/
Текст
Ф. ХАУСДОРФ
Т Е О Р И Я МНОЖЕСТВ
ПЕРЕВОД С НЕМЕЦКОГО
Н. Б. ВЕДЕНИСОВА
ПОД РЕДАКЦИЕЙ И С ДОПОЛНЕНИЯМИ
ПРОФ. П. С. АЛЕКСАНДРОВА И ПРОФ. А. Н. КОЛМОГОРОВА
S
о,
о
ю
t-
<в
I
ОБЪЕДИНЕННОЕ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО НКТП СССР
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ Т Е X Н Н К О-Т Е О Р Е Т И Ч К С К О Й ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1937 ЛЕНИНГРАД
T 21-5-4
ТКК № 85
К ЧИТАТЕЛЮ
Издательство просит присылать Ваши замеча-
замечания и отзывы об этой книге, по адресу: Москва,
Центр, Третьяковский проезд, 1. Главной редакции
технико-теоретической литературы ОНТИ.
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
„Теория множеств" Хаусдорфа принадлежит к тем, исчисляющимся
единицами, классическим произведениям математической литературы,
которые не только подводят итоги целому периоду в развитии данной
дисциплины, но и намечают пути дальнейшего исследования.
Когда говорят о „Теории множеств" Хаусдорфа, то, собственно,
имеют в виду две книги: первое издание, вышедшее в 1914 г. под
названием „Grundzflge der Mengenlehre", и второе издание, вышедшее
в 1927 г. и озаглавленное просто „Mengenlehre ". Эти две книги
настолько отличаются друг от друга по своему содержанию, что должны
быть рассматриваемы как два произведения математической литературы,
а не как два издания одной и той же книги. Наиболее существенными
отличиями этих двух книг являются следующие: 1° теория топологических
пространств, являющаяся основой изложения в первом издании и впервые
систематически построенная Хаусдорфом, во втором издании представлена
лишь одним параграфом: все изложение теории точечных множеств ве-
ведется во втором издании для метрических пространству 2° во втором
издании отсутствует теория' меры и лебеговского интеграла, а также
топология эвклидовой плоскости и n-мерного пространства; 3° во втором
издании прибавлена — и при том в мастерском изложении — теория
А-множеств С^услина [в настоящем переводе эти множества в соответ-
соответствии с терминологией, принятой Хаусдорфом, называются по имени
открывшего их „МА 3._Суслииа (род. в 1894 г., ум. в_,19,1?__г.) суслин-
скими множествами].
Причины, приведшие автора к отказу, во втором издании, от столь
обширного материала, входившего в первое издание, ивложены им в
предисловии ко второму изданию: оии в основном состоят в требовании
сокращения объема, которое автору было предъявлено его издателем.
Несомненно, что отказ от топологического построения теории точечных
множеств, составлявшего одно из наиболее блестящих достижений пер-
первого издания книги Хаусдорфа, является большим ущербом: сам автор
говорит в своем предисловии с явным сожалением о необходимости
пойти на это.
Редакторы русского перевода решили восстановить этот ущерб, нане-
нанесенный книге соображениями внешнего характера: поддержанные в этом
отношении ОНТИ, они решили вернуться к топологической точке зрения,
создавшей по справедливости такую большую славу первому изданию
книги. Таким образом мы сделали попытку соединить большие достоин-
достоинства второго издания—достоинства, заключающиеся прежде всего
в окончательной логической отделке и отшлифовке всего материала, —
с преимуществами первого издания. Однако невозможно было достичь
4 ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
поставленной цели, механически воспользовавшись текстом первого изда-
издания: как раз это первое издание было стимулом настолько мощного раз-
развития теории топологических пространств, что теория эта теперь
выглядит совершенно не так, как выглядела она в 1914 г., когда
появилось в свет первое издание книги Хаусдорфа. Переделывая та-
таким образом главы второго издания, посвященные общей (топологи-
(топологической) теории множеств, мы должны были их привести к уровню cor
временной теории топологических пространств. Соответствующее этому
требованию изложение этой теории только что было сделано одним из
вас в книге Alexandroff und Hopf, Topologie I (главы I и_П). Этим
изложением (с некоторыми сокращениями) и естественно было восполь-
воспользоваться. Трудную задачу согласования этого материала со всем осталь-
остальным материалом книги Хаусдорфа, разнесения его по уже дайной схеме
этой книги, слияния его с оставшимися главами Хаусдорфа в одно
целое—взял на себя и, как нам кажется, превосходно разрешил Н. Б.
Ведеиисов. Вся эта работа, далеко выходящая, конечно, за рамки обыч-
обычного труда переводчика, проведена Н. Б. Веденисовым при нашем по-
постоянном редакционном участии и, естественно, всецело под нашей и
только нашей ответственностью.
, Кроме того, в соответствии с новейшими исследованиями самого
; Хаусдорфа, А. Н. Колмогорова, Л. В. Канторовича и Е. М. Ливенсона,
переработаны параграфы, относящиеся к операциям над множествами и
| их применениям. Нам кажется, что эта переработка сделана в духе об-
' щих устремлений книги Хаусдорфа.
Наконец, в виде особого приложения мы сочли целесообразным дать
перевод статьи самого Хаусдорфа о линейных пространствах. В послед-
последний момент мы узнали, что Хаусдорф в третьем немецком издании так-
также решил ввести главу, посвященную этому предмету. Таким образом,
несмотря на то, что — как следует из сказанного — книга Хаусдорфа
подверглась в наших руках значительной переработке, мы надеемся иа
то, что остались в полной мере верны духу подлинника. Наша задача
была — дать в руки советскому читателю книгу, во всем основном и
существенном заменяющую и первое и второе издания книги Хаусдорфа,
и сохранить при этом весь тот текст подлинника, который можно было
сохранить, оставаясь на уровне сегодняшнего дия в теории множеств. •
Если эта задача решена нами сколько-нибудь удовлетворительно, то
читатель получит в руки действительно капитальное руководство по
теории множеств, изучив которое, он окажется вполне подготовлен-
подготовленным для чтения сколь угодно специальной литературы по этой дисцип-
дисциплине и для посильного участия в ее дальнейшей разработке.
П. Александров
А. Колмогоров
Б олшево-Комаровка
7 августа 1936 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Предлагаемая книга ставит своей целью изложить важнейшие тео-
теоремы теории множеств так, чтобы ее прочтение не требовало обраще-
обращения к посторонним источникам и, наоборот, могло служить более глу-
глубокому проникновению в обширную литературу вопроса. Она не пред-
предполагает в читателе никаких мщфи^ических позианий более высоких,?
чем знакомство с элементами диференциального и интегрального исчис-
исчислений, но требует некоторой остроты абстрактного мышления и может
быть с пользой прочитана студентами средних семестров. Более трудные
вопросы, помещенные в конце отдельных глав, могут быть опущены
в первом чтении. Читатель, желающий ознакомиться только с простей-
простейшими фактами теории точечных множеств, может после беглого ознаком-
ознакомления с первыми двумя главами обратиться прямо к шестой. Для спе-
специалистов я надеюсь дать нечто новое, хотя бы с формальной точки
зрения, особенно в уточнении предложений, упрощении доказательств
и в устранении ненужных ограничений.
Выбор материала в такой обширной, еще и в настоящее время раз-
развивающейся области по необходимости должен носить несколько субъ-
субъективный характер и оставить невыполненными пожелания многих (в том
числе н автора): учебник не может стремиться к полноте реферата. К
этому еще присоединяется то обстоятельство, что внешние рамки,
в когорых появляется снова'эта книга, требовали сильного уменьшения
размера против первого издания (Grundzuge der Mengenlehre, Leipzig
1914), что сделало необходимыми частные изменения, от которых я пе-
перешел к полной переработке. Мне показалось, что из рассматривав-
рассматривавшихся раньше вопросов я легче всего могу пожертвовать теорией упо-
упорядоченных множеств, несколько изолированно стоящей (сохранив, од-
однако, небольшое извлечение из нее), и, далее, введением в лебеговскую
теорию меры и интегрирования, в изложениих которой нет недостатка.
Может быть, больше, чем об этих сокращениях, следует сожалеть о том,
что в целях дальнейшей экономии объема я пожертвовал топологической
точкой зрения в теории множеств, повидимому, доставившей так много
друзей первому изданию, и ограничился более простой теорией метри-
метрических пространств; беглый обзор теории топологических пространств
не может служить достаточной заменой. Наконец, я ограничил общность
не только сверху, но и снизу и опустил специальную теорию эвклидов-
ских пространств (например теорему Жордана о плоских кривых), т. е.
почти bqa, что основано на аппроксимирующих полигонах и полиэдрах^
в книге можно найти некоторое количество теорем об эвклидовском
пространстве, но только таких, которые имеют в нем место как в част-
частном случае метрических или полных или локально связных и т. п. про-
г ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
странств. Этим сокращениям противопоставляется более полное рассмот-
рассмотрение борелевских и открытых в 1917 г. суслинских множеств, а так-
также бэровских функций; подробнее, чем раньше, рассмотрены также не-
непрерывные отображения и гомеоморфия. Так же, как и раньше, я не вда-
вдавался в обсуждение антиномий и критику основ. Между старой и новой
книгами имеется некоторое различие в терминах и обозначениях, в кото-
которых по большей части и до сих пор господствует несогласованность,
порой приводящая к недоразумениям; там, где я нашел это уместным,
я принял во внимание предложения других авторов, но часто не видел
никаких причин отклоняться от своих привычек.
Г-н Н. Hahn взял на себя большой труд полиостью прочесть кор-
корректуру и оказал мне помощь многими критическими замечаниями и
¦ ценными улучшениями. За многие советы и указания я благодарю
Ш. С. Александрова. Г-ну Серпинснойу'я обязан за письменные сооб-
сообщения и посылку корректур вновь появляющихся работ. Рисунки выпол-
выполнил г-н Е. A. Weiss. Всем этим коллегам я высказываю сердечную бла-
благодарность.
Предварительные замечания
Все действительные числа (точки числовой пряной), удовлетворяющие
неравенству а <: х^ Ь, образуют по определению сегмент, который мы
будем обозначать [а, Ь\; действительные числа, удовлетворяющие нера-
неравенству а < х < Ь, образуют интервал, который мы будем обозначать
(а, Ь). Множества чисел, определяемых неравенствами а ^ х < Ь и
а < х ^ Ь, мы будем обозначать соответственно [а, Ь) и (а, Ь] и
употреблять в обоих случаях равносильные термины: полуинтервал и
полусегмент. Для обозначения бесконечных в одну сторону интервалов
и полусегментов мы вводим несобственные точки (числа) -J- оо, — оо,
которые не причисляются к соответствующим множествам; таким образом
[а,+оо), (а,+оо), (— со,Ь), (—оо,&)
суть соответственно множества чисел х, определяемые условиями
х>а, х>а, х<&, х< Ь;
(— оо, + оо) есть множество всех действительных чисел (полная прямая).
Наибольшее и наименьшее из конечного множества действительных
чисел х1( х2,..., Хп называется соответственно их максимумом и мини-
минимумом и обозначается
max fo, хя,...,Хп], min [хъ xz>... ,х„],
Например:
max [2, — 3] = 2, min [2, — 3] = — 3, max [2,2] =* min [2,2] = 2.
Так же обозначается наибольшее и наименьшее из бесчисленного мно-
множества действительных чисел, если только оно существует.
Например, у множества чисел вида —, где п — любое целое число,
есть max 1,-тг,,* •'»—. ' •' — *• а минимума не существует.
Если последовательность действительных чисел ограничена сверху,
т. е. если существуют такие числа у, что v > х„ при любом п, то среди
этих чисел v существует наименьшее vv Оно называется верхней гранью
(Вейерштрасс) последовательности чисел хп; мы будем его обозначать:
l>! = sup [хг, хя, ...]«= sup Хп1).
Наприцер, sup 0, -$¦, -^ , •• ¦ = sup " = 1.Если последовательность
имеет максимум, то этот последний совпадает с верхней гранью. Совер-
J) sup — первые буквы слова supremum. К^4ШШЫЛ4 ^i
8 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
шенно так же определяется нижняя грань последовательности ограни-
ограниченной снизу:
их = inf [х,, х„ ...] = inf Xn1).
Подобные же обозначения будем употреблять и для таких числовых
множеств, которые не заданы в форме последовательности, например
sup /(х)
В случае ограниченной сверху последовательности xlt х2, |.. при
любом л существуют верхние грани:
у„ = sup [х„, xn+i, х„+2, • • •],
причем Vi^Vi^:..', если эти уп ограничены снизу и, следовательно,
имеют нижнюю грань у, то эта последняя называется верхним пределом
(limes superior) и обозначается:
y = limsup xn = limxn.
Соответственно определяется нижний предел (limes inferior):
и = lim inf Xn = litn Xn.
В случае если условие ограниченности не имеет места, мы будем
употреблять знаки ± °°. Например, если последовательность хп ие
ограничена сверху, .полагаем lim Хп — + °°> SUP Xn= + оо; для огра-
ограниченной сверху последовательности х„, у которой вышеопределенные
верхние грани vn не ограничены снизу, полагаем lim Х^ = — оо.
Для обозначения сходимости последовательностей чисел и функций
мы будем, как правило, употреблять стрелку, например:
х„—х равносильно lim xn = г,
точно так же будем поступать в случае расходимости в собственном
смысле слова (хп-+ + оо, х„-»'—оо).
