шшшшшшшшмшшшшшт

А. С. ДАВЫДОВ
ТЕОРИЯ
АТОМНОГО
ЯДРА
Допущено Министерством высшего образования СССР
в качестве учебного пособия
для государственных университетов
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1958

13 5-2

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Глава I. Основные свойства атомных ядер 9
§ 1. Введение 9
§ 2. Состав ядер. Элементарные частицы 11
§ 3. Механические величины, характеризующие ядро 14
§ 4. Размеры ядер 16
§ 5. Моменты количества движения нуклонов и ядер 17
§ 6. Магнитные моменты ядер 19
§ 7. Электрические квадрупольные моменты ядер 20
Глава II. Изотопический спин атомного ядра 23
§ 8. Протон и нейтрон как два состояния одной частицы. Зарядовая пе-
переменная 23
§ 9. Зарядовое пространство и изотонический спин. Изотопический спин
системы нуклонов 25
§ 10. Возможные состояния системы двух нуклонов 29
Гла в а III. Энергетические состояния легких ядер 33
§ 11. Элементарная теория дейтрона 33
§ 12. Нецентральный характер ядерных сил 37
§ 13. Проблема насыщения ядерных сил 39
§ 14. Изотопический спин и уровни энергии легких изобарных ядер ... 46
Глава IV. Модельные представления о строении ядер 49
§ 15. Оболочечная модель ядра 49
§ 16. Магнитные моменты и «конфигурация» легких ядер на основе
оболочечной модели 59
§ 17. Структура средних и тяжелых ядер на основе модели оболочек . . 66
§ 18. Капельная, или гидродинамическая, модель атомного ядра 70
§ 19. Обобщенная, или квазимолекулярная, модель ядра 80
§ 20. Вращательная энергия и момент инерции несферических ядер . . 88
§ 21. Электрические квадрупольные моменты и обобщенная модель ядра 95
§ 22. Магнитные моменты и обобщенная модель ядра 100
§ 23. Малые возбужденные состояния атомных ядер 102
§ 24*. Вращательно-вибрационный спектр четно-четных ядер 109
§ 25. Высокие возбужденные состояния ядер. Составное ядро 115
§ 26. Испускание частиц составным ядром как процесс испарения . . . .119
Глава V. Альфа-распад и деление ядер 127
§ 27. Динамическая неустойчивость тяжелых ядер 127
§ 28. Теория альфа-распада 130
§ 29. Спонтанное деление тяжелых ядер 137
1*

* ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 30. Теория деления ядер при малых энергиях возбуждения 141
§ 31. Фотоделение 149
§ 32. Деление ядер при больших энергиях возбуждения 151
§ 33. Кинетическая энергия и угловое распределение осколков деления . 153
§ 34. Обобщенная модель ядра и деление 157
Глава VI. Основы теории бета-распада 163
§ 35. Нейтринная теория бета-распада 163
§ 36. Правила отбора и форма бета-спектра разрешенных переходов . . 167
§ 37. Определение констант взаимодействия в бета-распаде. Разрешенные
переходы разных типов 171
§ 38. Запрещенные бета-переходы 178
§ 39. Нарушение закона сохранения четности в бета-переходах 180
§ 40. Основные свойства нейтрино 184
§ 41. Захват орбитальных электронов 190
Глава VII. Элементы общей теории рассеяния частиц потенциаль-
потенциальным полем 193
§ 42. Лабораторная система и система центра инерции 193
§ 43. Упругое рассеяние в потенциальном поле 197
§ 44. Рассеяние частице нулевым спином в центрально-симметричном поле 202
§ 45. Рассеяние нуклонов центральным потенциалом, содержащим спин-
орбиталыюе взаимодействие 211
§ 46. Рассеяние нейтронов малой энергии на свободных протонах . . . 218
§ 47. Рассеяние протонов на протонах при малых энергиях 224
§ 48. Когерентное рассеяние и определение знака длин рассеяния нейтронов
на протонах . 230
Глава VIII. Теория ядерных реакций 235
§ 49. Законы сохранения при ядерных реакциях 235
§ 50. Матрица рассеяния. Каналы реакции 238
§ 51. Обращение времени, теорема взаимности я детальное равновесие 243
§ 52. Дисперсионные соотношения в теории рассеяния 247
§ 53. Зависимость эффективных сечений упругого рассеяния, поглощения
и ядерных реакций от энергии 252
§ 54. Определение сечений из условий, налагаемых на поверхности ядра
на волновую функцию. Формулы Брейта — Вигнера 256
§ 55. Вычисление эффективных сечений в случае простейших предположе-
предположений о внутренних свойствах ядра . 265
§ 56. Методы определения параметров резонансной теории ядерных реак-
реакций из опыта 275
§ 57. Эффективные сечения реакций, усредненные по резонансам . . . 283
§ 58*. Матрица рассеяния для резонансных реакций 288
§ 59*. Эффективные сечения при наличии многих резонансов 301
§ 60. Угловое распределение продуктов ядерных реакций 306
§ 61. Поляризация нуклонов при ядерном рассеянии 315
Глава IX*. Формальная теория рассеяния 323
§ 62. Матрицы рассеяния 5 и Т . . . 323
§ 63. Эрмитовый оператор рассеяния 333
§ 64. Рассеяние заряженных частиц 342
§ 65. Теория столкновений с перераспределением нуклонов 345
Глава X*. Общая теория поляризации частиц в ядерных реакциях 350
§ 66. Дифференциальное сечение ядерной реакции в случае полной или
беспорядочной поляризации частиц во входном канале 350
§ 67. Матрица плотности спиновых состояний и спин-тензоры 352

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
§ 68. Разложение матрицы плотности спиновых состояний по базисным
матрицам спинового пространства и сиин-тензорам 358
§ 69. Угловое распределение и поляризация продуктов ядерных реакций
при частичной поляризации частиц во входном канале 363
§ 70. Вычисление матричных элементов от спин-тензорных операторов . 366
§ 71. Рассеяние частично поляризованных нуклонов неполяризованными
ядрами 368
§ 72. Двукратное и трехкратное упругое рассеяние нуклонов на неполя-
ризованных ядрах 373
Глава XI. Теория взаимодействия ядер с электромагнитным излу-
излучением 377
§ 73. Электрическое и магнитное мультииольные излучения 377
§ 74. Теория электромагнитных переходов, связанных с изменением со-
состояния отдельных нуклонов в ядре 385
§ 75. Элементарная теория внутренней конверсии 393
§ 76. Ядерная изомерия и ее связь с оболочечной структурой ядра . . 399
§ 77. Теория электромагнитных переходов в обобщенной модели ядра . 401
§ 78. Угловое распределение излучения. Угловые корреляции в каскадных
переходах 406
§ 79. Захват нейтронов протонами и фоторасщепление дейтрона . . . .411
§ 80. Захват нуклона ядром и испускание гамма-лучей 416
§ 81. Фотоядерные реакции 421
§ 82. Возбуждение ядер кулоновским полем тяжелых заряженных частиц 428
§ 83. Рассеяние гамма-лучей ядрами 433
Глава XII. Взаимодействие медленных нейтронов с ядрами .... 438
§ 84. Понятие о длине когерентного и иекогерентного рассеяния ней-
нейтронов на одном ядре 438
§ 85. Когерентное рассеяние медленных нейтронов поликристаллическим
веществом с бесконечно тяжелыми ядрами 443
§ 86. Изотопическая некогерентность рассеянных нейтронных волн . . 447
§ 87. Упругое рассеяние медленных нейтронов кристаллами с учетом
колебаний атомов 450
§ 88. Неупругое рассеяние нейтронов кристаллами с испусканием или
поглощением одного фонона 457
§ 89. Неупругое рассеяние нейтронов кристаллами при множественном
рождении и поглощении фононов 463
§ 90. Показатель преломления нейтронных волн в веществе 467
Глава XIII*. Оптическая модель ядерных взаимодействий при малых
энергиях 472
§ 91. Рассеяние нуклонов ядрами как многократное рассеяние 472
§ 92. Когерентное и некогерентное упругое рассеяние нейтронов ядрами 476
§ 93. Когерентное упругое рассеяние и эффективный комплексный по-
потенциал 478
§ 94. Вычисление действительной части эффективного потенциала как
решение задачи о самосогласованном поле 485
§ 95. Мнимая часть эффективного потенциала 490
§ 96. Интерпретация широких резонансов во взаимодействии нейтронов
с ядрами 494
Глава XIV. Теория ядерных реакций, не проходящих через стадию
составного ядра 498
§ 97. Прямые или «поверхностные» взаимодействия нуклонов с ядрами . 498
§ 98. Ядерные реакции, вызываемые дейтронами 504

ОГЛАВЛЕНИЕ
б
§ 99. Элементарная теория углового распределения нуклонов в реакциях
срыва 508
§ 100*. Основные уравнения теории реакций срыва без учета кулонов-
ского взаимодействия 511
§ 101. Учет кулоновского взаимодействия в реакциях срыва 520
§ 102. Поляризация освобожденных нуклонов в реакциях срыва 522
Глава XV. Теория ядерных реакций при больших энергиях .... 525
§ 103. Теневое или дифракционное рассеяние . . . 525
§ 104. Оптическая модель взаимодействия быстрых нуклонов с ядрами . 529
§ 105. «Импульсное» приближение 535
§ 106*. Элементарная теория ядерных реакций с распадом ядер более чем
на две частицы 541
Приложение I. Общие свойства собственных .функций операторов
моментов количества движения 545
§ А. Состояния системы с определенными спиновыми и орбитальными мо-
• ментами 545
§ Б. Векторное сложение моментов количества движения 550
§ В. Спин-угловые волновые функции или сферические функции со спи-
спином 554
§ Г. Векторные сферические функции 555
§ Д. Вращение твердого тела и собственные функции симметричного
волчка 558
§ Е. Некоторые преобразования сферических функций Лапласа .... 563
§ Ж. Матричные элементы от тензорных операторов. Инвариантные опе-
операторы Тамма 565
§ 3. Производные обобщенных сферических функций по углам Эйлера
и времени 568
§ И. Коэффициенты Рака 572
Приложение II. Электрические мультипольные моменты системы
частиц 575
§ К. Квадрупольный электрический момент ядра в адиабатическом при-
приближении 575
§ Л. Квадрупольный электрический момент, создаваемый одним протоном 578
Приложение Ш. Волновые поля, описывающиеся уравнением
Дирака 579
§ М. Свободное движение частицы со спином \/2 579
§ Н. Матричные элементы некоторых операторов Дирака 583
§ О. Некоторые преобразования волновых функций Дирака 585
§ П. Спин-орбитальное взаимодействие и уравнение Дирака 58.S
Приложение IV. Классическая энергия поверхностных колебаний
ядра в гидродинамическом приближении 593
Литература 597
Предметный указатель 608

ПРЕДИСЛОВИЕ
Последние годы ознаменовались мощным развитием ядерной физики.
Громадное значение ядерных явлений в физике и технике в настоящее
время несомненно. Десятки научных исследований обогащают каждый
день наши сведения о ядрах атомов и наше понимание процессов, про-
происходящих при взаимодействии ядер друг с другом, с излучением и с
электронно-нейтринным полем. Поэтому создание учебного пособия,
отражающего в собранном виде основные вопросы теоретической ядер-
ядерной физики с учетом последних достижений в этой области, изложен-
изложенных в статьях, опубликованных во многих научных журналах, пред-
представляется нам очень нужным.
Предлагаемая вниманию читателей книга представляет расширенное
изложение курса лекций, читанных автором в течение нескольких лет
для студентов физического факультета Московского государственного
университета им. Ломоносова. В книге рассматривается большой круг
вопросов теории атомного ядра, относящихся к явлениям, протекающим
при энергиях, не превышающих сотни Мэв. В частности, излагаются:
модель ядерных оболочек, обобщенная модель ядра и вопросы, связан-
связанные с несферической формой ядра, вращательные и колебательные
уровни ядер с учетом связи с состояниями отдельных нуклонов в ядре,
общая теория ядерных реакций, оптическая модель ядерных взаимо-
взаимодействий, теория ядерных реакций срыва и захвата, теория прямых или
поверхностных взаимодействий, теория импульсной апроксимации, тео-
теория углового распределения и поляризации нуклонов, рассеянных
ядрами, теория взаимодействия электромагнитного излучения с ядрами,
теория бета-распада и ряд других вопросов.
Ядерные явления, связанные с рождением и поглощением мезонов,
не излагаются в этой книге, так как они требуют специального рас-
рассмотрения с широким использованием релятивистской теории, кван-
квантовой теории поля с методами вторичного квантования и т. д. В связи
с этим малое место в книге уделено вопросам теории ядерных сил,
которые должны излагаться на основе мезонных теорий.
Книга ставит своей целью изложить современное состояние теории
ядра и познакомить читателя с основными методами, которые исполь-
используются при теоретическом изучении некоторых явлений ядерной фи-
физики. В книгу вошел ряд вопросов, которые развивались в последние

о ПРЕДИСЛОВИЕ
годы и еще не излагались в других известных автору книгах
или монографиях. Теория многих из этих вопросов еще далеко не за-
завершена и в ряде случаев не свободна от значительных недостатков.
Не исключено, что последующее развитие теории будет происходить
и в ином направлении. Тем не менее, автор считает целесообразным
включить изложение этих вопросов в курс теории ядра, так как на-
надеется, что это облегчит чтение оригинальной литературы.
С целью облегчения самостоятельного изучения в книге уделяется
значительное место вычислительной технике. Для той же цели служат
приложения—главным образом математического характера.
Ссылки на оригинальные теоретические работы не претендуют на
полноту. Ссылки на экспериментальные работы приводятся для сравне-
сравнения с теоретическими выводами либо для обоснования тех или иных
предположений, которые используются для упрощения теоретического
рассмотрения.
Для чтения книги нужны знания в объеме обычного курса теоре-
теоретической физики для университетов. Отмеченные звездочками параграфы
и главы, как более трудные, могут быть пропущены при первом
чтении.
В заключение я хотел бы выразить искреннюю благодарность проф.
Д. И. Блохинцеву, по инициативе которого я приступил к написанию
этой книги. Благодарю также И. С. Шапиро и Ю. М. Широкова,
прочитавших рукопись и сделавших ряд ценных замечаний, и Е. Е. Жа-
ботинского за тщательное редактирование рукописи.
Автор будет весьма благодарен читателям, которые сообщат ему
о всех замеченных недостатках книги.

ГЛАВА I
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА АТОМНЫХ ЯДЕР
§ 1. Введение
Почти вся масса атома, имеющего размеры порядка 10~8 см, со-
сосредоточена в небольшом положительно заряженном объеме—атомном
ядре, поперечник которого порядка 5-Ю3 см.
Плотность вещества в атомном ядре составляет примерно \01azjcms.
Малые размеры, огромная плотность вещества и энергии резко отлича-
отличают ядерное вещество от других тел, с которыми мы имеем дело в
обычных условиях.
Задачей теории атомного ядра является установление свойств ядер, за-
законов их устойчивости и превращений друг в друга. Теория атомного ядра
является одним из самых молодых разделов теоретической физики. Она
ведет свое начало с 1911 г., когда Резерфордом было экспериментально
установлено наличие ядра в атомах. Успеху опытов Резерфорда в зна-
значительной мере способствовало усовершенствование методов экспери-
экспериментальных исследований, связанное с огромными достижениями физики в
конце XIX века: открытие электронов A895 г.), рентгеновских лу-
лучей A895 г.), радиоактивности A896 г.) и т. д. С тех пор ядер-
ядерная физика стала одной из наиболее быстро развивающихся отраслей
науки.
В 1919 г. Резерфорду впервые удалось получить искусственную
ядерную реакцию
В 1932 г. Чэдвиком был открыт нейтрон. В этом же году Д. Д. Ива-
Иваненко [1] и В. Гейзенберг выдвинули гипотезу о нейтронно-протонном
строении ядра, которая в настоящее время получила полное подтвер-
подтверждение.
В 1934 г. Жолио и Ирэн Кюри открыли искусственную радиоак-
радиоактивность и позитронный бета-распад. 1939 г. ознаменовался открытием
Ганом и Штрассманом деления тяжелых ядер. В том же году Жолио-
Кюри, Коварский и Хальбан установили принципиальную возможность

Ю ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА АТОМНЫХ ЯДЕР [ГЛ. I
получения цепной (самоподдерживающейся) ядерной реакции, основан-
основанной на делении ядер урана. Выяснилось, что такие реакции сопровож-
сопровождаются выделением громадной энергии. С 1939 г. стали усиленно раз-
разрабатываться способы получения энергии из атомных ядер. Эти иссле-
исследования увенчались успехом в декабре 1942 г., когда Ферми с сотруд-
сотрудниками удалось построить первый ядерный реактор, в котором была
осуществлена самоподдерживающая ядерная реакция. Эта работа имела
громадное значение. Она доказала возможность практического исполь-
использования ядерной (атомной) энергии и получения искусственным путем
новых элементов (в частности, плутония) в значительных количествах.
В дальнейшем, к сожалению, успехи ядерной физики в использо-
использовании ядерной энергии были направлены не на мирные, а на воен-
военные цели. В 1945 г. были произведены первые взрывы атом-
атомных бомб.
Применение ядерной энергии в мирных целях началось значительно
позже.В июне 1954 г. в СССР была построена первая в мире электростан-
электростанция, работающая на атомном топливе. Сейчас строятся новые атомные
электростанции значительно большей мощности.
С пуском мощных ядерных реакторов и получением новых изотопов
в количествах, позволяющих использовать их для различных научно-
технических целей, возникла ядерная энергетика и появилась новая
область техники—ядерная. Опираясь в своем развитии на научные
исследования, эта область техники в свою очередь значительно расши-
расширила возможности и масштабы работ в области дальнейшего изучения
свойств ядер атомов.
Значительные успехи в последние годы были достигнуты в области
изучения свойств элементарных частиц. После открытия ji-мезонов и
тг-мезонов, начиная с 1946—1947 гг., в литературе стали появляться
указания на существование в составе космических лучей более тяжелых
неустойчивых частиц, которые получили название тяжелых мезонов и
гиперонов. В настоящее время доказано существование многих типов
элементарных частиц (см. § 2). Исследование свойств этих частиц
значительно ускорилось, когда их научились получать искусственным
путем на созданных в последнее время ускорителях, сообщающих про-
протонам энергии в миллиарды электроновольт.
В 1955 г. был открыт антипротон, а в 1956 г. антинейтрон. Ко-
Конец 1956 г. ознаменовался установлением возможности несохранения
четности при слабых взаимодействиях, ответственных за явление р-рас-
пада атомных ядер и нестабильных элементарных частиц.
Приведенный выше краткий (и очень неполный) перечень основных
достижений в области изучения атомного ядра свидетельствует о значе-
значении и быстром развитии этой отрасли экспериментальной и теорети-
теоретической физики.
В этой главе мы приведем основные экспериментальные данные
о свойствах атомных ядер, которые используются при построении тео-
теории ядра.

§ 2] СОСТАВ ЯДЕР. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ 1 1
§ 2. Состав ядер. Элементарные частицы
Ядра атомов имеют положительный электрический заряд q, кратный
абсолютной величине заряда электрона: q = Ze. Целое число Z совпа-
совпадает с порядковым номером элемента в периодической таблице Менде-
Менделеева. Второй важной характеристикой ядра является его масса. Масса
каждого ядра приблизительно равна целому числу атомных единиц
массы. Атомной единицей массы является у~ массы атома кислорода О16.
Ближайшее целое к массе ядра число, выраженное в атомных единицах,
называется массовым числом и обозначается буквой А.
Ядро атома химического элемента X обозначается обычно символом
химического элемента с двумя числами, указывающими заряд ядра и
и массовое число: Х^. Часто заряд ядра не отмечается, так как он це-
целиком определяется указанием химического символа соответствующего
атома. Ядра одинакового заряда, но разного веса называются изото-
изотопами. Ядра одинакового веса, но разного заряда называются изобарами.
Структурными единицами атомного ядра являются протоны и ней-
нейтроны. Ядро с массовым числом А содержит Z протонов и N = A—Z
нейтронов.
Напомним основные свойства протонов и нейтронов. Протон (р) —
стабильная частица. Масса протона в 1837 раз больше массы электрона.
Заряд положителен и равен 4,802-10~10 единицы электрического за-
заряда (в CGSE-системе). Спин протона равен -^- в единицах А; нейтрон (п)
не имеет заряда и примерно на 2,5 массы электрона тяжелее про-
протона, таким образом, отличие в массах @,0023-10~24 г) немногим боль-
больше 0,1°/0. Свободный нейтрон нестабилен и распадается с средним
временем жизни, равным -^ 12 минутам, на протон, электрон и анти-
антинейтрино.
Хотя нейтроны в свободном состоянии нестабильны, они образуют
вместе с протонами стабильные ядра. Так, например, дейтрон, ядро
гелия (Не4), ядро кислорода (О18) и многие другие ядра, соответствующие
определенному отношению числа нейтронов к числу протонов, являются
стабильными ядрами. Если отношение числа нейтронов к числу прото-
протонов отличается от стабильного, то в таких ядрах становятся возмож-
возможными превращения нейтрона в протон, электрон и нейтрино или пре-
превращение протона в нейтрон, позитрон и нейтрино. Такие превращения
называются ^-распадом (см. главу VI). Они происходят до тех пор,
пока ядро не станет стабильным.
Взаимные превращения нейтрона в протон и протона в нейтрон
позволяют рассматривать нейтрон и протон как два состояния одной и
той же частицы, которую называют нуклоном.
Элементарные частицы со спином -^ описываются уравнением Ди-
Дирака. Если бы протон и нейтрон тоже описывались уравнением Дирака

12 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА АТОМНЫХ ЯДЕР [ГЛ. I
для свободных частиц, то магнитный момент нейтрона равнялся бы
нулю, а магнитный момент протона — одному ядерному магнетону
и —: е ^ 5,05-10~24 рг , который в 1837 раз меньше магнетона
г° 2Мрс ' гаусс v
Бора. На самом же деле магнитный момент протона 2,792743 ji0, a
магнитный момент нейтрона равен — 1,913138 jx0. Эти факты указывают,
что свойства протона и нейтрона полностью не отражаются уравнением
Дирака для свободных частиц.
Современная квантовая теория поля еще не в состоянии количест-
количественно объяснить аномальные значения магнитных моментов протона и
нейтрона. Понятие свободной частицы является грубой идеализацией,
заимствованной из классической физики. В настоящее время установлено,,
что свободное пространство — физический вакуум — обладает определен-
определенными физическими свойствами. Так, электромагнитное взаимодействие
электрона с вакуумом приводит к смещению спектральных термов-
атомов и к изменению магнитного момента электрона. Однако вследствие
слабости электромагнитных взаимодействий так называемые «вакуум-
«вакуумные» эффекты очень малы. Нуклоны же взаимодействуют с вакуумом
мезонного поля. Это взаимодействие столь велико, что понятие свобод-
свободного нуклона без окружающего его мезонного поля совершенно несо-
несостоятельно. Из-за большой величины взаимодействия нуклона с мезон-
ным полем нельзя применять методы теории возмущений (являющиеся
основным аппаратом квантовой электродинамики), и в настоящее время
еще не созданы достаточно удовлетворительные методы для количе-
количественного описания свойств протонов и нейтронов. За неимением луч-
щего приходится пользоваться уравнениями типа Паули для описания
поведения нерелятивистских нуклонов, подставляя в них эксперимен-
экспериментальные значения магнитных моментов.
Кроме протонов и нейтронов, входящих в состав атомных ядер, в
настоящее время известно сравнительно большое число частиц, кото-
которые считаются элементарными. Элементарными частицами называют
частицы, которые на современном этапе наших знаний нельзя рассмат-
рассматривать составленными из более простых. Многие из элементарных частиц
являются нестабильными и существуют («живут») очень малое время
после их образования, превращаясь в другие элементарные частицы.
Краткий перечень основных элементарных частиц и некоторых их
свойств приведен в таблице 1. Более подробные сведения об элементарных
частицах можно найти в статье А. М. Шапиро [2].
Согласно современной теории некоторые из элементарных частиц
образуют пары; таковы, например, электрон и позитрон, нейтрино и-
антинейтрино. Одну из составляющих пары называют частицей, а вто-
вторую— античастицей. В частности, протону и нейтрону также должны
были соответствовать свои античастицы: антипротон и антинейтрон.
Долгое время поиски антипротонов и антинейтронов не приводили к
успеху. Наконец, в 1955 г. в Калифорнийском университете группой
сотрудников под руководством Э. Сегре [3] был открыт антипротон.

СОСТАВ ЯДЕР. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ
Таблица 1. Основные элементарные частицы
13
Наименование
частицы
Электрон ....
Позитрон ....
Фотон ....
Нейтрино ....
Антинейтрино . .
Протон
Нейтрон
^-мезоны ....
я-мезоны (пионы) .
Тяжелые мезоны,
или /С-мезоны. .
Гипероны ....
Обозначение
и заряд
е~ (е)
е+ (е)
Y
1
V
V
п
г
п
А»
s+, s-
Масса в
единицах
массы элек-
электрона те
1
1
0
0
0
1836,12
1838,65
206,7
273
264,3
966
2181,5
2326,9
2586
Спин в еди-
единицах %
1
2
1
~2
1
1
2
1
2
1
2
1
~2
1
2
0
0
0
1
2
1
2
1
2
Изотопический
спин*) Т; Т„
—
—
—
—
1 . 1
2 ' 2
1 . 1
2 ' 2
1; 1, -1
1; 0
1.1 1
2' 2' 2
0; 0
1; 1,-1,
1 . 1
~2 ' ~~ 2
Время жизни
в свободном
состоянии (сек]
Стабилен
Стабилен**]
Стабилен
Стабилен
Стабилен
Стабилен
1,1Ы0*
2,22.10е
2,5-108
1015
108
3,7-Ю10
1011
*) Понятие об изотопическом спине дается в § 8.
**) При встрече с электроном образует позитроний с временем жизни
•N- 10~7 сек, если сталкиваются электрон и позитрон с параллельными спинами,
и'-v, Ю"0 сек, если сталкиваются электрон и позитрон с антинараллельными
спинами.
Антипротоном называют частицу, имеющую отрицательный знак элек-
электрического заряда и магнитный момент, обратный протонному. Антипротон
находится в таком же отношении к протону, как позитрон к электрону.
Так, например, при столкновении антипротона с протоном они «анни-
«аннигилируют», превращаясь в тг-мезоны или со значительно меньшей
вероятностью в фотоны, или отдают полностью свою энергию и, сле-
следовательно, массу другим частицам,. вызывая, например, полный развал
ядер. В 1956 г. после долгих попыток был обнаружен и антинейтрон.

14 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА АТОМНЫХ ЯДЕР [ГЛ. Т
Антинейтроном называют частицу, которая находится в таком же отно-
отношении к нейтрону, как позитрон к электрону.
Наиболее существенным свойством античастиц является их способ-
способность «аннигилировать» с частицами с выделением всей энергии, соот-
соответствующей массе покоя обеих частиц.
Для характеристики нуклонного и антинуклонного состояний можно
ввести «ядерный» заряд или нуклонный заряд. При этом нуклонный
заряд протона и нейтрона принимается равным 1, а нуклонный заряд
антипротона и антинейтрона равен минус 1. В настоящее время пред-
предполагается, что нуклонный заряд гиперонов также равен 1, а нуклон-
нуклонный заряд антигиперонов равен минус 1. Нуклонный заряд всех осталь-
остальных частиц, масса которых меньше массы нуклона, равен нулю. Су-
Существенно, что в системе, состоящей из нуклонов и антинуклонов,
полный ядерный заряд, пропорциональный разности чисел нуклонов и
антинуклонов, остается постоянным независимо от вида процессов, про-
протекающих в системе.
Согласно современным представлениям законы природы инвариантны
относительно операции зарядового сопряжения, т. е. превращения всех
частиц в античастицы. При операции зарядового сопряжения надо ме-
менять одновременно знаки всех зарядов: электрических и нуклонных.
В последнее время показано, однако, что в явлениях ^-распада ядер
(и распада других элементарных частиц) необходимо сохранять инва-
инвариантность относительно комбинированной операции: зарядового сопря-
сопряжения и инверсии, а не отдельно для каждой операции (см. § 39 и 40).
Задачей теории ядра является установление свойств ядер, исходя
из свойств протонов и нейтронов, входящих в состав ядер. К сожале-
сожалению, в настоящее время мы слишком мало еще знаем о силах взаимо-
взаимодействия между нуклонами, чтобы решить эту задачу. Приходится
довольствоваться рядом полуэмиирических методов, используя те или
иные гипотезы о ядерных силах. Сравнение теории с опытом позволяет
уяснять ценность таких гипотез.
§ 3. Механические величины, характеризующие ядро
Стационарные состояния ядра характеризуются некоторым набором
физических величин, сохраняющихся с течением времени, если ядро не
подвергается внешним воздействиям. К этим величинам относятся: энер-
энергия Е, масса ядра М, импульс Ру момент количества движения J и
некоторые другие.
В этой главе мы будем рассматривать только стационарные состоя-
состояния ядер или состояния, близкие к стационарным, в которых энергия
имеет почти определенное значение.
Полная энергия и импульс любого тела связаны релятивистским
соотношением

§ 3]
МЕХАНИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЕ ЯДРО
15
где £—энергия, с — скорость света, Р — импульс тела, М—масса
покоя тела. Мы будем в дальнейшем рассматривать энергию ядра
в системе координат, жестко связанной с ядром (Р= 0), следова-
следовательно, в этой системе
Е=Мс*. C,2)
Состояние ядра с наименьшей из всех возможных энергий называется
основным состоянием. Соотношение C,2) позволяет судить об энергии
ядра путем измерения его массы. В настоящее время массу ядра
можно определить с точностью до шестого знака.
Точные измерения атомных весов ядер показали, что масса ядра
всегда на несколько десятых процента меньше суммы масс свободных
протонов и нейтронов, входящих в состав ядра. Энергия, соответствую-
соответствующая этой разности масс, называется энергией связи ядра:
е==
(NMn-\-ZM )c2}.
C,3)
Энергия связи s определяет работу, которую надо затратить, чтобы
разделить ядро на составные части. Для характеристики устойчивости
ядра удобно ввести энергию связи /, приходящуюся на один нуклон.
Величина / для большинства ядер лежит в интервале 6—8 Мэв. На
рис. 1 приведен график зависимости / от массового числа А.
0
240/!
Рис. 1. Зависимость энергии связи, приходящейся на один нуклон,
от массового числа А.
Из рисунка следует, что полная энергия связи ядра приближенно
пропорциональна числу нуклонов в ядре. Небольшие отклонения от этой
пропорциональности можно объяснить поверхностным эффектом, куло-
новским взаимодействием и некоторыми дополнительными эффектами,
Учтя, например, поправки, зависящие от четности ядра и относительной

16 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА АТОМНЫХ ЯДЕР [ГЛ. I
разности числа протонов и нейтронов. Качественно зависимость /
от А можно понять, если предположить, что ядерные силы между му-
клонами обладают свойством насыщения, т. е. каждый нуклон взаимо-
взаимодействует только с ближайшими соседями (см. § 13).
Все ядра могут быть разделены на стабильные и нестабильные
(радиоактивные.) Стабильные ядра характеризуются определенным от-
отношением числа нейтронов к числу протонов. У легких ядер число
нейтронов обычно равно числу протонов, у тяжелых ядер число ней-
нейтронов превышает число протонов. При отклонении величины N[Z от
некоторых значений, характерных для данного массового числа.А, ядро
становится нестабильным но отношению к ^-распаду. Такое ядро
путем самопроизвольного перехода нейтронов в протоны (или обратно)
с испусканием электронов (позитронов) и нейтрино или механизмом
/(-захвата переходит в стабильное состояние.
Кроме нестабильности по отношению к ^-распаду, тяжелые ядра
обладают еще «динамической» нестабильностью по отношению к рас-
распаду на две или большее число частей. К этому типу нестабильности
относится и а-распад ядер. Ядро обладает динамической нестабильностью
в том случае, если энергия связи, приходящаяся в нем на один нук-
нуклон, меньше, чем соответствующая энергия связи в ядрах осколков.
Все тяжелые ядра (А ^> 110) нестабильны по отношению к делению.
Однако вероятность спонтанного деления очень мала (см. главу V).
§ 4. Размеры ядер
В первом приближении ядра можно считать сферическими (см. § 20)
со сравнительно хорошо определенной поверхностью. Хотя понятие
«радиуса ядра» является несколько условным, однако при изученчи
рассеяния электронов, нейтронов, протонов и а-частиц на ядрах, а
также при исследовании рентгеновских лучей, испускаемых jx-мезонны-
ми атомами, было установлено, что радиус ядра можно выразить
простой формулой
где г0 — некоторая постоянная.
Данные этих измерений с несомненностью указывают на то, что объем
ядра пропорционален числу нуклонов в ядре, поэтому плотность ядер-
ядерного вещества почти одинакова в различных ядрах.
Значение постоянной г0, найденное из опытов по рассеянию (об-
(обусловленному ядерными силами) нейтронов, протонов и а-частиц на
ядрах, оказалось равным A,3 — 1,4)-103 см. Значение постоянной г0,
найденное из опытов по рассеянию электронов и исследований
jx-мезонных атомов, оказалось равным 1,2-10~13 см.
При исследованиях рассеяния быстрых электронов на ядрах [4] и
излучения ^-мезонных атомов фактически определяется распределение

§ 5] МОМЕНТЫ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ НУКЛОНОВ И ЯДЕР 17
электрического заряда (протонов) в ядрах. Согласно современным
представлениям распределение протонов не отличается значительно от
распределения нейтронов в ядре вследствие примерной компенсации
влияния нескольких эффектов. Из этих эффектов отметим следующие:
а) Действие кулоновского отталкивания, стремящегося повысить
плотность протонов на периферии ядра.
б) Эффект разной кинетической энергии протонов и нейтронов в
ядре, указанный Джонсоном и Теллером [5]. Вследствие превышения
числа нейтронов над протонами их кинетическая энергия в ядре должна
быть больше. Разница кинетических энергий нейтрона и протона при-
приближенно компенсируется кулоновским отталкиванием между протонами,
если допустить, что нейтроны занимают больший объем, чем протоны.
в) Кулоновский барьер для протонов препятствует проникновению
протонов через «поверхность» ядра. Вследствие всех этих эффектов
'средние радиусы распределения протонов и нейтронов в ядре примерно
одинаковы. Однако нейтронный «хвост» в распределении, по-видимому,
тянется немного дальше.
Разные значения г0, полученные из явлений, в которых проявля-
проявлялись ядерное взаимодействие и электрические взаимодействия, указы-
указывают, по-видимому, на неодинаковую зависимость от расстояния эффек-
эффективного потенциала ядерного взаимодействия и плотности ядерного
вещества. Согласно работам [6] ядерный потенциал взаимодействия
спадает менее быстро, чем плотность ядерного вещества, поэтому
средний радиус потенциала больше среднего радиуса распределения
плотности ядерного вещества.
§ 5. Моменты количества движения нуклонов и ядер
Протон и нейтрон обладают собственными моментами количества
движения, равными А/2. Компоненты момента количества движения
нуклона (как и любых других частиц со спином А/2) описываются в
единицах А операторами:
А 1 1 1
1 1 I
где
'О 1\ /О —А /1 О
О
!). •.=(*_
Операторы sx, sy, sz имеют свойства операторов компонент углового
момента; в частности, они удовлетворяют перестановочным соотноше-
соотношениям [sx, sy] = isz, [sy, sz]=isx, [sz, $x] = isy. Часто компонен-
компоненты оператора спинового момента количества движения объединяются в
вектор спина
АС. Давыдов

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА АТОМНЫХ ЯДЕР
[ГЛ. I
Полный момент количества движения нуклона (в единицах Щ соста-
составляется из спинового и орбитального моментов по правилу векторного
сложения (см. приложение I, § Б)
В центрально-симметричном поле одновременно сохраняются квадрат
полного момента j2 и его проекция на произвольную ось z j г, при
этом собственные значения операторов этих величин равны соответ-
соответственно j(j-\-\) и m = zbj} dzU—1). dz««« Квантовое число у при-
принимает целые или полуцелые значения.
Поскольку сохраняющимися величинами, имеющими одновременно
определенные значения, являются только j2 и Jz, то нельзя говорить
о направлении момента количества движения в пространстве.
Атомное ядро в целом также характеризуется определенным зна-.
чением момента количества движения, который называется спином
Таблица 2. Значение спинов основных состояний
некоторых ядер
Ядро
Не4
Q16
Н2
В10
К40
Со58
La138
В'1
N15
Си63
In
LuI7S
цт
y2S5
Ри239
Ри241
Z
2
8
1
5
19
27
57
5
7
29
49
71
92
92
94
94
N
2
8
1
5
21
31
81
6
8
34
66
104
141
143
145
147
Спин
0
0
1
3
4
2
5
• to] w
I
2
to| со
9
'2
7
5
2
7
~2
1
2
5

§ 6] МАГНИТНЫЕ МОМЕНТЫ ЯДЕР 19
ядра. Обозначим оператор спина ядра (в единицах ft) буквой
J=(JX, J Jz). При этом операторы проекций спина удовлетворяют
перестановочным соотношениям [Jx, jy] = Uz и двум другим, полу-
получаемым из этого циклической перестановкой индексов Jt, у, z. Опера-
Операторы J2 и J г коммутируют друг с другом. Они имеют собственные
значения, определяемые уравнениями:
J z$Jm = >n'bjm.
Спин ядра У может принимать целые и иолуцелые значения. У всех ядер
с четным массовым числом спин ядра целый. У всех ядер с нечетным
массовым числом спин ядра полуцелый. У зсех ядер, имеющих четное
число протонов и четное число нейтронов, в основном состоянии спин
ядра равен нулю. Для иллюстрации возможных значений спинов в
таблице 2 приведены значения спинов основных состояний некоторых
ядер. Там же указаны число протонов (Z) и число нейтронов (N)
в ядре.
§ 6. Магнитные моменты ядер
В классической физике магнитный момент возникает из-за движе-
движения электрических зарядов. Если р (г) — плотность электрического за-
заряда, a v (г)—скорость, то магнитный момент объема ii будет равен
(r)[r,V(r)]dx. F,1)
Если движущиеся частицы имеют массу М и заряд е, то с магнитным
моментом F, 1) связан механический момент количества движения в
единицах А:
^^{r)[r,v(r)]dx. F,2)
Таким образом, можно написать:
V- = ^0J, F,3;
eti
где jao = ——- .Если М равно массе нуклона, то ]Х0 называют ядер-
ядерным магнетоном. В квантовой механике равенство F,2) заменяется
соотношением между соответствующими операторами. Оператор маг-
магнитного момента ядер из-за наличия нейтронов, не имеющих элек-
электрического заряда, и собственных магнитных моментов нуклонов,
выражается более сложной формулой через оператор механического
2*

20
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА АТОМНЫХ ЯДЕР
момента ядра (спин):
[гл.
F,4)
Множитель g в F,4) называется ядерным гиромагнитным отноше-
отношением. Гиромагнитные отношения различных ядер изменяются в пре-
пределах примерно от — 4 до 6. Для иллюстрации в таблице 3 приво-
приводятся экспериментальные значения магнитных моментов ядер в состо-
состояниях с Jz — J и соответствующие гиромагнитные отношения.
Таблица 3. Значение ядерных гиромагнитных
отношений для некоторых ядер
Ядро
Р
п
Н2
Не8
А127
Ag109
Si29
Со57
Ей152
Zr91
Те125
Мп54
К40.
Rb86
J
1
2
1
~2
1
1
~2
5
2
1
2
1
у
7
~2
5
2
5
2
1
~2
6
4
2
V-iV-o
2,79
— 1,91
0,86
-2,1
3,6
—0,1
—0,6
4,6
3,6
— 1,1
-0,9
3,4
-1,3
-1,7
g
5;53
—3,82
0,86
-4,2
1,76
—0,2
— 1,2
1,31
1,55
—0,55
— 1,8
0,57
—0,22
-0,85
§ 7. Электрические квадрупольные моменты ядер
По-видимому, все атомные ядра в основном состоянии обладают
центром симметрии, поэтому дипольный электрический момент таких
ядер в системе координат, связанной с ядром, равен нулю.
Опыт показывает, что у некоторых ядер распределение электри-
электрического заряда не имеет сферической симметрии, но обладает аксиаль-

§ 7] ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КВАДРУПОЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ ЯДЕР 21
ной симметрией и плоскостью симметрии, перпендикулярной к этой
оси. Отклонение распределения заряда в ядре от сферической симмет-
симметрии характеризуется электрическим квадрупольным моментом
(r)C*2-r2)rfT, G,1)
где е — заряд протона, р(г)— плотность электрического заряда.
Квадрупольные электрические моменты обычно выражаются в единицах
заряда протона, поэтому они имеют размерность см2. Если плотность
заряда в ядре постоянна, а форма ядра вытянута вдоль оси z, совпа-
совпадающей с осью симметрии ядра, то квадрупольный момент положите-
положителен. Если форма ядра сплюснута вдоль оси z, то квадрупольный
момент отрицателен.
Ядро, имеющее форму эллипсоида вращения с полуосями с (вдоль
оси z) и а (перпендикулярной к оси z) и постоянную плотность
электрического заряда, обладает квадрупольным электрическим мо-
моментом
G,2)
где Z—заряд ядра в единицах е.
Если с = а-\-ка и к.а«а, то
a
Наблюдаемый квадрупольный момент Q ядра не совпадает с
собственным квадрупольным моментом Qo, характеризующим величину
несферичности распределения заряда в ядре. Наблюдаемым квадру-
квадрупольным моментом Q ядра называется среднее значение квадрупольно-
го момента ядра в состоянии, обладающем квадратом полного момента
количества движения, равным J(J-{-\), и его проекцией на выде-
выделенное направление в пространстве, равной J. При этом, как пока-
показано в приложении II, § К,
В частности, Q = 0, если У=0 или -7r\ Q=^.} если /=1;
г\ 6 _ .9
Q = yjQ0, если J = y-
Квадрупольные моменты ядер изменяются в очень широких преде-
пределах. Таблица 4 дает представление о наблюдаемых значениях квадру-
польных моментов ядер.
Большие квадрупольные моменты некоторых ядер указывают на
значительное отклонение формы этих ядер от сферической симметрии.

22 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА АТОМНЫХ ЯДЕР
Таблица 4. Квадрупольные электрические моменты
некоторых ядер
[гл. I
Ядро
н2
О"
01в
S33
Си65
Аи197
Nduo
Ей158
Sm154
Cd158
Dy162
Lu175
Та181
Os188
Th232
U238
и235
и233
z
1
8
8
16
29
118
60
63
62
64
66
71
73
76
90
92
92
92
N
1
9
8
17
36
197
90
90
92
94
96
104
108
112
142
146
143
141
J
1
г;
5
~2
0
3
у
3
2
3
2
0
5
~2
0
0
0
7
~2
7
"о"
1OO О 1
7
~2
5
2
0,27
—0,5
0
-0,8
-15
60
480
770
670
1000
820
820
680
510
1000
1100
900
1400
Как правило, большие квадрупольные моменты положительны. Это
указывает на то, что при значительном отклонении от сферической
формы ядро имеет форму вытянутого эллипсоида вращения.

ГЛАВА II
ИЗОТОПИЧЕСКИЙ СПИН АТОМНОГО ЯДРА
§ 8. Протон и нейтрон как два состояния одной частицы.
Зарядовая переменная
Для описания процессов взаимопревращений протона в нейтрон и
обратно удобно рассматривать протон и нейтрон как два состояния
одной частицы—нуклона. В этом случае состояние нуклона будет
характеризоваться пятью степенями свободы:
{г, sz, t3} = {x, Q,
где вектор г определяет пространственное положение нуклона, sz —
проекцию спина. Пятая степень свободы t3 называется зарядовой пере-
переменной. Она принимает только два значения; одному из них соответ-
соответствует протонное состояние, другому — нейтронное.
Поскольку ta принимает только два значения, то удобно функцию
ф {х, t3), описывающую состояние нуклона, записывать в виде столбца
о
Матрицы 7т= (qJ и v= ( 1 ] можно рассматривать как функции, оп-
определяющие зарядовое состояние нуклона. Функция тт соответствует
протонному состоянию, функция v — нейтронному.
Все линейные операторы, действующие на функции от зарядовых
переменных, могут быть выражены через матрицы Паули:
и единичную матрицу
1 _ /1 <Л
(8,2а)

24 ИЗОТОПИЧЕСКИЙ СПИН АТОМНОГО ЯДРА [ГЛ. И
Рассмотрим действие этих операторов на протонную и нейтронную
волновые функции. Легко видеть, что
Vх = (? о) (o) = (?)-v'
о п /о
Таким образом, xt переводит протонное состояние в нейтронное, и
наоборот.
Введем новый оператор:
Собственные значения этого оператора равны 1 и 0. Следовательно,
оператор
i=|-(l+t,) (8,4)
можно рассматривать как оператор заряда нуклона, так как собствен-
собственные значения этого оператора равны е для протонного состояния и
нулю для нейтронного состояния. Для антинуклонов оператор заряда
должен иметь вид <7анти = -^ (т3 — ^)> где е^>^-
Введем еще оператор:
1 (<>?) (8.5)
Поскольку операторы х хп и q коммутируют с оператором х3, то
все они имеют собственные функции, соответствующие состояниям с оп-
определенным значением заряда нуклона, т. е. это либо функции тг,
либо функции v. Действительно, легко убедиться, что действие опе-
операторов хр и zn на протонную и нейтронную волновые функции сво-
сводится к следующему:
v = 0, xBv = v.
р
Оператор хр называется проекционным оператором протона, а опе-
оператор ти— проекционным оператором нейтрона. Эти названия свя-
связаны с тем обстоятельством, что операторы х и хп позволяют из
общего состояния, представляющего линейную комбинацию протонного
и нейтронного состояний, выделять либо протонное состояние, либо
нейтронное состояние.

§ 9] ЗАРЯДОВОЕ ПРОСТРАНСТВО И ИЗОТОПИЧЕСКИЙ СПИН 25
§ 9. Зарядовое пространство и изотопический спин.
Изотопический спин системы нуклонов
Подобно тому как операторы обычного спина ах, ау, az образуют
спиновый векторный оператор s=1l2G, так и операторы т1? т2, т„,
обладающие математическими свойствами компонент оператора спина,,
образуют векторный оператор i=1'2x в некотором абстрактном про-
пространстве, которое называют зарядовым пространством или про-
пространством изотопического (изобарического) спина. Координатные
оси 1, 2, 3 этого пространства не имеют никакого отношения к осям,
координат обычного пространства, а изотопический спин t не имеет
отношения к вращению в обычном пространстве, а определяет враще-
вращения в абстрактном, зарядовом пространстве.
Итак, нуклон можно рассматривать как частицу, обладающую изо-
изотопическим спином t=1j2. В состояниях, в которых заряд имеет опре-
определенное значение, при определении оператора заряда формулой (8,4}
необходимо выбирать матрицы (8,2) в таком представлении, в котором
диагональна т3. Тогда значения третьей компоненты изотопического-
спина t3 = 1j2, —!/2 будут определять соответственно протонное и
нейтронное состояния нуклона. Состояние антинейтрона характеризуется
значением ts = 1lz, а состояние антипротона значением tz = — '/г*
Операторы изотопических векторов можно складывать по правилам
иекторного сложения и умножать друг на друга. В частности, скаляр-
скалярное произведение двух векторов £A) и t B) приводит к величине
B) = tl(\)t1B)+tM(l)ttB) + tt(\)tt B),
остающейся неизменной при операциях поворота в зарядовом про-
пространстве.
Определим оператор изотопического спина ядра, состоящего из А
нуклонов, соотношением
Оператор заряда ядра будет согласно (8,4) иметь вид
А
@(*0 (9'2>
где 7*3 = 2^3 (')• Собственное значение Т3 определяется числом ней-
i
тронов и протонов в ядре
Операторы Т3 и Т2 коммутируют между собой, поэтому соответст-
соответствующие им физические величины могут иметь одновременно опреде-
определенные значения.

26 ИЗОТОПИЧЕСКИЙ СПИН АТОМНОГО ЯДРА [ГЛ. II
Выясним, при каких условиях Т3 и Т2 будут интегралами движе-
движения в стационарных состояниях ядра. Для этого надо выяснить вопрос
о возможности коммутации Т3 и Т2 с оператором Гамильтона ядра.
Поскольку в стационарном состоянии число нуклонов и заряд остаются
неизменными, то собственные значения Т3 должны быть интегралами
движения, соответствующими закону сохранения заряда системы *).
Следовательно, оператор Гамильтона //, описывающий состояние ядра,
должен коммутировать с Тя.
Полный оператор Гамильтона ядра можно записать в виде
q+V* (9,3)
где оператор кинетической энергии
А2 (Мп + мр) у , ft» (Мр - мп) у • , , ,
оператор энергии покоя свободных протонов и нейтронов
W~Y^{Mp^p-\-Mnxn}C2 = ^{Mn^Mp)c2-{Mn-Mp)c'tz', (9,5)
оператор кулоновского взаимодействия протонов
Здесь и в дальнейшем знак штрих у суммы указывает, что сумми-
суммирование производится по а и 3 при условии а=£$. VH — оператор
потенциальной энергии специфического ядерного взаимодействия между
нуклонами. Согласно гипотезе зарядовой независимости ядерных сил
оператор Va должен коммутировать как с оператором Т3, так и с опе-
оператором Т'.
Полный гамильтониан (9,3) коммутирует с Т3, но не коммутирует
с оператором 7г. Однако при е = 0 и Мр = Мп полный гамильто-
*) Мы не будем рассматривать явлений при очень больших энергиях,
когда в реакциях принимают участие нестабильные частицы (тяжелые мезоны
и гипероны). Эти явления могут происходить с нарушением закона сохране-
сохранения Т3, но обязательно с сохранением заряда системы. При описании таких
явлений оператор заряда и оператор Ts должны рассматриваться как незави-
независимые операторы.

§ 9] ЗАРЯДОВОЕ ПРОСТРАНСТВО И ИЗОТОПИЧЕСКИЙ СПИН 27
ниан Н перейдет в гамильтониан *)
° • (9'7)
МпМр
Гамильтониан Но коммутирует с оператором квадрата полного изотопи-
изотопического спина ядра Тг и оператором его проекции 7\,.
Итак, полный гамильтониан ядра может быть представлен в виде
Н=Н0 + Н' + /Г, (9,8)
где
Н' = —сш(Мн — Мр)Т, (9,9)
— операторы, стремящиеся к нулю при е—>0 и Мп — Мр—» 0. Опе-
Оператор И" не коммутирует с Тг, поэтому в общем случае оператор
Гамильтона ядра (9,8) не коммутирует с i и квадрат изотопического
спина ядра не является интегралом движения. Однако в случае легких
ядер оператор И" мал и в первом приближении может быть отброшен.
В следующих приближениях эффект оператора И" может быть учтен
методом теории возмущений.
Будем далее называть приближением зарядовой независимости
гамильтониана такое приближение, при котором полный гамильтониан
ядра (9,8) заменяется гамильтонианом HQ. Тогда полный изотопический
спин ядра Тг будет интегралом движения, и следовательно, наряду
с другими интегралами движения Е, J, Т3 и т. д. стационарное состояние
ядра будет определяться значениями Т.
При данном значении полного изотопического спина Т ядра воз-
возможны 27-j- 1 различных значений Ts. Наборы состояний с одним Т
и разными значениями Т3 называют зарядовыми мультиплетами.
При Г = 0 имеем зарядовый синглет, при T=1j2—зарядовый дуб-
дублет, при Т=\ —зарядовый триплет и т. д. В приближении заря-
зарядовой независимости гамильтониана разным составляющим одного заря-
зарядового мультиплета будут соответствовать состояния с одинаковой
энергией, спином, четностью и т. д., так как оператор Ио не содер-
содержит оператора Т3. Учет члена И' в следующих приближениях приведет
*) Согласно современной квантовой электродинамики разница масс про-
tOHa и нейтрона обусловлена их взаимодействием с электромагнитным полем;
поэтому при е—»■ 0 и Мп — Мр—» 0. Последний член в гамильтониане (9,7)
не зависит от координат и может быть опущен при изменении начала от-
отсчета энергии.

28 ИЗОТОПИЧЕСКИЙ СПИН АТОМНОГО ЯДРА [ГЛ. II
к расщеплению мультиплета на отдельные составляющие. В тяже-
тяжелых ядрах оператор Н" не является малой величиной, поэтому Тг
не будет сохраняться и нельзя использовать полный изотопический
спин для характеристики стационарных состояний.
Операторы изотопического спина Т в зарядовом пространстве соот-
соответствуют операциям поворота. Поэтому приближение зарядовой неза-
независимости гамильтониана соответствует неизменности физических свойств
системы при операциях поворота в зарядовом пространстве. При опе-
операциях поворота волновая функция нейтрона (или протона) переходит
в линейную комбинацию волновых функций нейтрона и протона. По-
Поскольку в приближении зарядовой независимости нейтрон и протон
физически эквивалентны, то линейная комбинация нейтронной и про-
протонной волновых функций должна давать те же результаты, что и
волновые функции протона и нейтрона в отдельности. Следует, ко-
конечно, помнить, что зарядовая независимость не является строгой даже
в случае легких ядер. Слабые электромагнитные взаимодействия и
разность масс протона и нейтрона, хотя и действуют в противопо-
противоположных направлениях, компенсируют друг друга только в особых слу-
случаях. Электромагнитное взаимодействие (и разность масс Мр и Мп)
выделяют одно из направлений (ось 3) в зарядовом пространстве,
т. е. делают различимыми протоны и нейтроны.
Гамильтониан Но инвариантен относительно одновременной пере-
перестановки всех пяти координат (л:, у, z, ts, sz) любых двух нуклонов.
Поэтому оператор P{r, s, t) одновременной перестановки пяти коор-
координат двух любых нуклонов коммутирует с /Уо. Следовательно, собст-
собственные значения оператора P(r, s, t), равные +1, будут интегра-
интегралами движения в приближении зарядовой независимости гамильтониана.
Собственному значению — 1 соответствуют антисимметричные волно-
волновые функции относительно одновременной перестановки пяти коорди-
координат пары нуклонов; собственному значению -j- 1—симметричные
функции. Поскольку протоны и нейтроны в отдельности удовлетворяют
принципу Паули, то одновременная перестановка пяти координат пары
протонов (или нейтронов), соответствующая перестановке только спи-
спиновых и пространственных координат, должна приводить к изменению
знака волновой функции. Таким образом, волновые функции системы
нейтронов и протонов должны быть антисимметричны относительно
одновременной перестановки пяти координат пары нуклонов одного
типа. Поскольку в приближении зарядово независимого гамильтониана
перестановка пары нейтронов или протонов не должна отличаться
от перестановки пяти координат протона и нейтрона, то в этом при-
приближении волновая функция ядра должна быть антисимметричной от-
относительно перестановки пяти координат любой пары нуклонов в ядре.
Если состояния системы нуклонов описываются волновыми функциями,
антисимметричными относительно перестановки пяти координат1 любой
пары нуклонов, то говорят, что система удовлетворяет обобщенному
принципу Паули.

§ 1 0] ВОЗМОЖНЫЕ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ ДВУХ НУКЛОНОВ 29
§ 10. Возможные состояния системы двух нуклонов
Система двух нуклонов имеет оператор изотопического спина
A0,1)
При сложении изотопических спинов применимы обычные правила
сложения моментов. Поэтому система двух нуклонов может находиться
либо в синглетном G=0), либо в триплетном G=1) зарядовых
состояниях.
Обозначим функцию зарядовых переменных системы двух нуклонов
буквой ср; тогда
при этом
= y=={ir(l)vB)_v(l)irB)},
=
A0,3)
<рп=1гA)тгB),
<Р,, -, = vA)vB).
Если ввести оператор перестановки зарядовых переменных Р]2 (х), то
РП (Т) У 00 = — ТОО» Л. (Х) ^17-»= <Pl7V
так как функция ср1Г симметрична, а функция <р00 антисимметрична
относительно перестановки зарядовых переменных нуклонов 1 и 2.
Учитывая свойства (Ю,3) функций ср, можно выразить оператор пере-
перестановки Я12(т) через оператор Тг простым соотношением:
Я11(т) = 711 —1. A0,4)
В силу (Ю,1) имеем:
i" =|{т'A)+таB)+2тA)тB)}=.|+ ТПOB) •
Поэтому оператор перестановки зарядовых переменных можно выразить
через операторы т:
Р11(х) = 1A+тA)тB)). A0,5)
Сравнивая (Ю,4) и A0,5), находим:
= 27й — 3. A0,6)
Обычно состояния с Г=0 энергетически более выгодны, чем состоя-
состояния с большими значениями изотопического спина.

30
ИЗОТОПИЧЕСКИЙ СПИН АТОМНОГО ЯДРА
[гл. II
Итак, система двух нуклонов может находиться в двух различных
зарядовых состояниях по значению изотопического спина: в сннглет-
ном зарядовом состоянии Т=Т3 — 0, когда один из нуклонов нахо-
находится в нейтронном состоянии, а другой — в протонном состоянии, и
в триплетном зарядовом состоянии 7=1, при котором в зависимости
от значения Тя система будет состоять либо из двух протонов G3 = 1),
либо из двух нейтронов G3 = —1), либо из протона и нейтрона
G3=0).
Согласно гипотезе зарядовой независимости ядерных сил все три
состояния, принадлежащих зарядовому триплету G=1), должны были
бы иметь одинаковую энергию при отсутствии кулоновского взаимодей-
взаимодействия и одинаковости масс нейтрона и протона. Из-за кулоновского
взаимодействия энергия состояния р,р{Т3=\) должна лежать выше
энергии состояния р,яG3 = 0); разница в массе протона и нейтрона
действует в обратном направлении. В таблице 5 указана симметрия
волновых функций относительно перестановки пространственных, спи-
спиновых и зарядовых координат для возможных состояний системы двух
нуклонов с учетом обобщенного принципа Паули.
Таблица 5. Свойства симметрии волновых функций двух нуклонов
Функция
Пространственные
переменные . .
Спиновые неремен-
неременные
Зарядовые пере-
переменные ....
Симметрична
Симметрична
Антисиммет-
Антисимметрична
Антисиммет-
Антисимметрична
Антисимметрична
/ = 1
Антисим-
Антисимметрична
Симметрич-
Симметрична
Симметрич-
Симметрична
Антисим-
Антисимметрична
Симметрична
Для обозначения спиновых состояний системы нуклонов обычно
заимствуют терминологию, взятую из спектроскопии. Если общий спин
системы равен S, то величина 2S-J-1 называется муяьтиплетностью
данного состояния. Состояния с 6' = 0 называются синглетными, состоя-
состояния с 5='/2—дублетными, состояния с S—\ называются триплет-
ними. Система двух нуклонов может находиться только в синглетном
или в триплетном спиновых состояниях.
Если силы взаимодействия между двумя нуклонами центральные,
то состояния системы двух нуклонов будут характеризоваться опреде-
определенным значением орбитального момента. Поэтому надо различать
состояния системы двух нуклонов путем указания значения орбиталь-
орбитального момента системы L и значения полного момента системы У, рав-
равного векторной сумме спинового и орбитального моментов: J= L-\-S.

§ Ю] ВОЗМОЖНЫЕ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ ДВУХ НУКЛОНОВ 31
Состояние с полным моментом, равным У, орбитальным моментом L и
спином S кратко обозначается так:
i2S+1)Lj. A0,7)
Вместо числового значения L обычно в A0,7) ставятся буквы латин-
латинского алфавита; при этом значениям L, равным 0, 1, 2, ... , сопо-
сопоставляют соответственно буквы S, P, D, F, G и далее в порядке нор-
нормального латинского алфавита. В частности, синглетные спиновые
состояния системы двух нуклонов могут быть записаны в виде
1S0, lPv lD2, . . . ; триплетные спиновые состояния той же системы —
r виде *S "Р 2Р JP SD 3D 3D
Инвариантность уравнения Шредингера для системы А нуклонов
относительно изменения знаков всех пространственных координат (пре-
(преобразование инверсии) приводит к закону сохранения четности коор-
координатной волновой функции системы. Поскольку двукратное примене-
применение преобразования инверсии приводит к тождественному преобразованию,
то все состояния системы можно разделить по отношению к преобра-
преобразованию инверсии на четные (положительная четность) и нечетные
(отрицательная четность). Состояние называется четным или положи-
положительной четности, если при преобразовании инверсии волновая функ-
функция системы не изменяется. Состояние называется нечетным или отри-
отрицательной четности, если при операции инверсии волновая функция
меняет знак.
Для систем, состоящих только из двух нуклонов, четность волновой
функции равна (—\)L] следовательно, она определяется четностью
числа L. Таким образом, четными состояниями будут 5, Д G, ... ,
нечетными Р, F, ... *).
Состояния системы двух нуклонов можно классифицировать по зна-
значениям полного момента У, полного спина 6" и четности. В таблице 6
указаны возможные состояния системы двух нуклонов для случая
У=0, 1, 2; в скобках указаны возможные значения полного изотопи-
изотопического спина.
Следует, конечно, иметь в виду, что каждое из состояний, приве-
приведенных в таблице 6, с J=^=0 имеет 27-]-1 -кратное вырождение по
*) При исследовании четности волновой функции системы частиц следует,
вообще говоря, учитывать еще внутреннюю четность частиц, которая прини-
принимает значения ±: 1 и определяет свойства преобразования волновой функции
покоящейся частицы относительно преобразования инверсии. Так, например,
частицы с нулевым спином могут иметь положительную (скаляр) и отрицатель-
отрицательную (псевдоскаляр) внутреннюю четность. В случае нуклонов (как и других
частиц с полуцелым спином) можно говорить об относительной внутренней
четности. При этом оказывается, что протоны и нейтроны имеют одинаковую
относительную внутреннюю четность. Поэтому указанная выше четность
состояний системы двух нуклонов не изменится и при учете относительной
внутренней четности нуклонов. Более подробные сведения о свойствах сим-
симметрии волновых функций элементарных частиц можно найти в работе
п- С. Шапиро [7].

32 изотопический спин атомного ядра [гл. и
Таблица 6. Возможные состояния системы двух нуклонов
J=2
Спиновое
синглетное состояние
четное
■8.(Г=.)
нечетное
—
—
Спиновое
триплетное состояние
четное
—
нечетное
■Р„(Г=!)
значению проекции момента J2 и 27-\- 1 -кратное вырождение по зна-
значению Т3.
Угловая зависимость волновых функций указанных выше состояний
системы двух нуклонов определяется такими линейными комбинациями
•сферических YLm и спиновых функций Xsm', которые будут собствен-
собственными функциями операторов квадрата полного момента J и его проек-
проекции JZ = M. Такие комбинации просто выражаются (см. приложе-
лне I, § В) через коэффициенты векторного сложения:
где M = m~\-m'. Функция Фля называется сферической функцией со
спином; она зависит от координат, спина и угловых переменных.

ГЛАВА III
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ ЛЕГКИХ ЯДЕР
§11. Элементарная теория дейтрона
Ядро тяжелого водорода называется дейтроном. Дейтрон состоит
из нейтрона и протона. Из эксперимента известно, что энергия связи
дейтрона равна 2,23 Мэв; спин равен 1, магнитный момент ц =^0,86}х0;
квадрупольный электрический момент Qo = 2,74- Ю7 см2.
Для построения элементарной теории дейтрона предположим, что
ядерные силы, действующие между протоном и нейтроном, можно опи-
описать потенциалом V{r). Как мы увидим ниже, величина ядерных сил
и их ,радиус действия зависят от взаимной ориентации спинов нукло-
нуклонов. Опыт показывает, что" ядерные силы между двумя нуклонами
очень велики при малых расстояниях и практически равны нулю при
расстояниях, превышающих их радиус действия d.
Вследствие малого радиуса действия ядерных сил и их большой
величины результаты расчета основного состояния дейтрона, соответ-
соответствующего малой энергии связи, слабо зависят от деталей зависимости
потенциала V(r) от расстояния. Поэтому можно выбрать простейшую
зависимость в виде прямоугольной потенциальной ямы:
— Уп, если г
0, если r
Энергетические состояния системы двух нуклонов в системе центра
инерции могут быть получены из уравнения Шредингера:
М
где [).==- приведенная масса. Будем искать решение в виде
/, т
тогда для функции и1 получим уравнение
о
А- С. Давыдов

34 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ ЛЕГКИХ ЯДЕР [ГЛ. Ill
с граничным условием
«,@) = 0. A1,2)
Связанные состояния возможны при Е<^0, из них нижайшее энер-
энергетическое состояние соответствует / = 0, так как при 1фО иояв-
ляется дополнительная положительная энергия —^~—-, соответствую-
соответствующая «центробежному» отталкиванию нуклонов.
Поскольку координатная волновая функция основного состояния
нейтрона (/ = 0) соответствует 5-состоянию (функция симметрична
относительна перестановки пространственных координат), а спиновая
функция должна соответствовать триплетному спиновому состоянию
S=\, так как полный момент дейтрона J равен 1, то функция изо-
изотопического спина должна быть антисимметричной относительно пере-
перестановки зарядовых переменных, т. е. принадлежать зарядовому еннг-
лету (Г = 0).
Введем обозначения:
Тогда при /=0 и г<^d уравнение A1,0 примет следующий вид:
его решением будет
и = Л sin т.г -j- В cos ar.
Из граничного условия (П,2) следует, что 5 — 0, поэтому при
получим:
u = As\nir. A1,4)
В области r^>d уравнение A1,1) имеет вид
а его решение
Из условия стремления к нулю и (г) при г—>• оо следует, что с' = 0.
Таким образом, при r^>d
u = cQxp( — $r). A1,5)
Величина ^,~л =%{Ме)~Х1^ определяется только энергией связи дей-
дейтрона; при £ = 2,23 Мэв ^~J = 4,31 • 10~ls см. Из A1,5) следует, что
величину Р можно рассматривать как эффективный радиус дейтрона.

§ 111
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ДЕЙТРОНА
35
Приравнивая логарифмические производные решений A1,4) и A1,5)
на границе двух областей, при r = d получим равенство
a ctg ad = — р или a.d ctg o.d = — $d.
Полагая c, = ad, 7j = ftaf, находим:
где
(П,6а)
Уравнение A1,6) можно решить графически (рис. 2). Из рисунка видно,
О I л,2 г 5 л * £•
Рис 2. Графическое решение трансцендентного уравнения rjz= — 5 ctg S.
что уравнение A1,6) будет иметь одно решение, если -^ г=: I2
или, учитывая A1,6а), получим:
тт2,
2:1 '
A1,7)
Из неравенства A1,7) видно, что при заданном радиусе действия ядер-
ядерных сил первый связанный уровень появляется только при глубине
ямы, превышающей VKp = -ТаГТп• Если принять d = 2-\Q~'ltcM, то
^кр=25 Мэв. Зная энергию связи е дейтрона, можно определить
только произведение VQd2, а не Vo и d в отдельности.
3*

36 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ ЛЕГКИХ ЯДЕР [ГЛ. Ill
При ядерных силах нулевого радиуса волновая функция дейтрона
в основном состоянии имела бы вид:
£±^1»>. A1.8)
Эффективный радиус дейтрона [З превышает радиус действия
ядерных сил d, т. е. дейтрон представляет собой сравнительно «рыхлую»
систему. Вследствие малого радиуса действия ядерных сил, энергия
связи не равна по порядку величины энергии взаимодействия Vo,
а значительно меньше ее.
Можно легко показать, что в предположении центрального харак-
характера ядерных сил у дейтрона не существует состояний с 1=^0; дей-
действительно, для грубой оценки положения уровня с орбитальным
i / л Ъч{1-\-1)
моментом /=£0 вычислим значение энергии отталкивания ^—г—— ,
возникающей из-за центробежных эффектов при.г=р~1. Полагая,
/ 1 ( ^ \ &?* от л
например, /=1, имеем I —Г V =——= 2з. Таким образом,
если силы взаимодействия между протоном и нейтроном центральные,
уже Р-состояние должно лежать в области непрерывного спектра
Опыт показывает, что связанное состояние в дейтроне наблюдается
только для случая, если полный спин дейтрона равен 1 (триплетное
спиновое состояние), в синглетном же спиновом состоянии нет состоя-
состояний с отрицательной энергией. Это указывает на отличие (при /=0)
ядерных сил взаимодействия в синглетном и трнплетном спиновых
*) Функция A1,8) нормирована к единице. Вследствие экспоненциального
сю
убывания этой функции в интеграле \ \ '{• |2 t*dr наиболее существенную роль
о
играет область интегрирования г=^0. Именно в этой области функция A1,8)
сильно отличается от действительной функции. Поэтому лучше проводить нор-
нормировку дейтронной функции не к единице, а таким образом, чтобы прибли-
приближенная функция совпадала с точной функцией на больших расстояниях. Для
этого, как показал Я. Смородинский [8], надо положить
СО
4п [ | i/r \2 dr = { 1,23 УЦ }~2-
Поэтому состояние дейтрона в приближении сил нулевого радиуса следует
описывать волновой функцией
где
и {г) = 1,23 1/| ехр ( - И =^ У~3? ехр ( - fr).

§ 12] НЕЦЕНТРАЛЬНЫЙ ХАРАКТЕР ЯДЕРНЫХ СИЛ 37
состояниях. Из неравенства A1,7), определяющего условия образова-
образования связанного состояния, следует:
2) ^
(Vod2)t ^> —-щ для триплетного спинового состояния;
r.2h2
(Vodz). <^—щ для сннглетного спинового состояния.
Наиболее общим видом центрального потенциала взаимодействия
между нуклонами, зависящим от координат и спинов нуклонов, является
выражение
V(rv Ol; r2, a1) = a(rlt) + P(rlt)a1e1. A1,9)
Выражая полный спин системы через (J, и ff2 с помощью равенства
S=-2"(e1 + a8), находим:
j—3 в синглетном спиновом состоянии;
12 ) 1 в трнплетном спиновом состоянии.
Итак, потенциал взаимодействия между нуклонами в синглетном и
триплетном спиновых состояниях выражаются через функции а(А2) и
Р (г12) простыми соотношениями:
f,= Mr»)-3f! (/■„),
Если ограничиться простейшей формой зависимости потенциала от
радиуса (в виде прямоугольной ямы определенного радиуса), то из зна-
значения энергии связи дейтрона можно определить только произведение
квадрата радиуса на «глубину» потенциальной ямы для триплетного
спинового взаимодействия.
Более полные сведения о потенциале взаимодействия двух нуклонов
можно получить при изучении рассеяния нуклонов на нуклонах (см.
главу VII).
§ 12. Нецентральный характер ядерных сил
Наличие квадрупольного момента Q = 2,74-10~27 смг у основного
состояния дейтрона указывает на то, что это состояние не может быть
чистым S-состояннем, а должно содержать и состояния с орбитальным
моментом не ниже 1=2. Отличие магнитного момента дейтрона
(jid= 0,86ji0) от суммы магнитных моментов протона и нейтрона
(y^-f-|i.n==O,88jjLo) также указывает на то, что в значение магнитного
момента* дейтрона вносит небольшой вклад орбитальное движение
нуклонов, чего не была бы в чистом 5-состоянии.
Для объяснения квадрупольного момента дейтрона приходится до-
допустить, что ядерные силы между двумя нуклонами не являются

38 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ ЛЕГКИХ ЯДЕР [ГЛ. III
центральными, а зависят не только от расстояния между нуклонами, но
и от ориентации спинов нуклонов по отношению к линии, соединяю-
соединяющей нуклоны. В системе с нецентральными силами орбитальный момент
не сохраняется, поэтому нельзя классифицировать состояния такой
системы по значениям орбитального момента E, P, D, ...).
Нецентральную часть взаимодействия между нуклонами называют
тензорным потенциалом. Обычно тензорный потенциал
Y ('„)*.. О2'1)
определяется так, чтобы он равнялся нулю при пространственном усред-
усреднении. Из векторов г12, вх и а2 можно построить только одну скаляр-
скалярную величину 512, удовлетворяющую указанным выше условиям
$1а==3(<У|Г")(<У>Г|1)—gt<V A2,1а)
Тензорный потенциал A2,1) является скаляром, поэтому полный мо-
момент системы и ее четность должны оставаться интегралами движения
и при наличии тензорных сил. Орбитальный и спиновый моменты коли-
количества движения в общем случае не будут интегралами движения.
Можно, однако, показать, что в системе двух тел квадрат полного
спинового момента еще является интегралом движения. Действительно,
выражая скалярное произведение fftff2 через вектор полного спина
системы $= —(ах-|-а2), запишем A2,1а) в виде
с ~6^-^-2 — 252. A2,2)
Отсюда следует, что 512 коммутирует с 52. Кроме того, 9х9г также
коммутирует с 52. Следовательно, и потенциал взаимодействия между
двумя нуклонами, имеющий вид
V = а (/-„) + 3 (гп) 0^ + у (rit) 5lt, A2,3)
коммутирует с 52, т. е. квадрат полного спина системы является инте-
интегралом движения и при наличии тензорных сил. Из A2,2) следует, что
в синглетном состоянии E=0) 512 = 0, т. е. тензорные силы вообще
отсутствуют. Итак, в системе двух нуклонов с потенциалом взаимо-
взаимодействия A2,3) должны сохраняться: а) полный момент системы J и
его проекция на ось z; б) четность волновых функций и в) полный
спин системы. Значения орбитального момента L в общем случае со-
сохраняться не будут.
Основное состояние дейтрона принадлежит к триплетному спино-
спиновому состоянию 5=1, имеет полный момент J=\ и положительную
четность, так как в приближении центральных сил четность функции
была положительной, а тензорное взаимодействие не меняет четности.
Поэтому из всех возможных, указанных в таблице 6 состояний системы
двух нуклонов, в основном состоянии дейтрона могут присутствовать

§ 13] ПРОБЛЕМА НАСЫЩЕНИЯ ЯДЕРНЫХ СИЛ 39
только состояния 3Sl и 2D1. Наличие 3Dl состояния в дейтроне обус-
обусловливает отклонение распределения заряда от сферически симметрич-
симметричного. Для получения правильной величины квадрупольного момента
дейтрона и отклонения величины магнитного момента дейтрона от про-
простой суммы магнитного момента протона и нейтрона приходится допу-
допустить, что доля '^-состояния в дейтроне составляет примерно 4°/0.
Малый квадрупольный момент дейтрона еще не свидетельствует
о малой величине тензорных сил. На основе имеющихся эксперимен-
экспериментальных данных нельзя сделать однозначного выбора величины потен-
потенциала взаимодействия тензорных сил, даже при фиксированной форме
потенциала, например прямоугольной потенциальной яме. Можно уве-
увеличить вклад тензорных сил, компенсируя это увеличение соответ-
соответствующим уменьшением центральных сил. Значение радиуса действия
и величина тензорных сил, вообще говоря, не очень сильно отличаются
от соответствующих величин центральных сил. Возможно, что потен-
потенциал взаимодействия тензорных сил имеет несколько больший радиус
действия и менее глубок, чем потенциал центральных сил.
§ 13. Проблема насыщения ядерных сил
При изучении ядер с числом нуклонов, превышающем два, возни-
возникает прежде всего вопрос о том, не изменяются ли силы взаимодей-
взаимодействия мгжду двумя нуклонами, если около них находятся другие нук-
нуклоны. Другими словами, можно ли представить взаимодействие между
N нуклонами как сумму взаимодействий между всеми парами нуклонов:
V=2vt/. A3,1)
В настоящее время еще нет достаточно убедительного однознач-
однозначного ответа на этот вопрос. Представляют большой интерес попытки
объяснить наблюдаемые свойства ядер путем выбора специального
вида 1Лу, исходя из предположения, что A3,1) справедливо.
Покажем, что если потенциал взаимодействия 1А. между нуклонами
* и j в A3,1) выбирается в виде парных сил притяжения, то нельзя
объяснить наблюдаемое на опыте приблизительное постоянство плотно-
плотности вещества и энергии связи, приходящейся на один нуклон в ядре.
Если допустить, что ядерные силы между нуклонами не зависят от
их зарядового состояния, то согласно A3,1) потенциальная энергия
бзаимодействия при увеличении числа нуклонов должна расти пропор-
пропорционально числу пар взаимодействующих частиц, т. е.
v 2 12'
где Vlg—средняя энергия взаимодействия двух нуклонов.
Предположим, что потенциальная энергия взаимодействия между
Двумя нуклонами может быть представлена в виде ямы ширины d и

40
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ ЛЕГКИХ ЯДЕР
[ГЛ. III
глубины Vo, тогда Vl2 = —V0W(d), где W(d)— вероятность того,
что взаимное расстояние между нуклонами меньше d. Если допустить,
что нуклоны движутся независимо внутри ядра радиуса R, то при
радиусе ядра, меньшем d, вероятность W(d)=1; если же R»d, то
W(d) = (djRK, т. е. равна отношению
объема сферы взаимодействия к объ-
объему ядра. Таким образом, при данном со-
составе ядра потенциальная энергия как:
функция радиуса ядра R будет иметь
вид кривой V, изображенной на рис. 3.
При уменьшении линейных размеров си-
системы в а раз импульс возрастает
в а раз, а кинетическая энергия возрастет
в а2 раз. Таким образом, кинетическая
энергия как функция радиуса ядра (при
постоянном А) может быть изображена
кривой К (рис. 3). Полная энергия
E=K-\-V,как показывает расчет, име-
имеет минимум при R^zdj2. Следователь-
Следовательно, при условии справедливости сделан-
сделанных выше предположений радиусы всех
ядер были бы одинаковыми и равнялись
Рис. 3. Схема зависимости сред- примерно половине радиуса действия
ней кинетической и иотенци- ядерных сил между парой нуклонов, т. е.
-^ 2-10~13 см. Если выбрать в качест-
качестве парного потенциала потенциал, имею-
имеющий особенность в нуле, например потен-
потенциал Юкавы (см. A3,18)), то минимуму энергии соответствовал бы радиус
ядра, приблизительно равный нулю. При этом плотность ядра и энер-
энергия стремились бы к бесконечности. Этот вывод противоречит хоро-
хорошо установленному факту почти постоянной плотности ядерного ве-
вещества.
Для объяснения опытных данных необходимо допустить, что ядерные
силы обладают свойством насыщения, т. е. должны быть силами при-
притяжения только между некоторым сравнительно небольшим числом
нуклонов и силами отталкивания по отношению к другим нуклонам.
Как известно, свойством насыщения обладают силы химической
связи. Взаимодействие между атомами имеет характер притяжения либо
отталкивания при уменьшении расстояния. Притяжение или отталкива-
отталкивание определяется свойствами симметрии волновой функции по отноше-
отношению к перестановке (обмену) координат пар электронов, а соответ-
соответствующие силы носят название обменных сил.
Для объяснения свойств насыщения ядерных сил в теорию ядра
также вводились различного типа обменные силы. Другими словами,
вводилось предположение о зависимости сил взаимодействия от свойств
альной энергий нуклонов в яд-
ядре от радиуса ядра.

§ 13] ПРОБЛЕМА НАСЫЩЕНИЯ ЯДЕРНЫХ СИЛ 41
симметрии волновых функций по отношению к перестановке тех или
иных координат пары нуклонов. Так, например, взаимодействие между
двумя нуклонами описывалось потенциалом
VM = (—\)lM(rlt), A3,2).
который соответствовал притяжению {М <^0) для четных состояний
и отталкиванию для нечетных состояний.
Потенциал A3,2) называют потенциалом сил Майорана. Так как
четность состояния для системы двух нуклонов определяется свойством
симметрии волновых функций по отношению к перестановке простран-
пространственных координат частиц, то потенциал сил Майорана может быть
выражен через оператор обмена пространственных координат пары
нуклонов
VM = M(rJP12(r). A3,3)
Можно ввести также силы, меняющие знак в зависимости от сим-
симметрии полных спиновых функций системы. Такие силы называются
силами Бартлета, они выражаются через оператор обмена спиновых
переменных
^2(з)=40+°1°2) A3,4)
с помощью формулы
Учитывая A3,5), можно выразить рассмотренный нами ранее централь-
центральный потенциал взаимодействия между двумя нуклонами, зависящий от
спина, через потенциал Бартлета и потенциал обычных сил (силы
Вигнера):
Vr=a(r1I) + p(rlt)a1e1= ^@ + 5(^)^,@), A3,6)
Где IF (/•„) = a (rlf) — £(/■„) — потенциал Вигнера; Я(г18) = 2£(г1г).
Равенство A3,6) показывает, что введение сил Бартлета эквива-
эквивалентно учету неравенства ядерных сил в синглетном и триплетном
спиновых состояниях.
Наконец, можно ввести силы, определяемые оператором одновре-
одновременного обмена пространственными и спиновыми координатами двух
нуклонов. Такие силы называются силами Гейзенберга. Потенциал
сил Гейзенберга имеет вид
Ун = Н{г„)Р1Ш(г)Ри{о) = (—\I+*+1Н(ги). A3,7).
Из выражений A3,3), A3,5) и A3,7) следует, что при 1=0
E-состояние) силы Майорана не отличаются от сил Вигнера, а силы.
Бартлета не отличаются от сил Гейзенберга.

42 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ ЛЕГКИХ ЯДЕР [ГЛ. III
В силу обобщенного принципа Паули состояния системы нуклонов
могут описываться только функциями, антисимметричными по отноше-
отношению к перестановке всех пяти координат любой пары нуклонов, т. е.
^,(т)Л.('')Л,(в)Ч| = —V. A3,8)
В дальнейшем мы будем использовать только функции, удовлетворяю-
удовлетворяющие этому условию, поэтому действие операторов Р12 (г) Р12 (а) можно
заменить действием оператора Я52(т) с помощью соотношения
Р11(г)Р1,(а)Ч'=-Р11(т)Ч'. A3,9)
Таким образом, можно написать:
VH=—H(rlt)Pit(-). A3,10)
Оператор Я,2(т) является оператором обмена зарядовых переменных и
■имеет следующий вид (см. § 10):
Итак, введение сил Гейзенберга эквивалентно учету неодинаковости
•сил в синглетном и триплетном зарядовых состояниях.
С помощью A3,8) можно показать, что
P»(r)lV = — Plt(i)Plt(a)V. A3,11)
Это соотношение позволяет выразить действие оператора перестановки
пространственных координат (оператор сил Майорана) через операторы
перестановки спиновых и зарядовых координат, т. е.
Р,2(г) = ~^(\+а1а,)(\+х(\)хB)). A3,12)
Тензорные силы могут быть также обменными и необменными.
Поскольку тензорный оператор S12 коммутирует с оператором обменных
сил Бартлета, то имеются только два типа тензорных сил: обычные
и обменные силы типа Майорана. Среднее значение тензорных сил
в сферически симметричных ядрах равно нулю, и только в несфериче-
несферических ядрах оно отлично от нуля.
Итак, наиболее общий тип потенциальной энергии взаимодействия
между двумя нуклонами может быть представлен в виде
(r) Plt {r)+H(r)Plt{x) +

с 13] ПРОБЛЕМА НАСЫЩЕНИЯ ЯДЕРНЫХ СИЛ 43
где
По установившейся сейчас терминологии обменными силами назы-
называют только силы, потенциал которых включает обмен либо зарядо-
зарядовыми переменными, либо пространственными, т. е. к обменным силам
следует относить силы Майорана и Гейзенберга.
Наличие обменных сил между протонами и нейтронами было дока-
доказано экспериментально при изучении рассеяния нейтронов большой
энергии D0—90 Мэв) на протонах [9]. Если бы между протонами и
нейтронами действовали только обычные силы, то нейтроны должны
были бы рассеиваться преимущественно вперед, а протоны отдачи
преимущественно назад. Если бы силы были обменными, то в процессе
взаимодействия произошла бы перезарядка и вперед летели бы не ней-
нейтроны, а протоны. Опыт показал, что угловое распределение в системе
центра инерции почти симметрично относительно 90°.
Для объяснения экспериментального углового распределения рас-
рассеянных нейтронов необходимо предположить, что силы примерно на-
наполовину обменные и наполовину обычные. Такие силы были введены
Сербером. Потенциал этих сил выражается через обменный майоранов-
ский оператор P1Z (r) с помощью соотношения
Vs(rn) = U(riy + P/*(r). A3,13)
Серберовский потениилл взаимодействия Vs (rl2) равен нулю для всех
нечетных парных состояний нуклонов и равен U{r12) для всех четных
состояний.
Силы Сербера A3,13), однако, в общем случае не могут объяснить
насыщения ядерных сил. Насыщение возможно только в том случае,
когда роль обменных сил значительно выше, чем в A3,13), либо если
ввести дополнительное предположение, что силы Сербера отличны от
нуля только в 5-состоянин [10,11]. В этом случае нуклон внутри
ядерного вещества .уож'ет взаимодействовать только с нуклонами, кото-
которые находятся в сфере (радиуса d) области действия ядерных сил и
одновременно находятся в 5-состоянии по отношению к данному ну-
нуклону. Таким образом, число взаимодействующих пар нуклонов, при-
приходящихся на один нуклон, будет пропорционально числу возможных
^-состояний в сфере радиуса d. Это число пропорционально kpd, где
&р-—волновое число нуклона с максимально возможной энергией в дан-
данном ядре. Следовательно, энергия притяжения, приходящаяся на один
нуклон, будет U = — Akpd. Поскольку кинетическая энергия, прихо-
на один нуклон К' = Bkp, то полная энергия одного нуклона

44
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ ЛЕГКИХ ЯДЕР
[ГЛ. И!
9
E=Bkf—Akpd будет иметь минимум при определенном значении
. Ad
kFz=z — , а следовательно, и при определенном значении плотности
1
ядра, так как kF*^~ —,- где г —среднее расстояние между нукло-
го
нами ядра.
В случае обычных сил или сил Сербера, отличных от нуля для
всех четных состояний, потенциальная энергия притяжения пропорцпо-
нальна kp и полная энергия нуклона неограниченно уменьшается при
уменьшении среднего расстояния (г0) между нуклонами (нет насыщения).
Возможно, что за насыщение ядерных сил ответственны так назы-
называемые «множественные» или многочастичные силы, не сводящиеся
к парным силам. Для объяснения насыщения ядерных сил следует
предположить, что множественные силы приводят к взаимному отталки-
отталкиванию нуклонов. Эффект многочастичных сил отталкивания рассмотрен
в работе Дриля и Нуанга [12]. Они показали, что при некотором фено-
феноменологическом выборе потенциала множественных сил можно дать удо-
удовлетворительное объяснение наблюдаемому насыщению ядерных сил.
Эти результаты, однако, получены путем использования теории возму-
возмущений в проблеме с сильным взаимодействием, поэтому их достовер-
достоверность не совсем очевидна. В последнее время появились попытки [13]
объяснить насыщение введением сингулярного немонотонного потенциала
взаимодействия между парой нуклонов. Такой потенциал был предло-
предложен Леви [14] на основе мезонной теории ядерных сил. На рис. 4 изо-
изображен качественный характер зависимости потенциальной энергии
г
в
8
10
12
■
-
■
-
1
1 1 1 1 1 1 1 1
0.2
0,5
0.8
Рис. 4. Потенциал взаимодействия двух нуклонов в четном (а) и нечетном
{б), синглетном (s) и триплетном (t) состояниях [13J. Энергия выражена
в единицах, равных 140 Мэв, расстояние — в единицах -» = 9-10~13 см.
взаимодействия двух нуклонов как функции их расстояния для четного
и нечетного состояний и для двух спиновых состояний системы.
Проблема теоретического объяснения ядерных сил до сих пор еще
не решена, хотя в вопросе объяснения природы ядерных сил достиг-
достигнуты крупные успехи. В настоящее время не вызывает сомнения то,
что ядерные взаимодействия осуществляются через мезонное поле,
в частности через поле тг-мезонов.

§ 13] ПРОБЛЕМА НАСЫЩЕНИЯ ЯДЕРНЫХ СИЛ 45
В отличие от электрических взаимодействий, которые переносятся
фотонами (частицами с нулевой массой покоя), ядерные силы обуслов-
обусловлены частицами с массой покоя, отличной от нуля. Отличная от нуля
масса покоя частиц, переносящих ядерное взаимодействие, обеспечивает
малый радиус действия ядерных сил. Уже в первых работах Юкавы [15]
по теории ядерных сил было показано, что для обеспечения экспери-
экспериментально наблюдаемого радиуса действия ядерных сил необходимо до-
допустить, что они переносятся частицами с массой покоя, превышающей
массу электрона примерно в 200—300 раз. Этот вывод может быть
получен из очень элементарных соображений. Статическое электромаг-
электромагнитное взаимодействие двух точечных электрических зарядов ех и е2,
положение которых определяется радиусами-векторами rv и г2, можно
записать в виде
Wr,. = ',V(|'\--'-,l). A3,14)
где потенциал удовлетворяет уравнению
W=4ne/j(r2). A3,15)
Решение уравнения A3,15) имеет вид
V(\r>-r>\) = -{rieAr2r A3,16)
Следовательно, статическое взаимодействие двух зарядов выражается
законом Кулона
rl-rt
Если ядерные силы между нуклонами переносятся мезонами с мас-
массой покоя \i, то их статическое взаимодействие можно описать потен-
потенциалом, удовлетворяющим уравнению
2S2), £ = |, A3,17)
где постоянная g может быть названа специфическим мезонным заря-
зарядом нуклона. При }х = 0 уравнение A3,17) переходит в уравнение
A3,15). Решение уравнения A3,17), аналогичное кулоновскому потен-
потенциалу, имеет вид
р— k \ г, — г21
а энергия взаимодействия пары нуклонов
„— k I Г! Г2 \
r,—r9
Чтобы обеспечить достаточно быстрое убывание энергии взаимодейст-
вия A3,18) с расстоянием необходимо в A3,17) принять для ]л значе-
ние, превышающее в 200—300 раз массу электрона.

46 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ ЛЕГКИХ ЯДЕР [ГЛ. III
Можно было надеяться, что A3,18) описывает при соответствую-
соответствующем подборе постоянных g и ?х взаимодействие нуклонов так же, как
кулоновский потенциал описывает взаимодействие заряженных частиц.
Однако такая аналогия является очень грубой. Для объяснения всей
совокупности экспериментальных данных о ядерных силах необходимо
значительно усложнить теорию. Далее выяснилось, что вследствие боль-
большой величины ядерных взаимодействий обычные методы описания разра-
разработанные в теории слабых электромагнитных взаимодействий, ста-
становятся непригодными*).
В настоящее время выяснено, что теория ядерных сил должна су-
существенно опираться на экспериментальные данные о взаимодействии
нуклонов при больших энергиях и их взаимодействии с мезонами. Мы,
однако, не будем останавливаться в нашем курсе на этих интересных
вопросах теории атомного ядра и ядерных взаимодействий.
§ 14. Изотопический спин и уровни энергии
легких изобарных ядер
Предположение о зарядовой независимости ядерных сил позволяет
производить сопоставление энергетических уровней легких изобарных
ядер, у которых влияние кулоновского взаимодействия не очень велико.
В силу зарядовой независимости ядерных сил ядра, имеющие одинако-
одинаковое число нуклонов (изобары) и отличающиеся разным количеством
протонов и нейтронов в состояниях, допустимых принципом Паули,
должны иметь подобные уровни, т. е. уровни с одинаковыми моментами,
четностями, изотопическим спином и т. д.
Для сопоставления энергетических уровней изобарных ядер очень
удобно пользоваться уже введенным в § 9 понятием изотопического
л
спина ядра 7= у^ х (*)> который рядом авторов [16] называется также
(—1
изобарическим спином.
Полный изотопический спин ядра для ядер с четным массовым чис-
числом принимает только целые значения: Т = 0, 1, 2,... для ядер
с нечетным массовым числом: Т=^2, 3/2, 5/2,... Соответственно
этому следует различать две группы ядер: ядра с четным А и не-
нечетным А.
Примером изобарных ядер нечетного массового числа являются Li7
и Be7. Эти два ядра называются зеркальными ядрами, так как они
получаются друг из друга заменой протонов нейтронами, нейтронов —
*) Описание взаимодействия между нуклонами с помощью потенциала, за-
зависящего от расстояния между нуклонами и векторов обычного и изотопиче-
изотопического спина, возможно только на расстояниях, превышающих комнтоновскую
длину волны тт-мезона (^- 10""" см). При меньших расстояниях понятие потен-
потенциала становится грубо приближенным — взаимодействие, по-видимому, на
этих расстояниях имеет нелокальный характер.

§ 14] ИЗОТОПИЧЕСКИЙ СПИН И УРОВНИ ЭНЕРГИИ ЛЕГКИХ ИЗОБАРНЫХ ЯДЕР 47
протонами. Оба изобара Li7 и Be7 образуют зарядовый (изотопический)
дублет с изотопическим спином T=lj2. Основное состояние у обоих
ядер имеет полный механический момент, равный 3/2, и отрицательную-
четность. Положение основных и следующих первых возбужденных,
уровней почти одинаково у обоих ядер (рис. 5).
451 ■
4.6
3/2
■0.43
Рис. 5. Схема энергетиче-
энергетических уровней зеркальных
ядер Li7, и Be7,. Энергия
уровней указана в Мэв.
V-o
Tyi
J
JlLJ£J-t m
-'Г--/7 :—
•1*T°O
J
-2!T't
fie1
ct:
Рис. 6. Схема энергетических уров-
уровней изобарных ядер Belu, В10, С10.
Энергия уровней указана в Мэв.
Зеркальные ядра Не5 и Li5; ВП и Сп; С13 и N13; N15 и О15; О1Т
и F17 и другие [17] имеют также подобную систему энергетических уров-
уровней с изотопическим спином 7=1/2. Состояния с изотопическим спи-
спином T=1j2 оказываются энергетически более выгодными, чем состоя-
состояния с 7=3/2, поэтому стабильные ядра с |73| = 1/2 имеют в основном
состоянии изотопический спин Т^1^.
Примером изобарных ядер четного массового числа является триада
(зарядовый триплет) Be10, В10 и С10. Схема энергетических уровней
этих ядер изображена на рис. 6. Основное и первое возбужденное со-
состояния В10 имеют изотопический спин 7=0. Основные состояния
Be10 и С10 и второе возбужденное состояние В10 образуют зарядовый
триплет с полным изотопическим спином 7=1, полный механический
момент ядер в этих состояниях равен нулю, четность положительная.
У зеркальных ядер Ве10G3 =— 1) и С10G3 = 1) не могут осущест-
осуществляться состояния с 7=0, так как | 731 ^ 7. Схема расположения
энергетических уровней, представленная на рис. 6, характерна для
ядер с четным массовым числом. При этом наибольшие! разнообразием
энергетических уровней обладают ядра с равным числом протонов и
нейтронов G3 = 0). Меньшим разнообразием уровней обладают ядра
с 7\ = dzb еще меньшим — с 73 = 4:2 и т. д. Зеркальные ядра,
т- е. ядра с одинаковым абсолютным значением Т., имеют подобные
энергетические уровни.

48 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ ЛЕГКИХ ЯДЕР [ГЛ. Ill
Характерным свойством ядер с четным А является возможность объ-
объединения их в тройки (зарядовые триплеты). Примером этого типа ядер
являются Lie, He6, Be6 (ядро Вев нестабильно); В8, Li8, Be8; В12, С12,
N12; С14, N14, О14 и другие. Небольшое несовпадение уровней энергии
ядер, принадлежащих к одному зарядовому мультиплету, объясняется
кулоновским взаимодействием и разностью масс протона и нейтрона.
Разность масс протона и нейтрона вносит энергию ~^\,ЪМэв и сдви-
сдвигает вверх уровни с меньшим значением Т3 (т. е. с большим числом
нейтронов). Кулоновское взаимодействие сдвигает вверх уровни с боль-
большим Ts. Таким образом, оба явления действуют в противоположные
стороны. Их суммарный эффект определяет стабильность изобарных
ядер по отношению к $**—распаду. Без учета кулоновского взаимо-
взаимодействия и разности масс нейтрона и протона наиболее стабильным
изобаром среди ядер с четным массовым числом должен быть изобар
•с Tz = 0 (равное число протонов и нейтронов), а среди ядер нечетного
массового числа—изобары с Г3 = Ч=1 /2. Учет кулоновского взаимо-
взаимодействия и разности масс изменяет это заключение.
У ядер очень легких преобладает эффект разности масс нейтрона
и протона: например, Не3 стабильно, ядро же Н3 нестабильно; испус-
испуская электрон, оно превращается в Не3. В легких и средних ядрах
преобладает эффект кулоновского взаимодействия, а у ядер с Л^>30
более устойчивыми являются изобары с отрицательным значением Т3.
При дальнейшем возрастании массового числа А эффект кулоновского
•взаимодействия становится все значительней и более стабильными ста-
становятся ядра с большим избытком нейтронов (отрицательные Т.).
Вследствие этого эффекта использование понятия изотопического спина
для ядер среднего и тяжелого веса мало целесообразно. Для легких
ядер, где эффект кулоновского взаимодействия значительно компенси-
компенсируется разностью масс протона и нейтрона, представление об изотопи-
изотопическом спине ядер позволяет сопоставлять энергетические уровни изо-
изобарных ядер и является очень полезным средством для качественных
выводов и правильной систематики ядерных уровней.

ГЛАВА IV
МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СТРОЕНИИ ЯДЕР
§ 15. Оболочечная модель ядра
Вследствие сильного взаимодействия между нуклонами в ядре можно
говорить только о состояниях всего ядра в целом, а не о состояниях
отдельного нуклона. Однако такое рассмотрение в настоящее время
еще не выполнимо и приходится прибегать к приближенным методам
исследования энергетических состояний ядер.
При приближенном рассмотрении нижайших энергетических состоя-
состояний ядер исходят обычно из представления о том, что нуклоны в ядре
располагаются в виде «оболочек», способных к деформации формы и
размеров.
Понятие оболочек заимствовано из теории атомов. Как известно,
ряд свойств атомов можно описать, предполагая, что каждый электрон
движется в некотором среднем поле остальных электронов и атомного
ядра (самосогласованное поле Хартри — Фока). Основное состояние атома
соответствует случаю, когда все электроны занимают нижайшие из
возможных энергетических состояний в таком поле. Состояния с одним или
несколькими значениями момента количества движения /, отличающиеся
значениями т1 и имеющие приближенно одинаковую энергию, образуют
электронную «оболочку». Атомы, у которых электроны полностью за-
заполняют одну или несколько оболочек, оказываются наиболее стабиль-
стабильными. К таким атомам относятся атомы инертных газов, имеющие 2,
10, 18, 36, 54 и 86 электронов. По мере роста заряда ядра Z и,
следовательно, числа электронов в атоме последовательно заполняются
оболочки, указанные в таблице 7.
В последние годы выяснилось, что и ядра, обладающие определен-
определенным числом протонов и нейтронов, также особенно устойчивы. Таковы,
например, ядра Не*, О'6, Са*°, РЪ\\\
Числа протонов и нейтронов: 2, 8, 20, 50, 82, 126, соответствую-
соответствующие наиболее устойчивым ядрам, получили название магических чисел.
Указанные выше ядра обладают магическим числом нейтронов и маги-
магическим числом протонов, поэтому они называются дважды магическими.
Согласно оболочечной картине строения ядра магические числа показы-
ВаК)т, при каком числе частиц в ядре заполняются ядерные оболочки.
А. С. Давыдов

50
МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СТРОЕНИИ ЯДЕР
Таблица 7. Электронные оболочки атомов
[гл.
Обозначение уровня
Is
2s, 2/7
3s, Ър
As, 3d, Ар
5s, Ad, Ър
6s, 4/, 5rf, 6/7
7s, 6rf, 5/
Число
электронов
в оболочке
2
8
8
18
18
32
Полное число
электронов
в атоме
2
10
10
36
54
86
Элемент,
соответствующш"»
заполнению оболочки
Гелий
Неон
Аргон
Криптон
Ксенон
Радон
Для объяснения оболочечной структуры ядра приходится допустить,
что в ядрах отдельные нуклоны движутся в усредненном иоле окру-
окружающих нуклонов. Это «усредненное» поле таково, что результирую-
результирующая сила, действующая на один нуклон, отлична от нуля преимуще-
преимущественно на поверхности ядра.
Поскольку «среднее» ноле обусловлено многими нуклонами, то его
изменение связано с коллективными движениями нуклонов. В случае
атома в образовании среднего поля преимущественную роль играет
притяжение к ядру атома. Из-за большой массы ядра по сравнению
с массой электронов положение ядра атома можно считать фикси-
фиксированным, а среднее поле относительно устойчивым. В ядрах нет
такого стабилизирующего центра, поэтому изменение поля, связан-
связанное с коллективным движением нуклонов, играет более существен-
существенную роль.
Из-за малой сжимаемости ядерного вещества его плотность можно
считать постоянной. В этом приближении под коллективным движением
можно понимать только деформацию формы ядра без изменения объема.
Таким образом возникло представление, что ядро можно рассматривать
как деформируемую систему [18], а его форму и ориентацию в про-
пространстве— как динамические переменные.
При исследованиях энергетических состояний ядра обычно приме-
применяют адиабатическое приближение, т. е. предполагается, что движение
отдельных нуклонов совершается значительно быстрее, чем движение,
связанное с изменением формы ядра. Для отыскания энергетических
состояний в нулевом приближении форма ядра предполагается фикси-
фиксированной. Полная энергия ядра как суммарная энергия отдельных ну-
нуклонов, движущихся в среднем поле ядра, будет зависеть от формы
ядра как от параметра. Эту энергию можно рассматривать как потен-
потенциальную энергию, определяющую закон изменения формы ядра. Ми-
Минимальному значению этой энергии соответствует равновесная форма
основного состояния ядра.

§ 15] ОБОЛОЧЕЧИАЯ МОДЕЛЬ ЯДРА 51
В некотором смысле динамика ядра аналогична динамике молекулы,
в которой происходит взаимодействие движения электронов с колеба-
колебаниями и вращениями всей молекулы как нелого.
В нулевом приближении можно считать среднее ядерное поле фик-
фиксированным и исследовать движение нуклонов в этом ноле. Это при-
приближение называется оболочечной моделью ядра или одночастичноа
моделью. Для ядер сферической формы среднее ядерное поле обла-
обладает сферической симметрией.
Для теоретической интерпретации свойств ядра на основе гипотезы об
оболочечной структуре обычно исследуют движение одной частицы в потен-
потенциальном поле с той или иной радиальной зависимостью. Наиболее часто
для легких ядер потенциал апроксимируется параболической кривой
(потенциал осциллятора), а для тяжелых ядер — прямоугольной ямой.
Поскольку среднее поле обладает сферической симметрией, то со-
состояния отдельного нуклона в ядре можно характеризовать значениями
орбитального момента. Для обозначения состояний с различными зна-
значениями /=0, 1, 2, ... применяются малые латинские буквы s, py
d, /, g, ... Нуклоны имеют спин, равный '/2, поэтому состояния ну-
нуклона с орбитальным моментом / имеют полный момент /== /-4- */,.
Значение полного момента / указывается нижним индексом у латинской
буквы, определяющей значение /. Таким образом, в ядре возможны
состояния нуклонов следующего вида: Si 2, pr2, р*2, с/з2, йЦ и т. д.
Опыт указывает, что в ядре играют значительную роль спин-орби-
спин-орбитальные взаимодействия, которые составляют примерно Ю°/о от общей
энергии взаимодействия. Поскольку нуклоны движутся в среднем поле,
имеющем сферическую симметрию, то рассмотренные ранее в § 12
тензорные силы не дают вклада в энергию взаимодействия.
Как показано в приложении 111, § П, энергия спин-орбитального
взаимодействия нуклонов внутри ядра с точностью до постоянного мно-
множителя определяется в нерелятивпетском приближении из уравнения
Дирака. Здесь же мы дадим элементарный вывод энергии спин-орби-
спин-орбитального взаимодействия, заимствованный из книги Гайзенберга [19].
Рассмотрим взаимодействие частицы, имеющей магнитный момент
ji —-JL_j и движущейся с импульсом р, с электростатическим полем
<р = —^У-1. В системе координат, связанной с движущейся частицей,
возникает магнитное поле J£, обусловленное электрическим полем
S = — — grad Укул, равное
И=- т № 1=+
Поэтому энергия взаимодействия магнитного момента р. с электроста-
электростатическим полем будет определяться оператором
4*

52 МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СТРОЕНИИ ЯДЕР [ГЛ. IV
Оператор энергии спин-орбитального взаимодействия нуклона в поле
ядерных сил с потенциальной энергией V выбирается по аналогии
с A5,1) в виде
\, A5,2)
где постоянная а должна быть определена из эксперимента. Легко убе-
убедиться, что A5,2) является единственным скалярным выражением, ко-
которое можно получить из аксиального вектора <х, импульса р и потен-
потенциальной энергии V. Поскольку в однородном поле нет выделенных
направлений, то естественно, что в A5,2) входит градиент от потен-
потенциальной энергии.
Для потенциала, обладающего сферической симметрией:
л I/ r dV
Если далее учесть, что [г/?] = Л/, то оператор энергии спин-орбиталь-
спин-орбитального взаимодействия можно записать в виде
W{r) = -al9~* A5,3)
где а — постоянная, которую, как уже отмечалось, надо определить
из эксперимента. Обычно полагают, что
где значение у === 30. Так, например, И. И. Левинтов [20] на основе
анализа экспериментальных данных о поляризации нуклонов при рассе-
рассеянии на ядрах и данных об одночастичных уровнях ядер с одним ну-
нуклоном сверх замкнутых оболочек (Не5, Li5, О17, F17, РЬ209) показал,
что все эти эффекты сравнительно хорошо описываются при значении
постоянной спин-орбитальной связи а = 3,5-10~27 см2.
Кроме спин-орбитального взаимодействия, обусловленного ядерным
потенциалом взаимодействия, имеется также обычное томсоновское
взаимодействие магнитного момента нуклона с электростатическим по-
потенциалом ядра. Это взаимодействие может быть вычислено так же,
как и A5,1), если мы учтем, что оператор магнитного момента нуклона
^ 2Мс ^«Ук '
где д—магнитный момент нуклона, выраженный в ядерных магнето-
магнетонах. Оператор взаимодействия магнитного момента нуклона с электро-
электростатическим полем ядра тогда примет вид

§ 15]
ОБОЛОЧЕЧНАЯ МОДЕЛЬ ЯДРА
53
Оператор спин-орбитального взаимодействия нуклона с ядром в общем
случае будет определяться выражением
& 1 dV 1 dVKY.\ ; I*- л\
Так как ядерное взаимодействие возрастает с увеличением г (убывает
по абсолютной величине), а кулоновское взаимодействие убывает, то
для протонов (|^нук^>0) слагаемые в скобках выражения A5,4) имеют
одинаковые знаки, а для нейтронов (^нук<С^) — разные знаки. Внутри
ядра
dV
dr
»
dVKYJt
dr
поэтому спин-орбитальное взаимодействие, обусловленное взаимодей-
взаимодействием магнитного момента нуклона с электростатическим полем, можно
не учитывать.
Принимая во внимание, что 2ls=jz — /2 — s2, s = -7y-Q, опреде-
определим из A5,3) средние значения энергии спин-орбитального взаимодей-
взаимодействия в состояниях, характеризуемых определенным значением полного
момента количества движения нуклона /_/Ч-'/,:
L^, есл..у=/—
/1 dV\ I dV
где (—j-) —среднее значение оператора — -г- в состояниях, описы-
описываемых радиальными волновыми функциями и;(г). В простейшем слу-
случае, когда потенциал V апроксимируется прямоугольной ямой глубины
— D и радиуса R, можно положить
тогда
где t
ядра.
(R) — значение радиальной волновой функции на поверхности
Учет спин-орбитальной связи типа A5,5) верно передает эмпириче-
эмпирическую последовательность энергетических уровней и значения магиче-
магических чисел, если выбрать для а значение, приведенное выше A5,3а).
Поскольку потенциал V(r) отрицателен и убывает по абсолютной
величине с ростом г, то < W>y отрицательно при j=l-\-1[2 и

54 МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ОТРОЕНИИ ЯДЕР [ГЛ. IV
положительно при / = / — */2. Поэтому из пар состояний ри2 и /*».„ ^ 2
и й?= 2 и т. д. меньшей энергией должны обладать состояния с большим
значением полного момента, т. е. рц2 лежит ниже, чем pi 2\ dv2 ниже,
чем д?з/2, и т. д. Расстояние между уровнями, соответствующими од-
одному значению /, растет по мере роста /.
В отличие от атомов в ядре спин-орбитальное взаимодействие играет
значительно большую роль. Особенно большое спин-орбитальное взаимо-
взаимодействие наблюдается у тяжелых ядер, где оно приводит к тому, что
спиновый и орбитальный моменты складываются в полные моменты /
для каждого нуклона, и уже эти полные моменты образуют полный
спин ядра J=^]ji- Такой тип связи называется //-связью.
Кроме //-связи существует еще другой тип связи, который
осуществляется, например, в легких атомах и носит название рессель-
саундерозской или Аб'-связи. При рессель-саундеровской связи ор-
орбитальные моменты всех частиц образуют полный орбитальный момент
атома L=^l(, а спиновые моменты—полный спин атома 5=^s,-.
Полный момент атома получается в результате векторного сложения
полного орбитального и полного спинового моментов J= L~\-S. Рес-
сель-саундеровская схема связи моментов возможна в том случае,
когда взаимодействие между орбитальными и спиновыми моментами
отдельных частиц велико, а взаимодействие между полными моментами
L и S более слабое. У тяжелых атомов наблюдается и промежуточный
тип связи.
В очень легких ядрах, по-видимому, также преобладает /.5-связь.
В большинстве же случаев имеет место промежуточная связь, которая
все более и более переходит в //-связь при росте А. Промежуточ-
Промежуточный характер связи значительно затрудняет интерпретацию состояний
нуклонов в ядрах, так как приходится вводить в рассмотрение супер-
суперпозицию состояний, имеющих одинаковую четность и близкие зна-
значения энергии. Так, например, Эллиот и Флауерс [21] показали,
что для объяснения свойств ядер с ^4 == 18 — 19 надо принять
во внимание смесь конфигураций двух энергетически близких обо-
оболочек 25 и \d.
Кроме указания момента j и четности, состояние отдельного нуклона
в ядре характеризуется еще энергией: уровни одного типа нумеруются
в порядке возрастания энергии. Так, имеются уровни Is, 2s, 3s, . . . ,
уровни \р.2, 2/?i2, ... В отличие от классификации уровней энергии
атомов, где число я, стоящее перед обозначением терма (например, 2s),
является главным квантовым числом, определяющим энергию терма,
в ядре числа, стоящие перед обозначением состояния, указывают лишь
порядок расположения уровней и не имеют другого значения. Поэтому
в агомах нумерация s-состояний начинается с 1, /^-состояний — с 2,
d-состояний —с 3 и т. д., в ядре же все состояния нумеруются на-
начиная с 1.
Итак, состояние отдельного нуклона в ядре согласно модели обо-
оболочек характеризуется квантовыми числами п, /, /, т. Энергия нуклона

§15] ОБОЛОЧЕЧНАЯ МОДЕЛЬ ЯДРА 55
зависит только от квантовых чисел п, /, J. Этот уровень энергии
2y-j-1 -кратно вырожден. Уровни энергии в ядре заполняются про-
протонами и нейтронами в соответ- /
ствии с принципом Паули. 3/2
На рис. 7 приведена схема
расположения уровней (но Клин- -^ 2д -L \\ц
кенбергу [22]), из которой ясно г I _[№ п.?
видно, как возникает представ- ^ 'JsL _ -_ 
ление об оболочках. Зр -н (%?3;2
При количественном описа- ^ __У '--
нии состояний яара массового , Sj f====p/}
числа А в оболочечной модели I
используется волновая функ- 82 -_7- ^?.Т У r^^
ция 11;, которая образуется из ли- 2.0 —\ '.^ . Ч— -|f '
нейных комбинаций произведе- / ^' /
ний волновых функций отдель- $0 -\ ,?>.
ных нуклонов, зависящих от ^ i j/
их пространственных, спиновых с<5 — V,
и зарядовых координат. Прост- 20 jj?
ранственные координаты г7- от- !jj —j — Q г=( „. . t/2
считываются от центра инер- 5//<?
ции ядра, т. с. & - - ту,
ri = Pi — xS ^' A5N) « Иг i/2 г
где Р[~ координаты относи- /?/7ft7KW/w ^^ш
тельно неподвижной системы. рис. 7. Схема расположения уровней
Из A5,6) следует, что нейтронов и протонов согласно обо-
А лочечной модели ядра [22].
JrpO. A5,7)
Таким образом, из ЗА пространственных координат A5,6) неза-
независимыми являются только ЗА — 3 координат.
Внутреннее состояние ядра должно определяться только этими не-
независимыми координатами.- В оболочечной же модели уравнение Шре-
дингера для координатной функции Ф (гх, ... rN) записывается в виде
Ш%+ V (О)] - £ } * = 0, A5,8)
где V{rt) — эффективный потенциал, действующий на г-й нуклон. Рас-
Расчет ведется так, как если бы все г{ были независимыми.
Если силы парного взаимодействия можно изобразить потенциалом
осцилляторного типа, т. е.

56 МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СТРОЕНИИ ЯДЕР [ГЛ. IV
то можно показать, что волновые функции и эяергия, соответствующие
внутреннему движению, находятся при решении уравнения
при дополнительном условии, накладываемом на волновую функцию
У?Г1Ф=0, A5,10)
2
1=1
где г,- определены формулой A5,6). Действительно, при условиях
A5,10) и A5,7) имеем:
,| ь ф=(S v?, Ф, I g (я, - р,)' = л L г).
Можно надеяться, что и в общем случае, когда взаимодействие
между нуклонами приближенно представляется в виде суммы взаимо-
взаимодействий каждого нуклона с эффективным потенциалом V (Г;), исклю-
исключение движения центра инерции может быть выполнено путем нало-
наложения дополнительного условия A5,10) при решении уравнения A5,8).
Однако при условии A5,10), исключающем решения, соответствующие
движению всего ядра как целого, мы теряем возможность представле-
представления функции Ф в виде произведения функций, относящихся к отдельным
нуклонам, что особенно привлекательно в оболочечной модели ядра.
Поэтому обычно дополнительное условие A5,7) (или эквивалентное
ему условие A5,10)) не учитывается. Правда, такое упрощение может
приводить к ложным состояниям, не соответствующим внутренним дви-
движениям нуклонов (см., например, [23]).
Перейдем теперь к исследованию классификации состояний системы
нуклонов в оболочечной модели ядра, не учитывающей дополнительное
условие A5,7). Многие свойства ядра (спин, магнитный момент, вероят-
вероятности однонуклонных переходов и др.) зависят в основном от состояния
движения нуклонов, входящих в состав незаполненных оболочек ядра.
Если рассматривать движение только этих нуклонов, взаимодействующих
между собой и со средним эффективным полем нуклонов, входящих
в состав заполненных оболочек, то вопрос о выделении движения
центра инерции будет стоять менее остро, так же как в теории атома,
когда исследуется движение электронов при наличии ядра атома.
Предположим, что полный изотопический спин ядра (Т) является
хорошим квантовым числом *), а классификация состояний отдельных
нуклонов соответствует схеме //-связи. Таким образом, наши рассуж-
*) Хорошими квантовыми числами принято называть квантовые числа,
определяющие значения физических величин, являющихся лишь приближенно
интегралами движения.

§ 15] оболочечная модель ядра 57
дения не будут относиться к случаю тяжелых ядер (где Т не является
хорошим квантовым числом) и к очень легким ядрам (где нарушается,
схема //-связи).
Пусть состояние отдельного нуклона в ядре характеризуется вол-
волновой функцией
¥*//«(*,■) Vе'-)' A5,11)
где X; — пространственные и спиновые координаты нуклона номера /;
Tj- — зарядовая переменная; /, у, m, ]i — квантовые числа, определяющие
соответственно орбитальный момент, полный момент, проекцию полного
момента на ось z и проекцию изотопического спина на третью ось
зарядового пространства. Нуклоны, находящиеся в состояниях с одина-
одинаковыми квантовыми числами п, /, J, называются эквивалентными
нуклонами.
Состояние N эквивалентных нуклонов должно описываться анти-
антисимметричными относительно перестановки любой пары нуклонов функ-
функциями Ч;, представляющими линейные комбинации произведений А/
волновых функций типа A5,11).
Для построения функции Ч; удобно воспользоваться схемами Юнга,
(см. [24], § 61). Представим lF в виде произведения функций Ф и iir
где Ф— линейная комбинация произведений N функций <р/»; (#,•), соот-
соответствующая определенной схеме Юнга, т. е. определенному типу сим-
симметрии относительно перестановки пространственных и спиновых
переменных N частиц, a Q — функция, построенная соответствующим
образом из функций ю^. (т£.).
Схемы Юнга для волновой функции от N переменных определяются
разбиением числа N всеми возможными способами на сумму слагаемых
Nv Л/2, . .., (N= N1-\~ Ы2-\- . ..). Такое разбиение наглядно изобра-
изображают строками (см. A5,12)), число клеток в которых равно числам
Л^, Mz, . . . Волновые функции, соответствующие определенной схеме
Юнга, получаются путем симметризации по переменным, входящий
в состав каждой строки, и антисимметризации по переменным, входя-
входящим в состав каждого столбца. Например, для N = 4 возможные схемы
Юнга имеют вид
A5,12)
Для краткого обозначения схем Юнга используются квадратные скобки,
внутри которых указываются числа клеток в каждой строке схемы
Юнга. Так, приведенные выше схемы Юнга для N=4 изображаются
соответственно
14.1 [3,1]. [2,2], [2, 1, 1], [1, 1, 1, 1]. A5,12а)

58 МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СТРОЕНИИ ЯДЕР [ГЛ. W
Так как переменная изотопического спина пробегает всего два значе-
значения -4-1/ то функция ii может быть антисимметризована не более
чем по двум переменным. Таким образом, функции ii могут содержать
только одну или две строки. Например, для случая четырех нуклонов
эти функции могут соответствовать только схемам
Поскольку полная волновая функция Ч! должна быть антисимметричной
относительно перестановки любой пары частиц, то юнговские схемы
функции Ф должны получаться из юнговских схем соответствующих
функций ii путем транспонирования, т. е. путем замены строк
столбцами. Следовательно, юнговские схемы функций Ф могут состоять
не более чем из двух столбцов. Для случая четырех нуклонов это
будут соответственно функции
Фв-[1, 1, 1, 1], Ф4-[2, 1, 1], Ф,-[2, 2], A5,13)
Можно показать, что каждая из юнговских схем волновой функции
изотопического спина соответствует определенному значению полного
изотопического системы нуклонов. Например, функции A5,13) изоб-
изображают состояния с изотопическими спинами 2, 1 и 0 соответственно.
Таким образом, классификация состояний по схемам Юнга эквивалентна
классификации состояний по изотопическому спину ядра.
Если волновые функции to описывают нуклоны с моментом /, то
им соответствующие схемы Юнга для функций Ф не должны содер-
содержать больше чем B/-J-1) строк. Так, например, система, состоящая
из четырех нуклонов в состояниях Si2 и /)i2, может находиться в со-
состояниях, описываемых функциями
ФД.-[2, 2] [2, 2],
соответствующими значениям 7=0 и 7=0. Для двух нуклонов в
состоянии у = */2 возможны волновые функции
ФАЧ1. IIP] и ФА-[2][1,1],
изображающие состояния со значениями 7=0, 7=1 и 7=1, 7=0.
Если /^3/2 и число эквивалентных нуклонов превышает 3, то
в общем случае одинаковым значениям 7, Мр 7, Мт будут соответ-
соответствовать несколько различных состояний. Для их разделения вводятся
два дополнительных квантовых числа: «синьорити» (s) и «.приведенный
изотопический спин» (t). Эти числа определяют поведение
волновых функций N частиц при симплектическом преобразо-
преобразовании. Симмлектическим преобразованием называется преобразова-
преобразование, оставляющее неизменными волновые функции пар нуклонов с
суммарным спином, равным нулю. Такие функции могут соответствовать
только парам клеток с значениями Ч^-, находящимся в столбцах
-схем Юнга. Число снньорити (s) и приведенный изотопический спин (t)

§ 16] МАГНИТНЫЕ МОМЕНТЫ И «КОНФИГУРАЦИЯ» ЛЕГКИХ ЯДЕР 59
подразделяют волновые функции Ф, соответствующие определенной
схеме Юнга [/, £, ...], на схемы Юнга с тем или иным значением
числа пар клеток, соответствующих проекциям момента т1и— т{. На-
Например, волновые функции, изображаемые схемой Юнга [2, 2], можно
подразделить на функции, соответствующие схемам, в которых
й
ш
A5,14)
каждая пара заштрихованных клеток относится к частицам с проекциями
моментов т и — т. Эти схемы полностью определяются указанием
числа синьорити (s) и приведенного изотопического спина (/), которые
изображают с помощью формулы -Kzb* число незаштрихованных кле-
клеток в обоих возможных столбцах схемы Юнга, соответствующей функ-
функции Ф. Значения чисел снньорити и приведенного изотопического
спина обычно обозначают скобками: (s, t). Так, например, схемы
Юнга A5, 14) соответствуют @, 0), B, 1) и D, 0). Значения s и t
для схем Юнга
будут соответственно изображаться C, ]/2), A, :/2).
Итак, схеме Юмга [2, 2J с четырьмя эквивалентными нуклонами
(у=3/2) соответствуют четыре различных состояния {j\ 2; 0, 0, 0, 0),
< Д; 0, 2, 2, 1), (у'з2; 0, 2, 4, 0), (у^; 0, 4, 4, 0). Для изображения этих
состояний мы использовали сокращенное обозначение (yv2; Т, J, s, t).
При данном значении Т и J уровень с меньшей энергией имеет
наименьшее значение числа синьорнти. Следовательно, нижайшее энерге-
энергетическое состояние (у',\; 0, 2,2,1) лежит ниже возможных состояний
</з/2;0,2,4,0).
Для более полного знакомства с классификацией состояний эквива-
эквивалентных нуклонов в оболочсчной модели с уу-связью следует обратиться
к работам Флауерса, Эдмунда [25] и В. Неудачнна [26].
§ 16. Магнитные моменты и «конфигурация» легких ядер
на основе оболочечной модели
Оболочечная модель ядра позволяет говорить о состоянии каждого
нуклона в ядре. Если известны состояния всех нуклонов в ядре, то
мы будем условно говорить, что известна «конфигурация» атомного
ядра из состояний отдельных нуклонов. «Конфигурация» многих лег-
легких ядер, т. е. совокупность квантовых чисел отдельных нуклонов,

60 МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СТРОЕНИИ ЯДЕР [ГЛ. IV
почти однозначно определяется из экспериментальных данных о маг-
магнитных моментах и электрических квадрупольных моментах ядер*).
В связи с тем, что вычисление возможных состояний нуклонов
в ядре в настоящее время практически не выполнимо, приходится
прибегать к феноменологическому описанию, базирующемуся на опыт-
опытных данных. У ядер с магическим числом протонов и нейтронов
оболочки заполнены. Спин, магнитный дипольный и электрический
квадрупольный моменты таких ядер равны нулю. Если к такому ядру
присоединяется еще один нуклон, то полный момент количества дви-
движения ядра будет равен (в некотором приближении) моменту этого
нуклона J=j. При недостатке одного нуклона в заполненной обо-
оболочке спин ядра также будет определяться спином недостающего
нуклона — моментом нуклонной «дырки» в заполненной оболочке.
При наличии двух нуклонов вне заполненной оболочки энергия
ядра зависит от относительной ориентации моментов этих двух нукло-
нуклонов. Учет такой зависимости может быть проведен путем введения
феноменологического взаимодействия W=cj\j2. Величина и знак по-
постоянной с зависят от типа взаимодействующих нуклонов. Поскольку,
как показывает опыт, все исследованные ядра с четным числом про-
протонов и четным числом нейтронов имеют полный ядерный механический
и магнитный моменты, равные нулю, то минимум W соответствует
антипараллельной ориентации моментов нуклонов, т. е. надо считать,
что спп и с ^>0. Связь между моментами протона и нейтрона с ,
по-видимому, благоприятствует параллельной ориентации, так как все
известные стабильные нечетно-нечетные ядра имеют не равный нулю спин.
Так, например, спин ядер Hj, Li*, N}4 равен 1, а спин ядра В'0 равен 3.
Поскольку все четно-четные ядра имеют спин, равный нулю, то
в некотором грубом приближении состояния четно-нечетных и нечетно-
четных ядер**) можно отождествить с состоянием последнего нечетного
нуклона, который движется в центральном поле четно-четного ядра.
Такая модель используется для вычисления электрического квадру-
польного и магнитного дипольного моментов ядра, и наоборот, из опыт-
опытных данных по спину, магнитному моменту и электрическому квадру-
польному моменту можно делать заключения о структуре ядра. В этой
модели волновая функция ядра записывается в виде
где *¥п1;гп — волновая функция последнего нечетного нуклона; Фо —
*) Структура легких ядер определяется также из исследования углового
рассеяния нуклонов в реакциях срыва (см. § 99), при прямых взаимодействиях
нуклонов с ядрами (§ 97), при изучении взаимодействия у-квантов с ядрами
(глава XI) и др.
**) Ядра с четным числом протонов и нечетным числом нейтронов будем
называть четно-нечетными, а ядра с нечетным числом протонов и четным
числом нейтронов будем называть нечетно-четными.

§ 16] МАГНИТНЫЕ МОМЕНТЫ И «КОНФИГУРАЦИЯ» ЛЕГКИХ ЯДЕР 61
волновая функция всех остальных нуклонов. Волновую функцию
отдельного нуклона можно записать в виде
v«v.= 2 ('7«. ™-°'°\M)Lfm(r)Yltm_,,
о = — >;2
где (/ */,, т — a, o\jm) — коэффициенты векторного сложения; (см.
приложение I, § Б); ^ — спиновая волновая функция; fnt{r) — радиаль-
радиальная волновая функция, значение которой'определяется выбором потен-
потенциала; Ylm — сферическая функция. Каждому значению j (кроме у=]/2)
соответствует два значения орбитального момента / = /:+:'/г» °лно из
них будет иметь положительную четность, а другое — отрицательную.
Магнитный момент нуклона является суммой орбитального \il и
спинового ]is моментов нуклона. Эти два магнитных момента (выражен-
(выраженные в единицах ядерного магнетона \i0 = ^jr- = 5,043• Ю~24 эрг\гаусс)
связаны с соответствующими механическими моментами соотношениями:
|i, = ^, Ц,= ^. A6,2)
Гиромагнитные множители (g) свободных нуклонов приведены в
таблице 8.
Таблица 8. Гиромагнитные множители
свободных нуклонов
Нуклоны
Протоны . . .
Нейтроны . . .
gl
1
0
gs
5,586
— 3,826
Под магнитным моментом ядра понимают усредненное значение опе-
оператора магнитного момента по волновым функциям A6, 1) при m=j, т. е.
усредненное значение по внутриядерным движениям, период которых
порядка 10~22 сек. Этот средний магнитный момент всегда направлен
(в квантовомеханическом смысле) по полному механическому моменту
(спину) ядра, так как это единственное выделенное направление в ядре.
Таким образом, полный магнитный момент ядра, определяемый в нашем
приближении магнитным моментом одного нуклона, равен
где g. — полный гиромагнитный множитель нуклона. Для элементарного
вывода величины гиромагнитного отношения g.- надо учесть, что Ins
прецессируют вокруг j. Итак, по определению магнитного момента
ядра
„ _ / iiWl±gs(sj)\ :

62 МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СТРОЕНИИ ЯДЕР
следовательно,
[гл. iv
В связи с тем, что у — /=s и у — s = /, имеем:
Подставляя полученные соотношения в A6,4), придем к выражению
а подставляя собственные значения операторов /2, s2 и у2, получим
окончательно:
а- ( сг —{— сг ) _! ( сг, J
&/— 2 ^ libs' I 2 ь!
Если положить б' = -у и /=/;+: у, то
?)
если у =
A6,5)
1.
Подставляя A6,5) в A6,3), определим магнитный момент ядра
есл" У^
ес
лп>=/-1.
A6,6)
Вычисленные из формул A6,6) значения магнитных моментов протона
и нейтрона приведены в таблице 9. На рис. 8 изображена графическая
зависимость (кривые Шмидта) магнитных моментов протона и нейт-
нейтрона от у.
Таблица 9. Шмидтовские значения магнитных моментов нечетных ядер
Ядра нечетные
•SV
и-,
*-,
hut
2
2,793
3,793
4,793
5,793
6,793
7,793
по протонам
J=l
PV2
d» 2
/s 2
^'
Л-2
_ 1
2
-0,264
0,124
0,862
1,713
2,624
Ядра нечетные по нейтронам
;~~ +~2~
Р3:2
d^
/г2
g>,
" 2
— 1,913
— 1,913
— 1,913
— 1,913
— 1,913
— 1,913
Л"
/■•',
Л,,2
г
0,638^
1,148
1,366
1,488
1,565

§ 16] МАГНИТНЫЕ МОМЕНТЫ И «КОНФИГУРАЦИЯ» ЛЕГКИХ ЯДЕР
63
О
-1
•2
j-l-t/2
1/2 3/2 5/2
щ
Экспериментальные значения магнитных моментов ядер с нечетным
числом нуклонов в большинстве случаев не попадают на кривые Шмидта
но для всех ядер, кроме Н3, Не3, N15 и С13, оказываются между ними!
Рассмотрим теперь, какие заклю-
заключения можно сделать о «конфигура-
«конфигурации» нуклонов в легких ядрах на ос-
основе экспериментальных данных о спи-
спинах и магнитных моментах ядер.
Хотя отклонение от шмидтов-
шмидтовских линий у некоторых ядер дости-
1 3
гает -JT- — ядерного магнетона, тем
не менее для многих ядер можно
сравнительно однозначно указать, к
какой из шмидтовских линий отно-
относится их магнитный момент, и тем
самым определить четность состоя-
состояния, если известен полный момент.
В большинстве случаев магнитные
моменты ядер, имеющих од»"Н нук-
нуклон сверх заполненной оболочки,
сравнительно близко расположены от
шмидтовских линий. Исключение со-
составляет ядро Bi209, которое, хотя и
отличается от дважды магического
РЬ208 только одним лишним протоном,
имеет магнитный момент, на 1,4 еди-
единицы отклоняющийся от соответствую-
соответствующего значения на шмидтовской линии.
Отклонение магнитных моментов ядер от значений, вычисленных
указанным выше методом, можно качественно объяснить, во-первых
приближенным характером волновой функции A6,1), используемой дпя
определения состояния ядра, и, во-вторых, возможным отличием маг-
магнитных моментов свободных нуклонов от магнитных моментов нуклонов
находящихся внутри ядра. '
В ряде работ [27, 28] допускалось, что магнитные моменты нукло-
нуклонов внутри ядра принимают значения промежуточные между их значе-
значениями для свободных нуклонов и значениями, которые следуют из тео-
теории Дирака без учета взаимодействия с мезонным полем, т. е.
\12
9/2j
3/2 5/2 7/2
6)
Рис. 8. Шмидтовские линии, опре-
определяющие магнитный момент ядер
нечетных по нейтронам (а) и ядер
нечетных но протонам (б).
2,79
О
—1,91
Аномальные магнитные моменты свободных нуклонов согласно современ-
современной теории качественно объясняются виртуальным испусканием и по-
поглощением мезонов. В работе [28] указывалось, что этот, процесс для

64 МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СТРОЕНИИ ЯДЕР [ГЛ. IV
■нуклонов, находящихся внутри ядра, частично затрудняется тем, что
-в ядре из-за принципа Паули запрещаются такие процессы испускания
-мезонов, при которых нуклоны отдачи попали бы в уже занятые другими нук-
нуклонами состояния. Однако современная мезонная теория не в состоянии
дать количественную оценку роли этого эффекта в наблюдаемом от-
отклонении магнитных моментов от шмидтовских линий. Необходимо также
отметить, что существует ряд других несомненных причин, которые
должны вызывать такие отклонения.
Укажем три явления, которые могут быть ответственны за откло-
отклонение магнитных моментов от шмидтовских линий.
1) Как уже отмечалось выше, схемы связи LS и jj осуществляются
в ядрах только приближенно. Даже малые отклонения от уу-связи (или
JLS-связи) могут существенно сказаться на величине магнитного мо-
момента [29].
2) Если вне заполненных оболочек находится несколько нуклонов,
то их взаимодействие может иметь существенное влияние на отклоне-
отклонение значений спина и магнитного момента от значений, даваемых обо-
лочечной моделью. Например, ядро Na23 имеет 12 нейтронов и 11 про-
протонов, из которых три внешних нуклона должны находиться в оболоч-
оболочке 1 ds:2. Согласно оболочечной модели такое ядро должно иметь спин,
равный спину нечетного нуклона, т. е. у. Опыт же показывает, что
спин ядра Na23 равен у. Такое значение спина можно объяснить
взаимодействием нуклонов в слое <£>< приводящем к суммарному
3
спину -~- .
3) В ряде случаев на магнитные свойства ядра оказывают сущест-
существенное влияние и нуклоны, входящие в состав заполненных оболочек.
Этот эффект будет рассмотрен в § 22.
Несмотря на большое несовершенство оболочечной модели для объ-
объяснения магнитных моментов ядер, она с успехом использовалась для
приближенного описания и позволила в ряде случаев сравнительно од-
однозначно установить «конфигурацию» некоторых легких ядер на основе
экспериментальных данных о их спинах и магнитных моментах. Рас-
Рассмотрим некоторые примеры.
Ядро гелия Не4. Ядро гелия Не4 имеет механический и магнитный
моменты, равные нулю, и большую энергию связи, приходящуюся на
один нуклон. Поэтому следует считать, что в ядре гелия Не4 все че-
четыре нуклона находятся в состоянии Is, что кратко можно записать
так: (IsL. Следовательно, состояние Is полностью заполняется в Не4.
Ядро гелия Не3. В этом ядре недостает одного нейтрона до за-
заполненной оболочки. Следовательно, конфигурация нуклонов соответ-
соответствует (IsK. Опытное значение спина ядра гелия-три равно -тг-.амаг-
нитный момент jx =—2,13ji0. Поскольку до заполненной оболочки не

§ 16] МАГНИТНЫЕ МОМЕНТЫ И «КОНФИГУРАЦИЯ» ЛЕГКИХ ЯДЕР 65
хватает одного нейтрона, то спин и магнитный момент ядра должны
равняться спину и магнитному моменту этого нейтрона, т. е. У=!/8,
a jjtTeop = —1,91, что отличается на 0,22 jxo от экспериментального
значения. Если учесть примесь 3DX состояния, обусловленного влиянием
тензорных сил, то можно получить хорошее согласие.
Ядро трития Н3. Экспериментальные значения: J=1ji, jx = 2,98jji0.
До заполненной оболочки не хватает одного протона. Конфигурация (ls)\
Магнитный момент должен быть равен магнитному моменту протона,
т. е. 2,79 jx0, что меньше экспериментального значения на 0,19 »х0.
Ядро лития Li6. Экспериментальные значения: 7= 1, jjl = 0,82jjl0.
Сверх заполненной оболочки (IsL имеется протон и нейтрон. Поскольку
квадрупольный момент Lie равен нулю, то оба внешние нуклона должны
также находиться в ^-состоянии, поэтому возможной конфигурацией
основного состояния Li6 будет (IsL BsJ. Чтобы получился спин, рав-
равный 1, необходимо, чтобы спины внешних нуклонов были параллельны,
тогда магнитный момент должен равняться 0,88, что на 0,06 выше
экспериментального значения.
Однако, конфигурация (IsL BsJ, соответствующая так называемой
альфа-дейтронной модели, противоречит обычному расположению энер-
энергетических уровней в оболочечной модели ядра (см. рис. 7), согласно
которой уровень 2s лежит значительно выше уровней 1/эз/2 и \pi 2.
В связи с этим делались многократные попытки объяснить наблюдае-
наблюдаемые значения спина и магнитного момента ядра Li6 исходя из конфи-
конфигурации (IsL A/Ь'.J. Если предположить, что имеет место чистая
уу-связь, то два нуклона в состоянии 1/?з2 могли бы образовать состояния
с полным спином 3, 2, 1 и 0. Из соображений симметрии Финберг [30]
пришел к заключению, что нижайшим из этих состояний должно быть
состояние с У=3, что противоречит эксперименту. Для объяснения
экспериментально наблюдаемых значений спина и магнитного момента
ядра Li6 пришлось предположить, что в этом ядре Li6 имеет место
связь промежуточного типа между /^-связью и //-связью (с большим
весом со стороны /.5-связи). Теория промежуточной связи в состояниях
\р развивалась в ряде работ [31].
Ядро бора В10. Экспериментальные значения: J = 3+, р. = 1,80 jji0.
Шесть нуклонов сверх оболочки (IsL, по-видимому, заполняют обо-
оболочку Aр3/2N. Полное число мест в оболочке \р^2 равно 8,- поэтому
до заполненной оболочки не хватает одного протона и одного нейтрона.
Предполагая, что момент каждого нуклона у=3/2 и они параллельны,
получим 7=3, а магнитный момент согласно схеме Шмидта равен
J*=l,88jx0.
Ядро бора В11. Экспериментальные значения: J =3/2, JA = 2,69 ;л0.
Конфигурация, по-видимому, имеет вид (IsL (l/?3/2M BsJ, так как кон-
конфигурация (IsL A/*)/2O дает }А = 3,79}х0, что сильно отличается от
наблюдаемого значения магнитного момента.
Ядро углерода С12. Экспериментальные значения: У = 0, }Jt = O, что
Указывает на полное заполнение двух ядерных оболочек: (IsL A/ь 2)8.
0 А. С. Давыдов

66 МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СТРОЕНИИ ЯДЕР [ГЛ. IV
Ядро углерода С13. Экспериментальные знамения: У= */2, j* =
= 0,70 jjl0. Один нейтрон вне двух заполненных оболочек (IsL и Aр*2)8,
по-видимому, находится в состоянии l/?i/2; тогда согласно схеме Шмндга
^ = 0,64}х0.
Ядро азота N14. Экспериментальные значения У=1, |х=0,40}х0.
Протон и нейтрон сверх двух заполненных оболочек должны иметь
параллельные спины и находиться в состоянии \рч,. Таким образом,
конфигурация будет иметь вид (\s)* (\рз,2)ь A /?i/2J. Суммарный магнит-
магнитный момент должен равняться 0,37 ja0.
Ядро кислорода О16 и неона Ne20. Экспериментальные значения:
У=0, jjl=O. Их конфигурации нуклонов относятся к заполненным
оболочкам: (IsL Aрз/2)8 (lpi,3)* для кислорода и *(.lsL A/?3/а)8 A/?«/2L Bл-)*
для неона.
Ядро кислорода О17. Это ядро, по-видимому, соответствует кон-
конфигурации (IsL Aрз/2)8 (lpi/a)*(lrfe;2I> что согласуется с эксперимен-
экспериментальными значениями У = — и jx= — l,89ji0.
Ядро фтора F19. Оно соответствует конфигурации
так как экспериментальные значения У = — и д = 2,63}А0 близки к
значениям механического и магнитного моментов одного недостающего
протона до заполненной оболочки BsL.
Приведенные примеры указывают, что у легких ядер последова-
последовательность заполнения оболочек соответствует в основном следующему
ряду состояний (см. рис. 7): Is, lp^, lpi2, 2s. Однако в ряде
случаев наблюдаются отклонения от такой последовательности запол-
заполнения. Такая «нерегулярность» заполнения не будет казаться странной,
если мы вспомним, что состояния нуклонов относятся не к одному за-
заданному извне полю, а к «потенциальной яме», которая сама соответ-
соответствует данному состоянию ядра, поэтому это самосогласованное поле
будет разным для разных ядер. Далее следует иметь в виду, что
у легких ядер часто наблюдается связь промежуточного типа между
LS- и //-типами связи.
§ 17. Структура средних и тяжелых ядер на основе модели
оболочек
Для объяснения наблюдаемых у ядер значений спинов, магнитных
моментов и квадрупольных моментов предлагались [32, 33] различные
схемы расположения энергетических уровней в ядрах. Наиболее рас-
распространенная схема расположения уровней приведена на рис. 7.
В предыдущем параграфе уже отмечалось, что для объяснения ме-
механических и магнитных моментов легких ядер приходится часто при-

§ 17] СТРУКТУРА СРЕДНИХ И ТЯЖЕЛЫХ ЯДЕР 67
бегать к отступлению от «регулярной» последовательности заполнения
оболочек. В тяжелых и средних ядрах такие отступления становятся
сравнительно частыми. Сболочечная структура хорошо выражена только
у ядер, близких к магическим.
Магическими называются ядра с числом протонов или нейтронов,
равным 20, 50 или 82, и числом нейтронов, равным 126. При указан-
указанных числах нейтронов и протонов заполняются оболочки, сравнительно
далеко отстоящие по энергии от последующих оболочек (см. рис. 7).
Поэтому такие конфигурации сравнительно устойчивы. Можно говорить
о ядрах, магических по нейтронам, и ядрах, магических по протонам.
Как уже указывалось выше, ядра, магические как по нейтронам, так и
по протонам, называются дважды магическими. Примером дважды ма-
магического ядра является свинец-208, имеющий 82 протона и 126 ней-
нейтронов. Поэтому ядро свинца-208 резко выделяется своей устойчи-
устойчивостью и другими свойствами, проявляющимися при взаимодействии
с протонами, нейтронами и другими частицами,
Оболочечная модель дает некоторые указания об электрических
квадрупольных моментах ядер [34]. Предполагая, что все парные нук-
нуклоны образуют сферически симметричный о^тов ядра, можно приписать
квадрупольный момент асимметричному движению последнего нечетного
протона. Поэтому согласно сболочечной модели квадрупольные моменты
ядер с нечетным числом протонов должны быть порядка квадруноль-
ного момента одного протона в состоянии с полным моментом /. Один
протон в этом состоянии вносит квадрупольный момент (см. приложе-
приложение II, § Л):
Q,. = </-2 Ccos2 0 - 1)>/>я_,= - |~ <г2}, A7,1)
где </>—среднее значение квадрата радиуса-вектора протона в рас-
рассматриваемом состоянии. Эта величина имеет порядок радиуса ядра
о
<г2> =^= -F- R2. Дырка в протонном заполненном слое обусловливает
о
квадрупольный момент, равный A7,1), но противоположного знака.
Если вне замкнутой оболочки, характеризующейся моментом /, на-
находится п протонов, то при п нечетном спнн ядра будет равен моменту j
нечетного протона. В этом случае квадрупольный момент ядра будет
равен [35] (для 1^«^2у):
l — 2у-1
Таким образом, квадрупольный момент будет отрицательным, если вне
заполненной оболочки находится меньше чем ^.у~ ■ протонов, и поло-
положителен при
5*

68 МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СТРОЕНИИ ЯДЕР [ГЛ. IV
У двух изотопов серы с одним и тремя нейтронами в слое /=3/2
квадрупольные моменты противоположного знака и почти равны
но величине. Это качественно согласуется с предсказаниями теории,
так как во втором случае тремя нейтронами занимается три состояния
из четырех возможных. При этом предполагается, что движение ней-
нейтрона также вносит вклад в квадрупольный момент ядра.
Смещение нейтрона от центра инерции ядра с массовым числом А
на величину г связано со смещением центра остатка на величину
— г (А — I). Поскольку этот остаток имеет заряд eZ, то, следова-
следовательно, оператор электрического квадрупольного момента ядра, об-
обусловленный одним нейтроном, будет равен
Таким образом, один нейтрон вне замкнутой оболочки вносит квадру-
квадрупольный электрический момент противоположного знака и в Z (А — 1)~2
раза меньший но абсолютной величине, чем вклад, вносимый протоном.
Экспериментальные данные подтверждают количественные выводы мо-
модели оболочек далеко не полностью. Квадрупольные моменты ядер осо-
особенно малы, когда число протонов близко к 2, 8, 20, 50, 82. Про-
Протоны, начинающие новую оболочку, дают отрицательный квадрупольный
момент. При возрастании числа протонов Q делается положительным
2
и достигает максимума примерно при заполнении слоя на -^-, затем
О
квадрупольный момент снова падает к нулю по мере заполнения слоя
протонами. Величина квадрупольного момента примерно соответствует
A7,1) только для ядер с числом протонов, близких к магическому.
Когда же число протоноз значительно отличается от магического числа,
то квадрунольные моменты ядер в десятки раз превосходят значения,
даваемые A7,1). Согласно модели оболочек должно существовать при-
примерно одинаковое число ядер с положительными и отрицательными ква-
друпольными электрическими моментами. Однако эксперимент показы-
показывает, что у тяжелых ядер большие квадрунольные моменты все поло-
положительны.
Квадрупольные моменты ядер среднего веса, далеких от магических,
с нечетным числом нейтронов, во много раз превышают значения, пред-
предсказываемые оболочечной моделью. При этом для многих нечетных по
числу нейтронов ядер, лежащих в области между In113 и Hg201, квад-
руиольный момент имеет значение такое же, и для ядер с нечетным чис-
числом протонов. Все эти факты указывают на то, что для ядер с большими
квадрупольными моментами эти моменты в основном определяются де-
деформацией остова ядра, а квадрупольный момент самого нечетного про-
протона или нейтрона играет малую роль (см. § 21).
Итак, большие электрические квадрупольные моменты средних и
тяжелых ядер, далеких от магических, указывают на значительную
несферичность этих ядер. Несферичность средних и тяжелых ядер

§ 17J
СТРУКТУРА СРЕДНИХ И ТЯЖЕЛЫХ ЯДЕР
69
подтверждается, как мы увидим в § 20, наличием вращательных энер-
энергетических состояний ядер.
У несферических ядер и среднее поле ядра также не обладает
сферической симметрией. В связи с этим возникает сомнение в спра-
справедливости приведенной выше классификации однонуклонных состояний
по значениям интегралов движения в центрально-симметричном поле.
Несферические ядра обладают аксиальной симметрией*). В этом случае
внутреннее состояние нуклона будет характеризоваться проекцией мо-
момента количества движения нуклона на ось симметрии и определенной
четностью.
Обозначим проекцию орбитального момента количества движения
нуклона на ось симметрии ядра буквой X. Полная проекция момента
нуклона будет направлена вдоль оси
симметрии и равна й = Х4г — >
если
йз/г
и Q = —, если Х = 0. Кратность
вырождения любого уровня ядра, обла-
обладающего аксиальной симметрией, равна ь'/г
двум соответственно значениям проек- ^/г
ции момента (it^) B отличие от крат-
кратности вырождения, равной Bу —|— 1), для
уровня с полным моментом у в сферически
симметричном ядре. Поэтому в несфериче-
несферических ядрах каждые два нейтрона и два про-
протона могут образовать «оболочку». По-
Поскольку каждая такая оболочка содержит «
только два состояния, то все четные нук-
нуклоны должны заполнять оболочки. По-
Поэтому механический и магнитный моменты
ядер с нечетным массовым числом будут
определяться только состоянием нечет-
нечетного нуклона.
Соответственно значениям /. = 0, 1,
Рз/г
V 0J 0,2 0J5O,
Рис. 9. Зависимость от пара-
г> . метра а энергетических уров-
2,... энергетические уровни несфери- „ей „уклонов в ядрах, имею-
ческих ядер будем обозначать буквами щих форму вытянутого эллин-
греческого алфавита а, тт, А,... Спин соида вращения.На кривых энер-
всего ядра в нормальном состоянии равен
сумме проекций полных моментов отдель-
отдельных нуклонов на ось симметрии ядра
А
гии указаны моменты количе-
количества движения и четности со-
соответствующих состояний.
/С= VS,-. Поскольку все четные нуклоны образуют заполненные обо*
лочки и не существует стабильных нечетно-нечетных тяжелых ядер
*) В последнее время появились указания, что некоторые ядра не обладают
аксиальной симметрией.См. примечание на стр. 89.

70 МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СТРОЕНИИ ЯДЕР [ГЛ. IV
то спин ядра будет определяться значением И последнего нечетного
нуклона: К=И. Одному и тому же значению спина ядра могут
соответствовать одно из двух значений абсолютной величины проекции
орбитального момента ). = 12 ^Ь 1 /2,
Схема одночастичных уровней энергии, соответствующих осцилля-
торному аксиально-симметричному потенциалу со спин-орбитальным взаимо-
взаимодействием, вычислялась Нильсоном [36]. Рис. 9 воспроизводит часть
этой схемы отображающую зависимость первых 10 уровней ядра
от величины а, определяющей отклонение ядра от сферической формы
R(b) = R0[\-\-aYi0]. Из рис. 9 видно, что с ростом а увеличивается
расщепление уровней, вырожденных в сферическом ядре.
§18. Капельная, или гидродинамическая, модель атомного ядра
В оболочечной, или одночастпчной, модели атомного ядра исходят
из предположения о независимом движении нуклонов в некотором эф-
эффективном ноле ядра, которое учитывает средний эффект взаимодей-
взаимодействия между нуклонами. В капельной модели ядра исходят из противо-
противоположного приближения, ядро рассматривается как капля почти несжи-
несжимаемой жидкости очень большой плотности -ОО14 г\см*. Такое представле-
представление базируется на опытном факте о пропорциональности объема ядра
числу находящихся в нем нуклонов и о приблизительной пропорциональ-
пропорциональности энергии связи ядра числу нуклонов в ядре. Поскольку нуклон
на поверхности ядра взаимодействует с меньшим числом нуклонов, чем
нуклон, находящийся внутри ядра, то общая энергия связи уменьшается
на некоторую величину, пропорциональную поверхности ядра. Таким
образом, можно говорить о поверхностной энергии ядра.
Энергия связи, приходящаяся на один нуклон, согласно капельной
модели ядра выражается полуэмпирической формулой Вайцзекера [37]
для основных состояний ядер:
где
е, = 14,66 ЛЫ; ft =1,40; 4ттг2оа = 15,4 Мэв, го = 1,42-103 см.
A8,1а)
Третий член в A8,1) описывает поверхностное натяжение, а четвертый
электростатические силы отталкивания. Формула A8,1) удовлетвори-
удовлетворительно*) передает экспериментальный ход энергии связи, приходящейся
на один нуклон от массового числа А.
*) В связи с тем, что согласно современным экспериментальным данным
распределение заряда в ядре характеризуется значением г0, меньшим, чем
приведенное в A8,1а) (см. § 4), возникла необходимость в уточнении постоян-
постоянных, входящих в полуэмпирическую формулу A8,1) для энергии связи. Соглас-

§ 18] КАПЕЛЬНАЯ, ИЛИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ, МОДЕЛЬ АТОМНОГО ЯДРА 71
Капельная модель ядра впервые была введена Нильсом Бором [39]
и успешно применялась для объяснения некоторых свойств невозбужден-
невозбужденных ядер и ядерных реакций.
Представление о ядре как о жидкой капле позволяет рассматривать
коллективные движения нуклонов, приводящие к поверхностным и объ-
объемным колебаниям. Обычно принимают плотность ядра постоянной, и
«коллективное» движение нуклонов рассматривается как деформация
поверхности ядра без изменения его объема.
При малых деформациях капли относительное отклонение поверх-
поверхности ядра от сферической формы радиуса Ro может быть разложено
в ряд по сферическим функциям:
Координаты <х)а являются комплексными; чтобы A8,2) было веществен-
вещественным, необходимо выполнение дополнительных условий <Ча:=
= ( — l^al,-^. Поскольку значению \=\ соответствует смещение
всего ядра как целого, в A8,2) надо брать Х^г2. Далее ввиду того,
что число частиц в ядре конечно, мы должны ограничить значения X
сверху (л<Сл'/з)> чтобы можно было использовать приближение кон-
континуума. Наконец, требование сохранения объема ядра
'@, ?)<« = £Я.1
в первом приближении сводится к условию
AT? (О, <p)rfSJ = O,
из которого следует <хоо = О. Потенциальная энергия деформации ядра,
выраженная через квадраты модулей относительных смещений A8,2),
имеет вид [40, 41]
|Z A8,3)
Коэффициенты С> определяют деформируемость ядра и выражаются
через коэффициент поверхностного натяжения а и заряд ядра (в пред-
но Грину [38J значение / можно выпазить формулой
Входящие сюда постоянные, выраженные в единицах энергии, соответ-
соответствующей миллиатомной единице массы @,9311 Мэв), имеют следующие значения:
а1 = 16,9177; аг— 19,120; а, = 101,777;
|^ го= 1,2162-КГ" см.

