/
Автор: Каленков С.Г. Соломахо Г.И.
Теги: механика физика практикум теория колебаний учебное пособие для студентов
ISBN: 5-06-001009-0
Год: 1990
Текст
/Г. 07-/О 0^C>^O
С. Г. Кал ен ков, Г. И.Соломахо
Практикум по физике
МЕХАНИКА
Под редакцией А. Д. Гладуна
Допущено
Государственным комитетом СССР по народному образованию в качестве учебного пособия для студентов высших технических учебных заведении
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1990
ББК 22.314 К17
УДК 531/534
Рецензенты:
В. К. Петерсон (кафедра обшей физики физического факультета ЛАГУ им. М. В. Ломоносова); кафедра физики Московского института электронной техники (зав. кафедрой — проф. В. И. Мурыгин)
* омского университет а
Каленков С. Г., Соломахо Г. И.
К17 Практикум по физике. Механика: Учеб, пособие для студентов вузов / Под ред. А. Д. Гладуна. — М.: Высш, шк., 1990.— 111 с. ил.
ISBN 5-06-001009-0
Пособие является первой частью типового лабораторного практикума для технических вузов. В нем приведены описания работ по динамике поступательного и вращательного движений и механическим колебаниям. В каждой работе сформулированы задания, в которые входит экспериментальная проверка приближе ний. сделанных при выводе формул, а в конце работ предлагаются задачи, пред назначенные для разбора на семинарах. Особенность пособия заключается в том. что оно разработано под комплекс приборов, созданных НПО «Сокпвузприбор» и изготовляемых промышленностью. В работах с использованием современных измерительных приборов проводится анализ моделей изучаемых физических процессов и определяются пределы точности проводимых измерений.
1604010000(4309000000)—468
00ц0р_90 100—90
ББК 22.314
531
ISBN 5-06-001009-0
С С. Г. Каленков, Г. И. Соломахо, 1990
Предисловие редактора
Физика в широком смысле слова это наука, изучающая простевшие и вместе с. тем наиболее общие закономерности явлений природы, свойства и строение материи и законы ее движения. Физика и ее законы лежат в основе всего естествознания
Способствуя развитию физическою мышления студентов, познанию ими современной физической картины мира, изучение физики не только формирует научное мировоззрение, но и закладывает фундамент для освоения специальных дисциплин. Глубокое изучение физики играет чрезвычайно важную роль в становлении современного инженера.
Наиболее разумным .методом преподавания физики является метод, ирн котором основные элементы преподавания соответствуют основным элементам процесса научного познания Велика при этом роль самостоятелу, ион работы студентов. Познающий всегда исследователь. Работа в лабора юрки, анализ лекционного теоретического материала и лекционных экспериментов. изучение литературы, работа над конспектом, активное участие в семинарах — все это соответствует основным элементам современной пи умной деятельности.
Познающий, однако, не может быть бесстрастным, он должен быть любознательным, заинтересованным в приобретении знаний.
Следует отметить, что физика не только наблюдательная и экспериментальная. но и теоретическая наука, ее язык — это язык математики. Математика играет двоякую роль опа не только обеспечивает физику вычи hi-тельным аппаратом, но и формирует ее понятия Математические понятия отражают суть физических идей. Без математического понятия производной пет физического понятия скорости Без дифференциальных уравнений нет 1аконов движения классической механики. Без операторных уравнений нет •Яконов квантовой теории Отсюда следует важный вывод: современную фи tUKV нельзя освоить без знания математики.
К поставленной физической тадаче теоретической или экспериментальной — студент должен относиться как к небольшому научному исследованию Что при этом наиболее Важно? Это*
— понимание роли эксперимента в физике, умение делать правильные, ныводы из сопоставления теории и эксперимента;
— умение абстрагироваться от несущественного, понимание роли идеализаций в физике:
— умение находить безразмерные параметры, определяющие дзйшч-явление;
— умение производить численные оценки по порядку величины,
— умение делать качественные выводы при переходе к предельным vc to вн ям;
— знание порядков величин, основных физических кош танi
Необходимо ясно понимать, что превышение допустимой точное! и ипы егся в физике грубой ошибкой. В равной мере это относится как к анализу,
3
исследованию данного явления, так и к производимым вычислениям и расчетам.
Изучение физики немыслимо без лабораторных занятии. Чему необходимо научиться в физической лаборатории?
С одной стороны, студент должен научиться самостоятельно воспроизводить и анализировать основные физические явления. С другой стороны, необходимо уметь сопоставлять их с теорией. При выполнении работ студент получает также элементарные навыки работы в лаборатории и обращения с физическими приборами.
Работа в физической лаборатории требует от студентов вдумчивого, упорного, сознательного, сосредоточенного отношения. К выполнению очередной лабораторной работы необходимо подготовиться заранее. Для этого необходимо самостоятельно изучить соответствующий паретический материал и ознакомиться с описанием приборов, Работа в лаборатории может быть полезной лишь тогда, когда она составляет единое целое с другими компонентами педагогического процесса»
Ироф. .4. Д. Г.1идун
I
Предисловие авторов
В пособии даны описания лабораторных работ по разделу «Физические основы механики» курса физики для технических вузов. Эти работы в основном относятся к двум темам: «Динамика вращательного движения» и «Колебания». В то же время именно материал этих разделов является основой ьчя изучения ряда специальных дисциплин во втузе.
Нет сомнения в том, что выполнение лабораторных работ поможет сту-1снтам глубже усвоить материал, но при условии, что каждая работа должна быть проделана с ясным пониманием сущности изучаемого физического явления. Для этого необходимо, конечно, еще до лабораторного занятия под-(отовиться к нему, внимательно прочитать описание в работе и соответствующие главы учебника и обязательно уяснить суть работы. Затем надо разобраться в том, что и как следует измерять.
Дадим несколько простых советов студентам, впервые приступающим к выполнению работ в физической лаборатории.
Никогда не спешите на лабораторном занятии начинать делать, что называется, «точные» измерения. Сначала проведите качественные, оценочные опыты. На этом этапе важно убедиться, что работа вообще идет нормально, г е. установка работает, а экспериментальные данные по порядку величин правильно описывают изучаемое явление. Для этого подставьте округленные течения измеренных величин в расчетную формулу и в уме или на листе бумаги оцените порядок определяемой величины. Пусть, например, в работе вы измеряли ускорение свободного падения и в результате такого оценоноч-го опыта и вычислений получили ускорение в диапазоне 5—15 м/с2 Это неплохо, скорее всего вы правильно поняли порядок н ход измерений. Лишь после этого аккуратно настройте установку и приступайте к измерениям
Лабораторные установки, на которых вам предстоит выполнять измерения. разработаны НПО «Союзвузприбор» и изготовляются промышленностью Их внешний вид представлен в начале описания к каждой лабораторной работе. »
Чтобы облегчить подготовку к лабораторным занятиям, кроме описании
работ в пособив к каждой задаче приведены необходимые теоретические раз-
делы. В них даны необходимые определения и
выведены нужные
р м ул ы
Еще раз отметим, что обязательно надо прочитать соответствующие параграфы в учебнике. Это поможет вам гораздо глубже разобраться в изучаемом вопросе. а опыт провести с пользой и удовольствием. В описании к каждой ра-
боте указана необходимая литература
.У вас, конечно, должны быть тетрадь для лабораторных работ — лабораторный журнал, карандаши, линейка н миллиметровая бумага.
Экспериментальные результаты необходимо представлять с виде таблиц н графиков. Таблицы и графики —обязательная часть работы, это го, что вы должны получить непосредственно на самом лабораторном занятии Кроме того, в описании к каждой работе есть контрольные вопросы, которые необходимо разобрать дома при подготовке к сдаче лабораторной работы
5
В каждой работе следует стремиться к ясному пониманию того, с какой точностью вы измерили ту или иную физическую величину.
На авторов данного пособия оказала большое влияние книга «Лабора орные занятия по физике» под редакцией Л. Л. Гольдина, в которой описаны лабораторные занятия по физике в МФТИ. Мы уверены, что вдумчивому, старательному студенту она тоже будет очень полезна. Кроме того, для углубленного изучения ряда затронутых в описаниях вопросов очень полезной является книга Д. В.Сивухина «Общий курс физики», т. I. «Механика». М , 1989.
Работы в пособии расположены таким образом, чтобы можно было ском поковать их в разной последовательности в соответствии с возможностями лабораторного практикума и рабочей программой по физике, разработанной в каждом конкретном вузе.
Авторы выражают глубокую признательность рецензентам книги В. К. Петерсону и В. И. Мурыгину за критику и полезные замечания, а также заведующему лабораторией физики МИЭТ Л. П. Музюкину. .Мы благодарны своим коллегам по кафедре физике Мосстаикина и в особенности редактору книги А. Д. Гладуну. взгляды которого на преподавание физики Оказали на нас глубокое влияние.
| МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ
1 ИЗМЕРЕНИЙ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ
ДАННЫХ
Результаты любого физического эксперимента необходимо уметь проанализировать. Это значит, что в лаборатории необходимо научиться не только измерять различные физические величины, но и проверять и находить связь между ними, сопоставлять результаты эксперимента с выводами теории.
Но что значит измерить физическую величину? В каком случае можно считать, что результаты измерений согласуются с ожидаемой зависимостью между исследуемыми величинами? Как быть, если искомую величину нельзя измерить непосредственно и ее шачение находится по значению других величин?
Под измерением понимают сравнение измеряемой величины с другой величиной, принятой за единицу измерения.
Измерения подразделяют на прямые и косвенные.
При прямых измерениях определяемую величину сравнивают с единицей измерения непосредственно или при помощи измерительного прибора, проградуированного в соответствующих единицах.
При косвенных измерениях искомая величина определяется (вычисляется) из результатов прямых измерений других величин, которые связаны с измеряемой величиной определенной функциональной зависимостью.
При измерении любой физической величины обычно приходится выполнять три последовательные операции:
1) выбор, проверку и установку приборов;
2) наблюдение показаний приборов и отсчет;
3) вычисление искомой Ьеличины из результатов измерений, проведение оценки погрешности.
I
1.1. Погрешности результатов измерений
Истинное значение физической величины обычно абсолютно точно определить нельзя. Каждое измерение дает значение определяемой величины х с некоторой погрешностью Ах. Это значит, что перинное значение лежит в интервале
^ист ^изм Т”Ах, (1.1)
где хизм — значение величины х, полученное при измерении; \х характеризует точность измерения х. Величину Ах называют абсолютной погрешностью, с которой определяется х.
7
Как определить Ах, если само значение х1Сч. нам неизвестно^ Все погрешности подразделяют на систематические, случайные и промахи (ошибки). Причины возникновения погрешностей самые разнообразные. Понять возможные причины погрешностей и свести их к минимуму — это и означает грамотно поставить эксперимент. Ясно, что это непростая задача.
Систематической называют такую погрешность, которая остается постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях одной и той же величины.
Такие погрешности возникают в результате конструктивных особенностей измерительных приборов, неточности метода исследования, каких-либо упущений экспериментатора, а также при применении для вычислений неточных формул, округленных констант.
Измерительным прибором называют такое устройство, с помощью которого осуществляется сравнение измеряемой величины с единицей измерения.
В любом приборе заложена та или иная систематическая погрешность, которую невозможно устранить, но порядок которой можно учесть.
Систематические погрешности либо увеличивают, либо уменьшают результаты измерения, т. е. эти погрешности характеризуются постоянством знака.
Случайные погрешности — ошибки, появление которых не может быть предупреждено.
Поэтому они могут оказать определенное влияние на отдельное измерение, но при многократных измерениях они подчиняются статистическим законам и их влияние на результаты измерений можно учесть или значительно уменьшить.
Промахи и грубые погрешности — чрезмерно большие ошибки явно искажающие результат измерения.
Этот класс погрешностей вызван чаще всего неправильными действиями наблюдателя. Измерения, содержащие промахи и грубые погрешности, следует отбрасывать.
Измерения могут быть проведены с точки зрения их точности техническим и лабораторным методами.
При использовании технических методов измерение проводится один раз.
В этом случае удовлетворяются такой точностью, при которой погрешность не превышает некоторого определенного, наперед заданного значения, определяемого погрешностью примененной измерительной аппаратуры.
При лабораторных методах измерений требуется более точно указать значение измеряемой величины, чем это допускает однократное ее измерение техническим методом.
Тогда делают несколько измерений и вычисляют среднее арифметическое полученных значении, которое принимают за наиболее достоверное значение измеряемой величины. Затем производят
8
оценку точности результата измерении (учет случайных погреш-постен).
11з возможности проведения измерений двумя методами вытека-с! и существование двух методов оценки точности измерений: технического и лабораторного.
1.2. Оценка точности результатов одного прямого измерения
Пусть при повторении измерений в одних и тех же условиях гы 3—4 раза получили одинаковое значение х = х0.
Можно ли утверждать, что хист = х0? Нет. Данный результат нпачает лишь, что истинное значение х можно записать в виде
Погрешность Дх определяется в данном случае воспроизводящи-1пея от опыта к опыту ошибками, обычно связанными с неточностью и «мерительных приборов или метода измерений. Такую погрешность \х, как отмечалось, называют систематической. Проведение Мльнейших измерений в этих условиях бессмысленно. Результат измерений записывают в виде равенства (1.2), где Дх = Дхсист. (ля более точного определения физической величины х в данном случае необходимо изменить постановку самого опыта: взять прибор более высокого класса точности, улучшить методику измерении и т. п. Оценка Дхсист требует детального анализа всех возможных причин, способных исказить результаты опыта.
В простейших случаях Лх,.и(:т определяется погрешностями измерительных приборов, т. е. для выверенных приборов — их h китом точности. Тогда оценку точности измерений производят 1е\ннческим методом.
Пример. При измерении диаметра цилиндра в различных местах игган-н нтркулем получено одинаковое значение D — 12,5 мм. Абсолютная по-грешность штангенциркуля 0.1 мм. Произведите оценку точности измерения.
I. Предельная абсолютная погрешность технического измерения равна •бсиЛютной погрешности штангенциркуля Дхпр ~ 0,1 мм.
2. Предельная относительная погрешность технического измерения рав и. относительной погрешности штангенциркуля
-100 % =0.8 %.
D 12,5
3. Результат измерения следует записать так: D = (12,5 ±0,1) мм.
1.3. Классы точности приборов
Для характеристики большинства измерительных приборов часто используют понятие приведенной погрешности Еп (класса точности).
Приведенная погрешность — это отношение абсолютной погрешности Лх к предельному значению хпр измеряемой величины
(т. е. к наибольшему ее значению, которое может быть измерено по шкале прибора).
Приведенная погрешность, являясь по существу относительной погрешностью, выражается в процентах: - |
Еп=| Дх/хпр|-100 %.
По приведенной погрешности приборы разделяют на семь классов: 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4.
Приборы класса точности 0,1; 0,2; 0,5 применяют для точных лабораторных измерений и называют прецизионными,
В технике применяют приборы классов 1: 1,5; 2,5 и 4 (технические) .
Класс точности прибора указывают на шкале прибора. Если на шкале такого обозначения нет, то данный прибор внеклассный, т. е. его приведенная погрешность более 4%.
Завод, выпускающий прибор, гарантирует относительную погрешность измерения данным прибором, равную классу точности (приведенной погрешности) прибора при измерении величины, дающей отброс указателя на всю шкалу. Определив по шкале прибора класс точности и предельное значение, легко рассчитать его абсолютную погрешность Дх = ± |ЕП 100) х||р, которую принимают одинаковой на всей шкале прибора. Знаки «-?-» и « -» означают, что погрешность может быть допущена как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения от действительного значения измеряемой величины.
Правда, при использовании прибора для конкретных измерений редко бывает так, чтобы измеряемая величина давала отброс на всю шкалу. Как правило, измеряемая величина меньше. Это увеличивает относительную погрешность измерения.
Для оптимального использования приборов их (или соответствующую шкалу измерений) подбирают так, чтобы значение измеряемой величины попадало в конец шкалы прибора, это уменьшит относительную погрешность измерения и приблизит ее к классу точности прибора.
В тех случаях, когда на приборе класс точности не указан, абсолютная погрешность принимается равной половине цены наименьшего деления.
Так, при измерении линейкой, наименьшее деление которой 1 мм, до пускается ошибка до 0,5 мм.
Для приборов, оснащенных нониусом, за приборную погрешность принимают погрешность, определяемую нониусом (для штангенциркуля —0,1 мм или 0,05 мм; для микрометра — 0.01 мм).
Точность прибора невозможно превзойти никаким методом измерения на нем. Для более точных измерений применяют прибор более высокого класса.
Выбирая прибор для измерения какой-либо физической величины, руководствуются прежде всего целью измерения.
10
Для измерения толщины проволоки нельзя пользоваться миллиметро ui»i| линейкой, нужен штангенциркуль, микрометр или другой более точ tiMti прибор (например, микроскоп). А вот для измерения площади лаборатор Hitiii стола достаточно метровой линейки с сантиметровыми делениями.
1.4. Оценка точности многократных прямых измерений
11усть при повторении измерений физической величины х в одинаковых условиях получили некоторые значения: х,. х2....... х„
(л число измерений). Это означает, что: а) есть причины, при-и< нищие к случайному отклонению каждого из измеренных значений X/ от являющегося постоянным в условиях опыта хпст (например, случайные помехи, трение в измерительных узлах и т. п.); 6) измеряемая величина х имеет случайный (статистический) ха-Р истер, подобно тому как случайно меняется во времени, например. ।рлнспортный поток на магистрали.
В случае а) наилучшей оценкой хист является среднее арифме-। нческое найденных значений xf:
хп).
(1.3)
В случае б) смысл х, очевидно, исчерпывается его определением к «к среднего измеренных значений х£. Погрешность Ах, которую в них условиях называют случайной., оценивают по формуле
I
а п
где х находят из соотношения (1.3)
Для оценки полной погрешности Ах необходимо знать и Тогда
Ахсл, и
Ах — |/ (Ахсл) *Т (АхС11СТ)“ результат измерений записывают в виде
где х и Ах определяются соотношениями (1.3) и (1.5).
Из анализа формулы (1.5) вытекает, что бессмысленно добивать-< »| такого результата, при котором Ахсл < Ахсист. Наоборот, необходимое число измерений п можно определить из условия \г,.я Ахсист, и почти всегда достаточно взять п < 10. Опыт пока-пинает, что в студенческой лаборатории число измерений физических величин обычно равно 3—4.
Замечания:
I. Бессмысленно записывать х 1ПЛ1О1ЦСЙ значение Дх. Например, Правильно: х ~ 5,6 ± 0,7
в (1.6) с точностью, значительно превы запись х = 5,6184 ± 0,7 некорректна
11
2. Погрешность Ах следует записывать до одной-двух значащих цифр. Например, запись х = 5,61 ± 0,7232 лишена смысла.
Правильно-, х ~ 5.6 ± 0,7.
При наличии случайных погрешностей появление того или иного значения х,- в процессе измерения является случайным событием. Существует некоторая вероятность появления этого значения xt в интервале x-t — Дхь х, 4- Ах,-. Оно часто, как показывается в теории вероятностей, определяется законом нормального распределения Гаусса* (см. рекомендуемую литературу):
(1.7)
где о* 1 2 — постоянная величина, называемая дисперсией распределения (рис. 1). Нормальное распределение характеризуется двумя
У* параметрами: средним
Т значением случайной
/ \ величины х, которое при
/ бесконечно большом
количестве измерений (и -> оо) совпадает с ее । истинным значением, и
—_i——1—> дисперсией а.
х-4 х-2 Х-1 х х+1 х*2 х Доверительным ин-
Рис 1 тервалом называют ин-
тервал (х — Ах. х 4
4-Ах). в который по определению попадает истинное значение х измеряемой величины с заданной вероятностью.
Надежностью результата серии измерений называют вероятность а того, что истинное значение х измеряемой величины попадает в данный доверительный интервал-, выражается ос или в долях единицы, или в процентах.
Чем больше доверительный интервал, т. е. чем больше задаваемая погрешность результата измерений Ах, тем с большей надежностью искомая величина х попадает в этот интервал. Естественно, что величина ос зависит от числа п произведенных измерений, а также от задаваемой погрешности Ах.
Так, при п 30, выбирая Дх равным а, мы получим значение а « 0,68.
* В основе теории погрешностей лежат два предположения, подтверждае мне опытом.
1. При большом числе измерений случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака, т. е. погрешности как в сторону уменьшения так и в сторону увеличения встречаются одинаково часто.
2. Большие (по абсолютной величине) погрешности встречаются значительно реже, чем малые, т. е. вероятность появления погрешности умень шается с ростом ее величины.
12
В случае большого числа измерений (л —► оо) дисперсия о. вхо-онцая в закон (1.7), оказывается равной среднеквадратичной погрешности отдельного измерения Дхсл:
(1-8)
Полученное в данной серии измерений значение величины х принимается равным х. Величина а характеризует степень влияния случайных погрешностей на результаты измерения: чем меньше а, тем точнее проведено измерение.
Обработка результатов серии измерений сводится к возможно более точному нахождению х и а.