Некоторое утверждение относительно натурального числа выполняется
в конце концов или для-почти всех п (G. Kowalewski), если оио спра-
справедливо, начиная с некоторого определенного л (л > п0), иначе говоря, если
оно справедливо для всех л, за исключением конечного числа значений л.
Утверждение имеет место бесконечно часто, если оно справедливо дли
бесконечного множества значений «(например для л = 2, 4, 6, 8...). Когда
мы будем говорить о почти всех членах последовательности хп или о
бесконечном множестве ее членов, то при этом мы будем иметь в виду
члены Хп, соответствующие почти всем или бесчисленному множеству
значений л, независимо от того, различны эти члены или нет.
inf — первые буквы слова inflmum.
• ¦» » i
Глава 1
Множества и действия над ними
§ 1. Множества
Множество возникает путем объединения отдельных предметов (вещей)
в одно целое. Оно есть множественность, мыслимая как единство. Если
бы эти или подобные им высказывания выставлялись в качестве опреде-
определений, то можно было бы вполне основательно возразить, что они
определяют idem per idem или даже obscurum per obscurius1).
Однако мы можем их толковать просто как указания на некоторый
первоначальный, всем свойственный акт мышления, который, быть может,
и нельзя, а может быть, и не нужно разлагать на другие, более простые
акты. Мы придерживаемся именно такой точки зрения и примем в каче-
качестве основного положения, что вещь М особым, не подлежащим опре-
определению образом, определяет собой вещи а, Ь, с,... и что, обратно, эти
последние также определяют М; это отношение между вещью М и
вещами а, Ь, с,... будем выражать словами: множество М состоит иа
вещей а, Ь, с,...
Множество М может состоять из некоторого натурального2) числа
вещей либо нет; соответственно этому оно называется конечным или
бесконечным. Примерами конечных множеств могут служить: множество
жителей данного города, множество атомов водорода в солнце, множество
натуральных чисел от 1 до 10 000; примерами бесконечных: множества
всех натуральных чисел, всех точек на прямой, всех кругов плоскости.
Бессмертная заслуга Георга Кантора A845—1918) в том, что он
отважился вступить в облаТтьИЖкТЙЯчного, не побоявшись ни внутрен-
внутренней, ни внешней борьбы не только с мнимыми парадоксами, широко
распространенными предрассудками, приговорами философов (infinitum
actu поп: datur), но и с предубеждением, высказанным многими великими
математиками. Этим самым он стал создателем новой наукн — теории
множеств (ибо рассмотрение конечных множеств — ие что иное, как эле-
элементарная арифметика и комбинаторика) — науки, которая в настоящее
время составляет основу всей математики. По нашему мнению, триумфа
канторовских идей не умаляет то обстоятельство, что появляющиеся при
слишком большой свободе в образовании множеств антиномии (противо-
(противоречия) еще ожидают своего разрешения.
х) Idem per idem — то же самое при помощи того же самого; 6bscurum per
obscurltA — темное при помощи еще более темного.
2) Натуральным называется целое положительное число.
10 МНОЖЕСТВА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
Основное отношение вещи а и множества А, которому она принад-
принадлежит, мы, следуя Пеано, будем выражать словами: а есть элемент А,
а формулой: а?А.
В противном случае скажем: а не есть элемент А и запишем а?А.
По определению два множества А и В равны: А = В (тождественны)
тогда и только тогда, когда каждый элемент А есть также и элемент В,
н наоборот (следовательно, когда эти множества имеют одни н те же
элементы). В силу этого множество однозначно определено своими эле-
элементами; пользуясь этим, мы будем обозначать множество его элементами,
заключенными в фигурные скобки, причем невыписанные элементы будем
заменять точками. Так,
А = {а}, А = {а, Ъ), А = [а, Ъ, с)
суть множества, соответственно состоящие из одного элемента а, двух
элементов а и Ь, трех элементов а, Ь и с;
есть множество, состоящее из элементов а, Ь, с и, может быть, еще
некоторых других. Каковы эти другие, обозначенные точками элементы,
должно быть, конечно, как-нибудь указано, например:
множество натуральных чисел {1, 2, 3,...},
множество натуральных четных чисел {2, 4, 6, . . .},
множество квадратов целых чисел {1, 4, 9,. ..},
множество степеней двух {1, 2, 4, 8, .. .},
множество простых чисел {2, 3, 5, 7,. . .}.
Теоретически необходимо различать вещь а и множество [а], содер-
содержащее только один элемент а (практически это иногда и не существенно),
хотя бы потому, что мы допускаем множества (системы), элементы
которых сами суть множества. Множество а = {1,2} состоит из двух
элементов 1, 2; множество {а} состоит из одного элемента а.
Для удобства мы введем также множество 0, которое не содержит
ни одного элемента и которое мы будем называть пустым множествомх).
По определению равенства™' множеств" 'ТущёТгвует только одно пустое
множество. А = О обозначает, что множество А не имеет ни одного
элемента, что оно пусто, что оно „исчезает". Если бы мы не ввели пустого
множества, нам часто пришлось бы, говоря о каком-нибудь множестве,
прибавлять оговорку: если оно существует. Ибо часто элементы множе-
множества бывают определены так, что неизвестно, существуют они нйи нет; на-
например, до сих пор неизвестно, пусто или нет множество натуральных
чисел п, для которых уравнение х"+2 + У"+г = 2П+2 разрешимо в нату-
натуральных числах (т. е. верна или нет знаменитая теорема Ферма).
Таким образом утверждение, что А = 0, может иногда иметь поло-
положительное познавательное содержание, хотя, конечно, часто сводится
к тривиальности; многим, а если не избегать искусственных ухищрений,
*) Будет ли символ 0 обозвачать пустое множество или число нульд всякий
раз будет ясно из контекста.
МНОЖЕСТВА 11
то даже и всем математическим предложениям можно придать форму
А = 0. Введение пустого множества продиктовано, следовательно, так
же как и введение числа 0, соображениями целесообразности; с другой
стороны, теперь приходится оговаривать при формулировке некоторых
теорем, что упоминаемые в иих множества не равны 0 (так же как это
имеет место и для чисел).
Если даны два множества А и В, то возникает вопрос о том, не
принадлежат ли элементы одного из иих также и другому. Пусть а и b
суть элементы соответственно множеств А и В; сперва рассмотрим
следующие две альтернативы:
каждое а?В, не каждое а?В,
каждое b ? А, 'не каждое b ? А.
Комбинируя их, мы приходим к следующим четырем возможным
случаям, из которых три первые записываются при помощи поставленных
рядом с ними формул:
A) Каждое а?В, каждое b?A: A = В.
B) Каждое а ? В, не каждое b ? А: Ас: В.
C) Не каждое а ? В, каждое b ? A: AziB.
D) Не каждое а ? В, ие каждое b ? А.
В случае A) множества равны по ранее данному определению1
В случае B) А содержит только элементы В, но не все, что характе"
ризует А как меньшее, В как большее множество; это, и выражается
обозначением А с. В, напоминающим обозначение а <Ь, употребляемое
в применении к числам. В случае C), обратном случаю B), В с: А, так
что обозначение A za В равнозначно обозначению В с: А. Вообще говоря,
имеет место случай D), а не один из трех первых, и для специального
обозначения этого общего случая нет достаточных оснований.
Отношение .менее чем" траизитивно, т. е. из А с: В, В с: С следует
А с: С (то же самое, конечно, имеет место и для отношений „больше
чем" и „равно").
Если каждое а?В, т. е. если имеет место один из двух случаев
A), B), мы вводим обозначение1):
I A ? В,
А есть подмножество В (иногда также говорят: А есть часть В); если
А с В, иногда говорят, что А есть правильная часть В. К числу
подмножеств В причисляется, таким образом, как само В, так и
пустое множество; для Д = 0 отношение „каждое а?Ви выпол-
выполняется'само собой, просто потому, что А не содержит ни одного
элемента 2).
*»х) Многие опускают знак равенства. Вместо округлого знака неравенства
употребляют часто острый той или иной формы (например А-<В).
2) Точнее говоря: утверждение, „если а ? А, то а ?.В*, справедливо потому,
что условве а^_А никогда не имеет места. Есдв даны два суждения р, q, то
утверждение, „ если р верно, то g также верно" (из р следует q), верно всякий
раз, когда р неверво. Из неверного суждения следует любее суждение; если
2-2 = 5, то существуют ведьмы.
12 МНОЖЕСТВА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
При этом формулы 0 сг В или BzdO обозначают, что множество В
не пусто. Целесообразность причисления множества 0 к подмножествам
любого множества подтверждается, например, при подсчете всех подмно-
подмножеств конечного множества. Части множества {1, 2, 3} суть
О, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}
всех этих частей 8 = 23. Множество, содержащее п элементов, имеет
| ) подмножеств, состоящих из т элементов, где ( J естьбиномналь-
ный коэфициент: Q = m!(n"i.m)! > а (о) = Q = V> число всех ча'
стей множества равно
Простота этой формулы говорит в пользу принятого определения под-
подмножества.
Если А с В, то В — А обозначает множество элементов В, не являю-
являющихся элементами А\ это множество называется разностью множеств
А и В или дополнением А в множестве В. Очевидно, что
В—0=В, В — В = 0, В — (В — А) = А.
Подчеркнем еще раз, что мы в отличие от многих других авторов
при вычитании множеств всегда предполагаем, что вычитаемое есть часть
уменьшаемого. Так, запись С — (В — А) предполагает, что, во-первых,
A Q В, во вторых В — А с С.
Пример. А — {5, 6, 7,...} множестзо всех натуральных чисел,
начиная с 5, В = {1, 2, 3,...} множество всех натуральных чисел,
С={1, 2, 3, 4,5, 6} множество первых шести натуральных чисел.
Тогда В— А= {1, 2, 3, 4}, С— (В—А) = {о, 6}.
§ 2. Функции
Понятие функции такое же основное и первоначальное, как и
понятие множества. Функциональное отношение так же строится из- пар
элементов, как множество из отдельных элементов.
Вместо одного отдельного элемента мы рассматриваем соединение
двух элементов в определенном порядке или, как мы будем говорить,
упорядоченную пару элементов (а, Ь), где а — первый, b — второй
элементы. Две упорядоченные пары тождественны (равны) тогда и только
тогда, когда у них одинаковы как первые, так и вторые элементы:
(а**Ь*) = (а, Ь) равнозначно с а* = а, Ь* — Ь.
Поэтому пары (а, Ь) и ф, а) различны, если только a =j= Ь; с дру-
другой стороны, не возбраняется составлять упорядоченные пары (а, Ь) из оди-
одинаковых элементов. Например, комбинируя натуральные числа, получим
упорядоченные пары:
A,1), A,2), B,1), A,3), B,2), C,1)...;
такими упорядоченными парами являются, например, двойные индексы
ФУНКЦИИ 13
элементов детерминанта или же матрицы. Комбинируя действительные
числа, получим упорядоченные пары чисел (X, у); такими парами декар-
декартовых -координат представляются точки плоскости. Здесь конечно нельзя
переставлять абсциссу и ординату.
Упорядоченная пара (а, Ь) — понятие, отличное от понятия множества
{а, Ь\; в последнем а и & считаются различными, а о порядке ничего
не говорится.
Упорядоченные пары позволяют ввести понятие функции, так же как
в дальнейшем они послужат при умножении (§ 4) и упорядочении (§ 9)
множеств. Пусть Р— множество упорядоченных пар р = (а, Ъ); для
каждой входящей в Р пары р (р ? Р) мы назовем Ь образом а, а —
прообразом Ь; пусть А множество всех прообразов а (т. е. всех первых
элементов пар р ? Р), В—множество всех образов b (т. е. всех вторых
элементов пар р ? Р). Каждый а определяет свои образы, каждый b —
свои прообразы; этим при помощи множества пар Р устанавливается
связь между множествами А и В: как говорят, имеет место отображ-
отображение А на. В.
В том частном случае, когда каждый а имеет единственный образ Ь,
мы обозначаем этот определяемый элементом а, зависящий от а, элемент b
символом
и говорим, что b есть определенная на множестве А однозначная
функция элемента а. Например множество пар A,2), B,1), C,2)
определягт отображение множества А = {1, 2, 3} на множество В= {1, 2}
и притом отображение, дающее однозначную функцию, а именно:
/A) = 2, /B)=1, /C)=2.
Если, сверх того, каждый b имеет единственный прообраз а, то мы
обозначаем этот определяемый элементом b элемент а через
и получаем, таким образом, определенную на множестве В однозначную
функцию элемента Ь. Каждая из функций / (a), g (b) называется обратной
относительно другой, или ее обращением; обе называются однозначно
обратимыми или одноднозначными; соответствие, имеющее место между
А и В, называют взаимно однозначным. Два множества А, В, которые
могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие, называются
эквивалентными. Эквивалентность множеств А и В обозначается:
^ А-В, В~А.
Это фундаментальное понятие эквивалентности составляет предмет
гл. II; здесь мы ограничимся примером эквивалентности множества А
натуральных чисел и множества В четных (положительных) чисел. Мно-
Множество упорядоченных пар
A, 2), B, 4), C, 6)...
устанавливает взаимно однозначное соответствие множеств А и В, так
14 МНОЖЕСТВА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
как каждому натуральному числу а оно ставит в соответствие образ
b = 2а, а каждому четному числу b — прообраз а = ¦% Ь.
