Александр Гайштут, Григорий Литвиненко
задачник
к школьному
КУРСУ
«Магистр-S» Москва «АСТ-ПРЕСС»
1998

УДК 51
ББК 22
Г12
Гайштут А.Г., Литвиненко Г.Н.
Г12 Стереометрия: Задачник к школьному курсу. — М.: АСТ-ПРЕСС: Магистр-S, 1998. —128 с.
ISBN 5-7805-0214-5
ISBN 966-557-031-5
Задачник к школьному курсу «Стереометрия» соответствует учебной программе по геометрии и адресован
учащимся 10—11-х классов, учителям, абитуриентам и студентам педагогических вузов.
г 1M05QQQQ-M7 удк 51
8Ш9(03)-98 Б££22
О А.Г. Гайштут, Г.Н. Литвиненко, 1998
О «ACT-ПРЕСС», 199S
ISBN 5-7805-0214-5 © «Магистр-S», 1998

ПРЕДИСЛОВИЕ
Объем рассматриваемого на уроке материала
возрастает, если при решении геометрических задач
пользоваться готовыми чертежами, но в этом случае
достаточно хорошо развивается пространственное
воображение. Наибольший эффект в обучении или
самообразовании учащихся дает разумное сочетание
тех или иных заданий.
Система расположения материала, форма
оформления и наличие справочного материала выгодно
отличает его от имеющихся задачников.
Большая часть задач составлена авторами с таким
расчетом, чтобы задачник удовлетворял широкому кругу
пользователей. Часть несложных заданий дает
возможность приобрести хорошие навыки в решении заданий
по различным разделам геометрии.
Другая часть заданий, развивая пространственное
мышление, не требует громоздких преобразований. В
конце книги на большую часть задач даны краткие
решения, что по мнению авторов поможет пользователю
заниматься самообразованием.
Цель книги — помочь учащимся систематизировать
свои знания. Этому способствует структура книги, в
начале которой изложен справочный материал, знание
которого необходимо для решения задач по
стереометрии. Но решение стереометрических задач состоит
из решения более простых планиметрических. В конце
книги расположен справочный материал, знание
которого необходимо для решения задач по планиметрии.
Оглавление поможет легко отыскать необходимый
для работы материал.

Все это позволяет использовать книгу, не прибегая
к учебникам.
Задачи, родственные по идее решения,
сгруппированы вместе. Для первых задач каждой группы
дается более подробное решение, чем для последующих.
Второстепенные моменты рассуждений и вычислений
опускаются. Решение задачи следует прочесть после
того, как задача решена самостоятельно или после
того, как вы убедились, что задача для вас непосильна.
Но решение задач — это труд, и, как любой труд,
он требует трудолюбия, настойчивости и терпения.
Решению задач помогут следующие советы:
1. Постарайтесь понять задачу, определить, что в
ней является искомым.
2. Определите, как неизвестное связано с данными
задачи.
3. Составьте и осуществите план решения задачи.
4. Оглядываясь назад, вновь проанализируйте
полученное решение, определяя, все ли данные вы
использовали при решении задачи.
4

Стереометрия
Если пирамида пересечена
плоскостью, параллельной основанию, то:
SAX _ 5^ _ _ SOx
~SA " ~W " '" " ~SO
S — площадь основания,
SfoK — площадь боковой поверхности,
Sfxp — площадь перпендикулярного сечения,
5П0Л — площадь полной поверхности,
Р — периметр основания,
Справочный материал
Если две пирамиды с равными
высотами рассечены на одинаковом
расстоянии от вершины плоскостями,
параллельными основаниям, то:
ПРИЗМА
/ \
ПРЯМАЯ НАКЛОННАЯ
V
$6ок
С —
ипол
= 5Я
= РН
Sean + 2S
\V=SH
$бок =
$пол =
- Snep АА\
?пер А\
В***™
рпер "" периметр перпендикулярного сечения,
V — объем,
Н — высота,
R — радиус цилиндра, конуса, шара,
К — апофема боковой грани,
L — образующая конуса.
AiB&DiEi
Sabcde
v> ABCDE
~ Ho*
ЦИЛИНДР
V = JiR2H
Справочный отдел
Обозначения:
5

ПОЛНАЯ
ПИРАМИДА
/ \
УСЕЧЕННАЯ
1 F=
$6ок
$пол =
\SH
=\pk
SeoK + S
\V=^H(S + S + VST)\
^^(Л + ^У*
Sru>A ~ S6ok + Sl + S2
КОНУС
/ \
ПОЛНЫЙ УСЕЧЕННЫЙ
V=±nR2H
S6oK = nRL
Sm = nR(L + R)
V=~nH • (R2 + r2 + Rr)
Sbok = я (R + r) L
Snon = S6ok + nR + nr
6

ШАР
V = lnl?
s^-toie
ШАРОВОЙ
СЕКТОР
СЕГМЕНТ
(СЛОЙ)
ПОЯС
\v = nh2
( 1 ^
\ 6 )
Теорема о трех косинусах
угол при
вершине правильной п-
угольной
пирамиды,
х — угол между
боковым ребром
и плоскостью
основания.
S1I1:
COS* as
cos-
180е
a — плоский угол
при вершине
правильной п-угольной
пирамиды,
х — угол при ребре
основания.
а — плоский
угол при
вершине правильной
n-угольной
пирамиды,
х — угол при
боковом ребре.
COS* =
«2
tg
180°
Примечание. При и, равном 3, 4, 5, 6 и т.д. получим зависимость между данными
углами соответственно в правильных пирамидах: треугольной, четырехугольной и т.д.
7

1. Перпендикуляр и наклонная
Задача 1.
Дано: АВ — перпендикуляр,
АС и AD — наклонные,
LACB = 30°, АС = 16, BD = 6.
Найдите: AD. д
Задача 2.
Дано: АВ — перпендикуляр,
АС и AD — наклонные,
LACB = 45°, АС = 8 VT, BD = 6.
Найдите: AD. д
Задача 3.
Дано: АВ — перпендикуляр,
АС и Л£> — наклонные,
LACB = 60°, АС = 4, BD = VTT.
Найдите: AD. A
А
Задача 4.
Дано: ААХ — перпендикуляр,
АВ и АС — наклонные,
LACB = 90°, LACAX = 30°,
A4j = 2, БС = 3, (Жд± AS.
Найдите: СМ,
Задача 5.
Дано: КМ — проекция отрезка АВ на
плоскость а, А
AM =2, ВС: АС =1:4.
Найдите: КВ.
Задача 6.
Дано: DE — проекция отрезка АВ на
плоскость a, AD = 6, АС = 12,
BE =2.
Найдите: АВ. в
8
А

Задача 7.
Дано: MN — проекция отрезка АВ на
плоскость a, AM = 6, BN = 8,
АО = OB, OK1 а.
Найдите: ОК.
Задача 8.
Дано: MN — проекция отрезка АВ на
плоскость a, AD : DB = 3:2,
ЛМ=8, BN= 12. в
Найдите: DE.
Задача 9.
Дано: CD — проекция отрезка АВ на
плоскость а, АВ = 28,
АС = 4, BD = 10. в
Найдите: Z1.
Задача 10.
Даяо: CD — проекция отрезка АВ на
плоскость а, АС = 5,
££>= 11, С£> = 8. в
Найдите: АВ.
Задача 11.
Дано: МК — проекция отрезка АВ на
плоскость a, AM = 2, АС = 4С5.
Найдите: ВК.
Задача 12.
Даио: AS — перпендикуляр к плоскости
а, АС и >Ш — наклонные,
LACB = ZAD5 = 30°, LCAD = 60е,
Л = V3" (радиус окружности,
описанной вокруг треугольника ACD).
Найдите: АВ
9

Задача 13.
Дано\АВ — перпендикуляр к плоскости
а, АС и AD — наклонные,
LACB = LADB = 60°, LCAD = 90е.
Найдите: R:AB (R — радиус
окружности, описанной вокруг
треугольника ACD).
Дано: АВ — перпендикуляр к плоскости
а, АС и AD — наклонные,
LACB = 30е, LADB = 60е,
LCBD = 90°, АВ = 1.
Найдите: PCad*
Дано: АВ — перпендикуляр, АС и
AD — наклонные к плоскости а,
LACB = LADB = 30°, CD = Kl AB.
Найдите: LCAD.
А
Задача 16.
Дано: АВ —перпендикуляр, АС и AD —
наклонные, ACBD —
равносторонний, АВ = ВС = BD.
Найдите: P^Cd :г (г — радиус
окружности, вписанной в треугольник
CBD). а
Задача 17.
Дано: ААВС, D — точка в пространстве,
DA = DB = DC, DO 1 (ABC),
LAOB = 60\
Задача 18.
Дано: ААВС, О — центр окружности,
описанной вокруг треугольника
ABC, DO I (ABC),
DA + DB + DC = 3.
Найдите: IDA + 4DB + 5DC.

Задача 19.
Дано: ABCD — трапеция, АВ = CD,
О — центр окружности, описанной
вокруг трапеции, ОЕ1 {ABC),
АЕ = 10, ОЕ = 8, LBAD = 30°.
Найдите: BD. Е
Задача 20
Дано: ААВС, О — центр вписанной
окружности, OD 1 (ABC)j
AC = ВС -5, АВ = 6, /X? = 1,
АМ = МВ.
Найдите: DM.
Задача 21.
Дано: ААВС, О — центр вписанной
окружности, АС = ВС = 10,
АВ = 12, OD J. (ABC), OD = 1.
Найдите: DC.
Задача 22.
Дано: ААВС, LACB = 90е, О — центр
описанной окружности, AM = МС,
OD 1 (ABC), ЛЯ = 5, АС = 3,
iX? = 2vT.
Найдите: MD.
Задача 23.
Дано: ААВС, LACB = 90е, АО = 05,
£Ю 1 (ABC), DC = 5, DO = 3.
Найдите: S — площадь круга,
описанного вокруг треугольника ABC.
Задача 24.
Дано: ААВС, LACB = 90%
DO I (ABC), DA = DB = DC,
AO + CO + BO = ЪВС, DO = 4,
DC = 8. D
Найдите: L\ + Z.2.

Задача 25.
Дано: ААВС, LACB = 90е, F — точка
пересечения медиан, АО = ОВ,
DO ± (ABC), DO = 2V6", АВ = 6.
Найдите: DF. d
Задача 26.
Дано: ААВС, LACB = 90е, F — точка
Пересечения медиан, DF I (ABC),
LCAB = 30°, АВ = 4, DF=1.
Найдите: AD.
Задача 27.
Дано: ААВС, LACB = 90е, АС = СВ,
F — точка пересечения медиан,
DF ± (ABC), AD = 10, DF = 8.
Найдите: 5давс-
D
Задача 28.
Дано: ААВС, LACB = 90°, О —
вписанной окружности,
OD 1 (ABC), АС = 3, СВ = 4,
ОД = V3T, ОМ = г.
Найдите: DM. D
центр
Задача 29.
Даио: ДАЯС, 21ЛСЯ = 90°, АС = 6,
С2? = 8, О — центр вписанной
окружности, DO ± (ABC), DO = 2VT.
Найдите: Блапг- d
Здляс-
Задача 30.
Дано: ААВС, АВ = ВС = АС, О — центр
треугольника ABC, OD ± (ABC).
Найдите: угол между прямыми АС и
DB.
12

Задача 31.
Дано: ААВС, АВ = ВС = АС, О — центр
треугольника ABC, DO I (ABC),
DC = 10, DO = 8.
Найдите: Зда^с- D
Задача32.
Дано: ААВС, АВ = ВС = АС, О — центр
треугольника ABC, DO ± (ABC),
DM = 5, DO = 4.
Найдите: Р^авс
Задача 33.
Дано: ААВС, АВ = ВС = АС,
CZ) 1 (ABC), AM = MB, DM = 15,
CD =12. D
Найдите: S^^.
Задача 34.
Дано: ААВС, LACB = 90°,
BD 1 (ABC), AD = 2BD.
Найдите: Zl + Z2.
Задача 35.
Дано: ААВС, BD ± (ABC), AM = MD,
M — центр окружности, описанной
вокруг треугольника ADC. n
Найдите: LACD + LACB u
Задача 36.
Дано: ААВС, АВ = ВС = АС,
CD ± (ABC), DC = AC.
Найдите: синус угла между прямой
BD и плоскостью ADC.
13

Задача 37.
Дано: ААВС, LACB = 90% АС = ВС,
DB 1 (ABC), LDAB = 45е.
Найдите: тангенс угла между прямой
DC и плоскостью ADB. d
Задача 38.
Дано: ААВС, LACB = 90°, ВС Е а,
AD la, AD = |, LACD = 30е,
ЛЯ = 5.
Задача 39.
Дано: ААВС, LACB = 90е, ВС Е a,
ADJLa, LABD = 45е, АС = 8,
Найдите: AD.
Задача 40.
Дано: ААВС, LACB = 90е, ABE а,
AD ±а, АС = 4, ВС = 3, CF1АВ,
LCFD = 30е.
Найдите: CD.
Задача 41.
Дано: ААВС, LACB = 90е, АС = СВ,
ABE a, CD la, CF1 AS,
ZCitf> = 45°, C/)= 1.
Найдите: R (радиус круга, описанного
вокруг треугольника ABC).
BDla, LBAD = 45\
Найдите: LADC.
Дано: ААВС, АВ = ВС = АС, АС Е а,
BD ±a, BD= 1, LBAD = 30°.

Найдите: R (радиус окружности,
описанной вокруг треугольника ABC).
Задача 44.
Дано: ААВС и ААВД
AD = DC = АС = АВ = ВС,
{ABC) I (ADC).
Найдите: угол между DB и плоскостью
треугольника ADC.
Задача 46.
Дано: ABCD —
LEAB = 30е.
Найдите: tg Z.I.
квадрат,
Е
BE 1 (ABC),
Задача 45.
Дано: ABCD — квадрат, BE I (ABC),
ED = 5, BE = 3, О — центр
окружности, описанной вокруг
треугольника AED.
Найдите: РАСОа-
Задача 47.
Дано: ABCD — квадрат, BE I (ABC),
LEAB = 45% Smcb = 4.
Найдите: S^^q.
A
Задача 48.
Дано: ABCD — квадрат, СЕ 1 (ABC),
R:r=2 (R — радиус окружности,
описанной вокруг треугольника
CDE, г — радиус окружности,
вписанной в квадрат ABCD). E
Найдите: Z.I.
15

Задача 49.
Дано: ABCD — квадрат, СЕ 1 {ABC),
AM = MD, ME = 8, LMEC = 30е.
Найдите
Задача 50.
Дано: ABCD — квадрат, BE l (ABC).
Найдите: Zl + Z.2 + Z3.
Задача 51.
Дано: ABCD — квадрат, ОЕ 1 (ABC),
ОЕ = DC.
Найдите: S^ed'-Sabcd*
Задача 52.
Дано: ABCD -
EC = R (R
описанной
АЕС).
Найдите: ЕО:
квадрат, ОЕ 1 (ABC),
— радиус окружности,
вокруг треугольника
Задача 53.
Дано: ABCD — прямоугольник,
ОЕ ± (ABC), ЕС = 10, AD = 8,
DC = 6. Е
Найдите: LAEC.
Задача 54.
Дано: ABCD — прямоугольник,
ОЕ 1 (ABC), AD = 3, DC = 4,
АЕ + BE + СЕ + DE = 32.
Найдите: cos Zl. e
16

Задача 55.
Дано: ABCD — квадрат, AD £ а,
CM 1 a, LCAM = 60°, S^cd = 4.
Найдите: СМ. в
Задача 56.
Дано: ABCD — квадрат, AD £ а,
ВМ 1 a, LBAM = 45°, ООх 1 а,
ООх = 4.
Найдите: г (радиус окружности,
вписанной в квадрат ABCD).
Задача 57.
Дано: ABCD — ромб, LBAD = 60°,
ОЕ 1 (ABC), ОЕ = 9, ЕМ 1 DC,
ЕМ = 15.
Найдите: BD.
Е
V15
Задача 58.
Дано: ABCD — ромб, LBAD = 60°,
ОЕ 1 (ABC), ОМ 1 DC,
LOME = 45°.
Найдите: tg Zl.
Задача 59.
Дано: ABCJD — ромб, >Ш£ a, BE I a,
LBAE = 30% ООх 1 £Д ОС?! = 2.
Найдите: Р
Задача 60.
Дано: ABCD — ромб, ADEa,
CM ± a, LCDM = 45°, BD = AD.
Найдите: sin Zl.
17

Задача 61.
Дано: ABCD — прямоугольник,
AD G а, ВМ1 а, ВМ = 1,5,
LBAM = 30% AD = 4.
Найдите: R (радиус окружности,
описанной вокруг прямоугольника
Задача 62.
Дано: ABCD — трапеция, описанная
вокруг окружности, ADGa,
АВ = CD, ВВ{ 1 а, ВВХ = 2,
LBABX - 30е.
Найдите: Pabcd*
Задача 64.
Дано: ABCD — трапеция, LABC = 90%
ADEcc, CM La, АСАМ = 30%
LCDM = 45°.
__ „а sinZl
Найдите: . /0.
Sin Z.2
Задача 65.
Дано: ABCjD — трапеция, описанная
вокруг окружности, LABC = 90%
AD E a, CAf 1 а, СЛГ = 8,
Z.CPM = 30% LCDA = 60%
Найдите: Pabcd*

Задача 66.
Дано: ABCD — трапеция, описанная
вокруг окружности с центром О,
АВ = CD, ОЕ JL {ABC), P^cd = 16>
LCDA = 30°, ЕО = 4, М и К —
точки касания окружности со сторонами
трапеции
ВС и AD.
Найдите: ЕК.
Задача 67.
Дано: ABCD — трапеция, описанная
вокруг окружности с центром О,
АВ = CD, ОЕ 1 (ABC), M — точка
касания окружности с боковой
стороной трапеции CD, ME = 5,
ОЕ = 3, Е
LABC = 150е.
Найдите: Pabcd*
Задача 68.
Дано: ABCD — трапеция, описанная
вокруг охружности с центром О,
АВ = CD, ОЕ 1 (ABC), ОЕ = 3,
LABC = 120% Рмс» = 32.
Найдите: BE.
Задача 69.
Дано: ABCD — квадрат, О — центр
квадрата. ОЕ 1 (ABC), AD = 4 vT,
0£ = 3.
Найдите: ЕС.
19

2. Задачи разные
Задача 70.
Из точки пространства проведены к
данной плоскости перпендикуляр,
равный 6, и наклонная длиной 9.
Найдите проекцию перпендикуляра на
наклонную.
Задача 71.
Сторона равностороннего треугольника
равна 3.
Найдите расстояние от его плоскости
до точки, которая отстоит от каждой
из его вершин на 2.
Задача 72.
Из точки А проведены к данной
плоскости перпендикуляр АО = 1 и две
равные наклонные В А и АС, которые
образуют с перпендикуляром
LBAO = LCAO = 60%
а между собой LCAB = 90е.
Найдите расстояние ВС между
основаниями наклонных.
Задача 73.
К данной плоскости проведены две
наклонные, равные каждая 2, угол
между ними равен 60°, а угол между
их проекциями — прямой.
Найдите расстояние от данной точки
до плоскости.
Задача 74.
К данной плоскости проведены две
равные наклонные; угол между ними
равен 60е, угол между их
проекциями — прямой.
Найдите угол между каждой наклонной
и ее проекцией.
Задача 75.
В равнобедренном треугольнике
основание и высота равны по 4. Данная
точка находится на расстоянии 6 от
плоскости треугольника и на равном
расстоянии от его вершин.
Найдите это расстояние.
Задача 76.
Катеты прямоугольного треугольника
ABC равны 3 и 4. Из вершины
прямого угла С проведен к плоскости
этого треугольника перпендикуляр
CD= 1.
Найдите расстояние от точки D до
гипотенузы АВ.
Задача 77.
Стороны треугольника относятся как
10:17:21, а его площадь равна 84.
Из вершины большего угла этого
треугольника проведен
перпендикуляр к его плоскости, равный 15.
Найдите расстояние от его концов до
большей стороны.
Задача 78.
В треугольнике ABC угол С прямой;
CD — перпендикуляр к плоскости
этого треугольника. Точка D
соединена с А и В.
Найдите площадь треугольника ADB,
если дано: СА = 3, ВС = 2 и CD = 1.
Задача 79.
К вершине А прямоугольника ABCD
проведен к его плоскости
перпендикуляр AM, конец М которого
отстоит от других вершин на
расстоянии 6, 7 и 9.
Найдите длину перпендикуляра AM.
Задача 80.
Высота правильной четырехугольной
пирамиды равна VTT, апофема
наклонена к плоскости основания под
углом в 60°.
Найдите боковые ребра.
Задача 81.
В правильной треугольной пирамиде
боковое ребро равно 4 и образует с
основанием пирамиды угол в 30°.
Найдите сторону основания.
Задача 82.
Отрезок длиной 12 пересекает
плоскость; концы его находятся на
расстоянии 4 и 2 от плоскости.
20

Найдите угол между данным отрезком
и плоскостью.
Задача 83.
Из точки, отстоящей от плоскости на
расстоянии 3VT, проведены две
наклонные, образующие с плоскостью
углы в 45°, а между собой угол
в 60е.
Найдите расстояние между концами
наклонных.
Задача 84.
Из точки отстоящей от плоскости на
5\Гб, проведены две наклонные,
образующие с плоскостью углы в 45°
и 30°, а между собой прямой угол.
Найдите расстояние между концами
наклонных.
Задача 85.
В равнобедренном прямоугольном
треугольнике один катет находится на
плоскости а, а другой катет образует
с ней угол в 45°.
Доказать, что гипотенуза образует с
плоскостью угол в 30°.
Задача 86.
Наклонная АВ составляет с плоскостью
М угол в 45°, а прямая АС, лежащая
в плоскости М, составляет угол в
45е с проекцией наклонной АВ.
Доказать, что ABAC = 60°.
Задача 87.
Если в правильной треугольной
пирамиде высота равна стороне
основания, то боковые ребра составляют
с плоскостью основания угол в 60°.
Доказать.
Задача 88.
Концы данного отрезка, не
пересекающего плоскость, удалены от нее на
10 и 30. Как удалена от плоскости
точка, делящая данный отрезок в
отношении 3:7? (Два случая).
Задача 89.
В параллелограмме ABCD вершины А
и D находятся на плоскости М,
а В и С — вне ее. Сторона
AD = 10, сторона АВ = 15, проекции
диагоналей АС и BD на плоскость
М соответственно равны 13,5 и 10,5.
Найдите диагонали.
Задача 90.
Через одну из сторон ромба проведена
плоскость на расстоянии 4 от
противолежащей стороны. Проекции
диагоналей ромба на эту плоскость
равны 8 и 2.
Найдите проекции сторон.
Задача 91.
Через вершину прямого угла С
прямоугольного треугольника ABC
проведена плоскость параллельно
гипотенузе на расстоянии 4 от нее.
Проекции катетов на эту плоскость
равны 2vT и 3.
Найдите проекцию гипотенузы на эту
же плоскость.
Задача 92.
Отрезки двух прямых, заключенные
между двумя параллельными
плоскостями, равны V65" и 5, а их
проекции на одну из этих плоскостей
относятся как 3:7.
Найдите расстояние между данными
плоскостями.
Задача 93.
А и В — точки на ребре прямого
двугранного угла; АС и BD —
перпендикуляры к ребру, проведенные в
разных гранях.
Найдите расстояние CD, если АВ = 6,
АС = 3 и BD = 2.
Задача 94.
Треугольник ABC, прямоугольный при
С, опирается катетом АС на
плоскость М, образуя с ней двугранный
угол в 45°. Катет АС = 6, а
гипотенуза АВ относится к катету ВС, как
5:4.
21

