра п = 0,66, найденного в результате
аппроксимации экспериментальных данных для мрамора, во много
раз превосходит значение пористости, полученное в лабораторных
условиях. Значение пористости мрамора в недеформируемом состо-
янии [401 составляет ио = О,ОО1 и ио=О,ОО9, а с учетом пластического
разрыхления величина его оценивается п=0,021 и п= 0,084. Таким
образом, имеется существенное отличие между величиной парамет-
ра п, полученной в результате аппроксимации, и значением пори-
стости мрамора.

Установленное различие может быть объяснено на основе ста-
тистической модели прочности [401. В результате пластических
деформаций по элементарной площадке происходит сдвиг с отры-
вом, т. е. имеет место раскрытие микротрещины. При пластических
деформациях контакт между частицами в этом случае происходит
не по всему скелету тела, а по его части. Следовательно, соотно-
шение (5.2) может быть обобщено таким образом

Г,7 = s (1 — п) сц — [ 1 — s (1 — и)] pbtl,	(5.15)

где s — площадь контактов в скелете породы (0 < s < 1).

Связь между средним напряжением на единичной площадке g,
напряжением, передающимся через контакт между зернами g , по-
ристостью среды п и давлением р рассматривалась Ю. П. Желто-
вым, С. А. Христиановичем в форме

g = g, + 11— 5(1— п)]р.	(5.16)

Нужно отметить, что множитель перед давлением р в формулах
(5.15) и (5.16) имеет один и тот же вид, хотя формула (5.16)
получена на основе рассмотрения микроструктуры грунта, а (5.15) —
Рис. 100. Зависимость коэффици-
ента проницаемости In k пород от
показателя с = а^/а^

а — выбросоопасный песчаник; б — не*
выбросоопасный песчаник? в — шураб'
ский бурый уголь

на основе анализа статистической модели прочности и процесса
развития пластических деформаций.

Введя обозначение

m=l— s (1 — п),	(5.17)

соотношение (5.15) запишем так

г<7 = (1 — т) о(/ — тр1ц.	(5.18)

Если пористость породы оценивается величиной (5.12), то значе-
ние т можно представить в виде

m = mo + s6₽,	(5.19)

где то = 1 — s (1 — п0).

Таким образом, соотношение (5.18) по виду совпадает с урав-
нением (5.2). Однако значение показателя т учитывает величину
пористости среды и ее микроструктуру, которая формируется на
фоне пластической деформации и развитии процесса разрушения.
Учитывая это, в дальнейшем под показателем т будем понимать
относительное объемное содержание газовой фазы.
В рассмотренном выше примере значение ее равно т = 0,66. При
пористости, оцениваемой величиной и = 0,05, значение s = 0,357.

В дальнейшем будем предполагать, что между напряжениями
Гг/, о(/ и давлением р в двухфазной среде имеет место связь (5.18).
Тогда условия пластичности (5.11)—(5.14) сохраняют свой вид,
однако в них вместо п следует положить т.

На основании многочисленных экспериментальных данных в ра-
боте [40] установлено, что пластическое разрыхление 6₽ в предель-
ном состоянии имеет вид

6₽ = 6₽ (с),	(5.20)

где с = а3/аь а 6₽(с) — известная функция.

Зависимость коэффициента проницаемости пород In k от пока-
зателя с показана на рис. 100.

Зависимость (5.20) получена для горных пород без учета влия-
ния порового давления на процесс деформирования. При рассмот-
рении пластического деформирования газонасыщенных пород в за-
висимость (5.20) нужно ввести поровое давление

= 6₽ (с, р).	(5.21)

Учитывая соотношение (5.21), условие предельного состояния
(5.11) двухфазной среды можно записать в виде

т = 1------\р'л. 1 / {[ 1 — т0 — 6₽ (с, /?)] а — [т0 + 6₽ (с, р)] Р}

(5.22)

На основе многочисленных экспериментальных данных в работе
[40] предложено условие пластичности, наиболее полно описываю-
щее поведение горных пород. Это условие может быть записано
следующим образом:

ти 1.(1 —т) — тр 1	*

с = г-2- ехР А 71--И-------- •	(5.23)

1—т	(1—т)а1 — mpj	v '

С учетом влияния пластического разрыхления (5.21) на величину
пористости пород в предельном состоянии прочность их в объемном
состоянии

---------с.тоН1-('”о + У’)1аз-("°+8',)<’1	,5 241

Пластическое разрыхление пород 0р, как показано в гл. 2

6₽ = 6р (т, О, т)	(5.25)

или

e₽ = e₽h, О0,/3(D0)j.	(5.26)

При рассмотрении пластического деформирования газонасыщен-
ных пород дилатансия их также зависит от порового давления.
Тогда связи (5.25) и (5.26) могут быть обобщены на пористые
среды следующим образом:

6₽=6₽(т, о, р)	(5.27
и

Op = Ор [r, c0, Z3 (Da), p].	(5.28)

Введение этих выражений в связи (5.22) и (5.24) позволяет полу-
чить другие формы записи условий предельного состояния газо-
насыщенных пористых сред.

В общем виде условия предельных состояний пористых одно-
родных газонасыщенных сред могут быть получены обобщением
соответствующих условий, приведенных в гл. 4

/(?, с, р)=0	(5.29)

или

fh,°o,Z3(Da),/>J = O.	(5.30)

При	учете	влияния промежуточного главного	напряжения на

состояние	текучести	обобщение соответствующих	условий	предель-

ного состояния на газонасыщенные изотропные пористые среды
можно произвести следующим образом:

f(T, с, р) = 0	(5.31)

или

/1Т,а0,1з(Ро),Р1 = 0.	(5.32)

При определении дилатансии пород в виде функции наиболь-
шего сдвига условия (5.31) и (5.32) записываются соответственно
f(t,c,-[,p) = 0	(5.33)

и

/[т, a0,I3(Do)T, р] = 0.	(5.34)

Сцепление двухфазной среды, учитывая соотношение фаз, может
быть выражено через сцепление kc скелета

6 = (1—т) kc,	(5.35)

где kc — сцепление скелета.

На рис. 99 показано сопоставление экспериментальных и рас-
четных зависимостей, предельного сдвигового напряжения т от
порового давления газа, полученных для шурабского угля. Значе-
ния показателей т, k, р, найденных на основе аппроксимации экс-
периментальных данных, равны т=0,438; 6 = 0,505 МПа, р = 30°.

Заметим, что показатель т в уравнении (5.23) характеризует
степень влияния давления газа на предельное состояние горных
пород. Значение его определяет наклон прямых предельного со-
стояния по отношению к оси р.

Значения параметров 6, р и т для НВО песчаника на пределе
прочности равньи k— 19,5 МПа; р = 27Q; т = 0,69, а в запредель-
ном состоянии в условиях остаточной прочности составляют; k =
= 18,14 МПа; р = 24°50; т = 0,735.

Рассмотренные выше условия предельного состояния могут
быть использованы в методах расчета напряженно-деформирован-
ного состояния газонасыщенного массива горных пород.
5.2.	Исследование системы уравнений газонасыщенной среды
с поровым давлением

При изучении процессов пластического деформирования насы-
щенных газом горных пород с поровым давлением необходимо
рассматривать уравнения движения для твердой и газовой фаз.

С одной стороны, образование областей предельного состояния
в массивах пород с пластическим разрыхлением или уплотнением
среды меняет взаимосвязь между твердой и газовой фазами. При-
обретенная пористость среды в результате ее пластического дефор-
мирования зависит от распределения напряжений в скелете и дав-
ления газа в порах. С другой стороны, наличие газа (жидкости)
в порах, как было сказано выше, снижает прочностные характе-
ристики пород и оказывает влияние на формирование областей
предельного состояния сред.

Таким образом, уравнения деформирования и движения двух-
фазной пластической среды состоят из взаимосвязанных между
собой уравнений для твердой и газовой фаз. В общем случае раз-
делить систему уравнений, вследствие ее взаимосвязанности, на
локальные системы, содержащие только неизвестные для каждой
из фаз, не удается и приходится их рассматривать совместно. Сов-
местное рассмотрение этих уравнений представляет известные
математические трудности. Задача существенно упрощается, если
известны закономерности распределения напряжений в твердой или
газовой (жидкой) фазе. В этом случае она может быть сведена
к задаче неоднородной теории пластичности, если известно давле-
ние газа в массиве пород, и к задаче неоднородной фильтрации
при известном распределении напряжений в скелете.

Для решения ряда практических задач величина давления газа
в пористых газонасыщенных породах может быть найдена расче-
том на основе использования уравнений теории фильтрации или
экспериментально с помощью натурных измерений.

Рассмотрим систему уравнений предельного состояния газона-
сыщенной среды с поровым давлением для этого случая, считая,
что давление газа в массиве пород известно р=р(х, у, z) и не
зависит от времени, т. е. имеет место стационарный процесс дви-
жения газа.

Исследование системы уравнений пластического состояния сре-
ды при совместном рассмотрении уравнений движения твердой
и газовой фаз производится в подразделе 5.3.

Осесимметричная задача. Уравнения предельного состояния для
осесимметричной задачи при выполнении условия Хаара-Кармана
можно отождествить подстановкой

—1 ,—  +-	 cos 2<р + . m р-, хгг — — - sin 2<р; (5.36)

ог J 1 — m — 1 — m т ' 1 — /п' г 1— tn “ ' '

°	I (c) .tn

°0	1—m -4- v 1—m~~l—m^’

где ? — угол между первым главным напряжением О] и осью 0г',
г, г — координаты; р = р(г, г).
Основная система уравнений в напряжениях осесимметричной
задачи записывается

(1 — f cos 20 g 4- f sin 2V g — 2/ (sjn 2<р g — cos 2? g) = X; (5.37)

Г sin 2<р g + (1 - f cos 20 g + 2/ (cos 2? g 4- sin 2?	= Y,

t/<C	1	IJl	{j! j

где

X = (Л__^ (x — cos 20 — m Y = 7 (1 — m) —  ~ sin 2<f —

-mg;	(5.38)

7 — плотность среда.

Следует отметить, что значение параметра т в условии пластич-
ности Мора считается постоянным т = const.

Уравнения характеристик системы уравнений имеют вид

dz _ sin 2у т /1 — (f)g
dr cos 2tp J- f

(5.39)

В зависимости от условия | f | < 1, | f | > 1, | f | = 1 система урав-
нений (5.37) принадлежит к гиперболическому, эллиптическому или
параболическому типу. Будем предполагать, что система принад-
лежит к гиперболическому типу. Вводя обозначение

sm <» =
da ’

(5.40)

уравнения характеристик и соотношения вдоль них можно записать
dz — dr tg(<? + е); da^- -^—d<f = (X Т tg<0dr ± (X tgw ± Y)dz,

(5.41)

7C 0)

где e = -J—2'

Плоская задача. Можно показать, что в случае плоской дефор-
мации сохраняются соотношения (5.37)—(5.41), в которых

X = -mg; y = T(l-m)-mg,	(5.42)

а компоненты напряжений имеют вид

°* 1 = -г~--1- cos 2<f +	— р; хху = sin 2<р. (5.43)

„ I 1—tn — 1— т Т ' I—т	1—т Т '	’

Для условия пластичности Кулона при постоянном давлении газа р
введем приведенное сцепление

(5-«>

Тогда условие пластичности может быть записано

(о* — Оу)2 + ^ху = sin2p (ах + Оу 4- 2kn ctg р)2.	(5.45)
Следовательно, при условии пластичности Кулона и постоянном
давлении газа р решения плоской и осесимметричной задач теории
предельного равновесия газонасыщенной среды сводится к реше-
нию этих задач для изотропной однородной среды с приведенным
сцеплением.

Пластически неоднородная среда. Массивы горных пород вслед-
ствие их строения, наличия микро- и макронарушенности, различ-
ного расположения систем трещин в разных направлениях и влия-
ния других факторов имеют анизотропию распределения их проч-
ностных свойств. В результате ведения горных работ в процессе
развития разрушений и пластических деформаций образуется
искусственная неоднородность свойств. Под влиянием газового
фактора неоднородность прочностных характеристик возрастает.

Таким образом, массив пород будем рассматривать в виде
насыщенного газом пористого тела, прочностные характеристики
скелета которого описываются с помощью модели континуально
неоднородной пластической среды.

Условие предельного состояния такой среды можно [26] запи-
сать

- Гр[РР(l-m)-mp + H, Kb .....................46)

где р, Н, Hi, .... Кп — известные функции координат. Рассмотрим
осесимметрическую задачу. Условие пластичности (5.46) удается
отождествить соотношениями

°г! = т^— ± cos2? +	(5.47)

„ (	1— m 1— m т 1—m	v '

°г )

Ъг = Pt sln 2<?>

_ °______I у f(°)	, rnp—H

°°	1 — zn 1 — m ' 1 — m ’

Соотношения (5.37)—(5.41) для этой системы уравнений сохра-
няются. При этом выражения для X и Y имеют вид

X =	(х - eos 2f) +	- (I - т) A g cos 2, +

е=1

+& slnp:

1=1

/дк, . с	\

X sin2<p - -^-cos2y).
Теперь рассмотрим плоскую задачу. При плоской деформации фор-
ма записи вышеназванных соотношений сохраняется, а выражения
X, Y имеют вид

v д (Н—тр)	й/ (n I : о V

Х ~ дх	^jajy7\_6rcos2¥ + '^”sln27’

1=1

п

1=1

5A'Z

— -5- COS <р
ду т

5.3.	Пластическое деформирование газонасыщенных горных
пород при фильтрации газа через них

При выбросах угля, соли и газа, добыче нефти, решении многих
задач гидрогеомеханики необходимо рассматривать пластическое
деформирование или разрушение насыщенных газом (жидкостью)
массивов пород в условиях стационарного или нестационарного
режима фильтрации.

Экспериментальные исследования газопроницаемости образцов
горных пород в условиях объемных напряженных состояний (см.
гл. 3) свидетельствуют о значительном влиянии неупругих дефор-
маций на фильтрацию газа.

На рис. 85 показаны зависимости изменения коэффициента
проницаемости для мрамора при фильтрации газа вдоль и поперек
образца. Из сопоставления этих зависимостей следует, что в допре-
дельной области с расчетом осевого давления коэффициент прони-
цаемости уменьшается. В запредельной области коэффициент
проницаемости при продольной фильтрации увеличивается на один
порядок, а поперечной — на 2—3 десятичных порядка.

Наиболее существенно увеличиваются коэффициенты проницае-
мости в предельном состоянии, причем изменение коэффициента
в поперечном направлении намного превышает изменение в про-
дольном. Таким образом, коэффициент проницаемости зависит от
направления фильтрации относительно действующих главных
напряжений.

Обозначим коэффициент проницаемости в продольном направле-
нии через kx, а поперечном k2. Из результатов экспериментов сле-
дует, что

kx = <р}(с1— с3, с3, р); /?2 =	(с, — а3, а3, р),	(5.49)

где у}, у>2 — некоторые функции.

В теории пластичности получили распространение инварианты

т = j- fci — °з); ° == 4 (э + °з)-	(5.50)
Находя из соотношений (5.50) компоненты ai, а3 и внося их в вы-
ражение (5.49), получим

№ = <р] (т, а, р);	= а, р),	(5.51)

где <н, ?2 — известные функции.

Для аппроксимации экспериментальных данных по изменению
коэффициента проницаемости (см. рис. 85) могут быть использованы
кусочно-линейные и кусочно-нелинейные зависимости. В частности,
нелинейный участок может быть описан параболой

In k = о2 (р, <?з) t2 + Ш (р, °з) ’ + £о,	(5.52)

где Gi, с2—известные функции; й0— const.

Экспериментальные данные по изменению коэффициента прони-
цаемости могут быть выражены через показатель вида напряжен-
ия

ного состояния с = — (см. рис. 100). Для аппроксимации различ-
°i

ных участков могут быть использованы кривые второго порядка.

Перейдем к рассмотрению уравнений деформирования газо-
насыщенной среды, пренебрегая на первом этапе анизотропией
фильтрационных свойств. Насыщенный газом (жидкостью) массив
пород будем рассматривать как изотропную двухфазную среду.
В выражении (5.18) средние напряжения Гц состоят из средних
напряжений в скелете щ, и давления р газа (жидкости).

Уравнения движения и неразрывности двухфазных сред раз-
личными исследователями записаны по-разному, в отдельности для
каждой фазы или среды в целом. Обзор и сопоставление различных
уравнений двухфазных сред выполнен в работе [18]. Примем в
качестве уравнений движения и неразрывности двухфазной среды
уравнения, приведенные в работе [18]:

для твердой фазы

—1 д 'П) 11	= Pi О —pi(l— m)qt+ Rt', (5.53)

Шу	UAj	Clif

dt 1 dxf	'

6?I	Q	d

где -7- = xt + и-, 4—; pi—средняя плотность скелета; qi — проек-
fjt	Оь	uXj

ция ускорения силы тяжести на i-ю ось; Rt— сила вязкого сопро-
тивления между фазами; щ— средняя скорость движения твердой
фазы;

для газовой (жидкой) фазы

^2^ i	dt)	„

mP2 ~dT + m	~ Ri’

S	д(Г,-р2т)

dt "г" dxt

(5.55)

(5.56)

где р2 — плотность газовой (жидкой) фазы; Wt— средняя скорость
движения.
Обобщенное условие Мора предельного состояния двухфазной
среды запишем в виде (5.11) при п = т. В этом случае при ли
нейной фильтрации величина R, согласно цитируемой работе имеет
вид

F>{ = r(Wi —	(5.57)

и нелинейной

Ri = г (Wi— и{) + b(Wi—u)\Wi— tu |,	(5.58)

„	m (1 — tn) ,	, ,

где r = [i-------- , b — коэффициент при двучленном законе

фильтрации; р — динамическая вязкость; а — коэффициент, пропор-
циональный проницаемости.

В расчетных методах теории фильтрации наряду с коэффициен-
том Лф получил распространение коэффициент проницаемости k

Aj> =	(5-59)

На рис. 101 показана зависимость k~x от касательного напря-
жения т. Анализ этих данных показывает, что в качестве аппрок-
симации может быть использована парабола

k~l = 02 (р, С3) t2 + ₽1 (р, <?з) 1 + ₽о (р, Сз). (5.60)
где 0о, 01, 0з — известны.

В простейшем случае для аппроксимации участков кривой может
быть использована линейная функция

k~1 = 01 (р, сз)и + 0о(р, с3).	(5.61)

Наибольший интерес для практики разработки полезных иско-
паемых представляет собой решение задач двухфазных сред при
фильтрации газа (жидкости) через статически деформируемый
массив пород. При упругом деформировании массивов горных
пород, как двухфазных сред, получили распространение различные
гипотезы [18], в частности, предполагается, что суммарное напря-
женное состояние системы «пористая среда — жидкость» является
постоянным во времени, гипотеза об отсутствии смещений в плос-
кости пласта и др.

Наиболее естественным является предположение, что скорости
перемещений газа (жидкости) во много раз превосходят скорости
перемещений скелета. В этом случае в зависимостях (5.57) и (5.58)
можно пренебречь величиной щ по сравнению с Wt.

Перейдем к исследованию системы уравнений при плоской
деформации для стационарного режима фильтрации. Уравнения
(5.53), (5.54), (5.55) и (5.56) для этого случая взаимодействия
двух сред имеют вид:

для твердой фазы

~\ + э L1 -">р до -»> + у г _ 0.

ох 1 оу 1 дх r a	'	7

а_(, >

дх 1 ду ' ду ‘ а v ’	'	'
Рис, 101. Зависимость
k~1 от максимального
касательного напряжения
т ВО (а) и НВО (б) пес-
чаников и шурабского
угля (в)
л,+ ар,(|-и)% =0; (5 64)
для газовой (жидкой) фазы

В + —(J = m)	= 0; |	W, = 0;	(5.65)

аР2«г«7

—д------1---= 0.	(5.66)

*	И

Компоненты напряжений в скелете будем искать в виде урав-
нений (5.43). Заметим, что зависимости (5.43) отождествляют
условия пластичности (5.11). Согласно представленным выше экс-
периментальным данным по деформированию газонасыщенпых
пород, а также приведенным в работе [18] данным предположим,
что

т = т (с, т, р); а = а(с, t, р).	(5.67)

Экспериментальные данные [18] показывают, что динамическая
вязкость зависит от давления. На этом основании

ji = [а (р).	(5.68)

При рассмотрении системы уравнений (5.62) и (5.63) будем счи-
тать, что условие пластичности (5.22) разрешено относительно

т = т (с, р)	(5.69)

или

о = а (т, р).

Внося зависимости (5.43) в уравнения (5.62), (5.63), (5.64), (5.65),
(5.66) и выполняя преобразования, запишем систему уравнений в
виде

(1 4- f(с) cos 2у + 2р g ф- f(c) sin 2у ~ — 2f (с) sin2?g4-
4-2/(c)cos2?g = X;

,	л я	(5.70)

г (о) sin 2у g + (1 - Г (О) cos 2? + 2р J) g +

4- 2/ (о) cos 2Т g 4- 2/ (о) sin 2у g = У;

П7 dm да ,	,.7 dm да	dW

Л di + Р^ 47 ф + ~дГ + mP2 V = V;

(dm . 1—т da\ да , (dm . 1—mda\da ,	.-

”447+—	^44? + — Ta)dly+	(5‘71)

-Hl - m) (1 - ш) = U- 14- ±11^ Wy = 0,

где

dm dm . dm d\ da da da dt.
da da ' dz da’ da da * dz da’
pd-^W;.
a f dp

dm w ,
a P dp

V = £P^i>(P2^ + mJ)(^+Ir3;

V _2<!^22у,У,[|‘('7^-~ +1»-(1 -m)i>;].

Проведем исследования системы уравнений (5.70) и (5.71)*
Используя выражения для полных дифференциалов, запишем эту
систему относительно частных производных по переменной у:

да <Э<₽	, .

й" w+fil2^ = 611’

да	ду>	. ,

«2|-^ + «22-^ = &12,

Й31 "аГ + Й33 ~дГ + й34	“ ь'3’

да , dwx dwv

O4t = ~д^ + Щз "аГ" + й44 ~ду~ ~ ь'4’

др

= ь'5’

(5.72)

где

ai! = — X р + f (a) cos2<р + 2р [т„ + т' + f (о) sin 2<р;

«12 = 2/ (с) (cos 2<р + X sin 2<р);

«2i = р — f (с) cos 2<р + 2р [та + m’t 4^-j j — f (с) sin 2<рХ;

«22 = 2f (с) (sin 2<р — X cos 2<р);

«31 = psW„ {ma	— p2XW\ (ma + mz

«зз = —mXp2; tz34 = mp2;

a41 = (Wx - ХГ,) \ma +m’^+	(a, + a. -g-)];

«43 = 1 — w; «44 = X (1 — m)\ a55 = 1;

bt. = 2(1 (mp + m[ Wx - [ 1 + f (a) cos 2? +

+ 2p (m'a + -g-)] i + 2f W sin 2?-£;

feI2	> + m- ax x w _ f, (o) s.n 2?	-2/(c) cos 2? -g-;

h>=+«; »+-»>]	-

a L \	°P / °P J

/ r ' дт \ dcr
-p2^(mo + ^»^-mp2-^
,	/1	rw * i ’ St . 1 —m ( ' ,	’ йт)1 da

b\i~ (1 m^—y ’ + ^т^ + ~^Го + атйГ/.Ы~

n (1 — m) WXW v Г	(«,' ।	’ И (1 — m) ( ’ , ‘ dt \]

— 2	-	|J1 m) i* — p, \mp +	-------— («₽ + cT	) J;

=	Гр.

Определитель системы (5.70), (5.71)

«11	«12	0	0	0	
«21	«22	0	0	0	
«31	0	«33	«34	0	«11  = «55
«41	0	«43	«44	0	«21
0	0	0	0	«55	

«12

«22

«зз

«43

«34

«44

= 0.

Уравнения характеристик для скелета
делителя

(5.73)

следует из первого опре-

1/ ( г V
sin 2? ± I/ 1 — (j , 2 dm I
dy	\ Р da J

dx ~	f

cos 2<j> + у dm

(5-74)

Система будет гиперболической при

Г (°)
1+2р ЁН
da

< 1, при

Г (°)

l + 2p^L

da

1 — параболической

и при

/4°)

1 + 2р ЁН

> 1—эллиптической.

Предположив, что выполняется условие гиперболичности систе-
мы, получим

da+ -----------------^ + -^si-n(y-^ -r-cos(7±e>-, (5.75)

l1 + 2P’dr)C0S'P |l+2p-^-lcos>pcos(y ±e)

где

Система уравнений для газовой (жидкой) фазы имеет мнимые
характеристики, что следует из второго определителя (5.73), и,
следовательно, являются эллиптической.

Осесимметричная задача. Решение ряда практических задач
при добыче полезных ископаемых связано с рассмотрением осесим-
184
метричной пластической деформации двухфазных сред. Для при-
нятых выше условий деформирования скелета уравнения двухфаз-
ной среды будем иметь:

для твердой фазы

а (1 — ZW) аг , 6(1—/п)ггг | (1—а0)	6(1—т) (

дг ' дг '	г	Р дг '

+ р, тд-т) Wr = 0;

6(1— т)гп	6(1— т)ог	(1-т)хгг	6(1— т) ,

6?	4 дг 4 г Р ~д~г +

+ р т(\~т) W^Q.	(5. ?6)

для газовой (жидкой) фазы

&Р । Iх (1 m) IE' — Л- &Р I Iх 0 т) Ц7 __ Q-

дг ' а г ’ дг ' а г *

mfawr ,	, dmp2Wz =

г	'	дг ' дг '	' ' '

Отождествим условие (Б. 11) предельного равновесия при допуще-
нии Хаара-Кармана, положив

М = ——-— ± —-— cos 2<р +	— »; тгг — -j—t— sin 2у

aJ l~m 1~т	гг 1—т Т

о . f । т

°® ~ 1 — т 1 —т +1 — т Р>

° г 4* °2

Где с =—V— угол между первым главным напряжением aj
и осью or.

Можно показать, что система уравнений (5.76) и (5.77) осесим-
метричной задачи теории пластического деформирования сводится
к системе (5.70) и (5.71), в которой

X _ 2}л (1 — т) dm . /(а) (1 ± cos2?).

— а ' dp г '	г ’

v 2|i(l— т) dm .у.	H°)sin2<f>.