Если элемент а имеет несколько образов, обозначение b = / (а) может
быть сохранено, но только / (а) будет обозначать не единственный, но
многие элементы (может быть, бесчисленное множество); тогда мы имеем
многозначную функцию /(а). То же самое имеет место и для g(b)\ эти
две — в общем случае многозначные — функции также называются
обратными одна другой. Часто встречается тот случай, когда, хотя / (а)
однозначна,—g (b) многозначна. Например, множество упорядоченных пар
(a, sin а), где а пробегает все действительные числа, определяет отобра-
отображение множества А всех действительных чисел на множество В чисел,
определяемых неравенствами —l<ft<-fl> причем, хотя ft = sin a
однозначная функция, a =j)rrcsin b, как известно, многозначная функция,
а именно: Jjrcsin b обозначает не одно число а0, для которого b — sin a0,
но также все числа 2кя-{-а0 и Bк-\-\)п — а0 (Лс — целое число).
Если же ограничиться значениями а, определяемыми неравенствами
— 7Г <а < ~^> т0 соответствие между обоими множествами становится
взаимно однозначным.
Начинающему, привыкшему к элементарным, в крайнем случае к не-
непрерывным функциям, данное тут определение понятия функции покажется
несколько абстрактным; однако оно необходимо, чтобы придать этому
фундаментальному понятии» присущие ему свободу и общность.
Если ограничиться одними однозначными функциями, то существенно
только одно, чтобы элемент / (а) был вполне определен элементом а при
помощи какого-нибудь правила (у нас правило содержится в определении
множества пар Р), и не существенно, установлено ли это правило при
помощи „аналитических выражений" или как-нибудь иначе; не сущест-
существенно и то, позволяют ли наши знания и имеющиеся в нашем распоря-
распоряжении средства фактически установить для каждого отдельного а соот-
соответственное /(а) или нет. То же самое, что здесь сказано об общем
понятии функции (формулированном Дирихле), должно быть повторено
и относительно канторовского понятия множества. Множество рацио-
рациональных чисел вполне определено, хотя мы можем и не знать, принад-
принадлежит ли к нему число л" или нет, и функция / (а), которая равна
единице, при рациональном а, и 0, при иррациональном а, также вполне
определена, хотя мы и не знаем, чему равно /
§ 3. Сумма и пересечение
Суммой двух множеств А и В мы называем множество
S = А + В,
состоящее из всех элементов, принадлежащих А или В (или^обоим); их
пересечением (произведением)
множество всех элементов,,принадлежащих и Л и В. Если D = 0, то
СУММА И ПЕРЕСЕЧЕНИЕ 1&
А, В не имеют ни одного общего элемента, или, как мы будем иногда
говорить, не пересекаются', только в этом случае мы будем обозначать
сумму через
S= A + B
и только в этом случае имеют место формулы S— А = В, S — В = А1).
Пример. Пусть А сегмент2) [1, 3], т. е. множество всех действи-
действительных чисел х, для которых 1<х<3, В—сегмент [2,4]. Тогда S
есть сегмент [1, 4], D—сегмент [2, 3].
Если А, В — конечные и непересекающиеся множества и А состоит
из т, В — из п элементов, то А + В состоит из т + п элементов.
Для любых множеств А и В справедливы формулы:
S— А = В — D, S — B=A — D,
где первое множество состоит из элементов В, не входящих в А.
Следовательно:
D = B — (S— A)** A — (S — В);
таким образом пересечение можно получить при помощи сложения и
вычитания.
Способ образования сумм и пересечений без труда переносится на
любое конечное или бесконечное число множеств. В качестве сокращен-
сокращенного обозначения суммы мы будем употреблять немецкое ©, при не-
непересекающихся слагаемых — S, для обозначения же пересечения —
немецкое ф.
Если натуральным числам 1, 2,.-.., к или же всем натуральным
числам 1, 2,... поставлены в соответствие множества А1г А2,. •. (уже
здесь применяется введенное в § 2 понятие однозначной функции), то
их сумма
т
есть'множество элементов, принадлежащих хотя бы одному Ат, а их
пересечение
D= АгА2...= ЪАт
т
— множество элементов, принадлежащих всем Ат. Заметим, что необя-
необязательно все множества Alt Ла,.. . различны, некоторые из них могут
быть тождественны.
Если слагаемые попарно не пересекаются, т. е.
^ ^ ЛтАп = 0 притфп,
мы будем писать
х) Многие называют сумму соединением множеств; часто и сложение пере-
пересекающихся слагаемых обозначают простым знаком + (без точки). Знак + вве-
введен С. Caratheodory.
2). См. предварительные замечания.
16 МНОЖЕСТВА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
Переходим наконец к общему случаю: пусть элементам т множества
-М={т, п, р,. ..} поставлены в соответствие множества Ат] тогда их
сумма
м
есть множество элементов, принадлежащих хотя бы одному Ат, а их
пересечение
D = АтАпАр ... = 2) Am
, m
— множество элементов, принадлежащих всем Ат; в случае непересе-
непересекающихся слагаемых мы будем также писать
м
S = Ат + Ап + Ар + . . . =2 An-
т
Примеры. Пусть М — {0, 1, 2,...} есть множество целых чисел > 0;
множество натуральных чисел, делящихся на 2та, ио не делящихся
на 2™+'; следовательно:
Ао = {1, 3, б, 7,...},
^={2, 6, 10, 14,...}, ,
А, = {4, 12, 20, 28,...},
Az = {8, 24, 40, 56,...},
тогда
м
есть множество всех натуральных чисел.
Пусть теперь М — множество действительных чисел т, больших 1:
т > 1, Ат = [0, т) — полусегмент чисел х, для которых 0 < X < т.
Тогда
есть сегмент чисел х, определяемых неравенством 0<;х<1. |
Процессы сложения и пересечения множеств коммутативны, ассоциа-
ассоциативны и дистрибутивны относительно друг друга, т. е. если ограничиться
простейшими случаями:
А + В = В + А, АВ = ВА,
(А + В) С = АС + ВС,
СУММА И ПЕРЕСЕЧЕНИЕ 17
из двух последних формул, выражающих свойство дистрибутивности,
первая очевидна, а вторая доказывается без труда; мы отметим еще их
непосредственные обобщения:
С®Ат = ©СЛт,
т т
С + Шт=Ъ(С + Дп).
га т
Если все множества Ат суть подмножества объемлющего их мно-
множества Е, а Вт=аЕ—Am—их дополнения в Е, то
6Д» + ®Вт = ЪАт + @Вт.
т ' т т т
В самом деле, каждый элемент Е либо принадлежит хотя бы
одному Ат (следовательно, и ©Ат), либо ни одному Ащ (значит, каж-
m
дому Вт и, следовательно, ЪВт). Эту важную формулу коротко можно
высказать так: дополнение к сум^ие р$щц пересрменир. ^ополчений (к сла-
слагаемым суммы); дополнение произведения есть сумма д$?чынений (тех
множеств, пересечение которых рассматривается). Таким оЦ)азом, если
множество Р получается из множеств Ат повторными суммированиям^
и пересечениями, то, чтобы получить его дополнение Q — Е—Р, нужно
заменить Ат их дополнениями Вт и переставить местами операции ©
и ?). Так, например, из первой формулы вакона дистрибутивности:
А • ®Ат =
следует вторая:
Если этот процесс перехода к Дополнению применяется к неравен-
неравенствам, члены которых суть множества, нужно еще переставлять знаки с
н э (так как из РсР* для дополнений получается QzdQ*).
Пусть нам дана последовательность множеств Alt A& А3,..., т. е.
каждому натуральному числу п поставлено в соответствие множество Л„.
Верхним пределом этой последовательности: !
А вж Hm An,
называется множество, состоящее из таких элементов х, каждый из
которых принадлежит бесконечному числу множеств Ап (х ? Ап для ч
бесконечного множества значений п); нижним пределом этой последо-
последовательности:
_Л = lim An,
называется множество таких элементов х, каждый из которых принад-
принадлежит почти всем Ап(х ? А^ для почти всех значений п). '
Так как если х принадлежит^ почти всем Ап, он принадлежит бес-
бесконечному множеству их, то А 2 Д; если, в частности, имеет место
Хаусдорф. Теория множеств. 2 -
18 МНОЖЕСТВА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
равенство, то множество А = А = А называется пределом последова-
последовательности:
А = lim An,
а сама последовательность называется сходящейся.
Примеры. Последовательность М, N, M, N,... имеет верхний
предел М + N, нижний предел M/V; она сходится только, если M=N.
Возрастающая последовательность А1 Q Аг Я • • • сходится к ' своей
сумме ©Ai х), убывающая последовательность Ах 2Л22 ••—к своему
пересечению ?)Ап 2), последовательность попарно непересекающихся мно-
множеств сходится к пустому множеству. Обозначим через Ах сегмент [0,1],
через Л2 и ^з — соответственно сегменты 0, — и — , 1 , через
Ait Аь, Л6 — соответственно сегменты Го, -~ 1, ly-, -|-] и f|-, ll
и т. д. Верхний предел последовательности Ап есть сегмент [0, 1], ниж-
нижний — пустое множество: А = [0,1] и А == 0.
Если Е содержит все Ап и если Вп = Е — Ап, то
•
В самом деле, х ? Е либо принадлежит почти всем Ащ а следова-
следовательно, только конечному числу Вп, либо бесконечному числу Вп и, сле-
следовательно, конечному числу Ап.
Множества А, А можно также получить, комбинируя операции сло-
сложения и пересечения, а именно:
где
а = sxs2s3- • •,
где
Первая формула непосредственно следует из определения, а вторая
проще всего получается переходом к дополнительным множествам.
Множества А и А не изменятся, если мы присоединим, удалим
или изменим конечное число множеств Ап. Далее, очевидно, что для
1) Потому что элемент, принадлежащий Ап, принадлежит и исем следующим
множествам лоследоиательности, а, значит, каждый элемент суммы принадлежит
почти всем Ап. •
2) Потому что элемент, не принадлежащий* какому-нибудь Ап, не принад-
принадлежит и всем следующим множествам последовательности, а, значит, принадлежит
только конечному числу множеств последовательности и не входит в lim An<
СУММА И ПЕРЕСЕЧЕНИЕ 19
подпоследовательности Ар (р пробегает какую-нибудь последователь-
последовательность натуральных чисел) имеем:
lim An с lim Ap Q lim Ap с Пщ А„.
Если вся последовательность Ап сходится, то сходится и ее под-
подпоследовательность.
Характеристические функции (Ш. де-ла-Валле-Пуссен). Каждому:
подмножеству А данного фиксированного множества Е можно взаимно
однозначно отнести некоторую определенную на Е' функцию / (х), кото-
которая принимает только два значения 0 и 1, полагая /(х) = 1, если
х 6 А, /(х) == 0, если х 6 Е — А.
Эту функцию называют характеристической функцией множества А;
мы будем обозначать ее просто символом [А], отмечая этим ее зависи-
зависимость от множества А и опуская аргумент х. Всему множеству Е
соответствует постоянная функция [Е] = 1, пустому множеству—по-
множеству—постоянная функция [0] = 0.
Действиям над множествами соответствуют простые действия над
характеристическими функциями. Так, имеем справедливое при всех зна-
значениях равенство ^х
в самом деле, возможны три случая:
х? Е — В В—А А
[A] = О, 0, 1,
[B] = 0, . 1, 1,
[В —А] = 0, 1, 0.
В частности,
[?-А] = 1-[А].
Далее, имеем:
[АВ] = [А] [В],
а переходя к дополнениям:
[А + В] = 1 - A - [А]) A - [В]), [А + В] + [АВ] = [А] + [В],
в частном случае не пересекающихся слагаемых:
[А + If= [А] + [В].
Кроме того,
[А +В] - max [[А], [В]], [АВ] = min[[A], [В]],
и вообще для произвольных суммы S = ©Ат и пересечения D = ®Ат:
[S] = max [Am], [D] = min [Am].
2*
20 МНОЖЕСТВА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
Для верхнего и нижнего пределов последовательности А = lim Д»
и А = lim Дп получаем:
[А]=Ш[Ап\, [А]-= lim [An],
потому что lim [An] равен единице тогда и только тогда, когда [Л„] = 1
для бесчисленного множества значений п, т. е. в тех точках X,
которые входят в бесконечное число Множеств Ап, а в этом случае
X ? А. Ит [Ап] = 1 тогда и только тогда, когда х ? Ап для почти
всех п; следовательно, х ? А. Для предела сходящейся последователь-
последовательности [А] — lim [An].
§ 4. Произведение и степень
Нам остается определить произведение множеств. Построим из двух
множеств А, В множество Р упорядоченных пар (§ 2) р = (а, Ь), где а
пробегает все элементы Дай — все элементы В, так что р ? Р равно-
равносильно а ? A, b ? В.
Это множество Р назовем произведением А и В.
Если наши множества г) конечны: А состоит из т, а В из п эле-
элементов, то Р состоит из тп элементов, так что оно действительно
имеет характер произведения. Заметим, что Р есть полное множество
пар, состоящее из всех пар (а, Ь), для которых а ? A, b ? Ву и содер-
содержит в качестве своих подмножеств все множества пар, получающиеся
при различных функциональных отображениях А на В (§ 2); само Р
дает „самое многозначное" отображение А на В, ибо каждый элемент а
имеет своими образами все Ь, а каждый b — своими прообразами все а.
Для обозначения произведения мы не можем принять символ АВ, кото-
который сам собой напрашивается, так как он уже введен для обозначения
пересечения.
Произведение множеств Л и В мы будем обозначать:
[А, В].
Заметим, что [А, В] и [В, А] имеют, вообще говоря (в случае не,
тождественных А и В), разный смысл.