Найдите расстояние от вершины В до
плоскости М.
Задача 95.
Два равнобедренных треугольника
имеют общее основание, а плоскости
их отклонены на 60е. Общее
основание равно 16; боковая сторона
одного треугольника равна 17, а
боковые стороны другого взаимно
перпендикулярны. Найдите расстояние
между вершинами треугольников.
Задача 96.
Катеты прямоугольного треугольника
равны 5 и 12. Найдите расстояние
от вершины прямого угла до
плоскости, которая проходит через
гипотенузу и составляет угол в 30е с
плоскостью треугольника.
Задача 97.
Из точки А проведены перпендикуляр
АВ и наклонная АС. Найдите длину
перпендикуляра, если длины
отрезков: проекции наклонной на
плоскость, перпендикуляр и наклонная
представляют арифметическую
прогрессию, разность которой равна 2.
Задача 98.
Из точки А проведены к плоскости
перпендикуляр АВ и наклонные АС и
AD. Найдите проекцию наклонной
AD на плоскость основания, * если
наклонные АС и AD больше
перпендикуляра соответственно на 3 и
1, а проекция наклонной АС равна 9.
Задача 99.
Из точки А проведены к плоскости
перпендикуляр АВ и наклонные АС и
AD.
Найдите АВ9 если проекции наклонных
на основание меньше длины
перпендикуляра соответственно на 3 и
7, а ВС • BD = 45.
Задача 100.
АВ — перпендикуляр к плоскости.
АС и AD — наклонные,
AC:AD:AB = 15:13:1.
Найдите длины наклонных, если угол
между их проекциями 90°, а
площадь треугольника BCD равна 180°.
Задача 101.
АВ — перпендикуляр к плоскости.
АС и AD — наклонные.
Найдите длину перпендикуляра, если
угол между их проекциями 90°, а
площади треугольников ABC, ABD
и BCD соответственно равны 54; 30;
22,5.
Задача 102.
Из точки А проведены к плоскости
перпендикуляр АВ и наклонные АС и
AD. Проекция наклонной ЛС, равная
9, на 6 меньше наклонной АС и на
4 наклонной AD. Найдите
проекцию наклонной AD, если
AD: АС = 13 :15.
Задача 103.
КМ — проекция отрезка АВ на
плоскость а. Отрезок АВ равен 8VT и
образует с плоскостью угол 45°.
Найдите расстояние от концов отрезка
до плоскости.
Задача 104.
АВ — перпендикуляр к плоскости.
АС и AD — наклонные. Наклонная
АС составляет с перпендикуляром
30е и меньше наклонной AD на
единицу. Найдите меньшую наклонную,
если проекция большей равна VT3.
Задача 105.
Через вершину С треугольника ABCj
периметр которого равен 8 + 5V%
проходит плоскость, параллельная
прямой АВ. Стороны треугольника
АС и ВС составляют с плоскостью
основания углы 45е и 30°, а расстояние
от стороны АВ до плоскости
основания равно 3. Найдите проекцию
стороны АВ на данную плоскость.
22

3. Правильная треугольная призма
Задача 106 (прямая).
Дано: ABCAlBlCl — правильная
треугольная призма, О — центр
треугольника ABC, ОМ LBC, Z2 = 45°.
Найдите: sin Z.I.
Задача 106 (обратная).
Дано: ABCAlBlCl — правильная
треугольная призма, О — центр
треугольника ABC, ОМ 1 ВС,
Sin L\ = —т-
4
Найдите: Z.2.
Задача 107 (прямая).
Дано: ABCAXBXCX — правильная
треугольная призма, М — точка
пересечения медиан треугольника
АСХВХ, MP I (ABC), 9MP = Р^с-
Найдите: L\.
Ai r.
I >^ ^^^тЛ
\^—^>7
I _Х-***^ У S/
в.
У
У
''//
' S /
У/
' \/
' / I
Задача 107 (обратная).
Дано: АВСАХВХСХ — правильная
треугольная призма, М — точка
пересечения медиан треугольника АСХВ,
MP I (ABC), LCXBC = 45°.
Докажите, что P^q = 9MP.
А, г
Задача 108.
Дано: АВСАХВХСХ — правильная
треугольная призма, АК = KB,
АХМ = МВХ, в четырехугольник
КМСХС можно вписать окружность.
Найдите: La.
Ai С
м
к
в. /
1°£*у^
a XL 4/ ^
Задача 109. В
Дано: АВСАХВХСХ — правильная
треугольная призма, АХМ - МВХ,
sin Zl = -~.
Найдите: tg Z2. д
23

Задача 110.
Дано: АВСАХВХСХ — правильная
треугольная призма, Q С = 2МК.
Найдите: Z1.
Задача 111 (прямая).
Дано: АВСА1В1С1 — правильная
треугольная призма, ОМ 1 АВ,
smoc{c _ 3vT
$АВС ^
Найдите: La.
А,
Задача 111 (обратная).
Дано: АВСАХВХСХ — правильная
треугольная призма, ОМ 1 (ABC)у
LOCM = 45°.
Найдите: SM0CC : S^c-
At Ci
4. Правильная четырехугольная призма
Задача 112 (прямая).
Дано: АСХ — куб.
Найдите: tga. g^ p
Задача 112 (обратная).
Дано: АСХ — правильная
четырехугольная призма, tg a = vT.
Доказать, что данная фигура — куб.
Задача 113.
Дано: АСХ — куб.
Найдите: tga.
24

Задача 114 (прямая).
Дано: А(\ — куб, ОМ 1 DC,
B{D = a.
Найдите: ОМ.
Задача 114 (первая обратная).
Дано: АСХ — куб, ОМ 1 DC,
ОМ = ^.
Найдите: ByD
Задача 114 (вторая обратная).
Дано: АСХ — правильная
четырехугольная призма, ОМ 1 DC,
0М= ^Д, B{D = a.
Докажите, что ABCDAlBlClDl — куб.
Bi Ci
Задача 115.
Дано: АСХ — куб, О — центр симметрии
куба, DM = MC, AD = 2,
KEl(BxM).
Найдите расстояние от А до плоскости
OKD.
Bi
Ci
Ai
iw
!o
Kk
L_
/
J- X-Lv -
M
Задача 116.
Дано: АС{ — правильная
четырехугольная призма, LBDBX = 45°.
Найдите: L\.
Задача 117.
Дано: АСХ — правильная
четырехугольная призма, LDBXC = 30°.
Найдите: L\.
25

Задача 118.
Дано: АСг — правильная
четырехугольная призма.
Найдите: S
Задача 119 (прямая).
Дано: АСХ — правильная
четырехугольная призма, АВХ = АС.
Найдите: 5^с : SBBDD.
Bi
С,
At
/ /1 \
/ BA---
«£-^ Ы
""/c
Задача 119 (обратная).
Дано: АСХ — правильная четырехуголь-
ная призма, S^c: SBBDD = -^-.
Доказать, что АВХ = ЛС.
В, С
Задача 120.
Дано: АД — правильная шестиугольная
призма.
Докажите, что вокруг
четырехугольника EAlBlD можно описать
окружность.
В, С
Задача 121.
Дано: AD{ — правильная шестиугольная
призма, АА1В1В — квадрат,
AiPl = РгВ19 АР = РВ, EN = ND.
Найдите: La. gt q
Р. 1
К Е
Задача 122 (прямая).
Дано: ADX — правильная шестиугольная
призма, АВ = 2, ВВг = 1.
Найдите: S^cd-
' *Bi N Ci
26

Задача 122 (первая обратная).
Дано: ADX — правильная шестиугольная
призма, АВ = 2, SABCD = 6.
Найдите: ВВ{.
Задача 122 (вторая обратная).
Дано: ADX — правильная шестиугольная
призма, ВВХ = 1, Sjucd = 6.
Найдите: АВ.
Задача 123 (прямая).
Дано: ADX — правильная шестиугольная
3V3"
призма, S0CH = -j-, AAl = 1.
Найдите: Sj^ee-
Задача 123 (первая обратная).
Дано: ADX — правильная шестиугольная
призма, Sju^e = VT, AA{ = 1.
Найдите: S основания.
В, Ci
А,
К.
Ei
>—
I
А,
К Е
Задача 123 (вторая обратная).
Дано: ADi — правильная шестиугольная
3^3"
призма, S^ee = VT, S0CH = -у.
Найдите: ААХ.
6. Неправильная призма
Задача 124.
Дано: ABCAxBxCi —прямая треугольная
призма, АС = ВС = 5, АВ = 6,
BD1AC, LBCXD = 30е.
Найдите: cos Z.I.
Ai Ci
27

Задача 125.
Дано: ABCAlBlCl —прямая треугольная
призма, АС = ВС, LBCA = 90е,
ВВХ = 8, R = 5 (R — радиус
окружности, описанной вокруг
треугольника АВгС).
Найдите: 5^с.
С ' Bi
Задача 126.
Дано: АВСАХВХСХ —треугольная
призма, О — центр треугольника ABC,
ВС-AC- АВ, АгО — высота
призмы.
Найдите: LBXBC. д, Ci
Задача 127.
Дано: АСХ — прямой параллелепипед,
^BBfip
__ я sinAABD Bt
Ai
Ci
ВЛ- —
[A.
V
Задача 128.
Дано: АСХ — прямая четырехугольная
призма, ABCD — ромб,
>ААСС
= vT.
Найдите: /.BAD,
Задача 129 (прямая).
Дано: АСХ — прямой параллелепипед,
ABCD — ромб, LBAD = 60%
ААХ = 1, АВ = 2.
Найдите: S^c-B, p
Ai
1
д I
^
Задача 129 (первая обратная).
Дано: АСХ — прямой параллелепипед,
ABCD — ромб, АО = ОС,
LBAD = 60°, АВ = 2, 5^с = V6".
Найдите: ВВХ. gi
28

Задача 129 (вторая обратная).
Дано: АСХ — прямой параллелепипед,
АО = ОС, ABCD — ромб,
LBAD = 60°, ААХ = 1, Бщс = у/Ъ.
Найдите: АВ. gi Ci
Задача 129 (третья обратная).
Дано: АСг — прямой
параллелепипед, ABCD — ромб, ААХ = 1, АВ = 2,
Sabxc = V5".
Найдите: LBAD.
§. с,
Задача 130.
Дано: АСХ — прямой параллелепипед,
ABCD — ромб, LBAD = 30°,
АВ = 18, ВВХ = 12.
Найдите: S^cd-
В, С
Задача 131.
Дано: AQ — прямая призма, ABCD —
трапеция, AS = CD, О — центр впи-
Sbbdd V5~
санной окружности, -~ = -у-.
Найдите: La.
Задача 132.
Дано: АСХ — прямая призма, ABCD —
трапеция, АВ = CD, LBAD = 30е,
О — центр вписанной окружности,
ВВг = 6, Рмы = 64.
Найдите: S
Задача 133.
Дано: АСХ — прямая призма, ABCD —
трапеция, АВ = DC, AD = ЪВС,
ААХ = 4, АС = 4.
Найдите: АОг. By
29

7. Задачи разные
Задача 134.
Боковое ребро прямого
параллелепипеда равно 5, стороны оснований
равны 6 и 8 и одна из диагоналей
основания равна 12.
Найдите диагонали параллелепипеда.
Задача 135.
Стороны основания прямого
параллелепипеда равны 3 и 5, а одна из
диагоналей основания — 4.
Меньшая диагональ параллелепипеда с
плоскостью основания составляет
угол в 60°. Найдите диагонали
параллелепипеда.
Задача 136.
Стороны основания прямого
параллелепипеда равны 2 и 5; расстояние
между меньшими из них 4; боковое
ребро равно 2vT. Найдите
диагонали параллелепипеда.
Задача 137.
Стороны основания прямого
параллелепипеда равны 3 и 4 и составляют
угол 60% а боковое ребро равно
2V3". Найдите диагонали этого
параллелепипеда.
Задача 138.
В прямом параллелепипеде ребра,
выходящие из одной вершины, равны 1,
2 и 3, причем два меньших образуют
угол в 60е. Найдите большую
диагональ этого параллелепипеда.
Задача 139.
Стороны основания прямоугольного
параллелепипеда равны 7 и 24, а высота
параллелепипеда равна 8. Найдите
площадь диагонального сечения.
Задача 140.
Боковое ребро прямого
параллелепипеда равцо 10, стороны основания
равны 23 и 11, а диагонали основания
относятся как 2:3. Определить
площади диагональных сечений.
Задача 141.
Стороны основания прямого
параллелепипеда равны 17 и 28; одна из
диагоналей основания равна 25,
сумма площадей диагональных сечений
относится к площади основания как
16:15. Найдите площади
диагональных сечений.
Задача 142.
В прямом параллелепипеде с
основанием ABCD дано: АВ = 29, AD = 36,
BD = 25 и боковое ребро равно
48. Определить площадь сечения
ABXCXD.
Задача 143.
Площадь основания правильной
четырехугольной призмы равна 144, а
высота равна 14.
Найдите диагональ этой призмы.
Задача 144.
Найти диагональ правильной
четырехугольной призмы, если диагональ
основания равна 8, а диагональ
боковой грани равна 7.
Задача 145.
Стороны основания прямой
треугольной призмы равны 10, 17 и 21, а
высота призмы 18. Найдите
площадь сечения, проведенного через
боковое ребро и меньшую высоту
основания.
Задача 146.
Основанием прямой призмы служит
ромб; диагонали призмы равны 8 и
5, высота 2. Найдите сторону
основания.
Задача 147.
Боковое ребро наклонной призмы равно
15 и наклонено к плоскости
основания под углом 30°. Найдите
высоту призмы.
30

8. Правильная треугольная пирамида
Задача 148.
Дано: DABC — правильная треугольная
пирамида, DO ± {ABC),
°DMC
Найдите: La.
$авс ~" 1
Задача 149.
Дано: DABC — правильная треугольная
пирамида, DO I (ABC), AB = 3-DO.
Найдите: La. д
Задача 150. В
Дано: DABC — правильная треугольная
пирамида, Ох — точка пересечения
медиан треугольника ADC, 02 —
точка пересечения медиан
треугольника CDB, СЕ = BE, DB-3 ОхОг.
Найдите: La. А А
Задача 151.
Дано: DABC — правильная треугольная
пирамида, DO ± (ABC).
Докажите, что любые два
скрещивающихся ребра взаимно
перпендикулярны.
А
Задача 152.
Дано: DABC — правильная треугольная
пирамида, BE = ЕА, ВР = PC,
AM = MD, DK=KC.
Доказать, что ЕМКР — прямоугольник.
А
м.
а/
Е
J
Ж
р
р
Задача 153.
Дано: DABC — правильная треугольная
пирамиду О — центр ДАВС,
ВС = 3VT, DC = 5.
Найдите: SMDC.
31

Задача 154.
Дано: DABC — правильная треугольная
пирамида, О — центр ААВС,
AD = 10, DO = 8, АР = РВ,
АЕ = ЕС.
Найдите: SPDE.
Задача 155 (прямая).
Дано: DABC — правильная треугольная
пирамида, DO I (ABC), ВС = 3VT,
DO = 8, DM = МС.
Найдите,
Задача 155 (первая обратная).
Дано: DABC — правильная треугольная
пирамида, DO 1 (ABC), ВС = 3vT,
DM = МС, д
с _ 15V3" *
*АМВ ""
Найдите: DO.
32
Задача 155 (вторая обратная).
Дано: DABC — правильная треугольная
пирамида, DO ± (ABC), DM = МС,
DO = 8, S^ = 15VT
Найдите: АВ.
Задача 156 (прямая).
Дано: DABC — правильная треугольная
пирамида, АК = KB, ВС = 8,
DK = 3, (АМВ) 1 DC.
Найдите: SAMB. д
Задача 156 (обратная).
Дано: DABC — правильная треугольная
пирамида, DO 1 (ABC), AK = KB,
ВС = 8, (АМВ) 1 DC,
5— »
Найдите: DK.
s^-Ц-ш.

Задача 157.
Дано: DABC — правильная треугольная
пирамида, DO ± (ABC), MD ± СР,
3Aj = Иц, где DO = hx, СР = Л^
Найдите: Zl + Z2. А
Задача 158 (прямая).
Дано: SABC — правильная треугольная
пирамида, SO I (ABC), AS = V34,
tga = f. s
Найдите: SO.
Задача 158 (первая обратная).
Дано: SABC — правильная треугольная
пирамида, SO ± (ABC), Xg a = -х-,
50 = V22". S
Найдите: AS.
Задача 158 (вторая обратная).
Дано: SABC — правильная треугольная
пирамида, SO I (ABC), AS = ^34",
SO = V22.
Найдите: tga. §
Задача 159.
Дано: DABC ■— правильная треугольная
пирамида, DO 1 (ABC), Zl = Z2,
CK:KD = 3:2. д
Найдите: LDMC
9. Правильная четырехугольная
пирамида
Задача 160.
Дано: SABCD — правильная
четырехугольная пирамида, AS = AD.
Найдите: L\. g
33

Задача 161.
Дано: SABCD — правильная
четырехугольная пирамида, SC = 5,
SO = 3, AM = MB, AE = ED.
Найдите: SMSE.
S
A E
Задача 162.
Дано: SABCD — правильная
четырехугольная пирамида, DM = МС,
SO 1 (ABC), SASC : SDSC = VI: 2.
Найдите: Lx.
Задача 163.
Дано: SABCD — правильная
четырехугольная пирамида, SE = ЕС,
L 1 = 60°.
Найдите: SASC:SBED. S
Задача 164.
Дано: SABCD — правильная
четырехугольная пирамида, SE = ЕС,
$ASC = $BED'
Найдите: L 1.
А
Задача 165.
Дано: SABCD — правильная
четырехугольная пирамида, DE = ЕС,
SO I (ABC), SASC : S^cd = V5": 4.
Найдите: Lx.
S
Задача 166.
Дано: SABCD — правильная
четырехугольная пирамида, 50 1 (ABC),
АМ = МВ, DK = KC, 5^ = 25шх.
Найдите: La. s
34

Задача 167.
Дано: SABCD — правильная
четырехугольная пирамида, SO ± (ABC),
расстояние от точки А до плоскости
DSC равно SO.
Найдите: La.
А
Задача 168.
Дано: SABCD — правильная
четырехугольная пирамида, SO I {ABC),
tga = |. S
Найдите: SD:AD.
A A
Задача 169 (прямая).
Дано: TABCD — правильная
четырехугольная пирамида, ТО 1 (ABC),
АЕ = ТЕ, ВК = КТ, DM = MC = 2,
Найдите: SDEKC.
Задача 169 (первая обратная).
Дано: TABCD — правильная
четырехугольная пирамида, АЕ = ЕТ,
ВК=КТ, DM = MC = 2, SDEKC = 3.
Найдите: MN.
А Д
Задача 169 (вторая обратная].
Дано: TABCD — правильная
четырехугольная пирамида, ТО 1 (ABC),
АЕ = ЕТ, ВК = КТ, MN = \,
Т
Sdekc = 3.
Найдите: DC.
А
Задача 170.
Дано: PABCD — правильная
четырехугольная пирамида, Т — точка
пересечения медиан в треугольнике
РВА, ЕК || АВ, SDEKC = 16,
DN = NC, TN=4.
Найдите: Pabcd'
35

Задача 171.
Дано: SABCD — правильная
четырехугольная пирамида, Т — центр
окружности, описанной вокруг AASB,
ЕК || АВ, AS = 5, с
ЛЯ = 6.
Найдите: SDEKC.
А
Задача 172.
Дано: SABCD — правильная
четырехугольная пирамида, К — точка
пересечения высот треугольника ASB,
ЕМ || АВ, AS = 5, АВ = 6.
Найдите: SDEMC. $
Задача 173. А д
Дано: SABCD — правильная
четырехугольная пирамида, SO I {ABC),
Мг — точка пересечения медиан
AASB, М2 — точка пересечения
медиан AASD, $
МХМ2 _ 2VT
SO 3 '
Найдите: L а.
10. Правильная шестиугольная
пирамида
Задача 174.
Дано: KABCDEM — правильная
шестиугольная пирамида, КО 1 (ABC),
КТ 1 AM, к
LKTO = 60°.
Найдите:
JMKD
^мкс
Задача 175. М Е
Дано: KABCDEM — правильная
шестиугольная пирамида, КО 1 (ABC),
MK=KD = MD. к
Найдите: cos a.
М Е
Задача 176.
Дано: KABCDEM — правильная
шестиугольная пирамида, КО 1 (ABC),
L — точка пересечения прямых
АВ и ME, LKFO = 60°.
Найдите: tg LKLF.
36

Задача 177.
Дано: KABCDEM — правильная
шестиугольная пирамида, КО ± (ЛВС),
SQ =54vT, КО = 4, OP ± KT.
Найдите:
Задача 178.м
Дано: KABCDEM —
правильная
шестиугольная пирамида, КО 1 (ABC),
MN ±ВЕ, KM= V208, KN = 10.
Найдите: SBKE. к
М Е
11. Неправильная пирамида
Задача 179.
Дано: DABC — треугольная пирамида,
DC ± (ABC), L 1 = 90% О — центр
окружности, описанной
ADAC, д
СО = 2,
AC + CD = 6.
Найдите: PAcd*
вокруг
Задача 180.
Дано: DABC — треугольная пирамида,
LACB = 90°, DB1 (ABC), О — центр
окружности, описанной вокруг
AADB, BO + CO = 2BD.
Найдите: LDAB. «
Задача 181. С
Дано: DABC — треугольная пирамида,
DC ± (ABC), LACB = 90°, CN 1 АВ,
LDNC = 45°, ВС = vT, AN = 4.
Найдите: DC.
Задача 182. В
Дано: DABC — треугольная пирамида,
LACB = 90°, DB ± (ABC), АС = 3,
ВС = 4, СК1 АВ, LKDC = 30е.
Найдите: cos а.
д
37

Задача 183.
Дано: DABC — треугольная пирамида,
AD = DB = DC, LAOB =■ 100°,
DO l (ABC).
Найдите: L а.
Задача 184. В
Дано: DABC — треугольная пирамида,
DO 1 (ABC), L 1 = I 2 = L 3,
LAOB = 150°. д
Найдите: LACB. *
Задача 185.
Дано: DABC — треугольная пирамида,
AD = DB = DC, DO 1 (ABC),
BO = 5, AB = 6, LDMO = 45'.
Найдите: DO. д
Задача 186.
Дано: DABC — треугольная пирамида,
LACB = 90°, LBAC = 30°,
LDMO = 45% DA = DC = DB,
DO 1 (ABC), OM 1 AC, DN 1 CB.
Найдите: La. д
Задача 187.
Дано: SABC — треугольная пирамида,
DM 1 AC, DN 1 CB, DK1AB,
L1 = L2 = LI, DO ± (ABC),
LACB = 90е. д
Найдите: LAOB. ~
Задача 188. С
Дано: DABC — треугольная пирамида,
АВ = ВС = 5, АС = 6, DO I (ABC),
DM1 AC, DKLBC, AN1AB,
LDBO = 45°, Ll = L2 = L3.
Найдите: DO. д
38

Задача 189.
Дано'. SABC — треугольная пирамида,
(ASC) 1 (ВАС), SM1 (ABC),
AS = SC = AC = AB = BC,
ME LAB. s
Найдите: sin a.
Задача 190. B
Дано: SABC — треугольная пирамида,
AB = AC = ВС = AS = SC,
(ASC) 1 (ABC), AC = 2, AN = NB.
Найдите: SN. s
Задача 191. В
Дано: SABC — треугольная пирамида,
AB = AC = ВС = AS - SC,
SP J. (ABC), (ASC) 1 (ABC),
AC = 2, SE = EC. s
Найдите: Sj^e.
Задача 192.
Дано: DABC — треугольная пирамида,
AB = ВС = AC = DC = DA,
(ADC) 1 (ABC), DP ± (ABC),
AN = NB.
Найдите: Smp: S^c
Задача 193.
Дано: SABC — треугольная пирамида,
AB = ВС = AC, (ASC) L (ABC),
SN 1 (ABC), AS = SC, LASC = 90%
NP 1 AB.
Найдите: tga.
Задача 194. В
Дано: SABC — треугольная пирамида,
AB = ВС = AC, (ASC) J. (ABC),
AS = SC, SO 1 AC, ON X AB,
LASC = 90*.
Найдите: cos a.
39

Задача 195.
Дано: DABC — треугольная пирамида,
АС = ВС, LACB = 90е, LADB = 90°,
AD = DB, (ADB) 1 (ABC),
LDPB = 90е, BE = ED.
Найдите: S^-^^c-
Задача 196. С
Дано: DABC — треугольная пирамида,
LABC = LADC = 90°, АВ = ВС,
AD = DC, DPI AC.
Найдите: S^b
Задача 197. В
Дано: DABC — треугольная пирамида,
АВ = ВС = AD = DC = 5, АС = 6,
(ADC) I (ABC).
Найдите: Sj^q.
Задача 198.
Дано: SABCD — четырехугольная
пирамида, ABCD — параллелограмм,
SA = SB = SC = SD.
Найдите: LDAB.
А Д
Задача 199.
Дано: SABCD — четырехугольная
пирамида, ABCD — квадрат, SB = 2,
SB I (ABC), О — центр окружности,
описанной вокруг ASDC. с
Найдите: PSBD - Рлос.
д
Задача 200.
Дано: SABCD — четырехугольная
пирамида, ABCD — квадрат,
SC J. (ABC), О — центр окружности,
описанной вокруг ASAD, СО = 2,5,
AD = 3.
Найдите: cos L 1.
40

