АЛ.Шестаков, И.А.Малышева, Д.П.Полозков
КУРС
ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКИ
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
•
ПОД РЕДАКЦИЕЙ А. А. ШЕСТАКОВА
Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебника для студентов
высших технических учебных
заведений
щ
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА* 1987

ББК 22.11
Ш51
УДК 51
Рецензенты: кафедра высшей математики Московского химико-
технологического института им. Д. И. Менделеева (зав. кафедрой проф.
Лившиц А. X.); проф. Н. А. Панькин (Московский институт инженеров
железнодорожного транспорта)
Шестаков А. А., Малышева И. А., Полозков Д. П.
Ш51 Курс высшей математики: Интегральное исчисление.
Дифференциальные уравнения. Векторный анализ: Учеб. для
студентов втузов/Под ред. А. А. Шестакова. — М.: Высш. шк.,
1987. —320 с: ил.
Учебник представляет собой второй том курса высшей математики и является
продолжением книги Мантурова О В , Матвеева Н. М «Курс высшей математики
Линейная алгебра Аналитическая геометрия Дифференциальное исчисление
функций одной переменной» (М., 1986) Он предназначен для студентов-заочников
инженерно-технических специальностей втузов и написан в соответствии с программой по
математике для указанных специальностей Большое внимание уделено разбору при-
меров и задач. Имеются задачи для самостоятельного решения.
1702010000D309000000)—517 ББК 22.11
Ш 001@1)—87 И6""87 51
Учебное издание
Александр Андреевич Шестаков, Ирина Анатольевная Малышева
Дмитрий Петрович Полозков
КУРС В Ы С Ш Е й М А Т Е М А Т И К И
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ.
Зав. редакцией Е. С. Гридасоза Редактор А. М Суходский. Мл.
редакторы: Г. В. Вятоха, Н. П. Майкова. Оформление художника Ю. Д. Федич-
кина. Художественный редактор В. И. Пономаренко. Технический
редактор Э М Чижевский Корректор Г Н Буханова
ИБ № 6157
Изд № ФМ-842 Сдано в набор 23 02 87 Поди в печать 14 09 87 Формат Ь0Х88'Дь
Бум офс № 2 Гарнитура литературная Печать офсетнаи Объем 19,6 уел иеч. л,
+0.25 уел печ л форзац уел кр-отт.21,18 уч-изд л.4 0,33 уч изд л форзац
Тираж 59 000 экз Зак № Ц78 Цена 1 руб.
Издательство «Высшая школа», 101430, Москва, 1CII-4, Иеглинмая ул , д 29/14
Московская типография М° 8 Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли,
101898. Москва. Центр, Хохловский пер , 7
гльгши «Ниипая школа», 1987

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . ь . , . . » 6
Глава I. Неопределенный интеграл 8
§11. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства 8
§ ! 2. Таблица основных интегралов. Основные методы интегрирования . 17
§ 1.3. Интегрирование рациональных функций 34
§ 1.4 Метод рационализации. Интегрирование некоторых иррациональных
и тригонометрических функций 43
§ 1.5*. О таблицах неопределенных интегралов Интегралы, не
выражающиеся в элементарных функциях 52
Глава II. Определенный интеграл 54
§ 2.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Геометрический и
механический смысл определенного интеграла. Основные свойства определен-
ного интеграла Производная определенного интеграла по переменному
верхнему пределу. Формула Ньютона—Лейбница . 54
§ 2.2*. Площадь как предел. Интегральные суммы Дарбу. Признаки
существования определенного интеграла Вычисление площади с помощью
интеграла. Классы интегрируемых функций 67
§ 2 3. Вычисление определенного интеграла Интегрирование разложением,
подстановкой и по частям Приближенное вычисление определенного
интеграла. Формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона 72
§ 2.4. Приложение интегралов к вычислению площадей плоских фигур,
длин дуг кривых, объемов тел и площадей поверхностей вращения .... 83
§ 2.5* Кривизна плоской линии. Центр и окружность кривизны Эволюта
и эвольвента. Кривизна пространственной линии Формулы Френе .... 97
§ 2.6. Несобственное интегралы с бесконечными пределами.
Несобственные интегралы от неограниченной подынтегральной функции Основные
свойства. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости . . 108
§ 2.7*. Интегралы, зависящие от параметра Непрерывность
Дифференцирование и интегрирование по параметру Несобственные интегралы,
зависящие от параметра. Гамма- и бета-функции 118
Глава III Обыкновенные дифференциальные уравнения 125
§ 3.1. Дифференциальные уравнения первого порядка Задача Коши
Теорема существования и единственности решения задачи Коши Понятие об
общем, частном и особом решениях дифференциальных уравнений . . 125
§ 3.2*. Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным
уравнениям 134
§ 3.3. Основные классы уравнений первого порядка, интегрир\емых в
квадратурах- \равнения в полных дифференциалах, с разделяющимися
переменными, линейные, однородные, уравнение Бернхллн 136
§ 3.4. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенного
дифференциального уравнения первого порядка. Метод Эйлера и его
модификации Метод Рунге —Кутта 149
§ 3.5. Дифференциальные уравнения высших порядков Задача Коши
Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
Уравнения, допускающие понижение порядка 153
§ 3.6. Линейные дифференциальные уравнения. Понятие однородного и
неоднородного уравнения. Однородное линейное уравнение, его общее
решение. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами 159
§ 3 7*. Линейное однородное дифференциальное уравнение второго
порядка (дополнения) , 167

Оглавление
§ 3.8. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Метод Ла-
гранжа вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные
уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью
специального вида f 170
§ 3.9*. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго
порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида
(дополнения) 179
§ 3.10*. Понятие о краевых задачах для обыкновенных
дифференциальных уравнений 181
Глава IV. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений .... 185
§ 4.1. Нормальные системы дифференциальных уравнений и векторная
форма их записи. Задача Коши. Теорема существования и
единственности решения задачи Коши. Понятие об общем, частном, особом и
составном решениях. Метод исключения 185
§ 4.2. Нормальные системы линейных однородных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами. Структура общего решения
Решение в случае простых корней характеристического уравнения .... 193
§ 4 3*. Структура общего решения линейной нормальной однородной
системы с постоянными коэффициентами. Линейная независимость
собственных векторов квадратной матрицы 203
§ 4.4. Нормальные системы линейных неоднородных дифференциальных
уравнении с постоянными коэффициентами. Векторно-матричная форма
записи. Структура общего решения , . 206
Глава V, Элементы теории устойчивости 210
§ 5.1. Понятие устойчивости и асимптотической устойчивости по
Ляпунову. Устойчивость решения системы линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами. Типы точек покоя для системы двух
уравнений 210
§ 5.2. Нелинейные автономные системы. Понятие о функции Ляпунова.
Формулировка теоремы Ляпунова об устойчивости 226
Глава VI. Кратные интегралы 231
§ 6.1. Двойные и тройные интегралы, их свойства. Геометрический и
физический смысл интегралов. Представление об интегралах любой
кратности 231
§ 6.2. Вычисление двойных и тройных интегралов в декартовых
координатах 240
§ 6.3. Переход от декартовых координат к полярным. Замена переменных
в кратных интегралах Переход от декартовых координат к
цилиндрическим и сферическим 248
§ 6.4. Применение кратных интегралов для вычисления объемов и
площадей, для решения задач механики 262
Глава VII. Криволинейные и поверхностные интегралы 267
§ 7.1. Определение криволинейных интегралов первого и второго рода, их
основные свойства и вычисление. Геометрические и физические
приложения. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода
Формула Грина 267
§ 7.2. Площадь поверхности. Определение поверхностных интегралов
первого и второго роДа, их свойства и вычисление. Связь между
поверхностными интегралами первого и второго рода 278
Глава VIII. Векторный анализ 288
§ 6.1. Скалярные и векторные поля. Линии и поверхности уровня
скалярного поля. Производная по направлению. Градиент скалярного поля, его

Оглавление
координатное и инвариантное определения Векторные линии и их
дифференциальные уравнения 288
§ 8.2. Поток векторного поля через поверхность. Физический смысл
потока в поле скоростей жидкости. Вычисление потока. Формула
Остроградского 293
§ 8.3. Дивергенция векторного поля, ее инвариантное определение и
физический смысл. Вычисление дивергенции. Соленоидальные (трубчатые)
поля 298
§ 8.4. Линейный интеграл в векторном поле. Работа силового поля.
Циркуляция векторного поля. Формула Стокса. Ротор поля, его координатное
и инвариантное определения Физический смысл ротора в поле скоростей.
Условия независимости линейного интеграла от пути интегрирования . . 300
§ 8 5. Потенциальное поле. Условие потенциальности поля. Вычисление
линейного интеграла в потенциальном поле . , 306
§ 8.6. Оператор Гамильтона. Операции второго порядка в векторном
анализе. Оператор Лапласа, его выражение в декартовых, цилиндрических и
сферических координатах 308
Ответы к упражнениям 312
Литература 316
Предметный указатель . . . , 317

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга представляет собой второй том учебника по
высшей математике для студентов-заочников
инженерно-технических специальностей вузов, изучающих курс высшей математики по
программе на 510 часов» утвержденной Минвузом СССР. Она
является продолжением книги Мантурова О. В., Матвеева Н. М.
«Курс высшей математики: Линейная алгебра. Аналитическая
геометрия. Дифференциальное исчисление функций одной
переменной» (М., 1986). Содержание учебника отвечает указанной
программе, причем названия глав и параграфов почти дословно
повторяют соответствующие пункты программы.
В книге дано систематическое изложение соответствующих
разделов курса высшей математики на достаточном для втуза уровне
строгости, разобраны примеры, приведены упражнения для
самостоятельного решения.
В настоящем учебнике учтен накопленный авторами опыт
преподавания высшей математики во Всесоюзном заочном институте
инженеров железнодорожного транспорта, в частности,
использован курс лекций, прочитанный проф. А. А. Шестаковым.
Указанный курс содержит ряд методических новшеств, которые
нашли свое отражение и в учебнике. Например, приведены
определения общего, частного, особого и составного решений для
дифференциальных уравнений и систем таких уравнений, отличные от
общепринятых; при решении дифференциальных уравнений
первого порядка, интегрируемых в квадратурах, рассмотрен единый
подход, основанный на подборе соответствующих интегрирующих
множителей, что позволяет свести решение указанных классов
уравнений к решению уравнений в полных дифференциалах; при
изложении теории кратных, криволинейных и поверхностных интегралов
подчеркивается единообразность определений вводимых понятий как
пределов соответствующих сумм, а также рассматриваются
физические задачи, приводящие к определениям этих понятий.
Многие определения, теоремы, формулы сопровождаются
комментариями, которые позволяют подробно раскрыть содержание
вводимых понятий, смысл теорем и формул, раскрыть связь
излагаемого материала с предшествующим, указать возможные
применения соответствующих теорем и формул.

Предисловие 7
Материал повышенного уровня сложности предназначен для
более углубленного изучения и набран мелким шрифтом, а
соответствующие параграфы отмечены звездочкой.
Авторы рекомендуют студентам не ограничиваться решением
примеров, содержащихся в «Упражнениях» к каждому параграфу
учебника, а обращаться к задачникам из приведенного списка
литературы.
По мнению авторов, принятая в книге форма изложения будет
способствовать лучшему восприятию материала
студентами-заочниками высших технических учебных заведений.
Изложенный в учебнике материал распределился между
авторами следующим образом: глава I написана ст. препод. Д. П. По-
лозковым, главы II—V — доц. И. А. Малышевой, главы VI—VIII —
проф. А. А. Шестаковым. В написании глав II—V принимал также
участие А. А. Шестакоэ, а в написании глав VI—VIII — В. Б.
Карпухин. Общее редактирование книги осуществлено А. А.
Шестаковым.
Авторы глубоко признательны проф. Н. А. Панькину, проф,
А. X. Лившицу и возглавляемому им коллективу кафедры высшей
математики М^ХТИ им. Д. И. Менделеева за большое число ценных
замечаний и советов, учтенных при .подготовке настоящей книги.
Авторы благодарны также Ю. И. Голечкову за помощь в
составлении ответов к упражнениям.
Авторы

Глава I
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1.1. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства
1°. Первообразная. В математике, как правило, для каждого
действия над изучаемыми объектами (числами, функциями,
векторами и т. п.) определяется и обратное действие: сложение —
вычитание, умножение —деление, возведение в степень —извлечение
корня и т. п. Основным действием дифференциального исчисления
является дифференцирование — отыскание Производной данной
функции. Действием, обратным дифференцированию, является
интегрирование—отыскание такой функции, для которой данная функция
является производной.
Определение 1. Функция F называется первообразной для
функции / на некотором множестве G, если обе эти функции
определены на множестве G и функция / является на нем производной
для функции F, т. е. выполняется тождество
v х се О, G cz R.
Примеры. I. Функция F(x) = A/3)*3 является первообразной
для функции f(x)^x2 при всех х.
2. Функция F(x) = A/3)х3 + 5 есть первообразная для функции
f(x) =x2 при всех лс.
3. Функция F(x) = l/x является первообразной для функции
f(x) = — \/х2 при всех ху за исключением точки х=0.
4. Функция F(x) = In x — первообразная для функции /(*) =
= 1/д: на бесконечном интервале ]0, +<»[.
Если первообразная функция F(x) и ее производная f (x) опре-

§ L1. Первообразная. Неопределенный интеграл
деляются некоторыми аналитическими выражениями, то множества,
на которых эти выражения имеют смысл, и множество и, где
F'(х) — f(x), не обязательно совпадают. Так, в примере 4
аналитическое выражение \пх имеет смысл на бесконечном интервале ]0,
+ оо[, а аналитическое выражение \/х — на объединении двух
бесконечных интервалов ]—оо, 0[U]0, + оо[. Вместе с тем множество
G, где Aпл:)'= \/х, является бесконечным интервалом JU, + <»[.
Оно совпадает с множеством, где определена функция t(x)=lnx,
но является только подмножеством, на котором имеет смысл
аналитическое выражение \/х. Функция F(x) = lnxt естественно, не
может быть первообразной для функции /(.г) = 1/дг, а функция
[(х) = \/х — производной для функции F(x)=\nx в бесконечном
интервале ] — оо, 0[, хотя бы уже потому, что в нем функция
F(x) =ln х не определена.
Рассмотрим еще два примера, позволяющих ответить на вопрос
о первообразной для функции f(x) = l/x в интервале ]—оо, ()[.
5. Функция F(x)=\n(—jc), как легко видеть, определена в
интервале ]—оо, 0[ и является на нем первообразной для функции
/() l/x. Действительно, F'(x) = [ln(—x)]'=[l/{—x)l.(—x)' =
/()
/()
Функция F(x) —In |л'| есть первообразная для функции f(x) =
= \/х при всех х, за исключением точки л* = 0. Этот пример
позволяет объединить результаты примеров 4 и 5: при x>0 имеем |*| =
= .v, а при х<0 имеем |.v| =—л*.
Как видно из примеров 1 и 2, одна и та же функция может
иметь не одну первообразную на одном и том же множестве G.
Теорема 1. Если функция f(x) имеет хотя бы одну
первообразную F\(x) на некотором множестве G, то выражение Jh\(x)-\-Cf
где С — произвольная постоянная (—оо<С< + оо), определяет при
любом фиксированном значении С=С0 функцию F2(x) =F\ (x) +С0,
являющуюся также первообразной для той же функции )(х) на том
же множестве G.
Доказательство. Так как по условию F\'(x)=f(x)
gC, to непосредственной проверкой получаем
Следовательно, F'2(x)=f(x) Vjc^G, т. е. F2(x) — первообразная
для f(x) на множестве G.
Из теоремы 1 следует, что если данная функция f(x) имеет
хотя бы одну первообразную F(x) на множестве G, то она имеет на
том же множестве бесконочное множество первообразных. Их
можно получать из выражения F(x)+C, фиксируя значения
произвольной постоянной С. Однако, вообще говоря, нельзя утверждать, что
таким образом может быть получена любая первообразная
функции f(x) на множестве G. Например, непосредственной проверкой
легко убедиться, что две функции

10 Глава 1. Неопределенный интеграл
\—\ при ЛГ<0,
Fx(x)=— и F2(x) =
X
\~ 1 при
/() 1/2 й
чисявляются первообразными для функции /(*)= — 1/х2 на всей ч
ловой прямой, за исключением точки х=0: .Pi(*) = /г'2(*)
= — l/,v2. Однако их разность
{-;при
1 при
не является постоянной на всей числовой прямой, а поэтому
функцию F2(x) нельзя получить из выражения F\(x)+C подбором
подходящего значения С.
2°. Неопределенный интеграл. В предыдущем пункте мы отметили,
что если функция ^(л:) является первообразной для функции {(х)
на некотором множестве G, то выражение F(x)+C, где С —
произвольная постоянная, хотя и определяет бесчисленное множество
первообразных, но не охватывает всех первообразных функций f(x)
на множестве G. Однако если множество G является интервалом,
то положение существенно меняется,
В дальнейшем мы будем рассматривать первообразные на
интервале. Чтобы подчеркнуть, что имеется в виду не произвольное
множество G, а интервал, заменим обозначение G на /.
Теорема 2. Если F[(x) и F2(x)—dee первообразные
функции для функции f(x) в некотором интервале /, то имеет место
тождество
F2(x) ^х(х)-} С V *€=/,
где С — некоторая постоянная.
Доказательство. Так как по условию функции Fi(x) и
F2(x) — первообразные для функции f(x) на интервале У, то они
дифференцируемы на нем и F'i(x)=F'2(x)=f(x). Введем
вспомогательную функцию у(х) =F2(.v)—F{(x). Эта функция также
дифференцируема на / и q>'(х) = F'2 (х)—F'\(x)=f(x)—/(jc)ssO. Так
как функция <р(х) дифференцируема на/, то на любом отрезке,
принадлежащем /, к ней можно применить теорему Лагранжа.
Зафиксируем точку лгое/. Тогда для отрезка [х0, х] (или [х, Хо]), где
х — произвольная точка /, по теореме Лагранжа имеем <р(л*) —
—ф(х0) =ф'(?) (х—л:0)=0. Действительно, точка с заключена
между хо и х, а значит, се/ и <p'(c)=0. Следовательно, q>(jt) =
= <p(jco)=Ct т. е. F2(x)-~F{(x)=C или F2(x)=Fx(x) fCV.ve/.
Комментарий к теореме 2. Теорема 1 имеет место для
произвольного множества, на котором функция F(x) является
первообразной функции f(x), в том числе и для интервала; теорема 2
справедлива только для интервала В приведенном в конце л 1°

§11 Первоббразная. Неопределенный интеграл 11
примере были рассмотрены две функции F\(x) и F2(x),
определенные при всех ху за исключением точки л' = 0, а это множество
интервалом не является. Поэтому и оказалось возможным, что разность
Fu(x)—F\(x) не постоянна на этом множестве. Если же
ограничиться интервалом, не содержащим точку дг=О, то в соответствии
с теоремой 2 разность F2(x)—F\(x) является постоянной: она
равна — 1 на любом интервале, принадлежащем ]—оо, 0[, и 1 на
любом интервале, принадлежащем ]0, +<»[.
Определение 2. Семейство всех первообразных функции
f(x) в некотором интервале / называется неопределенным
интегралом этой функции в интервале /.
Неопределенный интеграл функции f(x) обозначается символом
Г /(дг) dA:; знак f называется знаком неопределенного интеграла,
функция /(дг) —подынтегральной функцией, а выражение }(х)йх —
подынтегральным выражением. Заметим, что в символе,
обозначающем неопределенный интеграл, не отражается интервал, на
котором этот интеграл рассматривается, но он обязательно
подразумевается. Слово «семейство» в определении неопределенного
интеграла означает множество, совокупность.
Из теорем 1 и 2 следует, что если F(x)—первообразная для
функции f(x) в некотором интервале, то выражение F(x)+C4 где
С—произвольная постоянная, представляет собой общий вид
первообразной для f(x) в этом интервале. Это выражение можно
рассматривать как выражение, определяющее семейство функций —
первообразных для f(x) в интервале /, т. е. как неопределенный
интеграл. Значит,
\ A)
где F'(x)=f(x), а С — произвольная постоянная (—оо<С< )
Произвольная постоянная С в выражении F(x) -f С является
параметром, определяющим конкретные функции в семействе F(x) +
Л-С. Слово «произвольная» означает, что этот параметр не зависит
от х и может изменяться произвольно.
Символы \ f (х)йх и F(x)-\-C, где F'(x) =/(*). а С—-
произвольная постоянная, являются двумя различными выражениями,
определяющими один и тот же неопределенный интеграл
[семейство первообразных для f(x)]. Но ^/(х)дх —это обозначение
семейства в целом, а в выражении F(x)+C выделена конкретная
функция F(x)~ одна из конкретных первообразных и указана
структура выражения, определяющего любую другую
первообразную. Функция F(x) является представителем семейства
\ f(x)dx. Роль представителя может играть любая функция из
семейства. Пусть fi(.v) и F2{x)— два различных представителя се-

12 Глава I. Неопределенный интеграл
мейства. Тогда выражения F\{x) + C и F2(x)+C задают одно и то
же семейство — неопределенный интеграл функции f(x):
B)
Однако если, заметив, что в выражениях B) левые части
одинаковы, мы сравним правые части, то следует написать
Fl(x)^rCl = F2(x)+C2, C)
где обозначение С заменено соответственно на С\ и С2. Дело в том,
что формула A), как и формулы B), выражает равенство
неопределенных интегралов, т. е. совпадение двух семейств функций в
целом, а формулу C) в силу специфики выражения F(x) + С можно
рассматривать как обычное равенство конкретных функций,
получающихся при различных значениях Ci и С2. Однако теперь
значения, которые принимают С] и С2, оставаясь независимыми от л;,
должны быть согласованы между собой. Действительно, так
как F\(x) и F2(x) —первообразные для одной и той же функции
f{x), то, в силу теоремы 2, F2(x)=F\(x)+a4 где а — постоянная
(не произвольная). Значит, из C) получаем F\ (х) + C\ — Fi (x) +
+ а + С2, т. е. Ci=a-f-C2.
Пример 1. Очевидно, ( *2с1.*=A/3)х* + d = (l/3) x3 + 5 + C2
(см. примеры 1 и 2 п. 1°). Следовательно, Ci —5-ьС2.
, Выражение F(.v)-f С может быть записано и в других формах.
Слагаемое С можно представить в виде некоторой функции С (с),
аргумент с которой также не зависит от л*. При этом только
следует иметь в виду, что областью значений этой функции должна
быть вся числовая прямая: —оо<С(с) < + оо; область же
определения, т. е. область значений с, может быть и более узкой.
Пример 2. В интервале ]0, +°°[ имеем Г —^-= 1плг-j-С.
Положим С = 1п с; здесь О0, —оо<1пс< + эо. Тогда \ —^-=1гис—\пс =
.' х
3°. Геометрический смысл неопределенного интеграла. Пусть задан
неопределенный интеграл F(.v)+C для функции f(x) в некотором
интервале. При фиксированном значении С—С\ получим конкрет-
нyюфyнкцию^/1 = F(.v) 4-Сьдля которой можно построить график;
его называют интегральной кривой. Изменив значение С и
положив С=С2, получим другую первообразную функцию с
соответствующей новой .интегральной кривой. Аналогично можно построить
график любой первообразной функции. Следовательно, выражение
y=zF(x) +C можно рассматривать как уравнение семейства
интегральных кривых неопределенного интеграла F(x)+C. Величина С
является параметром этого семейства — каждому конкретному
значению С соответствует единственная интегральная кривая в се-

§ 1 1 Первообразная Неопределенный интеграл 13
мействе. Две интегральные кривые не пересекаются — они
«параллельны» в том смысле, что расстояние между точками двух
различных линий по вертикали является величиной постоянной.
Интегральную кривую, соответствующую значению параметра С*2,
можно получить из интегральной кривой, соответствующей значению
параметра С\, параллельным сдвигом в направлении оси Оу на ве-
лич/ину \С2—С\\. Чем больше значение параметра С, тем выше
соответствующая интегральная кривая.
Чтобы выделить из неопределенного интеграла конкретную
первообразную функцию и соответственно из семейства интегральных
кривых — конкретную интегральную линию, нужно задать значение
С. Практически 3to часто делают с помощью задания начальных
условий — пары чисел (лг0, уо). Начальные условия должны
удовлетворять только одному требованию: х0 должно принадлежать
интервалу, на котором определен неопределенный интеграл F(x) + C.
Подставив начальные условия в уравнение y=F(x) +C, получим
yo=F(xo) + C. Для того чтобы последнее равенство было
тождеством, следует положить С=Со = */о—^(^о). Тогда F(x)+Co есть та
первообразная функция, которая при х=х0 принимает значение
У—Уо', уравнение y=F(x) -f Co является уравнением той
интегральной кривой, которая проходит через точку (х0, у0).
Пример. Дан неопределенный интеграл f x2dx. Найти ту
первообразную, которая при х = 3 принимает значение у=\0.
Решение. Выше мы установили, что у= f Jt2(be=( 1/3)JC3-f С.
Подставим в это выражение начальные значения *о = 3, #о=Ю;
получим 10= A/3) -З3и-С, откуда С=С0 = 1. Следовательно,
искомая первообразная имеет .вид у— A/3)jc3Ч-1; это же равенство
является уравнением искомой интегральной кривой.
4°. Действия над неопределенными интегралами. Неопределенный
интеграл мы определили как семейство функций первообразных
для подынтегральной функции. Рассмотрим теперь некоторые
действия над ними.
Производной (дифференциалом) неопределенного интеграла
будем называть производную (дифференциал) любой функции,
входящей в него как в семейство функций.
Так как неопределенный интеграл есть семейство функций, то,
дифференцируя эти функции, можно было бы ожидать, что мы
получим новое семейство функций. Однако в силу определения
неопределенного интеграла произ-водной от него является только одна
функция — подынтегральная:
^J[J] D)
Аналогично >
J/ E)

14 Глава /. Неопределенный интеграл
Если неопределенный интеграл записать в виде F(x)+C, то
можно применить обычное правило дифференцирования суммы:
Произведением Xf f(x)dx неопределенного интеграла (* f(x)dx
на число к будем называть семейство функций, каждая из которых
является произведением одной из функций семейства Г f(xNx на
число Л.
Суммой неопределенных интегралов f/i(*)d-*+ f /г(х)&х
будем называть семейство функций, каждая из которых
представляет собой сумму функций, взятых по одной из семейств \ /г(х)йх
и Г /2(х)их. Понятие суммы неопределенных интегралов можно
распространить на любое число п слагаемых по следующему
правилу:
(i=3, 4,..., п).
Операции сложения неопределенных интегралов и умножения
неопределенного интеграла на число называются линейными. С их
помощью можно определить линейные комбинации неопределенных
интегралов — выражения вида
$ F)
Линейная комбинация неопределенных интегралов определяет,
очевидно, семейство функций, каждая из которых представляет собой
линейную комбинацию функций, взятых по одной из семейств
функций—неопределенных интегралов f fi(x)dx(i= I, 2,..., л).
Если Fi(x)—соответственно первообразные для /*(*), т. е.
f fi(x)dx=Fi(x)-{-Ci(i= I, 2,..., л), то линейную комбинацию
F) неопределенных интегралов можно записать в виде
или
*j § fi(xNx+\2 $ /ъ(хLх + ,..+\я ^ fn(,x)<ix=F(x)+C, G)
где
F (x)=XlFl (x)+\2F2(x)+... +\nFn(x),

§ 1.1. Первообразная. Неопределенный интеграл 15
а С — произвольная постоянная, так как она является линейной
комбинацией постоянных величин С, (/=1, 2, ...,п).
Итак, линейная комбинация неопределенных интегралов
\ fi(x)dx представляет собой семейство функций F(x) +C, где С —
произвольная постоянная, a F(x) —линейная комбинация
первообразных для подынтегральных функций fi(x) (i= I, 2,... , л).
5°. Свойства неопределенного интеграла. Рассмотрим некоторые
свойства неопределенного интеграла, вытекающие
непосредственно из его определения.
Неопределенный интеграл от линейной комбинации функций
равен той же (т. е. с теми же коэффициентами) линейной
комбинации неопределенных интегралов от этих функций:
J (8)
где /,i, /.2, ••. Д» — постоянные.
Для доказательства достаточно показать, что дифференциалы
левой и правой частей равенства (8) одинаковы. Найдем их,
используя соотношение E) и известные свойства дифференциала:
fn U)]
Итак, дифференциалы левой и правой частей равенства (8)
одинаковы, т. е. равенство (8) справедливо.
Отметим частные случаи этого свойства.
Постоянный множитель можно вынести за знак
неопределенного интеграла, т. е.
J (9)
где ЛфО -• постоянная.
Неопределенный интеграл от суммы (разности) двух функций
равен сумме (разности) неопределенных интегралов от этих
функций, т. е.
^^ j A0)

16 Глава I. Неопределенный интеграл
До сих пор в выражении неопределенного интеграла | f(x)dx
мы предполагали, что переменная интегрирования х является
независимой. Пусть теперь *=ф(Ь) —непрерывная функция, имеющая
непрерывную производную. Тогда dx=y'(u)du и подынтегральное
выражение неопределенного интеграла преобразуется следующим
образом: f(x)dx=f{y(u))y'(u)du. Покажем, что
(ll)
Для этого найдем дифференциалы левой и правой частей
равенства A1):
Здесь мы воспользовались соотношением E). Совпадение
дифференциалов левой и правой частей равенства A1) показывает его
справедливость.
Комментарии к формуле A1). 1) Формула A1)
означает, что в выражении неопределенного интеграла f f(x)dx можно
рассматривать х не только как аргумент соответствующих функций
(первообразной и ее производной), но и как функцию х=у(и).
Проводя аналогию со свойствами инвариантности выражения
дифференциала функции, здесь можно говорить о свойстве
инвариантности выражения неопределенного интеграла l' f(x)dx.
2) Из формулы A1) вытекает, что замену переменной в
неопределенном интеграле можно производить непосредственно,
преобразуя подынтегральное выражение.
Из равенства E) следует, что если знаки дифференциала и
интеграла стоят рядом, причем знак дифференциала
предшествует знаку интеграла, то эти знаки взаимно уничтожаются.
Выясним теперь, как взаимодействуют знаки интеграла и
дифференциала, если знак интеграла предшествует знаку дифференциала.
Пусть задан неопределенный интеграл f /(jc)dJc=/r(jc)-|-C. Так
как на основании формулы A1) можно преобразовывать
подынтегральное выражение, вводя функцию под знак дифференциала,
a/(jc)djc=dF(x),TO
JdFU)=/?(jc)+C A2)
Следовательно, если знаки интеграла и дифференциала стоят
рядом, причем знак интеграла шредшествует знаку дифференциала,
то эти знаки взаимно уничтожаются, а к функции, стоящей под
знаком дифференциала, прибавляется произвольная постоянная.

# L2. Таблица основных интегралов. Основные методы интегрирования 17
Комментарий к формуле A2). Если в левой части
равенства A2) заменить первообразную F(x) на неопределенный
.интеграл F(x) + C, то знаки интеграла и дифференциала взаимно
уничтожаются:
[ d{F (x) + C)=F (х)-\-С. A3)
6°. Упражнения
Даны функции f(x) н F(x) и точка (*0, #о) плоскости. Требуется: а)
показать, что функция F(x) является первообразной для функции /(*); б) записать
выражения неопределенного интеграла функции j(x) с помощью знака ( и с
помощью ее первообразной функции F(x)\ в) записать уравнения интегральных
кривых, соответствующих данным значениям С — С{ и ? = С2 произвольной
постоянной С, входящей в выражение неопределенного интеграла, и построить их;
г) записать уравнение интегральной кривой, проходящей через точку (х0> уо),
подобрав соответствующее значение Со произвольной постоянной в выражении
неопределенного интеграла, и построить ее.
2. /(лг)-е2л"; ^(дг)-0,5е2дг; Сх = -1, С2= 1; *о = О> уо = О.
3. /(*) = созлг; F(x)= sin x; Ci =•— 1, С2= I; л:0 = я/2, у0 == I.
§ 1.2. Таблица основных интегралов. Основные методы
интегрирования
1°. Задача об отыскании первообразной. Полное решение задачи
об отыскании первообразной для данной функции f(x) будет дано
в гл. II. В ней вводится понятие определенного интеграла и с его
помощью, во-первых, доказывается, что непрерывная в некотором
интервале функция имеет в нем первообразную, и, во-вторых,
дается способ построения этой первообразной — определенного
интеграла с переменным верхним пределом. В частности, всякая
элементарная в некотором интервале функция непрерывна в этом
интервале, а следовательно, имеет в нем первообразную.
Определенный интеграл с переменным верхним пределом
представляет собой аналитическое выражение, но не элементарное, так
как его определение предусматривает, наряду с другими
операциями, неэлементарную операцию предельного перехода. Однако это
не означает, что первообразная не может быть элементарной
функцией. Так, во всех примерах § 1.1 первообразные представляют
собой элементарные функции. Более того, любая элементарная
функция является первообразной для своей производной. Дело в
том, что, как известно, одна и та же функция может быть задана
различными аналитическими выражениями, тождественными в
области определения функции. В частности, существует довольно
широкий класс элементарных функций, для которых первообразные
могут быть выражены не только через определенные интегралы,

18 Гливи I. Неопределенный интеграл
но и в элементарных функциях. Именно такому классу функций и
посвящена настоящая глава, и поэтому мы будем слова «найти
интеграл» понимать в более узком смысле как «выразить интеграл
в элементарных функциях». Выражение интеграла в элементарных
функциях, когда это возможно, имеет важное практическое
значение, так как элементарные функции являются удобным аппаратом,
используемым в различных приложениях математики.
Исторически сложилось, что эти функции наиболее подробно изучены, для
них составлены справочники, таблицы, разработаны стандартные
программы для вычисления их на ЭВМ и т. п.
Если неопределенный интеграл от функции f(x) выражен в
элементарных функциях, т. е. представлен в виде \ f(x)dx = F(x)-\-C1
где F(x)—элементарная функция, то говорят, что он выражен в
конечном виде. Заметим, что в конечном виде может быть выражен
только интеграл, подынтегральная функция которого элементарна.
Действительно, если f j(x)dx=F(x) +C, где F(x) —элементарная
функция, то и f(x)=F'(x) —функция элементарная как
производная от элементарной функции.
Единого алгоритма для выражения неопределенных интегралов
в конечном виде, подобного алгоритму дифференцирования^, не
существует. Все методы решения этой задачи основаны на том, что
любое равенство, выражающее производную для элементарной
функции F(x), т. е. Р(дг) =/(*), прочитанное «наоборот»,
позволяет указать первообразную функцию для элементарной функции f(x).
Сначала составляется таблица основных интегралов с помощью
обращения формул производных основных элементарных функций;*
неопределенные интегралы, входящие в эту таблицу, называются
табличными. Затем данный неопределенный интеграл
преобразуется так, чтобы можно было применить табличные интегралы. При
этом используются основные свойства неопределенных интегралов,
приводящие к трем основным методам интегрирования: 1)
разложением) 2) подстановкой (или заменой переменной); 3) по частям.
Процесс применения этих методов существенно опирается на
конкретные свойства подынтегральной функции. Несмотря на
отсутствие единого алгоритма, удается выделить некоторые типы
элементарных функций, для которых можно указать общие приемы их
интегрирования в конечном виде.
2°. Таблица основных интегралов. К основным интегралам отнесем
следующие интегралы:
I. fOd«- С.
II-

§ I 2. Таблица основных интегралов Основные методы интегрирования
19
....Jf-.n,.
V. |* cos и dtt^sin
VI. fsmttda=— cos a
VII. r_^?-_tgtf+C.
VIII. r^L__ctgtt + C.
J 5in2tf
! — arccos i
X.
+ «2 (— arcctg a+Ci.
В правые части формул входят основные элементарные функции
аргумента и.
С практической точки зрения целесообразно дополнить эту
таблицу следующими формулами:
IVa. Гя«аи=-21- + С (<х>0, аф\\
In a
IXa.
Г ди _
arcsin —-\-C\
а
— arccos — -\-Cv
Xa.
du
-I-arctg — + С;
а а
XI. Г—*!Ц !_
| д2 — ^2 2п
хн.
а 4-
du
? + а
Формулы IVa, IXa, Xa являются обобщениями формул IV, IX и
X, формулы XI и XII дополняют таблицу.
В правых частях формул IX, X, IXa, Xa записаны по два
выражения для первообразной. Это значит, что может быть
использовано любое из них.

20 Глава I. Неопределенный интеграл
Каждая из формул I—XII справедлива в промежутках, не
содержащих точек разрыва подынтегральных функций. Например,
для формул IV, V, VI, X — это вся числовая прямая, а для формул
II (при целых отрицательных значениях и) и III — это
промежутки, не содержащие точку и=0.
В каждой формуле под и можно подразумевать непрерывную
функцию м=ф(х), имеющую непрерывную производную у'(х).
Справедливость формул I—XII легко проверить
дифференцированием.
3°. Интегрирование разложением. Если
W, A)
то в силу формулы (8) § 1.1 интеграл i f(x)dx можно записать в
виде
B)
Сущность этого метода состоит в выборе подходящего
разложения A). Интегралы \ft(x)dx в формуле B) должны быть в
определенном смысле более простыми по сравнению с первоначально
заданным интегралом. Наиболее простым является такой случай,
когда в формуле B) интегралы J\ fi(x)ux — табличные.
Примеры. 1. Найти /= f A + K*Jdjc.
Решение. Преобразуем подынтегральную функцию; имеем
( xJ= 1 + 2K3c + jc. Следовательно,
+
2. Найти / =
J sir
sin2 х cos2 x
Решение. Так как
1 sin2 х + cos2 лг ___ 1 |
sin2 x cos2 x sin2 x cos- x cos2 x sin2 x
TO
J si

§ 1.2. Таблица основных интегралов Основные методы интегрирования 21
3. Найти /=f6sin2 — их.
Решение. Имеем 6 sin2—=3-2 sin2— =3A — cosх).
Поэтому
/ = Г 3A — cos л:)dx==3 (f dx — f cos x dx)-3(x — sin
4. Найти /=\Vfl+ Jlfldjc.
Решение. / = \(ex +^-A djc «= f exdx + f A;-2d
4°. Интегрирование подстановкой (заменой переменной). Этот
метод основан на возможности замены переменной в
подынтегральном выражении под знаком неопределенного интеграла. Пусть дан
неопределенный интеграл f/(;c)djc. Введем новую переменную и,
связанную с х зависимостью
C)
где функции <р(и) и \|?(л:) —взаимно обратные, непрерывные и
имеющие непрерывные производные в соответствующих интервалах
изменения переменных х и и. Преобразование интеграла f f(xNx
в интеграл f g(u)du возможно с помощью двух вариантов
подстановок.
Первый вариант подстановки [использование
функции х=у(и)]. Произведя в данном интеграле {
f(x)dxподстановку *=ф(и), dx=q)'(u)du (см. формулу A1) § 1.1), получим
D)
^)/(ф())ф()
Второй вариант подстановки [использование функции
и = }р(х)]. Пусть функция f(x) представлена в виде
/U)=?(tU))fU). E)
Тогда
jVf ^ F)
где w = \(()
Формулы D) и F) выражают сущность метода подстановки.
Если f g(u) du =rf(/(«)-{-С, то в обоих случаях получаем
G)

22 Глава I. Неопределенный интеграл
Формула G) в сочетании с и = у(х) определяет f f(x)dx как
сложную функцию с промежуточным аргументом и:
(8)
а та же формула G) в сочетании с х=у(и) определяет [f(x)<Sx
как параметрически заданную функцию с параметром и:
(9)
От равенств (9) можно перейти к формуле (8), исключив параметр
и с помощью той же функции и=^(х)у обратной для функции х =
=4>(ы).
Комментарий к формулам D) и F). Формулы D) и
F) отличаются «промежуточными» интегралами f f (у (и)) у' (и) Аи
[bD)J и [ g ($(*))$'(х)их [в F)]. В формуле D) мы имеем дело с
«выведением множителя из-под знака дифференциала»: dx=
= d<p(a) = cp'(w)dw, а в формуле F) —с «введением множителя под
знак дифференциала»: \(/ (х) dx — dtf (л:) = Аи.
Метод подстановки целесообразно применять, если интеграл
(u)du в каком-то смысле «проще», чем ^/(x)dx (например,
интеграл f g(u)du или уже табличный,,или «ближе к табличному»,
или для него яснее путь дальнейших преобразований и т. п.).
Успех применения метода подстановки зависит от удачного выбора
новой переменной, т. е. от выбора функций C).
Примеры. 1, Найти / ===== [ cos За: их.
Решение. Этот интеграл напоминает табличный интеграл V,
но «мешает» коэффициент 3 перед х. Примем Зл: за новую
переменную и\ имеем Зх=и, x—(l/3)x, d,v= (l/3)dw, следовательно,
/= Г cos аA/3)da =A/3) \ cos и da==( 13) sin а+С=A/3) sin Зх+С.
2. Найти J(x-2Mdjc.
Решение. Положим д:—2==w, д:=иЧ-2, djc = dw. Значит,
Заметим, что в методе подстановки можно и не вводить явное
обозначение новой переменной. Так, в примере 1 очевидные
преобразования приводят данный интеграл к виду
Г cos Зх дх=( 1/3) j cos (Зх) d (Зх).

# 1.2. Таблица основных интегралов. Основные методы интегрирования 23
Теперь можно принять Зл: за новую переменную (без обозначения
ее буквой и) и сразу, «непосредственно» применить табличный
интеграл V. Здесь простейшая подстановка производится как бы «в
уме». Такой прием называют непосредственным интегрированием.
В примере 2 непосредственное интегрирование выглядит так:
Рассматривая примеры интегрирования функций, следует
постепенно развивать навыки непосредственного интегрирования.
Полезно обратить внимание на часто применяемые подстановки.
Так, например, если известен интеграл j* f(x)dx = F(x)~\-C, то
подстановка ax + b = u, a dx = dw, dx = (\/a)du дает
или короче
^ A0)
Примеры. 3. Найти Г 6х .
J 2 — эх
Решение. Г-^-= -- f dB~5*) = -- ln\2^Sx\ +C.
J :2 - 5дг 5 J 2 - 5л- 5 ' ! '
4. Найти
/9 - 4jt2
Решение. f-g^.^-Lf /<2*> = ^arcsm ^
J ^ - 4дг^ 2 J /9 - BлгJ 2 3
Для нахождения подстановки, упрощающей данный интеграл,
следует обратить внимание на второй вариант подстановки —
формулы E) и F). При этом полезно вырабатывать навыки «введения
множителя под знак дифференциала», т. е. чтения формулы
дифференцирования du(t)=u'(x)dx «наоборот»: u/(x)dx=du(x).
Примеры. 5. Найти
Решение. \ — с!лг - I arc sin *d(arcsin x) =A/2) х
J V\ ~х* J
x(arcsin xJ-f С. Здесь —drcSin/C Aл: = arcsin
= arcsin jc d(arcsin ;c). Мы представили подынтегральную функцию
в виде E), затем ввели (arcsin x)' под знак дифференциала и,
наконец, применили непосредственно табличный интеграл II.
6. Найти ftg

24 Глава /. Неопределенный интеграл
п РА л Г sin л: . f(cosjc)'djc fd(cos*)
Решение. I tgxdx= dx=— \ = —\ ~ =
J J COS X J COS * J COS *
= — In I cos x I +C.
Иногда подстановка сразу не приводит к цели, но упрощает
подынтегральное выражение и проясняет ход дальнейших
преобразований.
С dx
Примеры. 7, Найти /=\
Решение. Заметив, что х2 + 2х + 2= (*+1J+1, заключаем,
что подынтегральная функция зависит от .v+1, a (jc+1)/=1, т. е.
в соответствии с формулой E) имеем f(x) =g(jc+ 1) (х+ 1)'. Введя
множитель (х+1)' под знак дифференциала: (x+\)'dx=d(x+l)f
сделаем лодстановку #+l = u, а затем продолжим преобразование
данного интеграла:
J
1„
(I -f «*)arctgu J arctga
= ln | arctg(A:-f- i) | -f C.
8. На»т„ Г
Здесь мы, не вводя новых обозначений, т. е. непосредственно, про-
извели фактически следующие подстановки: 1) 2х dx=d(x2)>x2 = wy
2) e"dw=de", e" = y.
9. Найти / =
Решение. Этот интеграл напоминает интеграл из лримера 1
п. 3°, который был найден разложением. Однако здесь применение
метода разложения приведет к слишком громоздким выражениям
и преобразованиям вследствие очень высокой (десятой) степени
бинома. Произведем подстановку 1 + КЗс =н, х= (u— IJ, d*=
= 2(u—l)du. ТогдаA + Vx)l{t dx=ul0-2(u—l)du, т. е.
/ =» 2 |§ (й11 - ^I(>) da — 2 (j* и11 du - \' a10 da j --
V 12 11 j~ 66
~(\+Vx)u{n
66
Здесь наряду с интегрированием подстановкой применено и
интегрирование разложением.

§ 1.2. Таблица основных интегралов. Основные методы интегрирования 25
Для нахождения одного и того же интеграла могут быть
применены различные способы преобразования подынтегрального
выражения. При этом найденные первообразные могут оказаться
различными по виду. Однако известно, что две первообразных для
одной и той же функции могут отличаться друг от друга лишь на
некоторое постоянное слагаемое.
Примеры. 10. Найти /=Г A^*)* Ах.
Решение. I с п ос о б (разложение). Находим
+ 2х +
+ 2х +
1/2 ' ' 3/2
II способ (подстановка). Положим 1+у*=7; тогда х=
= (*—1J, djc = 2(/—l)d/. Таким образом,
=^
Получились различные по форме записи результаты, однако
— A + >'*K=— CУх + Зх + хУхУ+ — ; следовательно, С =
3 и О
11. Найти /=f — .
J sin2JCCos2A:
Решение. Здесь мы имеем тот же интеграл, что и в примере
2 п. 3°. Ранее методом разложения мы нашли, что /=tg;t—ctgx +
+ С.
Применим теперь метод подстановки, предварительно
преобразовав подынтегральную функцию:
Постоянную мы обозначили через Сь так как, вообще говоря,
она может отличаться от постоянной С в найденном ранее
неопределенном интеграле. Итак, имеем два результата, полученных
разными способами интегрирования: tgx—ctgx+C и —2ctg2*+Ci.
Преобразуем второе выражение:
«. 2 cos 2л: sin2jc —¦ cos2*
x
x^— :
sin 2x sin x cos x
т. е второй результат тождествен первому.

26 Глава I. Неопределенный интеграл
Иногда такие преобразования могут оказаться не столь
простыми и очевидными. Однако всегда результат может быть проверен
дифференцированием. Так, в данном случае
ч, 1,1 sin2 х -ь cos2 к 1
ctg*)
cos2 x sin2* cos2 л: sin2л; sin2x cos2*
,_ 2-2 4 1
sin2 2* 4 sin-' x cos2 * sin2 x cos2 x '
Равенство производных показывает, что функции tgx—ctgA и
—2ctg2.v могут отличаться не более чем на постоянное слагаемое,
а это для первообразных одной и той же функции вполне
возможно (выше показано, что указанные функции не отличаются даже
этим). Совпадение же производных с подынтегральной функцией
свидетельствует о том, что неопределенный интеграл найден
правильно.
Применяя сочетание методов подстановки и разложения,
найдем интеграл вида \ '—'—Z— , где аф®, ft, c\ Af, N—~ посто-
J a*2 J- Ьх 4- с
янные. Числитель подынтегральной функции представим в виде
линейной комбинации производной от квадратного трехчлена (ах2+
+ bx + c)' = 2ax + b и некоторой постоянной; имеем
^j.—Bах 4- Ь)^~ \ N 1 . Далее, получим
2а ' \ 2а j
М
ах* - bx +-C J а*2 -f- <
М I* d (а v- - Ьх -т с)
2а J ах- ¦- bx -f с \ 2а / J а х2 \ Ьх + с
М . . ... , ,,/'*•- Mb \ I» d*
In I uxJ \~Ьхл с \ 4( Л^ —-—j I
2а l V 2a / J a*2 i bx f с
Первый интеграл здесь найден непосредственно с использованием
табличного интеграла III без введения новой переменной v = ax2jt-
+ bx-\-c. Знаменатель второго интеграла преобразуем к виду ах2 +
:•= а |(^4 —V » гДе D = b2—4ac — дискриминант
1А s 2а ) 4а2 J
квадратного трехчлена; такое преобразование квадратного
трехчлена называется выделением полного квадрата.
Обозначив -—7-.- pi и произведя подстановку х f -— = ич получим
1 *1 -_-L \ Ч— . Таким образом второй интеграл
J ах* + Ьх Ч- с a J и2 ± pi
сводится к табличным интегралам X, Ха, XI, II (при а——2).

§ 1.2. Таблица основных интегралов Основные методы интегрирования 27
Примеры. 12. Найти
4x2 4- 4х -р 5
Решение. Имеем D*2 + 4.v + 5)' = 8.v+4, 16х+3 = 2(8х+4) —
—5. Поэтому
J
4*2 4.4* 4.5
4*4-5
5 Г
4 J
Г + Т/
Оба интеграла найдены непосредственно с помощью табличных
интегралов III и X. При этом под знаком In знак модуля опущен,
так как4х2 + 4л' + 5= B.v-HJ+4>0.
13.
X2 4- Зх 4- 2
Решение. Имеем (л;2 +3jc+2)' =
. Следовательно,
, Зл:-~7 = — Bjc+3) —
23
J
4- Зх 4- 2
3
2
4- Зх + 2
2) 23 Г
2 2 J
/ 3 \2 !
14. Найти /=
23
In
x-f 3/2- 1/2
x-f 3/2 4- 1/2
dx.
Решение. Имеем (jc'2-f-4jc+4)';=2A:-f-4, 3jc—7 = —
—13. Значит,
, -|"<2* + 4)-13
4x 4 4
f
J (д: -f- 2J
"Г
X -\- Z

28 Глава /. Неопределенный интеграл
Аналогично можно найти и интеграл вида Г * х + * *
J V а*2 4- ** 4- с
Производя те же преобразования и используя те же обозначения,
получим
С (Mx + N)dx = М Г d(ax2±bx±c) ¦ /у МЬ\ Г
J Уах* + Ьх+с 2а ) У ах* + Ьх +с ~*[ 2а)) Уа
Mb \ (' da
~~ ~2а~) ) Уа(и1±р1)~ '
Второй интеграл сводится к табличным интегралам IX, 1Ха, XII,
III. Однако надо учесть, что если одновременно D^O и а<0, то
квадратный трехчлен ax2 + bx-\-c<^:0 при всех значениях х и
интеграл не имеет смысла. Так, например, не имеет смысла интеграл
\ г ; здесь а= — КО, й = 4, с=—5, D=—4<0,
J у — д:2 4- 4х — 5
—х2 + 4х—:5=—(л-—2J—КО. Также не имеет смысла и интеграл
; здесь а= — КО, 6 = 4, с = ~4, D=0, —д
Во всех приведенных ниже примерах условие D^O, a<0 не
выполняется, поэтому рассмотренные в них интегралы имеют смысл.
Примеры, 15. Найти /=f B* + 5>d* .
Решение. Имеем C—2*—л:2)'=—2л:—2, 2*4-3= —(—2д:—
—2) 4-3. Таким образом, ''
-(-2лг-2L-3 йх_ rdC —2jc —jc3) , g Г d(*4-0
= f
J
16. Найти
Решение. Имеем (х2 + 2х-2)' = 2х'+21 3jc—1=--|Bл: + 2)—
—4. Следовательно,
_3_
— Bл:4-2)-4 3 >М (х* + 2у — 2) ^ Г f«^-i-i^
17. Найти /=f dx
д:^ 4- 2х 4- 1
Решение. Имеем х2+2х-\-1 =

§ 12. Таблица основных интегралов Основные методы интегрирования 29
Значит,
Ji = | In I -«-И 1 "f с\
/=flii±Ji = |
J \x+l\ I —In | л:+1 | +С2 при jc<— 1.
5°. Интегрирование по частям. Пусть а (л:) и v(x) —две
непрерывные функции, имеющие непрерывные производные. Тогда в силу
очевидных соотношений
u(x)v' (x) = [u(x)v(x)\' -и' (x)v(x),
применив интегрирование разложением, получаем
^u(x)v'(x)dx=u(x)v(x) — [u'(x)v{x)dx. A1)
Постоянная интегрирования при замене интеграла f [u(x)v(x)]r dx
выражением u(x)v(x) здесь опущена, так как в правой части
формулы A1) имеется неопределенный интеграл f ur (x)v(x)dx. Эта
формула может быть использована для нахождения интеграла
f/(*)&*, если представить подынтегральную функцию/(х) в
виде произведения f(x) ==^u(x)v/(xI где и(х)—непрерывная
функция и v'(x)—непрерывная производная от непрерывной функции
v(x). Применение формулы A1) для интегрирования функций
называют методом интегрирования по частям. С
помощью этого метода отыскание интеграла f u(x)v'(x)dx сводится к
отысканию интеграла [и'(x)v(x)dx.
Представление данной функции f(x) в виде произведения
u(x)vf(x) можно осуществить различными способами.
Практически после выбора функций и(х) и vf(x) нужно найти функции и'(х)
и v(x)= \v'(x)dx, причем достаточно найти какую-нибудь одну
из первообразных функции v'(x), опустив постоянную
интегрирования. Применение метода интегрирования по частям будет
успешным, если интеграл \u'(x)v(x)dx в правой части формулы A1)
окажется «проще» интеграла [ u(x)v' (jc)djc.
Пример 1. Найти ^xsinxdx.
Решение. Положим и = х, t/ = sinx, откуда w'=l, v =
= | si« xdx^= — cos jc. Следовательно,
x sin л:с1л: =
--со5 x)~ f !•( —cos x)dx~ —л: cos jc-fsifl JC-j-C.

30 Глава I. Неопределенный интеграл
Если в этом же примере положить u==sinx, и'=х, то формула.
A1) приведём к интегралу (* Jt2 cos хдх, более сложному, чем
данный.
Так как v'(x)dx=dv(x), а и'(к)&х~&и(х), то формулу A1)
часто записывают в виде
(* udv=uv— (vdu, A2)
вводя множители v' и и' под знаки дифференциалов. При этом в
некоторых случаях интегрирование по частям можно осуществлять,
не вводя явно обозначения «и D, аналогично приему
непосредственного интегрирования (см. п. 4°). Так, решение примера 1 можно
записать следующим образом:
Г л: sin jc djc= (xd( — cosx)=x( —cos л:)— (*( — cos.*)djc =
= —x cos x -\- sin
Иногда интегрирование по частям приходится применять
последовательно не один раз.
Примеры. 2, Найти \ U2-f 2* + 3)e2*d*.
Решение. Г(л:2 + 2х + 3)e2j:d* = ~ Ux2-\-2x-{-3)d(e2-*) =
+ 3) е2* -
= —
4
3. Найти /= fe2jrcos3jtdjt.
Решение. /= i Г cos 3x d (e2jr)= ~ ^cos 3x e2jr- Г e2xd cos3jc

§ 1.2 Таблица основных интегралов. Основные методы интегрирования 31
+ — Г sin Зл-d(e2*)=— е2дгcos Зх + — U2x sin Зл:- fe^dsin Зх\ =
—— B cos 3x +3 sin 3x)e2*- — Г eu cos Зх dx.
4 4 J
В результате двух последовательных интегрирований по частям
имеем
/ = J- B cos Зх 4-3 sin Зх) е2х — — /,
4 4
т. е. снова возвратились к исходному интегралу. Это равенство
можно рассматривать как уравнение относительно искомого
интеграла. Следовательно,
откуда
~ 13
Постоянное слагаемое С\ появилось после переноса интеграла в
левую часть равенства, так как в правой части осталась одна
конкретная первообразная; затем мы положили —С1 = С.
6°. Интегрирование некоторых классов тригонометрических
функций. Рассмотрев основные методы интегрирования, перейдем
теперь к применению этих методов для интегрирования некоторых
типов элементарных функций. В следующем параграфе будет
рассмотрен довольно обширный класс рациональных функций; в
настоящем пункте мы остановимся на интегрировании некоторых
тригонометрических функций.
1. Функции вида sin mx cos пху cosmxcosnx, sinmxsinn*. Для
нахождения интегралов от '*тих функций используют формулы
разложения произведений в гуммы:
sin mxcos лх-- —|sin (m-\-n)x\- sin {m — n)x]>
cos mx cos nx -- — |cos (m-\-n)x |-cos(/n — #)x], A3)
sin mx sin nx~-•— [ — cos (m-\-n)x~\ cos(m— n)x\*
Если тфпу то интегралы от произведений сводятся к линейным
комбинациям интегралов вида ( cos kx их и f sin kx dx, которые
находятся по формулам

32 Глава 1. Неопределенный интеграл
fcosfocd.* ——sinkx-\-C, \sinkxux= coskx-\-C. A4)
Примеры. 1. Найти \ sin Ъх cos 2х их.
Решение. \ sin 3xcos 2xd;c=— I (sin 5jc-fsin х)йх =
=— (—- cos Ъх — cos *] +C= —- (cos 5x + 5 cos л:)+С.
2. Найти Г sin xco
Г* 1 Г*
Решение. I sin xcos3xdx = -p \ [sin 4x+sin (—2x)\<\x =
=— Г (sin 4* — sin 2jc) 6x = — (—- cos 4л -f — cos 2jc) +C =
= — B cos 2л: — cos 4x) + C.
8
3. Найти f sin 4л* sin Зл: dA\
Решение. \ sin 4x sin Зхйх =— \ (~~cos7;c -|-cosA:)dJc =
= —G sin х — sin 7xL-C.
Если т=п, то формулы A3) примут вид
sin mx cos /гсл* — — sin 2тл,
cos2mx - -7- (I -f cos 2mx)} A5)
2
Пример 4. Найти ^cos^jcdA".
Решение, i cos^dx—-^-^-\ A
— ^ f у I 1 cin 9*-\ -1 Г*
~ (Л г -^—ЫП Z^T » -t С.
2 Функции вида sin'" x cos" л-, где хотя бы одно из чисел m, n—
натуральное нечетное число. Пусть для определенности л==2р+1,
m — любое действительное число Тогда sinm a-cosnjc dJt=
= sinmA' cos2pjr cos л: djc=sinmx(l—sin2 A-)/Jd(sin x) =wm(l—u2)Pdu,
где w = $inA\ Здесь p — натуральное число и можно применить ме-

§ 1.2. Таблица основных интегралов. Основные методы интегрирования 33
тод разложения. Если же m=2p+l, n — любое действительное
число, то подстановка w = cosjc приводит к аналогичному
результату (проверьте).
Примеры. 5, Найти (* sm2xcos5A:dA:.
Решение. Положим u = sinx; тогда d«==cosx d*;
следовательно,
fsin2xcos5xdx= Г и2(\— и2Jйи =
u2-2u4+u*Nu=—u*- — us + —
о о 7
1 9 I
=— sin3*—— sin5 jc -j sin7,v-J-C.
3 5 7
6. Найти [
J COS2 X
Решение. Положим w = cos.v, тогда du——sinx Ax. Значит,
f
J
a cos jc
7. Найти Г К cos л: sin3 л: d*.
Решение, f ^ cos x sin3A*dx=— \ } cosx(l— cos2x)d(cos x)=
— f (cos л:I/2 d (cos x)+ f(cos л:M/2 d (cos jc)= —^-(cos
2 2 3
2 2
(cos*O/2 + C ^
3. Функции вида sinmjr cos71*, где m w n —натуральные четные
числа. Интегралы от этих функций с помощью формул A5) и A3)
сводятся к интегралам, рассмотренным в пп. 1 и 2.
Пример 8. Найти f sin2 л: cos4 xdx.
Решение. Г sin2 x cos4 x dx =
= Y T(sin

Глава I. Неопределенный интеграл
fsi
= — (х Lsin4;c+ — si
16 Ч 4 ' 3
7°. Упражнения
идите Heoi
Найдите неопределенные интегралы:
х
dx.
dx.
х
f* sin х dA
J 1 -i- 2 cos л:
4
"•J-
13
13.
_ 8л: + 7
15. \x*\nxdx.
17. I
19.
arcsin jr dx.
21. ( cos JC cos 4jc d;c.
23. i sin*'3xdx.
25. j sin2 x cos2
2.
6.
8.
10.
' COS*2 X) )
X
d^r.
+ 6л: — x*
dx
- 10* + 24
16. jarctg;cd*.
arctg x
20. j e
22. f sin 2* cos 2* d*.
24. Г зС!!Ц d^.
J у sin лг
26. \ sin 2л: sin^ArcosA:
§ 1.3. Интегрирование рациональных функций
1°. Рациональные функции. Существует один очень важный класс
элементарных функций, интегрируемых в элементарных
функциях,— это рациональные функции
x), A)

§13. Интегрирование рациональных функций 35
где Qm(x) и Рп(х) —многочлены соответственно m-й и я-й степени,
т. е.
(ЬтфО),
(апф0).
Здесь m и п — натуральные числа или нуль, а 6, и а; —
действительные числа. Выражение A) будем также называть
рациональной дробью. Если т<л, то рациональная дробь называется
правильной; если т^п — неправильной; если я = 0, то выражение A)
является многочленом (степени т).
х 4- 5 3
Например: ~ , — правильные дроби;
*4_з*з+ 3*2 — 13*+ 12 х Л
•-— неправильные дроби;
—4 х +2
4jc2 — jc-f-1, JC-f3 —многочлены.
Многочлен называют также целой рациональной функцией.
Приведем без доказательства ряд теорем из алгебры, которые
будут использованы в дальнейшем.
Теорема 1. Если даны два многочлена Qm(x) и Рп(х) (т^
^&п), то многочлен Qm(x) всегда может быть представлен в виде
Qm(x)=Dm-a(x)-Pn(x)+Rmi(xL B)
где Dm_n(x) и Rmi {х) —многочлены, причем тх<п.
Практически многочлен Dm-n(x) получается в результате
обычного деления Qm(*) на Рп(х); многочлен /?«,(.*)— остаток,
получающийся при этом делении.
Например,
Теорема 2. Любой многочлен
Рп(х)=апхп-\-ап_1хп~1 +... +ахх + а0 (ап ф0)
может быть представлен в виде
Pn(x) = an(x-CiYl"-(x-ck)sHx2 + PiX-\-qiy>...(x2 + plx + ql)iii C)
где SJ + ...+** + 2(/1 + ... + /,) = /*, а ^_4^<0 (/=1,2,...,/).
Здесь сг — действительные, имеющие кратность sr, а г;A,2) = алЬ
±Pj/ (ау=—-~, Ру = —|/ 4^у — рЛ—попарно сопряженные
комплексные корни уравнения Яп(*)=0, имеющие кратность ^.
Например: *+34

36 Глава 1. Неопределенный интеграл
Для представления Рп(х) в виде C) теоретически надо найти
все корни уравнения Р„(а')=0. В общем случае эта задача
довольно трудная. В дальнейшем мы ограничимся простейшими
случаями, когда разложение многочлена Рп(х) либо уже задано, либо не
представляет особых трудностей.
Рациональные дроби
1. -i-; И.
(х — а)
2х + р 4
III. , IV. I ,
дг2 + рх + q (л;2 + рх 4- ?)
V. l- ; VI. X- — ,
где натуральное число 5^2, /?2—4<7<О, называются простейшими
дробями-, условие p2—4q<0 означает, что многочлен xJ + px + q
нельзя разложить на линейные множители. В простейших дробях
III и IV числитель является производной от квадратного трехчлена
x2 + px-\-qy стоящего в знаменателе.
Заметим, что обычно простейшими называются дроби вида
А А Ах + В Ах -{-В л о
, -г, , — г ,где А и В —неопреде-
jc — а (x — aY xi + px+q (л;2 + рх + q)s
ленные коэффициенты. Однако в дальнейшем при интегрировании
* Ах 4-В ^ tit лг ш Ах 4- В
дробь сводят к дробям III и V, а дробь к
x* + px + q к к (xi + px+qY
p q ( pqY
дробям IV и VI. Вопрос о составе группы простейших дробей
носит условный характер, а с точки зрения техники интегрирования
удобнее считать простейшими дроби вида D).
Так как простейшие дроби являются правильными дробями,
то и их любая линейная комбинация после сложения по обычным
правилам алгебры приведет к правильной дроби.
Теорема 3. Любую правильную рациональную дробь со
знаменателем Рп(х) (ап=\) можно единственным образом
представить в виде линейной комбинации п простейших дробей вида D).
Практически представление правильной дроби Qm(x)/Pn(x) (an =
= 1) в виде линейной комбинации простейших дробей производят
по следующей схеме:
а) знаменатель Рп(х) данной дроби раскладывают на
множители, т. е. приводят к виду C);
б) записывают линейную комбинацию простейших дробей с
неопределенными коэффициентами А\9 .42,... ,Л„, включая в нее для
каждого множителя из разложения C) вида (х—a)s простейшие
дроби , ,..., , а для каждого множителя
х — а {х — а)* (л: — af
{x^ + px + q)* — простейшие дроби х + р , х *" р ,...>
x:i + px+q W + px + qY

§ 1.3 Интегрирование рациональных функций 37
2*4- р 1 1 1 .
дУ ' *2 _|- рх + ? ' С*2 ¦? рх + дJ '" ' (*2 4- />
в) приводят эту линейную комбинацию по обычным
алгебраическим правилам сложения дробей к одной дроби со знаменателем
Рп(х) и числителем в виде многочлена степени я—1,
коэффициенты которого выражаются линейно через неопределенные
коэффициенты А\, Л2,...,ЛП; эта дробь тождественна данной дроби
Qm(x)/Pn(x), а так как их знаменатели одинаковы, то
тождественны и их числители;
г) составляют систему п линейных уравнений для Аи Л2,...,ЛП,
приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х
многочлена в числителе дроби, полученной в п. в), и Qm(x)\ при этом
считают, что многочлен Qm(x) содержит и члены с *w+1, xm+2,... ,хп~\
но с коэффициентами, равными нулю; решив полученную систему
линейных уравнений относительно Ль Л2,... ,Л„, находят эти
неопределенные коэффициенты;
д) записывают искомое представление дроби Qm(x)/Pn(x) в
виде линейной комбинации простейших дробей.
Пример. Разложить на сумму простейших дробей рациональные
дроби:
1) х±^ ; 2) ""'Л
х* — 2х*-х+2
3 8*з _ 10^2 _ 30* + 19 . 4 2*з — 18*
(д;_2J(*2 4-4*+5) '
Решение. 1) а) х3 — 2х2 — x + 2=jc(jc2— I) — 2(jc2— 1)=
г) приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х:
Л1 + Л2 + Лз=1, — ЗЛ1~Л2=0, 2А1~-2А2— Л3 = — 3; из полученной
системы линейных уравнений находим i4i =—1/3, Л2==1, Л3=1/3;
I 1 »
j?-3 2*2 * 4- 2 3 (х -1-1) * 1 3 (х 2)
Рекомендуем проверить правильность разложения, сложив
дроби в правой части равенства.
2) a) x3-bv2—2=:(x3— 1) -h (л:2—1)== (х—1) (д:2+2л:+2), здесь
л:2-f 2x4-2 на линейные множители не раскладывается, так как
/?2—4<7==22-~-4-2=:— 4<0;
б) ^ + 4
A)B+2ь2) * - I ^^ + 2* -f 2 ^ + 2х + 2

38 Глава I. Неопределенный интеграл
в) А
Л,+2Л2 = 0,
г) |
7 ? 4
2А1-\-А3 =3, Л,= —, Л2=——, Л3=—;
2Л,-2Л2-Л3=4; 5 !0 5
д) Злг+4 _^ 7 7 B*+ 2) ,
_2 5(л:-1) 10 (л:2 ч- 2 v + 2) ' 5 (*2 + 2л: + 2)
3) Здесь п. а) отпадает, поскольку знаменатель уже разложен
на множители.
(х2J(л:2 + 4дг + 5) лг-2 + (л-2Я ^+4jb+5
в) А1(х-2)(х*±4х-{-5)-\-А2(х*+4х+5)-{-А3С2х-{-4)(х-2?-{-
(х - 2J № 8jc3 - 10*2 _ зол: + 19;
г)
8*3— 10jc2_ЗОлг+19 _ 2 1 . 3Bл:+4)
-ЗЛ1+4Л2-8Л3-4Л4=-30, Л3=3, Л4=-1;
16Л3+ 4Л4= 19;
(дг—2J (дг2 -f 4л: + 5) х — 2 (л: — 2J ' д:2 + 4дг + 5
1
4) б) 2*3-18* + 1 = ^Bл: + 4) ,
(д;2 + 4д: + 5J лг2 + 4л: + 5 "" (л:2 + 4л:
| Лз . ^4 .
~ Х2 + 4л: + 5 ^ (л:2 + 4л: + 5J '
в) i
8=-12, Л4=33;
г)
2лгЗ~18л: + 1 _ 2л:+4 ¦ 2Bлг + 4) 12 ,
Д (Х2 + 4л: + 5J ~~д:2 4-4л:-!-5 ^ (л:24-4лг 4-5J лг24-4л: 4-5 '

§ J.3. Интегрирование рациональных функций 39
Составляя в соответствии с п. г) приведенной выше схемы
систему уравнений для А\9 -42,... ,Л„, мы опирались на известный из
алгебры факт: два многочлена одной и той же степени
тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при
одинаковых степенях х. Практически можно использовать и другой
критерий: два многочлена степени п—\ тождественно равны, если
равны их значения при п различных значениях аргумента.
Пользуясь последним критерием, можно также получить
систему линейных уравнений для А\у Лг,... ,Л„. Это особенно удобно,
когда в разложение Рп(х) входят только множители вида (х—а)
в первых степенях. Так, в примере 1 мы нашли, что
Здесь л = 3; имеет место тождество двух многочленов втррой
степени. Теперь, не преобразовывая левую часть тождества,
подставим в него три значения х\ наиболее удобно использовать
значения jci == — 1, *2= 1, *з = 2 — корни знаменателя (*+ 1) (х—1) (х—
—2). Получаем:
х2=\; -2Л2=-2, А2=1;
дг3=2; ЗЛ3=1, Л3=1/3.
Теорема 4. Любую раииональную дробь можно представить
в виде линейной комбинации многочлена и простейших Оробей.
Доказательство. Пусть дана рациональная дробь
Qm(x)/Pn(x). He нарушая общности, можно считать знаменатель
Рп(х) этой дроби приведенным многочленом (а„=1). В противном
случае, разделив числитель и знаменатель на ап {апф§), в
знаменателе получим приведенный многочлен.
Если пг^п (дробь неправильная), то на основании теоремы
1 ее можно представить в виде
где Dm-n(x) — многочлен степени т—-я, a Rmi{x)/Pn{x)
—правильная дробь. В силу теоремы 3, правильную дробь можно представить
в виде линейной комбинации простейших дробей.
Если же ш<п (дробь правильная), то теорема 4 сводится к
теореме 3 (в этом случае многочлен входит в линейную комбинацию
с коэффициентом нуль).
2°. Интегрирование рациональных функций. Теорема 5.
Неопределенный интеграл от любой рациональной функции выражается в
элементарных функциях, а именно — через рациональные функции,
логарифмы и арктангенсы.

40 Глава !. Неопределенный интеграл
Доказательство. Многочлен является линейной
комбинацией степенных функций. Поэтому неопределенный интеграл от
многочлена n-й степени есть многочлен (л+ 1)-й степени.
Неопределенные интегралы от всех простейших дробей также
выражаются в элементарных функциях. При этом интегралы от
простейших дробей I—V легко находятся непосредственно:
dx ln|jc-a|+C; F)
х — a
dx
—+ C (s>2); G)
здесь x2-\-px-{-q~(x-\-—\ (p2 — 4#)>0 и поэтому знак
модуля под знаком логарифма можно опустить;
1
У
(9)
arctg 2* + ?—-f-C (/72-4^<0). A0)
¦ рх + q
1
Интегрирование простейшей дроби VI, т. е. дроби
+pq)
, p2—4<7<О), приводит к большим трудностям по сравнению
с интегрированием дробей I—V. Обозначив Г ъ =/ь,
найдем выражение h в виде
l A1)
где г(х) —рациональная функция от х, Я —постоянная. Формула
A1) позволяет выразить /*=f % через /Л-! =
С dx
= \ — ь~г» т. е. понизить на единицу степень
J (хъ + px + q)*-1
знаменателя в подынтегральном выражении; формулы такого типа
называются рекуррентными. Для упрощения записей при
выводе формулы A1) обозначим 4q—p2=4a2 (так как р2~4^<0, то
Aq—р2>0) и произведем в интеграле /& замену переменной, поло-
/2 /; тогда djc=df, x2 + px + q= (x + p/2J+ A/4) Dq—p2)
5Т5?- К интегралу Vl=JJ^
меним интегрирование по частям, положив и= (/2 + а2I-*,
тогда у = /, dw= A— А) (/2 + а2)-Л-2^ d/ и, значит,

§ 1.3. Интегрирование рациональных функций 41
-2(\-k) f
или
2I--*-2A-*)/,_., +2A -
откуда
*
2 (Л—
Полученное выражение представляет собой формулу A1), где
рх + q)k~l '
2B^-3) A2)
Полагая последовательно ?=s (s—1,... ,2), придем к
выражению
A3)
где R(x)—рациональная функция от х, ji — постоянная, а Л =
= I — интеграл от простейшей дроби V, который выра-
J X2 4- рХ + ^
жается через арктангенс [см. формулу A0)].
Итак, многочлен и все простейшие дроби интегрируются в
элементарных функциях, а отсюда в силу теоремы 4 следует
справедливость и теоремы 5.
Пример. Найти интегралы:
f ;с5+2.уЗ+2л:24-л:+5 ' (х?-3)дх . л Г (Зд:+4)алг .
]) J ^Т1 ; } J ^-2x2^+2 ' 3) 3 х* + х*-2 '
J (л: — 2J (jc2 + 4дг +¦ 5) J (x* + 4x + 5)^
Решение. 1) Подынтегральная функция представляет собой
неправильную дробь. Делением числителя на знаменатель
выделим из нее целую часть:
} x2 4- 1 ) V ' X2 -h 1 /

42 Глава I. Неопределенный интеграл
Для нахождения интегралов 2)—5) воспользуемся
результатами примера п. 1°:
2) Г (*2~3)d* ГГ 1 J_ 1
.1 л:3-2л:2-л: + 2 JL 3(jc + 1) 'лг~1 r3(x~2
—2)(jc
3) f <а
__ 7 Г dx 7 ^(л:2+2л:+2) . 1 Г
5J^-1 10 J jc2 + 2jc + 2 "" 5 J
10(л:2 + 2
1 Г d (д: +1)
(л:+ 1J +
10
4) f^-^-«x + 19d
J ( 2J B + 4 + 5)
fM l_
J L-^ — 2 (x -
J (л:-2J(л:2 + 4л:+5) J [л: — 2 (x - 2J 'л:2+4л:+5
) x — 2 J (дг - 2J "*" J
]dx2 | 3
2 -l 4^r + 5 J ) x — 2 J (дг - 2J * J ^2 + 4jc + 5
5) f 2a:3 — 18jt + 1 djg = Г Г 2дг+4 , 2 Bл: + 4) 12
J (дг2 + 4л: + 5J J [л:2 + 4л: + 5 ' (л:2+4л: +5J х* + 4л: + 5
j 33 ] dy_ Г d (л:2 + 4л: + 5) , ^ f» d (x* + 4л: + 5) __
1 (д:2 + 4л: - 5J J J jc2+4x+5 ' J (л:2 + 4,v + 5J
' J (^2+4^+5J у -Г -T >
(x +2J + 1 ' J
dл:
.— 12arctg(;c + 2) + 33 Г —-
J \x
К последнему интегралу применим формулы A1) и A2):
dx 2x + 4 , 2 f ал:
Г d* ^ 2л:+4 !_ JL Г
J (л-2 + 4л: + 5J 4 (л:2 + 4л: + 5) ' 4 J j
4лг +5
2 (л:2 + 4лг + 5)

§ 1.4. Интегрирование некот. иррациональных и тригонометр функций 43
Окончательно имеем
с 2*з — 18* 4- 1 л 1 / о I a i сч i 33*4-62
i (*2 4- 4* ч- 5J l ' 2 (*2 4- 4* + 5)
+JUrctgU-f2>+C.
3°. Упражнения
Найдите неопределенные интегралы:
(*-l)d*
-f
3. f ± . 4. №
J (*- 1J(jc-2) J *(
5. f j*+]. . 6. j--^^.
. f d* Г" (*3^-2*-8jdA
/• I ————————>————— ^ O» 1 ]
л f *d* ,л f C*4 2)d*
9-j - - — 10'
4* ^ 2
d* Г* C*4 2) d*
*4lF
+ 2J J (*2 - 3* 4- 3J
§ 1.4. Метод рационализации. Интегрирование некоторых
иррациональных и тригонометрических функций
1°. Понятие о методе рационализации. Если для интеграла
f f(x)dx, где подынтегральная функция /(*) не является
рациональной, можно указать такую подстановку, которая приводит его
к виду Г g(t)dt, где g(t) —рациональная функция, то последний
интеграл, а значит, и интеграл Г f(x)dx, выражается в
элементарных функциях. Применение такой подстановки для взятия
интеграла f f(x)dx называют методом рационализации.
С 2е2х 4 Vex A
Например, в интеграле \ ^ d* подынтегральная функ-
j б 1
ция не является рациональной. Произведем подстановку t = V ех ,
*2At С* 2е*х -\- \ ех
откуда е^ = Г2, х=2 In t,dx=— . Тогда получим — dx =
t J er — 1
о v# 2*з+ 1 ..
= z\--—-d/, т. е. данный интеграл преобразован в интеграл
от рациональной функции.