Пример. Пусть А и В два множества действительных чисел. Будем
представлять пару чисел (а, Ь) точкой плоскости с прямоугольными
координатами.а, Ь, короче, точкой (а, Ь) и проведем через все точки
(а, 0) (а ? А) оси X прямые, параллед!|ше оси |К, а через точки (О, Ь)
{Ь ? В) оси Y—прямые, параллельные 'оси X; точки пересечения этих
прямых и образуют произведение [А, В].
Произведение может быть представлено как сумма эквивалентных
слагаемых (§ 6).
Обобщение произведения на случай, когда множителей больше чем
два, не составляет никакой трудности. Вполне аналогично упорядочен-
упорядоченным парам (а, Ь) определяются упорядоченные тройки (а, Ь, с): это —
1) Они не предполагаются непересекающимися и могут даже совпадать.
ПРОИЗВЕДЕНИЕ И СТЕПЕНЬ 21
соединение трех элементов в определенном порядке, причем равенство
троек определяется та», что (а*, Ь*, с*) = {а, Ь, с) равносильно а* = а,
Ь* = Ь, С* = с. Конечно, при этом элементы тройки не обязаны быть
различными. По определению произведение [А, В, С] трех множеств А,
В и С есть множество упорядоченных троек {а, Ь, с), где а пробегает
все множество А, Ъ — все В, с — все С. Так же надо поступать и при
любом конечном числе множителей.
Коммутативный и ассоциативный законы справедливы для произве-
произведения множеств, но не в смысле равенства, а в смысле эквивалентности
(§ 2). Элементы (а, Ь) и (Ь, а) множеств [А, В] и [В, А] не тождествен-
тождественны, но могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие, так
что [А, В] — [В, А]. Также и элементы ((а, Ь), с) множества [[А, В], С],
т. е. упорядоченные пары, у которых упорядоченная пара (а, Ь) есть
первый элемент, ас — второй, не тождественны тройкам (а, Ь, с), состав-
составляющим множество [А, В, С], но находятся во взаимно однозначном
соответствии с ними, так что [[А, В], С] — [А, [В, С]] — [А, В, С].
Дистрибутивный закон справедлив для произведений множеств в его
обычном смысле: ,
[Д(В+С)]-[ДВ]+И,С].
Чтобы определить произведение с любым множеством множителей,
нам придется сперва обобщить понятие упорядоченной пары или тройки:
каждому элементу некоторого множества М = {т, п,р,---} поставим
в соответствие некоторый элемент ат или, иначе говоря, определим на М
однозначную функцию / (т) = От', соединение этих элементов соста-
составляет то, что называют комплексом элементов:
. k=(am, fln, flp,---), *
или сопряжением элементов т с элементами йщ.
Под этим термином не кроется никакой новой конструкции, это
просто синоним для понятия определенной на М функции /(/л). Два
комплекса элементов считаются равными тогда и только тогда, когда они
ставят в соответствие каждому т один и тот же элемент (образ) ат, т. е.
К, <> а'Р>• • •) = (ят, ап, ар,...) равносильно а*т = ат, а*п = ап, а*р =
= ар,> ••; иначе говоря, две функции считаются равными тогда и только
тогда, когда их „значения" совпадают,каково бы ни было т :f*(m) = /(/л);
это условие заменяет тот определенный порядок, о котором говорились при
определении пары, тройки и т. п. Сверх того, комплексы элементов
зависят (и это не всегда достаточно отчетливо выражает принятое нами
обозначение) от того множества М, которое положено в основу; трех-
трехчленный комплекс элементов, который ставит в соответствие элементам
1, 2, 3 элементы а, Ь, с, ие то же самое, что комплекс, ставящий
в соответствие элементам 4, 5, 6 те же самые элементы а, Ь, с; этот
комплекс элементов отличен также от упорядоченной тройки (с, Ь, с),
которая тем же самым элементам ставит в соответствие определенный
порядок их написания.
22 МНОЖЕСТВА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
Тем не менее — и это только в конце концов и существенно—тройки
(а, Ь, с) и комплексы элементов, ставящие в соответствие любому мно-
множеству трех элементов элементы а, Ь, с, могут быть приведены во вза-
взаимно однозначное соответствие.
Если теперь мы поставим в соответствие каждому т ? М множество Ат,
то получим комплекс множеств:
К — (Ат, Ап, Ар,...).
Произведением
м
Ф = [Ат, An, АР,...]=П Ат
т
множеств этого комплекса мы будем называть множество комплексов
к==-(ат, ап, ар,...), в которых ат пробегает все элементы Ат, ап —
все элементы Ап, ар — все элементы Ар,....
Установление соответствия между т и Ат, (т. е. образование ком-
комплекса К) равносильно определению на М однозначной функции F(m) =
= Ат, „значениями" которой являются не элементы, а множества. Произ-
Произведение же Ф есть не что иное, как множество всех однозначных функ-
функций /(/и), таких, что /(/л) ? F (т) для каждого т? М.
Наконец, если все Ат мы возьмем равными между собой, Ат = А,
то получим по определению степень
(с основанием А и показателем М) как произведение равных множителей.
Это есть, следовательно, множество всех таких комплексов из элемен-
элементов к = (ат, ап, ар,...), что все ат принадлежат А (ат ? А,
Яп € &•> ар € А • • •)> или же множество все*х однозначных функций
а = / (т), которые отображают каждый элемент т ? М на какой-нибудь
элемент а ^ А.
Важный пример. Пусть А = {а, Ь) достоит из двух элементов;
Ам есть множество таких функций /(/и), для которых
/(/и) равно а или Ь.
Такая функция f(m) определяет г) два дополнительных множества:
множество Ма тех т, для которых f(m) — a, и множество Мъ тех т,
для которых / (т.) = Ь:
Обратно, если Ма есть произвольное подмножество множества М,
Мъ = М — Ма есть еУо дополнение в М, то, чюлагая по определению
/ (т) = а, если m ? Ма, /(/и) = Ь, если m (j Mb,
м f
получим одну из функций / (т), образующих А . Следовательно, функ-
*) Если а — 1, 6 = 0, / (т) есть характеристическая функция множества Ма
(см. стр. 19).
ПРОИЗВЕДЕНИЕ И СТЕПЕНЬ 23
ции /(/л) и множества Ма Q М находятся во взаимно однозначном
соответствии, т. е. Ам, эквивалентно множеству всех подмножеств мно-
множества М.
Совершенно так же можно убедиться в том, что если А = {а, Ь, с]
есть множество, состоящее из трех элементов, то Ам эквивалентно мно-
множеству всевозможных разбиений:
М = Ма + Мь + Мс,
на три слагаемых, не имеющих попарно общих элементов, причем, ко-
конечно, порядок принимается во внимание, так что разбиение М = М*-|-
-\-М*ь-\- Мс считается тождественным вышенаписаниому тогда и только
тогда, когда М*а = Ма, М? = Мь, М* = Мс.
Все, что сказано в этой главе относительно основных понятий, сле-
следует рассматривать только как предварительное' ознакомление с пред-
предметом. В частности, образование множеств путем сложения и пересече-
пересечения будет основательнее изучено дальше (гл. V). В ближайших трех
главах пересечение, а в последующих произведение будут иметь второ-
второстепенное значение.*^?равнению с остальными операциями.
Глава II
Кардинальные числа
§ 5. Сравнение множеств
Согласно § 2, два множества Л и В эквивалентны:
Л~В,
если между их элементами возможно установить взаимно однозначное
соответствие, т. е. такое соответствие, что каждому а соответствует
единственный b = f(u) и каждому b—единственный а = g (b). Очевидно*
что
А~А
Л~В, то В~Л;
если
А-В, В~ С, то Л~С;
имея в виду эти свойства, говорят, что отношение эквивалентности
рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Ясно, что конечные множества г) эквивалентны тогда и только тогда,
когда они имеют одинаковое число элементов. В согласии с этим мы
будем говорить, что эквивалентные множества имеют одинаковое карди-
кардинальное число или одинаковую мощность. Это значит, что каждому
множеству А мы ставим в соответствие вещь о так, что эквивалентным
и только эквивалентным множествам соответствует одна и та же вещь
о = Ь равносильно А —' В.
Эти новые вещи мы называем кардинальными числами илн мощностями;
мы будем употреблять выражения: А имеет мощность а, о есть мощ-
мощность А, а иногда (придавая о значение названия числа) А имеет о
элементов. v 'V
Это формальное определение говорит о том, чем должно быть кар-
кардинальное число, а не о том, что оно есть. Были сделаны попытки
дать определения кардинального ччисла по существу, но они оказались
несостоятельными н к тому же излишними. Отношения между карди-
х) Исчерпывающая теория множеств должна также обосновать учение о ко-
конечных множествах и натуральных числах; однако мы обойдемся без этих пред-
предварительных рассмотрений. ..
СРАВНЕНИЕ МНОЖЕСТВ 25
нальными числами для нас есть не что иное, как удобное выражение
отношений между множествами.
Конечному множеству, состоящему из л элементов (л = 1, 2, 3,...),
мы поставим в соответствие в качестве мощности число л, пустому
множеству—число 0.
Мощность множества A, 2, 3,...) всех натуральных чисел назы-
называется fc$0 (алеф-нуль) г). Множества этой мощности, которым, следова-
следовательно, можно придать вид последовательности {alt fla, aa, .'..}
(йт ф пп если т ф л), называются счетными 2).
Множеству всех действительных чисел (или же эквивалентному ему
множеству всех точек прямой) мы приписываем мощность ^ (алеф);
она называется мощностью континуума.
Мощность счетных множеств часто обозначается также символом а,
мощность континуума—символом с.
Уже при самом введении понятия эквивалентности множеств мы
упомянули об эквивалентности множества натуральных чисел множеству
натуральных четных чисел. Из приведенной ниже таблицы, в которой
числа, выдис^нные в одной графе, поставлены в соответствие друг
другу, следует/что множества, соответственно состоящие из всех нату-
натуральных чисел, четных чисел, из всех натуральных нечетных чисел, из
всех квадратов, из всех степеней 10, из всех простых чисел, — эквива-
эквивалентны между собой и, следовательно, имеют мощность $0:
1
2
1
1
10
2
2
4
3
4
100
3
з...
о • • •
5...
9---
1000-••
5-..
л
2л
2л —1
л2
10п
Рп
(рп — и-е простое число).
Можно удлинить эту таблицу и привести последовательности чисел
со все более быстрым ростом (например, 10, 10й, 101о1°,'...), которые,
как бы редко они ни были распределены во множестве всех натураль-
натуральных чисел, тем не менее имеют мощность, не меньшую, чем все мно-
множество натуральных чнсел. Это нарушение аксиомы „totum parte majus" 3)
является одним из „парадоксов бесконечного", к которым необходимо
привыкнуть и к которым уже привыкли; закономерности бесконечных
множеств, естественно, отличаются от закономерностей конечных мно-
множеств, и, само собой разумеется, на этом обстоятельстве нельзя осно-
основать никакого возражения против рассмотрения бесконечных множеств.
*¦) Н есть первая буква еврейского алфавита.
2) Их элементы могут быть „сосчитаны" (перенумерованы) при помощи
всех натуральных чисел. Множества, которые или конечны C.0) или счетны, мы
будем называть не более чем счетными; все бесконечные множества, кроме
счетных, называются несчетными.
3) Целое больше части.
26 КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Два множества действительных чисел O^x^l и 0 ^ у ^ 1000 (или
два соответствующих сегмента прямой) имеют одинаковую мощность,
хотя второй в тысячу раз длиннее первого; взаимно однозначное соот-
соответствие можно получить по формуле у = 1000х или, если угодно,
проектируя из какой-нибудь точки один отрезок на другой. Интервал
— — < X < -х- имеет ту же мощность, как и множество всех действитель-
действительных чисел. Это следует из соответствия y = tgx. Мы дальше увидим,
что это положение вещей — эквивалентность множества с его правиль-
правильной частью—характеризует бесконечное множество.
I. Каждое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
Пусть ах — какой-нибудь элемент бесконечного множества А, а2 —
какой-нибудь элемент также бесконечного множества Л— {а^, as —
элемент все еще бесконечного множества А—{аи ай} и т. д. Попарно
различные элементы аи а2) аз> ¦ • - составляют счетное подмножество
множества А.
II. Каждое бесконечное множество эквивалентно некоторой своей
правильной части. —
Выделим из бесконечного множества А счетное подмножество {av aa,
а3,---} и обозначим его дополнение в А буквой В; получим:
отсюда видно, что А эквивалентно, например, множеству
{о,, <*»•¦•} +В;
в самом деле, каждому а„ можно поставить в соответствие элемент an+i,
а каждому b ? В само Ь.
Обратно, множество, эквивалентное своей правильной части, не может
быть конечным. Следовательно, это свойство характеризует бесконечные
множества (оно предложено Р. Дедекиндом в качестве определения бес-
бесконечного множества).
III. (Теорема эквивалентности Ф. Бернштейна.) Два множества, каж-
каждое из которых эквивалентно некоторому подмножеству другого,
эквивалентны.
Пусть А~ВЬ В ~ Аъ где AY и Bt — части Л и В и притом пра-
правильные, так как в противном случае нечего бы было доказывать; таким
образом Л1сЛ, В1сВ. Взаимно однозначное отображение В на Аъ
очевидно, отображает Вх на правильную часть А2 множества Аь так
что
Таким образом дело свелось к доказательству следующего предло-
предложения:
Если Л:эЛ1:эД2 и А~А2, то A~AV т. е. множество, проме-
промежуточное между двумя эквивалентными множествами, само им
эквивалентно.
