/
Теги: издания для определенного назначения геометрия топология
ISBN: 978-5-93700-473-4
Текст
https://liveinternet.club
https://liveinternet.club
Дмитрий Златопольский
Увлекательная
геометрия
Москва, 2026
https://liveinternet.club
УДК 087.5:514
ББК 22.15
З-67
Златопольский Д. М.
З-67 Увлекательная геометрия. – М.: ДМК Пресс, 2026. – 426 с.:
ил.
978-5-93700-473-4
В этой книге, продолжающей лучшие традиции популярной
образовательной литературы, приведено большое количество
занимательных задач и познавательных материалов, охватывающих широкий круг вопросов геометрии и развивающих
интеллект школьников, формирующих общеучебные навыки
и способствующих повышению интереса к геометрии.
Книга адресована любознательным школьникам и их преподавателям. Она рассчитана на вдумчивое чтение с обстоятельными
рассуждениями.
УДК 087.5:514
ББК 22.15
Все права защищены. Любая часть этой книги не может быть
воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было
средствами без письменного разрешения владельцев авторских прав.
Дизайн обложки разработан с использованием ресурса freepik.com
ISBN 978-5-93700-473-4
© Златопольский Д., 2026
© Оформление, издание,
ДМК Пресс, 2026
https://liveinternet.club
Содержание
От издательства............................................................................ 16
Предисловие.................................................................................. 18
Глава 1. Геометрия с ножницами............................................ 21
1.1. Четыре части квадрата............................................................... 21
1.2. Фигуры из равнобедренного треугольника.............................. 22
1.3. Фигуры из прямоугольника. Задача 1....................................... 22
1.4. Фигуры из прямоугольника. Задача 2....................................... 23
1.5. Фигуры из параллелограмма..................................................... 23
1.6. Два квадрата................................................................................ 24
1.7. Фигуры из квадрата.................................................................... 24
1.8. Фигуры из равнобедренной трапеции...................................... 24
1.9. Делим равносторонний треугольник. Задача 1........................ 25
1.10. Делим равносторонний треугольник. Задача 2....................... 25
1.11. Шесть половин квадратов......................................................... 26
1.12. «Почти квадраты»..................................................................... 26
1.13. Из одного квадрата – два.......................................................... 27
Задание 1........................................................................................ 27
Задание 2........................................................................................ 27
Задание 3........................................................................................ 28
Задание 4........................................................................................ 28
Задание 5........................................................................................ 28
Задание 6........................................................................................ 29
Задание 7........................................................................................ 29
Задание 8........................................................................................ 29
Задание 9........................................................................................ 30
1.14. Две фигуры................................................................................ 30
1.15. Из одной фигуры – другую....................................................... 30
1.16. Разрезать «наконечник стрелы» и «дельтоид» ....................... 31
1.17. Из трапеции – треугольник. Задача 1....................................... 32
https://liveinternet.club
4
Содержание
1.18. Из трапеции – треугольник. Задача 2...................................... 32
1.19. Из тупоугольного треугольника – прямоугольник................. 32
1.20. Опять о разделении равностороннего треугольника............. 33
1.21. Разрезаем треугольник............................................................. 33
1.22. Из ромба – прямоугольник....................................................... 34
1.23. Параллелограмм из правильного пятиугольника.................. 35
1.24. Получить квадрат...................................................................... 35
1.25. Из четырехугольника – квадрат............................................... 37
1.26. Из пятиугольника – квадрат..................................................... 38
Ответы к главе 1................................................................................. 38
1.1. Четыре части квадрата........................................................... 38
1.2. Фигуры из равнобедренного треугольника.......................... 39
1.3. Фигуры из прямоугольника. Задача 1................................... 40
1.4. Фигуры из прямоугольника. Задача 2................................... 40
1.5. Фигуры из параллелограмма................................................. 41
1.6. Два квадрата............................................................................ 41
1.7. Фигуры из квадрата................................................................ 42
1.8. Фигуры из равнобедренной трапеции.................................. 43
1.9. Делим равносторонний треугольник. Задача 1.................... 43
1.10. Делим равносторонний треугольник. Задача 2.................. 44
1.11. Шесть половин квадратов.................................................... 44
1.12. «Почти квадраты»................................................................. 44
1.13. Из одного квадрата – два...................................................... 45
1.14. Две фигуры............................................................................ 48
1.15. Из одной фигуры – другую................................................... 49
1.16. Разрезать «наконечник стрелы» и «дельтоид»................... 49
1.17. Из трапеции – треугольник. Задача 1.................................. 50
1.18. Из трапеции – треугольник. Задача 2.................................. 50
1.19. Из тупоугольного треугольника – прямоугольник............. 51
1.20. Опять о разделении равностороннего треугольника......... 52
1.21. Разрезаем треугольник......................................................... 52
1.22. Из ромба – прямоугольник.................................................. 53
1.23. Параллелограмм из правильного пятиугольника.............. 54
1.24. Получить квадрат.................................................................. 54
1.25. Из четырехугольника – квадрат........................................... 57
1.26. Из пятиугольника – квадрат................................................ 57
Ответ к врезке на стр. 38............................................................... 58
Глава 2. Разные задачи. ............................................................. 59
2.1. Сад царя Навуходоносора........................................................... 59
https://liveinternet.club
Содержание
5
2.2. Девятый – лишний...................................................................... 60
2.3. Пятиугольник в квадрате........................................................... 60
2.4. Серединограммы........................................................................ 61
2.5. «Лишний» треугольник............................................................... 62
2.6. Как проверить, прямой ли угол?................................................ 62
2.7. Как найти центр окружности..................................................... 62
2.8. Квадрат на конусе....................................................................... 62
2.9. Двенадцать фигур....................................................................... 63
2.10. Треугольник с «квадратными» углами 😊............................... 64
2.11. Координаты вершин квадрата................................................. 64
2.12. Шатающаяся табуретка............................................................. 64
2.13. Лестница.................................................................................... 64
2.14. Кабель на столбах. Задача 1...................................................... 65
2.15. Кабель на столбах. Задача 2...................................................... 65
2.16. Объезд ремонтного участка дороги......................................... 65
2.17. Необычный маршрут................................................................. 66
2.18. Как шел Митя?........................................................................... 66
2.19. Центр масс сложной фигуры.................................................... 67
2.20. Семь пластин............................................................................. 67
2.21. Шесть пластин........................................................................... 68
2.22. Три особых четырехугольника................................................. 68
2.22.1. Задача 1............................................................................... 68
2.22.2. Задача 2............................................................................... 68
2.22.3. Задача 3............................................................................... 68
2.23. Дележ квадратной шоколадки.................................................. 69
2.24. Болото и 10 елей........................................................................ 69
2.25. Разрезаем круглый торт............................................................ 70
2.26. Пересекающиеся прямые......................................................... 70
2.27. Точки и прямые. Задача 1......................................................... 70
2.28. Точки и прямые. Задача 2......................................................... 70
2.29. Пятиконечная звезда................................................................ 70
2.30. Две линейки............................................................................... 71
2.31. Шоколадки в коробке................................................................ 71
2.32. Сколько подобных треугольников на рисунке?...................... 72
2.33. Опять – серединограммы......................................................... 72
2.34. Верно ли?................................................................................... 73
2.35. Полукруглое ведро и моющие средства................................... 73
2.36. Разделение алмазного стержня............................................... 74
2.37. Три палочки............................................................................... 74
2.38. Лес между точками................................................................... 74
2.39. Рамка на столе........................................................................... 75
https://liveinternet.club
6
Содержание
2.40. Три окружности......................................................................... 76
2.41. Квадрат ли это?......................................................................... 76
2.42. Как выглядит фигура?............................................................... 77
2.43. Восемь вопросов о равнобедренных треугольниках.............. 80
2.44. Три цилиндра и лента............................................................... 80
2.45. Игрушечная железная дорога................................................... 81
2.46. Два ковра................................................................................... 81
2.47. Забывчивый монтажник........................................................... 82
2.48. Задача для паркетчика.............................................................. 82
2.49. Две трубы (старинная задача).................................................. 83
2.50. Вертолет над прудом................................................................. 83
2.51. Два столба.................................................................................. 84
2.52. Колонна, статуя, часовой (старинная задача)......................... 84
2.53. Три равных круга. Задача 1...................................................... 84
2.54. Три равных круга. Задача 2...................................................... 85
2.55. Четыре точки............................................................................. 85
2.56. Особый равнобедренный треугольник.................................... 86
2.57. Три рожка для мороженого....................................................... 86
2.58. Бокал наполовину полон или наполовину пуст?.................... 87
2.59. Средняя линия «нетрапеции».................................................. 88
2.60. Прямая движется по треугольнику.......................................... 88
2.61. Точка внутри.............................................................................. 89
2.62. Завещание Ноя.......................................................................... 89
2.63. Прямоугольник в прямоугольнике.......................................... 90
2.64. Осколок пушечного ядра.......................................................... 90
Ответы к главе 2................................................................................. 91
2.1. Сад царя Навуходоносора...................................................... 91
2.2. Девятый – лишний.................................................................. 91
2.3. Пятиугольник в квадрате....................................................... 91
2.4. Серединограммы.................................................................... 92
2.5. «Лишний» треугольник........................................................... 92
2.6. Как проверить, прямой ли угол?............................................ 92
2.7. Как найти центр окружности................................................. 93
2.8. Квадрат на конусе................................................................... 93
2.9. Двенадцать фигур................................................................... 94
2.10. Треугольник с «квадратными» углами 😊.......................... 94
2.11. Координаты вершин квадрата............................................. 94
2.12. Шатающаяся табуретка........................................................ 94
2.13. Лестница................................................................................ 95
2.14. Кабель на столбах. Задача 1.................................................. 95
2.15. Кабель на столбах. Задача 2.................................................. 95
https://liveinternet.club
Содержание
7
2.16. Объезд ремонтного участка дороги.................................... 95
2.17. Необычный маршрут............................................................ 95
2.18. Как шел Митя?....................................................................... 95
2.19. Центр масс сложной фигуры................................................ 96
2.20. Семь пластин......................................................................... 96
2.21. Шесть пластин....................................................................... 97
2.22. Три особых четырехугольника............................................. 97
2.23. Дележ квадратной шоколадки............................................. 98
2.24. Болото и 10 елей.................................................................... 98
2.25. Разрезаем круглый торт....................................................... 99
2.26. Пересекающиеся прямые..................................................... 99
2.27. Точки и прямые. Задача 1................................................... 100
2.28. Точки и прямые. Задача 2................................................... 100
2.29. Пятиконечная звезда.......................................................... 101
2.30 Две линейки......................................................................... 101
2.31. Шоколадки в коробке.......................................................... 101
2.32. Сколько подобных треугольников на рисунке?................ 102
2.33. Опять – серединограммы................................................... 103
2.34. Верно ли?............................................................................. 104
2.35. Полукруглое ведро и моющие средства............................ 104
2.36. Разделение алмазного стержня......................................... 105
2.37. Три палочки......................................................................... 106
2.38. Лес между точками............................................................. 106
2.39. Рамка на столе..................................................................... 106
2.40. Три окружности.................................................................. 107
2.41. Квадрат ли это?................................................................... 108
2.42. Как выглядит фигура?......................................................... 109
2.43. Восемь вопросов о равнобедренных треугольниках........ 110
2.44. Три цилиндра и лента......................................................... 111
2.45. Игрушечная железная дорога............................................ 112
2.46. Два ковра............................................................................. 112
2.47. Забывчивый монтажник..................................................... 112
2.48. Задача для паркетчика....................................................... 113
2.49. Две трубы (старинная задача)............................................ 114
2.50. Вертолет над прудом.......................................................... 115
2.51. Два столба............................................................................ 116
2.52. Колонна, статуя, часовой (старинная задача)................... 116
2.53. Три равных круга. Задача1................................................. 117
2.54. Три равных круга. Задача 2................................................ 117
2.55. Четыре точки....................................................................... 117
2.56. Особый равнобедренный треугольник............................. 118
https://liveinternet.club
8
Содержание
2.57. Три рожка для мороженого................................................ 119
2.58. Бокал наполовину полон или наполовину пуст?.............. 120
2.59. Средняя линия «нетрапеции»............................................ 121
2.60. Прямая движется по треугольнику.................................... 122
2.61. Точка внутри....................................................................... 122
2.62. Завещание Ноя.................................................................... 123
2.63. Прямоугольник в прямоугольнике.................................... 123
2.64. Осколок пушечного ядра.................................................... 124
Глава 3. Какая площадь больше?......................................... 126
3.1. «Лишняя» фигура...................................................................... 126
3.2. Найти отношение площадей.................................................... 126
3.3. Белые и серые фигуры. Задача 1.............................................. 127
3.4. Белые и серые фигуры. Задача 2.............................................. 127
3.5. Окружности и их части в квадрате.......................................... 128
3.6. Шесть квадратов........................................................................ 129
3.7. Квадрат и полуокружности....................................................... 129
3.8. Две окружности......................................................................... 130
3.9. Прямоугольник, окружность и полуокружности.................... 130
3.10. Фотография, паспарту и рамка.............................................. 131
3.11. Семь полос треугольника........................................................ 131
3.12. Треугольники и квадраты....................................................... 132
3.13. Треугольники и квадраты. Задача 2....................................... 132
3.14. Какая часть круга закрашена? Задача 1................................. 133
3.15. Какая часть круга закрашена? Задача 2................................. 134
3.16. Какая часть круга закрашена? Задача 3................................. 134
3.17. Какая часть круга закрашена? Задача 4................................. 134
Ответы к главе 3............................................................................... 135
3.1. «Лишняя» фигура.................................................................. 135
3.2. Найти отношение площадей............................................... 136
3.3. Белые и серые фигуры. Задача 1.......................................... 136
3.4. Белые и серые фигуры. Задача 2.......................................... 137
3.5. Окружности и их части в квадрате...................................... 137
3.6. Шесть квадратов................................................................... 137
3.7. Квадрат и полуокружности................................................... 138
3.8. Две окружности..................................................................... 138
3.9. Прямоугольник, окружность и полуокружности................ 138
3.10. Фотография, паспарту и рамка.......................................... 139
3.11. Семь полос треугольника................................................... 139
3.12. Треугольники и квадраты. Задача 1.................................. 140
https://liveinternet.club
Содержание
9
3.13. Треугольники и квадраты. Задача 2.................................. 140
3.14. Какая часть круга закрашена? Задача 1............................ 140
3.15. Какая часть круга закрашена? Задача 2............................ 140
3.16. Какая часть круга закрашена? Задача 3............................ 141
3.17. Какая часть круга закрашена? Задача 4............................. 142
Глава 4. Лист бумаги может многое..................................... 143
4.1. Раскрываем «тайну» формата бумаги А4................................ 144
4.1.1. Эксперимент 1.................................................................... 144
4.1.2. Эксперимент 2.................................................................... 145
4.2. Получаем правильные многоугольники................................. 147
4.2.1. Квадрат............................................................................... 147
4.2.2. Равносторонний треугольник........................................... 148
4.2.3. Правильный шестиугольник............................................. 149
4.2.4. Правильный восьмиугольник........................................... 152
4.3. Доказываем теоремы и справедливость формул.................... 156
4.3.1. Теорема 1 – Пифагора........................................................ 156
4.3.2. Теорема 2 «Сумма внутренних углов треугольника
равна 180 градусов»..................................................................... 160
4.3.3. Теорема 3 «Площадь треугольника равна половине
произведения его стороны на высоту, к ней проведенную».... 161
4.3.4. Теорема 4 «Площадь трапеции равна произведению
полусуммы ее оснований на высоту»........................................ 162
4.3.5. Теорема 5 (о биссектрисе)................................................. 163
4.3.6. Теорема 6............................................................................ 166
4.3.7. Еще раз два четырехугольника......................................... 167
4.3.8. Доказать, что 32 + 42 = 52..................................................... 167
4.3.9. Три формулы...................................................................... 168
4.3.10. Еще раз о формуле разности квадратов......................... 171
4.4. Изображаем диагональ прямоугольника без линейки........... 173
4.5. Проводим золотое сечение отрезка......................................... 174
4.6. Сравниваем прямоугольники.................................................. 177
Ответы к главе 4............................................................................... 179
4.2.3. Правильный шестиугольник............................................. 179
4.3.1. Теорема 1 – Пифагора........................................................ 180
4.3.4. Теорема 4 «Площадь трапеции равна произведению
полусуммы ее оснований на высоту»........................................ 180
4.3.6. Теорема 6............................................................................ 182
4.3.7. Еще раз два четырехугольника......................................... 183
4.3.8. Доказать, что 32 + 42 = 52..................................................... 184
https://liveinternet.club
10
Содержание
4.3.9. Три формулы...................................................................... 184
4.3.10. Еще раз о формуле разности квадратов......................... 185
4.4. Изображаем диагональ прямоугольника без линейки...... 187
4.5. Проводим золотое сечение отрезка.................................... 187
4.6. Сравниваем прямоугольники.............................................. 187
Глава 5. «Дачная» геометрия................................................. 189
5.1. Кусты роз на даче...................................................................... 189
5.2. Два новых участка..................................................................... 189
5.3. А можно ли больше?.................................................................. 190
5.4. Один дополнительный участок................................................ 190
5.5. У кого площадь дачи больше?.................................................. 190
5.6. Четыре дачи и колодец............................................................. 190
5.7. Дорожка вокруг газона.............................................................. 191
5.8. Две клумбы................................................................................ 191
5.9. Газон и дорожка вокруг............................................................ 192
5.10. Удвоение площади газона...................................................... 192
5.11. Газон, дорожка и клумбы........................................................ 193
5.12. Еще три задачи о клумбах...................................................... 193
5.12.1. Задача 1............................................................................. 193
5.12.2. Задача 2............................................................................. 194
5.12.3. Задача 3............................................................................. 194
5.13. Один колодец на четыре дачи. Задача 1................................ 194
5.14. Один колодец на две дачи. Задача 1...................................... 195
5.15. Один колодец на три дачи. Задача 1...................................... 195
5.16. Один колодец на четыре дачи. Задача 2................................ 195
5.17. Один колодец на три дачи. Задача 2...................................... 196
5.18. Один колодец на четыре дачи. Задача 3................................ 196
5.19. Один колодец на две дачи. Задача 2...................................... 196
5.20. Один колодец на три дачи. Задача 3...................................... 197
5.21. Один колодец на три дачи. Задача 4...................................... 198
Литература....................................................................................... 198
Ответы к главе 5............................................................................... 199
5.1. Кусты роз на даче.................................................................. 199
5.2. Два новых участка................................................................ 199
5.3. А можно ли больше?............................................................. 199
5.4. Один дополнительный участок........................................... 200
5.5. У кого площадь дачи больше?.............................................. 200
5.6. Четыре дачи и колодец......................................................... 200
5.7. Дорожка вокруг газона.......................................................... 201
https://liveinternet.club
Содержание
11
5.8. Две клумбы............................................................................ 202
5.9. Газон и дорожка вокруг........................................................ 202
5.10. Удвоение площади газона.................................................. 203
5.11. Газон, дорожка и клумбы................................................... 203
5.12. Еще три задачи о клумбах.................................................. 203
5.13. Один колодец на четыре дачи. Задача 1............................ 204
5.14. Один колодец на две дачи. Задача 1.................................. 204
5.15. Один колодец на три дачи. Задача 1.................................. 205
5.16. Один колодец на четыре дачи. Задача 2............................ 205
5.17. Один колодец на три дачи. Задача 2.................................. 206
5.18. Один колодец на четыре дачи. Задача 3............................ 206
5.19. Один колодец на две дачи. Задача 2.................................. 207
5.20. Один колодец на три дачи. Задача 3.................................. 208
5.21. Один колодец на три дачи. Задача 4.................................. 209
Глава 6. Задачи для столяра Плотникова.......................... 210
6.1. Задача «Заполнить квадратные углубления».......................... 210
6.2. Задача «Получить особый квадрат. Вариант 1»....................... 211
6.3. Задача «Столы для конференц-зала»....................................... 211
6.4. Задача «Получить особый квадрат. Вариант 2»....................... 212
6.5. Задача «Разделить прямоугольный лист»............................... 212
6.6. Задача «Получить полуквадратный кусок» ............................ 213
6.7. Две задачи «Получить прямоугольник»................................... 214
6.8. Задача «Три плиты».................................................................. 218
Ответы к главе 6............................................................................... 224
6.1. «Заполнить квадратные углубления».................................. 224
6.2. Задача «Получить особый квадрат. Вариант 1».................. 225
6.3. Задача «Столы для конференц-зала».................................. 226
6.4. Задача «Получить особый квадрат. Вариант 2».................. 227
6.5. Задача «Разделить прямоугольный лист»........................... 228
6.6. Задача «Получить полуквадратный кусок»......................... 229
6.7. Задача «Получить прямоугольник»..................................... 230
6.8. Задача «Три плиты».............................................................. 232
Глава 7. Необычные приборы................................................ 235
7.1. Вычислительные приборы, основанные на пропорции......... 235
7.2. Прибор для решения задач....................................................... 245
Литература....................................................................................... 258
Источники иллюстраций................................................................ 259
Ответы к главе 7............................................................................... 260
https://liveinternet.club
12
Содержание
7.1. Вычислительные приборы, основанные на пропорции..... 260
7.2. Прибор для решения задач................................................... 262
Глава 8. Среднее пропорциональное и геометрия,
среднее геометрическое и «негеометрия». ..................... 267
Литература....................................................................................... 279
Ответы к главе 8............................................................................... 280
Доказательство к примеру 3....................................................... 280
Доказательство к примеру 4....................................................... 281
Доказательство к примеру 5....................................................... 281
Доказательство к примеру 6....................................................... 282
Ответ к заданию 1....................................................................... 283
Ответ к заданию 2....................................................................... 283
Ответ к задаче 1........................................................................... 283
Ответ к задаче 2........................................................................... 284
Ответ к задаче 3........................................................................... 284
Ответ к заданию 3....................................................................... 285
Ответ к заданию 4....................................................................... 285
Ответ к задаче 4........................................................................... 286
Ответ к задаче 5........................................................................... 287
Ответ к задаче 6........................................................................... 288
Ответ к задаче 7........................................................................... 288
Ответ к задаче 8........................................................................... 289
Глава 9. Трудные и «нерешаемые» задачи....................... 291
9.1. Соединить две точки................................................................. 291
9.2. Продлить отрезок...................................................................... 291
9.3. Построение перпендикуляра. Трудный случай...................... 291
9.4. Как определить высоту башни?............................................... 292
9.5. Охрана секретного объекта...................................................... 293
9.6. Чему равен x?............................................................................. 294
9.7. Восемь фигур............................................................................. 294
9.7.1. Фигура 1.............................................................................. 294
9.7.2. Три фигуры......................................................................... 295
9.7.3. Фигура 5.............................................................................. 296
9.7.4. Фигура 6.............................................................................. 296
9.7.5. Фигура 7.............................................................................. 296
9.7.6. Фигура 8.............................................................................. 297
9.8. Как разделить прямоугольный лист бумаги на три части?.... 297
9.9. Две задачи для землемера........................................................ 300
https://liveinternet.club
Содержание
13
9.9.1. Задача 1. Построить копию участка земли
в виде треугольника.................................................................... 301
9.9.2. Задача 2. Построить копию участка земли
в виде пятиугольника................................................................. 301
9.10. Еще две задачи для землемера.............................................. 302
9.11. Лес между точками. Задача 2.................................................. 304
9.12. «Нерешаемая» (?) головоломка.............................................. 306
9.13. Как построить квадрат?.......................................................... 311
9.13.1. Задача 1............................................................................. 311
Литература....................................................................................... 313
Ответы к главе 9............................................................................... 314
9.1. Соединить две точки............................................................ 314
9.2. Продлить отрезок................................................................. 315
9.3. Построение перпендикуляра. Трудный случай.................. 316
9.4. Как определить высоту башни?........................................... 316
9.5. Охрана секретного объекта.................................................. 318
9.6. Чему равен x?........................................................................ 319
9.7.2. Три фигуры......................................................................... 320
9.7.3. Фигура 5.............................................................................. 322
9.7.4. Фигура 6.............................................................................. 322
9.7.5. Фигура 7.............................................................................. 322
9.7.6. Фигура 8.............................................................................. 323
9.8. Как разделить прямоугольный лист бумаги
на три части?............................................................................... 324
9.9. Две задачи для землемера................................................... 325
9.10. Еще две задачи для землемера.......................................... 326
9.11. Лес между точками. Задача 2............................................. 328
9.12. Как построить квадрат?...................................................... 328
Глава 10. Думай иначе!. ........................................................... 335
10.1. Площадь треугольника – лишь одной линейкой!................. 335
10.2. На складе лимонада................................................................ 337
10.3. Как Митя Плотников строил биссектрису угла..................... 337
10.4. Просто, но эффективно........................................................... 338
10.5. Определение площади многоугольника по простой
формуле............................................................................................ 340
10.6. Необычный метод построения правильного
пятиугольника................................................................................. 343
10.7. Из топора – не только каша.................................................... 346
Литература....................................................................................... 350
https://liveinternet.club
14
Содержание
Источники иллюстраций................................................................ 350
Ответы к главе 10............................................................................. 351
10.2. На складе лимонада............................................................ 351
10.3. Как Митя Плотников строил биссектрису угла................. 352
10.4. Просто, но эффективно...................................................... 353
10.5. Определение площади многоугольника по простой
формуле........................................................................................ 353
10.6. Необычный метод построения правильного
пятиугольника............................................................................. 354
Глава 11. Неожиданные результаты, невероятные
выводы. ......................................................................................... 356
11.1. Чему равна разность площадей двух кругов?....................... 356
11.2. Две чашки................................................................................ 357
11.3. Три правильных многоугольника.......................................... 357
11.4. Как ближе?............................................................................... 358
11.5. Площадь плоской фигуры может быть отрицательной!...... 359
11.6. Геометрический фокус............................................................ 367
11.7. Правильный пятиугольник в узле полоски бумаги!............. 368
11.8. Софизм «Любой треугольник является
равнобедренным (!?)»..................................................................... 372
11.9. Софизм «Тупой угол равен прямому (!?)»............................. 373
Литература....................................................................................... 374
Ответы к главе 11............................................................................. 374
11.2. Задача «Две чашки»............................................................ 374
11.3. Три правильных многоугольника...................................... 375
11.4. Как ближе?........................................................................... 375
11.6. Геометрический фокус ...................................................... 375
11.8. Софизм «Любой треугольник является
равнобедренным (!?)»................................................................. 376
11.9. Тупой угол равен прямому (!?).......................................... 379
Ответы на дополнительные задания.................................. 380
Глава 1.......................................................................................... 380
Глава 2.......................................................................................... 380
Глава 4.......................................................................................... 382
Глава 5.......................................................................................... 382
Глава 8.......................................................................................... 383
Глава 9.......................................................................................... 384
https://liveinternet.club
Приложение 2. Методики построения треугольника
15
Приложение 1. Как определяли площадь в XIX веке... 387
П1.1. Геометрический способ......................................................... 388
П1.2. Обводные планиметры.......................................................... 401
П1.2.1. Немного теории............................................................... 401
П1.2.2. Линейные планиметры................................................... 405
П1.2.3. Полярные планиметры................................................... 409
Литература....................................................................................... 411
Источники иллюстраций................................................................ 412
Приложение 2. Методики построения треугольника
с «базовым» основанием и с «базовой» высотой,
равновеликого с заданным треугольником..................... 413
Приложение 3. О построении треугольника,
равновеликого с заданным многоугольником................ 418
Литература....................................................................................... 424
Источники иллюстраций на врезках.............................................. 425
https://liveinternet.club
От издательства
Отзывы и пожелания
Мы всегда рады отзывам наших читателей. Расскажите нам,
что вы думаете об этой книге – что понравилось или, может
быть, не понравилось. Отзывы важны для нас, чтобы выпускать книги, которые будут для вас максимально полезны.
Вы можете написать отзыв на нашем сайте www.dmkpress.
com, зайдя на страницу книги и оставив комментарий в разделе «Отзывы и рецензии». Также можно послать письмо главному редактору по адресу dmkpress@gmail.com; при этом укажите
название книги в теме письма.
Если вы являетесь экспертом в какой-либо области и заинтересованы в написании новой книги, заполните форму на
нашем сайте по адресу http://dmkpress.com/authors/publish_book/
или напишите в издательство по адресу dmkpress@gmail.com.
Список опечаток
Хотя мы приняли все возможные меры для того, чтобы обеспечить высокое качество наших текстов, ошибки все равно
случаются. Если вы найдете ошибку в одной из наших книг,
мы будем очень благодарны, если вы сообщите о ней главному
редактору по адресу dmkpress@gmail.com. Сделав это, вы избавите других читателей от недопонимания и поможете нам
улучшить последующие издания этой книги.
Нарушение авторских прав
Пиратство в интернете по-прежнему остается насущной проб
лемой. Издательство «ДМК Пресс» очень серьезно относится
https://liveinternet.club
От издательства
17
к вопросам защиты авторских прав и лицензирования. Если вы
столкнетесь в интернете с незаконной публикацией какой-либо
из наших книг, пожалуйста, пришлите нам ссылку на интернетресурс, чтобы мы могли применить санкции.
Ссылку на подозрительные материалы можно прислать по
адресу электронной почты dmkpress@gmail.com.
Мы высоко ценим любую помощь по защите наших авторов,
благодаря которой мы можем предоставлять вам качественные материалы.
https://liveinternet.club
Когда человек хочет передвинуть гору, он начинает с того, что убирает маленькие камни.
Восточная мудрость
Задача, которую вы решаете, может быть очень
скромной, но если она бросает вызов вашей любо
знательности и если вы решите ее собственными
силами, то вы сможете испытать ведущее к открытию напряжение ума и насладиться радостью
победы.
Джордж Пойя,
венгерский, швейцарский
и американский математик,
популяризатор науки
Предисловие
Книга, которую вы читаете, по своему содержанию и стилю продолжает традиции широко известных книг «Занимательная геометрия» Я. И. Перельмана, «В царстве смекалки»
Е. И. Игнатьева, «Математическая смекалка» Б. А. Кордемского
и др. В ней приведено большое количество занимательных задач и познавательных материалов, охватывающих широкий
круг вопросов геометрии и имеющих развивающее значение
для интеллекта школьников, формирующих общеучебные навыки и способствующих повышению интереса к геометрии.
Книга состоит из 11 глав и трех приложений.
Глава 1 «Геометрия с ножницами» содержит задачи на разрезание геометрических фигур на части и сборку из них других фигур.
Название главы 2 «Разные задачи» говорит о ее содержании.
В главе 3 «Какая площадь больше?» предлагаются задачи на
сравнение площадей различных частей фигур.
https://liveinternet.club
Предисловие
19
Оказывается, что многие геометрические задачи, даже достаточно сложные, можно решить, а некоторые теоремы можно доказать, лишь … несколько раз согнув лист бумаги. О том,
как это сделать, рассказывается в главе 4.
В главе 5 «“Дачная” геометрия», как следует из ее названия,
приводятся задачи, связанные с дачными участками.
Знания геометрии нужны работникам различных профессий. О том, какие задачи приходится решать, например, столярам, говорится в главе 6.
Читатели, конечно, знают, что такое пропорция и ее основные свойства. А знаете ли вы, что свойства пропорций могут
быть использованы для решения многих практических задач
и даже в простейших вычислительных приборах? Об этом рассказывается в главе 7 «Необычные приборы».
В главе 8 показывается, что исторически сложившееся название «среднее геометрическое», как ни странно, с геометрией не связано, а понятие «среднее пропорциональное» (частный случай среднего геометрического) – связано…
С трудными задачами встречался каждый. Но есть геомет
рические задачи, которые сначала вообще кажутся нерешаемыми. С некоторыми примерами и тех, и других можно ознакомиться в главе 9.
Глава 10 называется «Думай иначе!». Смысл этой фразы –
призыв к нестандартному мышлению, выходу за рамки общепринятого и к попытке найти решение, отличающееся от известного. Примеры такого «выхода» в геометрии приведены
в этой главе.
Читателям, возможно, известны числовые математические
софизмы1, в которых «доказывается», что, например, 5 = 1,
2 > 3 и т. п. Возможны и софизмы геометрические. Ряд из них
представлен в заключительной главе 11. В этой же главе приводятся также задачи, решения которых дают неожиданные,
на первый взгляд парадоксальные, результаты.
1
Софи́зм (от греч. σόφισμα – хитрая выдумка, уловка) – формально
кажущееся правильным, но ложное по существу умозаключение,
основанное на преднамеренно неправильном подборе исходных
положений.
https://liveinternet.club
20
Предисловие
В приложениях к книге приводятся интересные сведения
из истории геометрии и геодезии – науки, с геометрией тесно
связанной. Исторические факты и материалы представлены
и в основных главах книги.
Группировка задач по главам условная – в каждой главе есть
легкие и трудные задачи. Для решения ряда задач читателю
придется провести своеобразное мини-исследование.
К подавляющему числу задач и вопросов даются решения
и ответы. Решение ряда задач приводится сразу после условия. В таких случаях предлагаем читателям, прежде чем знакомиться с решением, попробовать решить задачи самостоя
тельно.
Если вам не удастся решить какую-то задачу, ее можно временно пропустить, а потом, после изучения новых тем, вернуться к нерешенной задаче.
Заметим, что эта книга – не для легкого чтения «в один
присест», а для работы на протяжении, может быть, ряда лет...
https://liveinternet.club
Глава 1
Геометрия с ножницами
1.1. Четыре части квадрата
Постройте квадрат1 и разрежьте его на четыре равных прямоугольных треугольника (см. рис. 1.1).
Рис. 1.1
Какие фигуры, контур которых имеет ось симметрии, можно составить из всех этих треугольников? Например, фигурой
с симметричным контуром является фигура из двух треугольников:
.
Найдете ли вы минимум 10 таких фигур?
1
Как построить эту и другие фигуры, которые придется при решении задач разрезать (равносторонние треугольники, параллелограммы и т. д.), установите самостоятельно. Можно использовать
линейку с делениями, чертежный треугольник, транспортир, циркуль.
https://liveinternet.club
22
Глава 1
1.2. Фигуры из равнобедренного
треугольника
ABC – произвольный равнобедренный треугольник (см.
рис. 1.2), у которого AB = AC, точка D – середина ВС, точка Е –
середина АС.
A
E
Y
X
Z
B
C
D
Рис. 1.2
Как, разрезав его на три части X, Y, Z, собрать из этих частей:
а)
б)
в)
г)
еще один равнобедренный треугольник;
прямоугольник;
фигуру, напоминающую воздушного змея;
три разных вида параллелограмма.
1.3. Фигуры из прямоугольника. Задача 1
В прямоугольнике ABCD (см. рис. 1.3) выберите произвольную точку E на стороне BC и разрежьте прямоугольник на три
треугольника.
E
В
A
C
D
Рис. 1.3
https://liveinternet.club
23
Геометрия с ножницами
Как из этих треугольников собрать три различных параллелограмма?
1.4. Фигуры из прямоугольника. Задача 2
Разрежьте прямоугольник на четыре части (см. рис. 1.4). Сложите из этих частей:
два различных равнобедренных треугольника;
фигуру, напоминающую воздушного змея.
Рис. 1.4
1.5. Фигуры из параллелограмма
Разрезав любой параллелограмм на три треугольника, как показано на рис. 1.5, где E – середина стороны BC, решите следующие задачи:
1) из частей P и R получите треугольник двумя способами;
2) из частей P, Q и R получите два варианта треугольника
с тем же основанием, что и сторона AD у параллелограмма, и с высотой, в два раза большей, чем у него;
3) из частей P, Q и R получите два вида параллелограмма,
отличающиеся от исходного.
B
E
C
R
P
Q
A
D
Рис. 1.5
https://liveinternet.club
24
Глава 1
1.6. Два квадрата
Два квадрата, белый и оттененный, образуют прямоугольник,
показанный на рис. 1.6. Как разрезать его на четыре части, из
которых можно собрать квадрат?
Рис. 1.6
1.7. Фигуры из квадрата
Как разрезать квадрат на минимально возможное число час
тей, чтобы из них можно было собрать:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
два квадрата;
треугольник;
два треугольника;
прямоугольник;
равнобедренную трапецию;
два разных параллелограмма.
1.8. Фигуры из равнобедренной трапеции
Как разрезать равнобедренную трапецию на минимально возможное число частей, чтобы из этого количества частей можно было собрать:
1) прямоугольник;
2) параллелограмм;
3) фигуру, напоминающую «домик».
Отрезанные части можно переворачивать.
https://liveinternet.club
25
Геометрия с ножницами
1.9. Делим равносторонний треугольник.
Задача 1
Разделите равносторонний треугольник на четыре равные час
ти так, как показано на рис. 1.7.
Рис. 1.7
Если белый и один из оттененных треугольников разделить
на два прямоугольных треугольника, то из полученных шес
ти частей можно получить две разные фигуры, имеющие ось
симметрии. Какие это фигуры?
1.10. Делим равносторонний треугольник.
Задача 2
Равносторонний треугольник разделите на ромб и два меньших равносторонних треугольника (см. рис. 1.8). Как, разрезав
одну из трех полученных фигур на две части, составить из всех
частей две различные фигуры, имеющие ось симметрии?
Рис. 1.8
https://liveinternet.club
26
Глава 1
1.11. Шесть половин квадратов
Шесть половин квадратов образуют узорчатый шестиугольник
с двумя осями симметрии, показанный на рис. 1.9.
Рис. 1.9
Как разрезать его на две части, чтобы из них можно было
собрать узорчатый прямоугольник с вращательной симмет
рией?
1.12. «Почти квадраты»
Понятно, что прямоугольник с размерами 6×4 см нельзя разрезать на части так, чтобы собрать из них квадрат. Но можно разрезать его так, чтобы из всех частей можно было бы
собрать фигуру в виде квадрата, но с одной отсутствующей
клеткой внутри фигуры или на одной из ее сторон. Например,
на рис. 1.10 показано разделение прямоугольника на четыре
равные части и соответствующий «почти квадрат».
Рис. 1.10
А. На какое минимальное число частей можно разрезать
прямоугольник с размерами 6×4 см, из которых также
можно собрать «почти квадрат»?
https://liveinternet.club
27
Геометрия с ножницами
Б. Найдите другие методы разделения такого прямоугольника на четыре прямоугольника, из которых также можно собрать «почти квадрат».
1.13. Из одного квадрата – два
Выполните приведенные ниже задания, используя листы
клетчатой бумаги с размерами клетки 1×1 см.
Задание 1
Из квадрата, показанного на рис. 1.11, получите два квадрата разного размера.
Рис. 1.11
Задание 2
Из квадрата, показанного на рис. 1.12, получите два квадрата разного размера.
→
+
Рис. 1.12
https://liveinternet.club
28
Глава 1
В остальных заданиях получите из заданного квадрата два
квадрата разного размера.
Задание 3
Задание 4
Задание 5
https://liveinternet.club
Геометрия с ножницами
Задание 6
Задание 7
Задание 8
29
https://liveinternet.club
30
Глава 1
Задание 9
1.14. Две фигуры
Некоторые одинаковые «элементарные» фигуры могут быть
использованы для выкладывания двух фигур, показанных на
рис. 1.13. При этом они укладываются без нахлеста одна на
другую и без промежутков между ними. Что это за фигуры?
Как они используются для выкладывания?
Подсказка
Определите количество клеток в каждой фигуре.
Рис. 1.13
1.15. Из одной фигуры – другую
Как разрезать левую фигуру на рис. 1.14 на две части, чтобы из
них можно было собрать правую фигуру? Обе фигуры имеют
ось симметрии. Угол на «впадине» – прямой.
https://liveinternet.club
31
Геометрия с ножницами
Рис. 1.14
Подсказка
Поверните правую фигуру так, как показано на рис. 1.15.
Рис. 1.15
1.16. Разрезать «наконечник стрелы»
и «дельтоид»
Разрежьте каждую из фигур – «наконечник стрелы» ABCD
(рис. 1.16) и так называемый «дельтоид» (фигуру, напоминающую «воздушный змей») KLMN (рис. 1.17) – на четыре части,
из которых можно собрать прямоугольник.
Примечание: в обеих фигурах верхние и нижние пары смежных сторон равны.
https://liveinternet.club
32
Глава 1
B
M
L
N
D
A
C
Рис. 1.16
K
Рис. 1.17
1.17. Из трапеции – треугольник. Задача 1
Можно ли, разрезав неравнобедренную (необязательно прямоугольную) трапецию на две части, составить из них тре
угольник? Отрезанные части можно переворачивать.
1.18. Из трапеции – треугольник. Задача 2
А как решить предыдущую задачу, если трапеция – равнобедренная, но не тем способом, который был применим к неравнобедренной?
1.19. Из тупоугольного треугольника –
прямоугольник
Как, разделив тупоугольный треугольник АВС (см. рис. 1.18) на
минимальное число частей, собрать из них прямоугольник?
https://liveinternet.club
33
Геометрия с ножницами
B
A
C
Рис. 1.18
1.20. Опять о разделении равностороннего
треугольника
Известно, что равносторонний треугольник может быть разделен на четыре одинаковых равносторонних треугольника
меньшего размера (см. рис. 1.19).
Рис. 1.19
А. А можно ли разделить равносторонний треугольник на
шесть равносторонних треугольников, которые могут
быть разного размера?
Б. На какое число меньших равносторонних треугольников, которые могут быть разного размера, равносторонний треугольник разделить нельзя?
1.21. Разрезаем треугольник
В треугольнике АВС (см. рис. 1.20) точки D и E – середины двух
его сторон, а В – наибольший угол.
https://liveinternet.club
34
Глава 1
B
D
E
A
C
Рис. 1.20
А. Если разрезать треугольник на две части по линии DE,
то сколькими способами можно сложить эти две части,
чтобы получился параллелограмм?
Б. Как, проведя второй разрез через середину F стороны
АС перпендикулярно AC (см. рис. 1.21), из трех частей
получить прямоугольник и две разные трапеции?
B
D
A
E
F
C
Рис. 1.21
Рекомендация
Перед тем как разрезать бумагу, отметьте углы A, B, C, как
показано на рис. 1.20.
1.22. Из ромба – прямоугольник
Как разделить ромб на четыре части (не по диагоналям!), чтобы из них можно было собрать прямоугольник?
https://liveinternet.club
35
Геометрия с ножницами
1.23. Параллелограмм из правильного
пятиугольника
Как, разрезав правильный пятиугольник на минимальное
число частей, получить из них параллелограмм? Найдите два
варианта сбора этих частей в требуемую фигуру.
1.24. Получить квадрат
На клетчатой бумаге с размерами клеток 1×1 см изображены
девять фигур (см. схемы ниже), площадь которых составляет
256 см2. Каждую из них можно разрезать на две части, которые
затем сложить вместе, чтобы получился квадрат со стороной
16 см. Как именно?
Фигура 1
Фигура 2
https://liveinternet.club
36
Глава 1
Фигура 3
Фигура 4
Фигура 5
https://liveinternet.club
37
Геометрия с ножницами
Фигура 6
Фигура 7
1.25. Из четырехугольника – квадрат
На рис. 1.22 показан четырехугольник с двумя прямыми углами и размерами сторон в сантиметрах. Как, разрезав его на
две части, собрать из них квадрат?
7
5
5
Рис. 1.22
1
https://liveinternet.club
38
Глава 1
Подсказка
Установите, чему должна быть равна сторона искомого
квадрата.
Вспомните (или узнайте) о треугольнике, который называют «египетским».
1.26. Из пятиугольника – квадрат
На рис. 1.23 показан пятиугольник с тремя прямыми углами
и размерами некоторых сторон в общем виде. Как, разрезав
его на три части, собрать из них квадрат?
b
1/2b
b
2b
Рис. 1.23
Как вы думаете, что изображено ниже?
Ответы к главе 1
1.1. Четыре части квадрата
Возможные решения показаны на рис. О1.1.
https://liveinternet.club
39
Геометрия с ножницами
Рис. О1.1
1.2. Фигуры из равнобедренного треугольника
Решения показаны на рис. О1.2.
Y
Z
X
Y
Z
X
Z
X
X
Z
Y
Y
Y
X
Z
X
Y
Рис. О1.2
Z
https://liveinternet.club
40
Глава 1
1.3. Фигуры из прямоугольника. Задача 1
Решения показаны на рис. О1.3.
Рис. О1.3
1.4. Фигуры из прямоугольника. Задача 2
Решения показаны на рис. О1.4.
Рис. О1.4
https://liveinternet.club
41
Геометрия с ножницами
1.5. Фигуры из параллелограмма
Решения показаны на рис. О1.5.
1)
R
P
P
R
R
P
2)
P
R
Q
Q
R
P
Q
3)
R
P
Q
Рис. О1.5
1.6. Два квадрата
Решение показано на рис. О1.6.
Рис. О1.6
https://liveinternet.club
42
Глава 1
1.7. Фигуры из квадрата
Квадрат надо разрезать так, как на рис. О1.7.
Рис. О1.7
Требуемые фигуры показаны на рис. О1.8.
2)
1)
4)
3)
5)
6)
Рис. О1.8
https://liveinternet.club
43
Геометрия с ножницами
1.8. Фигуры из равнобедренной трапеции
Линии разреза показаны на рис. О1.9, а требуемые фигуры –
на рис. О1.10 (перевернутые части оттенены).
C
B
A
D
Рис. О1.9
C′
D′
B
B
A
D′
A
C
D
A
C′
B
Рис. О1.10
1.9. Делим равносторонний треугольник. Задача 1
Решения показаны на рис. О1.11.
Рис. О1.11
https://liveinternet.club
44
Глава 1
1.10. Делим равносторонний треугольник. Задача 2
Решения показаны на рис. О1.12.
Рис. О1.12
1.11. Шесть половин квадратов
Решение показано на рис. О1.13 (линия разреза исходного
шестиугольника показана утолщенной). Прямоугольник справа выглядит так же при его повороте на 180° вокруг его центра.
Рис. О1.13
1.12. «Почти квадраты»
А. На две. Решение показано на рис. О1.14.
Рис. О1.14
https://liveinternet.club
45
Геометрия с ножницами
Б. Имеется три решения, показанных на рис. О1.15–О1.17.
Рис. О1.15. Первое решение
Рис. О1.16. Второе решение
Рис. О1.17. Третье решение
1.13. Из одного квадрата – два
Задание 1
→
+
https://liveinternet.club
46
Глава 1
Далее будет показан один из возможных вариантов решения каждого задания.
Задание 2
→
+
→
+
Задание 3
Задание 4
→
+
https://liveinternet.club
47
Геометрия с ножницами
Задание 5
→
+
→
+
→
+
Задание 6
Задание 7
https://liveinternet.club
48
Глава 1
Задание 8
→
+
→
+
Задание 9
1.14. Две фигуры
Количество клеток в обеих фигурах кратно 5 (25 и 85). Значит, количество клеток в «элементарной» фигуре равно пяти.
Эта фигура:
рис. О1.18.
. Ее использование иллюстрируется на
Рис. О1.18
https://liveinternet.club
49
Геометрия с ножницами
1.15. Из одной фигуры – другую
Линия разреза показана на рис. О1.19 слева, а собранная
фигура – справа. Как провести линию разреза, установите самостоятельно.
Рис. О1.19
1.16. Разрезать «наконечник стрелы» и «дельтоид»
Решение показано на рис. О1.20–О1.21, на которых:
BЕ = AE, BF = CF, DG || AB, DH || BC, EG || BD, FH || BD;
LО = MO, MP = NP, OS = ST, PR = RQ.
M
B
O
P
L
E
D
N
F
S
A
G
H
Рис. О1.20
C
T
R
K
Рис. О1.21
Q
https://liveinternet.club
50
Глава 1
1.17. Из трапеции – треугольник. Задача 1
Ответ: можно.
Прежде всего понятно, что разделение трапеции вдоль
какой-то диагонали в данном случае составить треугольник
не позволит (убедитесь в этом!). Так как две части разделенной трапеции надо будет «стыковать», то один из размеров
этих частей должен быть одинаковым. Какой? Если разделять
пополам одно из оснований трапеции, то решить задачу будет
нельзя. А вот разделение середины боковой стороны собрать
треугольник позволит. Один из четырех возможных вариантов разделения трапеции показан на рис. О1.22 слева, а соответствующий собранный треугольник – справа.
B
C
E
A
D
B
АЕ = ВЕ
C
E
D
Рис. О1.22
1.18. Из трапеции – треугольник. Задача 2
В данном случае понятно, что разделять трапецию можно
только вдоль диагоналей (другие варианты разделения составить треугольник согласно условию не позволят). Как соединить после разделения две полученные части? Так как
одинаковыми у полученных частей являются боковые стороны исходной трапеции, то именно их надо использовать при
стыковке частей (перевернув одну из них). Решение показано
на рис. О1.23.
https://liveinternet.club
51
Геометрия с ножницами
B
C
A
D
C
A
D
Рис. О1.23
1.19. Из тупоугольного треугольника – прямоугольник
Достаточно очевидный вариант решения показан на
рис. О1.24.
B
G
E
F
A
D
C
Рис. О1.24
Комментарии: AD = DC, BE = CE, DF ^ AB, EG ^ AB.
Дополнительное задание
В приведенном варианте необходимо дважды опускать перпендикуляр. Но возможно решение, при котором это можно
сделать только один раз. Найдите его.
https://liveinternet.club
52
Глава 1
1.20. Опять о разделении равностороннего
треугольника
А. Можно (решение показано на рис. О1.25).
Рис. О1.25
Б. Равносторонний треугольник нельзя разделить на 2, 3
и 5 меньших равносторонних треугольников.
Обоснование
Граничная (примыкающая к одной из сторон заданного треугольника) полоса может состоять из любого нечетного числа
меньших равносторонних треугольников, начиная с трех (см.
рис. 1.19 и О1.25). Это значит, что с учетом оставшегося треугольника общее количество фигур будет четным (начиная
с числа 4 – 4, 6, 8, …).