Задача 201.
Дано: SABCD — четырехугольная
пирамида, ABCD — квадрат,
SB ± (ABC), N — точка касания
окружности, вписанной в AASB,
SB = 3, АВ = 4. S
Найдите: SDNBC.
Д
Задача 202.
Дано: SABCD — четырехугольная
пирамида, ABCD — ромб,
SB I (ABC), LABC = 120°,
Pabcd = 24, SB = 4.
Найдите: SO.
A
Задача 203.
Дано: SABCD — четырехугольная
пирамида, ABCD — ромб,
SB ± (ABC), AC = 8, BD = 6,
DM А. ВС, £DSM= 30°.
Найдите: SD. s
Задача 204.
Дано: SABCD — четырехугольная
пирамида, ABCD — трапеция, в
которую можно вписать окружность,
AB = CD, LBAD = 60% AN = ND,
BM = MC.
Найдите:
XgLSNK:\gLSMK.
Задача 205.
ад A F N Д
Дано: SABCD — четырехугольная
пирамида, SO 1 (ABC), ABCD —
трапеция, /.BAD = 90% LCDA = 30%
О — центр вписанной окружности,
Т — точка касания вписанной
окружности, LSTO = 45% S
AD + ВС = 6.
Найдите: SO. //|\
Задача 206. д
Дано: SABCD — четырехугольная
пирамида, ABCD — трапеция,
LBAD = 90% SMLAB, SM = 5,
CN1AD, CN=S, SO 1 (ABC),
О — центр вписанной окружности.
Найдите: SO. s
41

Задача 207.
Дано: SABCD — четырехугольная
пирамида, ABCD — трапеция,
LBAD = 90°, О — центр вписанной
окружности, SO I {ABC), AS = 10,
SO = 8, CM 1 AD. s
Найдите: CM.
Задача 208. n
Дано: SABCD — четырехугольная
пирамида, ABCD — трапеция,
AC 1 BD, SO 1 (ABC),
AS = SB = SC = SD, 5
SO = VTT9
AB = S.
Найдите: AS.
Задача 209.
Дано: SABCD — четырехугольная
пирамида, ABCD — трапеция,
SO 1 (ABC), LSAO = LSBO =
= LSCO = LSDO = 60% AS = 4,
LBDA = 30°. s
Найдите: АВ.
Задача 210.
Дано: SABCD — четырехугольная ши*
рамида, ABCD — трапеция,
SO 1 (ABC), SA = SB = SC = SD,
AB = 2.
Найдите: CD.
Задача 211.
Дано: SABCD — четырехугольная
пирамида, ABCD — трапеция,
АВ = DC, SF LAB, AK ± AD,
SM 1 DC, SN ± ВС, ОМ = 4,
LSFO = LSKO = LSMO =LSNO =
= 45°, LBAD = 150°.
Найдите: АВ. $
Задача 212.
Дано: SABCD — четырехугольная
пирамида, АВ = CD, SK ± АВ,
SN1BC, SFLCD, SMLAD,
LSKO = LSNO = LSFO =LSMO =
= 45°, MN = 2, LBAD = 60е.
Найдите: AS.
S
42

Задача 213.
Дано: SABCD — правильная
четырехугольная пирамида, ABCD —
трапеция, АВ = CD, О — центр
вписанной окружности, (BSC) 1 (ABC),
BS = SC ш ВС, s
Pabcd = 8»
LABC = 120°,
MN1AD.
Найдите: tga.
Задача л*. в М С
Дано: MABCD — четырехугольная
пирамида, ABCD — равнобедренная
трапеция, описанная вокруг
окружности, МС 1 (ABC), SMCD = 2SMCB.
Найдите: La.
12. Ключевые задачи
Задача 215 (ключевая задача).
Дано: КАР — угол в плоскости, МА —
наклонная, АО — ее проекция на
плоскость a, LMAP = LMAK.
Докажите, что LKAO = LOAP.
М
Задача 216.
Дано: SABC — треугольная пирамида,
L 1 = L 2, SOI (ABC),
L 3 + L 4 = 100е.
Найдите: LBAE.
Задача 217. В
Дано: SABC — треугольная пирамида,
L 1 = L 2, SO JL (ЛВС),
Л5:ЛС=1:4. ~
Найдите: ВС:ЕС. ъ
Задача 218.
Дано: SABC — треугольная пирамида,
LACB - 90% ZABC - 30е,
Z. 1 = L 2, 5М1 (ABC).
Найдите: L 3. §
43

Задача 219.
Дано: SABC — треугольная пирамида,
АВ = АС, L 1 = L 2, SM ± (ABC).
Найдите: L 3.
Задача 220. В
Дано: АС — параллелепипед, ABCD
параллелограмм, АХЕ L (ABC),
L 1 = L 2.
Найдите: L 3. п
С»
А Е Д
13. Задачи разные
Задача 221.
Высота правильной четырехугольной
пирамиды равна 7, а сторона основания
равна 8. Найдите боковое ребро.
Задача 222.
Основанием пирамиды служит
параллелограмм, у которого стороны равны
3 и 7, а одна из диагоналей 6.
Высота пирамиды, проходящая
через точку пересечения диагоналей
основания, равна 4. Найдите
боковые ребра пирамиды.
Задача 223.
Основанием пирамиды служит
равнобедренный треугольник, у которого
основание равно 6 и высота 9;
боковые ребра равны между собой и
каждое содержит 13. Найдите
высоту этой пирамиды.
Задача 224.
Основанием пирамиды служит
равнобедренный треугольник, у которого
основание равно 12, а боковая
сторона 10. Боковые грани образуют с
основанием равные двугранные
углы, равные по 45°. Найдите высоту
этой пирамиды.
Задача 225.
Основание пирамиды — прямоугольник
со сторонами 6 и 8; каждое боковое
ребро пирамиды равно 13. Найдите
высоту пирамиды.
Задача 226.
Сторона основания правильной
четырехугольной пирамиды равна 14, а
длина бокового ребра 10. Найдите
площадь диагонального сечения.
Задача 227.
Сечение, параллельное основанию,
делит высоту пирамиды в отношении
3:4 (от вершины к основанию), а
площадь сечения меньше площади
основания на 200. Найдите площадь
основания.
Задача 228.
Высота пирамиды равна 16; площадь
основания равна 512. На каком
расстоянии от основания находится
сечение, параллельное основанию,
равное 50?
Задача 229.
В пирамиде площадь основания равна
150, площадь параллельного
сечения 54, расстояние между ними
равно 14. Найти высоту пирамиды.
Задача 230.
Высота правильной четырехугольной
усеченной пирамиды равна 7.
Стороны оснований 10 и 2. Найдите
боковое ребро пирамиды.
44

Задача 231.
Стороны оснований правильной
треугольной усеченной пирамиды 4 и 1.
Боковое ребро 2. Найдите высоту.
Задача 232.
В правильной четырехугольной
усеченной пирамиде высота равна 63,
апофема равна 65, а стороны оснований
относятся, как 7:3. Найдите эти
стороны.
Задача 233.
Стороны основания правильной
треугольной усеченной пирамиды 2 и 6.
Боковая грань образует с большим
основанием угол в 60. Найдите высоту.
Задача 234.
Высота правильной четырехугольной
усеченной пирамиды равна 4. Стороны
оснований равны 2 и 8. Найдите
площади диагональных сечений.
Задача 235.
Высота правильной четырехугольной
усеченной пирамиды равна 4,
диагональ 5. Найдите площадь
диагонального сечения.
Задача 236.
В правильной треугольной усеченной
пирамиде стороны оснований равны
8 и 5, а высота 3. Провести сечение
через сторону нижнего основания и
противоположную ей вершину
верхнего основания. Найдите площадь
сечения и двугранный угол между
сечением и нижним основанием.
Задача 237.
В правильной четырехугольной
усеченной пирамиде стороны оснований
равны 6 и 8, а боковое ребро 10.
Провести сечение через конец
диагонали меньшего основания
перпендикулярно к этой диагонали и найти
его площадь.
Задача 238.
Соответственные стороны оснований
усеченной пирамиды относятся как 3:5,
а периметр среднего сечения равен 20.
Найдите периметры оснований.
14. Поверхность призмы
Задача 239.
Дано: АВСАХВХСХ — правильная
треугольная призма, О — центр
треугольника ABC, СхО = 5, QC = 3.
Найдите: S6.
Задача 240. В
Дано: АВСАХВХСХ — правильная
треугольная призма, AM = МБ,
СХМ = 10, СХС = 8.
Найдите: S6.
Задача 241. в
Дано: АВСА[ВХСХ — правильная
треугольная призма, AM = MB,
АХМХ = МХВХ.
Найдите: S6ABCABC^: S6AMCA^MC^
щ
Akrt
в
_-~^ус
в
45

Задача 242.
Дано: АВСАХВХСХ — правильная
треугольная призма, СМ 1 АВ,
LCXMC = 45е.
Найдите. SACB: S6.
Задача 243. в
Дано: АВСАХВХСХ — правильная
треугольная призма, АС = ААХ.
Найдите: SACB: S6.
Задача 244. В
Дано: АВСАХВХСХ — правильная
треугольная призма, АВ = ААХ,
AXDX = DXBX, АХМХ = МХСХ.
Найдите: SBDMC : S6.
1ci
Задача 245.
Дано: АВСАХВХСХ — правильная
треугольная призма, О — центр
треугольника ABC, ОМ = AfC,
C10 = V52~, СХМ = 5.
Найдите: S<
Задача 246. в
Дано: АВСАХВХСХ — правильная
треугольная призма, S6 = 150v^6",
3
sin a = -=.
Найдите: SACBr -^|С«
А
Задача 247. в
Дано: АВСАХВХСХ — правильная
треугольная призма, DxOx = ОхКх =
= ед =do = ok = kc,
MN\\MXNX \\АВ, 5б = 90,
АВ = 6
Найдите: д i
&ММ NN
46

Задача 248.
Дано: АВСАХВХСХ — правильная
треугольная призма, О — центр
треугольника ABC, МК || АВУ cos a = -=,
ссх - <№ схр = рс
Найдите: S6<
Задача 249.
Дано: АСХ — правильная
четырехугольная призма, в грань AAXDXD можно
вписать окружность.
Найдите: Sn: S^. n
Задача 250.
Дано: АС\ — правильная
четырехугольная призма, S6 = 16, Pabcd e 16.
Найдите: SnJ AAX.
Д. *с»
Задача 251.
Дано: АСХ — правильная
четырехугольная призма, LCXDC = 45е.
Найдите: Sabcd :
Незадача 252.
Дано: АСХ — правильная
четырехугольная призма, Smjl = 8 + 16V6",
LBDBX = 60е.
Найдите: S6.
А
Задача 253.
Дано: ADX — правильная шестиугольная
призма.
Найдите: S6:SAAEE.
&
47

Задача 254.
Дано: ADX — правильная шестиугольная
призма.
Найдите:
К е
15. Объем призмы
Задача 255.
Дано: АВСАХВХСХ — прямая треуголь-
• ная призма, АС = ВС, LACB = 90°,
BN = NA, ZCJVQ = 45% ССХ = 6.
Найдите: V. А
Задача 256
Дано: АВСАХВХСХ — треугольная
призма, LACB = 90°, £CNB = 90е,
BN = 2, AN = 8, ZQM: = 30е.
Найдите: V. __—-—^^
Задача 257.
Дано: ABCAxBi-Ci — прямая
треугольная призма, О — центр вписанной
окружности, LCxOC = 45°,
АС = ВС = 5, АВ = 6.
Найдите: V.
Задача 258. В
Дано: АВСАХВХСХ — прямая
треугольная призма, АС = ВС = 10,
АВ = 12, О — точка пересечения
медиан, ZC1OC = 45°.
Найдите: V.
AT
Даио: ABCAlBlCl — прямая
треугольная призма, АС = £С = 10,
АВ = 12, О — центр описанной
окружности, ZC1OC = 45°.
Найдите: V.
да

Задача 260.
Дано: АВСАХВХСХ — прямая
треугольная призма, АВ = 13, СВ = 14,
АС = 15, О — центр описанной
окружности, LClOC = 30°.
Найдите: V.
Задача 261. В
Дано: АВСАХВХСХ — правильная
треугольная призма, в грань ААХВХВ
вписана окружность единичного
радиуса. _с
Найдите: V. —' "^ '
А,
Задача 262. в
Дано: АВСАХВХСХ — правильная
треугольная призма, О — центр
треугольника ABC, L 1 = L 2,
ОСх = 12, СМ:МО = 1:3.
Найдите: V.
Задача 263.
Дано: АВСАХВХСХ — правильная
треугольная призма, О — центр
треугольника ABC, LCxOC = 30°,
QO = 4VT.
Найдите: V.
А
Задача 264. В
Дано: АВСАХВХСХ — правильная
треугольная призма, V = 8vT, ААХ = 2,
О — центр треугольника ABC.
Найдите: ОСг. ^q
/_^УС
Задача 265. в
Дано: АВСАХВХСХ — правильная
треугольная призма; AXN = NBX, О —
центр треугольника ABC, Cx С = 2,
LNOC = 120°.
Найдите: V.
А,|
49

Задача 266.
Дано: АВСАХВХСХ — правильная
треугольная призма, AM = AfC,
ММХ \\ВВХ, 7=24, SMM{Bfi = \2.
Докажите, что MMXBXB — квадрат.
iB,
I J--~ -— ^5^в
Задача 267. С
Дано: АСХ — прямая четырехугольная
призма, ABCD — ромб,
LBAD = 60°, О — центр
окружности, описанной вокруг треугольника
BCD, LBxOB = 45% АО = 4.
Найдите: V. JL__c,
Задача 268.
Дано: АСХ — прямая четырехугольная
призма, ABCD - ромб, LBAD- 60°,
LBXDB = 45°, ВВХ = 2?
Найдите: V. В, q
Задача 269.
Дано: АСХ — правильная
четырехугольная призма, S6 = 12V6", F« 9V5".
Найдите: L 1. В_ с
Задача 270.
Даяо: АСХ — прямая четырехугольная
призма, ABCD — трапеция,
описанная вокруг окружности, АВ = CD,
Pabcd = 16, i!A4I> = 30е,
LBDBX = 60°. В_ р,
Найдите: V. /\\
Задача 271.А
Дано: АСХ — прямая четырехугольная
призма, ABCD — трапеция,
AD = 10, ВС = 6, LBAD = 30е, О —
центр окружности, описанной
вокруг трапеции, LBxOB = 30е.
Найдите: V. в с
50

Задача 272.
Дано: ADX — правильная шестиугольная
призма, Sm = -у-, BE = ВВХ.
Найдите: V. ц
Задача 273. к
Дано: ADX — правильная шестиугольная
призма.
Найдите: V: У^ще^-
Задача 274.
Дано: ADX — правильная шестиугольная
призма, LBXEB = 30е, АВ = 2.
Найдите: V. В,
16. Задачи разные
Задача 275.
Стороны основания прямоугольного
параллелепипеда относятся как 7:24,
а площадь диагонального сечения
равна 50. Найдите боковую
поверхность.
Задача 276.
Стороны основания прямого
параллелепипеда равны 6 и 8 и образуют
угол в 30е; боковое ребро равно 5.
Найдите полную поверхность этого
параллелепипеда.
Задача 277.
Стороны основания прямого
параллелепипеда равны 10 и 17; одна из
диагоналей основания равна 21,
большая диагональ параллелепипеда
равна 29. Найдите полную
поверхность параллелепипеда.
Задача 278.
Стороны основания прямого
параллелепипеда 3 и 8; угол между ними
содержит 60°. Боковая поверхность
параллелепипеда равна 220.
Найдите полную поверхность и площадь
меньшего диагонального сечения.
Задача 279.
Основанием прямого параллелепипеда
служит ромб с диагоналями 6 и 9;
диагональ боковой грани равна 13.
Найдите полную поверхность этого
параллелепипеда.
Задача 280.
Стороны основания прямой
треугольной призмы относятся как 17:10:9,
а боковое ребро равно 16; полная
поверхность этой призмы содержит
1440. Найдите стороны основания.
Задача 281.
Основанием прямой призмы служит
равнобедренный треугольник, у
которого боковая сторона относится к
основанию, как 5:6. Высота призмы
равна высоте основания, опущенной
на его боковую сторону; полная по-
51

верхность содержит 2520. Найдите
ребра призмы.
Задача 282.
Расстояние между боковыми ребрами
наклонной треугольной призмы: 2,
3 и 4; боковая поверхность равна
45. Найдите боковое ребро.
Задача 283.
В наклонной треугольной призме
расстояния между боковыми ребрами
равны 37, 15 и 26, а боковая
поверхность равновелика
перпендикулярному сечению. Найдите боковое
ребро.
Задача 284.
В наклонной треугольной призме
боковые ребра содержат по 8; стороны
перпендикулярного сечения
относятся как 9:10:17, а его площадь
равна 144. Найдите боковую
поверхность этой призмы.
Задача 285.
Если каждое ребро куба увеличить на
2, то его объем увеличится на 98.
Найдите ребро.
Задача 286.
Измерения прямоугольного бруса: 3, 4
и 5. Если увеличить каждое его
ребро на х, то поверхность увеличится
на 54. Как увеличится его объем?
Задача 287.
Измерения прямоугольного
параллелепипеда: 15, 50 и 36. Найдите ребро
равновеликого ему куба.
Задача 288.
В прямом параллелепипеде стороны
основания равны 13 и 37, а большая
диагональ основания равна 40.
Боковое ребро относится к большей
диагонали параллелепипеда, как
15:17. Найдите объем этого
параллелепипеда.
Задача 289.
Стороны основания прямого
параллелепипеда 8 и 15 и образуют угол в
60е; меньшая диагональ
параллелепипеда составляет с плоскостью
основания угол в 30е. Найдите объем
этого параллелепипеда.
Задача 290.
Основанием прямого параллелепипеда
служит ромб, площадь которого
равна 1. Площади диагональных
сечений 3 и 6. Найдите объем
параллелепипеда.
Задача 291.
Диагональ правильной четырехугольной
призмы равна 3,5, а диагональ
боковой грани 2,5. Определить объем.
Задача 292.
Основанием прямой призмы служит
прямоугольный треугольник, катеты
которого относятся, как 24:7;
гипотенуза основания относится к высоте
призмы, как 5:2, боковая
поверхность равна 140. Найдите объем
призмы.
Задача 293.
Стороны основания прямой
треугольной призмы 4, 5 и 7, а боковое
ребро равно большей высоте
основания. Найдите объем призмы.
Задача 294.
Боковые ребра наклонной треугольной
призмы равны 15, а расстояния
между ними 26, 25 и 17. Найдите ее
объем.
Задача 295.
Основанием призмы служит
треугольник со сторонами 3, 5 и 7. Боковое
ребро длиной 8 составляет с
плоскостью основания угол в 60е.
Найдите объем призмы.
Задача 296.
Стороны основания наклонной
треугольной призмы равны 5, 6 и 9;
боковое ребро равно 10 и составляет
с плоскостью основания угол в 45е.
Определить объем призмы.
52

17. Поверхность пирамиды
Задача 297.
Дано: DABC — правильная треугольная
пирамида, AM = MB, DM = 4,
Ste«72. D
Найдите: L 1.
Задача 298. в-
Дано: DABC — правильная треугольная
пирамида, AM = MB, DO 1 (ABC),
LSMC = 60°.
Найдите:
Задача 299. в
Дано: DABC — правильная треугольная
пирамида, S^ = 2S0CH, DO 1 (ABC).
Найдите: tga.
Задача 300.
Дано: DABC — правильная треугольная
пирамида, DO I (ABC), DC = 5,
DO = 3. D
Найдите: S^.
Задача 301. &
Дано: DABC — правильная треугольная
пирамида, AD = AB, Sn0Jl = 9V3",
DO 1 (ABC),
Найдите: ОМ.
Задача 302.
Дано: KABCD — правильная
четырехугольная пирамида, КМ 1 DC,
КО 1 (ABC), LOKM = 30°,
Найдите: AD.
53

Задача 303.
Дано: KABCD — правильная
четырехугольная пирамида, ' "Л~
LKCO = 45е.
Найдите:
>акс- к
А
Задача 304.
Дано: KABCD — правильная
четырехугольная пирамида, АК = АС,
КО 1 (ABC), КГ IDC.
Найдите: S^0K: SEKT. ^
Задача 305.
Дано: KABCD — четырехугольная
пирамида, ABCD — ромб, АВ = BD,
Pabcd - 16, КО 1 (ABC), КО = 1.
Найдите: 5^к. к
Задача 306.
Дано: KABCD — четырехугольная
пирамида, ABCD — квадрат,
KB I (ABC), „
АКАВ = 60°, *
АВ = 2.
Найдите:
А
Задача 307.
Дано: KABCD — четырехугольная
пирамида, ABCD — ромб,
LBAD = 30е, OD = OB, 5to - 4,
OAf I DC, К
LKMO = 60е.
Найдите: DC.
А
Задача 308.
Дано: KABCD — четырехугольная
пирамида, Л5С/) — квадрат,
KB 1 (ЛЯС), к
кв = ъ,
АВ = 4.
Найдите: S,
54

Задача 309.
Дано: KABCD — четырехугольная
пирамида, КО 1 (ABC), ABCD —
трапеция, АВ = CD, О — центр
вписанной окружности, ОМ ± АВ,
АВ = 4, LKMO = 60% LBAD = 30е.
Найдите: S6. К
Задача 310. в
Дано: KABCD — четырехугольная
пирамида, ABCD — трапеция,
АВ = CD, КО 1 (ABC),
LKMO = 60е, О — центр вписанной
окружности, LBAD = 30е,
ОМ LAB, S6= 8. К
Найдите: P/mcd*
Задача 311. В С
Дано: PABCDEK — правильная
шестиугольная пирамида, РО ± (ABC),
РМ1АК, р
РМ = 5,
РО = 4.
Найдите: S6.
Задача 312.
Дано: PABCDEK — правильная
шестиугольная пирамида, РО 1 (ABC),
5„ = 4VJ, S6 = ^.
Найдите: АВ. *Р
Задача 313.
Дано: PABCDEK — правильная
шестиугольная пирамида, РО 1 (ABC),
ОМ ± АК, J>
LPMO = 60е.
Найдите: S*
Задача 314. к Е
Дано: ABCAlBlCl — правильная
треугольная усеченная пирамида,
ААг = 8, LAXAB = 30е, в трапецию
ААХВХВ можно вписать окружность.
Найдите: S6.
55

Задача 315.
Дано: ABCAlBlC1 — правильная
треугольная усеченная пирамида,
ВХМ = МСХ, ВК = КС, R — радиус
окружности, описанной вокруг
треугольника ABC, r — радиус
окружности, вписанной в треугольник
3V3"
Докажите, что S6 = —75— (Л + 2r) MK.
А,* —^С,
Задача 316. в
Даяо: ^Q — правильная
четырехугольная усеченная пирамида,
DXM = МСХ, DK = KC.
Докажите^ что
S6 = y/2- MK(BD + BXDX).
в.—-Л
18. Объем пирамиды
Задача 317.
Дано: DABC — правильная треугольная
пирамида, d
ЕС = 3DE,
Найдите:
Vdabc
Задача 318.
Дано: SABCD — правильная
четырехугольная пирамида,
Vsabo + Vsacd = 4"* *
Найдите: VSABCD.
Задача 319.
Дано: SABCD — правильная
четырехугольная пирамида, V — объем
пирамиды SABCD, h — расстояние от
точки D до (ASB). жз
Найдите: S6.
Задача 320.
Дано: SABC — правильная треугольная
пирамида, (АКС) 1 SB, AD = DC,
12
DK =3, sin a = ^t- c
Найдите:
56 В

Задача 321.
Дано: DABC — треугольная пирамида,
BN=3CN, V1
DANC
= 2.
Найдите:
Задача 322.
Дано: DABC — треугольная пирамида,
АВ = АС= 10, ВС= 12,
DO I (ABC), LDAO = LDCO =
= LDBO = 45°.
Найдите: VDABC.
Задача 323.
Дано: DABC — треугольная пирамида,
LACB = 90°, AC = BC, AB = 2,
DO ± (ABC), LDAO = LDCO =
= LDBO = 30°.
Найдите: V.
Задача 324.
Дано: DABC — треугольная пирамида,
АВ = ВС = 5, АС = 6, О — центр
окружности, вписанной в ДАЯС,
ОМ ±АВ, ON L АС, ОК1 ВС,
LDMO = LDNO = LDKO = 45е.
Найдите: VDABC. d
Задача 325. А
Дано: DABC — правильная треугольная
пирамида, АЕ 1 (BDC), АЕ = 3,
5'=12' лР
Найдите: V.
Задача 326. В
Дано: MABCD — четырехугольная
пирамида, ABCD — параллелограмм,
МО ± (ABC), DC = 3, AD = 4,
LMDO = LMAO = LMBO =
= ZMCO = 45°. aM
Найдите: V.
57