СРАВНЕНИЕ МНОЖЕСТВ 27
Пусть при взаимно однозначном отображении А на Az, Аг отобра-
отображается на Аз, Аг — на Ait А3 — на А& и т.д.; при этом, очевидно
А ¦=> Аг ¦=> А2 з Аа з Л4з А5 з- • •
Пусть D = AAtA2- • • есть пересечение всех Ап; тогда
В самом деле, чтобы доказать, например, первую формулу, надо только
заметить, что элемент a ? А принадлежит либо всем Ап (и тогда D),
либо существует первое по порядку Ап, которому он не принадлежит;
но тогда он принадлежит An—i и a ? An—i — Ап (тут подразумевается,
что Лв = Л).
Далее, так как.
то имеем эквивалентность
Если теперь каждому элементу D мы поставим в соответствие его
самого, то получим взаимно однозначное отображение А на Av т. е.
А ~ Аг ~ В, ч. т. д.
До сих пор мы говорили только об эквивалентности, т. е. равенстве
кардинальных чисел. Ставится следующий вопрос: можно ли, в случае
ксли два множества не эквивалентны, определить каким-либо естествен-
естественным образом, какое из двух кардинальных чисел, им соответствующих,
больше и какое меньше?. Короче говоря: имеют ли кардинальные числа
характер величин? Сравнимы ли они?
С первого взгляда кажется, что следует дать отрицательный ответ.
Если А и В обозначают два множества, а Ах и Вх — какие-нибудь их
подмножества, то возможны четыре случая:
A) Существует ^~B н существует ВХ~Л.
B) Не существует Д1~В, но существует Вг~ А.
C) Существует А1 ~ В, но не существует Вг ~ А.
D) Не существует Аг~ В и не существует ВХ~Л.
В случае A) по теореме эквивалентности о = Ь; в случае B) есте-
естественно положить о < Ъ; в случае C) о > Ъ. Случай D) симметричен
по отношению к А и В, и поэтому нельзя положить ни о < Ь, ни о > Ь,
так как это нарушило бы симметрию; еще менее допустимо положить
а = Ь, так как это противоречило бы ранее принятому естественному
определению равенства. Таким образом мы имеем дело с четвертым воз-
возможным отношением между кардинальными числами, которое мы будем
обозначать символом о || Ь н будем называть несравнимостью в противо-
28 КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
и Ь будут считаться
положность
сравнимыми.
первым
Итак,
трем
A)
B)
C)
D)
случаям,
а = Ь
а<Ъ
а >Ь
а II b
в которых а
сравнимы
несравнимы
Сравнимость была бы спасена только в том случае, если бы удалось
показать, что в действительности четвертый случай не может иметь
места. Для конечных множеств так оно и есть; действительно, перену-
перенумеровав элементы, можем записать конечные множества в виде:М —
= {аи а9,---,ат], В = {Ьъ &я,->-,?„}, и если, стремясь установить вза-
взаимно однозначное соответствие, мы будем строить пары (av b{), (fl2, &а)
и т. д., то рано или поздно мы должны будем остановиться, так как
одно из множеств (или оба сразу) исчерпается. Также всегда сравнима
конечная мощность с бесконечной и притом первая всегда меньше
второй. Подобным же процессом, который, однако, придется точнее
обосновать, мы докажем в дальнейшем, что случай D) никогда не имеет
места, следовательно, что два кардинальных числа всегда сравнимы (§ 13).
Если А эквивалентно части В [т. е. если имеет место один из двух
случаев A)или B)], мы будем писать О^Ь. Таким образом й^Ь обо-
обозначает, что или О = Ь или а<Ъ. Теперь теорему эквивалентности
можно записать в следующей особенно сжатой форме: если о^Ь и одно-
одновременно a ^> Ь, то о = Ь.
Если '
a = Ь, о < Ь, а >Ъ, о Ц Ь,
то соответственно
b = о, Ь > о, Ь < а, Ь И а.
Если о = b, bgc, то age, где g обозначает любое из четырех возмож-
возможных отношений.
Если о < Ь, Ь < с, то a < с; отношение < транзитивно.
Каждая бесконечная мощность >J$O (теорема 1); ^0—наименьшая
бесконечная мощность.
Каждое бесконечное подмножество счетного множества (например
множество простых чисел) счетно, ибо его мощность <j$o и в то же
время Жо; следовательно, по теореме эквивалентности равна ^0.
§ 6. Сумма, произведение, степень
Пусть множества А и В — без общих элементов. Если оба конечны и
А состоит из т, В — из п элементов, то. А-\~В состоит из т + п эле-
элементов. Далее, если A~Aj, B~Bi и «;ли Аи В^ также не имеют
общих элементов, то А + В ~ Ах + Bv
Это замечание оправдывает законность следующего определения:
Сумма двух кардинальных чисел о и Ъ есть мощность суммы мно-
множеств А + В, где А к В любые два множества без о,бщих элементов,
имеющие соответственно мощности о и Ь.
СУММА, ПРОИЗВЕДВНИВ, СТЕПВНЬ 29
И вообще, если элементам т, п, р, ... некоторого множества
М**{т, п, р, ...}
поставлены в соответствие мощности а»» а„, ар, ..., то сумма мощно-
мощностей
м
2 ат ** <*т + On + Op + • • •
m
есть мощность суммы множеств
%Ат~Ат + Ап*+Ар+...,
т '
где Ам — множества соответственно мощностей ат, попарно не имеющие
общих элементов. V :
Примеры. Множество натуральных чисел разбивается на.{1,2,...,я} +
+ {п+ 1^ п + 2, ...}, где второе слагаемое счетно. Отсюда
n + Ho=No + « = No.
Множество натуральных чисел можно также разбить на множество
чисел и множество нечетных чисел, причем оба слагаемых счетны,
поэтому
или же его можно разбить на три счетных множества чисел, соответ-
соответственно дающих при делении на три остатки 0, 1 и 2, поэтому
то же самое можно вывести из закона ассоциативности:
Ко + Ко + Ко == Ко + (Ко + Ко) = Ко + Ко = Ко-
Также имеем для любого конечного числа слагаемых:
- Ко + Ко+ •".. +Ко=Ко-
Но можно также разбить счетное множество на счетное множество счет-
счетных множеств, как показывают следующие схемы:
1, 3, 5, 7, ... 1, 2, 4, 7, 11, ...
2, 6, 10, 14, ... 3, 5, 8, 12, ...
4, 12, 20, 28, ... 6, 9? 13, ...
8, 24, 40, 56, ... 10, 14, ...
. . . 15
(двоичная схема) (диагональная схема)
В первом случае в строчке номера п стоят числа, делящиеся на 2"~
(н не делящиеся на 2га ); во втором случае числа выписаны по порядку
по диагоналям (начиная справа сверху налево вниз). Таким образом
получаем равенство
Ко + Ко + Ко + • • • = Ко
30 КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА »
или, точнее,
<*! + а2 + а3 + . .. = «о. 4
если
ах = а2 = <*3 = - . • = «0)
но мы имеем также:
1 + 1 + 1+ ..• =«о.
как это следует из разложения счетного множества на отдельные эле*
менты, а отсюда по теореме эквивалентности:
если
Например:
2 + 2 + 2 + ... = Ко,
1 + 2 + 3 + ... = к0.
Множеств'о всех действительных чисел эквивалентно интервалу
(—Y , -g-J (см. стр. 26), а последний—любому интервалу (а, fi), как это
следует из линейного преобразования х = — ^-+ ~ь (t — а). Поэтому
? р — СЕ
всякое множество чисел, которое содержит какой-нибудь интервал, по
теореме эквивалентности имеет мощность континуума tf. Соединение
двух полуинтервалов в один — скажем, [0, 1) +[1, 2) = [0, 2) — дает:
далее (предполагая"/! конечным):
следовательно:
п + « = +
Составляя из счетного множества полуинтервалов [п—1, п), (п =
= 1, 2, . . .) полупрямую 0<х< + оо, получим:
« + « + «+...=«;
точнее: ч
<*i + a2+ .... =«,
если
aj = а2 = а3 =...=«.
Для каждой бесконечной мощности а имеем:
a + «<> = <*•
В самом деле, по § 5, I можно положить a=b+Ko', следовательно:
a + «о - (Ь + «о) + «о = Ь + («о + «о) = Ь + «о = а.
СУММА, ПРОИЗВЕДЕНИЕ, СТЕПЕНЬ 31
Мы не уменьшим мощности бесконечного множества, если удалим из
него конечное число элементов; другими словами, если а*=Ь + п, где
а бесконечно, п конечно, то а = Ь. Действительно:
а = а + Ко = Ь + (п + «0) = Ъ + «о = 6;
последнее равенство справедливо потому, что 6 бесконечно.
. Если А состоит из т, В — из п элементов, то произведение [А, В]
состоит из тп элементов (§ 4). Далее, всегда имеем: если Аг ~ А,
ВХ~В, то [Аи В,]~[Л, В]. Этим оправдано следующее определение:
Произведение аЪ двух кардинальных чисел есть мощность произве-
произведения [А, В] двух каких-либо множеств А, В, имеющих соответственно
мощности а а Ъ (тут А и В могут иметь общие элементы).
Вообще, если элементам т некоторого множества
М = {т, п, р, .. .}
ат, то произведение мощно-
мощнопоставлены в
стей
\
есть
мощность
соответствие мощности
и
П йт = Лтйп
т
произведения
м
11 Ат = [Ат, АП)
т
, . . .],
где Ат суть какие-нибудь множества соответственно мощностей От-
Наконец введем еще определение:
Если даны два кардинальных числа а, Ш, то степень ат есть мощ-
мощность степени Ам, где А, М два какие-нибудь множества мощностей
а и т.
Если всем т? М поставлены в соответствие равные кардинальные
числа ат = а, то
м и
2 ат = am, Пат = ат,
m m
где m обозначает мощность М. Таким образом и в области бесконечного
сложение равных слагаемых приводится к умножению, а умножение равных
сомножителей — к возведению в степень. Чтобы доказать первую фор-
формулу, мы выберем из множества [А, М] пар (а, т), в которых а ^ А,
т ? М, все пары с одним фиксированным т\ эти пары образуют множе-
множество Ат, эквивалентное А, и из равенства множеств
[А, М]=*%Ат
т
следует доказываемое равенство кардинальных чисел. Чтобы доказать
м м
вторую формулу, стоит только в ПАп положить Ат ва А, что и дает А .
32 КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Для определенных нами операций имеют место коммутативный, ассо-
ассоциативный н дистрибутивный законы; мы не будем докучать читателю
их доказательством; удовольствуемся только тем, что наметим вкратце
доказательство правил возведения в степень.
Если М =* Мг + Мг (Mi и ЛТ2 не имеют общих элементов) и функ-
функция fi(mt) определена на Мъ а /20и2) — на ЛТ2, то этой паре функций
соответствует функция f(m), определенная на М следующим образом:
f(m) = Д (т), если т ? Мг
и
f(m)=fa(m), если т? Мг.
Обратно, каждой функции, определенной на М, соответствует пара
функций, определенных соответственно на Мг и ЛТа. Отсюда получается
эквивалентность
вообще для любой сумма слагаемых без общих элементов ^Мп имеем:
и
л Mi + Mt + . ;. ^ г д Mi ДМ2 1
Считая, что индекс п множества Мп пробегает множество N и Что
все Мп эквивалентны М, получим:
Пусть, с другой стороны, А = [Аи А,]; объединяя две ф'ункции ар-
аргумента т: Й! = Д (т) » о2 = /s (m) в пару (а1г йа), мы можем рассмат-
рассматривать эту пару как функцию от т. Отсюда следует:
Hi, АДи~(А?, Аму,
аналогично для любого произведения:
[Alt Ай, . . .]Ж~ [А* А," . . .];
•если же индекс п множества Ап пробегает множество N и все Ап =
— А, то
Таким образом мы получаем следующие правила для кардинальных
чисел г):
Лтп
x) При этом надо считать а0 =1, 1т = 1; 0т = 0, ибо произведение исче-
исчезает, если исчезает один из множителей. Определять 0° бесцельно.
СКАЛА МОЩНОСТЕЙ 33
Вот примеры умножения и возведения в степень:
2К0 = К0+К0=К0>
п»о = «, + «, +. . . . +К„ = «о.
а так как счетная сумма счетных слагаемых счетяа:
а есть мощность множества всех функций a = f(ri)(n — натуральное
число, а ? А) или же всех последовательностей
@1,- о ) (о„ ? А),
где Л есть множество мощности а; например, 2"° есть мощность мно-
множества двоичных последовательностей, составленных из цифр О, Г,
а 10"» есть мощность множества всех' десятичных последовательностей,
составленных из цифр 0, 1, 2, . . ., 9.
Множество всех подмножеств множества М мощности m имеет
мощность 2т.
В самом деле, в § 4 мы видели, что это множество эквивалентно
множеству .Ам, где А состоит из двух элементов.
а7. Ск4ла мощностей
До сих пор мы еще не могли ответить на вопрос, существуют ли
действительно 'различные бесконечные мощности или же справедлив ши-
широко распространенный предрассудок, что бесконечность есть только
голое, безразличное, не поддающееся никакому дальнейшему расчленению
отрицание конечного.
I. 2m > т, т. е. множество всех подмножеств М имеет мощность
большую, чем само М.