У =	-	р-^^г	~г —,

,, о (1 — т) ,v, Г„ 1— т da , dm	, i]	tnp2Wr

(5.79)

Уравнения характеристик и соотношения вдоль них при этом
сохраняют свой вид (5.74) и (5.75).

Двухфазная среда с изначально пластически-неоднородной
твердой фазой. Массивы горных пород в большинстве своем имеют
микро- и макронарушенность, которая сказывается на прочностных
и деформационных характеристиках среды. Поэтому для учета
нарушенности пород прочностные свойства массива можно описы-
вать с помощью модели континуально-неоднородной пластической
среды.
Условие предельного состояния такой среды можно [26] запи-
сать

а. — aQ t Г ai	1

---2 = ~Г^т f I-------Г1 f1 ~ ~ тР + Н' ki> k2........kn J’

(5.80)
где H, kit ..kn — известные функции координат.

Рассмотрим плоскую задачу. Условие пластичности в этом слу-
чае (5.80) отождествляется подстановкой

<3х

°У.

о

1 — т

. /cos 2у тр — Н,
— 1~ т ' 1 — т ’

I sin 2<р
i_m

(5.81)

Система уравнений (5.70) и (5.71) сохраняется. При этом нужно
учесть, что

v 2р. (1 — т) dm , дН VS/ [dk{	, dki \

,z 2[i (1 - m) am tv. , дН V S/ (dki . n dkt \

Y =	—- PWy + -5-----------1- —Lsin2<p--------д—cos2<p .

a dp J ду л-i dk( \ dx T dz /

(5.82)

Рассмотрим осесимметричную задачу. Условие пластичности
(5.80) удается отождествить подстановкой системы (5.81), в кото-
рой нужно выражение тр заменить на (тр— Н).

Два уравнения (5.76) деформирования твердой фазы при этом
сохраняются, а выражения в первых частях имеют вид

п

у 2|х (1 — т) dm	I (х cos 2у) дН V е/

А-------а-----P-d^W'+ --------~г---

1=1

I dk,	dk,	\

X (-^-cos2? + -^-sin2?);

г 2ц (I — m) dm ,тгг /sin2y dH уд df

Y a P dm	r + dz / । dkt

/ dkf	dk, \

x hrsin2?~ ^tcos24

5.4. Упруго-пластическое распределение напряжений
в газонасыщенном массиве вокруг выработок
кругового очертания и скважин

Разработка угольных и калийных месторождений связана с со-
оружением выработок различного очертания в газонасыщенных
массивах пород.
Газ в угольных и калийных пластах может находиться в свобод-
ном состоянии или быть связанным. Свободные газы могут запол-
нять поры внутри пласта или быть расположены в приконтактной
зоне. Давление газа в угольных и калийных пластах может дости-
гать десятки мегапаскалей. Так, по данным [25] натурных наблю-
дений давление газа в выбросоопасных калийных пластах может
изменяться от 0,12 до 9 МПа. При этом микровключения газа в
выбросоопасных соляных породах в виде пузырьковых включений
различной формы могут находиться под давлением 5—90 МПа,

Методы расчета предельного состояния, прочности и разрушения
обнажений, устойчивости выработки выполнены в основном в на-
стоящее время для однофазных сред и массивов горных пород.

Формирование и протекание горных ударов, выбросов угля,
соли, пород и газа связано с перераспределением напряженно-
деформированного состояния газонасыщенного массива при раз-
работке выбросоопасных пластов, ведении горных работ и прове-
дении выработок.

Для интенсификации добычи нефти в настоящее время исполь-
зуются различные методы, среди которых получил распростране-
ние гидравлический разрыв пласта.

В гл. 3 приведены экспериментальные данные по деформиро-
ванию газонасыщенных пород, которые свидетельствуют о ослаб-
ляющем влиянии газа на прочностные свойства пород. При этом
установлено, что эффект снижения прочности пород с увеличением
порового давления носит механический характер. Вследствие этого
эффект снижения прочности будет иметь место и при нагнетании
жидкости в пласт.

Для выявления роли газа в формировании и развитии процес-
сов разрушения массива пород исследуем упруго-пластическое
распределение напряжений вокруг выработки кругового очертания
и скважины.	*

Постановка задачи состоит в следующем. В изотропном газо-
носном массиве сооружается выработка кругового очертания или
производится бурение скважины. Начальное напряженное состоя-
ние нетронутого массива будем предполагать вначале гидростати-
ческим. Под действием напряжений в скелете массива и давления
газа (жидкости) около контура выработки или скважины обра-
зуется область пластических деформаций, которая полностью его
охватывает. Влияние забоя выработки и торца скважины на рас-
пределение напряжений не будем учитывать. Напряженное состоя-
ние исследуется в плоскости, перпендикулярной к оси выработки
(скважины) и расположенной на достаточном удалении от забоя
выработки. Для удобства решения задачи бесконечный массив
вокруг выработки или скважины заменим конечным. Тогда задача
сводится к плоской упруго-пластической деформации толстостен-
ного изотропного двухфазного кольца. Граничные условия имеют
вид

=ро; р |г=а, = ра;1	(5 83)

— ръ Р |г=Ь — pb‘ J
Предполагается, что наружный радиус кольца во много раз
превышает внутренний b^>ai, т. е. влияние его на распределение
напряжений вокруг выработки (скважины) лежит в пределах
точности расчетов.

Условие сг|г=б = р\ характеризует величину распределения на-
пряжений в скелете породы в нетронутом массиве. При сооружении
горизонтальных выработок и скважин в качестве pi может быть при-
нято pi = ~(Н, для вертикальных р\ — где X — коэффициент бо-
кового распора. Значения рь и ра характеризуются соответственно
давлением газа в массиве пород и на контуре выработки (скважины).
Заметим, что давление газа на контуре выработки будет равным
нулю или близким к нему, а на контуре скважины [18] может до-
стигать ра = 0,5 рь-

В первом приближении характеристики пласта т, k, р2, а и ц
примем постоянными.

При постоянных характеристиках т, k, р2 система уравнений
стационарного движения газа (5.71) сводится к уравнению Лапласа
относительно р, общее решение которого равно

р — с In г + ci.	(5.84)

Определяя произвольные постоянные с, Ci из граничных условий (5.83),
получим

Р = Ра+	(5.85)

In	1

Компоненты напряжений в пластической области около контура
выработки удовлетворяют условию пластичности (5.13), в котором
учитывается ослабляющее влияние давления газа на прочность
горных пород (п=т).

Внося соотношение (5.85) в условие пластичности (5.13) и
определяя компоненты напряжений в скелете в предельной области
около контура, получим

In —

«.-(/»+ м (Я - *• +	/ЧГЧ

\ai I	а (1 — sin р) (1 — т) ।

ов = (1 + а) (ро + М ( а± ) — (1 + а) +

_ 2/п	— pg) sin р / j \ г

(1 — т) (1 — sin р) у + а ) 1 О1»

2k cos р — тра sin р
(1 — т) (1 — sin р)

(5.86)

где

а

2 sin р ,__________________2

I — sin р ’ ° а (1 — т) (1 — sin р)

X k cos р — tn sin p (pa + ——.

I a In------------ /

\	a, J
В упругой зоне компоненты напряжений имеют вид

cr 1	Ь2

= Р)±с2	(5.87)

се J	г

где сг — произвольная постоянная.

Радиус области предельных деформаций го вокруг выработки на хо-
дится из условия непрерывности напряжений на границе раздела двух
сред

'	. I гп \а ,	„ k cos р — трп sin р

(2 + «)(р„ + *0)(—j —*«(« + 2)+ 2 (l_„|(1_slnw —

------4».	ln_ 2pi	(5 №)

(1 — т) (1 — sin р) In— 1

“1

Упруго-пластическое распределение напряжений вокруг выра-
ботки и скважины при неравнокомпонентном поле напряжений
в нетронутом массиве. В общем случае распределение напряжений
в нетронутом массиве будет отличаться от гидростатического.
Горизонтальная составляющая напряжений обычно меньше верти-
кальной. Однако в зоне действия тектонических сил горизонталь-
ная составляющая может превосходить вертикальную. В этой зоне
главные горизонтальные составляющие напряжений, действующие
во взаимно перпендикулярных направлениях, также могут отли-
чаться друг от друга.

Обобщим приведенное выше решение задачи па случай неравно-
компонентных напряжений в нетронутом массиве. Постановка
задачи состоит в следующем. В массиве пород сооружается выра-
ботка или производится бурение скважины кругового очертания
радиусом г=а\. Массив пород предполагается упругим и изотроп-
ным, в котором под давлением находится газ. Под действием
напряжения и давления газа около контура выработки или скважи-
ны образуется область предельных деформаций, которая его охва-
тывает.

Напряженное состояние рассматривается в плоскости, перпен-
дикулярной к оси выработки или скважины. Тогда задача сводится
к исследованию напряженного состояния в газонасыщенной беско-
нечной плоскости с отверстием. При этом граничные условия имеют
вид:

для газа

p|r=i=pn; р ь = рь;	(5 89)

г=—

а

1

для скелета на контуре скважины

ог|г=1 = ро; тге|г= 1=0	(5.90)

и бесконечности

= рн; аГ’ = урн; 4;’ = о,	(5.91)

где рн, У— соответственно величина главной составляющей напря-
жений и коэффициента бокового распора в нетронутом массиве.
Размер радиуса г ~ Ыа\, на котором удовлетворяются граничные
условия для газа, принимается достаточно большим, т. е. превосхо-
дящим во много раз радиус а\.

Как и выше, в первом приближении характеристики пласта т,
k, р2, а, |л принимаются постоянными.

Изменение давления газа вокруг выработки или скважины, как
и выше, характеризуется зависимостью (5.85).

Компоненты напряжений в скелете в пластической области
определяются формулами (5.86), в которых радиальная координата
является безразмерной.

Условия на границе L раздела упругой и пластической областей
записываются в виде

4 Re Ф* (г) = A i (zz)“/2 + В\ + D In zz;

2 [гФ*' (г) + ф* (г)) = Л2| (zz)“/2 + В2^,

(5.92)

где

и	,	...	„ k cos р — тр„ sin р

Ai = (2 + а) (р0 + k0); Л2 = а (до + k0\, В\ = 2 -ц—	_ £jn —

— (я 2);

2т sin р (pi — р„\

В2 = Bi + 2/г0; Di =-----------V[Jb Ра) ь ;

а (1 — яг) (1 — sin р) in —

а1

Ф"(г), ф*(г) — функции комплексного переменного, через которые выра-
жается напряженное состояние в упругой области.

Для их определения имеем граничные условия (5.92) на неиз-
вестном контуре L и условия на бесконечности (5.91).

Отобразим контур L области предельных деформаций на еди-
ничный круг 71 с помощью функции

г = ш (С) = соС +	(5.93)

/=1

где ср, с,- — неопределенные коэффициенты; С — комплексная перемен-
ная.

Введя обозначения

Ф(С) = Ф* 1ш(С)]; ф (С) = ф* [о (Q]	(5.94)

граничные условия (5.92) запишем так

4 Re Ф (С) = Bt + А, [со (С) ш (С)j“/2 + £>, In со (Q ^(0?

2pLg_ ЧС) + ф(С)1 = Л2[со(С)К1Г^)Ъ+1 +B2“S.	(5.95)

L® (О	J	J I J “(О

Функции Ф (С), ф (С) на бесконечности имеют вид

ф (9 = 7 (1 + 9 рп + о (С)-2; ф (С) = J (1 - X) + о (С)-2 (5.96)
Из геометрической и силовой симметрии следует, что область
предельных деформаций имеет вид эллипса. Это позволяет ограни-
читься в ряд (5.93) двумя слагаемыми

z = ш (Q = с0С +	(5.97)

При построении аналитических функций вне контура L приме-
ним [40] метод функциональных уравнений.

Построим вначале функцию Ф (С), для чего введем функцию

F+ (Q = 2Ф (Q - Bi - А1 {(с0 + ciC2)5 [ (с0 +	~ с°“/2]} +

+ А1П (со + ^2-),	(5.98)

которая является аналитической вне единичного круга |С|>1, а
F- (С) = A(со + сК2)п''2 — 2Ф“(С) + L>! in (со + с&) (5.99)
внутри ]С|< 1.

Тогда первое из краевых условий (5.95) примет вид

/’+(C) = f-(C).	(5.100)

Функции F+ (С) и F~ (Q являются аналитическим продолжением
друг друга через единичную окружность. Согласно теореме Лиувил-
ля функция аналитическая во всей плоскости является постоянной.
Постоянную найдем при С — 0

F-(0) = Л1Со —4-0+ ^)pn +Alnco. (5.101)

Тогда

Ф (С) =	A iCo —j (1 + 1) рп Т—g— In со + ~2—h

D, /	с, \ А, (	Г/ с. \а№

+ In (со +	+ -А |(со + с.С2)-'2) (со + -±\	.

(5.102)

Из условий на бесконечности (5.91) следует зависимость для оп-
ределения Со

(1 + \)Рп = Aico + Bi + 2Di In со.	(5.103)

Для построения ф(С) введем функцию ^(С), аналитическую при
(С| > 1:

Ft (С) = 2 ЙГ) + ф (С)] - В. - А 2 (со +

“Г/ с, уСо + ^	?-> 1

+ CiC ) 11 Со + ^2 ) С()^2 Со Ci I	(5.104)
и

_	- 2-1

F\ (Q = А 2 (с0 + С1С2)2с0 Ct

(5.105)

аналитическую при 0 < а < 2 внутри единичного круга | С | < 1.

Тогда второе из граничных условий (5.95) примет вид

(5.106)

Согласно теореме Лиувилля постоянную найдем при С = 0

Тогда функция ф(С) имеет вид

(5.107)

1 а-i 1 co4-qt2

Ф (Q 2 А2С1С0 + *2 с0С2-ф tj ^2 + 2

а

I5 X

4

со +

77(Г(С)-

Неизвестную постоянную а определим из соотношения
используя условия (5.96) на бесконечности

11	с

2"(1 рп — ~п А2С1С0 1 -j- Въ-—-.

z	z	со

(5.108)

(5.108),

(5.109)

X

+ ё"1

coi2-Hi С,Со

Построенное решение имеет смысл, если область предельных де-
формаций полностью охватывает контур отверстия, для чего необ-
ходимо выполнение условия

Со — Cl > 1	(5.110)

Пример 1. Найдем размер радиуса зоны предельных деформаций вокруг вы-
работки, сооружаемой на глубине Н = 1000 м и газоносном массиве пород. Ис-
ходные данные для расчета: 7 Н = 25 МПа; Ы а — 20; ра — 0; ра = 0; р = 30°;
kc=2 МПа. Коэффициент условной пористости т=0,4, величина давления газа
в нетронутом горными работами газоносном пласте = 10 МПа.

Сцепление газоносной породы k при известном сцеплении скелета может быть
вычислено по формуле

k^=(\—m)kc.	(5.111)

Размер радиуса зоны предельных деформаций г0 вокруг выработки, вычис-
ленной по формуле (5.88), с учетом и без учета ослабляющего влияния газа со-
ставляет соответственно: гв = 2,33 а1 и г0 = 2,03^.

Таким образом, ослабляющее влияние газа приводит к увеличению радиуса
выработки в 1,15 раза.

Пример 2. Вычислим размер зоны предельных деформаций вокруг вертикаль-
ной скважины, пересекающей газоносный пласт на глубине Н = 1 км. Исходные
данные для расчета; -\Н = 25 МПа; 6 = 20 а,; р = 30°; р0 = 0;	= 2 МПа;

т — 0,2; рь — 20 МПа. Величину давления на контуре скважины примем: ра =
= 0,5 рь.

Расчет по формуле (5.85) показывает, что размер зоны предельных деформа-
ций вокруг скважины без учета и с учетом ослабляющего давления газа соответ-
ственно составляет: г0=2,14 а* и г => 4,84 Ор Ослабляющее давление газа для
данного случая увеличивает размер зоны предельных деформаций в 2,38 раза.
192
Пример 3. В виде примера найдем размеры зоны предельного состояния
вокруг выработки при следующих исходных данных: рп = 25 МПа; /гс=2МПа;
ра = 0; рь = 6 МПа; р = 30°; т = 0,4.

Коэффициент бокового распора в нетронутом массиве принят равным X = 0,75.

Результаты расчетов показывают, что нокруг выработки под влиянием газо-
вого фактора эллипс пластичности несколько увеличивается по сравнению со слу-
чаем отсутствия газа. При воздействии газа эллипс зоны предельных деформаций
вокруг скважины имеет' полуоси: а = 2,53 и 6 = 1,54 и при его отсутствии а =
= 2,45 и 6= 1,53.

Пример 4. Выполним расчет зоны предельного состояния вокруг скважины
кругоного очертания при следующих исходных данных: = 12,5 МПа; kc = 1МПа;
ра =0,5 рь = 6 МПа; р = 30°; т = 0,2; X = 0,7.

Результаты расчетов показывают, что под влиянием газа эллипс зоны предель-
ных деформаций нокруг скважины имеет полуоси: а = 2,82 и 6 = 2,33, а при его
отсутствии а = 2,46 и 6= 1,31.

Предложенные методы могут быть использованы для расчета
упруго-пластического распределения напряжений вокруг выработок
в газонасыщенных пористых массивах пород.

Оценим влияние пластического деформирования пород вокруг
скважины на величину дебита скважины. Значение дебита газа Q
определяется при известном законе изменения давления р (5.85)
по величине Wr

(5Н2)

«1

Коэффициент а может быть выражен [18] через коэффициент про-
ницаемости k среды и ее пористость

а = а0 PM п |~™-; «о = k (1 — /л0),	(5.113)

где показатель п может быть принят близким к 10.

Тогда дебит скважины Q с учетом зависимостей (5.113) может
быть записан

Q =	(Л)" Pft~~Po .	(5.114)

И \ть1 6	7

П «1

Анализ экспериментальных данных (см. рис. 85 и 101) показы-
вает, что вследствие пластического разрыхления при переходе от
допредельного к запредельному состоянию коэффициент прони-
цаемости увеличивается на несколько порядков. Так, для выбросо-
опасного песчаника он увеличился примерно в 1800 раз. Из зави-
симости (5.114) следует, что при таком увеличении k и сохранении
рь=const дебит скважины увеличится во много раз. Приведенные
методы могут быть использованы для выбора и обоснования спо-
собов интенсификации добычи газа и нефти, а также для решения
проблем гидрогеологии и динамики подземных вод.

7 4-497

193
Б.5. Расчет напряженного состояния газоносного массива
вокруг выработок при известном давлении газа вокруг них

При определении напряженного состояния газоносного массива
вокруг горных выработок закономерности изменения давления газа
во многих случаях могут быть установлены на основе натурных
наблюдений.

Анализ натурных наблюдений [22] за давлением газа показы-
вает, что около контура выработки имеется зона, в которой давле-
ние газа достигает наибольшего значения, а с удалением в глубь
массива его величина уменьшается.

Так, на рис. 102 показаны экспериментальные данные [25] по
изменению давления газа в снльвинитовом пласте АБ Второго
Березниковского рудника. Наблюдения проводились при глубине
шпура 1,4;. 2 и 4 м. Анализ данных показывает, что с увеличением
глубины шпура, т. е. с удалением от контура выработки, давление
газа падает. Наибольшее давление получено при / = 3 ч. С течением
времени величина давления снижается. Наименьшее давление
получено при /=30 ч.

Для условий выбросоопасного сильвинитового пласта АБ на Вто-
ром Березниковском руднике при бурении шпура в кровлю очист-
ной камеры третьей восточной панели через 10—20 см проводился
[25] замер газа. На глубине 1,9—2,1 м (см. рис. 102) от кровли
было расположено значительное скопление газа, который выделял-
ся при бурении шпура весьма интенсивно с динамическими прояв-
лениями. При выходе из зоны скопления газа его давление снизи-
лось и достигло прежних величин.

На рис. 103 показаны закономерности [22] изменения давления
газа в призабойной части угольного пласта в период его выемки,
анализ которых свидетельствует о локальном увеличении газа
около кромки пласта.

В угольных пластах и породах на современных глубинах раз-
работки замерены давления газа [22] до 10—13 МПа, причем в
ряде случаев впереди движущегося забоя обнаружено локальное
увеличение давления газа на 15—250 % по сравнению с давлением
вне зоны влияния выработки.

Для влияния механизма формирования и развязывания внезап-
ных выбросов угля, соли, пород и газа, разработки мероприятий
для борьбы с ними необходимо прогнозировать напряженное
состояние выбросоопасных пород с учетом газового фактора.

Основываясь па приведенных выше результатах натурных
наблюдений, давление газа около горных выработок можно считать
известным.

Исследуем упруго-пластическое распределение напряжений
вокруг выработки кругового очертания, сооружаемой в изотропном
газоносном массиве на глубине Н от поверхности. Напряженное
состояние в нетронутом массиве принимается гидростатическим.
Распределение напряжений анализируется в условиях плоской
деформации.
Рис. 102. Зависимость давле-
ния газа в сильвинитовом пла-
сте от расстояния I до конту-
ра выработки

Рис. 103. Зависимость давления
газа в призабойной части уголь-
ного пласта ог расстояния I

р,МПа

Согласно постановке задача сводится к распределению напря-
жений в бесконечной газонасыщенной плоскости с отверстием,
сжимаемым на бесконечности усилиями

4"’ = аГ =	(5.115)

По контуру отверстия приложено нормальное напряжение

о, = ро', т,в = 0.	(5.116)

На основе приведенных выше натурных наблюдений (см. рис.
7*	195
101 —103) будем считать, что давление газа в массиве пород
является переменным и может быть аппроксимировано функцией

п

р = S W1,
i=0

(5.117)

где at — коэффициент аппроксимации.

В процессе деформирования горных пород приконтурная область
массива будет частично разрушаться, разупрочняться и переходить
в запредельное состояние. Учет разупрочнения среды при дефор-
мировании, как показано в работе [40], в первом приближении
может быть произведен с помощью переменного сцепления. На
этом основании сцепление пород в приконтурной зоне будем счи-
тать переменным и изменяющимся по закону

N

(5.118)

/=о

где bj — коэффициент аппроксимации.

Около контура выработки образуется зона предельных дефор-
маций, компоненты напряжений в которой удовлетворяют условию
(5.13) п = т, в котором давление газа имеет вид функции (5.117).
Компоненты напряжений в пластической области с учетом связей
(5.116), (5.117) и (5.118) получим после интегрирования уравне-
ния равновесия

а, — ап

-^+^ = 0	(5.119)

и удовлетворения граничного условия (5.116)

N	п

„	2 cos р 1	\ 7 "i I 2ат

о' = с°г -Т-ЧГпр £^1-

/=0

'l 1—т

I — а
1=0

(I — а =/= 0)

а/ .

N

V Ь!

где

1 + sin р	2 cos р

“ 1 — sinр + 1 — 8щр l—m

_ п

2ат ?

(5.120)

1

М

тге = 0,

СО = ро +

а _ 2sinp .

1 —sin р’

N

2 cos р 1

Ro'

2ат

1 — sin р 1 — т 2= i' + “	1 — tn

l=o	i=o

п

<4 .

— а ’

R — радиальная координата; Ro — радиус выработки.

196
.<=8

Для угла внутреннего трения р = 30°(а = 2) компоненты напря-
жений вокруг выработки имеют вид

Л

0 = СоГ2____ 2 cos Р 1 V b! 1 _ 4m

r	1 — sin р 1 — т £4 / -|- 2 г( 1 — т

/=о

4- a2r2In г — щг —

ае =

1 -f- sin р

1 — sin p

2 cos p 1 b]

1 — sin p 1 — tn ^4 Гу
/=0

4m

1 — m

n

S atr‘;

1=0

(5.121)

tre = 0,

где

w	Z,n

. 2cosp 1	V1 bl I 4/n I V1 al	a0

Co — po + i _sin p i _m j_[_ 2 "Г 1-m I 2j i-а	a‘ 2~

/=0	\i=3

Компоненты напряжений в упругой области записываются

:И±Я

(5.122)

где р — постоянная.

Радиус области предельных деформаций находится из условий
непрерывности напряжений на границе го раздела двух сред

N

2с0г0______2 cos р 1

1	— sin р I — sin р 1 — т

/=о

п

2	am V Г 2	1	, ,1

1	— m	—sinр i — a + Ио =

«=о

(5.123)
При a = 2 уравнение для определения радиуса зоны предельных
деформаций имеет вид

N

2сого _ 2 cos р 1 V /	2	1______ Л 1 „

1—	sin р	1—sinpl — т~ ^1—sinp 2+/	/ г'о

4т V (	2	1	\ 7 4m Г 1 Ч-sin Р

I—m '2jG41—sinp <—2 +,/г°	1—m[l-sinp Х

f=3

X (й2Го In Го — airo —	+ £ OfTo] =	(5.124)

\	/	i=0 J
Пластическое распределение напряжений в боку пластовой
выработки при плоскопараллельном движении газа. Внезапные
выбросы угля, соли и газа формируются в выбросоопасных пластах
в результате перераспределения напряжений в массиве пород,
вызванного проведением выработок и ведением горных работ,
давлением газа, физико-механическими свойствами пласта и влия-
нием других факторов.

При выявлении условий формирования и протекания внезапных
выбросов и разработке мероприятий для борьбы с ними необхо-
димо прогнозировать напряженное состояние выбросоопасного
пласта в окрестности горной выработки. Как указывалось выше,
упруго-пластическое распределение напряжений вокруг пластовой
выработки исследовалось главным образом для однофазной дефор-
мируемой среды.

В расчетных методах теории фильтрации широкое применение
нашла плоскопараллельная фильтрация газа и жидкости.

Основываясь на экспериментальных результатах, приведенных
в гл. 3, найдем пластическое распределение напряжений в боку
пластовой выработки, представленной тонким пластом при плоско-
параллельной фильтрации. Данная задача является базовой при
прогнозировании упруго-пластического распределения вокруг плас-
товой выработки и в теории фильтрации газа и жидкости.

Рассмотрим тонкий пласт высотой 2/г, компоненты напряжений
в скелете которого, давление и скорость движения газа зависят
только от одной координаты х. При этих предположениях движение
газа является плоскопараллельным.

На контактах пласта с массивом пород выполняется условие
трения по закону Кулона

(5.125)

где pi—угол трения по контакту «пласт — порода».