44 Глава I Неопределенный интеграл
Для обозначения рациональных функций будем использовать
буквы R и г [например, R(x), r(x)].
Ранее были рассмотрены рациональные функции одного
аргумента х. Теперь, наряду с такими функциями, рассмотрим
рациональные функции двух, трех и большего числа переменных, т. е.
функции, над аргументами которых производятся только
арифметические операции. Рациональная функция всегда может быть
приведена к виду отношения многочленов от ее аргументов. Например,
3^ 2 1
v)= рациональная функция двух ар-
4и2 4 zv2 -4- и — v + 3
гументов и и v\f(x, y)=V xy-\-lnx-f-cosу-\-1 — не рациональная
функция аргументов х и у.
Заметим, что если R(u, v) — рациональная функция, а и и v
в свою очередь — рациональные функции от t[u=rx{t), v = r2{t)],
то получается сложная рациональная функция R(u, v)=R(rx(t),
r2(t))=Rl(t), т. е. рациональная функция от рациональных
функций также рациональна. В частности, сумма, разность,
произведение и частное рациональных функций являются функциями
рациональными.
Данная функция может не быть рациональной относительно ее
аргументов, но заменой переменных ее иногда можно привести к
рациональному виду_относителыю новых переменных. Например,
функция/(лг, у)—У ху~\-х2-\-y-\-1 не является рациональной; если
положить #=—, то получим /(х, y) = t-j-х2-\ 1-1 =
X=sR у
Пусть функция f(x) такова, что ее можно представить в виде
f(x)=R(u, и, ...), где
а = г,(О, t» = r2(O,..., A)
a t = $(x) и х=ф(О—взаимно обратные непрерывные функции,
имеющие непрерывные производные в соответствующих
интервалах изменения х и /, причем
X
4{) {\ () B)
at
Тогда неопределенный интеграл \ f(x)dx с помошью
подстановки л:=ф(/) преобразуется в интеграл от рациональной функции,
т. е. может быть найден методом рационализации.
Действительно, в силу формул A) и B) имеем f(x)dx=-R(r1(t),
т. е. j j

§ 1.4. Интегрирование некот. иррациональных и тригонометр. функций 45
2°. Применение метода рационализации к интегрированию
некоторых функций
1. Функция вида f(x)=R(u)} где и=ех. Положим t = ex\ тогда
х=\п t> u=t = rl(t),6x^=—= r(t)dt. Условия A) и B)
выполнены; следовательно, f R (ex) dx == \ R (t) у = f /?t (t) dt.
Пример 1. Найти /=
Решение. Полагая ex = t, получим х=In t,dx =—, —
t e -f 2
•. Значит,
2. Функция вида f(x)=R(u)i где u=tgx. Положим / = tgx;
тогда х—arctg/, M=/ = ri(O, d* = = r(t)dt. Условия A) и B)
выполнены; следовательно, \ /?(tgx)dx — \—— dt= \ Rx(t)dt.
Пример 2. Найти /== f tg3xdx.
Решение. Полагая igx = t, находим jc==arctg tf dx = -,
tg3 x dx = . Поэтому
l+<8
3. Функция вида f(x)=R(u, v), где u=cos2x, y = sin2x.
Положим l=igx; тогда jc=arctg/, a=cos2x= = =^@.
^ r^d/ Условия
A) и B) выполнены; следовательно, f/?(cos2jc, sin2A:)dA: =
— j /?(rx@/ r2(O)r(/)d* =
Пример 3. Найти /=
J cos2a:-f 4 sin^A:

46 Глава I. Неопределенный интеграл
Решение. Полагая tgx=t, имеем jc=arctg t, dx
1
!_, sin2.* = —^-, — =-??- . Таким
M2 1 +'2 cos^+4sin2A: ^ ""
образом,
Практически здесь можно провести преобразования проще:
/= Г ^ =± \ dBtgx) »J-aictgBtg*)+C.
J(l+4tg8*)coe2* 2 Jl+Btgjc)a 2 «^ к 'Т
4. Фунщая вида f(x)=R(u, v), где M=sin x, v—cosx.
Положим t=tg—; тогда jc = 2arctg^, u = sir\ x= 2tg(x/2) =-JL_ =
2 6 l+tg2(JC/2)
1t2(/2) I<2 . 2dt
Условия A) и B) выполнены; следовательно, f/?(sin jc, cosjc)cL*:=
Пример 4. Найти /=f
J 2 si
sin x + sin 2лг
=
2 sin x + sin 2v 2 sin л: A + cos x)
Решение. Имеем = . Полагая /=
2 i i 2 2 i A + )
. x o . , - 2d^ 2^
==tg — , получим * = 2arctg/, djc = , sin jc= , cosx=
& 2 y B 1 + V I + /2'
2 sin л: A +cos*) it
^. Поэтому
J
5. Функция вида f(x)=R(x, uu u2, ..., un)y где ul = xPi/qi; pt1 qi —
натуральные числа (i'=l, 2, ..., /г). Найдем общий знаменатель q
дробей p\fqu РъЫъ, ..., Pn/q'n (? — наименьшее общее кратное чисел
Чи 42, ., <7л). Тогда Pi/4i = Sil4> гДе ? и ^ — натуральные числа
(i=l, 2, ...,w). Положим t = xl/4, х = /9. Тогда л: = ^=го(О,
A:i = jcp'/er'=jcVff = /5/=r/(/)(t=l, 2, ..., л), (Lc=^-1cK=r(Od/.
Условия A) и B) выполнены; следовательно, интеграл {f(x)dx
рационализируется.

§ 1.4. Интегрирование некот. иррациональных и тригонометр. функций 47
Пример 5. Найти /= Г
J
*r
r__ cU.
x + /*2
К* — i
Решение. Подынтегральная функция /(x)
= /?(*, х1/з, х2/э). Показатели степеней—рациональные дроби 1/2, 2/3;
их общий знаменатель равен 6. Произведем подстановку t=xl/t
и x=t6y dx=6r5df. Подынтегральное выражение преобразуется
иду
или
к виду
Данный интеграл приведен к интегралу от рациональной
функции. Имеем
Возвращаясь к переменной х, получаем
/ = 2 К Зс — 6 |/Зс — 3 1 п A +Г^3с) +
6. Функция вида f(x) =R(x, uu u2y .... мя), г5в щ =
/ = 2 К Зс — 6 |/Зс — 3 1 п A +Г^3с) + 6 a ret g >^x+С.
\сх + h }
а, Ь, с, h — постоянные числа, ah—ЬсФ0\ pi, qi — натуральные
числа (*=1, 2, ..., п). Такая функция называется дробно-линейной
иррациональностью. Условие ah—ЬсфО обеспечивает то, что щ не
сводятся к постоянным. Действительно, если ah—bc = 0, то а/с=
= Ь/А. Обозначим a/c=b/h = k\ тогда a=kcy b = kh, -^ =
сх 4-Л
= ск ' — &
сдг-h Л
При с=0, Л=:1 получаем«/==(ал:-[-6)/7//<?/; в этом случае
функция /?(л\ и\, и2, ..., Wn) называется линейной иррациональностью.
Функция, рассмотренная в предыдущем случае, является частным
случаем линейной иррациональности при Ь=0у а=\.
Как и в п. 5, найдем общий знаменатель q дробей p\lq\y
P2IQ2, ..., Pn/qrr Тогда Pi/qi=Si/q, где q и s, — натуральные числа
(i=l, 2, ..., п). Положим^ = (^ ) я ; тогда ах = t*, откуда
\сх -\-h ] сх -\-h
1
JH^±.=sro«) и tjc^-Wf dt=r(t)dt. Кроме того,
а — ct4 \а — ct4)

48 Глава I. Неопределенный интеграл
^'= МО (*=1. 2> -• ")• Условия A) и B) вы-
СЛГ + Я /
полнены; следовательно, f f(x)dx рационализируется.
Пример 6. Найти / =
Решение. Здесь H^ff-i-LV3, и2=(^±LY/6; показателя-
U —1 / U —1 /
ми служат дроби 2/3 и 5/6, общий знаменатель которых равен 6.
Произведем подстановку t= у^-—) \ откуда ^-^— = /6, дг^=—^— ,
: = —^ ^d^. Далее, находим х2 — 1 = 4^6 и
преобразуем подынтегральное выражение:
Таким образом,
7. Функция вида f(x) =/?(jc, ы), 2(Эг u=Vах2-\-bx-\-с; ау Ь, с —
постоянные, афО и при а<0 дискриминант квадратного трехчлена
D=b2—4ас>0. Такая функция называется квадратичной
иррациональностью. Условие аФО весьма существенно, так как в
противном случае получается не квадратичная, а линейная
иррациональность u = Vbx-\-с = (Ьх-{-сI12 (см. п. 6). Условие D>0 при а<0
также существенно, так как из выражения ах2 + Ьх + с=а (* +
4 \ 1 видно, что если а<0 и D<0, то ах2 + Ьх + с<0 при всех х,
а если а<0 и D = 0, то ax2-\-bx-\-c<0 при всех х, кроме
изолированной точки х = , в которой ax2+bx-\-c=0. Следовательно,
если одновременно выполнены неравенства а<0 и D^O, то
интеграл f /?(лг, иNх не имеет смысла. Во всех других случаях
рассматриваемый интеграл имеет смысл. Его можно
рационализировать, а значит, и найти с помощью подстановок Эйлера:

i.4 Интегрирование некот иррациональных и тригонометр функций 49
первая подстановка Эйлера применяется в случае а>0:
\' ax2+bx-\-c=±\ ax ± t\ C)
вторая подстановка Эйлера применяется в случае D = b2—
\ ax2\bx + c = \ а(х — а)(х — '1)=±Цх— а)
или D)
\ ах2 -f Ьх + с = \ а (х — а) (х— Ъ)= ±t (х — 3),
где а и р—действительные различные корни трехчлена ах2 + Ьх + с\
третья подстановка Эйлера применяется в случае с>0:
V ax2^bx + c= ±\ c± xt. E)
В правых частях равенств C), D) и E) может быть выбрана
любая комбинация знаков; в конкретных случаях надо выбирать
их определенную комбинацию. Выбрав ту или иную подстановку
Эйлера, возводят в квадрат обе части соответствующего равенства
и после некоторых элементарных преобразований получают х,
u = V ax2-\-bx^-c, а затем и производную — как рациональные
функции от t: x = rl(t\ u = r<2(t\ dx — r[(t)dt — r(t)(it. Условия
(l) и B) выполнены; значит, R(x, u)ux = R(rl(t), r>(t))r(t)dt =
После интегрирования нужно вернуться от переменной / к
переменной х\ выражение t через х легко получить из
соответствующего равенства C), D) или E).
Примеры. 7. Найти /=f dx
Решение. Здесь подынтегральная функция f(x)= — -=•/?(*, и)у
хи
где и — V х2-\-х-\-\, а —1>0. Применим первую подстановку
Эйлера C): 1^ х2-\-х-\- 1 = л:+Л х2-\-х-\-\=х2-
~~1__2Г ~~ ' \—2t У ~~~ A— 2ty
dx 2dt
= \ x2J\-x-\~\—x. Следовательно,
— 1
— t
— y x* 4- x
1 - x + V
8. Найти /= Г dx
J (x - 2) |/ -л-2 л. 4л: — 3

50
Глава I. Неопределенный интеграл
Решеа-ие. Здесь f(x)=
(дг—2)«
= R(x, а), где и
= 1/"—л:2 + 4jc —Зэ а= - 1, ft = 4, с== - 3, D=*2 - 4ас = >
>0. Корнями трехчлена — х2+4х — 3 являются а = 1, р = 3;
—х2 + 4л: — 3= — (х — 1)(jc —3). Применим вторую подстановку
Эйлера D): \ -х2 + 4л--3^= |/"—(jc — 1)(jc — 3)=/(л:— 1),
—4/d/
/2-1
•. Следовательно,
l — t
— In
\x—\-\3-х
Yx-\
9. Найти /=
=f-
dx
Решение. Здесь f(x) =
), где « =
= } \-\-x — х2, с= 1 >0. Применим третью подстановку
Эйлера E): |'' + jc-jc2 = /jc-1, l+x-x2=t2x2-2tx + \, x=
/2 -Ы '
+ X -
I + V l + * — *2
¦ 2t + 2 '
. Следовательно,
/=-S
Отметим, что вторую подстановку Эйлера можно записать в
виде l/ k-——±t. В этом случае квадратичная иррациональ-
wf X -*— ft
ность сводится к дробно-линейной иррациональности:
u^Vax2-ybx^ c-=-Va{x-a)(x-'i)-=\x-a\
Такой случай уже был рассмотрен в п. 6; рекомендованная там
подстановка совпадает со второй подстановкой Эйлера.
Применение подстановок Эйлера для интегрирования
квадратичных иррациональностей приводит к довольно громоздким выклад-

§ 1.4 Интегрирование некот. иррациональных и тригонометр. функций
51
кам. На практике для их интегрирования применяют и другие
методы. Укажем один из них.
Подстановкой z = x-\ выражение и =- Vax2~\-Ьх-\-с может
быть приведено к виду я=]/ а (z2 \ а интеграл \ R(xx u)dx—
к виду Г/?! (г, у а (г2 :\ )dz, где D = b2 — Aac. В
зависимости от комбинации знаков а и D возможны следующие случаи:
9
где /72—
Во всех этих случаях подстановки
sin t
F)
называемые тригонометрическими, приводят соответствующие
интегралы к интегралу вида f г (sin/, cos/)d^ который выражается
в элементарных функциях, так как допускает применение метода
рационализации (см. п. 4). Практически во многих случаях
интегрирование может быть осуществлено и другими методами.
Примеры. 10. Найти интеграл из примера 8 с помощью
тригонометрической подстановки.
Решение. Предварительно преобразуем подынтегральное
выражение: —х2-\-4х—3= 1 — (л:—2J; полагая х—2 = z, получим
= , . Теперь положим z = s\nt\ тогда
(х — 2) J —лг2 4- 4л: — 3 z \ \ — г*
d2=cos ?A/. Далее, находим
С d? __ Г dt _ 1 • sin tdt _ __ ( d (cos t) _
J (л: —2) )''—jc2 -f- 4x — 3 ~) s\nt ~J sin^t ~ Jl~cos^~~
l^
1
1 -
COS
COS
-I
t
t
1
X
1 Г
-(X— 2)-!
-2
A
1
—
In
cos O2
:os2 ^
1-1
+c
—X2
x —
-b
2
= ln
4л:-
1 —
cos /
sin t
-3
В примере 8 был получен ответ, записанный в другой форме.
Его легко привести к указанной здесь форме записи: достаточно
умножить числитель и знаменатель дроби под знаком логарифма
на
11- Найти / =
-Г
J
A+ЛГ2K/2 '

52
Глава I Неопределенный интеграл
Решение. Здесь отпадает необходимость предварительного
преобразования г1одынтегрального выражения. Применим
тригонометрическую подстановку x=tg t\ тогда йх= , (\4-x2f'2=-
cos21
= ( 1 -f-te:2 /K/2=^
:?
\
3°. Упражнения
Найдите неопределенные интегралы
- 2
ч
5. f Ё?_
J 1 — sin 2a: -f-
"I
3 cos^ лг
3 sin x -b 4 cos лг
X +
B
it Г B
Л х+л' x) /a
Ar2dAT
17. f
J (x —
х
cos21
= cos/d/. Следовательно,
I;
dx
,2лг
+ e*-2
6.
Г
J
Jf
8*
10.
1 + 3 cos2 x
dx
J cos x + 2 sin x -f 3
f
\
J
+ 1'
r=r-dx.
1) >' - л:а + Заг - 2
§ 1.5*. О таблицах неопределенных интегралов. Интегралы, не
выражающиеся в элементарных функциях
Для практического получения выражений неопределенных интегралов в
конечном виде составлены и издаются обширные справочники и таблицы
неопределенных интегралов*.
* См., например: Бычков Ю. А., Маричев О. И., Прудников А. II.
Таблицы неопределенных интегралов. М., 1986; Двайт Г. Б. Таблицы
интегралов и другие математические формулы. М., 1983.

§ 1.5* Интегралы, не выражающиеся в элементарных функциях 53
При пользовании такими таблицами надо внимательно ознакомиться с их
построением, с принципами группировки содержащихся в них интегралов.
Иногда данный интеграл в своем непосредственном виде в справочнике отсутствует,
но может быть приведен к имеющемуся там виду некоторыми
преобразованиями Для таких преобразований надо использовать свойства неопределенных ин-
тегрёлов и методы интегрирования Поэтому и при наличии справочников и
таблиц для успешного их применения необходимо твердо знать свойства
неопределенных интегралов и основные методы интегрирования.
Доказано, что существуют элементарные функции, первообразные которых,
а значит и неопределенные интегралы, в элементарных функциях не
выражаются ^ти первообразные (неопределенные интегралы) существуют, имеют важные
практические приложения и подробно изучаются в математическом анализе.
Укажем некоторые из них.
e
cosx
и ряд других Отметим еще интеграл j^^ (а 4- bxn)pdx , где а и Ъ —
произвольные, а т, п, р — рациональные числа, причем a, b, n отличны от нуля;
подынтегральное выражение этого интеграла называется биномиальным
дифференциалом Великий русский математик П. Л. Чебышев доказал, что этот интеграл
выражается в элементарных функциях в том и только в том случае, когда хотя бы
т -f 1 т-\- 1
одно из чисел р, , -f p целое. Если же это условие не выполнено,
л п
то указанный интеграл в элементарных функциях не выражается. Например,
интеграл ( V^l-f-*3 dx в элементарных функциях не выражается, так как его
подынтегральное выражение Y\ -\-x^dx представляет собой биномиальный диф-
т-\- 1
ференциал при т = 0, п = 3, р= 1/2 и ни одно из чисел /7 = 1/2, =
п
— 1/3, + р — 5/6 не является целым

Глава И
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 2.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
Определенный интеграл как предел интегральных сумм.
Геометрический и механический смысл определенного
интеграла. Основные свойства определенного интеграла.
Производная определенного интеграла по переменному верхнему
пределу. Формула Ньютона — Лейбница
1°. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
Задача о площади криволинейной трапеции.
Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система
координат хОу и на отрезке [а, 6], где Ь>а, определена непрерывная
неотрицательная функция y=f(x), т. е. f(x)^O Ух^[а, Ь]. Фигура
аАВЬ, ограниченная снизу отрезком (а, Ь\ оси Ох, сверху
—дугой АВ графика функции f, а слева и справа — отрезками прямых
х=а, O^y^f(a) и x=b, 0^*/<f(fr), называется криволинейной
трапецией (рис. 1).
Дадим определение площади S криволинейной трапеции аАВЬ.
Разобьем отрезок [а, Ь] на п малых отрезков; абсциссы точек
разбиения обозначим через a=jro<#i< ... <**_i<Jtn = 6. Набор
точек деления {хОч Х\,...,хп}* назовем разбиением отрезка [а, Ь].
Через точки разбиения Xk проведем прямые x=Xk, параллельные
оси Оу. Эти прямые разобьют криволинейную трапецию аАВЬ на п
узких полос, каждая из которых также является криволинейной
трапецией с основанием [xk-u хк\ Площадь 5 трапеции аАВЬ
равна сумме площадей п полос, ее составляющих. Если п достаточно
велико и все отрезки [xk-u Хъ\ малы, то площадь каждой из п
полос можно заменить площадью соответствующего прямоугольника
(которая вычисляется легко). На каждом отрезке [Xk-u *k] выбе-
* В дальнейшем этот набор будем обозначать для краткости через {xh}.

§ 2.1. Основные свойства опред. интеграла. Формула Ньютона — Лейбница 55
рем какую-нибудь точку ск,
вычислим значение функции f(ck) в
этой точке и примем его за
высоту прямоугольника. В силу
непрерывности функция f(x) мало
изменяется на отрезках [Xk-\, **],
если они малы. Поэтому на
таких отрезках ее приближенно
можно считать постоянной и
равной f(ck). Так как площадь одной
полосы приближенно равна пло-
щади f{ck) (xk—xk~\) прямоуголь- Рис 1
ника, то для площади S
криволинейной трапеции аАВЬ получим приближенное равенство
л, где Шхк = хк"Хк^1
Приближенное равенство A) тем точнее, чем меньше величина
d — max\Xk (Л=1, 2, ..., п). Величина d называется диаметром раз-
k
биения {Xk}. По определению, площадью S криволинейной
трапеции называется предел суммы Sn площадей прямоугольников при
стремлении диаметра разбиения к нулю, т. е.
B)
^
Следовательно, вычисление площади криволинейной трапеции
приводит к вычислению предела суммы вида B) при d-*0.
Задача о пройденном пути. Если закон движения ка-
кбй-либо точки задан уравнением вида s=f(t)y где / — время, as —
пройденный путь, то производная f (t) функции f(t) равна
скорости v движения в данный момент времени, т. е. и = //(/). В физике
часто приходится решать следующую обратную задачу. Пусть
точка движется по прямой со скоростью v. Будем считать, что эта
скорость является непрерывной функцией времени t. Определим путь
5, пройденный точкой за некоторый отрезок [а, Ь] времени от
момента t = a до момента t = b. Разобьем отрезок [а, Ь] точками а = /0<
<Ct\<C ... <Ltn-\<tn = b на п достаточно малых отрезков времени.
Так как за короткий отрезок времени [tk-u h] скорость v(t) почти
не изменяется, то можно приближенно считать ее за этот отрезок
времени постоянной и равной v(ck), где ck^[tk~\, thi Это означает,
что движение точки на отрезке [tk~\y tu] считается равномерным.
Тогда путь, пройденный точкой за это время, равен v(ck) (th—tk-\),
а путь, пройденный за отрезок времени [а, Ь\ составляет s«sn =

56 Глава //. Определенный интеграл
п
= V v(Ck)&th, где &tk = tk—h-i* Это приближенное равенст-
во тем точнее, чем меньше величина d=max&th (k=lf 2, ...,м). По
k
определению, путем s называется предел вышеуказанной суммы
при d-+0y т. е.
п
C)
Следовательно, вычисление пройденного пути приводит к
нахождению предела суммы вида C) при d->-0.
В рассмотренных двух задачах применялся один to тот же
метод, сводившийся к нахождению предела сумм некоторого вида.
К нахождению предела сумм, аналогичных рассмотренным выше,
приводит ряд задач естествознания и техники. Поэтому займемся
изучением выражений B) и C), называемых определенными
интегралами, уже не интересуясь их конкретным истолкованием.
2°. Интегральные суммы Римана и определенный интеграл. Пусть
на отрезке [а, Ь] задана функция f(x). Выполним следующие четыре
действия (операции):
1) разобьем отрезок [а, Ь] на части точками а=Хо<Х\<С ... <С
<lxn-i<Zxn = b- Положим d=max (Xk—Xk-\) (&=1, 2, ..., п). На-
k
бор точек деления {xk} назовем разбиением отрезка [a, b\ a
величину d — диаметром разбиения;
2) выберем на каждом отрезке [Xh-\, Xk] разбиения по одной
точке Ck и вычислим в этой точке значение f(ck) функции /. Точки си
(k=lt 2, ..., п) назовем отмененными точками;
3) умножим значение f(ck) на длину Xk—Xh-\ соответствующего
отрезка [Xk-u Xk] и сложим все найденные произведения. Суммы
вида
п
где &xk = xk — xk-.Y, D)
назовем (одномерными) интегральными суммами Римана для
функции / по заданному разбиению {а:^} отрезка [а, Ь];
4) измельчим разбиение {ха>}, т. е. добавим новые точки деления,
и найдем предел при d-*0 интегральных сумм D) (если он
существует) .
Введем понятие предела интегральных сумм соп при d-^0.
Определение 1. Число / называется пределом интегральных
сумм Римана соп при d—>-0, если для любого г>0 существует такое
6>0, что |/—о)п|<Се при любом разбиении {**} отрезка [а, Ь]
с диаметром разбиения d<.6 независимо от выбора отмеченных
точек cfte[*A_i, xk] (k=\y ..., п).
Принята следующая запись этого определения: / =

§2 1. Основные свойства on ред. интеграла. Формула Ньютона — Лейбница 57
Комментарий к определению 1. Очевидно, что
число / не зависит от разбиения {xk} отрезка {а, Ь] и от выбора
отмеченных точек си ..., сп.
Определение 2. Если интегральные суммы Римана D)
имеют предел при d-*-0, то этот предел называется определенным
(однократным) интегралом (по Риману) от функции / по отрезку
ь
[а, Ь] и обозначается f f(x)dx.
а
Итак, по определению имеем
ь я
E)
В этом случае функция / называется интегрируемой по Риману
на отрезке (а, Ь]. Числа а и b называют соответственно нижним и
верхним пределами интегрирования, функцию f — подынтегральной
функцией, а выражение f(x)dx — подынтегральным выражением.
Комментарии к определению 2. 1) Так как в
настоящей книге не рассматриваются другие определенные интегралы,
кроме интеграла Римана, то в дальнейшем вместо терминов
«интеграл Римана», «интегрируемая по Риману функция» будем
соответственно писать: «интеграл» и «интегрируемая функция».
2) Определение 2 можно кратно сформулировать так:
определенным (однократным) интегралом от заданной функции по
заданному отрезку называется предел интегральных сумм Римана для
заданной функции при стремлении к нулю диаметров разбиений
отрезка, порождающих интегральные суммы.
В приведенных выше определениях существенно предполагалось,
что а<Ь. Обобщим понятие определенного интеграла на случаи,
когда а = Ь и а>Ь.
При а>Ь по определению полагаем
ь а
Г /U)<U=-f /U)d*. F)
a b
Равенство F) означает, что при перемене пределов
интегрирования знак определенного интеграла меняется на противоположный.
При а~Ь по определению полагаем
а
O. G)
Равенство G) означает, что определенный интеграл с
совпадающими пределами интегрирования равен нулю.
Так как интегральная сумма D) не зависит от того, какой
буквой обозначен аргумент данной функции, то и ее предел, т. е. опре-

Глава //. Определенный интеграл
деленный интеграл, не зависит от обозначения переменной инте-
ъ ъ ь
грирования: f f{x)dx~ f f(t)dt = f f(z)dz и т. д.
а а а
Приведем условия, при которых функция является
интегрируемой.
Теорема 1 (необходимое условие
интегрируемости). Если функция f интегрируема на некотором отрезке
[а, Ь]9 то она ограничена на этом отрезке.
Доказательство. Допустим, что интегрируемая на отрезке
[а, Ь] функция / не ограничена на нем. Тогда при любом разбиении
{хк} этого отрезка она окажется неограниченной по крайней мере
на одном из отрезков [хь_ь Xk] разбиения. В этом случае, выбирая
различными способами точку Ch&[Xh-\, */*], можно сделать
произведение f(Ck)Axu сколь угодно большим. Значит, интегральные
суммы становятся сколь угодно большими за счет выбора только точек
ch^[xk-\, xu] и не могут стремиться ни к какому пределу при d-vO.
Следовательно, / не интегрируема на {а, Ь]. Из полученного
противоречия вытекает утверждение теоремы.
Теорема 2 (достаточное условие
интегрируемости). Непрерывная на отрезке [а, Ь] функция f интегрируема
на этом отрезке.
Комментарии к теореме 2. 1) Доказательство теоремы 2
см. в п. 5° § 2.2 *.
2) Свойство непрерывности функции является лишь
достаточным условием ее интегрируемости. Иными словами, могут
существовать разрывные на отрезке [а, Ь] функции, но интегрируемые на
этом отрезке (подробнее см. п. 5° § 2.2*).
ь
Пример. Вычислить интеграл f е*их @<^а <^Ь).
а
Решение. Так как функция ех непрерывна на [а, Ь\ то в силу
теоремы 2 искомый интеграл существует. Вычислим его по
формуле E). Разобьем отрезок интегрирования [а, Ь] на п равных частей
и построим п полос одинаковой ширины Ах=(Ь—аIп. Абсциссы
точек разбиения таковы: хо=ау Х\ = а+&х, *2—а+2Ал\ ..., хп-\ —
= а-\-(п—1)Лх, хп = а+п&х=Ь. В качестве отмеченной точки ск
выберем левый конец xu \ основания k-н полосы. Составим
интегральную сумму Римана:
f е + ...|е Ч^ ,
так как выражение в скобках есть сумма п членов геометрической
1 — а11
прогрессии со знаменателем q^eb*, которая равна —. Ис*
1 q
пользуя формулу E), находим

§ 2.1. Основные свойства опред. интеграла. Формула Ньютона — Лейбница 59
\ е* dJC=lim(i)rt=lim
1 -е1
Ь-а
1 -еа
Поскольку п kx=b—а, имеем
ь
\ eAdx = lii
«I д^
а
На основании правила Лопиталя получим
— е v
lim -
ддг-*-о 1 — е
Д.г
<А*
:— 1.
Следовательно,
; = е&~ еа.
Этот пример показывает, что вычисление интеграла по
формуле E) громоздко и вызывает значительные трудности. Поэтому
желательно получить эффективный метод вычисления
определенного интеграла, позволяющий избежать тех трудностей, к которым
ведет применение формулы E). Такой метод будет изложен
в п. 5°; он является следствием глубокой связи между
определенным и неопределенным интегралами, открытой Ньютоном и
Лейбницем.
3°. Геометрический и механический смысл определенного интеграла.
Вернемся к задаче о площади криволинейной трапеции. Так как
правая часть равенства B) есть интегральная сумма Римана, то,
учитывая формулу E), получаем: если f(x) интегрируема и
неотрицательна на [а, Ь], то определенный интеграл от f(x) no отрезку
[а, Ь] равен площади криволинейной трапеции, ограниченной
линиями y=f(x) ^0, #=0, лс=а, x=b {a<Cb) (геометрический
смысл определенного
интеграла в случае
неотрицательности подынтегральной
функции). Если подынтегральная
функция отрицательна или
меняет на [а, Ь] знак, то в
интегральной сумме B) некоторые члены
будут иметь знак минус. Тогда
предел интегральной суммы, т. е.
определенный интеграл, будет
равен алгебраической судше
площадей частей криволинейной
трапеции, причем площади частей,
лежащих выше оси Ох, берутся со рис. 2

60
Глава II. Определенный интеграл
знаком плюс, а площади частей, лежащих ниже оси Ох,—-со
знаком минус (рис. 2).
Перейдем теперь к задаче о пройденном пути. Так как правая
часть равенства C) есть интегральная сумма, то в силу формулы
E) получаем: если скорость v(t) непрерывна и положительна на
[a, Ь\ то определенный интеграл от скорости v(t) no отрезку
времени [at b] равен пути, пройденному точкой от момента t=a до
момента t=b (механический смысл определенного
интеграла).
? \х при л:е[0, 1],
Примеры. 1. Вычислить I f(x)dx, где f(x)=\0 Г1 ™
J \?—х при ^у^7**1 а» ^ j •
о
Решение. Построим график подынтегральной функции
(рис. 3). В силу геометрического смысла определенного интеграла
2
имеем f f (x)dx = S, где 5—площадь прямоугольного треугольника
6
ABC. Так как S = 0,5-2-1 = 1, то f f(xNx = 1.
2. Вычислить интеграл
Решение. Воспользуемся геометрическим смыслом
определенного интеграла со знакопеременной подынтегральной функцией
(рис. 4). На отрезке интегрирования [0, 2л] подынтегральная
функция меняет знак. Обозначим через S\ и S2 площади, ограниченные
осью Ох и соответственно верхней и нижней полуволной
синусоиды. В силу свойств синусоиды, имеем S\=S2. Следовательно,
Г sin х dJC=*S1 — S2 —0.
4е. Основные свойства определенного интеграла
1°. Если подынтегральная функция равна единице, то
и
А
0
В
^v
ш
1
ш
а
с
2 х
(8)
y=sin х
Рис. 3
Рис. 4

§ 2.1. Основные свойства опред интеграла. Формула Ньютона — Лейбница 61
Доказательство. Составим интегральную сумму; имеем
1- kxk = b — a. Переходя к пределу при d->-0, получаем ра-
венство (8).
2°. Если А — некоторое число и функция f(x) интегрируема на
[а, Ь], то
ь ъ
j Af{x)&x = A ( /U)<U, (9)
а а
т. е. постоянный множитель А можно выносить за знак интеграла.
Доказательство. Составим интегральную сумму для
функции Af(x). Имеем
Переходя к пределу при d-vO, получим равенство (9).
3°. Если f\(x) и fa{x) —две интегрируемые функции,
определенные ни отрезке (а, 6], то
ь ь ь
(Ю)
т. е. интеграл от суммы двух функций равен сумме двух
интегралов от слагаемых функций.
Свойство 3° очевидным образом распространяется на сумму
любого числа интегрируемых функций.
Доказательство. Используя формулу E), получим
п п b Ь
k=l k~l a a
4°. Аддитивность интеграла как функции
отрезка интегрирования. Пусть f(x) интегрируема на
отрезке [а, Ь]. Если этот отрезок разделен точкой с на части (а, с] и [с, Ь]у
то интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по его
частям, т. е.
ь с ь
(id

62 Глава II. Определенный интеграл
Доказательство. При разбиении отрезка [а, ft] на части
включим точку с в число точек деления. Если с=хт, то
k-l Л-1 fe-m + 1
Каждая из написанных выше сумм является интегральной
соответственно для отрезков [a, ft], {а, с] и [с, ft]. Вычисляя предел при
d-+0, получим равенство A1).
Сформулируем свойство 4° в более общей форме.
5°. Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке (а, р]. Если а,
Ь, с — точки этого отрезка, то
ъ с ь
9 ft, се[а, 3]. A2)
Доказательство. Если из точек а, Ь и с по крайней мере
две совпадают, то равенство A2) очевидно. Пусть все эти точки
различны. Если a<Cc<ft, то равенство A2) справедливо на осно-
а Ь
вании свойства 4°. Если же с<Ь<а, то f f(x)ux= Г /(x)dx -f-
с с
а а а Ь
f(x)их, откуда -f f(x)dx=-^f(x)dx+^f(x)<lx.
b ice
Остается дважды применить формулу F). Другие случаи
взаимного расположения точек at ft, с также легко свести к свойству 4°.
6°. Монотонность. Если функции f\(x) и f2(x)
интегрируемы, удовлетворяют условию f\ (x) ^Ы*) Ух^[а, ft] и нижний
предел интеграла не больше верхнего (a^ft), то
ь ь
(a<ft), A3)
т. е. при a^ft неравенство можно интегрировать почленно.
Доказательство. При а=Ь равенство A3) очевидно. Если
п п
же a<zb, то справедливо неравенство^ fi(ck)Hxk <C^ /г(^) ^xk,
так как все Ахь>0 (k= 1,...,п). Переходя в этом неравенстве к
пределу при d-^О, получим неравенство A3).
7°. Оценка определенного интеграла. Если
функция f(x) интегрируема на (a, ft], нижний предел интеграла не
больше верхнего (a^ft) и f(x) удовлетворяет условию ^f()^M
[a, ft], то
—а) < Г /(x)dx < M (ft — а).
A4)

§ 2 1. Основные свойства опрес). интеграла Формула Ньютона — Лейбница 63
В
частности, если /(л:)>0 ул:е[а, Ь], то f f(x)dx >0.
Доказательство. Оценки A4) получаются, если
проинтегрировать каждый член неравенств m^/(jc)^M и использовать
свойства 1° и 6°.
Свойство 7° имеет простой геометрический смысл в случае, если
подынтегральная функция неотрицательна на {а, Ь] (рис. 5):
площадь криволинейной трапеции аАВЬ больше площади
прямоугольника с высотой т, но меньше площади прямоугольника с
высотой М.
Пример. Оценить значение определенного интеграла от
непрерывной функции е-*' на отрезке [0, 1].
Решение. Так как функция е"*8 монотонно убывает на
отрезке [0, 1] и m = e-l = \/e, Af=e°=l, то l/e^e^8^ 1. Тогда в силу
неравенств A4) получим
I
e-*3d;c< 1A-0) или — < \ e-*2c
1.
8°. Теорема о среднем значении. Пусть функция}
интегрируема на [а, Ь] и обладает свойством m^f(x)^M Vxe
е[а, Ь]. Тогда существует такое число це[т, М], что
ь
f a). A5)
Доказательство. Если а=Ь, то равенство A5) очевидно.
Если же афЬу то определим число jn формулой
о — a
Тогда из неравенств A4) вытекает, что
как обе части равенства A5)
изменяют знак при перестановке
пределов а и Ьу то оно
справедливо и при Ь<а.
Число, определяемое
равенством A6), называется средним
значением функции / на отрезке
Из свойства 8° вытекает
следующее свойство.
9°. Если функция f(x)
непрерывна на отрезке [а, Ь]> то най-
A6)
если а<Ь Так
b х
Рис 5

64
Глава //. Определенный интеграл
дется значение
b] такое, что
ь
A7)
Доказательство. Поскольку функция f(x) непрерывна на
[а, Ь], по теореме о промежуточном значении (см. том I, § 2.9)
существует число се[а, Ь] такое, что f(c) ==ji, где т^ц^М, am иМ —
наименьшее и наибольшее значения f(x) на [а, Ь]. Таким образом,
равенство A7) вытекает из A6).
Из равенства A7) следует, что среднее значение непрерывной
функции f(x) на отрезке [а, Ь] равно значению f (с) подынтегральной
функции для некоторого се[а, Ь]. Геометрический смысл равенства
A7) иллюстрирует рис. 6. В силу геометрического смысла
интеграла левая часть равенства A7) есть площадь криволинейной
трапеции аАВЬ. Правая же часть этого равенства есть площадь
прямоугольника аА'В'Ь с высотой f(c) и шириной Ь—а. Таким образом,
геометрический смысл соотношения A7) таков: существует среднее
значение f(c) непрерывной функции f(x) на отрезке [а, Ь] такое,
что площадь под кривой y—f(x) равна площади прямоугольника
с высотой f(c), построенного на отрезке [а, Ь].
5°. Непрерывность и дифференцируемость определенного интеграла
по переменному верхнему пределу. Пусть функция / непрерывна
на [а, Ь]. Тогда она интегрируема на любом отрезке {а, х\ где
б т. е. для любого х^[а, Ь] существует интеграл
0=f f(t)dt.
A8)
Если f(t) >0 Vte{a, 6], то ^(л:) =S(x), где S(x) — площадь
криволинейной трапеции aALx (рис. 7). Функция F, определенная
соотношением A8) на отрезке [а, Ь], называется интегралом с
переменным верхним пределом. Эта функция непрерывна и
дифференцируема на отрезке [a, b]. А именно, имеет место следующая
фундаментальная теорема.
y=f(x)
y=f(c)
Рис. 6
x 0
y--f(x)
Ax
Рис. 7
' х*Д x

§ 2.1. Основные свойства onped. интеграла Формула Ньютона — Лейбница 65
Теорема 3 (теорема Ньютона — Лейбница).
Производная определенного интеграла от непрерывной на отрезке
[а, Ь] функции f, рассматриваемого как функция его верхнего
предела, существует и равна значению подынтегральной функции в
точке дифференцирования:
{
F'(x)*=l f f(t)ut\ =f(x), х*в[а,Ь\. A9)
Доказательство. Пусть ^G[a, b]t х+Дхе[а, b]\ тогда в си-
дг + А t: jr
лу свойства 5° получим F(x-\-kx)~ I /(/)d/=f
JT+АДГ
+
+ f / (Od/. Найдем соответствующее приращение Af функ-
ции F. Используя равенства A7) и A8), имеем
, где с<=\х7
Вычислим производную функции A8):
F'(x)—l\m — — lim /(c)A<Y ^lim f(c).
Если Ajc-^O, то х+Ах-^х и с-+х> так как ce[jr, дг+Ддг]. Тогда в силу
непрерывности / получим
что и требовалось установить. Из теоремы 3, в частности, вытекает,
что F — непрерывная функция на [a, b\
Теорема 3 выражает одну из фундаментальных теорем
математического анализа. Она вскрывает глубокую связь между двумя
понятиями — производной и определенного интеграла.
Поскольку функция F(х), обладающая свойством F'(x) =f(x),
есть первообразная функция для /(*), теорему Ньютона —
Лейбница можно сформулировать так: определенный интеграл от
непрерывной функции, рассматриваемый как функция своего верхнего
предела, является первообразной функцией для подынтегральной
функции.
Отсюда легко вытекает следующее утверждение: всякая
непрерывная на отрезке [a, b] функция имеет на этом отрезке
первообразную. При этом одной из первообразных является интеграл A8).
Действительно, пусть функция / непрерывна на отрезке [a, b]\ тогда
она интегрируема на любом отрезке [а, х]. где хе[а, Ь]у т. е.
существует интеграл A8), который и является первообразной функцией
для /. Следовательно, неопределенный интеграл от непрерывной на
[a, b] функции / можно записать в виде

66 Глава II. Определенный интеграл
J/(*)<!* =J/(/)d/+C, xe[a,b],
а
где С — произвольная постоянная.
6°. Формула Ньютона —Лейбница. Теорема 4 (основная
теорема интегрального исчисления). Если Ф —
первообразная функция для непрерывной на [а, Ь] функции f, то
определенный интеграл от функции f вычисляется по формуле
(/ (х) <\х =- Ф (Ь)- Ф (а). B0)
а
Другими словами, определенный интеграл от непрерывной функции
равен приращению какой-либо первообразной для этой функции
на промежутке интегрирования. Формула B0) называется
формулой Ньютона — Лейбница.
Доказательство. Пусть Ф — некоторая первообразная для
функции /. В силу теоремы 3 функция A8) также является
первообразной для функции /. Поскольку две первообразные Ф и F
отличаются друг от друга на некоторую постоянную, имеем
С. B1)
Положим в последнем равенстве х=а. Так как \ f(t)&t ~0, то
а
0 = Ф(а)+С, откуда С = —Ф(а). Подставляя найденное значение С
всоотношение B1), имеем ( /(*)й*^Ф(х)~Ф(а). Полагая в пос-
а
леднем соотношении х—Ь и обозначая переменную t через х, окон-
чательно получим равенство B0).
Формулу Ньютона— Лейбница в сокращенном виде принято
записывать так:
Символ
называется знаком двойной подстановки пределов
интегрирования и означает, что определенный интеграл равен
разности значений первообразной функции Ф соответственно при
верхнем Ь и нижнем а пределах интегрирования.

§ 2.2*. Площадь как предел. Признаки существования опре$ интеграла 67
о
2с
3. f sin xdx= •— cos л:
примера 2 п. 3°).
4.
=—cos 2л 4-cos 0=0 (ср. с решением
^е*— еа (ср. с решением примера из п. 2°).
5. Найти среднее значение функции f/=sin х на отрезке @, л].
Решение. В силу соотношений A6) и A7) имеем
f(c)=— \ ъ\пх6х= — (—cos л:)
2
6°. Упражнения
Составляя интегральные суммы и переходя к пределу, найдите
определенные интегралы*
а а
1. f e'dx. 2. f xdx.
Пользуясь формулой Ньютона — Лейбница, вычислите определенные
интегралы*
3.
. 4.
. 5.
о
6.
f d^ . 7. Г tgvdjc. 8. f—. 9. (*7Г—
J 1 -+-дс2 J S J x J 2л: -
6 о li
x/'2 3 a
Г I' dx f
\ cos2Jtd*. 11. \ . 12. \(x* — ax)dx.
J J x* J
§ 2.2*. Площадь как предел. Интегральные суммы Дарбу.
Признаки существования определенного интеграла. Вычисление
площади с помощью интеграла. Классы интегрируемых
функций
1°. Площадь как предел. Плоской фигурой называется произвольное множество
А, заданное на плоскости R2. Многоугольником называется плоская фигура, огра-
|<1я замкнутой ломаной. Например, на рис. 8 фигуры А и В являются
ниченн

68 Глава II. Определенный интеграл
многоугольниками. Для многоугольника понятие
площади изучается в школьном курсе геометрии.
Напомним, что ограниченным множеством
называется такое множество, которое содержится
внутри некоторого круга с центром в начале
координат. Множество называется замкнутым, если оно
содержит все свои предельные точки (см. том I,
§ 6.1). Ограниченное замкнутое множество будем
называть компактным множеством (или компактом)
Рассмотрим на плоскости компакт Ф Для него
можно указать пару многоугольников Л и В с пло-
Рис. 8 щадями S(A) и S(B)} из которых один А
содержится в Ф, а другой В содержит Ф, т. е Л^Ф^В
(рис. 8). Таких пар многоугольников можно подобрать бесконечное множество
При этом площадь S(A) любого многоугольника Л, содержащегося в Ф, не
может превзойти площадь S(B) любого многоугольника В, содержащего Ф,
т. е. 5(Л)^;5(Я). Следовательно, бесконечное множество площадей {5(А)}
ограничено сверху, а значит, имеет точную верхнюю границу — число 5 такое,
что для всех Л^Ф имеем 5(Л)<_^и для любого числа М<5 найдется элемент
S*(A) множества {5(Л)}, удовлетворяющий условию М<5*(Л)<5. Для
обозначения точной верхней границы употребляют символ sup (от латинского
supremum — «наивысшее»). Аналогично, бесконечное множество площадей
{5(?)} ограничено снизу, а значит, имеет точную нижнюю границу _— число 5
такое, что для всех ЯзФ имеем S(B)^S и для любого числа jV>S найдется
элемент S*(B) множества {5E)}, удовлетворяющий условию S^S*(B) <Л\
Для обозначения точной нижней границы употребляют символ inf (от
латинского infimum — «наинизшее»). Таким образом, S = sup{S(.4)}, 5 = inf{5E)}.
Определение 1. Если S — S—S, то число 5 называется площадью
фигуры Ф, а сама фигура Ф — квадрируемой.
Теорема 1. Для того чтобы фигура Ф была квадрируемой, необходимо и
достаточно, чтобы существовали две последовательности многоугольников {Ап}
и {Вп} такие, что А\^А2^ . ^Л „.. дфс.. <=Вп^ ..^Bz<^Bi и площади S(An)
и S(Bn) имели бы общий предел:
iim 5 (Ап) -^ lim 5 (Вп) = 5. A)
Этот предел 5 и является площадью фигуры Ф.
Доказательство. Необходимость этого условия вытекает из свойств
точных границ: если площадь 5 существует, то Ve>0 найдется N>0 такое, что
Yn&sN имеем |S—5(Л„) | <Се, что означает существование предела lim 5 (Ап) =
П-*оо
=5 Аналогично заключаем, что существует предел Пт 5 (Вп) -= 5.
Достаточность следует из неравенств S(An)^.S^S^S(Bn) Отсюда видно,
{что если при л-*оо_пределы последовательностей {S(An)} и {S(Bn)} существуют
и равны S, то 5 = 5=5 и, значит, фигура Ф квадрируема.
Пример. Пусть фигура Ф есть круг ради>са R. Впишем в этот кр\г и
опишем вокруг него правильные /г-угольники, приняв их за многоугольники Ап и Вп-
Очевидно, что 5 (Л„) = — R2n sin —, 5 (Вп) = nR2 tg —. Найдем пределы
2 л п
5= lim —-R*n sin — = я/р Iim -~— sin — = */?*,
— л^«в 2 п rt-*«o 2л п
5 = lim nR2 tg — — nR* lim — tg — = nR2.
n-+~ ft n-*<* Л Я

§ 2.2* Площадь как предел Признаки существования опред. интеграла
69
Следовательно, S — S = nR2, т е круг есть квадрируемая фигура, и в силу
соотношения A) имеем S = nR'\ что согласуется с общеизвестной формулой.
Заметим, что в качестве Ап и Вп могут быть использованы ступенчатые
фигуры, составленные из прямоугольников.
2П. Интегральные суммы Дарбу и их свойства. Пусть функция 1(х) определена
и ограничена на [а, Ь]. Тогда существуют постоянные m и М такие, что пг^.
r^.f(x)^M Yxe[a, b] Рассмотрим разбиение {**} отрезка [а, Ь]. Тогда
величины trik и Af*, обозначающие соответственно точную нижнюю и верхнюю границу
на k-u отрезке [**_i, Xk] (где /г=1, ..,л), конечны (рис. 9). Суммы вида
B)
*==1
Л-1
называются соответственно нижней и верхней интегральной суммой Дарбу
функции f{x) на отрезке [а, Ь], соответствующей разбиению {хк} этого отрезка.
Если {xk} — произвольное разбиение отрезка [а, о], то интегральные суммы Ри-
мана и Дарбу связаны неравенствами
?„<«>,, <5Я. C)
Справедливость неравенств C) рекомендуем проверить самостоятельно.
Интегральные суммы Дарбу обладают следующими свойствами:
1°. Верхняя (нижняя) интегральная сумма Дарбу, соответствующая
разбиению {xk} отрезка [а, Ь), является точной верхней (точной нижней) гранью
значений интегральных сумм Римана, соответствующих разбиению с отмеченными
точками Ci,..., сп отрезка [а, Ь\, причем точная верхняя (точная нижняя) грань
берется по всевозможным наборам (ci,..., сп) отмеченных точек.
Доказательство. В силу неравенств C) достаточно доказать, что для
любого е>0 найдется такой набор (ci*, .., сп*) отмеченных точек, что имеет
место неравенство
п
По определению чисел Mk для каждого индекса 6=1,..,п найдется точка
* / *\ •
Ck*^[Xk-i, Xk], для которой / (Си) > Мь~~ 7 • Тогда
что доказывает первую часть
свойства 1°. Аналогично доказывается,
что нижняя интегральная сумма
Дапбу, соответствующая разбиению
{**) отрезка [а, Ь], является точной
нижней гранью значений интеграль-
*г
Рис. 9

70 Глава II. Определенный интеграл
ных сумм Римана, соответствующих разбиению {**} с отмеченными точками
d сп отрезка [а, Ь].
2°. От добавления новых точек в разбиении нижняя интегральная сумма S*
не уменьшается, а верхняя интегральная сумма Sn не увеличивается
Доказательство. Присоединим к имеющимся точкам разбиения еще
одну х*. Пусть эта точка находится на отрезке [**-i, xk], так что **_t<:**<**
(см. рис. 9). Если обозначить новую верхнюю сумму через Sn*, то от прежней
Sn она будет отличаться только тем, что в сумме ?_« отрезку [**-i, xk]
соответствовало слагаемое Mk(Xk—**-i), а в новой сумме Sn* этому отрезку
соответствуют два слагаемых Mk*(x*~-xk~i) +м?* (xk—х*), где Mk* и AfJ* — точные
верхние границы функции / на отрезках [xk-\, x*] и [**, **]. Поскольку эти
отрезки являются частями отрезка [**-i, **], имеем Mk*^Mk и AfJ* < Af*, откуда
МI(х* — xk-\) <Mk(x* — Xk-\)> Ml*(xk — x*) <Mk(xk — x*).Складывая эти
неравенства почленно, получим
М\ {х* - xk-.x) -f M*b(xk - х*) < Mk (xk - лгл-t),
т. е. Sn*^Sn. Аналогично для нижней интегральной суммы 5П доказывается,
что Sn*^zSn,
3°. Каждая нижняя интегральная сумма Дарбу не больше чем каждая
верхняя интегральная сумма
Доказательство. Разобьем отрезок [а, Ь] и составим интегральные
суммы Дарбу Sn* и ?Л Рассмотрим другое, не связанное с первым, разбиение
отрезка [а, Ь]. Ему соответствуют суммы Дарбу 5Л2 и Sn2. Покажем, что Sn!^
^Sn2. Объединив все точки как первого, так и второго разбиения, получим
третье разбиение, которому соответствуют суммы 5„3 и Sn3. Третье разбиение
можно считать полученным из первого добавлением новых точек деления; тогда,
согласно свойству 2°, имеем 5Л!^5Я3. Считая, что третье разбиение получено
аналогичным образом из второго, находим Sn*^SnQ. Так как Sn3^Sn3y то
_
Из свойств 2° и 3° вытекает, что множество {Sn} нижних интегральных сумм
ограничено сверху, например любой из верхних интегральных сумм Sn.
Следовательно, это множество имеет конечную точную верхнюю границу: S = sup{Sn},
52^5Л. Так как множество верхних интегральных сумм {Sn} является
ограниченным снизу, то оно имеет точную нижнюю границу: 5 = inf{5n}, S^Sn и
S^S. Сопоставляя все неравенства, для любых Sn и Sn окончательно получим
?п < ? < S < 5Я. E)
3°. Признаки существования определенного интеграла. Теорема 2.
Ограниченная функция f(x) интегрируема на отрезке [а, Ь] тогда и только тогда, когда
существуют и равны между собой пределы
/ = IimSrt, 7^1imSrt, d = max \xk. F)
b
При этом их общее значение I —Jj^l совпадает с интегралом j* f (x) dx.
а
Доказательство. Пусть пределы F) существуют и равны между
собой. Тогда в силу свойств предела из неравенств C) следует существование
предела интегральных сумм Римана, причем / = limo)rt =/. С другой стороны,
если существует предел Hma>rt = /, то из неравенств C) и D) вытекает, что

§ 2.2* Площадь как предел. Признаки существования опред. интеграла 71
существует предел lim Sn = 7, причем / = / Аналогично доказывается, что
lim Sn — / = /. Следовательно, / = / = /.
Теорема 3. Для существования определенного интеграла от
ограниченной функции необходимо и достаточно, чтобы
Пт(Зя —5л) = 0, </-тахЛдгЛ. G)
Условие G) означает, что для любого е>0 найдется 6 = 6(е)>0 такое, что
если d<6, то \Sn—Sn\ <e независимо от выбора точек c*e[jc*_i, *Л].
Доказательство. Пусть f{x) интегрируема на [а, Ь\\ тогда условие G)
вытекает из теоремы 2. Пусть выполнено условие G). Тогда существуют и
равны пределы lim Sn — lim Sn> откуда, используя неравенства E), имеем S=S.
d—Q~ d-*i) -
Полагая / = S = S, получим
Sn < / < Sn- (8)
С другой стороны, в силу равенства G) можно построить разбиение отрезка
[а, Ь] такое, что \Sn—>Sn|<e, тогда из неравенств D) и (8) вытекает, что
|/—Шл|<е, а значит, / = limwfl, т е определенный интеграл существует.
db
4U. Вычисление площади с помощью интеграла. Вернемся к вычислению
площади криволинейной трапеции (см. п. 1° § 2.1). Если рассмотреть интегральные
суммы ДарОу и соответствующие им фигуры (см рис. 9), то очевидно, что Sn
представляет собой площадь ступенчатой фигуры, составленной из входящих в
аЛВЬ прямоугольников, a Sn — площадь ступенчатой фигуры, составленной из
выходящих за пределы аАВЬ прямоугольников Поэтому для площади S
криволинейной трапеции имеем Sn^^^Sn. Следовательно, в силу равенства A) при
d = max \Xft -+0, п-+эо имеем
к
ь
S « lim Sp ^ lim Sn - / = | / (л:) djc,
a
что и доказывает соотношение B) § 2 I.
5°. Классы интегрируемых функций. Рассмотрим некоторые классы
интегрируемых функций, т е. функций, для которых существует определенный интеграл.
Запишем условие G) в другой форме Обозначая разность Mk—rnk на /г-м
отрезке через т)*, получим
- п п
и условие G) примет ьид
п
lim ^ 1*Д**=-0. (9)
d^tZ
Докажем теорему 2 § 2.1. Так как f{x) непрерывна на отрезке [a, b]t то в
силу свойств непрерывной функции (см. том I, § 2.9) она ограничена на нем и
равномерно непрерывна, т. е. для любого заданного числа е>0 найдется число
о>0 такое, что если |дг—хо|<6, то |/(*)—шК*о) 1<е при любом положении
точек Ха и х на отрезке [а, Ь\ В угом случае число б зависит только от е и не за-

72
Глава 11. Определенный интеграл
висит от выбора точек дго и х. Поэтому для
заданного е>0 можно подобрать б>0 такое,
что если отрезок [а, Ь] разбить на части с
длинами Ддг*<8, то все т]*<е/F—а).
Отсюда для любого разбиения {**} с диаметром
d<6 имеем
b-i
Рис. 10
Ь-а
Так как е — произвольное число, то пределы
F) существуют и на основании теоремы 2 функция f(x) интегрируема на [а, Ь].
На самом деле условие теоремы 2 § 2.1 содержит слишком строгие
ограничения для подынтегральной функции. Приведем без доказательства следующие
теоремы, содержащие более слабые условия существования определенного
интеграла.
Теорема 4. Ограниченная на отрезке [а, Ь] функция, имеющая лишь
конечное число точек разрыва первого рода, интегрируема на этом отрезке.
A при х > О,
на отрезке [—1, 1].
Она имеет одну точку разрыва первого рода ~ начало координат (рис. 10). По
теореме 4 она интегрируема Из геометрических соображений ясно, что / =
Из рассмотренного примера видно, что непрерывность подынтегральной
функции не является необходимым условием ее интегрируемости.
Теорема 5. Монотонная ограниченная на отрезке [а, Ь\ функция
интегрируема на этом отрезке
§ 2.3. Вычисление определенного интеграла. Интегрирование
разложением, подстановкой и по частям. Приближенное
вычисление определенного интеграла. Формулы прямоугольников,
трапеций и Симпсона
1°. Интегрирование разложением. Метод разложения основан на
применении свойств 2° и 3° определенного интеграла.
' 2 2
Примеры. 1. f/3*2-}-cos;c-f—W— 3 fjcScU-f-fcosxdjc-f-
- = л:*
-j-sin x
+ hi
:7-f sin 2-sin l-t-lu2.
2.
1
1 +•
*— ¦
1 f JC»
'Jlr X*
з j з
= — xz'%+arctg x\] - — ~ 2 V 3 + arctg 4 -arctg 3.
3 3

§ 2.3. Вычисление определенного интеграла 73
2°. Интегрирование подстановкой. Пусть в определенном интеграле
ь
\ f(x)dx, где }(х) непрерывна на [а, Ь\ требуется ввести новую
а
переменную t, связанную с прежней переменной х соотношением
* = ?(/) V/e[a, 3], xE|a, ft], A)
где ф (t) — непрерывно дифференцируемая на [а, р] функция и
ф(а)=д? ф(р) = Ь.
Если функция f(x) имеет первообразную F(x)> то ^ f(x)dx =
=F(x)-\-C. Применяя подстановку A), получим dx=ф/(/)d/,
откуда |§ / (<р (О) ?' (О d^ = Z7 (? (/)) + С. Воспользуемся формулой
Ньютона —Лейбница и вычислим следующие определенные
интегралы:
ь ь
= F(b) — F(a)y B)
C)
Так как правые части соотношений B) и C) равны, то
справедлива формула
j / (х) их - J / («р (О) т' (О ut. D)
Таким образом, доказано следующее утверждение.
Теорема. Определенный интеграл от непрерывной на [а, Ь)
функции f(x) может быть вычислен по формуле D) с помощью
подстановки A), если выполнены условия: 1) (p(t) и ф'(/)
—непрерывные на [а, р] функции; 2) ф(а)=а, ф(р)=Ь; а^ф(/)=^Ь;
3) функция /(ф@) определена и непрерывна на [а, р].
Комментарий к теореме. При вычислении определенного
интеграла по формуле D) нет необходимости возвращаться к
старой переменной интегрирования, так как пределы интегрирования
изменяются в соответствии с подстановкой.
Примеры. 1. Вычислить /=^
6
Решение. Воспользуемся подстановкой t = x/3y откуда x=3t
и dx = 3d/. Найдем новые пределы интегрирования: если х=0> то
/ = (); если х—Зу то /=1. Полагая в формуле D) а=0, р=1,
находим

74 Глава II. Определенный интеграл
1 1
/=fe'3d/ = 3 fe'df=3e'|o=3(e-l).
о о
i
2. Вычислить /= f хVl+x2dx.
Решение. Применяем подстановку VlJrX2=t; тогда х=*
= J/~/2 — I, dx =-—===-, а = 1, 3 = ]/. По формуле D) находим
г* - tfa р /з 2JV/ 2 1
з
3. Вычислить /
J
Решение. Имеем
i x(x + 1) i
Здесь использованы методы интегрирования рациональных
функций с последующей подстановкой x+l = w.
«,'2
4, Вычислить /== f sin ^co62^d^.
о
Решение. Находим
т./2 О
/ = -f cos2-rd(cos. v "-- «3 ! 1
- Г COS2 X rf(COS Х)= — \
Здесь использованы методы интегрирования тригонометрических
функций с последующей подстановкой cosjc=u.
5. Вычислить /==\ g хп их.
«/4
Решение. Имеем
у з
(l4-tf2)da f da __ (* jtf l_
f* A4-tf2)da f du _ ? _d
~J A+«JAЧ-а2) ""J (l+«J J f2
1 1 ?
Здесь сначала использована подстановка tgx=u, а затем
подстановка ы-И = *.

§ 2.3. Вычисление определенного интеграла
75
3°. Интегрирование по частям. Пусть и(х) и v(x) —две
непрерывно дифференцируемые на [а, Ь) функции. Для краткости аргумент
в скобках будем опускать. Дифференцируя произведение uv,
имеем (uv)f=urv-\-uv/J откуда uv'=(uv)'—u'v. Интегрируя обе части
последнего равенства в пределах от а до Ь, находим
ь ь ь
f uvr их = f (uv)f их — f vu' dx.
Поскольку y'djc=du, u'dx=du и [(uv)'dx=uv
получим
f vdu.
J
окончательно
E)
Примеры. 1. Вычислить /== f jccos хйх.
Решение. Пov^oжим u=x, du = cosJtdx; тогда dw=dx, u =
= sin*. Используя соотношение E), получим
= xs'm x
— f sin ;cdA:=
cos
о о
2. Вычислить /= f
Решение. Полагая и = Inx, Av = x2dx, находим dtt= , т;=
л:
= ^—. Следовательно,
г —— 1
~~ 3
1 J 3 дг 33J
3. Вычислить /= \ х2е3дг их.
{\
Решение. Находим
i
о
3 3
L
о 3
JlL 2
~з ?
e3jr
5е л — 2
27

76 Глава II. Определенный интеграл
Здесь метод интегрирования по частям применен дважды:
сначала ,мы положили ы = дг2, di> = e3*cU, а затем и = х, da = U
4. Вычислить / = f e*sin хйх.
о
Решение. Применим формулу E) дважды: сначала положим
w=ex, dt; = sin л: djc; затем и=ех, dr = cos xdjt. Тогда
'ie/2 к/2 lit/2
/=— e^cosx -f f e'cosArdjt—l-f-e^sin л: —¦/ = 1 -j-e*'2 — /.
oo |o
Таким образом, 2/=1+ел/2, откуда /= A+ел/2)/2.
4°. Приближенные методы вычисления определенных интегралов.
На практике часто приходится применять интегралы, вычисление
которых по формуле Ньютона — Лейбница либо затруднительно,
либо невозможно. Рассмотрим приближенное вычисление
определенного интеграла методом прямоугольников и
методом трапеций.
ь
Пусть требуется вычислить определенный интеграл ^ f(x)dx,
а
где функция f{x) непрерывна на отрезке [а, Ь]. Для определенности
будем считать, что f(x)^O V*e{a, b] (рис. 11) и всюду на (a, b]
функция возрастает [в противном случае всегда можно выделить
интервалы знакопостоянства и возрастания или убывания функции
f(x)]. Разобьем отрезок [a, b] tta п равных частей длины Ал-= (Ь—
—a)In. Абсциссы точек деления таковы: а=хо<Х[<х2< ... <*„_!<
<xn = b. Пусть i/o, У\, #2, "ч1/л-1, Уп — соответствующие им
ординаты графика функции. Тогда расчетные формулы для этих значений
примут вид
yh=f(xu\ *=1,..., л; Ад:^-1^. F)
Таким образом, криволинейная трапеция разбита на п полос,
каждая из которых приближенно принята за прямоугольник. Если
выбрать в качестве высоты прямоугольника правую ординату
каждой полосы, то площадь 6-го прямоугольника равна ун^х, а
площадь всех п прямоугольников составит
*^1-Н2 + ...+^). G)
Из геометрических соображений естественно считать, что
ъ
zSv (8)

§ 2.3. Вычисление определенного интеграла
77
На рис. 11 видно, что площадь
соответствующей ступенчатой
фигуры Si больше площади
криволинейной трапеции,
поэтому формула (8) называется
формулой прямоугольников с
избытком. В том случае, когда
функция f(x) убывает на
отрезке [а, Ь], формула (8) дает
приближенное значение
определенного интеграла с
недостатком.
Если в качестве высоты
каждого прямоугольника выб- Рис ц
рать левую ординату, то
площадь &-го прямоугольника равна yk-\&x, а площадь всей
ступенчатой фигуры составит
2
Тогда получим формулу прямоугольников с недостатком:
ь
A0)
В случае убывания функции f(x) на отрезке [а, Ь] формула A0)
дает значение определенного интеграла с избытком.
Так как формулы (8) и A0) дают значение определенного ин-
ь
теграла f f (х)йх соответственно с избытком или с недостатком, то
для большей точности естественно считать, что
ь
(И)
Формула A1) называется формулой трапеций, поскольку
аналогичный результат получается, если сразу заменить площадь
каждой /г-й полосы площадью трапеции с основаниями yk-\ и^и
высотой Дд: (рис. 11). Тогда площадь k-ik трапеции равна-~-(#*-1
а площадь всех п трапеций составит
о о —

78
Глава II Определенный интеграл
Точно такой же результат получится, если сложить равенства G)
и (9) и разделить сумму пополам.
Из геометрических соображений ясно, что формула трапеций
A1) дает лучший результат, чем формулы прямоугольников (8)
или A0).
5
Пример 1. Вычислить интеграл f х2йх приближенно по форму-
i
лам прямоугольников и трапеций и сравнить результаты
вычислений с точным значением интеграла, полученным по формуле
Ньютона—Лейбница (разбить отрезок интегрирования на п=8 частей).
Решение. По формуле Ньютона — Лейбница получим
Разобьем отрезок интегрирования [1, 5] на п=8 частей, тогда
Ах= (Ь—аIп=E—1)/8=0,5. Абсциссы точек деления и
соответствующие им ординаты вычислим по формулам F):
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
1
2,25
4
6,25
9
12,25
16
20,25
25
Используя формулы G) и (8), находим
5
х2йх^ 0,5B,25 -f 4+6,25 + 9+12,25
-0,5-95-47,50.
Сравнивая результат с точным значением интеграла (*), видим,
что получено его значение с избытком, так как функция х2
возрастает при хе[1, 5].
Используя теперь формулы (9) и A0), имеем

§ 2.3. Вычисление определенного интеграла
79
y*f(x)
Сравнивая результат с точным
значением интеграла (*), видим,
что найдено его значение с
недостатком.
Наконец, по формулам A1) и
A2) получим
- s 47,50 + 35,50 ^41ДХ
Таким образом, формула тра- Рис 12
пеций дает более близкий к
точному значению (*) результат, нежели формулы прямоугольников.
При выводе формулы трапеций мы заменяли график функции
f(x) на каждом отрезке [xk-\y xh] разбиения отрезком прямой,
проходящей через точки с ординатами уи-\ и yh. Более точный
результат получится, если заменять соответствующие дуги кривой y=f(x)
кусками парабол. В этом и состоит сущность метода парабол
(метода Симпсона).
Разобьем отрезок интегрирования на четное число частей я = 2т
(см. рис. 11). Полосы, на которые разбита вся криволинейная
трапеция, будем рассматривать попарно. Рассмотрим первые две
полосы, изобразив их укрупненно на рис. 12. Перенесем ось Оу
параллельно' самой с^бе в точку (jcj, 0). Ясно, что новые ординаты у
всех точек совпадут со старыми ординатами у, а абсциссы
изменятся. Обозначив 1х= (Ь—а)/Bт), получим новые абсциссы х
точек деления отрезка [а^ Ь], которые укажем над осью Ох {Ох).
Ясно, что при таком переносе системы координат площади
рассматриваемых фигур не изменятся. Будем считать, что площадь
криволинейной трапеции Х0У0У2Х2 приближенно равна площади под
параболой у = ах2-{-$х-\-у, проходящей через точки А(—Д*, i/o),
В@, у\)у С(Адг, у2) (на рис. 12 она заштрихована), т. е.
-L.X
A3)
Так как парабола проходит через точки А, В, С, то, подставляя в ее
уравнение вместо х последовательно —Ах, 0, Дд:, получим
yQ = a(bxj2-ri Дх+Y; «/i=Y; //2 = «(Д^J + ? A*+Y. A4)
Умножая второе из равенств A4) на 4 и складывая почленно все
три равенства, имеем
A5)

Глава It. Определенный интеграл
На основании равенств A3) и A5) получим формулу Симпсона для
двух полос:
хш
J /(*)d*
A6)
Точно так же для двух последующих полос находим
X*
<02+4Л + у4). A7)
х%
Продолжая аналогично, запишем формулу для двух последних
полос:
f f{x)uxx^(y2m^ + 4y2m^+y2m). A8)
г2т-2
Складывая соотношения A6), A7) и A8) почленно, получим
формулу Симпсона для 2пг полос:
от-1
( ] 2
Пример 2. Вычислить интеграл из примера 1 по формуле
Симпсона.
Решение. Здесь л = 2т = 8, откуда т = 4. Формула A9) для
восьми полос имеет вид
5
1
Учитывая данные таблицы на с. 78, получим
5
Гх'йхж-L I1 + 25+4B,25+6,25 + 12,25 + 20,25)+
J
16)|=41,33,
что совпадает с точным значением интеграла. Это всегда имеет
место, если подынтегральная функция является квадратичной.
В примерах 1 и 2 число п было задано в условии. На практике
число п определяется исходя из необходимой точности вычислений.
Для оценки точности формулы трапеций обозначим через J?nT
разность между левой и правой частями формулы A1). Абсолютная
величина этой разности называется абсолютной погрешностью.