Задача 327.
Дано: MABCD — четырехугольная
пирамида, ABCD — ромо,
МО ± (ABC), AD = 4, LMAO =
= LMDO = LMCO = LMBO = 30°.
Найдите: V.
Задача 328.
Дано: SABC — треугольная пирамида,
(ASC) 1 (ABC),
AB = AC = BC = AS = SC = 2.
Найдите: V. *S
Задача 329. В
Дано: SABC — треугольная пирамида,
LACB = 90е, АС = СВ,
(ASB) 1 (ABC), LASB = 90е,
AS = SB, AB = 4. s
Найдите: V. А
Задача 330.
Дано: KABCD — четырехугольная
пирамида, ABCD — ромо,
КО 1 (ABC), Ак
OP ± DC,
LKPO = 45°,
LBAD = 60°,
AD = 4.
Найдите: V.
А
Задача 331.
Дано: FABCD — четырехугольная
пирамида, FO I (ABC), ABCD — ромб,
LFNO = 60°, ON ± DC, ОМ ± АВ.
Найдите: F
Vdmfn : Vfabcd1
Задача 332.
Дано: MABCD — четырехугольная
пирамида, ABCD — трапеция,
МО 1 (ABC), LMAO = LMDO =
= LMCO = LMBO = 30е, АВ = 6,
DC = 2, м
LDAB = 30°.
Найдите: V.
58

Задача 333.
Дано: MABCD — четырехугольная
пирамида, ABCD — трапеция,
АВ = CD, LBAD = 30% АВ = 4,
МО 1 {ABC), M
О — центр
вписанного круга,
ON I CD,
LONM = 45е.
Найдите: V.
Задача 334.
Дано: MABCD — четырехугольная
пирамида, ABCD — трапеция,
LBAD = 90е, О — центр вписанной
окружности, МО 1 (ABC),
OF LAB, M
LMFO = 45°,
LCDA = 30°,
CD = 4.
Найдите: V.
Задача 335. D c
Дано: ACi — правильная
четырехугольная усеченная пирамида,
ООх ± (ABC), ООх = Я, Rx и R2 —
радиусы окружностей, описанных
вокруг верхнего и нижнего оснований.
Докажите, что
V=^H(R* + Rl + RXR2).
19. Задачи разные
Задача 336.
Найдите боковую поверхность
правильной треугольной пирамиды,
если ее высота равна 4, а апофема 8.
Задача 337.
В правильной четырехугольной
пирамиде определить сторону основания,
если боковое ребро равно 5, а
полная поверхность 16.
Задача 338.
Основанием пирамиды служит ромб с
диагоналями 6 и 8; высота пирамиды
проходит через точку пересечения
диагоналей ромба, лежащего в
основании пирамиды, и равна 1.
Найдите боковую поверхность этой
пирамиды.
Задача 339.
Основанием пирамиды служит
параллелограмм, у которого стороны
содержат 20 и 36, а площадь равна 360.
Высота пирамиды проходит через
точку пересечения диагоналей
основания и равна 12. Найдите боковую
поверхность этой пирамиды.
Задача 340.
Основанием пирамиды служит
параллелограмм, у которого стороны равны
5 и 4, а одна из диагоналей 3.
Высота пирамиды проходит через
точку пересечения диагоналей
основания и равна 2. Найдите полную
поверхность этой пирамиды.
Задача 341.
Основанием пирамиды служит
равнобедренный треугольник, у которого
одна сторона содержит 40, а две
другие по 25. Высота пирамиды
проходит через вершину угла,
образуемого равными сторонами
основания, и £авна 8. Найдите боковую
поверхность этой пирамиды.
Задача 342.
Основанием пирамиды служит
треугольник со сторонами 13, 14 и 15.
Боковое ребро, противолежащее сред-
59

ней по величине стороне основания,
перпендикулярно к плоскости
основания и равно 16. Найдите полную
поверхность этой пирамиды.
Задача 343.
Боковые ребра треугольной пирамиды
взаимно перпендикулярны, каждое
из них равно 6. Найдите объем
пирамиды.
Задача 344.
Сторона основания правильной
треугольной пирамиды 6, а боковое
ребро образует с плоскостью
основания угол в 45е. Найдите объем
пирамиды.
Задача 345.
Высота правильной треугольной
пирамиды V3", а боковая грань образует
с плоскостью основания угол в 60°.
Найдите объем пирамиды.
Задача 346.
Основанием пирамиды служит
прямоугольник со сторонами 6 и 15,
высота проходит через точку
пересечения диагоналей основания, и
боковая поверхность равна 126.
Найдите объем этой пирамиды.
Задача 347.
Основанием пирамиды служит
равнобедренный треугольник, у которого
равные стороны содержат по 6, а
третья сторона 8. Боковые ребра
равны мевду собой, и каждое
содержит 9. Найдите объем этой
пирамиды.
Задача 348.
Основанием пирамиды служит
равнобедренный треугольник, у которого
равные стороны содержат по 39, а
третья сторона 30. Двугранные углы
при основании равны между собой,
и каждый содержит 45е. Найдите
объем этой пирамиды.
Задача 349.
Основанием пирамиды служит
равнобедренный треугольник, у которого
равные стороны содержат по 7, а
третья сторона 6. Вершина
пирамиды удалена от всех сторон основания
на одинаковое расстояние, которое
относится к высоте пирамиды, как
5:4. Найдите объем этой пирамиды.
Задача 350.
В данной треугольной пирамиде
двугранные углы при основании равны
между собой; стороны основания 7,
8 и 9; объем пирамиды 40. Найдите
ее боковую поверхность.
Задача 351.
В правильной четырехугольной
усеченной пирамиде стороны оснований 8
и 2. Высота равна 4. Найдите
полную поверхность.
Задача 352.
Стороны оснований правильной
треугольной усеченной пирамиды 6 и
12, высота равна 1. Найдите
боковую поверхность.
Задача 353.
Стороны оснований правильной
усеченной пирамиды 4 и 2, высота 1.
Найдите боковую поверхность.
Задача 354.
В правильной четырехугольной
усеченной пирамиде высота равна 12,
разность сторон оснований 10 и полная
поверхность равна 512. Найдите
стороны оснований.
Задача 355.
Боковое ребро правильной
четырехугольной усеченной пирамиды равно
3, стороны оснований 5 и 1.
Найдите объем.
Задача 356.
В усеченной пирамиде объем равен 76,
высота 6 и площадь одного из
оснований равна 18. Найдите площадь
другого основания.
Задача 357.
В усеченной пирамиде разность
площадей оснований равна 6, высота усе-
60

ченной пирамиды 9 и ее объем 42.
Найдите площади оснований.
Задача 358.
В треугольной усеченной пирамиде
высота 10, стороны одного основания
27, 29 и 52; периметр другого
основания равен 72. Найдите объем
усеченной пирамиды.
Задача 359.
Определить объем правильной
треугольной усеченной пирамиды, у
которой стороны оснований 30 и 20,
а боковая поверхность равновелика
сумме оснований.
Задача 360.
Определить объем правильной
четырехугольной усеченной пирамиды, если
ее диагональ равна 9, а стороны
оснований 7 и 5.
20. Цилиндр. Поверхность и объем
цилиндра
Задача 361.
Дано: прямой круговой цилиндр,
S6:
Найдите:
Задача 363.
Дано: прямой круговой цилиндр,
ABCD — осевое сечение,
LCAD = 45% V=2n.
Найдите: S6.
Задача 364.
Дано: прямой круговой цилиндр,
ABCD — осевое сечение, в которое
вписана окружность единичного
радиуса. ^ ^^Q
Найдите: V. ^ ^
Задача 362. А
Дано: прямой круговой цилиндр.
Найдите: S6: S^cd- ^~ -^р
Задача 365.
Дано: прямой круговой цилиндр,
ABCD — осевое сечение, V = 6я,
LCAD = 30°.
Найдите: S^cd* ^ "^С
61

21. Конус Поверхность и объем
конуса
Задача 366.
Дано: прямой круговой конус,
АО ± (MKN), MA = MN = AN,
^amn = 3.
Найдите: Sn и V.
Задача 367. [ур
Дано: прямой круговой конус,
АО 1 (MKN), А
LMAN = 90° А
Найдите: S6: S<
Задача 368.
Дано: прямой круговой конус,
МО 1 (АКБ), LAMB = 120е.
Найдите: Sn:S6.
Задача 369.
Дано: прямой круговой
конус,
МО 1 (АВО),
LAMB = 60е,
ОК1АВ,
LMKO = 60е.
Найдите: SAMB: S6.
22. Тела вращения
Задача 370.
Дано: ААВС, LACB = 90% CD ± AB,
AD = 1, DB = 4.
Найдите объем тела, полученного от
вращения треугольника вокруг
катета АС. А^
Задача 371.
Дано: ААВС, АС = ВС = 5, АВ = 6.
Найдите объем тела, образованного
вращением треугольника вокруг
стороны АВ. д
Задача 372. в
Дано: ABCD — трапеция, описанная
вокруг ок- А
ружности,
ВС = 2. ег
62
D

Найдите поверхность тела, образован-
ного вращением трапеции вокруг
^ стороны AD.
Задача 373.
Дано: ABCD — квадрат, АВ = 1.
Найдите объем тела, образованного
вращением квадрата вокруг оси,
проходящей через вершину С
параллельно диагонали BD.
в, в
о*
Задача 374.
Дано: ABCD — ромб, LBAD = 60е,
Pabcd =16.
Найдите объем тела, образованного
вращением ромба вокруг оси,
проходящей через вершину А
перпендикулярно диагонали АС.
D, - D
23. Задачи разные
Задача 375.
Радиус основания цилиндра 3, высота 8.
Найти диагональ осевого сечения.
Задача 376.
Осевое сечение цилиндра — квадрат,
площадь которого 12. Найти
площадь основания.
Задача 377.
Высота цилиндра 7, радиус основания
5. Найти площадь сечения,
проведенного параллельно оси цилиндра
на расстоянии 3 от нее.
Задача 378.
Высота цилиндра 12, радиус основания
10. Цилиндр этот пересечен
плоскостью параллельно оси так, что в
сечении получился квадрат. Найти
расстояние этого сечения от оси.
Задача 379.
В цилиндре проведена параллельно оси
плоскость, отсекающая от
окружности основания дугу в 120°. Длина
оси равна 5, ее расстояние от
секущей плоскости 2. Определить
площадь сечения.
Задача 380.
Площадь основания цилиндра относится
к площади осевого сечения, как я:4.
Найти угол между диагоналями
осевого сечения.
Задача 381.
Высота цилиндра на 10 больше радиуса
основания, а полная поверхность
равна 144 л. Определить радиус
основания и высоту.
Задача 382.
Радиус основания конуса 5, высота 12.
Найти образующую.
Задача 383.
Образующая конуса 10 наклонена к
плоскости основания под углом в
30е. Найти радиус основания.
Задача 384.
Радиус основания конуса 3. Осевым
сечением служит прямоугольный
треугольник. Найти его площадь.
Задача 385.
Высота конуса 20, радиус его основания
25. Найти площадь сечения,
проведенного через вершину, если его
расстояние от центра основания
конуса равно 12.
Задача 386.
Через вершину конуса под углом в 45е
к основанию проведена плоскость,
отсекающая четверть окружности
основания. Высота конуса равна 2.
Найти площадь сечения.
Задача 387.
Высота конуса 4, радиус основания 3,
боковая поверхность конуса развер-
63

нута на плоскость. Найти угол
полученного сектора.
Задача 388.
Полукруг свернут в коническую
поверхность. Найти угол между
образующей и высотой конуса.
Задача 389.
Радиусы оснований усеченного конуса
3 и б, высота А. Найти
образующую.
Задача 390.
Радиусы оснований усеченного конуса
Лиг, образующая наклонена к
основанию под углом в 45е. Найти
высоту.
Задача 391.
Радиусы оснований усеченного конуса
11 и 16, образующая 13. Найти
расстояние от центра меньшего
основания до окружности большего.
Задача 392.
Радиусы оснований усеченного конуса
3 и 7, образующая 5. Найти
площадь осевого сечения.
Задача 393.
В усеченном конусе высота 10, а
радиусы оснований 8 и 18. На каком
расстоянии от меньшего основания
находится параллельное сечение,
площадь которого есть средняя
пропорциональная между площадями
оснований?
Задача 394.
Радиус шара равен 12. Точка находится
на касательной плоскости на
расстоянии 16 от точки касания. Найти
ее кратчайшее расстояние от
поверхности шара.
Задача 395.
Радиус шара 4. Через конец радиуса
проведена плоскость под углом в
60е к нему. Найти площадь сечения.
Задача 396.
Стороны треугольника 13, 14, 15.
Найти расстояние от плоскости
треугольника до центра шара, касатель- |
64
ного к сторонам треугольника.
Радиус шара 5.
Задача 397.
Диагонали ромба 15 и 20. Шаровая
поверхность касается всех его
сторон. Радиус шара 10. Найти
расстояние его центра от плоскости
ромба.
Задача 398.
На шар, радиус которого 5, наложен
ромо так, что каждая сторона его,
равная 6, касается шара. Расстояние
плоскости ромба от центра шара 4.
Найти площадь ромба.
24. Комбинация геометрических тел
Задача 399.
Дано: SMNK — правильная
треугольная пирамида. MS = МК =1, А19
В19 С{ — точки пересечения медиан
боковых граней MSK, MSN, KSN,
АВСА1В1С1 — вписанная в пирамиду
правильная
треугольная
призма.
Найдите: АХСХ.
Задача 400.
Дано: SMNKT — правильная
четырехугольная пирамида, Ах, Вх, Сх, Dx —
точки пересечения медиан боковых
граней MSN, NSK, с
TSK, MST, АСХ — *
прямая четы
рехугольная
призма,
вписанная в
пирамиду,
PS = 5,
SO = 3.
Найдите:
VAc-

Задача 401.
Дано: SABC — правильная треугольная
пирамида, SO ± (ABC),
А1В1С1А2В2С2 — вписанная в
пирамиду правильная треугольная
призма, В1С1С2В2 — квадрат, 50 = 4,
АВ = 6. s
Найдите: АХВХ. ж
Задача 402.
Дано: SABCD — правильная
четырехугольная пирамида, CS = CD,
А2СХ — куб, вписанный в пирамиду.
Найдите: AS : АХА2. aS
А" Т>
25. Комбинация призмы с
вписанным шаром
Задача 403.
Дано: ABCAXBXCX — правильная
треугольная Д, Q
призма,
описанная
вокруг
шара.
Найдите: L а.
Задача 404.
Дано: АВСАХВХСХ — правильная
треугольная призма, описанная вокруг
шара, AN = NB.
Найдите: L а.
Задача 405. g
Дано: ABCAlBlCl — правильная
треугольная призма, О — центр
вписанного шара, BD 1 АС.
Найдите: sin а. А, с
Задача 406.
Дано: АВСА1В1С1 — описанная вокруг
шара правильная треугольная
призма, Ох — центр ДА8С.
Найдите: L а.
65

Задача 407.
Дано: АВСА^Сх — правильная
треугольная призма, описанная вокруг
шара.
Найдите: SACB:SBBCC.
Задача 408.
Дано: АС\ — правильная
четырехугольная призма, описанная вокруг шара.
Найдите:
Задача 409.
Дано: АСХ — правильная
четырехугольная призма, описанная вокруг шара
с центром в точке О, DCX = 4vr2,
DM = MCX.
Найдите: ОМ. ^ е
Задача 410.
Дано: АСХ — правильная четырехуголЬг
ная призма, О — центр вписанного
шара, Яш = 2.
Найдите: SB0D. Bi Ct
А
Задача 411.
Дано: АВСА^Сх — прямая
треугольная призма, LACB = 90е, АС = 3,
СВ = 4, О — центр вписанного
шара.
Найдите:
Задача 412. С
Дано: АВСАхВхСх — прямая
треугольная призма, АС = ВС = 5, АВ = 6,
О — центр вписанного шара.
Найдите: Я
66

Задача 413.
Дано: АВСАХВХСХ — прямая
треугольная призма, АС = ВС =10, АВ =12,
О — центр вписанного шара,
BE I AC.
Найдите: СХЕ. *L c
Задача 414.
Дано: АСХ — прямая четырехугольная
призма, ABCD — ромб, АС = 16,
BD = 12, О — центр вписанного
шара.
Найдите:
Задача 415.
Дано: АСХ — прямая четырехугольная
призма, ABCD — трапеция,
АВ = СД Рмсв = 16, LBAD = 30е,
О — центр вписанного шара.
Найдите: Яш.
Задача 416.
Дано: АСХ — прямая четырехугольная
призма, ABCD — трапеция,
LBAD = 90°, AD = 8, ВС = 2,
LCDA = 30е, О — центр вписанного
шара
Найдите: Я
26. Комбинация призмы
Задача 417.
Дано: АВСАХВХСХ — правильная
треугольная призма, АХВХ = 3vT,
ААХ = 8, О — центр описанного
шара.
Найдите: Яш
Задача 418.
Дано: АВСАХВХСХ — правильная
треугольная призма, О — центр
описанного шара, Лш = 10, S0CH = 27vT.
Найдите: ААХ.
67

Задача 419.
Дано: ABCA&Ci — правильная
треугольная призма, О — центр
описанного шара, Rm = 5, ААХ = 8,
ON ±ВС, Ох02ЦАВС).
Найдите: ON.
Задача 420.
Дано: АВСАуВхСх — прямая
треугольная призма, AC-CB-S, АВ = 6,
Й6 Л
ААХ = —^—, О — центр описанного
шара
Найдите: Я
ш' Ai
Задача 421.
Дано: ABCAxBxCi — прямая
треугольная призма, LACB = 90е, Rm = 10,
ВВХ = 6.
Найдите: радиус окружности,
описанной вокруг треугольника ABC.
Задача 422.
Дано: АВСАХВХСХ
ная призма, О
шара, Яш = 5,
CQ = 8,
LACB = 30
Найдите: АВ.
прямая треуголь-
центр описанного
Задача 423.
Дано: АСХ — прямая четырехугольная
призма, ABCD — трапеция,
LBAD = 30°, ААХ = 40, О — центр
шара, описанного вокруг призмы,
Яш - 25, 0{ — центр окружности,
описанной bv
вокруг
трапеции
ABCD. А„
Найдите: BD.
27. Комбинация пирамиды с
вписанным шаром
Задача 424.
Дано: DABC — правильная треугольная
пирамида, О — центр вписанного
шара, М — точка касания
вписанного шара, п
DO:OOx =2:1. -
Найдите: L 1.
68

Задача 425.
Дано: DABC — правильная треугольная
пирамида, О — центр вписанного
шара, М — точка касания
вписанного шара, DM = КОх.
Найдите: LKDOx.D
Задача 426.
Дано: DABC — правильная треугольная
пирамида, О — центр вписанного
шара, М — точка касания
вписанного шара, D
МК=2.
Найдите:
Задача 427/jg
Дано: DABC — правильная треугольная
пирамида, О — центр вписанного
шара, М — точка касания
вписанного шара, СОх - 2DO = 20М.
Найдите: L L Р
Задача 428.
Дано: SABC — правильная треугольная
пирамида, М — точка касания
вписанного шара, Ох — центр
вписанного шара, Бддс = 300vT,
8 JB
cos a = -yj•
Найдите:
Задача 429.
Дано: SABCD — правильная
четырехугольная пирамида, Ох — центр
вписанного шара, М — точка касания
вписанного шара, я
ООх = 1,
Pabcd = 8v3.
Найдите: L а.
Задача 430.
Дано: SABCD — правильная
четырехугольная пирамида, Ох — центр
вписанного шара, JS
М — точка
касания /Af
вписанного
шара,
L а = 30°
69

Докажите, что точка Ох делит высоту
пирамиды в отношении 2:1, считая
от вершины.
Задача 431.
Дано: SABCD — правильная
четырехугольная пирамида, jg
Ог — центр
вписанного шара, //
М — точка
касания
вписанного шара,
DK=KC,
AD=DC=6. i—J~<" ^
Найдите: rtk
28. Комбинация пирамиды с
описанным шаром
Задача 432.
Дано: DABC — правильная треугольная
пирамида, О — центр описанного
шара, А — высота пирамиды, R —
радиус описанного шара, Ъ —
боковое ребро пирамиды.
Докажите

справедливость
формулы:
*~2А-
Задача 434.
Дано: DABC — правильная треугольная
пирамида, О^ — центр описанного
шара
Найдите:
LDAO
Задача 435.
Дано: DABC — правильная треугольная
пирамида, Ох — центр описанного
шара, ОхМ 1 (DBC).
Найдите: L1 + Z.2 + 2Z.4.
Задача 433.
Дано: DABC — правильназГтреугольная
пирамида, О — центр описанного
шара,
DO, =4,
DC = 5.
Найдите: RtJ
Задача 436.
Дано: DABC — правильная треугольная
пирамида, Ох — центр описанного
шара, ОхМ ± (BDC).
ВМ DO*
Докажите, что -^ = -^.
70

Задача 437.
Дано: DABC — правильная треугольная
. пирамида, Ох — центр вписанного
и описанного шаров.
Найдите: L 1.
Задача 438.
Дано: SABCD — правильная
четырехугольная пирамида, Ох — центр
описанного шара, DS = DB.
Докажите, что L а = 120е.
Задача 439.
Дано: SABCD — правильная
четырехугольная пирамида, Ох — центр
описанного шара, AM = MS.
Докажите, что SA • SM = SOx • SO.
Задача 440.
Дано: SABCD — правильная
четырехугольная пирамида, Ох — центр
вписанного и описанного шаров, М —
точка касания вписанного шара.
Найдите: L
29. Нестандартные задачи на сферу
Задача 441.
Дано: SABC — треугольная пирамида,
N — центр описанного шара,
АВ = ВС = АС = 3VT, AS I (ABC\
Л5 = 8, S
NM1 AS.
Найдите: Лш.
8Мк
Задача 442. к
Дано: SABC — треугольная пирамида,
Р — центр описанного шара,
LACB = 90°, СВ = 3, АС = 4,
SC 1 (ABC), SC = 2, РМ± SC.
Найдите: Лш. g
71

Задача 443.
Дано: SABC — треугольная пирамида,
Е — центр описанного шара,
АВ = АС = 5, ВС = 6, AS ± (ABC),
AS = 4, EMI AS.
Найдите: Яш. s
Задача 444.
Дано: SABCD — четырехугольная
пирамида, OS = OD, О — центр
описанного шара, ABCD — квадрат,
AD = 2vT, SB = 3, SB ± (ABC).
Найдите: R
A 2V?
Задача 445.
Дано: SABCD — четырехугольная
пирамида, SB I (ABC), ABCD —
трапеция, М — центр описанного шара,
BD = 4, S
£5 = 6,
LBAD = 30°
Найдите: RL
30. Задачи разные на комбинацию
геометрических тел с шаром
Задача 446.
Дано: МАВС — правильная треугольная
пирамида, ..
МО 1 (ABC), *M
LMKC = 60°,
ВС = 4, Ог -
центр
вписанного
шара.
Найдите:
с
°шара*
Задача 447. в
Дано: MABCD — правильная
четырехугольная пирамида, МО ± (ABC),
OK I CD, AD = 6, LMKO = 60°,
О — центр АМ
вписанного шара.
Найдите: V,
В С
Задача 448.
Дано: MABCDEK — правильная
шестиугольная пирамида, МО ± (ABC),
OP 1АК, Ох — центр вписанного
с 3V3" „М
шара, S0CH =
LMPO = 60°
Найдите:
72

Задача 449.
Дано: MABCD — четырехугольная
пирамида, ABCD — ромб,
МО ± (ABC), /.BAD = 60°,
OK 1 DC, M
LMKO = 60°,
5ш = 64jt, 0{ —
центр
вписанного
шара.
Найдите: VMABcd-
Задача 450.
Дано: MABCD — четырехугольная
пирамида, ABCD — трапеция,
АВ = CD, VM = |лг, МО 1 (ABC),
О — центр вписанного круга,
OK ± AD, LMKO = 60°, jy,
Ох — центр
вписанного шара,
LBAD = 30°.
Найдите: V1
MABCD
Задача 451
Дано: SABCD — правильная
четырехугольная пирамида, g
Ох — центр
вписанного
шара, К —
точка касания
вписанного
шара,
tg L 1 = |,
Найдите:
Задача 452.
Пано: О — центр шара, вписанного в
цилиндр, ABCD — осевое сечение
цилиндра.
Найдите: S6„ :
в, ^9^ ,с
Задача 453.
Дано: О — центр шара, вписанного в
цилиндр, ABCD — осевое сечение
цилиндра.
Найдите: Уц: Уш.
А1-
Задача 454.
Дано: О — центр шара, вписанного в
цилиндр, ABCD — осевое сечение
цилиндра, Vm = 8 ж.
Найдите: 5б„.
В,— ^О^ ,С
73