Любой из уже построенных треугольников может быть разделен на четыре меньшие фигуры, что увеличивает общее
количество равносторонних треугольников на 3 до нечетного
числа. Следовательно, можно получить и любое нечетное число фигур, кроме 3 и 5.
1.21. Разрезаем треугольник
А. Двумя способами: один параллелограмм включает
угол A заданного треугольника, второй – угол С (см.
рис. О1.26).
https://liveinternet.club
53
Геометрия с ножницами
B
D
A
E
C
A
С
Рис. О1.26
Б. Решение показано на рис. О1.27.
B
D
A
E
F
C
Рис. О1.27
1.22. Из ромба – прямоугольник
Необходимо разделить ромб на четыре части по трем отрезкам, соединяющим середины его сторон (см. рис. О1.28 слева).
Собранный прямоугольник показан на рис. О1.28 справа.
58,597
https://liveinternet.club
54
Глава 1
Рис. О1.28
1.23. Параллелограмм из правильного пятиугольника
Схема разделения пятиугольника показана на рис. О1.29,
а собранные параллелограммы – на рис. О1.30.
Рис. О1.29
Рис. О1.29
1.24. Получить квадрат
Решения показаны ниже.
Фигура 1
https://liveinternet.club
55
Геометрия с ножницами
Фигура 2
Фигура 3
Фигура 4
Фигура 5
https://liveinternet.club
56
Глава 1
Фигура 6
Фигура 7
Фигура 8
https://liveinternet.club
57
Геометрия с ножницами
Фигура 9
1.25. Из четырехугольника – квадрат
Площадь четырехугольника равна 16 кв. см, следовательно, сторона равновеликого квадрата должна быть равна 4 см.
Поэтому надо отрезать прямоугольный треугольник A со сторонами длиной 3, 4 и 5 см (см. рис. О1.31 он оттенен) и расположить его под оставшейся частью B.
Почему собранная таким образом фигура будет квадратом,
докажите самостоятельно.
3
5
A
4
B
5
4
1
A
3
Рис. О1.31
1.26. Из пятиугольника – квадрат
Площадь заданного пятиугольника равна 5b2/4, то есть сторона равновеликого квадрата должна быть равна 5b/2, что является длиной гипотенузы треугольника, обозначенного С на
рис. О1.32. Поэтому надо отрезать часть С и прямоугольный
треугольник B и добавить их к части А, как показано на рисунке.
https://liveinternet.club
58
Глава 1
Правильность полученного результата также обоснуйте самостоятельно.
b
C
b
C
1/2b
A
B
B
2b
Рис. О1.32
Ответ к врезке на стр. 38
Изображен самый простой циркуль – в виде веревки с отмеченными на ней метками расстояний, закрепленной на двух
стержнях. Такие инструменты использовались, например,
в Древнем Египте для разметки земельных участков после
очередного разлива Нила. Несмотря на свою примитивность,
веревочный циркуль используется и в настоящее время – там,
где надо нарисовать дугу очень большого радиуса (например,
при разметке спортивных арен), или там, где использование
«жесткого» циркуля неудобно – их часто можно увидеть в руках садовников или кровельщиков.
https://liveinternet.club
Глава 2
Разные задачи
2.1. Сад царя Навуходоносора
После того как правитель Древнего Вавилона Навуходоносор
захотел питаться исключительно травой, он решил разбить
сад, чтобы выращивать более вкусные растения – мяту, анис,
тмин, тимьян и др. Он пожелал, чтобы это был квадратный
сад, разделенный на четыре равные части одинаковой формы двумя дорожками, пересекающимися под прямым углом
в центре сада. Навуходоносор отклонил предложенные придворными землемерами два плана, показанных на рис. 2.1,
поскольку они напоминали ему о двух его врагах (их гербы
имели похожие изображения). Он поручил землемерам найти
альтернативные планы деления сада. К его удивлению, они
представили большое количество планов, некоторые с прямыми дорожками, некоторые с кривыми. Можете ли вы нарисовать хотя бы четыре плана, которые соответствуют условиям
Навуходоносора?
Рис. 2.1
https://liveinternet.club
60
Глава 2
2.2. Девятый – лишний
Какое из приведенных в таблице девяти изображений отличается по своим характеристикам от восьми остальных?
A
B
C
D
E
F
G
H
I
2.3. Пятиугольник в квадрате
На рис. 2.2 изображен правильный пятиугольник, симметрично размещенный в квадрате. На рис. 2.3 пространство между
пятиугольником и квадратом симметрично разделено прямыми линиями на пять многоугольников, два из которых –
пятиугольники и три – четырехугольники (в том числе одна
равнобедренная трапеция).
Можно ли разделить это пространство на пять симметрично
расположенных пятиугольников (не обязательно выпуклых)?
https://liveinternet.club
61
Разные задачи
Рис. 2.2
Рис. 2.3
2.4. Серединограммы
Серединограммом условимся называть фигуру, образованную
отрезками, последовательно соединяющими середины смежных сторон многоугольника.
Какую форму имеют серединограммы четырехугольников,
представленных на рис. 2.4?
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
Рис. 2.4
https://liveinternet.club
62
Глава 2
2.5. «Лишний» треугольник
На рис. 2.5 представлен ряд треугольников. Какой из них является «лишним» (свойство которого отличается от свойства
остальных треугольников)?
Рис. 2.5
2.6. Как проверить, прямой ли угол?
Как, используя линейку и карандаш, проверить, что на чертежном треугольнике угол – действительно прямой?
2.7. Как найти центр окружности
Как, имея чертежный треугольник и карандаш, найти центр
окружности?
2.8. Квадрат на конусе
Восьмиклассник Митя Плотников, имя которого будет несколько раз встречаться на страницах данной книги, изготовил из бумаги конус с квадратным вырезом нужного размера
(см. рис. 2.6). Как он это сделал?
Рис. 2.6
https://liveinternet.club
63
Разные задачи
2.9. Двенадцать фигур
Нетрудно установить, что из всех приведенных на рис. 2.7
фигур фигура А имеет максимальную площадь, фигура G –
минимальную.
А. Какие фигуры имеют максимальный периметр и какие –
минимальный?
Б. У какой фигуры отношение площади к периметру максимальное и у какой – минимальное?
Считать, что каждый маленький квадрат всех фигур имеет
размеры 1×1 см.
A
B
C
D
E
F
G
H
J
K
L
M
Рис. 2.7
https://liveinternet.club
64
Глава 2
2.10. Треугольник с «квадратными»
углами 😊
Существует ли треугольник, значения углов которого в градусах являются полными квадратами?
2.11. Координаты вершин квадрата
Известны координаты на координатной плоскости концов одной из диагоналей квадрата – (3, 4) и (7, 10). Какие координаты
у вершин, которую соединяет другая диагональ?
Ответьте на вопрос, не проводя построения на клетчатой
бумаге.
2.12. Шатающаяся табуретка
Когда столяр Плотников возвращался домой после работы, он
встретил соседку, которая несла в магазин недавно купленную
в нем табуретку с четырьмя ножками. Дело было в том, что
табуретка шаталась, но соседка не знала, в чем причина – то
ли пол неровный, то ли одна из ножек по длине отличается от
остальных. Так как встреча произошла на улице, то Плотников не смог установить табуретку на ровную поверхность. Но
у него был очень точный прибор для измерения расстояния
между двумя точками. Какое минимальное число измерений
должен провести Плотников, чтобы определить, нормальная
ли табуретка?
2.13. Лестница
У лестницы имеется шесть площадок (см. рис. 2.8). Длина нижней площадки 70 см, верхней – 25 см. Какова длина третьей
снизу площадки, если расстояние по вертикали между всеми
площадками одно и то же?
https://liveinternet.club
65
Разные задачи
Рис. 2.8
2.14. Кабель на столбах. Задача 1
Кабель длиной 100 м закрепили вверху на двух столбах высотой 50 м каждый. К середине кабеля подвесили груз, после
чего он оказался на высоте 20 м от земли. Каково расстояние
между столбами?
2.15. Кабель на столбах. Задача 2
Кабель длиной 80 м закрепили вверху на двух столбах высотой
50 м каждый. Может ли середина кабеля оказаться на высоте
10 м от земли, если:
1) не подвешивать груз к центру кабеля?
2) подвесить груз к центру кабеля?
2.16. Объезд ремонтного участка дороги
Во время ремонта прямолинейного участка дороги водителям
предлагали объехать его по параллельной ему дороге, проходящей на расстоянии 6 км от этого участка. Водитель одного
из автомобилей заметил, что переезды с первой дороги на
https://liveinternet.club
66
Глава 2
вторую и со второй на первую (в обоих случаях по прямолинейным участкам) были протяженностью 10 км каждый. Мог
ли он определить, на сколько километров увеличился пробег
автомобиля из-за необходимости объезда ремонтного участка
дороги, или для этого нужно знать длину этого участка?
2.17. Необычный маршрут
Человек вышел из точки А и прошел 1 м на юг, 2 м – на запад, 4 м – на север, 6 м – на восток, 7 м на юг, 8 м – на запад,
10 м – на север, 12 м – на восток, 13 м – на юг, 14 м – на запад,
16 м – на север, 18 м – на восток и т. д.
На каком расстоянии от точки А он будет находиться после
100 «шагов» (после прохождения 100 отрезков)?
Принять, что маршрут проходил по равнине, которую можно рассматривать как плоскость.
2.18. Как шел Митя?
Митя Плотников, используя приспособление, изображенное
на врезке на стр. 38, нарисовал на земле окружность диамет
ром 5,8 м и два ее взаимно перпендикулярных диаметра (см.
рис. 2.9). Когда Митя прошел из точки А в точку В по двум
прямым отрезкам и потом измерил рулеткой расстояние АВ,
то оно было равно 2,9 м. Как шел Митя?
B
A
Рис. 2.9
https://liveinternet.club
67
Разные задачи
2.19. Центр масс сложной фигуры
Известно, что положение центра масс плоской фигуры, состоящей из нескольких частей, для которых центры масс известны, может быть определено по формуле, приведенной
в разделе 11.5. Но для фигуры, показанной на рис. 2.10, центр
масс можно найти несложными построениями. Как именно?
6
12
8
4
18
Рис. 2.10
2.20. Семь пластин
Семь пластин шарнирно соединили так, как показано на
рис. 2.11. Длина горизонтальных пластин – 40 см, наклонных –
20 см.
Рис. 2.11
Если пластина АВ зафиксирована, а точка S обводит прямоугольный треугольник с катетами, равными 15 см, то по какой
траектории будет перемещаться точка T?
https://liveinternet.club
68
Глава 2
2.21. Шесть пластин
Шесть пластин шарнирно соединили так, как показано на
рис. 2.12. Стороны большего параллелограмма имеют длины
80 и 60 см, меньшего – 40 и 30 см.
Рис. 2.12
Если точка Р зафиксирована, а точка R обводит параллелограмм со сторонами 60 и 40 см, то по какой траектории будет
перемещаться точка Q?
2.22. Три особых четырехугольника
2.22.1. Задача 1
Если диагональ BD четырехугольника ABCD делит углы
в точках B и D пополам, то какой фигурой является ABCD?
2.22.2. Задача 2
Если каждая диагональ четырехугольника делит углы в своих концах пополам, то чем является этот четырехугольник?
2.22.3. Задача 3
На рис. 2.13 четырехугольник ABCD – трапеция (BC || AD).
Если диагонали AC и DB делят углы в точках A и D пополам, то
какой особой фигурой является этот четырехугольник?
https://liveinternet.club
69
Разные задачи
B
С
A
D
Рис. 2.13
2.23. Дележ квадратной шоколадки
Представьте, что вам предложили от квадратной шоколадки отломить себе от каждого угла четыре одинаковых куска
в виде прямоугольных треугольников. Как вы отломите максимальное количество шоколада?
2.24. Болото и 10 елей
На квадратном участке земли c размерами 200 × 200 м находится болото и 10 елей, из которых восемь расположены в вершинах правильного восьмиугольника, а два – на диаметре
окружности, вписанной в этот восьмиугольник. Схема участка
показана на рис. 2.14 (положение деревьев и болота на схеме
соответствует реальным с учетом масштаба).
Как разделить участок на пять равных по площади частей,
соблюдая два условия:
1) в каждой части должны быть две ели;
2) болото должно целиком находиться на одной части, но
его площадь при расчетах не должна учитываться.
Рис. 2.14
https://liveinternet.club
70
Глава 2
2.25. Разрезаем круглый торт
А. За какое минимальное число разрезов можно разделить
круглый торт на семь частей (возможно – не равных)?
Б. На какое минимальное и на какое максимальное число частей
можно разрезать торт двумя парами параллельных разрезов?
2.26. Пересекающиеся прямые
А. Можно ли нарисовать на плоскости четыре прямые так,
чтобы каждая прямая пересекалась ровно с тремя другими?
Б. Можно ли нарисовать на плоскости пять прямых так, чтобы
каждая прямая пересекалась ровно с тремя другими?
2.27. Точки и прямые. Задача 1
Можно ли построить три прямые и 39 точек так, чтобы на каждой прямой было 14 данных точек?
2.28. Точки и прямые. Задача 2
Можно ли построить девять точек и три прямые так, чтобы на
каждой прямой было по четыре данные точки?
2.29. Пятиконечная звезда
На рис. 2.15 пять равных ромбов соединены вместе, образуя
пятиугольную звезду.
А. Найдите углы каждого ромба
и тупой угол между парой смежных сторон звезды.
Б. Если к звезде присоединить еще
пять ромбов, чтобы заполнить
пространство между смежными
сторонами, то какими будут углы
каждого нового ромба?
Рис. 2.15
https://liveinternet.club
71
Разные задачи
В. Какая фигура будет образована всеми десятью ромбами?
Г. Что представляет собой последовательность значений
четырех различных углов на полученном рисунке, упорядоченных в порядке возрастания?
2.30. Две линейки
Какую фигуру имеет область ABCD, в которой соприкасаются
две линейки одинаковых размеров (см. рис. 2.16)?
А
D
В
С
Рис. 2.16
2.31. Шоколадки в коробке
Работникам кондитерской фабрики нужно разместить в коробке, имеющей вид равнобедренной трапеции, шоколадки
в один слой. Внутренние размеры коробки: основания 40
и 25 см, высота 15 см, размеры каждой шоколадки в обертке: 3×2 см. Все шоколадки в коробке должны быть одинаково
ориентированы. Какое максимальное число шоколадок можно
разместить?
Дополнительный вопрос
Можно ли разместить более 76 шоколадок, если не соблюдать указанное в условии требование об ориентации их
в коробке?
https://liveinternet.club
72
Глава 2
2.32. Сколько подобных треугольников
на рисунке?
На рис. 2.17 АВС и ADC – прямоугольные треугольники. Их
гипотенузы АВ и CD взаимно перпендикулярны. Сколько подобных прямоугольных треугольников изображено на этом
рисунке?
D
B
A
C
Рис. 2.17
2.33. Опять – серединограммы
А. Известно, что средние линии треугольника образуют треугольник, который подобен исходному с коэффициентом
подобия 1:2, а его площадь равна одной четвертой площади
исходного треугольника. А какую фигуру образуют отрезки,
последовательно соединяющие середины сторон произвольного выпуклого четырехугольника, отличающегося от
представленных на рис. 2.4? Чему равна площадь этой фигуры, которая в разделе 2.4 названа «серединограммом»?
Б. Какую часть площади правильного n-угольника составляет
площадь его серединограмма:
1) при n = 6?
2) в общем случае при некотором n?
3) при n = 13?
https://liveinternet.club
73
Разные задачи
2.34. Верно ли?
На рис. 2.18 АВС и ADC – прямоугольные треугольники. Их гипотенузы АВ и CD взаимно перпендикулярны. Длина отрезков
ВС, АС, AD и BD, соответственно, a, b, c и d.
D
B
A
C
Рис. 2.18
Верно ли, что:
1) b2 = ac?
2) d2 = a2 – b2 + c2?
2.35. Полукруглое ведро и моющие
средства
В полукруглом ведре «диаметром» 36 см нужно разместить
три одинаковые цилиндрические емкости с моющими средствами (см. рис. 2.19). Какой может быть максимальный диаметр этих емкостей?
Рис. 2.19
https://liveinternet.club
74
Глава 2
2.36. Разделение алмазного стержня
Есть круглый алмазный стержень. Если цена алмазов пропорциональна квадрату их веса, то каково максимальное значение уменьшения стоимости имеющихся алмазов (в процентах) в случае разделения стержня на две части? Например,
если длина стержня равна 15 см, то при разделении его на
две части длиной 10 и 5 см стоимость уменьшится на 44,(4) %
(стоимость всего стержня пропорциональна 225, а общая стои
мость полученных частей пропорциональна 125).
2.37. Три палочки
Есть три палочки – длиной 5, 9 и 12 см. Чтобы составить из
них треугольник с тупым углом в 120º, пришлось их укоротить. От второй палочки отрезали в два раза больше, а от третьей – в три раза больше, чем от первой. Сколько отрезали от
каждой?
2.38. Лес между точками
Однажды в древности геодезисту надо было определить расстояние между точкой А и точкой D, лежащей на одной прямой
c отрезком АВ (см. рис. 2.20), но разделенными лесным массивом М, из-за чего точка D не видна из точек А и В.
A
B
D
Рис. 2.20
У него был специальный прибор – эккер. Если в некоторой
точке R местности установить высокую рейку (в геодезии их
https://liveinternet.club
75
Разные задачи
называют «вехами»), а точке S – эккер, то с его помощью можно определить такое положение рейки Т, при котором угол
RST будет равен заданному (см. рис. 2.22). С помощью эккера,
находящегося в некоторой точке S, можно также определять
угол RST, если в точках R и Т установлены вехи.
R
S
T
Рис. 2.21
Как геодезисту, используя эккер, а также рулетку, вехи и веревку (для «изображения» линий на местности), решить указанную задачу?
2.39. Рамка на столе
Прямоугольная рамка одним углом D касается стола, а углы А
и С находятся на расстоянии, соответственно, а = 4 см и с =
3 см от плоскости стола. На какой высоте b от стола находится
угол В рамки?
https://liveinternet.club
76
Глава 2
B
A
b
a
C
c
D
Рис. 2.22
2.40. Три окружности
Даны три окружности. Между каждой парой окружностей проведены линии, которые касаются точки, в которых соприкасются окружности (см. рис. 2.23). Если эти линии продлить
в фигуру между окружностями, то чем будет особенна точка
их пересечения? Почему?
Рис. 2.23
2.41. Квадрат ли это?
На бумаге отмечены четыре точки. За какое наименьшее число операций можно установить, являются ли они вершинами
квадрата? Операциями считать:
https://liveinternet.club
77
Разные задачи
построение отрезков;
измерение отрезков;
измерение углов.
Для измерения угла должны быть построены оба его луча.
Подсказка
Для ответа рассмотрите различные признаки квадрата.
2.42. Как выглядит фигура?
На рис. 2.24а показаны три вида (три проекции) фигуры, изоб
раженной справа внизу.
а
б
Рис. 2.24
https://liveinternet.club
78
Глава 2
Еще один пример трех проекций фигуры приведен на
рис. 2.25.
Рис. 2.25
Если какая-то поверхность на какой-то проекции не видна,
то она изображается на этой проекции пунктирной линией:
Рис.2.26
А. Как выглядит фигура, три проекции которой показаны
на рис. 2.27–2.29?
Рис. 2.27
Рис. 2.28
https://liveinternet.club
79
Разные задачи
Рис. 2.29
Б. Как выглядит фигура, две проекции которой показаны
на рис. 2.30?
Рис. 2.30
В. Как выглядит фигура, две проекции которой показаны
на рис. 2.31? Нарисуйте третью проекцию.
Рис. 2.31
https://liveinternet.club
80
Глава 2
2.43. Восемь вопросов о равнобедренных
треугольниках
1. Треугольник имеет стороны x, 2x – 1, 5x – 3. Можно ли найти
одно или несколько значений x в сантиметрах, при которых
этот треугольник является равнобедренным?
2. Является ли равнобедренный треугольник со сторонами x,
2x – 1 и 3x – 2 равносторонним?
3. Возможно ли, чтобы 2x – 1, 3x – 2, 3x – 1 были сторонами
равнобедренного треугольника?
4. Значения 3x + 2, 4x – 1, 5x – 4 являются сторонами равностороннего треугольника. Какова длина стороны этого треугольника?
5. Сколько существует различных равнобедренных треугольников, стороны которых равны 3x + 1, 4x – 1, 5x – 4?
6. Можно ли найти более одного равнобедренного треугольника, периметр которого равен 10, а разность двух неравных сторон равна 2?
7. Сколько равнобедренных треугольников можно найти,
в которых разность двух неравных углов равна 36º?
8. Два угла равнобедренного треугольника равны (2x – 2)º
и (3x – 5)º. Сколько существует треугольников, удовлетворяющих этим условиям? Какие у них внутренние углы?
2.44. Три цилиндра и лента
Три одинаковых круговых цилиндра, каждый диаметром
в 1 м, соприкасаются друг с другом, а вокруг них натянута
эластичная лента (см. рис. 2.32). Какова длина ленты?
https://liveinternet.club
81
Разные задачи
Рис. 2.32
2.45. Игрушечная железная дорога
Игрушечная железная дорога с шириной колеи (расстоянием между рельсами) 2 см имеет два прямых участка, соединенных двумя полукруглыми участками равного радиуса (см.
рис. 2.33). Если длина внешнего рельса на 4π см больше длины внутреннего рельса, можно ли найти радиусы внешней
и внутренней полуокружностей?
Рис. 2.33
2.46. Два ковра
Длина и ширина прямоугольного ковра равны целому числу
метров. Другой ковер, на два метра длиннее и на один метр
меньше по ширине, будет иметь площадь на один квадратный
метр больше. Найдите площадь наименьшего первого ковра,
удовлетворяющего этим условиям.
https://liveinternet.club
82
Глава 2
2.47. Забывчивый монтажник
Одному монтажнику поставили задачу – подготовить кабель
для камер видеонаблюдения на первом этаже прямоугольного здания. Стены между комнатами делили этаж на четыре
комнаты-прямоугольника. В техническом условии на монтаж
было указано, что кабель в каждой комнате должен идти точно
по периметру стен, поэтому монтажник измерил периметр
каждой комнаты в метрах и записал все на листочке. Но он
спешил, поэтому только в здании он обнаружил, что забыл
записать периметр одной из комнат (рис. 2.34).
17
15
18
Рис. 2.34
Монтажник смог найти этот периметр. А вы сможете?
2.48. Задача для паркетчика
Одному рабочему-паркетчику нужно было уложить паркет
в трех комнатах-прямоугольниках. В задании на выполнение
работы были указаны площади только двух комнат и еще два
размера – суммы размеров двух пар комнат (см. рис. 2.35).
Несмотря на это, он смог определить площадь и третьей комнаты. Какая она?
https://liveinternet.club
83
Разные задачи
8м
25 кв. м
20 кв. м
7м
Рис. 2.35
2.49. Две трубы (старинная задача)
Видны две заводские трубы одинаковой высоты. Наблюдатель,
стоящий между ними на прямой, соединяющей их основания,
видит верхнюю точку ближайшей к нему трубы под углом 60º.
Отойдя на 80 м в направлении, перпендикулярном указанной
прямой, он видит верхнюю точку одной из труб под углом 45º,
а другой – под углом 30º. Определить высоту труб над уровнем
глаз наблюдателя и расстояние между ними.
2.50. Вертолет над прудом
На берегу пруда, на вышке стоит наблюдатель, который определил, что вертолет над прудом находится под углом α = 45º
по отношению к горизонту его глаз, а отражение вертолета
в воде – под углом β = 47º под тем же горизонтом. На какой
высоте по отношению к горизонту глаз наблюдателя находится вертолет, если этот горизонт находится на высоте 5 м над
поверхностью воды? Принять, что поверхность воды пруда
представляет собой плоское зеркало, а вертолет можно рассматривать как материальную точку.
https://liveinternet.club
84
Глава 2
2.51. Два столба
На горизонтальной поверхности стоят два столба, расстояние между которыми 12 м. Назовем «угловой высотой столба»
угол, один луч которого совпадает с горизонтом глаз наблюдателя, а другой – направлен из глаз наблюдателя к ее вершине.
Если стать поочередно у основания каждого из столбов, то
в одном случае угловая высота другого столба будет в два раза
больше, чем во втором случае. А если стать посередине между
столбами, то угловая высота одного столба будет дополнением до прямого угла угловой высоты другого. Найти высоту
столбов, если известно, что они равны целому числу метров.
Высота глаз наблюдателя над поверхностью – 2 м.
2.52. Колонна, статуя, часовой
(старинная задача)
На берегу реки установлена колонна, на которой размещена
статуя. У подножия колонны стоит часовой. Высота колонны,
высота статуи и рост часового известны.
Для того чтобы узнать ширину реки, на другом ее берегу вырыли небольшой котлован, в котором находился наблюдатель.
Уровень его глаз находился на уровне основания колонны.
При этом наблюдатель видит часового под углом зрения, равным углу, составленному из двух лучей, один из которых проведен из глаза наблюдателя к основанию статуи, а второй – из
глаза наблюдателя к ее вершине.
Определить расстояние от наблюдателя до колонны, которое позволит найти и ширину реки.
2.53. Три равных круга. Задача 1
Докажите, что когда три равных круга перекрываются как на
рис. 2.36, А – Y = B = C – X.
https://liveinternet.club
85
Разные задачи
В
X
Y
А
С
Рис. 2.36
2.54. Три равных круга. Задача 2
На рис. 2.37 изображены три равных круга. Средний круг разделен на пять частей В1, В2, Х, M, Y, остальные два – на три
части A, X, M и M, Y, C.
B1
A
X
M
Y
C
B2
Рис. 2.37
А. Верно ли, что A – Y = B1 + B2 = C – X?
Б. В каком случае части A и Y имеют одинаковую площадь?
2.55. Четыре точки
На сторонах квадрата построили четыре одинаковых прямоугольных треугольника (см. рис. 2.38).
https://liveinternet.club
86
Глава 2
Рис. 2.38
Почему все вершины прямых углов, обозначенные точками,
расположены на одной прямой?
2.56. Особый равнобедренный
треугольник
Митя Плотников построил равнобедренный треугольник.
Выяснилось, что периметр любого вписанного в него прямоугольника, две вершины которого лежат на основании треугольника, один и тот же. В чем особенность такого треугольника?
2.57. Три рожка для мороженого
Три вафельных рожка для мороженого имеют одинаковую высоту, но три разных размера круглого отверстия – внутренним
диаметром 5, 6 и 7 см. Если объем самого маленького рожка
составляет 62,5 см3, то каковы объемы двух других рожков?
Ответы найдите, не используя число π и рассчитывая глубину
рожков. После нахождения ответов определите объем рожка
диаметром 10 см в уме. Рожки можно рассматривать как круговые конусы.
https://liveinternet.club
87
Разные задачи
2.58. Бокал наполовину полон
или наполовину пуст?
Считается, чтобы отличить человека-оптимиста от человекапессимиста, достаточно заполнить цилиндрический стакан
жидкостью на 50 % его объема – первый скажет о нем: «Стакан
наполовину полон», второй – «Стакан наполовину пуст». А как
отличить их, если стакана нет, а есть бокал на ножке, например
такой, как на рис. 2.39?
Рис. 2.39
До какого уровня нужно налить в бокал жидкость, чтобы он
был заполнен на 50 % и можно было определить, кто оптимист, а кто – пессимист?
Уровень жидкости будем определять в процентном отношении расстояния от пятки бокала (то есть от места, где ножка
соединяется с чашей) до поверхности жидкости к расстоянию
от пятки до ободка бокала.
Какой из пяти вариантов уровня ближе всего к правильному
ответу:
1)
2)
3)
4)
5)
50 %;
60 %;
70 %;
80 %;
90 %.
Чашу бокала можно рассматривать как прямой круговой
конус.
https://liveinternet.club
88
Глава 2
2.59. Средняя линия «нетрапеции»
В четырехугольнике ABCD соединили середины сторон AD
и ВС (см. рис. 2.40).
B
A
N
M
D
C
Рис. 2.40
Что больше – MN или
?
Подсказка
Проведите средние линии треугольников DAC и АВС.
2.60. Прямая движется по треугольнику
Наклонная прямая перемещается по треугольнику АВС (см.
рис. 2.41) от вершины В к стороне АС под одним и тем же углом
к последней до тех пор, когда выйдет за пределы треугольника
в точке С.
B
A
C
Рис. 2.41
https://liveinternet.club
Разные задачи
89
Каково среднее значение длины отрезка этой линии, «лежащего» на треугольнике во время такого «путешествия»?
Подсказка
Выделите два этапа «путешествия» прямой и исследуйте
каждый.
2.61. Точка внутри
Нарисуйте замкнутую выпуклую кривую. Верно ли, что для
любой точки Т внутри нее существуют такие две точки на кривой, что точка Т будет серединой отрезка, соединяющего эти
точки?
Подсказка
Проведите линию через заданную точку.
2.62. Завещание Ноя
Возможно, вы слышали о мифе о Всемирном потопе и о Ное,
который спасся благодаря тому, что построил ковчег и взял
туда членов своей семьи и по паре животных каждого вида.
Дополним миф геометрической задачей.
После того как потоп утих, Ной посадил виноградник в саду,
огороженном стеной, в форме правильного шестиугольника.
Возможно, он думал, что такая форма привлечет пчел, которые известны тем, что предпочитают шестиугольные ячейки
для своих сот.
В своем завещании он завещал половину виноградника своей жене для пользования при ее жизни, а оставшуюся половину – поровну между сыновьями Симом, Хамом и Иафетом.
После смерти вдовы каждый сын должен был получить одну
треть виноградника, причем участок каждого сына должен
был иметь одинаковую форму.
Как должен был разделен виноградник прямыми дорожками, чтобы он соответствовал желаниям Ноя до смерти его
вдовы, а потом после ее смерти?
https://liveinternet.club
90
Глава 2
2.63. Прямоугольник в прямоугольнике
В квадрат вписать квадрат можно бесконечным числом способов. Для этого нужно
от каждого из углов заданного квадрата
отложить один и тот же отрезок длиной z,
после чего соединить отмеченные точки
(рис. 2.42).
А сколько имеется способов вписать
в заданный прямоугольник другую такую
же фигуру? Как именно это можно сделать?
Z
Z
Z
Z
Рис. 2.42
Подсказка
Нарисуйте окружность диаметром, равным длине заданного прямоугольника.
2.64. Осколок пушечного ядра
Представьте, что вы, живя в XVIII веке, нашли осколок пушечного ядра с частью его шаровой поверхности. Смогли бы вы с помощью только циркуля и линейки определить диаметр ядра?
Подсказка
Вспомните особенности вписанного угла, опирающегося на
диаметр.
На рисунке ниже показано,
как просто построить правильный восьмиугольник.
https://liveinternet.club
91
Разные задачи
Ответы к главе 2
2.1. Сад царя Навуходоносора
Четыре варианта плана сада из множества возможных показаны на рис. О2.1.
Рис. О2.1
2.2. Девятый – лишний
Изображение C (оно, в отличие от восьми остальных, не
является симметричным).
2.3. Пятиугольник в квадрате
Возможно множество решений, три из которых показаны
на рис. О2.2.
Рис. О2.2
https://liveinternet.club
92
Глава 2
2.4. Серединограммы
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
Квадрат.
Ромб.
Прямоугольник.
Параллелограмм.
Прямоугольник.
Ромб.
Параллелограмм.
Прямоугольник.
Дополнительный вопрос (для ответа без расчетов
на бумаге)
Какую часть площади n-угольника составляет площадь его
серединограмма:
1) при n = 3?
2) при n = 4?
2.5. «Лишний» треугольник
«Лишний» – четвертый треугольник (остальные можно получить вращением одного из них, а этот треугольник является
отражением первого треугольника по вертикали.
Рис. О2.3
2.6. Как проверить, прямой ли угол?
Надо приложить треугольник одним катетом к линейке (см.
рис. О2.4), а по другому катету провести линию.
Затем перевернуть треугольник на 180º. Вертикальный катет после поворота должен совпасть с проведенной линией.
Если линии не совпадают, значит, угол треугольника не равен 90º.
https://liveinternet.club
93
Разные задачи
Рис. О2.4
2.7. Как найти центр окружности
Надо разместить прямой угол треугольника на одной из
точек окружности и отметить точки пересечения коротких
сторон треугольника с окружностью (см. рис. О2.5). Отрезок,
соединяющий эти две точки, будет диаметром окружности.
Рис. О2.5
Аналогично строится любой второй диаметр. Точка их пересечения будет центром окружности.
2.8. Квадрат на конусе
Прежде чем склеить развертку конуса, Митя вырезал квад
рат на ее треугольной части.
https://liveinternet.club
94
Глава 2
2.9. Двенадцать фигур
А. Максимальный периметр (36 см) у фигуры K, минимальный (20 см) – у всех остальных фигур, кроме Е и J.
Б. Максимальное отношение площади к периметру – у фигуры A, минимальное – у фигуры K.
Таблица с расчетами
Фигура
A
B
C
D
E
F
G
H
J
K
L
M
Площадь
25
13
15
9
9
13
5
17
13
13
9
21
Периметр
20
20
20
20
26
20
20
20
28
36
20
20
Отношение
1,25
0,65
0,75
0,45
0,346154
0,65
0,25
0,85
0,464286
0,361111
0,45
1,05
2.10. Треугольник с «квадратными» углами 😊
Да, существует – это треугольник, углы которого равны 100,
64 и 16 градусов.
2.11. Координаты вершин квадрата
Точка пересечения диагоналей имеет координаты (5, 7).
Один из концов второй диагонали находится на 3 единицы
левее и на 2 выше, то есть его координаты – (2, 9). Координаты противоположной вершины квадрата: по горизонтали
5 + 3 = 8, по вертикали 7 – 2 = 5.
2.12. Шатающаяся табуретка
Если измерять длину каждой ножки табуретки, то придется
провести четыре измерения. Аналогично и при измерении
расстояний между двумя последовательно расположенными
https://liveinternet.club
95
Разные задачи
ножками. Но можно измерить два расстояния между парами
ножек, расположенными «по диагоналям». Если эти расстоя
ния отличаются, то отличаются и длины ножек, и причина шатания табуретки – в ней.
2.13. Лестница
52 см.
2.14. Кабель на столбах. Задача 1
80 м.
2.15. Кабель на столбах. Задача 2
В обоих случаях ответ – нет, не может.
2.16. Объезд ремонтного участка дороги
Можно, при этом длину ремонтного участка знать не обязательно. При объезде пробег автомобиля увеличился на 4 км.
Обоснование показано на рис. О2.6.
10 км
10 км
6 км
6 км
Рис. О2.6
2.17. Необычный маршрут
Анализ показывает, что после каждых четырех «шагов» человек смещается на восток на 3 м и на север – на 4 м, то есть
будет удаляться от исходной точки на 5 м. Следовательно, пос
ле 100 «шагов» он будет находиться на расстоянии 100 м от
точки А.
2.18. Как шел Митя?
Расстояние между точками А и В равно 2,9 м, то есть радиусу
проведенной окружности. Это означает, что из точки А Митя
мог пройти одним из двух маршрутов:
https://liveinternet.club
96
Глава 2
1) АО + ОВ, где О – центр окружности (см. рис. О2.7);
2) АС + СВ при АС и СВ – перпендикуляры к диаметрам.
В прямоугольнике ОВСА диагональ АВ равна диагонали ОС,
которая, в свою очередь, равна радиусу окружности.
С
B
A
О
Рис. О2.7
2.19. Центр масс сложной фигуры
Ответ показан на рис. О2.8. Почему именно так определяется положение центра масс всей фигуры, установите самостоятельно.
Рис. О2.8
2.20. Семь пластин
Траектория, по которой будет перемещаться точка T, также
будет представлять из себя прямоугольный треугольник с катетами, равными 15 см, все точки которого будут находиться
на расстоянии 40 см правее от соответствующих точек траектории перемещения точки S.
https://liveinternet.club
97
Разные задачи
2.21. Шесть пластин
Траектория, по которой будет перемещаться точка Q, будет
представлять из себя параллелограмм со сторонами 30 и 20 см
(эти стороны пропорциональны сторонам обводимого параллелограмма с коэффициентом пропорциональности 40 : 80 =
30 : 60 = 1 : 2).
2.22. Три особых четырехугольника
Задача 1
Треугольники ABD и CBD (см. рис. О2.9) конгруэнтны, так
как у них общая сторона BD и две пары равных прилегающих
к ней углов. Следовательно, AB = BC, AD = DC, то есть ABCD –
так называемый «дельтоид», ось симметрии которого – BD.
C
D
A
B
Рис. О2.9
Задача 2
Поскольку диагональ, делящая углы в своих концах пополам, является осью симметрии четырехугольника (см. решение предыдущей задачи), то можно сделать вывод о том, что
указанный четырехугольник – ромб.
Задача 3
На рис. О2.10 ∠BCA = ∠CAD = ∠CAB, следовательно, тре
угольник ABC – равнобедренный, и AB = BC. Аналогично равнобедренным является треугольник BCD, и BC = CD. Это означает, что четырехугольник ABCD – равнобедренная трапеция,
с тремя равными сторонами.
https://liveinternet.club
98
Глава 2
B
С
A
D
Рис. О2.10
2.23. Дележ квадратной шоколадки
Если от каждого угла отломить прямоугольный треугольник с катетами а и b (a + b = c, где с – сторона квадрата), то
общая площадь S четырех кусков составит 2ab. Допустим, что
разделение каждой стороны квадрата будет таким: а = сd,
где 0 < d < 1, то есть b = c(1 - d). Тогда можем записать: S =
2сd × c(1 - d) = 2c2(d - d2). Так как значение 2c2 известно, то
максимальное значение S определяется только особенностью
разделения сторон – значением d. Читатели, знакомые с исследованием функции на максимум, могут установить, что
максимум значения (d - d 2), а значит и 2c2(d - d 2), достигается
при d = 0,5, то есть при разделении каждой стороны квадрата
пополам. Остальные могут убедиться в этом, проведя расчеты
с различными значениями d.
2.24. Болото и 10 елей
Схема разделения показана на рис. О2.11, где центр малого
квадрата – одной из пяти искомых частей – совпадает с цент
ром заданного участка. Размер х малого квадрата определяется из равенства площадей этого квадрата и трапеции х2 =
, откуда х =
.
Положение вершин малого квадрата установите самостоя
тельно.
https://liveinternet.club
99
Разные задачи
x
a
Рис. О2.11
2.25. Разрезаем круглый торт
А. За семь.
2 3
1
6
4
5
Рис. О2.12
Б. Минимум на пять частей, максимум – на девять.
2
1
1
5
3
8
7 6
2 3
9
4
5
4
Рис. О2.13
2.26. Пересекающиеся прямые
А. Можно. Пример приведен на рис. О2.14.
Б. Для ответа вернемся к ответу на предыдущий вопрос.
На рис. О2.14 каждая из четырех прямых пересекается
с тремя другими: 4 × 3 = 12. При этом имеется шесть точек пересечения (каждая из которых принадлежит двум
прямым), то есть в два раза меньше числа 12.
https://liveinternet.club
100
Глава 2
Рис. О2.14
Теперь ответ на «основной» вопрос. Допустим, что ответ
положительный: «можно». При пересечении каждой из пяти
прямых с тремя другими имеем: 5 × 3 = 15. А сколько точек
пересечения будет на соответствующем рисунке? – В два раза
меньше. Но число 15 – нечетное, и количество точек пересечения при этом будет нецелым, что невозможно, то есть имеет
место противоречие.
Ответ: нельзя.
2.27. Точки и прямые. Задача 1
Если три прямые пересекаются, то на каждой из них лежат
две точки пересечения. Можно на каждой прямой отметить
еще по 12 точек.
Ответ: можно.
2.28. Точки и прямые. Задача 2
Можно. Пример показан на рис. О2.15.
Рис. О2.15
https://liveinternet.club
101
Разные задачи
2.29. Пятиконечная звезда
А. 72º, 108º, 144º.
Б. 144º и 36 º.
В. Правильный десятиугольник.
Г. Значения углов 36º, 72º, 108º, 144º образуют арифметическую прогрессию с шагом 36.
2.30 Две линейки
Это будет ромб.
Обоснование (см. рис. О2.16)
Если из точки А нижней линейки построить перпендикуляр
AF к противоположной стороне, а из точки В верхней линейки – перпендикуляр к ее противоположной стороне, то прямоугольные треугольники AFD и АВЕ будут равными (вспомните
признаки равенства прямоугольных треугольников). Это значит, что равны их гипотенузы AD и АВ.
Параллелограмм ABCD, у которого две смежные стороны
равны, – ромб.
А
F
D
E
В
С
Рис. О2.16
А если линейки будут разной ширины?
2.31. Шоколадки в коробке
Возможны два варианта размещения шоколадок:
1) когда их бóльшая сторона параллельна основаниям трапеции;
https://liveinternet.club
102
Глава 2
2) когда она перпендикулярна им.
В первом случае в коробке можно разместить семь рядов
шоколадок:
в первом ряду будет 38 : 3 = 12 шоколадок;
в втором – 36 : 3 = 12 шоколадок;
в третьем – 34 : 3 = 11 шоколадок;
в четвертом – 32 : 3 = 10 шоколадок;
в пятом – 30 : 3 = 10 шоколадок;
в шестом – 28 : 3 = 9 шоколадок;
в седьмом – 26 : 3 = 6 шоколадок,
то есть их общее число составит 72 штуки.
В втором случае в коробке будет размещено пять рядов шоколадок, при этом их общее число будет равно 18 + 17 + 15 +
14 + 12 = 76.
Ответ: 76.
Дополнительный вопрос
Можно ли разместить более 76 шоколадок, если не соблюдать указанное в условии требование об ориентации их в коробке?
2.32. Сколько подобных треугольников на рисунке?
Пять треугольников: АСЕ, АВС, СВЕ, DCA и DAE. Это прямоугольные треугольники с равными обозначенными на
рис. О2.17 углами.
D
B
E
A
C
Рис. О2.17
https://liveinternet.club
103
Разные задачи
2.33. Опять – серединограммы
А. Согласно свойству средней линии треугольника, отрезки
KL и MN параллельны диагонали BD и равны ее половине (см.
рис. О2.18). Аналогично KN = LM, то есть фигура KLMN является параллелограммом.
C
N
D
M
K
A
L
B
Рис. О2.18
Учитывая другое свойство средней линии треугольника –
она отсекает треугольник, площадь которого равна одной четвертой площади исходного треугольника, можем записать:
S∆BLM = 1/4 S∆ABC;
S∆DKN = 1/4 S∆ADC;
S∆BLM + S∆DKN = 1/4(S∆ABC + S∆ADC) = 1/4 SABCD.
Аналогично S∆AKL + S∆CMN = 1/4 SABCD, то есть площадь параллелограмма KLMN равна половине площади четырехугольника
ABCD.
Дополнительный вопрос
А какие будут ответы, связанные с серединограммом невыпуклого четырехугольника?
Б. 1) 3/4;
2) cos(π/n)2.
Обоснование
Площадь правильного n-угольника со стороной а равна
(*)
a радиус вписанной в него окружности r: ctg(π/n).
https://liveinternet.club
104
Глава 2
Сторона соответствующего серединограмма b = 2r sin(π/n) =
a cos(π/n). Так как серединограмм также является правильным
n-угольником, то его площадь равна
.
(**)
Разделив (**) на (*), получим cos(π/n)2.
3) ≈0,943.
2.34. Верно ли?
Верны оба равенства.
Так как прямоугольные треугольники АВС и DCA (см.
рис. О2.19) подобные (в них ∠ADC = ∠BAC), то
, откуда
b2 = ac.
В прямоугольном треугольнике DNB: d2 = b2 + (c - a)2 = b2 +
2
c - 2ac + a2. Так как ac = b2, то d2 = a2 - b2 + c2.
D
d
a–c
B
N
a
E
A
b
a
C
Рис. О2.19
2.35. Полукруглое ведро и моющие средства
Если мысленно дополнить полукруг до полного и размес
тить в нем шесть одинаковых емкостей, то отрезки, последовательно соединяющие центры меньших окружностей, образуют правильный шестиугольник со стороной, равной 2r, где
r – радиус емкостей (см. рис. О2.20). Отрезок ОА также будет
равен 2r. Это значит, что сумма 2r + r = 3r равна радиусу большой окружности ОВ (18 см). Следовательно, r = 6 см, а искомый
диаметр емкостей – 12 см.
https://liveinternet.club
105
Разные задачи
B
A
r
O
Рис. О2.20
2.36. Разделение алмазного стержня
Пусть длина стержня L, а ценность единицы длины алмазного стержня – k. Допустим, что его разделили на две час
ти длиной а и b. Тогда стоимость всего стержня равна kL2 =
k(a + b)2, общая стоимость его частей – ka2 + kb2, то есть величина уменьшения стоимости составит 2ab. Когда она максимальна? – Когда a = b. Это значит, что при этом и будет максимальное уменьшение стоимости, которое составит 50 %.
Задача имеет наглядное геометрическое решение. Если длину L стержня изобразить отрезком АВ, то стоимость стержня будет пропорциональна площади квадрата ABCD (см. рис. O2.21).
При разделении АВ в точке Е на две час
G
D
С
ти АЕ = а и ВЕ = b общая стоимость двух
частей стержня изобразится квадратом
F
EFGH, площадь которого, как вписанного,
меньше площади квадрата ABCD. МиниH
мальная площадь квадрата EFGH (то есть
максимальное уменьшение стоимости алA
B
E
мазов) будет в случае, когда точка Е делит
Рис. О2.21
сторону АВ пополам (см. задачу 2.23).
https://liveinternet.club
106
Глава 2
2.37. Три палочки
Если стороны треугольника – а, b, c и против стороны а лежит угол в 120º, то а2 = b2 + с2 + bc (убедитесь в этом!). Если от
первой палочки отрезали х см, то тогда указанную зависимость можно записать так:
(13 - 3х)2 = (5 - x)2 + (9 - 2x)2 + (5 - x)(9 - 2x).
Решив после преобразований полученное уравнение, можно получить два корня: х = 2 и х = 9/2. Второй корень по условию не подходит, то есть х = 2. Итак, от первой палочки
отрезали 2 см, от второй – 4 см, от третьей – 6 см.
2.38. Лес между точками
Решение показано на рис. О2.22. В его особенностях разберитесь самостоятельно. Искомое расстояние AD равно АВ +
EF + CD.
H
A
B
D
C
E
F
G
Рис. О2.22
2.39. Рамка на столе
Пусть больший размер рамки равен m см, меньший – n см.
Обозначим точку, на которую опустится перпендикуляр из
угла А рамки на плоскость стола (проекцию точки А на плос
кость), как А0, аналогичные точки для углов В и С – В0 и С0.
Тогда для прямоугольного треугольника АDА0:
a2 = n2 – (А0D)2,
(*)
https://liveinternet.club
Разные задачи
107
а для прямоугольной трапеции С0СВВ0:
(b – c)2 = n2 – (С0В0)2.
(**)
Вычтя (**) из (*), получим
a2 – (b – c)2 = (С0В0)2 – (А0D)2.
Так как проекция прямоугольника SABC на плоскость стола
также является прямоугольником, то А0D = С0В0, поэтому последнее равенство можно заменить таким:
a2 = (b – c)2.
Значит, возможны два варианта связи между расстояниями
а, b и с:
1) b = a + c;
2) b = c – a.
Так как по условию a > c, то второй вариант не подходит.
Итак, ответ: b = 4 + 3 = 7 см.
Аналогичный результат можно получить, рассмотрев прямоугольный треугольник СDС0 и прямоугольную трапецию
А0АВВ0.
2.40. Три окружности
Это будет точка, равноудаленная от трех точек касания пар
окружностей.
Обоснование
Пунктирные линии на рис. 2.23 – это касательные к заданным окружностям. Из точки их пересечения будут проведены
три отрезка этих касательных, которые будут равны согласно
свойству касательных: «Отрезки касательных, проведенных
из одной точки к окружности, равны».
https://liveinternet.club
108
Глава 2
2.41. Квадрат ли это?
Признак квадрата
Операции для проверки по различным признакам квадрата
приведены в таблице:
«Если
Для проверки потребуется провести:
в прямоугольнике – построение четырех отрезков,
соседние стороны
последовательно соединяющих заданные
равны»
точки;
– измерение трех углов между смежными
отрезками;
– измерение двух смежных отрезков.
Всего 9 операций
«Если в ромбе
Для проверки потребуется провести:
один из углов
– четыре измерения расстояний между
равен 90°»
заданными точками;
– построение двух смежных отрезков;
– измерение угла между ними.
Всего 7 операций
Для проверки потребуется провести:
«Если диагонали
четырехугольника – два построения отрезков, соединяющих
противоположные точки (построения
пересекаются
возможных диагоналей квадрата);
в своих серединах
– четыре измерения половин каждого
и один из углов
отрезка (половин возможных диагоналей);
между ними
– одно измерение любого угла в точке
равен 90°»
пересечения проведенных отрезков.
Всего 7 операций
Возможно также решение, не связанное с признаками квад
рата:
построение трех отрезков, последовательно соединяющих заданные точки;
измерение двух углов между смежными отрезками;
измерение трех отрезков.
Всего 8 операций.
Итак, минимальное число операций для решения задачи – 7.
https://liveinternet.club
109
Разные задачи
2.42. Как выглядит фигура?
А. Ответы приведены на рис. О2.23–О2.25.
Рис. О2.23
Рис. О2.23
Рис. О2.23
Б. Возможны различные фигуры, две проекции которых
одинаковы (см. рис. О2.26).
Рис. О2.26
В. Два из нескольких возможных решений показаны на
рис. О2.27.
1-е решение
2-е решение
Рис. О2.27
https://liveinternet.club
110
Глава 2
2.43. Восемь вопросов о равнобедренных
треугольниках
1. Если x = 2x – 1, то x = 1 см, и тогда длины сторон в условии
равны 1, 1 и 2 см. Треугольник с такими сторонами не сущест
вует (сумма длин двух сторон равна длине третьей стороны).