72 МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СТРОЕНИИ ЯДЕР [ГЛ. IV
положении однородного распределения заряда) формулой
где коэффициент поверхностного натяжения а определяется формулой
Вайцзекера A8,1а).
Кинетическая энергия колебания поверхности ядра выражается через
скорости ах :
4IX К Г- A8,5)
Величина Bx для несжимаемого ядра с плотностью р имеет значение
Ях=р/ф-». A8,6)
Из A8,3) и A8,5) следует, что поверхность ядра может совершать
колебания с частотой
(ох=|/. A8,7)
Если Сх и Вх рассматривать как параметры теории, то A8,3) и A8,5)
будут представлять наиболее общие выражения, определяющие потен-
потенциальную и кинетическую энергию малых поверхностных колебаний.
Явный же вид зависимости коэффициентов A8,4) и A8,6) от поверхностно-
поверхностного натяжения, плотности и заряда ядерного вещества связан с так называе-
называемым гидродинамическим приближением, согласно которому поверхностные
колебания ядерного вещества рассматриваются как безвихревое движение
жидкости постоянной плотности. В приложении IV дается краткий вы-
вывод выражений A8,4) и A8,6).
Условием устойчивости ядра является неравенство Сх^> 0, так как
только при выполнении этого неравенства минимум потенциальной энер-
энергии согласно A8,3) будет соответствовать конечным значениям а,.
С помощью A8,4) неравенство Сх^>0 можно заменить неравенством
Полагая здесь Х = 2 и беря значения параметров из A8,1а), находим
условие устойчивости ядер:
ZM-^49. A8,9)
Это условие было впервые получено Я. Френкелем [42]*). Любое ядро,
не удовлетворяющее требованию A8,9), должно деформироваться и
развалиться на части. Это является одной из причин отсутствия ядер
с большими зарядами.
У элементов конца периодической системы Менделеева отношение
ZZ\A принимает значения 35,5 у U2'8, 36,5 у Am241, 39,3 у Cf244 и
40,3 у а248.
*) Я- Френкель пользовался другими значениями параметров, поэтому для
критического значения Z}iA он получил меньшее значение.

§ 18] КАПЕЛЬНАЯ, ИЛИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ, МОДЕЛЬ АТОМНОГО ЯДРА 73-
Ядра, у которых Z2jA мало отличается от критического значения.
-N- 49, согласно капельной модели должны иметь близкие к нулю ча-
частоты поверхностных колебаний.
По-видимому, наибольшее значение имеют только деформации вто-
второго порядка (\=2), соответствующие деформациям эллипсоидального
типа с произвольной ориентацией осей эллипсоида. Общая деформация,
этого типа характеризуется величиной
Ч2— VI» I2
при этом потенциальная энергия деформации ядра принимает вид
ir 1 /~« г» 2
Для средних и тяжелых устойчивых ядер коэффициент С2
,3.8
A8,3а)'
60 Мэв%,
О
40 50 60
Рис. 10. Энергия первого возбужденного состояния четно-четных
ядер как функция числа нейтронов.
поэтому энергия первого возбужденного уровня согласно гидродинами-
гидродинамической модели должна определяться формулой
100
A8,10),
Однако эксперимент не подтверждает правильность этого соотношения-
Энергия первого возбужденного уровня не является монотонной функ-
функцией массового числа, а сильно зависит от структуры ядра. На рис. 10

74 МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СТРОЕНИИ ЯДЕР [.ГЛ. IV
приведены значения энергии первого возбужденного состояния четно-
четных ядер в зависимости от числа нейтронов в ядре. Числа протонов
указаны у экспериментальных точек.
Для объяснения экспериментально наблюдаемой зависимости энергии
возбуждения первого уровня надо предположить, что коэффициент по-
поверхностного натяжения очень сильно зависит от структуры ядра [43].
Особенно велико поверхностное натяжение у магических ядер.
Итак, капельная модель ядра объясняет зависимость энергии связи
ядра от массового числа, неустойчивость тяжелых ядер по отношению
к делению, однако она дает неправильные значения энергии возбужден-
возбужденных состояний ядер и не в состоянии количественно объяснить магнит-
магнитные моменты и электрические квадрупольные моменты ядер.
Гидродинамическое описание коллективных свойств нуклонов в ядре
широко используется в обобщенной модели, которую мы рассмотрим в
следующем параграфе. Поэтому мы исследуем здесь более подробно
энергию поверхностных колебаний ядра, используя гидродинамическое
приближение (несжимаемая, безвихревая жидкость).
В случае деформаций эллипсоидального типа, описываемых сфери-
сферическими функциями с X = 2, полная классическая энергия поверхност-
поверхностных колебаний ядра выражается через значения а^^а^ и их произ-
производные по времени с помощью формулы
£=т£ {sKi'+q*,!1}' о8-11)
где а^ определяются отклонением формы поверхности /?F, ад) ядра от
сферически симметричной Ro с помощью равенства
при этом из условия действительности левой части равенства A8,12)
следует а^ = ( — 1 )* a_,j..
Введем теперь предположение (адиабатичность), что колебания по-
поверхности около некоторой равновесной формы происходят значительно
быстрее, чем изменение ориентации этой равновесной формы в прост-
пространстве.
Мы ограничились рассмотрением только деформаций эллипсоидаль-
эллипсоидального типа, поэтому равновесная форма ядра будет эллипсоидом. Направим
оси координат £,7], ч вдоль главных осей этого эллипсоида. Тогда ориента-
ориентация ядра в пространстве будет определяться углами Эйлера bv 02, 03.
Колебания поверхности ядра относительно системы осей £г£ будут
описываться внутренними координатами av, определяемыми соотношением
*-Д0 = Д0 2 аЛ,@\<р'), 08,13)
v=-2
где 0', ф' — полярные углы в системе координат &7]ч.

§ 18] КАПЕЛЬНАЯ, ИЛИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ, МОДЕЛЬ АТОМНОГО ЯДРА 75
Поскольку оси координатной системы $т£ выбраны вдоль главных
осей эллипсоида деформации, то должны выполняться равенства
я1 = «_1 = 0, «2 = a_2. A8,13a)
В частном случае тела, обладающего аксиальной симметрией,
Для перехода от переменных а,х к внутренним переменным ач и
углам Эйлера 0,- воспользуемся преобразованием сферических функций
при вращении системы координат (см. приложение I, § Е)
Подставляя это значение в A8,12), имеем:
Сравнивая A8,14) с A8,13), найдем:
В силу A8,13а) из пяти внутренних координат aS) только две явля-
являются независимыми. В качестве таких двух координат выберем согласно
О. Бору [40] две действительные величины ^ и у с помощью соотно-
соотношений:
a0=^cosY, *, = *-, = ? ^. 08,16)
Величина р определяет общую деформацию ядра, связанную с измене-
изменением потенциальной энергии ядра при отклонении его формы от сфери-
сферической; у характеризует отклонение формы ядра от аксиальной симметрии.
Подставим A8,16) в A8,13); тогда получим:
-|cosG' — Ц +sinY~sin20'cos2'/j>
Полагая здесь значения 0', со' равными последовательно @, 0),
-£ , 0 ) и Dг, -тг) , определим главные полуоси ядра:

76 МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СТРОЕНИИ ЯДЕР [ГЛ. IV
Следовательно, изменение трех осей эллипсоида выражается через
р и у соотношением
. Г-, r-v I-, r-, -■ / KJ п I \ ""■ \ \ 1 C\ П
Если у= О, то
что соответствует вытянутому эллипсоиду вращения.
Переход от координат а^ к координатам 3, y, 0р 02, 03, осуществляе-
осуществляемый с помощью соотношений A8,15) и A8,16), является неоднознач-
неоднозначным, так как он зависит от выбора наименования осей £, 7j, С и от
выбора направления отсчета по каждой из них. Из пяти переменных
В, y, 0,, 02, 08 только одна 3 5э 0 определяется однозначно равенством
02 V1 | 12
Волновые функции, описывающие состояние системы в переменных
В, y, О,, О2, Оь, должны быть инвариантны относительно указанных выше
преобразований осей координат £, 7j, С. Эти преобразования могут быть
выражены через три оператора Д,, Д2 и Д3, действующие на пере-
переменные y> 0,> ^2» ^з- Д] соответствует изменению направления отсчета
по осям 7) и ц и определяется равенством
Таким образом,
•ж, -кК 0„ О,).
Д2 соответствует вращению на 90° осей £ и 7) вокруг оси С и опре-
определяется равенством
Я,(Т. «1. 0„ в,)=(—Т, вж, 02, в,+|), Д:=1. (Б)
При этом
R%DJmk(K 02, ea) = exp{/|-Ar|Dii?(O1> 0„ в,).
Оператор Д3 соответствует циклической перестановке осей £, rj,
и определяется равенствами
^
К К)°к'к (о, |,|).

§18] КАПЕЛЬНАЯ, ИЛИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ, МОДЕЛЬ АТОМНОГО ЯДРА 77
Все остальные преобразования (оставляющие систему координат право-
винтовой) могут быть выражены через R{, R2 и R3 с помощью формулы
r = %'&?%; (Г)
где nv n2, пг — целые числа.
Требование инвариантности относительно преобразования (Г) волно-
волновых функций, описывающих коллективные движения в переменных
р, у. О,, 02, 03, аналогично условиям симметрии, накладываемым на
волновые функции, описывающие колебания и вращения молекул, состоя-
состоящих из одинаковых ядер с нулевым спином.
Из инвариантности волновых функций по отношению к преобразо-
преобразованию (В) следует, что волновая функция должна быть периодической
функцией по у с периодом ^. При описании коллективных движений
четно-четных ядер волновая функция не зависит от 03. В этом случае
из инвариантности по отношению к преобразованиям (В) и (Б) следует,
что волновые функции должны быть однозначными функциями cos 3*(.
В общем случае волновая функция, зависящая от координат 3, Y»^i»M^»
может быть записана в виде
j
4V.= 2 GA,KC, y)D^@1, 02, 03).
K'--J
Требования симметрии (А), (Б) и (В) накладывают определенные огра-
ограничения на функции G .'«,#, которые могут быть выражены равенствами:
О/а,к(C, Y) = exp{m(./-f К)}Сл,_кф, у), (А')
(Б')
Y) = 2 Д£*' (О. 1. 1) Ок' C, Y -|) • (В')
Дважды применяя (Б'), находим, что Gj^k должно обращаться в нуль
при нечетных К. Если учесть, что К принимает только четные значе-
значения, то (А') переходит в
Преобразуем энергию поверхностных колебаний A8,11) к новым пе-
переменным 3, y> 0^. Вследствие унитарности матрицы D имеем:
231 «V I" = S-^ = Р':
поэтому потенциальная энергия принимает вид

78 МОДЕЛЬНЫМ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СТРОЕНИИ ЯДКР [ГЛ. IV
Для преобразования кинетической энергии продифференцируем но*
времени равенство, обратное A8,15):
получим:
Таким образом, кинетическая энергия поверхностных колебаний при-
принимает вид
!* |J.v/
где
В
Tr = -f Z* t)lJ)^a4a.,f. A8,19a)
Tv можно назвать кинетической энергией поверхностных колебаний
ядра в системе координат, связанной с его главными осями. Пользуясь
значениями производных по времени от обобщенных сферических функ-
функций, приведенными в приложении 1, § 3:
легко показать, что
далее,
В
B, v' | Ух У,./1 2, v).
(J. Ч •('
Вследствие того, что v пробегает только четные значения (см. A8,13а)),
матричные элементы B, v' j JXJ \> \ 2, v) отличны от нуля только в том
случае, когда Х = Х', поэтому можно написать:
где
2,M'\Ji\2,M). A8,21)
/И, /И'
Формула A8,20) совпадает с классической энергией вращения твердого

§ 18] КАПЕЛЬНАЯ, ИЛИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ, МОДЕЛЬ АТОМНОГО ЯДРА 79
тела, моменты инерции которого вдоль трех главных осей определяются
выражением A8,21).
Пользуясь формулами (А, 14) — (А, 16) приложения I, мы можеч
легко определить значения матричных элементов операторов квадратов
проекций момента количества движения. Для Х = 3 получаем:
Для других проекций отличными от нуля будут только матричные
элементы:
4 + —Ж),
B, Ж — 2\Jl\2tM) = — B,Ж — 2\)Ц2,М) =
Подставляя эти значения в A8,21) и учитывая A8,16), получим явные
выражения для моментов инерции:
= B (ba\ + 2а\ + 4 ]/ \ а,аг) = Щ2 sin2 (у + 120),
которые можно записать сокращенно следующим образом:
— l^y l=\, 2,3. A8,22>
Итак, полная энергия колебаний поверхности ядра может быть пред-
представлена в виде суммы
E = EV+Er, A8,23)
где
A8-24)
— энергия поверхностных колебаний, выраженная через внутренние
координаты р и у;
42> A8,20а)
— энергия вращательного движения ядра как целого со значениями
моментов инерции, определяемыми формулой A8,22). В гидродинами-
гидродинамическом приближении моменты инерции A8,22) пропорциональны квадрату

$0 МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СТРОЕНИИ ЯДЕР [ГЛ. IV
деформации р. В частности, для ядра сферической формы [3 = 0,
следовательно, в этом случае и /х = 0. При у = 0 из A8,22) имеем
зр-/ о
11 р1
Вводя момент количества движения относительно оси X с помощью
соотношения RK = (a}Jk, можно переписать энергию вращения ядра
в виде
В последовательной гидродинамической теории ядра равновесная
форма ядра соответствует сфере. В этом случае /х = 0. Поэтому вра-
вращательное движение как особый тип возбужденного состояния сфери-
сферического ядра должно отсутствовать.
§ 19. Обобщенная, или квазимолекулярная, модель ядра
а) Качественное рассмотрение. В'обобщенной или квазимолекуляр-
квазимолекулярной модели атомного ядра, предложенной О. Бором [40, 44], соединя-
соединяются достоинства оболочечной модели и модели жидкой капли. В обоб-
обобщенной модели ядра учитывается, что движение нуклонов, находящихся
вне заполненных оболочек, вызывает деформацию оболочечной струк-
структуры «остова» ядра. Деформационные движения связаны с коллектив-
коллективным движением нуклонов в ядре и описываются методами гидродинамики
несжимаемой жидкости. Следует, конечно, иметь в виду, что коллек-
коллективные свойства ядра отличаются от свойств идеализированной капли
и могут описываться последней лишь приближенно.
Деформация ядра быстро растет по мере увеличения числа нукло-
нуклонов вне заполненной оболочки, достигая максимального значения у ядер
с заполненными примерно на 2/3 оболочками. При достаточном прнбли-
-жении к полному заполнению следующей оболочки движение некоторых
нуклонов будет противодействовать деформирующему влиянию остальных,
вследствие этого полная деформация ядра уменьшается и, наконец,
полностью исчезает, когда оболочка заполняется. Таким путем можно
качественно объяснить квадрупольные моменты ядер. Однако количест-
количественные расчеты с учетом самосогласованного поля еще не удалось сде-
сделать. Оценка ядерных квадрупольных моментов была сделана на основе
упрощенной модели, в которой предполагалось, что ядро имеет посто-
постоянную плотность, а ядерная деформируемость (поверхностное натяжение)
является плавной функцией массового числа А [18, 45].
Под влиянием нуклонов, находящихся вне заполненной оболочки,
ядро деформируется в эллипсоид вращения с полуосями с и а. Если
заряд ядра равномерно распределен по эллипсоиду, то возникает соб-
собственный квадрупольный момент
Qo = ^Z(c*-a2), A9,1)

§ 19] ОБОБЩЕННАЯ, ИЛИ КВАЗНМОЛЕКУЛЯРНАЯ, МОДЕЛЬ ЯДРА 81
а при малых деформациях
где
Особенно большого успеха добилась обобщенная модель ядра в
объяснении первых возбужденных состояний четно-четных ядер среднего
и большого массового числа А. В несферических четно-четных ядрах в
основном состоянии проекция момента количества движения нуклонов
на ось симметрии ядра равна нулю (K=Q). При этом система первых
энергетических возбужденных состояний таких ядер хорошо описывается
формулой
Ej=%J{J-\-\), A9,3)
совпадающей с системой энергетических уровней вращающегося сим-
симметричного волчка с моментом инерции /. Однако это вращение суще-
существенно отличается от вращения твердого тгла.
Ядро, имеющее форму эллипсоида вращения, может вращаться
только вокруг оси, перпендикулярной к оси симметрии ядра. При вра-
вращении твердого тела все его точки обладают одной и той же угловой
скоростью
с 1 V °>2 V , °>24
где г,- — расстояние /-й частицы от оси вращения.
Если тело не твердое, то частицы имеют большую свободу в дви-
движении, поэтому тело допускает более легкое изменение ориентации.
Вращение будет связано с меньшим смещением частиц и эффективный
момент инерции будет меньше /0 (см. § 20).
Вращательное движение ядра может быть описано в гидродинами-
гидродинамическом приближении безвихревым коллективным течением несжимаемой
жидкости, заполняющей объем эллипсоида. Момент инерции эллипсоида
вращения будет равен [46, стр. 86]
MAt£2?f (,94)
-{- а2 ' \ ' /
5 с2 -{- а2 '
где с и а — соответственно большая и малая полуоси эллипса, а МА—-
масса ядра. При малых отклонениях от сферической симметрии
2MAR*
где /п = —с-^- — полный момент инерции твердого тела массы МА
и радиуса RQ. Момент инерции эллипсоида вращения можно выразить
6 А. С. Давыдов

82
МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СТРОЕНИИ ЯДЕР
[ГЛ. IV
также через квадрат параметра деформации ядра. При у = 0 С(>
гласно § 18 1 = Щ\ A9,6)
2 •>
где B=q- MARo, Ro — радиус сферы, объем которой равен объему
ядра. Сравнивая A9,6) и A9,5), имеем:
45
A9,7)
Энергии вращения четно-четного ядра с моментом количества дви-
движения J соответствует волновая функция <Рд-_0 Угм, где ук-0 опреде-
определяет внутреннее состояние ядра. Четно-четные ядра
обычно кроме оси симметрии обладают еще цент-
центром симметрии, поэтому направление ядерной ак-
аксиальной оси симметрии определено с точностью
до поворота на 180°. Волновая функция должна
быть инвариантной относительно этого вращения. Это
ограничивает возможные квантовые состояния враще-
вращения ядра подобно ограничению состояний вращения
двухатомных молекул с тождественными ядрами.
Возможны только четные значения квантового числа
7 = 0, 2, 4, 6,... В связи с этим четно-четные ядра
должны обладать вращательными энергиями:
10А2
/
Е.=
2VJV
~Г
расиада
соього
ра
53.3
Схема
5,5-ча-
изоме-
Отсюда следует, что расположение энергетических уров-
уровней вращательных состояний четно-четных ядер должно
удовлетворять следующему правилу интервалов:
Е2:Е4:Е6:ЕН:... = 1:3,33:7:11:... A9,8)
Правило интервалов A9,8) хорошо подтверждается
экспериментом. На рис. 11 приведена схема распада
5,5-часового изомера Ш , образующегося при захвате нейтрона яд-
ядром Ж179. Образующееся в результате изомерного перехода возбужден-
возбужденное ядро с моментом количества движения 8 и положительной четностью
переходит в основное состояние путем каскадного излучения у-квантов
квадрупольного типа с энергиями, относящимися друг к другу как
1:3,3:6,9:11,6, что указывает на хорошее выполнение правила интер-
интервалов A9,8). Подобного типа вращательные состояния четно-четных
ядер наблюдаются при возбуждении ядер кулоновским полем проле-
пролетающей частицы, при a-, J3- и у-переходах и др.
Зная энергетические уровни вращательных состояний четно-четных
ядер можно по формуле A9,3) определить момент инерции ядра, а далее
с помощью формулы A9,6) гидродинамического приближения вычислить
параметр деформации $•

§ 19] ОБОБЩЕННАЯ, ИЛИ КВАЗИМОЛЕКУЛЯРНАЯ, МОДЕЛЬ ЯДРА 83
б) Количественное рассмотрение. В квазимолекулярной или обоб-
обобщенной модели ядра предполагается, что нуклоны, входящие в состав
полностью заполненных оболочек («остов» ядра), проявляют себя только
через свои коллективные свойства, которые описываются согласно гидро-
гидродинамической модели. Нуклоны сверх заполненных оболочек называют
внешними нуклонами. Принимается, что их движение можно описать
в однонуклонном приближении, т. е. как движение в усредненном по-
потенциальном поле остова ядра.
Внешние нуклоны, взаимодействуя с «остовом» ядра, вызывают
отклонение его формы от сферической (оказывают «давление» на по-
поверхность «остова.). Деформация поверхности остова вызывает в свою
очередь воздействие на характер движения и взаимодействия внеш-
внешних нуклонов друг с другом.
О. Бор развил теорию ядер, у которых сверх заполненных обо-
оболочек находился только один внешний нуклон. Теория Бора в даль-
дальнейшем была обобщена К. Фордом [47] на случай нескольких
внешних нуклонов при пренебрежении непосредственным взаимодейст-
взаимодействием между ними.
Пусть потенциал взаимодействия внешнего нуклона с остовом
изображается функцией V(r). Предположим далее, что при дефор-
деформации ядра
г г
#0
потенциал остается той же функцией от новых переменных, т. е.
V (г)—у V (/•'). Изменение потенциала можно рассматривать как появле-
появление дополнительного взаимодействия между нуклоном и остовом ядра.
В линейном приближении, используя A8,13), имеем:
Если потенциал имеет форму прямоугольной ямы глубины Vo, то из
A9,9) получим:
Н*г = - *W I' - ^о) 2 %Уг* (°' <р). A9'9а)
и-
где /*, 0, <р — полярные координаты внешнего нуклона; аа — координаты,
характеризующие деформацию поверхности ядра в системе координат,
связанной с ядром.
Предположим, что скорость движения нуклона значительно больше
скоростей движения ядра как целого. Тогда в адиабатическом прибли-
приближении можно рассматривать движение нуклона, считая поверхность ядра
фиксированной. Энергия взаимодействия нуклона с поверхностью ядра,
усредненная по состояниям движения внешнего нуклона, зависит от
координат поверхности ядра как от параметров и, следовательно, играет

84 МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СТРОЕНИИ ЯДЕР [ГЛ. IV
роль дополнительной потенциальной энергии, определяющей колебания
и равновесную форму поверхности ядра. Такое рассмотрение напоми-
напоминает развитый в теории молекул адиабатический метод исследования
движения электронов и ядер молекулы. Поэтому обобщенную модель
ядра иногда называют квазимолекулярной моделью.
При описании движения внешнего нуклона будем считать, что спин-
орбитальное взаимодействие столь велико, что оно не нарушается вза-
взаимодействием нуклона с поверхностью и квантовое число j является
хорошим квантовым числом. Среднее значение взаимодействия A9,9а)
в состоянии нуклона, определяемом квантовыми числами nljil, где И—■
проекция момента количества движения на аксиальную ось симметрии
ядра, будет равно*)
; A9,10)
J \J ~Г 4
здесь
u,,,(/?0) — значение радиальной волновой функции нуклона на поверх*
ности ядра. Величина -^ Vo /?^ | unl (Ro) |2 совпадает с кинетической
энергией нуклона, если предположить, что потенциальная яма беско-
бесконечно глубока. Обычно полагают [47, 48] значение глубины постоянным,
равным 20 Мэв.
Из A9,10) следует, что при j=1j2, т. е. в состояниях snt и ри2,
средняя энергия взаимодействия нуклона с поверхностью ядра равна
нулю. Ниже мы будем рассматривать только ядра с
*) Формула A9,10) получается при усреднении оператора A9,9а) на вол-
волновых функциях
Ч1«//ц=и«/('-)Фуе(в,?,а),
где
Ф* = 2 (' Vr S - «*• Щ | /Q) YlQ_ (9, ?) х («,)
/В.9
— сферическая функция со спином. Действительно,
<ЯВЗ> ^ (nljQ | Явз | nlJQ) = - V0Rl | unl (/?0) | 2 X a (J9. \ K2l, | JQ).
Пользуясь приложением I, можно показать, что
Подставляя это значение и a0 = [lcos f в предыдущую формулу, прихо-
приходим к A9,10).

§ 19] ОБОБЩЕННАЯ, ИЛИ КВАЗИМОЛЕКУЛЯРНАЯ, МОДЕЛЬ ЯДРА 85
При наличии нескольких внешних нуклонов в состояниях п, /, у, й,
их среднее взаимодействие с поверхностью ядра определится выражением
<^вз>=ЛРСО8Т> О9'11)
где
Сумма V {Зй* — у (у -{- 1)} по всем нуклонам, заполняющим оболочку я/у,
равна нулю. Поэтому если в ядре до заполненной оболочки nlj не
хватает одного нуклона в состоянии Йу = й, то-выражение для взаимо-
взаимодействия A9,11) будет отличаться от A9,10) только знаком.
Компоненты оператора момента количества движения остова ядра /?х
определяются через компоненты полного момента flj\ и моменты внеш-
внешних нуклонов j\ (i) следующим образом:
*х = * [Л—2 А (')]• 09>12)
{
В адиабатическом приближении операторы j\ (i) действуют только
на «внутренние» переменные, т. е. на координаты «внешних» нуклонов
относительно осей Sr^, и не действуют на углы Эйлера, определяющие
ориентацию ядра в пространстве. Компоненты оператора У относительно
осей £т£ удовлетворяют перестановочным соотношениям
ЛЛ—ЛЛ = </„>••• A9,13)
Оператор J полного момента ядра действует только на углы Эйлера,
характеризующие ориентацию ядра в системе осей xyz. Компоненты
оператора полного момента относительно осей xyz удовлетворяют обыч-
обычным перестановочным соотношениям
JxJy—JyJx = Uz,... A9,14)
Нас будут интересовать компоненты оператора полного момента J от-
относительно подвижных осей £, 7], С, которые могут быть определены через
операторы Jx, Jy, J2 и направляющие косинусы ях1, а , аг1 осей
системы щ^ относительно осей xyz с помощью соотношений
Учитывая, что o.lxJy — Jyzlx = izlz, ••• , можно с помощью A9,15)
и A9,14) непосредственным вычислением установить, что перестановоч-
перестановочные соотношения
ЛЛ—ЛЛ = -'Л. ••• A9>16)
между компонентами J1,Ji, J3 отличаются от обычных A9,13) знаком

86 МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СТРОЕНИИ ЯДЕР [ГЛ. IV
в правой части. На это обстоятельство в теории молекул впервые об-
обратил внимание Клейн [49].
Вследствие того, что в нашем приближении операторы jiy... и
Уг,. . .действуют на разные переменные, они коммутируют друг с другом *).
Среднее значение оператора энергии вращения четно-четных ядер в
состоянии с определенным значением полного момента, моментов коли-
количества движения внешних нуклонов и значениями их проекций на акси-
аксиальную ось симметрии **)
можно написать в виде
B.^;) = т(^ + ^)у(у+1)+1Гг(т.?). A9*17>
где
rr(Y.?) = (^ + ^)/?(/(-)). A9,18)
Здесь F(j,u) обозначает число, зависящее только от состояния
движения внешних нуклонов. Поэтому Wr (у, fit) является функцией J3 и у
(от которых зависят моменты инерции 1Х и /2) и в адиабатическом при-
приближении играет роль дополнительной потенциальной энергии поверх-
поверхностных колебаний остова ядра.
Функцию Wr (у, Р) можно включить в потенциальную энергию
поверхностных колебаний, которая при учете взаимодействия A9,11)
поверхности ядра с внешними нуклонами запишется в виде
§ s у + Wr (у, р). A9,19)
Учитывая явную зависимость моментов инерции от у и C:
получим, что при заданном значении C потенциальная энергия A9,19)
имеет минимум для значений у = 0 или тт, соответствующих ядрам
*) Это важное свойство операторов J и j и позволяет рассматривать их
как независимые операторы (подобно операторам орбитального и спинового
моментов) и проводить их сложение по правилам векторного сложения.
**) Такие состояния не являются строго стационарными, так как оператор
> 2у~ имеет отличные от нуля недиагональные матричные элементы. Эти
).
матричные элементы тем меньше, чем больше массовое число ядра и откло-
отклонение формы поверхности ядра от сферической. Мы будем предполагать, что
влиянием недиагональных матричных элементов этого оператора можно пре-
пренебречь (приближение сильной связи) [47J.

§ 19] ОБОБЩЕННАЯ, ИЛИ КВАЗИМОЛЕКУЛЯРНАЯ, МОДЕЛЬ ЯДРА 87
аксиальной формы. Положение этого минимума не зависит от значений
параметров, входящих в A9,19). В связи с тем, что A9,19) получено
при усреднении A9,17) по волновым функциям нуклонов, соответствую-
соответствующим наличию аксиальной симметрии ядра, найденные равновесные зна-
значения у = 0, тт являются «самосогласованными» значениями. Второй
особенностью потенциальной энергии A9,19) является то, что она об-
обращается в бесконечность при у = 4- -т . 4--^-.
Зависимость потенциальной энергии A9,19) от у очень далека от
параболической. Кривая потенциальной энергии напоминает потенци-
потенциальную яму с очень крутыми склонами. Поэтому нельзя оценивать
роль колебаний, связанных с изменением у, в общей энергии возбужде-
dzW v
ния ядра путем вычисления -t-j- в точке минимума. Кроме того, у чет-
и j
пых ядер волновая функция должна быть четной функцией у. Поэтому
следующим после состояния нулевой энергии будет только состояние
с главным квантовым числом, равным 2. Следует, однако, отметить,
что вопрос о возможности отклонения от аксиальной симметрии тре-
требует исследования условий нарушения «самосогласованных» значений у
и не может быть решен на основании исследования только выражения
A9,19), полученного в предположении, что ядро обладает такой сим-
симметрией.
В дальнейшем будем считать у = у0 = 0 или тг, т. е. будем полагать,
что ядро обладает аксиальной симметрией. В этом случае потенциальная
энергия A9,19) определяется выражением:
^ sI» + T« <19'20>
Учитывая A8,23), A8,24) и A9,17), можно записать полную энергию
коллективных движений в ядре в следующем виде:
где £вр — энергия вращения ядра, при условии у = 0, тг, равная
Поскольку спин четно-четного ядра в основном состоянии равен нулю,
то среднее значение квадрата полного момента будет связано только
с вращением ядра как целого, т. е.
Поэтому энергия коллективных движений ядра может быть выражена
через кинетическую и потенциальную энергию поверхностных колеба-
колебаний и энергию вращения следующим образом:
£=4?24-^, (FJ+ggi. A9,22)

88 МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СТРОЕНИИ ЯДЕР [ГЛ. IV
Полученные результаты легко обобщаются на случай нечетных ядер.
Спин К нечетного аксиально-симметричного ядра в основном состоянии
определяется суммой проекций моментов количества движения нуклонов
на аксиальную ось ядра К=У]&{. Полный момент ядра определяется
i
квантовым числом J^K. В этом случае удобно нормировать энергию
A9,21) так, чтобы при J=K она равнялась нулю, т. е. положить
Тогда полная энергия коллективных движений ядра примет вид
>. 09.24)
где
— потенциальная энергия, зависящая от ^ и от состояния движения
внешних нуклонов.
§ 20. Вращательная энергия и момент инерции несферических ядер
Возможность выделения энергии вращения ядра из общей энергии
возбуждения осуществляется только у ядер, значительно отличающихся
от сферических. В самом деле, как показал Вигнер [50], волновая
функция любой системы частиц, соответствующая полному моменту У,
его проекции М на некоторое выделенное направление и другим воз-
возможным интегралам движения, которые мы для краткости обозначим
одной буквой а, может быть представлена в виде
где DMKfi.) — волновая функция, зависящая от эйлеровых углов О,.,
определяющих ориентацию осей координат £г£, связанных с си-
системой частиц; умк,«(• • •<?/• • •) — волновые функции, зависящие от
координат частиц относительно подвижной системы координат £tj£.
Квантовое число К определяет проекцию момента У на ось £ подвиж-
подвижной системы координат.
Если система частиц в состоянии У, а обладает аксиальной осью
симметрии и значительно отличается от сферической формы, то К
будет хорошим квантовым числом. В этом случае система частиц мо-
может находиться в состояниях, определяемых квантовыми числами а, У,
Ж, К, которым будет соответствовать волновая функция
,). B0,1)

§ 20] ВРАЩАТЕЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ И МОМЕНТ ИНЕРЦИИ НЕСФЕРИЧЕСКИХ ЯДЕР 89
а энергия системы будет равна сумме энергии вращения и внутренней
энергии.
Если система частиц обладает кроме оси симметрии еще и центром
симметрии, то координатная система £.т£ определяется только с точ-
точностью до инверсии направления осей £, Г|, £ (положение осей £, г)
при этом остается вообще неопределенным). Волновая функция B0,1)
должна быть инвариантной относительно таких преобразований осей
£, rj, £ (следовательно, и эйлеровых углов 0,). Операции инверсии
осей £, г], £ соответствует преобразование эйлеровых углов
{6,} = <р, О, -Ь—><р-|-1т, тт — 0, тт— ф и волновых функций
■(—iK^Aw, -к- Поскольку физические результаты не должны
зависеть от неоднозначности в выборе направлений осей* $, 7], £, то
волновую функцию B0,1) следует писать в виде
осе
{6,}
D
. • -г,.. .) = <tma(q) {DW@f) + (- 1O+«£м, -к@,.)}. B0,1a)
В этом случае четность волновой функции B0,1а) относительно пре-
преобразования инверсии всех координат частиц будет зависеть только от
четности волновой функции умк,«(. • -q. - •)» определяющей внутрен-
внутреннее движение. Из B0,1а) следует непосредственно, что при К=0
(четно-четные ядра) возможны только состояния с четным значением
полного момента, т.е. У=0, 2, 4, ...
Таким образом, энергии вращения
V^^+n-^+n} B0,2)
аксиально-симметричного ядра будет соответствовать волновая функция
типа B0,1а)*). Если возможно выделение коллективных степеней сво-
свободы, соответствующих колебательному состоянию ядра, то волновую
функцию внутреннего движения можно приближенно написать в виде
произведения волновой функции Фф), определяющей колебания по-
поверхности ядра, на волновую функцию */#,«, определяющую конфигу-
конфигурацию нуклонов.
Формула B0,2) определяет энергию вращения ядра только в слу-
случае, когда спин ядра больше J/2. При К=^г, как было показано
выше, средняя энергия взаимодействия внешнего нуклона с поверхно-
поверхностью ядра равна нулю. В этом случае энергия вращения, как показали
О. Бор и Моттельсон [44], определяется формулой
где а — постоянная, зависящая от внутреннего состояния ядра.
*) Энергия вращения неаксиальных четно-четных ядер вычислялась в
работе А. Давыдова и Г. Филиппова (ЖЭТФ 34, вып. 8, 1958).

90
МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СТРОЕНИП ЯДЕР
[ГЛ. IV
Примером вращательной полосы ядра со спином г/г является изо-
изображенная на рис. 12 схема уровней Ри"9, которая хорошо описывается
7/2+ 75.6?
5/2 + 67,25
формулой B0,3), если положить
~ = 6,25 кэв, а = — 0,58.
£1
7,65
Используя экспериментальные данные о вра-
вращательных уровнях энергии, можно с помощью фор-
формулы B0,2) вычислить момент инерции ядра.
На рис. 13 приведены значения моментов инер-
инерции ядер, вычисленные из данных о первом воз-
возбужденном £B+)-состоянии четно-четных ядер.
Рисунок изображает зависимость величины моментов
инерции от числа нейтронов в интервале между двумя
заполненными нейтронными оболочками (82 — 126/V). Эксперимен-
Экспериментальные данные взяты из работ [51, 52].
В § 18 показано, что в гидродинамическом приближении мо-
момент инерции / связан с параметром деформации р соотношением
3/2+
1/2+ О
Рис. 12. Схема вра-
вращательных уровней
энергии ядра Ри239.
где
Учитывая связь момента инер-
инерции с энергией первого враща-
тельного уровня четно-четного
ядра £B+)= —, можно на-
г,2
писать р = т
-. Пола-
гая 7?о=1,2Л'-з.1О
вычисляя числовой
получим формулу
2,4.10s
см и
множитель,
А"
п
, B0,4)
4 ■
2 -
•
J e
/
/
/
i
/о>
- 1о°г
к
зJ
Jo
/
/
1
_5 55 5
сЯэ-^о
6®\ в
F°\
■ ■ •
1-Нй;
J-Cd;
5-УЬ;
7~Vi'i
\
\
\
\
\
\
\
ЙО6
4-Dy
б-Hf
<5-Pt
\
\
\
S
82 86 SO Si 38 102 106 НО И* 118 122 126 N
Рис. 13. Эффективный момент инерции
четно-четных ядер (в единицах
10~46 Z'CM2) как функция числа нейтронов.
позволяющую найти р2 для ядра
■с массовым числом А, если
известна энергия ЕB+) первого
вращательного состояния.
На рис. 14 приведены зна-
значения $г0, полученные с помощью
формулы B0,4). Эти значения отмечены кружками и отсчитываются по
левой шкале. На том же рисунке приведены значения р|, отмеченные
треугольниками и отсчитываемые по правой шкале. Эти значения полу-
получены из данных о внутренних квадрупольных моментах ядер, если
предположить, что заряд равномерно распределен по объему ядра.
Сравнение значений ^ и ^ показывает, что поведение обеих ве-
величин в зависимости от числа нейтронов в ядре весьма похоже: обе

§ 20] ВРАЩАТЕЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ II МОМЕНТ ИНЕРЦИИ НЕСФЕРИЧЕСКИХ ЯДЕР 91
величины имеют максимум в области N-^-95 и 145. Однако абсолют-
абсолютные значения р* и $\ не совпадают. Для ядер с числом нейтронов
85—115 значение $20 примерно в 5 раз превышает значение C*; в об-
области же Л/^>135 это превышение еще больше.
Значение $\ характеризует распределение (квадрупольного типа)
заряда внутри ядра. Неравенство З^р* может указывать либо на не-
неприменимость гидродинамического описания для вычисления момента
инерции, либо на отличие распределения массы от распределения за-
заряда внутри ядра. В свете современных данных вторая интерпретация
маловероятна.
О 126
. О I
U Pu
О
fid О
А
и
о/г
0.20
0.1 S
0.16
0.14
0.12
0.W
0.08
0.06
0.04
0.02
90 100
ПО
129
130
150 N
Рис. 14. Значения квадрата параметра, характеризующего отклонение формы
ядра от сферы. Значения jijj, отмеченные кружками, отсчитываются по левой
шкале. Они получены из данных о энергии возбуждения первого уровня.
Значения ^ , отмеченные треугольниками, отсчитываются по правой шкале.
Они получены из данных о квадрупольных электрических моментах при из-
измерении вероятности возбуждения.
Если предположить, что распределение заряда и массы одинаково,
то значение 3* будет характеризовать отклонение формы ядра от
сфзры. Вычислив момент инерции ядра по формуле гидродинамического
приближения / = 3£3* для данного значения В^ и сравнив его с экспе-
экспериментальным значением, полученным из данных о энергии первого
вращательного уровня, можно сделать заключение о применимости
гидродинамического приближения к ядру. Такое сравнение делается
на рис. 15, где пунктирной линией изображено отношение момента
инерции, вычисленного по формуле /=3#3Д, к моменту инерции
твердого тела /тве д, а точками изображено отношение момента ннер-

92
МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СТРОЕНИИ ЯДЕР
[ГЛ. IV
mm, определенного из значения энергии Е B+) для ядра с заданным
значением J3*, к моменту инерции твердого тела.
В связи с большой грубостью гидродинамической модели ядра для
описания вращения в последнее время появились работы, в которых
делаются попытки вычисления момента инерции ядра при использова-
использовании других модельных представ-
представлений. Наиболее строгая поста-
постановка задачи заключалась бы в
вычислении энергии системы нукло-
• нов в состояниях, имеющих опре-
•• • деленные значения момента коли-
• .• • • • чества движения, и в приближен-
• ном представлении этой энергии
%* в виде суммы внутренней энергии
• • S относительно системы координат,
0.5
ол
0.3
0.2
0.1
тверл
связанной с ядром, и энергии вра-
вращения ядра. Практическое решение
этой задачи осуществить трудно
(см., например, работу А. С. Давы-
Давыдова и Г. Ф. Филиппова [53] и
работы Тамура, Натафа, Липкина
Рис. 15. Точки изображают отноше- и др. [54]). Менее строгая поста-
ние момента инерции, вычисленного новка задачи была предложена
из данных о первом возбужденном
0.1 0.2 0,3 0,4 0.5 0Л
уровне, к моменту инерции твердого
тела в зависимости от параметров де-
деформации, полученных из данных о
времени жизни уровня. Пунктирной
линией изображено отношение мо-
момента инерции гидродинамической те-
теории к моменту инерции твердого тела.
Инглисом [55]. Для вычисления
момента инерции ядра Инглис рас-
рассматривает систему частиц, нахо-
находящихся в медленно вращающемся
с постоянной угловой скоростью
поле, которое выбирается в виде
трехмерного аксиально-симме-
аксиально-симметричного осциллятора. Вычислив
изменение энергии системы, обусловленное вращением, можно опре-
определить эффективный момент инерции такой системы частиц. Модель
Инглиса часто кратко называют «моделью принудительного враще-
вращения» (Cranking model). В этом названии отмечается основной недоста-
недостаток модели, заключающийся в том, что координаты, описывающие
поле, являются лишними переменными задачи и их изменение во вре-
времени (вращение) задается извне.
Для иллюстрации метода Инглиса рассмотрим простейший случай
системы, состоящей из одной частицы, находящейся во вращающемся
вокруг оси z с угловой скоростью (о поле V. Состояние системы в не-
неподвижной системе координат будет определяться уравнением Шредин-
гера
[^(э?) ~~^~^(г> fJ» <Р—ю')] Ф^» Qi <Р. 0 = °» B0>5)
где значок <р у производной по времени означает, что эта производная

§ 20] ВРАЩАТЕЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ И МОМЕНТ ИНЕРЦИИ НЕСФЕРИЧЕСКИХ ЯДЕР 93
берется при условий, что ср является независимой переменной. Пре-
Преобразуем уравнение B0,5) к вращающейся вместе с нолем системе
координат:
/•' = /•, 0' = 0, <р' = <р— (о/. B0,6)
В этой системе независимыми переменными будут г', 0', ср'; диффе-
ренцирование по времени при этих условиях обозначим - - . Учи-
\ "*/'*'
тывая B0,6), имеем:
(
Таким образом, уравнение B0,5) во вращающейся системе координат
можно записать в виде
[^(-^_//'+а>А] ф(г\6\ <р\ 0 = 0, B0,7)
где
— оператор Гамильтона, не зависящий явно от времени. Вводя опера-
оператор проекции на ось z момента количества движения
перепишем уравнение B0,7) в виде
!^, — И' — о)Л]ф(г', 0', <р',0 = 0. B0,8)
Рассмотрим стационарные решения уравнения B0,8) во вращаю-
вращающейся системе координат, т. е. положим
-i^j) • B0,9)
Подставляя B0,9) в B0,8), находим уравнение для Ф:
(И' — Е') Ф = — (о^гФ. B0,10)
При малой скорости вращения правая часть B0,10) мала и задачу
можно решать методом теории возмущений. В нулевом приближении
(И' — вп)Ф°п = 0. B0,11)
Если е0 соответствует нижайшей энергии системы при со = О, то при
малом (о волновая функция может быть записана в виде

94 МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СТРОЕНИИ ЯДЕР [ГЛ. IV
где
Энергия системы в штрихованной системе координат теперь опреде-
определится равенством
Е = \ ФиФа,=|«, 14 + ZI«. Г». =«. —' Е ^Щ^1 ■
v n^z» n jz 0 " °
Если согласно Инглпсу [55] изменение энергии частицы, обусловленное
вращением поля, рассматривать как энергию вращения, т. е. для энер-
энергии в неподвижной системе координат написать:
,~ £«-£°
то из равенства
получим формулу, определяющую эффективный момент инерции*):
° IЛI«) I2
B0,12)
Если потенциал 1/ (г, 0, tp) имеет аксиальную ось симметрии и ось z
направлена вдоль этой оси, то все недиагональные матричные элемен-
элементы @|У2|л) равны нулю. Таким образом, B0,12) определяет мо-
момент инерции для вращения, перпендикулярного к оси симметрии ядра.
Простым обобщением приведенного выше вывода можно получить
выражение для эффективного момента инерции системы частиц, дви-
движущихся во внешнем вращающемся поле. Момент инерции системы
частиц также выражается формулой B0,12), если Jz понимать как
сумму проекций моментов количества движения всех частиц системы,
а Ф,2 и гп — как собственные функции и собственные значения энер-
энергии системы частиц в неподвижном поле.
Выражение B0,12) для момента инерции исследовалось в работе
А. Бора и Моттельсона [56]; они показали, что момент инерции, вы-
вычисляемый по формуле B0,12), больше момента инерции, вычисляемого
в гидродинамическом приближении, и приближается в пределе многих
частиц к значению момента инерции твердого тела. Этот неудовле-
*) Момент количества движения со/, как известно, выражается через
энергию тела Е' во вращающейся системе координат с помощью соотноше-
соотношения со/— — . Это соотношение позволяет получить момент инерции B0,12)
непосредственно из Е'.

§ 2l] КВАДРУПОЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ И ОБОБЩЕННАЯ МОДЕЛЬ ЯДРА 95
творительный результат А. Бор и Моттельсон [56] пытались исправить
учетом остаточного взаимодействия между нуклонами. Под остаточным
взаимодействием при этом понимается разность между истинным вза-
взаимодействием нуклонов и их взаимодействием с самосогласованным по-
полем. К такому взаимодействию относится, например, эффект спаривания
нуклонов в четно-четных ядрах, вследствие которого расстояние между
уровнями энергии одночастичных состояний в четно-четных ядрах уве-
увеличивается. Соответственно увеличивается разность энергии вп—s0
в знаменателе формулы B0,12) по сравнению со случаем независимых
частиц в самосогласованном поле. Это приводит к уменьшению момента
инерции B0,12) по сравнению с моментом инерции твердого тела.
С количественной стороны этот вопрос изучен еще недостаточно.
§ 21. Электрические квадрупольные моменты
и обобщенная модель ядра
В обобщенной модели ядра предполагается, что полный квадру-
польный момент ядра равен сумме квадрупольного момента (?колл, об-
обусловленного деформацией остова ядра, и квадрупольного момента Qp,
обусловленного несферическим распределением внешних нуклонов:
Для ядер, далеких от магических, QKon4 иногда превышает Qp более
чем в 20 раз. Учет QKQJin позволяет объяснить существенные особен-
особенности экспериментально наблюдаемых квадрупольных моментов некото-
некоторых атомных ядер.
Оператор внутреннего квадрупольного момента ядра определяется,
выражением (см. приложение II)
где Z — заряд ядра; r{, \}(-, cpf. — сферические координаты /-го протона
относительно системы координат, связанной с ядром. Согласно А. Бору
и Моттельсону [44] при равномерном распределении нуклонов коллек-
коллективные координаты а9 определяются координатами индивидуальных
нуклонов с помощью соотношения
Если электрический заряд в ядре распределен равномерно, то послед-
последнее равенство можно переписать в виде
7.

"96 МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СТРОЕНИИ ЯДЕР [ГЛ. IV
Сравнивая это выражение с B1,1), мы убедимся, что оператор внут-
внутреннего квадрупольного электрического момента ядра непосредственно
выражается через координату коллективного движения a0 = C
соотношением
Для получения значения внутреннего квадрупольного момента в опре-
определенном состоянии ядра надо усреднить B1,2) по коллективным дви-
движениям, соответствующим этому состоянию. В частности, внутренний
квадрупольный момент основного состояния ядра получается при усред-
усреднении B1,2) по нулевым колебаниям поверхности ядра
pcosY>0. B1,3)
Обычно при вычислении B1,3) принималось, что
где Ро и Yo — значения коллективных координат р и у, соответствующие
минимуму потенциальной энергии A9,19). В работе А. С. Давыдова
и Г. Ф. Филиппова [57] показано, что в основном состоянии ядра
| < р cos у > о | > | ^0 cos Yo | это неравенство можно заменить прибли-
приближенным равенством при достаточно больших значениях ро.
Количественные расчеты квадрупольных моментов ядер находятся
в неудовлетворительном состоянии еще и потому, что неизвестны зна-
значения параметров С и В, входящих в потенциальную энергию дефор-
деформации A9,19). Коэффициент С, по-видимому, существенно зависит от
состояния нуклонов в ядре. Об этом свидетельствует большая устой-
устойчивость по отношению к деформации формы у ядер, близких к маги-
магическим. Учитывая это обстоятельство и ограничиваясь качественным
рассмотрением, мы будем считать, что
^|p0cosY0. B1,4)
Величина р0, при которой потенциальная энергия A9,19) имеет
минимальное значение, определяется из уравнения четвертой степени:
где y0 —0| если
отрицательно, и уо = тт, если А положительно.

§ 21] КВЛДРУПОЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ И ОБОБЩЕННАЯ МОДЕЛЬ ЯДРА 97
Для ядер, далеких от магических, когда квадрупольный момент,
обусловленный коллективными степенями свободы, наиболее существен
(P0^>-7j, первый член правой части уравнения B1,5) значительно
V ^ I
больше второго, поэтому в нулевом приближении величина р0 опреде-
определяется формулой
Подставляя это значение в B1,4) и учитывая возможные значения
у0 @ или тг), получим:
Нуклоны, заполняющие все состояния с данным /, не вызывают
деформации ядра, так как
з 2 а'=У(У+1)Bу+1)
и А = 0. Если вне заполненных оболочек находится один нуклон
в состоянии \H\=j^alt (что соответствует нижайшей внутренней
энергии ядра), то
В этом случае ядро имеет форму сплющенного эллипсоида вращения.
Если же до заполненной оболочки не хватает одного нуклона в состоянии
|й|=/.то
При этом ядро имеет форму вытянутого эллипсоида вращения.
Значение | QK0Jll \ возрастает, когда вне заполненных оболочек уве-
увеличивается число внешних нуклонов (или когда не хватает нескольких
нуклонов до заполненной оболочки). Таким образом, влияние оболочечной
структуры на квадрупольные моменты проявляется через коллективную
деформацию ядра.
Эксперимент подтверждает, что у ядер с одним нуклоном вне запол-
заполненной оболочки, например О17 (Л.-а), Си" (р*г), Sb121 (A2), Sb12s (^/2),
Bi269 (Ло7) и др., знак квадрупольного момента отрицателен. У ядер
с одним недостающим нуклоном до заполненной оболочки, например
В11 (р»2), Ss5 (dit), lnlls (g»t) и др., квадрупольный электрический
момент положителен.
Если вне заполненных оболочек находится больше одного нуклона
или не хватает до полного заполнения нескольких нуклонов, то величина
и знак квадрупольного момента существенно зависят от расположения
7 А. С. Давыдов

98 МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СТРОЕНИИ ЯДЕР [ГЛ. IV
энергетических уровней внешних нуклонов в деформированном ядре.
Вычисления минимума энергии ядра в зависимости от величины откло-
отклонения формы ядра от сферически симметричной, выполненные Мошков-
ским и Тавнесом [58] при пренебрежении взаимодействием между внеш-
внешними нуклонами, показали, что при больших отклонениях состояния
с положительными квадрупольными моментами лежат ниже состояний,
соответствующих отрицательным квадрупольным моментам *).
Если не учитывать электрическое взаимодействие, то внешние
протоны и нейтроны вызывают одинаковую деформацию ядра. Поэтому
квадрупольные моменты соседних ядер с нечетным протоном и нечетным
нейтроном имеют сравнимые величины.
По экспериментальным значениям квадрупольных моментов можно
судить о деформируемости ядра и ее зависимости от структуры обо-
оболочек. «Внутренние» квадрупольные моменты ядер, т. е. квадрупольные
моменты Qo относительно осей координат, связанных с ядром, входят
в выражения, определяющие вероятности возбуждения вращательных
состояний ядер кулоновским полем быстрых заряженных частиц (см. § 82),
и в выражения, определяющие вероятности уизлучений при переходе
ядра из одного вращательного состояния в другое (см. § 77). Измеряя
эти вероятности, можно определить и соответствующие значения Qo.
Такие методы измерения позволяют определить квадрупольные электри-
электрические моменты и у четно-четных ядер, у которых спин равен нулю.
Соответствие полученных при этом экспериментальных значений QQ
истинным значениям будет определяться, помимо экспериментальных
ошибок, точностью теоретических выражений для указанных выше
вероятностей переходов.
У ядер, имеющих спин У^ 1, квадрупольные электрические моменты
можно также определить из спектроскопических данных о сверхтонкой
структуре спектральных линий. В этих измерениях непосредственно
определяется энергия взаимодействия электрического поля электронной
оболочки атома со средним значением квадрупольного электрического
момента Q в состоянии, когда проекция спина J на направление, выде-
выделяемое электрическим полем, равна J. Для ядер, значительно отличаю-
отличающихся от сферических ((*0]>0,1), измеряемая величина квадрупольного
момента Q связана с «внутренним» электрическим квадрупольным мо-
*) Качественно этот результат следует из рассмотрения изменения поверх-
поверхностной и электростатической энергии остова ядра при отклонении его формы
от сферической. Если ограничиться членами, кубическими относительно
a = flcosY> то изменение энергии будет равно [59]:
&E=4nRe {0,4 A - ос) а2 — @,0381 + 0,07619*) а»^ B1,10)
ZZ2e2
где о — поверхностное натяжение, х = -^-^ отношение половины куло-
новской энергии к поверхностной. Второй член в B1,10) при больших дефор-
деформациях, соответствующих положительным квадрупольным моментам, дает по-
понижение энергии.

§21] КВАДРУПОЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ И ОБОБЩЕННАЯ МОДЕЛЬ ЯДРА
ментом Qo соотношением (см. приложение II, § К)
99
Проектирующий множитель PQ= ,j , n/2/4.3)' опРеДеляюш-11Й отно-
отношение квадрупольного момента при заданном состоянии ядра Ч!л к его
внутреннему квадрупольному моменту Q , сильно уменьшает измеряемое
1 3 1
значение Q. При У= 1 он равен -гг.; при J=tt он равен -=-; при
су 11/ — О
У=2 PQ=y, при дальнейшем увеличении У проектирующий мно-
множитель медленно стремится к единице.
Точность определения Q из спектроскопических измерений, помимо
экспериментальных ошибок, зависит от точности вычисления градиента
электрического поля в атоме. Эти вычисления производятся с точностью
от 4 до 40°/0.
В таблице 10 приведены (в единицах Ю~24 см2) для некоторых
ядер экспериментальные значения внутреннего квадрупольного момента Qo,
Таблица 10. Квадрупольные моменты некоторых ядер
Ядро
Ir"»
Ег'и
Ег.67
Lu175
HfJ80
Та181
и234
и235
Th232
и238
Re185
Re187
Pu2»
Спин
3
2
0 .
7
"
7
2
0
7
1
0
5
~2
0
0
0
5
Т
5
2
1
2
—
^ 20 |44]
8 [63]
—
6 [63]
—
22 [62]
—
7,85 [64]
7,28 [64]
—
7,5 [56]
—
8,8 |56)
7,2 [56]
7,0 [65]
6 [66]
—
8 [44]
6,9 [56]
—
—
—
3,2 [60]
7,8 [61]
—
8,2 [61]
7,1 [61]
7 [67]
—
9 [61]
5,7 [60]
6,9 [601
7 [44]
4,2 [60]
5,1 [60]
8,3 [61]
7*

100 МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СТРОЕНИИ ЯДЕР [ГЛ. ГУ
полученные из спектроскопических измерений Q*, измерений времени
жизни вращательных состояний Qr0 и данных о вероятностях возбуждения
вращательных состояний кулоновским полем QQ. В квадратных скобках
указаны ссылки на литературу.
§ 22. Магнитные моменты и обобщенная модель ядра
Как указывалось в§ 16, сболочечная модель ядра сравнительно грубо
объясняет магнитные моменты ядер. Учет взаимодействия нуклонов,
находящихся вне заполненных оболочек, и отклонений от чистых типов
связи {LS или jj) улучшает согласие с экспериментом. Однако магнитные
моменты некоторых ядер могут быть объяснены только при учете влияния
нуклонов, входящих в состав заполненных оболочек. Такое влияние
учитывается в обобщенной модели ядра и можно надеяться, что обоб-
обобщенная модель ядра даст более полное описание магнитных моментов ядер.
Если ядро обладает аксиальной осью симметрии, то состояние внеш-
внешнего нуклона характеризуется проекцией (И) его момента на эту ось.
Тогда в системе, состоящей из одного внешнего нуклона и деформи-
деформированного остова, оператор магнитного момента в единицах ядерного
магнетона будет иметь вид
V. = gabn + gRR, B2,1)
где п — единичный вектор в направлении аксиальной оси; gQ — гиро-
гиромагнитный множитель для нуклона, движущегося в аксиальном поле
ядра; gQ ^r ZJA — гиромагнитный множитель, связанный с движением
ядра как целого [68] (предполагается, что заряд ядра равномерно
распределен по ядру); R— оператор момента количества движения
остова ядра. Этот оператор выражается через оператор полного момента У
и оператор момента Ип внешнего нуклона простым соотношением:
R=J — Un. B2,2)
Подставляя B2,2) в B2,1), получим:
U = teU ~gR) &n + gRj= {(#, -gR) M U + gR} j. B2,3)
Среднее значение оператора магнитного момента B2,3) в состоянии
Ч;д12' когда проекции полного момента и момента внешнего нуклона
на ось симметрии ядра совпадают и равны M = i}==J, будет равно
+ gRJ = gzJ — tea — gR) yip • <22>4)
Если движение внешнего нуклона таково, что хорошим квантовым числом
является полный момент j нуклона, то гиромагнитное отношение ga ^ g.

§ 22]
МАГНИТНЫЕ МОМЕНТЫ II ОБОБЩЕННАЯ МОДЕЛЬ ЯДРА
101
для одного нуклона в оболочечной модели. В этом случае магнитный
момент ядра при y>s/2 бУлет равен
<Ц\,= °-.У (а. а \ J B2 5^
При j=1j2 нет прямой связи нуклона с поверхностью и маг-
магнитный момент должен совпадать с магнитным моментом одного нуклона
<д>У=£у./. Случай j=sl2 требует специального рассмотрения [44],
так как характер взаимодействия нуклона в состоянии у= 3/2 с поверх-
поверхностью имеет некоторые особенности.
В таблице 11 приведены экспериментальные значения магнитных
моментов ядер, обладающих одним нечетным нуклоном, спином 5/2 и
положительной четностью. Согласно оболочечной модели ядра такие
ядра должны были бы иметь магнитный момент:
( 4,793, если число протонов нечетно;
" \ —1,913, если число нейтронов нечетно.
Указанные в таблице теоретические значения вычислены по формуле
B2,5) npngy, взятом из таблицы 9, и gR = Z/A. Из таблицы 11 следует,
что учет магнитного момента, вносимого несферическим остовом ядра,
значительно улучшает согласие теории с экспериментом.
Таблица 11. Магнитные моменты ядер, обладающих спином 5/2
Ядра
А127
Sb121
Cs131
Pr151
Re187
с нечетным числом
Эксперимент
3,64
3,36
3,48
3,9
3,20
протонов
Теория
3,77
3,73
3,73
3,73
3,71
Ядра с
Mg25
Mo95
pd105
Cd111
нечетным числом
Эксперимент
-0,86
— 0,91
-0,6
-0,7
нейтронов
Теория
— 0,67
— 0,81
-0,81
— 0,81
Для ядер, сильно отличающихся от сферических, предположение
о сохранении полного момента отдельного нуклона выполняется плохо.
Поэтому при вычислении полного магнитного момента ядра надо поль-
пользоваться формулой B2,4), где гиромагнитное отношение g<j следует
определять формулой
£« = if <*Л + *Л>. B2>6)
здесь gs и gt — соответственно спиновый и орбитальный гиромагнитные
множители нуклона; $► и /- — проекции на аксиальную ось ядра опе-
операторов соответствующих моментов количества движения. Усреднение
в B2,6) должно выполняться на волновых функциях нуклона, движу-

102
МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СТРОЕНИИ ЯДЕР
[ГЛ. IV
щегося в поле аксиально-симметричного ядра. Поскольку волновая
функция будет зависеть от деформации ядра [30, то и величина gg будет
функцией C0. Возможно, что именно этот эффект ответственен за большую
разницу в магнитных моментах ядер Ей151 и Ей1". Магнитный момент
Ей1*1 в ядерных магнетонах равен 3,6, а магнитный момент Eu15S
равен 1,6, при этом величина р0 у ядра Eu15s примерно в 2 раза превы-
превышает C0 для ядра Ей151.
В последнее время появились работы [35,69], в которых делается
попытка экспериментального исследования каждого из гиромагнитных
отношений gu и gR, входящих в формулу B2,6). Используя экспери-
экспериментальные значения магнитных моментов в основном состоянии и зна-
значения вероятностей дипольных магнитных переходов между ротационными
уровнями, зависящие от (gg—gRJ (см. § 77), можно вычислить обе
величины gQ и gR, если сделать предположение о знаке gQ — gR. Для
некоторых переходов знак gu — gR можно определить из угловой кор-
корреляции Y'KBaHT0B ДВУХ последующих переходов. В таблице 12 при-
приведены полученные в работах [35,69] результаты.
Если оценки величин gQ и gR, приведенные в таблице 12, под-
подтвердятся дальнейшими исследованиями, то они будут указывать на
грубость приближения, при котором принимается, что gR = Z/A ^= 0,40.
В последнем столбце таблицы 12 приведены значения g;- согласно
модели оболочек. Эти величины, относящиеся к сферической яме, зна-
значительно отличаются от измеренных gQ, относящихся к движению
частицы в аксиальном поле.
Таблица 12. Значения гиромагнитных множителей gQ и gR
Ядро
Та181
Аи197
Re185
Re187
Iri.i
Спин
7
2
3
2
5
2
5
2
3
2
2,1
0,19
3,17
3,20
0,17
0,202
0,149
1,17
1,32
4.10
«b
0,70
- 0,061
1,53
1,63
0,12
gR
0,25
0,32
0,53
0,52
0,10
gj
0.49 (£r/a)
0,12(rf3.2)
1,99 {diS)
1,99 (*.,,)
0,12(rf,/a)
§ 23. Малые возбужденные состояния атомных ядер
Любое возбужденное состояние ядра является квазистационарным,
так как возможен спонтанный переход из этого состояния в другие
состояния ядра с меньшей энергией с одновременным испусканием

§ 23] МАЛЫЕ ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ АТОМНЫХ ЯДЕР
у-лучей, нуклонов, а-частиц и т. д. Вследствие этого все энергетиче-
энергетические состояния ядра, кроме основного состояния, имеют конечное время
жизни т и, следовательно, некоторую ширину Г, связанную с време-
временем жизни и вероятностью перехода W в единицу времени простым
соотношением:
Y = ^=flW. B3,1)
Здесь мы отвлекаемся от процессов радиоактивного C- и а-распада
и деления (которые будут рассмотрены в главах V и VI). Эти про-
процессы приводят к тому, что даже основное состояние многих ядер на
самом деле не является строго стационарным, а обладает конечным
временем жизни.
Если из данного возбужденного состояния возможен переход в ос-
основное состояние несколькими путями, то полная вероятность перехода
Сбудет равна сумме вероятностей отдельных переходов W=^W,.
Соответственно этому можно говорить и о парциальных ширинах Т(
уровня, относящихся к i-му типу перехода из данного возбужденного
состояния в основное; при этом полная ширина уровня Г будет равна
сумме парциальных ширин.
Энергетический спектр возбужденных состояний ядра можно раз-
разделить на три области: а) стабильная область; б) резонансная область
и в) область непрерывного спектра. К стабильной области возбужден-
возбужденных состояний по отношению к испусканию нуклонов относятся все
возбужденные состояния ядра, энергия которых меньше минимальной
энергии связи одного нуклона в ядре. При этом, как уже отмечалось
выше, не учитывается возможная нестабильность ядра по отношению
к р- и а-распаду и делению. Переход в основное состояние из ста-
стабильной области возбужденных состояний происходит путем испускания
у-квантов. Ширина соответствующего уровня называется радиационной
шириной Г7 .
К резонансной области возбужденных состояний относятся квази-
квазистационарные (виртуальные) возбужденные состояния с энергией, боль-
большей энергии связи одного нуклона. Такие виртуальные уровни про-
проявляются в виде резонансов в сечениях ядерных реакций, если расстоя-
расстояния между уровнями превышают их ширину. Ширина виртуального
уровня в этой области спектра возбужденных состояний является
суммой парциальных ширин, соответствующих у-излучению, испусканию
нейтронов, испусканию протонов и т. д.
Наконец, к непрерывной области возбужденных состояний отно-
относятся возбужденные состояния с непрерывным спектром, где ширина
уровня равна или больше расстояния между уровнями.
Возбужденные состояния ядер, принадлежащие к стабильной и ре-
резонансной областям спектра возбуждений, характеризуются определен-
определенными значениями спина, четности, а в случае легких ядер и изотопи-
изотопического спина.

104 МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СТРОЕНИИ ЯДЕР [ГЛ. IV
Возбужденные состояния легких ядер в ряде случаев можно отож-
отождествить с изменением состояний отдельных нуклонов в ядре в рамках
модели ядерных оболочек.
Оболочечная модель в этом случае позволяет определить основные
характеристики таких уровней: спины, четность, магнитные моменты
и т. д. Слив и Пекер [70] предложили подразделять схемы низко
расположенных энергетических уровней нечетных ядер на три типа:
а) «последовательная» система уровней; б) «дырочная» система уров-
уровней и в) сметанная система уровней.
Система уровней относится к «последовательному» типу, если в
основном состоянии наименее связанный нуклон- находится на первом
или втором уровне оболочки и возбуждения ядра соответствуют пере-
переходу такого нуклона на один из вышележащих уровней этой оболочки.
В этом случае спин и четность возбужденного ядра определяется спи-
спином и четностью состояния этого нуклона. К такому типу относятся
возбуждения Li7, Be7, О17, К41, Se45, V51, Fe57 и др.
Система уровней относится к «дырочной», если возбужденные со-
состояния нечетного ядра относятся к переходу одного из нуклонов за-
заполненной оболочки на уровень, на котором находится нечетный ну-
нуклон. Возбужденное состояние ядра в этом случае характеризуется
спином и четностью «дырки», оставшейся в заполненной оболочке
после перехода нуклона. Такая система уровней наблюдается у Fe58,
Си65, Zn67, Те125, РЬ207 и др.
Ядра с массовым числом, меньшим 6, не имеют возбужденных со-
состояний, относящихся к стабильной области, т. е. состояний, из кото-
которых был бы возможен переход в основное состояние только путем
излучения у-кванта. Однако они имеют виртуальные возбужденные
состояния, проявляющиеся в виде резонансов в ядерных реакциях и
при рассеянии нуклонов (см. § 54).
Как мы увидим в § 46, дейтрон имеет виртуальный уровень ]5.
а-частица, по-видимому, обладает виртуальным возбужденным состоя-
состоянием с конфигурацией (lsi/J* (ipi.J1, соответствующей энергии возбу-
возбуждения -V. 22 Мэв. Это виртуальное состояние проявляется в на-
наличии резонанса при рассеянии протонов на тритии. Представление о
возбужденных уровнях в этих случаях имеет условный смысл, так как
дейтрон из состояния 1S' распадается на протон и нейтрон, а а-ча-
а-частица, переходя в состояние A s>:..)s, ОРчУ, распадается на тритий и
протон.
Ядра с массовым числом 5 (гелий и литий) не имеют даже ста-
стабильных нормальных состояний. Однако наличие резонансов в явлениях
рассеяния:
я^Не4 — Не5— »Не4 + я,
р_|_Не4 —Li5 —He4-fp,
указывает на возможность образования нестабильных ядер Не5 и Li5.

§ 23] МАЛЫЕ ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ АТОМНЫХ ЯДЕР 105
Наблюдаются также резонансные реакции:
tf-j-Hes-*Li& -+He4-f p,
^4-Hes — Li5 +Y—*H
которые подтверждают наличие нестабильных возбужденных состояний
(соответствующих резонансной области) у этих элементов.
На рис. 16 приведена схема энергетических состояний четырех
изотопов лития. Штриховыми линиями отмечены уровни с очень большой
IS.8 5,Г
5/2'
2,28 J*
0,37 <-3+
2*
Lis
Рис. 16. Схема энергетических уровней изотопов лития. Энергия уровней
выражена в Мэв.
шириной. Энергия уровней выражена в Мэв, указаны спины и четности
уровней. Наиболее часто расположены уровни у Li6. На рисунке также
отмечены и изотопические спины этих уровней. Уровень 2,19 Мэв имеет
ширину -^- 30 кэв, а уровень 4,52 Мэв обладает шириной -v. 900 кэв.
Уровень 7,46 Мэв у Li7 проявляется [66] в реакции Li6 (/г, a) Hs,
ширина этого уровня -^ 100 кэв. Уровень 2,28 Мэв составного
ядра Li8 с шириной 32 кэв наблюдается [71] в реакции Li7 (я, п) Li7.
На рис. 17 приведена схема энергетических уровней некоторых
легких ядер [72]. Эти возбужденные состояния соответствуют одно-
частичным возбуждениям (энергия выражена в Мэв). На рисунке ука-
указаны спины и четности соответствующих возбужденных состояний.
Возбужденные состояния средних и тяжелых ядер, близких к ма-
магическим, при малых энергиях возбуждения также могут быть клас-
классифицированы согласно оболочечной модели ядра. На рис. 18 приведена
схема энергетических уровней дважды магического свинца (измерения
Эллиот, опубликованные в работе [73]) и двух других изотопов свинца
[74]. В ядре РЬ209 имеются один нейтрон сверх 82 протонов и 126
нейтронов, составляющих заполненные оболочки. Уровни энергии РЬ209
относятся к последовательной системе уровней.В ядре РЬ207 не хватает

106 МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СТРОЕНИИ ЯДЕР [ГЛ. IV
одного нейтрона до полного заполнения оболочки. Возбужденные уровни
этого ядра относятся к дырочному типу.
712 Г
Ш/гГ 6.9! —г*
(Ш,<2Г бп, ,Г
(ШЖ ш о*
10,8
9,62
7,66 0* л л
6,87 3/2:5/2*
5,11 2~
4,77 Г Л38д^ jj2
3,58 2+> 3,69 J/2-
2J5 Г1 тч 3,09' 1/2*
1,76 0ЧТ~'
0,72 / + 1г-/7
;ских
1961 ■
1709 ■
ЗА75 ■
1198 ■
2.615 ■
С12
уровней
ч'-
Г
5'
J-
0*
некоторых
'в'
2,54-
2,03-
1,56-
0,75-
С13
легких я;
РЪ209
т
-11/2*
-15/2"
-9/2*
1.603 13/2*
И05 7/2*
0,870 3/2'
0,570 5/2'
Рис. 18. Схема энергетических уровней изотопов свинца.
Ядра с заполненными оболочками характеризуются весьма высокими
значениями возбуждения первого уровня по сравнению с соседними
немагическими ядрами (см., например, Pb208, Pb809, Pb207). У ядер с

§ 23] МАЛЫЕ ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ АТОМНЫХ ЯДЕР Ю7
конфигурациями нуклонов, близкими к заполненным оболочкам, взаимо-
взаимодействие нуклонов, находящихся вне замкнутой оболочки, с этой обо-
оболочкой сравнительно мало и возбуждение можно рассматривать как
изменение состояния одного нуклона (одночастичное возбуждение). Ха-
Характерным признаком одночастичных возбуждений часто является зна-
значительное изменение спина при переходе в возбужденное состояние, а
иногда и изменение четности. Такого рода возбужденные состояния
приводят к возникновению долгоживущих изомеров, интерпретация
которых дает хорошее подтверждение модели оболочек [75] (см. § 76).
У ядер с нуклонными конфигурациями, далекими от заполненных
оболочек, из-за значительного взаимодействия внешних нуклонов с за-
заполненными оболочками возникают существенные отклонения от сфери-
сферической симметрии. Такие несферические ядра обладают двумя различ-
различными типами возбуждения. Первый тип возбуждения — изменение со-
состояния отдельного нуклона, которое может сопровождаться изменением
формы ядра. Такие возбуждения аналогичны электронным переходам в
молекулах. Второй тип возбуждения соответствует вращению ядра как
целого, а иногда и колебаниям поверхности ядра. Разделение возбуж-
возбуждений на два указанных выше типа: одночастичные возбуждения и воз-
возбуждения коллективные (колебания и вращения), возможно только для
ядер, обладающих большой несферичностью (см. § 20), когда энергия
вращательных возбужденных состояний соответствует 40—200 кэв, а
энергия одночастичных переходов 1—3 Мэв.
Свойства коллективных возбуждений и одночастичных возбуждений
существенно различны. Уровни коллективных возбуждений одного типа
обладают одинаковой четностью, и спины соседних состояний отли-
отличаются на две единицы для четно-четных ядер и на одну-две единицы
для нечетных ядер (см., однако, § 19). При возбуждении отдельных
нуклонов может изменяться четность и возможны, как мы уже видели,
значительные изменения спина.
Наиболее четко разделение возбуждений на коллективные и одно-
частичные можно провести в случае несферических четно-четных ядер,
поскольку у этих ядер энергия одночастичных возбуждений сравни-
сравнительно велика. У ядер, мало отличающихся от сферических, энергия
вращения делается сравнимой с энергией однонуклонного возбуждения.
В этом случае разделение на одночастичное и коллективное возбужде-
возбуждения невозможно (см. § 20). Такой случай чаще наблюдается у ядер
с нечетным массовым числом, где энергия одночастичного возбуждения
порядка нескольких сотен кэв.
Энергия первого возбужденного уровня вообще уменьшается с
ростом А, однако имеются значительные отклонения от этой тенденции
особенно в области магических ядер. Если выразить энергию первого
возбужденного уровня как функцию числа протонов и числа нейтро-
нейтронов, то энергетическая поверхность имеет резкие максимумы у дважды
магических ядер (Са40 и РЬ208), гребни вдоль магических чисел нейт-
нейтронов и протонов и широкие долины между магическими числами.

108
МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СТРОЕНИИ ЯДЕР
[ГЛ. IV
4/5-
210-
67,8-
О
•6*
445-
320-
253-
5"
•Г
■2+
•0+
На рис. Ю (стр. 73) изображена энергия первого возбужденного
состояния четно-четных ядер как функция числа нейтронов; числа протонов
указаны у точек, изображающих положение энергетического уровня.
Особенно малыми энергиями возбуждения
первого уровня характеризуются редкие земли
и ядра в области конца периодической си-
системы, где возбужденные состояния относятся
к вращательной энергии.
В последнее время[76]у некоторых чет-
четно-четных ядер обнаружены низколежащие
возбужденные состояния отрицательной чет-
четности 1~, а иногда состояния 3~ и 5~.
Примером энергетического спектра, содер-
содержащего такие возбужденные состояния,
является изображенная на рис. 19 (см. [611)
энергетическая схема уровней ядра ка ,
получающегося в результате а-распада Th230"
Уровни возбуждения Ra22e соответствуют двум ротационным полосам:
одна начинается с основного уровня, а вторая полоса соответствует
уровням отрицательной четности. В таблице 13 приведены значения
энергии возбуждения первого уровня вращательной полосы ЕB + )
и уровня^ 1") для некоторых четно-четных ядер.
Таблица 13. Энергия возбуждения первого
уровня вращательной полосы ЕB+) и уровня £A")
Рис. 19. Энергетическая
схема уровней Ra226. Энер-
Энергия выражена в кэв.
Ядро
Ra222
Ra224
Ra226
Th226
Th228
Pu238
E B + ), кэя
112
84
68
73
58
43
t:(\~), кэв
242
217
253
232
326
605
Из возбужденного состояния 1 ~ происходит переход на уровни
О4 и 2+ с излучением электрических дипольных у-квантов. На рис. 20
изображены первые энергетические уровни четно-четных ядер в зави-
зависимости от числа нейтронов в ядре. (Крестиками отмечены уровни
спина 1~.) О. Бор высказал предположение, что указанные выше
возбужденные состояния типа 1" соответствуют коллективным движе-
движениям нуклонов, при которых ядро теряет центр симметрии (ядро
грушеобразной формы).
В четно-четных ядрах коллективные движения с отрицательной
четностью могут появляться в том случае, если возбуждаются окту-
польные колебания, при которых форма ядра определяется сфериче-
сферической функцией Узт (Ь, <р). Возбуждения этого типа должны иметь

§ 24*] ВРАЩАТЕЛ ЬНО-ВИ БРАЩЮННЫЙ СПЕКТР ЧЕТНО-ЧЕТНЫХ ЯДЕР
109
спин J==3 и отрицательную четность. Уровни, соответствующие
одновременному возбуждению квадрупольных и октупольных колеба-
колебаний, будут иметь спин У=1~, 2",..., 5". Если вследствие окту-
октупольных колебаний ядро те-
теряет центр симметрии, то
становятся возможными вра-
вращения с нечетными момен-
моментами количества движения
A~, 3~, .. .). Состояния с
нечетными моментами сме-
смещены относительно состоя-
состояний с четными моментами на
величину, равную энергии
октупольных колебаний.
§ 24.* Вращательно-
вибрационный спектр
четно-четных ядер
Хорошо выраженные вра- 126 130 134 т 142 ш 150 is*ti
щательные состояния наблю- Рис 20. Зависимость энергии первых воз-
воздаются только у ядер с мае- бужденных уровней четно-четных ядер от
совыми числами А ^> 225, числа нейтронов в ядре.
150< А < 185 и А —
~- 25. Для ряда других ядер, хотя первые возбужденные состояния
и можно отнести к коллективным возбуждениям, их последователь-
последовательность не соответствует вращательным состояниям. Так, в работе
Шарф-Гольдгабер и Венпсер [77] была указана большая группа
четно-четных ядер в области массовых чисел 66 <^ А <^ 150, у кото-
которых первый возбужденный уровень имеет спин 2+ и энергию воз-
возбуждения (£"j) от 300 кэв и выше, а второй возбужденный уровень
(Е2) имеет спин 2 + , 4+ или 0 + . Отношение энергии второго воз-
возбужденного состояния к энергии первого для этих ядер находилось в
интервале значений от 2 до 2,5. По-видимому, у таких ядер отклоне-
отклонение от сферической симметрии не очень велико и возбужденное
состояние нельзя разделить на вращательное и колебательное.
Для исследэвания (см. работу А. С. Давыдова и Г. Ф. Филиппо-
Филиппова [78]) таких возбужденных состояний четно-четных аксиально-сим-
аксиально-симметричных ядер*) будем исходить из классического выражения энергии
коллективных движений ядра
B4,1)
*) Вращателыю-вибрационный спектр нечетных ядер исследован в работе
А. Давыдова и Б. Мурашкина (ЖЭТФ 34, 1619, 1958).

110 МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СТРОЕНИИ ЯДЕР [ГЛ. IV
полученной в § 19 (см. A9,22)). Потенциальная энергия tt^0 (,3) со-
согласно A9, 20) определяется формулой
С ii2F
П №) = т Р2 + А$ cos Yo + ~,, B4,2)
где уо = О или тг. Величины А, В, С, F, входящие в B4,1) и B4,2),
следует рассматривать как параметры теории.
Потенциальная энергия B4,2) имеет полюс в точке C = 0. Нали-
Наличие этого полюса соответствует тому факту, что момент инерции ядра
стремится к нулю при стремлении 3 к нулю. Если в ядре имеются
нуклоны вне заполненных оболочек, то даже при равном нулю полном
моменте количества движения ядра момент количества движения остова
и суммарный момент количества движения внешних нуклонов не яв-
являются интегралами движения и не равны нулю в отдельности, поэтому
член сор всегда присутствует в потенциальной энергии B4,2).
При Y0 = 0 минимум потенциальной энергии B4,2) соответствует
Вп, определяемому уравнением
В = А
Ро С
Разлагая B4,2) в ряд относительно отклонений от Во и ограничиваясь
квадратичными членами, имеем согласно B4,1):
e-f-^pj^f^+^ + ^P-PoJ. B4,3)
где
Я? о
Для перехода от B4,3) к квантовому уравнению учтем, что квадрат
момента количества движения в системе координат р, 0, <р с массовым
коэффициентом В равен
ф sin2O).
Если обозначить через Т кинетическую энергию коллективных движе-
движений ядра, то
f = Bd$2 + ЗВ2 dH* + 382 sin2 bdf.
Теперь можно написать оператор кинетической энергии в виде (см.
[79, стр. 68])
й д \ . 1 а / , а \ . 1 ам
a^~i~3o ае ^Sinoa8y ' 3iu^a?2/*
ае
Уравнение Шредингера, определяющее энергию коллективных движе-
движений четно-четного ядра, примет вид
ф B4,4)

§ 24*] ВРАЩАТЕЛЬНО-ВИБРАШЮННЫЙ СПЕКТР ЧЕТНО-ЧЕТНЫХ ЯДЕР Щ
Решение уравнения B4,4) можно искать в виде
где J пробегает только четные значения, так как функция не должна
зависеть от выбора направления аксиальной оси ядра. Функция нуф)
должна удовлетворять уравнению
%г dhij
где
VjW^VAh)+ %($ — $/* B4>6)
B4,8)
Введем безразмерные параметры:
S = pY^Y< и £ = |^1; B4,9)
тогда соотношения B4,6)—B4,8) перейдут соответственно в
B4,7a)
B4,8a)
Для исследования решений уравнения B4,5) введем новую пере-
переменную
изменяющуюся в пределах — S&jS^C^00» и новую функцию г/(£)
с помощью соотношения
B4,11)
Тогда согласно B4,5) получим уравнение, определяющее функцию v{Q:
v" @ — 2^' (С) + 2w (С) = 0, B4,12)
при граничных условиях
v{— $&) = 0 и г>(;)ехр(—^Л—►(), если ^—>оо. B4,13)

112
МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СТРОЕНИИ ЯДЕР
[ГЛ. IV
Вращательно-колебательная энергия ядра будет определяться собствен-
собственным числом v уравнения B4,12) с помощью формулы
I
g2 /с ni I
-/(-/+D
Уравнение B4,12) совпадает с уравнением одномерного гармонического
осциллятора. Однако вследствие граничных условий B4,13) число v не
является целым числом. Общее решение B4,12) при нецелом v выра-
выражается [80, стр. 352] через функцию Эрмита первого рода:
которая может быть представлена в виде ряда
2Г( — v)
k\
здесь Г (л:) — гамма-функция.
Учитывая асимптотическое поведение функции Эрмита при боль-
больших ц, мы убедимся, что для выполнения граничного условия B4,13)
С.5
Рис. 21. Зависимость энергии возбуждения первых коллективных уровней
четно-четных ядер от параметра деформации ядра.
при £—► оо необходимо положить £ = 0. Тогда собственные числа v
будут определяться из условия
v{ — Ы) = аН,( — й£) = 0. B4,15)
Поскольку £ при данном значении J однозначно определяется уравне-
уравнением B4,7а) как функция параметра §, то из B4,15) и B4,14) следует, что
энергия вращательно-колебательных возбуждений аксиально-симметрич-
аксиально-симметричных четно-четных ядер зависит только от двух параметров Аш0 и §.

§ 24*] ВРАЩАТЕЛЬНО-ВИБРАЦИОННЫЙ СПЕКТР ЧЕТНО-ЧЕТНЫХ ЯДЕР
13
Для S^l и 7=0, 2, 4 энергия B4,14) рассчитывалась в работе
А. С. Давыдова и Г. Ф. Филиппова [78], для 5^>1 энергия B4,14)
рассчитывалась в работе А. С. Давыдова и А. А. Чабана [81]. На
рис. 21 приведен график зависимости ew{J)jfm0 от параметра о. Из
рисунка видно, что при §^>2,5 энергетический спектр коллективных
возбуждений четно-четных ядер разбивается на систему вращательно-
колебательных полос. Для 8 <^ 2,5 последовательность возбужденных
состояний четно-четного ядра значительно отличается от последователь-
последовательности, соответствующей вращению тела с определенным моментом
количества движения. В таблице 14 приведено сравнение полученных
Таблица 14. Коллективные возбуждения некоторых четно-четных
атомных ядер
Ядро
Th232
IJ234
Pu238
J
2
4
6
0
2
4
2
4
6
0
2
4
2
4
6
0
2
4
2
4
6
0
2
4
Энергетический
уровень, k:-is
Теория
100,09
320,3
641,6
1001
1222
1481
50
163
332
710
770
901
43
141
290
806
855
966
44,2
147,7
304,8
935
986
1100
Эксперимент
100,09
329,36
677,6
—
1222
1478
50
165
—
—
770
~
43
143,2
297
806
—
44,2
146
309
935
986
кэв
1001
710
806
935
8
3,48
3,93
4,48
4,73-
Литература
182,83]
183]
[83]
[831
8 А. С. Давыдов

114
МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СТРОЕНИИ ЯДЕР
[ГЛ. IV
теоретических значений энергии возбуждения первой и второй вращатель-
вращательных полос возбужденных состояний некоторых ядер с экспериментальными
данными. Там же приведены значения параметров ш0 и £, которые
использовались при вычислении теоретических значений энергии воз-
возбуждения.
В таблице 15 приведены отношения sm/s,j, s2,/e]P £2П/е,п в зави-
зависимости от значения §, где elP s2P s1IP s2l, — соответственно энергии
первого и второго A,2) вращательных подуровней в первой и второй
A, II) полосе вращательных состояний ядра.
Таблица 15. Отношения энергий некоторых уровней
четно-четных атомных ядер
6ill/sil
62l/£ll
£2ll/eill
1,0
1,48
2,1'7
1,76
1,5
1,39
2,38
2,16
2,0
1,36
2,70
2,43
2,5
1,31
2,87
2,52
3,0
1,26
2,92
2,94
3,5
1,21
3,21
3,16
4,0
1,16
3,27
3,25
4,Г)
1,13
3,29
3,27
5
1,11
3,33
3,31
При 5 > 2 функция
мало отличается от 1. Разлагая эту функцию в ряд и ограничиваясь
первыми членами разложения, можно переписать B4,14) в виде
B4>16)
Учитывая B4,9) и вводя момент инерции 1=ЗВ$20, можно переписать
B4,16) в виде
B4,17)
где
2/
B4,17а)
Формула типа B4,17) была предложена впервые О. Бором и Моттель-
соном [44]. Как известно, она дает хорошее согласие 6 экспериментом,
если А и В рассматривать как параметры теории. В таблице 16 при-
приведены значения А и В, полученные из данных о вращательных уров-
уровнях энергии некоторых ядер.

§ 25] ВЫСОКИЕ ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ ЯДЕР. СОСТАВНОЕ ЯДРО 115
Таблица 16. Значения параметров, определяющих
вращательные состояния некоторых четно-четных ядер
Ядро
Hf180
Th226
pu238
А, кэв
15,58
12,16
7,37
В, кэв
0,0703
0,043
0,0033
8
3,3
3,7
4,7
Используя B4,9) и 1 = ЗВ$о, можно выразить параметр Ь через
момент инерции
и Тшп с помощью соотношения
*2 ^">(/
6 -W~
B4,18)
В четвертом столбце таблицы 16 приведены значения 5, полученные
с помощью B4,18), если положить /шо=5=1 Мэв и использовать соот-
соответствующие значения А из таблицы.
§ 25. Высокие возбужденные состояния ядер. Составное ядро
При высокой энергии возбуждения (^> 6—7 Мэв) квазистационарные
возбужденные состояния ядер уже нельзя рассматривать как движения
отдельного нуклона и коллективные движения определенного типа.
Одной и той же энергии возбуждения будет соответствовать много
различных типов возбужденных состояний. Эти возбуждения взаимно
независимы только в первом приближении. В следующих приближениях
из-за взаимосвязи возбуждений разного типа возникнут спонтанные пе-
переходы между ними, что приведет к значительному расширению уров-
уровней. Когда уширение уровней сравняется с расстоянием между ними,
спектр возбуждения перейдет в непрерывный.
Итак, при высоких возбужденных состояниях ядра одному возбуж-
возбуждению соответствует много различных типов движений в ядре. Связь
между этими движениями приводит к такому усложнению состояний
ядра, что возникает возможность применения статистических и термо-
термодинамических методов для описания этих возбужденных состояний.
Возбуждения, значительно превышающие энергию первых ядерных
уровней, возникают во многих случаях при присоединении нуклона
к ядру в результате ядерных столкновений (кроме случаев столкнове-
столкновений с самыми легкими ядрами и магическими ядрами), так как энергия
присоединения нуклона порядка 6—7 Мэв, а энергия первых возбуж-
возбужденных уровней 40—200 кэв. Сильное взаимодействие между сталки-
сталкивающимися ядром и нуклоном приводит к тому, что очень скоро после
столкновения (см. § 54, 58) падающий нуклон передает значительную
часть своей энергии другим нуклонам ядра. В результате такого пере-
8*

116 МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СТРОЕНИИ ЯДЕР [ГЛ. (V
распределения энергии, сосредоточенной первоначально на одном нуклоне,
ни один нуклон ядра не будет обладать достаточной энергией, чтобы
преодолеть действие ядерных сил притяжения и покинуть ядро. Хотя
энергия образовавшейся системы превосходит энергию, необходимую
для вылета одного или нескольких нуклонов, такой процесс может прои-
произойти только через некоторое время, когда вследствие флуктуации на
одном из нуклонов сосредоточится достаточная энергия.
За единицу времени в ядерных реакциях следует принять время
пролета ядра частицей, не взаимодействующей с ядром. Это «харак-
«характерное ядерное время» порядка 10~22 сек. Сталкивающаяся частица и
ядро часто образуют систему, которая существует, не распадаясь,
в течение времени, значительно превышающего «характерное ядерное
время». Такая система называется составным или компаунд-яд ром.
Гипотеза составного ядра впервые была введена Н. Бором [39] для
объяснения ядерных реакций (см. § 54, 58). В дальнейшем мы будем
называть составным ядро, находящееся в сильно возбужденном состоя-
состоянии, если энергия возбуждения (независимо от способа возбуждения)
превышает энергию, необходимую для отделения одного или несколь-
нескольких нуклонов, но меньше полной энергии связи ядра*).
Л. Д. Ландау [84] и Я. И. Френкель [85] предложили рассматри-
рассматривать составное ядро как фермиевскую жидкость или газ и применять
для описания составного ядра методы термодинамики и статистической
физики. Такие представления позволили качественно объяснить увели-
увеличение плотности ядерных уровней с ростом энергии возбуждения и рас-
рассмотреть испускание частиц составным ядром как процесс испарения
(см. § 26).
При статистическом рассмотрении свойства тела определяются тер-
термодинамическими функциями: энтропией 5, энергией возбуждения
и т. д., которые являются функциями температуры. (Статистическое рас-
рассмотрение применимо для ядер среднего и большого атомного веса.)
Нас интересуют энергии возбуждения, малые по сравнению с общей
энергией связи ядра (~ч-600 Мэв). В этом случае внутреннее состояние
ядра следует сравнивать с состоянием макроскопического тела при
очень низких температурах. Энергия возбуждения обычных макроскопи-
макроскопических тел при низких температурах выражается формулой
где 0 — температура, измеряемая в энергетических единицах; а и п —
*) Иногда [86] вместо одного понятия составного ядра вводится два поня-
понятия: компаунд-ядро (Compaund-nucleus), компаунд-система (Compaund-system).
Компаунд-системой называют систему нуклонов, полная энергия возбуждения
которой превышает энергию отделения одного нуклона, независимо от того,
на каких степенях свободы сосредоточена эта энергия. Компаунд-ядром на-
называют такие состояния компаунд-системы, при которых энергия возбуждения
статистически распределена но всем (или многим) степеням свободы системы
нуклонов.

§ 25] ВЫСОКИЕ ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ ЯДЕР. СОСТАВНОЕ ЯДРО 117
постоянные. Для твердых тел я = 4, для жидкой каггли, совершающей
поверхностные колебания, n = 1j2 [87], для вырожденного газа (жидко-
(жидкости) Ферми я = 2. Таким образом, если энергетические состояния со-
составного ядра подобны состояниям фермиевской жидкости, то энергия
возбуждения ядра должна выражаться формулой
£ = |в2, B5,1)
здесь а — постоянная; В — температура в энергетических единицах.
Теплоемкость
С = ^ = ав B5,2)
изменяется по линейному закону и является в наших единицах безраз-
безразмерным числом. Энтропия системы
о
a0 = УШ. B5,3)
Соотношения B5,1), B5,2) и B5,3) лежат в основе ядерной термо-
термодинамики.
Согласно общему соотношению Больцмана
S=\nW, B5,4)
где W—число возможностей для реализации состояния с данной энтро-
энтропией S, т. е. число возможных состояний с данной энергией (со веема
возможными моментами). Число состояний в единичном интервале энер-
энергии будет равно
.,-.. dW dS о lc ,or -v
»№ е3е3 <25°)
Среднее расстояние D между уровнями пропорционально ш, следо-
следовательно,
О = ве-уш. B5,6)
Формула B5,6) правильно отражает экспоненциальное уменьшение
среднего расстояния между уровнями по мере роста энергии возбужде-
возбуждения. Если пренебречь поверхностными эффектами, то постоянная а
будет пропорциональна массовому числу, следовательно, формула B5,6)
определяет качественную зависимость среднего расстояния между уров-
уровнями ядра от А. Абсолютное значение расстояния между уровнями
получается несколько уменьшенным, так как формула B5,6) не учи-
учитывает вырожденных состояний, т. е. случаев, когда несколько состоя-
состояний относится к одной и той же энергии. Кроме того, обычно в экспе-
экспериментах из-за действия законов сохранения проявляются уровни только
определенного типа. Например, при столкновении медленного нейтрона

1 18 МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СТРОЕНИИ ЯДЕР [ГЛ. IV
с ядром возбуждаются только уровни с моментом У = У0;4:1/2, где
Уо — спин ядра мишени. Поэтому для сравнения с экспериментом надо
знать среднее расстояние между уровнями с определенным значением
момента количества движения, четности и т. д.
Рассмотрим состояние с определенным моментом %J. При больших
значениях моментов У » 1 можно использовать классическое приближе-
приближение. При классическом рассмотрении ядерным состояниям с моментом %J
соответствуют вращения тела как целого с энергией*) Ej = -^j- ,
2 2 5'з
где /0 = -г- mAR2 = -^ тА г^ — момент инерции шара массы тА и ра-
радиуса R.
Вероятность того, что полный момент количества движения ядра
будет заключен в единичном интервале (У, J-\~\), будет равна
Ч, 2
p
i 2У/о
если —rr » 1, то
'2/п0\-3/=
Величина ау определяет долю ядерных уровней, имеющих заданный
момент J. Чтобы получить расстояние между энергетическими уровнями
с данным моментом У, надо B5,6) разделить на ау; получим:
i2
Найденная формула справедлива при больших У и при В^кт-. Если
принять го = 1,4-1О-13 ел, А =100 и 0 = 1 Мэв, то
2/0е&-2^юо.
Из B5,1) и B5,3) следует, что
В = ^. B5,10)
Подставляя B5,10) в B5,9), получим:
•*-*!>?• B5,11)
*) Здесь вращение ядра рассматривается классически, поэтому момент
инерции /0 не имеет отношения к моменту инерции иесферического ядра,
характеризующего «волнообразное» вращательное движение.

§ 26] ИСПУСКАНИЕ ЧАСТИЦ СОСТАВНЫМ ЯДРОМ КАК ПРОЦЕСС ИСПАРЕНИЯ 119
Полагая Е = & Мэв, D7=5 эв, А = 100, 7=1, из B5,11) находим
2Я
5-V-14*), следовательно, в = :^- -ч- 1,1 Мэв. Полученные числа дают
представление только о порядке соответствующих величин, так как
формула B5,9) справедлива только при больших 7.
Качественную оценку расстояния между уровнями обычно производят,
используя для плотности ядерных уровней w^-rr выражение
B5,12)
где параметры а и b определяют из экспериментальных данных. Гейдман
и Бете [8] для параметра Ъ приводят значение £ = 0,14 (А— 12) Мэв'1
в области массовых чисел 15<^<70.
Одним из способов экспериментального определения расстояния
между уровнями является исследование эффективных сечений резонанс-
резонансного захвата нуклонов ядрами. В таблице 17 приводятся значения D,
полученные таким образом [88] для энергии возбуждения, равной сумме
энергии связи нуклона и энергии относительного движения нуклона
и ядра.
Таблица 17. Среднее значение расстояния между энергетическими уровнями
некоторых ядер
Ядро-мишень
N15
р19
А127
р19
Na23
Al27
Al27
Ca40
Падающий
нуклон
P
p
P
n
n
n
n
n
n
Энергия относительного
движения, Мэв
0,8 - 1,4
0,18-2,2
0,45 — 2,59
0 - 1,45
0 - 0,70
0,03 - 1,0
0,01 — 1,0
0,13-0,5
0,03 — 0,52
Число
резонансов
3
18
30
3
7
8
12
10
6
D, КЭ8
160
по
36
500
100
120
83
37
82
§ 26. Испускание частиц составным ядром как процесс испарения
Составным ядром мы условились называть ядро, энергия возбужде-
возбуждения которого превышает энергию связи одного нуклона в ядре. Состоя-
Состояние составного ядра является квазистационарным, так как оно способно
испускать нуклоны и у-кванты. Уровни составного ядра обладают зна-
значительной шириной Г, определяющей вероятность пребывания состав-
составного ядра в данном состоянии е~п. В общем случае составное ядро
*) Напомним, что для обычных тел энтропия, выраженная в безразмер-
безразмерных единицах, по порядку величины равна 105.

120 МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СТРОЕНИИ ЯДЕР [ГЛ. IV
может испускать нуклоны с разными моментами количества движения и
с значительно меньшей вероятностью у-кванты. Общая ширина уровня
будет выражаться суммой парциальных ширин, соответствующих испу-
испусканию -у-квантов (Г^), нейтронов с моментом у(Г„;), протонов с момен-
моментом /(VPj) и других частиц Г:
Термодинамическое описание процесса испускания нуклонов состав-
составным ядром было впервые предложено Я. И. Френкелем [85], а затем
Вайскопфом [89]. В термодинамической теории испускание нейтронов
рассматривается как испарение по аналогии с испарением атомов из
жидких тел или испарением электронов из нагретого металла (эффект
Ричардсона). Для элементарного количественного описания эффекта
испарения нейтронов рассмотрим термодинамическое равновесие между
«нагретым» ядром и «насыщенным паром» нейтронов. При термодина-
термодинамическом равновесии в единицу времени з среднем испаряются и кон-
конденсируются равные количества нейтронов. Нейтроны вне ядра имеют
малую плотность, поэтому их распределение по энергиям определяется
распределением Максвелла:
= const-exp( —M/Tde. B6,1)
Поскольку при термодинамическом равновесии число испарившихся
нейтронов равно числу поглотившихся для определения числа испускае-
испускаемых нейтронов, вычислим число поглощающихся ядром нейтронов
в одну секунду. Это число пропорционально скорости нейтронов, т. е. V^s,
плотности нейтронов, имеющих данную энергию, т. е. у е ехр ( —— ) ds,
поперечному сечению ядра и коэффициенту прилипания нейтронов
к ядру Tj (е), который, вообще говоря, будет функцией е. Сохраняя
только множители, зависящие от энергии, мы получим:
dN (s) = const S7j (г) ехр ( — ~)dB. B6,2)
Это выражение будет также давать число нейтронов в интервале
энергий е, е-j-dfs, испускаемых ядром в 1 сек. Формула B6,2) пра-
правильна, если: 1) интервал энергии dz берется столь большим, чтобы
в ядре, остающемся после вылета нейтронов, осталось еще много воз-
возбужденных уровней, т. е. dz больше разности энергии соседних уров-
уровней в остающемся ядре; 2) энергия возбуждения Е начального ядра
должна быть настолько большой, чтобы после испускания нейтрона
остающееся ядро имело почти ту же энергию возбуждения, т. е.
£>>£-j-s, где Ео—энергия связи нейтрона -^6—7 Мэв. Последнее
условие почти никогда не выполняется; при испускании нейтрона энер-

§ 26] ИСПУСКАНИЕ ЧАСТИЦ СОСТАВНЫМ ЯДРОМ КАК ПРОЦЕСС ИСПАРЕНИЯ 121
гия возбуждения меняется значительно, поэтому нельзя говорить о тем-
температуре ядра в момент испускания.
Следуя Вайскопфу, рассмотрим другой вывод формулы для числа
нейтронов, испущенных возбужденным ядром, учитывающий отличие
статистики систем со сравнительно малым числом частиц от обычной
статистики макроскопических тел.
Предположим, что ядро А с энергией возбуждения ЕА испускает
нейтрон в интервале энергии s, z-\~dz, переходя в ядро В с энергией
возбуждения ЕВ = ЕА — Ео — г. Обозначим вероятность этого процесса
в единицу времени, усредненную по многим квантовым состояниям
в интервале энергий ЕА, EA-\~dz через Wn(s)dz. Вероятность (в еди-
единицу времени) обратного процесса — захвата ядром В (с энергией воз-
возбуждения ЕВ = ЕА — Ео — s) нейтрона, имеющего энергию б и относи-
относительную скорость v = ]/r2z!M, с образованием ядра А {ЕА), усредненная
по интервалу энергии Ед, EB-\-dz, будет равна
We==^L^Lt B6,3)
где а (Ед, s) — эффективное сечение столкновения нейтрона энергии s
с ядром В(Ев),с образованием составного ядра А(ЕЛ)', Q — объем,
в котором находятся нейтрон и ядро.
При термодинамическом равновесии должно выполняться равенство
Wn (е) (од (Ел) dz = WetaB (EB) dN (s), B6,4)
где (Од (ЕА) dz — число возможных состояний ядра А с энергией ЕА
в интервале dz; (ой (Ев) dz — соответствующая величина для ядра В;
^"»rf8 B6,5)
— число квантовых состояний нейтрона в объеме И с энергией
£, e-j-flfs; g=Bs-j-l) — число спиновых состояний (для нейтрона
При учете B6,3) и B6,5) из B6,4) следует
Формула B6,6) связывает функцию распределения испускаемых нейтро-
нейтронов по энергии с плотностью уровней шв ядра В и сечением а {Ед, е)
обратного процесса. Сохраняя только множители, зависящие от энер-
энергии £, перепишем формулу B6,6) в виде
Wa (г) dz = const • с (ЕА, е) u>B (smax — z) z dz, B6,6a)

122
МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СТРОЕНИИ ЯДЕР
[ГЛ. IV
Е —Е
^ Д О
максимально возможная энергия испускаемых
Д О
НеЙТПолная вероятность испускания нейтрона TjA может быть полу-
получена путем интегрирования B6,6) по всем энергиям испускаемых
нейтронов:
% J
max
f
B6,66)
Формула B6,6а) позволяет вычислить энергетическую плотность
уоовней to (s —£) остаточного ядра, если известно распределение
испускаемых частиц по энергии. Исследуя распределение по энергии
протонов, испускаемых при возбуждении
ядер протонами энергии 18,3 Мэв, Гю-
Гюжело [90] вычислил относительную плот-
плотность уровней для разных значений энер-
энергии возбуждения остаточного ядра. На
рис. 22 приведены полученные значения
относительной плотности уровней ядра
Fe в зависимости от энергии возбужде-
возбуждения. Область а соответствует разбросу
экспериментальных точек при рассея-
рассеянии под углом 60°, а область б —
при рассеянии под углом 150°. Из
рис. 22 следует, что быстрые протоны
рассеиваются преимущественно вперед.
Это свидетельствует о наличии ме-
механизма рассеяния, отличного от меха-
-ю ,2 ,4 ,5 /3 низма испарения, так как угловое рас-
е,шв. пределение нуклонов, испускаемых со-
^ ~ гласно статистической теории, должно
Рис. 22. Относительная плот- ' ,m,uo.nua
ность уровней в ядре Fe. Об- быть или изотропным или симметрич-
ласть а соответствует разбросу ным относительно 90 (см. § oU). па
экспериментальных данных при рИС> 23 приведены значения, полу-
полурассеянии под углом 60°, об- ные Гюжело при исследовании неупру-
ЛаСТЬ б 7глоРм IS?'""™ П°Д того рассеяния протонов на ядрах Си и
Pt. Штриховкой отмечены области раз-
разброса экспериментальных данных. Мы видим, что для более тяже-
тяжелых ядер эффект асимметрии углового распределения проявляется зна-
значительнее, чем у Fe.
Таким образом, статистическая теория испускания нуклонов- при ре-
реакциях неупругого рассеяния может иметь только ограниченную область
применимости.
Если ввести энтропию ядра как логарифм плотности уровней, т. е.
положить
S(E) =1п<о(Я),

§ 26] ИСПУСКАНИЕ ЧАСТИЦ СОСТАВНЫМ ЯДРОМ КАК ПРОЦЕСС ИСПАРЕНИЯ 123
то B6,6) можно привести к виду
Wn(e)dz = ^~o(EAy m)ex[>{SB{EA — Eo — e) — SA{EA)}d*. B6,7)
Формула B6,7) переходит в B6,2), если предположить, что ЕА»Е0,
ЕА»е и что SA и SB — тождественные функции: 5(Е) = SA (E) =
= SB{E); тогда
где вл— «температура» ядра А. В этом приближении B6,7) переходит в
exp
B6,7а)
Как уже указывалось выше, неравенства, использованные при выводе
№<-*• 1 W3,
0J
Си
п-60*
6-150'
Энергия возбуждения
/2 10 8 6 4 2 О
6 8 10 Ц 14 16 18
£.МЗб
0,1
Энергий возбуждения
12 10 8 6 4 2 О
6 8 10 12 14 16 18
г, Мб
Рис. 23. Относительная плотность уровней в ядрах Си и Ft.
B6,7а), в ядре не выполняются. Однако в ряде случаев возможно вы-
выполнение неравенства
е«ЕА — Ей; B6,8)
тогда можно написать:
Sb{Ea-E*-*)=Sb.№a-E9) - ub{ESa__Eq) -? (8), B6,9)
где
Подставляя B6,9) в B6,7), имеем:
Wn (е) йг = С (s) в ехр {-
У (s)} rfe, B6,10)

124 МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СТРОЕНИИ ЯДЕР [ГЛ. IV
где
Если отбросить <с(е), то B6,10) формально совпадает с обычной фор-
формулой испарения B6,2), в которой под температурой в нужно понимать
температуру, соответствующую энергии возбуждения ЕА — EQ ядра Ву
остающегося после испускания нуклона. Дополнительный множитель
ехр {— и» (£)} в B6,10) сдвигает максимум относительного распределе-
распределения по энергии испускаемых частиц в сторону больших энергий. Если
пренебречь этой поправкой, то с помощью B6,10) можно вычислить
среднюю энергию £ испускаемых частиц. В случае испускания ней-
нейтронов, обладающих малыми энергиями, С (е)-^. ]^е, поэтому е = —Нл;
при энергиях вылетающих нейтронов в несколько Мэз С (в)-^ const,
поэтому ? = 2ВЙ. В общем случае нейтроны должны испускаться со
средней энергией, заключенной в пределах
— 5
в^в~~-~2 в-
Формула B6,10) позволяет вычислить нейтронную ширину Тп
энергетического уровня ядра, т. е. часть полной ширины уровня,
возникающую из-за возможности испускания нейтрона. Для этого надо
проинтегрировать B6,10) по всем энергиям испускаемых нейтронов и
результат умножить на %:
где
С =
£ ехр — у (е) — гр ) dt
Наряду с нейтронами сильно возбужденное ядро может испускать и
заряженные частицы: р, а и др. Приведенные выше формулы можно
использовать и для оценки вероятности испускания заряженных частиц,
если учесть влияние кулоновского ноля на сечевие образования состав-
составного ядра ос (ЕА, б) при обратном процессе.
Эффективное сечение образования составного ядра протонами с энер-
энергией относительного движения г можно представить формулой (см. § 55)
где Т( (в) — коэффициент прохождения через кулоновский и центро-
центробежный барьеры. Значения a (s) для атомных ядер с Z=8 и 20, вы-

§ 26] ИСПУСКАНИЕ ЧАСТИЦ СОСТАВНЫМ ЯДРОМ КАК ПРОЦЕСС ИСПАРЕНИЯ 125
численные в [88] как функции отношения энергии протона к макси-
максимальной энергии кулоновского потенциального барьера (В), приведены
на рис. 24.
Грубую оценку сечения обратного процесса а (ЕА, s) можно сделать
на основе классических соображений, полагая, что частица, вступая
0,1
.0,01
0.001
0.5 1.0 1,5 2.0 2.5 10
Рис. 24. Эффективные сечения образования составного ядра протонами.
в область действия ядерных сил, поглощается ядром. Б этом случае
В
У
, если
О, если £<£;
Z
A
R — радиус ядра; В= AR ; eZA — заряд ядра; Ze—заряд частицы;
В ^ ZAZA~ "■■• Мэв, если R — 1,5-Л'^О3 см.
Вместо разложения B6,9) теперь лучше использовать
е — В
Тогда с помощью B6,7) получим:
^^
— ФE — В). B6,11)
, B6,12)
где
Сравнивая B6,12) с B6, Ю), мы видим, что энергия связи Ео
в формуле B6,10) как бы заменяется на Ео~\-В. Функция распреде-
распределения частиц по энергии смещается в сторону больших энергий на
величину В. Формула B6,12) применима только при г^>В, когда кван-
квантовые эффекты мало существенны. При s<£ необходимо более стро-
строгое квантомеханическое решение задачи.

126 МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СТРОЕНИИ ЯДЕР [ГЛ. IV
У ядер, стабильных по отношению к испусканию позитронов, ве-
вероятность испускания протонов меньше вероятности испускания нейтро-
нейтронов. При возбуждении нейтронами и у-лучами (не очень большой энергии)
ядер с зарядом Z^>30 не наблюдается испускания протонов. Если
ядро {А-\-п) стабильно относительно а-распада, то вероятность излу-
излучения а-частиц меньше вероятности испускания нейтронов.
В некоторых случаях составное ядро может испускать несколько
типов частиц. Вероятность испускания частицы определенного типа
тогда равна
У7. Kj
где К,-—величина, пропорциональная частичной ширине уровня по
отношению к распаду с излучением частицы типа i; К; является функ-
функцией энергии smax, равной энергии возбуждения без энергии связи
частицы / с составным ядрам. Согласно B6,66) можно написать:
( "max
J sj,.(£)co.(smax-£)a?e, еслиетах>0;
°» если етах<0,
где ai (в) — эффективное сечение образования составного ядра; («),•(£) —
плотность уровней остаточного ядра; si и М(—спин и масса частицы /.
Измерения энергетического спектра испускаемых ядрами нейтро-
нейтронов [91] и протонов [90, 92] согласуются с предсказаниями статисти-
статистической теории только в области малых энергий испускаемых частиц.
Энергетическое распределение частиц, уносящих значительную часть
энергии возбуждения ядра, существенно отличается от максвелловского
(см. § 97).

ГЛАВА V
АЛЬФА-РАСПАД И ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР
§ 27. Динамическая неустойчивость тяжелых ядер
В связи с тем, что средняя энергия связи, приходящаяся на один
нуклон, особенно велика у ядер с массовым числом, близким к 100,
многие тяжелые ядра оказывается энергетически неустойчивы по отноше-
отношению к делению на два ядра примерно одинаковой массы (М^ и Mz).
В этом легко убедиться, если вычислить разность энергии
ЬЕ^Щь — М^—М^с2, B7,1)
где Мо—масса тяжелого ядра. Как показали Бор и Уилер [1], раз-
разность энергии B7,1) оказывается положительной для ядер с массовым
числом, превышающим ПО.
Для ядер с массовым числом, превышающим 190, становится также
энергетически выгодным испускание а-частиц.
Несмотря на энергетическую неустойчивость, многие тяжелые ядра
не делятся и не испускают а-частиц с большой вероятностью, так
как этим процессам препятствует наличие большого потенциального
барьера.
Другими словами, деление ядер и а-распад ядер, находящихся в ос-
основном состоянии, всегда происходят через промежуточное состояние,
энергия которого оказывается гораздо больше, чем энергия начального
состояния ядра и конечных состояний ядер осколков. Если изобразить
потенциальную энергию двух осколков деления (или а-частицы и до-
дочернего ядра) как функцию их взаимного расстояния г, то получим
кривую, изображенную на рис. 25 для значений r^>d, где d равно
сумме радиусов осколков деления. При расстояниях г <^d вступают
в действие ядерные силы притяжения, которые резко снижают значение
потенциальной энергии. При этом координата г теряет уже смысл,
так как оба осколка деления сливаются в одно целое. Максимум по-
Z 7 е2
тенциальной энергии по порядку величины соответствует 1/тах ^ ~- .
Например, при делении ядра золота на две одинаковые части

128 ЛЛЬФЛ-РАСПЛД И ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР [ГЛ. V
Vmax-v.l73/Иэв, а величина ЬЕ, определяемая формулой B7,1), равна
132 Мэв. Таким образом, при делении ядра золота необходимо пре-
преодолеть «потенциальный барьер» высотой около 41 Мэв.
Вследствие большой массы осколков вероятность прохождения этого
потенциального барьера очень мала. Для тяжелых ядер (Th — Pu) ос-
основное состояние лежит примерно на 5 Мэв ниже Vmax. В этом случае
время жизни по отношению к деле-
делению составляет Ю9—1017 лет. Для
ядер с большими зарядами и массо-
массовыми числами время жизни по отно-
отношению к делению уменьшается; так,
например, у Fm это время состав-
составляет несколько часов.
Описанное здесь явление само-
самопроизвольного или спонтанного деле-
деления ядер было впервые экспери-
__ ментально обнаружено в 1940 г.
Ой г Г. Флеровым и К. Петржаком [2],
Рис. 25. Зависимость энергии юл- которые показали, что время жизни
имодействия продуктов деления по отношению к спонтанному деле-
или а-распада от расстояния. нию ядер урана и ТОрия порядка
10»—10" лет.
Для того чтобы деление происходило с заметной вероятностью,
ядру надо сообщить дополнительную энергию Е,, примерно равную
Кш, — \Е. Энергия Ef называется пороговой энергией, процесса де-
деления. Деление может'вызываться у-квантами, нейтронами, протонами
и другими частицами, которые переводят ядро в возбужденное состоя-
состояние, с энергией, превышающей Ef.
Процесс деления ядер урана при их бомбардировке нейтронами
был открыт Ганом и Штрассманом в 1939 г. До этого времени были
известны только ядерные реакции, при которых испускались относи-
относительно легкие частицы и у-кванты. Оказалось, что в процессе деле-
деления ядро урана распадается на два осколка, которые заметно легче
ядра урана. Массовые числа этих осколков близки к 90 и 140. Вто-
Второй особенностью процесса деления ядер урана является выделение
большой энергии (~- 200 Мэв), примерно на порядок превышающей
энергию других экзотермических ядерных реакций. Наконец, третьей
особенностью процесса деления является то, что реакция, вызываемая
нейтронами, в свою очередь сопровождается вылетом нескольких нейт-
нейтронов.
Вскоре после 1939 г, было установлено, что кроме ядер урана под
действием нейтронов могут делиться и другие тяжелые ядра. Основные
особенности деления ядер урана наблюдаются и у других тяжелых
ядер. Однако только ядра U235, U233 и Pu239 делятся медленными нейт-
нейтронами. Особенности реакции деления этих ядер при подходящих усло-
условиях позволяют создавать самоподдерживающиеся (цепные) ядерные

§ 27] ДИНАМИЧЕСКАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ТЯЖЕЛЫХ ЯДЕР 129
реакции, сопровождающиеся большим выделением энергии. В настоящее
время реакции такого типа составляют основу ядерной энергетики.
8 этой книге мы будем интересоваться только самим явлением деления
ядер и не будем затрагивать вопросов, связанных с проблемой получе-
получения атомной энергии. Последний вопрос составляет содержание само-
самостоятельных курсов и монографий (см., например, [3, 4]).
В настоящее время в понимании процесса деления и в изучении
его свойств сделаны большие успехи, однако теория этого явления
еще очень несовершенна. Основы теории деления ядра будут изло-
изложены в § 29—34.
Как уже указывалось выше, ядра с массовыми числами, большими
190, неустойчивы по отношению к процессу а-распада, т. е. распад
материнского ядра на дочернее ядро и а-частицу происходит с выделением
энергии. Однако, за редким исключением, экспериментально удается
обнаружить а-распад только у ядер с зарядом, превышающим 82.
При изучении а-распада оказалось, что а-активные ядра, как пра-
правило, испускают несколько групп а-частиц, различающихся по энергии.
Наиболее интенсивная группа обычно связана с переходом из основного
состояния материнского ядра в основное состояние дочернего ядра.
Переходы с возбужденных уровней материнского ядра сопровождаются
выбросом более энергичных (длиннопробежных) а-частиц. Переходы
с основного состояния материнского ядра на возбужденные уровни до-
дочернего ядра сопровождаются испусканием моноэнергетических групп
а-частиц, разница в энергиях которых соответствует различным уров-
уровням возбуждения дочернего ядра.
Вероятность а-распада материнского ядра очень сильно зависит от
энергии относительного движения а-частицы и дочернего ядра. Умень-
Уменьшение энергии а-частицы на Ю°/о приводит к уменьшению вероятности
распада (и, следовательно, к увеличению времени жизни материнского
ядра) более чем в Ю3 раз. Поэтому экспериментально наблюдаются
распады, соответствующие сравнительно узкому интервалу энергий,
расположенных в области 4-^-8 Мэв. При энергиях, меньших 4 Мэв,
вероятность а-распада становится столь малой, что этот процесс не может
быть обнаружен.
Обычно а-распад характеризуют периодом полураспада, т. е. про-
промежутком времени, в течение которого распадается половина материн-
материнских ядер. Период полураспада изменяется от малых долей секунды
(например, 1,58-Ю~4 сек для Ро214) до миллиардов лет (например,
4,49-109 лет для U238).
Сравнительно большое время жизни а-активных ядер (по отноше-
отношению к характерному ядерному времени ^~\0~22 сек) приводит к малой
естественной ширине линий, обычно не превышающей миллиэлектроно-
вольта. Точность измерения энергии а-частиц очень высока, поэтому
при исследовании а-распада путем измерения энергии а-частиц надо
вводить поправку на кинетическую энергию дочернего ядра отдачи,
чтобы по измеренной энергии а-частицы судить об энергии распада.
9 А. С. Давыдов

130 АЛЬФА-РАСПАД И ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР [ГЛ. V
Если еа — энергия а-частицы, то
А
расп * А 4 '
где А — массовое число материнского ядра. В следующих параграфах
мы рассмотрим основы теории а-распада и деления тяжелых ядер.
§ 28. Теория альфа-распада
Первая теория а-распада была создана в 1928 г. Гамовым [5] и
Герни и Кондоном [6].
а-частицы, вылетающие при а-распаде тяжелых атомных ядер, не
существуют в них до распада, а создаются в самом процессе распада.
Теории, развитые в [5, 6], обходили вопрос об образовании а-частицы
в материнском ядре. В них рассматривалась система, состоящая из
дочернего ядра (заряда Ze) и а-частицы. Потенциальная энергия взаимо-
взаимодействия между ними выбиралась в виде
,28,1)
— Vo, если < d
Волновая функция относительного движения дочернего ядра и а-ча-
а-частицы, соответствующая орбитальному моменту til, записывается в виде
где радиальная функция и (г) удовлетворяет уравнению
^:=0' <28>3>
здесь }л—приведенная масса а-частицы и дочернего ядра; член
—» "V является малой добавкой к основной энергии взаимодействия
V{r); поэтому обычно в элементарной теории этот член не учиты-
учитывается. Опуская —^ Д" в уравнении B8,3), мы исключаем возмож-
возможность рассмотрения зависимости вероятности а-распада от момента,
уносимого а-частицей. Для исследования этой зависимости необходимо
учесть не только этот ч^ен, но и несферичность ядер, подверженных
а-распаду (см. ниже).
Решение уравнения B8,3) в работе Гамова [5] выполнялось при-
приближенным квазиклассическим методом. Зексль [7] и Престон [8]
решали уравнение B8,3) путем сшивания решений для областей r^>d
и r<^d. Поскольку уравнение B8,3) соответствует очень грубой
модели а-распада, не учитывающей несферическую форму ядра и
использующей упрощенное представление о потенциале в области
попытки его точного решения мало оправданы. Для выяснениЯ|

§ 28] ТЕОРИЯ АЛЬФА-РАСПАДА 131
зависимости вероятности а-распада от энергии а-частицы достаточно
в квазиклассическом приближении вычислить вероятность прохождения
а-частицы через потенциальный барьер. Как известно из курса кван-
квантовой механики, проницаемость барьера в квазиклассическом приближе-
приближении описывается формулой
Р=ехр |-| jV2,i[V(r) -£]<//■ j , B8,4)
где г, и г2—точки поворота, определяемые из условия
V(rl)=V(rt) = E, rt>rv
1Ze%
При выборе потенциала в форме B8,1) ri = d, гг=—р-. Подставляя
эти значения в B8,4) и производя интегрирцвание с учетом B8,1), по-
получим:
|^J B8,5)
/IE ( Ed VA,
скорость а-частицы, sin tp0 = ( ^=-г \ .
Вероятность а-распада в секунду (X) определяется произведением
проницаемости барьера B8,5) на вероятность v распада без барьера:
X = vP. B8,6)
Наибольшие трудности вызывает вычисление предэкспоненциального
множителя v в B8,6), определяющего вероятность а-распада в отсут-
отсутствие барьера. Этот множитель должен учитывать вероятность образо-
образования а-частицы внутри ядра, скорость ее движения и другие вели-
величины, характеризующие внутренние свойства ядра. В первых работах
Гамова v интерпретировалось как «частота», с которой а-частица уда-
v
ряется о «границу» ядра, т. е. полагалось, что v = ^, где v—ско-
v—скорость а-частицы внутри ядра.
Л. Д. Ландау [9, 10] оценил предэкспоненциальный множитель,
исходя только из плотности ядерных уровней всего ядра. Поведение
а-частицы внутри ядра не рассматривалось. Величина v приравнивается
О/Bтт), т. е. частоте осциллятора, имеющего расстояние между уров-
уровнями такое же, как и расстояние (D) между уровнями в ядре в рас-
рассматриваемом интервале энергий. При этом формула, определяющая
постоянную а-распада, принимает вид
B8,7)
В некоторых работах (см., например, [11]) учитывалось влияние электрон-
электронной оболочки на а-распад. Электроны атома несколько снижают барьер
для а-частицы, кроме того, при а-распаде происходит перестройка
9*

132
АЛЬФА-РАСПАД И ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР
[ГЛ. V
электронной оболочки из-за уменьшения заряда ядра на две еди-
единицы. Как показано в этих работах, учет влияния атомных элек-
электронов приводит к тому, что в формулу B8,7) вместо энергии а-ча-
стицы Е нужно подставлять выражение
Недавно Эрма [12] вновь исследовал влияние электронов атома на
проницаемость кулоновского барьера. Используя статистическую модель
Томаса — Ферми для определения поля электронов, Эрма показал, что
электроны атома уменьшают период полураспада а-активных ядер. Этот
эффект особенно значителен для случая а-переходов с малой энергией.
В таблице 18 приведены отношения неисправленного на влияние элект-
электронов атома периода полураспада т к исправленному (т*) для несколь-
нескольких ядер.
Таблица 18. Влияние электронов атома
на вероятность а-распада
Материнское
ядро
Rn222
Ро212
Sm147
Энергия
а-частицы, Мэв
5,486
8,776
2,14
т.т*
1,55
1,22
2,60
Взяв логарифм от обеих частей равенства B8,7) и полагая, что
B:р0 — sin2cp0) слабо зависит от энергии, можно получить приближен-
приближенное соотношение
1пХ = С —-£=, B8,8)
Ye
известное под названием закона Гейгера — Неттола.
Соотношение B8,8) удовлетворительно описывает экспериментальные
данные, если принять значения для С и В [13], указанные в таблице 19,
и энергию а-частицы выражать в Мэв.
Таблица 19
Z
84
90
98
С
50,15
51,94
54,40
В
128,8
139,4
154,7
Энергия а-частиц для изотопов одного и того же элемента умень-
уменьшается с ростом числа нейтронов. Эта закономерность хорошо иллю-

§ 28] ТЕОРИЯ АЛЬФА-РАСПАДА 133
стрируется р<ис. 26, на котором изображена зависимость энергии ос-ча-
стиц от массового числа [14]. Сплошными линиями соединены точки,
относящиеся к одинаковому заряду ядра. В области Л = 211 наблю-
наблюдается резкий скачок в зависимости энергии а-частицы от массового
числа изотопа данного элемента. Этот скачок связан с заполнением
Pof\ .Em
ISO 200 2W 220 230 2М 250 й
Рис. 26. Зависимость энергии а-распада от массового числа ядра.
оболочки, содержащей 126 нейтронов. В работе [15] отмечается
также резкий излом кривой аналогичной зависимости для ядер с
зарядами Z = 98, 99 и 100 в области чисел нейтронов <V=152, что
может служить указанием на существование подоболочки с числом
нейтронов, равным 152.
Как уже указывалось, вероятность а-распада очень сильно зависит от
энергии, уносимой а-частицей. Обычно (а для четно-четных ядер всегда)
наиболее вероятен переход из основного состояния материнского ядра в
основное состояние дочернего ядра. Переходы на возбужденные состояния
дочернего ядра осуществляются с заметной вероятностью только тогда,
когда эти возбужденные состояния отстоят от основного не больше
чем на 200—300 кэв. В случае четно-четных а-активных ядер к таким
возбуждениям относятся вращательные состояния с последовательностью
спинов 0, 2, 4, 6, ... одинаковой четности. Характерным примером
тонкой структуры энергетического спектра а-частиц является измерен'
ный в работе Л. Гольдина, Г. Новиковой и Е. Третьякова [16]
ос-спектр Ри240 в области 5 Мэв, изображенный на рис. 27. В настоя-
настоящее время изучены ос-распады на основной и первые два возбужден-
возбужденных уровня ряда дочерних четно-четных ядер (U2^0, U232, U2 4, Pu2L8,
Pu240, Cm242). Во всех этих случаях наиболее вероятным является
переход на основной уровень; переходу на первый возбужденный уро-
уровень соответствует примерно 20—25°/0 от всех переходов, пере-
переходу на второй возбужденный уровень — 0,1—1 °/0- Переходы на
третий вращательный уровень этих ядер наблюдать еще не удава-
удавалось [17].

134
АЛЬФА-РАСПАД И ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР
[ГЛ. V
Все а-активные ядра значительно отклоняются от сферической
формы; об этом свидетельствует хорошо выраженный вращательный харак-
характер нижних возбужденных состояний этих ядер. Однонуклонныё состоя-
состояния в таких ядрах определяются проекцией Ир полного момента нук-
нуклона на аксиальную ось симметрии ядра (см. § 17). Пары нуклонов,
имеющие равные по абсолютной величине и противоположные по знаку
значения Q , сильно взаимодействуют между собой. В основном состоя-
' =^=^!Qn = 0. Спин основного
нии спин четно-четного ядра равен
ядра
Ри
состояния нечетного
р
,240
Рис. 27.
(энергия в кэв).
a-распада Ри240
равен значению ир последнего нечетного
нуклона, а-частица образуется из Двух
пар нуклонов, имеющих равные | И |,
поэтому при а-распаде значение К
не должно меняться. Таким образом,
из-за аксиальной симметрии ядра яв-
явление а-распада характеризуется до-
дополнительным приближенным прави-
правилом отбора: АК = 0. При а-распаде
четно-четных ядер в основном состо-
состоянии материнского ядра J = К= О,
Дочернее ядро может образоваться в
состояниях, соответствующих рота-
ротационной полосе с К=0. В этом слу-
случае все переходы на уровни этой по-
полосы удовлетворяют правилу отбора
Д/Г=О. Переход в основное состоя-
состояние является энергетически наибо-
наиболее выгодным и происходит с наиболь-
наибольшей вероятностью, а-распад нечет-
нечетных ядер также происходит с наибольшей вероятностью при выполне-
выполнении правила отбора Д/С=О.
В связи с тем, что все уровни ядра, принадлежащие одной и той
же вращательной полосе, имеют одинаковую четность, на момент коли-
количества движения, уносимый а-частицами при а-распаде ядра, наклады-
накладываются некоторые ограничения. При переходе из основного состояния
материнского ядра на уровни одной ротационной полосы дочернего ядра
должны испускаться а-частицы либо только с четным /, если четности
дочернего и материнского ядер совпадают, либо только с нечетными /,
когда четности материнского и дочернего ядер различны.
Если при а-распаде нечетных ядер спины и четности основных
состояний материнского и дочернего ядер совпадают (как в случае
четно-четных ядер), то наиболее интенсивный переход происходит
на основной уровень дочернего ядра так же, как в четно-чет-
четно-четных ядрах. Примером такого типа переходов является а-распад:
U"»—^Th229-j-a. Основные состояния U2" и Th829 имеют спин
*/ = ЛГ= */2 и положительную четность. На рис. 28 приведена схема

§ 28]
ТЕОРИЯ АЛЬФА-РАСПАДА
135
распада U"s (данные взяты из работ [13, 17]). На том же рисунке
изображена схема распада Am241. В этом случае наиболее интенсивный
переход происходит на уровень ядра Np2J7, имеющий тот же спин и
четность, что и основной уровень ядра Am241, хотя этот уровень
и является вторым возбужденным уровнем ядра Np287. Переходы на
основной и первый возбужденный уровни ядра Np2*7 очень мало вероят-
вероятны (они составляют только 0,5°/ от всех остальных переходов). Эти
да/г
Я J
5/2 15/2'
5/2 13/2*
5/2
5/2
5/2
5/2
и/2'
9/2'
7/2'
Ь/2'
Ш
5/2" 13/2А
5/2' Щ2'
5/2'
5/2'
5/2*
5/2'
5/2'-
9/2'
7/2'
5/2'
7/2-
■№'
Рис. 28. Схе мы а-распада нечетных ядер (анергия в кэв).
уровни дочернего ядра имеют четность, противоположную четности
материнского ядра. Второй особенностью а-распада Am241 является то,
что переход не происходит на возбужденные уровни 266 и 433 кэв
ядра Np287, которые не входят в ротационную полосу возбужденных
состояний, начинающуюся с возбужденного уровня 59,8 кэв.
Переходы без изменения спина A/f:=O и четности относятся к на-
наиболее вероятным переходам при а-распаде данного ядра. Такие пере-
переходы называют облегченными переходами. При распаде ядра Ра281
облегченный переход соответствует переходу на сравнительно высоко-
высокорасположенный 6-й возбужденный уровень дочернего ядра Ас227 с энер-
энергией, равной 328 кэв.
Переходы, сопровождающиеся изменением четности, по-видимому,
связаны со значительной перестройкой ядра, поэтому они соответствуют
малым вероятностям.
В настоящее время уже сделано несколько попыток теоретического
объяснения указанных выше закономерностей.
Для вероятности а-распада на различные вращательные уровни
дочернего ядра Л. Д. Ландау [18] предложил следующую формулу:
= с BУ + *) ехР { — «У (J+ 1)}.
B8,9)

136 АЛЬФА-РАСПАД И ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР [ГЛ. V
При выводе формулы B8,9) учитывалось, что прозрачность кулонов-
ского барьера будет наибольшая в областях, лежащих на оси симмет-
симметрии ядра, имеющих наибольшую кривизну.
Вероятность возбуждения ротационных состояний дочернего ядра
при а-распаде четно-четного ядра вычислялась также в работах В. Г. Но-
Носова [19], В. М. Струтинского [20], Размуссена и Сегала [21], Адель-
сон-Вельского, Бирзгала, Пилия, Гольдина и Тер-Мартиросяна [22].
Во всех этих работах исследовалось уравнение Шредингера для дви-
движения частицы вне ядра при дополнительном предположении, что на
поверхности ядра волновая функция имеет постоянное значение. Из-за
несферической формы ядра радиальные волновые функции, соответ-
соответствующие разным орбитальным моментам, сильно связаны между собой.
Это значительно усложняет расчеты и приводит к необходимости поль-
пользоваться численными методами [21, 22]. В связи с тем, что в указан-
указанных выше теориях не исследуется процесс образования а-частицы
в ядре, они не в состоянии объяснить особенности а-распада, связан-
связанные с внутренней структурой ядра. Так, эти теории не могут объяс-
объяснить наблюдаемого экспериментально [23] резкого изменения вероят-
вероятности перехода на второй возбужденный уровень (У = 4 + ) от массового
числа. Согласно экспериментальным данным возбуждение уровня с J=A+
при а-распаде менее вероятно, чем переход на основной уровень,
примерно до 10 раз для Th, примерно в 10 раз для U, примерно
в 80 раз для Ри и примерно в 400 раз для Ст.
Для качественного объяснения этой зависимости высказывалось
предположение [24], что образование а-частицы не равновероятно во всех
точках поверхности ядра, а происходит чаще в тех местах поверхности
ядра, где волновые функции наименее связанных с ядром пары нейтронов
и протонов имеют максимальное значение. Положение этих максимумов
сильно зависит от степени заполнения нуклонных оболочек. Испускание
а-частиц с моментом Ы зависит от положения узлов полиномов Лежан-
дра /-й степени, которые входят в выражения их волновых функций. Если
узлы этих полиномов совпадают с максимумами вероятности обра~оза-
ния а-частиц, то испускание частиц с моментом количества движения Ш
будет очень мало вероятно.
Указанные выше теории также не объясняют практически одинако-
одинаковой вероятности а-распада U233 с возбуждением вращательных уровней
ядра Th229 со значениями спинов п/2, 13/2, 15/2.
Еще более сложной является теория относительной интенсивности
а-частиц, соответствующих переходам на возбужденные уровни нечет-
нечетных ядер. Переход с уровня JQ материнского ядра на уровень J дочер-
дочернего ядра может сопровождаться выпетом а-частиц с моментами fil, где
Вероятность а-распада материнского ядра со спином Уо на вращатель-
вращательный уровень У дочернего ядра вычислялась в работе О. Бора, Фремана

§ 29] СПОНТАННОЕ ДЕЛЕНИЕ ТЯЖЕЛЫХ ЯДЕр 13Г
и Моттельсона [13]:
У0)|2, B8,10).
2
i=\jo~j\
где
С (Z) и D (Z) — параметры, слабо зависящие от Z. Они протабулиро»
ваны в работе [13]. Коэффициенты Ct определяют вероятность испус-
испускания а-частицы с моментом nl. Эти коэффициенты следует рассмат-
рассматривать как параметры теории. Однако формула B8,10) не в состоянии
объяснить особенностей распределения а-частиц по энергии (тонкую
структуру а-спектров) нечетных ядер. Другая формула, содержащая
не один, как B8,10), а два а, и а2 эмпирических параметра, была
предложена К. А. Тер-Мартиросяном [17]
/4-Л>
lz=J -Jo
B8,11)
В обзоре Л. Гольдина, Л. Пекера и Г. Новиковой [17] отмечается,
что для некоторых ядер формула B8,11) дает удовлетворительное
согласие с экспериментом; для других же ядер такого согласия полу-
получить нельзя ни при каком выборе параметров а, и а2.
Итак, теория a-распада в настоящее время еще не в состоянии
объяснить многие закономерности, наблюдаемые в эксперименте. В ча-
частности, пока еще не удалось построить удовлетворительной теории,
объясняющей относительную интенсивность a-частиц, соответствующих
переходам на возбужденные уровни дочерних ядер. Это особенно отно-
относится к переходам на второй уровень в четно-четных ядрах и ко всем
уровням в нечетных ядрах.
§ 29. Спонтанное деление тяжелых ядер
Теория спонтанного деления тяжелых атомных ядер разрабатыва-
разрабатывалась Н. Бором и Уилером [1] и Я. И. Френкелем [25, 26, 27]. Теория
спонтанного деления Френкеля [27] строилась по аналогии с теорией
a-распада. Конечно, нельзя предполагать, что ядро до своего деления
состоит из тех двух частей, на которые оно распадается в процессе деле-
деления. Эти части формируются в процессе деления так же, как форми-
формируются a-частица и дочернее ядро при a-распаде. Разница между обо-
обоими процессами заключается лишь в том, что в случае деления дочерние
ядра имеют приблизительно одинаковую величину, тогда как в случае
a-распада одно из них значительно больше другого.

138 АЛЬФА-РАСПАД И ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР [ГЛ. V
Вероятность прохождения через кулоновский барьер, соответствую-
Z Z е2
щий энергии кулоновского взаимодействия 1/.2 , по аналогии с B8,5)
может быть записана в виде
Р -^ ехр ) з-1-1 (тт — Цо — sin 2?о) > =^ ехр т-1-5- , B9,1)
где v — скорость разлета осколков, которая связана с энергией s отно-
относительного движения равенством
С другой стороны, энергия s, выделяющаяся в виде кинетической
энергии осколков при делении ядра, приблизительно совпадает с потен-
потенциальной энергией электростатического отталкивания —1—^— , которую
осколки имеют по отношению друг к другу в момент своего обособ-
обособления. Находя отсюда значение v, получим согласно Френкелю
следующее приближенное выражение для вероятности спонтанного
деления:
- %- е |/ M*M*'d Zxz\ . B9,2)
"Из найденного выражения следует, что вероятность деления возрастает
с увеличением асимметрии по массам и зарядам. Однако выраже-
выражение B9,2) совершенно не учитывает процессов, происходящих в
ядре перед стадией разлета, и может служить лишь для грубых
оценок.
В работах Н. Бора и У ил ера и в ряде последующих развивалась
теория деления на основе модели жидкой капли. В модели жидкой
капли устойчивость ядра определяется отношением поверхностной энер-
энергии ядра к его кулоновской энергии. Как было показано в § 18, усло-
условием устойчивости ядра в этой модели является выполнение неравен-
неравенства Z2jA <^ 49, поэтому во многих теоретических и экспериментальных
работах при обобщении эмпирических закономерностей, связанных
с делением, ищут их связь с параметром Z2]A. Так, в работах
Сиборга [28], Вайтхауза и Гольбрайса [29] указывалось, что периоды
полураспада спонтанного деления четно-четных атомных ядер уменьша-
уменьшаются экспоненциально с ростом Z2jA. Такая зависимость следует из
предположения [30], что энергия порога деления Е, есть функция
параметра Z2jA, и формулы, полученной Н. Бором и Уилером [1] для
вероятности прохождения через потенциальный барьер:
ехр
/ —у а

§ 29]
СПОНТАННОЕ ДЕЛЕНИЕ ТЯЖЕЛЫХ ЯДЕР
139
где М — приведенная масса ядерных осколков; а — величина, равная
по порядку радиусу ядра.
На рис. 29 изображена взятая из работы Сиборга [28] и [31] зави-
зависимость логарифма периода полураспада спонтанного деления т от пара-
параметра Z2jA. Из рисунка видно, что экспериментальные точки ложатся
на кривые, имеющие максимум. Это указывает, что период полураспада
определяется не только параметром ZzjA, но и отношением числа
35 36 37 38 39
Рис. 29. Зависимость логарифма периода полураспада но отношению к спон-
спонтанному делению различных элементов от параметра Z2jA.
нейтронов к числу протонов ядра. Максимум стабильности для изотопов
одного и того же элемента, как отметили Н. Колесников и С. Ла-
Ларин [32] и Юзенга [33], совпадает с максимумом стабильности по
отношению к C-распаду.
В связи с тем, что делящиеся ядра являются одновременно и
«-активными, в работах Мехедова и Певзнера [34] исследовались соот-
соотношения, связывающие вероятности спонтанного деления и а-распада.

140
АЛЬФА-РАСПАД И ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР
[ГЛ. V
В этих работах было показано, что определенному интервалу значений
вероятности спонтанного деления соответствует определенный интервал
значений вероятности а-распада. На рис. 30 (см. [35]) указан логарифм
отношения периода полураспада спонтанного деления tf к периоду
полураспада та для различных значений Z2jA. Данные, приведенные на
рис. 30, указывают, что спонтанное деление и а-распад можно
Рис. 30. Логарифм отношения периода полураспада спонтанного деления (-f)
к периоду полураспада (та) при испускании а-частиц в зависимости от пара-
параметра Z*jA. Кружками отмечены экспериментальные значения, квадратами —
теоретические значения.
рассматривать как аналогичные конкурирующие процессы распада
тяжелых ядер.
Все отмеченные выше эмпирические закономерности относительно
вероятности спонтанного деления еще не получили теоретического
объяснения. Несомненно, что для объяснения особенностей спонтанного
деления тяжелых ядер недостаточно использовать только один пара-
параметр Z2//4, а необходимо учитывать несферическую форму всех деля-
делящихся ядер и влияние оболочечной структуры ядра.

§ 30] ТЕОРИЯ ДЕЛЕНИЯ ЯДЕР ПРИ МАЛЫХ ЭНЕРГИЯХ ВОЗБУЖДЕНИЯ 141
§ 30. Теория деления ядер при малых энергиях возбуждения
Как уже отмечалось в § 27, чтобы деление происходило с замет-
заметной вероятностью, необходимо сообщить ядру дополнительную энергию,
превышающую пороговую энергию деления. Конечно, следует иметь
в виду, что надбарьерное деление непрерывно переходит в подбарьер-
ное и строгое разделение обоих процессов невозможно.
Задачей теории деления являются вычисление порога деления для
различных тяжелых ядер, вычисление вероятности деления, распреде-
распределения осколков по массам, зарядам и энергиям, углового распределения
осколков но отношению к направлению пучка частиц или у-квантов,
вызывающих деление, и т. д.
Естественно, что процесс деления ядер на две части примерно рав-
равной массы невозможно объяснить исходя из представления о движении
одного или нескольких нуклонов внутри ядра. Деление ядра соответ-
соответствует коллективным движениям большого числа нуклонов в ядре.
Поэтому теория деления должна развиваться на основе исследования
коллективных движений нуклонов в ядре. Наиболее простой (хотя и
мало совершенной) моделью ядра, учитывающей коллективные движе-
движения нуклонов, является модель жидкой капли (см. § 18), согласно кото-
которой предполагается, что поведение ядерного вещества аналогично пове-
поведению капли почти несжимаемой жидкости, обладающей однородной
плотностью массы и заряда. Вследствие малой сжимаемости ядерного
вещества внутренние коллективные движения ядра соответствуют изме-
изменению формы поверхности ядра.
Если Z2jA <^ {Z2jA) =5= 49, то согласно капельной модели ядра
стабилизирующее действие поверхностного натяжения превосходит дей-
действие электростатических сил отталкивания. В этом случае ядро будет
устойчивым по отношению к малым деформациям. Для дальнейшего
введем параметр
ZZIA
(Z2jA)
кр
Если предположить, что колебания происходят около равновесной
сферической формы радиуса Ro без нарушения аксиальной симметрии,
то поверхность ядра в каждый момент времени можно выразить урав-
уравнением
На рис. 31 изображена форма поверхности ядра для случаев, когда
в C0,1) отличен от нуля только один из коэффициентов а.п.
Как уже отмечалось, при х < 1 и малых отклонениях поверхности
от равновесной формы (ап-^.0) ядро остается устойчивым, т. е. при
возрастании а2, а3, ... потенциальная энергия деформации возрастает.
Однако при достаточно большой деформации ядро переходит в состоя-

142
АЛЬФА-РАСПАД И ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР
[ГЛ. V-
ние неустойчивого равновесия. Эта критическая деформация тем больше,
чем меньше х.
Порогом деления для данного типа деформации в капельной модели
ядра называется максимальное значение потенциальной энергии, кото-
которое достигается при увели-
увеличении деформации а2 (при
фиксированных значениях
других параметров а3, а4,. . .),
если потенциальную энергию
равновесной формы принять
за нуль. Минимальное значе-
значение порога деления, достига-
достигаемое при вариации парамет-
параметров ап, п^>2, называется
классическим порогом деле-
деления или энергией седловоа
точки, а иногда и просто по-
рогом деления.
В первоначальной ра-
работе Н. Бора и Уилера
рассматривались только сим-
х =5г 1, когда критические
деформации малы, для энергии порога деления было получено выражение
Рис. 31. Форма поверхности ядра, соответ-
соответствующая колебаниям поверхности, описы-
описываемым различными полиномами Лежандра.
метричные деформации а и а При
В работах [36] были учтены и члены, соответствующие несимметрич-
несимметричным деформациям а3, а5. Было показано, что минимальная пороговая
энергия соответствует симметричному делению. В этих работах, так же
как и в [1], исследовались только малые деформации (при х^> О,&).
В дальнейшем Франкель и Метрополис [37] провели вычисления и для
больших деформаций. Эти вычисления подтвердили выводы предыду-
предыдущих работ о наибольшей вероятности симметричного деления. Этот
основной вывод капельной модели ядра не согласуется с экспери-
экспериментом.
Опыт показывает, что деление тяжелых ядер происходит преиму-
преимущественно на осколки неравных масс. Если энергия возбуждения не
очень велика по сравнению с порогом деления, то асимметрия в рас-
распределении масс осколков наблюдается как для вынужденного деления
независимо от того, какая частица используется для возбуждения ядра
(фотон, нейтрон, протон, а-частица), так и для спонтанного деления.
На рис. 32 изображена так называемая двугорбая кривая выхода про-
продуктов деления с различными массовыми числами. На вертикальной оси
отложено отношение (в процентах) числа делений U2", дающих оско-
осколок с данным массовым числом, к полному числу делений. Выход
осколков сравнительно мало меняется в пределах изменения, массы

§ 30] ТЕОРИЯ ДЕЛЕНИЯ ЯДЕР ПРИ МАЛЫХ ЭНЕРГИЯХ ВОЗБУЖДЕНИЯ 143
осколка на 15—20 единиц в области максимумов. При дальнейшем же
изменении массы осколка происходит резкое уменьшение выхода. На-
Например, изменение массы легкого осколка с 90 до 75 соответствует
уменьшению выхода примерно в 104 раза. Таким образом, при делении,
получаются осколки разной массы, но значения этих масс заклю-
заключены в резко ограниченных преде-
пределах. В среднем отношение массы
легкого осколка к массе тяже-
тяжелого осколка соответствует 2/3. Для
различных делящихся ядер харак-
характер асимметрии деления разли-
различен. С возрастанием массового
числа оба максимума двугор-
двугорбой кривой немного сближаются
[38]. И. М. Франк [39] отметил,
что такое сближение максимумов
происходит в основном за счет
изменения положения максимума
кривой выхода легкого осколка.
Наиболее вероятная масса тяжело-
тяжелого осколка почти не зависит от
массы делящегося изотопа и близ-
близка к 139.
На рис. 33 представлена за-
зависимость квадрата относительной
М2 - At,
РО 80 90 100 НО 120 130 140150160 170 Я
асимметрии деления
Рис. 32. Кривая выхода продуктов-
деления U2SS в процентах.
в зависимости от значения парамет-
параметра Z2//4.H3 этого рисунка следует, что при приближении Z2jA к значению,,
равному примерно 42, асимметрия в распределении масс осколков исче-
исчезает. Исходя из анализа экспериментальных данных Святецкий [40]
предлагает следующую формулу для разности масс осколков, соответ-
соответствующих вершинам двугорбой кривой выхода:
Ml-M2 = 0,09 [D0,2 ± 0,7) - Щ А,
где а — массовое число ядра; М1-\-Мг = А— v; v = 2,8—среднее-
число нейтронов, выделяемых при делении.
Выяснению возможности объяснения асимметричного деления в рам-
рамках капельной модели ядра были посвящены работы В, Г. Носова
[41], Бусинаро и Талона [42] и Святецкого [43]. В этих работах
отмечается, что для достаточно больших деформаций, которые превышают
деформации, соответствующие седловой точке симметричного деления,
появляется возможность асимметричного деления. Так, например,
Носов показал, что при л; =0,81 ядро становится неустойчивым относи-
относительно несимметричных деформаций, если симметричная деформация

144
АЛЬФА-РАСПАД И ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР [ГЛ. V
', где а — большая ось эллипсоида, ас — линейный эксцен-
триситет.
Указанные работы хотя и показывают на основе капельной модели
возможность асимметричного деления, однако не дают даже качествен-
качественного объяснения основных закономерностей асимметричного деления.
N
_
-
>
■ ,259,8,6,4
Ри2М
v T
Cm242
0.06
0,05
0,04
0,03
0.02
0.01 V
34 35 36 37 38 39 40 1г/ё
Рис. 33. Квадрат относительной асимметрии деления как функция Z2jA.
М, и М2 — массовые числа, соответствующие пикам двугорбой кривой выхода^
Отмеченная выше неизменность массы тяжелого осколка и возрастание
массы легкого осколка при увеличении массового числа делящегося
ядра, несомненно, указывают на то, что явление асимметричного деле-
деления существенно связано с оболочечной структурой ядра. Это заклю-
заключение также подтверждается уменьшением асимметрии деления при воз-
возрастании энергии возбуждения ядра (см. § 32), когда эффекты обо-
оболочечной структуры ядра становятся менее существенными.
Влияние оболочечной структуры на асимметрию деления отмечалось
еще в работе Майер [44]. Из более поздних работ, в которых иссле-
исследовался этот вопрос, следует отметить работы Хилла [45], Кюри, Фонга
и др. [46]. В большинстве работ, учитывающих оболочечную струк-
структуру ядра, не принимается во внимание большая вытянутость деля-
делящихся ядер. Возможно, что несферическая форма делящихся ядер
способствует асимметричному делению. В работе В. В. Владимир-
Владимирского [47] на основе качественного исследования состояний отдельных
нуклонов в аксиально-симметричном ядре показано, что наличие избы-
избыточных нуклонов с большими значениями проекции момента на ось
-симметрии ядра может привести к потере устойчивости ядра по отно-
отношению к симметричным деформациям в точке перевала.
Масс-спектроскопическое определение выходов стабильных изотопов
показало наличие тонкой структуры на кривой выхода продуктов деле-

§ 30]
ТЕОРИЯ ДЕЛЕНИЯ ЯДЕР ПРИ МАЛЫХ ЭНЕРГИЯХ ВОЗБУЖДЕНИЯ
145
ния (рис. 34). По-видимому, тонкая структура кривой выхода непо-
непосредственно связана с оболочечной структурой ядра (большая энергия
связи в ядрах с. числом нейтронов, близким к числу нейтронов в замк-
замкнутых оболочках 50, 82, 126).
/ Л
80 90 100 110 120 130 140 150 160.4
Рис. 34. Тонкая структура кривой выхода продуктов деления ядра.
Перейдем теперь к оценке вероятности деления. Как уже отмеча-
отмечалось, деление тяжелых ядер может происходить с заметной вероятно-
вероятностью только в том случае, когда энергия возбуждения ядра превышает
Рис. 35. Зависимость пороговой энергии деления от Z2jA: а-
нечетно-нечетные ядра; б — нечетные А; в — четно-четные ядра.
пороговую энергию деления Ef. На рис. 35 представлена зависимость
порога деления как функция параметра Z%\A (см. [48]). Кружки и кре-
крестики относятся к данным, полученным при исследовании фотоделения.
Прямоугольники представляют порог деления, вызываемый нейтронами.
10
А. С. Давыдов

146 АЛЬФА-РАСПАД И ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР [ГЛ. V
В этом случае энергия порога равна сумме энергии нейтрона и энер-
энергии связи нейтрона с ядром-мишенью.
В связи с тем, что подбарьерное и надбарьерное деления непрерыв-
непрерывно переходят друг в друга, экспериментальное измерение энергии по-
порога деления очень сложно. Величина определяемого порога деления за-
зависит от чувствительности применяемой аппаратуры.
Эффективное сечение деления резко возрастает начиная с некото-
некоторой энергии возбуждения, а затем становится практически постоянным
(первое плато). При дальнейшем возрастании энергии сечение деления
снова возрастает, однако не превышает более чем в 2—3 раза значе-
значения сечения деления на первом плато. Чтобы устранить зависимость
экспериментально определяемого значения пороговой энергии от чувст-
чувствительности аппаратуры, предлагалось [49] определять пороговую энер-
энергию как энергию, при которой эффективное сечение деления стано-
становится равным половине своего значения на первом плато.
Даже в том случае, когда энергия возбуждения ядра превышает
пороговую энергию деления Ер деление ядра не является единственным
процессом. Наиболее существенными процессами, протекающими наряду
с делением, являются испускание у-квантов и нейтронов. Испускание
нейтрона возможно в том случае, если энергия возбуждения превышает
энергию связи нейтрона. В связи с тем, что энергии возбуждения, со-
соответствующие делению, сравнительно велики, можно думать, что от-
относительные вероятности указанных выше конкурирующих с делением
процессов определяются отношением парциальных ширин этих процес-
процессов (Г^-, Г^, Yn, . . .) к полной ширине Г==2^/-
Если энергия Е возбуждения ядра ниже порога деления (Ef), то
энергетический ход делительной ширины Г. в основном определяется
вероятностью прохождения потенциального барьера, поэтому можно
написать: Р
_ / ~
где а-^- 100 кэв. Таким образом, вплоть до энергии E = Ef делитель-
делительная ширина представляет экспоненциально растущую функцию энергии.
В области энергий, не очень сильно превышающих пороговую, энерге-
энергетическая зависимость делительной ширины определяется особенностями
энергетических состояний составного ядра. Наконец, в области значи-
значительных возбуждений можно применить статистическую теорию для
оценки величины делительной ширины.
Измеренные эффективные сечения деления ядер U233, U235, Pu289 и
Ри241 как функции энергии нейтронов обнаруживают тесно расположен-
расположенные резонансы для энергии нейтронов, меньшей нескольких сотен эв.
Характерный пример такой зависимости изображен на рис. 36, где при-
приведено гффективное сечение деления U235 медленными нейтронами. Оказа-
Оказалось, что с точностью до экспериментальных ошибок все резонансы,
наблюдаемые в полном сечении, наблюдаются и в сечении деления,

§ 30]
ТЕОРИЯ ДЕЛЕНИЯ ЯДЕР ПРИ МАЛЫХ ЭНЕРГИЯХ ВОЗБУЖДЕНИЯ
147
Сечение деления для отдельного резонансного уровня выражается
формулой Брейта — Вигнера (см. § 54).
а <е\- 2Л%« W>
■+■ р
где Е и 2тгХ — энергия и соответствующая ей длина волны нейтрона;
EQ и 2ттХ0 — энергия и длина волны, соответствующие резонансу; Tf и
Гп — соответственно делительная и нейтронная ширины; Г == Г^—{—
4-Г„4-Г- — полная шири-
шири-
на; g—статистический мно-
множитель.
Из измерений на неделя-
щнхся ядрах известно, что Г^
мало изменяется от ядра к ядру
(за исключением магических
ядер) и равно^-0,03—0,04 эв.
Малое изменение Г связано
с очень большим числом воз-
возможностей испускания у-пзлу-
чения в результате перехо-
переходов на многочисленные бо-
более низко расположенные
уровни. Нейтронная ширина
Гп изменяется очень сильно от уровня к уровню в данном ядре. При
малых энергиях падающих нейтронов возможно только упругое рас-
рассеяние и Ги << Г , поэтому полное сечение взаимодействия слагается в
основном из сечения деления о, и сечения у~излУченпя °-»5 ПРИ этом
а/ Г/
Рис. 36. Эффективное сечение деления
как функция энергии нейтронов.
'/+■
В таблице 20 приведены значения Г^, Тп и TJY, усредненные по
нескольким резонансам, для трех ядер.
Таблица 20. Делительная (Гу), радиационная (Г ) и нейтронная (Г„) ширины
Ядро-мишснь
и235
ри239
и233
Г/-, эв
0,077
0,079
0,23
Г.., эв
0,03
0,04
0,04
\'п, 10 -з эв
0,09
0,5
—
Среднее Г^.Т
0,72
0,66
0,81
Энергия
сияли ней-
нейтрона
6,40
6,38
6,69
Спин
7
2
1
2
5
2
Из таблицы 20 видно, что делительные ширины значительно из-
изменяются от ядра к ядру. По-видимому, делительные ширины слабо

148 АЛЬФА-РАСПАД И ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР [ГЛ. V
зависят от спина ядра и зависят от энергии связи нейтрона. Ядра,
делящиеся тепловыми нейтронами, обычно содержат нечетное число
нейтронов и, следовательно, характеризуются большой энергией связи.
Эффективное сечение деления ядер нейтронами, имеющими энергию
в области миллиона эв, изменяется плавно с энергией. При этой энергии
нейтронов энергия возбуждения составного ядра соответствует области
тесно расположенных, перекрывающихся уровней, поэтому детальное
поведение индивидуальных состояний составного ядра становится не-
несущественным. В этом случае для исследования энергетической зави-
зависимости делительной ширины можно применять статистические методы.
Вероятность деления пропорциональна вероятности нахождения ядра
в состоянии, в котором деление возможно, т. е. в таком состоянии,
когда на делительной степени свободы сосредоточится энергия, пре-
превышающая Е.. Если через Л/(е) обозначить число уровней составного
ядра с энергией возбуждения, не превышающей s, то вероятность со-
сосредоточения на делительной степени свободы энергии, превышающей
Ер при энергии возбуждения ядра Е будет равна
N(E-Ef)
И/~ N(E) '
р
Теперь для вероятности деления ~ можно написать:
%
Г, со h«> N{E- Ef)
— = — W = - '-
% 2к > 2nt N(E)
где (о — циклическая частота колебаний, соответствующая степени сво-
свободы, связанной с делением. Таким образом, для делительной ширины
получаем формулу, предложенную В. Г. Носовым [50]:
Аи N (Е-ЕЛ
1г^2Т-ЩЕГ-' C0'2)
Если энергия возбуждения значительно превосходит пороговую энергию
деления, то, учитывая, что число состояний N (Е) составного ядра свя-
связано с энтропией S (Е) простым равенством:
W(£)==exp £'(£), C0,3)
можно написать:
{EE) j dS
N(E)
I ft
равенство C0, 2) примет вид
Поскольку -^=,=у, 0 — температура в энергетических единицах, то
/ ЕЛ
=2^ехР(-т1 Е»ЕГ

§ зп
ФОТОДБЛЕНИЕ
149
Если же энергия возбуждения незначительно превышает пороговую
энергию, то знаменатель в C0, 2) будет по-прежнему монотонно воз-
возрастающей функцией энергии, числитель же N(E— Ef) будет ступен-
ступенчатой функцией энергии. В непосредственной близости от порога
При дальнейшем увеличении энергии, когда в интервал энергии Е — Ef
попадает второй уровень с данными свойствами, величина N{E — Ef)
скачком увеличится до 2 и т. д. Таким образом, можно ожидать не-
немонотонной зависимости делительной ширины от энергии в области
энергий, незначительно превышающих пороговую энергию деления.
§ 31. Фотоделение
Фотоделение было впервые обнаружено экспериментально при ис-
использовании монохроматических у-квантов, испускаемых при ядерных
реакциях (реакции F19 (р, у) и Li (р, у); в первой из них энергия
у-квантов 6,3 Мэв, во второй—17,5 Мэв). Исследования в области
больших энергий производились с помощью тормозного излучения, ис-
испускаемого бетатронами и синхротронами. Большинство результатов,
получаемых в настоящее время по исследованиям эффективных сечений
фотоделения, относят к области энергии от порогов деления до 30 Мэв.
В таблице 21 приведены экспериментальные значения порогов деления,
полученные в работе Коха, Мак-Эллини и Гастейгера [51].
Таб
Ядро
Ер Мэв
лица 21. Пороговые энергии деления некоторых
JJ238
5,08 ±0,15
угзз
5,18 ±: 0,27
и235
5,31 нн 0,25
Ри239
5,31 ±0,27
ядер
Th232
5,40 ±: 0,22
Уже в первых работах по фотоделению урана и тория [52] отме-
отмечалось, что сечение фотоделения увеличивается от очень малых зна-
значений при энергиях фотонов, лежащих в области 5 Мэв, до макси-
максимального значения в области 15 Мэв, а затем уменьшается. Это из-
изменение сечения деления с энергией подобно изменению сечения дру-
других фотоядерных реакций (см. § 81), т. е. кривые сечений фотоделе-
фотоделения имеют резонансную форму с большой полушириной — «гигантский
резонанс».
Обычно при поглощении фотонов с энергией, соответствующей
области большого резонанса, наиболее вероятна реакция (у, я), дру-
другие конкурирующие реакции (у, у')> (Y» Р) и т- д- относительно мало

150
АЛЬФА-РАСПАД И ДЕЛЕНИИ ЯДЕР
[ГЛ. V
вероятны. При переходе к делящимся ядрам реакция фотоделения ста-
становится сравнимой с (у, п).
Если через ас (е) обозначить сечение поглощения фотонов с энер-
энергией s, то согласно § 81 сечение поглощения, проинтегрированное по
всем энергиям, приближенно будет равно
^l0-24 Мэв-см2.
C1,
Экспериментальные значения сечения фотоделения, проинтегрированные
по энергиям, значительно меньше C1,1). Например, для U238 значение
(z)de =i: 3,5 Мэв-барн, сечение же фотоделения, проинтегрирован-
проинтегрированное от пороговой энергии до 23 Мэв, согласно данным Даффильда и
Юзенги [53] составляет 1,2 Мэв-барн, а С ау„ (s)flfs =^ 2,Ъ Мэв-барн,
где а.[п — сечение реакции (у, п).
На рис. 37 приведены сечения реакций (у, п) и (у, /), полученные
в работе [53]. При энергии 8—11 Мэв энергетически возможны только
0.20
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0,1
■ / \ (W)
■ J \
■ 1 \у
0,15
1 0.12
ъд.08
0,0<
6 10 /4 18 22
Е.МЗв
Рис 37. Эффективные сечения
фотореакций (у, п) и (у, /) на
ядре U238.
5 W 15 20 25 30
Е.МО
Рис. 38. Эффективное сечение
фотоделения U238 как функция
энергии фотонов.
эти две реакции. Отношение —-j- характеризует вероятность де-
V+V
ления при данном возбуждении ядра. В области энергии 8—11 Мэв
величина [ меняется мало и в среднем равна 0,2.
Кривая зависимости сечения фотоделения U238 от энергии у-квантов,
полученная в работе Л. Е. Лазаревой, Б. И. Гаврилова, Б. Н. Валу-
Валуева, Г. Н. Зацепнной и В. С. Ставинского [54], приведена на рис. 38.
Кривые сечений фотоделения других ядер в основных чертах подобны
кривой для U238, отличаясь между собой по абсолютной величине. Это
можно видеть из рис. 39, заимствованного из обзорной статьи
Л. Е. Лазаревой и Н. В. Никитиной [55]. На этом рисунке изображены
сечения фотоделения U238, U233, U235 и th232, полученные И. В. Чувило.