§ 2.3. Вычисление определенного интеграла
81
Если подынтегральная функция f(x) имеет на отрезке {а, Ь]
непрерывную вторую производную, то для абсолютной погрешности
формулы A1) справедлива оценка
?** B0)
где М2—максимум модуля второй производной подынтегральной
функции на отрезке [а, Ь].
Аналогично, для оценки точности формулы Симпсона для 2т
полос рассмотрим разность Rnv. Если подынтегральная функция
f(x) имеет на отрезке [а, Ь] непрерывную четвертую производную,
то для абсолютной погрешности формулы A9) справедлива оценка
где МА — максимум модуля четвертой производной
подынтегральной функции на отрезке [а, Ь].
Сравнивая оценки B0) и B1), замечаем, что погрешность
формулы трапеций уменьшается с увеличением п пропорционально
1/п2, а для формулы Симпсона — пропорционально 1/BтL= 1/п4,
т. е. при одном и том же п формула Симпсона дает меньшую
погрешность, чем формула трапеций.
Примеры. 3. Вычислить интеграл из примера 1 по формуле
трапеций с точностью до 0,2.
Решение. Абсолютная погрешность результата не должна
превосходить 0,2, т. е. \RnT\ ^0,2. Находим вторую производную
функции у = х2\ получим #' = 2;с, r/" = 2. Следовательно, Af2=2. В
силу неравенства
32
B0) имеем
| /?я
12л2
*2 <0,2, откуда
^ t или л2^53,33, т. е. л$*7,30. Таким образом, если все
о • 0, ,
значения уь. в таблице на с. 78 точные, то для вычисления
значения интеграла с заданной точностью достаточно выбрать п=8.
Используя результаты примера 1, находим
5
41,33-41,5 =0,17<0,2.
4. По формуле Симпсона при /г=10 найдено приближенное
значение интеграла
0,74682. Определить, сколько де-
сятичных знаков этого числа являются верными*, если все расче-
* Все десятичные знаки приближенного числа считаются верными, если
абсолютная погрешность не превосходит пяти единиц первого отброшенного
разряда

82 Глава И. Определенный интеграл
ты ведутся с пятью верными знаками.
Решение. Оценим погрешность формулы Симпсона.
Дифференцируя последовательно функцию у = е~~х\ находим четвертую
производную yiw—4erx*(Ax4— \2х2-f-З). Для этой производной
определяем экстремумы на отрезке [0, 1] и ее значения на концах
отрезка: i/IV@,96) = </mln«—8,25921, (/IV@) = 12, ^IVA) «—7,18623.
Очевидно, что наибольшее значение модуля четвертой
производной есть Af4= \ylx@) | = 12. В силу оценки B1) имеем |#л|<
< A~0M • 12<0,7-10~5.
^ 180-104 ^ '
Оценим погрешность округления. Согласно условию,
вычисления проводятся так, что погрешность каждого приближенного
значения yk не превосходит пяти единиц шестого разряда, т. е. А(*/л) ^
^0,5-10~5. Погрешность суммы в формуле A9) составит 0,5-10~5+
+ 4.5-0,5.10~5 + 2-4-0,5.10-5 = 29-0,5-Ю-5, так как значение уо =
= е°=1 является точным. Перед суммой стоит множитель
(fe—a)/Fm) = 1/30. Учитывая погрешность округления результата
после деления (она не превосходит 0,5-10~5), получим погрешность
округления
А=—.0,5.10~5+0,5.10-5^0,98.10-5<10~5.
«Зи
Складывая погрешности Д и |/?пс|, получим погрешность
вычислений
Следовательно, число 0,74682 содержит четыре верных десятичных
i
знака. Отбросив пятый сомнительный знак, получим f e~x* dx ^
о
«0,7468 с абсолютной погрешностью A,7+2) 10~5=3,7-10~5<
<5-10-5.
5°. Упражнения
Вычислите определенные интегралы:
Уз «/6
С х dx f dx С dx f exdx
1. I —==- . 2. \ . 3. \ a- о . 4. I 77~.
J /4-л:2 * J С0822лг J A + K^J J l + e2x
0 te/8 1 0
5 Yr2 «/2 w/4
5. Г XdX . 6. Г K2^T2djc. 7. Г a: sin дг dx. 8. I
Jy4^ + 5 J Jo J
9. f ^S1"^ dx. 10. f —-— -. II.
J coss x J 2 cos x + 3
J J
J J
oo

§ 2.4. Выч. площадей фигур и поверх, вращ., длин дуг кривых, объемов тел 85
*/2
У /
12. jarcsin4*d*. 13. f *s }Л + *2 dr. 14. [ e2jr cos x d*.
о о о
15. По формуле трапеций вычислите приближенно интеграл /
-J:
dx
полагая n=10, и сравните результат с точным значением интеграла,
полученным по формуле Ньютона — Лейбница.
16. По формуле Симпсона вычислите приближенно интеграл ^e~x%dx,
полагая я— 10.
17. Проверьте, достаточно ли выбрать п=10 для вычисления интеграла из
упр. 15 с точностью до 0,005.
§ 2.4. Приложение интегралов к вычислению площадей плоских
фигур, длин дуг кривых, объемов тел и площадей
поверхностей вращения
1°. Вычисление площадей в прямоугольных координатах. Как
известно (см. п. 3° § 2.1), площадь криволинейной трапеции,
ограниченной непрерывной линией y=f(x) и прямыми х=а, х=Ьу у=0у
находится по формуле
ь
S =?/<*) dx, A)
где f(x)^Q и Jt€={a, b] (рис. 13).
Если /(дг)^О, х^[а, Ь], то определенный интеграл A)
неположителен. Его абсолютная величина равна площади криволинейной
трапеции аАВЬ, расположенной ниже оси Ох (рис. 14), т. е. 5 =
ь
= - \f(x)dx.
а
Если же функция f(x) меняет знак на отрезке [a, b] конечное
число раз (см. рис. 2), то для вычисления площади фигуры можно
О a b х
Рис. 13

84
Глава II. Определенный интеграл
8
Ш
1
а
-t(x)
\
\
ь
у=ф(х)
X
Рис. 15
Рис 16
разбить отрезок интегрирования на части, где f{x) не меняет знака,
а затем найти по формуле A) площади фигур, полученных таким
образом, и взять их алгебраическую сумму (см. п. 3° § 2.1).
Пример (. Найти площадь фигуры, ограниченной косинусоидой
y=cosx и прямыми х=0, дг=л, у=0.
Решение. Разобьем отрезок [0, л] на такие части, где функция
y=cosx сохраняет постоянный знак. Поскольку у^О при
е[0, л/2] и у^О при лге[я/2, л], имеем
5=1 cos*djc — \ cos Jt djc= sin x —sin л: = 1 —( — 1)=2-
Найдем площадь фигуры, заключенной между двумя кривыми
y=f(x) и у=у(х) при х^[а, Ь] (рис. 15). Пусть для
определенности f(x)>y(x) при х^[ау Ь]. Тогда площадь S равна разности
площадей криволинейных трапеций, ограниченных сверху
соответственно графиками функций f(x) и ф(я), т. е.
B)
Если графики функций f(x) и <р(я) пересекаются на отрезке
[а, Ь] конечное число раз (рис. 16), то отрезок интегрирования
следует разбить на такие части, где разность f(x)—ф(дг) сохраняет
постоянный знак, и найти площади полученных частей по
формуле B). Например, площадь фигуры, заштрихованной на рис. 16,
равна
= $ I
Примеры. 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Решение. На отрезке [—1, 1] график функции у=х2 лежит не
ниже графика функции y=xs. По формуле B) находим

§ 2.4. Выч. площадей фигур и поверх. вращч длин дуг кривых, объемов тел 85
j
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у2=2х+1 и
д:—f/—1 =0 (рис. 18).
Решение. Первая линия представляет собой параболу с осью
симметрии Од: и вершиной А (—1/2, 0), а вторая — прямую,
имеющую с параболой две общие точки В @,-1) и С D, 3). Разобьем
фигуру на три части и обозначим через S\ площадь
параболического сектора AOD, а через S2 — площадь параболического
треугольника BCD. Площадь параболического сектора АОВ в силу
симметрии равна S\. Тогда, используя формулы A) и B), получим
-К/2
\
-1/2
Заметим, что иногда вычисления значительно упрощаются, если
поменять ролями оси Ох и Оу\ тогда аргументом является у и
формулы A) и B) соответственно примут вид
ъ ь
Так, в рассмотренном примере при интегрировании по у нет
необходимости разбивать на части фигуру, изображенную на рис. 18.
Имеем
'Jk
Рис. 17
Рис. 18

Глава II. Определенный интеграл
2°. Вычисление площади криволинейной трапеции для кривой,
заданной параметрически. Пусть кривая задана параметрическими
уравнениями
W a<*<43, C)
где функция ф(/) непрерывна, а ф(/) непрерывно дифференцируема.
Пусть, далее, уравнения C) определяют интегрируемую функцию
У=((х) на отрезке [а, Ь] так, что различным te[a, p]
соответствуют различные точки кривой y=f(x), которая сама себя не
пересекает, причем ф(а)=а, ф(р)=6. Площадь криволинейной трапеции,
ограниченной графиком функции y=f(x) и прямыми х=а, х=Ь,
определяется по формуле A). Выполним в формуле A)
подстановку *=ф(*); имеем y = f(x)=f(q}(t))=y(t), d*=<p'(/)d/; если х = а,
то /=сс; если х=Ь, то * = р. Тогда формула A) примет вид
D)
Примеры. 1. Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом
(рис. 19).
Решение. Параметрические уравнения эллипса имеют вид
*=acos/, y=bs\nt. В силу симметрии эллипса достаточно найти
площадь Si одной его четверти, а затем умножить результат на 4.
Если х изменяется в пределах [0, а], то параметр t изменяется в
пределах от л/2 до 0. По формуле D) получим
r/2
i'J
-e
Рис. 20

§ 2.4 Выч. площадей фигур и поверх, вращ., длин дуг кривых, объемов тел 87
2. Найти площадь,
ограниченную астроидой x=acos61, y=
= asin4 (рис. 20).
Решение. Используя
формулу D), находим
о
I
=4Sx—4 (* asin3/.3acos2/ x
к/2
X(-sin 0d/=12a2jsin4* cos2/ d/ =
fi
«/2
= JLa2 Г (l-cos2O(l-cos22/)d/ =
3°. Вычисление площадей в полярных координатах. Пусть в
полярной системе координат задана функция г=г(ф), где г —полярный
радиус, <р — полярный угол. Пусть, далее, функция г(ф)
непрерывна при изменении угла ф в пределах а^ф^р. Фигура,
ограниченная частью АВ графика функции г(ф) и прямыми, соединяющими
полюс О с точками Л и В, называется криволинейным сектором
(рис. 21).
Вычислим площадь криволинейного сектора ОАВ. Разобьем
угол р—а на п частей лучами, соответствующими значениям
полярного угла фо = а<ф1<ф2<...<Фп-1<Ф«=р. Обозначим углы
между проведенными лучами через Афь Дфг, ...,Аф«. Для fe-ro угла
имеем Дф*=ф*—ф*_1. Ясно, что площадь криволинейного сектора
ОАВ равна сумме площадей п малых секторов, его составляющих.
Рассмотрим криволинейный сектор, соответствующий fc-му углу
Дф*. Выберем некоторый угол ф*, удовлетворяющий неравенствам
Ф*-1^ф*^ф*, и обозначим длину соответствующего этому углу
радиуса через г*. Заменим площадь fc-ro криволинейного сектора
площадью кругового сектора с радиусом fk и центральным углом Дф*.
Его площадь равна Asft = — rl^k. Так как г*=г(фЛ), то площадь
k-ro кругового сектора вычисляется по формуле Asft=—г2(<р*)
Сумма площадей п круговых секторов составит
Сумма Sn является интегральной суммой Римана для функции
г2(ф) на отрезке [а, р]. Переходя в равенстве E) к пределу при
max Д<рл=*/ — 0 (а значит, и n-+oo)t получим
к

88
Глава И Определенный интеграл
d-*0
F)
В равенстве F) левая часть есть площадь 5 криволинейного
сектора ОАВ, а правая часть ъ силу определения 2 § 2.1 равна опре-
Р
деленному интегралу —\r2(<p)d<p. Таким образом, соотношение
а
F) примет вид
M G)
Примеры. 1. Найти площадь круга радиуса R.
Решение. Уравнение окружности в полярных координатах
имеет вид r=R. В силу центральной симметрии круга достаточно
вычислить площадь S{ четверти круга, а затем умножить
результат на 4. Полярный угол, соответствующий площади Si, изменяется
в пределах 0^ф^я/2. По формуле G) находим
л/2
it/2
о и
что согласуется с общеизвестной формулой.
2. Найти площадь, ограниченную лемнискатой r — a \ cos2cp.
Решение. Фигура, ограниченная лемнискатой (рис. 22),
симметрична относительно горизонтальной и вертикальной прямых,
проходящих через полюс; поэтому достаточно вычислить площадь
S\ четверти фигуры. Этой площади соответствует центральный угол
<ре[0, л/4]. По формуле G) получим
«/4 я/4 -к/А
5=451=4~ Г a2cos2cpdcp — 2a* f cos 2<pd<p-~а2 sin 2<p I •=**.
о и о
Рис 22
Рис 23

§ 2.4. Выч. площадей фигур и поверх, вращ., длин дуг кривых, объемов тел 89
4°. Вычисление длины дуги плоской кривой в
декартовых координатах. Введем понятие
длины дуги. Пусть на плоскости дана кривая,
являющаяся графиком непрерывной функции
y = f(x) на отрезке [а, Ь]. Разобьем отрезок
[а, Ь] на п частей точками a=Xo<*i<X2< ••<
<xn-\<xn = b. Из каждой точки хк восставим
перпендикуляр к оси Ох; тогда дуга АВ
разобьется на п частей точками Ао=А, Аи ..., Ап-\,
Ап = В (рис. 23). Заменим каждый участок
дуги Ak~\Ak отрезком прямой Ak-\Ah.
Определение I. Длиной дуги АВ назы- Рис 24
вается предел L, к которому стремится длина
ломаной АоА\А2...Ап-\Ап, вписанной в дугу АВ, при стремлении к
нулю наибольшей из ее сторон Д/ = гпах Ак-хАк—»0, а значит, и
при
т. е.
д<-° ft
(8)
Пусть функция f\x) и ее производная f'(x) непрерывны на
отрезке [a, b]. Согласно теореме Пифагора, имеем Ah-\Ak =
= }/г(хк~xk~iJ-\-(Akxk— Лй_1л:Л_1J.Обозначим Axk = xk—Xk-i. Так
как Akxk— f(xk) и Ab-iXk~i=f(Xk-\)t то на основании теоремы
Лагранжа получим
f//)/i ске=]хк-и хк[.
Тогда
Вследствие непрерывности производной /у (х) существует предел
(8) интегральной суммы при d = max Дл:^ —*0, а значит, и при Д/->-
к
. Таким образом,
(9)
k 1
В силу определения 2 § 2.1 предел (9) равен определенному
интегралу от функции V 1 -f- [/' (х)\2 на отрезке [а, Ь]:
^-f V'\ + \f'(xT]2ux. A0)
а
Это и есть формула для вычисления длины L дуги АВ,

90 Глава //. Определенный интеграл
Пример. Найти длину дуги кривой у2 = х3, отсеченной прямой
*=4/3- (рис. 24).
Решение.. Найдем производную функции y=f(x)y заданной
неявно соотношением у2=х3; имеем 2уу'=3х2у откуда(y'f=— х.
4
В силу симметрии кривор достаточно вычислить длину Ц ее поло-
, вины. По формуле A0) получим
4'3 „ 2 2
И2
27
у 1 -| х = Л •
(здесь использовдна подстановка
5°. вычисление д^ины дуги плбской кривой, заданной в
параметрической форме. Рассмотрим параметрически заданную кривую х=
==ф(/)) t/ ===== -%!>(/), а^/^р, где ф(/) и yfp(t) — непрерывные на [а, р]
функции, имеющие непрерывные производные, причем ф/(/)=^=0
V/e[a, р]. Пусть а=^ф(а) и 6=ф(р). В интеграле A0)
произведем подстановку *=ф(*), dx=ip'(t)dt\ так как y'=y'{t)/у'(t)% то
получим
(И)
Примеры. 1. Найти длину окружности радиуса R.
Решение. Уравнения окружности в параметрической форме
имеют вид x=Rcost, j/=#sinf. Найдем четвертую часть L\
длины окружности. По формуле A1) имеем
т./2
что согласуется с общеизвестным результатом.
2. Найти длину одной арки циклоиды x=a(t—sin/), #=a(l —
—cost) (рис. 25).
Решение. Имеем jc/=a(l— cost), y/=asin/. По формуле
A1) получим
_
о
2« О
с t t
==2а I sinT-d^=4acos-7
J 2 2
= 8a.

§ 2.4. Выч. плрщадей фигур и Поверх, вращ., длин дуг кривых, объемов тел 91
Рис. 25
Рис. 26
6°. Вычисление длины дуги плоской кривой в полярных
координатах. Пусть кривая задана уравнением в полярных координатах г=
= г(ф), где функция г(ф) и ее производная гг(ф) непрерывны на
отрезке [а, р]. Воспользуемся формулами перехода от полярных
координат к декартовым: л; = гсо5ф, y = rsin ф. Учитывая, что
полярный радиус г есть функция полярного угла ф, получим
уравнения Л'=г(ф)со8ф, (/=г(фM1пф, Kotopbie можно рассматривать как
параметрические уравнения кривой при изменении параметра ф в
пределах а^ф^р. Тогда по формуле A1) находим
1= f V (г' (ср) cos ф — г (ср) sin cp>2-{-(r'(cp) sin <p-f r(cp)cos'fJd<p,
откуда
A2)
Пример. Найти длину кардиоиды г=аA— со8ф) (рис. 26).
Решение. В силу симметрии кривой достаточно вычислить
длину L\ ее половины. Имеем
L = 2LX = 2
— cos cpJ dcp^=
-4a
7°. Вычисление объема тела по известным площадям поперечных
сечений. Пусть для некоторого тела (рис. 27) известна площадь S
любого поперечного сечения. Очевидно, что эта площадь зависит от
положения секущей плоскости, т. е. является функцией от л*; зна-

92
Глава II Определенный интеграл
чит, S=S{x)y где S(x)—
непрерывная на [а, Ь] функция.
Разобьем отрезок [а, Ь] на п
частей точками а = хо<Х\<
<х2<...<Хп-\<хп = Ь. Через
каждую k-ю точку проведем
секущую плоскость x=Xh,
перпендикулярную оси Ох. Эти
плоскости рассекут тело на
слои. Выберем на каждом
отрезке [хк~\У xk]
промежуточную точку ck и заменим каждый слой цилиндром с образующей,
параллельной оси Ох, и направляющей, соответствующей контуру
сечения тела плоскостью х=ск. Объем каждого цилиндра с
площадью основания S(ck) и высотой Axk=xk—хк-{ равен S(ck)Axk,
а объем всего ступенчатого тела равен сумме объемов всех
цилиндров. Так как функция S(x) непрерывна, то существует
конечный предел
Рис. 27
v=
d-0
A3)
где (/=тахДл:Л, который и называется объемом тела V, В силу
определения 2 § 2.1 предел A3) равен определенному интегралу
от функции S(x) на отрезке [а, Ь]:
A4)
Пример. Найти объем конуса с радиусом основания R и
высотой h.
Решение. Расположим конус так, чтобы его ось симметрии
совпадала с осью Ох, а вершина — с началом координат (рис. 28).
Найдем зависимость между абсциссой л\ через которую проходит
поперечное сечение, и его площадью S(x), В силу подобия тре-
Рис. 28
Рис. 29

§ 2.4. Выч. площадей фигур и поверх, вращ., длин дуг кривых, объемов тел 93
Г (х\ X
угольников имеем—— =—, где г(х)—радиус сечения конуса
R h
плоскостью, соответствующей абсциссе х. Отсюда г(л;) = — х. Так
h
как сечением конуса поперечной плоскостью является круг, то пло-
2
Л?2
щадь сечения S(x)—nr'2(x) — nR2— . По формуле A4) получим
А2
3
о
что согласуется с общеизвестной формулой.
8°. Вычисление объема тела вращения. Пусть криволинейная
трапеция, ограниченная графиком непрерывной функции */=f(jt),
осью Ох и прямыми х=а, х = Ь, вращается вокруг оси Ux (рис.
29). Найдем объем V полученного тела вращения. Ясно, что
произвольное поперечное сечение этого тела представляет собой круг.
Площадь круга, образованного при сечении тела вращения
плоскостью л*=л', есть S(x) =n,y2=nf2(x). Тогда по формуле A4)
получим
A5)
Заметим, что формула A4) является более общей, чем A5),
так как по формуле A4) можно вычислять не только объемы тел
вращения.
Если криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной
функцией х=ц)(у) осью Оу и прямыми у=а и у=Ь, вращается вокруг
оси Оуу то объем V полученного тела вычисляется по формуле
A6)
Примеры. 1. Найти объем конуса с радиусом основания R и
высотой А.
Решение. Конус можно считать телом, полученным
вращением прямоугольного треугольника с катетами Аи/? относительно
оси Ох (см. рис. 28). Найдем уравнение гипотенузы этого
треугольника. Имеем y = kx, где &=tg(p=/?/A, т. е. y=Rx/h. По формуле
A5) получим
J
о
Сравните это решение с решением примера п. 7°.

94
Глава II. Определенный интеграл
Рис 30
Рис 31
2. Найти объем трехосного эллипсоида — -{-—Л~ —— * (рис.
#2 ^2 (»2
30).
Решение. В общем случае при аФЬфс трехосный
эллипсоид нельзя считать телом эращения. Следовательно, его объем V
нужно вычислять с помощью формулы A4). Поперечные сечения
эллипсоида являются эллипсами, уравнения которых имеют вид
#2 Z2 X2
^»J = 1 ИЛИ
*2 ' 2 2
Отсюда ясно, что полуоси эллиптического сечения плоскостью
х~х равны соответственно Ь(х) — ЬЛ/ 1 — — , с(х) = с у 1— —.
Известно, что площадь эллипса с полуосями b и с вычисляется по
формуле S=nbc (см. пример 1 п. 2°). Следовательно, площадь
любого поперечного сечения равна S(x) =nb(x)c(x). Теперь по
формуле A4) находим
= n[ b
j
а
V 1-— с Л/ \- — 6x = nbc \ (l^—)dx=—
—а —а
В частности, при a=b = c=R трехосный эллипсоид вырождается
з шар, объем которого 1/-=— л/?3.
о
3. Найти объем тела, полученного вращением фигуры,
ограниченной линиями у=±Ь и ^— — =1| вокруг оси Оу (рис. 31).
а2 02
Решение. В силу симметрии тела вращения относительно
плоскости xOz достаточно вычислить половину V\ всего объема
тела. По формуле A6) получим

§ 2.4. Выч. площадей фигур и поверх, вращ, длин дуг кривых, объемов тел 95
у-К а)
9°. Вычисление площади
поверхности тела вращения. Рассмотрим
поверхность, образованную
вращением вокруг оси Ох кривой (/==
= /(л:), где функция / и ее
производная /' непрерывны на отрезке
[а, Ь] (рис. 32).
Разобьем дугу Ли на части и
построим ломаную АА\А2..Ап-\Ву
как при вычислении длины дуги
плоской кривой (см. п. 4°).
Каждая трапеция xk~\Ak-iAkxk опишет
при вращении вокруг оси Ох
усеченный конус, площадь боковой
Рис
у,
поверхности которого Аа* вычисляется по известной формуле
Дзь=^
Очевидно, что боковая поверхность тела, полученного при
вращении ломаной АВ вокруг оси Ох, равна сумме боковых поверхностей
Да* всех усеченных конусов.
Определение 2. Площадью поверхности тела, полученного
при вращении дуги АВ вокруг оси Ол\ называется предел 1, к
которому стремится площадь поверхности, образованной вращением
вокруг оси Ох вписанной в дугу АВ ломаной ЛЛ]Л2...ЛП_1Б, при
стремлении к нулю наибольшей из ее сторон Д/ = тах ЛЛ_1ЛЛ—*0,
а значит, и при п-
•-оо, т е
Обозначим Аук = ук—Ук-\ и Д/* = Л*-и4*. Тогда
Последнее приближенное равенство справедливо, так как
произведение Д#*Д/а> при Д/-Ч) (п-+оо) является величиной бесконечно
малой высшего порядка, чем Да/?.
Пусть &хк=хк—хк-1\ тогда (см. л. 4°) Мк = Ак^хАк =
= V \-\~[f'(ckj\2&хк, где ck^]xk I, xhl и площадь боковой
поверхности /г-го усеченного конуса равна
Да, ^ 2лукМк ~ 2л/ (хк) Vl + \ff Ы*Ьхк.
В силу непрерывности/и/'существует предел при c/=max
(при Д/-»-0):
я

Глава П. Определенный интеграл
который равен определенному интегралу:
ь
2 а
Заметим, что если кривая х=у(у)
вращается вокруг оси Оуу где ф непрерывна и
имеет непрерывную производную <р' на
отрезке [а, Ь], то площадь поверхности
вращения находится по формуле
A8)
Рис. 33
Примеры. 1. Найти площадь
поверхности шара радиуса R.
Решение. Боковую поверхность шара можно считать
поверхностью, образованной вращением полуокружности вокруг оси Ох.
Уравнение окружности радиуса R имеет вид x2-\-y2 = R2. Для
верхней полуокружности получим y — VrR2 — х2. Следовательно, у' =
•—л:2. По формуле A7) находим
r ^ r
о
что согласуется с общеизвестной формулой.
2. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг
оси Оу части параболы у=х2/2у х>0, отсеченной прямой j/ = 3/2
(рис.33). _
Решение. Имеем x — Vty, x'=l/V2y. Используя формулу
A8), получим
3/2 3/2
2у
B(/+1K/2
/
3/2
о
14д
3
10°. Упражнения
Найдите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
5. Найдите площадь, ограниченную осью Ох и одной аркой циклоиды
== a (t—sin t), у a=s a A —cos /) (см рис * 25).

§ 2.5*. Кривизна. Центр и окружность кривизны. Формулы Френе
97
Найдите площади фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных
координатах:
6. /- = а cos 2ф.
7. г=а sin З
8. г = а/
9. г = а(ф),
Найдите длину дуги кривой:
Ю. г/ —In sin л: от х=я/3 до х=2л/3.
11. Астроиды jt=acos3/, */=asin3/ (см. рис, 20).
12. д;=/6/б, г/==2—/4/4 между точками пересечения с осью абсцисс.
13. Первого витка спирали г—аф.
14. Всей кривой r = a sin3^/3).
Найдите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной
линиями.
15. ;о/==4> л'=1, х-=4, у — О вокруг оси Ох.
16. </2 = 4—jc, a==0 вокруг оси Оу.
17. */=51пл-, О^х^я вокруг оси Ох.
18. #=а—х2/а и х+у=а вокруг оси Оу.
Найдите площадь поверхности, образованной вращением кривой.
19. j/ = sinx (одной полуволны) вокруг оси Ох,
20. ?/ = jcV3, *=— 2, х=2 вокруг оси Ох.
21. х2 =у + 4, i/==2 вокруг оси Оу.
§ 2.5*. Кривизна плоской линии. Центр и окружность кривизны.
Эволюта и эвольвента. Кривизна пространственной линии.
Формулы Френе
1°. Кривизна плоской линии. Кривизна плоской линии характеризует степень ее
искривленности. Рассмотрим кривую, лежащую на плоскости, не пересекающую
саму себя и имеющую определенную касательную в каждой точке (рис. 34).
Пусть АВ — некоторая дуга на этой кривой. Проведем касательные к
кривой в точках А и В. При переходе по дуге АВ от А к В касательная
поворачивается на угол а, который называют углом смежности дуги АВ. Рассмотрим
дугу ВС, равную по длине дуге АВ. Построив касательные к кривой в точках
В и С, находим угол смежности ai дуги ВС. На рис. 34 видно, что a<Ccti и
дуга АВ искривлена меньше, чем дуга ВС. Следовательно, из двух дуг одинаковой
длины меньше искривлена та, у которой угол смежности меньше. Естественно,
для характеристики искривленности линии следует взять отношение угла
смежности к длине соответствующей дуги; Введем следующие определения.
Определение 1. Средней кривизной Кср дуги АВ называется отношение
угла смежности а к длине L дуги АВ, т. е.
Кср=а/?. A)
\
Рис. 34
Рис. 35

98 Глава II. Определенный интеграл
Определение 2. Кривизной Ка линии в точке А называется предел
средней кривизны КСр дуги АВ при стремлении точки В к точке А вдоль
линии, т. е.
/CA = lim/Ccp-!im-^-. B)
Комментарии к определениям 1 и 2. 1) Средняя кривизна дуги
характеризует искривленность участка линии.
2) Кривизна линии в данной точке характеризует искривленность линии в
непосредственной близости к некоторой точке А.
3) Очевидно, в различных точках А одного и того же участка линии
кривизна Ка может быть различна, а средняя кривизна /Сср неизменна. Естественно,
чем меньше длина L участка кривой при определении /ССр, тем ближе значения
/Сер и К а для точки А, лежащей на этом участке.
Примеры. 1. Определить кривизну прямой в любой ее точке.
Решение. Поскольку угол смежности а на любом участке прямой равен
нулю, имеем 7ССр=/d = 0.
2. Определить кривизну окружности радиуса R в любой ее точке.
Решение. Рассмотрим дугу АВ окружности (рис. 35). Очевидно,
центральный угол Z.AOB равен углу смежности а. Так как длина L дуги АВ,
соответствующей центральному углу а, равна а/?, то по формуле A) получим
к JL2L
Используя формулу B), находим кривизну в произвольной точке Л:
1!
Таким образом, для окружности понятия средней кривизны и кривизны в
любой точке совпадают. Это единственная кривая, для которой выполняется
указанное свойство.
Чтобы вывести формулу для вычисления кривизны, изучим это понятие
методами векторного анализа. Для этого необходимо повторить понятие вектора
и действия над векторами (см. том I, гл. I), а также понятие векторной
функции скалярного аргумента и ее дифференцирование (см. том I, гл. V).
Пусть кривая на плоскости задана параметрическими уравнениями
x = x(t), у-у Ц). C)
Предположим, что все необходимые в дальнейшем производные существуют и
непрерывны. Очевидно, что скалярный параметр t в силу равенств C)
определяет положение переменной точки М(х, у) на кривой. Рассмотрим радиус-
вектор r(t)=x(t)i + y(t)j, где *(/), y(t)—координаты вектора, a i и / —
единичные ортогональные векторы, направленные соответственно,по оси Ох и Оу.
Вектор r(t) определяет положение точки М на кривой (рис. 36).
dr -* -*
Как известно, производная —-" = х' (t) i -f у' (ОУ задает вектор,
направленный по касательной к кривой. Перейдем теперь к параметру /, равному
длине дуги, отсчитываемой вдоль кривой от фиксированной ее точки А в
определенном направлении (рис. 37). Тогда уравнения C) примут вид
х=хA), у^уA), D)
а вектор г(/) будет направлен от точки А к переменной точке М с
координатами (х, у), определяемыми соотношениями D). Придадим параметру /
приращение Д/; тогда приращение вектора гA) есть АгA), а производная

§ 2.5*. Кривизна. Центр и окружность кривизны. Формулы Френе
99
T(L+AU
Рис. 37
—
d/
Ar(/) -
г (I)
E)
равна единичному вектору касательной т(/) в точке М. Действительно, при
Д/->0 точка Alt стремится к М вдоль кривой. Если точка Mi близка к М, то
длину дуги ММц можно считать равной длине вектора Дг(/), а вектор Лг(/) при
этом займет положение касательной. В точке М4 также можно построить
^единичный вектор касательной — вектор т(/+А/). Поскольку векторы т(/) и т(/-ЬД/)
имеют одинаковую длину, равную единице, они отличаются лишь направлением,
изменение которого характеризует угол смежности а, а следовательно, и
искривленность линии. Поэтому за вектор кривизны естественно принять производную
от единичного вектора касательной т(/) по /, т. е.
Из формулы B) и определения производной вытекает, что кривизна линии в
точке М равна длине \КA)\ вектора /((/).
Покажем, что вектор кривизны КA) перпендикулярен вектору касательной,
т. е. направлен по нормали в сторону вогнутости кривой.
Так как т(/) —единичный вектор, то тГт=1. Дифференцируя по /, получим
dr -* -* dx Л _•* dt
•—-т-Ь т-— = 0, или 2т-—
d/ d/ d/
= 0.
Последнее равенство справедливо в силу независимости скалярного
произведения от порядка множителей. Известно, что скалярное произведение отличных от
-* d т
нуля векторов равно нулю, если векторы перпендикулярны. Так как т —- =0,
или т/С=О, то KJ-i.
Выведем формулу для вычисления кривизны. Проведем касательные
векторы к кривой в точках М и N (рис. 38). Обозначим через а и а+Да углы
наклона этих касательных к оси Ох. Единичный вектор т в координатной форме имеет
вид t=cos a-f+sin a-/, где cos a и sin a равны направляющим косинусам.
Дифференцируя по /, получим

100
Глава II. Определенный интеграл
У\
Рис. 38
dx
N(x+Ax,y+Ay)
da -¦
Рис. 39
da
Так как в силу формулы F) справедливо равенство
dt
d/
/ da \2 / da \2
_ sin «)*(—)+cos* «(—)
то
¦S-I. (о
Можно показать, что если кривая задана в декартовой системе координат
уравнением yz=f(x), где функция f(x) дважды дифференцируема, то формула G)
примет вид
К = I Г (х) | .[1 + [/' (*)РГ3/2 (8)
Пример 3. Определить кривизну параболы у=4х—х2 в ее вершине (рис. 39).
Решение. Вершиной параболы является точка А B, 4). Поскольку у'=
= 4—2х и у"=—2, по формуле (8) получим
[i +
= 2.
х-Ъ [l+D-2*J]3/2
Если кривая задана параметрическими уравнениями C), то формула G)
примет вид
„ \ У"{*)*'(*) -У' (t)x"@1
при условии, что существуют y'(t)t y"(t), x'(t), x"(t).
Пример 4. Определить кривизну циклоиды в ее вершине (см. рис. 25).
Решение. Параметрические уравнения циклоиды имеют вид x=a(t—
—sin0, y=a(l--cost). Находим x'(f)=a(l— cos/), *"(/)=asin/, /(/)==
=asin/, y"(t)=acost. Используя формулу (9), для любой точки циклоиды
получим
1
1
2/2дA-
4a j sin —

§ 2.5*. Кривизна. Центр и окружность кривизны. Формулы Френе
101
Эволюта
Рис. 40
Рис. 41
Поскольку вершине М соответствует значение параметра t = n, имеем Км =
Если кривая задана уравнением в полярных координатах г=г(ф), то
формула G) примет вид
/<: = •
3/2
(Ю)
при условии^ что г'(ф) и г"(ф) существуют.
Пример 5. Определить кривизну линии г2==а2со$2ф в любой ее точке
М(г, ф) (см. рис. 22).
Решение. Имеем г^— ——sin2<p, г^= —
A0) находим
a2 cos 2<р + 2 ~- sin2 2<p
г cos 2<p
По формуле
cos2y
Г Д* . 3/2
L г2 J
a3 cos 2<p
3r
a2
2°. Центр и окружность кривизны. Во многих исследованиях бывает удобно
приближенно заменить некоторую линию вблизи рассматриваемой точки
окружностью, имеющей ту же кривизну, что и данная линия в этой точке.
Определение 3. Окружностью кривизны линии в заданной на ней
точке Мо (рис. 40) называется окружность, которая: 1) касается линии в точке
Afo; 2) направлена вогнутостью в этой точке в ту же сторону, что и данная
линия; 3) имеет ту же кривизну, что и данная линия в точке Мо. Центр С
построенной окружности называется центром кривизны, а ее радиус — радиусом
кривизны.
Из определения ясно, что радиус кривизны R находится по формуле
J_ I
" К "~ \КA)\ '
откуда К = | К | = — или К = — п, где п — единичный вектор
(см. рис. 37).
нормали

dl
dr
dl
dl Л4"
dn
4 d/
dR -
Г+ dl ПЛ
r dn
' v dl
102 Глава II. Определенный интеграл
Примеры. 1. Определить радиус кривизны линии у=4х—х2 в ее вершине и
построить окружность кривизны.
Решение. В примере 3 п. 1° была найдена кривизна /Са = 2 в вершине
А B, 4). В силу равенства A1) имеем #А = 1/2. Окружность кривизны
изображена на рис. 39.
2. Определить радиус кривизны циклоиды в ее вершине и построить
окружность кривизны.
..Решение. В примере 4 п. 1° была найдена кривизна /См = 1/Dа) в
вершине М. Отсюда Rm = 1 /лм=4а. Окружность кривизны изображена на рис. 25.
3°. Эволюта и эвольвента. Множество всех центров кривизны данной линии
образует линию, называемую эволютой. По отношению к своей эволюте данная
линия называется эвольвентой.
Пусть г u I — радиус-вектор и длина дуги для эвольвенты, а /ч и h — те же
величины для эволюты. Из рис. 41 видно, что n=r+Rn. Дифференцируя по /,
получим
-* -». _* ->
Нг- Л г A D -*. An _». A D -*. An
A2)
.. „ dn -* dn -*• dn -
Найдем ™- . Поскольку \ п\ =1, имеем —- ±п или ——-— (| т (в силу того,
al dl dl
—> -* -¦ •* dx -* -*• dn
что nit). Очевидно, х-п = 0; дифференцируя по /, получим.-— п + т — - 0,
а/ а/
-¦-* -* dn -*-•> 1 -* I - dn I
иди Кп + т-— = 0. Так как Кп = — п2 = —-, то т —- = — —. Далее,
dl R R dl R
- dn -> dn
векторы х и —— параллельны и | т | == 1; поэтому вектор направлен про-
dl dl
тивоположно вектору т и имеет длину \/R, т. е.
dn I -
ir=-TT- A3)
Подставляя A3) в равенство A2), получим
drt dR -
^Г = 1ГЛ- A4)
Левая часть равенства A4) есть вектор, направленный по касательной к
эволюте, а правая часть — вектор, направленный по нормали к эвольвенте, но оба
направления проходят через одну точку С и, следовательно, совпадают. Таким
образом, получаем следующее свойство эволюты, которое используется
в геометрических построениях: нормаль к эвольвенте касается эволюты в
соответствующей точке.
Чтобы составить уравнения эволюты по ее эвольвенте, найдем координаты
центра кривизны. Возьмем на линии y=f(x) фиксированную точку Мо(хо, у0)
(рис. 40) и достроим для нее центр кривизны С (X, У). Уравнение нормали СМо
имеет вид
1

§ 2.5*. Кривизна. Центр и окружность кривизны. Формулы Френе
103
Так как точка С лежит на нормали, то ее коор- У1
динаты должны удовлетворять уравнению A5):
i 3
С другой стороны, расстояние между точками
С(ХУ Y) и Afo(Jto, Уо) равно радиусу кривизны
R, т. е.
Решая совместно уравнения A6) и A7), находим
A8)
Рис. 42
В силу соотношений A1) и (8) имеем /?=•
примут вид
'(*о)Р13/2
I /" <*о) I
¦ Уо
/"
и равенства A8)
A9)
Если теперь найти координаты центра кривизны для любой точки М(х, у),
где х, у — текущие координаты, то, обозначая через y'=f'(x) и */" = f"(x),
получим параметрические уравнения эволюты с параметром х:
B0)
Для кривой, заданной параметрическими уравнениями x = x(t) и y = y(t), из
уравнений B0) легко получить параметрические уравнения эволюты с
параметром U
= х — ¦
х'у" -х"у'
х'у»—х"уг
B1)
Примеры. 1. Составить уравнение эволюты кривой ^2=2(х+1). Построить
кривую и ее эволюту.
Решение. Имеем у = }/(х + 1), откуда у'=—===. я у''—
= [2(*-М)]~3/2. Подставляя полученные выражения в равенства B0), находим
* = 3(x-fl), y=42(jc+l)]3/2. Исключив параметр *, получим ГЗ^-— *з.
Графиком исходной кривой (эвольвенты) является парабола, графиком
эволюты— полукубическая парабола (рис. 42).
2. Составить уравнение эволюты астроиды * = acos3f, y=asin3t. Построить
эвольвенту и эволюту.
Решение. Кривая задана параметрическими уравнениями. Имеем *' =
= — 3a cos2/ sin /, х"=— За cos t(cos2t—2 sin2/), y'«3e sin2/ cos /, (/"=3a sin /x
X (—sin2/-h2cos2/). Подставляя эти выражения в равенства B1), находим
X = a (cos3 / + 3 sin2 ^ cos О» У = a (sin3 / + 3 cos2 * sin /)•

104
Глава II. Определенный интеграл
Эволюта
Збольвента
Рис. 43
Прямолинейный
участок
0
а)
^ Окружность
X
Прямолинейный
участок
/ 0
Окружность
Переходная
кривая
Рис. 44
Г- J
Исключив параметр ty получим
уравнение эволюты (X+YJ'3+(X—У) 2/з =
= 2а2/3. При повороте осей координат
на 45° оно примет вид х2/3+у2/2 =
= BаJ/\ т. е. эволютой астроиды
служит также астроида, повернутая на 45°
и увеличенная вдвое (рис. 43).
4°. Переходные кривые. Рассмотрим
один практический вопрос,
возникающий при разбивке закруглений
железнодорожного полотна. Как известно из
механики, при движении материальной
точки по кривой возникает
центробежная сила, величина которой
определяется формулой F=mv2IR, где т —
масса точки, v—ее скорость, а Я —радиус
кривизны линии в рассматриваемой
точке.
Если бы прямолинейная часть
железнодорожного пути непосредственно
примыкала к дуге, являющейся частью
окружности (рис. 44, а), то при
переходе на эту дугу центробежная сила
возникала бы мгновенно.
Действительно, кривизна прямой /Ci = 0, а кривизна
окружности радиуса R составляет /Сг =
= 1/#, откуда радиус кривизны
окружности есть 1//С2=Я, а радиус кривизны
прямой l/Ki близок к бесконечности.
Следовательно, центробежная сила на
прямолинейном участке пути очень
мала, а на дуге окружности сравнительно
велика и возникает мгновенно. Это
приводит к сильным толчкам, а значит, и
к повышенному износу колесных пар и
рельсового пути. Для избежания этого
строят переходные кривые, дающие
возможность постепенно увеличивать
кривизну от нулевой на прямолинейном
участке до кривизны дуги окружности.
При этом центробежная сила нарастает
постепенно и резких толчков нет.
В качестве переходной кривой (рис.
44, б) можно использовать кубическую
параболу у— —-— . Тогда у* = —— ,
х
у"— —. Применяя формулы (И) и
Ч
(8), для радиуса кривизны в точке
Af (x, у) получим
Лд,»^- 1 +
Рис. 45

§ 2.5*. Кривизна. Центр и окружность кривизны. Формулы Френе 105
Если х—0, то Rm-+°° и кривая касается оси Ох (прямолинейного участка пути).
Если х таково, что Rx — q~—-—, то кривая касается окружности радиуса R
(закругленного участка пути).
5°. Кривизна пространственной линии. В пространстве R3 кривая может быть
задана с помощью радиуса-вектора r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k, где *(/), #(/),
z(t)—координаты переменной точки М(х, у, г), выраженные через параметр t,
а /, /, k — единичные векторы, направленные соответственно по осям Ox, Oy, Oz
-+¦
(рис. 45). Примем за параметр / длину дуги / и продифференцируем гA) по /.
Как и в плоском случае, получим единичный вектор касательной к кривой:
dr
— -т. B2)
Производная от т по / называется вектором кривизны:
B3)
Длина вектора кривизны равна кривизне линии, т. е. К= \К\ = 1//?, где R —
радиус кривизны. Как и в плоском случае, КЛл. Пусть п — единичный вектор
нормали; тогда
B4>
—>
Направление вектора п называется направлением главной нормали кривой.
Введем еще один вектор единичной длины, перпендикулярный плоскости
векторов тип:
1 = хх л. B5)
Вектор Ь называется единичным вектором бинормали.
Три единичных вектора т, п и Ь имеют ту же ориентацию, что и
координатные оси, и образуют переменный триэдр, связанный с кривой. Если кривая
является плоской, то она целиком лежит в плоскости векторов т и п. В этом
случае вектор бинормали Ь — постоянный вектор единичной длины,
перпендикулярный плоскости кривой. Если же кривая не является плоской, то производная—у
характеризует отклонение кривой от плоской формы и называется вектором
кручения. Покажем, что вектор кручения параллелен главной нормали. В силу
формул B5) и B3) имеем
db
dl
> и,
i+ TX
следовательно,
db
dl e
- dn
TX d/
dn
dl
*
B6)

106 Глава II. Определенный интеграл
Из равенства B6) вытекает, что векторы и т перпендикулярны. С другой
61
6Ь Г
стороны, производная единичного вектора Ь перпендикулярна самому век-
61
t 6b - Г 6b it -*
тору bt т. е. перпендикулярен плоскости векторов т и Ьу или цл
Тогда по аналогии с равенством B4) можно записать
где 1/р называется кручением кривой, а р — радиусом кручения. Кручение
кривой 1р, в противоположность кривизне 1/R может быть не только
положительной, но и отрицательной величиной.
Выведем формулы для вычисления кривизны и кручения. Запишем векторы
в координатной форме:
Следовательно, кривизну можно вычислить по формуле
B8)
Из равенства B7) видно, что —-—п==—л-л== — . Используя формулы
61 р р
B6) и B4), получим
— = \ тХ ^~ \п = т
PL dl J L
/?/C, откуда
Так как [tX/C]JL/C, to первое слагаемое равно нулю. Во втором слагаемом
переставим множители в векторном произведении, одновременно меняя знак; тогда
получим
В силу формул B2) и B3) имеем — = __ #2 —^ х —-* —~, 0ТКУДа пос-
р |_ d/3 61 J d/2
ле круговой перестановки получим
Кручение и радиус кручения можно вычислить по формуле B9).
6°. Формулы Френе. Обозначим направляющие косинусы каждого вектора из
переменного триэдра с осями Ох, Оу и Oz в соответствии со следующей
таблицей:

§ 2.5*. Кривизна. Центр и окружность кривизны. Формулы Френе
107
-^^^ Оси
ВекторЬ1-—^^^^
Т
п
Ь
Ох
а
at
a2
Оу
Р
Pi
Р2
Oz
У
Y2
Формулы Френе задают выражения производных по / от записанных в таб-
лице девяти направляющих косинусов. Например, для единичных векторов т
и п имеем T=ai+$j+yk, n=aii+fiij+yik. Отсюда в силу равенств B3) и B4),
d т I ->
т. е. из соотношения ' = ~* п, получим первые три формулы Френе, а
ш R
именно:
da аг dp $г dy
~dT = ~/T ' ~dl^~~R'~dl
C0)
> T0> используя равенство B7), получим
следуюДалее, так как &=a2/+P
щие три формулы Френе:
^ = ^
d/ p ' d/ p ' d/ p *
Для вывода последних трех формул Френе из непосредственного рассмотрения
переменного триэдра находим л = —тХЬ, откуда
d л d т - - d"? 1 - - 1 - - 1 •* N
d/ d/ d/ /? р /? р
Окончательно получаем
2й Г_2. .°i\ dh_ f_g_ Jal dYi [V .Y24
Пользуясь формулами Френе, можно показать, что если всюду вдоль
некоторой линии кривизна 1//? = 0, то такая линия является прямой. Действительно,
da dp у
в силу формул C0) имеем — = —= — = 0, т. е. направляющие косинусы
61 а/ а/
а, р и у касательной т к линии постоянны. Для касательной имеем a =* — , р =
d/
dy dz
= "ТГ t Y = Г> т. е. производные постоянны, а Значит, текущие
координаты х, у, z линии являются многочленами первой степени от /. Следовательно,
эта линия представляет собой кривую первого порядка, т. е. прямую.
Аналогично можно показать, что если вдоль некоторой линии кручение
равно нулю, то такая линия есть плоская кривая.

108 Глава II. Определенный интеграл
§ 2.6. Несобственные интегралы с бесконечными пределами.
Несобственные интегралы от неограниченной подынтегральной
функции. Основные свойства. Абсолютная и условная
сходимость. Признаки сходимости
ь
При определении интеграла f f(x)dx предполагалось, что: а) от-
а
резок интегрирования [а, Ь] конечен; б) подынтегральная функция
определена и ограничена на этом отрезке (см. § 2.1). Если
нарушается хотя бы одно из условий а) или б), то интеграл называется
несобственным определенным интегралом. При этом если нарушено
только условие а), то говорят о несобственном интеграле первого
рода (или интеграле с бесконечными пределами интегрирования).
Если нарушено только условие б), т. е. подынтегральная функция
имеет бесконечный разрыв на отрезке интегрирования [а, Ь], то
говорят о несобственном интеграле второго рода (или интеграле от
неограниченной подынтегральной функции).
1°. Несобственные интегралы первого рода. Рассмотрим примеры,
приводящие к таким интегралам.
Примеры. 1. Пусть требуется найти площадь 5 под кривой #=
===== 1/лг, лс^а>0 (рис. 46). Площадь всей заштрихованной фигуры
непосредственно вычислить трудно. Однако если отсечь
бесконечный «хвост» прямой х=Ьу то площадь криволинейной трапеции
b
С* Ах
аАВЬ можно найти с помощью определенного интеграла \ — . При
а
Ь-+-<х> мы должны получить площадь всей заштрихованной
фигуры, т. е.
ь Г *1
S=lim Г—= lim In* I = Игл In— =oo.
*-• J х ь+оо I b*+oo a
a L fl J
Таким образом, в данном случае говорить о площади не имеет
смысла.
2. Пусть требуется найти площадь S под кривой у= \/х2у
0. Рассуждая, как и в примере 1, имеем
5= Ига fd-?.= „m (_ДЛ| »
а а
Следовательно, в данном случае площадь бесконечного «хвоста»
конечна и равна I/a.
Итак, иногда можно обобщить лонятие определенного интеграла
на случай бесконечного верхнего предела.

§ 2.6. Несобственные интегралы. Признаки сходимости
109
Определение L Пусть
функция f(x) непрерывна на
интервале [а, оо[. Тогда конечный
ь
предел lim f/(x)djc (если он
а
существует) называется
несобственным интегралом первого рода
оо
и обозначается Г f(x)dx, т. е
Рис. 46
= lim \f(x)ux.
A)
f f(x)ux = lim [f(x)dxy
-•» a
С oe
Аналогично определяются несобственные интегралы и для
других бесконечных интервалов:
B)
C)
Комментарии к определению 1. 1) Если существует
конечный предел A), то говорят, что несобственный интеграл A)
сходится; если же предел A) либо не существует, либо бесконечен,
то говорят, что несобственный интеграл A) расходится. Так, в при-
ю
С* Ах
мере 1 несобственный интеграл \ расходится, а в примере
а
2 несобственный интеграл \ —=— сходится.
J *2 a
а
2) В левой части равенства C) несобственный интеграл
сходится тогда, когда сходится каждый из несобственных интегралов в
правой части.
•»
Примеры. 3. Вычислить Г —-
J х*
Решение. Используя формулу A), находим
lint f^?_= ни [?*!_(_*?_"L

ПО Глава II. Определенный интеграл
= lim In
b-+ ее
b
-2—\ 1 = lim In — In —=ln2.
l
Следовательно, данный интеграл сходится.
4. Вычислить \ -
Решение. Согласно формуле C), имеем \ ———
J I -f *2
— ее
О
z
= I — \- \ —-— . Первый интеграл находим по формуле
B), а второй — по формуле A):
0 0 0
Г йх 2 = lim f—4f—= Hm arctgjc
— во а <
оо b
J l-f^2 b-+oo J 1 +АГ2 ft-H.ee
0 0 0
во
Итак, I —-—= 1 = л, т.е. интеграл сходится.
щ) 1 ~у* X ? *»
—
2
5. Вычислить \ х
Г х =lim Г / х
Решение. Имеем Г х =lim Г / х Восполь-
J гуг\ 1 2/21
зуемся подстановкой x = l/t, которая позволяет свести
несобственный интеграл к собственному. Находим dx= , /=— ; если
х=2, то /=1/2, если х=Ь, то t=\/b. Тогда
ь 1/ь
lim Г J*
_J
J /1-^2 2 J ]/"l-/2
2
Г/2 ' 1/2 1/2

§ 2.6. Несобственные интегралы. Признаки сходимости 111
Значит, данный интеграл сходится.
оо
С d к
6. ВЫЧИСЛИТЬ I ~-рг- .
Решение. Имеем
оо Ь Ь
. Ух >:
Следовательно, данный интеграл расходится.
2°. Признаки сходимости несобственных интегралов первого рода.
Во многих случаях бывает достаточно установить, сходится или
расходится несобственный интеграл, не вычисляя его значение по
формулам A) — C). В этих случаях пользуются следующими
признаками сходимости, которые приведем без доказательства.
Теорема 1. Пусть при х^а выполнено неравенство
0</(лг)<ср(л;). Тогда: 1) если fcp(x)dx сходится, то схо-
а
оо оо оо
дится и интеграл f/(x)dx, причем f/(^)djc< f<p(;c)djc; 2) ее-
а а а
во во
ли [f(x)&x рас ходите я, то расходится и f cp (x) djc.
а а
Комментарий к теореме 1. В теореме 1 речь идет о
несобственных интегралах с неотрицательными подынтегральными
функциями. Если же подынтегральная функция меняет знак на
интервале интегрирования, то применяют следующий признак
сходимости.
Теорема 2. Пусть при х^а выполнено неравенство |/ (х) \ ^
оо
^ф(х), ф(х)^0. Тогда если ^у(х)йх сходится, то сходится и ин-
а
•о
теграл f f(x) dx.
а
оо
Определение 2. Несобственный интеграл Г/ (х) их называется
а
00
абсолютно сходящийся, если сходится Г | f(x) | их. Несобст-

112
Глава II. Определенный интеграл
Рис. 47
У к °°
венный интеграл (f(x)dx назы-
а
вается условно сходящимся, ее-
ли он сходится, а Г | f(x) | dx
а
расходится.
Комментарии к
теореме 2. 1) Если в теореме 2 поло-
оо
жить <p(jt)s= J/(*) |, то несобственный интеграл f f(x)dx является
а
абсолютно сходящимся. Ясно, что в силу теоремы 2 абсолютно
сходящийся интеграл сходится.
2) Все понятия и утверждения п. 2° сформулированы для
несобственных интегралов вида A). Аналогичные утверждения
справедливы и для интегралов вида B), C).
о»
Примеры. 1. Исследовать сходимость интеграла I e~^2dx.
о
Решение. Это один из «неберущихся» интегралов, который
имеет специальное название интеграл Пуассона и играет важную
роль в теории вероятностей. Графиком подынтегральной функции
у=е~-г*является кривая Гаусса (рис. 47).
ов 1 оо
Ясно, что f e-x*dx= f е"*" d.*-f f e-^dx. Первый лнтеграл в
6 6 i
сумме не является несобственным. Он численно равен площади
под кривой Гаусса на отрезке [О, 1] и выражается конечным чис-
оо
лом. Рассмотрим интеграл f e~~x* dx. Очевидно, 0<[е~**
1. Имеем
* ь
при
v
ft-»-оо
b-+°t>
оо
Так как f e~* dx сходится, то в силу теоремы 1 сходится и
оо
fe^^dx, а следовательно, и интеграл Пуассона. Можно показать,
f e-x*dx—V^n/2 (см. пример 3 п. 4° § 2.7*). Из доказанного
1
что

§ 2.6. Несобственные интегралы. Признаки сходимости 113
о г~
следует, что сходятся и несобственные интегралы \ е~Л" dx= ~~ ,
— оо
•> о «
Действительно, интеграл Пуассона \ е~х* dx равен площади, за-
о
штрихованной на рис. 47. Вследствие симметрии кривой Гаусса от-
0 во
носительно оси Оу имеем \ е~х*<1х= I е~х*6х=~— .
— во О
2в Исследовать сходимость интеграла i smx 6x.
Решение. Здесь подынтегральная функция меняет знак.
Ясно, что
sin x
[
. Находим
оо во
Так как \ — сходится, то по теореме 2 сходится и \ smx dx, a
J х2 J ^2
i i
во
на основании теоремы 1 сходится также \
J
1
но, данный интеграл сходится абсолютно.
[ dx.Следователь-
2 !
3, Исследовать сходимость интеграла \ $ . х .
2
Решение. Очевидно, что 3 1 >JL при х>2. Вычислим
1 х
Г^-=lim?-^ = liming |=:оэ.
J X ft-» J X b
2
Так как! —^-расходится, то в силу теоремы 1 расходится и
i x
3°, Несобственные интегралы второго рода. Рассмотрим примеры,
приводящие к таким интегралам.

114
Глава II. Определенный интеграл
Рис. 48
Рис. 49
Примеры. 1. Пусть требуется найти площадь S под кривой у=
= 1/х, 0^л:^1. Функция у=\/х (рис. 48) имеет бесконечный
разрыв при х=0. Площадь всей заштрихованной фигуры
непосредственно вычислить трудно. Однако если отсечь бесконечный «хвост»
прямой л:=е, то можно найти площадь дважды заштрихованной на
С &х
рис. 48 криволинейной трапеции с помощью интеграла \ — . При
в
s->0 мы должны получить в пределе площадь всей
заштрихованной фигуры, т. е.
1 1
= lim Г—
e-*0 J X
=limln;c
X е-*0
I
= lim In —=00.
e-0 в
Таким образом, в данном случае говорить о площади не имеет
смысла.
2. Пусть требуется найти площадь 5 под кривой у =
= 1/УЬ — х, 0<л:<& (рис. 49; считаем, что Vb — jc>0).
Функция y = l/\^b--x не определена в точке х=Ь отрезка [О, Ь].
Рассуждая, как й в примере 1, имеем
Ь—е г- Ь
S=
Ь—е г- Ь—t-i
=lim Г ?— =ltm -2V~b^z =21im
0 L 0 J
Следовательно, в данном случае площадь бесконечного
«хвоста» равна конечному числу 2)/^.
Итак, иногда можно обобщить понятие определенного
интеграла на случай неограниченной подынтегральной функции.
Определение 3. Пусть функция/(х) определена и
непрерывна на интервале [а, Ь[, а при х—b либо не определена, либо

§ 2.6. Несобственные интегралы. Признаки сходимости 115
ь—е
имеет разрыв. Тогда конечный предел lim [ f(x)dx (если он су-
а
ществует) называется несобственным интегралом второго рода,
т. е.
Ь-в
f/U)dx = lim f f(x)dx. D)
Аналогично определяется несобственный интеграл в тех
случаях, когда подынтегральная функция f(x) не определена или имеет
разрыв при х=а:
ъ ь
[ f (x)dx=:\im f f(x)dx4 E)
a ' fl + e
либо при х=с, где се]а, й[:
с
f/(jc)djc==lim f /(x)djc + lim f /(x)d^. F)
Комментарии к определению 3. 1) Если существует
конечный предел D), то говорят, что несобственный интеграл D)
сходится; если же предел D) либо не существует, либо бесконечен,
то говорят, что интеграл D) расходится. Так, в примере 1 несоб-
С dx
ственный интеграл \ — расходится, а в примере 2 несобственный
о
b
интеграл I— х =B]/~h сходится.
J УЬ — х
о
2) В левой части равенства F) несобственный интеграл
сходится тогда, когда существует и конечен каждый из пределов в
правой части.
1
Примеры. 3. Вычислить Г х
о
Решение. Подынтегральная функция на отрезке [0, 1] не
определена при х=\. По формуле D) находим
О
Следовательно, данный интеграл сходится.
4. Вычислить \
2
dx
1J

116 Глава //. Определенный интеграл
Решение. Здесь подынтегральная функция имеет разрыв при
*=1. По формуле F) получим
J (ЛГ-1J €-0 J (JC— 1J ' g^ J (*-lJ
0 0 1+8
* i- 2
(I \ | / 1 \ I / 1
J —J— 1 i jn i ) =lim[
x — \J\ 8-0 \ л: — 1/1 e-oV •
8-0
Значит, данный интеграл расходится.
4°. Признаки сходимости несобственных интегралов второго рода.
Приведем без доказательства следующие утверждения.
Теорема 3. Пусть при *е[а, Ь[ выполнены неравенства 0^
^/(*)^ф(*) и функции f(x) и ф(х) либо не определены, либо
имеют разрыв при х=Ь. Тогда:
ъ ъ
1) если f cp(jc)djc сходится, то сходится и Г /(
а а
Ь Ь
2) если f /(х)йх расходится, то расходится и f <p(Jt)d;c.
а а
Если подынтегральная функция меняет знак на отрезке
интегрирования, то применяют следующий признак сходимости.
Теорема 4. Пусть при х^[а, Ь[ выполнено неравенство
\f (х) I ^ф(*Ь фМ ^0, а функции }(х) и ф(*) либо не определены,
ь
либо имеют разрыв при х=Ь. Тогда если f ср(лг)<1л: сходится, то
а
Ъ
и Г/(л:)с1л: сходится.
а
Комментарии к теоремам 3 и 4. 1) Для сравнения с
подынтегральной функцией часто используют функции \/{Ь—х)а.
ь
С dx
Можно показать, что \ — сходится при а<1 и расходится
J (о х)
при
2) Теоремы 3 и 4 сформулированы для несобственных
интегралов вида D). Аналогичные утверждения можно сформулировать и
для интегралов вида E), F).
Примеры. 1. Исследовать сходимость интеграла \ _\х .
J У1-ДГ4

§ 2.6. Несобственные интегралы. Признаки сходимости 117
Решение. Здесь подынтегральная функция имеет разрыв при
х = 1. Для сравнения возьмем функцию 1/A—л:I/2. Очевидно, что
Ух 1
у 1-х* УТ^х при хе[0, 1[. Находим
1-е
(l-jc)-1/2djc =
е-0
Г /* =Нш Г (l-
J У 1— X е-0 J
О 0
1-е
е-И)
А
С dx
Так как \ / сходится, то в силу теоремы 3 сходится и
о
С yxdx
J УТ^хЛ '
о
2. Исследовать сходимость интеграла I —— .
J ех — cos х
о
Решение. Здесь подынтегральная функция имеет разрыв при
х=0. При ле]0, 1] имеем — > » так как
ех — cos х хе
—cosjc. Находим
1 1 1
=-L
e
J jce e e-^o J x e t-^o
О
о
1
С dx
Поскольку I расходится, в силу теоремы 3 расходится и
i/ XQ
О
dx
\х — cos х
5°. Упражнения
Вычислите несобственные интегралы первого рода:
4# i _^ 5# i . 6. I jc sin* djc.
l l о

118 Глава II. Определенный интеграл
7. \ —- . 8. \ е~* sinx dx.
Исследуйте сходимость интегралов первого рода:
ео оо
xdx
Вычислите несобственные интегралы второго рода:
Н. f з ^ • '2. f . "Х . .3. f-^-
J УD*) J
2 1 Ь
14. Г — . 15. \x\xixdx, 16. Г Г ** .
О 0 а
Исследуйте сходимость интегралов второго рода:
%щ С x*dx <о Г dx t С Vxdx
П. \ о . 18. I —т= . 19. \ -^гз •
§ 2.7.* Интегралы, зависящие от параметра. Непрерывность.
Дифференцирование и интегрирование по параметру.
Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Гамма- и бета-
функции
1°. Интегралы, зависящие от параметра. Рассмотрим функцию f(x, а) двух
переменных, определенную для всех х из конечного или бесконечного интервала
[а, Ь] и всех а из некоторого множества А. Пусть при каждом фиксированном
значении аеЛ функция /(*, а) интегрируема на [а, Ь] в собственном или
несобственном смысле. Тогда определенный интеграл
b
/(а) = ]7(лг, a)dx A)
а
является функцией параметра а.
Кроме того, от параметра а может зависеть не только подынтегральное
выражение, но и сами пределы интегрирования, т. е.
Ь (а)
/(о)= J /(х, a)dx. B>
Л (а)
Интегралы вида A) и B) называются интегралами, зависящими от параметра.
2°. Непрерывность, дифференцирование и интегрирование по параметру
интеграла A). Рассмотрим вопрос о непрерывности по а функции /(а), определяемой
соотношением A). Пусть множество Лэа — конечный отрезок [с, d]. Тогда
справедливо следующее утверждение.

§ 2.7*. Интегралы, зависящие от параметра. Гамма- и бета-функции 119
Теорема 1. Если функция /(*, а) определена и непрерывна как функция
от двух переменных в прямоугольнике a^x^b, c^a^d, то интеграл A)
непрерывен по параметру а на отрезке [с, d\.
Доказательство теоремы 1, а также доказательства последующих теорем
данного параграфа можно найти в более подробных курсах.
Пример 1. Рассмотрим интеграл I (а) ~ § eaxs\nx dx при ае[0, 1]. Так как
подынтегральная функция f(xf a)=ee*sin;t непрерывна при О^х^п и
то в силу теоремы 1 интеграл /(а) является непрерывной функцией а на
отрезке [0, 1]. Вычисляя интеграл по частям, получим
tz те тс т
f eax sin x dx = — eax cos x I + a f eax cos x dx = еятс -f- 1 — a2 f eax sin x dx.
i oo о
ea* + 1
Значит, /(a)=eeTC +1— a2/(a) или/(а) = —¦ —, откуда ясно, что
/(а) непрерывен по a^[0, 1] (в данном случае /(а) непрерывен при любом
значении а).
Рассмотрим теперь вопрос о дифференцировании интеграла A) по
параметру а на отрезке [с, d].
Теорема 2. Пусть функция f(xt a) и ее частная производная f'a(x, a)
определены и непрерывны в прямоугольнике a^.x^.by c^.a^d. Тогда при
любом а^[с, d] справедливо равенство
[ъ -у ь
J/(jc, a)dx =J71(*, a)dx. C)
a Ja a
Комментарии к теореме 2. 1) Для нахождения производной
интеграла A) по параметру а достаточно продифференцировать по а
подынтегральную функцию.
2) Правило C) называется правилом Лейбница.
1С
Примеры. 2. Найти производную интеграла ( еах sin x dx по параметру а.
Решение. Имеем /^ (*, а)== (ea*sinjt)^ = еадг *sin x. Так как
производная непрерывна для всех значений (*, а), то применима формула C). Далее,
находим
(V'sinjcdx I = Г
10 Ja О
х sin
A+02J
Рекомендуем проверить, что получится тот же результат, если сначала
вычислить данный интеграл (см. пример 1), а затем производную полученной
функции по а.
р хь—ха
3. Вычислить интеграл I * dx, где 0<Za^.b.
J In*
о
Решение. Будем рассматривать интеграл как функцию параметра
лри фиксированном а. Тогда по теореме 2 получим
. . И
/j(*)= ' ' х" - ' . • I*. ~ l

120 Глава //. Определенный интеграл
С db
Итак, /(&)= 1- + С = In F -f 1) +С Для определения С положим Ь== а;
J 1 + о
тогда /(а)=0, т. е. С=—1п(а-И). Используя полученное значение, находим
i
'*•-.

Inа+1
о
Выясним, при каких условиях функцию A) можно интегрировать по
параметру а под знаком интеграла, т. е. когда справедливо соотношение
d\ ь
I b\d I
. a)dx da^J J7(jc, a)da dx.
} a[c J
Опуская скобки, эту формулу можно записать в виде
d ь ь d
JdaJ/(*, a)d* = |d* J/(jc, a) da. D)
с а а с
Теорема 3. Если функция f(xt a) непрерывна по переменным хин.
в прямоугольнике a<Jt<6, c^a^d, то справедлива формула D).
1 .
Пример 4. Вычислить интеграл \ — dx, 0<a < b.
j in x
0
xb — xa
Решение. Представим подынтегральное выражение в виде
In л:
ха da. Тогда по теореме 3 находим
т. е. получен тот же результат, что и в примере 3.
3°. Непрерывность и дифференцирование по параметру интеграла B). Для
интеграла вида B) справедливы аналоги теорем 1 и 2.
Теорема 4. Пусть функция }(ху а) определена и непрерывна в
прямоугольнике a^.x^.by c^a^d, а кривые jc=a(a), jt=6(a) при ae[c, d]
непрерывны и не выходят за его пределы. Тогда интеграл B) является непрерывной,
функцией от а на отрезке [с, d].
Теорема 5. Пусть выполнены все условия теоремы 4 и, кроме того,
функция f(xt а) при a^.x^.b, c^.a^d имеет непрерывную производную \\ (xt a),
а также существуют производные а'(а) и Ь'(а). Тогда интеграл B) имеет
производную по параметру а, которая выражается формулой
Ь(а)
'«(«>= j /!(*• «О<**+*'(«)/<*(а). «0-л'<<*)/(в(а), а). <5>
Л (а)
а*
Примеры. 1. Найти производную функции / (a) = J e~ax d* по пара-
a
метру а.

§ 2.7*. Интегралы, зависящие от параметра. Гамма- и бета-функции
121
Решение. Согласно формуле E), имеем
/; (а)« ] (e~axtYa dx + (а2)' е~а <*">' - а'
r*x% dx -f- 2а е~а* — е~а'.
а
С In A + ху)
2. Найти производную функции / (х) = I
о
ш е н и е. По формуле E) находим
ln(l+*y)V А , _,
dy (x > 0) по
параметру X.
Pei
4°. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Рассмотрим теперь
несобственные интегралы, зависящие от параметра, т. е. интегралы вида
во
/(a) = j f(x, a)d*, F)
а
где функция f(x, a) определена и интегрируема при х^а для любого аеЛ.
В силу определения несобственного интеграла (см. § 2.6) имеем
G)
Введем понятие равномерной сходимости интеграла G) относительно
параметра а.
Определение. Интеграл /(а) называется равномерно сходящимся
относительно аеЛ, если для любого е>0 найдется не зависящее от а число Ь^
такое, что при b>b0 неравенство
J /(л:,
(8)
будет выполнено для всех аеЛ.
сю
Пример 1. Показать, что интеграл J ae~ax dx равномерно сходится
относительно ае[1, 2].
Решение. Используя подстановку а*=ы, получим
•о «» A: k
\ <to~~ax dx ~ \ e~a da = Urn f e~"tt du = lim ( — e~a) I == e*~a*»
«. It-*- aa b

122 Глава //. Определенный интеграл
Так как e"~aft->0 при Ь-+<х> и ае[1, 2], то для любого е>0 существует число
Ьо^О, удовлетворяющее всем условиям определения равномерной сходимости
интеграла. Действительно, чтобы при ae[l, 2] было выполнено неравенство
е~а* < в1, достаточно выбрать Ьо так, чтобы выполнялось неравенство е~&0<е,
откуда &о>1пA/е). Очевидно, Ьо не зависит от а. Следовательно, интеграл
оо
Jae""aArd^ сходится равномерно относительно ае[1, 2].
о
Приведем без доказательства достаточное условие равномерной сходимости.
Теорема 6. Пусть f(x, а) непрерывна по х при х^а. Если существует
функция ф(*), интегрируемая на [а, оо[ и удовлетворяющая при всех аеЛ
неравенству
\/(х9 аI <9(д:), х>а, (9)
то интеграл F) сходится равномерно относительно
ао
Пример 2. Применим теорему 6 к интегралу /(о)== J ае~ах&х, ае[1, 2].
Положим (р(*)=2/е*, так как при всех ае[1, 2] и х^О справедливо
неравенство | ае~~ах | < 2/ех- Покажем, что функция ф(*)=2/е* интегрируема на
[О, оо[. Имеем
k k
r^-djc = 21i
= 2
0 0 0
Значит, интеграл \ аеГ~ах &х сходится равномерно относительно ае[1, 2]
(что было непосредственно доказано в примере 1).
Для равномерно сходящегося относительно параметра аеЛ интеграла F)
справедливы аналоги теорем 1—3.
Теорема 7. Если функция f(x, a) определена и непрерывна, как функция
двух переменных при х^а и c^a^d и интеграл F) сходится равномерно от-
носительно asfc, d], то:
1) интеграл F) непрерывен по параметру a^[c, d]\
2) справедлива формула
d оо оо d
jdaj f(x, a)dA: = | djcj/(jc, a>da; A0)
с а а с
3) если, кроме того, производная f\ (x, а) непрерывна по обеим переменным
при х^а и c^az^d, а интеграл | f'a(x> a)dx сходится равномерно относи-
а
тельно ае[с, d], то при любом ае[с, d] имеет место формула
/|(a)=f /(a:, a)dx\ =J f'a(x, a)dx. A1)
la \a a
oo
Пример 3. Вычислить интеграл Пуассона / = J ъ~х% djc.
Решение. Применим подстановку x~ut, где м>0. Тогда получим
оо
/ = aj e"~a'/sd^. Умножая обе части равенства на e~"*da и интегрируя по
параметру и в пределах от 0 до оо, имеем

§ 2.7*. Интегралы, зависящие от параметра. Гамма- и бета-функции 123
/ { e-"f da = /2 = J e~ttl a da] е""" dt.
По формуле A0) находим
оо оо во
J J 2 J 1+ а 4
0 0 0
оо _
Так как / > 0, то / = I е~~*' dx = J—.
о
5°. Гамма- и бета-функции. Рассмотрим одну из важнейших функций
математического анализа и его приложений — гамма-функцию, определяемую интегралом
Г(а)=Г х*~1еГхйх. A2)
Интеграл A2) называется интегралом Эйлера второго рода. Он сходится
при любом а>0. Действительно,
1
xa~l e~x dx =
= J x*-1 e~-x dx + J xa~l e~x dx.
0 1
Первый и второй интегралы в правой части сходятся при а>0, так как
1 оо
0 < Jха~1 е~хdx < I/a, 0 < J х^~~1 е~~хdx < оо(проверьте это самостоятельно).
о 1
Рассмотрим некоторые свойства гамма-функции. Умножая равенство A2)
на а и интегрируя по частям, получим
• -
Urn
Г
lim
&-0
L
ае*
— \ ха е~х dx I =
a
J J
о L о о
J
о
Следовательно, справедливо соотношение
A3)
Применяя равенство A3) многократно, получим
п-2)...(а+ 1)аГ(а). A4)
Таким образом, вычисление гамма-функции для произвольного аргумента a
может быть сведено к вычислению ее значений для ae]0, 1] или ае]1, 2].
Положим в равенстве A2) а=1. Тогда
ь
= 1. A5)
Полагая в соотношении A4) а=1 и учитывая A5), находим
:л(л —1)...2.ЬГA)==л1. A6)

124 Глава II. Определенный интеграл
Следовательно, гамма-функция является естественным распространением на
любые положительные значения аргумента п функции л!, определенной лишь для
натуральных п.
С гамма-функцией тесно связана еще одна важная для приложений
функция— бета-функция, определяемая интегралом
1
В (о, Р)= f -г*" (I — jc)p~ djf. A7)
Интеграл A7) называется интегралом Эйлера первого рода. Он является
функцией двух параметров а и Р и сходится при их положительных значениях.
Связь между гамма- и бета-функцией выражается формулой
Гамма- и бета-функция не являются элементарными. Значения этих функций
табулированы, их можно найти в специальных справочниках*.
те/2
Пример. Вычислить интеграл [ sln2/sx cos5/2x dx.
о
Решение. Применяя подстановку sinx=y, получим
*f Sift2/3 X COS5/2* d* = I y2<*(l - (,2K/4 dy = } 05/8-1 A _
Полагая y2 = t, по формулам A7) и A8) находим
l l
1 Г E/6) Г G/4)
2 ГC1/12)
По таблицам гамма-функции, приведенным в справочнике, находим Г G/4) =
=Г( 1,750) =0,91906. Значения гамма-функции при а=5/6 и а=31/12
непосредственно по таблице найти нельзя, так как таблица составлена для значений
аргумента а<=[1, 2]. Используя формулу A3), имеем ГE/6)= Г@,833) =
= A/0,833). ГA,833) ж 1,20,94114= 1,12934; ГC1/12) = Г B,583) = 2,583 X
ХГA,583) «2,583-0,89191=2,30380. Округляя найденные значения до двух
знаков после запятой, получим
* См., например: Справочник по специальным функциям с формулами,
графиками и математическими таблицами/Под ред. Н. Абрамовича и И. С т и-
ган. М., 1979.

Глава III
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
§ 3.1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Ко-
ши. Теорема существования и единственности решения
задачи Коши. Понятие об общем, частном и особом решениях
дифференциальных уравнений
Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в
которых искомыми являются функции одной или нескольких
переменных, причем в эти уравнения входят как сами искомые функции,,
так и их производные (или дифференциалы). Порядок старшей из
производных или старшего из дифференциалов искомой функции
называется порядком уравнения.
Если искомые функции, входящие в дифференциальное
уравнение, зависят от нескольких аргументов и уравнение содержит
частные производные этих функций по нескольким переменным, то
такое уравнение называется уравнением в частных производных.
Если же искомая функция зависит от одного аргумента, то
дифференциальное уравнение называется обыкновенным.
Например, уравнения х-У- = у-\-х, — +4 -^--|-4*/ = е*, (*2 +
dx dx% dx
+ 1)djc3-h (t/3+5)d3*/=0 являются обыкновенными уравнениями
соответственно первого, второго и третьего порядка. Здесь у —
некоторая неизвестная искомая функция аргумента х\ —, —— ее про-
dx dx2
изводные по х\ dx и dy — дифференциалы аргумента х и
функции у.
В настоящей главе будут рассмотрены лишь обыкновенные
дифференциальные уравнения. К уравнениям такого вида приводят
многие задачи физики и механики (см. § 3.2*).

126 Глава III. Обыкновенные дифференциальные уравнения
1°. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши.
В общем виде обыкновенное дифференциальное уравнение первого
порядка записывается так:
F(x% у, у')=0. A)
Соотношение A) связывает независимую переменную х, искомую
функцию у=у(х) и ее первую производную у'. Здесь F(x, у, у') —
заданная функция от трех переменных х$ у, у' на некотором
множестве в трехмерном пространстве R3. Иногда уравнение A) удается
разрешить относительно производной, т. е. привести его к виду
y'=fix4 у). B)
Рассмотрим уравнение B). Пусть G — открытое множество на
плоскости R2, в котором функция f(x, у) определена и непрерывна.
Определение 1. Решением (на интервале /ciR)
дифференциального уравнения B) называется дифференцируемая на
интервале / функция у=у(х)у график которой лежит в G и которая
обращает уравнение B) в тождество для всех значений х из
интервала /, т. е. (х, y(x))<=G, y'(x)=f(xy y{x)) V*<=/.
Решение у на интервале /, рассматриваемое на более узком
интервале /id/, называется сужением решения у на интервал 1\.
Каждое сужение решения у также является решением уравнения
B).
Если решение у не служит сужением ни одного решения
уравнения, отличного от самого этого решения, то решение у
называется непродолжаемым (максимальным). В подробных курсах
доказывается, что каждое решение может быть продолжено до непро-
должаемого и притом единственным способом, если выполнены
определенные условия существования решения.
Определение 2. Решением в неявном виде (на интервале
/cR) дифференциального уравнения B) называется соотношение
ф(л:, #)=0, определяющее у(х) как неявную дифференцируемую
функцию для всех jcg/, которая является решением уравнения B)
на интервале /.
Определение 3. График решения уравнения B) на
плоскости R2 называется интегральной кривой (линией) этого уравнения.
Комментарии к определениям 1—3. 1) Понятие
решения, приведенное в определении 1, в противоположность
понятию из определения 2 можно назвать решением в явном виде (на
интервале /ciR).
2) Аналогично определяются понятия решений в явном и в
неявном виде, а также интегральной кривой для дифференциального
уравнения A), не разрешенного относительно производной.
Процесс отыскания решений дифференциальных уравнений
называется их решением (или интегрированием).
Примеры. 1. Проверить, является ли функция у=2х решением
дифференциального уравнения ху'—*/=0.