Если x = 5x – 3, то x = ¾ см, и стороны равны ¾, ½ и ¾ см.
Соответствующий треугольник – равнобедренный.
Если 2x – 1 = 5x – 3, то x = 2/3 см, остальные две стороны равны 1/3 см каждая. Треугольник с такими сторонами также не
существует.
2. Приравняв каждую пару сторон, во всех случаях можно
получить x = 1 см, то есть указанный треугольник – равносторонний.
3. Если 2x – 1 = 3x – 2, то x = 1 см, а три стороны – 1, 1 и 2 см,
которые не могут быть сторонами треугольника.
Если 2x – 1 = 3x – 1, то x = 0 см, при этом значения выражений в условии равны – 1, – 1 и – 2. Эти значения не могут быть
размерами треугольника.
Равенство 3x – 1 = 3x – 2 невозможно.
Вывод: указанные в условии выражения не могут быть сторонами треугольника.
4. 11 (при х = 3 см).
5. Три. Это треугольники со сторонами (7, 7, 6), (8½, 9, 8½),
(10, 11, 11).
6. Если длина равных сторон – х, то длина третьей – 10 – 2x.
Не зная, какая из сторон больше, но зная их разность, рассмот
рим два случая:
1) x + 2 = 10 – 2x, откуда x = 8/3 см;
2) x – 2 = 10 – 2x, то есть х = 4 см.
Это значит, что возможны два равнобедренных треугольника – со сторонами (8/3, 8/3, 14/3) и (4, 4, 2).
7. Если два равных угла равны xº, то третий – (x + 36)º,
или (x – 36)º, или (36 – x)º. Это значит, что сумма трех углов
либо 3x + 36 = 180, либо 3x – 36 = 180, либо x + 36 = 180. Таким
образом, x = 48º, или 70º, или 144º (что недопустимо, так как
в равнобедренном треугольнике x < 90º).
https://liveinternet.club
111
Разные задачи
Итак, два возможных равнобедренных треугольника имеют
углы (48º, 48º, 84º) и (70º, 70º, 40º).
8. Если первый угол равен (2x – 2)º, а второй – (3x – 5)º, то
третий должен быть равен (187 – 5x)º. Сравним эти значения:
1) 2x – 2 = 3x – 5, следовательно, x = 3, и треугольник имеет
углы 4º, 4º и 172º;
2) 2x – 2 = 187 – 5x, следовательно, x = 27, и треугольник
имеет углы 52º, 76º и 52º;
3) 3x – 5 = 187 – 5x, следовательно, x = 24, и треугольник
имеет углы 46º, 67º и 67º.
2.44. Три цилиндра и лента
Если соединить центры кругов, то будет построен равносторонний треугольник со стороной 1 м (см. рис. О2.28).
Если затем от каждой вершины треугольника провести линии к ленте под прямым углом к сторонам треугольника, то
можно определить длину каждого из трех прямых участков
ленты – она будет равна 1 м.
Рис. О2.28
Осталось определить длину участков ленты на цилиндрах.
Соответствующие части цилиндров представляют собой сектор круга радиусом 0,5 м с центральным углом 360 – 90 –
60 – 90 = 120º. Так как их три, то вместе они образуют круг
радиусом 0,5 м. Длина окружности такого круга равна π м.
Следовательно, общая длина ленты 3 + π м.
https://liveinternet.club
112
Глава 2
2.45. Игрушечная железная дорога
Длины внешнего и внутреннего рельсов одинаковы на двух
прямых участках, поэтому разница в длинах внешнего и внут
реннего рельсов возникает в двух полукруглых участках, которые вместе образуют две концентрические окружности. Если
радиус внутренней окружности равен r, то радиус внешней
окружности – r + 2. Это значит, что разность между их длинами
окружностей составляет 2π(r + 2) – 2πr = 4π, как и указано в условии задачи. Поскольку эта разность не зависит от значения r,
определить значение r невозможно – разность длин внешнего
и внутреннего рельсов при ширине колеи 2 см всегда составляет 4π см, независимо от размера полукруглых участков.
2.46. Два ковра
Если первый ковер имеет размеры x×y метров, где x и y –
целые числа, и x > y, то (x + 2)(y – 1) = xy + 1, откуда 2y – x = 3.
Какими могут быть значения х и у, удовлетворяющие последнему условию?
Очевидное решение x = 1, y = 2 не подходит (х должно быть
больше у).
Общим решением будет такое: x = 1 + 2m, y = 2 + m (убедитесь
в этом!). Но x > y, и, следовательно, 1 + 2m > 2 + m, то есть m > 1.
Таким образом, m = 2, то есть x = 5 м, y = 4 м, и площадь самого маленького ковра, удовлетворяющего условию, составляет
20 кв. м.
2.47. Забывчивый монтажник
Обозначим буквами стороны каждой комнаты-прямоугольника (см. рис. О2.29).
Запишем известные периметры:
2а + 2с = 17,
(1)
2b + 2c = 15,
(2)
2b + 2d = 18
(3)
– и будем искать неизвестное значение периметра 2a + 2d.
https://liveinternet.club
113
Разные задачи
a
b
17
15
c
18
d
Рис. О2.29
Итак. Значение 2c = 17 − 2a из (1) подставим в (2):
2b + 17 − 2a = 15.
Из последнего равенства следует, что 2b = 2a – 2. Это значение 2b подставим в (3):
2a − 2 + 2d = 18,
откуда 2a + 2d = 20.
Полученное значение и есть искомый периметр, то есть он
равен 20 м.
Но есть и «неалгебраическое» решение. Если сравнить два
правых прямоугольника, то можно увидеть, что периметр
нижнего больше периметра верхнего на 3 за счет двух «вертикальных» сторон. Точно так же будет с левой парой – периметр
нижнего прямоугольника отличается от периметра верхнего
размером тех же «вертикальных» сторон, то есть и его периметр будет больше на те же 3 единицы и равен 17 + 3 = 20 м.
2.48. Задача для паркетчика
Здесь тоже можно решить задачу, обозначив ширину внут
ренней комнаты – х, а «высоту» прямоугольников-комнат – у
и записав и решив систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
(7 − x) × y = 20,
(8 − x) × y = 25.
https://liveinternet.club
114
Глава 2
Но есть и более простое решение данной задачи. Оно следующее.
Если ширина левой комнаты а м, а правой – b м, то из сравнения площадей этих комнат можно установить, что a = b + 5/y.
Далее, ширина средней комнаты равна, с одной стороны:
8 – а = 8 – b – 5/y,
с другой:
7 – b.
Приравняв оба выражения, можно получить значение y,
равное 5. После этого искомую площадь средней комнаты
можно определить в уме (и даже двумя способами) – она равна 15 кв. м.
2.49. Две трубы (старинная задача)
На рис. О2.30: АВ и EF – части труб над уровнем глаз наблюдателя (этот уровень оттенен), С – его первое место нахождения, D – второе.
∠ВСА = 60º, ∠АDB = ∠DBА = 45º.
Обозначим АС – х. Тогда в прямоугольном треугольнике
АВС: АВ = х 3, при этом отрезок AD также равен х 3.
B
A
E
С
D
Рис. О2.30
F
https://liveinternet.club
115
Разные задачи
В прямоугольном треугольнике АСD (угол ACD – прямой):
CD2 = AD2 – AC2 = 2х2, откуда СD = х 2 = 80, то есть х = 80/ 2 =
40 2, а искомые высоты труб АВ = EF = 40 6.
Расстояние между трубами равно АС + CF, при этом отрезок
CF может быть определен как катет прямоугольного треугольника DCF, в котором гипотенуза DF = 120 2 (из прямоугольного треугольника DЕF), а катет CD = 80. Значение АС также
найдено.
2.50. Вертолет над прудом
Если на рис. О2.31: АВ – поверхность воды, точка С – положение вертолета, точка D – положение его отражения в воде,
точка Н – положение глаза наблюдателя, то:
1) из треугольника НСЕ: tg α =
;
2) из треугольника НDЕ: tg β =
.
, где h = АН.
Отсюда
По закону отражения в плоском зеркале (угол падения равен углу отражения): ВС = BD. Поэтому
искомое значение ВС равно h ×
, откуда
, а при известных зна-
чениях h и углов – примерно 143 м.
C
H
α
β
E
B
A
D
Рис. О2.31
https://liveinternet.club
116
Глава 2
2.51. Два столба
На рис. О2.32: АВ и CD – столбы, MN – горизонт глаз наблюдателя, Е – положение глаз наблюдателя при его нахождении
посередине между столбами.
Обозначим ВМ – х, DN – y.
Прямоугольные треугольники МВЕ и NDE подобны, так как
их острые углы равны. Поэтому
, откуда с учетом раз-
меров МЕ и NE: 4xy = 144, xy = 36. Возможные целочисленные
значения х и у: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9. Проверка для каждого
случая соответствующих значений арктангенсов углов BEM
и DEN показывает, что подходит только пара значений 4 и 9.
Это значит, что искомые высоты столбов – 6 и 11 м.
D
B
M
N
E
C
A
Рис. О2.32
2.52. Колонна, статуя, часовой (старинная задача)
На рис. О2.33: АС – колонна, СD – статуя, АВ – наблюдатель,
стоящий у колонны, Е – положение глаз наблюдателя, х – искомое расстояние АЕ.
Если высота колонны, высота статуи и рост часового соответ
ственно h, m, l, то ВЕ =
, СЕ =
, DE =
.
Площади треугольников АВЕ и DCE, имеющих одну и ту же
высоту, относятся как основания l : m. Так как по условию
∠BEA = ∠CED, то согласно теореме об отношении площадей
треугольников с равными углами эти площади относятся как
произведения сторон, заключающих эти углы. Поэтому
https://liveinternet.club
117
Разные задачи
откуда х =
.
D
C
В
A
x
E
Рис. О2.33
2.53. Три равных круга. Задача 1
Поскольку три круга имеют одинаковую площадь, то A + X =
X + B + Y = Y + C.
Вычтя из площади каждого круга площади X и Y, получим
A – Y = B = C – X.
2.54. Четыре равных круга. Задача 2
А. Да, верно.
На рис. 2.39: A + X + M = X + M + Y + B1 + B2 = M + Y + C.
Вычитая X + M + Y из каждой суммы, получим A – Y = B1 +
B2 = C – X.
Б. Когда A = Y, то X = C и B1 + B2 = 0, что означает, что средняя окружность проходит через две точки пересечения другой
пары окружностей; это может произойти только тогда, когда
средний круг совпадает с одним из внешних.
2.55. Четыре точки
Достроим рис. 2.38 – см. рис. О2.34 (новые фигуры отте
нены).
https://liveinternet.club
118
Глава 2
B
A
O
N
M
L
K
P
C
D
Рис. О2.34
Построенная большая фигура – квадрат (почему – установите самостоятельно).
Фигуры KOLD и BNPM (точки в их вершинах K, L, M, N) –
также квадраты со сторонами, параллельными большому
квадрату. Квадратом является и небольшая фигура в центре
(с вершинами L и М).
Отрезки, соединяющие две точки каждого из этих трех
квадратов, являются их диагоналями и принадлежат диагонали большого квадрата, то есть лежат на одной прямой.
2.56. Особый равнобедренный треугольник
Пусть на рис. О2.35 АВС – равнобедренный треугольник,
удовлетворяющий условию задачи, а MNPD и M′N′P′D – половины двух вписанных в него прямоугольников.
По условию:
M′N′ + 2N′P′ = MN + 2NP,
откуда M′N′ – MN = N′P′ =2(NP – N′P′) = 2NR.
https://liveinternet.club
119
Разные задачи
А так как треугольники ABD и NN′R подобны, то ВD = 2AD =
АС, то есть в построенном Митей равнобедренном треугольнике высота равна основанию.
D
P′
N′
R
N
A
M
M′
P
C
D
Рис. О2.35
2.57. Три рожка для мороженого
Так как рожки представляют собой перевернутый круговой
конус, а объем последнего равен 1/12 πD2h, где D – внутренний
диаметр рожка, h – его глубина, то при одной и той же высоте h объемы рожков пропорциональны отношению кубов их
диаметров.
Поэтому если объемы трех указанных рожков – V1, V2 и V3,
, откуда V2 = V1
можем записать:
125, то V2 =
. Так как = 62,5, а 52 =
= 216 см3.
Аналогично
, откуда V3 =
= 171,5 см3.
Объем рожка при внутреннем диаметре 10 см, конечно,
можно определить в уме.
https://liveinternet.club
120
Глава 2
2.58. Бокал наполовину полон или наполовину пуст?
Обозначим:
радиус окружности – ободка бокала (то есть радиус круга – основания конуса, которым рассматривается чаша
бокала) – R;
расстояние от пятки до плоскости ободка (высоту конуса) – Н;
расстояние от пятки до поверхности жидкости – h.
R
H
h
Рис. О2.36
Тогда объем конуса-чаши V будет равен 1/3 πR2H.
Можно считать, что при налитой в бокал жидкости в нем
можно выделить меньший конус с радиусом основания r и высотой h (см. рис. О2.36).
Объем v этого конуса можно вычислить по формуле: 1/3 πr2h.
Соотнесем объемы этих двух конусов.
В меньшем конусе можно выделить прямоугольный тре
угольник, в котором один из катетов – радиус r, а второй – высота h. Аналогично в большем конусе – прямоугольный тре
угольник с катетами R и H.
Так как эти треугольники подобны, то
. Тогда отно-
шение объемов меньшего и большего конусов можно представить в виде:
https://liveinternet.club
121
Разные задачи
Запишем полученное отношение по-другому:
Так как
, то
Тогда получается, что отношение объемов
от отношения
зависит только
и никак не зависит от радиуса конуса (ободка
бокала), угла при его вершине или глубины чаши.
Чтобы узнать, при каком значении
отношение объемов
равно 0,5, достаточно найти кубический корень из 0,5. Результат будет примерно равен 0,793701.
Итак, из предложенных в условии пяти вариантов значений
ближе всего к точному ответу вариант 4.
2.59. Средняя линия «нетрапеции»
Если провести средние линии МК и KN треугольников DAC
и АВС (см. рис. О2.37), то для треугольника MNK можно записать неравенство:
MN < MK + KN.
B
A
N
M
K
D
C
Рис. О2.37
https://liveinternet.club
122
Глава 2
Подставив в него значения средних линий, получим:
то есть MN <
.
2.60. Прямая движется по треугольнику
Несколько положений перемещающейся прямой показаны
на рис. О2.38. Пусть в момент, когда прямая достигнет вершины А, она пересекает сторону ВС в точке D. Средняя длина
отрезков прямой «внутри треугольника» до этого момента
равна
. Такой же является средняя длина отрезков прямой
за время движения после этого момента до момента достижения вершины С. Следовательно, за все время «путешествия»
искомое среднее значение равно
.
B
D
A
C
Рис. О2.38
2.61. Точка внутри
Если мысленно (или линейкой на бумаге) провести линию
через заданную точку, то она пересечет кривую в точках А и В.
Пусть АT < ВТ (рис. О2.39а). Если мысленно повернуть линию
(или линейку) на 180°, то будет АT > ВТ (рис. О2.39б). Это значит, что в каком-то промежуточном положении линии (или
https://liveinternet.club
123
Разные задачи
линейки) было равенство АT = ВТ (рис. О2.39в). Итак, ответ на
вопрос – да, существуют.
A
B
T
A
T
a
B
T
б
A
в
B
Рис. О2.39
2.62. Завещание Ноя
Рисунок О2.40а показывает, как должен быть разделен виноградник до смерти вдовы Ноя (ее часть – центральный равносторонний треугольник, площадь которого равна половине
площади всего виноградника).
После ее смерти каждый сын мог добавить к своему тре
угольнику треть центрального участка, превратив его в ромб
(рис. О2.40б).
а
б
Рис. О2.40
2.63. Прямоугольник в прямоугольнике
Один из двух возможных вариантов вписанного прямоуголь
ника (EGFH) показан на рис. О2.41, где ЕF – отрезок, соединя-
https://liveinternet.club
124
Глава 2
ющий середины двух коротких сторон заданного прямоугольника, а точки G и H лежат на окружности, проведенной на ЕF
как на диаметре.
B
G
C
E
F
A
H
D
Рис. О2.41
Второй вариант найдите самостоятельно.
2.64. Осколок пушечного ядра
Для решения надо:
1) из некоторой точки М на шаровой поверхности осколка
ядра описать на ней произвольную окружность;
2) отметить на окружности три произвольные точки А, В
и С с примерно равными расстояниями между ними;
3) измерив циркулем расстояние между ними, на бумаге
построить треугольник АВС;
4) найти центр О окружности, описанной вокруг треугольника АВС (эта окружность будет аналогом окружности,
построенной на шаровой поверхности осколка ядра);
5) построить прямоугольный треугольник АОМ (см.
рис. О2.42), принимая измеренное циркулем расстояние между точками А и М за гипотенузу (ОА – радиус
описанной окружности);
6) в точке А восстановить перпендикуляр к АМ и продолжить его до пересечения с продолжением отрезка МО
в точке N.
Отрезок MN будет равен искомому диаметру ядра (обоснование иллюстрирует рис. О2.43).
https://liveinternet.club
125
Разные задачи
M
A
O
M
A
N
Рис. О2.42
Рис. О2.43
https://liveinternet.club
Глава 3
Какая площадь больше?
3.1. «Лишняя» фигура
На рис. 3.1 представлены фигуры, одни части которых – белые, другие – оттененные. Какая фигура является «лишней»
(свойство которой отличается от свойства остальных фигур)?
Подсказка
См. название главы.
Рис. 3.1
3.2. Найти отношение площадей
Каждую сторону прямоугольника разделили на три равные
части (см. рис. 3.2). Через концы отрезков провели прямые,
которые делят прямоугольник на части так, как показано на
рисунке. Найдите отношение общей площади белых частей
к общей площади серых.
https://liveinternet.club
127
Какая площадь больше
Рис. 3.2
3.3. Белые и серые фигуры. Задача 1
На двух параллельных прямых точки 1, 2, …, 9 соединили
так, что разность между двумя номерами точек равна 3 (см.
рис. 3.3). Некоторые участки закрасили серым цветом. Общая
площадь каких участков – серых или белых – больше?
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Рис. 3.3
3.4. Белые и серые фигуры. Задача 2
Стороны квадрата разделили на две равные части, после чего
каждую сторону расширили с каждого конца на одну такую
часть и провели еще ряд линий, после чего некоторые участки
закрасили серым цветом (см. рис. 3.4).
Что больше – площадь центрального квадрата или общая
площадь четырех «внешних» треугольников?
https://liveinternet.club
128
Глава 3
Рис. 3.4
3.5. Окружности и их части в квадрате
На рис. 3.5 стороны квадратов равны соответственно 4,0, 3,0,
2,5, 2,5 и 3,5 см. В какой из фигур доля закрашенных частей
максимальная? Какую часть квадрата она составляет?
а
б
г
в
д
Рис. 3.5
https://liveinternet.club
129
Какая площадь больше
3.6. Шесть квадратов
В каком из шести равновеликих квадратов (см. рис. 3.6) площадь серых частей наибольшая? (В квадрат Д вписан прямо
угольник, в квадрат В – квадрат.)
А
Б
В
Г
Д
Е
Рис. 3.6
3.7. Квадрат и полуокружности
На сторонах квадрата изображены полуокружности (см.
рис. 3.7), а к ним примыкает окружность, радиус которой равен стороне квадрата. Какая площадь больше – закрашенная
или незакрашенная?
Рис. 3.7
https://liveinternet.club
130
Глава 3
3.8. Две окружности
Если две окружности одного размера наложены одна на другую (см. рис. 3.8), то площади полученных «лун» Р и R будут
равными. А если каждая окружность проходит через центр
другой, то площадь пересечения кругов Q будет больше или
меньше половины площади одной из полученных «лун» или
равна этой половине?
Q
P
R
Рис. 3.8
3.9. Прямоугольник, окружность
и полуокружности
На рис. 3.9 прямоугольник вписан в окружность, а на его сторонах построены полуокружности. Каково соотношение между суммой площадей четырех затененных «лун» и площадью
прямоугольника?
Рис. 3.9
https://liveinternet.club
131
Какая площадь больше
3.10. Фотография, паспарту и рамка
Фотография с размерами 6×8 см вставлена в рамку и окружена
так называемым паспарту (см. рис. 3.10). Ширина всех четырех
сторон рамки одна и та же, полос паспарту – также.
Рис. 3.10
А. Какова ширина полос паспарту, если площадь его прямоугольника в 1½ раза больше площади фотографии?
Б. Ширина полос рамки составляет половину ширины сторон паспарту. Ее площадь больше или меньше площади пас
парту или площади фотографии?
3.11. Семь полос треугольника
На рис. 3.11 треугольник АВС разделен на семь полос, обозначенных P, Q, R, S, T, U, V, шестью равноудаленными линиями,
проведенными параллельно основанию АС.
А. Площадь какой полосы составляет ровно одну седьмую
часть площади всего треугольника АВС?
Б. Найдите все пары полос, сумма площадей которых равна сумме площадей полос Q и U.
В. Сумма площадей полос U и V больше или меньше половины площади треугольника АВС?
https://liveinternet.club
132
Глава 3
B
P
Q
R
S
T
U
V
A
C
Рис. 3.11
3.12. Треугольники и квадраты
На сторонах квадрата построены равносторонние треугольники, а четыре их внешние вершины соединены, образуя больший квадрат (рис. 3.12).
А. Покажите, что площадь каждого оттененного равнобедренного треугольника составляет одну четверть площади
внутреннего квадрата.
Б. Найдите отношение площади большего квадрата к площади меньшего.
Рис. 3.12
3.13. Треугольники и квадраты. Задача 2
На рис. 3.13 на сторонах равностороннего треугольника построены квадраты, а равнобедренные треугольники заполняют пространство между квадратами, образуя шестиугольник.
https://liveinternet.club
133
Какая площадь больше
А. Покажите, что каждый закрашенный равнобедренный
треугольник имеет ту же площадь, что и равносторонний треугольник.
Б. Найдите отношение площади шестиугольника к площади одного из квадратов.
Рис. 3.13
3.14. Какая часть круга закрашена?
Задача 1
На рис. 3.14 окружности разделены 12 точками на равные
дуги; единственная точка внутри – центр окружности. Какая
часть каждого круга закрашена?
а
б
Рис. 3.14
https://liveinternet.club
134
Глава 3
3.15. Какая часть круга закрашена?
Задача 2
На рис. 3.15 окружность разделена 12 точками на равные дуги.
Какая часть круга закрашена?
Рис. 3.15
3.16. Какая часть круга закрашена?
Задача 3
На рис. 3.16 окружность разделена 12 точками на равные дуги;
единственная точка внутри – центр окружности. Какая часть
круга закрашена?
Рис. 3.16
3.17. Какая часть круга закрашена?
Задача 4
На рис. 3.17 окружность разделена 12 точками на равные дуги.
Какая часть круга закрашена?
https://liveinternet.club
135
Какая площадь больше
Рис. 3.17
Подсказка
Заданную фигуру можно разделить на три равных сектора.
Исследуйте белые части в одном из них.
Какую задачу решал
изображенный на рисунке лежащий человек?
Ответы к главе 3
3.1. «Лишняя» фигура
«Лишней» является первая фигура (в ней площадь белой
части меньше площади оттененной части (в остальных фигурах эти площади равны).
https://liveinternet.club
136
Глава 3
3.2. Найти отношение площадей
Если на каждой стороне прямоугольника рассмотреть по
три треугольника – два серых и один белый (см. рис. О3.1),
то в каждой тройке треугольники являются равновеликими.
Поэтому отношение общей площади белых частей к общей
площади серых равно 1:2.
Рис. О3.1
3.3. Белые и серые фигуры. Задача 1
На рисунке в задаче можно выделить ромбы и их половины.
Если остальные фигуры также разделить на ромбы и их половины (см. рис. О3.2), то можно установить, что
серых фигур: 15 ромбов и 8 их половин, то есть общая
площадь серых фигур равна 19 площадям ромбов;
белых фигур: 16 ромбов и 8 их половин, то есть общая
площадь белых фигур равна 20 площадям ромбов;
Вывод: больше общая площадь белых участков.
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5
6
7
8
9
Рис. О3.2
https://liveinternet.club
137
Какая площадь больше
3.4. Белые и серые фигуры. Задача 2
Указанные площади равны.
3.5. Окружности и их части в квадрате
Во всех фигурах:
площадь квадрата равна а2, где а – сторона квадрата;
общая площадь белых частей равна
,
то есть общая площадь закрашенных частей во всех фигурах
составляет (1 - π/4)-ю часть площади соответствующего квад
рата.
3.6. Шесть квадратов
В квадратах А, Г и Е общая площадь серых частей составляет
50 % площади квадрата.
В квадрате Б 12 серых частей, то есть их общая площадь
равна 48 % площади квадрата.
В квадрате В в углах находятся четыре одинаковых прямоугольных треугольника (только в этом случае вписанная
фигура будет квадратом – убедитесь в этом!). Если катеты этих
треугольников – a и b, то их общая площадь равна 4
= 2ab,
а площадь белого квадрата – (
)2 = а2 + b2. Что больше:
2
2
2
a + b или 2ab? Так как (a - b) > 0 (кроме случая, когда a = b),
то есть а2 - 2ab + b2 > 0, то а2 + b2 > 2ab. Следовательно, площадь
серых треугольников составляет менее половины площади
квадрата В.
В квадрате Д в углах находятся две пары одинаковых прямоугольных треугольников (только в этом случае вписанная
фигура будет прямоугольником – также убедитесь в этом!).
Если катеты этих треугольников – a и b, то их общая площадь
равна
= а2 + b2, а площадь белого прямоугольника
2a2 × 2b2 = 2ab. Как уже было показано, а2 + b2 > 2ab. Следовательно, площадь серых треугольников составляет более половины площади заданного квадрата.
https://liveinternet.club
138
Глава 3
Итак, наибольшая общая площадь серых частей – в квадрате Д.
3.7. Квадрат и полуокружности
Допустим, что сторона квадрата равна 2а. Тогда а – радиус
каждого полукруга, а сумма их площадей равна 2πа2.
Согласно условию, радиус описанной окружности также равен 2а, то есть площадь соответствующего круга равна 4πа².
Следовательно, сумма закрашенных площадей равна 2πа2, что
равно сумме площадей четырех полукругов.
3.8. Две окружности
Когда каждая окружность проходит через центр другой, то
тупой угол треугольника, оттененного на рис. О3.3, равен 120°,
следовательно, площадь оттененного сектора равна 1/3 площади круга. При этом площадь пересечения кругов будет больше 1/3 площади круга. На «луну» «остается» менее двух третей
площади круга, а на ее половину – меньше трети. Это значит,
что площадь пересечения будет больше половины площади
«луны» P (или R).
P
R
Рис. О3.3
3.9. Прямоугольник, окружность и полуокружности
Пусть a, b, c – стороны и диагональ прямоугольника (то есть
a2 + b2 + c2).
Сумма площадей четырех полукругов равна 1/4 π(a2 + b2).
Прибавим ab, площадь прямоугольника, и получим общую
площадь всей фигуры: 1/4 π(a2 + b2) + ab.
https://liveinternet.club
Какая площадь больше
139
Площадь круга, в окружность которого вписан прямоугольник, равна 1/4 πс2 = 1/4 (a2 + b2). Вычитая эту площадь из площади всей фигуры, получаем сумму площадей четырех затененных «лун», которая будет равна ab. Это значение равно
площади прямоугольника.
3.10. Фотография, паспарту и рамка
А. Если ширина полос паспарту – х см, то его площадь равна (6 + 2х)(8 + 2х) - 48 и составляет 6 × 8 × 1,5 = 72 см2.
Равенство (6 + 2х)(8 + 2х) - 48 = 72 можно преобразовать
в такое:
28х + 4х2 = 72,
или
7х + х2 = 18,
откуда х = 2.
Б. Если х = 2, то ширина сторон рамки равна 1 см, то есть
ее площадь равна 12 × 14 – 10 × 12 = 48 см2. Следовательно, площадь рамки равна площади фотографии и меньше площади
паспарту.
3.11. Семь полос треугольника
Поскольку все треугольники на рисунке в задаче подобны
треугольнику АВС, их площади пропорциональны квадратам
высот, которые находятся в соотношении 1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6 : 7.
Таким образом, отношение площадей треугольников в виде
частей P, P + Q, P + Q + R, P + Q + R + S и т. д. к площади всего
треугольника АВС равно 1 : 4 : 9 : 16: 25 : 36 : 49. Следовательно,
отношение площадей P, Q, R, S и т. д. друг к другу равно 1 : 3 : 5
: 7 : 9 : 11 : 13. Одну седьмую часть площади треугольника АВС
составляет площадь полосы S (7/49).
Б. Сумма площадей полос Q и U равна 3/49 + 11/49 = 14/49
площади треугольника АВС. Такую же сумму имеют площади
полос P + V и R + T.
В. Полосы U и V имеют суммарную площадь (11 + 13)/49 =
24/49 площади треугольника АВС, что чуть меньше половины.
https://liveinternet.club
140
Глава 3
3.12. Треугольники и квадраты. Задача 1
Удобно начать с задачи Б.
А. Обозначим длину сторон квадрата (то есть и сторон
каждого равностороннего треугольника) – х. Тогда сторону
большого квадрата можно определить как гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами, равными 1/2 x + 3/2 x. Это значит, что площадь этого квадрата равна
(2 + 3)х2. Тогда искомое отношение площадей: 2 + 3.
Если из площади большого квадрата вычесть площадь
малого квадрата и четырех равносторонних треугольников
и разделить разность на 4, то будет получена площадь одного
равнобедренного треугольника, равная 1/4 х2.
3.13. Треугольники и квадраты. Задача 2
Обозначим длину стороны равностороннего треугольника
(то есть и сторон каждого квадрата) – х.
А. Так как тупой угол равнобедренного треугольника равен
120º, то его площадь равна 1/2 х2 × sin 120º = 3/4 х2, что равно
площади равностороннего треугольника.
Б. Площадь шестиугольника равна сумме площадей трех
квадратов и четырех равновеликих треугольников и составляет (3 + 3)х2. Отношение этой площади к площади одного
из квадратов равно 3 + 3.
3.14. Какая часть круга закрашена? Задача 1
В обоих изображениях – 1/2-я часть.
Обоснование
На рис. 3.14а закрашены шесть «элементарных» секторов из
12, площадь каждого «элементарного» сектора равна 1/12 площади круга.
На рис. 3.14б у каждого закрашенного участка круга есть
такой же симметричный относительно диаметра белый.
3.15. Какая часть круга закрашена? Задача 2
1/2-я часть.
https://liveinternet.club
141
Какая площадь больше
Обоснование
Если мысленно перенести сегмент ABJA (см. рис. О3.4) на
место сегмента GHIG, то полученный белый сегмент АСIA будет равновеликим с закрашенным сегментом DEFD. Одинаковую площадь имеют также белый участок CDFG и закрашенный криволинейный треугольник CGHIC (убедитесь в этом!).
C
D
B
E
L
F
A
I
H
G
Рис. О3.4
3.16. Какая часть круга закрашена? Задача 3
1/2-я часть.
Обоснование
В секторе АОIA (см. рис. О3.5) закрашена половина площади.
Докажем, что и в секторах АОЕА и ЕОIE так же. Сделаем это
на примере сектора АОЕА.
Его общая площадь равна трети площади заданного круга
(обозначим его радиус – R), то есть 1/3 πR2. В этом секторе закрашены равнобедренный треугольник АЕО и сегмент BCDB.
Площадь первого, в котором острые углы равны 30º, составляет 3/2 R2. Площадь сегмента может быть определена как
разность площади сектора ВСDOB (1/6 πR2) и площади равностороннего треугольника BDO со стороной R( 3/2 R2). Это
означает, что общая закрашенная площадь в секторе АОЕА
равна 1/6 πR2, что составляет половину площади этого сектора.
https://liveinternet.club
142
Глава 3
D
E
F
C
G
B
H
O
A
I
L
K
J
Рис. О3.5
3.17. Какая часть круга закрашена? Задача 4
1/2-я часть.
Обоснование
Значения площадей двух белых частей в секторе, представляющем собой треть круга, аналогичны полученным при решении задачи 3.16.
https://liveinternet.club
Глава 4
Лист бумаги может многое
Когда мы описываем геометрические построения с помощью
различных инструментов, мы имеем в виду построения на
бумаге. Но и сам по себе лист бумаги, можно сказать, очень
«геометричен». На нем прямую линию можно изобразить без
линейки и карандаша, а лишь согнув и разогнув лист, а две
пересекающиеся линии, полученные так же, определяют на
листе точку их пересечения. Если сложить прямоугольный
лист пополам дважды – сначала вдоль одной стороны, а затем вдоль другой, то будут изображены две взаимно перпендикулярные линии.
Многие геометрические задачи, сгибая лист, можно решать
гораздо проще, чем при помощи циркуля, транспортира и линейки. Примерами могут служить1:
1) деление отрезков пополам;
2) деление углов пополам (то есть построение биссектрисы
углов);
3) проведение перпендикуляров к прямым;
4) проведение линий, параллельных данным.
1
Убедитесь в этом, вспомнив «школьную» методику решения перечисленных задач.
https://liveinternet.club
144
Глава 4
Можно также аналогичным образом доказывать теоремы
и справедливость формул, решать достаточно сложные задачи.
Об этом и других примерах будет рассказано в данной главе.
Но сначала раскроем «тайну» листа формата А4.
4.1. Раскрываем «тайну» формата
бумаги А4
Листы бумаги формата А4, которые, как правило, используются в принтерах и копировальной технике, имеют размеры
297 на 210 мм. Почему именно такие, странные значения? Для
ответа на этот вопрос автор предлагает читателям провести
два эксперимента.
4.1.1. Эксперимент 1
Возьмите лист бумаги А4 и согните его так, чтобы верхняя сторона легла на правую (рис. 4.1а–4.1б). Затем согните
a
б
г
в
д
Рис. 4.1
https://liveinternet.club
145
Лист бумаги может многое
лист, совместив левую сторону выступающей нижней части
с наклонной стороной (рис. 4.1в–4.1г). Отрезав ножницами
отогнутый треугольник, вы получите равнобедренный тре
угольник, показанный на рис. 4.1д (убедитесь в этом!). Почему
так получилось?
Ответ такой. Левая сторона полученного равнобедренного
треугольника – это диагональ квадрата со стороной а, где а –
ширина листа, то есть она равна а 2. Правая сторона этого
треугольника – это высота листа b. В каком случае а 2 = b? –
Если b/a = 2. Именно такое отношение имеет отношение высоты к ширине у листов бумаги формата А4.
4.1.2. Эксперимент 2
Согните лист бумаги формата А4 так, как на рис. 4.1а–4.1б,
и отрежьте ножницами выступающую нижнюю часть. Отогнув согнутый треугольник, вы получите квадрат. Назовем его
«квадрат номер 1».
Разделите другой лист формата А4 пополам и полученную
его одну половину также превратите в квадрат аналогичным
способом. Новому квадрату присвоим номер 2.
Оставшуюся половину также разделите пополам и новую
половину превратите в квадрат номер 3.
Из трех полученных квадратов можно составить фигуру, показанную на рис. 4.2 (убедитесь в этом). Почему?
1
2
3
Рис. 4.2
Ответ
Обозначим стороны квадратов с номерами 1, 2 и 3 соответственно a1, а2 и а3.
https://liveinternet.club
146
Глава 4
Из рис. 4.2, согласно теореме Пифагора, следует, что а2 =
а а3 =
,
. Изменим эти зависимости следующим образом:
Именно такие отношения дают размеры листа формата А4:
а1 – ширина листа (210 мм);
а2 – половина высота листа (148,5 мм);
а3 – половина ширины листа (105 мм),
что и позволяет созданные из листа квадраты разместить так,
как на рис. 4.2.
Итак, получается, что и у целого листа формата А4, и у его
половины, и у его четвертой части отношение большей стороны к меньшей примерно равно 1,414. Оказывается, что такие отношения могли быть получены только в случае, когда
размеры листа формата А4 – те самые 297 на 210 мм! Но что
дает эта особенность? Ответ такой. Когда нужно сделать копию документа, напечатанного на листе формата А4, в другом
масштабе, например уменьшить его в два раза, то достаточно
взять для копии половину листа формата А4, а оставшуюся
половину использовать для второй такой же копии. На обеих
копиях изображение будет занимать весь соответствующий
лист, то есть при этом не будет бумаги, которую пришлось бы
выбросить при других размерах листов. К этому стоит добавить, что копия будет иметь те же пропорции, что и исходный
документ.
В заключение – почему «А4»? Дело в том, что лист формата
А4 не является основным, который затем делится на равные
части. Такой основной лист – лист с размерами 1189 на 841 мм.
Отношение его сторон также примерно равно 1,414, а площадь – 1 квадратный метр. Этот лист получил обозначение
«формат А0», а обозначение его частей показано на рис. 4.3.
Такая система обозначения листов бумаги предусмотрена
международным стандартом ISO 216.
https://liveinternet.club
147
Лист бумаги может многое
A0 (841×1189)
594
594
841
841
420
A2
A1
(420×594)
297
297
A3
A4
(210×297)
148
148
105
(297×420)
A5
A6
(105×148)
74
(148×210)
105
210
420
210
(594×841)
A7
(74×105)
A8
(52×74)
A9
(37×52)
A10
(26×37)
1189
Рис. 4.3
4.2. Получаем правильные многоугольники
Известно, что получить из листа бумаги многие правильные
многоугольники (квадрат, треугольник, равносторонний шес
тиугольник и равносторонний восьмиугольник) можно, используя линейку, чертежный треугольник, циркуль и, естест
венно, ножницы. Для этого надо изобразить окружность
и провести ряд геометрических построений. Но, оказывается,
можно сделать это, не применяя перечисленные инструменты, а с помощью одних только ножниц! Как именно – сейчас
расскажем.
4.2.1. Квадрат
Возьмите прямоугольный лист бумаги АВСD (см. рис. 4.4)
и сложите его наискось так, чтобы одна из коротких сторон
легла на одну из длинных, например верхняя на левую, и вы-
https://liveinternet.club
148
Глава 4
ровняйте сгиб, после чего аккуратно удалите ножницами часть
B′ECD, которая выдается из-под сложенной части. Развернув
лист, вы получите квадрат.
A
B
A
B
B′
C
D
A
E
C
B
B′
E
D
Рис. 4.4
4.2.2. Равносторонний треугольник
Возьмите квадратный кусок бумаги (или получите его так,
как это описано до этого) и сложите его вдвое, наложив друг
на друга два противоположных края (например, правый и левый). Развернув его, вы увидите вертикальную среднюю линию, которая разделяет квадрат на два одинаковых прямо
угольника (рис. 4.5).
A
B
D
C
Рис. 4.5
A
B
D
C
https://liveinternet.club
149
Лист бумаги может многое
На ней надо найти такую точку, расстояние от которой до
нижних вершин квадрата равно длине его стороны. Это можно
сделать следующим образом (см. рис. 4.6). Придерживая левой рукой нижнюю часть правой стороны квадрата у точки С,
плавно изгибайте бумагу, перемещая вершину В к средней
линии до касания с ней, и в этом положении выровняйте сгиб.
При этом будет найдена точка Е.
A
B
A
B
D
C
Е
D
C
Рис. 4.6
Аналогичным образом можно получить и третью сторону
DE (это сделать будет легче, так как точка Е уже известна).
Отрезав по CE и DE отогнутые части, вы получите равносторонний треугольник DEC.
4.2.3. Правильный шестиугольник
Сначала нужно получить равносторонний треугольник (см.
рис. 4.7). Затем нужно найти так называемый «ортоцентр» –
точку пересечения его высот (в данном случае они же медианы и биссектрисы). Одна высота уже будет изображена сгибом
при построении равностороннего треугольника.
https://liveinternet.club
150
Глава 4
B
A
D
C
Рис. 4.7
Нетрудно получить и остальные (рис. 4.8 и 4.9).
B
B
Е
E
B′ (A)
C
Рис. 4.8
A
F
D
C
Рис. 4.9
После этого нужно каждую вершину треугольника совмес
тить с найденной точкой (см. рис. 4.10):
https://liveinternet.club
151
Лист бумаги может многое
B
B
G
H
G
H
L
A
I
C
K
J
C
Рис. 4.10
и по полученным сгибам бумаги отрезать лишние части ALK,
GBH и JIC (рис. 4.11).
B
G
H
L
A
I
K
J
C
Рис. 4.11
Правильный шестиугольник можно также получить, «вписав» его в квадрат. Слово «вписав» взято в кавычки, так как
в результате шестиугольник будет вписан в заданный квадрат
не полностью – см. рис. 4.121. Как именно это можно сделать,
установите самостоятельно.
1
Видно, что такой шестиугольник будет иметь бóльшие размеры,
чем полученный ранее.
https://liveinternet.club
152
Глава 4
Рис. 4.12
4.2.4. Правильный восьмиугольник
Здесь сначала расскажем, как разделить угол пополам (то
есть изобразить его биссектрису). Подготовьте бумажный прямоугольный равнобедренный треугольник АВС (см. рис. 4.13).
B
C
A
Рис. 4.13
Разделите пополам его острые углы. Для этого, перемещая
вершину B, наложите сторону ВC на гипотенузу AС и выровняйте сгиб CD:
https://liveinternet.club
153
Лист бумаги может многое
B
C
D
B′
A
Рис. 4.14
Развернув лист, вы получите линию-биссектрису угла C (см.
рис. 4.15).
B
C
D
A
Рис. 4.15
Аналогично, наложив на гипотенузу сторону АB и выроняв
сгиб AE, можно получить биссектрису угла A (рис. 4.16).
https://liveinternet.club
154
Глава 4
B
E
C
B′
A
Рис. 4.16
Обе биссектрисы пересекутся в точке 1 (см. рис. 4.17).
B
E
C
1
D
A
Рис. 4.17
Теперь – правильный восьмиугольник.
Сначала следует получить бумажный квадрат и «вписать»
в него другой квадрат, вершины которого расположены в середине сторон исходного квадрата (как это сделать – установите
самостоятельно) – см. рис. 4.18.
https://liveinternet.club
155
Лист бумаги может многое
Рис. 4.18
Затем надо все острые углы (всего их восемь) между сторонами исходного и вписанного квадратов разделить пополам
так, как это делалось чуть выше. Пусть соответствующие биссектрисы пересекаются в точках 1, 2, 3 и 4 (рис. 4.19).
5
1
2
8
6
4
3
7
Рис. 4.19
Эти точки и вершины вписанного квадрата 5, 6, 7 и 8 будут
вершинами правильного восьмиугольника. Удалите ножницами лишние части – и получите эту фигуру.
https://liveinternet.club
156
Глава 4
4.3. Доказываем теоремы
и справедливость формул
Подсчитано, что ежегодно доказывается более четверти миллиона теорем.
Из Википедии
4.3.1. Теорема 1 – Пифагора
Теорема Пифагора – это утверждение в геометрии, согласно
которому в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы
равен сумме квадратов двух других сторон (катетов).
Хотя теорема носит имя древнегреческого ученого и философа Пифагора Са́мосского, жившего в VI–V веках до нашей
эры, на самом деле она была известна задолго до него.
На данный момент в научной литературе зафиксировано
более 400 (!) различных доказательств теоремы Пифагора. Это
единственная теорема со столь внушительным числом доказательств. Добавим в это число еще два.
Вырежьте из бумаги два одинаковых квадрата и проведите
в них линии на одном и том же некотором расстоянии b от
углов (см. рис. 4.20). Остальную часть сторон квадратов обозначим а:
a
b
a
b
b
b
a
a
b
b
b
b
Рис. 4.20
https://liveinternet.club
157
Лист бумаги может многое
Соедините точки так, как показано на рис. 4.21. Полученная
фигура EFGI тоже будет квадратом (признак квадрата: если
в четырехугольнике все стороны равны и один из углов 90°, то
это квадрат). Его сторону обозначим – с.
B
E
C
B
E
C
c
c
F
F
I
I
A
H
G
D
A
H
G
D
Рис. 4.21
В подготовленных квадратах можно выделить три меньших
квадрата (см. рис. 4.22) – окрашенные светло-серым, серым
и темно-серым цветами.
B
E
C
B
E
C
F
F
I
I
A
H
G
D
A
H
G
D
Рис. 4.22
Закрасьте их (можно использовать другие цвета), оставив
видимыми внутренние разделительные линии.
https://liveinternet.club
158
Глава 4
Из первого квадрата вырежьте светло-серый квадрат, а из
второго – оба закрашенных (см. рис. 4.23).
Рис. 4.23
Затем серый разделите на три части, а темно-серый – на
две:
Рис. 4.24
После этого разместите вырезанные части на светло-сером
квадрате, как показано на рис. 4.25.
Рис. 4.25
https://liveinternet.club
159
Лист бумаги может многое
Есть ли незакрытые части нижнего светло-серого квадрата? – Нет. А имеются ли наложения серых и темно-серых фигур
друг на друга? – Тоже нет.
Это значит, что общая площадь всех «верхних» фигур в точности равна площади нижнего квадрата. А чему равны эти
площади? – Общая площадь серых фигур равна а × а = а2 (ведь
они вырезаны из квадрата со стороной а), темно-серых –
b × b = b2, площадь светло-серого квадрата – с × с = с2. Следовательно, можем записать: с2 = а2 + b2. А что это за отрезки а,
b и с? – Это стороны прямоугольных треугольников в углах
исходного квадрата: а и b – катеты, с – гипотенуза. Поэтому
полученную формулу с2 = а2 + b2 можно описать так: «Квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Но это же формулировка теоремы Пифагора! Значит, мы, разрезая бумагу
и складывая разрезанные части, доказали ее сами!
А теперь докажите теорему Пифагора сами, но по-другому.
На рис. 4.26 изображена фигура, образованная двумя квад
ратами со сторонами a и b. Пунктирные линии – это гипотенузы с двух прямоугольных треугольников со сторонами a и b.
b
b
с
а
с
b
а
Рис. 4.26
Если эти два треугольника отрезать, то их можно приставить к оставшейся части фигуры, чтобы образовать «квадрат
на гипотенузе» каждого прямоугольного треугольника, доказав тем самым, что сумма площадей двух квадратов (а2 + b2)
равна площади полученного квадрата (с2).
https://liveinternet.club
160
Глава 4
Как? Найдите два варианта перемещения треугольников
в требуемое положение:
1) при их параллельном переносе (напомним, что параллельным переносом фигуры называется перенос всех ее
точек на одно расстояние в одном направлении);
2) при их повороте относительно одного из углов.
4.3.2. Теорема 2 «Сумма внутренних углов
треугольника равна 180 градусов»
Доказательство
Возьмите произвольный треугольник ABC из бумаги и определите точки D и E – середины сторон BC и AC – соответственно (рис. 4.27), совместив вершину С сначала с вершиной В
и аккуратно выровнив сгиб, а после разворачивания бумаги –
совместив вершину С с вершиной А.
После этого согните бумагу по средней линии ED (рис. 4.28).
C
C
D
E
A
D
E
В
Рис. 4.27
A
Рис. 4.27
В
Далее согните бумагу так, чтобы вершина В совместилась
с точкой С′ (рис. 4.29), и так, чтобы с точкой С′ совместилась
вершина А.
C
D
E
A
F
C′
G
Рис. 4.29
В
https://liveinternet.club
161
Лист бумаги может многое
Давайте теперь обозначим углы в точке С′ (см. рис. 4.30)
и сравним их.
Угол С треугольника равен углу 2, так как они совпали при
наложении. По аналогичной причине равны углы А и 2, B и 3.
Так как сумма углов 1, 2 и 3 равна 180 градусов, потому что они
вместе образуют развернутый угол, значит, и сумма углов А,
В и С также равна 180 градусов, что и требовалось доказать.
1 2
C′
3
Рис. 4.30
Из рис. 4.29 следует также доказательство свойства средней
линии треугольника: «Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна». Отрезок FG равен
средней линии ED. Так как АF = FС′ и GB = С′G, то отрезок FG
равен половине стороны АВ. Это значит, что и средняя линия
ED равна половине стороны АВ.
4.3.3. Теорема 3 «Площадь треугольника равна
половине произведения его стороны на высоту,
к ней проведенную»
Доказательство
В результате проведенных складываний бумаги полученный на рис. 4.29 прямоугольник FEDG состоит из двух слоев
бумаги, то есть его площадь равна половине площади исходного треугольника.
Так как ширина FG прямоугольника равна половине стороны АВ треугольника, а высота EF равна половине высоты h
треугольника, то площадь прямоугольника равна FG × EF =
. Поскольку площадь исходного треугольника
https://liveinternet.club
162
Глава 4
в два раза больше, то она равна
, что и требовалось до-
казать.
4.3.4. Теорема 4 «Площадь трапеции равна
произведению полусуммы ее оснований на высоту»
Доказательство следует из рис. 4.31. Последовательность
сгибания листа бумаги в виде трапеции ABCD и рассуждения,
связанные с площадью полученного прямоугольника GEFH,
достаточно очевидны. Эта площадь равна
, где a и b –
основания трапеции, h – ее высота. Площадь исходной трапеции – в два раза больше, то есть она равна
, что и тре-
бовалось доказать.
а
B
С
h
E
F
h/2
A
G
А′
D′
(a + b)/2
b
Рис. 4.31
H
D
https://liveinternet.club
163
Лист бумаги может многое
Вопросы
А если трапеция такая, как на рис. 4.32:
B
C
A
Рис. 4.32
D
или такая:
B
C
A
D
Рис. 4.33
Как доказать теорему для таких вариантов трапеции?
4.3.5. Теорема 5 (о биссектрисе)
Известна теорема о биссектрисе внутреннего угла треугольника, которая гласит, что такая биссектриса делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон, то есть (см. рис. 4.34)
https://liveinternet.club
164
Глава 4
B
А
D
C
Рис. 4.34
Существует несколько методов доказательства этой теоремы. В них проводится значительное число геометрических
построений, рассчитываются площади треугольников либо
используется теорема синусов и др. А вот как просто доказать
теорему, используя лист бумаги!