§ 32]
ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР ПРИ БОЛЬШИХ ЭНЕРГИЯХ ВОЗБУЖДЕНИЯ
151
Распределение осколков по массам при фотоделении изучалось в
ряде работ [56]. Как и в случае деления, вызванного нейтронами и
заряженными частицами при малых энергиях возбуждения ядер
(£г^10 Мэв), выход осколков характеризуется двугорбой кривой с
максимумами около массовых чисел 99 и 138
с глубоким провалом в области масс 117.
С увеличением энергии у-излучения вероят-
вероятность симметричного деления возрастает.
i i
...23*
§ 32. Деление ядер при больших
энергиях возбуждения
Процесс деления существенно зависит
от энергии возбуждения делящегося ядра.
Рост сечения вблизи порога почти экспо-
экспоненциальный. Вскоре после превышения
пороговой энергии сечение достигает посто-
постоянного значения а,0. Если деление вызы-
вызывается нейтронами, то зависимость сече-
сечения деления от энергии нейтронов может
быть схематически представлена рис. 40.
Рис. 40, а относится к случаю ядер, имею-
имеющих порог деления (Pa231, U234, Np237, . . .),
т. е. ядер, у которых энергия связи нейтрона
меньше пороговой энергии получающегося
составного ядра. Рис. 40, б относится к слу-
случаю ядер, деление которых вызывается
тепловыми нейтронами (U233, U235, Pu239).
В таблице 22 приведены пороговые энергии деления и энергия
связи нейтронов по данным Камерона [49]. Пороговая энергия в таб-
таблице 22 определяется как энергия, при которой сечение деления равно
-к- afo (см. § 30), поэтому она на несколько сотен кэв больше порого-
пороговой энергии, приводимой в других работах. Значения пороговой энер-
энергии, отмеченные звездочками, получены из данных о фотоделении.
20 25
£. Шв
Рис. 39. Сечения фотоделения
некоторых ядер в относи-
относительных единицах.
Таблица 22. Пороговые энергии деления и энергия связи нейтронов
Составное
ядро
Ef, Мэв
Энергия
связи
нейтрона
Th233
6,44
5,09
Ра232
6,18
5,65
и235
5,75
5,18
U237
6,40
5,42
и239
6,15
4,70
Np233
6,04
5,43
Th232
5,95*
6,34
и233
5,49*
5,94
и238
5,80*
6,07
Np2"
5,49*
6,78
рц239
5,48*
5,53

152
АЛЬФА-РАСПАД И ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР
[ГЛ. V
Постоянное значение сечения деления и^ (первое плато) сохра-
сохраняется примерно до энергий 5—6 Мэв, где имеет место новый рост се-
сечения, связанный с энергетической возможностью деления после пред-
предварительного испарения нейтрона из составного ядра. Значение энер-
энергии нейтрона, соответствующее нача-
началу подъема сечения после первого
плато, определяется порогом реакции
(я, n'f). Оно равно величине барьера
деления Ef ядра-мишени. Рост сече-
сечения деления выше порога реакции
(п, n'f) должен быть более плавным
О 5 Ш
С.Шб
Рис. 40. Схема поведения сечения
деления в зависимости от энергии
нейтронов: а — для ядер с опреде-
определенным порогом деления; б — для
ядер, делящихся тепловыми ней-
нейтронами.
' 80 100 120 140 160 Д
Рис. 41. Кривые выхода ос-
осколков деления U285 под дей-
действием 14 Мэв нейтронов
(сплошная линия) и тепло-
тепловых нейтронов (пунктирная
линия).
из-за большого разброса в значениях энергии, которая может быть
унесена нейтроном, испущенным до деления ядра [57].
Увеличение энергии возбуждения сопровождается не только изме-
изменением величины сечения деления, но и сказывается на распределении
осколков деления по массам. Двугорбая кривая выхода осколков дефор-
деформируется за счет поднятия ложбины между горбами. На рис. 41
сравнивается вид двугорбой кривой при делении U285 нейтронами с
энергией 14 Мэв (сплошная кривая) с кривой для тепловых нейтронов
(пунктирная кривая). Такой же характер изменения двугорбой кривой
наблюдается и в случае фотоделения при увеличении энергии у-кван-
тов. При изменении максимальной энергии тормозного излучения от 7
до 300 Мэв отношение выхода в максимуме двугорбой кривой к вы-
выходу в минимуме падает от 300 до 4.
С помощью достаточно быстрых нейтронов, протонов или дейтро-
дейтронов удается вызывать деление [58] всех тяжелых элементов, начиная

§ 33] УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ОСКОЛКОВ ДЕЛЕНИЯ 153
от висмута. При делении ядер урана а-частицами с энергией 380 Мэв
[59] и висмута дейтронами с энергией 190 Мэв [60] наблюдается од-
одногорбая кривая выхода осколков. Радиохимический анализ осколков
деления привел к выводу, что максимум этой одногорбой кривой сдви-
сдвинут на 3—6 единиц в сторону меньших значений масс по сравнению
с половиной" от суммы масс ядра-мишени и налетающей частицы. Та-
Такое уменьшение масс осколков связано с испусканием нейтронов при
делении сильно возбужденного ядра. Наличие среди осколков деления
ядер с недостатком нейтронов, проявляющееся в позитронном распаде
и явлении /С-захвата, указывает, что испускание нейтронов происходит
в основном до деления сильно возбужденных ядер.
Деление ядер, происходящее после предварительного испускания
нейтронов сильно возбужденным ядром, называют «эмиссионными де-
делением. По мере эмиссии нейтронов пороговая энергия деления умень-
уменьшается, а энергия связи нейтронов увеличивается. Когда энергия воз-
возбуждения оставшегося ядра сделается ниже энергии связи нейтронов
и выше пороговой энергии деления, вероятность процесса деления сильно
возрастет, и он будет успешно конкурировать с другими процессами (на-
(например, с испусканием у-квантов). Чем легче ядро, тем большей началь-
начальной энергией возбуждения оно должно обладать, чтобы только процесс
эмиссии нейтронов приводил к состоянию, в котором вероятность деле-
деления становится большой величиной. В тяжелых ядрах эмиссионное де-
деление конкурирует с делением ядра, находящегося в высоковозбужден-
высоковозбужденном состоянии. Исследование эмиссионного деления производилось в
ряде работ (см., например, [61, 62]). Исследованию особенностей де-
деления ядер при больших энергиях возбуждения посвящен ряд работ
Н. А. Перфилова, О. В. Ложкина, В. П. Шамова, Н. С. Ивановой и
др. (см., например, обзор Н. А. Перфилова [63]).
§ 33. Кинетическая энергия и угловое распределение
осколков деления
Средняя кинетическая энергия осколков деления ядра U235 медлен-
медленными нейтронами равна 167,1+2 Мэй. Средняя кинетическая энергия
осколков немного изменяется с изменением отношения масс примерно
так, как и следовало бы ожидать из оценки энергии кулоновского от-
отталкивания двух капель, если учесть поправку на эффект оболочек,
которая уменьшает полную энергию, выделяемую при симметричном
делении. Кинетическая энергия осколков сравнительно мало зависит от
энергии возбуждения делящегося ядра, так как излишняя энергия
обычно идет на возбуждение внутреннего состояния осколков. Как
известно, деление ядер сопровождается испусканием нейтронов. Спектр
быстрых нейтронов, испускаемых при делении U235 медленными нейтро-
нейтронами, изображен на рис. 42.
При спонтанном делении среднее число испускаемых нейтронов
возрастает с ростом массового числа примерно по линейному закону

154
АЛЬФА-РАСПАД И ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР
[ГЛ. V
(для Pu23e v=l,89, для Cf252 v=3,52). Среднее число испускаемых
нейтронов увеличивается также и при возрастании возбуждения
ядра [641 Измерения Фрезера [65] углового распределения нейтро-
нейтронов испускаемых ядром при делении, согласуется с предположением,
Рис. 4 2. Спектр быстрых нейтронов, испускаемых
при делении U235 медленными нейтронами.
что нейтроны испаряются из движущихся осколков. В среднем легкий
осколок испускает на 30°;0 больше нейтронов, чем тяжелый.^Время
между делением и испусканием нейтронов равно примерно 4-10 сек.
Каждый образовавшийся в процессе деления осколок имеет избы-
избыточное число нейтронов по сравнению с протонами. Поэтому каждый
осколок претерпевает в среднем около трех ^-распадов, пока не станет
стабильным. При делении U235 электроны, нейтрино и у-кванты уно-
уносят примерно 20 Мэв выделяемой энергии. Некоторые ^-распады
осколков в области заполненных оболочек дают дочерние ядра в столь
возбужденном состоянии, что они испускают нейтроны. Эти нейтроны
называются запаздывающими, так как время их испускания связано
с временем жизни соответствующего осколка по отношению к р-рас-
паду. Так, например, нейтроны с периодом 55 сек выделяются
при ^-распаде Вг87; нейтроны с периодом 22 сек выделяются при
C-распаде I137.
Представляет интерес исследование углового распределения оскол-
осколков деления по отношению к направлению движения частиц или у-кван-
тов, вызывающих деление. Впервые анизотропия в угловом распреде-
распределении осколков была установлена в работе Уинхолада, Дэмоса и Халь-
перна [66] при изучении фотоделения тория. Оказалось, что осколки
деления вылетают преимущественно под прямым углом к пучку у-лучей.
С точностью до ошибок эксперимента угловое распределение подчи-
подчиняется закону
а-И sin2 0. C3,1)

§ 33]
УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ОСКОЛКОВ ДЕЛЕНИЯ
155
Коэффициент анизотропии bja имеет наибольшее значение для энергии
фотонов, близкой к порогу деления, и убывает с увеличением энергии.
Анизотропия в угловом распределении осколков фотоделения U238 изу-
изучалась Лазаревой, Банником, Куликовой и Яковлевым [55,67].
Ъ/а
0.8
€,д -
0.4 •
0.2 •
1.0
-
-
"Ад у
Sb
/
/
i
8а.
/
Се
L
/
Вг
Л
г,о ■
f.o ■
и
1А
1.6 1.8
М2/М,
С
^
/ г"
1
\
1
/
%@1
1,0
0,5
0 12 2 4 5
8
Рис. 43. Коэффициент анизотропии
в угловом распределении осколков
фотоделения Тп232 вблизи порога
в зависимости от отношения масс
осколков.
6 7
L.M36
Рис. 44. Сечение деления и анизо-
анизотропия в угловом распределении
осколков деления ядра U238 нейт-
нейтронами.
Интересно, что угловая анизотропия разлета осколков деления ока-
оказалась тесно связанной с асимметрией их масс. На рис. 43 приведены
данные работы [68], в которой определялся коэффициент анизотропии
Ь';а для случаев деления на осколки с различными массами. Отношение
Ъ\а растет примерно линейно с увеличением отношения масс осколков.
Обнаружена анизотропия углового распределения осколков де-
деления, вызываемого быстрыми частицами. В этом случае преимуществен-
преимущественное направление разлета осколков совпадает с направлением движения
частиц, вызывающих деление. Угловое распределение симметрично
относительно 90° и выражается формулой
cos2
£ cos4 0.
В этом случае анизотропия углового распределения также возрастает с
увеличением отношения масс осколков.
В общем случае величина анизотропии углового распределения за-
зависит от типа делящегося ядра, отношения масс осколков и от энергии
налетающей частицы. Особенно резкая зависимость асимметрии углового

156
АЛЬФА-РАСПАД И ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР
[ГЛ. V
распредепения от энергии налетающей частицы наблюдается вблизи
о/@°) «
порога деления. На рис. 44 изображено отношение ^\щ3 КаК ФУНК~
ция энергии нейтронов в области порога деления U238. Пунктирной
линией на том же рисунке изображено эффективное сечение деления.
Как видно из рисунка, для энергий, превышающих порог деления на
несколько сотен кэв, анизотропия возрастает очень быстро и достигает
CrWoi
2,0
1,5
1,0
0,5
-
-
■ »
ш
r\of№°)
i \ 1
V
i t i 1
о,
DA
0,3
0,2
0,1
I 2
5 6
7 8 9 10
L.M36
Рис. 45. Сечение деления и анизотропия в угло-
угловом распределении осколков деления ядра Th232
нейтронами.
максимального значения при энергии нейтронов приблизительно
1,5 Мэв. Затем анизотропия уменьшается до почти изотропного
распределения при энергии 3,5 Мэв и медленно увеличивается при
дальнейшем возрастании энергии нейтронов. На рис. 45 представлено
отношение а @°)/аЛ90°) как функция энергии нейтронов при делении
Th232. В отличие от U238 угловая анизотропия при делении Th232
нейтронами резко возрастает сразу же после порога в области
энергий, соответствующих острому резонансу в сечении деления. При
этом в области резонанса осколки разлетаются в основном перпенди-
перпендикулярно к пучку нейтронов. При дальнейшем увеличении энергии нейтро-
нейтронов анизотропия обращается (максимум в направлении движения нейтронов)
и изменяется в дальнейшем так же, как и в случае деления U238: при
5 Мэв распределение почти изотропно, но при 6 Мэв снова резко воз-
возрастает. Выше 7 Мэв анизотропия уменьшается, но еще остается боль-
большой. Возможно, что уменьшение анизотропии при большой энергии
связано с увеличением вероятности симметричного деления. Экспери-
Экспериментальные данные об угловой анизотропии еще не полны, и дальней-
дальнейшее ее изучение представляет значительный интерес.
Теория углового распределения осколков деления развита еще очень
слабо. Представляет интерес работа В. М. Струтинского [69], который
без использования модельных соображений на основе только законов

§ 34] ОБОБЩЕННАЯ МОДЕЛЬ ЯДРА И ДЕЛЕНИЕ 157
сохранения моментов количества движения показал, что в случае бес-
бесспиновых осколков угловое распределение при фотоделении имеет мак-
максимум под углом 90°, а при делении нейтронами — под углом 0°. Это
различие связано с тем, что при захвате быстрого нуклона спин со-
составного ядра ориентируется преимущественно перпендикулярно к пучку.
В случае поглощения дипольных у-квантов вследствие поперечности
электромагнитных волн проекция момента количества движения на
направление движения равна Чг 1 > поэтому спин составного ядра ориен-
ориентируется преимущественно вдоль пучка. Поскольку при бесспиновых
осколках направление их разлета перпендикулярно к направле-
направлению орбитального момента количества движения, то это направление
должно составлять прямой угол с направлением спина составного ядра.
Таким образом доказывается высказанное выше утверждение.
Если спин ядра-мишени отличен от нуля, то угловое распределение
бесспиновых осколков становится более изотропным вследствие большей
изотропии в распределении спинов составного ядра.
Угловое распределение осколков, обладающих спином, зависит от
механизма деления.
§ 34. Обобщенная модель ядра и деление
Процесс деления ядра обусловлен коллективными движениями многих
нуклонов в ядре, характер которых существенно зависит от состояний
отдельных нуклонов в ядре. Теория деления должна учитывать как
коллективные, так и индивидуальные состояния нуклонов в ядре.
Поэтому естественно ожидать, что обобщенная модель ядра, в которой
учитываются коллективные и одночастичные состояния, может дать
более детальное объяснение явления деления, чем простая капельная
модель, которая не может даже объяснить несферическую форму основ-
основных состояний многих ядер. Применение обобщенной модели к описанию
качественных закономерностей при делении было осуществлено О. Бором
и Моттельсоном [70].
Форма всех делящихся ядер, находящихся в основном состоянии,
может быть описана уравнением
/? (в) = /г0 {1 + рвк,0 (в)}, C4,i)
где параметр р0 = 0,2 — 0,3. Деление ядра произойдет с заметной
вероятностью, если энергия возбуждения ядра, близкая к пороговой
энергии деления E—6 /Изб), сосредоточится на колебательной степени
свободы ядра, и ядро при колебаниях его формы перейдет через значе-
значение параметра р, соответствующее седловой точке на поверхности по-
потенциальной энергии. Таким образом, если возбуждение ядра не сильно
превосходит пороговую энергию, то в момент прохождения ядра через
критическую деформацию все степени свободы ядра кроме деформации,
соответствующей К20 F), не будут возбуждены. Другими словами,

158 АЛЬФА-РЛСПЛД И ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР [ГЛ. V
можно сказать, что ядро при прохождении седловой точки является
«.ХОЛОДНЫМ.).
Энергия колебаний поверхности тяжелых ядер равна 800—900 кэв,
что соответствует периоду колебаний х^ -^ 5-10~21 сек. Период коле-
колебаний частиц, соответствующих кинетической энергии ->- 20 Мэв, равен
т -^ 2.10~22 сек. Таким образом, возможно адиабатическое прибли-
приближение, при котором состояния нуклонов рассматриваются для каждого
фиксированного значения деформации В. Полная энергия Е ядра в этом
приближении будет функцией деформации, т. е. можно написать
Е = Е (В). Энергия деформации ядра, соответствующая изменению формы
80—»-В, будет равна
C4,2)
Энергия порога деления Кфк ) соответствует значению C4,2) при
критической деформации. Порог деления должен быть функцией состоя-
состояний нуклонов в ядре, форма которого соответствует критической де-
деформации.
Предположим, что при прохождении через критическую деформацию
ядро сохраняет аксиально-симметричную форму, подобную его форме
в основном состоянии. Тогда состояние при критической деформации
будет характеризоваться волновой функцией
6 = Ф C)^/^@,, 0„ 0а), C4,3)
где Ф (8) — волновая функция, определяющая колебания около «равно-
«равновесного» положения В ; ^определяет внутренние состояния нуклонов
ядра; DrMK — волновая функция, характеризующая ориентацию оси сим-
симметрии ядра в пространстве. Квантовое число J определяет полный
момент составного ядра; М — его проекцию на выделенное направление
в пространстве; К—проекцию на ось симметрии ядра.
Для четно-четных ядер в основном состоянии Si = /C=O, при этом
энергия
£/(Р) = г0Ф) + Л(р)/(У+1), C4,4)
где е0 — внутренняя энергия ядра; А($) — величина, зависящая от
деформации ядра. При деформациях, соответствующих основному со-
состоянию тяжелых ядер, А (80) ^ 7 кэв. При критических деформа-
деформациях А (Вк ) значительно меньше 7 кэв.
Следует, конечно, иметь в виду, что применение формулы C4,4)
для характеристики состояний ядра в области критических деформаций
имеет условный смысл, так как колебательное движение при крити-
критической деформации переходит в апериодическое и уровни энергии не
являются стационарными.
Четно-четные ядра в основном состоянии кроме аксиальной оси сим-
симметрии имеют центр симметрии. Учет свойств симметрии ядра (см. § 20)
приводит к тому, что в основном состоянии реализуются только четные

§ 34]
ОБОБЩЕННАЯ МОДЕЛЬ ЯДРА И ДЕЛЕНИЕ
значения 7=0, 2, 4,... При больших деформациях, приближающихся
к критическим значениям, ядро может не обладать центром симметрии.
При этом форма ядра уже будет описываться уравнением
<(') + а^о(°)}. <34'5>
где j3, a значения, соответствующие минимуму потенциальной энергии.
Естественно, что если потенциальная энергия имеет минимум при некото-
некоторой форме ядра, соответствующей определенному значению а, то этот же
минимум будет иметь и форма ядра, полученная из первой при зеркальном
отражении в плоскости, перпендикулярной к аксиальной оси симметрии.
При нарушении центра симметрии энергия ядра будет иметь вид
где добавочная энергия As пропорциональна частоте «туннельного» дви-
движения между указанными выше зеркальными формами ядра. Чем больше
асимметрия ядра, тем меньше частота такого движения, а следова-
следовательно, меньше и As. Энергетический спектр ядер, не обладающих
центром симметрии, должен содержать состояния с нечетным моментом,
имеющие отрицательную четность. Такие состояния наблюдаются при
возбуждении четно-четных ядер (см. § 23). Особенно низко располо-
расположены состояния 1 ~ у четных изотопов радия и тория. На рис. 46
33 34 35 35 37 38
Рис. 46. Асимметрия деления (верхняя кривая) и значение
энергии уровня 1~ (нижняя кривая).
приведены значения энергии уровня 1" для некоторых ядер. Там же при-
приведена величина f^'T^1) > характеризующая асимметрию деления,
вызываемого медленными нейтронами. Между изменением величины асим-
асимметрии деления и положением уровня 1" имеется определенная корреля-
корреляция: чем выше положение уровня 1", тем меньше асимметрия деления.

160 АЛЬФА-РАСПАД И ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР [ГЛ. V
У ядер с нечетным значением массового числа в основном состоянии
наименьшее значение К определяется проекцией момента количества
движения последнего нечетного нуклона в его низшем из возможных
состояний. При изменении деформации ядра одночастичные уровни
смещаются. При критической деформации нижайшее состояние нуклона
может соответствовать значению И*, не совпадающему с значением й
в основном состоянии ядра. При переходе от значения Ро к значению fi
надо затратить не только энергию, идущую на увеличение потенциальной
энергии деформации, но и энергию, соответствующую разности энергии
одночастичных состояний с проекциями спина Йо и й*.
Таким образом, согласно Уилеру [71] можно объяснить более
высокий барьер деления нечетного ядра по сравнению с барьером со-
соседнего четного ядра (на 0,5—1 Мэв). Это приводит к меньшей вероят-
вероятности деления нечетных ядер по сравнению с вероятностью деления
четно-четных ядер.
Перейдем к рассмотрению углового распределения осколков деле-
деления, вызываемого фотонами. Если фотоделение вызывает электрическое
дипольное излучение, то деление четно-четного ядра должно проходить
через промежуточное состояние с моментом, равным единице, и отри-
отрицательной четностью. Для энергии фотонов, близкой к пороговой,
имеется только одно состояние 1~, соответствующее АГ=О и вращению
ядра с У= 1. Естественно предположить, что направление разлета оскол-
осколков совпадает с направлением аксиальной оси симметрии ядра. Тогда угло-
угловое распределение осколков по отношению к направлению движения фо-
фотонов будет определяться пространственным распределением аксиальных
осей симметрии ядра и может быть согласно C4,3) записано в виде
da^) = A^\D\lQ\\ C4,6)
Если выбрать ось квантования вдоль направления движения фотона, то
М в C4,6) может принимать только значения 4^1. Тогда, учитывая
равенство
получим:
da F) -^ sin2 0. C4,6а)
Таким образом, в этом случае осколки разлетаются преимущественно
в направлении, перпендикулярном к пучку фотонов.
Если энергия фотона достаточна, чтобы возбудить более высоко
лежащие состояния типа 1~, соответствующие внутреннему возбужде-
возбуждению нуклонов (-^-1 Мэв) с /<"=1, то угловое распределение будет
определяться формулой
do (в) = А%\ &т12 = А{ | D'u |2 +1 DLltl I8}.

§ 34] ОБОБЩЕННАЯ МОДЕЛЬ ЯДРА И ДЕЛЕНИЕ 161
Пользуясь значениями функций DlMV приведенными в приложении },
получим:
Таким образом, в общем случае угловое распределение осколкоз при
фотоделении может быть представлено формулой
где отношение Ъ\а зависит от энергии возбуждения ядра.
Поскольку вращательные состояния типа 1 ~ соответствуют асим-
асимметричным ядрам, то угловое распределение типа C4,6а) должно иметь
место при асимметричном делении. При увеличении роли симметричного
деления уменьшается и угловая анизотропия. Таким образом, обобщен-
обобщенная модель дает естественное качественное объяснение связи между
угловой анизотропией и распределением осколков по массам.
При фотоделении нечетных ядер поглощение дипольного у-кванта
приводит к нескольким спиновым состояниям. Кроме того, квантовые
состояния в этом случае лежат ближе друг к другу, чем у четно-чет-
четно-четных ядер. Поэтому в этом случае даже вблизи порога фотоделение
может идти несколькими путями и нельзя ожидать определенной ани-
анизотропии. Эксперименты по фотоделению U235 подтверждают это ка-
качественное заключение.
При фотоделении четно-четных ядер, вызываемом поглощением
квадрупольных у-квантов без изменения квантового числа К, угловое
распределение должно иметь вид
При делении четно-четных ядер, вызываемом быстрыми нейтронами,
образуется составное ядро с различными значениями спина У. Выберем
ось квантования вдоль направления пучка нейтронов. Тогда в началь-
начальном состоянии проекция момента количества движения системы нейтрон
и ядро (на эту ось) может принимать только два значения Ч^/г* Эта
проекция является интегралом движения, поэтому составное ядро
с моментом У должно находиться в состоянии с J2 = -\-1j2. Если
спин У составного ядра больше х/2, то из неравенства У>>У2 сле-
следует, что спин составного ядра будет ориентирован преимущественно
перпендикулярно к юси пучка нейтронов. С другой стороны, в состоя-
состояниях ядра с моментом У, соответствующих малым значениям К (проек-
(проекция У на аксиальную ось симметрии ядра), аксиальная ось симметрии
также в основном перпендикулярна к моменту количества движения.
Таким образом, ось симметрии (следовательно, и направление разлета
продуктов деления) будет направлена в основном вдоль оси пучка ней-
нейтронов. Если состояния составного ядра с моментом У, предшествую-
11 А. С. Давыдов

162 АЛЬФА-РАСПАД И ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР [ГЛ. V
щие делению, имеют К ^ У, то аксиальная ось симметрии будет ориен-
ориентирована в направлении полного момента, т. е. под углом 90° к пучку
нейтронов.
Таким образом, если деление происходит через одно состояние
с моментом У, то продукты деления будут разлетаться либо в основ-
основном вперед (при /С<<У), либо под углом 90°, если K~^J- В общем
случае максимум в распределении продуктов деления будет опреде-
определяться из условия sin 0 ->—j .
Если мишень является четно-нечетным ядром (четное Z, нечет-
нечетное N), то составное ядро будет четно-четным, поэтому малым энер-
энергиям возбуждения будут соответствовать малые значения /С. В этом
случае направление аксиальной оси симметрии ядра при У > К является
сравнительно хорошо определенным и следует ожидать значительной
угловой анизотропии при малых значениях спина ядра-мишени, когда
ограничена и область изменения М. Малой угловой анизотропией дол-
должно обладать распределение продуктов деления нечетно-четных или
нечетно-нечетных ядер под действием нейтронов, когда отсутствуют
ограничения, налагаемые как на величину Мл так и на величину К-
Так, например, следует ожидать большой анизотропии у Ри239 (Уо = 1jz)
и меньшей анизотропии у ядра U235 (Уо = 7/2).
Если деление, вызываемое нейтронами, происходит через одно со-
состояние, имеющее полный момент У и его проекцию К на ось симметрии
ядра, то, используя для характеристики состояния составного ядра пе-
перед делением волновую функцию C4,3), получим аналитическое выра-
выражение для углового распределения
fs^SW- <34'7>
Формула C4,7) может быть сведена к сумме полиномов Лежандра,
если использовать равенство (см. приложение I, § Д)
1 ^ii/^ I" = S G» ^— Ж> ^ 1/0) (у> •/>— ^' ^1 /0> р/о (cos 6) • (—1)^-^.
Обозначая через G(JK) вероятность образования составного ядра в со-
состоянии Ж, можно выразить угловое распределение осколков при де-
делении, вызываемом нейтронами, с помощью формулы

ГЛАВА VI
ОСНОВЫ ТЕОРИИ БЕТА-РАСПАДА
§ 35. Нейтринная теория бета-распада
Большинство нестабильных ядер распадается, испуская электрон (или
позитрон) с соответствующим увеличением (или уменьшением) на еди-
единицу заряда ядра. Такой процесс называется электронным или пози-
тронным распадом в зависимости от того, испускается ли ядром элек-
электрон или позитрон. В некоторых случаях изменение заряда ядра проис-
происходит и при захвате одним из протонов ядра орбитального электрона.
Это явление носит название /(-захвата и будет рассмотрено в § 41.
Время жизни по отношению к C-распаду изменяется в очень ши-
широких пределах от сотых долей секунды до 1018 лет. Верхний предел
определяется только, возможностями экспериментального определения
времени жизни. С точки зрения обычных ядерных масштабов времени
время жизни ядра по отношению к ^-распаду можно считать беско-
бесконечно большим.
В результате экспериментального исследования явления ^-распада
было установлено, что:
1) электроны (позитроны) распада имеют непрерывный спектр
энергии с максимальной энергией, равной разности энергий между ма-
материнским и дочерним ядрами.
2) Хотя электрон (позитрон) уносит момент количества движения
k/2, моменты количества движения материнского и дочернего ядер отли-
отличаются на целое число К.
Кажущееся нарушение законов сохранения энергии и момента при
C-распаде было устранено гипотезой Паули, в которой постулировалось
существование нейтральной частицы нейтрино, обладающей полуцелым
спином и массой покоя, близкой к нулю. Согласно нейтринной гипотезе
энергия распада статистически распределяется между электроном и
нейтрино, которые возникают и испускаются одновременно при C-рас-
иаде. Энергия покоя нейтрино должна равняться разности между макси-
максимальной энергией электрона и полной энергией ядерного перехода.
Эксперимент показывает, что энергия покоя нейтрино в пределах оши-
ошибок опыта равна нулю (— ^Ю
V те
Л*

164 ОСНОВЫ ТЕОРИИ БЕТА-РАСПАДА [ГЛ. VI
Успех теории [3-распада, основанной на нейтринной гипотезе, а так-
также результаты опытов по исследованию ядер отдачи при р-распаде и
опытов по непосредственному воздействию нейтрино на нуклоны дали
прочное обоснование этой гипотезы. Реальность существования ней-
нейтрино в настоящее время не вызывает никаких сомнений.
Первое математическое описание явления C-распада, основанное на
нейтринной гипотезе, было сделано Ферми [1] в 1934 г. по аналогии
с теорией излучения. В дальнейшем, вплоть до 1956 г., эта теория
уточнялась многими исследователями без существенного изменения основ
теории, предложенной Ферми. Обзор работ этого периода по теории
{3-распада можно найти в статьях [2].
В 1956 г. был установлен факт несохранения четности при слабых
взаимодействиях, ответственных за явление C-распада. В результате
этого интерес к явлению р-распада значительно повысился как со сто-
стороны экспериментаторов, так и теоретиков. В 1957 г. появилось боль-
большое число экспериментальных работ, которые подтвердили несохранение
четности в явлении [3-распада, однако в связи с уточнением методики
эксперимента выяснилось, что некоторые из ранее выполненных работ
не имели достаточной точности, поэтому их результаты не согласова-
согласовались между собой. Нет сомнения, что в ближайшее время главные
закономерности явления C-распада будут найдены.
В этой главе мы рассмотрим только основы теории C-распада. Вна-
Вначале будем предполагать, что четность сохраняется при [3-распаде, а
затем рассмотрим, как следует изменить теорию, чтобы учесть несо-
несохранение четности.
Для построения теории C-распада прежде всего необходимо устано-
установить вид оператора взаимодействия Н' между нуклонами и электрон-
электронно-нейтринным полем. Малая величина взаимодействия нуклонов с элек-
электронно-нейтринным полем позволяет проводить исследование по методу
теории возмущений в первом борновском приближении. В этом случае
вероятность C-распада в единицу времени выражается непосредственно
через матричный элемент оператора взаимодействия и волновые функ-
функции начального (а) и конечного (Ь) состояний:
\(b\H'\a)\*9(E), C5,1)
где р (Е) определяет число конечных состояний на единичный интервал
энергии.
Для конкретного выбора оператора взаимодействия И' электрон-
электронно-нейтронного поля с нуклонами следует учесть, что процесс
электронного C-распада состоит в превращении одного нейтрона яд-
ядра в протон с испусканием электрона и антинейтрино, а процесс
позитронного C-распада состоит в превращении протона в нейтрон
с испусканием позитрона и нейтрино.
Процессы, в которых происходят взаимопревращения частиц, тео-
теоретически удобно описывать с 'помощью формализма вторичного кван-

§ 35] НЕЙТРИННАЯ ТЕОРИЯ БЕТА-РАСПАДА 165
тования. В методе вторичного квантования состояния системы опреде-
определяются функциями, в которых роль независимых переменных играют
числа частиц в определенных состояниях (числа заполнения). Волновые
функции частиц ф и ф" рассматриваются как операторы, действующие
на функции от чисел заполнения. Оператор ф+ называется оператором
рождения, так как его действие на функцию чисел заполнения сво-
сводится к увеличению числа частиц в определенном состоянии на еди-
единицу. Оператор ф называется оператором уничтожения, так как его
действие на функцию чисел заполнения сводится к уменьшению числа
частиц в определенном состоянии на единицу.
Протоны, нейтроны, электроны, позитроны, нейтрино и антинейтрино
имеют спин х/2 и описываются уравнением Дирака. При этом элек-
электрон — позитрон и нейтрино — антинейтрино образуют пары зарядово-
сопряженных частиц. В теории вторичного квантования показывается,
что рождение частиц эквивалентно уничтожению античастиц и наоборот,
поэтому процесс электронного ^-распада
e-\- v,
состоящий в превращении нейтрона в протон, электрон и антинейтрино»
можно рассматривать как уничтожение нейтрона, описываемого опера-
оператором фп, и нейтрино, описываемого оператором ф,,, и рождение элек-
электрона и протона, описываемых соответственно операторами фе+ и фрт .
Таким образом, оператор Н' процесса электронного ^-распада должен
содержать операторы:
Ф, Ф„ф! Ф,.
Оператор И' процесса позитронного (В-распада должен содержать соот-
соответственно операторы
ф! % ф! Ф,-
Для отыскания явной зависимости оператора взаимодействия элек-
электронно-нейтринного поля с нуклонами от указанных выше операторов
рождения и уничтожения частиц исходят из требования релятивистской
инвариантности, инвариантности относительно обращения времени, ин-
инвариантности относительно зарядового сопряжения и закона сохранения
четности. Тогда, предполагая, что оператор И' содержит только опе-
операторы ф и ф+, а не их производные *), можно записать Н' в виде
линейной комбинации пяти элементарных взаимодействий:
И'= %С;Н( = С5Н3-\-СуНу+СтНт+САНд + СрНр, C5,2,
i =i
5
где ]£] С/=1, а элементарные взаимодействия выражаются через
i
*) Попытки введения производных от волновых функций легких частиц [3]
привели к результатам, не согласующимся с экспериментом [4].

166 ОСНОВЫ ТЕОРИИ БЕТА-РАСПАДА [ГЛ. VI
обычные матрицы Дирака а=(а17 а,, а3), р, Ys==^aia2a8 следующи-
следующими равенствами:
Hs = g J {(ф* рфя) (ф* рф,) + (ф! Рфр) (ф!рф,)} rfx, C5,3а)
Л, C5,36)
с.}Л, C5,3в)
}Л, C5,3г)
C5,3д)
Интегрирование в C5,3а) — C5,Зд) производится по области изме-
изменения пространственных координат, от которых зависят все функции ф.
Величина g характеризует интенсивность взаимодействия электронно-
нейтринного поля с нуклонами. Значение этой величины выбирается из
сравнения теории с экспериментом (см. ниже § 37). Постоянные Ct в
C5.2) определяют относительную роль различных взаимодействий
C5.3) в операторе И' общего взаимодействия. Буквами э. с. в C5,36) —
C5,Зд) обозначены члены, эрмитовски сопряженные выражениям, стоящим
в квадратных скобках. Эти члены соответствуют р-распаду с испуска-
испусканием позитрона и нейтрино.
Элементарные взаимодействия C5,3а) — C5,Зд) называются соот-
соответственно скалярным, векторным, тензорным, псевдовекторным
(или аксиальным) и псевдоскалярным взаимодействиями. Эти названия
отражают законы преобразования выражений, относящихся либо к ну-
нуклонам, либо к легким частицам*).
Скорость нуклонов в ядре примерно на порядок меньше скорости
света, поэтому движение нуклонов можно рассматривать в нереляти-
*) Пользуясь приложением lit § М и О, можно, например, показать, чго
взаимодействие C5,3а) строится из произведения скаляра <№ьп, составленного
из функций тяжелых частиц, и скаляра <|^8^, составленного из функций лег-
легких частиц. Взаимодействие C5,36) является, скалярным произведением че-
четырехмерного вектора тяжелых частиц Ф^чуФя на четырехмерный вектор
Фе?7гк> легких частиц:
4 t + , + )+ f + +
1 = 1 Р Р Р в Р
Взаимодействие C6,3в) образуется из произведений соответствующих тензор-
тензорных величин:
2
(Ф !Р*Ю -г-

§ 36] ПРАВИЛА ОТБОРА И ФОРМА БЕТА-СПЕКТРА РАЗРЕШЕННЫХ ПЕРЕХОДОВ 167
вистском приближении и пренебречь в C5,3) всеми членами, содержа-
содержащими матрицы а и y5i действующие на нуклонные функции, так как
среднее значение операторов о и ]5 равно отношению скорости нукло-
нуклонов в ядре к скорости света. Таким образом, в нерелятивистском при-
приближении (по нуклонам) остаются только взаимодействия:
*№. C5,4a)
Hv=S J [(ф}ф«) (ЙО + э. с] rft, C5,46)
ит = 8 \ [Ф вфв)(ф1Р«|>,) + э. с.]</т, C5,4b)
И а = g ] [(ф> фв) (ф! J ф,) + э. с] dx. C5,4г)
Волновые функции нейтрино можно выбрать в виде, плоских волн
(j>v = uv ехр {/дт}. Если не учитывать действия электрического поля
ядра на электрон, то волновые функции электрона тоже можно запи-
записать в виде плоских волн фе = меехр (ikr). Тогда все подынтеграль-
подынтегральные выражения C5,4) будут содержать множитель ехр {—i{k—Я) г).
Обычно при C-распаде \k — <7|^<<1, поэтому можно разложить экс-
экспоненту в ряд
ехр{— /(* — q)r} = \— i{k — q)r — \[{k — ^)r]2 + ... C5,5)
и в первом приближении ограничиться первым членом разложения. Ве-
Вероятность ^-распада,. вычисленная в этом приближении, соответствует
так называемым разрешенным ^-переходам.
Если вследствие определенной симметрии волновых функций матрич-
матричные элементы C5,4а—35,4г) при замене разложения C5,5) единицей
равны нулю, а учет второго члена этого разложения приводит к зна-
значению, отличному от нуля, то говорят, что соответствующий ^-рас-
пад является однократно запрещенным (запрещение первого порядка).
Если отличный от нуля результат дает только третий член разложения
C5,5), то говорят о двукратно запрещенном (запрещение второго
порядка) C-распаде и т. д.
К запрещенным переходам обычно относят и случаи, когда отличны
от нуля только релятивистские матричные элементы, содержащие
матрицы а и у5» действующие на нуклонные волновые функции.
§ 36. Правила отбора и форма бета-спектра разрешенных
переходов
Рассмотрим теперь более подробно разрешенные ^-переходы. Как
уже указывалось в предыдущем параграфе, разрешенные переходы
соответствуют случаю, когда можно заменить ex.p{i(q — k) r) едини-
единицей; с физической точки зрения эта замена означает, что электрон и

168 ОСНОВЫ ТЕОРИИ БЕТА-РАСПАДА [ГЛ. VI
нейтрино не уносят с собой орбитальный момент количества движе-
движения (/ = 0). Так как электрон и нейтрино обладают спином '/8,
то они могут испускаться в двух спиновых состояниях: синглетном и
триплетном. Следовательно, полный момент количества движения, уно-
уносимый электроном и нейтрино, может быть равен только нулю или
единице.
Рассмотрим матричные элементы, относящиеся к нуклонным волно-
волновым функциям. Матричные элементы, содержащие скалярное C5,4а) и
векторное C5,46) взаимодействия, которые принято сокращенно обо-
обозначать символами \ р и \ 1, соответствуют внутриядерным перехо-
переходам без изменения четности и момента количества движения. Такие
переходы, следовательно, должны сопровождаться испусканием элек-
электрона и нейтрино с антипараллельными спинами и с орбитальными мо-
моментами, равными нулю. Правила отбора: ДУ=0 и четность не ме-
меняется (для случая скалярного или векторного взаимодействия) — носят
название правил отбора Ферми.
Матричные элементы, относящиеся к нуклонным волновым функциям,
содержащие тензорное C5,Зв) и псевдовекторное C5,Зг) взаимодейст-
взаимодействия, принято сокращенно обозначать символами \ р <J и \ J. Эти мат-
матричные элементы приводят к внутриядерным переходам без изменения
четности и с изменением момента количества движения ДУ=Ч^1 или
0 (при исключении переходов 0—0). Правила отбора, соответствующие
тензорному и псевдовекторному взаимодействиям, называют правилами
отбора Гамова — Теллера. В этом случае испускаются электрон и
нейтрино с параллельными спинами.
При ^-распаде энергия распределяется между тремя частицами:
электроном, нейтрино и ядром. Вследствие большой массы ядра полу-
получаемая им энергия (энергия отдачи) ничтожно мала. Поэтому можно
приближенно положить, что энергия перехода Е распределяется только
между электроном и нейтрино:
£=£ + sv. C6,1)
Для определения вероятности ядерного перехода с испусканием элек-
электрона и нейтрино надо вычислить число конечных состояний, соответ-
соответствующих испусканию электрона с импульсом ре в интервале импульсов dpe
и телесных углов dQe и испусканию нейтрино в телесном угле а?Йч при
условии выполнения закона сохранения энергии C6,1). Согласно основ-
основному предположению Ферми о статистическом распределении энергии
между нейтрино и электроном, учитывая, что при нулевой массе ней-
нейтрино ev==cpv, для числа конечных состояний можно написать:
dQe dQje dp Д « (£ - е - ср.) pldp, pedpe{E - if
() л JdQ Л

§ 36] ПРАВИЛА ОТБОРА И ФОРМА БЕТА-СПЕКТРА РАЗРЕШЕННЫХ ПЕРЕХОДОВ 169
Принимая во внимание, что pedpe — —r-, имеем окончательно:
р (£)dc —
C6,2)
С помощью C5,1) — C5,4) и C6,2) после интегрирования по направ-
направлениям вылета электронов и нейтрино и суммирования по всем их со-
состояниям поляризации получим вероятность разрешенного перехода с
испусканием электрона в интервале энергий z,
где ре =-|
Л = 2
L U
. C6,3а)
В нерелятивистском приближении среднее значение оператора [J рав-
равно у\—(f/cJ =5= 1, поэтому при получении C6,3) мы положим:
Функция F(Z, s), входящая в C6,3), учитывает поправку на кулонов-
ское взаимодействие электрона и ядра. Она равна единице для малых
зарядов ядра и больших энергий электрона, так как в этом случае волно-
волновая функция электрона мало отличается от плоской волны. С хорошей
точностью [5] можно положить F(Z,e) равной значению на поверх-
поверхности ядра квадрата модуля волновой функции электрона (или пози-
позитрона) в кулоновском поле ядра, нормированной к единице на беско-
бесконечности. Тогда
= /'
\Т~с
электР°на'
R — радиус
7ег
и ri = — ^—для
ядра, k — волно-
волнопозитрона, Z — заряд конечного ядра,
вое число электрона.
Выражение C6,3) определяет распределение испускаемых электро-
электронов по энергии (форма ^-спектра). Обычно при интерпретации эксие-

170 ОСНОВЫ ТЕОРИИ БЕТА-РАСПАДА [ГЛ. VI
риментальных данных определяют зависимость от энергии следующего
выражения, получаемого из C6,3):
.. / dP{i) ._, v -I/\
где
Кривая, изображающая зависимость левой части равенства C6,4) от
энергии электрона, носит название «графика Кюри» или «графика
Ферми». Графики Кюри, построенные по экспериментальным данным
для разрешенных переходов [6], изображаются прямой линией. Это
указывает, что в C6,4) можно положить А = 0. Другими словами,
для согласования с экспериментальными данными следует положить
CsCv=CTCA = 0. C6,5)
Равенство C6,5) указывает, что отсутствуют интерференционные эф-
эффекты (фирцевские [7] члены) между взаимодействиями, относящи-
относящимися к одинаковым нуклонным матричным элементам. Интерферен-
Интерференционные эффекты между взаимодействиями, относящимися к разным
матричным элементам 11 и \ J, отсутствуют вследствие того, что
среднее значение произведения матричных элементов < \ 1 • \ j> рав-
равно нулю.
Для выполнения C6,5) необходимо, чтобы при матричном элементе
\ 1 2 равнялся нулю либо коэффициент Cs либо Су, а при матрич-
матричном элементе \ а должен равняться нулю либо коэффициент Ст,
либо СА. Следует, однако, отметить, что наиболее точные данные
относятся к случаям переходов, удовлетворяющим правилам отбора
Гамова — Теллера, при которых матричный элемент \ 1 равен нулю.
Поэтому из равенства Л = 0 следует для этих переходов, что
СтСА = 0. Энергетические распределения электронов в переходах
0 —► 0, соответствующих правилам отбора Ферми, известны очень
плохо. Поэтому для оценки произведения C}jCs приходилось исполь-
использовать данные о средних временах перехода. На основе таких данных
Гергарт и Шер [8.9J показали, что
В дальнейшем будем предполагать справедливость соотношения C6,5).

§ 37] ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНСТАНТ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В БЕТА-РАСПАДЕ 171
§ 37. Определение констант взаимодействия в бета-распаде.
Разрешенные переходы разных типов
В теории C-распада предполагается, что постоянные Cs, Cv, Сг и
Сд для всех ядер одинаковы, так как они характеризуют взаимодейст-
взаимодействие нуклонов с электронно-нейтринным полем. Индивидуальные же
особенности ядер проявляются в значениях матричных элементов
Q и МА=
Таким образом, постоянные С{ можно определить, изучая отдельные
примеры C-распада. В § 36 было указано, что исследование формы
спектров разрешенных (^-переходов приводит к заключению, что должны
выполняться равенства
CSCV=CTCA = O. C7,1)
Условия C7,1) выполняются, если две из четырех постоянных равны
нулю. Для выяснения вопроса, какие постоянные Ci равны нулю, можно
использовать данные о корреляции направлений вылета электронов и
нейтрино при ^-распаде.
Если не производить интегрирования по всем направлениям вылета
электронов и нейтрино, то вероятность C-распада будет содержать
квадраты матричных элементов от волновых функций легких частиц.
В приложении III, § Н показано, что матричные элементы разрешен-
разрешенных р-переходов, усредненные по спиновым состояниям легких частиц,
соответственно равны
2<|даф,)|'>с„нн=1+7-со80, (V)
2 < I №*h) Г > с„и„ = 1 "f ^ cos О, (Г)
2 < I ('« <%) Г > emm = 1 - £ cos 0. (А)
Учитывая эти результаты, получим, что вероятность ^-распада с
испусканием электрона и нейтрино в направлениях, составляющих
угол 0 между собой, пропорциональна
V
с
где
1-j-a —cos6, C7,2)
C7,3)

172 ОСНОВЫ ТЕОРИИ БЕТА-РАСПАДА [ГЛ. VI
Из C7,2) следует, что при усреднении по всем направлениям вы-
вылета нейтрино анизотропия в распределении направлений вылета элек-
электронов исчезает. Таким образом, если не фиксировать направления от-
отдачи ядра, которое связано с направлениями вылета электронов и
нейтрино, то угловое распределение электронов в разрешенных ^-пере-
^-переходах будет изотропным. Если значение а положительно, то из C7,2)
следует, что электрон и нейтрино разлетаются преимущественно в
одном направлении; если же а отрицательно, то электрон и нейтрино
разлетаются преимущественно в противоположных направлениях. Угло-
Угловая корреляция направлений вылета электрона и нейтрино пропорцио-
пропорциональна произведению величины а на отношение скорости электрона
к скорости света, поэтому при уменьшении скорости электрона до
нуля угловая корреляция исчезает.
Угловую корреляцию между направлением вылета электрона и
нейтрино определяют путем измерения направления вылета электрона
и импульса ядра, получающегося при распаде. Сделав такие измере-
измерения для ^-распада Не6, Растад и Раби [10] показали, что коэффициент
угловой корреляции а.заключен в пределах 0,325 < а < 0,340. [3-рас-
пад Не6 (Не6—* Li7 —j— р —}— v) относится к разрешенному типу и соот-
соответствует переходу J=\—»У=0 без изменения четности [11]. Сле-
Следовательно, для этого перехода \ 1 = 0, и согласно C7,3) коэф-
коэффициент угловой корреляции а должен равняться -+: -тг • Знак плюс
О
отвечает случаю СА=0, знак минус Сг=0. Приведённое выше экс-
экспериментальное значение а указывает, что реализуется случай СА = 0.
Другими словами, взаимодействие нуклона с электронно-нейтринным
полем, приводящее к правилам отбора Гамова—Теллера, соответствует
только тензорному взаимодействию. В последнее время, однако, появи-
появились сомнения в точности указанного выше экспериментального значе-
значения а для C-распада Не6. Поэтому заключение о том, что СА = 0>
нельзя считать окончательным, тем более, что имеются эксперимен-
экспериментальные указания на равенство нулю постоянной Ст.
Угловые корреляции между вылетом электрона и нейтрино изме-
измерялись также при исследовании C-распада Ne19. При этом разными
авторами были получены следующие значения:
а— — 0,8+0,4 (Альфорд и Гамильтон [12], 1954),
а = 0,21 4-0,08 (Максон, Аллен и Ентчке [13], 1955),
<х= — 0,15 Чз 0,2 (Альфорд и Гамильтон [14], 1957),
а = 0,14±0,13 (Гуд и Лауер [15], 1957).
Р-распад Ne19 соответствует переходу -^ —► у, поэтому оба
матричных элемента J1 и U могут быть отличными от нуля. Введя

§ 37] ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНСТАНТ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В БЕТА-РАСПАДЕ 173
обозначение х== -^—L из C7,3) получим:
1 Г2 4- v(r2 r2^
а=—-о~—,- л9 .—^тг~, если С* = 0;
«=
Таким образом, в зависимости от величины х коэффициент а должен
заключаться в пределах:
— Ka<-i-, если CA = CV=O; (a)
у^а<1, если СД = С5 = О; (б)
— у^а<1, если CT = CS = O; (в)
— 1<а<— — , если Cr = Cv=0. (г)
Приведенные выше экспериментальные значения а для случая р-рас-
пада Ne19 исключают только случай CA = CS = O. Если положить,
как это обычно делалось ранее, на основе экспериментов с Не6, что
Сл = 0, то тогда следует положить Cv=0. Таким образом, предпо-
предполагалось, что явление р-распада обусловлено только скалярным и тен-
тензорным взаимодействиями.
Для выяснения вопроса о том, какая из постоянных: Cs или Cv,
равна нулю, можно было бы использовать ^i-распады только с фер-
миевскими правилами отбора, так как они не содержат постоянных
Ст, Сд. Разрешенные ^-распады, удовлетворяющие только правилам
отбора Ферми, должны наблюдаться при переходах 0 —»■ 0 без изме-
изменения четности. К переходам такого типа относится [16, 17] позитрон-
ный 3-распад О14 на возбужденный B,3 Мэв) уровень N14 и три по-
зитронных распада [18]:
Al26—Mg26+^+v.
К сожалению, во всех этих случаях измерения угловой корреляции вы-
вылетающих легких частиц значительно более сложны, чем в случае
{3-распадов ядер инертных газов Не6 и Ne19, и пока еще не произведены.
Итак, имеющиеся экспериментальные данные по угловым корреля-
корреляциям не позволяют сделать однозначный вывод о значении постоян-
постоянных С5, Cv, Ст и СА. До последнего времени принималось, что
CA = CV=O. В этом случае вероятность испускания электрона

174 ОСНОВЫ ТЕОРИИ БЕТА-РАСПАДА [ГЛ. VI
с энергией е в интервале ds определяется формулой
где /? = -г, gs = s
Если окажется, что CS-=CT=O*), то в формуле C7,4) следует
заменить gs на gv=-gCv и положить R = —^«
Интегрируя C7,4) по всем энергиям испускаемого электрона, на-
находим полную вероятность ^-распада, а следовательно, и период полу-
полураспада (т):
(llS ) C7'5)
где
/(Z, £) = (тс2) J f (Z, £)(£ —sJ(c2 —mV)£fifs C7,5a)
— безразмерная функция Ферми, зависящая от заряда ядра и от мак-
максимальной энергии электрона.
Период полураспада разрешенных ^-переходов очень сильно зави-
зависит от энергии перехода Е. При малых зарядах ядра /(Z, Е) -^- £7,
если Е^>отсг. Поэтому время жизни разрешенных переходов изме-
изменяется в очень широкой области и не может служить прямой характе-
характеристикой разрешенных переходов. Более характерной величиной, опре-
определяющей свойства ^-переходов, является произведение t/(Z, E). Из-
C7,5) следует
7ГУ C7>6>
где D — универсальная постоянная, зависящая от константы связи
Csg2 = g$ и имеющая размерность времени
^ C7,7>
Для определения численного значения постоянной D удобно использо-
использовать C-распад, происходящий без изменения спина и четности @+ —>-0+).
В этом случае за переход ответствен только матричный элемент \ 1 и
. Измеряя период полураспада и максимальную энергию
*) Согласно последним данным эти значения наиболее вероятны. Соснов-
ский, Спивак и Добрынин показали, что векторное и псевдовекторное взаимо-
взаимодействие входят в C5,2) с разными знаками. При этом Сд = —A,25^:0,04N'^.

§ 37] ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНСТАНТ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В БЕТА-РАСПАДЕ 175
электронов, можно, оценив значение
вычислить D. Такие из-
измерения были проделаны Гергартом [17] для ^-перехода 0+—»-0 + ,
происходящего при ^-распаде О14—>-N*14. Полагая \1 =2 (см.
ниже), он нашел D =6550-1- 150 сек. Тогда из C7,7) имеем:
gs = 1,374±0,016-109 эрг-см3.
Из C7,6) следует, что произведение периода полураспада и без-
безмерной функции Ферми, зависящей от максимальной энергии электро-
электрона, должно быть постоянным (с точностью до постоянства (I \ I -f-
~\-R\ \o\ ) для всех разрешенных переходов. Опыт подтверждает
это правило, несмотря на то, что в отдельности время полураспада и
/(Z, Е) при разрешенных переходах могут отличаться до Ю9 раз.
Значение-ядерных матричных элементов, входящих в C7,6), зави-
зависит от волновых функций нуклонов в ядре и может быть вычислено
только в случае некоторых легких ядер. В частности, можно вычис-
вычислить матричный элемент \ 1 для ^-распадов, сопровождающихся
переходом одного из пары зеркальных ядер в другое, если воспользо-
воспользоваться представлением о зарядовой независимости ядерных сил.
Операторы (№б$п), входящие в ядерные матричные элементы,
при ^-распаде «превращают» нейтрон в протон. Другими словами, они
изменяют значение проекции Тг изотопического спина ядра, не меняя его
абсолютной величины. Из условия постоянства полного изотопического
спина Т ядра при переходах с матричным элементом ^ 1 следует равенство
(с точностью до небольших кулоновских поправок) волновых функций
начального и конечного ядра. В этом случае, как показал Вигнер [19]:
где Т" и Тд — проекции изотопического спина для начального и ко-
конечного ядра соответственно. Например, при T=lj2, Т* = zb'/j»
T(^) = ±1lt получим |Jl|2 = l. При 7=1, Tf = ±\, 7CK) = 0 по-
получим \\ 1 =2. В частности, при р-распаде О14—>N*14 G=1) пере-
переход соответствует Га = —1—>Т3=0, поэтому \ 1 =2, что и было
использовано выше при вычислении D.
Вычисление матричного элемента ^ в обычно базируется на пред-
представлении о ядерных оболочках. В случае распада нейтрона оценка
матричного элемента наиболее точна: \ а =3. Если далее учесть,

176
ОСНОВЫ ТЕОРИИ БЕТА-РАСПАДА
[ГЛ. VI
что для нейтрона |Jl|* = l и значение т/= 1260 ±200 [20]*), то
6550 + 150 , осп . опп
из равенства —i л- 3/? ' ~ 1^60^200 можно получить оценку для
^__ ] 37 -Ь- 0,40, т. е. с точностью до знака определить и вторую
постоянную C-распада: gy = ± ЯКgj • Оценка величины матричных
элементов К а I может быть сделана и для переходов между основ-
основными состояниями зеркальных ядер, имеющих заполненные оболочки
нейтронов и протонов с одним избыточным или недостающим нуклоном,
так как эти переходы с хорошим приближением можно рассматривать
полученные на ос-
оскак одночастич ные. Используя оценки для ^ J
нове одночастнчного приближения, Финкельштейн и Мосцковский [21]
определили значения R для нескольких ^-переходов, у которых наи-
наиболее хорошо известны значения т/(Н3—>Не3; О15—»N15; F17—Ю 17).
Такой же анализ возможных значений R произведен Я. А. Смородин-
ским [22], который пришел к заключению, что для величины R можно
принять значение, равное 1,7. Пользуясь этим значением R, условием
d _|_ Ст = Cs (I -f- Я)= 1 и значением gs = Csg= 1,374• 10~49 эрг • см',
можно получить значение постоянной р-распада g-=2,26« \0~i9эрг-см3.
Сводки значений т/ для разных ^-распадов даны в работах [23].
Наименьшее значение т/ имеет группа легких ядер (А < 43), в кото-
которых переход происходит между основными состояниями зеркальных
ядер. В таблице 23 приведены некоторые случаи C-распадов, для ко-
которых значения lg10 (т/) заключены в пределах от 2,9 до 3,7. C-пере-
ходы, соответствующие таким значениям lg10 (т/), носят название об-
облегченных или сверхразрешенных ^-переходов.
По-видимому, ядерные матричные элементы в случае облегченных
^-переходов имеют наибольшее значение, так как волновые функции
материнского и дочернего ядер, соответствующие состояниям, принад-
принадлежащим одному зарядовому мультиплету, почти одинаковы.
Таблица 23. Значения т/для облегченных ^-переходов
[^-переход
я, —"Н1
Н3 —*Не3
Be7 —^Li7
N13 —>CU
He8 —>Li5
F18 —»■ O18
Ne13—> F19
C" —*B"
Состояния ядер
Sl,a —*ji/a
S4t * SlC
рз/а —► p»/a
РЧ» —*P4*
SS, —* 3S,
(Ф 2)s —*-{dii )s
P3',2 *P3l2
3, 1
3,05
3,36
3,67
2,92
3,57
3,29
3,09
*) В последнее время Сосновский, Спивак и Добрынин произвели более
точные измерения времени жизни нейтрона и нашли, что т / = 1170 zt 35.
Тогда R =1,55 ±0,08.

§ 37] ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНСТАНТ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В БЕТА-РАСПАДЕ
177
К нормальным разрешенным переходам относятся переходы,
удовлетворяющие правилам отбора Гамова — Теллера или Ферми, с значе-
значениями lglo(x/), лежащими в интервале 4,1—5,8. В таблице 24 приве-
приведены значения lg10 (x/) для некоторых нормальных разрешенных ^-пе-
реходов.
Таблица 24. Значения -f для некоторых нормальных
разрешенных ^-переходов
Р-переход
N12
Ne23
Zn69
Se81
Те127
Sn121
—>-C12
—>Na23
—>Ga69
— Br81
-+In127
— Sb'»
Состояния ядер
Pi- —+P3:
dj,2 >D:r
Pu —* О!'
Pu * О* 2
rf3o—*■ ds,^
Igio Ы)
4,1
5,09
4,37
4,72
5,66
5,00
Оболочечная модель ядра очень полезна для классификации р-пе-
реходов, так как она позволяет в некоторых случаях по спинам ядер,
участвующих в переходе, установить четность и конфигурацию соот-
соответствующих состояний. Однако для получения количественных данных
нужна более детальная теория. Теория оболочек не может, например,
объяснить большое различие значений т/для облегченных (т/ -ч. 2-10s)
и нормальных (т/^-105) ^-переходов. Для иллюстрации этой трудно-
трудности рассмотрим два ^-перехода, происходящие между одинаковыми со-
состояниями нуклонов. Первый переход Ne19—*F19 соответствует преоб-
преобразованию внешних нуклонных оболочек ядер:
(I)
Второй переход О19 —> F19 соответствует преобразованию внешних обо-
оболочек
(И)
С точки зрения оболочечной модели матричные элементы переходов
(I) и (II) не могут существенно отличаться друг от друга.
п
*?,
р
<
п
' 2
Р
п
' 2
р
п
' 2
Р
12 А. С. Давыдов

178 ОСНОВЫ ТЕОРИИ БЕТА-РАСПАДА [ГЛ. VI
Опыт же показывает, что значение т/ в переходе Ne19—>F19 равно
103'29, а в переходе О19—>F19 оно становится равным -^Л0б>57. По-
видимому, во втором переходе более существенно искажаются состояния
всех нуклонов.
Наконец, к третьему типу разрешенных переходов относятся пе-
переходы, удовлетворяющие правилам отбора: ДУ=0, 4^1, четность не
меняется, — имеющие, так же как облегченные и нормальные, харак-
характерную форму спектра разрешенных переходов, но соответствую-
соответствующие значениям 1^10(т/) = 6 — 7. На основе оболочечной модели ядра
было установлено, что эти переходы сопровождаются изменением
орбитального момента нуклонов. Например, р-распад С14—>N14 со-
соответствует переходу So—>D1} ^-распад Si31 соответствует переходу
йз,2—,>S\h, Zn65 — переходу/5/2—>рз/2 и т. д. Такие переходы получили
название затрудненных или l-запрещенных переходов.
§ 38. Запрещенные бета-переходы
Матричные элементы \ 1 и \ а, определяющие правила отбора раз-
разрешенных ^-переходов, равны нулю, когда не выполняются условия:
ДУ = 0, 4^1, четность не меняется. В этом случае надо учитывать
матричные элементы, возникающие от членов, отброшенных при раз-
разложении в ряд волновых функций легких частиц, и членов, содержащих
скорость нуклонов. Порядок величины таких матричных элементов зна-
значительно меньше порядка величины отличных от нуля матричных эле-
элементов С 1 и \ а, и соответствующие им перекоды называются запре-
запрещенными переходами.
Предположим, что р-распад определяется (/г —|— 1 )-м членом
разложения электронно-нейтринной функции ехр {—i (k—Q)r). Тогда
вероятность ^-распада будет определяться матричными элементами:
^-переходы, соответствующие матричным элементам ай и (Зл, называются
п-кратно запрещенными. Матричному элементу аи соответствуют
скалярное и векторное взаимодействия и правила отбора | \J | ^ n с
изменением четности, если п нечетное. Матричному элементу $п со-
соответствует тензорное и псевдовекторное взаимодействия и правила
отбора | ДУ | <; я-f~ 1 с изменением четности, если п нечетное.
fi-переходы с правилом отбора |ДУ| = я-{-1 и изменением четности
при п нечетном получили название уникальных (unique) запрещенных
переходов. В настоящее время установлено, что многие запрещенные
р-переходы относятся к типу уникальных переходов.
Из вида матричного элемента $п следует, что выражение для ве-
вероятности уникальных я-кратно запрещенных ^-переходов, усредненное

§ 38] ЗАПРЕЩЕННЫЕ БЕТА-ПЕРЕХОДЫ 179
по всем направлениям вылета электронов и нейтрино, будет содержать
«множитель формы» спектра
Sa(s) = <\k — q\M>. C8,1)
Значения Sn (е) для п — 0, 1, 2 следующие: 50=1, Sx=k*-\-q2,
S2 = k4 -\- qi -]- у k2q*. Если учесть вл
значение «множителя формы» изменяется:
д
S2 = k4 -\- qi -]- у k2q*. Если учесть влияние кулоновского поля, то
22V (v!J Bл - 2v + 1)! * -v v/'» -r *-/t \"", ■«/
где Z,v (p, 41 Z)—функция, учитывающая влияние кулоновского поля [24].
При энергиях электрона, превышающих его энергию связи в атоме,
Lw(p, zpZ)—>/?2\ и функция C8,1а) переходит в C8,1).
Наличие множителя 5n (s) приводит к форме ^-спектра уникальных
запрещенных переходов, существенно отличающейся от формы спектров
разрешенных переходов. Для сравнения теории с экспериментом строится
график Кюри с учетом Sn (e), который должен изображаться прямой
линией
— а(Е — в). C8,2)
При малых энергиях электрона в C8,2) надо брать множитель фор-
формы C8,1а), учитывающий влияние кулоновского поля.
Эксперимент подтверждает эти выводы теории. Например, C-распад
Y91 —>• Zr91 соответствует переходу py3~>dr.2 с ДУ = 2 и изменением
четности. Форма спектра в этом случае сильно отличается от формы спектра
разрешенного перехода. Однако при учете в C8,2) множителя формы
S1 — kz-\-qi = {fic)~*[(E — sJ-|-s2 — ш2с4] получается хорошая пря-
прямая линия. Такой же характер имеет спектр для перехода Cs137—>-Ва137.
В работах [23] на основе оболочечной модели указывается большое
число переходов с |ДУ| = 2 и изменением четности, которые следует
отнести к уникальным однократно запрещенным переходам. Для этих
переходов значение т/, где / вычислялось по формуле для разрешенных
переходов, изменялось в интервале 7,3 ^ lg10 (if) ^ 10,1. Наличие
множителя формы Sn (в) в выражении для вероятности уникальных
^-переходов приводит к тому, что величиной, имеющей приближенно
постоянное значение, должно быть не т/, как в случае разрешенных
переходов, а < Sn (s) > if, где согласно грубым оценкам [24] значение
При ^-распаде Be10 наблюдается дважды запрещенный уникальный
переход с ДУ = 3 и lg10 (t/) = 13,7. При учете множителя формы
12*

180 ОСНОВЫ ТЕОРИИ БЕТА-РАСПАДА [ГЛ. VI
52 (s) = &4 -\- q* -f- -п- kzq2 график Кюри становится линейным, р-рас-
ладу К40 соответствует трехкратно запрещенный уникальный переход
Д7=—4, lglo(T/)= 17,6. Согласие между теорией уникальных р-пе-
реходов и экспериментом подтверждает правильность основных положе-
положений теории р-распада.
Интерпретация запрещенных р-спектров, не принадлежащих к уни-
уникальным переходам, затруднена, так как, по-видимому, в таких переходах
существенна комбинация взаимодействий разного типа (с учетом реля-
релятивистских матричных элементов), зависящая от относительной величины
матричных элементов, которые пока трудно оценить. Отдельные сла-
слагаемые в такой комбинации соответствуют разным формам спектра, что
еще более затрудняет интерпретацию. Более подробный обзор запре-
запрещенных р-спектров дан в статье Конопинского [24].
В настоящее время нет еще достоверных данных, которые подтвер-
подтверждали бы наличие псевдоскалярного взаимодействия, соответствующего
матричному элементу | С у5 |2 с правилами отбора ДУ = 0 и изменением
четности. Некоторое время предполагалось [25], что р-распад RaE
можно отнести к этому типу, так как считали, что в этом случае
осуществляется переход 0~—>-0+. Однако эта интерпретация оказа-
оказалась ошибочной. Было показано [26], что при р-распаде RaE проис-
происходит переход 1 ~ —> 0 + , который допускает комбинацию скалярного
и тензорного взаимодействий, приводящую к хорошему согласию с
экспериментом.
§ 39. Нарушение закона сохранения четности в бета-переходах
Взаимодействия между различными частицами можно в основном
разделить на три типа: сильные взаимодействия, слабые взаимодействия
и электромагнитные взаимодействия.
Сильные взаимодействия осуществляются между нуклонами, нуклонами
и тг-мезонами, а также в процессах, приводящих к рождению тяжелых (К)
мезонов и гиперонов и др. Сильные взаимодействия характеризуются
значением безразмерной константы взаимодействия з- =s= 14. К электро-
Пс
магнитным взаимодействиям относятся взаимодействия электрических
зарядов; они характеризуются безразмерной константой взаимодействия
-г- == И наконец, к слабым взаимодействиям относятся взаимодействия
Ъс 137
электронно-нейтринного поля с нуклонами и взаимодействия, приводящие к
распаду jx, тг и тяжелых (К) мезонов и гиперонов. Слабые взаимодействия
характеризуются безразмерной константой взаимодействия ~10~12;
например, в случае ^-распада
°2 — g =^4,77. Ю-12.

§ 39] НАРУШЕНИЕ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ЧЕТНОСТИ В БЕТА-ПЕРЕХОДАХ 181
При сильных и электромагнитных взаимодействиях имеет место
инвариантность взаимодействия по отношению к обращению вре-
времени, инверсии пространственных координат и операции зарядового со-
сопряжения.
Согласно работам Людерса [27] и Паули [28] любое локальноз
взаимодействие, инвариантное относительно собственного преобразова-
преобразования Лоренца, также инвариантно относительно комбинированного преоб-
преобразования: обращения времени (Т), пространственной инверсии (/) и
зарядового сопряжения (С), т. е.
TIC=инвариант.
Это равенство носит название теоремы Людерса — Паули. Согласно
этой теореме, если взаимодействие инвариантно относительно обращения
времени (Т), то оно инвариантно и относительно комбинации преобра-
преобразований 1С.
До последнего времени предполагали, что четность сохраняется при
всех взаимодействиях, в частности и при слабом взаимодействии. Однако
в 1956 г. возникло сомнение в справедливости закона сохранения
четности для случая слабых взаимодействий.
Анализ следствий из теории jj-расиада при допущении, что при
взаимодействии электронно-нейтринного поля с нуклонами четность не
сохраняется, был произведен в работах Ли и Янга [29]. Они показали,
что классификация ^-распадов на разрешенные и запрещенные, распре-
распределение электронов распада по энергии (форма спектра), корреляция
направлений вылета электронов и нейтрино, электронов и у-квантов не
зависят от закона сохранения четности.
Если четность в 3-распаде не сохраняется, то скалярное взаимо-
взаимодействие, приводящее и испусканию электрона и антинейтрино, можно
записать в виде
S J (ФЙФ„) {Cs (Ш) + Ci(<&Y.W}d- C9'*)
Соответственно тензорное взаимодействие в нерелятивистском прибли-
приближении
# ^ 1.Ф,)}^- C9>2)
Аналогичным образом преобразуются и другие типы взаимодействия.
Квадраты модулей матричных элементов не могут иметь интерферен-
интерференционных членов между частями, содержащими и не содержащими
матрицу у5. Поэтому вероятность испускания электронов с энергией
в интервале е, e-j-dfe под углом 6 к направлению вылета нейтрино
можно записать в виде

182
ОСНОВЫ ТЕОРИИ БЕТА-РАСПАДА
[ГЛ. VI
где
C9,3а)
', C9,36)
C9,Зв)
Если C-распад определяется векторным и псевдовекторным взаимо-
взаимодействиями, то величины C9,3а) — C9,Зв) будут иметь следующие
значения:
C9,3а')
', C9,36')
C9,Зв')
Из C9,3) следует, что эксперименты, определяющие форму {3-спек-
тров и угловые корреляции в направлениях вылета электронов и ней-
нейтрино, не могут ответить на вопрос о наличии или отсутствии взаимо-
взаимодействий С. без сохранения четности.
Этот вопрос может быть разрешен только при измерении псевдо-
псевдоскалярных величин, например при измерении угла вылета электрона
по отношению к направлению спина ядра:
Ok
В конце 1956 г. By, Амблер, Хайвард, Хоппес и Худзон [31] экспери-
экспериментально показали, что при C-распаде ориентированных ядер Со60
вероятность вылета электронов зависит от взаимной ориентации спина
ядра и направления вылета электрона. Такая зависимость возможна
только в том случае, когда взаимодействие электронно-нейтринного поля
с нуклонами содержит отличные от нуля (одновременно) величины С и С
для соответствующего типа взаимодействия.
Угловое распределение электронов C-распада ориентированных ядер,
как показали Ли и Янг [29], будет определяться формулой *)
W(b)du — const (I -f a cos 0) sin 6 rf6,
где в случае разрешенного р-распада при переходе J—>-У—1 без из-
изменения четности значение а связано с основными величинами, опреде-
*) Общая теория угловых распределений и поляризации электронов (и по-
позитронов) для разрешенных переходов при ^-распаде ориентированных ядер
с учетом несохранения четности развита И. М. Шмушевичем [47].

§ 39] НАРУШЕНИЕ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ЧЕТНОСТИ В БЕТА-ПЕРЕХОДАХ 183
ляющими C-распад, формулой*)
у CjCj-\-CfCj ( Jг У
J
C9,5)
где < Уг > — среднее значение проекции спина начального ядра;
v — скорость электрона; с — скорость света. Для разрешенных пере-
переходов У—>У-{-1 без изменения четности
<Л > v СтСг-\-СтСт
<х = г-, если С. = 0.
V с |Cf + |c;|2' д
Если учесть, что из требования инвариантности взаимодействия отно-
относительно обращения времени следует условие действительности коэффи-
коэффициентов Ст, то при У—*J—1 находим:
«= <Jr Т -ф~п , если С, = 0, C9,4а)
<4>^ f^ , если Сг=0. C9,5а)
В опытах By и др. [31] исследовалось угловое распределение
электронов при ^распаде ориентированных магнитным полем (при
низкой температуре) ядер Со60, ^-распад Со60—►Ni60, соответствующий
переходу У=5+—>-У = 4+ с правилами отбора Гамова —Теллера, отно-
относится к разрешенному типу. Среднее значение v\c для испускаемых
электронов равнялось 0,6; среднее значение поляризации ядер
±-±2= 0,6. Поэтому согласно C9,4а) при |СГ| = |С'Г| следовало ожи-
ожидать, что | а | = 0,36.
В эксперименте было найдено, что электроны испускаются преиму-
преимущественно в направлении, противоположном направлению ориентации
спина; при этом а = — 0,4. Таким образом, опыты по ^-распаду Сов0
подтвердили несохранение четности при явлении ^-распада и показали,
что в пределах ошибок эксперимента С^ = — Ст, если Сл = 0, или
СА = С'А, если Ст=0.
Можно было бы думать, что несохранение четности связано с асим-
асимметрией пространства по отношению к инверсии пространственных
*) Здесь для общности допускается, что постоянные С/ и Ct могут быть
комплексными числами. Если потребовать, чтобы гамильтониан взаимодействия
был инвариантен относительно операции отражения времени, то можно пока-
показать [30], что постоянное С/ и Ct (с точностью до несущественного общего
фазового множителя, который может быть нормирован к единице) являются
действительными числами.

184 ОСНОВЫ ТЕОРИИ БЕТА-РАСПАДА [ГЛ. VI
координат. Однако, как показал Л. Д. Ландау [32], несохранение чет-
четности при ^-распаде может не затрагивать симметрии пространства,
если предположить, что при слабых взаимодействиях не имеют места
в отдельности закон сохранения четности и инвариантность относительно
зарядового сопряжения.
Если в сильных и электромагнитных взаимодействиях каждый из
этих законов выполняется в отдельности, то при слабых взаимодей-
взаимодействиях имеет место инвариантность только относительно совокупности
этих двух операций. Совокупность операции инверсии и зарядового
сопряжения Ландау назвал комбинированной инверсией. При комбини-
комбинированной инверсии происходит инверсия пространственных координат
и. одновременно частицы переходят в античастицы. Инвариантность сла-
слабого взаимодействия относительно комбинированной инверсии оставляет
пространство полностью симметричным, асимметричными делаются за-
заряды частиц.
Частицы, тождественные со своими античастицами, т. е. истинно
нейтральные частицы, при комбинированной инверсии переходят сами в
себя. Поэтому для таких частиц комбинированная инверсия совпадает
с обычной пространственной инверсией. В этом случае закон сохранения
комбинированной инверсии совпадал бы с законом сохранения четности.
В следующем параграфе мы рассмотрим основные свойства нейтрино,
вытекающие из явления р-распада, и, в частности, те свойства, которые
связаны с нарушением закона сохранения четности при ^-распаде.
§ 40. Основные свойства нейтрино
Свойства нейтрино, введенных Ферми в теорию 3-распада, таковы,
что непосредственно наблюдать их очень сложно. Электрический заряд
нейтрино равен нулю, масса и магнитный момент также равны нулю
(или очень малы), поэтому их взаимодействие с веществом может про-
происходить только за счет слабого взаимодействия, проявляющегося в
процессах ^-распада. Поток нейтрино, попадая на ядра, может вызвать
процессы, обратные ^-распаду, при которых будут выделяться элек-
электроны или позитроны. На возможность такого процесса указали Бете и
Пайерлс [3*3] сразу же после опубликования работы Ферми. Однако
вследствие малого эффективного сечения реакции (-^ Ю~44 см2) трудно
было надеяться, что этот процесс можно будет наблюдать в экспери-
эксперименте. Положение изменилось в последние годы, когда были созданы
мощные ядерные реакторы, работа которых сопровождается выделением
большого количества нейтрино.
Практическое осуществление реакции обратного ^-распада связано
с вопросом о том, являются ли нейтрино и антинейтрино тождествен-
тождественными частицами или разными. Мы условились называть антинейтрино
v-частицу, которая выделяется при электронном распаде нейтрона
/г — р + е + у, D0,1)

§ 40] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕЙТРИНО 185
тогда при позитронном распаде должно выделяться нейтрино
Р — я + i + v. D0,2>
В связи с тем, что испускание частицы эквивалентно поглощению'
античастицы, а испускание античастицы эквивалентно поглощению ча-
частицы, можно написать:
v-j-/i->p-|-e, D0,3)
* п-{-е. D0,4)
Реакция D0,3) указывает, что нейтрон может переходить при погло-
поглощении нейтрино в протон с испусканием электрона. Протон согласно
D0,4) при поглощении антинейтрино переходит в нейтрон и испускает
позитрон.
Реакции D0,1)—D0,4) позволяют решить вопрос о тождественности
нейтрино и антинейтрино. Если нейтрино отличается от антинейтрино,
то антинейтрино, полученные в реакции D0,1) при электронном рас-
распаде нейтрона, могут приводить к обратному ^-распаду только при
взаимодействии с протоном. Если же нейтрино и антинейтрино тожде-
тождественны, то частицы, возникающие в реакции D0,1), будут приводить
к обратному ^-процессу при взаимодействии как с нейтроном, так и о.
протоном.
Ядерные реакторы при электронном ^-распаде продуктов деления
излучают антинейтрино (реакция D0,1)). С помощью полученных таким
способом антинейтрино Райнес и Коуен [34] изучали реакцию
v-j-p —> п -\-е.
В опытах регистрировались совпадения между у-квантами, обра-
образующимися при аннигиляции позитрона, и у-квантом, излучаемым
при захвате нейтрона кадмием, примешанным в систему. Эти опыты
были повторены в лучших условиях в 1956 [35] и в 1957 г. [36].
При этом были соответственно получены для эффективного сечения
реакции D0,4) следующие значения: A2 -j-б)-10~44 см2 и 6-Ю~44 см2.
Эти опыты можно рассматривать как опыты, дающие непосредственное
подтверждение существования нейтрино.
Если нейтрино и антинейтрино тождественны (v = v), то излучае-
излучаемые из реактора антинейтрино могли бы приводить к реакции типа
D0,3). Примером такой реакции может служить реакция
v-f-Cl37—-А37 -|-^, D0,5)
указанная в 1946 г. Понтекорво. О наличии этой реакции можно было
бы судить по выделяющемуся инертному радиоактивному (электронный
захват) газу аргону. Попытки обнаружения реакции D0,5) с помощью
антинейтрино, получаемых от реакторов, были предприняты Дэвисом [37].
Обнаружение реакции D0,5) свидетельствовало бы о тождественности.

186 ОСНОВЫ ТЕОРИИ БЕТА-РАСПАДА [ГЛ. VI
нейтрино и антинейтрино. В пределах ошибок эксперимента такая
реакция обнаружена не была.
Вторая возможность выяснения вопроса о тождественности нейтрино
и антинейтрино заключается в исследовании двойного ^-распада. Двой-
Двойной ^-распад должен происходить при превращении ядра в изобарное
ядро с зарядом, отличающимся на две единицы от материнского ядра,
если этот переход не происходит (вследствие энергетических сообра-
соображений или из-за очень большого запрета) путем двух последователь-
последовательных C-распадов через промежуточное изобарное ядро. Вероятность
двойного р-распада очень мала, так как она пропорциональна четвертой
степени константы взаимодействия g электронно-нейтринного поля с
нуклоном. Численное значение вероятности двойного ^-распада очень
существенно зависит от того, являются ли нейтрино и антинейтрино
разными частицами или нет.
Если нейтрино и антинейтрино разные частицы, то при двойном
^-распаде должны испускаться четыре частицы: два электрона и два
антинейтрино. Энергия перехода Е будет распределяться между че-
четырьмя частицами, поэтому суммарная энергия двух электронов будет
изменяться от нуля до энергии перехода. Если нейтрино и антиней-
антинейтрино тождественные частицы, то нейтрино, вылетевшее при распаде
одного нейтрона, может поглотиться при распаде второго нейтрона,
т. е. в этом случае двойной ^-распад будет сопровождаться вылетом
только двух электронов, суммарная энергия которых равна энергии
перехода. Таким образом, путем измерения суммарной энергии двух
электронов, выделяющихся в двойном ^-переходе, можно было бы ре-
решить вопрос о тождественности нейтрино и антинейтрино. Практиче-
Практическое выполнение таких измерений пока не удавалось из-за очень малой
вероятности распада.
Кроме различия в суммарной энергии вылетающих электронов, ука-
указанные две возможности двойного р-распада существенно отличаются
своими временами жизни. Если бы нейтрино и антинейтрино были
одинаковыми, то двойной C-распад без вылета нейтрино был бы значи-
значительно более вероятен, чем двойной р-распад с вылетом двух антиней-
антинейтрино. При первом типе распада нейтрино появляются только в про-
промежуточном состоянии, поэтому число возможных состояний, участвую-
участвующих в распаде, будет значительно больше, чем в случае распада с
выделением двух антинейтрино, суммарная энергия которых опреде-
определяется законом сохранения энергии.
Время жизни ядра по отношению к двойному ^-распаду с выделе-
выделением двух антинейтрино было рассчитано Геперт-Майер [38]. Численное
значение времени жизни зависит от величины матричного элемента пе-
перехода, и грубые оценки приводят к величине -^Ю19— 10го лет. Время
жизни двойного C-распада без испускания нейтрино -^ЛО18 — 101в лет [39]
(для ядра Са48). Последние измерения времени жизни двойных ^-рас-
падов Са48—> Ti48 и Zr9e—» Мо9в, выполненные Авшаломом [40], указы-
указывают, что время полураспада Са48 больше 2-1018 лет, а время полу-

§ 40] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕЙТРИНО 187
распада Zr9e больше 0,5 »1018 лет. Эти данные подтверждают вывод,
полученный в экспериментах с нейтрино атомных реакторов, о разных
свойствах нейтрино и антинейтрино.
Нарушение закона сохранения четности в процессах ^-распада, как
показали Ландау [41] и независимо от него Салам [42], Ли и Янг [43],
приводит к возможности существования новых свойств у нейтрино.
Уравнение Дирака для всех частиц со спином */t и нулевой массой
распадается на две пары не связанных друг с другом уравнений, соот-
соответствующих разным поляризациям частицы. Эти уравнения, однако,
переходят друг в друга при операции зарядового сопряжения. Если же
требовать, чтобы сохранилась инвариантность только при комбиниро-
комбинированной инверсии, то мы придем к заключению, что нейтрино описывается
только одной парой уравнений. В этом случае нейтрино будет харак-
характеризоваться только одним состоянием поляризации — только по (или
только против) направлению движения. Такие нейтрино Ландау назвал
продольно поляризованными нейтрино. Продольно поляризованные
нейтрино должны иметь нулевую массу покоя. Антинейтрино всегда
поляризованы противоположным образом по отношению к нейтрино.
Если спин образно представить как вращение, то продольная поля-
поляризация нейтрино будет указывать на то, что направление вращения
нейтрино всегда связано с направлением движения. В этом смысле дви-
движение нейтрино напоминает движение винта.
Неразрывная связь вращения и поступательного движения возможна
только у объекта, который всегда движется со скоростью света.
Если бы скорость нейтрино v была меньше скорости света, то в систе-
системах координат, движущихся со скоростью, большей v, связь между
вращением и поступательным движением была бы у нейтрино обратной
по отношению к связи в системах координат, движущихся со скоростью,
меньшей v. Поскольку внутренние свойства нейтрино не должны
зависеть от выбора системы координат, то нейтрино должно двигаться
со скоростью света и, следовательно, должно иметь нулевую массу покоя.
Как было показано в § 39, для объяснения опытов By и др. необ-
необходимо положить Ст = —Cj, если ^-распад с правилами отбора Га-
мова—Теллера обусловлен только тензорным взаимодействием (Сд = 0),
или Сд = СА, если этот распад обусловлен только псевдоскалярным
взаимодействием (Сг = 0). Таким образом, оператор взаимодействия
должен иметь вид
ф^ ф!кD*. если са=°. D0-б)
, если Ст=0. D0,7)
Поскольку (см. приложение III) действие оператора у5 на нейтрин-
нейтринную функцию эквивалентно действию оператора on, где п = — — еди-

188 ОСНОВЫ ТЕОРИИ БЕТА-РАСПАДА [ГЛ. VI
ничный вектор, р — импульс, е — энергия нейтрино, то можно написать:
Следовательно, выражения D0,6) и D0,7) будут содержать волновые
функции /\ и Ф7, характеризующие испускание антинейтрино (погло-
(поглощение нейтрино). Как показано в приложении III, § М, функции /\ и
Фу удовлетворяют соответственно уравнениям:
= -Fvl D0,8)
= Ф,. D0,9)
Уравнения D0,8) и D0,9) определяют собственные значения опера-
оператора проекции спина на направление движения антинейтрино. Вылетаю-
Вылетающие антинейтрино имеют положительную энергию, поэтому функции Fv
должны соответствовать случаю ориентации спина антинейтрино против
импульса, а функция Фч — ориентации спина антинейтрино по направ-
направлению импульса.
Если бы был известен вид взаимодействия при распаде (тензорное
или псевдовекторное), то можно было бы указать, которая из двух
функций /\ или Фч описывает на самом деле антинейтрино. И наобо-
наоборот, если бы была известна ориентация спина относительно импульса
антинейтрино, то можно было бы определить тип взаимодействия, от-
ответственного за ^-распад с правилами отбора Гамова — Теллера. Так
как ориентации спинов нейтрино и антинейтрино противоположны, то
вопрос о типе взаимодействия можно было бы решить и путем изме-
измерения поляризации нейтрино по отношению к направлению импульса.
Согласно неопубликованным данным М. Гольдхаберу, Суньяру и
Гродзнису удалось измерить поляризацию нейтрино, выделяющихся из
ядра Ей152 при захвате орбитального электрона (/^-захват, см. § 41).
Было установлено, что спин нейтрино направлен против импульса (спин
антинейтрино направлен по импульсу). Если результаты этих опытов
подтвердятся, то они будут свидетельствовать о том, что ^-распад с пра-
правилами Гамова — Теллера обусловлен псевдовекторным взаимодействием.
Гипотеза о продольных нейтрино позволяет дать очень наглядную
интерпретацию обнаруженного в опытах By и др. преимущественного
испускания электронов в сторону, противоположную направлению спина
радиоактивного ядра Со60. При разрешенном ^-распаде с правилами
отбора Гамова — Теллера электрон и нейтрино испускаются с параллель-
параллельными спинами. Поскольку при распаде Со60 спин уменьшается на еди-
единицу, то суммарный спин, уносимый электроном и нейтрино, должен
совпадать с направлением спина ядра Со60. Если ^-распад Со60 обуслов-
обусловлен тензорным взаимодействием, то антинейтрино движутся в сторону,
противоположную направлению своего спина. Поэтому если спин
ядра Со60 направлен вверх, как указано на рис. 47, а, то антиней-

§ 40]
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕЙТРИНО
189
V1/2
трино должно двигаться вниз. Вследствие угловой корреляции между
направлением вылета электронов и нейтрино (см. § 37) электроны при
тензорном взаимодействии также будут дви-
двигаться вниз.
Если же р-распад Со60 обусловлен псевдо-
псевдовекторным взаимодействием, то антинейтрино
движутся в сторону направления своего спина
(рис. 47, б). Однако и в этом случае электро-
электроны будут двигаться преимущественно вниз,
так как коэффициент, определяющий угловую
корреляцию между направлениями вылета лег-
легких частиц, отличается знаком от соответ-
соответствующего коэффициента при тензорном взаи-
взаимодействии.
Рис. 47 дает также наглядное представ-
представление о поляризации электронов при [3-рас-
паде. Вследствие угловой корреляции на-
направление движения электронов связано с на-
направлением движения антинейтрино, спин же
электронов параллелен спину антинейтрино и
поэтому тоже связан с направлением движе-
движения антинейтрино. Максимальная поляризация
электрона будет определяться отношением
скорости электрона к скорости света*).
Проведены также измерения [44] с ориен-
ориентированными ядрами Со58, [i-распад Со58 про-
происходит на первый возбужденный уровень Fe58
с последующим переходом в основное состоя-
состояние при испускании у-квантов энергии
0,805 Мэв. Анизотропия в испускании у-лучей
использовалась для определения степени поля-
поляризации ядер. При ^-распаде Со58 испускают-
испускаются позитроны и происходит переход между
спиновыми состояниями ядер: 2+—»2 + . Тако-
Такому переходу могут соответствовать как пра-
правила отбора Гамова—Теллера, так и прави-
правила отбора Ферми. В опытах обнаружена зна-
значительная асимметрия в направлении вылета
позитронов: большая часть позитронов ис-
испускается в направлении спина ядра Со58.
Коэффициент а, определяющий анизотропию в направлениях вылета
позитронов, оказался примерно в 3 раза меньше соответствующе-
соответствующего коэффициента для случая ^-распада ориентированных ядер Со60.
*) Алиханов, Елисеев и Любимов показали, что поляризация электронов
Р-распада Tu179, Re188, Stn153, Lu177, Аи186, Zr90 равна — с точностью до 4—10%.
Рис. 47. р-распад ориен-
ориентированного ядра Со80:
а— тензорное взаимодей-
взаимодействие; б — псевдовектор-
псевдовекторное взаимодействие.

190 ОСНОВЫ ТЕОРИИ БЕТА-РАСПАДА [ГЛ. VI
Преимущественное испускание позитронов в направлении спина ядра соот-
соответствует отрицательному знаку коэффициента а. Такое свойство асим-
асимметрии испускания позитронов ориентированными ядрами Со58 легко
понять согласно теории двухкомпонентных нейтрино, если допустить,
что имеет место только взаимодействие с правилами отбора Гамова —
Теллера. При испускании позитронов вылетают правовинтовые нейтрино,
если ^-распад вызывается тензорным взаимодействием. Такие нейтрино
должны лететь в направлении спина ядра, следовательно, преимуще-
преимущественно в том же направлении должны вылетать и позитроны. Если
^-распад вызывается псевдовекторным взаимодействием, то испускание
позитронов должно сопровождаться вылетом левовинтовых нейтрино
против направления спина ядра. Позитроны должны лететь вследствие
угловой корреляции в сторону, противоположную направлению полета
нейтрино, т. е. в направлении спина ядра.
В экспериментах Гарвина, Ледермана и Вейнриха [45] и Фридмана и
Телегди [46] было установлено несохранение четности при распаде тт-ме-
зона на ji-мезон и нейтрино и при распаде pi-мезона на электрон и два
нейтрино. Обсуждение этих экспериментов выходит за рамки нашего кур-
курса, в котором не рассматриваются процессы, происходящие с мезонами.
Легко убедиться, что теория р-распада с двухкомпонентными ней-
нейтрино не инвариантна относительно пространственной инверсии и, сле-
следовательно, соответствует случаю несохранения четности. В самом деле,
при операции инверсии пространственных координат изменяется направ-
направление импульса (полярный вектор) и не меняется направление ориентации
спина (аксиальный вектор). Таким образом, инверсия пространственных
координат нарушает связь между направлением импульса и ориента-
ориентацией спина нейтрино. Эта теория также не инвариантна относительно
операции зарядового сопряжения, так как такая операция, заменяя
частицы античастицами, не изменяет ни направления импульса, ни на-
направления ориентации спина. Теория, однако, инвариантна относительно
операции комбинированной инверсии, т. е. относительно одновремен-
одновременного применения операции зарядового сопряжения и операции про-
пространственной инверсии, так как такая комбинированная инверсия, за-
заменяя нейтрино антинейтрино, одновременно меняет направление
импульса, оставляя неизменным направление спина.
§ 41. Захват орбитальных электронов
Бета-распад с испусканием электронов или позитронов может про-
происходить в том случае, когда энергия перехода (Е) превышает энер-
энергию покоя электронов. В связи с тем, что позитрон является антича-
античастицей по отношению к электрону, процесс испускания позитрона
эквивалентен процессу поглощения электронов. Поэтому наряду с по-
зитронным ^-распадом:

§41] ЗАХВАТ ОРБИТАЛЬНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ 191
возможен ^-распад с поглощением электрона:
+n + vt D1,1)
при котором протон переходит в нейтрон с испусканием нейтрино. Так
как электроны всегда окружают ядро, то процесс D1,1) захвата элек-
электрона обычно конкурирует с процессом позитронного ^-распада. Наи-
Наиболее близко к ядру расположены два электрона /(-оболочки атома,
которые находятся в состоянии Is, поэтому наиболее вероятен захват
электронов с /С-оболочки атома, а само явление захвата орбитальных
электронов ядром называют К-захватом. Вероятность захвата электро-
электронов с ^-оболочки атома примерно в 100 раз меньше вероятности
/(-захвата.
Если энергия перехода ядра при превращении одного протона в
нейтрон равна Е, энергия излучаемого позитрона sg, энергия ней-
нейтрино ev, то позитронный распад возможен при выполнении нера-
неравенства
E=se + z^mc\ D1,2)
Энергия связи электрона на /(-оболочке атома £Л-=—-,— . Возмож-
Возможность захвата электрона с /(-оболочки определяется неравенством
Е-\-тс2—zK=s^O. D1,3)
Из D1,2) и D1,3) следует, что если энергия перехода удовлетворяет
неравенству
е„ — тс2 ^Е<^тс2,
то возможен процесс захвата электрона. Если Е^тсг, то наряду
с захватом орбитального электрона возможен процесс испускания по-
позитронов.
При захвате орбитального электрона испускаются монохроматиче-
монохроматические нейтрино с энергией
sv = Е -\- те2 — вк.
Наблюдение /(-захвата возможно путем регистрации импульса ядра
отдачи, Если переход не сопровождается позитронным излучением, то
измерение импульса и энергии ядра отдачи является прямым методом
измерения энергии перехода при /(-захвате. Кроме регистрации ядер
отдачи, о явлении /(-захвата можно судить по рентгеновскому излуче-
излучению, которое испускается вследствие перестройки электронной обо-
оболочки после захвата электрона с /(-оболочки атома.
Вероятность разрешенного ^-перехода с захватом орбитального
электрона будет определяться общей формулой
П*=|^1#»!2р(г). D1,4>

192 ОСНОВЫ ТЕОРИИ БЕТА-РАСПАДА [ГЛ. VI
Так как электрон до захвата находился в определенном квантовом со-
состоянии, то р(s) будет определяться только энергией испускаемого
нейтрино:
Тогда с помощью D1,4) получим:
где <Ье(^0)—значение электронной функции состояния 15 на поверх-
поверхности ядра. Так как на /(-оболочке имеется два электрона, то время
полураспада, соответствующее разрешенному захвату, будет равно
1а2 _
_
V %с ) \%с) ГA+23)
D1,6)
где
»= /HIT-
Из формулы D1,6) следует, что вероятность /^-захвата быстро возра-
возрастает с ростом заряда ядра, так как увеличивается вероятность пре-
пребывания электрона А'-оболочки внутри ядра. Возрастание вероятности
/Г-захвата с ростом заряда ядра приводит к тому, что конкурирующий
с /С-захватом процесс позитронного ^-распада практически не наблю-
наблюдается у ядер с 0

ГЛАВА VII
ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ ЧАСТИЦ
ПОТЕНЦИАЛЬНЫМ ПОЛЕМ
§ 42. Лабораторная система и система центра инерции
При использовании явлений рассеяния двух частиц пользуются обычно
двумя координатными системами: лабораторной системой (система Z.L
в которой одна из частиц до рассеяния покоится, а другая движется
но отношению к ней, и системой центра инерции (система С), в кото-
которой покоится общий центр инерции обеих сталкивающихся частиц.
В системе центра инерции обе частицы движутся до рассеяния навстречу
друг другу и разлетаются в противоположные направления после рас-
рассеяния. В экспериментах все величины измеряются в лабораторной си-
системе, теоретическое же исследование процессов рассеяния удобнее
проводить в системе центра инерции. Поэтому необходимо уметь пере-
переводить величины из одной системы в другую.
о,
Рис. 48. Столкновение частиц массы /я, и т2 в лабораторной системе (а) и
в системе центра инерции (б).
На рис. 48 изображен процесс столкновения двух частиц с массами
/и, и тг в лабораторной системе (а) и в системе центра инерции (о).
В лабораторной системе до столкновения частица массы т1 движется
со скоростью Vo, частица т2 покоится. После столкновения частица
массы т1 движется под углом Ьь к первоначальному направлению
13 Д. С. Давыдов

194 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНЫМ ПОЛЕМ [ГЛ. VII
движения. Центр инерции обеих частиц движется со скоростью
v __пцУо_ D21)
В системе центра инерции до столкновения частицы тх и тг движутся
навстречу друг другу со скоростями
Их относительная скорость vi — vz=V0. После столкновения час-
частицы движутся в противоположных направлениях со скоростями v[ и v'2,
причем |г>{ 1 = 11^1 и |«2'| = |*>2|. Скорость v[ составляет угол 0 с
первоначальным направлением движения.
Соотношение между углами О и bL определяется из условия, что
скорость VL частицы массы т1 после столкновения в лабораторной
системе должна равняться сумме скоростей v[ в системе центра инер-
инерции и скорости центра инерции Vc, т. е*
VL=t>[+Vc, D2,3)
или
D2,3а)
J
Исключая из этих соотношений VL, находим:
где
7 = ^4 = ^-*). D2,4а)
Из соотношения D2,4) следует, что при у <С 1 Угол рассеяния 0£ в лабо-
лабораторной системе монотонно увеличивается от 0 до тг, когда угол О
в системе центра инерции увеличивается от 0 до тт (рис. 49). Приу=1
угол рассеяния в лабораторной системе всегда в 2 раза меньше угла
рассеяния в системе центра инерции Ць = —. При Y^>1 угол рассея-
рассеяния 0L в лабораторной системе всегда меньше тт/2. Он монотонно воз-
возрастает от нуля до максимального значения, определяемого равенством
*) Если происходит неупругое рассеяние в результате которого обра-
образуются две другие частицы с массами т' нт' и выделяется {Q > 0) или погло-
(ТПхГПл g \ '2 ТП-.ТП* 2
7 —i—7\ I i ГДе 6 = 777 ~Г—\ ^0 ~~
энергия относительного движения.

§ 42]
ЛАБОРАТОРНАЯ СИСТЕМА И СИСТЕМА ЦЕНТРА ИНЕРЦИИ
195
. . г, . 1 ТПп /| / 1 \ г-г
(sin vL)max = — = —, при увеличении 0 от нуля до arccos I ) . При
дальнейшем увеличении 6 до значения тг 0L уменьшается до нуля
(рис. 49).
Соотношение между эффективными сечениями в обеих системах коор-
координат может быть получено из условия равенства числа рассеянных
Рис. 49. Соотношение между углами рассеяния в лабораторной системе
(bL) и системе центра инерции (9) в зависимости от отношения масс
(i = m1ltn2) сталкивающихся частиц.
частиц в одном и том же пространственном направлении. Это условие
имеет вид
а, @„ cp,)sin6,fifO,dfo, = a @, ф) sin
Из D2,4) следует
откуда
i\ Y 4" c°s 9
cos О, = ' r —
Lt  / 1 f О.. п Л Л ft
sin 6^0^ =
1 4-v cos 0
A-f Y2-f 2T cos О)
sin
13
Подставляя полученное равенство в D2,5) и учитывая, что (р/. = ср,
имеем:
ii\ \ A -h т2 + 2y cos ОK а .,, . ,,OR1
п. In. <п \—-х !—! ! ! :—О ('), (fl). D^,0)
13*

196 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНЫМ ПОЛЕМ [ГЛ. VII
Полное сечение рассеяния, естественно, в обеих системах координат
должно быть одинаковым.
В частном случае "{==1 из D2,6) следует
°l К Чд = 23 2 О + cos °) a (°. ¥)• D2>7)
д
Поскольку 67 = -<г, то из D2,7) получим:
ffiA,<pI) = 4a@,«p)cos0I. D2.8)
Если £0 = —^ энергия частицы с массой /я, в лабораторной
системе координат до столкновения, то энергия относительного движе-
движения частицы с приведенной массой ja = —\ 2 - в системе центра инер-
т\ -\~тг
ции будет равна
^ D2 9)
Е== = Е
2 т1 -\~ т2 °'
Из D2,3), используя D2,1) и D2,2), получим (после соударения) квад-
квадрат скорости частицы тх в лабораторной системе координат
Ь т "Т" ^ЩЩ cos О
следовательно, энергия частицы тх в лабораторной системе координат
е(р ==a^i=E0 щ "ин^У c°s 9 • <42'10)
Таким образом, эта энергия заключена в следующих пределах:
т, — я
Энергия частицы тг в лабораторной системе до соударения равна нулю,
после соударения ее энергия
г,{2) 4т.т2 с . s
L —(m,-f-m2J °
поэтому пределы изменения энергии частицы т после соударения будут
Все приведенные выше формулы относятся к случаю нерелятивист-
нерелятивистского движения, т. е. они справедливы только для энергий относитель-
относительного движения, значительно меньших энергий покоя этих частиц. Энер-

§ 43] УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ПОЛЕ 197
гия покоя нуклона ■>- 931 Мэв, поэтому при исследовании рассеяния
нуклонов выведенными здесь формулами можно пользоваться вплоть до
энергий -ч. 100 Мэв.
В дальнейшем изложении, если не будет делаться специальная
оговорка, мы будем пользоваться только системой координат центра
инерции.
§ 43. Упругое рассеяние в потенциальном поле
Упругим рассеянием называется рассеяние, при котором не меняются
внутренние состояния и состав сталкивающихся частиц.
В нерелятивистском приближении задача рассеяния одной частицы {тх)
на другой (т2) может быть сведена к задаче рассеяния некоторой фик-
фиктивной частицы, обладающей приведенной массой )Х = —-ц-1—в потен-
потенциальном поле, являющемся функцией относительных координат и спи-
спинов сталкивающихся частиц*). Такое сведение задачи упругого рассея-
рассеяния двух частиц к движению фиктивной частицы с приведенной массой в
потенциальном поле осуществляется простым переходом к системе коор-
координат, связанной с центром инерции сталкивающихся частиц, которой
мы и будем дальше пользоваться. Предположим далее для простоты,
что спины сталкивающихся частиц равны нулю.
Начальной стадией процесса рассеяния является движение навстречу
друг другу двух бесконечно удаленных частиц. При их сближении
взаимодействие между частицами меняет состояние их движения, затем
частицы разлетаются, Конечной стадией процесса рассеяния является
движение частиц друг от друга.
Часто удобно вместо временного описания задачи рассеяния рас-
рассматривать эквивалентную стационарную задачу (см. главу IX). При
стационарном описании явления рассеяния предполагается, что имеется
непрерывный поток частиц, летящих из бесконечности, который из-за
взаимодействия с рассеивающим центром переходит в поток разлетаю-
разлетающихся (рассеянных) частиц. Задача рассеяния состоит в вычислении при
заданном силовом поле потока рассеянных частиц на бесконечном рас-
расстоянии от рассеивающего центра как функции потока падающих частиц.
В стационарной формулировке рассеяние частицы с массой ji и поло-
положительной энергией s в потенциальном поле V (г) определяется уравне-
уравнением Шредингера
(Д + k2) ф (г) = и(г) ф (г), D3,1)
где Д — оператор Лапласа; /г2 = ~; е — энергия относительного дви-
движения двух сталкивающихся частиц; u{r)==~V(r).
*) В некоторых задачах рассеяния приходится учитывать и спин-орбиталь-
спин-орбитальное взаимодействие.

198 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНЫМ ПОЛЕМ [ГЛ. VII
Предположим, что и (г) отлично от нуля только в некоторой огра-
ограниченной области пространства \r\<^d. Эту часть пространства будем
называть областью действия сил. Вне области действия сил частицы
движутся свободно и их состояние движения можно описывать плоской
волной
<pe(r) = exp(/V). K = k\ D3,2)
удовлетворяющей волновому уравнению D3,1) без правой части. Вол-
Волновой вектор ka связан с импульсом р относительного движения простым
соотношением p — %ka. Функция D3,2) нормирована так, чтобы плот-
плотность потока частиц j численно равнялась скорости частицы:
*= |?<Й ™* ~ W&) = ^ • D3,3)
Общее решение уравнения D3,1) выразим через функцию Грина
G(r,r'), которая удовлетворяет уравнению D3,1) для точечного единич-
единичного источника:
)О(г,г') = §(г —г'). D3,4)
Нас будут интересовать только такие решения уравнения D3,1), кото-
которые содержат рассеянные (т. е. уходящие от центра) волны. Функция
Грина G(r,r'), соответствующая этим решениям, имеет вид
^. D3,5)
Определив функцию Грина D3,5), т. е. решение уравнения D3,4)
с точечным источником, мы можем написать общее решение уравнения
D3,1), содержащее падающую волну D3,2) с волновым вектором ka и
рассеянные уходящие волны *):
Ф. М = ,. (г) -11 "'|(<*lf-r'l>« И Ф. С') *'• <43-6>
Уравнение D3,6) является интегральным уравнением относительно
неизвестной функции §а{г).
*) Выражение D3,6), являющееся решением уравнения D3,1), может быть
записано в краткой символической форме:
фв (г) = <?в (г) + D~4i (г) ^а (г), D3,6а)
где
D3,66)
т) — малый положительный параметр, обеспечивающий присутствие в D3,6а)
только уходящих рассеянных ноли. После вычисления интегралов в D3,6а) надо
устремить г, к нулю.

§ 43] УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ПОЛЕ 199
На больших расстояниях (r»d, /гг>>1), можно положить
k\r — г' | =^ kr — kbr', где kb = k —; поэтому асимптотическое
значение D3,6) примет вид
D3,7)
где
= ~-^e-ik"r' u(r')<ba(r')dr'. D3,8)
лЬа
Принимая во внимание, что выражение е~ '*ьг = <р£ (г) можно рас-
рассматривать как плоскую волну с волновым вектором kb\ запишем соот-
соотношение D3,8) в виде
Аьа = ~ к 1Ъ> »Ь) = - ^i (?*, ^J. D3,8a)
где использовано обозначение (ср, ф) = \ <р*ф rfx. Функция /1Ла назы-
называется амплитудой рассеяния. Согласно D3,8а) амплитуда рассеяния
пропорциональна приведенной массе \х и зависит от энергии и угла
рассеяния 0, т. е. угла между векторами ka и kb.
Дифференциальное эффективное сечение dfa@,cp) упругого рассея-
рассеяния в элемент телесного угла а?й = sin 0 flfOtf<|> определяется как отноше-
отношение числа рассеянных в этот элемент частиц в единицу времени к плот-
плотности потока падающих частиц. Вычисляя это отношение, получим:
da = \Aba\*du. D3,9)
Итак, вычисление эффективного сечения рассеяния D3,9) сводится
к решению интегрального уравнения D3,6) и последующему вычисле-
вычислению амплитуды рассеяния с помощью D3,8).
Если энергию взаимодействия и (г) можно рассматривать как малое
возмущение, то уравнение D3,6) можно решать методом итераций.
В результате получим:
Jk\r-r'\
e|r_r>| u{r'La{r')dr' + ...
Подставляя это выражение для фа в D3,8), мы представим амплитуду
рассеяния в виде ряда
Если этот ряд сходится и мы сохраним первые N членов, а остальные
отбросим, то полученное приближенное выражение называют N-м бор-

200 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНЫМ ПОЛЕМ [ГЛ. VII
новским приближением. В частности, в первом борновском при-
приближении
При упругом рассеянии частиц без спина амплитуда рассеяния является
комплексной функцией волновых векторов ka, kb начального и конеч-
конечного состояний соответственно:
Дифференциальное сечение D3,9) определяется через квадраты модуля
da
амплитуды рассеяния, поэтому измерение -^ при данной энергии и
угле рассеяния не позволяет определить фазу комплексной функции
F(kb,ka). Однако, как мы увидим ниже, исследование упругого рас-
рассеяния при всех углах позволяет определить и фазу функции F (kb, ka).
Эта возможность обусловлена общим соотношением унитарности, кото-
которому удовлетворяет амплитуда упругого рассеяния. Перейдем к выводу
этого соотношения, следуя работе Глаубера и Шомакера [18].
Рассмотрим три функции, удовлетворяющие уравнению D3,1) и
имеющие следующий асимптотический вид при достаточно большом г:
j
ikbr) + F(-ka, — kb)exp G """>, [ D3,11)
)
где k2a = kl = k2. Пользуясь D3,1), легко убедиться, что функции
D3,11) должны удовлетворять соотношениям:
Интегрируя эти равенства по объему, окружающему силовой центр, и
используя теорему Грина, получим следующие поверхностные интегралы:
f (<К%-^)«/=0. D3,126)
где df—элемент сферы радиуса R. При достаточно большом R волно-
волновые функции на поверхности сферы можно заменить их асимптотичес-

§ 43] УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ПОЛЕ 201
ними значениями D3,11). Тогда из D3,12а) будет следовать условие
равенства амплитуд упругого рассеяния при обращении времени
ka) = F(-ka,-kb), D3,13)
так как рассеяние из состояния (— kb) в состояние (— ka) соответ-
соответствует обращенному во времени рассеянию ka—*kb (см. § 51). Далее,
из равенства D3,126) следует
2я [F (kb, ka) - F* (ka, kb)] = ik \ F* (*, kb) F (Л, ka) d°k , D3,14)
где справа проводится интегрирование по всем направлениям вектора k.
Если в D3,14) положить ka = kb, то находим соотношение между
мнимой частью амплитуды рассеяния вперед и полным сечением рас-
рассеяния:
ImF{ka, ka) = -£-[\F(k, ka) I2dQk = £-o, D3,15)
где a=\\F\2dil — полное сечение рассеяния. Соотношение D3,15)
носит название оптической теоремы.
Итак, амплитуда рассеяния любых частиц с нулевым спином в про-
произвольном силовом поле должна удовлетворять общим соотношениям
D3,13), D3,14) и D3,15).
Рассмотрим теперь частный случай упругого рассеяния в поле,
инвариантном относительно преобразования инверсии, т. е. если
1г= — г, то
/и(г) = ы(—г) = и(г). D3,16)
К такому типу полей относится, в частности, центрально-симметрич-
центрально-симметричное поле.
Если силовое поле и (г) инвариантно относительно преобразования
инверсии пространственных координат, то и амплитуда рассеяния также
инвариантна относительно преобразования инверсии:
/ F (kb, ka) = F(~kb,-ka) = F (kb, ka). D3,17)
Условие инвариантности D3,17) относительно инверсии пространствен-
пространственных координат вместе с условием D3,13) приводит к равенству
F(kb,ka) = F(ka,kb), D3,18)
показывающему, что амплитуда рассеяния является симметричной функ-
функцией волновых векторов ka и kb.
Далее из D3,14) следует, что при инвариантности взаимодействия
относительно пространственной инверсии амплитуда рассеяния удовле-
удовлетворяет условию
\mF(kb,ka) = %-

202 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНЫМ ПОЛЕМ [ГЛ. VI!
которое мы будем называть соотношением унитарности для ампли-
амплитуды рассеяния.
Обозначим дифференциальное сечение упругого рассеяния на угол О
через а (Ь) ~ -^; тогда, учитывая формулу D3,9), можем написать:
F (kb, ka) = Aba @) = У7Щ exp (/a F)), D3,20)
где модуль амплитуды рассеяния У а @) и фаза a @) являются функ-
функциями энергии; 0 — угол между ka и kb.
Если дифференциальное сечение о @) для данной энергии рассеяния
измерено для всех углов 8, то фаза амплитуды рассеяния a @) может
бить определена как решение интегрального уравнения [1]:
D3,21)
где 0' — угол между векторами ka и k\ Ь" — угол между векторами
kh и k; интегрирование производится по всем направлениям вектора k.
Вследствие того, что уравнение D3,21) инвариантно относительно пре-
преобразования
а@)—+тт — а@), D3,22)
фазу амплитуды рассеяния можно вычислить только с точностью до
преобразования
А$)~^ — Л*ф). D3,23)
Таким образом, измерение сечения рассеяния на все углы при заданной
энергии позволяет определить амплитуду рассеяния с точностью до
преобразования D3,23).
§ 44. Рассеяние частиц с нулевым спином
в центрально-симметричном поле
Если потенциал поля, в котором происходит рассеяние, обладает
сферической симметрией V(r)= V( \r \), то решение уравнения D3,1)
можно представить в виде суперпозиции парциальных волн, соответ-
соответствующих состояниям с определенным моментом количества движения:
со
X^ D4,1)
где 0 —угол между направлением г и направлением волнового вектора ka

§ 44] РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ С НУЛЕВЫМ СПИНОМ 203
падающей волны, а радиальная функция R^r) удовлетворяет уравнению
и граничному условию
#z@) = 0. D4,3)
Разложим падающую плоскую волну сра (г) по собственным функциям
оператора момента количества движения:
%(r)= 2 B/+1 )/'//(*/•) Л (cos в), D4,4)
где j^kr) — сферическая функция Бесселя, выражающаяся через обыч-
обычную функцию Бесселя полуцелого порядка с помощью соотношения
Сферическая функция Бесселя jt{x) имеет следующие асимптотические
выражения *):
ГO Х ии, если *« 1,
, если лг >> 1,
где B/-1-1)!! = 1.3-5 ... B/-J-1).
Итак, плоская волна на больших расстояниях от области действия
сил kr >> 1 может быть записана в виде:
*7
а I =
где
D4,7)
Первое слагаемое в фигурных скобках D4,7) соответствует сходящимся,
а второе расходящимся от центра волнам.
*) Напомним явный вид сферических функций Бесселя для трех первых
значений I;
... sin л;
Л (х) — —-;
. .. fs\x\x cosxN ... 1 (( 3

204 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНЫМ ПОЛЕМ [ГЛ. VII
Взаимодействие потока падающих частиц с рассеивающим центром
изменит амплитуду расходящихся от центра волн, поэтому радиальная
часть волновой функции, описываемая уравнением Шредингера D4,2),
при kr >> 1 может быть записана в виде
}
== sin [kr — ^J-]—Sr exp L Ч 2")J '
Коэффициент Sf в D4,8), определяющий соотношение между амплиту-
амплитудами расходящихся и сходящихся волн, является диагональным элемен-
элементом матрицы рассеяния, соответствующим орбитальному моменту /.
Подставляя D4,8) в D4,1), получим:
Jkr
е—у kr>>u D4,9)
где амплитуда рассеяния А @) выражается через элементы St матрицы
рассеяния:
1A—5,). D4,10)
1 = 0
Элементы матрицы рассеяния St являются комплексным*! числами;
в случае упругого рассеяния они могут быть выражены через вещест-
вещественные фазовые смещения (фазовые сдвиги или фазы рассеяния) dt:
S, = expB/Jz), или 5, — 1 = 2ie№' sin bt. D4,11)
Из D4,11) следует, что фазовые смещения bt определяются неод-
неоднозначно. Область изменения фазовых смещений может быть выбрана
произвольно либо в интервале @, к), либо ( — -я- > -о ) • В дальней-
тем, если не будут делаться специальные оговорки, мы будем поль-
пользоваться интервалом у ^ § ^ у.
С помощью D4,10) и D4,11) мы можем представить дифференци-
дифференциальное сечение рассеяния в телесный угол du в следующем виде:
= F И B/+]} B/'+1 ] Pl{cos 0) P/'(cos 0) sln S'sin bl
i, i'
D4,12)
Воспользуемся далее известной формулой для произведения поли-
полиномов Лежандра
Р, (cos 0) Pv (cos 0) = _2 t [(//'001 LO)J PL (cos 0),

§ 44] РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ С НУЛЕВЫМ СПИНОМ 205
где (//'00|/.0) — коЦфициенты векторного сложения (см. приложение I)
Тогда D4,12) примет вид
¥ L BlPi (C0S 0) "°' D4)! 3)
где
£/.= 2 2 B/+l)B/'4-l)[(//'00|Z.0)]>sinJlsinJ//cos(^ —8//).
D4,13а)
Интегрируя выражение D4,13) по всем углам, получим интеграль-
интегральное сечение рассеяния:
где согласно D4,13а)
так как
[(//'001/.0I- = ^-.
Итак, интегральное сечение рассеяния можно представить в виде
суммы парциальных сечений рассеяния ар относящихся к определенным
значениям /:
GO
o=2°i. D4,15)
1=0
где
^ = ^B/+l)sin4=!-2B/-f 1)|1-SZ|2. D4,15a)
Если рассеяние характеризуется небольшим числом отличных от
нуля фазовых смещений (условия этого мы определим ниже), то,
определяя эффективное сечение рассеяния как функцию угла О,
можно с помощью формулы D4,13) вычислить BL, а затем, исполь-
используя D4,13а) и D4,14а), определить фазы рассеяния. Такая обработка
экспериментальных данных носит название фазового анализа сечений
рассеяния.
Задачей теории рассеяния является вычисление фазовых смещений
или амплитуды рассеяния по заданному потенциалу V(r). Поскольку,
однако, в ядерной физике законы ядерных взаимодействий еще недо-
недостаточно изучены, то особенно большое значение имеет обратная за-
задача— определение вида потенциала по экспериментальным значениям
фазовых смещений или определения амплитуды рассеяния по измерен-

206
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНЫМ ПОЛЕМ [ГЛ. VI/
ным эффективным сечениям рассеяния. Эти величины связаны соотно-
соотношением da @) = \А(Щ \2 di}, поэтому из экспериментального значения da
амплитуда рассеяния определяется только с точностью до фазового
множителя, так как А @) и А* (Ь) дают одинаковое сечение рассеяния.
Эта неоднозначность частично устраняется так называемыми дисперси-
дисперсионными соотношениями теории рассеяния, которые связывают мнимую
и действительную части амплитуды рассеяния (см. § 52).
Пользуясь D4,10) легко показать, что мнимая часть амплитуды
рассеяния вперед имеет вид
1 °°
= уУ^ B/ —(— 1) sin2 §г. Сравнивая
1 = 0
это значение с D4,14а), мы убедимся, что интегральное сечение рас-
рассеяния связано с мнимой частью амплитуды рассеяния вперед простым
соотношением:
^), D4,16)
которое уже было получено в § 43. Там же было показано, что если
дифференциальное сечение рассеяния известно для всех углов рассея-
рассеяния, го можно определить амплитуды рассеяния только с точностью до
преобразования А @)—► — А* @). Это преобразование, как легко видеть
из D4,10) и D4,11), соответствует замене знаков у всех фазовых сме-
смещений.
Посмотрим, каким же образом связаны фазовые смещения Ь1 (или
матрица рассеяния St) с потенциальной энергией взаимодействия V{r).
Для решения этой задачи необходимо общее решение волнового урав-
уравнения для радиальной части D4,2) представить в виде суммы падающей
и уходящих волн.
Дифференциальному уравнению D4,2) с граничным условием D4,3)
в нуле и D4,8) в бесконечности соответствует интегральное уравнение
00
Я| И = Si (г) + J Gz (г, г') и (г') Rt (/•') dr\ D4,17)
где функция Грина левой части уравнения D4,2) определяется усло-
условиями:
G(rtr')=
если г<г';
если
D4,18)
при этом функции
} = krj\ (kr),
\ = kr[nl(kr)—ijl(kr)]
D4,18а)

§ 44] РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ С НУЛЕВЫМ СПИНОМ 207
являются собственными функциями оператора
Из формул D4,18а) видно, что они выражаются через сферическую
функцию Бесселя jt(x) и сферическую функцию Неймана п((х), сингу-
сингулярную при х=0. Сферическая функция Неймана определяется через
функцию Неймана полуцелого порядка
= V Тх
2х ' '+ ;2 v"
и имеет следующие асимптотические свойства:
B1— 1)!!
, если дг«1;
тЛ
cos I х —к
, если х >> 1.
Подставляя в D4,17) асимптотическое значение функции Wt{x) при
дг»1:
W. (х) = — ехр [ i \х — -7г\ ,
\ L 2 J /
получим:
со . (kr_l±\
2 Л kryyl.
о
Сравнивая это выражение с D4,8), имеем:
со
Sl = emi = 1 + ^ J ft И « И ^ И dr. D4,19)
о
Пользуясь D4,11), можно также написать:
со
eiblsinbl = — -^ f ft (г) и (г) Rt (r) dr. D4,19а)
о
Таким образом, если известно решение интегрального уравнения
D4,17), то можно вычислить матрицу рассеяния и фазовые смещения §i#
При малых значениях фаз exp{2/dj можно разложить вряд: тогда,
учтя D4,19), находим:
со
D4;20)

208
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНЫМ ПОЛЕМ [ГЛ. VII
Если система не обладает связанными уровнями, то знак j\{kr)
и Rt (r) в области действия потенциала и (г) одинаков. В этом слу-
случае при силах отталкивания (и(г)^>0) фазовое смещение согласно
формуле D4,20) будет отрицательным (§, <^ 0). Для сил притяжения
(и(г)<^0) фазовое смещение положительно (<^>0). Если энер-
энергия взаимодействия меняет знак, то знак фазового смещения будет
определяться условием преобладания сил притяжения или сил от-
отталкивания.
На рис. 50 схематически изображена радиальная функция Rt (г) для
потенциала притяжения и отталкивания по сравнению с функцией jt (kr)y
соответствующей случаю отсутствия сил взаимодействия.
JilKr)
Рис. 50. Схематическое изображение радиальной функции /?/(/•) для потенциала
отталкивания (а) и потенциала притяжения (б) при отсутствии связанных
уровней.
Предположим, что потенциал взаимодействия имеет радиус дейст-
действия d и Ы<<1; тогда, используя асимптотическое значение D4,5),
получим:
d t &
Для грубой оценки этого интеграла вместо Rt{r) можно подставить
первый член D4,17); тогда получим:
wil+л
«(г)
(г) *,
где d, — некоторый эффективный радиус взаимодействия. Итак, с умень-
уменьшением энергии все фазовые смещения уменьшаются:
S, -^ (kd)zl+1 s. (VE d)u+\ D4,21)
и тем быстрее, чем больше /. Факториалы в знаменателе также сильно

§ 44] РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ С НУЛЕВЫМ СПИНОМ
растут с ростом /:
209
1
lBl + \)\\f
0
1
1
9
2
225
3
11025
Следовательно, при малых энергиях и малом радиусе действия ядер-
ядерных сил (kd << 1) существенный вклад в сечение рассеяния будет вно-
вносить только фазовое смещение §0. В этом случае рассеяние будет
обладать сферической симметрией в системе центра инерции.
На рис. 51 изображено изменение значений фазовых смещений §0 и
Ь. с ростом энергии нейтрона, рассеиваемого потенциальным полем
Рис. 51. Изменение фазовых смещений §0 и о, с ростом энергии при
рассеянии нейтронов на потенциальной прямоугольной яме.
прямоугольной формы {Vo = — 42 Мэв, rf = 4,2- Ю~13 см). Мы ви-
видим, что с ростом энергии нейтрона абсолютные значения §0 и §1
растут, достигая значения—тт/2 соответственно при энергиях 2,83 и
5,01 Мэв. При переходе через эти значения энергии фазовые смещения
изменяются скачком до —|— тт/2, а затем уменьшаются при дальнейшем
возрастании энергии. Парциальные эффективные сечения
имеют максимальные значения для значений энергии, при которых
|8г|=тт/2, если не учитывать небольшого смещения, вызываемого
14 А. С. Давыдов

210 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНЫМ ПОЛЕМ [ГЛ. VII
множителем k~*. Поэтому значения энергии, при которых bt= тг, на-
называют виртуальными уровнями нейтрона в потенциальной яме.
Иногда вместо асимптотического поведения радиальной части функ-
функции D4,8):
используют другое выражение:
/?; (г) = sin (&- — £)+*g*/- cos (&• —f). D4,22)
При таком асимптотическом поведении радиальной волновой функции,
соответствующей не расходящимся, а стоячим волнам, для вычисления
tg 2,, определяющего фазовые смещения, надо исходить из интеграль-
интегрального уравнения
со
R'i (г) = ft (г) + J К, (г, г') и (/■') Я; (г') dr\ D4,23)
и
где функция Грина должна определяться из условий:
(/•'), если г^г';
jgi(r')Vi(r)> если /•>/•'.
При этом функция уг (г) = krnt (kr) и имеет асимптотическое значение
при больших г:
V,(/") = — cos Г/ег ~], kr»\. D4,24)
Принимая во внимание D4,24), из D4,23) получим асимптотическое
значение
со
/ In \ Г 1 Г» , I / 1п\
Rl(r)=sml kr — у 1— \ — \ g (г) и (г) R (r) dr cos [kr ^ ) • D4,2.j)
о
Сравнивая D4,25) с D4,22), имеем:
со
tg &,= — j j ft (Лг) u (r) ^; (r) rfr. D4,26)
о
Для вычисления фазовых смещений 8г с помощью D4,26) надо пред-
предварительно определить R'^r) из интегрального уравнения D4,23).
Швингер [2] предложил заменить интегральное уравнение D4,23)
вариационным уравнением. Для получения уравнения Швингера умно-

§ 45] РАССЕЯНИЕ ПОТЕНЦИАЛОМ СО СПИН-ОРБИТАЛЬНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ 211
жим уравнение D4,23) на и (г) R't (r) dr и проинтегрируем по г\ тогда
оо со со
= $ ft (г) и (г) я; (г) Л- + $ rfr S dr'u (r) Rt (г) К (г, г') и (г') R't (/■'
О 0 0
Разделив это равенство на
получим:
и (г) \R't (г)]г dr — С dr Г rfr'« (г) /?' (г) /С(г, г') гг (г') R' (г')
о
Используя D4,26), имеем окончательно:
[ dr [ dr'u (r) R' (г) К (г, г') и (г') R' (г) -[и (г) R'2 (r) dr
. D4,27)
Уравнение D4,27) можно рассматривать как вариационный принцип для
fectgdj, так как функция R'i(r), удовлетворяющая интегральному урав-
уравнению D4,23), делает D4,27) стационарным. Из стационарных свойств
D4,27) следует, что ошибка в &ctgSz, полученная из D4,27), будет
порядка квадрата ошибки в волновой функции R' (г) (в области дей-
действия сил). Вторым преимуществом D4,27) будет его однородность
относительно R[ (r). Поэтому при вычислении D4,27) не следует за-
заботиться о нормировке функции R\ (r).
§ 45. Рассеяние нуклонов центральным потенциалом,
содержащим спин-орбитальное взаимодействие
В предыдущем параграфе при исследовании рассеяния частиц
центрально-симметричным потенциалом мы не учитывали спина частиц.
Это допустимо в том случае, когда частицы имеют спин равный нулю
или потенциал взаимодействия не зависит от ориентации спина по
отношению к направлению орбитального момента количества движения
нуклона. Рассмотрим теперь рассеяние нуклона на потенциале, который
14*

212 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНЫМ ПОЛЕМ [ГЛ. VII
содержит спин-орбитальную часть, т. е. зависит от ориентации спина
нуклона относительно орбитального момента количества движения.
Примером такого потенциала является потенциал, используемый в опти-
оптической модели взаимодействия нуклонов и ядер (см. также § 15), ко-
который можно записать в виде
t(r)l8. D5,1)
Падающая волна при учете спинового состояния нуклона имеет вид
?а (Г> а) = Х'г'я (°) ехР (ikar)' D5'2)
Для наиболее простого описания процесса рассеяния удобно разло-
разложить функцию D5,2) по собственным функциям оператора Гамильтона,
содержащего потенциал D5,1). Поскольку интегралами движения при
таком гамильтониане являются полный момент количества движения
и спиновый момент нуклона, то разложение D5,2) надо проводить по
(спин-угловым) сферическим функциям со спином Фут (см. приложе-
приложение I, § В). Такое разложение легко получить, если разложить
exp (ikar) по сферическим функциям и использовать теорему о вектор-
векторном сложении:
£ {^\I/т D5,3)
Тогда имеем:
<Р« (г, о) = £ /' К4тт B1 + 1) A /«О1 у«) ФЧт (а, 6) j\ (kar). D5,4)
Если потенциал D5,1) имеет ограниченную область действия, радиус
которой равен R, то при r^>R, используя асимптотическое представ-
представление сферической функции Бесселя, можно написать:
.D5,5)
Волновая функция, учитывающая взаимодействие с потенциалом D5,1),
теперь может быть записана в виде (при
, D5,6)
где S{j — коэффициент, определяющий изменение (вследствие действия

§ 45] РАССЕЯНИЕ ПОТЕНЦИАЛОМ СО СПИН-ОРБИТАЛЬНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ 213
потенциала) амплитуды расходящихся сферических волн, StJ- является
элементом матрицы рассеяния, зависящей от вида потенциала D5,1)
и энергии частицы.
Если выделить из D5,6) падающую волну, то можно написать:
, а) = сра(г, о)
I tmO\Jm) %тЦ=+ ехР // U~)Y D5,7)
/, /
Учитывая, что —^ — =hl(x), если х»1, где ht{x) — сфе-
сферическая функция Ганкеля первого рода, можно привести D5,7) к виду,
часто используемому в литературе:
(д ) %^ . D5,7a)
Ui
Волновую функцию D5,7) можно записать в виде
pikr
*=?e+^V« D5'8)
где амплитуда рассеяния
1 lmO\jm) Ф/уя1A -5/у). D5,9)
', У
Дифференциальное сечение рассеяния в телесный угол dQ определится
через амплитуду рассеяния обычной формулой:
da=\A{b)\2dil D5,10)
Интегрируя по всему телесному углу и усредняя по состояниям поля-
поляризации нуклона, получим эффективное интегральное сечение рассеяния:
By+1)|l-Sv|V D5,П)
При получении D5,11) были использованы свойства ортонормирован-
ности функций Фцм и соотношение
Если ввести фазовые смещения btj с помощью соотношения
Sy — 1 = 2i" sin Jv exp (й/у),

214 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНЫМ ПОЛЕМ [ГЛ. VII
то D5,11) можно переписать в виде
D5,12)
/ = 0
На рис. 52 изображены фазовые смещения, которые согласно данным
Губера и Балдингера [3] хорошо описывают интегральное а и диффе-
дифференциальные эффективные сечения рассеяния нейтронов на Не4 в области
от 0 до 4 Мэв.
Для исследования поляризации нуклонов при рассеянии в потенци-
потенциальном ноле, содержащем спин-орбитальное взаимодействие, удобно
сохранять при вычислениях спиновую
волновую функцию Xv2/л-Другими сло-
словами, удобно искать волновую функ-
функцию, изображающую состояние сис-
системы на больших расстояниях от цен-
центра рассеяния, в виде
Jkr
&
E0
WO
60
О
-50
-100
t
Рис. 52. Фазовые смещения, опи-
описывающие рассеяние нейтронов
на Не4.
Такое представление возможно, если
ввести два проекционных опера-
оператора П+ и II", обладающих сле-
следующими свойствами: П+, действуя
на функцию У,0Х1'2т, обращает в нуль в разложении D5,3) слагаемое,
соответствующее функции Ф*,/_к21 я,, и оставляет неизменным слагаемое,
соответствующее j = l-\-1 /2. Оператор II" обращает в нуль слагаемое
с j== l-\-lj2 и оставляет неизменным слагаемое с j=l —1/2. Учитывая,
что функции Ф/;/я (см. приложение I, § В) являются собственными
функциями оператора Ol с собственными значениями:
(hi) Ф/,|+«/11Я = /Ф/.«+«/,.«.. /= — /[rV],
(hi) Ф ,, ,_,:,, m =-
D5,14)
можно написать проекционные операторы П+ и П" в виде
С помощью операторов D5,14) функцию D5,7) можно привести
к виду
eikr
Шг'
D5,15)

§ 45] РАССЕЯНИЕ ПОТЕНЦИАЛОМ СО СПИН-ОРБИТАЛЬНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ 215
Вводя фазовые смещения 3+ и §7 с помощью соотношений
5,, ,*!,, — 1 = 2/ ехр (it*;) sin Sf
и используя явный вид операторов D5,14), можно написать:
ехр
xp (Й7) sin§7]
in 8t — ехр (Й~) sin 87] Ql Yl0) £ ZVll«. D5,16)
sin
Если вектор &6 определяет направление рассеяния, то легко убедиться,
что
^i, D5,17)
где единичный вектор п определяется равенством
пкг sin 6 = [kb, ka].
Учитывая D5,17), можно привести функцию D5,16) к виду D5,13), если
/ @) = А @) I -\~ В @) 9п, D5,18)
со
= Т L
sin
ехр (/$7) sin 57] Yi0>
в @) =
Y 2гт
- ехр
sin S
D5,19)
I — единичная двухмерная матрица.
Если падающие нуклоны не поляризованы, то дифференциальное
сечение рассеяния определяется формулой
% ^ (Щ*. D5,20)
Итак, при рассеянии частиц со спином J/2 в поле, потенциал которого
содержит спин-орбитальное взаимодействие, асимптотическое значение
волновой функции на больших расстояниях от области действия ядерных
сил может быть представлено в виде

216 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНЫМ ПОЛЕМ [ГЛ. VII
где амплитуда рассеяния является матрицей
= А @) I + В @) <зп. D5,22)
К задаче рассеяния центрально симметричным потенциалом, содержащим
спин-орбитальное взаимодействие, относится и задача рассеяния частиц
со спином */2 на ядрах с нулевым спином. В этом случае рассеяние
характеризуется дифференциальным сечением и состоянием поляризации
рассеянных частиц.
Определим вектор относительной поляризации частиц с помощью
соотношения
тогда, подставляя D5,21), находим:
Таким образом, вектор поляризации рассеянных частиц на ядрах
нулевого спина всегда направлен перпендикулярно к плоскости рассеяния.
Исходя из требования инвариантности при пространственных вращениях
и отражениях легко убедиться, что формула D5,22) является наиболее
общим видом амплитуды рассеяния частиц со спином \/2 на ядрах, не
имеющих спина. В самом деле, амплитуда рассеяния / @) в спиновом
пространстве частиц со спином Ч2 должна изображаться матрицей,
составленной из единичной матрицы I и трех спиновых матриц Паули
ах, оу, аг. Из этих четырех матриц можно построить следующие
неприводимые тензорные величины:
I —скаляр, \ , .
а — аксиальный вектор. /
Кроме спина частица характеризуется двумя векторами ka и kb
начального и конечного состояний соответственно. Из этих двух векторов
можно построить следующие неприводимые тензоры:
kakb — скаляр,
K=nr i~i — полярный вектор,
I kb — ka I
:[£6&a] (H^^eJI) — аксиальный вектор,
вектор.
(б)
Единичные векторы К, N, п взаимно ортогональны, при этом К и N
лежат в плоскости рассеяния, а п перпендикулярен к плоскости рассеяния.

§ 45] РАССЕЯНИЕ ПОТЕНЦИАЛОМ СО СПИН-ОРБИТАЛЬНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ 217
Из величин (а) и (б) можно образовать только два скаляра, инва-
инвариантных при пространственном вращении и отражении:
I и па.
Следовательно, наиболее общий вид амплитуды рассеяния неполяри-
зованного пучка частиц со спином г jz на ядрах со спином нуль должен быть
/@) = А-\-\-B па, D5,24)
где А и В— функции скаляров k\—k\ и {kbka), т. е. функции энергии
относительного движения и косинуса угла рассеяния. Если учесть, что
при обращении времени (см. § 51) имеет место преобразование
а= — а, ka—+ — ka, kb=—kb,
то легко видеть, что D5,24) инвариантно относительно операции обра-
обращения времени.
Упругое рассеяние нуклонов нуклонами и нуклонов ядрами, облада-
обладающими спином, также сводится к задаче рассеяния частиц потенциаль-
потенциальным полем. Однако в этом случае вследствие того, что спиновое простран-
пространство системы имеет большее число степеней свободы, общее выражение
для амплитуды рассеяния имеет более сложный вид, чем D5,24).
Определим общий вид амплитуды рассеяния при взаимодействии
двух частиц, имеющих спин 1j2. Теперь амплитуда рассеяния будет
изображаться матрицей, составленной из матриц I, алх, Giy, o1?, згх,
о а2г- Из этих матриц можно построить следующие неприводимые
тензорные величины [4]:
I — скаляр,
(ffjff2 — I) — скаляр,
(а, -|- J2) — аксиальный вектор,
(Jj — J2) — аксиальный вектор,
[jjjg] — аксиальный вектор,
tXy={Glxazy-\~a\yQ2x)> tyv •••—симметричные тензоры
второго ранга.
Тензоры, образованные из ka и kb, кроме (б) должны включать еще
симметричные тензоры:
КхКу, пхпу, NxNy,
(в)
Из величин (б) — (г) можно образовать следующее общее выражение
для амплитуды рассеяния частиц спина '/2 на частицах' спина J/2, инва-
инвариантное относительно операций обращения времени, пространственных
вращений и отражений:
. D5,25)

218 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНЫМ ПОЛЕМ [ГЛ. VII
Если мы интересуемся спиновыми состояниями только первой частицы,
то амплитуду рассеяния можно представить в виде
хп) -f с (<3ХК) + d (9XN), D5,26)
где а, Ь, с, d — зависящие от энергии относительного движения и угла
рассеяния функции, содержащие спиновые операторы второй частицы.
При упругом рассеянии частиц с произвольными спинами sx и s2
амплитуда рассеяния должна определяться в спиновом пространстве
B^г —]— 1) Bs2-j-l) измерений. В этом случае амплитуда рассеяния
должна строиться из произведений B.^-1-1) спиновых состояний опе-
операторов первой частицы, Bs2~\-\) спиновых операторов второй частицы
и тензорных операторов, построенных из ka и kb. Амплитуда рассеяния
сохраняет свой вид D5,26) и в случае рассеяния частицы спина '/2 на
ядрах с произвольным спином, если интересуются только спиновыми
состояниями этой частицы.
Коэффициенты Л, В, С, D, Е и F в D5,25) зависят, вообще говоря,
от энергии относительного движения частиц и косинуса угла рассеяния.
При рассеянии тождественных частиц амплитуда рассеяния должна быть
инвариантной относительно перестановки обеих частиц. Отсюда следует,
что коэффициенты А, В, С, Е, F должны быть симметричными, а коэф-
коэффициент D антисимметричным относительно преобразования 0—>-тт — 0.
§ 46. Рассеяние нейтронов малой энергии на свободных протонах
При рассеянии нейтронов на протонах последние можно считать
свободными, если энергия нейтрона велика по сравнению с энергией
химической связи протона (~- 1 эв) в молекуле или кристалле. Поэтому
при рассеянии нейтронов с энергией, превышающей несколько эв, можно
не учитывать эффект химической связи.
Длина волны % = —, соответствующая относительной скорости
нейтрона и протона v (jx-приведенная масса), выражается через энергию
Е^ [Мэв) нейтронов в лабораторной системе координат простой формулой:
о.in-"
%=-~см. D6,1)
Для ЕЛ<С_\О Мэв длина волны превышает радиус действия ядерных
сил и согласно оценкам, сделанным в § 44, в рассеянии могут уча-
участвовать только £-волны (/=0). Рассеяние будет изотропным в системе
центра инерции до тех пор, пока протон можно рассматривать как сво-
свободную частицу. В этом параграфе будет исследовано рассеяние про-
протонами нейтронов с энергией в интервале 1 эв<^Ел<^]0 Мэв.
Радиальная волновая функция в случае 5-состояния системы удовле-
удовлетворяет уравнению
^5 + Л1 - и (г)] R (г) = О, Я @) = 0, D6,2)

§ 46] РАССЕЯНИЕ НЕЙТРОНОВ МАЛОЙ ЭНЕРГИИ НА СВОБОДНЫХ ПРОТОНАХ 219
где
s — энергия относительного движения,- равная половине энергии ней-
нейтронов падающего пучка в лабораторной системе координат Ел (см. § 42).
Система, состоящая из протона и нейтрона, может находиться в двух
спиновых состояниях: синглетном и триплетном. Энергия их взаимодей-
взаимодействия в каждом из этих состояний будет различной. Вначале рассмотрим
случай синглетного состояния, снабдив и и R индексом s:
£+*■-«, С)] /?,С) = °. я,(О) = о. №3)
Наряду с этим уравнением рассмотрим аналогичное уравнение для k = О*):
£з - «, (г)] /?., (г) = О, RQS @) = 0. D6,4)
Умножая D6,3) на Ros, a D6,4) на Rs и вычитая из первого уравнения
второе, получим:
d (p dR0S n dRs
Введем теперь вспомогательные функции Ф^ и Фо^, удовлетворяющие
соответственно уравнениям D6,3) и D6,4) при us = 0 и при г = 0,
равные 1, а при г —► оо переходящие в Rs и Ros. Этим условиям удов-
удовлетворяют функции
ф giKfer + U ф =«5-г F6
где а? — некоторая постоянная величина, называемая длиной рассеяния;
bs — фазовый сдвиг рассеянной волны в синглетном спиновом состоянии.
Функции D6,6) удовлетворяют соотношению
± (ф ^os — ф <&*)== #Ф Ф D6 7)
dr \ s dr os dr w
Вычтем D6,7) из D6,5) и проинтегрируем полученную разность по г
от нуля до бесконечности. Принимая во внимание D6,6), граничные
условия в нуле и условие совпадения функций R и Ф при больших г,
получим:
оо
k ctg Ьа = - i- + Л" \ (Ф,ФМ -/?^?м) rfr. D6,8)
*) Поскольку мы не учитываем химической связи протона, то переход
к пределу k -*■ 0 следует рассматривать как экстраполяцию случая отсутствия
связи, а не как истинное рассеяние при малых энергиях.