§ 3.1. Дифференциальные уравнения первого порядка 127
Решение. Подставив функцию у = 2х и ее производную у'=
= 2 в данное уравнение, получим тождество х-2—2х==0.
Следовательно, у=2х — решение уравнения.
2. Показать, что функция у=Сх, где CeR— произвольная
постоянная, является решением уравнения ху'—*/=0.
Решение. Имеем у~Сху у'=С. Подставив эти выражения в
данное уравнение, получим тождество хС—C*=0. Следовательно,,
функция у—Сх при любом CeR является решением данного
уравнения. В частности, при С=2 получаем решение данного
уравнения, указанное в примере 1.
3. Для дифференциального уравнения уу'+х=0 показать, что
соотношение х2 + у2 = С (CeR) является его решением в неявном
виде.
Решение. Найдем производную по х функции у=у(х), за-
данной неявно. Имеем 2х + 2уу'=0 Vjc, у, откуда х + уу'=0.
Следовательно, при любом C^R соотношение х2 + у2 = С является
решением данного уравнения в неявном виде.
Из примеров 2 и 3 видно, что дифференциальное уравнение
может иметь бесконечное множество решений. Главной задачей
теории дифференциальных уравнений является доказательство того,
что они имеют решения, а затем — описание всех решений, а
также установление условий, при которых уравнения однозначно
разрешимы.
Рассмотрим частный случай уравнения B), изучаемый в
интегральном исчислении, а именно
y' = f(x), AreE/cR, C)
где f(x) —заданная непрерывная на интервале /ciR функция. Как
известно (см. п. 2° § 1.1), все первообразные для функции f(x) на
У задаются формулой
х
J *0, *е=/, D)
где С — произвольная постоянная. Каждая первообразная у(х)у
определяемая равенством D), является решением уравнения C).
В гл. I было показано, что других решений это уравнение не
имеет. Следовательно, соотношение D) задает все решения уравнения
C). В этом случае решение D), содержащее одну произвольную
постоянную С, называется общим решением уравнения C).
Каждое решение, получающееся из общего решения при конкретных
значениях произвольной постоянной С, называют частным
решением. Чтобы выделить частное решение уравнения C), достаточно
задать значение первообразной у=у(х) в какой-нибудь точке.
Пусть, например, у{хо)=уо. Тогда из соотношения D) имеем
у(хо) — С или С=(/о, т. е. решение единственно и равно

128 Глава III. Обыкновенные дифференциальные уравнения
*o. *еЛ yo^R. E)
Примеры. 4. Решить уравнение у'—sin лс=О.
Решение. Запишем уравнение в виде y'=sinx. Полагая в
X
формуле D), например, *0 = л/2, получим у(х) = [ sinxdx-\-C =
Z/2
= —cos х-{-С, где С—-произвольная постоянная.
5. Найти частное решение уравнения у'—sinx=0,
удовлетворяющее условию */@)=3.
Решение. Здесь хо = 0у уо=3. По формуле E) находим
у(х)=-3-{-{ sin tut = 3 —cost
=3 — cos x 4-1 =4 — cos x.
Заметим, что такой же результат получится, если сразу подставить
данное условие в общее решение уравнения. Действительно, в
примере 4 мы нашли, что общее решение указанного уравнения есть
у= — cosx+C. Подставив в это равенство *=0 и «/=3, получим
3=—cos 0 + С, откуда С=4. Следовательно, частное решение
имеет вид у=4—cosjc.
Задача о нахождении частного решения дифференциального
уравнения, удовлетворяющего некоторым дополнительным
условиям, часто встречается в приложениях. Если эти условия
относятся к одному и тому же значению аргумента искомой функции, то
их называют начальными. В тОхМ случае, когда начальные условия
для дифференциального уравнения состоят в задании
фиксированных значений искомой функции и ее производных, их называют
условиями Коши, а задачу с условиями Коши — задачей Коти.
Задача Коши для дифференциального уравнения B)
формулируется так: найти такое решение уравнения B), что у(Хо)—уо,
где хо, уо — заданные числа (называемые начальными значениями
или данными).
Так, в примере 5 была рассмотрена задача Коши с начальным
условием #@)=3.
Для частного случая уравнения B), а именно для уравнения
C), решение задачи Коши задается формулой E).
Пример 6. Решить задачу Коши: у'—2х=0, у(\) =2.
Решение. Согласно формуле D), общее решение данного
X
уравнения имеет вид у= ^2x6x+C=x2+G* Подставляя в по-
о
следнее равенство х—1 и #=2, получим 2=1 +С, откуда С—1.
Частное решение у=д:2+1 является решением исходной задачи
Коши.

§ 3 I. Дифференциальные уравнения первого порядка 129
Возникает вопрос, всегда ли задача Коши имеет решение и если
ее решение существует, то является ли оно единственным. Для
уравнения B) ответ на этот вопрос дает следующая
фундаментальная теорема об однозначной разрешимости задачи Коши.
Теорема 1 (о существовании и единственности
решения задачи Коши). Пусть в дифференциальном
уравнении B) функция /(л\ у) и ее частная производная f'y
определены и непрерывны на открытом множестве DczR2. Тогда в некоторой
окрестности \х—.vo|<6 тонки хо существует непрерывное решение
у(х) задачи Коши:
4/(х> У
dx
Это решение единственно, т. е. если у\ (х) и у2 (х) — два
непрерывных решения задачи Коши F), то У\(х)=у2(х) для есех х, при
которых эти решения определены.
Доказательство этой теоремы приводится в более подробных
курсах.
Комментарии к теореме 1. 1) Очевидно, что множество
D из условий теоремы 1 является подмножеством множества (i,
фигурирующего в определении 1, т. е. D^GczR2.
2) Теорема 1 гарантирует существование решения только в
некоторой малой окрестности точки х0.
3) Уравнение B) имеет бесконечное множество решений,
зависящее от одного параметра. Действительно, при фиксированном х0
различным начальным значениям у0 таким, что (х0, yo)^D,
соответствуют различные решения; это условно записывается так: у —
=У(Х> Уо), гДе Уо — параметр.
4) Геометрически теорема 1 означает следующее: при
соблюдении ее условий через каждую точку (х0, yo)^D^G проходит
единственная непродолжаемая интегральная кривая уравнения B).
Определение 4. Множество D^GczR2, в каждой точке (хо,
Уо) которого существует и притом единственное решение задачи
Коши F), называется областью единственности для
дифференциального уравнения B).
Если для каждой точки (*0, уо) множества DczR2 выполнены
условия теоремы 1, то D есть область единственности для
уравнения B).
Примеры. 7. Найти область единственности для уравнения у' =
= 2х.
Решение. Функция f(xy y)=2x и ее частная производная
//y=3.*B*)/j/=O непрерывны на всей плоскости R2; следовательно,
в силу теоремы 1, D=R2 — область единственности для уравнения
у' = 2х.
8. Найти область единственности для уравнения #'——у/х.

130 Глава III Обыкновенные дифференциальные уравнения
Решение. Функции / (х, у)=—у/х и f'y = —Л!х определены
и непрерывны для всех точек плоскости R2, за исключением точек
оси х=0. Значит, D={(xy у) \хФЩ есть область единственности.
2°. Общее, частное и особое решения уравнения первого порядка и
их геометрический смысл. Рассмотрим уравнение первого порядка,
разрешенное относительно производной.
Определение 5. Пусть D^GczR2 есть область
единственности для уравнения B). Непрерывная функция у(х, С), имеющая
непрерывную частную производную по л*, называется общим
решением уравнения B) в D, если:
1) соотношение у—у(ху С) разрешимо относительно С для
любой точки (х, y)^D, т. е.
С = *И*> У), G)
причем функция \|?(л:, у) непрерывна;
2) функция у(х, С) является решением уравнения B) при всех
значениях С, удовлетворяющих соотношению G), когда точка
(х, у) пробегает всю область единственности D.
Определение 6. Соотношение \jp(xy y) = C (или функция ф),
определенное формулой G), называется общим решением в
неявном виде (или общим интегралом) уравнения B) в области
единственности D^G.
Определение 7. Решение уравнения B), во всех точках
которого выполняется свойство единственности решения задачи Ко-
ши, называется частным решением. Решение уравнения B), во всех
точках которого нарушено свойство единственности, называется
особым решением.
Комментарии к определению 7. 1) Все решения, не
удовлетворяющие данному определению, называются составными.
2) Особые решения уравнения B) (если они существуют)
можно найти без интегрирования этого уравнения. Интегральные линии
особых решений лежат на границе области единственности.
По известному общему решению у(х, С) уравнения B) в
области единственности D всегда можно найти решение задачи Коши
для этого уравнения, если начальные значения (л*0, j/о)
принадлежат D. Таким решением является функция у(х, Ц(\'о, уо)). Отсюда
следует, что все решения, полученные из общего решения при
конкретном значении произвольной постоянной, являются частными
(так, в примерах 2—4 п. 1° были указаны общие, а в примерах 1
и 5 п. 1° — частные решения уравнений).
Теорема 2 (о существовании общего решения).
Пусть f и \'у определены и непрерывны на открытом множестве
D^GcR2. Тогда для каждой точки (х0, у0) еО можно указать
окрестность UczD, в которой существуе! общее решение уравнения B).
Доказательство этой теоремы приводится в более подробных
курсах.

§ 3.1. Дифференциальные уравнения первого порядка
131
Рис 50
Рис 51
Комментарии к теореме 2. 1) Теорема 2 гарантирует
существование общего решения только в некоторой малой
окрестности точки (.to, yo)^D.
2) Из теоремы 2 и определения 5 следует, что множество
решений дифференциального уравнения B) в окрестности каждой
точки (хо, Уо) области единственности D задается функцией у(\\ С),
зависящей от одного параметра С.
3) Имеются дифференциальные уравнения, удовлетворяющие
условиям теоремы 2 на множестве D, но для которых не
существует общего решения на всем множестве D.
Пример 1. Рассмотрим уравнение у'=у2. Так как функции /=
= у2 и f'y = 2y определены и непрерывны на множестве J9 — R2, то
в силу теоремы 2 общее решение существует в окрестности каждой
точки плоскости хОу. Функция у(х) = (С—х) \ определенная при
всех хфС, является общим решением в областях у>0 и #<0, a
функция у(х) = С(\—Сх)-\ где хф\1С, является общим
решением в областях ху>— 1 и ху< — 1. Однако на всей плоскости хОу
общее решение не существует.
Выясним геометрический смысл уравнения B) и его решений.
Каждой точке М(хъ, yo)^G поставим в соответствие отрезок
прямой, проходящей через М и имеющей угловой коэффициент tgct =
=/(.Vo, у о) (рис. 50). Тем самым в G задается множество прямых,
называемое полем прямых. Так как представляют интерес не сами
эти прямые, а их направления, то принято говорить, что уравнение
B) определяет множество направлений в G, называемое полем
направлений.
Угловой коэффициент касательной к кривой у=у(х) в точке
М(х0, уо) равен значению производной #'(л'о, уо) в этой точке.
Поэтому интегральная кривая уравнения B) в каждой точке

132 Глава И! Обыкновенные дифференциальные уравнения
М(х0, у0) имеет касательную с угловым коэффициентом у'(х0, yQ) —
=/(*о, #о)« Следовательно, дифференцируемая функция у(х)
является решением уравнения B) в том и только в том случае,
когда ее график лежит в G и в каждой его точке направление
касательной совпадает с полем направлений.
Этим пользуются для приближенного построения семейства
интегральных кривых: сначала выбирают ряд точек на плоскости R2,
затем вычисляют в них значения правой части и определяют
угловой коэффициент касательных к интегральным кривым по
формуле ft = tga=/(.Vo, уо) и, наконец, отмечают полученные
направления и приближенно проводят интегральные кривые.
Геометрически общее решение уравнения B) представляет
собой семейство интегральных кривых, зависящее от одного
параметра С, а частное решение —одну из интегральных кривых этого
семейства, проходящую через точку Af(jt0, yo)^D^G. Чтобы
выделить эту кривую из семейства у(х, С), поступают следующим
образом: вычисляют значение Co = t|)(*o, уо) по формуле G) и
полученное значение подставляют в общее решение. Тогда функция */=
=у{х, Co) определяет частное решение, график которого проходит
через точку Af (л0, уо).
Примеры. 2. Рассмотрим уравнение у' — 2х. Здесь ?>=R2, а
общее решение данного уравнения имеет вид у=х2 + С (см. примеры
6 и 7 п. 1°). Этому общему решению соответствует семейство
парабол (рис. 51). Через каждую точку плоскости проходит только
одна парабола. Найдем уравнение параболы, проходящей через
точку Af A, 2). Для этого решим задачу Коши с начальным условием
i/(l)=2. Имеем 2=12 + С, откуда С=\ и уравнение искомой
параболы имеет вид y==.v2+l. На рис. 51 изображена интегральная
кривая, проходящая через точку Af A, 2).
3. Пусть дано уравнение —^- —3#2'3. Проинтегрируем его, рас-
Q,X
сматривая ,г как искомую функцию от у. Данное уравнение
эквивалентно двум уравнениям —~ --—^ и #=0 (второе уравнение
d у Зуг>
необходимо рассмотреть вследствие того, что исходное уравнение
имеет решение # = 0, а преобразованное уравнение исключает его).
Находим л: = i —~ или .v=«/I/3 + C. Выражая у явно, получим об-
щее решение у=(х—СK исходного уравнения. Решение #=0
является особым, так как в каждой точке оси Ох нарушено свойство
единственности. Действительно, f(x, y)=3y2/i, //(/=2f/~1/3= ЩУ
т. е. D={(.v, у):уФ0} — область единственности. Условия теоремы
1 о существовании и единственности решений нарушены в каждой
точке особого решения у — О.
Общее решение рассматриваемого уравнения есть семейство
кубических парабол, смещающихся вправо с увеличением С (рис. 52).

§ 3.1. Дифференциальные уравнения первого порядка
133
Рис. 52
Все эти интегральные кривые
касаются особого решения */=0 и
имеют с ним только одну общую
точку.
Пусть Го — совокупность
линий, определяемых особым
решением #=0 и общим решением #==
= (*—СK. Если две различные
линии из семейства Го имеют
общую касательную в некоторой
точке, то из частей этих линий
можно составить новую линию,
которая также есть интегральная
линия. Соответствующее решение
является составным.
Через каждую точку области D проходит только одна
интегральная кривая (рис. 52). Если же присоединить к области D ось
Ох, на которой нарушено условие непрерывности производной f'y,
и рассматривать интегральные кривые на всей плоскости R2, то
через каждую точку AfeR2 пройдет бесконечное множество
составных интегральных линий. Действительно, через точку Л проходит
верхняя ветвь линии, соответствующей С=1, по которой можно
спуститься до точки В. Далее существует бесконечное множество
продолжений: можно сместиться по оси Ох влево; можно
спуститься до точки F по кривой, соответствующей С=1; можно по оси Ох
достигнуть любой другой кривой, например той, для которой С=
= — 1, и спуститься до точки Е.
Пополнив семейство Го всевозможными составными решениями,
получим семейство решений Гь с помощью которого можно опять
строить составные решения. Продолжая описанный процесс,
получим совокупность расширяющихся семейств решений
рассматриваемого уравнения, объединение которых дает совокупность всех
решений уравнения */' = 3*/2/3.
3°. Упражнения
Найдите общие решения уравнения:
1. у' = sin х. 2. у' -= tg лг, х s ] — л/2, я/2 [>
3. yr =cos х. 4. у' = A —л:2)~3/2, х s j _ | | j
Решите задачи Коши
5. у' _=г cosx, у@) •-= 10.
7.
]-!. 1[, у @)^93.

134 Глава III. Обыкновенные дифференциальные уравнения
§ 3.2*. Задачи, приводящие к обыкновенным
дифференциальным уравнениям
' т$ Рассмотрим некоторые задачи механики и физики,
приводящие к решению обыкновенных дифференциальных
уравнений.
1°. Задача о свободном падении тела. Пусть с некоторой
высоты И сброшено тело массы т (рис. 53). Требуется
установить, за какое время тело достигнет земной
поверхности (сопротивлением воздуха пренебречь).
~~ Из условия ясно, что тело движется под действием
силы тяжести f=mg. Направим ось s отсчета
перемещения тела вертикально вниз так, чтобы ее начало совпало
Рис. 53 с начальным положением тела. Согласно второму закону
Ньютона, имеем
d25
61s
где т — масса тела; -——ускорение движущегося тела (вторая производная
от перемещения по времени); g — ускорение свободного падения. Уравнение
A) является дифференциальным уравнением второго порядка. Сокращая на т,
получим s" — g. Решая это уравнение (см. п. 2° § 3.5), находим
gt2
s'=*gt+Ci, s=-^-4-Ci*4-C2. B)
Если в начальный момент * = 0 скорость и перемещение соответственно были
равны v0 и so, то из уравнений B) получим ио=Сь 50=С2. Тогда закон
движения тела примет вид *'
s = — 4- vot 4- s0. C)
Если в равенстве C) ио^0, so = O, то получаем известное из механики соотно-
gt2 gt2
шение s=—~ -\-v$t. Если же уо=О и so = O, to s = ——. Подставляя
теперь в равенство C) значения s = H, 00 = 0, so=O, получим формулу для
определения времени свободного падения тела t = I/ .
f S
2°. Задача о переходном процессе в электрической цепи. В электрической цепи
(рис. 54), содержащей активнре сопротивление /?, индуктивность L и
электродвижущую силу (э. д. с.) Еу в момент времени tf=0 замыкается рубильник Р.
Найти закон, по которому изменяется ток i в этой цепи.
Согласно закону Ома для участка цепи, падение напряжения на активном
сопротивлении составит R. При замыкании цепи в катушке L возникает э. д. с.
самоиндукции, направленная противоположно току i и пропорциональная про-
d/
изводной ~—» причем коэффициент пропорциональности равен L. По второму
at
d;
закону Кирхгофа для flL-цепи при *>0 имеем Ri—E—L—t откуда
L -J- 4- Ш « В. D)
at

§ 3.2*. Задачи, приводящие к обыкн. дифференциальным уравнениям 135
Уравнение D) является линейным дифференциальным
уравнением первого порядка с постоянными
коэффициентами (см. п. 6° § 3.3). Непосредственной
подстановкой можно проверить, что общим решением
уравнения D) является функция
1
E)
где С — произвольная постоянная. Учитывая, что при
*=0 в цепи нет электрического тока (i = 0), имеем
"Г~~Ь 77п~ ~ ^> откуда С ——1/? Подставляя значение
С в равенство E), получим закон изменения тока в /?Л-цепи
н
Рис. 54
F)
В формуле F) член е ^Д) t убывает с возрастанием t. Таким образом,
установившееся значение тока по истечении достаточно большого промежутка
времени с момента замыкания RL-цепн определяется величиной EJR (рис. 55).
Заметим, что вычисление токов и напряжений в электрических цепях с помощью
дифференциальных уравнений яэляется классическим *методом расчета цепей в
электротехнике.
3°. Задача о прожекторе. Найти форму зеркала, отражающего все лучи,
выходящие из данной точки, параллельно заданному направлению.
Рассмотрим плоское сечение зеркала (рис. 56). Совместим источник лучей
с началом координат, а ось Оу направим вдоль указанного в условии
направления. Через точку М{х, у) проведем касательную к кривой, полученной в
сечении зеркала плоскостью хОу. Рассмотрим луч ОМ. По законам оптики угол
падения равен углу отражения (эти углы на рис. 56 обозначены через а);
следовательно, ZOAfiV=ZOArAi, т. е. ANOM — равнобедренный и О1\ = Ом
Запишем уравнение касательной к искомой кривой в точке М(х, у)-
r-y=y'(X-*h G)
где К, Y —текущие координаты касательной Так как для точки N@, У) имеем
Х = 0, то из уравнения G) получим ON — Y^y—y'x Ясно, что ОМ ¦=¦ У дг2 Н- у2»
откуда
У-У'Х- )' *2 + 1/2. (8)
1
\
i
_ч-^- —
сх
0
У
Рис 5G
Рис- 56

136 Глава III. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Чтобы найти y=f(x)t нужно решить уравнение (8), которое является
однородным дифференциальным уравнением первого порядка (см. п. 5° § 3.3).
Можно проверить, что общее решение уравнения (8) имеет вид
ЛГ2-С2
И (9)
и представляет собой семейство парабол. Пусть вершиной параболы служит
р О —С2
точка В @, —р12)\ тогда г- = ———, откуда С~р. Подставляя в
равенство (9) С=р, после элементарных преобразований получим уравнение
плоского сечения зеркала *2 = 2/м у -f — )• Это — уравнение параболы с фокусным
расстоянием р/2. Следовательно, точка, в которой находится источник лучей,
является фокусом параболы. Итак, искомая зеркальная поверхность есть
параболоид вращения, а источник лучей находится в его фокусе. Именно такие
зеркала используются в прожекторах.
§ 3.3. Основные классы уравнений первого порядка,
интегрируемых в квадратурах: уравнения в полных дифференциалах,
с разделяющимися переменными, линейные, однородные,
уравнение Бернулли
1°. Дифференциальные уравнения первого порядка в симметричной
форме. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка
в симметричной относительно хну форме:
М(х, y)dx4-N (x, y)dy = Oy A)
где M(xf у) и N(x, у) —функции двух аргументов ху у, непрерывно
дифференцируемые в некоторой области DczR2. При некоторых
условиях уравнение A) эквивалентно по крайней мере одному из
дифференциальных уравнений вида
JlL^-*('¦*> или J* „*<*¦»> B)
dx N(xty) dy M(x, у) *
Определение 1. Решением (в явном виде) уравнения A)
называется дифференцируемая функция у=у(х) [или x=x(y)]f
определенная на интервале /czR и обращающая уравнение A) в
тождество при всех jce/ (или при всех |/е/).
Более общим является понятие решения в параметрическом
виде.
Определение 2. Параметрически заданная на интервале /cz
czR гладкая функция x=x(t)f y=y(t) называется решением (в
параметрическом виде) уравнения A), если выполнено тождество
Комментарий копределению2. Функция (кривая) х =
=x(t), y=y(t) называется гладкой на интервале /czR, если х и

§33 Оси классы уравн первого порчдка, интегрируемых в квадратурах 137
у имеют непрерывные производные х t,
y'ty которые не обращаются в нуль
одновременно.
Определение 3. Точка (л:*, у*)
называется особой точкой уравнения
A), если М(х\ y*)=N{x*t y*)=0.
Определение 4. График
гладкой линии x=x(t), y=y(t)y где (x(t)t
1/@)—решение уравнения A),
называется интегральной линией (кривой)
уравнения A).
Пример. Уравнение х(х2—5t/2)dx-H
-hf/Eл:2—y2)dy=0 имеет решение в
паЗтГ
V i X-C05?tC0bt
\ \ у -СОЧИ! SiHt
pHC 57
В этом
легв
раметрическом виде x=cos 2/cos/, #=cos2/ sin /,
ко убедиться непосредственной подстановкой данных функций
уравнение.
Интегральная линия данного уравнения изображена на рис. 57.
Она проходит через точку 0@, 0) при / = л/4 или при / = Зл/4.
В первом случае угловой коэффициент касательной равен 1, а во
втором случае он равен —1. Точка 0@, 0) является особой точкой
данного уравнения.
Определение 5. Дифференциальное уравнение первого
порядка называется интегрируемым в квадратурах* (или просто
интегрируемым), если его общее решение может быть получено с
помощью конечного числа элементарных (алгебраических) операций
и квадратур.
Пусть М(х, у) и Л/(л\ у) непрерывны на открытом множестве
Gc:R2. Пусть, далее, D = G\ 7\ где Т—множество особых точек
уравнения A). Из непрерывности М и Л\ а также из определения
особой точки следует, что для любой точки (л-0, yo)^D можно
указать такую круговую ее окрестность, в которой либо М(ху у)?=0,
либо Л'(л:, у)?=0. В этой окрестности уравнение A) эквивалентно
по крайней мере одному из уравнений вида B). Если начальная
точка (л*о, уо) принадлежит D, то решение задачи Коши в
некоторой окрестности этой точки является решением задачи Коши
одного из уравнений B). Поэтому из теоремы 1 § 3.1 вытекает
следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть в области D выполняется одно из двух ус-
ОМ 6N
ловий: ]°) М(х, у)фО, Т7 и у~ существуют и непрерывны; 2°)
Л'(л\ у)фО, — и —существуют и непрерывны. Тогда D есть об-
ду ду
ласть единственности для второго из уравнений B) в случае 1° и
для первого из них в случае 2°.
Квадра1\рой называется отыскание первообразной

138 Глава 111. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Рис 58
ным дифференциалом в G, т. е.
Если любое множество EczD, в
котором либо МФО, либо iV#=0, является
областью единственности для
соответствующего уравнения B), то D
называется областью единственности для
уравнения A).
2°. Точные уравнения (уравнения в
полных дифференциалах).
Определение 6, Уравнение A) называется
точным уравнением (или уравнением в
полных дифференциалих) на
множестве G, если существует
дифференцируемая функция Q(.v, у), для которой
левая часть уравнения A) является
полдх
ду
— dy = M(x, y)dx-\-N(x, у)йу
ду
Комментарии к определению 6. 1) Точное уравнение
A) равносильно уравнению dQ(xy у)=0. Очевидно, что его общим
интегралом в D = G \ T является соотношение Q(x, j/)=C, где С
принимает все допустимые значения. Это соотношение определяет
всю совокупность интегральных кривых на плоскости R2.
2) Решение задачи Коши для уравнения A) с начальными
значениями (хо, уо) определяется,.соотношением Q(x, y)=Q(x0, y0).
Если (дго, уо) не является особой точкой точного уравнения A), то
задача Коши с начальными значениями (хОу уо) имеет
единственное решение в окрестности этой точки.
Пример 1. Для уравнения xdx-\-y dy — Q общий интеграл
записывается в виде x2jry2 — 'C (это легко проверить непосредственным
дифференцированием). Очевидно, что интегральные линии,
определяемые общим интегралом, являются концентрическими
окружностями с центром в начале координат. Решений с начальным
условием у@)=0 уравнение не имеет (рис. 58). Поскольку точка @, 0)
является особой, т. е. @, 0)е7\ область единственности L) такова:
D= {(.v, у) : хфО и уфО}. Решение задачи Коши с начальным усло-
вием?/A) = 1/3 имеет вид х2 + у2= 12 + ("|/'3J, или х2 + у2 = 4 (что
соответствует значению постоянной С=4). На рис. 58 видно, что
через точку /ЛоA, У 3) проходит интегральная кривая,
соответствующая С=4.
Теорема 2. Пусть функции М(х, у) и N(x, у) непрерывно
дифференцируемы на открытом множестве D, Для того чтобы
уравнение (I) было точным, необходимо, чтобы выполнялось условие
^^L j)eO. C)
ду
дх

§ 3.3. Осн. классы уравн. первого порядка, интегрируемых в квадратурах 139
Если множество D односвязно (т. е. представляет собой область),
то условие C) является достаточным.
Комментарий к теореме 2. Множество D называется
односвязным, если любую лежащую в нем замкнутую кривую
можно стянуть в точку, принадлежащую D. При этом в процессе
стягивания кривая не должна выходить за пределы D.
Доказательство. Пусть уравнение A) является точным.
Тогда из определения точного уравнения и понятия полного
дифференциала вытекает, что
—Sl~yvf(A*, у), —z- = N(x. у) ^(хч y)^D. D)
дх ду
Дифференцируя первое равенство по у, а второе —по х, имеем
дЮ дМ дщ dN T
—— =—, —2_~—, jaK как смешанные производные непре-
дхду ду дудх дх
рывны, то они равны и, значит, справедливо условие C).
Пусть D — односвязная область. Покажем, что в этом случае
условие C) является достаточным. Проинтегрируем первое из
равенств D) по х, считая у постоянным:
.г
Q(x, j/)= у М{х% 40d* + ?({/), E)
где л:0 — абсцисса любой точки из области единственности О;
ф(#) —постоянная интегрирования, зависящая от у. Подберем
функцию ф(у) так, чтобы выполнялось второе из равенств D).
Для этого продифференцируем равенство E) по уу считая х
постоянным:
^\x+(y)=N{x4y). F)
ду
С учетом равенства C) соотношение F) примет вид
y)=N(x; у), или N(х, y)-N(x0, (/) + ?'((/)=
= ^У(л:, у).
Следовательно, ф'(^/)=^ (х0, у), т. е.
у
'?(#)= f N{xOi у)йу, G)
где у0 — ордината произвольной точки из области единственности
D, а произвольную постоянную интегрирования считаем равной
нулю. Из соотношений E) и G) получим

140 Глава III. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Q(x, у) = ( М(хч y)dx + f N(xQ, у) Ay.
Итак, если в области D, не содержащей особых точек
уравнения A), выполнено условие C), то общий интеграл уравнения A)
выражается формулой
¦*" ?
C, (х0, Уо)^ А (8)
У»
где С принимает значения, при которых равенство (8) определяет
интегральные линии в D. Заметим, что в равенстве (8) имеется
только одна произвольная постоянная С.
Пример 2. Решить уравнение D — ?-\dx +— dy=O.
Решение. Очевидно, что D={(x, у):хФ$) — область
единственности этого уравнения. ОбозначимМ(х, у) — ^ — — , N(х, у)=
= 2-У- и проверим выполнение условия C): — = — — , — =
х v v y ду х* дх
2и дМ dN
—г у 1». е. =
хг ' ду дх
Данное уравнение является точным и его общий интеграл
имеет вид (8), где (л'о, у о) —любая точка из области D. Положим,
например, хо= 1 и t/o = O. Так к^к A, 0)^D, то
о
Интегрируя, находим 4х — 4-J-- у2 + у2=?С Обозначив
через Ci = C-f 4, получим общий интеграл исходного уравнения
4*+i? = C1.
X
3°. Интегрирующий множитель. В том случае, когда условие C)
не выполняется, уравнение A) не является точным. Однако его
можно проинтегрировать, если найти такую функцию \i(x, у)Ф0,
заданную на открытом множестве D\dD, при умножении на
которую всех членов уравнения A) оно становится точным:
, у)М(х, /у) djc-j-u* (jc, y)N(x, y)dy =0. (9)
Такая функция называется интегрирующим множителем
уравнения A). Общее решение уравнения (9) совпадает с общим
решением уравнения A).

§ 3.3. Осн. классы уравн. первого порядка, интегрируемых в квадратурах 141
Докажем, что для всякого уравнения A), где М и N —
непрерывно дифференцируемые функции, существует интегрирующий
множитель. Пусть уравнение A) не является точным. В силу
теоремы существования и единственности решения, оно имеет общее
решение в неявном виде и(х, */)=С. Дифференцируя это
равенства , да du п> г- ,, v
во по х, получим 1 ^- = (j. Так как из уравнения A) следу-
ст, что jL=_^?ii., то df /AfU, y)=^-JN(x,y). Обо-
dx N(x, у) дх I ду I
значим через \i общую величину этих двух равных отношений; тогда
-?- = \Цх, у)Mix, у); -^=Mx,y)N(x9y). A0)
дх ду
Поскольку и(х, у) = С есть общий интеграл уравнения A), имеем
их -| d(/ = 0. Отсюда с учетом соотношений A0) получим
дх >ду
уравнение вида (9), которое является точным. Следовательно,
ц(х, у} —интегрирующий множитель уравнения A).
Так как уравнение (9) является точным, то вследствие условия
C) интегрирующий множитель удовлетворяет соотношению —-—• =
или
ду дх \ду дх
Дифференциальное уравнение A1) является уравнением в частных
производных относительно искомой функции [i(xy у). Любое его
частное решение достаточно для нахождения интегрирующего
множителя. Однако интегрирование уравнения A1) сложнее, чем
интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений. Вместе
с тем в некоторых важных частных случаях уравнение A1) имеет
очевидное решение, определяющее искомый интегрирующий
множитель. Рассмотрим эти частные случаи:
1. Отношение ( / N есть функция g(x) только от х.
\ду дх ) I
Тогда функция [i(jt)=exp f \ g(x) dx\ является интегрирующим
множителем.
2. Отношение ( ) I M есть функция р(у) только от у.
\ду дхJ I
Тогда функция |А(г/)==ехр — i/?(^/)A(/|является интегрирующим
множителем.
Примеры. 1. Решить уравнение (x2—3y2)dx +2xy dt/=O.
Решение. Здесь М=х'2—З*/2, N=2xy. Проверим выполнение

142 Глава III Обыкновенные дифференциальные уравнения
/оч дМ с dN o дМ ,dN
условия C): —= •— Ьу,— = 2#, —±—; следовательно, урав-
ду дх ду дх
нение не является точным. Составим отношение
дМ
ду
N
dN
дх
-Ьу-2у
2ху
4
X
Поскольку g(x) есть функция только от ху интегрирующий
множитель имеет вид
= ехр [ Г /— — \ djcl = е~41п * = х-4.
Здесь постоянная интегрирования для определенности взята равной
нулю. Умножая исходное уравнение на интегрирующий множитель,
получим
/ т dM_dN _
Это уравнение является точным (действительно, у — ^j —
= —6-^-). Область единственности этого уравнения есть D =
= {(х, у) :хфО}. Полагая хо=1, уо—0, по формуле (8) находим
общий интеграл
1
Интегрируя, получим— 1— 1 —J—^ у2-[-у2 = С. Умножив обе
части равенства на х3, находим у2 = С\х3 + х2, где Ci = C—I.
2. Решить уравнение {y+xy2)dx—xdy — 0.
Решение. Проверим выполнение условия C): —=14-
дУ
, о dN « дМ , dN
-\-lxy, —= — 1, — /г— ; следовательно, уравнение не является
дх ду дх
точным. Составим отношение
дМ dN
*'
М у + х
Найдем интегрирующий множитель
— ду
у

§ 3.3. Осы. классы уравн первого порядки, интегрируемых в квадратурах 143
Соответствующее точное уравнение имеет вид
/ 1 . \ . х . п / дМ dN I \
1 У ) У2 \ ду дх у?)
Область единственности этого уравнения есть D = {(x, у):уфО).
Пусть *о = О, //о= 1. Находим общий интеграл
откуда, интегрируя, получим 1 = С.
у 2
4Г\ Разделение переменных. Рассмотрим два частных случая
уравнения A), наиболее часто встречающихся на практике.
Определение 7. Пусть в уравнении A) функции М и N
зависят только от одного аргумента, т. е. М-т(х) и N — n{y).
Уравнение вида
т(х)йх-\-п(у)йу = 0 A2)
называется уравнением с разделенными переменными.
Уравнение A2) является точным. Действительно,—=—=0,
ду дх
т. е. условие C) выполнено. Согласно формуле (8), общий
интеграл уравнения A2) имеет вид
х у
\ т(х)йх\[ п(у)йу = С. A3)
Определение 8. Пусть в уравнении A) функции М и N
представлены в виде произведений двух функций, каждая из
которых зависит только от одного аргумента, т. е. М = пг\ (х)п](у) и
\1 = т2(х)п2(у). Уравнение вида
O A4)
называется уравнением с разделяющимися переменными.
Комментарий к определениям 7 и 8. В формуле A3)
каждое подынтегральное выражение зависит только от одного
аргумента (от х или от //), т. е. переменные как бы разделены.
Отсюда и происходят названия уравнений A2) и A4).
В общем случае уравнение A4) не является точным. Однако
его можно свести к точному уравнению A2), если в качестзе
интегрирующего множителя взять
Действительно, при умножении уравнения A4) на интегрирующий
множитель A5) получим

144 Глава III. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Последнее уравнение является уравнением вида A2), в котором
/п(л:) = ^-^ и n(y)=^^L . Следовательно, общий интеграл
т2 (х) пх (у)
уравнения A4) имеет вид A3).
Примеры. 1. Решить уравнение л:+#г/' = О.
Решение. Запишем данное уравнение в виде A). Так как
ы' = —, то, умножая обе части уравнения на d*, получим xdx +
dr
-f i/d(/=0. Здесь М = х, N=y\ следовательно, это уравнение с
разделенными переменными вида A2). Полагая дго = 0, t/o=O, по
формуле (8) или A3) находим общий интеграл f хйх-\- f ydy = C.
о б
Интегрируя и умножая обе части равенства на 2, получим xz-\-y2 =
= Си гдеС!=2С.
2. Решить уравнение х-\-ху+у'(у-{-ху) = 0.
Решение. Запишем данное уравнение в виде A):
хA-{-уNх-\-(\4-х)уйу = 0.
~ дМ dN
Это уравнение не является точным, так как —~хч — = */, т. е.
ду дх
— ф—. Однако оно является уравнением с разделяющимися
ду дх
переменными вида A4), где т\(х)~х, щ(у) = 1 + у, т2(л:) = 1+*,
п2(у)=у. По формуле A5) находим интегрирующий множитель
. У)=
+у)(\ +х)
Умножая все члены уравнения на \.i(xt у), получим уравнение
<1х-\—^— d// = 0 с разделенными переменными. Область
1+у
+ у
единственности этого уравнения есть О={(ху у) \хф — \9 у?= —
Полагая хо = О, t/o^O, находим общий интеграл
х у
3 гтт+3
Интегрируя, получим х—1п|лг+1|+у—ln|f/+l I =ln Cu где 1пС] =
==С. Окончательно имеем A- + #=ln(Ci|.r-f-11 \у+\\).
5°. Однородные уравнения первого порядка. Определение 9.
Функция /(jc, у) называется однородной функцией степени п
относительно переменных хну, если при любом К справедливо
тождество /(Лдг, Ху) =knf(x, у).

§ &#. Осн. классы уравн первого порядки, интегрируемых в квадратурах 145
Например, f(x, у)=ху3 + х2у2 есть однородная функция
четвертой степени, так как /(Ъс, ly)={lx)(lyKJr(^xJ(kyJ = l4 (хуг-{-
+ ху) = 1*/(х, у).
Определение 10. Уравнение вида A) называется
однородным, если функции М(х, у) и N(xy у) являются однородными
функциями одинаковой степени п.
В общем случае однородное уравнение не является точным, но
оно может быть приведено к уравнению с разделенными
переменными A2) относительно х и и = у/х, если выбрать интегрирующий
множитель вида
1*(х, у) = —— * , где у = их. A6)
M(xty)x + N(xty)y
Докажем это. Так как уравнение является однородным, то
М(Хху Ху)=кпМ(х, у), N(/.xy 1у)=1пМ{х, у). Пусть Л== 1/jc и у/х=
= м; тогда получим
Л1A, и)=г^М(хЛ у\ 7VA, u)=~N(x9y). A7)
Умножив уравнение A) на |л(л\ у), имеем
М(х, y)dx + N{x, y)dy __Q
Используя соотношения A7), перепишем последнее уравнение так:
Поскольку у = их, 6у = х du + u dx, получим
[М(\, и)-\~ N{1, u)u]dx + xN(\t u)du __,,
x[M{l,u)-N (\,u)u] ~~
Разделив почленно числитель на знаменатель, приходим к
уравнению с разделенными переменными относительно х и и:
dx . N(ltu)du _q
х M(l, u) +N(\, и) и ~~
Общий интеграл этого уравнения находим по формуле A3) с
последующей подстановкой и — у/х.
Пример. Решить уравнение (x'2 + y2)dx—2xydy = 0.
Решение. Обозначим М(ху у) =х2 + у2 и N(x, y)=—2xy. Это
уравнение не является точным, так как — = 2х, — = ~2лг, т. е.
дх дц
— Т7— • Проверим, является ли уравнение однородными М(кху
ку)^Л?{х2 + у2)^12М(хгу), N(Xx,\y)^=^2'k2xy=:'k2N{x, у).
Поскольку М и N — однородные функции одинаковой (второй) сте-

146 Глава III. Обыкновенные дифференциальные уравнения
пени, данное уравнение является однородным. По формуле A6)
находим интегрирующий множитель
, у) = i , где у —их.
* (х* + у2)х + Bху)у
Умножая исходное уравнение на ц(*, у) и используя одновременно
подстановку у = их. dy=xdu + u dx, получим
г — 2х (ах) [х du + и dx] __Q
)х — 2х(их)-(их)
откуда после упрощений имеем
dx 2u du „
В результате получили уравнение с разделенными переменными
вида A2). Его область единственности есть D={(xy и):хфО, иф
}. Полагая а:0=1, wo = 2, находим общий интеграл
Г .^?._ \ 2udu —г
) х )\-и~
Интегрируя и обозначая С=1пС\, имеем 1п[х(и2— 1)] =1п ЗСЬ или
х(и2— 1)=С2, где С2 = ЗСЬ Так как u=y/xt то у2—*2 == С2х.
6°. Линейные уравнения первого порядка. Определение II.
Дифференциальное уравнение;,вида
называется линейным уравнением первого порядка.
Линейное уравнение первого порядка можно записать
следующим образом:
G. A8)
Уравнение A8) является уравнением вида A), где М(х, у) =
= Р(х)у—Q(x)> N(x, y) = l. Ясно, что в общем случае уравнение
A8) не является точным. Однако для него можно подобрать
интегрирующий множитель, зависящий только от х. Составим
отношение
ду дх
Тогда интегрирующий множитель есть
(] A9)
Пример. Решить уравнение у* -\ у=х.

§ 3.3. Осн. классы уравн. первого порядка, интегрируемых в квадратурах 147
Решение. Запишем данное уравнение в виде A):
дМ 2 dN п дМ ,
Это уравнение не является точным, так как-— = —, —- = 0, ——f
ду х дх ду
dN
ф —. Однако данное уравнение является линейным, где
дх
Р(х)=2/х, Q(x)=x. По формуле A9) находим интегрирующий
множитель
ц (х) = ехр Г f — djcl = е2 ln х=х2.
Умножив все члены уравнения на ц(х)=х2, получим
Bху — х3) 6х + х2 d у=0.
^ дМ ON o
Последнее уравнение является точным, поскольку — = — = 1х.
ду дх
Область единственности этого уравнения есть вся плоскость хОу.
Полагая Jto=O, #о = О, по формуле (8) получим общий интеграл
у
у
С <2jcy-Jt3)dJc + fo.dy=C, откуда
Из этого выражения легко найти у=^~—I . Отметим, что
4 х*
при этом из области единственности исключаются точки, для
которых х=0. Однако здесь никакого сужения области решений не
происходит, так как для исходного уравнения хфО.
7°. Уравнение Бернулли. Определение 12. Дифференциальное
уравнение вида
y'+P(x)y = Q(x)y*% B0)
где я^2, называется уравнением Бернулли.
Уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению
первого порядка подстановкой u—yl~n и ы'= A—п)у~пу'. Разделив
уравнение B0) на уп> получим
y'y-a + P{x)y*-n = Q(x). B1)
Умножая все члены уравнения B1) на 1— п и используя
подстановку w = f/1~n, имеем
\ (\—n)Q(x). B2)
Уравнение B2) является линейным относительно и (см. п. 6°).
Найдем его общий интеграл, а затем, подставив вместо и
выражение у1-", получим общий интеграл уравнения Бернулли B0).

148 Глава III Обыкновенные дифференциальные уравнения
Примеры. 1. Решить уравнение у' -\ у=—у2.
Решение. Это уравнение Бернулли при п==2. Разделив все
члены уравнения на у2 и умножив на —1, имеем
</'<r2<rIi (*)
Выполним в уравнении (*) подстановку и=у~{, и'=(—\)у~2у'\
тогда получим линейное уравнение вида
и'—-.ц=1. (*¦)
X
Область единственности уравнения (**) есть D = {(x, у);хфО}.
Интегрирующим множителем этого уравнения является функция
Умножая уравнение (**) на интегрирующий множитель, приведем
его к уравнению в полных дифференциалах
+Wd«o.
х* l x) x
Общий интеграл последнего уравнения имеет вид
откуда и=х\п(Сх). Поскольку и=у~\ из последнего соотношения
получим общее решение исходного дифференциального уравнения
У~~ х In (Cx) '
2. Решить уравнение у'ех'= (xext—y2)y.
Решение. Приведем данное уравнение к виду
Это уравнение Бернулли при п=3. Применяя подстановку w=i/-2,
w'=—2у~3у\ получим линейное уравнение вида и! + 2хи=2е~х\
интегрирующий множитель которого имеет вид р(х)= ехр( f 2x dx\ =
= e-v". Областью единственности является плоскость хОи.
Соответствующее точное уравнение примет вид
2(хех*и—
Общим интегралом этого уравнения является выражение

§34 Числ. методы решения задачи Коши для диф. у р. первого порядка 149
откуда иех'—С-\-2х. Учитывая, что u=y2t получим общее
решение у2 = ех* 1(С + 2х) исходного уравнения.
8°. Упражнения
Найдите общие решения уравнений:
I. ху' — у = 0. 2. *V -f у — 0.
3. х 4- ху + у' (у 4- ху) = 0. 4. #2 dx + (лг — а) dy — 0.
5. ху 4- у1 =- Bx2 4- *у) у'. 6. (а2 4- *2) у' 4- ху = 1.
7. Bл: 4- 1) у' 4- у = х. 8. f/' - // tg x = ctg л:.
9. у' + ху = лгг/3. 10. ^/' 4- f/ cos д: = sin 2x.
Решите задачи Коши.
II. 2у' VZ^y, yD)=l. 12. у* ={2y + \)ctgx9 у (я/4) «1/2.
13. у'=-^---2-, у(-1)= 1. 14. 3yty'+y3 = *+ 1. У(О= -1.
Покажите, что левые части следующих дифференциальных уравнений
являются полными дифференциалами, и решите уравнения:
15. (Злг^ + 2у) dx 4- Bх ~ 3) йу = 0.
16. (х cos 2f/ -f i) dx — лг-i sin 2y dy = 0.
Найдите интегрирующие множители и решите уравнения*
17. (sin х 4- Qy) dx 4- cos лг dy = 0.
18. (л: sin у 4- у) dx + (x2 cos у -^ x In x) dy = 0.
§ 3.4. Численные методы решения задачи Коши для
обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Метод
Эйлера и его модификации. Метод Рунге — Кутта
В предыдущем параграфе мы рассмотрели некоторые
дифференциальные уравнения, интегрируемые в квадратурах. Однако многие
технические задачи приводят к решению задачи Коши для
уравнений, которые проинтегрировать в квадратурах либо сложно, либо
вообще невозможно. Поэтому в инженерной практике прибегают к
приближенному решению задачи Коши.
Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка,
разрешенное относительно производной:
У' = /{х, у). A)
Найти приближенное численное решение задачи Коши для
дифференциального уравнения A) с начальным условием у(хо)=уо —
это значит составить таблицу приближенных значений частного
решения у(х), удовлетворяющего заданному начальному условию.

150
Глава III. Обыкновенные дифференциальные уравнения
I
Интегральна
I I
Рис 59
Очевидно, что эту задачу можно
решить только в том случае,
когда решение у(х) существует и
единственно, т. е. когда правая
часть f(x, у) уравнения (I)
удовлетворяет условиям теоремы
существования и единственности
решения задачи Коши (см. п. 1°
§3.1).
1°. Метод Эйлера. Сущность
метода Эйлера состоит в
следующем. На плоскости хОу
рассмотрим интегральную кривую,
соответствующую некоторому частному решению у(х) уравнения A).
Разобьем отрезок [х0) Ь] из области решений на п равных частей
(рис. 59). Пусть Хо<хх<х2<...<хп~Ь — точки деления. Через эти
точки проведем прямые, параллельные оси Оу.
Как известно (см. п. 2° § 3.1), уравнение A) определяет на
плоскости хОу поле направлений, т. е. каждая интегральная
кривая уравнения A) в любой ее точке имеет касательную с угловым
коэффициентом, равным значению функции / в этой точке.
Поэтому для приближенного построения интегральнй кривой,
соответствующей искомому частному решению, через начальную точку
Afо (лго, Уо) проведем прямую с угловым коэффициентом /(дг0, */о)
до пересечения с прямой х=х{. Тогда получим точку Mi(xu ух),
ординату которой у\ можно определить из соотношения
Л - 0о = / (-*о. Уо) (*i - *о). B)
Далее, из точки М\(х\, у\) проведем прямую с угловым
коэффициентом f(x\, y\) до пересечения с прямой х=х2. Получим точку
М2(х2, у2), ординату которой у2 можно определить из соотношения
Х\)- C)
Аналогично, зная координаты точки М2(х2у */2), определим
координаты точки Мз(хз, уъ) и т. д. Таким образом, на каждом малом
промежутке изменения переменной х интегральная кривая
уравнения A) заменяется отрезком прямой (касательной). В результате
получим ломаную линию, называемую ломаной Эйлера,
заменяющую приближенно интегральную кривую.
Ординату ук любой точки Мк(хку ук) ломаной Эйлера можно
определить из соотношения
1t .. f (v ti \ ( v v* ^ (А.\
у ъ ~~~ чь 1 — / К^ъ 11 Уъ 1 / V*^ft ~~~ л—1 /* \"/
аналогичного соотношениям B) и C). Так как отрезок [лг0, Ь]
разбит на равные части, то хк—,vfe_i = Л, где h — некоторое число.
Тогда абсциссу хк точки Мк(хк, ук) можно вычислить по формуле

# 3.4. Числ методы решения млдачи Коши для диф ур первого порядка 151
E)
искомого
частноа соответствующее ей приближенное значение
го решения —по формуле
F)
Результаты заносим в таблицу. Постоянная h в соотношении E)
называется шагом таблицы.
Пример. Используя метод Эйлера, составить таблицу
приближенных значений частного решения уравнения у'=0,5ху,
удовлетворяющего начальному условию у@) = 1, на отрезке [0, 1] с шагом
А = 0,1.
Решение. Проверим выполнение на отрезке [О, 1J условий
теоремы существования и единственности: /(х, t/)=0,5*i/, f'y =
— 0,5,v; следовательно, область единственности решений Z)=R2.
Согласно условию, имеем хо=О, */о=1, Л = 0,1. По формулам E)
и F) вычисляем значения ^i = 0,1, yi = \, затем — значения х2 и у2
и т. д. Результаты вычислений заносим в следующую таблицу:
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
Ун
\
,005
1,0150
,0303
1,0509
,0772
,1095
1,1483
,1942
1,2479
0
0,05
0,1005
0,1522
0,2061
0,2627
0,3232
0,3883
0,4593
0,5374
fixk. Vk)h
0
0,005
0,0.100
0,0152
0,0206
0,0263
0,0323
0,0388
0,0459
0,0537
го. Метод Рунге— Кутта (метод Эйлера с уравниванием). Метод
Эйлера, описанный в п. 1°, очень прост для вычислений, но имеет
недостаток: при значительном изменении х приближенные
значения у могут сильно отличаться от точных, так как погрешность
накапливается с каждым шагом (см. рис 59). Значительно лучшие
результаты можно получить, применив в методе Эйлера
уравнивание, состоящее в следующем. Обозначим значение #*, вычисленное
по формуле F), через #(*1) и уточним это значение по формуле

152
Глава III. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Найденное значение снова можно уточнить по аналогичной
соотношению G) формуле
и т. д. Этот процесс продолжаем до тех пор, пока в пределах
заданной точности не совпадут результаты двух последовательных
вычислений. Затем тем же методом вычисляем yk+i и т. д.
Пример. Используя метод Рунге—Кутта, решить пример п. 1°.
Вычисления вести с точностью до четырех десятичных знаков.
Решение. Воспользуемся таблицей на с. 151. Имеем уо=1,
/Uo, 0o>=Q, i/(il)=l. /(*i. j/(i1)) = 0f5-0,M = 0,05. По формуле G)
получим
= 1 + 0,5@ + 0,05H,1 =1,0025.
Вычисляем /(Яр у[2)) = 0,5-0,1 • 1,0025=0,0501. Тогда по
формуле G) находим
= 1 +0,5@+0,0501H,1— 1,0025.
( 2 \
Таким образом, с точностью до четырех десятичных знаков у\ =
==г/^3) == l,0025 = i/i и т. д. Результаты вычислений заносим в
следующую таблицу:
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0,1
0.2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
Ун
</о-1
у^) = у^) = у1= 1,0025
y2(i)=:y2(Z)—y2= 1,0100
03A> = г/зB)==#з= 1,0227
04<з) = #4'4; = 1/4=1,0408
05B> = 05<3> =4/5 =1,0646
УбB) = у6(з)ву6== 1,0943
?/7B) = i/7C)=i/7====: 1,1305
(/8B) = ^8C)==^8=== 1,1738
(/9B) = f/9C) —^9== 1 2248
ylow = yio<4>=i/io= 1,2845
0
0,0501
0,1010
0,1534
0,2082
0,2661
0,3283
0,3957
0,4695
0,5512
0
0,0050
0,0101
0,0153
0,0208
0,0266
0,0328
0,0396
0,0470
0,0551
,0025
,0100
,0227
,0408
,0645
1,0942
,1303
1,1735
1,2244
1,2840
В данном случае можно найти точное решение уравнения,
имеющее вид # = ех*-/4 (значения этой функции помещены в
последнем столбце таблицы). Сравнивая значения yk в таблицах на
с. 151 и 152 со значениями функции j/=e **'*, заключаем, что метод
Рунге—Кутта позволяет получить лучшие результаты, чем метод

#3 5. Дифференциальные уравнения высших порядков 153
Эйлера. Можно показать, что метод Рунге—Кутта дает на каждом
шаге погрешность, порядок которой не превышает h\ поэтому он
нередко применяется в вычислительной практике. Однако
существуют численные методы, позволяющие получить более точные
результаты и сделать это значительно быстрее. Эти методы
изучаются в более подробных курсах
3°. Упражнения
Используя метод Рунге — Кутта, составьте таблицу приближенных
значений частного решения заданного уравнения, удовлетворяющего указанному
начальному условию, на отрезке [0, 1] с шагом Л —0, 1.
1. */' = л:2 + 0,3*/2-Ь 1; */@)=0; проведите вычисления с точностью до двух
десятичных знаков.
2. у'=—2ху2\ */@) = 1; проведите вычисления с точностью до трех
десятичных знаков
§ 3.5. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача
Коши. Теорема существования и единственности решения
задачи Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка
1°. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши.
В общем виде обыкновенное дифференциальное уравнение п-го
порядка записывается так:
О, л>2. A)
Соотношение A) связывает независимую переменную .v,
искомую функцию у~у(х) и ее производные у\ у",...,у{п). Здесь
F—заданная функция от п+ 1 переменных в некоторой области (п+\)-
мерного пространства R"+i.
Иногда уравнение A) можно разрешить относительно старшей
производной у(п) Тогда оно примет вид
У{п)^/(х, У, У\ /Л.... */(*-1)), л>2, B)
где /-заданная функция. Частным случаем уравнения B)
является линейное дифференциальное уравнение п-го порядка
М*)У(я>-НМ*)!/(л) }~...+an.^(x)y'+an(x)y = r(x)t C)
гдеа/(л') (/ = 0, 1,... ,/z), r(x)—заданные функции от л-.
Определение 1. Решением на интервале IczR
дифференциального уравнения A) называется дифференцируемая п раз на
интервале / функция у = у(х)у обращающая уравнение A) в
тождество, т. е. F(xy у(х), у'(х),... ,*/("> (л'))=0.
Примеры. 1. Показать, что функция у — 1 j-Cjjc-j-Q
является решением уравнения второго порядка y"~—x'J = Q при любых
значениях d CR

154 Глава III Обыкновенные дифференциальные уравнения
Решение. Находим */' = \-Съ у"=х2у откуда у"—*2зг0.
о
Следовательно, данная функция есть решение уравнения при
любых значениях постоянных Си С2.
2. Показать, что функция у=— х*-\ Схх2-{-С2х-\-Св
является решением уравнения третьего порядка у"'=х при любых
значениях Си С2, C3eR.
Решение. Находим «/' = — *3+С1(х + С2, у" = -±-х2+ Си
откуда y"'=sx. Следовательно, данная функция есть решение
исходного уравнения при любых значениях постоянных Си C2, С3.
Из примеров 1 и 2 видно, что при интегрировании
дифференциального уравнения л-го порядка B) получается семейство
решений, заданное функцией, зависящей от п произвольных постоянных
у^у(ху Сь С2,...,С„). D)
Следовательно, задача Коши для дифференциального уравнения
/1-го порядка должна содержать п начальных условий.
Задача Коши для дифференциального уравнения B)
формулируется так: найти решение у^у(х) уравнения B),
удовлетворяющее начальным условиям
у{хд=уъ У'(хо)~=у'ь,...,у<п-14хо)^у{ьп Л E)
где *о, уо, yo't ..., У()П~1) — заданные числа (называемые начальными
значениями).
Ответ на вопрос об однозначной разрешимости задачи Кощи
для уравнений B) и C) дают следующие теоремы
существования и единственности решения задачи Коши:
Теорема 1. Пусть в уравнении B) функция! и ее частные
производные —i—,—Z-~ ,..., — определены и непрерывны на
ду ду' ду{п" '
некотором открытом множестве Dc:R"+I. Тогда в некоторой
окрестности \х—jco | <6 точки Хц существует непрерывное решение у(х)
задачи Коши B), E), где (х0, у0, уп,...1у{)П~~1))^О. Это решение
единственно, т. е. если У\(х) и у%(х)—решения задачи Коши B),
E) на некоторых интервалах, содержащих х0, то у\(х) =#2(л") для
всех тех значений х, при которых оба эти решения определены.
Теорема 2. Пусть ао(х), ..., ап(х), г(х)-непрерывные
функции от х на интервале /c=R и ао(*) не обращается в нуль в любой
точке этого промежутка. Тогда существует единственное решение
уравнения C), которое непрерывно на интервале I и удовлетворяет
начальным условиям E), где I

§ 3.5 Дифференциальные уравнения высших порядков
155
Доказательства этих теорем можно найти в более полных
курсах.
Определение 2. Множество DczRn+\ в каждой точке
которого существует и притом единственное решение задачи Коши,
называется областью единственности для соответствующего
уравнения.
Определим понятия общего и частного решений для уравнения
п-го порядка вида B).
Определение 3. Пусть Dc:Rn+l есть область единственности
для уравнения B). Функция D), дифференцируемая п раз по х,
называется общим решением (в явном виде) уравнения B) в D, если:
1) система п уравнений
Си С2,...,С„),
Си С2,...,С„), F)
, си С2,...,СЯ)
однозначно разрешима относительно Сь С2, ..., С„ при всех (х, у,
/^ID, т. е.
х = Ых> У* »/,.-м«/(я-1)),
2 = ф2и, у, ^,...,^>), G)
п^п(х, у, </',..., ^-D);
2) функция D) является решением уравнения B) при всех
значениях Сь С2, ..., С„, удовлетворяющих системе G), когда (х, у,
y/
Определение 4. Решение уравнения B), во всех точках
которого имеет место свойство единственности решения задачи Коши,
называется частным решением этого уравнения.
Комментарии копределениям 3 и 4. Из этих
определений следует, что если существует общее решение D), то по
известным начальным значениям (jcOi «/0» Уь ,--^ у(оп^1))^ О всегда
можно найти решение задачи Коши, удовлетворяющее начальным
условиям E). Это решение является частным.
В примерах 1 и 2 были указаны общие решения
дифференциальных уравнений соответственно второго и третьего порядка.
Пример 3. Решить задачу Коши для уравнения у"'—х = 0 с
начальными условиями у@) =5, у'@) =—2, у"@) =7.
Решение. Это — уравнение третьего порядка вида B), где
f = A\ Найдем область единственности. Имеем ~^- = 0, —^=0,
дУ W
= 0. Эти функции непрерывны в пространстве R4; следовательно,
ду"
D=-R4 и для любой точки из D задача Коши однозначно разреши*

156 Глава III Обыкновенные дифференциальные уравнения
ма. Известно (см. пример 2), что общее решение данного
уравнения имеет вид у = — х4-\ Clx2Jt~C2x-\-C3. Дифференцируя
дважды, имеем у' = — xz-\-Clx-\-C2 и y"=. — x2-\-Cv Подстав-
6 ~ 2
ляя х = 0, */ = 5, у' = —2, у"' = 7 в последние три равенства, получим
систему, имеющую решение Ci = 7, C2 = —2, С3 = 5. Функция
I 7
у = — JC4-)—^— х2 — 2х-\-5 является решением задачи Коши.
2°. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение
порядка. Часто решение уравнений высшего порядка с помощью
специальных подстановок можно свести к решению уравнений более
низкого порядка. В этом случае говорят, что уравнение допускает
понижение порядка. Рассмотрим три типа таких уравнений.
1. Уравнение вида
с помощью подстановки у<п~1) = и(х) сводится к двум уравнениям
первого и (л—1)-го порядков:
y(n-v = u(x). (9)
х
Первое из уравнений (9) имеет решение и(х)= f f(tNt-\-Cl
(см. § 3.1). Второе из уравнений (9) имеет тот же вид, что и
уравнение (8), но порядок на единицу ниже. Применяя для его
решения ту же подстановку, получим
я':=«(*), */<*-2):=z>(jt), A0)
* \
( \
где x;(jt)=n ( /(OdMcU-f C{x-\-C2. Таким образом, при каж-
Х0 \Хо /
дом интегрировании порядок уравнения понижается на единицу,
а в правой части добавляется одна произвольная постоянная.
После п-кратного интегрирования получим общее решение уравнения
(8), содержащее п произвольных постоянных.
Примеры. 1. Решить уравнение у"—х2 = 0.
Решение. Запишем уравнение в виде у" = х2. Интегрируя, по-
лучим #'== \ х2йх-\-С1, или #'= J-Сц где С\ — произвольная
о
х
постоянная. Отсюда у^\^~ + СЛ<1х-{-С2, или ^ = ~-j + C1
и
где С2 — другая произвольная постоянная. Полученное решение
содержит две произвольные постоянные С[ и С2 и является общим
решением исходного уравнения (см. пример 1 п. 1°).

§ 3.5 Дифференциальные уравнения высших порядков 157
2. Решить уравнение у"' = х.
х%
Р еше н и е. Интегрируя, получим у"— \-С\* Сх е R.
Повторно интегрируя, имеем #' = -—(-CjX-f C2, C2^ R. Отсюда */=
б
=?—|—liL —|— С2-х: —1~СГ3, С3е R-Полученное решение содержит три
24 2
произвольные постоянные Сь С2, С3 и является общим решением
исходного уравнения (см. пример 2 п. 1°).
2. Уравнение вида
F(x, y\ у")=0, A1)
не содержащее у в явной форме, подстановкой у' = и, у" = и'
сводится к двум уравнениям
F(x, и, «')=(), 0' = и, A2)
каждое из которых является уравнением первого порядка, в то
время как исходное уравнение имеет второй порядок.
Пример 3. Решить уравнение х*у" + х?у'=\.
Решение. Данное уравнение не содержит у в явной форме.
С помощью подстановки у' = и, у" = и' сведем его к двум
дифференциальным уравнениям первого порядка:
Первое из них представляет собой линейное уравнение первого
порядка «'-{- —=— (см. п. 6° § 3.3). Область единственности этого
X X*
уравнения есть D={(x, и):хфО}. Находим интегрирующий
множитель jA(jc)=exp Г— =ехрAпх)=х. Общий интеграл имеет вид
J х
СI 1 \ Г
откуда а = —х—— . Подставляя это выражение во второе из урав-
с \ 1
нений (*), получим t/r = — -, откуда у=С11пх-| \-С2.
3. Уравнение вида
y\ Г)=0, A3)
не содержащее х в явной форме, подстановкой */'=а, #"= — ==
du du du du . , du da
= -X.^z_^ —y'—=a—сводится к двум уравнениям
dx dy dx dy dy dy
, a, B.-!JfL)=rO, y'=u. A4)

158 Глава III. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Первое из уравнений A4) является дифференциальным
уравнением первого порядка относительно и как неизвестной функции от
у, второе-—дифференциальным! уравнением первого порядка
относительно у как неизвестной функции от х.
Пример 4. Решить уравнение */#"+(*/'J = 0.
Решение. Данное уравнение не содержит х в явной форме.
С помощью подстановки t/' = u, #"=#•— сведем его к двум диф-
ференциальным уравнениям первого порядка:
Первое из уравнений (*) преобразуем к виду
Это — уравнение с разделяющимися переменными (см. п. 4° § 3.3).
Находим интегрирующий множитель ц(у, и) = 1/(и2у). Область
единственности решений есть D={{yy и):уФ0, ифО}. Общий
интеграл имеет вид
, у
откуда и = С\/у. Подставляя это выражение во второе из уравнений
(*), имеем yf=Cifyt или C\dx—ydy=0. Получили уравнение с
разделенными переменными (см. п. 4° § 3.3), общий интеграл которого
есть
откуда #2 = С,*+С2.
3°. Упражнения
Решите уравнения.
I, у» 4-/tgjc= sin 2x.
3. 2уу" *=(«/'J.
"d*2"+"d7" + ^
7 " 1
<• У — j , х2 '
9. /;tgw = 2(y'J.
2. /'*
4. у" tj
6. 0й" =
10. 2уу'
\пх = уг.
= J. «/(!) =
1 /
** C0S2 x * ^ \
' = 14- (у'J.

§ 3.6. Линейные однородные дифференциальные уравнения 159
§ 3.6. Линейные дифференциальные уравнения. Понятие
однородного и неоднородного уравнения. Однородное линейное
уравнение, его общее решение. Линейное однородное уравнение
с постоянными коэффициентами
1°. Линейные дифференциальные уравнения. Рассмотрим линейное
дифференциальное уравнение л-го порядка
ао(х)У{п) + и1(х)у(»-1> + ...+ап„1(х)у'+ап(х)у=:г(х), A)
где а,(лг) (/ = 0, 1, ..., п) и г(х)— известные функции, непрерывные
при всех допустимых значениях х\ у — искомая функция
аргумента *; у\ ..., */(я> — ее производные по х.
Заметим, что искомая функция и ее производные входят в
уравнение A) в первой степени, поэтому его и называют линейным.
Функция г(х), входящая в линейное уравнение A), называется
правой частью.
Определение 1. Линейное дифференциальное уравнение A)
называется однородным (или уравнением без правой части), если
r(A')ssO. Если же г(х)Ф0, то уравнение A) называется
неоднородным (или уравнением с правой частью).
Запишем уравнение A) в другой, форме. Разделим все члены
этого уравнения нд cto(x) и обозначим новые коэффициенты через
п;{х)= ——(/=-1,..мя), а новую правую часть —через
«о(*)
= Тогда уравнение A) запишется в виде
а соответствующее ему однородное уравнение — в виде
Q. C)
2°. Основные свойства линейных однородных уравнений второго
порядка. Рассмотрим уравнение
y" + p(x)y' + q(x)y=Q, D)
где р(х) и q(x) — функции, непрерывные при всех допустимых
значениях х. Уравнение D) является линейным однородным
уравнением вида C), где /2 = 2, а\(х)=р(х), a2(x)=q(x). Оно имеет
очевидное решение у(х)=0 (нулевое решение), для которого #' = 0,
!///=:0 и уравнение D) обращается в тождество. Интерес
представляет отыскание ненулевых решений уравнения D).
Пусть у\ =у\(*), у2*=У2{х) — два решения уравнения D),
отличные от нулевого.
Определение 2. Два решения у\ и уч уравнения D)
называются линейно зависимыми, если существуют постоянные cti и ct2, не

160
Глава III. Обыкновенные дифференциальные уравнения
обращающиеся одновременно в нуль и такие, что при любом
значении х справедливо соотношение
isO. E)
Если же таких чисел оц и а2 не существует, т. е. тождество E)
справедливо только при ai = a2 = 0, то решения ух и у2 называются
линейно независимыми.
Примеры. 1. Пусть У\ — ек*х, y2 = ekaX и кхфк2. Покажем, что
У\ и у2 линейно независимы. Предположим противное, т. е. что у\
и у2 линейно зависимы. Тогда при любом значении х должно
выполняться соотношение E) и, значит, а1ек^х-\-а2ек*х^09 откуда
e(*i-*i)*== — aja2y что невозможно, так как левая часть
тождества— переменная величина, зависящая от х, а правая часть
—величина постоянная. Из полученного противоречия следует, что у\
ц у% линейно независимы.
2. Пусть, как и в предыдущем примере, */i = e***, у2=ъ*** и
k\ — k2=k. Покажем, что у\ и у2 линейно зависимы, т. е. существуют
числа си и а2 такие, что при любом х справедливо соотношение
a\ekx+a2ekx=0, откуда ai + c^seO (поскольку екхФО), или а^
ss—ct2. Таким образом, достаточно положить ai = —а2.
О линейной зависимости решений можно судить по
определителю
у2{х)
F)
составленному из функций ух% у2 и их производных, который
называют определителем Вронского (или вронскианом). Справедливо
следующее утверждение.
Теорема 1. Если решения у\ и у2 уравнения D) линейно
зависимы на отрезке [а, Ь], то W(yu у2) = 0 для любого х из (а, Ь].
Доказательство. Так как ух и у2 линейно зависимы, то
справедливо тождество E), т. е. ух(х)^—~ у^{х). Составим
вронскиан
Уг У'2
0±
«2_
«1
У<2
У2
42 У2
У2
откуда W(yu y2)=0 как определитель с двумя равными столбцами.
Для определителя W(yly y2) имеет место формула Лиувилля
-
G)
где Wo — постоянная, равная значению W(ylt y2) при x =
xg^[at b] — фиксированное значение аргумента.