Вырежьте из бумаги два одинаковых треугольника1 (рис. 4.35).
B
А
B
C
А
C
Рис. 4.35
Согните один из треугольников, совместив сторону АВ со
стороной ВС. В результате край бумаги BD будет является биссектрисой угла B исходного треугольника – см. рис. 4.36 (поскольку равны углы ABD и А′BD – они совпали при наложении).
1
Почему два – станет ясно чуть ниже.
https://liveinternet.club
165
Лист бумаги может многое
B
А′
D
А
C
Рис. 4.36
(лицевая сторона заданного треугольника оттенена)
Затем бумагу согните так, чтобы сгиб бумаги DE находился
под прямым углом к ВC (точка A′ переместится вдоль стороны
BC в точку A″) – рис. 4.37.
B
А″
E
D
C
Рис. 4.37
Сравните последнее изображение со вторым экземпляром
заданного треугольника АВС (см. рис. 4.38).
B
B
А″
E
А
C
Рис. 4.38
D
C
https://liveinternet.club
166
Глава 4
В треугольниках DА″С и ABC угол С общий, а угол А″ – это
угол А (в этом можно убедиться, развернув бумагу), то есть
указанные треугольники подобны. Следовательно, можно
записать пропорцию
Так как отрезок А″D – это от-
резок AD исходного треугольника (см. рис. 4.36), то получена
пропорция, из которой следует, что теорема доказана. Эф
фектно, не правда ли?
4.3.6. Теорема 6
Теорема гласит: «Если на сторонах произвольного треугольника построить квадраты, после чего соединить их “внешние”
вершины, в результате чего будут построены три новых треугольника, то площадь каждого из этих треугольников будет
равна площади исходного треугольника» (см. рис. 4.39).
D
A
B
C
E
Рис. 4.39
Доказательство
После соответствующих построений вырежьте один их «новых» треугольников, например треугольник BЕD, и, совместив
его вершину В с вершиной В заданного треугольника, вращайте вырезанный треугольник против часовой стрелки до
… (дальнейшее доказательство для указанного треугольника
проведите самостоятельно. Для других «новых» треугольников доказательство будет аналогичным).
https://liveinternet.club
167
Лист бумаги может многое
4.3.7. Еще раз два четырехугольника
Тот факт, что на рис. 4.40 площадь четырехугольника KLMN
(в п. 2.4 он назван серединограммом) составляет половину
площади четырехугольника АВСD, может быть подтвержден
без сравнения площадей, как это делалось при решении задачи 2.33, а с помощью … ножниц!
Для доказательства начертите соответствующий чертеж,
отрежьте треугольники в вершинах А, B, C и D и соберите их
точно внутри четырехугольника KLMN.
C
N
D
M
K
A
L
B
Рис. 4.40
4.3.8. Доказать, что 32 + 42 = 52
Доказать, что 32 + 42 = 52, можно, не возводя числа в квадрат
и суммируя и сравнивая результаты, а нарисовав и разделив
квадрат 5×5 на пять частей, после чего собрать из них два
других квадрата (см. рис. 4.41).
52
=
32
+
42
Рис. 4.41
А можно ли решить задачу, разделив квадрат 5×5 на меньшее число частей?
https://liveinternet.club
168
Глава 4
4.3.9. Три формулы
Из курса алгебры известны формулы:
1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 («формула квадрата суммы двух
чисел»);
2) a2 – b2 = (a + b)(a – b) («формула разности квадратов»);
3) (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 («формула квадрата разности двух
чисел»).
Докажем это «нашим» способом.
Вырежьте из бумаги два квадрата и проведите в них линии
на одном и том же некотором расстоянии b от углов (рис. 4.42).
Остальную часть сторон квадратов обозначим а.
a
b
a
b
b
b
a
a
b
b
b
b
Рис. 4.42
Итак, начнем.
4.3.9.1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
В исходном квадрате на рис. 4.42 можно выделить два
меньших квадрата (см. рис. 4.43) – окрашенные светло-серым
и темно-серым цветами, и два белых прямоугольника:
https://liveinternet.club
169
Лист бумаги может многое
Рис. 4.43
Чему равны площади каждой из этих фигур и их сумма?
А площадь исходного квадрата? Определив и сравнив эти площади, вы получите доказательство равенства, приведенного
в заголовке.
4.3.9.2. a2 – b2 = (a + b)(a – b)
В исходном квадрате на рис. 4.42, кроме двух меньших квад
ратов (на рис. 4.43 – светло-серого и темно-серого), можно выделить также черный прямоугольник (см. рис. 4.44).
Рис. 4.44
Определите и запишите его площадь.
Затем вырежьте из исходных квадратов светло-серый квад
рат (см. рис. 4.45) и удалите из него верхнюю левую часть.
https://liveinternet.club
170
Глава 4
Рис. 4.45
Чему будет равна площадь оставшейся фигуры?
Сравнив ее с площадью черного прямоугольника, вы также
получите доказательство обсуждаемого равенства.
4.3.9.3. (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Прежде всего определите и запишите площадь черного квад
ратика (см. рис. 4.46).
Рис. 4.46
Далее вырежьте из второго исходного квадрата фигуру, показанную на рис. 4.47, и определите ее площадь.
https://liveinternet.club
171
Лист бумаги может многое
Рис. 4.47
Затем отрежьте два прямоугольника (светло-серый и темно-серый).
Рис. 4.48
Чему равна площадь оставшейся фигуры? Сравните ее с записанной ранее площадью черного квадратика. Получилось
ли доказательство справедливости обсуждаемого равенства?
4.3.10. Еще раз о формуле разности квадратов
Вы, читатель, уже, конечно, доказали справедливость формулы разности квадратов a2 – b2 = (a + b)(a – b). Теперь предлагаем сделать это по-другому.
4.3.10.1. Квадрат в углу
Для доказательства можно использовать рис. 4.49. Для этого
надо разделить фигуру, оставшуюся после отрезания квадра-
https://liveinternet.club
172
Глава 4
та со стороной b от угла квадрата со стороной a, на две части
и соединить их. Как?
b
b
a
a
Рис. 4.49
4.3.10.2. Квадрат на стороне
Если отрезать квадрат от стороны большего квадрата (см.
рис. 4.50), то на какое наименьшее количество частей нужно
разрезать оставшуюся часть, чтобы их можно было сложить
вместе и сформировать прямоугольник, по размерам которого
можно также подтвердить формулу разности квадратов?
Рис. 4.50
4.3.10.3. Квадрат внутри
Если квадрат со стороной b, находящийся внутри квадрата
со стороной a, имеет стороны, параллельные сторонам большего квадрата (см. рис. 4.51), то на какое наименьшее число
частей нужно разрезать оставшуюся часть, чтобы их можно
https://liveinternet.club
173
Лист бумаги может многое
было разместить вместе, дабы получился прямоугольник, по
размерам которого можно также подтвердить формулу разности квадратов?
Рис. 4.51
4.4. Изображаем диагональ
прямоугольника без линейки
Представьте, что вам понадобилось изобразить диагональ
прямоугольника АВСD, например АС, а линейки под рукой нет.
B
C
A
D
Рис. 4.52
Эту задачу можно решить, изобразив диагональ в виде сгиба бумаги. Аккуратно сделать это сгибанием бумаги от угла А
до угла С довольно сложно, особенно когда ширина прямо
угольника гораздо больше его высоты. Но задачу можно решить по-другому в два этапа:
https://liveinternet.club
174
Глава 4
1) согнуть лист, совместив точки A и С, и выровнять сгиб
(рис. 4.53);
2) затем совместить точки Е и F (рис. 4.54).
Развернув бумагу, можно увидеть диагональ АС (рис. 4.55).
Почему так получилось?
B′
F
A′ (C)
A′ (C)
D
E
F′ (E)
Рис. 4.53
B″ (D)
Рис. 4.54
B
F
C
А
E
D
Рис. 4.55
4.5. Проводим золотое сечение отрезка
Задача1 формулируется так: «На данном отрезке длиной а найти такую точку, для которой большая часть b этого отрезка относится к меньшей m, как а относится к b2».
1
2
Когда-то такую задачу называли «деление отрезка в крайнем
и среднем отношении».
Известно, что такая точка разделяет отрезок а так, что b : m = a : b ≈
1,618, при этом b : a ≈ 0,618.
https://liveinternet.club
175
Лист бумаги может многое
Два способа решения этой задачи путем геометрических
построений описаны в главе 8. Но ее можно решить следующим образом.
1. Вырезать квадрат ABCD со стороной а (см. рис. 4.56).
2. Разделить его пополам, совместив верхнюю сторону
с нижней, сгибом EF.
B
C
E
F
A
D
Рис. 4.56
3. Изобразить в ней диагональ ЕС (сгибая лист так, что вершина В окажется с обратной стороны):
B
C
E
F
B′
Рис. 4.57 (тыльная сторона листа оттенена)
https://liveinternet.club
176
Глава 4
4. Развернув лист, диагональ можно увидеть:
B
C
E
F
Рис. 4.58
5. Отрезать часть BCE:
B
C
E
Рис. 4.59
6. Разделить угол ВЕС пополам, совместив сторону ВЕ с СЕ
(сгиб-биссектриса покажет точку Н):
B
H
C
G (B′)
E
Рис. 4.60
https://liveinternet.club
177
Лист бумаги может многое
7. Отрезать треугольник CGH:
H
C
G
Рис. 4.61
В результате сторона CG полученного треугольника будет
определять место разделения заданного отрезка в требуемом
отношении. Убедитесь в этом.
4.6. Сравниваем прямоугольники
При доказательстве теоремы в п. 4.3.3 было показано, что пос
ле трех проведенных сгибаний бумажного треугольника получается прямоугольник, вписанный в треугольник. Оказывается, такой прямоугольник будет самым большим по площади
из всех возможных вписанных прямоугольников, у которых
одна из сторон параллельна стороне заданного треугольника.
Читатели, знакомые с методикой исследования функции на
экстремум, могут убедиться в этом, проведя соответствующее
исследование. А вот как можно доказать это «нашим» методом, сгибая треугольный лист бумаги (и используя линейку
и чертежный треугольник).
Вырежьте из бумаги произвольный треугольник ABC и с помощью линейки определите точки D и E – середины сторон
BC и AC соответственно, и проведите среднюю линию ED треугольника (рис. 4.62).
Затем, используя линейку и чертежный треугольник, проведите линию E′D′, параллельную ED и расположенную ниже
нее, и согните бумагу по этой линии.
https://liveinternet.club
178
Глава 4
С
E
D
E′
A
D′
F A′
В′
С′
G
В
Рис. 4.62
Далее, как и в п. 4.3.3, согните бумагу так, чтобы:
вершина В переместилась в точку В′;
вершина А переместилась в точку А′.
В результате вы установите, что в прямоугольнике FE′D′G
имеются два слоя бумаги, а верхняя часть А′В′С′ исходного
треугольника выходит за пределы прямоугольника. Поэтому
можно записать:
площадь треугольника АВС = площадь прямоугольника
FE′D′G × 2 + площадь треугольника А′В′С′,
откуда:
площадь прямоугольника FE′D′G =
площадь треугольника ABC - площадь треугольника А′В′С′
,
2
то есть что площадь FE′D′G будет меньше половины площади
треугольника ABC.
Если вырежете еще несколько таких же треугольников, то,
проводя линию E′D′ через различные точки ниже средней линии ED, вы установите, что чем ближе линия E′D′ была к сред-
https://liveinternet.club
Лист бумаги может многое
179
ней линии, тем меньше получалась площадь треугольника
А′В′С′, то есть тем больше становилась площадь полученного
прямоугольника FE′D′G, оставаясь при этом меньше половины
площади треугольника (тот факт, что при первом сгибании по
средней линией площадь прямоугольника FE′D′G равна половине площади треугольника АВС, был установлен в п. 4.3.3).
Вопрос: «А если сгибать бумагу по линии, параллельной
средней линии треугольника, но выше нее? Может, в этом случае полученный прямоугольник будет иметь площадь, большую половины площади треугольника?»
Проведите эксперименты и для таких случаев.
Ответы к главе 4
4.2.3. Правильный шестиугольник
Ответ к рис. 4.12
Необходимо разбить заданный квадрат на четыре меньших
квадрата, в каждом из которых получить равносторонний треугольник – см. рис. 4.6.
https://liveinternet.club
180
Глава 4
4.3.1. Теорема 1 – Пифагора
Решения показаны на рис. О4.1.
b
с
b
с
b
b
b
b
с
с
с
а а
с
с
а а
с
b
а
Перемещение треугольников
параллельно гипотенузе
b
а
Поворот треугольников на 90º
относительно одного из углов
Рис. О4.1
4.3.4. Теорема 4 «Площадь трапеции равна
произведению полусуммы ее оснований на высоту»
Вариант трапеции на рис. 4.32
Вырезав соответствующую фигуру, надо сложить ее, как
и ранее, сначала вдоль оснований (см. рис. О4.2), а затем угол
D (рис. О4.3).
B
В′
С
C′
Рис. О4.2
D
https://liveinternet.club
181
Лист бумаги может многое
B
В′
С
C′
D
Рис. О4.3
Небольшая заминка будет с углом В. Чтобы сложить его, вам
придется перевернуть сложенный лист (см. рис. О4.4).
А′
В
Рис. О4.4
После совмещения точки В с точкой A′ также получится
прямоугольник, площадь которого будет в два раза меньше
площади трапеции, что позволяет сделать вывод о том, что
теорема доказывается и в данном случае.
Вариант трапеции на рис. 4.33
В данном случае расположить два основания так, чтобы они
лежали на одной линии, можно, только имея среднюю линии
заданной трапеции. Для ее изображения надо знать середины
боковых сторон АВ и CD. Без использования линейки с масштабными делениями их можно получить, совместив вершину В с вершиной А и вершину D с вершиной C.
Согнув бумагу по линии, соединяющей точки E и F, можно
расположить основания на одной линии (между сложенными
частями получится зазор) – см. рис. О4.5.
https://liveinternet.club
182
Глава 4
B
C
F
E
В′
C′
A
D
Рис. О4.5
После этого получить искомый прямоугольник труда не составит – надо согнуть бумагу так, чтобы точка B′ совместилась
с точкой А, точка D – с точкой C′ (рис. О4.6).
B
C
F
E
В′
G C′ (D′) A (B″)
H
D
Рис. О4.6
В результате, как и ранее, получился прямоугольник GEFH
с двумя слоями бумаги, размеры которого такие, что его площадь равна
, где h – высота трапеции. Это также
означает, что площадь трапеции и такого типа равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.
4.3.6. Теорема 6
Совместив вершину В вырезанного треугольника BЕD с вершиной В заданного треугольника, вращайте вырезанный тре
угольник против часовой стрелки до совпадения сторон ВЕ
и ВС (см. рис. О4.7). При этом отрезки AB и BD′ будут находить-
https://liveinternet.club
183
Лист бумаги может многое
ся на одной прямой (так как отрезок BD, как и ВЕ, повернется
против часовой стрелки на 90 градусов, то в результате угол
АВD′ будет развернутым). Это значит, что площади треугольников BCD′ и АВС будут равны (у них равные стороны D′B и АВ
и общая соответствующая высота).
D
A
B
C(E)
D′
Рис. О4.7
Для двух других «новых» треугольников доказательство
аналогично.
4.3.7. Еще раз два четырехугольника
Решение показано на рис. О4.8.
C
K
N
D
M
L
K
A
N
L
B
M
Рис. О4.8
Комментарии
На рис. О4.8 слева фигура KLMN – параллелограмм (см. решение задачи 2.30), то есть KL = MN.
https://liveinternet.club
184
Глава 4
На рис. О4.8 справа показаны обозначения двух вершин
каждого из треугольников LBM, AKL, KND и CMN, совмещенных с параллелограммом.
4.3.8. Доказать, что 32 + 42 = 52
Можно. Решение показано на рис. О4.9.
Рис. О4.9
4.3.9. Три формулы
4.3.9.1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Площадь исходного квадрата равна (а + b)2.
Он состоит из светло-серого и темно-серого квадратов
и двух белых прямоугольников. Их площадь соответственно
а2, b2 и ab, то есть сумма всех четырех частей равна a2 + 2ab + b2.
Следовательно: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
4.3.9.2. a2 – b2 = (a + b)(a – b)
Площадь «угловой» светло-серой фигуры равна а2 – b2, черного прямоугольника – (а + b)(а – b). Так как эти фигуры составлены из одних и тех же частей, то а2 – b2 = (а + b)(а – b).
4.3.9.3. (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Площадь черного квадратика равна (a – b)2.
Общая площадь фигуры на рис. 4.3.20 равна a2 + b2, а пос
ле удаления из нее двух прямоугольников она станет равной
a2 + b2 – ab – ab = a2 + b2 – 2ab. Так как в обоих случаях речь идет
об одной и той же фигуре, то (a – b)2 = a2 – 2ab + b2.
Во всех трех случаях, как говорится, «что и требовалось доказать»…
https://liveinternet.club
185
Лист бумаги может многое
4.3.10. Еще раз о формуле разности квадратов
4.3.10.1. Квадрат в углу
Надо белую часть квадрата разрезать на части C и D (см.
рис. О4.10).
b
a–b
b
С
a–b
D
b
a–b
С
a+b
Рис. О4.10
Часть C имеет размеры b и a – b. Если ее приложить к час
ти D (см. рис. О4.10), то получится прямоугольник со сторонами a + b и a – b. Его площадь равна (a + b)(a – b), что равно
площади белой части исходного квадрата, то есть a2 – b2.
Интересно, что имеется и второе решение (см. рис. О4.11).
b
b
a
a
Рис. О4.11
Убедитесь в его правильности.
https://liveinternet.club
186
Глава 4
4.3.10.2. Квадрат на стороне
На три части. Два варианта решения показаны на рис. О4.12.
a
a
P
P
Q
b
b
a
Q
b
b
Q
P
P
a–b
a+b
Рис. О4.12
4.3.9.3. Квадрат внутри
На четыре части. Решение показано на рис. О4.13.
a
A
В
C
b
В
D
a–b
C
A
a+b
Рис. О4.13
a–b
R
Q
https://liveinternet.club
187
Лист бумаги может многое
4.4. Изображаем диагональ прямоугольника
без линейки
По какой линии нужно согнуть лист, чтобы совместить точки A и C? По серединному перпендикуляру к отрезку AC. Диагональ AC при этом сложится пополам. И наоборот, AC – это
серединный перпендикуляр к отрезку FE (отрезок FE делится
диагональю AC пополам, так как они пересекаются в центре
прямоугольника). Значит, второй сгиб произойдет по AC.
Дополнительный вопрос
Почему точка B после сгибов окажется в точке D?
4.5. Проводим золотое сечение отрезка
На рис. 4.59 диагональ CE =
, где а – сторона квадрата.
На рис. 4.61: CG = СЕ - Е4.
Так как на том же рисунке ЕG = ВE =
при наложении), то CG =
(эти отрезки совпали
≈ 0,618а. Значение
≈0,618а соответствует золотому сечению отрезка а.
4.6. Сравниваем прямоугольники
После аналогичных сгибаний бумаги можно увидеть, что
за пределы прямоугольника FE′D′G выходит треугольник B′FH
(один слой бумаги), а кроме того, область четырехугольника
FHC′A′ имеет три слоя бумаги (две «горизонтально» сложенные части перекрывают друг друга в этой области).
Поэтому можем записать:
площадь треугольника АВС = площадь прямоугольника
FE′D′G × 2 + площадь треугольника В′НF′ + площадь
четырехугольника FHC′A′,
то есть и в этом случае площадь прямоугольника FE′D′G будет
меньше половины площади треугольника ABC.
https://liveinternet.club
188
Глава 4
С
D′
E′
D
E
C′
H
В′ A
F
A′
G
В
Рис. О4.14
Причем и здесь чем ближе линия E′D′ была к средней линии, тем больше была площадь полученного прямоугольника
FE′D′G, также оставаясь при этом меньше половины площади
треугольника.
Проведенные эксперименты показывают, что прямоугольник, вписанный в треугольник так, что его сторона лежит
на средней линии заданного треугольника, является самым
большим по площади среди всех вписанных прямоугольников, у которых одна из сторон параллельна стороне заданного
треугольника.
Интересно, что такой прямоугольник является самым большим по площади среди всех прямоугольников, вписанных
в треугольник. Доказательство этого факта мы оставляем за
рамками данной книги.
https://liveinternet.club
Глава 5
«Дачная» геометрия
5.1. Кусты роз на даче
Владелец дачного участка решил посадить кусты роз в прямоугольнике размером 20 на 10 м. Согласно рекомендациям
специалистов-цветоводов, расстояние между кустами должно
быть не менее 1 м. Какое максимальное число кустов он может
посадить?
5.2. Два новых участка
Владелец дачи решил огородить у себя на участке два дополнительных одинаковых прямоугольных участка, примыкающих непосредственно к имеющемуся забору (см. рис. 5.1).
Всего у него есть 200 м нового забора. Он решил, что участки
должны заканчиваться на расстоянии 25 м от имеющегося забора. Какова будет при этом общая площадь новых участков?
Рис. 5.1
https://liveinternet.club
190
Глава 5
5.3. А можно ли больше?
После решения предыдущей задачи владелец дачи задумался, а нельзя ли при том же количестве метров нового забора
получить большую общую площадь участков? Ваше мнение,
читатель?
5.4. Один дополнительный участок
Другой владелец дачи решил огородить у себя за прямоугольным участком дополнительный участок, примыкающий непосредственно к имеющемуся забору. Всего у него есть 200 мет
ров нового забора. Владелец задумался над тем, а не будет ли
новый участок больше, если он будет иметь не прямоугольную
форму, а форму полукруга? А как считаете вы, читатель?
5.5. У кого площадь дачи больше?
У Максима Михайлова участок дачи имеет форму прямоугольника, каждая сторона которого равна точному числу десятков
метров, при этом его длина больше ширины, но меньше трех
ширин.
У его соседа, Михаила Максимова, также есть прямоугольный дачный участок, который на 20 м длиннее и на 10 м меньше по ширине, а его площадь составляет 12 соток (1 сотка =
100 кв. м). У кого площадь участка больше?
5.6. Четыре дачи и колодец
Квадратный участок размерами 120×120 м нужно было разделить на четыре части площадью 4200, 3000, 3600 и 3500 кв. м
под дачи четырем владельцам и выделить на нем 100 кв. м
под общий колодец.
https://liveinternet.club
191
«Дачная» геометрия
Землемер разделил его так:
4200
3000
K
3600
3500
Рис. 5.2
Но владельцу части площадью 3000 кв. м не понравился
доступ к колодцу. Можно ли, сохраняя площади отдельных
частей, разделить тот же участок так, чтобы доступ к колодцу
из всех частей был одинаковым?
Рекомендации по нахождению ответа
Используйте квадрат клетчатой бумаги размером 12 на
12 клеток и оперируйте условными значениями площади 42,
30, 36 и 35.
5.7. Дорожка вокруг газона
Прямоугольный газон окружен садовой дорожкой одной и той
же ширины, площадь которой составляет 120 кв. м. Если размеры газона 17×20 м, то какова ширина дорожки и какое расстояние можно пройти, обходя газон по середине дорожки?
5.8. Две клумбы
На дачных участках Ивана Петрова и Петра Иванова есть
квадратные клумбы, каждая из которых окружена дорожкой
https://liveinternet.club
192
Глава 5
одинаковой ширины, вымощенной очень красивой и дорогой
плиткой, при этом длина сторон обоих квадратов равна целому числу метров (рис. 5.3).
Рис. 5.3
А. Площадь дорожки вокруг клумбы на участке Ивана Пет
рова составляет 13 кв. м. Каковы ширина дорожки и площадь
клумбы?
Б. Площадь дорожки вокруг клумбы на участке Петра Иванова составляет 32 кв. м. Каковы ширина дорожки и площадь
клумбы? Какой из двух возможных ответов вы считаете более
реалистичным?
5.9. Газон и дорожка вокруг
Газон длиной x м и шириной y м (x и y – целые числа) окружен
со всех четырех сторон дорожкой шириной в 1 м, площадь которой равна площади газона. Найдите размеры всех газонов,
для которых это возможно.
5.10. Удвоение площади газона
Длина и ширина прямоугольного газона составляли целое число метров. Если увеличить длину на три метра, а ширину на
один метр, то площадь газона увеличится вдвое. Найдите все
возможные размеры исходного газона и покажите, что один
из возможных газонов имеет площадь больше остальных.
https://liveinternet.club
193
«Дачная» геометрия
5.11. Газон, дорожка и клумбы
На дачном участке имеется прямоугольный газон, окруженный со всех сторон дорожкой одинаковой ширины. С трех
сторон дорожки есть клумбы также одинаковой ширины 6 м.
Дорожка и клумбы примыкают к дому (см. рис. 5.4).
Рис. 5.4
Известно, что:
длина газона на 10 м больше ширины;
общая площадь дорожки составляет 420 кв. м;
ширина всех клумб равна 6 м.
А. Учитывая, что все размеры представляют собой целое
число метров, найдите площадь газона, если известно, что она
примерно вдвое больше площади дорожки.
Б. Общая площадь клумб больше или меньше площади газона?
5.12. Еще три задачи о клумбах
5.12.1. Задача 1
Владелец дачного участка решил обустроить на нем квад
ратную клумбу и дорожку вокруг нее одинаковой ширины из
плит. Известно, что общая площадь клумбы и дорожки равна
https://liveinternet.club
194
Глава 5
100 кв. м. Какое минимальное количество плитки он должен
купить, если плитка может быть любого размера, но продается
она квадратными метрами?
5.12.2. Задача 2
Второй владелец дачного участка решил обустроить на нем
квадратную клумбу и дорожку вокруг нее одинаковой ширины из плит. Для этого он приобрел 60 кв. м плитки. Какой
максимально возможный размер клумбы он может получить,
используя всю купленную плитку, если размеры клумбы и ширина дорожки должны быть выражены целым числом метров?
5.12.3. Задача 3
Третий владелец дачного участка решил обустроить на нем
квадратную клумбу и дорожку вокруг нее одинаковой ширины из плит. Для этого он приобрел 96 кв. м плитки. Какую
максимально возможную площадь клумбы он может получить, используя всю купленную плитку, если размеры клумбы
и ширина дорожки должны быть выражены целым числом
метров, а для клумбы и дорожки выделен квадратный участок
в 144 кв. м, часть которых может не использоваться?
А теперь представьте, что в XIX веке землемеру понадобилось решить ряд задач по выделению участков земли под дачи
на карте, используя циркуль, линейку без масштабных делений и чертежный треугольник. Как бы решали перечисленные
ниже задачи вы, читатель?
5.13. Один колодец на четыре дачи.
Задача 1
Найти точку внутри участка земли в виде четырехугольника
для колодца, которым будут пользоваться владельцы четырех
дачных участков в виде треугольников, при этом все четыре
участка должны иметь одинаковую площадь. В каком случае
он мог решить задачу?
https://liveinternet.club
195
«Дачная» геометрия
5.14. Один колодец на две дачи. Задача 1
Разделить участок земли в виде треугольника АВС (см. рис. 5.5)
на две равные по площади части под дачи двум владельцам
таким образом, чтобы точка В, в которой находится колодец,
принадлежала обеим частям.
B
A
Рис. 5.5
C
Указание по выполнению
Вспомните свойство медианы треугольника.
5.15. Один колодец на три дачи. Задача 1
Разделить участок земли в виде треугольника АВС (см. рис. 5.5)
на три равные по площади части под дачи трем владельцам
таким образом, чтобы точка В, в которой находится колодец,
принадлежала всем частям.
Указание по выполнению
Вспомните методику разделения отрезка на равные части.
5.16. Один колодец на четыре дачи.
Задача 2
Участок земли в виде треугольника АВС (см. рис. 5.5) разделить на четыре равные по площади части под дачи четырем
владельцам, при этом колодец должен быть размещен в точке,
находящейся на стороне АВ (но не в вершинах А и В) и принадлежащей всем частям. Где должен находиться колодец? Как
должен быть разделен участок?
https://liveinternet.club
196
Глава 5
5.17. Один колодец на три дачи. Задача 2
Участок земли в виде треугольника АВС (см. рис. 5.5) разделить на три равные по площади части под дачи трем владельцам так, чтобы точка А принадлежала двум частям, при этом
колодец должен быть размещен в точке, находящейся внутри
участка. Где должен находиться колодец? Как должен быть
разделен участок?
5.18. Один колодец на четыре дачи.
Задача 3
Участок земли в виде треугольника АВС (см. рис. 5.5) разделить на четыре равные по площади части под дачи четырем
владельцам. Известно, что внутри участка должен быть колодец, точка нахождения которого принадлежит всем частям.
Где должен находиться колодец? Как должен быть разделен
участок?
5.19. Один колодец на две дачи. Задача 2
Разделить участок земли в виде треугольника АВС (см. рис. 5.6)
на две равные по площади части под дачи двум владельцам
таким образом, чтобы точка D, в которой находится колодец,
принадлежала обеим частям.
B
A
D
Рис. 5.6
C
https://liveinternet.club
197
«Дачная» геометрия
Комментарии к выполнению
Предварительно решите задачу, которую вы, возможно, решали [1]: «В трапеции ABCD с боковыми сторонами AB и CD
диагонали пересекаются в точке О.
а) Сравните площади треугольников ABD и ACD.
б) Сравните площади треугольников ABО и CDО».
5.20. Один колодец на три дачи. Задача 3
Разделить участок земли в виде треугольника АВС (см. рис. 5.7)
на три равные по площади части под дачи трем владельцам
таким образом, чтобы точка D, в которой находится колодец,
принадлежала всем частям.
B
A
D
C
Рис. 5.7
Комментарии к выполнению
Вспомним решение задачи 5.15. Там отрезки ВЕ и BF разделяли треугольник АВС на три равновеликие треугольники
АВЕ, ЕВF и FBC (см. рис. 5.8).
Зададимся вопросом: «Как должны проходить отрезки DG
и DН, разделяющие треугольник АВС согласно условию, чтобы
площади фигур AGD, DGBH и DHC были также равны? Ответ:
для этого должны быть равны площади треугольников КGВ
и EКD, а также площади треугольников IВH и DIF. Как можно
это сделать?
https://liveinternet.club
198
Глава 5
B
H
G
I
K
A
E
D
F
C
Рис. 5.8
5.21. Один колодец на три дачи. Задача 4
Участок земли в виде треугольника АВС (см. рис. 5.5) разделить на три равные по площади части под дачи трем владельцам. Известно, что внутри участка должен быть колодец, точка
нахождения которого принадлежит всем частям. Где должен
находиться колодец? Как должен быть разделен участок?
Комментарии к выполнению (см. рис. 5.8)
Установите, где должна находиться точка F (место колодца),
чтобы площадь треугольника FBC была равна трети площади
треугольника АBC, а оставшуюся часть последнего треугольника можно было разделить пополам линией, проходящей
через точку F. См. также решение задачи 5.15.
B
F
A
C
Рис. 5.8
Литература
1. Геометрия: 7–9 классы / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С .Б. Кадомцев и др. М.: Просвещение, 2025.
https://liveinternet.club
«Дачная» геометрия
199
Ответы к главе 5
5.1. Кусты роз на даче
Если у вас получился ответ (20 + 1)(10 + 1) = 231 куст, то
учтите, что это количество не является максимально возможным – см. задачу 10.2.
5.2. Два новых участка
Если боковая сторона участков равна 25 м, а всего таких
сторон – три, то на дальнюю границу новых участков остается
200 – 25 × 3 = 125 м. Следовательно, общая площадь этих участков при этом составит 125 × 25 = 3125 кв. м.
5.3. А можно ли больше?
Можно.
Если участки должны заканчиваться на расстоянии х м от
имеющегося забора, то на дальнюю границу участков остается
200 – 3х м, а общая площадь участков при этом будет составлять 200х – 3х2 кв. м. Читатели, умеющие исследовать функции
на экстремум, могут установить, что максимум полученной
функции достигается при х ≈ 33,3 м, а соответствующая мак-
https://liveinternet.club
200
Глава 5
симальная площадь равна примерно 3333,3 кв. м. Другие читатели могут убедиться в этом, проведя расчеты и построив
график функции в программе Microsoft Excel или подобной.
5.4. Один дополнительный участок
Если дополнительный участок будет прямоугольным,
то максимально возможная площадь будет равна 100 × 50 =
5000 кв. м (убедитесь в этом!).
Для участка в виде полукруга, диаметр которого равен
400/π ≈ 127,3 м, площадь нового участка примерно равна
6363 кв. м, что больше.
5.5. У кого площадь дачи больше?
Пусть дачный участок Максима Михайлова имеет длину
x десятков метров и ширину y десятков метров. Тогда площадь
участка Михаила Максимова в сотках равна (x + 2)(y - 1) = 12.
Следовательно, x + 2 и y - 1 должны быть парами множителей
числа 12. Рассмотрим все возможные варианты:
x+2
y–1
12
1
6
2
4
3
3
4
2
6
1
12
После чего можно получить все возможные пары значений
х и у:
x
y
10
2
4
3
2
4
1
5
0
7
–1
13
Так как по условию х > y и х < 3y, то подходит только вариант
х = 4, у = 3. Значит, площадь участка Максима Михайлова равна
40 м × 30 м = 1200 кв. м, или также 12 соток.
Обратите внимание на использование при расчетах размеров не в метрах, а в количестве десятков метров.
5.6. Четыре дачи и колодец
Ответ: можно. Возможны 12 вариантов решения. Приведем
два варианта:
https://liveinternet.club
201
«Дачная» геометрия
1) основной (условно):
3600
4200
K
3000
3500
2) полученный его поворотом по часовой стрелке на 90°:
4200
3500
K
3000
3600
Остальные два варианта, полученные вращением основного варианта по часовой стрелке на 180° и 270°, а также восемь
вариантов, получающиеся зеркальным отражением четырех
вариантов по горизонтали и по вертикали, получите самостоятельно.
5.7. Дорожка вокруг газона
Если ширина дорожки равна x метров, то (20 + 2x)(17 + 2x) –
20 × 17 = 120. После преобразований можно получить квадратное уравнение 2x2 + 37x – 60 = 0, которое имеет единственный
положительный корень x = 1,5. Таким образом, ширина дорожки составляет 1,5 м.
https://liveinternet.club
202
Глава 5
Прямоугольник, образованный линией, проходящей по середине дорожки, имеет стороны длиной 21,5 и 18,5 м, то есть
его периметр равен 80 м.
5.8. Две клумбы
Если стороны внешнего и внутреннего квадратов равны x
и y м соответственно, то площадь дорожки составит x2 – y2.
А. Для участка Ивана Петрова x2 – y2 = 13. Так как x2 – y2 =
(х + у)(х – у), а число 13 – простое, то есть делителями числа 13 являются 1 и 13, а x и y – целые числа, поэтому x + y = 13
и x – y = 1. Следовательно, x = 7, y = 6. Это значит, что площадь
клумбы составляет 36 кв. м. Если ширина дорожки равна z, то
x = y + 2w и z = 0,5 м.
Б. Для участка Петра Иванова аналогичные расчеты приводят к двум целым значениям (x, y) – (9, 7) и (6, 2). Соответствующие значения ширины дорожек z равны 1 или 3 м, при
этом площадь клумбы составляет 49, или 4 кв. м. Конечно,
более реалистичен первый вариант, так как второе решение
подразумевает небольшую клумбу, окруженную большой дорожкой из дорогой плитки.
5.9. Газон и дорожка вокруг
Если длина исходного газона равна x м, а ширина – y м, где
x > y и x и y – целые числа, то общая площадь газона и дорожки
равна (x + 2)(y + 2), что в два раза больше площади газона ху.
Равенство (x + 2)(y + 2) = 2xy можно заменить таким: xy – 2x –
2y – 4 = 0. Чтобы решить последнее уравнение в целых числах,
преобразуем его к виду (x – 2)(y – 2) = 8.
Число 8 в виде произведения двух чисел может быть представлено как 8 × 1 или 4 × 2. Это значит, что значения х и у могут быть такими:
1) x – 2 = 8, y – 2 = 1, то есть х = 10, y = 3;
2) x – 2 = 4, y – 2 = 2, то есть х = 6, y = 4.
Итак, возможны два варианта газона с размерами (x, y), равными (10, 3) и (6, 4).
https://liveinternet.club
«Дачная» геометрия
203
5.10. Удвоение площади газона
Задача решается аналогично предыдущей. Площадь увеличенного газона будет равна (x + 3)(y + 1) = 2xy. Следовательно,
xy – x – 3y – 3 = 0. Чтобы найти целые значения x и y, запишем
последнее равенство в виде (x – 3)(y – 1) = 6. Число 6 может
быть представлено как 6 × 1 или 3 × 2. Это значит, что значения
х и у могут быть такими:
1) x – 3 = 6, y – 1 = 1, то есть размеры газона (x, y) = (9, 2);
2) x – 3 = 3, y – 1 = 2, то есть размеры газона (x, y) = (6, 3);
3) x – 3 = 2, y – 1 = 3, то есть размеры газона (x, y) = (5, 4).
Площади двух первых газонов составляют 18 кв. м, а последний имеет большую площадь – 20 кв. м.
5.11. Газон, дорожка и клумбы
Если ширина газона – х м, а ширина дорожки – у м, то:
площадь газона равна x(x + 10) кв. м;
площадь окружающей его дорожки равна (4x + 20 + 4y)y,
что составляет 420 кв. м. Это значит, что (x + 5 + y)y = 105,
или (x + 5 + y) = 105/y.
Поскольку x – целое число, число y должно быть делителем
числа 105, то есть 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35 или 105. Таким образом,
пара размеров (x, y) может быть (99, 1), (27, 3), (11, 5) или (3, 7),
а соответствующие площади газона – 99 × 109, 27 × 37, 11 × 21
или 3 × 13 кв. м. Так как по условию площадь газона приблизительно равна 840 кв. м, то подходящей является вторая пара
размеров.
Итак, площадь газона составляет 27 × 37 = 999 кв. м.
Одновременно мы нашли, что ширина дорожки равна 3 м.
Это значит, что общая площадь клумб равна 6 × (37 + 37 + 27 +
6 + 6) = 6 × 113 = 678 кв. м, что меньше площади газона.
5.12. Еще три задачи о клумбах
5.12.1. Задача 1
Если клумба будет иметь размеры 9 на 9 м, то площадь дорожки составит 100 – 81 = 19 кв. м. При меньших размерах
https://liveinternet.club
204
Глава 5
клумбы площадь дорожки будет больше, при бóльших – она
будет выражена нецелым числом квадратных метров.
Ответ: необходимо купить 19 кв. м плитки.
5.12.2. Задача 2
Если длина стороны квадратной клумбы составляет x м,
а ширина окружающей дорожки – d м, то общая площадь необходимой плитки равна (x + 2d)2 – x2 = 4dx + 4d2. Равенство
4dx + 4d2 = 60 можно записать как d(x + d) = 15. Возможные
целые значения d и х, удовлетворяющие последнему равенству: (1, 14) и (3, 2). Конечно, последний вариант дает клумбу
гораздо меньшей площади (4 против 196 кв. м).
Ответ: 196 кв. м.
5.12.3. Задача 3
При рассуждениях, аналогичных сделанным при решении
предыдущей задачи, можно получить равенство d(x + d) = 24.
Возможные целые значения d и х: (1, 23), (2, 10), (3, 5), (4, 2).
В двух первых вариантах общая площадь клумбы и дорожки
превышает 144 кв. м. Из двух оставшихся вариантов лучшим
является третий, в котором площадь клумбы равна 25 кв. м.
Ответ: 25 кв. м.
5.13. Один колодец на четыре дачи. Задача 1
Если этот четырехугольник – параллелограмм.
5.14. Один колодец на две дачи. Задача 1
Решение показано на рис. О5.1.
B
A
E
Рис. О5.1
C
https://liveinternet.club
205
«Дачная» геометрия
Комментарий: AЕ = ЕС.
Тогда площади треугольников АВЕ и ЕВС будут равны, потому что равны их основания и высоты. При этом точка В (колодец) принадлежит обоим участкам.
5.15. Один колодец на три дачи. Задача 1
Следует разделить сторону АВ на три равные части.
Решение показано на рис. О5.2. В его особенностях разберитесь самостоятельно.
C
A
B
Рис. О5.2
5.16. Один колодец на четыре дачи. Задача 2
Решение показано на рис. О5.3.
Комментарии:
AD = CD;
AE = BE;
BF = CF;
медиана BD разбивает заданный треугольник на две
равные части ABD и DBC. Площади треугольников AED
и DEB равны, так как равны их основания и высоты. Треугольники DBF и DFC – равновеликие по той же причине.
А площади всех четырех треугольников равны между собой, так как они равны половине одинаковых по площади частей ABD и DBC. При этом колодец, находящийся
https://liveinternet.club
206
Глава 5
в точке D, принадлежит всем четырем участкам.
B
E
A
F
D
C
Рис. О5.3
5.17. Один колодец на три дачи. Задача 2
Решение показано на рис. О5.4.
Комментарии:
DC = 1/3 AC (см. решение задачи 5.15);
BЕ = ED;
отрезок ВD отделяет треугольник DBC, площадь которого
равна трети площади заданного треугольника, а медиана АЕ треугольника ABD разделяет площадь последнего
на две равные части. В результате площадь каждого из
треугольников DBC, АВЕ и АЕD равна трети площади треугольника АВС, при этом колодец находится в точке Е.
B
E
A
D
C
Рис. О5.4
5.18. Один колодец на четыре дачи. Задача 3
Решение показано на рис. О5.5.
Комментарии:
AD = DС;
DE = ЕВ;
https://liveinternet.club
207
«Дачная» геометрия
медиана BD разбивает заданный треугольник на две
равные части ABD и DBC. Площади треугольников AВE
и АED равны, так как равны их основания и высоты. Треугольники DЕС и ЕВC – равновеликие по той же причине.
А площади всех четырех треугольников равны между собой, так как они равны половине одинаковых по площади частей ABD и DBC. При этом колодец, находящийся
в точке Е, принадлежит всем участкам.
B
E
A
D
C
Рис. О5.5
5.19. Один колодец на две дачи. Задача 2
Сначала приведем ответ к заданиям, предложенным в «предварительной» задаче из учебника [1], указанного в задаче:
а) треугольники ABD и ACD равновеликие, так у них общее
основание AD и одинаковая высота;
б) площади треугольников ABО и CDО равны, так как они
получаются «вычитанием» из равных площадей тре
угольников ABD и ACD площади одного и того же тре
угольника АОD.
Теперь – основная задача.
Вспомним решение задачи 5.14. Там отрезок ВЕ, разделяющий треугольник на две равновеликие части, проходил через
точку Е в середине стороны АС (см. рис. О5.6). В результате
были равны площади треугольников АВЕ и ЕВС.
Зададимся вопросом: «Как должен проходить отрезок DF,
разделяющий треугольник АВС согласно условию (см. рисунок
ниже), чтобы площади фигур AFD и DFBC были также равны?
Ответ: для этого должны быть равны площади треугольников
FBG и EGD (эти треугольники «входят», соответственно, в равновеликие треугольники АВЕ и ЕВС). Как можно это сделать?
https://liveinternet.club
208
Глава 5
Для этого фигура FBDE должна быть трапецией (это следует из
решения «предварительной» задачи).
Поэтому решение такое:
соединить точки D и В;
найти середину Е стороны АС и провести через нее линию, параллельную BD, до пересечения с АВ в точке F.
Отрезок DF будет разделять треугольник согласно требованиям условия (место нахождения колодца – точка D).
B
F
G
A
E
D
C
Рис. О5.6
5.20. Один колодец на три дачи. Задача 3
Для того чтобы были равны площади треугольников КGВ
и EКD и площади треугольников IВH и DIF (см. рис. О5.7), фигуры EGBD и DBHF должны быть трапециями. Поэтому решение такое:
соединить точки D и В;
разделить сторону АС на три равные части в точках E
и F и провести из них линии ЕG и FH, параллельные DB.
Отрезки DG и DH будут разделять треугольник согласно
требованиям условия (место нахождения колодца – точка D).
Почему?
B
G
H
K
A
E
D
Рис. О5.7
I
F
C
https://liveinternet.club
209
«Дачная» геометрия
5.21. Один колодец на три дачи. Задача 4
Для того чтобы площадь треугольника FBC (см. рис. О5.8)
была равна трети площади треугольника АBC, а оставшуюся
часть последнего треугольника можно было разделить пополам линией, проходящей через точку F, точка F должна находиться на линии, проходящей через точку D (отделяющей
отрезок DC, равный трети стороны АС) параллельно стороне
ВС (см. решение задачи 5.15) в середине отрезка ЕD.
Треугольники ABF и AFC равновелики, так как равновелики
их части:
АEF и AFD (эти треугольники имеют одинаковые основания и высоты);
BEF и FCD (по аналогичной причине).
Итак, для решения следует:
разделить сторону АС на три равные части;
через точку D (СD = 1/3 AC) провести линию, параллельную стороне ВС;
разделить отрезок DE пополам в точке F.
Отрезки FA, FB и FC будут разделять треугольник АВС согласно требованиям условия (место нахождения колодца –
точка F). Почему?
B
E
F
A
D
Рис. О5.8
C
https://liveinternet.club
Глава 6
Задачи для столяра
Плотникова
6.1. Задача «Заполнить квадратные
углубления»
Заполнить плитами одно из трех квадратых углублений, имея
шесть прямоугольных деревянных плит с размерами 100×70 см,
причем без нахлеста одной плиты на другую и без промежутков
между ними. Размеры углублений 140×140, 170×170 и 210×210 см.
Плотников установил, что это сделать нельзя, но нашел два варианта, в которых общая
площадь уложенных плит минимально отличается (в процентах) от площади соответствующего углубления. Например, если в углублении
со стороной 140 см разместить две плиты (см.
Рис. 6.1
рис. 6.1), то их общая площаль (14 000 кв. см)
будет отличаться от площади углубления (196 000 кв. см) примерно на 28,6 %. Какие варианты нашел Плотников?
https://liveinternet.club
211
Задачи для столяра Плотникова
6.2. Задача «Получить особый квадрат.
Вариант 1»
Распилить прямоугольную плиту с размерами 60×40 см на четыре части так, чтобы часть А была квадратом и ее площадь
была равна площади части D (см. рис. 6.2).
Как Плотников решил ее?
A
B
C
D
Рис. 6.2
6.3. Задача «Столы для конференц-зала»
В конференц-зале должны быть установлены столы разного
периметра (для разного числа участников) согласно табл. 6.1.
Владелец зала поставил перед Плотниковым задачу, чтобы все
эти столы:
1) имели форму выпуклых многоугольников1;
2) собирались из минимально возможного числа типов меньших
столов и при этом количество используемых столов было
минимальным,
а также чтобы все меньшие столы имели одинаковую форму.
1
Напомним, что выпуклым называется многоугольник, все точки
которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей
через две его соседние вершины.
https://liveinternet.club
212
3,4
4
4,8
5,4
5,6
6
6,2
6,8
7,4
Глава 6
Таблица 6.1. Периметры столов
для конференц-зала, м
Примечание
Нецелые значения периметра округлены до 0,1.
Сколько типов меньших столов понадобится? Каковы их
форма и размеры? Какую форму будут иметь столы в конференц-зале с периметрами, указанными в таблице?
6.4. Задача «Получить особый квадрат.
Вариант 2»
После того как столяр Плотников решил задачу 6.2, но еще не
распилил плиту, он решил определить, какое при этом будет
отношение площадей частей А, В и С? Какие результаты он
получил?
6.5. Задача «Разделить
прямоугольный лист»
Из прямоугольного листа фанеры с размерами 64×20 см изготовить панель с двумя параллельными сторонами длиной 52 см
и двумя параллельными сторонами длиной 64 см, разрезав лист
на две равные части одним прямым надрезом.
Плотников задачу решил.
Нарисуйте схемы, показывающие, как был сделан разрез
и как две части были собраны вместе.
https://liveinternet.club
213
Задачи для столяра Плотникова
6.6. Задача «Получить
полуквадратный кусок»
Из прямоугольной доски с размерами 80×50 см вырезать максимально возможную половину квадрата в виде прямоугольного
треугольника.
Решение Плотникова показано на рис. 6.3, где AF = BE =
30 см.
A
30
50
F
B
30
50
E
20
D
80
C
Рис. 6.3
Видно, что идея решения заключается в том, что:
на короткой стороне отмечалась точка E такая, что длина отрезка ВE равна 80 – 50 = 30 см;
на стороне прямоугольника длиной 80 см отмечалась
точка F такая, что длина отрезка ВF равна длине короткой стороны 50 см.
А. Действительно ли треугольник DFE является прямо
угольным равнобедренным? Выразите его площадь как долю
от площади исходной прямоугольной доски.
Б. Затем Плотников обнаружил, что он может сложить два
оставшихся треугольных куска вместе, чтобы получить прямо
угольник, приблизительно подобный исходной прямоугольной доске. Как он это сделал?
В. Он также обнаружил, что может разрезать оставшийся
треугольный кусок на две части, которые образуют еще один
https://liveinternet.club
214
Глава 6
прямоугольник, длина которого вдвое больше ширины. Как он
это сделал?
Г. Можно ли применить метод Плотникова к решению аналогичной задачи получения полуквадратного куска из любой
прямоугольной доски длиной a и шириной b?
6.7. Две задачи «Получить прямоугольник»
Задача 1
Из квадратного листа фанеры со стороной 90 см и прямоугольной фанерной полосы с размерами 70×10 см получить прямо
угольный лист с размерами 80×110 см.
Задача 2
Из квадратного листа фанеры со стороной 1 м и прямоугольной
фанерной полосы с размерами 80×10 см получить прямоугольный лист с размерами 90×120 см.
Плотников решил обе задачи, распилив в каждом случае
только квадрат на две части (не обязательно прямоугольные).
Сможете ли вы также решить аналогичные задачи, используя
клетчатую бумагу (см. рис. 6.4 и 6.5).