220 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИЙ РАССЕЯНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНЫМ ПОЛЕМ [ГЛ. VII
Уравнение D6,8) является точным; с его помощью можно найти при-
приближенное выражение, имеющее большое практическое значение. Прежде
00
всего отметим, что ^ RsRosdr = O, так как функции Rs и Ros принад-
о
лежат к разным энергетическим состояниям. Однако удобно сохранить
произведение RSRQS под знаком интеграла; тогда подынтегральная функ-
функция будет отлична от нуля в основном только внутри области действия
ядерных сил (r<^d). Для рассматриваемого случая малых энергий
(&£?<< 1) подынтегральное выражение будет слабо зависеть от энергии
и можно положить:
где
о
не зависит от энергии, имеет размерность длины и называется эффек-
эффективным радиусом действия ядерных сил.
Итак, при учете D6,9) находим:
l ^ ,+ .-. D6,10)
Проведя ана логичные рассуждения для случая триплетного рассеяния,
получим:
Из D6,10) и D6,11) следует, что в пределе малых энергий фазовое
смещение синглетного (триплетного) рассеяния определяется только
одним параметром — длиной рассеяния as (at). Длиной рассеяния а назы-
называют такое значение г, при котором волновая функция, соответствующая
экстраполяции к нулевой энергии, первый раз обращается в нуль.
При k — О волновая функция вне радиуса действия ядерных сил
А А
ф=е'*г -| е; принимает вид ф=1-| . По определению длина
рассеяния а находится из условия ф|г=д = 0; следовательно, длина
рассеяния а и амплитуда рассеяния А (при нулевой энергии) связана
простым соотношением
а——А. D6,12)
На рис. 53 изображены радиальные функции Ro (г) и Фо (г) для
потенциала притяжения и трех значений длин рассеяния. При а^>0
в потенциальной яме возможны связанные состояния. При а=оо в по-
потенциальной яме возможно только одно связанное состояние с нулевой
энерги&й. При а<^0 в потенциальной яме нет связанных состояний.

§ 46] РАССЕЯНИЕ НЕЙТРОНОВ МАЛОЙ ЭНЕРГИИ НА СВОБОДНЫХ ПРОТОНАХ 221
При нулевой энергии (или бесконечно малом радиусе действия ядер-
ядерных сил) формулы D6,10) и D6,11) переходят соответственно в
D6,13)
Если фазовые смещения определены в интервале —Т^^^Т'
то согласно D6,13) положительным значениям длины рассеяния соот-
соответствуют отрицательные фазовые смещения ( —-^-^§<^0), а отри-
цательным значениям длины рассеяния соответствуют положительные
I
а>0
а-0
Рис. 53. Радиальные волновые функции, соответствующие рас-
рассеянию при нулевой энергии для положительной, отрица-
отрицательной и бесконечной длин рассеяния.
фазовые смещения 0 ^ § ^ -—. Если фазовые смещения определены
в интервале О^З^тт, то согласно D6,13) положительным значениям
длины рассеяния будут соответствовать фазовые смещения из интер-
интервала: у^^5^7^ а отрицательным значениям длины рассеяния фазо-
вые смещения из интервала и <: 6 <С~т •
Учет конечного радиуса действия ядерных сил позволяет с помощью
D6, Ю) и D6,11) определить зависимость фазовых смещений от энер-
энергии (при малых энергиях). Формулы D6,10) и D6,11) впервые полу-
получены Ландау и Смородинским [5] и называются в литературе прибли-
приближением, «не зависящим от формы потенциала». Более строгое обосно-
обоснование этого приближения дано в [2, 6].
Согласно D6,10) и D6,11) эффективные сечения рассеяния нейтро-
нейтронов на протонах будут зависеть от двух постоянных as и rQS для син-
глетного спинового состояния и at и rQt для триплетного спинового
состояния:
D6,14)
4т:
*"+(зг'«*-!,
D6,15)

222 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНЫМ ПОЛЕМ [ГЛ. VII
Из формул D6,14) и D6,15) следует, что экстраполированные к нулевой
энергии сечения выражаются через квадраты соответствующих длин
рассеяния:
k—*0. D6,15a)
Измерение эффективных сечений рассеяния нейтронов малой энер-
энергии на протонах может дать сведения только о двух параметрах, ха-
характеризующих потенциальную энергию взаимодействия, и не опреде-
определяет функциональной зависимости этой энергии от расстояния. В ча-
частности, в случае потенциальных энергий взаимодействия, зависящих
от двух параметров:
прямоугольная яма . / — Vo,
У^=\ 0, r>d;
гауссовский потенциал !/(/■) = — V0e~r2d2;
потенциал экспоненциальной формы V(r) = — VQ e~2r:d;
потенциал Юкавы !/(/*) = ° . ■ и других,
можно получить значения длины рассеяния и эффективного радиуса,
найденных опытным путем, при надлежащем выборе параметров Vo и d,
т. е. «глубины и ширины» соответствующих потенциалов.
Итак, экспериментальные данные по рассеянию нейтронов на про-
протонах в области энергий, меньших 10 Мэв, не позволяют сделать вы-
выбор между приведенными выше потенциалами (или какими-либо дру-
другими). Можно использовать любой из этих потенциалов для описания
процесса рассеяния при малых энергиях, если выбрать соответствующие
значения Vo и d. Удовлетворительные результаты дает потенциал Юкавы
с параметрами для триплетного рассеяния 1/0< = 67,8 Мэв, dt= 1,18 X
X 10~13 см. Потенциал синглетного рассеяния выбирается меньшим
VM = 0,6V0,.
Эффективный радиус действия ядерных сил, зависящий от вели-
величины d и Vo, уменьшается с увеличением «глубины» ямы, однако, ха-
характер этого изменения зависит от формы потенциала [2].
В случае триплетного спинового состояния можно связать параметры,
описывающие рассеяние, с энергией связи дейтрона. Как известно,
энергия связи дейтрона
где Р—«эффективный радиус» дейтрона. Радиальная волновая функ-
функция, выраженная через матрицу рассеяния 5, должна при k==—/[$
перейти в волновую функцию связанного состояния дейтрона, т. е.

§ 46] РАССЕЯНИЕ НЕЙТРОНОВ МАЛОЙ ЭНЕРГИИ НА СВОБОДНЫХ ПРОТОНАХ 223
Это равенство возможно, если 5=0. Поскольку
с -1/8 Ctg 8J- /
*~-е — ctg S —^/'
то в этом случае
ctg &, = — /.
Подставляя это значение в D6,11) и полагая k=—гC, получим:
P = T,+ yPV D6,16)
Из D6,16) следует, что в приближении нулевого радиуса действия
ядерных сил $z=ajlm, таким образом, в этом приближении длина три-
плетного спинового рассеяния совпадает с эффективным радиусом дей-
дейтрона, равным 4,3- Ю~18 см. Рассеяние происходит как бы на твер-
твердой сфере с радиусом, равным эффективному радиусу дейтрона.
Поскольку в приближении нулевого радиуса действия ядерных сил
kctgb=—at-\
то матрица рассеяния нейтрона на протоне в триплетном состоянии мо-
может быть представлена в виде
о .2/8 k + iaf1
о — е — — - ——^ .
k — iat
С помощью D6,16) уравнение D6,11) преобразуется к виду
k ctg bt = - р +1 (^2 + kz) rot. D6,17)
Для рассеяния нейтронов на протонах в синглетном спиновом со-
состоянии можно по аналогии с D6,16) ввести величину $s с помощью
соотношения
%ч2
и сопоставить ей энергию Es = -~^^> 0, которую называют энергией
виртуального уровня дейтрона.
Используя формулы D6,16) и D6,18), выражения для сечений рас-
рассеяния D6,14) и D6,15) можно преобразовать к виду
4т:
(*" Н- РР [i — /-«Р* -Ь -|-(Аж -Ь Р5)

224 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНЫМ ПОЛЕМ [ГЛ. VII
Опыты по рассеянию нейтронов на протонах обычно выполняются
с неполяризованным пучком нейтронов на неполяризованных протонах,
поэтому из четырех возможных ориентации спинов нейтронов и прото-
протонов три будут относиться к триплетному спиновому состоянию, а одно —
к синглетному. Измеряемое на опыте усредненное по ориентациям спи-
спинов сечение рассеяния будет
°^° + ° D619)
Сечение D6,19) содержит три неизвестные величины: два эффек-
эффективных радиуса rot и ros и длину синглетного рассеяния; длина три-
плетного рассеяния выражается через энергию связи дейтрона (или р)
и rot — с помощью формулы D6,16).
Сечение рассеяния при «нулевой» энергии нейтронов равно [7]
ао = B0,36 4^0,10). 10~24. Используя это значение и формулы D6,19)
и D6,15а), можно вычислить as и at. Остающиеся две неизвестные
величины rot и rQS в принципе можно было бы определить, изучая за-
зависимость сечения рассеяния D6,19) от энергии падающих нейтронов.
Однако точность современных экспериментов еще недостаточна, чтобы
однозначно решить эту задачу. Если предположить, чтог0^=1,7-10~13 см,
at = 5,39-10~13 см, as= — 2,37-10~12 см, то экспериментальные се-
сечения рассеяния [8] совместимы со значением г0?, лежащим в интер-
интервале 1,5-Ю~13 — 3,5-103 ел/. Гипотеза зарядовой независимости
ядерных сил позволяет из сопоставления с данными по рассеянию про-
протонов на протонах (см. § 47) принять значение ros= 2,6- Ю~13 см.
Итак, из экспериментальных данных по рассеянию нейтронов малой
энергии на протонах можно определить только длину рассеяния и эф-
эффективный радиус действия ядерных сил и нельзя определить зависи-
зависимость от расстояния потенциальной энергии взаимодействия.
Эксперименты по рассеянию нейтронов на протонах указывают, что
рассеяние изотропно вплоть до энергии -v. 20 Мэв. Этот результат
несколько неожидан, так как энергии 20 Мэв соответствует, согласно
D6,1), Х = 2-Ю~13 см, и поэтому можно было бы ожидать появле-
появления рассеяния в состоянии с /]>0. Эти факты указывают на зависи-
зависимость потенциала взаимодействия от орбитального квантового числа /,
в частности от четности состояния.
§ 47. Рассеяние протонов на протонах при малых энергиях
Рассеяние протонов протонами является одним из лучших средств
количественного изучения ядерных сил, так как точность эксперимен-
экспериментов с протонами значительно выше, чем с нейтронами.
В связи с тем, что при рассеянии протонов на протонах участвуют
тождественные частицы в силу принципа Паули в S-состоянии могут
находиться только протоны с антипараллельными спинами, т. е. 5-рас-

§ 47] РАССЕЯНИЕ ПРОТОНОВ НА ПРОТОНАХ ПРИ МАЛЫХ ЭНЕРГИЯХ 225
сеяние протонов на протонах возможно только в синглетном спиновом
состоянии. Вторым следствием тождественности протонов является сим-
симметрия относитедьно угла 90° дифференциального сечения рассеяния
протонов на протонах, так как нельзя установить, какая из рассеянных
частиц находилась в падающем пучке.
Наличие электрических зарядов у обеих сталкивающихся частиц
приводит к тому, что рассеяние вызывают одновременно кулоновские и
ядерные силы. Ядерные силы являются силами притяжения, кулонов-
кулоновские силы — силами отталкивания. Рассеяния, обусловленные действием
обеих этих сил, когерентны; это приводит к появлению интерферен-
интерференционных членов в сечении рассеяния. Относительная роль кулоновских
сил особенно велика при малых энергиях. Ядерные силы начинают про-
проявляться только при энергиях протонов, превышающих 100 кэв. При
больших энергиях кулоновские силы играют малую роль и рассеяние
вызывается преимущественно ядерными силами.
Рассмотрим вначале рассеяние, обусловленное чисто кулоновским
взаимодействием. В этом случае радиальная волновая функция, соответ-
соответствующая орбитальному моменту /, будет удовлетворять дифференци-
дифференциальному уравнению *)
и граничному условию
/^@) = 0, D7,2)
где
2ре*
— энергия кулоновского взаимодействия. Введем новые обозначения:
п — Ьг г, — -£— — -г— <А7 Ч\
где v — относительная скорость протонов. Теперь уравнение D7,1)
примет вид
Решения уравнения D7,4) хорошо изучены [9]. Любое решение
") Вследствие большого радиуса действия кулоновских сил в рассеянии
участвуют многие парциальные волны; поэтому метод парциальных волн для
такой задачи является неудобным, лучше решать сразу полное уравнение, не
переходя к парциальным волнам. Однако при наличии ядерных сил, которые
обусловливают рассеяние только волн с г = 0 (малые энергии протонов), вы-
выделение парциальных волн в кулоновском рассеянии оказывается целесооб-
целесообразным.
15 А. С. Давыдов

226 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНЫМ ПОЛЕМ [ГЛ. VII
D7,4) можно представить в виде линейной комбинации функций Уит-
текера [10, стр. 139, 147]:
Из функций Уиттекера можно построить два линейно независимых ре-
решения D7,4): регулярное в нуле Fl (р) и нерегулярное Gl (p), имеющие
при р —»■ оо следующие асимптотические значения:
—у —ijlnp + a,), D7,5)
Gt(?) - cos (р-| -7j In p+o^, D7,6)
где аг — постоянный сдвиг фазы, обусловленный кулоновским взаимо-
взаимодействием:
ц ил" <»1 = аггГ(/+1+/Ч). D7,7)
Логарифмический член — rj In p в D7,5) и D7,6) характеризует зави-
зависящее от расстояния (хотя и медленно) смещение фазы, возникающее
вследствие бесконечно большого радиуса действия кулоновских сил.
Решением уравнения D7,4), удовлетворяющим граничному условию
D7,2), будет функция Rl = Fl(kr); она соответствует функции gt =
= krjt (kr) при рассеянии нейтронов.
При kr << 1 асимптотическое значение функций Fl (kr) и Gt (kr) для
случая /=0 можно представить в виде рядов
'
где у = 0,5772... — постоянная Эйлера: h Gj) = 7j2 ^ , 2 2 —In у;—у;
£ = ^=2,88.10-12 см, С2=-£р—л. D7,9)
ГГ и У , 1 ГЛ> (kr) I 2 ^2
При #/*«] величина ~^z-r = С определяет отношение вероятно-
вероятности найти на малом расстоянии два протона к вероятности найти в том
же месте нейтрон и протон. Эту величину можно называть вероятно-
вероятностью прохождения кулоновского барьера. Вообще С2 ^ I. При е = 400 кэв
При отсутствии кулоновского поля имеем C2=l, D=co и выра-
выражения D7,8) для функции F(r) и G(r) перейдут в первые члены раз-
разложений sin kr и cos kr, т. е. в kr и 1.

§ 47]
РАССЕЯНИЕ ПРОТОНОВ НА ПРОТОНАХ ПРИ МАЛЫХ ЭНЕРГИЯХ
227
Если кроме кулоновского взаимодействия учитывается специфическое
ядерное взаимодействие и (г), то уравнение D7,1) заменится уравнением
Ъ(г) = О. D7,10)
Вне области действия ядерных сил это уравнение совпадает с D7,1).
Поэтому асимптотическое поведение функции Rt (г) при г—>• оо будет
отличаться от Ft наличием фазового смещения, т. е.
Я,(Лг) = -
sin ( kr — -} т) In kr -f- <*/ 4" Sj
cos §/
= sin( kr
-ftg^-cos ^r — -£ —
D7, 11)
Величину §z называют обычно «ядерным фазовым смещением». Сле*
дует, конечно, иметь в виду, что bt является ядерным фазовым сме-
смещением только при наличии кулоновского взаимодействия. Если бы
кулоновское взаимодействие отсутствовало,
то при том же ядерном потенциале фазовое
смещение было бы отлично от §г
При энергиях, меньших 10 Мэв, спе-
цифнческое ядерное взаимодействие сказы-
сказывается только на 5-волне и приводит к по-
явлению ядерного фазового смещения §0.
Остальные парциальные волны будут иметь
фазовые смещения, обусловленные только
действием кулоновского поля, так как про-
протоны при этих энергиях не смогут при-
приблизиться настолько друг к другу> чтобы
сказалось действие ядерных сил в Р,
D, . . .-состояниях. На рис. 54 сплош-
сплошной кривой изображено дифференциальное
180°
Рис. 54. Дифференциальное
на протонах в системе центра инер-
инерции в зависимости от угла рассеяния.
Пунктирной кривой показано чисто куло-
кулоo . .. сечение рассеяния протонов
сечение рассеяния протонов энергии 2,4 Мэв на прОтонах (сплошная кри-
кривая). Пунктирной крииой по-
показано чисто кулоиовское
рассеяние, точками — «ядер-
«ядерное» рассеяние,
новское рассеяние, точками — ядерное рас-
рассеяние. Как видно из кривой, при малых
углах рассеяние будет чисто кулоновским. В области средних углов
преобладает ядерное рассеяние. Минимумы на кривой соответствуют
интерференции кулоновского и ядерного рассеяния. Они свидетель-
свидетельствуют о разном знаке фазовых смещений кулоновского и ядерного рас-
рассеяния. Как и следовало ожидать, кривая дифференциального сечения
обладает симметрией о @) = а (тг — 0).
Для рассеяния протонов на протонах существует некоторая функция
сдвига фазы, зависящая от энергии, подобно D6 Ю) в случае рассеяния
15*

228 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНЫМ ПОЛЕМ [ГЛ. VII
нейтронов на протонах. Только теперь эта функция не равна £ctg 5,
а имеет более сложный вид:
_ =— ^Jr-Jrok2JrPrlk'l> D7,12)
Для получения этой зависимости, следуя [6], рассмотрим два уравне-
уравнения (для 1=0), относящихся к двум значениям энергии относительного
движения
с граничными условиями /?а@) = /?? @) = 0. Умножая первое уравнение
на Я, и второе на /?а и вычитая одно из другого, придем к соотно-
соотношению
« dr '^ dr
Далее рассмотрим два уравнения для случая отсутствия ядерных сил
с граничными условиями Фа @) = Ф? @) = 1 и Фа=/?а, ф? = /? при
больших г. Легко убедиться что этим уравнениям и соответствующим
граничным условиям удовлетворяет функция
/?в + С?0]. D7,14)
При kr << 1 логарифмическая производная Ф (г) имеет вид
(г \2
^ J и другие отброшены. Логарифмическая
производная внутри сферы действия (r<^d) ядерных сил будет слабо
зависеть от энергии, так как величина ядерной потенциальной энергии
значительно больше кинетической энергии относительного движения
протонов. Следовательно, /(г) при r = d должно приближенно равняться
значению логарифмической производной при нулевой энергии, т. е.
. Полагая выражение D7,15) равным/0, имеем:
D7,16)
Формула D7,16) впервые получена Ландау и Смородинским [5].

§ 47] РАССЕЯНИЕ ПРОТОНОВ НА ПРОТОНАХ ПРИ МАЛЫХ ЭНЕРГИЯХ 229
Из уравнений для функций Фя и Ф3 следует соотношение, анало-
аналогичное D7,13):
= (#5 — #) ФаФ?. D7,17)
Вычитая из D7,17) выражение D7,13) и интегрируя в пределах C, оо),
получим:
» lit
lt + *?"dF) k — &*-K) ) (ф«фг-ОД)dr-
При достаточно малом $ вследствие граничных условий, накладываемых
на функции Ф и R, последнее равенство примет вид
(чг ~4f)^ {kl - *Э I <ф-ф? - R№ dr- D7'] 8)
Из D7,14) следует, что при малых
Подставляя это значение в левую часть D7,18), получим:
ее
kfl ctg S, + ~ - ft, С; ctg Ьл -^=(Щ - ftj) |(ФвФ? - R^dr.
е
Полагая, далее, /еа = 3 ==0
и
(Ф0Ф? — R0R?) dr = т г0 + ..., D7,20)
о
находим окончательно:
K=—^ + Yrok* + •••» D7>21)
где
/iC=C2A;ctgS-}-~^. D7,22)
Анализ экспериментальных данных по протон-протонному рассеянию
при энергии падающих протонов, меньшей 10 Мэв, показал, что со-
согласие с экспериментом возможно при условии, что в рассеянии участ-
участвуют только S-волны. В работах [11, 12J показано, что если даже

230 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНЫМ ПОЛЕМ [ГЛ. VII
предположить существование только центральных сил между протонами,
то экспериментальные данные не позволяют установить детали зависи-
зависимости потенциальной энергии от расстояния, а определяют только два
параметра: радиус эффективного взаимодействия го = 2,6- Ю~13 см и
длину рассеяния а= — 7,7-\0~13 см. Отрицательное значение длины
рассеяния указывает на невозможность устойчивого состояния '5 двух
протонов.
Можно было ожидать, что при больших энергиях в рассеянии бу-
будут присутствовать фазовые смещения Р- и £)-волн, величина которых
могла дать указание о зависимости потенциала взаимодействия от рас-
расстояния. В работе [13] показано, что экспериментальные данные, по-
полученные в [14], при исследовании рассеяния протонов 32 Мэв ука-
указывают на отсутствие фазовых смещений Р- и D-волн, вызванных
ядерными силами. В более поздней работе [15] измерялось с большой
точностью (ошибка <с^ 1 °/0) рассеяние 18,2 Мэв протонов на протонах.
Было показано, что фазы рассеяния
В пределах радиуса действия ядерных сил кулоновское взаимодей-
взаимодействие мало. Рассматривая его как возмущение, можно получить связь
между длиной рассеяния а протонов на протонах и «эквивалентной»
длиной рассеяния as, когда кулоновского поля нет [12].
D
— 0,824) .
Полагая а — — 7,7- Ю1 см, го = 2,6- 1O~1S см, D — 2,88-10~12 см,
получим as= — 2,3«Ю~12 см, что хорошо совпадает с наблюдаемой
длиной рассеяния нейтронов на протонах в синглетном спиновом состо-
состоянии as=—2,37-\0~iZ см (см. § 46) и подтверждает гипотезу заря-
зарядовой независимости ядерных сил.
§ 48. Когерентное рассеяние и определение знака длин рассеяния
нейтронов на протонах
Измерение эффективных сечений рассеяния нейтронов на протонах
при малых энергиях позволяет определить только абсолютное значе-
значение длин рассеяния, а не их знаки. Знание же знаков длин рассеяния
необходимо для установления возможности связанных состояний в си-
системе. Положительное значение длин рассеяния указывает на то, что
в системе возможны связанные состояния.
Для определения знака длин рассеяния можно исследовать интер-
интерференционные явления, возникающие при рассеянии нейтронов на не-
нескольких протонах. Интерференционные явления можно наблюдать
в том случае, когда расстояние между рассеивающими протонами
меньше соответствующей длины волны де Бройля. Поскольку расстоя-
расстояние между атомами в молекулах и твердых телах порядка 10~8 см,

§ 48] КОГЕРЕНТНОЕ РАССЕЯНИЕ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАКА ДЛИН РАССЕЯНИЯ 231
то интерференционные явления можно наблюдать только с нейтронами,
обладающими энергиями <^0,01 эв.
Теллер и Швингер предложили изучать рассеяние нейтронов на
молекулах орто- и параводорода с целью определения знака длины
рассеяния. При комнатных температурах водород содержит как молекулы
параводорода, так и молекулы ортоводорода. При температуре порядка
20° К можно получить водород, содержащий только молекулы параводо-
параводорода, т. е. молекулы с антипараллельной ориентацией спинов протонов.
При рассеянии нейтрона (с длиной волны, значительно превыша-
превышающей размеры молекулы) на молекуле водорода сечение рассеяния
будет определяться только длиной рассеяния а = 4тга2, где длина рас-
рассеяния а будет равна сумме длин рассеяния на первом и втором про-
протоне молекулы. Поскольку длина рассеяния, совпадающая при очень
малых энергиях по абсолютной величине с амплитудой рассеяния, про-
пропорциональна приведенной массе (см. D3,8а)), то, рассматривая при
упругом рассеянии нейтронов малой энергии молекулу водорода как
жесткую, можно выразить длину рассеяния нейтрона на связанном
в молекуле протоне через длину рассеяния на свободном протоне:
*своб Тасвоб' \*°Л)
где М-мол = -^- М — приведенная масса молекулы и нейтрона;
М
}лсвоб=— приведенная масса протона и нейтрона.
В зависимости от взаимной ориентации спинов нейтрона и прото-
протонов соответствующая длина рассеяния будет совпадать либо с длиной
синглетного рассеяния, либо с длиной триплетного рассеяния. Поэтому
удобно ввести эффективную длину рассеяния:
аэфф = а^ + аХ> D8-2)
где
*a = \(\-QnQp) и ^ = 1C + 0^) D8,3)
— проекционные операторы соответственно синглетного и триплетного
спинового состояний. Оператор тт^ равен нулю в синглетном состоянии,
а тт5 — в триплетном.
Длину рассеяния нейтронов на обоих протонах молекулы водорода
можно представить *) так:
*) Это простое соотношение справедливо лишь при столь большой длине
волны, при которой оба протона молекулы можно считать расположенными
в одной точке, т. е. когда можно пренебречь разностью фаз, обусловленной
расстоянием между протонами. Энергия таких нейтронов недостаточна для
возбуждения ротационных уровней молекулы; поэтому рассеяние будет
только упругим.

232 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНЫМ ПОЛЕМ [ГЛ. VII
Принимая во внимание D8,2) и D8,3), получим:
а = - (За; -f <) + у (a't — a's) OnS,
где 5 = у[^я(^) + ^B)] — суммарный спин молекулы водорода. Для
молекулы пароводорода S=0y следовательно,
апара 2
Пользуясь D8,1), можно выразить длину рассеяния нейтронов на мо-
молекуле параводорода через длины рассеяния на свободных протонах
Сечение рассеяния
<V>a = 4*kapJ2 = ^|3a, + a5|2. D8,5)
Подставляя значения (см. § 46) at = 5,39-\0~u см, as =
= — 2,37-Ю-12 см, получим Cat-{-as) = — 0,753- Ю2 см; JIiapa =
= 3,17-10~24 см2. Если бы длина спнглетного рассеяния была поло-
положительной, то а\^а = 88,8- Ю4 см2. Экспериментальное значение [16]
(^at-\-as)9KCn=: 0,647■ Ю~24 см2. Следовательно, сечение рассеяния
нейтронов на параводороде
Это значение, несомненно, подтверждает, что длины синглетного и
триплетного рассеяния нейтронов на протонах имеют противоположные
знаки.
Измерения апа на параводороде могут содержать систематичес-
систематическую ошибку из-за присутствия малых количеств ортоводорода и
явления радиационного захвата нейтрона протоном с образованием
дейтрона.
Получение мощных потоков нейтронов с помощью ядерных реакто-
реакторов позволило изучать рассеяние на кристаллах, содержащих водород.
Упругое рассеяние нейтронов системой, состоящей из большого числа
протонов, может быть представлено в виде суммы когерентного и не-
некогерентного или диффузионного рассеяния. Рассеяние называется коге-
когерентным, если рассеянные волны интерферируют между собой и падаю-
падающей волной. При некогерентном рассеянии такой интерференции нет.
Некогерентное рассеяние возникает из-за флуктуации плотности, вы-
вызванной тепловым движением (тепловое диффузионное рассеяние), из-за
присутствия беспорядочно распределенных других ядер и из-за беспо-
беспорядочной ориентации спинов (если рассеяние зависит от спинов). Бо-
Более подробно эти вопросы разобраны в главе XII.

§ 48] КОГЕРЕНТНОЕ РАССЕЯНИЕ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАКА ДЛИН РАССЕЯНИЯ 233
При некогерентном рассеянии сечение рассеяния определяется сум-
суммой сечений на каждом центре рассеяния. При когерентном рассеянии
надо складывать амплитуды рассеяния, а затем уже вычислять сечение.
Вследствие интерференции когерентно рассеянных в направлении
вперед волн суммарная волна, распространяющаяся в кристалле, будет
иметь волновое число К, отличающееся от волнового числа k в сво-
свободном пространстве (см. § 90):
_ K? = k1 + 4*NAaa, D8,6)
где k= у -г- ; N — число рассеивающих центров в см*; Ааа—амп-
Ааа—амплитуда рассеяния вперед, отнесенная к одному ядру. Используя D8,6),
можно ввести понятие показателя преломления вещества для нейтрон-
нейтронных волн
куТ±щ^^+™Аог D8i7)
Существенно, что показатель преломления линейно зависит от ампли-
амплитуды рассеяния. Измеряя показатель преломления, следовательно,
можно определить знак амплитуды рассеяния. Показатель преломления
D8,7) обычно очень мало отличается от единицы; так, например, при
Ааа = 5- 10~13 см (что соответствует полному сечению а = 3,14 барн)
yV-^-Ю22; для тепловых нейтронов (% ->- 2-10~8 см) показатель пре-
преломления будет отличаться от единицы только в шестом знаке.
Если коэффициент преломления вещества для нейтронов меньше
единицы, то при некотором угле падения возникнет полное внутреннее
отражение. Критический угол полного внутреннего отражения зависит
только от показателя преломления. Различные некогерентные эффекты
(поглощение и т. д.) ведут к уменьшению интенсивности отраженного
пучка и не влияют на критический угол полного внутреннего отраже-
отражения. В связи с этим определение критического угла полного внутрен-
внутреннего отражения является лучшим методом измерения показателя пре-
преломления. Одними из первых этот метод применили Ферми и
Маршалл [17], которые воспользовались брегговскнм отражением от
монокристалла для получения монохроматического падающего пучка
нейтронов.
Поскольку длина рассеяния а связана с амплитудой рассеяния А
простым соотношением а=—А, то формулу D8,7) можно написать
в виде
*=1-П^. D8,8)
Критический угол полного внутреннего отражения определяется соот-
соотношением
0 ^ D8,9)
Обычно A—п) ~- 10"в, поэтому 0 соответствует десяткам минут.

234 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНЫМ ПОЛЕМ [ГЛ. VII
Для определения знака и величины длины когерентного рассея-
рассеяния (аког) на ядрах водорода использовалось полное внутреннее от-
отражение нейтронов от поверхности жидкого триэтилбензола (С]2#8)
(метод «жидкого» зеркала).
Под длиной когерентного рассеяния понимается (см. главу XII) от-
отнесенная к одному протону, усредненная по ориентациям спина длина
рассеяния
3 , , 1 ,
Поскольку протоны связаны с тяжелой молекулой, то а' = 2асвоб = 2а,
поэтому
«ког=4C«, + ^)- D8,10)
Подставляя в D8,10) значение а, = 5,39- 10~1J см, as = 2,S7-102 см,
получим теоретическое значение (яКоГ)тео =3,75-10~18 см.
В эксперименте «зеркало» содержало смесь атомов водорода и
углерода в отношении 1,5:1, поэтому в формулу D8,9) надо подста-
подставить а={ас-\- 1;5ан)ког. Значение ас известно с точностью до 0,5°/0
и равно 6,63-10~13 см, поэтому из экспериментально определенной
величины а можно вычислить длину рассеяния ан", оказалось, что
(ан)к01. = — C,75 4^0,3)-Ю~13 ел, что находится в хорошем согласии
с приведенным выше теоретическим значением.

ГЛАВА VIII
ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ
§ 49. Законы сохранения при ядерных реакциях
Ядерной реакцией называется явление преобразования ядер, проис-
происходящее в результате столкновения двух ядер (или ядра и нуклона),
или преобразование одного ядра под влиянием какого-либо внешнего
воздействия (у-излучение, кулоновское поле и др.). Обычно ядерная
реакция вызывается бомбардировкой ядер некоторого вещества потоком
ускоренных частиц: нейтронов, протонов, ос-частиц и т. д. В резуль-
результате интенсивного взаимодействия сталкивающихся частиц образуются
две или большее число частиц, разлетающихся в различных направле-
направлениях от места столкновения. В этой главе мы будем рассматривать
реакции, приводящие к образованию только двух частиц.
Ядерная реакция, в результате которой столкновение частицы а
(нейтрон, протон, у-квант, легкое ядро и т. д.) с ядром А приводит
к образованию ядра В и частицы Ь, кратко записывается: А -\-а—>В-\-Ь,
или еще более кратко: А (а, Ь)В. Обычно в результате столкновения
одной пары частиц (А-\-а) происходит одна из нескольких возможных
реакций:
Реакция А (а, а) А, при которой не изменяется состав и внутреннее
состояние сталкивающихся частиц, называется упругим рассеянием.
Реакции А (а, а) А*, происходящие с изменением внутреннего состоя-
состояния, но сохранением состава каждой из частиц, называются неупругим
рассеянием. В дальнейшем буквами В и b будут обозначаться одна
из возможных пар частиц, образующихся в результате реакции.
Теория ядерных реакций позволяет вычислить вероятность пере-
перехода из начального состояния, соответствующего моменту t= — оо,
когда обе частицы а и А находились на столь большом расстоянии

236 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ [ГЛ. VIII
друг от друга, что их относительное движение можно было считать
свободным, в одно из конечных состояний (^=оо), соответствующих,
достаточному удалению продуктов реакции друг от друга. Таким об-
образом, как в начальном, так и в конечном состояниях система состоит
из двух не связанных между собой частей. Поэтому волновые функции
начального и конечного состояний в системе центра инерции могут
быть представлены в виде произведения трех функций: двух функций,
характеризующих состояние внутреннего движения в каждой частице,
и функции, определяющей относительное движение и ориентацию спи-
спинов обоих частиц. Функция начального состояния будет
Фя = ФАа(---?-")<рАа(*). ГДе Фа« (•••?•••) =W"?.4---) $а -<1а-)'>
если частица а элементарная, то 6а=1. Функция конечного состояния
будет иметь вид
В начальном и конечном состояниях система состоит из двух не
связанных между собой частей, поэтому оба эти состояния принадле-
принадлежат непрерывному спектру. При ядерной реакции происходит переход
из определенного начального состояния (определяемого условиями экс-
эксперимента) в одно из состояний непрерывного спектра. Вероятность
такого перехода в единицу времени определяется величиной
Wba=j\Tba\4(Eb-Ea).
Наличие дельта-функции в Wba обеспечивает закон сохранения энер-
энергии при переходе а—*Ь. Если ввести число квантовых состояний
р (Eb)dEbdil, приходящихся на интервал энергии dEbu углов рассея-
рассеяния dil, то, интегрируя Wha по энергии конечных состояний, получим
формулу для вероятности перехода в единицу времени в конечные со-
состояния с энергией Еь=Еа и направлением рассеяния в телесном
угле dil:
W, = —I7\ \zu(E,)dil D9 П
Плотность конечных состояний р (Е) равна
где рь — импульс относительного движения продуктов реакции; vf) —
их относительная скорость; V — объем системы.
Дифференциальным эффективным сечением ядерной реакции назы-
называется отношение вероятности D9,1) к плотности потока падающих
частиц. Плотность потока частиц равна произведению абсолютной ве-

§ 49] ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ПРИ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЯХ 237
личины скорости частиц до столкновения на плотность частиц, равную
I/, если в объеме V имеется одна частица. Таким образом,
daha = р 1 7\ 12 dQ. D9,2)
Кроме дифференциального эффективного сечения D9,2) большой
интерес представляет и интегральное эффективное сечение аЬа, т.е. се-
сечение, проинтегрированное по всем направлениям рассеяния и просум-
просуммированное по всем значениям проекций моментов количества дви-
движения частиц после столкновения:
Если опыт производится с неполяризованным пучком частиц и
ориентация спина ядра А не фиксирована, то соответствующие сечения
должны быть усреднены по всем значениям моментов частиц в исход-
исходном состоянии:
S|Je. D9,3)
Аналогичным образом определяется среднее интегральное сечение ре-
реакции
,. P.+ (^ + )]ta
Иногда ядерная реакция определенного типа характеризуется функ-
функцией возбуждения реакции. Под функцией возбуждения данной реак-
реакции понимается функция, определяющая зависимость вероятности дан-
данной реакции (или соответствующего сечения) от энергии относительного
движения частиц, вступающих во взаимодействие.
Вероятность перехода Wba отлична от нуля только в том случае,
если при переходе а—*Ь выполняются законы сохранения: энергии,
момента количества движения и его проекции на выделенное направле-
направление, импульса, четности и других величин, которые являются интег-
интегралами движения в данной системе.
Закон сохранения энергии при ядерной реакции можно записать в
следующем виде:
где sa и sb — энергия относительного движения до и после реакции
соответственно; Ел и Ев—внутренние энергии частиц до и после
реакции. Естественно, что реакция А(а,Ь)В возможна лишь в том
случае, если su^0. Разность еь — za=Q называется тепловым эф'
фектом реакции. Используя D9,4), имеем:
— F F
— па — св-

238 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ [ГЛ. VII!
Реакция А (а, Ь) В называется экзотермической, если Q ^> 0, и эндо-
эндотермической, если Q<CO. Из неравенства е6^ 0 следует, что эндотер-
эндотермическая реакция возможна лишь в том случае, если
ea>-Q. D9,5)
Неравенство D9,5) определяет минимальную кинетическую энергию
относительного движения а и А, при которой еще возможна реакция
А(а, Ь)В. Энергии (—Q) в лабораторной системе (когда покоится Л,
а движется только частица а) соответствует энергия
сиорог ^ „ '
где Ма — масса частицы а\ \х — приведенная масса частиц а и Л. Энер-
Энергия епо ог называется порогом реакции.
Законы сохранения момента количества движения и четности при-
приводят к соответствующим правилам отбора в ядерных реакциях, которые
будут рассмотрены в дальнейшем на ряде конкретных примеров.
Как уже отмечалось, вследствие зарядовой независимости ядерных
сил в легких ядрах хорошим квантовым числом является полный изото-
изотопический спин ядра. Сохранение изотопического спина при ядерных
реакциях приводит к ряду полезных правил отбора: а) при распаде
ядра с изотопическим спином Т векторная сумма изотопических спинов
продуктов распада также должна равняться Т; б) если происходит ядер-
ядерная реакция, в которой и начальная и конечная частицы имеют равный
нулю изотопический спин, например реакции (d, d'), (а, а'), {d, а), (а, d)
и др., то остаточное ядро должно иметь изотопический спин, равный
изотопическому спину начального ядра; в) переход ядра в возбужденное
состояние при взаимодействии с а-частицей или дейтроном G=0)
или распад ядра с вылетом а-частицы или дейтрона должны происходить
без изменения изотопического спина. Так, например, при неупругом
рассеянии дейтронов ядрами, изотопический спин которых в основном
состоянии равен нулю, нельзя возбудить состояния с изотопическим спи-
спином, равным единице. Например, таким путем нельзя возбудить 3,56-/Идя
возбужденное состояние Li6 или 2,31-Жзб возбужденное состояние N14,
или 1,74-Жэб возбужденног состояние В10, которые все согласно схемам
рис. 6, 16 и 17 имеют изотопический спин Т=1.Этп правила отбора
указывают далее на невозможность получения 2,31 -Мэв возбужденного со-
состояния N11 в ядерных реакциях О16 (d, a) N14, N14 (а, а') N1'1 или полу-
получения \,74-Мэв возбужденного состояния В10 в реакции С12 (d, а) В10.
§ 50. Матрица рассеяния. Каналы реакции
Рассмотрим вначале для простоты случай рассеяния бесспиновых
частиц (например, а-частиц) на ядрах с нулевым спином (четно-четные
ядра). Кроме того, будем учитывать только специфические ядерные
силы и не будем учитывать кулоновское взаимодействие.

§ 50] МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ. КАНАЛЫ РЕАКЦИИ 239
Предположим, что начальное состояние изображается волновой
функцией:
фа = Ф«(- • -Я- • .)^I/2exp (ikar), E0,1)
где <Ьа — определяет внутреннее состояние ядра A; va — скорость отно-
относительного движения частицы а и ядра А. Функция E0,1) нормирована
на единицу потока. Разлагая плоскую волну E0,1) по сферическим
функциям, можно представить Фа в виде суперпозиции парциальных
волн, соответствующих определенным значениям орбитального момента;
тогда асимптотическое значение (kar»\) функции E0,1) будет иметь
вид
Фв = Ф« (Я) т~= L^T + Ti'^o @) ('"' ^'-тЬЛ^-г)). E0,2)
каг У vai=0
В результате взаимодействия а и А возникает новое состояние, волно-
волновая функция которого при kr >> 1 будет
ф С. я) = tr Z й
{ ^'(^^Е^'^^)} • E0.3)
где vb — скорость относительного движения частиц после реак-
реакции; Фа — волновая функция начального состояния; члены с волно-
волновой функцией d»a (q) соответствуют упругому рассеянию; члены с
волновыми функциями <bb (q) соответствуют неупругому рассеянию и
всем возможным реакциям; коэффициенты Sb1^ образуют матрицу рас-
рассеяния, определяющую асимптотическое поведение волновой функции
вне области взаимодействия. Если не происходит вообще никакого
рассеяния, то Sba = bba. Если происходит только упругое рассея-
рассеяние, то матричные элементы матрицы рассеяния S. связаны с фа-
фазовыми смещениями Ь1 соотношением S^ = exp B;о/;. где St веще-
вещественно *).
Умножим E0,3) на ЬЦд) и проинтегрируем по всем переменным q\
тогда в силу ортогональности состояний tya(q) и ^ь(Я) получим:
Ч. М= £^ + -р-1У27+1 Iм Г„ @) [1 -
E0,4)
*) В этой главе не рассматриваются реакции, приводящие к поглощению
ядром падающей частицы с последующим испусканием -(-квантов. Такие реак-
реакции называются радиационным захватом и будут рассмотрены в главе XI.

240 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ [ГЛ. VIII
Умножая E0,3) на tyl(q) и интегрируя по q, получим:
(*"?) E0,5)
Волновая функция E0,5) определяет относительное движение про-
продуктов реакции при данном квантовом состоянии фй оставшегося ядра.
Каждую из возможностей, изображаемую функциями E0,4) или E0,5),
принято называть каналом реакции. Волновая функция E0,4), содер-
содержащая падающую волну и упруго рассеянную, соответствует начальному
или входному каналу реакции. Волновая функция E0,5) соответствует
выходному каналу реакции. Канал реакции b называется открытым, если
соответствующая реакция совместима с законами сохранения энергии,
момента, четности и других интегралов движения. В общем случае,
для реакции с N открытыми каналами матрица Sfy будет квадратной
матрицей порядка N.
Любая реакция, соответствующая переходу Фа—>ФЬ, приводит
к ослаблению расходящейся части падающей плоской волны. Таким об-
образом, любая реакция вызывает как бы поглощение (выбывание из
первоначального пучка) расходящейся части плоской волны, описывающей
относительное движение частицы а и ядра А. Это «поглощение» можно
трактовать как уменьшение интенсивности расходящейся части волны,
обусловленное интерференцией с рассеянной волной противоположной
фазы; другими словами, любая реакция обязательно сопровождается
упругим рассеянием.
Из условия равенства (для каждой парциальной волны с данным /)
потока падающей волны сумме потоков всех рассеянных волн получим
из E0,4) и E0,5), представив плоскую волну в виде суммы парциаль-
парциальных волн, следующее равенство:
1 ^аа^аа^ 2j 1>а Ьа 2j ab ba'
Ьфа b
Другими словами, матрица рассеяния S{1) должна быть унитарной
5+5'= 1. E0,6)
Вычисляя поток через элемент площади rVQ, обусловленный расхо-
расходящейся сферической волной в канале Ь=^= а и в канале а, и деля по-
полученный результат на плотность потока падающих частиц (при нашей
нормировке равную 1), получим соответственно дифференциальные сече-
сечения реакции в выходном канале b и упругого рассеяния (канал а):
й^0 1, E0,7)
а i с
daaa = TiZHV B7+ 1) B/' + 1) A -Sl'j) О-^Э'Гю Ф) П
E0,8)

§ 50] МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ. КАНАЛЫ РЕАКЦИИ 241
Интегрируя E0,7) и E0,8) по углам, находим интегральные сечения
реакции аЬа в канале b и упругого рассеяния ае = ааа:
E0,9)
a I
Сумма всех сечений реакций, происходящих по всем возможным
каналам, называется просто сечением реакции:
Е !; E0,11)
Ьф а
Сечение реакции E0,11) можно получить, зная только асимптотическое
поведение E0,4) волновой функции во входном канале. В самом деле,
сечение реакции можно определить как отношение потока, проходящего
через сферу большого радиуса г и поглощаемого внутри сферы, к
плотности потока, обусловленного падающей волной. Поскольку при
нашей нормировке плотность потока падающих частиц равна единице,
то сечение реакции будет численно равно потоку, взятому в направле-
направлении внутренней нормали к сфере большого радиуса:
E0'12)
Эквивалентность E0,11) и E0,12) следует из унитарности матрицы
рассеяния
При суммировании по всем b должны учитываться все возможные
результаты реакции, в частности и радиационный захват, который мы
не рассматриваем в этой главе.
Поскольку |5^|^1, то согласно E0,12) максимальное возможное
сечение реакции равно
а максимальное возможное сечение упругого рассеяния
16 А. С. Давыдов

242
ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ
[ГЛ. VIII
Таким образом, максимально возможное парциальное сечение упругого
рассеяния в 4 раза превосходит максимально возможное сечение реак-
реакции, так как значение сечения рассеяния зави-
зависит не только от абсолютного значения S'J^
как в случае сечения реакции, но и от фазового
смещения. На рис. 55 заштрихованная область
ограничивает возможные верхний и нижний пре-
пределы сечения упругого рассеяния при данном
значении сечения реакции.
Вычислим теперь полное сечение
Используя E0,10) и E0,12), получим:
_°r K k
JtB1*11 " '-"
Рис. 55. Возможные Вместо матрицы рассеяния Sba можно ввести
верхние и нижние пре- эквивалентную ей матрицу ВЬа с помощью соот-
делы эффективного се- ношения
чения упругого рас-
рассеяния При даННОМ ЗНа- ^ba '==z ($ 1 )ba' (^ > ^ ")
чении сечения реакции.
Поскольку (\)Ьа = ЪЬа, то iBaa = Soa — 1, а
iBha = Sba. Поэтому E0,9) и E0,10) можно записать еще и в следую-
следующем более симметричном виде:
Учитывая E0,9а), определим сечение реакции
и полное сечение
E0,17)
E0,18)
"■а Ъ I
Из свойств унитарности матрицы рассеяния E0,6) и соотношения
E0,16) следует, что матрица ВЬа не унитарна:
R\ R lift R\\ /x.() 1 Q\
Из равенства E0,19) находим:
YBlbBba=-i{Baa — B'aa), или 2|£&J2 = — 21тЯ . E0,20)

§51] ТЕОРЕМА ВЗАИМНОСТИ И ДЕТАЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ 243
Пользуясь E0,20), можно записать E0,18) в виде
' + 1Iтед. (-=50,21)
а ъ
Эквивалентность E0,15) и E0,21) легко доказать, если учесть ра-
равенство E0,16), из которого следует
Физический смысл пропорциональности между мнимой частью матрицы
Ваа, характеризующей рассеяние вперед, и полным сечением рассеяния
состоит в том, что любой процесс столкновения выводит частицу из
прямого пучка, т. е. вызывает его ослабление.
Все полученные выше формулы значительно упрощаются, если рас-
рассматривать взаимодействие медленных нейтронов с ядрами. Под «мед-
«медленным) понимаются нейтроны, длина волны которых значительно больше
радиуса ядра R. В этом случае во взаимодействии с ядром принимают
участие только состояния с /=0, т. е. во всех приведенных в этом
параграфе формулах следует положить 5^=1, если 1=^=0. В связи
с этим сумма по / заменится одним слагаемым с 1=0.
§ 51. Обращение времени, теорема взаимности
и детальное равновесие
Оператор Гамильтона всех задач теории рассеяния инвариантен
относительно изменения знака времени, т. е. замены будущего прошед-
прошедшим. Используя инвариантность гамильтониана по отношению к изме-
изменению знака времени, можно получить весьма общие соотношения, свя-
связывающие эффективные сечения некоторого процесса с сечением об-
обратного процесса.
Рассмотрим временное уравнение Шрсдингера
Волновая функция, соответствующая обращенному во времени процессу
фоб (t) ее ф (—t), будет удовлетворять уравнению
-А*£ = Щгвг. E1,2)
Сравнивая уравнение E1,2) с уравнением, комплексно сопряженным
уравнению E1,1):
-&^ = H*&*t E1,3)
мы убедимся, что волновая функция обращенного во времени процесса
16*

244 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ [ГЛ. VIII
может быть получена из волновой функции cl* (/) с помощью унитар-
унитарного, не зависящего от времени оператора обращения времени:
если оператор обращения времени О удовлетворяет условию
О-1НО = Н*. E1,5)
Унитарность оператора О необходима, чтобы сохранить нормировку
волновой функции.
Все гамильтонианы, не содержащие электромагнитного поля и спи-
спиновых операторов, действительны, т. е. Н=Н*. В этом случае опера-
оператор 0=1 и обращенное во времени состояние описывается комплексно
сопряженной функцией, т. е.
фоб _ф*, если Н=Н*.
Если гамильтониан содержит взаимодействие с электромагнитным полем,
которое описывается векторным потенциалом Л, например
то оператор обращения времени О должен менять знак векторного
потенциала, чтобы выполнялось операторное равенство E1,5):
В этом случае обращенное во времени состояние тоже описывается
комплексно сопряженной функцией, но эта функция удовлетворяет те-
теперь уравнению с измененным знаком векторного потенциала (а следо-
следовательно, и магнитного поля). Если, наконец, гамильтониан содержит
спиновые операторы, например
где о — векторная матрица, компоненты которой совпадают с матрицами
Паули; \1 — множитель, учитывающий отличие магнитного момента нук-
нуклона от ядерного магнетона, то для выполнения E1,5) необходимо,
чтобы оператор обращения времени, кроме изменения знака векторного
потенциала, содержал спиновую матрицу, такую, чтобы
Если векторная матрица а выбрана в представлении, где
a.V==(l0)) <Sy=\i о). G.z= (о -l)»
то оператор обращения должен содержать матрицу
toy =(-?J), E1,6)
так что '|обр—"V^*" МатРица E1,6), входящая в оператор обраще-

§ 51] ТЕОРЕМА ВЗАИМНОСТИ И ДЕТАЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ 245
ния Оо, действуя на волновую функцию состояния с определенным значе-
значением проекции спина на ось Oz, меняет значение проекции спина на
п роти вопол ожное:
При обращении времени радиусы-векторы не изменяются, все ско-
скорости, моменты количества движения и спины меняют знак. При обра-
обращении времени надо также переставлять состояния «до» и «после»
столкновения. Состояния, получающиеся из состояния а обращением
времени, будем обозначать «—а». Если задано состояние фа, то обра-
обращенное к нему по времени состояние получится операцией
В § 62 доказывается общая теорема о равенстве матричных элементов
прямого и обращенного во времени перехода
или эквивалентного соотношения
Sba = S.ai_b. E1,7а)
Вероятность перехода а—>Ь в единицу времени выражается через
матрицу перехода ТЬа и плотность конечных состояний рй (в) (на еди-
единичный интервал энергии) формулой
Wba=j\Tba\z9b(s).
Поэтому из E1,7) следует теорема взаимности, связывающая вероят-
вероятности прямого (Wba) и обращенного во времени (W_a_b) переходов:
И» _W-a,-b E1,8)
Таким образом, вероятности прямого и обращенного во времени пере-
переходов равны друг другу, если плотность конечных состояний (стати-
(статистические веса) обоих процессов равны друг другу.
Из E0,9) и E1,7а) также следует простая связь между эффектив-
эффективными сечениями прямой реакции (а —-*■ Ь) и реакции, соответствующей
обращенному во времени переходу (—b—► — а), для случая реакций,
описываемых форму/Той E0,9):
Волновые уравнения не изменяются при операции инверсии простран-
пространственных координат (x,y,z)—»• ( — х, —у, —z). При одновременном
проведении операции инверсии и обращения времени скорости 'исгпц
не изменяются, компоненты моментов количества движения изменяют

246 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ [ГЛ. VIII
знак. Поэтому если состояние характеризуется только скоростями и не
зависит от спинов, то будет выполняться равенство
Tab=TbV ил" Sba=Sab-
В этом случае говорят, что имеет место детальное равновесие,
при котором равны вероятности прямого и обратного переходов:
рассчитанные на одно конечное состояние.
Можно показать, что детальное равновесие в первом борцовском
приближении выполняется для всех систем. Действительно, матрица
перехода ТЬа = (Фь, VlVa) в первом борцовском приближении удовлет-
удовлетворяет равенству
Т$ == (Фь, УФа) = (Фв, УФЬ)* = TIP.
Следовательно, для всех систем в первом борновском приближении
Если свойства системы зависят от ориентации спинов, то детальное
равновесие в прямом смысле не имеет места, так как операции обра-
обращения времени и инверсии пространственных координат приводят
к состояниям, отличающимся от обратных другими значениями проекций
спинов. Поэтому — Wba = — W_a __b, но не равно — Wab.
^b ^a ' ~ °а
Детальное равновесие будет выполняться только для вероятностей,
усредненных по проекциям спинов начального и конечного состояния
IV w.
ab'
Теорема взаимности и унитарность матрицы рассеяния Sab наклады-
накладывают дополнительные условия на ее элементы и сокращают число не-
независимых параметров, определяющих матрицу рассеяния. Для реакции,
идущей по N возможным каналам, комплексная матрица рассеяния со-
содержит 2/V2 вещественных параметров. Вследствие унитарности матрицы
N{N-\-\) п.,г
рассеяния и теоремы взаимности только ——ту—- из этих 2N парамет-
параметров являются независимыми. Для доказательства этого утверждения запи-
запишем матрицу рассеяния в следующем виде:
1-4*
1 -+- ~ iK
E1,9)

§ 52] ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТН ОШЕНИЯ В ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ 247
где К — эрмитовская матрица рассеяния, т. е. К=Ю . Представление
E1,9) удобно тем, что в этом случае унитарность матрицы 5 выпол-
выполняется автоматически: S^z='S~1. Из E1,9) следует
Если учесть, что в силу теоремы взаимности матрица рассеяния сим-
симметрична, то будет симметричной и эрмитовская матрица К. Поскольку
симметричная эрмптовская матрица порядка N имеет -^- Л/г(/V —|— 1) не-
независимых вещественных параметров, то столько же независимых ве-
вещественных параметров содержит и матрица рассеяния, т. е. наше
утверждение доказано.
§ 52. Дисперсионные соотношения в теории рассеяния
Дисперсионными соотношениями в теории рассеяния называются
интегральные соотношения, связывающие действительную и мнимую
части амплитуды (или матрицы) рассеяния. Здесь мы рассмотрим неко-
некоторые дисперсионные соотношения для нерелятивистских энергий отно-
относительного движения взаимодействующих частиц.
Дисперсионные соотношения обусловлены свойствами аналитических
функций от комплексного неременного. Для вывода дисперсионных соот-
соотношений необходимо определить амплитуду рассеяния (матрицу рассея-
рассеяния) не только для действительных значений энергии относительного
движения, но и для комплексных значений.
Для иллюстрации основных идей, используемых при выводе диспер-
дисперсионных соотношений, рассмотрим простейший пример 5-рассеяиия бес-
спиновых частиц центрально-симметричным полем. Согласно § 44 ра-
радиальная часть волновой функции, описывающей S-рассеяние в
потенциальном поле конечного радиуса действия d, имеет вид
kr)e >ь. E2,1)
В E2,1) мы включили также зависимость от времени. Диагональный
матричный элемент матрицы рассеяния 5 (k) является функцией энергии
относительного движения, или волнового числа. По определению мат-
матрица рассеяния S (k) является оператором, преобразующим расходя-
расходящуюся часть падающей волны e'kr в функцию S(k)elkr, описывающую
рассеянную волну. Заменяя в E2,1) k на —k, легко получить:
S~1( — /г), или S(k)S( — k) = \. E2,2)
С другой стороны, сравнивая E2,1) с его комплексно сопряженным

248 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ [ГЛ. VIII
выражением, мы убедимся, что
С— 1 1 U\ С* / U\ /W О\
о (к) — о (к). уо^,о)
Равенство E2,3) выражает тот факт, что матрица рассеяния является
унитарной матрицей.
В физике наряду с положительной энергией, соответствующей ин-
финитному движению (рассеянию), и отрицательной энергией, соответ-
соответствующей связанным состояниям, часто пользуются понятием комп-
комплексной энергии
s = £0—4^Л <52>4)
для описания нестационарных состояний системы. Величина Л, входящая
в E2,4) и определяющая вероятность «распада» в единицу времени,
называется «постоянной распада». Она положительна, если волновая
функция убывает с течением времени (радиоактивный распад), и отри-
отрицательна, если волновая функция возрастает с течением времени, на-
например при захвате нуклона ядром.
Комплексным значениям энергии s соответствуют комплексные зна-
значения волнового числа
k = q1 — iq2, E2,5)
где <7, и qz связаны со значениями е0 и Л в E2,4) и приведенной мас-
массой }Л сталкивающихся частиц простым соотношением:
~(я\ — q\) — 2/<7j<72. E2,6)
Матрица рассеяния S(k), определенная как функция действительного
переменного, может быть аналитически продолжена на область ком-
комплексных значений волнового числа k. В этом случае свойство матрицы
рассеяния, выраженное равенством E2,2), сохраняется; равенство же
E2,3), выражающее унитарность матрицы упругого рассеяния, стано-
становится несправедливым. Вместо E2,3) теперь из E2,1) имеем:
Из условия E2,7) следует, что если 5-матрица равна нулю в неко-
некоторой точке &j комплексной плоскости, то она обязательно должна
иметь полюс в точке k[=k*, расположенной симметрично относительно
действительной оси.
Рассмотрим, какие физические явления описывает матрица рассея-
рассеяния, рассматриваемая как функция комплексных волновых чисел. Если
волновое число k действительно (q2 = 0)y то матрица рассеяния описы-
описывает истинные процессы рассеяния. Если волновое число является чисто
мнимым {ql = 0), то
k = — iq2, e = —^ql E2,8)

§ 52] ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ В ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ 249
Отрицательным энергиям соответствуют связанные состояния системы.
Интеграл от квадрата модуля волновой функции связанного состояния
должен быть конечен, т. е. в нашем случае выражение
— S( — iq2) e«*r\2 dr E2,9)
является конечным числом.
Для выполнения этого условия необходимо, чтобы д2^>0 и
S( — iqt) = O. E2,10)
Следовательно, связанным состояниям соответствуют нули функции S(k),
лежащие на отрицательной мнимой оси и симметрично расположенные
на положительной мнимой оси полюса функции S(k).
Можно показать, что функция S(k) не должна иметь нулей в ниж-
нижней комплексной полуплоскости кроме нулей на мнимой оси. Допустим,
что S (k) имеет нуль в IV квадранте; тогда функция E2,1) будет да-
давать неисчезающий входящий поток — ехр ( — ^qzb) через сферу ра-
радиуса Ь, а это противоречит уменьшению амплитуды волновой функции
внутри сферы из-за временного множителя ехр (— Xt), так как при
<7,^>0 и q2 ^> 0 постоянная Л^>0. Таким же образом можно доказать
отсутствие нулей в III квадранте. Следствием E2,7) тогда будет отсут-
отсутствие полюсов в верхней полуплоскости (за исключением особых точек
на положительной мнимой оси).
Нули функции S(k) в первом квадранте описывают процессы за-
захвата в соответствии с уравнением непрерывности, а нули во втором
квадранте описывают процессы радиоактивного распада.
В работе Ху[19] было показано, что матрица рассеяния как функция
волнового числа k должна иметь вид
* К )
где с — постоянная порядка удвоенного радиуса области действия ядер-
ядерных сил; k-(—нули и полюса на мнимой оси; k4 — нули и полюса
в остальной части комплексной плоскости k. В частности, в § 46 было
показано, что при рассеянии нейтронов малой энергии на протонах мат-
матрица рассеяния может быть представлена в виде
S(k)= f, E2,11)
а
где длина рассеяния а = «^^>0 в случае триплетного состояния и
a = as<^0 в случае сннглетного состояния. Таким образом, в случае

250 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ [ГЛ. VIII
триплетного рассеяния медленных нейтронов на протонах матрица рас-
рассеяния имеет единственный полюс на положительной мнимой оси,
соответствующий связанному состоянию системы (дейтрон). В случае
синглетного рассеяния матрица рассеяния имеет единственный полюс,
находящийся на отрицательной мнимой оси. Этот полюс соответствует
виртуальному уровню в системе.
Пользуясь D4,10), выпишем связь между амплитудой рассеяния
вперед и матрицей рассеяния Sf.
В частном случае рассеяния медленных нейтронов St=/= 1 только для
1 = 0; поэтому, полагая 50 = 5, можно написать:
Ao = ^(\-S). E2,12а)
Подставляя E2,11) и E2,12а), выразим амплитуду рассеяния медлен-
медленных нейтронов вперед через длину рассеяния а:
i-
а
Для получения общего дисперсионного соотношения для амплитуды
рассеяния учтем, что для любой аналитической функции /(г) от ком-
комплексного переменного z согласно теореме Коши можно написать ра-
равенство
венство
Я££=
где интегрирование ведется по замкнутому контуру, включающему
точку z, а 2 ?/ обозначает сумму вычетов по всем полюсам функции
L
f(z) внутри этого контура. Если точка z лежит на действительной осп
и функция f(z) не имеет полюсов на действительной оси и убывает
достаточно быстро при z—> оо в верхней полуплоскости, то при соот-
соответствующем выборе контура интегрирования это равенство можно
записать в виде
со
Знак Р указывает, что надо взять главное значение интеграла в точке
z =z.

§ 52] ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ В ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ 251
Из E2,14) следуют соотношение между мнимой и действительной
частями функции f(z) на действительной оси:
CD
= — Р\ —;—' /Ке^р^. E2,15)
■К J 2 2 {
-ОО
Если взаимодействие между частицами обладает конечным радиусом
действия, то амплитуда рассеяния вперед при k—* оо стремится к ко-
конечному действительному пределу. В частном случае E2,13) этот пре-
предел равен нулю. Если рассмотреть функцию f(k) = AQ(k) — Ао (оо),
то она будет удовлетворять поставленным выше условиям и к ней
можно применить соотношение E2,15). Учитывая, что действительная
часть амплитуды рассеяния является четной функцией k, а мнимая
часть — нечетной функцией, соотношение E2,15) можно написать в виде
Re Ао (k) - Ао (оо) = IP j 2k[^l^ W - 2Re S p,- E2,16)
о l
Вспоминая связь между мнимой частью амплитуды рассеяния вперед и
, . ... kv(k)
сечением упругого рассеяния lm Ao (k) = ._ , получим соотношение
между действительной частью амплитуды рассеяния вперед и сечением
упругого рассеяния:
оо
Re Ао (k) - Ао (оо) = ± Р j {k'l^{kyj - 2Re ^ р„ E2,17)
о
где р1 — вычеты амплитуды рассеяния, соответствующие связанным со-
состояниям; суммирование проводится по всем возможным связанным
состояниям.
Соотношения E2,16) и E2,17) называются дисперсионными соот-
соотношениями. Если известно a (k) для всех энергий, то E2,17) позво-
позволяет вычислить действительную часть амплитуды рассеяния путем
интегрирования з (k).
Если аналитическое продолжение A (k) не ограничено на бесконеч-
бесконечности, то можно ввести функцию
f (k) = A (k) е2'^,
включающую множитель e2ikFi, который обеспечит убывание f(k) при
больших значениях k в верхней полуплоскости комплексного k. В этом
случае дисперсионные соотношения можно писать и для амплитуды
рассеяния на произвольные углы.

252 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ [ГЛ. VIII
§ 53. Зависимость эффективных сечений упругого рассеяния,
поглощения и ядерных реакций от энергии
Так как радиус действия ядерных сил конечен и граница ядра срав-
сравнительно хорошо выделена, то область специфического ядерного взаи-
взаимодействия нуклона с ядром ограничена некоторым достаточно малым
объемом, радиус которого обозначим R. Поэтому при взаимодействии
нуклонов малой энергии (&/?<< 1) с ядрами легко установить зависимость
от энергии сечений упругого рассеяния, поглощения и ядерных реакций.
Согласно § 62 процесс взаимодействия нуклона (или легкого ядра)
с ядром характеризуется матричным элементом
Г*а=(Ф*. ГФв>. E3,1)
где Т — оператор взаимодействия, определяемый уравнением
T=V+V{D— I/)!/;
здесь V—энергия взаимодействия нуклона и ядра; D = E—Н^-\-щ.
Для выяснения зависимости сечений рассеяния, поглощения и реакций
от энергии (при малых энергиях) достаточно учесть, что оператор Т
как функция относительного расстояния частиц до реакции и (после
реакции) отличен от нуля только при r^R.
Рассмотрим зависимость матричного элемента ТЬа от энергии отно-
относительного движения s для случая упругого рассеяния А {п., п) А ней-
нейтрона на ядре. В этом случае начальное состояние описывается функцией
Фв= У а (• • • Я ■ ■ ■) exp {ikr cos 0а}, E3,2)
а конечное состояние—функцией
Фь = <рл (. . . q . . .) exp {ikr cos 0Л}, E3,2a)
где k — импульс относительного движения нейтрона и ядра, связанный
с энергией относительного движения s = -^—, а щд(. . .q . . .) — фупк-
ция, определяющая состояние ядра мишени.
В матричном элементе E3,1) существенны только значения г <^ R;
поэтому при &/?«1 можно разложить экспоненты в функциях E3,2)
и E3,2а) по сферическим функциям; тогда
^У1в(со8 0), kr«\. E3,3)
Если учесть, что при малых энергиях оператор Т не зависит от энер-
энергии, то при упругом рассеянии с определенным орбитальным моментом
зависимость матричного элемента от k и энергии s определяется равен-
равенством
(Ф„ ГФв)| = а;л" = а|в'| E3,4)
где a'L и л1 — постоянные.

§ 53] ЗАВИСИМОСТЬ ЭФФЕКТИВНЫХ СЕЧЕНИЙ УПРУГОГО РАССЕЯНИЯ 253
Сечение рассеяния выражается через матричный элемент E3,1)
соотношением
^П-\^тфа)\ш^- E3,5)
При упругом рассеянии pb = ]xva; поэтому зависимость сечения упру-
упругого рассеяния от энергии будет иметь вид
В частности, при /=0 эффективное сечение s-рассеяния не зависит
от энергии при малых энергиях относительного движения. Поскольку
при малой энергии нейтронов существенно только ^-рассеяние, то мы
приходим к заключению, что при малых энергиях сечение рассеяния
нейтронов на ядрах стремится к конечному пределу при уменьшении
энергии.
При упругом рассеянии медленных заряженных частиц (р, a, d, . . .)
основную роль играет кулоновское рссс.еяние, которое значительно
больше рассеяния, сбусловленного ядерными силами.
Определим теперь зависимость от энергии =ффективного сечения
поглощения нейтронов ядрами. В этом случае только функция началь-
начального состояния Фа будет иметь при малых энергиях вид E3,3). Поэтому
зависимость от энергии матричного элемента, описывающего поглоще-
поглощения медленного нейтрона с орбитальным моментом /, определяется фор-
формулой
(Фй>ГФв) = а/е«,
а сечение поглощения в этом случае имеет вид
При малых энергиях поглощение нейтронов в основном определяется
5-состоянием, поэтому эффективное сечение поглощения медленных
нейтронов обратно пропорционально квадратному корню из энергии
(обратно пропорционально скорости)
«Закон 1/■у» должен выполняться для всех экзотермических реакций,
происходящих с медленными нейтронами, например (п, а), (п, р), (п, у)
и др. В этом случае волновые функции конечного состояния относятся
к энергиям частиц порядка Мэв; поэтому их зависимостью от энергии
при изменении энергии падающих нейтронов можно пренебречь.
Зависимость от энергии экзотермических ядерных реакций, вызы-
вызываемых заряженными частицами (р, a, d и др.), определяется главным

254 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ [ГЛ. VIII
образом условием прохождения через кулоновскнй барьер падающей
частицы. При малых энергиях
Исследуем теперь зависимость от энергии пороговых ядерных реак-
реакций, т. е. ядерных реакций, требующих передачи ядру определенной
энергии. Предположим, что происходит нсупругос рассеяние нейтрона
(я, п) или пороговая реакция, сопровождающаяся вылетом нейтрона,
например (р, п), (а, п) и др. В этом случае ядро после вылета нейтрона
остается в возбужденном состоянии. Волновая функция конечного со-
состояния будет иметь вид E3,3), где
если ва — энергия падающей частицы, a s0 — пороговая энергия.
При га — е0 << £а зависимость матричного элемента от энергии бу-
будет определяться только функцией конечного состояния
(Фь, ТФа)порО1.^к1.
Таким образом, вблизи порога эффективное сечение пороговой реакции
с испусканием нейтрона с орбитальным моментом / будет определяться
формулой
^(га--е0) 2 ,E3,6)
так как ph = flk и va практически не зависит от k. При малых пре-
превышениях энергии падающей частицы над пороговой существенно ис-
испускание нейтронов только в s -состоянии. Поэтому вблизи порога эф-
эффективное сечение будет пропорционально квадратному корню из
избытка энергии над порогом.
Если при пороговой реакции образуется заряженная частица (на-
(например, (р, р), (п, р) и др.), то зависимость эффективного сечения
от энергии будет определяться условиями прохождения этой частицы
через кулоновский барьер; поэтому
da
порог
1 Н / '
U
где vb = — .
Существование пороговых реакций с испусканием нейтронов в не-
некоторых случаях проявляется в характерной зависимости от энергии
сечений упругого рассеяния нейтронов на ядрах в области порога. На
это обстоятельство недавно обратил внимание А. И. Базь [20]. Приве-

§ 53] ЗАВИСИМОСТЬ ЭФФЕКТИВНЫХ СЕЧЕНИЙ УПРУГОГО РАССЕЯНИЯ 255
дем элементарное доказательство этого утверждения на простейшем
примере упругого рассеяния нейтральных частиц на ядре.
Эффективные сечения упругого рассеяния и пороговой реакции вы-
выражаются через соответствующие элементы матрицы рассеяния
Saa и Sah. При энергии s выше пороговой е0 открыты оба канала аи Ь
п вследствие унитарности матрицы рассеяния должно выполняться со-
соотношение
1О 12 1 I О 12 /р-От\
Saa Г = * I Sab Г- (оЗ,7)
Так как сечение пороговой реакции, определяемое величиной |5яЛ[2,
вблизи порога согласно E3,6) пропорционально k2l + 1, то можно на-
написать:
ofla = 1 — afi , (оо,о)
где at — некоторая положительная величина. Тогда из E3,8) следует
SS (k) = 1Л— а^2'+1ехр [12^ (k)], E3,8a)
где fjt (k)—действительная функция k. Для установления явной зави-
зависимости этой функции от k воспользуемся тем обстоятельством, что
матрица рассеяния является аналитической функцией от k. Мнимые
значения k соответствуют значениям энергии, меньшим пороговой.
Неупругий процесс отсутствует при энергии, меньшей пороговой, и
|5ДЯ|2=1. Это условие выполняется с точностью до k2, если анали-
аналитически продолжить E3,8) в область мнимых k. Тогда из E3,8) будет
следовать E3,8а) и при мнимых k, если $ (k)—действительная функ-
функция. Чтобы $t(k) была действительной функцией при мнимых /г, необ-
необходимо, чтобы она была функцией только четных степеней k. Учиты-
Учитывая это обстоятельство, разлагая Saa(k) в ряд по степеням k и огра-
ограничиваясь только первыми степенями k, получим:
I е2/?„@)> еслп
{ -4*1 есл„/=0.
Из E3,9) следует, что наличие пороговой реакции заметно сказывается
только на сечении упругого s-расссяния; при этом
aw(k)^.\S™(k)— I |2 = 4sin2^0 — aRe{k[\ —е-'-Щ). E3,10)
Учитывая, что k = -j-y2\).{za — s0), получим из E3,10) следующее
выражение:
faW@)[i _ « l/pL(se_eo)l, если £a>s0;
(-s)= /l L- E3,11)
^ - £«> J ' если £e > S«-

256 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ [ГЛ. VIII
В E3,11) о@) @) обозначает эффективное сечение упругого рассеяния
при пороговой энергии; значение фазового смещения ро определяется
через с@)@) с помощью соотношения
Из E3,11) непосредственно видно, что в области порога при ctgC0<^0
эффективное сечение упругого рассеяния имеет острый пик, а при
ctg |30 ^> 0 сечение а^ (га — е0) при переходе через пороговое значение
энергии претерпевает излом.
Если пороговая реакция соответствует испусканию заряженной ча-
частицы, то коэффициент а в E3,11), пропорциональный квадрату мат-
матричного элемента взаимодействия E3,1), будет содержать множитель
expi —
где vb= l/ ————. Поэтому при ва—►£„ коэффициент а будет
стремиться к нулю. Таким образом, пороговая реакция с испусканием
заряженной частицы не может существенно сказаться на сечении уп-
упругого рассеяния.
§ 54. Определение сечений из условий, налагаемых на поверхности
ядра на волновую функцию. Формулы Брейта — Вигнера
Основная задача теории рассеяния состоит в том, чтобы связать
матрицу рассеяния с физическими свойствами ядра и рассеиваемых час-
частиц. Принципиально можно вычислить матрицу рассеяния, если извест-
известны волновые функции, определяющие состояние ядра, и силы взаимо-
взаимодействия между налетающей частицей и нуклонами ядра. Однако прак-
практическое решение такой задачи в настоящее время невозможно как
из-за нашего незнания волновых функций сложных ядер, так и из-за
больших математических трудностей. Поэтому приходится прибегать к
некоторым косвенным методам, не использующим конкретные предпо-
предположения о внутреннем строении ядер.
Рассмотрим элемент матрицы рассеяния Saa = S, определяющий се-
сечение упругого рассеяния и сечение реакции. Величина 5, характери-
характеризующая поведение волновой функции tpa (r) E0,4) относительного дви-
движения частицы и ядра во входном канале, может быть выражена через
значение логарифмической производной этой функции на некоторой
сферической поверхности, разделяющей пространство на область, где
действуют ядерные силы, и область, где они отсутствуют. Эту по-
поверхность будем условно называть поверхностью ядра, а соответствую-
соответствующий радиус R — радиусом канала реакции.

§ 54] ОПРЕДЕЛЕНИЕ СЕЧЕНИЙ ИЗ УСЛОВИЙ НА ПОВЕРХНОСТИ ЯДРА 257
Для упрощения выкладок рассмотрим взаимодействие нейтронов ма-
малой энергии с ядром, когда в рассеянии принимают участие только
волны с 1=0. Для этого, как мы знаем, необходимо, чтобы длина
волны, соответствующая энергии относительного движения нейтрона и
ядра, была велика по сравнению с радиусом ядра.
Волновая функция ср (г) относительного движения нейтрона и ядра,
нормированная на поток, равный относительной скорости движения, вне
области действия ядерных сил будет иметь вид
> = e-ikr — Seikr. E4,1)
При этом согласно E0,10) и E0,12) сечение рассеяния
oe=^\\-S\\ E4,2)
а сечение реакции
or = £(\-\S\z). E4,3)
Матрицу рассеяния S можно выразить через безразмерную логарифми-
логарифмическую производную радиальной волновой функции E4,1) на поверх-
поверхности ядра:
\t!^} I±*£ E4,4)
где x = kR; R — наименьший радиус, при котором еще не проявляются
ядерные силы. Так как функция гу и ее производная должны быть
непрерывны на поверхности ядра, то значение /(s) полностью опреде-
определяется условиями во внутренней области (г ^ R).
Из E4,4) следует
• г if
С -21Х X— 'J
о ■ ■■ с | . / •
Выделим в логарифмической производной / вещественную и мнимую
части: /=/0 — ih; тогда
с— г - six {х — h) — if0 _4 -.
6 е <545>
Поскольку | S | <: 1, то необходимо, чтобы h^O. Подставляя E4,5)
в E4,2) и E4,3), находим:
|—j + ^sinA:2, E4,6)
4г.
k2
ХН гг>- E4,7)
1 7 А.С. Давыдов

258 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ [ГЛ. VIII
Подставляя E4,5) в E0,15), выразим полное сечение s-рассеяния
через логарифмическую производную:
2тс ( , (хг — /г2 — /р) cos 2х — 2х/0 sin 2х \ (*>А 7 \
1~~ к2 \ \~ (jc -j— ЛJ -|-/о / '
Если h=0, то /=/0, |S|2=1, <Jr=0, т. е. имеется только уп-
упругое рассеяние, не сопровождающееся какими-либо реакциями.
Величины /0 и h являются функциями энергии относительного дви-
движения. Значение энергии ег, при котором /0(£г) = 0, называют
резонансной энергией. При резонансной энергии сечения E4,6) и E4,7)
достигают максимальных (резонансных) значений. Разложим /0 (е)
вблизи резонансной энергии в ряд по степеням разности s—гг и ог-
ограничимся первым членом разложения; тогда
Принимая во внимание, что ( -г ) <С^> и введя обозначения
Т Т~> E4'8)
можно представить сечения E4,6) и E4,7) в области, близкой к резо-
резонансу, в следующем виде:
где Г=Г, + ГГ;
ае = 4тт | Лрсз -+- Лпогеиц |2, E4,10)
где
Лез = 4 >2—-Г E4,11)
называется амплитудой «резонансного» или «внутреннего» рассеяния;
AmTcm=jeixslnx E4,12)
называется амплитудой «внешнего» или «потенциального)-) рассеяния,
так как эта часть амплитуды рассеяния зависит только от радиуса /?
и от энергии относительного движения. Иногда ЛпогеНц называют амп-
амплитудой рассеяния от непроницаемой сферы. Это название связано с
тем, что сечение рассеяния, обусловленное только этой частью ампли-
амплитуды, равно
ае = 4тт | Лпотенц |2 = ^ sin2 kR ^ 4ттЯ2. E4,13)

§ 54] ОПРЕДЕЛЕНИЕ СЕЧЕНИЙ ИЗ УСЛОВИЙ НА ПОВЕРХНОСТИ ЯДРА 259
Если бы ядро действительно представляло абсолютно отражающую
сферу радиуса R, то при r = R волновая функция обращалась бы в нуль.
В этом случае /4рез=0 и сечение рассеяния определялось бы только
формулой E4,13).
Разделение амплитуды упругого рассеяния на две части: амплитуду
резонансного и амплитуду потенциального рассеяния зависит от выбора
значения R и является некоторым формальным приемом. На опыте
можно измерить только сумму Лрез -f- Лпоте1Щ. Подставляя E4,11) и
E4,12) в E4,10), получим сечение упругого рассеяния в виде
4г.
2 е
eikI* sin kR
Введем обозначение:
тогда
E4,13а)
E4,14)
Г ~ Г
E4,14')
и E4,13) примет симметричный вид:
4- Г, . „ _,-,
E4,136)
Фазовое смещение $, определяемое формулой E4,14), является функ-
функцией энергии. В случае изолированного резонанса, при s >> ег, фазовое
смещение $ =^ 0; при приближении е к резонансной энергии ег фазо-
фазовое смещение Ь—>^-; при переходе е через резонансное значение
фазовое смещение скачком изменяется до —-£-, и при дальнейшем
уменьшении энергии (s << ел) фазовое смещение Ь снова стремится
к нулю.
Полученные формулы E4,9) и E4,10) описывают резонансное
рассеяние при энергиях, находящихся вблизи резонанса sr, при-
причем предполагается, что при рассматриваемых энергиях имеется
одно значение резонансной энергии ег. В области, мало отличающейся
от £г, амплитуда резонансного рассеяния значительно больше амплитуды
потенциального рассеяния, поэтому сечение упругого рассеяния в не-
непосредственной близости от резонанса будет приближенно выражаться
через квадрат амплитуды резонансного рассеяния:
CU=f;—ттр- <54-15>

260 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ [ГЛ. VIII
Формулы E4,9) и E4,15) называются формулами Брейта — Вигнера
или дисперсионными формулами для изолированного резонансного
уровня (/=0).
Из E4,9) и E4,15) следует, что при значении |s — £г| = -тг эф-
эффективное сечение уменьшается в 2 раза по сравнению с максималь-
максимальным значением; следовательно, Г будет равно ширине резонансной кри-
кривой (изображающей зависимость сечения от энергии) при значении
сечения, равном половине максимального. Величину Г часто называют
половинной шириной резонансного максимума или шириной резонан-
резонансного уровня энергии.
При интерпретации экспериментальных данных для медленных ней-
нейтронов надо учесть, что половинная ширина экспериментальных кривых
должна быть исправлена на допплеровское уширение, обусловленное
тепловым движением (см. § 56), так как из-за теплового движения
относительная энергия ядра и нейтрона будет отличаться от относи-
относительной энергии при покоящемся ядре. При малых энергиях нейтрона
кроме теплового движения на ширину резонансной кривой влияют и
другие причины (кристаллическая структура и т. д.); поэтому правиль-
правильнее говорить, что Г определяет не ширину резонансного уровня, а пол-
полную вероятность распада, равную -т-. Те называют частичной шириной,
отвечающей упругому рассеянию нейтронов во входном канале; она оп-
определяет вероятность упругого рассеяния. Yr называют частичной ши-
шириной, отвечающей реакции; она определяет вероятность распада со-
составного ядра по всем каналам, кроме входного.
Согласно E4,8) частичная ширина Те может быть разбита на два
множителя: множитель 2k, который зависит только от энергии отно-
относительного движения ядра и нейтрона, и множитель
-, E4,16)
который определяется внутренним строением ядра и называется приве-
приведенной шириной нейтронного у ровня по отношению к упругому рассеянию.
Полная вероятность реакции равна сумме вероятностей реакций по
различным каналам: W='^lWb, или Гг=]У]Гг6.
b Ь
Если справедлива гипотеза Н. Бора [23] о независимости распада со-
составного ядра от способа его образования, то, зная полное сечение
реакций по всем каналам аг, можно получить сечение реакции в опре-
определенном канале arb. Для этого надо умножить аг на относительную
вероятность реакции в канале Ьу т. е. на ~~; таким образом,
J г

§ 54] ОПРЕДЕЛЕНИЕ СЕЧЕНИЙ ИЗ УСЛОВИЙ НА ПОВЕРХНОСТИ ЯДРА 261
Гипотеза Бора о независимости распада составного ядра от способа
его образования оказалась чрезвычайно плодотворной для описания
экспериментов с нуклонами малых энергий. С ее помощью удалось
объяснить ряд существенных особенностей ядерных реакций. Однако
эта гипотеза выполняется не всегда. В ряде случаев продукты реакции
разлетаются с энергиями, значительно превышающими энергию, кото-
которую следовало бы ожидать на основе представления о равномерном
распределении энергии между всеми составляющими составного ядра.
Далее часто наблюдается преимущественное рассеяние вперед, что
также противоречит гипотезе Бора.
Как будет показано в § 58, гипотеза независимости распада от
способа образования составного ядра оправдывается в том случае, когда
энергия налетающей частицы попадает в область изолированных резо-
нансов составного ядра. В этом случае ядерная реакция проходит через
одно квантовое состояние составного ядра, и естественно, что свойства
этого состояния не зависят от того, каким образом оно получено. Та-
Такое заключение является приближенным вследствие конечной ширины
резонансов составного ядра. Из-за перекрытия резонансных кривых со-
соседних резонансов на самом деле никогда не реализуется только одно
квантовое состояние. Нестрогость гипотезы Бора в этом случае оцени-
вается отношением ширины уровней к расстоянию между ними.
Имеется некоторая область средних энергий, где ширины резонан-
резонансов становятся по порядку величины равными расстоянию между ними.
В этом случае одновременно возбуждаются несколько состояний. Фа-
Фазовые соотношения между ними зависят от способа возбуждения ядра,
и гипотеза Бора не оправдывается.
Гипотеза Бора приближенно оправдывается и в том случае, когда
энергия составного ядра соответствует области сильно перекрываю-
перекрывающихся состояний. В этом случае в реакции участвуют очень много
состояний, относительные фазовые смещения между которыми имеют
случайное распределение. Распад составного ядра происходит из состоя-
состояния статистического равновесия, и поэтому вероятности распадов раз-
различного типа не зависят от способа образования составного ядра при
таких возбуждениях.
Наконец, при еще больших энергиях возбуждения (> 50 Мэв),
когда длина свободного пробега нуклона в ядерном веществе стано-
становится значительной из-за уменьшения сечения рассеяния на отдельных
нуклонах, ядерные реакции могут быть успешно описаны в предполо-
предположении, что быстрый нуклон, проходя через ядро, взаимодействует с
отдельными нуклонами, не образуя составного ядра (см. § 104, 105).
Естественно, что кроме предельных случаев, соответствующих рас-
распределению энергии падающей частицы по всем степеням свободы со-
составного ядра и взаимодействию падающей частицы с отдельными нук-
нуклонами, расположенными либо на поверхности ядра (при средних
энергиях частицы), либо внутри ядра (при больших энергиях),
осуществляются и промежуточные случаи, когда быстрая частица

262
■ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ
[ГЛ. VITI
передает энергию нуклонам, находящимся вблизи точки соударения
(местный нагрев), и эта энергия не успевает распространиться по дру-
другим степеням свободы до момента распада.
Формулы Брейта — Вигнера получены нами из точных формул для
эффективных сечений E4,6) и E4,7) при разложении действительной
части логарифмической производной /0 в ряд вблизи резонанса и учете
только первого члена этого разложения. Поскольку /0 значительно ме-
меняется в интервале порядка расстояния между уровнями D, то это
разложение, как и формулы Брейта — Вигнера, справедливо только вблизи
резонанса в области, малой по сравнению с D. Входящие в эти фор-
формулы параметры Ye, Гг, вг обычно рассматриваются как эмпирические,
так как теория в состоянии вычислить порядок их величины только
при очень грубых упрощениях. Наблюдаемые на опыте резонансы гг
соответствуют состояниям составного ядра с энергией возбуждения
£r = ег-f-£0, где Ео — энергия присоединения нейтрона нулевой энер-
энергии к ядру мишени.
Поскольку сечение рассеяния E4,10) определяется квадратом суммы
амплитуд резонансного и потенциального рассеяний, то из-за их интер-
интерференции в сечении упругого рассеяния
иногда наблюдается характерный мини-
минимум с одной стороны резонансной кри-
кривой и более медленный спад с другой.
Если амплитуда потенциального рассея-
рассеяния положительна, то этот минимум ле-
лежит со стороны меньших энергий от
резонанса; если амплитуда потенциаль-
потенциального рассеяния отрицательна, то мини-
минимум лежит со стороны больших энер-
энергий. В качестве иллюстрации этого яв-
явления на рис. 56 приведена экспери-
экспериментальная кривая для полного сечения
рассеяния нейтронов ядрами серы в об-
области резонанса, лежащего между 350
и 400 кэв. Пунктиром обозначена кривая, которая соответствовала бы
только дисперсионной формуле.
Величина Г^ зависит от энергии, однако в небольшой области зна-
значений энергии s этой зависимостью можно пренебречь; тогда из E4,9)
и E4,15) следует, что при s = sr
5.0
2,5
300
500 кзд
Рис. 56. Полное сечение рассея-
рассеяния нейтронов ядрами серы
в области резонанса.
Возможность других реакций кроме упругого рассеяния (Те =^ Г) суще-
существенно сказывается на величине сечения упругого рассеяния только в Обла-
Области резонанса; для энергий, далеких от зЛ, значение Г мало существенно

§ 54] ОПРЕДЕЛЕНИЕ СЕЧЕНИЙ ИЗ УСЛОВИЙ НА ПОВЕРХНОСТИ ЯДРА 263
для величины сечения упругого рассеяния. В случае чисто упругого
рассеяния, которое наблюдается при рассеянии медленных нейтронов
ядрами среднего веса, Г =^= Гв и максимальное сечение упругого рас-
рассеяния равно квадрату длины де Бройля, соответствующей относитель-
относительному движению нейтрона и ядра:
Если резонансная энергия лежит в области малых энергий, то резонан-
резонансное эффективное сечение чисто упругого рассеяния может во много
раз превосходить геометрические размеры ядра.
При рассеянии медленных нейтронов на тяжелых ядрах возможны
упругое рассеяние, радиационный захват и деление. При этом (за ис-
исключением некоторых особых случаев) радиационная ширина Г , опре-
определяющая вероятность захвата нейтрона ядром с испусканием у-излу-
чения, является наибольшей, т. е. Г = Ге —f- Гг —|— Г^ —}— . . . =i= 1 ; по-
поэтому максимальное значение эффективного сечения реакции согласно
E4,19) будет равно
[°Л«. Y)ln.x = £r- E4'20)
Измеряя максимальное эффективное сечение E4,20), можно определить
отношение нейтронной ширины Те к ширине радиационного захвата.
Так, например, у ядра In115 резонанс наблюдается при энергии 1,44 эв.
Максимальное сечение реакции (п, у) равно 3-Ю4 барн. Значение
полной ширины Г =: Г определяется из резонансной кривой и оказы-
оказывается равным 0,08 эв. Тогда из E4,20) следует, что Те= 1,3- \0~3 эв.
Максимальное эффективное сечение реакции (п, у) на тепловых ней-
нейтронах для радиоактивного продукта деления урана Хе115 достигает
значения 3,5-10е барн, что в 2-Ю6 раз больше площади сечения
ядра; сечение реакции (я, у) Для устойчивого изотопа самария Sm149
равно 5,3-104 барн. Оба эти изотопа появляются при работе атомных
реакторов. Вследствие громадной способности к захвату нейтронов на-
наличие Хе135 и Sm149 существенно сказывается на работе реакторов на
тепловых нейтронах.
Для ядер среднего атомного веса и тяжелых магических ядер, у
которых расстояние между энергетическими уровнями велико, при энер-
энергии относительного движения, меньшей энергии первого возбужденного
уровня, возможно только упругое рассеяние. Поэтому резонансы, на-
наблюдаемые в области ядер среднего веса, являются преимущественно
резонансами упругого рассеяния. Так, например, кривая эффективного
сечения рассеяния нейтронов на алюминии в области 100 кэв содержит
несколько резонансов, ширина которых порядка 5—20 кэв. Резонансы
в области 500 кэв обладают нейтронной шириной -^-30 кэв. Ширина
Г , соответствующая у-излучению, в 103 раз меньше и равна пример-
примерно 3—30 эв.

264
ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ
[ГЛ. VIII
Некоторые ядра среднего веса имеют хорошо выделенные изолиро-
изолированные резонансы. Так, например, кобальт имеет мощный резонансный
максимум при 115 эв, а марганец—при 300 эв. Другие резонансы у
этих элементов лежат при значительно более высоких энергиях и дают
меньшие максимальные сечения. На рис. 57 в логарифмическом мас-
масштабе изображено полное эффек-
эффективное сечение рассеяния нейтронов
ядрами золота в области резонанса,
а на рис. 58 — полное сечение рас-
рассеяния ядрами цезия [21].
Если рассматривается рассеяние
нейтронов с /^>0 или заряженных
W 100
£.35
Рис. 57. Полное сечение рассеяния
нейтронов ядрами золота.
Рис. 58. Полное сечение рассеяния
нейтронов ядрами цезия.
частиц (p, d, a, . . .), то при вычислении эффективных сечений упру-
упругого рассеяния и реакции надо учитывать наличие дополнительной по-
потенциальной энергии в области r^> R. В случае заряженных частиц
(заряд Zxe) к потенциальной энергии взаимодействия добавляется член
77 рг
—!—. При 1=^=0 надо еще ввести дополнительную потенциальную
энергию, равную — "]" . Поскольку обе эти потенциальные энергии
соответствуют отталкиванию, то вероятность обнаружения частиц у по-
поверхности ядра уменьшится по сравнению с вероятностью нахождения
нейтронов при 1=0. Величину, характеризующую это уменьшение,
называют проницаемостью; она определяется равенством
E4,21)
где функции Ft{x) и Gt(x) определены в § 47. Для нейтронов с

§ 55] ВЫЧИСЛЕНИЕ СЕЧЕНИЙ ДЛЯ ПРОСТЕЙШИХ МОДЕЛЕЙ ЯДРА 265
/==0 Ро=\. Для протонов при 1 = 0 и R = 0 проницаемость равна
P. = Of@, = C = ?^. ч = .
т. е. равна проницаемости кулоновского барьера.
Малые значения Рг по сравнению с единицей указывают, что ча-
частицы заметно не проникают через ядерную поверхность, следовательно,
интенсивность реакции должна быть малой.
Частичная ширина рассеяния нейтронов с моментом / может быть
записана в виде
Г, = 2Л/>,у«, E4,22)
где yj — приведенная ширина.
§ 55. Вычисление эффективных сечений в случае простейших
предположений о внутренних свойствах ядра
Вычислим эффективное сечение упругого рассеяния и реакции для
нейтронов с длиной волны X, значительно меньшей радиуса ядра, пред-
предполагая, что все нейтроны, взаимодействующие с ядром, поглощаются
им. Такая модель ядра называется моделью абсолютно черного ядра.
Поскольку 1 << R, то можно использовать квазиклассическое прибли-
приближение. Если ядро имеет радиус R, то взаимодействовать с ядром бу-
будут только частицы, обладающие моментом is^kR. Поэтому матрица
рассеяния нейтронов абсолютно черным ядром радиуса R будет равна
с@ / 0, если l^kR, ,,u,
Ъаа~ \ 1, если />£/?. E5J)
Тогда из E0,10) и E0,12) следует, что
% £ | E5,2)
Полное сечение at = ae-\-ar=-2n{R-^r%)z. В работе 22] измерялось
неупругое рассеяние (сечение реакции) моноэнергетических нейтронов
с энергиями 4,5; 7,0 и 14,1 Мэв на ядрах Ti, Cr, Fe, Ni, Cu, Ag,
Sn, Pb, Bi и было установлено, что при этих энергиях сечение реак-
реакции удовлетворительно описывается формулой ог = тх (R-\-XJ.
Опыт показывает, что полное сечение а( достигает своего асимпто-
асимптотического значения, равного удвоенному геометрическому сечению ядра
при энергиях порядка 50 Мэв. Однако уже при этих энергиях пред-
представление о полном поглощении нейтронов ядром несправедливо (см.
§ 95, 104). Простота проведенного расчета связана с предположением,
что парциальное сечение реакции а^ при %«R либо равно нулю,
либо достигает своего максимально возможного значения, когда оно

266 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ [ГЛ. VIII
равно сечению упругого рассеяния. В этом случае сечение упругого
рассеяния целиком обусловлено теневым или дифракционным (см. § 103)
рассеянием. Оно направлено преимущественно вперед в телесный угол
В предыдущем параграфе было показано, что сечение упругого
рассеяния, сечение реакции и полное сечение можно вычислить, если
известно значение логарифмической производной радиальной части вол-
волновой функции на поверхности ядра. Значение этой производной опре-
определяется структурой ядра и падающей частицы, их спинами и энергией
относительного движения. Теоретическое вычисление логарифмической
производной в настоящее время возможно провести только при грубом
упрощении задачи. Одной из плодотворных гипотез, позволивших объ-
объяснить некоторые свойства ядерных реакций, явилась гипотеза Н. Бора
(см. также § 54), согласно которой ядерную реакцию можно разделить
на две стадии: а) образование составного ядра и б) распад составного
ядра на продукты реакции.
Гипотеза Бора базируется на представлении о ядре как о системе
частиц с очень сильным взаимодействием. Предполагалось, что при по-
попадании внешнего нуклона в область действия ядерных сил его энер-
энергия быстро распределяется между остальными нуклонами ядра, т. е.
допускалось, что длина свободного пробега внешнего нуклона в ядер-
ядерном веществе мала по сравнению с размерами ядра*). В результате
многократного перераспределения энергии пройдет длительное время,
прежде чем достаточное количество энергии сконцентрируется на одной
частице и последняя сможет вылететь из составного ядра. Поэтому
распад составного ядра на продукты реакции можно рсссматривать не-
независимо от способа образования составного ядра (см. § 54 и 58).
Итак, согласно Н. Бору сечение реакции а (а, Ь)у соответствующее
входному каналу а и выходному каналу Ь> можно представить в виде:
a (a, b) = ac(a)Wc(b), E5,3)
где ос{а) — сечение образования составного ядра по каналу a, Wc(b) —
вероятность распада составного ядра с по каналу Ь\ при этом 2 Wc (b) = 1,
*) Если предположить, что сечение рассеяния нуклона на нуклоне не из-
изменяется из-за присутствия других нуклонов, то длина свободного пробега
нейтрона, обладающего кинетической энергией, меньшей 20 Мэв, в ядерном
веществе равна
3
1 47l/? 1 ,п-1Ч
Л = — =-5-7 ^0,4.10 13 см.
В настоящее время установлено, что учет принципа Паули значительно уве-
увеличивает длину свободного пробега нуклонов малой энергии в ядерном веще-
веществе. Так согласно [24] при энергиях 1—3 Мэв средняя длина свободного
пробега составляет примерно 10~и см.

§ 55] ВЫЧИСЛЕНИЕ СЕЧЕНИЙ ДЛЯ ПРОСТЕЙШИХ МОДЕЛЕЙ ЯДРА 267
если сумма распространяется на все возможные открытые каналы ре-
реакции. Формула E5,3) неприменима для упругого рассеяния, не про-
проходящего через стадию образования составного ядра, так как такое
рассеяние когерентно с падающей волной и не может рассматриваться
как независимый от падающей волны процесс.
Рассмотрим теперь случай, когда энергия налетающей частицы доста-
достаточно велика (несколько Мэв для ядер среднего и тяжелого веса) для того,
чтобы в результате ее захвата образовалось составное ядро с энергией
возбуждения, лежащей в непрерывной области спектра. Предположим
далее, что образовавшееся составное ядро может распадаться многими спо-
способами, в результате чего конечное ядро оказывается в разных состояниях.
Если, кроме того, взаимодействие налетающей частицы с нуклонами
ядра достаточно сильное, чтобы частица успела за время взаимодействия
с ядром отдать свою энергию другим нуклонам ядра (для этого необходимо,
чтобы частица была не очень быстрой, е<^50 Мэв), то вероятность
обратного сосредоточения всей энергии возбуждения на первой частице
будет нсчезающе мала. При этих условиях в ядре как бы происходят
полное поглощение падающих частиц с данной энергией и испускание
других частиц или той же частицы, но уже с другой энергией, т. е.
ядро будет «абсолютно черным».
Если в некотором грубом приближении [25] представить движение
падающей частицы внутри ядра функцией ср (г), зависящей только
от г, то невозможность (очень малая вероятность) упругого рассеяния
через стадию образования составного ядра можно математически выразить
предположением, что волновая функция <р во внутренней области ядра
описывается только сходящейся волной, т. е.
ry — const -e~iKr, E5,4)
где волновой вектор К определяется средней кинетической энергией
нуклона в ядре. При этом К2 = k2 -\- К20; здесь k — волновое число
нуклона вне ядра, определяющееся через энергию относительного дви-
движения s; k = ^-\^2c\i, а Ко — значение волнового вектора при нуле-
нулевой энергии падающей частицы -v-Ю13 см~1. Итак, в рассматриваемой
модели ядра его внутренние свойства определяются только двумя па-
параметрами: Ко и R.
Используя E5,4), вычислим логарифмическую производную на по-
поверхности ядра
[ d (rep) ^
= —iX, E5,5)
I /"f ) r = R
где X = KR. Следовательно, в модели черного ядра значение лога-
логарифмической производной / является чисто щшмым, т. е. /0 = О,
h = X. Поскольку в этой модели распад ядра по входному каналу

268 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ [ГЛ. VII!
исключается, то сечение образования составного ядра ас совпадает с
сечением реакции. Подставляя E5,5) в E4,7), получим:
я 4хХ т: ~ ;г-г л,
?=#T> E5N>
где
AkK
т=
Таким образом, в области применимости модели черного ядра се-
сечение образования составного ядра является монотонной (убывающей)
функцией энергии. Если вспомнить, что тт/&2 является максимальным
возможным сечением при 1=0, то E5,6) допускает простую интер-
интерпретацию. Множитель Т представляет коэффициент прохождения волны
с волновым числом k при нормальном ее падении через плоскую гра-
границу раздела в бесконечную среду с показателем преломления я = — ;
тогда
~ An
~(\+nf
При условии k((K формулу E5,6) можно заменить приближенной:
4л const .-_ „.
ас ^= гт> ^ , E5,7)
т. е. при малых энергиях сечение реакции (или сечение образования
составного ядра) обратно пропорционально корню из энергии. Это хо-
хорошо известный закон —для вероятности поглощения медленных ней-
нейтронов.
Приближенное выражение сечения образования составного ядра при
можно получить путем умножения максимального возможного се-
чения -рB/-{-1) на множитель Т; таким образом,
Ос —Or --B/+l)*i(T+K)i- <55'8>
При X << R справедливо квазиклассическое приближение. Полагая, что
kR
ве = ^ау, получим:
^2. E5,9)
При достаточно больших k E5,9) переходит в приближенное выраже-
выражение а, = тг(Я-|-ХJ^тг/?2.
Подставляя E5,5) в E4,6) и E4,7а), получим эффективное сече-
сечение упругого s-рассеяния без образования составного ядра:
S

§ 55] ВЫЧИСЛЕНИЕ СЕЧЕНИЙ ДЛЯ ПРОСТЕЙШИХ МОДЕЛЕЙ ЯДРА 269
и сечение полного рассеяния:
k{k-\-K) k
4тг 4л
т. е. в этом приближении о° =5; сг = г^.. Следует, однако, иметь в виду,
что приведенные выше формулы, как уже указывалось выше, приме-
применимы только к достаточно большим энергиям нейтронов, когда ядро
можно уподобить черному телу. Поэтому случай kR << 1 следует рас-
рассматривать только как математическую экстраполяцию формул E5,10)
и E5,11).
При исследовании взаимодействия с ядром нейтронов малой энергии *)
нельзя пренебрегать возможностью упругого рассеяния после образова-
образования составного ядра. Если опять использовать грубое приближение
о возможности описания движения падающей частицы внутри ядра
в области, примыкающей к его поверхности, некоторой функцией от
координаты г, то теперь эту функцию уже нельзя представить только
в виде сходящейся волны, а необходимо записать ее в виде суперпо-
суперпозиции сходящейся волны и расходящейся волны, вообще говоря, меньшей
амплитуды, сдвинутой по фазе на некоторую величину £, зависящую
от энергии падающей частицы и строения ядра. Для достаточно мед-
медленных нейтронов, когда их энергия недостаточна для возбуждения
низшего уровня ядра мишени, при условии пренебрежения радиа-
радиационным захватом и делением, падающий нейтрон вылетает по
тому же каналу, по которому он попал в ядро, т. е. возможно только
упругое рассеяние нейтронов. Такой случай осуществляется при
рассеянии медленных нейтронов ядрами среднего массового числа.
В таблице 25 приведены отношения Ге/Г для некоторых ядер [26].
При наличии только упругого рассеяния сдвиг фазы £ расходя-
расходящейся волны внутри ядра в области, близкой к его поверхности, должен
быть вещественным числом. Следовательно,
= e-iKr
= 2<?*cos {Kr + С).
Логарифмическая производная / будет иметь действительное значение
f=—Xig{X-\-Q. E5,12)
*) Областью малой энергии будем называть область энергий выше теп-
тепловых и меньших 100 кэв. При этих энергиях рассеяние нейтронов соответ-
соответствует почти чистому 5-рассеяиию.

270
ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ
[ГЛ. VIII
Таблица 25. Отношение -4 для некоторых
ядер среднего массового числа
Ядро
А127
Ми55
Со59
Си
Оа
As75
R I03
Sm152
Та181
W"»
ег, эв
> 4100
345, 2400
115
103-104
102—10s
102-103
1,28
10
4
15
''в
г
>0,99
^0,99
0,94
0,95
^0,99
~ 0,75
0,043
0,66
0,12
0,81
Аргумент тангенса г(г) = Х-^-*, является функцией энергии относи-
относительного движения нейтрона и ядра. Логарифмическая производная
E5,12) имеет нули, соответствую-
соответствующие резонансным энергиям sr, при
условии г(гг) = пж, где п— це-
целое число. Полагая, что z (г) —
монотонно возрастающая функция е
(рис. 59), можно представить ее
в окрестности одной из резонан-
резонансных энергий £г в виде прямой
линии
z (з) = ^ (е-sf), E5,13)
где
Рис. 59. Зависимость z
энергии е.
(s)
Ог
величина D* близка к среднему расстоянию между резонансными уров-
уровнями в области энергии £ = ел, которые могут возбуждаться нейтроном,
т. е. уровнями с определенным полным моментом, четностью и т. д.
Итак, в области л-го резонанса логарифмическая производная должна
иметь вид
/= —/Wtg^fe —ег).
Пренебрегая зависимостью К от энергии (в малой области энергий)
и используя E4,8), получим для ширины упругого рассеяния нейтронов
малой энергии выражение
L=S£. E5.H)

§ 55]
ВЫЧИСЛЕНИЕ СЕЧЕНИЙ ДЛЯ ПРОСТЕЙШИХ МОДЕЛЕЙ ЯДРА
271
Резонансные явления будут наблюдаться при условии малости ширины Г
по сравнению с расстоянием между уровнями. Если D* =i= D, то усло-
условием проявления резонансных уровней согласно E5,14) будет &<</u
Пользуясь понятием приведенной ширины уровня E4,16), можно
написать Ге=2&у2, где приведенная ширина упругого рассеяния
Формула E5,14) позволяет вычислить величину D*, приближенно
равную расстоянию между уровнями составного ядра, если- известны
экспериментальные значения нейтронных ширин Ге. В таблице 26
приведены экспериментальные данные для Ye и вг и вычисленные со-
согласно E5,14) значения D* для нескольких ядер при К= Ю13 см'1.
Таблица 26. Параметры резонансных
уровней энергии некоторых ядер
Ядро мишени
Na23
Na2S
Mg24
Al27
S32
er, кэв
3
60
2540
155
115
Ге, кэв
0,17
3
150
10
25
D*, КЭ8
26
100
670
200
520
При рассеянии медленных нейтронов на тяжелых ядрах (не магиче-
магических) возможны упругое рассеяние, радиационный захват и деление.
При этом за исключением некоторых особых случаев нейтронная ширина
значительно меньше радиационной ширины. У немагических четных
тяжелых ядер расстояния между уровнями порядка 100 кэв, а у многих
нечетных ядер -^ 10 кэв.
В случае рассеяния нейтронов малых энергий на тяжелых ядрах
и нейтронов средних энергий на ядрах среднего атомного веса распад
промежуточного ядра может приводить как к упругому рассеянию, так
и к реакциям. В этом случае волновую функцию внутри ядра (вблизи
ядерной поверхности) можно представить в виде
cos (Kr-\- С + ig).
E5,15)
Поскольку амплитуда расходящейся волны не может быть больше
амплитуды сходящейся волны, то q^0. Случай q = 0 соответствует
уже рассмотренному выше чисто упругому рассеянию. Величина q будет
функцией энергии относительного движения. Вычисляя логарифмическую
производную функции E5,15) при r=R, получим:
/=

272 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ [ГЛ. VIII
где z {г) = KR-\-£. Принимая для z{e) в области резонансной энергии sr
приближенное выражение E5,13), можно написать:
В небольшой области энергий, близких к резонансной энергии,
U(fU
следовательно,
f=-KR^(e-sr)-iqKR. E5,16)
Из E5,16) сразу следует, что парциальная ширина упругого рассея-
рассеяния нейтронов Те =—дг совпадает с E5,14), а парциальная ширина
реакции выражается равенством
дг
Потенциальная энергия —±-\—- и кулоновское отталкивание, дей-
действующие во входном канале, приводят к отражению нуклонов от по-
поверхности ядра. Для вычисления коэффициентов отражения A—Т) и
прохождения Т нуклонов через ядерную поверхность представим во
входном канале волновую функцию ср (/•) относительного движения (с мо-
моментом %1) нуклона и ядра в виде
r^R, E5,17)
где ф* и (!) — соответственно волновые функции падающих и расходя-
расходящихся волн, нормированные на единицу потока; R — радиус ядра.
Коэффициент отражения волн во входном канале будет равен | b |2,
а коэффициент прохождения
Т=\— \Ь\г. E5,18)
Предположим, что внутри ядра вблизи его поверхности волновую
функцию можно представить в виде E5,4), т. е.
/•ср = const • ехр ( — iKr), r^R. E5,19)
Приравнивая логарифмические производные функций E5,17) и E5,19)
на поверхности ядра, получим равенство
= — iKR, E5,20)

§ 55]
ВЫЧИСЛЕНИЕ СЕЧЕНИЙ ДЛЯ ПРОСТЕЙШИХ МОДЕЛЕЙ ЯДРА
273
позволяющее выразить коэффициент | b |2 через логарифмические про-
производные волновых функций ф и ф* во входном канале и X—KR.
Решая E5,20) относительно Ь, находим:
Jr
r=R
гдЛ
)
Ф 'r=
E5,21)
Таким образом, вычисление коэффициентов отражения и прохождения
нуклонов через поверхность ядра сводится к вычислению логарифмиче-
логарифмической производной функции Ф во входном канале при r = R. Вычислим
| b |2 для нейтронов, обладающих моментом fll. Вне ядра необходимо
учитывать дополнительно потенциал
E5,22)
2у.г* '
поэтому волновая функция нейтрона Ф должна удовлетворять уравнению
-т-2 1— +к Ф = ", fJ>R, E5,2,6)
где^2 = 4- энергия относительного движения нейтрона и ядра.
Общее решение уравнения E5,23) может быть выражено через
линейную комбинацию функций
О1 = рУ1(р), E5,24)
E5,25)
где
— сферическая функция Бесселя;
—сферическая функция Неймана. Сферические функции Бесселя и Ней-
Неймана выражаются через тригонометрические функции, например:
Уо(р)
к (?)
Л(р)
18 А.
smo
Р
sin p cosp
~ f2 ? '
С. Давыдов
3
— д- COS 5
п (гЛ
 \?)
,«.(?) =
cosp
>
cosp
-(£_
sin p
1 г
Q J

274 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ [ГЛ. VIII
Функции Gt и Ft нормированы так, что они удовлетворяют соотношению
Решения уравнения E5,23), соответствующие расходящимся волнам,
нормированным на единицу потока, выражаются через E5,24) и E5,25)
соотношением
Yu E5>27)
Логарифмическая производная E5,27) на поверхности ядра может быть
записана в виде
= №{/P,_-L^j, E5,28)
где
Р = \F2 -4- G2] x = kR E5 2Э)
— введенная выше проницаемость.
На поверхности ядра значение функции <bt выражается равенством
\_
Т
exp (/'f j), E5,30)
где фаза ср^ вычисляется из условия
) =ехрB/ю|).
Таким образом, согласно E5,30) проницаемость Рг определяет ампли-
амплитуду волны ф; на поверхности ядра во входном канале. Так как
Ро=1, то из E5,30) следует, что
Ш1«- <55-31>
Приведем три первых значения проницаемости нейтронов (x = kR):
E5,32)

§ 56] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ РЕЗОНАНСНОЙ ТЕОРИИ ИЗ ОПЫТА 275
Подставляя E5,28) в E5,21), находим коэффициент отражения
нейтронов от поверхности ядра:
\Ь Г =
* Ж-В +4,*Р,+
Коэффициент прохождения нейтронов через поверхность ядра будет
равен
JKP . E5,34)
При малых энергиях, когда /г<<Л\ из E5,34) следует приближенное
выражение
л t п
E5,34')
К '
Естественно, что коэффициент прохождения Т одинаков как для нукло-
нуклонов, движущихся из внешней области внутрь ядра, так и для нуклонов,
движущихся из ядра во внешнюю область.
Формулы E5,34) и E5,29) остаются справедливыми и для прото-
протонов, если под функциями Ft и Gt понимать независимые решения
уравнения
dr2 r2 %2г ~*~ )Ч
удовлетворяющие условию E5,26). Таблицы этих функций можно найти
в работе [27].
§ 56. Методы определения параметров резонансной теории
ядерных реакций из опыта
При элементарном выводе формул Брейта — Вигнера в предыдущих
параграфах не принимался во внимание спин ядра и нуклона. Прежде
чем говорить о возможности экспериментального определения парамет-
параметров, входящих в формулы Брейта—Вигнера, рассмотрим, как изменяются
эти формулы при учете спиновых состояний ядра и нуклона.
Обозначим спин ядра буквой у; поскольку спин нуклона равен
-2-, то спин канала, определяемый векторным сложением спинов ядра
и нуклона, будет равен
Если орбитальный момент относительного движения ядра и нуклона
равен /, то полный момент системы J будет определяться законом
18*

276 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ [ГЛ. VIII
сложения моментов
Кроме полного момента У состояние системы будет характеризоваться
проекцией момента Mj и четностью. Матричные элементы матрицы
рассеяния, а следовательно, и эффективные сечения могут зависеть
только от полного момента и четности и не зависят от значения Мр
так как изменение значения Mj можно осуществить вращением систе-
системы координат, которое не может влиять на динамику столкновения.
Резонансные реакции обычно происходят при малых энергиях относи-
относительного движения ядра и нуклона, когда в рассеяшш участвуют только
состояния с / = 0. В этом случае полный момент системы равен спину
канала (У = S). Каждому значению полного момента будет соответство-
соответствовать 2У —{— 1 его ориентации в пространстве, отличающихся значениями
проекции на выделенную ось. Если ядро не ориентировано и пучок
падающих частиц неполяризован, то в плоской волне будет присут-
присутствовать 2 Bу —|— 1) некогерентных парциальных волн с моментом 1 = 0,
отличающихся друг от друга спиновыми состояниями. Поэтому относи-
относительное число состояний с определенным значением полного момента
будет равно
/А 2/4-1 ,'R 14
при этом '£g{J)=1. В случае реакций с нуклонами J=jzh1lz>
поэтому
В более общем случае, когда спин частицы равен s и в рассеянии
существенны волны с /^0, статистический вес равен
g^ = (* + i)(a + lH2/+ir E6'2)
В резонансной области, как мы видели, сечение реакции выражается
формулами Брейта—Вигнера. Каждой энергии возбуждения составною
ядра соответствует состояние с определенным моментом и четностью.
Параметры £г, \е и Гг, входящие в формулы Брейта — Вигнера, опреде-
определяются состоянием составного ядра и могут различаться только для
состояний с разными значениями У и четности. Следовательно, формула
Брейта—Вигнера для сечения реакции, учитывающая спин ядра и нуклона,
должна иметь вид
E6,3)
для каждого такого состояния. При вычислении сечения рассеяния надо

§ 56] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ РЕЗОНАНСНОЙ ТЕОРИИ ИЗ ОПЫТА 277
учесть, что амплитуда потенциального (внешнего) рассеяния практиче-
практически не зависит от спина канала; поэтому можно написать:
1а.
2 , ,
E6,4)
где <41ЮТенц определено E4,12). Второе слагаемое в E6,4) определяет
вклад потенциального рассеяния от всех каналов, спин которых не ра-
равен У(/=0).
Для ядер нулевого спина (при / = 0) множитель g (J) = 1, для ядер
с большим спином g^-rj- .
Обозначим максимальные значения сечений рассеяния и реакции
в резонансе соответственно буквами ое0 и аг0; тогда, пренебрегая ма-
малым вкладом потенциального рассеяния, можно написать:
V 1^ # л И
)
а максимальное полное сечение в резонансе будет равно
Полное сечение а< = аг4-зе измеряется с помощью экспериментов по
прохождению нуклонов через вещество. Особенно распространены
такие измерения для случая нейтронов, так как прохождение нейтро-
нейтронов через вещество не осложняется влиянием кулоновских взаимо-
взаимодействий.
На практике определение параметров уровней сильно усложняется
эффектом теплового движения ядер мишени (эффектом Допплера) и
конечным разрешением применяемой аппаратуры.
Рассмотрим кратко влияние эффекта Допплера [28]. В формулах
Брейта—Вигнера под е следует понимать энергию относительного дви-
движения нуклона и ядра мишени. Если нуклоны имеют в лабораторной
системе строго постоянную скорость V, а ядро имеет тепловую скорость а,
то
E6>6)
MA
MA n
где }л = -.- , ,—приведенная масса. С точностью до членов первого
л -f-1
порядка относительно скорости теплового движения можно написать:

278 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ [ГЛ. VIII
Введем обозначение е„ = ^к-; тогда можно окончательно написать:
е = е„ — /2^«, E6,7)
где а — проекция скорости теплового движения на направление потока
падающих нуклонов.
Предположим, что распределение скоростей ядер мишени то же,
что и у газа, т. е.
f(tt)da= }/w exp
тогда в силу E6,6) и E6,7) распределение по скоростям относитель-
относительного движения s будет определяться выражением
= -^ exp j_(Lz!-yjd8| E6,8)
где D=2 1/ " называют «допплеровской шириной». При
Л =100, е„=Ю0зв и ^7 = 0,025 зб допплёровская ширина рав-
равна 0,31 не.
Перепишем сечение реакции вблизи резонансной энергии ег в виде
-^' <56-9>
~Г
где or0 = -j^g -%f. Чтобы получить измеряемое на опыте сечение ре-
реакции как функцию энергии вп, надо усреднить E6,9) по всем воз-
возможным значениям относительной энергии s, т. е. надо умножить E6,9)
на f(s)ds и проинтегрировать по s. Тогда получим:
E6,10)
о
где !• = " ' "р—— — отклонение от резонанса в единицах ~;
t 2(еи— ег) Г
с, = —rjr=—- — оке с
dx E6,11)
— функция, хорошо изученная в теории дисперсии [29]. Функция
Ч; f -тг ' ^ ) имеет максимум в точке g = "р—^=0, т. е. в случае,
когда энергия нуклонов совпадает с резонансной энергией. Если доп-
допплёровская ширина равна нулю, то

§ 56] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ РЕЗОНАНСНОЙ ТЕОРИИ ИЗ ОПЫТА 279
и сечение E6,10), как и следовало ожидать, совпадает с E6,9). Все
кривые Ч; ( -р-, £) для значений -к- =^= 0 пересекают предельную кри-
кривую (рис. 60) Ч;@, ;) в окрестности точек $ = 4-1; внутри этой
области они лежат ниже предельной кривой, а вне ее выше; на большом
-4 -J -г -/ о 1 г з
Рис. 60. Кривые, определяющие доиилеровское ушире-
ние эффективных сечений реакций.
расстоянии они асимптотически приближаются к предельной кривой.
Полуширина кривой Ч; ( -р-, £ ) растет с ростом -=г . Функция
ЧЧ -р-, £ ) , определяющая зависимость эффективного сечения от
энергии, переходит в простые функции в следующих предельных
случаях:
а) Вдали от резонанса, когда |£|>>-|г, т. е. | е„ — £r|>>D,
-тг,£) совпадает с Ч;@,£). Таким образом на участки, далекие
от резонанса, тепловое движение оказывает малое влияние.
б) Если | £ | <Х ~р~ и D^>F, т. е. естественная ширина Г мала по
сравнению с допплеровскои и энергия нуклона мало отличается от ре-
резонансной, то функция
£_
Т1
В точке резонанса
£ О
Г '
2D
г
2D
г=г I е~*2 dx

280 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ [ГЛ. VIII
Если Г » Д то l¥ (~y » ^ ) ^ 1 • Сечение в резонансе практически не
(D \
1 (D \
уменьшается из-за теплового движения. Если Г<<Д то Ч; (-р-, 0 j =
У7. Г
= !-—- -=-, следовательно, сечение в резонансе сильно уменьшается из-за
допплеровского уширения. Однако вследствие того, что
площадь, ограниченная резонансной кривой, не изменяется тепловым
движением ядер мишени.
Лемб [30] показал, что если твердое тело можно рассматривать
по модели Дебая, то все приведенные формулы, учитывающие тепловое
движение, остаются верными, если либо естественная, либо допплеров-
ская ширина велика по сравнению с дебаевской температурой 0, ум-
умноженной на постоянную Больцмана k. Необходимо только допплеров-
скую ширину вычислять по формуле D = 2]/enQ, где Q — величина,
соответствующая средней энергии, приходящейся на одну колебатель-
колебательную степень свободы.
Перейдем к краткому изложению методов измерения различных ве-
величин, характеризующих резонансные реакции. Наиболее часто эффек-
эффективные сечения измеряются в опытах по пропусканию нуклонов через
образцы определенной толщины. Такие опыты позволяют измерять полное
эффективное сечение ot = ae-\-or, т. е. суммарное сечение всех про-
процессов, в результате которых нейтроны выбывают из первоначального
пучка. Непосредственно измеряемой величиной в опытах по пропусканию
является отношение интенсивности потока нейтронов после прохождения
образца / к интенсивности потока нейтронов без образца /0. Это отно-
отношение, называемое коэффициентом прохождения, связано с эффектив-
эффективным сечением at формулой
Г = г = ехр(— natd),
'о
где п — число атомов в 1 см* образца.
В связи с тем, что часть рассеянных нуклонов все же попадает на
детектор, определяющий интенсивность прошедших через образец
нуклонов, необходимо вводить соответствующую поправку, чтобы полу-
получить истинное значение at. Если эта поправка мала, то говорят, что
опыт производится с «хорошей геометрией»; если велика, то говорят,
что опыт производится в условиях «плохой геометрии».
Коэффициент прохождения является функцией энергии нейтронов.
Он принимает минимальное значение в точке резонанса (s = sr) и при-
приближается к единице вне резонанса (если ввести исправление на по-
потенциальное рассеяние).

§ 56] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ РЕЗОНАНСНОЙ ТЕОРИИ ИЗ ОПЫТА 281
Если бы можно было измерять Т (s) с бесконечно большим разреше-
разрешением, то мы бы нашли зависимость at от энергии; в частности, можно
было бы определить значение at в резонансе, которое мы обозначили ра-
ранее а0, и полную ширину Г. Но даже в этом идеальном случае разделе-
разделение полной ширины Г на Те, Г и другие парциальные ширины требовало бы
дополнительных измерений или предположений, так как знание Г и а0 поз-
позволяет с помощью E6,5) определить только произведение gTe, a-не само Те.
Если D значительно меньше ширины резонансной кривой, то изме-
измерения можно вести на тонких образцах и после внесения соответствующих
поправок на разрешение монохроматора по полученным резонансным
кривым определить основные характеристики измеряемого резонансного
уровня.
Для введения поправок на разрешение монохроматора в области
энергии s надо знать функцию разрешения монохроматора R(z— s'),
удовлетворяющую условию [R{£— e')ds'= 1. Тогда измеряемое при-
прибором сечение с (s) получается из истинного сечения а (г) с помощью
выражения
^~(бУ= J а (г') R (s — г') ds'.
В простейших случаях, допускающих аналитическое рассмотрение, функ-
функция разрешения R (е — е') изображается в виде прямоугольника шири-
ширины й, или функции Гаусса с полушириной Й. Если, например, R(e— s')
задается в виде прямоугольника и
*00 = ^ • ffo = J^r» E6'12)
то, пренебрегая слабой зависимостью с0 от энергии, согласно E6,12)
получим:
= 1Г J
2 (е - ег) , Q 1 , Г2 (е - er) Q 1 1
-V^- + тJ - arct§ [-V^- т]} •
Резонансное значение а (вг), следовательно, будет равно *)
<1;
E6,13)
g \а°[ ~^[т) J 'если Т
ir(T~irJ' еслп ^
*) Здесь мы используем асимптотические выражения arctgx=^=x г— »
о
если х«1; arctg x=i:-^- , если

282 теория ядерных реакций [гл. viii
Таким образом, эффективное сечение в резонансе снижается из-за ко-
конечной разрешаемое™ прибора. Особенно велико это снижение в случае
когда Г«й. При Г<^-^ практически нельзя пользоваться «тонкими»
образцами из-за очень малого ослабления пучка нейтронов. Уменьше-
Уменьшение сечения в резонансе связано с уширением резонансной кривой а (в).
При этом существенно, что значение площади резонансной кривой
не зависит от разрешения прибора, так же как и от эффекта Допплера:
Если разрешающая способность приборов еще позволяет проводить
измерения в условиях тонкого образца, но требует больших поправок,
то для измерения параметров резонанса часто используется «метод
площадей». Этот метод не требует введения поправок на допплеров-
ское уширение и разрешение прибора, однако он позволяет определять
только комбинацию параметров а0Г. Метод площадей рассмотрен в ра-
работах [31].
При измерениях с «толстыми» образцами в условиях хорошего
разрешения коэффициент прохождения
£i E6,14)
для значительной части резонансной кривой оказывается близким к нулю.
Поэтому измерения коэффициентов прохождения возможны только в
областях, соответствующих спаду резонансной кривой. Так, при
4
/zao«f^> 10 Т (г) =5=0, если -™E — £гJ меньше единицы. В этих усло-
условиях в области, где Г(£)=£0, можно пренебречь единицей по сравне-
4
нию с -™(е — £г) и написать E6,14) в виде
jT(s) ^exp <J — —JL—J, если |е — sr|>T. E6,15)
Зависимость Т (s) от энергии в том случае позволяет определить ве-
величину о0Г2, что в комбинации со значением а0Г, определяемым из
измерений в условиях тонкого образца, дает возможность раздельно
определить а0 и Г.
В условиях плохого разрешения (Г << U) измерения с тонкими об-
образцами вообще невозможны из-за большого снижения максимального
значения сечения в резонансе (см. E6,13)). Поэтому необходимо
производить измерения с толстыми образцами. В этом случае надо
учитывать искажение коэффициента прохождения E6,14), вызываемое

§ 57] ЭФФЕКТИВНЫЕ СЕЧЕНИЯ РЕАКЦИЙ, УСРЕДНЕННЫЕ ПО РЕЗОНАНСАМ 283
функцией разрешения прибора. Измеряемый коэффициент прохождения
будет равен
T J jJ^j8'. E6,16)
Зная функцию разрешения прибора, с помощью E6,16) можно выра-
выразить Т (в) через значение а0Г2. Таким образом, измерения с толстыми
образцами после введения соответствующих поправок на разрешение
приборов позволяют определить комбинацию резонансных парамет-
параметров а0Г2. Из полученной величины
можно сделать заключение о gTe, если использовать некоторые пред-
предположения о величине Гу, которая в области малых энергий нейтрона
вместе с Ге определяет полную ширину (Г = Ге-{-Г). Используя это
значение Г, получим
или
§ 57. Эффективные сечения реакций, усредненные по резонансам
Хорошо разрешимые резонансы проявляются при взаимодействии
нейтронов малых энергий с легкими и средними ядрами. При рассеянии
нейтронов с энергией, превышающей 10 кэв, на ядрах малого и сред-
среднего веса резонансное рассеяние преобладает над радиационным захва-
захватом. Например, при энергии нейтронов в 1 Мае в области А-^20 ши-
ширина резонансного рассеяния Те имеет порядок нескольких тысяч эв, а
Г -N-5 эв. По мере роста энергии падающих нейтронов кроме реакции
о(п,п'), с (п,у) делаются возможными реакции о (п, р) и о (я,а). По-
Поскольку протонам и а-частицам приходится преодолевать потенциаль-
потенциальный барьер, то Ге ]> Г^ и Га. Так, например, при энергии 5 Мэв эф-
эффективные сечения на ядре А127 имеют следующие значения:
о (п, п)-\-а {п, п) = 0,8 барн, а (я, р) = 0,03 барн,
о (я, а) = 0,001 барн, а (л, ■/) = 5-10~5 барн.
Для тяжелых ядер в области энергий s<M00 кэв между шири-
ширинами радиационного захвата Г , упругого и неупругого рассеяния
нейтронов 1\, испускания протонов Г_ и испускания ос-частиц Гя имеет
место следующее неравенство: Т ^>Те^>Тр и Га.
У тяжелых ядер расстояния между уровнями промежуточного
ядра при захвате нейтронов с энергией, превышающей десятки кэв,

284 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ [ГЛ. VIII
уже настолько малы, что не удается разрешить резонансы при помощи
имеющихся в настоящее время недостаточно монохроматических пучков
нейтронов и из-за допплеровского уширения уровней (см. § 56). Чтобы
сравнивать экспериментальные кривые с теоретическими, надо усред-
усреднить теоретические эффективные сечения по энергетическому интер-
интервалу Де, включающему много резонансов.
Определим среднее эффективное сечение реакции в интервале Де
с помощью формулы
■+!
j o(s)fc E7,1)
Так как эффективные сечения имеют резкие максимумы в области ре-
резонансных энергий вп, то в интеграле E7,1) играют основную роль
области энергии, лежащие вблизи резонансных уровней. В каждой из
этих областей сечение реакции изображается формулой
г г
поэтому можно написать:
г е
Величины k, Гг., Гв. являются медленно меняющимися функциями
энергии, поэтому их можно вынести за знак интеграла, а пределы
интегрирования при малых Г (резкий максимум) распространить до —оо
и -j-оо. Тогда, используя формулу
со
С dx
J х2 + а2 а '
— оо
получим:
де _
где v==7) — число резонансов в интервале Де; Гг, Те и Г — средние
значения *) соответствующих ширин резонансов в интервале Де. Окон-
*) В дальнейшем в этом параграфе будут использоваться только средние
значения ширин, поэтому черта над буквой будет опускаться.

§ 57] ЭФФЕКТИВНЫЕ СЕЧЕНИЯ РЕАКЦИЙ, УСРЕДНЕННЫЕ ПО РЕЗОНАНСАМ 285
чательно получаем, что сечение реакции, усредненное по резонансам,
пропорционально средней плотности уровней составного ядра
<3,> = 2-^'. E7,2)
Если использовать приближенное выражение E5,14) для Ге
г _ 2kD*
то
4 г? ~ kKD Г "
При больших энергиях Гг =^ Г; далее, полагая D* =z= D, имеем:
что совпадает с соответствующим сечением нерезонансной теории
(см. E5,7)).
Итак, сечение, усредненное по резонансам, должно соответствовать
сечению рассеяния на сферической потенциальной яме такой глубины,
чтобы внутреннее волновое число нейтрона равнялось К и падающая
нейтронная волна полностью поглощалась бы в ядре.
Формулу E7,2) легко обобщить на случай 1^=0. Для этого макси-
максимальное возможное значение сечения -^ при 1=0 надо заменить в
E7,2) на максимально возможное значение сечения при /^0 и вели-
величину D отсчитывать между уровнями с данным /. Тогда получим:
<»?)> = ^B/+1)^. E7,4)
Полное сечение реакции (для всех /) определяется суммированием
E7,4) по всем Is^kd:
Рассмотрим теперь частный случай реакции — реакцию захвата нейтрона,
имеющего орбитальный момент Ы, с испусканием у-кванта. Эффектив-
Эффективное сечение этой реакции будем кратко обозначать с(/) (п, у). Сечение
р
реакции оA) (п, у) получается умножением сечения E7,4) на отношение ^- ,
т. е.
9—2 Г Г
<^)(«,Y)> = ^B/+1)^. E7,5)
Как указывалось в начале этого параграфа, при рассеянии нейтронов
с энергией, превышающей 10 кэв на ядрах среднего и малого атомного

286
ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ
[ГЛ. VIII
веса, Ге>>Гг Если ширины других реакций также малы, то Г =s Ге и
усредненное по резонансам сечение радиационного захвата прини-
принимает вид
< о{1) (п, у) > = |£ B/ -f 1) -+. E7,6)
Если в реакции участвуют только нейтроны с 1=0, то
Таким образом, сечение радиационного захвата изменяется обратно
пропорционально энергии относительного движения < а@) (я, у) > -^ — .
Этот закон подтверждается экспериментальными данными по радиацион-
радиационному захвату нейтронов вплоть до энергии в 1 Мэв [32]. При даль-
дальнейшем увеличении энергии в общее сечение захвата нейтрона будут
давать вклад и значения 1-фО. Кроме того, надо учесть зависимость
от энергии среднего расстояния между уровнями D; все это должно
приводить к более медленному убыванию сечения с энергией, чем — .
Эффект высоких значений / может быть оценен путем суммирования
E7,6) по всем l^kd, тогда
?Ь E7,8)
где D=DV При %yyd формула E7,8) переходит в E7,7).
Формула E7,7) определяет усредненное по резонансам эффективное
сечение радиационного захвата нейтронов как функцию радиационной
ширины Г и среднего расстояния
между уровнями составного ядра при
данном возбуждении.
Радиационная ширина сравнитель-
сравнительно хорошо известна для элементов
А^>]00, где Гт =г 0,1 эв. При умень-
уменьшении массового числа А до 20 зна-
значение Г увеличивается до нескольких
эв. Рис. 61, заимствованный из рабо-
работы [33], дает представление о зави-
зависимости Г от А. Пользуясь этими
значениями Г и измеренными вели-
Рис. 61. Зависимость радиационной
ширины от атомного веса. Кружки
соответствуют экспериментальным
значениям.
чинами < а (п, у)>> можно с помощью
E7,7) вычислить среднее расстояние
между уровнями Do, возбуждаемыми
s-нейтронами в составном ядре. В таблице 27 приведены некоторые значе-
значения Do, вычисленные [32] по экспериментальным значениям < о (л, у)>,
при энергии нейтронов, равной \Мэв.

§ 57] ЭФФЕКТИВНЫЕ СЕЧЕНИЯ РЕАКЦИЙ, УСРЕДНЕННЫЕ ПО РЕЗОНАНСАМ 287
Таблица 27. Значения Do для некоторых ядер
Изотоп
Na2s
Mg2S
Al27
А г40
К41
Са48
Ni64
Си"
Ag107
In115
J127
Xelse
Ва138
La139
Се140
Hg204
Pb208
Bi209
Спин
3
2
0
5

0
3
T
0
0
3
1
1
2
9
2
5
2
0
0
7
0
0
0
9
2
о ,
тепл
барн
0,49
0,049
0,215
1,2
1,0
1,1
2,6
4,0
32
52
6,7
0,15
0,5
8,4
0,27
0,43
0,0006
0,017
и A Шв),
барн
0,26
0,6
0,37
0,93
2,9
1,9
5,1
11,4
85
57
105
1
2,3
5,0
5,4
102
2,0
ад
Ет = гт + Е!1
7,39
6,61
8,3
7,22
8,27
5,39
7,34
8,74
8,41
8,09
8,33
5,69
6,26
6,55
6,85
7,19
5,06
5,27
Do, эв
4,8-10*
1,7-10*
2,5-10*
4,4-103
1,3.10»
1,5-10»
2,9-102
1,3-10*
6
1,9
3,3
3,02-102
1,35-101
63
52
1,26
61
35
Таблица 28. Значение параметров, определяющих среднее расстояние между
уровнями возбужденных ядер
А
р, Мэв'1
С, Мэв-1
27
0,45
0,5
63
2
0,3
115
8
0,02
181
10
0,01
231
12
0,005

288
ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ
[ГЛ. VIII
Интересно сравнить эти экспериментальные данные с выводами
статистической теории о среднем расстоянии между уровнями. Согласно
статистической теории плотность
уровней, или среднее число уровней
в энергетическом интервале 1 Мэв,
равное 10e/D0, может быть выраже-
выражена формулой (см. B5,6))
10е
E7,9)
20 Щ 60 00 100120140 160180 200 Л
Рис. 62. Зависимость среднего рас-
расстояния между уровнями атомного
ядра от массового числа.
где Е*— энергия возбуждения ядра;
параметры C и С зависят от массово-
массового числа ядра. На рис. 62, взятом
из работы [32], изображена кривая
зависимости Do от А на основе фор-
формулы E7,9) при значениях парамет-
параметров, приведенных в таблице 28.
Значения Do, вычисленные со-
согласно формуле E7,7), отмечены на
рис. 62 кружками для немагических
ядер четного А и крестиками для
немагических ядер нечетного А. Значения Do у ядер со спинами 9/2 и
7/2, как отмечается в работе [32], мало отличаются от соответствующих
значений Do для соседних ядер с меньшими спинами.
§ 58*. Матрица рассеяния для резонансных реакций
В этом параграфе мы изложим более строгую теорию резонансных
ядерных реакций. В частности, попытаемся выяснить условия, при ко-
которых оправдывается гипотеза Бора о независимости распада составного
ядра от способа его образования.
В дальнейшем для простоты будем предполагать, что составное
ядро, образующееся в результате реакции, распадается только на две
части. В этом случае можно пользоваться понятием канала реакции,
введенным в § 50. Задачей теории ядерных реакций является вычисле-
вычисление матрицы рассеяния (или сечения реакции) для каждого канала
реакции.
Вследствие малого радиуса действия специфических ядерных сил
ЗЛ-мерное конфигурационное пространство системы А нуклонов для
каждого канала реакции может быть разделено на две области: внут-
внутреннюю и внешнюю. Внутренней областью будем называть отделенную
с помощью замкнутой гиперсферы (а), введенной Вигнером и Айзенба-
дом [34], область, в которой проявляются специфические ядерные силы
между всеми нуклонами. Внешней областью будем называть область
конфигурационного пространства вне гиперсферы а, в которой между

§ 58*] МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ ДЛЯ РЕЗОНАНСНЫХ РЕАКЦИЙ 289
продуктами реакции уже не действуют специфические ядерные силы.
Радиус d такой гиперсферы будем называть радиусом канала.
При таком разделении конфигурационного пространства во внешней
области поведение системы определяется гамильтонианом, описывающим
относительное движение продуктов реакции в каждом канале. Влияние
сложного поведения системы во внутренней области на внешнюю об-
область можно учесть определенными граничными условиями на поверх-
поверхности, разделяющей эти области конфигурационного пространства.
Интегралами движения системы А нуклонов является полная энер-
энергия Е, четность, полный момент количества движения J и его проек-
проекция М на выделенное направление. Рассмотрим стационарное состояние,
соответствующее определенным значениям этих величин. Это состояние
описывается волновой функцией, удовлетворяющей уравнению Шре-
дингера:
E8,1)
Обозначим решения уравнения E8,1) для внутренней и внешней
областей соответственно через Ф1 и Фп. Во внешней области волно-
волновая функция Ф11 может быть записана в виде
Фшм = £ ?а/ (/"«) — ty™ (. .. г.. . .), E8,2)
«> i
где суммирование по а распространяется на все каналы реакции; сум-
суммирование по / в каждом канале реакции производится по всем воз-
возможным значениям квантового числа орбитального момента в данном
канале. Для всех открытых каналов*), т. е. каналов реакции, энерге-
энергетически возможных при данной энергии возбуждения составного ядра:
i
tyff(ri)= V S\{ljmrrij\ JM)Ylmljm.\ E8,3)
т = — I m.j
здесь {Ijmmj \ JM) — коэффициенты векторного сложения; Ущ — сфе-
сферическая волновая функция, определяющая направление разлета про-
продуктов реакции в канале а; гя — относительное расстояние между
продуктами реакции; ljmj — волновая функция, описывающая спиновые
состояние и внутреннее движение нуклонов в разделенных продуктах
*) Волновые функции фо^ закрытых каналов могут быть произвольными,
необходимо только, чтобы они вместе с функциями фаг открытых каналов
образовали полную ортогональную систему функций. Чтобы упростить теорию,
обычно в сумме E8,2) исключают закрытые каналы, полагая их радиусы
столь большими, чтобы волновая функция Фп оказалась целиком во внутрен-
внутренней области. Однако при рассмотрении смещения уровней и поведения сече-
сечения вблизи порога необходимо включить в сумму E8,2) каналы, близкие к
порогу (см. [35]).
19 А. С. Давыдов

290 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ [>Л. VIII
реакции; уа1 (га) — радиальная волновая функция относительного движе-
движения продуктов реакции в канале а, удовлетворяющая волновому урав-
уравнению:
М * (О = ° r> d E8'4)
где k\=-^3; £а — энергия относительного движения; jxa — приведен-
приведенная масса в канале а;
— внешняя потенциальная энергия кулоновских и центробежных сил.
Общее решение уравнения E8,4) может быть выражено через ли-
линейную комбинацию двух хорошо изученных*) линейно независимых
вещественных решений — регулярного в нуле решения Fai (р) и нерегу-
нерегулярного Gat (p), 9 = к/а. В дальнейшем для упрощения записи будем
обозначать пару индексов а/ одним индексом s.
При исследовании решения уравнения E8,1) во внешней области нас
будут интересовать значения функций Fs (p) и Gs (p) и их производных
по р (которые мы будем обозначать штрихом у соответствующей функции)
на поверхности а. Однако не все эти четыре величины линейно неза-
независимы; они связаны между собой простым равенством:
F'SGS—G'SFS — const.
Функции F и G обычно нормируются так, чтобы эта постоянная равня-
равнялась 1. Таким образом, достаточно знать на поверхности а только три
*) Например, для нейтронов Ft(р) = у ^ Jt +,/а (р), Gi(p) =
~— у у N/+1;2 (р). где •//_!_i,a и N[_j_,.2 — соответственно функции Бесселя и
Неймана порядка ^-j-Vr Асимптотические значения (р—*■ оо) этих функций
имеют вид
Fi (р) ^= Sin р - -я- ) , G (р) =i: COS р — — .
Для заряженных частиц функции F{(p) и G/(p) имеют при больших р асимпто-
асимптотическую форму:
и
Z Z ег
где •*]:= -^ 2 ,a = argr(l -\-l-\-it\). Значения функций F и G и их производ-
ных при т) > 0 даны в таблицах [27].

§ 58*] МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ ДЛЯ РЕЗОНАНСНЫХ РЕАКЦИЙ 291
независимые величины. В качестве этих величин выберем значения
действительной и мнимой частей логарифмической производной на по-
поверхности а от расходящихся волн:
нормированных на единицу потока*):
= (^ + 'СМ> E8,5)
и фазу Цу, определяемую условием
ds—радиус канала s. Величины £s и ^ выражаются через Gs и Fs
простыми соотношениями:
' * "~*^ E8,7)
где /5,= [^-|-G*]—введенная в § 54 проницаемость. Для нейтро-
нейтронов с нулевым орбитальным моментом ^=0, £s = ks, ils = ksds, Ps=\..
На поверхности а функция ys имеет вид
Волновую функцию E8,2) во внешней области можно выразить через
расходящиеся ys и сходящиеся ys волны в каждом канале
*) Для заряженных частиц Ф5= Л/ -r^-(Gs-\-iFs)e tai, где<*/ — кулонов-
ский сдвиг фазы, обусловленный чисто кулоновским рассеянием. Он опреде-
определяется из соотношения ехрB/о?) — \-r J--, гдет) =- ' 'е■. Если энергия отно-
(i — /г,)' ^^,
сительного движения отрицательна (закрытый канал), то ф заменяется действи-
действительной экспоненциально убывающей функцией Уиттекера W_T ,,,, Bр), где.
rj определено выше. Тогда С = 0, 5=^-^ (см. [36]).
19*

292 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ [ГЛ. VIII
где
здесь функции <bs, определяемые E8,3), ортонормированы на поверх-
поверхности а:
где интеграл обозначает суммирование по спинам канала и интегриро-
интегрирование по угловым переменным канала 5 и по всем внутренним коорди-
координатам продуктов реакции (г,). Амплитуда расходящейся волны bs в
канале s определяется через амплитуды сходящихся волн во всех ка-
каналах с помощью матрицы рассеяния 5:
Предположим, что as=bs(i т. е. что амплитуда сходящейся волны от-
отлична от нуля только в одном (входном) канале t. Тогда волновая
функция, описывающая реакцию в канале s, вызванную по каналу t,
будет иметь вид
Ф2=(А-<РА*)^. E8,9)
rs
Результат любого измерения, произведенного над системой после раз-
разлета продуктов реакции, может быть выражен через матрицу рассе-
рассеяния S. Описывая асимптотическое поведение волновой функции, мат-
матрица рассеяния лишь частично отражает свойства волновых функций
во внутренней области.
Для установления связи между матрицей рассеяния и свойствами
волновых функций во внутренней области введем, следуя [34], полную
систему ортонормированных по всей внутренней области собственных
функций Л\ оператора И, удовлетворяющих граничным условиям:
= 0. E8,10)
Собственные функции Л\ не описывают реального состояния составного
ядра, так как они не соответствуют распадающимся состояниям. Од-
Однако для некоторых энергий Е, близких к резонансным, когда рассто-
расстояния между резонансными уровнями гораздо больше их ширины, со-
состояния составного ядра близки к стационарным. В этом случае состо-
состояния Л\ будут отражать, хотя и грубо, свойства реальных состояний.
Решение уравнения E8,1) во внутренней области, описывающее
реакцию, вызванную по каналу t, можно представить в виде

§ 58*] МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ ДЛЯ РЕЗОНАНСНЫХ РЕАКЦИЙ 293
Для определения коэффициентов Са вспомним, что функции Ф{ и Х^
удовлетворяют уравнениям НФ\—ЕФ\ и НХх = Е1Х\. Умножая пер-
первое из этих уравнений на А\, а второе на Ф^ и вычитая, получим,
учтя ортонормированность функций:
dx=(E — Ex) СА.
Разобьем функцию Ф* на сумму функций Ф/ = 2 Ф^ соответственно
числу каналов реакции. Представляя в каждом канале (вблизи входа
в канал) гамильтониан в виде H=HS — к— Д^ и используя теорему
Грина, можно свести каждый объемный интеграл к «поверхностному».
Если учесть, что Hs не дает вклада в поверхностный интеграл, то
На входе каждого канала {гФ1*}в = <р,ф^, поэтому, учтя E8,10),
имеем:
Таким образом,
\, S
Умножим обе части полученного равенства на ф*г и проинтегрируем
по поверхности с; тогда, вводя величины, характеризующие реакцию в
канале s, вызванную но каналу /:
E8,11)
у^§Хфаз, E8,13)
получим, учтя равенство

294 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ [ГЛ. VIII
следующее из E8,12):
X s' л
Если ввести обозначение
*
#"'=Lz^S> E8'15>
то можно записать:
E8,16)
s'
или в тензорных обозначениях
E8,15а)
а = Лр, E8,16а)
где символом (а X ^) обозначается матрица с компонентами
Матрица E8,15), которую мы в дальнейшем будем называть R-мат-
рицей или вспомогательной матрицей (derivative matrix), имеет раз-
размерность длины, зависит от энергии Е и полного момента У. Через
величины Yu и £"х она зависит также от внутренних свойств состав-
составного ядра и граничных условий, накладываемых на функции Хх. Хотя
сами величины уи и £х определяются неоднозначно (из-за произвола
в выборе граничных условий для функции Х}), выраженные через них
некоторые интегральные соотношения имеют вполне определенный фи-
физический смысл (например, правило сумм, матрица рассеяния и др.) [26].
Матрица R связывает значение волновой функции и ее нормальной
производной на поверхности с в каждом канале. Воспользуемся этой
связью, чтобы выразить матрицу рассеяния через матрицу R. Прирав-
Приравнивая волновые функции внешней и внутренней областей на входе ка-
канала s, получим, учтя E8,9) и
следующее равенство:
I/ -т^- а^=(^^ ^st^sf' (^°>l')
Используем формулы E8,16) и E8,8) и введем диагональные («потен-
(«потенциальные») матрицы
<0.^ = ^/в'а'» E8,18)
4^, E8,19)

§ 58*] МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ ДЛЯ РЕЗОНАНСНЫХ РЕАКЦИЙ 295
величины ys и Ps в которых определяются волновой функцией относи-
относительного движения продуктов реакции E8,8) (зависящей от потенци-
потенциала Vs в канале s). С учетом этих матриц равенство E8,17) можно
переписать в следующем виде:
_ ss'Rs's'>$s»t, E8,20)
или сокращенно
(u — a>-1S = AR$. E8,20a)
Приравнивая теперь производные по внешней нормали к поверхности as
от волновых функций (умноженных на г) внешней и внутренней обла-
областей (см. E8,14) и E8,9)) на входе канала 5, получим:
Используя E8,5), E8,8), E8,18), E8,19) и вводя новую диагональ-
диагональную «потенциальную» матрицу
E8>21)
получим матричное равенство
$ = аВ — В*ш~ J5. E8,22)
Подставляя E8,22) в E8,20а), получим после несложных преобразо-
преобразований явное выражение матрицы рассеяния 5 через матрицу R:
E8,23)
В частном случае реакций с нейтронами с орбитальным моментом, рав-
равным нулю:
2
Подставляя E8,19) и E8,21) в E8,23), преобразуем S к виду
5 = (oV(o, E8,24)
где (о имеет прежний смысл E8,18), а
E8,24а)
— симметричная унитарная матрица. Симметричность матрицы V следует
из симметричности матрицы S, а унитарность видна непосредственно.

296 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ [ГЛ. VIII
Матрицы, входящие в E8,24а), имеют следующий смысл:
Формула E8,24) связывает матрицу рассеяния с матрицей R, зави-
зависящей от выбора поверхности а и граничных условий для функций Хх
на этой поверхности. Несмотря на это, сама матрица рассеяния не за-
зависит от произвола в этом выборе.
Формула E8,24) в принципе полностью определяет матрицу рас-
рассеяния, однако она не удобна для практического использования, так
как содержит обратную матрицу A —RL)~X. Явное выражение мат-
матрицы рассеяния может быть получено в некоторых предельных слу-
случаях, например, когда в реакции участвуют только один или два ка-
канала [37] или в матрице R существенны одно или два слагаемых.
Последнее справедливо в области изолированных резонансов, когда
Е =5= Ех, 1\ «f).ii — Ех.
Представим матрицу R в виде суммы двух членов:
R = R*-]rR\ E8,26)
где
. £<^. E8_27)
сумма 2 содержит одно или несколько слагаемых, в которых зависи-
зависимость от энергии еще существенна; R0 учитывает практически не за-
зависящие от энергии вклады от остальных уровней. В дальнейшем мы
будем предполагать, что R0 является диагональной матрицей.
При таком разбиении матрицы R имеем;
{\ — RL)-1 R=(\ — ROLr'R0 -\-
+ A — R^L)-1 A — R'LY'R1 A — LR°)~\ E8,28)
где
L1 = L{\—R»L)-\ E8,29)
Для вычисления A—Z?1/.1)/?1 положим
A _ R^vr'R1 = 2 Л* (Yv X Y,)- E8>3°)
Умножим далее обе части этого равенства на
тогда получим:
хУ А (vYvl
Е
р
1 И- Х

§ 58*] МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ ДЛЯ РЕЗОНАНСНЫХ РЕАКЦИЙ 297
Используя тождества (а'Х b) L = (аX bL) и (аX Ь) [с X d) = (be) (a Xd),
имеем:
Это уравнение выполняется для всех \, pi, если
(Ех - Е) Л, ~ 2 аьЛ, = V' E8>31>
где
. -(vvLu
- R°L) (I —R4*) ~
^ = Дь + /%. E8,32)
При получении соотношения E8,32) были использованы выражения
E8,29) и E8,25); при этом
ь = 2 (РхСЙ = 2 2 [Ш-, E8,34)
px = rr^Z=Yx«'4 E8,35)
где
Подставляя E8,30) в E8,28) и используя обозначение E8,35), получим:
о—w-*=(i—/nr
v, е-
Это выражение подставляем в E8,24а); находим:
V= 1 + 2^'V + 2/ S А„ VZ(^ X Р„) VT-
^, и-
Предположим теперь, что энергия Е попадает в область изолиро-
изолированного резонанса Ех\ тогда R1 E8,27) будет содержать только один
член, а система уравнений E8,31) сведется к одному равенству:
А1Х(Ех — Е—*п) = \. E8,37)
Подставляя E8,37) в E8,36), получим явное выражение симметричной
унитарной матрицы V в области изолированного резонанса
2/ ' -\'*'"vy- , E8,38)
где
рх = ?;Л эх = £х-Ди, Гх = Ги. E8,39)
Таким образом, Ди, определяемая равенством E8,33), смещает резо-
резонансное значение энергии.