Прежде всего существует эквивалентная М система подмножеств,
именно система подмножеств {т}, состоящих каждое из одного только
элемента т ? М. Следовательно, 2т ~> т.
С другой стороны, мы покажем, что если мы имеем эквивалентную М
систему его подмножеств, т. е. если каждому элементу т?М взаимно
однозначно соответствует некоторое подмножество Мт Я М, то тогда
всегда существует еще одно, отличное от всех Мт множество N Я М;
этим, очевидно, будет исключено равенство 2т = т. В самом деле,
элемент т или принадлежит соответствующему ему множеству Мт
или нет:
или т ? Мт или же т ^ Мт;
Хаусдорф. Теория множеств.
34 КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
множество N, образованное из всех элементов второго рода (для кото-
которых т ? М), отлично от всех Мт. Действительно, так как
т ? N равносильно т (= Мт,
то, если бы для какого-нибудь т мы имели N = Мт, то получили бы
противоречие: одновременно m?N, tn^N. Или говоря несколько иначе:
если т принадлежит Мт, то он не принадлежит N; если т не принад-
принадлежит Мт, то он принадлежит N; следовательно, Мт и N обязательно
различны, так как т принадлежит одному из этих множеств и не при-
принадлежит другому х).
С теоремой I мы приобрели уверенность в существовании различных
бесконечных кардинальных чисел и притом в бесконечном множестве;
отправляясь от какого-нибудь бесконечного m (например t?0 или N),
мы можем построить:
m8 = 2Ш* > ma, '
(заметим, что I имеет место также и для конечных m: 1 «= 2° "-~-0,
2=2»>1, ...)• ^
Далее, m + Щ +пга+ . . . есть еще большее кардинальное число,
и, отправляясь от этого последнего, мы можем продолжить процесс;
в самом деле, вообще имеем:
II. Если каждому т?М соответствует кардинальное числа От и
если среди чисел ат не существует наибольшего, то сумма
и
т
больше каждого из ат.
Действительно, с одной стороны, во всяком случае а>0т для каж-
каждого т, с другой — равенство исключено, так как в противном случае йт
было бы наибольшее из данных кардинальных чисел.
Например, если бы существовали два несравнимых кардинальных
числа а и Ь, а + Ь было бы больше каждого из них.
Теоремы I и II позволяют неограниченно восходить ко все более и
более высоким мощностям; они же приводят к антиномии (стр. 9).
Действительно, каково бы нн было множество кардинальных чисел, всегда
можно найти кардинальное число, большее, чем все числа данного мно-
множества, и, следовательно, не входящие в него, т. е. ни одно такое мно-
множество не содержит все кардинальные числа и „множество всех карди-
кардинальных чисел" немыслимо. Таким образом мы столкнулись с тем
обстоятельством, что требование собрать все вещи некоторого определен-
определенного типа н^ всегда осуществимо: когда нам кажется, что мы их имеем
х) Если каждое т?мт, то N — пустое множество, а, как известно, пустое
множество входит в число подмножеств каждого множества М.
СКАЛА МОЩНОСТЕЙ 35
. S
все налицо, все же они ие все исчерпаны. Тревога, внушаемая этой ан-
антиномией, коренится не в том, что мы натолкнулись на противоречие,
а в том, что этого противоречия мы не ожидали: множество всех кар-
кардинальных чисел кажется a priori столь же неоспоримым, как и мно-
множество натуральных чисел. Отсюда возникает сомнение, иет ли других
таких же противоречивых „мнимых множеств" и даже не таковы ли во-
вообще все бесконечные множества, и затем возникает потребность устра-
устранить это сомнение, т. е. построить теорию множеств на новой (аксиома-
(аксиоматической) основе так, чтобы противоречия были исключены. В этой
книге мы не можем вдаваться в начатые Е. Цер'Мело в этом направлении
исследования, сулящие верный успех, и остаемся при нашем „наивном"
понятии множества.
III. (Теорема Кбнига.)Если каждому т?М поставлены в соответ-
соответствие два кардинальных числа ат, Ът, и если при этом для всех т
От < Ът, то
М " М
2<w<n.bm.
т т
Это — обобщение теоремы I, которая получается, если положить
а«*=1, Ьт= 2.
Доказательство. Для простоты мы условимся обозначать неко-
некоторые из элементов М просто цифрами 1, 2, 3,. . . Пусть, далее, Ат
суть множества мощности ат> не имеющие общих элементов, Вт —
множества мощности Ьт; так как при доказательстве этой теоремы
множества Ат мы имеем право заменять эквивалентными, то их с самого
начала можно считать подмножествами Вт, так что
(Ст=зО).
™т С Вт>
Введя обозначения:
А =
В =
М
= 2 Ат
т
М
= пвт*
т
— Л1
= \Вх,
и J
1 Л
в2,
1+ -
* • • у
Ат +
¦ • +>
Ст
1™ 4-
¦¦],
где а — мощность А, Ъ — мощность В, мы должны доказать, что о < Ь.
В есть множество комплексов: .
р\={ЬХ, Ь2, Ь3, . . ., Ьт, • • -) (Ьт?Вт)-
Во-первых, а*СЬ. Ибо, пусть ст есть фиксированный элемент из
Ст — Вт — Ат; рассмотрим комплексы:
(fllf С2, С3, . . . , Cm, . . .) (Oj ? Аг),
(с^аг, cz, . . . , Сш, . . .) (а2€^2)»
С3.
36 КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
каждый из которых содержит только один ат (который пробегает мно-
множество Ат) и все остальные — элементы из множеств Ст; эти комплексы
образуют систему непересекающихся подмножеств множества В, эквива-
эквивалентных соответственно множествам А1г А2, . . ., Ат, . . .; следова-
следовательно, А эквивалентно некоторому подмножеству В.
Пусть, с другой стороны,
Р = 2 Рт = Pi + Р2 + Р3 + ¦ . . + Рт+ ...
т
есть эквивалентное А подмножество множества B(Pm~Am); мы пока-
покажем, что Р не может совпадать со всем множеством В, чем и исключим
равенство а == b и, следовательно, докажем, что й<Ь.
Рассмотрим принадлежащие Рт комплексы:
Рт == \"тц "т& • • • » "mmi • • V»
и, в частности, элементы Ьтт; эти последние образуют подмножество Dm
множества Вт мощности < ат (ибо существует только а„, комплексов pmi
и так как различным рт соответствуют не обязательно различные Ьтт,
то различных Ьтт не более, а может быть, и менее, чем ат). Таким
образом Dm cz Вт или же, иначе говоря, Вт = D-^{- Em, Ет Ь 0.
Если теперь мы выберем из множества Ет для кай&ого т ^ М произ-
произвольным образом по элементу ет, то комплекс
Р = (еи е2, . . ., ет, . . •)
отличен от рт (так как ет ф Ьтт), каков бы ни был т, следовательно,
он не принадлежит Р и равенство Р = В невозможно. Этим доказана
теорема Кбнига.
Если, в частности, 0 < at < й2 < . . . есть последовательность расту-
растущих мощностей, то4 .
или, если положить
a = a
л = Qi + G8 + а3 •+'
короче:
а < Ь < а"°.
Следовательно, существуют мощности а, для которых а< ак°, и при-
притом таких мощностей бесконечно много, так как мы можем начать с про-
произвольно большого uj. Но тгГкже существует бесконечно много мощно-,
стей с; для которых с = с\ это суть мощности вида Ь"°, ибо
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МОЩНОСТИ 37
Само собой разумеется, что при условиях теоремы III мы имеем
также
м м м м
2 am<2bm, Пат<ПЬт,
т т т ж
где, однако, не исключено равенство. Так, например:
1 + 2 + 3+.. . = 2 + 3 + 4+... =«0,
1-2-3 . . . =2.3-4 . . . =2"о;
в самом деле, произведение 2-3-4 ..., очевидно, >2-2-2 ... =2"'
и < &у*0К0 . . . =К0«о < B««)«° = 24
§ S. Элементарные мощности
Условимся называть элементарными следующие три мощности:
мощность счетных множеств Ко;
мощность континуума К, которая, как мы скоро увидим, есть не что
иное, как 2"»;
мощность 2".
Мощность Ко (наименьшая бесконечная мощность). Мы уже знаем,
что, суммируя конечное или счетное множество слагаемых, равных К()
или умножая конечное число множителей, равных Ко, мы получаем Ко.
Приведем в дополнение к уже рассмотренным еще несколько счетных
множеств.
(а) Множество всех целых чисел 1|0.
Целые отрицательные числа, число 0 и целые положительные в сово-
совокупности образуют множество мощности Ио + 1 + Ко = Ко. Все целые
числа можно расположить в последовательность, например, следующим
образом:
0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ...
(ft) Множество всех пар натуральных чисел.
Мощность этого множества есть К0К0 = S$o, Чтобы установить вза-
взаимно однозначное соответствие между парами натуральных чисел и на-
натуральными числами или, что то же, чтобы обратить таблицу с двойным
входом в последовательность, достаточно расположить пары (р, </) в таб-
таблицу [так, что (р, q) находится в р-й строке и 0-м столбце]:
A,1) A,2) A,3)...
B, 1) B, 2) B, 3) ...
C, 1) C, 2) C, 3) ...
затем расположить натуральные числа в такую же таблицу (см. два при-
примера на стр. 29) и поставить в соответствие элементы, стоящие на
одинаковых местах. Диагональная схема дает следующее соответствие:
л: 1 2 3 4 5 6 ...,
(p,q): A,1) A,2) B,1) A,3) B,2) C,1)..,
38 КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
где пары расположены по возрастающей сумме p + q, а при одинако-
одинаковой сумме — по возрастанию р. Двоичная схема приводит к соотношению
из которого однозначно определяются и р и q.
(у) Множество всех конечных комплексов целых чисел (pj), (pv p2),
(Pi> Рг> Рз)> • • ¦ ЛРи Рг> • • • iPh), • • •, где к и pk пробегают все натураль-
натуральные числа. . . •
Мощность этого множества есть
Соответствие между этими комплексами и натуральными числами можно
установить хотя бы при помощи двоичного разложения
л == 2 Р1~1 4- 2Рг+р*~~1 4- • • • 4-
[например число 27 = 14-2+23+2* соответствует комплексу A, 1, 2, 1)}
(й) Множество положительных рациональных чисел.
Ставя в соответствие положительному рациональному числу. —»
где р и q — взаимно простые числа, пару (р, q), вндим, что множеств»
рациональных чисел эквивалентно части множества пар [см. пример (/3)],
следовательно, имеет мощность <;^0; а так 1(ак оно бесконечно, то его
мощность равна &„. Диагональная схема яСзволяет расположить рацио-
рациональные числа — по возрастающей сумме р+ q, при равенстве этой по-
последней по возрастающему р:
i_ 2 _2 _i_ ?_ i. Ji JL _1 2- А . •
1 ' 2 ' 1 ' 3 ' Т' 4 ' 8 ' 2 ' 1 ' 5 ' 1 '""*'
-- I 2 2 N
как видно, тут опущены все сократимые дроби (например —, — ит.д.1.
Счетным является и множество всех рациональных чисел, а также
множество рациональных чисел интервала. Так, рациональные числа
на @, 1) можно 4 расположить в последовательность по возрастающим
знаменателям, а при равенстве последних — по возрастающим числителям:
LLhL- — — ~ —
2 ' 3 ' 3 ' 4 ' 4 ' 5 ' 5 ' 5 ' 5 '"'
То, что множество рациональных чисел, которое (употребляя геоме-
геометрический язык) расположено на прямой повсюду плотно, имеет мощ-
мощность не ббльшую, чем множество целых чисел, воспринимается, как и
многие другие факты теории множеств, как нечто ошеломляющее и даже
парадоксальное.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МОЩНОСТИ 39
(е) Множество всех действительных алгебраических чисел.
Алгебраическим числом k-й степени по определению называется
корень х) алгебраического (однозначно определенного этим корнем) не-
неприводимого2) уравнения с рациональными коэфициентами:
Таких уравнений бесконечно много, но во всяком случае меньше, чем
комплексов (г2, г2,..., Гк) рациональных чисел (так как не все ком-
комплексы приводят к неприводимым уравнениям), следовательно, н?
больше чем И% = Ио. Таким образом имеем Ко неприводимых уравнений
ft-й степени, каждое имеет к корней 3), следовательно, существует Шо =
= Ко алгебраических чисел к-й степени и V ^о — ^о^о — **о всех в0"
к
обще алгебраических чисел; в частности, существует только счетное
множество действительных алгебраических чисел, хотя они расположены
на прямой еще плотнее, чем, рациональные числа.
Счетными будут также множества, составленные из всех пар, троек
и т. д. алгебраических чисел. Множество элементов, которые можно
представить с помощью конечного числа знаков конечной или счетной
системы знаков, счетно (если в случае конечной системы знаков до-
допустить сколь угодно длинные комплексы знаков). Действительно:
«0 + «о + --« =«0.
л + л2+-.- =К0.
Таковы, например: множество „слов" (т. е. комплексов букв, имею-
имеющих смысл или нет), которое можно составить при помощи конечного
алфавита, множество всех книг, симфоний и т. д.
Мощность континуума К. Мы уже видели, что, складывая
конечное или счетное число слагаемых, равных К, получаем снова К:
Каждое действительное число сегмента [0,1] может быть представлено
десятичной дробью 0, а^^а^... не менее одного раза и не более двух
раз. Поэтому
следовательно, 6* = 1Око. Те же заключения применимы и в случае,
если мы будем разлагать числа не в десятичные дроби, а в дроби с лю-
любым другим основанием, большим единицы, например в двоичные. Таким
образом
1) Действительный или комплексный.