Исходные фигуры
Надо получить
Рис. 6.4
https://liveinternet.club
215
Задачи для столяра Плотникова
Исходные фигуры
Надо получить
Рис. 6.5
Комментарии к решению
Рассмотрим решение аналогичной задачи с меньшими фигурами (см. табл. 6.2).
Таблица 6.2
Исходные фигуры
Надо получить
Прямо прямоугольник
Квадрат
угольник
Решение
https://liveinternet.club
216
Глава 6
Особенности изменения размеров исходного и требуемого прямоугольников по мере увеличения размера исходного
квадрата установите самостоятельно.
Применительно к квадрату со стороной 5 клеток аналогичная схема его разделения получить требуемую фигуру не позволяет (см. рис. 6.6) – получается незакрытое пространство
с размерами 2×2 клетки и перекрытие одного квадратика
вместо пространства с размерами 1×3 клетки, как требуется. Нужно изменить принцип разделения исходного квадрата
(см. рис. 6.7).
Рис. 6.6
Рис. 6.7
Новая схема разделения квадрата позволяет решить задачу
для трех следующих его размеров (со стороной 6, 7 и 8 клеток) – см. рис. 6.8–6.10.
https://liveinternet.club
217
Задачи для столяра Плотникова
Рис. 6.8
Рис. 6.9
Рис. 6.10
На основе рис. 6.7–6.10 установите правила, по которым
можно решить задачу применительно к квадратам со стороной 9 и 10 клеток, и решите ее.
https://liveinternet.club
218
Глава 6
6.8. Задача «Три плиты»
Из трех прямоугольных деревянных плит, разрезав их на части,
собрать из этих частей три других прямоугольника. Разрезы
должны быть прямолинейными. Размеры плит и особенности
нужных прямоугольников приведены в табл. 6.3.
Таблица 6.3
Плита
1
2
3
Ее размеры
90 на 40 см
80 на 45 см
64 на 42 см
Нужно получить
Квадрат как можно большего размера
Квадрат как можно большего размера
Прямоугольник, одна из сторон которого
равна 48 см
Конечно, во всех случаях желательно было провести минимально
возможное число разрезов и сделать так, чтобы не было «отходов» (оставшихся неиспользованными частей плит).
Так как Плотников должен был срочно уехать на лечение
в санаторий, то он попросил подумать над решением этих
трех задач своего сына-восьмиклассника Митю.
Первые две задачи Митя решил на бумаге в масштабе достаточно быстро (см. рис. 6.11 и 6.12).
60 см
Рис. 6.11
60 см
20 см
30 см
20 см
60 см
https://liveinternet.club
219
Задачи для столяра Плотникова
60 см
60 см
20 см
15 см 15 см 15 см
60 см
Рис. 6.12
Над третьей пришлось «поломать голову», но и ее Митя решил (рис. 6.13).
48 см
16 см
14 см
14 см
14 см
42 см
14 см
48 см
Рис. 6.130
Он переслал все решения папе в санаторий. Решение первой задачи Плотникову-старшему понравилось, а второй
и третьей – не очень, поскольку при них приходилось разрезать плиту на четыре части. Он попросил сына поискать
лучший вариант.
Митя обратился за помощью к учителю геометрии. Тот посоветовал попробовать решить задачу, не обязательно разрезая заданный прямоугольник на прямоугольные части.
https://liveinternet.club
220
Глава 6
Дома Митя начал «эксперименты» с третьей задачей.
Сначала он проанализировал такие варианты первого разделения прямоугольника, как на рис. 6.14, но выяснил, что они
не приводили к нужному результату.
Рис. 6.14
Тогда Митя нарисовал вариант как на рис. 6.15.
В
A
C
E
D
Рис. 6.15
Вырезав полученный треугольник и сдвигая его по наклонной линии оставшегося четырехугольника вниз (см. рис. 6.16),
он обнаружил, что можно, отрезав выступающую справа треугольную часть, получить воображаемый прямоугольник
E′BFD′, но только в случае, когда E′D′ = BF.
https://liveinternet.club
221
Задачи для столяра Плотникова
В
F
A
C
D
E′
D′
Рис. 6.16
Так как отрезки E′D′ и BF должны быть равными заданному
размеру искомого прямоугольника, это означало, что:
1) точка Е при разделении должна быть в таком месте, при
котором ED = 48 см;
2) точка F должна быть в таком месте, при котором BF =
48 см, и в ней надо восстановить перпендикуляр к ВС до
пересечения с СЕ в точке G.
Учитывая это, Митя провел соответствующие построения
(см. рис. 6.17), разрезал прямоугольник на три (!) части и собрал их так, как на рис. 6.18.
В
F
C
G
A
E
D
Рис. 6.17
https://liveinternet.club
222
Глава 6
В
F
C
C′
A
E
D
E′
D′
Рис. 6.18
Уже отослав папе новое решение третьей задачи, Митя задумался над тем, а нельзя ли идею, высказанную учителем
геометрии, применить и для решения двух первых задач?
Вопросы
1. К какому выводу должен был прийти Митя?
2. При каких предельных размерах прямоугольника превратить его в квадрат «методом учителя и Мити» нельзя?
Через несколько дней учитель геометрии сказал Мите, что
имеется еще одно решение задачи получения квадрата, равновеликого заданному прямоугольнику, после разделения его
на три части. Оно заключалось в следующем (см. рис. 6.19):
определяется сторона с искомого квадрата: с = ab, где
а – длина заданного прямоугольника, b – его ширина);
это можно сделать одним из способов, описанных в главе 8;
на стороне ВС находится такая точка Е, что АЕ = с;
проводится отрезок АЕ;
из вершины D проводится перпендикуляр к АЕ до пересечения с ним в точке F.
После разделения плиты по отрезкам АЕ и DF требуемый
квадрат собирается так, как показано на рис. 6.20.
https://liveinternet.club
223
Задачи для столяра Плотникова
В
C
A
D
Рис. 6.19
E
В
C
F
A
C′
D
F′
D′
Рис. 6.20
Правда, учитель уточнил, что этот метод можно применять
не при любых размерах превращаемого в квадрат прямо
угольника.
Вопросы
3. Почему в результате действительно получился требуемый квадрат F′FDA′?
https://liveinternet.club
224
Глава 6
4. Какую задачу из поставленных перед столяром Плотниковым – первую или вторую (или обе) – можно решить новым
методом учителя?
5. При каких предельных размерах прямоугольника его
можно превратить в квадрат этим методом?
На следующий день папа вернулся из санатория, и Митя
рассказал ему обо всем. Папа поблагодарил за помощь Митю,
попросил его передать благодарность учителю и сказал, что
решит, какие варианты решения задач выбрать...
Вопрос
А какие варианты решения трех задач выбрали бы вы?
Ответы к главе 6
6.1. «Заполнить квадратные углубления»
Возможные варианты укладки в углублениях трех, четырех,
пяти и шести плит представлены на рис. О6.1.
https://liveinternet.club
225
Задачи для столяра Плотникова
1
2
3
4
Рис. О6.1
Их анализ (см. табл. О6.1) показывает, что минимальное
отличие дает вариант 2, второе место «занимает» вариант 4.
Таблица О6.1
Размеры
углубления,
см
140×140
170×170
170×170
210×210
210×210
Кол-во Площадь Площадь
плит
всех
углубления,
плит, см2 см2
2
14 000
19 600
3
21 000
28 900
4
28 000
28 900
5
35 000
44 100
6
42 000
44 100
Разность
%
5600
7900
900
9100
2100
28,6
27,3
3,1
20,6
4,7
6.2. Задача «Получить особый квадрат. Вариант 1»
Если длину плиты обозначить p, ширину – q, а искомую сторону квадрата – х, то условие равенства площадей частей А
и D можно записать так: x2 = (p – x)(q – x), откуда x = pq/(p + q).
При указанных в условии размерах плиты х = 60 × 40/(60 + 40) =
24 см.
https://liveinternet.club
226
Глава 6
6.3. Задача «Столы для конференц-зала»
Меньшими столами должны быть столы в форме прямо
угольного равнобедренного треугольника двух типов:
тип 1 с катетами, равными 1 м;
тип 2 с катетами, равными 1,4 м.
Формы столов в конференц-зале и их периметр приведены
в табл. О6.2.
Таблица О6.2
Форма стола
Тип меньших
столов
и их количество
Его периметр,
м
Тип 1, одна шт.
3,4
Тип 1, две шт.
4
Тип 1, две шт.
4,8
Тип 1, одна шт.
Тип 2, одна шт.
5,4
Тип 2, две шт.
5,6
https://liveinternet.club
227
Задачи для столяра Плотникова
Таблица О6.2 (окончание)
Форма стола
Тип меньших
столов
и их количество
Его периметр,
м
Тип 1, четыре шт.
6
Тип 2, две шт.
Тип 1, одна шт.
6,2
Тип 2, одна шт.
Тип 1, две шт.
6,8
Тип 2, две шт.
Тип 1, одна шт.
7,4
6.4. Задача «Получить особый квадрат. Вариант 2»
Решим сначала задачу в общем виде (см. рис. О6.2).
p
p–x
x
A
x
B
x
D
q
q
q–x
C
p–x
x
Рис. О6.2
Как указывалось при решении задачи 6.2, при длине плиты p, ширине q и размере квадратной части А – х равенство
https://liveinternet.club
228
Глава 6
площадей частей А и D будет при x2 = (p – x)(q – x). Это равенство соблюдается только при х = pq/(p + q). Следовательно,
p – x = p2/(p + q) и q – x = q2/(p + q). Тогда площади частей будут
равны:
А: p2q2/(p + q)2;
В: p3q/(p + q)2;
С: pq3/(p + q)2;
D: p2q2/(p + q)2.
Это означает, что отношения частей будут следующими:
А:С – p/q; в данной задаче 3:2;
А:В – q/p; в данной задаче 2:3
В:С – p2/q2 ; в данной задаче 9:4.
6.5. Задача «Разделить прямоугольный лист»
Так как 52 × 64 ≠ 1280, то можно сделать вывод, что изготовленная панель не прямоугольная, а имеет вид параллелограмма. Высоты параллелограмма со сторонами 52 и 64 см и площадью 1280 кв. см равны соответственно 24,(615384) и 20 см.
Учитывая, что задача была решена одним прямым разрезом
(то есть две стороны исходного прямоугольника не были разделены), то подходит только второй вариант, в котором разрез
сделан под углом к длинной стороне прямоугольника. Осталось определить места разреза.
Прямоугольный треугольник с катетом 20 см и гипотенузой
52 см имеет второй катет длиной 48 см. Так как исходный прямоугольник был разделен на две равные части, то схема его
разреза и сборки параллелограмма – такие, как на рис. О6.3
и О6.4 соответственно.
56
8
52
20
56
Рис. О6.3
20
8
https://liveinternet.club
229
Задачи для столяра Плотникова
56
8
52
20
52
56
8
Рис. О6.4
6.6. Задача «Получить полуквадратный кусок»
А. Да, треугольник DFE является прямоугольным равнобедренным.
Обоснование
Треугольники AFD и BEF – равные прямоугольные треугольники, поэтому их гипотенузы FD и FE равны и взаимно перпендикулярны, поскольку углы AFD и BFE – дополнительные.
Площадь треугольника DFE равна (4000 – 750 – 750 – 800) =
1700 кв. см, что составляет 17/40 площади прямоугольника
ABCD.
Б. На рис. О6.5 показаны две треугольные части ADF и BEF,
соединенные вместе так, что получился прямоугольник; отношение его сторон – 3 : 5 (0,6), что приблизительно равно
отношению AD : AB = 5 : 8 (0,625).
F
50
B
30
30
E
A
50
Рис. О6.5
D
https://liveinternet.club
230
Глава 6
B. На рис. О6.6 показано, как разрезать оставшийся тре
угольник ECD на две части, образующие прямоугольник ECMN
со сторонами 20 и 40 см.
N
E
20
40
D
С
40
M
Рис. О6.6
Г. На рис. О6.7 показано, что метод, который применил
Плотников, можно использовать с доской длиной a см и шириной b см при условии, что значение 2b – a (длина отрезка
EC) положительно, то есть когда b < a < 2b.
A
a–b
b
F
B
a–b
b
E
2b – a
D
a
C
Рис. О6.7
6.7. Задача «Получить прямоугольник»
Прежде всего заметим, что одна сторона искомого прямо
угольника всегда на один меньше размера исходного квадрата, другая – на два больше.
Проанализируем особенности разделения квадратов на
рис. 6.7–6.10, начиная от левого верхнего угла, для четных
и нечетных их размеров (см. табл. О6.3).
https://liveinternet.club
Задачи для столяра Плотникова
231
Таблица О6.3
Квадрат со стороной 5 клеток
вправо 1
вниз 2 вправо 1
вниз 2 вправо 1
вверх 1 вправо 1
вниз 2
Квадрат со стороной 7 клеток
вправо 1
вниз 2 вправо 1
вниз 2 вправо 1
вниз 2 вправо 1
вверх 3 вправо 1
вниз 2 вправо 1
вниз 2
Квадрат со стороной 6 клеток
вправо 1
вниз 2 вправо 1
вниз 2 вправо 1
вверх 2 вправо 1
вниз 2 вправо 1
вниз 2
Квадрат со стороной 8 клеток
вправо 1
вниз 2 вправо 1
вниз 2 вправо 1
вниз 2 вправо 1
вверх 4 вправо 1
вниз 2 вправо 1
вниз 2 вправо 1
вниз 2
Анализ показывает, что следующие разделения должны
быть такими, как в табл. О6.4.
Таблица О6.4
Квадрат со стороной 9 клеток
вправо 1
вниз 2 вправо 1
вниз 2 вправо 1
вниз 2 вправо 1
вниз 2 вправо 1
вверх 5 вправо 1
вниз 2 вправо 1
вниз 2 вправо 1
вниз 2
Квадрат со стороной 10 клеток
вправо 1
вниз 2 вправо 1
вниз 2 вправо 1
вниз 2 вправо 1
вниз 2 вправо 1
вверх 6 вправо 1
вниз 2 вправо 1
вниз 2 вправо 1
вниз 2 вправо 1
вниз 2
Проверка на практике показывает, что соответствующие варианты разделения последние две задачи решить позволяют
(см. рис. О6.8–О6.9).
https://liveinternet.club
232
Глава 6
Рис. О6.8
Рис. О6.9
Интересно, что при дальнейшем увеличении размеров
квадрата установленные закономерности сохраняются и будут
«работать», если, например, нужно из квадрата со стороной
30 клеток и прямоугольника с размерами 1×28 клеток получить прямоугольник с размерами 29×32 клетки. Как разделить
исходный квадрат в данном случае, решите самостоятельно.
6.8. Задача «Три плиты»
1. Можно решить обе задачи.
Для этого размеры отрезков DE и BF на рис. 6.17 должны
быть равны сторонам искомого квадрата (60 см).
2. При a > 4b, где а – длина заданного прямоугольника, b –
его ширина.
https://liveinternet.club
233
Задачи для столяра Плотникова
Обоснование (см. рис. О6.10)
Предельные размеры прямоугольника, при которых решение возможно:
ab
F
b
E
ab
Рис. О6.10
При них а = 2 ab, откуда a = 4b. При a ≤ 4b решение возможно.
3. Повторим рис. 6.20 (см. рис. О6.11).
Обозначим длину стороны искомого квадрата – с (напомним, что с = ab).
Так как F′A = FE, то F′F = АЕ = c.
E
В
C
F
A
C′
F′
D′
Рис. О6.11
D
https://liveinternet.club
234
Глава 6
Прямоугольные треугольники АВЕ и AFD подобны, так как
∠АЕВ = ∠ADF, то есть
, откуда FD =
(при принятых обозначениях) FD =
или
= ab = с. При этом
и F′D′ = c. Так как F′F = FD = F′D′ = c, а углы в вершинах F и F′ –
прямые, то F′FDD′ – искомый квадрат.
4. Можно решить только вторую задачу.
5. При a ≤ 2b.
Обоснование (см. рис. О6.12)
Максимальные размеры прямоугольника, при которых решение возможно:
ab
ab
b
a
Рис. О6.12
При них по теореме Пифагора: ab + ab = а2, откуда a = 2b.
https://liveinternet.club
Глава 7
Необычные приборы
Читатели, конечно, знают, что такое «пропорция» и ее основные свойства. Приходилось вам решать и расчетные задачи –
абстрактные (такие как, например, «Найдите неизвестный
член пропорции
») и содержательные (например, «При
варке варенья используют ягоды и сахар в отношении 5:2.
Сколько надо ягод, если взяли 450 г сахара?»).
А знаете ли вы, что свойства пропорций могут быть использованы для решения многих практических задач1 и даже
в простейших вычислительных приборах?
7.1. Вычислительные приборы,
основанные на пропорции
Схематическую конструкцию одного из таких приборов можно описать следующим образом (см. рис. 1) [1].
1
См., например, врезки на стр. 179, 199, 224, 259, 279.
https://liveinternet.club
236
Глава 7
В I квадранте1 рисуется дуга некоторого радиуса R с цент
ром в начале координат.
На оси абсцисс изображается шкала с делениями от 0, 1,
…, 9, 10 (соответствующими 0, 0,1, …, 0,9, 1), их половинами
и другими более мелкими делениями (чем мельче будут эти
деления, тем точнее будут результаты расчетов2).
Представим, что к началу координат прикрепляется вра
щающийся рычаг с такой же шкалой, как на оси абсцисс.
Представим также, что вдоль оси абсцисс вправо и влево
может перемещаться ползун, всегда перпендикулярный этой
оси.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Рис. 7.1
Рассмотрим пример использования прибора для нахождения произведения чисел 0,6 и 0,5. Расчеты проводятся следую
щим образом:
ползун устанавливается в положение 6 на оси абсцисс;
качающийся рычаг поворачивается так, что его конец
совпадает с ползуном, и фиксируется в этом положении;
1
2
Напомним, что в геометрии квадрант – это часть плоскости, ограниченная двумя перпендикулярными осями координат и примыкающая к началу координат. Оси координат делят плоскость на четыре части — I, II, III и IV квадранты. I квадрант находится в правой
верхней части плоскости.
Это замечание относится ко всем вычислительным приборам,
описанным далее.
https://liveinternet.club
237
Необычные приборы
ползун перемещается в положение 5 на шкале качающегося рычага;
положение ползуна на оси абсцисс (3) определяет искомое произведение (0,5).
Аналогично можно определять и произведение больших
чисел, приведя их к числам, меньшим 1, но после определения результата сместить запятую на нужное число разрядов
вправо.
Задания
1. Обоснуйте правильность получаемого на приборе результата умножения а на b, используя изображение на рис. 7.2.
b
a
Рис. 7.2
2. Опишите методику деления на описанном приборе:
а) 0,2 на 0,8;
б) 0,9 на 0,6.
Еще один вычислительный прибор, основанный на свойствах пропорций, показан на рис. 7.3. Он состоит из двух шарнирно связанных друг с другом рычагов, горизонтального
и наклонного, на первом из которых нанесена шкала с числими до 100. Такие же шкалы выполнены на двух вертикальных
рычагах:
левом, подвижном, перемещающемся вдоль горизонтального рычага;
правом, неподвижном.
https://liveinternet.club
238
Глава 7
Наклонный рычаг мог быть зафикисирован на правом рычаге.
Рис. 7.3
На рис. 7.3 приведен пример определения произведения
числа 60 на 50. Наклонный рычаг устанавливается и фиксируется на неподвижном вертикальном рычаге в положении значения 60. На шкале горизонтального рычага устанавливается
значение 50 перемещением подвижного вертикального рычага. Ответ определяется на шкале подвижного рычага в месте
его «пересечения» с наклонным (с учетом переноса запятой
на необходимое число разрядов вправо).
Задания
3. Обоснуйте правильность получаемого на приборе результата умножения чисел а и b.
4. Опишите методику деления на описанном приборе:
a) 30 на 75;
б) 75 на 30.
Заметим, что прибор, изображенный на рис. 7.3, не остался
в чертежах, а был изготовлен в начале ХХ века (см. рис. 7.4).
https://liveinternet.club
239
Необычные приборы
Рис. 7.4 [1]
С работой еще одного аналогичного прибора вы сможете
ознакомиться по адресу: https://www.youtube.com/watch?v=cD3DdQkRVo&ab_channel=calculatryx.
Интересна, так сказать, «история вопроса».
Еще в древности использовался прибор, позволявший получать отрезок, пропорциональный к данному отрезку в некоторой пропорции (см. рис. 7.5).
Рис. 7.5
https://liveinternet.club
240
Глава 7
Вопрос 1
От чего зависело отношение отрезков между концами ножек представленного прибора?
1) от угла между ножками;
2) от места соединения ножек;
3) от обоих этих факторов.
Один из таких циркулей был найден при раскопках древнего города Помпеи, погибшего во время катастрофического
извержения вулкана Везувия в 79 году нашей эры. Интересно, что место соединения ножек этого циркуля «разделяло»
ножки на части, отношение длин которых соответствовало
«золотому сечению» (см. раздел 4.5).
Если место соединения ножек прибора могло меняться, то
им можно было получать значения отрезков в нужной пропорции. Такой прибор («пропорциональный циркуль») изобрел примерно в 1585 году швейцарский часовых дел мастер
и математик Йост Бюрги – см. рис. 7.6. Он был предназначен
в основном для увеличения или уменьшения чертежей, но мог
применяться для приближенного вычисления квадратов и кубов чисел и извлечения квадратных и кубических корней [2].
Рис. 7.6
Недостатком приборов, показанных на рис. 7.5 и 7.6, являлось то, что нужные расстояния отмечались на их разных
сторонах. Этот недостаток устранялся на приборе, представленном на рис. 7.7 [3].
https://liveinternet.club
241
Необычные приборы
Рис. 7.7
В нем все рычаги были соединены шарнирно, фигура-четырехугольник – параллелограмм. Нетрудно увидеть, что с помощью такого прибора было удобно проводить уже упоминавшееся золотое сечение отрезка.
Вопрос 2
От чего зависело отношение отрезков между концами ножек представленного на рис. 7.7 прибора?
В 1594 году французский военный инженер Жан Эррар, служивший в армии короля Генриха IV, впервые описал [4] в литературе, как бы сказали сегодня, «специализированный» вычислительный инструмент» (рис. 7.8), состоящий из двух шарнирно
соединенных рычагов, по одному из которых мог перемещаться третий. На всех рычагах были предусмотрены шкалы.
Рис. 7.8
https://liveinternet.club
242
Глава 7
Вариант прибора с двумя рычагами показан на рис. 7.9. Обратите внимание на различные шкалы на рычагах. При расчетах на таком приборе использовался также циркуль.
Рис. 7.9
Умножение, например, 16 на 8 проводилось следующим образом.
Циркулем на любой шкале устанавливался раствор, равный 16.
Рычаги сектора раздвигались так, чтобы между метками,
например 20, на их шкалах было расстояние 16 (оно предварительно устанавливалось по раствору циркуля).
На шкалах находились метки 160 (в 8 раз больше выбранного значения 20), и расстояние между ними определялось раствором циркуля. Измерив величину этого раствора на любой
шкале, можно было получить искомое произведение (в рассматриваемом случае оно равно 128).
Задание
6. Опишите методику деления на описанном приборе, например деления 150 на 25.
Универсальный счетный прибор, работа которого основана
на свойствах пропорций, описал в 1598 году в своей книге «Изготовление и использование геометрического инструмента,
называемого сектором» [5] английский математик Томас Гуд.
https://liveinternet.club
243
Необычные приборы
Рис. 7.10 [5]
Гуд был первым, кто назвал прибор «сектором» – названием, которое затем применительно к аналогичным приборам использовали многие изобретатели (см. следующий
раздел).
В 1606 году итальянский физик, механик, астроном, философ, математик Галилео Галилей издал инструкцию по применению сектора собственной конструкции (рис. 7.11). Это
была первая печатная работа великого итальянского ученого.
Несколько отвлекаясь, заметим, что с этим прибором связан
интересный случай [2].
В 1607 году миланский студент Бальтазар Капра напечатал в городе Падуе работу «Usus et fabrica circini cuiusdam
https://liveinternet.club
244
Глава 7
proportionis» («Использование и изготовление пропорционального циркуля»), в которой заявил о своем авторстве прибора Галилея. В отличие от книги Галилея, написанной поитальянски, она была написана на латыни – вероятно, Капра
надеялся, что это поможет распространению его сочинения
среди ученых. Возмущенный Галилей добился для рассмотрения дела назначения специального трибунала в составе трех
профессоров. Во время слушаний Галилей убедительно доказал, что изобрел прибор еще в 1597 году, и уличил своего
оппонента в плагиате. Капра был исключен из университета,
а его книга уничтожена. Это был первый в истории вычислительной техники случай судебного разбирательства, связанного с авторскими правами на изобретение.
Рис. 7.11
В заключение заметим, что все рассмотренные в статье вычислительные приборы называют «аналоговыми», потому что
в них все числа (исходные и результат) представлены в виде
значений соответствующих («аналогичных») физических параметров – длины (как в приведенных примерах, в логарифмической линейке и др.), силы тока, напряжения, давления,
скорости и т. п. Электронные калькуляторы, компьютеры
и различные современные гаджеты называют «цифровыми
устройствами», так как они работают (хранят и обрабатывают)
непосредственно с цифровой информацией.
https://liveinternet.club
Необычные приборы
245
7.2. Прибор для решения задач
В настоящее время при изучении в школьном курсе геометрии
задач на построение основное внимание уделяется теоретическому поиску способов их решения. То есть речь не идет о том,
чтобы проделать «руками» соответствующие построения,
а чтобы найти алгоритм решения, то есть описать решение
задачи в виде последовательности уже известных стандартных
построений. При этом линейка и циркуль рассматриваются как
абстрактные математические инструменты.
А вот в XVIII веке, наоборот, главное внимание уделялось
практическим построениям с помощью реальных чертежных
инструментов, а изложение теоретического материала было
сведено к минимуму.
В одной из первых русских математических книг [6] приведен ряд задач с использованием прибора, который автор
книги называет «сектором». Он представлял собой две узкие
линейки («ножки»), соединенные друг с другом в виде буквы V
с возможностью вращения. На линейках было изображено несколько шкал. Одна из них – равномерная шкала («линия равных частей») со 100 делениями. Каждое десятое деление было
обозначено числами (10, 20, …, 100).
Рассмотрим несколько указанных задач.
Задача 1
Условие1
Дан отрезок. Используя сектор и циркуль2, отмерить на этой
же прямой отрезок, пропорциональный данному в заданной
пропорции3. Рассмотреть два варианта:
1
2
3
Мы приводим условия всех задач также и современным русским
языком.
Это указание относится ко всем рассмотренным далее задачам.
Здесь и далее имеется в виду, что коэффициент пропорциональности указан в виде отношения двух натуральных чисел.
https://liveinternet.club
246
Глава 7
1) коэффициент пропорциональности больше 1;
2) коэффициент пропорциональности меньше 1.
Решение
Допустим, что коэффициент пропорциональности равен
7:5.
1. Раствор циркуля установить равным длине заданного
отрезка.
2. Раствор ножек сектора установить таким, чтобы раствор
циркуля совпал со значениями 50 на шкалах ножек (рис. 7.12).
3. В этом положении сектора циркулем измерить расстояние между значениями 70 на шкалах ножек.
4. Установленным раствором циркуля отметить на прямой
искомый отрезок.
Обоснование следует из рис. 7.12.
Решение второго варианта задачи найдите самостоятельно.
100
100
70
70
х
50
50
0
Рис. 7.12
Задача 2
Условие
Дан отрезок. Отмерить отрезок, пропорциональный данному в заданной пропорции m:n (1:2, 1:3, 2:3, 1:4, 3:4, …, 1:9, 2:9,
4:9, 5:9, 7:9, 8:9, 1:10, …, 9:10). Решите задачу самостоятельно.
https://liveinternet.club
Необычные приборы
247
Комментарий к выполнению
Данная задача отличается от предыдущей тем, что в ней
коэффициент пропорциональности явно не задан. Но можно
сказать, что в данном случае роль чисел 5 и 7 играют значения m и n.
Задача 3
Условие
Даны два отрезка a и b (a > b). Отмерить отрезок, пропорцио
нальный отрезку а и больший его с тем же коэффициентом
пропорциональности, что для отрезков a и b. Решите задачу
самостоятельно.
Комментарий к выполнению
Здесь также коэффициент пропорциональности явно не задан. Но можно сказать, что в данной задаче роль чисел 5 и 7
(см. задачу 1) играют длины заданных отрезков.
Задача 4
Условие
Даны три отрезка a, b и c (a > b). Отмерить отрезок, пропорциональный отрезку с с тем же коэффициентом пропорциональности, что и для отрезков a и b.
Решение
1. На шкалах ножек сектора отметить предварительно измеренную длину отрезков а и b.
2. Раствор ножек установить таким, чтобы раствор циркуля, равный предварительно измеренной длине отрезка c,
совпал с отметками для точки b.
https://liveinternet.club
248
Глава 7
3. В этом положении сектора циркулем измерить расстояние между отметками для точки а.
4. Установленным раствором циркуля отметить на прямой
искомый отрезок.
Обоснование следует из рис. 7.13.
100
100
a
х
a
b
b
0
Рис. 7.13
Вариант задачи, в котором a < b, решите самостоятельно.
Задача 5
Условие
Даны два отрезка a и b (a > b). Определить коэффициент
пропорциональности между ними в виде правильной дроби.
Решение (см. рис. 7.14)
1. Раствор циркуля установить равным длине отрезка а.
2. Раствор ножек сектора установить таким, чтобы раствор
циркуля совпал с отметками 100 на ножках сектора.
3. Раствор циркуля установить равным длине отрезка b.
4. Этот раствор циркуля совместить с одинаковыми отметками на ножках сектора.
https://liveinternet.club
249
Необычные приборы
Искомый коэффициент пропорциональности будет равен
х:100.
a
100
х
100
b
х
0
Рис. 7.14
Вариант задачи, в котором a < b, решите самостоятельно.
Задача 6
Условие
Даны два отрезка а и b. Известно, что длина отрезка а составляет 70 некоторых единиц длины. Определить длину отрезка b в тех же единицах.
Решение (см. рис. 7.15)
1. Раствор циркуля установить равным длине отрезка а.
2. Раствор ножек сектора установить таким, чтобы раствор
циркуля совпал с отметками 70 на ножках.
2. Циркулем измерить длину отрезка b.
3. Этот раствор циркуля совместить с одинаковыми отметками на ножках сектора.
4. Соответствующие отметки х покажут длину отрезка b
в тех же единицах, в которых выражена длина отрезка а.
https://liveinternet.club
250
Глава 7
100
100
a
70
b
х
70
х
0
Рис. 7.15
Задача 7
Условие
Дан отрезок ab, разделенный на две части (ае и eb).
a
e
b
Разделить другой отрезок cd на части, пропорциональные
с частями первого отрезка.
c
d
Решение (см. рис. 7.16)
1. На шкалах ножек сектора отметить предварительно измеренную длину отрезка аb и его частей (точки b, b′, е и е).
2. Раствор циркуля установить равным длине отрезка cd.
3. Раствор ножек сектора установить таким, чтобы раствор
ножек циркуля совпал с отметками b и b′.
3. Циркулем измерить расстояние между точками е и е.
4. Одну из ножек циркуля совместить с точкой b, а другой
сделать отметку (точку f ).
https://liveinternet.club
251
Необычные приборы
5. Точка f разделит отрезок cd согласно требованиям условия. Обоснование этого утверждения установите самостоятельно.
100
100
b
f
b′
cd
e
e
0
a
Рис. 7.16
Дополнительное задание
Дан отрезок ab, разделенный на три части (ае, ef и fb).
a
e
f
b
Разделить другой отрезок cd на части, пропорциональные
с частями первого отрезка.
c
d
Еще одна шкала, предусмотренная на ножках сектора, – это
так называемая «шкала хорд». Она переносилась на сектор
после следующих построений (рис. 7.17).
Четверть окружности радиуса R разбивалась на 9 равных час
тей, каждую из которых, в свою очередь, делили на 10 равных
частей, то есть отмечался каждый из 90° дуги (каждое десятое
деление было обозначено числами 10, 20, …, 80). Проводилась
прямая АВ, на которой циркулем делались отметки радиусом,
равным расстоянию от точки А до делений каждого градуса дуги.
Каждая десятая отметка обозначалась соответствующим числом. Полученная на отрезке АВ шкала и являлась шкалой хорд.
https://liveinternet.club
252
Глава 7
В
А
Рис. 7.17
Вопросы
1. Почему использовалось такое название шкалы?
2. Будет ли полученная шкала равномерной, то есть будут
ли отметки 10, 20, …, 90 и более мелкие сделаны через равные
промежутки?
3. В чем особенность отметки на отрезке АВ со значением 60?
Приведем примеры ряда задач, представленных в книге [6],
которые решались (повторим – на практике) с использованием шкалы хорд.
Задача 8
Условие
Дан угол (см. рис. 7.18). Определить его величину в градусах.
b
a
c
Рис. 7.18 [6]
https://liveinternet.club
253
Необычные приборы
Решение
1. Из вершины а заданного угла провести дугу некоторого
радиуса r.
2. Раствором циркуля, равным r, соединить метки 60 на
шкалах хорд, раскрыв ножки сектора соответствующим образом.
3. Измерить циркулем расстояние bc между точками пересечения проведенной дуги и лучей заданного угла.
4. Полученным раствором циркуля найти на шкалах хорд
ножек сектора такие одинаковые метки, расстояние между
которыми совпадает с этим раствором.
Соответствующие метки будут указывать значение искомого угла.
Задание
Докажите последнее утверждение.
Задача 9
Условие
Разделить заданную окружность на заданное число равных
частей.
Решение
Для случая деления окружности радиуса r на 5 равных час
тей решение показано на рис. 7.19 (хорда для разделения равна отрезку h). В его особенностях разберитесь самостоятельно
и обоснуйте его.
60
O
r
60
Рис. 7.19
72
h
72
https://liveinternet.club
254
Глава 7
Задача 10
Условие
Раскрыть ножки сектора на заданный угол.
Решение (см. рис. 7.20)
Для случая раскрытия сектора на угол в 38 градусов решение показано на рис. 7.22. В его особенностях разберитесь самостоятельно и обоснуйте его.
60
38
O
b
a – расстояние от точки О до метки 38
38
60
Рис. 7.20
Задача 11
Условие
Определить угол раскрытия ножек сектора.
Решение для случая, когда угол раскрытия ножек сектора
превышает 90 градусов
1. Рисуется окружность радиусом R, использованным при
построении шкалы хорд, и ее диаметр (рис. 7.21).
2. Циркулем измеряется расстояние z между метками 60
на ножках раскрытого сектора (рис. 7.22).
3. Полученным раствором циркуля от одного конца диаметра делается отметка на окружности.
4. Циркулем измеряется вторая хорда х.
5. Полученным раствором циркуля на шкале хорд сектора
определяется угол, соответствующий хорде х.
https://liveinternet.club
255
Необычные приборы
Найденное значение угла является дополнением искомого
угла раскрытия ножек сектора до 180°.
Правильность решения обоснуйте самостоятельно.
60
x
z
O
z
R
60
Рис. 7.21
Рис. 7.22
Для случая, когда угол раскрытия ножек сектора не превышает 90°, решение найдите самостоятельно (оно является
«обратным» по отношению к решению предыдущей задачи).
Задача 12
Условие
В точке а прямой ab (рис. 7.23) построить заданный угол.
32
c
O
a
b
Рис. 7.23
z
32
60
ab
60
Рис. 7.24
Решение (на примере построения угла 32 градуса)
1. Из точки а некоторым раствором циркуля ab проводится
дуга.
https://liveinternet.club
256
Глава 7
2. Этот раствор циркуля устанавливается между метками
60 ножек сектора (рис. 7.24).
3. В этом положении сектора циркулем измеряется расстояние z между метками 60 ножек сектора.
4. Этим раствором циркуля на дуге (рис. 7.23) делается отметка с.
5. Из точки а через точку с проводится прямая, которая
с прямой ab будет образовывать угол в 32 градуса.
Правильность решения обоснуйте самостоятельно.
Задача 13
Условие
Провести «золотое сечение» данного отрезка ba (см.
рис. 7.25), то есть найти такую точку c, чтобы соблюдалась пропорция
b
c
a
Рис. 7.25
Решение
Начнем, так сказать, с конца. «Золотое сечение» отрезка ba
будет, если
≈ 0,62 (см. раздел 4.5). Как получить отрезок ca,
в 0,62 меньший отрезка ab? Для ответа вспомним уже неоднократно встречавшуюся схему с пропорцией (см. рис. 7.28).
60
x
z
O
x
60
Рис. 7.26
https://liveinternet.club
257
Необычные приборы
При каком угле х также встречавшееся отношение двух размеров 2sin(x/2) будет равно 0,62? Ответ найдите самостоятельно и, учитывая его, установите, как получить искомый
размер са.
Заметим, что шкала хорд широко использовалась в задачах
на построение и без сектора. Приведем ряд примеров.
Пример 1
Дан отрезок ab (рис. 7.27). Построить прямоугольный тре
угольник abc с такой гипотенузой, в котором угол a равен некоторому заданному значению.
b
a
Рис. 7.27
Решение
Пусть, например, заданный угол равен 25°.
Из точки а раствором циркуля, равным длине хорды для
значения 60° на шкале хорд, проводится дуга (рис. 7.28).
b
d
a
Рис. 7.28
Из отмеченной точки d проводится дуга раствором циркуля, равным длине хорды для значения 25°, которая пересечет
первую дугу в точке е (рис. 7.29).
Через точки а и е проводится прямая.
https://liveinternet.club
258
Глава 7
На эту прямую из точки b опускается перпендикуляр до точки c его пересечения с прямой.
b
d
a
e
c
Рис. 7.29
Треугольник аbс будет соответствовать требованиям условия. Обоснуйте это самостоятельно.
Пример 2
Дан отрезок. Построить прямоугольный треугольник с таким катетом, в котором примыкающий к нему угол равен некоторому заданному значению.
Решите задачу самостоятельно.
Пример 3
Даны два отрезка разной длины. Определить значения
острых углов прямоугольного треугольника, в котором больший отрезок является гипотенузой, а меньший отрезок –
меньшим катетом этого треугольника.
Решите задачу также самостоятельно.
Литература
1. Sher D. B., Nataro D. C. The Prosthaphaeretic Slide Rule: A Me
chanical Multiplication Device Based on Trigonometric Iden
tities // Mathematics and Computer Education 38 (1), 37–43.
2004.
2. Шилов В. В. Хроника вычислительных и информационных
технологий. Люди, события, идеи: в 4 ч. Ч. 2 // Информационные технологии. 2006. № 5.
https://liveinternet.club
Необычные приборы
259
3. Зверкина Г. А. Знакомьтесь: циркуль // Полином. 2009. № 3.
4. Errard Jean. La géométrie et practique générale d’icelle (Paris,
1594). https://gallica.bn7.fr/ark:/12148/bpt6k62761670.texteImage.
5. Hood Thomas. The making and use geometrical instrument,
called a sector. https://archive.org/details/bim_early-englishbooks-1475-1640_the-making-and-use-of-th_hood-thomas_1598/
page/n12/mode/1up.
6. Книжица о сочинении и описании шкал плоской и гунтерской с употреблением этих инструментов в решении разных математических проблем от профессора математики
Андреа Фахварсона. 1739.
Источники иллюстраций
Рис. 7.4
https://www.oughtred.org/jos/articles/
PROSTHAPHAERESISandWERNERfinal.jmccLR8.8.pdf
Рис. 7.6 https://collection.sciencemuseumgroup.org.uk/objects/co60625
Рис. 7.8 Книга [4]
Рис. 7.9 ETH Library, Zürich, Collection of astronomical instruments
Рис. 7.10 Книга [5]
Рис. 7.11 https://i.pinimg.com/originals/0a/34/83/0a3483cf299c63467d74ef
685f6fbb9c.jpg
https://liveinternet.club
260
Глава 7
Ответы к главе 7
7.1. Вычислительные приборы, основанные
на пропорции
Задание 1
Из подобия прямоугольных треугольников (см. О7.1) следует пропорция
, откуда x = ab.
1
b
x
a
1
Рис. О7.1
Задание 2
а)
Ползун устанавливается в положение 8 на оси абсцисс;
качающийся рычаг поворачивается так, что его конец
совпадает с ползуном, и фиксируется в этом положении;
ползун перемещается в положение 2 на оси абсцисс;
положение ползуна на шкале качающегося рычага (2,5)
определяет искомое частное (0,25).
б)
Ползун устанавливается в положение 6 на оси абсцисс;
качающийся рычаг поворачивается так, что его конец
совпадает с ползуном, и фиксируется в этом положении;
ползун перемещается в положение 0,9 на оси абсцисс;
положение ползуна на шкале качающегося рычага (1,5)
определяет искомое частное.
https://liveinternet.club
261
Необычные приборы
Задание 3
Из подобия прямоугольных треугольников (см. О7.2) следует пропорция
, откуда x = ab/100 (напомним, что дол-
жен также происходить перенос запятой вправо).
a
x
b
100
Рис. О7.2
Задание 4
а) Значение 75 устанавливается на неподвижном вертикальном рычаге перемещением и фиксацией наклонного
рычага. Подвижный вертикальный рычаг устанавливается
в положение, в котором его шкала «пересекает» наклонный
рычаг в значении 30. Соответствующее значение на шкале горизонтального рычага (40) будет искомым частным (с учетом
порядка – 0,4).
Значение 30 устанавливается на неподвижном вертикальном рычаге перемещением и фиксацией наклонного рычага.
Подвижный вертикальный рычаг устанавливается в положение, в котором его шкала «пересекает» наклонный рычаг
в значении 7,5. Соответствующее значение на шкале горизонтального рычага (25) будет искомым частным (с учетом
порядка – 2,5).
Задание 5
Циркулем на любой шкале устанавливался раствор, равный
15 (число в 10 раз меньше делимого).
На шкалах находились метки, например 20; ножки прибора
раздвигались так, что расстояние между этими метками равно
установленному раствору циркуля.
https://liveinternet.club
262
Глава 7
В этом положении ножек на шкалах находились метки 8
(в 2,5 раза меньше использованного числа 20; напомним, что
делитель равен 25), и раствор циркуля устанавливался между
ними.
Величина этого раствора, измеренная на любой из шкал,
была равна искомому делителю (6).
Ответы на вопросы
1. От места соединения ножек.
2. Отношение отрезков между концами ножек BE:EC (см.
рис. О7.3) зависело от положения шарнира в точке D:
.
Это следует из подобия треугольников ВАС и BDE (
;
с учетом того, что ВС = ВЕ + СE и АВ = AD + BD, можно получить
СE × BD = BE · AD, откуда
).
A
D
B
E
C
Рис. О7.3
7.2. Прибор для решения задач
Ответы на вопросы
1. Отметки, делаемые на отрезке АВ, – это хорды, проведенные от точки А до отметок на окружности.
2. Нет, не будет. Вспомните формулу для определения длины хорды.
https://liveinternet.club
263
Необычные приборы
3. Отметка на отрезке АВ со значением 60 – это хорда, длина которой равна радиусу окружности, для которой строилась
шкала хорд.
Задача 2
Последовательность действий (см. рис. О7.4):
1) раствор циркуля установить равным длине заданного
отрезка;
2) раствор ножек сектора установить таким, чтобы раствор
циркуля совпал на шкалах со значениями n, увеличенными в 10 раз;
3) в этом положении сектора циркулем измерить расстоя
ние на шкалах ножек между значениями m, также увеличенными в 10 раз.
Установленным раствором циркуля отметить на прямой искомый отрезок.
100
100
n
n
m
m
x
0
Рис. О7.4
Задача 3
Последовательность действий (см. рис. О7.5):
1) раствор циркуля установить равным длине отрезка b;
2) на шкалах ножек сектора отметить длину отрезка b (от
нулевой отметки);
3) раствор циркуля установить равным длине отрезка a;
4) раствор ножек установить таким, чтобы раствор циркуля совпал с отмеченными значениями;
https://liveinternet.club
264
Глава 7
5) на шкалах ножек отметить длину отрезка a;
6) циркулем измерить расстояние между этими отметками;
7) установленным раствором циркуля отметить на прямой
искомый отрезок.
100
100
a
х
b
a
b
a
0
Рис. О7.5
Решите также второй вариант задачи: «Даны два отрезка a
и b (a < b). Отмерить отрезок, пропорциональный отрезку а и
меньший его с тем же коэффициентом пропорциональности,
что для отрезков a и b».
Дополнительное задание к задаче 7
Решение приведено на рис. О7.6. Точки g и h делят второй
отрезок cd согласно требованиям условия.
100
100
g
b
cd
h
f
e
e
0
a
Рис. О7.6
b′
https://liveinternet.club
265
Необычные приборы
Задача 8
Положение сектора после описанных в решении действий
показано на рис. О7.7.
60
x
O
bc
x
r
60
Рис. О7.7
Пусть расстояние на секторе от точки О до метки х на шкале
хорд равно L1, а до метки 60 – L2. Тогда можно записать пропорцию:
Вспомнив формулу для расчета длины хорды, согласно
рис. 7.19 можем записать:
bc = 2r sin(α/2),
где α – искомый угол.
Тогда bc/r = 2 sin(α/2).
С другой стороны, на секторе:
L1 = 2R sin(x/2);
L2 = 2R sin(60/2) = R,
где R – радиус окружности при построении шкалы хорд.
Тогда L1/L2 = 2 sin(x/2).
В результате, согласно пропорции, имеем: 2 sin(α/2) =
2 sin(x/2), то есть действительно найденное значение угла х
на шкале хорд сектора равно искомому углу α.
Задача 9
360 : 5 = 72.
https://liveinternet.club
266
Глава 7
Пусть расстояние на секторе от точки О до метки 72 на шкале хорд равно L1, а до метки 60 – L2 (см. рис. 7.19). Тогда можно
записать пропорцию:
L1/L2 = 2sin(72/2) (см. решение предыдущей задачи).
Из приведенной пропорции h = 2r sin(72/2), что совпадает
с формулой для определения длины хорды дуги в 72°.
Задача 12
Пусть расстояние на секторе от точки О до метки 32 на шкале хорд равно L1, а до метки 60 – L2 (см. рис. 7.24). Тогда можно
записать пропорцию:
L1/L2 = 2 sin(32/2) (см. решение задачи 8).
Из приведенной пропорции z = 2ab sin(32/2).
С другой стороны расстояние между точками b и c (также
равное z) равно 2ab sin(∠CAB/2).
Это говорит о том, что угол CAB равен 32°.
Задача 13
Угол, о котором шла речь в комментариях к решению задачи, равен примерно 36°. Это значит, что между метками 60
на шкалах хорд ножек сектора на рис. 7.26 следует циркулем
установить размер ba. В этом положении сектора искомый
отрезок са будет находиться между метками 36.
Пример 1
ad = R (см. решение задач выше и в разделе 7.2).
Длина хорды de (согласно размеру на шкале хорд) равна
2R sin(25/2).
С другой стороны, согласно рис. 7.29: de = 2ad sin(∠bac/2) =
2R sin(∠bac/2).
Это значит, что угол bac прямоугольного треугольника abс
будет равен 25°.
https://liveinternet.club
Глава 8
Среднее
пропорциональное
и геометрия, среднее
геометрическое
и «негеометрия»
Как известно (см., например, [1]), среднее пропорциональное
является частным случаем среднего геометрического, а среднее геометрическое нескольких положительных вещественных чисел х1, х2, …, хn равно
. Среднее геометрическое
при n = 2 (то есть
) и есть среднее пропорциональное.
Среднее пропорциональное так называется потому, что для
среднего пропорционального sp двух чисел a1 и a2 соблюдается
пропорция:
(*)
https://liveinternet.club
268
Глава 8
то есть среднее пропорциональное относится к первому числу
так же, как второе число к среднему пропорциональному.
Среднее пропорциональное проявляется в ряде случаев
в геометрии. Приведем шесть примеров.
1. Один из самых известных примеров связан с так называемым «золотым сечением отрезка» (см. раздел 4.5). Так
как в результате разделения отрезка на две части – большую b
и меньшую m – соблюдается пропорция
, откуда b =
,
то есть большая часть b есть среднее пропорциональное a и m.
2. Известно также, что высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное
между размерами проекций катетов на гипотенузу1, а каждый
катет есть среднее пропорциональное гипотенузы и его проекции на гипотенузу (см. рис. 8.1), то есть:
В
a
А
b
Н
С
Рис. 8.1
3. Если через концы диаметра АВ окружности проведены
две касательные к ней (рис. 8.2) и третья, которая пересекает
первые две в точках С и D, то радиус этой окружности будет
равен среднему пропорциональному отрезков СА и ВD. Докажите это.
1
Доказательство этой теоремы приводится также в учебнике [2].
https://liveinternet.club
269
Среднее пропорциональное и геометрия
A
B
C
D
Рис. 8.2
4. Две окружности разных радиусов R и r внешне касаются
(рис. 8.3). Отрезок АВ их общей касательной, заключенный
между точками касания, есть среднее пропорциональное между диаметрами этих окружностей. Докажите это.
A
B
Рис. 8.3
5. Пример, возможно, известный из школьной программы.
Если из точки A, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая (см. рис. 8.4), то длина отрезка АС касательной есть среднее пропорциональное длины всей секущей АВ
и ее внешней части AD. Докажите это.
https://liveinternet.club
270
Глава 8
A
D
C
B
Рис. 8.4
6. Вот еще неожиданный и «красивый» пример, связанный не с линиями, а с площадями фигур: если в трапеции
провести две диагонали, то получатся четыре треугольника
(см. рис. 8.5). Площадь левого (или правого) треугольника есть
среднее пропорциональное площадей нижнего и верхнего
треугольников. Докажите и это.