298 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ [ГЛ. VIIF
Сечение рассеяния и реакции (при* входном канале t) выражается
через матрицу V простой формулой:
as( = —- g\ (cdVcd—l)st\z> E8,40)
где g—множитель, зависящий от спина каналов и полного спина си-
системы; (о — диагональная матрица, определяемая соотношением E8,18).
Подставляя E8,38) в E8,40), можно представить сечение рассе-
рассеяния в виде
аи, = 4тт£ | Л^мнц + Лез Г, E8,41)
где
— медленно меняющаяся функция энергии. АЦтенц определяет так на-
называемое потенциальное рассеяние, часть которого, обусловленная ве-
величинами §, х и R0, зависит от остальных резонансных уровней. Если
си 1
положить /?° = 0, то AnoTeHU = —eQtsinQt совпадает с амплитудой по-
потенциального рассеяния, введенной в § 54 (формула E4,12)) и не учи-
учитывающей влияние остальных резонансных уровней.
Амплитуда резонансного рассеяния при учете E8,34) запишется
в виде
которая совпадает с E4,11), если принять во внимание, что
Е — эх = Е — гх, E8,44)
где s — энергия относительного движения, а £х — ее резонансное зна-
значение. Здесь и в дальнейшем греческая буква определяет номер уровня,
а латинская — номер канала.
Недиагональный элемент E8,40) дает сечение реакции. Подстав-
Подставляя E8,38), имеем, учитывая E8,44), сечение реакции, идущей по
каналу 5 при входном канале t:
E8,45)
Формула E8,45) может быть записана в виде произведения двух
множителей
(88.45»

§ 58*] МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ ДЛЯ РЕЗОНАНСНЫХ РЕАКЦИЙ 299
из которых первый можно интерпретировать как сечение образования
составного ядра по каналу t, а второй — как относительную вероят-
вероятность распада по каналу 5. Таким образом, в области изолирован-
изолированного резонанса оправдывается предположение Бора о независимо-
независимости процессов образования и распада составного ядра по одному
из каналов.
В области энергий, близких к энергии изолированного резонанса,
в матрице R существенно только одно слагаемое R0 ^= 0; поэтому
$x = Yx и полная ширина уровня
а парциальная ширина в канале 5
Учитывая E8,7а), имеем для нейтронов с нулевым орбитальным мо-
моментом TXs=2ks\ Yx512. Величину |ух.у|2 называют приведенной шири-
шириной уровня \ в канале s (см. § 54). Она зависит только от внутрен-
внутренних свойств составного ядра и имеет размерность: энергия X Длина.
Вероятность распада состояния X составного ядра по каналу s оп-
ределяется величиной -—. С другой стороны, эта вероятность рав-
%
няется полному потоку частиц через сферу радиуса ds, т. е. должно
выполняться равенство
где cfX5 — волновая функция в канале s. Пользуясь E8,5) и E8,7),
имеем:
Если вероятность распада не очень велика TU<<D, то Хх сравнитель-
сравнительно хорошо описывает состояние составного ядра. В этом случае
{ Vis la = J X\$ rd*- Поэтому
совпадает с E8,13).
Итак, формула E8,45а) показывает, что если полная ширина уров-
уровня 1\ значительно меньше среднего расстояния между уровнями, то во
всех случаях, когда энергия возбуждения попадает в резонансную об-
область, сечения рассеяния и реакции описываются формулой Брейта — Виг-
нера для изолированного уровня. Сечение реакции в этом случае не
зависит от способа образования составного ядра. Таким образом,

300 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ [ГЛ. VII)
гипотеза Бора о составном ядре, которую мы использовали в § 55,
оказывается оправданной в области изолированных резонансов.
Если уровни составного ядра перекрываются и если использовать
предположение Бете [38], что знаки уХ5 для различных уровней совер-
совершенно не коррелированы, то часть членов в сумме E8,31) бу-
будет положительной, а часть — отрицательной при jx^v. Если же
jjl = v, то все слагаемые положительны. Следовательно, недиаго-
недиагональные коэффициенты Ах будут значительно меньше диагональных
(примерно в отношении \:М, где N — число каналов). Пренебрегая
недиагональными элементами в E8,31), получим E8,37) уже как при-
приближенное уравнение для каждого уровня Ех. В этом случае сечение
реакции будет выражаться суммой членов E8,45а), относящихся к
каждому уровню:
g"=i^£ „Y'i^M* E8>46)
Усредняя E8,46) при Tyt<^D (и произвольном -^1 по многим уров-
уровням, получим результаты, рассмотренные в § 57. Таким образом, при
перекрывании уровней, из предположения Бете следует, что сечение
поглощения, усредненное по резонансам, будет иметь порядок попереч-
поперечного сечения ядра, а распад составного ядра можно считать независи-
независимым от способа его образования только для усредненных по резонансам
сечений.
В заключение этого параграфа покажем, что сумма приведенных
ширин VjJYx'l2. распространенная на все состояния s, соответствующие
одинаковым продуктам реакции, имеет вполне определенное значение.
Для вычисления этого значения вернемся к определению ух5 (см- E8,13)):
Ф>. E8,47)
Поскольку нас интересуют только каналы s, соответствующие одина-
одинаковым продуктам реакции, то можно положить ds = d и \xs = \i.
Из E8,47) следует, что на поверхности а
Взяв квадрат модуля от обеих частей равенства E8,48) и интегрируя
результат по поверхности о, получим искомое равенство:
2ц
E8,49)

§ 59*] ЭФФЕКТИВНЫЕ СЕЧЕНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ МНОГИХ РЕЗОНАНСОВ 301
Левая часть E8,49) может быть оценена следующим образом. Соглас-
Согласно нормировке \ |Л"Х |2ofV= 1 следует, что \ХХ\2 -n. -т^, где W—сфе-
W—сфера радиуса d. Поэтому I | X)J2tfa ^ —^д—= d3' Тогда E8,49) пе-
переходит в равенство
Е° = |з. E8,50)
носящее название правила сумм в дисперсионной теории ядерных
реакций. Из E8,50) можно заключить, что парциальная приведенная
ширина должна удовлетворять неравенству
Итак, согласно E8,50) величина/^ = —^—, удовлетворяющая равен-
равенству \*fys=\, играет в ядерных реакциях роль, подобную силе
s
осциллятора в оптических переходах в атомной физике.
§ 59*. Эффективные сечения при наличии многих резонансов
Пользуясь результатами предыдущего параграфа, рассмотрим более
подробно случай, когда в небольшой области энергий заключается
много резонансных уровней составного ядра.
Согласно E8,24) и E8,24а) общий элемент матрицы рассеяния мо-
может быть записан в виде
где йу и С5 определяются формулами E8,6) и E8,7).
Учитывая предположение Бете о статистическом равновероятном рас-
распределении знаков ух» использованное при выводе E8,46), с помощью
E8,30) и E8,31) можем записать:
x 2~
где
sx — £ = cx — с — au.
Как известно из общей теории рассеяния, сечение упругого рас-
рассеяния ое, сечение реакции ог и полное сечение at в канале 5 выра-

302 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ [ГЛ. VIII
жаются через диагональный элемент матрицы рассеяния Sw с помощью
формул:
E9,3)
Статистический множитель £" —-тг 1 + ^. ), где J — спин ядра
Z \ ZJ -\- 1 J
мишени. Для четно-четных ядер У = 0, g=\, для ядер с большим
1
СПИНОМ g == y .
Для вычисления S^ надо знать диагональные матричные элементы
матрицы E9,2). Перейдем в формуле E9,2) от суммирования к инте-
интегрированию, для чего совершим замену
где Dx — расстояние между соседними уровнями в области Х-го резо-
резонанса.
Тогда
где Г = Гх и Cs (£)) = < ' ^ ■ > — так называемая силовая функ-
ция (strength function [39]) уровня ех, которая, как будет показано
ниже, с точностью до 4я совпадает с коэффициентом прилипания.
Уравнение E9,4) имеет вид дисперсионного соотношения; оно по-
позволяет вычислить диагональный элемент матрицы R, если известна «си-
«силовая функция» для всех значений энергии. Учитывая, что
,. С r,f (х) dx /./rv. /r-п с\
hm Ulr2 =тг/(О), (о9,5>
получим из E9,4) обратное к нему соотношение:
Cs (в) = lim I Im |йм (е + /1) } , E9,6)
позволяющее непосредственно вычислять «силовую функцию», зная диа-
диагональный матричный элемент Rss.

§ 59*] ЭФФЕКТИВНЫЕ СЕЧЕНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ МНОГИХ РЕЗОНАНСОВ 303
Из всех формул для сечений E9,3), которые определяются экспе-
экспериментально, только формула для сечения полного рассеяния at линей-
линейна по отношению к диагональному элементу матрицы рассеяния Sss, a
следовательно и по отношению к Rss. Другие сечения содержат квад-
квадрат этого элемента. Правда, и при измерении at определяется непо-
непосредственно только ReSw. Для вычисления мнимой части необходимо
использовать дополнительные соображения, которые можно получить
при анализе определенных моделей ядра.
Как будет показано в главе XIII, взаимодействие медленных нейтро-
нейтронов со средними и тяжелыми ядрами может быть описано оптическим
потенциалом
v= ( —V0 — iW, если r<d;
\ 0, если ^
В этом случае для нейтронов, обладающих энергией е, при /=0 ло-
логарифмическая производная волновой функции на поверхности ядра вы-
вычисляется непосредственно:
f=Xc\gX,
где
jjl — приведенная масса нейтрона и ядра; d — радиус канала реакции.
Так как по определению матрицы R она связывает значение вол-
волновой функции и ее нормальной производной на поверхности ядра в
каждом канале, то можно написать:
Rss = -y=d&?-. E9,7)
Используя соотношение
л=1 "■ 1 г; I —л
перепишем E9,7) в виде
где
-энергетические уровни нейтрона в поле с потенциалом VQ.

304 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ [ГЛ. VIII
Теперь из соотношения E9,6) можно вычислить «силовую функцию»
V-d /ко ол
Переходя в E9,9) от суммирования к интегрированию, мы можем оце-
оценить значение парциальной приведенной ширины уровня ех:
Если резонансы составного ядра не разрешаются, то измеряемые
эффективные сечения относятся к сечениям, усредненным по многим
резонансам. Усредним сечение упругого рассеяния, определяемое пер-
первой формулой E9,3), по небольшому интервалу энергий, содержащему
много резонансов, пренебрегая при этом изменением kl на интервале
усреднения:
где
Сечение ase называют [40] сечением упругого рассеяния, обусловлен-
обусловленного потенциалом, а сечение асе — сечением упругого рассеяния, про-
проходящего через стадию составного ядра, так как оно исчезает в об-
области возбуждений, соответствующих непрерывному спектру энергии,
когда вероятность упругого рассеяния, проходящего через стадию со-
составного ядра, исчезающе мала. В области же резкого изменения
матричного элемента 5^ с энергией (редко расположенные резонансы)
и эффективное сечение упругого рассеяния, проходящего через стадию
составного ядра, отлично от нуля.
Среднее значение эффективного сечения, приводящего к реакции,
равно
^-<|SJ2>|. E9,12)
Суммарное сечение ос=<^агУ-\-асе называют сечением образования
составного ядра. Согласно E9,12) и E9,11) оно определяется фор-
формулой
ов = ^«рA-|<5„>|1). E9,13)

§ 59*] ЭФФЕКТИВНЫЕ СЕЧЕНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ МНОГИХ РЕЗОНАНСОВ 305
Покажем, что эффективное сечение образования составного яд-
ядра можно выразить через «силовую функцию» C(s). Из E9,1) и E9,2)
следует
«Д,). E9,14)
Для вычисления Rss воспользуемся равенством E9,4). Если не учиты-
учитывать полюсов «силовой функции», то из E9,4) следует
s). E9,14а)
Подставляя E9,14) и E9,14а) в E9,13), получим:
°e=:pS4*CC,(e)(l — 4*;,Q ^^$£,(8). E9,15)
Множитель Допределен формулой E8,7). Он характеризует проницаемость
«внешнего» потенциального барьера (кулоновское поле и центробежный
барьер). Поэтому величину — g£s можно назвать эффективным сечени-
ks
ем «столкновения» ядра и нуклона и переписать E9,15) в виде
ас = ъ8Ы* E9-16)
где ris называют коэффициентом прилипания. Согласно E9,15) коэф-
коэффициент прилипания в канале 5 определяется «силовой функцией»
ris = toCa(*). E9,17)
«Силовая функция» Cs (в) может быть определена непосредственно
из параметров резонансов в области энергий, соответствующих изоли-
изолированным резонансам. В случае медленных нейтронов |у|2 выражается
через нейтронную ширину Ге = 2&|у|2 или через «приведенную ней-
нейтронную» ширину Ye = —, где £х — кинетическая энергия нейтрона
(обычно выражается в электроновольтах), соответствующая резонансу. За-
Зависимость «силовой функции» от атомного веса измерялась в области
массовых чисел \00<^А<^ 200 в работе [41] и в области A -v- 50 в
работе [4-2]. Оказалось, что «силовая функция» обладает хорошо вы-
выраженным максимумом в области А -^- 52 и менее точно выраженным
максимумом в области Л = 160 — 165.
Если предположить, что формула E9,9) справедлива и при конеч-
конечном W, т. е. если положить
то из положения максимумов можно определить параметр Vo оптиче-
оптической модели ядерных взаимодействий.
20 А. С. Давыдов

306 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ [ГЛ. VIII
Вследствие того, что максимум наблюдается при малой энергии,
используя формулу E9,8), имеем:
2п-\
2
Для Л = 52 надо взять я = 3, для А =160—165 я = 4. Тогда,
полагая
^ = ^"'+*в. *в^0,6гв,
можно получить [43]:
г\У0 = 67 -\0-" Мэв-см*.
Таким образом, если го= 1,3- 1O~IJ см, то Vo = 40 Мэв, если
го=1,2.1О-11сл, то 1/0 = 47 Мэв.
Если исходить при оценке «силовой функции» из представления
о модели сильной связи (§ 55), то согласно E5,14)
где К—волновое число, соответствующее средней кинетической энер-
энергии нейтрона внутри ядра. Величина К слабо изменяется с изменением
массового числа А, поэтому результат E9,19) не согласуется с экспери-
экспериментом.
§ 60. Угловое распределение продуктов ядерных реакций
Рассеяние (упругое и неупругое) и ядерные реакции, при которых
две частицы сталкиваются и затем система распадается на две другие
частицы, можно математически описать как некоторый процесс столкно-
столкновения двух частиц в начальной стадии и разлет двух частиц в конеч-
конечной стадии. Перед столкновением систему мы будем характеризовать
индексом а, определяющим тип сталкивающихся частиц и их внутрен-
внутреннее состояние, орбитальным моментом / и спином канала s. Спин ка-
канала s является векторной суммой спина частицы и спина ядра. Состоя-
Состояние системы после столкновения характеризуется соответственно набо-
набором Ь, X, о.
Задача теории рассеяния состоит в вычислении эффективного сече-
сечения процесса а/5 —► Ь\о. Орбитальный / и спиновый 5 моменты началь-
начального состояния, складываясь, образуют полный момент системы У. Полный
момент системы У, его проекция на выделенное направление и четность
состояния II сохраняются при столкновении. Эффективное сечение про-
процесса als—у Ь\а, соответствующего полному моменту У и четности И,
характеризуется элементом матрицы рассеяния
5^*>.,(У,П). F0,1)
Матричные элементы F0,1) зависят от энергии столкновения и образуют
унитарную матрицу.

§ 60] УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОДУКТОВ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ 307
Волновая функция начального состояния системы во входном канале as
может быть записана в виде
Ф« = Vasts т/к«г» = <р„2 /' V 4* B/ + 1 Ш V«) Г/0 (Ов. Та) Z*«, . F°.2)
где ^.yOTj—спиновая функция канала; was—волновая функция, опреде-
определяющая внутренние состояния ядра и частицы. Асимптотическое значе-
значение F0,2) при kara >> 1 имеет вид
1п\ . 1 t 1-У
F0,3)
Выразим произведение волновых функций YlQiSms через (спин-угловую)
функцию *) полного момента системы
Yidsm, = 2 (ls0ms 1 Jms) GlsJms.
J=\l-S\
Тогда волновая функция начального состояния в канале as принимает
вид
, оо
Ф« = <Рas Т7 L 2. /27+Т (&0Wj | У«,) O/J/e, X
а й/ = 0 У
К 2;—е\ 2]f, V«»1- F0,3a)
В конечном состоянии наиболее общий вид волновой функции в
канале Ьз (при заданных JYlms) можно написать в виде
Ф У г
гь У vb
exp
. F0,4)
Соотношение между амплитудами сходящейся и расходящейся сфериче-
сферических волн определяется матрицей рассеяния **)
вьъ= 2 Sbu,bn.;>Ab,Ve,. F0,5)
*) В приложении I эти функции обозначаются буквой Ф.
**) Здесь и в дальнейшем "мы не будем ставить индексов JHms над бук-
вамп А и В.
20*

308 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ [ГЛ. VIII
Сравнивая F0,4) с F0,3), мы найдем:
_ />■ + ' V2X+T(шО;лд I Jms) Y^Tb , * * т 6)
AbU == ~k °ab °w °W (OU,OJ
Подставляя F0,6) в F0,5), имеем:
JArs
Вьи= Ъ S^aisk-iVW+^vJlsOmslJmJi1". F0,7)
l=\T-S\
Пользуясь F0,7) и F0,6), представим волновую функцию F0,4) в виде
суммы падающей и расходящихся волн:
где
ОО J+S
\\ \\
X exp |/ ^ V» - y) } Р*«*).Л,- Son, aisl F0,9)
Если детектор регистрирует продукты реакции не по значению полного
момента J системы, а но значениям спина канала и его проекции mz,
то, используя равенство
0>.9Ля, = ^{la,ms~ mz, mz \ Jms) Yx> щ_1Пя у^,,
mz
полезно преобразовать F0,9) к виду
Я\, = ^ (Ь) "■■' £ F^b,bm, , F0,Ю)
где
оо J-\-s J-\-Q
X flJ, /я, - «„, т31 Jms) [hjubs, — Sb^als]. F0,11)
Величину F °тз можно назвать [44] амплитудой реакции. Иногда ам-
asifijt
плитудой реакции называют величину
'г bam
Fo»,- F0,12)
Используя F0,8) и F0,10), легко убедиться, что эффективное сече-
сечение реакции asms—> bom3, при которой частица после столкновения

§ 60] УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОДУКТОВ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ 309
движется в направлении 0, ср к падающему пучку в телесном угле dQ
(углы измеряются в системе центра инерции), определяется через ампли-
амплитуду реакции формулой
@, <f ) = | F^l\ [' rffi. F0,1 3)
dVbamj asms | [
Если падающие частицы поляризованы и фиксируются спины и поляри-
поляризация частиц, возникающих в результате реакции, то эффективное
сечение реакции, вообще говоря, зависит от азимутального угла ср
(см. главу X).
Эффективные сечения реакции as —> ba с неполярпзованнымн части-
частицами получаются из F0,13) усреднением по начальным спиновым состоя-
состояниям и суммированием по конечным состояниям:
Л*,?«@) = B5+1)-1 2 d^ma;aSms(b,'f). F0,14)
Как будет показано ниже, сечение F0,14) не зависит от угла ср.
Эксперимент часто производится без фиксирования спина каналов.
Тогда для сравнения с экспериментальными данными надо усреднить F0,14)
по возможным значениям 5 и суммировать по всем возможным значениям а.
Если / и / — спины начального ядра и падающей частицы, а /' и /" —
спины конечного ядра и вылетающей частицы, то
*»*,= 2 2
S=\I-i\ 9=|/'-
где
B/+1)B/+1)
— статистический вес.
Подставляя F0,11) в F0,13), получим:
da —H2s-\-\)k'\ V /-'i+>.i+/»-MJ. §
aobztas U b\^llKai 2j \JbaJl *
где
KVMt Jz\l2; as; 0) =
= tt B/f + 1) B/, + 1J (/,*0«, | /,«,) (/2s0ms | У,«,) X
X (V. ю* — m3, w01 y,OTf) X
X (\o, ms-m,, ma\J2ms) У^^ @, cp) ПаЯ,_Яв (О, (р). F0,17)
— величина, не зависящая от природы каналов и динамики столкнове-

310 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ [ГЛ. VIII
ния, т. е. не зависящая от матрицы рассеяния. Учитывая равенство
м@, <р) Yl2M (О, <р) = (- 1 )м X VBl\tBL2+vi} (^°° > L0) X
(V2, ~Ж- М | Ю)ri0 (в), F0,18)
мы убедимся, что величина /((J^J^, J2\!2', os; 0) зависит только от
угла 0 и не зависит от угла ср.
При выводе соотношений этого параграфа не делалось никаких пред-
предположений относительно механизма реакций; поэтому полученные выра-
выражения справедливы для всех возможных столкновений, при которых до
и после столкновения существуют по две частицы.
Рассмотрим теперь некоторые выводы об угловом распределении
продуктов ядерных реакций, вытекающие из выведенных нами выше
формул для частных случаев.
Предположим, например, что энергия относительного движения со-
соответствует значению энергии изолированного резонанса составного ядра.
В этом случае реакция проходит через одно квантовое состояние состав-
составного ядра. Поскольку свойства этого состояния не зависят от способа
его возбуждения, то распад ядра (как было показано в § 58) не зави-
зависит от способа его возбуждения. Далее каждое такое состояние имеет
вполне определенную четность. Поэтому при преобразовании инверсии
(О, ср —► Ь — тг, ср —|— тт) амплитуда реакции F0,11) должна удовлетворять
соотношению
FTm] (&- *, <Р + *) = ± С2 @. <Р). F0,19)
где знак плюс относится к четным резонансным уровням, а знак минус —
к нечетным.
Из F0,19) и F0,13) следует, что сечение реакции, усредненное по
спиновым состояниям ms, m, и не зависящее от азимутального угла,
должно удовлетворять равенству
doba. as (тт — 0) = dab3; as @), F0,20)
т. е. дифференциальное сечение реакции должно быть симметричным
относительно угла 90°. Такая симметрия должна иметь место не только
для реакций, проходящих стадию составного ядра в области изолирован-
изолированного резонанса, но и во всех случаях, когда волновая функция, описываю-
описывающая реакцию, имеет определенную четность, например при малых энергиях
относительного движения, когда в реакции участвуют только состояния
с /= 0. В этом случае четность состояния, соответствующего ядерной ре-
реакции, равна произведению четностей падающей частицы и ядра мишени.
Следствием равенства F0,20) является то, что с помощью измере-
измерения углового распределения продуктов реакции нельзя установить чет-
четность соответствующего состояния. В частности, нельзя определить
четность изолированного резонансного уровня составного ядра.

§ 60] УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОДУКТОВ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ 311
Если энергия относительного движения попадает в область перекры-
перекрывающихся резонансов с малой плотностью уровней, то налетающая
частица возбуждает несколько состояний составного ядра. Фазовые со-
соотношения между этими состояниями зависят от способа возбуждения.
В этом случае предположение о независимости распада от способа воз-
возбуждения выполняется не всегда. Угловое распределение продуктов
ядерных реакций может не удовлетворять равенству F0,20).
Наконец, если энергия относительного движения попадает в область пере-
перекрывающихся резонансов с большой плотностью состояний, то возможно
использование статистического приближения, при котором предполагается бес-
беспорядочность распределения фазовых соотношений между отдельными состоя-
состояниями ядра перед его распадом. Покажем, что в этом случае опять должно
выполняться соотношение F0,20) для дифференциального сечения реакции.
При ядерной реакции as —*■ ba ф as согласно F0,16) можно написать;
d9. —
* ^^ a ' j7^ bv^i', asl\ *■ bv).2; as/j
F0,21)
Используя результаты предыдущего параграфа (формулы E9,1), E9,2)) для
матрицы рассеяния, можно написать:
С*-Л С Л
°6ja,; asxl °bz~>2; as2l —
X \ha\,ti., 1/2.9/iU-. ' ^" •' ^^i \b^lt\i.n i д.О.-,ич ' Ч0Э/.2 ^ал*2 _Л _л
• (bU, 2.2)
Вследствие предположения о статистическом распределении знаков f при
суммированиях, выполняемых в F0,21) и F0,22), надо учитывать только члены
с 1Х = 12, \=\z, J2 = Ji и jx, = ц2, так как остальные слагаемые из-за бес-
беспорядочного распределения знаков будут вносить малый вклад. Таким образом
при выполнении статистического приближения
= 1 V
dQ Bs 4- \)k -^ Г2
Учитывая F0,17) и F0,18), мы убедимся, что К (Л1; Л1; so; б) будет содержать
только сферические функции YLo@) для четных значений Z, = 0, 2, ... Таким
образом, угловое распределение продуктов реакции F0,23) должно быть сим-
симметричным относительно угла 90°. Отсутствие такой симметрии в изучаемой
реакции (например, значительная направленность вперед) будет указывать на
то, что статистическое предположение, приводящее к уравнению F0,23), не
выполняется в такой реакции. Сечение упругого рассеяния, проходящего через
стадию составного ядра, вычислить в общем виде не удается, так как при
условии l&al} = |as£} в суммах F0,21), F0,22) имеются положительные слагае-
слагаемые даже без выполнения условий ji,=!A2, J1 = J2. Однако общее сечение
упругого рассеяния, проходящего через стадию составного ядра, очень мало
(при не слишком малых энергиях), поэтому детали углового распределения в
таком рассеянии несущественны.

312 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ [ГЛ. VIII
Кроме общих следствий о наличии или отсутствии симметрии отно-
относительно угла 90° в угловом распределении продуктов ядерных реакций
можно в некоторых случаях указать более определенное суждение об
угловом распределении, если известны некоторые данные о механизме
ядерной реакции.
В плоской волне, которая входит в волновую функцию начального
состояния, представлены все орбитальные моменты количества движе-
движения hi. Угловое распределение продуктов ядерной реакции согласно F0,11)
и F0,13) определяется теми орбитальными моментами количества дви-
движения fit, которые участвуют в данной реакции. Предположим, для
простоты, что в реакции участвует только состояние, соответствующее
моменту %L в падающей волне. Это состояние будет иметь вполне опре-
определенную четность, определяемую равенством (—1)^11,11,, где II/ и И7
соответствуют внутренним четностям налетающей частицы и ядра. В этом
случае в силу сказанного выше угловое распределение продуктов реак-
реакции должно быть симметричным относительно угла 90°. Далее можно
доказать, что угловое распределение продуктов реакции будет выра-
выражаться четным полиномом от cos 0 степени не выше '2L.
Для доказательства этого утверждения запишем часть функции на-
начального состояния, соответствующую моменту %L, в следующем сокра-
сокращенном виде:
^ = ^(f^?JWU> F0,24)
где А определяет радиальную зависимость волновой функции во вход-
входном канале; tySms — нормированная волновая функция, определяющая
спин канала, его проекцию на выделенное направление и внутренние
состояния частицы и ядра. Согласно F0,10) волновую функцию в выход-
выходном канале b можно тогда записать в виде
Vft = fl2 *%%А* Vb)U, (У, m = ms-m,. F0,25)
Если выбрать начальную систему координат так, чтобы ось z сов-
совпадала с направлением относительного движения частиц во входном
канале, то т = 0 и дифференциальное сечение реакции, усредненное
по проекциям спина ms входного канала, может быть записано в виде
da v^
^5 = const V \FL* m ((L tfJl2. F0,26)
ma, mg
Доказательство указанного выше утверждения о свойствах углового
распределения продуктов реакции основано на инвариантности выраже-
выражения F0,26) относительно вращения системы координат [45]. Введем
новую систему координат, повернутую относительно первоначальной.
Значения координат в новой системе будем отмечать штрихами. Тогда
согласно приложению I, § Е, если DJmm, — матричные элементы непри-

§ 60] УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОДУКТОВ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ 313
водимого представления трехмерной группы вращений, то при указан-
указанном переходе к штрихованной системе координат волновые функции
преобразуются согласно равенствам
Уш @', <р') = 2 Л>т YLm @, <р), F0,27)
т
<|W (&') = 2 Dsm'sms <bsirts E). F0,28)
Рассмотрим теперь падающую волну в новой системе координат:
(КУа)Ьт'а (У- F0,24')
Тогда волновая функция в выходном канале в этой же системе ко-
координат будет иметь вид
Вследствие физической эквивалентности обеих систем координат ампли-
амплитуды реакции в F0,25) и F0,25') должны быть одинаковыми функциями
от своих переменных.
Пользуясь соотношениями F0,27) и F0,28), представим функцию
F0,24') как суперпозицию функций F0,24):
S s
YLm@a, <рв)ф5Я,Eв).
Волновые функции в выходном канале F0,25') должны выражаться ли-
линейной комбинацией функции F0,25) с теми же самыми коэффициен-
коэффициентами, т. е.
mms s s m 3
Приравнивая F0,29) и F0,25') и используя равенство
получим, сравнивая коэффициенты при одинаковых ф<,я3. следующее
равенство:
2 *т ™т ' (^" ^*) ®"т == 2 Dm'mDSm> Fm™ms{^b> Уь)' F0,30)
т ' as <sm<s m, ms sms
Умножая это равенство на D3 „ и суммируя по тя, получим с учетом

314 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ [ГЛ. VIII
соотношения
F0,31)
гп- за зз
правило преобразования амплитуд реакции при вращении системы коор-
координат:
F{Lf\ (f)l щ) = 2 Dt,- Ds , D\ rfj;- {%, yb) F0,32)
3 5 tn I7lg ITly S S
ИЛИ
Fm'zms (fy,, ^^)= ^j Diu'm DSm> [f, Fm™J i @^, 'fu)>
//£ /71 /7? о о ^ ^ j
S 3
m=m's — m,.
Подстановка F0,32) в F0,26) дает после использования условий типа
F0,31):
<^(J \vfti ТЛ/ 1 ^^ /~Л^ Т\^- ^^ СС^-"' / //l \ С\*-'^ J /fi \ /£?П ОО\
//йы ^иии Т*^ » /д/Я**' /Я /Л ^ i ' ^
/я m m <* s ° s
з 5
Если выбрать штрихованную систему координат так, чтобы О^=ср^==0,
то
тО= у -2LT
Учитывая это равенство, можно, применяя теорему о сложении сферических
функций F0,18), переписать F0,33) в окончательном виде, выражая
сферические функции YLo фь) через полиномы Лежандра:
% = const £ F^m, @, 0) №я. @, 0) £ Ylm, {%, Ъ) YLm, (bb, Ъ) =
я S
1L
= const У rf (У) Pj (cos fk), F0,34)
где d (J) ==% {LL 00 \ JO) (LL, —m\ rri \ JO). Равенство F0,34) доказы-
m'
вает сформулированное выше утверждение.
Из F0,34) следует, что если в реакции несущественны составля-
составляющие падающей волны с угловыми моментами, превышающими Я/., то
угловое распределение продуктов реакции (в системе центра инерции)
будет выражаться полиномом от cos Gft степени, не превышающей 2L.
При этом, если в реакции участвуют орбитальные моменты, соответ-
соответствующие разной четности, то из-за интерференции в дифференциаль-
дифференциальном сечении реакции могут присутствовать нечетные степени cos Ь.

§61] ПОЛЯРИЗАЦИЯ НУКЛОНОВ ПРИ ЯДЕРНОМ РАССЕЯНИИ 315
§ 61. Поляризация нуклонов при ядерном рассеянии
Получение и анализ пучков поляризованных элементарных частиц
могут явиться ценным средством изучения взаимодействий, зависящих
от спина.
Наиболее удобно создавать пучки поляризованных тепловых нейт-
нейтронов путем рассеяния на железе в магнитном поле [46].
Методы поляризации быстрых частиц основаны на использовании
сильного спин-орбитального взаимодействия при рассеянии этих частиц.
Согласно оптической модели ядерных взаимодействий, которая будет
рассмотрена в главе XIII, упругое рассеяние нуклонов ядрами харак-
характеризуется комплексным потенциалом со спин-орбитальным взаимодей-
взаимодействием
v(r,o)=-{\+ir)V{r) + a±;?^P-QL, F1,1)
где L= — '[т]; а — постоянная, имеющая размерность квадрата длины.
Можно ожидать, что любой процесс рассеяния и ядерные реакции,
в которых играет роль спин-орбитальное взаимодействие, приведут к
поляризации вылетающих частиц.
Исследуем поляризацию нуклонов, рассеянных ядрами, если взаимо-
взаимодействие между нуклоном и ядром определяется потенциалом F1,1).
Для простоты рассмотрим случай, когда спин ядра равен нулю.
Уравнение Шредингера, определяющее процесс рассеяния нуклона
на ядре с потенциалом F1,1), может быть записано в виде
[УЧ-Л«]ф = «(г,а)ф, u(r,o) = ^v(r,o), F1,2)
где }А — приведенная масса нуклона и ядра.
Общее решение F1,2), соответствующее начальному состоянию,
определяемому функцией
Фв (г, а)=е'*'%,„■>), F1,3)
может быть записано в виде (см. § 43)
На больших расстояниях от ядра k\r — г' | =5= kr — kbr', kb — k—,
функция F1,4) может быть представлена в виде
ф = Фа + ^ (•)>?№, F1,5)
где амплитуда рассеяния Fm @) определяется интегралом
ехР (— 'V) и (^ с) Ф (г'> о) *г\ F1,6)

316 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ [ГЛ. VII?
Для вычисления этого интеграла надо знать решение интегрального
уравнения F1,4). При достаточно больших энергиях относительного
движения нуклона и ядра можно ограничиться первым борновским при-
приближением. Подставляя в F1,6) вместо ф функцию начального состоя-
состояния и значение и (г, о), можно привести F1,6) к виду
где
А @) = ^jp- f V (г) *?'<*«~*ь>r dr =
4r, F1,8)
Л iQr) — сферическая функция Бесселя.
В @) = ^-~ Г 1 ^в-«ы JL e»ardr==
4Лг(ап) д г dr
= — f4— sin 0 \ /. (or) т1-1- г3 dr; F1,9)
U2«7 J V r dr J vi/
здесь я — единичный вектор, перпендикулярный к плоскости рассеяния
и определяемый равенством
[ka,kb] = nk2sinb. F1,10)
Если падающие нуклоны не поляризованы, то дифференциальное
сечение рассеяния выражается формулой
Величина и направление поляризации рассеянных нуклонов характери-
характеризуются вектором поляризации, который мы определим следующим
равенством:
где <bf=<b—Фа — волновая функция рассеянных частиц. При этом
скобками (щ, ф) сокращенно обозначается, что надо провести суммиро-
суммирование и интегрирование величины ф* Ф по всем переменным, которые
не измеряются в опыте. В частности, если мы интересуемся вектором
поляризации как функцией только угла рассеяния, то надо провести
суммирование по спиновым переменным и интегрировать по г. Учиты-

§61] ПОЛЯРИЗАЦИЯ НУКЛОНОВ ПРИ ЯДЕРНОМ РАССЕЯНИИ 317
вая F1,5), приведем F1,12) к виду
Р(Щ = —г— . F1,12а)
2Ж
Подставляя сюда выражение для амплитуды рассеяния F1,7) и учиты-
учитывая F1,11), получим окончательно:
Таким образом, вектор поляризации направлен параллельно или анти-
иараллельно единичному вектору п, который перпендикулярен к плос-
плоскости рассеяния. Абсолютная величина вектора поляризации называется
степенью поляризации.
Если предположить, что потенциальные энергии V (г) и W(r), вхо-
входящие в F1,1), имеют одинаковую радиальную зависимость, т. е.
V(r)=Vo9(r)t W(r)=Wop(r),
то согласно F1,8) и F1,9) имеем:
(r)J0(qr)z*dr, F1,8a)
В @) = i-^-p -уг (gr) [yjr? (r)J rsdr. F1,9a)
. 2\xk
Используя равенство
*Vo(*) = 5£(*'A(*))
и выполняя в F1,8а) интегрирование по частям, получим:
Aг. F1,86)
С помощью F1,86) и F1,9а) выражение для вектора поляризации
F1,13) приводится к виду
Таким образом, в борновском приближении вектор поляризации не за-
зависит от вида функции р (г).
Из F1,14) следует, что степень поляризации будет наибольшей
при углах рассеяния 0 -v- 90°. При не очень больших энергиях спепень
поляризации пропорциональна величине спин-орбитального взаимодейст-

318
ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ
[ГЛ. VIII
вия (-V. aWQ) и отношению £ мнимой части оптического потенциала к
действительной. Для оценки степени поляризации можно принять
V0=W0, a-N-3-107 см2; тогда для энергии относительного движе-
движения порядка 100 Мэв значение £ -^- 0,3, поэтому степень поляризации
для угла 0 -^ 90° будет составлять около 20°/0.
Дифференциальное сечение рассеяния неполяризованных нуклонов
имеет вид
do
V[(l+£2)^ + ^a2tf702sin2Q
rzdr
F1,15)
Если предположить, что зависимость потенциалов от радиуса можно
представить прямоугольной ямой, т. е.
1, если r<^R,
О, если /•;> R,
то
Тогда выполняя интегрирование в F1,15) и подставляя значение сфе-
сферической функции Бесселя, получим:
sin qR cosqRy
\
( ' b)
Исследуем теперь рассеяние поляризованных нуклонов. Проведем
ось квантования z перпендикулярно к плоскости рассеяния, а ось х
вдоль направления волнового вектора ka падающего нуклона. Предпо-
Предположим, что спин нуклона направлен «вверх»; тогда для рассеяния влево
от первоначального направления движения нуклона проекции спина и
единичного вектора имеют одинаковые знаки, а для рассеяния вправо —
противоположные. Пользуясь F1,7), F1,86) и F1,9а), получим дифферен-
дифференциальное сечение рассеяния нуклонов со спином, направленным «вверх»:
{V2Q-\-[W0ak2smb-—ZV0]2), влево;
k2 sinH + Wj), вправо.
I Ау
i V
Таким образом, интенсивность рассеяния поляризованных нуклонов
вправо и влево по отношению к направлению движения первичного
пучка различна. Нуклон со спином, направленным «вверх», рассеивается
влево с меньшей вероятностью, чем под тем же углом вправо. При
ориентации спина «вниз» соотношения вероятностей рассеяния вправо
и влево будут обратными.

§61] ПОЛЯРИЗАЦИЯ НУКЛОНОВ ПРИ ЯДЕРНОМ РАССЕЯНИИ 319
Исследование поляризации нуклонов при рассеянии на ядрах часто про-
производится с помощью двойного рассеяния. Пучок нуклонов, рассеиваясь
на одном из ядер первой мишени, частично поляризуется. Степень по-
поляризации определяется по разности интенсивности пучков (право-ле-
(право-левая асимметрия), рассеянных ядрами второй мишени на одинаковые углы
вправо и влево. Эти исследования очень сложны из-за малой интенсивности
пучков поляризованных нуклонов, полученных при рассеянии на первой
мишени. Поэтому в ряде работ использовались поляризованные нуклоны,
получаемые в ядерных реакциях на некоторых легких ядрах. Например,
часто используют ,46, 48] поляризованные (-v. 400 кэв) нейтроны, ис-
испускаемые в реакции Li7 (р, n) Be7.
Кроме рассмотренной выше поляризации нуклонов, возникающей при
рассеянии нуклонов, обладающих энергией в несколько сотен Мэв на
сложных ядрах, представляет большой интерес поляризация нуклонов,
возникающая при рассеянии на ядерных резонансных уровнях, расщеп-
расщепленных вследствие спин-орбитального взаимодействия. Такая поляриза-
поляризация теоретически исследовалась впервые Швингером [49] на примере
рассеяния нейтронов (~v. 1 Мэе) на ядре Не4.
Рассмотрим поляризацию первоначально неполяризованного пучка
нейтронов при рассеянии на ядре Не4. Будем предполагать, что в рас-
рассеянии участвуют только 5- и р-волны. При рассеянии нейтрона
на Не4-возможно образование составного ядра Не5 в состояниях Sia,
P-'.'j, Р»2- Состояния /?з2 и рч2 соответствуют виртуальным уровням
энергии, отстоящим друг от друга, примерно на 1,76 Мэв [50]. Когда
энергия нейтрона попадает в область резонансной энергии уровня pj „,
то рассеиваться главным образом будут нейтроны с поляризацией, па-
параллельной орбитальному моменту. В области резонансной энергии
уровня pi', рассеиваются преимущественно нейтроны с поляризацией,
антипараллельной орбитальному моменту.
Можно показать в общем случае (см. § 45 и [51]), что амплитуда
рассеяния нуклонов на ядрах, не обладающих спином, может быть
представлена в виде F1,7)
F @) = {A -j- апВ) у 1 , F1,7а)
т. е. в виде суммы двух слагаемых, из которых первое не зависит от
ориентации спина относительно вектора п, перпендикулярного к пло-
плоскости рассеяния, а "второе зависит от этой ориентации. Вектор поля-
поляризации в общем случае также будет определяться выражением типа
F1,13), т. е.
Рф) = п™ + ™,. F1,13а)
При этом

320 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ [ГЛ.УШ
Из F1,13а) следует, что поляризация при рассеянии возможна лишь
в том случае, когда в F1,7а) одновременно отличны от нуля оба сла-
слагаемых. Таким образом, при рассеянии нешляризованных нейтронов на
ядрах возникнет поляризация упруго-рассеянных нейтронов, если ам-
амплитуда рассеяния будет содержать слагаемое, зависящее от ориента-
ориентации спина, и слагаемое, не зависящее от ориентации спина. Поляри-
Поляризация обусловлена интерференцией между этими двумя частями рас-
рассеяния. Большие значения степени поляризации возможны в том случае,
когда величина интерференции сравнима с величиной сечения рассея-
рассеяния. В приведенном выше примере рассеяния нейтронов на Не4 интер-
интерференция s-рассеяния с/?з2- и /)i2-рассеяниями, обладающими очень
широкими резонансами, велика в области некоторых энергий и приво-
приводит к значительной степени поляризации. По расчетным данным Сиг-
рейва [52] в области энергии около 1 Мэв поляризация при рассеянии
под углом 90° (в системе центра инерции) достигает 80°/0, затем при
энергии порядка 2,5 Мэв вектор поляризации меняет знак, и в области
энергий -^ 6 Мэв слепень поляризации достигает также значения 80°/0,
а затем остается еще значительной примерно до 20 Мэв.
Можно ожидать также большой поляризации протонов при рассея-
рассеянии на Не4, так как составное ядро Li° имеет виртуальные уровни энер-
энергии рз2 и pi;2, подобные соответствующим уровням энергии зеркаль-
зеркального составного ядра Не5.
Рассеяние нейтронов и протонов на Не4 является одним из методов
для получения и анализа пучков поляризованных нуклонов. При этом
при рассеянии нейтронов на Не4 поляризационные эффекты проявляются
только в определенном интервале энергий A—20 Мэв). Вследствие того,
что протоны можно замедлять (путем ионизационного торможения) без
деполяризации, то с помощью рассеяния замедленных (до желаемых
энергий) протонов на Не4 можно исследовать поляризацию протонов,
имеющих энергию, превышающую 30 Мэв.
Для получения и анализа поляризованных нейтронов также исполь-
используют ядра С12 (составное ядро С13 иуеет резонансные уровни dj 2 при
2,95 Мэв и s.-a при 3,04 Мэв) и О16.
Рассмотрим теперь теорию поляризации нейтронов на ядрах с ну-
нулевым спином, когда в рассеянии существенны только фазовые смеще-
смещения $0, $i■■„, §<■■, соответственно для состояний sv2, р,/2 и /ъ-2. Вектор
поляризации в случае рассеяния, определяемого фазовыми смещениями,
выражается формулой F1,13а), где согласно § 45 величины А и #,
определяющие амплитуду рассеяния, равны
А = — {exp (ioQ) sin 80-{-[2 ехр (/$з2) sin$.v2 -|-ехр (j§i/J sin $wjcos 0},
В = l-?j- {exp (/8a/a) sin 5з;2 — ехр (/&<J sin &;2}.
Подставляя эти значения в F1,136) и F1,13а), получим дифференци-

§61] ПОЛЯРИЗАЦИЯ НУКЛОНОВ ПРИ ЯДЕРНОМ РАССЕЯНИИ
альное сечение реакции
^ = |/l|2 + |fi|2 = l|[sin2 $0+2sin2oV2 +sm26\2]
321
in2u\2 — sin2o\2)8| F1,17)
и вектор поляризации
isi
P @) = „ 2^11 | (sin 2&-, - sin 2 5,2) (isin 25O + sin П,2
+ 4- sin 2d.,.,) + (sin2 5,2 — sin2 S.-J (sin2 bQ + 2 sin'3 $з,
Фазовые смещения §0, §.г2, 5..2, зависящие от энергии, определяют
дифференциальное сечение рассеяния
и вектор поляризации, а также их
зависимость от энергии.
При рассеянии нейтронов фазовые
смещения $(- можно представить в ви-
виде суммы двух членов
F1,19)
где fit — фазовые смещения, описы-
описывающие нерезонансное рассеяние, и
Y,- — фазовые смещения, описываю-
описывающие резонансное рассеяние. Зависи-
Зависимость Y/ от энергии s относитель-
относительного движения нейтрона и ядра опре-
определяется через энергию г,- и ширину
1\ резонанса
Если рассеиваются протоны, то фазо-
вое смещение можно представить в
виде суммы трех членов:
« 6 8 Ю
г.Шй
Рис. 63. Фазовые смещения для
где В- и Y/ — имеют тот же смысл, упругого рассеяния протонов на
что 'и для нейтронов, a aL— фазо- Не* как функции энергии прото-
вое смещение, обусловленное ку-
лоновским полем, для состояния с орбитальным моментом количества
21 А. С. Давыдов

322 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ [ГЛ. V1I1
движения /:
здесь }А — приведенная масса, знаком arg указано, что надо взять ар-
аргумент от гамма-функции Г. На рис. 63 изображены по данным ра-
работы [53] фазовые смещения, определяющие рассеяние протонов на
ядре Не4 в области энергий от 1 до 10 Мэв. С помощью этих значе-
значений фазовых смещений по формулам F1,14) и F1,15) можно рассчи-
рассчитывать дифференциальное сечение упругого рассеяния и степень поля*
ризации при упругом рассеянии протонов на ядрах Не4.

ГЛАВА IX*
ФОРМАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
§ 62. Матрицы рассеяния S и Т
Общий случай рассеяния, включающий наряду с упругим неупругое
рассеяние и ядерные реакции, удобно изучать используя формализм,
развитый Швингером и Липманом [1]. Удобство формализма Швингера
и Липмана проявляется особенно в тех случаях, когда нельзя исполь-
использовать обычную теорию Еозмущений, например в теории ядерных
взаимодействий.
В общей теории рассеяния исследуется изменение с течением вре-
времени состояния системы, состоящей из двух взаимодействующих частей.
Волновая функции 1Р такой системы удовлетворяет уравнению Шре-
дингера:
•«А^ = /УЧ», F2,1)
в котором оператор Н представляется в виде сумм двух гамильтонианов"
H=H9 + HV F2,2)
где Ио — оператор Гамильтона двух бесконечно удаленных частей
системы; Нх—оператор взаимодействия обеих частей системы, стре
мнщийся к нулю, когда расстояние между ними стремится к бесконеч-
бесконечности.
Вначале мы предположим, что стремление Нх к нулю с увеличе-
увеличением расстояния между подсистемами происходит так, что
lirarz+tHt (г)—^0
при г—»■ оо и любом малом положительном е. Затем будет рассмотрен
случай, когда И1 (г) содержит слагаемые, убывающие более медленно
при возрастании г.
С помощью унитарного преобразования
Ч1 (t) = ехр | — Шо j\ ф (t) F2,3)

324 ФОРМАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. IX
уравнение F2,1) может быть записано в представлении взаимодействия
tk^=W(t)<b(t)t F2,4)
где
(^) ( £) F2,5)
Будем искать решение уравнения F2,4) в виде
ф (t) = U+ (t) Ф ( — оо) = U_ (t) Ф (оо), F2,6)
где Ф(—со) и Ф (оо) — волновые функции соответственно начального
и конечного состояний полной системы, a U+{t) nU_(t)—операторы,
удовлетворяющие условию унитарности
£/+_ (t) U+ (t) = Ut (t) U_ (t) = 1 F2,7)
и «начальным» условиям
U+{—oo) = U_(oo)=\. F2,8)
Подставляя F2,6) в F2,4), получим уравнения для операторов U (t)
и U_ (t):
Уравнениям F2,9) вместе с начальными условиями F2,8) соответ-
соответствуют интегральные уравнения:
t \
U+(t) = \-i- Г W{x)U+(x)dx,
-00
j
[ F2,10)
.(j:)rfjc.
Введем теперь собственные функции оператора Ио с помощью
уравнений:
Если предположить, что взаимодействие Иг адиабатически включается
и выключается соответственно при t = —со, <=со, т. е. если положить
F2,11)

§ 62] МАТРИЦЫ РАССЕЯНИЯ S \\ Т 325
то при t = zboo, Ц=И0; следовательно, собственные функции
Фа и Фь при / = +00 будут и собственными функциями полного опе-
оператора Н. В конечных формулах мы всегда будем переходить к пре-
пределу Г) —>- 0.
Начальное состояние Фа может определяться волновым вектором
ка плоской волны, соответствующей относительному движению стал-
сталкивающихся подсистем, и их внутренними состояниями. Состояние от-
относительного движения подсистем можно также представить в виде
сходящихся и расходящихся парциальных волн, соответствующих опре-
определенному полному моменту количества движения (s-, p-, d-,... волны).
Особенно удобно представлять начальное состояние системы таким
способом при исследовании рассеяния в центрально-симметричном поле.
В этом случае полный момент системы сохраняется, и если не изме-
изменяются внутренние состояния подсистем, то процессу рассеяния будет
соответствовать диагональная матрица рассеяния, т. е. волна с данным
квантовым числом / остается /-волной, изменяется лишь ее фаза.
Если в начальный момент времени (t==— ос) система находилась
в состоянии Фа, то к моменту t = oo состояние будет определяться
функцией
где 5 = £/+(оо). Поэтому вероятность перехода из состояния а в со-
состояние b будет равна
*. 1ЮI2 = I (Ф*. 5Фв) Г = \ sba I2. F2.1 з)
w
ba
Из F2,7) непосредственно следует унитарность оператора рассеяния 5.
Введем новый оператор рассеяния
<f = S— 1. F2,14)
Тогда при Ь-фа
\\2
Оператор рассеяния &Г согласно F2,10) определяется интегральным
уравнением
со
£Г = — j- j W(t)U+(t)dt. F2,16)
— OO
Подставляя F2,16) в F2,15) и учитывая F2,5) и F2,11), получим:
&ba= — j(K ^а(Еь))> F2,17)
где
00 \t\
rt (Еь) = J ехр {/ (Еь - Ио) £> е ft U+ (t) dt Фв. F2,18)

326 ФОРМАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. IX
Оператор, эрмитовски сопряженный к оГ, согласно (€2,14) может
быть выражен через 5t = 5-1 с помощью равенства
Используя F2,6), имеем:
ф (_ оо) = U_ (— оо) Ф (оо),
поэтому можно положить 5"' = ^/_(—оо). Теперь, учитывая F2,10)
получаем:
&1 = (Ф„ £Г*фа) = А. (фьу уГа {еь)), F2,19)
где
ОО 7I11
U
Га (£*)= I exp U (Еь - Яо) fye '» а. (*) Л Фв. F2,20)
— со
Из F2,19) следует, что
Pab=-j(y;(Eb)t уф,).
Заменяя в этом равенстве а т b н b на а, можем написать:
<$~ba=-j(rb{Ea)> V$a). F2,21)
Таким сбразом, матрица S~ba может быть выражена в двух эквивалент-
эквивалентных формах F2,17) и F2,21).
Согласно определению Фа = Ф (— оо), поэтому равенство F2,6)
принимает вид
Фв@ = *М')Ф«-
Применяя к обеим частям этого равенства оператор ехр < — iHu-^> ,
мы согласно F2,3) перейдем к шредингеровскому представлению вол-
волновой функции
е * С/=ь@Фв=Ф±@ = Ч'*е fe, F2,22)
где Ч;* уже не зависят от времени.
Подставляя полученное равенство в F2,18), после простых преобра-
преобразований находим:
А - £J Ч»:. F2,23)
Аналогичным образом можно показать, что
<?» (Ев) = 2тгЙ8 (Е, - £в) %". F2,24)

§ 62] МАТРИЦЫ РАССЕЯНИЯ S И Т 327
Введем новую матрицу рассеяния ТЬа с помощью соотношения
&ъа = - ЗиЛ (Еь - Еа) ТЬа; F2,25)
тогда, используя F2,17), F2,23), F2,21) и F2,24), можно написать:
П« = (Ф». W+a) = (%, УФа). F2,26)
Из F2,25) следует, что матрица ТЬа соответствует состояниям а и Ь,
относящимся к одной и той же энергетической поверхности.
Выведем уравнения, определяющие функции 4s* и Ч;^. Пользуясь
F2,10), находим:
t
U+ (t) Фа = Фа - j j W (х) U+ (х) dx Фа.
— со
Умножим далее сбе части этого равенства на ехр{/(£^ — //0)—}ипро-
интегрируем по i в бесконечных пределах (— оо, оо). Тогда, учиты-
учитывая F2,18), имеем:
в+ (Еь) == 2тгД§(Еь-Еа) Фа-jl,
где
оо t
1= § dt §dx exp // (Eb - Ho) -jr\ W(x) U+ (x) Фа.
-оо -со
Используя F2,5), F2,11) и F2,22), можно преобразовать / к виду
оо I т,\х\
1=
— оо —оо
Вводя новую переменную Zt = t — х, изменяющуюся в пределах @, оо),
получим:
оо оо
/= J|^ ^
Подставляя это значение в выражение для у* (Еь) и учитывая F2,23),
получаем интегральное уравнение, определяющее Ч;£:
Аналогичным образом находим интегральное уравнение, определяющее
волновую функцию 1Р~:
-Я0-/г|)-1^. F2,276)

328 ФОРМАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. IX
Таким образом, решая одно из интегральных уравнений F2,27а) или
F2,276), мы определим функцию 4;* или Ч;~ и с помощью F2,26)
сможем вычислить матрицу рассеяния ТЬа.
В частном случае упругого рассеяния частицы массы jjl в потен-
Кг
циальном поле V(r), гамильтониан Ио имеет вид #0 =—o~V2» а урав-
уравнение F2,27а) сведется к интегральному уравнению
р ik\r-r'\
ц;+ — ф !L. I V (г') Чг (г) dr'.
а 2^0 \гг'\ аК
Вероятность перехода Фд—уфь=^Фа за интервал времени от нуля
до t будет определяться согласно F2,10) равенством
t
Подставляя из F2,5)
х
У7(л') = ехр [ —r^- )e h Кехр т^-
\ П J \ % J
и учитывая, что согласно F2,22)
получим:
Последний интеграл надо вычислять при условии 7j —> 0. Учитывая, что
1 — cos U j, .„.
—^7?2— == о (С)> если
находим:
Таким образом, вероятность перехода в единицу времени (РЬа) опре-
определится формулой
или, учитывая F2,26), имеем:
F2,28)

§ 62] матрицы рассеяния S и Г 329
Выражение F2,28) указывает, что переходы могут происходить только
между состояниями равной энергии. Если матричный элемент F2,26)
вычисляется в первом борновском приближении, то F2,28) совпадает
с обычным выражением для вероятности перехода в единицу времени
между состояниями а и b под влиянием возмущения V.
Формула F2,28) определяет вероятность перехода в единицу вре-
времени из состояния а в состояние Ь, отличающееся от состояния а.
Более общая формула вероятности перехода в единицу времени из со-
состояния а в любое состояние b (включающая и случай а = Ь) имеет
вид [2]:
Pta = j(K*ar Im Tba + 2-?t(Ea-Eb)\Tba\\ F2,28a>
Легко показать, что суммируя (интегрируя) F2,28а) по всем со-
состояниям b (включая и случай b = а) и учитывая то, что
dW{t) d V луг ы\ r\ V w/ u\ 1
-^ = ^2-^@ = °, так как 2Л@=1,
dt dt
b b b 0
получим очень полезное равенство
* 21 Тьа I2 * №a — Eb)=- Im Гаа, F2,286)
лежащее в основе теоремы, связывающей мнимую часть амплитуды
рассеяния вперед с полным сечением рассеяния.
Итак, формулами F2,26) — F2,28) временная задача рассеяния све-
сведена к стационарной задаче. Введение малой мнимой величины щ в-
уравнение F2,27) позволяет отделить решения, соответствующие ухо-
уходящим волнам (Ч;+), от решений, соответствующих приходящим волнам,
и эквивалентно адиабатическому включению и выключению взаимодей-
взаимодействия в теории рассеяния, зависящей от времени, или определенному
усреднению начального и конечного состояний, предложенному Гелл-
Маном и Гольдбергом [3] и [4].
Матрицу рассеяния ТЬа можно вычислять вариационным методом,
так как она равна экстремальному значению функционала
= ( [Фь~ {4V - (Е~И0 - Л,)- ИР]
ИР;) F2,29)
при независимом варьировании гР£ и Ч^\
В самом деле, из условия экстремума

330 ФОРМАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. IX
следуют два интегральных уравнения
ф«=ч;: -(£-//„+/Ч) -' иг;,
ф»=ч»; —(е—н0—щ) -1 ии;,
совпадающих с F2,27) и приводящих к экстремальному значению
функционала F2,29):
{7^} экстр = -£ «Ф» VVa) + W. ™в)} = Г*.-
Если ввести новые операторы п+ и й~ с помощью соотношений
¥1=а+Фв и lP; = (Q-)+»pft, F2,30)
то интегральные уравнения F2,27а), F2,276) будут соответствовать
операторным уравнениям:
F2,31)
t. F2,32)
Учитывая эрмитовость операторов Но и V, запишем уравнение F2,32)
в виде
2" = 1 +Й-К(Я — //„H-^j)- F2,32а)
Операторные уравнения F2,31) и F2,32а) можно заменить уравне-
уравнениями:
Q+ V, F2,33)
)-1, F2,34)
где /У = /Уо —|— V. В этом можно убедиться непосредственной подста-
подстановкой, если принять во внимание операторное тождество
Используя F2,30), можно представить матричный элемент F2,26)
в виде
Т* = (Ф*. ^+Фв) = (Ф„ Ц- 1/Фа), F2,35)
или
ТЬа=(Фь,ТФа), F2,35а)
где
T=V&+ = Q~V. F2,356)
Согласно F2,31) оператор рассеяния Т определяется операторным
уравнением
H0 + irfr-1T. F2,36)

§ 62] МАТРИЦЫ РАССЕЯНИЯ S И Т 331
Докажем теперь использованную в § 51 связь между матричными
элементами прямого и обращенного во времени переходов
Tba=T-a, -Ь- F2,37)
Для доказательства вспомним (см. § 51), что по определению состоя-
состояние Ф_д, обращенное по времени к состоянию Фа, получается с по-
помощью оператора обращения времени О
Ф.в = ОФ1 F2,38)
где унитарный оператор О определяется равенством
О-1НО = О+НО = Н*. F2,39)
Здесь Н — оператор Гамильтона системы.
Используя F2,38) и унитарность оператора обращения времени,
преобразуем матричный элемент F2,35) следующим образом:
Ты = (Ф„ И" УФа) = (Ф*_ь, ОЧ}-ООПЮФ*_а). F2,40)
Из F2,39) и F2,34) следует при учете эрмитовости И и V, что
Преобразуя с помощью этого равенства выражение F2,40), получим
искомый результат:
ТЬа=(Ф*_ь, (°^УФ*_а) = (Ф_а, У^Ф_ь) = Т_а> _ъ.
Для установления связи матрицы ТЬа с амплитудой рассеяния рас-
рассмотрим интегральное уравнение F2,27а):
определяющее точную волновую функцию задачи рассеяния. Опера-
Оператор Ио в F2,27а) может быть представлен в виде суммы оператора
кинетической энергии относительного движения ядра и рассеиваемой
частицы и оператора, определяющего внутренние состояния ядра и
частицы. Волновые функции начального (Фа) и конечного {Фь) состоя-
состояний системы, нормированные на поток, равный по величине скорости
относительного движения, будут иметь вид
где сра (•) и cpft E) — волновые функции, определяющие внутренние со-
состояния (включая и спины) ядра и частицы.
Начальная и конечная энергии системы могут быть записаны соот-
соответственно в виде

332 ФОРМАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. IX
где jul — приведенная масса; ЕА и Ев — соответственно начальная и
конечная внутренние энергии.
Перепишем интегральное уравнение F2,27а) в более явном виде:
«Рв(г, 5) = Фв(г, 5)+.J O(rS; rT) V(r\ ?)Фв(г\ Z)dZdr'. F2,42)
В этом уравнении G(r$; r'S')—функция Грина оператора Иа, опреде-
определяющаяся через его собственные функции
F2,43)
нормированные в смысле
J Й' С S) X, (г, £) rf£ rfr = J (q - q') bWt
с помощью равенства
G (rS; r'S') = 2 J Хй (^ ~ ^o + 'Ч) 'Udq. F2,44)
Учитывая, что
где
и явный вид функций F2,43), перепишем F2,44) в виде
^ ехр{/^ г — г )}.
Учитывая далее равенство
exp (ikx) dk exp (ik0 \ x \)
^х - з Г exp (
J ^-
получим окончательное выражение для функции Грина:
^, E) йE') eXP|('^rf~'"l) ■ F2.45)
Ь
С помощью F2,45) преобразуем интегральное уравнение F2,42) к виду
\Z)dl'dr'. F2,46).
(^O {£V
| г — г l
При г —>оо kb\r — г'| =5s kbr — kbr\ где ^ft — волновой вектор з на-

§ 63] ЭРМИТОВСКИЙ ОПЕРАТОР РАССЕЯНИЯ 333
правлении радиуса-вектора г. Поэтому асимптотическое значение
F2,46) при больших г можно записать в виде
w ir s\ __ф /r f)J-V/l со /gv caf у"*у ; F2 47\
b
где
_д = — ^ I cu,* ($) e~'kt>r V (r $) lP (r 3) rfr <^S
или
^4^ = — (Фи V4S ) = ^— (фь /"Ф ) F2 48\
од q V-2 ^ о' а' л +2 ^ о' а'' V ' /
Равенство F2,48) определяет связь между амплитудой рассеяния из
состояния а в состояние b и матрицей
Чтобы определить дифференциальное эффективное сечение рассеяния,
достаточно учесть, что ноток частиц в единицу телесного угла в на-
направлении kb выражается через амплитуду рассеяния простой фор-
формулой
-h\A, 12
Ьа
Разделив это выражение на плотность потока падающих частиц, полу-
получим искомое эффективное сечение
^ = к1\АЪа\г. F2,49)
§ 63. Эрмитовский оператор рассеяния
Введенный в предыдущем параграфе оператор <£Г (или Т) не яв-
является унитарным и эрмитовским. Покажем теперь, что можно ввести
эрмитовский оператор рассеяния, который также позволяет решать лю-
любую задачу рассеяния.
Наряду с исследованными в предыдущем параграфе операторами
U+ (t), U_{t), S = U+(oo) и S~l ~U_ (—ocf), введем оператор
и, (t) = u+ (t) -f-jL = u_ (t) j-^. F3, l)
Поскольку операторы S и S не зависят от времени, то опера-
оператор Ux (t) удовлетворяет тому же дифференциальному уравнению, что
и U*(t), т. е.
\i^1(t) = 0. F3,2)

334 ФОРМАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
Вместо F3,2) напишем интегральные уравнения:
QO
Ux @ = Ux (оо) + -jr f W (x) Ux (x) dx,
[гл. ix
Ul(t) = U1(-oo)—± { W (x) Ux {x) dx.
F3,3)
Из F3,1) следует при учете F2,8), что
2S
1У ;~~ l+S*
Из F3,4) и F3,5) следуют два равенства:
Ul(oo)=U](-oo).
Этим равенствам можно удовлетворить, положив
F3,4)
F3,5)
F3,6)
F3,7)
где /С—эрмнтовский оператор, т. е. К*=К. Из соотношений F3,4)
и F3,5) далее следует
0^ = 5- F3,7а)
Используя теперь F3,7), получим связь операторов рассеяния 5 и К:
с
Используя далее равенство <&~ =
рами рассеяния К и ©Г:
Из F3,3) и F3,7) следует, что
?—. F3,8)
1, найдем связь между операто-
F3,9)
K
со

§ 63] ЭРМИТОВСКИЙ ОПЕРАТОР РАССЕЯНИЯ 335
Учитывая это равенство, вычислим матрицу КЬа, используя F2,5)
и F2,11):
КЬа = (Фь, КФа) = (Ф6, Vfa (Eb)), F3,10)
где
оо
— оо
Полагая
_ j_
е п ° h £/, {t) Фа = Ч*га, F3.1П
получим:
ср1 (Еь) = 2л5 (Еа — Eb) 4s'a. F3,12)
Вводя новую эрмитовскую матрицу КЪа {матрицу реакции) соотноше-
соотношением
Kba = 2^{Ea-Eb)Kbaf F3,13)
с помощью F3,12) преобразуем F3,10) к виду
Выведем теперь уравнение для функции lVla. Для этого сложим урав-.
нения F3,3) и, учитывая F3,6) получим:
оо
£7,@=1— linw f sign р-О^Ю^/.ЮЛ', F3,15)
o2ft J
где sign {t —1') = ——-у-. — знаковая функция. Умножая F3,15) слева
exp J/(Яд — И0)-г-\ и справа на Фа, найдем, принимая во внима-
внимана
ние F3,11):
F3,16)
где знак 9* обозначает, что надо взять главное значение интеграла
GO СО
3>
— оо — со
Интегральное уравнение F3,16) можно рассматривать как формальное
решение дифференциального уравнения
соответствующее стоячим волнам, а не расходящимся, как решения
F2,27а), или сходящимся, как решения F2,276). Частные случаи

336 ФОРМАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. IX
уравнений типа F3,16) рассмотрены при исследовании рассеяния ча-
частицы в центрально-симметричном поле в § 44.
Матрица КЬа может быть найдена из условия экстремума при неза-
независимом варьировании XV\ и Чпь одного из функционалов
-№ V[\ -PiE-HJ-1 V]Wa), F3,17)
{ ha) (%V[\§(EH)->V\4'l) • * '
Действительно, легко убедиться в том, что условия экстремумов функ-
функционалов F3,17) и F3,17а) приводят к уравнению F3,16) для Ч1'1а.
Их экстремальное значение равно
{**,}эксгР = (Фй, У1К) = AП, УФа). F3,18)
Определим теперь связь матриц Tha и Kha, относящихся к состоя-
состояниям а и Ь, лежащим на одной и той же энергетической поверхности.
Для этого подставим в матричное уравнение, получаемое из F3,9):
Wba — $~Ьа \ ~2 ^ КЬс<эГса,
с
выражения F2,25) и F3,13). Тогда получим:
«Ъа = ТЬа + * 2 КЪсТеаЪ ^с ~ Еа). F3,19)
с
Уравнение F3,19) в принципе позволяет выразить матрицу Tha через
КЬа, и наоборот. Эта связь матриц КЬа и ТЬа проявляется более на-
наглядно, если эрмитовскую матрицу Kha преобразовать к диагональному
виду. Для этого надо решить систему уравнений, определяющую соб-
собственные значения КА и собственные функции ХА (а) матрицы КЬа}
2 KJ [Еа - ЕА) ХА (а) = КАХА ф). F3,20)
а
В силу эрмитовости матрицы Kha ее собственные значения КА веще-
вещественны, -л собственные функции ХА (а) ортогональны и их можно
нормировать
%ХА (а) Ь (Еа - ЕА) Хв {а) = ЬАв, )
а \
/со О 1 \
)Ь{Еа-ЕА)ХА{Ь)=^ЬаЬ. [ '
Используя F3,21), находим из F3,20):
tfft«=2*»*A**(*). F3,22)
А

§ 63] ЭРМИТОВСКИЙ ОПЕРАТОР РАССЕЯНИЯ 337
Определим теперь диагональную матрицу ТА с помощью соотношения
г*в=2*»гА0)- F3.23)
А
Подставляя F3,22) и F3,23) в F3,19) и используя F3,21), получим:
И {ТА + ШКАТА - КА) ХА ф) = О,
откуда следует
Диагональные матрицы КА и ТА могут быть выражены через вещест-
вещественные фазовые смещения Ьд:
KA=-UgbA; TA=— IsinoV'4 F3,25)
Из F3,25) и F3,24) следует, что IT^2 принимает значения, не пре-
превышающие тт~2; величина же | КА |2 может принимать любые значения.
Подставляя в F2,28) значения F3,23) и F3,25), получим для ве-
вероятности перехода в единицу времени из состояния а в состояние Ь\
■кК А
Полная вероятность перехода в единицу времени из состояния а в лю-
любое возможное состояние той же энергии согласно F2,28) может быть
записана в виде
п V г> 2т: V^ ъ .г? с \ I т 12
Р == 7 Р. — У О КС, С,Л\ I l \ . /КЧ 07 \
ь h ь
Покажем, что эта вероятность выражается через мнимую часть диаго-
диагонального элемента матрицы рассеяния ТЬа формулой
Pa=—j\m Taa. F3,27а)
Для вывода F3,27а) вспомним связь между операторами рассеяния $~
и 5:
Из условия унитарности оператора SE+5=1) тогда следует
или в явном виде
22 А. С. Давыдов

338 ФОРМАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. IX
Подставляя в полученное равенство F2,25), находим:
2гс 2 § (Еа - Ес) T\cTcb = i (Tab -
Положим здесь a = b; тогда
Подставляя это равенство в F3,27), получим F3,27а).
Полную вероятность перехода в единицу времени из состояния а
во все другие состояния получим из F3,27а), используя F3,23) и
F3,25):
В частном случае рассеяния частицы в центрально-симметричном
поле диагональная матрица Кд соответствует состояниям с определен-
определенным моментом количества движения KA = Kty а волновые функции
Хд (а) должны быть пропорциональны сферическим функциям
от углов, определяющих направление волнового вектора ka = nka
плоской волны начального состояния. Коэффициент пропорционально-
пропорциональности а определяется из условия нормировки F3,21):
1 = 2 ХА (а) ХА (а) Ь (Еа — Еь) = а2 J Y\mYlm p (Ea) dily F3,29)
где р (Еа) й?й — число состояний в единичном интервале энергий с вол-
волновыми векторами ka, лежащими в элементе телесного угла dii. В не-
нерелятивистском случае
где va — скорость относительного движения. Из F3,29) следует, что
поэтому
XA {a) = -—■—— Ylm (яа). F3,30)
Подставляя F3,30) в F3,28), имеем:
Ra l, m Ra i

§ 63] ЭРМИТОВСКИЙ ОПЕРАТОР РАССЕЯНИЯ 339
так как
_2г +
Поэтому полное сечение рассеяния
Для определения вероятности перехода в единицу времени из со-
состояния с волновым вектором ka в состояние с волновым вектором кь
подставим F3,30) в F3,26). Тогда
/, т
Подставляя р (Еа) и учитывая, что
^ си^ w
(cos *).
где 0 — угол между векторами &а и kb, получим дифференциальное
сечение рассеяния
1
B/+ 1) sin bleibiPl (cos
В качестве примеров применения изложенного выше формализма
Липмана и Швингера рассмотрим два случая.
а) Рассеяние нейтронов малой энергии на свободном протоне.
В системе центра инерции оператор кинетической энергии
м
где ]Л = у — приведенная масса сталкивающихся частиц, а энергия
взаимодействия V=V(x), где х = гп — гр. Если радиус действия
ядерных сил равен Ьу а энергия относительного движения такова, что
/г£<<1, то волновая функция начального и конечного состояний
а матрица рассеяния
ТЬа = (ФА, V (х) Ч!а (х)) = J V {х) Ч'я (х) dx,
где Ч;а является решением интегрального уравнения
Чх« + -5*-1/Ч|« = Ф«^1- F3,31)
21*

340 ФОРМАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. IX
Далее, в силу F3,23) и F3,30)
или, поскольку va = —-
При малых энергиях отлично от нуля только слагаемое, содержащее Го,
следовательно, имеем:
_ 2ti2£2 T
Далее, учтя F3,25), выразим То через фазу рассеяния 80, тогда
То= - s\nbo-ei6a ==—^ , и, вводя амплитуду рассеяния а с по-
помощью равенства §0 = &йа, получим:
^«=-2j7^- <63'32>
При учете спинов амплитуду рассеяния в F3,32) следует рассмат-
рассматривать как оператор, действующий на спиновые координаты протона и
нейтрона:
а t-T s
где йу— амплитуда рассеяния для синглетного спинового состояния;
at — амплитуда рассеяния для триплетного спинового состояния; ап и
а —векторные матрицы Паули, действующие соответственно на спи-
спиновые переменные нейтрона и протона.
Формула F3,32) справедлива и для случая рассеяния нейтрона на
протоне, жестко связанном в молекуле массы AM, когда приведенная
AM
масса jx = -гц1-т»' если обозначить соответствующую амплитуду рассе-
рассеяния через #СВЯ31 а амплитуду рассеяния на свободном протоне
= -^j через ясвоб, то в сияу F3,32) должно выполняться равенство
F3,33)
Из F3,33) следует уже знакомое нам соотношение между амплиту-
амплитудами рассеяния нейтрона на свободном и связанном протоне
^йсвоб- F3>34)

§ 63] ЭРМИТОВСКИЙ ОПЕРАТОР РАССЕЯНИЯ 341
б) Рассеяние нейтронов малой энергии на протоне, входящем в
состав молекулы. Предположим, что нейтрон (масса М) рассеивается
на протоне, входящем в состав молекулы массы AM. Тогда в системе
общего центра инерции нейтрона и молекулы
".=§+".,
AM
где \х= . ■ . ; рп — оператор импульса относительного движения ней-
нейтрона и молекулы; Нч — оператор Гамильтона молекулы, действующий
на внутренние координаты молекулы, включая координаты протона. Все
эти внутримолекулярные координаты мы будем обозначать одной бук-
буквой г.
Взедем далее оператор кинетической энергии относительного дви-
жения нейтрона и протона 5^0==тг " запишем функционал F2,29),
определяющий матрицу ТЬа, в виде
• F3'35)
где Фа и Фь — волновые функции начального и конечного состояний,
которые можно представить соответственно в виде
Фа (гя1 г) ее 1а {) уа (),
здесь rn, r —соответственно координаты нейтрона и протона относи-
относительно центра инерции молекулы; /а {г) и fh (r) — волновые функции,
определяющие внутримолекулярные состояния; V= V (гп — rp) ~ V{x)—
потенциал взаимодействия между нейтроном и протоном.
Обычно последний интеграл в F3,35) мал по сравнению с другими
и в первом приближении исследуют функционал
F3,37)
Условие экстремума функционала F3,37) относительно независимой
вариации функций Ч;£ и Ч;^ сводится к двум интегральным уравнениям
Ч;+ -J- — V4^ = Ф (г , г), \
"Г0 а \ F3'38)
Обозначим радиус действия потенциала V{x) через d. При малых

342 ФОРМАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. IX
энергиях нейтрона (&atf « 1) в F3,36) можно положить eik*x =^ eikbX = 1.
Тогда F3,38) примет вид
«7° V F3,39)
Сравнивая F3,39) с F3,31), мы найдем
Теперь матричный элемент ТЬа можно записать в виде
ТЬа = (Ф*. ^ (*) 1^) = I v W ^ (*)dx S Xl (/■) Х« (/") ехр (/ [ftff -
-kb]rp)dr.
В примере а) было показано (см. F3,33)), что
Р 4—772
j VHV(*)^=-^-aCBoe,
поэтому
Этот результат был получен впервые Ферми и носит название «приб
лижение Ферми».
Если учесть последний член
в функционале F3,35), то можн."> найти поправку [5,6] к приближению
Ферми.
§ 64. Рассеяние заряженных частиц
Если наряду с ядерным взаимодействием V между сталкивающи-
сталкивающимися частицами действуют кулоновские силы с потенциалом Vo =
Z Z е2
= ■ ' 2 , где eZx и eZ2 — электрические заряды частиц, то вследст-
вследствие медленного убывания потенциала Vq с расстоянием падающая и
рассеянные волны искажаются кулоновским полем даже на бесконечном
расстоянии (если не учитывать экранировки кулоновского поля атом-
атомными электронами). Наличие кулоновского взаимодействия значительно
усложняет математическое описание процесса рассеяния, так как в этом
случае относительное движение частиц в начальном и конечном состо-
состояниях нельзя описывать плоскими волнами. Поэтому весьма желательно
выделить влияние кулоновского взаимодействия из общего взаимодей-

§ 641 РАССЕЯНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ 343
ствия между частицами и постараться учесть его точно. Такое выде-
выделение кулоновских сил, в частности, дает возможность на основе дан-
данных по рассеянию сделать более полное суждение о специфических
ядерных силах.
Предположим, что полный гамильтониан системы может быть запи-
записан в виде
H=H0+V+VQ F4,1)
и функции Фа и Фь являются собственными функциями оператора Но.
Тогда согласно общей теории рассеяния, изложенной в § 62, вероят-
вероятность перехода в единицу времени из состояния Фа в состояние Фь
определяется формулой F2,28):
Pba=j\Tba\zb{Ea-Eb), F4,2)
где матричный элемент
ТЬа = (Фь, [V+VQ]Vt)> F4,2а)
а волновая функция Ч;+, которая представляет расходящуюся волну,
соответствующую падающей волне Фа, удовлетворяет интегральному
уравнению
Ч': = Фв + (Еа - Яо + /г,) (V+ Vo) Ф+. F4,3)
Введем теперь волновую функцию у^, описывающую сходящуюся
волну при рассеянии только в кулоновском поле VQ, соответствующую
конечному состоянию Фь,
Ъ = Фь + (Еа -Ио~ щ) ~' Voy;. F4,4)
Подставим Фй из F4,4) в F4,2а):
Тьа = (Ъ> уХЮ + (?*". VJV+) - (ъ, VQ(Еа -Яо +
Во второе слагаемое этого выражения подставим 4i+ из F4,3), тогда
получим
Па = (<Р». HF+) + ((p*"f VQ<ba). F4,5)
Доказанное в § 62 равенство F2,26) в нашем случае может быть
записано в виде
, F4,6)
где функция у~ь удовлетворяет уравнению F4,4), а ср£ —уравнению
•}+a = <ba + (Ea-H0 + iTU-*VQ4i. F4,7)
Учитывая F4,6), преобразуем F4,5) к виду
Тьа=Т1а+Яа, F4,8)

344 ФОРМАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. IX
где
7L = (<p;, V4>:), F4,9)
Матрица рассеяния Г£д определяет, как это легко видеть из F4,10)
и F4,7), переход из состояния Фа в состояние Фь под влиянием ку-
лоновского взаимодействия. Будем для краткости называть ее матри-
матрицей ку лоно век ого рассеяния.
Чтобы облегчить интерпретацию матрицы Tla, преобразуем инте-
интегральное уравнение F4,3), определяющее рассеянную волну Ч;+.
Для этого, используя переход от уравнения F2,31) к F2,33), запи-
запишем уравнение F4,3) в эквивалентной форме:
Q fpK' F4,11)
Проделаем аналогичное преобразование и с уравнением F4,7); тогда
Вычитая из уравнения F4,11) уравнение F4,12) и учитывая оператор-
операторное тождество
А-1—В-1—А-1 {В — А)В-\
получим:
Используя еще раз F4,12), найдем:
V+a=&-\-(Ea — H0—V—VQ-\-iri)-1Vy+a, F4,13)
или в эквивалентной форме:
i — H0 — VQ + i7i)-*V4Fi. F4,13а)
Интегральное уравнение F4,13а) определяет расходящуюся волну lFJ,
которая возникает в результате рассеяния на ядерном потенциале V
волн <ра, рассеянных кулоновским потенциалом. Таким образом, мат-
матрица рассеяния Т\а F4,9) определяет амплитуду вероятности рассея-
рассеяния ядерным потенциалом V волн, искаженных дальнодействующим ку-
кулоновским полем. Полная матрица рассеяния F4,8) является суммой
матрицы кулоновского рассеяния и матрицы рассеяния ядерным взаимо-
взаимодействием волн, искаженных дальнодействующим кулоновским полем.
Все полученные выше соотношения являются точными, так как при их
выводе мы не делали никаких дополнительных упрощающих предполо-
предположений.

§ 65] ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ С ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЕМ НУКЛОНОВ 345
Интегральное уравнение F4,7) допускает точное решение для ср+,
поэтому матрица кулоновского рассеяния ТкЬа F4,10) может быть вы-
вычислена точно. Тогда из экспериментальных данных по сечению рассея-
рассеяния можно с помощью F4,2) и F4,8) определить матрицу ТлЬа. В ча-
частности, таким образом можно однозначно определить знак матрицы
рассеяния Т*а, а следовательно, при малых энергиях, когда в рассея-
рассеянии существенна только одна фаза, можно определить и знак фазы
рассеяния, обусловленного чисто ядерным взаимодействием.
§ 65. Теория столкновений с перераспределением нуклонов
В предыдущих параграфах этой главы развивалась теория рассея-
рассеяния, при котором не меняется состав сталкивающихся частиц, т. е. рас-
рассматривались реакции типа
при которых возможны лишь внутренние возбуждения сталкивающихся
частиц без изменения их состава. Наряду с такими реакциями большое
значение имеют реакции с изменением в результате столкновения со-
состава частиц. К такого типа реакциям относятся, например, реакции
срыва A (d, р) В и A (d, п)В, реакции захвата А (р, d) В и А(п, af),
которые будут рассмотрены в § 99 — 100.
При столкновении с перераспределением нуклонов система частиц
описывается гамильтонианом /У, который можно представить в двух ви-
видах:
H = Ha+Va = Hb + Vb, F5,1)
где На и Иь— эрмитовские операторы, описывающие кинетическую
энергию относительного движения и внутренние состояния соответст-
соответственно сталкивающихся и разлетающихся частиц; Va и Vb — операторы
взаимодействия соответственно сталкивающихся и разлетающихся частиц.
При этом начальное состояние описывается функцией Фв, удовлетво-
удовлетворяющей уравнению
И Ф = Е Ф ,
11ах а а а'
а конечное состояние — функцией Фь, удовлетворяющей уравнению
Согласно общей теории рассеяния (см. § 62) состояние системы с га-
гамильтонианом Н=На-\- Va, соответствующее начальному состоянию Фа,
определяется волновой функцией Ч*а, удовлетворяющей интегральному
уравнению
Ч'в = Фв + О71а)^вФв> F5,2)
где

346 ФОРМАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. IX
Поскольку состояние системы, соответствующее столкновениям с
перераспределением нуклонов, тоже определяется тем же гамильтониа-
гамильтонианом Н, то интегральное уравнение F5,2) будет описывать рассеяние
и в этом случае. Однако при рассеянии с перераспределением нукло-
нуклонов удобно интегральное уравнение F5,2) переписать так, чтобы обрат-
обратный оператор содержал не Иа> а оператор Нь, тогда при явном напи-
написании интегрального уравнения F5,2) можно было бы использовать
полную систему собственных функций этого оператора, описывающих
возможные состояния системы после столкновения. Для этой цели умно-
умножим F5,2) слева на Da = l — Иа; в результате получим:
A-Иа- Va) Ч'в = (>• -На) Фа. F5,3)
Принимая во внимание равенство И= Ha~\-Va = Hb-\-Vb, пере-
перепишем F5,3) в виде
Умножая полученное равенство слева на Пь — (X — Нь)~х, получим
интегральное уравнение, эквивалентное уравнению F5,2):
{Va-Vb)<$>a. F5,2а)
С другой стороны, правую часть F5,3) можно преобразовать к виду
(^ - На) Фа = (Еа + /г, - На) Фа = щФа,
если учесть, что Фа является собственной функцией оператора На.
Тогда вместо F5,2а) получим тем же путем
Используя полную систему функций оператора Нь, перепишем это
уравнение в явном виде:
Ч». = щ V **%^. + V y%Vf"] ■ F5,4)
После вычисления сумм в F5,4) (или интегралов, если конечные со-
состояния принадлежат непрерывному спектру) надо перейти к пределу
7) —у 0. При этом первый член в F5,4) будет стремиться к нулю, если
Еа=/=ЕЬ, а при Еа = Еь будет равен
Hm f р(Еь)Фь(Фь, <ba)dEb,
у —^0 %J
где р (Еь) — число конечных состояний в единичном интервале энергии.
В большинстве практических случаев подынтегральное выражение не

§ 65] ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ С ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЕМ НУКЛОНОВ 347
содержит S-функции от энергии н этот интеграл стремится к нулю
[7]. Поэтому можно написать:
Ш _
ь
Таким образом, вероятность того, что система, первоначально находи-
находившаяся в состоянии Фа, окажется в состоянии Фь, может быть запи-
записана в виде
где множитель ехр <—^ri'f\ учитывает то, что при 7] ^= О состояние
lFa не стационарно, а зависит от времени по закону ехр i — / (Еа -[- щ)-г > .
Вероятность перехода из состояния а в состояние b в единицу
времени будет равна
Яйв = НшА|(ф Ч'в)|" = £|(Фй1 Vfla)\*b{Ea-Eb). F5,5)
При выводе этого выражения было использовано равенство
Формула F5,5) позволяет вычислять вероятность перехода в единицу
времени из состояния а в любое состояние Ь, отличающееся от состо-
состояния а другим составом частиц. Для практического вычисления этой
вероятности (или соответствующего эффективного сечения рассеяния)
надо предварительно решить интегральное уравнение F5,2).
Если исходить из интегрального уравнения для H = Hb-\-Vb, со-
соответствующего конечному состоянию Фд, то
^=<^ + ^V)VyiV F5,6)
По аналогии с F5,2а) это уравнение можно преобразовать к виду
Ч»,= Ф4 +ОГ1 т Va4!b-\-D~l ()*)(Vh-Va) Ф„. F5,7)
Вводя два оператора Иа и пь с помощью соотношений
г1'*=^А и Ч?„ = &ФЬ F5,8)
можно переписать интегральные уравнения

348 ФОРМАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. IX
в виде операторных равенств (см. F2,31) и F2,32)):
lfia, F5,9)
fil F5,10)
Заменим уравнение F5,Ю) эрмнтовски сопряженным уравнением
2^1+SWE W- F5'10а>
Операторные уравнения F5,9) и F5,10а) эквивалентны (см. F2,33))
операторным уравнениям:
^a=\-\-[Da(l)-VaY1Va, F5,11)
Vb=l + Vb[Db(l)-Vb]-\ F5,12)
Умножая F5,11) слева на Vb, a F5,12) справа на Va и учитывая
равенства
Da(l)-Va=Db(l)-Vb и vb-Va=-Hb + Ha,
получим:
I/O —От/ = /у //
yb"a "bv а *'а '*Ь'
Возьмем матричные элементы от обеих частей этого равенства между
состояниями Фь и Фа:
или, учитывая F5,8), имеем
(V», ^Фа)-(Ф„ ^Фв) = (Ф„ [Яй-Яа1Фя). F5,13)
Для состояний Фа и Фй, лежащих на поверхности равной энергии, пра-
правая часть F5,13) равна нулю, поэтому вероятность перехода в едини-
единицу времени F5,5) может быть записана в виде
РЬа=%\ТЬа\Ч{Еа~Еь), F5,14)
где матрица рассеяния
Г*,= (Ф*. W = (Vft, *A). F5Л5)
В частности, в борцовском приближении
(^«)б=(Ф*> ПФ«) = (Ф^ Vjba)- F5,16)
Для вычисления матрицы рассеяния F5,15) можно предложить ва-
вариационный метод. Действительно, легко убедиться, что матрица рас-
рассеяния ТЬа равна экстремальному значению функционала
(к) УаФа) + (Ф„, Vb4\) -
- (V*. Vb L1 - D71 {I) Vb][Фв - Фв]) F5,17)

§ 65] ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ С ПЕРЕРЛСПРЕДЕЛЕНИЕМ НУКЛОНОВ 349
при независимом варьировании Ч;а и Ч*ь. В самом деле,
*№) = №» Vb[DTl(k) {Va~Vb} Фа
Поэтому условие экстремальности Ь {Тьа\ = 0 сводится к двум инте-
интегральным уравнениям:
Ч'в = Фв + DTl (I) Vb4'a + DVl (I) [Va - Vb] Фа, \
l
F5 8
которые совпадают соответственно с уравнениями F5,2а) и F5,6).
При выполнении уравнений F5,18) функционал F5,17) совпадает с
выражением F5,15) для матрицы рассеяния. Действительно, подстав-
подставляя в последний интеграл функционала F5,17) равенство
вытекающее из первого уравнения F5,18), мы получим:
{rfi} экстр =(Ф„ W.
Кроме функционала F5,17) можно рассмотреть функционал
{1?а] = (Ф*. VaD~l (I) VbVa) + (Ч'„ УаФа) -
-№- Фй], Va i 1 -Da1 {I) Va) фв). F5,19)
Условие экстремума F5,19) при независимом варьировании lVa и х¥ь
сводится к двум интегральным уравнениям:
- • 1 - - 1 / F5,20)
ЧЬ=ФЬ+ D'1 O^VJV. + D-1 (к*)[Уь-Уа]Фь, < '
а экстремальное значение функционала равно
{7fJ} экстр =D»ft, УаФа).
Функционал
будет симметричным относительно функций xVa и lVb.

Г" Л А В А X*
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯРИЗАЦИИ ЧАСТИЦ
В ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЯХ
§ 66. Дифференциальное сечение ядерной реакции в случае
полной или беспорядочной поляризации частиц во входном канале
Рассмотрим ядерную реакцию типа
В § 60 было показано (см. F0,10)), что если начальное состояние
системы сталкивающихся частиц определяется квантовыми числами v.smy
а конечное состояние — квантовыми числами $а\1, то волновая функция
конечного состояния, соответствующая реакции asm —> pjjx, может
быть записана в виде
f\exp (ikzFa) ч...
7^-4^l,/«sL F6,1)
где (po3 — волновая функция внутренних состояний конечного ядра и
улетающей частицы (если она сложная); у—спиновая волновая функ-
функция выходного канала; va и Vo — скорость относительного движения
частиц в каналах а и р; F^ — амплитуда реакции, определяемая соот-
соотношением
00 J+s J+a
F6,2)
где 5^,с a[s — элементы матрицы рассеяния (реакции) для системы^
обладающей полным моментом J и определенной четностью.
Дифференциальное сечение реакции из определенного начального
состояния asm в определенное конечное состояние ^cjjl определяется
выражением

§ 66] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ СЕЧЕНИЕ ЯДЕРНОЙ РЕАКЦИИ 351
Если в начальном состоянии спин частицы (sa) и ядра (sA) ориенти-
ориентированы произвольно, а в конечном состоянии мы не интересуемся ориен-
ориентацией спина частицы (sb) и ядра (sB)y то дифференциальное сечение
реакции а—> C получается из F6,3) при усреднении по всем началь-
начальным состояниям и суммировании по всем конечным состояниям:
При фиксированном входном и выходном каналах величины Z7^,
различающиеся всеми возможными значениями ojjl, stw, образуют мат->
рицу ,F= {(ajx | F | s/w)}, элементы которой
(oiL\F\sm) = F£>mQ,4) F6,5)
являются функциями углов 0 и {р.
Пользуясь обозначениями F6,5), можно переписать F6,4) в мат-
матричном виде:
Sin, за
T)Sp(№), F6,6)
где знаком Sp отмечается, что надо взять сумму диагональных элемен-
элементов матрицы, стоящей после этого знака.
Часто начальное состояние в теории рассеяния и ядерных реакций
представляет статистическую смесь спиновых состояний (неполная по-
поляризация), образуемых возможными комбинациями спинов частицы
и ядра-мишени. Если при этом во взаимодействии частицы с ядром-
мишенью существенно спин-орбитальное взаимодействие, то выражение
для дифференциального сечения реакции а —> $ значительно услож-
усложняется. Рассеяние поляризованных или частично поляризованных пучков
частиц не обладает азимутальной асимметрией. Поэтому изучение поля-
поляризации продуктов ядерных реакций можно проводить с помощью
исследования последующего рассеяния этих частиц (или ядерных реак-
реакций) на других ядрах.
Исследование такого рода ядерных реакций требует построения те-
теории ядерных реакций с участием частично поляризованных частиц,
Такая теория разрабатывалась в работах Симона [8], Симона и Вельтона
[9], Оэме [10] и др. В этой главе мы рассмотрим основы теории реакций
с частично поляризованными потоками частиц на частично поляризо?
ванных ядрах.

352 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯРИЗАЦИИ ЧАСТИЦ В ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЯХ [ГЛ. X
§ 67. Матрица плотности спиновых состояний и спин-тензоры
Предположим, что система состоит из двух частиц, обладающих
спинами / и J. Спиновое состояние такой системы частиц (например,
спиновое состояние одного из каналов реакции) может быть записано
в виде линейной комбинации состояний с определенными значениями
полного спина s и его проекции т на выделенное направление (ось
квантования)
где
\J—/ | s^ S s^ У-f-1, —Ss^/Ws^S.
Среднее значение любой физической величины, которая соответ-
соответствует оператору /, действующему в спиновом пространстве системы
в состоянии, описываемом функцией j(a, будет определяться равенством
</>« = 2 ?AStmtsimi)<simAf\stmt>> F7.2)
Si, mu s2, m2
где
ра (^/и^/и^ = аа {szm2) а* (^/и,). F7,4)
Совокупность величин pa {s^m^s^m^) полностью определяет спиновое
состояние системы (канала реакции) и называется матрицей плотности
спиновых состояний.
Легко видеть, что вследствие нормировки спиновых функций jja и y^sm
матрица плотности F7,4) должна удовлетворять условию
Sp/»e = 2P.(V»WWi) = l. F7,5)
Если матрицу оператора /, образованную элементами F7,3), обозна-
обозначить через /, то равенство F7,2) можно записать в матричном виде:
</>a=Sp(//sa) = Sp(i9a/). F7,6)
Итак, матрица плотности спиновых состояний позволяет определять
средние значения любых физических величин, которым соответствуют
спиновые операторы (матрицы).
Выше мы рассмотрели спиновые состояния, которые определяются
волновыми функциями F7,1) с определенными фазовыми соотношениями
между различными состояниями ^т, входящими в %Л. В более общем
случае, однако, спиновое состояние системы нельзя описать волновой
функцией, а следует рассматривать как статистическую смесь (смешан-

§ 67] МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ СПИНОВЫХ СОСТОЯНИЙ И СПИН-ТЕНЗОРЫ 353
ный ансамбль) состояний типа j(a. В этом случае можно определить
более общую матрицу плотности
p(VW*i) = 2^A (szm2)al(sim1) = ^woipjs2m2s1m1), F7,7)
а я
где w3 — действительные положительные числа, удовлетворяющие соот-
соотношению \wOL=\. Сама матрица плотности р при этом удовлетво-
a
ряет условию нормировки
l. F7,5а)
Среднее значение в состоянии, соответствующем смешанному ан-
ансамблю, любой спиновой матрицы f выражается через матрицу плот-
плотности F7,7) так же, как и в случае чистых спиновых состояний, т. е.
F7,8)
В дальнейшем мы будем предполагать, что матрица плотности спино-
спиновых состояний системы определяется выражением F7,7).
Кроме условия F7,5а) элементы матрицы плотности удовлетворяют
некоторым другим общим соотношениям. Для их вывода запишем эле-
элементы матрицы плотности F7,7) в более сокращенном виде:
обозначая совокупность квантовых чисел sm одной буквой. Из условия,
что средние значения всех эрмитовских операторов должны быть дей-
действительными, следует, что матрица плотности должна быть эрмитовской
р(я1л1) = р>(/11я,). F7,9)
Любая же эрмитовская матрица может быть приведена к диагональному
виду с помощью соответствующей унитарной матрицы Unm, т. е.
рЛ«=2£/»».р<л«/|1>^.«- F7'10)
И, Из
Далее, из условия, что среднее значение любого оператора, имею-
имеющего только положительные собственные значения, должно быть по-
положительным, следует, что каждый диагональный элемент матрицы
плотности (в любом представлении) должен быть положительным
р(пп)^0. F7,11)
Действительно, оператор fnirti—bnnbnn2 имеет собственные значения
О и 1, а его среднее значение
23 Д. С. Давыдов

354 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯРИЗАЦИИ ЧАСТИЦ В ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЯХ [ГЛ. X
Из F7,10) следует, что
Сравнивая это представление матрицы плотности с выражением F7,7),
которое в сокращенных обозначениях примет вид
Р («Л) = 2 wnan Ы а"п К).
п
мы убедимся, что одним из возможных представлений матрицы LJnn
являются матрицы ап (п2). В этом случае статистические веса wn сов-
совпадают с диагональными элементами матрицы плотности рп. В случае
чистых состояний wn=$na и матрица плотности
9(n1n1) = UanLTni
совпадает с F7,4).
Определим закон преобразования компонент матрицы плотности при
вращении системы координат на углы Эйлера {0п 02, bs} = R, изобра-
изображаемом оператором Р„. Закон преобразования компонент матриц плот-
плотности F7,7) и F7,4) одинаков, так как wv являются числами. Из
свойств инвариантности квадрата модуля волновой функции F7,1)
уХ= 2 p«(Wi«i)filfl..b*«. F7>13)
Slt /Bj, ^21 Я*2
относительно операции PR следует, что законы преобразования ком-
компонент матрицы плотности pa {s^m^s^n^ и произведений спиновых
функций %* т 1$2/Пг должны быть обратными друг другу. Тогда, учи-
учитывая, что
находим:
Pr9 (swm) = 2D^DX,2 P (W^). F7,14)
Используя равенство
и выражая произведение двух £)-функций с помощью соотношения
(см. приложение I, (Д, Ю))
преобразуем F7,10) к виду
(s*m»simi)= 2 (
k, i*,, [j.2
X («A, J4, — J^21 b, \it — V-2)Dkmi_m^ ^_^p (sjljjlJ. F7,15)
k, i*,, [j.2

§ 67] МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ СПИНОВЫХ СОСТОЯНИЙ И СПИН-ТЕНЗОРЫ 355
Введем следующее обозначение:
Gft>!x1-ltl = S(— IJ'MV.. — J*i> J*J*» ^2 — Mi) P (^2^2^i^i)- F7,16)
Заменяя в F7,15) суммирование по ja, суммированием по pi1 — М8 = }л,
получим
= S(-l)-'"'(V.«i. -«,1*. ^-^2)^Д1_И2,, (R). F7,17)
Умножая F7,13) на (—\)т* (s,s2, /и,, —/w21 k', /га, —/тг2), суммируя по тг
и учитывая F7,16) и ортогональность коэффициентов векторного сложения
2 (V2> OTi» —m2\k',mi— тг) (W OTi» — тг I Л» /wi — тг) = 3**',
находим:
/y?** = 25£u(K)<V F7,18)
Равенство F7,18) показывает, что величины GA(A, определяемые через
матрицу плотности равенствами F7,16), при вращении системы коорди-
координат преобразуются как неприводимые тензорные величины ранга k
(см. приложение I, § Д). Будем называть их спин-тензорами.
Уравнение F7,16) можно рассматривать как разложение компонент
спин-тензора ОАа по элементам матрицы плотности. Пользуясь унитарно-
унитарностью коэффициентов векторного сложения, из F7,16) можно получить раз-
разложение элементов матрицы плотности по компонентам спин-тензора Gkl}:
р E,/И,51/И1) = 2 (—1)Яа (V2> mv —™Ak> ^1—тг) Gk, mi-m2- F7,19)
k
Соотношение F7,19) может быть получено и непосредственно из
F7,17), если положить /?={0, 0, 0} и учесть, что
Dk @, 0, 0) = & .
Формулы F7,16) и F7,19) показывают, что спин-тензор Gk<J может
быть использован для определения состояния поляризации с тем же
успехом, как и матрица плотности. В случае реакций с неполяризо-
ванными частицами все тензоры Gkm равны нулю кроме одного Goo.
Действительно, в случае отсутствия поляризации частиц (спина /)
и ядер (спин J) элементы матрицы плотности
Р (stmxSlmx) =B/+1)BУ+1) о\А^> F7>20)
поэтому из уравнения F7,19) следует, что GQ(i=/=0, остальные GkiL = 0.
В ряде случаев описание спинового состояния системы осуще-
осуществляется с помощью спин-тензоров Gkm, так как они более просто
23*

856 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯРИЗАЦИИ ЧАСТИЦ В ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЯХ [ГЛ. X
преобразуются при вращении системы координат, чем матрица плот-
плотности, и более естественно связаны с величинами, непосредственно
измеряемыми на опыте.
Спиновые состояния во входном канале реакции в некоторых слу-
случаях могут быть выражены через спиновые состояния частицы и ядра,
например в случаях: а) если на неполяризованные ядра падает частично
поляризованный пучок частиц; б) если неполяризованный пучок частиц
падает на частично поляризованные ядра; в) если пучок частиц и ядра
частично поляризованы, но их спиновые состояния некоррелированы.
Во всех этих случаях матрица плотности спиновых состояний системы
выражается через матрицы плотности спиновых состояний частицы
и ядра, а спин-тензоры системы G*x могут быть выражены через спин-
тензоры падающей частицы Gla и ядра G'n^ Эта связь легко может
быть найдена, если выразить спиновую функцию системы через спи-
спиновые функции падающих частиц и ядер мишени
Xs« = 2('7> т — М, M\sm)li<m_MXJM.
м
Пользуясь этим выражением, в случае некоррелированности спиновых
состояний падающих частиц и ядра можно показать, что
p{simts1m1)= 2 {U,m2 — Mz, M2\s2tnz)[iJ, m1—Ml,Ali\s1ml)X
X p (/, тг — Mt, /, от, — Мг) р {JMzJMy). F7,21)
Матрица плотности спиновых состояний частиц со спином J опреде-
определяется выражением
Р (JMJMJ = 2 «V*. (JMt) < СШ,), F7,22)
где wa — вероятность, с которой представлено «чистое» спиновое со-
состояние частицы
в статистическом ансамбле, характеризующем данное спиновое состо-
состояние. Матрица плотности F7,22) является эрмитовской матрицей в
BУ-|-1)-мерном спиновом пространстве.
Выражая матрицы плотности частиц через соответствующие спин-
тензоры G'iK и GJm с помощью соотношений
тг— Mv i, от, —
•и

§ 67] МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ СПИНОВЫХ СОСТОЯНИЙ И СПИН-ТЕНЗОРЫ 357
можно записать F7,21) в виде
= 2 (-~l)Mx{tJ*nt--MvMt\s%v\ll
Л!,, ЛЬ, I, n
X («, тх — Mv М2 — т2\ П) (JJ, Mv — М2 \ ю) G\xGl. F7,23)
Спин-тензор частицы, обладающей спином У, выражается через матрицу
плотности спиновых состояний следующим образом:
2 v г I v) p {JMXJMX), F7,24)
ли
где
О < п < 27, — У < v < J.
Состояние поляризации пучка частиц со спином J определяется со-
совокупностью спин-тензоров G,n, ранг которых не превышает 2У. Таким
образом для полного определения поляризации надо знать BУ-|-1J
величин. В частном случае частиц со спином 1j2 общее состояние по-
поляризации определяется тензором нулевого ранга (беспорядочная поля-
поляризация) и тремя компонентами тензора первого ранга GVt, т. е. че-
четырьмя величинами.
Если начальное спиновое состояние системы характеризуется спин-
тензором частицы О//, а ядра не поляризованы, то в F7,23) надо по-
положить равными нулю все компоненты спин-тензоров Gn,n кроме Goo,
наоборот, при поляризованных ядрах и неполяризованном пучке частиц
надо положить равными нулю все компоненты G'n, кроме Goo-
Явное выражение спин-тензора G,2V, определяющего спиновые состо-
состояния частицы, может быть найдено, если мы вспомним, что Gnv при
вращении системы координат преобразуются как v-я компонента непри-
неприводимого тензора ранга п. Поэтому тензорные компоненты Grav могут
отличаться только на постоянную величину от соответствующих ком-
компонент любых других неприводимых тензоров, построенных из опера-
операторов спина частицы. Так, например, связь между Giv и компонентами
тензора
г / , У»- it /У„
^ ^ U <67'25)
должна иметь вид
Gi = Agi. F7,26)
Для определения постоянной А, можно, например, вычислить G™ для
частного случая состояния, характеризующегося волновой функцией /7/.

358 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯРИЗАЦИИ ЧАСТИЦ В ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЯХ [ГЛ. X
В этом случае в равенстве
С(о = 2(-1)М2(-А Л Mv-M2\\0)9(JM2JMl)}
ли
связывающем G\o с матрицей плотности, надо положить
Таким образом,
</У |О'0| ././> = (— \)J(JJ,— УУ|1О).
В том же состоянии
поэтому из F7,26) находим:
Таким образом, явное выражение спин-тензора Оь будет иметь вид
Если использовать общую формулу для коэффициентов векторного
сложения (см. приложение I, (Б, 16), то получим:
(УУ, — УУ | 10) = (— 1 J/~! (УУУ, — у | 10) =
= (—1J^-1B7)!/3 [B7-f 2)! B7— 1)!] 2. F7,27)
§ 68. Разложение матрицы плотности спиновых состояний
по базисным матрицам спинового пространства и спин-тензорам
Спин-тензоры Gnv преобразуются при вращениях системы коорди-
координат согласно представлениям D" трехмерной группы вращения (см.
F7,18)), однако они не являются эрмитовскими.
В некоторых случаях вместо спин-тензоров Gnv для описания спи-
спиновых состояний потока частиц удобно использовать полную систему
B7-|-1J эрмитовских матриц (о!Л в спиновом пространстве частицы со
спином У.
Выберем эрмитовские матрицы со11" в спиновом пространстве BУ-|-1)
измерений так, чтобы они удовлетворяли условию ортогональности и
нормировки
Sp((oV) = By+l)§,v. F8,1)
Полную систему эрмитовских матриц спинового пространства частицы
со спином У, удовлетворяющих условиям F2,1), будем называть ба-
базисной системой лштриц.

§ 68] РАЗЛОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ СПИНОВЫХ СОСТОЯНИЙ 359
В частном случае частицы со спином '/2 система базисных матриц
состоит из единичной диагональной матрицы и двумерных матриц
Паули
(йA) = 1, (оB) = аг, <о(|) = а„ ^ = av. F8,2)
Спин-тензорные операторы являются линейными комбинациями базисных
спиновых матриц. Так, например, для случая частицы со спином г/2
согласно F7,25) и F7,26) имеем:
Полная система базисных матриц в спиновом пространстве (трех
измерений) частицы со спином единица может быть выражена через
единичную трехмерную матрицу I и спиновые матрицы si частицы со
спином 1 (см. приложение I, § А) следующими равенствами:
W(":
Матрица плотности р частицы со спином У может быть разложена
по системе базисных матриц «/:
B74-1)=
Р= 2 АУ- F8,3)
Пользуясь F8,1), легко определить коэффициенты А в разложе-
разложении F8,3):
Итак,
р = BУ+1)-12<<о|4>©^, F8,4)
где
<a)^> = Sp(pco^) F8,5)
— среднее значение базисной матрицы «/ в состоянии, описываемом
матрицей плотности р. Таким образом, F8,4) показывает, что матрица
плотности непосредственно выражается через средние значения базис-
базисных матриц оД измеряемых в эксперименте.

360 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯРИЗАЦИИ ЧАСТИЦ В ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЯХ [ГЛ. X
В случае частицы со спином 1[г, подставляя F8,2) в F8,4), на-
находим:
p = l(I + <j>j), F8,6)
где
<J> = Sp(pa) = A F8,7)
Вектор Р называется вектором поляризации. Знание вектора поляри-
поляризации частицы полностью определяет матрицу плотности спиновых со-
состояний частицы со спином 1jz, так как
Если выбрать систему координат так, чтобы ось z была направлена
вдоль вектора поляризации, то < ах > = < оу > = 0. В этом слу-
случае состояние поляризации пучка частиц со спином '/2 будет опреде-
определяться значениями только двух величин: <1> и <аг>, а матрица
плотности
о i_pi- F8'4а)
г
В чистом спиновом состоянии с определенной ориентацией спина абсо-
абсолютное значение вектора поляризации равно единице. Если состояние
частицы со спином '/2 соответствует беспорядочной поляризации, то
вектор поляризации равен нулю. Тогда
Состояние беспорядочной поляризации частиц с произвольным спином
J определяется BУ-|-1)-мерной диагональной матрицей
(^)) "*, л=1, 2, . .. , 27-f 1.
В общем случае выбор базисных матриц, используемых для разло-
разложения матрицы плотности, определяется неоднозначно условиями F8,1).
Пользуясь этой неоднозначностью, можно подобрать такие базисные
матрицы, чтобы их средние значения в данном состоянии определялись
наиболее просто (например, часть матриц имела нулевые средние зна-
значения).
Если система состоит из двух частиц, спины которых равны соот-
соответственно / и У, то спиновое состояние системы можно выразить че-
через базисные матрицы №, которые определяются прямым произведе-

§ 68] РАЗЛОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ СПИНОВЫХ СОСТОЯНИЙ 361
3
я 3
нием*) базисных матриц м, и (о>, заданных в спиновых пространствах
частиц, составляющих систему, т. е.
Если базисные матрицы (о^ и (Оу удовлетворяют условиям F8,1), то
матрицы № удовлетворяют условиям
Sp(Q^v) = B/-f 1)B/+1)^- F8,9)
Матрица плотности спиновых состояний системы будет выражаться че-
через базисные матрицы № соотношением
P=p+i)Wn)?< "">""• <68'10)
где
Если спиновые состояния частиц, составляющих систему, не кор-
релпрованы, то
<Йи-> = <со/><<о}>.
В этом случае матрица плотности системы представляется в виде про-
произведения матрицы плотности каждой из частиц в отдельности
р^тга^/юу) = р,- (jiji') pj {mm), F8,11)
где
Среднее значение любого оператора, действующего в спиновом про-
пространстве одной из частиц, при некоррелированности спиновых состо-
состояний отдельных частиц системы будет выражаться только через матрицу
плотности спиновых состояний этой частицы:
<Li> = Sp(L$i). F8,12)
Если же спиновые состояния частиц системы коррелированы, то
матрица плотности системы не сводится к произведению матриц плот-
*) Прямым произведением двух матриц A = {Aik) и B — (Bik) называется
матрица, элементами которой являются произведения элементов матриц А и В.
Прямое произведение двух матриц будем обозначать с помощью знака «X».
стоящего между символами, обозначающими соответствующие матрицы. Таким
образом,
/АпВ, AltB,...\ /АпВп, АиВ,2, ... А12Вп,
5=1 ^21^' -^22^) •" 1 = 1 ^11^21» ^11^22» ••• ^12^2

362 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯРИЗАЦИИ ЧАСТИЦ В ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЯХ [ГЛ. X
ности спиновых состояний отдельных частиц. В этом случае вычисле-
вычисление среднего значения оператора Lt может быть выполнено следующим
образом. Взяв прямое произведение матрицы L( на единичную матрицу
1 j спинового пространства второй частицы, получим матрицу Lt X Ij
полного спинового пространства системы. Среднее значение этого опе-
оператора будет совпадать со средним значением оператора Z.,-; поэтому
\ L; / == \ L: А ' J У == Zj \mi Li mi) Vm.miP Vnitnjntm ,) =
я»«,., «y, W/
«и«;
где
p (mm) — V §,n /й' p (m.m'.mm Л — Vp {w'.w ,m,m Л =
— матрица плотности, получаемая из матрицы плотности спиновых со-
состояний путем суммирования диагональных (по квантовым состояниям
частицы спина J) элементов. Таким образом, среднее значение опера-
оператора, действующего в спиновом пространстве частицы со спином /:
pyp). F8,13)
В случае некоррелированности спиновых состояний частиц системы
р=р(.ру; тогда Spyp = p/Sp ру=р/, и формула F8,13) переходит
в F8,12).
Если вместо базисных матриц спинового пространства частицы со
спином J желательно использовать спин-тензоры Tk%, то удобно нор-
нормировать их с помощью соотношения
Sp (TiJ'Vx.) = BУ + 1) tkk, &„,. F8,14)
Используя F8,14), легко разложить матрицу плотности по спин-тен-
спин-тензорам:
? = nj -■ и Zi < Tkx> Ikx, (ЬЬ,15)
где
< TJk%> = Sp (р7ь) =2 P(^ mJm') < Jm' I 7*** \jm >• F8.16)
m, m'
Вычисление матричных элементов от спин-тензорных операторов 7^х
будет проведено в § 70.
В частном случае частиц со спином */2 спиновое состояние харак-
характеризуется средними значениями компонент спин-тензора
1 I ___;..

§ 69] УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ 363
удовлетворяющих условиям F8,14). Компоненты спин-тензора 7\2 от-
- УЗ""
личаются от рассмотренных ранее компонент ОД множителем -Цг-. При
выборе направления оси z вдоль вектора поляризации <7\)±1> = 0,
и состояние поляризации пучка частиц будет определяться средними
значениями <1> и <аг>. Таким образом, в этом случае описания
поляризации с помощью спин-тензоров и базисных матриц совпадают.
Если частица имеет спин, равный 1, то ее спиновое состояние ха-
характеризуется средними значениями трех неприводимых тензоров: тензо-
тензором нулевого ранга т10, тензором первого ранга Т\х и тензором вто-
второго ранга Т2\. Эти тензоры можно образовать из трехмерных спиновых
матриц частицы спина 1, приведенных в § А приложения I. Нор-
Нормированные условиями F8,14) компоненты этих спин-тензоров имеют вид
/1 О О*
rjo= 0 1 О
\0 0 1
т! —^З"/,, ! .•„ V2 т1 _ 1 /о * Оч / F8,18)
1l = о-ttSx + t\) Sz + Sz (S>
Остальные компоненты спин-тензоров, соответствующие отрицательным
значениям магнитных квантовых чисел, получаются при использовании
соотношений
При выборе координатной системы с осью z, направленной вдоль век-
вектора поляризации, < Гц > = < Ti,_i >== 0. При этом в большин-
большинстве случаев [8] и < Т21 > = < 7г, -i > —0. Тогда состояние по-
поляризации частицы со спином 1 будет определяться средними значе-
значениями пяти остальных компонент спин-тензоров.
§ 69. Угловое распределение и поляризация продуктов ядерных
реакций при частичной поляризации частиц во входном канале
Если спиновое состояние сталкивающихся частиц во входном канале
характеризуется матрицей плотности (частичная поляризация), то диф-
дифференциальное сечение ядерной реакции в канале ^ получится из F6,3)
непосредственным обобщением F6,4):
[) = 2j? (s^z^mj /=",», Fvs:m2, F9,1)
где сумма распространяется на все возможные значения

364 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯРИЗАЦИИ ЧАСТИЦ В ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЯХ [гл. X
Пользуясь матричными обозначениями F6,5), можно записать F9,1)
в сокращенном виде
*SI =H@Vi\F\stmt)9(sumtslml)(a]L\F\slmy = Sp(F9n). F9,2)
При отсутствии поляризации во входном канале матрица плотности вы-
выражается формулой F7,20) и F9,2) непосредственно переходит в F6,6).
Если выразить матрицу плотности спиновых состояний входного
канала через средние значения базисных спиновых матриц (G8,10), то
эффективное сечение рассеяния принимает вид
(s )*=PI+■)'(?/+■) 2 < а" > sP < лт). F9,3)
Формула F9,3) справедлива для частиц произвольного спина и для
всех возможных типов поляризации частиц во входном канале.
Амплитуду реакции (a\i | F \ sm) можно рассматривать как оператор,
переводящий чистое спиновое состояние (sm) входного канала в чистое
спиновое состояние (ojx) выходного канала реакции. Тогда величину
FpF* можно назвать матрицей плотности спиновых состояний выход-
выходного канала [9]. Таким образом,
F9,4)
В связи с тем, что матрица F не унитарна, сумма диагональных эле-
элементов матрицы плотности выходного канала не равна единице, а опре-
определяет дифференциальное сечение реакции
(^) F9,5)
Пользуясь определением F9,4), можно легко выразить среднее значе-
значение любого оператора L, действующего в спиновом пространстве вы-
выходного канала, формулой
<L>==S^Ss^== Sp (LFPFi)
dQ
v ' '
Если в ядерной реакции получаются частицы со спином г'2, то, вы-
выбирая в F9,6) в качестве оператора L векторную матрицу Паули, мы
определим вектор поляризации Р потока частиц
-. F9,7)
Пользуясь представлением F8,10) матрицы плотности входного ка-
канала, можно записать F9,6) в виде
s < Q* > sP
-* г—' F9'8)
2 < & > Sp [FWF* )
е-

§ 69] УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ 365
Если вместо L в F9,8) подставить последовательно все базисные
матрицы спинового пространства выходного канала, то получим полное
описание всех величин, определяющих реакцию в данном выходном
канале.
Спиновое состояние продуктов ядерных реакций в выходном ка-
канале можно характеризовать и средними значениями спин-тензоров.
Например, спиновое состояние частиц спина i в выходном канале
реакции может быть определено и средними значениями спин-тензоров
7tx, где k s^ 2/, которые согласно F9,6) будут определяться форму-
формулами
kx Sp (?вых) <fo_
dil
или в более подробной записи
<т*>=2'
F9,9)
Если разложить согласно F7,15) матрицу плотности по спин-тензорам
О входного канала, то, учитывая, что вклады, вносимые каждым спин-
тензором, аддитивны, можно вычислить сечение и средние значения
спин-тензоров выходного канала, обусловленные спиновым состоянием,
описываемым во входном канале каждым спин-тензором.
Матричные элементы (ol\i1 \ Tkx | 32V-2), входящие в F9,9), будут
вычислены в следующем параграфе. Подставляя эти значения в F9,9)
и производя суммирование по магнитным квантовым числам, можно по-
получить явное выражение дифференциального сечения и средних значе-
значений спин-тензоров в выходном канале через матрицу рассеяния и коэф-
коэффициенты Рака. Такие выражения можно найти в работе Симона [8].
Вследствие большой громоздкости этих выражений мы не будем их
здесь выписывать.
В F9,9) спин-тензоры Tk,. определены относительно системы коор-
координат xyz, ось z которой направлена вдоль падающего пучка. Удобно,
однако, спин-тензор конечной частицы определять относительно новой
системы координат x'y'z', ось z которой направлена вдоль волнового
вектора k^ конечной частицы, а ось у' — вдоль направления [£;,&„],
где k* —волновой вектор падающего пучка частиц. Углы Эйлера,
определяющие положение новой (штрихованной) системы координат
относительно старой, будут соответственно равны (ср, 0, 0). Компоненты
спин-тензоров Т^ в новой системе координат будут выражаться через
компоненты спин-тензоров Т^ старой системы с помощью соотношений
(см. приложение 1, (Д8а))

366 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯРИЗАЦИИ ЧАСТИЦ В ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЯХ [ГЛ. X
§ 70. Вычисление матричных элементов от спин-тензорных
операторов
Матричный элемент
l£ G0,1)
от спин-тензорного оператора частицы спина q вычисляется на спино-
спиновых волновых функциях выходного канала реакции, которые опреде-
определяются через спиновые волновые функции остаточного ядра jq, и уле-
улетающей частицы yq> ja-v с помощью соотношения
Х^ = S (?Q- Iх — V I °Р) У.д, I--* XQv, G0,2)
где \Q — <? | =^ a sg: Q -{- <?. Учитывая, что спин-тензорный оператор
gkx действует только на спиновые функции частицы q, можно написать:
{0,11, | g{& | а\х) = 2 {qQ, Ji, — v, v | с,)!,) X
V
^ - v, v [ ajJL) < q, jji, — v | g(S | q, }i - v > . G0,3)
В матричном элементе правой части G0,3) можно выделить явную за-
зависимость от магнитных квантовых чисел, если использовать формулу
(Ж, 5) приложения I:
< q, jx, — v | gkx \q> V- — V > = (kqx, ji — v | q, ji, — v)< q || gk \\ q >, G0,4)
где <Г<7|| gA || <?> — матричный элемент спин-тензорного оператора, не
зависящий от магнитных квантовых чисел.
Подставляя G0,4) в G0,3), находим:
= < q || gk || q > 2 {qQ, jx — v,v | a\i) X
x> V- — v\q, Ji, — v) (?Q, ji, — v, vlotji,). G0,5)
Сумма по квантовым числам v в G0,5) может быть вычислена, если,
пользуясь равенством (И, 2) приложения I, выразить произведение
двух последних коэффициентов векторного сложения ч^рез коэффи-
коэффициенты Рака:
(kqx, ji — v]?, v.l — ^){qQt jxm — v, v | o,ji,) =
Ji — v,
Подставляя это выражение в G0,5) и учитывая свойства ортогональ-
ортогональности коэффициентов векторного сложения, находим:
Ba+l)f («a, *, Р-1 a, jx,) X

§ 70] ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ СПИН-ТЕНЗОРОВ 367
Учитывая свойства симметрии коэффициентов векторного сложения
1
и коэффициентов Рака
можно привести G0,6) к
; Qk). G0,7)
Для вычисления приведенного матричного элемента < q || ^ || q)t
зависящего только от квантовых чисел q и /г, достаточно вычислить
G0,7) для простейшего частного случая. Так, например, для опреде-
определения <0l|g"il|#> рассмотрим случай Q=zx = 0 и jjlx = jx = ^;
тогда a1 = a = q и G0,7) сводится к равенству
XW(qqqq; 01). G0,8)
Полагая g^ = ^z и учитывая, что < qq \ g(fj \qq> =
[> W{qqqq\ 0l)==(—lJ?-i B^+I), из G0,8) находим:
(^ -q,q\\O)-\ G0,9)
Таким образом,
где
{qq, -q, q\ 10) = (- lJff-i B^)! l/"TL B^ + 2)! B^-1)! ]"~ . G0,11)
Вычислим теперь матричный элемент (Удя' | Г](х | Jm), входящий в
формулу F8,16), определяющую среднее значение спин-тензорных
операторов частицы спина J. Пользуясь (Ж, 5), имеем:
{Jm' | TJkx I Jm) = {kJxm | Jm) < У || Т{ || У >. G0,12)

368 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯРИЗАЦИИ ЧАСТИЦ В ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЯХ [ГЛ. X
В частном случае У = —, & = 0, 1:
1 \ 1
2 ' оо ' ^
1
1 МтТ,1
00
1
2
1
Т2
1
Для вычисления < тт
Zi
1
= тг; тогда находим:
G0,13)
-гг > положим в G0,13) х=0, w = #z' =
77
(
1 1
/ 1 .
\ 2~
1
10
-. 1
~2
1
1
1
\
1 )
1 \
Учитывая F8,17), имеем \-тт тг
1 1
Л
1
1 1
2 2
1
Т
ю
1
тг— / = 2" . Далее,
1
1
Подставляя это значение в G0,13), находим окончательно:
1
2
тг m }==
2
G0,14)
Таким ж-е образом в случае частиц со спином J=\ находим, исполь-
используя F8,18):
'| 7
оо
§ 71. Рассеяние частично поляризованных нуклонов
неполяризованными ядрами
Применим общие формулы § 69 для описания частного случая
упругого и неупругого рассеяния нуклонов на неполяризованных ядрах,
т. е. реакций типа
a -f A-+A* -\-а.

§71] РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЧНО ПОЛЯРИЗОВАННЫХ НУКЛОНОВ 369
Базисные матрицы в спиновом пространстве нуклона а>"а = { I, а } .
Базисные матрицы в спиновом пространстве ядра А со спином J обозначим
через oij = { 1у , (Оу ,. .. }. Матрица плотности во входном канале
Х<">^ * *Х$ G1,1)
Вследствие того, что во входном канале ядра А не поляризованы, от-
отличными от нуля средними значениями <^|л>вх будут только те,
которые образованы прямым произведением матриц (Од на единичную
матрицу 1у ; таким образом,
Рвх = 2B7+1) <* + а/>вх) I/ . Sp?BX = 1, G1,2)
где />пх = < а >пх — среднее значение вектора поляризации нуклонов
во входном канале.
Дифференциальное сечение рассеяния, соответствующее случаю,
когда входной канал реакции характеризуется матрицей плотности
G1,2), определяется формулой
{y G1,3)
В случае неполяризованного пучка падающих нуклонов Рвх = 0 и сече-
сечение рассеяния принимает вид
Таким образом, общее дифференциальное сечение рассеяния G1,3)
примет вид
, „ Sp(Wt)
I ' вх Sp (FFf ) (• v> ж'"'
Среднее значение вектора поляризации в выходном канале опреде-
определяется согласно F9,7) и G1,2) формулой
Р -<а> ^Sp(q^) + PBxSP(g/^) G16)
Sp (FFi ) -4- PB
В случае неполяризованных падающих нуклонов
/>« =^'°^К ,71,7,
Таким образом, G1,6) можно привести к виду
PLx+^вх G1,8)
24 А. С. Давыдов

370 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯРИЗАЦИИ ЧАСТИЦ В ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЯХ [ГЛ. X
где величину В следует рассматривать как тензор второго ранга, эле-
элементы которого определяются соотношениями
_ Sp (oxFayFi ) q
Таким образом, входящая в G1,8) величина ВРвХ является вектором,
компоненты которого определяются равенствами
(BPJi = V Bik{PJk, *=1. 2> 3- G1-8а)
Вектор поляризации Р"ык рассеянных неполяризованных нуклонов яв-
является псевдовектором (среднее значение векторной матрицы Паули).
В случае рассеяния неполяризованного пучка нуклонов на неполяризо-
неполяризованных ядрах этот вектор может быть только функцией относи-
относительных импульсов во входном (ka ) и выходном {k-i ) каналах; поэтому
можно написать:
Я"ь1х = Р"ых«, G1,10)
где п—единичный псевдоскалярный вектор, построенный на векторах
k? и k* :
Таким образом, вектор поляризации при рассеянии неполяризованных
нуклонов на неполяризованных ядрах всегда перпендикулярен к пло-
плоскости рассеяния.
Вольфенштейн и Ашкин [10] показали, что в случае упругого рас-
рассеяния нуклонов на неполяризованных ядрах вследствие инвариантности
амплитуды рассеяния относительного обращения времени выполняется
равенство
G1,12)
Учитывая это равенство и G1,7), представим дифференциальное сече-
сечение G1,5) для случая упругого рассеяния в виде
(я)„ (ЭД + }
где
А=РШР^ЫХ <1 G1,14)
— коэффициент, определяющий азимутальную ассиметрию рассеянных
нуклонов. Учитывая G1,10), можно привести коэффициент асимметрии
G1,14) к виду
А ~ Яв,:/>"ых = Явых»Явх. G1,14а)
Из G1,13) и G1,14а) следует, что рассеяние, связанное с поляриза-

§ 71] РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЧНО ПОЛЯРИЗОВАННЫХ НУКЛОНОВ 371
цией нуклонов в падающем пучке, зависит от проекции вектора поля-
поляризации падающих нуклонов на направление нормали к плоскости рас-
рассеяния. Измерение азимутальной ассиметрии позволяет судить о сте-
степени поляризации падающего пучка, соответствующей составляющей
вектора поляризации Явх, перпендикулярной к направлению падения.
Продольная составляющая Явх всегда перпендикулярна к л и не вно-
вносит вклада в А, а следовательно и в сечение рассеяния G1,13).
Учитывая G1,12), G1,7) и G1,14а), можно вектор поляризации
упруго рассеянных нуклонов на неполяризованных ядрах привести к виду
ВЫХ 11/1 \ ' /
1 +Л
Знание матрицы плотности спиновых состояний выходного канала
рвых=г FpnxFr позволяет определить не только состояния поляризации
нуклонов в выходном канале, но и средние значения базисных матриц
ши. спинового пространства ядра отдачи
Sp {^?™*] Sp {*5FF*] + Рв* Sp
= {1I6)
Sp(?Bblj Sp{FF'f)-{-PBXSp{F<3Fi)
Эти величины полностью определяют матрицу плотности спиновых со-
состояний ядер отдачи
Из условия инвариантности амплитуды рассеяния F при простран-
пространственных вращениях следует, что при рассеянии нуклонов на неполяри-
неполяризованных ядрах (ненулевого спина) амплитуда рассеяния должна гметь
вид (см. § 45)
+ { G1,17)
где вектор п определен формулой G1,11);
lAp — &я| ' \\пК\ I'
а, Ь, с, d — матрицы, элементы которых являются функциями к?, «в
и угла рассеяния. Из условия инвариантности F относительно простран-
пространственных отражений следует, что а и b должны выражаться через ска-
скалярные функции, ас и d через псевдоскалярные функции. В случае
упругого рассеяния амплитуда рассеяния инварианта относительно отра-
отражения времени; это приводит к дополнительным требованиям, наклады-
накладываемым на коэффициенты G1,17): при отражении времени матрица с долж-
должна менять знак, а остальные матрицы должны оставаться неизменными.
Пользуясь G1,17), можно выразить сечение рассеяния и поляриза-
поляризацию первоначально неполяризованных нуклонов через матрицы а, Ь, с, d,
24*

372 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯРИЗАЦИИ ЧАСТИЦ В ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЯХ [ГЛ. X
определяющие амплитуду рассеяния:
В частном случае рассеяния на ядрах нулевого спина амплитуда рас-
рассеяния выражается только через две комплексные функции (а и Ь) угла
рассеяния и энергии:
F=a\-\-bQn. G1,20)
В этом случае сечение рассеяния нуклонов определяется формулой
{%)" = №*+ bt/4> G1'18а>
а вектор поляризации
^2«. G1,19а)
dii)
Полагая
а = а/\ Ъ = Ь/\ G1,21)
можно выразить дифференциальное сечение рассеяния неполяризованных
нуклонов и их поляризацию после рассеяния через функции а0, Ьо, а, C
энергии и угла рассеяния
G1,196)
В случае рассеяния нуклонов на ядрах нулевого спина, используя G1,8а),
имеем:
^«- йт^ • G1f22)
Если вектор поляризации ЯвХ падающего пучка нуклонов лежит в плос-
плоскости рассеяния, т. е. (пРк)() = 0у то вектор {ВРак) тоже лежит в
плоскости рассеяния. В этом случае согласно G1,14а) коэффициент А
азимутальной асимметрии равен нулю и согласно G1,15) нормальная к
плоскости рассеяния компонента вектора поляризации рассеянных нукло-
нуклонов не зависит от величины вектора поляризации Япх падающих нуклонов:
) = Р^ если (яЯвх) = 0. G1,23)

§ 72] ДВУКРАТНОЕ И ТРЕХКРАТНОЕ УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ НУКЛОНОВ 373
Если вектор поляризации падающих нуклонов перпендикулярен к
плоскости рассеяния, т. е. Рм==Ртп, то согласно G1,22)
вх
Теперь из G1,15) следует, что и вектор поляризации рассеянных ну-
нуклонов будет нормален к плоскости рассеяния:
если Рвх = пРвк. G1,24)
Из G1,14) и G1,196) следует, что коэффициент, определяющий ази-
азимутальную асимметрию при рассеянии нуклонов на ядрах нулевого спина,
можно записать в виде
^. G1,25)
Итак дифференциальное сечение упругого рассеяния поляризованных
нуклонов на ядрах нулевого спина принимает вид (см. G1,13) и G1,186))
G1,26)
При этом вектор поляризации рассеянных нуклонов определяется фор-
формулой
р __ 2a0ba cos (а — Р)и + (а* — Ь\) />nx + 2b\n (пРт) + 2a0ft0sin (a — р) [n/>BX] ^
вых а^ + &о + «о^о cos (a — р)(пЯвх)
G1,27)
§ 72. Двукратное и трехкратное упругое рассеяние
нуклонов на неполяризованных ядрах
Предположим, что неполяризованный пучок нейтронов рассеивается
на ядре, имеющем спин Уг Тогда согласно § 71 дифференциальное
сечение рассеяния и вектор поляризации будут определяться выражением
G2,1)
1
Р =
k0 — волновой вектор падающих нуклонов: Аг, — волновой вектор рас-
рассеянных нуклонов. Вектор поляризации Рх направлен перпендикулярно
волновому вектору kn падающих нуклонов. Величину вектора поляриза-
поляризации Я, можно измерить, произведя анализ азимутальной асимметрии
нуклонов, рассеянных на второй мишени (спин У2).
При вторичном рассеянии вдоль волнового вектора кг дифферен-
дифференциальное сечение рассеяния, отнесенное к единичному потоку первично

374 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯРИЗАЦИИ ЧАСТИЦ В ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЯХ [гЛ. X
рассеянных нуклонов, определяется согласно G1,13) выражением
где (-тк) =,,,» I,- — дифференциальное сечение рассеяния неполя-
ризованных нуклонов на неполяризованных ядрах; коэффициент азиму-
азимутальной асимметрии равен
А=Р1Р1:ЫХ = Р1Р'^ (п,!!,); G2,4)
Ри —
« вых
Sp
G2>5)
&2— волновой вектор вторично рассеянных нуклонов. Азимутный угол ;pg
при вторичном рассеянии определяется соотношением coscp2 = »j»2.
Если ядра первой и второй мишеней одинаковы, то абсолютные
величины векторов поляризации Р^ых и Рх равны друг другу, т. е.
/&х=р1=
G2,6)
13 f<1°Y (d°\ А.Л.
В этом случае (-775) ==['7о) и коэффициент азимутальной асимметрии
при вторичном рассеянии
поэтому измерение азимутальной асимметрии вторично рассеянных ну-
нуклонов позволяет однозначно определить вектор поляризации однократно
рассеянных неиоляризованных нуклонов.
Вектор поляризации вторично рассеянных нуклонов согласно G1,8)
будет определяться выражением
р — р Щ + Briy .?9 „
где тензор
S^L. G2,8)
Вектор поляризации вторично рассеянных нуклонов имеет, вообще
говоря, и составляющую вдоль вектора распространения. Таким образом,
при рассеянии неполяризованного пучка нуклонов на неполяризованных
ядрах только во вторично рассеянных пучках появляется поляризация,
имеющая составляющую вдоль вектора распространения. Другими сло-
словами, для исследования изменения продольной поляризации нуклонов
при рассеянии надо производить опыты с тройным рассеянием.
Дифференциальное сечение трехкратно рассеянных нуклонов на яд-
ядрах (спина J), отнесенное к единичному потоку вторично рассеянных

§ 72] ДВУКРАТНОЕ И ТРЕХКРАТНОЕ УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ НУКЛОНОВ 375
нуклонов, будет выражаться формулой
где
(d-Au
Sp(/7*) 1 (da
2B/-M)J,-dQ/i'
G2'l0)
Коэффициент азимутальной асимметрии при трехкратном рассеянии
А3 = Pt (/>ваыхK = Рх (Я,яа), G2,11)
где и3= ... , позволяет определить нормальную к вектору £„ состав-
ляющую вектора поляризации Рг.
Вектор поляризации трехкратно рассеянных нуклонов определяется
соотношением
В связи с тем, что коэффициент азимутальной асимметрии Л3 при
третьем рассеянии зависит от скалярного произведения п3Рг, целесо-
целесообразно проводить измерения для двух взаимно-перпендикулярных на-
направлений вектора п3. В первом случае п3 выбирается параллельным
пг, т. е. плоскость третьего рассеяния выбирается совпадающей с пло-
плоскостью второго рассеяния. Тогда измерение Аг позволяет определить
нормальную к плоскости рассеяния составляющую вектора поляризации
Рг нуклонов после второго рассеяния. Во втором случае вектор пг на-
направляется вдоль вектора [и2&2], т. е. исследуется случай, когда пло-
плоскость третьего рассеяния перпендикулярна к плоскости второго рас-
рассеяния. Тогда измерение А3 позволяет определить составляющую век-
вектора поляризации Рг, лежащую в плоскости второго рассеяния и
перпендикулярную к k2. Однако оба типа измерений не определяют
составляющей вектора Рг вдоль вектора kz. Частично эта третья со-
составляющая может быть определена при исследовании четвертого рас-
рассеяния.
Дифференциальное сечение четырехкратно рассеянных нуклонов
выражается формулой
где коэффициент азимутальной асимметрии
Таким образом, измерение азимутальной асимметрии при четвертом
рассеянии позволяет определить составляющую Я8, перпендикулярную

376 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯРИЗАЦИИ ЧАСТИЦ В ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЯХ [ГЛ. X
к вектору k3. Тогда в принципе, учитывая формулу G2,12), можно
определить и составляющую вектора поляризации Рг вдоль вектора fe2,
которую нельзя было определить на основе только трехкратного рас-
рассеяния.
Итак, в опытах по трехкратному рассеянию первоначально неполя-
ризованных нуклонов первая мишень служит поляризатором нуклонов,
а третья анализатором изменения поляризации, обусловленной рассеянием
на второй мишени. Однако и поляризатор и анализатор, состоящие из.
одной мишени, не являются вполне совершенными. Поляризатор, состоя-
состоящий, из одной мишени, дает нуклоны, поляризованные перпендикулярно
к вектору распространения. Чтобы получить нуклоны, поляризованные
и вдоль направления распространения, необходимо использовать поляри-
поляризатор, состоящий из двух мишеней, так как только вторично рассеян-
рассеянные нуклоны имеют такую поляризацию. Анализатор, состоящий из
одной мишени, позволяет анализировать только перпендикулярную к
направлению распространения составляющую вектора поляризации падаю-
падающих на анализатор нуклонов. Для исследования продольной составляю-
составляющей следует применять анализатор, состоящий не менее чем из двух
мишеней.
Теория экспериментов с тройным рассеянием рассматривалась в ра-
работах Оэме [9] и Вольфенштейна [11]. Теория экспериментов с двой-
двойным рассеянием частиц спина 1 на ядрах развивалась в работах Лакина
[8]. Поляризация частиц со спином 1 при упругом рассеянии на ядрах
с нулевым спином исследовалась также в работах О. Чейшвилн [12].

ГЛАВА XI
ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЯДЕР С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ
ИЗЛУЧЕНИЕМ
§ 73. Электрическое и магнитное мультипольные излучения
Свойства электромагнитного излучения хорошо изучены при иссле-
исследовании его взаимодействия с атомными и молекулярными системами,
поэтому исследование взаимодействия электромагнитного излучения с
ядрами можно использовать для изучения строения и свойств атомных
ядер.
Электромагнитное излучение (у-излучение) испускается ядрами почти1
во всех ядерных реакциях, так как продукты реакций часто оказыва-
оказываются в возбужденном состоянии. Если энергия возбуждения меньше
порога, отвечающего испусканию нуклонов, то она уносится либо у-из-
лучением, либо электронами внутренней конверсии, либо за счет обра-
образования электрона и позитрона.
В результате значительного прогресса в методах изготовления
искусственных источников высокоэнергетических у-лучей (бетатроны,
синхротроны и линейные ускорители) в последнее время приобретают
большое значение фотоядерные реакции, т. е. реакции, протекающие
под действием у-квантов.
В этом параграфе мы исследуем общие свойства взаимодействия
электромагнитного излучения с атомными ядрами.
Оператор Гамильтона, определяющий взаимодействие электромаг-
электромагнитного излучения с ядром, можно записать в следующем виде:
dx, G3,1)
где J—оператор плотности конвекционного и спинового токов в ядре,
а А — векторный потенциал электромагнитного поля, калиброванный
так, что divA = 0.
Если представить векторный потенциал электромагнитного поля в
виде суммы двух членов-:
А=А(г) е'ш + Л* (г) еы, G3,2)
то первое слагаемое этой суммы при подстановке ее в G3,1) будет

378 ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЯДЕР С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ [ГЛ. XI
определять процессы испускания у-квантов, а второе — процессы погло-
поглощения. В дальнейшем мы будем рассматривать только процессы испу-
испускания. Вероятность процесса поглощения как процесса, обратного
испусканию, может быть вычислена на основе теоремы взаимности
(см. § 51).
Нормировка А (г) в G3,2) обычно выбирается такой, чтобы она
соответствовала наличию одного кванта в единице объема; тогда
G3,3)
где Up—единичный вектор поляризации; k — волновой вектор, по
абсолютной величине равный со/с.
Вероятность перехода в единицу времени системы из начального со-
состояния а в конечное состояние b в результате взаимодействия G3,1)
равна
где
— число конечных состояний в единичном объеме на единичный интер-
интервал энергии при испускании фотона в телесном угле dii. В формуле
G3,4) суммирование производится по всем состояниям поляризации
у-квантов и магнитным квантовым числам конечного состояния, а интег-
интегрирование— по всем направлениям излучения.
Вид оператора плотности тока будет определен ниже. Он зависит
от конкретных особенностей модели, используемой для описания свойств
ядра. Сейчас же мы рассмотрим те свойства взаимодействия электро-
электромагнитного излучения с ядром, которые не зависят от используемой
модели ядра.
Поскольку ядерные состояния характеризуются определенным
моментом количества движения и четностью, то удобно произве-
произвести разложение векторного потенциала G3,3), определяющего элек-
электромагнитное поле, по функциям с определенными моментом и чет-
четностью.
Векторный потенциал поперечен. При разложении потенциала G3,3)
по состояниям с определенными полным моментом, его проекцией и
четностью (разложение но мультиполям) состояние поляризации удобно
выражать с помощью векторов круговой поляризации, которые опреде-
определяются через единичные векторы е^ еу, перпендикулярные между
собой и к вектору распространения k, соотношением
ир == (— ре) = -= (£?, -f ipe,)\

§ 73] ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ И МАГНИТНОЕ МУЛЬТИПОЛЬНЫЕ ИЗЛУЧЕНИЯ 379
значения р, равные 1 и —1, характеризуют соответственно левую и
правую круговые поляризации.
Согласно приложению I, § Г
оо .7
и-е'*'= п 2 2 iJV2J+^DJap{AM(Jm)-\-ipAE(Jm)}, G3,6)
J=\ m--J
где
:YJm, L = — /[rV], G3,7)
Ав lJm) = 1/| у0==Ь <*) Vlm. G3,8,
Величина AM{Jm) называется векторным потенциалом магнитного излу-
излучения мультипольности 2'; AE{Jm) — векторный потенциал электриче-
электрического излучения мультипольности 27. Фотоны обоих этих типов излу-
излучения обладают моментом %J и различаются своей четностью, а именно,
при операции инверсии (x,y,z—*■ — х,—у,—z) мультипольные по-
потенциалы преобразуются соответственно
AE(Jm)-+{-\)r+lAE(Jm), \
AM{Jm)^(-\)JAM{Jm). \ ( ' '
Учитывая G3,1) — G3,6), с помощью G3,4) получим вероятность
излучения мультипольности 21 в единицу времени, проинтегрированную
по всем направлениям излучения:
Для излучения магнитного типа надо в G3,10) положить \ = М, для
излучения электрического соответственно \ = Е.
Если переход происходит между состояниями, характеризуемыми
определенными значениями момента количества движения и четности,
которую мы будем отмечать числом II, принимающим два значе-
значения: 4^1, то из G3,10) при учете законов сохранения моментов ко-
количества движения и четности непосредственно можно получить правила
отбора для полного электрического и магнитного излучения, если мы
примем во внимание G3,9) и то, что плотность тока меняет знак при
операции инверсии. Эти правила отбора можно записать в виде
К—'»!<•'<•'*+•',; G3>п)
!(—IO для электрического излучения,
(— 1)/+1 для магнитного излучения. '

380 ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЯДЕР С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ [ГЛ. XI
Правила отбора G3,И), вытекающие из закона сохранения момен-
моментов, иногда кратко записывают в виде
Д(Ув, Jb,J) G3,Па)
и называют соотношением треугольника.
Правила отбора G3,12) соответствуют закону сохранения четности.
Для элементарного вывода этих правил следует учесть, что фотоны
описываются векторным полем, меняющим знак при инверсии прост-
пространственных координат. Спин фотонов ранен единице, поэтому фотоны
с моментом У относительно операции четности делятся на два типа:
а) фотоны магнитного излучения, у которых L = J, а четность
в силу векторного характера поля равна ILM= — (—1)L = (—l)y+I;
б) фотоны электрического излучения, у которых L=J—1 или
/, = У-}-1; их четность равна
Тогда правила отбора G3,12) могут быть записаны в виде
Пд11й = ПфЭ — для электрического излучения,
На11й=ИфМ — для магнитного излучения.
Электрические мультипольные переходы, соответствующие диполь-
ному, квадрупольному и т. д. излучениям, обозначаются соответственно:
£, £2, £ и т. д., а магнитные мультипольные переходы Ml, М2,
Мд> и т. д.
Если Ja = Jb=^J2 или если одно из состояний ядра, начальное
или конечное, имеет спин, равный нулю, то согласно G3,11) возможно
только одно значанпе У. В первом случае излучение будет либо типа
£1, либо типа М\ в зависимости от того, меняется или не меняется
четность состояний ядра при переходе. Во втором случае излучение
будет либо типа £У, либо типа MJ в зависимости от изменения чет-
четности при переходе.
Для установления вида операторов плотности токов и зарядов в ядре
обычно исходят из предположения, что каждый нуклон, рассматривае-
рассматриваемый как точечная частица, вносит независимый вклад в эти операторы.
Тогда оператор плотности электрического заряда определится выра-
выражением
р = Л1еаЪ(г — га), G3,13)
где еа—заряд нуклона, а га — его координата. Оператор плотности
тока запишется в виде суммы двух членов:
где
Je = I.eJ(r-rjP± G3,15)
М

§ 73] ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ И МАГНИТНОЕ МУЛЬТИПОЛЬНЫЕ ИЗЛУЧЕНИЯ 381
— оператор плотности тока, обусловленного перемещением зарядов,
(r-O;&-[*J] G3,16)
—оператор плотности тока, обусловленного магнитными моментами ну-
нуклонов. При этом Ма — масса нуклона; }Ла — магнитный момент, выра-
выраженный в ядерных магнетонах; аа — векторный оператор, компонентами
которого являются матрицы Паули.
При написании выражений G3,15) и G3,16) предполагалось, что
токи в ядре связаны с магнитными моментами и пространственным
перемещением нуклонов. При наличии ядерных обменных сил возни-
возникают дополнительные «обменные» токи; эти дополнительные токи вы-
вызываются заряженными мезонами, которые ответственны за наличие
обменных ядерных сил. Однако мезонная теория еще не в состоянии
дать количественных данных о величине этих токов; поэтому они вво-
вводятся обычно на основе феноменологических данных [1]. Учитывая, что
наши знания волновых функций ядерных состояний еще очень несовер-
несовершенны, можно думать, что теория взаимодействия ядер с электромаг-
электромагнитным излучением может претендовать только на грубое согласие
с экспериментом; поэтому мы не будем усложнять вычисления введе-
введением дополнительных токов, учитывающих обменные эффекты.
Вводя оператор изотопического спина х3 (см. § 8 и 9) можно пе-
переписать G3,13) и G3,14) в следующем виде:
Р=у1К(а) + Ф('"-О. G3,13а)
е% . \ V 1 > / \ / \ г- п /то 1 л \
. — (}л —jx ) V -т^-о (г — га) х (а) |GavJ. G3,14a)
В § 9 отмечалось, что для легких ядер изотопический спин ядра
является хорошим квантовым числом и энергетические уровни ядра ха-
характеризуются определенным значением изотопического спина.
Вследствие того, что операторы заряда G3,13а) и тока G3,14а)
содержат компоненту оператора изотопического спина х3, возникают
правила отбора относительно возможных изменений изотопического
спина ядра при излучении у-квантов- Операторы заряда G3,13а) и
тока G3,14а) можно представить в виде суммы двух членов, один из
которых не содержит операторов изотопического спина, а второй со-
содержит операторы х3. Поэтому при электромагнитных переходах изме-
изменение изотопического спина ядра должно определяться правилами от-
отбора:

382 ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЯДЕР С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ [ГЛ. XI
При исследовании свойств электромагнитного излучения, испускае-
испускаемого ядрами, существенное значение имеет значение отношения ради-
радиуса ядра R к длине волны соответствующего излучения, или
А"*Е*Шэв)
' 2Л0
Отсюда следует, что для всех переходов между состояниями, отличаю-
отличающимися по энергии меньше чем на несколько Мэв
При выполнении этого неравенства мы будем говорить, что имеет место
длинноволновое приближение.
Из G3,10) следует, что вероятность излучения существенно зави-
зависит от величины интеграла:
±§m)dx. G3,17)
При вычислении этого интеграла учтем, что в длинноволновом прибли-
приближении входящая в векторный потенциал сферическая функция Бесселя
может быть заменена ее асимптотическим значением
п- <73-18>
Рассмотрим сначала интеграл G3,17) для электрического мультнполь-
ного излучения. Подставляя G3,8) и G3,18) в G3,17), имеем:
l^Jm) = eTkV ~ утщпу J j r0t L Ц/{kr) YJm) d'- G3>19)
Воспользовавшись операторным тождеством
*r'dr.
получим в длинноволновом приближении (&л<<1):
rot L {JjYjJ = / (У + 1) V (jj (kr) YJm). G3,20)
Подставляя G3,20) в G3,19) и произведя интегрирование по частям,
находим:
В длинноволновом приближении в интеграл IE (Jm) вносит существен-
существенный вклад только часть оператора тока, соответствующая перемещению
заряда. Поэтому, используя уравнение непрерывности

§ 73] ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ И МАГНИТНОЕ МУЛЬТИПОЛЬНЫЕ ИЗЛУЧЕНИЯ 383
и асимптотическое значение G3,18), находим окончательно:
<73-21>
Отметим, что г в G3,21) определяется относительно центра инерции
ядра.
Таким образом, электрический мультипольный переход в длинно-
длинноволновом' приближении зависит только от плотности электрического
заряда. Если учесть, что оператор статического электрического муль-
типольного момента имеет вид
то G3,21) можно выразить через оператор QJm'.
I Ип,\— k'
IE{Jm) —
7 \
Подставляя G3,21) в G3,10), получим после интегрирования по
всем направлениям излучения вероятность перехода в единицу времени,
сопровождающегося электрическим мультипольным излучением:
G3,22)
где приведенная вероятность электрического перекода
B{EJ) =
G3,22а)
зависит от волновых функций начального и конечного состояний и не
зависит от энергии перехода. Зависимость вероятности перехода от
энергии определяется множителем k J == I—j » т. е. вероятность
электрического излучения мультипольности 27 пропорциональна энергии
перехода в степени B7-j-l).
Итак, вероятность электрических переходов в ядре пропорциональна
квадрату недиагонального матричного элемента от оператора электри-
электрического мулътипольного момента. Диагональные матричные элементы
этого же оператора определяют статические электрические мульти-
польные моменты ядра.
Для определения вероятности магнитного излучения рассмотрим ин-
интеграл
= ± V!W
<73'23>

384 ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЯДЕР С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ [ГЛ. XI
Подставляя G3,23) в G3,10), с помощью G3,18) получим в длин-
длинноволновом приближении:
G3,24а)
где приведенная вероятность магнитного перехода
1
B{MJ)=
т, иц,
ec{J-\-\)
Из выражений G3,22) и G3,24) непосредственно видно, что веро-
вероятность излучения в длинноволновом приближении быстро уменьшается
с ростом /. Поэтому практическое значение в ядерных реакциях имеют
только одно или два наименьших значения J, совместимых с законами
сохранения моментов G3,11) и четности G3,12), а для легких ядер и
с законом сохранения изотопического спина. Для одних и тех же зна-
значений J испускание электрического излучения более вероятно, чем
испускание магнитного излучения (примерно в (cjvJ раз). Однако сле-
следует иметь в виду, что вследствие правил отбора G3,11) и G3,12)
одному и тому же переходу в ядре не могут соответствовать электри-
электрическое и магнитное излучение одинаковой мультипольности. Магнитное
излучение мультипольности J может сопровождаться электрическим
излучением мультипольности У-}-1. Грубая оценка отношения интен-
сивностей этих излучений приводится в § 74.
Рассмотрим теперь более подробно правила отбора по изотопиче-
изотопическому спину для случая дипольных электрических переходов (Е\). Под-
Подставляя G3,13а) в G3,22а), получим для дипольного электрического
перехода
В(Е\)= 2
т.
Учитывая, что
В(Е\) =
) Jama
гп,
(Ьа,уа) = 0, находим:
S () У
'. G3,25)
Из G3,25) непосредственно следует, что дипольный электрический пе-
переход в легких ядрах возможен при выполнении правил отбора по изо-
изотопическому спину
ДГ = 0, +1, если Т3=^(
ДГ=Чг1, если Т ==■ (
G3,26)
Таким образом, у ядер с одинаковым числом протонов и нейтронов
G3 = 0) запрещены дипольные электрические переходы без изменения
изотопического спина ядра на 1. В частности, запрещены переходы
7 = 0—>Г = 0.