Пласт находится в предельном состоянии, компоненты напря-
жений в скелете которого удовлетворяют условию (5.13) (n = m).

Характер распределения давления газа в газонасыщенных по-
родах, угле и соли показан на рис. 102 и ЮЗ. Основываясь на
результатах натурных наблюдений за распределением давления
газа вокруг выработки, будем предполагать, что закон распреде-
ления давления известен. Не снижая общности, можно считать, что
давление газа в пласте можно аппроксимировать с помощью
полинома

п

р = £ а(х{,	(5.126)

г=о

где at — коэффициенты аппроксимации.

Натурные наблюдения за деформированием пластов показыва-
ют, что прочность массива в боку пластовой выработки перемен-
ная. Приконтурная область пласта является наиболее разрушен-
ной, она находится в запредельном состоянии, с удалением от кон-
тура выработки прочность увеличивается. Для учета разупрочнения
198
в приконтурной зоне пласта сцепление в ней будем считать пере-
менным, изменяющимся по закону

/V

<5-127»

/=0

где а, Ь/ — коэффициенты, определяемые на основе натурных на-
блюдений.

Давление в пласте будем считать в качестве порового при от-
сутствующей фильтрации газа или ее стационарном режиме.
Характеристики фильтрации пласта т, а, р, р2 в первом прибли-
жении будем считать постоянными.

При небольшой толщине пласта уравнение равновесия скелета
его элемента, вырезанного плоскостями х и (х4-л?х), можно запи-
сать

dajt
dx

tgpi n

— ^ = 0.

(5.128)

Заметим, что слагаемым в уравнении (5.128), возникающим в ре-
зультате воздействия сил от фильтрации газа, в первом приближе-
нии можно пренебречь.

Вводя соотношения (5.13), (5.126) и (5.127) в уравнение равно-
весия и определяя произвольную постоянную из граничного условия
°х | с=о = 0, компоненты напряжений запишем в виде

Су = e₽JC j А' (z) -t р dz + се^х; гху = 0;

_ 1 — sin р А (х)

1 + sin р °4,	1 sin р’

(5.129)

где

Q tg Pf 1 + sin Р Л / ч 2	[ v bl	VI ,1

₽ = — raiH? А W = га [cos Р -------------ms,n Р ^а'х]>

Г 1	2 I V bi -I

с = гга? га [cos р До7 “ т sln pfl0 j*

Пример. Найдем размер радиуса области предельных деформаций вокруг гор-
ной выработки, сооружаемой на глубине II — 300 м от земной поверхности. Ис-
ходные данные для расчета: -\Н = 7,5 МПа; т — 0,45; k, = 2 МПа; р = 30°;
k = kc (1 —m) = b0; bx = b2, ... bn = 0; p0 = 0.

Кривая давления газа вокруг горной выработки имеет вид (см. рис. 102). Для
расчета принята эпюра давления газа в массиве пород вокруг выработки при /=5 ч,
коэффициенты которых равны: аа = 0; Oj = 5,It; а2 = 2,31; а3 = 0,29.

Результаты расчетов по формуле (5.12-3) показывают, что радиус области пре-
дельных деформаций с учетом влияния газа и без его учета соответственно равен
г0 =1,35 и г0 — 1,25. Наличие газа в данных условиях приводит к увеличению
размера радиуса области предельных деформаций.
5.6. Распределение напряжений вокруг сферической полости
с учетом порового давления

Одним из перспективных и рациональных решений .проблемы
хранения газо- и нефтепродуктов является использование подзем-
ных хранилищ.

Расчет геометрических параметров, прочности и устойчивости
этих сооружений основан на анализе напряженного состояния
вокруг сферической полости. Упруго-пластическое распределение
напряжений вокруг таких сооружений до настоящего времени
исследовалось в основном без учета газовой (жидкой) фазы.

Рассмотрим сферическую полость радиуса г = щ в газонасыщен-
ном массиве пород, по контуру которой приложено нормальное на-
пряжение а, = /?о,	= 0 и давление газа р — ра.

Полость расположена в газонасыщенном массиве пород с на-
чальным гидростатическим напряженным состоянием.

Тогда задача сводится к исследованию напряженно-деформи-
рованного состояния в бесконечном изотропном пространстве с
сферической полостью, сжимаемом на бесконечности усилиями
(Уг— '(Н и поровым давлением р = рь-

Наибольшие значения интенсивности напряжений имеют место
на контуре полости, поэтому вблизи нее может иметь место обра-
зование области предельных деформаций. Задачу будем решать
в сферической системе координат, полагая, что область предельных
деформаций полностью охватывает полость.

В силу силовой и геометрической симметрии сдвиги -р?1

•p-в и касательные напряжения тГ(р,	равны нулю, а = ее,

а¥ = ае. При этом каждый элемент массива испытывает простое на-
гружение (ра -> = + 1) и можно исходить из уравнений деформа-
ционной теории пластичности.

Газозая фаза. При решении задачи будем рассматривать стацио-
нарный режим фильтрации. Условие сплошности в этом случае

(mp2r2Wr) = 0,	(5.130)

откуда

№ = с,г2,	(5.131)

где с — произвольная постоянная.

Тогда для нахождения давления р получим уравнение

f + '±^!)-72 = G-	(5132)

Решение его имеет вид

р = ——|- с2,	(5.133)

где Ci, с2— произвольные постоянные. Определяя их из граничных
условий, получим

а.

Р= т^Р°~ Р») + Рь-

(5.134)
В упругой зоне компоненты напряжений имеют вид

о,-= у/7 +а ь ае = а9 = у//— у i а?,	(5.135)

где р — постоянная.

В пластической области около сферы характеристики массива
т, /г, р2, а, [1 будем полагать постоянными.

Компоненты напряжений в пластической области удовлетворяют
уравнению равновесия

da, a, — a„

57+2-4-e = 0.	(5.136)

Для их нахождения внесем условие (5.13) предельного состояния
(п = т) в уравнение (5.136) равновесия и проинтегрируем его, учи-
тывая граничное условие и характер изменения давления (5.134).
Тогда получим

1\ r2a	Pl Р2 1 .

^Рс -b 2a 4- ! + 2а а ] а2«	2a	1 + 2a Г ’

l-f-sinpf/^ , ₽1 ,	₽2	1 \ г2а Р1 ₽2	1] ,

Оф — Об — । _sjnp^P0 Ч 2a + ] +2aaJ fl|2a	2a l+2aAJ +

2k cos р	ат Г . ai ,	1

+ -(1 _ m) (1 _ sin р) “ \РЬ + 7	~

(5.137)

где

_ 2sin р . д ______________4fe cos р______ ^тРь sin р

— 1 — sin р’ Р1 (1 — т) (1 — sin р) I —m I — sin р’

2<ип (рь — ра)
г2 1 — т '

Радиус го области неупругих деформаций находится из условий не-
прерывности напряжений на границе раздела упругой и пластиче-
ской сред

3 sin р Г /	Pi Рг 'Vo\2a Pi Рг 1 ~| I	4/г cos р

1—sin р "т" 2a "1 14-2aaJajJ 2a 7 + 2ar0 | ~ (1—m) (1—sin p)

-1~^[рь+^Ра-Рь^^Н.	(5.138)

При отсутствии газовой составляющей уравнение для определе-
ния радиуса зоны неупругих деформаций преобразуется к виду

3 Ч- sin р

1 — sin р

4k cos р

(1 — sin р) (1 — т)

= З^Н, (5.139)

где

_ ________4cos р_______

1 ~ (1 — sin р) (1 — т) "
Пример. Найти размер области предельных деформаций вокруг сферической
полости, сооружаемой в газоносном массиве. Исходные данные: р} = '\Н = 25 МПа;
kc — 2 МПа; р = 30°; т — 0,4; р0 — 0. Величина значений давления газа в нетро-
нутом массиве и иа контуре полости принята равной рь — 5 МПа; ра — 2 МПа.

Величина радиуса области предельных деформаций, вычисленная по формулам
(5.138) и (5.139) при учете влияния газа и без него соответственно равна: г0 =
= 1,595 «j и г0= 1,438 «р Для данных условий наличие газа приводит к увели-
чению радиуса зоны предельных деформаций в 1,1 раза.

Рассчитаем размер зоны предельных деформаций вокруг сферической полости,
сооружаемой в газоносном массиве с вышеприведенными характеристиками. Вели-
чину давления газа в массиве пород и на контуре полости примем: рь = 2 МПа;
рв = 5 МПа. Значение радиуса зоны предельных деформаций составляет в этом
случае г0 = 2,135. В результате воздействия газа размер радиуса зоны предель-
ных деформаций вокруг полости увеличивается в 1,48 раза.

Приведенная методика расчета может быть использована для
определения геометрических параметров сферических полостей,
сооружаемых в газоносных (водоносных) массивах, для хранения
жидкости или газа.

6.	ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ ГОРНЫХ ПОРОД

6.1.	Прочность и пластичность горных пород при переменных
скоростях деформирования

Многие проблемы при разработке месторождений полезных
ископаемых, сооружении линий метрополитена и тоннелей в сейсми-
чески-активных зонах связаны с решением задач распространения
упруго-пластических волн в массивах горных пород. Рассмотрение
этих задач базируется на динамических зависимостях между на-
пряжениями и деформациями. Влияние скорости деформирования
Bi на зависимости между напряжениями о и деформациями ei дав-
но привлекало внимание исследователей. Первой получила разви-
тие теория распространения упруго-пластических волн Рахмату-
лина-Тейлора— Кармана, которая основывается на соотношении

ai = ai(si),	(6.1)

где oi (ei) — известная функция.

Эта теория относится к ограниченному классу процессов и мо-
жет быть использована при очень большой пли очень малой
скорости деформирования.

Для приближения теоретических расчетов к экспериментальным
данным сформировался второй подход. В основе его лежит предпо-
ложение о существовании зависимости

Ф (ai, oi, si, ei) = 0.	(6.2)

Для описания поведения грунтов при динамических нагрузках
С. С. Григоряном были предложены уравнения их состояния. Эти
202
уравнения основаны на том, что плотность среды р и среднее дав-
ление, действующее на нее, связаны соотношением

°о = ао (р),	(6.3)

где Оо(р) — известная функция.

Одно из основных положений этих уравнений состоит в зави-
симости второго инварианта девиатора напряжений от давления
о0. В разделе 2 приведены результаты экспериментальных ис-
следований многих пород в условиях сложных объемных напряжен-
ных состояний. Скорость деформирования пород изменялась на
10—12 десятичных порядков от 10~10 до 102 с-1.

В результате исследований установлено, что наиболее важными
особенностями процесса деформирования горных пород при разных
скоростях и видах напряженного состояния является зависимость
пределов прочности, упругости и пластического разрыхления от
скорости деформирования. Для описания зависимости пределов
прочности т и пределов упругости ту от скорости деформирования
8] использовано известное кинетическое уравнение С. Н. Журкова.
Применение уравнения в рассматриваемой проблеме, как указы-
валось выше, требует ряда оговорок. Основное возражение вызы-
вает неопределенность понятия энергии активации и0, так как не
определено понятие грамм-моля. Не касаясь детального рассмотре-
ния этих вопросов, можно сказать, что уравнение использовалось
как эмпирическая зависимость достаточно точно и полно описыва-
ющая результаты экспериментальных исследований (рис. 104).

При выборе определяющих уравнений запишем условия проч-
ности и упругости через инварианты девиатора скоростей дефор-
мирования. Наиболее существенным из них при пластическом
деформировании является интенсивность Н скорости деформиро-
вания сдвига или скорости у наибольшего сдвига. Для рассмат-
риваемых экспериментальных результатов и условий эксперим-ента
эти величины можно записать

,,	2 /• t 2	•

п = —у— (Л — £г) — —т=

/3	1	/3 *

(6.4)

где у = ei — е3 (б! > е = е3).

При построении уравнений прочности и упругости надо отметить,
что скорость деформирования влияет на величину пределов проч-
ности (2.40) и упругости (2.41), полученных при одноосном сжатии.
Сохраняя структуру формул (2.40) и (2.41), введем в них вместо ej
величину скорости наибольшего сдвига у и используем эти зависи-
мости для аппроксимации экспериментальных данных

г0=|и,+Д7' 1п(Д| 1;

Vo/J Ъ

v /J 4

(6-6)

(6-6)

где so, l/i, 'fn, fl— параметры аппроксимации.
Тогда условия пределов прочности и упругости горных пород
с учетом скорости деформирования могут быть получены при вне-
сении связей (6.5) и (6.6) в соотношения (2.1) и (2.2)

Рис. 104. Зависимость пределов прочности от скорости деформирования ej (экс-
периментальные точки обозначены квадратиками) и от скорости максимального
сдвига f = Ej — е3 (экспериментальные точки обозначены кружками) при различ-
ных значениях бокового давления оа

Правомерность использования этих уравнений подтверждается
графиком на рис. 104. Здесь нанесены экспериментальные значения
прочности мрамора в зависимости от скорости еь а рядом приведена
зависимость прочности от скорости максимального сдвига (ei— е3).
Величины сдвигов получены на основании обработки зависимостей,
показанных на рис. 105.

Как видно на рис. 104, две зависимости практически совпали.
Различие заключается лишь в том, что точки скорости у несколь-
ко сдвинулись вправо. Зависимость аппроксимируется так же, как
и в случае скоростей деформирования пучком лучей, выходящим
204
a

Рис. 105. Зависимость
остаточной продольной де-
формации (а) и коэффи-
циента поперечных дефор-
маций (б) на пределе
прочности при различных
значениях бокового дав-
ления:

1 — с8 = 0; 2 — ст8 = 20 МПа;

3 — св Е2 50 МПа; 4 — а3
= 100 МПа
из одного и того же полюса. Сдвигом точек вправо в этом случае
можно пренебречь. Аналогичным образом могут бить записаны
условия прочности и упругости при использовании в связях (6.5)
и (6.6), вместо скорости наибольшего сдвига f, интенсивности
скоростей деформирования

т =	Ui + кт In	У~з  \ 2 e0 /	1 eAc  V.	(6-9)  J ь
	[Ui+KT In	( 2 e'o /	p-T-	(6.10)  J

При решении многих практических задач теории предельного
равновесия получила распространение линейная аппроксимация
кругов главных наибольших напряжений в виде условия Кулона.
Запишем его в главных напряжениях

—2— = —j—sin р + & cos р,	(6-П)

где k и р — соответственно сцепление и угол внутреннего трения.

Найдем из уравнения (6.11) величину сцепления при деформи-
ровании образцов в условиях одноосного сжатия

=	(6.12)

п cos р	'	'

о 1
где тп

— 2 °сж предел прочности породы при одноосном
сжатии.

Учитывая выражение (6.12), зависимость сцепления от скорости
деформирования можно записать так

k = !~sinp t/, + КТ InP-YI	(6.13)

TncosP	\eo )]

Тогда условие предельного состояния Кулона (6.11) при плоской
деформации с учетом связи (6.13) выглядит следующим образом:

(°* — aj2 + 4т2,, = Sin2 р L + Оу + 2Р -«!пР) Ь + КТ / Й11 (6 14)

I	7nsinP	Vo/JJ

Аналогичным образом может быть получена связь сцепления от ин-
тенсивности скоростей деформирования

= +	(бл5)

Тпcos Р L	\ ео /J

и запись условия Кулона в форме

/ V । л 2	. 2 (	.	, 2(1—sinp)F7. .	(У~3 /Л]]2

(°* — Су) ф- 4тх„ — sin р (-р ау   —   И। -р КТ I —х— —) I .

I	1nsinP I	\ eo/JJ

(6.16)

В общем случае, учитывая зависимость показателя с от инва-
риантов тензора и девиатора напряжений, условие предельного со-
206
стояния пород с учетом скорости деформирования можно записать
в виде

/К, с0, 13 (Щ у] = 0,	(6.17)

где а0 — среднее давление.

Таким же образом могут быть записаны условия предельных
состояний

/[т, а0, 13(£>а), Н] = 0	(6.18)

или

f f]Zl2(Da), со, I3 (Do), у] = 0;	(6.19)

f [ Кыщ ао, 1з Р«), н] = 0.	(6.20)

Частным случаем связи (6.17) является условие

)(т, с, у) = 0.	(6.21)

В качестве второго определяющего уравнения можно взять ско-
рость дилатансии пород при их пластическом деформировании. Зави-
симость скорости дилатансии от скорости деформирования показана
на рис. 106. Скорость дилатансии при пластическом деформирова-
нии горных пород можно записать в виде

ё'’ = ёр(с, у).	(6.22)

Учитывая зависимость показателя с вида напряженного состояния
от т и а0 условие дилатансии

ёр =0'Ъ, а0, 1з(Г»а),у].	(6.23)

В частности, в него может не входить инвариант 73(£)а)

0p = 0p(t, а0, у).	26.24)

В простейшем случае условие (6.22) может быть записано как
линейная функция по переменной у

0Р = Л(с)у,	(6.25)

где Л (с) — некоторая функция показателя с.

При учете выражения (4.3) это условие преобразовывается к виду

0Р = Л (о, т)т,	(6.26)

где Л (а, т) — некоторая функция.

Аналогичным образом могут быть записаны условия дилатансии
горных пород при использовании в них не скорости наибольшего
сдвига у, а интенсивности скоростей деформирования. Приведем
условие, записанное по аналогии с условием дилатансии (6.23)

0₽ = 0р [tiqoIs Ра) Н].	(6.27)

Заметим, что условие, учитывающее дилатансию, предлагается
рассматривать в работе, как второе предельное условие для скоро-
стей деформирования грунтов. . Экспериментальная зависимость

207
О' от у, полученная после обработки результатов, представлен-
ных па рис. 105, показана на рис. 106. Поскольку зависимость, как
следует из рис. 106, близка к биссектрисе первого и третьего
координатных углов, то в табл. 10 приведены экспериментальные
данные. Как видно из данных табл. 10 и графика (см. рис. 106),
зависимость вида (6.25) является достаточным приближением.

1g О бг^20МПа

					—
					
’y(V	-г)	7	Б	5	4
					
					
					
					
					
					
					
iu*						

			61  1	1МПа/	>6^0
		0			
3	г	1 /	1	1 l;	
			2		
			3		
			6		
			5		
	-O-I	1	Б		
		2	7		
		3	в		
			s		

Рис. 106. Зависимость скорости дилатансии от скорости наибольшего сдвига при
различных значениях бокового давления:

1 — gs = 0j 2 — ся = 20 МПа} 3 — ая = 50 МПа$

При установлении связи между напряжениями и деформациями
можно исходить из общей зависимости между девиаторами скорости
деформаций и девиатором Da напряжений

Dk = F (Da),	(6.28)

где F— некоторая функция.

В первом приближении в зависимости (6.28) можно ограничиться
линейной связью, полученной при разложении функции F в ряд по
тензорам Da



(6.29)
МПа I	'g «»	И	—А	IgKi—=а)	IgOP	а2, МПа	1g е’1	И	—Л	1g («>— Ф)	'в
0	9,32	1,93	0,976	9J87	“9,776	0	4,48	2,50	1.143	3,024	3,082
20	8,00	2,00	1,000	8,480	8,477	20	1.44	2,50	1,143	1,990	0,045
50	8,80	1,23	0,655	7,148	8,960	50	3,20	1,13	0,591	3,530	3,300
0	7,78	2,94	1,238	6,375	6,468	0	3,41	2,00	1,000	3,887	3,887
20	6,20	2,90	1,231	6,800	6,800	20	0,98	1,20	0,636	1,322	1,126
50	6,20	1,92	0,973	6,660	6,653	50	2,40	1,12	0.585	2,730	2,490
0	6,48	2,35	1,104	5,005	5,048	0	Г,00	1,50	0,800	1,398	1,301
20	4,30	1,52	0,809	4,700	4,610	20	1,86	1,70	0,889	2,29	2,240
50	6,90	1,72	0,897	5,330	5,280	50	1,52	0,86	0,387	Т.790	1,380
0	5,23	2,22	1,068	5,738	5,766	0	0,40	1,30	0,696	0,761	0,004
20	4,90	1,08	0,558	3,218	4,960	50	1,07	1,18	0,624	1,404	1,080
50	5,50	1,80	0,929	5,950	5,910	0	1,47	2,30	1,091	1,988	2,026
0  20  50	5,50  2,10  4,86	1,40  1,62 0,93	0,750  0,855  0,446	5,880  2,520  3,145	5,755  2,450  4,790	0	1,86	2,69	1,187	2,430	2,500
где D:	х —  И Da	скаля	рная	величина	, зав г	1СЯИ	цая о	г инвариантов девиаторов			
	Система уравнений при				плоском деформированном состоянии.						
Компоненты н  где <р — угол  Запишем у  где sin v = Л ( Компонент!  где ф — угол			апряжении в пластической области представим в ) = а ± т cos 2у; xxv — х sin 2у,  ле жду с, и осью ох.  словие дилатансии в форме  £* Ч" s# = sin v ]	— ей) -ф  а, т); *— угол дилатансии; |Л| < 1.  >i скоростей представим так  = — у у (sin v j- cos2<p); sxv = у Tsin2(|>, между ei и осью ох.								виде  (6.30)  (6.31)  (6.32)
Будем предполагать, что сительно т					условие		пластичности разрешимо				отно-

т = т (а, у).	(6.33)

Компоненты напряжений и скоростей деформаций отождествляют
это условие пластичности. Внося компоненты напряжений в урав-
нения движения среды, получим

[(l+q^ + 2T^-|-/$jcoS2? +

Р ' йх ду 1 тдх] т

X

\ ду дх

X sin 2? = РоХ + ро (f + ug + Vg);
(2’g-’;|-’;0-2’+(-s+2’g+<x	।

xg)sin2? + g = -poy + po(g+ wg + vg,	(6.34) I

где po — плотность; X, Y— проекции массовых сил на оси коор-
динат.

Аналогичным образом может быть записана система уравнений
движения, если зависимость (6.33) разрешима относительно а

а = а (т, у).	(6.35)	*-

При рассмотрении связи между напряжениями и скоростями
деформирования могут обсуждаться различные подходы. На пер- )
вом этапе будем предполагать, как указывалось выше, что выпол-
няется условие соосности девиаторов напряжений и девиаторов
скоростей деформаций, которое для плоской деформации при
пренебрежении упругими составляющими в пластической области
может быть записано в виде	\

ди___dv

ах aV дх дц , о . о

—т-----= тт—? = Ctg 2ф = ctg 2?.

ди . dv
ду дх

Условие дилатансии можно представить так

ди . dv .	\/Г [ ди dv \2 . ( дй dv \2

дх ду	" \ дх ду / \ду дх /

Из соотношений (6.34) следует

’ —	* I ди I dv \

Ч sin 2у \ ду дх ,

Таким образом, решение плоской
пластичности сводится к нахождению
ний (6.34), (6.36) и (6.38), в которой

задачи теории динамической
у, с, и, v из системы уравне-

(6.36)

(6.37)

(6.38)

1

!

'I

ду___2cos 2ф

дх ~~ sin2 2ф

ду ___2cos

ду sin2 2<р

dt>\ tty .	1	/ д2и d2n\.

ду ' дх) дх sin 2у	дх2/'

дх)

tty .	1 /д2и . cPv \

ду I" sin 2ф \Эг/2 ' дхду)'

6.2. Расчет камуфлетного взрыва при разрушающем

сдвиговом напряжении

Предложенные выше определяющие уравнения динамики не-
упругих горных пород могут быть использованы при рассмотрении
механических эффектов подземных взрывов. Подземный взрыв
является сложным явлением, изучением которого занималось
большое число отечественных и зарубежных исследователей. Пуб-
ликаций по данному вопросу в научной и технической литературе
210
достаточно много [13, 19 и др.]. Обстоятельный анализ различных
этапов движения среды при взрыве дан в монографии [19], где приве-
дена так называемая элементарная теория камуфлетного подземного
взрыва, описывающая основные особенности его протекания. При
рассмотрении взрыва сферически симметричного заряда в изотроп-
ном однородном массиве необходимо выделить следующие основные
этапы его протекания [19]. В ближайшей окрестности взрывной
полости возникает мощная ударная волна и имеет место так назы-
ваемый гидродинамический этап движения. Массив пород модели-
руется моделью идеальной несжимаемой жидкости. Первый этап
связан с распространением ударно-разрушающей волны, при кото-
рой фронт ударной волны совпадает с фронтом разрушения. Вто-
рой этап представляет собой динамическое безволновое расширение
полости. Для этих этапов массив пород моделируется пластической
средой. Условие пластичности в работе 1191 принято согласно
закону сухого трения Кулона

аг — 2а0 = 0.	(6.39)

Наконец, третий этап соответствует распространению упругих волн.
Анализ данных, приведенных в разделе 2, показывает, что для
большинства исследованных пород прочность их с увеличением ско-
рости деформирования возрастает. Эффект увеличения прочности
пород учитывается с помощью аппроксимации (6.5), связывающей
между собой предел прочности при одноосном сжатии и скорость
деформирования.

Учитывая реальные прочностные свойства горных пород (6.7),
более подробно рассмотрим модельные представления элементар-
ной теории подземного камуфлетного взрыва.

В качестве простейшей аппроксимации кругов главных наиболь-
ших напряжений наибольшее распространение в настоящее время
получила линейная зависимость, представляющая собой условие
пластичности Кулона. Учитывая зависимость предела прочности
на одноосное сжатие от скорости деформирования (6.5), запишем
обобщенное условие предельного состояния Кулона

01 - а3 = sin р (а, + а3) + 1	+ КТ lg	(6.40)

где р — угол внутреннего трения горной породы; Uo, КТ, е‘о—
постоянные;

_ Уп cos р
~ 2 (1 — sin р) ’

•pi — постоянная.

Рассмотрим первый этап распространения ударной волны при
взрыве сферически симметричного заряда. Источник взрыва пред-
ставляет собой расширяющуюся сферу, давление газа внутри кото-
рой изменяется по адиабатическому закону

,	(6.41)
где ро, — постоянные; ао, а — соответственно радиус полости
в начальный и текущий моменты времени.

Уравнение движения среды записывается в виде

(6.42)

где v — скорость движения частицы; pi — постоянная величина, при-
нимаемая за начальное значение плотности pj = р0 = const.

При пластическом деформировании горные породы согласно экс-
периментальным данным разрыхляются. В качестве простейшей
примем линейную аппроксимацию между скоростями объема и сдвига
g+2i = A(g_i),	(6.43)

где Л — постоянная, характеризующая величину скорости дила-
тансии.