Задача 455.
Дано: О — центр шара, вписанного в
конус, АМВ — осевое сечение
конуса, LMBD = 60°, MB = 4.
Найдите
Задача 456.
Дано: О — центр шара, вписанного в
конус, АМВ — осевое сечение
конуса, MB = 5, АВ = 6.
Найдите: $ш. fyj
Задача 457.
Дано: О — центр шара, вписанного в
конус, АМВ — осевое сечение
конуса, MD 1 АВ, LMBA = 2а,
Ш) = 2.
Найдите: VK. ля
4т
Задача 458.
Дано: О — центр шара, вписанного в
усеченный конус, ABCD — осевое
сечение конуса, ОЕ ± CD,
МК ±AD, MC = r, KD = R,
ОМ = г
ш*
Доказать, что /^ = R • г.
А
Задача 459.
Дано: О — центр шара, вписанного в
усеченный конус, ABCD — осевое
сечение конуса, LBOA-a,
LBAD = (i, a+P = 150е.
Найдите: За - 20.
В__С
Задача 460.
Дано: АВСАХВХСХ — правильная
треугольная призма, О — центр
описанного шара, АхСг =3, ААХ = 2,
Ох02 1 (ABC).
Найдите: S„
74

Задача 461.
Дано: ABCAxBxCi — прямая
треугольная призма, АВ = ВС = 5, АС = 6,
ВВХ =2,0 — центр описанного
шара, Ох02 1 (ABC).
Найдите:
Задача 462.
Дано: АСг — правильная
четырехугольная призма, О — центр описанного
шара, ААг = 1, АР = 2.
Найдите:
Задача 463.
Дано: МАВС — правильная треугольная
пирамида, МОг 1 (ABC), MC = 4,
МОг = 1, О — центр описанного
шара.
Найдите:
Задача 464.
Дано: MABCD — правильная
четырехугольная пирамида, МО 1 (ABC),
Ох — центр описанного шара,
LDMB = 60е, МС = 2.
Найдите:
Задача 465.
Дано: правильная л-угольная пирамида,
МО 1 (ABC), MA = b, MO = Я,
Ог — центр описанного шара.
Доказать, что
К~2Н'
Задача 466.
Дано: SABCD — правильная
четырехугольная пирамида, V — объем
пирамиды, SO = h — высота
пирамиды, OxS = R — радиус описанного
шара.
Доказать, что
V=^R2hsin2a.
75

Задача 467.
Дано: ABCD — осевое сечение
цилиндра, О — центр шара, описанного
вокруг цилиндра, AD = 3, CD = 4.
Найдите: S^ , _
Задача 468.
Дано: АМВ — осевое сечение цилиндра,
О — центр шара, описанного вокруг
цилиндра, АВ = 6, Лш = 5.
Найдите: V„.
Задача 469.
Дано: ABCD — осевое сечение
цилиндра, О — центр шара, описанного
вокруг цилиндра, 5Ш = 16я,
AB = VU.
Найдите: S,
Задача 470.
Дано: АМВ — осевое сечение конуса,
О — центр шара, описанного вокруг
конуса, AM = 10, АВ = 12.
Найдите:
Задача 471.
Дано: АМВ — осевое сечение конуса,
О — центр шара, описанного вокруг
конуса, LMAB = 30°, AM = 4.
Найдите:
Задача 472.
Дано: АМВ — осевое сечение конуса,
О — центр шара, описанного вокруг
конуса, / — образующая, Н —
высота конуса.
Докажите справедливость формулы:
76

Задача 473.
Дано: ABCD — осевое сечение
усеченного конуса, О — центр шара,
описанного вокруг усеченного конуса,
ВС = 2, AD = 8, LCDA = 60°.
Найдите:
Задача 474.
Дано: ABCD — осевое сечение
усеченного конуса, О — центр шара,
описанного вокруг усеченного конуса,
АС = 6, ACDA = 30°.
Найдите: VUJ.
Задача 475.
Дано: ABCD — осевое сечение
усеченного конуса, О — центр шара,
описанного вокруг усеченного конуса,
АВ = /, AD = 2Л, ВС = 2г, BD = d,
LBAD = а.
Докажите справедливость равенства
l(R + r) sin2 a
*б.у.к
77

Нахождение зависимостей между углами в пирамиде
(Использование мнемонического приема для
запоминания доказательства)
Мнемонический прием
1. Запишем наименования
треугольника, в котором находится искомый
угол.
2. Из трех букв S, А, О составим
различные пары. Получили три
отрезка.
3. Зачеркнем тот, который не является
общим для треугольников, имеющих
данные углы.
4. Добавим по букве, чтобы получить
наименование треугольника,
включающего один из данных углов: а
или /?.
5. Найдем отрезок, состоящий из общих
букв.
6. Для нахождения искомой
зависимости разделим числитель и
знаменатель на найденный отрезок.
SO — перпендикуляр к плоскости,
SA — наклонная, OB IAB,
L х — угол между наклонной и ее
проекцией,
La — угол между наклонной и
произвольной прямой, лежащей в
плоскости ОАВ,
L ft — угол между проекцией наклонной
и прямой АВ.
Доказать, что
cos л: =
COS ОТ
cos/J
(теорема о трех косинусах)
Доказательство.
АО
COS* =
AB cos В cos a
SA 1 COS/T
AB cos a
что и требовалось доказать.
78

Зависимость между плоским углом при вершине
правильной пирамиды и углом между боковым
ребром и плоскостью основания
Задача 477.
а) пирамида треугольная
s
ASAO
У I \
COS*
sin-
2 sin
а
cos* =
б) пирамида четырехугольная
S
Проверить справедливость:
в) пирамида шестиугольная
ASAO
У I \
SC
ж
ASCM
СО
АСОМ
СМ
cos* =
СО
СО _ СМ
SC " SC
1
cos 45° г*- . а
—j—=V2 sin -у.
CM
sin-
a
cos x = v 2 sin 2"
г) пирамида п-угольная
cos* = vTsin
a

since
cos* =
cos
180°'
n
79

Зависимость между плоским углом при вершине
правильной пирамиды и углом при ребре основания
Задача 478.
а) пирамида треугольная
8
ASDO
У I \
DO AD tg30° lg2
cosx = ^ = ^= a=7T
SD !Ю
AD
ctg:
a
cosx =
tg-
Ж
б) пирамида четырехугольная
s
ASMO
у i \
SD
I
ASAP
\
DO
1
AAOD
SM
1
ASCM
*
MO
I
АСОМ
MO
MO CM tg45° 4 a
SM SM
CM
ctg^
4 a
COS ЛГ = tg у
Проверить справедливость:
в) пирамида шестиугольная
г) пирамида п-угольная
cos* = vTtg
а
tg:
а
cos* =
tg
180°'
80

Зависимость между плоским углом при вершине
правильной пирамиды и углом при боковом ребре
Задача 479.
а) пирамида треугольная.
Проведем MD ±АС и SK1 СВ,
LKSB = LMCB (как углы со взаимно
перпендикулярными сторонами).
S
DC
. х DC CB cos 60
Sm 2 " CV CM' a
~CB cos2
Провер
в) пирами;
. x 1
sin ~ — .
2 * &
2 cos -к
ить справедлив
<а шестиугольная
|.х V3" 1
2 CL
2 cos у
1
2 cos -~
ость:
б) пирамида четырехугольная.
M01BD и SM± DC.
LKSC = LMDC.
ADMO
/ I \
. x _ DO _ CD = sin 45°
Sm 2 " ЯМ " /Ж
CD
cos ^ v2cos^
rinf-
v2 cos ^
81

Зависимость между углом при боковом ребре и
плоскостью основания правильной пирамиды
Задача 480.
а) пирамида треугольная
s
DM
Щ
DB
ADMC
ADBC
DC
DM a
DM _ DC _ ctg 2 ctg2
smx" db~ db_ "tg60,e~7r"
a
2
Проверить справедливость:
в) пирамида шестиугольная
* а
ctg^
sin x = >у .
б) пирамида четырехугольная
s
АСМО
У I \
МО
О^
со
sinx =
МО
МО DO
ctg
а
СО CQ ctg 45
DO
2 _а
* = ctgT
sin х = ctg -у.
82

Построение сечений, проходящих через линии и
точки, выделенные на рисунке
Задача 481.
D D
К
Задача 482,
Задача 483. в1
/п
|в
KJ
7\
Г
V
ААКС —
искомое
сечение
A D
APNK — искомое сечение
N
МЩЬЫ
искомое
сечение
83

Внимание, параметр!
Задача 484.
В правильной четырехугольной пирамиде провести сечение, проходящее чере;
середины смежных ребер основания под углом а к нему.
1 случай
2 случай
3 случай
84
Задача 486. уг1
Ai
М<
Л
\ J
]й
/_
Pi
/
/*
/
FKENM
искомое
сечение

Задача 487.
В
А
Л
Ч
-До
\
\
\
85

ПЛАНИМЕТРИЯ. Справочный материал
Прямоугольный треугольник
с
V
(л2 = ^
(£ + 1?
Если а -
то с =
Г л-
V
ч
•*)
■0
= 30%
2а
с \
2
J
г =
аЛ-Ь- с
г - -
Р
5 = ^с-А
S = ±a-*
1. Катет — среднее пропорциональное
между гипотенузой и проекцией
этого катета на гипотенузу.
2. Высота, опущенная из вершины
прямого угла на гипотенузу — среднее
пропорциональное между
отрезками, на которую она делит
гипотенузу.
3. Сумма квадратов катетов равна
квадрату гипотенузы.
4. Против угла в 30° лежит катет,
равный половине гипотенузы.
5. Радиус описанной окружности
определяется формулой R ^ -?у
6. Радиус вписанной окружности
определяется формулами
а + Ъ - с S
г = ~ и г = -.
2 р
7. Площадь определяется формулами
S = -~с • h и S = -х а • 6.
р в ^ 5 г, Д — радиусы вписанной и описанной окружностей.
86

Косоугольный треугольник
в
с* = а2 + 9 - 26 • Ъа
с? = с? + 1?-2Ь'Ьс
8. Квадрат стороны, лежащей против
острого угла, равен сумме квадратов
двух других сторон минус удвоенное
произведение основания на
проекцию второй боковой стороны на
основание.
^ = о2 + Ь2 - 26 • ах
С а1
9. Квадрат стороны, лежащей против
тупого угла, равен сумме квадратов
двух других сторон плюс удвоенное
произведение основания на
проекцию второй боковой стороны на
основание.
S-ib-h
S = y/p(p-a)(p-b)(p-c)
10. Площадь определяется формулами:
s = \ъ-к
S = ylp{p-a){p-b){p-c).
а + Ъ + с
р » 2 > r> R ~~ Радиусы вписанной и описанной окружностей.
87

г = —, где 5 — площадь,
р — полупериметр
R =
а ■ Ъ ■ с
4S
, где S — площадь
A D В
CD — биссектриса
11. Центр вписанной окружности лежит
на пересечении биссектрис, а радиус
вписанной окружности определяется
формулой г = —.
12. Центр описанной окружности лежит
на пересечении перпендикуляров к
серединам сторон, а радиус
описанной окружности определяется фор-
*, „ а • Ъ • с
мулои Л = —j=—.
13. Биссектриса внутреннего угла
треугольника делит основание на части,
пропорциональные прилежащим
сторонам.
ос = \см
14. Медианы треугольника
пересекаются в одной точке и делятся ею в
отношении 2:1, начиная от вершины.
AN, CM — медианы
Ромб
ACLBD
LOAD = LOAB
S = ±AC-BD
S = a-h
15. Диагонали ромба
взаимно
перпендикулярны и делят углы
пополам.
16. Площадь
определяется формулами:
S = ^AC- BD
S = а • А.
88

Параллелограмм
(АС2 + В& = 2c?+2lA
( S = a-h)
Трапеция
мк =
s = ^
а + Ь--
а + Ь)
2
J
т~ h\
J
= с + d 1
J
17. Сумма квадратов
диагоналей равна сумме
квадратов всех его
сторон.
18. Площадь
определяется формулой
5 = а • h.
19. Средняя линия равна
полусумме
оснований:
МК =
а + Ь
20.
21.
Площадь
определяется формулой
S =
а + Ь
Если в трапецию
вписан круг, то сумма
оснований трапеции
равна сумме боковых
сторон.
Окружность и круг
АВ=АС
c?=AD-n
i
\a • b = с • d
22. Если из одной точки, лежащей вне
окружности, провести к ней две
касательные, то
а) длины отрезков от данной точки
до точек касания равны;
б) углы между каждой касательной
и секущей, проходящей через
центр круга, равны.
23. Если из одной точки, лежащей вне
окружности, провести к ней
касательную и секущую, то квадрат
касательной равен произведению
секущей на ее внешнюю часть.
24.
Если две хорды пересекаются в
одной точке, то произведение
отрезков одной хорды равно
произведению отрезков другой.
89

25. Длина окружности С = 2лЯ.
27. Площадь круга S = 7tR2.
26. Длина дуги Сд = у^.
28. Площадь сектора
jrR2 n
Sc - 360е
а= ^ АВ
а = j w №
а = ±(^АВ+ ^CD)
а = ±(уАВ- wCJD)
Sc — площадь сектора, 5 — площадь круга, С — длина окружности, Сд — длина дуги,
\jAB — угловая величина дуги.
СО

Ответы и решения
1. 10. 2. 10 (АВ = АС • sin 45е = 8,
AD = ЧАВ1 + В& = 10). 3. 5. 4. 2,4.
5. ^ (АКСВ v> AACM, -т^ = -щ, откуда
KB = |). б. 16. 7. 1 04£> || MW,
BD = BN+ND = & +6 = 14,
OE = ^BD = 7,
В
ОК=ОЕ-КЕ=7-
С
АЛ - - - ^
М
6
У
-6=1К/1
к
А Е D
8. 4. 9. 30° (см. рисунок к решению
задачи 7). 10. 10. 11. ^
(ААМС </> АВСК, % = ^k>
АС 2
но по условию £д = 4, тогда 4 = -j™,
V6"
откуда находим ВК). 12. 1,5. 13. -j-
(Пусть ЛС = Л1) = а, CD = 2R = aVJ,
D_aV2 _ _ . _„ aV3"4
6 + 2VT+V30"
АВ = AC sin 60° = :Чг-). 14.
04С = 2, ВС = VT,
Л£> =
sin 60°
2VT
vT
3 'BD = ^->
CD = VC52 + BD2 = ^).
15. 90е (Пусть AB- а, тогда
ЛС = Л/) = 2a, CD = 2a vT.
Так как CD2 = AC2 + AD2, то
ZCAD = 90°).
16. 2VT+4v'6" (Пусть
ВС = BD = CD = AB = a,
AC = AD = aVT, PACD = a(1 + 2VJ),
aVJ.
'-—>•
17. 30° WO = CO = BO, О — центр
окружности, описанной вокруг
треугольника ABC, LACB = -yL AOB). 18.
11 (АО = ВО = СО, поэтому
AD = BD = DC = 1).
19. 6 (АО = ЧАЕ1 - 0& = 6,
£D = 24Osin30°).
20. -^ (МВ = ^ЛВ = 3,
МС = VBCT^MBr= 4,
MD = yfMdrVcW).
21. V26" (МБ = 6, МС = 8,
ОМ = г = -| = 3,
ОС = МС-ОМ = 5,
DC = ylbWTocT).
22. 4 (СБ - V4B* - ЛС* = 4,
МО = |сЯ = 2,
MZ) = VMD2To5r).
23. 16jt (ОС = R = VCDT^lxF=4,
S = 7tR2). 24. 60° (Zl=30% ЗЛО =
= ЗБС, |лЯ = ЗБС, ВС = ^АВ,
/.2 = 30°). 25. 5.
(СО = ЛО = |лБ = 3,
^o = |co = i, df = 4do2 + fo2).
91

26. |VBT (CB = ^AB = 2,
AC = У/АВ2 - CB2 = 2vT,
CE = BE = 1,
ЛЕ = V^IC2 + C£2 = VTT,
AF = |aE = |VT3~,
27.
AD = VAF* + DF2 ).
^ (AF=VADr=DFr=6,
AE = |AF=9.
Пусть CE = BE = x, AC = 2x,
A£2 = ЛС2 + GE2, 5л2 = 81, откуда
лг = -»-, одддс = 2^^4C#C5 = 2дг =
= ^|i). 28. 2 (AB = ЧАС2 + CB1 = 5,
r = | = l, M£> = y/MCP + OD2). 29. 12
(AB = VAC2+C52 =10,
OM = r = | = 2,
MD = VM03To5r= 4,
S^ = |ЛС • M.D).
30. 90* (DM 1 AC и BM1 AC,
AC±(DMB) и AC1DB).
31. 27V3" (ОС = у/CD2 -DO2 = 6,
л d2 -ЛГ
£C = ОСV3~= 6V3~, Хд^с = ^т^->-
32. 18 VT (MO = 4MD2 -DO2 = 3,
OC = 2MO = 6, 5C = OCV3~=6V3).
33. 45V3" (Л/С = VMDT~^DCr= 9,
MC
AB = ЯС =
^ = 6V3").
sin 60°
34. 120° (Z2 = 30% Z 1 = 90е). 35. 180°
(LACD = 90°, так как центр
окружности, описанной вокруг треугольника
ACD, лежит посередине гипотенузы).
36. —т- (Провести BE I AC, найти
BE V5"
дд). 37. -=- (Провести СЕ LAB, най-
ти ^|). 38. 12 (ЛС = 2AD = 3,
СЯ = ЧАВ2 -АС2 ).
39. 5VT (ЛБ = vC4CTTCBr= 10,
10 VT
AD =
= 5 VI, AD2+BD2=AB2).
40. 1,2 (AB = 5, ЯС • ЛС = Л5 • С/1,
откуда CF = ^j, CD = ^CF). 41. VT
(FD = CD=l, CF = R = VT). 42. 90°
(Пусть BD = AD = a,
AB = BC = AC = ЧАО2 + BD2 = a VT,
AD = Z)C = a).
43. | V3~ (AB = 2, AB = Л V3~). 44. 45°.
45. 9 (BD = CA = VDE2 - BE2 = 4,
LEAD = 90°, CO = OA = ^ED = 2,5).
46. ^p 47. 2 VT (AB2 = 4,
AB = Я£ = 2, АО = ВО = \BD = VT,
£0 = VbWTbTF** VB").
48. 60° (D£ = 2Д, Z>C = 2r,
., DC r 1.
49. ^ (MC = 4, пусть MD = x,
DC - 2x, DC2 + MD2 = MC2, откуда
VT Vfi"
50. 270°. 51. Ц-. 52. -|g-
(£C = 2R sin Z£AC.
По условию ЕС = R, тогда
92

sinZ£AC = |, Z£AC = 30°.
Пусть ЕО = а, АЕ= 2Е0 = 2а,
AO = aVT, AD = aV6).
53. 60° (AC = 10, ОС = 5, LOEC =
= 30°). 54. j£ (AE = BE = CE =
= £>£ = 8, AC = 5, АО = | AC = |).
55. Vb (AD = DC - 2, ЛС = 2 VJ).
56. 4 VT (BM = 2 • OO, = 8,
AB = 2r = 8VT).
57. 16 V3~ (OM = V£MZ -ОЁ1 = 12,
Z0Z>M = 60°, OZ> = ?M = 8 ^
sin 60°
1
58. w (Пусть ОМ -OE = a,
LOCM = 30°, OC = 2a).
59. 32 {BE =2- OOl = 4,
АВ = 2Я£=8).
1
60.
w
(Пусть СЛ/ = MD = a,
CD = a VT, LACD = bO°,
OC = DC- cos 30° = ^~,
AC = 20C = aVW).
61. 2,5 (AB = 25M = 3,
BD = VAB2 + AD2 = 5, Л = ^5D).
62. 16 (AB ш 255, = 4,
AS + CI> = 5C + AD = 8).
63. 6,4 (ABOC <* AAOD, f§ = ;§§ = |.
1ХЭ 00,
ADOOi v> ADBM, -рд = -^, откуда
49 VT
OO, =^). 64. -y- (Z1 = Z3,
sin Z 1 _ sinZ 3 _ CD
sin Z 2 ~ sin Z 2 ~ AC
по теореме синусов. Пусть
CM = MD = a, CD = a VI,
AC = 2я).
65. 16 V3~ + 32 (Провести СЕ 1 AD,
CD =16, AB = CE = CD sin 60° = 8V3",
Pabcd = 2 (AB + CD)). 66. VlT
(PAKD'ACD-Ab, CD = 4.
Провести C^IAD,
CF = M/<: = ^CD = 2).
67. 64. (MO = r = V£MZ -E&- = 4.
Проведем 5Г ± AD, Z5AD = 30°,
5Г = 2r = 8, AS = 2BT = 16,
PABCD = 4AB).
68. 5 (ZSAD = 60°, Pmcd = 4AB = 32,
AS = 8, LAOB = 90°, BO = ^AB = 4,
BE = VSO2 + 0£* ). 69. 5. 70. 4. 71. 1.
72. 2VI. 73. VT. 74. 45°. 75. 6,5. 76.
2,6. 77. 8 и 17. 78. 3,5. 79. 2. 80. 5.
81. 6. 82. 30°. 83. 6. 84. 30. 88. 16 или
24. 89. 19 и 17. 90. 5 и 3. 91. 7. 92.
4. 93. 7. 94. 4VT. 95. 13. 96. Щ. 97.
8. 98. 5. 99. 12. 100. 30; 26. 101. 12.
102. 5. 103. 5; 3. 104. 4. 105. 2 + 2V3".
106 (прямая). ССу = а, тогда ОС = а,
OCl = aVI, OM = \oC = %
sin Z 1 =
OMIMCi,
ОМ а
__VT
ОС, 2- aV2 4 '
Ответ: —г-.
4
106 (обратная). sinZl =
VT
ОМ = VI х, ОС{ = 4*,
ОС = 20М = 2VT*,
ccl = Voc7^ocr= 2 VT*.
Значит, ОС = СС,, Z1 = 45°.
Ответ: 45°
93

107 (прямая). Пусть ВС = За, тогда
MP = а. АМКР w АСХКС, §£ = §£,
-1— = у, откуда QC = За. Тогда
L 1 = 45е.
Ответ: 45°.
107 (обратная). Пусть ВС - ССХ = а,
КС = Щ-, КР = ^, AKMPv АЩС,
%£■ = %, откуда MP - |, 9М/> = За,
9МР = Рддс, что и требовалось
доказать.
108. КМСХС — квадрат. Пусть
ССХ = КС = а,
-в КС Ъ1Ъа
тогда св = ww = -3—'
tga - jjg - ~2~, а = aidg-jjj-.
Ответ: arctg-y.
109. Пусть CQ =а. Тогда ВхС = За,
ВХСХ = ylBxe-CC\ = 2 V2"a,
Л/^ = V3"a,
МС = ЧВ^С? -МВ\ =aJ7,
МВг Ш
tgZ.2 =
МС
Ответ:
ЛТ
110. ^Q = 2МЛГ (МК — средняя
линия ААхВСг) и по условию
CQ = 2МК.
ВВХСХС — квадрат, Z1 = 45е.
Ответ: 45°.
111 (прямая). Пусть АВ = а,
МС =
aVT
» ^ЛЯС ""
JVT
ОМ = AfС tg a =
avT
tga.
CQ = 20M=*avTtgcr.
MO + CQ Ja'lga
_ smoc{c 3 VT
По условию -=—- = —~—, откуда
9а2 tg a • 4 3 VT
8a2 VT 2 •
tga = 1, a = 45°.
Ответ: 45е.
Ill (обратная). Пусть МО = МС = a.
smoc,c 2 ~ 2
5ляс = 2 ' "^ ' ^С = 73"'
:S
3V3"
мос,с • jasc ~ 2 '
Ответ:
ЗУТ
2 *
112 (прямая). Пусть ВО = а. Тогда
АВ = a VT, BBV = a V2",
*а=50=^
Ответ: V2".
112 (обратная). Пусть ВО - а. Тогда
5^ = а VI,
АВ = VB& + АО' = a VT, АВ = ВВХ,
что и требовалось доказать.
113. Пусть DC = CCX = СХВХ = а. Тогда
5^ = 0^, ZZX^ =90° (докажите).
t„„_ DC _ 1
tga" 5TC " VI-
Ответ:
7Г
114 (прямая). Пусть ОК = АЛ/ = х,
94