Рис. 8.5
В отличие от широко применяемого среднего арифметического значения ряда чисел, среднее геометрическое используется реже, в основном при статистических и финансовых расчетах (см., например, [3–4]), в частности для оценки среднего
значения набора чисел, полученных особым образом (см. чуть
ниже). Такой пример. Месячная инфляция – это изменение
уровня цен одного месяца по сравнению с предыдущим. Если
известны показатели инфляции за каждый месяц, то как получить годовое значение? – Правильный ответ: с помощью
https://liveinternet.club
271
Среднее пропорциональное и геометрия
перемножения месячных показателей инфляции. То есть общий показатель инфляции – это не сумма, а произведение.
А как теперь узнать среднюю инфляцию за месяц, если имеется годовое значение? Нет, не разделить на 12, а извлечь корень
12-й степени. Пример показан в табл. 8.1.
Таблица 8.1
Месяц
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Произведение
Среднемесячное значение
Инфляция
1,02 (соответствует 2 %)
1,01
1,05
1,04
1,02
1,03
1,07
1,03
1,05
1,03
1,03
1,05
1,523546
1,03571
То есть среднее геометрическое в данном случае говорит
о том, при какой одинаковой месячной инфляции общая инфляция за год была бы такой же, как и при значениях месячной инфляции, указанных в таблице (примерно при 3,6 %).
В общем случае среднее геометрическое актуально тогда,
когда имеется ряд величин a0, a1, a2, …, an, которые обрабатываются аналогично табл. 8.2:
Таблица 8.2
Значения
Изменение
а0 а1
k1 = a1 /a0
или
k1 = a0 /a1
а2
k2 = a2 /a1
или
k2 = a1 /a2
а3
k3 = a3 /a2
или
k3 = a2 /a3
…
…
аn
kn = an /an-1
или
kn = an-1 /an
https://liveinternet.club
272
Глава 8
и нужно ответить на вопрос: «Если бы все значения ki были
одинаковыми, какими они должны быть, чтобы при а0 получить аn?»
Задание
1. Представьте, что вы хотите вложить деньги в инвестиционный фонд. Известно, что за последние четыре года его
доходность составляла 12 %, 16 %, 14 % и 17 %. Определите,
какова была среднегодовая доходность.
А где используется1 среднее пропорциональное?
Прежде чем приводить примеры такого использования (обнаруженные нами в публикациях XVIII – начала XX в.), обсудим, как можно, используя геометрические построения циркулем и линейкой, получить отрезок, длина которого равна
среднему пропорциональному длин двух заданных отрезков.
Очевидный вариант – использование рис. 8.1: нужно построить окружность на сумме двух заданных отрезков a и b,
как на диаметре, и тогда высота HB, восстановленная из точки Н их соединения до пересечения с окружностью, даст искомую величину (рис. 8.6).
B
A
O
a H
b
C
Рис. 8.6
В первом учебнике геометрии, написанном на русском языке [5], представлен и другой метод построения нужного отрезка.
Заданные отрезки откладываются так, как на рис. 8.7 отложены отрезки АВ и СВ (АВ – больший из двух отрезков). На
1
Выше были приведены примеры проявления среднего пропорцио
нального.
https://liveinternet.club
273
Среднее пропорциональное и геометрия
продолжении прямой АВ откладывается отрезок ВD, равный
АС. Из точек А и D раствором циркуля, равным АВ (или СD),
выше AD проводятся дуги (точки их пересечения – Е). Отрезок
СЕ (или ВЕ) будет искомым.
Задание
2. Докажите последнее утверждение.
Рис. 8.7 [5]
Теперь – примеры использования среднего пропорционального в качестве средства решения задач.
Один пример обнаружен нами в книге начала XIX века [6].
В ней идет речь об определении площади многоугольника
с помощью циркуля и линейки путем разбиения его на ряд
треугольников. Подробности см. в разделе 10.5.
Еще один пример (эффектный!) использования среднего
пропорционального связан с так называемой «задачей галантерейщика», которая была предложена в начале ХХ века автором многих математических головоломок Генри Дьюдени
и известна как головоломка «Разрезание Дьюдени». В ней шла
речь о разрезании правильного треугольника на четыре части,
из которых следовало собрать квадрат. Решение этой непрос
той головоломки приведено в главе 9.
Теперь – несколько задач с использованием среднего пропорционального для самостоятельного решения.
https://liveinternet.club
274
Глава 8
Задача 1
Дан прямоугольник. Построить равновеликий с ним квад
рат.
Комментарии к решению
Установите, чему должна быть равна сторона квадрата.
Задача 2
Дан треугольник. Построить равновеликий с ним квадрат.
Найдите два варианта решения.
Задача 3
Даны квадрат ABCD и отрезок АE (рис. 8.8). Построить равновеликий с квадратом прямоугольник, сумма длины и ширины которого равна АЕ.
B
A
C
D
E
Рис. 8.8
Комментарии к решению
Данная задача является «обратной» задаче 1. Здесь известно значение среднего пропорционального (сторона квадрата)
а и следует найти два таких отрезка (стороны прямоугольника) b и h, для которых b + h = AE и a = b · h.
А теперь – более сложные задачи (они представлены в книге [5]).
Требуется треугольник разделить, например, на две части,
площади которых составляют 1/5 и 4/5 общей площади, причем граница частей должна быть параллельна одной из сторон. Беретесь ли вы, читатель, решить такую задачу? А как
https://liveinternet.club
275
Среднее пропорциональное и геометрия
разделить треугольник на семь равных по площади частей,
при этом границы частей также должны быть параллельны
одной из сторон?
Прежде чем описывать решение указанных задач, обсудим
вопрос: «Как отношение площади треугольника DEC к площади треугольника АВС зависит от отношения размеров DC и AC
(см. рис. 8.9)?»
C
E
D
A
B
Рис. 8.9
Найдите ответ самостоятельно, после чего сравните его
с приведенным ниже.
Это значит, что для того чтобы площадь треугольника DEC
была равна, например, половине площади треугольника АВС,
нужно, чтобы отношение
было равно
для
должно быть равно
– отношение
(в общем случае
). Иначе
говоря, нужно получить отрезок DC, в 2 раз меньший стороны AC (в общем случае – в n меньший).
Но как построить такой отрезок? Здесь, так сказать,
«и припоскольку
треходит на помощь» среднее пропорциональное,
буемое значение DС =
можно записать как
https://liveinternet.club
276
Глава 8
Значит, чтобы построить отрезок DС, надо найти среднее
пропорциональное отрезка AC (рис. 8.9) и отрезка, в n раз
меньшего.
Последнюю задачу нужно решить путем геометрических
построений. Для этого можно использовать один из двух методов построения отрезка, равного среднему пропорциональному двух заданных отрезков, описанных выше.
Пример разделения треугольника на три равные по площади части показан на рис. 8.10.
Рис. 8.10 [5]
Задача решается следующим образом:
1) сторона АС делится на три равные части в точках Е и D;
2) для отрезков АЕ и АС находится их среднее пропорциональное;
3) найденный отрезок откладывается от точки А (AF);
4) находится среднее пропорциональное отрезков АD и АС;
5) найденный отрезок (AG) показывает точку G второй разделяющей треугольник линии (обе разделяющие линии
HF и IG проводятся с помощью линейки и чертежного
треугольника).
Нетрудно убедиться, что описанным методом можно решать аналогичные задачи разделения треугольника на любое
(!) число равных по площади частей и на любое (!) число час
тей с заданным отношением их площадей.
https://liveinternet.club
Среднее пропорциональное и геометрия
277
Задания
3. Опишите алгоритм решения с помощью циркуля и линейки задачи разделения треугольника на три части, площади которых составляют 2/7, 2/7 и 3/7 общей площади, причем
границы частей должны быть параллельны одной из сторон
треугольника.
4. Ответьте на вопросы: «Какая задача решалась на
рис. 8.11? Как?»
Уточнение: BI = OB/3 (следует иметь в виду, что на рис. 8.11,
как и в книге [5] на аналогичном рисунке, пропорции размеров не соблюдены).
Рис. 8.11 [5]
Приведем другие задачи, решаемые с использованием
среднего пропорционального [5].
Задача 4
Построить равносторонний треугольник, равновеликий
с заданным квадратом. Можно использовать транспортир.
Комментарии к решению
Установите зависимость стороны равностороннего тре
угольника, равновеликого с заданным квадратом, от размера
стороны этого квадрата и представьте эту зависимость в виде
среднего пропорционального. Затем следует определить, как
https://liveinternet.club
278
Глава 8
получить отрезки, равные значениям в среднем пропорциональном.
Задача 5
Построить равносторонний треугольник, равновеликий
с заданным треугольником.
Задача 6
Дан треугольник АВС (рис. 8.12). Разделить его на две равновеликие части так, чтобы линия их разделения была перпендикулярна стороне АC.
B
A
C
Рис. 8.12
Задача 71
В треугольнике АВС (рис. 8.13) отделить часть, равновеликую с треугольником DEF и примыкающую к стороне ВС.
E
B
D
F
A
C
Рис. 8.13
1
Эта задача (в ней среднее пропорциональное не используется)
является вспомогательной для решения следующей.
https://liveinternet.club
Среднее пропорциональное и геометрия
279
Задача 8
В треугольнике АВС (см. рис. 8.14) провести линию, отделяющую в нем часть, равновеликую с треугольником DEF и параллельную стороне АС.
В заключение заметим, что понятие с исторически сложившимся названием «среднее геометрическое»», как ни странно,
с геометрией не связано, а понятие «среднее пропорциональное» (частный случай среднего геометрического), как видно
из приведенных примеров, – связано…
Литература
1. Среднее геометрическое // РУВИКИ. https://ru.ruwiki.ru/wiki/
Среднее_геометрическое.
2. Геометрия: 7–9 классы / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. М.: Просвещение, 2025.
3. Среднее геометрическое чисел – формула и примеры //
https://statanali8.info/statistica/opisanie-dannyx/srednee-geometricheskoe-chisel-formula-i-primery/.
https://liveinternet.club
280
Глава 8
4. Что такое среднее геометрическое и как его находить? //
https://1stalin.ru/finansy/cto-takoe-srednee-geometriceskoe-i-kakego-naxodit.
5. Курганов Н. Г. Генеральная геометрия, или Общее измерение протяжения, составляющее теорию и практику оной
науки: сочиненная для учащагося в Морском шляхетном
кадетском корпусе благороднаго юношества, капитанскаго
ранга математических и навигацких наук учителем Николаем Кургановым. СПб., 1765.
6. Colberg P. J. Opisanie skladu i uzycia Planimetru. Sylwan, 1820.
7. Буркхард фон Пюркенштейн. Приемы циркуля и линейки /
пер. Я. В. Брюса, дополненный задачами по геометрии
Я. В. Брюса. 1709.
Ответы к главе 8
Доказательство к примеру 3
Дополним рис. 8.2 (см. рис. О1).
O
A
C
B
K
D
Рис. О8.1
Треугольник СОD – прямоугольный (убедитесь в этом!).
В нем высота ОK =
(см. рис. 8.1). Так как СK = АС
и KD = ВD, а ОК – радиус окружности, то ОK =
.
https://liveinternet.club
281
Среднее пропорциональное и геометрия
Доказательство к примеру 4
Дополним рис. 8.3 (см. рис. О8.2).
A
B
C
O1
R
r
O2
Рис. О8.2
Проведем отрезок О2С, параллельный касательной АВ.
В прямоугольном треугольнике О1СО2:
О1О2 = R + r;
CО1 = R – r;
(CO2)2 = (O1O2)2 - (CO1)2 = 4Rr;
CO2 =
AB = CO2 =
Доказательство к примеру 5
Дополним рис. 8.4 – соединим точку C с точками D и В (см.
рис. О8.3). Треугольники ACB и АCD подобны, так как угол A
у них общий, а угол AСD (угол между касательной и хордой1)
равен углу CBA (вписанный угол2). Из пропорции
следует: AC =
1
2
Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между ними.
Вписанный угол CBD равен половине дуги, заключенной между
ними.
https://liveinternet.club
282
Глава 8
A
D
C
B
Рис. О8.3
Доказательство к примеру 6
Дополним рис. 8.5 (см. рис. О8.4).
B
b
C
O
A
a
D
Рис. О8.4
Обозначим k отношение a/b, а площадь треугольника ВОС –
S. Тогда можем записать:
1) SAOD = S × k2 (отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента пропорциональности
фигур);
2) SAВO = S × k (треугольники ВОС и АВО имеют общую высоту, а АО = OС × k);
3) SDOC = S × k (по аналогичной причине).
Это значит, что SВOС × SAOD = S2 × k2, то есть SDOC =
https://liveinternet.club
283
Среднее пропорциональное и геометрия
Ответ к заданию 1
14,6 %.
Ответ к заданию 2
На рис. 8.7 равнобедренные треугольники АВЕ (АВ = АЕ)
и СВЕ (СЕ = ВЕ) подобны, так как угол В у них общий. В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны,
то есть АВ : ВЕ = ВЕ : ВС, откуда BE =
Ответ к задаче 1
Сторона квадрата должна быть равна среднему пропорциональному размеров заданного прямоугольника. Самый
удобный в данном случае способ получить отрезок, равный
среднему пропорциональному двух заданных отрезков, согласно [1], следующий (см. рис. О8.5):
на продолжении стороны AD отложить отрезок DE, равный CD;
найти середину О отрезка АЕ;
из точки О радиусом ОЕ провести дугу;
продлить сторону CD до пересечения с дугой в точке F.
Полученный отрезок FD будет стороной искомого квадрата.
Дальнейшее решение очевидно.
F
B
A
C
O
D
E
Рис. О8.5
Несколько отвлекаясь, заметим, что решение данной задачи было представлено в первом русском учебнике геометрии
[7] (см. рис. О8.6).
https://liveinternet.club
284
Глава 8
Рис. О8.6
В его особенностях предлагаем читателям разобраться самостоятельно.
Ответ к задаче 2
Задача решается аналогично. Сторона искомого квадрата
равна среднему пропорциональному основания заданного
треугольника и половины его высоты или среднему пропорциональному половины основания заданного треугольника
и его высоты.
Ответ к задаче 3
На отрезке АЕ как на диаметре построить окружность и из
точки F ее пересечения с квадратом опустить перпендикуляр
на АЕ (см рис. О8.7). Отрезки AG и GE будут искомыми для построения прямоугольника GHIE (GH = AG).
F
B
C
I
H
Рис. О8.7
https://liveinternet.club
285
Среднее пропорциональное и геометрия
Ответ к заданию 3
Основные этапы алгоритма (см. рис. О8.8):
разделить сторону АВ на 7 равных частей;
построить отрезок, равный среднему пропорциональному отрезков АВ и BD (BD = 2/7 AB);
отложить от его вершины В отрезок BF;
построить отрезок, равный среднему пропорциональному отрезков АВ и BE (BE = 4/7 AB);
отложить от его вершины В отрезок BG;
через точки F и G провести прямые, параллельные стороне АС.
B
D
E
F
G
A
C
Рис. О8.8
Ответ к заданию 4
Рисунок иллюстрирует решение задачи построения пятиугольника, подобного заданному пятиугольнику ABCDE
и имеющему площадь, в три раза меньшую (точка О может
находиться в любом месте). После нахождения среднего пропорционального BS отрезков ОB и BI строится пятиугольник
(сначала откладывается отрезок ON = BS, после чего проводятся все стороны требуемой фигуры).
https://liveinternet.club
286
Глава 8
Ответ к задаче 4
Так как площадь равностороннего треугольника равна 3/4 b2,
где b – его сторона, то b2 = 4a2/ 3, где а – сторона квадрата.
Выражение справа от знака равенства можно записать в виде
2а × 2a/ 3. Это значит, что b есть среднее пропорциональное
двух значений: 2а и 2a/ 3.
Но как получить отрезок, равный 2a/ 3? В последнем выражении можно увидеть синус 60°. Это значит, что отрезок,
равный 2a/ 3, есть сторона равностороннего треугольника
с высотой, равной a (убедитесь в этом!). Как построить соответствующий треугольник, установите самостоятельно.
После этого сторону искомого равностороннего треугольника b можно получить как среднее пропорциональное найденного отрезка и отрезка, равного 2а (также по методике,
проиллюстрированной на рис. 8.6 или 8.7).
Дальнейшие построения нужной фигуры достаточно очевидны.
Здесь же заметим, что в книге [5] приводится решение данной задачи, в котором все построения проводятся с использованием заданного квадрата ABCD (см. рис. О8.9):
на стороне АВ квадрата строится равносторонний треугольник АВЕ;
сторона АЕ этого треугольника продлевается до пересечения ее с квадратом в точке F.
Рис. О8.9 [5]
https://liveinternet.club
Среднее пропорциональное и геометрия
287
Полученный отрезок AF будет равен 2AB/ 3 (убедитесь
в этом!).
После нахождения среднего пропорционального отрезков
AF и отрезка, в два раза большего стороны АВ, будет найдена
сторона искомого равностороннего треугольника (на рис. О8.9
это отрезок AG). Искомый равносторонний треугольник может
быть построен как подобный имеющемуся треугольнику АВЕ.
Ответ к задаче 5
Так как площадь равностороннего треугольника равна
3/4 b2, где b – его сторона, то b2 = 2ah/ 3, где а – основание
заданного треугольника, h – его высота. Выражение справа
от знака равенства можно записать в виде а × 2h/ 3. Это значит, что b есть среднее пропорциональное двух значений: а и
2h/ 3. Как получить отрезок, равный 2h/ 3, а затем отрезок b
и с его использованием построить искомый треугольник, установите самостоятельно.
Здесь же заметим, что в упоминавшейся книге [5] приводится решение данной задачи, в котором все построения проводятся с использованием заданного треугольника АВС (см.
рис. О8.10):
строится равносторонний треугольник АЕВ;
через вершину С проводится прямая, параллельная стороне АВ;
Рис. О8.10 [5]
https://liveinternet.club
288
Глава 8
на стороне ВЕ как на диаметре проводится полуокружность;
из точки F восстанавливается перпендикуляр к ВЕ.
Отрезок GB будет стороной искомого равностороннего треугольника. Докажите это.
Комментарий к доказательству: вспомните зависимость
катетов прямоугольного треугольника от гипотенузы и их
проекций на гипотенузу.
Ответ к задаче 6
Пусть линия разделения искомых частей – KL (рис. О8.11).
Определим положение точки L.
Площадь треугольника АВС должна быть в два раза больше
площади треугольника AKL, то есть АС × BD = 2AL × KL.
Так как треугольники ABD и AKL подобны, то можем записать:
Из двух приведенных соотношений можно получить AL2 =
, то есть искомое значение AL есть среднее пропорциональное двух отрезков – AС и половины отрезка AD. Построив, как и ранее, среднее пропорциональное,
можно провести дальнейшие геометрические построения.
B
K
A
L
D
C
Рис. О8.11
Ответ к задаче 7
Опустим высоты СН и FG (см. рис. О8.12).
https://liveinternet.club
289
Среднее пропорциональное и геометрия
Зададимся вопросом: «Каким должно быть основание некоторого треугольника, высота которого равна СН, и равновеликого с заданным треугольником DEF?» Ответ можно получить,
найдя четвертый пропорциональный отрезок для высот СН
и FG и стороны DE (вспомните или узнайте, как это сделать).
Отложив его от вершины В на стороне АВ (отрезок BK) и соединив точку К с вершиной С, получим искомый треугольник ВСК.
E
G
H
B
K
D
F
A
C
Рис. О8.12
Можно было также в треугольнике АВС опустить высоту из
вершины В.
Ответ к задаче 8
При решении предыдущей задачи был получен отрезок ВК
и треугольник ВСК, равновеликий с заданным треугольником
DEF. В данном случае линия разделения должна быть параллельной стороне АС. Через какие точки на сторонах АВ и ВС
должна пройти эта линия?
Для ответа вспомним задачи разделения треугольника на
части определенной площади (см. рис. 8.9 и 8.10).
Когда место разделения треугольника находилось с помощью расчета среднего пропорционального некоторого отрезка и в n раз меньшего, какая часть общей площади отделялась
от вершины треугольника? – 1/n-я. Это значит, что именно
размер меньшего отрезка определял результат.
С другой стороны, решив задачу 7, мы можем узнать, какую часть общей площади занимает полученный треугольник DEF, – она равна отношению
.
https://liveinternet.club
290
Глава 8
Значит, для разделения треугольника согласно условию, как
и в рассмотренных ранее задачах, нужно найти среднее пропорциональное отрезков АВ и KB. На рис. О8.13 этот отрезок –
ВМ. Отложив его, можно провести отрезок MN.
H
B
K
M
N
A
C
Рис. О8.13
https://liveinternet.club
Глава 9
Трудные и «нерешаемые»
задачи
9.1. Соединить две точки
Даны две точки, расстояние между которыми больше длины линейки без масштабных делений в 1,5 раза. Используя
циркуль и линейку без масштабных делений, соединить их
прямой.
9.2. Продлить отрезок
Дан отрезок АВ (см. рис. 9.1). Используя циркуль
и линейку без масштабных делений, продлить его
в сторону точки В. Продолжить линейкой отрезок
выше точки В, приложив ее к отрезку, нельзя.
9.3. Построение перпендикуляра.
Трудный случай
Рис. 9.1
О том, как с помощью циркуля и линейки без масштабных
делений построить прямую, проходящую через данную точку
https://liveinternet.club
292
Глава 9
М на прямой а и перпендикулярную этой прямой, рассказывается, например, в учебнике [1]. Напомним методику такого
построения (cм. рис. 9.2).
На лучах прямой а, исходящих из точки М, откладываются равные отрезки МА и МВ. Затем строятся две окружности
радиуса АВ с центрами А и В, которые пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через эти точки, – перпендикуляр к а.
P
M
A
a
B
Q
Рис. 9.2 [1]
А если точка M находится близко к левому нижнему углу
листа бумаги, как на рис. 9.3? Как построить перпендикуляр
в таком случае?
M
a
Рис. 9.3
9.4. Как определить высоту башни?
Однажды в древности понадобилось узнать высоту башни
(см. рис. 9.4), используя средства для определения расстояния
https://liveinternet.club
293
Трудные и «нерешаемые» задачи
(типа рулетки) и простейшие приспособления (рейки, стержни и т. п.). Как бы решали задачу вы? Опишите два варианта:
1) определение высоты башни без учета конической крыши;
2) определение высоты башни с учетом крыши.
Рис. 9.4 [2]
9.5. Охрана секретного объекта
На одном секретном объекте начальник охраны должен был
установить по периметру объекта забор с током высокого напряжения, чтобы никто не пробрался внутрь. Но объект был
настолько секретным, что даже размеры здания были засек
речены. Были известны размеры только трех стен из восьми
(см. рис. 9.5).
50 м
50 м
30 м
Рис. 9.5
https://liveinternet.club
294
Глава 9
Может ли начальник охраны определить периметр объекта
или это невозможно с такими неполными данными?
9.6. Чему равен x?
В прямоугольной трапеции, высота которой равна трем условным единицам длины, площадь светло-серой области на
шесть квадратных единиц больше, чем площадь темно-серой
(рис. 9.6). Можно ли определить, чему равен размер x, или
данных для этого не хватает?
B
x
C
O
A
3
D
Рис. 9.6
9.7. Восемь фигур
Чтобы решить приведенные ниже задачи, читателю придется
провести своеобразные мини-исследования.
9.7.1. Фигура 1
Фигура на рис. 9.7 имеет площадь 5 см2 и ширину 2 см, угол
в верхней вершине – прямой.
Рис. 9.7
https://liveinternet.club
295
Трудные и «нерешаемые» задачи
Ее можно разделить на три части, из которых собрать квадрат.
Прежде всего можно установить размеры заданной фигуры.
Ее боковые стороны имеют длину 2 см, высота фигуры – 3 см.
Сторона искомого квадрата равна 5. Такой отрезок можно
построить, соединив вершину Е с серединой F стороны АВ (см.
рис. 9.8).
Отрезок такой же длины соединяет точки F и С (убедитесь
в этом!) – см. рис. 9.9.
Разрезав фигуру по построенным отрезкам на три части,
можно собрать искомый квадрат (рис. 9.10).
C
C
B
D
F
D
B
F
A
E
E
A
Рис. 9.8
Рис. 9.9
Рис. 9.10
9.7.2. Три фигуры
Каждая из приведенных на рис. 9.11 фигур имеет площадь
5 см2 и ширину 2 см и может быть разделена на три части, из
которых можно собрать квадрат. Как именно?
Фигура 2
Фигура 3
Рис. 9.11
Фигура 4
https://liveinternet.club
296
Глава 9
9.7.3. Фигура 5
Фигура на рис. 9.12 имеет площадь 5 см2 и габаритную ширину 5 см. При каких остальных размерах этой фигуры можно,
разрезав ее на две части, как показано на рис. 9.13, собрать из
них квадрат?
Рис. 9.12
Рис. 9.13
9.7.4. Фигура 6
Общая ширина параллелограмма на рис. 9.14 равна 3 см,
а площадь – 5 см2. В каком случае (при каких размерах параллелограмма) можно, разрезав его на две части, как показано
на рис. 9.15, собрать из них квадрат? Где должна находиться
точка Е?
Рис. 9.14
Рис. 9.15
9.7.5. Фигура 7
Ширина прямоугольника на рис. 9.16 равна 2,5 см, а площадь – 5 см2. При каком положении точки Е можно, разрезав
его на три части, как показано на рис. 9.17, собрать из них
квадрат? Почему собранная фигура действительно будет квад
ратом?
https://liveinternet.club
297
Трудные и «нерешаемые» задачи
E
B
C
F
A
D
H
G
Рис. 9.16
Рис. 9.17
9.7.6. Фигура 8
Фигура на рис. 9.18 имеет площадь 5 см2 и высоту 2 см. Она
может быть разделена на четыре части, из которых можно собрать квадрат. Как именно? Каковы остальные размеры этой
фигуры?
Рис. 9.18
9.8. Как разделить прямоугольный лист
бумаги на три части?
Разделить прямоугольный лист бумаги пополам без линейки с масштабными делениями, а используя только сгибание
листа и, естественно, ножницы – легко. А как решить задачу,
если нужно разделить лист вдоль его длинной стороны на три
части (см. рис. 9.19)?
За минимальное число сгибаний бумаги задача решается
следующим образом.
1. Сделать диагональный сгиб ВD и оставить лист сложенным (см. рис. 9.20, оборот листа оттенен).
https://liveinternet.club
298
Глава 9
B
C
A
D
Рис. 9.19
2. Сложить бумагу так, чтобы углы С и А (А′) лежали на
ВD (рис. 9.21), а затем развернуть лист (рис. 9.22). Будут
видны три сгиба – GH, BD и EF.
3. Сделать сгиб FC (рис. 9.23).
Требуемое решение получается путем складывания бумаги
параллельно ее короткой стороне через точки пересечения
сгибов GH и FC, а также BD и FC (рис. 9.24).
Итого – пять сгибаний листа.
B
C
B
C
A′
D
Рис. 9.20
A′
D
Рис. 9.21
https://liveinternet.club
299
Трудные и «нерешаемые» задачи
B
G
E
C
B
H
A
F
D
G
E
C
B
H
A
Рис. 9.22
F
D
Рис. 9.23
G
E
C
H
A
F
D
Рис. 9.24
Вопрос 1
Почему полученные три маленьких прямоугольника будут
иметь высоту, равную трети высоты заданного прямоугольника?
В случае, когда соотношение сторон прямоугольника известно, может потребоваться меньше сгибов. Например, для
листов бумаги формата А4 (см. главу 4) со сторонами в соотношении 2 : 1 аналогичная задача решается за меньшее число
сгибаний листа следующим образом.
Делается диагональный сгиб ВD, после чего лист разворачивается (рис. 9.25):
B
C
A
D
Рис. 9.25
https://liveinternet.club
300
Глава 9
Лист сгибается так, что угол D переходит на диагональный
сгиб в точку D′ (рис. 9.26), и также разворачивается (появится
сгиб АЕ – см. рис. 9.27). Точка пересечения M сгибов АЕ и ВD
покажет место отделения нижней трети листа (рис. 9.28).
B
C
B
C
B
D′
A′
E
A
M
A
Рис. 9.26
C
D′
E
E
D
Рис. 9.27
Рис. 9.28
После ее сгибания можно отделить и верхнюю треть A′BCD′
заданного прямоугольного листа.
Итого – четыре сгибания листа.
Вопрос 2
Почему и в данном случае полученные прямоугольники
будут иметь высоту, равную трети высоты заданного прямоугольника?
9.9. Две задачи для землемера
Построение треугольника по двум сторонам и углу, расположенному не между
ними, в общем случае невозможно.
Утверждение в геометрии
Однажды в XIX веке землемеру нужно было решить две задачи
по построению на карте в заданном масштабе копий участков
земли после измерения их размеров на местности.
https://liveinternet.club
301
Трудные и «нерешаемые» задачи
9.9.1. Задача 1. Построить копию участка земли
в виде треугольника
Землемер на местности измерил расстояния между точками А и В и точками В и С и угол С (рис. 9.29). Можно ли было
после этого построить на карте соответствующий треугольник
или ему понадобилось бы измерять еще одну характеристику
участка (расстояние АС, угол А или угол В)?
C
A
B
Рис. 9.29
9.9.2. Задача 2. Построить копию участка земли
в виде пятиугольника
Землемер измерил диагонали АС и AD участка, а также углы
AED и CED (рис. 9.30).
C
B
D
А
E
Рис. 9.30
Смог бы он решить задачу, измерив еще три элемента пятиугольника (стороны, диагонали или углы при вершинах и их
части, разделенные диагоналями)?
https://liveinternet.club
302
Глава 9
9.10. Еще две задачи для землемера
Задача 3
Когда-то в XIX веке землемеру потребовалось определить
расстояние между двумя объектами А и В, которые были видны, но недоступны.
Рис. 9.31 [4]
Казалось бы, что задача – нерешаемая. Однако это не так.
Землемер решил ее следующим образом:
1) выбрал некоторые доступные точки F и G и на продолжениях линий AF и BG, которые «изобразил» с помощью
веревок, выбрал некоторые точки С и Е;
2) в середине отрезка СЕ отметил точку D, через которую
провел, опять же – с помощью веревок, два отрезка (см.
рис. 9.32):
– FI так, что FD = DI;
– GH так, что GD = DH.
https://liveinternet.club
303
Трудные и «нерешаемые» задачи
A
B
F
G
D
C
E
H
I
Рис. 9.32
Далее через точки E и I натянул веревку и на продолжении
линии EI нашел такую точку L, которая лежала на продолжении линии AD. Аналогично для другого направления построил
точку К (см. рис. 9.33).
A
B
F
G
D
C
H
E
I
K
L
Рис. 9.33
Можно доказать, что расстояние между точками K и L равно
искомому расстоянию АВ. Предлагаем читателям сделать это.
https://liveinternet.club
304
Глава 9
Задача 4
Впоследствии землемер столкнулся с аналогичной задачей,
но описанную методику применить не мог, так как при построениях точки К и L оказались недоступными. Тогда он поступил по-другому.
После построений, показанных на рис. 9.32, но без получения точек К и L, он отложил (см. рис. 9.34):
отрезок Da, равный СD/4;
отрезок Dd, равный aD;
отрезок Db, равный HD/4;
отрезок De, равный DI/4.
Рис. 9.34 [4]
Продлив ab и de, землемер получил точки с и f. В результате
был получен отрезок сf, в четыре раза меньший искомого расстояния АВ. Почему – также установите самостоятельно.
9.11. Лес между точками. Задача 21
Геодезисту в древности надо было определить расстояние
между точками А и D, лежащими на одной прямой c отрезком
АВ (см. рис. 9.35), но разделенными лесным массивом М, из-за
чего точка D не видна из точек А и В. Но, в отличие от задачи 2.33, условия местности не позволяли ему провести линию
EF, параллельную прямой, на которой лежат точки А, В и D (см.
рис. О2.21), ни «снизу», ни «сверху» от нее.
1
См. задачу 2.38.
https://liveinternet.club
305
Трудные и «нерешаемые» задачи
A
B
D
Рис. 9.35
Казалось бы, задача – нерешаемая. Однако геодезист, используя эккер (см. задачу 2.33), а также веревку, рулетку
и вехи, решил ее следующим образом.
Он нашел такие доступные точки Е и F, что отрезки АЕ и AF
образуют с АВ один и тот же угол α (см. рис. 9. 36). Геодезист
измерил эккером этот угол и угол β (∠AFE) в точке F.
Затем, определив с помощью эккера в точках Е и F направления, образующие с ЕF угол α, он нашел точку их пересечения
C. После этого он в точке С установил угол β и на соответствующем направлении нашел точку G на линии EF. Эта точка
будет лежать также на линии, на которой лежат точки А и D!
(Почему?) В результате могло быть рассчитано расстояние AG,
а после измерения расстояния GD найдено искомое расстояние AD.
Как геодезист определил расстояние AD?
https://liveinternet.club
306
Глава 9
E
A
B
G
D
C
F
Рис. 9.36
9.12. «Нерешаемая» (?) головоломка
1 февраля 1905 года в лондонской газете «Daily mail» была
опубликована головоломка, в которой требовалось, разрезав
равносторонний треугольник на четыре части, собрать из них
квадрат. Она была предложена автором многих математических головоломок Генри Дьюдени. Позже эта головоломка
вошла в книгу Дьюдени «Кентерберийские головоломки» [5]
под названием «Задача галантерейщика». Один из героев книги – галантерейщик, достав кусок материи в форме равностороннего треугольника, говорит своим собеседникам: «Есть ли
среди вас кто-нибудь, кому приходилось бы раскраивать материю? Побожусь, что нет. Каждый умеет что-то свое, и школяр
может чему-нибудь поучиться у простолюдина, а мудрец у дурака. Покажите мне, если умеете, каким образом этот кусок
https://liveinternet.club
Трудные и «нерешаемые» задачи
307
материи можно разрезать на четыре части так, чтобы потом
из них удалось составить правильный1 квадрат».
Рис. 9.37 (иллюстрация из книги [5])
Так как сторона b искомого квадрата связана со стороной а
заданного треугольника следующим образом: b =
, то ка-
жется, что построение квадрата с такой стороной невозможно,
то есть головоломка – нерешаемая2. Но это не так. Вот решение
Дьюдени (см. рис. 9.38): «Разделим AB пополам в точке D, а ВС
в точке Е. Продолжим прямую АЕ до точки F так, чтобы EF
равнялось ЕВ. Разделим пополам AF в точке G и проведем ду
гу AНF. Продолжим ЕВ до точки Н; ЕН как раз и равно стороне
искомого квадрата. Из Е как из центра радиусом ЕН опишем
дугу HJ и отложим отрезок JK, равный BE. Теперь из точек D
и К опустим перпендикуляры на EJ с основаниями в точках L
и М» [5–6].
1
2
Так в [5]. – Авт.
Галантерейщик из книги Дьюдени «после долгих увиливаний признался, что не умеет решать эту задачу ни для какого числа час
тей» [5].
https://liveinternet.club
308
Глава 9
H
B
F
1
D
2
A
E
G
L
J
M
3
4
K
C
Рис. 9.38
(чертеж из книги [6], основанный на книге [5])
Разрезав треугольник вдоль отрезков JE, DL и KM, из полученных частей 1, 2, 3, 4, можно собрать квадрат (рис. 9.39).
3
4
1
1
2
4
2
3
Рис. 9.39 (иллюстрации из книги [6])
К сожалению, ни Дьюдени, ни известный популяризатор
математики Мартин Гарднер, автор книги [6], первым рассказавший о творчестве Генри Дьюдени и об обсуждаемой
головоломке, не приводят подтверждения того, что в результате указанного разделения треугольника и сборки его частей
полученная фигура будет прямоугольником с равными сторонами. Автору не удалось обнаружить такое доказательство
и в современных публикациях. Приведем его.
После построений, представленных на рис. 9.38, отрезок ЕН
будет являться стороной искомого квадрата. Дело в том, что
сторона b этого квадрата связана со стороной а заданного
треугольника следующим образом: b =
можно представить так:
. Эту зависимость
, то есть в виде среднего про-
https://liveinternet.club
309
Трудные и «нерешаемые» задачи
порционального
. Построения Дьюдени как раз и соот-
ветствуют известному построению среднего пропорционального отрезков (см. главу 8), длины которых равны указанным
значениям (АЕ и EF).
H
B
F
G
E
A
C
Рис. 9.40
При дальнейших построениях EJ = EH = b.
Сравним исходный треугольник с полученной согласно
рис. 9.35–9.36 фигурой (см. рис. 9.41).
M
B
J
E
D
M
J
M
D
K
K
L
L
A
ABC
C
E
L
Рис. 9.41
Прежде всего обратим внимание на то, что в полученной
фигуре углы в точках L и М – прямые по построению.
Докажем, что на рис. 9.41 справа сумма отрезков, образующих каждую сторону фигуры, равна b:
https://liveinternet.club
310
1)
2)
3)
4)
Глава 9
2KM = b;
2DL = b;
LJ + JM = b;
ME + EL = b.
Доказательство
1) sin(EJC) =
В прямоугольном треугольнике JMK: KМ = JK × sin(EJC) =
Значит, 2KM = b.
2) Прямоугольные треугольники DEL и JMK равны, следовательно, DL = KM = b/2, то есть 2DL = b.
3) Из отмеченного равенства треугольников DEL и JMK
следует, что JM = EL, выходит: JL = ME. Так как JM + ME = b, то
и JM + JL = b.
4) Поскольку EL + LJ = b, а LJ = ME (см. чуть выше), то
и EL + ME = b.
После этих доказательств начнем собирать новую фигуру
так, как показано на рис. 9.39.
Совместим вырезанные части 4 и 3 исходного треугольника.
Для наглядности расположим часть 4 так, что ее прямой угол
будет слева внизу (см. рис. 9.42), и приложим к ней часть 3.
Сумма углов в точке К равна 180º (это следует из рис. 9.39
слева). Так как МК + KM = b, то отрезок ММ равен стороне искомого квадрата.
J
E
M
K
M
Рис. 9.42
Приставим к части 4 часть 1 (рис. 9.43).
https://liveinternet.club
311
Трудные и «нерешаемые» задачи
L
D
J
E
M
K
M
Рис. 9.43
Поскольку сумма углов в точке Е равна 180º (это также следует из рис. 9.36 слева), а EL + ME = b, то отрезок МL является
второй стороной искомого квадрата.
Далее, так как LD + DL = b и MJ + JL = b, то при добавлении
к фигуре на рис. 7 части 2 треугольника точка L темно-серой
части будет вершиной искомого квадрата (рис. 9.44).
L
D
J
E
M
L
K
M
Рис. 9.44
Итак, вся фигура на рис. 9.41 справа – действительно квад
рат!
Автор уверен: читатели согласятся с существующим мнением, что описанная головоломка, которую называют «Разрезание Дьюдени», относится к лучшим математическим головоломкам всех времен…
9.13. Как построить квадрат?
9.13.1. Задача 1
На рис. 9.45 показан квадрат с вершинами, лежащими на
двух параллельных прямых l и m.
https://liveinternet.club
312
Глава 9
l
m
Рис. 9.45
Как построить квадрат, у которого одна вершина находится
в некоторой точке A между параллельными прямыми l и m,
вторая вершина находится на l и третья вершина находится
на m?
Рассмотрите три варианта расположения четвертой вершины искомого квадрата:
1) между l и m;
2) ниже m;
3) выше l.
9.12.2. Задача 2
На рис. 9.46 показаны две параллельные прямые i и m и точка А, которая выше l. Как построить квадрат с одной вершиной
в точке А, второй на i и еще одной на m?
A
l
m
Рис. 9.46
https://liveinternet.club
313
Трудные и «нерешаемые» задачи
Рассмотрите три варианта расположения четвертой вершины искомого квадрата:
1) ниже m;
2) между m и l;
3) выше l.
9.12.3. Задача 3
Дана точка P между двумя непараллельными прямыми l и m
(см. рис. 9.47). Как построить квадрат, одна из вершин которого – P, а еще две лежат на указанных прямых? Существует
ли более одного квадрата, удовлетворяющих этим условиям?
l
P
m
Рис. 9.47
Литература
1. Геометрия: 7–9 классы / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов,
С. Б. Кадомцев и др. М.: Просвещение, 2025.
2. Аничков Д. С. Теоретическая и практическая геометрия,
в пользу и употребление не токмо юношества, но и тех,
кои упражняются в землемерии. М., 1780.
3. https://30.spb.ru/geometry/points_from_which_segment_visible_at_
given_angle/.
https://liveinternet.club
314
Глава 9
4. Ермаков Н. А. Правила землемерия, или так называемой низшей геодезии, служащие к производству межевых, сельско
хозяйственных и прочих геодезических работ… М., 1853.
5. Дьюдени Г. Э. Кентерберийские головоломки / пер. с англ.
Ю. Н. Сударева. М.: Мир, 1979.
6. Гарднер Мартин. Математические головоломки и развлечения. М.: Мир, 1999.
Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это
теорема Пифагора, а другое – деление отрезка в среднем
и крайнем отношении… Первое можно сравнить с мерой
золота; второе же больше напоминает драгоценный камень.
Иоганн Кеплер (1571–1630),
немецкий математик, астроном, механик,
оптик, первооткрыватель законов движения
планет Солнечной системы
Ответы к главе 9
9.1. Соединить две точки
Из заданных точек А и В провести дуги таким радиусом,
чтобы расстояние между точками С и D их пересечения было
меньше длины линейки (см. рис. О9.1).
C
A
B
D
Рис. О9.1
https://liveinternet.club
315
Трудные и «нерешаемые» задачи
Полученные точки С и D соединить отрезком прямой, который затем разделить на две равные части в точке М:
C
A
M
B
D
Рис. О9.2
Точку М соединить с заданными точками А и В (см. рис. О9.3).
Отрезок АВ будет искомым. Почему?
C
A
M
B
D
Рис. О9.3
9.2. Продлить отрезок
Из точки А провести дугу через некоторую
точку Е (см. рис. О9.4).
Из точки Е на дуге одним и тем же раствором
циркуля сделать засечки (точки C и D).
Из точек C и D провести дуги выше точки В.
Точку I пересечения этих дуг соединить
с точкой В. Отрезок BI будет продолжением
отрезка АВ. Почему?
Рис. О9.4
https://liveinternet.club
316
Глава 9
9.3. Построение перпендикуляра. Трудный случай
Задача решается так (см. рис. О9.5):
1) выбирается точка C выше прямой а;
2) проводится дуга окружности с центром в точке C радиу
са СМ, которая пересекает прямую а в точке D и заканчивается на краях листа бумаги;
3) строится отрезок CD;
4) его продолжают до второго пересечения с дугой в точке E;
5) строится отрезок МF, проходящий через точку Е.
Перпендикуляр к прямой а в точке М построен (почему –
докажите самостоятельно).
F
E
C
M
D
Рис. О9.5
9.4. Как определить высоту башни?
Решение первого варианта задачи
Можно использовать две рейки CE и DF разной высоты
и выбрать два таких места С и D, в которых точки Е, F и точка
В на башне будут находиться на одной прямой (см. рис. О9.6а).
Определив размеры СЕ, DF, CA и CD, можно, учитывая, что
треугольники EFG и ЕВН подобные (рис. О9.6б), рассчитать
значение ВН. Сумма размеров АН (равного СЕ) и ВН будет искомой высотой АВ башни.
В точке С также может стать человек, и, рассматривая высоту его глаз над уровнем земли как указанный выше размер
https://liveinternet.club
317
Трудные и «нерешаемые» задачи
СЕ, можно провести аналогичные измерения и вычисления.
Например1, при СЕ = 1,8 м, DF = 3 м, CA = 21 м, СD = 2,3 м:
GF = 1,2 м,
, откуда ВН =
≈ 12 м, АВ = 1,8 + 12 = 13,8 м.
B
B
F
F
E
H
E
С
D
A
G
С
D
A
а)
б)
Рис. О9.6 [2]
Решение второго варианта задачи
Схема, иллюстрирующая решение, показана на рис. О9.7.
B
K
L
K
B
L
F
H
E
G
C
D
A
а)
б)
Рис. О9.7
1
Значения в метрах указаны условно (метрическая система мер,
в том числе единица измерения длины метр, была допущена
к применению в России в необязательном порядке в 1899 году,
а обязательной стала в 1918 году).
https://liveinternet.club
318
Глава 9
После определения размера НВ аналогично тому, как это
делалось при решении первого варианта задачи (рис. О9.7а),
следует определить также размер LK (учитывая подобие
треугольников EFG и BKL и известный радиус башни – см.
рис. О9.7б). Сумма размеров АН, НВ и LK будет искомой высотой.
9.5. Охрана секретного объекта
На самом деле все данные для решения есть – того, что на
рисунке в задаче, вполне достаточно.
Сначала можно найти общую длину всех «правых» стен объекта – она равна длине «левой» стены, то есть 50 м.
Теперь определим общую длину «нижней» стены и двух
«горизонтальных» стен в «кармане» здания. Начнем с «нижней».
50 м
50 м
30 м
50 м
Рис. О9.8
Длина участка «нижней» стены, расположенного под «верхней», также 50 м (см. рис. О9.8). Но осталась еще часть этой
стены. Как учесть ее?
Если мысленно вырезать эту часть и перенести наверх
к «верхней» стене «кармана» (рис. О9.9), то их общая длина
будет равна длине «нижней» стены «кармана» (30 м).
https://liveinternet.club
319
Трудные и «нерешаемые» задачи
50 м
50 м
30 м
50 м
Рис. О9.9
Это значит, что периметр здания равен: 50 («верхняя» стена) + 50 («левая» стена) + 50 (все «правые» стены) + 50 (часть
«нижней» стены) + 30 («нижняя горизонтальная» стена выреза) + 30 («верхняя горизонтальная» стена «кармана» + часть
«нижней» стены здания) = 260 м.
9.6. Чему равен x?
Можно. Повторим рис. 9.6 (см. рис. О9.10).
B
x
C
O
A
3
D
Рис. О9.10
S∆АОВ = S∆АВD – S∆AОD =
– S∆AОD.
(1)
– S∆ВОС.
(2)
С другой стороны:
S∆АОВ = S∆АВС – S∆ВОС =
https://liveinternet.club
320
Глава 9
Приравняв правые части (1) и (2), получим:
– S∆AОD =
– S∆ВОС,
а после преобразований с учетом того, что по условию S∆AОD –
S∆ВОС = 6:
AD = BC + 4.
Тогда согласно теореме Пифагора: АВ = 5.
Можно было также «использовать» площадь треугольника
CDO.
9.7.2. Три фигуры
Фигура 2
Длина левой боковой стороны заданной фигуры равна 2 см,
правой – 3 см.
Решение показано на рис. О9.11.
Рис. О9.11
Определите положение точек на нижней и правой сторонах, которые принадлежат отрезкам, разделяющим заданную
фигуру.
Фигура 3
Длина левой боковой стороны заданной фигуры 3 см, правой – 1 см, длина верхней стороны – 1 см.
Решение показано на рис. О9.12.
https://liveinternet.club
321
Трудные и «нерешаемые» задачи
Рис. О9.12
Определите положение точки, которая разделяет левую сторону заданной фигуры.
Фигура 4
Длина правой боковой стороны заданной фигуры 4 см, левой – 2 см.
Решение показано на рис. О9.13.
Рис. О9.13
Определите положение точек, которые соединяют отрезки,
разделяющие заданную фигуру.
https://liveinternet.club
322
Глава 9
9.7.3. Фигура 5
Размеры фигуры на рис. О9.14: В = 1 см, ВС = 1 см, CD =
5 см, DF = 1 см, EF = 1 см, FG = 2 см, GH = 5 см, АН = 2 см.
D
C
E
F
G
B
A
H
Рис. О9.14
9.7.4. Фигура 6
В
С
E
А
D
Рис. О9.15
Длина горизонтальных сторон параллелограмма равна
2,5 см, высота – 2 см. АВ = CD = 5 см (как построить отрезок
такой длины?). Точка Е должна принадлежать перпендикуляру, опущенному из вершины В на сторону СD (при этом отрезок СЕ будет находиться в середине стороны CD).
9.7.5. Фигура 7
При ВЕ = 1 см.
Обоснование (см. рис. О9.16)
AE = 5.
https://liveinternet.club
323
Трудные и «нерешаемые» задачи
Из подобия треугольников АВЕ и ADF следует:
Подставив известные размеры, получим
AF =
.
, откуда
. Тогда по теореме Пифагора FD = 5.
FH = AE = 5. GH = FD = 5. Кроме четырех равных сторон,
в фигуре FDGH все внутренние углы – прямые, то есть она –
квадрат.
E
B
C
F
A
D
H
G
Рис. О9.16
9.7.6. Фигура 8
Решение показано на рис. О9.17.
Размеры фигуры (см. рис. О9.18): AB = GH = 1 см, DC = EF =
1 см, BC = FG = 0,5 см, АН = 3 см.
D
B
E
C
F
A
Рис. О9.17
G
H
Рис. О9.18
https://liveinternet.club
324
Глава 9
9.8. Как разделить прямоугольный лист бумаги
на три части?
Вопрос 1
Если опустить перпендикуляр из С на продолжение отрезка
EF (см. рис. О9.19), то в полученном прямоугольном треугольнике катет CI будет разделен на три равные части (это следует
из особенностей «построения» отрезков GH и EF).
B
G
C
K
J
M
I
H
E
N
A
F
D
Рис. О9.19
Поэтому согласно обобщенной теореме Фалеса и СМ = MN =
FN. Это значит, что линии, «проведенные» через точки M и N
параллельно короткой стороне прямоугольника, разделят его
на три равные части.
Вопрос 2
Прежде всего обратим внимание на то, что особенности
«проведения» линии АЕ говорят о том, что все углы в точке
М – прямые (см. рис. 9.27). Это значит, что прямоугольные
треугольники ABМ, AМD и МЕD подобны. Так как у листов формата А4 отношение большей стороны листа к меньшей равно
2, то треугольники ABМ и AМD подобны с коэффициентом
подобия 2. С тем же коэффициентом подобны треугольники
AМD и МЕD. Это значит, что все стороны треугольника AВМ
в два раза больше соответствующих сторон треугольника МЕD,
то есть ВМ = 2MD. Следовательно, MD = 1/3 BD.
https://liveinternet.club
325
Трудные и «нерешаемые» задачи
9.9. Две задачи для землемера
Задача 1
Смог бы. Для этого надо на карте:
построить отрезок аb (см. рис. О9.20);
построить дугу окружности, из точек которой этот отрезок виден под измеренным углом и которая находится
в полуплоскости выше аb (это отдельная задача, решение которой см., например, [3]);
от точки b раствором циркуля, равным bc, сделать на
дуге засечку, которая будет соответствовать вершине с.