2) Алгебраическое уравнение неприводнмо, если его нельзя разложить на
множителей с рациональными коэфицнентами.
3) Неприводимое уравнение не имеет кратных корней.
40 КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
(но Iм» = 1). Отсюда, далее, следует, что
B»о)»о
т. е. что К принадлежит к типу кардинальных чисел (см. стр. 36), ко-
которые равны своей К0-й степени, и поэтому не может быть разложен
в сумму возрастающих кардинальных чисел. По теореме эквивалентности
мы, следовательно, имеем:
(то же получается непосредственно:
а также:
И в этих формулах содержится много неожиданного: S$a = SS$ есть
мощность множества пар действительных чисел (х, у) или, что то же,
мощность множества всех точек плоскости, № есть мощность всех
троек (х, у, Z), т. е. мощность трехмерного пространства, и т. д., вплоть
до Я*о, т. е. до мощности ^„-мерного пространства или же множества
всех последовательностей действительных чисел (xlf ха, х3,...). Таким
образом все конечно- или счетно-мерные пространства имеют одина-
одинаковую мощность К. Это также кажется достаточно парадоксальным и,
как будто бы, колеблет представление о размерности (числе измерений),
которое, однако, вновь оправдывается совсем другими рассуждениями
(при рассмотрении не просто взаимно однозначных, но еще и взаимно
непрерывных отображений); то обстоятельство, что прямая и плоскость
имеют, так сказать, „одинаковое число" точек, не более загадочно,
чем то, что натуральные числа можц'ч.разбить на четные и нечётные,
т. е. КЙ = N в существе дела не /йет ничего принципиально нового
по сравнению с fct0 + So = S$o. Действительно, из десятичной дроби
можно сделать две дроби: состоящую из тех цифр, которые стояли на
четных местах, и состоящую из тех цифр, которые стояли на нечетных
местах; обратно, две дроби можно объединить в одну, имеющую на чет-
четных местах цифры одной, а на нечетных — другой; в этом весь секрет.
Остановимся на этом несколько подробнее. Чтобы установить непо-
непосредственно эквивалентность отрезка и квадрата, представим каждое
число полусегмента @, 1] в виде двоичной дроби с бесконечным мно-
множеством единиц, т. е. в виде
A\ч /1
H-*»
где xlt x2, натуральные числа. Такое представление возможно един-
единственным образом, и, следовательно, этим устранена двузначность, вовмож-
ная при представлении числа двоичной дробью; заметим мимоходом, что это
представление иллюстрирует непосредственно равенство N = S1^*».
Сокращенно это представление будем записывать так:
х = [Хх, ха, х3,...].
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МОЩНОСТИ 41
Из двух таких чисел х и у = [ylt ул, у3,...] мы можем получить одно число
t*=[xv ylt х2, у2>. ..}',
и обратно, из числа
мы можем получить пару чисел x = [t1, t3, t5,...], y = [t2t tit te,...],
чем и устанавливается взаимно однозначное соответствие между упоря-
упорядоченными парами (х, у) и числами t, т. е. между квадратом 0< <1
и полусегментом @, 1]. Так же следует поступать в случае троек
чисел (х, у, z) или вообще конечных комплексов чисел; отображение
множества числовых последовательностей (х, у, Z,...) на множество
чисел / получается хотя бы по диагональной схеме:
t=[xly х2, у1г х3, у2, zu...],
и обратно
X = [tlt t2, tA,...],
Из N = 280 следует, что N >&V T- e- чт0 континуум не счетен.
Еще при начале своих исследований Кантор высказал предположение,
не доказанное до сих пор, так называемую континуум-гипотезу, что S
есть ближайшая к tt0 по величине мощность (т. е. что всякая мощ-
мощность с Жо больше или равна N); вопрос о том, так это или не так,
составляет континуум-проблему. Несчетность континуума можно полу-
получить еще так: никакое счетное множество действительных чисел (полу-
(полусегмента / = @,1]):
. а = [аь а2) ав,. •.],
Ь = [Ьъ Ьг, Ь3,...],
с = |с1( с2, с3,. ..J,
не может содержать всех чисел полусегмента /, так как всегда можно
указать числа, не входящие в это множество:
х = [х1} х2, х3,...] (хх ф alt хг ф 62, х3 ф с8,.. .)•
Этот „диагональный процесс" является простым образцом, по кото-
которому построено доказательство теоремы I § 7.
Так как существует только S$o рациональных и алгебраических чисел,
то заведомо существуют числа иррациональные и трансцендентные (не-
(неалгебраические) и притом их столько же (N), как и всех действитель-
действительных чисел. В самом деле мощность несчетного (т. е. бесконечного и
не являющегося счетным) множества не уменьшается от удаления счет-
счетного множества элементов (доказывается, как аналогичное замечание
иа стр. 31 относительно удаления конечного числа элементов). Отобра-
42
КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛЯ
зить действительные числа 0<х^1 на иррациональные 0<у<1
можно, например, представляя действительные числа, как и выше, двоич-
двоичными дробями:
X L 1э 2) ^3» * " * \*
а иррациональные — непрерывными дробями:
и, следовательно, устанавливая соответствие как тех, так и других
с множеством последовательностей х1( x2, х3,"- натуральных чисел.
Мощность 28. Эта мощность, которая снова больше #, есть мощ-
мощность множества всех подмножеств континуума (т. е. множеств действи-
действительных чисел) или же мощность всех линейных, плоских и простран-
пространственных точечных множеств или еще мощность всех тех однозначных
функций /(х) действительной переменной, которые могут принимать
только два значения; из
2»
следует, что и множество всех вообще функций /(х), принимающих лю-
любые действительные значения, также имеет мощность всего только 2я.
Мощность какого-нибудь, специального класса функций может быть ко-
конечно и меньше, например множество всех непрерывных функций имеет
мощность К. В самом деле, непрерывная функция /(х) определяется
своими значениями /(г) при рациональных значениях г аргумента; мно-
множество всех /(г) имеет мощность N "^= N и множество всех непре-
непрерывных функций — мощность а^Я [следует иметь в виду, что ие каж-
каждой /(г) всегда соответствует непрерывная /(х)]; но, с другой стороны,
мощность того же множества Ж, так как уже функции f(x) = c (по-
(постоянному) образуют множество >ош^ости К.
В заключение приведем формулы для а + Ь,"аЪ, аъ для комбинаций
из N,N0 и натуральных чисел щ те из них, которые еще ие доказаны,
без труда выводятся нз теоремы эквивалентности:
(а) 1*>=1«=1,
(у) (п
= V = гг
Стр.
Строка
Напечатано
Должно быть
По чьей
вине
' 42
*- 42
v 42
13 снизу
з ,
1 „
тип.
о«о
Глава III
Порядковые типы
§ 9. Упорядоченность
Многие множества представляются иам заранее расположенными в не-
некотором естественном порядке, так что из двух различных элементов
один является предшествующим, а другой — последующим. Этот порядок
мы будем в нашей записи, как принято, выражать тем, что предшествую-
предшествующий элемент будем ставить слева от последующего. Так, буквы распо-
расположены в порядке алфавита, натуральные числа — по величине в порядке
1,2,3,...;
так же расположены по величине иа числовой прямой действительные
числа. Однако мы можем и предписывать множествам тот или иной по-
порядок по произволу, например расположить иатуральиые числа в порядке
убывания
•••. 3, 2, 1
или же поставить нечетные числа впереди четных, располагая каждый из
этих классов в порядке возрастания или убывания:
1, 3, 5,--., 2,4, 6,.-.,
1, 3, 5,-..,.-, 6, 4, 2,
.... 5, 3, 1, 2,4, б,.--,
..., 5, 3, 1,..-,6, 4, 2.
Множество людей мы можем расположить по росту, по весу или по
возрасту.
Таким образом множество упорядочено, если указано правило, по
которому из каждых двух элементов один оказывается предшествующим,
другой — последующим. Если а стоит перед Ъ, то Ь стоит за а; мы
будем писать г):
a<b, bjjffa.
Отношение < должно быть транзитивным, т. е.
если а< b, b< с, то а<с.
Тот пространственный или же временной характер, который придает
!) Нам кажется ненужным вместо < вводить другие формы этого знака, как.
это делается, например '-<.
44 ПОРЯДКОВЫЕ ТИПЫ
этому определению употребление слов „предшествовать" и „следовать"
(перед и за), конечно не лежит в существе дела, в чем мы сейчас и
убедимся, обнаружив, что мы имеем дело не с чем иным, как с приме-
применением понятия функциональной зависимости.
Будем составлять упорядоченные пары р = (п, Ь) только из различ-
различных элементов множества А (которое, разумеется, должно содержать
не менее двух элементов); пары р и р* = F, а.) тогда заведомо раз-
различны и могут быть названы обратными. Пусть, далее, множество выше-
вышеуказанных пар разбито на два дополнительных множества Р -}- Р*
с соблюдением следующих условий:
(а) Из двух обратных пар одна принадлежит Р, другая Р*.
(/?) Если р = (а, Ь) » <1 = (Ь, с) принадлежат Р, то и г = (а, с)
также принадлежит Р.
Если теперь писать вместо (а, Ь) = р ? Р а < Ь (или, если"
угодно Ь> а), то этим множество А становится упорядоченным в ранее
определенном смысле (и обратно, каждое данное упорядочение приводит
к разбиению Р ¦+¦ Р*. если причислять к Р те и только те пары р = (а, Ь),
для которых а<Ь). Теперь ясно, что за словами „предшествовать" и
„ следовать" не кроется ничего таинственного и что просто идет речь
о том, чтобы выделить, .отметить" одну из двух обратных пар — или-
если угодно, один из двух различных элементов. Р назовем упорядочи-
упорядочивающим множеством пар.
Еще проще следующее истолкование: каждому элементу а ? А пбста-
вим во взаимно однозначное соответствие множество М(а) так, чтобы
все эти множества были попарно сравнимы (в смысле стр. 11); тогда
в силу предположенной взаимной однозначности
М(а)^ М(Ь), если а^Ь.
Если условиться писать а< Ь вместо М(а)сМ(Ь), то этим уста-
устанавливается упорядочение множества А; обратно, всякое упорядочение
позволяет определить систему множеств М(а), например так: М(а) равно
множеству элементов А, которые < а.
На вопрос о том, можно ли действительно упорядочить А или, что
то же, можно ли разбить множество пар на Р + Р* указанным образом,
или еще можно ли построить вышеописанную систему М(а), — предше-
предшествовавшие рассуждения не дали никакого ответа; они только установили
равносильность трех различных подходов к упорядочению множеств.
Позже (§ 12) мы увидим, что каждое множество может быть упоря-
упорядочено и даже некоторым сгмюиальным образом (вполне упорядо-
упорядочено). Что касается числа различных упорядочений, т. е. мощности мно-
множества различных упорядочений, то тут мы имеем верхнюю границу 2аа,
где а есть мощность подлежащего упорядочению множества А. Действи-
Действительно, [А, А] имеет мощность* аа = а2 и есть множество всевозможных
nap (a, b), составленных из элементов А (равных или неравных); каждое
упорядочивающее множество пар Р есть подмножество [А, А]. Но суще-
существует всего 2аа подмножеств [А, А], следовательно, не свыше 2аа упоря-
упорядочивающих множеств пар или различных упорядочений. Например, для
УПОРЯДОЧЕННОСТЬ / 45
конечного множества нз п элементов число различных упорядочений равно
п!= 1-2.3.
Курсивными латинскими буквами мы теперь будем обозначать упоря-
упорядоченные множества, а равенство А = В будет обозначать, что Лив
не только состоят из одних и тех же элементов, но и одинаково упорядо-
упорядочены. Если указаны отдельные элементы множества, то их расположение
в записи слева направо указывает их порядок; так,
А = {..., а,..., Ь,..., с,... \
есть множество, в котором а<Ь<.с, а точки указывают на наличие
элементов, стоящих перед а, между а и Ь, между Ь и с и за с.
А={а,. ..,&,...}
соответственно обозначает множество, в котором ни один элемент не
стоит перед а, т. е. а есть первый элемент.
— такое множество, в котором за с не стоит ни одного элемента, т. е. с
есть последний элемент.
А = {...,а, &,...}
— такое множество, в 'котором нет ни одного элемента между а и к,
т. е, а и Ь — два соседних элемента.
Если все знаки < изменить на >, множество А обращается в обратно
упорядоченное множество
А* = {..., с,..., Ь,..., а,...}
с упорядочивающим множеством пар Р*.
Два упорядоченных множества называются подобными, что записы-
записывается так:
если между ними существует взаимно однозначное соответствие Ь = / (а),
a = g(b), при котором сохраняется порядок, т. е. если а < аг влечет b<b11).
Например множество {1,2,3,4,...} подобно множеству {2,3,4,...},
но не множеству {2, 3,4,..., 1}.
Подобие, так же как и эквивалентность, рефлексивно, симметрично и
транзитивно. Про два подобных множества говорят, что они принадле-
принадлежат _к_^одному и тому же порядковому типу; это значит, что каждому
упорядоченному множеству А относят некоторый символ а— его поряд-
порядковый тип (короче, тип), так что подобные и только подобные мно-
множества имеют один и тот же порядковый тип:
a = /J равносильно А —В.
Тип множества А*, упорядоченного обратно А, обозначают а*.