§ 3.6 Линейные однородные дифференциальные уравнения
161
Доказательство справедливости формулы Лиувилля приведено
в п. 1° § 3.7*. Из формулы G) видно, что либо w(yu у2)^0 (если
И?0=0),либо W(y\, у2) не обращается в нуль ни при одномзначении
хе[а, Ь], так как показательная функция всегда положительна.
Теорема2 (обратная). Если решения у\ и у2 уравнения
D) линейно независимы на отрезке [а, Ь], то W(yu у2) не
обращается в нуль ни в одной точке из [а, Ь].
Доказательство теоремы 2 приведено в п. 2° § 3.7*.
Комментарии к теоремам 1 и 2. Теоремы 1 и 2
означают, что равенство нулю вронскиана W(yu y2) является
необходимым и достаточным условием линейной зависимости решений у\
</2-
Примеры. 3. Пусть j/j^e***, j/2 —e***, где
Составим вронскиан и вычислим его;
(см. пример 1).
а*1Л
1=e*iX и (/2 =

литак как к2фк\. Следовательно, решения
нейно независимы.
4, Пусть yl^=ek^x, у2~ек*х, где kx=k2=k (см. пример 2). Со
ставив вронскиан, получим
rJtx
*кх
скх
как определитель с одинаковыми столбцами. Следовательно,
решения #i = eftr и у2 = екх линейно зависимы.
5. Показать, что решения y\=ehx и у2=хекх линейно независимы.
Решение. Находим
u у2)--
ke
fcx
т. е. у\ и г/2 линейно независимы.
6. Являются ли решения у\^ь\х\Ьх и #2—cos bx, где ЬфО,
линейно зависимыми?
Р е ш е и и е. Вычислим
sin bx cos bx h( ' 2h -Л- 9 h Л-/-0
b cos bx — b sin bx
для всех х. Следовательно, у\ и у2 линейно независимы.
7. Являются ли решения r/i==eaxsin р*и t/2=eaxcos px,
линейно зависимыми?
Решение. Находим
еах sin px еах cos px
eejr (a sin рх + р cos рх) еах (a cos рх — р sin px;
cos2
— p е2алг / О
для всех г. Значит, решения у\ и (/•,» линейно независимы.
в—1178

162 Глава III. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Докажем теорему, позволяющую находить общее решение
уравнения D), если известны два его линейно независимых решения.
Теорема 3. Если у\ и у2 — два линейно независимых решения
уравнения D), то функция
у=С1У1 + С2у>, (8)
где С\ и С2 — произвольные постоянные, является общим решением
уравнения D), т. е. дает все решения этого уравнения.
Доказательство. Сначала докажем, что функция (8)
действительно является решением уравнения D) при любых значениях
С\ и С2, а затем докажем, что нет таких решений уравнения D),
которые нельзя было бы задать в виде формулы (8).
Подставляя функцию (8) в левую часть уравнения D) и вынося
за скобку соответственно С\ и С2, получим
=С\ [у'\+ Р(х) yl + q (х) у1]+С2[у1^ р(х) y'2-\-q (х) у2\===0.
Так как у\ и у2— решения уравнения D), то выражения в
квадратных скобках равны нулю. Следовательно, функция (8) обращает
уравнение D) в тождество при любых значениях С\ и С2, т. е. она
является решением уравнения D),
Для доказательства второго утверждения достаточно показать,
что при любых начальных условиях х=хОу у(хо)=уОу </'(*о)—#о'
(а они, как это вытекает из теоремы1 существования и
единственности решений, определяют решение уравнения D) однозначно) в
формуле (8) можно подобрать значения постоянных С{ и С2 так,
что полученное с ее помощью решение y = Ciy{-\-C2y2 уравнения D)
будет удовлетворять заданным начальным условиям, т. е. все
решения уравнения D) могут быть записаны в виде (8). Подставляя
начальные условия в соотношение (8), имеем
ф 0, так как является
Определитель этой системы
определителем Вронского W{yu у2) при х = х0, а решения у\ и у2
линейно независимы. Следовательно, система (9) имеет
единственное решение. Найдя из этой системы С\ и С2, по формуле (8)
получим решение у, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
Пример 8. Найти общее решение уравнения у" у'-\-
1—^TiZ—O, если известны его частные решения у{=хъ и у2 = хА.
Решение. Данное уравнение является уравнением вида D),
6 12
где «(;с)= , tfC*)^—. Область единственности есть D»
х х*

§3 6. Линейные однородные дифференциальные уравнения 163
= {(*» у) -хФО}. Общее решение уравнения в D задается формулой
(8), если у\ и у2 — линейно независимые решения. Проверим, так
ли это. Находим вронскиан
3*2 4x3 - ' • " VX
Следовательно, решения у\ и у2 линейно независимы и общее
решение исходного уравнения имеет вид у = С\Х*-\-С2хА.
Как видно из этого примера, для нахождения общего решения
уравнения D) необходимо знать два линейно независимых решения
У\ и у2 уравнения D). Иногда удается найти или угадать только
одно частное решение у\. В этом случае можно отыскать второе
частное решение у2, воспользовавшись формулой Лиувилля G).
Рассмотрим производную частного двух решений
У\/ У\ Ух
=^ ехр[-
L До
(Ю)
где хо принадлежит области единственности уравнения D).
Интегрируя соотношение A0) и умножая обе части равенства на у\%
получим
y2=yxwA-X-zxv\ —\ p(x)dx\ их. A1)
J Ух
Правая часть формулы A1) содержит лишь известное решение у\\
следовательно, ее можно использовать для нахождения решения у2,
полагая WQ=\. При этом полученное по формуле A1) решение у2
и решение у\ линейно независимы.
2
Примеры. 9. Решить уравнение у" -) J/'-j-#=O, зная его част-
sin х
ное решение У\=- •
X
Решение. Это — уравнение вида D), оно имеет область
единственности D={(x, у):хфО). Здесь /?U)=— , ^(д:) = 1.
Используя формулу A1), где xo=\^D, найдем второе частное решение:
С9 х? Г f 2 , 1 . sin x f
т-—- exp — —с!л: d^ =
J sinSjt ^ J д; J д: J
sin^x x J sin2jc
Здесь постоянную интегрирования можно взять равной нулю, так
как ищется частное решение. Решения ух и у2 линейно независимы,

164 Глава III Обыкновенные дифференциальные уравнения
поэтому общее решение исходного уравнения имеет вид
^ sin х , п cos х .
у = С1 \~С2 (оно записано в виде суммы, а не разности,
поскольку знак минус в решении у2 можно отнести к произвольной
постоянной С2).
10. Решить уравнение */" — у'-\—-^—==0.
Решение. Очевидно, функция у\=х является частным
решением данного уравнения. Область единственности — вся плоскость R2.
Пусть л'о = О; тогда
= jc —^— dx~x [х ) = jc2 — 1.
Общее решение исходного уравнения имеет вид у=С\Х+С2(х2—1).
3°. Линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными
коэффициентами. Как видно из п. 2°, общее решение уравнения D)
удается найти не во всех случаях. Однако в частном случае, когда
уравнение D) имеет вид
где р и q — постоянные, его общее решение можно найти всегда.
Уравнение A2) называется линейным однородным
дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
Будем искать его решение в виде y = ekxy где k — некоторое пока
неизвестное число (действительное или "мнимое). Тогда y' = kehxy у"' =
= k2ekx. Подставив эти выражения в уравнение A2) (подробнее
см. п. 3° § 3.7*) и разделив обе его части на общий множитель е*х,
отличный от нуля для всех л\ получим
b2 + pk + q = 0. A3)
Уравнение A3) называется характеристическим уравнением для
уравнения A2). Его корни находятся по формуле
В зависимости от характера корней уравнения A3) получаются
различные общие решения уравнения A2). Рассмотрим возможные
случаи.
1. Корни действительные и различные: к\фк2. В этом случае
частными решениями уравнения A2) являются уг = ек*Л\ у2 = ек*х-
Как было показано в примере 1, п. 2°, эти решения линейно
независимы. Следовательно, общее решение уравнения A2) имеет вид
y^C^+Cfi***. A5)

§ 3 6. Линейные однородные дифференциальные уравнения 165
2. Корни действительные и равные: k\=k2=k. В этом случае
одно частное решение имеет вид yi = ehx. Если взять y2=ekx, то
решения у\ и у2 окажутся линейно зависимыми, что было показано
в примере 2 п. 2°. Поэтому второе частное решение находим по
формуле A1) и получаем y2 = xehx (подробнее см. п. 3° § 3.7*). Как
было показано в примере 5 п. 2°, решения у\ и у2 линейно
независимы. Следовательно, общее решение уравнения A2) имеет вид
A6)
р
3. Корни комплексные: fci = a + tp, k2 = a—/р, где а=—~7~ —
о 1 " Р~
ствительная, а р= I/ q—L мнимая часть комплексного числа.
г 4
Легко проверить, что в этом случае линейно независимыми
решениями уравнения A2) являются частные решения t/i = еалг sin px и
у2 = еахcosfix (см. пример 7 п. 2°). Следовательно (подробнее см.
п. 3° § 3.7*), общее решение уравнения A2) имеет вид
(/^re^CCjsin Ъх-\ C2cos^a:). A7)
Таким образом, решение линейного дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами A2) сводится к нахождению
корней характеристического уравнения A3), которое легко
составить непосредственно по уравнению A2), если в нем заменить
производные соответствующими степенями показателя k.
Примеры. 1. Решить уравнение у"—4i/'+ 3# = 0.
Решение. Это — линейное дифференциальное уравнение
второго порядка с постоянными коэффициентами. Соответствующее
ему характеристическое уравнение k2—4/г +3 = 0 имеет
действительные различные корни &i = l, k2 = 3. В силу формулы A5) его общее
решение записывается в виде у=С\ех+С2е3х.
2. Решить уравнение у"—4#' + 4i/ = 0.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид k2—4k +
+ 4 = 0; его корни k\ = k2 = k = 2 — действительные и равные. По
формуле A6) находим общее решение исходного уравнения i/ = e2x(CiH-
)
3. Решить уравнение у"—4#'+ 13# = 0.
Решение. Составим характеристическое уравнение k2—4k4-
-f 13 = 0. По формуле A4) находим его корни: &1>2=2 н- ]/ —9==
= 2±3t, т. е. а = 2, р = 3. Используя формулу A7), получим общее
решение исходного уравнения у = е2х(С] sin Зх +С2cos За:).
4. Решить задачу Коши для уравнения #" + 4# = 0 с начальными
условиями у{0) =5, у'@) =4.
Решение. Составим характеристическое уравнение k24-4 = 0.
Оно имеет чисто мнимые корни &1J=±2/, откуда а = 0, р = 2. По
формуле A7) находим общее решение у = С\ sin 2x+C2cos 2x. Для
отыскания частного решения, удовлетворяющего заданным началь-

166 Глава III Обыкновенные дифференциальные уравнения
ным условиям, найдем у' = 2С\ cos 2л:—2C2sin 2х. Подставляя в
последнее соотношение и в общее решение начальные условия,
получим систему уравнений
|5=С! sin 0-f C2cos0, fC2=5,
{4 = 2СХ cos 0 - 2С2 sta 0. ^ [С1 = 2.
Соответствующее частное решение имеет вид */ = 2 sin 2x + 5 cos 2x.
4°. Линейные однородные уравнения высших порядков. В пп. 2° и 3°
были рассмотрены однородные линейные дифференциальные
уравнения второго порядка вида D). Линейные однородные уравнения
высших порядков обладают аналогичными свойствами.
Сформулируем их, не останавливаясь на доказательствах.
Рассмотрим линейное однородное уравнение п-го порядка
вида C):
О пределение 3. Частные решения уХч у2, ..., Уп уравнения C)
называются линейно независимыми, если между ними не
существует тождественного относительно х соотношения
где постоянные си, <х2, ..., an одновременно не обращаются в нуль.
Если уи Уч, •.., Уп — линейно независимые частные решения
уравнения C), то его общее решение задается формулой
A8)
где Си С2, ..., Сп — произвольные постоянные.
Если коэффициенты аь а2, ..., ап уравнения C) постоянны, то
его частные решения уи у2ч ..., Уп находятся с помощью
характеристического уравнения
При этом каждому действительному корню k уравнения A9),
имеющему кратность пг, соответствуют m частных решений вида eftx,
xehx, ..., xm~lekx уравнения C), а каждой паре комплексных корней
& = а±ф кратности m соответствуют пг пар частных решений вида
^sinpjc eajrcospjc; хеах sin Зл:, х еах cos Зх; ...; xm~l eax sin $x,
Примеры. 1. Решить уравнение #"'—5*/"-f Syr—4(/ = 0.
Решение. Это — линейное уравнение третьего порядка с
постоянными коэффициентами. Для нахождения его общего решения
по формуле A8) необходимо знать три частных решения. Составим
характеристическое уравнение k3—5k2 + 8k—4 = 0, или (k—1)(?2—
—4& + 4) =0. Отсюда k—1=0, т. е. fti=l, и &2—46 + 4 = 0, т. е. ?2 =
&з = 2. Таким образом, имеем однократный корень fti=l, которому
соответствует частное решение у\ = ех, и двукратный корень &2г3 = 2,

§ 3 7*. Линейное однород. диф. уравнение второго порядка (дополнения) 167
которому соответствуют частные решения */2 = е2х, уз = хе2х. Общим
решением исходного уравнения является у = С\ех + е2х(С2 + Сзх).
2. Решить уравнение у"'—8у = 0.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид /г3—8 = 0,
или (k—2) (k2 + 26 + 4) =0. Отсюда A1=2, &2.з = — 1 ±V~3i.
Однократному действительному корню соответствует решение J/i = e2x,
а однократной паре комплексных корней — пара решений */2 —
= е-х sin КЗл:, j/2=e-*cosK2U. Общее решение исходного
уравнения имеет вид # = Cie2* + e-* (C2sin КЗл:-j-C3 cos КЗл:).
3. Решить уравнение #/// + Зш/" + За2*//+ а3</ = 0.
Решение. Характеристическое уравнение можно записать
в виде (& + аK = 0, откуда получим трехкратный действительный
корень ?i,2,з~—я, которому соответствуют частные решения у\ =
= е~ах, у2 = хе ых, уз = х2е~ах. Общее решение есть у = е~ах(С\ С
С2
5°. Упражнения
Решите уравнение, зная одно его частное решение уг:
1. у»-у' t-J-O; |ri= *¦.
2. ц" —у' Igx ^2t/ = 0; у! s sin дг.
Решите уравнения-
3. ^" + Зг/' + 2у ^0. 4. (/" + lay' + a2y =» 0 (a > 0).
5. ^+2//' +5у = 0. 6. ^-
7. ^-i-2-^+.2s*0« s(°)^b *'@)-l-
8. У* — з</" + 4«/ = 0. 9. у1 v + 8^/7 + 16*/ « 0.
§ 3.7*. Линейное однородное дифференциальное уравнение
второго порядка (дополнения)
1°. Вывод формулы Лиувилля. Докажем справедливость формулы G) § 3.6,
которая имеет вид
B)
— реше
УХ + Р (X) У\ + Ч (X) ух 9 U, (/2 + /> W ^ + ^ (*) У2 « 0.
| J A)
где у\ и Цг — решения уравнения
а W((/i, у%)—У\Уч'~уг\}\ —определитель Вронского Так как у\> У2 — решения
уравнения B), то

168 Глава III Обыкновенные дифференциальные уравнения
Умножая первое уравнение на —*/г» а второе на у\ и складывая почленно,
получим
У\У2 — У2У[ + Р (*) \у\У2 — У2У[) = 0. C)
В равенстве C) выражение в скобках есть определитель Вронского W?(i/i, у2)
Найдем производную
, У2) d
—в17
Используя последнее равенство, запишем соотношение C) в виде
dlP + p(x)Wdx^i). D)
Это — уравнение с разделяющимися переменными (см. п. 4° § 3.3); его
интегрирующий множитель есть \i(x, W) = \/W. Следовательно, —- dW -\- p (х) dx — 0
1т
W х
С d'V i*
и общий интеграл имеет вид I —- -h \ p(x)dx^i)f где (х0, М/о) —• ючка
из области единственности решений уравнения D). Интегрируя последнее
соотношение, получим формулу Лиувилля A).
Справедливость формулы A) можно проверить и простой подстановкой ее
в уравнение D). Очевидно, что
н
p(x)dx
p(x)dx\ « W(-p(x))f
откуда W(—p(x)) dx+p(x)Wdx = Q.
2°. Доказательство теоремы 2 § 3.6. Докажем, что если решения yi и у2
уравнения B) линейно независимы на отрезке [а, 6], то W(yit уг) не обращается в
нуль ни в одной точке из [а, Ь].
Допустим противное, т е. что решения ух и у2 уравнения B) линейно
независимы на [а, Ь\ и W(yi, #2)=0 в некоторой точке отрезка [а, Ь]. Тогда в силу
формулы Лиувилля A) определитель Вронского W(yx, уг) обращается в нуль
во всех точках отрезка [а, Ь], т. е у\у/—у-2уi'^Q
Пусть у%Ф0 \х^[а, Ь)\ тогда
- УМ 1 n / У2 V n
2 = 0, или I — = 0,
l \ У\ I
У\
откуда yzlyt^a, где а —некоторая постоянная. Следовательно, ау\—i/a^O,
т. е. решения у\ и у2 линейно зависимы, что противоречит предположению.
Пусть #i = 0 в некоторых точках из [а, Ь]\ обозначим их xit x2, .,х„
Возьмем интервал ]а, jci[, в котором у\Ф0. Значит,
У2/У1 = а» или ayl~y2-=0 v х е]а, хг[. E)
Рассмотрим функцию y~ayt—у2. Поскольку у% и у2 —решения уравнения B),
у — также решение уравнения B), причем вследствие E) у = 0 на интервале
]а, jci[. В силу единственности решений получаем, что i/ = 0 на всем отрезке
[а, Ь] [так как у^=0 — решение уравнения B)]. Поэтому соотношение E)
выполнено всюду на [а, Ь\ что означает линейную зависимость решений у\ и уч
Таким образом, и в тгом случае получили противоречие

§ 3.7*. Линейное однород. диф. уравнение второго порядка (дополнения) 169
Не рассмотрен лишь случай t/issO на [а, Ь\ однако он не может иметь
места (предполагается, что решения */i и */г отличны от нулевого).
Следовательно, предположение о том, что W(y\, #2)=0 хотя бы в одной
точке отрезка [а, Ь], неизбежно приводит к противоречию. Итак, если yt и #2 —
линейно независимые на [а, Ь\ решения, то W(y\, y2) не обращается в нуль ни
в одной точке из [а, Ь].
3°. Нахождение общего решения линейного однородного дифференциального
уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (дополнения). Пусть
дано уравнение
у" + РУ' + ЯУ = 0. F)
Будем искать решение уравнения F) в виде у = екх Если k —
действительное число, то имеют место соотношения
у' =- ke*x, y"=:&ekx, G)
и, следовательно, справедливы все дальнейшие рассуждения п. 3° § 3.6. Если же
k = a + ifi —комплексное число, то справедливость соотношений G) требует
специального доказательства. Проведем его.
Из определения показательной функции при комплексном показателе имеем
y = ek*=- e(e+/?) х = еалг (cos §x -f / sin pjc). (8)
Напомним правило дифференцирования комплексной функции f(x) =<р(х) ¦+-
+ fy(x) действительного аргумента (см. том I, § 5.4): f'{x)=y'{x)+fy'(x)
(всюду / =--- | — 1, V2 - — 1). Продифференцировав соотношение (8) по ху на-
ходим
у' = (ех cos $х)' -4- / (еах sin $х)' =- еалг (a cos $х — 3 sin $x) +
-+ / еа'^ (а sin $х + ? cos $x) == а еадг (cos $x 4- / sin рлг) -f
+ е7ЛГ Э ( — sin $x 4- / cos pjc).
Умножим и разделим последний член этого соотношения на i Учитывая, что
j'Zas- it получим
yf _=. аеаЛ" (cos ^ + / sin Злг) + «Э Q*x (cos Э^ + ' sin ?x) =
= (а + /?) eejr (cos ?jc + i sin ^дг) = (а + /р) е(аЧ"/р) x^k ekx,
поскольку Л = а + ф. Таким образом, первое из соотношений G) доказано.
Аналогично доказывается и второе.
Покажем теперь, как получить второе частное решение уравнения F) в
случае равных действительных корней характеристического уравнения: &i = ?2~
= Ы -р/2 Поскольку 1/1 = е*дг=е (р/2)х, по формуле A1) § 3.6 находим
yi _e-(«*>* je^exp -\pdx\dx
— J pdjcj
Таким образом, общее решение уравнения F) имеет вид у =¦ C\thx +
Вынося в последнем выражении общий множитель ekx за скобку, получим
формулу A6) § 3.6, что и требовалось доказать.
Рассмотрим теперь случай комплексных сопряженных корней: ?1,2 = aztifi
Для доказательства справедливости формулы A7) § 36 положим частные
решения уравнения F) равными соответственно у\ =e*lX — е**"*"'^"* и у<г •= е**^ «

170 Глава III. Обыкновенные дифференциальные уравнения
= е^а~'°'*г (сравните со случаем действительных различных корней).
Поскольку эти решения линейно независимы F1=5^*2; см. пример 3 п. 2° § 3.6),
общее решение уравнения F) есть
-'РК (9)
Используя формулу (8), запишем соотношение (9) в виде
у ав е** \С\ cos $х 4- C\i sin $x + С2 cos $х — Cj, sin $х\ =*
= е*х \i (С\ - С2) sin $х + (Ci + С2) cos рдг|.
Введем в последнем выражении обозначения Ci = i(?t—С*), C2 = Ci + r2; тогда
получим
у = С\ еах sin рл: + С2 e'v cos ?jc. A0)
Вынося в формуле A0) за скобку общий множитель еадг, получим формулу
A7) § 3.6.
Заметим, что вследствие теоремы 3 § 3.6 в выражении A0) можно считать,
что у\ — еадг sin Зх и у2 = еалг cos Э^ — частные решения уравнения F). Это
легко проверить простой подстановкой ух и у2 в уравнение F), учтиывая, что
Р if ?
а= —-—- и $г= у а — —. Линейную независимость решений у% и у* мож-
2 * 4
по доказать с помощью определителя Вронского (см. пример 7 п. 2° § 3.6).
Следовательно, общее решение уравнения F) имеет вид A0), откуда вытекает
формула A7) § 36
§ 3.8. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения.
Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.
Линейные неоднородные уравнения с постоянными
коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение п-го порядка
имеет вид
yW + al(x)yv*-l>+...+aa..i(x)y'+aa(x)y = f(x\ A)
где ах{х), ..., ап-\(х)у ап(х), f(x) Ф0— известные функции,
непрерывные при всех допустимых значениях х.
1°. Основные свойства линейных неоднородных уравнений второго
порядка. Рассмотрим дифференциальное уравнение вида
B)
где р(х), q{x), }(х)Ф0 —-заданные непрерывные функции.
Составим для данного уравнения B) соответствующее ему однородное
уравнение
Тогда справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Общее решение У неоднородного уравнения B)
равно сумме общего решения у соответствующего однородного у рае-

§ 3.8. Линейные неоднород. диф. уравнения. Метод Лагранжа 171
нения C) и какого-либо частного решения #* неоднородного
уравнения B), т. е.
D)
Отметим, что в силу теоремы 3 § 3.6 здесь у =
Доказательство. Покажем сначала, что функция D)
действительно является решением уравнения B), а затем — что нет
таких решений уравнения B), которые нельзя было бы представить
в виде формулы D), т. е. что выражение D) представляет собой
общее решение уравнения B).
Подставляя в левую часть уравнения B) функцию У и ее
производные У и У", получим
Выражение в первых скобках равно нулю, так как (/ — общее
решение уравнения C), а выражение во вторых скобках равно f{x),
так как #* — частное решение уравнения B). Поэтому функция
У = У + У* обращает уравнение B) в тождество и является его
решением.
Для доказательства второго утверждения достаточно показать,
что при любых начальных условиях х=х0, У(*о) = Уо, У/(А:о)==Уо/
(а они, как это вытекает из теоремы существования и
единственности решений, определяют решение уравнения B) однозначно) в
формуле D) можно подобрать параметры С\ и С2 так, что решение
У=С]у] + С2у2 + У* уравнения B) будет удовлетворять заданным
начальным условиям. Найдя производную У и подставив в
полученное выражение и в формулу D) начальные условия, имеем
0—Clyl(xQ)-\'C2y2(x())-\- у^(хо\
Перепишем последнюю систему в виде
Y''j)
Так как определителем этой системы является вронскиан W(y\y y2)
при л' = х0;
отличный от нуля в силу линейной независимости решений у\ и yi
(см. теорему 2 § 3.6), то из системы E) можно однозначно найти
парахметры С{ и С2 так, что решение У~С\у\ -\-С2у2-\-у* уравнения
B) будет удовлетворять заданным начальным условиям.
Комментарий к теореме 1. Из теоремы 1 видно, что
отыскание общего решения неоднородного уравнения B) связано с

172 Глава III Обыкновенные дифференциальные уравнения
нахождением общего решения однородного уравнения C) и какого-
либо частного решения уравнения B). Первую часть задачи
решить можно, воспользовавшись теоремами § 3.6. Для решения
второй части задачи — нахождения частного решения уравнения B) —
применяют метод Л а г р а н ж а, который часто называют
методом вариации (изменения) произвольных постоян-
н ы х.
Теорема 2. Пусть правая часть уравнения B) представляет
собой сумму двух слагаемых, т. е.
F)
а щ(х) и и2(х)— решения уравнения B) с правой частью, равной
соответственно }\(х) и f2(x). Тогда сумма и\ (х) 4-и2(х) является
решением уравнения F).
Доказательство. Так как и\(х) и и2(х)—решения
уравнения B) с правой частью \\{х) uf2(x) соответственно, то
Складывая последние соотношения, получим
Таким образом, их (х) + и2(х) — решение уравнения F).
Комментарий к теореме 2. Заметим, что в теореме 2 речь
идет о частных решениях уравнений B) и F).
2°. Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных).
Будем искать частное решение у* уравнения B) в виде
у^-^С1{х)у1 + С2(х) у21 G)
где уи у2 — два линейно независимых решения уравнения C),
а С! (л:) и С2(х)—искомые функции от х (ср. с формулой (8) § 3.6,
где С\ и С2 — произвольные постоянные). Поскольку //* — решение
уравнения B), формула G) должна обращать уравнение B) в
тождество. Однако для нахождения двух функций С\(х) и С2(х)
одного этого условия недостаточно. Наложим еще одно условие на
искомые функции: пусть
[0. (8)
Это можно сделать, так как годится любое частное решение у*.
Дважды дифференцируя равенство G) и учитывая соотношение (8),
имеем
(9)

§ 3 8. Линейные неоднород диф. уравнения. Метод Лагранжа 173
Подставляя соотношения (9) в уравнение B) и вынося за скобки
С^х) и С2(х) соответственно, получим
Выражения в скобках обращаются в нуль, поскольку у\ и уг
являются решениями однородного уравнения C). Таким образом,
получаем систему уравнений
Из системы A0) можно однозначно найти С\'(х) и С2'(х), так как
ее определителем является вронскиан W \Уъ У2)— » » » отлич-
У\ У2
ный от нуля в силу линейной независимости решений у\ и у2
уравнения C). При нахождении функций С\ (х) и С2(х) по их
производным примем постоянные интегрирования равными нулю. Далее,
подставляя эти выражения в формулу G), получим частное
решение неоднородного уравнения B). Общее решение этого уравнения
находится по формуле D).
2 1
Примеры. 1. Решить уравнение у"-\ у'-\-у =— .
Решение. Данному линейному неоднородному уравнению
2
второго порядка соответствует однородное уравнение у" -\ у' -\-
= и> общее решение которого имеет вид # =
cos
(х фО) (см. пример 9 п. 2° § 3.6). Отсюда ясно, что #i —
х
sin x
X
COS X
у2Ьудем искать частное решение неоднородного
уравнения методом вариации произвольных постоянных. Формула G)
в данном случае примет вид
где С\(х)у Сг(*)—искомые функции. Для нахождения производных
Ci'(.v), C2'(x) составим систему вида A0):
x'2

174 Глава III Обыкновенные дифференциальные уравнения
Решением этой системы являются функции C[(x)—cosx и
С'2(х)= — sin х, откуда С{(х)= {cosx6x=sin х-^Сг, С2(х)=
= f (_sin A:)djc=cosjc-f С4. Полагая С3 = С4=0 и подставляя
выражение для Сх(х) и С2(х) в формулу (*), получим частное реше-
sin2 х , cos2 x 1 п
ние неоднородного уравнения у*= 1 = —. Согласно
формуле D), общее решение исходного неоднородного уравнения
х/ ^ sin х . ^ cos х , 1
записывается в виде K=Ct ьС2 .
X XX
2. Решить уравнение у" ^~ у'А — = л:2+ 1.
Решение. Соответствующее однородное уравнение имеет вид
2х 2и
у" ^'_| ^_ = 0; его общее решение есть у=^Схх + С2{х2—
X 2 -f- 1 ЛГ2 + 1
— 1) (см. пример 10 п. 2° § 3.6). Частное решение неоднородного
уравнения следует искать в виде у* = Сх (х)х+ С2(х) (*2— 1). Для
определения С\(х) и С2'(х) составим систему
- l)=0,
Решением этой системы являются функции С[(х)=\ — х
Ci(x)=x, откуда С!(л:)
= \д:Aл: = f-C4. Полагая С3=С4^0, получим */*~(л: j
л:2 лг2
-| (х2— 1)=± — (x2-f3). Общее решение неоднородного уравне-
2 6
ния есть Y = С1х-\-С2(х'2-\)~\-— (л:2-}-3).
6
3. Решить уравнение */"—4у у
Решение. Соответствующее однородное уравнение имеет вид
у"—4(// + Зг/ = 0. Это линейное уравнение с постоянными
коэффициентами; его характеристическим уравнением является к2—4& + 3 = 0,
откуда fei=l, &2 = 3. Общее решение однородного уравнения есть
y=C{ex + C2eZx. Частное решение неоднородного уравнения ищем
в виде ^* = CI(x)eAr4-C2(x)e3x. Производные СУ(л') и С2(х) находим
из системы
[ = 0,
решением которой служат функции С\'(х) =—0,5ех, С2(х) =0,5е-*.
Отсюда Ci(jc) ==— 0,5е* + С3, C2(.v) =—0,5е-*+С4, С3 = С4=0. Част-

§ 3.8. Линейные неоднород. диф. уравнения. Метод Лагранжа 175
ное решение исходного уравнения есть #* = —0,5е*-е*+ (—0,5)е~*Х
Хе3х = —е2*. Общее решение неоднородного уравнения имеет вид
у = С,ех + С2е3*—е2*.
4. Найти частное решение дифференциального уравнения
y"—\yf + Зу = е2* + 25 sin jc.
Решение. Так как правая часть уравнения представляет
собой сумму двух функций е2х и 25 sin х, то для нахождения искомого
частного решения воспользуемся теоремой 2. Рассмотрим два
следующих неоднородных дифференциальных уравнения: у"—4у'-Ь
+ 3(/=е2* и у" — 4*/' +3*/ = 25 sin x. Общее решение первого из этих
уравнений было найдено в примере 3. Полагая произвольные
постоянные равными конкретным числовым значениям, например
С1 = С2==0, получим частное решение Ы\(х) =—е2х.
Аналогично находим частное решение второго уравнения: общее
решение соответствующего однородного уравнения есть y = Ciex +
+ C2eSx\ методом Лагранжа получим частное решение
неоднородного уравнения и2(х) = 2,5sinх4-5cosx. Таким образом, частное
решение исходного уравнения имеет вид у*(х)=и\(х) +и2(х) =
= —е2* + 2,5 sin jc + 5 cos x.
3°. Линейные неоднородные уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами. Рассмотрим частный случай уравнения B):
У" + РУ' + ЯУ=/(х), (И)
где р, </— постоянные, а / (х) ^0 — заданная непрерывная при всех
допустимых значениях х функция. Уравнение A1) называется
линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго
порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения всегда
можно использовать метод вариации произвольных постоянных (см.
п. 2°). Однако когда правая часть уравнения A1) имеет
специальный вид, частное решение можно подобрать проще—методом
неопределенных коэффициентов. Уже при решении
примеров 3 и 4 п. 2° можно было заметить, что частное решение
имеет тот же вид, что и правая часть исследуемого уравнения, и
отличается от нее коэффициентами. Приведем здесь без
доказательства следующие правила для нахождения частного решения
уравнения A1). Подробнее этот вопрос изложен в § 3.9*.
Правило I. Если правая часть уравнения A1) есть f(x) =
= еадг Рп(х), где Рп(х) — многочлен степени п^О и а является
корнем кратности г характеристического уравнения &2 + pk + q = O, то
частное решение у* уравнения A1) имеет вид */* = ea*JtrQn(jt), где
Qn(x) — многочлен той же степени, что и Рп(х)у но с
неопределенными коэффициентами.
Правило П. Если правая часть уравнения A1) есть f(x) =
= eax(acos $x + b sin $x) и a±i'p — корень кратности г
характеристического уравнения, то частное решение у* уравнения A1) имеет

176 Глава HI Обыкновенные дифференциальные уравнения
вид y* = eaxxr(Acos px-fBsin px), где А и В— неопределенные
коэффициенты.
Комментарий к правилам I и П. Так как для
уравнения A1) характеристическое уравнение является квадратным, то
для правила I г может принимать значения 0, 1 и 2, а для
правила II — значения 0 и 1. При этом г = 0 соответствует тому случаю,
когда а или а±ф не являются корнями характеристического
уравнения.
Примеры. 1. Решить уравнение у"—2у' + у=*&*.
Решение. Составляем характеристическое уравнение k2—2ft-f
+1 = 0. Отсюда k\ — ki?= I и общее решение соответствующего
однородного уравнения есть у— (Ct-f C2x)ex. Найдем частное решение
неоднородного уравнения, применяя правило I при а = 2 и Ро(х) — \
(многочлен нулевой степени). Так как а = 2 не является корнем
характеристического уравнения, то г = 0. Многочлен нулевой
степени с неопределенными коэффициентами имеет вид <20(;с)=Л;
значит, ^ = Ле2*. Подставляя ^ = Ле2х, (/*' = 2Ле2\ (//' = 4Ле2* в
исходное уравнение, получим Ае2х — е2х или Л=1 (поскольку е2хф0).
Следовательно, #* = е2х. Итак, У= (Ci + C2*)e*-he2* — общее
решение неоднородного уравнения.
2. Решить уравнение #"-ь2*/' + */ = е *.
Решение. Характеристическое уравнение k2-\-2k+ 1 =0 имеет
корни k\ = k2 — — 1. Общее решение однородного уравнения есть # =
= (CiH-C2Jc)e-x. Здесь правая часть f(x) = е~х, причем <х = — 1
является двукратным корнем характеристического уравнения, т. е. г=2,
Q0(x)=A. Следовательно, ум = Ах2^тх. Имеем у*'^АхB—х)е~х,
у*"=Ае-х(х2—4x-f 2). Подставляя #*, yj и у*" в исходное
уравнение и сокращая на общий ненулевой множитель е~*, получим Л =
= 0,5. Следовательно, (/* = 0,5л:2е~х и общее решение исходного
уравнения имеет вид Y= (С^С2х+0,5х2)е~х.
3. Решить уравнение у" + 3у'~9х.
Решение. Характеристическое уравнение имеет корни fti=0,
k2 — —3. Общее решение однородного уравнения таково: у = С\ +
+ С2е~3х. Частное решение следует искать по правилу I, поскольку
правая часть может быть записана в виде f(x) =еОх-9х, т. е. а=0
и Р\(х)=9х—многочлен первой степени. Так как а = 0 —
однократный корень характеристического уравнения, то г=1. Многочлен
первой степени с неопределенными коэффициентами имеет вид
Qi(x) =Ах-\-В. Следовательно, частное решение ищем в виде #¦ =
= &хх(Ах + В)=Ах2 + Вх. Находим y/ = 2/U + В, г//' = 2Л и после
подстановки в исходное уравнение получим 6Ах+ BА + ЗВ) =9х.
Как известно, многочлены равны тогда и только тогда, когда
равны их коэффициенты при одинаковых степенях х. Следовательно;
6Л = 9 и 2/4-t-3B = 0. Решая эту систему, получаем Л = 1,5, В = — 1,
т. е. г/* = 1,5л:2—х. Общее решение исходного уравнения имеет вид
YC Cs152

§ 3.8. Линейные неоднород. диф. уривнения. Метод Лагранжа 177
4. Решить задачу Коши для уравнения t/"—Зу' + 2у = х2— 1 с
начальными условиями у@) = 2, у'@) = 4.
Решение. Характеристическое уравнение имеет корни ?i=lf
&2 = 2. Общее решение однородного уравнения таково: y = C\tXJr
4-С2е2х. Частное решение неоднородного уравнения ищем по
правилу I при а^=0, P2(x)=x2—lt r = 0, Q2(x)=Ax2 + Bx + C. Имеем */* =
= Ах2 + Вх+С\ у/ — 2Ах + В\ у*" = 2А. Подставляя г/* в исходное
уравнение и приравнивая коэффициенты при одинаковых степе-
1 О К 1
нях х, получим Л = —, В=—, С=—/Следовательно,у*=—х2-\-
,3,5 л
-\ х-\ и общее решение исходного уравнения имеет вид
Дифференцируя равенство (*) по х, находим
Подставляя в соотношения (*) и (**) начальные условия, получим
5 3
систему 2 = C1-f-C2-| , 4 = С1-\-2С2-\ , решая которую,
определим Cj= — 1, С2=—. Таким образом, частное решение,
удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет вид у=
г 4 I 2 ^2 1 4
5. Найти частное решение уравнения у"—2у/— ех(х2-\-х—3),
удовлетворяющее начальным условиям г/@) = 2, у'@)=2.
Решение. Корни характеристического уравнения таковы: &i =
= 0, &2 = 2. Общее решение однородного уравнения имеет вид у —
= С,4-С2е2х. Частное решение неоднородного уравнения ищем по
правилу I при а-1, Р2(х) =х2 + х—3, г=--0, Q2(x) A2 BC
Следовательно, y* = zx(Ax2 + Bx+C), y/ = ex[Ax2(B ) l
#/' = е*[Лх2~НВ + 4Л)л' + 2Л + 2Б + С]. Подставляя эти выражения в
исходное уравнение и приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях ху получим А— — 1, В = — 1, С=1, откуда у* = ех(—х2—л:-Ь
+ 1) и общее решение исходного уравнения имеет вид
Дифференцируя равенство (*), находим
— 2x— 1). (**)
Подставляя в соотношения (*) и (**) начальные условия, получим
систему 2-=С| + С2+1, 2 = 2С2, откуда Cj = O, C2=l. Следовательно,
искомое частное решение есть # = ех(ех—х2—х+ 1).
6. Решить уравнение у"—Ьу'-\-§у— 13 sin 3#.

178 Глава III. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Решение. Корнями характеристического уравнения являются
/?i = 2, ^2 = 3. Следовательно, (/ = Cie2x + C2e3* — общее решение
однородного уравнения. Частное решение неоднородного уравнения
следует искать по правилу II, поскольку правая часть содержит
тригонометрические функции и может быть записана в виде }(х) =
= e0*@-cos3,v+13sin3x); здесь а = 0 и р = 3. Так как 0±3* не
являются корнями характеристического уравнения, то г = 0 и частное
решение ищем в виде у* = е°'х*х°(А cos3x-f В sin3x) = Л cos 3x4-
+ В sin Зх. Имеем *// = — ЗЛ sin 3jc + 3B cos 3jc; *//' = —9Л cos 3jc—
—9fisin3x. Подставляя #*, yj', yj' в исходное уравнение и приводя
подобные члены, получим
(- ЗЛ — \ЪВ) cos 3jc+( \5A - ЗВ) sin Зх = 13 sin 3*.
Последнее равенство справедливо, если равны коэффициенты при
одноименных тригонометрических функциях, т. е. 15Л—ЗВ=13,
—ЗЛ—15В = 0. Из этой системы уравнений находим Л = 5/6, В =
= — 1/6. Тогда #* = —cos3a: sin Зх. Общее решение исходного
б 6
уравнения имеет вид К=С1е2йГ + С2е3дг-| cos3* sin Зх.
6 6
7. Решить уравнение y" — 3y'-\-2y — 2excos—.
Решение. Имеем k2—3&Н-2 = 0, т. е. &i = I, ^2 = 2;
следовательно, # = С]ех-ЬС2е2х. Частное решение следует искать по правилу II,
поскольку правая часть представима в виде /(х)=е* /2cos j-
+ 0«sin— \, т.е. а=1, p= —. Так как lH / не являются кор-
~ 2 ) '2 - 2 v
A COS--; \-
-\-В sin —) .Найдем yJ и у*" и подставим их в исходное
уравнение; тогда получим
+ ^cos+f^sinl 2eos
4 ' 2 У 2 \ 2 4 ) 2 J 2
Сокращая на ненулевой множитель е^ и приравнивая отдельно
коэффициенты при косинусах и синусах, получим систему—Л +
+-1д=-2, -1-Л- —Д=0, откуда Л=--|- и д=--|-.
Следовательно, f/:f: = e-r( — — cos— — sin-^-J. Общее решение
\ 5 2 о 2 /
исходного уравнения имеет вид K=Cle*-J-C2e2A"— — e-^/cos — +~

§ 3.9* Лин. неоднород. диф уравнение второго порядка (дополнения) 179
8. Решить уравнение 5t/"--6*/'-b 5# = е2*-f 2х3—х + 2.
Решение. Характеристическое уравнение имеет комплексные
корни 4,.» = — ± —/. Общее решение однородного уравнения есть
' 5
у = ез.г/5 /q cos-^- jc + C2 sin ~^x) • Далее, находим частное решение
//!=—е2* уравнения 5у" — 6у'-\-5у=ё2х, а затем частное решение
13
— х2~\ х уравнения
2 (проведите вычисления самостоятельно). В силу теоремы
2, общее решение исходного уравнения имеет вид К = е"
X
4°. Упражнения
Решите уравнения.
3. у» — 4*/ = 8х*. 4. у" -4- Ъу' -f 2у = sin 2x + 2 cos 2лг.
5. у» -f у = лг + 2е*. 6. (/'; — Зу' + 2у = е^.
Решите задачи Коши:
9. 4f/r/ — у = .^ —24л:, у @) — 2; у' @) = 2.
10. #" -Ьу' — 2# = 6л:'2, у@)=- — 11/2; у' @) = 2.
Решите уравнения методом вариации произвольных постоянных:
11, yrf -J- \y' -f- \y -=. е *
1
12. //г/ +
13. и" — \
х
ех
У 4
§ 3.9*. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение
второго порядка с постоянными коэффициентами и правой
частью специального вида (дополнения)
Дадим некоторые разъяснения относительно двух правил,
сформулированных в § 38 для уравнения A1). Рассмотрим уравнение вида
у" -г руг -г qy= аеах (а = const). A)
Пусть 1 не является корнем характеристического уравнения. Будем искать
частное решение уравнения A) в том же виде, что и его правая часть, т. е. в

180 Глава III Обыкновенные дифференциальные уравнения
виде у* = A eajr, где А — неопределенный коэффициент Имеем у' ~ аА е**,
^ = а3Л eajr. Подставляя эти выражения в уравнение (I), получим
Л (a2 + pa + Я) eejr = a eejf. B)
Сократив на ненулевой множительeav и разделив обе части равенства на а2 +
-fpa + <7=^=0 (так как а не является корнем характеристического уравнения),
находим Л = а/((х2+ра+q). Таким образом, в этом случае частное решение
найдено.
Если a — однократный корень характеристического уравнения, то a2+pa-f
4-</ = 0 и, очевидно, что соотношение B) не обращается в тождество ни при
каком значении А (поскольку а?=0). Следовательно, частное решение надо
искать в другом виде. Пусть У* » Ахе*х, тогда у^ = А (ах 4- 1) ea*, yl~
4- 2а) е1Х. Подставляя #*' и у*' в уравнение A), получим
± р)е«х = aea*, C)
так как a2-fpa-f ? = 0. Отсюда 4 = a/Ba-fp) (поскольку 2a + p^0: корень
a — однократный). Если же a — двукратный корень характеристического
уравнения, то частное решение следует искать в виде у* = Ах2е*х (проверьте).
Таким образом, каждый раз с увеличением кратности г корня а на единицу
в частном решении на единицу увеличивается показатель степени г
множителя хг.
Далее, рассмотрим уравнение вида
У" +РУ' +qy = aezxx. D)
Пусть а не является корнем характеристического уравнения. Если искать
частное решение уравнения D) в том же виде, что и его правая часть, т. е. в виде
#* = А еах х, то не достигнем нужного результата. Действительно, у'*~ д ea* ^
X(l-f-a*), у\ = А еах Ba-f- xa2). Подставляя у/ и у*" в уравнение D), имеем
А еах [х (a2 + pa + q) + 2a + p] = а еал' х. E)
Очевидно, что соотношение E) не обращается в тождество ни при каком
значении А. В самом деле, приравнивая соответственно коэффициенты при первых
степенях х и свободные члены, получим противоречивую систему
А (а2 4- ръ 4-?) = а,
А Bа 4- р)=--0,
а2 4-
U-0,
поскольку афО и 2а4-р?=0 (а не является корнем уравнения) Следовательно,
частное решение надо искать иначе. Будем искать его в виде у*=е*х (Ах + В)
Тогда, подставляя (/• в уравнение D), получим
Ае*х (а2 4- pa + q) х 4- еаЛ" [В (а2 4- ра 4- q) 4- А Bа 4- р)\ = aeaJfjc. F)
Приравнивая в соотношении F) коэффициенты при одинаковых степенях х,
имеем
а2 4- ра -г q
4- /?а 4- #) + -4 Bа 4- р) = 0,
(а2 4- ра 4- ^2) Bа + р)
поскольку а не является корнем характеристического уравнения.

§ 3 10 *. Понятие о краевых задачах 181
Таким образом, при наличии в правой части уравнения D) множителя х
необходимо ввести в частное решение многочлен первой степени Далее, в силу
теоремы 2 § 3.8 по индукции можно показать, что если правая часть содержит
в качестве множителя многочлен Рп{х) степени л^О, то необходимо ввести в
частное решение многочлен Qn{x) той же степени, но с неопределенными
коэффициентами
Рассмотрим теперь уравнение
у" + РУ' + qy = еадг (a cos $х + Ь sin (*лг). G)
Покажем, что этот случай можно свести к двум предыдущим с помощью
формул Эйлера
j
cos p* , sin §x =
, sin §x =.
Используя эти соотношения, представим правую часть уравнения G) в виде
Если числа а±?р не являются корнями характеристического уравнения, то в силу
теоремы 2 § 3.8 и рассуждений, приведенных в начале этого параграфа, частное
решение уравнения G) следует искать в виде у* = A e^a+l^Jf -f-ZJe^""'^*'
или, возвращаясь от показательных функций к тригонометрическим по формуле
(8) § 3.7*, в виде у* — еаХ (A cos $x+B sin fix), где А и В — неопределенные
коэффициенты (отличные от Л и Е) Если же а±Ф — корни характеристического
уравнения, то в частное решение следует ввести множитель хг, где г —
кратность корня.
В подробных курсах доказывается более общий результат, чем правила I
и II § 3.8. Приведем его без доказательства.
Пусть правая часть уравнения A1) § 38 имеет вид
/ (*) = еах [Р (х) cos $х + Q (х) sin p*],
где Р(х) и Q(x) ~ многочлены от х. Тогда частное решение следует искать
в виде
у* = ех [Мп (х) cos [U + Nn (x) sin p*], (8)
где п — наибольшая из степеней многочленов Р(х) и Q(х), а Мп{х) и Nn(x) —
многочлены степени п с неопределенными коэффициентами. Если а±ф — корни
кратности г характеристического уравнения, то функцию (8) следует умножить
на хт
§ ЗЛО*. Понятие о краевых задачах для обыкновенных
дифференциальных уравнений
Ранее мы рассматривали задачу Коши Однако часто (например, при
решении задач математической физики) возникает необходимость найти такое
решение, которое принимало бы заданные числовые значения на концах
рассматриваемого отрезка. Такие задачи называются краевыми (граничными) задачами.
Поясним сказанное на примере линейного однородного дифференциального
уравнения второго порядка
У" ±Р(х)у' +q(x)y^0. A)

182
Глава III Обыкновенные дифференциальные уравнения
У\
\
А
о
О
о.
\ \
\
. \
V
^ 1
1
1
0
\
ч
ТУ*
~ """"¦ "*~Т """"
b х
Очевидно, задача Коши для уравнения
A) должна иметь два начальных
условия у(хо)=уо, у'(хо)=у'о, которые
позволяют определить из общего решения
значения двух постоянных C*i и Сг (см
§ 3.6) и тем самым выделить искомое
решение. При постановке краевой
задачи для уравнения A) также требуются
два условия для определения значений
С\ и С^ но они задаются иначе.
Например, их можно задать так: найти
решение уравнения A) на отрезке la, b],
принимающее на его концах значения
„(а)-Л.
B)
где А и В — некоторые постоянные.
Условия вида B) называются краевыми
условиями. Таким образом, в этой задаче из множества интегральных кривых
требуется выделить ту, которая проходит через точки М\(а, А) и М2(ЬУ В) (рис
60). Заметим, что краевая задача не всегда разрешима.
Примеры. 1. Решить краевую задачу для уравнения у"—у = 0 с краевыми
условиями #@) = 0, #Bл) —1.
Решение. Это — уравнение вида A), где р(х)г=0, q(x)^ — 1. Краевые
условия имеют вид B) где а = 0, & = 2я, Л —0, В=\ Общее решение
исходного однородного уравнения есть i/(jc) = Ctex-I-C2e~x, Для определения значений
постоянных d и Сг воспользуемся краевыми условиями. Подставляя в общее
решение *=0, получим #@) = Ci + C2, а подставляя в него *=2я, имеем
у Bл) = С\ е2тс -{- U2 е~2л. Таким образом, приходим к системе уравнений С\ -Ь
I " 1
4- Сг = 0» С\ е2г' -f Сге** - 1, определитель которой = е 'к —
е2г' е~"тс
— е2ж = — 2 sh 2л Ф 0 (здесь sh 2л = (e2jt — е '1т");2 — гипе|>болический синус)
Следовательно, эта система имеет единственное решение С\ = -— , Сг =*
1
2 sh 2л
Искомое частное решение имеет вид у (х) =
2sh2rt
sh x
т. е. данная задача разрешима.
sh 2л
2. Решить краевую задачу у"-\-у = 0, у@) =0, */Bл) = 1
Решение. Общее решение уравнения имеет вид у(х) = С} sin л: + С2 cos x
Используя краевые условия, получим систему уравнений 0-Ci4-1 -С2=0,
C2 = l, определитель которой
— 0. Так как определитель
= _ 1 отличен от нуля, то система решений не имеет (см том I, § 1.9).
Следовательно, краевая задача не разрешима.
Для уравнения второго порядка могут быть заданы краевые условия более
общего вида
ау (а) + $у' (а) =. А, у у (Ь) + Ьу' (Ь) = В, C)
где а, р, Y» ^ — некоторые постоянные, не равные нулю одновременно. Легко
видеть, что краевые условия B) являются частным случаем краевых условий
C), если а = у^1 и р = б = О.

? 3.10*. Понятие о краевых задачах 183
Если Л — В = О, то краевые условия C) называются однородными; если же
хотя бы одна из постоянных Л, В не равна нулю — неоднородными.
Как видно из примеров 1 и 2, при решении краевой задачи для линейного
дифференциального уравнения A) нужно найти его общее решение у(х) =
= Ciyi(x) +C2y2(x), где у[(*), У2(х) —два линейно независимых решения
уравнения A), а затем подставить в него краевые условия C). При этом
получается некоторая линейная система двух уравнений относительно двух неизвестных
С\ И Сг.
Если краевые условия C) не являются однородными, то полученная
система — также неоднородная, и, как известно, имеет единственное решение при
условии, что ее определитель не равен нулю В этом случае краевая задача
разрешима. В том случае, когда система не имеет решений, и краевая задача
не разрешима
Если краевые условия C) являются однородными, то полученная система —
также однородная. Так как однородная система линейных уравнений всегда
совместна (она имеет нулевое решение Ci = C2 = 0), то краевая однородная
задача всегда разрешима (она имеет нулевое решение у{х) —0-t/i(*) +0-1/2{х) ==
s=0). В этом случае представляют интерес ненулевые решения краевой задачи.
При определенных соотношениях между функциями р(х) и q(x) уравнения A)
краевая задача может иметь ненулевые решения Чтобы найти их, вводят
некоторый параметр X и находят те значения X, при которых ненулевое решение
существует Эти значения X называют собственными значениями, а
соответствующие им решения краевой задачи — собственными функциями
Примеры. 3. Решить краевую задачу y" + y = Qt y@)=0, */(я/2)=и.
Решение. Краевые условия не являются однородными (Я = а=И=0);
следовательно, эта задача не всегда разрешима. Общее решение данного уравнения
имеет вид у(х) =Ci sin х + С2 cos x. Подставляя в это выражение краевые
условия, получим систему O-Ci-И-С2 —0, l-Ci+0 C2 = a, определитель которой
0 I
~ —1^0» Значит, система имеет единственное решение Ci = a, С2 = 0,
откуда у(х) = a sin х, \. е. краевая задача разрешима. Если бы а = 0 (при
однородных краевых условиях), то краевая задача имела бы только нулевое решение
4. Решить краевую задач) #" + Х2# = 0, у'@)=0, */(я)=0, где X —
параметр.
Решение Краевые условия этой задачи имеют вид C), где u = y = 0 и
р = б=1. Так как л = 5 = 0, то краевые условия являются однородными и
краевая задача разрешима; она имеет по крайней мере нулевое решение у(х)^0.
Найдем ненулевые решения этой задачи Общее решение исходного уравнения
есть у{х, X) =Ct sin Хдг + Сг cos Хдг. Чтобы воспользоваться краевыми условиями,
находим у'(х, X) = C,Xcos X*— С2Х sin Хх Подставляя в выражение для
производной у'{х, X) сначала * = (), а затем дг = л, получим однородную систему
XCi f-0.С-2 --0, (X
которая имеет ненулевое решение, если ее определитель равен нулю, т е.
*= — X2 sin Хя-=- 0.
X cos Хя — X sin Хя
Пусть Хт^О; тогда sinXrc —0 или Хл = ял, где hgN. Отсюда находим
собственные значения параметра Х = л (neN) и собственные функции У(х)~
— Сп cos nx (где Сп -произвольные постоянные), являющиеся ненулевыми
решениями краевой задачи
Пусть Х = 0; тогда данное уравнение примет вид у"' = 0 Его общее решение
есть у{х) = dx + C2 Так как у'{х)~С\у то, используя краевые условия,
получим систему, из которой находим, что С\ = 0, С2 —произвольное число.
Следовательно, у{х)~Сг. Тот же результат получается, если в предыдущем решении
у (х) з» Сп cos nx положить л = 0, что соответствует X —0.
5. При каких условиях уравнение у" + Х# —0 имеет ненулевое решение,
удовлетворяющее краевым условиям у@) + у'@) ==0, у(п) -\-у'(п) =0?

184 Глава III Обыкновенные дифференциальные уравнения
Решение. Здесь даны однородные краевые условия вида C) при а==р =
=Y = 6=1, Л = В = 0 Вид общего решения исходного уравнения существенно
зависит от корней характеристического уравнения k2 + X=0 или k2=~X.
Рассмотрим следующие три случая.
Пусть Х<0; тогда -\>0 и характеристическое уравнение имеет
действительные различные корни #1,2= ± У — X. Общее решение примет вид у(х, Х)=
= Ci e lx +С2в"~ v~Xx. Дифференцируя, получим у'(х> X) =
— ]/"__ XCi е'~~Хх -— У — ХС2е~~ *~1х. Подставляя в выражения у(х,\)п
у\(х, X) сначала л: = 0, а затем х = п, получим систему
Так как краевые условия являются однородными, то для существования
ненулевых решений необходимо, чтобы
:х i-у—
что возможно только при А, =—1 (выражение во вторых скобках отлично от
нуля). Следовательно, у(х) = Cie* + C2e~*. Для определения С\ и С2 при Х=—1
имеем 2Ci + 0-C2 = 0, 2 6^^!+0-е~71-С2 = 0, откуда Ct = 0, а С2 = С
—произвольная постоянная. Краевая задача имеет ненулевое решение у(х)~Се~х
(если С=0, то получим тривиальное решение t/(je)==O).
Пусть Х — 0\ тогда ?iB = 0 и у(х) =Cix + С2. Используя краевые условия,
получим систему 2Ci + 0-C2 = 0, A -f- jt) Ci н- С2 = 0, определитель которой
I 2 О
= 2^0. Следовательно, краевая задача ненулевых решений не
имеет.
Пусть Х>0; тогда ki$ — ± i УХ и общее решение имеет вид у(х, X) =г
== С\ sin УХл- + C<i cos УХдг. Дифференцируя, находим у' (х, X) г=
— УXCi cos УХ*—УХС«2 sin УХдг. После подстановки краевых условий
получим
+ С<2 = 0, (sin КХя -Ь У"Х cos УХл)С1 h (cos УХл — /л sin ^Хл) C^-U.
Чтобы определитель системы был равен нулю, необходимо выполнение
соотношения (Х+ l)sinyXrt^=0. Поскольку \ф— 1 (Х>0), имеем sin]/X«=^0 или
угХя = я« (где rt^N), откуда Х — п'2 и собственные функции имеют вид #(*) =
= С cos пх.
Итак, исходная краевая задача имеет ненулевое решение #(*)=Се~х при
^ = — 1 и у (х) = Сп cos л* при Х = л2, где N

Глава IV
СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 4.1. Нормальные системы дифференциальных уравнений и
векторная форма их записи. Задача Коши. Теорема
существования и единственности решения задачи Коши. Понятие об
общем, частном, особом и составном решениях. Метод
исключения
1°. Нормальные системы дифференциальных уравнений. 6
предыдущей главе были рассмотрены дифференциальные уравнения, в
которые входит лишь одна искомая функция и ее производные. На
практике часто встречаются задачи, приводящие к таким
дифференциальным уравнениям, которые содержат несколько искомых
функций одного аргумента.
Определение 1. Нормальной системой обыкновенных
дифференциальных уравнений порядка п называется совокупность п
дифференциальных уравнений первого порядка вида
y'i = fi(x, у1ч Уъ-~,Уп) (*=¦!, 2,...,д), A)
где функции fi '. G-+Rn (i=*l, ..., п) определены и непрерывны на
открытом множестве GczRn+1; х— независимая переменная; у\у
У2,-.-,Уп — искомые функции от х\ у\\ У2,-,Уп —их первые
производные по х.
Комментарии к определению 1. 1) В нормальной
системе все уравнения разрешены относительно производных у{ (i = l,
2,..., л).
2) В нормальной системе производные искомых функций имеют
только первый порядок.
Для краткости применяют векторную форму записи нормальной

186 Глава IV. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
системы. Рассмотрим вектор y=(yi, #2, .... Уп) и вектор-функцию
f(x> y) = [f\{^ У), .., fn(xy у)). Т^огда нормальная система A) в
векторной форме примет вид
?'*=/<*, J), С2)
-*¦ —>
где у'= (у/, ..., у'п)— производная вектора у по х.
Примеры. 1. Привести к нормальному виду систему
&t dt n dt
Решение. Из второго уравнения имеем *' = —# +cos/.
Подставляя это выражение в первое уравнение и разрешая его
относительно у', получаем у' = 4 cos /—sin t + Зх—4у. Система уравнений
x'=rcos^--f/, y'=4cost — s\n t-\-3x — 4y
является нормальной системой второго порядка.
2. Привести к нормальному виду систему
_ 1
Решение. Введем дополнительные искомые функции у3~
, y4=uJ^; тогда i^-=^ = ^, *М2=&± = уА. Из первого
dx *А их ' djc2 dx У dx* dx u v
уравнения системы имеем уъ л-у\Л-у[ — ^хУ из второго уравнения
Уз-Ь#4/==1 В результате получим нормальную систему четвертого
порядка:
Из примеров 1 и 2 видно, что к нормальному виду при
определенных условиях могут быть приведены системы
дифференциальных уравнений, содержащие производные первого порядка, а также
(с помощью введения дополнительных переменных) системы,
содержащие производные высших порядков.
Определение 2. Решением на интервале /c:R нормальной
системы A) называется совокупность п дифференцируемых на /
функций уЛх), у2{х) у,п(х), такая, что точка (х, ух(х), ..., уп(х))
принадлежит открытому множеству Gc=Rn+l при любом х из
интервала / и имеют место равенства
(/=1
т. е. совокупность (У\(х), ..., уп(х)) при подстановке в уравнения
A) обращает их в тождества.
Определение^. Решением в неявном виде на интервале /czR
нормальной системы A) называется совокупность п соотношений

§41 Нормальные системы дифференциальных уравнений 187
Ф| (*, #ь ¦••» Уп)=О (*=1, ...» я), определяющих совокупность д
неявных функций У\(х), ..., t/n(*), которая является решением
системы A) на интервале /.
Пример 3. Показать, что совокупность функций ух(х) =
-f- e* есть решение нормальной системы из примера 2.
6
Решение. Находим производные */i— (-ех, #2 —*-|-
-{- ——е*, уз= — * + е*, г/4 = 1Ч—^ е*. Подставляя данные
6 2
функции и их производные в каждое уравнение системы, получим
тождества (проверьте это). Значит, заданная совокупность функций
есть решение указанной системы.
2°. Задача Коши. Понятие общего и частного решений. Задача
Коши для системы A) формулируется так: найти решение (j/i (*)>•••»
Уп(х) этой системы, удовлетворяющее условиям
J/io ('' = 1. 2,..., n)f C)
где хо, */io, ..-, Упо — заданные числа, называемые начальными
условиями (данными).
Решение задачи Коши существуют не всегда. Приведем признак
однозначной разрешимости задачи Коши.
Теорема (о существовании и единственности
решения задачи Кош и). Пусть правые части ft {i= I, 2, ..., п)
нормальной системы A) и их частные производные по переменным
У2, -.-, Уп определены и непрерывны на открытом множестве
R1 переменных х, у\, ..., уп> Тогда в некоторой окрестности
\х—аг0| <6 точки х0 существует непрерывное решение У\{х)у У2(х),
.., уп(х) задачи Коши A), C), где (хОу </10, #2о, ..., yno)^D. Это
решение единственно, т. е. если yi](x) и yt2(x) (t=l, 2, ..., п)—два
непрерывных решения задачи Коши A), C), то yil(x) =у{2(х) ' (Ы
= 1, 2, ..., п) для всех х, при которых эти решения определены.
Доказательство этой теоремы можно найти в более подробных
курсах.
Комментарии к теореме. 1) В теории дифференциальных
уравнений сформулированная теорема имеет разные названия:
теорема Пикара, теорема Пикара — Линделефа, теорема Коши,
теорема Коши —- Липшица и т. д.
2) Очевидно, что множество D является подмножеством
множества G из определения 1, г. е. D<^GczHn+].
3) Теорема гарантирует существование решения задачи Коши
лишь в малом окрестности точки ,v0.

1В8 Глава IV Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Определение 4. Множество D^GaRn+\ в каждой точке
которого существует и притом единственное решение задачи Коши
A), C), называется облачностью единственности системы A).
Если в каждой точке множества D^GczRn+l выполнены
условия теоремы существования и единственности решения задачи
Коши, то D — область единственности.
Определение 5. Пусть D^G —область единственности
решения задачи Коши для системы A). Совокупность п функций
yl = yl(x, Си С2,...,СЯ) (/ = 1,...,л), D)
зависящих от п параметров С\, ..., Сп и имеющих непрерывные
частные производные по х, называется общим решением системы A)
в D^G, если:
1) соотношения D) разрешимы относительно произвольных
постоянных Сь ..., Сп при всех (х, у\,..., уп) ^D, т. е. .
=1 л); E)
2) совокупность D) является решением системы A) при всех
Сь ..., С„, получаемых из соотношений E), когда (х, */ь ..., уп)^
Определение 6. Общим решением в неявном виде (или
общим интегралом) системы A) в области единственности D^G
называется совокупность п соотношений Ф, (х, уи ~.,Уп) =Ci
(t=l,...,n), содержащая п параметров С\,...,СИ и в неявном виде
описывающая семейство функций, являющихся общим решением
системы A) в D.
Комментарии к определению 6. 1) Часто общим
интегралом называют не сами соотношения, а совокупность п
функций Фг(#, уи ••-, Уп), *'= 1, ..., л. Каждое из соотношений Ф; = Сг (или
каждую из функций Ф,) называют первым интегралом системы A).
2) Иногда общим решением системы A) в неявном виде (или
общим интегралом) называют совокупность соотношений
Ф/<*. Уп-*Уп* С1,...,СЯ)=О (/==l,...f/i), F)
являющуюся более общей, чем совокупность соотношений Ф* (х,
Уи-*Уп) = С{ (f=l,...,м).
Если известно общее решение системы A) в области
единственности D^G, to задача Коши для системы A) с начальными
значениями из D^G всегда однозначно разрешима.
Определение 7. Решение системы A), во всех точках
которого выполняется свойство единственности решения задачи Коши,
называется частным решением системы A). Решение системы A),
во всех точках которого нарушено свойство единственности,
называется особым решением системы A).

§ 4.1 Нормальные системы дифференциальных уравнений 189
Комментарии к определению 7. 1) Решение системы
A), не удовлетворяющее определению 7, называется составным
решением.
2) Совокупность частных, особых и составных решений системы
A) задает все решения системы A).
Из определения общего и частного решений следует, что все
решения, полученные из общего при конкретных значениях
постоянных Сь ..., СПу являются частными решениями, если (х, уХу ...,
)
При решении задачи Коши поступают следующим образом.
Сначала определяют область единственности D^G системы A), затем
проверяют, принадлежит ли точка (хОу уХОу ..., упо)у определяемая
начальными условиями C), области D. Если (хОу уХОу у20у ..., ynb)^Dy
то искомое решение либо не единственно, либо вообще не
существует. Если же (jc0, ую, ..., yno)^Dy то задача Коши однозначно
разрешима. Чтобы найти ее решение, сначала ищут общее решение, а
затем, используя начальные условия C), составляют систему п
уравнений для определения п значений постоянных С\у С2, ..., Сп.
Примеры. 1. Показать, что совокупность функций у\(х) = С\е~х +
+ С2е~3*, У2(х) =Cie-x-b3C2e-3ac + cos x является общим решением
нормальной системы
y'x^cosx — y2, #2=^4 cos х — sin
Решение. Здесь /, (х, ух, у2) = cos x—y2, /г {х, у и у2) = 4 cos x—
—sinx-f3#j—4у2. Находим частные производные по переменным
ух и у2: 4^-0; ~=~Ь -^ = 3; |^-=-4. Очевидно, что все
дуг ду2 дуг ду2
функции непрерывны для любых значений (ху уи y2)^R3. Значит,
D==R3. Для всех (х, у\, y2)^D соотношения
разрешимы относительно С\ и С2. Действительно, вычитая из
второго уравнения первое, имеем у2—i/i = 2C2e-3* + cos x, а умножая
первое уравнение системы на 3 и вычитая его из второго, находим
у2—3r/i = — 2С,е~х-}-cos х. Тогда получим совокупность соотношений
вида E):
Сх = — ех (Зух -~У2-\- cos х)у С2=-i- е3^(у2 — ух — cos a:).
Продифференцируем по х равенства (*), учитывая, что С! и С2 —
постоянные:
У\= —Сх*гх — ЗС2е~3*, у'2= —Схе-х — 9С2е-3^ — sin л. (**)
Подставляя выражения (*) и (**) в нормальную систему, получим
тождества, справедливые для любых значений С\ и С2. Следователь-

190 Глава IV. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
но, совокупность функций (*) является общим решением заданной
нормальной системы.
2. Решить задачу Коши для нормальной системы из примера 1
с начальными условиями у{@)=~ 1; у2@) =2.
Решение. Ясно, что точка @, —1, 2)eD=R3 и, значит,
решение задачи Коши существует и единственно. В примере 1 показано,
что совокупность функций (*) есть общее решение данной
нормальной системы. Подставляя начальные значения хо = О, у\0 = — 1, #2о = 2
в равенства (*), получим —\ = С\ + С2, 2=С1-ьЗС2-Ь 1, откуда С\ =
= —3, С2 = 2. Итак, искомое частное решение имеет вид У\(х) =
= —Зе~* + 2е~3*, у2(х)= —Зе~*4-6е~3* + cosx.
3°. Метод исключения. Метод исключения позволяет свести
решение нормальной системы A) я-го порядка к решению одного
дифференциального уравнения п-го порядка. Сущность этого
метода заключается в последовательном исключении искомых
функций y2i уъу ..., Уп из уравнений системы A).
Сначала продифференцируем по х первое уравнение
нормальной системы A):
дх дух ду2 дуп
Учитывая остальные уравнения системы, перепишем это выражение
в виде
Di^-l—r-—/i + s /2 + --- + T— 'In-
дх дух ду2 оуп
Так как правая часть представляет собой функцию от х, у\, ..., уп,
то полученное соотношение можно записать следующим образом:
y\" = F{ (x, у\, ..., уп). Последнее равенство вновь
продифференцируем по х, учитывая остальные уравнения системы. Тогда получим
tt"^dFj , dFx . | dFx f , , dFx -
дх дух ду2 дуп
По аналогии с предыдущим запишем y\"' = F2 (x, у\9 ..., уп).
Этот процесс продолжаем до тех пор, пока не найдем п-ю
производную у[п\ т. е. у[п) =Fn-\ (x, yu у2, ..., уп).
Таким образом, получим систему п дифференциальных
уравнений
G)
yv
В системе G) выделим первые п—1 уравнений. Из них при
определенных условиях можно найти выражения п—1 переменных у2} уъ,

§ 4.1. Нормальные системы дифференциальных уравнений 191
..., уп через переменные х, У\у у\у у\"у ..., у[п~~1). Подставляя эти
выражения вместо у2у */з, ..., Уп в последнее уравнение системы G),
получим дифференциальное уравнение п-го порядка:
у\я)=Гп(х, yu Уи Уи-,у\п))- (8)
Из способа получения уравнения (8) вытекает, что если
совокупность функций У\(х)у у2(х)у ..., Уп(х) есть решение нормальной
системы A), то функция у\(х) является решением уравнения (8) и,
наоборот, по известному решению у\(х) уравнения (8) можно,
найдя производные у'и Уи---, у\п~~1) и подставляя их в систему G),
найти у2(х), ..., уп(х).
Примеры. 1. Найти общее решение нормальной системы
у2, #2—4 cos л: — sin х-\- 3^/1-~4(/2.
Решение. Продифференцируем по х первое уравнение: у\" =
= —sin*—у2. Подставляя вместо у2 правую часть второго
уравнения системы, получим y\f = —4cosa:—3r/i-5-4#2. Чтобы исключить
из этого уравнения у2у находим из первого уравнения системы у2 =
==cos x—y\\ следовательно, y\" =—ty\—ty\. Перепишем
полученное уравнение в виде j/i" + 4j/i' + 3*/i=0. Это — линейное однородное
уравнение с постоянными коэффициентами. Его общее решение
имеет вид У\ = С1е-х'}-С2е~3ху где С! и С2—произвольные
постоянные. Для нахождения у2 используем соотношение y2=cosx—у\.
Отсюда (/2 = Cie-Ar4-3C2e-3x + cosA:. Совокупность функций ух =
= Cie-x4-C2e-3:x, г/2==С1е~д:Ч-ЗС2е-3д:4-со8л: является общим
решением данной нормальной системы, что было показано в примере 1
п. 2°.
2. Решить задачу Коши для системы
Решение. Дифференцируя по х первое уравнение, находим
У\" = 2у2—Ьу\+ъх. Подставим вместо у2 правую часть второго
уравнения: t/i// = 2(/1— 12f/2 + 2e~2x—5«// + ех. Из первого уравнения
системы имеем у2:=—у\-\ У\- ех.Далее, из последних двух
равенств получим ух"+ 11^1/4-28г/1 = 7ех-г2е-2х. Это линейное
неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами. Его общее
решение есть i/i = Cie-7* + C2e 4х -\ е-"Ч е~2х. Отсюда у2 =
40 5
1 13
— —C^e"-7^ С2е ^-1—ех-\—е~2лг. Подставляя начальные усло-
1 3
вия в выражения для у\ и «/2, имеем С1 + С2 = 0, Сх С2=—,
2 8
откуда (?! = —, С2= . Решением задачи Коши является со-

192 Глава IV. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
вокупность функций f/i=—е~7х е~4дг-|-'—ех4 е~2дг, у2=
4 4 40 5
4 8 ' 40 ' 10
3. Найти общее решение системы
-е-Ч
У2~-
х ху2
Решение. Первое уравнение содержит только одну искомую
функцию у и поэтому его можно проинтегрировать непосредственно.
Это — уравнение с разделяющимися переменными; его общее
решение имеет вид у\ = С\х. Подставляя это выражение во второе
уравнение системы, исключим из него у\\ получим у2= X
У2
x(l-f-Ci) т. е. уравнение с разделяющимися переменными; его
общее решение имеет вид у2= ± У С2 — х2 A -\-Ci). Следователь-
но, совокупность функций yl^=C1x, у2= ± У С2 — х2{\АгС\)
является общим решением данной системы.
4. Решить задачу Коши для системы
Решение. Первое уравнение содержит только одну искомую
функцию у\ и является линейным уравнением первого порядка. Ин-
х С
тегрируя его, получим уг= 1—- . Исключая у\ из второго урав-
3 х%
«ения, находим У2 = у2-\ (х — l)-j—^-A ). Это —линейное
3 х2 \ х ]
уравнение первого порядка; его общее решение имеет вид
y2z= —? ^—[~С2е-г. Подставляя начальные условия в выраже-
3 х2
ния для у\ и у2, получим систему —=—-, _Л,
3 3 3 3
откуда С| = 0, С2=0. Итак, решением задачи Коши является
совокупность функций #1=— 1 #2= 7" •
о «5
4°. Упражнения
Решите методом исключения системы дифференциальных уравнений-
<*У1
_ -9y2t 2.
dx

§ 4.2. Норм, системы лин. однород. уравнений с пост, коэффициентами 193
3. 14^2 — y2 4- 3t/i — sin jc , 4,
Решите задачи Коши:
5.
— у2
= -2.
« 1.
§ 4.2. Нормальные системы линейных однородных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Структура
общего решения. Решение в случае простых корней
характеристического уравнения
1°. Нормальные системы линейных однородных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами. Частным случаем
нормальной системы является нормальная система линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
где ац — заданные постоянные; уи у2у ..., уп — искомые функции
аргумента х, по которому производится дифференцирование.
Характерная особенность системы A) состоит в том, что ее правые части
представляют собой линейные функции относительно искомых
функций у и #2, ..., Уп> Кроме того, правые части системы A) не
содержат явно аргумента х или заданных функций этого аргумента.
Такие линейные системы называются однородными. Неоднородные
системы будут рассмотрены в § 4.4.
Приведем примеры линейных однородных систем:
(а)
(б)
Система (а) является нормальной системой двух линейных
уравнений с двумя искомыми функциями yi(x) и У2(х); система (б)
содержит три линейных уравнения и три искомых функции x(t)t
y(t),z(t).
Для сокращения записи линейную систему с постоянными
коэффициентами вида A) записывают в векторно-матричной форме.

194
Глава IV. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Обозначим матрицу коэффициентов системы A) через А = (ац),
где /, /=1, ..., пу а искомую вектор-функцию и ее производную
соответственно через
У(х)=
, У\х)=
Тогда систему A) можно записать в виде
'у'(х)=Ау(х).
B)
Запишем, например, систему (а) в векторно-матричной форме.
Обозначим
(у\(х)\ -+ (у'Л*)\ /2 1\
\У2(х) I \у2(хI \3 4/
Тогда система примет вид у'(х) =Ау(х).
Запишем теперь систему (б) в векторно-матричной форме.
Обозначим
4 -1
Тогда система примет вид u'(t) =Au(t).
Рассмотрим некоторые свойства решений нормальных линейных
однородных дифференциальных систем с постоянными
коэффициентами. Будем пользоваться векторно-матричной формой B)
записи системы.
Определение 1. Совокупность вектор-функций [решений сие-
-*• -¦ -»
темы B)] У\(х), У2(х), ..., уп(х) называется линейно зависимой,
если
где а; — постоянные, не обращающиеся в нуль одновременно, 0 —
нуль-вектор, т. е. 0=@, ..., 0). В противном случае совокупность
решений у\, У2(х), ..., уп(х) системы B) называется линейно
независимой.
Пример. Показать, что вектор-функции
у2{х)=[ cosx\ линейно независимы.
V — sin x)
Уг(х)
/ sin x\
cos х]

§ 4.2. Норм, системы лин. однород. уравнений с пост, коэффициентами 195
Решение. Допустим противное, т. е. что вектор-функции у\(х)
и У2(х) линейно зависимы. Тогда существуют не равные нулю по*
стоянные сп и а2 такие, что aiyi(x) + а2у2(х) =0. Это векторное
тождество эквивалентно двум скалярным: си sin х + а2 cos jcssO,
d cosx— ct2sinA:=0. Полученная система является однородной и,
значит, имеет нулевое решение ai = <X2=0. Как известно, ненулевое
решение однородной системы существует лишь тогда, когда ее
определитель равен нулю. Имеем
sin х cos х . о 0 л i г\
= — sin2* — cos2* = — 1 фО.
cos x — sin x
Следовательно, система имеет только нулевое решение, что
противоречит предположению. Итак, данные вектор-функции У\(х) и
у2(х) линейно независимы.
2°. Структура общего решения. Определение 2. Совокупность п
линейно независимых решений у\(х), у2(х), ..., уп(х) системы B)
называется фундаментальной системой решений.
Теорема. Если совокупность вектор-функций у\ (х), у2 (х),
..., уп(х) является фундаментальной системой решений для системы
B), то общее решение у(х) системы B) записывается в виде
пп(х), C)
где Си С2, ..., Сп — произвольные постоянные.
Доказательство. Разобьем доказательство теоремы на две
части. Сначала покажем, что если вектор-функции У\(х), у2(х), ...
Уп{х) являются решениями системы B), то их линейная
комбинация у(х) вида C) также есть решение системы B). Подставим
вектор-функцию #(*) в систему B). Так как У\(х)у ...,
уп(х)—решения системы B), то справедливы п тождеств у\ {х)=Ау\(х)у ...
у'п(х)=Аун(х). Тогда p{x)^Clylf(x) + ... +Спу'п(х) = С1Ау](х) +
-•• -+ -¦
,.. +СпАуп(х). Учитывая соотношение C), получим у'(х) =Ау(х).
Следовательно, линейная комбинация C) является решением сие-
темы B).
Во второй части доказательства следует показать, что с
помощью формулы C) можно решить задачу Коши для системы B) с
^ ¦¦ «¦
начальным условием у(х0) =*/0, где t/o — произвольный
фиксированный начальный вектор. Эта часть доказательства приведена в п. 1°
§ 4.3 *.