Если при измерении абсолютная погрешность Дх Z>3a, то это измерение следует отнести к грубым погрешностям или промаху. Величину За обычно принимают за предельную абсолютную погрешность отдельного измерения (иногда вместо За берут абсолютную погрешность измерительного прибора).
Смысл о как меры приближения измеренного значения величины х к истинному значению хист определяется физической сущностью измеряемой величины, а также физическими и конструктивными принципами, заложенными в методику измерений. Эти принципы в рамках данной методики не зависят от экспериментатора; следовательно, даже бесконечное увеличение числа измерений не даст заметного увеличения точности.
Поскольку нет смысла стремиться к очень большому числу измерений, то возникает вопрос: как изменяется надежность при изменении числа измерений? Зависимость эта сложна и не выражается в элементарных функциях.
Существуют специальные таблицы коэффициентов Стьюдента, по которым можно определить, во сколько раз нужно увеличить стандартный доверительный интервал ± Sx], чтобы при определенном числе измерений п получить заданную надежность а (табл. 1).
За стандартный принимают интервал Г± 5Х], где
(1.9)
Порядок обработки результатов измерений следующий:
— выполняют п измерений и записывают их результаты в таблицу ;
вычисляют по (1.3) х;
13
Таблица 1
Чиг.ю измерений
Наде'жнйст*
О-5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.95 0,98 0.999
2
4
5 6
/
8
9
10
15
20
40
60
120
1.00 1,38 2.0
0,82 1,06 1.3
0,77 0,98 1,3
0.74 0,94 1.2
0.73 0.92 1.2
0,72 0.90 1.1
0,71 0,90 1,1
0,71 0,90 1.1
0.70 0.88 1.1
0,69 0,87 1.1
0,69 0,86 1.1
0.68 0,85 1,1
0.68 0,85 1.0
0,68 0.85 1.0
0,67 0,84 1.0
31,8
7.0
4,5
3.7
3,4
3,1
3,0
2,9
2.8
2.6
2,5
2,4
2,4
2,4
2.3
636,6
31,6
12,9
8.6
6,9
6,0
— по формуле (1.9) вычисляют и находят по таблице коэффициент Стьюдента t (а, п) в зависимости от заданной надежности а и числа измерений п\
— результат записывают в виде
х — х ± /(a, n) S .. (1-10)
Это означает, что истинное значение измеряемой величины xlfcT находится в интервале [х — / (а, п) Sx; х + t (а, n) S J с надежностью а.
Мерой точности результатов измерений является относительная погрешность (в %):
- 100 %.
X
Обратную ей величину ф 1/6х называют точностью измерений.
Используя таблицу коэффициентов Стьюдента, часто решают и обратную задачу: по известной абсолютной погрешности измерительного прибора и заданной величине надежности определяют необходимое число измерений в серии.
Пример. При непосредственном измерении микрометром диаметра шара в нескольких местах получено 16 (п ~ 16) значений от 12,50 до 12,55 мм
Среднее арифметическое этих значений £>ср — 12,52 мм, а сумма квадратов абсолютных погрешностей отдельных измерений (от—0,022 до | 0,028 мм) ADA 0,003096. Среднее значение абсолютных погрешностей AD,.p " 0.01 мм.
14
Дисперсия равна , 2AD? Г 0.003096
°=1 ТГГ=1/ ——-0.0HMM.
Предельная абсолютная погрешность отдельного измерения Зо = 3-0.014 ~ — 0,042 мм. Следовательно, в серии проведенных измерении не было промахов, так как Зо AD; : 0,022 < 0,028 < 0,042 мм.
Предельная абсолютная погрешность результата измерения не больше чем
Л£^пррд ADcp-“0,01 мм.
Результаты измерения записывают так:
D = (12,52 ± 0,01) мм или 12,51 < D < 12,53.
То же можно рассчитать через стандартный доверительный интервал при надежности, например, 0,95:
SAD?
0.003096
16-15
х 0.004 (/а —2,1);
D = 12,52 ± 0,004-2,1 == (12,52 ± 0,008) мм.
1.5. Оценка точности косвенных измерений
Как быть, если х определяется не прямым измерением, а косвенным, т. е. по результатам измерений других величин у и г? Пусть х является некоторой функцией у и z, т. е.
х-=Цу, г).
Тогда наилучшее значение при оценке х равно
x=f(y, Z),
(111)
где у и z находятся но формуле (1.3). Как же найти Дх, если известны Д# и Дг? Так как сами величины у и z находятся путем прямых измерений, то их погрешности Дг/ и Д? можно оценить по формулам (1.4) и (..5).
Заметим, прежде всего, что Ах = х - х; следовательно, простой оценкой для Ах является разность
Дх = /1уч- Д{/, z-k-Дг) — f{x, у)
ж &у4 Az, (1.12) дц дг
г. е. ошибка косвенного измерения находится через ошибки прямых
измерений по правилу дифференцирования. Часто этой оценки ока-
зывается достаточно.
Более точным является следующее выражение:
(I 13)
15
где df.dy и dfjdz — частные производные по у и z, взятые при значениях у = у, z = z.
Часто удобно выражать точность, с которой найдено х, через относительную погрешность бх. По определению,
6.v = -=—, (1.14)
X
где х—рассчитывают по формуле (1.3). Относительная погрешность, очевидно, является безразмерной величиной.
Заметим, что исходя из определения относительной погрешности результат измерений величины х можно записать в виде «
х — .V (1 -т 6V), так как х — х ± \х — х (I + -^).
Рассмотрим практически важный случай, когда х является степенной функцией у и г:
x-=f(y, ?)=Ут
—1— = тущ ~1 г", — п у"1 zn ~1
ду ' дг
(т и п могут быть целыми или дробными, больше или меньше нуля).
Относительная погрешность равна
6, = 4=- = | тгб2+л26=- (1.15)
Из соотношения (1.15) следует важный вывод: при измерениях необходимо наиболее точно определить значение величины, входящей в расчетную формулу с наибольшим по модулю показателем степени.
Приведем простейшие случаи расчета предельных погрешностей результата косвенного измерения величины Y.
1. Пусть Y — А -г В, а предельные абсолютные погрешности прямого измерения величин А и В соответственно равны АЛ и ХВ (это или погрешности измерительной аппаратуры, или результат расчета).
Тогда
Y ±АУ = (А ± АЛ) + (В ± АВ).
Очевидно, наиболее невыгодный случай тот, когда АЛ и ХВ будут одинаковы по знаку, например + АЛ и ХВ, тогда предельная абсолютная погрешность результата равна
± А/ = АЛ 4- ХВ, а предельная относительная погрешность
АГ _ ДГ __ АД-rAg
Г — Д4-В ~ Д-ре
16
2. Пусть Y = АВ, тогда
У ± ДУ =(Д ± ДД) (В ± АВ) = АВ ± ДАВ ± ВАД. Полагая АД АВ малыми, получаем
ДУ ДУ АД ДД
Y ~ АВ ~ А В '
3. Пусть Y = Ап. Тогда
У =ДД ... Д.
п раз
Предельная относительная погрешность равна
ДУ х? ЬА АД
----= >------= п----.
У А А
а предельная абсолютная погрешность
— У=пЛ"-1 ЛА.
ДУ =
4. Пусть У = sin а. Тогда
ДУ = sin (а ± Аа).
Положим, что Да мало. В этом случае sin Аа « Аа. Следовательно,
У 4- АУ = sin а + Аа cos а,
и тогда
ДУ АТ а
— =—— =Aactga г sin а
Приведем формулы расчета относительных предельных погрешностей физических величин, выражаемых наиболее употребительными функциями.
Если в расчетные формулы входят константы, например число л, физические постоянные, табличные данные, то они берутся с такой точностью, чтобы число значащих цифр в них было на единицу больше, чем число значащих цифр в значениях измеряемых величин. Тогда константы практически не вносят погрешностей в результат измерений.
Пример. Ускорение свободного падения определяют косвенным измере» яием при помощи математического маятника, период колебаний которого Т — = 2л Д/Z/g. Отсюда g= 4 л2//У2 и
4л2 Д/ 8л21АТ
= ^7, I*' 73 =
Пусть прямые измерения дующие результаты: / = (53,1 t = 141,9 ± 0,1. Тогда
величин, входящих в эту формулу, дали сле-
± 0,1) см, N = 100 — количество колебаний;
t 141,9ч-0,1 л п ,
Т =----= ------—=-------— 1,419 ± 0,001 с.
N 100
17
Таблица 2
Вид функции
Предельная относительная погрешность
Y = A±-B + C
Y = A—B
Y = A-B-C...
Y = An
Y = sin a
ДУ Д4 4-ДВ4-ДС
Y ~ A-YBA-C
ДУ ДЛ Ч-ДБ
Y = A —В
ДУ ДЛ Дв ДС
Y ~ A + B^ С
ДУ ДЛ
— = n--
У A
yY___1 ДЛ
У ” n A
ду дл де
ДУ
—— = Да ctga
Y — cos a
Y =ctg a
ДУ 2Aa
У sin 2a
ДУ 2Да
У sin 2a
В формулу для расчета входит число л. Возьмем его равным 3,141. Тогда 4-3,142.50,1 gi -------------------------1 л 102---» 981,9см/с.
1,4I9Z
Предположим, что повторные измерения длины маятника и времени колебаний дали g2 — 980,1 см/с2, g3 -- 981,5 см/с2.
Рассчитаем предельную относительную погрешность измерения g;
Д/
g
0.1
2-0,001
1,419
^0,33%;
981,9-1-980,1 -981,5
981,17см/с2;
g
Agnpen = ~^=~ g 0»0033 • 981,17 = 3,2 см/c2; g
18
д^.^—£=981.9—981.17 = 0,73 см/с2;
Ag2=£2—g^980,1 — 981.17 - — 1,07 см/с2;
А£з=£з—£=981,5 — 981,17 - 0,33см/с2;
0,73+1,07 + 0,33
Agcp - ---—о----------
«0,7 см/с2.
Эта величина меньше, чем точность самих измерений и, следовательно, не имеет физического смысла.
Эту же задачу о нахождении погрешности определения g в проведенном эксперименте можно решить иначе.
Рассчитаем g, используя средние значения / и Т трех измерений. Пусть £-981,17.
Предельная относительная погрешность, полученная методом дифференцирования, оказывается равной
• 100 %
А/
2ДГ ----- « 0,33 %.
Доверительный интервал
981.17-0.33
As “m—
Окончательный результат
1.6. Правила вычисления погрешностей
Погрешность обычно выражают одной значащей цифрой и лишь при особо ответственных измерениях—двумя. Погрешности измерения указывают, какие цифры являются сомнительными в числовом значении измеренной величины. Так как точность определения физической величины определяется измерением, а не вычислением, то округление числового значения результата измерения производится до цифры того же порядка, что и значение погрешности .
При округлении результатов измерений необходимо помнить следующие правила приближенных вычислений.
1. Лишние цифры у целых чисел заменяются нулями, а у десятичных дробей отбрасываются.
Например,
У — 123 357 ± 678 (до округления);
У — 123 400 ± 700 (после округления),
2. Если заменяемая нулем или отбрасываемая цифра старшего разряда меньше 5, то остающиеся цифры не изменяются, а если
19
указанная цифра больше 5, то последняя остающаяся цифра увеличивается на единицу'.
Например,
У — 237,46 ±0,13 (до округления);
Y = 237,5 ± 0,1 (после округления).
3. Если заменяемая нулем или отбрасываемая цифра равна 5 (с последующими нулями), то округление производится так: последняя цифра в округленном числе остается без изменения, если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная. Например,
) ~ 237.465 ± 0.127 (до округления);
У ==• 237,46 ± 0,13 (после округления),
или
У' — 237,5 ± 0,1 (после округления).
Про представлении окончательных результатов физических измерений часто применяют запись числовых значений в виде десятичной дроби, умноженной на необходимую степень числа десять.
Например, числа 3106; 0,0285; 0.120 записываются гак. 3.106 10-*, 2,85-10~2; 1,2-10“’. Скорость света 300 000 км/с обычно записывают как 3- 10й км/с.
1.7. Вычисления с приближенными числами
Имея результаты измерений можно определить верные, сомнительные и неверные цифры.
Если погрешность содержит в себе десятки, то число десятков будет сомнительным.
Например, в серии измерении получено: Л, — 5360 м, — 5400 м, Л, -- 5410 м, h ~ 5390 м, А/ц = 5 м. Ah ~ 30 м. В окончательном результате h — (5390 ± 30) м погрешность содержит в себе десятки метров. Цифры. стоящие слева от сомнительной, — верные; стоящие справа от сомнительной — неверные (они должны быть отброшены как в исходных данных, так и в окончательном результате) В рассмотренном примере окончательный результат следует записать так: h = (5390 ± 30) м.
К значащим относят все верные и сомнительные цифры; к незначащим — нули в начале десятичных дробей, меньших 1; нули в конце числа, заменившие цифры, отброшенные после округления; неверные цифры, если они по каким-то причинам не отброшены.
Пример. Числа 584 ± 6; 0,00456 ± 0,00002; 0,002442 > 0,00003 содержат по три значащих цифры. В числе 5628 все цифры значащие, так как ошибка не указана.
Если дано число 1,000000 ± 0,000003, то в нем последний нуль сомнителен, поэтому все другие нули в этом числе значащие.
При округлении скорости света (299 793 ± I) км/с до 3-10й км/с погрешность округления оказывается 207 км/с. Следовательно, сомнительная цифра — 7, а в значении 300 000 км/с последние два нуля незначащие.
20
1. При сложении и вычитании разряд сомните льныой цифры алгебраической суммы совпадает со старшим из разрядов сомнительных цифр всех слагаемых.
Поэтому при сложении чисел нужно:
а) у всех слагаемых определить разряды сомнительных цифр и найти из них самый старший:
б) все слагаемые округлить до этого разряда либо сохранить еще один, следующий за сомнительным (запасная цифра):
в) произвести сложение, причем сомнительная цифра суммы совпадает со старшим из разрядов сомнительных цифр всех слагаемых.
Пример. Сложить
5,4382-1О5 — 2.918-10* 3,14-10“* Ь-1,24-1О:5
Все предложенные числа содержат значимые числа. У первого числа сомнительная цифра — десятки; у второго — единицы; у третьего — в разряде десятых долей, у четвертых — в разряде стотысячных. Старший разряд — десятки. Округление проводят до старшего разряда — десятков. Тогда
543 820 — 2920 'г 40 540 940 - 5.4094-106.
Последнее слагаемое отбрасывают совсем (в нем нег ни десятков, ни единиц».
2. Результат умножения и деления содержит столько значащих цифр, сколько их в исходном данном с наименьшим количеством значащих цифр.
Поэтому при умножении или делении чисел:
а) представляют исходные числа в виде, когда запятая стоит после первой цифры, а все значащие цифры умножают на множитель десять в соответствующей степени:
б) из всех исходных чисел находят число, где наименьшее количество значащих цифр:
в) все исходные числа округляют так чтобы все они содержали такое количество значащих цифр, сколько их было в числе с наименьшим их количеством (иногда берут для верности еще по одной запасной цифре):
г) производят действие над числами, получившимися после округления. не обращая внимания на запятую и множитель десять в некоторой степени: в результате оставляют столько значащих цифр, сколько их было в числе с наименьшим их количеством: производят операции с умножением (делением) коэффициентов десять в некоторой степени:
д) записывают результат.
Пример. Пусть необходимо умножить 981,17 на 0,314
Представим сомножители как 9,8117-I02 и 3,14-10~‘ После округления имеем 9,81 - !03-3,14-10“*.
Производим умножение:
9,81-3,14 = 30.8034 3,08 -10*.
\множаем коэффициенты I О2 • 10_| 10*. Окончательный результат-
3,08-102.
21
3. При возведении в степень при записи результата оставляют столько значащих цифр, сколько их в основании.
4. При извлечении корня любой степени результат должен иметь столько значащих цифр, сколько их в подкоренном выражении.
5. При логарифмировании числа в мантиссе логарифма оставляют столько значащих цифр, сколько их в этом числе.
Заметим, что обычно в экспериментальных данных полученное числовое выражение всегда содержит сомнительную цифру, а в выражениях, взятых из таблиц, все цифры верные. Поэтому, если при вычислениях используют как экспериментальные, так и табличные данные, сомнительную можно не сохранять.
Мы привели здесь основные правила приближенных вычислений потому, что для расчетов теперь используют электронно-вычислительную технику, например микрокалькуляторы, поэтому всегда нужно знать, какие цифры, полученные в числе после математических операций, верные, а какие нужно отбросить, поскольку неверная цифра приводит к погрешности.
1.8. Графическое представление результатов
экспериментов
В большинстве случаев экспериментального изучения различных физических явлений целесообразно представить полученные зависимости в виде графика.
Как оценить, согласуются ли результаты опыта с ожидаемой величиной, получаемой из зависимости между измеряемыми величинами. Наглядное представление об этом получают, сопоставляя теоретическую кривую и найденные экспериментально точки. Особенно удобно проверить, ложатся ли данные точки на прямую. Поэтому при построении графиков желательно выбирать такие координаты, чтобы ожидаемая зависимость была линейной.
Например, при определении ускорения свободного падения из соотношения h = gt2/2 между высотой и временем падения удобно строить график координатах (t2, h). Тогда g~ 2 tg а, т. е. определяется по всей совокупности результатов измерений t и h [по наклону прямой h (/2)|.
Экспериментальные точки на графике представляют в виде крестиков, размах по высоте и ширине которых равен удвоенным погрешностям измерения, отложенных по осям величин.
ОСВОЕНИЕ МЕТОДОВ ПРОВЕДЕНИЯ ИЗМЕРЕНИЙ И РАСЧЕТА ИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Цель работы: ознакомление с методами оценки результатов измерений и расчета погрешностей.
Оборудование: установка для определения удельного сопротивления проволоки, штангенциркуль, микрометр.
Материал для изучения:
Прямые и косвенные измерения.
Определение погрешностей.
Приближенные вычисления.
Измерение линейных величин.
Простейшие электрические измерения.
Литература
Кассандрова О. И., Лебедев В. В. Обработка результатов наблюдений. М., 1970.
Руководство к лабораторным занятиям по физике. Под ред. Л. Л. Гольдина. М., 1973.
Детлаф А. А.. Яворский Б. М Курс физики. М.. 1989.
Теоретическое введение
Электрическое сопротивление участка проводника
R — р —, S
где R — сопротивление отрезка проволоки, / — его длина, S — площадь поперечного сечения, р — удельное сопротивление материала проволоки. Отсюда
(1)
Чтобы определить р, необходимо измерить электрическое сопротивление R отрезка проволоки, длину отрезка / и определить площадь его сечения S.
Для измерения сопротивления собирают простейшую электрическую цепь (рис. 2)
Участок цепи АВ — отрезок проволоки, — источник тока, А—амперметр, V—вольтметр.
Рис. 2
Допустим, что мы провели такой опыт: собрали цепь, как на рис. 2, измерили напряжение U и силу тока /. Затем измерили длину отрезка проволоки I и ее диаметр d. При этом, например, оказалось: U = 1 В, / = 10 А, / — 4-Ю"1 2 * * * м, d = 5-10-4 м. Подставим эти данные в (1):
U шГ-
Р =
(2)
Числовое значение можно вычислить по формуле (2) непосредственно расчетом, а можно на микрокалькуляторе. Во втором случае расчет проводить безусловно проще, и большинство студентов так и поступает. Поступим также и мы. В результате получим р = 4,9087384-10~6 Ом-м.
Уже с первого взгляда на это число возникает уверенность, здесь что-то не так. Слишком много цифр! Ясно, что не все цифры имеют отношение к делу. Они возникли как результат вычисления. Действительно, при вычислении по формуле (2) на калькуляторе мы вызвали число л = 3,1415926 и далее проделали все необходимые арифметические действия. Если воспользоваться ЭВМ, то число л можно взять еще точнее, тогда очевидно, что определяемое значение р будет содержать еще больше знаков после запятой.
Сколько же цифр в числовом значении р имеют смысл? Разберемся в этом вопросе.
Напряжение U, силу тока /, длину I отрезка проволоки и ее диаметр d мы измеряем соответствующими приборами с определенной точностью. Когда мы говорим, что вольтметр показывает 1 В, мы, конечно, имеем в виду, что измеряемое напряжение лишь при-
близительно равно 1 В. Истинное значение напряжения лежит в некотором интервале
(/изм-Д(/<(/<Ц13М + А(/,
где (7ПЗМ — измеренное напряжение; в нашем примере Ц13М = 1 В. Значит, результат измерения есть то деление на шкале вольтметра, против или вблизи которого установилась стрелка, AU — погрешность измерения напряжения данным вольтметром, она определяется классом точности прибора. Отметим, что AU определяется «ценой» деления шкалы вольтметра. Пусть вся шкала прибора рассчитана на 2 В и имеет 20 делений. Значит, цена деления —0,1 В, а погрешность измерения — половина «цены» деления, т. е. Д(/ = 0,05 В. Таким образом, истинное значение U лежит между 0,95 В и 1,05 В:
или (в более удобном виде)
(7=Д/±Д(/;
(/=(1 ±0,05) В.