После соединения точки с с вершинами а и b будет построен
искомый треугольник.
c
a
b
Рис. О9.20
Задача 2
Для построения копии треугольника ADЕ обязательно нужно знать также стороны АE и ED (два элемента).
Для нахождения вершины С пятиугольника следует знать
размер диагонали EC (третий элемент).
На первый взгляд кажется, что дальнейшее построение пятиугольника без измерений других элементов невозможно.
Однако это не так.
Для построения копии четырехугольника ABCD обязательно нужно знать также (см. рис. О9.21):
стороны АВ и ВС (или два других элемента треугольника
АВС, кроме стороны АС);
сторону CD (или угол CАD).
https://liveinternet.club
326
Глава 9
C
B
D
А
E
Рис. О9.21
После такого построения осталось бы определить положение вершины е. Эту задачу без измерения других элементов
заданного пятиугольника можно решить так.
Отрезки cd и ad построены. Для отрезка cd строится дуга
окружности, из точек которой этот отрезок виден под углом
ced (в полуплоскости ниже под прямой, которой принадлежит
отрезок cd).
Аналогично строится дуга, из точек которой отрезок ad виден под углом аed (в полуплоскости ниже прямой, которой
принадлежит этот отрезок)1. Точка пересечения двух дуг будет
являться вершиной е пятиугольника2.
В заключение заметим, что приведенное в эпиграфе к задачам утверждение о том, что построение треугольника по
двум заданным сторонам и углу, расположенному не между
ними, в общем случае невозможно, естественно, остается
верным.
9.10. Еще две задачи для землемера
Задача 3 (см. рис. О9.22)
Треугольник CDH равен треугольнику DGE (угол GDE равен
углу CDH, CD = DE, DH = DG), а треугольник FCD равен тре
угольнику DEI (по аналогичной причине), следовательно, угол
FCD равен углу DEI, а угол GED равен углу DCH.
1
2
Здесь угол AED тупой.
Пересечение обязательно будет, поскольку строится копия реально существующего пятиугольника.
https://liveinternet.club
327
Трудные и «нерешаемые» задачи
Тогда и треугольник CDK равен треугольнику ВDE, так как
угол EDB равен углу CDK, угол DЕB равен углу KСD и CD = DE.
Поэтому ВЕ = СК.
Треугольник АCD равен треугольнику DLE, поэтому AD = DL.
Следовательно, треугольники KDL и ABD равны, то есть KL = AB.
A
B
F
G
D
C
H
E
I
K
L
Рис. О9.22
Задача 4 (см. рис. О9.232)
Так как треугольники аDc и DBE подобны с коэффициентом
пропорциональности 1:4 (убедитесь в этом!), то Dc = BD/4.
Треугольники Ddf и DBE также подобны, поэтому Df = AD/4.
Значит, подобными являются и треугольники cDf и ADB, то
есть AB = 4cf.
Можно сказать, что решение второй задачи отличается тем,
что строится треугольник, не равный треугольнику ADB, а подобный ему.
Рис. О9.23 [4]
https://liveinternet.club
328
Глава 9
9.11. Лес между точками. Задача 2
На рис. 9.36 треугольник AGF (воображаемый) подобен
треугольнику ECG. Так как сторона FG первого и сторона EG
второго лежат на одной прямой, то угол AGC – развернутый.
Поскольку стороны AG и GC лежат на одной прямой, то и точка
D принадлежит отрезку GC.
Из подобия треугольников AGF и ECG следует
, от-
, AD = AG + GD.
куда AG =
Измерить указанные расстояния возможность у геодезиста
была.
9.12. Как построить квадрат?
9.12.1. Задача 1
Решение для трех указанных в условии вариантов показано
на рис. О9.24–О9.26.
Во всех случаях через точку А проводится общий перпендикуляр MAL к прямым l и m.
l
L
q
B
p
K
p
q
Z
C
q
p
m
M
p
D
Рис. О9.24
q
N
https://liveinternet.club
329
Трудные и «нерешаемые» задачи
l L
r
B
p
K
p
A
q
r+q
m
C
M
D
Рис. О9.25
q
B
r
q
l
r+q
L
C
p
A
r
q
m
M
r
D
Рис. О9.26
q
https://liveinternet.club
330
Глава 9
Обозначим AL = p, AM = q, тогда LM = r = p + q.
На рис. О9.24 строятся отрезки LB = q, BK = p, MD = p, DN = q,
затем CN = p и KC = q.
Построения на рис. О9.25: LB = r, BK = p, MC = r + p и т. д., на
рис. О9.26: MD = r, DN = q, LC = r + q и т. д.
Видно, что три построенных квадрата ABCD имеют вершины на сторонах квадратов со сторонами p + q, r + p, r + q соответственно.
Возможны также аналогичные варианты, построенные слева от MAL.
9.12.2. Задача 2
Решение для трех указанных в условии вариантов показано
на рис. О9.27–О9.29.
Во всех случаях из точки Х опускаетcя перпендикуляр XLM
к 1 и m.
Обозначим отрезки XL – p, XM – q. Тогда LM = r = q – p.
Далее построения аналогичны описанным при решении
предыдущей задачи.
На рис. О9.25: LY = q, MW = p находятся по разные стороны
от LM.
На рис. О9.26: LY = r, MZ = r + p находятся по одну сторону
от LM.
На рис. О9.27: LZ = r + q, MW = r находятся по одну сторону
от LM.
Видно, что три построенных квадрата ABCD имеют вершины на сторонах квадратов со сторонами p + q, p + r, q + r соответственно.
Возможны также варианты квадратов, полученных отражением от MAL, показанных на рис. О9.30–О9.32.
https://liveinternet.club
331
Трудные и «нерешаемые» задачи
p
A
q
p
p
L
q
B
l
q
r
p
m
D
M
C
q
p
Рис. О9.27
A
p
q
r
p
p
L
r
B
l
D
r
p
r
m
r
p
M C
Рис. О9.28
B
q
r
r
q
A
p
r+q
L
C
r
r
l
m
M
r
D
Рис. О9.28
q
https://liveinternet.club
332
Глава 9
X
p
q
p
p
L
Y
l
q
m
q
r
p
W
M
Z
q
p
Рис. О9.30
p
X
r
p
p
L
Y
r
l
W
r
p
r
m
r
M
Z
p
Рис. О9.31
q
Y
r
r
q
X
p
r+q
Z
l
L
r
r
m
M
r
W
q
Рис. О9.32
https://liveinternet.club
333
Трудные и «нерешаемые» задачи
9.12.3. Задача 3
Проведем прямые PN и PM (см. рис. О9.33) перпендикулярно l и m соответственно, а также прямую JK, проходящую
через точку P параллельно m. Отметим отрезок PL = PM вдоль
JK; соединим точки L и N и проведем перпендикуляр PH к LN.
O
l
N
H
J
P
L
R
K
M
S
m
Рис. О9.33
Итак.
Перпендикуляр PH разделяет угол NPL на два угла: NPH(α)
и HPL(β).
Строим углы MPS (α) и NPO (β), вторые лучи которых пересекутся с заданными прямыми соответственно в точках S и O.
Сравним отрезки РО и PS.
PO = PN sec(β). Так как PN = PH sec(α), то PO = PH sec(α)sec(β).
PS = PM sec(α). Так как РМ = PL = PH sec(β), то PS = PH sec(β)
sec(α).
Следовательно, РО = PS.
Определим угол SPO.
∠PON = β по построению.
∠MPS = α по аналогичной причине.
∠SPN = ∠SPL + ∠NPL = (90 – ∠MPS) + ∠NPL = (90º – α) + (β + α)
= 90º + β.
https://liveinternet.club
334
Глава 9
Искомый ∠SPO = ∠SPN – ∠PON = 90º.
Получили, что отрезки PS и РО равны и взаимно перепендикулярны. Это значит, что РО и PS – стороны искомого квадрата
(остальные построения очевидны).
Второй вариант квадрата может быть построен аналогично,
если взять точку L на части PJ прямой JK.
https://liveinternet.club
Глава 10
Думай иначе!
Думай иначе (англ. – Think Different).
Рекламный слоган фирмы Apple.
Использовался в телевизионной
и печатной рекламе
10.1. Площадь треугольника –
лишь одной линейкой!
Оказывается, площадь треугольника можно определить без
расчетов, с помощью одной лишь линейки, но особой. Пусть
необходимо найти площадь треугольника АВС (рис. 10.1).
B
K
A
N
C
Рис. 10.1
Через вершину В проведем прямую BN, параллельную стороне АС. Затем разместим на треугольнике линейку с мас-
https://liveinternet.club
336
Глава 10
штабными делениями так, чтобы начало отсчета на ней совпадало с вершиной А, а вершина С находилась на другой кромке
линейки.
Если ширина линейки равна 2 см, то точка K на шкале, через
которую пройдет проведенная параллельная линия, покажет
значение, численно равное искомой площади (в рассматриваемом случае она равна 12 см2).
Конечно, возникает вопрос – почему? Объяснение очень
простое.
Площадь измеряемого треугольника ABC равна площади треугольника AKС, поскольку у них общее основание АС
и одинаковая высота (так как их высоты расположены между
параллельными прямыми). С другой стороны, площадь тре
угольника AKC равна
, где h – ширина линейки. При h = 2
искомая площадь треугольника ABC равна AK.
Если все три стороны измеряемого треугольника меньше
ширины линейки, можно увеличить все размеры треугольника, например, в два раза и провести соответствующие измерения для нового треугольника. Искомая исходная площадь
будет в четыре раза меньше найденной. И наоборот, если размеры сторон столь велики, что линейку пришлось бы положить слишком наклонно, что затруднило бы построения, то
можно разделить одну из сторон, например, на три равные
части и, достроив меньший треугольник, подобный заданному, измерить его площадь. Искомая общая площадь будет
в девять раз больше. Можно также разбить большой треугольник на несколько меньших и найти площадь каждого.
Первым определять площадь треугольника с помощью линейки определенной ширины предложил в 1841 году россиянин Павел Матвеевич Бибиков. Свой прибор (линейку шириной 2 дюйма1) он назвал «агрометром», так как его основное
назначение – определение площади участка земли на карте2
(см. приложение 1).
1
2
1 дюйм = 2,54 см.
Древнегреческое слово ἀγρός (агрос) означает поле.
https://liveinternet.club
337
Думай иначе
10.2. На складе лимонада
На складе лимонада всегда заполняли ящики с внутренними
размерами 72 см на 72 см бутылками лимонада диаметром
8 см каждая, установленными в один ярус в вертикальном положении, так, что в каждом ящике размещалась 81 бутылка.
Но новый работник склада – недавний выпускник школы, подумав, сказал, что можно и больше. Возможно ли это?
10.3. Как Митя Плотников строил
биссектрису угла
Когда Митя Плотников учился в 7-м классе и узнал об алгоритме построения биссектрисы некоторого угла ВА согласно учебнику [1] (см. рис. 10.2), он опробовал его на практике. После
соответствующих построений Митя измерил транспортиром
углы BAD и САD, которые почему-то немного отличались. Он
пришел к выводу, что причина была в том, что ему пришлось
дважды переставлять циркуль (из точки А в точки В и С) и раствор циркуля при перестановке немного менялся. Митя задумался над тем, а нельзя ли решить задачу, не переставляя
циркуль? Оказалось, что можно.
D
B
A
C
Рис. 10.2
Вот последовательность действий (рис. 10.3):
1) из центра A провести дугу, пересекающую AB в точке D
и AC в точке F;
2) затем из той же точки A любым немного большим радиусом провести дугу, пересекающую AB в точке E и AC
в точке G;
https://liveinternet.club
338
Глава 10
3) построить отрезки DG и EF, которые пересекутся в точке H;
4) соединить точки A и H.
Луч AH будет биссектрисой угла BAC. Почему?
B
E
D
H
A
F
G
C
Рис. 10.3
10.4. Просто, но эффективно
В приложении 1 рассказывается о том, что в XIX веке картографы1 и землемеры при измерении на карте общей площади
участков, имеющих форму многоугольника, разбивали его на
несколько треугольников, после чего путем геометрических
построений заменяли каждый треугольник равновеликим,
имеющим некоторое «базовое» основание. В результате общая
площадь всех треугольников фигуры была равна половине
произведения суммы высот этих равновеликих треугольников
на размер «базового» основания. Для этого было необходимо произвести немало геометрических построений, которые
описаны в приложении 2.
Но задачу определения высоты треугольника с некоторым
«базовым» основанием, равновеликого с заданным треугольником, можно решить с помощью инструмента2, схематическое изображение которого показано на рис. 10.4.
Инструмент представлял собой рамку, выполненную из
меди толщиной один дюйм. Ее длина могла быть любой,
1
2
Картограф – специалист по составлению бумажных (а в настоящее
время и электронных) карт.
Предложивший инструмент российский изобретатель-самоучка
Павел Алексеевич Зарубин назвал его «параллелограмм» [4].
https://liveinternet.club
339
Думай иначе
а ширина равна принятому при построениях «базовому» основанию, например четыре дюйма. Ширина всех полос рамки
равна одному дюйму. При построениях использовалась также
линейка, прикладываемая к рамке справа.
Рис. 10.4
Инструмент использовался следующим образом. Рамка размещалась на измеряемом треугольнике ABC так, что вершины A
и B находились на ее нижней и верхней кромках (см. рис. 10.5,
на котором весь треугольник показан видимым условно).
B
C
A
Рис. 10.5
После этого рамка смещалась по линейке вверх до тех пор,
когда ее нижняя кромка достигнет вершины C. В этом положении нижняя кромка рамки пересекала сторону AB в некоторой
точке d. В результате отрезок Cd соответствовал высоте треугольника, имеющего основание четыре дюйма и равновеликого с заданным треугольником ABC. Докажите это, используя
рис. 10.6, на котором все размеры условно увеличены.
Эффектно, не правда ли? (Сравните с методиками, описанными в приложении 21).
1
Еще одним преимуществом описанного приспособления (кроме
меньшего, чем при применении чертежного треугольника, объема
построений) было то, что при этом вообще не нужно было проводить на карте линии.
https://liveinternet.club
340
Глава 10
e
B
d
A
C
f
Рис. 10.6
Если все стороны измеряемого треугольника были меньше четырех дюймов, то он размещался между внутренними
продольными кромками рамки или под одной из ее длинных
полос (см. рис. 10.7), при этом основание ef аналогичным образом полученного треугольника было равно, соответственно,
два дюйма и один дюйм, что учитывалось при определении
площади.
B
d
C
B
d
A
C
Рис. 10.7 (изображение из [2])
10.5. Определение площади
многоугольника по простой формуле
В работе [3], опубликованной в 1820 году, был описан оригинальный метод решения задачи определения площади
многоугольника, при котором объем вычислений был минимальным. Он был основан на том, что площадь треугольника S
может быть рассчитана как
S = m2/2,
(1)
https://liveinternet.club
341
Думай иначе
где m – среднее пропорциональное основания и высоты треугольника.
Задание
1. Убедитесь в справедливости формулы (1).
Площадь многоугольника определялась следующим образом.
Многоугольник разбивался на ряд треугольников (см.
рис. 10.8).
Рис. 10.8
Проводилась прямая АВ, и в некоторой точке О к ней восстанавливался перпендикуляр (см. рис. 10.9).
M
m1
A
C
a
O
h
D
B
Рис. 10.9
Для каждого треугольника путем геометрических построе
ний определялась величина среднего геометрического его основания а и высоты h:
https://liveinternet.club
342
Глава 10
циркулем измерялись длины a и h;
первая откладывалась по одну сторону от точки О, вторая – по другую;
с помощью так называемого «пропорционального циркуля» (см. раздел 7.1) с соотношением длин ножек 1:2
(рис. 10.10) раствор больших ножек устанавливался
в точках С и D;
в этом состоянии циркуля одна из меньших ножек устанавливалась в точке C (или D), а вторая – перемещалась
на отрезок СD и оказывалась в его середине;
из этой середины при том же растворе циркуля делалась
отметка М на перпендикуляре.
Длина отрезка ОМ (m1) являлась искомым средним геомет
рическим значений а и h.
Рис. 10.10
Задание
2. Убедитесь в справедливости последнего утверждения.
После таких отметок на перпендикуляре для всех треугольников, используя отрезки средних геометрических как катеты, строилась схема, для трех треугольников имеющая вид,
показанный на рис. 10.11.
m3
m
m2
m1
Рис. 10.11
https://liveinternet.club
Думай иначе
343
В результате длина гипотенузы m определяла искомую площадь многоугольника: S =
Задание
3. Убедитесь в справедливости сделанного утверждения.
10.6. Необычный метод построения
правильного пятиугольника
Задача формулируется так: в заданном квадрате ABCD (см.
рис. 10.12) построить правильный пятиугольник, две вершины
которого лежат на стороне АВ квадрата, а две – на сторонах
AD и ВС.
Решение [6]
1. Провести «золотое сечение»1 стороны АВ квадрата, то
есть получить такую точку Х, для которой:
(*)
2. Разделить отрезок АХ пополам в точке М.
3. Отложить отрезок BN, равный AM.
4. Из точек М и N раствором циркуля, равным МN, сделать
засечки в точках R и Р соответственно на сторонах AD и ВС
квадрата.
5. Из точек R и Р тем же раствором циркуля провести две
дуги, которые пересекутся в точке Q.
6. Соединить точки М и R, R и Q, Q и Р, Р и N.
Фигура MRQPN – правильный пятиугольник.
Доказательство достаточно сложное, но, учитывая оригинальность метода построения, как говорится, «оно того стоит»
(см. рис. 10.13).
1
См. раздел 4.5 и главу 8.
https://liveinternet.club
344
Глава 10
Рис. 10.12 [4]
N
A
M
X
B
Рис. 10.13
Если:
провести золотое сечение отрезка АВ в точке Х (ВХ –
большая часть АВ);
разделить отрезок АХ пополам в точке М;
в точках А и М восстановить перпендикуляры к АВ;
из точки В раствором циркуля, равным АВ, сделать на
«правом» перпендикуляре засечку в точке N;
соединить точки В и N
и после этого передвинуть точку В отрезка BN по АВ влево
на расстояние АМ параллельно исходному положению отрезка BN, то точка N окажется на «левом» перпендикуляре.
Поэтому и на рис. 10.12, на котором AD и ВС перпендикулярны АВ:
https://liveinternet.club
345
Думай иначе
NR = АВ и MP = AB
(см. рис. 10.14, где пунктирный отрезок аналогичен отрезку
BN на рис. 10.12).
Следовательно, отрезок RP равен АВ и параллелен ему.
Рис. 10.14 ([4], с дополнением автора)
Вернемся к рис. 10.13 и определим углы на нем.
Прежде всего скажем, что BX = NХ = AN1.
Обозначим угол BNX – α.
В равнобедренных треугольниках BNX и ANX:
∠ВNХ = ∠NXB = α,
∠NAX = ∠NХA.
В треугольнике ANX:
∠NАХ = ∠NXА = 2∠ВNХ = 2α,
а в треугольнике AВN:
∠АNВ = ∠NXА = 2α.
Следовательно, в треугольнике ANX: ∠АNХ = α.
Это означает, что в нем сумма углов равна 5α, то есть α = 36º.
1
Доказательство приведено в ответах к данному разделу.
https://liveinternet.club
346
Глава 10
Другие углы: ∠NАХ = ∠NXА = 72º, ∠NХВ = 108º.
Поэтому и на рис. 10.12:
∠RMA = 72º, а значит, ∠NMR = 108º, ∠PNM = 108º.
Так как треугольники MNR и QPR равны (выше доказано,
что NR = RP = АВ), то ∠RQP = ∠NMR = 108º.
Итак, каждый из трех углов M, N и Q пятиугольника MRQPN
равен 108º, то есть сумма двух остальных углов равна 216º.
Поскольку углы равны, то каждый из них равен 108º.
Значит, все углы пятиугольника MRQPN равны 108º. Так как
по построению равны также все его стороны, то MRQPN – правильный пятиугольник.
Какой метод лучше – известный (см., например, [5]) или
описанный, предлагаем установить читателю.
Задания
На рис. 10.12 построенный пятиугольник вписан в заданный квадрат не полностью.
1. Определите расстояние от вершины Q до стороны DC,
если сторона квадрата равна 10 см.
2. Определите это же расстояние, если в результате построений в другом квадрате сторона правильного пятиугольника примерно равна 10,56 см.
Оба результата могут быть приближенными.
10.7. Из топора – не только каша1,2
Как вы думаете, что изображено на рис. 10.15? Нет, это не
скоба для скрепления бревен в срубе и не приспособление для
вычерчивания окружности. Это прибор, с помощью которого
можно определить площадь на карте, например озера произвольной формы.
1
2
«Каша из топора» – сюжет русской народной сказки.
Данный раздел подготовлен совместно с В. В. Шиловым, профессором НИУ «Высшая школа экономики».
https://liveinternet.club
347
Думай иначе
Рис. 10.15
Такой прибор был предложен около 1875 года офицером Генерального штаба датской армии капитаном Хольгером Притцем.
Заметим, что Притц назвал свое изобретение Stangplanimetret
(по-датски – планиметр-стержень), ведь, как мы видим, прибор
представлял из себя изогнутый в виде буквы П металлический
прут. Однако спустя несколько лет один из авторов, писавших
о новом приборе, назвал его «планиметром-топориком» (The
Hatchet-planimeter). Это название прижилось, и даже изобретатель принял его. Действительно, один из концов прибора был
заострен, а другой был сплющен и походил на лезвие топора.
Планиметр использовался следующим образом (см.
рис. 10.16). Его острие устанавливалось приблизительно
в центре тяжести o фигуры, площадь которой необходимо
было определить, и нажимом лезвия на карте делалась отметка K. Затем острие переносили по прямой линии в какуюто точку a на контуре фигуры и обводили им контур, после
чего по линии ao вновь возвращали в центр фигуры. При
этом основание лезвия пройдет замысловатым «маршрутом»
и окажется в новом положении, где также делали отметку K′.
Искомая площадь определялась как произведение расстояния
между двумя отметками K и K′ на расстояние между острием
и центром лезвия (базу планиметра).
Рис. 10.16
Конечно, возникает вопрос: «Почему?» Прежде всего обратим внимание на особенность конструкции планиметра – его
https://liveinternet.club
348
Глава 10
острие находится в плоскости лезвия. Эта особенность определяет «маршрут», по которому пройдет лезвие топорика при
измерении площади.
В зависимости от формы обводимого контура линия, описанная лезвием топорика, будет меняться, но в целом при
выборе начальной точки обвода внутри контура фигуры она
будет иметь характерный вид, представленный в нижней час
ти рис. 10.171. Вид кривой для случая обвода круга показан на
рис. 10.182. Подробное теоретическое обоснование использования планиметра-топорика приведено в [6–8].
Рис. 10.17
1
2
Рис. 10.18
Использован рисунок из книги [6].
Приведен рисунок из статьи [7]. Там же отмечается, что по такой
кривой – так называемой «кривой погони» – должен бежать охотник за зайцем, если он, «поймав зайца на мушку», захочет в течение всей погони держать его под прицелом и при этом не менять
направление ружья относительно корпуса.
https://liveinternet.club
349
Думай иначе
Планиметры-топорики выпускались в разных странах на
протяжении десятков лет и пользовались большим спросом.
Но, вообще говоря, вместо него можно использовать (если, конечно, не требуется высокая точность измерения), например,
обычный перочинный нож (рис. 10.19) или обычный циркуль,
одна из ножек которого снабжена лезвием (рис. 10.20).
Рис. 10.19. Измерение площади
с помощью перочинного ножа
Рис. 10.20. Измерение площади
с помощью циркуля
Или даже … самый настоящий топор (рис. 10.21)!
https://liveinternet.club
350
Глава 10
Рис. 10.21. Топор в роли планиметра-топорика
Литература
1. Геометрия: 7–9 классы / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Ка
домцев и др. М.: Просвещение, 2025.
2. Руководство к практическому употреблению вновь изобретенных инструментов и способы, относящиеся до исчисления планов, составленное самим изобретателем П. Зарубиным. СПб., 1854.
3. Colberg P. J. Opisanie skladu i uzycia Planimetru. Sylwan, 1820,
č. 2. (На польском языке.)
4. Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги / пер.
с англ. Одесса, 1910.
5. Правильный пятиугольник // https://ru.ruwiki.ru/wiki//Правиль
ный_пятиугольник.
6. Знаменский М. А. Измерительные работы на местности. М.:
Учпедгиз, 1960.
7. Садовский Л. Е., Садовский А. Л. Как измеряют площадь //
Квант. 1973. № 10.
8. О планиметре-топорике. Перевел с англ. Г. // Морской сборник. 1904. Т. 323. № 6.
Источники иллюстраций
Рис. 10.19
Рис. 10.20
Рис. 10.21
Sparks Robert. The hatchet planimeter // J. Frankline
Institute, 1932
https://www.uraone.com/PlanimeterVault/hatchet/
https://www.qedcat.com/archive_cleaned/161.html
https://liveinternet.club
351
Думай иначе
Справа изображена обложка
книги французского математика
Жака Озанама «Практическая
геометрия» с подзаголовком
«Теоретическая и практическая
тригонометрия, лонгиметрия1,
планиметрия и стереометрия»,
изданной в 1684 году. Это было
первое употребление терминов
«планиметрия» и «стереометрия».
1
Лонгиметрия – часть геометрии, изучаю
щая законы и свойства линий.
Ответы к главе 10
10.2. На складе лимонада
Да, возможно. 81 бутылку можно разместить в ящике, если
под каждую бутылку выделять квадрат со стороной 8 см. Но
можно размещать бутылки по-другому (см. рис. О10.1).
…
…
…
…
…
Рис. О10.1
В этом случае в ближнем ряду будет размещено 9 бутылок,
в следующих – 8, 9, 8, … бутылок.
Так как расстояние между линиями центров каждых двух
смежных рядов бутылок равно 8 × ( 3/2) ≈ 6,93 см (это высота
https://liveinternet.club
352
Глава 10
равностороннего треугольника со стороной 8 см), то общее
+ 1 = 10 (округлено до
число рядов будет составлять
меньшего целого числа).
Это означает, что у нас есть последовательность количества
бутылок в рядах:
9, 8, 9, 8, . . .
Можно считать, что в этой последовательность пять пар чисел 9 и 8, то есть сумма всех чисел равна 5 × 17 = 85 (!) бутылок.
10.3. Как Митя Плотников строил биссектрису угла
Доказательство
1. В треугольниках AEF и AGD (см. рис. О10.2):
– AE = AG (по построению);
– AF = AD (по той же причине);
– угол BAC – общий,
то есть они равны, следовательно, EF = GD.
B
E
D
H
A
F
G
C
Рис. О10.2
2. В треугольниках DFE и FDG (см. рис. О10.3):
– DF – общая сторона;
– DE = FG (по построению);
– EF = GD (см. п. 1),
то есть они равны. Так как у них треугольник DHF общий, то равны треугольники DEH и FGH, следовательно,
DH = FH.
https://liveinternet.club
353
Думай иначе
B
E
D
H
A
F
C
G
Рис. О10.3
3. В треугольниках ADH и AFH (см. рис. О10.4):
– DH = FH (см. п. 2);
– АD = АF (по построению);
– AH – общая сторона,
то есть они равны, следовательно ∠AHD = ∠AFH, значит,
AH – биссектриса угла ВАС.
B
E
D
H
A
F
G
C
Рис. О10.4
10.4. Просто, но эффективно
Обоснование равенства площадей треугольников на рис. 10.6
Треугольник ABC равновелик треугольнику feC, так как
площадь треугольника deC равна площади треугольника dBC,
а площадь треугольника fdC – площади треугольника AdC, при
этом длина стороны fe известна (она равна четыре дюйма).
10.5. Определение площади многоугольника
по простой формуле
1. Если a и h – соответственно основание и высота тре
угольника, то его площадь равна S =
. Записав вместо a × h –
https://liveinternet.club
354
Глава 10
( a × h)2 и учитывая, что a × h – это среднее пропорциональное
значений a и h, обозначенное m, получим зависимость (1).
2. Согласно особенностям построения на рис. 10.9, точка М будет находиться на окружности с центром в точке Z
и радиусом r, равным половине суммы значений a и h (см.
рис. О10.5).
M
r
A
C
a
Z
m1
O
h
D
B
Рис. О10.5
Так как ZM = r =
, а ZO = a – r, то квадрат длины катета
ОМ будет равен a × h (убедитесь в этом), то есть ОМ = a × h.
3. Согласно формуле (1), площадь трех приведенных на
рис. 10.9 треугольников равна соответственно
где m1, m2 и m3 – среднее геометрическое основания и высоты каждого треугольника, то есть площадь всей фигуры S =
. Выражение в числителе равно квадрату длины
гипотенузы m на рис. 10.11, то есть S =
10.6. Необычный метод построения правильного
пятиугольника
Доказательство того, что на рис. 10.13 NX = BX
NX 2 = MN 2 + MX 2.
(1)
MN 2 = BN 2 – BM 2 = (BN + BM)(BN – BM).
Так как BN = АВ, то последнее выражение можно записать
как (АB + BM)( АB – BM) = (АB + BM) × АМ.
https://liveinternet.club
355
Думай иначе
N
A
M
X
B
Рис. О10.6
Подставив последнее выражение в (1), получим:
NX 2 = (АB + BM) × АМ + MX 2.
(2)
Учитывая, что АМ = МХ, равенство (2) можно записать
в виде:
NX 2 = (АB + BM) × МХ + MX 2 = (АB + BM + MX) × МХ
= 2АB × МХ.
С другой стороны, так как согласно пропорции (*), записанной в начале раздела 10.4:
BX 2 = AB × AX,
то AX =
, а МX =
, откуда BX 2 = 2АB × МХ, то есть ВХ = NX.
Ответы на задания
1. Примерно 0,49 см.
2. Примерно 0,84 см.
https://liveinternet.club
Глава 11
Неожиданные результаты,
невероятные выводы
11.1. Чему равна разность площадей
двух кругов?
В п. 4.9.3 была «геометрически» доказана справедливость известной формулы разности квадратов a2 – b2 = (a + b)(a – b), что
можно наглядно проиллюстрировать в виде площадей фигур
так, как показано на рис. 11.1.
a
a2
–
b2
b
=
(a + b)(a – b)
a–b
a+b
b
a
Рис. 11.1
Если в квадраты вписать окружности, а в прямоугольник –
эллипс, то получим столь же неожиданную, но наглядную ин-
https://liveinternet.club
357
Неожиданные результаты, невероятные выводы
терпретацию разности площадей двух кругов в виде эллипса
(см. рис. 11.2).
a
1 πa2
4
–
1 πb2
4
b
=
1 (a + b)(a – b)
4
b
a
Рис. 11.2
Вспомнив формулу площади круга, можно записать разность площадей: 1/4 πа2 – 1/4 πb2 = 1/4(a + b)(a – b), что совпадает с формулой площади эллипса.
11.2. Две чашки
Две чашки, наполненные жидкостью до краев, имеют одинаковый объем: одна – цилиндрическая с радиусом R и высотой h; другая – в виде усеченного конуса с радиусом ободка R
и радиусом основания r (r < R).
Какая чашка будет содержать больше жидкости, если обе заполнены не полностью, но так, что в обеих чашках плоскость
поверхности жидкости находится на d мм ниже плоскости
ободка? Зависит ли ответ от значения d?
11.3. Три правильных многоугольника
Посмотрите, пожалуйста, на рис. 11.3.
https://liveinternet.club
358
Глава 11
Рис. 11.3
Приведенные на нем правильные многоугольники могут
быть вписаны в окружности одного и того же радиуса. Но это
не сознательно измененное с помощью графического редактора Adobe Photoshop изображение. Стороны правильных
пяти-, шести- и десятиугольника действительно образуют
прямоугольный треугольник! Докажите это.
11.4. Как ближе?
B
В Москве, в центре города, имеются два так называемых «кольца» (непрерывные последовательности улиц, бульваров и площадей): Садовое и Бульварное. Последнее расположено внутри первого.
Однажды Плотникову-старшему (см. главу 6) понадобилось на автомобиле проехать по Садовому
A
кольцу из точки А в точку В, так сказать, «по часоРис. 11.4
вой стрелке». Его сын-восьмиклассник Митя сказал, что ближе проехать через Бульварное кольцо.
Может ли быть такое, если условно считать, что оба кольца
являются концентрическими окружностями, а улицы, их соединяющие, находятся на радиусах Садового кольца?
https://liveinternet.club
Неожиданные результаты, невероятные выводы
359
11.5. Площадь плоской фигуры может быть
отрицательной!
Согласно определению «Площадь плоской фигуры – это величина той части плоскости, которую занимает эта фигура»,
ответ на вопрос, вынесенный в название раздела, – отрицательный («Нет, не может!» – ведь не может же фигура занимать
«минус 24 квадратных сантиметра!»). Поэтому, говоря о свойствах площади, отмечают ее неотрицательность. Но с другой
стороны, ведь есть же квадратный корень из минус единицы,
хотя квадратный корень, будучи возведенным в квадрат, не
может быть отрицательным! Но он нашел применение для
расчетов, его стали использовать, возникла целая теория
функции комплексной переменной. Отличие так называемой
«мнимой единицы»1 «отрицательной площади» – лишь в том,
что мнимая единица имеет практическое применение. Если
отрицательная площадь тоже нужна для чего-то – математики
используют и ее. Вот примеры практического применения отрицательной площади.
Известно, что положение центра масс плоской фигуры, состоящей из n частей, для которых центры масс известны, может быть определено следующим образом:
где S1, S2, ..., Sn – площади отдельных частей; x1, x2, …, xn, y1, y2, …,
yn – координаты центров масс отдельных частей относительно
некоторого начала координат.
1
«Мнимая единица» (именно так называют квадратный корень из
–1) – частный случай так называемого «комплексного числа», то
есть числа вида a + bi, где a, b – вещественные числа, i – мнимая
единица.
https://liveinternet.club
360
Глава 11
Но если, допустим, требуется определить положение центра
масс фигуры, изображенной на рис. 11.5 (в которой имеется
вырез), то для использования приведенных формул можно
считать площадь выреза (вырезов) отрицательной. Тогда если
начало координат расположить в середине левой стороны
прямоугольной части фигуры, то положение центра масс всей
фигуры можно определить так:
Yc = 0,
где S1, S2 и S3 – соответственно площади прямоугольной части,
большой круглой части и выреза (S3 < 0); x1, x2 и x3 – расстояния
по горизонтали от центров масс этих частей до начала координат (см. рис. 11.6).
Рис. 11.5
x1
x2
x3
Рис. 11.6
https://liveinternet.club
361
Неожиданные результаты, невероятные выводы
Аналогично можно считать отрицательными площади вырезов при определении общей площади фигур с вырезами,
рассчитывая ее как сумму площадей ее частей, например для
фигуры на рис. 1 общая площадь равна (при обозначениях,
перечисленных чуть выше):
Sобщ = S1 + S2 + S3 (S3 < 0).
Еще один пример – вычисление площади многоугольника
по координатам его вершин.
Пусть, например, (ха, уa), (xb, уb), (xс, ус), (xd, yd) – координаты
вершин многоугольника ABCD (рис. 11.7), площадь S которого
необходимо вычислить.
x
B
K
L
I
D
M
0
C
A
E
H
F
G
y
Рис. 11.7
По рис. 11.7 видно, что искомую площадь S можно рассмат
ривать как алгебраическую сумму площадей трапеций:
https://liveinternet.club
362
Глава 11
После умножения получим:
2S = xa yb + xb yb - xa ya - xb ya + xb yc + xc yc - xb yb - xc yb - xc yc
- x d y c + x c y d + x d y d - x d y d - x a y d + x d y a + x a y a.
(*)
Сделав приведение подобных членов и соединив оставшие
ся члены попарно и располагая их по значениям х, найдем
формулу для расчета искомой площади:
2S = xa(yb – yd) + xb(yc – ya) + xc(yd – yb) + xd(ya – yc),
(**)
то есть двойная площадь многоугольника равна сумме произведений, составленных из абсциссы каждой точки и разности
ординат точек последующей и предшествующей ей. В общем
случае для n вершин многоугольника можно записать:
Но при чем здесь отрицательная площадь? – А вот при чем.
Полученная зависимость площади многоугольника от координат его вершин позволяет очень просто алгоритмизировать
расчеты для любого числа сторон фигуры. Например, если
пронумеровать вершины А, D, C и B (см. рис. 11.7) соответственно 1, 2, 3 и 4, то, зная их координаты, расчеты удобно
провести с помощью программ, которые называют «электронными таблицами» (Microsoft Excel и подобных).
Например, применительно к четырехугольнику АВСD оформим лист электронной таблицы, записав значения координат
вершин:
1
2
3
4
5
6
A
Номер вершины
1
2
3
4
Площадь
B
х
2
4
8
5
C
D
у Частное произведение
4
2
6
8
https://liveinternet.club
363
Неожиданные результаты, невероятные выводы
В столбце D запишем формулы для расчета частных произведений и искомой площади:
1
2
3
4
5
6
A
Номер вершины
1
2
3
4
Площадь
B
х
2
4
8
5
C
у
4
2
6
8
D
Частное произведение
=B2*(C3-C5)
=B3*(C4-C2)
=B4*(C5-C3)
=B5*(C2-C4)
=СУММ(D2:D5)/2
Видно, что для вершины номер 1 в качестве предыдущей
принята вершина номер 4, а для вершины номер 4 следующей
принята вершина номер 1. Обратим также внимание на то, что
в ячейку D4 вручную формулу можно не вводить, а скопировать ее из ячейки D3.
После ввода формул получим результат:
1
2
3
4
5
6
A
Номер вершины
1
2
3
4
Площадь
B
х
2
4
8
5
C
у
4
2
6
8
D
Частные произведения
–12
8
48
–10
17
Но если пронумеровать вершины А, В, C и D в другом порядке – по часовой стрелке (соответственно 1, 2, 3 и 4) и записать
их координаты, то результат будет отрицательным (убедитесь
в этом!):
1
2
3
4
5
6
Номер вершины
1
2
3
4
Площадь
х
2
5
8
4
у
4
8
6
2
Частные произведения
–7
https://liveinternet.club
364
Глава 11
Итак, знак результата зависит от направления обхода!
Подводя итог, можно сказать, что отрицательная площадь
появляется в исключительных случаях как вычислительный
прием и не является общепринятой и распространенной концепцией в геометрии.
Задания
1. Предложите текст задачи к рис. 11.8, в котором использовался бы материал, обсуждаемый в данном случае.
Рис. 11.8
2. Используя электронную таблицу, определите площади
многоугольников, расположенных во II, III и IV квадрантах
координатной плоскости, при двух вариантах нумерации вершин и установите, зависит ли знак результата и от номера
квадранта.
Дополнение «Метод шнурования»
Выражение (*) можно преобразовать к виду:
2S = xayb + xbyc + xcyd + xdya – xbya – xcyb – xdyc – xayb.
(***1)
Для «автоматизированных» расчетов по полученной формуле на листе электронной таблицы добавим еще одну строку,
в которую запишем координаты вершины точки 1 (А):
1
По сути, выражение (***) аналогично выражению (**).
https://liveinternet.club
365
Неожиданные результаты, невероятные выводы
A
1 Номер
вершины
2 1
3 2
4 3
5 4
6 1
7 Суммы
8 Площадь
B C
D
х у Частные произведения
со знаком +
2 4
5 8
8 6
4 2
2 4
Е
Частные произведения
со знаком –
В ячейки столбца D введите формулы для расчета частных произведений в выражении (***) со знаком «+» (согласно сплошным линиям), столбца Е – частных произведений со
знаком «–» (согласно пунктирным линиям):
1
2
3
4
5
6
7
8
A
Номер
вершины
1
2
3
4
1
Суммы
Площадь
B C
D
х у Частные произведения
со знаком +
2 4
5 8 16
8 6 …
4 2 …
2 4 …
Е
Частные произведения
со знаком –
20
…
…
…
После суммирования значений в столбцах D и Е половина
разности полученных сумм даст значение искомой площади треугольника (см. выражение (***)). Введите необходимые
формулы и получите нужный результат. Понятно, что отрицательному результату читатель не удивится 😊.
Описанный метод определения площади многоугольника иногда называют «алгоритм шнурования» [2], потому что
при нем последовательность расчетов напоминает процесс
шнурования обуви (соответствующее изображение применительно к определению площади треугольника показано на
рис. 11.9).
https://liveinternet.club
366
Глава 11
Рис. 11.9 (изображение из [2])
Задание
3. Используя алгоритм шнурования или методику, описанную в начале раздела, установите, применимы ли эти методы
для расчета площади самопересекающегося многоугольника
и зависит ли знак результата от направления обхода вершин
и в данном случае. Для простоты (и удобства проверки результата расчетов1) рассмотрите многоугольник, приведенный на
рис. 11.10 со следующими координатами вершин:
Номер вершины Обозначение x
1
А
0
2
В
0
3
С
8
4
D
8
B
y
0
6
0
6
D
E
A
C
Рис. 11.10
1
В чем будет заключаться удобство проверки результата расчетов,
установите самостоятельно.
https://liveinternet.club
367
Неожиданные результаты, невероятные выводы
Определите, можно ли при решении задачи определения
площади фигуры на рис. 11.10 рассматривать ее как четырех
угольник или ее надо рассматривать как условный шестиуголь
ник ABEDCE (см. рис. 11.10).
11.6. Геометрический фокус
Хотите удивить своих товарищей демонстрацией эффектного
геометрического фокуса?
Напишите на листке бумаги число 150° и вложите его в конверт.
Затем попросите кого-нибудь, используя линейку с масштабными делениями и транспортир, выполнить следующее:
1) начертить равнобедренный треугольник ABC с углами B
и C, равными некоторому значению θ (30° < θ < 60°) – см.
рис. 11.11;
2) выбрать точку P внутри треугольника так, чтобы угол
PCB был равен 30°, а угол PBC: 60° – θ;
3) соединить точки A и P;
4) измерить угол APC.
Удивительно, но ответ совпадет с тем, что было написано на
листке бумаги в конверте. В чем «секрет» фокуса?
А
θ – 30°
P
2θ – 60°
30°
60° – θ
В
C
Рис. 11.11
https://liveinternet.club
368
Глава 11
11.7. Правильный пятиугольник
в узле полоски бумаги!
Если вырезать полоску бумаги и завязать ее обычным узлом
(рис. 11.12), а затем «затянуть» его и аккуратно выровнять все
сгибы (рис. 11.13), чтобы узел стал плоским, а потом отрезать
лишнее, то получится пятиугольник (рис. 11.14). Он является
правильным. Но как доказать это – вдруг он только похож на
правильный? Измерения сторон линейкой и углов транспортиром не помогут – ведь всегда будет какая-то погрешность.
Рис. 11.12
Рис. 11.13
Рис. 11.14
Давайте докажем, что полученный пятиугольник – правильный, без дополнительных построений и сложных расчетов, как это делается, например, в [3].
Сначала вспомним задачу 2.30.
Было показано, что если две полоски бумаги одинаковой
ширины разместить так, как иллюстрируется на рис. 11.15, то
фигура АВСD будет ромбом.
A
D
B
C
Рис. 11.15
https://liveinternet.club
369
Неожиданные результаты, невероятные выводы
После этого начертите в вырезанном из узла пятиугольнике, вершины которого обозначим А, В, С, D и Е, некоторые
диагонали, как показано на рис. 5 (диагональ ЕС и часть диагонали AD уже будут «изображены» – см. рис. 11.6)1.
C
B
D
A
E
Рис. 11.16
Мысленно представим на рис. 11.16 две части полоски 1 и 2
(см. рис. 11.17) и выделим ромб, полученный при их пересечении. На нем ВС = CD.
C
1
2
B
D
2
1
A
E
Рис. 11.17
1
Для наглядности размеры пятиугольника увеличены.
https://liveinternet.club
370
Глава 11
Если представить и обозначить и участок 3 полоски, то для
частей 2 и 3 также можно выделить соответствующий ромб
(рис. 11.18). У него ВС = АВ. Нетрудно доказать, что так как
сторона пятиугольника ВС принадлежит обоим ромбам, полученным при пересечении двух участков полоски одинаковой
ширины, то ВС = CD = AВ.
C
3
2
B
D
2
A
E
3
Рис. 11.18
Аналогично для ромба на пересечении участков полоски
1 и 4: CD = DE (см. рис. 11.19), а для ромба на пересечении
участков 3 и 5 (рис. 11.20): АЕ = АВ, то есть все пять сторон АВ,
ВС, CD, DE и АВ пятиугольника ABCDE равны.
C
1
4
D
B
1
A
4
Рис. 11.19
E
https://liveinternet.club
371
Неожиданные результаты, невероятные выводы
C
3
B
D
5
5
A
E
3
Рис. 11.20
Докажем также, что все углы между смежными сторонами
этого пятиугольника также равны.
В пятиугольнике ABCDE можно выделить пять трапеций
(четыре из них изображены на рис. 11. 21). Все они равнобед
ренные (равенство их боковых сторон мы доказали). У всех
трапеций равны две боковые стороны и одно основание. Это
значит, что все трапеции равны, поэтому равны и все внутренние углы пятиугольника, то есть он – правильный.
C
B
D
A
E
Рис. 11.21
https://liveinternet.club
372
Глава 11
11.8. Софизм1 «Любой треугольник
является равнобедренным (!?)»
Если на клетке слона прочтешь надпись:
«буйвол», не верь глазам своим.
Козьма Прутков
«Доказательство»
Пусть АВС – произвольный треугольник (см. рис. 11.22).
B
F
E
O
A
D
C
Рис. 11.22
Разделим сторону АС пополам в точке D и восстановим
в ней перпендикуляр к АС. Проведем также биссектрису угла
АВС. Пусть она пересекается с перпендикуляром в некоторой
точке О.
Из точки О опустим перпендикуляры ОЕ и OF на стороны
АВ и ВС, а также соединим ее с вершинами А и С.
После таких построений:
1) прямоугольные треугольники ЕВО и OВF будут равны
(у них общая гипотенуза и равные примыкающие к ней
углы);
2) прямоугольные треугольники АЕО и СOF также равны,
так как у них равны гипотенузы АО и СО и катеты ЕО
и FO (это следует из равенства двух предыдущих тре
угольников).
1
О том, что такое софизм, рассказывалось в предисловии.
https://liveinternet.club
373
Неожиданные результаты, невероятные выводы
Это значит, что ВЕ + ЕА = BF + FC, или АВ = АС, то есть тре
угольник АВС – равнобедренный (!?).
Где ошибка в рассуждениях?
11.9. Софизм «Тупой угол равен прямому (!?)»
На концах отрезка АВ проведем перпендикуляр ВС и наклонный отрезок AD, равный ВС, после чего соединим точки С и D
(см. рис. 11.23). После этого в серединах сторон АВ и CD восстановим перпендикуляры, которые пересекутся в точке О.
Соединив точку О с четырьмя вершинами А, В, С и D, получим
два равных треугольника АОD и ВОС (АО = ОВ, DO = DC, AD =
BC). Следовательно:
∠АОD = ∠ВОС.
Прибавив к обеим частям этого равенства равные углы
∠ОАE = ∠ОВЕ, получим:
∠DАE = ∠EВС,
то есть тупой угол равен прямому!
В чем ошибка?
F
D
C
O
A
E
B
Рис. 11.23
Литература
1. Правильный пятиугольник // https://ru.ruwiki.ru/wiki/Правиль
ный_пятиугольник.
https://liveinternet.club
374
Глава 11
2. Формула площади Гаусса // https://ru.ruwiki.ru/wiki/Формула_
площади_Гаусса.
3. Даниярходжаев А. Т. Вокруг правильного пятиугольника //
Квант. 2020. № 5.
Ответы к главе 11
11.2. Задача «Две чашки»
Ободки обеих чашек имеют равный размер R, поэтому в конической чашке объем пустой части высотой d мм будет меньше, так как эта часть также представляет собой усеченный конус.
Поскольку обе чашки, наполненные до краев, содержат одинаковый объем, то коническая чашка будет содержать больший
объем жидкости. Неожиданный результат, не правда ли?
Рис. О11.1
Алгебраические вычисления не требуются, но фактическую
разность между двумя объемами жидкости при желании можете выразить в зависимости от R, r, d и h.
Указанные особенности не зависят от значения d. Крайний
случай – когда размер d равен высоте цилиндрической чашки,
она будет пустая, в то время как в конической чашке будет
жидкость (см. рис. О11.2).
d
d
Рис. О11.2
https://liveinternet.club
375
Неожиданные результаты, невероятные выводы
11.3. Три правильных многоугольника
При стороне правильного пятиугольника t5 радиус описанt5 [1], откуда t5 =
ной окружности R равен
R
≈ 1,1755705046R.
Для правильного десятиугольника со стороной t 10: R =
t10, откуда t10 =
R ≈ 0,6180339887R.
В правильном шестиугольнике сторона t6 = R.
Сравнив значения (t6)2, (t10)2 и (t5)2, согласно теореме Пифагора можно получить верное равенство (t6)2 + (t10)2 = (t5)2((1 +
0,3819660113)R2 = 1,3819660113R2.
11.4. Как ближе?
Такое может быть, когда угол, образованный радиальными
улицами, соединяющими оба кольца и проходящими через
точки А и Б, больше, чем 360/π градусов.
11.6. Геометрический фокус
Повторим рис. 11.11 (см. рис. О11.3).
А
θ – 30°
P
2θ – 60°
30°
60° – θ
В
C
Рис. О11.3
∠BPC = 90° + θ.
https://liveinternet.club
376
Глава 11
Применим к треугольнику BPC теорему синусов:
Пусть AB = AC = 1 и ∠ABC = ∠ACB = θ, тогда ВС = 2 cos θ.