Решение уравнения (6.43) будет

и =	(6.44)

где Х(/)— произвольная функция времени.

Будем считать, что в пластической области прочность породы
зависит от скорости деформирования. Условие прочности зависит
только от скорости деформирования е = ер Наиболее полной яв-
ляется зависимость его от двух составляющих е, и е3 в виде урав-
нения состояния

ci — а3 = sin р (ej + а3) ф- -v

Ло,

(6.45)

где у = si — е3, Ui, — постоянные.

Предположим в дальнейшем, что в пластической области вокруг
полости компоненты напряжений и деформаций связаны условием
(6.45). Радиальную составляющую напряжений найдем, внося соот-
ношения (6.44) и (6.45) в уравнение движения (6.42), и интегрируя

его получим

ci (О
,2₽

Ь ро
27„ sin р

2₽ 4~ 1 — п

nl2 (f) ~2п'

2₽ —2п

2kT 1

(1 + sin р) 1 4- п

(1 4- «) * (Ol2vi

2

(1 4- И) X (О]-2**
v"+‘

X In

(1 -4- «)Х(0

е гп+>
Е0'

(1 + n) X (/)

Е0''"+)

(6.46)

где v = -Rsin'p ₽ =	И (0-произвольная функция

времени.
С помощью соотношения величины ).(/) иХ(/) выражаются через
радиус полости а и скорость ее расширения а

X (0 = аап\ X (/) = ~ + пап~1а2.	(6.47) .

Учитывая выражение (6.45) и граничное условие (6.41), получим

На фронте ударной волны имеют место балансовые соотношения
массы и импульса, которые для сферического заряда имеют вид

poR = pi [R — €>(/?)]; poR2 = pi [R — f(R).]2 — °r(R),	(6.49)

£де г — R (/) — закон движения фронта ударно-пластической волны;

v (R) — скорость смещения частиц среды на фронте волны.

Будем предполагать, как и в работе [19], что

е _ £1—_ Const.	(6.50)

Pi

Тогда

u(R) =eR; ar = —poeR2.

(6.51)

Учитывая эти соотношения, напряжение а г на фронте ударной ^’олны
Г / а V-1

Из соотношения (6.44) следует уравнение

= <6-53)
из которого при пренебрежении начальным объемом зарядной каме-
ры имеем

a«+i =	(6.54)

Исключим из уравнений (6.48) и (6.52) произвольную функцию ct (/)
и, проведя преобразования, получим уравнение движения границы
полости

- + «1 («)2 +	+ In	-

' i 1	\ 6o a /

(if	2	• \ \	p

ЛГе'+п^)} =^(fl) + Tb

(6.55)

где

( n — П 1 e2₽ -f- ( n 4-	йе2"

\2₽+l-n 2p-2n}	\2p + 1 — n‘ )	2Р-2П.

ai	j	-—-	.—.— t

pi-------j-----j-----------— ;

(7| (2₽+ l-n) (e2’._l)

/ n—1	\ ’

Po7nsin p\e"+l—e2”*)

„ =____________2/CT (2p + 1 - n)______

i2	/ Л—1	>

Po7nvl 0 + «)(!+ sin P) \e"+1 — e2’1,

В частности, для условия пластичности Кулона без учета влия-
ния скорости деформирования уравнение (6.55) допускает аналити-
ческое решение

(6.56)

где Ci — постоянная интегрирования, которая отличается от реше-
ния, полученного в работе [19], наличием слагаемого yi/ai.

Постоянная интегрирования при решении уравнения (6.55) может
быть определена из предложения о распределении энергии взрыва
в начальные моменты времени. Кинетическая энергия среды

Я 2	п2п3 /	2п-1\

W 4-гсро f г2 v^dr =	(1-е "+1).	(6.58)

Q Z	О — «бЛ \	j

Энергия сжатых взрывных газов

4л Р0о3 (о0\3?
е" — 3 7 — 1 UI ’

Рассмотрим теперь камуфлетный взрыв достаточно длинного
цилиндрического заряда ВВ в массиве горных пород. Выберем ци-
214

(6.59)
линдрическую систему координат, направив ось z по оси заряда.
Тогда координаты г и 0 будут определять соответственно расстоя-
ние от точки до оси z и угол поворота относительно ее. Рассмотрим
заряд бесконечной длины. В этом случае все величины, входящие
в задачу, будут зависеть только от координаты г и иметь место
случай так называемой цилиндрической симметрии.

Задача о подземном камуфлетном взрыве с цилиндрической
симметрией решается аналогично, как в случае сферического заряда.

Граничное условие на контуре [13] расширяющегося цилиндра
имеет вид

/Л„\ 2Ъ

аг |г=а = /?0 [—j .	(6.60)

Уравнение движения среды и условие дилатансии в пластической
области записываются соответственно

(6.61)

и

^+Л. = Л('4Е- -)•	(6-62)

дг 1 г \дг г /	'	'

Интегрируя уравнение (6.62), получим

v =	'	(6.63)

гп

где
1 — Л

п~ 1 + Л‘

Повторяя описанную выше процедуру решения задачи, получим
уравнение (6.55) движения границы, в котором коэффициенты ац
71. 72 имеют гид

Р . р 2ер (Р + • —и) . 2sin р .
V| = 2(1 + «)’ ' 1 “	(Ел-1 _ е₽) ’ 'J — 1 — sin р’

{/1(Р+1— n)(s2v'~ 1) .	2«Г(₽+1— п)

71	/ п—1	\ 1 Т2	/ и—1 у

РоТп sin Р (е',+1 — е2’*/	Ро'Ч'Гп (1 + Я) (1 + sin р) (еп+' — е2’1]

(6.64)

Для случая отсутствия влияния скорости деформирования на
прочность горных пород уравнение (6.55) допускает аналитическое
решение (6.57).
Кинетическая энергия, приходящаяся на единицу длины, для
цилиндрического заряда имеет вид

W = р У vrxfidr —	,

' i	2(n—1)

(р ро).

(6.65)

Нужно отметить, что кинетическая энергия, приходящаяся на
единицу бесконечной длинной цилиндрической полости в несжима-
емой среде, равна бесконечности. Этот случай следует также из
формулы (6.65) при п-^\. Однако реальные горные породы (и>1)
обладают дилатансией, вследствие чего кинетическая энергия W
имеет конечную величину.

Произведем расчет скорости расширения полости а от радиуса
а для следующих горнотехнических условий. Камуфлетный взрыв
производится в диабазе. Начальный радиус полости равен а0 =
= 10 см. Прочностные и деформационные характеристики диабаза
приняты на основе лабораторных испытаний следующими: р = 30°;

{/

Ро = 2,9-1О3; A = 1; — = 400 МПа; -р, = 25,2.10~2ккал/(моль-МПа);

КТ = 0,588 ккал/моль; е0 = 3,98.10~24с~1; е = 10~3; т = 1,25. Для
расчета приняты три случая распределения энергии взрыва между
кинетической энергией среды и энергией сжатых газов:

1-й-£„ = 0,2  Ю10 Дж; W = O,2-1O10 Дж; йо = 1,23-103 см2/с2;
ро = 1,2-105 МПа;

2-й — Еп = 0,04.10'° Дж; W = 0,36- Ю10 Дж; а20 = 2,2-109 см2/с2;

ро = 2,4.1О4 МПа;

3-й-£„ = 0,36-10"'Дж; W = 0,04 -1 О'и Дж; al = 3,1 • 10е см2/с2;

ро = 2,2 • 103 МПа.
Результаты расчетов по формуле (6.55) представлены на рис.
107, из которых следует, что скорость деформирования оказывает
определяющее влияние на развитие зоны пластичности при под-
земных камуфлетных взрывах. Упрочнение диабаза с увеличением
скорости деформирования во много раз уменьшает размер этой
зоны.

Выполним расчет камуфлетного взрыва в известняке при следу-
ющих исходных данных: ро = 2,5.10~3; р = 30°; е = 10-3; („ = 37 х
X Ю-2 ккал/(моль • МПа); Ui = 25,9 ккал/моль; КТ = 0,588 ккал/моль.
Для угла внутреннего трения р = 30° величина = -уп. Начальный
радиус полости ао принят равным единице. Величина энергии взры-
ва принята Е = 0,7  109 Дж.

Расчеты выполнены для трех случаев распределения энергии
взрыва в начальный момент времени между энергией сжатого газа
Еп и кинетической энергией W. В первом случае энергия взрыва
распределяется поровну между энергией сжатых газов и кинетиче-
ской энергией, Еп = W = 0,5Е, во втором главным образом в энер-
гию сжатых газов Еп = С),9Е, W = 0,1Е, а в третьем — в кинети-
ческую энергию Еп = O.IE, W = ОДЕ.

Для сопоставления расчеты проведены с учетом и без учета
влияния скорости деформирования на прочность горных пород.

Анализ результатов расчетов показывает, что увеличение проч-
ности горных пород с увеличением скорости деформирования (6.40)
приводит к значительному уменьшению размера полости. Размер
ее для данных исходных характеристик среды и взрыва уменьшает-
ся во много раз (см. рис. 107). В качественном отношении для
обоих случаев расчета с учетом и без учета скорости деформирова-
ния в условии прочности отмечено снижение скорости движения
границы полости с ростом ее размеров.	«

Аналогичные результаты получены при расчетах камуфлетного
взрыва в других породах.

При расчетах отмечено, что размер полости зависит от распре-
деления энергии взрыва в начальный момент времени между энер-
гией сжатых газов и кинетической энергией. Однако выполненные
расчеты для тех же исходных данных, но для сыпучих сред со сцепле-
нием, равным нулю, показали, что расчетные кривые скорости
движения границы полости с увеличением ее размера сближаются.
Этот результат согласуется с данными расчетов, выполненными
в работе [19].

Приведенные расчеты скорости деформирования границы поло-
сти носят качественный характер. Для сравнения с данными натур-
ных наблюдений необходимо рассматривать все этапы процесса
протекания камуфлетного взрыва. Однако приведенное обобщен-
ное решение задачи может быть использовано для развития и углуб-
ления модельных представлений и теории камуфлетного подзем-
ного взрыва.
6.3. Расчет камуфлетного взрыва для пластически
дилатируемой среды

Выше рассматривались особенности распространения ударных
волн в массивах пород при взрыве сферически симметричного
заряда. Предельное состояние массива около контура полости опи-
сывалось с помощью условия пластичности Кулона (6.45).

Обобщим приведенное в работе 113] решение о сферическом
камуфлетном взрыве, основываясь на результатах эксперимен-
тальных исследований по дилатансии горных пород (6.25) и зави-
симости их прочности (6.14) от скорости деформирования.

Постановка задачи состоит в следующем. Рассматривается
сферически симметричный заряд в изотропном однородном массиве.
На контуре полости имеет место граничное условие (6.41), моде-
лирующее давление газа при взрыве. Около контура полости мас-
сив пород при пластическом деформировании обладает дилатансией,
которая описывается уравнением (6.43). Вначале будем предпо-
лагать, что компоненты напряжений между взрывной полостью и
ударным фронтом волны (а<г<7?) удовлетворяют условию пла-
стичности

°г — <?е = k\ + т (аг Ц- 2оо),	(6.66)

где k}, т — параметры среды, характеризующие ее прочность.

Массив пород в предельной зоне около полости считается жест-
копластическим. При давлениях, не превышающих величины р*,
среда не деформируется, а при р > р* происходит необратимая
деформация, при которой плотность изменяется от величины р0
ДО рь

На фронте ударной волны выполняются условия (6.49). Относи-
тельное изменение плотности е имеет вид е = 1 — po/pi, а радиаль-
ное перемещение в предельной области около полости выражается
зависимостью (6.44).

Значение функции к(/) в соотношении (6.44) можно записать так

Х(0 = апа =

(6.67)

откуда, после его интегрирования, получим

an+l —	= е (/?"+' — Оо+'].	(6.68)

Запишем связь (6.68) в виде

а = 8/?,	(6.69)

где

8 =

e+(l-e)^j ]*+".

Учитывая связь (6.69), преобразуем соотношение (6.67) к

виду

а =

(6.70)
Внося выражения (6.44) и (6.66) в уравнение движения (6.42)
и интегрируя его, получим

q (0 _ fei р' (о r-n _ ni2 (/) г~2п]

ra 3m’’"Р* [а 4-1—п а — 2п ]’

(6-71)

где Ci (/) — произвольная функция времени; а = р-, 2,-.

В зависимости от того, в каком виде принимается функция Х(/),
может быть записано дифференциальное уравнение движения отно-
сительно а(1) или R(t). Построим дифференциальное уравнение
относительно движения границы полости, для чего удовлетворим
граничные условия (6.41), (6.49) для напряжения аг и исключим из
полученных соотношений произвольную функцию Ci (/)

ш + f t,'-. J) [( ,• + fe) 8~* ~ ~ Р (°> ]• (672)
где

... I “+1 —« ргп . й(8а — В2п)1

А (й) ~П + 8“(6«-i-“^l) [“ + "“~2п }

8 =	7----------1-------ТГ-	(6’73)

[1_(1_е)(ао/а)л+,]«+'

Величина Б зависит от а, поэтому она является переменной.
С течением времени происходит расширение полости, па основании
чего можно считать, что величина (ао/п)п+1 С 1- Тогда в соотно-
шении (6.73) можно пренебречь слагаемым

(1—е)(по/п)п+1	(6.74)

по сравнению с единицей, тогда	„

1

8 = е"+1.	(6.75)

Нужно отметить, что это аналогично пренебрежению в вышепри-
веденной задаче начальным объемом зарядной камеры (6.54). Коэф-
фициенты в уравнении (6.72) в этом случае будут постоянными.
Вводя обозначения

а, = 2Л; Р»^2^ ° +
r Pi (в«-1-а_1)’

О ₽0 a-f-l — п Г/ .	\	1	/с <гс\

= 2	1	3m) 6	3m}	(6‘76)

запишем уравнение (6.72) в виде

+	(6.77)

Уравнение (6.77) следует из вышеприведенного уравнения (6.55)
при пренебрежении влиянием скорости деформирования на проч-
ность горных пород.
При решении задачи предполагалось, что породы в предельной
зоне около контура выработки удовлетворяют условию (6.66). Вместе
с тем для описания предельного состояния пород получило распро-
странение условие Кулона, которое в главных осях может быть
записано

ar — on — sin p (ar + °o) + 2/e2 cos p,

(6.78)

где /г2 и р — соответственно сцепление и угол внутреннего трения по-
роды.

Из сравнения условий (6.66) и (6.78) следует взаимосвязь между
показателями среды

2sin р ,	6Л2 cos р

т = ------г— ;	= -х----.

3 — sin р ’	3 — sin р

(6.79)

Поэтому рассмотренное решение, с учетом связей (6.79), легко запи-
сывается для условия Кулона (6.78).

Перейдем теперь к задаче о камуфлетном взрыве в вышеприве-
денной постановке с учетом зависимости прочностных свойств пород
от скорости деформирования.

Учитывая зависимость предела прочности пород на одноосное
сжатие от скорости (6.5) деформирования, запишем обобщенное
предельное условие Прандтля

ar — = т (ar -j- 2а0) + Л U\ 4- КТ In [-X- | .

SO

(6.80)

Предположим, что в пластической области вокруг полости (а <
< г < R) компоненты напряжений и скоростей деформирования
удовлетворяют условию (6.80).

Радиальную составляющую напряжений найдем, внося соотно-
шения (6.44) и (6.80) в уравнение движения (6.42), и проинтегрируя
его получим

МО ,
Ь- pi

Y (/) rl~n nA2 (0 г-2п

a —2n

3lnm

_______2КТ
1'п 0 + 2™) (« + О

Г (1 + n) A (/)

e0

+ »)2

а2

(1 + ») А (0
е /•”+'
6 (Г

I 4~ n (I ~l~ n) (t)

л+1
о'

"+1 In

(I + n) A (Q

г гп+|

(6.81)



"1

«+ _|_

a

где Ci (/) — произвольная функция времени.

Граничное условие (6.41) на контуре полости г — а может быть
удовлетворено так:

с. (/)

а

к' (/) al~n _ nk2(f)a~2n '

a — 2n

2RT

t'n (1 + 2/n) (1 + n)

(I ч- П) * (0	|(1 + П);

а2

,2

37nm

(1 + «) * (0
Soa"+1

a

~«+Г _р




[*•» д	—• %

На фронте ударной волны при г = R должно выполняться гра-
ничное условие

°г = Р* — Pie£2,	(6.83)

которое можно удовлетворить следующим образом:

р* — р:еЛ2 =

С] (О



X' (/)	nk2 (t) R~2n

а + 1 — п а — 2п

а

т+» -ф

2КТ

<(1 + 2т)(1 +п)

(1 + «) А (0 ]тЪ f(< + «)2

(1 + п) 1(f)'

е0

а2

^n+i

1-Фп Г (I + п) к (0	. Г (1 + n) х (О I)

+ “	ё07?п+1 I L *оЯп+' ]}'

(6.84)

На основе соотношений (6.82) и (6.84) после исключения Cj (/)
составим уравнение движения границы полости камеры

аа + А (а)а2 4------t 2КТ (а 4-1 —я) б'-"—	.	__

х U« L±Z? р21+л in р2 — ЦЬ?(М'+'О *+"In (М‘+") 4-

82р2И-п_ (8'+„p2)

(а 4- 1 — я) б‘~"

₽1 (6-«+‘+“-lj

где

"1
37> У

(6.85)

Камуфлетный взрыв о цилиндрической симметрией. Рассмотрим
задачу о подземном камуфлетном взрыве с цилиндрической симмет-
рией. В предельной области около контура (а < г < R) породы обла-
дают дилатансией, описываемой соотношением (6.62). Компоненты
напряжений в этой области удовлетворяют обобщенному условию
Кулона (6.45), а давления по контуру расширяющегося цилиндра
изменяются по закону (6.60). Повторяя описанное выше решение
задачи, получим уравнение для нахождения радиуса а расширя-
ющегося цилиндра

ai +А(а^+^	’ X

X IЧ122 (₽2)-4т I8-« In (f,S>) - 8« In М +

I Р
(\2	2	\

₽;уР(Й-₽ + 8р)] = Г>(а),

(6.86)

где

Л(а) =

Р-1

(в — 6Р)

/В4	2

fv+f4i («-«’)+

В₽ — В4 1

₽-2 f

Щй) =

Р-1

?о (5 — 8₽)

U.	1

——— (1 — S₽);

2Tn sin p	J



p _ 2sin p '	„ = 1 +n a

P 1 + sin p ’ P2 Ё„ a’

Заметим, что при пренебрежении в зависимости (6.73) слагае-
мым (6.74) уравнение (6.86) упрощается. В этом случае приходим
к задаче о камуфлетном взрыве с цилиндрической симметрией, рас-
смотренной в предыдущем параграфе. При пренебрежении в условии
прочности (6.78) влиянием скорости деформирования на прочность
горных пород и величине 8, вычисляемой по формуле (6.75), урав-
нение (6.86) допускает аналитическое решение.

Пример. Произведем оценку размеров полости расширения при сферическом
камуфлетном взрыве. Исходные данные для расчета приняты следующими: '(0 —
= 1,25; Ро=8-1О8МПа; Р* = 0,6 МПа; е = 0,05; ^ = 0,14 МПа, Ut/-('n —
= — 1,7 • 103, что соответствует прочностным характеристикам суглинка.

Оценка размеров полости может быть получена из условия а — 0, которое
характеризует прекращение ее роста. Тогда из правой части соотношения (6.85)
следует уравнение для определения размера полости

Р(а) -	(1 - 8~“) - Рш6-а = 0.

(6.87)

Результаты расчетов относительного радиуса полости по формуле (6.86) при
ее расширении с учетом и без учета скорости деформирования приведены в табл. 11.

Таблица 11

п	Относительный радиус полости при т			
	o.i	U.233	0,5	0»?
2,0	4,10/6,34	3,52/1,99	3,19/1,73	3,07/1,69
1,5	4,00/4,81	3,42/1,86	3,06/1,64	2,86/1,60
1,0	3,42/3,52	3,09/1,72	2,78/1,53	2,65/1,49

Примечание. В числнтел- дроби приведены значения радиуса полости без учета
влияния скорости, а в знаменателе — с учетом.

Анализ результатов расчетов показывает, что с увеличением коэффициента т
размер радиуса полости уменьшается. Сильное влияние на размер полости оказы-
вает также скорость деформирования и дилатансия горных пород.
7.	КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
ВОКРУГ ВЫРАБОТОК ПРИ НЕЛИНЕЙНОМ
ДЕФОРМИРОВАНИИ ГОРНЫХ ПОРОД

7.1.	Распределение напряжений вокруг выработок
различного очертания при нелинейном законе деформирования

При определении концентрации напряжений вокруг вырабо-

ток в настоящее время получила распространение модель идеально-
упругого тела. Использование этой модели с помощью методов

теории упругости позволило полу-
чить зависимости для расчета на-
пряжений вокруг выработок основ-
ных форм поперечных сечений.

При большом уровне интенсив-
ности касательных напряжений гор-
ные породы имеют нелинейную за-
висимость между напряжениями и
деформациями. Так, на рис. 108 по-
казана типичная зависимость каса-
тельного напряжения т от наиболь-
шего сдвига у для алевролита.

Для практики представляет ин-
терес нахождение наибольшей кон-
центрации тангенциальных напря-
жений на контуре выработок при
использовании нелинейных зависи-
мостей. Это позволяет оценить об-

большим сдвигом 7 и максималь-
ным касательным напряжением т

ласть применимости модели идеально-упругого тела, найти реаль-
ные значения коэффициентов концентрации напряжений на основе
нелинейной диаграммы между напряжениями и деформациями,
что позволит, в конечном итоге, вследствие снижения этих коэф-
фициентов снизить затраты на обеспечение прочности горных вы-
работок.

Для исследования напряженно-деформированного состояния
массива вокруг горных выработок за пределом упругости наиболь-
шее распространение получила в настоящее время деформационная
теория пластичности:

£1 — е2 — ф (°1 — 02); £2 — Ез = ф (°2 — °з); £3 — Е1 = ф (а3 — О]),

где ф—скалярная функция, определяемая на основе эксперимен-
тальных данных.

Анализ экспериментальных данных (см. рис. 108) за деформиро-
ванием пород в условиях объемных напряженных состояний пока-
зывает, что зависимость между наибольшим сдвигом у и максималь-
ным касательным напряжением т для деформационной теории плас-
тичности может быть описана выражением

-г = 2Вт«+1,	(7.1)

где В, т — постоянные.
В этом случае на основании аппроксимации (7.1) значение ска-
лярной функции

ф = Вхт.	(7.2)

Для описания процесса деформирования массива пород в усло-
виях ползучести при монотонных или медленно изменяющихся на-
грузках может быть использована теория старения. Наиболее удоб-
ная для расчетов формулировка теории старения предложена
Ю. Н. Работновым. На основе кривых ползучести при постоянных
напряжениях строят изохронные кривые для моментов времени
О < t\ < ti < /3 • •  Наличие построенных изохронных кривых по-
зволяет рассматривать задачу нелинейной теории ползучести для
фиксированных моментов времени, как задачу деформационной
теории пластичности с упрочнением. Достаточно только для дан-
ного времени выбрать соответствующую кривую. Поэтому законо-
мерности распределения напряжений, установленные ниже, и методы
их расчета могут быть использованы для определения напряжений
в массивах, деформируемых по законам деформационной теории
пластичности или нелинейной теории ползучести.

Перейдем к исследованию напряженно-деформированного со-
стояния вокруг выработок основных форм поперечных сечений,
заложенных в нелинейном изотропном массиве с Начальным гидро-
статическим напряженным состоянием. Задача сводится к исследо-
ванию напряженного состояния в бесконечной плоскости с отвер-
стием, сжимаемой усилиями у В на бесконечности, где у —средняя
плотность толщи пород; Н — глубина заложения выработки.

Аппроксимируем контур горной выработки функцией

Го = 1 + е cosnO,	(7.3)

где

ci	р	1

е = ----о, го = -н--т-----;

1 + ci	^о	4- cf

Ro— величина, определяющая размеры выработки; р — радиальная
координата контура выработки.

Величины ci и п определяют соответственно очертания и форму
контура: при п — 0 и С] — 0 это окружность; при п = 2 и 0 < с, <
< 1 — эллипс; при п = 3 и Ci — 0,1 — контур, близкий к сводча-
тому; при п — 4 и Ci = 1/9-:-1/Ю—-криволинейный квадрат; при
п == 5, 6, ... 0 < Ci < 1/п -> — криволинейный многоугольник, со-
ответствующий полигональному контуру.

При решении задачи используем условие несжимаемости горных
пород. Решение будет, построено для фиксированного момента вре-
мени, поэтому для удобства в дальнейшем в зависимости (7.2)
время опустим, т. е. будем считать, что для данного момента време-
ни коэффициенты В и т постоянны. Построим вначале решение
задачи для выработки круглой формы (е = 0). В этом случае зада-
ча сводится к решению системы уравнений:
^ + ±р = 0; ee-er = ^-(ae-o^+1.

ее + er = 0;	(7.4)

где ее, ег, а0, аг — соответственно компоненты деформаций и напря-
жений в полярной системе координат; г — радиальная координата.

Используя зависимости

еЛ = du/dc, ее = «/г,	(7.5)

запишем условие несжимаемости в виде

du/dr + и/г =; 0.	(7.6)

Откуда

и = С,/г,	(7.7)

где С] — произвольная постоянная.

Учитывая зависимости (7.5) и (7.6), из первого уравнения си-

стемы (7.4) получим



Из уравнения равновесия системы (7.4)

or = С2 — (1 + т)	' +"‘ —1—,	(7.9)

г1+т

где С2 — произвольная постоянная.

Произвольные постоянные С\ и С2 определяются из граничных ус-
ловий на контуре и бесконечности

ar |r=i — Р', Or при / -> сю.	(7.10)

Тогда

г г 7^ --Р .	rr . 1 -	7^ Р	/*7 114

сг = т//——2-^; ое^Я-Ь-^—j—.	(7.11)

р+т	р+т

Заметим, что коэффициент концентрации напряжений ов на кон-
туре выработки зависит от показателя т нелинейности связи между
напряжениями и деформациями и вычисляется по формуле

К=-^- = -у4------(7.12)

(Н	1 + т 1 + т -(Н	'

Перейдем теперь к исследованию напряженного состояния пород
возле выработки с некруговым контуром. Наличие малого пара-
метра е позволяет линеализнровать задачу. Ограничиваясь первым
приближением, решение задачи будем искать в виде

ф (г, 6) = Фс (г) + еФ] (г, 6),	(7.13)

где Фо (г) — функция напряжений для выработки круговой формы;
Ф (г, 6) — искомая функция.