Здесь U — 1 В — среднее измеренное значение напряжения (/, \U = 0,05 В — погрешность измерения.
Все это, разумеется, относится и к измеряемой силе тока /:
/=/± Д/;
/==(100 ±5) мА,
где / = 100 мА = 0,1 А — измеренная сила тока, Д/ = 5 мА = = 5-10 3 А — погрешность измерения.
Если длина отрезка проволоки измеряется линейкой с миллиметровой шкалой, то истинное значение длины I проволоки лежит в интервале, например.
(400.0 — 0,5) мм / с (400,0 L 0,5) мм,
т. е. / = / ± Д/ = (400,0 ± 5) мм.
Диаметр d проволоки можно измерить штангенциркулем или микрометром. Если диаметр проволоки измерять штангенциркулем в различных местах, то скорее всего окажется, что результат везде одинаков. Штангенциркуль не «почувствует», что толщина проволоки неодинакова по всей ее длине. В этом случае точность измерения штангенциркулем, а это обычно 0,1 мм, и определяет погрешность измерения диаметра, т. е. Дб/ = 0,1 мм. Микрометр — более чувствительный и более точный прибор, чем штангенциркуль. Если измерить диаметр проволоки в различных местах микрометром, то можно получить серию результатов: dlt d2, d3, .... dri, где dA — результат первого измерения, d2 — второго и т. д. В этом случае погрешность определяется уже и характером самой величины d. Диа-
25
метр проволоки есть случайная величина, она варьирует около некоторого среднего значения
п
d =
(3)
где п — число измерений.
Для грубой оценки Ad выберем из п измерений максимальное значение dmax и минимальное dmln. Тогда грубая оценка погрешности
Ad (dmax dinin) (4)
I при обработке результатов измерений следует пользоваться соотношениями (1.4) и (1.5)1.
Истинное значение диаметра лежит в интервале
d—Ad^d<d + Ad или
d = d ± Ad.
Пусть, например, d -- 0,5 мм, a Ad = 0,01 мм. Тогда результат измерений
d=d± Ad = (0,50 ± 0,01) мм.
При расчетах в формулу (2) мы подставляли средние значения
величин, хотя в действительности каждая из них определена с некоторой погрешностью
и=и ±&и,
/ = / -4- А/, 1=1 Jb AZ, d — d ~f~ Ad.
С учетом этого формулу (2.2) можно записать в виде
4 (7 ± АЛ) (Г± М)
(5)
Если в числителе выражения (5) все величины взять со знаком « г », а в знаменателе — со знаком «—», то мы получим максимальное значение ртах. Наоборот, если в числителе (5) все величины взять со знаком « —». а в знаменателе — со знаком «И-», то получится минимальное значение prnIn. Это означает, что истинное значение р находится между pnlljl и ртах, т. е. в интервале
Pmin Р Ртах-
Число (I - 4.908738-10~6 Ом-м, которое мы вычислили, лишь одно из чисел этого интервала. Естественно, что оно ничем не лучше любого другого числа из этого интервала.
Представим р в виде
Р=Р± Ар,
где р —среднее значение р, Ар — погрешность измерения.
26
Преобразуем формулу (5):
л Ud2 (l ± M/ U) (I ± Xd/d¥ р —-----—-----—=±---——------L-—
4 II (I ± Д//)(1 ± М;1)
(6)
л Ud2
где - — — среднее значение удельного сопротивления р;
4 / / г
MJ М \1 <Xd
-=г, -j-, , -=--относительные погрешности измерения соот-
ветствующих величин. При любых «нормальных» измерениях относительные погрешности малы. Так, в нашем примере U - 1 В. ли/О = 5-Ю"2, 7=40 см. А/= 0,05_с.м. А///"- 1.10~3, / — 100 мА. А/ — 5 мА, А/ / = 5-Ю-2, d — 0,5 мм, Ad = 0,01 мм. Sd/d - 2-10"2.
Это позволяет использовать хорошо известную из математики приближенную формулу
(1 -г х)а ж 1 ах,
если х < 1.
Тем. кто сомневается в ее справедливости,рекомендуется «проверить» эту формулу на микрокалькуляторе. Для этого считайте, что а —2, и убедитесь, что (1 + х)2 = 1 — 2х, если х < 1.
Посмотрите, для каких х левая часть отличается от правой. Лучше всего вычислить отношение (1 + х)2/(1 — 2х). например, для х = 5-10 2. 2-Ю"2, 1-10-3.
Точно так же положите а = —1 и убедитесь, что
« 1 —X.
Легко установить, что
I "Т
Таким образом 1см. (6)1,
"-'•('=ьЖ'’2ТС)(|±Т-)('тЯ
Чтобы не загромождать формулы плюсами и минусами, будем считать, что At/, А/. А/. Ad принимают и положительное, и отрицательное значения, когда
(7)
27
Пренебрегая в (7) квадратичными членами типа торые возникают при перемножении, находим
А£А/ й 7
ко-
Откуда. наконец, приходим к искомому результату:
Ар р—р W о Ad А/ , А/ _ ~ ~ I LZ Z ?
Р р U dll
где Др ~ р — р. очевидно, абсолютная погрешность измерения р, а отношение др — Др/р — его относительная погрешность. Этот результат можно получить и из соотношения (1.12). Таким образом.
Др р
AL/ Г'
Ad А/ А/
4- —
(8)
т. е. относительная погрешность измерения р очень просто связана с относительными погрешностями измерения соответствующих величин U. /, /. d.
В рассматриваемом примере нам известны относительные погрешности всех величин, входящих в формул}' (2):
АУ$/=5-10Л Д//7 -5-Ю-2,
Д//7 МО-3, Ad/d—2-10-3.
Видно, что наибольший вклад вносят погрешности измерения U, lud, поэтому относительная погрешность измерения оказывается равной 1,4-10"1, а абсолютная погрешность Др = 1,4-Ю-’р.
Значение р мы уже вычисляли по формуле (2) и получили, что р — 4,9087384- 10~й Ом-м. Совершенно ясно, что в этом примере все цифры после запятой в числе р бессмысленны, поскольку Др = - 1.4 • 10_1-5-10*5 0.7-10fi« 1-10~6. Нужно взять р 4,9 v
х 10-ь 5-10~° Ом-м и записать полученный результат следую-
щим образом:
р —(5 ± !)• Ю-6Ом-м.
Методика измерений
Проверим, выполняется ли в условиях опыта соотношение (1). устанавливающее зависимость между сопротивлением R проволоки. ее длиной / и удельным сопротивлением р, т. е.: 1) является ли площадь сечения S одинаковой по всей длине проволоки (S = -= const); 2) однородна ли проволока по составу по всей длине (р -- const).
28
Для проволоки круглого сечения, имеющей диаметр d, площадь сечения S — nd3/4, первое условие сводится к тому, что d — = const. Постоянство диаметра по длине проволоки (точнее малость его отклонения от d) легко проверить: нужно измерить микрометром величину Jb достаточно большом числе точек (п > 10) вдоль всей длины проволоки. Практически оказывается, что измеренные значения dy, d.2...d„ немного отличаются друг от друга.
Поэтому результат измерений следует записать в виде
где d и находятся по формулам (1.3) и (1.4).
Если установлено, что диаметр проволоки всюду одинаков, то и
S — nd2/4 = const.
После этого легко проверить, выполняется ли условие постоянства р по всей длине проволоки. Действительно, если S и р — постоянные величины, то и их отношение p/S — const, т. е.
R = (P/R) I — const /.
Таким образом, сопротивление участка проволоки должно быть прямо пропорциональным его длине /.
Экспериментальное определение зависимости R от I проводится так: измеряют величину сопротивления проволоки при различных значениях I в интервале от / = Zo до /ш11| = (0,2 4- 0.3) /0. где /0—полная длина проволоки.
Затем по результатам измерений строят график зависимости R от /.
Если в пределах точности измерений найденные экспериментальные точки «ложатся» на прямую, то это подтверждает справедливость соотношения (9). Тогда для определения р можно пользоваться формулой (1).
Вычисление среднего значения удельного сопротивления проводится по формуле
р R
Результат измерений записывается в виде
где относительная погрешность
29
Выясним, когда эта погрешность будет минимальной, а значит, точность определения р наилучшей. Для этого нужно, чтобы каждое слагаемое в правой части было как можно меньше.
Погрешности AU, А/, Ad и А/ определяются в основном точностью самих измерительных приборов. Чтобы уменьшить погрешность Ар/р, пользуясь имеющимися амперметром, вольтметром, и микрометром, нужно проводить измерения при—наибольших возможных значениях U, / и Z. Практически это значит, что определять р нужно проводя измерения на максимальной длине проволоки. Тогда не только Z, но и U будет максимальным, а погрешность (Ар/р) — наименьшей.
Проведем оценку погрешности Ар/р для двух различных значений длины Z. Возьмем длину Z = 50 см и напряжение U = 1 В. Подвижный контакт на установке (рис. 3) имеет ширину около 1 см, поэтому AZ — 0,5 см больше половины цены деления шкалы линейки и AZ/Z — 1 - IO-2. AU равна половине цены деления шкалы вольтметра. Одному вольту соответствует 20 делений шкалы, поэтому AC//Z7 = 0,5/20 = 2,5-10~2. Таким образом, сумма этих погрешностей равна 3,5-10-2. Нетрудно подсчитать, что при Z = 10 см каждая из этих погрешностей увеличится в 5 раз, а их сумма будет равна уже 17,5-10"2 — 17,5 %. Учитывая погрешности измерений силы тока / и диаметра d проволоки, получаем в первом случае (/ 50 см) Ар/р « 10“1, т. е. 10%, тогда как во втором случае (I - 10 см) Ар/р оказывается уже около 25%.
Задание
I. Определите с помощью штангенциркуля диаметр d проволоки по всей ее длине в 10—12 точках. Определите по формуле (1.3) среднее значение диаметра и запишите результат в виде
d = d —1~ Ad.
Вычислите погрешность измерений Ad и относительную погрешность Ad/d.
2. Повторите измерения диаметра проволоки с помощью микрометра. Найдите d и Ad. Результаты измерений занесите в табл. 1 Вычислите d и Ad по формулам (1.3). (1.4) и сравните полученные результаты.
3. Определите экспериментально зависимость сопротивления R проволоки от ее длины Z. Измерения проведите для десяти значений длины Z от Z « 0,3Zo до Z — Zy, где Zo — полная длина проволоки. Результат измерений запишите в табл. 1. и 2. Погрешности А/, и AZ определите по классу точности вольтметр? и амперметра.
30
Таблица 1
<f, rf,
dl0 d A d \d d
Таблица 2
I U AU 7 A J d Ad pAp p = PihAp
Экспериментальные точки нанесите на координатную плоскость, откладывая по оси X величину I, а по оси Y — соответствующее ей сопротивление R = U/I (рис. 3). Каждую экспериментальную
Рис. 3
Рис. 4
гочку следует изображать с указанием погрешностей Д/ и Д/?, т. е. в виде пересечения двух отрезков: вдоль оси X длиной 2Д/ с центром в точке Z = 7 и вдоль оси Y длиной 2Д/? с центром в точке R = R.
Убедитесь в том, что в пределах точности измерений экспериментальные точки ложатся на прямую, как это показано, например, на рис. 4.
Контрольные вопросы
1. На установке возможны две электрические схемы включения амперметра и вольтметра. Какова систематическая погрешность измерения удельного сопротивления для каждой из схем?
2. Имеется цилиндр радиусом R и
длиной I. При измерении штангенциркулем оказалось, что R—55,3 мм, /=63,5 мм. Оцените относительную погрешность измерений объема цилиндра.
3. Получите выражение (8) для из формул (1.13) и (1.14).
31
ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ РАВНОУСКОРЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
Цель работы: изучение динамики поступательного движения связанной системы тел с учетом силы трения; оценка роли трения как источника систематической погрешности при определении ускорения свободного падения на лабораторной установке.
Оборудование: установка «машина АТвуда», набор грузов, электронный секундомер.
Материал для изучения:
Уравнения динамики поступательного движения.
Сила трения; определение погрешностей измерений.
Литература
Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. 1. Механика. М., 1989.
Савельев И. В. Курс физики. Т. 1. ДА., 1989.
Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики. М., 1989.
Теоретическое введение
Ускорение свободного падения g можно найти с помощью простого опыта: бросить тело с известной высоты h и измерить время падения t, а затем из формулы Л ~ gP!2 вычислить g.
В действительности дело обстоит не так просто, если требуется определить g достаточно точно. Определим время i падения с высоты h = 1,0 м при g, равном 9,8 м/с2:
По нашей оценке при проведении такого эксперимента необходимо измерять время с точностью до 0,01 с. Оценим разброс для — 0,44 с: /2 — 0,45 с; t:t = 0,46 с по формуле g = 2h'tr: *
——-------=ч 10,330578 м/с2 « 10,3 м/с2;
(0,44)2с2
2_M, = 9,8765431 м/с2 «9,9 м/с2;
2 м (0.46)2 с2
=а9,4517956 м/с2 « 9,4 м/с2
Понятно, что измерить время с точностью до 0,01 с не просто. Наручные часы или спортивный секундомер для такой цели непригодны.
Если увеличить высоту, то время падения тоже увеличится. Так. при h = 5 м время падения будет 1 с, а при ft = 20 м — 2 с. В этом случае можно ограничиться меньшей точностью при измерении времени, например 0,01 с, но возникает ошибка другого .характера. Сопротивление воздуха при больших скоростях играет заметную роль. Формула ft = gt2 2 описывает равноускоренное движение и. конечно, не учитывает сопротивления воздуха. Таким образом, увеличивая высоту ft, мы свеличиваем время падения и уменьшаем относительную погрешность измерения времени, но при этом вносим другую ошибку: сама формула ft ~ gt2!2 становится неточной. Более того, если кирпич сбросить с высоты h 500 м. то примерно первые 200 м он будет двигаться с ускорением, а затем сила сопротивления воздуха станет равной силе тяжести (это будет при скорости примерно 70 м/с) и тело остальные 300 м будет падать с постоянной скоростью р зг 70 м с. В этом случае формула ft — g/2/2 становится неверной. Этот простой пример наглядно подчеркивает общую черту любого физического эксперимента. В любом эксперименте точность измерений какой-либо физической величины связана не только с точностью измерительных приборов, но и с тем, насколько точно принятая модель описывает данный опыт. В рассматриваемом нами опыте мы видим, что точность измерения ускорения g связана не только с точностью измерения времени /. но и с тем,
2 Зак 15< 5
33
Рис. 5
можно или нет пренебречь трением о воздух. Иными словами, достаточноточно или нет описывает формула h = gZ2/2 движением тела.
Трудности опыта связаны с большим значением ускорения свободного падения. Так как ускорение большое, то тело быстро набирает скорость, а при этом или время падения мало и его трудно точно измерить, или сама формула h — gt*/2 не точна.
Уменьшить ускорение можно с помощью устройства, которое называют машиной Атвуда (рис. 5).
Через блок перекинута нить, на которой закреплены грузы массой М каждый. На один из грузов кладется перегрузок массой т. Ускорение грузов легко найти, если ввести два пред положения (выбрать модель’):
1) блок и нить невесомы, т. е. их массы равны нулю;
2) трение тела о воздух и трением между блоком и его осью можно пренебречь.
С учетом этих предположений уравнения движения грузов имеют вид
Mg—Т = —Ма, (!)
(/И 4- т) g — Т = (М~г т) а,
где Т — сила натяжения нитей, а — ускорение грузов. Из уравнений (1) получаем
(2)
где е —- m (2/И).
Время, за которое груз опускается на высоту К, равно
Формально из выражения (3) следует, что время падения груза может быть сколь угодно большим, если уменьшить е. Например, если взять грузы массами М = 5 кг каждый, перегрузок массой m = 1 г, то е = 10~4, а время спуска груза на высоту /г = 1 м примерно равно 45 с. Это время можно достаточно точно измерить секундомером. Однако реально такой опыт невыполним. Мы предположили, что трение в оси блока отсутствует. Но в действительности оно есть. Весь вопрос в том, можно ли им пренебречь или нет.
Если подвести к блоку на нитях тяжелые грузы, то в оси блока будет большая сила трения. Чем массивнее грузы, тем больше сила трения. Значит, необходимо брать достаточно тяжелый перегрузок, чтобы преодолеть эту силу трения и привести всю систему в движение.
34
Сделаем теперь количественные оценки. Пусть ту — масса такого перегрузка, который только-только страгивает блок с грузами. Это значит, что любой перегрузок меныпей массы не приводит систему в движение. В этом случае момент сил натяжения нитей равен моменту силы трения Мтр в оси блока:
(Т2— 7\)R = niQ gR = Л4тр,
Tt — Mg — силы натяжения нитей, R —
где = (М -г my) g и
радиус блока (рис. 6).
Момент силы трения в оси блока Л4тр Ттрг. где Гтр—сила трения между блоком и осью, г — радиус оси.
Сила трения Frv между блоком и осью пропорциональна силе давления на оси блока. Тогда
N = Лч- Г, == (2/И — my)g.
F.rp = рА = р (2М -ь /7?0) g.
где р — коэффициент трения между бло- Рис. 6
ком и осью, зависящий от свойств сопри-
касающихся поверхностей втулки блока и оси, смазки и т. и. Таким образом, момент силы трения в оси блока
Мтр = (2М -г mi}) g[it .
Обозначим г о — m(l (2М). Подставим (5) в (4):
(6)
Как видно из (6). значение еу не может быть сколь угодно малым. Оно определяется конструкцией блока (например, его радиусами R и г) и коэффициентом трения между блоком и осью.
Так как в машине Атвуда М, то е0 1 и
«о »yir/R.
Какое же значение еу можно ожидать? Типичное значение коэффициента трения р 10“2 Ч- 10-1. На наших установках r/R ~ ~ 10~2 4- 10-1. Таким образом, еу — IO-4 -? 10_*. Мы привели лишь правдоподобные рассуждения о том, каким может быть е0. Существенно то, что е0 можно оценить экспериментально. Например, на установке с грузами массой М — 86 г перегрузок массой I г не страгивает блока, а перегрузок массой 2 г приводит блок в движение. Это значит, что
6-1()-3<е„ = ^-< 1,2-Ю-2.
2М
35
В таком случае оценить е0, характеризующую установку, можно лишь по порядку величины. Как оказывается, она порядка 102. Интуитивно ясно, что трением можно пренебречь, если масса перегрузка т /и0.
Действительно, если масса перегрузка чуть больше ш0, то трение в оси блока будет решающим образом определять движение грузов. Это движение уже не будет равноускоренным. Может даже случиться, что система будет двигаться рывками, т. е. остановится, затем снова придет в движение и т. д.
Таким образом, при т >: т. е. при е > е0, формула (2) становится неверной. Можно ожидать, что при 8 е() она достаточно
точно описывает реальную ситуацию. Так как е0 < 10-2, то оптимальное значение е ~ 10“J. Это значит, что экспериментировать надо с перегрузками 5—20 г (при Л4 = 86 г). Если взять ? ~ 1, то а g. Мы приходим к случаю почти свободного падения.
Можно показать, (см. контрольный вопрос 2), что относительная погрешность при определении ускорения грузов, связанная с пренебрежением массой блока и трением, равна
\а т0 nify
(7)
и " т 2М
где тй — масса блока.
Так как величины mjm и тб/(2Л4) одного и того же порядка 10-1, то и относительная погрешность при измерении ускорения \а/а ~ 10“’. Очевидно, что такого же порядка будет и относительная погрешность при измерении g.
Методика измерений
В первую очередь необходимо определить минимальную массу перегрузка ш(|, страгивающего блок, с тем чтобы в дальнейшем проводить измерения с грузами, в 5—10 раз превышающими но массе /zip. Только в этом случае можно пренебречь влиянием трения на движение системы. Не следует стремиться определить /п0 точно, достаточно получить ее правильную оценку «сверху», например выяснить, что не превышает 1 г или 2 г. Для определения пц можно постепенно увеличивать массу перегрузка, пока блок не придет в движение. Так как блок не может быть отцентрирован идеально, то может оказаться, что в различных начальных положениях блока массы страгивающего перегрузка различны. Поэтому нужно повторить измерения zn0 в разных положениях блока, а затем в качестве оценки для тп взять наибольшее из найденных значений.
Следует убедиться, что движение системы при достаточно большой фиксированной массе перегрузка т /п0 является равноуско-
36
репным. Для этого нужно экспериментально проверить выполнение зависимости h = а?/2. Удобно переписать это соотношение в виде
из которого ясно, что в осях координат х — | fi. у I прямая t = t (Vh), проходящая через начало координат, соответствует равноускоренному движению.
Прямая t (J/h) может быть построена по экспериментальным точкам: для одного перегрузка т и ряда различных значений высоты h измеряется время падения груза. Измерения времени для каждой высоты производятся несколько раз, результаты усредняются и записываются в виде
где i — среднее арифметическое значение измеренного времени падения для данной высоты. В условиях эксперимента погрешность А/ оказывается заметно превышающей погрешность в показаниях электронного миллисекундомера (A/)ft, а именно:
А/ >> (Д/)(| = 10~3 с.