196 Глава IV. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Итак, зная фундаментальную систему решений для системы B),
всегда можно записать ее общее решение в виде C). Как же выяс-
•*. -* -¦
нить, является ли совокупность решений у\(х), У2(х), ..., уп(х)
фундаментальной системой? Составим из компонент п произвольных
решений системы B) матрицу размера пХп:
'Уп(х) Уп(х) ••• У\)(х) ... уш(х)\
Vt \ — \ У<1Х^Х) У22^Х) •"' У2^Х) '" ^W I (A\
где /-й столбец является решением yj(x) системы B).
Определение 3. Определителем Вронского (или
вронскианом) W(x) совокупности вектор-функций у\(х), У2(х), ..., уп(х)
называется определитель матрицы Y(x)y т. е. W(x) — \Y(x)\ =
dty()
()
Комментарий к определению 3. Для вронскиана W(х}
справедливы утверждения, аналогичные тем, которые были
сформулированы при рассмотрении одного линейного уравнения л-ro
порядка, а именно: если совокупность вектор-функций линейно
зависима, то W(x)=0\ если же совокупность вектор-функций линейна
независима, то вронскиан W(x) не обращается в нуль ни при
каком значении х.
Таким образом, если вронскиан W(x) не обращается в нуль ни
при каком значении xt то система вектор-функций, из которых
составлен определитель, является фундаментальной.
Пример. Показать, что совокупность вектор-функций У\(х)—
=(8Ш |, i/2(^)==( cosx\ представляет собой фундаментальную
систему.
Решение. Составим матрицу K(jc)=(sin * cosx\ и ВЫЧИс-
\cos х — sin x]
лим ее определитель W(x)= \У(х)\
slnx cos * I
cos x -— sin x \
=s — 1
Так как 1^(д:)=И=0, то данная совокупность вектор-функций есть
фундаментальная система. Сравните это решение с решением
примера п. 1°.
Отметим, что результаты п. 2° остаются справедливыми и для
более широкого класса систем вида A), у которых коэффициенты
aij являются известными непрерывными функциями аргумента ху
т. е. ац=ац(х).
3°. Решение в случае простых корней характеристического
уравнения. Рассмотрим вопрос о нахождении решений дифференциальной

§ 4.2. Норм, системы лин. однород. уравнений с пост, коэффициентами 197
системы A) с постоянными коэффициентами методом Эйлера.
Будем искать решение системы A) в виде
где аг (*=1, 2, ...,п) и X — некоторые постоянные, подлежащие
определению. Подставляя предполагаемое решение E) в систему A),
получим
Так как екхф0 Ух, то все уравнения последней системы можно
сократить на множитель еХх. Перенося все члены уравнений вправо и
приводя подобные члены, получим систему алгебраических
уравнений
F)
Система F) является однородной и, следовательно, всегда
имеет нулевое решение ai = a2=... = an=0. Очевидно* что в этом
случае система A) в силу равенств E) также имеет нулевое решение
r/i~i/2==...sEs#n!=s(). Представляет интерес отыскание ненулевого
решения системы A). Известно, что для существования ненулевого
решения системы F) необходимо и достаточно, чтобы ее
определитель был равен нулю, т. е.
п—X а12 ... а\п
«21 Д22 — ^ • • • а2п
,-х
=0.
G)
Раскрывая определитель л-го порядка в левой части равенства
G), получим многочлен л-й степени относительно к.
Следовательно, равенство G) представляет собой алгебраическое уравнение
л-й степени относительно X. Оно называется характеристическим
уравнением и имеет п корней. Эти корни могут быть
действительными или комплексными, причем простыми (т. е. различными) или
кратными (одинаковыми). Будем рассматривать только тот случай,
когда все п корней уравнения G) являются простыми (случай
кратных корней изучается в более подробных курсах). Зная п
простых корней Ль ta, ...^п характеристического уравнения G), можно
найти п различных ненулевых решений системы F):
«21
а,=
«22
\ая2/
...,ая =
(8)

198
Глава IV.-Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
2l следовательно, и п решений системы A):
(9)
Отметим, что корни Х{ (i=l, 2, ...,п) характеристического
уравнения G) являются собственными числами, а система векторов
(8)—собственными векторами матрицы А. Действительно,
рассмотрим вектор а с компонентами си, а2,... ,ап. Тогда систему F)
можно записать в векторно-матричной форме следующим образом:
(А—ХЕ)а=0, где Е — единичная матрица размера пхп. Поэтому
Ла=Яа. Это и означает, что К — собственное число, а а
—собственный вектор матрицы А.
-+¦-+ -+•
Покажем, что система (9) вектор-функций #i(*), J/2M, — >Уп(х)
является фундаментальной. Составим вронскиан из этих вектор-
функций и общие множители eXiX, ex»*,...,ex** вынесем за знак
определителя:
а12
а2я
ая1 а„2
(Ю)
Первый сомножитель в соотношении A0) всегда положителен,
а второй сомножитель — определитель |а;/| также не обращается
в нуль (поскольку он составлен из собственных векторов матрицы
Л, которые линейно независимы; см. п. 2° § 4.3*). Следовательно,
№(х)Ф0, т. е. система вектор-функций (9) является
фундаментальной.
Таким образом, для получения общего решения системы A)
следует подставить совокупность вектор-функций (9) в формулу
C).
Примеры. 1. Найти общее решение системы (а) (см. с. 193).
Решение. Запишем матрицу А коэффициентов системы и
составим характеристическое уравнение:
А =
2-Х
3 4-Х|
=0.
Найдем собственные числа и собственные векторы матрицы А.
Характеристическое уравнение X2—6А,+5=0 имеет простые корни
J,i=l, Яг=5. Для нахождения собственных векторов матрицы А
составим систему вида F):

§ 4.2. Норм, системы лин. однород. уравнений с пост, коэффициентами 199
а2=0,
За1+D-Х)а2=0.
Подставляя в уравнения (*) h=h получим систему
Зац-f 3a2i = 0 (второй индекс у неизвестных означает, что
вычисляются компоненты первого собственного вектора). Одно из этих
уравнений есть следствие другого (например, второе уравнение
можно получить умножением первого на 3). Поэтому его можно
исключить и оставить лишь независимые уравнения (в данном
случае одно уравнение, например первое). Отсюда a2i = —an и
собственный вектор имеет вид а* = ( аи ), где ац — произвольное чи-
\ — ап I
ело. Положим для простоты ац —1; тогда ai=( J. Подставляя
Я2 = 5 в уравнения (*), получим —3ai2+a22=0, 3ai2—-022=0
(второй индекс у неизвестных означает, что вычисляются компоненты
второго собственного вектора). Отсюда a22=3ai2, т. е. a2=( Ql2 ).
\3ai2/
Полагая ai2=l, находим а2 = { ] . Зная собственные векторы
aj и а2, запишем фундаментальную систему решений в виде (9):
По формуле C) находим y(x) = Ciyi(x) +C2t/2(^), или в
координатной форме #i = Cie* + C2e5*, y2 =—dex-\-3C2ebx.
2. Найти общее решение системы
Решение. Записав данную систему в виде A), составим
матрицу А и характеристическое уравнение:
—7—X 1 Л
-2 -5-Х =°'
откуда Л2+12Я+37=0, ta,2 = — 6=F«, т. е. корни комплексные.
Решим систему
7
1+2
Подставляя к\ = — 6—/, имеем (—1 +i)an + a2i=0 (второе
уравнение исключаем), т. е. «2i=(l—Оац. Подставляя Л,2=—6+i\
находим (— 1— 0ai2+O22=0, т. е. «22= A +/)ai2- Собственные векторы
таковы:
l-t

200 Глава IV. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Фундаментальна1^ система решений имеет вид
/ e(-6-')Jf \ -* / e(+Z)jr \
\A -1) е<-6-<> */ \A + О e(~6+t) * ]
Запишем общее решение в координатной форме:
Уг = сх е
Преобразуем полученное решение по формулам Эйлера. Учитывая,
что e(~6:F^=5e-6:c(cosjc::Ftsinjc)f находим
Обозначая С\ + С2=К\ и i (—Ci + С2) = /С2, окончательно получим
yl=e-6x [Кг cos x-\-K2 sin л:],
3. Найти общее решение системы (б) (см. с. 193).
Решение. Составим характеристическое уравнение
3—Л —1 1
1 1-Х 1
4 -1 4-Х
=0, или A —Х)(Х2 — 7Х+10)=0.
Значит, Ai = l, K2=2f Яз==5. Система уравнений для нахождения
координат собственных векторов имеет вид
fC —Х)ах—
Подставляя Ai=l, получим два независимых уравнения 2ац—«21 +
+ а31 = 0, аи + а31=0, откуда 'a2i = au, a3i = —аи. Далее,
подставляя Х2=2, находим 1x22=—2ai2, 032=—3cti2; наконец, подставляя
Я3=5, имеем a23=cti3, a33=3ai3. Положим an = ai2==:ai3=l и
запишем собственные векторы
а также фундаментальную систему решений

§ 4.2. Норм, системы лин. однород. уравнений с пост, коэффициентами 201
- / л - / л -. (e5t
«i(O= е' Ь «а(О=| -2е2/ )> «8@= ея
\ — е'/ \ — Зе / \ле
Общее решение исходной системы примет вид л=С1е'-|-С2е2'+
+С3е5', у= de'-2C2e2'i- С3е5', г= - С,е'- ЗС2е2<+ ЗС3е5'.
4. Найти решение задачи Коши для системы
с начальным условием */0 = ( ) ПРИ *о=
= ( )
Решение. Находим общее решение системы f/i =
-f C2e~7x, i/2=0,5Cie-4x—С2е~7х. Подставив в общее решение
начальные условия jto=O, У\(хо) = \, у2(хо)=5, получим l = Ci + C2,
5=0,5Ci—С2 или Ci = 4, Сг=—3. Следовательно, решение задачи
Коши имеет вид #1=4е-4*-— Зе~7*, ^2=2е-4х^-3е~7х.
Задачу Коши для системы B) можно решить матричным спо-
-*• -+
собом. Пусть i/i(*)>••• >Уп(х)—фундаментальная система решений
для системы B). Матрица Y(x), составленная из компонент этих
решений [см. равенство D)], называется фундаментальной и, как
легко проверить непосредственной подстановкой, удовлетворяет
матричному уравнению
УЦх)=АГ1х). ^ A1)
Обозначим матрицу-столбец постоянных через С. Тогда, в силу
формулы C), общее решение у(х) системы B) можно записать в
виде y(x) = Y(x)C (проверьте). Для решения задачи Коши с на-
чальным условием у(хо)=уо необходимо определить С.
Подставляя в общее решение х=х0, у(хо)=уо, получим yo = Y(xo)G.
Умножая обе части последнего соотношения на обратную матрицу
Y~l(xo) слева, найдем C=Y-l(xo)yo. Значит, решение,
удовлетворяющее заданному начальному условию, имеет вид
~У(х)=У(х)У~Чхо)уо. A2)
Пример 5. Решить матричным способом задачу Коши для
системы из примера 4.
Решение. Составим характеристическое уравнение Л2+11Л+
+28=0, откуда Xi = —4, Х2=—7. Найдем собственные векторы
матрицы А:

202 Глава IV. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Фундаментальная система решений имеет видух(х)=:\ ),
1 \0,5e~4V
у2(х)=[ _ j . Теперь легко записать фундаментальную
матрицу Y(x) и общее решение y(x) = Y(x)C:
Рекомендуем убедиться в том, что полученная фундаментальная
матрица Y(x) удовлетворяет уравнению A1), а также перемножить
в последнем соотношении для у(х) две матрицы и сравнить
полученное выражение с общим решением из примера 4.
Для нахождения частного решения воспользуемся формулой
A2). Запишем матрицу Y(xo)t подставив в матрицу Y(x) значение
*=*o=O, и найдем обратную матрицу Y-"l(x0):
Следовательно, решение задачи Коши в матричной форме имеет
вид
3 -2/з
, Умножая две последних матрицы, получаем искомое частное
решение
Рекомендуем перемножить эти матрицы и сравнить результат с
ответом примера 4.
4°. Упражнения
/V\ - / егх\
1. Является ли система вектор-функций у\(х)^ I ^ J, yi{x)= I ^ I
фундаментальной?
2. Являются ли линейно зависимыми системы вектор-функций:
а) "уг (О - Q • Л О " Q • б>

§ 4.3*. Структура общ. решения лин. норм. одн. системы с пост, коэффиц. 203
Найдите общие решения систем:
3.
dx
dx
5.
: Уг — 6t/2»
- У\ — У2-+- Уг*
4.
dx
— =х-2у-г,
Z,
dz
¦ = x — z.
8.
( dx
dt
dx
dz
dx
dz
dt
9. Найдите решение задачи Коши для системы из упр. 4 с начальным
условием
Решите задачи Коши матричным способом:
10.
I dx
УО
-о-
§ 4.3*. Структура общего решения линейной нормальной
однородной системы с постоянными коэффициентами. Линейная
независимость собственных векторов квадратной матрицы
1°. Доказательство второй части теоремы из § 4.2. Рассмотрим линейную
систему с постоянными коэффициентами
A)

204 Глава IV. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
где у(х)—л-мерная вектор-функция, А — постоянная матрица размера
Покажем, что формула
У (х) = Cm (х) + С2уг (х) + ... + Спуп (х), B)
где yi(x), уг(х), ...,уп(х) — фундаментальная система решений для системы A)
и Си Сг,..., Сп — произвольные постоянные, дает решение задачи Коши для си-
- - - Л10\
стемы A) с начальным условием у(хо)=уо\ здесь j/0= I ; I— произвольный
- (УЛ
\УпО/
фиксированный начальный вектор. В дальнейшем понадобится следующее
утверждение.
Лемма 1. Если для любого допустимого х0 система начальных векторов
yi(xo)t Уг(Хо)у...,уп(Хо) линейно зависима, то соответствующая ей совокупность
решений J/i(Jt), У2(х),...,уп(х) системы A) также линейно зависима.
Доказательство. Поскольку система начальных векторов линейно
зависима, существуют такие постоянные at, <хг,..., ая, не все равные нулю, что
<*т (хо) + 02^2 (*о) + • • • + апИп (xq) = 0. C)
Составим из решений yi(x), уг {х),..., уп (х) системы A) линейную комбинацию
вида
У(х) = aj! (л:) + а2у2 (х) + . -. + я-пУп (х). D)
в которой коэффициенты а» те же, что и в соотношении C). Из первой части
доказательства теоремы § 4.2 вытекает, что вектор-функция у(х), заданная
линейной комбинацией D), является решением системы A), причем у(*0)=0, так
как при подстановке в D) х=х0 правая часть соотношения D) эквивалентна
левой части соотношения C). Система A) удовлетворяет теореме существования
и единственности решений; поэтому (/(х)зеО. Действительно, если предположить,
что у(х)Ф0, то одному начальному условию у(хо)=О будут удовлетворять
сразу два решения: у(х) и нулевое решение. Итак, y(x)s=0, т. е. соотношение
D) примет вид
(х) + а2У2 (*)+.•.+ а^п (х) = 0, E)
где постоянные сц, (Хг,..., aft не обращаются в нуль одновременно, а это и
означает, что совокупность решений yi(x), У2(х),...,уп{х) линейно зависима.
Докажем теперь вторую часть теоремы § 4.2. Нам надо показать, что для
любого начального вектора у0 рассматриваемой задачи Коши всегда можно
определить значения постоянных Си &,..., Ся в соотношении B) и притом
единственным образом. Подставив в B) начальное условие у(хо)=уо, получим
систему
С\У\ (х0) 4- С2У2 (*<>)+•••+ СпУп (хо) = У о.
которая в координатной форме имеет вид
СгУп (х0) + Ciyn (х0) + ... + Спуы (хо) = у/о. / =» 1 • 2,..., л. (б)
Чтобы система F) имела единственное решение, необходимо, чтобы определи-

4.3*. Структура общ. решения лин. норм. одн. системы с пост, коэффиц. 205
гель, составленный из компонент векторов J/i(*o), */2(*о). •-,Уп(хо), был отличен
от нуля. Система вектор-функций yi(x), Уг(х),...,уп(х) фундаментальна,
т. е. линейно независима. Тогда в силу леммы 1 линейно независимы и векторы
^i(*o), уг(*о), •••» Уп{хо). Следовательно, определитель системы отличен от нуля
и постоянные Clt Сг,..., С„ из системы F) могут быть найдены однозначно.
Пусть d\ С2*,.... Ся*— решение системы F); тогда частное решение,
удовлетворяющее заданному начальному условию, примет вид
У(х) = С\ух (х) + С*2у2 (х) -Ь ... + С^п (х),
чем и завершается доказательство.
2°. Линейная независимость собственных векторов квадратной матрицы. Пусть
матрица A=(atf) (i, /=1, 2,...,л) имеет п различных собственных чисел Xt,
А,2,..., Хя, которым соответствуют собственные векторы
Покажем, что векторы ai, ...tan линейно независимы и, значит, определитель,
составленный из компонент этих векторов, не обращается в нуль.
Лемма 2. Собственные векторы, соответствующие попарно различным
собственным числам, линейно независимы.
Доказательство. Пусть Xi, X2 Хп — различные собственные числа
матрицы А. Тогда справедливы соотношения
Допустим, что собственные векторы ai, аг,..., ап линейно зависимы, т. е.
существуют не равные одновременно нулю постоянные Си С2,..., Сп такие, что
Ci"oi +С2в2+ ... + Спая=-0^ (8)
Умножая обе части соотношения (8) на матрицу А слева и используя
равенства G), получим
лая - @. (9)
Умножая равенство (8) на kt и почленно вычитая результат из (9), имеем
С2 (Х2 - Хх) О2 -Ь ... + Сп (Хя - Хх) ая = О". A0)
Выражение A0) аналогично (8) и отличается от него отсутствием первого
члена и наличием у всех последующих членов множителя вида fa—Xi. Повторим
произведенные преобразования по отношению к равенству A0). Умножая его
tia Л, получим
С2 (Х2 - Xj) Х2О2 + С3 (Х3 - h) Мз + ... + Сп (Хл - Х0 Хлая = f. A1)
Умножая равенство A0) на Х2 и почленно вычитая результат из A1), имеем
Сг (h - *i) (h - Xj) a3 + ... + Cn (Хя - Xi) (Хя - X2) a« » о". A2)
Продолжая аналогичные преобразования, после п—1 шагов получим
Сп (*« - Xi) 0-п - W- --(К- ^л-i) а„ = О". A3)

206 Глава IV. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
В соотношении A3) все скобки вида (kn—fa) отличны от нуля (так как
собственные числа различны) и собственный вектор а„=^0 (поскольку представляет
интерес ненулевой вектор, удовлетворяющий соотношению Аап=Кап).
Следовательно, С„=0. Ясно, что в равенстве (8) любое из слагаемых можно поставить
на последнее место, поэтому Сл==Сп-1= ... =C2 = Ci=0. Получили противоре-
чие. Итак, <zi, 02,..., ап — линейно независимые векторы.
§ 4.4. Нормальные системы линейных неоднородных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Век-
торно-матричная форма записи. Структура общего решения
1°. Нормальные системы линейных неоднородных дифференциаль*
ных уравнений с постоянными коэффициентами. Рассмотрим
систему вида
) (/=1,..-,л), A)
где ац — заданные постоянные; уи у2,... ,уп — искомые функции
аргумента jc, по которому производится дифференцирование; /i(jc),
f2(x),...9fn(x)—заданные непрерывные функции. Система A)
называется неоднородной.
Приведем примеры линейных неоднородных систем:
Векторно-матричная запись системы A) имеет вид
y'(JC)=Ay(x)+J(x),
где
Запишем, например, систему (а) в векторно-матричной форме.
Обозначим
1 -б/ \у2(х)}
Тогда система примет вид у'(х) —Ау(х) +f(x).
Запишем теперь систему (б) в векторно-матричной форме.
Обозначим
Тогда система примет вид u'(t)=Au(t)+f(t).

§ 4.4. Нормальные системы лин. неоднород. уравнений с пост, коэффиц. 207
2°. Структура общего решения. Теорема 1. Если у*{х)
—решение неоднородной системы A), а У\(х)—решение однородной си-
-*.-¦• -*¦ -*.
стены у'(х)=Ау(х), то сумма у*(х)+ух(х) также является
решением неоднородной системы A).
Доказательство. Так как у*(х) — решение системы A), то
у\(х)=Ау*(х)+](х). Аналогично, у\(х)=Ау\(х). Складывая эти
равенства почленно, получим [y*(x)+yi(x)]'=A[yi,(x)+yi(x)] +
+f(x). Отсюда заключаем, что у*(х) + у\(х) есть решение
неоднородной системы A).
Теорема 2. Общее решение Y(x) неоднородной системы A)
равно сумме общего решения у(х) однородной системы (/'(*) =
=Лг/(х) и частного решения у*(х) неоднородной системы A), т. е.
У(х)='у(х)^(х). B)
Доказательство. Согласно теореме 1, сумма B) является
решением системы A). Докажем, что формула B) позволяет
решить задачу Коши для системы A) сначальным условиему{х0) =у0,
где уо — произвольный фиксированный начальный вектор.
Запишем решение B) в развернутом виде:
^ х)% C)
где у\(х), У2(х),...,уп(х) —фундаментальная система решений для
однородной системы */'(*)= Л#(х), а Си Сг,... ,СП — произвольные
постоянные. Подставляя в равенство C) начальное условие,
получим систему линейных алгебраических уравнений относительно Си
C2t...fCn:
или в координатной форме
С1УпШ+С2У12(Хо)+'.. + Спу1п(хо)=у1О-У1*(хо), 1=1, 2,..., п.
D)
В силу леммы 1 § 4.3* определитель системы D) отличен от нуля.
Следовательно, существует единственное решение Ci*, C2*,... ,СП*
системы D). Тогда решение задачи Коши имеет вид
т. е. Y(x) —общее решение системы

208 Глава IV. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Как же найти частное решение у*(х) неоднородной системы
A)? Для этого применяется метод Лагранжа (метод
вариации произвольных постоянных). Его сущность
состоит в следующем. Частное решение у*(х) системы A) будем
искать в виде
^(х)=С1(х)у1(х)+С2(х)у2(х)+...^Сп(х)^п(х)$ E)
где у\(х), #2(*),...>Уп(х) —фундаментальная система решений для
-* -+•
однородной системы у'(х)=Ау(х), а Сх(х), С2(х)>... ,Сп(х)
—непрерывно дифференцируемые функции, подлежащие определению.
Заметим, что формула E) аналогична формуле C) § 4.2,
задающей общее решение однородной системы, с той лишь разницей, что
коэффициенты Си С2,... ,СП уже не являются постоянными.
Подставляя решение E) в систему A), получим
Так как y'i(x)—Ayi(x) (i=l, 2,...,п), то после приведения
подобных членов получим векторное уравнение
которое в координатной форме имеет вид
C[(x)yn(x)+...+C'n(x)yln(x)=fi(x), *=1, 2,...,п. F)
Система F) является линейной неоднородной алгебраической
системой относительно С\(х)9 С'2(х),... fC'n(x). Ее определитель
есть определитель Вронского W(x) и, значит, отличен от нуля. Из
•* •' ¦'
системы F) однозначно определяем Ci (л:), Сч (л:),...,Ся (х). Ин-
-*¦
тегрируя, находим Ci*(x), С2*(д:),... ,С„*(х), откуда у*{х) =
()y() 4)y{)
Пример. Найти общее решение системы (а) (см. с. 206).
Решение. Составим соответствующую однородную систему
общее решение которой имеет вид уг= С1е~4дг+ С2е*-7лг, у2 =
=-*-е-*х—С2е~7х- Частное решение неоднородной
искать в виде у^=С1(х)е-*х+С2(х)е-7хЛ j/2*==

§ 4.4. Нормальные системы лин. неоднород. уравнений с пост, коэффиц. 209
—С2(х)е~~7х. Подставляя эти выражения d исходную
неоднородную систему, получим
С' (х
С[{х)е~4х+С2(л:)е-7-г=е*1 -J^
откуда
Интегрируя и полагая произвольные постоянные равными нулю,
находим Сг(jc)=4-e5"r+4-e2^ C2U) т^+^Г
15 о 15 24
частное решение у*(х) в координатой форме имеет вид г/!* =
7 1 13
——ех-) е~2лг, 1/2*== — е^^ е~2дг, а общее решение исходной
40 5 40 10
неоднородной системы — вид
Сравните полученный результат с общим решением системы иа
примера 2 п. 3° § 4.1.
3°. Упражнения
1. Найдите общее решение системы (б) (см. с. 206) *
Решите системы:
у' = х —

Глава V
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
§ 5.1. Понятие устойчивости и асимптотической устойчивости по
Ляпунову. Устойчивость решения системы линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами»
Типы точек покоя для системы двух уравнений
Теория устойчивости, основоположниками которой являются
великий русский ученый А. М. Ляпунов и великий французский ученый
А. Пуанкаре, представляет собой важный раздел прикладной
математики. Создателями современной теории устойчивости являются
русские ученые Н. Г. Четаев, Е. А. Барбашин, Н. П. Еругин,
Н. Н. Красовский.
1°. Понятие устойчивости, асимпотической устойчивости и
неустойчивости по Ляпунову. Рассмотрим задачу Коши для нормальной
системы дифференциальных уравнений
*'=/<*, х) A)
с начальными условиями
*('о)=*о, B)
где х=(хи х2,,.. ,хп) —л-мерный вектор; te/= [t0, +oo[ —
независимая переменная, по которой производится дифференцирование;
/(t, х) = (fI (t, x), /2 (/, х),..., /п (t, x)) — я-мерная вектор-функция.
Комментарии к задаче Коши A), B). Для простоты
восприятия эту задачу можно сначала трактовать как задачу
Коши для скалярного дифференциального уравнения первого порядка
вида x'=i/(i/, х) с начальным условием x(to)=xo. С целью
упрощения все рисунки п. 1°, если нет специальных оговорок, приводятся
для случая л = 1.
Так как задача теории устойчивости впервые возникла в
механике, то переменную / принято интерпретировать как время, а ис-

§ 5.1. Понятие устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову 211
Рис. 61
комую вектор-функцию x(t) —
как движение точки в
зависимости от времени в
пространстве Rn+I (рис. 61).
Пусть задача Коши A), B)
удовлетворяет условиям
теоремы существования и
единственности (см. п. 2° § 4.1).
Тогда через каждую точку (/0, *о)
области единственности
решений проходит только одна ^
интегральная кривая. Если начальные данные (to, Xo) изменяются,
то изменяется и решение. Тот факт, что решение зависит от
начальных данных, обозначается следующим образом: x(t)=x(t; to, x0).
Как же изменяется решение x(t\ t0, x0) с изменением начальных
данных (to, хо)? Этот вопрос имеет большое как теоретическое, так
к прикладное значение. В самом деле, если математической
моделью какого-либо устройства (процесса) является задача Коши
A), B) и малые изменения начальных данных (/0, *о) приводят к
существенному изменению решения x(t; to, Хо), то такой моделью
нельзя пользоваться, поскольку начальные данные (/0, х0)
получают из опыта, а измерения не могут быть абсолютно точными.
Естественно, что в качестве математической модели пригодна лишь та
задача Коши, которая устойчива к малым изменениям начальных
данных.
Определим понятия устойчивости, асимптотической устойчивости
¦и неустойчивости в смысле Ляпунова. Для этого отклонение
решения x(t)=x(t; to, Xo), вызванное отклонением Ах0 начального
значения Хо, будем записывать следующим образом: \x(t; to, Xo +
Ч-Дхо)—x(t) | = \*(t\ to, *о + Д*о)—x(t; to, Xo) |.
Определение L Решение x(t)—x(t; to, x0) системы A)
называется устойчивым по Ляпунову в положительном направлении
(или устойчивым), если оно непрерывно по Хо на интервале /=
— [to, +«>[, т. е. Уг>0 Эб>0 такое, что VAx0
Если, кроме того, отклонение решения x(t) стремится к нулю
при /-*-н-оо для достаточно малых Дх0, т. е. g А >0 V

212
Глава V. Элементы теории устойчивости .
t О
Рис. 62
Рис. 63
x{t\ /0,
~ X(t)
C)
то решение x(t) системы A) называется асимптотически
устойчивым в положительном направлении (или асимптотически
устойчивым).
Аналогично определяются различные типы устойчивости
решения в отрицательном направлении.
Комментарии к определению 1. 1) Геометрически ус-
т&йчивость по Ляпунову решения x(t) можно интерпретировать
следующим образом (рис. 61): все решения x(t; to, хо4-Д*о),
близкие в начальный момент ?о к решению x(t) (т. е. начинающиеся в
пределах б-трубки), не выходят за пределы е-трубки при всех
значениях t^to.
2) Асимптотическая устойчивость есть устойчивость с
дополнительным условием C): любое решение xi{t)t начинающееся в
момент^ в Д-трубке, с течением времени неограниченно
приближается к решению x(t) (рис. 62). Трубка радиуса Д называется обла-
стью притяжения решения x(t). Решение х2 (/)> начинающееся при
t=to за пределами области притяжения, но в пределах б-трубки,
не покидает е-трубку, хотя может и не приближаться к решению
x(t).
Определение 2. Решение х(t) =x(t\ t0, х0) системы A)
называется неустойчивым по Ляпунову в положительном направлении
(или неустойчивым), если оно не является устойчивым в
положительном направлении.
Аналогично определяется неустойчивость в отрицательном
направлении.

§ 5.1. Понятие устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову 213
Рис. 64
Рис. 65
Комментарий к определению 2. Геометрически
неустойчивость по Ляпунову означает, что среди решений, близких в
начальный момент U к решению x(t), найдется хотя бы одно,
которое в некоторый момент U (свой для каждого такого решения)
выйдет за пределы е-трубки (рис. 63).
Приведем примеры из механики, иллюстрирующие определения
различных типов устойчивости для одномерного случая, т. е. л=1.
Рассмотрим маятник, состоящий из точечной массы т,
укрепленной на невесомом стержне длиной I (рис. 64). Выведем маятник
из состояния /, отклонив стержень на угол а; тогда, как известно из
опыта, он будет стремиться занять вновь положение /. Если
пренебречь сопротивлением окружающей среды, то маятник будет
колебаться возле положения / сколь угодно долго с амплитудой, равной
начальному отклонению,— это модель устойчивого положения
равновесия. Если же учитывать сопротивление окружающей среды, то
амплитуда колебаний маятника будет уменьшаться и в итоге он
снова займет положение / — это модель асимптотически
устойчивого положения равновесия. Если маятник находится в положении
равновесия //, то малейшее его смещение приведет к удалению
маятника от состояния // — это модель неустойчивого положения
равновесия.
Исследование устойчивости произвольного решения x(t)
системы A) всегда можно свести к исследованию устойчивости нулевого
решения некоторой преобразованной системы. Действительно, в
системе A) произведем подстановку y(t) =х—x(t). Тогда получим
систему
0'—^(*, ~y). D)
где ?</, ?)=/</, ?(*>+* W)-/<'.*(<)>. ?«,0)э0 W><o-
Решению x(t) системы A) соответствует нулевое решение у@=0
системы D).

214
Глава V. Элементы теории устойчивости
Рис. 66
Рис. 67
В дальнейшем будем предполагать, что система A) имеет
нулевое решение, т. е. f(t, 0)=0 Vt^to, и ограничимся исследованием
устойчивости нулевого решения. Переформулируем определения
различных типов устойчивости для нулевого решения х(/)=0
системы A).
-*¦ -*
Определение 3. Нулевое решение x(t)=0 системы A)
называется устойчивым по Ляпунову в положительном направлении
(или устойчивым), если Ve>0 Э8=6(е)>0 такое, что Yxo
Если кроме того,
3Д>0 V*o
0,
oo,
то решение x(t)=O системы A) называется асимптотически
устойчивым в положительном направлении (или асимптотически
устойчивым).
-+¦ -*¦
Определение 4. Нулевое решение x(t)=O системы A)
называется неустойчивым по Ляпунову в положительном направлении
(или неустойчивым), если оно не является устойчивым в
положительном направлении, т. е.
Геометрическая интерпретация устойчивости, асимптотической
устойчивости и неустойчивости нулевого решения x(t)=0 системы
A) дана соответственно на рис. 65—67.
Приведем примеры исследования устойчивости для случая п=
= 1, т. е. для скалярного уравнения A).
Примеры. 1. Исследовать на устойчивость решение задачи Коши
= 1. i ;

§ 5.1. Понятие устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову 215
Рис. 68
Рис. 69
/2
Решение. Общее решение уравнения (*) имеет вид л:= \-
-f-2/-f-C. Решение задачи Коши (*) таково: x(t)= [-2/4-1-Из-
вестно, что решение x(t) уравнения A) обладает тем же типом
устойчивости, что и нулевое решение уравнения D). Произведем
замену переменной y\t)=x—x(t). Отсюда JC = $KO+-*(O=iKO+
-j |-2/ -|- 1. Подставляя полученное выражение в данное
уравнение, имеем r//-H-b2=2-ftf, или {/' = 0. Последнее уравнение имеет
общее решение y(t)=C. Начальным условиям вида у@) =0
соответствует нулевое решение y(t)=O. Любым другим начальным условиям
у@)=у0 соответствует решение y(t)=yo (рис. 68). Очевидно, что
Ve>0 36>0, например 6=е, такое, что \yo\ <6=^\y(t) \ <e V/^
^0. Следовательно, нулевое решение #(?)==0 устойчиво, а, значит,
устойчиво и решение x(t)=~-—j-2/-f 1 задачи Коши (*).
2. Исследовать на устойчивость решение задачи Коши
Решение. Общее решение данного уравнения имеет вид
jc=Ce'2—1. Соответствующее частное решение есть x(i)=et2—1.
С помощью замены х== */(*)-р-е'" — 1 исходное уравнение
приводится к уравнению y'=2ty с общим решением y(t)= Ce'\ Начальным
условиям г/@)=0 соответствует нулевое решение y(t)=O, а
начальным условиям */(O)=i/o — решение у(?)—уо?(% (рис. 69).
Нулевое решение */(*)==0 неустойчиво, а, значит, неустойчиво и
решение -к(О=е'ш— 1 данной задачи Коши.
3. Исследовать на устойчивость решение задачи Коши

216
Глава V. Элементы теории устойчивости
Решение. Общее
решение исходного уравнения
имеет вид *=Се-'+/2—2/+ 2.
Решение задачи Коши есть х (t) =
= *2—2Л-2. Подстановкой х=
=y(t) +t2—2t+2 приводим
данное уравнение к виду у'=
=—У, общее решение
которого y(i)=Ce-f. Начальным
условиям уA) = 0 соответствует
нулевое решение y(t) =0, а
начальным условиям у(\)=у0 —
решение уЦ)=уоег<*-1) (рис. 70). Ясно, что нулевое решение
устойчиво. Находим
lim | y(t) | =lim | yQ | e-c-^
* t
Рис. 70
Следовательно, нулевое решение y(t)=O асимптотически
устойчиво, а, значит, асимптотически устойчиво и решение x(t) = t2—2/ + 2
данной задачи Коши.
2°. Устойчивость решения автономной системы. Устойчивость
решения системы линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами. Система обыкновенных дифференциальных
уравнений называется автономной (или стационарной, или
консервативной, или динамической), если независимая переменная не
входит явно в систему уравнений.
Нормальную автономную систему п-го порядка можно записать
в векторной форме:
dx
dt
=/<*).
E)
Рассмотрим задачу Коши для системы E) с начальными
условиями B). В дальнейшем предполагаем, что задача Коши E), B)
удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности
(см. §4.1).
Пусть x=x(t) —есть решение системы E). Направленная
кривая у, которую можно параметрически задать в виде л:,=х,(/) (i=
= 1,... ,л), называется траекторией (фазовым графиком) системы
E) или траекторией решения x=x(t). Пространство R* с
координатами (*!,... ,jcn), в котором расположены траектории системы E)„
называется фазовым пространством автономной системы E).
Известно, что интегральные кривые системы E) можно
параметрически задать в виде /=/, х\=хх(/),... 9х„—хл(/). Следовательно,
интегральная кривая принадлежит пространству Rn+! с координатами
(t, Х\ч x2t... txn)t а траектория является проекцией интегральной

§ 5.L Понятие устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову 217
Рис. 71
кривой на пространство Rn параллельно оси /. Проиллюстрируем
это для случая /1=2, т. е. когда Rn+1— трехмерное пространство, а
фазовое пространство Rn — двумерная плоскость. На рис. 71, а
изображена интегральная кривая, заданная параметрическими
уравнениями t=t, xi=xi(t)f x2=X2(t)y а на рис. 71,6 — ее проекция на
плоскость, т. е. траектория, заданная параметрическими
уравнениями xl=xl(t)t x2=x2(t). Стрелкой указано направление
возрастания параметра t.
Определение 5. Точка (аи а2,... ,а„) называется точкой
покоя (положением равновесия) автономной системы E), если
правые части /i, f2,... ,/п системы E) обращаются в этой точке в нуль,
т. е. ](а) =0, где а= (аи а2,... ,ал), 0= @, 0,... ,0).
Если (ai,...,ал) —точка покоя, то система E) имеет постоянное
решение x(t)=a. Как известно (см. п. 1°), исследование
устойчивости любого, а значит, и постоянного решения а можно свести к
исследованию устойчивости нулевого решения. Поэтому далее
будем считать, что система E) имеет нулевое решение х(*)=0, т. е.
/@)==0, и точка покоя совпадает с началом координат фазового
пространства Rn. В пространстве Rn+1 точке покоя соответствует
нулевое решение. Это изображено на рис. 71 для случая л=2.
Таким образом, устойчивость нулевого решения системы E)
означает устойчивость начала координат фазового пространства
системы E), и наоборот.
Дадим геометрическую интерпретацию устойчивого,
асимптотически устойчивого и неустойчивого начала фазовой плоскости, т. е.
когда л=2. Для этого следует спроектировать аналоги рис. 65—67
в двумерном случае на фазовую плоскость R2, причем проекциями
е-трубки и б-трубки являются окружности с радиусами е и 6. На-
-> «*>
чало х=0 устойчиво, если все траектории, начинающиеся в
пределах б-окружности, не покидают е-окружность Vt^to (рис. 72);
асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и все траектории,

218
Глава V. Элементы теории устойчивости
Рис. 72
Рис. 73
начинающиеся в области притяжения А, стремятся к началу (рис.
73); неустойчиво, если для любой е-окружности и всех 6>0
существует хотя бы одна траектория, покидающая ее (рис. 74).
Нормальная система линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами, имеющая вид
F)
где А — постоянная матрица размера лХя, является частным
случаем системы E). Следовательно, для этой системы справедливы
все сделанные выше утверждения об автономных системах.
Примеры. 1. Составить уравнение колебаний маятника,
состоящего из массы т, подвешенной на невесомом стержне длиной / (см.
рис. 64). Сопротивлением окружающей среды пренебречь; считать,
что при малых углах sina«a. Исследовать устойчивость
положения /.
Решение. Пусть положение / является началом отсчета
смещения маятника х. Если маятник покоится в положении /, то
смещение *=0 и скорость ~=х'=:0. Сместим маятник в положение
III', которому соответствует начальное смещение х@)=А и
скорость дг'(О)=О. Если теперь маятник отпустить, то он будет
двигаться под действием двух сил: собственного веса mg и натяжения
стержня Г, равнодействующая которых есть"/7. Согласно второму
закону Ньютона, mx" = —F (знак минус означает, что действие
силы F противоположно направлению смещения). Имеем F=\F| —
= mg sin axmga==mg -~, откуда тх"=—т — х или х" =
~ — ~ТХ' О(>означая *i=x, x2~x'=zx'\, перейдем от одного

§ 5.1. Понятие устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову 219
,.{1Л:;
Рис. 74
Рис. 75
дифференциального уравнения второго порядка к эквивалентной
ему нормальной системе
x'i=x2j x2=—^--xv (*)
Общее решение системы (*) имеет вид xx(t)=Cism у — * +
Положению / соответствует нулевое решение jtis=0, х2
тономной системы (*), а положению /// — частное решение
t\ x2{t)= —

ав-^-sin|/^-/, (**)
удовлетворяющее начальному условию JCi @) ==Л, jc2@)=0.
Исключая из уравнений (**) параметр /, получим —1—-\ — =1. Следо-
А2 A2g/l
вательно, траектория движения маятника из положения ///
является эллипсом с полуосями А и А У g/l (рис. 75), т. е. маятник
периодически отклоняется от положения равновесия / то вправо, то
влево (колеблется с амплитудой А). Очевидно, что начало устойчиво,
но не асимптотически, так как траектории не стремятся к началу.
2. В примере 1 исследовать устойчивость положения / с учетом
сопротивления окружающей среды, которое считать
пропорциональным с коэффициентом k скорости смещения.
Решение. Движение маятника в среде с сопротивлением
описывается уравнением mx"——F—FCy где Fc=?jc' — сила
сопротивления среды, направленная противоположно смещению. Имеем
•х х\ Обозначая х\=х, х2=х\ получим
т
(*)

220
Глава V. Элементы теории устойчивости
Рис. 76 Рис. 77
k
Корнями характеристического уравнения являются Х1>2— ±
±l/_(—_—V Считая, что— — — >0, обозначим <iJ=r-i-—
" \ I 4m2 / / 4т2 /
и а = ; тогда Х1|2= —а ±/ю. Общее решение систе-
4m2 2m
)=e"at [Сх sin
мы (*) имеет вид
Положению / соответствует нулевое решение Xis=0,
стемы (*), а положению /// — частное решение
си-
xx(t)=Ae~at(— sin
\, jc2(/)= —
^a/j?±2L
е~"а/ —-^ sin <o/,
(¦•)
удовлетворяющее начальным условиям xi@)=j4, jc2@)==0. Из
равенств (**) видно, что амплитуда колебаний Ae~at убывает с
возрастанием t и lim (xl(t)-{-xl(t)) = 0. Следовательно, траектория
является спиралью, навивающейся на начало (рис. 76). Начало
асимптотически устойчиво.
3. В примере 1 исследовать устойчивость положения // (см. рис.
64). .
Решение. Будем отсчитывать смещение х маятника от
положения //. Если маятник покоится в положении I/, то лг==О и ^=0.
Сместим маятник в положение IV, которому соответствует
начальное смещение х@) =А и скорость х'@)=0. Движение маятника из
от
начального положения IV описывается уравнением тх"=т~ х.

§ 5.1. Понятие устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову 221
Разделив обе части уравнения на постоянный множитель m и
обозначив jti=jt, x2=x', получим
Общее решение системы (*) имеет вид xl(t)--=Cle~~v^~lt-{-
Положению // маятника соответствует начало координат
фазовой плоскости *i=0, jt22s=O, а положению IV — частное решение
(**>
удовлетворяющее начальным условиям х\ @) =Л, х2 @) =0. Исклю-
X2 X?
чая из равенств (**) параметр /, получим — — -=1. Следова-
А1 A2g/l
тельно, траектория является гиперболой с полуосями А и А У g/l
(рис. 77). Очевидно, что начало неустойчиво по Ляпунову.
3°. Типы точек покоя для системы двух уравнений. В приведенных
выше примерах для исследования устойчивости точки покоя мы
находили предварительно общие и частные решения
дифференциальных уравнений или систем. Такой подход трудоемок, а часто и
невозможен, поскольку не всякую систему дифференциальных
уравнений удается решить. Существуют методы, позволяющие делать
правильные выводы относительно устойчивости решений без
предварительного решения системы. Познакомимся с одним из этих
методов на примере линейной однородной системы двух уравнений с
постоянными коэффициентами
dt
dx2
dt
Найдем точки покоя нормальной автономной системы G):
Однородная система (8) имеет единственное нулевое решение,
если пп п12 фО. Пусть это условие выполнено; тогда система G)
имеет единственную точку покоя Xi = 0, x2=0. Исследуем ее
устойчивость. Будем искать решение системы G) в виде jci =====

222
Глава V. Элементы теории устойчивости
Рис. 78
Рис. 79
= <xiex*, лг2=а2е**, где к, аь а2 —- постоянные, подлежащие
определению (см. § 4.2). Для нахождения Я получим характеристическое
уравнение
|=U. V»7/
Л21 #22 — X |
В зависимости от корней fa и А,2 характеристического уравнения (9)
положение равновесия @,0) обладает тем или иным типом
устойчивости. Возможны следующие случаи.
I. Корни Х\ и Х2 —отличные от нуля, действительные и
различные. В этом случае общее решение»системы G) имеет вид
(Ю)
тде С\ и С2 — произвольные постоянные.
а) bi<0, К2<0. Так как ех'-Ч) при КО и /-*«>, то справедливо
предельное соотношение lim(xl(t)+xht))=0. Кроме того,
функция е*' при КО монотонно убывает с ростом /. Следовательно,
траектории представляют собой кривые, примыкающие к началу
координат при /->оо, и начало асимптотически устойчиво. При этом
если в равенствах A0) либо Ci=0, либо С2=0, то траектории
являются лучами, примыкающими к началу. Действительно, пусть Ci =
=0* тогда xl(t)=C2u2l^t и лг2(/)-=С2а22е^. Отсюда
Хх/х2 = а2х/а2ъ или Xi= @21/022)^2- Аналогично, при С2=0 получим
xl=(un/ai2)x2. Такое положение равновесия называется
устойчивым узлом (рис. 78).
б) Я,>0, Я2>0. Так как ех'->оо при Л>0 и t-+oot то с течением
времени траектории удаляются от положений равновесия, и
начало неустойчиво. Совокупность фазовых графиков такая же, как и
в случае а), но направление возрастания параметра t вдоль
траектории является противоположным. Такое положение равновесия
называется неустойчивым узлом (рис. 79).
в) АД2<0, т. е. корни имеют разные знаки. Пусть для
определенности %\>0, Я,2<0. Положим в соотношениях A0) С2=0. Тогда

§ 5.1. Понятие устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову 22?
Рис. 80
Рис. 81
JC1(/)=C1a11 ex»# и х2У)=Сга12ех*', откуда *i = (an/ai2)*2.
Траектория представляет собой луч, по которому с возрастанием t точка
удаляется от начала координат, так как при К\>0 функция ех'
монотонно возрастает. Следовательно, положение равновесия
неустойчиво. Если Ci=0, то получим луч jci= @21/022)^2, по которому с
возрастанием t точка неограниченно приближается к началу
координат, поскольку при Лг<0 функция ех*' монотонно убывает.
Остальные траектории имеют форму гиперболы и направление
возрастания параметра t, согласующееся с направлениями лучей. Такое
положение равновесия называется седлом (рис. 80).
Пример 1. Рассмотрим систему из примера 3, п. 2°. Характе-
ристическое уравнение имеет вид
g
I
— х
=0 или X2 ?-=0..
задачи.
Отсюда Хх= — у -?-, Х2=у ~?-, где — >0 по смыслу
Таким образом, корни характеристического уравнения
действительные и имеют разные знаки. Следовательно, точка покоя
неустойчива и представляет собой седло (см. рис. 77).
II. Корни Х\ и Лд— комплексно-сопряженные, т. е. К\=с
Л2=а—tp и $ф0. Общее решение системы G) имеет вид
(Н)
Перейдем в равенствах A1) к полярным координатам. Полагая
/? = max(Ci, C%) H0=arctg(Ci/C2), получим параметрические
уравнения траектории в полярных координатах:
A2)

224
Глава V. Элементы теории устойчивости
Рис. 82
Рис. 83
При а=5^0 каждая траектория является логарифмической
спиралью.
а) а<0. Поскольку еа'-Ч) при /-*+<», точка асимптотически
приближается по спирали к началу. Положение равновесия
асимптотически устойчиво и называется устойчивым фокусом (рис. 81).
б) а>0. Поскольку еа'-*оо при /->+ оо, точка по спирали
уходит от начала в бесконечность. Положение равновесия
неустойчиво и называется неустойчивым фокусом (рис. 82).
в) а=0. Каждая фазовая траектория, кроме положения
равновесия, замкнута. Положение равновесия устойчиво и называется
центром (рис. 83).
Примеры. 2. Рассмотрим систему из примера 1 п. 2°. Харак-
-X 1
терйстическое уравнение имеет вид
о 1
^=0 или X2-f
-^=0. Отсюда Х1=/]/Х1 Х2= —*|/"-?-, где у->0.
Таким
образом, корни являются комплексно сопряженными, причем
действительная часть а=0. Следовательно, начало устойчиво и
является центром (см. рис. 75).
3. Рассмотрим систему из примера 2 п. 2°. Характеристичес-
-X 1
кое уравнение имеет вид
-f — =0. Корни Х1== — —
=-0 или Х2+-^-
.faf х2„^~/<о(где«>^Х^
)—комплексно сопряженные, причем а= <0. Следо-
4/л2 / 2т
вательно, начало асимптотически устойчиво и является устойчивым
фокусом (см. рис. 76).

§ 5.1. Понятие устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову 225
Рис. 84
Рис. 85
III. Вырожденные случаи: корни Х\ и Х2 либо равны, либо один
из них или оба обращаются в нуль.
a) Xi = O, ta<0. Общее решение системы G) имеет вид
x2(t)=— 1-
Я12
A3)
Так какех*' —>.О при /~^оо, то траектории представляют собой
прямые, примыкающие к прямой *2 = — (an/ai2)*i, все точки которой
являются устойчивыми положениями равновесия (рис. 84).
б) Х\=0, Х2>0, Общее решение системы G) имеет вид A3).
Поскольку ех«'-»-оо при ?-*-оо, точки неограниченно удаляются от
прямой x2=—(au/ai2)xi. Положение равновесия неустойчиво.
Фазовый портрет такой же, как в случае а), но стрелки на
траекториях следует направить в другую сторону.
в) я,1==^2<0. Общее решение системы G) имеет вид
JCi(«=(C1+C2<)eM; x2(t)=— [C1(X1-a11)+C2(l +V-an0]eK
Я*12
A4)
Так как ех»'-*0 и /ех'<-->0 при / — оо, то [x2i(t) + x22(t)]-+0
при ^^-оо и начало асимптотически устойчиво. Траектории
являются лучами, примыкающими к началу (рис. 85). Положение
равновесия называется устойчивым вырожденным узлом.
г) я,1 = ^2>0. Рассуждения аналогичны случаю в). На рисунке
следует изменить направление стрелок на противоположное;
получается неустойчивый вырожденный узел.
д) ^1=Х2=0. Общее решение системы G) имеет вид
х@ [ ЯС
откуда [jc2i(O
И
ПРИ
и решение неустойчиво.
С С
Исключая из равенств A5) параметр i, получим х\-т-а\2х2= С\. Сле

226
Глава V. Элементы теории устойчивости
довательно, траектории являются
прямыми, параллельными прямой *i +
-fa,2Jt2 = 0. Фазовый портрет
называется вырожденным седлоц
Проанализируем все
рассмотренные случаи. Будем откладывать
действительные части корней Re[Xi] и
Rfta] по оси Ох, а мнимые части
[] и Im[X2] — по оси Оу. Тогда
область устойчивости представляет
собой левую полуплоскость, точка @,0)
исключается (рис.86).
Итак, справедливо следующее
правило: если хотя бы один корень
характеристического уравнения
системы G) принадлежит правой полуплоскости или оба корня равны
нулю, то положение равновесия неустойчиво, в противном случае
оно устойчиво.
Пример 4 Исследовать устойчивость точки покоя систем:
1) [х\=хх\ 2) Ы=
Рис. 86
1*2=
Решение. 1)
1~"Х ° =0, или
Характеристическое уравнение
0. Его корни Xi = l
имеет вид
Я2=2 при-
надлежат правой полуплоскости; следовательно, начало @, 0)
неустойчиво. Это — неустойчивый узел.
2) Характеристическое уравнение имеет вид A2+A—0, т. е. К\ =
= 0, Хг=—1. Оба корня лежат в левой полуплоскости, один из них
отличен от нуля. Следовательно, начало устойчиво.
4°. Упражнения
Исследуйте устойчивость точки покоя системы:
*| = 2*j — 3*2, 2. f д/ -4*i — 10*2,
2 =- *i — 2*2.
3-
18лг2,
§ 5.2. Нелинейные автономные системы. Понятие о функции
Ляпунова. Формулировка теоремы Ляпунова об устойчивости
1°. Нелинейные автономные системы. Рассмотрим нелинейную
автономную систему

§5 2. Нелинейные автономные системы. Понятие о функции Ляпунова 227
Будем предполагать, что вектор-функция f(x) удовлетворяет в
некоторой области DaRn теореме существования и единственности
решения задачи Коши (см. § 4.1).
Приведем свойства решений системы A).
1°. Если x=x(t) —решение системы A), то при любой
постоянной С вектор-функция x=x(t + C) также является решением си-
стемы A).
В самом деле, очевидны следующие равенства:
2°. Две траектории системы A) либо совпадают, либо не имеют
общих точек.
Пусть yi и у2 — траектории решений x=x\(t) и x=x2(t).
Предположим, что Yi и Y2 имеют общую точку х0. Тогда Jti(/i)=*o =
=*2 (t2). Согласно свойству 1°, вектор-функция х=х2 (t+ (*2—М) =
=*з@ является решением системы A) и Xz(t\)=X\(t\), так что
Xz(t)=x\(t) в силу теоремы единственности решения задачи Коши.
Следовательно, Xi(t)=x2(t+ (t2—tx))t т. е. траектории yi и Y2
совпадают.
3°. Если а — положение равновесия системы A), то x(t) =
=г=а(--оо</<;оо) также является решением системы A).
В самом деле,-4г==-5т-=б, /?<*))=/<а)=б.
at at
Из свойства 3° вытекает, что если а — положение равновесия,
то точка х=а есть траектория системы A).
4°. Траектория, отличная от точки, является гладкой кривой,
т. е. в каждой ее точке имеется ненулевой касательный вектор,
В самом деле, если *=*(/) —решение системы A), то
касательный вектор к траектории в точке Хо = л;(М равен х'(to). Из
системы A) видно, что xf{to) =Цхо)фО.
5°. Любая траектория системы A) принадлежит к одному из
следующих трех типов: а) точка; б) замкнутая гладкая кривая
(цикл); в) гладкая кривая без самопересечений.
В самом деле, если траектория не есть положение равновесия
(точка), то в силу свойства 3° она является гладкой кривой,
которая либо замкнута, либо не замкнута.

228 Глава V. Элементы теории устойчивости
6°. riycTblc(t\ jc0), *@; хо)=хо есть решение задачи Коши для
системы A). Тогда
В самом деле, вектор-функции Xi(t)=x(t; x{t\\ x0)),
=x(t + t\\ jco) в силу свойства 1° являются решениями системы A).
При /=0 имеем Jti(O)=Jt(/i; xo)t х2@) =x(ti; х0), т. е. Х\ @) =х2@).
В силу теоремы единственности решения задачи Коши, x\(t)^
=jc2(O при всех ty откуда следует первое из искомых равенств.
Аналогично доказывается, что x(t\ + t2\ Xo)=x(ti\ x(t2; Xo)).
Свойство 6° называется групповым свойством решений
автономной системы A).
7°. Справедливо равенство x(—t\ x(t\ xo))=xo (это вытекает из
свойства 6°).
Определим отображение g* с помощью равенства g'y^xit, у)
V(/eZ), где x(tf (/), лс(О, у)=у есть решение системы A).
Отображение gt называется фазовым потоком, определяемым
системой A). Каждая точка y^D отображается в точку gTy,
лежащую в области D.
Из свойств 6° и 7° вытекает, что
где / — тождественное отображение, т. е. 1х=х для любой точки
x^D. Первое из указанных соотношений означает групповое
свойство решений: g(ti'bti)y = gti(g^y) для любой точки «/eD.
Множество отображений g*, зависящих от одного вещественного
параметра t и обладающих указанными выше свойствами, принято
называть однопараметрической группой преобразований (или
динамической системой).
2°. Понятие о функции Ляпунова. Формулировки теорем Ляпунова
об устойчивости и неустойчивости. Предположим, что неавтономная
система
имеет нулевое решение, т. е. }(t, 0)=0 V/>/0, и ограничимся
изучением устойчивости и неустойчивости нулевого решения системы
B) с помощью некоторых вспомогательных скалярных функций
V(x) и W(x)t называемых функциями Ляпунова. Метод функций

§ 5.2. Нелинейные автономные системы. Понятие о функции Ляпунова 229
Ляпунова является одним из важных методов изучения
устойчивости решений нелинейных систем дифференциальных уравнений.
Теорема 1 (теорем а Ляпу нов а об усто й ч и в ости).
Пусть существует непрерывно дифференцируемая скалярная
функция V(x), положительная при хфО, равная нулю при х=0 и
такая, что
п
где г — положительная постоянная. Тогда нулевое решение х=0
системы B) устойчиво по Ляпунову.
Теорема 2 (теорема Ляпунова об
асимптотической устойчивости). Пусть существуют непрерывно диффе-
ренцируемые скалярные функции V(x) и W(x), положительные при
хфО, равные нулю при х=0 и такие, что
п
С/ V * ^0 \ ШУТ , J *^ *
где г — положительная постоянная. Тогда нулевое решение х=0
системы B) асимптотически устойчиво по Ляпунову.
ТеореМа 3 (теорема Ляпунова о неустойчивости).
Пусть существует непрерывно дифференцируемая скалярная
функция V(x), для которой в любой окрестности нуля имеется уфО
такое, что V(y)>Oy и пусть существует непрерывно
дифференцируемая скалярная функция W(x)p положительная при хфЪ и равная
нулю при х=0. Пусть, кроме того
где r — положительная постоянная. Тогда нулевое решение *=0
системы B) неустойчиво по Ляпунову.
Примеры. К Рассмотрим систему jc'1 = ~a:1 + 3a:22, х/2 = — ххх2—
—*32. Возьмем положительную скалярную функцию V(xu x2) =
=^~ (x2,+jc22), 1/@, 0)=0. Тогда
Следовательно,

230 Глава V. Элементы теории устойчивости
В силу теоремы Ляпунова об устойчивости нулевое решение
=х2 = 0 данной системы устойчиво по Ляпунову.
2. Рассмотрим систему
v» Л L_ V v» v» «_ . *
Возьмем положительные скалярные функции
равные нулю при jti=*2 = 0. Тогда
2
dV , 2*1 Г 2*i
В силу теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости
нулевое решение A:1=rjc2=0 данной системы асимптотически
устойчиво по Ляпунову.
3°. Упражнения
Покажите, что нулевое решение системы является устойчивым (здесь и
далее дифференцирование производится по t):
2f Хл = ~~~Х\ —¦ X21 X2 ==: J^i •
о ' ! 1
3. Arx == — — ^j, ^2 = ~^i-
Покажите, что нулевое решение системы является асимптотически
устойчивым:
4. х[ = t-X\ -Ь X<i + XiX2t Хг = — .*! — JC2 — Д^f — *2'
5. х[ = — *2 "" *1» -^2 — Х1 "~* -^l"
6. JtJ = Jcf — JC2, ДГ2 = X\ + X2"
Указание. Для решения используйте следующие функции Ляпунова;
- 2
4) K = jcJ

Глава VI
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 6.1. Двойные и тройные интегралы, их свойства. Геометрический
и физический смысл интегралов. Представление об
интегралах любой кратности
Iе. Двумерные интегральные суммы Римана и двойной интеграл.
Рассмотрим на плоскости компактную фигуру ф, ограниченную
замкнутой гладкой (или кусочно-гладкой) кривой Л (рис. 87).
Диаметром компактной фигуры называется точная верхняя
грань расстояний между двумя любыми точками этой фигуры.
Геометрически диаметр компактной фигуры представляет собой
наибольшую из ее хорд. Если диаметр компактной фигуры стремится
к нулю, то фигура стягивается в точку.
Определение 1. Разбиением {Ф*} квадрируемой фигуры Ф
называется такая совокупность квадрируемых фигур Ф*,
объединение которых составляет фигуру ф, причем никакие две различные
фигуры Фк не имеют общих внутренних точек. (Здесь {Фь} есть
сокращенная запись совокупности {Ф^ Фг, ...,ФП}.)
Определение 2. Наибольший из диаметров фигур,
составляющих разбиение, называют диаметром разбиения {Ф*} и
обозначают через d.
Пусть на плоской компактной фигуре Ф задана функция f :Ф-^К.
Для определения двойного (двумерного) интеграла (по Римаяу)
от функции f по фигуре Ф произведем следующие операции:
1. Рассмотрим разбиение {Фк} фигуры Ф (рис. 87). Это
разбиение должно быть таким, чтобы все частичные фигуры Фь были
квадрируемыми, т. е. имели площади, которые обозначим через
As* (понятие квадрируемости фигуры см. в п. 1° § 2.2).
2. В каждой фигуре Фк разбиения {Ф&} выберем произвольную
точку (xk, ук)^Фи- В этом случае будем говорить, что имеется
разбиение {Фк} с отмеченными точками (xk, Ук)-

232 Глава VI. Кратные интегралы
Если диаметр d разбиения фигуры
Ф стремится1 к нулю, то число п фигур
Фа неограниченно увеличивается, т. е.
3. Вычислим значения функции f в
отмеченных точках (л;*, уц) и
составим сумму парных произведений
о
Рис- 87 Суммы вида A) называются
двумерными интегральными суммами Римана
функции f(x, у), соответствующими разбиению {Фа} с отмеченными
точками (xk> yk)> ?=1,...,п.
Определение 3. Число / называется пределом интегральных
сумм A) при d->0, если для любого числа е>0 существует такое
число 6>0, что при d<6 независимо от выбора отмеченных точек
(xky Ук) в частичных фигурах Фа выполняется неравенство
"Определение 4. Предел двумерных интегральных сумм A)
при d-И) (если он существует) называется двойным (или
двумерным) интегралом (по Риману) от функции /(*, у) по области Ф и
обозначается f(*/(•*, #)ds, т.е.
•V
п __
В этом случае функция f(x, у) называется интегрируемой (по
Риману) в области Ф.
Переменные х, у принято называть переменными
интегрирования; f(xt у)ds —подынтегральным выражением; f(x,
у)—подынтегральной функцией; ds —двумерным элементом площади; Ф —
областью интегрирования.
Комментарии к определению 4. 1) В дальнейшем в
качестве области интегрирования Ф будем рассматривать компактные
фигуры, имеющие гладкие или кусочно-гладкие границы. При
разбиении фигуры Ф будем делить ее на частичные фигуры Фа,
имеющие кусочно-гладкие границы.
2) Имеется глубокая аналогия двух понятий—обычного
определенного и двойного интегралов. В обоих случаях рассматривают
некоторую функцию: в первом случае — функцию от одной
переменной, определенную на отрезке [a, b]czR, во втором — функцию от
двух переменных, определенную на плоской фигуре Фс=Я2. В том и
другом случае область определения функции разбивают на части и
выбирают произвольно отмеченные точки, в которых вычисляют

§ 6.1. Двойные и тройные интегралы, их свойства
233
значение функции /. Затем
вычисленные значения функции
умножают на меру соответствующих
частей. Для функции одной
переменной такой мерой служит
длина отрезка [xk-\, xk\f а для
функции двух переменных —
площадь Ask части Ф*. Наконец, в
том и другом случае составляют
интегральные суммы Римана,
соответствующие разбиениям с
отмеченными точками и находят их
предел при стремлении к нулю
диаметра разбиений.
Весьма полезным является
Рис. 88
фигуры Ф,
образуО О В
так называемое прямоугольное разбиение {^} фур ру
емое прямыми, параллельными осям координат Ох и Оу. В этом
случае фигуры Ф/tj представляют собой прямоугольники со
сторонами, длины которых равны Ахк и Ayj (за исключением фигур,
примыкающих к границе Л). Чтобы подчеркнуть, что разбиение
является прямоугольным, в обозначении интеграла B) положим ds=
= Ах Ау. Тогда
\\f{x,y)&xdy = \imy^S~f(lcky yj)Lxkbyj, C)
где (xk, ^/)еФл/ и суммирование в равенстве C) распространяется
на все значения k и /, для которых Ashj=\AxhAyj. Можно доказать,
что непрямоугольные фигуры, примыкающие к границе Л, не
влияют на значение предела C).
Выражение dxdy называется двумерным элементом площади в
декартовых координатах.
2°. Геометрический и физический смысл двойного интеграла.
Вычислим объем цилиндроида Т, т. е. тела Tc=R3, ограниченного
сверху поверхностью z=f(xt у), снизу — плоскостью z=0, сбоку —
цилиндрической поверхностью, направляющей которой служит
гладкая граница Л компактной фигуры Ф, а образующими — прямые,
параллельные оси Oz (рис. 88).
Для приближенного вычисления объема V цилиндроида Т
произведем следующие операции. Разобьем фигуру Ф с помощью
произвольной сетки гладких линий на части ф*. Границу каждой такой
части примем за направляющую цилиндрической поверхности,
образующие которой параллельны оси Oz. Эти поверхности разобьют
цилиндроид Т на столбики, которые примем за обычные цилиндры
(рис. 88). Тогда объем отдельного столбика приближенно
выразится произведением f(xk, yk)Ask, а объем цилиндроида — суммой
таких произведений:

234 Глава VI. Кратные интегралы
D)
являющейся двумерной интегральной суммой для функции f(x, у)
по разбиению {Ф*} фигуры Ф с отмеченными точками (**, ук).
Формула D) позволяет найти объем V с любой степенью точности,
если число частичных фигур Ф* достаточно велико и диаметр d
разбиения {Фл} достаточно мал. Объемом цилиндроида называется
предел правой части равенства D) при d->0:
*, y)dxdy E)
= lim У f(xkf yk)bsk = f f
(если он существует). Итак, при />0, (*, у)еФ объем
цилиндроида T вычисляется по формуле E) (геометрический смысл
двойного интеграла).
Перейдем теперь к физическому смыслу двойного интеграла.
Будем называть средней плотностью материальной фигуры Ф
отношение ее массы к площади, а плотностью материальной фигуры в
данной ее точке — предел средней плотности малого участка
фигуры, стягивающегося в эту точку. Предположим, что материальная
квадрируемая фигура имеет плотность р(*, у), являющуюся
непрерывной функцией от (х, у)еФ. При f(x, (/)=р(х, у) двойной
интеграл представляет собой массу m материальной фигуры Ф. В
самом деле, рассмотрим разбиение {Ф*} фигуры Ф с площадями
Asi,... ,As* и диаметрами db...,d*. Наибольший из диаметров
обозначим через d. Эта величина характеризует «размер» фигур Т*.
Если d мало, то в пределах малой фигуры Т* плотность р(лг, у),
будучи непрерывной функцией, изменяется незначительно и
приближенно может считаться постоянной. Значение этой постоянной
можно принять равным значению р(**, у к) плотности p(jc, у) в
некоторой произвольной точке (**, ук) фигуры TV В этом случае
масса частичной фигуры Т* приближенно равна произведению
р(^А» Ул)А5а, а масса всей фигуры Т — сумме таких произведений:
За точное значение искомой массы m примем предел правой части
равенства F) при d-+0. Так как правая часть равенства (б) есть
двумерная интегральная сумма для р(х, у) по разбиению {Ф*} с
отмеченными точками (хк, у к), то масса материальной фигуры Ф
равна двойному интегралу от плотности р(х, у) по области Ф:
, y)ds G)
ф
(физический смысл двойного интеграла).

§ 6.1. Двойные и тройные интегралы, их свойства
235
1-ЗЬ-х2-
/7
Г Т
\
V-
1 у
Рис. 89
Рис. 90
Приведем без доказательства признаки существования
двойного интеграла.
Теорема 1 (необходимый признак). Функция fiO-^R,
интегрируемая на (DczR2, ограничена на Ф.
Доказательство этого признака аналогично доказательству
подобного признака в одномерном случае (см. п. 2° § 2.1).
Теорема 2 (первый достаточный признак).
Функция f:Q)-+R, непрерывная на компактной фигуре Ф с
кусочно-гладкой границей, интегрируема на Ф.
Теорема 3 (второй достаточный признак).
Функция /:Ф->^, непрерывная на компактной фигуре Ф всюду, за
исключением конечных разрывов (скачков) на конечном числе
гладких кривых вида у=ц>(х) и х=$(у), интегрируема на Ф.
Пример. Используя двумерную интегральную сумму,
приближенно вычислить объем цилиндроида Т, ограниченного
следующими поверхностями: квадратом — 4<:х<4, —4^*/<g4; плоскостями
A'i = 4, х2 = — 4, r/i=4, f/2=—4; параболоидом вращения 2=36—
—*2—У2 (рис. 89).
Решение. Так как цилиндроид симметричен относительно оси
Ozy то достаточно вычислить 1/4 его объема. Для этого
соответствующую часть области интегрирования Ф разобьем прямыми jc=1,
х=3, у=\ и #=3. Возьмем точки A, 1), A, 3), C, 1), C, 3) и
вычислим в них значения функции 2=36—л:2—i/2; имеем z(\ 11=32
z(l, 3) =26, 2C, 1) =26, 2C,3) = 18.
Состарим двумерную интегральную сумму для заданного
разбиения с указанными отмеченными точками:
4
2 Я
*.
18.4=408.
Следовательно, объем V цилиндроида приближенно равен 4Х
X 408= 1632. F

236 Глава VI. Кратные интегралы
3°. Трехмерные интегральные суммы Римана и тройной интеграл.
Определение тройного (трехмерного) (интеграла аналогично
определениям определенного (одинарного) и двойного (двумерного)
интегралов. Пусть на пространственном компактном теле TczR3
задана функция /:T-*R. Рассмотрим разбиение {Т*} тела Т с
диаметрами dk и с объемами Avk (Л=1,... ,л). На рис. 90 изображено одно
такое тело Т*. Наибольший из диаметров dk назовем диаметром
произведенного разбиения и обозначим через d. В каждом
частичном теле Tk выберем произвольно точку (xk, yk, Zk) и составим
сумму
п
(8)
Суммы вида (8) называются трехмерными интегральными
суммами Римана функции f(x, у, z), соответствующими разбиению {Т*}
с отмеченными точками (xkt ук> zk). Определение предела
трехмерных интегральных сумм аналогично определению предела
двумерных интегральных сумм вида A).
Определение 5. Предел трехмерных интегральных сумм (8)
при d-+0 (если он существует) называется тройным (или
трехмерным) интегралом (по Риману) от функции f(xt у, z) по области Т
и обозначается fff/(jcf у, z)&v, (ЧГ/(л:, t/, z)dxdydz. Таким
образом,
У,
В этом случае функция f(x, yf г) называется интегрируемой (по
Риману) в области Т. Переменные х, у> z принято называть
переменными интегрирования-, f(xf yf z) —подынтегральной функцией;
dv или dxdydz — элементом объема в декартовых координатах;
Т — областью интегрирования.
Можно доказать, что если подынтегральная функция f(x, у, z)
непрерывна на компактном теле Т с кусочно-гладкой границей, то
тройной интеграл (9) всегда существует.
4°. Геометрический и физический смысл тройного интеграла.
Тройной интеграл по телу Т от функции f(xy у, z), тождественно равной
единице на Т, равен объему этого тела, т. е.
A0)

§ 6.1. Двойные и тройные интегралы, их свойства 237
(геометрический смысл тройного и н тег р а л а).
Доказательство этого утверждения непосредственно следует из
определения тройного интеграла.
Тройной интеграл по области Т от плотности р(х, yt z)
материального тела Т равен массе этого тела, т. е.
уч z)dxdyuz (И)
(физический смысл тройного интеграла).
Доказательство этого утверждения аналогично доказательству подобного
утверждения в двумерном случае.
5°. Основные свойства двойного и тройного интегралов. Свойства
кратных интегралов (и их вывод) аналогичны свойствам
определенных интегралов. Поэтому ограничимся формулировкой этих
свойств для двойного интеграла.
1°. Интеграл f f дх йу по фигуре Ф равен площади этой фигуры.
V
2°. Аддитивность. Если функция f интегрируема на фигуре
Ф, а фигура Ф разбита на две связные и не имеющие общих
внутренних точек фигуры Ф\ и Ф2, то f(x, у) интегрируема на каждой
из фигур Фх и Ф2, причем
f [/(•*> y)djcd(/+ f \/(•*» y)dxdy.
3°. Линейность. Если функции fi и /2 интегрируемы на
фигуре Ф, то функция C\f\ + c2f2t где С\ и с2 — любые вещественные
числа, также интегрируема на фигуре Ф, причем
, y)dxdy9 A2)
т. е. действия интегрирования и суммирования перестановочны.
Частные случаи формулы A2):
JJ
= jf/i(^ {/)d*dr/ + jj72U, y)<lxdy
(интеграл от суммы равен сумме интегралов);
Jf */<•*• У)йхйу=с^f(x, y)dxdy
(постоянный множитель можно выносить за знак двойного
интеграла).

238 Глава VI. Кратные интегралы
4°. Монотонность. Если функции /i(x, у) и f2(*, у)
интегрируемы на фигуре Ф и всюду в этой области fx(x, t/)<M*, у), то
JJ/i<*. У)&х&У< JJ/2U. </)d*d*/. A3)
В частности, если /2(х, у)^О, то f [/*(•*» r/)dA:dj/>0.
5°. Оценка абсолютной величины интеграла. Если
функция f(xt у) интегрируема на фигуре Ф, то и функция \f(x, у) \
интегрируема на этой фигуре, причем
A4)
JJ
г. е. абсолютная величина двойного интеграла не превосходит
двойного интеграла от абсолютной величины подынтегральной функции,
6°. Теорема о среднем значении. Если функция f
непрерывна на связной фигуре Ф, то найдется такая точка (х, у)^Ф, что
/(х* J/)S, A5)
где S — площадь связной фигуры Ф.
Свойство 6° имеет следующую геометрическую интерпретацию:
объем V цилиндроида Т, ограниченного снизу компактной связной
фигурой Ф, сбоку — цилиндрической поверхностью и сверху — не-
прерывной поверхностью z=f(x, у), равен объему прямого
цилиндра с основанием Ф и высотой f(x, y)> равной значению функции
/(*, у) в некоторой точке (х, у) фигуры Ф (рис. 91). Значение
функции f(x, y)t определяемое по формуле A5), называется средним
значением функции /(*, у).
п
6°. Понятие об н-кратных интегралах. Пусть дана функция /: T-*R
от п переменных на л-мерном компактном теле Тп в пространстве
R", например на л-мерном призматоиде Тп, заданном
неравенствами ai^Xi^b\9... tan^xn^bn. Используя приведенную выше схему,
определим л-кратный интеграл от функции f(xu... ,хп) по л-мерно-
му компактному телу Тп. А именно, разобьем тело Тп на k
компактных «ячеек» Тль ... ,ТЛ* с мерами (л-мерными объемами) Л^ь •• ЛЯп
и диаметрами d\y...ydk. Наибольший из диаметров назовем
диаметром разбиения {ТУ1} тела Тп и обозначим через d. В каждой ячейке
Т,п выберем точку (х\\ ...,?«*) и составим л-мерную интегральную
сумму
п —
^{[^xn)Lqr A6)
Определение предела интегральных сумм A6) при d-+0
аналогично определению интегральных сумм A) при d-+0.

§6.1. Двойные и тройные интегралы, их свойства
239
Определение 6. Предел л-мерных
интегральных сумм A6) при d-+0 (если
он существует) называется п-кратным
(или п-мерным) интегралом (по Риману)
от функции f(xi,...,xn) по области Тп:
Z~f(*.y)
A7)
ft-l
Рис. 91
Функцию /: Tn-*R называют в этом случае интегрируемой (по Ри-
ману). Если л=1, то л-кратный интеграл является определенным
интегралом, а если л==2 (л=3)—двойным (тройным) интегралом.
Отметим, что для л-кратного интеграла A6) справедливы
обычные свойства интеграла: линейность, аддитивность областей, по
которым производится интегрирование, интегрирование нестрогих
неравенств, теорема о среднем значении. Детальное изложение
теории л-кратного интеграла содержится в более подробных курсах
математического анализа.
Приведем единообразное определение определенного интеграла
любой кратности. Рассмотрим область D в прямоугольной
декартовой системе координат. Эта область может быть одномерной
(прямолинейный отрезок), двумерной (плоская фигура), трехмерной
(пространственное тело) и л-мерной (л-мерное тело, л>3). Будем
обозначать через Q меру области ?>, соответственно — длину,
площадь, объем или л-мерный объем.
Пусть в области D определена некоторая функция, имеющая в
каждой точке М этой области значение f (M). В соответствии с
числом измерений области D функция f(M) зависит от одного, двух,
трех или л (л>3) аргументов, являющихся координатами точки
M&D.
Разобьем область D на л частичных областей D\f D2,--,^n.
Возьмем в этих областях произвольные отмеченные точки JVb N2,...,
Nn> вычислим значения функции / в этих точках и составим интег-
гральную сумму для разбиения {Dk} с отмеченными точками:
A8)
Если существует предел интегральных сумм A8) при
стремлении диаметра разбиения к нулю, то он называется определенным ин-

240 Глава VI. Кратные интегралы
тегралом от функции f(M) по области D и обозначается символом
f f(M)dq. Этот интеграл является двойным, тройным или л-крат-
ным в зависимости от числа измерений области D.
7°. Упражнения
Используя двумерную интегральную сумму, вычислите приближенно
объем цилиндроида Т, ограниченного поверхностями Ф, ГЦ и Ш (выберите
3—5 значений интегральной суммы, проследив характер ее изменения).
1. Ф — квадрат —4^**^4, —4^^^4, г=0; Ш — плоскости *=4, х=— 4Г
У = 4, (/=—4; П2 — параболоид вращения г=х2+у2.
2. Ф — круг х2+у2^.2Б, z=0; Xli — цилиндр *2-fi/2=25; П2 — параболоид
вращения z=x2+y2.
3. Ф — прямоугольник —3<:*<3, —4^1/^4, 2=0; П1 — плоскости jc=3,
Х* + У2
дг=—4, у=4, у=—4; Ш — параболоид вращения z = —-— — 8.
5
4. ф — круг х2+(/22^36, 2=0; lit — цилиндр x2-fy2=36; П2 — параболоид
вращения z — >— — 8.
о
§ 6.2. Вычисление двойных и тройных интегралов в декартовых
координатах
1°. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.
Пусть фигура Ф задана неравенствами вида а^.х^Ьу У\{х)^.у^
<У2(х) (рис. 92), где у=ух(х) и у=у2(х) —гладкие функции на
[а, Ь]. Такую (компактную) фигуру Ф будем называть выпуклой
вдоль оси Оу (или выпуклой относительно х). Фигура Ф является
выпуклой вдоль Оу в том и трлько в том случае, если вертикальная
прямая, проходящая через точку х (а<х<Ь) оси Ох, пересекает
границу Л фигуры Ф только в двух точках М\(хч у{) и М2(х, у2),
называемых соответственно точкой входа и выхода.
Пусть функция /(*, у) интегрируема по плоской фигуре Ф,
выпуклой вдоль оси Оу и проектирующейся на отрезок [а, Ь] оси Ох.
Если /(*, у) при любом jce[a, b] интегрируема по переменной у на
отрезке [yi(x), jf2{x)]f т. е. если существует определенный интеграл
J f{x% y)dy v*e[af b], A)
Уг(Х)
то справедлива формула
Ь yt (х)
Jf/<*. y)dxdy = $(lx J f(x, y)dy. B)
Интеграл в правой части равенства B) называется повторным
интегралом. Формула B) справедлива и для фигур Ф, являющихся
объединением конечного числа фигур, выпуклых вдоль оси Оу.