8 4-497	2 25
Тогда компоненты напряжений и перемещений согласно (7.13)
можно записать

0,1	0,1

Or = ar + ear? = гг ф- ее,;

ов = оо + е°в> sb — so + еее»	(7.14)

Тг.б =	-р-е — еу'в;

где индекс 0 относится к полученному выше решению для выра-
ботки круговой формы; индекс 1 относится к дополнительным со-
ставляющим, подлежащим определению.

Используя выражения (7.4), (7.9) и (7.14) и раскладывая пере-
менные по малому параметру е, получим

е, = kr +"’ — 4); 4 = — kr

•р-е = — Мгг~
т

2m

(7.15)

где k = — V l+ra; А — произвольная постоянная.

Дополнительные напряжения выражаются через функцию
ний Фь

напряже-

1 дЧ . 1	,

г2 ЙО2 + г дг ’ 06 “

д2Ф,

(7-16)

Тг0 дг \г dftj'
Подставляя эти выражения в условие сплошности

Зв»	л; X	а2(п;в)

dr2 dr ‘ dfj2 дг дгдО ’

(7-17)

получим дифференциальное уравнение с переменными коэффициен-
тами для нахождения функции Фц

_г2э4ф,	1 а4Ф, <*»,	1+2ст <?ф,

dr4 г2 db4 дЬ2дг2 1 + тГ

_ 4 2+3/n J_ ^Ф1 _ 1 + 3»? ^Ф1	4 1 + 5m + 5m2 1 ^Ф1

l + »i г йлсЮ2 (] + m)2 dr2	(1 + m)2 г2 <502

Решение уравнения (7.18) ищем в виде

Ф| (г, 6) = /? (г) cosnB,	(7.19)

где R(r) — функция, подлежащая определению.

Внося (7.19) в уравнение (7.18), получим уравнение Эйлера для
нахождения функции R (г)

, d4R .	„ d3R ,	„ d2R , dR , n „

W4	+ ез/’3 ^3- + а-гг2	+ axi + a0R = 0,	(7.20)
.	пт — 1	о „ . 14-2m —3m.

й4 = —1; fc-2-^ ® = 2"! + -jni^.

3m — 1 — 2n2 (1 + 3m) 4m .	_ 2 3 -|- 10m 4- 3m2

«1=-------npn	(l+m)2 •

Частные интегралы уравнения зависят от вид? корней характеристи-
ческого уравнения

a4k (k — 1) (k — 2) (k —3) + a3k(k—V)(k —2)+ a2k(k — l) +
+ a\k 4- ao = 0.	(7.21)

Нормальное cn и касательное т„ напряжения на контуре выработки,
как известно, равны

а„ = ar cos2ai + ее sin2ai + tre sin 2аь

т;! = 2- (ce — Or) sin 2ai 4- тге cos2ab	(7.22)

где ai _ уГол между нормалью к площадке и радиусом-вектором.

С учетом разложения по малому параметру е граничные условия
на контуре выработки записываются так:

и	2(тЯ — Р)	„

а, Ь-i  ----Ч—;----- cos пб;

r I	1	1 Ч- /71

,,	2(ТЯ-Р) . J

Д|г=1  -----l+m ftSlnn6J

Дополнительные напряжения о}, т’е на бесконечности исчезают
Отсюда следуют еще два других граничных условия

о', т'в -> 0 при г -> оо.	(7.24)

Выработка с поперечным сечением круглой формы. Найдем вна-
чале концентрацию напряжений на контуре выработки “круглой
формы, расположенной в известняке с параметром деформирования
т~ 0,163. Отпором крепи будем пренебрегать, т. е. принимаем
р = 0. Напряжение на контуре выработки равно аъ=1г72уН. Для
линейно-деформируемого массива величина его, как известно, будет
равна ае = 2^Н. Представляет интерес результат расчета напряжений
на контуре выработки, сооружаемой в солях с сильной нелиней-
ностью (т «= 2,48). Значение напряжений ao на контуре выработки
круговой формы, вычисленное по формуле (7.12) ое = 0,57?//. В дан-
ном случае линейная теория по сравнению с нелинейной завышает
коэффициент концентрации напряжений в 3,5 раза.

Выработка с поперечным сечением эллиптической формы. Перей-
дем к расчету напряжений на контуре выработки эллиптического
очертания (п = 2), заложенной в известняке. Рассмотрим вначале
случай линейно-деформируемого массива (т = 0). Корни характе-
ристического уравнения будут равны: k\ — 0,274; k2 = —2,07; k3 —
= 4,07; k4 = 1,72. Тогда функция дополнительных напряжений

Ф1 (г, 6) = (CV0'274 4- С3/~2>07 4- Qr407 4- Cgr1’72) cos 2 6.

227

8*
Из условий на бесконечности следует, что С4 = 0. Для нахождения
оставшихся коэффициентов используем два граничных условия.
В связи с невозможностью использования второго из условии на
бесконечности (7.24) введем дополнительное граничное условие.
В основу его положим подтверждаемое теоретически и эксперимен-
тально допущение, что на расстоянии десяти радиусов от контура
выработки касательное напряжение приближенно равно нулю.
Тогда

т'в |г=ю = — (4 — Or). |r=ionsinn0 = —r-^-^sinne.
i пг j q *

Из граничных условий получим систему для определения коэффи-
циентов:

—1,66С2 + 36,18С5 = —2уЯ;

—0,72С2 — 3,07С3 + 0,72Сб = —2ТЯ;

— 3,73С2 — 6,07С3 — 2,28Сб = —2ТЯ.

Из системы следует

С2=—0,6тЯ; С3 = 0,77тЯ; Съ = —0,0837Я.

Напряжение на контуре выработки в этом случае определяется по
формуле

аз —	(2 + 4,9е cos 26).	(7.25)

Найдем напряжение ае на контуре выработки эллиптической
формы с учетом нелинейности. Корни характеристического уравне-
ния (7.21) в этом случае будут равны

^i,2 = 1,14 + i0,97; k$ ~ 4,45; k4 = —2,17.

Функция дополнительных напряжений записывается в виде

Ф1 (г,6) = [C2r1,14 cos (0,97 In г) + C3,I4sin (0,97 In г) + Сф45 +

+ C5r~2’17] cos 26.

Удовлетворяя граничным условиям и решая полученную при
этом систему, найдем

С2 = —0,58тЯ; С3 = —0,07тН; С4 = 0; С5 = 0,58тД.

Напряжения на контуре выработки в этом случае определяются
по формуле

<56 = (1,72 + 5е cos 26) уН.	(7.26)

Значение малого параметра е, характеризующего отклонение эллип-
тического контура от кругового, примем равным е = 0,1. Напряже-
ние <50, действующее по контуру выработки эллиптического очертания,
заложенной в линейно-деформируемом массиве при точном решении
задачи для е = 0,1, может быть найдено по следующей формуле:
_	1.98у/7

°0	1,01 — 0.2 cos 20"	(7-2?)
Результаты сравнительных расчетов, выполненных по формулам
(7.25), (7.26) и (7.27) для характерных точек контура приведены
в табл. 12.

Таблица 12

Угловая координата 6, градус	Коэффициент концентрации напряжений <тд на контуре в долях 7Н по теории			Коэффициент увеличевия напряжений по линейной теории по сравне- нию с нелинейной
	линейной		нелинейной	
	точное решение	приближенное решение		
0	2,44	2,49	2,22	1,12
22,5	2,27	2,34	2,07	1,13
45	1,96	2,00	1,72	1,16
67,5	1,72	1,66	1,37	1,21
90	1,64	1,51	1,22	1,24

Анализ приближенного и точного решения по линейной теории
показывает близость полученных результатов, наибольшее рас-
хождение которых составляет 3,6 %. Это является обоснованием
правомерности использования метода малого параметра для нели-
нейных задач.

Сопоставление результатов расчета по линейной и нелинейной
теориям показывает, что линейная теория дает завышенные зна-
чения коэффициентов концентрации. Для данного типа породы
наибольшее значение коэффициента увеличения напряжений для
линейной теории составляет 1,24, что объясняется небольшим
т=0,163 отклонением закона деформирования от линейного.

Выработка с поперечным сечением сводчатой формы. Найдем
концентрацию напряжений вокруг выработки сводчатой формы
(п = 3), сооружаемой в алевролите с параметром нелинейности
ш = 0,609.

Для линейно-деформируемого массива корни характеристического
уравнения равны: k\ = 3,343; /г2 = —1,096; k3 = 4,488; А = —2,734.

Функция дополнительных напряжений для этих корней

Ф1 (г, 6) = (С2г3-343 + Сзб-'-096 + С^4-488 + С5г-2-734) cos 30.

Произвольные постоянные, найденные из граничных условий, будут
С, = С3 = 0; С2 = — 1,22О99ТД; С4 = 1,221ТЯ.

Для нелинейной среды корни характеристического уравнения
имеют вид: ki — 5,891; k2 = —3,134; k3 = 1,378 + 0,277i; k4 = 1,378—
0,277Z.

Тогда

Ф! (r, 6) = [C2r5-891 + C3/~31134 + С4Г1378 cos (0,277 In r) +

+ CsT1-378sin (0,277 In r)] cos3 6.

Произвольные постоянные вычисляются с помощью граничных усло-
вий и равны: С2 = 0; С3 = —Сц = 0,244уЯ; С5 = —0,555уД.

Величину параметра С], характеризующего контур поперечного
сечения выработки сводчатой формы, примем равным Ci = 0,1, тогда
е = 0,099.
Результаты расчета напряжений о6 для характерных точек кон-
тура выработки приведены в табл. 13.

Таблица 13

Угловая координата 6 градус	Коэффициент концентрации напряжений ад в долях уН по теории			Коэффициент увеличения на- пряжений по линейной теории по сравне- нию с нелинейной
	линейной		нелинейной	
	точное решение	приближенное решение		
0	3,00	2,88	1,52/0,79	1,89/3,64
20	2,29	2,44	1,38/0,68	1,76/3,58
35	1,70	1,78	1,17/0,52	1,52/3,42
60	1,33	1,12	0,97/0,35	1,15/3,2

Примечание. В числителе дроби приведены значения коэффициента при пг=0,609.
а в знаменателе — при т = 2,485.

Анализ результатов расчетов показывает, что коэффициент уве-
личения напряжений ое по теории идеальной упругости по сравне-
нию с нелинейной теорией при/72 = 0,609 изменяется от 1,15 до 1,89.
Вычислим концентрацию напряжений на контуре выработки свод-
чатой формы, сооружаемой в солях, нелинейность закона деформи-
рования которых характеризуется параметром т= 2,485. Корни
характеристического уравнения равны: = 4,176; /?2=—0,751; k3—
=5,579; /г4 = —2,153, а значение произвольных постоянных, вычислен-
ных по граничным условиям, будут: С2==0; С3=0,40833 yf/; С4=
=0; С5 = 0,409т II.

Выработка с поперечным сечением квадратной формы. Найдем
концентрацию напряжений в характерных точках контура выработки
с поперечным сечением квадратной формы (п — 4), сооружаемой
в алевролите с параметром нелинейности т = 0,609, и сравним ее
с соответствующей концентрацией для идеально-упругой среды.
Корни характеристического уравнения для идеально-упругой среды
равны: ki =4; k2 = —2; k3 = 6; /е4 = —4. Значения произвольных
постоянных будут: С2 = С4 = 0; С3 = —С3 = —-(И. Для нелинейной
среды корни характеристического уравнения и произвольные постоян-
ные имеют следующие значения: ki = 4,493; k2 = —1,736; k3 =6,336;
/г4 = —3,579; С2 = С4 = 0; С3 = —0,6735 т/7; С5 = 0,6740 у//.

Результаты расчета напряжений ое при Ci = 1/9 приведены
в табл. 14.

Таблица 14

Угловая координата 6» градус	Коэффициент концентрации Напряжения ад в долях уН по теории			Коэффициент увеличения на< пряжений по линейной теории по сравне- нию с нелинейной
	линейной		нелинейной	
	точное решение	приближенное решение		
0	4,00	3,53	2,10	1,68
20	1,79	2,26	1,39	1,62
45	1,00	0,47	0,38	1,23
Учет нелинейности, как следует из результатов расчетов, при
показателе ее т =0,609, приводит к снижению наибольшей концен-
трации напряжений, наблюдаемой в углу выработки, в 1,68 раза.

7.2.	Концентрация напряжений вокруг горных выработок
с учетом влияния коэффициента бокового распора

Распределение напряжений вокруг горных выработок, как из-
вестно, зависит от величины коэффициента бокового распора в
нетронутом массиве. Величина и характер распределения напря-
жений в нетронутом горными выработками массиве формируется
под влиянием горно-геологических условий, деформационных и рео-
логических свойств пород, развития тектонических процессов и ряда
других факторов.

На основе теоретических исследований и экспериментальных
данных о напряженном состоянии в нетронутом массиве в настоя-
щее время можно выделить следующие три гипотезы. Из отсутствия
горизонтальных перемещений и изотропности свойств весомого
упругого массива А. Н. Динником получено, что коэффициент боко-
вого распора в нем

X=v/(1—v),	(7.28;

где v — коэффициент Пуассона.

Рядом исследователей вводится гипотеза о гидростатическом
напряженном состоянии нетронутого массива вследствие проявле-
ния свойств пластичности и ползучести горных пород. Наконец,
путем натурных измерений установлено, что коэффициент бокового
распора вследствие развития тектонических процессов может отли-
чаться от значений его, полученных по двум предыдущим гипоте-
зам, и превосходить единицу.

Исследуем напряженно-деформированное состояние пород во-
круг выработок основных форм поперечных сечений, сооружаемых
в нелинейно-деформируемых массивах, описываемых уравнением
(7.1). Коэффициент бокового распора X в нетронутом массиве, как
указано выше, принимается в общем случае отличным от единицы.

Задача о напряженно-деформированном состоянии массива вокруг
выработок сводится к распределению напряжений в бесконечной
плоскости с отверстием, сжимаемой усилиями уН в вертикальном
и горизонтальном направлениях:

4“’ = тЯ; с'”’ =	= 0.	(7.29)

Для решения задачи применим метод малого параметра. Функцию
напряжений Ф (г, 6) в бесконечной плоскости с отверстием можно
представить в виде разложения по малым параметрам е и 8, харак-
теризующим соответственно криволинейность проектного контура
выработки и величину отклонения напряжений в нетронутом массиве
от гидростатического их распределения

Ф (г, 6) = S S ^Ф.м (г, 0),	(7.30)

i=0 /=0
где 8 =-g—; Ф<*>Л(г, в) — функция напряжений при t-ом И/-ом при-
ближениях по параметрам е и 8.

Функция напряжений в бесконечной плоскости без отверстия
при условии (7.29) имеет вид

F (г, 6) = 2Т/Д2 Оч + 8cos26),	(7.31)

где X, = (1 + Х)/2.

Компоненты напряжений, соответствующие функции (7.31), равны:

<зе = уН (Х| + 6 cos 26);

ar =	(X] — В cos 2g);

= 8r/7sin26.

(7.32)

Для практических целей при решении задачи можно ограничиться
в функции (7.30), как установлено выше, первым приближением по
малым параметрам е и 8

Ф (г, 0) = Ф(°’о> (г, 0) + еФО-О) (г> е) + 8ф(о.1) gj у 33)

Отметим, что функции Ф<°>°> и ф(ь°) в выражении (7.33) легко
построить, используя результаты подраздела 7.1. Значения их могут
быть получены из предыдущих результатов при замене в них вели-
чины уН соотношением Х|тЯ. Таким образом, задача сводится
к построению функции Ф(о>1’(г, 0).

Выработка с поперечным сечением круглой формы. Компоненты
напряжений вокруг выработки при действии усилий

сг, <зе -> Xij/7 при г -> со	(7.34)

на основе вышеприведенного замечания могут быть записаны

__2_

°г =	— (Х>уУ/ — p)r 1+т;

о0 = Х1ТЯ + |^(Х1ТЯ — р)г >+"».	(7.35)

Составляющие усилий на бесконечности вследствие неравноком-
понентности поля, согласно соотношениям (7.32), имеют вид

<з0 = 8тЯ cos 26; сг — —ЬуН cos 26; ]
s w • оо	(	(7.36)

= cyll sin 26.	)	'

Компоненты напряжений	о(0О,,), До’11 вокруг отверстия,

вызванные неравнокомпонентностью усилий на бесконечности, будем
искать в виде суммы основных и дополнительных составляющих
(0,1)	(0,1)	(0,1).

сг ,	•

;<<•" _	cos 28; S"'1' = 40J’ + т»с«26;|

;<J'> = ,S-'> + THsin2e.	J (7'37)

Граничные условия для дополнительных составляющих на контуре
выработки имеют вид

<з‘0,1) = cos 20; тй’1’ « —^Н sin 26,	(7.38)
а на бесконечности (г оо)

о(°’,’ = ^0>,) = т^,) = 0.	(7.39)

Функция дополнительных составляющих

Ф(°-1) (г, 0) = /?! (г) cos 26,	(7.40)

где Ri (г) — функция, подлежащая определению.

Заметим, что построение функции (7.40) сводится согласно изло-
женному выше методу к решению уравнения (7.20).

Упругая среда. Функция Ф’0-0 (г, 6) дополнительных напря-
жений, найденная из уравнения (7.20), имеет вид

ф(0.О (г, 6) = (с3г°-273 +	+ С5г4-07 + Cer1-72) cos26, (7.41)

где С3, С4, С5, Се — производные постоянные.

Из граничных условий на бесконечности следует, что Се — 0.

Из граничных условий (7.38) на контуре выработки и -я!'1’ — 0
при г = 10 составим систему уравнений для определения С3, С4
и Се, решение которой имеет вид

С3 = — 0,861уЯ; С4 = 0,376уЯ; С6 = — 0,031тЯ.

Напряжение ае на контуре выработки с учетом решения системы
уравнений (7.32) и приведенных выше результатов вычисляется по
следующей приближенной формуле:

аГ1 = ТЯ[1 +Х+ 1,76(1 — X)cos20].	(7.42)

Точное решение [4] имеет вид

Ое = ТЯ[1 q-x + 2(l — X) cos 26].	(7.43)

Нелинейная среда. Найдем концентрацию напряжений а0
на контуре выработки круглой формы, сооружаемой в известняке
с показателем нелинейности т= 0,163. Корни характеристического
уравнения в этом случае равны: Xi,2 = 1,142 + /0,971; /г3=4,45;

= —2,17.

После нахождения произвольных постоянных из граничных усло-
вий (7.38) напряжение ае на контуре выработки может быть записано
так

ое = ТЯ [0,859 (1 + X) 4- 0,958 (1 — X) cos 26].	(7.44)

Найдем также величину напряжения на контуре выработки»
сооружаемой в алевролите с показателем нелинейности т = 0,609-
Корни характеристического уравнения равны- k\ =—1,83;	= 1,25;

ft3 = 1,5; kt = 4,58.

Напряжение на контуре выработки после нахождения произ-
вольных постоянных С\ = 0,142 уЯ; С2 = —0,891 ]Я; С3 = 0,249уЯ;
С4 = 0 может быть определено по формуле

ие = ТЯ [1,12 + (1 —X) 0,82 cos 26].	(7.45)

233
Результаты расчета коэффициента концентраций напряжений се
для упругих (7.42) и (7.43) и неупругих (7.44) и (7.45) пород при
X = 0,8 приведены в табл. 15.

Таблица 15

Угловая координата 0. градус	Коэффициент концентрации напряжений gq в долях по теории			Коэффициент увеличения на- пряжений по линейной теории по сравне- нию с нелинейной
	линейной		нелинейной	
	точное решение	приближенное решение		
0	2,20	2,15	1,74/1,28	1,24/1,67
22,5	2,08	2,05	1,68/1,23	1,22/1,68
45,0	1,80	1,80	1,55/1,12	1,16/1,6
67,5	1,52	1,55	1,41/1,00	1,11/1,5
90,0	1,4	1,45	1,35/0,95	1,07/1,52

Примечание. В числителе дроби приведены значения коэффициента при т — 0,163.
в знаменателе — при т = 0,609.

Анализ результатов табл. 15 свидетельствует об удовлетвори-
тельной сходимости точного и приближенного решений для линейной
теории. Вследствие нелинейности процесса деформирования имеет
место снижение коэффициента напряжений о в по контуру выра-
ботки. С увеличением показателя нелинейности т концентрация
напряжений сто уменьшается.

Выработка с поперечным сечением эллиптической формы. Най-
дем изложенным выше методом концентрацию напряжений вокруг
выработки эллиптической формы. При решении задачи методом
малого параметра ограничимся первым приближением, т. е. функ-
цию напряжений будем искать в виде (7.33).

Упругаясреда. Повторяя выкладки, аналогичные предыду-
щим, а также представленные в подразделе 7.1 для выработки эл-
липтической формы, получим

Oe = Ttf[l + х + 2,45е (1 +X)cos2e-J- 1,76(1 —X) cos 26],
где е— параметр, характеризующий величину отклонения эллип-
тического отверстия от кругового.

Точное решение [4] упругой задачи о распределении напряжений
се по контуру эллиптического отверстия имёет вид

(14^) [cos2e4-Xsin26]-l-x(~4)

св = уН A-i---------——-----------

sin2 ° + (г+Т/ cos2 6

Нелинейная среда. Найдем распределение напряжений
вокруг выработки, сооружаемой в известняке с показателем нели-
нейности m = 0,163. Проведя математические операции изложен-
ным выше методом малого параметра, получим в первом прибли-
жении следующую формулу для определения контурных напряже-
ний:

со =	[0,859(1 + X) + 5ecos20 4- 0,985(1 —X) cos 26].
Расчет напряжений се проведем при величине отклонения эллип-
тического отверстия от кругового е = 0,1 и коэффициента бокового
распора 1 = 0,8. Результаты расчета приведены в табл. 16.

Таблица 16

Угловая координата 8. градус	Коэффициент концентрации напряжений в долях 1Н по теории			Коэффициент увеличения на- пряжений по линейной теории по сравне- нию с нелинейной
	линейной		нелинейной	
	точное решение	приближенное решение		
0	2,65	2,59	2,24	1,16
22,5	2,31	2,35	2,03	1,16
45	1,69	1,80	1,55	1,16
67,5	1,25	1,25	1,06	1,18
90	1,Н	1,00	0,85	1,18

Выработка с поперечным сечением квадратной формы. Найдем
изложенным выше способом концентрацию напряжений в характер-
ных точках контура выработки квадратной формы, сооружаемой
в алевролите с параметром нелинейности т = 0,609 и 1=0,8. Форма
квадратного отверстия характеризуется параметром щ =—1/9.

Результаты расчета напряжений со по контуру для нелинейной
и линейной среды приведены в табл. 17.

Таблица 17

Угловая координата 6, градус	Коэффициент концентрации напряжений од в долях уН по теории		Коэффициент увеличения на- пряжений по линейной теории по сравне- нию с нелинейной
	линейной	нелинейной	
0	0,77	0,51	1,5 *
20	1,83	1,11	1,65
45	3,17	1,89	1,68
70	1,3	0,86	1,51
90	0,07	0,18	0,38

Анализ результатов расчетов показывает, что наибольшая кон-
центрация напряжений в углу выработки снижается в 1,68 раза.
Заметим, что погрешность в определении напряжений о о при 6 =
= 90° для первого приближения по малым параметрам е и 6 оказа-
лась значительной. Увеличение точности можно получить, рассма-
тривая решение задачи с учетом второго и последующих прибли-
жений.

Для практических целей наибольший интерес представляет вели-
чина наибольшей концентрации напряжений, точность определения
которой в первом приближении оказывается достаточной.

Выработка с поперечным сечением сводчатой формы. Рассчитаем
концентрацию напряжений по контуру выработки сводчатой формы
235
при Ci = 0,1, сооружаемой в алевролите с т=0,609 при действии
гравитационных и тектонических сил. Коэффициент бокового рас-
пора в нетронутом массиве вследствие тектонических сил примем
равным К =1,25.

Результаты расчета напряжений ае для нелинейной и линейной
теорий приведены в табл. 18.

Таблипа 18

Угловая координата G, градус	Коэффициент концентрации напряжений ад в долях 7Н по теории		Коэффициент увеличения напряже- ний по линейной теории по сравнению с нелинейной
	линейной	нелинейной	
0	3,04	1,53	1,98
20	2,56	1.37	1,86
35	1,82	1,11	1,63
60	0,94	0,79	1,18
85	1,36	0,89	1,52
90	1,55	0,96	1,61
НО	2,31	1,2	1,92
135	2,45	1,29	1,89
160	1,77	1,12	1,58
180	1,46	1,04	1,4

7.3.	Концентрация напряжений вокруг горных выработок
с неровным контуром

Напряженное состояние вокруг выработок с неровным конту-
ром в настоящее время исследовано для идеально-упругих сред. При
этом установлено, что на впадинах контура образуется дополнитель-
ная концентрация напряжений, которая может достигать значи-
тельных величин. При больших уровнях касательных напряжений
горные породы имеют нелинейную зависимость между напряжени-
ями и деформациями. Вследствие этого, концентрация напряжений
на впадинах неровного контура будет значительно снижена по
сравнению с ее величиной для упругого тела.

Перейдем к исследованию напряженно-деформированного со-
стояния вокруг выработок основных форм поперечных сечений с
неровным контуром, заложенных в нелинейном изотропном масси-
ве с начальным гидростатическим напряженным состоянием. Бу-
дем считать, что нелинейные деформации за пределом упругости
описываются уравнениями деформационной теории пластичности
(7.1). Тогда задача сводится к исследованию напряженного состо-
яния в бесконечной плоскости с отверстием, сжимаемым усилиями
у Н на бесконечности.

Реальный контур выработки опишем [4] трохоидальной кривой,
полученной из системы уравнений:

X — Ro (cos 0 + C| cos nO 4- Со cos m>6);

Y = Ro (sinfi — Ci sinnO — CzsinmiB),

(7.46)
где С2— амплитуда возмущений в долях Ro; mi—целое число
возмущений без единицы.