ОМ ж -ЯOK1 + КМ1 ш х VI,
ВВХ = АВ = 2х,
BD = у1АВ2 + А& = 2 VI х,
BBX2 + BD2 = Вх&, Ах2 + Ьх2 = о2,
a m лж, aV5"
откуда х = 2^г- Тогда ОМ = -g-.
Ответ: —g—.
114 (первая обратная). Пусть
DM=KM = x, KD = xVI,
BD ш 2KD = 2х VI, ВВХ = 2DM = 2х,
bxd = VbbJTbW= 2х VT.
ОК=^-ВВх = х, OK2 + КМ2 ш ОМ2,
бо2
** + **«
36'
откуда х = ^ V3~,
£ii) = 2xV3-=^^I = a.
114 (вторая обратная).
0D = |51Z) = f,
DM=VODr^OMr=
Ответ: а.
aVT
DC-^BD-DC-rt-^,
aV3
BB, = V^Z)2 -B& = 3 ,
что и требовалось доказать.
115. Точки О, К, М лежат в плоскости
DAXBXC, Ox — центр грани AAlDlD.
Искомое расстояние АО{ = V2".
Ответ: vT.
116. Пусть DC = а. Тогда
д^ = BD = CQ = aV2",
сс
tg /Л = -^ = vT, Z. 1 = arctg VT.
Ответ: arctg V2".
117. Пусть DC- а, тогда BXD = 2а,
BD = aVI, cos <Ll=j± = ^,
L\ = 45\
118.
^A4,C,C _ ЛС • Cfi _
Ответ: 45°.
с CD • CCX
AC CD VI
= VT.
C£> CD
Ответ: VI.
119 (прямая). Пусть BD = AC = a.
Тогда S^c = —4—»
CZ> = AC-sin 45е = aV?
ЯЯ, = VA^ - AB2 =
"M,B,0 —
a*V2~
2 •
2 '
V5~
с . с — '"
Ответ:
4 '
119 (обратная).
\ac-bp
S**f: 5*w = ~B~b~rBB^ ~
вр _ vw вр ye
2-BBl 4 ' BBt ~ 2 '
Пусть BlO = aVF, BBX = 2a,
ЯО - VB^-BBi =aVI,
AC = 2aVI, AB = VBC? + A& - 2a,
A^ =2aV2", A5i =ЛС,
что и требовалось доказать.
120. А,^ || ЛЯ, £2) || АВ, АХВХ ■ АВ,
£2) = ля. Так как АЕ1Ш), то
АХЕ ± ED.
AXBXDE — прямоугольник.
95

121. Пусть АВ = РР1= а, РО - ON,
АО = а, Р0 = <4АОг -АР* ш ^-,
Р Р 1
PN = aVT, tga= -^ = -^,
L а = 30е.
Ответ: 30°.
122 (прямая). AO = OD, BtN'- NClt
NM 1 ВС, ВО = 2,
ОМ = V ВО* - BMZ = VT,
ON = VOM* + MNl = 2,
ло + ад
S^,c,a = 2 ON =6.
Ответ: 6.
122 (первая обратная). АО = OD,
BXN ш NCX, NM 1 ВС, ВО - 2,
ВМ=1, OM = VJ, AD = 4.
По условию Sjucd = 6,
откуда ON = 2,
МЛГ = ВВХ = V0JV2^r0Mr= 1.
Ответ: 1.
122 (вторая обратная). 40 = OD,
BiN^NCi, NM1BC.
Пусть АО = 0D = 05 = х, ЯМ = |.
xVT
ом =
2 *
ON^y/NAf + OM2 = V^+l =
V3x* + 4
2 "» $Авхср " 6.
AD + ВХСХ
ON=6.
Решаем уравнение
*V3x* + 4 = 8. Зх4 + 4JC2 - 64 = 0,
откуда х = 2.
Ответ: 2.
123 (прямая). Пусть
ОЕ = ED = OD = а,
е -Зо^л/а- За2VT _ 3vT
«э0 2 ' 2 2 '
откуда а = 1, ME = —у = -у;
АБ = 2 • ME = V3",
SA\Efi = ЛЕ - ААХ = VT.
Ответ: vT.
123 (первая обратная). АЕ = vT.
Пусть ААГ = КО = 2х, КМ = х,
I
Г
3VT
ак2 - /см2 = лм2, з*2 = |, * = j.
5осн = 6-|л:о-ам= 2 .
Ответ: —^-.
123 (вторая обратная). Пусть
АК = лО = х, S0CH — —2 ,
откуда х = 1. АЛ/ = -=-.
АЕ = 2 • AM = V3". AAl • АЕ = V3~.
AAi -1.
Ответ: 1.
124. CM LAB, MB = ^AB = 3,
MC = yJBC* - MB* = 4.
AS • Л/С = AC • -ВД
24
откуда BD = -y. Z-RDq = 90°
(доказать), тогда
96

5Cl=f,cosZl=||
25
48"
Ответ:
25
48'
125. ВС 1 AC, В{С± AC, BxO = 5,
АВ = VaB{ - BBf = 6.
Пусть АС = ВС = а, АС2 + ВС2 = 36,
ВС = АС = VW = 3 V2",
СВХ = VCB2 + BBf ж V8T,
Sacb, = \АС ■ СВХ = 3 V4T.
Ответ: 3 V4T.
126. AM 1 ВС. Проведем АЕ || ВС,
AM ± АЕ и АХА 1 АЕ. Тогда
LBfiC = Z^Afi = 90е.
Ответ: 90°.
Sure АС ' ААХ _ АС _
Id ~
«Зри n n
}BB.Dfi
АО
ВО
sin Z,AAD
sin ABAC
128.
^A4,C,C -AC • AAj
= 2.
Ответ: 2.
AD
Sbbdd BD • AAi
АП
= |g = tg ZA50 - VT,
LABO = 60% LABC - 120°,
Z5AD = 60°.
Ответ: 60°.
129 (прямая). ВО = \,
BxO = ЧВВ\ + В02 = VT,
АО = VAB1 -ВО2 = VT,
Sab,c = А0 ' в\° * ^
Ответ: V6.
129 (первая обратная). BD = 2,
ДО = 1, Z^05 - 90°, АО = V3",
АО • ОВх = VW,
откуда ОВх - VT.
ВВХ = VB^ -ВО2 = 1.
Ответ: 1.
129 (вторая обратная). Пусть
* xVT
AB = BD = x, BO = Z, AO = =y~,
ВуО = VBBf + В62 = | V4 + X2.
АО • ^O = VF,
xV3~ V4 + x*
= V6",
2 2
x4 + 4л2 - 32 = 0,
откуда удовлетворяет уравнению x — 2.
Ответ: 2.
129 (третья обратная).
АВХ = VAB2 + ВВ\ = VJ.
Пусть АО = х, тогда
ВхО = >Л4Д? - АО2 = VS-x2,
sabc = AO'B10, Vb=x V5- х2,
х4 - 5Х2 + 6 = 0.
Так как х > 0 по условию, х{ — VT,
x2 = VT.
VT
a) cosZA40 = -y-, LBAO = 30%
q = 60°.
V2"
6) cos LBAO = ~y, ABAO = 45°,
a2 = 90°.
130. BKLAD, BiKlAD,
BK=^AB = 9,
131.
BlK=VBlBi + BK2 = 15,
£лв,с,д = ^ ' BiK = 18 ' 15 = 27°-
Ответ: 270.
^дд.д.о _ BD • ДД _ BD _ VJ
B ~ AB-BBX ~ AB~ 2 '
>AA,B,
AB = 2x, BD = VJx.
97

L+k
Проведем BK1 AD,
ВК = АВ since = 2х sin a, AB = KD,
BD2=BK2 + KD2,
5л2 = 4л2 sin2 a + 4л2,
откуда sin а = ^, а = 30'.
Ответ: 30'.
132. Pmcd =(AB + CD) + (AD + ВС) -
= 4 • АВ = 64, (AD + £С - ЛЯ + CD),
BnnC
АВ = 16, ВМ = ^АВ = $.
ВХМ ж y/BB2 + ВМ2 ж Ю,
AD + BC „,, ,„
= j £iM ~ 16°-
133. AAOD </> АВОС. Щ » ^ = |,
ЛО = ДС?! = 3,
АО, = VA4? + ДО? - 5.
Ответ: 5.
134. 13 и 9. 135. 8 и 10. 136. 7 и 5.
137. 5 и 7. 138. 4. 139. 2. 140. 2 и 3.
141. 273 и 175. 142. 1872. 143. 22.
144. 9. 145. 144. 146. 4,5. 147. 7,5.
148. Пусть АВ = ВС = а. MB = |,
мс = ^-,мо^\мс = ^,
DO = OM-tga = ^Д tga.
Тогда SDMC = | МС ■ DO = | a2 tg а,
«^ЛЯГ ~
а2^
По условию S^c : S^c =1:2,
gra2tga:—^—=1:2,
откуда tg a = V3", a = 60°.
Ответ: 60е.
149. Пусть DO- а, тогда АВ = 3a,
3Vy^, OC = |cM = aV5",
CM =
*0„-D0 a
Xea"oc=J7T
= ^, a = 30е.
Ответ: 30е.
150. Пусть ОхОг = а, так как
ОхОг = |м£, то ME = |a. ЛЯ = За,
тогда DB = DC = BC = 3a, Z.a = 60е.
Ответ: 60е.
151. АВ ±СМ и А£ 1 DM,
следовательно, АВ 1 (DMC), поэтому
AB1DC.
152. М£ || БД РАГ || ЯД откуда
следует, что ME || КР. МК || ЛС, ЕР || ЛС,
значит, МЛ: || РЕ. Но 5D1 АС
(задача 151), следовательно, ЕМКР —
прямоугольник.
153. АВ = 05 V3", откуда
ОЯ = ОС = 3, £>0 = VDC2 - ОС2 = 4,

SUDC-jMC-D0-9.
154. АО - ЧА& - 0& = 6,
Ответ: 9.
ОМ=^Л0 = 3, AW = 9.
КО = КМ-ОМ = \АМ-0М =
=9-3=^
2^2'
ок='Пюг+к~дг=
У2бУ
2 '
5C = A0V3~=6V3~.
Р£ = |яС = 3\/Т,
Ответ: f V79T.
155 (прямая). АВ = ОС vT, откуда
ОС = 3, КО = |; КР = КО + ОР = 3.
MPJ.KC, MP = ^D0 = 4.
КМ = VAP2 + MP2 = V9 + 16 - 5,
2
5лми = ^-АВ-/(Д/ =
Ответ:
15УЭГ
2 '
3V3"
155 (первая обратная). КБ = —=—;
откуда /Of = 5, КС=*ВС • sin 60° = |,
КО = ОР = PC, КР = 3,
MP = У/КМ2 -КР* = 4,
DO = 2 • MP = 8.
Ответ: 8.
155 (вторая обратная).
MP = |dO = 4,
пусть КВ = х, ВС = 2х, КС = jcVT,
КО = ОР = PC. КР = ^КС = | jcVT,
ям
= VkF1-
&АМВ
*Vl2x*
~мР~
KB
+ 144
Vl2x* + 144
3
-KM
2 ;
15V3"
3 ~ 2 •
48jc4 + S76X2 - 6075 = 0.
При х>0 находим
х = Щ-\ АВ = 2х = 3VT.
Ответ: 3V3~.
156 (прямая). KB-Л,
BD = ЧК& + КВ* = 5,
КС - V£CZ - ЯВ* = 4VT,
/СО = j ХС = |^ V3",
DO = VAD* -КО2 = Vу .
Так как DC • ЯМ = КС - DO, то
5ЯМ- 4V3"• V^f ,
откуда КМ - jVTT, S^ =
= ^АВ-МЯ = ^-8 •|VTT=^VlT.
Ответ: -^-VTT.
156 (первая обратная). KB = 4.
iiTC = A3 tg 60° - 4V3".
99

Пусть KD = х.
DB = DC = 4KD2 + KB2 = V*2 + 16,
DO = ЧК& - КО2 = V*2-^,
КС DO = DC- KM.
Получаем уравнение
4V3• V7^f"= VJTT6 ■ |VTT,
решая которое, получим х = 3.
Ответ: 3.
157. Пусть МО = а, тогда ОС = 2а,
МС = За. Из АСМР:
h^ = AfC sin L 1 = За sin Z 1,
из Д£>ОМ: hx = МО tg Z. 1 = а tg Z. 1.
По условию 3Aj = 2Л2,
3atgZl = 6asinZl,
откуда cos Z.1 = |, Z.1 = 60е, L2 = 60°.
Ответ: 120е.
158 (прямая). Пусть О В = х, тогда
4JB = ;*V3",
АВ2 = AS2 + £52 - 2AS • 5S cos a. (*)
По условию
15п
15
tga = T,
тогда
8
8n COS«=17.
Из формулы (*) находим х = VTT.
SO = >JBS2 -ВО2 = V22.
Ответ: V22".
158 (первая
обратная). Пусть
15п ОБ = х, тогда
AB = xVT,
SB = yfsWToW^ V22 + **,
ЛВ2 = Л52 + 5£2 - 2AS - SB cos a. (*)
Так как
tga = T,
15
8*
8
то cos a = ._.
Подставляя
данные в формулу
(*), находим
х = VT2. AS = V*2 + 22 = V34".
Ответ: V3T.
158 (вторая обратная).
50 = i/BS2 - SO2 = vT2",
ЛВ = ВО- V3"=6,
АВ2 = AS2 + SB2 -2AS • SB cos a.
Подставляя данные значения, получим
8 15
cos a = у=, тогда tg a = -=-.
17
8
гч 15
Ответ: -^-.
МС
159. Пусть М£> = 6, ^^ = -££, откуда
/С =
Z.DMO = 60°.
мс = |г>, мо = |мс = !*,
cos Z1 =
Ответ: 60*.
160. Пусть DS = SC = DC = a,
AC = V'AD2 + DC2 = aVT, ОС = ^,
ОС V2~
SC 2 '
откуда L\ = 45°.
Ответ: 45°.
161. АО = у/AS2 - SO2 = 4, ОГ = 2,
£M = ^5£> = 4,
Г5 = V502 + 07* = VTT,
°ESM 2
Ответ: 2vT3".
100

162. Пусть AD = DC = а, тогда
ОМ = |; AC = tfVT,
OS = OMtg* = |tgx,
SM = OM = fl ■
cos x 2cos jc'
По условию VTsinjc = -=-, откуда
sin x = ~> значит, х = 30°.
Ответ: 30е.
163. ОЕ || AS, тогда
L\ = Z2 = Z4 = Z3 = 60\
Пусть ОС = ОЕ = a, AS = 2a,
OS = VAS2 - АО2 = aVJ,
&ASC = " * 3, S^g/j = U ,
*^ASC ' ^££D = V 3.
Ответ: VT.
164. S^sc = SB5Z> = OD • OS,
S«d = OD • 0£,
по условию SASC = S5EZ), тогда
OD OS = OD - OE,
откуда OS = OE, OE II AS, 0£ = S£.
ZOSC = 60°, Zl =30°.
Ответ: 30°.
165. Пусть АВ = а, тогда
AC = VAZ? + £>CZ = aVT, а
0£ = ^АД = |.
Из ASO£: SO = OE tg * = | tg x,
vTtg*
4 '
^ARCD
JASC ' ^it^CD
По условию
vTtg* _ VF
tgx = VT, x = 60°.
= -j-, откуда
Ответ: 60°.
166. Sncr = 2S
DSC
JMSK>
1
MK- SO = -^DC
SK,
откуда SAT = 20S, L a = 30°.
Ответ: 30е.
167. AM = MB. Проведем ME 1 SK,
AB || (DSC), значит, расстояние от
точки А до плоскости DSC равно ME.
Если ME = SO, то МК = SX, AMSA: —
равносторонний, L а = 60°.
Ответ: 60е.
4
1о8 (первый способ). tga = ^. Тогда
3 А # \11 - cos а 1 тт
COS
ОД = а, тогда SO =
OD
tg-
я
= 2a,
S£> = VS02+D02 = aV3",
AD = aV2, SD :AD = V3~: VT.
Ответ: vT: vT.
168 (второй
способ), tg a = p
3
тогда cos a =
5'
Пусть 5S = x,
BD> = £S2 + SD2- IBS • SDcosa,
птл 2a- Ar, xV2
откуда 5Z) = yy, AD = —<=-,
SZ>:A£ = V5":vT.
Ответ: V5~: vT.
169 (прямая). £Я||AB ||DC, DEKC —
трапеция. Так как PF =FT и РО =ОМ,
то N — точка пересечения медиан
треугольника РТМ, FN = -~ MN = ^,
FM=3FN= 1,
яс + еа:
JDEKC
FM=3.
Ответ: 3.
169 (первая обратная). EK\\AB\\DC,
DEKC — трапеция. PF =FT, РО =ОМ,
101

значит, N — точка пересечения медиан
треугольника РТМ, ЕК = ^ • АВ = 2,
Ж + ^-т-ъ, РМ=1,
MN = | • MF = |.
Ответ:
169 (вторая обратная). JV — точка
пересечения медиан треугольника
РТМ, FM = 1. Пусть ЕК = х, тогда
AS = DC = 2х, ЕК^АВ .ШшЪ,
откуда х = 2, DC = 4.
Ответ: 4.
170. Пусть МГ = у, тогда РГ = 2у,
РМ ш Зу, АЕРК V» ААРВ,
РТ ЕК 2
РМ АВ 3'
Имеем ЕК = 2х, AB = DC = Зх,
DC + EK
По условию
8
DEKC ~ 2
2х + Зх
х ~ 5' *BCD ~ 5
TN.
4 = 16, откуда
128
Ответ:
аЪс
128
5 *
171. SO ± (ABC), ST = R = 4S,
АМ = ВМ = 3, SM = VAS2- AM2 = 4,
ST = R =
AESKv>AASB
5-5-6
4 • 12 '
EK
AB
25
8'
ST
SM'
откуда £ЛГ = y|. Л/Г = MS - TS - |.
7W2 = ГМ2 + MW2 - 2ГМ • Mtfcos a.
о MO 3
Зная, что cos a = -rrw — -г, находим
TN
DC + EK
_ У1849
>/)£KC
64
7W =
Ответ:
171VTS49"
256 *
171VT849"
256
172. AB -SP = AS -BF, откуда BF = Ц-,
FB 4
так как cos a = -jg = j, тогда
tga = |, KP = PB-tga = ^;
S
s# = sp - kp = ?.
4
ASME v> AASB,
SK _EM
SP
M откуда £М =
AS'
8'
JZ>£MC
В Из APKN находим
KN^yJPN'-PK2 =^^.
Ответ: ^V49J.
173. Пусть ОЕ = АЕ = АР = х. Тогда
SO = xtga, PE = xV2. -j^ = |, от-
куда A^Mj = —^—. Так как по
условию
МХМ2
2VT
SO
lyflx
то
2V2"
, tga = 1, a = 45°
3xtga
174. Пусть AM = MO = a, ГМ =
TO = ^-, ГА: = avT, ^O = 2 ,
Ответ: 45е.
2'
3a
102

Змкс
= ±МС-КО = ^г, 0L = %,
ML » Щ-, MD = aVT,
3MKD
= ±MD- KL =
^MKD '- $МКС —
V30~
Ответ:
175. Пусть MO = 0E = ME = a,
VW
<*VT
ON = |, MN = у/ОМ1 - ON1 = 2 ,
AK = 2MN = aVT; cos a = -j^rr = -т^-.
Ответ:
vT
176. Пусть AM=OM = a, FM = |,
/O = LF=^j-\ KF = <r/J;
Ъа
КО = у/FK1 - F& = ™; LO = aVT.
+ ,„._ КО VT
XgLKLF = -oT = -T.
Ответ:
V3
oV3"
177. Пусть ED = a, S0 = —^— • 6, тог-
3/22
да 54V3" = -ту- VT, откуда а = 6,
л„, ОД 2?J9
кт = yfkWTol^^ 5,
ОТ - КО = КТ- ОР,
откуда 0Р = 2,4.
Ответ: 2,4.
178. MJV - у1МК* - KN* = 6vT. Пусть
МЕ = МО = ОЕ = a, ON = |,
МО2 = MJV2 + CW2, а2 - 108 + j,
откуда с = 12, ЛГО = V£M* - M0Z = 8,
5,^ = 1 .Б£<Ж = 96.
Ответ: 96.
179. LDCA = 90% СО = ОА = 2,
ZM = 2АО = 4,
Р^ - АС + CD + DA = 10.
Ответ: 10.
180. АО - OD = ОС = ОВ (докажите),
ВО + СО = AD, AD = 2BD,
LDAB = 30е.
Ответ: 30°.
181 Пусть NB = x, BC2 = AB • NB.
Решая уравнение 5 = (4 + х) • х, находим
х-1, CN-4BC-N& = 2,
CD = CN= 2.
Ответ: 2.
182. ЛЯ = VACrTCBr= 5,
AS • АТС = АС • CS,
откуда СЯ = 2,4, CD = 2СЯ = 4,8,
ВС 5
cosa = CD = 6-
Ответ: ^.
183. О — центр окружности,
описанной вокруг ДАВС, /.а = ^ ^.ЛОБ = 50°.
Ответ: 50°.
184. Z.5 + Z4 = 30°,
ZA + LB = 2 Z5 + 2 Z4 - 60°,
С
103

LC = 180е - 60° = 120е.
Ответ: 120°.
185. ОМ LAB, АО = OB, MB = 3,
МО = ЧОВ* - MB1 = 4,
DO = MO = 4.
Ответ: 4.
186. О — центр окружности,
описанной вокруг ААВС. Пусть OD — а,
ОМ = а, СВ = 2а, АВ = 4а,
АС = ЧАВ2 - СВ1 = 2<Ъа,
ON = jAC = VTa,
tg а = -?у, La = 30*.
Ответ: 30е.
187. О — центр окружности,
вписанной в ААВС,
С
А В
L4 + L5 + L6 + L1 ш 90",
L4 = L5, Z6 = Z7,
тогда L5 + L1 = 45°;
La = 180° - (Z5 + Z7) = 135°.
Ответ: 135°.
188. МС = ^ЛС = 3,
MB - VCBT^MCT= 4,
О — центр окружности, вписанной в
ДЛЯС, SW: = МС • MB = 12,
Рдяс = АВ + ВС + АС = 16, Р = 8,
г~ Р~ 8 ~ ' '
BO = OD = BM-OM=4-l,5 = 2,5.
Ответ: 2,5.
дд/3"
189. Пусть ЛС = с, SM = ^-,
CFXAB, CF = ~;
ME = \CF = ^,
SE = 4EMZ+ SM* =
SM _ 2vT
5 '
Ответ:
sin a =
ВС
SE
2V3~
190. PN = ^= 1, SP = VT,
SN=VSPr+~NPr=2.
191. SP = VsC2^PCr= VT,
1 VT
£Г = ^ 5P = -y-; MC = VT; ЛГ = 1,5,
Ответ: 2.
ДЛЛТ и АМАС,
NT_ AT
MC AC
XT„ MC- AT 3 pt
откуда ЛТ = —j£— = 4 vT,
NE = У/ЕТг + NT2 m ^p-,
4
3ABE
= 4 • AB • NE =
VW
Ответ:
V3T
192. Пусть АС = ВС = а,
$ABC "
JVb
Ответ: 1:2.
104

193. Пусть АС = ВС = а, тогда
= AN sin 60'
SN 2VT
SN = f, PN = AY sin 60* = ^p,
tga
РЛГ
3 *
Ответ:
2V3~
194. Пусть ЛС = а, АО = SO = |,
aV3~
CW = О A sin 60' =
... off
SiV = —г-, cos a =
4 '
ON
SN'
Ответ:
V2T
195. Пусть AC = CB = a, SABC = \<?-
AB = aVT, AP = PD = ^y~,
EM1AB, EM = ^DP = ^p;
NM1AC, NM1AC, NM = ^a,
NE = ЧЕМ1 + Л/Л" =
T 16 + 16 4V11'
5А£С = ^С-ЛФ = |о2уТГ,
^с:^с = ■/!!": 4.
Ответ: vTT:4.
196. Пусть AB = BC = a, AC = aVT,
aV2
AP = PD =
2 '
Проведем PN1AB, NP = | CB = |,
zw = VnptTpW= I V3~,
S^ = AP • PD = y;
Sjwb : ^^)c = *3: 2.
Ответ: vT: 2.
197. BN1AC, DiVl^C. Проведем
JVM 1 AB, AN = JVC = 3,
DN = V£K? -NC = 4, ЯЛГ = 4,
AN- BN = AB • MN,
откуда MN = -jr-,
MD = yfDNTTMNT=
SABn =~-AB-MD =
5 '
V54T
3ABD
Ответ:
V544"
198. По условию SA = SB = SC = CD,
тогда ОЛ = 05 = ОС = OD. ABCD —
прямоугольник, LDAB = 90°.
Ответ: 90°.
199. ZSCD = 90° (докажите), DO= OS,
Psbd ~ Paoc = SB + DB + DS-
- (АО + ОС + AC) =
= 2 + DB + 2AO - (2AO + DB) = 2
(AO = OC, AC = DB).
Ответ: 2.
200. ZSA4 = 90e, АО = OS = ОС
(докажите), AS = 2CO = 5,
SB = VASZ -AB1 = 4,
cos L\ =
SC-3
£B 4"
201.-AS - VABr+~SBr= 5,
Ответ:
4"
r-|-|-l, АЖ-r-l, S
WB + DC
Ответ: 10.