Поэтому было бы грубой ошибкой считать, что погрешность определения времени падения равна 10~3 с.
Для построения графика на оси ординат откладываются измеренные значения Z с указанием погрешности
М
где п — число измерений, — результат f-го измерения.
На оси абсцисс откладывается J/Л. Если полученные экспериментальные точки ложатся на прямую, то движение системы можно считать равноускоренным.
Наконец, важно выяснить, подтверждается ли на опыте зависимость времени падения от массы т перегрузка 1см. (2)]:
й I/ й V in V й Г
(8)
В осях координат х ~ ] М/т, у - t функция I = t (J М/т) является уравнением прямой. Зависимость / — t (КМ/т) при фиксированной высоте падения 1г может быть построена по экспериментальным точкам: для нескольких значений массы перегрузка определяется время падения / t ± А/.
37
Измерение времени падения при каждом т повторяют несколько раз, результаты усредняют и находят среднее значение 7 и разброс А/. Полученные экспериментальные данные откладываются на осях координат: на оси ординат — значения 7 с указанием погрешности А/, на оси абсцисс — соответствующие значения \ /VUm, Затем через полученные точки проводится прямая, и по ее наклону определяется значение g.
Задание
1. Определите массу т0 страгивающего перегрузка. Для этого, постепенно увеличивая массу т перегрузка, определите с точностью до 0,5 г значение /п0, начиная с которого блок приходит в движение. Измерения повторите при четырех положениях блока, каждый раз поворачивая блок примерно на 90' по отношению к предыдущему положению. В качестве /л0 следует принять наибольшее из найденных значений.
2. Определите экспериментально зависимость времени падения I груза от высоты h. Измерения проведите при определенном выбранном значении массы перегрузка т = (5 4- 10) т{}. При этом необходимо также, чтобы выполнялось неравенство
т <£2М= 172 г.
Определите время падения / для четырех-пяти высот /г, повторяя измерения для каждого значения h по четыре раза. Результаты занесите в табл. 1.
Таблица 1
h tx /3 /4 / Д/ ДЛ т
Здесь /], . . ленной высоты /?:
результаты измерения времени падения с установ-
(п — 4).
По результатам измерений в осях координат х у h, у = / постройте прямую t = t (У h). По наклону прямой определите а.
3. Определите опытным путем зависимость времени падения t от массы т перегрузка. Измерения проводите при наибольшей воз-
38
можиой высоте падения h = hmax для пяти значений массы т. Для каждого значения т повторите измерения четыре раза, результаты занесите в табл. 2.
Таблица 2
т М/т /] t2 'з
"шах
Все значения массы т перегрузка должны лежать в диапазоне
т() tn < 2Л4 = 172 г.
В нашей лабораторной установке точность Am определения массы по существу совпадает со значением массы т0 перегрузка.
По результатам измерений в осях координат х = УМ/т, у= t построй-
те прямую t — t (VМ/т) (рис. 7).
По наклону прямой с помощью соотношения (8) определите ускорение свободного падения g и погрешность Ag.
Контрольные вопросы
1. Почему измеренное ускорение свободного падения меньше, а не больше, чем 9,8 м/с!?
2. Какова относительная погрешность измерения gf
3. Блок представляет собой тонкий обруч массой тс, с невесомыми спицами и втулкой (рис. 8). Радиус обруча R, радиус втулки Г. Втулка насажена на ось. Коэффициент трения между втулкой и осью р. Через блок перекинута нить, на которой укреплены грузы массой М и перегрузок массой т. Определите ускорение а системы и относительную погрешность &а/а, связанную с пренебрежением трением и массой блока.
39
2 ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
2.1. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
Твердое тело является системой материальных точек, расстоя-
ние между которыми при движении не изменяется. При движении
вокруг неподвижной оси все материальные точки, образующие твердое тело, вращаются с одинаковой угловой скоростью со.
Пусть r-t — расстояние t-й материальной точки тела от оси вращения, a mt — ее масса (рис. 9). Тогда линейная скорость этой точки t>j -— ьуг,, а момент импульса относительно оси вращения Li = тмъ ~
Рис. 10
= nitr'ito. Момент импульса L твердого тела складывается из моментов импульса всех образующих это тело материальных точек:
L = ^Li~ (Ъгц r'i) (О,
или
(2.1) где
/ = r'i (2.2)
— момент инерции твердого тела относительно оси вращения.
Суммирование в (2.2) проводится по всем материальным точкам, образующим тело. Практически вычисление такой суммы сводится к вычислению соответствующего интеграла, что для однородных тел симметричной формы обычно является несложной задачей.
40
Под действием приложенных к телу внешних сил его момент импульса L = /со изменяется со скоростью
L = Мвнеш, (2.3)
где /Ив11ри1 — сумма моментов внешних сил, приложенных к телу:
Мввеш = 2.W; = SF; г;. (2.4)
Здесь Mj — Ffj — момент сил относительно оси вращения /-й внешней силы, приложенной к телу; F j — проекция этой силы на 1лоскость, перпендикулярную осн вращения тела; г,- — плечо этой силы (рис. 10).
2.2. Теорема Гюйгенса — Штейнера
Момент инерции тела зависит от выбора оси вращения. Однако
это не значит, что для всякой новой оси вычислять заново, пользуясь формулой (2.2).
Пусть момент инерции твердого тела относительно оси С, проходящей через его центр инерции, известен и равен /с.. Нетрудно показать, что относительно оси А А, параллельной оси СС (рис. 11), он равен
lA^lc-^tnd2, (2.5)
следует
момент инерции
Рис. И
где т — масса твердого тела, а — рас
стояние между осями.
2.3. Момент инерции твердого тела относительно произвольной оси
Для применения теоремы Гюйгенса—Штейнера нужно знать момент инерции /с тела относительно оси СС. проходящей через его центр инерции. Этот момент зависит от направления осп СС. Однако нет необходимости вычислять 1с по формуле (2.2) или измерять его для каждой оси вновь.
Оказывается, для любого твердого тела существуют три взаимно перпендикулярные осп, проходящие через его центр инерции (главные оси тела), такие, что момент инерции относительно любой оси СС выражается через моменты инерции тела /г, /.> и /3 относительно этих главных осей. Таким образом, задача определения момента инерции тела относительно произвольной оси сводится к определению главных осей и соответствующих им моментов инерции /,» /., и /3.
Как же найти главные осн инерции данного твердого тела? Главные оси легко определить для однородных симметричных тел (шар.
41
куб, цилиндр, прямоугольный параллелепипед и т. д.). Главные оси инерции таких тел всегда совпадают с осями симметрии тела. Например, главные оси однородного прямоугольного параллелепипеда проходят через его геометрический центр перпендикулярно граням (рис. 12).
Для однородного шара главными являются любые три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через его центр. Можно доказать, что таким же свойством обладает и однородный куб. Для тел сложной формы главные оси и моменты инерции обычно определяют экспериментально.
24
Рис. 12
Рис. 13
Пусть главные оси тела известны. Направим вдоль оси прямоугольной системы координат OXYZ; центр инерции тела находится в начале координат. Пусть ОС — произвольная ось, проходящая через центр инерции. Направление оси ОС задается единичным вектором п (рис. 13):
п = (/?Л, /г, rt2)=(cosa, cos р, cosy), П2 = tlx Л-fly п‘г~ cos2 а cos2 р Н- cos2 у — 1.
Момент инерции тела относительно оси ОС выражается через моменты /2 и /з следующим образом:
/ = /(11) = /^!^ + Л «»+
(2.6)
или
/ = Ix cos*- а • /2 cos2 Р -г Л cos2 у. (2 7)
Из (2.7) видно, что = I (1), /2 = I (j) и — / (к), т. е.
/2 и /я являются моментами инерции тела относительно его главных осей OX, 0Y и 0Z.
Моменты инерции /ь /2 и /я могут быть найдены экспериментально. Если они известны, то определение момента инерции тела относительно произвольной оси сводится к простому вычислению по формуле (2.7).
42
Часто выражение (2.7) записывают, вводя новые переменные
X = Пх/ J/7, у = Пу/УТ, Z = nz/VT.
В этих переменных равенство (2.7) является уравнением эллипсоида. который называют эллипсоидом инерции тела.
2.4. Кинетическая энергия вращающегося вокруг оси тела
Кинетическая массой т; равна
энергия произвольной i-й материальной точки
U7 • = 1/2mi vf = 1l*mi r't to2,
где vf = cor, •— скорость материальной точки, co — угловая скорость, — расстояние от точки до оси вращения. Суммируя кинетические энергии всех материальных точек, получим кинетическую энергию твердого тела:
W'„=XW'1!i =,/s®4Imir?)=,/?/ws- (2.8)
Формула (2.8) справедлива в том случае, когда тело вращается вокруг неподвижной оси. Если тело движется как целое и еще вращается, то его кинетическую энергию можно представить в виде суммы кинетических энергий поступательного и вращательного движений:
^K^VnmVa-l-^/cco2,
(2.9)
где Vc — скорость центра масс (центра инерции) твердого тела; /с — момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс.
2.5. Кинетическая и потенциальная энергии твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
Рассмотрим твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси. Пусть I — момент инерции относительно этой оси. Предположим, что на тело действует момент внешней силы, зависящий только от угла поворота ср тела относительно оси.
Напишем уравнение моментов [см. (2.3)1:
£ = _L_ (/„>)=/ = М(<р), (2.10)
df d/
где со = ср — угловая скорость тела. Умножим (2.10) на со:
/ы *0- = м (ф) (0 = М (ф) . (2.11)
di си
43
Так как
dw 1 do>2
df 2 df
TO
= M ((r) J2.. (2.12)
2 d/ d/
Проинтегрируем это уравнение. Для этого вычислим интегралы от левой и правой частей (2.12):
_L/CJ^If = _L/f<w=J
2 J dr 2 J 2
f M. (<p) d/ = M (<p) dtp.
(2.14)
Функция Wu (<p) = —(Л4 (<p) dtp называется потенциальной энергией,
Так как неопределенные интегралы (2.13) и (2.14) вычислены с точностью до произвольной постоянной, то в результате интегрирования (2.12) получаем уравнение
W = 1/« /о? k l^n (ф) == const, (2.15)
выражающее закон сохранения энергии: сумма кинетической энергии 1/21(м2 и потенциальной энергии 1ГП (ф) есть величина постоянная.
Рассмотрим крутильный маятник, представляющий собой массивное тело, подвешенное на тонкой упругой струне. При повороте маятника на некоторый угол <р на него со стороны струны действует упругий момент
J^ynp (ф) — Пф, где D — постоянная момента упругих сил. Эта величина зависит от диаметра, длины струны и. конечно, от того материала, из которого изготовлена струна. В том случае, когда момент сил пропорционален углу поворота, интеграл (2.14) легко берется, а потенциальная энергия крутильного маятника равна
uz„ (гр) =
ф
J Мупр(ф) ^ф-^/з^ф2. о
(2.16)
2.6. Гироскоп
Гироскоп—симметричное, быстро вращающееся твердое тело, ось которого может изменять свое положение в пространстве.
Чтобы ось гироскопа могла поворачиваться в любом направлении. его помещают в карданов подвес (рис. 14). Все три оси подвеса пересекаются в одной точке О — центре карданова подвеса.
44
Если центр масс гироскопа совпадает с центром карданова подвеса, то гироскоп называют уравновешенным.
Движение гироскопа определяется уравнением моментов
L=MM. (2.17).
Пусть гироскоп быстро вращается вокруг оси 0Y с угловой скоростью со. Если / — его момент инерции относительно оси 0Y, то момент импульса гироскопа
L == /со
есть вектор, направленный по оси OY (рис. 15).
2
а
Рис 14 Рис. 15
Допустим, что мы подвесили к оси гироскопа небольшой груз на расстоянии а от центра О. В этом случае на гироскоп действует момент силы (относительно центра О)
мВнеШ = 1а. "!ё1- <2-18)
Так как момент внешних сил определяет производную момента импульса L, т. е. скорость изменения вектора L, то вектор L с течением времени будет изменяться как по модулю, так и по направлению. Так, за время d/ вектор L получит приращение
dL —Мпнеп, d/, (2.19)
а это значит, что за время dt гироскоп повернется вокруг оси на угол d6.
Если момент внешних сил достаточно мал, то можно считать, что вектор L постоянен по модулю; он изменяется лишь по направлению, поэтому
| dL | = | L| dO.
45
Разделим обе части последнего равенства на d/: de d/
dl dr
откуда
|L|—|L||Q|, (2.20)
______ где |Q| — dO/d/ —угловая скорость вращения гироскопа вокруг оси 0Z
Теперь уточним, что значит достаточно малый момент сил
Если угловая скорость Q со, то | L | определяется в значением ®. т. е.
внешних
основном
а это значит, Таким образом,
что ]L| = const.
] должен быть таким, чтобы
гироскоп
вращался вокруг оси OZ гораздо медленнее, чем вокруг оси OY. Из уравнения моментов следует, что
I ЕI — | МПНРШ |.
Подставляя это выражение в (2.20), получаем связь между угловой скоростью Q и приложенным моментом |М
О I Мвнеп1 I
внеш г
mga
Id)
МАЯТНИК ОБЕРБЕКА
Цель работы: изучение динамики вращательного движения, оценка влияния трения на точность результатов проведенных измерений.
Оборудование: лабораторная установка.
Материал для изучения:
Уравнения динамики вращательного движения.
Момент инерции.
Сила трения.
Оценка погрешностей измерений.
Литература
Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. 1. Механика. М. 1989.
Савельев И. В. Курс физики. Т. 1. М., 1989.
Детлаф А. А., Яворский В. М. Курс физики. М., J989.
47
Теоретическое введение
В работе изучается динамика вращательного движения. В частности, экспериментально проверяется уравнение моментов для вращения вокруг неподвижной оси
/со — Мвнеш,
(I)
где / — момент инерции тела; со — угловое ускорение; — сумма проекций на ось вращения моментов внешних сил.
Рис. 16 нить натягивается и создает
На рис. 16 схематически показан прибор, с помощью которого удобно исследовать уравнение (1). Он называется маятником Обербека. Четыре к спицы укреплены на втулке
' под прямым углом. На спи-
цах находятся грузы массой /пгр каждый. Втулка и два шкива радиусами г, и г., насажены на общую ось. Ось закреплена в подшипниках, так что вся система может вращаться вокруг горизонтальной оси. Передвигая грузы по спинам, можно легко изменять момент инерции / тела. На шкив намотана нить, к которой привязана платформа известной массы. На платформу кладется груз, вращающий момент
M=Trh (2)
где Т — сила натяжения нити, гг- — радиус шкива (г,- равен г1 или г2). Силу Т можно найти из уравнения движения платформы с грузом:
mg—T — ma, (3)
где m — масса платформы с грузом, а — ее ускорение. Ускорение а связано с угловым ускорением в = со соотношением
Е=а/г. (4)
Из уравнений (2) и (3) получаем, что момент силы натяжения нити M — Tr = m(g—а) г. (5)
Кроме того, на маятник действует момент силы трения в оси Л4тр.
С учетом этого уравнения (1) имеет вид m (g—а) г—^тр = 1а!г- (6)
48
В уравнение (6) входит ускорение а платформы. Это ускорение можно довольно просто определить.
Действительно, измеряя время /. в течение которого платформа с грузом опускается на расстояние Л, можно найти ускорение а: a=2h/t-. (7)
Т о г да
gz«r2 7—Л1тР г-1 1 тг-. /
(8.
Формула (8) дает связь между ускорением а, которое можно измерить опытным путем, и моментом инерции /. В формулу (8 входит неизвестная величина — момент силы трения Л4тр. Хотя интуитивно понятно, что момент силы трения мал. тем не менее он не настолько мал, чтобы им в (8) можно было полностью пренебречь. Если положить Л4тр = 0, то можно убедиться, что результаты опыта будут отличаться от зависимости (8). Можно по порядку величины экспериментально определить Л1тр и это нужно, конечно, сделать в начале работы. Для этого, с помощью нескольких грузов увеличивая силы натяжения Т нити, найдите минимальное значение массы гпа. при которой маятник начнет вращаться. Дальнейшие измерения нужно проводить с грузами массой tn > 10 /и(>. На первый взгляд относительную роль момента силы трения можно уменьшить, если взять грузы массой т т.(), допустим, груз т = 103/7zo. Однако это не так по двум причинам. Первая — увеличение массы груза приводит к увеличению силы давления /V на ось, а значит, и к росту момента силы трения Л4тр — нЛД. где и — коэффиииеш трения, г — плечо силы трения. Вторая причина состоит в том. что увеличение т уменьшает время падения Л а значит, ухудшает точность измерения ускорения а (см. (8)1.
Момент инерции, входящий в (8). согласно теореме Гюйгенса — Штейнера может быть записан в виде
/.— 4/Ирр /?".
Здесь R — расстояние центров грузов mrp от оси вращения. /0 -I (R ~ 0). т. е. равен моменту инерции системы при R = 0. В (8) входит также отношение
тг- тг'1
1 /я 4тГр/?2
В условиях опыта оно меньше или порядка 10-2 (убедитесь в этом!). Пренебрегая этой величиной в знаменателе выражения (8). получаем формулу, которую можно проверить экспериментально:
Итр).
(10)
49
Измерения
Представляет интерес экспериментально исследовать две зависимости.
Первая — зависимость углового ускорения е от момента внешней силы М = mgr при условии, что момент инерции / остается постоянным.
Если на оси ординат откладывать угловое ускорение е, а на оси абсцисс — mgr, то. согласно (10). экспериментальные точки должны ложиться на прямую. Из (10) видно, что наклон этой прямой равен 1 /, а точка пересечения с осью абсцисс дает Л4тр.
Если экспериментальные данные подтверждают линейную зависимость е от mgr, то можно приступить к изучению второй зависимости — зависимости момента инерции / от расстояния R грузов mrv до оси вращения маятника (рис. 18).
Согласно теореме Гюйгенса—Штейнера.
/ (#) = /о4-4щгр/?2.
Выясним, как проверить эту зависимость экспериментально. Для этого преобразуем соотношение (10), пренебрегая в нем малой величиной (моментом силы трения /Мтр) по сравнению с моментом mgr. Из (16) имеем
(ingr — 7ИТ„) »
ГП£Г
/о-т“4/Нгр R2
Следовательно.
.е /р — __ о _|_ R j2 (11)
а тг- тг- т \ г '
Из (11) понятно, как экспериментально проверить зависимость (11): нужно, выбрав постоянную массу т груза, измерять ускорение и при различных положениях /? грузов /пгр на спицах. Результаты измерений удобно изобразить в виде точек на координатной плоскости ХОУ, где х — (R!r)\ у = g/a.
Если экспериментальные точки в пределах точности измерений ложатся на прямую, то это подтверждает зависимость (11), а значит, и формулу
/ (R) ~ 4лнгр R2.
Отметим, что при выводе формулы (11) мы пренебрегли моментом сил трения, т. е. считали, что Мгр << mgr. Значение Л4тр получено из графика зависимости е = в (mgr) при R = const. Это и позволяет выбрать массу перегрузка так, чтобы неравенство mgr Л1ТР заведомо выполнялось.
Роль момента сил трения можно оценить и иначе. Для этого заметим, что если маятник в начальный момент вращается с угловой
50
скоростью to,,, то к моменту остановки он повернется на угол q, определяемый из соотношения
1/2/^-Лр-/Итрф, (12)
где Vo/tOo — начальная кинетическая энергия вращающегося маятника. Дтр — работа сил трения. В (12) предполагается, что момент сил трения является постоянной величиной и связан с угловым ускорением соотношением
(13)
где е(|—ускорение, определяемое только моментом сил трения Из (12) и (13) находим
ю*==2еоч>. (14)
Пусть п — полное число оборотов, которое делает маятник до остановки, а То — период вращения маятника в начале движения. Тогда ср 2лп, со,, = 2л Т„ и из (14) получаем
Отсюда ясно, как на опыте определить е0: нужно измерить время TQ, за которое совершается первый оборот, и полное число п оборотов маятника до остановки. Во всех дальнейших измерениях нужно следить, чтобы выполнялось неравенство г(> е.
Задание
1. Сбалансируйте маятник. Для этого оставьте на крестовине два груза на двух противоположных спицах на равных расстояниях от оси вращения. Спины, на которых находятся грузы, соединены со втулкой резьбой. Вращая спицы в резьбе, добейтесь равновесия. Затем точно сбалансируйте грузы на второй паре спиц на таком же расстоянии от оси вращения.
Полезно несколько раз привести маятник во вращение, каждый раз давая ему возможность остановиться. Подумайте, как на основании этих опытов определить, хорошо ли сбалансирован маятник.
2. Определите приближенно минимальную массу при которой маятник начинает вращаться, и оцените момент сил трения из соотношения
/Ит|> » magr,
' де г—радиус шкива, на котором подвешен груз
3. Оцените ускорение е0, возникающее под действием момента сил трения. Для этого приведите маятник во вращение, измерьте время То, за которое он совершает первый оборот, и полное число оборотовп маятника до полной остановки. Затем по формуле (15) вычислите е0. Измерения повторите три раза и сравните соответствующие им значения е0.