§ 6.2. Вычисление двойных и тройных интегралов в декарт. координатах 241
У\
У,
0
п
—1"
1
1
а
у=у2(х)
ф
L у
Mi )
т
/\
< b X
У I
а
у
с
0
D
1 Ф \^х*х ( )
> >¦
*
Рис. 92
Рис. 93
Формула B) означает, что
двойной интеграл равен
соответствующему повторному
интегралу, в котором интегрирование
сначала выполняется по у при
фиксированном ху а затем
полученный результат интегрируется
по х.
Если фигура Ф выпукла вдоль
оси Ох (выпукла относительно у)>
т. е. задается неравенствами
вида c<y<cdy xl(y)^x^x2{y)
(рис. 93), то по аналогии с
формулой B) имеем
Рис. 94
с, у)йх,
C)
где интегрирование сначала выполняется по х при фиксированном
у, а затем полученный результат интегрируется по у.
В частности, если Ф — прямоугольник a^.x^by c^y^d, то
а
d
, y)dx.
Отсюда следует, что
b d
d b
D)

242
Глава VI. Кратные интегралы
= const Llnrr^T-
т. е. если пределы
интегрирования в повторном интеграле
постоянны, то результат
интегрирования не зависит от порядка
интегрирования.
Если же фигура Ф не
является выпуклой (рис. 94), то ее
разбивают на конечное число
фигур фи..., фп, выпуклых
вдоль осей координат Ох или
Оуу и полагают
Рис. 95
. y)dxdy9
а затем применяют соответственно формулы B) или C).
Чтобы установить справедливость формулы B), воспользуемся
теометрическими соображениями. Предположим для
определенности, что f(x, у) ^0 V(jc, 1/)еФ. Тогда двойной интеграл в левой
части равенства B) есть объем V цилиндроида (рис. 95), ограниченно-
то снизу фигурой Ф, сверху — поверхностью z=f(xt у) и сбоку —
цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси
Ozt т. е.
V=ff/(*f y)dxdy. E)
V
С другой стороны, интеграл A), являющийся внутренним в
повторном интеграле B), представляет собой площадь поперечного
сечения цилиндроида плоскостью AfiAf2Af/2Af/i, перпендикулярной оси
Ох в ее точке *е[а, Ь] (рис. 95), так как это сечение есть
криволинейная трапеция, ограниченная снизу отрезком f/i^f/^i/2 оси
O't/', параллельной Оуу а сверху — кривой z=f(x, y)t jt=c=const.
Согласно п. 3° § 2.3, объем V цилиндроида выражается через
площадь поперечных сечений по формуле
ь
F)
G)
а
Подставляя выражение S(x) из равенства A) в F), получим
ь уш (х)
J f(x, y)dy.
()
ух (х)
Левые части в соотношениях E) и G) равны; значит, равны и
правые части этих соотношений, т. е. формула B) справедлива.
Аналогично доказывается и справедливость формулы C).

§ 6.2. Вычисление двойных и тройных интегралов в декарт. координатах 243
Рис. 96
Для вычисления двойного интеграла
используется следующее правило.
1. Проверить условие выпуклости
области Ф.
2. Если область Ф выпукла вдоль оси
Оу, то найти уравнение у=У\(х) нижней
части линии А и уравнение */=#2(*)
верхней части этой линии.
3. Считая переменную х
фиксированной, проинтегрировать функцию } (х, у) в
пределах от у\(х) до у2(х). Результатом
вычисления является некоторая функция
F(x) от х.
4. Проинтегрировать функцию F(x) no x от а до Ь, где числа а
и b определяются из того условия, что прямые х=а и х=Ь
касаются слева и справа заключенной между ними линии Л. Результат
вычисления есть некоторое число.
В случае выпуклой вдоль оси Ох области Ф правило
вычисления двойного интеграла аналогично приведенному выше. Сначала
находят уравнение х=Х\(у) леЬой части линии А и уравнение jc =
=х2(у) ее правой части. Затем, считая переменную у
фиксированной, интегрируют функцию / (х, у) по х в пределах от Х\ (у) до х2 {у);
результатом вычисления является некоторая функция ^(у) от у.
Наконец, интегрируют функцию ^?(у) по у от с до d, где числа с и
d определяются из того условия, что прямые у=с и y=d
касаются снизу и сверху заключенной между ними линии А; результат
вычисления есть некоторое число.
Пример. Вычислить двойной интеграл /= f f (x2-|-j/2)d$, где
V
область Ф ограничена линиями у=0, */=*2, х=0, *=1 (рис. 96).
Решение. Проверим условие выпуклости области Ф; для
этого проведем прямые х=с @<с<1) и прямые у=с (O^c^l). Так
как граница области пересекается любой из этих прямых только в.
двух точках, то Ф выпукла вдоль осей Ох и Оу,
Поскольку область Ф выпукла как вдоль оси Оу, так и вдоль
оси Ох, в качестве переменной интегрирования для внутреннего
интеграла можно взять либо уу либо х. Примем за переменную
интегрирования у.
Составим выражение вида B). При записи пределов
интегрирования учитываем, что множество точек входа в область Ф есть-
прямая */=0, а множество точек выхода —парабола у=х2. В
рассматриваемой области х изменяется от 0 до 1. Следовательно,
f

244 Глава VI. Кратные интегралы
Вычислим внутренний интеграл, считая в подынтегральной
функции х фиксированным:
J
о о
Вычислим внешний интеграл:
1 1
" 5 ' 21 ~~ 105 '
О
Таким образом, /==— ¦
Произведем теперь перестановку переменных интегрирования,
выбрав х в качестве переменной интегрирования для внутреннего
интеграла. Составим выражение вида C). При записи пределов
интегрирования учитываем, что множество точек входа в область Ф
есть парабола x=VY, а множество точек выхода — прямая х=1.
В рассматриваемой области у изменяется от 0 до 1. Значит,
Вычислим внутренний интеграл, считая в подынтегральной
функции у фиксированным:
Vy
Вычислим внешний интеграл:
3 ~ 3 5-3 7/1 105э
т. е. результат не изменился.
2°. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.
Пусть область интегрирования Т — компактное тело, выпуклое
вдоль оси Oz (ср. с п. 1°), т. е. ограничено снизу и сверху
соответственно гладкими поверхностями z^zx{x, у) и z=z2(x, у),
причем проекция тела Т на плоскость хОу есть плоская фигура Фху
(рис. 97). Поэтому при фиксированных значениях {х, у)^Фху соот-

§ 6.2. Вычисление двойных и тройных интегралов в декарт. координатах 245
ху
Рис. 97
ветствующие аппликаты z
точек тела Т изменяются на
отрезке [*i(x, у)у z2(xt у)] оси
Ог.
Рассуждая как и в п. 1°,
получим
fix, у, z)dxdydz=
z*(x,y)
J /(*, y9 z)dz.x
(8)
Предположим, что фигура Фху определяется неравенствами 1*^.и,^>
^bt У\(х)^У<;У2(х), где у\(х) и У2(х) —гладкие функции на
отрезке [а, Ь], т. е. фигура Фху выпукла вдоль оси Оу. Тогда
z%(x,y) Ь Ул(х) z%(x,y)
)Jd*dy j fix, у, z)dz = ^dx J dy j fix, y, z)dz. (9)
*Xy zt(x,y) a yi(x) zx{x,y)
Из формул (8) и (9) окончательно находим
Ъ у% (х) zt (x,p)
(* dy [ fix, у, z)dz. A0)
Ух (-*") Zx (X,y)
Интеграл в правой части равенства A0) называется повторным
интегралом.
Если прямые, параллельные осям, пересекают тело Т более чем
в двух точках, то надо разбить его на части так, чтобы для
каждой из этих частей указанные прямые пересекали тело не более чем
в двух точках. Вычисляя по формуле A0) для каждой из
полученных частей тройной интеграл и складывая результаты, находим
интеграл по всему телу Т.
Если Т — прямоугольный параллелепипед, образуемый
плоскостями х=аи x=fti, y=a2y y=b2t z=ait 2 = ft3, то все пределы
постоянны и
fti ft* &j
fix, yy z)dxdydz= f dx f dy [fix, y, z)dz. A1)
j j *)
a i a% a*
Обобщением прямоугольного параллелепипеда является
призматоид Тл в n-мерном пространстве, определяемый неравенствами
вида а\^Х\^Ь\,... jun^ZXn^bn. Интегрирование по призматоиду
сводится к вычислению довторного интеграла, у которого все
пределы интегрирования постоянны:

246 Глава VI. Кратные интегралы
Здесь результат интегрирования не
зависит от порядка, в котором производится
интегрирование.
Для вычисления тройного интеграла
используется следующее правило.
1. Проверить условие выпуклости
области.
2. Составить выражение вида A0).
При записи пределов интегрирования
учесть, что: a) z=zx(x, у) и z=z2{x, у) —
уравнения поверхностей,
представляющих собой соответственно множество то-
Рис. 98 чек входа в область и выхода из нее; б)
y=yi(x) и у=у2(х) —уравнения линий,
представляющих собой соответственно множество точек входа в
область Фху и выходи из нее; в) а, Ь — абсциссы крайних точек
области Фху в направлении оси Ох.
3. Последовательно вычислить:
а) внутренний интеграл f fix, у, z)dz,r%e z— переменная
интегрирования, а х и у считаются фиксированными; результатом
вычисления является некоторая функция двух переменных F(xy у);
б) интеграл f F(xy y)dy, где у — переменная интегрирова-
1/1 (X)
ния, а х считается фиксированным; результат вычисления —
некоторая функция G(x) одной переменной;
ь
в) внешний интеграл (* G(x)dx, где х — переменная интегриро-
а
вания; в итоге получаем окончательный результат — некоторое
действительное число.
Пример. Вычислить /= f f f xyz dv, где область ограничена
поверхностями z=x2+y2, jc=O, t/=0, 2=0, 2=1 (рис. 98).
Решение. Проверим условие выпуклости области Т. Так как
любая прямая, проходящая через какую-либо внутреннюю точку
области Т параллельно одной из осей Ох, О у или Oz, пересекает
поверхность, ограничивающую данную область, только в двух
точках, то это условие выполнено (рис. 98).
Составим выражение вида A0). При записи пределов
интегрирования учитываем, что: а) множество точек входа в область есть
поверхность параболоида вращения 2=х2 + е/2, а множество точек
выхода — плоскость 2=1; б) множество точек входа в область Фху,
есть прямая у=0, а множество точек выхода — дуга окружности

§ 6.2. Вычисление двойных и тройных интегралов в декарт. координатах 247
?/=V^ 1 —д:2; в) область Фху в направлении оси Ох изменяется в
пределах от х=0 до х=1:
1 /Г=х« I
=fffxyzdv=tdx f dy j
Г 0 0 jr»+y
/yy j
jr»+yO
Вычислим повторный интеграл в соответствии с п. 3 правила:
а) ] xyzto-xyf
— xsy-2x*y3 -ху5);
б) j ±
j
1
ч Г 1 / 2
в) J—(— *-
4 \3 2 4 '3.8/ 32 ' 32
3°. Упражнения
Вычислите двойной интеграл от функции z=/(a;, у) по области Ф,
ограниченной заданными, линиями.
1. 2=36—л:2—t/2; *=4, *=—4, у—4, у = — 4.
2. 2==дг2 + (/2; х=4, х=—4, i/ = 4, ^ = —4.
3. г=\+х+у\ х=—у, x=VH, У = 2.
4. z=xy2; х=0, г/ = л, 1/=2—х2.
Составьте выражение для вычисления тройного интеграла от функции
}(х, у, г) по телу Т, ограниченному заданными поверхностями.
5.. Плоскостями jc=O, y=0, z=l и параболоидом вращения
(в I октанте).
6. Плоскостями дс=О, х=\, 1/=0, «/=1, 2=0, 2=1.
7. Плоскостями *=0, i/ = 0, 2=0, l
Вычислите тройной интеграл от функции f(x, у, г) по телу Т,
ограниченному заданными поверхностями.

248 Глава VI. Кратные интегралы
8. f{x, у> z)—xy\ х=0, #=0, z=l, z=x2+y2 (в I октанте).
9. f(xt yt z)=x+y+z; *=0, J/=0, г=1, z=x2+y2 (в I октанте).
10. f(xt у, z)=xyz\ jc=O, jc=1, t/=0, t/=l, z=0, 2=1.
11. /(*, f/, z)=x+y—z; jc=1, jc=—1, y=l, y=—1, 2=0, 2=2.
12. f(x, yt z)=#; jc=O, i/=0, z=l, x+y+z=2.
§ 6.3. Переход от декартовых координат к полярным. Замена
переменных в кратных интегралах. Переход от декартовых
координат к цилиндрическим и сферическим
Iе. Переход от декартовых координат к полярным. Положение
некоторой точки А на плоскости можно задать не только с помощью
декартовых координат (х, (/), но и с помощью полярных координат
(г, ф). Совмещая начало декартовых координат с полюсом, а
ось Ох — с полярной осью Ор, получим зависимость между
декартовыми и полярными координатами:
где г — полярный радиус @<г< + оо), <р — полярный угол точки
А @«р<2л).
Выведем формулу перехода от декартовых координат к
полярным для двойного интеграла. Пусть f(x, у)—непрерывная
функция на компактной фигуре, а граница Л фигуры Ф —
кусочно-гладкая замкнутая кривая. Так как предел интегральной суммы не
зависит от разбиения области Ф на части Ф^ и от выбора в этих час-
тях точек (xk, yk)y то разобьем фигуру ф на элементарные ячейки
Ф// с помощью координатных линий г=Г} (окружностей) и <p=<pf
(лучей). Пусть Дг,=г/+1—г/, Афг==ф/+1—фг (рис. 99). Рассматривая
криволинейную фигуру ф^- как прямоугольник со сторонами г^щ
и Ark, с точностью до бесконечно малых высшего порядка найдем
площадь Asr/ в полярных координатах:
Выбрав в Фг/ точку (xk, yk) (вершину ячейки) и используя
формулы A), произведем в выражении B) § 6.1 замену координат:
ff/U,
ф
== ff/(rcoscp, r sifi<p)rd<pdr, C)
v
где d — диаметр разбиения {Фц}.
Выражение ds=rdфdr называется двумерным элементом
площади в полярных координатах.

6.3. Замена переменных в кратных интегралах
249
&<р,
У\
0
г*г,((р)<
V К S
»
1
1
г =
Рис. 99
Рис. 100
Для вычисления двойного интеграла C) его надо заменить
повторным. Пусть Ф — выпуклая область относительно г (рис. 100).
Это означает, что любой луч, исходящий из полюса под углом
<Pi(<Pi<<p*<<P2) к полярной оси и проходящий через какую-либо
внутреннюю точку области Ф, пересекает линию границы только в
двух точках М{тх\уг)у <р,-) и N(r2(q)i), q>f). Границу области Ф
образуют две кривые АМВ и ANB и лучи, касающиеся границы в
точках А и В. Кривые заданы соответственно уравнениями г=г\(<р)
и г==г2(ф) и представляют собой множество точек входа в область
Ф и выхода из нее; лучи составляют с полярной осью углы <pi и ф2.
Для такой области Ф выражение C) можно представить в виде
повторного интеграла:
«Pi г* (<р)
f f /(rcoscp, г sin <p)rdcpdr= f dcp f /(rcos<p, r sin cp)rdr. D)
Ф <p, Г, (cp)
Вычисление внутреннего интеграла в равенстве D)
соответствует суммированию в выражении C) по частям Ф*, примыкающим к
одному и тому же лучу, который составляет фиксированный угол
Фг с полярной осью (рис. 100). Так как луч может исходить из
полюса под любым углом фг(<р|1<Фг<ф2) и пересекает область Ф от
кривой АМВ до кривой ANB, то пределы интегрирования по г
являются функциями ф, т. е. г=г\((р) и г=г2(ф). При этом очевидно,
что результат интегрирования представляет собой функцию от ф.
Вычисление внешнего интеграла в равенстве D) соответствует
сложению в выражении C) всех сумм (полученных вдоль каждого
луча) по всей области Ф — от луча, исходящего из полюса под
наименьшим углом ф'1, до луча, исходящего из полюса под
наибольшим углом ф2- Пределы интегрирования по ф во внешнем
интеграле всегда постоянны.
Предположим, что любая окружность радиуса г/ (г\<п<г2)>
имеющая центр в полюсе и проходящая через какую-либо внутрен-

250
Глава VI. Кратные интегралы
Рис. 101
Рис. 103
нюю точку области Ф, пересекает линию границы только в двух
точках Е\(ги <jpi(ri)) и ?а(п, ф2(п)) (рис. 101). В этом случае
фигура Ф выпукла относительно угла <р. Меняя г и <р ролями, получим
выражение C) в виде повторного интеграла:
\ \ /(^coscp, rsincp)rdcpdr= f dr I /(rcos<p, rsincp)rdcp. E)
Ф r, <p, (r)
Очевидно, что для области Ф, выпуклой как относительно г, так
и относительно <р, двойной интеграл C) можно вычислить с
помощью любой из формул D) или E).
Формулы D) и E) рассмотрены для того случая, когда полюс
расположен вне области Ф (рис. 100 и 101). Если полюс лежит
внутри Ф и любой луч, исходящий из полюса, пересекает границу
не более чем в одной точке (рис. 102), то для вычисления двойного
интеграла в полярных координатах удобно воспользоваться
повторным интегралом вида D). В этом случае переменная <р изменяется
от 0 до 2я, а г при фиксированном значении <р изменяется от 0 до
г=г2(<р), где г=гг(ф)—полярное уравнение границы области Ф;
тогда выражение D) примет вид
ff/(rcoscp, г ski <p)rd<pdr= f d<p f /(rcos<p, rsin<p)rdr.
Ф 0 0
Если полюс лежит на границе (рис. 103), то радиус точки
входа равен нулю и поэтому
9х Г, (9)
ff/(rcos<Pi r sin cp)rd<pdr= fdcp f /(rcos<p, rsin<p)rd/\
Ф *i 0

§ 6.3. Замена переменных в кратных интегралах
251
Правило вычисления двойного
интеграла в полярных
координатах с помощью повторного
интеграла D), E) при замене
переменных х и у на г и ф
сохраняется таким же, как и при
вычислении двойного интеграла в
декартовых координатах (см. § 6.2).
Пример. Вычислить двойной
интеграл /= (* (* (e*f+^)ds в по-
Рис. 104
лярных координатах по области Ф, ограниченной линиями х2 +
+ у2=1у х2 + у2=4, х=0, у = 0 и расположенной в I квадранте
(рис. 104).
Решение. Используя формулу C), запишем двойной интеграл
в полярных координатах:
/ = J f ехШ+у%
ф
= f f
ф
cosl *+'¦ 8ln
f *r d<p dr= f f ert r dcp dr. (¦)
ф
Проверим условие выпуклости фигуры Ф. Фигура выпукла как
относительно г, так и относительно ф, поскольку: а) любой луч,
исходящий из полюса под углом ф* @<фх<я/2) к полярной оси и
проходящий через какую-либо точку области Ф, пересекает ее
границу только в двух точках Af(l, фг) и NB, <р,-); б) любая
окружность радиуса гг- A<г,<2), проходящая через какую-либо
внутреннюю точку области Ф, пересекает границу также только в двух
точках ?,(г,,0) и?2(гг, я/2).
Следовательно, интеграл (*) можно вычислить с помощью
любой из формул D) или E). Пользуясь сначала формулой D),
получим
Мер)
j
ertrdr.
(**)
(<P)
В этом случае при интегрировании по г кривая г==Г1(ф) = 1
есть множество точек входа, а кривая г=г2(ф)=2 —
множество точек выхода. Пределы интегрирования по ф во внешнем
интеграле указывают границы изменения углов лучей,
ограничивающих область Ф,—от луча ф1 = 0 до луча ф2=я/2. При вычислении
по формуле (**) считаем ф фиксированным при интегрировании во
внутреннем интеграле, а г фиксированным во внешнем интеграле:
я/2 2 ic/2 2
/
1 0

252 Глава VI. Кратные интегралы
Таким образом,
= — (e4-e).
Используя теперь формулу E) и выбирая <р в качестве
переменной для внутреннего интеграла, получим
Гг «Pi (О
В этом случае при интегрировании по <р линия <p=q>i(r) ==0 есть
множество точек входа, а линия ф=фг(г)=я/2 — множества
точек выхода. При вычислении по формуле (***) считаем г
фиксированным при интегрировании во внутреннем интеграле, а <р
фиксированным во внешнем интеграле:
2 к/2 2 ic/2 2
/=fdr Г erfrd<?=fdr-erVcp = ferV—dr=
10 1 0 1
2 2
т. е. результат не изменился.
2°. Замена переменных в кратных интегралах. Ограничимся
рассмотрением случая двойных интегралов. Известно, что положение
некоторой фиксированной точки А на плоскости можно определить
с помощью координатных линий. Если координатными линиями
являются прямые, параллельные осям координат, то говорят о
декартовой системе координат. Если координатные линии представляют
собой лучи, исходящие из начала координат, и концентрические
окружности с центром в начале координат, то говорят о полярной
системе координат. Если координатными линиями служат два
взаимно пересекающихся семейства кривых, то говорят о
криволинейной системе координат.
На рис. 105—107 изображена одна и та же фиксированная
точка А плоскости хОу. Положение этой точки определено с помощью
разных пар взаимно пересекающихся координатных линий,
уравнения которых в декартовой, полярной и криволинейной системах
координат имеют соответственно вид
а^х, Ь==у, F)
V <p=arctg (#/*), G)
==<1>U, у). (8)

§ 6.3. Замена переменных в кратных интегралах
253
У,
0
A(Oj 6jJ
</•6,
Рис. 105
Рис. 107
Пара чисел (ы, v) называется криволинейными координатами
точки А.
Используя переход от одних координат к другим, можно
значительно упростить интегрирование функций. Разрешим уравнения
(8) относительно переменных х и у:
v\ y = $(u, v). (9)
Предположим теперь, что область интегрирования Ф разбита
координатными линиями на криволинейные четырехугольники (рис.
108). Выделим один такой четырехугольник А1А2А3А4 и вычислим
его площадь As* в криволинейных координатах (u, v). Найдем
сначала координаты его вершин А\(хи у\), А2(х2, */2)Мз(*з, Уз), Л4(*4г
(/4). Заменяя приращения функций дифференциалами, с точностью
до бесконечно малых высших порядков по сравнению с бесконечно
малыми Auk и ДиЛ получим
да
У2--
da

254
Глава VI. Кратные интегралы
\
Рис. 108
ной формуле находим
bsk «\хх (ух - уъ) - ух (х2 - хг
где произврдные вычислены в точке (w,
v). Из выражений A0) имеем х2—-Х\Ж
жх3—х4,у2—у1&уз—УА, x4—xi^x3—x2i
У а—Ух^Уъ—J/2» а это означает, что
отрезки А\А2 и Л4Л3, Л1Л4 и А2Аз
соответственно параллельны и приближенно
равны. Отсюда следует, что криволинейный
четырехугольник AiA2A3A4 с точностью
до бесконечно малых высших порядков
является параллелограммом. Выражая
удвоенную площадь треугольника А\А2Аз
через координаты его вершин, по
извест- хгу2)\.
A1)
Соотношение A1) с учетом выражений A0) для координат хи Уи
^2, Уи х3у Уз преобразуем к виду
da(u,v)
da(u,v)
ди
dv dv
= \D(uy v)\bu
ди
A2)
где
du dv
da (u, v)
da(utv)
dv
da(u, v)
da
du
dv
t v)
A3)
du dv
Переходя в соотношении A2) к элементу площади ds, получим
ds = |?)(#, v)\dudv. A4)
Определитель D(uy v)t выражаемый формулой A3), называется
определителем Якоби от функций а(и, v) и p(u, v) по переменным
и и v (или якобианом преобразования координат).
Подставляя выражения (9) и A4) в ff fix, у) 6s, получим
формулу для вычисления интеграла в криволинейных координатах:
fix, yNs=[\ f[aiu, v), $iu, v)\\Diu, <v)\6u6v.
Выражение D(ut v)dudv называют элементом площади в
криволинейных координатах.

§ 6.3. Замена переменных в кратных интегралах 255
В формулах (8) и и v рассматриваются как новые
криволинейные координаты и сама плоскость считается неизменной. Наоборот,,
можно считать и и v прямоугольными координатами и тогда
формулы (8) задают преобразование плоскости, при котором точка с
прямоугольными координатами (х, у) преобразуется в точку с
прямоугольными координатами (ы, v). Такое преобразование
отображает фигуру Ф в новую фигуру Ф'. В этом случае формула A5)
примет вид
f(x% */)ds= f J /(а(и, v\ H", v))du&o9 A6)
V
где и и v — прямоугольные координаты точек области Ф'. Если в
равенстве A6) положить f(x, y)=F(uy v) = l, то площадь фигуры
Ф выразится интегралом по области Ф':
<to. A7)
Отсюда видно, что значение \D\ в какой-либо точке из Ф' есть
коэффициент изменения (искажения) площади в точке N при
отображении фигуры Ф в фигуру Ф', т. е. предел отношения площади
области, лежащей в Ф и содержащей образ точки N, к площади
соответствующей области, лежащей в Ф' и содержащей N, при
условии, что последняя область стягивается в точку N. Другими
словами, абсолютная величина якобиана равна коэффициенту
изменения площади.
Двойной интеграл в криволинейных координатах можно
вычислить с помощью повторного интеграла. Пределы интегрирования
по переменным и и v устанавливаются в соответствии с видом
области интегрирования Ф; правило вычисления остается таким же,,
как и при вычислении двойного интеграла в декартовых или в
полярных координатах.
Примером криволинейных координат и и v являются полярные
координаты г и ф, с помощью которых уравнения координатных
линий записаны в виде G). Выражение для двойного интеграла в
полярных координатах было получено в п. 1°. Однако к тому же
выражению можно прийти, используя преобразование двойного
интеграла от декартовых координат к криволинейным. Рассматривая
полярные координаты в качестве криволинейных, в выражение A5)
вместо (9) подставим решения уравнений G) относительно
переменных х и у: х=а(и, y)=rcos<p, t/=p(u, v)=rsiny. Полагая и=^
= г, и=<р, по формуле A3) вычислим якобиан
D(r т)-~ d(rcos?) d(r sin у) , д (г cosy) д (г sin у) __
дг ду ду дг
- sin2 cp = r.

256
Глава VI. Кратные интегралы
Р(г,(р,г)
Рис. 109
Рис. ПО
Следовательно, в данном случае формула A5) дает выражение для
двойного интеграла в полярных координатах:
f f / {ху у) ds= f f / (rcos <p, г sin cp) г dcp dr,
которое совпадает с полученным ранее выражением C). К этому
же выражению можно прийти, если положить и=<р, о=г, что
подчеркивает общий характер формулы A5) преобразования двойного
интеграла от декартовых координат к криволинейным.
3е. Переход от декартовых координат к цилиндрическим.
Аналогично тому, как положение точки на плоскости определяется с
помощью двух координатных линий, положение точки в трехмерном
пространстве можно определить с помощью трех координатных
поверхностей. Предположим, что все трехмерное пространство как бы
заполнено тремя семействами пересекающихся координатных
поверхностей:
г = а, <р=&, z=c, A8)
где а, 6, с — фиксированные постоянные; г=а — семейство
круговых цилиндров с общей осью вращения Oz; ф=& — семейство
полуплоскостей, проходящих через ось Oz\ z=c — семейство
плоскостей, перпендикулярных оси Oz.
Тогда любая точка трехмерного пространства является точкой
пересечения трех координатных поверхностей, принадлежащих
каждому из семейств и соответствующих конкретным значениям
постоянных а, Ь, с. Например, некоторая фиксированная точка Р в
пространстве (рис. 109) является точкой пересечения поверхности
кругового цилиндра г=а (а — расстояние точки Р до оси Oz),
полуплоскости ф=6 F —угол между плоскостью xOz и
полуплоскостью ф=6, отсчитываемый в положительном направлении)
и плоскости z = с (с — расстояние от точки Р до плоскости хОу).

§ 6.3. Замена переменных в кратных интегралах
257
Рис. 111
Рис. 112
Три числа (г, ф, z) называются цилиндрическими координатами
точки Р\ при этом0^г< + оо, оо,0^ф<[2я,—oo<Cz< + oo.
Декартовы и цилиндрические координаты (рис. ПО) связаны
следующими формулами:
c—rcoscp, г/=г sin ср, z=z.
A9)
Выведем формулу перехода от декартовых координат к
цилиндрическим для тройного интеграла. Разобьем тело Т на ячейки Т*
(&=1, 2,..., п) с помощью координатных поверхностей A8).
Выделим одну из ячеек Т* (рис. 111) и найдем ее объем в
цилиндрических координатах. Ячейка Т* представляет собой криволинейную
призму, противоположные грани которой образованы парами
координатных поверхностей из каждого семейства при
соответствующих значениях цилиндрических координат: двумя круговыми
цилиндрами r—rk и r=rk + Ark, двумя полуплоскостями ф=<р& и ф==
=<р* + Дф*, а также двумя плоскостями z=zk и z=zk+Azk. С
точностью до бесконечно малых высшего порядка объем
криволинейной призмы Tk равен объему прямоугольного параллелепипеда с
длинами ребер Arfe, rh- Афь и Дг&:
kvfc = krk'rkkyk-kzk. B0)
Заменяя теперь в равенстве G) § 6.1 декартовы координаты
xk, \}k, zk на цилиндрические и используя формулы A9) и B0),
получим выражение тройного интеграла в цилиндрических
координатах:
=JJj F(r, cp, z)rdrdcpd2,
B1)
где г, ф, z — переменные интегрирования; с1и=гё^фA2 — элемент
объема в цилиндрических координатах; F(r, ф, z) =/(r cos ф, г sin ф, z).

258 Глава VI. Кратные интегралы
Тройной интеграл B1) вычисляется с помощью повторного
интеграла так же, как и в случае декартовых координат: здесь роль
декартовых переменных играют переменные г, ф, z. Пределы
интегрирования определяются в соответствии с видом области Т в
пространстве Охуг и геометрическим смыслом цилиндрических
координат. Удобной формулой для вычисления интеграла B1) через
повторный является следующее выражение, аналогичное
выражению A0) из § 6.2:
^ Т. 2)rdrdcpdz=N M j F(ry <p, z)dz rdrIdcp
rIdcp =
J
M?) 2Гв(Г,«р)
j J
fa M?) в(,р)
= J j J /Чг,?, z)d*rdrd<p. B2)
«Pi M<p) *iC, <p)
Здесь ^(r, cp)=2r1(rcos?, rsincp), г2(г, <p)=z2(r cos?, rsincp), г=
=2i(r, ф), 2=22(л <р) —уравнения нижней и верхней поверхностей,
ограничивающих область Т; r=ri(<p), г=Гг(ф) —уравнения частей
линии, ограничивающей область Фху, в которую проектируется Т
на плоскость хОу; ф=фь <р==ф2 — уравнения лучей, исходящих из
начала координат и ограничивающих границу области Фху.
Пример. Вычислить тройной интеграл /= ff f xydv по обла-
т
сти Т, ограниченной плоскостью 2=0, круговым цилиндром х2 +
+ (/2=1 и параболоидом вращения 2=Jt24-t/2 (рис. 112).
Решение. Интуитивно ясно, что тройной интеграл равен
нулю. Проверим это.
Используя формулу B1), заменим декартовы координаты на
цилиндрические:
/ = Г Г f r cos ср г sin cp r dr dcp dz.
Выразим этот интеграл через повторный по формуле B2).
Предварительно запишем в цилиндрических координатах выражения
для пределов интегрирования:
a) z = zx = 0, z = z2(xy у) = х2 + У2 = <г2 (г cos <p, г sin <p) =
22+2i22
б) так как начало расположено внутри Фху, то г=Г1(ф)==0, а
г=г2(<р) найдем из уравнения *2 + (/2==1 границы области Фху> в
котором положим x=rcos<p, y—rsiny, т. е. из соотношения
г2 cos2 ф + г2 81П2ф= 1; значит, г=г2(ф) = 1;
Тогда
2я 1 г1
г3 cos cp sin cp dz dr dcp.

§ 6.3. Замена переменных в кратных интегралах
259
РГг,6,ф)
Р(г.9,<р)
Рис. 113
Рис. 114
Последовательно вычислим три определенных интеграла,
входящих в повторный интеграл:
2л I г* 2it 1
г3 cos cp sin <pdzdrd<p=r f Г г3 cos <p sin
Ш
<?ТС 1
-И
2ic
5 — sin 2cp dr dcp= —
n
о о
sin
4°. Переход от декартовых координат к сферическим. Рассмотрим
следующие три семейства пересекающихся координатных
поверхностей в пространстве R3:
г=аг е=&, ср = с, B3)
где а, Ь, с — фиксированные постоянные; г—а — семейство сфер с
центром в начале координат; 8=6 — семейство полуплоскостей,
проходящих через ось Oz\ ср=с — семейство круговых конусов с
общей осью Oz.
Тогда некоторая фиксированная точка Р в пространстве Ц3 (рис.
113) является точкой пересечения сферы г=а, полуплоскости Q=b
и кругового конуса ф=с. Следовательно, положение точки Р в
пространстве определяется тремя числами: длиной г отрезка ОР\
углом 0 между плоскостью xOz и полуплоскостью 0=fe,
отсчитываемым в положительном направлении, т. е. против часовой стрелки;
углом ф между положительным направлением оси Oz и отрезком
ОР. Три числа (г, ф, 6), определяющие положение точки в
пространстве, называются сферическими координатами точки Р: при
этом 0<г< + <х>, 0<ф<л, 0^9<2д.
Декартовы и сферические координаты (рис. 114) связаны
следующими формулами:
x = r sin cpcos6, t/=rsin cpsin б, z —rcos<p. B4)

260
Глава VI. Кратные интегралы
Аг
Рис. 115
Рис. 116
Выведем формулу перехода от декартовых координат к
сферическим для тройного интеграла. С помощью координатных
поверхностей B3), проведенных через малые промежутки Дг, Аф и Д8>
разобьем тело Т на ячейки Т* (?=1, 2,... ,л). Выделим одну из
ячеек и с точностью до бесконечно малых высшего порядка примем
ее за прямоугольный параллелепипед с длинами ребер Лг, rsin^Ae
и гДв (рис. 115). Объем этой ячейки Т*, выраженный в сферических
координатах, составит
= г2 sin ср.Дг-Дср.Дб.
B5)
Заменяя в равенстве G) § 6.1 декартовы координаты хк, у к, гк
на сферические и используя формулы B4) и B5), получим
выражение тройного интеграла в сферических координатах:
у, z)dv =
Щ
9)r2sin
B6)
где г, ф, 0 — переменные интегрирования, du=r2 sinфdгdфd6 —
элемент объема в сферических координатах, f(r, ф, 9) =
= /(г sm ф cos в, г sin ф sin Э, г cos 8).
Тройной интеграл B6) вычисляется с помощью повторного по
формуле
[=F(r, <p, 6)r2 sin cpdrd6dcp=
"IDC CI
B7)

§ 6.3. Замена переменных в кратных интегралах 261
Пределы интегрирования устанавливаются в соответствии с видом
области Т в пространстве Oxyz и геометрическим смыслом
сферических координат.
Пример. Вычислить тройной интеграл /= f Г f (x2-\-y2)Av по
области Т, ограниченной сверху полусферой радиуса /?, а снизу —
конусом с эысотой, равной радиусу основания OK=KL=R (рис.
116).
Решение. Введем сферические координаты: OP=r, ZKOP =
=Ф, ZMKN=Q. Пределы интегрирования по этим координатам
таковы: r=ri(8, <р)=0, r=r2(Qt <p)=2/?cos8; 6=9i(ф) =0, 6 =
=в2(<р)=я/4; <p=<pl = O, ф=ф2=2я.
Используя формулу B6), заменим декартовы координаты на
сферические:
/ = f f Г (г2 sin2 cpcos2 б +г2 sin2 cp sin2б) г2 sin <p dr dfl d? =
т
= f f f r4sin3cpdrd0dcp.
Выразим этот интеграл через повторный по формуле B7):
2* Г*/4 /2R cos 6 \ Т
/=П J J r4dr sin3cpdcp d0=
2* г«/4
Б1 1 11
COS5 cp A—COS2 cp) d(—COS cp) d6 =
5°. Упражнения
Вычислите двойной интеграл в полярных координатах от функции 2
—fix, у) по области Ф:
1. г=--еГ*ш~~уШ\ Ф~-круг х'+у'^а2.
2. z=-= 1/|Л*2-Ьу2; Ф —круговое кольцо 1^х2+г/2^4.
3. 2=г sin ф; Ф — круговой сектор г^.а, ограниченный линиями г—а, <р
/2
/, фя.
4. z=rsin<p; Ф —полукруг г^2асоБф, ограниченный линиями
ф=0, ф=я/2.
5. z = r2; Ф — круговое кольцо
Вычислите тройной интеграл jJj / (x, у, г) dv в цилиндрических
координатах:

262 Глава VI. Кратные интегралы
6. f(xt у, z) = l; T — область, ограниченная плоскостью г=\ и
параболоидом вращения z=x2+y2.
7. f(x, yt z)=y\ T — область, ограниченная плоскостью y=h и конической
поверхностью у = Ух2 -f z2'.
8. /(*. *Л z)=z Vx2 + у2, Т — область, ограниченная плоскостями z=0 и
z=а и круговым цилиндром 222
Вычислите тройной интеграл jfj /(*, у, z)dv в сферических координатах:
т
9. /(*, i/, z)=;t2; Т — шар радиуса R с центром в начале координат.
10. f(x, у, z)=z\ T — верхняя половина шара радиуса R с центром в начале
координат.
11. f(x, у, z)=x2+y2; T — верхняя половина шара радиуса R с центром
в начале координат.
§ 6.4. Применение кратных интегралов для вычисления объемов
и площадей, для решения задач механики
1°. Применение двойных интегралов. Двойные интегралы
применяются для вычисления площадей плоских фигур и поверхностей,
объемов пространственных тел, механических величин, связанных с
непрерывным распределением массы в плоской области, а также для
решения многих других задач.
Как известно (см. § 6.1), площадь S плоской фигуры
вычисляется по формуле
A)
а объем V цилиндроида Т — по формуле
B)
где Ф — нижнее основание цилиндроида, 2==/(х, у) —уравнение
поверхности, ограничивающей цилиндроид сверху.
Примеры. 1. Найти площадь параболического сегмента,
ограниченного снизу отрезком прямой #=х, а сверху — дугой
параболы у=2—х2 (рис. 117).
Решение. Решая совместно уравнения линий t/=2—х2 и г/=
=xf найдем абсциссы их точек пересечения А и В; имеем х=2—
—х2, х2 + х—2=09 jc,=—2, х2=1.
Используя формулу A), находим
ь
5 = jjcbcd^j 1у2(х)-ух(х)]йх=
Ф

§ 6А. Применение кратных интегралов
263
Рис. 117
Рис. 118
2. Найти объем V цилиндроида, ограниченного параболоидом
x2 + y2, цилиндром у=х2 и плоскостями у=1 и z=0 (рис. 118).
Решение. По формуле B) находим
-1
= ( I x
3 T3 5
7-3 /Li
88
105
С помощью двойных интегралов можно вычислить механические
величины: массу т, статические моменты Sx и Sy и моменты
инерции Jx и Jy относительно взаимно перпендикулярных осей,
координаты центра тяжести хс и ус плоской фигуры Ф. При этом
считается известной плотность p=p(x, у) распределения массы плоской
фигуры.
Масса т фигуры Ф вычисляется по формуле G) § 6.1:
C)
Для вычисления статических моментов Sx и Sv, моментов
инерции Jx и Jy относительно взаимно перпендикулярных осей,
координат центра тяжести хс и ус плоской фигуры предположим, что
масса тк каждой чисти Ф, сосредоточена в точке Mk(xkt yk). Тем
самым плоская фигура заменяется системой материальных точек
Mk(xk, yn) (А=1, 2,...,/г), масса которой равна массе данной
фигуры. При этом значения величин SXi Sy> Jx, Jyt xCi yc для плоской фи-

264 Глава VI. Кратные интегралы
гуры приближенно равны значениям соответствующих величин для
системы материальных точек:
k-l
n
~ 2
V
n
2 y
Р^ #
xc.—>
k-l
n
КХктк
n
2 m*
л
Ж'УкЩ
л
^^ xk? (-^ft» i/л) A^fc
"^"' л
2 p (•**' ^*^ ^5*
л
Так как правые части записанных соотношений являются
двумерными интегральными суммами для соответствующих функций,
то при стремлении к нулю диаметра разбиения {Ф&} получим
искомые значения вычисляемых величин:
^ = || у?(х, у) us, Sy = j'j xp(x, y) us, D)
Jx= f f ^2P(^ y)d*t Л= [ f
\\Ux.y)ds « U
Пример З. Найти координаты центра тяжести хс и ус
материального равнобедренного треугольника, если плотность
распределения массы равна р(#, у)=у (рис. 119).

§ 6А. Применение кратных интегралов
265
В @,0)
А(-а,О) 0 C(afl) *
Рис. 119
Рис. 120
Решение. Последовательно применяя формулы C), D) и F),
получим
а г-а—у -I
(*. ^)ds=fj>i/ds=j j у их dy=-|-,
j xydx dy=O,
.у—л J
а га—у -j
Ф 0 Ly_a J
с т *з/3 ' ^ т аз/3
2°. Применение тройных интегралов. Тройные интегралы
применяются для вычисления объемов тел и механических величин,
связанных с непрерывным распределением массы в пространственной
области, а также для решения многих других задач.
Как известно (см. п. 4° § 6.1), объем V пространственного тела
Т вычисляется по формуле
1/ = Щ uxdydz. G)
т
Пример. Найти объем тела, ограниченного плоскостями х=0,
y=0yz=3t y=\, x+y+z=4 (рис. 120).
Решение. Для вычисления объема применим формулу G):
J J f <
a Lyi(x) \*i(jcfy)
^f fD —л —y —O)dy jdjc=6.
JoLo J

266 Глава VI. Кратные интегралы
С помощью тройных интегралов можно вычислить следующие
механические величины: массу т, статические моменты Sxy, Syz, Szx
относительно координатных плоскостей, моменты инерции Л, Jy, Jz
относительно координатных осей, моменты инерции Jxy, Jyz, Jyx
относительно координатных плоскостей, координаты центра тяжести
Хс, yCt zc тела Т. Пусть р=р(*, у, г) —непрерывная функция,
обозначающая распределение массы в теле Т. Тогда масса
материального тела Т вычисляется по формуле A1) § 6.1:
m Ш
Как и в случае плоской фигуры Ф, проводя аналогичные
рассуждения, получим следующие формулы:
f J ?, y , yz^§ x?(x, yy z)dv,
т т (9)
у
= jf J
т
, y, z)dv, Уу = J j у (jc2 + г/2) р (л:, у, z)iv,
A0)
A1)
У, )u
^ Ус^
y, z)dv rn ' c JJJ Р(лг, y,z)dv m
JJJ
, yf г) dv
3°. Упражнения
1. Вычислите массу дуги материальной кривой i/=lnx между точками с
абсциссами *=1 и х=2, если плотность р=д:2.
2. Найдите координаты центра тяжести материального сегмента параболы
^2=5*, отсеченного прямой х=5.
3. Вычислите момент инерции однородного материального круга радиуса г
относительно центра, если масса единицы площади круга равна б.
4. Вычислите момент инерции круглого материального однородного
цилиндра, радиус основания которого R, а масса равна М.
5. Найдите координаты центра тяжести материального шара x2 + y2 + zz<
<2/?г, если его плотность в любой точке равна квадрату расстояния этой точки
от начала координат.

Глава VII
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ
§ 7.1. Определение криволинейных интегралов первого и второго
рода, их основные свойства и вычисление. Геометрические и
физические приложения. Связь между криволинейными
интегралами первого и второго рода. Формула Грина
1°. Криволинейный интеграл первого рода и его физический смысл.
К понятию криволинейного интеграла первого рода приводят
многие физические задачи, например задача о вычислении массы
материальной кривой. Предположим, что на некоторой спрямляемой
пространственной кривой АВ масса распределена непрерывно.
Будем называть средней плотностью дуги этой материальной кривой
отношение ее массы к длине, а плотностью материальной кривой в
данной точке — предел средней плотности малой дуги,
стягивающейся в указанную точку.
Найдем массу m материальной кривой АВ, если известна
плотность кривой в каждой ее точке Af, т.. е. р=р(М), где р(М)
—заданная непрерывная функция от М. Рассмотрим разбиение {Mk}
(&=0, 1,...,/г) кривой АВ с помощью п точек, образующих п дуг
М0М\,... yMn-iMn (рис. 121). Наибольшую из длин дуг разбиения
кривой АВ обозначим через d и назовем диаметром этого
разбиения. Если диаметр d разбиения {Mk} стремится к нулю, то число
дуг неограниченно увеличивается. На каждой из дуг Mk~\Mk
произвольно выберем точку Nk{xk, */*, Zk) и вычислим в ней плотность
кривой pft=p(JV*). Если предположить, что плотность кривой во
всех_точках каждого участка постоянна и равна ее значению в
точке Nky то масса каждой дуги приближенно равна произведению
(М) -Alky где AU — длина дуги Мк-\Мк. Суммируя массы

268
Глава VII. Криволинейные и поверхностные интегралы
Рис. 121
всех дуг разбиения, получим
приближенное значение массы m кривой
АВ:
A)
Так как функция p(iV) непрерывна,
то чем «мельче» разбиение кривой
АВ, тем точнее равенство A).
Массой материальной кривой
называется предел правой части этого
равенства при стремлении диаметра d
разбиения к нулю, т. е.
B)
Отвлечемся от конкретного содержания задачи и
последовательно повторим все операции, выполненные при составлении
правой части равенства B). Рассмотрим в пространстве Oxyz
некоторую гладкую кривую АВ, в каждой точке которой задана функция
/(*» У, z) (рис. 121). Рассмотрим разбиение {Mk} кривой АВ с
помощью п точек и выберем в каждой дуге разбиения точку Nk(xk, Ук,
2k); эти точки будем называть отмеченными. Определим значения
функции / в отмеченных точках и составим сумму парных
произведений
C)
Суммы вида C) называются (криволинейными) интегральными
суммами первого рода для функции f(x, у, z), соответствующими
разбиению {Mk} кривой АВ с отмеченными точками Nk (&= 1,..., п).
Число / называется пределом интегральных сумм C) при d-Ч),
если для любого е>0 найдется б>0 такое, что |(оп—/|<е, как
только d<6 (независимо от выбора отмеченных точек).
Определение 1. Предел интегральных сумм C) при d-*0
(если он существует) называется криволинейным интегралом
первого рода от функции f(x, у, z) по кривой АВ и обозначается
3 fix, У, 2)d/ или I* /(х, у, z) d/ (где Л— обозначение кривой
АВ i
АВ). Таким образом,
п
f/<*, у, z) d/=lim У
D)

Г
Хв
§ 7.1. Криволинейные интегралы первого и второго рода. Формула Грина 269
Комментарии к определению 1.1) Если кривая АВ
лежит в плоскости хОу и функция / не зависит от координаты z, то
криволинейный интеграл примет вид (* /(*, у) d/.
Хв
2) Из определения криволинейного интеграла первого рода
следует, что он не зависит от направления кривой АВ. В самом деле,
длина дуги А/* не зависит от того, какая из точек Mk-\ и Mk
принята за начало и какая— за конец дуги.
Из соотношения B) заключаем, что масса m материальной
кривой АВ, имеющей плотность p(jc, у, z), равна криволинейному
интегралу от р(;с, у, z) по кривой АВ, т. е.
(лг, у, z)dl E)
Хв
(физический смысл криволинейного интеграла
первого рода).
2°. Свойства криволинейного интеграла первого рода. Перечислим
следующие свойства, доказательство которых аналогично
доказательству соответствующих свойств определенного интеграла (см.
п. 4° §2.1).
1°. Аддитивность. Если дуга АВ составлена из двух дуг
АС и СВ и для f(xt у, z) существует криволинейный интеграл по
дуге АВ, то для f(x, у, z) существуют криволинейные интегралы по
дугам АС и СВ, причем
[ /С*, У, *)d/=f/(*, у, z)dl+\ f(x, у, z)ul. F)
АВ АС СВ
2°. Линейность. Если для функций fi(x, у, z), f2{x, у, z)
существуют криволинейные интегралы по дуге АВ, то для функции
CJ\(X, У, z)+c2M*t У у z) также существует криволинейный
интеграл по дуге А В, причем
f
у, г)\й1=
АВ
=*1 J /i(*. У* *)d/+c2 J /2(л\ у, z)d/, G)
АВ АВ
где С\ и с2 — любые вещественные числа.
Частными случаями формулы G) являются следующие
формулы:
. У, *)+/2<*. У> «)]d/= f /г(х, yt z)&l+ Г /2(лг, у, z)Al9
ХВ 1в
f сf(xf у, z)d/=c f f(x, y, zNl.
АВ АВ

270 Глава VII. Криволинейные и поверхностные интегралы
3°. Оценка абсолютной величины интеграла.
Если существует криволинейный интеграл по дуге АВ от функции f(x>
у, г), то существует и криволинейный интеграл по дуге АВ от
функции \f (xt у, г)\, причем
е(х, у, z)d/|< f \f(x, */, z)|d/. (8)
АВ
4°. Теорема о среднем значении. Если функция f(x,
у, г) непрерывна вдоль дуги АВ, то на этой дуге найдется такая
точка Q, что
J/<*. y*z)dl=f(Q)-L, (9)
где L — длина дуги АВ.
3е. Вычисление криволинейных интегралов первого рода.
Вычисление интеграла f /(л:, у)<\1 сводится к вычислению некоторого оп-
АВ
ределенного интеграла. Пусть параметрические уравнения плоской
гладкой кривой АВ имеют вид x=x(t), y=y(t), причем
существуют непрерывные производные x't, y't. Предположим, что параметр
/ изменяется от а до b (a<b). Тогда d/=b V x't -\-y't dt\ а
криволинейный интеграл выражается через определенный интеграл по
формуле
f /U, y)dl= f f(x(t\ y(t))Vxt2 + y't2dt. A0)
АВ i
В частности, если гладкая кривая АВ задана явным уравнением
у=у(х) (а^х^.Ь), то
[f(x, y(x)rfl+y*dx. A1)
В i
Рассмотрим теперь случай пространственной кривой. Пусть
параметрические уравнения пространственной гладкой кривой АВ
имеют вид x=x(t)9 y=y(t), z = z(t)y причем существуют
непрерывные производные х'и y'i* z't- Предположим, что параметр t
изменяется от а до Ь (а<Ь). Тогда справедлива формула, аналогичная
формуле A0), т. е.
АВ
f
Kb
ь г
У, zNl = \ f{x(t\ y(t)% z(t))V x't +y't +z't At. A2)
i
Из соотношений A0) — A2) следует, что криволинейные
интегралы первого рода заведомо существуют, если / — непрерывная
функция на АВ.

§ 7.1. Криволинейные интегралы первого и второго рода. Формула Грина 271
Примеры. 1. Вычислить /= f A;2dZno дуге плоской кривой */=
= lnx при ^^
Решение. Используя формулу A1), получим
2 j~ 2
2 j~
2. Вычислить 1= ^ (x-\-y-{-z)<il по дуге витка винтовой ли-
Хв
нии, заданной параметрическими уравнениями jc=cos/, t/=sinf,
2=f, при 0<|/<я/2.
Решение. По формуле A2) находим
о
о
4°. Криволинейный интеграл второго рода и его механический
смысл. Предположим, что при движении по кривой АВ
материальная точка М переходит из положения А в положение В. Во время
движения на точку М действует сила F=F(x, у, г), заданная
своими проекциями Я, Q, R на координатные оси. т. е.
? = Я(х, у, z)l+Q(x, у, zyj+R{xy у, z)k. A3)
Найдем работу W силы F на перемещении АВ.
Если перемещение точки было бы прямолинейным, а
действующая сила F — постоянной (по величине и направлению), то работа
W этой силы, согласно известной из физики формуле, была бы
равна скалярному произведению вектора F на вектор перемещения G,
т. е. W= (F, G). Однако особенность задачи состоит в том, что
перемещение точки является криволинейным, а действующая сила —
переменной.
С помощью точек Af0, Ми М2,...уМп, где Мо совпадает с точкой
Л, а Мп — с точкой В, разобьем кривую АВ на п дуг (ячеек) и
обозначим диаметр разбиения (т. е. длину наибольшей дуги) через d<

272 Глава VII. Криволинейные и поверхностные интегралы
На каждой дуге выберем произвольно точку (**, yki zk) и найдем в
ней значение силы Fk=(PktQki Rk)f где Pk=P(xk, yki гк), Qk=
= Q(xh, yky Zk)y Rh=R(xky yhy Zk). Предположим, что сила
сохраняется постоянной в точках дуги и под ее действием точка
перемещается не по дуге, а по хорде этой дуги. Используя формулу для
вычисления скалярного произведения через проекции силы и вектора
перемещения, получим приближенное значение работы на
каждой дуге: WkttP{xky Уку Zk)Axk + Q(xky ykt zk)Ayk + R(xhyykyZk)&zk>
где &Xk=xk—Xk-u АУк=Ук—Ук-и Azh—Zk—zk-\ — проекции ?-й
хорды, Xky Уку Zk — координаты точки Мк.
Суммируя полученные частичные работы, найдем приближенно
полную работу силы F вдоль кривой АВ:
к-1
За работу W силы F при перемещении материальной точки вдоль
кривой АВ примем предел суммы A4) при стремлении диаметра
разбиения к нулю, т. е.
W=lim V [Р(хЛ9 уп> zk)Lxk + Q(xk, ук9 zh)byk + R(xk, ?Af zk)\zk\.
d^°^i (IS)
Перейдем теперь к понятию криволинейного интеграла второго
рода. Пусть в пространстве Oxyz заданы направленная гладкая
кривая АВ и функция Р(х, у, z) на этой кривой. С помощью точек
Л1о, Afi, Af2,... ,Mn в направлении от Л к В разобьем кривую на я
дуг произвольной длины, на каждой дуге Mk-\Mk выберем
произвольную точку (xky Уку zk) и найдем в ней значение P(xk, Уку zh)
функции Р. Для каждой дуги вычислим произведение P(xki у к,
Zh)&xky где Axh — проекция дуги на ось Ох.
При этом под проекцией дуги на ось Ох будем понимать
проекцию хорды этой дуги на ось Ох, т. е. Axk=xk—x*-i, где хк и Xk-\ —
абсциссы соответственно конца и начала k-fi хорды. Просуммируем
полученные произведения:
Суммы вида A6) называются (криволинейными)
интегральными суммами второго рода для функции Р(х, у, z),
соответствующими разбиению {Mk} кривой АВ (относительно координаты х) с
отмеченными точками (jc*, yk9 Zk)- Определение предела
интегральных сумм A6) аналогично определению предела для сумм вида
C).

§ 7.1. Криволинейные интегралы первого и второго рода. Формула Грина 273
Определение 2. Предел интегральных сумм A6) при d-^0
(если он существует) называется криволинейным интегралом
второго рода по координате х и оС означается С Р(ху у, zNx.
АВ
Аналогично определяются криволинейные интегралы по
координатам у и z\ их обозначают Г Q(x, у, z)dy й f R(xy у, z)dz.
АВ АВ
Определение 3. Сумма трех интегралов (* Р(х, уу z)Axr
АВ
Q(jc, у, z)(ly, f R(xy у, zNz называется общим криволиней-
в ав
ным интегралом второго рода и обозначается
J Р(х, у, z)ux+Q(x,yyz)uy + R{x, у, z)dz. A7)
АВ
1
Если Р, Q, R — проекции силы F на координатные оси, то из
соотношения A5) следует, что общий криволинейный интеграл
второго рода выражает работу этой силы на пути АВ (физический
смысл криволинейного интеграла второго рода).
Комментарии к определениям 2 и 3. 1) Если кривая
АВ лежит в плоскости хОу и функции Р{ху у, z), Q(xy yy z) не
зависят от 2, то криволинейные интегралы примут вид f P(x, y)dx,
Ав
f Q(x, y)dy, f P(x, y)dx+Q(x4 y)dy.
ab Xb
2) Если кривая лежит в плоскости х=с, то дх=0 и,
следовательно, Г Р(х, уу z)dx=0.
Хв
3) Из структуры интегральной суммы A6) следует, что
криволинейный интеграл второго рода меняет свое значение на
противоположное при изменении направления кривой АВУ т. е.
f P(x, yy zNx=~ f P(xy у, гNх. A8)
АВ ВА
В самом деле, если изменить направление кривой, то изменятся
знаки проекций Ajc; в сумме A6), а значит, сама сумма и ее предел
изменят знак.
4) Криволинейный интеграл второго рода обладает всеми свой-
ствами криволинейного интеграла первого рода, за исключением
одного: при изменении направления кривой интеграл меняет знак.
5) В случае, когда кривая АВ—замкнутая (т. е. точка В
совпадает с точкой Л), будем считать, что в интеграле вида A7)
замкнутый контур АВ всегда обходится в положительном направле-

1274 Глава VII. Криволинейные и поверхностные интегралы
нии, при котором область, лежащая внутри этого контура, остается
по левую сторону по отношению к точке, совершающей обход.
6) Для обозначения криволинейного интеграла по замкнутой
линии Л часто употребляется также символ Л) Pdx-]-Q<ly-\-Rdz.
А
5°. Вычисление криволинейных интегралов второго рода. Пусть
гладкая кривая АВ задана параметрическими уравнениями х=
=x(t)f y=y(t), z=z(t), причем изменению t от а до Ь
соответствует движение по кривой АВ от А до В. Здесь не обязательно,
чтобы а было меньше 6. Тогда интеграл Г Я(лг, t/, z) dx выражается
АВ
через определенный интеграл по формуле
ь
f Р{х, у, z)dx=\P(x(t\ y(t), z(t))x'(t)&t. A9)
АВ i
Аналогичные формулы имеют место и для интегралов по
координатам у и z. Выпишем формулу для вычисления общего интеграла
второго рода:
Г Р(х, у, z)dx+Q(x, у, z)dy+R(x, у, z)dz= A9)
Хв
ь
= J [Я(*(*>, УИ\ z(t))x'(t)+Q(x(t), (/(/), z(t))y'U)+
а
), y(t), z(tY>z'{t)]dt. B0)
В случае плоской гладкой кривой x—x(t)t y=y(t) формула
A9) имеет вид
ь
f P(x, y)dx=\P(x(t), y{t))x'(t)dt. B1)
АВ а
Для плоской гладкой кривой у=у(х) (a<jc<6), заданной
явным уравнением, получим
ь
f Р(х,у)йх=[Р(х,у(х))Aх,
ав i
ь B2)
\
АВ
где а и Ъ — абсциссы концов А и В дуги АВ.
Примеры. 1. Вычислить /== (* (;c-f y)dx-\-(x-\~z)dy-\-{y-\-z)dz
АВ
вдоль отрезка прямой АВ от точки А A, 1,3) до точки В C, 2, 1).

§ 7.1. Криволинейные интегралы первого и второго рода. Формула Грина 275
Решение. Составим параметрические уравнения прямой,
проходящей через точки А и В:
Из равенств (*) следует, что точке А соответствует значение i=0,
а точке В —значение t=\. Далее, имеем x'(t)=2t y'(t) = l> z'@ =
= —2. Используя формулу A9), находим
2/).l -f
2. Вычислить /= Г xy2dx-\-x2ydy вдоль дуги параболы у=
=х2 от точки Л A, 1) до точки В B, 4).
Решение. Принимая х за параметр, по формуле B2)
получим
2
= 31.
6°. Связь между криволинейными интегралами первого и второго
рода. Пусть АВ — направленная пространственная кривая с
началом А и концом В. Тогда все касальные к АВ также являются на-
правленными прямыми. Обозначим углы, которые образует
касательная к АВ с осями координат, через а, р, у. Очевидно, что эти
углы являются функциями координат х, у, z точки касания М.
Выделим из АВ элементарную дугу d/ и будем считать ее
прямолинейной. Значит, d/ есть вектор с проекциями dx, йу, dz, направленный
так же, как и кривая АВ. Следовательно, dx=cosad/, dr/=cos pd/,
dz=cosvd/. Тогда общий интеграл второго рода выразится через
интеграл первого рода по формуле
j I B3)
АВ АВ
7°. Формула Грина. Пусть функции Р и Q непрерывно
дифференцируемы на компактной фигуре Ф, ограниченной замкнутой
гладкой линией Л. Тогда имеет место формула
которая называется формулой Грина. Она играет фундаментальную
роль в векторном анализе.

276 Глава VII. Криволинейные и поверхностные интегралы
у
d
с
0
Ai
1 %
—1
1
I
а
D
Ф
*****
с
улу7(х)
\в
/\
1
Рис. 122
Докажем справедливость формулы
B4). Рассмотрим на плоскости хОу
выпуклую в направлении обеих осей
фигуру Ф, ограниченную замкнутым контуром
Л (рис. 122), состоящим из двух кривых
у=у\(х) и у=у2(х), где yi(x)^y2(x),
a^Zx^Zb. Так как по условию функции
Р(ху у) и Q(x, у) непрерывно
дифференцируемы на Ф, то существует двойной
ЯдР (х, и) л
—2 as, который мож-
ф
ду
но преобразовать следующим образом:
b
= f [P(x, y2(x))-P(x,
B5)
Если взять в качестве параметра х и записать параметрические
уравнения кривой ADB в виде х=х и у=у2(х), а кривой АСВ — в
виде х=х и у=ух(х)у то, используя соотношения B2),
определенные интегралы в равенстве B5) можно заменить равными им
криволинейными интегралами:
и
j P(x, у2(х))йх= [ Р{х, у)их,
ADB
¦; у) d*.
B6)
АСВ
Подставляя выражения B6) в B5) и учитывая свойства
криволинейных интегралов, имеем
Ф
дР(х. у) ds===
ADB
АСВ
==- Г P(x,y)dx- f P(x,y)ux=-[P(x9y)dx. B7)
.' »' tj
АСВ А
BDA

$ 7.1. Криволинейные интегралы первого и второго рода. Формула Грина 277
Аналогично
B8)
Вычитая B7) из B8), придем к формуле B4).
Формула B4) получена для выпуклой фигуры Ф. Однако она
справедлива и для любой невыпуклой фигуры.
Используя формулу Грина B4), выведем формулы для
вычисления площади фигуры Ф с помощью криволинейного интеграла.
Если функции Р(ху у) и Q{xy у) соответственно равны —у и 0, т. е.
Р(х, у)=—у9 a Q{x, у)=0, то ~ = -1, г~ = 0 и формула B4)
ду ох
примет вид f f (O-f-l)ds== С — удх-\-0-йуу откуда
B9)
Аналогично, полагая Р{ху у)=0, Q(xy y)=x, получим
C0)
При Р(х, y)=—S-yy 0{xy y)=-L-x находим
S=— f xdy — ydx. C1)
4
Любая из формул B9) — C1) позволяет вычислять площадь
фигуры с помощью криволинейного интеграла.
Пример. Найти площадь S плоской фигуры, ограниченной
эллипсом U-^-=1.
а* ~ е>2
Решение. Параметрические уравнения эллипса имеют вид
-*:=acos?, y=b sin t, где параметр t изменяется в пределах от 0 до
2л. По формуле C0), используя выражение криволинейного
интеграла через определенный интеграл, находим
2« 2*
5== f хйу= f a cos t-b cos t At=ab f cos21 At =
8°. Упражнения
Вычислите криволинейные интегралы первого рода:
1. J (*2 -f ^2 _|_ 22) d/ по одному витку винтовой линии x=cos/, t/=sin/,
г==/, где

278 Глава VII. Криволинейные и поверхностные интегралы
2« J Dy/'x — 3}ry)dl по отрезку прямой от точки А (—1, 0) до точки
Лв
В @, 1)
3. J ydl по дуге параболы у2 = 2х от точки Л @, 0) до точки В A, 1).
АВ
4. Г y2dl по четверти окружности x=acost, y=as\nt, где
АВ
5. f xydl по четверти эллипса *=acos/, t/=6sin/, где
АИ
Вычислите криволинейные интегралы второго рода:
6, [ Pdx, где ЛВ — дуга параболы у2=х от точки А A, —1) до точки
АВ
В A, 1); />=</.
7, J P dx, где АВСА — замкнутая ломаная линия с вершинами
АВСА
А A, 0, 0), В @, 1, 0), С @, 0, 1); P = x+j*/,+z.
I. f P dx -f Q dr/, где АВ — дуга параболы t/=*2 от точки А (—1, 1)
доля
точки В (—2, 4); Р=хуу Q—y—x.
9. f Pdx + Qdy, где АВ — дуга кубической параболы у=хг от точки
А*
Л A, 1) до точки В B, 8); Р=х2+у\ Q=2xy.
10. f Pd* H-Qdf/ +/?d^, где ЛВ — отрезок прямой от точки Л A, 2„
—1) до точки В C, 3, 2); Р=х2, Q=—yz, /?=г.
§ 7.2. Площадь поверхности. Определение поверхностных
интегралов первого и второго рода, их свойства и вычисление. Связь
между поверхностными интегралами первого и второго рода
1°. Односторонние и двусторонние поверхности. Возьмем на поверх-
ности П произвольную точку М и проведем через нее вектор п(М)„
нормальный к поверхности П. Вектор нормали п(М) Является
вектор-функцией точки М поверхности. Поверхности П, на которых
вектор-функция п(М) непрерывна на П, т. е. вектор нормали п(М)
непрерывно изменяется при переходе от точки к точке, называются
двусторонними (или ориентируемыми) поверхностями (рис. 123).
Плоскость, сфера, эллипсоид — двусторонние поверхности. Вообще,,
любая поверхность, которая является графиком непрерывно
дифференцируемой функции, определенной на фигуре Ф, является
двусторонней поверхностью.
Однако существуют поверхности, на которых вектор-функция
п(М) не является непрерывной. Такие поверхности называются
односторонними. Примером односторонней поверхности может
служить так называемый лист Мебиуса (рис. 124). Эта поверхность
может быть образована из прямоугольника ABCD с помощью
склеивания сторон АВ и CD так, что при этом совпадут точки С и В, А

§ 7.2. Поверхностные интегралы первого и второго рода
279
Рис. 123
Рис. 124
и D. Легко проверить, что при обходе листа Мебиуса по его средней
линии вектор нормали меняет направление на противоположное.
Для двусторонней поверхности совокупность всех точек с
выбранными в них векторами нормали называется стороной
поверхности. Выбор определенной стороны поверхности называется
ориентацией поверхности. Если выбрана ориентация поверхности, то
поверхность называется ориентированной.
Будем считать положительным направлением обхода линии Л
такое направление, при движении по которому ориентированная
поверхность II остается слева по отношению к точке, совершающей
обход (см. рис. 123). При изменении ориентации поверхности
положительное направление линии Л меняется на противоположное.
2°. Площадь поверхности. Рассмотрим в пространстве Oxyz
поверхность П, заданную уравнением вида z=z(x, y)f где z(xt у) —
непрерывно дифференцируемая функция. Пусть проекция Ф
поверхности П на плоскость хОу является компактной фигурой. Разобьем
Ф на ячейки Фк и выберем в каждой ячейке Ф& точку Nk( Xh, ук).
Проведем в точке Mh(xk, ykf zh)y где zk=z(xkf yh)y касательную
плоскость Pk к поверхности П. Угол между нормалью к Р&,
направленной вверх, и осью Oz обозначим через yk. Согласно
известной формуле, имеем cosVft== А * Обозна-
Vl+[z'x№]*+ [*',№]*
чим через Дрь площадь той части плоскости Р&, которая
проектируется в Фа (рис. 125). Тогда
где Ash — площадь ячейки Ф&. Теперь положим
Сумма A) представляет собой площадь «чешуйчатой» поверхности,
образованной всеми кусками плоскостей.

280
Глава VII. Криволинейные и поверхностные интегралы
Рис. 125
Рис. 126
Определение L Площадью 2 поверхности П называется
предел площади A) построенной «чешуйчатой» поверхности при
условии, что диаметр d разбиения {Ф*} стремится к нулю, т. е.
Р*« B)
Покажем, что предел A) при cf-*O существует и выражается
через двойной интеграл по формуле
2 = IJV\+P2(x, y)+q2(x, у)ds, C)
где р(х, y)=zx{x, y\ q(x, y)=zy{x, у).
В самом деле, сумма A) представляет собой интегральную
сумму для функции |Л + /^(*, y)-\-q2(x, у). Так как эта функция по
условию непрерывна на фигуре Ф, то по теореме 2 § 2.1 предел
суммы при d-+0 существует и равен двойному интегралу C).
Пример. Найти площадь части конической поверхности
z=Y x2-\- у2, расположенной в I октанте и ограниченной
плоскостями л:=0, г/ = 0, х + у=2 (рис. 126).
Решение. Для вычисления искомой площади 2
воспользуемся формулой C):
где S — площадь проекции поверхности на плоскость хОу. Очевид-
2
но, что S = fB — х — 0)dj: = 2f откуда 2=2^2.

72. Поверхностные интегралы первого и второго рода
281
3°. Определение поверхностного
интеграла первого рода и его
свойства. Пусть на гладкой *
поверхности П задана функция
f(M) точки М(х, у, z)
поверхности П. Рассмотрим разбиение
{Щ} поверхности П на части с
площадями A(Ji,... ,Aan и
диаметрами d\y...,dn. Наибольшее из
чисел dk обозначим через d и
назовем диаметром произведенного
разбиения. В каждой
частичной поверхности Щ отметим
произвольную точку Nk{xk, ijk, zk) и
составим сумму парных произведений
ft, У к,
D)
Точки Nk(k= 1, ..., л) назовем отмеченными точками.
Суммы вида D) называются (поверхностными) интегральными
суммами первого рода для функции f(xy yy г), соответствующими
разбиению {П/{} поверхности П (рис. 127) с отмеченными точками
(хк, уk, Zk). Число / называется пределом интегральных сумм D)
при d-^О, если для любого е>0 существует такое 6>0, что для
любых разбиений поверхности П кусочно-гладкими кривыми на
конечное число частей Пг-, диаметр d которых меньше 6, выполняется
неравенство |(оп—/| <е независимо от выбора отмеченных точек Mi
на частях Ш.
Определение 2. Предел интегральных сумм D) при d-*-0
(если он существует) называется поверхностным интегралом
первого рода от функции f(x, у, z) по поверхности П и обозначается
{Ч или (Ч/(*, у, z)do. В этом случае функция f(x, у, z)
n
называется интегрируемой (по Риману) по поверхности П.
Комментарии к определению 2. 1) Определение
поверхностного интеграла первого рода аналогично определениям
двойного интеграла и криволинейного интеграла первого рода.
Поэтому поверхностный интеграл первого рода обладает основными
свойствами указанных интегралов: аддитивностью, линейностью,
монотонностью и др. Рекомендуем самостоятельно сформулировать
и доказать эти свойства.
* Поверхность П называется гладкой, если в каждой ее точке существует
касательная плоскость, положение которой непрерывно меняется при переходе от
точки к точке.