202. АВ = 6, LBAD = 60%
LBAO = 30% BO = ^AB = 3,
SO = VSB2 + BO2 = 5.
Ответ: 5.
203. DO = 3, АО = 4,
AD = VXO* + DO* - 5,
АЯ • DM = ^AC-BD,
0Л 48
откуда £»л/ = у, Si) = 2£>M = у = 9,6.
Ответ: 9,6.
204. Пусть AD = х, .ВС = у, тогда
2АВ = * + у, АВ = ^р; А/-= ^^;
,лв AF ж-у 1
C0S6° = АВ;^=2'
откуда х = 3у.|§ = ^ = },
tgZ5JW<: = ||; tgZ5MK = |§;
tg/.5JW::tgZ.5MK=l:3.
Ответ:
3*
205. СК 1 AD, пусть АВ = СК-х,
тогда CD = 2лг, но AB + CD = BC + AD,
6 = Зх, откуда х = 2,
ОГ = 50 = | = 1.
206. AM = ^AB = ^CN=4,
OM = ^CN=4,
Ответ: 1.
50 = y/SMz- ОМ1 = 3.
Ответ: 3.
207. АО ш у/AS* -SO* = 6,
LOAK=45°, OK = AO^ = 3VT,
откуда OK || CM, CM = 20K = 6VT.
Ответ: 6vT.
208. О — центр описанной
окружности, АВ = CD, LBDA = 45%
LAOB = 90%
АВ = 2R sin Z.BZM = 2AO sin LBDA,
откуда АО = 4 vT,
AS = yfsWTAW^ 7.
Ответ: 7.
209. О — центр описанной
окружности, LASO = 30% AO = ^AS = 2,
LAOB = 60% АВ = АО = ОВ = 2.
Ответ: 2.
210. О — центр описанной
окружности, значит, АВ = CD, CD = 2.
Отвел 2.
211. О — центр вписанного круга,
ОМ = ОК=4, KN = AF=8, АВ = 16,
А К D
^cz> = (AS + DC) + (AD + BQ = 64
(AD + £C = AB + DC).
Ответ: 64.
212. OM = OK = OS = l, LOAM = 30%
АО = 2, AS = VAO* + 05* = V5".
Ответ: V3~.
213. 4AB = 8, AB + CD = BC + AD,
AB = 2, СЯ1 AD, Z.ADC = 60%
CK=CDsin60° m vT, OM = -y-,
5M = i, 5C=1, 5Af = ^S
tga =
5M 1
МЛГ 2'
Ответ: ^.
106

214. smcd — 2smcb,
\mC-DC = 2-\cB-MC,
откуда DC = 2CB. Пусть СВ = x, тогда
CD m 2x. AD + BC = 2CD.
Имеем: AD = Зх. Проведем
BK1AD, CF1AD, KA = x,
LKBA = 30% LDAB = 60*.
Ответ: 60*.
215. MP LAP и MKLAK. Тогда
OP J. АР а ОК1АК,
ЬМАК = ДМЛ4,
откуда следует, что АР = АДГ.
Из Д0АА = ЛОРА имеем
^.ОАЛГ = Z.0AP,
что и требовалось доказать.
216. LBAC = 180е - 100° = 80'.
Согласно ключевой задаче, АЕ —
биссектриса угла ВАС, LBAE = 40'.
Ответ: 40'.
217. АЕ — биссектриса угла ВАС
(задача 215), тогда
ВЕ:ЕС = АВ:АС= 1:4,
значит, ВС: ЕС = 5: 4.
Ответ: 5:4.
218. ABAC = 60°, АЕ — биссектриса
угла CAB (задача 215), тогда
Lb = 180е - {LEBA + LEAS) = 120°.
Ответ: 120*.
219. АЕ — биссектриса угла ВАС
(задача 215), а значит, и высота (так как
АВ = АС), следовательно, Lb = 90°.
Ответ: 90*.
220. АС — биссектриса угла BAD
(задача 215), следовательно, ABCD —
ромб, Lb = 90°.
Ответ: 90*.
221. 9. 222. 5 и б. 223. 12. 224. 3. 225.
12. 226. 14. 227. 245. 228. 11. 229. 35.
230. 9. 231. 1. 232. 56 и 24. 233. 2.
234. 20V2". 235. 12. 236. 24; 30". 237.
14. 238. 14; 25.
239. ОС = ЧС^-СХС = 4,
ВС = ОС- V3"=4VT,
S6 = ЪВС • CCi = 36vT.
Ответ: 36VT.
240. МС = ЧМС[ - CCi - 6,
ВС ш МС = 4vT
**" sin 60- *VC>'
S6 = ЪВС • CCt = 96v^-
Ответ: 96V3".
241. МС = aVT. Пусть
АМ = а, АС = 2а, ССХ - Я,
SbMicwc^Qa + ay/T)!!,
$б. ABCAfifi' $6. ЛЛ/СМДС, ~
= 3 - VT.
-зТТГ
Ответ: 3 - V3".
242. МС - ССХ = aVT, MCt = aVF.
Пусть AM = а, AS = ВС = 2а,
^лс,л - \ АВ • МС, ■ a2 V6".
Sff = 3AB-CC! -6V3V,
Ответ: V2": 6.
243. С,М 1 АВ. Пусть АС = АА, = а,
тогда 5б = За2.
СМ^У/СВ'-МВ*-^,
c1m = VccJTmcf=
а2
VT
$ас,в ~ 4 **» ^с,в " ^« ~ 12'
Ответ:
12"
107

244. АЕ =
aVT
Пусть АВ = ААг = а,
Проведем ДЯ || iO> || jl^Af || ААХ.
КЕ = VKP2 + РЁ* =
_BC + DXMX з , ^
Ответ: -^г-.
245. Пусть QC = jc, тогда
МС = VM^^QCZ"= V25-JC2, а
ОС * 2МС = 2 V25-*2.
ОС?+ QC2 = ОС?, 4 (25 - л2) + ^= 52,
откуда jc = 4, ОС = 6,
C5 = OCVT=6V3",
S, = ЗСЯ • CQ = 72 V3".
Ответ: 72vT.
3
246. (первый способ). sina = -^, тогда
4
cos « = т-
ЛЯ2 - ЛС? + ЯС? -
- 2АСХ • СЯ • cos a, _
находим 4
ab = jc- V| слс;»с;а»х)9
СС, = V4C* - АС = х V§ ,
S6 = 3AB • CQ,
150^6 =3**V§"- Vf[
откуда х2 = 250,
1 1 ?
5ЛС5= -2-4Q -Q5 sin a = ^ дг sina = 75.
Ответ: 75.
3
246 (второй способ). sina = -=, тогда
4 9
cos a = j, 1 + cos a = -=,
2 ct 9 a 3
2cos 2 = 5'С052=7Ш'
Пусть QD = 3x, CXB = vT0"jc,
DB =ylClBi-ClD2= x, AB = BC = 2x,
CCt = y/ClBi - ВС' = V6x,
S6 = 3AB- CClt 150VF = 3 • 2x • VFx,
откуда х = 5,
5ЛСВ = DB • ClD = 3x2 = 75.
Ответ: 75.
247. DC = 3V3", ОС = 2V3",
2
откуда AAj = 5, MTV = ~- АВ, откуда
МЛГ=4, M^ =^-ЛА.
Имеем: MXNX = 2,
OAi = у/КхК2+ OK2 = V25 + 3 = 2vT,
_MN + MXNX _
UMMftN ~ 2 * "
Ответ: 6vT.
4 9
248. cos a = -=; 1 + cos a = ^;
^ 2a 9 a 3
2cos ^ = i; cosI = 7T5..
Пусть PO = Зх, ЯР = vTO'x,
ok = VkF^6pf=x9 db = \ok,
3
откуда Z)5 = ^ *, ^jB = 2£>£ = 3x,
108

МК = КС = 2х. КР2-КС2 = PC2,
из Юх2 - Ах2 = 24 имеем х-2.
S6 - Лик: ' CQ = 9х • 4 V6"= 72 V6".
Ответ: 72 V6~.
249. АСХ — куб. Пусть АВ = а,
Sn = 6а2, S0CK = о2, у5- = 6.
"оси
Ответ: 6.
250. AAD = 16, AD = 4; 5„ ■ S6 + 25^,
^б = Pabcd ' -^А »
откуда АА1 = 1, 5„ = 16 + 32 = 48.
Ответ: 48. 1.
251. CXD - avT. Пусть DC - а,
CCt=DC = a,
ABxCiD — прямоугольник (доказать).
SabiC,d = AD • DC\ = с2 VT,
5б = 4AD • CQ = 4а2,
^ABffi'- $б = v2 : 4.
Ответ: vT: 4.
252. Пусть AD = АВ = х, тогда
BD = xV2", -BjD = 2xV2~ (Z.1 = 30е),
BjB = xV6", 5^ = 2л2 + 4X2 V6.
По условию имеем:
8 (1 + 2V5") = 2Х2 (1 + 2V6"),
откуда х = 2, S6 = 5^ - 2л2 = 16V6".
Ответ: 16V6".
,„ с с _ 6 • АВ • АЛ, _
253. 5б: ^яв - ае.щ -
_ 6АВ _ ЬАВ _ 0 гт
~ АЕ ~АВ73~~^-
Ответ: 2vT.
254 S-S _^AB'BB, ЬАВ =
М. Ъб . йщЕЕ - ВЕ . щ 2АВ Л.
Ответ: 3.
255. ССХ =CN=BN=6, АВ = 12.
V= 50СН • Я = |ЛВ • СЛГ • CQ = 216.
Ответ: 216.
256. СЛГ2 = BiV • NA, CN = 4.
4V3"
CQ = CJV • tg 30° = -Цр.
V = S0CK • Я = ± АВ • CW • CQ = ^р.
Ответ:
80V3"
257. BD = 3, С2> = VCBr^~BDr= 4.
ДО-г-f-f,
У = S • Я = ^ АЯ • ЯС ■ CQ = 30.
Ответ: 30.
258. DB ш 6, DC = y[BCrzrDBr= 8.
СС, = СО = ^ CZ> =
16
3 "
1
F= 5 • Я = ^АВ • DC • ССХ = 256.
Ответ: 256.
259. AD = DB, DC = V'ВС1 - DB2 = 8.
У = 5 • Я = ^АВ • DC • СС, = 300.
Ответ: 300.
260. V=S-H.
5 = Vp(p-a)(p-i)(P-c)=84.
0C = * = ^ = f,
СС, = ОСtg30' = ^. F=^.
Л 455V3"
Ответ: —~—.
109

261. ВВХСХС — квадрат, ВВХ =BC = 2.
V=S-H = BCl^ • ССХ ш 2V3".
Ответ: 2vT.
_„ СМ С<\ 1 ССХ
262. МО = ОС? 3 = 12~' 0ТКуда
СС, = 4. ОС = VOCf- СС? - 8VT,
ВС = ОС-V3"=8V6~.
F- S • Я - ^ЯС2 V3" • СС, - 384VT.
Ответ: 384vT.
263. С1С = Н = ^ ОСх = 2V3".
ОС = VOCf - Сх(* = 6,
BC = QC- V3~=6V3~,
У=5.Я = ^У1.СС1 = 162.
Ответ: 162.
264. Пусть AS = x, тогда 5^с = —j—•
V^S^c-H, 8V3" =
^VT
2,
4V3"
откуда x = 4. AB = ОС -VT. OC = —^
CxO = VOC + CCf = IV2T.
Ответ: jV2T.
265. LNOE = 60°. ME =2, ОС =
EO = NE- ctg 60е = ^p,
AB = OC-V3~=4.
4V3"
V=S-H =
2 = 8vT.
Ответ: 8V3~.
266. Пусть MS = i, BBX = Я,
AC =
26 V3"
y.g.B.tl**,
"модл — b • H,
V_ = bVT 24
12
3 •
откуда £ = 2V3~.
* = ^ = 2vT. * = Я.
267. АО = 400,, откуда OO, = 1.
SO = BBX = 200, = 2,
ВС = OB VI = 2VT,
V= S • H = AB2 sin 60е • AAX = 12vT.
Ответ: 12vT.
268. SS, = BD = AS = AD = 2.
V=S-H =AB2sin60* • £5, - 4VT.
Ответ: 4V3~.
269. Пусть A,S, = a, BBX = Я.
V = d*-H, (*)
5 = 4аЯ, (**)
V _ a
S ~ 4'
По условию имеем .2V = т» откуда
а = 3. Подставляя в формулу (**),
имеем 12V6 = 12Я, Я = V6.
Так как 5,D, = 3V2~, то
БД = VBB\ + ВХ1% = Ъ1Ь. L\ = 30'.
Ответ: 30е
270. 4AS = 16,
АВ = 4. BE LAD.
BE = ^- = 2.
DE -AB. BD = у/ВЁЧ DE2 = 2vT,
110

BBl = BD-tg 60° = 2Ш~,
V=S- H = AB- BE- BBl=' 16VT5".
Ответ: 16vT5".
2vT
BE = AE • tg 30° = =y~. ED = 8.
BD = у/BE2 + DE2 = Ц-.
BD = 2BO • sin 30%
откуда BO = ^-, BBl = 50 tg 30° = -y.
к=5Я=^±^.^.вд=^з:.
224VT
Ответ: —5—.
272. Пусть BBX =BE = 2a,
. _, ^VT 3VT ^VT
•^оск — d ' 2 ' 2" 2 '
откуда а = 1. V = S0CH • H = 3V3~.
Ответ: 3vT.
273. Пусть ЛЛГ = a.
$аке = —Г-> S = ^a2VT.
Ответ: 6.
2
274. 5£ - 2ЛЯ = 4.
F = SH = | AB2 V3" • AB, = 24.
Ответ: 24.
275. 124. 276. 188. 277. 1416. 278.
220 + 24V3"; 70. 279. 288. 280. 34; 20;
18. 281. 25; 25; 30. 282. 5. 283. 2. 284.
576. 285. 3. 286. В 2 раза. 287. 30.
288. 36. 289. 780. 290. 3. 291. 3. 292.
105. 293. 48. 294. 3060. 295. 45.
296. 100. 297. Пусть АВ = х, тогда
МС = 6VT 5foK = 6х, 72 = 6х, откуда
х =12.
МО = ±МС = 2 у/Т, DO = 2, Z1 - 30°.
Ответ: Z1 = 30°
^ОЯ 47 — осн — 9ч7
** « ~ cos 60' " оск'
Ответ: ^
5 S
299# S*>* = шТт* 25<™= ^ofzl' 0T"
куда cos L\ = ^, Z.1 = 60е. Пусть
МО = а. СО = 2МО = 2а,
<
DO = CO tg a,
DO = ОМ tgZl,
значит, СО tg а = ОМ tg Z1,
tga =
_ OAf tgZ.1 _ aVT _ VT
CO
2a
Ответ:
VT
300. ОС = VDC - ДО2 = 4,
i4S = ОС • V3~= 4vT, OM = ^OC = 2,
£>M - VMO2 + OD2 = VTT,
Slm = ^AB- DM=6VW.
Ответ: 6V3~9~.
301. Пусть АВ = AD = a,
MC = DM = у/AD2-AM2 =
2 '
5 = ^^, 5 = 5fc + S =
ock Д ' пол бок оси
_ ЗАВ • DM
2
+ 50O, = V3"-aJ,
9V3"=vT-a2,
1 V3~
откуда a = 3, OM = ^ • МС = -у.
Ответ: -у.
111

302. SfcK = -nklrii £-KMO m 60%
6oK cos LKMO
тогда 5fcK = 2S0CH,
"пол = "оск ■*" "бок = ^^осн'
3S0CH = 48, откуда 5МК = 16,
Л/Я = 16, AD = 4.
Ответ: 4.
303. Пусть Л/) = а. Тогда
#0 = ОС = ^, ЛС - а-Л,
OM1DC, OM = ^-AD = ^,
КМ = ЧО¥? + ОМ2 =
2 '
S^ = 2Х>С • КМ = a2 VT,
"акс = 'т" ' = ~2~'
5&ж: ^ajcc = 2v3.
Ответ: 2V3".
304. Z. 1 = 60°, пусть AD = ET = а,
«■-§.«:-*£
л:о = ос tg 60° = ^,
кг = у/ко2 + от2 =
cVT
2 *
,S(fct = 2£>C-A:r = a2VT,
5toc:S£„.-2V4T:3.
Ответ: 2V42":3.
305. AD = BD = 4, ОД - 2,
Z.5DC - 60°, ОЛ/ = OD sin 60° = vT,
km = VkWTomt= 2,
5&>к = ^ Ли>а> " Xм = 16-
Ответ: 16.
306. KB = ABtg60' = 2V3",
AK=2AB = 4, AKAD = 90',
SeoK = ISmk + 25,4^0 = 4V3~ + 8.
Ответ: 8 + 4V3~.
307. S«„r =
** cos 60
г, откуда 5™, = 2,
SKK = AB- AD sin 30°,
откуда АВ = 2.
308. AK = У/АВ1 + KB2 = 5,
"n = "й + "n«< = 20ЛВД- + Snru + 2S
Ответ: 2.
оси ^°АВК т °оск
= 12 + 20 + 16 = 48.
>AKD
Ответ: 48.
309. BE IAD, BE = ^AB = 2,
AD + BC n„ Jn „„ „
5^ = о BE = АВ ■ BE = 8,
S.=
e cos 60
310. BE LAD, S6 =
j =16.
cos 60°'
Ответ: 16.
откуда
ad+sc;
= АВ • AE = | АВ2 = 4, АВ = 2^2".
Ответ: 8vT.
311. ОМ = VPM* - OP* = 3. Пусть
АК = КО = х, МО = ^,
3 = ^, х = 2VT,
s0 = | • б • ак • рм = зол/аг.
Ответ: 30vT.
ЗУЗ~
312. Sn = S6 + S^v S0CH = —j-,
_ 6 -Лjg2УЗ" 3VT_ 3VTAK2
*осн 4 ' 2 2 '
откуда АК- 1.
Ответ: 1.
112

xVT
313. Пусть AK = КО = x, ОМ = ^-,
РМ = *V3~, РО = ОМ tg 60° = | *,
ЗУЗ~ ■ х2 S^ _ .g- ,
^оск 2 ' б COS 60° '
SKK = KOPO = $x*,
Se:SKPC = 2V3.
Ответ; 2V3~.
314. AiMlAB, A^M=A,
5,5 = 3- 5,»,,„„ = 3 ■* ДМ =
= 3A4r -ДМ = 96
Ответ: 96.
Ъ-(ВС + В,СЛ
315. 5в -—2— " мк =
= |мйГ-(ЛуТ+2гУУ) =
= ^y~ 'MK'(R + 2r),
что и требовалось доказать.
= 2МК • (CD + С^) =
= vT'• мл: • (bd + ^д),
что и требовалось доказать.
317. Проведем
i)0 1 (ABC), EM 1 (ABC),
ADOC </> АЕМС.
т. DC DO
Имеем ЁС = Ш = У тогда
4
3'
Я0
r DABC _
FjMiC }^-£м
4
3'
318. VSAB0 - *$50С - VSC0D - Т^ол*
Пусть VSAB0 = F, тогда
^5АЛ0 + VsACD — 3V.
3 1
По условию 3F = д-, откуда Р=т»
rSABCD
= 4V=1.
Ответ: 1.
319. *W> = ^> ДЯ±(А5Я),
5A5Z?
~ 3 ^ASB ' &Е " 3" ^AS5 ' ^,
тогда 2 v = 3^ 5Л52? ' Л> откуда
S =^ S
6F
Л5В - 2 • Л' Uu SABCD — 4SASB — ^
12
320. По условию sin а = у^, тогда
5
cos a =
13'
sin-
£ _ д/1 - cos а _ 2
2 " V 2 " 7ТТ*
Пусть DC — 2х, тогда
Ctf=VITx,
CK2-DC2 = DK2,
ХЪх2 - Ах2 = 9, х = 1,
Z)5 = VCBi~^DCr= 2VT,
KB = >/W^rDKT= V3",
Д50Я </> AIM», Ц - Ц,
откуда 55 =
8vT
3 "
Ответ- 4 • Ч 7 """ \
итиет. i. о. i (докажите).
Vsabc = \-\'AC-KD-SB^^^T.
Ответ: Ц-Ji.
321. v^: ^с = Sm: 5^c = BN: JVC
113

VDABN _ Ш , OTKVJia v _ fi
T? МГ *' OTK"«a ¥DABN - 0>
Vdabc ~ Vdabn + Kawc ~ &•
322. AM = ЧАВ1 - BM* = 8,
Smc = BM- AM = 48,
ЛО = £>0 = Л = ^ = ^,
F=|^c2?O = 100.
Ответ: 100.
323. АО = OB = 1,
0Z> = АО tg 30е = yj,
$ыс = ЛО • CO = 1,
F.ic .no 1 -^
к - 3 i^c ^ - ^ - 9 .
Ответ:
VT
324. 270 — высота пирамиды,
AN = NC = 3, BN=4,
Sabc = AN -BN= 12,
r = OAT=OD = | = |, V = jStf = 6.
Ответ: 6.
325. одд^ — о Sg — 4,
3
^=^5j?oc,^£=s4.
Ответ: 4.
326. ABCD — прямоугольник
(доказать!),
AC = VADrT~DCF= 5,
AO = OM = |, V=^SH=10.
Ответ: 10.
327. ABCD — квадрат (докажите!),
AC = 4VT, АО = 2VT,
MO = 40tg 30* = ^p,
Ответ:
32VS"
328. SO 1 AC, Sabc =
AB2VT
= V3.
1
50 = V3~, V=iS#= 1.
Ответ: 1.
329. SO LAB, АО = SO = 2,
Z.CAB = 45°, ЛС = AS cos 45° = 2VT,
'■ "i»-f
S^c - f^C • CS = 4, V= |-5Я = ^.
Л 8
Ответ: »-.
330. DM LAB,MD = AD sin 60° - 2vT,
op = xo = |md = V3~,
5 = ab • md = 8vt, v- |$я- 8.
Ответ: 8.
331. Пусть i4JD = a,
ED = MN = AD sin 60° = ^;
ON * ^p, i?0 = OJVtg 60е = ^.
ZODJV = 60°, DN = OWctg 60° = |,
VDMFN 3 ^M/W ^iV ~ 64 »
'FABCD
As
(tyfb
3 ^ЛЯСД ' Of - g
VdMFN : ^РАЯСЯ - 1 : 8.
Ответ: 1 :8.
Л R — ЛГ*
332. ЛДг = 2 =2, О — центр
описанной окружности,
114

2VT
DN = AN tg 30'= =y~,
NB = AB-AN=4,
bd = VnSTdFF» Vf ,
sin 30°
D 2 С
M0 = 0Atg3Oe = -^=-, У=^5Я =
_ 1 AB + DC пм _ 16V3T
= у j DN-MO = -27-.
Ответ:
16V39"
27 '
333. BK = ±AB = 2,
AD + BC = AB + CD = &,
ON = OM = ^BK=l, V = ^SH =
_ 1 AD + BC Btr 8
л 8
Ответ: j.
334. CK ±AD, CK= 2,
0M=0F=|c*=l, К=|$Я =
J_ AD + BC
= 3 ' 2
J_ AB + CD
3 ' 2
• AB • MO -
AB • MO = 2.
Ответ: 2.
335. V= |Я(5, + 52 + VS^T) -
= |я • (AD2 + ADf + AD • AD,) =
= |я(2Л? +2/^ + 2/^) =
-^Я^ + ^ + ад,
что и требовалось доказать.
336. 288. 337. V2". 338. 26. 339. 768.
340. 22 + VT3T. 341. 540. 342. 448.
343. 36. 344. 18. 345. 3. 346. 120.
347. 48. 348. 1800. 349. 16. 350. 60.
351. 168. 352. 54. 353. 36. 354. 2 и 12.
355. Ц-. 356. 8. 357. 2 и 8. 358. 1900.
359. 1900. 360. 109.
а_2Я
361. S6'.S0C^2nRH:nF? = R
2Я_1 Я_1_ И_
R 2' Л 4' 2R
1
8'
Ответ:
. „ с . с _ 2nRl _
362. О д '. &ABCD ~ 2RI ~ П'
Ответ: я.
363. V =* я/^Я. Так как Я - 2R, то
V=2nR*. 2яЛ3 = 2я,
откуда R = 1, Я = 2. S6 = 2яЛЯ = 4я.
Ответ: 4я.
364. V = nR2H, ABCD — квадрат,
AD - CD ш 2, R = 1, Я = 2, V= 2я.
Ответ: 2я.
365. Пусть CD - Я, тогда АС = 2Я,
AD = HVT,R = ?^,
откуда Я = 2, Л = V3",
Sa2?c2> = ^D • СД = 2ЛЯ = 4V3".
Ответ: 4V3".
366. ЗАД/ = 3, AM = 1, Л/О « |,
jrV3"
^ = -2"^ = |^2Я= 24 ,
115