51
4. Определите экспериментально зависимость углового ускорения f маятника от момента приложенной силы mgr. В этой серии измерений момент инерции маятника должен оставаться постоянным: / = const.
Для определения зависимости е = е (mgr) измерьте время /. за которое груз т опускается на расстояние /г. Измерение времени I для каждого груза при постоянном значении /г повторите три раза. Затем найдите среднее значение времени падения груза по формуле
(I
и определите среднее ускорение груза из соотношения (7):
a — 2h!t\
Эти измерения и вычисления повторите для пяти значений массы т груза, причем для всех т должно выполняться неравенство т /н0, где т0 — масса перегрузка, страгивающего маятник (см. п. 2).
Результаты измерений запишите в табл. 1.
Таблица 1
/3 / Л/ h. ДЛ е
Af mgr
r — &mgr =
I. Время А/ определяется из соотношения (1
п
At--
2. Угловое ускорение находится но формуле е— а‘г.
3. Д/л определяется с точностью, с которой известна масса грузов т.
Полученные экспериментально точки отложите в координатной плоскости х •=•- mgr, у — е и по ним постройте график зависимости (рис. 17. а).
5, Проверьте экспериментально зависимость (И). Для этого, взяв постоянную массу груза т тп. определите ускорение а гру-?а т при пяти различных положениях R на спицах грузов
52
В каждом положении R измерения времени падения t груза гп с высоты h повторите три раза. Результаты измерений занесите в табл. 2. где 7, Д/, Д/г определяются так же, как в табл. 1.
Полученные экспериментальные точки нанесите с учетом погрешностей в координатной плоскости х (R г)1 2, у — g/a и постройте график зависимости у — у (х) (рис. 17, б).
Таблица 2
Контрольные вопросы
1. Почему стремятся уменьшать
момент сил трения? Казалось бы, даже большую величину Д1тр можно легко учесть с помощью уравнения (2.13).
2. Какую из величин в данном эксперименте следует измерять с наибольшей точностью?
3. Сформулируйте и докажите теорему Гюйгенса — Штейнера.
ГИРОСКОП
Цель работы: изучение движения гироскопа под действием внешних сил.
Оборудование: лабораторная установка для изучения прецессии гироскопа.
Материал для изучения:
Уравнение моментов.
Гироскоп.
Вынужденная прецессия гироскопа.
Литература
С иву хин Д. В. Общим курс физики. Т. 1. Механика. М., 1989.
Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики. М., 1989.
Теоретическое введение
В данной работе в качестве гироскопа используется ротор 1 асинхронного электродвигателя, частота вращения которого может достигать 12-103 об/мин (рис. 18). На ось двигателя 5 насажен массивный фигурный стальной маховик 3. С противоположной стороны на статоре двигателя укреплен стержень с делениями 17 и конргру-зом 18. Двигатель устанавливается на опорной вилке 16 и может свободно поворачиваться в ней вокруг горизонтальной оси. В свою очередь, опорная вилка вместе с гироскопом устанавливается на основании 13. Гироскоп может вращаться вокруг вертикальной оси. С этой целью ось 15 крепится в двух опорных подшипниках 14.
12 7/ 10 $
Рис. I8
На вертикальной оси на изоляторах укреплены скользящие электроконтакты 6 в виде щеток для подвода электропитания к электродвигателю.
Маховик и вертикальная ось снабжены специальными дисками, в которых по периферии сделаны равномерные прорези-щели, служащие совместно с источниками света 7 и 2 и фотоприемниками 8 и 4 и датчиками при измерении ю и Q.
Электрические сигналы с фотоприемников поступают в измерительное устройство — электронный секундомер 12.
Измерение силы тока в обмотке возбуждения электродвигателя, пропорциональной ю, производится прибором 11, установленным на передней панели электронного секундомера. Питание электродвигателя и электронного секундомера осуществляется от блока питания 10, включаемого в сеть через стабилизатор напряжения 9.
Ранее теоретически уже были рассмотрены некоторые особенности движения симметричного гироскопа. В частности, получена за-
55
внешность между угловой скоростью прецессии Q и моментом силы Л4:
| М | mg а
|L| ~ 7м
0)
где т — масса груза, а плечо силы тяжести mg груза, / — момент инерции гироскопа относительно горизонтальной оси, со — угловая скорость вращения гироскопа.
Измерения
Убедиться, что гироскоп может вращаться вокруг горизонтальной и вертикальной осей. Для этого, не включая двигатель, покрутите ротор рукой за маховик; затем убедитесь в том, что гироскоп может вращаться вместе с опорной вилкой вокруг вертикальной оси.
Стойку гироскопа с помощью регулировочных винтов установите вертикально. Далее необходимо сбалансировать гироскоп. Это делается путем перемещения груза (противовеса) по стержню Когда гироскоп сбалансирован, то при легком постукивании по противовесу он не должен вращаться в вертикальной плоскости Положение груза, при котором гироскоп сбалансирован, следуе! записать, поскольку именно от этого положения отсчитывается величина а.
гловая скорость со вращения ротора двигателя измеряется прибором. расположенным на передней панели установки.
Прибор проградуирован в единицах: обмин-103. Так, например. делению «8» на шкале прибора соответствует частота v = со (2л) — 8-103 об/мин.
Задание
I. Исследуйте зависимость Q — Q (со). Включите питание гироскопа и немного подождите, чтобы вращение ротора успело стабилизироваться. Сместите противовес на величину а = 4 ч- 6 мм от положения равновесия. Изменяя частоту вращения ы ротора, исследуйте зависимость Q от ш при постоянном смещении а. Результаты занесите в табл. 1, отметив рядом с ней смещение противовеса из положения равновесия.
Таблица t
56
Постройте график зависимости скорости прецессии Q (<о) от угловой скорости вращения гироскопа.
Сравните построенный график с теоретической зависимостью, предсказываемой соотношением (1).
2. При некотором фиксированном значении о) измерьте зависимость угловой скорости прецессии Q от смещения а противовеса из положения равновесия.
Результаты занесите в табл. 2, указав рядом с ней угловую скорость w гироскопа, при которой проводились измерения.
Таблица 2
По полученным данным постройте график зависимости Q от а.
3. Из построенных зависимостей Q (ю) и Q (а) оцените величину момента инерции / гироскопа [см. (1)1.
Поставьте груз в положение равновесия. «Поиграйте» с гироскопом, нажимая карандашом на груз так, чтобы гироскоп поворачивался в ту или иную сторону вокруг вертикальной осп. Посмотрите, поднимается или опускается груз. Объясните эти результаты.
Контрольные вопросы
1. Выведите
равнение моментов
L = M ннсш для системы материальных
точек.
2. Выведите формулу (2.37).
3. Имеется быстро вращающийся вокруг оси О) гироскоп. К точке /1 прикладывают силу / вдоль оси ОХ. При этом ось гироскопа поднимается вверх. Укажите направление угловой скорости вращения <о гироскопа (рис. 19).
Рис. 19
Q КОЛЕБАНИЯ
Ризическии маятник
Физический маятник (рис. 20) представляет собой твердое тело, которое может совершать колебания относительно горизонтальной неподвижной оси О.
Пусть центр масс маятника находится в точке С на расстоянии а от оси вращения О. Так как ось О неподвижна, то движение маятника определяется уравнением моментов (2.2) относительно этой оси:
То = ДО
Овнеш •
Пусть /(, — момент инерции маятника относительно оси вращения О, со = 0 — угловая скорость, тогда Lo = /()со — /(>0. Момент внешних сил AL складывается
Рис. 20
из момента силы тяжести
ДОТНЖ = —mgasinO
и момента сил трения, модуль и направление которого зависят от угловой скорости маятника:
м гр=/Итр (ё).
Таким образом, уравнение движения маятника (уравнение моментов) можно записать в виде
-^-(/oe)=.MTn,„+MTP,
или, считая, что момент инерции /0 = const,
/о0 = —mgasin 0 + ДОтр (б)« (3.1)
В это уравнение входят неизвестная функция — угол отклонения маятника 0 (/) — и ее производные по времени: угловая скорость 0 (/) и угловое ускорение б (/). Наша задача — найти эту неизвестную функцию. Зная 0 (Z), мы полностью определим движение маятника в любой момент времени.
Для вычисления 0 (/) из уравнения (3.1) необходимо знать зависимость момента сил трения от угловой скорости, т. е. функцию Мтр (0). Эта зависимость может быть сложной. Поэтому при учете трения применяются различные идеализированные, т. е. приближенные виды такой зависимости.
58
Свободные незатухающие колебания
В самом грубом приближении полагают, что трением можно пренебречь, т. е. Мгр — 0. Тогда уравнение принимает вид
/о0 = —rnga sin 0.
Это уравнение, справедливое при любой амплитуде колебаний маятника, является довольно сложным. Оно значительно упрощается в случае малых колебаний, когда угол отклонения маятника из положения равновесия мал, т. е. 0 1, и можно положить sin 0 —
= 0. Для малых колебаний уравнение движения маятника принимает вид
/о0— mgaft = 0. (3.2)
Решением этого уравнения называется любая функция времени 0 (/), обращающая его в тождество. Это решение можно записать в виде
0 (/) = A sin (w0 i -j- ср), (3.3)
где А — амплитуда колебаний, ср — начальная фаза. соо — частота колебаний.
Покажем прямой подстановкой, что 0 (/) в (3.3) является решением уравнения (3.2). Дважды дифференцируя 0 (/) по времени, находим
0 (t) = —% A sin (соо t + ср).
Подставим это выражение в (3.2). Тогда
—- /0 tu; A sin (соо 14- ф) + mgaA sin (со() I + ф) = 0, или
(/0 coj— mga) A sin (со(, t +ф) = 0.
Это соотношение удовлетворяется в любой момент времени при условии
/0 coj — mga — 0.
Следовательно,
о)о = |/ IngajT^, (3.4)
а уравнение движения (3.2) можно записать в виде
Таким образом, движение физического маятника в рассматриваемых условиях (трения нет, малая амплитуда) представляет собой синусоидальные или, как говорят, гармонические колебания. Эти
59
колебания являются незатухающими, т. е. происходят с постоянной амплитудой (рис. 21).
Пусть Т — период колебаний. Тогда
0 (Z-h Г)6 (/)
или
A sin |w0 (t -и Т) + <р] = Л sin (<оо / ~г<р).
Это равенство выполняется при «)0Т = 2л; следовательно, период колебаний равен
Амплитуда А и начальная фаза <р колебаний маятника могут быть произвольными. Это, конечно, не значит, что их нельзя опре-
-Д
Рис. 21
делить. Если, например, известны положение и скорость маятника в начальный момент t — 0, т. е. известны величины б (0) и 0 (0), то полностью определяются и амплитуда, и начальная фаза колебаний. В самом деле, при t = 0 из (3.3) имеем
0 (0) == A sin ср, 0 (0) = A cos <р.
(3.7)
Следовательно,
Таким образом, амплитуда и фаза колебаний полностью определяются начальными условиями, т. е. величинами 0 (0) и 0 (0). Например, если 0 (0) — 0, 0 (0) = 0О (в начальный момент маятник покоится в положении 0 — 0О), то находим А — 0О, ср = 0. т. е. маятник колеблется с амплитудой, равной начальному отклонению 0О:
0 (0 — % sin (w01 + л/2).
60
«Легко найти энергию W маятника в момент времени г при любой амплитуде колебаний. Будем считать, что трения нет (7Итр = 0). Умножая обе части уравнения (3.1) на 0, находим
/о 0 0 Ч~
mga sin 0« 0 — 0.
Но 00
можно
_ d_ 0_ \2 ~ di 2/ ’ записать
sin 0-0 = — (— cos 0), поэтому данное уравнение
<1/
в виде
d
d/
— mga cos 01 — О
или
U7 = 1/2/() 02—mga cos 0 = const.
(3.8>
Здесь первое слагаемое М7К = 1 2/о02 — кинетическая энергия маятника, U7u — — mga cos 0 — его потенциальная энергия (нулевой уровень U7u = 0 соответствует оси маятника). Таким образом, соотношение (3.8) выражает закон сохранения полной энергии маятника при отсутствии сил трения.
Свободные затухающие колебания
Предположим, что на маятник действует момент сил трения, пропорциональный угловой скорости его движения («вязкое» трение):
Мтр = -60,
где постоянная величина b >0. Такая зависимость трения от скорости часто является хорошим приближением к реальной сложной зависимости Мтр (0). Тогда при малых колебаниях маятника уравнение движения (3.1) принимает вид
/0 0 = — mgaQ — д0,
или
или
0 Ч~ 260 Ч-(о* 0 == 0. (3.10)
Мы ввели обозначения
6 = Ь/(2/о), (о0 = ]/ mga( /0.
Непосредственной подстановкой легко проверить, что функция вида
О (/) = Де~б/sin (со/+ ф)
61
является решением уравнения (3.10). причем частота равна
со = J .
(3.12)
Характер движения маятника, т. е. вид функции 6 (7), сильно зависит от соотношения между коэффициентом затухания 6 и собственной частотой соо. Если 6 соо (трение мало), то 0 (/) представляет собой медленно затухающую синусоиду: маятник соверша-
Рис. 22
ет почти гармонические колебания, амплитуда которых слабо изменяется за один период колебаний (рис. 22):
<0 (Оо
Строго говоря, затухающие колебания не являются периодическими. т. е. с течением времени их амплитуда убывает. Амплитудой колебаний в момент времени f по аналогии с незатухающими колебаниями (3.3) называют величину A (t) — Ae~6z, т. е. коэффициент при функции sin (со/4-ср) в (3.11). Это определение амплитуды имеет смысл только для слабо затухающих колебаний, когда уменьшение амплитуды за один период Т является незначительным.
Уменьшение амплитуды затухающих колебаний за один период Т характеризуется логарифмическим декрементом затухания d:
d = In - (f)----
A (1±Т)
Так как A (t 4- T) = + n = Д (/) e~67\ то логарифмиче-
ский декремент затухания равен
d=6T. (3.13)
Чем меньше d, тем ближе вид колебаний к синусоидальным.
62
Пусть N — число колебаний, по истечении которых амплитуда уменьшается в е « 2,7 раза. Тогда.
Л (t + NT) = Л (/) е ~6ЛТ = А (/) е-1,
откуда следует что 6А/7"* —• 1. Таким образом,
jv = -L_=J_ (3.14)
ат d
т. е. обратная величина логарифмического декремента затухания и есть искомое Af.
Часто для характеристики колебательной системы пользуются понятием «добротность». При малом затухании колебаний за пе-риод, т. е. при d 1, добротность равна
Q=zi/d—:iN. (3.15)
Очевидно, что чем больше добротность системы, тем больше колебаний она совершает при выведении ее из положения равновесия.
Если трение велико (6 ю0), то колебания практически не осу-
ществляются: маятник, преодолевая трение, перемещается под действием момента силы тяжести к положению равновесия.
Скорость затухания свободных колебаний часто характеризуют временем релаксации
т==1/6. (3.16)
Очевидно. что за время релаксации т амплитуда свободных колебаний уменьшается в е « 2,7 раза, а энергия колебаний, пропорциональная квадрату амплитуды , в е2 » 7 раз. За время, составляющее несколько т, колебания практически исчезают. Так, за время 7т амплитуда колебания уменьшается примерно в 103 раз, а энергия__в 10ft раз. Отсюда становится понятным, почему вели-
чина т называется временем релаксации, т. е. временем исчезновения, «успокоения» колебаний системы: за время в несколько т энергия системы уменьшается в тысячи раз.
3.2. Гармонический осциллятор
Мы подробно рассмотрели движение физического маятника.
Многие задачи в физике и технике приводят к уравнению движения такого же вида, как и уравнение движения физического маятника (3.6):
х-|-со“х —О, (3.17)
в котором л»о — положительная постоянная величина, а функция х (/) не обязательно угол отклонения. Такое уравнение называется уравнением незатухающего гармонического осциллятора, а любая система, описываемая этим уравнением, называется незатухаю
63
щим гармоническим осциллятором или, иначе, осциллятором без трения.
Если движение какой-либо системы описывается уравнением вида (3.9), т. е. уравнением
х + 26х -j- <о; х — О,
(3.18)
то такую систему (при 6 >0) называют гармоническим осциллятором с вязким трением или затухающим гармоническим осциллятором .
3.3. Крутильный маятник
Интересным примером гармонического осциллятора является крутильный маятник. Он представляет собой массивное тело, подвешенное на тонкой упругой струне или кварцевой нити. При повороте маятника из положения равновесия на некоторый угол 0 на него со стороны нити действует «упругий» момент
МУпр=—ое,
(3.19)
пропорциональный углу поворота 9; D — постоянная, характеризующая момент упругих сил (аналогична жесткости k пружины).
Если струна достаточно тонкая и длинная, то, как показывает опыт, зависимость (3.19) справедлива и для довольно больших углов, например 0 2л.. Кроме того, затухание крутильного маят-
ника обычно мало. Все это делает его удобным прибором для измерения различных физических величин.
Затухание маятника определяется моментом сил трения, пропорциональным угловой скорости 0:
Л4тр = —Ь0.
(3.20)
Движение маятника описывается уравнением моментов
/ё = .мто+м * г
унр»
(3.21)
которое с учетом (3.19) и (3.20) легко привести к уравнению осциллятора с вязким трением:
ё + 2бё-Но>‘0=0, (3.22)
гае / — момент инерции маятника относительно оси вращения, 6 Ь'(2/) постоянная затухания, <оо = \fDll.
Согласно (3.6). период слабозатухающих (6 <о0) колебаний
маятника равен
Т « Го= 2л/со0 = 2л VHD
(3.23)
Это выражение указывает простой путь для вычисления D, если известен момент инерции / — измерить период колебаний маят-
64
ника Т. И наоборот, если D измерено, то с помощью (3.23) можно определить момент инерции /.
Уравнение (3.22) описывает свободный затухающий осциллятор, т. е. осциллятор при отсутствии внешних сил. Рассмотрим теперь задачу о движении осциллятора под действием внешней силы. Пусть при этом сила имеет «импульсный» характер: она действует в течение короткого промежутка времени Д/, малого по сравнению с периодом колебаний Т, т. е. Д/ Т. Сила такого типа возникает, например, при соударении пули с маятником.
Рассмотрим следующую задачу.
Пуля массы т, имея скорость v, ударяется о маятник (рис. 23) и застревает в нем на расстоянии I от осн. Как связана амплитуда колебаний со скоростью пули?
Будем считать, что в начальный момент времени до удара пули маятник находится в состоянии равновесия
О (0) =;6 (0) = 0.
Непосредствен но во время удара на маятник со стороны пули действует сила F (/) (рис 24) Мы, конечно не знаем характера взаимодействия пули с. маятником, т с. нам не известен явный вид функции / (/). Мы лишь можем считать, что сила вначале до удара была равна нулю, потом, в какой-то мо меш времени, достигла максимума и в момент времени / = А/ опять с ала равной нулю (рис. 24). Для решения задачи важно лишь то, что время соударения \t мало по сравнению с периодом колебаний Т. а сама зависимость /' (/) оказывается несущественной.
Во время удара на маятник действуют моменты упругой
силы Л4упр DfJ(/), силы трения Л1 р - !>()(/) и момент внешней си-ты Л1инё1П = IF (/). Что можно сказать об их величинах? Естественно предположить, что за время А/удара маятник почти не сдвинется. т. е. б(А/) ().
поэтому Aly,,,, < Мцнеш-
Пусть затухание маятника мало, а его скорое и> 0 (Az) после удара не столь велика, чтобы средний момент трения WTp Ь 0 (Az) был порядка среднего момента внешней силы. Можно поэтому предположить, что для слабо стукающего маятника (Ь « 0 А4тр А4ир€П1. С учетом этих предположений уравнение движения маятника
/Н — /И у цр
1 Л4-|-р-! 4'!вцрш ^ннсш
65
В сущности, мы считаем, что во время удара ускорение маятника определяется в основном моментом силы взаимодействия пули с маятником Из Полученного уравнения легко найти скорость маятника после удара:
А/ А/
б (/V) = |* (id/ — f /' (/) d/.
b о
А/
Отметим, что | /•'(/) d/ часто называют импульсом силы. Он, очевидно, численно равен заштрихованной под кривом F (/) площади (рис. 24). Обозначим угловую скорость маятника после удара
д/
(3.24)
0
После удара маятник будет находиться в другом состоянии с начальными условиями О (А/) — 0, 0 (А/) = Q, В этом состоянии его кинетическая н потенциальная энергии равны
V2 /О2 = = 1 /М* О.
После удара маятник будет совершать колебания. Если затухание b мало, то полная энергия маятника за период почти
1/2/Я= = 1/2ОЙ,?1|1х
(0П1Ях — амплитуда колебании), откуда амплитуда
Ртах = Й V77> = «/<ott.
Таким образом, измеряя амплитуду колебаний
А/
Муле (3 26) определить импульс силы | F (7) d/ п
Обсудим теперь тс приближения, которыми мы пользовались при выводе (3.26). Мы предполагали, что смешение маятника за время А/ мало. Фактически мы считали, что
6 (А/) Q/CO0.