§ 74] ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПЕРЕХОДОВ 385
Экспериментальное исследование правил отбора по изотопическому
спину было предпринято Уилкинсоном с сотрудниками [2], которые по-
показали, что у легких ядер с Т3 = 0 переходы АТ=0 очень мало ве-
вероятны. Такие переходы могут иметь место из-за нарушения правил
отбора G3,26) вследствие неравенства массы протона и нейтрона и
влияния кулоновских сил, которые смешивают состояния с разными изо-
изотопическими спинами, а также из-за членов, отброшенных при использо-
использовании длинноволнового приближения. Опенка точности правил отбора
по изотопическому спину исследована в работе Макдональда [3].
Кроме запрещения по правилам отбора для изотопического спина,
уменьшение вероятности переходов Е\ может происходить за счет
корреляции в распределении протонов и нейтронов в ядрах. В сумме
2хз (а) raX\m^K^ ¥*)> входящей в G3,25), нейтроны и протоны вносят
вклад разного знака. Вследствие этого при определенном расположении
протонов и нейтронов в ядре величина В (Е\) может быть очень ма-
малой. На эту причину уменьшения вероятности переходов Е\ в тяже-
тяжелых ядрах было обращено внимание ещ\з в работах Дельбрака и Га-
мова [4] и Бете [5].
§ 74. Теория электромагнитных переходов, связанных
с изменением состояния отдельных нуклонов в ядре
Согласно G3,22а) и G3,13) вероятность электрических мульти-
рольных переходов EJ определяется значением величины
В (EJ) = £ | (Ь | 2 4JJj,n (Ь <Р.) I а) \\ G4,1)
2 4
гп, гщ, а
где £а — заряд нуклона, равный единице для протона и нулю для
нейтрона; га — его координата, отсчитываемая от центра инерции ядра.
Рассмотрим для простоты один нуклон вне заполненных ядерных
оболочек. Если предположить, что в процессе электромагнитного пере-
перехода не изменяются состояния нуклонов, образующих заполненные обо-
оболочки, то ядро можно рассматривать как систему, состоящую из внеш-
внешнего нуклона и остова ядра. Волновая функция, описывающая их
относительное движение, будет иметь вид
где уп1{г) — зависящая от вида потенциала радиальная часть волновой
функции соответствующая орбитальному моменту L; п — характеризует
другие квантовые числа; Ф1п, — спин-угловая функция.
В системе, состоящей из остова ядра и нуклона, можно ввести эф-
эффективный электрический заряд, учитывающий их относительное дви-
движение с помощью следующего рассуждения. Пусть положение нуклона,
25 Л. С. Давыдов

386 ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЯДЕР С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ [ГЛ. XI
имеющего массу М и заряд £ (равный 1 для протона и 0 для ней-
нейтрона), описывается в некоторой системе координат радиусом-вектором
qx, а положение остальной части ядра массы М {А— 1) и заряда (Z — г)—
радиусом-вектором цг\ тогда
Подставляя в правую часть этого равенства явное выражение радиуса-
вектора центра инерции всего ядра /? = *" 1—~~~~^ > получим:
А
где г = (<7j — </2) — вектор, определяющий относительное положение
нуклона и остова ядра, а
— «эффективный» электрический заряд, учитывающий относительное
движение нуклона и остова.
Обычно пользуются [6] приближенными значениями аффективного
электрического заряда, полагая для протона
8i Л
и для нейтрона
Z 1
с 1
А ^ 2 ' ZJ^i
Итак, при сведении ядра к системе двух тел величина G4,1) при-
принимает вид
ср* , rJu , r2dr
SE(Jbt J, Уа), G4,4)
где
SBVb> J> Л) = 4^ 2 |(Фуь«ь. ^«ФуошЛ' G4,5)
m, rrif,
— так называемый статистический множитель, выражающийся согласно
приложению I, § И (формула (И, 10)) через коэффициенты Рака и
коэффициенты векторного сложения, явный вид которых дан в прило-
приложении 1, § Б:
SE= BУ + 1) B£а+ 1) BJb +1I (LaJ00 | Z.0) |2 W* [LaJaLbJb\ \ i) .
Из свойства коэффициентов векторного сложения и коэффициента Рака
следуют, кроме общего (см. G3,11)) правила отбора Д (Уа, Jb, У),

§ 74] ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПЕРЕХОДОВ 387
дополнительные правила отбора, обусловленные однонуклонным прибли-
приближением:
1) G4,6)
и
La-{~ J -\-Lb = четному числу. G4,7)
Из правил отбора G4,6) и G4,7), в частности, следует невозмож-
невозможность электрического дипольного излучения в переходах s. 3 <---»• S\ 2,
jWi/2-«—>/?i 2. Переход 6Y2 <—►/?i 2 должен соответствовать электрическому
дипольному (£1) излучению. При Ja, Jb > '/2 и | La—Lh | = | Уа—Уй | = О
наименьшее возможное значение У, соответствующее электрическому
излучению, равно 2, поэтому такие переходы относятся к электриче-
электрическому квадрупольному излучению.
Численное значение вероятности разрешенных правилами отбора
переходов определяется величиной радиального матричного элемента
uIb (r) (^)\naLJr)r>dr,
входящего в G4,4) и зависящего от деталей потенциала.
Учитывая G3,22) и G4,4), получим для вероятности испускания
в 1 сек электрического излучения мультипольности 2У следующее
выражение:
J €У а ь' 4ъ V '
Для грубых оценок можно положить SF =^ 1 и оценить величину радиаль-
радиального матричного элемента N (EJ), полагая согласно Вайскопфу [7], что
радиальная волновая функция постоянна внутри ядра и равна нулю вне
ядра; тогда
^j G4,8a)
где
R=\,2.Aii>.\0-1'cm.
Оценка G4,8а) интеграла от радиальных функций является очень
грубой. Функции уПA[.а и ЧщЦ не постоянны внутри ядра, d осцилли-
осциллируют, поэтому истинная величина N (EJ) может быть меньше G4,8а)
в десятки и сотни раз. Полученные с помощью G4,8) и G4,8а) оценки
вероятностей переходов дают только верхний предел.
1 ( 3 \2
Величину Bl (EJ) = -^- ( утт) R*J часто принимают за единицу
измерения приведенных вероятностей перехода EJ. Назовем эту вели-
величину единицей приведенной вероятности перехода EJ одного протона
в однонуклонном приближении («single particle unit»).
25*

388 ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЯДЕР С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ [ГЛ. XI
была
Для случая дипольных переходов оценка величины —у^
сделана Уилкпнсоном [8] на модели ядра в виде прямоугольной ямы.
В зависимости от значений главного и орбитального квантовых чисел
состояний, участвующих в переходе, им получены следующие значе-
ния
Переход ^\_
U -1/ +1
4La - 2/.о + 1
Ua-+2La + l
о
0,28
0,23
—
0,001
1
0,38
0,28
0,09
0,002
2
0,44
0,33
0,065
0,002
з
0,49
0,37
0,050
0,003
В приближении G4,8а) вероятность испускания электрического
излучения мультипольности 2У будет определяться формулой
G4,9)
l)»\
1112
Как уже отмечалось в § 73, большая корреляция движений протонов
и нейтронов сильно уменьшает вероятность дипольных электрических
переходов между низкими уровнями ядра. Поэтому полученная на основе
однонуклонного приближения оценка G4,9) неприменима к таким пере-
переходам.
Для определения вероятности испускания магнитного излучения
надо вычислить матричный элемент
G4,10)
где оператор тока
-ra)^[aa?]. G4,11)
В однонуклонном приближении, когда волновая функция ядра выби-
выбирается в виде G4,2), матричный элемент G4,10) будет равен
где
= £к(Ж/) + £с(МД
К (MJ) = | -AJih J 2Y,\(b\ r'LYJm V | a)
G4,12)
G4,12а)

§ 74] ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПЕРЕХОДОВ 389
— приведенная вероятность магнитного излучения, обусловленного кон-
конвекционными токами;
_ г Л
— -- -
[Mc(J
rot * I fl) Г G4>l26>
— приведенная вероятность магнитного излучения, обусловленного маг-
магнитными моментами нуклонов.
Пользуясь формулой (Г, 10) приложения I, § Г, можно написать:
используя далее так называемую градиентную формулу:
можно вычислить матричный элемент:
-^l^)-G4,14)
Подставляя G4,14) в G4,12а), определим приведенную вероятность
магнитного излучения, вызываемого конвекционными токами. При этом
квадраты матричных элементов, содержащие сиин-угловые функции,
выразятся через функции
Z2 Aа + 1, JaLbJb', 1У) Z* ( Z.a - 1, JaLbJb- 1
определенные в § И приложения I, а интегралы от радиальных функ-
функций могут быть грубо апроксимированы выражениями
Используя свойства функций Z, из G4,15) получим правила отбора

390 ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЯДЕР С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ [ГЛ. XI
для магнитного излучения, вызываемого конвекционными токами; такие
переходы возможны, если:
а) La-\-Lb-\-JAz 1 = четному числу;
б) одновременно с законом сохранения полного момента Д(Ja, Jb, J)
выполняются законы сохранения:
MLa±\, Lb, J), ДAа, Ja, 1), д(/.6, У„ 1
Например, магнитное дипольное излучение возможно при перехо-
переходах La^-> Lb = La, т. е. при переходах sVl «--»• Si/a, рЧг *--► /?, v При
переходе Ja—> Lb возможно магнитное излучение минимальной муль-
типольности J=\La — Z.d | —J— 1, если одновременно выполняется усло-
условие Ja -\- Jb ^ J. Если же | Ja -\- Jb | •< \La — Lb \ -\- 1, то такое маг-
магнитное излучение невозможно. Например, запрещено магнитное дипольное
излучение при переходе s42 *--*■ ds 2.
Для исследования приведенной вероятности магнитного излучения,
обусловленного магнитными моментами нуклонов, используем тождество
v r \дг г ) ' г
тогда
поэтому можно написать:
Оба матричных элемента, входящих в G4,16), содержат интегралы
от радиальных функций начального и конечного состояний, которые
могут быть грубо апроксимировэны выражением
зр-/— 1
N (MJ) ^
Для определения правил отбора надо исследовать остающиеся матрич-
матричные элементы от спин-угловых функций
(Ф^ь. YjnPA>Laia), G4,17)
и
<l>LaJa). G4,17а)
Поскольку спин-угловые функции являются собственными функциями
оператора ffZ, то условия, при которых матричный элемент G4,17а)
будет отличен от нуля, будут совпадать с соответствующими условиями
для матричного элемента G4,17).

§ 74] ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПЕРЕХОДОВ 391
Учитывая, что (см. приложение I, § В) действие оператора аг на
спин-угловую функцию сводится к «опрокидыванию» спина:
=уо+. 2,
можно таким же путем, как в случае электрического излучения, по-
получить:
г т 1
, если La — Ja—-7Ji
G4,18)
Из G4,18) сразу же следуют правила отбора для магнитного
мультипольного излучения, обусловленного магнитными моментами
нуклонов:
а) если La = Ja — '/2, то магнитное излучение мультипольности 2J
возможно, когда
La-\- Lb-\-J-\- I = четному числу
и выполняются соотношения треугольников:
Д(Уа, Jbt У); H(La+l, Lb, У);
б) если La = Ja-\-il2, то магнитное излучение мультипольности 2J
возможно, если
La-\-Jb-\-J—1= четному числу,
и выполняются соотношения треугольников:
Д(Ув, Jb, У); b{La-\, Lb, J).
Так, например, магнитный дипольный переход St^t—*d»:i становится
разрешенным, если учесть опрокидывание спина нуклона.
Приведенные рассуждения справедливы только в случае наличия
спин-орбитального взаимодействия, когда состояние нуклонов описы-
описывается спин-угловыми функциями. В этом случае по порядку величины
приведенные вероятности магнитного излучения, обусловленного магнит-
магнитными моментами Вс (MJ) и конвекционными точками Вк (ЖУ), одинаковы:
Если бы спин-орбитальное взаимодействие отсутствовало, то спины не
давали бы вкладов в мультипольное излучение.

392 ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЯДЕР С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ [ГЛ. XI
3RJ~l
В грубом приближении, используя оценки N{MJ) =^ , , о-
и BУа+ \)~*Z* ( Ie+ 1, Уа, Z.ft, У6 ; уУ1 -v. 1, получим для вероят-
вероятности мультипольного магнитного излучения:
2^+1G4,19)
Mc
С помощью G4,19) и G4,9а) можно оценить отношение вероят-
вероятностей ЖУ-и E(J-{- 1)-нзлучений:
^'■^^'W-. G4,20)
Полагая #=1,2.10 iaAli* см и выражая энергию у-излучения в Мэву
получим:
— Ул~~. G4,20а)
со (Мэй) /
Таким образом, малые энергии излучения и малые А благоприятствуют
увеличению отношения вероятности ЖУ-излучения к вероятности
E[J-\- 1]-излучения. Эксперимент показывает, что в некоторых слу-
случаях вероятности Ж1- и £2-излучений имеют одинаковый порядок вели-
величины, если они допустимы с точки зрения правил отбора. Следует
отметить, что оценка G4,20) является очень грубой. В отдельных слу-
случаях действительное отношение интенсивностей излучений может в зна-
значительной степени отличаться от G4,20).
Как правило, радиационные переходы между низшими энергетиче-
энергетическими уровнями ядра происходят путем испускания мультипольного
излучения наименьшего порядка, допустимого правилами отбора. Это
излучение является электрическим или магнитным в зависимости от
соответствующего изменения четности при переходе.
Полученные правила отбора для электрического и магнитного муль-
мультипольного излучений позволяют различать четыре случая.
а) Если Ja = La-\-1j2, Jb = LbJri\2, то наименьшее допустимое
значение мультипольности, определяется числом JVaia'==\^a — ^ь\>
далее, поскольку в этом случае £a-|-£ft-}-«/min= четному ЧИСЛУ» то
соответствующее излучение будет электрическим (EJmin), например
октупольное £3-излучение при переходах
б) В случае Ja—La — J/2 и Jb = Lb — '/2 также возможно только
электрическое излучение (£Ут!п), где ^min=|^-a — Lb\, например
дипольное электрическое излучение при переходе Si/a<—*P'|2.
В случаях а) и б) магнитное излучение ЖУ возможно, если только
Ja -\- Jb ^ У ^> Ут1п. Поскольку вероятность такого излучения меньше

§ 75] ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВНУТРЕННЕЙ КОНВЕРСИИ 393
вероятности электрического излучения, меньшей мультипольности, то-
будут проявляться переходы только электрического типа. Однако в случае
La = Lb электрическое дипольное излучение невозможно, поэтому должно
наблюдаться магнитное дипольное излучение и возможно электрическое
квадрупольное излучение при Ja = Jb^ij^ В случае Уа = У&=='/2
(переходы st,^ <-->$,, , /?,, «—►/?,, ) возможно испускание только магнит-
магнитного дипольного излучения.
в) Если Ув = £ +1/,, •fb=Lb-1l» и La> '» то ^п=^-^+^
в этом случае Z.a -j- Lb -)- 7mill равно нечетному числу, поэтому будет
наблюдаться только магнитное излучение (MJmin).
г) Если Ув =/:,-'/.. Jb=Lb + xU " £e>^, ToJmia=La-Lb-\
и Z,a -f- Z,ft -{- /min равны нечетным числам, поэтому будет излучаться
магнитное излучение мультипольности Jm-m.
К переходам типа в) и г) относятся, например, переходы уИ4:
§ 75. Элементарная теория внутренней конверсии
В предыдущих параграфах этой главы мы исследовали вопрос
о вероятности перехода ядра из возбужденного в основное (или другое
возбужденное) состояние путем испускания v-квантов, не учитывая роли
электронов, окружающих ядро в атоме. Оказывается, однако, что на-
наличие электронной оболочки, с одной стороны, несколько изменяет ве-
вероятность у-излучения ядром, а с другой стороны, приводит к новому
механизму перехода ядра в основное состояние путем непосредственной
передачи энергии возбуждения электронам атома.
Вопрос о влиянии электронной оболочки на вероятность испускания
у-квантов ядром исследовался для случая квадрупольного излучения
Тейлором и Моттом [9] и для общего случая мультипольного излуче-
излучения при малых энергиях возбуждения ядра А. С. Давыдовым [Ю].
В этих работах показано, что присутствие атомных электронов изме-
изменяет число излученных в единицу времени Y"KBaHT0B на ничтожно
малую величину. Так, согласно [10] при энергии то = 0,1 тс2 для
ядра с Z = 20 это изменение равно 1,4-10~5 и 1,7-10~7 соответ-
соответственно для излучения Е2 и £4. Для ядра с Z=40 поправки для
тех же излучений равны соответственно 5,8-Ю~3 и 1,7-Ю~5.
Значительно большее влияние оказывает электронная оболочка
атома на общее время жизни ядра в возбужденном состоянии вслед-
вследствие возможности непосредственной передачи энергии возбуждения ядра
электронам. В результате этой передачи энергии электрон переходит
из связанного состояния в состояние непрерывного спектра и покидает
атом. Энергия испускаемого электрона равна разности энергий, теряемой
ядром и энергии связи электрона на соответствующей оболочке атома.
Процесс передачи энергии возбуждения ядра атомным электронаи-
носит название процесса внутренней конверсии. Это название отражает

394 ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЯДЕР С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ [ГЛ. XI
первоначальную ошибочную точку зрения, согласно которой внут-
внутренняя конверсия рассматривалась как внутриядерный фотоэффект.
В дальнейшем выяснилось, что процесс передачи энергии возбуждения
ядра электронам может происходить и в том случае, когда испускание
одного кванта абсолютно запрещено @ — 0-переходы). Внутреннюю
конверсию и испускание у-квантов следует рассматривать как две аль-
альтернативные возможности передачи ядром энергии возбуждения. Пол-
Полная вероятность перехода ядра из возбужденного в основное состояние
равна сумме вероятности радиационного перехода и вероятности внут-
внутренней конверсии.
Хотя процесс внутренней конверсии протекает независимо от испу-
испускания уквантов> передача энергии возбуждения ядра электронам
обусловлена электромагнитным взаимодействием между ними. Задачей
теории является вычисление вероятности внутренней конверсии или
относительной вероятности конверсионного и радиационных переходов,
если переход не относится к типу 0 — 0-переходов, которые не сопро-
сопровождаются у-излучением.
Относительная вероятность обоих процессов, т. е. отношение пол-
полного числа испущенных электронов Ne к полному числу у-квантов N,
испущенных в то же время, носит название коэффициента внут-
внутренней конверсии
Наиболее часто при вычислении коэффициента внутренней конверсии
применяют полуклассический метод, эквивалентность которого более
строгому квантовомеханическому рассмотрению доказана В. Б. Бере-
стецким [11]. В этом методе ядро заменяется излучателем монохрома-
монохроматических электромагнитных волн и вычисляется вероятность перехода
атомного электрона в состояние сплошного спектра в результате взаи-
взаимодействия с полем излучения мультиполя. Полученная вероятность
перехода в 1 сек делится на число квантов, испускаемых в секунду
мультиполем через сферу большого радиуса, окружающую ядро.
Вопросу вычисления коэффициентов внутренней конверсии посвящено
много работ [12], которые отличаются друг от друга тем или иным
использованным приближением для волновых функций атомных электро-
электронов. Оказалось, что внутренняя конверсия возрастает с уменьшением
энергии перехода и возрастанием мультипольности перехода. Для полу-
получения грубых оценок порядков величины коэффициентов внутренней
конверсии можно пользоваться нерелятивистским приближением для
электронов, которое оправдывается при энергии электронов, меньшей
энергии покоя электрона. Такое приближение значительно упрощает
расчеты. В целях дальнейшего упрощения задачи обычно полагают,
что волновые функции испускаемых электронов можно выбрать в виде
плоских волн. Такое приближение допустимо, если энергия испускае-
испускаемого электрона больше его энергии связи в атоме.

§ 75] ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВНУТРЕННЕЙ КОНВЕРСИИ 395
Для элементарного вычисления коэффициента внутренней конверсии
с /С-оболочки атома выберем волновую функцию начального состояния
электрона в виде
г
где
— «радиус» /(-оболочки, а волновую функцию конечного состояния
электрона в виде плоской волны
<p6 = e/ftr, G5,3)
нормированной на единицу объема; k — волновой вектор электрона
после испускания. Если обозначить волновые функции начального и
конечного состояний ядра соответственно фа(<?) и tyb(q), то волновые
функции начального и конечного состояний всей системы можно напи-
написать в виде
Ьа = Ча(гЖ(9) и Ф* = <Р*е)ф*(?)- G5,4)
Вероятность внутренней конверсии в единицу времени на двух электро-
электронах /(-оболочки будет определяться выражением
2\(* Л'Ф)Г() G55>
где р (s) = ^ , dil — число состояний на единичный интеграл энергии;
BмK
d9. — элемент телесного угла; 2 указывает суммирование по конечным
ядерным состояниям, отличающимся магнитными квантовыми числами и
интегрирование по угловым переменным; }х — масса электрона.
При написании оператора взаимодействия Н'', приводящего к внут-
внутренней конверсии, учтем, что в случае возбуждения ядра (h<a), соот-
соответствующего длине волны у-излучения, значительно превышающей
радиус /(-оболочки (пш<^ 25-Z кэв), эффекты запаздывания взаимодей-
взаимодействия малы. В этом случае в первом приближении оператор Н будет
совпадать с электростатическим взаимодействием между электроном и
протонами ядра, т. е.
z
где г и <7а — соответственно координаты электрона и протонов, отсчи-
отсчитываемые от центра инерции ядра. Конечно, при выборе оператора воз-
возмущения в виде G5,6) мы не сможем описать внутреннюю конверсию

396 ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЯДЕР С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ [ГЛ. XI
для ядерных переходов, сопровождающихся магнитным мультипольным
излучением.
При r»q{ оператор возмущения G5,6) можно разложить по сфе-
сферическим функциям:
Z оо
" = £ S Ет2^Ху)Чл<(М>) Y*lMK <pj, G5,6a)
где в, Ф — углы, определяющие направление г, а Оа, <ра—углы,
определяющие направление <7а.
Пользуясь G5,4) и G5,6а), можно написать:
(Ф„,-№<!>„) =
2^п ( £ «« ) ( ^.) ■ <75-7>
, Л1 ' V а = 1 ' v г
Сравнивая G5,7) с G4,1), мы убедимся, что матричный элемент
входящий в G5,7), совпадает с матричным элементом, определяющим
в длинноволновом приближении приведенную вероятность ядерного пе-
перехода с электромагнитным излучением типа EJ.
Матричный элемент, содержащий интегрирование по электронным
координатам, после подстановки волновых функций G5,2) и G5,3)
сводится к интегралу
Разлагая ехр { — ikr) по сферическим функциям (см. приложение I, § А)
ехр { - ikr) = 4тт 2 (- iYJ, (kr) Ylm @, (?) Y\m (в, Ф),
I, m
где 6, <р — углы, определяющие направление вектора k, получим, вы-
выполняя интегрирование по угловым неременным:
( г\
G5,8)
При вычислении интеграла следует учесть, что при kp^>1 из-за
быстрых осцилляции сферической бесселевой функции в интеграле бу-
будут существенны только малые значения г: поэтому

§ 75] ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВНУТРЕННЕЙ КОНВЕРСИИ 397
Подставляя это значение в G5,8), а затем G5,7) в G5,5), получим
при интегрировании по угловым переменным (учитывая ортонормирован-
ность сферических функций) вероятность внутренней конверсии, соответ-
соответствующей переходу El:
е* k2l~s z
&3р3 1B^ + Ч "Y т, тЬ ' 'а=Л * Ш °" "*
Поскольку вероятность излучения в единицу времени определяется со-
согласно G3,22) выражением
S I (Ф*. { '
то коэффициент внутренней конверсии при энергии испускаемого элект-
электрона, значительно превышающей его энергию связи, будет равен
Подставляя p = —y? и полагая k= 1/ —г-, получим приближенное
выражение для коэффициента внутренней конверсии:
-
Формула G5,9) приближенно справедлива только в том случае, если
энергия перехода значительно превышает энергию связи /С-электрона
в атоме и при условии возможности использования нерелятивистских
волновых функций электрона ( vie << 1, т— << 1 ) . Согласно G5,9) коэф-
\ hv J
фициент внутренней конверсии сильно возрастает с ростом Z и / и
уменьшается с ростом энергии перехода.
В нерелятивистской теории (не учитывающей спина электрона) кон-
конверсия электрона с /С-оболочки при ядерных переходах, сопровождаю-
сопровождающихся магнитным мультипольным излучением, запрещена правилами
отбора по четности. Действительно, магнитному излучению типа Ml
соответствует изменение четности (—1)/ + 1, а при переходе электрона
О—> I изменение четности равно (—\I. Таким образом, конверсия при
магнитных мультипольных переходах существенно зависит от спина
электрона.
Хотя коэффициент внутренней конверсии, соответствующий малым
энергиям перехода в ядре, быстро растет с ростом мультипольности,
практическое значение имеет только коэффициент конверсии, соответ-
соответствующий наименьшему из допустимых правилами отбора значений /.
При внутренней конверсии выбрасывание электрона может происхо-
происходить и из /.-оболочки атома. Вообще этот процесс значительно менее

398 ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЯДЕР С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ [ГЛ. XI
вероятен, чем конверсия на /^-оболочке. Это обусловлено тем, что
электроны А-оболочки находятся дальше от ядра. Однако при умень-
уменьшении энергии перехода и увеличении заряда ядра длина волны излу-
излучения увеличивается, а радиусы К- и L-оболочек уменьшаются, поэтому
различие в размерах этих оболочек делается менее существенным. Это
обстоятельство приводит к увеличению отношения коэффициентов
внутренней конверсии на L- и /^-оболочках. Такое увеличение отноше-
отношения aL/a^. особенно значительно при больших мультипольностях излу-
излучения. Наконец, если энергия перехода становится меньше энергии
Рис. 64. Отношение коэффициентов внутренней конверсии
на К- и 1-оболочках.
ионизации электронов с /^-оболочки конверсия на А"-оболочке исчезнет
и aLloi,K=oo. На рис. 64 приведена зависимость olk;oi.l от отношения
Zzjfio) для электрических переходов различной мультипольности. Из
этого рисунка следует, что измерение отношения aA-/aL может давать
указания о мультипольности перехода.
При точных расчетах коэффициентов внутренней конверсии необхо-
необходимо не только пользоваться релятивистскими волновыми функциями
для электронов, но и учитывать конечные размеры ядра (см., например,
работы Слива [13] и работу [14]).
Из-за поперечности электромагнитного поля в ядрах полностью
запрещены 0 — 0-переходы с испусканием одного фотона. В этом слу-
случае энергия возбуждения ядра может быть отдана либо путем внут-
внутренней конверсии, либо путем образования пар при Аш ^> 2\хс2.
Переходы ДУ=О без изменения четности носят название электри-
электрических монопольных переходов {ЕО). Они могут наблюдаться как
в случае 0 — 0-переходов, так и при переходах между состояниями
одинаковой четности и одинакового спина.

§ 76] ЯДЕРНАЯ ИЗОМЕРИЯ И ЕЕ СВЯЗЬ С ОБОЛОЧЕЧНОЙ СТРУКТУРОЙ ЯДРА 399
Если энергия возбуждения ядра больше 2дс2, то она может быть
израсходована на образование электрона и позитрона в поле ядра и их
выброс за пределы атома. Такой процесс называется внутренней кон-
конверсией с образованием пар, он наблюдается в ряде случаев. Класси-
Классическим примером конверсии этого типа является монопольный электри-
электрический переход между первым возбужденным и основным уровнем
ядра О16 с выделением энергии 6 Мэв.
В этом параграфе мы изложили элементарную теорию внутренней
конверсии, которая позволяет исследовать только качественные особен-
особенности явления. Для более полного ознакомления с теорией внутренней
конверсии можно рекомендовать, кроме указанных выше оригинальных
работ, шестую главу книги Л. В. Грошева и И. С. Щапиро [15].
§ 76. Ядерная изомерия и ее связь с оболочечной структурой ядра
Возбужденные состояния ядер могут возникать в результате ядер-
ядерных реакций, р- и а-переходов, поглощения у-лучей и кулоновского
возбуждения. Если энергии возбуждения недостаточно для испускания
нуклонов, то переход ядра в основное состояние будет происходить
либо путем испускания электромагнитного мультипольного излучения,
либо путем испускания электронов или электронных пар внутренней
конверсии.
Время жизни ядра в возбужденном состоянии (т) обратно пропор-
пропорционально суммарной вероятности переходов из данного состояния во
все лежащие ниже состояния
Однако при энергии возбуждения, меньшей пороговой энергии для испу-
испускания нуклонов, в сумме 2 ^ьа наиболее существенны только члены,
о
соответствующие вероятностям перехода путем у-излучения Я (у) и пу-
путем внутренней конверсии Р(ВК); тогда, вводя коэффициент внутрен-
Р(ВК)
пей конверсии а = „ -, можно написать:
х = ттA+а)-1, G6,1а)
где т —[Р(у)] — время жизни возбужденного состояния ядра только
по отношению к процессу у-нзлучения. Коэффициент внутренней кон-
конверсии сравним с единицей, а в некоторых случаях и больше единицы;
поэтому учет явления внутренней конверсии при определении времени
жизни возбужденных состояний ядра очень существен.
У некоторых ядер имеются возбужденные состояния, обладающие
большим временем жизни. Такие состояния называются метастабнль-
ными. При переходе ядра в возбужденное метастабильное состояние
меняются некоторые его свойства. В частности, изменяется период по-
полураспада, если это не стабильное ядро. Ядра, обладающие одинаковым

400 ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЯДЕР С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ [ГЛ. XI
составом и отличающиеся по свойствам друг от друга вследствие
того, что они находятся в разных энергетических состояниях, называют
изомерными ядрами.
Явление изомерии было открыто и объяснено И. В. Курчатовым
с сотрудниками [16] при изучении свойств радиоактивных изотопов
брома. Обзор истории открытия и основных экспериментальных данных
по изомерии атомных ядер можно найти в монографии М. И. Кор-
сунского [17] и обзоре Сегре и Гельмгольца [18].
В результате изучения изомерных ядер было показано, что ядра
многих элементов могут длительное время существовать в возбужден-
возбужденных состояниях. Период полураспада некоторых ядер измеряется часами,
днями и даже годами. Таким образом, время жизни возбужденных со-
состояний изомерных ядер превышает в Ю8—Ю21 раз обычное время
жизни A0~12 сек) возбужденных состояний ядер.
Первое теоретическое обоснование явлению изомерии было дано
Вайцзекером [19]. Согласно Вайцзекеру причиной длительного суще-
существования ядер в возбужденном состоянии является большое различие
в моментах количества движения возбужденного и основного состоя-
состояний ядра.
Долгоживущие возбужденные состояния ядер относятся к однонук-
лонным возбуждениям. Согласно формулам § 73 вероятности мультн-
польных переходов пропорциональны (kRJJ+l. Для энергии перехода
порядка 0,1 Мэв и радиуса ядра 6• 10~13 см ^—(ЗОО), поэтому
можно ожидать, что вероятность мультипольного излучения с У=5
будет меньше вероятности дипольного излучения в Ю18 раз. Следова-
Следовательно, для объяснения больших времен жизни возбужденных состояний
ядер необходимо допустить, что у некоторых ядер первое возбужден-
возбужденное состояние отличается моментом количества движения от основного
состояния на несколько единиц.
Опыт показывает, что наиболее часто изомерные пары наблюдаются
у ядер с нечетным значением массового числа, когда нечетное число
протонов или нейтронов заключено в интервале от 39 до 49 или от
63 до 81. Эта особенность расположения изомерных ядер среди дру-
других ядер была объяснена на основе сболочечной модели ядра.
Согласно оболочечной модели, начиная с 39-го нуклона, заполняется
оболочка 2/?i;2, следующий свободный уровень будет lgvv Разница
спинов этих уровней равна 4, четность различная, поэтому переход
1 £■«/,<--»2pi 2 должен происходить с излучением типа Ж4. Опыт пока-
показывает, что ядра
уз? у89 Y91 Zn69 Ge71 и до
действительно обладают изомерными состояниями и изомерный переход
у этих ядер относится к типу /W4. Если учесть на основе данных
о спинах основного состояния ядер, что по мере заполнения оболочки
происходит перестановка положения уровней: уровень Ig9;o ниже у ров-
ля 2/?1/2, то можно объяснить изомерные состояния многих других ядер,

§ 77] ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПЕРЕХОДОВ В ОБОБЩЕННОЙ МОДЕЛИ ЯДРА 401
например, Nb9}, Nb^, Nb", Те',, Тс®,, In^3, In''5, переходящих в основ-
основное состояние при испускании излучения типа Ж4.
Таким же образом оболочечная модель объясняет наличие изомерных
состояний у ядер с нечетным числом нейтронов в интервале от 63
до 81. У некоторых из таких изомерных ядер переход в основное
состояние является двухкаскадным переходом, например переходом типа
1Лп/2—*-2й?з2—►3si/2. Наблюдаются также изомерные ядра, соответ-
соответствующие переходам /.з2 <--»Д/,, сопровождающимся излучением типаМ4,
например
Pt195 Pt197 Но-197 Нр-199
Г 178 ' Г L78 ' 1 'гз80 » l '&80 *
Следует, конечно, иметь в виду, что хотя оболочечная модель дает
качественное объяснение состояниям ядер на основе представления об
однонуклонных возбужденных состояниях, при количественных расчетах
надо учитывать связь однонуклонных возбужденных состояний с коллек-
коллективными степенями свободы ядра (см., например, [20] и § 77). Однако
в настоящее время теория еще не может претендовать на количествен-
количественное согласие с опытом.
§ 77. Теория электромагнитных переходов в обобщенной
модели ядра
В несферических ядрах первые возбужденные состояния соответ-
соответствуют коллективным возбуждениям. В приближение сильной связи
коллективные движения характеризуются квантовыми числами У, М,
К, й, определяющими соответственно полный момент количества дви-
движения ядра, его проекцию на выделенное направление (OZ), проекцию
на аксиальную ось симметрии ядра и проекцию полного момента коли-
количества движения внешнего нуклона на ту же ось. Нижайшие возбуж-
возбужденные состояния обычно соответствуют /С=Й.
Отклонение ядра от сферической формы проявляется в наличии
момента инерции ядра и большого внутреннего квадрупольного мо-
момента Qo.
В обобщенной модели состояние ядра определяется коллектив-
коллективными и однонуклонными степенями свободы. Коллективные степени
свободы описывают совокупность сильно связанных нуклонов (нуклонов
входящих в состав полностью заполненных оболочек), а однонуклонные
степени свободы описывают состояния «внешних» слабосвязанных
нуклонов.
Переходы, обусловленные изменением однонуклонных состояний,
описываются вероятностями, приведенными в § 74. Правда, в некото-
некоторых случаях ввиду изменения волновых функций вследствие несферич-
несферичности потенциала и влияния коллективных степеней свободы вероятности
переходов могут значительно отличаться от вероятностей однонуклонных
переходов, когда нуклон описывается волновой функцией с определен-
определенным моментом J. Теория этих эффектов пока еще развита слабо [20, 21].
26 А. С. Давыдов

402 ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЯДЕР С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ [ГЛ. XI
Можно привести лишь следующие качественные соображения. Несфе-
Несферичность потенциала может привести к переходам, запрещенным пра-
правилами отбора модели оболочек. Далее, при учете коллективных
степеней свободы волновую функцию ядра нужно вместо G4,2) запи-
записать в виде
где ср (а ) — волновая функция коллективных движений ядра. Вследствие
этого рассмотренные в § 74 вероятности переходов должны умножаться
на множитель
где <рй(а^) и ^а (ар.) — волновые функции коллективных движений ядра
соответственно в конечном и начальном состояниях. Вследствие частич-
частичной ортогональности этих функций множитель F<^]. При значитель-
значительном изменении состояния коллективных движений (изменение равновес-
равновесной формы при переходе в другие однонуклонное возбужденное
состояние) множитель F может уменьшать вероятность однонуклонных
переходов в десятки раз*).
В этом параграфе мы будем интересоваться только переходами,
связанными с коллективными возбуждениями.
Общие формулы G3,22), G3,24), определяющие вероятность испу-
испускания излучения мультипольности 2;, можно записать в виде
В (V), Х = £, М, G7,1)
7[BУ+1)!!]2
где приведенная вероятность электрического мультипольного перехода
выражается через оператор электрического момента
z
с помощью формулы
/ /"mm * \2
G7,2)
а приведенная вероятность магнитного мультипольного перехода опре-
определяется выражением
В {MJ) :
т,
G7,3)
*) В некоторых случаях связь однонуклонных возбуждений с коллек-
коллективным движением приводит к увеличению вероятности переходов, что можно
интерпретировать как увеличение эффективного заряда нуклона.

§ 77] ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПЕРЕХОДОВ В ОБОБЩЕННОЙ МОДЕЛИ ЯДРА 403
здесь р — оператор магнитного момента (выраженный в ядерных магне-
магнетонах) обобщенной модели ядра
V = (gQ—gR) &n + gRJ. G7,4)
Величины, входящие в формулу G7,4), определены в § 22.
Для вычисления приведенной вероятности электрических переходов,
соответствующих коллективным степеням свободы ядра, выразим мульти-
польный электрический момент, входящий в G7,2), через внутренний
мультипольный момент Q°v; тогда
Q/«=20i*M.Y)%- G7,5)
В четно-четных аксиально-симметричных ядрах коллективные воз-
возбуждения соответствуют вращательным состояниям с моментами количе-
количества движения 7=0, 2, 4, 6 и т. д. Четность всех вращательных
состояний одинакова. В этом случае ядро возвращается в основное
состояние каскадом у-переходов электрического квадруполыюго типа (£2).
Магнитное излучение запрещено.
Вычислим приведенную вероятность перехода J—>- У —|— 2 между со-
состояниями, изображаемыми волновыми функциями
Подставляя G7,5) и G7,6) в G7,2), получим:
5B7+5) B7+1) у I/ у+2 у 2
Для вычисления этого выражения используем формулы приложения I.
Согласно формуле (Д,П)
a \ У+2, ть) BУ00 | 7+2,0)^0. G7,8)
Далее, с помощью (Б,11) получим:
'J-/ + 2,/»*)!' = ££?. G7,9)
т, m/j
Наконец,
(ЗУОО | У + 2,0)' = 2^Т 0 ^"+'3) • G7'10)
С помощью G7,8)—G7,10) находим окончательное выражение приве-
приведенной вероятности электрического квадрупольного перехода между
вращательными состояниями четно-четных ядер, соответствующего по-
поглощению
Q6*

404 ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЯДЕР С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ [ГЛ. XI
Электрический квадрупольный переход, соответствующий испус-
испусканию у-кванта при переходе У-{-2—>-У, будет характеризоваться
приведенной вероятностью
Так как число конечных состояний в переходах У—*■ J-\~2 и У —{— 2 —*-J
различно, то соответствующие им приведенные вероятности G7,11)
и G7,11а) не равны друг другу.
Для ядер с нечетным А вращательные уровни образуют последова-
последовательность сУ = Дг, /С—[— 1, К-\-2, ...; четность их также одинакова.
Вычислим вероятность электрического квадрупольного перехода
между состояниями, определяемыми волновыми функциями:
тогда
В (Е2) = 5 BУ-}-3) BУ-j- 1) у I ( rf+i у tf rf f
т, пц, v
теперь
|BУт«в|У+ 1,
/С) — уBУ+1)(У+1)(У + 2) '
поэтому
При выводе G7,12) предполагалось, что внешний нуклон не изменяет
своего состояния и не вносит вклада в вероятность квадрупольного
электрического излучения.
Переходу У-f-1—*-J с испусканием электрического квадруполь-
квадрупольного излучения соответствует приведенная вероятность:
15/С*(У-т-1 — K){J-\-\+K) о«
Таким же образом можно определить приведенную вероятность элект-
электрического квадрупольного излучения при переходе У-f-2—»-У:
R(F1\ — -^-О2
1 ; —32kV2o (У4-1)(У-т-2)BУ-г-3)BУ4-5)
(•/ + 2-.У).

§ 77] ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПЕРЕХОДОВ В ОБОБЩЕННОЙ МОДЕЛИ ЯДРА 405
В ядрах с нечетным А переход между вращательными состояния-
состояниями «/ —[— 1—»•/ (без изменения четности) может быть дипольным маг-
магнитным переходом. Приведенная вероятность этого перехода (Ml)
непосредственно связана с оператором магнитного момента
с помощью которого в § 22 определялся магнитный момент оснсвногл
состояния ядра.
Для вычисления приведенной вероятности перехода М\ примем во
внимание, что в длинноволновом приближении
гогда из G7,3) следует
В(М\)= X [b -JLiVirYim) a) \ G7,13)
т, ггц,
Если предположить, что состояние аксиально симметричного ядра ха-
характеризуется набором квантовых чисел J, М, К, й, то для пере-
перехода J-\-\—+J при К, 2>"  G7,13) следует
Для случая K=Q — ~2 вращательный спектр ядра и вероятности
переходов М\ выражается более сложными формулами (см. [20]).
Выше мы исследовали электромагнитные переходы в пределах
одной вращательной полосы, т. е. переходы, при которых не изменя-
изменяется внутреннее состояние ядра. В аксиально-симметричных ядрах одним
из квантовых чисел, характеризующих его внутреннее состояние, яв-
является число К, определяющее проекцию полного момента количест-
количества движения на аксиальную ось симметрии ядра. Сохранение кванто-
квантового числа К при электромагнитных переходах можно рассматривать
как дополнительное правило отбора. В общем случае, при учете пере-
переходов между разными вращательными полосами энергии, при испуска-
испускании излучения с моментом J изменение квантового числа К должно
удовлетворять неравенству
ДДГ<У. G7,14)
Переходы, не удовлетворяющие неравенству G7,14), называются
К-запрещенными переходами. Это запрещение не является абсолют-
абсолютным, так как К не является строгим квантовым числом.
Возможность нарушения неравенства G7,14) связана с тем, что
реальное состояние ядра ty«jM изображается не простым произведе-

406 ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЯДЕР С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ [ГЛ. XI
нием DfMK^aK, а суперпозицией состояний с различными значениями К:
К
В аксиально-симметричных ядрах, значительно отличающихся от сфери-
сферических, К является сравнительно хорошим квантовым числом, поэтому
/(-запрещенные переходы будут обладать малой вероятностью. Напри-
Например, время жизни возбужденного состояния Ш180, имеющего спин
У = ДГ=9~, равно 5,5 часа, несмотря на то, что происходит электри-
электрический дипольный переход (Е\) на вращательный уровень У = 8 + ,
К—О. Малая вероятность этого перехода (множитель запрещения
порядка Ю5), по-видимому, связана с его /^-запрещенностыо. Уро-
Уровень У=8+ является в основном вращательным уровнем с /(=0 и
содержит лишь очень малую примесь состояния с К=$ + .
§ 78. Угловое распределение излучения. Угловые корреляции
в каскадных переходах
Во всех предыдущих параграфах этой главы мы не интересова-
интересовались угловым распределением излучения. Поэтому при получении ос-
основных формул, определяющих суммарную вероятность излучения, про-
производилось интегрирование по всем направлениям излучения. В этом
параграфе мы исследуем угловое распределение излучения.
Пользуясь результатами § 73, можно записать вероятность испус-
испускания в единицу времени электрического и магнитного излучений оп-
определенной мультипольности ХУ в элемент телесного угла dil при
переходе а —> Ь:
Р П Л/УО — _71_ V4 V* /J]/r2 /-U 1 T)J (h\ \ A* ( fm\ frir n\ I riO
p — 1, — 1 m
l = E, M. G8,1)
Если переход совершается между состояниями а и Ь, характеризуе-
характеризуемыми квантовыми числами Jama и Jbmh, то в сумме по т в G8,1)
останется один член т = ть — та. Таким образом,
Pba (U) dQ = Fj, щ _ та @) G (У, Ja,Jb, ma, mb, I) d% G8,2)
где
0G, Ув, У6, та, ть, I) ~ -^B7+ \)\{b\ lAx(Jm)/dx\a) |* G8,3)
— множитель, зависящий от квантовых чисел У, Ja, Jb, ma, mb и типа
излучения; он не равен нулю, если квантовые числа У, Ув, Jь удов-
удовлетворяют правилам отбора, т = ть — та и тип излучения соответст-

§ 78] УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ 407
вует правилу отбора по четности при данном У;
G8>4)
— функция, определяющая угловую зависимость излучения. Из G8,2)
непосредственно следует, что угловое распределение излучения зави-
зависит от J и т = ть— та, но не зависит от X, т. е. от того, являет-
является ли излучение электрическим или магнитным.
Отметим свойства функции FJm @), которые легко получить из
G8,4) и свойств функции DJmp\
Fj.n$) = Fj,-m{% G8,5a)
[ Fjm №) d& не зависит от т, G8,56)
j
2 Fjm (fj) не зависит от 0. G8,5в)
т = — J
Далее, можно показать [22], что
•'а
2 O(J, Ja, Jb, та, та-\- т) не зависит от т, G8,6а)
та ~ —/о
J
2 G(J, Ja, Jb, ma, ma-\-m) не зависит от ma. G8,66)
m — — J
Из инвариантности G8,4) относительно операции инверсии FJm(b) =
= FJm (it — 0) следует, что FJm @) должно быть четной функцией
cos Ь. Далее, учитывая свойства функции DJmp (приложение I, § Д)
можно показать, что FJm @) выражается полиномом от cos20, максимальная
степень которого равна У. Поэтому в общем случае можно написать:
Jm{) i
k = О
Докажем теперь, что полная вероятность перехода из состояния
Jama во все состояния Jbmb, различающиеся квантовыми числами mb, не
зависит от квантового числа та, характеризующего начальное состояние:
^ = S \ Fj, мь_Иа@)О(У, Ja, Jb, ma, mb, l)dil G8,7)
Так как mb = ma-\-m, то при фиксированном та можно сумму по ть
заменить на сумму по т\ тогда, используя G8,56), имеем:
\ Pbad9. = ^\FJm F) G (J, Ja, Jb, ma, ma + m, I) d$ =
J
= const • 2 О {J, Ja, Jb, ma, ma -f m, I),
m — —J

408 ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЯДЕР С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ [ГЛ. XI
откуда согласно свойству G8,66) непосредственно следует справедли-
справедливость высказанного выше утверждения.
Таким же образом можно доказать, что полная вероятность всех
переходов та—> ть, соответствующих одному значению т = ть — та,
не зависит от т.
Далее, можно показать, используя G8,5в) и G8,6а), что
2j Pba не зависит от 0. G8,7а)
Если ядро не подвергается действию внешних полей, то возбуж-
возбужденное квантовое состояние ядра со спином Jа является вырожденным
состоянием по магнитному квантовому числу та с кратностью вырож-
вырождения BУа —|— 1). Поэтому при определении вероятности перехода ядра
в основное состояние Jb необходимо производить усреднение по всем
возможным состояниям, отличающимся значениями та. Тогда вследст-
вследствие G8,7а) излучение должно быть изотропным.
Если же ядро поместить во внешнее поле электрическое или маг-
магнитное (например, поле кристалла), то в этом поле возбужденный
уровень расщепляется на BJa-\-\) компонент в магнитном поле и на
()а-\-\) компонент в электрическом поле. Если заселенность уровней,
отличающихся только магнитным квантовым числом та, обозначить
через f{ma), то при разной заселенности уровней угловое распределе-
распределение излучения не будет изотропным.
Поясним сказанное простейшим примером. Предположим, что испус-
испускается дипольное электрическое или магнитное излучение в переходе
\та—>00. Пользуясь приложением I, мы убедимся, что функции,
определяющие угловую зависимость дипольного излучения, имеют вид
F10 @) = sin2O, Fu ± l @) = i- A + cos20), G8,8)
где 0 — угол между осью квантования z и направлением излучения.
В этом случае угловое распределение будет определяться с точностью
до множителя, не зависящего от углов, функцией
/1)(l+cos>Q). G8,8а)
В общем случае угловое распределение излучения мультипольности
2J при переходе а —> b будет определяться функцией
W@)= 2 /К) О (Л Л, Л, ««, «*, l)Fj,mb-.ma(b). G8,9)
mumb
Если известны f(ma), т. е. начальные распределения возбужденных
состояний, то формула G8,9) позволяет принципиально определить
У, Уа, Jb из измеренного углового распределения излучения. Если
G8,9) содержит много слагаемых, то однозначный ответ получить
трудно.

§ 78] УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ 409
Практическое осуществление разной заселенности f(ma) начальных
состояний может быть получено при низких температурах в сильных
полях (ориентированные ядра). В этом случае можно использовать
G8,9) при анализе угловой зависимости поглощения электромагнит-
электромагнитного излучения. Угловое распределение у-излучения, испускаемого
ориентированными ядрами, изучалось в ряде работ.
Представляет большой практический интерес изучение углового
распределения излучения при каскадных переходах ядра из возбужден-
возбужденного в основное состояние. В этом случае при исследовании (методом
совпадений) углового распределения у-квантов ДВУХ последователь-
последовательных излучений можно определить основные характеристики ядерных
уровней.
Теория угловых корреляций каскадных у-переходов развивалась в ра-
работе А. 3. Долгинова [23], изложение теории угловых корреляций в
каскадных переходах можно найти также в обзорах Биденхарна и Розе
[24] и Фраунфельдера [25]. Здесь мы дадим элементарный вывод ос-
основных соотношений на простом примере.
Предположим, что ядро из возбужденного состояния a(J=0) пе-
переходит в промежуточное состояние с(У=1), испуская квант yt в на-
направлении kv а затем при переходе с—>-b(J—0) испускает квант у2.
Предположим, что промежуточное возбужденное состояние с имеет
достаточно малое время жизни, чтобы в течение этого времени оно не
изменилось под действием внешних условий. Вычислим вероятность W@)
излучения кванта у2 под углом 0 к направлению kv Выберем ось кван-
квантования z вдоль направления излучения у,; тогда в результате перехода
а—*- с подуровни тс промежуточного состояния заполняются с относи-
относительной вероятностью f(mc), определяемой функцией углового распре-
распределения дипольного излучения G8,8) для случая 0 = 0:
/Ю = ^(°)- G8,10)
Таким образом, подуровень тс = 0 не возбуждается, подуровни
/яг = Чг;1 возбуждаются с равной вероятностью. Подставляя G8,10) в
G8,8а), получим следующее выражение для функции корреляции двух
последовательных излучений yt и у2:
Первый переход а—у с может соответствовать процессу поглощения
у-кванта; тогда при обратном переходе с—> а формула G8,11) опре-
определит угловое распределение резонансно рассеянных у-лучей.
Если бы переход а(У=0)—>c{J=\) осуществлялся путем излу-
излучения (или поглощения) частицы с нулевым спином, например ос-части-
ос-частицы, то функции углового распределения при испускании частицы с
орбитальным моментом L определялись бы обычными сферическими

410 ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЯДЕР С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ [ГЛ. XI
функциями:
Flm Ф) = I Уьм @, <р) |8 для а-частиц.
Поэтому угловая корреляция между направлением испускания бесспи-
бесспиновой частицы и направлением последующего испускания у-кванта для
рассмотренного выше перехода а —► с —> b будет определяться функцией
^«7 (&) - 2 I YLme @) | ' FXme (в) = Sin2 6.
В общем случае функция угловой корреляции двух последователь-
последовательных у-излучений при переходах между уровнями Jama—*Jcmc—у^ьть
может быть записана в виде
^тт (в) = 212 РАте _„,о (°) О (У, /в, Je, т„ тс) X
тс та
Х2 Ъ'ть-щ @) О (У, Jc, Jb, me% mb)}. G8,12)
Первая сумма по та в G8,12) определяет вероятность возбуждения
промежуточных подуровней тс при испускании первого укванта вдоль
направления оси z. Вторая сумма определяет угловое распределение
последующего излучения у2> обусловленное неравновероятным возбуж-
возбуждением подуровней тс при излучении кванта уг
Формула G8,12) для угловой корреляции двух-последовательных
излучений у-квантов в каскадном переходе справедлива в том случае,
когда: 1) промежуточное состояние с не нарушается внешним полем
(в частности, полями электронного облака); 2) подуровни та и ть на-
начального и конечного ядерных состояний заполнены с равной вероят-
вероятностью; 3) переходы а —> сне —► b сопровождаются только у-излуче-
нием; 4) детекторы, регистрирующие оба излучения, не чувствительны
к поляризации у-квантов.
При выполнении всех этих условий функция G8,12) угловой кор-
корреляции двух последовательных у-излучений может быть записана в виде
полинома от cos2 0:
L
У7 @)=2a/cos2'0, G8,12а)
здесь / принимает все целые значения от нуля до L, где L — наи-
наименьшее из чисел J, J' или Jc, определяющих моменты количества
движения, уносимые двумя фотонами (У, У), и спин промежуточного
уровня (Тс).
Если спин промежуточного состояния равен 0 или 72» то ^тт Ф)
не зависит от 0. Наличие в угловом распределении члена cos2L6 ука-
указывает, что промежуточное состояние и каждое из у-излучений обоих
переходов имеет момент количества движения, не меньший L. Следует,
конечно, иметь в виду, что приведенные выше формулы относятся к
углам, измеренным в системе центра инерции.

§ 79] ЗАХВАТ НЕЙТРОНОВ ПРОТОНАМИ И ФОТОРАСЩЕПЛЕНИЕ ДЕЙТРОНА 411
Так как G8,12а) определяет только относительную вероятность из-
излучения в данном направлении, то обычно полагают ао=\. Численные
значения коэффициентов аг и а4 для различных случаев были получе-
получены Гамильтоном [26] и Фалковым [27].
Исследование угловых корреляций у-излучений в каскадных переходах
позволяет определять также относительную интенсивность нескольких
мультипольных излучений [28], если они соответствуют одному переходу
(например, Е2 и М\).
§ 79. Захват нейтронов протонами и фоторасщепление дейтрона
Дейтрон может быть образован при захвате медленного нейтрона
протоном с испусканием у-кванта- Взаимодействие медленного нейтрона
с протоном происходит только в S-состоянии, поэтому начальной стадии
образования дейтрона должно соответствовать состояние с орбитальным
моментом, равным нулю. Таких состояний в системе {п, р) только два:
lS и 85. Интересующим нас конечным состоянием является дейтрон
(состояние 3S) и у-квант.
Оба перехода ^Sipn)—>aS(d) и *S(pn)—>*S(d) могут сопровож-
сопровождаться магнитным дипольным излучением (ДУ=1, четность не меняет-
меняется). Так как в обоих переходах орбитальный момент количества дви-
движения начального и конечного состояний равен нулю, то такие пере-
переходы могут быть обусловлены только гамильтонианом взаимодействия,
содержащим спиновые моменты нуклонов. Такой оператор, как мы ви-
видели в § 74, дает отличные от нуля матричные элементы только между
состояниями, соответствующими изменению ориентации спина одного из
нуклонов системы, поэтому захват нуклона с излучением фотона типа
М\ может осуществляться только при переходе ]5—> *S.
Вычисление эффективного сечения захвата нейтрона протоном с ис-
испусканием дипольного магнитного излучения проведем в приближении
нулевого радиуса действия ядерных сил.
Волновая функция начального состояния системы является волновой
функцией 5-состояния в непрерывном спектре и может быть записана
в виде
Фв = ^ГХ„. G9,1)
где k — волновое число, соответствующее энергии относительного дви-
h2k2
жения £=—rj- протона н нейтрона; М — масса нуклона; у0 — спиновая
волновая функция синглетного состояния. В приближении нулевого
радиуса действия ядерных сил
#,(/■) = sin (Лг + &), G9,1а)
где 5 — фазовое смещение, выражающееся в том же приближении

412 ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЯДЕР С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ [ПЛ. XI
через длину синглетного рассеяния as с помощью формулы (см. § 46)
G9,2)
as
Волновая функция конечного состояния в приближении нулевого радиуса
действия ядерных сил имеет вид
Ф„ = -^=
G9,3)
где /j — спиновая функция, соответствующая трнплетному спиновому
состоянию:
Rt{r) = Y^>e~*r; G9,3а)
параметр [3 определяется энергией связи дейтрона (Ed) с помощью
формулы
Вероятность испускания в 1 сек магнитного дипольного излучения
согласно формулам G3,24) и G3,24а) имеет вид
Т^, G9,4)
G9,4а)
В нашей задаче для плотности тока надо взять выражение
j =хп rot
где приведенная вероятность перехода
5
G9,5)
Подставляя G9,5) в G9,4а) и производя интегрирование по частям с
учетом того, что
где
rot (rLYlm)^2iV (rYlm) = 2i j/l V rmt
V2 '
получим:
Ф
. G9,5а)
Входящее в эту формулу выражение магнитного момента представим в
виде
К + V) (<* + ffJ + ^ ) (« 9)

§ 79] ЗАХВАТ НЕЙТРОНОВ ПРОТОНАМИ И ФОТОРАСЩЕПЛЕНИЕ ДЕЙТРОНА 413
Можно показать, что вклад в приведенную вероятность перехода будет
давать только второе слагаемое. При этом разным квантовым числам
/и = 0, -f-1 соответствуют одинаковые квадраты матричных элементов;
поэтому после подстановки в G9,5а) выражений для волновых функций
G9,1) и G9,3) получим:
Для того чтобы вычислить сечение радиационного захвата нейтрона
протоном, нужно разделить выражение для вероятности перехода G9,4)
на плотность падающего потока нейтронов. При выбранной нормировке
волновой функции G9,1) плотность потока равна скорости относительного
движения v = —jj-r; кроме того, надо учесть, что в потоке нейтронов из
каждых четырех нейтронов только один обладает спином, противопо-
противоположным спину протона. Поэтому
J (j^-jy*\)RtRsdr . G9,6)
Пользуясь G9,1а), G9,3а) и G9,2), легко показать, что
оо
с да=ущ
Подставляя это значение в G9,6), получим:
.!)«. G9,7)
В пределе малых энергий (когда C2>>£8, а|£2<<1) сечение радиацион-
радиационного захвата нейтрона протоном принимает простой вид
Формула G9,7) показывает, что эффективное сечение радиационного
захвата обратно пропорционально скорости нейтрона и прямо пропор-
пропорционально квадрату разности магнитных моментов нейтрона и протона.
Если бы эти моменты были одинаковыми, то сечение равнялось бы
нулю. Далее величина сечения существенно зависит от знака синглет-
ной длины рассеяния. Следует отметить, что измерение эффективного
сечения захвата нейтрона протонами [29] исторически послужило пер-
первым указанием на отрицательное значение длины синглетного рассеяния.
В связи с тем, что начальное и конечное состояния при захвате
нейтрона протоном являются 5-состояниями, угловое распределение из-
излучаемых у-квантов должно быть сферически симметричным.

414 ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЯДЕР С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ [ГЛ.Х1
Перейдем теперь к рассмотрению обратной реакции — фоторасщеп-
фоторасщеплению дейтрона, при поглощении у-квантов, энергия которых превосхо-
превосходит энергию связи дейтрона. Основную роль в фоторасщеплении играют
электрическое и магнитное дипольные излучения.
При поглощении дипольного магнитного излучения дейтрон из свя-
связанного состояния 3S переходит в состояние JS, соответствующее не-
непрерывному спектру. Этот процесс является обратным рассмотренному
выше процессу излучения кванта типа М\, поэтому его эффективное
сечение может быть определено на основе теоремы взаимности (см. § 51).
Угловое распределение продуктов фотомагнитного расщепления
является сферически симметричным так же, как и распределение у-кван-
тов в прямой реакции. Поэтому можно использовать теорему взаимности
для интегральных эффективных сечений. Взаимодействие с электромаг-
ег
нитным полем характеризуется малой постоянной ±- =i= 137; поэтому
П/С
теорема взаимности переходит в принцип детального равновесия и может
быть записана в виде
= cocaf, G9,8)
где v — относительная скорость разлетающихся нейтрона и прогона;
с — скорость света;
^•"' dp
— плотность конечных состояний (на единичный интервал энергии) в
случае фоторасщепления дейтрона;
<2п*>
— плотность конечных состояний (на единичный интервал энергии) в
случае захвата нейтрона протоном с испусканием у-кванта.
п Я(к24-}2)
Подставляя эти значения, а также значение частоты со = '
в G9,8) и используя G9,7), находим:
k2 к. е2 ( % V $k($as— IJ . ., ._о а
Вблизи порога сечение а, пропорционально k, т. е. квадратному корню
из энергии (ло) — Ed) разлетающихся нейтрона и протона; затем при
возрастании k сечение достигает максимума при k — —, т. е. при
а2
энергии, соответствующей виртуальному уровню системы (п, р) в син-
глетном спиновом состоянии. При дальнейшем возрастании k сечение

§ 79] ЗАХВАТ НЕЙТРОНОВ ПРОТОНАМИ И ФОТОРАСЩЕПЛЕНИЕ ДЕЙТРОНА 415
фоторасщепления быстро спадает, вначале как k~l, а при &2^>^а
как k~3.
Вычислим теперь эффективное сечение фоторасщепления дейтрона
при поглощении дипольного электрического излучения. При таком по-
поглощении спиновое состояние не меняется, а орбитальное квантовое
число изменяется на единицу; поэтому конечным состоянием должно
быть состояние 3Р. Если энергия поглощаемого у-кванта не очень вели-
велика, так что длина волны, соответствующая относительному движению
протона и нейтрона, значительно больше радиуса действия ядерных
сил, то волновую функцию 3Р-состояния можно считать совпадающей с
функцией свободного движения, а для волновой функции основного
состояния дейтрона взять выражение
G9,10)
полученное в приближении нулевого радиуса действия ядерных сил.
Если ось z координатной системы совпадает с направлением рас-
распространения у-квантов, то волновая функция Р-состояния будет сов-
совпадать с членом разложения плоской волны, распространяющейся под
углами (В, Ф) (направление разлета нейтрона и протона), содержащим
сферическую функцию К1СТ. Поэтому, учитывая (А, 4а) (см. приложе-
приложение 1, § А), для волновой функции конечного состояния можно написать:
"У\у\ ' @ Ф) Y\ i (О у) =
т' '
— cos kr J ^ у\т, (в, Ф) У1т> @, <р). G9,11)
т'
Используя далее общие формулы для электрического мультигюль-
ного излучения G3,22), G3,25), можно записать дифференциальное
эффективное сечение радиационного захвата с испусканием Е\ в виде
^\ [Фь гУ @,<р) Ф ) dil.
т, mi)
Тогда сечение распада дейтрона, при поглощении дипольного электри-
электрического излучения определится с помощью G9,8), где v = "—\
m'mb G9,12)
Для получения окончательной величины дифференциального эффек-
эффективного сечения da^ надо вычислить матричный элемент, входящий в
G9,12). Учитывая, что для падающего у-излучения /^ = 4^1, получим,
используя G9,10) и G9,11):

416 ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЯДЕР С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ [ГЛ. XI
Итак, дифференциальное эффективное сечение электрического ди-
польного фоторасщепления дейтрона в приближении нулевого радиуса
действия ядерных сил определяется окончательно выражением
G9,12а)
Вблизи порога (&<<р) дифференциальное сечение G9,12а) растет
с энергией как /г3 -^ (Дсо— £dK;2 и достигает максимума при & = В,
, 2^232
т. е. при w — -jj- = 2Ed, а затем снова уменьшается.
В отличие от сферически симметричного распределения продуктов
фотомагнитного расщепления эффективное сечение G9,12а) характери-
характеризуется анизотропией, определяемой sin26, где в — угол между направ-
направлением разлета нейтрона и протона и направлением падения у-квантов.
Максимум в сечении при энергии фотонов, в 2 раза превышающей
энергию порога, не является резонансным, а соответствует тому, что
значение k = C есть наиболее вероятное значение относительного им-
импульса нейтрона и протона в дейтроне в состоянии, описываемом вол-
волновой функцией G9,10).
Электрическое и магнитное фоторасщепления можно эксперимен-
экспериментально различить по угловому распределению продуктов реакции. При
энергиях %<т, близких к порогу, преобладает магнитное дипольное рас-
расщепление; при энергиях, соответствующих &2>>[52, наоборот, преоб-
преобладает электрическое дипольное расщепление; при этом
о/(Ml) / %
Следует, конечно, заметить, что при энергиях Доо, превышающих при-
примерно Ю Мэв, становится существенным поведение волновых функций
в области действия ядерных сил, растет роль квадрупольного электри-
электрического излучения, а при расчете поглощения магнитного излучения,
могут проявиться поправки, связанные с мезонными токами. Многочис-
Многочисленные попытки распространения теории на эту область энергии опи-
опираются на конкретные предположения о силах, действующих между
протоном и нейтроном.
§ 80. Захват нуклона ядром и испускание гамма-лучей
Возбуждение ядра с последующим испусканием у-лучей может осу-
осуществляться при резонансном захвате ядром нейтронов, протонов
и а-частиц. Реакции (п, у) наиболее эффективны при малых энергиях
нейтронов. Реакции (р, у) и (а, у) наблюдаются в энергетической об-
области, которая ограничена со стороны малых энергий условием, чтобы
частица могла проникнуть через кулоновский барьер; со стороны боль-
больших энергий ограничение сводится к требованию, чтобы энергия

§ 80] ЗАХВАТ НУКЛОНА ЯДРОМ И ИСПУСКАНИЕ ГАММА-ЛУЧЕЙ 417
возбуждения ядра была недостаточна для испускания нейтрона. Кроме
того, верхний предел энергий падающих частиц ограничивается также
условием разрешения резонансов. Захват ядром дейтрона или трития
приводит обычно к столь большим энергиям возбуждения, что сопро-
сопровождается в основном испусканием нуклонов, а не у-квантов.
Исследование у-лучей в реакциях захвата позволяет судить о свой-
свойствах энергетических уровней (спине, четности и изотопическом спине)
ядер. Наиболее полные данные могут быть получены, если наряду с
реакциями захвата исследуются реакции неупругого рассеяния.
При радиационном захвате нейтронов нечетно-четным ядром обра-
образуется нечетно-нечетное ядро. Эти ядра за исключением Н8, Li6, В10,
N14, V50, Lu17e являются радиоактивными. Энергетические уровни не-
нечетно-нечетных ядер обладают интересными особенностями. В последнее
время уровни энергии этих ядер изучались Л. В. Трошевым и А. М. Деми-
Демидовым [30]. При интерпретации экспериментальных данных они исходили
из предположения, что малые возбужденные состояния нечетно-нечетных
ядер определяются состояниями нечетного нейтрона и нечетного про-
протона. Если предположить, что полные моменты количества движения нейт-
нейтрона jn и протона jp в таких ядрах сохраняются, то полный момент
количества движения ядра может принимать несколько значений в со-
соответствии с законом сложения моментов
Up—Jn^J^U+Jn- (ЗОЛ)
Все состояния с разными значениями У, соответствующими (80,1), имеют
одинаковую четность и могут отличаться по энергии из-за взаимодей-
взаимодействия между нуклонами. Можно ожидать, что разность энергии этих
состояний должна быть мала, если орбитальные моменты нечетных
нуклонов различны, и значительно больше в тех случаях, когда они
одинаковы. Совокупность энергетических состояний, соответствующих
разным значениям J при заданных jn и jp, Трошев и Демидов наз-
назвали ядерным му лътиплетом.
Если протон или нейтрон в нечетно-нечетном ядре имеют момент
количества движения равный -тг, то основное и первое возбужденное
состояния должны образовать ядерный дублет. Такой дублет ясно вы-
раженен в ядре А128, где протон и нейтрон находятся соответственно
в состоянии flfs2, Si:V Основное состояние ядра А128 имеет спин 3 и по-
положительную четность, первое возбужденное состояние отстоит от ос-
основного на 29 кэв и характеризуется спином 2 и положительной чет-
четностью, а следующее возбужденное состояние находится при энергии
970 кэв. Аналогичный дублет имеется у фосфора Р32 (состояния нук-
нуклонов S\-2 и dijt). Основное и первое возбужденное состояния ядра
фосфора отстоят друг от друга по энергии на 77 кэв и характеризуются
соответственно спинами и четностями 1+ и 2+. Следующий возбужден-
возбужденный уровень находится при 570 кэв.
27 А. С. Давыдов

418 ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЯДЕР С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ [ГЛ. XI
Если моменты нечетного протона и нечетного нейтрона равны или
больше 3/2, то наблюдаются мультиплеты более высокого порядка. Они
особенно хорошо выражены у ядер, нечетный протон и нечетный нейтрон
которых относятся к состояниям с различным /, когда взаимодействие
нейтрона и протона не очень велико и величина расщепления не пре-
превышает расстояния между уровнями, относящимися к другим возбуждениям.
При исследовании у-лучей, испускаемых после захвата медленных
нейтронов, можно определять параметры резонансных уровней, соответ-
соответствующих энергиям возбуждения ядра около 6—7 Мэв. Так, например,
путем исследования относительного числа у-квантов как функции энергии
падающих нейтронов в работе [31] измерялось эффективное сечение
захвата и положение резонансов в сечении захвата. Было показано,
что такой метод является более чувствительным для определения парметров
формул Брейта—Вигнера, чем методы, основанные на исследовании рас-
рассеяния или ослабления пучка нейтронов при прохождении изучаемого ве-
вещества (см. § 56). Особенно полезен этот метод для обнаружения уровней
захвата при относительно высокой энергии, когда вероятность захвата
мала.
Ядро, образующееся в результате захвата медленного нейтрона,
переходит в основное состояние путем излучения каскада у-квантов.
В легких ядрах, имеющих малое число возбужденных уровней, обычно
излучается только один квант, который соответствует переходу в ос-
основное состояние. В более тяжелых ядрах переход в основное состояние
может происходить как непосредственно, так и путем ряда последова-
последовательных переходов. Наибольшая энергия у-квантов (с точностью до малой
поправки на энергию отдачи) равна энергии связи нейтрона с ядром
мишенью. В таблице 29 приведены значения энергии у-квантов, соот-
соответствующих переходу на основной уровень в некоторых легких ядрах,
получаемых при захвате нейтрона.
Таблица 29
Элемент
Н2
Н3
Li10
2,230
6,251
6,816
Элемент
С13
N15
р20
е-^ Мэв
4,949
10,832
6,63
При захвате нейтрона средними и тяжелыми ядрами излучается
большое число у-квантов, поэтому их спектр имеет сложную, плохо
разрешимую структуру. Форма спектра у-квантов зависит от относи-
относительной вероятности переходов между различными уровнями ядра,
от числа и расположения уровней.
Исследование у-спектров захвата представляет большой интерес,
так как позволяет установить положение и основные характеристики

§ 80] ЗАХВАТ НУКЛОНА ЯДРОМ И ИСПУСКАНИЕ ГАММА-ЛУЧЕЙ 419
ядерных уровней. Исследования у-спектров, испускаемых при захвате
медленных нейтронов, в последнее время проведены Кинси с сотрудни-
сотрудниками [32, 33] и Трошевым и Эстулиным с сотрудниками [34—37]. Для
исследования у-спектров Кинси с сотрудниками использовал магнитный
спектрометр, анализирующий электронные пары, образованные у-кван-
тами. Исследовались у-лучи с энергией, превышающей 3 Мэв. Грошев
с сотрудниками использовал для измерения энергии и интенсивности
у-лучей магнитный спектрометр, анализирующий комптоновские элект-
электроны. Это позволило проводить исследования у-лучей в области энергии
от 0,3 до 12 Мэв. Эстулин с сотрудниками использовали однокристаль-
однокристальный люминесцентный спектрометр в энергетическом интервале
50 —500 кэв.
При исследовании у-лучей, полученных в реакции (п, у) с медленными
нейтронами на четно-четных ядрах, спин входного канала равен -~ .
В этом случае излучение происходит при переходе с вполне опреде-
определенного уровня. При захвате нейтрона нечетным ядром, имеющим в
основном состоянии спин i=/=Q, возможно образование составного ядра
со спинами iztiT" Поэтому возникает неопределенность в выборе
спина входного канала, а следовательно, и значение статистического
множителя
1
£Г
Ь О
2 \ — 2/ + 1
в формуле Брейта — Вигнера становится неопределенным. Эта неопреде-
неопределенность может быть устранена при исследовании захвата поляризо-
поляризованных нейтронов ориентированными ядрами (см., например, [38]).
При измерении радиационных и нейтронных ширин резонансных
уровней, наблюдаемых при захвате медленных нейтронов, было обнару-
обнаружено, что радиационные ширины различных уровней одного ядра примерно
одинаковы, нейтронные же ширины изменяются от уровня к уровню.
В качестве примера приведем (таблица 30) данные о радиационных
и нейтронных ширинах нескольких уровней двух изотопов сереб-
серебра [39].
Сравнительное постоянство радиационных ширин различных уровней
связано с тем, что у-лучи, испускаемые при захвате медленных нейтро-
нейтронов, соответствуют многочисленным переходам на очень многие уровни
ядра. Суммарная у-ширина всех этих переходов практически не зависит
от уровня возбуждения ядра. Зависимость радиационных ширин при
захвате медленных нейтронов от атомного веса очень слабая, заметные
изменения радиационных ширин наблюдаются только в области маги-
магических ядер (рис. 65).
В спектре у-лучей, полученных в реакции (п, у), наблюдаются
переходы, соответствующие энергии возбуждения, близкой к энергии
связи нейтрона (-^-7 Мэв). В работе Кинси и Бартоломея [33] показано,
27*

420 ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЯДЕР С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ [ГЛ. XI
Таблица 30. Радиационные и нейтронные ширины энергетических уровней
двух изотопов серебра
е0, эв
5,22
16,3
30,7
51,8
56
71
88
Изотоп Ag
109
107
109
107
109
109
109
гп , Мэв
12,1
12
6,7
20,8
36,3
27,8
18,3
r-f , Мэв
158
138
142
136
144
162
140
Спин
1
0
1
1
0
1
0
гов
100
W0
150
200
250 Я
Рис. 65. Зависимость радиационных ширин при
захвате медленных нейтронов от атомного веса,
что при захвате медленных нейтронов ядрами четного заряда наиболее
вероятно испускание дипольного электрического излучения большой
энергии. На трех ядрах Mg25, Si29 и S33 установлено непосредственным
сравнением, что вероят-
вероятия!- ность излучения Е\ в
200 раз превышает ве-
вероятность излучения М\,
отнесенную к той же энер-
энергии перехода. На примере
ядра Mg25 удалось пока-
зать, что интенсивность
квадрупольного излучения
в 2000 раз меньше интен-
СИВНОСТИ ДИПОЛЬНОГО ИЗЛУ-
у
чения, если их отнести к
одной энергии G Мэв).
При захвате медленного
нейтрона наибольшую энергию уносят у-лучи, соответствующие переходу
образующегося ядра в основное состояние. Излучение будет особенно
интенсивным, если правилами отбора разрешен дипольный электрический
переход £1. При захвате медленного нейтрона четно-четным ядром обра-
образуется возбужденное состояние -^-+, поэтому излучение типа Е\ при
переходе в основное состояние возможно только в том случае, если это
состояние принадлежит типу/?. 2 или /ь.-а. Если же основное состояние
образующегося ядра относится к s-, d- или /- состояниям, то переход
в основное состояние будет сопровождаться малоинтенсивным излуче-
излучением типа Ml, E2 или ЕЪ. При захвате четно- нечетным ядром мед-
медленного нейтрона образуется четно-четное ядро, основное состояние
которого 0+. В этом случае испускание при переходе в основное со-
состояние интенсивного электрического дипольного излучения возможно
только в том случае, когда нечетный нейтрон ядра мишени находится
в состоянии р3:2 или pvt.

§ 81] ФОТОЯДЕРНЫЁ РЕАКЦИИ 421
Исследование у-квантов, излучаемых при захвате ядрами протонов,
также неоднократно использовалось для определения спинов и четностей
возбужденных ядерных состояний (см., например, [40]).
§ 81. Фотоядерные реакции
Фотоядерными реакциями называются процессы взаимодействия
высокоэнергетических фотонов с ядром, сопровождающиеся испусканием
одного или нескольких у-квантов, нейтронов, протонов и др.
Большинство экспериментов, относящихся к фотоядерным реакциям,
выполняется с тормозным излучением, которое образуется при тормо-
торможении быстрых электронов. Спектр энергии тормозного излучения
является непрерывным, ограниченным сверху максимальной энергией EQ
(равной кинетической энергии электронов). Непрерывный спектр
энергии у-излучения затрудняет интерпретацию результатов экспери-
экспериментов.
Обычно определяют зависимость выхода соответствующей реак-
реакции от максимальной энергии фотонов (Ео). Проведя измерения
при многих значениях Ео и зная энергетическое распределение фото-
фотонов в тормозном спектре и энергетическую чувствительность приборов,
регистрирующих интенсивность излучения, можно вычислить эффектив-
эффективные сечения соответствующих реакций. В других менее точных, но
более простых методах выход реакции определяется как функция не-
некоторой эффективной энергии тормозного излучения, которая находится
из дополнительных экспериментов.
Для простоты здесь мы рассмотрим только случай монохроматиче-
монохроматического у-пзлучения.
В ядерных реакциях, вызываемых фотонами энергии, меньшей
50 Мэв, основное значение могут иметь только Е\-, Е2- и Ж1-пере-
Ж1-переходы, сопровождающиеся поглощением излучения. Переходы более
высокой мультипольности не играют существенной роли.
У легких четно-четных ядер с равным числом протонов и нейтро-
нейтронов (Г3 = 0) большое значение могут иметь правила отбора по изото-
изотопическому спину, которые были указаны в § 73, У ядер с Г8 = 0
возможны электрические дипольные переходы только при АГ = Ч- 1.
Основное состояние этих ядер имеет спин, равный нулю, и положи-
положительную четность @+). Если обозначить Ех энергию нижайшего воз-
возбужденного состояния таких ядер с изотопическим спином Г=1, то
процесс поглощения у-излучения должен удовлетворять следующим
правилам [41].
а) При энергии у-квантов (Дсо), меньшей £,, может поглощаться
излучение тина М\ с переходом в состояния положительной четности
с полным моментом 7=1 (Т=0) или типа Е2 с переходом в со-
состояния J = 2(T = 0) положительной четности.
б) Для энергии у-квантов, большей Elf возможно поглощение из-
излучения типов Е\УЕ2 и М\. Такое поглощение может сопровождаться

422 ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЯДЕР С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ [ГЛ. XI
выбросом дейтронов (Г = 0) или а-частиц (Г=0) только в том слу-
случае, если %м—Ех больше или равно энергии связи таких частиц
в ядре.
Для нечетно-нечетных ядер с Т8^0 правила отбора по изотопиче-
изотопическому спину менее существенны. В этом случае, интересные выводы
могут быть сделаны [41] относительно соотношения между реакциями
(у, пр) и (у, d). Если при поглощении излучения типа Е\ с переходом
ядра в состояние с Г=1 энергия у-кванта 1ш недостаточна для того,
чтобы при испускании дейтрона конечное ядро осталось в состоянии
Г=1, то испускаться будут нейтрон и протон в состоянии с изото-
изотопическим спином 1, которое соответствует отсутствию связи между
лир.
Дипольное электрическое поглощение (£1) с точки зрения
отношения XJR должно быть больше квадрупольного излучения £
в (%jRJ раз, однако большая корреляция положений нейтронов и про-
протонов в ядре значительно уменьшает матричный элемент, соответ-
соответствующий дипольному поглощению, и при малых энергиях фотонов
вероятность квадрупольного поглощения становится больше вероятности
дипольного поглощения. При энергиях фотонов, превышающих 9 Мэв
для тяжелых ядер и 17 Мэв для легких, дипольное поглощение пре-
превышает квадрупольное.
Следует, конечно, иметь в виду, что отсутствие дипольных пере-
переходов при поглощении у-квантов малых энергий может быть обуслов-
обусловлено правилами отбора. У многих ядер первые возбужденные уровни
имеют четность, совпадающую с четностью основного состояния, и та-
такие уровни не могут возбуждаться дипольным электрическим излуче-
излучением.
Ядерные реакции (у, а), (у, п) и (у, р), вызываемые квадрупольным
электрическим поглощением, наблюдаются в том случае, когда они
имеют достаточно выраженный порог, лежащий ниже области энергий,
при которых становится более вероятно дипольное поглощение. Наи-
Наиболее часто это наблюдается в реакциях (у, а).
На рис. 66 приведена зависимость эффективного сечения реакции
(у, п) от энергии у-квантов для ядра N14, у которого эта реакция
в области 10,5—17 Мэв соответствует квадрупольному поглощению,
а второй большой максимум соответствует дипольному поглощению [42].
Максимум в сечении поглощения у-квантов углеродом С12 соответствует
дипольному поглощению.
Экспериментальные кривые, выражающие сечение фотоядерных реак-
реакций от энергии фотонов, обычно имеют вид широких размытых макси-
максимумов. Такой характер кривых (в случае легких ядер) возможно не
всегда обусловлен природой явления, а лишь отражает трудности
экспериментального определения зависимости сечений от энергии фото-
фотонов при использовании источников излучения с непрерывным спектром.
Например, улучшение методики измерения позволило наблюдать [43]
тонкую структуру кривой реакции (у, п) на ряде легких ядер Li7, F19,

§ 81]
ФОТОЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ
423
С12, О1в. Эти эксперименты показали, что поглощение фотонов легкими
ядрами происходит при возбуждении вполне определенных уровней
ядра. Большинство из обнаруженных резонансов соответствовало элек-
электрическому дипольному поглощению. В работе [44] отмечается ди-
дискретный характер поглощения фотонов и на ядрах Си, Zn, Ag.
Порог фотоядерной реакции (у, п) может отличаться от энергии
связи нейтрона в ядре, если спины ядра мишени и ядра, остающегося
после испускания нейтрона, значительно отличаются друг от друга,
так как в этом случае для возможности испускания нейтрона ядро надо
Со
1
g>
«EL
С>
С h
-
/
1
f
/?J С
1
I
1
1
f
1
1
I
1
\
\
\
V
\
\
\
\
\
N
\
V
t Г I
о ю 12
is го гг г* гь г&
Е.Мзв
Рис. 66. Зависимость сечений реакций N14 (■?, п) NIS
и С12 (у, п) С11 от энергии ^-квантов.
возбудить до более высоких энергетических состояний, обладающих
соответствующим спином.
Фотоядерные реакции вызываются в основном поглощением диполь-
ных у-квантов. Зависимость сечения фотоядерных реакций от энергии
имеет хорошо выраженный резонансный характер. Эффективное сечение
поглощения в максимуме составляет примерно 0,1 барн. Положение
максимума сечения (Ет) соответствует примерно энергии 22 Мэв
у легких ядер и с ростом массового числа А постепенно сдвигается
в сторону меньших энергий до значения 14 Мэв. Уменьшение Ет
с ростом А можно выразить эмпирической формулой Ет -^ А~°>2.
Ширина резонансов (ширина на половине высоты) изменяется в преде-
пределах от 1,7 до 7,9 Мэв. Эффективное сечение поглощения спадает
сравнительно круто от своего максимального значения. Интеграл по
энергии от эффективного сечения \ а {€) de пропорционален атомному
весу.
Вопрос о механизме дипольного электрического поглощения в ядре,
приводящий к указанному выше широкому резонансу, называемому
«гигантским резонансом», многократно обсуждался в литературе.

424 ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЯДЕР С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ [ГЛ. XI
В 1945 г. А. Б. Мигдал [45] предложил в качестве причин диполь-
ного поглощения рассматривать возбуждение колебаний центра инерции
всех протонов относительно центра инерции всех нейтронов. Пользуясь
правилом сумм для матричных элементов дипольных переходов и зна-
значением дипольной поляризуемости ядерного вещества, полученным из
полуэмпирической формулы Вайцзекера для энергии связи, Мигдал
оценил «центры тяжести» для энергий дипольных переходов и получил
значения 14 и 16 Мэв соответственно для А = 240 и А = 200.
В работе Гольдгабера и Теллера [46] рассматривалось три различ-
различных приближения для описания классических гармонических колебаний
нейтронов относительно протонов: а) каждый протон и каждый нейтрон
совершают колебания около своих положений равновесия подобно ионам
в кристаллической решетке; б) протоны и нейтроны совершают коле-
колебания друг относительно друга как две сжимаемые жидкости; в) про-
протоны и нейтроны совершают колебания как несжимаемые жидкости.
При этом оказалось, что положение максимума сечения Ет не зависит
от А для случая а), Ет-^-А~1з для случая б) и, наконец, Ет-^А~1^
для случая в). Таким образом, модель взаимных колебаний несжимаемых
протонной и нейтронной жидкостей позволяла при соответствующем
подборе параметров объяснить зависимость Ет от массового числа.
Штейнведель и Енсен [47] рассматривали протоны и нейтроны как две
гидродинамические жидкости и получили для резонансной частоты и
интеграла по энергии от эффективного сечения результаты:
/ш = 60Л~'з Мэв, J a(s)rfs = 0,0065i4 Мэв-барн.
В работе Ферентца, Гелл-Манна и Пайнса [48] на основе квантово-
механического рассмотрения системы многих тел были исследованы
резонансные колебания протонов и нейтронов как колебания плазмы;
при этом получено, что Ет = &0А-1 з.
Согласно указанным выше теориям энергия возбуждения, получен-
полученная при поглощении фотона, распределяется между всеми нуклонами
ядра и испускание a-частиц, нейтронов и протонов должно происходить
обычным механизмом испарения. Так, например, эффективное сечение
реакции (у, р) должно выражаться формулой
а (у, />) = a(Y) W>
где а (у)—эффективное сечение поглощения у-лучей и W —отноше-
—отношение вероятности испускания протонов к суммарной вероятности испу-
испускания всех частиц.
Эти выводы теории не вполне согласуются с экспериментом. Рас-
Расхождения особенно велики для случая средних и тяжелых ядер. Так,
в работе Томса и Стефенса [49] указывается, что выход протонов
в реакции (у, р) (для фотонов энергии -^-7—9 Мэв) превышает выход,
ожидаемый согласно теории испарения в 17 раз для Bi, в 1300 раз
для РЬ208, в 110 раз для Та, в 170 раз для Се. Эти расхождения

§81] ФОТОЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ 425
возможно указывают на то, что испускаемые протоны получают энергию
нгпосредственно от фотонов.
В § 73 и 74 были получены формулы для вероятности испускания
ядром мультипольного электромагнитного излучения. Для определения
вероятности поглощения мультипольного излучения можно использовать
то, что процесс поглощения является процессом, обратным испусканию,
и связан с ним теоремой взаимности (§ 51). Вследствие теоремы вза-
взаимности вероятность спонтанного испускания равна вероятности погло-
поглощения, если интенсивность падающего электромагнитного излучения
при поглощении соответствует одному кванту для каждого собствен-
собственного колебания поля излучения. Поэтому, чтобы получить эффективное
сечение поглощения, надо разделить вероятность испускания на плот-
плотность потока фотонов в электромагнитном излучении, интенсивность
которого определена выше. Плотность потока фотонов для излучения
мультипольности 2У равна 2 . . , а вероятность дипольного излу-
излучения
ba 9i
поэтому эффективное сечение дипольного поглощения при переходе
а—>Ь будет равно
где приведенная вероятность дппольного перехода
При выводе (81,2) мы использовали равенство глУ1т= у j~rm " то»
что в плоской падающей волне из-за поперечности поляризации при-
присутствуют только состояния с /и = 4^1, матричные элементы для
которых одинаковы. Далее £а=1 для протона и равно нулю для ней-
нейтрона.
Координаты za в (81,2) отсчитываются от центра инерции ядра;
«о = ^{2^ + 2<}. поэтому
V п
« Р Р
и сечение поглощения (81,1) принимает вид
<*«* =

426 ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЯДЕР С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ [ГЛ. XI
Введем далее силу осциллятора перехода а—*-Ь с помощью обычного
соотношения:
Л If ; Г I"» \
(81,4)
тогда интеграл по энергии от эффективного сечения дипольного погло-
поглощения может быть выражен с помощью (81,1) — (81,3) через сумму
сил осцилляторов всех дипольных переходов:
Если силы, действующие между нуклонами, относятся к обычным
(необменным) силам, то скорости зарядов совпадают со скоростью ну-
нуклонов; поэтому
<»l*l>s* (816)
где рЬа — матричный элемент оператора импульса, и (81,4) можно
написать в виде
, _ 1
Jba ~T~\ZabPba PabZba'>
из которого сразу же следует хорошо известное в теории атомных
спектров правило сумм:
ЕЛ«=4- & -pz)aa= I, (81,7)
ь ltl
если учесть перестановочные соотношения между операторами импульса
и координаты. В этом случае правило сумм принимает вид*)
^.10-* Мэе.см\ (81,8)
При наличии обменных сил, приводящих к обмену зарядом между
нуклонами, скорость заряда больше скорости нуклонов и сумма (81,7)
становится больше единицы. Предполагая, что обменные силы состав-
составляют некоторую долю х от обычных сил, Левингер и Бете [50] вы-
вычислили поправку к правилу сумм (81,7) и получили
d (] + О8) (8l М
Согласие экспериментальных значений интегралов по энергии от эффек-
*) Общее исследование правил сумм для сечений фотоядерного эффекта
проводилось в работах Ю. К. Хохлова [67].

§81] ФОТОЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ 427
тивных сечений поглощения у~излУчения с формулой (81,8) подтвер-
подтверждает представление о том, что дипольное поглощение является главным
механизмом в явлении фотоядерного эффекта.
Большой интерес представляет работа Гелл-Манна, Гольдбергера
и Тирринга [65], в которой на основе общего принципа причинности
выведена формула для правила сумм, включающая переходы всех муль-
типольностей. В этой работе показано, что величина интеграла по
энергиям от сечения поглощения у-лучей ядрами определяется формулой
Верхний предел интеграла соответствует энергии порога образова-
образования мезонов. Первое слагаемое правой части относится ко всем про-
процессам поглощения фотонов, протекающим без участия мезонов; второе
слагаемое ответственно за все мезонные эффекты, например обменные
ядерные силы, видоизменение нуклонных токов мезонным полем и т. д.
Для объяснения большого выхода высокоэнергетических протонов
в фотоядерных реакциях и их углового распределения Уилкинсон [8]
в последнее время развил теорию фотоядерного эффекта, в основу
которой положено представление о том, что первым актом фотоядерной
реакции является возбуждение однонуклонных состояний. При этом в воз-
возбуждении участвуют не только нуклоны внешних незаполненных оболо-
оболочек, но и нуклоны, входящие в состав полностью заполненных оболочек.
Так как число нуклонов, входящих в состав заполненных оболочек,
превышает число внешних нуклонов, то основной вклад в фотоядерную
реакцию должны давать именно нуклоны заполненных оболочек. При
переходе в высоковозбужденное состояние, соответствующее энергии
возбуждения, превышающей энергию связи нуклона с ядром, нуклон
может либо покинуть ядро (этот процесс будет соответствовать пря-
прямому фотоэффекту), либо передать свою энергию другим нуклонам
(за счет взаимодействия с ними) и образовать составное ядро, которое
затем распадается обычным механизмом испарения. Оба механизма при-
приводят к значительному уширению уровней высоковозбужденных состоя-
состояний. При этом основной причиной уширения уровня, по-видимому,
следует считать эффект взаимодействия с другими нуклонами, приво-
приводящий к перераспределению энергии однонуклонного возбуждения по
всем степеням свободы ядра. Величина этого уширения может быть
оценена по значению мнимой части комплексного оптического потен-
потенциала для соответствующей энергии нуклона, которая обусловлена
также этим эффектом перераспределения энергии. В модели Уилкинсона
грубость модели однонуклонных возбуждений частично исправляется
учетом ширины уровней. Вероятность прямого фотоэффекта из состоя-
состояний с большим орбитальным моментом сильно уменьшается из-за боль-
большого центробежного барьера. По оценке Уилкинсона в ядре олова
наиболее существенные переходы относятся к типу \g—► \h\ при этом

428 ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЯДЕР С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ [ГЛ. XI
даже для нейтрона, энергия возбуждения которого превышает энергию
связи на 5 Мэв, уширение за счет испускания равно только 500 кэв,
что значительно меньше полной ширины уровня.
Нуклоны, испускаемые в результате прямого фотоядерного эффекта,
уносят большую энергию. Их угловое распределение должно отличаться
от изотропного. Нуклоны же, испускаемые после перераспределения
энергии однонуклонного возбуждения по всем степеням свободы ядра,
должны иметь малую энергию A <[ 2 Мэв), и их распределение но
энергии должно быть близким к максвелловскому. Эти качественные
выводы теории подтверждаются экспериментом [66].
§ 82. Возбуждение ядер кулоновским полем тяжелых
заряженных частиц
Если энергия относительного движения тяжелой заряженной частицы
заряда Za меньше энергии кулоновского барьера ядра заряда ZA, равной
где R — эффективный радиус взаимодействия, равный сумме радиуса
ядра и радиуса частицы, то вероятность проникновения частицы в об-
область действия специфических ядерных сил будет очень малой. В этом
случае возможно возбуждение ядра путем электромагнитного взаимо-
взаимодействия ядра и частицы. Такое взаимодействие может быть рассмот-
рассмотрено методом теории возмущений.
Вероятность возбуждения ядер электромагнитным полем заряженной
тяжелой частицы была впервые рассчитана К. А. Тер-Мартиросяном [51]
на основе полуклассического метода, при котором предполагается, что
налетающая частица движется по классической траектории. Такое клас-
классическое описание возможно при условии
где v — относительная скорость движения частицы и ядра. Условие
квазиклассичности всегда выполняется, если энергия относительного
движения частицы и ядра меньше высоты кулоновского барьера. При
этом скорость частицы мала по сравнению со скоростью света, поэтому
взаимодействие частицы с ядром можно считать чисто кулоновским,
так как влияние магнитного поля будет ничтожно мало.
Выберем начало координат в центре ядра. Если налетающую частицу
рассматривать как точечную и обозначить rp (t) радиус-вектор ее тра-
траектории, то оператор взаимодействия ядра и частицы можно записать
в виде
S(r)<p(rf*)rfr, (82,2)

§ 82] ВОЗБУЖДЕНИЕ ЯДЕР КУЛОНОВСКИМ ПОЛЕМ ТЯЖЕЛЫХ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИП.429
где р(г) = е У! $ (г — rk)—оператор плотности заряда, а электро-
статический потенциал
<82-3>
выбирается так, чтобы исключить взаимодействие между центрами масс,
не приводящее к возбуждению ядра.
Вероятность перехода из начального ядерного состояния а в конечное
ядерное состояние Ь, усредненная по магнитным квантовым числам та
начального состояния и просуммированная по магнитным квантовым
числам ть конечного состояния, может быть выражена формулой
^e=B/e+l)-1 S \Wba\\ (82,4)
та, тЬ
где Ja — спин начального состояния; Wba — матричные элементы кван-
квантовых переходов под влиянием зависящего от времени возмущения
: = ^ ] (b\H'\a)eiwidU
— со
где К® = ЕЬ — Еа — энергия перехода.
Подставляя р (г) и (82,3) в (82,5) и замечая, что
(82,5)
\rk-rp(i)\
имеем:
Wba =
где
>kYl @
"-1^ @ @, ¥ @)
, (82,6)
(82,6а)
— интеграл, значение которого определяется траекторией движения
заряженной частицы.
Подставляя (82,6) в (82,4), получаем окончательное выражение для
вероятности возбуждения ядра кулоновским полем пролетающей тяжелой
заряженной частицы

430 ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЯДЕР С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ [ГЛ. XI
где
— приведенная вероятность поглощения излучения типа Ек.
Легко показать, что (82,7а) в точности совпадает с приведенной
вероятностью для уже рассмотренных электромагнитных переходов.
Поэтому правила отбора для кулоновского возбуждения совпадают
с правилами отбора для случая испускания или поглощения электро-
электромагнитного излучения типа Е\.
В кулоновском поле ядра частица движется по гиперболической
орбите. Поскольку энергия, передаваемая ядру частицей при столкно-
столкновении, мала по сравнению с ее первоначальной энергией, то можно
пренебречь изменением характера движения частицы при этой передаче.
В этом случае дифференциальное сечение рассеяния частицы в телесный
угол dil определяется формулой Резерфорда:
4 sin4 ( -7Г-
где
ад,*2
— половина расстояния наибольшего сближения частицы и ядра; М —
приведенная масса частицы и ядра; v—их относительная скорость;
ф — угол рассеяния.
Дифференциальное сечение возбуждения ядра (а —>• Ь) при столкно-
столкновении, в котором частица рассеивается в телесный угол dil, будет
определяться следующим образом:
где РЬа — вероятность возбуждения, даваемая формулой (82,7). Интег-
Интегрируя (82,9) по всем углам рассеяния, получим полное эффективное
сечение возбуждения ядра.
Для определения численного значения сечения возбуждения и его
зависимости от энергии и заряда частицы надо рассчитать интеграл
Sx (82,6а). Для его вычисления удобно выбрать координатную систему
так, чтобы траектория лежала в плоскости ху, а ось Ох была направлена
вдоль оси симметрии траектории частицы. Расчет интеграла 5>а был
выполнен К. А. Тер-Мартиросяном [51]. Приведем здесь полученные
им результаты для полного сечения кулоновского возбуждения ядра.
Оказалось, что полное сечение кулоновского возбуждения, соответст-
соответствующего переходу мультипольности Е\, можно написать в виде
оЬа (£л) = 2тгг1» ^/ф) е-'Ч, (82,10)

§82] ВОЗБУЖДЕНИЕ ЯДЕР КУЛОНОВСКИМ ПОЛЕМ ТЯЖЕЛЫХ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ431
где безразмерный параметр
p=^=w^. (82И1)
В (82,11) шо — энергия возбуждения ядра; е и v — соответственно
энергия и скорость относительного движения частицы и ядра.
Функция /(Р) в (82,10) сравнительно слабо зависит от J3, поэтому
вероятность кулоновского возбуждения сильно уменьшается (экспонен-
(экспоненциально) с ростом параметра C. Это соответствует тому факту, что
при § ^> 1 время столкновения ( -^ — ] велико по сравнению с пери-
периодом движений в ядре (-n-W1), и поэтому действие кулоновского поля
частицы будет приблизительно адиабатическим с ничтожно малой
вероятностью возбуждения ядра.
Из условия £$ s^ 1 можно, используя (82,11), определить энергию
частицы, необходимую для возбуждения уровня с энергией ш:
(Zji«> {Мэв)У:*. (82,12)
Из (82,12) следует, что, применяя частицы достаточно больших энергий,
можно возбудить высоколежащие энергетические уровни ядра (вплоть до
нескольких Мэв).
В связи с тем, что энергия относительного движения частицы не
должна превышать энергию кулоновского барьера Ев, значение р огра-
ограничено снизу возможными значениями энергии возбуждения tun:
I
(82,13)
Согласно (82,10) отношение эффективных сечений для кулоновского
возбуждения, соответствующего электрическим мультипольным излу-
излучениям Е (X -\- 1) и £л, равно
Это отношение значительно больше, чем аналогичное отношение для
/<о/?\2
возбуждения ядра электромагнитным излучением, равное ( — .
\ с J
Эффективное сечение (82,10) кулоновского возбуждения пропор-
пропорционально приведенной вероятности электрического мультипольного
перехода В {Е\), поэтому метод возбуждения ядер кулоновским полем
заряженной частицы особенно удобен для изучения вращательных и
колебательных состояний ядер, соответствующих коллективным возбуж-
возбуждениям с большими значениями В (Е2).
На рис. 67 изображено отношение эффективного сечения кулонов-
кулоновского возбуждения ядра для перехода Е2 дейтронами, а-частицами и
ионами С12 к сечению возбуждения протонами той же энергии в

432 ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЯДЕР С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ [ГЛ. XI
зависимости от параметра:
■{Мэв)\
(ZAW
где £ — энергия частицы. Как видно из рисунка, малые значения энергии
кулоновекого возбуждения ядра наи-
наиболее эффективно осуществляются
тяжелыми ионами. Для возбужде-
возбуждения высокорасположенных уровней
лучше применять протоны.
О кулоновском возбуждении
ядер при обстреле их заряжен-
заряженными частицами можно судить путем
регистрации уквантов или элект-
электронов внутренней конверсии, испу-
испускаемых возбужденными ядрами при
переходе в основное состояние.
Измеряемые значения эффективных
сечений возбуждения позволяют
вычислять приведенные вероятнос-
вероятности соответствующих электрических
переходов. В таблице 31 приве-
приведены значения В (Е2) для некото-
• 10-48 "•-4
Рис. 67. Отношение эффективного се-
сечения кулоновекого возбуждения ядра
(соответствующего переходу Е2) дейт-
дейтронами, а-частипами и ионами С12 к
сечению возбуждения протонами той
же энергии.
рых ядер в единицах ег • Ю~48 см11,
полученные из данных о кулоно-
кулоновском возбуждении ядер {BQ (Е2))
и данных о времени жизни воз-
возбужденных состояний (В (Е2)).
Таблица показывает, что оба ме-
метода измерения В (Е2) приводят к удовлетворительно согласующимся
значениям.
Ядро
V51
Ge74
Sm152
Cd154
Er166
Hg»'
Pb207
Спин основного
состояния
1
2
7
2
0
0
0
0
0
1
У
1
2
Таблица
Спин возбужден-
возбужденного состояния
5
2
5
2
2
2
2
2
2
5
2"
5
2
31
Энергия возбу-
возбуждения, кэв
197
325
595
122
123
81
100
159
569
Вт (£2)
0,01
0,008
0,28
3,3
3,6
5,7
4,3
0,35
0,031
Bq (Щ
0,003
0,006
0,30
3,1
4,5
6,8
5,6
0,26
0,028

§ 83] РАССЕЯНИЕ ГАММА-ЛУЧЕЙ ЯДРАМИ 433
§ 83. Рассеяние гамма-лучей ядрами
Если энергия у-лучей меньше пороговой энергии для испускания
ядром нуклонов, то при взаимодействии у-лучей с ядрами возможно
только упругое или неупругое рассеяние у-лучей. Экспериментально
трудно отделить упругое рассеяние у-лучей от неупругого, если в ка-
качестве источника излучения используются у-кванты тормозного излуче-
излучения, имеющие непрерывное распределение энергии. Поэтому более ценны
эксперименты с монохроматическим излучением.
В связи с тем, что рассеяние у-квантов происходит не только на
ядрах, но и в значительно большей степени на электронах, окружающих
ядро, исследование упругого рассеяния у-квантов на ядрах очень услож-
усложняется. Рассеяние у-квантов электронами состоит из двух частей:
упругого или релеевского рассеяния и комптоновского рассеяния. В ра-
работе [52] показано, что эффективнее сечение релеевского рассеяния
составляет только 2,1-10~5—-j долю от комптоновского рассеяния.
В этом выражении Z — число электронов в атоме, т — масса электрона,
%й— энергия у-кванта. Более 3/4 релеевского рассеяния происходит
под углами, меньшими Q0 = 2arcsin f 2,6• Ю~2 —7 ). Угол60=16°
при энергии излучения 0,41 Мэв для рассеяния на свинце. Для углов,
больших 0о, эффективное сечение в единицу телесного угла выражается
формулой
daR 8,67-103 /Ztncz\4
~2
Комптоновское рассеяние у-квантов на электронах составляет несколько
десятых барна на единицу телесного угла. Однако комптоновское рас-
рассеяние на большие углы сопровождается значительной потерей энергии
и может быть учтено в опытах с монохроматическим излучением.
Упругое рассеяние у-квантов на ядрах обусловлено ядерным резо-
резонансным рассеянием и томсоновским рассеянием на заряде ядра, если
длина волны у-квантов превышает радиус ядра. Например, длина волны
фотона с энергиий 3 Мэв в 50 раз превышает размер ядра свинца,
поэтому трудно ожидать для таких у-квантов рассеяния на отдельных
нуклонах ядра.
Эффективное сечение томсоновского рассеяния у-квантов ядрами
может быть получено из классического выражения для рассеяния рент-
рентгеновских лучей на свободных электронах, если туда подставить массу
и заряд ядра вместо массы и заряда электрона. Таким образом, диф-
дифференциальное сечение томпсоновского рассеяния у-квантов на ядрах
будет определяться формулой
28 А. С. Давыдов

434 ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЯДЕР С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ [ГЛ. XI
Z2e2
где ro=-jrr-^; M—масса ядра. Если А — массовое число, то
daT =^ 2,39. Ю-2 z4A+2cos2Q) rfQ {см)\
Полное сечение томпсоновского рассеяния у-квантов на ядрах
_8я ZV
ат~ 3 М2с4
в (mjMJ == -j> 10~7 раз меньше соответствующего рассеяния на элект-
электронах. Значительное рассеяние у-квантов на электронах атома очень
усложняет исследование процесса рассеяния у-квантов на ядрах.
Особенно сложно исследование томпсоновского рассеяния на ядрах
у-квантов малых энергий «3 Мэв), так как при этих энергиях доля
у-квантов, рассеянных электронами атома без существенного изменения
частоты (релеевское рассеяние), очень велика и превышает томпсоновское
рассеяние на ядре атома. Трудность усложняется еще тем, что хотя
оба типа рассеяния из-за смещения частоты, вызванного тепловым дви-
движением и эффектом отдачи ядра, не когерентны с падающим излучением,
они когерентны между собой. Поэтому можно говорить только . о
суммарном рассеянии. Выделение рассеяния у-квантов на ядре атома из
этого суммарного рассеяния возможно лишь в результате теоретической
оценки части рассеяния, обусловленного релеевским рассеянием. Эти
оценки не обладают большой точностью, поэтому в интерпретации ре-
результатов экспериментов нет полной однозначности. Более подробные
сведения по этому вопросу можно найти в работе Баркхардта [53J,
посвященной исследованию рассеяния у-квантов энергии 0,5 — 3 Мэв на
ядрах.
Упругое резонансное рассеяние у-квантов с энергией 4—28 Мэв на
ядрах Аи, Pb, U, Си, Mn, Sn, Bi исследовалось в работах Хейуорда
и Фаллера [54]. Зависимость сечения рассеяния от энергии в основном
совпадала с соответствующей зависимостью сечения фотореакции (у, п)
(гигантский резонанс). Максимум сечения рассеяния под углом 120° был
порядка милибарна на стерадиан. Кроме основного максимума, соответ-
соответствующего максимуму реакции (у, «), для всех исследованных элементов,
кроме золота, наблюдался сравнительно острый максимум, соответствую-
соответствующий порогу реакции (у, п). Таким образом, в области 4—28 Мэв
энергии у-квантов их рассеяние на ядрах в основном обусловлено
резонансным рассеянием на уровнях, соответствующих возбуждениям
ядра, возникающим при поглощении у-квантов в области «гигантского
резонанса».
При дальнейшем увеличении энергии у-квантов ядерное резонансное
рассеяние уменьшается, и в процессе рассеяния начинают участвовать
отдельные нуклоны ядра, так что при энергиях, превышающих 80 Мэв,
рассеяние происходит как бы на свободных протонах и нейтронах
(комптон-эффект на нуклонах). Однако поскольку энергия у-квантов

§ 83] РАССЕЯНИЕ ГАММА-ЛУЧЕЙ ЯДРАМИ 435
остается еще малой по сравнению с А1сг, то изменение энергии у-кванта
очень незначительно.
При энергиях, превышающих 135 Мэв, в рассеянии проявляется
внутренняя структура нуклона и взаимодействие у-квантов с нуклонами
сопровождается испусканием тг-мезонов.
При энергии у-квантов, меньшей порога реакции (у, «), при которой
начинается «гигантский резонанс», может проявиться также резонансное
рассеяние на очень узких уровнях ядра. Это резонансное рассеяние
у-лучей ядрами, соответствующее виртуальному поглощению и после-
последующему испусканию у-квантов ядром, аналогично резонансной флуо-
флуоресценции в атомах.
Сечение резонансного рассеяния у-квантов энергии ftw определяется
формулой
_ g ГУ
—статистический множитель, зависящий от спинов ядерных уровней,
участвующих в переходе; вг — резонансная энергия уровня. Если резо-
резонансная энергия уровня меньше энергии, необходимой для испускания
нуклонов, то Г =5г Г и в резонансе эффективное сечение должно достигать
очень большой величины: (аГ1) ез —4g"X2. Так, например, при гг ->«- 1 Мэв
021 2
() ез g р г
(а ) ез -N. 10~21 см2. Однако вследствие очень малой ширины ядерных
уровней (Г -^ 10~4— 10~8 эв) сечение резонансного рассеяния достигает
больших значений только в очень малой области энергий около резо-
резонанса. Уже на расстоянии 0,5 эв от резонанса сечение резонансного
рассеяния уменьшается в 108 — Ю16 раз. Поэтому интегральное сечение
резонансного рассеяния на узких энергетических уровнях ядра очень
мало, оно пропорционально величине Х21\/Г-
Если ядро облучается потоком у-квантов с непрерывным спектром
(тормозное излучение), то оно будет переходить в возбужденные состояния
с малой вероятностью, так как из непрерывного спектра излучения
эффективными для возбуждения ядер будут узкие интервалы энергий
шириной Ю~4—10~8зв, а в общем потоке у-квантов тормозного
излучения кванты с энергией, заключенной в пределах этих интервалов,
составляют очень малую долю. Вследствие этого интенсивность тормоз-
тормозного излучения (с энергией, меньшей энергии «гигантского резонанса») при
прохождении ядерного вещества практически' не изменяется. Выделить
экспериментально у-кванты, испытавшие резонансное рассеяние, на фоне
большого числа других у-квантов тормозного излучения пока еще не
удавалось.
Для обнаружения резонансного рассеяния у-квантов на ядрах необ-
необходимо облучать последние потоком у-квантов очень монохроматического
излучения. В оптике резонансное рассеяние наблюдается при освещении
атомов фотонами, испущенными такими же атомами [55]. В ядерной физике
28*

436 ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЯДЕР С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ [ГЛ. XI
в обычных условиях невозможно использование уквантов, испускаемых
одним ядром, для исследования рассеяния на другом таком же ядре из-за
большого значения эффекта отдачи при испускании и поглощении,
приводящего к смещению частоты и нарушению условий резонанса.
Предположим, что энергия возбуждения ядра равна е. При испускании
кванта часть энергии возбуждения переходит в кинетическую энергию
ядра отдачи, поэтому у"квант унесет энергию Лео, которую можно
определить, используя законы сохранения энергии и импульса:
с
Решая эти уравнения относительно до), получим:
П/VJ
с\ ял 5 •
2Мс2
При поглощении этого кванта другим ядром часть энергии . - „..
перейдет в кинетическую энергию этого ядра, а на его возбуждение
пойдет энергия
* —й е _ е2
Разность s — £* очень мала в оптике (-^- Ю~8 эв) и значительна в ядерной
физике. Так, при е -^ 1 Мэв и М -^ 100 разность £ — £* ^= 10 эв, что
значительно превышает ширину энергетических уровней ядер. Если не
принять специальных мер для компенсации энергии ezjBMc2), перехо-
переходящей в кинетическую энергию при поглощении и испускании, то
резонансное рассеяние осуществить нельзя. Допплеровское уширение
полос поглощения и испускания, происходящее из-за теплового дви-
движения (см. § 56), при комнатных температурах значительно меньше
разности s — £* и поэтому не может компенсировать смещение частоты,
возникающее вследствие отдачи ядра при испускании и поглощении
у-квантов. В оптике изменение частоты вследствие отдачи атома не
сказывается на резонансном рассеянии, так как оно в сотни раз меньше
допплеровского уширения линий.
Для осуществления резонансного рассеяния относительно мягких
(энергия <^ 1 Мэв) у-квантов на ядрах можно использовать: а) нагревание
источника или рассеивателя; б) механическое движение одного ядра по
отношению к другому, осуществляемое либо перемещением всего
источника механическим приспособлением, либо в результате отдачи
ядра при ^-распаде или другой ядерной реакции, предшествующей
процессу рассеяния.
Резонансное рассеяние уквантов на ядрах Аи198, Hg198 удалось
наблюдать Мальмфросу [56] при нагревании источника до 1100°. Ре-
Результаты опытов Мальмфроса были подтверждены в работах Метцгера
и Тодда [57] и Метцгера [58]. В последней работе удалось значительно
повысить роль резонансного рассеяния у-квантов на ядрах атомов (до 8°/0)

§ 83] РАССЕЯНИЕ ГАММА-ЛУЧЕЙ ЯДРАМИ 437
по сравнению с релеевским рассеянием этих квантов на электронах
атома.
Механическое движение источника для компенсации смещения ча-
частоты при отдаче ядра использовалось в опытах Муна и Сторраста [59].
В этих опытах удалось при скорости источника t; = 7-lO4 см/сек
получить резонансное рассеяние на ядрах Hg198, превышающее релеевское
рассеяние в 1,5 раза.
Резонансное рассеяние мягких у-квантов удалось наблюдать в ряде
работ (Делягин и Шпинель [60], Бургов и Терехов [61], Метцгер [62],
Илаковак [63]) при использовании ядер отдачи, получаемых в результате
предшествующих [3- и у-распадов.
При исследовании рассеяния более жестких Y"KBaHT0B (энер-
(энергия^ 1 Мэв) смещение частоты s— s* становится столь значительным,
что его трудно компенсировать нагреванием или механическим движением,
так как нужны слишком высокие температуры или слишком большие
скорости движения.
Более подробные сведения о резонансном рассеянии у"квантов на
ядрах можно найти в обзоре Б. С. Джелепова [64].

ГЛАВА XII
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕДЛЕННЫХ НЕЙТРОНОВ
С ЯДРАМИ
§ 84. Понятие о длине когерентного и некогерентного
рассеяния нейтронов на одном ядре
В этой главе мы рассмотрим взаимодействие «холодных» и «теп-
«тепловых» нейтронов с ядрами. К области холодных и тепловых нейтронов
относятся нейтроны, энергия относительного движения которых (по от-
отношению к ядрам) не превышает 0,025 эв, т. е. нейтроны, длина волны
которых 1>1,8Ы0"8 см. При прохождении нейтронов таких энергий
через рассеивающее вещество с упорядоченной структурой наблюдаются
интерференционные эффекты, так как порядок расстояния между ато-
атомами в твердых и жидких телах A0~8 см) совпадает с порядком длины
волны нейтронов.
Возможность когерентного рассеяния нейтронов кристаллическими
телами была указана Эльзассером [1] и Виком [2J, однако эксперимен-
экспериментальное изучение этих явлений долгое время было затруднено отсут-
отсутствием достаточно интенсивных источников монохроматических нейтронов.
В последнее время экспериментаторы получили мощные источники
нейтронов — ядерные реакторы, которые позволяют проводить широкие
исследования в области изучения взаимодействия медленных нейтронов
с веществом и, в частности, использовать дифракцию нейтронов для
изучения строения самого вещества.
Прежде чем исследовать интерференционные явления, возникающие
при прохождении нейтронов через вещество, рассмотрим особенности
рассеяния тепловых нейтронов на свободных ядрах. Как мы видели в
§ 46, рассеяние тепловых нейтронов на свободных ядрах с нулевым
спином (четно-четные ядра) полностью определяется длиной рассеяния а.
Длина рассеяния для большинства ядер имеет порядок величины радиуса
ядра (-N-102 см). Обычно длина рассеяния является комплексным
числом a=a-\-i$, где 3<^0, и п0 абсолютной величине значительно
меньше а.
Рассеяние тепловых нейтронов на свободных ядрах сферически сим-
симметрично, поэтому вне области действия ядерных сил (г> Ь) волновая

§ 84] ДЛИНА КОГЕРЕНТНОГО И НЕКОГЕРЕНТНОГО РАССЕЯНИЯ НЕЙТРОНОВ 439
функция относительного движения нейтрона и ядра (нормированная на
единицу потока) может быть представлена в виде
где k=^K~l\r2\LZ', s — энергия относительного движения; \i. — приве-
приведенная масса; v — скорость относительного движения.
Поскольку при тепловых энергиях в рассеянии участвуют только
волны с орбитальным моментом, равным нулю (s-волна), то иногда
удобно вместо полной функции (84,1) рассматривать только s-волну,
которую мы обозначим Фо. Легко показать, что
1 {e~ikr— A — 2ika) eikr). (84,2)
Вспоминая определение диагонального элемента матрицы рассеяния So
(§ 50), мы убедимся, что в нашем случае
S0 = {\—2ika). (84,3)
Согласно E0,10) и E0,12) сечение упругого рассеяния s-волны равно
е0 | (84,4)
а сечение поглощения (сечение реакции)
4^ = -4-^-а, (84,5)
Из (84,4) и (84,5) непосредственно следует, что полное сечение рас-
рассеяния и реакции для s-волны
=-1Г Р<° (84>6)
Этот же результат получим, применяя непосредственно формулу E0,15)
Если известны сечение упругого рассеяния (ое) и полное сечение
{at), то формулами (84,4) и (84,6) длина рассеяния определяется с
точностью до знака вещественной части:
* 4т. '
Знак мнимой части длины рассеяния определяется однозначно.
Если энергия рассеиваемых нейтронов попадает в область изолиро-
изолированного резонанса составного ядра, то согласно § 54 сечение рассеяния
определяется формулой
1Ге
4* 2 б l-eikb&mkb , (84,7)

440 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕДЛЕННЫХ НЕЙТРОНОВ С ЯДРАМИ [ГЛ. XII
где Те — ширина упругого рассеяния нейтронов; Г — полная ширина
резонансного уровня; sr—энергия резонанса; Ъ — радиус сферы действия
ядерных сил между ядром и нейтроном. Сравнивая (84,7) и (84,4),
получим с точностью до несущественного фазового множителя выраже-
выражение для длины рассеяния в области изолированного резонанса (при
(84'8)
Таким образом, длина рассеяния в области изолированного резонанса
равна сумме положительной длины потенциального рассеяния, опреде-
определяемого «размерами» ядра, и длины резонансного рассеяния. В боль-
большинстве случаев в области тепловых энергий |s — вг | >> Г, поэтому
длина резонансного рассеяния положительна, если энергия нейтрона
больше резонансной энергии, и отрицательна, если энергия нейтрона
меньше резонансной энергии. Абсолютная величина а сильно зависит
от разности s — гг.
Если ядро-мишень имеет спин, равный /, то соответственно двум
. , 1 . 1
возможным спиновым состояниям системы j=i-\- — f i — у рассеяние
тепловых нейтронов будет определяться двумя длинами рассеяния: а+
и а_. Введем проекционные операторы:
г _{±!±£ R q
^. <84>10)
действие которых на спиновую функцию у_/т системы выражается сле-
следующими соотношениями:
|
- Kjm >
l
Теперь волновая функция относительного движения нейтрона и ядра,
обладающего спином /, может быть записана в виде
-и Pikr

§ 84] ДЛИНА КОГЕРЕНТНОГО И НЕКОГЕРЕНТНОГО РАССЕЯНИЯ НЕЙТРОНОВ 441
Подставляя значение проекционных операторов (84,9) и (84,10), получим
м, (84,11)
где эффективная длина рассеяния является оператором
а9фф = B1+\)-1 {(i+\)a+ + ia_ + 2i 's (а+^а_)}. (84,12)
Среднее сечение рассеяния неполяризованных нейтронов выражается
через квадрат эффективной длины рассеяния, усредненный по спиновым
состояниям:
а = 4тт<а2эМ)>. (84,13)
При отсутствии корреляции спинов нейтрона и ядра </ s> = 0, а
и сечение рассеяния, усредненное по спиновым состояниям, может быть
представлено в виде суммы
где
я = 4тт
(84'15>
2/ Ч- 1 +
— сечение когерентного рассеяния, а
вн. = 4п-^±^-|а+-в_|« (84,16)
— сечение некогерентного рассеяния.
Следовательно, среднее значение сечения рассеяния на одном ядре
равно
{й } (84'17)
Понятие когерентности или некогерентности рассеянных нейтронных
волн на одном ядре определяется возможностью интерференции рассеян-
рассеянной волны с падающей. Обычно эксперименты осуществляются с образ-
образцами, содержащими большое число ядер. Если длина волны нейтронов
сравнима или больше расстояния между ядрами, то разделение полного
сечения (84,14) на сечение когерентного и некогерентного рассеяний
очень существенно для вычисления рассеяния нейтронов на многих
ядрах. Так, например, если два тождественных ядра с некоррелирован-
некоррелированными спинами находятся на расстоянии, значительно меньшем длины
волны нейтрона, то сечение рассеяния, усредненное по спиновым состоя-
состояниям, будет определяться выражением

442 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕДЛЕННЫХ НЕЙТРОНОВ С ЯДРАМИ [ГЛ. XII
Пользуясь формулой (84,12) и обозначая операторы спинов ядер/, и *2,
можно написать:
При некоррелированных спинах ядер <(*!«) (its) > = О, поэтому, при-
принимая во внимание обозначения (84,15) и (84,16), имеем:
Итак, сечение рассеяния нейтронов системой двух ядер является
суммой сечений некогерентного рассеяния от каждого ядра и сечения
когерентного рассеяния. Для получения сечения когерентного рассеяния
надо складывать не сечения, а длины когерентных рассеяний, так как
интерференционные явления определяются только длиной когерентного
рассеяния на каждом ядре:
В общем случае |«к|^ уj-, где о — полное сечение рассеяния.
Знак равенства соответствует случаю, когда длина рассеяния не зави-
зависит от спинового состояния системы, т. е. когда а+ = а_, при этом
все рассеяние является только когерентным. Если длины рассеяний
а+ и а_ имеют противоположные знаки, то длина когерентного рассеяния
может быть очень малой. Так, например, для ядра водорода сечение
когерентного рассеяния примерно в 40 раз меньше сечения полного
рассеяния. (Когерентное сечение равно 1,79 барн, полное сечение
81,4 барн.) У бериллия длина рассеяния мало зависит от спина, и
следовательно, для него ак должно приближенно совпадать с сечением
полного рассеяния. Натрий имеет с?к= 1,55 барн, значительно меньшее
полного сечения рассеяния, равного 3,6 барн. Следовательно, рассеяние
на натрии примерно наполовину является некогерентным рассеянием,
зависящим от спина. Аналогичная водороду картина наблюдается для
ванадия, так как ак составляет всего 0,03 барн, в то время как полное
сечение рассеяния равно 5 барн. Наоборот, у всех четно-четных ядер,
обладающих нулевым спином, полное и когерентное сечения рассеяния
совпадают.
Рассмотренная выше некогерентность рассеяния может быть названа
спиновой некогерентностью, так как она определяется зависимостью
рассеяния от спина системы. Когерентное рассеяние обусловливается
столкновениями без изменения направления спина нейтрона.
Интерференционные явления наблюдаются только для нейтронов с
большой длиной волны, при этом их энергия значительно меньше энергии
связи рассеивающих ядер в молекулах и кристаллах. Поэтому при
исследовании когерентного рассеяния нейтронов кристаллами следует
пользоваться длиной рассеяния на ядре, входящем в состав молекулы с очень

§ 85] КОГЕРЕНТНОЕ РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ НЕЙТРОНОВ 443
большой массой. Поскольку длина рассеяния пропорциональна приведенной
массе нейтрона и рассеивающего центра, то между длинами рассеяния на
свободном и связанном ядре имеется простое соотношение (см. § 48):
В случае кристалла \хсвяз = А1у ИСВоб~л 4- 1 ' слеД°вательн0>
Л4-1
связ Д своб*
В дальнейшем в этой главе под длиной когерентного рассеяния а мы
будем всегда понимать длину рассеяния асвяз, если не будет делаться
специальных оговорок.
§ 85. Когерентное рассеяние медленных нейтронов
поликристаллическим веществом с бесконечно тяжелыми ядрами
Как показано в предыдущем параграфе, когерентное рассеяние об-
обусловлено только когерентной частью амплитуды рассеяния. Рассмотрим
теперь, как можно учесть влияние пространственного распределения
ядер на рассеяние тепловых нейтронов. Для простоты предположим,
что ядра не имеют спина и обладают бесконечно большой массой.
В этом случае все столкновения будут происходить без изменения
энергии движения нейтронов (упругое рассеяние).
Предположим, что положения ядер в монокристалле определяются
радиусами-векторами
2
1=1
где dv d2, ds — базисные векторы единичной ячейки кристалла; ni—
пробегают целочисленные значения: 0,1, . . . , N{\ (iV, -|- 1) (N2 -\- 1) X
Х(Ыя-\-\) = М — полное число ядер в кристалле.
Обозначив волновые векторы нейтрона перед рассеянием k, а после
рассеяния k'', мы можем записать его волновую функцию на большом
расстоянии от монокристалла в виде
ф = eikz— у eikr ^ exp {in (k — k')},
п
где а соответствует когерентной части длины рассеяния (а=ак), сум-
суммирование по п обозначает суммирование по nv я2, пг
Сечение рассеяния в единицу телесного угла в направлении k',
отнесенное к одному ядру, будет
! \ (85,.)

444 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕДЛЕННЫХ НЕЙТРОНОВ С ЯДРАМИ [ГЛ. XII
Для вычисления (85,1) удобно выразить волновые вектора k и k'
через базисные векторы обратной решетки bv b2, b3, связанные с
базисными векторами прямой решетки dv d2, d3 соотношениями:
где B=d1[d2ds]— объем элементарной ячейки:
з
Полагая k — k' = ^ {k( — k'l)bi и учитывая, что dt bj = bi}-, полу-
чим n{k — k')= ^n.(k£ — *;.).
Подставляя последнее равенство в (85,1), находим:
_ =^F(k-k'), (85,2)
где
л,=0
•J-
з sin2 <
==П
(k.— k'.) )
2 /
У=1 gin2 J—J-
— так называемый структурный фактор. При N—► оо
f(ft —ft') = JJ{2Tr(iV/+l)«(ft/ —A', —2TTC,)}. (85,3)
Здесь аргументами дельта-функции являются компоненты вектора в си-
системе координат с базисными векторами обратной решетки. Если ввести
декартовы координаты тех же векторов, то*)
XI a (ft,— л;— 2^) =
=в-1ь (ft,—л;- 2tttj § (ft, — a; — 2кху) г (ft,—л;—2тсхг).
Поэтому
F(k — к')=Щ^- b(k — k' — 2ят), (85, За)
з
гдет= 2 х/^/—вект0Р обратной решетки, определяемый через ба-
*) Пусть компоненты вектора А в декартовой системе координат равны
Ах, Ау, Аг, а в системе координат, связанной с базисными векторами обрат-
обратной решетки, Av A2, Aa, где A/=djA = d/xAx-\-d/yAy -\-dJzAz. Из этих ра-
равенств следует, что dAidAzdAi = B~1dAxdAydAz, где B — a^d^].

§ 85] КОГЕРЕНТНОЕ РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ НЕЙТРОНОВ 445
зисные векторы обратной решетки bj и целые числа Ху, называемые
миллеровскими индексами отражающих плоскостей. Каждому вектору
обратной решетки т соответствует семейство параллельных кристалли-
з
ческих плоскостей, уравнения которых т V ^JdJ==m, где vp v2, v3 и
/=i
т — целые числа. Расстояние между соседними плоскостями равно 1/х.
В случае простой кубической решетки с ребром куба d
При учете (85,3а) сечение упругого рассеяния будет равно
(8М)
Для монокристаллов очень больших размеров (N—> оо) сечение (85,4)
имеет резкие максимумы при выполнении условий Брегга:
k — Аг' = 2ттт. (85,5)
Условия Брегга выполняются всегда для рассеяния вперед (k = k')t
в этом случае т = 0. Однако в дальнейшем упругим рассеянием мы
будем называть только рассеяние под углом 0^=0, поэтому случай
т=0 будет исключаться, если не будут делаться специальные оговорки.
Для кристаллов конечных размеров максимумы сечения (85,4) имеют
конечную угловую ширину, по порядку величины равную ^ (kL)~2, где
L — линейные размеры кристалла.
Для того чтобы получить среднее сечение упругого рассеяния нейт-
нейтронов в поликристаллах, нужно усреднить (85,4) по всем направле-
направлениям вектора т при заданной его абсолютной величине. При фиксиро-
фиксированном значении х заданному волновому вектору падающих нейтронов
k будут согласно (85,5) соответствовать направления k', образующие
с k угол 0, удовлетворяющий условию
sin-T=^r, или 2flfsin— = X, (85,6)
где d=z расстояние между брегговскими плоскостями в кристалле.
Из (85,6) непосредственно следует, что вклад в рассеяние будут
давать только значения х, удовлетворяющие неравенству
х^^-, или у^й?. (85,7)
Для нейтронов с длиной волны, превышающей удвоенное наибольшее
расстояние между кристаллическими плоскостями, брегговское условие
(для рассеяния с 0 7- 0) не выполняется ни для одного из микрокри-
микрокристаллов. Такие нейтроны проходят через кристалл, почти не рассеи-
рассеиваясь в стороны. На' этом свойстве основано действие фильтров,

446
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕДЛЕННЫХ НЕЙТРОНОВ С ЯДРАМИ [ГЛ. Xll
обрезающих в проходящем пучке нейтронов коротковолновую область
спектра. В качестве фильтров берутся микрокристаллические веще-
вещества, обладающие малым поглощением нейтронов и свойством только
когерентного спинового рассеяния, например окись бериллия (tf = 4,4 A)
или графит (д? = 6,7 А). На рис. 68, заимствованном из работы [3],
приведен участок спектра нейтронов тепло-
теплового реактора, профильтрованных поликри-
поликристаллами окиси бериллия. Используя гра-
графит в качестве фильтра, удалось получить
нейтроны с энергией около 18°К.
Для усреднения (85,4) по всем направ-
направлениям т введем полярную ось вдоль на-
направления k—k\ обозначим полярные ко-
координаты вектора т т, Ь, ср и вычислим
интеграл
1-7. 7Г
5 — k' — 2тгт).
D =
sin и
Перейдем от переменных 0, со к перемен-
f. ' ным 2тгт и 2ттт ; тогда, принимая во вни-
внимание, что
т
тМ2 cos \)
Рис. 68. Спектр нейтронов
теплового реактора, профиль-
профильтрованных через окись бе-
бериллия.
и что компоненты вектора k — k' по осям
х и у равны нулю из-за выбора полярной оси, можно написать:
d Bт х) d Br.ty) #
cos 0 '
производя интегрирование, получим подынтегральное выражение при
х2 = х и cos 0=1:
D=BTT2x2)-1S(|fe — Л'| — 2ттт). (85,8)
При упругом рассеянии & = /г' и | £ — Л' | = 2/г sin — , где В —
угол рассеяния. Обозначая среднее значение сечения рассеяния (85,4)
- °}f1', получим, учтя (85,8):
(85,9)
Для определения интегрального сечения рассеяния нейтронов про-
проинтегрируем (85,9) по углу рассеяния: dil = 2тг sin В ufB,

§ 86] ИЗОТОПИЧЕСКАЯ НЕКОГЕРЕНТНОСТЬ РАССЕЯННЫХ НЕЙТРОННЫХ ВОЛН 447
Полное сечение рассеяния получим из ат после суммирования по всем
допустимым значениям векторов обратной решетки
Для простой кубической решетки (B = ds) граничная длина волны нейт-
нейтрона, начиная с которой происходит упругое когерентное рассеяние,
определяется отражением от шести плоскостей {(Ю0), @10), .. .}, для
каждой из которых— = 2d, следовательно, граничная длина волны
\rp—2d, а соответствующее сечение рассеяния получим из (85,10):
агп = 6
2я21 а
'гр
где а„ =
\ \\ \ \
Ч W \
Рис. 69. Зависимость полного аффек-
аффективного рассеяния нейтронов на ио-
ликристаллическом серебре от энер-
энергии.
С уменьшением длины волны все большее число плоскостей начинает
участвовать в отражении и наблюдае-
наблюдаемое сечение при любой длине волны с<
определяется суммой вкладов от всех
отражающих плоскостей, причем со-
согласно (85,10) вклад каждой группы
плоскостей изменяется обратно про-
пропорционально кг (т. е. энергии нейт-
нейтрона). При энергиях порядка 0,1 эв
отражает уже такое большое число
групп плоскостей, что сечение стано-
становится плавно меняющейся функцией
энергии. На рис. 69 приведен график
изменения полного эффективного се-
сечения рассеяния нейтронов на поли-
поликристаллическом серебре. На рисунке ясно видны вклады от отдель-
отдельных групп кристаллических плоскостей.
§ 86. Изотопическая некогерентность рассеянных нейтронных волн
Согласно квантовой механике всякое рассеяние, сопровождающееся
изменением внутреннего состояния (спин, энергия и т. д.) рассеиваю-
рассеивающего ядра, является некогерентным, так как изменение квантового со-
состояния является причиной отсутствия интерференции. Это понятие
когерентности относится уже к одному рассеивателю. К такому типу
некогерентности относятся некогерентность, обусловленная неупругим
рассеянием, и рассмотренная выше спиновая некогерентность (§ 85).
При исследовании рассеянных волн от системы рассеивателей, рас-
расположенных в узлах кристаллической решетки не возникает дополни-
дополнительная некогерентность только при строго фиксированном расположении

448 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕДЛЕННЫХ НЕЙТРОНОВ С ЯДРАМИ [ГЛ.ХП
(идеальная решетка) и тождественности рассеивателей. Если эти ус-
условия не выполняются, то из-за непостоянства фазовых соотношений
между волнами, рассеянными разными центрами, возникает дополнитель-
дополнительная некогерентность, приводящая к диффузному рассеянию. Такая не-
некогерентность может быть вызвана тепловым движением ядер в узлах
кристаллической решетки, нерегулярным распределением изотопов, если
они имеют различные длины рассеяния, неупорядоченным распределе-
распределением компонент в сплавах и др.
В этом параграфе мы рассмотрим изотопическую некогерентность,
т. е. некогерентность, возникающую из-за неупорядоченного простран-
пространственного распределения изотопов. Предположим, что кристалл состоит
из ядер элемента, обладающего несколькими изотопами, распределен-
распределенными по узлам решетки с вероятностями cv с2, . . . , так что 2су= 1-
Допустим, что массы ядер бесконечно велики, спины равны нулю и
свойства рассеяния нейтронов каждым изотопом определяются соответ--
ствующей длиной рассеяния av аг, ...
При беспорядочном пространственном распределении каждое ядро
рассеивало бы независимо и среднее сечение рассеяния, приходящееся на
одно ядро, равнялось бы
9 = An^Cj\aj\\ (86,1)
При правильном пространственном распределении ядер надо учесть ин-
интерференцию. Сечение рассеяния (отнесенное к одному ядру) в единицу
телесного угла в направлении k' при некотором определенном распре-
распределении изотопов по аналогии с (85,1) можно записать в виде
do{k')_\ va exoUn{k — k')\\2- (862)
dil ~N
здесь an—длина рассеяния изотопа, занимающего место п; k — вол-
волновой вектор падающих нейтронов; N—число рассеивающих ядер.
Введем среднее значение длины рассеяния
a=wllan=Hw (86>3)
п j
тогда
ап = а + \ап, (86,4)
где
п 1
Подставляя (86,4) в (86,2), получим:
da(k') fd°(V)\ I fda^k^)\ ,g6 -
где
(da\ 1 а I V* pvn //«, iu u'\\
\ - J ког п
— сечение когерентного рассеяния, совпадающее с сечением (85,1).

§ 86] ИЗОТОПИЧЕСКАЯ НЕКОГЕРЕНТНОСТЬ РАССЕЯННЫХ НЕЙТРОННЫХ ВОЛН 449
Оно сильно зависит от угла рассеяния, имея резкие максимумы для
направлений, удовлетворяющих условиям Брегга k — &' = 2ттт (см. § 85).
Таким образом, средняя длина рассеяния (86,3) является длиной
когерентного рассеяния:
аког = а = 2 cfii-
Второе слагаемое в (86,5)
я я'
При беспорядочном распределении изотопов по узлам решетки для каж-
каждого значения т^=0, Д#* и Дага+От независимы, поэтому
и сечение рассеяния
ф ^
не зависит от угла рассеяния и может быть названо диффузным изотоп-
изотопным рассеянием, обусловленным изотопической некогерентностыо. Если
все изотопы, входящие в состав кристалла, имеют одинаковую длину рас-
рассеяния, то изотопическая некогерентность отсутствует, так как Дау = О.
В частном случае двух изотопов в решетке а = c1al -\-cza2, Да1 =
z=ay — а=^сг{а^—at), \a2 = ci(a2 — a1); поэтому
Подставляя Дау. = ау — а в уравнение (86,6), легко показать, что се-
сечение диффузного рассеяния можно записать в виде
Изотопическая некогерентность приводит к диффузному рассеянию ней-
нейтронов и, следовательно, вызывает экспоненциальное убывание когерент-
когерентной волны.
Если бы пространственное распределение изотопов было каким-либо
образом коррелировано (что обычно не имеет места), то при тф-0
)
- /диф
Второе слагаемое (86,7) зависит от угла рассеяния и определяет ани-
анизотропное диффузное рассеяние. В случае изотопической некогерент-
некогерентности эта часть рассеяния обычно равна нулю.
29 д. С. Давыдов

450 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕДЛЕННЫХ НЕЙТРОНОВ С ЯДРАМИ [ГЛ. XII
§ 87. Упругое рассеяние медленных нейтронов кристаллами
с учетом колебаний атомов
Если освободиться от упрощающего предположения о жестком за-
закреплении рассеивающих ядер, то можно учесть неупругое рассеяние
медленных нейтронов в кристаллах, связанное с обменом энергией меж-
между нейтроном и колебаниями решетки. Исследованию этого вопроса
посвящены теоретические работы Померанчука [4], Вайнштока [5J,
Ахиезера и Померанчука [6J и ряда других [7].
При исследовании неупругого рассеяния нейтронов кристаллами
удобно пользоваться аналитическим выражением взаимодействия медлен-
медленных нейтронов с ядрами, введенным Ферми [8] и называемым ядерным
псевдопотенциалом. Согласно Ферми взаимодействие медленных ней-'
тронов с ядром изображается в виде дираковской дельта-функции:
V(r) = Ab(r), (8^,1)
где постоянная А выбирается таким образом, чтобы уже в борновском
приближении получилось правильное значение длины рассеяния.
Пусть R— радиус ядра; тогда радиальная волновая функция, умно-
умноженная на г, при &/?<<1 вне ядра согласно (84,1) будет иметь вид
<р = гф = а(г — а), (87,2)
где а — длина рассеяния. Внутри же ядра функция <р должна удовлет-
удовлетворять уравнению
ср" — и{г)у = 0 (87,3)
с граничным условием tp(O) = O. Здесь и=-г- 1/(г).
ft/
Запишем уравнение (87,3) в несколько ином виде:
Интегрируя это уравнение в пределах @, /•), получим:
(87,4)
0
R
» то (-ь
Если выполняется неравенство R» \u(r)r2dr
(87,4) принимает вид
(87,4а)

§ 87] УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ НЕЙТРОНОВ КРИСТАЛЛАМИ 451
Приравнивая (87,4а) при r = R с соответствующим выражением для
функции (87,2) вне ядра, получим:
R
e= J и (г) r2dr = ^§ V(r)dx. (87,5)
о
Это равенство связывает длину рассеяния со средним значением энер-
энергии взаимодействия в объеме ядра. Полагая V(г) = АЬ (г) из (87,5),
можно определить значение постоянной
2^ (87,5а)
Итак, если выполняются неравенства
а| «/?«*, (87,6)
где а — длина рассеяния, R — радиус ядра, X — длина волны нейтрона,
то взаимодействие между нейтроном и ядром можно изобразить функ-
функцией Ферми:
V(r) = — ab(r). (87,7)
ц
Для исследования неупругого рассеяния нейтрона в кристаллах вы-
выразим оператор взаимодействия через псевдопотенциал Ферми для каж-
каждого ядра:
где Rn — радиус-вектор, определяющий положение ядра в кристалле.
Если базисные векторы единичной ячейки кристалла dx, d2, d3, то
Rn = п -f- Un ; здесь вектор п = 2 rijdj определяет узел решетки
(п.- — целые числа), а ип определяет отклонение ядра от равновесного
положения в узле.
Предположим теперь, что монокристалл состоит из ядер одноизо-
топного элемента со спином нуль и имеет форму косоугольного парал-
параллелепипеда с осями Nxdx, N2d2, Nsds, так что общее число ядер
в кристалле будет равно N=N1M2MS.
Как известно, при не очень высоких температурах потенциальная
энергия /7 колебаний атомов кристалла представляет собой квадратич-
квадратичную функцию смещений ядер из положений равновесия и может быть
записана в виде суммы квадратов
41ХуГ„, (87,9)
29*

452 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕДЛЕННЫХ НЕЙТРОНОВ С ЯДРАМИ [ГЛ. XII
где Yqj— нормальные координаты, связанные со смещениями из поло-
положений равновесия соотношениями
зд <87>10>
где М — масса ядра,
sin qn, если о. "> 0;
(87Л1)
F (qn) = ,
1 cos qn, если qs
eqjF(qn) — плоские стоячие волны с волновыми вектором q и поляри-
поляризацией у, определяемой тремя единичными взаимно ортогональными
векторами eqj для каждого вектора q. Вектор q определяется равен-
равенством
з
Е2к .
где bj—введенные в § 85 векторы обратной решетки; т^ — целые числа,
удовлетворяющие неравенству tt<J\j^-а- , У=1, 2, 3. Легко убе-
убедиться, что функции F (qn) удовлетворяют соотношению
F(qn)F(qn') = ^bnn,.
В дальнейшем для простоты записи вместо двух величин q и j
будем пользоваться одним индексом s~(q,j); тогда (87,10) примет
вид
Un= VmHe^F(bn)- (87,12)
Волновая функция, описывающая колебательное состояние, соответ-
соответствующее эне ргии 2 ^Vs ПРИ определенном наборе квантовых чисел
s
осцилляторов, будет иметь вид
~) — нормированная волновая функция осциллятора*) типа s.
полиномы Эрмита.