Ограничиваясь первым приближением по малому параметру е,
уравнение контура запишем так

С,

Го = 1 + е (cos «10 + cos п20),	(7-47)

где

с

П1 = П + 1; «2 = Ш1 + 1; е = ,, J , ЛР Н) = „ Р , =g-
i + c,-rq ЯоУ i + (??+с|

При решении задачи используем несжимаемость горных пород.
Наличие малого параметра е позволяет линеаризировать задачу.
Ограничиваясь первым приближением, решение задачи будем искать
в виде

ф (Г, 6) = Фо (г) + е [ф! (г, 0) + Ф2 (г, 0)],	(7.48)

где Фо (г) — функция напряжений для выработки круговой формы;
Ф| (г, 0), Ф2(г, 0) — искомые функции.

Тогда компоненты напряжений и перемещений согласно (7.48)
можно записать в виде

где индекс 0 относится к решению для выработки круговой формы,
индексы 1 и 2 — к дополнительным составляющим, подлежащим
определению.

Значения дополнительных составляющих напряжений и пере-
мещений определяются изложенным выше методом.

Выработка кругового очертания. Найдем концентрацию напря-
жений на контуре выработки, расположенной в алевролите с пг =
= 0,609. Величина отклонений неровного контура и число впадин
и выступов на нем определяются значениями С2=0,04 и п=8.

Корни характеристического уравнения для линейно-деформируемого
массива (т = 0) равны: ki =s 9,88; k2 — —7,88; k3 = 8,15;	— —6,15.

Функция Ф2 дополнительных напряжений в этом случае запи-
шется так

Ф2 (г, 0) = (С3г9-88 + С4г-7-88 + С5г8Л5 + Сет-6-18) cos 80.

Из условий на бесконечности следует С3 = С$. = 0.
Оставшиеся две произвольные постоянные соответственно будут

С4 = 1,234т77; С5 = — 1,248ТД.

Перейдем к построению функции дополнительных напряжений
с учетом нелинейности.

Корни характеристического уравнения для рассмотренного выше
примера нелинейности равны: ki = 7,07; k2 = —4,88; k3 — 12,24;
= —8,93.

Функция дополнительных напряжений имеет вид

Ф2(г, 0) = (С3г7>07 + С4г-4-88 + С5г12-24 + Cbr8-93) cos 86.

Из условий бесконечности следует С3 = С5 — 0.

Значения оставшихся коэффициентов равны: С4 = —0,294 уН;
С6 = 0,300 уЯ.

Окружное тангенциальное напряжение на контуре выработки,
вычисленное по теории линейно-деформируемого тела при точном
решении задачи для кривой (7.46), может быть определено по формуле

1 — (п — 1)2С£

се = 2уЯ

1 + (п — 1)2С2 — 2 (п — 1) С2 cos nd

Величина напряжений на гладком контуре для неупругих пород
ае = 1,25 у//. Коэффициент увеличения напряжений ов по линейной
теории по сравнению с нелинейной равен 1,6.

Для неровного контура во впадине величина напряжений при
линейной теории ае = 3,55 а нелинейной а0 = 1,97-]•//. На выступе
величина напряжений при линейной теории ао = 1,12 уН, а нелиней-
ной aQ = 0,53 ~(Н.

Погрешность в определении максимального коэффициента напря-
жения для неровного контура при использовании метода малого
параметра составляет 8,17% и лежит в пределах точности инженер-
ных расчетов.

Вследствие нелинейности процесса деформирования пород во
впадинах наибольшая концентрация напряжений <зв снижается
в 1,65 раза.

Выработка с поперечным сечением сводчатой формы. Вычислим
напряжение на контуре выработки сводчатой формы, заложенной
в алевролите с параметром нелинейности т = 0,609. Функция напря-
жений для сводчатого контура («1 = 3; С = 0,1) без учета технологи-
ческих неровностей построена выше.

Перейдем к оценке влияния неровностей. Их параметры примем
следующими: п2 = 9; С2 •= 0,03. Корни характеристического уравне-
ния для упругого решения равны: k{ = 9; k2=—7; k3= 11; /г4 =
= —9, а функция напряжений после нахождения значений произ-
вольных постоянных записывается так

Ф2 (г, 6) == уЯ (г-9 — г-2) cos 96.
С учетом нелинейности корни характеристического уравнения
будут иметь вид: &| = 9,47; Л2 = —6,71; k3 = 11,92; /г4 = —8,56, на
основе которых функция напряжений записывается так:

Ф, (г, 0) =0,671;//	<ж

Значения коэффициента напряжений с0 для характерных точек
неровного контура приведены в табл. 19.

Таблица 19

Угловая координата 6, градус	Коэффициент концентрации напряжений oq в долях ~\Н для контура		Коэффициент у вели- ли гения напряжений по линейной теории по сравнению с не- линейной ДЛЯ контура	
	гладкого	неровного		
			гладкого |	неровного
0	2,88/1,52	3,89/2,11	1,89	1,84
20	2,44/1,38	1,44/0,78	1,76	1,84
35	1,78/1,17	2,49/1,95	1,52	1,56
60	1,12/0,97	0,12/0,37	1,15	0,32

Примечание. В числителе дроби приведены значения коэффициента по линейной
теории, а в знаменателе—по нелинейной.

Из табл. 19 следует, что закономерности распределения напря-
жений а0 на неровном контуре для линейного и нелинейного тела
одинаковы. Однако нелинейность деформирования приводит к сгла-
живанию напряже ний. Величина наибольшего коэффициента концент-
рации во впадине вследствие нелинейности уменьшается в 1,84 раза.
Следует отметить, что, как исключение, напряжение со на выступе
при 6 = 60° возросло примерно в три раза.

Выработка с поперечным сечением квадратной формы. Вычислим
концентрацию напряжений на контуре выработки квадратной формы
при п = 4; ci = 1/9, сооружаемой в алевролите с параметром нели-
нейности т — 0,609. Неровности контура выработки характеризуются
параметрами: т.\ =8, с2 = 0,04.

Результаты расчета коэффициента напряжений с0 для характерных
точек неровного контура приведены в табл. 20.

Т а б л и ц а 20

Угловая координата 6, градус	Коэффициент концентрации напряжений gq в долях уН по теории		Коэффициент увеличения напряжений og по линейной теории по сравнению с нелинейной
	линейной (приближенное ре- шение)	нелинейной (приближенное ре- шение)	
0	4,78	2,82	1,47
20	1,07	0,71	1.5
46	1,73	1,1	1,57
Анализ результатов расчетов показывает, что в распределении
напряжений с6 по гладкому и неровному контуру для линейной
и нелинейной сред наблюдаются такие же закономерности, как для
приведенных выше выработок с поперечным сечением круглой
и сводчатой формы.

Приведенный метод расчета позволяет легко определить кон-
центрацию напряжений вокруг выработок различных форм попе-
речных сечений при наличии неровностей первого и второго поряд-
ков.

7.4.	Напряженно-деформированное состояние пород вокруг
горной выработки при упрочнении и дилатансии горных пород

Напряженпо-деформированное состояние массивов пород проис-
ходит на фоне процессов дилатансии при неупругом деформирова-
нии сред. Распределение напряжений вокруг выработок основных
форм поперечных сечений исследовано выше для пластически не-
сжимаемых сред при пренебрежении процессами дилатансии. Вместе
с тем, как следует из экспериментальных данных (см. гл. 2), горные
породы склонны к относительному остаточному изменению объема,
которое может достигать значительных величин.

Рассмотрим напряженно-деформированное состояние массивов
вокруг выработки при наличии упрочнения и дилатансии пород.
Уравнения состояния сред будем принимать в форме соотношений
деформационной теории пластичности с упрочнением. При моно-
тонных или медленно изменяющихся нагрузках задачи теории
старения при ползучести могут быть при фиксированных моментах
времени сведены к задачам деформационной теории пластичности
с упрочнением.

Уравнение состояния горных пород при нелинейном деформиро-
вании их имеет вид

=	О + ?(Ь 0	-°). (‘=1. 2, 3),	(7.50)

где т = <ч —а3.

Считая, что неупругие деформации развиты, можно пренебречь
упругими составляющими в уравнении (7.50).

На основе анализа экспериментальных данных за деформирова-
нием горных пород будем считать, что упрочнение и дилатансия их
могут быть аппроксимированы соотношениями!

ср (т, I) = В (/)	(7.51)

ft И. /) = -А(/)т"<'),	(7.52)

где В (/), A (t), т (t), п (/) — некоторые функции времени.

При рассмотрении напряженного состояния массива ограничимся
выработкой кругового очертания радиусом Ro, находящейся в условии
240
плоской деформации. Граничные условия на контуре выработки
(г= 1) имеют вид

Ог==^;м = 0	(7.53)

и на бесконечности а,, а8 -» йри г -> со.	(7.54)

Значения радиального напряжения аг=* р соответствуют отпору
крепи.

Компоненты напряжений и деформаций в неупругой области
около контура выработки должнк удовлетворять уравнению равно-
весия и условию сплошности I

da. a—ah

_Л+Х—! = 0;	(7.55)

+ —:=0.	(7.56)

Для плоской деформации уравнение (7.50), учитывая соотношение
(7.52), можно записать

ео — sr *= В (If) (ао — а,);	(7.57)

ее + ел = — А (/)	(7.58)

Из выражений (7.57) и (7.58) следует

ее = 4 В (t) г^>+1 -1. A (t)	(7.59)

Внося соотношения (7.57) и (7.59) в условие совместности деформа-
ций (7,56), получим

1 [(m + 1) Вгт -г пА^-'] -g- +	== 0,	(7.60)

где для удобства записи время t в коэффициенте опущено. Интег-
рируя уравнение (7.60), найдем

1 1

Г = -С-т+ТеХР
, 2

'nA	\

Ь2В п~-т-= 1/

(7.61)

где С — произвольная постоянная.

Уравнение равновесия (7.55) с учетом соотношения (7.61) может
быть проинтегрировано и тогда

<7-62>

при этом напряжение ее записывается в виде
_	„ д _п—т

ав = о, + . = С. -4(Ш- 1) +	(7.63)

где С]—произвольная постоянная.

9 4-497	241
Экспериментальная зависимость, между наибольшим касательным
напряжением ттах — 2т и наибольшим сдвигом р = ei — е3 для
нелинейных пород показана на рис. 108. При небольших касательных
напряжениях зависимость между напряжениями и деформациями
является линейной. С увеличением уровня касательных напряжений
имеет место отклонение от закона Гука. Величину касательных
напряжений, отделяющую на кривой (см. рис. 108) линейный и не-
линейный участки, обозначим через то.

Нелинейное деформирование горных пород имеет место около
контура выработки. С удалением в глубь массива величина каса-
тельных напряжений уменьшается при г->со, значение при т0.
Следовательно, на некотором расстоянии от контура при небольших
касательных напряжениях массив пород будет деформироваться по
закону Гука.

В упругой области компоненты напряжений имеют вид

°4 = 7w(1+4),	(7-64)

где р — постоянная.

Произвольную постоянную Ci в соответствии с уравнением (7.62)
найдем из условия непрерывности напряжений аг на границе раздела
двух сред

=	+	(7-65)

Величина наибольшего касательного напряжения на контуре выра-
ботки tmax — Ъч определяется из уравнения

п—т	т

Р“с' + й-гЬг-<т + 1>1-	<7“>

Произвольная постоянная С находится из соотношения (7.61)
при г 1

Перемещение контура выработки может быть определено из
выражения

=	(7.68)

Решение его имеет вид

« =	— 1 f Anndr,	(7.69)

r r i

где C3 — произвольная постоянная.

242
Значение произвольной постоянной С3 вычисляется из условия
непрерывности перемещений на границе г0 упругой и неупругой
областей

С3 = thro 4- f Arxndr,	(7.70)

I

где ие — перемещение контура области упругих деформаций.

Радиус области неупругих деформаций находится из уравнения
(7.61) при т = то

,	/ „ _п—ги—1 \

11	I nA и I	/<7 71 \

Го = -с -z+т expl 2в	(7-71)

П,2

Перемещение массива в упругой области

и = ге6 = [<зе — v (о, 4- аг)],	(7.72)

где Е, v — соответственно модуль упругости и коэффициент Пуассона
горной породы.

Внося значения дополнительных напряжений из соотношения
(7.64) в выражение (7.72), перемещение контура упругой области

ие = Сото.	(7.73)

Перемещение контура выработки (7.69), учитывая соотношение
(7.70) и (7.73), можно преобразовать к виду

। л-	г’’(Г’

и = “ЙГ ^V)ro(t)Ro + Ro f A(t)^rdr. ..(7.74/

Напряженно-деформированное состояние массива вокруг емко-
сти сферической формы. В массивах пород, например в отложе-
ниях каменной соли, для хранения ряда продуктов используются
подземные емкости и хранилища. Исследуем напряженно-дефор-
мированное состояние вокруг подземной емкости сферической
формы с учетом нелинейной связи (7.51) между напряжениями
и деформациями и дилатансии (7.52) горных пород. При рассмот-
рении напряженного состояния массива вокруг емкости задачу све-
дем к исследованию напряженно-деформированного состояния
бесконечного невесомого пространства со сферой и усилиями на
контуре ее

.- а. = р; т,е =	= 0	(7.75)

и бесконечности

аг, ае,	при Г -* со.	(7-76)

Из условий силовой и геометрической симметрии следует, что

at, = cf, ej = е¥.	(7.77)

• 8	243
Уравнение равновесия имеет вид

da, а, сй

__С + 2^—° = 0.	(7.78)

Условие дилатансии пород записывается

е, + 2ео = — A (1)хп&.	(7.79)

Из связей (7.57) и (7.79) следует

ев = 2В (0 ^(0+1  Л^)

Внося (7.57) и (7.80) в условие совместности (7.56), получим

+-12(т+ 1)Вхт — пАх”~ч£ + ^^ = 0.	(7.81)

Интегрируя уравнение (7.78), найдем

1	1	1пА т"-"-! \

Г~~ С /Н-i ехр — т— 1)-	(7’82^

т 3

Из уравнения равновесия (7.78) с учетом граничного условия (7.75)
могут быть найдены компоненты напряжений

. nA т" т

^ = ^-3-^+1) + ^^-;

„	4 /	,	1 \	. nA Тп~т

°6 - С4 — у [т + -) х +	—-

(7.83)

В упругой области компоненты напряжений имеют вид

и , d —-(//.
a, = т/7 + —

Ов = 7Я —y(d—ТЯ)

(7-84)

где d—постоянная, определяемая из условий непрерывности напря-
жений на границе Го раздела двух сред.

Произвольная постоянная С4 находится из условия непрерывности
напряжений аг при г = Го

A.	О

С4 — §- (m + 1) то + зв п°_.т' = 7^7 + у то- (7.85)

Тогда величина г = xk на контуре полости определяется из
уравнения

. T«—т

р = С,-у(т+ +	(7-86)
После этого вычисления значение произвольной постоянной может
быть сведено к решению уравнения

	/ л Тп—т—^ \  с -	1	exo (— 	1  2(т+1)	—If  3 '	(7.87)
Величина радиуса области неупругих деформаций может найдена из уравнения  ,	,	/ . _п—т— 1 \  _ 1	1	/ nA то	\  Г° с 2(т-Ц> СХР \ ЗВ п~т — If  т 3 т()	быть  (7.88)

Определение напряжений в неупругой зоне сводится к решению
выражения

ф + 2- = —Лт", dr ' г	’	(7.89)
общее решение которого имеет вид  “в	(7.90)

где СБ — произвольная постоянная.

В упругой области дополнительное радиальное перемещение,
вызванное сооружением полости, находится по формуле

_ 1 + V d — fH  и 2Е г2 	(7.91)

Определяя значения произвольной С5 из условий непрерывности
перемещений на границе раздела двух сред, перемещение контура
полости запишем в виде

1 1 I	Г©(0  и = У	то (/) гВ (/) Ro + RoA (0 У	(7.92)

Пример 1. Найти радиус области неупругих деформаций и перемещение кор-
пуса выработки, сооружаемой в массиве солей иа глубине Н = 400 м от земной
поверхности. Исходные данные для расчета: у И = 10 МПа; Ro = 2 м; у = 0,4;
Е = 2  104 МПа; апр = 29,1 МПа. Расчет производится для моментов времени
/ = 0и / = 400 сут. Деформационные и реологические характеристики (см. рис.
32 и 33) получены для каменной соли. Значения их при t = 0 равны: п = 4,37;
А =1,5- 10-8 (МПа)-"; т = 3,43; Б = 2,14  10“7 (МПа)-"1; то=0,5 спр, а
при t = 400 сут будут: п = 4,Об; А — 6,36 • 10—7 (МПа)-"; т = 4,22; В =5,14 X
X IO-4 (МПа)-"1; тй=0,2 апр.

Расчеты показывают, что радиус гв зоны неупругих деформаций в начальный
момент времени t = 0 без учета разрыхления солей и с его учетом имеет одно и
тоже значение, равное гв— 1,2 Ro. Через / = 400 сут значение его при учете ди-
латансии увеличится до г0 = 2,25 Ro, а без учета га =2,8 Ро. Перемещение кон-
тура выработки в начальный момент времени составило соответственно: без учета
245
дилатансии солей « = 0,294 см и с учетом и = 0,388 см. Величина перемещения
через t = 400 сут достигла: без учета дилатансии значения и = 0,632 см и с ее уче-
том и = 0,954 см.

Пример 2. Найти радиус области неупругих деформаций и перемещение кон-
тура выработки, сооружаемой иа глубине Н = 1000 м от земной поверхности.
Исходные данные для расчета: •( Н = 25 МПа; п — 3,84; А = 6,21 • 10—7 (МПа)-"J
т = 2,72; В = 2,23 - 10-5 (МПа)-"1; Ro = 2 м; т0 = 0,35 апр = 9 МПа.

Радиус области пеупругих деформаций составляет соответственно; без учета
дилатансии и с ее учетом г0 = 3,47 Ro и г0 = 3,48 7?0. Перемещения контура вы-
работки без учета дилатансии в неупругой области и с учетом соответственно
составляют: и =1,53 см и «=10,6 см. Наличие дилатансии пород для данных
горнотехнических условий приводит к увеличению перемещений контура в 6,92
раза.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.	А. с. 542937 (СССР). Устройство для динамических испытаний/
Е. Д. Певзнер, А. Н. Ставрогин. Опубл, в Б. И. 1975, № 1672.

2.	А. с. 736742 (СССР). Способ испытаний материалов на динамическое
сжатие/Е. Д. Певзнер, Б. Г. Тарасов, А. Н. Ставрогин. Опубл, в Б. И. 1978,
№ 1981.

3.	А. с. 785680 (СССР) Гидропривод к прессу для испытания образцов
на прочность/А. Н. Ставрогин, Б. Г. Тарасов, Е. Д. Певзнер. Опубл, в Б. И.
1980, № 785680.

4.	Баклашов И. В., Руппенейт К. В. Прочность незакрепленных горных
выработок М., Недра. 1965.

5.	Бессонов М. И. Механическое разрушение твердых полимеров.— Успехи
физических наук. М., Изд во АН СССР, т. 53, № 1, 1964, с. 107—135.

6.	Витман Ф. Ф., Златии Н. А., Шестопалов Л. М. О связи между энергией
активации металлов и их сопротивлением деформированию. Сборник, посвя-
щенный семидесятилетию А. Ф. Иоффе, М, Изд во АН СССР, 1950, с. 331—340.

7.	Войцеховская С. И. Некоторые результаты оценки склонности угля
к хрупкому разрушению по запредельным характеристикам деформирования.—
В кн.: Горное давление и горные удары. Л., 1979, с. 71—73 (Тр. ВНИМИ;
Сб. 3).

8.	Джойстон В., Гилмаи Д. Ж. Скорость передвижения, плотность дисло-
кации и пластичность кристаллов фтористого лития.— В кн.: Успехи физических
наук М , Изд-во АН СССР, 1960, т. 20.

9.	Екобсри Г. Физика и механика разрушения и прочности твердых тел. М.,
Металлургия, 1971.

10	Иванов Б. М., Фейт Г. Н., Яновская М. Ф. Механические и физико-
химические свойства углей ныбросоопасиых пластов. М., Наука, 1979.

11.	Керманский А. Т. Методика исследования горных пород при сложных
напряженных состояниях с учетом газового фактора.— В кн.: Борьба с горны-
ми ударами. Л., 1981, с. 27—30 (Тр. ВНИМИ; сб. 119).

12.	Качанов Л. М. Основы теории пластичности. М., Наука, 1969.

13.	Кузнецов В. М. Математические модели взрывного дела, Новосибирск,
Наука, 1977.

14.	Кузьмин А. Е., Пух В. П. Скорость роста хрупкой трещины в стекле
и канифоли. - В кн: Некоторые проблемы прочности твердого тела. Изд-во
АН СССР, 1959, с. 367—374.

15.	Лодус Ё. В. Влияние скорости деформирования и видов напряженного
состояния на запредельные характеристики удароопасных выбросоопасиых гор-
ных пород.— В ки.: Региональные меры предотвращения горных ударов Л.,
1983, с. 35—39 (Тр. ВНИМИ).

16.	Лодус Е. В. Временные характеристики горных пород.— В кн.: Горное
давление и горные удары. Л., 1975, с. 115—125 (Тр. ВНИМИ; сб. 95).

17.	Лодус Е. В. Структурно-механические исследования соляных пород. М.,
ЦНИЭИуголь, 1978, № 1, с. 30—31.

18.	Механика насыщенных пористых сред / В. Н. Николаевский, К. С. Бас-
ииев, А. Т. Горбунова и др. М., Недра, 1970.

19.	Механический эффект подземного взрыва/В. Н. Родионов, В. В. Адуш-
кии и др. М„ Наука, 1971.

20.	Николаевский В. Н. Механика твердых деформируемых тел.— Итоги
науки. Т. 6 М., 1972.

21.	Николин В И., Лысиков Б. А., Ярембаш И. Ф. Выбросоопасиые поро-
ды больших глубин, Донецк, изд, Донбасс, 1968.

22.	Основы теории внезапных выбросов угля, породы и газа. М., Недра, 1978.
23.	Петухов И. М., Линьков А. М. Об оценках склонности материала
к бурному разрушению.— В кн.: Горное давление и горные удары. Л., 1975,
с. 97—102 (Тр. ВНИМИ).

24.	Полубарииова-Кочииа П. Я. Теория движения грунтовых вод. М.,
Наука, 1977.

25.	Проскуряков Н. М. Внезапные выбросы породы и газа в калийных
рудниках М., Недра. 1980.

26.	Протосеня А. Г., Ставрогин А. Н., Черников А. К. К уравнениям пре-
дельного состояния газонасыщеиных однородных и неоднородных сред и горных
пород.— Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. 1982,
№ 1, с. 3—107.

27.	Протосеня А. Г., Черников А. К. Об интегрировании основной системы
уравнений теории предельного равновесия при условии разрушения.— В кн.:
Физические процессы горного производства. Л., 1979, с. 55—65.

28.	Рейнер М. Реология. М., Наука, 1965.

29.	Соколовский В. В. Статика сыпучей среды. М., Физматгиз, I960.

30.	Ставрогин А. Н. Деформация и разрушение горных пород. В ки.:
Некоторые прикладные задачи механики горных пород. Фрунзе, изд. Илим, 1981.

31.	Ставрогин А. Н. Экспериментальные исследования ползучести и долго-
вечности горных пород. Л., Энергия, 1968.

32.	Ставрогин А. 11.. Георгиевский В. С., Лодус В. Е. Влияние атмосфер-
ной влажности на ползучесть солевых горных пород.— Физико-технические
проблемы разработки полезных ископаемых, 1975, № 1, с. 75—77.

33.	Ставрогин А. Н., Георгиевский В. С., Лодус Е. В. Каталог механических
свойств юрных пород при длительных испытаниях в условиях одноосного
сжатия, л., изд. ВНИМИ, 1973.

34.	Ставрогин А. Н., Кармаиский А. Т. Методика и результаты исследова-
ний механических свойств горных пород при разной влажности в условиях
сложных напряженных состояний. Л., изд. ВНИМИ, 1971.

36.	Ставрогин А. Н,, Лодус Е. В. Ползучесть и временная зависимость
на прочность и деформацию горных пород.— В ки.: Материалы V Всесоюзного
совещания по физическим свойствам горных пород при высоких термодинами-
ческих параметрах. Баку, 1977, с. 21—33.

36.	Ставрогин А. Н. Лодус Е. В. Ползучесть и временная зависимость
прочности горных пород.— Физико-технические проблемы разработки полезных
ископаемых. 1974, № 6, с. 3—10.

37.	Ставрогин А. Н., Лодус Е. В. Влияние структурных факторов на меха-
нические свойства горных пород.— В кн.: Разрушение горных пород при бурении
скважин. Уфа, 1982, с. 49—52.

38.	Ставрогин А. Н., Певзнер Е. Д. Механические свойства горных пород
при объемных напряженных состояниях и разных скоростях деформирования.—
Физико технические проблемы разработки полезных ископаемых. 1974. № 5,
с. 3—9.

39.	Ставрогин А. Н., Певзнер Е. Д. Условия предельных состояний горных
пород при вариации скоростей деформирования.— Физико-технические пробле-
мы разработки полезных ископаемых. 1983, Ne 5, с. 3—11.

40.	Ставрогин А. Н., Протосеня А. Г. Пластичность горных пород. М.,
Недра, 1979.

41.	Ставрогин А. Н. Каталог механических свойств горных пород при
широкой вариации напряженного состояния и скорости деформирования. Л.,
ВНИМИ, 1976

42.	Ставрогин А. Н., Тарасов Б. Г., Певзнер Е. Д. Влияние скорости дефор-
мирования на запредельные характеристики горных пород.— Физико-технические
проблемы разработки полезных ископаемых. 1982, № 5, с. 8—15.

43.	Степанов В. А., Куров И. Е. Долговечность материалов при кручении.
Физика твердого тела. М., Изд-во АН СССР, 1962, с. 137—142.

44.	Чериоусько Ф. Л., Баничук Н. В. Вариационные задачи механики
и управления. М., Наука, 1979.

45.	Шестопалов Л. М. Деформирование металлов и волны пластичности
в них. М., Изд-во АН СССР, 1958.
46.	Brady T. A. mechanical equation of state for brittle rocks.— Int. 3. Rock
Meeh, and Mining Sei., 1970, vol, 7, No, p. 485—421.