Так как А/ Т = 2л.<о0, то
не изменится, поэтом} (3.251
колебаний равна
(3.26)
0,на\• МОЖНО ПО фор-
11 паше предположение справедливо.
Получим теперь связь между угловой скоростью маятника и скоростью с пули. При взаимодействии пули с маятником па пулю со стороны маятника действует сила —F (f). I роекния момента этой силы на ось вращения маятника М — —F (/) /, поэтому уравнение моментов сил для пули имеет вид
т/2ф=—(3.27)
где mF — момент инерции нули относительно оси вращения, q — угловое ускорение пули.
Из (3.27) получаем, что угловая скорость пули в момент времени / — А/ ест ь
А/
<р(А/) = ф(О)--Ц- С F (/) d/,
J
о
66
где (р (0) — и‘1 — угловая скорость пули в момент удара при / ~ 0. С учетом (3.24) формула принимает вид
V /
ср (А/) ==----й------(3.28)
I пг Г-
Так как после удара пуля застревает в маятнике, w угловые скорости пули и маятника равны, г. е. <f (А/) =* Q. Учитывая, что момент инерции / маятника много больше момента инерции ml~ пули, из (3.28) получаем
(3.29)
Подставляя (3 29) в (3.26), находим связь между скоростью пули b момент соударения с маятником и максимальным углом его отклонения.
(3 30)
3
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
Цель работы: изучение свободных колебаний маятника, с хорошей точностью удовлетворяющего модели математического маятника; оценка точности реализации этой модели в лабораторной установке; определение ускорения свободного падения; оценка результатов измерений и расчет погрешностей.
Оборудование: лабораторная установка.
Материал для изучения:
Свободные колебания маятника.
Определение погрешностей при прямых и косвенных измерениях.
Литература
Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. 1. Механика. М., 1989.
Кассандрова О. Н., Лебедев В. В. Обработка результатов наблюдений. М., 1970.
Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики. М., 1989.
Теоретическое введение
Период малых колебаний физического маятника равен
Т = 2.п J/ IG/(mga),
(1)
где /0 — момент инерции маятника относительно оси качаний 00. ш — масса маятника, а -- расстояние от оси качаний маятника до его центра масс С, g—ускорение свободного падения.
В данной работе проводится экспериментальная проверка соотношения (1) в случае, когда маятник можно приближенно считать математическим, т. е. когда масса маятника со-
средоточена в области, размеры которой малы по сравнению с а.
Исследуемый в лабораторной установке маятник схематически изображен на рис. 25. Он представляет собой стальной шарик радиусом г на бифилярном подвесе: тонкая нить пропущена через центр шарика, концы нити закреплены на стойке. Длина подвеса может регулироваться в пределах от нескольких сантиметров до 1 м. Период колебаний с высокой (до 10-'’ с) точностью измеряется с помощью электронного
секундомера. Рис. 25
Момент инерции маятника складывается из момента инерции шарика и момента инерции нити подвеса. Пренебрегая моментом инерции нити, запишем момент инерции маятника относительно оси 00 в виде
/0 = /с r md1 1ьшг- А-та2.
(2)
Соотношение (2) следует из теоремы Гюйгенса—Штейнера, если учесть, что момент инерции однородного шара радиусом г и массой т относительно осн. проходящей через его центр, равен
Рассмотрим случай, когда радиус шарика мал по сравнению с длиной подвеса: г а. Тогда в (2) можно пренебречь слагаемым -tfpit*. малым по сравнению с та2. и положить
/0— та2. (3)
В этом приближении /0 определяется, очевидно, с небольшой систематической погрешностью
спет
и
которую в условиях опыта легко оценить. С учетом (3) период колебаний маятника можно записать в виде
(5)
69
Он, как и должно быть, совпадает с периодом колебаний математического маятника, длина подвеса которого а. Из (5) находим следующее выражение для ускорения свободного падения:
(6) г “
Измерения
Соотношение (6) позволяет опытным путем определить ускорение свободного падения. Для этого, очевидно, необходимо измерить период колебаний маятника Т и длину подвеса а, затем рассчитать g по формуле (6).
Однако, прежде чем перейти к определению^, необходимо выяснить, применимо ли вообще соотношение (6) для лабораторной установки.
Дело в том, что выражение (1) для периода колебаний справедливо для идеализированной модели физического маятника. Следовательно. и соотношение (6) также справедливо только в рамках этой модели. При выводе соотношения (1) были сделаны следующие предположения:
1) маятник совершает колебания малой амплитуды, и поэтому период колебаний не зависит от амплитуды (изохронность колебаний);
2) затуханием колебаний можно пренебречь.
Непосредственным измерением легко проверить, что периоды колебаний маятника при малой (порядка 3—5 ) и большой (30—45') амплитудах заметно отличаются. Так как расчетная формула (6) применима только для малых амплитуд, то необходимо определить, в каком диапазоне амплитуд период колебаний остается постоянным с достаточно высокой точностью (например, с точностью до 0.5%). Это легко сделать измеряя период колебаний маятника для различных значений амплитуды в пределах от 2—3 до 10—15°.
Обсудим теперь, как можно оценить влияние затухания на период колебаний маятника. Отклонив маятник из положения равновесия. легко проверить, что колебания его постепенно затухают. Количественную оценку величины поправки ДГ к периоду можно получить, если учесть, что основной причиной затухания колебаний маятника является вязкое трение о воздух.
В этом случае действующая на шарик сила трения пропорциональна скорости его движения:
= —bv, b >0. А г
Период колебаний маятника несколько увеличивается, а частота колебаний уменьшается по сравнению с частотой маятника без трения. При этом частота колебаний
W =]/ со £ — 62
(7)
70
а их период
2л
со
2л
где (о0 = | mga /(> ^ Г g/a.
Коэффициент затухания выражается через число колебаний N. за которое амплитуда колебаний уменьшается в е = 2,78 ~ 3 раза:
(9)
!V I /V / П
1см. (3.14)1. Из соотношений (7), (8) и (9) находим
(О — ю0
= <0о
8л2 3 Л2 /
(Ю)
у, 2л 2л
(О О) о
Таким образом,
8л2 Л/2
8л2 /V2
(12)
О 4»
10 поправка (12) к периоду колебаний
— = 2 л ] / (О(1 \/
о и ею можно пренебречь.
Видно, что уже при
9 о tnn II
меньше О,]1’
Задание
1. Определите диапазон изохронности колебаний. Для этого измерьте период колебаний маятника для 8—10 значений амплитуды 0 в пределах от 0 до 30 . Результаты занесите в табл. 1. Выясните, в каком диапазоне амплитуд колебания можно считать изохронными с точностью до 0,1; 0,5: 1 К».
Таблица 1
2. Определите по формуле (12) влияние затухания на период колебаний. Для этого найдите число N колебаний, за которое амплитуда колебаний маятника уменьшается примерно в три раза.
3. Вычислите наименьшую длину подвеса маятника при которой с точностью до 0,5 °о можно считать момент инерции маятника равным /0 = тег. Для этого в соотношении (4) примите A/unCT//ft = 0,005 и вычислите дп11п.
71
4. Проверьте, подтверждается ли па опыте линейная зависимость 4л1 2
между квадратом периода колебаний Тг и длиной а подвеса [см. (6)1.
Для этого измерьте период колебании маятника для четырех-пяти длин подвеса в пределах от amlw 25 см до атах — 1 м.
При измерениях амплитуда 6 колебаний должна быть малой, т. е. находиться в найденном выше диапазоне изохронности. Результаты измерений занесите в табл. 2.
Таблица 2
Г (а)
Т'Ча)
По результатам измерений постройте график зависимости Т~ от а в осях координат Л — и, Y — Т-.
5. Определите ускорение свободного падения g. Для этого измерьте период колебаний Т маятника при наибольшем значении длины подвеса а = а1Пах, чтобы уменьшить относительную погрешность Да а. Вычислите g с помощью формулы (6) при найденных значениях Т и а.
Оцените погрешность ^g'g и запишите полученный результат в виде
g=^g ±&g-g I ±&g/g =
Контрольные вопросы
1. На основании измеренных в работе данных оцените добротность и логарифмический декремент затухания маятника.
2. Основной причиной затухания колебаний маятника является вязкое трение о воздух. На шар радиусом g, движущийся со скоростью v, действует сила трения
= 6л7?1|1У,
где q — коэффициент вязкости. Вязкость воздуха при нормальных условиях q = 1,7-10’’“ Па-с Оцените максимальную силу трения, действующую на шар в условиях опыта.
3. Маятник (рис. 26) отводят из положения равновесия на угол 0 = 90 и без толчка отпускают. Оцените силу натяжения нитей в тот момент, когда
Рис. 26
он проходит положение равновесия
Длина нитей / = 40 см, диаметр шара d=2,2 см, а — 8 см, плотность стали 7,8 г/см3.
72
ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
Цель работы: изучение свободных колебаний физического маятника.
Оборудование: лабораторная установка.
Материал для изучения:
Уравнение движения физического маятника.
Теорема Гюйгенса — Штейнера.
Момент инерции твердых тел.
Литература
Сивухин Д. В. Общий курс физики. 'Г. I. Механика. М., 1989.
Савельев И. В. Курс физики. Т. 1. М„ 1989. ,non
Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики. М., 19oJ.
Теоретическое введение
Период малых колебаний физического маятника равен
(1)
где /0 — момент инерции маятника относительно оси качании О, т — масса маятника, а — расстояние от оси О до центра масс маят-
ника, g—ускорение свободного падения.
В данной работе проводится экспериментальная проверка соотношения (1) для физического маятника, имеющего форму стержня. По стержню может перемещаться легкая опорная призма. Стержень колеблется относительно горизонтальной оси, опираясь нижним ребром призмы на закрепленную на штативе опорную площадку. Фиксируя призму в различных точках стержня, можно менять расстояние от оси качаний маятника до его центра масс.
Момент инерции I стержня длиной I и массой т относительно оси О (рис. 27) может быть найден с помощью теоремы Гюйгенса — Штейнера:
/0 = Iс 4- та1 —1 /12т/- Г та2.
Здесь 1с =- V — момент инерции однородного тонкого стержня относительно оси, проходящей через его центр масс С.
Поэтому период колебаний стержня
или
Т = Т0ГнП7(12е):
Мы ввели обозначения
(3)
(4)
Тп2л | l/g, & = all. (5)
Величина То имеет размерность времени. Она совпадает с периодом колебаний математического маятника длиной /. Безразмерная величина е — ail характеризует положение оси подвеса стержня относительно его центра масс.
В этой работе необходимо изучить зависимость периода колебаний Т тонкого однородного стержня от расстояния а от оси подвеса до центра масс.
Результаты измерений удобно изобразить на координатной плоскости (х — е = all; у — TITf)) и сравнить их с зависимостью Т (е), предсказываемой формулой (4). Для тонкого стержня любой длины записанная в безразмерных переменных (х, у) зависимость
74
периода малых колебаний стержня от положения точки подвеса имеет вид
г/ = Ух+1/(12х). (6)
График этой функции нужно построить по точкам, рассчитав на микрокалькуляторе у (х) для 10—15 значений х, и сравнить его с экспериментально полученной зависимостью 1 (в).
Измерения
Формулы (1) и (4) справедливы для идеализированной модели физического маятника. В частности, при выводе формулы (1) были приняты следующие предположения: 1) маятник совершает колебания малой амплитуды, и поэтому их период от амплитуды не зависит (изохронность колебаний); 2) затуханием можно пренебречь.
Необходимо выяснить, обеспечивается ли выполнение этих предположений в условиях эксперимента.
Легко убедиться, что периоды колебаний стержня при малых (< 5°) и больших (> 30') амплитудах отличаются друг от друга. Так как соотношение (1) справедливо только для малых амплитуд, то необходимо выяснить, в пределах каких значений амплитуды период колебаний остается постоянным с заданной степенью точности (например, с точностью до О,5°6). Это легко сделать измеряя период колебании маятника для различных амплитуд, постепенно увеличивая их от 2—3 до 10—15°.
Выясним теперь, как оценить влияние затухания на период колебаний маятника. Наблюдая колебания маятника, легко убедиться, что их амплитуда постепенно уменьшается. Значит, модель незатухающих колебаний, принятая при выводе формул (1) и (4), строго говоря, неверна. Нетрудно понять качественно, как влияет затухание колебаний на их период: под действием трения движение маятника замедляется и период его колебаний увеличивается. Вопрос заключается в том, является ли это увеличение периода существенным или им можно пренебречь.
Чтобы получить количественно именение периода колебаний А Г в результате трения, необходимо выяснить, какие силы трения действуют в данной лабораторной установке. Трение может быть сухим, вязким или более сложным. Выяснение характера трения требует специальной постановки эксперимента и является сложной задачей .
Можно, однако, показать, что при любом типе сил трения (вязком и сухом) их влияние на период колебаний является малым, если только мало само затухание. Например, связанная с вязким трением поправка AT Т к периоду Т незатухающих колебаний маятника равна
ДГ __1____ 1
Т 8 л2 №» ~ 100А’2 ’
75
где N — число колебаний, за которое их амплитуда уменьшается в е = 2,718 раза (т. е. примерно в три раза). Практически при /V ~ 10 как в случае вязкого, так и в случае сухого трения влиянием затухания на период колебаний заведомо можно пренебречь
Задание
1. Проверьте изохронность колебаний маятника. Для этого измерьте период колебаний для 5—6 значений амплитуды в пределах от 2—3 до 10—15°. Результаты занесите в табл. 1.
Таблица 1
0
Выясните, в каком диапазоне амплитуд колебания являются изохронными с точностью до 0,5%; до 1%.
2. Оцените влияние затухания па период колебаний. С этой целью определите число колебаний Л, за которое амплитуда колебаний уменьшается примерно в три раза. Измерения проведите при трех различных положениях опорной призмы от а ~ Z/10 до а ~ 1/2.
Если найденные значения > 10, то влиянием затухания на период колебаний можно пренебречь.
3. Постройте по точкам график теоретически ожидаемой зависимости периода колебаний стержня от параметра £ = а/1 в области значений 0 < е < 1/2.
График стройте в координатной плоскости х = £, у — Т/Тп.
Для построения графика найдите с помощью микрокалькулятора значения у (х) по формуле (6) не менее чем при десяти различных значениях х в интервале 0 <Z х < 1/2. Результаты вычислений занесите в табл. 2.
Таблица 2
4. 11роведите экспериментальную проверку соотношений (4) и (6). Для этого, исходя из вида построенного графика, выберите 10 значений параметра е = а/1, для которых целесообразно провести измерение соответствующего им периода колебаний Т (г).
76
Проведите измерение периода колебаний Т для выбранных значении е = ail. При измерениях периода колебаний [особенно в области малых е (е < 0,1 )1 следует внимательно следить за тем, чтобы амплитуда колебаний не выходила из найденного в п. 1 диапазона изохронности. Результаты измерений занесите в табл. 3.
Таблица 3
Нанесите в плоскости х = е, у = TlT^ полученные экспериментальные точки с учетом погрешности, с которой они определены.
Контрольные вопросы
1. На основании ваших опытных данных оцените добротность маятника и время релаксации.
2. Докажите теорему Гюйгенса — Штейнера.
3. Стержень (рис. 28) отводят на угол 0О = 45 из положения равновесия и без толчка отпускают. Оцените силу давления маятника на опорную площадку в тот момент, когда он проходит положение равновесия. Длина стержня /=60 см, его масса 355 г.
1
ОБОРОТНЫЙ МАЯТНИК
Цель работы: определение ускорения свободного падения методом оборотного маятника, оценка результатов измерений и расчет погрешностей.
Оборудование: лабораторная установка.
Материал для изучения:
Колебания физического маятника.
Теорема Гюйгенса — Штейнера.
Момент инерции твердых тел.
Литература
Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. 1, Механика. М., 1989.
Савельев И. В. Курс физики. Т. I, М., 1989.
Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики. М., 1989.
Теоретическое введение
Оборотный маятник представляет собой стальной стержень, на котором укреплены два массивных груза. Две легкие опорные призмы могут перемещаться по стержню и фиксироваться с помощью вив тов в разных его точках. Л4аятник может колебаться в вертикальной плоскости, опираясь нижним ребром одной из призм на закрепленную на массивном штативе опорную площадку.
Ранее было получено соотношение
Т == 2л | Ij(mga) (1}
для периода Т малых колебаний физического маятника через его момент инерции /0 относительно оси качаний О, массу m маятника, расстояние а от оси качаний до центра масс и ускорение свободного падения g (рис. 29).
Соотношение (1) может быть использовано для определения g. Для этого необходимо измерить Т, !0 и а и выразить через них g с помощью формулы (1). Оказывается, однако, что с высокой точностью можно измерить только период колебаний Т маятника, а величины /0 и а достаточно точно измерить не удается. Например, для нахождения расстояния а от оси качаний до центра масс маятника необходимо
предварительно определить положение центра Рис. 29 масс, что сделать точно довольно трудно.
Достоинством метода оборотного маятника для определения ускорения свободного падения является то. что /„ и а не входят в расчетную формулу для g. Перейдем к обсуждению этого метода.
Согласно теореме Гюйгенса—Штейнера, момент инерции маятника относительно оси качаний О
/о — /с + та2, (2)
где 1с — момент инерции маятника относительно оси, параллельной оси качаний и проходящей через центр масс С маятника, а — расстояние между осями О и С.
Подставляя (2) в (I), получаем
Обсудим качественно характер зависимости периода колебаний от расстояния а до оси качаний. При очень малых а момент силы тяжести М = —mga sin 0 (рис. 29), стремящийся вернуть маятник в положение равновесия, становится очень малым и период колебаний резко возрастает. В пределе а-*- 0 момент силы тяжести равен нулю и колебания вообще невозможны: маятник находится в
79
положении равновесия. Это согласуется с формулой (3): при а -> 0 период
В обратном пределе очень больших а можно пренебречь 1с по сравнению с nidz и рассматривать физический маятник как математический с длиной подвеса / = а. В этом случае период колебаний
оо период Т также неограниченно возрастает. При
При а возрастании а период Т сначала убывает до некоторого минимального значения?',„ = Тпип» а затем снова возрастает. Качественно вид -зависимости Т (а) изображен на рис. 30.
Значению а 0 соответствует центр масс маятника. Если подвешивать маятник по другую сторону от центра масс, то, как видно из формулы (3), зависимость Т (а) будет точно такой же. Поэтому график Т (и) имеет две симметричные ветви, соответствующие положению точки подвеса маятника слева или справа от его центра масс. Из графика видно, что по каждую сторону от центра масс маятника имеется по два положения опорных призм, при которых периоды колебаний маятника совпадают.
Попробуем найти такие два положения и a., (a., опорных призм, по разные стороны от центра масс, чтобы периоды колебаний маятника совпадали:
Как видно из (3), для этого необходимо выполнение, равенства
та!
та9
которое имеет место либо при а
либо при
таг
(4)
80
В последнем случае период колебаний маятника
(5)
Следовательно, ускорение свободного падения может быть определено по формуле
4л2
Как видно из (6), для нахождения g достаточно измерить только две величины: расстояние (at + а2) между опорными ребрами призм и период колебаний маятника в положении и в «перевернутом» положении а2, таком, что aL ф а2. При этом периоды колебаний должны совпадать, т. е. должно быть
Т(а1)=Т(а2)^Т.
Измерения
Добиться полного совпадения периодов, т. е. точного равенства Т (щ) = Т (ае), практически очень сложно. Поэтому следует
выяснить, при каких условиях небольшое расхождение получен-
ных при измерении значений периодов АГ = Т (nJ — Т (а2) приведет к незначительной погрешности в определении величины (til + й2), а следовательно, и g.
Из рис, 31 видно, что это требование выполняется для таких точек и а2, в которых периоды колебаний заметно отличаются от минимального значения периода 7\nin- Ясно, что тогда и значения
и а.2 далеки от аго1п. Нельзя рнс 31
брать Т » Trnln, так как при этом малому изменению периода (малой погрешности АТ) соответствует большое изменение Ап, т. е. большая погрешность в определении величин (at -Ь а2) и g.
Целесообразно проводить измерения следующим образом.
Подвижные грузы закрепляют на стержне в несимметричных по-
ложениях (рис. 32): один груз — у конца стержня, а другой — вблизи его центра. В этом случае центр масс С маятника находится
между подвижными грузами и смещен относительно середины стержня. Затем приближенно определяют положение центра масс С маятника. Опорные призмы устанавливают по разные стороны от центра масс. Одна из опорных призм укрепляется справа на наибольшем
4 Зак. 156
81
возможном расстоянии от центра масс, т. е. вблизи конца стержня. Это делается с целью выйти как можно дальше из области минимума периода колебаний. В этом положении определяется период Т (аг) малых колебаний маятника.
Затем, не меняя положения грузов, устанавливают вторую подвижную призму по другую сторону от центра масс вблизи точки С и определяют период колебаний Т (а?) в этом положении.
Если оказалось, что Т (а^) >Т то вторую призму передвигают дальше от центра масс в положение а2 и снова измеряют период колебаний Т (а$). Если же Т (й2)< . а, , < Т (cj. то вторую опорную призму сдвн-
< » гают чуть ближе к центру масс и снова
f-ф W ч-------------1 измеРяют период колебаний. Необходимо
С ▼ добиться совпадения периодов с точностью
до (1—2)-10-3 с (рис. 32).