§ 87] УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ НЕЙТРОНОВ КРИСТАЛЛАМИ 453
Начальное состояние системы, состоящей из кристалла и нейтрона
с энергией -~— в нулевом приближении, можно изобразить волновой
функцией:
а конечное состояние
=Ф| у jexp
В борновском приближении вероятность перехода в единицу времени
начального состояния
возмущения (87,8) равна
из начального состояния гР„ в конечное состояние Ч*ь под влиянием
2т:
(b\V\a) b{Ea-Eb),
где
где
(я),
(87,13)
(87,14)
М^ (п) = j exp ji (k — k') es4sF (qn) ]/^} Ц ?V/Yr (S7>]5)
Если воспользоваться свойствами нормированных волновых функций
гармонического осциллятора, то можно показать [5], что
exp y-j
! {п
Матричные элементы (87,15) получаются из (87,16), если положить
Величина t -v. N~4*, поэтому в ряду (87,16) следует сохранять
только члены с наименьшими степенями t. При больших значениях N
вклад в вероятность, как будет показано ниже, дадут только члены:
(87,17)

454 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕДЛЕННЫХ НЕЙТРОНОВ С ЯДРАМИ [ГЛ. XII
где
= (*-*')«, /jj^. (87,18,
Вероятность перехода в единицу времени из состояния а в состоя-
состояние b с направлением волнового вектора нейтрона k', заключенным
в элементе телесного угла dQ, равна
)ba?EbdEb = I \ (b I v I а) I ?Ebd">
где р£ = ( ^ , плотность конечных состояний на единицу телесного
угла и единичный интервал энергии. Разделив dPba на скорость пада-
падающих нейтронов — и число ядер в кристалле /V, получим эффектив-
эффективное сечение рассеяния в единицу телесного угла, отнесенное к одному
ядру:
dii N B-J /И k
Нам необходимо вычислить эффективное сечение упругого рассеяния
(v^ = vy, |А?'| = |&|) нейтрона кристаллом. Для этого предварительно
вычислим Мг = JJ M^^g{n) M,ls^s (n). Подставляя (87,17) и учитывая
s
что при малом х: 1—х =^ е~х, получим:
Пользуясь определением функций F(qn) (87,11), можно при суммиро-
суммировании по 5 объединить попарно члены, отличающиеся только знаком
д3. Тогда учтя, что
получим:
|1£D)\ (87,20)
Для сравнения с экспериментальными результатами необходимо еще
усреднить (87,20) по всем начальным состояниям решетки. В резуль-
результате такого усреднения квантовые числа Vy в (87,20) надо заменить на
v^=^er —lj , где Т — температура кристалла в энергетических
единицах.
С помощью (87,20), (87,14), (87,5а) и (87,19) получим эффектив-
эффективное сечение упругого рассеяния нейтронов кристаллом, отнесенное

§ 87] УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ НЕЙТРОНОВ КРИСТАЛЛАМИ
к одному ядру:
_
dQ
N
— k')}
ехр (-2 ИР),
где
w~ 4-
455
(87,21)
(87,22)
Сечение (87,21) отличается от выражения, полученного в § 85,
для случая закрепленных в узлах решетки ядер множителем ехр (— 2 W),
зависящим от температуры и свойств кристалла. Этот множитель опре-
определяет уменьшение брегговского рассеяния из-за теплового движения
рассеивателей.
Величину W легко вычислить, использовав упрощенную модель
колебаний решетки — модель Дебая, в которой скорость звуковых волн
предполагается независимой от длины волны, направления распростра-
распространения и поляризации, т. е. полагается ws = <dgJ- = eg, где с — посто-
постоянная скорость звука. При этом в (87,21) легко выполнить суммирование
по поляризациям фононов. Учтя, что
= {k-k')\
получим:
где 2 обозначает суммирование по всем возможным частотам нормаль-
Q
ных колебаний. Учитывая, что в интервале со, co-f-fifco содержится
■г, 2 2
нормальных колебании определенной поляризации, можно пе-
перейти от суммы к интегралу и написать:
w — V^ (fe ~ k>J
2 BtiJ MNc*
где со определяется из условия
V
max
\ (s>2 dm — N
из которого
6тт!
следует, что (отах
лучим:
_ '6% (k - k'f
М/У п _ Г /Дсо\ , 1 - >
с -у . Подставляя v = ехр [ -=- J — 1 , по-
ехр
- 1

456 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕДЛЕННЫХ НЕЙТРОНОВ С ЯДРАМИ [ГЛ. XII
Полагая ^wmax = 0 (температура Дебая в энергетических единицах),
получим:
W|
где
г
DI " 1 i X иХ
е* — 1
о
При низких температурах, когда 7>>0, второе слагаемое в квадрат-
квадратных скобках (87,23) может быть заменено выражением
т; ^ 6
при высоких температурах (Т >> 0),
При упругом рассеянии \k — k' |2 = 4k2 sin2 -к-, где 9- — угол рассея-
рассеяния; поэтому (87,23) примет вид
W = -7uusin -о' Ьг+ IT D \-т)\ ■ (87,24)
Множитель W растет с ростом угла рассеяния, энергии нейтрона и
температуры кристалла и, как показывает формула (87,21), приводит к
ослаблению упругого когерентного рассеяния для всех углов рассеяния
■0^:0. При Т= f) Wno порядку величины равно ц/М, где }Л — масса нейт-
нейтрона, а М—масса рассеивателя. Следовательно, для тяжелых рассеи-
вателей множитель e~*w -^ 1 и существенно не влияет на интенсив-
интенсивность рассеяния.
Выполняя суммирование по п в (87,21) таким же образом, как
и в § 85, мы убедимся, что вклад в рассеяние будут давать значе-
ния х, связанные с углом рассеяния соотношением 2k sin -^ = 2пх; при
этом
где
а полное сечение упругого рассеяния (без рассеяния вперед)
-= 2тс2 , ,. ж-, 1 — 2W

§ 88]
НЕУПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ НЕЙТРОНОВ КРИСТАЛЛАМИ
457
§ 88. Неупругое рассеяние нейтронов кристаллами
с испусканием или поглощением одного фонона
Перейдем к вычислению неупругого рассеяния нейтронов, т. е. рас-
рассеяния, при котором нейтрон обменивается энергией с колебаниями
решетки. Как будет показано ниже, в области малых энергий наибо-
наиболее вероятными являются процессы испускания или поглощения одного
фонона. Поэтому вначале вычислим дифференциальное сечение рассея-
рассеяния нейтрона с испусканием (-]-) или поглощением (—) одного фонона
с волновым числом qa и частотой w3. Для этого надо вычислить квад-
квадрат матричного элемента (87,14) следующего вида:
\(b\V\a)\l =
здесь штрих над произведением указывает, что в нем отсутствует член
с s — a. Кроме того, (88,1) надо усреднить по всем начальным со-
состояниям кристалла. Эту операцию мы обозначим чертой над соответ-
соответствующей величиной.
Так как каждый множитель в произведении JJ' вследствие (87,17)
мало отличается от единицы, то можно положить
=exp{-2},
(88,2)
где W выражается формулой (87,22).
Из (87,17) следует, что |MVe_i,vJ2 получается из )Af.v+i,vJ2
заменой v,-f~l Ha V Поэтому в дальнейшем мы будем вычислять
сечение испускания нейтроном одного фонона (случай поглощения полу-
получится из формул испускания при замене V3-|-1 на v3). Учитывая
(87,11) и (87,17), запишем матричный элемент AU3+\^S в виде
М., +i, v =
е*1„я -\-е-{ча" , если {q3)t < О,
ча )? если (qJ3^>0;
тогда
(b\V\a)\+:
Знак плюс в фигурных скобках относится к случаю qgt
минус — к случаю, когда qat > 0.
\ (88,3)
0, а знак

458 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕДЛЕННЫХ НЕЙТРОНОВ С ЯДРАМИ [ГЛ. XII
Применяя те же рассуждения, что и в § 85, можно показать, что
= {-^^b(k — k'±q3 — 2ттт),
где т = 2 tjbj — вектор обратной решетки. При заданной разности
k — k' и при q3=^=0 только одна из двух дельта-функций отлична от
нуля. Поэтому можно написать:
{b\V\a)
\\г%^^\22 ). (88,4)
Из-за наличия дельта-функции в (88,4) можно заменить k — k' на
2ттт—qz; тогда получим:
\(b\V\a)\+ =
Bтст—q^)^z 2e~2w<ib (k— k'-\-q3— 2ттт), (88,5)
где в дебаевском приближении
W =—' ^т ~ ?3 - i [~ (~— i D \-— il
? 27WB л 4 ' V (=> У \ Т I \ '
Подставляя (88,5) и значение Л в (87,19), получим сечение неупругого
рассеяния нейтрона в единицу телесного угла в направлении k' с испу-
испусканием одного фонона с волновым вектором qz и поляризацией ez:
— 2ъх). (88,6)
MNBta,
Для вычисления полного сечения неупругого рассеяния с испусканием
одного фонона надо выражение (88,6) проинтегрировать по всем на-
направлениям рассеяния нейтронов (по направлениям к'). От направления
k' зависит в (88,6) только дельта-функция, поэтому надо вычислить
интеграл
2тс it
{к — к' 4- qa — 2ттт) sin OrfO.
Выберем направление полярной оси вдоль вектора 2ттТ — qa; тогда
компоненты по осям х и у этого вектора будут равны нулю. Далее
перейдем к переменным k'x = k' sin 0 cos tp, k'y = k' sin 6 sin cp; получим:
^ ' tb'\^ \ \ ^ X X' ' V V' » 2 2: I "o I/ i^r>c ft * ' ' '

§ 88] НЕУПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ НЕЙТРОНОВ КРИСТАЛЛАМИ 459
Абсолютное значение k' связано с k законом сохранения энергии
Далее из (88,7) следует, что <5> отлична от нуля, если ky — k' и
kx:=k'xh, поэтому
( — 2-i"А 2 = -L-/• icosfJl — !iil — 1
Таким образом,
<g> = i76N(^q=/ — | 2ttt — flr,|)f
а полное сечение рассеяния от монокристалла, отнесенное к одному
ядру:
Чтобы вычислить рассеяние от поликристаллического образца, надо
усреднить о+ по всем ориентациям монокристаллов или, что то же
самое, усреднить по всем направлениям k. От k зависит только дельта-
функция, поэтому надо вычислить интеграл
о о
Введем новую переменную
rfC СЛ sin О
тогда -те = —т— ; поэтому
Обозначая отнесенное к одному ядру усредненное по всем ориента-
циям монокристаллов сечение рассеяния с испусканием одного фонона
через а.+, получим:
° * " "~ ~" ~ %~™я. (88,8)
"*+""" MNBa>ok2 |2nx-93l
Аналогичным образом можно показать, что сечение рассеяния с погло-
поглощением одного фонона будет определяться формулой
- 2гЛ | а |2 (v7) | Bгех — qa) ez[2 2wu /qq Q\
-~~ MNBvM* [2i:x-eJ ' l ' '

460 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕДЛЕННЫХ НЕЙТРОНОВ С ЯДРАМИ [ГЛ. XI
Для вычисления измеряемых на опыте величин надо выражения (88,8)
и (88,9) просуммировать по всем возможным значениям абсолютной
величины вектора обратной решетки т. Возможные значения q и х
определяются законом сохранения импульса
k — k' = 2ixx — q (88,10)
и законом сохранения энергии
(*')• = *"+ ^!. (88,11)
В (88,11) знак минус относится к случаю испускания фонона, а знак
плюс — к случаю поглощения фонона. Из (88,10) непосредственно
следует, что т и q должны удовлетворять неравенству
\k — &'|<|2ттт — q\^k-\~k\ (88,12)
из которого при т = 0 вытекает q ^ k -f- k' или q2 -\~ кг — 2qk^(k')*.
Тогда в силу (88,11) для случая испускания фонона должно выпол-
выполняться неравенство
В дебаевском приближении (a = cq. Введя v= скорость падаю-
падающего нейтрона, преобразуем последнее неравенство к виду
Из этого неравенства следует, что при х = 0 невозможно испускание
фонона нейтроном, скорость которого меньше скорости звука. Поглоще-
Поглощение фонона в этом случае возможно только при выполнении неравенства
*1 2*2@ —v).
В связи с тем, что в решетке возможны только значения ^^^тах =
= -г, поглощение нейтроном фонона в кристалле с дебаевской
сП
температурой О и скоростью звука с возможно при х = 0 только в том
случае, если скорость нейтрона v удовлетворяет неравенству
Выполняя суммирование по трем направлениям поляризации, полу-
получим из (88,8) и (88,9):
2itt — ale

§ 88] НЕУПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ НЕЙТРОНОВ КРИСТАЛЛАМИ 461
Полученные выражения надо еще просуммировать по всем значениям
вектора q. Умножая эти выражения на
ЛГBтт) -idqldqzdqs = N Bтт)-8 sin0 db qz dq dy,
можно заменить суммирование интегрированием. Выбирем направление
вектора т за направление полярной оси и вводим вместо угла 0 новую
переменную X (— 1 ^ X <: 1) с помощью равенства |2тгт — Я\==- ^их4" >Я-
Возведя это равенство в квадрат:
q2 — 4-nzq cos 6 = 4-nxlq -j- l2q2,
получим:
Таким образом,
Вынесем из-под знака интеграла ехр (— 2"/^) при значении q = 0:
далее, выполняя интегрирование по X, найдем:
где X, и Х2 — пределы интегрирования по X. Они являются функциями
-с и q и в силу (88,12) определяются неравенствами:
В дебаевском приближении (o = cq, и сечение рассеяния с испуска-
испусканием фонона приобретает вид
- ^+2
(88,13)
При малых энергиях нейтрона верхний предел интегрирования ш1 опре-
(^J ч
деляется из закона сохранения энергии (о1 = —-— = -1-,гдег0 — энер-
энергия нейтрона до рассеяния (s0 < В); если энергия нейтронов е0 ^ в, то

462 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕДЛЕННЫХ НЕЙТРОНОВ С ЯДРАМИ [ГЛ. XII
и =-£- , однако в этом случае наряду с однофононными процессами
надо рассматривать и многофононные.
Таким образом, сечение рассеяния с поглощением фонона будет
определяться формулой
Для получения полных сечений рассеяния нейтронов с испусканием и
поглощением одного фонона следует просуммировать (88,13) и (88,14)
по всем возможным значениям векторов обратной решетки
Найденные формулы относятся только к рассеянию нейтронов кристал-
кристаллом одноизотопного состава с ядрами, имеющими нулевой спин. Если
волновой вектор нейтрона &<[тттт1п, где тпИп — наименьшее значение
длины вектора обратной решетки (в простой кубической решеткет^п^1/^,
то сечения упругого и неупругого рассеяния с испусканием одного фонона
будут равны нулю. Таким образом, рассмотренные явления рассеяния
будут наблюдаться только в том случае, когда энергия нейтрона
Покажем теперь, что при низких температурах и малых энергиях
нейтрона основную роль в неупругом рассеянии играют однофононные
процессы. Для этого достаточно оценить вероятное испускание двух
фононов. Вероятность испускания двух фононов будет пропорциональна
квадрату соответствующего матричного элемента:
(88,15)
Сравнивая (88,15) с (88,4) и учитывая, что при большом N имеет
место приближенное равенство ТТ'М„ = ТТ"^Ч v » мы убедимся, что
S S
квадрат матричного элемента для излучения двух фононов (88,15) со-
содержит лишний множитель:
Этим же множителем отличается вероятность однофононного излуче-
излучения от упругого рассеяния. Умножая / на число состояний фонона

§ 89] НЕУПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ПРИ МНОЖЕСТВЕННОМ РОЖДЕНИИ ФОНОНОВ 463
4гУ to2 rfco
^— и суммируя по состояниям поляризации, получим:
e/fc
о
При
Если принять во внимание, что @3тах = 6тт2с3гг и Л@ГПах = в, то
гг
Таким образом, при
и Т << В сечение рассеяния с испусканием одного фонона пропорцио-
нально -tj( тг ) . а сечение рассеяния с испусканием двух фононов про-
■Tij (-?!) . Поэтому при £0<<в при неупругом рассея-
рассеянии существенны только процессы с испусканием только одного фо-
фонона. С ростом энергии нейтрона становятся существенны и процессы
множественного рождения фононов. Эти процессы мы рассмотрим в
следующем параграфе.
§ 89. Неупругое рассеяние нейтронов кристаллами
при множественном рождении и поглощении фононов
Предположим, что конечное состояние кристалла, характеризуемое
набором квантовых чисел {v£}, отличается от начального состояния
{vs } более чем одним квантовым числом v's. Эффективное сечение рас-
рассеяния в единицу телесного угла (отнесенное к одному ядру) опреде-
определяется формулой (87,19):
где
g-S°>,(v, — v;)^'1, (89,2)
а квадрат матричного элемента
. (89,3)

464 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕДЛЕННЫХ НЕЙТРОНОВ С ЯДРАМИ [ГЛ. XII
Как показано в предыдущем параграфе, при малых энергиях нейтрона
возможны только однофононные процессы. Множественное излучение
фононов существенно при е0 ^> в.
Рассмотрим нейтроны с энергией ео = ——, при которой kd>>\.
В этом случае интерференционные явления несущественны, так как
структурные множители
и (89,3) можно записать в виде
(89,4)
где матричные элементы Mv,v берутся при одном фиксированном зна-
S S
чении я, которое для удобства можно выбрать равным нулю. Тогда
функция F(qn) согласно (87,11) будет иметь только два значения:
F(qn)= { Г» ЧзСп
v ' ( 1, если <73 ^ и.
В связи с тем, что матричные элементы УИЧ +0 v в силу (87,16) про-
пропорциональны ч (£ —k')esl/ -шт—( , в (89,4) существенны только
элементы уИу v > уИу +1>v ) A/v _t v .
Чтобы упростить выкладки, дальнейшие вычисления проведем для
модели эйнштейновского кристалла, т. е. предположим, что все фононы
решетки обладают одной частотой: (о(^) = а)о.
„. / da \ , ,
Рассмотрим сечение [ -щ \ , соответствующее испусканию / фо-
фононов. При /<<Л/ согласно (88,2)
Подставляя | А |2 из (87,5 а) и
'da \ \a \2k'
и .
S
e-2W
+ Ь V5
м
из
ч s + ]
(87,
.»*
17),
12/
1 •
имеем:
где
Усредним полученное выражение по начальным состояниям и просумми-
просуммируем по всем конечным состояниям Ь, обладающим одинаковой энер-
энергией. Получим:

§ 89] неупругое рассеяние при множес гвенном рождении фононов 465
здесь 2 обозначает суммирование по состояниям поляризации фононов
b
и по всем возможным типам испускаемых фэнонов (при q3 ^ 0). Сумми-
Суммирование по поляризациям дает ^[(р—р') es]2 = (р—р')*. Суммиро-
Суммирование по всем возможным типам фононов сводится к умножению одного
из слагаемых суммы (они все одинаковы) на (Л) (-к-) , так как из
Nj2 типов фононов, соответствующих Nj2 возможным значениям век-
вектора q (при <7а ^ ^)> можно выбрать / фононов (Л) ("о") способами.
Итак,
dJL
где а—длина рассеяния на одном ядре; W — определяется формулой
(87,22);
^1
(89,6)
\ \ ' ) j
Если R = -\ "~Р - <^ 1, то из (89,5) следует, что наиболее вероятным
будет упругое рессеянпе, а рассеяние с испусканием /фононов будет в
— R1 раз менее вероятно. Если же R^> 1, то вероятность упругого
рассеяния мала, а вероятность рассеяния с испусканием / фононов вна-
вначале возрастает с ростом / вплоть до Imax = [R]—1, где [R] озна-
означает наибольшее целое число, заключенное в R, а затем снова падает
при дальнейшем возрастании /^>/mav. В связи с тем, что R ^—^Л—,
max Mt(oQ
излучению многих фононов благоприятствуют возрастание отношения
энергии нейтрона е0 к энергии фонона Aw0 и малые значения масс
рассеивающих ядер. Множественному рождению фононов благоприят-
благоприятствует также возрастание температуры кристалла из-за возрастания v.
Эффективное сечение рассеяния, связанное с поглощением X фоно-
фононов, получается аналогичным путем и имеет вид
(897)
Это сечение быстро стремится к нулю при понижении температуры
кристалла из-за уменьшения "v.
Легко также получить эффективное сечение рассеяния, при кото-
котором излучается / фононов, а поглощается X фононов:
Г 2и 1 '/2
\ k— -г-(оа{1— X) e~*W ,
\duJl+yX_ — \a\ Ъ Ш\ {H) ' (sy>8)
30 А. С. Давыдов

466 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕДЛЕННЫХ НЕЙТРОНОВ С ЯДРАМИ [ГЛ. XII
Введем сокращенные обозначения:
:=v#; (89,9)
тогда (89,8) примет вид
w —e'twm' (89-10)
В эйнштейновской модели кристалла W имеет вид
= 1^.(89,11)
Если нас интересует сечение рассеяния, соответствующее определен-
определенному изменению волнового числа нейтрона, например / — Х = ги k' =
— kr= у kz—T"wor' т0 над0 просуммировать (89,10) по всем зна-
значениям / и X, удовлетворяющим равенству / — \ = г. Таким образом,
-I / ^2 — о) Г
I/ %
Y л — 2 IK'
При низких температурах v«l, следовательно, ^с<<1, и сечение
рассеяния (89,12) примет вид
Учитывая (89,9), мы убедимся, что формула (89,13) совпадает с (89,5).
Это указывает, что при низких температурах нейтрон может уменьшать
свою энергию, только испуская фононы.
Для исследования другого предельного случая — высоких температур
(когда 7>>1), удобно выразить (89,12) через функцию Бесселя пер-
первого рода. Пользуясь равенством
ff^fsji
и учитывая, что при V>>1 b^c, можно написать:
*rL W"'l2<*J

§ 90] ПОКАЗАТЕЛЬ ПРЕЛОМЛКНИЯ НЕЙТРОННЫХ ВОЛН 467
Теперь сечение рассеяния (89,12), соответствующее потере нейтроном
энергии гшй в результате испускания и поглощения фоионов, примет
вид
А2 _LW „ '2 O-2W
@-ЛBй). V»l. (89,14)
При r<i2b и £>2 формула (89,14) может быть еще более упро-
упрощена, если использовать приближенное равенство:
{i)~rJr (Ш) =а —~ ехр
и учесть, что согласно (89,11) при 6 = с W=b. Тогда
9
при
§ 90. Показатель преломления нейтронных волн в веществе
Исследуем прежде всего взаимодействие нейтронной волны с иде-
идеальным кристаллом. Покажем, что если длина волны нейтронов зна-
значительно больше расстояний между соседними атомами в кристалле, то
взаимодействие нейтрона с кристаллом можно описать, заменив кристалл
непрерывной средой с показателем преломления нейтронов п. В этом
случае k << тттт1п и согласно результатам, полученным в § 85, отсут-
отсутствует упругое рассеяние нейтронных волн во все направления, кроме
направления вперед.
Уравнение Шредингера для нейтронов в кристалле можно записать
в виде
— %J*b-{-V{r)<b = Eb, (90,1)
где V (г) — потенциальная энергия нейтрона. Взаимодействие между
нейтроном и кристаллом выразим через псевдопотенциал Ферми (§ 87),
г. е.
^е-) = ^гЕ«/*(г-гу), (90,2)
где суммирование распространяется на все ядра кристалла; af — длина
когерентного рассеяния медленных нейтронов у'-м ядром; г;- — радиус-
вектор, определяющий положение этого ядра в кристалле. Для про-
простоты в дальнейшем мы будем предполагать, что все ядра кристалла
тождественны и не обладают спином. Подставив (90,2) в (90,1),
30*

468 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕДЛЕННЫХ НЕЙТРОНОВ С ЯДРАМИ [ГЛ. XII
получим уравнение
kz'b = — 4тт 2 аЬ (г — г;.) ф, (90,3)
где & = fi'^Zy-E — волновой вектор нейтрона в вакууме.
Если длина волны нейтрона значительно больше расстояния между
ядрами, то можно усреднить потенциальную энергию (90,2) по объему
кристалла. Заменим суммирование по j в (90,2) интегрированием по
объему:
где Л/о — число ядер в единице объема кристалла; получим:
l/= a/Vft.
Уравнение Шредингера с усредненной таким образом потенциальной
энергией примет вид
Его решение изображается плоской волной о>=се1/(г с волновым век-
вектором, определяющимся через длину рассеяния соотношением
К2 = /г2 — 4ть¥0а. (90,4)
В общем случае длина рассеяния комплексна, а=я-\-1$, поэтому
волновой вектор К будет также комплексным.
Определим показатель преломления п и коэффициент поглощения х
с помощью равенств
1
k ' ' \ ■>>
При условии х << k, подставляя (90,4) в (90,5), получим простые
формулы для показателя преломления и коэффициента поглощения:
п = Y\ ■—4ттЛГаАГ2,
х = — 4nN${kz — 4ттЛ^0а)~'■■'». (90,5а)
Длина рассеяния медленных нейтронов для большинства ядер положи-
положительна, поэтому п<^\. Мнимая часть длины рассеяния р <^ 0.
Перейдем теперь к исследованию взаимодействия нейтронов с си-
системой ядер, произвольно расположенных в пространстве. Строгое изу-
изучение взаимодействия нейтрона с системой многих ядер очень сложно,
так как относится к проблеме многих тел. Однако приближенно это
взаимодействие можно свести к задаче многократного рассеяния на от-
отдельных рассеивателях. При этом решение сложной проблемы многих тел
выразится через свойства индивидуальных рассеивателей. Обычно такое
приближенное рассмотрение базируется на двух предположениях:

§ 90] ПОКАЗАТЕЛЬ ПРЕЛОМЛЕНИЯ НЕЙТРОННЫХ ВОЛН 469
1) свойства индивидуальных рассеивателей не изменяются связью
между ними;
2) координаты, определяющие положение рассеивателей, рассмат-
рассматриваются как адиабатические параметры, т. е. рассеяние вычисляется
при фиксированных положениях ядер, а затем результат усредняется
по распределению координат рассеивателей во времени или в конфи-
конфигурационном пространстве. Это предположение оправдывается, если
смещение рассеивателей за время периода излучения мало по сравне-
сравнению с длиной рассеянной волны.
Предположим для простоты, что система состоит из тождественных
ядер, не обладающих спином. Взаимодействие каждого ядра с мед-
медленным нейтроном характеризуется, вообще говоря, комплексной длиной
рассеяния (см. § 84). Положения ядер определяются радиусами-векто-
радиусами-векторами гр г2, ..., rN. Пусть функция P(rv г2, ..., rN)(dr), где
(dr) = йглйгг. .. drN, определяет вероятность того, что ядро 1 нахо-
находится в элементе объема dri в точке rt, ядро 2— в элементе объема
drt в точке г2 и т. д. Если /(г,, ... , rN) — некоторая функция от
Tj, г2, ... , rN, то ее среднее значение по распределению Р (конфи-
(конфигурационное усреднение) определим интегралом
</>=$/(/■„ ..., rN)P(rv ..., rN)(dr). (90,6)
Пусть падающая нейтронная волна изображается функцией ср (г),
удовлетворяющей уравнению
(Д + *«)<р(г) = О. (90,7)
Рассеянная всеми ядрами волна будет функцией точки наблюдения г
и координат всех ядер: Ф = Ф (г, гл,гг, ..., rN). Нас будет интересовать
среднее значение по распределению ядер квадрата модуля полной вол-
волновой функции, которое можно представить в виде
Из этого выражения следует, что рассеяние, определяемое <Ф>,
является когерентным, так как оно интерферирует с падающей вол-
волной ср. Рассеяние же, определяемое выражением < | Ф |2>— | <Ф> |2,
является абсолютно некогерентным. Если тождественные ядра занимают
строго фиксированные положения, то Ф=<Ф> и все излучение будет
когерентным, конечно, за исключением некогерентности, обусловленной
самим индивидуальным излучателем (§ 85).
Согласно § 43 общее решение уравнения, описывающего рассеяние
&2
волны <р (г) на потенциале V (г) = к- и (г), можно представить в виде
Ф (г) = ср (г) - JL j j^rzyY a ir') Ф (г') (dr). (90,8)
При исследовании рассеяния медленных нейтронов в качестве потенци-
потенциальной энергии взаимодействия можно использовать псевдопотенциал

470 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕДЛЕННЫХ НЕЙТРОНОВ С ЯДРАМИ [ГЛ. XII
Ферми, т. е. положить м(г) = 4тта§(г — rj), где гу— координата рас-
рассеивающего ядра, и решать интегральное уравнение (90,8) в первом
борновском приближении. Тогда получим:
Ф (г) = <р (г) + aF (г, rj) у (ry), (90,9)
где
ik \r — rj\
F(r, О) = --|7^77Т- (90Л0)
Первое слагаемое в (90,9) представляет собой падающую волну, а вто-
второе — рассеянную. Следовательно, можно написать:
Фрасс = «/7(Л Гу)<р(Гу). (90,11)
Таким сбразом, оператор aF(i', rj) «превращает» падающую на ядро
волну ср (Гу) в рассеянную волну.
Применим соотношение (90,11) к системе рессеивателей. На каждое
ядро j будет действовать волна, равная сумме падающей и рассеянных
волн от всех остальных ядер, т. е.
Фу. (гу) = <р (гу) -\~%aF (г,, г,) Ф, (г,). (90,12)
Рассеянная каждым ядром волна вместе с падающей дадут суммарную
волну:
Ф (г) = y(r)-\- %aF (г, rj) Фу (гу). (90,13)
Система уравнений (90,12), (90,13) является основной системой урав-
уравнений многократного рассеяния медленных нейтронов на ядрах.
Так же как и в оптике, в нейтронной физике показатель прелом-
преломления вещества но отношению к нейтронной волне определяется изме-
изменением фазовой скорости (длины волны) суммарной (падающей плюс
все рассеянные) волны в веществе, возникающим из-за разности фаз
между падающей и рассеянными волнами. Таким образом, для опреде-
определения показателя преломления вещества надо исследовать только ко-
когерентную часть волн.
Найдем уравнение, определяющее закон распространения когерент-
когерентных волн <Ф> в веществе. Для этого проведем конфигурационное ус-
усреднение системы уравнений (90,12), (90,13). Получим:
N
<ф(Г)>==Ср(Г)+ £ а \ F (г, Г/)^^<Ф/(г/)>/(йг);, (90,14)
где
<Ф,- (/-,.)>,. = J Фу (г,) Р (г,; гр г2, ..., rN) [dr),;
= dr/t { Г Г1« Г2> • • • » rN)

§ 90] ПОКАЗАТЕЛЬ ПРЕЛОМЛЕНИЯ НЕЙТРОННЫХ ВОЛН 471
— условная вероятность, определяющая при данном значении г, рас-
распределение всех остальных ядер; N0(rj) = NP(rj)—средняя плотность
ядер в точке г-. Учитывая тождественность ядер, уравнение (90,14)
можно записать в виде
<Ф (г)> = <р (г) + а \ F (г, rj) No (Г/) <Ф,- (r,-)>, (dr)j. (90,15)
Функция <Фу (Гу) >у представляет собой поле, действующее на ядро jf
усредненное по всем возможным конфигурациям остальных ядер. Оно
отличается от среднего поля полем, излучаемым одним рассеивателем.
Приближенно можно заменить <Фу(гу)>у средним полем, т. е. положить
<Ф;-(г7)>у =^ у<Ф (гу)> ^= <Ф (гу)>, так как множитель у, учитывающий
отличие действующего поля от среднего, равен 1 с точностью до чле-
членов порядка N~x. В этом приближении уравнение (90,15) примет вид
<Ф (г)> = ср (г) + a J Мо (гу) F (r, rj) <Ф (ф (dr)f.
Подействуем на полученное интегральное уравнение оператором Д —f— Л»2;
тогда, принимая во внимание (90,7) и {\-{-k2) F(r, rj)=ud(r —rj),
получим:
0, (90,16)
где
K2{r) = k2 — 4тхК0(г)а. (90,17)
Итак, когерентная часть волны <Ф> удовлетворяет волновому уравнению
(90,16) с волновым вектором К., зависящим от длины рассеяния на
каждом ядре и средней плотности ядер, которая, вообще говоря,
является функцией координат. Если No (г) = const, то уравнение (90,17)
совпадает с (90,4). При этом показатель преломления и коэффициент
поглощения нейтронов веществом определяются соответственно форму-
формулами (90,5а).

ГЛАВА XIII*
ОПТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЯДЕРНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ
ПРИ МАЛЫХ ЭНЕРГИЯХ
§ 91. Рассеяние нуклонов ядрами как многократное рассеяние
Теория взаимодействия нуклона со сложным ядром относится
к задаче многих тел. Как хорошо известно, задача многих тел не
решается точно ни в классической, ни в квантовой механике. В клас-
классической механике, астрономии, теории атомов и твердых тел были
развиты приближенные методы решения таких задач, основанные на
теории возмущений. В теории ядра эти методы оказались мало при-
пригодными из-за большой величины ядерных взаимодействий; поэтому
пришлось широко использовать различные модельные представления
о ядре, чтобы описать те или иные его свойства. Одной из таких
моделей является оптическая модель ядерных взаимодействий, пред-
предложенная в работах [9—12] для описания ядерных реакций с нейтро-
нейтронами, имеющими энергию, меньшую 3 Мэв. В дальнейшем эта модель
с успехом применялась и для описания взаимодействия с ядрами
нейтронов и протонов ббльших энергий B0—30 Мэв).
В оптической модели ядерных взаимодействий задача многих тел
заменяется более простой задачей изучения движения одного тела
в некотором эффективном потенциальном поле, т. е. задача многих
тел сводится к проблеме одного тела. Теоретическому обоснованию
этой возможности посвящены работы [13—15].
В § 90 было показано, что взаимодействие кристалла с нейтро-
нейтроном, длина волны которого превышает расстояние между соседними
атомами, можно приближенно описать, заменив кристалл непрерывной
средой с комплексным показателем преломления. Такое описание позво-
позволяет исследовать прохождение когерентной части волны через кристалл.
В этой главе будет показано, что прохождение нуклона через
ядерное вещество также можно исследовать с помощью введения
комплексного показателя преломления ядерного вещества (комплекс-
(комплексный потенциал). При таком описании взаимодействие нуклона с ядром
естественно разделяется на упругое рассеяние без образования со-
составного ядра (обусловленное вещественной частью потенциала) и все

§91] РАССЕЯНИЕ НУКЛОНОВ ЯДРАМИ КАК МНОГОКРАТНОЕ РАССЕЯНИЕ 473
остальные процессы, протекающие через стадию составного ядра
(обусловленные мнимой частью потенциала).
Предположим, что На есть оператор Гамильтона ядра, <£п и сря (£) —
его собственные значения и собственные функции, так что
"А<Р»E) = *В<РИE); (91,1)
здесь индексом п отмечена совокупность всех квантовых чисел, оп-
определяющих внутренее состояние ядра. Пусть, далее,
К=-|Л (91,1а)
— оператор кинетической энергии относительного движения ядра и
внешнего нуклона; и. = Ж . ■ — приведенная масса; А — массовое
число ядра; М — масса нуклона.
Собственные функций и собственные значения оператора
К определяются уравнением
klkAr) = 4l^(r), (91,2)
где ek = — энергия относительного движения; k — волновой век-
вектор; v — совокупность квантовых чисел, характеризующих спин нук-
нуклона, полный спин ядра и т. д.
Уравнение Шредингера для стационарного состояния системы,
состоящей из ядра и внешнего нуклона и имеющей полную энергию
£й = <£0 + £*> (91,3)
будет
(^o + ^)^a = ^A (91,4)
где Н0 = НА-\-К; а = {0, &, v}; V — энергия взаимодействия внеш-
внешнего нуклона с ядром.
Предположим, что можно написать:
^=2 ^ (91,5)
<х= 1
где Va— энергия взаимодействия внешнего нуклона с одним из нук-
нуклонов ядра. Если падающим нуклоном является нейтрон, то его
взаимодействие с нуклонами ядра не зависит от электрического заряда
нуклонов (гипотеза зарядовой независимости ядерных сил). Если
падающим нуклоном является протон, то наряду с зарядово-независи-
мыми ядерными силами надо учесть кулоновское взаимодействие с
ядром. Кулоновское взаимодействие медленно убывает с расстоянием,
поэтому падающая и рассеянная волны искажаются кулоновским по-
полем ядра даже на бесконечном расстоянии (если не учитывать экра-
экранировки кулоновского поля ядра атомными электронами). Рассеяние

474 ОПТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЯДЕРНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ [ГЛ. ХШ
в кулоновском поле и влияние кулоновского поля на рассеяние, обус-
обусловленное ядерными силами, может быть учтено точно (см. § 64).
Чтобы не усложнять вычислений в этой главе, будем учитывать только
специфические ядерные взаимодействия между падающим нуклоном и
ядром; поэтому полученные результаты будут непосредственно отно-
относиться к рассеянию нейтронов ядрами.
Обозначим Фл=ср0^ — волновую функцию начального состояния,
соответствующую бесконечному удалению нуклона и ядра, обладаю-
обладающего энергией Еа. Вероятность перехода (рассеяния) в единицу вре-
времени из состояния Фа в конечное состояние Фь = у0Х&ч' определяется
согласно общей теории рассеяния (см. главу IX) формулой
Рьа=2^ЧЕа~Еь)\ТЬа\\ (91,6)
где амплитуда вероятности перехода под влиянием взаимодействия V
выражается матричным элементом
Входящая в (91,7) волновая функция 4sa является решением уравне-
уравнения (91,4), асимптотический вид которого при больших г предста-
представляет суперпозицию падающей Фд и уходящей (рассеянной) волн.
Такое решение можно записать в виде интегрального уравнения
(см. § 62)
Фв=Фв + О-1ИРв, (91,8)
где D—интегральный оператор с ядром, являющимся функцией
Грина оператора Еа — /Уо;
H0). (91,9)
Малое положительное число tj вводится в (91,9) для того, чтобы во
втором слагаемом в (91,8) присутствовали только уходящие волны.
После вычисления соответствующих интегралов надо перейти к пре-
пределу 7) —► 0.
Если ввести оператор Q с помощью соотношения
и положить
T==VQ, (91,11)
то матричный элемент (91,7) примет вид
а уравнение (91,8)
1Кв=Фв + О-7-фв. (91,13)

§91] РАССЕЯНИЕ НУКЛОНОВ ЯДРАМИ КАК МНОГОКРАТНОЕ РАССЕЯНИЕ 475
Это уравнение показывает, что Ч;а можно представить в виде
суммы падающей волны Фа и рассеянной волны
l^a/pacc * а-
Таким образом, оператор D~lT «превращает» падающую волну Фа в
рассеянную.
Подставляя (91,10) в (91,8), мы убедимся, что оператор й дол-
должен удовлетворять операторному уравнению
Й=1+^И^, (91,14)
а оператор Т — уравнению
T=V-\-VD~lT. (91,15)
Введем теперь по аналогии с (91,15) новый вспомогательный опера-
оператор ta, определяющий эффективное • рассеяние падающего нейтрона
на одном нуклоне ядра, с помощью интегрального уравнения
из которого следует, что
Va = te{\+D-1t^-1. (91,17)
Пользуясь (91,5) и подставляя (91,17), преобразуем операторное урав-
уравнение (91,14) к эквивалентной системе операторных уравнений:
здесь знак штрих у суммы указывает, что в сумме отсутствует член
с р = а.
Умножая правую и левую части (91,18) справа на Фа и вводя обо-
обозначение Ч;ав = 12,Фа, получим систему уравнений:
'»=<!>« +2 »-''Л1
™,
Первое из уравнений (91,19) указывает, что волна lVa является супер-
суперпозицией падающей волны и волн D~Va4;,e, рассеянных каждым нукло-
нуклоном ядра; при этом волна Ч;зд, рассеиваемая нуклоном а, в свою оче-
очередь, как следует из второго уравнения (91,19), равна сумме падающей
волны и волн, рассеянных всеми остальными (кроме а) нуклонами.
Следовательно, это уравнение определяет эффективное волновое поле,
действующее на каждый нуклон в ядре. Уравнения (91,19) позволяют
выразить полное рассеяние через свойства отдельных рассеивателей и
структуру всей системы.

476 ОПТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЯДЕРНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ [ГЛ. XIII
При выводе (91,19) существенно использовалось предположение,
что взаимодействие падающего нейтрона с ядром можно представить
в виде суммы (91,5) потенциальных энергий взаимодействий с каждым
нуклоном ядра. Такое упрощение возможно только в нерелятивистском
приближении и при условии малой роли многочастичных сил.
§ 92. Когерентное и некогерентное упругое рассеяние нейтронов
ядрами
При упругом рассеянии нуклонов ядрами внутреннее состояние ядра
не меняется. Поэтому упругое рассеяние согласно (91,7) определяется
матричным элементом
Тъа = (ф»> TiK) = (Х*м. <7> X*v), (92,1)
здесь и в дальнейшем скобки <...> обозначают диагональный матрич-
матричный элемент по начальному состоянию <р0 ядра от величины, стоящей
внутри скобок, т. е. <Г> ее (ср0, 7^ср0). Для вычисления (92,1) надо
знать <Т>. Оператор <Г> определяет полное упругое рассеяние, кото-
которое равно сумме упругого рассеяния, проходящего через стадию состав-
составного ядра, и упругого рассеяния без образования составного ядра. Для
выделения упругого рассеяния без образования составного ядра вычис-
вычислим матричный элемент <й>.
Для вычисления <й> усредним по начальному состоянию ядра систему
уравнений (91,18); тогда получим:
<Q> = l+fi-2«A>. )
I (92,2)
<Qe>=l+fl-12'<^?>.
> )
где
B = tk+iTi — kr (92,3)
Операторы <Q> и <Qa> действуют только на переменные г и hi не
зависят от переменных, характеризующих внутреннее состояние ядра.
Следует, конечно, отметить, что сами операторы ta, ila зависят от
координат нуклона а в ядре. При усреднении же по начальному состоя-
состоянию получаются, однако, величины <^а>, <£2я> и <^айа>, которые не
зависят от индекса а, так как функция <р0 антисимметрична относи-
относительно одновременной перестановки пространственных, спиновых и за-
зарядовых координат любой пары нуклонов ядра.
Разобьем <^вйа> на две части следующим образом:
<'A>=<'«><Я> +*, (92,4)
где
здесь знак штрих у суммы обозначает, что в сумме опущен член
с л = 0.

§ 92] КОГЕРЕНТНОЕ И НЕКОГЕРЕНТНОЕ УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ НЕЙТРОНОВ ЯДРАМИ 477
Упругое рассеяние, определяемое членами <^а> <йа>, называется
когерентным упругим рассеянием. Члены Ь определяют часть упру-
упругого рассеяния, обусловленную рядом последовательных неупругих
рассеяний, в результате которых нуклон покидает ядро, не изменяя
начального состояния ядра. Поскольку волны, рассеянные двумя цент-
центрами, не интерферируют между собой, если один из них меняет свое
состояние, то упругое рассеяние, происходящее в результате несколь-
нескольких последовательных неупругих процессов, называется некогерен-
некогерентным.
Большой успех оболочечной модели ядра и данные по рассеянию
нейтронов с энергией, меньшей 3 Мэв, для средних и тяжелых ядер
указывают на значительную вероятность прохождения нейтрона через
ядерное вещество без образования составного ядра и, следовательно,
на большую роль когерентного рассеяния в упругом рассеянии* Так,
эксперименты по упругому рассеянию указывают на большую вероятность
этого процесса; согласно же гипотезе составного ядра упругое рас-
рассеяние через составное ядро является маловероятным событием.
Для объяснения большой роли когерентного рассеяния в упругом
рассеянии нейтронов обычно приводят следующие качественные сообра-
соображения; при малых энергиях нейтрона неупругому рассеянию препятствует
принцип Паули, так как при рассеянии с малым изменением энергии
нуклон попадал бы в уже занятое состояние. К неупругому рассеянию
будут приводить лишь такие столкновения нуклонов, при которых они
оба смогут попасть в незанятые состояния, т. е. в состояния, лежащие
над поверхностью Ферми. Следовательно, в некогерентном рассеянии
медленного нейтрона могут принимать участие только нуклоны ядра,
занимающие состояния вблизи поверхности Ферми. Поэтому естественно,
что некогерентное упругое рассеяние, включающее с необходимостью
ряд последовательных неупругих столкновений, будет менее вероятно,
чем когерентное упругое рассеяние, происходящее уже и при одном
столкновении.
Некогерентное рассеяние быстрого нуклона возможно при значительном
изменении состояния нуклона в ядре. Чтобы такое рассеяние было упругим,
необходимо несколько последовательных неупругих столкновений, таких,
чтобы в результате последнего столкновения ядро перешло в началь-
начальное состояние. Такой процесс, приводящий к упругому некогерентному
рассеянию, маловероятен. Значительно более вероятным будет то, что
произойдет один из многочисленных неупругих процессов, конкурирую-
конкурирующих с упругим рассеянием. Упругое же рассеяние в основном будет
когерентным.
Приведенные выше качественные соображения позволяют надеяться,
что некогерентное упругое рассеяние нуклонов ядрами в некоторой
области энергий можно рассматривать как возмущение и в первом при-
приближении учитывать только когерентное рассеяние. Вычисляя эффект
некогерентного упругого рассеяния методом теории возмущений, можно
оценить ошибку, вносимую при пренебрежении этим эффектом.

478 ОПТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЯДЕРНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ [ГЛ. XIII
§ 93. Когерентное упругое рассеяние и эффективный
комплексный потенциал
В этом параграфе мы будем предполагать, что упругое рассеяние
является только когерентным, т. е. положим в первом приближении
Тогда система уравнений (92,2) перейдет в систему уравнений:
2'</?><Q?>. (93,2)
Введем упрощающее предположение, обычно используемое во всех
теориях многократного рассеяния, о пропорциональности среднего эффек-
эффективного поля полному когерентному полю, т. е. положим <12а> = у <^>,
где у — постоянная величина с точностью до членов порядка Л, совпа-
совпадающая с единицей. В этом случае уравнение (93,1) перейдет в уравнение
<&>= 1 +£-1£/<й> =5 1 +£-1Гу, (93,3)
где
y (93,5)
Оператор <Q> позволяет вычислить волновую функцию упругою
когерентного рассеяния 4sl^(r) для каждой «падающей» волны Фа:
Ч»1 = ФХ,(г)(рвE) = <Й>Фв. (93,6)
Матричный элемент, определяющий сечение когерентного упругого
рассеяния, вычисляется с помощью одного из равенств
Па = (Ф», туФа) = (Фь, и <у> Фа) = aW, ич?Ъ).
Согласно (93,3) функция 4sl., должна удовлетворять интегральному
уравнению
4*L = X*v-H-WL (93,7)
Интегральному уравнению (93,7) соответствует дифференциальное урав-
уравнение
(Kr-\-U— eAL»j[, = O (93,8)
с граничным условием: при г —»■ оо Ч1^ должна переходить в сумму
падающей и рассеянных волн. Подставляя выражение оператора К и sA,
перепишем (93,8) в виде
Дг-1^4-^)^ = 0. (93,8а)

§ 93] КОГЕРЕНТНОЕ УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ 479
Пользуясь (91,16) и (93,4), представим потенциал, «ходящий в урав-
уравнение (93,8а), в следующем виде:
03,9)
где £:„ и Фп — собственные значения и собственные функции опера-
оператора Ио\ р(Еп) — плотность числа состояний в области энергий Еп.
Потенциальная энергия U, определяемая (93,9), является функцией
энергии (или k') относительного движения нейтрона и ядра и их отно-
относительного расстояния:
U = U{k, r).
Предположим, что ядро имеет большие размеры; тогда, пренебрегая
поверхностными эффектами и предполагая, что плотность ядра посто-
постоянна, можно описать свойства ядерного вещества по отношению к дви-
движению внешнего нейтрона показателем преломления, зависящим только
от волнового числа k, т. е. положить U = U{k). В этом случае в им-
импульсном представлении оператор потенциальной энергии изобразится
диагональной матрицей
а в координатном представлении этот оператор будет функцией разно-
разности координат:
(r'\U\r)=/(r-r').
При постоянном значении потенциальной энергии U внутри ядра
решение (93,8а) можно искать в виде плоской волны с соответствую-
соответствующими граничными условиями на поверхности ядра
4*L = Cexp(tyr), (93,10)
где постоянная С выбирается так, чтобы выполнялось условие норми-
нормировки
Подставляя (93,10) в (93,8а), получим уравнение, связывающее
волновые векторы нейтрона q и k соответственно внутри и вне ядра:
q2 = k2 — u, (93,11)
где

480 ОПТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЯДЕРНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ [ГЛ. XIII
Введем показатели преломления п и поглощения х с помощью
соотношений
n = -jRcq, x = 2\mq. (93,12)
Таким образом, движение нуклона в ядерном веществе, соответствую-
соответствующее когерентному рассеянию, описывается плоскими волнами, распро-
распространяющимися в «сплошной» среде, характеризуемой определенными
показателями преломления и поглощения, зависящими от длины волны
(энергии) нейтрона. Эти величины характеризуют коллективное взаимо-
взаимодействие всех нуклонов ядра с данным нуклоном, так как плоская-
волна (93,10), отображающая движение нуклона, является суперпози-
суперпозицией всех когерентно рассеянных волн от каждого нуклона ядра.
Из (93,12) и (93,11) следует, что
±
(93,13)
Если выполняется неравенство х << k, то показатель преломления ядер-
ядерного вещества определяется из (93,12) простой формулой
(93,14)
Показатель поглощения (93,13) непосредственно определяет макроско-
макроскопическое эффективное сечение 1л/>2 всех процессов, ведущих к ослаб-
ослаблению первоначального пучка частиц:
2. = N.Gin = x— rim и,
in l ln nk '
где N1 — число нуклонов в единице объема. Соответствующая вероят-
вероятность переходов в единицу времени в единице объема вещества полу-
получится при умножении 1in на плотность потока частиц в ядерном
веществе
^ f (93,15)
Соотношение (93,15) является частным случаем общей теоремы,
связывающей вероятность всех процессов рассеяния с упругим рассея-
рассеянием в первоначальном направлении. Как уже отмечалось ранее, всякое
рассеяние (упругое и неупругое, включая ядерные реакции) должно
сопровождаться ослаблением волны, движущейся в первоначальном на-
направлении. Такое ослабление вызывается соответствующей интерферен-
интерференцией падающей волны с упруго рассеянной волной, движущейся в том
же направлении. Этим и объясняется связь упругого рассеяния вперед
с общей вероятностью всех других процессов рассеяния. Приведем
здесь доказательство этой важной теоремы.

§ 93] КОГЕРЕНТНОЕ УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ 481
Матричный элемент оператора (93,5) упругого когерентного рассея-
рассеяния вперед при учете (93,6) может быть записан в виде
Па = (Фв, ТуФа) = (<Dfl, U4% (93,1 6)
где
(93,17)
Подставляя значение Фа из (93,17) в (93,16) получим:
Раа = (ЧЧ UVI) - D*1, tfB-Wa)*, (93,18)
где #=sa — Kr-\-ir{. При написании (93,18) мы использовали равен-
равенство
Взяв мнимую часть от обеих сторон равенства (93,18) и используя
соотношение
lim и _™+T« = **(Sa—*г).
получим:
Im Tla = Im (Ф1, LWl) - тт (ф£, t/+5 (se — ДГГ) U4*D*. (93,19)
Полагая 4fI = <po4;j£v и учитывая то, что оператор (У не действует на
внутренние координаты ядра, имеем:
Далее, поскольку 4sl = <i2> Фа и Гу = /7<й>, можно написать:
(VI иЧ (sa - к,) W4)* = «а> Фв, £/з (8в - кг) и <а> фл)* =
= (Фв. (^у)+ * (£« - ^г) 7уФв)* = 2 I Па Г * (8в
Теперь (93,19) примет вид
где Wb =-т-\Т1а\гЪ(£а — eb) — вероятность упругого рассеяния из со-
стояния а в состояние b\ ^ Wba — вероятность всех упругих процессов;
У7. == im (ip. U4skv) = ъ —— (93 20)
— вероятность всех неупругих процессов.
Итак, введение комплексной потенциальной энергии £/=у 2 ^О
7
позволяет рассматривать рассеяние нейтрона ядром как прохождение
31 А. С. Давыдов

482 ОПТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЯДЕРНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ [ГЛ. XII
нейтрона через непрерывную среду и отделить процесс упругого рас-
рассеяния без образования составного ядра от рассеяния и реакций с обра-
образованием составного ядра. Потенциальная энергия U является, вообще
говоря, функцией координат, определяющих положение нуклона и ядра
и их спиновые состояния. Характер этой зависимости определяется
оператором t% эффективного рассеяния пары нуклонов и строением ядра
в основном состоянии (через усреднение <...». V также зависит от
относительной энергии движения нуклона и ядра. Соответственно этому
коэффициенты поглощения и преломления будут функциями энергии
(длины волны) относительного движения нейтрона и ядра, т. е. ядер-
ядерное вещество должно обладать дисперсией.
Исследованию зависимости действительной части потенциала от
энергии «30 Мэв) относительного движения нейтрона и ядра в обла-
области, где проявляются изолированные резонансы в сечениях, посвящена
работа Аграновича и Давыдова [16]. В этой работе показано, что ве-
вещественная часть потенциала взаимодействия (У, усредненная по состоя-
состоянию x*v» может быть представлена в виде
Reft,,,, ^) = К
где Фо, = «р0Х*-'» ^х — энергетические уровни составного ядра;
Здесь Хх — волновые функции составного ядра, соответствующие энер-
энергии Ех;
Qx,= (ЛГХ, 2 V^).
Таким образом, Q)X представляет среднюю энергию взаимодействия
одного нуклона с А — 1 нуклонами составного ядра, находящегося в
состоянии, описываемом функцией Хх. Поэтому Qu<^0 и по абсолют-
абсолютной величине равно нескольким десяткам Мэв.
Из (93,11) следует, что при энергиях относительного движения
8<^30 Мэв действительная часть потенциальной энергии изменяется
с энергией плавно. Для энергии е ^> 30 Мэв, как мы увидим ниже,
мнимая часть оптического потенциала делается столь значительной, что
оптическая модель теряет смысл. При дальнейшем увеличении энергии
(сотни Л1эв) можно снова ввести представление об оптическом потен-
потенциале (см. § Ю4).
Рассмотренное выше сведение задачи многих тел к простой задаче
двух тел носит в значительной степени формальный характер, так как

§ 93] КОГЕРЕНТНОЕ УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ 483
вычисление эффективного потенциала U требует решения системы урав-
уравнений (92,2) или приближенной системы (93,1) и (93,2), что можно
сделать только при значительном упрощении задачи. Поэтому ком-
комплексный потенциал U приходится рассматривать как некоторый пара-
параметр, определяемый из экспериментальных данных по рассеянию нук-
нуклонов на ядрах. Напомним, что и в оптике коэффициенты поглощения
и преломления света сложными телами, например стеклом, не вычис-
вычисляются, а определяются из опыта.
Фешбах, Портер и Вайскопф [11] показали, что основные особен-
особенности сечения нейтронов в области до 3 Мэв, усредненные по резонан-
сам, могут быть получены из оптической модели ядерных взаимодействий,
если выбрать комплексный потенциал в виде прямоугольной ямы с па-
параметрами
{.+ <£ (93,22)
0, если /■>>/?, \ » /
где
j_
иа = 42Мэв, С = °,03, /?=1,45-ЛМ0-13 см.
Такой потенциал, например, отражает наблюдаемое на опыте уменьше-
уменьшение эффективных сечений в области A -n- 40, 100 ^£А «5S40, и большие
значения сечений в области s-резонанса для A -n- бб и ^4-v. 150 и
р-резонанса в области А -ч. 90. Теория описывает и некоторые дру-
другие детали экспериментальных зависимостей сечений от энергии и мас-
массового числа. Авторы отмечают согласие с экспериментом даже для
Вычисленные на основе потенциальной энергии (93,22) угловые рас-
распределения упруго рассеянных нейтронов грубо воспроизводят экспери-
экспериментальные данные Уолта и Баршала [17] по рассеянию 1 Мэв нейт-
нейтронов ядрами и данные Чейса и Рорлиха [18] по угловому распределению
упруго рассеянных протонов энергии -n. 20 Мэв. Замена прямоугольного
потенциала более медленно спадающим на границе ядра (спадание на
протяжении 0,5• 10~13 см) приводит к лучшему согласию с экспери-
экспериментом.
Исследованию влияния диффузности границы ядра на расчеты эффек-
эффективных сечений упругого и неупругого рассеяния нуклонов на ядрах по
методу оптической модели посвящены работы Немировского и ряда
других исследователей [19]. В работе [20J отмечается, что хорошее
согласие с экспериментальными данными по рассеянию протонов на яд-
ядрах от Fe до РЬ получается при выборе потенциальной энергии чисто
ядерного взаимодействия в виде, предложенном в работе Саксона и
Вуда [21]:
^ И = - ^t/-^ • (93,23)
31*

484
ОПТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЯДЕРНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ
[ГЛ. XIII
Радиус действия этого потенциала Ro= 1,33- Л"* • Ю~13 см, а пара-
параметр размытия края a = O,5-lO~18 см. Обе эти величины мало изме-
изменяются с энергией у всех ядер, кроме легких. Параметры Uu и ££/0
существенно зависят от энергии. Их значение для трех энергий прото-
протонов приведены в таблице 32, заимствованной из [20]. Все величины в
таблице 32 выражены в Мэв.
Таблица 32. Мнимая и действительная части
«оптического потенциала»
Энергия протонов
5,25
17
31,5
52,5
47 =+= 1
36 ±1
Wo
0,9
8,5 ± 0,5
15,5:^:0,5
Следует, конечно, иметь в виду, что сравнение теории с эксперимен-
экспериментом затрудняется сложностью учета влияния некогерентного упругого
рассеяния и влияния несферической формы ядра.
При исследовании.поляризации нуклонов наряду с мнимой частью
потенциала, учитывающий поглощение нуклонов, приходится вводить
потенциальную энергию спин-орбитального взаимодействия. В этом слу-
случае потенциальная энергия взаимодействия может быть записана в виде
В выражении (93,23) предполагается, что мнимая и действительная
части комплексного потенциала имеют одинаковую зависимость от ра-
радиуса. Исходя из предположения, что вследствие принципа Паули нук-
нуклоны малых энергий должны взаимодействовать преимущественно с по-
поверхностью ядра, в некоторых работах допускалось, что мнимая часть
потенциала отлична от нуля только на поверхности ядра. Так, напри-
например, Бджокланд, Фернбах и Шерман [22] выбирали радиальную зависи-
зависимость оптического потенциала в форме
Ret/ = %-_——, \ти=№лы
1 4-ехр
004))
Wo = — 8 Мэв, b = 0,978. Ю3 см.
Как уже указывалось выше, оптическая модель ядерных взаимо-
взаимодействий позволяет объяснить значение эффективных сечений упругого
и полного рассеяний нуклонов на ядрах, величину и угловую зависи-
зависимость упругого рассеяния нуклонов на ядрах, поляризацию рассеянных
ядрами нуклонов и др. На основе оптической модели ядерных взаимо-
взаимодействий, например, удалось предсказать, что среднее значение нейт-

§ 94] ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ЧАСТИ ЭФФЕКТИВНОГО ПОТЕНЦИАЛА 485
ронной ширины, деленное на среднее расстояние между уровнями (так
называемая «силовая функция», см. § 59), как функция радиуса ядра
достигает при малых энергиях максимума при значениях радиуса ядра,
удовлетворяющих равенству R= ( /г —{—^-))., где п — целое число,
а к—длина волны в ядерном веществе.
Однако с помощью оптической модели ядерных взаимодействий
можно только указать, что происходит во входном канале при ядерной
реакции, т. е. описать упругое рассеяние, не проходящее через стадию
образования составного ядра, и указать совместную роль всех процес-
процессов, приводящих к неупругому рассеянию и реакциям. Таким образом, на
основе этой модели нельзя выяснить взаимную роль и детали протека-
протекания процессов по всем каналам, отличным от входного.
§ 94. Вычисление действительной части эффективного потенциала
как решение задачи о самосогласованном поле
В предыдущих параграфах этой главы мы не учитывали тождест-
тождественности рассеиваемого нуклона с другими нуклонами ядра, т. е. не учиты-
учитывали принципа Паули. Чтобы при вычислении комплексной потенциальной
энергии, определяющей взаимодействие нуклона с ядерным веществом,
обойти трудность учета принципа Паули, можно вычислить потенциал, дей-
действующий на нуклон, находящийся в стационарном состоянии внутри
ядерного вещества с той же энергией. Для этого надо ввести искус-
искусственные граничные условия на поверхности ядра, например потребо-
потребовать, чтобы на поверхности ядра волновая функция, описывающая от-
относительное движение этого нуклона и ядра, равнялась нулю. Такое
упрощение задачи позволяет рассматривать все нуклоны системы оди-
одинаковым образом и, следовательно, легко учесть их тождествен-
тождественность. Кроме того, таким образом можно определить и потенциал,
действующий на нуклоны ядра в его стационарном состоянии. Естест-
Естественно, что, рассматривая стационарные состояния, мы сможем вычислить
только действительную часть среднего потенциала взаимодействия дан-
данного нуклона со всеми остальными нуклонами ядра.
Переходя к новым граничным условиям, мы должны искать решение
уравнения (91,16) в виде стоячих волн (см. § 63), т. е. положить
где знак 5* перед оператором (Еа — Нй)~1 указывает, что надо взять
главное значение от соответствующего интеграла. Индексами / и j от-
отмечены номера взаимодействующих нуклонов.
Потенциал, действующий на нуклон номера i, при этом согласно
(93,4) определится равенством (при у-^-1)

486 ОПТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЯДЕРНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ [ГЛ. XIII
где знак штрих у суммы указывает, что в ней отсутствует член с
/ = /. Усреднение </,у> в (94,2) производится по состояниям всех
нуклонов j=^=i, соответствующим основному состоянию всего ядра.
Если бы мы рассматривали бесконечно протяженное ядерное вещество,
то из условия трансляционной симметрии следовало бы, что состояния
отдельных нуклонов в ядре должны изображаться плоскими волнами.
Предположим, что и в случае средних и тяжелых ядер можно исполь-
использовать для описания состояний отдельных нуклонов волновые функции
4(Xi.) = 5/E£l^i>, (94,3)
где S; — волновая функция, определяющая спиновые и зарядовые состо-
состояния нуклона; qt— волновой вектор нуклона внутри ядерного вещества.
Если мы учтем, что оператор t.j, входящий в (94,2), зависит только
от разности координат г,- — г, (для простоты мы принимаем во внима-
внимание только обычные силы взаимодействия между нуклонами), то при
использовании выражения (94,3) для описания состояний отдельных
нуклонов в ядре усреднение в (94,2) можно проводить по основному
состоянию всего ядра в целом (без исключения состояния /-го нуклона).
Представим волновую функцию основного состояния ядра в виде
антисимметризованных произведений волновых функций отдельных
нуклонов в ядре
где Pv—одна из А\ возможных перестановок нуклонов. Перестановки
нумеруются произвольно, но так, чтобы каждая последующая получалась
из предыдущей перестановкой одной пары нуклонов; суммирование 2
V
производится по всем возможным перестановкам нуклонов.
В качестве следующего упрощающего шага заменим оператор
Еа — Ио> входящий в операторное уравнение (94,1), оператором
<£0-/4, (94,5)
где
— оператор Гамильтона ядра в однонуклонном приближении, когда потен-
потенциальная энергия взаимодействия L/. нуклона с остальными нуклонами
ядра вычисляется в приближении оптической модели ядерных взаимо-
взаимодействий, т. е. по формуле (94,2); <^0 — энергия основного состояния
ядра, вычисленная в том же приближении. Теперь операторное уравне-
уравнение (94,1) перейдет в уравнение
'//= vtj+ vu? tf.-M.rV (94>6>
Обозначим матричный элемент некоторого оператора d-ф зависящего
от координат двух нуклонов, на функциях типа (94,4), описывающих

§ 94] ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ЧАСТИ ЭФФЕКТИВНОГО ПОТЕНЦИАЛА 487
начальное и конечное состояния нуклонов / и j с импульсами* qit qf и
q'h q'p через
tfMdi/\Q0j)D. (94,7)
Этот матричный элемент равен нулю, если хотя бы одно из четырех
состояний qi% qj, q\, q'. совпадает с состояниями qlf занятыми другими
нуклонами в состоянии ядра Фо или если совпадают состояния qt и Qj
либо состояния q'-, и q'j. Во всех остальных случаях
Щ I du | 4fl})D= (q-q'j \ du \ qflj) — (q'tf | di} \ qflj). (94,8)
= J
Здесь матричные элементы без индекса D берутся на волновых функ-
функциях нуклонов i и у:
J ] dif v.4i {x.) aq/ (xf)
t) q.
В последнем равенстве кроме интегрирования по пространственным пере-
переменным подразумевается суммирование по спиновым и зарядовым перемен-
переменным. Второй матричный элемент в (94,8) соответствует обменному члену
(Я'#'/1 du I 40j) = J яд' (х() я\. {Xj) du ciqi (xt) a
Теперь из операторного уравнения (94,6) можно легко получить урав-
уравнение для матриц операторов t-j и V^:
Wi I *u 11fl,)D= Щ I VtJ | qfl,)D —
Ч',. \ VtJ\ Q"X)d ЩЯ", I tt/\ qiqj)D
Г
" (94'9)
где интеграл также обозначает интегрирование по пространственным
переменным и. суммирование по. спиновым и зарядовым переменным;
$ (q)—энергия нуклона в приближении оптической модели, когда его
состояние соответствует волновому числу q.
Легко показать, что матричные элементы типа (94,8) для операторов
V(j и ti} содержат функции Ь (q( -f- qf — q\ — q'j)y выражающие закон
сохранения импульса при столкновении двух нуклонов. Поэтому можно
написать:
1 h I ?М= Ш) \~t1 vflh s % \Qq'я?} 4) j 0)
Используя (94,10), приведем уравнение (94,9) к виду
г
J J
Щ) 4- Ь (Qi + я/- я)) - Ь iqt) - Ь Щ 4i' [
* В этом параграфе используется система единиц, в которой Я = 1.

488 ОПТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЯДЕРНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ [ГЛ. XIII
здесь значения q', и q", определяются значениями qL, q^ q\ и q'\ из
законов сохранения импульса:
Из свойств матричных элементов типа (94,7) следует, что в (94,11)
волновые числа q"{ и q"- должны отличаться от волновых чисел qb ко-
которые характеризуют состояния других нуклонов. Далее, если мы учтем,
что интеграл в (94,11) вычисляется в смысле главного значения, т. е.
при его вычислении исключается случай, когда q"- и q". совпадают с
начальными значениями q( и qh то мы убедимся, что этот интеграл
должен распространяться на всё состояния, у которых q". и q" = qi-\~
~\~9j— 9] п0 абсолютной величине больше qF, где qF— радиус сферы
Ферми, определяемый из условия
4 §dq = 4^q%=§. (94,12)
о
Здесь Q — объем ядра. Множитель 4 .перед интегралом учитывает, что
определенному значению q соответствуют четыре состояния, отличаю-
отличающихся знаком заряда или проекцией спина. Подставляя в (94,12)
О = ^гзд где Го=12.10-14 см,
получим:
2
~^ 2,2.10"- см-\ (94,13)
Выражение для энергии нуклона, входящее в (94,11), имеет вид
*<Я) = £ц + Щд), (94,14)
где согласно (94,2) и определению матричных элементов (94,10)
qp
V(д) = 2 {ЯЯ, !Ъ/19Я/) = 3 S {9/9/1 hj 11t9j) dq,. (94,15)
i о
Выражения (94,11), (94,14) и (94,15) образуют систему связанных
самосогласованных уравнений, решив которую, мы вычислили бы потен-
потенциал U(q), определяющий энергию взаимодействия нуклона, имеющего
импульс q, со всеми остальными нуклонами ядра, находящегося в
основном состоянии.
Потенциал оптической модели U(q) зависит от максимального им-
импульса нуклонов в ядре и, следовательно, от плотности ядерного ве-
вещества (см. (94,13)), так как верхний предел интеграла в (94,15)
и нижний предел интеграла в (94,11) равны qF, а значение матрицы
(•••Ку !•••) также зависит от qF.

§ 94] ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ЧАСТИ ЭФФЕКТИВНОГО ПОТЕНЦИАЛА 489
Пользуясь (94,14), легко определить энергию W, приходящуюся
на один нуклон в ядре:
J]J ^+^ (94,16)
о о
где множитель */2 у потенциала U(q) введен для того, чтобы не учи-
учитывать взаимодействие нуклонов дважды. Поскольку
# Ф (9417)
о
где Ах — число нуклонов в единице объема ядерного вещества, то
(94J8)
Из условия экстремума (94,18) относительно qF\ ?—=0, можно найти
значение qF, а следовательно и число нуклонов в единице объема
ядра, которое соответствует минимуму энергии, приходящейся на один
нуклон в ядре. При некоторых упрощающих предположениях такая за-
задача решалась в работах [15, 23, 24].
Предположим, что потенциал оптической модели ядерных взаимо-
взаимодействий можно апроксимировать функцией
U(q) = U9 + bq\ (94,19)
Тогда энергия нуклона в ядре (94,14) может быть представлена в виде
Ж> (94>2°)
где
лл*—
1+2Ш
играет роль эффективной массы нуклона в ядерном веществе.
Введение эффективной массы нуклона полезно в том случае, когда
мы желаем сохранить представление о свободном движении нуклона в
ядерном веществе. Подобно тому как медленное движение электрона
в периодическом поле кристалла можно заменить движением свобод-
свободного электрона с некоторой эффективной массой, так и в ядре зависи-
зависимость потенциала от энергии движения нуклона может быть учтена
введением эффективной массы. Конечно, эта масса будет некоторой
постоянной величиной только в случае малых энергий, когда потенциал
U (q) зависит от волнового числа квадратично. При больших энергиях
U{q) — UQ-\-b{q)q* и эффективная масса М* =■ -гЦГоьТТШ будет
сама функцией энергии.

490 ОПТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЯДЕРНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ [ГЛ. XIII
Приравнивая энергию (s) относительного движения нуклона и ядра
энергии нуклона внутри ядра
г
мы можем выразить волновой вектор q нуклона внутри ядра через
энергию относительного движения е, а именно:
<72 = 2M*(s — Ua).
Подставляя это значение в (94,19) и используя (94,21), определим
зависимость вещественной части оптического потенциала от энергии
относительного движения:
() <94>22>
Так как Ж*<^/И и £/0<^0, то с ростом е абсолютная величина U (в)
уменьшается.
Зная зависимость действительной части оптического потенциала от
энергии (94,22), можно определить значение эффективной массы нук-
нуклона. Если использовать экспериментальные данные, приведенные в
таблице 32 в § 93, то получим:
М* =^@,6 — 0,8) Ж,
а0 == G0 — 100) Мэв.
В этом параграфе мы исследовали вопрос о вычислении эффектив-
эффективного потенциала, действующего на нуклон в ядерном веществе, не
учитывая границы ядра. В случае реального ядра, имеющего конечный
объем, вычисление эффективного потенциала усложняется, так как
волновые функции, описывающие состояния отдельных нуклонов, не
будут соответствовать плоским волнам, а сами определяются этим по-
потенциалом. Вследствие этого задача отыскания самосогласованного по-
потенциала, определяющего однонуклонные состояния в ядре, значительно
усложняется (см., например, работу Бете [23]).
§ 95. Мнимая часть эффективного потенциала
Чтобы определить мнимую часть эффективного потенциала опти-
оптической модели ядерных взаимодействий, надо отказаться от использо-
использованной в предыдущем параграфе идеализации, согласно которой одно-
частичные состояния с положительной энергией рассматривались как
стационарные состояния. Такие состояния на самом деле обладают
конечным временем жизни, так как существует определенная вероят-
вероятность вылета нуклона из системы (упругое рассеяние), кроме того,
имеется определенная вероятность передачи энергии другим состояниям
составного ядра (все неупругие процессы).

§ 95] МНИМАЯ ЧАСТЬ ЭФФЕКТИВНОГО ПОТЕНЦИАЛА 491
Для вычисления вклада в мнимую часть потенциала t,xU от второ-
второго эффекта надо учесть некогерентное рассеяние. Для учета вклада
в мнимую часть потенциала С2£/ от первого эффекта достаточно при
вычислении t% исходить из интегрального уравнения с граничными
условиями, соответствующими уходящим, а не стоячим волнам. Тогда
C,£/=Im5! <'«>■ (95,1)
ос= 1
Полный мнимый потенциал, действующий на внешний нуклон, равен
С£/= (С»+ :,)£/. (95,2)
Мнимая часть потенциала ^U в оптической модели ядерных взаимо-
взаимодействий описывает все процессы, протекающие через стадию состав-
составного ядра. Для вычисления {,JJ достаточно определить вероятность
перехода в единицу времени одночастичного возбуждения Фо, в воз-
возбуждения составного ядра [16]. Если обозначить эту вероятность
через Г, то мнимая часть потенциала {^XU) оптической модели выра-
выразится через Г соотношением
&Г = _2"сД (95,3)
где
ЪР= (X.. №). (95,4)
а
£/=Re2<O. (95,5)
а
Система, состоящая из ядра А и нейтрона, в оптической модели
описывается гамильтонианом
t (95,6)
где НА — гамильтониан ядра мишени, А'—оператор кинетической
энергии относительного движения ядра и нейтрона, U определено фор-
формулой (95,5).
Обозначим через Еп_ и Фп. соответственно собственные значения
и собственные функции этого оператора. При этом
Е F 4-s Ф
С помощью (95,6) можно записать полный гамильтониан системы в виде
(95,7)
где

492 ОПТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЯДЕРНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ [ГЛ. XII!
Оператор (95 ,8), учитывающий отличие полного гамильтониана от га-
гамильтониана оптической модели, является причиной образования состав-
составного ядра, в котором энергия возбуждения распределяется на большое
число степеней свободы.
Для вычисления вероятности перехода Г, будем искать решение
временного уравнения Шредингера
Г)Ч' (95,9)
в виде
• -' i. _-к' —
Ф = а(ОФ0.Г' °£ л + 2*«5@Фя^ "' ft (95,10)
с начальными условиями
а@)=1, ftn6@) = 0. (95,11)
При этом
Подставляя (95,Ю) в (95,9), получим (при /<^F"J) систему уравнений:
;__ , - (95>13)
dt П ' ~
Систему уравнений (95,13) с начальными условиями (95,11) решаем
подстановкой
a (t) = ехр I — -£ \ .
Тогда обычным путем находим:
Вводя число состояний <j)(E)dE в интервале энергий £", £-j-a?i:, можно
в (95,14) перейти от суммы к интегралу; тогда
где

§ 95] МНИМАЯ ЧАСТЬ ЭФФЕКТИВНОГО ПОТЕНЦИАЛА 493
Чтобы определить зависимость Г от энергии в области резонапсов
составного ядра, разложим функцию Ф0£ по полной системе функций Хх
оператора (95,7):
Фоз=2АоЛ- (95,16)
X
Легко убедиться, что коэффициенты разложения определяются
формулой
(Ф
Вследствие нормировки функций Хх и Фп^ имеют место равенства:
2М).,П5<4Х/в-. = &п', 2^.»г^>.,пЧ' = ^в»'^'» (95,18)
и, 5 ' X
Подставляя (95,16) в (95,15) и учитывая (95,17), получим:
В области перекрывающихся резонансов сумму по X можно заменить
интегралом
АГ = 2тт
Если же энергия ЕОг попадает в область изолированных резонансов
составного ядра, например Ео.^Е)о, то в сумме по А в (95,19) будет
существен только один член; следовательно,
(95,21)
где Го — часть Г, слабо зависящая от энергии.
Выражения (95,20) и (95,21) позволяют сделать качественные за-
заключения о зависимости Г от энергии, когда s<^50 Мэв. В области
изолированных резонансов составного ядра зависимость Г от
энергии носит резонансный характер. Вне изолированных резонансов и
в области перекрывающихся уровней, величина Г возрастает с энергией
главным образом за счет изменения плотности состояний (о (Е). Экспе-
Экспериментальные значения fiY для разных энергий нуклонов подтверждают
плавное увеличение этой величины с ростом энергии. Если в интерва-
интервале энергий 0—3 Мэв значение hY=2^U =sr 2,5 Мэв [llj, то для
энергии 20 Мэв значение &Г = 2?U =^ 18 Мэв [21]. В работе [25]
приведены (на основе частных сообщений) значения ZJJ для промежу-
промежуточных значений энергии (см. также таблицу 32 § 93).
Для вычисления Г по формулам (95,19) и (95,21) необходимо
знать волновые функции Хх и Ф„» и зависимость плотности состояний
о (Я) от энергии. При некоторых упрощающих предположениях оценка
величины Г будет сделана в следующем параграфе.

494 ОПТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЯДЕРНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ [ГЛ. XIII
§ 96. Интерпретация широких резонансов во взаимодействии
нейтронов с ядрами
Величина ^Г, определяемая формулой (95,19), характеризует ши-
ширину одночастичных уровней ядра. Поэтому ЬХ следует сопоставлять
с экспериментально наблюдаемыми ширинами (-v- 2 Мэв) широких мак-
максимумов в усредненных по резонансам сечениях рассеяния нейтронов
малой энергии ядрами [11].
Для оценки величины ДГ в области тесно расположенных резонан-
резонансов, используя (95,17), представим (95,19) в следующем виде:
= 2TTC0
2 А,
Пренебрегая знакопеременными недиагональными членами, получим:
ПТ ^= 2шо (£яЛ) 2 Их, о J 21 А, вЛ, № - Еп*)*-
Вводя плотность состояний (о (Ех) составного ядра в интервале энергий
Ех, Ex-^-dEi, можно заменить сумму по X интегралом по энергии.
Тогда
Ы = 2тт(о (EnJ $ | А, ое Г I A, wo,o |2 (Ех - ЕяЛу о) (Ех) dEx. (96,1)
В этом приближении условие ортогональности (95,18) запишется в виде
А, „И! n'v w (А,) ЛЕ"х = Kw Ь&. (96,2)
Предположим теперь, что энергетическая зависимость выражения
1А о= 12 ^ {Е\) может быть представлена в виде
#{(A^2l (96,3)
yuOe
где В определяется из условия (96,2). При этом
Я=2"/тг{1+Ф(*)}~1, (96,4)
где
1Х F
Ф(х\— Г p—Pdt х — ^i ^96 ^\
~у Т. J '■'Os
О
Величина Q05 выражается через значение «второго момента» U72r
введенного в работе Лейна, Томаса и Вигнера [26]:

§ 96] ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ШИРОКИХ РЕЗШАНСОВ 495
Переходя в этой формуле от суммы к интегралу и подставляя (96,3),
получим:
{} <96'7>
Из (96,7) следует, что для х<^\ и для л:^> 1
%^2W\ (96,8)
С другой стороны, подставляя (95,17) в (96,6), найдем:
^ = 51 (Фо.. Н'*х) 1' = №... "'" *„.). (96,9)
где согласно (95,8)
-Re</a>}, (96,10)
Это операторное уравнение имеет решение
t — у 4-V (D V)~lV
в чем можно убедиться непосредственной подстановкой с учетом опе-
операторного тождества
D-x + D-lV^D— 7e)-1 = (D— VX1.
Таким образом, можно написать:
Подставляя (96,3) в (96,1) и используя приближенные равенства
Ел. =5= Е„ *, йп. ^ iln t . имеем:
0; «о%' Ос Лочо'
fjV— 1^_ Г „>-i 1P\IF F \г p 2°e rIF fQfi 1 3\
Il/L —п I Ш (i-1 \J— £.„_) e UC. \O\J 101
Q2 fl_i_O(v\12 1 °
Oe I T^ \ 'i «^
0
Эта формула определяет ширину «большого резонанса» в сечениях
рассеяния нейтронов (в области перекрывающихся уровней составного
ядра) и ее зависимость от энергии.
Для оценки величины ЙТ и ее зависимости от энергии Ео, не-
необходимо знать зависимость плотности состояний w (E) и iioe от
энергии.
Согласно статистической теории атомного ядра (§ 25)
о) (Е) = а ехр УЪЁ, (96,14)
где параметры а \\ b являются функциями массового числа. Как уже

496 ОПТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЯДЕРНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ [ГЛ. Х1Ц
отмечалось в § 25, согласно [27] для ядер с массовыми числами
15 <d ^ <С 70 можно принять
£ = 0,14(Л — 12) Мэв-1.
Формула (96,14) неудобна для аналитического вычисления интегра-
интеграла (96,13), поэтому для простоты положим
ш{Е) = сехр{$Е\ (96,15)
и выберем коэффициент C так, чтобы в интервале энергий 7 <^Е <^ 30 Мэв,
наиболее существенном в интеграле (96,13), формула (95,15), давала
примерно такое же возрастание плотности уровней, как и (96,14). Для
ядер с массовыми числами, близкими к 60, надо взять j3 =^ 0,3.
Если учесть, что при взаимодействии нейтронов энергии, меньшей
3 Мэв, с ядрами возбуждаются только состояния составного ядра со
спином, отличающимся от спина исходного ядра на гЬ'/г» а (96,14)
относится ко всем возможным уровням энергии составного ядра, то для
Р надо взять значение, меньшее 0,3.
С помощью (96,15) можно выразить значение hY через значение
й0, при данном р. Так, подставляя (96,15) в (96,13), после несложных
вычислений находим:
-xVT
где
2/2
При р = 0 и х<^\ имеем:
(96,17)
6г _
V'l ll-f Ф(х)]2 '
если учесть (96,8), то получим hV ^ Wos. Этот результат совпадает
с предположением Лейна, Томаса и Вигнера [26] о равенстве
hT=W. (96,18)
Величина W была рассчитана в работе [26] при значении
Для основного состояния ядра было получено значение W— 23 Мэв,
поэтому ширина ЬХ примерно на порядок превышала экспериментальное
значение.

§ 96] интЕРПРЕтация широких резонлнсов 497
Если принять для W значение =5: 23 Мэв, то согласно (96,8)
й0= === 32 Мэв. При выполнении неравенства х — -~ <[ 1 выражение
(96,16) переходит в
ЛГ =^ 2 К 2 Qo; J у ехр { — у {у + 2г)} dy. (96,19)
о
Экспериментальное значение %Т = 2,5 Мэв получается отсюда, если
положить C = 0,13. Если же йОв =s 20 А1эв, то экспериментально
найденное значение tiT получится при [3 = 0,2.
32 А. С. Давыдов

ГЛАВА XIV
ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ, НЕ ПРОХОДЯЩИХ ЧЕРЕЗ СТАДИЮ
СОСТАВНОГО ЯДРА
§ 97. Прямые или «поверхностные» взаимодействия нуклонов
с ядрами
Долгое время в теории ядерных реакций предполагалось, что необ-
необходимой стадией любой ядерной реакции является образование состав-
составного ядра, которое затем распадается на те или иные продукты реакции.
В последние годы было показано, что в некоторых случаях ядерные
реакции не проходят через стадию составного ядра, а связаны с непо-
непосредственным взаимодействием падающего нуклона с небольшим числом
нуклонов ядра. В этом параграфе мы рассмотрим реакции, вызываемые
протонами и нейтронами, которые нельзя истолковать с точки зрения
представления о составном ядре.
При рассеянии нуклонов на легких ядрах наблюдаются упруго рас-
рассеянные нуклоны и несколько групп нуклонов меньшей энергии, соот-
соответствующих неупругому рассеянию. В системе центра инерции умень-
уменьшение энергии относительного движения нуклона и ядра равно энергии,
поглощенной ядром. Изучая энергетический спектр рассеянных нуклонов,
можно судить сб энергетических уровнях ядра-мишени. Плотность энер-
энергетических уровней растет с энергией возбуждения. Поэтому при доста-
достаточно большой энергии нуклонов спектр неупруго рассеянных нуклонов
малой энергии будет непрерывным. Плотность уровней растет также с
атомным весом, поэтому можно ожидать, что у тяжелых ядер спектр
неуируго рассеянных нуклонов будет почти весь непрерывным. Таким
образом, если неупругое рассеяние нуклонов на легких ядрах позволяет
судить о расположении энергетических уровней ядра, то неупругое рас-
рассеяние нуклонов на тяжелых ядрах дает данные о плотности энергети-
энергетических уровней в ядре.
До 1950 г. неупругое рассеяние протонов исследовалось преимуще-
преимущественно на легких ядрах, так как достигаемые в то время энергии
протонов D—8 Мэв) были недостаточны для преодоления кулоновского
барьера тяжелых ядер. Создание линейных ускорителей на несколько
десятков Мэв, дающих мощные пучки протонов, позволило перейти к
исследованию неунругого рассеяния протонов на тяжелых ядрах.

§ 97] ПРЯМЫЕ ИЛИ «ПОВЕРХНОСТНЫЕ» ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НУКЛОНОВ С ЯДРАМИ 499
Согласно теории составного ядра следовало ожидать, что протоны,
неупруго рассеянные тяжелыми ядрами, должны иметь максвелловское
распределение скоростей, соответствующее температуре возбуждения
примерно 1—2 Мэв. Угловое распределение испускаемых протонов
должно быть изотропным, а полное сечение неупругого рассеяния должно
быть малым, так как только протоны высокоэнергетической части мак*
свелловского распределения могут преодолеть кулоновский барьер.
Первые эксперименты по кеупругому рассеянию протонов на тяже-
тяжелых ядрах были сделаны в 1952 г. [28j. Уже эти эксперименты пока-
.зали, что наблюдаемый спектр неупруго рассеянных протонов отличается
от максвелловского, а сечение рассеяния на порядок больше сечения,
предсказываемого теорией составного ядра. Эти результаты были под-
подтверждены более поздними работами Айзенберга и Айгоу [29], которые
исследовали неупругое рассеяние протонов с энергией 31 Мэв на РЬ,
Аи, Та и Sn и показали, что неупруго рассеянные протоны не обладают
максвелловским распределением скоростей, их угловое распределение
резко направлено вперед и полное сечение составляет около 15% от
геометрического сечения и примерно на порядок больше сечения, ожидае-
ожидаемого согласно теории составного ядра. Все эти экспериментальные
факты указывали на то, что при неупругом рассеянии протонов наряду
с процессами, проходящими через стадию составного ядра, имеются
процессы, не проходгщие через стадию составного ядра.
В работе Розена и Стюарта [30] исследовалось неупругое рассеяние
нейтронов с энергией 14 Мэв на ряде элементов. Показано, что угло-
угловое распределение неупруго рассеянных нейтронов малой энергии
0,5—4,0 Мэв симметрично относительно угла 90° и почти изотропно.
Угловое распределение неупруго рассеянных нейтрогов большой энергии
D—12 Мэв) сильно направлено вперед.
Неупругое рассеяние нуклонов на ядрах исследовалось также в ряде
других рсбот [31, 32]. Во всех этих работах отмечается, что количе-
количество нуклонов большей энергии, наблюдаемых в реакциях (п, п), (р, //),
(р,п), (п,р) значительно больше ожидаемого на основе гипотезы состав-
составного ядра и предположения о статистическом распределении энергии
между всеми нуклонами ядра. Так, например, Коуен [32], исследуя с
помощью 32 Мэв протонов реакцию (р,п) на Mg, Al, Cu, Mo, Ag,
Th и U, показал, что угловое распределение нейтронов в этих реак-
реакциях несимметрично относительно угла 90° и сильно направлено вперед.
Для высокоэнергетических нейтронов рассеяние вперед отличается от
рассеяния назад на порядок величины. Угловое распределение нейтронов
меньших энергий более изотропно, что, возможно, указывает на участие
в процессах рассеяния состояний составного ядра. Правда, и при прямом
взаимодействии испускание медленных нейтронов должно быть более
изотропным.
Для объяснения экспериментальных данных по неупругому рассея-
рассеянию нуклонов средних энергий и ядерным реакциям (л, р), (р,п) на тя-
тяжелых ядрах приходится допустить, что некоторая часть нуклонов
32*

500 ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ БЕЗ ОБРАЗОВАНИЯ СОСТАВНОГО ЯДРА [ГЛ. XIV
взаимодействует с ядром так, что передает значительную часть своей энер-
энергии одному (или нескольким) нуклону, который испускается раньше, чем
энергия успевает распределиться по другим степеням свободы, связан-
связанным с изменением состояния многих нуклонов. Такой процесс называется
прямым или поверхностным взаимодействием. Он, по-видимому, может
происходить главным образом с наиболее слабо связанными нуклонами,
которые находятся на «поверхности» ядра. Подтверждением этого меха-
механизма реакции является, в частности, наблюдаемая [29J пропорциональ-
пропорциональность сечения неупругого рассеяния с испусканием высокоэнергических
протонов кубическому корню из атомного веса, т. е. радиусу ядра.
Эффект прямого (или поверхностного) взаимодействия становится
существенным в области энергии относительного движения нуклона и
ядра, заключенной в интервале Ю—40 Мэв. При энергиях, превышаю-
превышающих 50 Мэв, повышается «прозрачность» ядра и становится возможным
взаимодействие с передачей одному нуклону энергии, достаточной для его
удаления за пределы ядра, не только с «поверхностными», слабосвязанными
нуклонами, но и с «глубинными» нуклонами. При энергиях, меньших
Ю Мэв, когда длина волны нуклона значительно превышает размеры
ядра, взаимодействие осуществляется сразу со всеми нуклонами ядра.
В этом случае вероятность передачи достаточно большой энергии одному
«поверхностному» нуклону мала.
Для осуществления реакций прямого взаимодействия необходимо, чтобы
энергия падающего нуклона не была близка к резонансным энергиям
соответствующего составного ядра, так как в этом случае вероятность
образования составного ядра будет большой величиной.
Теория прямых взаимодействий нуклонов с поверхностными нукло-
нуклонами ядра была впервые предложена Аустерном, Батлером и Мак-Ману-
сом [33]. В этой работе было показано, что угловое распределение
протонов реакции (п,р) должно иметь резкие максимумы в области
малых углов рассеяния. Положение этих максимумов определяется орби-
орбитальным моментом, передаваемым ядру нейтроном.
Рассмотрим элементарный вывод формулы, определяющей угловое
распределение протонов в реакции поверхностного взаимодействия (п,р)
на ядре А. Для упрощения расчета не будем учитывать спины нукло-
нуклонов и кулоновское взаимодействие протона с ядром. В этом случае на-
начальное состояние системы п-\- А будет определяться волновой функцией
Ф« = Фд (V 5) уш (V <Ы ехР (/Лг«)' f97»1)
где г , 0^, ур — полярные координаты протона в ядре А; $ — коорди-
координаты всех остальных нуклонов в ядре; гп и k — соответственно коорди-
координата и волновой вектор нейтрона. Конечное состояние соответствует
ядру В, которое получается при замене в ядре А протона нейтроном,
и протону, испускаемому ядром. Волновая функция такого состояния
при большом удалении протона от ядра имеет вид
Ф* = Фв (',,. £) Уц. @в, <Р„) exp (iqrp), (97,2)

§ 97] ПРЯМЫЕ ИЛИ «ПОВЕРХНОСТНЫЕ» ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НУКЛОНОВ С ЯДРАМИ 501
где q, rp — соответственно волновой вектор и координата протона;
гю ^и» Фи—координаты нейтрона в ядре В.
Допустим, что операторы, ответственные за прямое (поверхностное)
взаимодействие VaC, гр\ гп) и Vb(£,rn',r), изображающие соответственно
взаимодействие нейтрона с ядром А и протона с ядром В, отличны от
нуля только на «поверхности» ядра, т. е. при условии rn = rp = R.
Вероятность перехода из состояния а в состояние b в единицу вре-
времени для процессов рассматриваемого нами типа, т. е. квантовых пере-
переходов с перераспределением нуклонов (см. § 65), определяется формулой
где оператор Qa удовлетворяет уравнению
В уравнении (97,4) На представляет сумму оператора Гамильтона ядра А
и оператора кинетической энергии относительного движения ядра А и
нейтрона. В борновском приближении полагают ila=\.
Для определения углового распределения вылетающих из ядра про-
протонов при нашем выборе потенциала взаимодействия Vb можно не решать
операторное уравнение (97,4), достаточно лишь учесть, что
При этом принимается во внимание взаимодействие испускающегося про-
протона только с одним нейтроном ядра.
Используя (97,1) (97,2) и (97,5), можно написать
(Ф*. IV-W = С J К„ ехр [/ (к - я) R] Уш d% (97,6)
где
/?,£)</£ (97,7)
— величина, зависящая от собственных функций начального и конечного
ядра, но не зависящая от направления вылета протона.
Для вычисления интеграла от сферических функций, входящего в
(97,6), используем разложение плоской волны по сферическим функ-
функциям:
JL(\k— q\R)YL0(%
где /L(x) — сферическая функция Бесселя. Учитывая, что
J

502 ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ БЕЗ ОБРАЗОВАНИЯ СОСТАВНОГО ЯДРА [ГЛ. XIV
можно написать:
Ч + ^\(\\] Jjil-qlR). (97,8)
Матричный элемент (97,8) отличен от нуля, если т = }Л. Подставляя
(97,8) в (97,3) и усредняя по квантовым числам т начального состоя-
состояния, получим для вероятности перехода в единицу времени следующее
выражение:
РЬа= S aL{jL{x)}\ (97,9)
где
x~\k — q\R = R Укг + q2 — 2kg cos 0 =
n2^-; (97,10)
О — угол между направлением движения падающего нейтрона и направ-
направлением испускания протона;
aL = jpb (e) С2 BZ. 4- 1) {НООЩ2. (97,10а)
При вычислении (97,9) было использовано равенство
Из свойств коэффициентов векторного сложения следует, что aL отлично
от нуля только в том случае, когда выполняются условия:
l-\-\-\-L — четное число, j '
Наименьшее из значений L, удовлетворяющих условиям (97,11), опре-
определяет положение первого максимума в угловом распределении испускае-
испускаемых протонов, так как функция jL{x) является затухающей осциллирую-
осциллирующей функцией своего аргумента. Главный максимум jL{x) грубо
определяется из классического условия равенства момента количества
движения fiL моменту нуклона, обладающего импульсом ft | k — q\ при
прицельном расстоянии R, т. е.
х = R }/~{k — qJ + Щsin2 i ^ L. (97,12)
Для более точного определения положения максимума надо пользоваться
таблицами сферических функций Бесселя. При L = 0 максимальное
испускание протонов должно происходить под углом 0 = 0. При

§ 97] ПРЯМЫЕ ИЛИ «ПОВЕРХНОСТНЫЕ» ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НУКЛОНОВ С ЯДРАМИ 503
максимум испускания должен наблюдаться при углах Ь=^=0 и тем боль-
больших, чем больше Z,, т. е. чем больше момент, передаваемый ядру при
замене нейтрона протоном.
Полученные выше результаты легко обобщаются на случай, когда
учитываются спины нуклонов. Тогда волновые функции начального и
конечного состояний должны записываться в виде
Фь = фд (ги, £) tp^X'-'a»»' exP (^J- (97,14)
Если вне замкнутых оболочек ядер А и В имеется только один нук-
нуклон, то
tPi> = 2(/1/2^fJL — ^WJWw-.* (97,15a)
и-"
— спин-угловые функции, определяющие угловую зависимость волновых
функций начального и конечного состояний ядра; %\l2m и "/i.2|X — спино-
спиновые функции, определяющие спиновые состояния протона и нейтрона
вне ядра.
Матричный элемент перехода теперь примет вид
X./^ Л, (97,16)
где 2 обозначает суммирование по спиновым переменным нейтрона и
a
протона. Величина С здесь имеет тот же смысл, что и в (97,7).
Вычисляя (97,16), мы получим формулу типа (97,9) для вероятности
перехода а—>Ь в единицу времени
2*2 {Л (*>}'. (97,17)
где а'—постоянные коэффициенты, явный вид которых мы здесь не
выписываем, а возможные значения L определяются условиями:
|
l-\-\-\-L — четное число. J
Мы рассмотрели реакцию (п,р); легко, однако, видеть, что если не
учитывать кулоновского взаимодействия, то полученные результаты
могут быть непосредственно применимы и к реакциям (р, п), (р, /?'),
(я,п). Так как прямое взаимодействие существенно только при

504 ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ БЕЗ ОБРАЗОВАНИЯ СОСТАВНОГО ЯДРА [ГЛ. XIV
энергии нуклонов, превышающей 10 Мэв, то влияние кулоновского
взаимодействия на угловое распределение малосущественно.
Эксперименты по угловому распределению продуктов реакции пря-
прямого взаимодействия позволяют судить о свойствах энергетических
уровней ядер. По угловому распределению испускаемых нуклонов можно
определить L. Тогда, если известны четность и спин начального со-
состояния (или конечного состояния), то правила отбора (97,18) позволяют
определить четность уровня в конечном ядре и спин этого уровня с
точностью до значений, допускаемых правилом векторного сложения:
В работе Шранка, Гюжело и Дайтона [34] исследовалось угловое
распределение 17 Мэв протонов неупруго рассеянных железом. При
неупругом рассеянии ядро Fe86 переходило в состояние с энергией воз-
возбуждения 0,822 Мэв. Начальное состояние ядра имеет нулевой спин
и положительную четность. Наблюдаемое угловое распределение хорошо
согласуется с распределением, даваемым функцией {у2 (х)\г, ПРИ
/?= 1,5- 10~1аА11° см и подтверждает таким образом, что возбужден-
возбужденный @,822 Мэв) уровень Fese имеет спин, равный 2, и положительную
четность.
§ 98. Ядерные реакции, вызываемые дейтронами
Ядерные реакции, вызываемые дейтронами, имеют громадное значе-
значение в экспериментальной ядерной физике как средство изучения энер-
энергетических уровней ядра, ядерных сил, получения монохроматических
пучков быстрых нейтронов и протонов и т. п. Большая роль ядерных
реакций с дейтронами обусловлена, с одной стороны, простотой получе-
получения в ускорителях пучков монохроматических дейтронов; с другой сто-
стороны, большим выходом соответствующих реакций по сравнению с
выходом реакций, вызываемых другими заряженными частицами. Ряд
особенностей реакций с дейтронами обусловлен сравнительной «рых-
«рыхлостью» дейтрона по сравнению с другими ядрами. Энергия связи
дейтрона равна 2,26 Мэв, следовательно, энергия связи, приходящаяся
на один нуклон A,13 Мэв) в дейтроне, в 5—6 раз меньше средней
энергии связи нуклона в других ядрах. Волновая функция дейтрона
(гф) уменьшается в е раз только на расстоянии /? = 4,31 • 10"" см, а
эффективный радиус действия ядерных сил в триплетном спиновом со-
состоянии равен 1,7* 10~13 см. Далее, в дейтроне не совпадают друг с
другом центр инерции и центр заряда. В связи с этим появляется воз-
возможность электрического расщепления дейтрона кулоновским полем
ядра [35].
Здесь мы будем рассматривать только ядерные реакции, которые
вызываются ядерными силами. Оказалось, что при столкновении дейт-
дейтрона с ядром наряду с обычными ядерными реакциями, проходящими

§ 98] ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ, ВЫЗЫВАЕМЫЕ ДЕЙТРОНАМИ 505
через составное ядро, возможны, и часто значительно более вероятны,
ядерные реакции, при которых захватывается ядром только один из
нуклонов дейтрона, а второй улетает. Такое явление часто называют
реакцией срыва. Из-за большой протяженности дейтрона отрыв (срыв)
нуклона от дейтрона возможен при сравнительно малых энергиях дейт-
дейтрона, когда его центр инерции находится на расстоянии, превышающем
радиус действия ядерных сил. Вследствие кулоновского взаимодействия,
препятствующего влету протона внутрь ядра, при энергиях дейтрона,
меньших высоты кулоновского барьера, происходит преимущественно
захват нейтрона. Теория этого явления была рассмотрена впервые Оп-
иенгеймером и Филипсом [36], поэтому такая реакция получила назва-
название процесса Оппенгеймера — Филипса. В работе [36] и в ряде после-
последующих работ [35, 37] оценивалось полное эффективное сечение ре-
реакции в зависимости от энергии дейтрона. Было показано, что при
уменьшении энергии дейтрона от значения, соответствующего энергии
кулоновского барьера, полное эффективное сечение реакции убывает
значительно медленнее, чем этого требуют условия прохождения дейт-
дейтрона через кулоновский барьер. Так, например, для Cues энергия
барьера -^ 7 Мэв, а реакция начинается с 2 Мэв.
В упомянутых выше теоретических работах не исследовалось угло-
угловое распределение нуклонов, полученных при реакции. В 1951 г. по-
появилась работа Батлера [38], в которой впервые на основе ряда упро-
упрощающих предположений была развита теория углового распределения
нуклонов в реакциях срыва.
Исследование движения дейтрона в кулоновском поле связано со
значительными математическими трудностями, возникающими из-за не-
несовпадения центров инерции и заряда. Батлер в своей теории не учи-
учитывал кулоновского взаимодействия. Далее не учитывалось взаимодей-
взаимодействие с ядром нуклона, входящего в состав дейтрона, который не по-
поглощался ядром, и вводился ряд других упрощающих предположений.
Батлер показал, что угловое распределение протонов в реакции A {d, р) В
существенно зависит от момента количества движения, передаваемого
ядру А захваченным нейтроном.
По энергии протона, полученного в реакции, можно определить,
на какой энергетический уровень в ядре В попал нейтрон, поглощен-
поглощенный ядром А. Угловое распределение протонов реакции срыва в силь-
сильной степени анизотропно. Если нейтрон захватывается в S-состоянии,
то кривая углового распределения протонов имеет резкий главный мак-
максимум в направлении вперед. При захвате в состояниях Р, D, F глав-
главный максимум лежит при углах, отличных от нуля. Чем больше момент
количества движения, передаваемый нейтроном ядру, тем под большим
углом к направлению вперед наблюдается главный максимум в угловом
распределении протонов.
Несмотря на грубость введенных упрощающих предположений, тео-
теория Батлера удовлетворительно согласовалась с экспериментом и яви-
явилась мощным средством для экспериментального изучения энергетических

506 ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ БЕЗ ОБРАЗОВАНИЯ СОСТАВНОГО ЯДРА [ГЛ. XIV
уровней ядер. Изучая энергию и угловое распределение протонов реак-
реакции срыва, можно проследить на некоторых ядрах шаг за шагом
структуру ядерных оболочек как в нормальном, так и в возбужденных
состояниях. Для тех же целей может быть использована и реакция,
обратная к реакции срыва, когда пролетающий через ядро В протон
(нейтрон) захватывает из ядра В нейтрон (протон) с образованием дейт-
дейтрона. Эти реакции «захвата» или «подбирания» (pick up) мы будем
сокращенно записывать так: B(p,d)A и B(n,d)A. Эффективные се-
сечения реакций захвата («подбирания»), обратных реакциям срыва, свя-
связаны с эффективными сечениями прямых реакций принципом детального
равновесия. Реакции захвата В(р, d) А и В(п, d) А могут быть использо-
использованы для изучения энергетических уровней ядер при переходе от более
тяжелых к более легким ядрам. Многочисленные экспериментальные
работы подтвердили возможность исследования энергетических уровней
ядер путем изучения энергии и углового распределения нуклонов ре-
реакции срыва и захвата. Представляют также большой интерес исследо-
исследования реакций типа A(d, t) В и B(t,d)A, которые позволяют изучить
как энергетические уровни ядер А и В, так и некоторые свойства
волновых функций основного состояния трития (t).
При столкновении дейтронов с ядром А наряду с реакциями срыва
могут происходить реакции, идущие через стадию образования составного
ядра, конечным результатом которых будет образование нового ядра В
и вылет протонов (или нейтронов). Такие реакции обозначаются так же,
как и реакции срыва, символами A(d,p)B и A(d,n)B.
Основным отличием реакций срыва от реакций, идущих с образо-
образованием составного ядра, позволяющим их разделять, является то обстоя-
обстоятельство, что реакции, проходящие стадию составного ядра, должны
согласно статистической теории (см. § 60) обладать симметричным от-
относительно угла 90° угловым распределением вылетающих нуклонов.
Однако разделение обоих явлений не может быть полным вследствие
их возможной интерференции.
Вслед за работой Батлера появился ряд теоретических работ, в
которых уточнялась и развивалась теория Батлера. Несмотря на это, в
настоящее время не существует вполне удовлетворительной теории
реакций срыва.
Теоретическое рассмотрение реакций срыва развивалось в двух на-
направлениях: 1) на волновые функции частиц, участвующих в реакции,
накладываются определенные граничные условия на поверхности ядра и
2) для решения задачи используется борновское приближение. Первое
направление впервые было развито в работе Батлера, а затем в работах
[39—42]. При пренебрежении кулоновским взаимодействием и взаимо-
взаимодействиями между протоном и ядром и протоном и нейтроном, когда
последний попадает в ядро, метод граничных условий позволил полу-
получить аналитическое выражение дифференциального эффективного сече-
сечения реакции, которое оказалось в удовлетворительном согласии с эк-
экспериментом. Теория, однако, не дает правильной величины для абсо-

§ 98] ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ, ВЫЗЫВАЕМЫЕ ДЕЙТРОНАМИ 507
лютного значения сечения и очень усложняется при попытке освободиться
от введенных упрощающих предположений.
При использовании борновского приближения точная волновая функ-
функция, описывающая взаимодействие нуклонов, дейтрона и ядра, заменяется
невозмущенной плоской волной. Такая замена является очень грубым
приближением, так как внутри ядра эта функция должна сильно изме-
изменяться. В ряде работ [41—43] было показано, что при условии исполь-
использования батлеровских упрощений борцовское приближение при исследо-
исследовании углового распределения приводит к результатам, совпадающим с
результатами Батлера. Это свидетельствует о том, что теория углового
распределения вылетающих нуклонов при не очень малых энергиях
слабо зависит от введенных упрощающих предположений.
В реакциях срыва должны выполняться законы сохранения энергии,
момента количества движения, его проекции и четности. Если обозна-
обозначить кинетическую энергию относительного движения дейтрона и ядра
А £0, энергию связи дейтрона srf, энергию начального состояния ядра
Ej, энергию конечного ядра Ej, кинетическую энергию улетающих
протонов £„, то в силу закона сохранения энергии должно выполняться
равенство
ep = *0-ed-(Ej-Ej). (98,1)
Если Ej — Е<^0 то происходит переход в одно из связанных состоя-
состояний; если Ej — £.^>0, то получается нестабильное ядро по отноше-
отношению к испусканию нейтрона. Каждому дискретному значению Ej — Ej
соответствует своя группа протонов с энергией е„(У, у). Экспериментально
обычно определяют величину Q = sp — s0.
Если спин начального ядра равен у (в единицах ft), а конечного
ядра У, то при захвате нейтрона с моментом L в силу закона сохране-
сохранения полного момента должно выполняться равенство
поэтому орбитальное квантовое число L захваченного нейтрона при за-
заданных У и у может принимать значения, удовлетворяющие: соотношению
Л —т
<98'2>
Кроме того, из закона сохранения четности следует, что L должно быть
четным, если J и j одинаковой четности, и L будет нечетным, если
J и j разной четности. Таким образом, при заданных J и j квантовое
число L пробегает несколько вполне определенных значений, которые
определяют угловое распределение протонов. В следующем параграфе
мы рассмотрим элементарную теорию углового распределения протонов
в реакциях срыва.

508 ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ БЕЗ ОБРАЗОВАНИЯ СОСТАВНОГО ЯДРА [ГЛ. XIV
§ 99. Элементарная теория углового распределения
нуклонов в реакциях срыва
Рассмотрим элементарную теорию реакции срыва A(d,p)B, предпо-
предполагая, что ядра А и В очень тяжелые, чтобы не учитывать их движе-
движения *). Пусть гр и гп — координаты протона и нейтрона в дейтроне;
kd — волновой вектор, определяющий движение свободного дейтрона;
f(\fp — fn\)—волновая функция внутреннего движения в дейтроне.
Пусть далее ядро А находится в состоянии, определяемом волновой
функцией
где <р-т @:, (*►) — функция, зависящая от угловых и спиновых перемен-
переменных нуклонов ядра А, соответствующая полному спину j и его проек-
проекции т на ось z. Тогда волновая функция начального состояния может
быть записана в виде
}p-rB|)'b(S)^e@5lai), (99,1)
где 1Ш —спиновая функция дейтрона.
Функция (99,1) является собственной функцией оператора Гамиль-
Гамильтона На, который складывается из оператора Гамильтона ядра Л, опе-
оператора внутреннего движения в дейтроне и оператора кинетической
энергии движения дейтрона. Оператор взаимодействия дейтрона и ядра
А обозначим Vа.
Функция конечного состояния описывает состояние ядра В, состоя-
состоящего из ядра А и нейтрона, и свободное движение протона. Она мо-
может быть записана в виде
Фь= exp (ikprp) х, (а,) фя E, гп) срУЖ @6> аь 0в, о„). (99,2)
2 Р
Если взаимодействие между протоном и ядром В изобразить опе-
оператором Vby то согласно § 65 вероятность перехода из состояния а
в состояние Ъ может быть представлена
где оператор па должен удовлетворять уравнению
Qa = 1 + (Я« - "а + Щ) - * КА; (99,4)
Еа—полная энергия системы.
*) Простой вывод формул для углового распределения протонов в реак-
реакции (d, p) с учетом рассеяния дейтронной и протонных волн в поле ядра дан
в работах А. Ситенко [44].

§ 99]
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УГЛОВОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НУКЛОНОВ
509
Если интересоваться только угловым распределением протонов
в реакции A (d, р) В, а не абсолютным значением сечения, то при
некоторых упрощающих предположениях о потенциале взаимодействия
Vb можно не решать сложного операторного уравнения (99,4).
Предположим, для простоты, что оператор Vb отличен от нуля
только в том случае, когда протон находится на поверхности ядра;
тогда можно написать:
Преобразуем показатель экспоненты в (99,1) к виду
1 . ,
2 #v<*хГ" ~Г ГР1 = QPi~ Чгп ~Г кРГР>
Q = -£ — k —импульс, характеризующий внутреннее движение про-
протона в дейтроне; p = rp — rn; q=kd— kp — импульс, передаваемый
ядру. Подставляя теперь (99,1), (99,2) и (99,5) в (99,3), получим:
= j h
c
0„,ав) X
X %[
апор
у mi>
где
(99,6)
(99,7)
(99,8)
Для вычисления (99,6) разложим плоскую волну е'чЯ по сферическим
функциям, проинтегрируем по угловым переменным и просуммируем по
спиновым переменным. Усредняя полученное выражение по квантовым
числам т и md начального состояния и суммируя по квантовым чис-
числам т и М конечного состояния, получим:
(99,9)
где Aj — коэффициенты, не зависящие от углов; L пробегает значе-
значения, удовлетворяющие неравенству
J J >)
(99,10)
Кроме того, L должно быть четным, если J и / одинаковой четности,
и нечетным, если J и j разной четности.
Для вычисления явной зависимости функции g{Q) от угла 0 необ-
необходимо знать радиальную волновую функцию дейтрона. Если принять

510 ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ БЕЗ ОБРАЗОВАНИЯ СОСТАВНОГО ЯДРА [ГЛ. XIV
для этой функции выражение /(р)= у ^—-> т0 из (99,8) полу-
получим:
Если взять функцию гюльтеновского типа, т. е.
ТО
Величина [g"(Q)]2 пропорциональна вероятности найти в системе, свя-
связанной с центром инерции дейтрона, импульс протона, равный TlQ.
Угловое распределение протонов, полученных в реакции A(d,p)B,
определяется согласно (99,9) произведением квадратов функции (99,11)
и сферической функции Бесселя. Первый множитель не зависит от L
и имеет максимальное значение при 0=0. Второй множитель зависит
от L и является осциллирующей функцией угла 0, так как аргумент
функции Бесселя зависит от угла 0:
qR=R
При L = 0 максимальное количество протонов испускается в направле-
направлении вперед, так как g2 (Q) и /02 (qR) имеют максимальное значение при
0 = 0. При L^=0 малым значениям 0 (а следовательно, и q) соответ-
соответствует минимум функции jL{qR). В этом случае направления макси-
максимального испускания протонов соответствует углам, не равным нулю и
тем большим, чем большему значению L соответствует главный член
в сумме (99,9). Чтобы из опытных данных об угловом распределении
определить значение L, необходимо экспериментальную кривую зави-
зависимости эффективного сечения от угла 0 разделить на g2 (Q); тогда
полученный результат будет пропорционален
(99,12)
Для некоторых реакций A(d, p) В правилами отбора (99,10) раз-
разрешается только одно значение L\ в этом случае его определение
особенно просто. Первое указание на значение L можно получить ис-
исследованием кривой (99,12) при малых углах. Максимум в направлении
вперед указывает, что L=0. Если максимум лежит при 0=^0, то
подбирают L и R, которые дают наилучшее согласие с экспериментом.
Если найдено L и если известна четность и спин начального состоя-
состояния, то правила отбора указывают четность конечного состояния, а

§ ЮО] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ РЕАКЦИЙ СРЫВА 511
его спин определяется с точностью до значений, допускаемых вектор-
векторным сложением:
J=J+L + s
В теории, не учитывающей кулоновских взаимодействий, реакции-
A (d, p) В и A (d, n)B описываются одинаковым образом.
§ 100*. Основные уравнения теории реакций срыва без учета
кулоновского взаимодействия
В предыдущем параграфе мы рассмотрели элементарную теорию
углового распределения протонов в реакциях типа A (d, p)B, считая,
что ядра А и В столь тяжелы, что их движением можно пренебречь,
и вг.одя очень грубые предположения о характере взаимодействия нук-
нуклонов с ядром. Здесь мы выведем основные уравнения теории реакций1
срыва, не прибегая к этим упрощениям.
Введем радиусы-векторы хр и хп протона и нейтрона в дейтроне
и радиус-вектор /?, определяющий положение центра тяжести ядра А..
Оператор кинетической энергии будет иметь вид
где т — масса нуклона; тА — масса ядра; А — массовое число. Bee-
дальнейшие рассуждения мы будем вести только в системе координат,
связанной с центром инерции ядра А и дейтрона. Для перехода к си-
системе центра инерции вводим новые координаты согласно соотноше-
соотношениям:
^, rn = xn-R,rp=xp-R, (Ю0,2а)
Л 4-2
р = Хо-Хп, A00,26)
'•р ,, у n it
— > гп—лп **» У — "р а к 1 •
A00,2в)
Тогда для кинетической энергии A00,1) получим выражения:
{ — Ё- Г ] |?д^1±1дг<|-|--1±1д 1 t A00,3a)
к— ) Р
А < о-
/inn Ч \

512 ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ БЕЗ ОБРАЗОВАНИЯ СОСТАВНОГО ЯДРА [ГЛ. XIV
Введем в рассмотрение операторы кинетической энергии относитель-
относительного движения ядра Л и соответственно нейтрона и протона, обозна-
обозначив их Кп и Кр. Так как координаты г„ и г определяют положение
нейтрона и протона относительно центра инерции ядра Л, то
*«=~2ЙД"" а Кр==~2-М*г'» где М = АТ1т- Обозначим далее
оператор Гамильтона ядра Л через Ял (S), где£ = (с|, о) — совокуп-
совокупность пространственных и спиновых координат, определяющих внутрен-
внутреннее состояние ядра, энергию взаимодействия протона и нейтрона
в дейтроне Vnpy а энергии взаимодействия нейтрона и протона с яд-
ядром А соответственно Vn^ и V ►.
Тогда полный гамильтониан всей системы, состоящей из ядра и
дейтрона, в системе центра инерции будет иметь вид
H=H0+Vap+ Va>+ VpV A00,4)
где Но в зависимости от выбора переменных A00,2) можно записать
согласно A00,3) в следующем виде:
+ НА(% A00,5а)
//Д($), A00>56)
где Кп, Кр определены ранее; /Сг=_^-Дг; /^р —__
ЧА т .. Л 4-1
Начальное состояние а представляет собой состояние системы,
в котором дейтрон и ядро Л, удаленные на бесконечно большое рас-
расстояние, движутся навстречу друг другу с энергией относительного
движения е0. Для описания начального состояния удобно пользоваться
системой переменных A00,26). При г—> оо Vnt=Vpt = 0 и гамиль-
гамильтониан A00,4) примет вид
Ha = H0+Vnp = HA{%) + H(p) + Krt A00,6)
fa
где Н(р) = —к~ Д -|-К„ —оператор Гамильтона, определяющий
внутреннее состояние дейтрона.
Волновая функция Фа начального состояния, удовлетворяющая
уравнению
может быть записана в виде
^/д{^ A00,8)

§ 100] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ РЕАКЦИЙ СРЫВА 513
где tfА (S) = Vjm (;, а$ — волновая функция начального состояния
ядра А, удовлетворяющая уравнению
/(р) — волновая функция основного состояния дейтрона, удовлетворяю-
удовлетворяющая уравнению
V V £^>0' A00,10)
1\md — спиновая функция дейтрона; Ea=zEA — ed -J- s0 — полная энер-
гия начального состояния в системе центра инерции; £0 = 9лл~ d —
кинетическая энергия относительно движения дейтрона и ядра. В даль-
дальнейшем для краткого обозначения начального состояния будем приме-
применять один из способов
a~{kd, A)~{kd,md,j,m}. A00,11)
Рассмотрим конечное состояние системы, соответствующее захвату
ядром А нейтрона из дейтрона с образованием ядра В и удалением на
бесконечное расстояние протона. Для описания конечного состояния
удобно пользоваться системой переменных A00,2в), т. е. положение
протона определять относительно центра инерции конечного ядра В
радиусом-вектором у = гр — ■. гп. Для тяжелых ядер у == г .
При бесконечном удалении протона от ядра V==V . = 0, и сог-
согласно A00,4) и A00,5в) в системе центра инерции оператор Гамиль-
Гамильтона имеет вид
Нь = ло + VnX = Нв (;, О 4- ку, A00,12)
где
Vnt: A00,13)
— оператор Гамильтона конечного ядра В.
Волновые функции срв C, гп) и энергетические состояния Ев ядра В
(включая и непрерывный спектр) будут определяться уравнением
ив& rn)'fB£> ra) = EByB& гп). A00,14)
Волновая функция конечного состояния полной системы, соответствую-
щая энергии Eb=zEB-\-$kl), где Skp= ^м > Должна удовлетворять
уравнению
{Нь-Еь)Фь = 0 A00,15)
и имеет вид
Фь=е^У1±т (ар)Ьм& гп, а,, ап), A00,16)
где it (j„)—спиновая функция протона.
33 А. С. Давыдов

514 ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ БЕЗ ОБРАЗОВАНИЯ СОСТАВНОГО ЯДРА [ГЛ. XIV
Конечное состояние системы мы будем кратко обозначать следую-
следующим образом:
b = {kp, B} = {kp, тру У, М).
Задача теории реакций срыва заключается в определении диффе-
дифференциального эффективного сечения —0- ядерной реакции, соответст-
соответствующей переходу из состояния Фа в состояние Фь в системе, описы-
описываемой гамильтонианом A00,4). Для вычисления этого сечения надо
найти решение уравнения
(E-Ho-Vnp-Vn,~Vp,)^ = 0 A00,17)
в виде суммы падающей волны Ф и расходящихся волн при условии
Е=Еа = Еь. Перепишем A00,17) следующим образом:
Решение A00,18) можно записать в виде интегрального уравнения
Ч? = Фь + О-> (Vnp+ Vp.) V, A00,19)
где
D = E-Hb + irl = E-H0-Vnl + iri; A00,20)
Г)—малая вещественная положительная величина, обеспечивающая на-
наличие в A00,19) только расходящихся рассеянных волн. После вычис-
вычисления соответствующих интегралов надо устремить 7] к нулю.
Выразим Фь в уравнении A00,19) через падающую волну Фа. Для
этого перепишем уравнение A00,7), учтя A00,6), в следующем виде:
тогда
Ф^Ф^ + Я-1 (Vnp- Уп,)Фа, A00,21)
где Фь удовлетворяет уравнению {Е — Яо — Уп1)Фь = 0, совпадаю-
совпадающему с A00,15). Подставляя Фь из A00,21) в A00,19), получим ин-
интегральное уравнение требуемого вида:
A00,22)
где
1 * w I A00,23)
Уравнение A00,22) аналогично уравнению, полученному в [45] для
бесспиновых частиц при условии замены ядра центром сил.
Если учесть, что W1=Va—Vb, где Va=Vpi-\-Vn^, то легко
убедиться, что полученное здесь интегральное уравнение A00,22),
определяющее точную волновую функцию реакции срыва, тождественно

§ 100] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ РЕАКЦИЙ СРЫВА 515
совпадает с интегральным уравнением § 65, полученным согласно фор-
формальной теории реакций с перераспределением нуклонов. Там же по-
показано, что это уравнение эквивалентно интегральному уравнению
Ч* = Фа + (Е — tia + in)-lVaV, A00,22a)
где
Вводя функцию Грина, представим интегральное уравнение A00,22)
в следующем виде:
5 (Гр1 гп, е; /•;, /•;, S')[^A + W d-:. (ioo,24)
Знак интеграла включает и суммирование по спиновым переменным,
штрих у квадратной скобки указывает, что стоящие в ней функции
надо брать при штрихованных значениях переменных. Функция Грина G
в A00,24) определяется равенством
о=2 «V (/■„, г £) я-'Ф*' (С ';, £')•
Принимая во внимание, что функции Фь являются собственными функ-
функциями оператора Иь, можно, используя A00,15) и A00,20), написать:
Учитывая выражение для волновой функции A00,16) и подставляя зна-
значения Еа и Еь, преобразуем это равенство к виду
где
&в~~%?г{Еа — ^B~TBd\eo)' у)==лГГ|#
Теперь можно написать:
Xi (^)?5'(Un)Ki ffl (a>)-f^E',r )
^2 ^ J BI
^ * д/ - ^ + 'V
Принимая во внимание известное равенство
получим окончательное выражение для функции Грина:
33*

516 ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ БЕЗ ОБРАЗОВАНИЯ СОСТАВНОГО ЯДРА [ГЛ. XIV
где
Это равенство выражает закон сохранения энергии в реакции A (d, p) В.
Подставляя найденную функцию Грина в A00,24), получим инте-
интегральное уравнение, определяющее волновую функцию системы
+W<ft'- (Ю0.25)
Здесь Фа соответствует падающей волне, остальные слагаемые — рас-
расходящимся волнам.
Определим амплитуду Ав (п) рассеяния протонов в направлении
единичного вектора п, когда конечное ядро переходит в состояние В,
с помощью соотношения
у -» со
Г
lim fB£,rn)l\ 4'drndZ, A00,26)
' т
— т
где Ч1—решение интегрального уравнения A00,25), Подставляя Ч; из
A00,25) в A00,26) и принимая во внимание, что при- у—»• оо,
kp \У—У | = kIty~kpy, где kp = nkp, получим:
Лв№= —2^(kp,B;\W\a), A00,27)
где
(kp,B;\W\a)=\ e-ik>» Х^т fB (S, rn)[W^a+ VJ¥}dz. A00,28)
2 P
Покажем, что матричный элемент
е-'* 1\ Й E. О ^1ф«^ = J ф; (V* - Vap) ФвЛ= 0. A00,29)
—
Действительно, согласно A00,7) и A00,15) функции Фа и Ф£ удов-
удовлетворяют уравнениям
Умножая первое из этих уравнений на Ф^, второе на Фа, интегрируя
по всем переменным, от которых они зависят, и вычитая одно из дру-
другого, получим
(Ф*^Фв) = (Ф*. УпрФа), A00,30)
что и доказывает A00,29).

§ ЮО] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ РЕАКЦИЙ СРЫВА £17
Итак, матричный элемент
(kp,B;\W\a) = (Фь, VJ9) = J е-ik"yX\ fB(Vp, + Vpn) Wx. A00,31)
На опыте определяется поток рассеянных протонов, энергия кото-
которых соответствует захвату нейтронов в одно из состояний конечного
ядра. Поток протонов в единицу телесного угла в направлении п вы-
ражается через амплитуду рассеяния и равен тт— Ав (п) | . Разделив
этот поток на плотность потока падающих дейтронов Нгт^ К получим
\ма I
эффективное сечение соответствующей реакции при определенных
ориентациях спинов дейтрона, вылетающего протона и ядер:
daba Mdkp . MvMdk
Обычно имеют дело с неполяризованными пучками дейтронов и реги-
регистрируются протоны без учета их поляризации. Для вычисления изме-
измеряемого на опыте эффективного сечения надо просуммировать A00,32)
по поляризациям протонов и проекциям спина конечного ядра и усред-
усреднить но начальным поляризациям пучка дейтронов и проекциям спина
начального ядра. Обозначая для краткости эту операцию знаком
V = ! У
*-* ~ 3 B/4- 1) -^ '
5 WT ' md, т, т,„ М
получим эффективное сечение реакции срыва:
daha MvMdko чг^ .
где
(Ф„ Vb4<) ~ J е-'*>»х\ Й <У#+ Vpn) Wx . A00,34)
~mi>
Волновая функция *Р, входящая в A00,34), должна быть решением
интегрального уравнения A00,25), которое содержит потенциальные
энергии взаимодействия Vn^ Vnp, Vp^. Для решения этого уравнения
надо знать аналитический вид потенциальных энергий взаимодействия
и волновые функции основных состояний дейтрона, ядра А и различных
состояний ядра В.
Формула A00,33), определяющая дифференциальное сечение реак-
реакции срыва, является точной, если не учитывать кулоновское взаимодей-
взаимодействие протона с ядром или если предполагать, что Vp^ содержит ку-
кулоновское взаимодействие, которое на расстоянии, превышающем размеры
атома, экранируется атомными электронами.

518
ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ БЕЗ ОБРАЗОВАНИЯ СОСТАВНОГО ЯДРА
[ГЛ. XIV
Сложность решения интегрального уравнения A00,25) заставляет
прибегать к ряду упрощающих предположений. Наиболее простым и
в то же время наиболее грубым приближением в теории реакций срыва
является борновское приближение. В борновском приближении точная
волновая функция системы Ч* заменяется падающей волной Фа. Со-
Согласно A00,25) эта замена возможна только вне области действия по-
потенциалов 1/И£, Vр', V , внутри же этой области такая замена является
грубым приближением, хотя, как показывает опыт, и дает качественно
правильное описание углового распределения нуклонов, освобожденных
в реакциях срыва.
В борновском приближении A00,33) принимает вид
(юо,35)
где , пользуясь A00,30), можно записать:
vfia) =
ф;
vpn) Фаах=
Последнее равенство является частным случаем равенства (Фь,УьФа) =
= (Фь, УаФа), доказанного в § 65. Подставляя в A00,36) явные выра-
выражения для функций конечного A00,16) и начального состояния A00,8),
имеем:
A00,36а)
В A00,36а) знак интеграла включает и суммирование по спиновым
переменным. Используя A00,2), можно написать:
A00,37)
где
9\ =
\Q
к-
2
А ь
А+\ПР
= /(^-
Лп«|-, (Ю0,38)
А+\
AA
Л + 1
A00,39)
Разлагая плоскую волну е{чгп по сферическим функциям
ёчгп = 2 1/kBL+
L =0
можно переписать A00,36а) в виде
iL jL (grn) YL0 @„),
A00,40)

§ 100]
где
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ РЕАКЦИЙ СРЫВА
519
Подставляя спиновую функцию дейтрона в виде
2 —' а
и учитывая ортогональность спиновых функций протона, можно написать:
[l 1 Ъм I FLo I Ъта V/m) =
/+■
X
\m-\- ma —
>.=/—V
X
A00,41)
где в силу свойств коэффициентов векторного сложения должны вы-
1
полняться соотношения
mArmd — mp, \J—j\— 2
При получении A00,41) мы использовали равенство

520 ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ БЕЗ ОБРАЗОВАНИЯ СОСТАВНОГО ЯДРА [ГЛ. XIV
и теорему Вигнера — Рака (см. приложение I, § Ж)
(JM\FL0\lm) = (По m\JM) AD
где AL — матричный элемент от оператора j i{Q f n)\Vp^-\- Vn^\, неза-
независящий от квантовых чисел т и М. Если не учитывать кулоновского
взаимодействия протона с ядром, то Vp^ и Vn^ равны нулю вне ядра,
поэтому можно написать:
AL=aJL{qR)y A00,42)
где aL— некоторая постоянная, a R — величина, по порядку равная
радиусу ядра*).
Подставляя A00,40) в A00,35), и учитывая A00,41), получим:
Если для оценки величины AL использовать A00,42), то формула
A00,43) будет давать угловое распределение протонов, полученных
в реакции A(d,p)B, такое же, как и формула (99,9).
§ 101. Учет кулоновского взаимодействия в реакциях срыва
Строгий учет кулоновского взаимодействия в ядерных реакциях
с дейтронами связан с математическими трудностями, возникающими
из-за несовпадения центра инерции и центра заряда. Несовпадение
центра заряда и центра инерции в дейтроне приводит к «поляриза-
«поляризации» дейтрона при его движении в кулоновском поле.
Приближенно можно учесть несовпадение центра заряда и центра
инерции адиабатическим методом в двух предельных случаях:
а) случай «медленных» дейтронов, т. е. дейтронов, скорость дви-
движения которых в кулоновском поле значительно меньше скорости
внутреннего движения нуклонов в дейтроне;
б) случай «быстрых» дейтронов, т. е. дейтронов, скорости движе-
движения которых в кулоновском поле значительно больше скоростей внут-
внутреннего движения в дейтроне.
В первом случае волновую функцию дейтрона можно записать
в виде
tyd(rp,rn) = F(r)f{r, p), A01,1)
где
_ г„ -f- rn _
г — 2 "' Р — ГР — г«'
*) Строго говоря, в A00,42) следует считать R зависящим от L и q, так
как по теореме о среднем матричный элемент оператора j'i(qrn) [V^t-j- Vn^\
может быть представлен в виде A00,42) при условии, что каждому значению
L будет сопоставлено свое значение q R. Обычно предполагают, что зависи-
зависимостью R от q и L можно пренебречь.

§ Ю1] УЧЕТ КУЛОНОВСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В РЕАКЦИЯХ СРЫВА 521
F (г) описывает движение центра инерции дейтрона;/(г, р) — волно-
волновая функция внутреннего движения в дейтроне с учетом дополнитель-
дополнительного потенциала взаимодействия
Ze'fl
который представляет собой разность кулоновских энергий в точках,
определяющих положение протона и центра инерции дейтрона. Эта
потенциальная энергия немного изменяет внутреннее движение в дейт-
дейтроне. В нулевом приближении можно пренебречь этим •вменением:
и заменить A01,1) волновой функцией
A01,1а)
В случае быстрых дейтронов можно исходить из предположения,
что их движение в кулоновском поле происходит с фиксированной
ориентацией, и записать волновую функцию в виде
где F(rp) изображает движение в кулоновском поле частицы, имею-
имеющей массу, равную массе дейтрона, и координату протона. Это прибли-
приближение использовалось в работах Сербера [46] и Пизли [47] при вычисле-
вычислении полного сечения реакции срыва.
Учет влияния кулоновского взаимодействия на угловое распределе-
распределение протонов в нулевом приближении A01,1а) был осуществлен в ра-
работах Фридмана и Тобокмана [40] и Джокоз [48]. При этом плоские
волны, описывающие (без учета кулоновского взаимодействия) движе-
движение дейтрона и протона вне ядра, заменялись волновыми функциями
для движения этих частиц в кулоновском поле. Остальные упрощаю-
упрощающие допущения были аналогичны допущениям, использованным Батле-
ром. Вычисления, проведенные для случая реакции Be9 (й?, я) В10 и
энергии дейтронов, равной 0,94 Мэв в лабораторной системе коорди-
координат (при R ^= 5- \0~исм), показали, что эффект кулоновского взаимо-
взаимодействия снижает зффективное сечение при захвате протона с момен-
моментом /==0 примерно в 12 раз и при захвате протона с моментами
/=1 и 2 соответственно в 7 и 6 раз. Кроме того, кулоновское вза-
взаимодействие приводит к сглаживанию максимумов и минимумов в угло-
угловом распределении. Это значительное влияние кулоновского поля свя-
связано с малой энергией падающих дейтронов.
При энергиях, превышающих энергию кулоновского барьера, когда
£0 ]> —2р— =5: ZA А /а Мэв, влияние кулоновского взаимодействия ста-
становится малым.

522 ядерные реакции без образования составного ядра [гл.хгу
В другом предельном случае очень малых энергий дейтронов, когда
как показал К. А. Тер-Мартиросян [49] для случая тяжелых ядер,
угловое распределение испускаемых частиц слабо зависит от переда-
передаваемого ядру момента и определяется в основном кулоновским полем
ядра. В этом случае протоны, полученные в реакции A(d,p)B, в ос-
основном летят назад.
§ 102. Поляризация освобожденных нуклонов в реакциях срыва
Предположим, что потенциал нуклон-ядерного взаимодействия вклю-
включает спин-орбитальную связь; тогда можно показать, что нуклоны,
освобождаемые при реакциях срыва, будут частично поляризованными.
Поляризация протонов, испускаемых при реакциях срыва, исследо-
исследовалась в теоретических работах Ныоса [50], Горовитца и Мессиа [51]
и Честона [52]. Теория Ньюса, основанная на предположении о том,
что ядро полностью поглощает нейтроны, и теория Горовитца и Мес-
Мессиа, основанная на замене взаимодействия протона с ядром потенциа-
потенциалом отталкивания определенного радиуса, приводили к поляризации,
не совпадающей по знаку с поляризацией, наблюдаемой на опыте.
Правильный знак поляризации нуклонов, испускаемых в реакциях срыва,
был получен в работе Честона. В этой работе взаимодействие испуска-
испускаемого нуклона с ядром описывалось комплексным потенциалом притя-
притяжения с спин-орбитальной связью, который использовался (см. § 61)
при теоретическом описании процесса поляризации при рассеянии нук-
нуклонов средней энергии ядрами.
Рассмотрим эффект поляризации протонов в реакции срыва A (d, p) В
для простейшего случая, когда спин ядра А равен нулю. Для упро-
упрощения не будем учитывать кулоновского взаимодействия. Волновая
функция начального состояния системы, представляющая основное со-
состояние Ч*А ($) ядра А и относительное движение дейтрона и ядра А,
может быть записана в виде
■Ф« (**«*) =
Координаты гр и гп отсчитываются от центра инерции ядра А, кото-
который при достаточно тяжелом ядре совпадает с центром инерции си-
системы. Влияние ядра на плоскую волну, изображающую относитель-

§ 102] ПОЛЯРИЗАЦИЯ ОСВОБОЖДЕННЫХ НУКЛОНОВ В РЕАКЦИЯХ СРЫВА 523
ное движение ядра и дейтрона, мы учтем, наложив на функцию Ф
требование
Фв (**«*) = 0, если |г> + Гв1-</?. A02,2)
Волновая функция конечного состояния без учета взаимодействия про-
протона с ядром В может быть записана в виде
Ф» = «'**\ (°,)^($,гя>ов). A02,3)
Предположим далее, что волновая функция Ч*в конечного ядра В,
образованного при захвате нейтрона ядром Л, соответствует состоянию
движения нейтрона с вполне определенным орбитальным моментом L;
тогда
L±mL,M-mL\JM) cpim (rj Z (an). A02,4)
mL 2 L
Дифференциальное эффективное сечение реакции срыва пропор-
пропорционально квадрату матричного элемента (Фь, Vb па Фй), который в
борновском приближении @д=1) переходит в матричный элемент
(Ф*,ПФв). Vb=Vpt+Vnp. A02,5)
Выберем систему координат xyz так, чтобы ось квантования z
была перпендикулярна к плоскости рассеяния, т. е. совпадала с на-
направлением векторного произведения: [kpkd]. Определим степень по-
поляризации протонов по оси z с помощью соотношения
d° )+ \dQI-
da\ ' A02,6)
)
^) nf-^-j —соответственно эффективные дифференциаль-
дифференциальные сечения рассеяния с поляризацией протона вдоль (/w/,= 1/2) и про-
тив (tnp = — 1jt) оси z. Максимальная поляризация соответствует зна-
знаР Ч 1
p t
чению Рг = Ч- 1.
г
Подставляя (Ю2,1) и A02,3) в A02,5), получим:
Т' M—mj+m',,, md—mp | Уж) [~ \ т'р, та — тр
т' ,1а
р
Х(<Р/л1_ 4- ' eikPrP ii {ap)\Vb\xi '(а)ф/(г„ г„)\, A02,7)

524 ядЕРные реакции без образования составного ядра [гл. xiv
где
v b \ 1 А \*> I v р% \^ рп х Л \^1 I — v р\ 1 v pn' \l 1 а>
Средний потенциал взаимодействия протона с ядром А согласно опти-
оптической модели может быть заменен потенциалом
г; ( —t^n О ~Ь'ч)—als, если г ^/?; ,,пПп,
Vp\={ п ' ' A02'8)
(О, если rp ]> R.
При rp^>R действие потенциала Vp^. на протонную волновую функцию
может быть учтено заменой
X
A02,9)
где Фут —спин-угловая функция протона; j^kr) и ht{kr) — соот-
соответственно сферические функции Бесселя и Ганкеля; ^ • — комплекс-
комплексные числа, связанные с матрицей рассеяния Stj протона, имеющего орби-
орбитальный момент / и полный момент у, на ядре А для потенциала
взаимодействия A02,8). Вследствие наличия в выражении A02,8)
спин-орбитального взаимодействия при 1=^=0 два значения ^у, соот-
соответствующих двум возможным ориентациям спина протона j=l -4- '/„,
различаются между собой. Если в реакции A(d, p)B испускаются про-
прогоны с 1=0, то поляризация отсутствует.
Произведя замену A02,9), можно в матричном элементе A02,7)
оставить только потенциал взаимодействия V . Предполагая, что этот
потенциал имеет нулевой радиус действия, и вводя некоторые предпо-
предположения о характере зависимости волновой функции нейтрона в ядре,
Честон [52] показал, что степень поляризации Рг равна минус 17%
для протонов реакции С12 (d,p)Cls, испускаемых под углом 30° к на-
направлению пучка дейтронов, при энергии первичного пучка дейтронов,
равной 3,20 Мэв. Экспериментальное [53] значение Рг= — 58% + 13%
для дейтронов энергии 4 Мэв.

ГЛАВА XV
ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ ПРИ БОЛЬШИХ ЭНЕРГИЯХ
§ 103. Теневое или дифракционное рассеяние
При некоторых значениях энергии «50 Мэв) относительного
движения нейтрона и ядра происходит поглощение нейтрона ядром.
В этом случае взаимодействие нейтрона и ядра приближенно может
быть описано моделью черного тела.
Поглощение нейтронов ядром вызывает возмущение падающей волны,
приводящее к дополнительному упругому рассеянию, не связанному с
образованием составного ядра. Это упругое рассеяние, обусловленное
наличием поглощающего рассеивателя, в случае нейтронов с длиной
волны, малой по сравнению с размерами ядра, аналогично дифракции
света от черного шара и называется дифракционным рассеянием [1].
Элементарная теория этого явления была рассмотрена в § 55.
Для выяснения основных особенностей дифракционного рассеяния
предположим, что поток нейтронов с волновым вектором k падает на
абсолютно черное ядро радиуса R. Направим ось z координатной системы
(в начале которой находится ядро) вдоль волнового вектора k падающей
волны. Направление упругого рассеяния будет однозначно определено
значениями проекций на оси х \\ у волнового вектора k' рассеянной
волны. В частности, угол рассеяния д определяется равенством
sma =
Поэтому, следуя Ахиезеру и Ситенко [2], для исследования рассеяния
нейтронов будем рассматривать только значения волновых функций сво-
свободного движения нейтронов на плоскости z—О. Далее введем систему
функций
<L9 (p);=Z,-Vw, A03,1)
где q, р — векторы на плоскости z = 0, так что

526 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ ПРИ БОЛЬШИХ ЭНЕРГИЯХ [ГЛ. XV
Предполагается, что функции A03,1) ортонормированы в достаточно
большой области, имеющей форму квадрата с ребром L, условием
fy« A03,2)
L
и распространены на всю остальную часть плоскости z = 0 условием
цикличности
в силу которого вектор q пробегает дискретные значения qx = -j-nx,
2т. л
qyz=-j-ny\ пх и пу—любые целые числа.
Падающим нейтронам, на плоскости 2 = 0 соответствует волновая
функция 60 = L~1. Волновая функция рассеянных волн получится из
ф0, если мы подействуем на сЬ0 оператором
@, если ps^R,
@ = <
\\, если р>#,
так как наличие черного ядра приведет к обращению в нуль функции
ф0 в круге с радиусом, равным радиусу ядра R. Разложим рассеянную
волну (офо по волновым функциям ф9 (р):
тогда вероятность дифракционного рассеяния в направление, определяе-
определяемое волновым вектором q в интервале q, q-\- dq, можно написать в виде
а соответствующее дифференциальное сечение рассеяния в телесный
угол dQ будет равно
Далее, из A03,3) в силу ортогональности функций A03,1) следует
= J софосЬ* dp = — J A —
R2tz
0 0
где
cos

§ ЮЗ] ТЕНЕВОЕ ИЛИ ДИФРАКЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ 527
— функция Бесселя нулевого порядка. Пользуясь известным соотношением,
из теории функций Бесселя
R
где J1(Rg) — функция Бесселя первого порядка, получим:
4 L2 q
Подставляя это значение aq в A03,4) и вспоминая, что q=ksinfy,
определим эффективное сечение дифракционного или теневого рассеяния:
da~ ° —^г!—ail. A03,5)
Эффективное сечение A03,5) максимально при kR sin 0 = 0, а затем
с ростом аргумента kRsinft, осциллируя, быстро стремится к нулю.
Уже при kRsin 0= 1,22тг сечение da первый раз обращается в нуль,
поэтому при kR = — ^> 1 эффективное сечение A03,5) теневого рас-
рассеяния характеризуется резкой направленностью вперед. Теневое рас-
рассеяние существенно отлично от нуля только в области малых углов
у
-т7Г, поэтому можно положить sin 6 =5= 0 и написать:
A03,5a)
Определим полное эффективное сечение теневого рассеяния. Для этого
надо проинтегрировать A03,5) по всем углам:
Г Jl(kR smb)
a — R2 . Ift—dQ.
J sin2 о
Поскольку при kR» 1 существенный вклад в рассеяние вносят только
углы O-v-0, то, заменяя sin 0 аргументом Ь и расширяя верхний предел
интегрирования до оо, получим:
р J*{x)
= 2тт/? \ dx =
J *
Таким образом, при поглощении ядром нейтронов, длина волны кото-
которых значительно меньше радиуса ядра, происходит дополнительное
упругое рассеяние на малые углы. Интегральное сечение этого дифрак-
дифракционного рассеяния равно площади поперечного сечения ядра.
При поглощении ядром быстрых заряженных частиц (протонов и др.)
также наблюдается дифракционное рассеяние. Теория этого явления
рассмотрена А. Ахиезером и И. Померанчуком [3J. Из-за необходимости

528 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ ПРИ БОЛЬШИХ ЭНЕРГИЯХ [ГЛ. XV
учета кулоновского взаимодействия теория дифракционного рассеяния
заряженных частиц на ядрах очень сложна. Мы изложим здесь только
основные результаты, отсылая читателя к упомянутой выше оригинальной
работе Ахиезера и Померанчука или к их обзорной работе [4].
Вследствие большого радиуса действия кулоновских сил кулоновское
рассеяние происходит и при прохождении заряженной частицы на боль-
большом расстоянии от ядра, когда она не может быть захвачена ядром.
Следовательно, при очень малых углах, соответствующих прохождению
частицы на далеких расстояниях от ядра, рассеяние должно быть только
кулоновским.
При рассеянии быстрых заряженных частиц, длина волны которых
мала по сравнению с радиусом ядра, можно применять квазиклассическое
приближение, т. е. рассматривать движение по траекториям. Для погло-
поглощения частицы необходимо, чтобы кратчайшее расстояние г0 между
ядром и частицей было меньше радиуса ядра R. Кратчайшее расстояние г0
связано с параметром столкновения b соотношением
где Е— энергия падающей частицы. Поэтому необходимое условие по-
поглощения: ro<CR, примет вид
-fr- о03-6)
Параметр столкновения для частицы, обладающей орбитальным момен-
моментом /, в квазиклассическом приближении определяется равенством
b = ljk = l%. Тогда из A03,6) можно сделать заключение, что погло-
поглощение протонов с определенным орбитальным моментом ядрами возможно
лишь при условии, когда
w, где /0=— I/ 1—да.
Для тяжелых ядер и протонов с энергией 15 Мэв /0-^-4, а для протонов
энергией 25Мэв /0^-5.
Из-за наличия теневого рассеяния упругое рассеяние быстрых за-
заряженных частиц поглощающими ядрами отличается от чисто кулонов-
ского (резерфордовского) рассеяния.
При 7) = ^—«1 чисто кулоновское рассеяние происходит при очень
малых углах по сравнению с ——. При 0=—;—■ амплитуды кулонов-
'о 'о
ского и дифракционного рассеяний совпадают по порядку величины.
При 1>>0>>——- преобладает упругое дифракционное рассеяние, при

§104] ОПТИЧ. МОДЕЛЬ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ БЫСТРЫХ НУКЛОНОВ С ЯДРАМИ 529
этом сечение упругого рассеяния протонов примерно совпадает с сече-
сечением упругого рассеяния быстрых нейтронов.
При т[ = ~^у 1 и малых углах 0«— рассеяние является чисто
кулоновскпм, а в области углов -р- << 0 « 1 в основном дифракционным.
При 0-^-^р амплитуда кулоновского рассеяния примерно в у 7) раз пре-
восходит амплитуду дифракционного рассеяния.
Дифракционное рассеяние частиц ядром является необходимым
следствием всех процессов, приводящих к частичному поглощению
частиц в первоначальном пучке. Кроме уже упомянутых работ общая
теория дифракционного рассеяния развивалась в работах Л. Ландау и
И. Померанчука [5] и И. Померанчука и Е. Фейнберга [6].
Как показали Е. Л. Фейнберг [7], А. Ахиезер и А. Ситенко
[8J и Глаубер [9], при дифракционном рассеянии быстрых дейтронов
C0—300 Мэв) на тяжелых ядрах, помимо чисто упругого рассеяния
дейтронов как целого, должно иметь место дифракционное расщепление
дейтрона на протон и нейтрон. Этот своеобразный процесс происходит
вне ядра. При дифракционном рассеянии дейтрон приобретает неболь-
небольшой импульс. Этот дополнительный импульс, получаемый дейтроном
вследствие отдачи, может вызвать развал дейтрона на протон и нейтрон.
Если предположить, что ядро является абсолютно черным, то се-
сечение упругого дифракционного рассеяния дейтронов на ядрах, радиус
которых R значительно превышает радиус дейтрона Rd выражается
формулой
oel = KR* + 2^-(\—\n2)RRd, Rd«R,
а сечение дифракционного расщепления дейтрона — формулой
я,, Rd«R.
Полное же сечение всех процессов, включая реакции поглощения,
срыва и др., равно
Rd«R.
§ 104. Оптическая модель взаимодействия быстрых
нуклонов с ядрами
Оптическая модель для исследования взаимодействия с ядрами
нуклонов большой энергии была впервые введена Фернбахом, Сервером
и Тейлором [10].
Большими энергиями мы будем называть такие энергии относитель-
относительного движения нуклона и ядра, при которых длина волны X, соответ-
соответствующая их относительному движению, значительно меньше радиуса
ядра R. Это условие выполняется для нейтронов с энергией в несколько
сотен Мэв.
34 А. С. Давыдов

530 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ ПРИ БОЛЬШИХ ЭНЕРГИЯХ [ГЛ. XV
В оптической модели ядро рассматривается как непрерывная среда,
характеризующаяся показателем преломления и коэффициентом погло-
поглощения. Вследствие того, что при больших энергиях длина волны
нуклона меньше размеров ядра, его движение можно рассматривать
квазиклассически. Таким образом, можно говорить о «месте» попадания
нуклона в ядро, о «траектории» его движения внутри ядра и т. д.
Волновые свойства в этом случае можно учитывать путем исследования диф-
дифракции соответствующих волн на ядре. Представление о движении
нуклона в ядре по траектории позволяет вычислять изменение фазы
падающей волны по каждому возможному пути и рассматривать общее
изменение фазы как геометрическую сумму таких изменений. Это по-
позволяет вычислить и сечение рассеяния.
Если ядерное вещество характеризовать комплексным показателем
преломления
то плоская волна exp (ikz), проходя слой вещества толщины Дг, при-
примет вид
Ц*= S{\z)exp {ik (z-\-lz)}, (Ю4,2)
где
— 1) — yl ^z\. A04,2а)
Здесь величина х— коэффициент поглощения нуклонов ядерным ве-
веществом, определяющий расстояние zo=~, на котором интенсивность
нуклонных волн убывает в е раз.
Сечение упругого рассеяния от части ядерного вещества толщиной
&z и площадью df будет
doe = \\— S(bz)\zdf,
а сечение реакции
dar=(\-\S(\z)\2)df.
Полные сечения упругого рассеяния и реакции получаются из этих
выражений при интегрировании по всему поставленному на пути волны
препятствию. Если препятствием служит ядро радиуса R, то й?/=2тсра?р,
Д.г = 2~, где £2 = /?2—р2. Тогда, пренебрегая небольшим эффектом
отражения и преломления нейтронной волны при переходе через
поверхность ядра, получим:
R R
аг = 2тт С {1 — exp (— 2x1)} prfp = 2тт Г {1 — exp (— 2 хЩ I d\ =
J qLR. (Ю4,з,

§ 104] ОПТИЧ. МОДЕЛЬ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ БЫСТРЫХ НУКЛОНОВ С ЯДРАМИ 531
Таким же образом можно вычислить и сечение упругого рассеяния:
а, = 2тт||1— exp{[2/A(ji— 1)— *]£} |2 р^р = тт#2 jl +
о
Q2) л -а \рг — Ф — Я (рг 4- О2) i
-г^г — <±е * т—5—:—»т»—' cos p -+-
Г) L (Р +Т)
q = xR, p = 2k{\i.— \)R. A04,4)
Для вычисления углового распределения можнэ определить ампли-
амплитуду рассеяния
A^ = Tk 2 B/+1) A—exp {[2/A(ji—l)—«]«}) P/(cosO).A04,5)
Полагая /-j-'/z"^? н используя при малых 0 и больших / соот-
соотношение P,(cos 0) =J0 (kp sin 0), можно перейти от суммы A04,5) к
интегралу; тогда
R
А @) = /A J {1 — exp [2ik (jx — 1) — х] 3} Уо (Ар sin 0) prfp.
о
В общем случае этот интеграл вычислить трудно, однако для рассея-
рассеяния вперед амплитуда рассеяния будет
ikR2 i 1 I 2(я-/?)а[1-A+У-(р)ехр(-у +/»]
q = kR, p = 2k{]L—\)R.
Показатель пре*юмления \i в работе [10] определялся из выражения
где V— глубина потенциальной ямы, равная сумме энергии связи нейт-
нейтрона и энергии нуклона на поверхности сферы Ферми; s = -ктг —
энергия относительного движения нейтрона и ядра.
Джестровым [11] предложено связать показатель преломления ja
с амплитудами рассеяния Апп и Апр вперед с помощью формулы
j^p-\-{A-Z)Ann). A04,6а)
Формула A04,6а) может быть получена в результате простого обобще-
обобщения формулы (90,5а).
Если считать поглощением любое столкновение падающего нуклона
с одним из нуклонов ядра, то коэффициент поглощения нейтронов х
34*

532 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ ПРИ БОЛЬШИХ ЭНЕРГИЯХ [ГЛ. XV
может быть рассчитан из эффективных сечений рассеяния нейтронов на
нейтронах апп и нейтронов на протонах а с помощью простой формулы:
Z)g"", A04,7)
где Nx— число нуклонов в единице объема ядра. Из-за влияния прин-
принципа Паули, ограничивающего число возможных состояний после рас-
рассеяния, значения зпр и о„и, входящие в A04,7), должны быть умень-
уменьшены при энергии нейтронов-N- 100 Мув на 15—30°/0 по сравнению
с сечениями рассеяния свободных нуклонов.
Для объяснения экспериментальных значений эффективных сечений
для рассеяния нейтронов энергии 84 Мэв в формулах A04,3) и A04,4)
можно положить /?=1,37-10-1М1-:3 см, (ji — 1) /5 = 3,3-10" см'1 и
зе = 2,2-1012 слГ1, что соответствует средней длине свободного про-
пробега нейтрона в ядерном веществе А = 4,5 • 10~13 см. Значение
(ja—1) 6 = 3,3- Ю2 см~* соответствует согласно A04,6) глубине
потенциальной ямы V= 30,8 Мэв.
Вычислим средний свободный пробег нейтрона в ядерном веществе,
предполагая, что нуклоны можно рассматривать как газ Ферми при
температуре абсолютного нуля, т. е. когда распределение абсолютных
значений импульсов нуклонов рА таково, что
°<Рд<Рл A04,8)
где рг— максимально возможный импульс. Пусть импульс падающего
нуклона равен ра1 импульс нуклона в ядре р4; после столкновения
их импульсы изменятся и станут равны рх и р2 соответственно. Абсо-
Абсолютное значение начального импульса нуклона рд удовлетворяет нера-
неравенству A04,8). В силу принципа Паули столкновение возможно, если
импульсы после столкновения удовлетворяют неравенствам
\p,\^pF и \P2\^PF. A04,8a)
Поскольку из закона сохранения энергии следует р2 ~\-р\= р\-\-р\, то
неравенства A04,8а) можно записать в виде
pl + p*A — 2p%^0. A04,9)
Неравенства A04,8) и A04,9) ограничивают возможные значения
импульсов нуклонов в ядре, приводящих к рассеянию, следующими зна-
значениями:
0</£<р2, если р\ > 2р% A04,10)
2Р? — р1^Ра^Р% если р«<2/£. A04,11)
О бозначим через р и q относительные импульсы нуклонов соответ-
соответственно до и после столкновения: 2р=рд—ра> 2q=px—р2, при
этом \p\ = \q\.

§ 104] ОПТИЧ. МОДЕЛЬ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ БЫСТРЫХ НУКЛОНОВ С ЯДРАМИ 533
В системе центра инерции дифференциальное эффективное сечение
рассеяния нейтрона на нуклонах ядра определяется выражением
где интегрирование ведется по всем значениям импульсов нуклонов
ядра, участвующих в рассеянии, и по всем углам рассеяния; дельта-
функция Ь (р—q) учитывает закон сохранения энергии.
Из-за принципа Паули рассеяние нуклонов не очень большой энер-
энергии на малые углы, соответствующие малым передачам импульса нукло-
нуклонам ядра, маловероятно, поэтому можно пренебречь зависимостью се-
da(p,q) da a(p)
ченпя —\, от угла между векторами р и q и принять -^ = --^,
где о(р)—полнее сечение рассеяния с относительным импульсом р.
В этом приближении при данном начальном состоянии, характеризуемом
значениями ра и рд, можно в A04,12) выполнить интегрирование по q.
Интеграл I Ь{р — Я)~т определяет телесный угол для возможных на-
V Ч
правлений относительного импульса после столкновения. Выбирая поляр-
полярную ось вдоль направления рА-\-ра и используя соотношение р1 =
^^{Рл-\-Ра)Л-Я, получим:
(p — qL=-> S : r [diPl)- (Ю4,13)
Ч Ч \рА-Ра\\РА+Ра\ J
Интеграл A04,13) легко вычисляется, если мы учтем, что верхний пре-
предел интегрирования определяется из условия pj = p2A -{-р2а—pi» а ниж-
нижний предел интегрирования определяется из принципа Паули:
Таким образом, имеем:
*(Р-У)и^ = 4я X/A\P\Z2PL Г <104'14)
Ч \РА—Ра\\РА~гРа\
Подставляя A04,14) в A04,12), получим:
Ра+р1-Ъ>р_,._, .,.,,,,. A04,15)
В A04,15) может быть выполнено интегрирование по углам
sin Odd 2
РА+Ра\ Pa'
поэтому
<а> = -1--. Г а (р) (р2 +Р« — 2РР P\dPA. A04,15a)
PFP'a J
Интегрирование по рА выполняется в пределах, определяемых условиями
A04,10) и A04,11).

534 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ ПРИ БОЛЬШИХ ЭНЕРГИЯХ [ГЛ. XV
Если можно пренебречь зависимостью а {р) от р, то интегрирова-
интегрирование в A04,15а) выполняется сразу и дает
2
<j> = gA JT-Y-), если' PL^2p2F} A04,16)
o2a<:2pF. A04,16a)
U Ра U Р\
Вводя плотность ядерного вещества р, мы можем определить среднюю
длину свободного пробега нуклона в ядерном веществе А формулой
А= '
Если положить а = °"]А -JHL , где зпр и апп — эффективные
сечения рассеяния нейтрона на свободных протоне и нейтроне, то для
коэффициента поглощения нейтронов в ядерном веществе получим:
Zg + (^~Z)g A04,17)
где /(£)—множитель (меньший единицы), учитывающий влияние
принципа Паули. Согласно A04,16) и A04,16а) можно написать:
", если s ^ 2tF,
где EF и е — соответственно максимальная энергия нуклона в ядре и
энергия относительного движения нейтрона в ядре. Если положить
/?=l,2y4'.'».lO-" см, то £^=33 Мэв. Для #== 1,4SA«- 1O~1S, см.
EF=22 Мэв.
Полученные выше формулы применимы к нейтронам, так как они
учитывают только ядерное взаимодействие. Для вычисления оптиче-
оптического потенциала, определяющего взаимодействие протона с ядром, в
простейшем случае можно добавить к оптическому потенциалу нейт-
нейтрона кулоновский потенциал взаимодействия протона с ядром. Пред-
Предполагая, что нуклоны внутри ядра распределены с равномерной плот-
плотностью, можно записать эту добавку к потенциалу в виде
— , если r^> R;
ДК=-! /е, A04,19)
— Оопз » если г < R.
Если учесть зависимость эффективных сечений от энергии, то с
ломощыо (Ю4, 15а) можно вычислить зависимость коэффициента по-

§ 105]
«ИМПУЛЬСНОЕ» ПРИБЛИЖЕНИЕ
535
глощения от энергии. Для грубых суждений о ходе этой зависимости
можно для коэффициента поглощения сохранить выражение A04,17)
и учесть зависимость сечений рассеяния апр и опп от энергии. Так
как апр и опп убывают с ростом энергии, а /(в) возрастает и стремит-
стремится к единице, то можно ожидать, что значение коэффициента погло-
поглощения нейтронов в ядерном веществе с ростом энергии нейтронов
проходит через пологий максимум. Согласно численным оценкам этот
максимум лежит в области энергий между 20 и 50 Мэв. Длина свобод-
свободного пробега нуклона в ядерном веществе в этой области энергий
имеет наименьшее значение.
20
15
' 12
0
■ I i i Г i
J 1 ' 1 i i i i I
I 2 4 6 W 20 50 WO 200 500 WOO МзЗ
Рис. 70. Длина свободного пробега нейтронов в ядерном веществе.
На рис. 70 приведена зависимость длины свободного пробега нук-
нуклона в ядерном веществе от энергии s, рассчитанная Ван-дер-Вегтом и
Дженкером [12]. При расчете для радиуса ядра и максимальной энер-
энергии нуклона в ядре выбирались значения /?= 1,33.4'з- Ю~13 см,
EF=27,2 Мэв, а энергия нейтронов внутри ядра представлялась в
виде Е = г -\- EF-f- 8 Мэв. Значения о для энергии г<^200 Мэв
брались из работы Фоулера и Ьролея [13], а для энергии s 5з 345 —
из работы В. П. Джелепова, В. Л. Сатарова и М. М. Головина [14].
§ 105. «Импульсное» приближение
Вследствие большого прогресса в строительстве ускорителей высо-
высокой энергии (сотни А1эв) появилась возможность широкого исследова-
исследования ядерных реакций, вызываемых нуклонами, энергии которых велики
по сравнению с энергией связи F—7 Мэв) частиц в ядре. В этом
случае рассеяние падающей частицы на ядре можно приближенно рас-
рассматривать как происходящее на отдельных нуклонах, так как энергия
связи частиц в ядре играет второстепенную роль. Такое упрощенное
рассмотрение задачи сводит проблему многих тел к проблеме двух
частиц.

536 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ ПРИ БОЛЬШИХ ЭНЕРГИЯХ [ГЛ. XV
Одним из методов сведения задачи многих тел к проблеме двух
тел является метод импульсного приближения, использованный Чу [15]
при исследовании рассеяния быстрых нуклонов дейтронами. В дальней-
дальнейшем метод импульсного приближения применялся в ряде других задач.
В методе импульсного приближения, развитом в работах Чу, Вика
и Гольдбергера [16], амплитуда рассеяния нуклонов сложным ядром пред-
представляется в виде суммы амплитуд рассеяния свободными нуклонами,
имеющими распределение импульсов, соответствующее в данный мо-
момент распределению импульсов нуклонов в ядре. При этом делаются
предположения, что
1) падающая частица взаимодействует в каждый момент только с
одним нуклоном ядра;
2) амплитуда падающей волны мало изменяется при прохождении ядра;
3) взаимодействие между нуклонами ядра не влияет существенно
на взаимодействие падающего нуклона с данным нуклоном ядра.
Однако в отличие от борновского приближения при импульсном
приближении не делается допущения о малости сил взаимодействия
налетающей частицы с нуклоном, на котором она рассеивается.
Для иллюстрации метода импульсного приближения рассмотрим рас-
рассеяние нейтрона на одном протоне, находящемся в потенциальной яме
U(г) в состоянии уа{гр). Полный гамильтониан системы равен
H=K+V+U(rp), A05,1)
где V=V(rn — г)—оператор взаимодействия нейтрона и протона;
гг / 2 ( 2
7Ш^п ' &р)—оператор полной кинетической энергии протона и
нейтрона.
Начальное состояние системы определяется функцией
Ф«= Bтг)~ **Уа (rp) exP ('W. (Ю5,2а)
а конечное состояние — функцией
Ф*= Bп)" Чч?ь (rp) exp {ikbrn). A05,26)
Согласно общей теории рассеяния (см. § 62) вероятность перехода из
состояния Фа в состояние Фь в единицу времени выражается формулой
Рьа = ^\ТЬа\я*(Еа-Еь), A05,3)
где матричный элемент
ТЬа=(Фь,УЧ^а) A05,4)
легко вычисляется, если известна волновая функция Ч'а, являющаяся
решением интегрального уравнения
1VWa. A05,5)
Здесь Ea = -^jrj EQ; Eo—энергия связи протона.