Учитывая, что sin30° = 1/2, а sin(90° + θ) = cos θ, запишем:
Итак, получается, что BP = 1, а треугольник ABP – равнобедренный. Далее:
∠CAB = 180° - 20°.
∠PAB = 1/2(180° - 20 + 60°) = 120° - 0.
Таким образом, ∠CAP = [(180° - 20°) - (120° - θ)] = 60° - θ.
Поэтому ∠APC = 180° - ∠CAP - ∠PCA = 180° - (60° - 0) - (θ 30°) = 150°.
11.8. Софизм «Любой треугольник является
равнобедренным (!?)»
Для ответа самое главное – нарисовать аккуратный рисунок. Тогда сразу будут видны ошибки в рассуждениях.
Точка O пересечения биссектрисы угла В с серединным перпендикуляром к АC лежит не внутри треугольника ABC, а вне
его! Ошибка в софизме – в таком допущении.
Доказательство
Опишем вокруг заданного треугольника АВС окружность
(см. рис. О11.4).
https://liveinternet.club
377
Неожиданные результаты, невероятные выводы
B
D
A
C
O
Рис. О11.4
Проведем биссектрису угла АВС до пересечения с окружностью в точке О и отрезки ОA и ОC.
Так как ВО – биссектриса угла АВС, то ∠АВО = ∠СВО. Равные вписанные углы опираются на равные дуги, то есть дуги
ОA и ОC равны. Это означает, что равны и хорды АО и СО,
соединяющие концы этих дуг, то есть АЕ = СЕ. Следовательно,
треугольник АОС – равнобедренный. В таком треугольнике
медиана OD, соединяющая точку О с серединой АС, является
также высотой, то есть OD – серединный перпендикуляр, который пересекся с биссектрисой угла АВС в точке О на окружности вне заданного треугольника.
Итак, точка пересечения биссектрисы угла с серединным
перпендикуляром, проведенным через противоположную
углу сторону, – это середина той дуги окружности, описанной
вокруг заданного треугольника, для которой указанная сторона является хордой, то есть точка пересечения находится
вне треугольника.
Интересно, что аналогично можно «доказать», что в прямоугольном треугольнике катет равен гипотенузе (!?). Вот такое
«доказательство».
В прямоугольном треугольнике АВС (см. рис. О11.5) проведем биссектрису угла B и серединный перпендикуляр к AС.
Они пересекутся в точке О.
https://liveinternet.club
378
Глава 11
B
F
E
A
O
D
C
Рис. О11.5
Итак. Темно-серые треугольники равны как прямоугольные
по гипотенузе и углу (сторона ВО общая, а углы OВЕ и ОВF
равны, так как ВО – биссектриса). Светло-серые треугольники
равны как прямоугольные по гипотенузе и катету (ОА = ОС,
так как ОD – серединный перпендикуляр; ОЕ = ОF из предыдущего равенства треугольников). Но тогда:
ВE = ВF,
АE = СF.
Сложив левые и правые части, получим: ВE + АE = ВF + СF,
или АВ = АС, то есть катет АВ равен гипотенузе ВС!
https://liveinternet.club
Неожиданные результаты, невероятные выводы
379
Здесь ошибки в рассуждениях такие:
1) точка О пересечения биссектрисы угла В с серединным
перпендикуляром, проведенным через сторону АС, не
может находиться внутри треугольника;
2) раз точка O оказалась вне треугольника ABC, то и перпендикуляры на стороны треугольника могут падать не
на сами стороны, а на их продолжения.
11.9. Тупой угол равен прямому (!?)
Ошибка в утверждении этого факта в том, что срединные
перпендикуляры к сторонам АВ и CD пересекутся в точке
внутри четырехугольника АВСD. На самом деле точка пересечения О будет находиться под стороной АВ (в этом можно
убедиться, проведя точные построения). В этом случае хотя
треугольники АОD и ВОС также будут равны, но суммы углов
АОD + ОАE и ВОС + ОВЕ не будут равны, соответственно, тупому углу DАE и прямому углу EВС.
https://liveinternet.club
Ответы
на дополнительные
задания
Глава 1
Задача 1.19. Из тупоугольного треугольника –
прямоугольник
Решение показано на рис. ОД1 и ОД2.
B
D
E
A
F
C
Рис. ОД1
Рис. ОД2
Комментарии: на рис. ОД1: AD = DB, AF = FC, DE ^ BC.
Почему фигура на рис. ОД2 является прямоугольником, докажите самостоятельно.
Глава 2
Задача 2.4. Серединограммы
1) 1/4;
2) 1/2.
https://liveinternet.club
381
Ответы на дополнительные задания
Задача 2.30. Две линейки
Параллелограмм.
Задача 2.31. Шоколадки в коробке
Нет, более 76 шоколадок разместить нельзя.
Задача 2.33. Опять – серединограммы
Серединограмм невыпуклого четырехугольника также является параллелограммом, площадь которого равна половине
площади четырехугольника.
Обоснование второго утверждения (см. рис. ОД3)
Выделим в серединограмме KLMN невыпуклого четырех
угольника ABCD три оттененные части 1, 2 и 3 и обозначим
их площади соответственно S1, S2 и S3.
S1 = 3/4 S∆ACD – S∆AKT.
S2 = 3/4 S∆ABC – S∆ALT.
S1 + S2 = 3/4 SABCD – S∆AKL.
S3 = 1/4 S∆BCD.
Так как S∆BCD = S∆ABD – SABCD, то S3 = 1/4 S∆ABD – 1/4 SABCD.
В результате площадь всего серединограмма:
S1 + S2 + S3 = 1/2 SABCD – S∆AKL + 1/4 S∆ABD.
Поскольку S∆AKL = 1/4 S∆ABD, то S1 + S2 + S3 = 1/2 SABCD.
D
N
K
1
T
A
3
C
2
M
L
Рис. ОД3
B
https://liveinternet.club
382
Ответы на дополнительные задания
Глава 4
4.4. Изображаем диагональ прямоугольника
без линейки
Потому что точки А и С совмещены, а АВ = CD.
Глава 5
Задача 5.20. Один колодец на три дачи – 3
Доказательство равенства площадей треугольников ADG,
GDH и DHC на рис. О5.7.
Площадь треугольника ABE равна 1/3 площади треугольника АВС. Так как светло-серые треугольники равновеликие, то
и площадь треугольника ABE равна 1/3 площади исходного
треугольника. По аналогичной причине площадь треугольника DHC также равна 1/3 площади треугольника АВС. Это
значит, что и площадь треугольника GDH равна 1/3 площади
исходного треугольника.
Задача 5.21. Один колодец на три дачи – 4
Доказательство равенства площадей треугольников ABF,
ACF и BCF на рис. О5.8.
Площадь треугольника DBC (см. рис. ОД4) равна 1/3 площади треугольника АВС. Так как оттененные треугольники равновеликие, то и площадь треугольника FBC равна 1/3 площади
исходного треугольника. Остальная часть ABFCA исходного
треугольника разделена отрезком AF на две равные части ABF
и ACF (S∆AEF + S∆EBF = S∆AED + S∆FDC).
B
E
F
A
D
Рис. ОД4
C
https://liveinternet.club
383
Ответы на дополнительные задания
Глава 8
Решение задачи 4
Доказательство того, что AF = 2AB/ 3 (см. рис. О8.9 в ответах
к главе 8 и рис. ОД5 ниже):
D
K F
C
G
B
Е
A
Рис. ОД5
Из подобия треугольников АЕG и EKF можно установить, что
EF = AB
, то есть AF = AE + EF = AB + EF = 2AB/ 3.
Решение задачи 5
Отрезок, равный 2h/ 3, можно получить как высоту равностороннего треугольника с высотой h.
Сторону искомого равностороннего треугольника можно
получить как среднее пропорциональное найденного отрезка
и отрезка, равного а.
Доказательство результата построений на рис. О8.10 в ответах к главе 8:
из подобия треугольников:
= IC
, откуда BF =
;
в прямоугольном треугольнике EGB катет BG есть среднее пропорциональное гипотенузы BЕ и BF.
https://liveinternet.club
384
Ответы на дополнительные задания
Глава 9
Задача 9.1. Соединить две точки
В результате проведенных построений фигура ACBD на
рис. О9.3 будет ромбом, диагональ АВ которого пересечется
c другой диагональю CD в ее середине в точке М под прямым
углом.
Задача 9.2. Продлить отрезок
На рис. О4.4 в фигурах АCBD и АСID (их называют «дельтоидами») c общей диагональю CD две другие диагонали АВ
и AI, будучи перпендикулярными CD и проходящими через ее
середину, расположены на одной прямой.
Задача 9.3. Построение перпендикуляра.
Трудный случай
Доказательство следует из подобия треугольников HCD
и GEC на рис. ОД6, на котором CG || MD, CH ⊥ MD.
F
E
G
M
C
Н
Рис. ОД6
D
https://liveinternet.club
385
Ответы на дополнительные задания
Задача 9.7.2. Три фигуры
Фигура 2
G
A
F
E
Рис. ОД7
AF = 1 см, EG = ½ см.
Фигура 3
B
F
Рис. ОД8
BF = ½ см.
https://liveinternet.club
386
Ответы на дополнительные задания
Фигура 4
D
B
C
F
A
Рис. ОД9
ВС = 1 см, DF = 2,5 см.
https://liveinternet.club
Приложение 1
Как определяли площадь
в XIX веке1
Задачу определения площади фигуры, ограниченной некоторой замкнутой линией, приходится решать людям самых
разных специальностей: математикам, геодезистам, физикам.
В настоящее время она решается различными современными
средствами – электронными приборами, компьютерами и т. п.
Но так было не всегда! О том, как решалась указанная задача
до этого, рассказывается в данном приложении.
В изданном в 1875 году популярном русском учебнике геодезии [1] его автор называет три способа нахождения площади
участка земли на так называемых «планах» – копиях фрагментов карт:
1) геометрический;
2) с помощью «рогового листка (палетки)», то есть прозрачного листка с нанесенной на нем сеткой из квадратиков одного размера;
3) «посредством изобретенных планиметров».
1
Данное приложение подготовлено совместно с В. В. Шиловым,
профессором НИУ «Высшая школа экономики».
https://liveinternet.club
388
Приложение 1
П1.1. Геометрический способ
Этот способ применялся, когда измеряемый участок представлял собой треугольник, прямоугольник, параллелограмм,
трапецию и подобную фигуру, площадь которой можно определить по известным формулам, предварительно проведя измерения необходимых размеров. Площадь реального участка
определялась с учетом масштаба карты. Если же требовалось
определить площадь участка, имеющего вид неправильного
четырехугольника или любого неправильного многоугольника, его разбивали на треугольники (см. рис. 10.8 в главе 10),
находили площадь каждого треугольника (измерив длину его
основания и высоту) и затем складывали их, например, на
счетах1. Для этого было необходимо произвести немало измерений и арифметических операций! При этом следует иметь
в виду, что до начала ХХ века расчеты проводились, как правило, вручную, что было достаточно трудоемко и могло приводить к ошибкам.
Задача несколько облегчалась при использовании так называемого «приведения» (замены) всех треугольников к одному
и тому же, «базовому» основанию, которое предложил упоминавшийся в главе 10 российский изобретатель-самоучка
П. А. Зарубин в 1854 году [2]. Поясним идею на условном примере. Площадь любого треугольника с основанием, равным
20 см, равна 10h, где h – его высота. Если каждый из треугольников измеряемой фигуры путем геометрических построений
заменить треугольником, равновеликим2 с ним и имеющим
основание 20 см, то площадь всей фигуры будет равна сумме
высот этих равновеликих треугольников, умноженной на 10.
Если же требуется определить площадь одного треугольника,
то достаточно построить приведенный треугольник, измерить
его высоту и умножить ее на 10.
1
2
Аналогично поступали и в случае, когда границы измеряемого
участка не были прямыми линиями, но в таком случае результат
определялся с определенной погрешностью.
Напомним, что «равновеликими» называют геометрические фигуры, которые имеют одинаковую площадь.
https://liveinternet.club
Как определяли площадь в XIX веке
389
П. А. Зарубин предложил также приводить треугольники
к треугольнику с заданной «базовой» высотой, что в ряде случаев удобнее, чем приведение к «базовому» основанию.
Методика построения треугольника с «базовым» основанием и с «базовой» высотой, равновеликого заданному треугольнику, для различных вариантов размеров исходного треугольника приведена в приложении 2.
Чуть выше были описаны варианты приведения треугольника (треугольников) к «базовому» основанию, равному 20 см,
что позволяло определить площадь на плане в квадратных
сантиметрах (а с учетом масштаба плана – реальную площадь
в квадратных метрах или километрах). Но в XIX веке площадь измерялась в других единицах (десятинах1 и квадратных саженях2). Поэтому для облегчения нахождения реальной
площади измеряемого участка по известному размеру приведенного треугольника Зарубин предложил использовать так
называемый «десятинный масштаб3». Он представлял из себя
медную прямоугольную пластину или прямоугольник из картона ABCD, на которых был изображен прямоугольник аbсd.
Его ширина была равна принятому «базовому» основанию,
а высота – такой, чтобы половина произведения этих двух
размеров соответствовала некоторому значению площади
реального треугольника в десятинах. Например, при ширине
три дюйма (300 саженей при стандартном для того времени
масштабе карт и планов 1:8400, или 100 саженей на дюйм)
и высоте 0,8 дюйма (80 саженей) площадь треугольника составляла (300 × 80)/(2 × 2400) = 5 десятин.
1
2
3
Десятина – старая русская единица земельной площади, равная
2400 квадратных саженей (1,09 гектара).
Сажень – старая русская единица длины, в XIX веке она составляла
213,36 см.
В геодезии, кроме общепринятого понятия «масштаб карты (плана)», используется понятие «масштаб» как некая схема, по которой
можно определить реальные значения длины, площади и т. п.
https://liveinternet.club
390
Приложение 1
Рис. П1.1
Линии ab и cd разделялись на 10 равных частей, которые
отмечались числами 1, 2, …, 9. Точку b соединяли с делением,
обозначенным цифрой 1, и проводились линии, параллельные
линии b1, после чего на линии ab также ставились отметки 1,
2, …, 9. Линии ad и bс разделялись на 24 равные части, которые
соединялись «перпендикулярами», обозначенными номерами
(на рис. П1.1 числами обозначены не все перпендикуляры).
Полученная схема давала возможность определять площади
треугольников, не превышающие пять десятин, с точностью
до 50 квадратных саженей. После приведения треугольника
его высота измерялась циркулем и соответствующим раствором откладывалась на линии ab от точки b (см. рис. П1.1). Пусть
полученная высота оказалась между метками 8 и 9 (точка n).
Отрезок bn говорит, что площадь треугольника AED, равновеликого с ACB, составляет более четырех и менее пяти десятин
(превышение относительно значения 4 показывает отрезок
8n). Чтобы определить величину этого превышения, не изменяя раствора циркуля (или длины отрезка bn), отводили
циркуль вправо до тех пор, когда его верхняя ножка встретит
наклонную линию. Если это произошло на третьем перпендикуляре схемы, то значит, что площадь измеряемого треугольника равна 4 десятины и 150 квадратных саженей (убедитесь
в этом), если на восьмом – 4 десятины и 400 квадратных саженей и т. п.
Чтобы при этих же условиях можно было определять площади треугольников, большие пяти десятин, внизу масштаба
проводилась линия ek, и на ней отмечались части, равные ab
(см. рис. П1.1). В таких случаях высота приведенного треугольника (большая размера ab масштаба) откладывалась на ли-
https://liveinternet.club
Как определяли площадь в XIX веке
391
нии ek от точки e. Например, если высота была равна em, то
площадь треугольника равна 10 десятин (две отметки по 5 десятин) плюс еще некоторое значение, соответствующее длине
отрезка 2m. Для определения и этой последней величины ее
измеряли циркулем и находили соответствующее значение
площади на «основном» десятинном масштабе. Конечно, при
использовании описанного метода определения площади фигуры вычислений не было, но требовалось для каждого тре
угольника измеряемой фигуры построить равновеликий ему,
отмерить, например, циркулем, высоту нового треугольника
и добавить ее на некоторой шкале или измерить на десятинном масштабе, то есть объем построений был значительным.
Использовался и другой метод. Он заключался в том, что
неправильный многоугольник, которым являлся измеряемый
участок, заменялся равновеликим с ним треугольником, площадь которого определялась расчетом или путем приведения
его к треугольнику с известным «базовым» основанием, как
это было описано чуть выше. Методика такой замены описана
в приложении 3.
Как писал автор учебника геодезии [3, с. 72]: «Опытом обнаружено, что вычисление площади многоугольника превращением его в равновеликий треугольник не уступает в точности
способу вычисления разбивкой на треугольники, а между тем
времени требует по крайней мере в 5 раз менее».
При определении площадей с приведением всех треугольников к треугольнику с «базовым» основанием или с «базовой» высотой и с заменой многоугольника равновеликим
треугольником часто используемой операцией было проведение параллельных линий (см. приложения 2 и 3). Удобный
инструмент для этого предложил в начале 50-х годов XIX века
П. А. Зарубин. Это была медная линейка длиной около 20 дюймов и шириной 2–2,5 дюйма, при перемещении которой рукой
в направлении, перпендикулярном ее длине, постоянно сохранявшая параллельное положение (см. рис. П1.2)1. Это обес
1
В ХХ веке аналогичный инструмент называли «параллельная линейка», или «линейка-рейсшина».
https://liveinternet.club
392
Приложение 1
печивалось тем, что в линейке на оси были закреплены два
валика одинакового диаметра.
Рис. П1.2 [4]
Первым, кто предложил использовать для нахождения площади треугольника специальный прибор, дающий результат
без расчетов, был россиянин Павел Матвеевич Бибиков. Свой
прибор, изобретенный в 1841 году, он назвал «агрометром».
Самое удивительное, что это была… обыкновенная линейка
шириной 2 дюйма! По ее краю была нанесена шкала с деления
ми (см. рис. П1.3). Методика использования прибора и обоснование правильности получаемых результатов приведены
в разделе 10.1.
Рис. П1.3
Обсудим, как на шкале должны были быть нанесены деления, для того чтобы при измерениях агрометр показывал
площадь, выраженную в десятинах (см. выше). Одна десяти-
https://liveinternet.club
393
Как определяли площадь в XIX веке
на – это 2400 квадратных саженей. Масштаб плана, на котором
изображен измеряемый треугольник, был равен 100 саженей
на один дюйм, значит, для одной десятины длина деления
на шкале должна быть такой, чтобы площадь треугольника
была равна 2400/(100 × 100) = 0,24 квадратных дюйма. Так как
ширина прибора была равна два дюйма, то для этого деления
на шкале должны быть нанесены через каждые 0,24 дюйма.
Именно такая шкала была выполнена на приборе П. М. Бибикова. Это значит, что в представленном на рис. П1.3 случае реальная площадь участка земли была равна 36 десятин.
Нецелые значения на шкале определялись «интерполяцией»
на глаз или, более точно (в количестве квадратных саженей),
с помощью вспомогательного приспособления в виде прямоугольного треугольника (см. рис. П1.4).
b
a
c
Рис. П1.4
Длина его катета bc принималась равной 0,24 дюйма, а катета ac – могла быть любой. Катет разбивался на 24 равные
части, в которых восстанавливались перпендикуляры. Если
при измерении точка D на рис. П1.3 оказывалась между 36
и 37 делениями, то более точное значение площади определяли следующим образом. Циркулем измеряли превышение
на шкале значения 36 и полученным раствором циркуля на
вспомогательном треугольнике находили равный ему перпендикуляр. Если это был, например, шестой перпендикуляр
от точки a, то превышение площади над 36 десятинами было
равно 600 квадратных саженей (убедитесь в этом). Конечно,
если раствор циркуля не совпадал ни с одним перпендикуляром, то величину превышения определяли еще более точно
«на глаз».
https://liveinternet.club
394
Приложение 1
Во второй половине XIX века, с появлением прозрачных материалов, агрометр стал еще более универсальным инструментом. Например, можно было прочертить по длине прозрачной
линейки параллельные линии на расстоянии 1/4, 1/2, 1 и т. д.
дюймов от верхнего края линейки со шкалой. Тогда при вычислении площадей маленьких треугольников со сторонами
длиной менее двух дюймов (например, треугольника AEB на
рис. П1.5) следовало нулевое деление шкалы совместить с точкой A и затем поворачивать агрометр до тех пор, пока одна
из начерченных параллельных линий CD или FC не пройдет
через точку B. Число делений на шкале между точкой A и линией EE′, проведенной параллельно AB, соответствовало числу
четвертей или половин десятин, заключающихся в площади
треугольника AEB (при том же масштабе 100 саженей на дюйм).
Рис. П1.5
Оригинальный прибор для определения площадей треугольника без геометрических построений был предложен
Николаем Александровичем Ермаковым. В своей работе [5],
опубликованной в 1848 году, изобретатель назвал его «ручным
планиметром».
Прибор представлял собой металлическую пластину, на которой в прямоугольнике длиной 10 дюймов (25,4 см) и шириной 4,8 дюйма (12,2 см) был нанесен ряд кривых (см. рис. П1.6).
https://liveinternet.club
395
Как определяли площадь в XIX веке
Рис. П1.6. Общий вид прибора Ермакова
Каждая кривая соответствовала некоторому значению площади (кривые для каждой пятой десятины были оформлены
толще других).
На рис. П1.7 иллюстрируется определение площади тре
угольника AEF (количество графиков и их обозначение – условные).
Рис. П1.7 [4]
Методика следующая. Прибор прикладывался к основанию AF. Циркулем измерялась высота треугольника EE′, и эта
https://liveinternet.club
396
Приложение 1
высота откладывалась от вершины F вдоль прямой FG, параллельной прямой AD. Если точка G совпадала с одним из
графиков, то номер последнего и будет являться искомой площадью (на рис. П1.7 она равна 30). В противном случае (точка
G оказалась между двумя графиками) площадь определялась
примерной интерполяцией между двумя значениями.
Как были получены указанные на приборе кривые? Для того
чтобы построить кривую, соответствующую площади тре
угольника, равной S десятин, значение S удваивалось и переводилось в квадратные сажени (Sks), а полученное значение
Sks – в квадратные дюймы (Skd) с учетом масштаба плана. Далее для ряда точек вдоль длинной стороны (с «абсциссой» ai)
определялось значение «ординаты» bi, при котором aibi = Skd.
Точки с координатами (ai, –bi) и образовывали соответствующую кривую с меткой S1. Например, кривая, соответствовавшая площади шесть десятин, строилась по точкам с координатами (1, –12), (2, –6), (3, –4), (4, –3) и т. п.2
Можно сказать, что все прямоугольники со сторонами, равными координатам любой точки каждой такой кривой, будут
иметь одинаковую площадь, в два раза большую значения, соответствующего той или иной кривой. Эта особенность и позволяла определять площади треугольников по описанной
методике. Автор рецензии в [7] писал, что «Изобретение его
чрезвычайно остроумно, при удивительной простоте устройства».
Если высота BG измеряемого треугольника (см. рис. П1.8)
была больше высоты прибора, то для нахождения площади
такой фигуры И. Устимовичем был предложен ([8]) следующий
оригинальный метод. Прибор прикладывался к основанию AC
треугольника. От правой точки основания циркулем измерялось расстояние до некоторой гиперболы. Соответствующим
1
2
Полученные таким образом кривые являются так называемыми
«равнобочными гиперболами» (см. [6]), в связи с чем прибор Ермакова иногда называли «гиперболическая доска Ермакова» или
«гиперболический график Ермакова».
Предлагаем читателям доказать справедливость этого утверж
дения.
https://liveinternet.club
397
Как определяли площадь в XIX веке
раствором циркуля делалась метка F на высоте. Для «оставшейся» части высоты соответствующее ей значение площади
определялось при том же основании AC так, как описано применительно к планиметру Ермакова. Предлагаем читателям
доказать, что в этом случае сумма площадей двух треугольников AFC («полученной» циркулем) и DBE (определенной на
приборе по высоте BF) будет равна площади заданного тре
угольника ABC.
B
D
A
F
E
G
C
Рис. П1.8
При нанесении графиков на прозрачную основу использование прибора Ермакова также стало удобнее. В таких случаях
не требовалось измерение высоты треугольника и ее откладывание на графиках. Было достаточно приложить прибор к проверяемому треугольнику, а затем двигать его по линейке вниз
до тех пор, пока вершина E не окажется на прямой AB. В этом
положении точка F окажется в точке G на графике, определяющем искомую площадь (см. рис. П1.7). Как уже говорилось,
площади отдельных треугольников измеряемой фигуры нужно было суммировать. B [5] Н. А. Ермаков предложил также
удобную методику определения суммы всех отдельных площадей. После определения площади отдельного треугольника
его значение можно было не запоминать, а «спуститься» по со-
https://liveinternet.club
398
Приложение 1
ответствующей кривой до границы BD (см. рис. П1.9), например до точки e. Площадь полученного треугольника BAe равна
площади измеренного треугольника (убедитесь в этом!). При
известном размере AB = 4,8 дюйма эта площадь становилась
зависящей только от расстояния Be (расчеты показывают, что
одному миллиметру этого расстояния соответствовало примерно 1000 квадратных саженей площади). Измерив циркулем расстояние Be, можно было по линейному масштабу определить соответствующую площадь. Важно, что таким образом
можно было более точно определить площадь треугольника
и в случаях, когда она была равна нецелому числу десятин
(вместо интерполяции «на глаз»).
A
K
v
u
w
l
d
С
g
e′
f′
g′
k′
l′
m′
t′
x
s
n′
e′
y
x
p′
e″
t
B
r
e
f
g
k
l
mo t
p x′
e″
D
Рис. П1.9
Суммирование отдельных площадей проводилось следующим образом.
На листе бумаги проводилось несколько параллельных линий: AB, CD и др., каждая длиной по 10 дюймов (рис. П1.10). На
эти линии последовательно переносились циркулем расстояния от точки В до кривых линий, соответствовавшие каждому
треугольнику1. Все расстояния (AK, KL и др.) суммировались
(возможно, с переходом на следующую линию). В результате количество «полных» линий соответствовало числу сотен
1
В том числе и до линий для целого числа десятин.
https://liveinternet.club
399
Как определяли площадь в XIX веке
десятин, а общая длина отложенных отрезков на «неполной»
линии – меньшим значениям площади (десятин, сотен и десятков квадратных саженей).
Рис. П1.10
Итак, были описаны приспособления и приборы, позволявшие находить площадь фигуры при ее разбиении на треугольники.
Другой способ определения площади фигуры заключался
в следующем. В измеряемом участке (см. рис. П1.11) проводили прямую AB, на которой восстанавливались перпендикуляры на равном расстоянии. Значение площади получали,
используя так называемую «формулу Симпсона»:
(1/3)х[(y0 + yп) + 4(y1 + y3 + y5 + … + yn–1 +)
+ 2(y2 + y4 + y6 + … + yn–2)],
где x – расстояние между перпендикулярами; y0 и yп – длина
крайнего левого и крайнего правого перпендикуляров соответственно; остальные значения – длины перпендикуляров
с четными и нечетными индексами. Если y0 или yп оказывались равными нулю (как на рис. П1.12), то формула, конечно,
упрощалась. Расчеты упрощались еще более, когда измеряемую фигуру на рис. П1.11 рассматривали как набор трапеций
с одной и той же высотой1.
1
Конечно, при этом возникала бóльшая, чем при применении формулы Симпсона, погрешность результата измерений.
https://liveinternet.club
400
Приложение 1
Рис. П1.11
В таких случаях было достаточно найти сумму длин всех
перпендикуляров, кроме крайних, и прибавить к ней полусумму длин крайних перпендикуляров. Значение общей суммы
с учетом известного постоянного расстояния между перпендикулярами и масштаба карты позволяло рассчитать искомую
площадь. Вместо измерения длин перпендикуляров проводили также измерения средней линии трапеций, которыми
были полосы, ограниченные перпендикулярами. Как при этом
площадь зависела от размеров указанных линий, предлагаем
читателям установить самостоятельно. Чтобы не проводить
линии на карте (плане), использовали так называемую «волосяную сеть». Она представляла из себя деревянную или металлическую рамку, на которой через одно и то же расстояние
были натянуты тонкие конские волоски [9].
Использовали также прозрачную бумагу с начерченными
на ней равноотстоящими параллельными линиями, попеременно окрашенными в красный и синий цвет [9]. Описанный
метод называли «метод арфы». В любом случае при таком методе приходилось проводить достаточно большой объем расчетов. Для их упрощения использовали специальный масштаб
(см. сноску 7). Допустим, что расстояние между перпендикулярами «арфы» составляло 0,24 дюйма. При масштабе карты
https://liveinternet.club
401
Как определяли площадь в XIX веке
100 саженей на дюйм это расстояние соответствовало 24 саженям. Так как одна десятина площади была равна 2400 квад
ратных саженей, то при принятом расстоянии между перпендикулярами ей соответствовало 100 саженей реальной длины
перпендикуляров, которым на бумаге соответствовал один
дюйм. Учитывая это, на некоторой линии (масштабе) через
каждый дюйм делались метки и соответствующие надписи
(см. рис. П1.12). Длину каждого перпендикуляра (или средней
линии трапеции) на «арфе» измеряли с помощью циркуля,
а их сумму откладывали на проведенном масштабе. Длина общего отрезка отложенных длин определяла искомую площадь.
Если полученное число десятин было нецелым, то количество
квадратных саженей можно было определить, использовав
треугольник, аналогичный показанному на рис. П1.4 (высота
меньшего катета принималась равной одному дюйму).
1
2
3
4
Рис. П1.12
Конечно, несмотря на использование всех описанных приборов и методов, объем построений и измерений при определении площади фигур был значительным. Желательно было
применять приборы, показывающие значение искомой площади, подобно тому, как показывали значение длины линии
произвольной формы так называемые «курвиметры». И такие
приборы, так называемые «планиметры», были созданы.
П1.2. Обводные планиметры
П1.2.1. Немного теории
Наибольшее распространение получили планиметры, которые будем называть «обводными», поскольку при их использовании проводится обвод контура измеряемой фигуры1.
1
Были разработаны также планиметры, основанные на измерении
площади путем разбиения измеряемой фигуры на трапеции одинаковой высоты (см. о методе арфы выше).
https://liveinternet.club
402
Приложение 1
Они состоят из двух шарнирно соединенных рычагов – внут
реннего и внешнего. На конце внешнего рычага закреплен
вертикальный стержень-«курсор», которым обводится контур
фигуры, площадь которой измеряется. В зависимости от особенностей движения внешнего рычага (на рис. П1.13–П1.14 –
EM) различают1:
1) линейные обводные планиметры (для краткости в дальнейшем будем использовать термин «линейные планиметры»);
2) полярные обводные планиметры («полярные плани
метры»).
M
y
C
S
E
b
O
x
Рис. П1.13. Общая схема
линейного планиметра
В первых конец E рычага движется по прямой. В полярных
планиметрах (см. рис. П1.15) рычаг EM соединен с внутренним рычагом OE, другой конец которого O находится в некотором фиксированном положении (полюсе).
1
Отдельную разновидность обводного планиметра представляет
так называемый «планиметр-топорик» (см. раздел 10.7).
https://liveinternet.club
403
Как определяли площадь в XIX веке
M
y
C
a
x
O
S
b
E
Рис. П1.14. Общая схема полярного планиметра
Рассмотрим простой пример – использование линейного
планиметра для определения площади прямоугольника ABCD
(рис. П1.15).
B″
C
B
M
A″
B′
Q
D
A
P
E
A′
Рис. П1.15. Схема движения рычага EM
при обводе линии AВ
https://liveinternet.club
404
Приложение 1
При перемещении «курсора» от точки A к точке B рычаг EM
перемещается по светло-серому параллелограмму. Нетрудно увидеть, что его площадь равна площади прямоугольника
A″ABB″ (запомним это). С другой стороны, площадь светлосерого параллелограмма равна EM × PQ, где PQ – высота этого
параллелограмма. Если на рычаге EM установить колесо, ось
которого параллельна EM, то при указанном перемещении
расстояние, пройденное колесом (в направлении, перпендикулярном EM), и будет равно PQ. Это значит, что площадь прямоугольника A″ABB″ определяется двумя значениями – длиной рычага EM и расстоянием, пройденным колесом.
Движение рычага EM можно разложить на движение, перпендикулярное EM, заставляющее колесо вращаться, и движение, параллельное EM, вызывающее скольжение колеса, не
влияющее на его показания. При перемещении «курсора» от
точки C к точке D рычаг EM движется по темно-серому параллелограмму (см. рис. П1.16), площадь которого, с одной
стороны, равна площади прямоугольника D″DCC″, а с другой –
произведению длины рычага EM на расстояние, пройденное
колесом в этом случае. При этом обратим внимание на то,
что в данном случае колесо будет вращаться в направлении,
противоположном первому перемещению.
C″
C
B
M
D″
D
A
C′
E
D′
Рис. П1.16. Схема движения рычага EM
при обводе линии CD
https://liveinternet.club
Как определяли площадь в XIX веке
405
Так как разность площадей прямоугольников A″ABB″
и D″DCC″ равна площади измеряемой фигуры, то можем сказать, что искомая площадь прямоугольника ABCD равна разности площадей двух цветных параллелограммов. Если колесо
связать с некоторым измерительным механизмом со счетчиком, фиксирующим пройденное расстояние, то тогда искомую
площадь прямоугольника ABCD можно определить как произведение этого расстояния на длину рычага EM.
«Как же так, – спросите вы, – ведь при обводке контура ABCD
есть еще перемещения от B к C и от D к A, которые не были
учтены!» Дело в том, что движения по BC и по DA одинаковы,
но противоположны, поэтому они компенсируют друг друга,
не влияя на показания счетчика.
Итак, важный вывод: в данном случае искомая площадь
определяется показанием счетчика пройденного расстояния
и размером рычага EM.
Приведенные выше рассуждения можно распространить
и на измерение площади фигур, в контуре которых есть
и кривые линии. В таких случаях, кроме поступательных
перемещений рычага EM, будут происходить и его повороты
относительно точки E. Однако и это перемещение будет фиксироваться счетчиком.
Можно подобрать такие размеры колеса, рычага EM и деталей, связывающих колесо со счетчиком, при которых счетчик планиметра будет показывать не пройденное расстояние,
а площадь измеряемой фигуры на плане (карте) или реальную
площадь участка земли. Указанные обстоятельства и лежат
в основе конструкции и работы обводных линейных планиметров.
Подробные комментарии к теории использования полярных планиметров приведены в [10–12].
П1.2.2. Линейные планиметры
Идея обводного линейного планиметра была впервые предложена баварским землемером Иоганном Мартином Герма-
https://liveinternet.club
406
Приложение 1
ном в 1814 году1. Герман изготовил один экземпляр планимет
ра и пользовался им в своей работе. Но описание устройства
Герман не опубликовал, и об этой работе стало известно только через много лет.
Планиметр Германа не сохранился, до наших дней дошел
только один чертеж, выполненный самим изобретателем
(рис. П1.17).
Рис. П1.17. Чертеж линейного планиметра Иоганна Германа
В 1824 г. независимо от Германа конструкцию линейного
планиметра разработал известный итальянский математик,
физик и изобретатель Тито Гонелла. Его описание дважды,
в 1825 и 1841 гг., было издано во Флоренции (рис. П1.18).
В 1851 г. планиметр Гонеллы был удостоен высшей награды
на Всемирной выставке в Лондоне, но практического применения не получил – возможно, из-за сложности его изготовления с достаточной точностью. Планиметр, подаренный
1
Эффектная анимация, демонстрирующая устройство и использование планиметра Германа, представлена по адресу: https://www.
youtube.com/watch?v=XQXO6edF6sA&ab_channel=calculatryx.
https://liveinternet.club
Как определяли площадь в XIX веке
407
изобретателем Великому герцогу Тосканскому, к сожалению,
не сохранился.
Рис. П1.18. Чертежи линейного планиметра Тито Гонеллы
Оригинальную конструкцию линейного планиметра создал швейцарский инженер Иоганн Оппикофер в 1826 г.
(рис. П1.19). Его соотечественник геодезист Каспар Ветли разработал в 1849 г. свой планиметр (рис. П1.20) – как и планиметр Гонеллы, он был удостоен награды Всемирной выставки
1851 г. В 1855 г. известный немецкий астроном Петер Ганзен
усовершенствовал его конструкцию, и этот планиметр получил известность как планиметр Ганзена–Ветли (рис. П1.21).
https://liveinternet.club
408
Приложение 1
Рис. П1.19. Линейный планиметр Иоганна Оппикофера
Рис. П1.20. Линейный планиметр Каспара Ветли
Рис. П1.21. Линейный планиметр Ганзена–Ветли
https://liveinternet.club
Как определяли площадь в XIX веке
409
К концу столетия множество крупных и мелких фирм
в больших количествах изготавливали планиметры самых
разных конструкций. Наиболее известными производителями
планиметров были компании Якоба Амслера, ведущая свою
историю с 1867 г. американская компания Keuffel and Esser
(K&E) (один из выпускавшихся ею линейных планиметров
показан на рис. П1.22), основанная в 1880 г. в Цюрихе фирма
Готлиба Коради и другие.
Но со временем линейные планиметры вышли из употреб
ления и были заменены более точными и более простыми конструктивно полярными планиметрами.
Рис. П1.22. Линейный планиметр фирмы K&E
П1.2.3. Полярные планиметры
Конструкцию полярного планиметра предложили почти
одновременно независимо друг от друга в середине 50-х годов
XIX века швейцарский математик Якоб Амслер (см. рис. П1.23)
и многократно упоминавшийся выше П. А. Зарубин (см.
рис. П1.24).
https://liveinternet.club
410
Приложение 1
Рис. П1.23. Полярный планиметр Якоба Амслера
Рис. П1.24. Полярный планиметр П. А. Зарубина
В течение следующего столетия было разработано и выпус
калось множество полярных планиметров разных конструкций. На рис. П1.25 показан один из планиметров середины
XX века. Обратим внимание, что полюс внутреннего стержня
выполнен массивным для обеспечения неподвижности по-
https://liveinternet.club
Как определяли площадь в XIX веке
411
люса во время измерений (поскольку на карте иголку использовать нежелательно).
В конце прошлого века на смену механическим пришли современные электронные (цифровые) планиметры. Они тоже
являются полярными (рис. П1.26).
Рис. П1.25. Полярный планиметр середины XX века
Рис. П1.26. Современный цифровой планиметр
В заключение заметим (читателям, знакомым с понятием
«интеграл»), что все обводные планиметры по сути являются приборами для вычисления определенного интеграла (как
известно, определенный интеграл функции может быть рассмотрен как площадь под графиком этой функции в заданном
интервале).
Литература
1. Андреев М. Низшая геодезия, или Руководство для производства разного рода съемок и нивелирования. СПб., 1875.
2. Зарубин П. А. Руководство к практическому употреблению
вновь изобретенных инструментов и способов, относящих-
https://liveinternet.club
412
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Приложение 1
ся до исчисления площадей планов, составленное самим
изобретателем, П. Зарубиным. СПб., 1854.
Бик А. Курс низшей геодезии. М., 1896.
Ющенко С. А. О трех русских инструментах // Вестник инженеров и техников. 1953. № 1.
Новый способ исчисления площадей планов и построения
фигур нарезок посредством Ручного Планиметра, инструмента, изобретенного Ермаковым. М., 1848.
Гипербола (математика) // https://ru.ruwiki.ru/wiki/Гипербола_
(математика).
Отечественные записки. 1848. № 12.
Вспомогательный способ для исчисления площадей планов и построения фигур нарезок, что с удобством проводится без всяких арифметических действий посредством
паллетки-планиметр, изобретенной межевым инженером
Ив. Устимович. СПб., 1896.
Пославский М. Низшая геодезия. Популярное руководство
к съемке и нивелировке. Саратов, 1893.
Источники иллюстраций
Рис. П1.17 Deutsches Museum, München (courtesy J. Fischer) / Care
C. A Chronology of Analogue Computing. The Rutherford
Journal, Volume 2, 2006–2007
Рис. П1.18 Tito Gonnella, Opuscoli Matematici, 1841
Рис. П1.19 Science Museum, London / Care Ch. A Chronology of
Analogue Computing. The Rutherford Journal, Volume 2,
2006–2007
Рис. П1.20 www.si.edu
Рис. П1.21 CNAM
Рис. П1.22 Wheatley J. Polar planimeter. 1908. P. 96
Рис. П1.23 Nol Aders/Wikimedia Commons, CC BY-SA 3
Рис. П1.24 Орловский краеведческий музей
Рис. П1.25 Twdragon / Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0
Рис. П1.26 avrora-arm.ru
https://liveinternet.club
Приложение 2
Методики построения
треугольникас «базовым»
основанием и с «базовой»
высотой, равновеликого
с заданным треугольником
Задача 1
Дан треугольник. Используя только линейку без делений
и чертежный треугольник (также без делений) 1, поcтроить
равновеликий с ним треугольник с заданным основанием.
Решение
Опишем два возможных случая.
1. Заданное основание больше каждой из сторон заданного треугольника.
1
Эти два инструмента используются для проведения параллельных
линий.
https://liveinternet.club
414
Приложение 2
Один из возможных вариантов решения следующий.
Построим заданное основание AD на продолжении стороны
АВ, например так, как показано на рис. П2.1.
C
A
B
D
Рис. П2.1
Соединим точки D и С и проведем прямую ВЕ, параллельную СD:
C
E
A
B
D
Рис. П2.2
Треугольник ADE (см. рис. П2.3) будет равновеликим с исходным треугольником АВС (почему – установите самостоятельно).
C
E
h
A
B
Рис. П2.3
D
https://liveinternet.club
415
Методики построения треугольника
2. Заданное основание меньше каждой из сторон заданного треугольника.
Здесь также возможны несколько вариантов решения задачи. Опишем один из них.
Построим заданное основание AD на основании АВ, например так, как показано на рис. П2.4.
C
A
D
B
Рис. П2.4
Соединим точки D и С и проведем прямую ВЕ, параллельную СD, до пересечения с продолжением АС в точке Е:
E
C
A
D
B
Рис. П2.5
Треугольник ADE (см. рис. П2.6) будет равновеликим с исходным треугольником АВС (также убедитесь в этом).
https://liveinternet.club
416
Приложение 2
E
C
A
D
B
Рис. П2.6
Задания
Решите указанную задачу для двух рассмотренных вариантов, построив заданное основание:
а) на стороне АС;
б) на стороне ВС.
Задача 2
Дан треугольник. Используя только линейку без делений
и чертежный треугольник (также без делений), поcтроить равновеликий с ним треугольник с заданной высотой.
Возможны два случая:
1) заданная высота меньше каждой из трех высот заданного треугольника;
2) заданная высота больше каждой из трех высот заданного треугольника.
Решение для первого случая показано на рис. П2.7, для второго – на рис. П2.8. В их особенностях разберитесь самостоя
тельно.
Примечание. На обоих рисунках HD – заданная высота.
https://liveinternet.club
417
Методики построения треугольника
C
D
F
A
E
H
B
Рис. П2.7
D
E
C
A
H
Рис. П2.8
F
B
https://liveinternet.club
Приложение 3
О построении
треугольника,
равновеликого с заданным
многоугольником
В приложении 1 говорилось о том, что одним из методов
определения площади неправильного многоугольника была
его замена равновеликим с ним треугольником. Опишем особенности этого метода.
Задача 1
Дан четырехугольник (см. рис. П3.1). Используя только линейку без делений и чертежный треугольник (также без делений), поcтроить треугольник, равновеликий с ним.
B
C
A
D
Рис. П3.1
https://liveinternet.club
419
О построении треугольника
Один из возможных вариантов решения следующий (см.
рис. П3.2).
Соединим вершины В и D и проведем от вершины С линию,
параллельную BD:
B
C
A
D
Рис. П3.2
Соединим вершину В с с точкой Е пересечения проведенной
линии и продолжения отрезка AD:
B
C
A
D
Е
Рис. П3.3
Полученный треугольник АВЕ будет равновеликим с исходным четырехугольником АВСD. Почему?
Задание
В приведенном примере из четырехугольника «удалялась»
сторона CD. Опишите методику преобразования его в равновеликий с ним треугольник путем «удаления» из четырех
угольника:
стороны АВ;
стороны ВС;
стороны АD.
Задача 2
Дан пятиугольник (см. рис. П3.4). Используя только линейку
без делений и чертежный треугольник (также без делений),
https://liveinternet.club
420
Приложение 3
поcтроить треугольник, равновеликий с ним.
C
B
D
А
E
Рис. П3.4
Решение показано на рис. П3.5. Результатом является треугольник АВG.
C
B
D
А
E
F
G
Рис. П3.5
Комментарий
Сначала из пятиугольника «удаляется» вершина D – получается четырехугольник АВСF. Затем «удаляется» вершина C –
получается точка G.
В заключение заметим, что впервые метод замены неправильного многоугольника равновеликим с ним треугольником
был описан в книге, обложка которой представлена на врезке
на стр. 351. На стр. 230 этой книги приведен чертеж, иллюст
рирующий методику построения треугольника ADF, равновеликого с заданным четырехугольником ABCD (см. рис. П3.6).
Еще более сложный пример преобразования фигуры в равновеликий треугольник был представлен в четырехтомном
https://liveinternet.club
421
О построении треугольника
труде «Практическая геометрия» («La Geometrie Pratique»)
французского картографа и военного инженера Алена Манессон-Малле, изданном в 1702 году (см. рис. П3.7).
Рис. П3.6
Рис. П3.7
По рис. П3.5 и П3.7 видно, чем больше сторон в преобразуемом многоугольнике, тем больше становится основание равновеликого с ним треугольника, и границы этого треугольника
могли выходить за пределы карты, на которой проводились
построения. Чтобы устранить этот недостаток, применялся
следующий метод [1–2].
Пусть стоит задача заменить многоугольник AВС...О
(рис. П3.8) равновеликим с ним треугольником.
Справа от многоугольника выбирают такую сторону, например АВ, продолжение которой не пересекает многоугольник,
или берут какую-нибудь линию MN, проходящую через выступающую вершину В. На этих линиях и должно лежать основание полученного треугольника.
https://liveinternet.club
422
Приложение 3
Рис. П3.8
Итак, предположим, что взята линия MN. В противоположной части многоугольника выбирают такую точку I, которая
должна служить вершиной будущего треугольника.
1. Прикладывают угольник к точкам D и F и, перемещая его
по линейке, двигают вверх до вершины Е.
В этот момент на пересечении ребра треугольника с линией
MN отмечается точка е. В результате линия Fe заменяет собою
ломаную линию DEF, так как треугольник FЕВ является равновеликим с треугольником FeD.
https://liveinternet.club
О построении треугольника
423
Можно сказать, что линия Fe заменяет собою ломаную линию DEF (из заданного многоугольника была «удалена» вершина Е).
2. Далее аналогично «удаляется» вершина F. Это ребро
треугольника совмещают с точками е и G и отодвигают треугольник по линейке до вершины F. На пересечении ребра
треугольника с линией МN (в точке f ) также делают отметку.
В результате линия Gf заменит собою ломаную линию GFe, то
есть ломаную линию GFED.
3. Затем последовательно «удаляются» (таким же образом):
вершина G, и делается отметка в точке g;
вершина Н, и делается отметка в точке h.
В результате линия Ih заменяет собою всю ломаную DE... HI,
не изменив площади исходного многоугольника.
4. Аналогичным образом заменяется «нижняя» ломаная
DCB...KI (прямой Нс), при этом на прямой MN последовательно получаются точки: с, b, a, о, l, к.
Итак, многоугольник ABG...OA превращен в равновеликий
треугольник Ihk (точка h – последняя из полученных в первой
части построений, точка k – во второй части).
Можно увидеть, что в приведенном решении «удаление»
вершин заданного многоугольника происходило отдельно для
вершин, находившихся от точки D против часовой стрелки
и по ней.
В заключение заметим, что в одной математической книге,
изданной в 1829 году [3], приведен треугольник, равновеликий
со сложным 32-угольником (!), – см. рис. П3.9. Правда, соответствующее преобразование было проведено с использованием
специального прибора, облегчавшего установку линейки под
тем или иным углом и проведение параллельных линий.
https://liveinternet.club
424
Приложение 3
Рис. П3.9 [3]
Литература
1. Бик А. Н. Курс низшей геодезии. Ч. 2. М., 1892.
2. Ларионов В. П. Учебное пособие по предмету низшей геодезии. Отдел II. М., 1869.
3. Zaremba J. Planimetr. Narzędzie jeometryczne wymierzające
powierzchnią wszelkich figur prostokreślnych bez wykreślenia
i rachunku (Планиметр. Геометрический инструмент, измеряющий площадь многоугольников без вычислений), 1829.
(На польском языке.)
https://liveinternet.club
О построении треугольника
425
Источники иллюстраций на врезках
1. Врезки на стр. 179 и 199 – https://www.apmep.fr/IMG/pdf/
AAA14053.pdf.
2. Врезки на 224, 259 и 279 – https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/
bpt6k62761670/f31.item.texteImage.zoom.
3. Врезка на стр. 135 – из книги Я. И. Перельмана «Занимательная геометрия». М.; Л., 1950.
https://liveinternet.club
Книги издательства «ДМК Пресс»
можно купить оптом и в розницу
на складе издательства по адресу:
Москва, ул. Электродная, д. 2, стр. 12, офис 7,
тел. +7 (499) 322-19-38,
а также заказать на сайте www.dmkpress.com
с доставкой в любой регион РФ
Златопольский Дмитрий Михайлович
Увлекательная геометрия
Главный редактор
Яценков В. С.
Корректор
Верстка
Дизайн обложки
Синяева Г. И.
Чаннова А. А.
Мовчан А. Г.
editor@dmkpress.com
Гарнитура PT Serif. Печать цифровая.
Усл. печ. л. 26,63. Тираж 200 экз.
Веб-сайт издательства: www.dmkpress.com
https://liveinternet.club