Рис. 32 В лабораторной установке период ко-
лебаний может быть определен с существенно более высокой точностью (до 0,1 %), чем положение призм (0,5%). Поэтому точностью определения ускорения свободного падения Ag/g не может быть лучше 0.5% и бессмысленно добиваться полного совпадения периодов колебаний Т (aj) и Т (а2).
Добившись совпадения периодов колебаний с точностью до (1—2)-10~3 с. находят расстояние (а, 4- а.2) между призмами и по формуле (6) определяют g.
Отметим, что все измерения периодов колебаний Т (а) следует проводить при малых угловых амплитудах, не превышающих 4—5°, так как только в этом случае для периода колебаний маятника справедлива формула (1).
Задание
1. Закрепите подвижные грузы на стержне в положениях, приблизительно соответствующих рис. 32. Передвигая стержень по опорной площадке штатива, найдите приближенно положение центра масс С маятника.
2. Укрепите одну из подвижных призм справа на наибольшем возможном расстоянии at от центра масс. Определите период колебаний маятника Т (а^ при данном положении опорной призмы. Период Т найдите по времени, за которое маятник совершает 10 колебаний малой амплитуды ( < 4—6°).
3. Укрепляя вторую подвижную призму левее центра масс на небольшом расстоянии а2 от него, добейтесь совпадения периода колебаний Т (а2) в этом положении с ранее найденным периодом колебаний Т (аг).
Равенство Т (at) = Т (а2) должно выполняться с точностью <1—2)10-3 с.
82
4. Измерьте расстояние (лг + а2) между призмами и по формуле (6) вычислите ускорение свободного падения g. При этом следует учитывать, что период колебаний равен Т = Т (ах) — Т (а2).
5. Найдите погрешности, с которыми определены Т и (а} +- а2), и оцените относительную погрешность kglg.
Контрольные вопросы
1. На основании полученных вами опытных данных оцените добротность оборотного маятника.
2. Величину 1арнв= //(та) называют приведенной длиной физического маятника, так как период его колебаний
совпадает с периодом колебаний математического маятника с длиной подвеса 1=1пра». Из полученных вами опытных данных оцените приве-
денную длину оборотного маятника в том положении, когда периоды колебаний в прямом и перевернутом положениях совпадают.
3. Стержень маятника имеет длину /=60 см и массу zn = 355 г. Массы грузов (чечевиц) одинаковы и равны Л4=1155 г. Центры грузов находятся на расстояниях /| = 30 см и /2=56 см от левого конца стержня. Определите положение центра инерции маятника. Сравните его положение с найденным экспериментально центром инерции. Массами опорных призм (Шцр=20 г) пренебречь.
НАКЛОННЫЙ МАЯТНИК
Цель работы: изучение силы трения качения методом наклон ного маятника.
Оборудование: лабораторная установка.
Материал для изучения:
Колебания физического маятника.
Сила трения, работа силы трения.
Литература
С ив у хин. Д. В. Общий курс физики. Т. 1. Механика. М.» 1989.
Хайкин С. Э. Физические основы механики. М., 1971.
Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики. М., 1989.
Теоретическое введение
Шар, закрепленный на длинной тонкой нити, может кататься по наклонной плоскости, при этом нить закручивается. Если шар отвести из положения равновесия (ось 00') на угол а и затем отпустить, то он будет колебаться, катаясь около положения равновесия (рис. 33, а). Из-за трения колебания будут постепенно затухать.
Можно надеяться, что по величине затухания колебаний можно определить силу трения и коэффициент трения. Качественно оценить величину затухания можно с помощью несложного опыта. Плоскость установим под углом р — 45° к горизонту. Отведем шар на угол а = 6 и подсчитаем число колебаний, при которых амплитуда угла будет равна 4°. Число колебаний примерно будет от 10 до 15. Таким образом, за 10 колебаний амплитуда уменьшилась на 2°, а за одно колебание — на 0,2° — 3,5-10~2 рад.
Если вместо шара взять кубик из того же материала, что и шар, и с такой же гладкой поверхностью, то амплитуда колебаний кубика уменьшится на 2 уже за одно колебание. И это понятно. Шар катится по плоскости, а кубик скользит. Трение качения, конечно, гораздо меньше трения скольжения. Типичное значение коэффициента трения скольжения р ~ Ю-1, а коэффициент трения качения, как мы убедимся на опыте, ц~10 3. Трудно надеяться, что такое малое значение можно достаточно точно измерить с помощью такого опыта, как наш. Но по порядку величины р можно определить.
Выведем формулу, которая связывает уменьшение амплитуды колебаний с р. При качении шара по плоскости сила трения совершает работу. Эта работа уменьшает полную энергию шара. Полная энергия складывается из кинетической и потенциальной энергий. В тех положениях, где маятник максимально отклонен от положения равновесия, его скорость равна нулю; следовательно, и кинетическая энергия также равна нулю. Эти точки называются точками поворота. В них маятник останавливается, поворачивается и движется обратно. В момент поворота энергия маятника равна потенциальной энергии, поэтому уменьшение потенциальной энергии маятника при его движении от одной точки поворота до другой равна работе силы трения на пути между точками поворота.
Пусть А — точка поворота (рис. 33, а). В этом положении нить маятника составляет угол а с осью 00'. Если бы трения не было, то через половину периода маятник оказался бы в точке /V, а угол отклонения был бы равен а. Но из-за трения шар немного не докатится до точки N и остановится в точке В. Это и будет точка поворота. В этой точке угол нити с осью 00 будет а—Да. За половину периода угол поворота маятника уменьшился на Да. Точка В расположена несколько ниже, чем точка А, и поэтому потенциальная энергия маятника в точке В меньше, чем в точке А. Следовательно, маятник потерял высоту при перемещении из А в В.
Найдем связь между потерей угла Да и потерей высоты A/i.
85
Для этого спроецируем точки А и В на ось 00' (рис. 33. б). Это будут точки А и В' соответственно. Очевидно, что длина отрезка
Д/ = | А ' В' | — I cos (а — Да)— / cos а.
где / — длина нити, равная радиусу дуги АВ окружности. При этом угол этой дуги равен 2а — Да, длина дуги
Д$ —/ (2а—Да).
Так как ось 00' наклонена под углом р к горизонту, то проекция отрезка Д/ на вертикальную ось и есть потеря высоты ДЛ:
ДЛ ~ Ы si пр = / sin р (cos (а—Да)—cosa|. (1)
о
Рис. 33
При этом изменение потенциальной энергии маятника между точками А и В
ДИ7 = mg Ah,
(2)
где т — масса шара, g— ускорение свободного падения.
Вычислим теперь работу силы трения. Так как сила трения
FTP = pA\ (3)
где р — коэффициент трения, N — mg cos р — сила нормального давления шара на плоскость, то работа силы трения на пути As — / (2a — Да) между точками А и В равна
Д/4тр = ymigl cos р (2a — Да).
(4)
Так как AU7 = ДДтр, то из уравнении (1), (2) и (4) получаем
pctgp =
cos (a—Да) —cos а 2а—Да
<5)
Выражение (5) можно существенно упростить, если учесть, что угол Да очень мал (как мы уже отмечали, он порядка 10~2).
Так как Да I. то cos Да « 1, sin Да » Да и cos (а Да) = cos a cos Да + sin a sin Да « cos a f- Да sin а.
86
Поэтому формулу (5) можно записать так:
gctgp^
Да sin а
2а — Да
откуда
Да = 2р ctg ₽-----------------.
sin а-|-р ctg р
(6>
Из формулы (6) видно, что потеря угла за половину периода определяется величиной р и углом а. Однако можно найти такие условия, при которых Да от угла а не зависит.
Вспомним, что р мало, порядка 10"3. Если рассматривать достаточно большие амплитуды а так, чтобы
sina^>pctgp, (7)
то слагаемые р ctg р в знаменателе формулы (6) можно пренебречь и тогда
Да = 2р ctg Р ———. sin а
С другой стороны, пусть углы а будут малыми, т. е. а 1 и sin а « а, тогда за половину колебания потеря угла
Aa=2pctgP- (8)
Заметим, что формула (8) справедлива при условии pctgp<sina<^ 1. (9)
Из-за того, что р ~ 10“2, углы а ~ 10~2 —• 10*1 рад удовлетворяют неравенствам (9).
Если бы р было порядка I0-2—10~1, как в случае трения скольжения, то тогда бы неравенства (9) не выполнялись. Понятно, что за одно полное колебание потеря угла будет Даг = 4р ctg р, а за п колебаний потеря угла составляет
Дап — 4np ctg Р, откуда
g=^-tgp. (10)
4л
Формула (10) дает удобный способ измерения р: необходимо измерить уменьшение угла Дап за 10—15 колебаний, а затем по формуле (10) вычислить р. Мы знаем, что за 10 колебаний угол уменьшается примерно на 2° п = 10 и
(при р=45°). Тогда Да
2°л/180°,
tg45 40 90
Mi. ~ 10~3.
87
Выясним физический смысл коэффициента трения качения. Рассмотрим сначала более общую задачу. Шар массой т и моментом инерции 1с относительно оси, проходящей через центр масс, движется по гладкой поверхности (рис. 34). К центру масс С приложена сила F = F (х), направленная вдоль оси X и являющаяся функцией координаты х. Со стороны поверхности на тело действует сила трения FTp. Пусть момент силы трения относительно оси, проходящей через центр С шара, равен Л4тр. Уравнения движения шара в этом случае имеют вид
mvc = F(x) — F
(П)
/сю=Л1тр, (12)
где vc — скорость центра масс, со —- угловая скорость. В уравнениях (11) и (12) четыре неизвестных: vc, w, FTp и Л4тр, поэтому я? в общем случае задача не определена.
х Допустим, что:
( f л 1) тело катится без проскальзыва-
\ /7 * ния- Тогда
----► vc = , (13)
Д'
где R — радиус катка;
Рис. 34 2) тело и плоскость являются абсо-
лютно жесткими, т. е. тело не деформируется, а касается плоскости в одной точке О (точечный контакт), тогда между моментом силы трения и силой трения имеется связь
А4тр =/?F.PP. (14)
С учетом (13) и (14) из (11) и (12) получаем, например, выражение для силы трения
(15)
Выражение (15) не содержит коэффициента трения ц, который определяется физическими свойствами соприкасающихся поверхностей шара и плоскости, такими, как шероховатость, или вид материала, из которого изготовлен шар, или плоскость. Этот результат — прямое следствие принятой идеализации, отражаемой связями (13) и (14). Кроме того, легко показать, что в принятой модели сила трения не совершает работы. Действительно, умножим уравнение (11) на vc, а уравнение (12) — на со. Учитывая, что
id., • id.,
— — Vc = Vc vc* — 0)- = woo,
2 <1/ 2 df
88
и складывая (11) и (12), получаем
d
d/
-у mvi + -i- I с co2 + W (х) 1 = Мтр <o — F T p vc,
(16)
где IT (x) = —j F (x) dx — потенциальная силы F (x). Обратите внимание, что
энергия шара в поле
d
d£
IV' (X) =
dlT dx
dx dtt^
d/ dx
vc = — F(x)vc.
(17)
Если принять во внимание (13) и (14), то правая часть равенства (16) обращается в нуль. В левой части (16) стоит производная по времени от полной энергии <£ системы., которая состоит из кинетической энергии поступательного движения катка 1/2mvc, кинетической энергии вращательного движения и потенциаль-
ной энергии W (х). Это значит, что полная энергия системы — постоянная величина, т. е. сила трения не совершает работы. Очевидно, что и этот несколько странный результат также следствие принятой идеализации. Это говорит о том, что принятая идеализация не отвечает физической реальности. В самом деле, в процессе движения шар взаимодействует с плоскостью, поэтому его механическая энергия должна убывать, а это значит, что связи (13) и (14) могут быть верны лишь настолько, насколько можно пренебречь диссипацией энергии.
Совершенно ясно, что в данном случае нельзя принять такую идеализацию, поскольку наша цель — по изменению энергии маятника определить коэффициент трения.
Поступим следующим образом. Будем считать справедливым предположение об абсолютной жесткости шара и поверхности, а значит, и справедливой связи (14). Однако откажемся от предположения, что шар движется без проскальзывания. Мы допустим (а потом и убедимся), что имеет место слабое проскальзывание.
Пусть скорость точек касания (на рис. 34 точка О) шара (скорость проскальзывания)
и — Vc—(oR. (18)
Будем считать, что
u<£vc. (19)
Тогда, подставляя в уравнение (16) со = (vc — «) R и учитывая условия (14) и (19), приходим к уравнению
d
d/
vl + W (x)
(20)
из которого видно, что скорость диссипации энергии равна мощности силы трения. Результат вполне естественный, тело скользит
89
по поверхности со скоростью и, на него действует сила трения, совершающая работу, вследствие чего полная энергия системы уменьшается .
Выполняя в (20) дифференцирование и учитывая (17), получаем уравнение движения центра масс шара:
»4m+-4-')=f-FTP—• <21>
\ / vc
Оно аналогично уравнению движения материальной точки массой
т* =т+— (22)
под действием внешней силы F и силы трения качения
тр-кач
U
Vr ’
причем Гтр — обычное трение скольжения. Следовательно, при качении шара эффективная сила трения, которую называют силой трения качения, есть просто обычная сила трения скольжения, умноженная на отношение скорости проскальзывания к скорости центра масс тела. Практически часто реализуется случай, когда трение качения от скорости тела не зависит. Видно, что в этом случае скорость проскальзывания и пропорциональна скорости тела:
U=fVCt
где е — коэффициент пропорциональности. Обычно е^1. Сила трения скольжения имеет вид
^*тр =
где р — коэффициент трения скольжения, W — нормальная реакция опоры (сила нормального давления). Тогда
тр.кач
= ЕрМ = р* Л\
где р* = ер — коэффициент трения качения. Естественно, что независимость силы трения качения от скорости тела может быть проверена только опытным путем. Если это так, то уравнение движения шара (21) имеет вид
— F ^тр-кач
(23)
причем Ej.p. кач — постоянная величина. Отметим, что точно такое же уравнение можно получить, если оставить связь (13), но вместо условия (14) взять связь между моментом силы трения и силой трения вида
Л4тр — KFур R,
(24)
90
где X <С 1 — некоторый постоянный коэффициент. Связь (24) можно интерпретировать так: тело или плоскость несколько деформируется, поэтому плечо силы трения X/? намного меньше, чем для случая абсолютно жесткого контакта.
Обратимся теперь конкретно к нашей задаче о движении наклонного маятника. В общем случае вопрос о силе трения качения выходит за рамки чисто механических моделей и требует учета вида деформации поверхности, а также изучения характера взаимодействия в зоне контакта тела и поверхности.
Рассмотрим силы, действующие на шар (рис. 35).
Рис. 35
Рис. 36
Силу тяжести zng разложим на две составляющие силы, направленные перпендикулярно и параллельно плоскости: Мх = mg cos р, Fu = mg sin p. Co стороны наклонной плоскости на шар действует сила реакции опоры — Л/ так, что сумма всех сил в направлении перпендикулярном плоскости, равна нулю.
Силу F| (рис. 36) разложим также на две составляющих, направленных вдоль нити и перпендикулярно ей: Т = Гц cos а и F = —Fusina. Таким образом, возвращающая сила в скалярной форме равна
F=—mg sin р sin а, (25)
где a = x/L x — длина дуги, отсчитываемая от положения равновесия, знак минус взят потому, что возвращающая сила направлена в сторону, противоположную смещению. На шар действует сила трения
FTP — pN — [img cos p,
(26)
направление которой зависит от направления скорости проскальзывания и. Если шар движется справа налево (как на рис. 36), то
vc = la<0, и = 8&с<0 и FTp>0.
При и >0 и F < 0. Подставляя (25) и (26) в (21), получаем уравнение движения маятника:
• •
т* 1а — —mg sin f sin a ± p* mg cos p.
(27)
При этом знак «-|-» берется, когда шар движется справа налево, знак «—» соответствует движению слева направо. Таким образом, уравнение движения (27) — это фактически два уравнения, описывающих движение шара в противоположных направлениях. Чтобы получить решение уравнения (27), необходимо обладать известным терпением и навыком. Именно поэтому мы избрали более наглядный энергетический подход для вывода формулы (10).
Однако уравнение движения дает еще информацию о периоде колебаний и, кроме того, раскрывает физический смысл неравенств (7) и (9).
Пусть вначале мы отклонили маятник на некоторый угол а вправо и без толчка отпустили его. Когда шар покатится? Это будет, если а<0 или, как следует из уравнения (27), при условии
since >р*ctgр. (28)
Обозначим sin а0 — р* ctg р. Область углов |а| < а0 является областью застоя, в этой области сила трения больше возвращающей силы. Таким образом, физический смысл неравенства (7) очевиден, углы а должны быть много больше угла застоя а0, чтобы колебаний было достаточно много и маятник не остался сразу в зоне застоя.
Будем рассматривать малые колебания, тогда sin а « а, но одновременно р* ctg р = а0 а 1. Тогда уравнение (27) можно записать так:
•
a-f- соо а —
(29)
1 / Ш Я • О гт
где соо = I/ —у sin р — частота колебаний. Для периода колеба-г г I
ний Т = 2л/ш0 получаем следующее выражение:
in*
m sin р
где То = 2 л]/ l/g.
Так как момент инерции шара массой m равен Ic = z/5mR2, где R — радиус шара, то m*!m = 1 + 2/5 = 1,4, поэтому
Г2 = l,4To/sinp. (30)
Эту зависимость нетрудно проверить экспериментально и убедиться в справедливости принятой модели трения качения.
92
Измерения
1. Измерение коэффициента трения р. Наклонную плоскость устанавливают под некоторым углом р. Шар отводят на угол а « 6 4- 10° и без толчка отпускают. Подсчитывают число колебаний, за которое амплитуда уменьшилась на 2—3°.
По формуле (10) вычисляют р.
2. Измерение зависимости периода колебаний от угла р. Изменяют угол наклона Р в диапазоне 30 < Р < 60°. Для каждого р измеряют миллисекундомером период колебаний. Измерения проводят 2—3 раза при различных углах а 1.
Задание
1. С помощью регулировочных винтов установите наклонную плоскость вертикально. При этом нить маятника занимает вертикальное положение и устанавливается напротив отметки О на шкале углов а. Шар почти касается наклонной плоскости.
Установите и закрепите шкалу углов р на отметку р = 90°. Затем установите плоскость под углом р = 45°.
Отведите маятник на угол а = 6 -4- 10‘ и подсчитайте число колебаний, когда шар опустится на угол Дап = 2°. Затем, стартуя с того же угла, подсчитайте число колебаний, при которых шар опустится на 3 и 4 .
Установите наклонную плоскость под углами р = 30 ’ и Р = 60° и проделайте все измерения для этих углов.
Результаты опытов занесите в табл. 1.
Таблица 1
Р a Mi гц р, Ad2 «2 112 Даз пз Нз И
45°
30°
60°
Примечание. Ц = ‘/з (ц, —коэффициент трения, измеренный для
каждого угла ft.
Выяснить, насколько значения р отличаются одно от другого при различных р.
2. Найдите зависимость Т2 от sin р.
Цель этого задания — убедиться в справедливости зависимости (30).
93
Наклонную плоскость установите вертикально, Р — 90е. Шар почти касается плоскости. Маятник отведите на угол а — 5 4- 8° и без толчка отпустите. Миллисекундомером измерьте
70 = 2л Vljg.
Затем наклонную плоскость установите под углами Р = 30°, 35е, 40е, 45е, 50е, 55°, 60°. При каждом р измерьте период Т. Результаты заносятся в табл. 2.
Таблица 2
р 90° 30° 35° 40° 45° 50° 55° 60°
Т
1/sinP
По опытным данным постройте график зависимости Г1 2 от 1/sin р.
Контрольные вопросы
1. Выведите уравнение движения для малых колебаний маятника на
наклонной плоскости. Силу трения считать не зависящей от скорости. Изобразите решение на фазовой плоскости и получите формулу (10).
2. Получите формулу для относительной погрешности измерения Др/р.
3. Как влияют длина, толщина и материал нити на результаты опыта?
КРУТИЛЬНЫЙ МАЯТНИК ♦
Цель работы: изучение крутильных колебаний и определение методом крутильных колебаний моментов инерции твердых тел.
Оборудование: лабораторная установка.
Материал для изучения:
Крутильные колебания.
Момент инерции твердого тела.
Зависимость момента инерции твердого тела от положения оси вращения.
Литература
Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. 1. Механика. М., 1989.
Хайкин С. Э. Физические основы механики. М., 1971.
Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики. М., 1989.
Теоретическое введение
В работе проверяется соотношение
I (п) = Ix cos2 а 4
I у cos2 р 4- Iz cos2 у
(1)
для однородных симметричных твердых тел (куб, прямоугольный параллелепипед). Главные оси таких тел являются осями симметрии. Они перпендикулярны граням и проходят через геометрический
центр тела (рис. 37).