■а
Sn = лК1 + лЯ2 = -гЛ.
jtvT 3
Ответ: -24~; ^л.
367. Пусть AM = AN=a,
MN = У/AM1 + AN2 = avT,
MO = ^MN = ^,
S6 = nRl = —^—, S^ = лЯ2 =
2 '
SeiS^-rt.
Ответ: \/2~.
368. Sn:S6 = лЯ (1 + R): лЯ1 =
I 1+ Г
Пусть ЛО = Л, LAMO = 60%
P л/Т л/Т
^ = sin60' = -y-, S„:S6=l+-y-.
Ответ: 1 + -=-.
avT
369. Пусть AM = AB = a, MK = ^
OK = ±MK = ^,AK = %,
OA-y/Aki + OK1*^,
JV?
лс?у!Т
Samb - 4 » $6 - яЛ/ - ^
*AMB
:5Й =
V2T
7я *
Ответ:
V2T
7я '
370. КивА=|я:-С£2-ЛС,
CZ> = 4AD- DB - 2,
СБ = VCZ? + DB1 = 2VT,
ЛС - VaIF+1xF= V5",
20jtvT
= ^(2V5)^VJ = ^
20?rV5"
Ответ: —5—•
371. CD LAB, AD = 3, £>C = 4,
*W - 2VUAC = ^DC2-AD = 32л.
Ответ: 32яг.
372. о^д, = 5^а + SBc + ScD —
= лМВ • ЛЯ + 1лМВ ■ ВС + лКС- DC =
= 2лМВ -(АВ + ВС), AB = DC = 5,
AM = AD~BC = 3, МВ = КС = 4,
Sn& = 56я.
Ответ: 56я.
373. Пусть AC = R, ОС = OB = г,
Уте. = 2 (Vy к АВВА — VK свв) =
» 2[|лгЯ(Л2+ r2+R • г) - \пг2н\ =
= | ггЯЯ (Л + г), Л = 2г, Я = г,
^Л = 4яг3, СО = т = Ц,
Ответ: луГТ.
31 А. Пусть AC = R, AO = r, AE = h,
Vme. — 2 (Vy K cfific ~ VK b,ab) =
= 2 [|лЬ. (Л2 + г5 + Лг) - |яг2 а] =
= |лЯА (Л + г) = 4лх2 Л, ЛЯ = 4,
ВО = Л = ^ AS = 2, ЛО = г = 2vT,
'т.е. ywi.
Ответ: 96я.
375. 10. 376. Зл. 377. 48. 378. 8.
379. 20VT. 380. 90°. 381. 4 и 14.
382. 13. 383. 5V3". 384. 9. 385. 500.
116

386. 4V2". 387. 216°. 388. 30°. 389. 5.
390. R-r. 391. 20. 392. 30. 393. 4.
394. 2. 395. An. 396. 3. 397. 8. 398. 36.
399. NF = ^y-, FO = ^-,
AXS
axox
ASAxOx </> ASFO, -Js = ^
A1Cl = A1Ol • VT=|.
откуда AxOx = -g-,
Ответ:
400. PO = 4. ДЛ^С»! о APSO.
A^i = -|PO =
3'
AXDX =A1OlV2=^Vl,
00x = |sO = l,
VAC=AD-DC-OOx=^.
Ответ:
128
401. Пусть OOx = CXC2 = B2C2 = x,
BXCX = OxCx VT, откуда 0,Ci = -j-,
OC = ^ = 2V3",
5(9, = SO - OOi = 4 - x,
С, О, SO,
Д50,С! </> ASOC, -^ = ^-.
Имеем -г = —д—, откуда х = 2,4.
Ответ: 2,4.
402. Пусть CS = CD = a,
Cfa = DXCX = b, AC = aV2",
ос = 1.лс = ^,
so = vcs< - oe = ^,
OjQ =^-, AO^Q v>AOSC,
OxCx SOx b aV2-2b
ОС
SO' a
b _. 2V5"
^vr
откуда | (1 + V2") = 1, | = 1 + vT.
403. Пусть ВС = a,
тогда ЛШ = ^5Х> =
_аУЗ~
~ 6 '
BBX = 2Rm = -j-.
. _CQ_ 1 £
tga sc 73"' а а
a = 30°.
404. Пусть 5С = a,
aV3~
6 '
Ответ: 1 + V2~.
В
Лш -
NC =
tga =
405. Пусть £С = a,
На рисунке
изображено серединное
сечение.
CCl=2* = ^,
Ответ: у
117

ВСХ = VCC? + jBC2 =^a,
sin a =
BD _3
5Q " 4'
Ответ:
406. Пусть ЯС = а,
тогда
(рисунок —
серединное сечение),
0iC = CC,,
Za - 45*.
407. .AM = MB, пусть
CQ=2*W = ^
(рисунок —
серединное сечение),
Ответ: 45°.
СМ-
2 •
с\м ш у/см* + с<% =
aV3T
^лс,д: ^BB,ctc ~ ^^ '•4>
Ответ: VW:4.
408. ЛЯ = DC -
= С(\= 2Rm
(рисунок —
серединное сечение), пусть
AD = а. Лш = f, AD = aVT,
BXD = ЧВВ\ + BD2 ш avT,
ДШ:Я,2) = \/3~:6.
Ответ: VT:6.
409. 0M = ^AD (докажите), ABC.D —
квадрат, 2DC2 = DC\, DC = AD = 4,
ОМ =2.
Ответ: 2.
410. ОО, 1 (ABC), OOx = Rm = 2,
AD = AB = 2RIU = 4, BD = 4V2~,
Sbod = \BD • 00, о 4VT.
411. ЛЯ = 5,
S
з/ V
■*Vu j»
(рисунок —
серединное
сечение),
S = ±MN- NK=6,
P ш
MN + NK+MK
2
Ответ: 1.
412. EK = ME = 3,
NE-4
(рисунок —
серединное сечение),
Rm ~ d»
5
P'
S = EK-NE = 12,
P = ± (MN + NK + MK) = 8,
В.ш — 1,5.
Ответ: 1,5.
118

413. Яш - у,
FK=6, NF=S
(рисунок —
серединное сечение),
S = FK-NF = 48,
Р = | (Mtf + ЛИГ +
+ МЯ) = 16,
Лш = 3, CCi ш 2RIU = 6, СТ 1АВ,
ТВ = 6, СГ = 8, АВ-ТС = АС- БЕ,
„г. 48
откуда BE = -^-,
ВСХ = VBC+CjC* = /ТЗТ,
Z.5EQ =90* (докажите).
£Ct = VSCf - Б£* = | V274".
Ответ: ^V274.
414. МО = 8,
OF =6,
MF=10 м
(рисунок —
серединное
сечение), МО • Of = MF • ОЕ, откуда
ОЯ = 4,8.
Ответ: 4,8.
415. 4МЛГ = 16,
МЛГ = 4,
NE = 2,
ЛШ = ±ЛГ£=1
М m E m р
(рисунок —
серединное сечение).
Ответ: 1.
416. FT = МТ - MF = 6 (рисунок —
серединное сечение). Пусть KF=x,
тогда
КТ = 2х,
JCP
откуда х - 2V3",
/?1U = |/CF=V3".
Ответ: V3~.
417. OOi » ^ AAt = 4, ДЯ, = ^Oj V3~,
откуда ^Oi =3,
ДО = ЧАхО{ + OOf = 5.
Ответ: 5.
418. Пусть ЛВ = a, 5^ - -^-,
27V3" = . , откуда а = 6V3".
OOj 1 (AiBlCl), a = A101 VT,
AxOx = 6, OOj = >1Ах(У-АхО[ = 8,
M = 2 • OOi = 16.
Ответ: 16.
419. 010 = ^AA1 =4,
AOx - yjAO1 -OOi = 3, O, W = |,
OJST=VOOf + 0,W =
V73"
Ответ:
420. CM 1 ЛЯ, MB = 3, MC = 4,
nr - i? - a*c - 25
~4S" ~ ~8~'
лш - VoDrTlxF= ^.
V73~
2 '
27
Ответ: -jp
421. ABt — диаметр описанного шара,
АВ = V^Bf - ВВ\ ш 8,
119

R = ±AB = 4.
Ответ: 4.
1
422. OOx = ^ CQ = 4
AB
ОС = 5, OxC = 3, -r^ = 20^,
откуда AB = 3.
Ответ: 3.
423. OOx =\aAx =20,
OxD = i/OI? -00\ = 15,
sin 30° ^^'
откуда 5Z> =15.
Ответ: 15.
424. Пусть OOx = ОМ = г, тогда
DO = 2r, ZieDO! = 30е,
тогда L\ = 60°.
Ответ: 60е.
425. XOj = KM = а, тогда и DM = a,
/CD = 2a, следовательно, LKDOx = 30°.
Ответ: 30е.
426. AM = KOx = 2, OjC = 4,
a3 = OjCV3" = 4V3", P^c = 12V3".
Ответ: 12^3".
427. Из условия
COx = 2DO + 20M = 2 (/X? + ОМ),
так как ОМ = ООх, то Щ = 2DOx. Но
СОх = 2#0, значит,
2КОх =2DOx, KOx =DOx,
следовательно, L\ = 45°.
Ответ: 45е.
428. cos a =
429. AB ^^Pabcd = 2VT, ОД = VT,
a 5 ~ 4 a 3
откуда cos -^ = ^-. Тогда tg ^ = y.
Пусть Лш = OOx = 3x,
DO = 5x, ОС = 10x, а£С= 10xVT.
AS2 V3~
Так как S^c = —^— = 75V3V, то
по условию 300vT= 75V3".*2, откуда
x = 2, Л^ = 6.
Ответ: 6.
4
t £_ 1
tg 2 " VT'
значит, LOxEO = 30°, a Za = 60е.
Ответ: 60е.
430. Пусть ООх =ОхМ = х. Так как
La = 30е, то
SOx =2x, 50х :ОхО = 2:1,
что и требовалось доказать.
431. OK = ^AD = 3,
SO = У/SK2 - OX2 = 4, Zl = Z2,
тогда ООх :OxS = OK: SK,
OOx :OxS = 3:5.
Пусть OOx = 3;c, OxS = 5x, тогда
1 3
8x = 4, x = 2", rw = Зх = ^.
^4 3
Ответ: ^.
432. Продолжим DOx до пересечения с
поверхностью шара в т. М,
DM=2R, LDAM =90°,
AD2 = DM • DO,.
Тогда i2 = 2ЛА, откуда R = ^т. Данная
формула справедлива для любой
пирамиды, вписанной в шар. Докажите.
433. К=^ (задача 124),
120

Ъ = DC = 5, h = DOx = 4,
тогда Лш = -g-.
* 25
Ответ: -^-.
434. Пусть OOx = x, 2X?! = AOx = 2x.
Тогда LOAOx = 30°, Z^O = 60°,
AAOxD = 120°,
/.0^1)= ^0^^ = 30°,
значит, LDAO = 60°.
Ответ: 60е.
435. Так как OxD = ОхВ = О^, то
MD = MB = MC,
следовательно, точка А/ — центр
окружности, описанной вокруг
треугольника BDC. Но тогда Z3 = 2Z4, и
Z1 + Z2 + 2Z4 = Z1 + Z2+ Z3 = 180е.
Ответ: 180°.
436. AOxMDv>ADOK, откуда следует
DM DO±
DO DK'
Но так как OxD = ОхВ, то DM = МБ.
Подставляя значение DM, получим
мв ро±
DO DK'
437. Проведем ОхМ 1 (CDB), М —
центр окружности, описанной вокруг
ABDC (задача 128). Пусть
КМ = КО = х,
тогда ВО = 2л;, а ЯЯ = jcVT,
tg zsma: = V3", Z2 = 60е,
LBMC = 120°,
тогда Zl = 60°.
Ответ: 60°.
438. OxS = OxD = OxB, т.е. Oj — центр
окружности, описанной вокруг ADSB,
в котором
DS = SB = DB.
Следовательно, La- 120°.
439. Из
OxS = OxA и
AM = MS
следует, что
OjMlAS.
AOxMS ел Д50Л,
тогда
^ = |^ или 5Л • SM = S0! • SO,
что и
требовалось доказать.
440.
ОхМ ±(ASD),
так как
OxS = OxA =OxD,
то
MS = МА = МЛ
Пусть
OK = KM = KD = x (см. рис.),
тогда Z2 = 45е, Z3 = ^,
Z4SD=Z1 = 2Z3 = 45\
Ответ: 45е.
441. О — центр ААВС,
ЛЯ • л/Т
АО = з = 3' AMss MS>
CW = 4f = 4,
дш = AN = >MOz + NO* = 5.
Ответ: 5.
442. 5JV = NC, CM = M5,
ЯЛ = VC52 + ЛС2 = 5,
JW = |cS=l, CN = BN=2,5,
CP = VCW* + NP* = VTOS.
Ответ: VT^J.
121

443. АО = OB = ОС, ЕО 1 (ABC),
AM = MS = 0E=2, BN = NC = 3,
AN = y/ABz - BNZ - 4,
Л0 =
afo_ 25
4S 8'
AE-t/ACP + OE2-^.
1
Ответ: £V88T.
444. Я£> = 4, SD = >TSBrTBlF= 5,
SO = OD = Rm = 2,5 (почему?).
Ответ: 2,5.
445. МО 1 (ABC), О — центр круга
радиуса R, описанного вокруг трапеции
ABCD (докажите).
BD = 2Rshi 30°, откуда R = 4,
BE<=ES = MO- 3,
ЯМ = УЯО* + ОМ* = 5.
Ответ: 5.
446. /СВ - 2, КС « 2V3",
1 2t/3~
KO^jtfC»^, Z.Oj^O = 30*,
Rlu = OOl = /<:O-tg30' = |,
5и = 4яЛ2ш = ^я.
16
Ответ: -д-я.
447. ОЛГ = 3, LOxКО = 30%
охо = Гш = ок. tg3<r ■ V3",
V^j-jrr^^VT.
448. Пусть ЛЯ » а, 5дак = 2
3vT З^УТ
Ответ: 4л ЯЪ.
откуда а- 1. ОР = -=-,
OOj = ги = ОР • tg 30* = ±
Sw = 4wr^ = w.
Ответ: я.
449. 5ш = 4яг^, 4лг2ш = 64л, откуда
Л» = ООх =4. ОК= 4VT,
MO = # = o*:-tg60e = i2,
АЕ 1 DC, BE = 20K = 8V3",
*Wz> = }5Я = j£>C • 5£ • МО =
= 512V3".
Ответ: 512 V3~.
4 ч 4 ч 4
450. Рш = зл'',ш> з'л'гш = з''г. откуда
гш = 001=1, LOKOx = 30%
OK=VT, H = МО = OK-tg60е = 3,
Б£ ±ЛД BE = 20# = 2V3",
3
АВ = 4V3", *WD = ^S# =
= 11^С1.££.мо =
1 Z4B
2VT • 3 = 24.
3 2
Ответ: 24.
451. Zl = Z2 (углы со
взаимно-перпендикулярными сторонами),
tgZ2 = |-
Пусть ОМ = Зх, SO = Ах, AD = 6х,
*W = |S#. 48 = |(6*)2-4х,
откуда х = 1. ОМ = 3, OS = 4. Тогда
SM = VSO2 + ОМ2 = 5,
122

Oi5 = 5y, Sy = 4, y = |; r-§.
V,„ = Jjrr3 =|я.
Ответ: ^-я.
452. Пусть DC = ВС = 2a, тогда гш= а,
S6.„:Stu^27trl:4nr2 =
= /:2r = 2a:2a=l.
453. CD = H= 2r,
Ответ: 1.
454.
отку
Я
Да
Гч:5ш = яг2Я:
= 2яг3:
= CD = 2г,
8я =
г3 = 6,
\лг
I-3
3 _
4
"3
3
3
2'
яг
=
Ответ:
3
>
3
2"
Sft4. = 2ягЯ = 4яг 2 = 4я V3T.
Ответ: АлЯЪЬ.
455. BD = ^МВ - 2, Z05Z> = 30е,
2VT
5ш = 4яг2в = -з-я.
Ответ: -5-я.
456. 2>Я = ^ЛВ = 3,
MZ) - 4MB1 - DB* = 4,
S DB-MD 3
^(2МЯ + ЛЯ)
5ш = 4яг2 = 9я.
Ответ: 9я.
457. LOBD ш I Z.MBZ) = а,
DB = rK = OD • ctga = 2ctga,
MD = Я = 2>Я tg 2a = 2 ctga tg 2a,
F = |яг2Я = |яctg3a • tg2a.
о
Ответ: j я ct^ а • tg 2a.
458. Z.C0.D = 90е (докажите).
OE2 = DE-CE, г2ш = Яг,
что и требовалось доказать.
459. a = 90* (докажите),
0 = 150° - a = 60',
За - 20 = 270" - 120' - 150°.
Ответ: 150°.
460. 0102 J. (ABC), а& = ад V3~,
ад = V3~, 00, -1,
овх - чос-i + охв\ = 2,
5Ш = 4л&ш = 16я.
Ответ: 16я.
461. 002 1 (ABC), BM ± АС.
МС = ^ЛС = 3,
£М = ЧСВ1 - МС* = 4,
dbc _ 25
AS 8
В02 = ^ = ^; 002 = ^0,02 = 1,
с _ 4ff р2 _ 689я
Ответ:
689я
16 '
123

462. DB = 2V2",
DB, = 'iDBrTB~Bj= 3,
Rm = OB, = ^ГШ, = |,
4 ? 9
Ответ: -~л.
$
463. Ли = 2^, где А = МС = 4,
Л = МО, = 1, тогда Лш = 8,
'«"з" "и» —
2048
■л.
Ответ: —^—п.
464. ZOM£ = ^ Z/ЖЯ = 30°, ЯО = 1,
ОМ = V3", 2)5 = 2, ^^ = 2ЛШ;
sin 60е
Я. = IV3T. 5Ш = 4я Д* = —я.
16
3
^ 16
Ответ: -~-я.
465. К — точка пересечения прямой
МО с поверхностью шара.
LMAK = 90°, МК = 2ЛШ,
мл2 = ма: • мо, 9 = 2д„я,
откуда Лш=2я? что и требовалось
доказать.
466. Пусть DB = а, тогда
Sabcd = т" **» К = т 5^4дс Л = -g flr Л.
По теореме синусов
= 2Л,
sin a
откуда а = 2R sin а. Подставляя,
получим
что и требовалось доказать.
467. BD = V^Z? + АВ2 = 5,
5Ш = 4я/4 = 25я.
Ответ: 25л.
468. 5Z) = 2Rm = 10,
ЛЯ = у/BD1 -АВ2 = 8,
гц = |аС> = 4, F = jrr2#=9&r.
Отвел 96я.
469. 5ш = 4яЛ2, 16я = 4яЛ2,
Яш = 2, 2Ш = 2Rm = 4,
AD = 2гц = VBDr^AB2r= 1,
5ft4i = 2jzr^H = 7iVT5.
Ответ: яуТУ.
470. AD = ^AB = 6,
М£> = VAV^-AD2 = 8,
обе _ 25 _4 з ,15625^
ш ~~ 45 4 ' w ~" 3 ш ~~ 48
п 15625
Ответ: —те—л.
48
АЛ/
471. gin 3Qo = 2RM, откуда Rm = 4.
S„ = 4лЛ^ = 64л:.
Ответ: 64яг.
472. Пусть D — точка пересечения
высоты конуса МК с его
поверхностью, LMAD = 90°, AM1 = Mi> • МК,
/2
l2 = 2R2ul-H, откуда Лш = ^, что и
требовалось доказать.
473. СА 1 ЛЯ, ВМ 1 AD,
124

KD = AM = AD 0 BC = 3, AK = 5,
КС = 3V3". AC = VIFT^C2"= V52",
ЛС = 2Rm sin 60%
откуда Л^ = V^ ,
5f =4яЛ;
.2 _
208
-л.
* 208
Ответ: -х-я.
474. ЛС = 2ДШ sin 30% откуда Rm = 6,
7ш = |я^ = 288я.
475. S^ = я I (R + г), 5Ш = АлЯ2^
Ответ: 288л:.
►2
d
d = 2ЛШ sin а, откуда 2ЛШ = sin а,
5Ш = -
sura
_ /QK + r)sin2a
что и требовалось доказать.
125

ОГЛАВЛЕНИЕ
Справочный материал 5
1. Перпендикуляр и наклонная 8
2. Задачи разные 20
3. Правильная треугольная призма 23
4. Правильная четырехугольная призма 24
6. Неправильная призма 27
7. Задачи разные 30
8. Правильная треугольная пирамида 31
9. Правильная четырехугольная пирамида 33
10. Правильная шестиугольная пирамида 36
И. Неправильная пирамида 37
12. Ключевые задачи 43
13. Задачи разные 44
14. Поверхность призмы 45
15. Объем призмы 48
16. Задачи разные 51
17. Поверхность пирамиды 53
18. Объем пирамиды 56
19. Задачи разные 59
20. Цилиндр. Поверхность и объем цилиндра 61
21. Конус. Поверхность и объем конуса 62
22. Тела вращения 62
23. Задачи разные 63
24. Комбинация геометрических тел 64
25. Комбинация призмы с вписанным шаром 65
26. Комбинация призмы 67
27. Комбинация пирамиды с вписанным шаром 68
28. Комбинация пирамиды с описанным шаром 70
29. Нестандартные задачи на сферу 71
30. Задачи разные на комбинацию геометрических тел с шаром ... 72
126

Мнемонический прием 78
Нахождение зависимостей между углами в пирамиде (Использование
мнемонического приема для запоминания доказательства) 78
Зависимость между плоским углом при вершине правильной пирамиды
и углом между боковым ребром и плоскостью основания 79
Зависимость между плоским углом при вершине правильной пирамиды
и углом при ребре основания 80
Зависимость между плоским углом при вершине правильной пирамиды
и углом при боковом ребре 81
Зависимость между углом при боковом ребре и плоскостью основания
правильной пирамиды 82
Построение сечений, проходящих через линии и точки, выделенные
на чертеже 83
Планиметрия. Справочный материал 86
Прямоугольный треугольник 86
Косоугольный треугольник 87
Ромб 88
Параллелограмм 89
Трапеция 89
Окружность и круг 89
Ответы и решения 91
127

ЗАО «Компания «ACT-ПРЕСС»:
Россия, 107078, Москва, Рязанский пер., д. 3
(ст. м. «Комсомольская», «Красные ворота»)
Тел./факс261 -31 -60, тел. 265-83-92,265-86-30, 974-12-76
По вопросам покупки книг «ACT-ПРЕСС» обращайтесь
в Москве: «КЛУБ Зб'б» — Офис: Москва, Рязанский пер., д. 3
эксклюзивный Тел./факс: (095) 261-24-90,
дистрибьютор «АСТ-ПРЕСС» 267-28-33,265-20-38,267-29-69
Склад: г. Балашиха, Звездный бульвар, д. 11
Тел.: (095) 523-92-63,523-11-10
Магазин (розница Москва, Рязанский пер., д. 3,
и мелкий опт): Тел.: (095) 265-81 -93
Переписка и книги—почтой: 107078, Москва, а/я 245, «КЛУБ Зб'б»
в Санкт-Петербурге и Северо-Западном регионе:
«Невская книга» Тел. (812) 567-47-55,567-53-30
Гайштут Александр Григорьевич
Литвиненко Григорий Николаевич
СТЕРЕОМЕТРИЯ
Задачник к школьному курсу
scan by myshunya
Компьютерная верстка А. Вербовикова
ЛР№ 064267 от 24.10.95.
Подписано в печать 17.11.97. Формат 84 х 108/16.
Бумага типографская. Печать высокая. Печ. л. 8,0.
Тираж 25000 экз. Зак № 396. С-007.
Налоговая льгота — общероссийский классификатор
продукции ОК-005-93, том 2 - 953 000.
Гигиенический сертификат № Д-773 от 27.05.97.
«АСТ-ПРЕСС»
107078, Москва, а/я 5.
«Магистр-S»
252047, Киев, проспект Победы, 50.
Отпечатано с готовых диапозитивов в ГМП «Первая Образцовая типография»
Государственного комитета Российской Федерации по печати
113054, Москва, Валовая, 28.