47.	Kumar A. The effect of stress rate and temperature on the strength of
basalt and granite;-—Geophysics, 1968. 33, (3), p. 501—51-0.

48.	Washington D. C., Houpert Rene. Le role du temps dams le comporment
a la rupture des rcches.— Adv. in Rock Meeh., 1974, vol. 2. Part A.

49.	Heard C. Effect of large changes in strain rate in the experimental defor-
mation of marble.— J. of Geologu, 1963, vol. 71, No. 2, p. 90—99.

50.	Robinscn L. H. The effect of pore and confining pressure on the failure
process in sedimentary recks.—Quar. Colorado, School of Mines, 1959, vol. 54,
No. 3, p. 617— 622.

51.	Bieniawsky Z. T. The time—dependent behavior oi fractured rocks.—
Rock Mechanics, 1970, vol. 2. No. 3.

52.	Peng S. S. Time—dependent aspects of rock behavior as measured by a
servccontrolled hydraulic testing machine.— Int. J. Rock Meeh, and Min. Sci..
1973, vol. 10, No 3.
g ПРИЛОЖ ЕНИЕ 1
(234567	9	1	11	12	13	|4	15	16
Мрамор (К о е л га)
<зг = 0
Ig’ej, с"1	9,32	7,78	6,48	5,23	5,50	4,48	3,41	1,00	1,71	0,40	1,29	1,47	1,86
тп, МПа	37,0	39,4	37,3	38,6	37,8	42,2	45,7	52,0	42,0	47,0 68,0	75,0	93,0
-су, МПа	28,0	32,0	27,5	28,0	32,0	30,0	30,0	32,5	35,0 37,5 45,0	57,5	65,0
Дег • IO"3 0,4	0,5	0,9	0,4	0,4	0,5	1,3	1,9	0,5	0,0	1,7	3,5	2,8
Де  10-3	0,8	3,6	4,4	2,4	0,6	1,8	2,3	5,2	3,0	1,4	14,4	8,2	12,8
о2 = 20 МПа
igef, с"1	8,00	6,20	4,30	4,90	2,10	1,44	0,98	1,86
тп, МПа	67,5	66,9	80,7	84,7	85,5	85,5	92,0 135,5
ty, МПа	52,5	52,5	52,5	55,0	55,0	60,0	62,5	85,0
Де1 • Ю-3	2,0	2,6	4,1	3,4	3,1	9,4	27,0	5,0
Д0 • 10-3	5,8	10,2	9,8	4,4	8,3	24,8	41,8	15,0
о2 = 50 МПа
lgef, с~!	8,80	6,20	6,90	5,50	4,86	3,20	2,40 Г,52	1,07	1,87
тп, МПа	86,0 101,0	92,5	99,0 108,5 116,0 125,0 119,0	125,0 162,5
Ту, МПа	60,0	87,5	62,5	70,0	75,0	75,0	75,0	90,0	75,0 105,0
Де, • 10“3	25,9	9,8	15,7	11,0	26,2	13,2	13,4	7,8	29,6	6,8
де . КГ"3 62,0	35,0	33,0	32,0	8,0	14,0	17,0	12,0	45,0	6,0

о2 = 100 МПа

Igtj, с-1	8,18	7,60	6,40	6,80	5,20	5,40	4,40	4,83	3,58	4,70	2,20	1,46	1,60	0,42	1.14	1,95
Тп, МПа	131,7	127,0	151,0	134,0	136,0	131,0	149,0	150,0	157,9	137,5	148,0	157,8	163,5	154,0	182,0	202,0
Ту, МПа	70,0	85,0	120,0	80,0	90,0	95,0	100,0	110,0	125,0	85,0	85,0	120,0	105,0	120,0	135,0	135,0
Де,  I0-3	96,0	248,0	42,0	240,0	28,0	192,0	24,0	34,0	29,0	38,0	44,0	28,0	85,0	33,0	27,0	24,0
де • 10-3	71,0	146,0	30,0	108,0	29,0	163,0	12,5	72,0	41,0	20,0	25,0	29,0	32,0	35,0	19,0	16,0
							= 150 МПа						1			
1g ч»0—1	7,73	6,91	5,59	3,14	2,33	1,47	0,57	1,70								
тп, МПа	197,0	195,5	202,5	194,7	203,8	188,9	191,0	240,0								
Ту, МПа	115,0	100,0	110,0	140,0	145,0	135,0	140,0									
Де, . 10“3	328,0	292,0	302,0	145,0	145,0	45,0	34,0									
де  ю~3	175,0	114,0	56,0	85,0	84,0	53,0	33,0									
						Диа баз										
							а2 = 0						1			
1g Ч. с"1	9,Ю	9,60	7,54	6,84	5,26	4,34	2,54	1,30	1,53	0,84	1,10	1,43				
• тп, МПа	125,0	127,0	124,0	125,0	120,0	120,0	184,0	167,5	152,5	215,0	209,0	255,0				
Ту, МПа	115,0	80,0	110,0	122,5	100,0	107,5	130,0	125,0	130,0	215,0	155,0	230,0				
Де, • 10“3	0,2	0,4	0,3	0,2	0,2	0,4		0,8	0,3	0,1	0,7	0,3				
де• io-3	1,0	0,9	1,7	0,5	0,4	0,6	2,7	0,1	0,9	—	0,4	0,5				
						а	2 = 50 МПа									
' 1g Ч> С-*	8,50	7,80	6,54	5,70	4,70	3,70	Г,26	1,35	1,85	0,57	0,80					
тп, МПа	260,0	261,5	260,0	268,0	278,5	293,0	312,5	300,0	312,0	323,0	332,0					
Ту, МПа	185,0	205,0	210,0	165,0	180,0	240,0	230,0	250,0	160,0	200,0	205,0					
Де, • 10~3	3,3	3,6	3,6	2,9	V	3,2	4,2	5,5	5,5	4,9	5,5					
ДО . 10~3  м сл *•*.	14,0	15,4	8,5	1,4	8,2	11,6	31,8	11,6	8,6	11,8	15,8					
												Продолжени°			П Р Й л	5 ж 1
СП																
ЬО	)	2	3	4	5	6	7	ь	9	10	1]	12	13	14	15	16
						G	= 100	МПа								
Ige'i. С-1	8,60	6,00	6,60	5,90	4,80	3,30	Г,45	1,50	Т,91	0,65	0,70	1,50				
Тп, МПа	320,0	316,5	320,0	315,0	343,4	377,8	375,0	392,0	409,0	—	419,0	439,0				
ту, МПа	225,0	230,0	230,0	200,0	210,0	240,0	270,0	235,0	235,0	—	235,0	200,0				
Де, • 10~3	6,4	5,0	5,5	4,3	5,1	6,0	6,0	11,0	7,1	6,8	9,5	5,1				
Д0  10~3	17,8	11,6	14,5	4,5	9,3	13,5	17,6	24,7	19,5	13,5	24,1	14,2				
							= 250 МПа									
lg h, с-1	6,85	4,07	3,15	Т,52	0,04	0,35	0,85									
тп, МПа	512,0	494,0	483,0	545,0	537,5											
Ту, МПа																
Де1 • 10~3	20,7	0,7	6,6	20,1		21,1	23,4									
де. 10~3	—1,2	0,9	1,8	2,8		0,9	—4,8									
					Ква рцевый			п е с ч а	НИК							
							а2 = 0									
1g ч. с-1	ТО,76	8,20	7,50	6,14	5,30	5,90	3,50	2Д0	Т,72	1,15						
ти, МПа	29,7	37,8	38,7	36,6	43,0	40,2	52,7	48,5	54,5	63,5						
Ту, МПа	22,5	21,0	16,5	16,5	20,0	17,5	15,0	20,0	30,0	25,0						
Де, • 10~3	1,2	0,6	0,3	0,2	0,2	0,4	0,2	0,3	0,2	0,1						
ДО-1 0 ~3	6,0	9,6	8,4	7,8	9,8	9,4	6,8	5,8	5,6	4,6						
lg *i, с-1						°!	= 50 МПа									
	8,50	6,50	5,40	4,00	3,80	2,90	1,94									
тп, МПа	114,0	114,5	120,0	117,5	140,0	138,5	166,5									

Ту, МПа	82,0	81,0	80,0
Де, • 10~3	1,0	1,0	1,4
ДО • 10~3	5,4		
lg Ч- е~'	8,50	7,00	6,50
тп, МПа	143,0	151,6	143,0
Ту, МПа	110,0	110,0	100,0
Де, • 10~‘	39,4	44,5	1,9
ДО • 10~3	—2,0	—	—
!gel> с-1	6,25	5,58	3,30
тп, МПа	82,5	48,0	90,0
Ту, МПа	72,5	42,5	50,0
Де, • 10—3			
ДО • 10-3			
1g ч, с~'	8,72	7,87	6,64
тп, МПа	215,0	205,0	213,0
Ту, МПа	108,0	125,0	125,0
Де, • 10~3	5,5	4,2	4,4
до • ю~3  СО	16,6	25,0	14,0

85,0	95,0	100,0	115,0		
1,9	2,7	1,4	9,7		
3,8	4,4	3,6	5,4		
		°2	= 100 МПа		
4,50	3,80	2,70	1,95		
147,5	171,0	195,0	233,0		
100,0	105,0	125,0			
2,0	2,6	0,8			
1,7	2,3	3,6			
	ВО песчаник			(Донбасс)	

о2 = О

Т,31	0,50				
84,0	96,0				
55,0	60,0	в	j=50 М	Па	
5,00  202,5	2,84  217,0	1,40  200,0	0,50  220,0		
170,0	175,0	120,0	150,0		
0,8		6,8	4,2		
6,5		4,4	1,2		


	"родолжен.. е	р ь л о ж. 1
1	1	'   ?	'?	4	1 Ь	6	ч	а	Я	Ц,	ц	|2	13	и	15	IS
	с2 = 100 МПа	
lg Sj, с-1	8,75	7,95	6,78	5,00	3,00	1,40	0,50	
тп, МПа	315,0	263,0 248,5 225,0	248,0 247,0 278,5	
<у, МПа	115,0	120,0 155,0 190,0 150,0 160,0 190,0	
• 10“'	12,2	14,6	12,4	0,6 • —  22,4	18,6	
Д0 • 10“3	8,2	27,6	12,2	2,6	—	—9,0 —14,0	
	я2 = 150 МПа	
1g «1> 0-1	8,85	6,00	6,75	2,89	П40	0,50	
тп, МПа	345,5	331,5 336,0 302,5 310,0 302,5	
ту, МПа	180,0	180,0 180,0 240,0 ‘ 180,0 200,0	
Д'^ • 10“3	17,6	19,1	19,5	1,0	34,6	22,5	
Д0 . 10“3	5,1	12,6	0,6	4,9 —21,3 —16,6	
	НВО песчаник (Донбасс)	
	Я 2= 0	
lg If, с-1	6,26	5,55	3,32	Т,32	1,40	
тп, МПа	87,0	61,0 103,5 112,5	132,5	
Ту, МПа	72,5	35,0	50,0 104,0 110,0	5
Д«! • 10“3	»	1	
до. 10“3		
	о2 = 50 МПа	
1g 4, с“’	8,61	7,79	6,58	5,00	Т.40	1,40	
тп, МПа	218,2	200,0 199,0 196,0 205,0 214,0	
Ту, МПа	170,0	140,0 130,0 150,0 150,0 190,0  <	•	j	।	;	

Де, • 10“3	2,6	(  3,5	2,7	0,3
де  ю-3	6,0	19,2	13,2	6,0
lg\. С-1	3,79	7,95	6,79	5,00
тп, МПа	285,0	251,0	245,0	225,0
Ту, МПа	150,0	140,0	150,0	180,0
Де, • 10“3	3,7	4,9	5,7	0,8
Д0 • 10“3	20,4	14,6	16,6	4,6
lg с-1	8,79	7,97	6,70	2,97
тп, МПа	345,0	276,5	291,0	275,0
ту МПа	190,0	150,0	175,0	180,0
Де, . 10“3	12,3	5,8	15,4	0,5
Д0 • 10“3	2,3	6,6	5,6	—
			Каменная	
• ш по «ШИ	8,17	8,90	7,37	6,55
Тп, МПа	13,1	14,2	15,5	18,4
Ту, МПа	6,1	6,0	6,0	8,4
Aej • 10“3	36,5	36,7	41,8	42,6
ц ДО • 10“3	38,5	21,5	51,0	52,0

2,1	0,5	1			>	S
8,8	6,4					
		= 100 МПа				
2,86	1,40	1,40				
245,0	250,0	285,0				
180,0	145,0	185,0				
0,4	20,8	2,5				
3,2	— 10,2	4,0				
	°2 =	= 150 МПа				
Т,40	0,40	1,40				
277,0	280,0	307,5				
150,0	160,0	190,0				
21,0	6,8	3,1				
— 10,6	—3,0	1,2				

соль (Старобинское месторождение)
о2 = 0

5,14	4,14	3,17	2,80	1,90	0,48	1,40
14,2	13,8	11,7	11,2	11,2	10,8	11,3
6,5	7,5	7,5	7,5	7,0	7,5	7,5
30,Ь	28,4	11,9	27,6	8,8	13,9	13,2
46,5	47,5	44,0	81,0	26,5	56,0	72,0
ьэ																
О 															П р од	о л же	h и е п р н л о ж, 1		
	1	3	3	4	5	6	7	-	9	10	11	12	13	14	15	16
				Каменная соль (Та				джн к	с к а я	ССР)						
lg.s,, С—1							=2 = 0									
	8,25	7,31	6,57	5,66	4,62	3,59	2,3	1,4						f		
тп, МПа ту, МПа	12,3  4,5	14,3  5,0	16,0  6,2	15,7  5,5	14,8  5,5	15,6  5,2	14,0  4,2	13,0  5,0								
Де, . 10“3	98,5	76,0	73,5	71,5	27,0	6,5	4,5	4,0								
де • ю-3	22,0	25,0	22,0	47,0	15,0	13,0	6,0	2,0								
			Сильвинит (Старобинское месторождение)													
	9,15						0g = и									
lg Si, с-1		9,65	8,75	8,85	7,50	6,66	5,28	4,19	3,40	2,81	1,80	0,40	1,40	1,80		
тп, МПа	5,8	7,3	10,3	9,3	11,5	15,1	17,6	15,0		17,7		18,8	21,5	17,8		
ту, МПа	—	—	5,7	—	—	8,5	9,0	7,8		10,5		12,5	12,0	13,5		
Де, . 10 3	11,0	38,0	77,0	54,0	23,0	80,0	92,0	30,0	33,0	83,0	36,5	32,0	46,5			
де. ю~3	—	—	20,0	—	31,0	19,0	45,5	86,0	29,0	48,0	49,0	68,0	60,0			
					Бурый		уголь	(Ш ураб)								
lgsf, С-1							os = С									
	8,47	7,37	6,57	5,29	4,13	4,88	2,92	0,20	0,98						V	
тп, МПа Ту, МПа	2,9	2,2	5,0	2,5	2,6	3,5	3,7	3,9	6,6							
Де1 • 10“3	2,0	3,5	3,0	3,7	3,5	2,0	6,0	4,0	0							
де • ю-3	19,0	17,0	13,0	23,0	20,0	—	6,0	2,0	0		.							
	6,67	5,55				°г	= 2,5 МПа									
1g Ef, С-1			4,95	2,67	0,22	0,82										
тп, МПа	6,4	5,5	9,3	9,4	11,4	10,2										

Ту, МПа										
Д®! • 10~3	7,0	3,5	23,0	32,5	25,0	26,0				
де. ю~3	4,0	14,0	146,0	—6,0		з 0	5,0				
							о, = 5 МПа			
lg Ef, Сл.*	6,65	5,25	4,95	2,86	0,22	0,93				
тп, МПа	9,6	9,0	12,7	12,2	14,4	14,2				
Ту, МПа										
Aef • 10“3	5,0	10,5	17,2	44,5	49,0	32,0				
де • 10~3	40,0	31,5	134,0	—2,0		8,0	—13,0				
					Каменный уголь (Кизел)					
							а2= 0			
lgs*f, С-1	8, 5	7,60	6,35	4,85	1,42	1,80	0,50			
тп, МПа	13,3	11,7	11,8	8,6	8,5	9,3	3,6			
Ту, МПа										
Д<4 • 10“3	0,5	0,7	0,6	0	0,65	0	0			
Д9 • 10””3	0,7	4,2	0,4	0	0,3	0	0			
				Известняк 1			Ленинграде л анец)			
							as= 0			
lg	с“1	9,95	7,30	6,05	5,90	3,26	1,00	0,08			
тп, МПа	48,5	46,0	48,5	61,5	57,0	62,0	69,0			
Ту, МПа	35,0	35,0	40,0	44,0	47,0	47,5	53,0			
Дг1 • 10-3	0,8	0,6	0,6	0,60	1,4	1,9	2,0			
Д0-1О -3	3,6	2,6	0,8	1,4	6,4	6,3	3.2			
					t		= 20 МПа			
Ige’f, с“‘	8,71	7,84	6,59	1 4,24	1 3,79	| 1,50	0,29			
ц тп, МПа	66,0	68,5	76,0	79,0	88,0	93,0	95,0			
to сл												продолж			е Я и е	пр и лож. |	
		1	2	3	4	ь	О	7		9	10	И	12	13	14	1S	16
	ту, МПа	44,0	45,0	49,0	55,0	60,0	64.0	69,0								*	
	Де,  10~3	10,4	5,2	6,8	4,0	5,0	12,5	9,3									
	ДО • 10“3	13,6	15,7	7,8	5.4	17,6	13Д	17,4									
							°!	= 50 МПа									
	lg *f, с-’	8,99	6.19	6,96	4,48	3,96	0,50										
	тп, МПа	98,0	97,5	98,0	110,0	115,0	128,0										
	Ту, МПа	59,0	63,0	69,0	77,0	85,0.	92,0										
	Де* • 10-3	25,1	20,0	18,0	10,0	12,8	24,0										
	ДО . Ю-3	37,0	20,2	29,0	4,5	26,0	7,4										
						Антрацит (Донбасс)											
								4 =	0			,	!	1					
	1? Sf, С~’	9,98	7,43	6,03	6,60	5,52	3,72	2,79	0,05	0,60	0,79						
	тп, МПа  Ту, МПа	10,8	8,4	11,3	10,4	. 15,4	16,5	10,8	18,3	11,5	12,8						
	Де, • ю-3	0,25	1,1	2,2	1,3	0,6	2,6	0,7	1,2	0	2,1						
	Д6 . 10~3	0,6	6,0	13,4	2,4	4,8	3,8	6,0	0,6		16,0						
								= 10 МПа									
	lg Sf. С-’	6,30	6,92	4,28	3,64	1,00	0,14	0,69	0,89								
	тп, МПа  Ту, МПа	32,8	30,9	22,0	30,3	30,3	38,0	32,0	44,5	»							
	Де,  10-3	0	1,6	2,6	2,4	2.6	0,8	1,1	2,4	9							
	де  10-3	0	8,4  Г	5,0	4,0	5,0	0,8	2,9	10,8								

			я, = 25 МПа								
1g 4-, с-1	6,30	5,08	4,10	3,55	2,97	0,13	0,37	0,71			
тп, МПа	40,0	47,2	38,0	43,3	63,5	69,3	71,0	49,0			
Ту, МПа Де, . 10~3	1,4	4,2	5,8	4,0	0,7	0,6	0,8	1,8			
ДО . 10“3	3,7	3,4	—3,8	—0,4	3,7	1,5	2,9				
						Ч	= 50 МПа				
1g Ч, c-J	6,13	5,21	4,13	3,45	2,59	0,16	0,72				
тп, МПа	58,5	56,6	54,0	61,5	85,0	74,0	66,2				
Ту, МПа Д81 • 10~3	3,3	1,6	4,4	4,3	1,0	2,6	5,2				
де. ю~3	0,2	0,4	6,6	5,9	4,8	—1,8	4,9				
							а2 = 100 МПа				
1g ч. с~'	6,14	5,26	5,99	3,46	2,55	0,01	0,62				
Тп, МПа	65,0	84,0	57,2	91,0	119,0	90,0	90,5				
Ту, МПа Де, • 10“3	0,8	1,6	3,4	12.4	0	5,0	4,4				
де • io-3		18,3	—0,6	—0,4	—0,1	1,0	—1,5				

Мрамор

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

SS3

Да$, МПа	67,0	77,5	69,5
• 10-3	1,8	2,7	3,4
Ч • 1°"3	0	0,4	2,2

57,0	40,0	28,0
3,9	4,9	5,8
4,6	9,2	13,8

Мрамор
а2 = О

19,0	8,5	0,5
7,0	8,9	13,4
23,0	33,4	57,3
Продолжение ррилож. 2

260	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	1  11	12	13	14	15	16
						°!	= 2,5 МПа									
Дах, МПа	47,0	60,0	80,0	95,2	88,6	80,0	74,0	60,0	37,6	28,0	26,4	24,8	23,5			
вх • 10~3	2,8	3,6	4,4	6,4	6,8-	9,0	11,0	14,0	15,8	20,8	31,8	52,0	65,4			
Sg • 10-3	0,2	0,4	1,0	4,4	9,2	16,0	23,6	32,0	37,2	42,2	53,6	77,4	92,0			
		*				°2	= 10 МПа									
Дсх, МПа	52,5	80,0	93,0	106,5	115,5	111,0	105,0	99,5	86,0	68,5	51,7	50,0	38,0	5,0		
вх • 10“3	2,0	3,0	3,5	4,7	5,7	8,5	11,3	14,5	22,2	26,0	40,0	80,0	81,5	83,0		
в2 • 10~3	0,5	0,7	1,0	2,0	4,3	11,5	18,7	28,7	52,2	61,0	73,5	125,0	128,0	136,7		
						°2	= 25 МПа									
Дсх, МПа	58,0	91,0	126,0	135,0	145,0	149,0	146,0	137,5	128,7	115,0	109,5	106,5	97,5	.88,2	82,0	,81,5
Bj • 10~3	2,5	3,5	5,5	6,0	8,0	10,2	16,3	28,0	35,5	48,2	62,0	80,7	107,0	127,5	150,0	191,2
в2 • 10-3	0,5	0,7	1,0	1,7	4,0	! 8,5	20,0	41,0	57,0	77,0	91,0	108,0	136,7	177,2	208,5	251,2
							= 50 МПа									
Дах, МПа	70,0	110,0	140,0	162,5	185,0	191,7	189,0	177,0	160,7	153,0	142,0					
в, . 10-3	2,0	4,0	5,5	6,5	10,0	16,5	30,0	60,0	111,5	135,0	184,0					
ss • 10-3	0,2	0,7	1.2	2,0	5,0	8,5	36,0	83,0	160,0	190,0	247,0					1
						ff2	= 100 МПа									
Дсх, МПа	57,0	108,0	179,0	203,0	234,5	246,0	253,0	262,0	266,0	268,0	271,0	271,5	269,5	254,5	237,0	
вх . 10“3	2,0	4,0	6,0'	8,5	14,5	19,5	27,0	48,5	98,5	122,0	150,0	189,0	210,0	251,5	311,5	
в2 • 10“3	0	0,5	2,0	2,5	6,0	11,5	19,0	43,0	102,0	139,0	178,5	214,0	231,5	299,5	374,5	

а2 = 150 МПа																
гах, МПа	62,5	158,0	205,0	252,0	273,5	305,5	327,3	342,0	373,8	390,0	413,0	419,6	405,7	392,0	376,6	375,0
вх. 10“3	2,0	6,0	8,5	13,3	20,1	42,5	66,5	98,8	164,8	198,0	246,0	298,0	332,8	402,0	402,0	417,5
е2. IO"3	0,3	1,2	2,0	4,1	9,0	26,2	49,0	79,4	139,0	169,4	217,7	277,4	320,8	368,8	421,0	443,0
Ддх, МПа	69,0	117,0	164,0	199,0	266,0	300,0	= 250  356,6	МПа  397,0	470,0	552,8	594,0	631,3	681,7	704,0	706,4	700,0
вх • 10“3	3,8	4,8	7,7	10,5	21,5	30,8	62,5	96,7	166,8	244,0	275,0	309,0	350,0	393,0	408,0	416,0
в2 . 10~3	1,5	2,5	4,0	66,6	13,8	16,0	34,0	46,0	81,0	128,0	151,0	174,0	199,0	231,0	248,0	253,0
Дсх, МПа	2,2	3,0	3,6	4,5	Б3  4,9	р ый  5,0	УГОЛ1  с2 = 0  2,9	(Шу  2,3	раб)  1,8	1,8	1,9	1,9	2,0	2,1	2,3	
• 10~3	4,0	6,2	8,1	10,4	12,3	14,2	15,4	16,9	18,8	29,4	32,7	35,7	38,5	41,9	45,3	
в2 • Ю“3	1,4	2,3	2,9	4,2	5,9	20,3	26,5	30,8	35,9	53,6	58,7	63,5	67,7	73,0	77,7	
Дсх, МПа ех • 10~3 в2 • 10~3  Дах, МПа	2,1  2,5  1,0  15,5	3,6  6,0  2,1  3,1	5,0  8,9  3,2  4,3	6,1  12,7  4,5  5,4	7,5  15,8  5,9  60	а  8,3  18,6  7,2  8,4	.= 1  9,5  22,7  9,1  = 2,5  9,6	1Па  10,6  27,3  12,0  МПа  10,6	11,2  32,6  15,3  11,5	5,7  32,6  19,3  12,3	6,0  36,0  21,6  12,9	6,0  39,0  23,7  13,5	13,7	10,1	8,9	8,7
вх • 10“3	3,2	6,6	9,8	13,3	16,8	21,2	25,8	30,8	34,2	37,8	42,0	45,2	48,2	53,3	58,0	•61,6
Ю	п  2 г2 • Ю~3	0,9	1,7	2,4	3,2	4,3	5,4	6,4	7,2	8,3	9,6	11,2	12,2	12,3	11,2	11,2	И.2
О ю		_	Продолжение прило ж. 2															
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	И	12	13	14	15	16
						а2 = 5 МПа										
Да,, МПа	6,9	10,0	13,5	17,1	18,8	18,1	16,7	17,2	16,7	15,6	15,5	14,5				
г,  10~3	13,9	21,0	28,2 .	42,9	58,0	74,3	89,7	123,2	146,0	197,4	238,9	259,3				
Ч • 10-3	4,3	6,7	9,7	15,1	24,7	40,4	54,6	82,0	99,4	134,2	159,1	172,5				
						С	2 = 10 МПа									
Да,, МПа	4,0	7,3	10,3	12,8	14,7	16,7	20,0	24,5	26,3	27,9	28,0	27,6	26,1	25,2	25,0	
s, • !0~3	6,4	13,0	19,6	26,3	33,0	40,0	54,0	83,2	114,1	146,9	164,0	182,0	218,4	237,8	259,5	
Ч  Ю~3	2,0	3,7	5,7	7,3	9,5	11,6	16,3	26,4	38,8	51,7	-58,0	65,1	87,4	100,8	106,4	
							= 25 МПа									
Да,, МПа	4,1	7,2	9,9	12,0	14,1	16,3	18,4	20,2	23,5	29,0	35,7	40,6	43,7	46,8	46,4	46,0
г, • 10~3	6,3	12,8	19,4	26,0	32,7	39,5	46,4	53,4	67,7	97,9	145,2	179,4	215,8	254,5	295,7	339,7
Ч • IO”3	1,5	3,2	4,3	5,6	7,2	9,1	10,7	12,2	15,4	22,4	34,7	42,4	52,4	63,5	79,6	98,3
						с.	= 50 МПа									
Да,, МПа	11,0	16,3	25,2	32,0	36,9	41,8	45,0	49,5	51,5	52,7	53,4	53,2	52,8			
е, • 10“3	13,6	26,6	53,5	76,0	97,0	120,3	145,0	179,3	214,4	253,9	295,1	339,2	385,9			
ч • ю-3	3,5	6,7	13,3	19,3	25,7	34,7	44,6	58,7	73,8	91,7	108,1	121,4	131,9			
						Ч	= 100 МПа									
Да,, МПа	20,6	30,2	41,4	49,5	54,6	58,5	62,0	63,2	64,0	64,0	640,6	64,3				
г, • 10~3	13,9	27,3	55,2	90,0	117,2	150,2	203,9	233,7	264,2	308,9	349,5	353,5				
Ч . IO”3	5,4	11,2	24,2	39,4	51,4	65,1	84,8	95,9	105,3	117,7	126,6	135,4				