Рис. 37
Рис. 38
Для измерения моментов инерции твердого тела относительно оси, определяемой единичным вектором
n = {cosa, cosP, cosy),
л2 — cos2 a -J- cos2 Р 4- cos2 у = 1,
где а, р и у — углы между направлениями вектора п и осями координат OX, OY и OZ (рис. 38), применяется метод крутильных колебаний.
Исследуемое твердое тело жестко закрепляется в рамке крутильного маятника, подвешенной на упругой вертикально натянутой проволоке. Если вывести маятник из положения равновесия, то он будет совершать колебания. Период этих колебаний равен
T=2n/7^D, (3)
где — момент инерции маятника относительно оси вращения, D — постоянная момента упругих сил (см. раздел 3).
Момент инерции маятника равен сумме момента инерции /0 рамки и моментов инерции I исследуемого тела:
Поэтому период колебаний маятника
7-= 2л К (/„ +/)/В. (4)
96
Если колеблется свободная рамка без тела, то ее период колеба-
нии,
очевидно, равен
70 = 2л) 1JD.
(5)
Из этих уравнений можно исключить неизвестную величину D. В результате находим
/ = /0(72-Г0)7§.
(6)
Соотношение (6) позволяет выразить момент инерции 1 тела от-
носительно оси маятника через момент инерции /0 свободной рамки. Для этого нужно измерить периоды колебаний То и Т соответст-
венно для свободной рамки и для рамки с телом. Период колебаний Т, так же как и момент инерции 1 тела, зависит от ориентации тела по отношению к оси маятника. Запишем (6) в виде
7(п) = /0(Т2(п)-7ё)/П, (7)
где п — единичный вектор, направленный вдоль оси маятника. В лабораторной установке ось маятника (она же ось вращения тела) направлена по вертикали. Поэтому во всех опытах следует считать, что единичный вектор п направлен вертикально вверх. Момент
Рис. 39
инерции тела относительно вертикальной оси, т. е. I (п), изменяют,
поворачивая тело и закрепляя его в различных положениях по отношению к этой оси (рис. 39). Направив оси OX, 0Y и 0Z вдоль главных осей тела, мы выбрали систему координат OXYZ, жестко связанную с телом. Поворачивая тело, мы изменяем направления вектора п в жестко связанной с телом системе координат OXYZ.
Закрепим тело в рамке так, чтобы ось вращения п совпадала с какой-либо его главной осью OX, 0Y или 0Z. Тогда из (7) получим
z—
(8)
где Тх. Ту и Tz — соответственно периоды колебаний маятника, когда ось его вращения п совпадает с одной из главных осей ОХ, 0Y или 0Z.
Подставив (7) и (8) в исходное соотношение (1), получим
Т2 (п) = Т'х cos2 а 4- Ту cos2 Р 4- T'i cos2 у. (9)
Таким образом, существует простая связь между периодами крутильных колебаний тела Тх. Ту и Тг относительно его осей симмет
97
рии OX, 0Y и OZ и периодом колебаний этого же тела относительно оси п с направляющими косинусами cos a, cos р и cos у.
Выражение (9), так же как и формула (3) для периода крутильных колебаний, справедливо, если затухание мало. Практически для этого достаточно, чтобы число колебаний за которое амплитуда уменьшается в 2—3 раза, удовлетворяло неравенству N > 10 (подробнее см. описание работы 6). Если это неравенство выполняется, то проверка соотношения (1) сводится к проверке равенства (9). Оно удобно тем, что все входящие в него величины в условиях опыта могут быть измерены непосредственно.
Измерения
Будем проверять зависимость (9) для простого случая, когда исследуемое твердое тело имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Обозначим длину ребер параллелепипеда а, b и с. Исследуем три образца: куб (а = b — с), симметричный параллелепипед (а = Ь, с Ф а) и параллелепипед, у которого длины всех трех ребер различны Выясним, как можно провести про-
верку зависимости (9) в этих трех случаях.
Однородный куб
Очевидно, что все три момента инерции куба относительно главных осей OX. 0Y и OZ одинаковы:
и
Из (1) с учетом второго равенства (2) находим
/ (п) — / v (cos2 а + cos2 р + cos2 у) =
/Л. --const.
(Ю)
Таким образом, момент инерции однородного куба относитель но любой проходящей через его центр оси одинаков. Ясно, что и период крутильных колебаний куба должен быть одинаковым для любой оси вращения, проходящей через его центр:
Т(п)= 7\==const. (И)
Проверить это можно закрепляя куб в рамке в различных положениях, при которых ось вращения проходит через центр куба, и измеряя соответствующие периоды крутильных колебаний.
Симметричный прямоугольный параллелепипед
Очевидно, что в этом случае моменты инерции параллелепипеда относительно главных осей ОХ и OY и соответствующие им периоды крутильных колебаний равны между собой:
98
Из (I) и (9) с учетом равенства
cos2 а cos2 р = 1 — cos2 у
получаем
I (n) --1 х (1 — cos2 у) -г /г cos2 у,
Т2 (n) = Тх (I — cos2 у -г cos2 у.
(12)
(13)
Таким образом, период крутильных колебаний Т (п) зависит только от угла у» который ось вращения п образует с осью тела 0Z. Величина Т (п) не зависит от углов аир (при у — const). В
Рис. 40
частности, должен быть одинаковым период колебаний относительно любой оси, лежащей в плоскости 0XY (т. е. при у — л/2). В этом случае cos у — 0 и, согласно (13),
Т (и) = Тх = const (у == л/2). (14)
Проверить это соотношение можно закрепляя в рамке крутильного маятника симметричный параллелепипед так, чтобы ось вращения была перпендикулярна его большому ребру. Периоды крутильных колебаний при любом таком положении тела должны совпадать.
Несимметричный параллелепипед
Закрепим параллелепипед в рамке так, чтобы ось вращения совпадала с его главной диагональю АВ (рис. 40). Вычислив направляющие косинусы, из (9) находим
Пв (а2 + Ь* + с2) = Т2 а2 + Т2 Ь*+ И с2. (15)
99
Аналогично, для осей ЕЕ, ММ и PQ из (9) следует:
T*MN (а2 + с2) = П + Л с2, T2pq (а2 + Ь2) = Л а2 + Л Ь'2-
(16)
Таким образом, для проверки формулы (9) в случае несимметричного параллелепипеда можно выяснить, выполняются ли соотношения (15) и (16) для измеренных значений периодов колебаний.
Обсудим теперь, как можно измерить момент инерции исследуемого тела. В соотношениях (7) и (8) моменты инерции тела выражаются через соответствующие периоды крутильных колебаний и момент инерции /0 свободной рамки. Поэтому, измерив /0, мы сможем найти момент инерции / (и) любого из изучаемых в работе тел.
Для определения момента инерции рамки можно воспользоваться эталонным телом, момент инерции /э которого известен. Тогда, согласно (6), имеем
(17)
где Л — период колебаний рамки с закрепленным в ней эталонным телом. В качестве эталонного тела в работе используется однородный куб. Момент инерции такого куба относительно проходящей через его центр оси можно вычислить по формуле
/э = 1/6/пп2,
(18)
где m — масса куба, а — сторона куба.
Вычислив 7Э по формуле (18), можно измерить периоды колебаний Л и Л свободной рамки и рамки с кубом и затем определить искомую величину /0 из соотношения (17).
Задание
1. Убедитесь в том, что колебания крутильного маятника являются слабо затухающими. Для этого выведите маятник из положения равновесия и определите приближенно число колебаний А, за которое их амплитуда уменьшается в 2—3 раза. Измерения N проведите для свободной рамки и для рамки с закрепленным в ней образцом. Если N > 10, то затухание маятника мало и можно пользоваться формулой (3).
2. Определите период колебаний, закрепляя в рамке в различных положениях образцах, имеющий форму куба. Результаты измерений занесите в табл. 1.
100
Таблица 1
max • mln 2
Периоды колебаний Тъ Тг, .... Tl(i определите для следующих положений куба:
а) ось вращения проходит через центры двух противоположных граней (Ту, Т2 и Т3);
б) ось вращения проходит по главной диагонали куба (Т4, 7\, Тл и Т7);
в) ось вращения проходит через середины противолежащих ребер куба (Т3, Т9 и 7\0).
3. Определите период колебаний однородного симметричного прямоугольного параллелепипеда, закрепляя его в четырех различных положениях, при которых ось вращения перпендикулярна его большому ребру. Результаты измерений занесите в табл. 2.
Таблица 2
Л Г, Т3 7\ Т ДГ
4. Определите период колебаний однородного несимметричного прямоугольного параллелепипеда относительно его главных осей (периоды Тх, Ту и TJ и относительно осей АВ. EF. MN и PQ (рис. 40). Измерьте длину ребер параллелепипеда. Результаты измерений занесите в табл. 3.
Убедитесь, что для найденных значений этих величин с хорошей точностью выполняются соотношения (15) и (16).
5. Измерьте длину ребра а куба и по формуле (18) найдите момент инерции /3 куба относительно проходящей через его центр оси.
Измерьте период То крутильных колебаний свободной рамки и по формуле (17) вычислите ее момент инерции /0.
10!
Таблица 3
АВ
Т~ т\ Т'^ T*MN TPQ а* Ь* с*
Найдите, пользуясь формулами (8), по измеренным значениям периодов колебаний Тх, Ту и Tz (табл. 3) моменты инерции несимметричного параллелепипеда 1Х, /7 и /г. Результаты занесите в табл. 4.
Таблица 4
Оцените погрешность, с которой определены моменты инерции Xi * у И /2.
Контрольные вопросы
1. Оцените добротность колебаний, используя опытные данные, полученные в работе.
1. Покажите, что момент инерции однородного куба относительно оси, проходящей через его центр,
где ш — масса, а — сторона куба.
3. Выведите формулу (3)
БАЛЛИСТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
Цель работы: изучение движения крутильного маятника под действием короткого импульса внешней силы и определение скорости пули методом крутильного маятника.
Оборудование: лабораторная установка.
Материал для изучения:
Крутильные колебания.
Уравнение моментов.
Литература
Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. 1. Механика. М., 1989.
Детлеф А. А., Яворский Б. М. Курс физики. М., 1989.
4
Теоретическое введение
Основным элементом лабораторной установки является крутильный маятник (рис. 41). При попадании в него выпущенной стреляющим устройством «пули» маятник начинает вращаться вокруг вертикальной оси. Максимальный угол отклонения 0тах маятника из положения равновесия связан со скоростью v0 пули соотношением
„ V,D fi
t>o —---;- vmax>
ml
(1)
где tn — масса пули, I — прицельное расстояние (рис. 41), I — момент инерции маятника. D — постоянная момента упругих сил. Для экспериментального оп-
Рис. 41
ределения скорости пули удобно преобразовать соотношение (1) так. чтобы в него входили непосредственно измеряемые на опыте величины. Сначала воспользуемся формулой для периода колебаний Т слабо затухающего крутильного маятника
Т = 2л V~TTD, (2) и исключим неизвестную величину D. В результате получим
f О — — — бгпах - (3)
Т ml
Согласно теореме Гюйгенса—Штейнера, момент инерции маятника
I=I, + 2MR\
(4)
где 2М — масса двух имеющихся на маятнике подвижных грузов. R — расстояние от центра масс каждого из этих грузов до оси вращения.
Подставляя это выражение в (3), получаем следующую формулу для определения скорости пули:
_ 2 л Д4-2М/?*
Т ml
(5)
Измерения
Соотношение (1), использовавшееся при выводе выражения (5), было получено для идеализированной модели, а именно предполагалось, что выполнены следующие условия:
1) колебания маятника являются незатухающими:
104
2) время т соударения пули с маятником мало по сравнению с периодом колебаний:
(6)
(баллистический режим).
Поэтому прежде всего необходимо выяснить, обеспечивается ли
выполнение этих условий для имеющейся лабораторной установки.
Сначала обсудим первое из них. Отклонив маятник из положения равновесия, легко убедиться, что амплитуда его колебаний довольно быстро уменьшается. Следовательно, модель незатухающих колебаний не является
точной и применение полученной в рамках этой модели формулы (5) может привести к систематической погрешности в определении скорости пули.
Оцепим эту погрешность, для чего сравним графики зависимости амплитуды незатухаю
Рис. 42
щих и затухающих колебаний маятника от
времени. Будем считать, что в обоих случаях маятник выведен из положения равновесия в момент времени t ~ 0 с одинаковой начальной скоростью (рис. 42).
Как видно из рисунка, пренебрежение затуханием приводит к заниженному значению скорости пули. Действительно, в формулу (5) подставляется измеренная величина 0, = 0max, а она меньше, чем соответствующая той же начальной скорости амплитуда незатухающих колебаний 0О. Следовательно, при определении 0тах возникает систематическая погрешность, равная Д0СпСГ = 01 — 0О.
Для оценки заметим, что она накапливается за четверть периода колебаний, т. е. за время 774-. Уменьшение амплитуды колебаний за полный период Т можно измерить непосредственно:
де=02-0,,
где 0, и 02 — соответственно углы первого и второго максимального отклонения маятника после попадания в него пули. Считая зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени приблизительно линейной (для этого нужно, чтобы затухание за период было мало), находим
де (7/4) ~ 7/4 1
де (7) ~ 7 ~ 4 *
105
Следовательно,
Д0 ^-^сист
Д0СИсТ=1/4(02-е1). (7)
Если 01 и 0£ совпадают в пределах точности, с которой измеря-., то Д0СИСТ, очевидно, можно
пренебречь
отн (0) = ио- В конце при I = т, по определено = 0.
ется угол отклонения 0 маятника и модель незатухающих колебаний справедлива.
Попробуем теперь оценить т (т— время соударения пули с маятником). Построим качественно график зависимости скорости пули от времени относительно маятника (рис. 43).
Непосредственно перед соударением маятник покоится, а скорость пули равна у0: значит, их начальная относительная скорость v удара, т. е. нию, dot1i
Естественно считать, что в течение удара скорость vorlt постепенно (монотонно) убывает от и0 до нуля. Без проведения специальных измерений ничего более определенного сказать о зависимости иоти от t нельзя: для этого необходимо заранее знать закон взаимодействия между соударяющимися телами. Нам же надо лишь приближенно оценить т.
Пусть tn — момент, когда относительная скорость пули уменьшается по сравнению с начальной в п раз:
^ОТН (^п) =
Из рис. 43 видно, что полное перемещение пули в материале маятника
So
J Цугн (0 0
равное полной площади под кривой t>0Trt(/), заведомо превышает площадь заштрихованного прямоугольника:
*-n — *П’
п
При достаточно больших значениях п, например при п >> 10, можно считать, что tn мало отличается от времени соударения т, и положить т « t
Тогда получаем неравенство
и •
п
п
106
которое позволяет получить оценку т:
(8)
Величины, стоящие в правой части неравенства (8). определяются на опыте. В лабораторной установке глубина проникновения пули в маятник $() 0.5 см, а скорость пули b0 1 м/с.
Следовательно, ($0 /и0) < 5-Ю-3 с и при п — 10 получаем для т оценку сверху:
0,05 с.
Так как период колебаний маятника Т ~ 1 с, то можно считать, что неравенство (6) в этих условиях выполняется.
Примечание. Выбор величины п = 10 может показаться произвольным. Однако при
vn^= — п
10
практически можно считать, что удар действительно «закончился», так как к этому моменту кинетическая энергия пули
I mu*
2 102 2 ’
т. с. составляет всего лишь примерно 1% ее первоначальной кинетической энергии.
Выясним теперь, как определить в рабочей формуле неизвестную величину /0. Для этого запишем период колебаний маятника в виде
Т = 2л у" ^4-2Л№- ,9)
Таким образом, Т зависит от расстояния R центров подвижных грузов М от осн вращения.
Установив грузы М на некотором расстоянии RA от оси вращения, можно определить период колебаний 7\ маятника. Сместим грузы М в другое положение R2 и снова измерим период колебаний 7' маятника. Так как [см. (9)1
то, исключая из этих равенств £>, находим
(Ю)
Для уменьшения погрешности, с которой определяется величина /0, расстояния и Rz следует взять заметно отличающимися друг
107
от друга. Лучше всего взять Rx возможно ближе к оси вращения, a R2 — на максимальном расстоянии от нее.
После того как найдено /0. скорость пули может быть определена из формулы (5) по известным значениям массы т пули, масс М грузов и измеряемым на опыте значениям периода колебаний Т. прицельного расстояния /, расстояния R и угла отклонения 0111ач м аятника.
Для повышения точности измерений рекомендуется устанавливать грузы М на небольшом расстоянии R от оси маятника, чтобы угол отклонения 0тах маятника был как можно больше.
Задание
1. Установите подвижные грузы М на минимальном расстоянии от оси вращения и, сделав 2—3 выстрела, определите приближенно угол отклонения 0! маятника при попадании в пего пули.
2. Оцените по формуле (7) А6СМСТ. Для этого отклоните маятник из положения равновесия на угол 015 отпустите без толчка и измерьте амплитуду 02 второго отклонения маятника в ту же сторону. Измерения повторите три раза и найдите среднее, арифметическое значение 02. Результаты измерений занесите в табл. 1.
Таблица 1
2,3
Атеист
Д0о
«2
Сравните найденное значение Д0СиСТ с погрешностью Д0О измерений угла по шкале устройства (Д0О равно половине цены деления шкалы).
3. Определите Т^. Для этого измерьте периоды колебаний маятника 7\ и Т.2 при двух различных положениях Rx я? Rmm и R‘2 Яшах пар подвижных грузов М. Результаты измерений занесите в табл. 2.
Таблица 2
/?! R* bRt Rt Rl bR2 Tt Г* T.> Tl M Jo A/o
108
4. Установив на расстоянии R « Ятш грузы Л4, измерьте отклонение маятника 0 = Отах и прицельное расстояние I в серии из четырех выстрелов. Результаты измерений занесите в табл. 3.
Таблица 3
/а /3 it I м о, е2 е3 е4 е де r r* т ьт v0 ду0
Пользуясь соотношением (5), определите скорость пули.
Можно ли утверждать, что скорость пуль в серии выстрелов одинакова в пределах точности измерений или имеется разброс в скорости пуль от выстрела к выстрелу?
5. Измерьте приближенно глубину $0, на которой пуля застревает при попадании в маятник. Оцените по формуле (8) время соударения т пули с маятником, полагая в (8) п = 10. Убедитесь в том, что неравенство (6) в условиях опыта действительно выполняется.
Контрольные вопросы
1. Выведите формулу (1):
v о
- ml е,пах'
3. По экспериментальным результатам оцените кинетическую энергию маятника:
U7„« rn=>/2£>e»M.
2. На основании полученных вами опытных данных оцените постоянную момента упругих сил D.
Оцените, какая часть кинетической энергии пули при ударе переходит в теплоту.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие редактора 3
Предисловие авторов 5
1 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ 7
♦
1.1. Погрешности результатов измерений 7. 1.2. Оценка точности результатов одного прямого измерения 9. 1.3. Классы точности приборов 9. 1.4. Оценка точности многократных прямых измерений Н. 1.5. Оценка точности косвенных измерений 15.
1.6. Правила вычисления погрешностей 19. 1.7. Вычисления с приближенными числами 20. 1.8. Графическое представление результатов экспериментов 22.
1 Освоение методов проведения измерений и расчета их погрешностей 23
2 Изучение законов равноускоренного движения 32 ♦
II ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 40
2.1. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси 40.
2.2. Теорема Гюйгенса—Штейнера 41. 2.3/ Момент инерции твердого тела относительно произвольной оси 41. 2.4. Кинетическая энергия вращающегося вокруг оси тела 43. 2.5. Кинетическая и потенциальная энергии твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси 43. 2.6. Гироскоп 44
3 Маятник Обербека 47
4 Гироскоп 54
111 КОЛЕБАНИЯ 58
3.1. Физический маятник 58 3.2. Гармонический осциллятор 63.
3.3. Крутильный маятник 64
НО
5 Математический маятник 68
6 Физический маятник 73
7 Оборотный маятник 78
8 Наклонный маятник 84
9 Крутильный маятник 95
10 Баллистический маятник 103
Учебное издание
Каленков Сергей Геннадьевич Соломахо Георгий Игнатьевич
Практикум по физике. Механика
Зав. редакцией Е. С. Гридасова. Редактор Г. Н. Чернышева. Мл. редактор Н. А. Власова. Художественный редактор В. И. Пономаренко. Технический редактор
Т. Д. Гарина. Корректор Г. И. Кострикова
ИБ № 7426
Пзд № ФМ-918. Сдано в набор 20.03.90.
Подо, в печать 30.07.90. Формат 60Х80’/|б. Бум. офсетная № 2. Гарнитура литературная. Печать офсетная. Объем 6,86 усл. печ. л. 7.И усл. кр.-отт. 5.55 уч.-изд. л.
Тираж 38 000 экз. Зак. № 156. Цена 20 коп.
Издательство «Высшая школа*
101430. Москва. ГСП-4. Неглинная ул., Д. 29/14
Московская типография № 4 Госкомпечати СССР 129041, Москва, Б. Переяславская ул., д. 46