§ Ю5] «ИМПУЛЬСНОЕ» ПРИБЛИЖЕНИЕ 537
Вводя оператор Т с помощью соотношения
A05,6)
можно переписать A05,4) в виде
ТЬа=(Фь,ТФа), A05,7)
где в силу A05,5) оператор Т удовлетворяет операторному уравнению
Т= V+ У{Еа-К-и-{-1г{)-* 7\ A05,8)
которое может быть записано и в другой эквивалентной форме:
V-{-iri)-1 V. A05,8а)
Импульсное приближение заключается в замене в матричном эле-
элементе A05,7) оператора Т оператором t свободных частиц, который
удовлетворяет операторному уравнению
t=V+ V(sak — K+iTt)- 1t A05,9)
или эквивалентному уравнению
(sak — K—V-{-i^-1 V A05,9a)
и определяет рассеяние нейтрона на свободном протоне.
Здесь
*ak=m{£+ki> A05'10)
— энергия свободного движения протона и нейтрона.
Таким образом, в импульсном приближении матричный элемент
определяющий рассеяние, имеет вид
ГЕп = (Ф*,*Фв). 005,11)
Чтобы выяснить физический смысл импульсного приближения, пе-
перейдем к представлению с базисными функциями:
Х*в* = Bя)-«ехр{/(Лвгя + *гр)}, (Ю5,12)
являющимися собственными функциями оператора полной кинетической
энергии протона и нейтрона:
{K-Bak}lka,=0. A05,12a)
Тогда можно написать:
*ф*=[ X *'*,(*'«*'И M) (Z*rf. ^dk'adk'dqadq, A05,13)
а
где
'11 J \'k,4^4drndrp A05,13a)
— матрица рассеяния нейтрона на свободном протоне. В теории им-
импульсного приближения эта матрица предполагается известной.

538 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ ПРИ БОЛЬШИХ ЭНЕРГИЯХ [ГЛ. XV
Используя A05,12) и (Ю5,2а), получим:
{1ЯоЯ1 ib) = b(ka — qa)G(q), (Ю5,14)
где
-iqrPVa(re)dr0. A05,15)
Функция \G(q)\2dq определяет вероятность того, что импульс протона
в состоянии tpa заключен в интервале hq, ii(q-\-dq).
Если волновая функция основного состояния известна, то функция
О (q), определяющая распределение импульсов нуклонов в основном
состоянии ядра, может быть вычислена с помощью формулы A05,15).
Согласно экспериментальным данным [17] функция G (q) может быть
представлена в виде
где a — константа, имеющая порядок величины, определяемый равен-
равенством *г('2М)-* =ь 14 Мэв.
Подставляя (Ю5,14) в A05,13), имеем:
t Фа = J X k'ak, (Kk> I * I КЧ) G (Я) dk'adk'dq. A05,16)
Введем волновую функцию Ч;ла9, определяющую рассеяние нейтрона
с импульсом hka на протоне с импульсом hq с помощью соотношения
№ьаЧ = 5 х^, (k'ak' j 11 kaq) dk'adk'. A05,17)
Тогда A05,16) примет вид
Подставляя это выражение в A05,11), получим матричный элемент ТЬа
в импульсном приближении:
ТГаП = (Фь,№Г), A05,18)
где
Т$ A05,18а)
Сравнивая A05,18) с точным выражением A05,4), мы видим, что
переход к импульсному приближению сводится к замене точной вол-
волновой функции Ч!п функцией Ч5™", характеризующей рассеяние нале-
налетающего нейтрона волновым пакетом свободных протонов, содержащим
такое же распределение импульсов, как и распределение импульсов в
состоянии tfa (г ).
Чтобы выяснить условия применимости импульсного приближения,
рассмотрим поправочный член к импульсному приближению:
ЬТьа= тьа~ ПГ = {ФЬ, |?-*]Фв). A05,19)

§ 105J «ИМПУЛЬСНОЕ» ПРИБЛИЖЕНИЕ 539
Используя A05,8а), A05,9а) и операторное тождество
А-1— В-1 = А~1(В — А)В'\
можно написать:
где
Представим функцию Фа в виде
тогда
— (**«*, U^a)}D-'VLKqdq. A05,20)
При получении A05,20) было использовано равенства
(вад - Еа) (lkaq, Фй) = - (Uaq, иФа).
С помощью A05,12) и A05,2а) находим:
Подставляя A05,20) в A05,19), получим следующее выражение для
поправки к импульсному приближению:
1nkagdq). A05,21)
Значение поправки к импульсному приближению зависит от конкрет-
конкретного вида потенциалов U и V. В общем случае такие вычисления вы-
выполнить трудно.
Если падающий нейтрон взаимодействует с ядром, содержащим А
нуклонов, то оператор Гамильтона системы можно представить в виде
H=K+V + U, A05,22)
, л + 1
где К=—9М 52^« — оператор кинетической энергии всех нуклонов
а = 1
А
системы; V= V Vnix — энергия взаимодействия внешнего нуклона со
<х=1
всеми нуклонами ядра; U= ^ U^ — энергия взаимодействия нукло-
нов ядра между собой. В этом случае переход к импульсному прибли-

540 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ ПРИ БОЛЬШИХ ЭНЕРГИЯХ [ГЛ. XV
жению сводится к замене точного матричного элемента ТЬа = (Фь, ТФа)
приближенным:
где tn% — операторы, определяемые операторным уравнением
^=^+^яв(ех-Д'-^11в + /11)-^яв. A05,23)
В A05,23) ех — собственные значения оператора кинетической энер-
энергии всех частиц
(К-ех)Хх = 0.
Полагая
Ф«=$(Хь Фа)ХА A05,24)
перепишем Г™п в следующем виде:
Ь Фа)(Ф„ tn*b)dl. A05,25)
Операторы /иа могут быть найдены при исследовании рассеяния на
свободных нуклонах. Если считать операторы tna известными величи-
величинами, то выражение A05,25) вычисляется легко. Величина Т™" су-
существенно зависит как от матричных элементов операторов tny рассея-
рассеяния на свободных нуклонах, так и от распределения импульсов (ух, Фа)
нуклонов в основном состоянии ядра.
Поправку к импульсному приближению в общем случае можно вы-
вычислить методом, аналогичным методу, использованному при исследо-
исследовании поправки к импульсному приближению в случае взаимодействия
нуклона с одним связанным протоном. При этом получим:
^Ьа=тЬа-тг==(Фь, [т- 2>]Ф«)- A05>26>
Используя A05,8а) и A05,23), можно написать:
Г— Yt —
а
= >: Vn% (Е
Подставляя это выражение в A05,26), можно представить поправку
к импульсному приближению в виде суммы двух членов:
где
iTl[V-VnJ) (Ю5,28)

§ 106] ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ 541
— поправка на многократное рассеяние. Она равна нулю при наличии
только одного рассеивателя, так как тогда К= Vna;
22= 2 (ф*« УпЛЕа-н+ьгЧч-Еа+ЩХ
1Уп^а) A05,29)
— поправка на эффект связи между нуклонами, на которых происхо-
происходит рассеяние.
Учитывая A05,24) и используя равенство
можно привести A05,29) к виду
й= 2 <ф* ^«(£«
X(ex-/C-l/wa + /rJ)-1 КявФвЛ). A05,30)
„ 1 ,/"о Г
Поправка на многократное рассеяние пропорциональна — V jz ~п~ •>
где р— среднее расстояние между рассеивателями; a — эффективное
сечение рассеяния на одном рассеивателе. При неупругом рассеянии из-за
некогерентности рассеяния поправка на многократное рассеяние меньше,
чем при упругом рассеянии.
По-видимому, импульсное приближение может успешно использо-
использоваться при исследовании взаимодействия нуклонов с легкими ядрами,
если энергия их относительного движения превышает 50—100 Мэв.
В связи с тем, что матричный элемент A05,25), определяющий
эффективное сечение рассеяния при больших энергиях (^> 50 Мэв),
существенно зависит от распределения импульсов нуклонов в основном
состоянии ядра (функция (Хь Фй)), можно надеяться, что исследования
процессов взаимодействия быстрых нуклонов с ядрами могут дать до-
дополнительные сведения о волновых функциях основного состояния ядер
и о распределении импульсов нуклонов в этом состоянии.
§ 106*. Элементарная теория ядерных реакций с распадом ядер
более чем на две частицы
В ряде случаев в результате взаимодействия нейтрона с другим
ядром происходит реакция с образованием трех, четырех и большего
числа частиц. Примером таких реакций являются: Be9 (n, 2n) Be8,
С12 (п, п') 3 Не4 и др. Эти реакции характеризуются пороговой энер-
энергией порядка нескольких Мэв и обычно происходят с теми легкими
ядрами, которые могут распадаться на некоторое число более легких
ядер, обладающих большой энергией связи, например Не.

542 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ ПРИ БОЛЬШИХ ЭНЕРГИЯХ [ГЛ. XV
При не очень больших энергиях падающих нейтронов такие реак-
реакции, по-видимому, происходят без образования составного ядра (когда
энергия возбуждения распределяется по всем нуклонам составного ядра),
а путем непосредственной передачи энергии группам сильно связанных
нуклонов (например, а-частиц) без возбуждения их внутреннего со-
состояния.
Для теоретического исследования таких реакций Закс [18] предло-
предложил использовать идею, высказанную Ферми [19] в теории множест-
множественного образования мезонов, о статистическом распределении энергии
между разлетающимися частицами перед их разлетом. Законы распада
в этом случае определяются условиями статистического распределения
энергии и импульса между продуктами распада перед их вычетом из
объема, в котором проявлялось взаимодействие между ними. Такой ме-
механизм ядерной реакции будем называть прямым ядерным распадом.
Для элементарного количественного рассмотрения прямого ядерного
распада предположим, что в начальном состоянии Фа в объеме V имеется
одно ядро и нейтрон, движущийся с относительной скоростью va.
В конечном состоянии Фь имеется п разлетающихся частиц (нуклоны,
а-частицы). Если вероятность перехода в единицу времени из состояния
Фа в состояние Фй обозначить Wba, то эффективное сечение реакции
Предположим далее, что взаимодействие между частицами происхо-
происходит в объеме И; тогда вероятность перехода W. может быть пред-
( Q \
ставлена в виде произведения вероятности -у I нахождения нуклона
и ядра в объеме И на вероятность перехода частиц из объема ii в
состояние Фь:
Если состояние п частиц в объеме взаимодействия обозначить через
Фд, то вероятность перехода WtQ в единицу времени определяется
через квадрат матрицы взаимодействия (Фй, ТФд) (см. § 62) обычным
соотношением:
^о = ||(Ф6,ГФй)|2Р„ A05,3)
где рь — число конечных состояний на единицу энергии.
Согласно Ферми квадрат матричного элемента взаимодействия, вхо-
входящий в A06,3), пропорционален вероятности того, что все частицы,
отвечающие данному состоянию, одновременно находятся в объеме П.
Если в объеме ii находятся п частиц, состояния которых характеризу-
характеризуются в системе центра инерции импульсами (плоскими волнами), то при
нормировке волновых функций на объем V имеем:

§ 106] ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ 543
где D — постоянная размерности энергии, по порядку величины равная
глубине потенциальной энергии нуклона в ядре.
Подставляя A06,4), A06,3) и A06,2) в A06,1), получим:
О_ ГJОП
"Va v
Для вычисления явной зависимости сечения A06,5) от начальной энер-
энергии относительного движения нейтрона и ядра необходимо определить
эффективный объем й, в котором происходит перераспределение энер-
энергии и импульса, и определить число состояний рд1 приходящихся на
единичный интервал энергии конечного состояния.
Определим согласно Заксу объем Q с помощью соотношения
G=y(tf + aXJX, A06,6)
где R и а — параметры, характеризующие определенный тип реак-
реакции прямого распада.
Число конечных состояний на единичный интервал энергии выражается
формулой
J = l
' ' p " •* / p*A\
/=i ^ i''
где J; — спин частицы /. Произведение двух дельта-функций в A06,7) учи-
учитывает закон сохранения импульса и энергии. s = se-j-Q — полная,
кинетическая энергия конечного состояния, равная сумме кинетической
энергии относительного движения в начальном состоянии ва и энер-
энергии Q, выделяемой (Q^>0) или поглощаемой (Q <^ 0) при данной
реакции.
Интеграл, входящий в A06,7) вычислялся Мальбарном [20]. Ис-
Используя полученные им значения, находим:
п 3 (я - 1)
-—гтт-s 2 . (Ю6,7а>
( 2 М
Подставляя A06,7а), A06,6) в A06,5) и выражая начальную отно-
относительную скорость через энергию f va= I/ — ), получим выраже-
выражение для эффективного сечения реакции прямого распада.

544 ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ ПРИ БОЛЬШИХ ЭНЕРГИЯХ [ГЛ. XV
В частном случае распада на три частицы (п = 3):
з И М}'9
аC) =11(*/гНJ^ р М
( ^)'.' A06,8)
В применении к реакции Be9 {n,2n) Be8, полагая Q = —1,656
О = 40 Жзв, П BЛ +1) = 2-2-1=4 и выражая Л?-|—~~) веди-
V УМа/
ницах 10 3 см, Закс получил
1,84\« / . 5,08а\ ^ ,.nRQ,
(/?-] —)моарн. (Ю6,9)
Е«/ \ У га)
При выборе /?=1,39? а = 0,463 получилось удовлетворительное со-
согласие с измеренным сечением при 4,07 Мэв.
В реакции с распадом на четыре частицы (я = 4):
П <2У,--Н)П «/'с
35|i /* ( 2j Л!,-)/*
f ^VV. (Ю6,Ю)
Для реакции С12 (л, я') ЗНе4 Q = — 7,278 уИзв. Формула A06,10)
дает удовлетворительное согласие (в интервале до \А Мэв) с измерен-
измеренным сечением этой реакции при 4,07 Мэв [21], когда D = 40
#=0,77 и а=1,17.

ПРИЛОЖЕНИЕ I
ОБЩИЕ СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ОПЕРАТОРОВ
МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
§ А. Состояния системы с определенными спиновыми
и орбитальными моментами
Как известно из курса квантовой механики, в центрально-симмет-
центрально-симметричном поле квадрат момента количества движения и одна из его про-
проекций (например, Jz) могут одновременно иметь определенные значения.
Любое состояние движения в таком поле может быть представле-
представлено в виде линейной суперпозиции состояний с определенными значе-
значениями абсолютной величины момента и значениями одной из его про-
проекций.
В этом приложении мы приведем краткую сводку основных сведе-
сведений о свойствах операторов момента количества движения и их собст-
собственных функций, которые используются при изложении отдельных во-
вопросов теории ядра в этой книге.
Оператор полного момента количества движения в единицах % бу-
будем обозначать буквой J. Его проекции Jx> Jy, )г на координатные оси
удовлетворяют перестановочному соотношению
и двум другим, получаемым из (А,1) циклической перестановкой ин-
индексов х, у, z. Эти перестановочные соотношения можно записать более
кратко в векторной форме | У, J \ = ij.
Операторы jz z= Ух-\- fy-\-Уг и Jz коммутируют друг с другом и
поэтому имеют общую систему собственных функций ф7Л1, которые
удовлетворяют уравнениям
Собственные функции <Ьш зависят от переменных, на которые дей-
действуют операторы У2 и Jz. В качестве примера рассмотрим три частных
случая.
35 А. С. Давыдов

546 СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРОВ МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ [i
а) Оператор момента количества движения J соответствует только
орбитальному движению частицы и, следовательно, действует только
на угловые переменные 0, ср. В этом случае
Zx) \ (A,2)
Jy = -l jcos <р ! - ctg 0 sin ср^| =ly j
и собственными функциями операторов L2 и Lz являются сферические
функции (шаровые функции Лапласа). При М^О
где квантовое число L пробегает целые значения 0,1,..., оо а М —
= 0, 1, ..., L.
Сферические функции для отрицательных значений М= —1, — 2,...
определяются из условия
у* —( 1 \м у
1 LM У l> rL,-M-
Сферические функции УLM образуют полную ортонормированную сис-
систему функций
\ Im YL'M' d% = Ъц.Ъмм' . (А,3)
Поэтому любая функция /^@, со), удовлетворяющая условию ограничен-
ограниченности интеграла
может быть представлена в виде линейной комбинации сферических
функций
LM
где
В частности, мы используем в книге разложение плоской волны, рас-
распространяющейся вдоль оси z:
ikz
/=o
Ui(br)Yi0{b), (A,4)
где jt(kr)~ у — Jl+ii2(kr) — сферическая функция Бесселя первого
рода порядка /.

§ А] СОСТОЯНИЯ С ОПРЕДЕЛЕННЫМИ СПИНОВЫМИ И ОРБИТ. МОМЕНТАМИ 547
Если использовать теорему сложения сферических функций
m=—l
где в — угол между направлениями, определяемыми углами 0,, ср, и
02, ср2, то из (А,4) можно получить разложение по сферическим функ-
функциям плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении,
определяемом углами в, Ф:
00 00
2^ 2j •'^ ' /т'1'' ' 1т' ' > '• (А,4а)
Входящая в (А,4) сферическая функция может быть выражена через
полином Лежанра Pl (cos 0) с помощью соотношения
б) Рассмотрим теперь случай, когда оператор момента количества
движения J соответствует спиновому моменту J= 1j2. Тогда в пред-
представлении, в котором диагоналей оператор Уг, операторы проекций мо-
момента J изображаются двумерными матрицами
У—К1 °U«i f—±(° l\=l* i —If0 -М=2к
Jz— 2\0 —\j— 2' J*— 2\\ OJ — 2 ' Jy~~ 2\i Oj— '2 m
2
Собственные функции операторов/2 = -j и Jz = -^ , удовлетворяющие
уравнениям
называются спиновыми функциями. Квантовое число т принимает
1 1
два значения у и — у .
Спиновые функции J}\^n (sz) являются функциями спиновой перемен-
переменной s , принимающей только два значения -^ и ту. При этом
Спиновые функции (А,5) ортонормированы:
S t Х*.1Я.Л^)Х./1Я,(^ = *-«'• (А,6)
35

548 СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРОВ МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ [i
Спиновые функции могут быть записаны также и в матричной форме
(A.7)
Условие ортонормированности спиновых волновых функций (А,7) в ма-
матричном виде записывается следующим образом:
yt у Pt
в) Рассмотрим, наконец, случай, когда оператор момента количества
движения соответствует спиновому моменту У=1.
В этом случае в представлении, в котором диагонален оператор
Уг, операторы проекций момента J изображаются трехмерными матри-
матрицами
1 I . п .\ 1 / . 0
i
(А,8)
\0 О —\)
Оператор
Спиновые волновые функции операторов s2 и sz могут быть записаны
в виде векторных матриц:
' е1, 0 еъ у в1, -1
(А,9)
W
где единичные векторы ер определены соотношениями:
^i = 4Ly~ (ex ± iey), е0 = ег;
здесь ех, еу, ег — единичные векторы вдоль осей декартовой системы
координат. Единичные векторы ер удовлетворяют соотношениям ортого-
ортогональности
еРе1' = *РР» Р.Р' = °,1, —1, (А,9а)
при этом
ep=(-\fe_p. (А,9б)

§ А] СОСТОЯНИЯ С ОПРЕДЕЛЕННЫМИ СПИНОВЫМИ И ОРБИТ. МОМЕНТАМИ 549
Любой вектор А может быть представлен в виде
р=0, =Ы г р г
где Ар = Аер, так что
^±i=="T-~7=^*i/'^j')' /4о==^г- (А, П)
Если из операторов Jx, Уу, Уг, удовлетворяющих перестановочным
соотношениям (А,1), образовать три других оператора:
то действие этих операторов на собственные функции tyJM операторов
У2 и Jz выражаются простыми равенствами:
VU + M)(J±M + \) ф | (А> ] 3)
Операторы J+ и J_ соответственно увеличивают и уменьшают магнит-
магнитное квантовое число на единицу.
Учитывая (А,12) и используя (А, 13), можно также написать:
(A, 15)
ж_Л. (А, 16)
С помощью равенств (А,13) — (А,16) легко вычислить матричные
элементы операторов моментов количества движения.
Если ввести переменную р = 0, 4- 1, то соотношения (А, 13) можно
записать в кратком виде:
где {J\,M-\-p,—p\JM)—коэффициенты векторного сложения, оп-
определенные в следующем параграфе этого приложения.
Теперь, пользуясь (А.Ю), можно написать:
2 %Аж
= О, ±1
VJ + V^Jp. (Л 18)

550 СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРОВ МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ [I
Частным случаем равенства (А, 10) является представление радиуса-
вектора
§ Б. Векторное сложение моментов количества движения
Предположим, что некоторая система, в которой момент количества
движения является интегралом движения, состоит из двух подсистем. Если
оператор момента количества движения одной подсистемы Д, а второй
подсистемы /2 и если эти операторы коммутируют друг с другом, то
состояние всей системы можно характеризовать моментом количества
движения, равным сумме моментов количества движения каждой из
подсистем в отдельности. Такая ситуация возникает, например: а) при
совместном рассмотрении орбитального и спинового моментов количества
движения одной частицы; в этом случае, оператор орбитального движе-
движения действует на угловые переменные, а оператор спина действует на
спиновые переменные, поэтому оба оператора коммутируют; б) при рас-
рассмотрении орбитального или спинового моментов двух частиц и т. д.
Во всех этих случаях состояние полной системы может быть опи-
описано либо набором квантовых чисел J1,J2, ml, т2, определяющих соот-
соответственно для каждой подсистемы квадраты моментов количества дви-
движения и их проекции на ось z, либо набором квантовых чисел JMJJ2,
определяющих полный момент и его проекцию на ось z для всей сис-
системы и полные моменты каждой из подсистем в отдельности.
Квантовое число J полного момента всей системы может пробегать
значения, определяемые правилом векторного сложения
•/=Л+Л» Л+л —1.---. 1Л—Л!»
или
1Л-Л I <•/</,-Ьл- (Б-1)
Соотношение (Б,1) будем кратко обозначать Д (JJZJ) и называть «соот-
«соотношением треугольника».
Собственные функции оператора полного момента количества дви-
движения выражаются через линейную комбинацию произведений собствен-
собственных функций операторов j1 и j% с помощью соотношения
= S (/,/,«!«, IМ) ф/1в1фУ1Я,,. (Б,2)
Обратное преобразование к (Б, 2) имеет вид:
Коэффициенты {JJimim21 JM) линейных комбинаций (Б,2) и (Б,3)

§ Б]
ВЕКТОРНОЕ СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
551
являются действительными числами и называются коэффициентами
векторного сложения или коэффициентами Клебша — Жордана. Они
равны нулю, если М =^= тх -{-т2, поэтому в (Б, 2) фактически сумми-
суммирование происходит только по одному из квантовых чисел т1 или т2;
запись в виде двойной суммы иногда удобна из формальных соображений.
В таблицах 33, 34, 35 приведены значения коэффициентоз вектор-
векторного сложения для у2 = 1/2, 1 и часть коэффициентов для /2 ~ 2.
В книге Е. Кондона и Г. Шортли [22] приведены таблицы *) для
Таблица 33. Коэффициенты векторного сложения
l/l1 2>ПХт2 I ЗЩ
J
У.-h1.
У, - V,
'«2= '/2
(У. + М + '/.у.
\ 2y, 4-1 J
/yi_Af-h-/,y.,
l 2У.4-1 J
m2 = -
(J.-M +
\ 2Л-4-1
/yI+Af +
V 2;\ 4-1
i
, 2
2V'2
Полезно иметь в виду, что если J = J1-j-J2y то (JJ2JJ2\JJ) =
1
Таблица 34. Коэффициенты векторного сложения (j1\mlmz\JM)
Л 4-1
7«2 zrz 1
|B/14-1)BУ,4-^
i 2уф', 4- 1)
KA-ADCA-Ai-hi
) 2j\ BУ.+1)
) j
\ BУ,4-1)(У,4-1) /
M
Vy,(A + i)
((/j—Af) (/i4~M) | 'i
1 /] BУ! 4~ ') /
m2 =^ — 1
[ (у,—Af) (у,—M+1) | ' 2
|Byi4-l)Byi-h2)/
\ 2yifyi + l) (
\ 2ЛBУ, + 1) /
*) Наши обозначения коэффициентов Клебша — Жордана отличаются от
обозначений Кондона и Шортли, которые использовали обозначения:
UJtm\mi \ JJvIM) вместо наших (jjzm\mi JM

552 СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРОВ МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ [I
Таблица 35. Коэффициенты векторного сложения (у12/и101JM)
J=
J—
л +
л
и —
л-
2
1
2
{-
C(Л
+ 2
B/,
Af
1
А
(
+ 1)B/, -
[?>(j\ —М
)(к-м-
-1)(
-2)<
+ 1
1)(Л
-л
/l (/
)ЛB
-1)
/\ + Af 4- 2) (Л -f- Л/
2;, + 3) (/, -f 2)
НЛ + м-М)!'/,
+ 1)(А + 2)/
И) (j\ + Af) | 
yt -j-1) (/, 4-1)/
1)ЛBЛ + 1)
-г
Волновые функции Ф/j^m будут функциями переменных, от которых
зависят функции <|)yiJBi и фу2Я,2. В частности, если одна из этих функций
зависит от спиновых переменных, а вторая от угловых, то соответст-
соответствующую функцию $jj2jM называют сферической функцией со спином
[23] или спин-угловой функцией (см. § В).
Коэффициенты векторного сложения удовлетворяют следующим ус-
условиям симметрии:
(/>/,«,«, | JM) = (- 1/«+у--у(ЛЛ, — «,, — «, | У, — ^), (Б,4)
(Б,5)
21Л, -mj, (Б,6)
x, -M \jt, -m2), (Б,7)
(Б,8)
Коэффициенты векторного сложения удовлетворяют следующим
условиям ортогональности:
2 UJ2m1m21 JM) {jj2m1m2 \ J'M') = Ъл,Ь
2
J=>\J-h\
2 UJj*^
27+1
/я,Л1

§ Б] ВЕКТОРНОЕ СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 553
Частным случаем последней формулы является правило сумм
. (Б, 12)
Л1
Приведем еще значения некоторых часто встречающихся коэффициен-
коэффициентов векторного сложения
(jJ0m1mz | У, т1 -\- т2) = bj\jbmap. (Б, 13)
Если j\ и /2 принимают целые значения 1Х и /2, то из (Б,4) следует,
что (/j/200 | Z.0)=:0, если /х -J- /2 -)- L ^= четному числу (Б, 14).
Если /г —(— /2 —1~ /- четно и 2^- = ^ -[- /2 -}- Z,, то
{g-hV-{g-h)\{g-L)\
где
Общая формула, определяющая коэффициенты векторного сложе-
сложения через значения их аргументов, имеет вид
Г
,)! (Л - т,)! (Л + w2)'- (Л ~ w«)' (У + А4)! (У - М)\
7,)! 1 'Ч
J <
X ^L n\(j\+jt—J-n)\ (j.-m.-ny. (;2+m2-«)! (У—Л+
(Б, 16)
Коэффициенты векторного сложения определены для целых и полу-
полуцелых значений квантовых чисел yl; mi, /2, т2, таких, чтобы j\ — ти
j2 — тг были целыми числами и |уг — /г | ^ У <^j\ -\-jt. Сумма по п
в (Б,16) берется по таким целым числам, для которых аргументы
факториалов не отрицательны. Число членов в сумме на единицу
превышает наименьшее положительное число из следующих девяти
чисел:
A- (б,17)
Коэффициент векторного сложения равен нулю, когда одно из чисел
(Б, 17) отрицательно. Если одно из чисел (Б, 17) равно нулю, то сумма
сводится к одному слагаемому.

554 СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРОВ МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ [i
§В. Спин-угловые волновые функции или сферические функции
со спином
При исследовании движения частицы со спином lj2 в центрально-
симметричном поле приходится пользоваться волновыми функциями опе-
операторов /, jz, /2, s2, где
q — оператор, действующий на спиновые функции. Согласно предыду-
предыдущему параграфу функции Ф^/,/», выражаются через сферические функ-
функции Ylm и спиновые функции /.;2;j. с помощью соотношения
Подставляя в это выражение значения коэффициентов векторного сло-
сложения, находим явный вид сферических функций со спином:
т г;
Спин-угловые функции, или сферические функции со спином, являются
также собственными функциями оператора Ql и удовлетворяют уравне-
уравнениям:
(а/)Ф,1/я ,„= (У—-j) ^i4jm, если/==у — i., (B,2a)
(а/) Ф/.,, у« = - (У+4)Ф"^«. если /=^'+1 • (В,2б)
Для вычисления собственных значений некоторых других операто-
операторов, встречающихся в теории ядра, используем операторное тождество
{<sA){9B) = AB-\-iQ[AB\ (B,3)
где А и В — два произвольных векторных оператора, действующих на
функции координат.

§ Г] ВЕКТОРНЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 555
Если учесть, что [/, /] = //, то из тождества (В,3) непосред-
непосредственно следует
а/ = /2-(а/)(а/). (В,4)
Далее, из (В,3) можно получить:
или, вводя
л = Т' а»=1, (В,5)
приходим к соотношению
Пользуясь (В,6) и (В,3), можно показать, что
a^aQor = ar(<rf)(-*?=--(a/ + 2). (B,7)
Из операторного равенства (В,7) следует, что если Фр;2/т является
нормированной собственной функцией оператора 91 с собственным зна-
значением А, то функция агФ/1.,2/и будет также нормированной собственной
функцией этого оператора с собственным значением — (А-\-2). Учитывая
этот результат и уравнения (В,2), можно написать:
(а1)(о,Ф1ч,/т) = — (У + -|)(вгФ/'/,У«), если /==/—-j: (В'8а)
(<з1)(огФР:2/т)= (; — у) (a/IV,,y«), еслн/=у + у. (В,8б)
Сравнивая (В,8) с (В,2), мы убедимся, что
j
огФ/«-а/т = Ф/-н,1/2/*> если / = /—-;
Gг I /' '2/га 1 ^ — I,1 /j/ffli еСЛН / У —| 2* .
Таким образом, действ;1е оператора аг на волновую функцию
Ф^1 .,/т сводится к «опрокидыванию» спина нуклона при сохранении
полного момента количества движения.
§ Г. Векторные сферические функции
В ряде приложений удобно использовать так называемые вектор-
векторные сферические функции, являющиеся собственными функциями опе-
оператора J=L-\~S, где L== — i[rV] — оператор орбитального мо-
момента количества движения, а 5 — оператор момента количества дви-
движения (А,8), соответствующий спину, равному 1.

556 СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРОВ МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ [i
Векторные сферические функции Yjim определяются *) через сфе-
сферические функции Ylm и функции eip оператора S путем использова-
использования правил § Б:
YJLm = ^{\Lpy m — p\Jm)elpYL,m-P @, <р). (г,1)
р
Обратное преобразование к (Г,1) имеет вид
(Г,2)
Векторные сферические функции являются функциями полярных
углов 0,ср. При вращении координатной системы они преобразуются по
непроводимому представлению трехмерной группы вращения, т. е. по
представлению £W(a,p,y) и, следовательно, являются не векторами, а
неприводимыми тензорами ранга J и четности (— 1L Каждому значе-
значению У^5 1 соответствует три линейно независимых тензора ранга У:
YjJ, т, К/, У-J-l,/в, К/, У—1,я».
При этом четность первого из них Yjjm противоположна четности двух
следующих. При У=0 имеется только один тензор нулевого ранга
У010 = — Dтг) ~ l!ierJ где ег — единичный вектор в направлении радиуса
вектора.
Векторные сферические функции являются собственными функциями
операторов J2 = (L-\jS)*, Jz и удовлетворяют равенствам:
Векторные сферические функции образуют полную ортонормирован-
ную систему функций
YjLmYj'L'm' <® = bmm>bjj, ЬШ\ (Г,4)
поэтому любое векторное поле В {г) может быть разложено в ряд по
векторным сферическим функциям:
В(г) = 2/Ля(г)КЛя(в,«р). (Г,5)
JLm
Коэффициенты ряда (Г,5) в силу (Г,4) определяются интегралами
(r)YjLmdQ. (Г,6)
В частности, векторный потенциал А (г), удовлетворяющий условию
поперечности (<ИуЛ = 0), можно представить в виде суммы маг-
*) Несколько иной метод введения векторных сферических функций был
предложен В. Сорокиным [24]; см. также [25—27].

§ Г] ВЕКТОРНЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 557
нитных и электрических мультипольных потенциалов:
А (г) = u/kr = тс f 2 iJ VT27+T) Dip (R) {Ам (Jm) + ipAE {Jm)},
J—lm
(Г.7)
где p = 1, — 1 определяют круговую поляризацию поля; Dmp (R) соот-
соответствует повороту векторов k, и_ к направлениям ортов координатной
системы, в которой рассматривают векторный потенциал:
Ам {Jm)= Y\jj{kr) YjM, (Г,8)
AE(Jm)= y n{:2J+l)Jj+^kr)Yj'J+l<m —
здесь Jj(kr) — сферическая функция Бесселя. л
Учитывая равенство (А, 18) для оператора L= — ^'[rV], имеем:
Ji) 2 (\J,m + p,—p\Jm)Yj,m+pe_p. (Г,Ю)
Теперь с помощью (Г, 1) можно выразить векторные сферические функ-
YJJm
Пользуясь (Г,11), запишем потенциал магнитного мультиполя в опера-
операторной форме:
АМ(М)= Y\jj{kr)y=±=i- YJm. (Г, 12)
Поскольку потенциал электрического мультиполя Л£(Уш) связан с по-
потенциалом магнитного мультиполя соотношением
для потенциала электрического мультилоля можно написать:
Потенциалы (Г,12) и (Г,13) удовлетворяют уравнениям:
rotrot Ax{Jm) = k* Ах (Jm), divAx{Jm) = 0, (Г,15)
l = E, M.
Потенциалу Ам {Jm) соответствует магнитное мультипольное излучение,

558 СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРОВ МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ [l
напряженности электрического и магнитного полей которого равны
соответственно
gA, (Jm) = ikAM (Jm), ДОм (Jm) = rot AM (Jm)\ (Г , 16)
при этом напряженность электрического поля перпендикулярна к ра-
радиусу-вектору
g 0
Потенциалу AE{Jm) соответствует электрическое мультиполъное
излучение, напряженности электрического и магнитного полей кото-
которого равны соответственно
gE (Jm) == ikAE (Jm), }£я (Jm) = rot AE {Jm). (Г, 17)
Учитывая (Г,13), (Г,15) и (Г,16), имеем:
g£ (Jm) = Кд, (Jm) = rot AM (Jm),
%M (Jm) = — Кя (Jm) = ik am (Jm).
В электрическом мультипольном излучении напряженность магнитного
поля перпендикулярна к радиусу-вектору
§ Д. Вращение твердого тела и собственные функции
симметричного волчка
Ориентация. твердого тела в пространстве определяется тремя
углами Эйлера а, |3, у, фиксирующими положение трех взаимно-пер-
взаимно-перпендикулярных осей 3, У], С, жестко связанных с телом. Переход от
неподвижной системы координат xyz к системе координат £7)£, связанной
с телом, осуществляется при помощи операции вращенгя /?(а, pi, у),
которое может быть представлено как произведение трех последова-
последовательных вращений R (у) R ф) R(a)'. вращение R (а) на угол а вокруг
оси z в направлении от оси оу к оси ох, в результате которого ось
ох совпадает с прямой пересечения плоскостей хоу и £orj, затем вра-
вращение R(§) на угол JB вокруг нового положения оси ох, в результате
которого ось oz совпадает с осью о*, и, наконец, вращение /?(у) на
угол у вокруг оси о£.
Операции вращения /?(а), R($) и /?(у) изображаются матрицами:
/ cos а — sin а 0\ /10 0 \
#(a)=(sina cos a O),/?(P)==(o cos p — sin ^ ,
\ 0 0 1/ V 0 sin p cos^/
/ cos у —sin у 0
R (у) = ( sin у cos у 0
\ 0 0 1

§ Д]
СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ СИММЕТРИЧНОГО ВОЛЧКА
559
Состояние вращения твердого тела как целого описывается в кван-
квантовой механике волновыми функциями, зависящими от трех углов
Эйлера. Твердое тело, обладающее аксиальной осью симметрии (сим-
(симметричный волчок), может находиться в состоянии вращения с опре-
определенным моментом количества движения J и определенными проек-
проекциями Уз=А/ на неподвижную пространственную ось oz и Jr=K на
ось о£, направленную вдоль оси симметрии волчка. Эти состояния ха-
характеризуются волновыми функциями Z)iiA'(a, P, Y), удовлетворяющими
системе уравнений:
J.Dmk = KDmk,
где число J принимает целые или полуцелые значения, а числа М и
К—значения -jzJ, zh {J—1)> dr • • • Операторы проекций момента
количества движения на оси неподвижной системы координат могут
быть представлены в виде
. ( . д
= — М sm а М
да.
д
da
cos а д
sin p ^y
sin d
I
■ д sin ot d \
(Д,2)
так что для оператора квадрата момента количества движения
У2 = j\ -f >v -j- J\ имеем:
-^111| (Д,3)
а для оператора проекции момента количества движения на ось £
Волновые функции DiiAr, удовлетворяющие системе уравнений (Д,1),
могут быть записаны в виде
Dm (а, р, Т) =
(Д,4)
где

560 СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРОВ МОМЕНТОВ КОЛИЧИ.СТВА ДВИЖЕНИЯ [I
здесь сумма по х распространяется на все целые числа от наиболь-
наибольшего из чисел 0 и К—М до наименьшего из чисел J — М и J-\-K.
При M = J и М = — J в сумме по х остается только один член с
х = 0 для первого случая и x = J-\-K для второго. Тогда функции
Dmk принимают особенно простой вид:
etM ( cos у 1 I sm-s-
Собственные волновые функции операторов У2, )г Jr:
«, Р, Y) = ]/^Р D^(a> P. Y). (Д.5)
нормированные условием
тс 2л 2тс
S JJif^i^sI
0 0 0
будем называть собственными волновыми функциями симметричного
волчка.
Функции Dmk, введенные впервые Вигнером [28], иногда называют
обобщенными сферическими функциями [23]. Они образуют непри-
неприводимое унитарное представление трехмерной группы вращения и удов-
удовлетворяют соотношениям ортогональности:
■' ~J> , -
'К') =
0 0 0
Если J принимает целые значения, то представление группы вра-
вращения однозначно, т. е. каждому вращению на углы а, C, у соответ-
соответствует только одна матрица DMK{a, [3, у). Если J принимает полуце-
полуцелые значения, то представление вращения является двузначным, так
как каждому вращению, определяемому углами Эйлера а, C, у, соот-
соответствуют две матрицы ^Ь^мк, отличающиеся знаком.
При целом J=L и при М = 0, или /С=0, функции Dmk с точ-
точностью до постоянного множителя совпадают со сферическими функциями:
(DmK, Dm>k>) = j j ^DMKDM>K'sm^d^drid^ = ^~ Ьп,Ьмм,Ькк,. (Д,6)
V/J±l > СД.7)

§ Д] СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ СИММЕТРИЧНОГО ВОЛЧКА 561
Приведем для примера обобщенные сферические функции (функции
Вигнера) порядка ^ и 1:
У 2
Однозначные представления группы вращения Dmk (*, C, у) по-
позволяют преобразовывать компоненты тензоров Z.-ro ранга из одной
системы координат в другую. Если а, C, у — углы, определяющие
вращение R(ol, C, у), с помощью которого старая система координат
совмещается с новой, то компоненты вектора Ам и тензора Tjm в но-
новой системе координат выражаются линейными комбинациями компо-
компонент в старой системе:
* ' (Д,8)
LM Zj MR , p, У
где компоненты вектора A_t, Ао> А^ связаны с его компонентами а
декартовой системе координат соотношениями:
у
Матрица преобразования Dmk является унитарной матрицей, т. е.
имеет место равенство
2 £>ifA'#W'= &**', (Д,9)
м
или в сокращенном виде (DL)i DL = 1.
Пользуясь этим свойством матрицы Dmk, можно из (Д,8) получить
обратное преобразование:
Ak=^DmKA'm. (Д,8а)
м
36 А. С. Давыдов

562 СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРОВ МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ [l
Из (Д,9), в частности, непосредственно следует, что матрица, обрат-
обратная к DL, совпадает с эрмитово-сопряженной к DL, т. е.
<£>*)-* =
В различных физических приложениях приходится вычислять про-
произведения от нескольких обобщенных сферических функций. Такие
произведения всегда можно выразить с помощью коэффициентов век-
векторного сложения через линейную комбинацию самих же обобщенных
сферических функций, если использовать равенство
D&lkl£>iU = 2 UJtmim% Iy- mi + тг) UxhKK Iy' ki + k%) X
J— I;'. - h I
Х<+Я1д,+*, (Д,ЮУ
Пользуясь формулами (Д,Ю) и (Д,6), легко показать, что
(DmK, £>£,*, Dijb) = ^~ {jjtmxmt \ JM) {jjtkxk2 \JK) (Д, 11)
Отметим еще некоторые свойства функций D'\
Обозначим с помощью R и R' два вращения, определяемых соответ-
соответственно углами Эйлера а, [3, у и а', [Г, у'; тогда имеет место ра-
равенство
2 £>жк (#') Dkm' {R)=DJmm> (R'R),
к
которое и указывает, что матрицы Dmk образуют представление
группы вращения.
Предположим, что состояние системы частиц описывается волно-
волновой функцией ф/уИ(...*,....), соответствующей определенному значению
полного момента количества движения и его проекции на ось oz.
В этом случае соотношение
позволяет с помощью обобщенных сферических функций (функций
Вигнера) перейти к новым функциям <|>/л-(...<7,-...)> зависящим от коор-
координат qt, получающихся из старых координат вращением R. При этом
квантовое число К определяет проекцию полного момента на ось о£,
а координаты q( являются координатами частиц относительно системы
координат Sr4£, которая получается из старой координатной системы
xyz, с помощью операции вращения R.

§ Е] НЕКОТОРЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ЛАПЛАСА 563
Обратное к (Д,12) преобразование имеет вид
2---?/-">. (Д. 13)
Это преобразование позволяет выделить вращение системы как цело-
целого при рассмотрении произвольного движения многих взаимодействую-
взаимодействующих частиц в системе координат, связанной с центром инерции всех
частиц.
§ Е. Некоторые преобразования сферических функций Лапласа
В связи с тем, что сферические функции Лапласа образуют пол-
полную ортогональную систему функций, произведение любого числа
сферических функций от одних и тех же угловых переменных можно
выразить через линейную комбинацию сферических функций тех же
переменных. В частности, произведение двух сферических функций
можно представить в виде
/.+/»
W0, <р) уЛтЛ <Р)= 2 AJtMl+m%{JxmJ%mu) Yh Я|+в1@.<Р)- (Е,1)
/=1/1-/21
Коэффициенты линейной комбинации (Е,1) выражаются через коэф-
коэффициенты векторного сложения
^}'2 °1у0) Ш*т*т
Применяя несколько раз формулу (Е,1), можно представить в виде
линейной комбинации сферических функций произведение любого числа
сферических функций.
Пользуясь (Е,1), можно, например, показать, что
J У I'm' @, <р) Рк (cos 0) Ylm @, tp) dQ = Ck (//и, I'm'), (E,3)
где коэффициенты Ck (Im, I'm') выражаются через коэффициенты век-
векторного сложения
)т
Ck (/«, I'm') = (—\)т V{2l2t^f1 + 1} (//'00 | kO) (//', т, —т \ k, m —
— т). (Е,3а)
Аналогичным образом, с учетом ортогональности сферических функ-
функций можно доказать, что
{4tBy+i]} JW, \jm). (E,4)
Зб* А. С. Давыдов

564 СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРОВ МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ [l
Из свойств коэффициентов векторного сложения следует, что выраже-
выражение (Е,4) отлично от нуля только при выполнении «условия треуголь-
треугольника» k(jJJ) и условия у, —|— _/s —|— _/ = четному числу. Первое из этих
условий выражает закон сохранения момента количества движения,
второе—закон сохранения четности.
Функции Вигнера й*мк позволяют производить преобразование сфе-
сферических функций Лапласа из одной системы координат в другую с
помощью соотношения
где 0, <р— полярные углы в системе координат xyz, а 6', !р' —углы
в системе &£.
Положение системы координат 1г£ относительно системы xyz
характеризуется углами Эйлера а, 3, у- Обратное к (Е,5) преобразо-
преобразование имеет вид
YlkW, '^')-=2^ЖА'(а, р, Y)^LAf@, <р). (Е,6)
Полагая К=0 и учитывая (Д,7), получим теорему сложения сфери-
сферических функций:
Ц Ка.м (а, 3) К/.Л (в,<р), (Е,7)
или
Л(я»') = гЙп!^ ^а*(») ^.л(л'), (Е,8)
ж
где единичные векторы п и я' определяются соответственн■) полярны-
полярными углами а, р и 6, ср.
Для некоторых приложений удобн > написать сферическую функ-
функцию в виде произведения
^ (Е,9)
где Plm (cos 6)—нормированная присоединенная функция Лежандра
первого рода:
Приведем еще несколько соотношений, полезных при вычислениях со

§ Ж] МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ОТ ТЕНЗОРНЫХ ОПЕРАТОРОВ
сферическими функциями:
565
-f/и) (* -/я) р
- /и) (г - т - 1) -
Bг 4- \){2i — 1) /
, Д1 +
т К B
(Е,Ю)
Производные функций Plm по углу 0 можно выразить равенством
dPlm — 1
из которого следуют два полезных соотношения:
/я = УA-\-т-\-\)A—т)
P/f „_
§ Ж. Матричные элементы от тензорных операторов.
Инвариантные операторы Тамма
Соотношении типа (А, 13) имеют место не только для сферических
функций, но и для любых других функций, являющихся собственными
функциями операторов полного момента количества движения любой
системы частиц. Эти соотношения позволяют вычислять матричные
элементы от операторов соответствующих физических величин.
Пусть операторы Fx образуют совокупность BХ —|— 1) величин,
преобразующихся при вращении системы координат друг через друга
так же, как компоненты волновой функции, соответствующей моменту
X. Другими словами, величины F)p удовлетворяют тем же перестано-
перестановочным соотношениям по отношению к операторам полного момента
(А,12), как и собственные функции этих операторов (когда последние
рассматриваются как операторы), т. е.
Тензорные операторы
36*
зависят от переменных, на которые

566 СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРОВ МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ [l
действуют операторы Jxi Jy, J2, и от любых других переменных. Приме-
Примером тензорных операторов Fx могут служить операторы, содержащие
сферические функции. В общем же случае индексы Xjjl тензорных опе-
операторов могут иметь формальный смысл, не относясь к какому-либо
реальному моменту. Так, для вектора Х=1, для симметричного тен-
тензора второго ранга 1=2 и т. д.
Рассмотрим теперь матричные элементы тензорных операторов /\а
от волновых функций (|>aiyilBi и фя2/2и2, зависящих от координат и спи-
спинов системы частиц
2m2)- (Ж,2)
Действие оператора F)[A на функцию bajm можно записать в виде
^К^2= 2 (V2^8ly^)^/OT(v2). (ж»3)
/= I h - х I
где WyOT преобразуются так же, как собственные функции операторов
полного момента количества движения системы. Учитывая свойства
преобразований Wjm, имеем:
где (a.J1 \\FX |j a2y2)—матричные элементы тензорных операторов FXtx,
не зависящие от магнитных квантовых чисел.
Подставляя (Ж,3) в (Ж,2) и учитывая (Ж,4), находим:
(V>i I Fiv. I <V»OT«) = (V.jww, 17>i) (aJi llFx II а2Л). (Ж,5)
Таким образом, равенство (Ж,5) позволяет выделить в явном виде
зависимость матричных элементов (Ж,2) от магнитных квантовых чисел.
Равенство (Ж,5) было доказано в общем виде Вигнером [28] метода-
методами теории групп и Рака [29] без использования теории групп.
Наряду с равенством (Ж,5) для упрощения вычислений, связанных
с разложением ряда физических величин по собственным функциям
полного момента количества движения, можно пользоваться инвариант-
инвариантными операторами Z., введенными в ряде работ И. Е. Тамма и его
сотрудников [30—33]. Будем в дальнейшем для краткости называть
эти операторы операторами Тамма. Операторы Тамма являются
инвариантными относительно вращений и отражений в координатном
пространстве функциями углов и спиновых переменных системы частиц.
Рассмотрим операторы Тамма для случая одной частицы со спином.
Если направление в пространстве характеризовать единичным вектором п,
а ориентацию спина вектором J, то состояние нуклона с моментом j
и проекцией этого момента на некоторое выделенное направление (ось
квантования), равной ту будет определяться спин-угловой функцией
Ф,^ (п, а) = 2 (&, m — mSi ms\jm) Yiym-ms (п) ьщ (а). (Ж,6)

§ Ж] МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ОТ ТЕНЗОРНЫХ ОПЕРАТОРОВ 567
Заданному значению полного момента j и спина s соответствует несколько
функций тина (Ж, 6), отличающихся значениями орбитального момента /,
удовлетворяющими неравенству
\j — s|</<y+ s.
Перенумеруем эти функции индексом \х и введем краткое обозначение
Y]m (я, 9) = 2 (is, m — ms, ms\jm) Y^m_ms (л) %smi (а). (Ж,7)
Функции (Ж, 7) образуют полную ортонормированную систему собст-
собственных функций операторов f и jz, так что
Й (я, в) ФУ'»' (я, в) <& = *//'&«»A*', (Ж,8)
С помощью функций (Ж, 7) операторы Тамма определяются равенствами
Lf (по; п'а') = 2 ф^ (Я> а) ф;^ («', а'). (Ж,Ю)
/л = —/
В отличие от функций (Ж,7), содержащих магнитные квантовые
числа т, соответствующие проекции полного момента системы на ось
квантования z, операторы Тамма не зависят от т и, следовательно, не
зависят от выбора оси квантования.
Пользуясь определением (Ж, 10) и условиями ортогональности (Ж, 8),
можно показать, что операторы Тамма удовлетворяют условию эрмитовости
{Lf' (па; n'a')}t = iy'i (па'; па) (Ж.11)
и ортогональности
g J Lf (па; п'а') />> (п'а'; пх9х) <Й' =
= bjj\^L^ (па; п.а,). (Ж.12)
Кроме того, как следует из (Ж, 9), имеет место соотношение
2 Ш- (па; п'а') = Ь(п — п') «„.. (Ж, 13)
Если частицы не обладают спином, то }Х принимает только одно значение
и функции ф^ совпадают со сферическими функциями: фуот —»- Ylm (n).
В этом случае операторы Тамма с точностью до множителя совпадают
с полиномами Лежандра:
M».»') = S rim{n) Уш (n') = ^-Pl(nn')t я/г'= cos0.
т
Если частицы обладают спином 1/2, то \х принимают два значения,
соответственно двум значениям l=jzb1li- При этом, вследствие

568 СОБСТВЕННЫ!- ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРОВ МОМЕНТОВ КОЛИЧЬХТВА ДВИЖЕНИЯ [i
инвариантности операторов /.относительновращений и отражений системы
координат они должны иметь вид
№' {па; п'а') = Ay' (cos 0) -|- а [пп] В^' (cos Ь). (Ж, 14)
В частности, если jjl = jj.' = / = /—'.',, то
№ {па; п'а') = (./-(--к-) Ру_. , (cos 0) — ia [пп] sin 0 }~'&-. (Ж, 15)
Если jx = jjl' = /=_/ —{—^-, то
/1ч dP-,x
Ц* [па; п'а')= [J-\--j) P/+'-7 (cos0) + /a[«»']sin0 d J+ (; , (Ж, 16)
Операторы Тамма могут быть построены и для системы, состоящей из
нескольких различных или одинаковых частиц. Явный вид некоторых
операторов такого типа приведен в работах [31—33 j.
§ 3. Производные обобщенных сферических функций по углам
Эйлера и времени
Как известно, при последовательном вращении системы координат
вокруг осей z, у, х соответственно на углы дг, Ьу, Sv волновая функция
одной частиц <р (л:, у, z) преобразуется по закону
у (х,у, z)-+ <f (*',/, г')=ехр {/ (^х + ^, + ф\ ср (х,у, z), C, 1)
i-де
д д \ . д
у -— = i
— / л: — — у -— = — i ^~
— соответственно проекции на оси л:, у, z оператора орбитального
момента количества движения одной частицы.
Рассмотрим теперь волновую функцию ф7А1(. . .х,-...) системы частиц,
находящихся в состоянии с определенными значениями У и М. При
вращении системы координат на эйлеровы углы @п 02, 03) = R эта
функция преобразуется аналогично C, 1) по закону
<Ьж (К}) — ФуЛ(^ К» = ехр{/@,Л + 0Л+°Л)} Ьм ({*/}). C,2)
где Jx и Jz-—операторы, определенные r (Д, 2). С другой стороны,
согласно (Д, 12) функцию tyJM (R {xt}) можно выразить с помощью

§ 3] ПРОИЗВОДНЫЕ ОБОБЩЕННЫХ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 569
функций Вигнера через волновые функции в первоначальной системе
координат
Ьм (Я {■*/}) = 2 &т, (R) V ({*,-}). C,3)
Приравняем правые части выражений C,2) и C,3), а затем умножим
полученное равенство на функцию ф*А и проинтегрируем по всем зна-
значениям переменных, от которых зависят эти функции; в результате
найдем:
Аналогичным путем для функции DJMK, совершающей обратное преоб-
преобразование, получим:
DJmk(\\, <)) = (JM\U\JK), C,5)
где
U = ехр {- / @,Уг + ОЛ + 0,Л)}- <3-6)
Выражение C, 5) позволяет вычислить производные от функций DJMK
по углам Эйлера 01( 02, 0... Так, производная по 0а имеет простой вид:
>JMM. (JM'\AJJK), C,7)
где
Введем оператор
тогда из C, 7) следует
£\Dmk '==z У) Dm.w {JM' I У JK). /3 9)
В представлении, в котором матричный элемент У, диагоналей:
уравнение C, 9) принимает совсем простой вид;
Производные по углам 02 и 0, можно также представить в виде
C,7). При /=1,2
~~= — i {JM | UAt | JK), C,10)
где
л —ехр \m j ^ j exp ^—^^гЬ I /oii\
.... ^ . v C,11)
A j = exp {Л1 Уг -[- Л2Ух } Уг ехр {— i\Jx — /04Уг}. )

570 СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРОВ МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ [i
Таким образом, оператор Аг получается из оператора Jх при вращении
системы координат @8, 0,0), а оператор Ах получается из оператора jг
при вращении @3, 02, 0). Следовательно, оба эти оператора можно
выразить через операторы проекций полного момента всей системы
\=2<lJx, /=1, 2, 3. C,12)
х
Это равенство справедливо и для случая 1=3, если положить
С помощью C,12) производные от функций DJMK по эйлеровым
углам 0п 02, 03 можно представить в виде
QT~)J
-asf=-' S ?>A^^'IAW. C,13)
Введем теперь оператор
который является естественным обобщением оператора jgz на случай
двух других компонент. Тогда из C, 13) будет следовать, что
Применяя к обеим частям уравнения C, 15) оператор «£ и снова
используя C,15), получим:
' | У11 Ж).
Просуммируем это равенство по ц. и обозначим Jt2 = 2 <=^2' ^2 = 2 ^
тогда, учитывая, что в состояниях с определенным значением полного
момента
получим:
XtDJm=J(J+\)iyMIC C,16)
Таким образом, оператор хг также является оператором полного момента
всей системы; его проекции Ssx, Jt2, J£a являются операторами проекций
полного момента на оси координат £*]С, связанные с телом.
Используя C, 15), перепишем уравнение C, 13) в следующем виде:
л
Вычислим теперь производную от обобщенных сферических функций

§ 3] ПРОИЗВОДНЫЕ ОБОБЩЕННЫХ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
по времени. Поскольку
571
dD
m
dt
то, используя C, 17), получим:
m
dt
dD
где
— компоненты угловой скорости вдоль соответствующих осей. Наконец,
учитывая C, 15), находим:
mv {JM'\J\\JK).
C,20)
Ш'
В этом параграфе мы определим еще результат действия операторов
проекций момента количества движения Jx, Jy, /2, выражающихся
формулами (Д, 2), на обобщенные сферические функции D'm (a, C, у).
Для этого введем операторы:
V2
у
C,21)
Действие операторов C, 21) на функции DJMK определяется простыми
формулами:
J0Dmk=MDjmk,
C,22)
Представляя операторы Jx и Jy в виде линейной комбинации опера-
операторов C,21):

572 СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРОВ МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
получим с учетом C, 22) искомый результат:
*(J-{-M)(J — M-lr\)DJM-i,K},
JyDJm = ~ {К(У— M){J-\-M-\-]
§ И. Коэффициенты Рака
Сумма по магнитным квантовым числам произведений трех и большего
числи коэффициентов векторного сложения может быть вычислена ме-
методом Рака [29]. Такие суммы выражаются через коэффициенты Рака
W (abed; ef), зависящие от шести целых или полуцелых квантовых
чисел моментов количества движения.
Наиболее часто используется равенство
2 (У,Л/;/1 W21M) UAmma I JM) UJ/ntmt | frri) {jjmxm \ JM) =
= yrB/+l)B/+l) W (JJtJja; jf) (И, 1)
или эквивалентное ему равенство
2 UJ*mimt \AmJ U>J\m№ \jbmb) UtJ\mimi\Jtmt) =
= V B/, + 1) B/, + 1) {jjbmxm, \ J6m6) W {JJJJj /J<). (И, 1 a)
Если умножить правую и левую части (И, 1) на
UJJitt* \J'm) UJl/nim' I JM)
и просуммировать по у", то получим очень полезное равенство:
X
JJ^ if)- (и.2^
Коэффициенты Рака широко используются при исследовании угловых
корреляций нескольких последующих излучений в каскаде, угловых
распределений рассеяния и продуктов ядерных реакций и т. д.
Коэффициенты Рака связывают две возможные схемы сложения трех
векторов а, Ь, d:
1) а-\-Ь = е, затем e-{-d=c
или
2) b-\-d=f, затем а-\-/=с.
Основные свойства и численные значения коэффициентов Рака можно найти
в обзоре Биденхарна, Блатта и Розе [34]. Ниже мы приведем некоторые
из свойств этих коэффициентов, которые используются в этой книге.

§И]
коэффициенты Рака
573
Коэффициенты Рака отличны от нуля, только если выполняются
соотношения треугольников
A(abe), A(cde), A(acf), Д (bdf).
Коэффициенты Рака удовлетворяют следующим свойствам симметрии:
W{abcd; ef)=W(badc; e/)=W(cdab; ef) = W(acbd; fe) —
= (_ !)*+/-*-«* W{ebcf; ad) = (— \у+/-ь-с W(aefd; be) (И,3)
и правилам сумм
W(abcd; ef) W(abcd; eg) = Bfg, (И.За)
2(—l)e + *-''B?+l) W{abcd\ ef)W{bacd\ eg)=W(agfb\ cd).
(И.36)
Вели один из шести параметров коэффициентов Рака равен нулю, то
с помощью (И, 3) Тсжой коэффициент может быть сведен к коэффи-
коэффициенту:
W (abed; 0/) = (— 1 )ь + с ~
■abrjcd
У Bft-hi) Bc-hi)
(И,4)
В ряде приложений часто используются коэффициенты Рака, в кото-
которых один из параметров равен 1\г. Значения таких коэффициентов
приведены в таблице 36.
Таблица 36. Коэффициенты W (abed; — f)
a=b——,l=
-f
■
-/-hi)i '■
)Bb-j-l)Bb-i-2)Bd4rl)Bd-{-2)f
<-»>Ч!£
-d)l
c=d -i
1 )'■ I (f-\-b-d-\-\)(f-b-}-d) 1 '
1 )B*tl)B* + 2> 2dBd+l)j
\ 2bBb-{-\ JcBc-\-l)j
В качестве примера применения коэффициентов Рака для вычисле-
вычисления суммы по магнитным квантовым числам произведений коэффициен-
коэффициентов векторного сложения вычислим
S (JtJJt) = 4тг
, ) Г,
(И, 5)
где
(И, 6)

574 СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРОВ МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ [i
являются собственными функциями операторов /2, jz и Z2 с собствен-
собственными значениями у (у —J— 1), т и L (L-\- 1). Подставляя (И,6) в матричный
элемент (И,5), получим после суммирования по спиновым переменным:
X (l2^,M2-1,
Используя (Е,4), находим:
(И,7)
Из свойств коэффициентов векторного сложения следует, что в (И, 7)
М-=МХ—М2. Теперь, пользуясь условиями симметрии коэффициен-
коэффициентов векторного сложения, можно написать:
X
^, — х) = (— i)^ -
(И,8)
Подставляя (И,8) в (И,7) и используя (И,2) и свойства симметрии
и ортогональности коэффициентов векторного сложения, получим:
(И,9)
Подставляя (И,9) в (И,5) и принимая во внимание симметрию коэффи-
коэффициентов Рака, имеем окончательно:
(V001 £»°) I2 X
X
(ViV»; т у) • (И'10>

§ К] КВАДРУПОЛЬНЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ МОМЕНТ ЯДРА 575
Во многих работах часто используется функция Z(abcd; ef), пред-
представляющая собой комбинацию коэффициентов Рака и коэффициентов
векторного сложения:
Z {abed; ef) = //-« + '[ Bа + 1) {2b-\- 1) {2с-{-\) {2d-{-\)]l!* X
X(ac00|/0) W{abcd;ef). (И,11)
Пользуясь функцией Z{abed; ef), можно записать (И, 10) в более со-
сокращенном виде:
S(JxJJt)= V 2Л+1 J . (И, 12)
Таблицы функций Z и их основные свойства приведены в [34]. Здесь
мы отметим только некоторые из них:
функции Z удовлетворяют следующему условию симметрии:
Z{abcd; ef) = {—\)fZ{cdab; ef),
и правилу сумм:
2Z {abed; ef)Z {abed; ef) = Ьсс, {2a + 1) {2d + 1) | (acOO J/0) |2.
Далее, Z {abed; ef) = 0, если a-j-c-j-/ нечетно;
z (ofcrf; .o)=saca,c (-1)»—B*+1 )f'.,
; 0/) = §a6§rd(- 1 J^ {aeOO |/0) ]/Ba+ l)Bc+ 1).
Поскольку функции Z {abed; ef) содержат коэффициенты Рака, то
они отличны от нуля, если выполняют одновременно следующие соот-
соотношения треугольников:
Д {abe), Л (cde), Д {acf), Д
ПРИЛОЖЕНИЕ II
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МУЛЬТИПОЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ
СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ
§ К. Квадрупольный электрический момент ядра в адиабатическом
приближении
Для системы А частиц оператор электрического момента мульти-
польности 1 в координатном представлении может быть определен вы-
выражением
д
где е—единичный положительный электрический заряд, ei — электри-

576 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МУЛЬТИИОЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ [П
ческий заряд частицы /; rh О,-, ср/. — полярные координаты частицы i.
В применении к ядру, содержащему Z протонов:
Из (К, 1) непосредственно следует, что четность мультипольного
элекрического момента равна (—1)'.
Для того чтобы выразить электрический мультнпольный момент
ядра через мультипольный момент, связанный с главными осями £г^
системы частиц, перейдем от координат rh О,-, со,- к углам Эйлера а,
Р, у, определяющим положение системы координат 3tj£, и «внутрен-
«внутренним» координатам г|-, Ь|-, ср/, определяющим положение частиц в си-
системе координат &£. При таком преобразовании r'i = ri, а шаровые
функции преобразуются, согласно формуле (Е, 5) приложения I по за-
закону
2а, P.Y) Kb@','f'). (K,2,
Подставляя (К,2) в (К,1), найдем связь оператора мультипольного мо-
момента (К,1) с оператором Qi, «внутреннего» (собственного) мультиполь-
мультипольного момента:
где
qI, = 21/ т—Ц- у г? r,v (О;, с©;).
Для получения среднего значения мультипольного момента ядра
в состоянии, описываемом волновой функцией ф, надо вычислить
интеграл
<Q, >==(ф,&ф). (К,4 V
Состояние ядра, обладающего аксиально симметричной формой в
адиабатическом приближении (см. § 19 и 20) определяется волновой
функцией
где фл^^3 Т/ я -^л1/с(а>^7) — собственная волновая функция сим-
симметричного волчка (см. § Д приложения 1), описывающая вращение
ядра как целого с полным моментом количества движения J и проек-
проекциями М и К соответственно на ось z и ось симметрии ялра;.

§ К] КВАДРУИОЛЬНЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ МОМЕНТ ЯДРА 577
Фк(. . .г]-. . .) — волновая функция, описывающая внутреннее движение
нуклонов в ядре со спином К.
Подставляя (К,5) и (К,3) в (К,4), получим:
< Q>. >jmk = 2 < Dl У jm < Ql Ук, (K.6)
где
— внутренний мультипольный электрический момент ядра, находяще-
находящегося в состоянии Ф/е, а матричный элемент
< Аъ > jmk = (® D^
Подставляя сюда (К,5) и учитывая формулу (Д,П), получим:
< Dl УjMK = (MOM | JM) (U0K\ JK) So..
Таким образом, выражение (К,6) для среднего мульпшольного электри-
электрического момента ядра в состоянии JMK примет вид
< Q). >шк = (U0M | JM) (U0K\ JK) < Q?o У к.
Вследствие наличия центра симметрии у всех ядер, находящихся
в основном состоянии, внутренний дипольный электрический момент
< Qio >к равен нулю.
Если форма ядра отличается от сферической и ядро обладает ак-
аксиальной осью симметрии, то квадрупольный электрический момент
С?о = < Q20 Ук в собственной системе отличен от нуля. В этом
случае
< Q20 >jmk = B^0Ж | JM) BJ0K\ JK) Qo. (K,7)
Обычно квадрупольным моментом ядра называют значение (К,7) в со-
состоянии с М = J; тогда
Пользуясь таблицей коэффициентов векторного сложения, получим
окончательную формулу:
ЗК J(J-\-\) (-* /I/й\
— G+17B7+3] Q°- (K'8)
В основном состоянии ядра K—J, поэтому квадрупольный электри-
электрический момент ядра в основном состоянии, характеризуемом спином
J (M = K—J), связан с внутренним квадрупольным электрическим мо-
моментом Qo, характеризующим отклонение распределения заряда ядра
от сферически симметричного, простой формулой:
(J B7-1) о
Q- У+1)B7+3; <>•• (К'9)

578 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МУЛЬТИПОЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ [II
§ Л. Квадрупольный электрический момент, создаваемый одним
протоном
Вычислим квадрупольный электрический момент, создаваемый
протоном, который находится в состоянии, описываемом волновой функ-
функцией
Я (г) Ф^^ (»,,,,,), (Л,1)
где R (г) — радиальная волновая функция, а Ф i — спин-угловая
'у/я
функция
{^).п»Ц.; (Л-2)
Оператор квадрупольного электрического момента частицы, несу-
несущей единичный положительный заряд, равен
Среднее значение этого оператора в состоянии (Л,1) при tn = j назы-
называют квадрупольным электрическим моментом протона:
где < г2 > — среднее значение квадрата радиуса-вектора протона в
рассматриваемом состоянии.
Подставляя (Л,2) в (Л,3) и учитывая ортогональность и нормировку
спиновых функций jf, получим:
Преобразуем произведение двух последних сферических функций, вхо-
входящих в интеграл (см. приложение I, (Е,2))
Тогда, принимая во внимание ортогональность сферических функций
Лапласа, найдем:
Yd[l^J-ms,ms\jjJ(l2J-ms, 0\l,J—ma).
ITlg

§ М] СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ 1\г 579
Учитывая, что (/200 1 /0) = *(* + !>
получим при j = l-f-—:
Далее, принимая во внимание, что
V~Bl — lj(*+ 1) / B/ -h 3> *
получим при J=l—y :
__„ 2 (/- 1) 2 27—1 2
2
Таким образом в обоих случаях y'=/4r-j квадрупольный момент про-
протона выражается одной формулой:
Q/=-27T2<r2>-
ПРИЛОЖЕНИЕ III
ВОЛНОВЫЕ ПОЛЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕСЯ УРАВНЕНИЕМ ДИРАКА
§ М. Свободное движение частицы со спином !/2
Волновое поле частиц со спином J/2 описывается уравнением Ди-
Дирака, которое можно записать в виде
где оператор Гамильтона
HD= czp-\-mc2fi, р = — ihy. (M,2)
Четырехмерные эрмнтовские матрицы Дирака выражаются через дву-
двумерные матрицы Паули:
'О \\ /О -А /1
О ' а* =

580 ВОЛНОВЫЕ ПОЛЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕСЯ УРАВНЕНИЕМ ДИРАКА [ill
/1 0\
и двумерную единичную матрицу 1 = 1 « I с помощью соотношений:
/0 а\ /I 0\
Четырехкомпонентная волновая функция ф записывается в виде столбца
а эрмитовскн сопряженная к ней функция ф+ — в виде строки
ф+=(ф,\ ф;> ф;, ф:>-
Из волновых функций ф+, ф и матриц Дирака можно построить вели-
величины, обладающие определенными тензорными свойствами. Так, били-
билинейная комбинация волновых функций ф'фф является скаляром. Если
ввести три матрицы у*——*?а* (k= 1, 2, 3) и y4 = jB, то с их по-
помощью можно построить билинейные комбинации ф'фуиФ (М-= ^ 2, 3, 4),
преобразующиеся как компоненты четырехмерного вектора (см. § О).
Величины
образуют тензор второго ранга. Величина ф^^УаУвФ преобразуется как
псевдовектор, а ф+рУвФ> где Ys ^^ Y1Y2Y3Y4 являе'тся псевдоскаляром.
Для многих приложений удобно выразить четырехкомпонентные функ-
функции ф через две двухкомпонентные (<р и ^):
Тогда уравнение (М,1) для стационарных состояний с энергией s при
учете (М,3) перейдет в систему уравнений:
Для состояний с определенным значением импульса оператор им-
импульса совпадает с вектором импульса и система уравнений (М,о)
переходит в
(тс2 — е) 'f -f- C9P1 = °i

§ М] СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ V. 581
Для разрешимости системы уравнений (М,5а) нужно, чтобы ее опреде-
определитель равнялся нулю. Учитывая операторное тождество
{аА){аВ) = АВ-\- ia[AB\
для двух произвольных векторов А и В, коммутирующих с J, получим:
тсг — 8 cap
«V- г2 —
cap тсг -\- s
откуда находим соотношение
8 = 4-}/у-|-/иV, (М,6)
связывающее энергию частицы с ее импульсом. Двум значениям энер-
энергии (М,6) соответствуют два типа решений уравнения Дирака, которые
будем называть решениями, соответствующими положительной и отри-
отрицательной энергии.
Из (М,5а) находим:
у = -^-?1 (М,7)
Л тсг -\- гr' v . /
где s определяется (М,6).
Из (М,7) следует, что двухкомпонентные функции ср и у выра-
выражаются друг через друга. Таким образом, вместо (М,4) можно напи-
написать:
ф = ЛМ-^т— и )/(/•), (М,4а)
т \тс2 -}-£ /
где ср = и/(г); /(г) — функция, не зависящая от спиновых переменных.
Выберем постоянную нормировки TV в (/И,4а) так, чтобы выполня-
выполнялось равенство
с|Дф — |/(г)|8. (М,8)
Легко убедиться, что если двухкомпонентные спиновые функции а
нормированы условием
й+й=1, (М,8а)
то нормированная в смысле (М,8) функция ф имеет вид
c -f-£
Непосредственным вычислением можно проверить, что в состояниях
с определенным импульсом матрица
ар О
,0 ар,
37 А. С. Давыдов

582 ВОЛНОВЫЕ ПОЛЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕСЯ УРАВНЕНИЕМ ДИРАКА fill
коммутирует с оператором гамильтона HD уравнения Дирака для сво-
свободного движения частицы. Следовательно, величина ар является
интегралом движения. Поскольку в этом случае р—интеграл движения,
то интегралом движения должна быть проекция спина частицы на на-
направление импульса частицы.
Если ось квантования выбрать вдоль направления импульса, то
проекция спина частицы на это направление будет изображаться опе-
оператором yqz- Собственные функции этого оператора
1\ /О
изображают состояния с определенной поляризацией частицы, соответ-
соответствующие ориентации спина частицы вдоль и против направления
импульса. Другие состояния поляризации частицы будут линейными
комбинациями состояний, изображаемых функциями и, и «2.
Если масса покоя частицы равна нулю, как, например, у нейтрино,
то система уравнений (М,5а) переходит в систему
(М,10а)
(М,10б)
ср
где п==— — единичный вектор совпадающий с направлением импульса
для состояний с положительной энергией и противоположный направле-
направлению импульса для состояний с отрицательной энергией. Волновая функ-
функция (М,9) в этом случае принимает вид
* V(r)- (м'п)
апаJ
Составим сумму функций ср и /. Тогда из (М, Юб) следует, что
Ф = <Р + Х (М.12)
выражается через функцию ср:
Ф = A+ая)<р. (М,12а)
Складывая (М,Юа) и (М,Юб), легко убедиться, что функция Ф удов-
удовлетворяет уравнению
Таким образом, функция Ф = ср -\- \ является собственной функцией опе-
оператора проекции спина (в единицах Й./2) на направление импульса.
Уравнение (М,13) имеет только одно собственное значение, равное
единице. Следовательно, функция Ф удовлетворяет уравнению Дирака
для свободного движения частицы с нулевой массой покоя и соответ-
соответствует продольной поляризации частицы.

§ Н] МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НЕКОТОРЫХ ОПЕРАТОРОВ ДИРАКА 583
Итак, если частица с нулевой массой покоя находится в состоянии,
описываемом функцией Ф, то она имеет определенное состояние поля-
поляризации. При этом, если энергия частицы положительна, то проекция
спина направлена вдоль импульса; если же энергия частицы отрица-
отрицательна, то проекция спина частицы направлена против направления
импульса.
Если из функций ср и 1 образовать функцию
то легко убедиться, что она будет удовлетворять уравнению
F= — anF. (M,15)
Следовательно, функция F также изображает состояния с продоль-
продольной поляризацией. Однако в этом случае в состояниях с положитель-
положительной энергией проекция спина направлена против направления им-
импульса, а в состояниях с отрицательной энергией — вдоль направления
импульса.
§ Н. Матричные элементы некоторых операторов Дирака
В теории ^-распада приходится вычислять матричные элементы от
некоторых операторов Дирака, построенные на волновых функциях
электрона <Ье и нейтрино cj\. Рассмотрим некоторые из этих матричных
элементов.
Скалярное взаимодействие в разрешенном C-распаде содержит мат-
матричный элемент
Если выразить с помощью (М,9) и (М,11) четырехкомпонентные функ-
функции через двухкомпонентные:
то матричный элемент (Н,1) примет вид
Для описания разрешенных ^-переходов без учета действия кулонов-
ского поля ядра координатные части функций сре и <pv полагают рав-
равными единице. Тогда
37* ¥Ж = ^=1

584 ВОЛНОВЫЕ ПОЛЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕСЯ УРАВНЕНИЕМ ДИРАКА [III
и квадрат модуля матричного элемента (Н,2), усредненный по спино-
спиновым состояниям легких частиц, будет равен
2 < I ф! Ш12>с„ин= * -т cos °= ! -7 cos 9' {Н'3)
где 0 — угол между направлениями вылета электрона и нейтрино. При
получении (Н,3) была учтена связь импульса со скоростью частицы
Таким же путем можно показать, что в случае векторного взаимодей-
взаимодействия корреляция в направлениях вылета электрона и нейтрино опре-
определяется выражением
Формулы (Н,3) и (Н,4) показывают, что угловая корреляция умень-
уменьшается при уменьшении скорости электронов и исчезает совсем при
v=0, а максимум угловой корреляции достигается при > 1. Далее
из (Н,3) и (Н,4) следует, что при скалярном взаимодействии электрон
и нейтрино разлетаются преимущественно в противоположном направ-
направлении, а при векторном взаимодействии они вылетают в одном направ-
направлении. Поскольку угловая корреляция пропорциональна первой степени
косинуса угла между направлениями вылета обеих частиц, то она
отсутствует при усреднении по всем направлениям вылета нейтрино.
Таким образом, если не фиксировать направления отдачи ядра, которое
связано с направлением вылета нейтрино, то угловое распределение
электронов в разрешенных переходах будет изотропным.
При определении угловой корреляции в направлениях вылета
электрона и нейтрино для псевдовекторного варианта взаимодействия
надо вычислить матричный элемент
Переходя к двухкомпонентным волновым функциям, имеем:
Квадрат модуля этого матричного элемента после усреднения по спи-
спиновым состояниям электрона и нейтрино принимает вид
При получении (Н,5) мы использовали равенство

§ О] НЕКОТОРЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ ДИРАКА 585
Таким же образом можно показать, что в случае тензорного ва-
варианта взаимодействия
>v)|2>cnHH=l-f£cos0. (H,6)
§ О. Некоторые преобразования волновых функций Дирака
Для исследования свойств преобразований волновых функций Ди-
Дирака и билинейных комбинаций, составленных из этих функций и опе-
операторов Ya» удобно переписать уравнение Дирака (М,1) в более сим-
симметричном виде относительно пространственных и временных перемен-
переменных. Для этого введем четыре координаты jc(i(jji=l, 2, 3, 4), такие,
чтобы первые три (л:,, х2, х3) являлись компонентами радиуса-вектора,
a xi = ict. Тогда уравнение (М,1) можно преобразовать к виду
Матрицы Yjj. определены в § М. Эти матрицы эрмитовские и удовлетво-
удовлетворяют соотношениям
a = 4v, Ji, v=l, 2, 3, 4.
Уравнение, эрмитовски сопряженное к @,1) имеет вид
Если умножить полученное уравнение справа на матрицу y4 и ввести
функцию
называемую дираковски сопряженной относительно ф, то получим
уравнение
/E/^Yn — rnc$=O. @,3)
Уравнение @,3) называют «сопряженным» относительно уравнения
@,1).
Как известно [35], уравнения Дирака остаются инвариантными при
ортогональных преобразованиях координат
Svv=*-'• @>4)
Преобразованию координат @,4) соответствует преобразование волно-
волновых функций Дирака

586 ВОЛНОВЫЕ ПОЛЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕСЯ УРАВНЕНИЕМ ДИРАКА [ill
где матрица преобразования 5 определяется коэффициентами (a^v) пре-
преобразования координат @,4) с помощью соотношения
Матрица 5 (вследствие мнимости четвертой координаты лг4) в общем
случае не унитарна, а S+=y4S~Iy4.
Частным случаем преобразования @,4) является собственное пре-
преобразование Лоренца. Так, например, переходу от системы координат
х^ к системе д:^, движущейся относительно первой со скоростью v
вдоль оси х, соответствует матрица преобразования
О 10 0
О 0 1 О
Операции инверсии пространственных коэрдинат соответствует мат-
матрица преобразования
0 0 0
—1 0 0
о — 1 о |- (°>7)
О 0 0 1
Пользуясь @,4), можно убедиться, что преобразованию инверсии @,7)
соответствует матрица 5 = Y4- Таким образом, при инверсии простран-
пространственных координат волновые функции Дирака преобразуются по закону
Пользуясь формулами @,5) и @,6), легко доказать указанные в § М
свойства преобразований билинейных комбинаций, составленных из вол-
волновых функций Дирака. В самом деле, согласно @,5)
Таким образом, фф = ф+у^ является скаляром. Далее, согласно @,5)
и @,6)
следовательно, величины фу^ф = ф+у^Т^Ф преобразуются как компоненты
4-вектора. Таким же образом можно доказать свойства других били-
билинейных комбинаций волновых функций Дирака, указанных в § М.

§ О] НЕКОТОРЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ ДИРАКА 587
Рассмотрим теперь унитарную матрицу С, преобразующую эрми-
товские матрицы Дирака у^ в транспонированные с помощью соот-
соотношений
Vy.= —C^c~1- (°>8)
Матрица С не эрмитова, так как
О = — С*, или Ст = —С. @,9)
В частном случае представления матриц уа, при котором выбираются
I (
О —
матрица С, определяемая соотношением @,8), имеет вид
@,11)
Введем волновые функции фс и <ЬС с помощью соотношений:
фе = С-1ф, фс = фС. @,12)
Функции фс и ф* называются зарядово-сопряженными волновыми
функциями.
Легко убедиться, что при применении операции зарядового сопря-
сопряжения @,12) к волновым функциям Дирака четырехмерный вектор
плотности тока и заряда
меняет знак. Действительно, согласно @,12) и @,8)
Уравнение Дирака для частицы, движущейся в электромагнитном
поле, определяемом четырехмерным потенциалом Ла (А^ = АХ, А2=А
A3 = Az, Ai = w), можно получить из @,1) формальной заменой
где е — заряд частицы. Таким образом, уравнение Дирака при наличии
электромагнитного поля имеет вид
при этом функция ф = ф+у4 удовлетворяет уравнению

588 ВОЛНОВЫЕ ПОЛЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕСЯ УРАВНЕНИЕМ ДИРАКА [ill
Подставляя Сфс = ф и учитывая @,12) в @,16), получим:
Умножая это уравнение слева на С и учитывая равенство
вытекающее из @,8), получим уравнение, описывающее зарядово-со-
пряженное состояние:
Сравнивая @,17) и @,15), мы убедимся, что функция <ЬС описывает
частицу, заряд которой отличается знаком от заряда частицы, описы-
описываемой уравнением @,15).
§ П. Спин-орбитальное взаимодействие и уравнение Дирака
Свободное движение частицы со спином */2 описывается уравнением
Дирака
Движение частицы во внешнем поле можно описать уравнением
где величины Q{ определяются возможными типами взаимодействия ча-
частицы с внешними полями. Из этих взаимодействий мы рассмотрим
только два:
а) взаимодействие с внешним скалярным полем, соответствующим
притяжению, когда
QS = -±V; (П,3)
б) взаимодействие с внешним векторным полем, когда
«^=7 ТА- <п>4>
Частным случаем взаимодействия (П,4) является взаимодействие с элек-
электромагнитным полем, характеризуемым четырехмерным потенциалом
А^ = (А, Мо). В этом случае В^ = еА^.

§ П] СПИН-ОРБИТАЛЬНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ И УРАВНЕНИЕ ДИРАКА 589
Подставляя (П,3) и (П,4) в (П,2), преобразуем это уравнение к
виду
&д^{(\) ^. (П,5)
В дальнейшем положим для простоты В=0. В случае взаимодействия
с электромагнитным полем это будет соответствовать движению в поле
скалярного потенциала.
Стационарные решения (П,5) можно искать в виде
(П'6)
где ср и 1 — двухкомпонентные функции. Выражая матрицы аир че-
через двумерные матрицы а и I с помощью равенств
0 —
и подставляя (П,6) в (П,5) получим при В=0:
(в —Яо—V)<p = cffpx, (П,7а)
2tnc2 — B9+V)x = copy. (П,7б)
Из уравнения (П,7б) можно выразить функцию X через функцию ср;
тогда получим:
Если выполняется неравенство
в — Во— V«2mc\ (П,9)
то
Подставляя (П,Ю) в (П,7а), находим приближенное уравнение, опреде-
определяющее в нерелятивистском приближении функцию ср:
Используя равенства:
(ар)(ар)=р\
, p]},

590 ВОЛНОВЫЕ ПОЛЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕСЯ УРАВНЕНИЕМ ДИРАКА ГШ
где /(г) — произвольная функция координат, преобразуем (П,11) к
виду *)
Если выполняется приближенное равенство
0 ' 2т
и неравенство (П,9), то можно написать:
Пользуясь этим приближенным равенством, перепишем (П,12) в виде
где so = cyp2-\-m2cz—тс2—кинетическая энергия частицы, движу-
движущейся с импульсом р. Последний член правой части (П,13) приводит
к небольшому изменению энергии частицы, не зависящему от ори-
ориентации ее спина. Члены
входящие в правую часть уравнения (П,13), определяют энергию спин-
орбитального взаимодействия частицы со скалярным полем V и четвер-
четвертой компонентой векторного поля BA = iB0.
*) Уравнение (П, 12) написано для ненормированной функции, поэтому оно
in p grad {Во — V) R
содержит неэрмитовский оператор — —г~г • Ь-сли ввести вместо <р
новую волновую функцию Ф = 1ср и выбрать оператор L так, чтобы с требу-
требуемой точностью выполнялось условие нормировки
то новый гамильтониан Н' = LHL~X будет содержать только эрмитовские
члены. Однако мы не будем здесь совершать такое преобразование, так как
оно не изменяет члена, соответствующего энергии спин-орбитального взаимо-
взаимодействия. Более подробно вопрос о правильной нормировке функций при пе-
переходе в уравнении Дирака к нерелятивистскому приближению рассмотрен в
книге А. Ахиезера и В. Берестецкого [36]. См. также работы Фольди и Мо-
утхаузера, Куршуноглы, Захера [37].

§ П] СПИН-ОРБИТАЛЬНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ И УРАВНЕНИЕ ДИРАКА 591
Рассмотрим, как может быть использовано найденное выражение
энергии спин-орбитального взаимодействия (П,14) для случая нуклонов.
Известно, что из-за сильного взаимодействия нуклонов с мезонным по-
полем поведение нуклонов в электромагнитном поле не может быть опи-
описано уравнением Дирака. В нерелятивистском приближении получаются
правильные результаты, если в соответствующем уравнении провести
замену
(XI 1 К\
где
2,7929 для протонов,
— 1,9131 для нейтронов;
(
— \
М—масса нуклона.
Полагая В0 = еА0 и учитывая (П,15), получим для спин-орбиталь-
ного взаимодействия нуклонов с электростатическим полем AQ следую-
следующее выражение:
где }Х — магнитный момент нуклона, выраженный в ядерных магнето-
магнетонах, определяется (П, 16).
Для определения энергии спин-орбитального взаимодействия нук-
нуклона, движущегося в поле других нуклонов, в (П,14) следует т за-
заменить на М и положить V=^Vi, где Vi — потенциальная энергия
парного взаимодействия данного нуклона с /-м нуклоном ядра. Прак-
Практически, однако, из-за незнания величины и радиальной зависимости
истинного потенциала при исследовании спин-орбитального взаимодей-
взаимодействия приходится вместо V использовать потенциал оптической модели
V0||TH4. Этот потенциал плавно изменяется внутри ядра и позволяет
сравнительно хорошо описать упругое рассеяние на ядрах, однако он
не совпадает с истинным потенциалом, действующим на нуклоны внутри
ядра (см. главу XIII), который возможно сильно изменяется на малых
расстояниях. Поэтому для энергии спин-орбитального взаимодействия
приходится принимать выражение
где величина b существенно зависит от принимаемой зависимости по-
потенциала Vomn4 от координат.
Для потенциала Коптич, обладающего центральной симметрией

592 ВОЛНОВЫЕ ПОЛЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕСЯ УРАВНЕНИЕМ ДИРАКА [ill
поэтому энергия спин-орбитального взаимодействия может быть запи-
записана в виде
Wa = — b т£г-г- аУ°птич (О/) = — В - Щш? (j/). (П,19)
я 4М2с2 г дг у ' г г дг х ; х '
Значение параметра C зависит от принимаемой зависимости Уоптич от г.
В работе Зака, Биденхарна и Брейта [38] указывается, что потенциал,
содержащий спин-орбитальное взаимодействие,
X Ю8 хорошо описывает измеренную экспериментально зависимость
от энергии (в области 1 —15 Мэв) фазовых смещений, соответствую-
соответствующих состояниям рч2 и p3j2. Сравнительно удовлетворительные резуль-
результаты дает в этом случае и потенциал, выбранный в форме прямоугольной
потенциальной ямы:
v „•)-(-я-И")к
1 0,
если
R0 = 3,2\-\0~ls см,
D= 19,65 Мэв.
Для объяснения тех же экспериментальных результатов с помощью
потенциала, имеющего экспоненциальную зависимость от расстояния,
пришлось выбрать
Vo= 155,5
г>= 1,924.10-13
Таким образом, использование (П,18) для описания спин-орбиталь-
спин-орбитального взаимодействия нуклонов в ядре возможно только при условии
подбора коэффициента Ь, косвенно учитывающего отличие потенциала
^оитич от истинного потенциала и неполное описание поведения нукло-
нуклонов уравнением Дирака.

IV] КЛАССИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ КОЛЕБАНИЙ ЯДРА 593
ПРИЛОЖЕНИЕ IV
КЛАССИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ КОЛЕБАНИЙ
ЯДРА В ГИДРОДИНАМИЧЕСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
Будем считать, что коллективные колебания нуклонов в ядре можно
рассматривать как безвихревое движение жидкости, имеющей постоян-
постоянную плотность р. Разложим отклонение поверхности ядра от сфериче-
сферической формы по сферическим функциям
Предположим далее, что изменение формы ядра связано с безвихревым
движением ядерного вещества. Тогда вектор скорости этого движения
будет определяться потенциалом скоростей Ф с помощью формулы
Ф.
При постоянной плотности ядерного вещества
Решения этого уравнения, конечные при /* = 0, можно представить
в виде
где г, 0, ф — сферические координаты произвольной точки ядерного
вещества. Связь между коэффициентами Ах разложения потенциала
скоростей и коэффициентами а)и, определяющими форму поверхности
ядра, находятся из условия
dt
Из этого условия следует
Кинетическая энергия колебаний определяется выражением *)
*) Потенциал скоростей и отклонение Д/? вследствие дополнительного
условия «>i|A = ( — 1Гз>., _^, накладываемого на коэффициенты ах , являются
действительными величинами. Однако из формальных соображений удобно
квадраты этих величин записать в виде квадратов модулей.

594
КЛАССИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ КОЛЕБАНИЙ ЯДРА
[IV
где интегрирование производится по объему ядра. Принимая во вни-
внимание, что
дФ * 1 дФ *. 1 дФ
р —— "rada Ф — grad Ф —
дг ' ь * г Й9 ' ° ? г sin Ь dtp
и используя приложение I, § Е, можно написать:
Подставляя в это выражение (IV,2), получаем окончательное выраже-
выражение для кинетической энергии поверхностных колебаний
где
Потенциальную энергию, связанную с отклонением формы ядра от
сферической, можно представить в виде суммы двух членов
где
о — поверхностное натяжение; AS — изменение поверхности ядра;
Ve — изменение электростатической энергии при деформации ядра.
При изменении формы ядра {Ro —> Ro -\- Д/?) его поверхность из-
изменяется на величину
Таким образом,
Изменение электростатической энергии ядра при деформации его
формы можно представить в виде

IV] КЛАССИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ КОЛЕБАНИЙ ЯДРА 595
где ср— скалярный потенциал; q— плотность электрического заряда.
Если плотность электрического заряда внутри ядра сферической формы
постоянна и равна
а вне его равна нулю, то изменение плотности заряда, при изменении
формы ядра (в первом приближении) эквивалентно появлению на era
поверхности электрического заряда с поверхностной плотностью #0/?0£>
Lg=g&Q{r—R9), (iv, 5>
где
=-j5- . При этом \ kqdx = 0.
Ко J
Для вычисления дополнительного потенциала Дер разложим его по
сферическим функциям:
если
>v __^_ r)u? если г ^ tf0.
Тогда коэффициенты разложения Qx^ можно определить из условия
дг \r=Ro+o
Действительно, подставляя в это равенство (IV,6) и (IV, 1), находим:
Используя (IV,1) и (IV,5) — (IV,7), получаем в рассматриваемом при-
приближении:
Для вычисления интеграла -к- \ tpA^* dx представим потенциал <р
в тонком поверхностном слое (где Д^^=0) приближенной формулой:
eA0
тогда

596 КЛАССИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ КОЛЕБАНИЙ ЯДРА [IV
Складывая AV,8) и (IV,9), находим:
т/ 3g2Z2 ^ (X — 1) | |2 m, t л.
Подставляя (IV,4) и (IV, 10) в (IV,3), получаем явное выражение
потенциальной энергии поверхностных колебаний через коэффициенты
i
где

ЛИТЕРАТУРА
К ГЛАВАМ I —IV
1. Д. Д. Иваненко, Nature 129, 798 A932).
2. А. М. Shapiro, Rev. Mod. Rhys. 28, 164 A956).
3. О. Cham ber lain, E. Segre, С Wig and, T. Y p s i 1 a n t i s, Phys.
Rev. 100, 947 A955); УФН 58, 685 A956).
4. R. Hof stadter, Fechter, Mclntyre, Phys. Rev. 91, 422 A953); 92,
978 A953); D. R. Yennie, D. С Ravehall, R. N. W i 1 s о n, Phys. Rev.
95, 500 A954); R. H о f s t a d t e r, B. H a h n, A. Knudsen, J. M с I a t у г e;
Phys. Rev. 95, 512A954).
5. M. Johnson, E. Teller, Phys. Rev. 93, 357 A954).
6. R. Berg, L. Wilets, Phys. Rev. 101, 201 A956); L. W i 1 e t s, Phys. Rev.
101, 1805 A956); A. Ross, H. Mark, R. Lauson, Phys. Rev. 102, 1613
A956).
7. И. С. Шапиро, УФН 53, 7 A954).
8. Я. А. Смородине к и й, ДАН 60, 217 A948).
9. J. H a d 1 е у, Е. К е 1 1 у, С. L e i t h, Е. S e g r с, С. W i e g a n d, H. Y о г к,
Phys. Rev. 75, 351 A949).
10. К. A. Bruce к пег, Phys. Rev. 97, 1353 A955).
11. Н. A. Bet he, Phys. Rev. 103, 1353 A956).
12. S. Dree I, K. Huang, Phys. Rev. 91, 1527 A953).
13. К. А. В r u e с к п е г, С A. L e v i n s о n, H. M a h m a u n d, Phys. Rev. 95,
217 A954).
14. M. M. Levy, Phys. Rev. 88, 725 A952).
15. H. Yukawa, Proc. Phys. Math. Soc. Japan 17, 48 A935).
16. Г. И. Зельце p, УФН 53, 455 A954).
17. А. И. Баз ь, Я. А. Смородински и, УФН 55, 215 A955); A. A j z e n-
berg, Т. La ur its en, Rev. Mod. Phys. 24, 321 A952); С. К- Воске п-
berg, С. P. Browne, W. W. Buechnee, A. Sperduto, Phys. Rev.
92, 664 A953).
18. R. Rainwater, Phys. Rev. 79, 432A950).
19. В. Г е й з е и б е р г, Теория атомного ядра, ИЛ, 1953.
20. И. И. Л е винтов, Physica XXII, 1178 A956); ЖЭТФ 30, 987 A956).
21. J. P. Elliot, В. Н. Flowers, Proc. Roy. Soc. A229, 536 A955).
22. P. Klin ken berg, Rev. Mod. Phys. 26, 63 A952).
23. J. P. E 1 1 i о t, T. S к у r m e, Proc.'Roy. Soc. A232, 561 A955); S. Garten-
h a u s, С Schwartz, Phys. Rev. 108, 482 A957).
24. Л. Д. Ландау, Е. М. Л и ф ш и ц, Квантовая механика, Гостехиздат, 1948,
25. В. Н. Flowers, Proc. Roy. Soc. A212, 248 A952); A. R. Edmonds.
B. H. Flowers, Proc. Roy. Soc. A214, 515 A952); A215, 120 A952).
26. В. Неудачин, К вопросу о квантовых числах и вычислительных метода*
теории ядерных оболочек, МГУ, диссертация, 1954.
27. F. В loch, Phys. Rev. 83, 839 A951); A. De Shalt, Helv. Phys. Act? 24,
296 A951).
38 А.С. Давыдов

598 литература
28. Н. Miyazawa, Progr. Theor. Phys. 6, 801 A951).
29. R. В 1 e i n-S t о у 1 e, M. P e г к i s, Proc. Phys. Soc. A66, 1.158 A953); A67,
885, 1954; A. Arima, H. Horie, Prog. Theor. Phys. 11, 509 A954).
30. E. F ее n berg, Phys. Rev. 76, 1275 A949).
31. D. R. Inglis, Phys. Rev. 87, 915 A952); Rev. Mod. Phys. 25, 390 A953);
G. E. Tauber, Ta-YouWu, Phys. Rev. 93, 295 A954).; D. H. Lyons,
Phys. Rev. 105, 937 A957).
32. M. G. Mayer, Phys. Rev. 75, 1969 A949); 78, 16 A950); 78, 22 A950).
33. L. N о r d h e i m, Phys. Rev. 75, 1894 A949), E. Feenberg, К. С. Ham-
mack, L. Nordheim, Phys. Rev. 75, 1968 A949).
34. R. D. Hill, Phys. Rev. 76, 998 A949); С Townes, H. F о 1 e y, W. Low,
Phys. Rev. 76, 1415 A949); S. Welles, Phys. Rev. 62, 197 A942).
35. R. Blin-Stoyle, Rev. Mod. Phys. 28, 75 A956).
36. S. G. Nil son, Dan. Mat. Fys. Medd. 29, № 16 A955).
37. С F. Weizssacker, Zs. f. Phys. 96, 431 A935).
38. A. E. S. Green, Phys. Rev. 95, 1006 A954).
39. N. Bohr, Nature 137, 344, 350 A936); 141, 326 A938); УФН 16, 425 A936);
N. Bohr, F. Kalckar, Dan. Mat. Fys. Medd. 14, № 10 A937); УФН 20,
1 A958).
40. A. Bohr, Dan. Mat. Fys. Medd. 26, № 14 A952).
41. S. Fluge, Ann. d. Phys. 39, 373 A941).
42. Я. И. Френкель, ЖЭТФ 9, 641 A939).
43. Т. M a r u m о r i, S. S u е с a n e, A. Y a m a m о t о, Prog. Theor. Phys. 16,
320 A956).
44. A. Bohr, B. Mottelson, Dan. Mat. Fys. Medd. 27, № 16 A953).
45. R. Van Wageningen, Physica 19, 1004 A953); R. Van Wagenin-
Wageningen, J de Boer, Physica 18, 369 A952).
46. Л. Д. Л а н д а у, Я. А. Смородинский, Лекции по теории атомного
ядра, Гостехиздат, 1955.
47. К. Ford, Phys. Rev. 90, 29 A953).
48. D a v i d s о n, E. Feenberg, Phys. Rev. 89, 856 A953).
49. O. Klein, Zs. f. Phys. 58, 730 A929).
50. E. W i g n e r, Gruppentheory and ihre Anwendungen auf die Atom Spectren,
Braunschweig, 1931.
51. С McClelland, H. Mark, С Goodman, Phys. Rev. 97, 1191 A955).
52. N. Heydenburg, G. Tern mer, Phys. Rev. 100, 150 A955).
53. A.C. Давыдов, Г.Ф. Филиппов, ЖЭТФ 32, 826 A957).
54. Т. Tamura, Nuovo Cimento 4, 713 A956); R. Nataf, Compt. Rend.
240, 2510 A955)! 241, 31 A955); H. J. Lip ki n, A de S h a 1 i t, I. Talmi,
Nuovo Cimento 11, 773 A955).
55. D. Inglis, Phys. Rev. 96, 1059 A954); 103, 1786 A956).
56. A. Bohr, B. Mottelson, Dan. Mat. Fys. Medd. 30, № 1 A955).
57. А. С. Давыдо в, Г. Ф. Фили и п о в, ЖЭТФ 32, 945 A957).
58. S. Moszkowski, С. Townes, Phys. Rev. 93, 306 A954).
59. R. D. Present, J. K. Knipp, Phys. Rev. 57, 751 A940).
60. R. H. Davis, A. S. D a v i a t a, D. A. L i n d, R. D. M о f f a t, Phys. Rev.
103, 1801 A956).
61. K. Alder, A. Bohr, T. Huws, B. Mottelson, A. W i n t e r, Rev.
Mod. Phys. 28, 432 A956).
62. V. Slurs, J. Me Nally, J. Opt. Soc. Amer. 44, 87 A954).
63. K. Murakama, T. Kamei, Phys. Rev. 105, 671 A957).
64. Экспериментальная ядерная физика, I, под редакцией Э. С е г р е, ИЛ, 1955.
65. Т. Н u s s, В j e r r e g a a r d, Е 11 е k, Dan. Mat. Fys. Medd. 30, № 17 A956).
66. A. Sunyar, Phys, Rev. 98, 653 A955).
67. T. H u s s, C. Z u p a n с i c, Dan. Mat. Fys. Medd. 28, № 1 A953).
68. K. Way, Phys. Rev. 55, 963 A950).
69. P. Stelson, F. Me Go wan, Phys. Rev. 99, 112 A955).

ЛИТКРАТУРА 599
70. Л. А. Слив, Л. Пек ер, Изв. АН СССР, серия физич., 17, 411 A953).
71. Н. Will and, J. В a i r, J. Kington, H. Cohn, Phys. Rev. 101,765
A956).
72. F. Ajzenberg, T. Lauritsen, Rev. Mod. Phys. 27, 77 A955).
73. G. Tauber, Phys. Rev. 99, 176 A955).
74. M. Pryce, Proc. Phys. Soc. A65, 773 A952).
75. M. G о 1 d h a b e r, A. Sanyar, Phys. Rev. 83, 906 A951); S. M о s z k о w-
ski, Phys. Rev. 83, 1071 A951).
76. F. Stephens, F. A s a r o, I. Perlman, Phys. Rev. 96, 1568A954);
100, 1543 A955).
77. G. Scharf f-Goldhaber, J. Weneser, Phys. Rev. 98, 212 A955).
78. А. С. Давыдов, Г. Ф. Филиппов, ЖЭТФ 33, 723 A957).
79. В. Паули, Общие принципы волновой механики, Гостехиздат, 1947.
80. Н. Н. Лебедев, Специальные функции и их применения, Гостехиздат,
1953.
81. А. С. Давыдов, А. А. Чабан, ЖЭТФ 33, 547 A957).
82. J. Murr а у, F. В о е h m, P. Marmier, J. Du Mond, Phys. Rev. 97,
1007 A955).
83. Б. С. Джелепов, Л. К. П е к е р, Схемы распада радиоактивных изото-
изотопов, Изд-во АН СССР, 1957.
84. Л. Д. Ландау, ЖЭТФ 7, 819 A937).
85. Я. И. Френкель, Sow. Phys. 9, 533 A936).
86. Ф. Фридман, В. В а и с к о п ф, УФН 61, 399 A957).
87. Г. Бете, Физика ядра, ч. II, Гостехиздат, 1948.
88. J. H e i d m а и, Н. В е t h e, Phys. Rev. 84, 275 A951).
89. V. Weisskopf, Phys. Rev. 52, 295 A937).
90. P. С Gugelot, Phys. Rev. 93, 425 A954).
91. P. С Gugelot, Phys. Rev. 81, 51 A951); P. Stetson, С Goodman,
Phys. Rev. 82,69 A951); B. W h i t m о г e, G. Dennis, Phys. Rev. 84,
296 A951); E. Graves, L. Rosen, Phys. Rev. 89, 343 A953).
92. E. Paul, R. Clarke, Can. J. Phys. 31, 267 A953); O. Hirzel, H. Waf-
Waffle r, Helv. Phys. Acta 20, 373 A947).
К ГЛАВЕ V
1. N. Bohr, J. Wheller, Phys. Rev. 56, 426 A939).
2. К. А. Петржак, Г. И. Флеров, ЖЭТФ 10, 1013A940); УФН, 25, 178,
1941; Phys. Rev. 58, 89 A940).
3. С. Г л е с т о н, М. Э д л у н д, Основы теории ядерных реакторов, ИЛ, 1954.
4. А. Д. Г а л а н и н, Теория ядерных реакторов на тепловых нейтронах,
Атомиздат, 1957.
5. G. Gamow, Zs. f. Phys. 51, 204 A928); 52, 496 A929).
6. R. Gurney, E. Condon, Nature 122, 439 A928); Phys. Rev. 33, 127
A929).
7. Th. Zexl, Zs. f. Phys. 81, 163 A933).
8. M. A. Preston. Phys. Rev. 71, 865 A947).
9. Л. Д. Л анд ay, Phys. Zeits. Sow. 11, 556 A937).
10. Л. Д. Ландау, Я. С. Смороди некий, Лекции по теории атомного
ядра, Гостехиздат, 1955.
11. G. Ambrosino, H. P i a t i е г, С. R. 232, 400A951); J. Devaney,
Phys. Rev. 91, 597 A953).
12. V. A. Erma, Phys. Rev. 105, 1785 A957).
13. A. Bohr, P. Froman, В. М о 11 e 1 s о n, Dan. Mat. Fys. Medd. 29, № 10
A955).
14.1. Perlman, A. Ghiorso, G. Seaborg, Phys. Rev. 77, 26A950).
15. A. G h io r so, S. Thompson, G. Higgins, B. Harvey, G. Sea-
borg, Phys. Rev. 95, 293 A954).
38*

600
ЛИТЕРАТУРА
16. Л. Л. Го ль д и н, Г. И. Новикова, Е. Ф. Третьяков, Phys. Rev.
103, 1004 A956).
17. Л. Л. Го льдин, Л. К. Пек ер, Г. Н. Новикова, УФН 59, 459
A956).
18. Л. Д. Ландау, Доклад на 6-м совещании по ядерной спектроскопии, 1956.
19. В. Г. Носов, ЖЭТФ 33, 226 A957).
'20. В. М. Струти некий, ЖЭТФ 30, 411 A956).
21. J. О. Rasmus sen, Б. Segal I, Phys. Rev. 103, 1298 A956).
22. Г. М. А д е л ь с о н-В е л ь с к и й, А. П. Б и р з г а л, А. Д. П и л и я,
Л. Л. Г о л ь д и н, К. А. Те р-М а р т и р о с я н, Доклад на 7-й Всесоюз-
Всесоюзной конференции по ядерной спектроскопии, 1957; ЖЭТФ, 35, 184 A958).
23. 1. Perl man, A. Asaro, Ann. Rev. Nuclear Sci. 4, 157 A954).
24. J. Wheeler, Proceedings of International Conference of nuclear and meson
fhysics, Glasgow, 1954.
25. Я. И. Френкель, ЖЭТФ 9, 641 A939).
26. Я. И. Френкель, J. Phys. USSR 10, 533 A946); Изв. Аи СССР, серия
физич. 10, 415 A946).
27. Я- И. Френкель, Принципы теории атомных ядер, Изд-во АН СССР, 1945.
28. G. Т. Sea b or g, Phys. Rev. 85, 157A952).
29. W. Whitehouse, W. G о 1 b r a i t h, Nature 169, 494 A952).
30. Я. Б. Зельдович, Ю. Б. Харитон, УФН 25, 381 A941).
31. P. P i e 1 d s, M. Studier, L. M a g n u s s о n, J. H u i s e n g a, Nature
174, 265 A954).
32. H. H. Колес нико в, С. И. Лари н, ЖЭТФ 28, 244 A955).
33. J. R. Huizenga, Phys. Rev. 94, 158 A954).
34. В. Н. Мсхедов, Физика деления атомных ядер, Атомиздат, 1957, стр. 181.
35. М. Stuider, J. Huizenga, Phys. Rev. 96, 545 A954).
36. R. D. Present, J. К- К n i p p, Phys. Rev. 57, 1188 A940);
R. D. Present, F. P e i n e s, J. К. К n i p p, Phys. Rev. 70, 557 A946).
37. S. Frankel, N. Metropolis, Phys. Rev. 72, 914 A947).
38. W. J. Whitehouse, Prog. Nuclear Phys. 2, 134 A952).
39. И. М. Франк, Физика деления атомных ядер, Атомиздат, 1957, стр. 58.
40. W. J. Swiatecki, Phys. Rev. 100, 936 A955).
41. В. Г. Носов, Физика деления атомных ядер, Атомиздат, 1957, стр. 52.
42. U. L. В u s i n а г о, S. G а 1 1 о n e, Nuovo Cimento I, 629 A955).
43. W. J. Swiatecki, Phys. Rev. 101, 651 A956).
44. M. G. Mayer, Phys. Rev. 74, 235 A948).
45. D. I. Hill, Phys. Rev. 98, 1272 A955).
46. D. Curie, J. Phys. et Rad. 15, 733 A954); T. D. Newton, Phys. Rev.
87, 187 A952); P. F о n g, Phys. Rev. 89, 332 A953).
47. В. В. Владимирский, ЖЭТФ 32, 822 A957).
48. J. D. Jackson, Proceedings of the symposium of the Physics of fission,
Ontario, 1956, стр. 125.
49. A. Cameron, Proceedings of the symposium of the Physics of fission,
Ontario, 1956, стр. 189.
50. В. Г. Носов, ЖЭТФ 29, 880, 1955; 31, 335A956).
51. Н. W. Koch, J. Me El hi nn ey, E. L. G a s t e i g e r, Phys. Rev. 77,
329 A950).
52. G. Baldwin, G. К 1 a i b e r, Phys. Rev. 71, 3 A947); W. О g 1 e, J. Me
Elhinney, Phys. Rev. 81, 344 A951).
53. R. B. Duffield, J. R. Huizenga, Phys. Rev., 89, 1042 A953).
54. Л. Е. Лазарева, Б. И. Г а в р и л о в, Б. Н. Валуев, Г. Н. 3 а ц е-
п и п а, В. С. Ставинский, Сессия Ан СССР по мирному использо-
использованию атомной энергии /заседание отделения физ.-матем. наук), Изд-во
АН СССР, стр. 306, 1955.
55. Л. Е. Лазарева, Н. В. Никитина, Физика деления атомных ядер,
Атомиздат, 1957, стр. 189.

ЛИТЕРАТУРА 601
56.1. Katz, Т. Kavanagh и др., Phys. Rev. 99, 98 A955); R. Schmitt,
N. Sugar maun, Phys. Rev. 89, 1155A953); 95, 1260 A954); H. G. R i с li-
lite г, С. С о г у е 1 1, Phys. Rev. 95, 1550 A954); D. H i 1J e r, D. M u r t i n,
Phys. Rev. 90, 581 A953); A. Turkevichn др., Phys. Rev. 89, 552 A953).
57. Ю. С. Замятин, Физика деления атомных ядер, Атомиздат, 1957, стр. 27.
58. I. Р е г 1 m а п, R. Goeckerman, D. Т е m р 1 е t о п. J. H о \v I a n d,
Phys. Rev. 72, 352 A947).
59. P. O'Connor, G..Seaborg, Phys. Rev. 74, 1189 A948).
60. R. Goeckrmann, I. Perlman, Phys. Rev. 76, 628 A949).
61. В. И. Гольд аи с кий, В. С. Пснкин, Э. 3. Т а р у м о в, ЖЭТФ
29, 778 A955); В. П. Ш а м о в, Физика деления атомных, ядер, Атом-
Атомиздат, 1957, стр. 129.
62. Н. С. Иванов а, Физика деления атомных ядер, Атомиздат, 1957, стр. 115.
63. Н. А. П е р ф и л о в, Физика деления атомных ядер, Атомиздат, 1957, стр. 98.
64. R. Leach man п, Phys. Rev. 101, 1005 A956).
65. J. S. Fraser, Phys. Rev. 88, 536 A954).
66. E. J. Winhold, P. T. Demos, J.Halper n, Phys. Rev. 87, 1139 A952).
67. Л. Е. Л а з а р е в а, Н. В. Никит н а, Приложение № 1 к журналу
«Атомная энергия», 1957, стр. 189.
68. A. W. Fairhall, J. Н а 1 р е г n, E. J. Winhold, Phys. Rev. 94,
733 A954).
69. В. М. С т р у т и н с к и й, ЖЭТФ 30, 603 A956).
70. О. Бор, В. М о т е л ь с о н, Проблемы современной физики 1, 205A956).
71. J. Wheeler, статья в книге Niels Bohr and the Development of Physics,
London, 1955, стр. 163.
К ГЛАВЕ VI
1. E. Fermi, Z. f. Phys. 88, 161 A934).
2. Чисн-Шиунг By, УФН 44, 558 A951); Я. Б. Зельдович, УФН 5G,
165 A955); Т. Skurme, Prog. Nuclear Phys. 1, 115 A950); E. J. Konu-
p i n s k i, L. L a n g e r, Ann. Rev. Nuclear Phys. 2, 261 A953); M. E. Rose,
Bctha-and Gamma-Ray Spectroscopy, 1955.
3.1i. Konopinski, G. Uhlenbeck, Phys. Rev. 48, 7 A935).
4. E. Konopinski, Rev. Mod. Phys. 15, 209 A943).
5. R. Marsh a k, Phys. Rev. 61, 388, 431 A942); H. В e t h e, R. В а с h e r,
Rev. Mod. Phys. 8, 94 A936).
6. H. M ah mound, E. Konopinski, Phys. Rev. 88, 1266 A952);
J. Davidson, D. P e a s 1 e e, Phys. Rev. 91, 442 A953); 91, 1332 A953); 92,
1584 A953); О. К о f о е d-Н a u s e n, A. Winter, Phys. Rev. 89, 526 A953);
R. S h e r r, R. H. Miller, Phys. Rev. 93, 1076 A954); W. E. Kreger,
Phys. Rev. 96, 1154A954).
7. M. Fierz, Zs. f. Phys. 104, 557, 1937.
8. J. B. Gerhart, R. S h e r r, Bull. Am. Soc. Ser. II 1, 195 A956).
9. L. Michel, Rev. Mod. Phys. 29, 223 A957).
10. B. R u s t a d, S. Ruby, Phys. Rev. 89, 880 A953); 97, 991 A955); A. Allen,
W. Jentschke 89, 902 A953).
11. С Wu, B. Rust ad, N. Perez-Mendez, L. Lidofsky, Phys. Rev.
87, 1140 A952).
12. VV. P. A! ford, D. R. Hamilton, Phys. Rev. 95, 1351 A954).
13. D. M a x s о n, J A 1 1 e n, W. Jentschke, Phys. Rev. 97, 109 A955).
14. W. P. A If or d, D. R. Hamilton, Phys. Rev. 105, 673A957).
15. M. L Good, E. J. Lauer, Phys. Rev. 105, 213 A957).
16. R. Sherr, Muether, White, Phys. Rev. 75, 282 A949).
17. J. Gerhart, Phys. Rev. 95, 288 A954).
18. R. Sherr, J. Gerhart, Phys. Rev. 86, 619 A952i; W. A r b e r,
P. Stahelin, Helv. Phys. Acta 26, 433 A953); R. W.' К a v a n а с h,
W. R. Mills, R. Sherr, Phys. Rev. 97, 248 A955).

602 ЛИТЕРАТУРА
19. Е. Wigner, Phys. Rev. 56, 519 A939).
20. J. Rob son, Phys. Rev. 83, 349A951).
21. R. Finkel stein, S. Moszkowski, Phys. Rev. 95, 1695 A954).
22. Я. А. Смородин ский, У Ф Н 56, 201 A955).
23. М. Mayer, S. Moszkowski, L. N о г d h e i n, Rev. Mod. Phys. 23,
315 A951); L. Nordheim, Rev. Mod. Phys. 23, 315 A951); M. Goep-
pert-Mayer, M. Goldberger, A. Sungar, Betha-and Gamma-Ray
Spectroskopy, Amsterdam, 1955, стр. 432.
24. E. Konopinski, Betha-and Gamma-Ray Spectroscopy, Amsterdam, 1955,
стр. 292.
25. A. G. Petschek, R. E. M a r s h a k, Phys. Rev. 85, 698 A952).
26. E. P 1 a s s m a n n, L. Langer, Phys. Rev. 96, 1593 A954); M. Y a m a d a,
Prog. Theor. Phys. 10, 252 A953).
27. G. Luders, Dan. Mat. Fys. Medd. 28, № 5 A954).
28. W. Pauli, Niels Bohr and the Development Physics, 1955.
29. T. Lee, С Yang, Phys. Rev. 104, 254 A956).
30. L. С Biedenharn, M. E. Rose, Phys. Rev. 83, 459 A951);
H. A. Tolhoek, S. R. de Groot, Phys. Rev. 84, 151 A951).
31. С S. W u, E. A m b 1 e r, R. W. H а у w a r d, D. D. Hoppes, R. P. H u d-
son, Phys. Rev. 105, 1413 A957).
32. Л. Д. Ландау, ЖЭТФ 32, 405 A957).
33. H. В e t h e, R. P e i r 1 s, Nature 133, 532 A934).
34. F. Reines, С Cowan, Phys. Rev. 90, 492 A953); 92, 830, 1953.
35. C. Cowan, F. Harrison, L. Langer, F. Reines, Nuovo Cimento
3, 649, 1956; Sience 124, 103 A956).
36. С. О. Muehlhause, S. О 1 e k s a, Phys. Rev. 105, 1332 A957).
37. R. Davis, Phys. Rev. 97, 766 A955); Bull. Am. Phys. Soc. 2, 219, 1956.
38. M. Goepper-Mayer, Phys. Rev. 48, 512 A935).
39. Я. Б. Зельдович, С. Ю. Лукьянов, Я. А. Смородин ский,
УФН 65, 361 A954).
40. М. Awschallom, Phys. Rev. 101, 41, 1956.
41. Л. Д. Ландау, ЖЭТФ 32, 407 A957); Nuclear Phys. 3, 127 A957).
42. A. Sal am, Nuovo Cimento 5, 299 A957).
43. Т. D. Lee, С N. Yang, Phys. Rev. 105, 1671 A957).
44. H. P о s t m a, W. H u i s k a m p, A. M i e d m a, R. Steenband,
H. Tolhoek, С Gorter, Physica 23,259 A957); A. Amber, R. Hay-
war d, D. Hoppes, R. Hudson, С W u, Phys. Rev. 106,1361A957).
45. R. G a r w i n, L. Lederman, M. W e i n r i с h, Phys. Rev. 105, 1415 A957).
46. J. I. Friedman, V. Telegdi, Phys. Rev. 105, 1681 A957).
47. И. М. Шмушевич, ЖЭТФ 33, 1477 A957).
К ГЛАВАМ VII-VIII
1. Л. Пузиков, Р. Рыидин, Я. Смороди некий, ЖЭТФ 32, 592 A957).
2. J. Blatt, J. Jackson, Phys. Rev. 76, 18 A949).
3. P. Huber, E. Baldinger, Helv. Phys. Acta 25, 435 A952).
4. L. Wolfenstein, J. Ash kin, Phys. Rev. 85, 947 A952).
5. Л. Д. Ландау, Я- А. См о р о дин ск и й, ЖЭФТ 14, 269 A944).
6. Н. Be the, Phys. Rev. 76, 38 A949).
7. E. M e 1 k о n i a n, Phys. Rev. 76, 1744 A949).
8. E. L a m p i, G. Fr e i e r, J. Williams, Phys. Rev. 80, 853 A950).
9. H. Мотт, Г. Месси, Теория атомных столкновений, ИЛ, 1951.
10. Е. Уиттекер, Г. Ватсон, Курс современного анализа, Гостехиздат,
1934.
11. J. Jackson, J. Blatt, Rev. Mod. Phys. 22, 77 A950).
12. G. Breit, Rev. Mod. Phys. 23, 238 A951).
13. R. S. С h r i s t i a n, H. P. N о у е s, Phys. Rev. 79, 85 A950).

ЛИТЕРАТУРА 603
14. W. Pan of sky, F. Filmore, Phys. Rev. 79, 57 A950);
Cork, Johnston, Richman, Phys. Rev. 79, 71 A950);
F. Fill more, Phys. Rev. 83, 1252 A951).
15. J. L. Ynetema, M. G. White, Phys. Rev. 95, 1226 A954).
16. R. Sutton, T. Hall, E. Anderson и др., Phys. Rev. 12, 1147 A947).
17. E. F e r m i, L. Marshall, Phys. Rev. 71, 666 A947).
18. R. Glauber, V. Schomaker, Phys. Rev. 89, 667 A953).
19. Ning Hu, Phys. Rev. 74, 131 A948).
20. А. И. Базь, ЖЭТФ 33, 923 A957).
21. H. H. Landon, V. L. Sailor, Phys. Rev. 93, 1031 A954).
22. H. Taylor, O. Lonsjo, T. Bonner, Phys. Rev. 94, 807 A954).
23. N. Bohr, Nature 137, 344, 350 A936); УФН 16, 425 A936); Nature 141, 326
A938).
24. A. Lane, С Wand el, Phys. Rev. 98, 1524 A955).
25. H. Feshbach, V. Weiskopf, Phys. Rev. 76, 1550 A949).
26. S. H a r r i s, G. M u e h 1 h a u s e, G. Thomas, Phys. Rev. 79, 11 A950).
27. F. В loch, M. Hill, J. В г о g 1 e s, W. Bouricins, G i br e i t, Phys.
Rev. 80, 553 A950); Rev. Mod. Phys. 23, 147 A951).
28. H. Be the, G. P 1 а с z e k, Phys. Rev. 51, 450 A937).
29. M. Бори, Оптика, ГНТИУ, 1937, § 93.
30. W. Lamb, Phys. Rev. 55, 190 A939).
31. F. Seidel, D. Hughes, H. Palevsky, J. Levin, W. К a to,
N. Sjostrand, Phys. Rev. 95, 476 A954); Melkonian, Havens,
Rainwater, Phys. Rev. 92, 702 A953).
32. D. Hughes, R. С Garth, J. Levin, Phys. Rev. 91, 1423 A953).
33. J. Heidman, H. Be the, Phys. Rev. 84,275 A951).
34. E. P. Wigner, L. E i s e n b a d, Phys. Rev. 72, 29 A947).
35. E. P. Wigner, Phys. Rev. 73, 1002 A948).
36. Т. Т e i с h m a n n, Phys. Rev. 77, 506 A950).
37. E. P. Winger, Phys. Rev. 70, 606 A946).
38. Г. А. Бете, Физика ядра, ч. II, Гостехиздат, 1948.
39. R. G. Thomas, Phys. Rev. 97, 224 A954).
40. H. Feshbach, С. Porter, V. Weisskopf, Phys. Rev. 96, 448 A954).
41. R. Carter, J. H a r k e y, D. Hughes, V. P i 1 с h e r, Phys. Rev. 96, 113
A954).
42. L. В о 11 i n g e r, R. Cote, J. L e Blanc, Bull. Am. Phys. Soc. 30 A), 23,
1955.
43. D. С. Ре as lie, Ann. Rev. Nuclear Sci. 5, 99 A955).
44. J. В 1 a 11, L. В i d e n h a r n, Rev. Mod. Phys. 24, 258 A952).
45. С N. J a ng, Phys. Rev. 74, 764 A948).
46. F. В loch, Phys. Rev. 50, 259 A936); 51, 994 A937); H. Hughes, J.Wal-
J.Wallace, R. Holtzmann, Phys. Rev. 73, 1277 A948).
47. A. A d a i r, S. D a r d e n, R. F i e 1 d s, Phys. Rev. 96, 503 A954).
48. A. Okazaki, Phys. Rev. 99, 55 A955).
49. J. Sch winger, Phy-. Rev. 69, 681 A946).
50. P. H u b e г, Е. В a 1 d i n g e r, Helv. Phys. Acta 25, 435 A952).
51. L. Lepore, Phys. Rev. 79, 137 A950).
52. J. Seagrawe, Phys. Rev. 92, 1222 A953).
53. W. Kreger, W. Jentshke, P. Kruger, Phys. Rev. 93, 837 A954).
К ГЛАВАМ IX и X
1. J. S с h w i n d e г, В. A. Lippmann, Phys. Rev. 79, 469 A950).
2. M. N. Hack, Phys. Rev. 96, 196 A954); T. Imamura, Prog. Theor. Phys.
18, 51 A957).
3. M. Gell-Mann, M. G о 1 d b e r g e r, Phys. Rev. 91, 398 A953).
4. F. С о e s t e r, M. H a m e r m e s h, K- T a n a k a, Phys. Rev. 96, 1142 A954).

604 ЛИТЕРАТУРА
5. G. Breit, P. Zilsel, Phys. Rev. 71, 232 A947).
6. А. С. Давыдов, Д. М. Мельниченко, ЖЭТФ 32, 941 A957).
7. В. A. Lippmann, Phys. Rev. 102, 264 A956).
8. W. L a k i n, Phys. Rev. 98, 139 A955).
9. R. Oehme, Phys. Rev. 98, 147 A955); 98, 216, A955).
10. L. \V о 1 f e n s t e i n, J. A s h k i n, Phys. Rev. 85, 947 A952).
11. L. Wolfe n stein, Phys. Rev. 96, 1654 A954).
12. О. Д. Чейшвили, ЖЭТФ 30, 1147 A956); 32, 1240 A957).
К Г Л А В Е XI
1. R. Dalitz, Phys. Rev. 95, 799 A954).
2. D. Wilkinson, Phil. Mag. 44, 450 A953); D. W i 1 k i n s о n, G. J о n e s,
Phil. Mag. 44, 542A953); D. Wilkinson, Phil. Mag. 44, 1019,A953);
D. Wilkinson, А. С 1 e g g, Phil. Mag. 44, 1269, 1322 A953).
3. M. Mac Donald, Phys. Rev. 98, 60 A955).
4. M. D e 1 b r u с k, G. G a m о w, Zs. f. Phys. 72, 492 A931).
5. H. Bethe, Rev. Mod. Phys. 9, 222 A937).
6. M. Golghaber, J. Wenesser, Ann. Rev. Nuclear Sci. 5, 1 A955).
7. V. Weisskopf, Phys. Rev. 83, 1073 A951).
8. D. Wilkinson, Physica 22, 1039 A956).
9. H. Taylor, N. Mott, Proc. Roy. Soc. A138, 665 A932).
10. А. С. Давыдов, ЖЭТФ 10, 865 A940).
11. В. Б. Бе реет едкий, диссертация, Институт физических проблем АН
СССР 1948.
12. Н. Н и 1 m е, Proc. Roy. Soc. А138, 643 A932); М. Н е b b, G. U h 1 е n b e с k,
Physika 5, 605 A938); S. Dancoff, Morrison, Phys. Rev. 55, 122 A939);
В. Б. Берест едкий, ЖЭТФ 17, 12 A947); 18, 1057 A948); N. T г а 1 1 i,
G. G о e r t z e 1, Phys. Rev. 83, 399 A951); S с h a r f о г t h, Hclv. Phys. Acta
21, 499 A948); S. Drell, Phys. Rev. 75, 132 A949).
13. Л. А. Слив, ЖЭТФ 21, 770 A951); 22, 29 A952).
14. E. Church, J. Weneser, Phys. Rev. 104, 1382A956).
15. Л. В. Грош ев, И. С. Шапиро, Спектроскопия атомных ядер, Гостсхиз-
дат, 1952.
16. Б. В. К у р ч а т о в, И. В. Курчатов, Л. В. М ы с о в с к и й, Л. И. Ру-
синов, Compt. Rend. 20, 1201 A935); И. В. Курчатов, Л. И. Русинов,
Юбилейный сборник АН СССР, ч. 1, 285, Изд-во АН СССР, 1947.
17. М. И. Коре v некий, Изомерия атомных ядер, Гостехиздат, 1954.
18. Е. Segre, А. Н е 1 m h о 1 z, Rev. Mod. Phys. 21, 271 A949); УФН 45, 357 A951).
19. С. F. Weizsacker, Naturwiss. 25, 284 A937).
20. A. Bohr, B. Mottelson, Dan. Mat. Fys. Medd. 27, 16 A953).
21. А. С. Давыдов, ЖЭТФ 29, 75 A955).
22. D. F a 1 k о f f, G. U h 1 e n b e с k, Phys. Rev. 79, 323 A950).
23. A. 3. Долги нов, ЖЭТФ 23, 494 A952).
24. L. Biedenharn, M. Rose, Rev. Mod. Phys. 24, 249 A952).
25. H. Fraunf elder, Ann. Rev. Nuclear Sci. 2, 129 A953).
26. D. Hamilton, Phys. Rev. 58, 122 A940).
27. D. Falkoff, Phys. Rev. 82, 98 A951).
28. D. Ling, D. Falkoff, Phys. Rev. 76, 1639 A949).
29. E. Fermi, Phys. Rev. 48, 570 A935).
30. Л. В. Гроше в, А. М. Демидов, Доклад на 7-м совещании по ядерной
спектроскопии, 1957.
31. Е Me s serve у, Phys. Rev. 96, 1006 A954).
32. В. В. Kinsey, G. A. Bartholomew, Can. J. Phys. 31, 537A953);
B. B. Kinsey, G. A. Bartholomew, W. H. Walker, Can. J. Phys.
31, 1 A953); Phys. Rev. 83, 519 A951); 85, 1012 A952).
33. В. В. Kinseyj G. Bartholomew, Phys. Rev. 93, 1260 A954).

ЛИТЕРАТУРА 605
34. Л. В. Г р о ш е в, Б. П. А д ь я с е в и ч, А. М. Демидов, Доклад на меж-
международной конференции по мирному использованию атомной энергии,
Женева, 1955.
35. Б. П. А д ь я с е в и ч, Л. В. Гроше и, А. М. Демидов, Доклад на сессии
АН СССР по мирному использованию атомной энергии, 1—5 июля 1955 г.
36. Б. П. Адьясевич, Л. В. Гр о ш е в, А. М. Демидов, Атомная энер-
энергия 2, 28, 40 A956),
37. И. В. Э с т у л и н, Л. Ф. К а л и н к и н, А. С. М е л и о р а н с к и и, ЖЭТФ
31, 886 A956); 32, 978 A957).
38. L D. Roberts, S. В е г u s t e i n, J. D a b b s, С Stanford, Phys. Rev.
95, 105 A954).
39. E. R. Rac, Physica 22, 1131 A956).
40. С W e 11 e r, J. Grosskzeutz, Phys. Rev. 102, 1149 A956); A. Lithe-
land, E. Paul, G. Bartholomew, H.Gove, Phys. Rev. 102, 208 A956).
41. M. Go 11-Mann, V. Telegdi, Phys. Rev. 91, 169 A953).
42. H. E. Johns, R. S. Horslcy, A. Q и i n t о n, Phys. Rev. 84, 856 A956).
43. L. К a t z, R. H a s 1 a m, R. H о z s 1 e y, A.Cameron, R. Moutal betti,
Phys. Rev. 95, 464 A954); J. Go Idem berg, L. Katz, Phys. Rev. 95, 471
A954); R. Wilson, Phys. Rev. 104, 1424 A956).
44. D. Bun bury, Ptoc. Phys. Soc. A67, 1006 A954).
45. А. Б. Миг дал, ЖЭТФ 15, 81A945).
46. M. Goldhaber, E. Teller, Phys. Rev. 74, 1046 A948).
47. H. Stein wedel, J. J e n s e n," Zs. f. Naturforsh 5a, 413 A950).
48. M. Ferentz, M. Gell-Mami, D. P i n e s, Phys. Rev. 92, 836 A953).
49. M. Toms, W. Stephens, Phys. Rev. 98, 626 A955).
50. J. Levinger, H. В е t h e, Phys. Rev. 78, 115 A950).
51. К. А. Те р-М а р т и р о с я н, ЖЭТФ 22, 284 A952).
52. W. Franz, Zs. f. Phys. 98, 314 A935).
53. J. L. Burkhardt, Phys. Rev. 100, 192 A955).
54. E. G. Fuller, E. Hay ward, Phys. Rev. 94, 732 A954); 95, 1106 A954).
55. P. В уд, Физическая оптика, ОНТИ, 1936.
56. К. Mai mf or о s, Ark, f. Phys. 6, 49 A952).
57. F. Metzger, W. T о d d, Phys. Rev. 94, 853 A954).
58. F. Metzger, Phys. Rev. 97, 1258 A955).
59. P. Moon, A. Storruste, Proc. Phys. Soc. 66, 585 A953).
60. H. Делягин, В. Ш п и и е л ь, Тезисы докладов 7-го совещания по ядер-
ядерной спектроскопии, Изд-во АН СССР, 1957, стр. 42.
61. Н. Бургов, Ю. Терехов, Тезисы докладов на 7-м совещании по
ядерной спектроскопии, Изд-во АН СССР, 1957, стр. 41.
62. F. Metzger, Phys. Rev. 101, 286 A956); 103, 983 A956).
63. К. I 1 а к о v а с, Р. М о о n, Phys. Rev. 93, 254 A954); К- I I a k о v а с, Ргос.
Phys. Soc. A67, 601 A954).
64. Б. С. Д ж е л е п о в, УФН 62, 3 A957).
65. М. G е 11-М a n n, M. L. G о 1 d b e r g e r, W. Е. Т i r r i n g, Phys. Rev.
95, 1612 A954).
66. А. М a n n, W. Stephens, D. W i 1 к i n s о n, Phys, Rev. 97 1184 A955).
67. Ю. К. Хохлов, ЖЭТФ 26, 576 A954); ДАН 97, 703 A954); ЖЭТФ 32,
124 A957); диссертация ФИАН СССР, 1957.
К ГЛАВАМ XII—XIV
1. W. M. Elsasser, Compt. Rend. 202, 1029 A936).
2. G. С. Wick, Phys. Zs. 38, 403, 689 A937).
3. E. F e r m i, L. Ma r s h a 11, Phys. Rev. 71, 666 A947).
4. И. Я. Померанчук, Phys. Zs. Sow. 13, 65 A938).
5. R. We in stock, Phys. Rev. 65, 1 A944).
6. А. Ахиезер, И. Помер а и чу к, ЖЭТФ 17, 769 A917).

606 ЛИТЕРАТУРА
7. G. Placzek, Nijboer, L. van Hove, Phys. Rev. 82, 392 A951);
J. M. С a s s e 1 s, Proc. Roy. Soc. A208, 527 A951); G. Placzek, L. Van
Hove, Phys. Rev. 93, 1207 A954).
8. E. Fermi, Ric. Sci. 1, 13 A936).
9. V. Weiss kopf, Helv. Phys. Acta 23, 187 A950).
10. H. Feshbach, С. Е. Porter, V. Weiss kopf, Phys. Rev. 90, 166,
1953; 91, 453 A953).
11. H. Feshbach, С. Е. Porter, V. W e i s s к о р f, Phys. Rev. 96, 448 A954).
12. A. K. Ad air, Phys, Rev. 94, 734 A954).
13. К. М. Watson, Phys. Rev. 89, 575 A953).
14. С Francis, K. Watson, Phys. Rev. 92, 291 A953).
15. К. А. В r u e с к u e г, С A. Levinson, A. M. M a h о u n d, Phys. Rev. 95,
217 A954).
16. В. М. Агранович, А. С. Давыдов, ЖЭТФ 32, 1429 A947).
17. W. Walt, H. Bars ch a 11, Phys. Rev. 94, 81 A954).
18. D. M. Chase, F. Rohrlich, Phys. Rev. 94, 81 A954).
19. П. Э. Немировский, ЖЭТФ 30, 551 A946); 32, 1141 A957); диссерта-
диссертация, ФИАН СССР, 1957; Z. Jankovic, Phil. Mag. 46, 376 A955); Mor-
Morrison, Muirherd, Murdoch, Phil. Mag. 46, 795 A955); В urge,
Fujimoto, Hussiain, Phil. Mag. 1, 19 A956).
20. M. A. M e 1 k a n о f f, S. A. M о s z k о w s k i, J. N о d v i k, D. S. S a x о n,
Phys. Rev. 101, 507 A956).
21. D. Saxon, R. Wood, Phys. Rev. 95, 577 A954).
22. F. E. Bjorklund, S. F e r n b а с h, N. Sherman, Phys. Rev. 101,
1832 A956).
23. H. A. Bethe, Phys. Rev. 103, 1353 A956).
24. K. A. Brueckner, Phys. Rev. 96, 908 A954); 97, 1353 A955).
25. A. M. Lane, С F. W a n d e 1, Phys. Rev. 98, 1524 A955).
26. A. M. Lane, R. G. Thomas, E. P. Wigner, Phys. Rev. 98, 693A955).
27. J. H e i d m a n n, H. Bethe, Phys. Rev. 84, 275 A951).
28. R. Britten, Phys. Rev. 88, 283 A952).
29. R. Ei sen berg, G. I g o, Phys. Rev. 93, 1039 A954).
30. L. Rosen, L. Steawart, Phys. Rev. 99, 1052 A955).
31. E. Graves, L Rosen, Phys. Rev. 89, 343 A953); R. Gugelot, Phys.
Rev. 93, 425 A954); E. P. P a u 1, R. L. С 1 a r k e, Can. J. Phys. 31, 267 A953).
32. B. Cohen, Phys. Rev. 92, 1245 A953); 98, 49 A955).
33. N. A u stern, S. Butler, H. M. с Manus, Phys. Rev. 92, 350 A953).
34. G. Schrank, P. Gugelot, I.Dayton, Phys. Rev. 96, 1156 A954).
35. E. M. Лифшиц, ЖЭТФ 8, 930 A938); Л. Ландау, Е. М. Лифшиц,
ЖЭТФ 18, 750 A948); S. Dancoff, Phys. Rev. 72, 1017 A947).
36. J. О p p e n h e i m e r, M. Phillips, Phys. Rev. 48, 500 A935).
37. H. Bethe, Phys. Rev. 53, 39 A938); G. Valkoff, Phys. Rev. 57, 866
A940); D. Peas lee, Phys. Rev. 74, 101 A948).
38. S. T. Batler, Proc. Roy. Soc. A208, 559 A951).
39. R. Huby, Nature 166, 552, 1950; Proc. Roy. Soc. A215, 385 A952).
40. F. L. Friedman, W. Tobockman, Phys. Rev. 92, 93 A953).
41. N. Au stern, Phys. Rev. 89, 318 A953).
42. E. Gerjuoy, Phys. Rev. 91, 645 A953).
43. P. B. Daitsch, J. B. French, Phys. Rev. 87, 900 A952).
44. А. Г. Ситенко, ЖЭТФ 31, 636 A956); Украинский физический журнал 2,
3 A957).
45. А. В. Bhatia, К. Huang, R. Huby, N. N е w n s, Pail. Mag. 43,
485 A952).
46. R. Serber, Phys. Rev. 72, 1008 A947).
47. D. Pea si e, Phys. Rev. 74, 1001 A948).
48. J. Yoccoz, Compt. Rend. 236, 587 A953); Proc. Phys. Soc. A67, 813 A954).
49. K. A. T e p-M a p т и р о с я н, ЖЭТФ 29, 713 A955).

ЛИТЕРАТУРА 607
50. N. С. Newns, Proc. Phys. Soc. A401, 477 A953).
51. J. Horowitz, A. Messian, J. Phys. radium 14, 731 A953).
52. W. B. Cheston, Phys. Rev. 96, 1590 A954).
53. P. H i 1 1 m a n, Phys. Rev. 104, 176 A956).
К ГЛАВЕ XV И ПРИЛОЖЕНИЯМ
1. Н. Be the, G. P 1 а с z e к, Phys. Rev. 57, 1125 A940).
2. А. И. Ахиезер, А. Г. Ситенко, Phys. Rev. 106, 1236 A957); ДАН 107,
385 A956).
3. А. И. Ахиезер, И. Я. Померанцу к, ЖЭТФ 16, 396 A946ч
4. А. И. Ахиезер, И. Я. Померанчук, УФН 39, 153 A949).
5. Л. Д. Ландау, И. Я. Померанчук, ЖЭТФ 24, 505 A953); ДАН 96,
265 A954).
6. И. Я. П о м е р а н ч у к, Е. Л. Ф е й н б е р г, ДАН 93, 439 A953).
7. Е. Л. Ф е й н б е р г, ЖЭТФ 29, 115 A955).
8. А. И. Ахиезер, А. Ситенко, Ученые записки Харьковского универ-
университета 64, 9 A955).
9. R. Glauber, Phys. Rev. 99, 1515 A955).
10. S. Fern bach, R. Serber, T. Taylor, Phys. Rev. 75, 1352 A949).
11. R. Jastrow, Phys. Rev. 82, 261 A951).
12. A. van der V e g t, С С. J о n k e r, Physica 23, 359 A957).
13. J. Wowler, J. Broil ey, Rev. Mod. Phys. 28, 103 A956).
14. В. П. Джелепов, В. Л. Сатаров, М. М. Головин, ДАН 104,
717 A955).
15. G. F. Chew, Phys. Rev. 80, 196 A950).
16. G.F.Che w, G. С Wick, Phys. Rev. 85, 636 A952); G. F. Chew,
M. L. G о 1 d b e r g e r, Phys. Rev. 87, 778 A952).
17. K. Brueckner, R.Eden, N. Francis, Phys. Rev. 98, 1445 A955).
18. M. Sachs, Phys. Rev. 103, 671 A956).
19. E. Fermi, Prog. Theor. Phys. 5, 570 A950); Phys. Rev. 81, 683, 1951;
УФН 46, 71 A952).
20. R. Mulburn, Rev. Mod. Phys. 27, 1 A955).
21. G. M. Frye, J. L. Rosen, L.Stewart, Phys. Rev. 99, 1375 A955).
22. E. Кондон, Г. Шор тли, Теория атомных спектров, ИЛ, 1949.
23. И. Г е л ь ф о н д, 3. Шапиро, УМН 7, 3 A952).
24. В. Сорокин, ЖЭТФ 18, 228 A948).
25. В. Б. Б е р е с т е ц к и й, А. Д о л г и н о в, К. Те р-М артиросян,
ЖЭТФ 20, 527 A950).
26. В. И. Петрашень, ДАН 46, 291 A945).
27. В. Б. Б е р е с т е ц к и й, ЖЭТФ 17, 12 A947).
28. Е. W i g n e r, Gruppentheory and ihre Anwendungen auf die Quantenme-
chanik der Atomspectren, Braunschweig, 1931.
29. G. Racah, Phys. Rev. 62, 438 A942); 63, 367 A943).
30. И. E. T а м м, Ю. А. Гольфанд, В. Я. Файнбер г, ЖЭТФ 26, 649 A954).
31. В. И. Рит у с, ЖЭТФ 27, 660 A954); 32, 1536 A957); 33, 1264 A957).
32. Ю. А. Гольфанд, ЖЭТФ 31, 224 A956).
33. Ю. И. Кулаков, ЖЭТФ 33, 501 A957).
34. L. С. Biedenharn, J. Blatt, M. Rose, Rev. Mod. Phys. 24, 249 A952).
35. В. Паули, Общие принципы волновой механики, Гостехиздат, 1947.
36. А. И. А х и е з е р, В. Б. Берестецкий, Квантовая электродинамика,
Гостехиздат, 1953.
37. L. L. Foldy, S. A. Wouthaysen, Phys. Rev. 78, 29 A950); В. Kursu-
noglu, Phys. Rev. 101,1419A956); J. Sucher, Phys. Rev. 103, 468A956).
38. S. Sack, L. С Biedenharn, G. Breit, Phys. Rev. 93, 321 A954).

предметный указатель
Абсолютно иекогерентное рассеяние
469
Аксиальное (псевдоскалярное) взаимо-
взаимодействие 166
Аксиально симметричные ядра 69
Альфа-дсйтронная модель 65
Амплитуда рассеяния 199, 217
— — потенциального 258, 298
— — резонансного 258, 298
— реакции 308
Антинейтрон 14
Антипротон 12, 13
Асимметрия деления 143
Базисные векторы обратной решетки
444
— — прямой решетки 444
Базисная система спиновых матриц 358
Борцовское приближение 199
— — в теории реакций срыва 518
Брейта—Вигнера формулы 260,276, 277
Векторное взаимодействие 166
Векторные сферические функции 555,
556
Вектор обратной решетки 444
— поляризации 316, 360, 364
Виртуальные возбужденные состоя-
состояния 104, 105, 210"
Внешние нуклоны 83
Внутренний кьадрупольный момент
ядра 96, 98
— мультииольный электрический мо-
момент 577
Внутренняя конверсия 393
— четность 31
относительная 31
Волновые функции симметричного
волчка 560
Вспомогательная функция, /?-.матрица
294
Гамова—Теллера правила отбора 168
Ппхсовский потенциал 222
Гейгера—Неттола закон 132
Гигантский резонанс 149, 423
Гидродинамическая модель ядра 70, 74
Гипотеза Бора о распаде составного
ядра 261, 266, 299
— зарядовой независимости ядерных
сил 26
График Кюри 170
Дважды магические ядра 49
Двойной jj-распад 186
Двугорбая кривая 142
Двукратное упругое рассеяние 373
Двукратно запрещенные 3-переходы
167
Дейтрон 33
Детальное равновесие 246
Дираковски-сопряженная функция 585
Дисперсионные соотношения 251
— формулы 260
Дифракционное рассеяние 525
Диффузное рассеяние анизотропное
449"
— — изотропное 449
Длина рассеяния 219, 220, 231 438
439, 440
— — когерентного 442, 443, 449
эффективная 441
— свободного пробега нейтрона в
ядерном веществе 532, 534, 535
Длинноволновое приближение 382
Допплеровское уширение уровней 277
Допплеровская ширина 278
Единица приведенной вероятности пе-
перехода 387
Зависимость оптического потенциала
от энергии 490
Закон l,v 253, 268
— Гейгера—Неттола 132
Закрытые каналы реакции 289
Запаздывающие нейтроны 154
Запрещенные ^-переходы 178

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
609
Зарядовая переменная 23
Зарядовое пространство 25
Зарядово-сонряженные волновые
функции 587
Зарядовые мультиплеты 27
Затрудненные Р-псреходы 178
Зеркальные ядра 46
Изменение изотопического спина при
электромагнитных переходах 381
Изобары 11
Изомерные ядра 400
Изотопическая нскогерентность 448
Изотопический спин ядра 46
Изотопы 11
Импульсное приближение 536
Каналы реакции 240
Капельная модель ядра 70
Квазимолекулярная модель ядра 84
/(-запрещенные переходы 405
/(-захват 191
Классический порог деления 142
Клсбша — Жордана коэффициенты
,151, 552
Когерентное упругое рассеяние ней-
нейтронов 469, 477, 478
Коллективные и одночастичные воз-
возбуждения 107
Комбинированная инверсия 184
Компаунд-система 116
— ядро 116
Комплексная потенциальная энергия
481
Комплексный показатель преломления
ядерного вещества 472
Комптоновское рассеяние г-квантов
433
Комптон-эффект на нуклонах 435
Конфигурация атомного ядра 59
Коэффициент внутренней конверсии
394
— отражения нуклонов 272, 275
— поглощения нейтронных волн 468,
471
— прилипания 302, 305
— прохождения нуклонов 272, 275
Коэффициенты векторного сложения
551, 552
— Рака 572
Кулоновское возбуждение ядер 428
Лабораторная система отсчета 193
Магические числа 49
Магнитное мультиполыюе излучение
379, 380, 557, 558
Массовое число 11
Матрица кулоновского рассеяния 314
— плотности спиновых состояний
входного канала 352
— — — — выходного канала 364
— рассеяния S 204, 239
Т 327
Метастабильные состояния ядер 39Э
Миллеровские индексы 445
Множественное излучение фононов
464, 465
Модель абсолютно черного ядра 265,
267
— принудительного вращения 91
Момент инерции ядра в гидродинами-
гидродинамическом приближении 79, 81
— — — — модели принудительного
вращения 94
Нейтрон 11
Некогерентное упругое рассеяние 477
Нсупругое рассеяние нейтронов кри-
кристаллами 457
— — нуклонов ядрами 235
Нормальные разрешенные переходы
177
Нормированная присоединенная функ-
функция Лежандра 564
Нуклон 11
Нуклонный заряд 14
Облегченные или сверхразрешенные
р-переходы 176
— переходы в я-распаде 135
Обобщенные сферические функции
560
Обобщенный принцип Паули 28
Однократно запрещенные ^-переходы
167
Оператор квадрата момента симмет-
симметричного волчка 559
— обращения времени 244
— опрокидывания спина 555
— Тамма 566
— электрического квадруполыюго
момента 576 _ _
Опиенгеймера — Филипса процесс 50о
Оптическая модель ядерных взаимо-
взаимодействий 472
— теорема 201
Основное состояние ядра 15
Парциальная ширина 103
Первое возбужденное состояние чет-
но-четных ядер 73
Период полураспада 129

610
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Показатель преломления нейтронных
волн в кристалле 468, 471
— преломления ядерного вещества 480
Поляризация в реакциях срыва 522
Пороговая энергия деления 128, 142
Пороговые ядерные реакции 254
Порог реакции 238
— фотоядерной реакции 423
Постоянная распада 248
Потенциал магнитного мультиполя557
— сил Майорана 41
— электрического мультиполя 557
Потенциальная энергия Саксона и
Вуда 483
Правила векторного сложения 550
— отбора Гамова — Теллера 168
для мультиполыюго излучения
379, 380
— — по изотопическому спину 421,
422
Ферми 168
Правило интервалов 82
— сумм в теории реакций 301
— — для поглощения -у"ква11Т°в 426
Приближение Ферми 342
Приведенная вероятность магнитного
перехода 384
электрического перехода 383
— ширина 260, 271, 299
Приведенный изотонический спин 58
Продольно поляризованные нейтрино
187
Проекционный оператор нейтрона 24
протона 24
Произведение сферических функций
563
Произведения обобщенных сфериче-
сферических функций 562
Проницаемость 264, 274, 291
Пространство изотопического спина 25
Протон 11
Процесс Оппенгеймера — Филипса 505
Прямое произведение матриц 361
Прямой ядерный распад 543
Прямые взаимодействия 500
Псевдопотенциал Ферми 451
Радиационная ширина 103
Радиус канала реакции 256, 289
— ядра 16
Разрешенные Р-переходы 167
Реакции захвата или подбирания 506
— срыва 505
Резонансная энергия 258
Релеевское рассеяние -^-квантов 433
Роль диффузности границы ядра
483
Сечение когерентного рассеяния 441,
442
— некогерентного рассеяния 441
— образования составного ядра 304
Силовая функция уровня 302, 304
Силы Бартлета 41
— Вигнера 41
— Гейзенберга 41
— Майорана 41
— Сербера 43
Синьорити 58
Система уравнений многократного
рассеяния 470
— центра инерции 193
Скалярное взаимодействие 166
Соотношение треугольника 380, 550,
564
— унитарности для амплитуды рас-
рассеяния 201, 202
Составное ядро 116
Спиновая некогерентность 442
— функция 547
Спин-орбитальное взаимодействие 52,
590
Спин-тензоры 355
Спин-угловая функция 552, 554
Спин ядра 18
Спонтанное деление 137, 138
Статистическая теория испускания
нейтронов 120, 121, 122
Степень поляризации 317
Структурный фактор 444
Сферические функции 546
Сферическая функция Бесселя 273
— — Неймана 273
Схемы Юнга 57
Тензорное взаимодействие 166
Тензорные операторы 565
Тензорный потенциал 38
Теорема взаимности 245
— Людерса—-Паули 181
— оптическая 201
Теория испарения 424
Тепловой эффект реакции 237
Тепловые нейтроны 438
Томсоновское рассеяние т~квантов
ядрами 433, 434
Тормозное излучение 421
Уникальные запрещенные (i-nepexo-
ды 178
Упругое рассеяние нуклонов 197, 235
— резонансное рассеяние f"KBailT0B
433, 434, 435
Условие устойчивости ядер 73
Условия Брегга 445

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
611
Условная вероятность распределения
ядер 471
Фазовые смещения 204
Фазовый анализ сечений рассеяния
205
Форма разрешенного ^-спектра 169
Формулы Брейта — Вигнера 260, 276,
277
Фотоядерные реакции 421
Функции Вигнера 561
Функция возбуждения реакции 237
Холодные нейтроны 438
Четность состояний системы двух ну-
нуклонов 31
Ширина резонансного уровня 260
Эйнштейновский кристалл 464
Эквивалентные нуклоны 57
Экзотермическая реакция 238
Электрические монопольные переходы
398 '
Электрическое мультипольное излуче-
излучение 379, 380, 558
Эмиссионное деление 153
Эндотермическая ядерная реакция 238
Энергия вращения ядер 89
— связи ядра 15
— седловой точки 142
Эрмитовская матрица реакцич 335
Эффективная длина рассеяния 441
— масса нуклона 489
Эффективный радиус действия ядер-
ядерных сил 220
дейтрона 34
— электрический заряд нуклона 385
Юкавы потенциал 222
Ядерное гиромагнитное отношение 20
Ядерные мультиплеты 417
Ядерный заряд 14
— магнетон 19
— псевдопотенциал 450

Александр Сергеевич Давыдов
Теория атомного ядра
Редактор Е. Е. /Каботпнский
Техн. редактор Н. Я- Мурашова
Корректор Е. Л. Велицкая
Сдано в набор 31 V 1958 г.
Подписано к печати IX 1958 г. Бумага 60Х92'/,„.
Физ. печ. л. 38,23. Условн. печ. л. 38,23.
Уч.-изд. л. 38.55. Тираж 12 000. Т-08263.
Цена книги 13 р. 53 к. Заказ № 1991.
Государственное издательство
физико-математической литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданов
Московского городского Совнархоза.
Москва, Ж-54, Валовая, 28.