282 Глава VII. Криволинейные и поверхностные интегралы
2) Поверхностный интеграл первого рода не зависит от выбора
стороны поверхности.
4°. Вычисление поверхностного интеграла первого рода. Пусть
некоторая гладкая поверхность П задана уравнением вида z=z(xt у)у
где z(x, у)—непрерывно дифференцируемая функция на
компактной фигуре Ф, являющейся проекцией П на плоскость хОу. Пусть,
далее, функция f (х, у, z) непрерывна на П, а значит, интегрируема
на П. Обозначим через {Щ} разбиение поверхности П, а через
{Фк} — проекцию {Щ} на плоскость хОу (рис. 127). Согласно
формуле C), площадь Аок каждой ячейки есть
х, y)dx<ly. E)
По теореме о среднем получаем
АаЛ = /l+ /*(**, у*)+ ?'(**. У*)***> F)
где (хк, ун)—некоторая точка фигуры Фь, a Ash — площадь Ф&.
Рассмотрим на Пяточку (**,?*,**), где Zk=zk(xkiyk), и составим
интегральную сумму для функции f{x,y,z) по разбиению {Ш}. Тогда
ft, Z\Xk, ,
Переходя в равенстве G) к пределу при d-+0, получим
с, У,
, У))У 1 + />2(*, y)-\-q2(x, y)dxdy> (8)
где/?(л:, y)=z'x(x, у), q(xy у)=г'у(х, у). Формула (8) дает
выражение поверхностного интеграла первого рода через двойной по
проекции Ф поверхности П на плоскость хОу.
Аналогично выводятся формулы, связывающие интегралы по
поверхности П и двойные интегралы по ее проекциям на
плоскости yOz и xOz.
Пример. Вычислить /= f f (блг+4f/-f-3^;) dar no части плоскости
V
x-h2i/-t-3z=6, расположенной в I октанте (рис. 128).
Решение. Поверхность II задана уравнением z=—F — х —
3
— 2#), где функция z(x, у)=—F—х — 2у) и ее частные произ-
3
водные z'x(x, у)= , zy(xy у)= непрерывны в компакт-
3 3

§ 7.2. Поверхностные интегралы первого и второго рода 283
ной области Ф — проекции П на плоскость хОу. Поэтому заданный
интеграл существует; для его вычисления воспользуемся
формулой (8):
3 рб—2у
3 рб—2у -•
О L О J
= 54^14.
5°. Определение поверхностного интеграла второго рода и его
свойства. Пусть П — гладкая ограниченная ориентированная
поверхность, на которой задана функция f{M) точки М этой поверхности,
а п(М)—непрерывная вектор-функция, где п(М)—единичная
нормаль к П. Обозначим разбиение поверхности П через {Ш}, а
площадь ячейки Щ — через Да*. На каждой ячейке Щ выберем
произвольно точку Nk и обозначим через а*, р&, ук углы, образуемые с
координатными осями нормальным вектором n(Nk). Составим
суммы вида
cos Y*A**. ^2)=2 / (^*)cos р»
*l
которые назовем (поверхностными) интегральными суммами
второго рода, соответствующими разбиению {Щ} с отмеченными
точками Nk (&=1, ..., п). Определение предела интегральных сумм (9)
аналогично определению предела для сумм вида D).
Определение 3. Пределы интегральных сумм (9) при d-+0
(если они существуют) называются поверхностными интегралами
второго рода от функции f(M) по поверхности П и
обозначаются соответственно
" +2у+3г-6
f (M) cos a da или Г (*/(*, у, z) cos y da,
у
У
/U, у, z)cospd°,
/(л\ #, г) cos a da.
Рис. 128

284 Глава VII. Криволинейные и поверхностные интегралы
Комментарии к определению 3. 1) Из определения
поверхностных интегралов второго рода вытекает, что они зависят от
выбора стороны поверхности. В самом деле, при изменении
направлений всех векторов п(М) на противоположные все три
поверхностных интеграла второго рода меняют знатна противоположный,
поскольку косинусы углов, образуемых вектором нормали с осями
координат, также меняют знак на противоположный.
2) После выбора стороны поверхности поверхностные
интегралы второго рода можно рассматривать как поверхностные
интегралы первого рода по поверхности П соответственно от функций
!(М) cosy(M), f(M) cosp(Af), f(M) cosa(Af). В самом деле, после
выбора определенной стороны поверхности cos у, cos p, cos a
представляют собой функции точки М на поверхности П.
3) Из определения следует, что поверхностные интегралы
второго рода зависят от выбора декартовой системы координат в
пространстве R3, так как при изменении системы координат (с правой
на левую) изменяются косинусы углов, образуемых вектором
нормали п(М) с координатными осями.
Перейдем к определению общего поверхностного интеграла
второго рода. Пусть задана непрерывная вектор-функция а(М) на
гладкой ограниченной ориентированной поверхности П. Выберем
на П определенную сторону и рассмотрим скалярное произведение
вектор-функций п(М) и а(М), где п(М) —единичный вектор
нормали к поверхности П. Скалярное произведение a (М)п(М) является
непрерывной скалярной функцией, определенной на П, и поэтому
не зависит от выбора координатной системы в R3. Значит,
поверхностный интеграл первого рода JJ a(M)n(M)da также не зависит
от выбора системы координат. Пусть a(Af) = (P(x, у, z), Q(x, у, z)y
R(*> У, *)), n(Af) = (cos a, cos p, cos у). Тогда поверхностный
интеграл примет вид
(Ю)
Определение 4. Интеграл в правой части равенства A0),
представляющий собой сумму трех поверхностных интегралов
второго рода, называется общим поверхностным интегралом второго
рода.
Комментарии к определению. 4. 1) Очевидно, что
общий поверхностный интеграл второго рода от функции f(M) по
поверхности II есть предел интегральных сумм вида «>я = «>л) +
-f-D2)-|-D3) при d-+Q (если он существует).

§ 7.2. Поверхностные интегралы первого и второго рода 285
2) ИнтегралA0) есть поток вектора а(М) через поверхность П
(подробнее см. п. 1° § 8.2).
3) Поверхностный интеграл второго рода обладает всеми свой-
ствами поверхностного интеграла первого рода, кроме следующего:
при изменении стороны поверхности поверхностный интеграл
второго рода изменяет знак на противоположный.
6°. Вычисление поверхностных интегралов второго рода. Пусть
двусторонняя поверхность П задана уравнением вида z=z(x, у) нФ\ —
проекция поверхности П на плоскость хОу. Выберем на П ту
сторону, для которой единичный вектор нормали п(М) образует с
Oz острый угол. Рассмотрим на П непрерывную функцию R(x, у, z)
и укажем способ вычисления интеграла \}R(x, у, z) cos yds*.
Пусть {Щ} — разбиение П» а {Фь} — проекция {Щ} на плоскость
хОу. Возьмем произвольно на каждой части Щ точку Mk(xh, уи> zh)
и составим интегральную сумму
k=i
где Asft — площадь Фй. Так как Zh = z{xky у к), то
а п
A2)
Правая часть равенства A2) является интегральной суммой для
функции R(x, yt z(xt у)) и области Фь Переходя в равенстве A2) к
пределу при d-Ч), получим
J % y))dxdy. A3)
ф,
Из формулы A3) следует, что поверхностный интеграл второго
рода существует. Отметим, что если изменить ориентацию
поверхности П, то в правой части надо поставить знак минус.
Аналогично получаются следующие формулы:
, у, z)cos?da ==]] Р(х(у, г), у, z)dxdz, A4>
, у, z)cosado=\\Q(xy y(x, z\ z)dydz, A5>
где Ф2иФз — проекции П соответственно на yOz и xOz.
Отметим, что для обозначения поверхностного интеграла
j j /?(лг, у, 2)cosvdo используется символ jj R(x, у, z)'dxdy.

286
Глава VII. Криволинейные и поверхностные интегралы
Рис. 129
Рис. 130
Последнее обозначение употребляется и в том случае, когда П не
является графиком функции z=z(x, у).
Формулы A3) — A5) служат для вычисления поверхностных
интегралов второго рода. Для вычисления общего поверхностного
интеграла второго рода A0) служат те же формулы, если П
однозначно проектируется на все три координатные плоскости. В более
сложном случае П разбивают на части, обладающие указанными
свойствами, и интеграл A0) представляют как сумму интегралов
ло этим частям.
Примеры. 1. Вычислить / = jj xuydz+ydzdx+zdxdy, где
И — верхняя сторона (векторы нормалей составляют острые углы
с осью Oz) части плоскости х + z—1=0, отсеченной плоскостями г/ =
= 0, у=4 и лежащей в I октанте (рис. 129).
Решение. Согласно определению, имеем
Jj ^ ^, у)Aхйу,
где Ф1 и Фг — проекции П на плоскости уОг и хОу. Так как П
параллельна оси Оуу то j \ t/dzcU=0. Далее, используя формулы
if
и A5), соответственно получим
JJ 2rdjcdf/=JJ A — A:)djcdf/=J di/JA — ^с)с1л:=
j
Итак, /=2 + 0 + 2 = 4.

§ 7.2. Поверхностные интегралы первого и второго рода 287
2. Вычислить / = jj?CosYda, где П — внешняя сторона
полусферы л*+1/2-Ь22=1, расположенной над плоскостью хОу, а у—
острый угол вектора нормали к П с осью Oz (рис. 130).
Решение. Имеем / = j j 2:cosyda == j j zdxuy. Проекцией П
на плоскость хОу является круг Ф : дг2 + у2^ 1. По формуле A6)
находим / = J J У 1— л:2 — y26xdy. Перейдем к полярным
координатам. Тогда, используя формулу E) § 6.3, получим
2тс 1 2* 1 2*
7°. Упражнения
Вычислите поверхностные интегралы первого рода jj f (х, у, -г)da:
п
1. П — часть плоскости x+y+z=a, лежащая в I октанте; f(x, yt z) = \.
2. П — полусфера z = УI —х* — у2; f(x, у, г) =х.
3. П — поверхность параболоида вращения г = -— (х2 -+• у2),
ограниченная плоскостями z=0 и 2=2; f(xy у, z)=x2+y2.
4. П — коническая поверхность z2=x2+y2f ограниченная плоскостями 2=0
и 2=1; f(x, у, z)=x2+y2.
5. П — поверхность параболоида вращения 2=1—-х2—у2у ограниченная
плоскостями 2=0 и 2=1; f(xy у, z)= Y
Вычислите поверхностные интегралы второго рода:
6. JJ — х dy dz + z dz dx •+• 5 dx dy по верхней стороне части плоскости:
+2=6, лежащей в I октанте.
JJ у^л:2 -{- у2 dx dy no нижней стороне круга x2+y2^R2.
8. §§ x2dy dz-i-z2dx dy no нижней стороне части конуса x2+y2=z2, 0^
9. JJ (г/2 + г2) da: dy по верхней стороне цилиндрической поверхности 22 =
= 1—х2, 0^г/^1.
10. JJ B — /?J dA: dy по верхней стороне полусферы х2+у2+ (г—RJ=R2P
п

Глава VIII
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
§ 8.1. Скалярные и векторные поля. Линии и поверхности уровня
скалярного поля. Производная по направлению. Градиент
скалярного поля, его координатное и инвариантное
определения. Векторные линии и их дифференциальные уравнения
1°. Скалярные и векторные поля. Линии и поверхности уровня
скалярного поля. О пределение 1. Скалярным полем точки М
называется скалярная функция и(М) точки М вместе с областью ее
определения.
Введем в пространстве систему координат Oxyz\ тогда каждой
точке М в этой системе соответствуют координаты (х, у, z)y а
скалярное поле и является функцией этих координат: и — и(М) = u(xf
У. г).
Примерами скалярных полей являются поле температуры
атмосферы, поле плотности массы и т. д.
Определение 2. Векторным полем точки М называется век-
-*.
торная функция а(М) точки М вместе с областью ее определения.
Примерами векторных полей являются поле магнитной
напряженности, поле скоростей установившегося потока жидкости и т. д.
-¦
Задание векторного пространственного поля а(М) равносильно
заданию трех скалярных функций Р(х, у, z), Q(x, у, z) и R(x, у,
2), являющихся проекциями вектора а(М) на координатные оси:
а(М)=Р(х, у, z)i+Q(x, у, z)j+R(xf у, z)k. В дальнейшем будем
предполагать, что скалярные и векторные поля являются
однозначными, непрерывными и дифференцируемыми достаточное число раз.
Если частные производные одновременно не равны нулю, то
уравнение и(х,у, z) = С (C=const) определяет поверхность, вдоль
которой функция и сохраняет постоянное значение; такая поверхность

§ 8.1. Скалярные и векторные поля. Произв. по направлению. Градиент 289
называется поверхностью уровня
функции и. Очевидно, что
рассматриваемая область Т заполнена
поверхностями уровня и через каждую
ее точку проходит одна и только
одна такая поверхность. Очевидно
также, что поверхности уровня не
пересекаются между собой.
Аналогично определяются линии
уровня и(х, у) = С непрерывно
дифференцируемой функции и=и(х, у),
заданной в области OczR2.
У\
Уо
У
1 Л
X
0
У-Уп
у
+tcosfi
X
Рис. 131
2°. Производная по направлению. Координатное и инвариантное
определения градиента. Определение 3. Градиентом
дифференцируемого скалярного плоского поля и = и(М) называется векторное
поле точки М, обозначаемое gvadu(M) и определяемое формулой
grada=—^- i-\—^-у, A)
где частные производные вычислены в точке М.
Аналогично, для дифференцируемого скалярного
пространственного поля и(х, у, г) градиент определяется формулой
дх
ду
—
dz
B)
Многие важные векторные поля, изучаемые в физике, например
поле сил тяготения или поле заряда, являются градиентами
некоторых скалярных полей.
Модуль (длина) gradи плоского поля и(М) и его направляющие
косинусы определяются по известным из аналитической геометрии
формулам
grad и | =V(u'xJ-\-(u'yJ, cosa0=.-
| grad и
_ "у
I grad и |
C)
Рассмотрим единичный вектор 7= (cos a, cos p) произвольного
направления, где а и р —углы, образуемые вектором / с осями
координат, т. е. /=cosa-/ + cosp-/. Параметрические уравнения
прямой, проходящей через точку Мо в направлении вектора 7, имеют
вид *=x0 + *cosa, t/ = f/0-Mcosp (рис. 131). Тогда для точек этой
прямой функция и{ху у) является функцией ф(*) одной
переменной /:
, yo+tcos $), — oo<*<+oo. D)

290 Глава VIIL Векторный анализ-
Определение 4. Производной скалярного плоского поля и=
= и{М) в точке Мо(хо, уо) по направлению! называется
производная функции ф(/) по t при /=0 (если она существует) и
обозначали
ется .
dl
Аналогично можно определить производную скалярного
пространственного поля и(х, у, z) по направлению Т.
Таким образом,
du(M)
dl
dt
где ф@ —Функция, определенная равенством D).
Комментарии к определению 4. 1) Производная по
направлению —~- есть скорость изменения скалярного поля по отно-
dl
шению к величине перемещения точки М вдоль выбранного
направления.
2) Если /i= @, 1) и /2= A, 0), то производные по направлениям
1\ и /2 скалярного поля и(М) являются соответственно частными
производными по х\ и хч в точке Af0, т. е. —г- и .
r dx\ дхъ
Дифференцируя правую часть равенства D) по tt согласно
правилу дифференцирования сложной функции получим
^L=ux(x0$ yQ)cosa-{-Uy(xQy y0)cos$. E)
dl
Аналогично выводится формула для производной скалярного
пространственного поля и(ху у, z) по направлению I:
ди *
dl x °'
F)
где cos a, cos p, cos y — направляющие косинусы вектора /.
Примеры. 1. Найти градиент скалярного поля u=xy~x + z2 в
точке Мо B, 1,-1). Вычислить его величину и направление.
Решение. Имеем и'х(х, у, г)—у1, u'v(x> У, г)=—-*У~2, и'г(х,
у, z)=2z, и'х{2, 1, —1) = 1, ы'уB, 1, --1)=^2, и'2B, 1, —1)=—2.
Следовательно, grad и(М0) =i—2/—2k, |grad w(AJ0) | =?3 и cos=
= 1/3, cos p==— 2/3, cos y=—2/3.
2. Вычислить производную функции и = х2 + у2х в точке
iW0(l, 2) по направлению вектора М0Ми где М{=C, 0).

§ 8.1. Скалярные и векторные поля. Произв. по направлению. Градиент 291
Решение. Определим единичный вектор/ заданного
направления MOMV Имеем: AyW^tf-l, 0-2)=B, -2), | MQMX | =
Sl^L=1^7--^7. Отсюда cosa=
2 2
|Af0Afil
=-|/2/2, cos р= —1^2/2. Найдем частные производные функции
# в точке Мо: их(х, у)=2х-\-у\ иУ{х, у)=2ху, их(\, 2)=6,
иу(\, 2)=1. По формуле E) получим
Используя понятие градиента и формулу для скалярного
произведения, представим равенство E) в виде скалярного произведения
векторов grad и и /:
-^-=gra(ltil— | grad и | • \ I \ -cos<p,
dl
где ф — угол между вектором 7 и градиентом. Так как |'| = 1, то
получаем
-^-= I grad и | cos ср. G)
01
Из равенства G) следует, что в каждой точке, не являющейся
особой (и'хф0, и'уф0)у градиент направлен в сторону
максимального возрастания функции, а модуль градиента равен величине
скорости этого возрастания. Действительно, производная по
направлению G) принимает наибольшее значение, если coscp=l (<p = 0),
и вектор / имеет то же направление, что и gradw; в этом случае
^.= \gradu\=V(uxf+(uyf. (8)
Это позволяет теперь вместо приведенного выше определения
градиента, в котором используется система координат, дать другое,
инвариантное определение.
Определение 5. Градиентом скалярного поля и(х, у)
называется вектор, характеризующий наибольшую (по модулю и
направлению) скорость изменения этого скалярного поля.
Это определение градиента инвариантно, т. е. не зависит от
выбора координатной системы.
Если cosq) = — 1 (ф = д), то производная по направлению
является наименьшей, равной—|grad и\. Если же cos ф=0 (ф=:?ит/2),
то производная по направлению равна нулю (рис. 132).

292
Глава VIII. Векторный анализ
Направление
наибольшей
производной
наименьшей
производной
Рис. 132 Рис. 133
Направление градиента совпадает с направлением нормали к
поверхности уровня и(ху г/, z)= С, проходящей через данную точку.
В самом деле, пусть z=z(xy у)—поверхность уровня функции и(хг
у, г), т. е. и(х, у, z(xy у))—С. Дифференцируя обе части этого
равенства по х и у, получим
и*+«*/>=0, и'у-\-uzq=0, где p=zx, q=zy. G)
Из равенств G) находим p = zfx=—и'х\и'г, q=zfy = —u'y\u'z. Так как
нормальный вектор поверхности z(x, y)—z = 0 имеет координаты
(р, ?, —1), или, что то же самое, {—и'х\и'гу —u'y\u'z, — 1),тоон кол-
линеарен градиенту (и'х, и'у, u'z).
Предыдущие рассуждения показывают, что любое скалярное
поле и(М) порождает векторное поле градиента gradu. Вопрос
о том, при каких условиях данное векторное поле является полем
градиента для некоторой скалярной величины, будет рассмотрен
в § 8.4.
3°. Векторные линии и их дифференциальные уравнения. Опре-
деление 6. Векторной линией поля а(М) называется такая линия
Л, в каждой точке которой касательная совпадает с направлением
вектора а(М) (рис. 133).
Векторная линия обычно называется линией тока для поля
скоростей, силовой линией — для силового поля и т. д.
Совокупность всех векторных линий, проходящих через точки
куска поверхности П, называются векторной трубкой.
Как известно, направляющие косинусы касательной
пропорциональны дифференциалам Axf Ay, Az. Для нахождения векторных
линий поля а(М) запишем условия коллинеарности векторов
(Ах, Ay, Az) и а(М):
—~ =77-^ = . (8>
Р{х, у, z) Q(x, у, z) R(x, у, z)
где Р, Q, R — проекции вектора а(М) на координатные оси,
являющиеся заданными функциями х, у, z.

§ 8.2. Поток векторного поля через поверхность. Формула Остроградского 293
Задача о нахождении векторных линий поля а(Р, Q, R)
равносильна задаче о нахождении интегральных линий системы (8).
Уравнения (8) называются дифференциальными уравнениями
векторных линий поля a(Af). Если Р(х, у, г), Q(x, г/, г), /?(*, у, г)—-
непрерывно дифференцируемые функции и в точке М вектор а(М)
отличен от нуля, то по теореме существования и единственности (см.
п. 1° § 3.1) через точку М проходит одна определенная векторная
линия поля а(М).
Пример. Найти векторные линии поля а(М) =xi+yj+zk.
Решение. Дифференциальные уравнения векторных линий
имеют вид
—=*}L=— или —=-^- dy = dz
х у z х у ' у z
Интегрируя, получим х = С]у, y = C2zy где С\ и С2 — произвольные
постоянные. Векторными линиями являются лучи, исходящие из
начала координат.
4°. Упражнения
1. Найдите линии или поверхности уровня скалярных полей: а) ы=х2—у2\
6) и=2ух~2\ в) и=2х—у2—z2\ г) и=х2+3у2+г2.
2. Найдите производную функции ы = 3*4—ло/+у3 в точке М A, 2) в
направлении, составляющем с осью Ох угол 60°.
3. Найдите производную функции м = 5х2—Зх—у—\ в точке М B, 1) в
направлении от этой точки к точке N E, 5).
4 Покажите, что производная функции ы=д:3 + 3*2 + 4*t/-ft/2 в точке М B/3,
—4/3) в любом направлении равна нулю.
5. Вычислите градиент функции и == |Лс2 4- у2 + z2 в точке М A, 2, 3).
6. Вычислите градиент функции и=Х// в точке М (х, уу г), где X —
постоянная, а / = У х1 -Ь у2 + г2»
7. Найдите угол ф между градиентами поля и=х(х2 + у2 + г2)-*1 в точках
Mi A, 2, 2) и ЛМ—3, 1, 0).
8. Найдите векторные линии поля a(Af)=P(x, #, z)i+Q(x, t/, z)/-f/?(*, t/,
, если: а) Я=л:, Q=2^, /?==32; б) Р = 2х+у, Q = 2r/, /? = 3г; в) Р = 2
2 /? 2
§ 8.2. Поток векторного поля через поверхность. Физический
смысл потока в поле скоростей жидкости. Вычисление
потока. Формула Остроградского
1°. Поток векторного поля через поверхность. Определение L
Потоком П векторного поля а через ориентированную * кусочно-
гладкую поверхность П, расположенную в области Т, называется
поверхностный интеграл второго рода
* Понятие ориентированной поверхности см. в п. 4° § 7.2.

294 Глава VIII. Векторный анализ
17= \ f an da =Л fae da, A)
где л —единичный вектор нормали к П, указывающий ее
ориентацию, da —элемент площади поверхности П, а ап — проекция
вектора а на направление п.
Дадим физическое истолкование поверхностного интеграла A).
Пусть v — скорость жидкости, протекающей через
ориентированную поверхность П. Рассмотрим разбиение {Ш} поверхности П на п
частей П* с площадями Деть. Тогда произведение УъПкАан равно
количеству жидкости, протекающей через поверхность Щ за единицу
времени в направлении вектора пк (рис. 134). Интеграл J ) vn do,
ri
J )
ri
являющийся пределом интегральной суммы "S т?д#*Л0д, дает полное
k=i
количество жидкости, протекающей в единицу времени через П в
положительном направлении. Обозначим через а, р, у углы,
составленные нормалью п с осями координат. Тогда, используя формулу
A0) § 7.2, интеграл A) можно записать в виде
П = \ j (P cos a +Q,cos p+R cos Y) da. B)
Учитывая соотношения A3) — A5) § 7.2, интеграл B) перепишем
следующим образом:
N C)
Пусть а(М)— поле скоростей в стационарном течении жидкости,
так что ее скорость а в точке М зависит лишь от М, но не зависит
от времени. Из сказанного выше следует,что поток скорости через
ориентированную поверхность П есть количество жидкости,
протекающей через П за единицу времени в том направлении, в
котором ориентирована эта поверхность (физический смысл
потока).
2°. Формула Остроградского. Пусть в области TczR3 определено
непрерывно дифференцируемое векторное поле а(х, у, z)=P(x, yf
*)*i+Q{x9y,z)]+R{x,y,z)k.
Определение 2. Дивергенцией (или расходимостью)
векторного поля a(Af) =P(M)t+Q(M)j+R(M)k называется скалярное
поле точки Му обозначаемое div a(M) и определяемое формулой

§ 8.2. Поток векторного поля через поверхность. Формула Остроградского 295
Рис. 134
Рис. 135
&lva(M)=P'x(x, у, z)+Q'y(x, у,
, у, г),
D)
где частные производные вычислены в точке М. Геометрический и
физический смысл дивергенции будет установлен в дальнейшем (см.
п. 1° §8.4).
При некоторых условиях, которым удовлетворяет область Т,
имеет место формула Остроградского:
"\dot E)
т. е. тройной интеграл от дивергенции вектора по телу Т равен
потоку вектора через границу П этого тела, ориентированную в
направлении ее внешней нормали.
Докажем справедливость формулы E). Пусть фигура Ф —
проекция поверхности П на плоскость хОу (рис. 135), a z=Z\(x, у) и
2==г2(^, у) — уравнения соответствующих частей поверхности П
(нижней части П. и верхней части П2), причем функции zx(x, у) и
z2(x, у) непрерывны на Ф. Имеем
Вычислим внутренний интеграл по формуле Ньютона —
Лейбница:
У*
у, zx(x, у))]йхйу.
Выразив двойные интегралы через поверхностные интегралы
второго рода, получим
^, у, z)uxdy>

296 Глава VIII. Векторный анализ
Заменяя во втором интеграле внешнюю сторону поверхности на
внутреннюю, находим
/= [|/?(л:, у, z)dxdy+^ R(x, у, z)dxdy =
nt
9 y,z)dxdy, F)
где берется внешняя сторона поберхности.
Аналогично получаются формулы
G)
«ft
т п
Складывая почленно равенства F) —(8), приходим к формуле
divadv =
„da. (9)
Комментарии кформулеОстроградского. 1) Пусть
v = Pi+Qj+Rk — вектор скорости жидкости, протекающей через
тело Т. Тогда подынтегральное выражение в правой части
равенства E) есть проекций вектора v на внешнюю нормаль и
интеграл по поверхности дает полное количество жидкости,
вытекающей из тела Т через поверхность П за единицу времени
(или втекающей в тело Т, если интеграл отрицателен). Это
количество жидкости выражается через тройной интеграл от
дивергенции divu. Если дивергенция тождественно равна нулю, то
поверхностный интеграл равен нулю и количество жидкости, втекающей
внутрь тела, равно количество жидкости, вытекающей из него
(физический смысл формулы Остроградского),
2) Формула Остроградского справедлива для любого тела Т,
ограниченного кусочно-гладкими поверхностями, если в Т поле а
и его дивергенция не обращаются в бесконечность.
С помощью формулы Остроградского легко получить
выражение для объема тела Т через поверхностный интеграл по замкнутой
поверхности П, являющейся границей этого тела. В самом деле,
выберем функции Р, Q, R так, чтобы Р'х+Q'y + R'z^l. Тогда
получим

§ 8.2. Поток векторного поля через поверхность. Формула Остроградского 297
= f Г
Р dу dz+Q dz dx -j- R dx dу,
где V — объем тела Т. В частности, если
3 ' 3 3
V=— (T xdydz-\-ydzdx-\-zdxdy.
3 JnJ A0)
Рис. 136
Пример. Вычислить поток П векторного поля а( х, у, z) =
= 4x3t-Ь4г/3/—6z4k через внешнюю сторону поверхности цилиндра
х2 + у2=а2, заключенного между плоскостями z = 0n z = h (рис. 136)
Решение. Имеем Р = 4х\ Q = 4#3, /? = — 6г4, P'x=l2x2y Q'y=12i/2,
R'2=—24z3. Применяя формулу Остроградского (9), находим
П = f Г 4л;з dy dz +4r/3 dz dx - 6z4 dxdy =
V
h
= 12 (T dxdy $(x2-\-y2-2z*)dz =
**a* 0
_,2
о о
3°. Упражнения
1. Вычислите поток векторного поля a=xi+yj+zk через: а) боковую
поверхность конуса х2+у2^22 (О^г^Л); б) основание этого конуса.
2. Вычислите поток векторного поля a=yzi+xzj+xyk через: а) боковую
поверхность цилиндра х2+у2^а2 (О^г^Л); б) полную поверхность этого
цилиндра.
3. Вычислите поток векторного поля a=x2i-\-y2j+z2k через внешнюю часть
поверхности сферы д:2+^2+г2=1, лежащую в I октанте.

298 Глава VIII. Векторный анализ
С помощью формулы Остроградского вычислите поверхностные интегралы:
4. J J (л: cos а -Ь у cos $ 4- г cos у) da, где П — поверхность эллипсоида
*2 у2 2'2
п2 ^ &2 С2 ~~ '
5. \ \ *2 dy d* -f #2 d* d;c -f- г* dx dy, где П — поверхность конуса — -f
п
6. ^\ х dy dz + у dz dx + z dxdy, где П — поверхность цилиндра
< г < А.
§ 8.3. Дивергенция векторного поля, ее инвариантное определение
и физический смысл. Вычисление дивергенции. Соленоидаль-
ные (трубчатые) поля
1°. Инвариантное определение дивергенции. Определение
дивергенции с помощью формулы D) § 8.2 связано с выбором осей
координат. Пользуясь формулой Остроградского, легко дать другое
определение дивергенции. Пусть точка М содержится внутри какого-
нибудь тела Т с граничной поверхностью П, ориентированной с
помощью выбора единичного внешнего вектора п (cosa, cos p, cosy)-
Запишем формулу E) § 8.2:
В силу теоремы о среднем значении имеем
ГГГ divad^^divaCAfi).!/, или <Uva(Mx)=— ? Г aftda, A)
т п
где AfieT, а V — объем тела Т. Устремляя диаметр d тела Т к ну-
лю (тогда Afi-нМ) и используя непрерывность функции dlva(Mi)
в точке Af, заключаем, что существует предел, равный diva(Af):
diva(M)=lim — Г Г anda. B)
а-*-о V jj
Теперь можно дать инвариантное определение дивергенции, не
связанное с выбором координатных осей и эквивалентное
определению 2 § 8.3.

§ 8.3, Дивергенция векторного поля. Соленоидальные поля 299
Определение L Дивергенцией
векторного поля в точке М называется
предел отношения потока поля через
малую замкнутую поверхность,
окружающую точку Mt к объему тела,
ограниченного этой поверхностью, при
стремлении диаметра к нулю. Рис- 137
2°. Соленоидальные поля. Предыдущие рассуждения показывают,
что любое векторное поле а порождает скалярное поле
дивергенции div a.
Векторное поле а(М) называется соленоидальным (или
трубчатым) в области Т, если его дивергенция равна нулю в каждой
точке области, т. е. если (Jiva = 0. В силу формулы. E) § 8.2, если
область TcrR3 поверхностно-односвязка *, то для соленоидального
поля имеем
ЯЛ"ТяAо = 0, C)
где П — любая замкнутая поверхность, внутри которой поле везде
существует. Рассмотрим векторную трубку между двумя
произвольными ее сечениями U\ и П2 (рис. 137). Поверхность трубки
обозначим через П3. Согласно сказанному, имеем
nda = O, D)
причем во всех случаях берется внешняя нормаль. На поверхности
П3 трубки an = 0, так как ап лежит в касательной плоскости к этой
поверхности. Если для сечения 111 взять направление внутренней
нормали, а для сечения П2 — внешней нормали, то придем к
равенству jj artdo=jj ands, т. е. поток соленоидального поля через
поперечные сечения векторной трубки имеет одно и то же значение.
Это значение называют интенсивностью (или напряжением)
векторной трубки.
Физическая интерпретация соленоидального поля такова: в
случае несжимаемой жидкости и при отсутствии источников (diva=0)
расход жидкости через поперечное сечение векторной трубки имеет
одно и то же значение для всех сечений этой трубки.
* Область Т называется поверхностно-односвязной, если для любой
замкнутой линии ЛсТ, лежащей в этой области, имеется поверхность П, лежащая в
той же области и имеющая Л своим граничным контуром. В этом случае
говорят, что на линию Л можно натянуть поверхность, целиком содержащуюся в Т.
Шар и шаровое кольцо поверхностно-односвязны, а внутренность шара не
является поверхностно-односвязной.

300 Глава VIII. Векторный анализ
§ 8.4. Линейный интеграл в векторном поле. Работа силового
поля. Циркуляция векторного поля. Формула Стокса. Ротор
поля, его координатное и инвариантное определения.
Физический смысл ротора в поле скоростей. Условия
независимости линейного интеграла от пути интегрирования
1°. Линейный интеграл в векторном поле. Циркуляция. Пусть Л —
пространственная кусочно-гладкая направленная линия и а(М) —
непрерывное векторное поле, заданное в AczTciR3. Обозначим
проекции вектора а(М) на координатные оси через Р(М), Q(M),
R(M).
Определение L Криволинейный интеграл вида
f P(x, у, z)dx+Q(x, у, z)dy+R(x9 yy z)dz,
I
взятый по некоторой направленной линии Л, называется линейным
интегралом от вектора а вдоль линии Л или, короче, интегралом от
вектора а вдоль линии Л.
Определение 2. Циркуляцией векторного поля а= (Р, Q, R)
по (вдоль) замкнутой линии Л в области TczR3 называется
линейный интеграл по этой замкнутой линии Л, обозначаемый через Я.
и определяемый формулой
f* A)
где dr= (cbc, dt/, dz)—вектор-дифференциал.
Если Л — гладкая линия, то очевидно, что
йт=\ npTad/, B)
А А
где T=(cosa, cos p, cosy) — единичный касательный вектор, d/ —
элемент дуги Л, прта — проекция вектора а на касательную т.
В том случае, когда а — силовое поле, линейный интеграл от
вектора а равен работе сил поля при перемещении точки по
линии Л (физический смысл линейного интеграла).
2°. Формула Стокса. Определение 3. Ротором (или вихрем)
векторного поля а(М) = Р(М) ?+ Q (M) j+R(M)k называется
векторное поле точки Af, обозначаемое rot a(M) и определяемое формулой
\ ду dz ) \ dz дх } \дх ду )
где частные производные вычислены в точке М.

§ 8.4\Лин. интеграл в вект. поле. Циркуляция. Формула Стокса. Ротор 301
Пример 1. Найти ротор векторного поля а(х, уу z)=z4 + x2\ +
1
Решение. Находим проекции ротора: то\ха = -^2 — =
=2у, rot,a=^-^=2z, rotz2=d-^l-d-^=L Следо-
у дг др дх ду
вательно, rot a — 2yi+2zj+2xk.
Геометрический и физический смысл ротора будет установлен в
дальнейшем (см. п. 3°).
При некоторых условиях имеет место формула Стокса
\ \ п rot a da = } a dr, D)
где a= (P, Q, R) и Pt Q, R — непрерывно дифференцируемые
функции на П, т. е. поток вектора rot а через ориентированную поверх-
ность П равен циркуляции вектора а вдоль положительного
направления обхода контура А этой поверхности.
Докажем справедливость формулы Стокса для гладкой
поверхности П, однозначно проектирующейся на все координатные
плоскости. Пусть z=z(jt, (/)—уравнение поверхности П, где функция
z(x, у) непрерывно дифференцируема на компактной фигуре Ф,
являющейся проекцией П на плоскость хОу. Обозначим через ЛиЛ[
контуры, ограничивающие соответственно ПиФ, причем Ai есть
проекция Л на хОу. Выберем верхнюю сторону поверхности П, а в
соответствии с этим и ориентацию на ней (рис. 138).
Криволинейный интеграл по контуру Л в правой части
равенства E) преобразуем сначала в криволинейный интеграл по
контуру Ль затем — в двойной интеграл по фигуре Ф и, наконец—в
поверхностный интеграл по поверхности П. Рассмотрим сначала
интеграл вида (* Р(ху у, z)dx. Так как ЛеП, то координаты точек
I
контура удовлетворяют уравнению z = z(x, у) и, следовательно,
значения функции Р(х, у, z) на Л равны соответствующим значениям
функции Р(ху у, z(jc, у)) на Ль Проекции соответствующих
разбиений контуров Л и Ai на ось Ох совпадают, а значит, совпадают и
интегральные суммы для криволинейных интегралов второго рода
по контурам Л и Ль Поэтому J* Р(лг, у, z)dx= \Р(х, у, z(x, у)) их.
*А А,
Применяя к последнему интегралу формулу Грина, получим

302
Глава VIII. Векторный анализ
Рис. 138
В правой части равенства E)
подынтегральная функция есть
производная по у сложной функции
Р(х, у, z(x, y))y где у входит как
непосредственно, так и через z(xf у).
Выражая As через элемент da
поверхности по формуле ds=cosvda,.
приведем двойной интеграл к интег-
ралу по поверхности П:
Как было отмечено выше, вектор (/?, я, —1), где р= —, ?=— >
ох ду
перпендикулярен поверхности z = z(x, у) и, следовательно, колли-
неарен единичному вектору нормали (cos a, cos p, cosy), т. е.
(cosa)/p= (cosp)/<7= (cosv)/(—1). Следовательно, qcosy=— cos $y
откуда окончательно находим
Если Q(x, у, z) и R(x, у, z) — две другие функции, заданные на
П, то аналогично получаются формулы
Qd#=f j^^cosY-^
(8)
cos?lda.
J JnJ V у дх ]
Складывая формулы G) — (9), приходим к формуле Стокса:
(9)
Формулу A0) можно переписать в виде

\
§ 8.4.\Пин. интеграл в вект. поле. Циркуляция. Формула Стокса. Ротор
303
Определение стороны поверхности П и
направления п производится по
следующему правилу: если смотреть с конца
нормали, то обход вдоль кривой Л
должен быть виден происходящим против
часовой стрелки. .С@Л
Комментарий к формуле
Стокса. Формула Грина есть частный
случай формулы Стокса, когда П —
фигура на плоскости хОу. При этом Л —
замкнутая линия на плоскости хОу
и dz=0, а направление п совпадает с
направлением Ог, так что cosa=cos ($=0 и
1
Рис. 139
Пример 2. Вычислить циркуляцию Ц векторного поля а(х, у,
z)=xyi + yzj+xzk вдоль линии пересечения плоскости 2х—3(/ +
+4г-—12 = 0 с координатными плоскостями.
Решение. Рассмотрим верхнюю сторону плоскости П, а также
соответствующее этой стороне положительное направление обхода
замкнутой линии ABC А (рис. 139). Имеем: Р=ху, Q = yz, #=хг,
J?'y=0, Q'z=*/, /^2=0, R'x=z, Q'*=0, Р'у=х. Подставляя эти
выражения в формулу Стокса A1), получим
= — f f ydydz-\-z6zdx-{-x<ly(ix-
Выразим интеграл по поверхности П через двойные интегралы по
фигурам, являющимися проекциями П на координатные плоскости:
лЦг = — (Ч t/df/dz— f^ — zuzdx— ff xdxdy,
ьвсо л ало ллос
где АВСО, &ВАО, ААОС — проекции заданной плоскости
соответственно на координатные плоскости yOz, zOx, хОу. Находим
^S, - ff 2dzdJc=-9, - ff *djcd</=-24
co JbJao Мое
(проверьте). Значит, Д=8 + 9—24 = — 7.
3°. Инвариантное определение ротора поля. Физический смысл
ротора в поле скоростей. Данное выше определение ротора зависит от
выбора координатной системы. Дадим теперь инвариантное
определение ротора поля. Пусть п — произвольный фиксированный
единичный вектор и Ф — плоская фигура с границей Л, содержащая
точку М и перпендикулярная вектору п (рис. 140). Запишем
формулу Стокса:
j adr = J j rotnado.
Л Ф
енн
ZMco

304
Глава VIII. Векторный анализ
Рис. 140 Рис. 141
В силу теоремы о среднем значении имеем
или
пЛяа(Мг)=±- adr,
A2)
где Л^еФ, a S — площадь фигуры Ф, Устремляя диаметр d
фигуры Ф к нулю (тогда Mi-+M) и используя непрерывность функции
rota(Ml) в точке М, найдем проекцию вектора rota(Af) на
направление п:
TOtna(M)=lim
,<\r.
A3)
Правая часть равенства A3) не зависит от выбранной системы
координат. Следовательно, то же самое справедливо и для проекции
вектора rota(Af) на произвольное направление п. Тогда и сам
вектор rot а не зависит от выбранной системы координат, поскольку
для определения вектора достаточно знать его проекции на три
взаимно перпендикулярных направления. Таким образом, вектор
-*¦ -*¦
rota — инвариантная характеристика векторного поля а(М).
Дадим физическое истолкование понятия ротора
векторного доля. Рассмотрим движение твердого тела вокруг
неподвижной точки (рис. 141). В кинематике доказывается, что поле
скорости v для любого момента времени определяется формулой
v — toXr, где (д — мгновенная угловая скорость, а г — радиус-вектор
произвольной точки М тела. Найдем проекции вектора v на оси
координат: (OyZ—(uzy, <dzX—o)*z, (oxy—coy*. Так как проекции вектора
rot v на оси координат в силу формулы C) соответственно равны

§ 8А. JIun. интеграл в вект. поле. Циркуляция. Формула Стокса. Pofop 305
2о)*, 2о)у, 2coz, то (о = — rot v. Следовательно, с точностью до
числового множителя ротор поля скорости v представляет собой
мгновенную угловую скорость вращения твердого тела.
4°. Необходимые и достаточные условия независимости линейного
интеграла от его пути интегрирования. Пусть в пространственной
поверхностно-односвязной (см. сноску на с. 299) области Т
определены непрерывно дифференцируемые функции P(xt у, z), Q(x, у, z),
R(x* У* 2). Рассмотрим линейный интеграл
Г Pdx+Qdy+Rdz, A4)
взятый по некоторой линии
Формула Стокса позволяет установить необходимые и
достаточные условия обращения в нуль интеграла A4) в предположении,
что линия А является простой (т. е. не пересекающей себя) и
замкнутой. В самом деле, натянем на контур Л поверхность П и заменим
по формуле Стокса криволинейный интеграл A4) поверхностным
интегралом
дх ду) * \ду дг J " ' \ дг дх
Для обращения интеграла A5) в нуль достаточно выполнение
следующих тождеств:
~^- = =—L-9 = v (jc, у, 2)?Т. A6)
дх ду » ду дг дг дх
Выполнение этих же тождеств является и необходимым условием
для обращения в нуль интеграла A5). В этом можно убедиться,
если рассматривать плоские фигуры Ф, лежащие в плоскостях,
параллельных той или иной координатной плоскости.
Покажем, что те же условия A6) необходимы и достаточны для
того, чтобы интеграл A4) не зависел от пути интегрирования в по-
верхностно-односвязной области Т, а зависел лишь от начальной
и конечной точки пути.
Необходимость. Пусть интеграл A4) не зависит от пути
интегрирования. Возьмем в Т произвольную замкнутую линию Л и
разобьем ее на части АСВ и ADB какими-нибудь точками А и В.
Так как согласно условию интегралы по этим частям должны быть
равны, т. е.
Г Pdjc+Qd*/+/?d*= f Pdx+Qdy+Rdz, A7)
[СВ ADB
f= f + f = f — f =0 (подынтегральная функция для
а лев bda acb adb краткости опущена).
[*
TO

306 Глава VIII. Векторный анализ
Достаточность. Пусть выполнены условия A6). Тогда
интеграл A5) обращается в нуль вдоль простой замкнутой линии Л
и, значит,
= f Pdx+Qdy+Ruz
ADB
АСВ ADB
при условии, что линии АСВ и ADB не имеют общих точек, кроме
А и В. Если же это не так и выбранные линии пересекаются, то в
силу поверхностной односвязности области Т всегда можно выбрать
третью линию АЕВ, которая не пересекается ни с одной из
прежних. Тогда f = (* , f = f , откуда и следует независимость
АСВ АЕВ ADB АЕВ
интеграла A4) от пути интегрирования.
5°. Упражнения
С помощью формулы Стокса вычислите криволинейные интегралы и
сравните результаты с непосредственным вычислением интегралов:
!• j* (У "+¦ *) d* 4- (z 4- x) dy 4- (х 4- у) dz, где Л — окружность х2+у2 +
А
4-z2=a2, x+y+z—0.
2. | Jc2y3 dx 4- dy 4- z dz, где Л — окружность x24-t/2=/?2, z=0.
3. Найдите циркуляцию некоторого поля а=—-|/t4-*/4-5& вдоль окружности:
a) x2+y2=\t г=0; б) (д:—2" ~ '
-* . / (/ \
линии
4. Найдите циркуляцию векторного поля a=gradlarctg—I вдоль
Л, если: а) Л не окружает ось Oz\ б) Л окружает ось Oz.
5. Плоский установившийся поток жидкости характеризуется вектором
скорости ш=Р(х, y)i+Q(x, y)j. Определите: а) количество жидкости,
протекающее через замкнутый контур Л, ограничивающий область Ф (расход жидкости);
б) циркуляцию вектора скорости вдоль контура Л.
§ 8.5. Потенциальное поле. Условие потенциальности поля.
Вычисление линейного интеграла в потенциальном поле
1°. Потенциальное поле. Условие потенциальности поля.
Определение I. Векторное поле а(М) =P(Af)i-f Q(M)j+R(M)k
называется потенциальным (или градиентным, или безвихревым) в
области TcR3, если его ротор равен нулю в каждой точке этой области.
Согласно определению потенциального поля,
ду dz j \ дг дх ) \ дх ду J
для каждой точки поля, т. е. справедливы следующие тождества:
J?L=JXL iL^i^. i'L^ifL B>
ду dz dz дх дх ду

§ 8.5. Потенциальное поле 307
Поэтому выполнение тождеств B) является условием
потенциальности векторного поля. Эти тождества необходимы и достаточны для
обращения в нуль интеграла A4) § 8.4 вдоль замкнутой линии Л,
а также для его независимости от пути интегрирования.
Определение 2, Скалярное поле U(xt у, г), градиент
которого порождает потенциальное поле а(ху у, г), называется
потенциальной функцией (или потенциалом) этого векторного поля *.
Таким образом, потенциальное поле характеризуется
соотношением
а(х, у, z)=pT+Qj + Rk=U§J + U'Jj + Ut9k = gTfidU. C)
Для поверхностно-односвязной пространственной области Т
потенциальность поля, существование потенциальной функции и
условие, что ротор поля во всех точках равен нулю, эквивалентны.
2°. Вычисление линейного интеграла в потенциальном поле. Если
область Т является поверхностно-односвязной, то линейный
интеграл в потенциальном поле не зависит от пути интегрирования, а
зависит только от координат начальной и конечной точек А и В
этого пути и равен приращению потенциальной функции U(x, у, z)
в этих точках:
f Pdx+Qdy + Rdz = U(xBf yB, zB)~U(xA, yA, zA). D)
АВ
Здесь АВ— произвольный путь интегрирования от точки А(хА, у а,
?а) до точки В(хв, у в, zb). Обычно в качестве такого пути берется
ломаная ACDBy звенья которой ACt CD и DB параллельны осям
координат. В этом случае формула для вычисления потенциала
имеет вид
в
, у, z)= f Pdx+Qdy + Rdz =
л
у г
^ у, zQ)dy+ j R(x, y, z)dz, E)
= \
где AC=(x-x0, 0, 0), CD@; y-yQ, 0), D5@, 0, z-zo).
Если потенциальное поле является силовым, то работа при
перемещении точки в таком поле не зависит от пути перемещения из
одной точки А (хА, у a» za) поля в другую В(хв, ув, zB) и может быть
вычислена по формуле D).
В потенциальном векторном поле циркуляция вдоль всякой
замкнутой кривой Л, лежащей в поверхностно-односвязной области,
равна нулю.
* В физике потенциалом обычно называют функцию —U{x, yy z), а
функцию U(x, у, г) называют силовой функцией, если речь идет о поле сил.

308 Глава VIII. Векторный анализ
Для силового потенциального поля это означает, что работа сил
лоля вдоль всякой замкнутой кривЬй Л в этом поле равна нулю.
Пример. Показать, что поле a=(x2—2yz)i+(y2—2xz)j+(z2—
—2xy)k является потенциальным. Найти его потенциал.
Решение. Так как Р=х2—2yz, Q=y2—2xz, R = z2—2xyt то
rot a= (—2x+2x)?—(—2y—2y)f+ (—2z+2z)fe=0. Следовательно,
данное поле является потенциальным. Потенциал поля находим по
формуле E):
х у г
U(х, уу z)— f (л:2 — 2yQz0Nx -|- f (у2 — 2лгго)с1у+ f (^2 — 2xyNz =
х0 уй z0
=—x3 — 2xy0zQ
3
X
+-L2*-2xyz
3
г
<fj
где Со==—i-*o—-yl—^
3°. Упражнения
1. Покажите, что векторное поле a=yzBx+y+z)i+xz(x+2y+z)j+
+xy(x+y+2z)k — потенциальное и найдите его потенциал.
2. Покажите, что векторное поле a=()(
потенциальное и найдите его потенциал.
-> m -*•
3. Найдите потенциал гравитационного поляа=— — г, создаваемого
массой т, помещенной в начале координат.
§ 8.6. Оператор Гамильтона. Операции второго порядка в
векторном анализе. Оператор Лапласа, его выражение в
декартовых, цилиндрических и сферических координатах
1°. Оператор Гамильтона. Градиент функции и(х, уу z) часто
обозначают буквой V («набла») и записывают следующим образом:
"Г ди , "t ди . -? да /1ч
дх ду дг
Равенство A) можно символически записать в виде
[Т ди , "* ди , ~? ди

<$ 8:6. Оператор Гамильтона. Оператор Лапласа 309
Определение 1. Символ
v==7t-+^t-+*t- C)
дх ду дг
называется символическим вектором (или оператором Гамильтона,
или набла-оператором). Из формул A) и B) следует, что градиент
функции есть «произведение» символического вектора V на
скалярную функцию w, т. е. Vw = gradw.
Составим скалярное и векторное произведения символического
вектора V на вектор a=tP+jQ + kR. В первом случае получим
дх ду ~ дг дх ду дг
Следовательно,
ya = diva, D)
т. е. дивергенция вектора а равна скалярному произведению
символического вектора V на вектор а.
Во втором случае имеем
дх ду
i
д
дх
Р
J
д
Q
k
д
дг
R
Следовательно,
\4(\7(\
ду дг ) Ч дг dx)J\dx ду )
E)
т. е. ротор вектора а равен векторному произведению
символического вектора V на вектор а.
2°. Операции второго порядка. Оператор Лапласа. Пусть в области
TczR3 заданы скалярное поле и(М) и векторное поле а(М).
Операции gradw, diva, rota называются операциями первого порядка.
Первая и третья операции порождают векторное поле, а вторая —
скалярное поле.
Возможны следующие операции: rot grad ut div grad и, grad div a,
div rot a, rot rot a, которые называются операциями второго
порядка. При этом справедливы соотношения

310 Глава VIIL Векторный анализ
rot grad я=0, div rot a=0. F)
В самом деле, на основании формул B) § 8.1 и C) § 8.4
получим
rot grad#=
уп j( j0
[дудг dzdyj ^[дгдх дхдг) ' [дхду дудх)
В справедливости второго из соотношений F) рекомендуем
убедиться самостоятельно.
Определение 2. Операция второго порядка div grad и
называется оператором Лапласа и обозначается через А (не путать с
обозначением приращения), т. е. Аи = div grad ы.
Легко проверить, что операции второго порядка grad div а к
rot rot а удовлетворяют соотношению
rot rot a = grad div a — да, G)
где Д# =
3°. Выражение оператора Лапласа в декартовых, цилиндрических и
сферических координатах. Найдем выражение оператора Лапласа
в декартовых координатах. Имеем
л. л д ( ди \ , д ( ди \ , ди / ди \
div grad и= — [--—) + -—(-— +-т" Т" =
дх \дх ) ду \ ду ] дг \ дг )
Итак,
» » W
Au=uXx"{-Uyy-{-uzz. (8)
Используя формулу (8), можно найти выражения оператора
Лапласа в цилиндрических координатах x = r cos ф, y=rsmq>, z = z
и в сферических координатах х=г8т6со5ф, i/ = rsin0sin ф, г==
Приведем окончательные формулы для этих выражений:
Г2 ^2 + г дг
= й I 1 ^ 1 Х а2ц 1 2 ди 1 ctgy atf
dr2 " г2 д82 ~ г* sin2 в а<?2 ' г дг ~ г* дЬ

§ 8.6. Оператор Гамильтона. Оператор Лапласа 311
4°. Упражнения
Докажите справедливость следующих формул, связывающих между собой
операции взятия градиента, дивергенции и ротора с алгебраическими
операциями:
1. grad (и -Ь v) = grad и -Ь grad v.
2. grad (uv) = и grad v +v grad a.
v grad и — и grad v
t/2
4. div (a 4- b) = div a -f div 6.
5. div (ua) = a grad u + a div a.
<6, div (a X ^) = ^ rot a — a rot b.
7. rot (a ± b) = rot a ± rotT.
S. rot (aa) = и rot a — a X grad и .

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
Глава I
§1.1. I. б) JB*+4)<U = jr2 + 4.* + С; в) у = х* + 4х +3, у = х* +
+ 4х + 5; г) Со = 4, # = л:2 + 4лг + 4. 2. б) Je2jrd* =r 0,5e2jf + C;
в) у = 0,5е2*—1, у= 0f5e2jr+l; г)С0=-0,5, у = 0,5е2дг-0,5,
3. б) J cos Jt d* = sin jc + С; в) # = sin л: — 1, */ = sin х + 1; г) Со = О,
# = sin *.
§ 1.2. 1.-5 cos 4- +С 2. —^A-.3jc3L/3 + C 3. 4"ln3jf + C.
4. —— е"~жЭ + С. 5. —— In |1 + 2 cos лг| + С. 6. In |sin x\ 4- С 7. jc +
3 2
+ cos x + С. 8. ех + tgx + С. 9. — х — ctg x Н- С. 10. —In |cos (In jc)|+C.
И. 4-1п(^2-4л: + 13)+ -r.arctg^^ + C. 12. —
2 3 3
+8 arc sin* ~ +C. 13. —In '*""" + С 14. in |
4 3 {x — IJ
15. — д:3C1п^ —1) + C. 16. jcarctg^— — In A
у ^»
17. Jt arcsin^r + /ПГ^2+с. 18. In
У 1 + xl x
+2jc+2)+C. 20. — ex(sin5x—5cos5x)+C. 21. —- C sin 5л:-f5 sin 3;c)-f-C.
26 30
22. —— cos 4x + С или — sin2 2x + Cx. 23. — Fjc — sin 6x) + C-
о 4 \2.
3 з
3 з _^ 1
24. —/sin2jcA4 —7sin2jc + 2sin4^) + C. 25. •— Djc— sin 4д:) + С.
28 3^
26. -^A2д:-

Ответы к упражнениям
313
§ 1.3. 1. 4-*3+-j**+4*+ln
a:—I
3
АГ-2
AT—1
+С. 4.
(x 4- 2K
4a:+ 3
+ C. 2. T!
6.
4- — In
4
AT— 1
2 (a: + 1J
2/3 2a:—1 1 a:2 4-1
9 arctg7T + Ct 7. Yolnx*-n •g+
+ — arctgA:- — arctg^-j^+C. 8. -— + — In И - — In |*- 1| -
4- arctg (a: + 1) 4- C.
10.
13a: - 24
26/3 2a:-3
-9-arctg ~7T
§1.4. 1. e*-b2ln|e*~2|-fC. SL-^/2+(l/3)in|ex-l|+(l/6)ln(ex+2)+C.
3. A/3) tg3 at—tg x+x+C. 4. —In |cos AT—sin x\+C. 5. -^- arctg
+ C 8. arctg (l-btgY
_ д:2 _ -—- arcsin a: 4- C.
«6.
18.
§ 2.1. 1. е"—1. 2. а2/2. 3. 20. 4. я/6. 5. 0,5. 6. я/4. 7. In 2. 8. 1. 9. 0,5 In 12a—11.
10. я/4. 11. 1/6. 12. —а3/6.
§ 2.3. 1. 1. 2. (J/3—1)/2. 3. In (9/4)—1/3. 4. arctge—я/4. 5. 17/6. 6. (я—2)/4
(примените подстановку /2sinf=*). 7. 1. 8. A—1п2)/2. 9. (я—2)/4. 10.
B//B)arctg(l/V;5)(примените подстановку tg(x/2)=0. II. 1. 12. я4/16—Зя2424.
13. 848/105. 14. (е*—2)/5. 15. S3=0,7850, /=я/4=0,7854. 16. 0,74682. 17. Да,
так как л^8,17.

314
Ответы к упражнениям
§ 2.4. 1. 32/3. 2. 8 In 2. 3. 8/3. 4. 125/6. 5. Зла2. 6. яа2/2. 7. паЩ. 8. 7а2/Dл).
9. 11яа2/8. 10. In 3. 11. 6а. 12. Точки пересечения с осью Ox: /i=0, /2=^8 ;
L = 13/3. 13. па /1+4л2+0,5а1п Bя+/1+4я2)Л4. Зяа/2. 15. 12л. 16.
512л/15. 17. я2/2. 18. яа3/6. 19. 2л [/2 + 1п A+ /2)]. 20. C4 /17—2)я/9.
21. 62я/3.
§ 2.6. 1. 1. 2. 1/2. 3. я/6. 4. (л—2)/8. 5. 1. 6. Расходится. 7. Расходится,
10. Расходится, так как
8. 1/2. 9. Сходится, так как < е при
XX 3 г —
уг > у при jc^2. 11. 6 У 2. 12. 6. 13. Расходится. 14.
Расходится. 15. —0,25. 16. я. 17. Расходится. 18. Сходится. 19. Сходится.
Глава III
§ 3.1. 1. y=—cosx+C. 2. t/=— lncosJt+C. 3. #=sin*+C. 4.
tg (arcsin^)-j-C. 5. у—sin Jc+10. 6. y=\ns\nx— 1. 7. f/=arcsin jc+93.
§ 3.3. 1. y=Cx. 2. (/=Се1/\ 3. x+ r/=ln[C(jc+l) @+1)]. 4. ^=
5.
8.
11. #== e^-2. 12,
+2xy—3y=C. 16.
xs\ny+y\nx=C.
е-^. 6. у V a* + .*2=ln [С (д
9.
,5. 13.
]. 7. #=
) = l. iO. y=2(s\nx—
13. y=2x/(\
17. jx==e^
§3.4.
—3x2). 14.
—ге1-^. 15.
18. p,
1.
xk
0
0
0
1
0,1
0,10
2
0,2
0,20
3
0,3
0,31
4
0,4
0,43 .
5
0,5
0,56
6
0,6
0,70
7
0,7
0,86
8
0,8
1,04
9
0,9
1,25
10
1,0
1,50
2.
k
xk
Ук
0
0
1
1
0,1
0,990
2
0,2
0,962
3
0,3
0,917
4
0,4
0,862
5
0,5
0,800
6
0,6
0,735
7
0,7
0,671
8
0,8
0,610
9
0,9
0,552
10
1,0
0,500
§3.5. 1.0—dsin x—x—0,5 sin 2x+C2. 2. J/=C2+CiX(ln*—1). 3. </==
(CiJt+C2J. 4. (/=C2—Cicos*—x. 5. s~—t2/4+Ci In t+C2. 6. y=3\nx+
—6jc+6. 7. y=CiX+xaTc\gx—\nVl +*2 VC2 8. r/=—lncos*. 9.
--Cijc. 10.

Ответы к упражнениям 315
§ 3.6. 1. e/=CiJt+C2* U-2e*d*. 2. у=Сх sin*+C2[l + ^р- In ~~ ? |
3. */=Cie-2*+C2e-\ 4. f/=(CiJt+C2)e-a\ 5. (/=e-*(C4 cos 2*+C2 sin 2*). 6. *=
= Cie34C2e-'. 7. s=e-'(cos/+2sin/). 8. t/=Cie-*+ (C2x+C3)e2*. 9. t/=(Ci +
+ C2x) cos 2*+ (C3+C4JC) sin 2x.
§ 3.8. 1. */=e2*(Ci sin 3*+C2 cos 3x)+*2+*—1. 2. #= (Ci + C2*)e-*+5.
i/^o / * \
3. (/=Cie2*+C2e-2*—2a:3—3*. 4. «/=Cie-*+C2e-2*— — sin I— — 2*1. 5. y=
= d cos jc+C2 sin x+x + e\ 6. */=Cie2jf+ (C2—*)e*. 7. (/=0,5e~x + xe~2x+
/C i t) (t—IK. 9. t/=3e^2—e-'/2—x\
—- 4.—-—j. 12.
—2e-2jc—3(jc2+jc+1,5). 11.
— ].
2 ;
Глава IV
§ 4.1. 1. (/i = 3Cicos3;t—3C2sin3AT, f/2 = C2cos Злг+Ci sin 3x. 2. «/1 = 0,6^—
2е-л+л:~1, t/2 = Cie* + C2e~x—x+1. 3. ^ = 016"^ + C2e-3*, у2=С1е-'+
4. #t = Ci + C2e-2j:+e*, r/2=Ci—C2e-2x+ex. 5. 1/1=— 2e~*+
+ , / Зе~7дг. 6. i/i==e-x(sinx—2cosx), ^2 = e-xcosAr.
§ 4.2. 1. Да. 2. а) Нет; б) да. 3. t/i = Cie-4*+C2e-7*, #2 = a,5Cie-4*—C2e-7*.
4. Ar=e4/Cicos3/+/Bsm30, y=^(Ki sin 3*—/C2 cos 30- 5. C+C2*+
+ C3e-*, ^^Ce*—ЗСзе-^, f/3 = Cie*+C2e2*—5C5e~\ 6. ^
= —2C2e2'+C3e~', z=Ci + C2e2/—2C3e-^. 7. t/=Cie2jc+C2e-\
+ 2C2e-2x. 8. л:= (Ci—C2) cos /+ (C1 + C2) sin /, «/=Ct sin /—C2cos f+C3e<, z=
= Cicos^+C2sin/4-C3e<. 9. л:=еЧЗ cos3f+2sin30, y=efC sin 3^—2cos30-
10. #i = cosA:—sinx, ^/2 = cosjc. 11. i/i = -r-[2е-х4-е2дс + 3е-2дс), У2=~ Bе"х+
о о
+ е2^—Зе-2^), 1/з=— (е2х—е-*).
§ 4.4. 1. Ar@=C1e<+C2e-'+/sh^ i/@=Cief~C2e-f+sh ^+^ch /. 2. (/4=
C 1 СС1 3. JcC C24f C
Глава V
§ 5.1. 1. Неустойчива. 2. Устойчива. 3. Неустойчива. 4. Неустойчива.
Глава VI
§ 6.1. 1. «640. 2. «640. 3. «288. 4. «518,4.
§ 6.2. 1. 4864/3. 2. 2048/3. 3. A76 /2" +409)/3. 4. —93/120. 8. 1/24. 9.
—7 A5л+16)/480. 10. 1/8. 11. 0. 12. —5/72.
§ 6.3. 1. лA— е-*1). 2. 6я. 3. а3/3. 4. 2а3/3. 5. 15яа*/2. 6. я/2. 7. лЛ4/4.
S. 8а2/9. 9. 4л/?5/15. 10. лЯ4/8. 11. 4л/?5/15.
§ 6.4. 1. EК5~21^2)/3. 2. C;0). 3. л6г*/2. 4. яМ/?4/2. 5. @; 0; 5Я/4),
Глава VII
§7.1. 1. 2/frt Dя2 + 3)/3. 2. —14^2/3. 3.E/5—1)/3. 4. яа3/4.
\ab (a2 + ab + Ь2)
ъ у Л_L# ь 4/3. 7. 0. 8. —101/12. 9. 388/3. 10. 26/3.
3(а -Ь Ь)

316 Литература
§ 7.2. 1. а2 /3/2. 2. л2/2. 3. 2л. 4. я /2/2. 5. Зл. 6. -6. 7. —0,8л/?5/2.
8. —4/3. 9. л/3. 10. —5л/24.
Глава VIII
§ 8.1. 1. а) у = i/F^C; б) у = С*2/2; в) * = ±/2*-у*-С;
г) г = ±УС-*2-Зу2. 2. 5+ II /3/2. 3. 9,4. 5. у=-
(—4/405). 8. a) х=Сгу*'К
в) x=z[\n2(Ciz)^l + C2l y=
= ln (dzyiK
§ 8.2. 1. a) 0; 6) nh\ 2. а) 2Л2а2; б) — a*/2. 3. Зя/8. 4. 4ла6с. 5. a26Da-f
+ 3я&)/3. 6. бяа^Л.
§ 8.4. 1. 0. 2. —J?6/8 3. а) 2л; б) 2л. 4. a) 0; б) 2лп, где п — число оборотов
контура Л вокруг оси Oz. 5. а) И |т—4-~ Idxdy; б) \ \ I-— — — J
Ф ф
§ 8.5. 1. U=xyz(x+y+z)+C. 2. ?/=— (х3 + 2(/3+2;3)+3^г + С. 3. U^m/r.
3
Литература
1. Бугров Я. С, Никольский СМ. Высшая математика.
Дифференциальное и интегральное исчисление.— М.: Наука, 1980, 1984.
2. Бугров Я. С, Никольский СМ. Высшая математика.
Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного
переменного. — М.: Наука, 1981, 1985.
3. Бугров Я. С, Никольский СМ. Высшая математика. Задачник.—
М.: Наука, 1982, 1987.
4. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая
математика в упражнениях и задачах.—М.: Высшая школа, 1980, 1986, ч. I, II.
5. Е р у г и н Н. П. Книга для чтения по дифференциальным уравнениям. —
Минск: Вышэйшая школа, 1979.
6. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике. — М.: Наука,
1978, 1987.
7. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов/Под ред.
Б. П. Демидовича.—М.: Наука, 1964—1978.
8. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы
математического анализа/Под ред. А. В. Ефимова и Б. П. Демидовича.— М.:
Наука, 1981.
9. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы
математического анализа/Под ред. А. В. Ефимова и Б. П. Демидовича. — М.: Наука,
1981.
10. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для
втузов.—М.: Наука, 1970—1985, т. 1, 2.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютно сходящийся
несобственный интеграл 111
Автономная система
дифференциальных уравнений 216
Асимптотическая устойчивость по
Ляпунову 211, 214
Бета-функция 124
Биномиальный дифференциал 53
Вектор бинормали 105
— кривизны 99, 105
— кручения 105
Векторная линия 292
— трубка 292
Векторное поле 288
Верхний предел интегрирования 57
Верхняя интегральная сумма
Дарбу 69
Вырожденное седло 226
Гамма-функция 123
Главная нормаль 105
Гладкая поверхность 281
— функция 136, 137
Градиент 289, 291, 292
Групповое свойство 228
Двойной интеграл 232
, вычисление в декартовых
координатах 240—243
у полярных координатах
248—251
, геометрический смысл 233, 234
, основные свойства 237, 238
, приложения 262—264
-, физический смысл 234
Двусторонняя (ориентируемая)
поверхность 278
Диаметр компактной фигуры 231
— разбиения 56, 231, 267, 281
Дивергенция (расходимость) 294,
295, 299
Дифференциальное уравнение 125
Бернулли 147
в частных производных 125
• второго порядка линейное
неоднородное 170
— — — с постоянными
коэффициентами 175, 176
„ однородное 159
с постоянными
коэффициентами 164
- л-го порядка 153
допускающее понижение
порядка 156, 157
. __ линейное 159
неоднородное 159, 170
однородное 159, 166
Дифференциальное уравнение
обыкновенное 125
первого порядка 126
в полных дифференциалах
(точное) 138
симметричной форме 136-
, интегрируемое в
квадратурах 137
линейное 146
однородное 145
с разделенными переменны-
ми 143
разделяющимися
переменными 143
Дифференциальные уравнения
векторных линий 293
Дифференцирование 8
— интеграла по параметру 119, 120
Длина дуги 89
, вычисление в декартовых
координатах 89
• , полярных координатах 91
? случае параметрического
задания кривой 90
Дробно-линейная иррациональность 47
Задача Коши 128, 154, 187
— о массе материальной кривой 267,.
268
фигуры 234
переходном процессе в
электрической цепи 134, 135
площади криволинейной
трапеции 54, 55
потоке жидкости через
поверхность 294
прожекторе 135, 136
пройденном пути 55, 56
работе силы вдоль кривой 271Г
272
свободном падении тела 134
— об объеме цилиндроида 233, 234
Замена переменной в неопределенном
интеграле 16, 21, 22
определенном интеграле 73
функциях 53
— Пуассона 112
— с переменным верхним пределом 64
— переменных в двойном интеграле
252—255
Интеграл, выражающийся в конечном
виде 18
—, зависящий от параметра 118
—, не выражающийся в элементарных
— Эйлера второго рода 123
первого рода 124

318
Предметный указатель
Интегральная кривая 12
дифференциального уравнения
126, 137
Интегральная сумма (Римана) 56,
232, 236, 268, 272, 281, 283
Интегрирование 8
— дифференциального уравнения 126
— интеграла по параметру 120
—, методы 18, 20-22, 29, 45—51, 72,
73, 75
—, — приближенные 76—81
— непосредственное 23
— рациональных функций 39—41
— тригонометрических функций 3i—
33
Интегрируемая (по Риману) функция
57, 232, 236, 239, 281
Интегрирующий множитель 140
Интенсивность (напряжение)
векторной трубки 299
Квадратичная иррациональность 48
Квадрируемая фигура 68
Компактное множество (компакт) 68
Краевая (граничная) задача 181
Краевые условия 182
Кривизна линии в точке 98
, формулы для вычисления
100, 101, 106
Криволинейная трапеция 54
Криволинейные координаты 252, 253
Криволинейный интеграл второго
рода 273
, вычисление 274
~ общий 273
, физический смысл 273
первого рода 268, 269
, вычисление 270
, основные свойства 269, 270
, физический смысл 269
— сектор 87
Кручение 106
Линейная автономная система
дифференциальных уравнений 218
— зависимость решений 159, 160, 194
— иррациональность 47
— комбинация 14
— независимость решений 160, 166
— операция 14
Линейный интеграл 300
, вычисление в потенциальном
поле 307
, условия независимости от пути
.интегрирования 305, 306
Линия уровня 289
Лист Мебиуса 278
Ломаная Эйлера 150
Метод вариации произвольных
постоянных (метод Лагранжа) 172, 173,
208
Метод интегрирования подстановкой
(заменой переменной) 18, 21, 22, 73
— —по частям 18, 29, 75
разложением 18, 20, 72
— исключения 190, 191
— неопределенных коэффициентов
175, 176
— парабол (метод Симпсона) 79—81
— прямоугольников 76, 77
— рационализации 45—51
— Рунге — Кутта (метод Эйлера с
уравниванием) 151—153
— трапеций 77, 78
— Эйлера 150, 151, 197, 198
Начальные значения 154
Начальные условия 13, 128, 154, 187
Нелинейная автономная система
дифференциальных уравнений 227
Неоднородные краевые условия 183
Неопределенный интеграл 11
, геометрический смысл 12, 13
, методы интегрирования 18, 20-—
22, 29, 45—51
, основные свойства 14—16
Неправильная рациональная дробь 35
Непрерывность интеграла,
зависящего от параметра 119, 120
Непродолжаемое решение 126
Несобственный интеграл второго
рода 108, 114, 115
, зависящий от параметра 121
первого рода 108, 109
Неустойчивость по Ляпунову 212—
214
Неустойчивый вырожденный узел 225
— узел 222
— фокус 224
Нижний предел интегрирования 57
Нижняя интегральная сумма Дарбу
69
л-кратный интеграл 239
Нормальная система
дифференциальных уравнений 185, 186
линейных неоднородных
дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами 193, 194, 206
Область единственности 129, 138, 155,
188
— интегрирования 232, 236
— притяжения 212
Общее решение 127, 130, 155, 188
в неявном виде (общий
интеграл) 130, 188
Объем тела 92
, вычисление в случае тела вра~
щения 93

Предметный указатель
, — по известным площадям
поперечных сечений 92
, — с помощью поверхностного
интеграла 297
Объем тела, вычисление с помощью
тройного интеграла 236
— цилиндроида 234
Однородная функция 144
Однородные краевые условия 183
Односвязнос множество 139
Односторонняя поверхность 278
Окружность кривизны 101
Оператор Гамильтона (набла-опера-
тор, символический вектор) 309
— Лапласа 310
Операции второго порядка 309, 310
— первого порядка 309
Определенный интеграл 57
, геометрический смысл 59
, методы вычисления 72, 73, 75—
81
, механический смысл 60
, основные свойства 60—64
, приложения 83—96
произвольной кратности 239, 240
Определитель Вронского (вронскиан)
160, 196
— Якоби (якобиан) 254
Ориентация поверхности 279
Ориентированная поверхность 279
Особая точка 137
Особое решение 130, 188
Отмеченные точки 56, 231, 268, 281
Оценка интеграла 62, 63, 238, 270
Первообразная 8
Первый интеграл 188
Переменные интегрирования 232, 236
Переменный триэдр 105
Переходная кривая 104
Плоская фигура 67
Площадь криволинейной трапеции 55,
59, 83, 86
— плоской фигуры 68
, вычисление в декартовых
координатах 83—85
—t полярных координатах
87, 88
, — с помощью кринолинейно-
го интеграла 277
— поверхности 280
тела вращения 95, 96
Поверхностно-односвязная область
299
Поверхностный интеграл второго рода
283, 284
—, вычисление 285, 286
общий 284, 285
первого рода 281, 282
—, вычисление 282
Поверхность уровня 288, 289
Повторный интеграл 240, 245
Подынтегральная функция 11, 57, 232,.
236
Подынтегральное выражение 11, 57,
232
Подстановки Эйлера 48—50
Поле направлений 131
Полярные координаты 248
Порядок дифференциального
уравнения 125
Потенциальная функция (потенциал)
307
Потенциальное (безвихревое, гради-
ентное) поле 306
Поток 293, 294
Правила нахождения частного
решения линейного неоднородного
уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами и правой частью
специального вида 175, 176, 179-—181
Правило вычисления двойного
интеграла 243
тройного интеграла 246
— Лейбница 119
— представления правильной дроби1
в виде линейной комбинации
простейших дробей 36, 37
Правильная рациональная дробь 35
Предел интегральных сумм Римана
56, 57, 232, 268, 281
Приближенное численное решение
задачи Коши 149, 150
Производная по направлению 290
Простейшие дроби 36
Равномерно сходящийся
несобственный интеграл 121
Радиус кривизны 101
— кручения 106
Разбиение 56, 231
Расходящийся несобственный
интеграл 109, 115
Рациональная дробь 34, 35
— функция 34, 35, 44
Рекуррентная формула 40
Решение дифференциального
уравнения 126, 136, 153
в неявном виде 126
параметрическом виде 136-
— нормальной системы
дифференциальных уравнений 186
. в неявном виде 186, 187
Ротор (вихрь) 300, 304, 305
Седло 223
Скалярное поле 288
Собственная функция 183
Собственное значение 183
Соленоидальное (трубчатое) поле 29Ф

320
Предметный указатель
Составное решение 130, 189
Среднее значение функции 63, 238
Средняя кривизна 97
Сторона поверхности 279
Сужение решения 126
Сферические координаты 259
Сходящийся несобственный интеграл
109, 115
Таблица основных интегралов 18, 19
Теорема Ляпунова о неустойчивости
229
об асимптотической
устойчивости 229
устойчивости 229
—- Ньютона — Лейбница 65
— о замене переменной в
определенном интеграле 73
квадрируемости фигуры 68
представлении правильной
рациональной дроби в виде линейной
комбинации простейших дробей 36
— — среднем значении 63, 238, 270
существовании и единственности
решения задачи Коши 129, 154, 187
общего решения
дифференциального уравнения #'=/(*, у) 130,
131
— об интегрируемости рациональных
функций 39—41
— основная интегрального
исчисления 66
Теоремы о дифференциальных
уравнениях первого порядка в
симметричной форме 137—140
первообразных 9, 10
рациональных функциях 35, 39
решениях линейных
дифференциальных уравнений второго порядка
160—162, 168—172
нормальной системы
линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами 195,
203—205, 207
сходимости несобственных
интегралов 111, 116
— об интегралах, зависящих от
параметра 119, 120, 122
интегрируемости функций 58,
70-72, 235
Точка покоя (положение равновесия)
217
Точная верхняя граница 68
— нижняя граница 68
Траектория (фазовый график) 216
Тригонометрические подстановки 51
Тройной интеграл 236
, вычисление в декартовых
координатах 244—246
f сферических координатах
260, 261
у цилиндрических
координатах 257, 258
, геометрический смысл 236, 237
, приложения 265, 266
, физический смысл 237
Угол смежности 97
Условия Коши 128
Условно сходящийся несобственный
интеграл 111, 112
Устойчивость по Ляпунову 211, 212,
214
Устойчивый вырожденный узел 225
— узел 222
— фокус 224
Фазовое пространство 216
Фазовый поток 228
Фигура выпуклая вдоль оси Ох 241
Оу 240
Формула Грина 275
— Лиувилля 160, 167, 168
— Ньютона — Лейбница 66
— Остроградского 295, 296
— прямоугольников 76, 77
— Симпсона 80, 81
— Стокса 301—303
— трапеций 77, 81
Формулы Френе 107
Фундаментальная система решений
195
Функция Ляпунова 228
Характеристическое уравнение 164,
166, 197
Целая рациональная функция 35
Центр 224
— кривизны 101
Цилиндрические координаты 257
Цилиндроид 233
Циркуляция 300
Частное решение 127, 130, 155, 188
Шаг таблицы 151
Эвольвента 102
Эволюта 102
Элемент объема в декартовых
координатах 236
сферических координатах 260
цилиндрических координатах
257
— площади в декартовых
координатах 233
криволинейных координатах
254
полярных координатах 248