Гранит
а, = 0,3 МПа

Да£, МПа	50,0	80,0	115,0	140,0	153,0	164,0	140,0	115,0	100,0	75,0	40,0	30,0	30,0	16,0		
t£ • 10~3	1,4	2,0	2,8	3,5	3,9	4,6	4,7	4,8	—	4,9	5,2	5,7		8,5		
ч • ю-3	0,1	0,2	0,4	0,6	1,1	2,4	6,9	—	21,0	32,2	37,0	38,9	45,0			
						а.	= 5 МПа									
Ди£, МПа	’ 46,0	114,0	157.0	170,0	200,0	214,0	212,0	202,0	192,0	174,0	142,0	126,0	116,0	104,0	76,0	72,0
• IO”3	1,3	2,8	3,8	4,1	5,1	5,9	6,3	6,7	7,0	7,2	7,8	8,4	9,0	10,0	12,6	13,7
ч • io-3	0,2	0,5	0,7	0,9	1,3	2,6	4,6	9,4	12,1	16,8	26,6	33,3	38,3	45,0		

з, = 10 МПа

Да,-, МПа	44,0	108,0	165,0	200,0	224,0	231,0	234,0	224,0	200,0	162,0	132,0	112,0	102,0	83,0	65,0
СО СО  4 ' у	1,4	2,9	4,2	5,2	6,4	6,9	7,5	8,4	9,3	9,8	10,5	11,4	12,5	15,6	19,7
	0,1	0,4	0,6	1,2	1,9	2,6	3,8	9,9	15,4	20,1	22,4	24,5	25,3	28,7	33,4

МПа

Дс£,

si '

Ч •

а4 = 25

МПа	55,0	124,0	187,0	240,0	280,0	305,0	313,0	315,0	305,0	240,0	213,0	200,0	186,0	176,0	160,0
10-3	1,5	2,9	4,4	5,7	7,1	8,6	9,3	10,0	10,6	11,3	12,0	12,6	13,5	15,0	18,3
10~3	0,2	0,6	0,9	1,5	2,4	3,9	5,1	7,4	10,5	19,3	22,5	24,9	27,6	30,2	38,8

ю
о
ы

Ч •

Ег •

МПа

Да.

а, = 50

МПа	70,0	136,0	208,0	260,0	333,0	390,0	420,0	433,0	435,0	432,0	409,0	380,0	247,0	236,0	215,0	204,0
10~3	1,4	2,9	4,4	5,6	7,9	10,1	11,6	12,9	13,6	—	—	13,7	14,2	15,1	18,6	21,6
10~3	0,2	0,5	0,7	1,2	1,9	3,3	4,8	6,8	7,5	8,6	10,7	11,6	15,6	17,1	21,1	24,6
ю

1	2	3	4	5	6		8	9	16	11	12	18	14	15

= 100 МПа

°2

Да2, МПа	77,0	217,0	340,0	440,0	520,0	571,0	590,0	598,0	590,0	580,0	425,0	407,0	385,0
.4 1 Ю-3	1,4	4,3	7,2	10,1	13,0	15,6	17,1	17,8	18,4	18,6	19,6	21,6	25,0
ч • ю_ 3	0,2	0,8	1,5	2,6	3,6	5,1	6,6	7,6	9,0	9,5	17,6	21,5	26,6

МПа

а2= 150

До,, МПа	190,0	274,0	422,0	680,0	814,0	853,0	880,0	868,0	840,0	660,0	630,0	606,0	576,0	566,0	552,0
Sj • !0~3	2,9	4,4	7,1	13,4	17,4	19,4	20,8	22,8	23,3	23,7	24,9	28,0	30,1	—	35,9
Ч-10~"	0,4	0,8	1,4	3,5	5,2	7,0	8,7	11,4	14,0	23,2	25,4	28,8	—	35,1	44,4

НВО

аник

п е сч

а2 = 0

Ас,.

МПа

• IO”3
в2 • IO"3

30,0

1,6

0,1

74,0

3,3

0,2

109,0

4,7

0,5

130,0

5,5

1,0

137,5

5,8

1,6

142,0

6,2

2,7

!40,0

6,6

134,0

6,9

3,3

98,0

7,1

6,1

71,0

7,3

9,4

51,0

7,5

13,1

48,5

8,1

37,0

8,4

19,0

24,0

8,6

24,1

18,0

9,0

11,5

10'

с2 == 5 М Па

Да.

ei •

е2 '

МПа

10-3

10“3

90,0

4,0

0,2

132,0

165,0

179,0

5,3

0,5

6,8

1,0

7,6

2,2

180,0

8,0

3,2

178,0

5,4

167,0

8,8

9,5

155,0

8,9

14,0

145,0

9,1

18,0

140,0

19,6

111,0

9,5

24,0

94,0

10,2

25,0

80,0

11,0

26,4

60,0

13,4

30,0

48,0

16,5

43,0

18,0

38,0

а2 = 10 МПа

Asj,
Ч'

МПа
10-3

41,0

2,0

80,0

3,5

124,0

4,6

160,0

6,1

185,0

7,2

190,0

8,0

189,0

8,7

181,0

9,3

175,0

9,6

161,0

10,1

132,0

10,3

108,0

10,4

95,0

10,9

81,0

11,5

66,0

14,0

е2 • 10“3

0,4

0,5

1,0

2,0

3,4

4,6

8,7

10,6

13,8

17,4

18,5

20,4

23,6

Да.

«1 •

е2 •

а2 = 25 МПа

МПа	50,0	95,0	140,0	182,0	236,0	255,0	260,0	263,0	265,0	256,0	242,0	220,0	212,0	200,0	186,0	176,0
10-3	1,4	2,6	4,0	5,4	7,4	8,4	9,0	9,4	9,9	10,9	10,9	11,0	П,2	11,6	13,0	15,5
10-3		0,2	0,4	0,6	1,1	1,9	2,2	2,7	3,4	5,0	6,1	7,0	7,9	—	11,2	14,5

а2 = 50 МПа

Да.

е1 •

е2 •

МПа
10-3
Ю-3

95,0

2,6

0,2

180,0

5,3

0,8

261,0

8,0

1,5

332,0

11,3

350,0

12,5

3,4

355,0

13,4

4,4

358,0

13,8

5,0

359,0

14,3

5,4

353,0

15,4

6,3

333,0

16,0

7,2

270,0

16,6

12,5

255,0

17,5

15,0

245,0

18,8

17,8



а2= 100 МПа

Да,

е,

МПа	50,0	141,0	225,0	340,0	400,0	425,0	430,0	440,0	442,0	439,0	425,0	405,0	376,0	350,0	342,0	339,0
10—3	1,3	3,9	6,5	11,4	14,8	16,3	17,5	19,3	20,0	20,9	21,9	23,9	25,6	28,4	30,9	41,0
10“3		0,3	1,0	1;8	3,1	3,7	4,6	6,0	6,6	7,5	8,7	10,7	13,5	16,4	18,8	

ю
р»
сл
Время t	• IO-3	4 • io—3	±е₽. io—3	Время 1	—»f - io—3	. io—3	±w>.io-3

Калийная соль с изолирующими покрытиями, Верхнекамское месторождение,
опр = 29,1 МПа

folat =	3,15 • 10-13		= 0,85				
	0,047						
"пр = 24,73 МПа; E0/ag			=				
6,15  109		; п — 3;		а = 0,7	„	_ 9П .47 МПа.		ч=3; 1, ч
	0,045				-пр		
0	10,6	9	7,4	0	6,5	10	13,5
0,5	12	11	10	5	11	14,75	18,5
5	15,7	18,0	20,3	10	13	18	23
10	19	24	29	15	14	20	26
15	22	28,5	35	20	14,5	22	29,5
20	23	31,5	40	25	15	23,5	32
25	25	36	47	30	15,5	25	34,5
30	28	45	62	35	16	26,5	37
35	32,5	63,5	94,5	46	16,5	28,75	41
				56	17,5	31,5	45,5
		а = 0,6 с	пр= 17,46 МПа; п		= 2; t, ч		
0	4,5	3	1,5	7	13,8	17	20,2
1	8,5	7,75	7	10	15,4	20,2	25,2
3	11	11,75	12,5	14	17	24	31
				29	27	45	63
а = 0,5 а	пр = 14,53 МПа; п =		3; /, сут	а = 0,3	о =8,73 МПа; ж =		= 3; t, сут
0	2	1,25	0,5	0	0,4	0	—0,4
1	4	2,9	1,75	1	0,6	0	-0,6
5	5,25	4	2,75	30	1	0,05	-0,9
15	6,5	5,35	4,2	37	1.1	0,05	—1
19	7	6	5				
30	7,67	6,92	6,17	57	1,2	0,1	—1
27	8,17	7,5	6,83	87	1,4	0,4	-0,6
47	8,5	8	7,5	98	1,4	0,4	-0,6
57	9	8,7	8,4	109	1,4	0,4	—0,6
67	9,29	9,17	9,05	119	1,4	0,4	-0,6
77	9,75	9,75	9,75	130	1,5	0,4	-0,7
98	10,3	10,9	11,5				
109	10,6	11,5	12,4	140	1,5	0,5	-0,5
119	10,9	12	13,1	151	1,5	0,45	—0,6
140	н,з	13	14,7	161	1.6	0,45	-0,7
151	11,6	13,5	15,4				
161	11,9	14	16,1	172	1,7	0,45	—0,8
171	12,1	14,3	16,5	182	1,8	0,45	—0,9
131	12,3	14,7	17,1	193	1.8	0,45	—0,9
193	12,5	15,1	17,7	202	1,8	0,45	—0,9
202	12,6	15,4	18,3	211	1,8	0,45	-0,9
211	12,7	15,6	18,5	221	1,8	0,45	-0,9
221	12,8	15,8	18,9	231	1,8	0,45	-0,9
231  242	12,9  13	16  16,4	19,1  19,8	242	1,8	0,45	-0,9
Время t	—f - ю-з	«2 • IO-3	±е₽-1о-з	Время t	. ю-з	. io-3	±В₽-10~3

Калийная соль без изолирующего покрытия, Верхнекамское месторождение,
опр = 29,1 МПа

о = 0,7	о = 20,4 МПа; п		= 1;	а = 0,7 опр = 20,4 МПа;			п = 1;
6,21	10“/0,0316	= е</ае 1	ч	6,21 • 10»/0,0316 = е0/ае-			7, 4
0	6	6,75	7,5	149	28	44,5	661
1,25	8	9,25	10,5	151	28,5	45	1,5
3	9	11	13	167	31	52	73
5	10	12,25	14,5	169	31,5	53,5	75,5
7	11	13,5	16	175	33	55,5	78
9	11,5	14,25	17	191	36,5	64,5	92,5
10	12	15	18	198	42	68,5	95
23,5  47,5	14  17,2	18,5  23,8	23  30,4	о = 0,5	опр= 14,5МПа; п =		= 1; 7, сут
72	19	28	37	0	4,5	3,5	2,5
96	22,6	32,8	43	10	12,5	16	19,5
143,5	27,5	43,25	59	15	16	21	26
146,25	28	43,75	59,5	20	18	25	32
				25	20	28	36
				30	21	30,5	40
= 0,5 о	= 14,5 МПа; п =		1; 7, сут	о=0,3	°п₽ = 8,7	МПа; п =	= 1; t, сут
35	22	32	42				
40	23	33,5	44				
45	23,5	34,5	45,5				
50	23,8	35	47	0	0,6	0,1	—0,4
60	24	35,8	47,6	5	1	0	—1
80	24,5	36,5	48,5	10	2	0,7	—0,6
100	25	37	49	20	3	1,5	0
125	25	37	49	30	3	1,75	0,5
150	25,5	37,5	49,5	40	3	2	* 1
175	25,5	37,5	49,5	50	3	2	1
200	26,7	37,6	49,5	65	3,5	2,5	1,5
220	25,8	37,9	50	80	3,3	2,5	1,7
231	25,9	38	50,1	100	3,5	2,75	2
254	26	38,2	50,4	125	3,6	2,8	2
276	26,2	39	51,8	150	3,6	2,8	2
290	27	40,5	54	175	3,6	2,8	2
305	28	42,2	56,4	200	3,6	2,8	2
330	34	47	60	220	3,9	2,9	2
350	38,2	59	79,8	366	4	3	2
376	42,8	68	93,2	300	4	2,6	1,2
410	46,4	73,5	100,5	350	4	2,5	1
430	47,5	75	102,5	350	3	2,5	1
450	47,5	75,75	104	400	4	2,6	1,2
498	47,8	76,4	105	450	4	2,75	1.5
524	47,8	76,4	105	500	4,1	2,8	1,5
564	47,8	76,5	105,2	565	4,2	2,4	0,6
620	48	77	106	620	4	3	2
675	51	81	111	675	4	2,9	1.8
699	55	87	119	730	4	2,9	1,8
715	57	90,5	125	730	4	2,9	1,8
725	58,5	96,25	134	785	5	3,75	2,5
750	62,5	104	145,5				
785	69	116	163				
Время t	• 10—3	% . 10-3	±6Р.10~3	Время t	—•%  10—3	*2 • IO-3	±8Р-10—3

Калийная соль, Первый Солигорскнй калийный комбинат, III гор.							
			а = 35,1 МПа				
а = 0,8 апр = 28,1 МПа; я			= 3;				
*0	Iat = 6,10-10-' 3/0,0214	=			а = 0,65 опр = 22,8 МПа;			п = 7
	= 4,10 • 10»/0,0224; /,		ч			, ч	
0	8,5	9,5	10,5	5	13,5	16,5	19,5
0,25	11,5	13,5	15,5	10	18,5	23	27,5
0,4	13	15	17	20	23,5	30,5	37,5
0,5	14	16,25	18,5	30	26	35	44
0,75	16	18,75	21,5	40	27	38,5	50
1	17	20,6	24,2	50	27,5	41,5	55,5
1,2	18	22	26	60	29	44	59
1,25	18,5	22,2	25,9	70	31	47,5	64
1,5	19,5	23,75	28	80	32	50,5	69
1,75	21	25,25	29,5	90	33	53,5	74
2	22	27	32	100	34	56,5	79
2,25	22,5	28,25	34	107	35	58,5	82
		а = 0,5 а	пр = 17,5 МПа; п=		=5; 1, ч		
2,5	23,5	29,75	36	0	4	4,5	5
2,75	24,5	3,1	37,5	12	9,5	И	12,5
3	25	32,5	40	24	12,5	16	19,5
3,5	27	36	45	36	14,5	19	23,5
4	29	38	47	48	16	22	28
4,5	30,5	41,35	52	60	18	24	30
5	32	44,75	57,5	72	19	26	33
5,5	34	48	62	84	21	28	35
6	36	51	66	96	22	30	38
6,5	38	53,5	69	108	23	31,5	40
7	40	56,25	72,5	120	23,5	33	42,5
7,25	43	59	75	132	24,5	34,5	44,5
				144	25	36	47
				168	26,5	39	51,5
				192	28	41,5	55
				216	28,5	44	59,5
				240	30	46,5	63
...				264	31	49	67
				286	32	51,5	71
				308	32,5	53,25	74
				332	33,5	55,75	78

Калийная соль, Первый Солигорскнй калийный комбинат, II гор.,
апр = 15,3 МПа

с = 0,9 а = 13,8 МПа; п			= 3;	а = 0,75 ап_= п,5 МПа;			п = 3
	= 2,71-10»/0,0369; t		ч		t,	сут.	
0	4,5	1,25	—2	0	1,2	0,5	—3
3	6,6	3,2	-0,2	2	5,3	3,6	1,9
12	10	5,5	1	5	7,1	5	2,9
24	12	7	2	17	9,2	7,1	5
45	14,5	9	3,5	35	10,2	8,1	6
60	16	11	6	70	11,6	9	6,4
Время t	-»f • io-3	•J • КГ-3	±6Р. 10—3	Время t	—• 10—3	е2 • 10-3	±ер-ю—3
90	18	14	10	97	12	9,5	8
120	20,5	17,5	14,5	120	12,3	9,8	7,3
180	25,5	24,75	24	148	12,6	10,15	7,7
226	29,5	30,5	31,5	182	13,2	10,8	8,4
288	33	38	43	230	14,6	12,25	9,9
315  336	35,5	45	48  53	а = 0,5 апр = 7,65 МПа;			п = 2;
369	40	49,75	59,8		Г,	сут	
399	43	54,5	66	0			
432	47,5	60,5	73,5	16	5	0,9	—3,2
456	52,5	66,5	80,5	35	5,8	1,2	—3,4
480	58	73,5	89	60	6,55	1,4	—3,75
				70	7,3	1,8	—3,7
				97	7,8	2,1	—3,6
				120	8,1	—	-3,5
				148	8,7	2,65	—3,4
				200	9,7	3,2	—3,3
				280	11,6	4,15	—2,8

Калийная соль,

Первый Солигорскнй калийный комбинат,

опр = 29 МПа

с = 0,8 спр = 23,2 МПа; п = 5;

t0/at = 5,38 • 10-12/0,0134 4/аё =				а = 0,65 апр = 18,9 МПа; п = 5; t, ч			
	= 3,17 • 108/0,0144; 1, ч						
0	7	8	9	0	4	2	0
2	17	18,5	20	1	6	4,5	3
4	22	25	28	2	7,5	6	4,5
4	25	31	37	8	12	12	12
8	28	36	44	10	13	14	15
10	31	41	51	15	15	16,5	18
13	36	49	62	20	17	19	21
15	37	53	69	28	19	22,5	26
17	40	58	76	30	21	25	29
20	42	64	86	35	23	28	33
25	47	76	105	40	25	31,5	38
28	50	87	124	45	26	34	42
29,5	52	99,5	147	50	28	37	46
				60	31	43	55
а = 0,5	апп — 14,5	МПа; п =	5; t, ч	70	34	49,5	65
	пр			80	37	57	77
0					40	65	90
1	3,75	3,12	2,5	у и  1 ПЛ	42	76	ПО
5	7,7	7,6	7,5	I UV 11Л	43,5	85	126,5
10	10,25	10,25	12,25	1 IV 19Г)	48	94,5	141
15	12,25	14,5	16,75	1ZU  1ОК	52	101	131
20	14,25	17,5	20,75	1 ZO  I9Q	54	109,5	165
25	16,25	20,5	24,75	190	54	109,5	165
30	18,5	23,25	28	IZy			
35	20,75	26,25	31,75				
40	23,2	29,4	35,5				
45	25,25	32	38,75				
50	27,75	35	42,25				
Предисловие..................................... s ,	,	3

1.	Методы исследований механических свойств горных пород............б

1.1.	Методика экспериментальных исследований при заданной скорости
деформирования ..................................................... 5

1.2.	Методика испытаний при скорости деформирования от 10~10 до

10-2 с-1	 7

1.3.	Методы измерения	деформаций.....................................8

1.4.	Ползучесть и	долговечность	горных пород.........................9

1.5.	Методика исследований при сложных напряженных состояниях . 10

16.	Методика исследований при скорости деформирования от 10~1 до

1.7.	Методика исследований полных диаграмм «напряжение — деформация» 14

1.8.	Жесткий пресс для испытания при одноосном сжатии в статических
условиях нагружения ................................................15

1.9.	Жесткий пресс для испытаний в условиях одноосного сжатия при
динамическом режиме нагружения......................................16

1.10.	Универсальная жесткая испытательная установка трехосного сжа-
тия для исследований механических и фильтрационных свойств горных
пород......................................................... ....	18

2.	Предельные состояния горных пород при разных значениях скорости
деформирования и видах напряженного состояния.......................19

2.1.	Экспериментальные исследования прочности и пластичности ... 19

2.2.	Экспериментальные исследования ползучести и долговечности гор-
ных пород.......................................................... 31

2.3.	Петрографические определения размеров зерен пород и их описание 41

2.4.	Анализ результатов экспериментальных исследований горных пород
при разных значениях скорости деформирования и видах напряженного
состояния...........................................................47

2.5.	Условия предельных состояний ..................................48

2.6.	Деформации за пределом упругости.............................  51

2.7.	Анализ результатов экспериментальных исследований свойств
горных пород........................................................53

2.8.	О статистической модели многокомпонентной неоднородной среды . 62

2.9.	Возможности и основные положения кинетической теории прочности 73

2.10.	Синтез кинетической и статистической теорий прочности горных пород 78

2.11.	Предельные состояния двухкомпоиентиой среды с умеренной диспер-
сией свойств ....................................................   87

2.12.	Деформация и разрушение однокомпонеитиой среды с большой дис-
персией свойств отдельных элементов.................................88

2.13.	Зависимость прочности горных пород от скорости деформирования
при динамическом нагружении.........................................95

3.	Полные диаграмму «напряжение — деформация», включающие запре-
дельные области ....... ..........................................  96

3.1.	Одноосное сжатие. ...	 96

3.2.	Полные диаграммы «напряжение—деформация» при трехосном
напряженном состоянии..............................................102

3.3.	Поровое давление и механическое поведение горных пород . . .116

3.4.	Фильтрационные свойства горных пород..........................120

3.5.	Влияние скорости деформирования на запредельные характеристики 125
270
4.	Пластичность горных пород	....... 128

4.1.	Особенности пластического деформирования горных пород .... 128

4.2.	Ассоциированный закон течения.................................136

4.3.	Интегрирование уравнений теории предельного равновесия при

плоской и осесимметричной деформациях..............................141

4.4.	Деформирование горных пород при разупрочнении.................146

4.5.	Решение некоторых геомеханнческнх задач теории предельного
равновесия ....	  161

5.	Предельное состояние	газонасыщенных горных пород...............167

5.1.	Условия предельных состояний газонасыщениых пористых горных
пород..............................................................167

5.2.	Исследование системы уравнений газонасыщенной среды с по-
ровым давлением....................................................175

5.3.	Пластическое деформирование газонасыщенных горных пород при
фильтрации газа через них..........................................178

5.4.	Упруго-пластическое распределение напряжений в газоиасыщеииом
массиве вокруг выработок кругового	очертания и скважин............186

5.5.	Расчет напряженного состояния газоносного массива вокруг выра-
боток при известном давлении газа вокруг них.....................  194

5.6.	Распределение напряжений вокруг сферической полости с уче-
том порового давления ............................................ 200

6.	Динамические задачи теории пластичности горных пород.........202

6.1.	Прочность и пластичность горных пород при переменных скоростях
деформирования...................................................202

6.2.	Расчет камуфлетного взрыва при разрушающем сдвиговом напряжении 210

6.3.	Расчет камуфлетного взрыва для пластически дилатируемой среды 218

7.	Концентрация напряжений вокруг выработок при нелинейном дефор-
мировании горных пород...........................................223

7.1.	Распределение напряжений вокруг выработок различного очертания
при нелинейном законе деформирования.............................223

7.2.	Концентрация напряжений вокруг горных выработок с учетом влия-
ния коэффициента бокового распора................................231

7.3.	Концентрация напряжений вокруг горных выработок с неровным
контуром.......................................................’•	236

7	4. Напряженно-деформированное состояние пород вокруг горной вы-
работки при упрочнении и дилатансии горных пород.................240

Список литературы..............................................  247

Приложения...................................»...................250
Андрей Николаевич Ставрогин,
Анатолий Григорьевич Протосеня

ПРОЧНОСТЬ ГОРНЫХ ПОРОД И УСТОЙЧИВОСТЬ ВЫРАБОТОК
НА БОЛЬШИХ ГЛУБИНАХ

Редактор издательства Е. И. Волков
Переплет художника Г. И. Бронниковой
Художественный редактор О. Н. Зайцева
Технический редактор Е. С. Сычева

Корректор Л. В. Сметанина

ИБ № 6196

Сдано в набор 17.12.84. Подписано в печать 11.07.85. Т-16239. Формат 60X90f/ie- Бумага
книжно- ж урн альная. Гарнитура «Литературная». Печать высокая. Усл. печ. л. 17,0.. Уел,
«р.-отт, 17,0. Уч.-изд. 18i0. Тираж 2550 экз. Заказ 4-497/9037—9. Цена 3 руб*

Ордена «Знак Йочета» издательство «Недра», 103633, Москва, К-12.
Третьяковский проезд, 1/19.

Харьковская книжная фабрика «Коммунист», 310012, Харьков 12, ул, Энгельса, 11.