х) Взаимно однозначные соответствия, сохраняющие порядок, называются по-
подобными отображениями.
46 ПОРЯДКОВЫЕ ТИПЫ
Подобие влечет эквивалентность, хотя обратное, вообще говоря, не-
неверно; из А ~ В следует А ~ В, из а = /3 следует а = Ь. Поэтому
можно сказать, что данный тип а имеет некоторую вполне определенную
мощность а.
Конечное множество из п элементов может быть упорядочено п\ спо-
способами (допускает п\ перестановок), но все получающиеся множества
подобны множеству {1, 2, 3,..., п}\ тип этого множества мы снова
¦будем обозначать п, так как смешение с кардинальным числом п не
опасно. Множество, состоящее из одного элемента, имеет тип 1, пустое
множество — тип 0.
Множеству {1, 2, 3,...} натуральных чисел, расположенных в по-
порядке возрастания, приписывается тип со; следовательно, обратно упоря-
упорядоченному множеству {...,3, 2, 1}—тип со*.
§ 10. Сумма и произведение
Пусть А, В — упорядоченные множества без общих элементов. Тогда
¦обозначает сумму этих множеств, упорядоченную следующим образом:
порядок элементов а ? А относительно друг друга, так же как и по-
порядок элементов Ь ? В, сохраняется, а все элементы а считаются стоя-
стоящими впереди всех Ь(а < Ь). Следовательно, А + В следует отличать
от В + А, содержащего те же элементы, но в ином порядке: сложение
упорядоченных множеств не коммутативно.
Пример.
Л = {1, 3, 5,...}, В={2, 4, 6,.,.},
А+В={1, 3, 5,..., 2, 4, 6,...},
Я + А = {2, 4, 6,..., 1, 3, 5,...}.
Можно также сказать, что в S = А ¦+¦ В все множество А стоит
впереди всего В: А < В. Вообще условимся, что если А, В суть под-
подмножества упорядоченного множества, то обозначение А < В равно-
равносильно а < Ь при любых а ? А, Ь ? В. Аналогично надо понимать и
обозначения а<В, А < Ь. Если Аъ Вг — также упорядоченные мно-
множества без общих элементов и Аг^А, Вг^В, то Аг + Вг2=: А-\-В,
чем оправдывается следующее определение:
Сумма типов а -\- /8 есть тип множества А. + В, где А и В суть
два любых множества без общих элементов, принадлежащих к тицам а и /3."
Вообще пусть каждому элементу т упорядоченного множества
М ={..., т,..., п,..., р,...}
поставлено в соответствие упорядоченное множество Ат и притом пусть
эти множества Ат попарно не имеют общих элементов. По определению
суммой
s = 2 А™ = • • • + л« + • • ¦• + л« + • • • + ар + •'••'
СУММА И ПРОИЗВЕДЕНИЕ 47
яазывается множество, состоящее из элементов всех Ат, расположенное
в следующем порядке: порядок элементов ат ? Ат относительно друг
друга сохраняется без изменения, каково бы ни было т, в то время
как для т < п все множество Ат ставится впереди всего множества Ап:
Если заменить слагаемые подобными им множествами (конечно по-
попарно без общих элементов), то сумма заменяется подобной суммой, что
оправдывает определение: если элементам т ? М поставлены в соответ-
•ствие типы ат, то суммой этих типов
м
0 . т
называется тип выше определенной суммы множеств 5.
Ассоциативный закон имеет место в самом общем случае, например:
коммутативный же, вообще говоря, нарушается: при изменеиии порядка М
меняется сумма S и, вообще говоря, тип а.
Примеры. Разбиение, натурального числового ряда (типа со) на
{1,2 п} + {п+1, п + 2,...},
где второе слагаемое также имеет тип «и, дает:
п + а>= а).
Напротив, со -{- п есть тип множества
[п+1, п + 2,..., 1, 2,..., п},
и так как это множество имеет последний элемент, то этот тип заведомо
отличен от типа а, следовательно:
очевидно, типы «и, со -\-1, со -\- 2,- • ¦ все попарно различны.
Четыре упорядочения натуральных чисел (стр. 43) имеют типы:
а)-{-(а, о)-\-о)*} <о*-}-со, (о*+со*,
которые также, как легко видеть, отличны один от другого, а также от
типа со + п и обратного ему п-\-со*. Тип со*-\-<о есть также тип мно-
множества всех целых чисел:
{.... — 2, —1, 0,1,2,-.-},
расположенных в естественном порядке.
Относя каждому натуральному числу т натуральное число ат и
разбивая ряд натуральных чисел на группы по ат элементов, получим
равенство типов:
48 ПОРЯДКОВЫЕ ТИПЫ
например *):
1 4- 1 + М =* °
Напротив, распределяя натуральные числа в счетное множество по-
последовательностей, хотя бы так (по диагональной схеме):
{1,2, 4,...}+ {3,5, 8,...}+ {6, 9, 13,... } + ••'.
приходим к новому типу:
V «о = <ы + а> + o)-\~- • •
т
При обращении суммы нужно обращать порядок каждого слагаемого
й брать слагаемые также в обратном порядке, т. е.
если S'** 2 А^ то S* = 2 А™.
т т. .
то же относится и к типам; например:
С«+ 0)*=?* + «*•
Произведения конечного числа множителей. Если А, В— два упо-
упорядоченные множества (может быть, имеющие общие элементы), то мно-
множеству упорядоченных пар (a, b), а' ? А, Ъ ? В можно придать опре-
определенный порядок, который будем называть словарным (lexikographisch).
Мы полагаем для этого по определению: (а, й)< (а1? бД. когда или а<аг
или а = dlt b< Ьг.
Множество, упорядоченное таким образом, мы снова обозначим ста-
старым символом [А, В]; это—упорядоченное произведение упорядоченных
множеств, которое сдедует отличать от [В, Л], так как эти множества
эквивалентны, но, вообще говоря, не подобны. ¦
Если At~A, B-l—B, то [Ах, BJ —[Д В], и это снова позволяет
назвать тип множества [А, В] произведением типов аи/?. Мы будем
придерживаться исторически сложившегося — к сожалению, неудобного—
обозначения,, а именно: тип [А, В] обозначается /?а, а не а/J, как это
было бы естественно2):
Пример.
А = {1, 2}, В = {1,2, 3,... }, а = 2, 0 = а>. [А, В] есть множество
пар (а, Ь), расположенное в словарном порядке, т. е.
A, 1), A, 2), A, 3),.... B, 1), B, 2), B, 3),...;
х) Так как мы уже написали 1 4- 1-f-1 + • • • = S$0) то, казалось бы, безраз-
безразличное употребление конечных чисел и ка>с мощностей и как порядковых типов
может привести к путанице; однако для каждого равенства, в. котором фигури-
фигурируют символы бесконечного, ясно, идет ли речь о равенстве чисел или типов.
•) Сам Каигор писая вначале а/8, позже — fia, и это последнее обозначение
в конце концов стало преобладающим; новое изменение привело бы снова к пу-
путанице. Эго несогласие можно было бы устранить введением порядка, который
можно назвать антисловарным, т. е. полагая (а, Ь)<^(аъ bx), когда или b<й,
или b = bv a< av но это также имеет свои неудобства.
СУММА И ПРОИЗВЕДЕНИЕ 49
его тип есть /8а = со2 = о) + а>. [??, А] есть множество пар F, а), рас-
расположенных в порядке:
A,1), A,2), B,1), B,2), C,1), C,2),...;
его тип ар = 2со = со.
И в этом случае также сложение равных слагаемых сводится к умно-
умножению, т. е..если все ат — а, а /и, есть тип М, то
м
2 а=ац.
т
В самом деле, ац есть тип [М, А], т. е. тип множества словарно
упорядоченных пар (т, а). Пусть Ат множество таких пар с фиксиро-
фиксированным т; тогда
[ЛГ, А] - 2 А«»
m
откуда в силу подобия Ато^ А и следует домазываемое равенство.
ац получается „подстановкой а в /г", что следует понимать как замену
каждого элемента, принадлежащего множеству типа ц, множеством типа а.
Приме ры.
со -\- со + о) = саЪ, 3+3 + 3+* • •=3ft)=«).
Вообще па) = п + п+п+- • • — со, соп = а) + со-}-- • ¦+ со (всего п
слагаемых).
Дистрибутивный закон имеет место только по отношению ко
второму множителю, т. е.
м м
в то время как формула, получаемая отсюда перестановкой множителей,
вообще говоря, не имеет места.
м
В самом деле, если А = 2 An, то для любого В
т
\А, В] = 2 IA». Я]»
m
что непосредственно вытекает из определения словарного порядка; отсюда
и получается доказываемое равенство типов; его
м
чить и иначе—яподстановкой" /3 в а=2 ат-
т
В частности,
у(а-±р)=уа + уР,
но необязательно
(а
Пример.
2(с
Хаусдорф. Теория множеств.
и получается доказываемое равенство типов; его, впрочем, можно полу-
м
50 ПОРЯДКОВЫЕ ТИПЫ
так как (пользуясь подстановкой)
2(о>+1) = 2 + 2 + 2+---+2 = о> + 2.
Напротив,
(со + 1) 2 == (со 4-1) + (со + 1) = со2 + 1 ф со2 + 2 = ю2 + 1 . 2.
Обращение [Л, J5] есть множество пар множества [А*, В*], распо-
расположенное в словарном порядке; следовательно: ~
[А, В]* = [А*, В*},
т. е. при обращении произведения множители заменяются на обратные,
но порядок сомножителей не изменяется (в отличие от того, что имеет
место при сложении).
Распространение понятия умножения на три или ббльшее число
множителей производится само собой. Так, [A, J5, С] есть множество
упорядоченных троек (а, Ь, с), расположенное в словарном порядке, так
что (а, Ь, с)< (а1} Ьь сх), когда
или а < аъ
или а = аъ b < Ьъ
или а = аъ Ь = Ьг, с < сх;
его тип есть y/Sa. Очевидно, имеет место ассоциативный закон:
Так же может быть рассмотрен и случай любого конечного числа
множителей. Пусть, далее, М = {1, 2, 3,...} есть множество всех
натуральных чисел; тогда комплексы (последовательности)
p = (av аш, а,,...) (ат 6 Ат)
также могут быть расположены в словарном порядке, так как два раз-
различных комплекса р и q=.(bv b.2> ba, • • •) имеют первое\место, с кото-
которого начинается различие, т. е. такое т, что I у>
ai ='Ьи • • • , am_i — bm-\, ат ф Ьт,
а это позволяет положить p<q тогда, когда ат<Ьт. Произведение,
упорядоченное таким образом, обозначается: \Аг, А%, А3, • • •], а его
тип: • • • а^а^.
Пример. Принимая каждое Ат за множество натуральных чисел,
получим, что • • • сососо есть тип множества всех последовательиостей
натуральных чисел р = (alt a2, a3, • ¦ •), расположенного, в словарном
порядке. Если мы поставим во взаимно однозначное соответствие каж-
каждому р действительное число
A \ai
4-)
ТИПЫ МОЩНОСТЕЙ 51
то увидим, что словарному порядку множества всех р соответствует
расположение множества х-ов в порядке убывания, т. е. -р<</ равно-
равносильна х>у. Так как X пробегает полуинтервал @, 1], то • • • соохо
есть тип чисел вида 1—х, расположенных в естественном порядке
(в порядке возрастания), т. е. тип полуинтервала [0,1).
Очевидно, что можно расположить в словарном порядке всякое про-
м
изведение ПАт, если только быть уверенным, что каждые два ком-
т
плекса этого произведения имеют первое место, с которого начинается
различие, т. е. каждое подмножество М имеет первый элемент (если
М вполне упорядочено в смысле гл. IV).
Это и некоторые другие обобщения понятия произведения будут
рассмотрены дальше (§ 16). Тогда же мы сможем определить в общем
виде и степень, причем, конечно, надо положить аа = а2, асш = а3 •*. .
(вышерассмотренное произведение • • • сососо запишется в виде соа).
Так, со2 — coco = со -f- со + со -f- • . ¦ есть тип последовательности
последовательностей (двойной последовательности), со3 — последователь-
последовательности двойных последовательностей и т. д. Мы имеем:
со -f- со2 = со A -f- со) = coco = со\
сог -}- со = со (со + 1),
причем эти два типа различны:
со + с^со = (со2) со = со Bсо) = coco = о>2 '
отличается от
со (со + со) — со (со2) = со*й = со2 + со2.
Порядковые типы, получаемые из конечных типов и из со конечным
числом сложений и умножений, могут быть названы целыми рациональ-
рациональными функциями от со или же полиномами; они допускают (как мы
увидим в дальнейшем) единственное представление в виде:
сопа + соП1а1+- • ¦ +conxah,
где п> п1> • ¦ • > nk>0, а, ах, • ¦ •, ak — натуральные числа.
§ 11. Типы мощностей Ко н К
Каждый тип а имеет определенную мощность Q. Все различные типы
мощности Q образуют класс типов Т (п); чтобы получить этот последний,
нужно упорядочить всеми возможными способами какое-нибудь фикси-
фиксированное множество А мощности Q; при этом, конечно, два различных
упорядочения не обязательно будут иметь различные типы.
Класс типов Т (п) конечной мощности (п = 0, 1, 2, 3, • • •) содер-
содержит всегда только один тип п. Но в классе Т (Ко) мы уже нашли
бесконечное множество типов: со, со -f 1, со + 2, • ¦ • , со -f со, со* и т. д.
4*
52 ПОРЯДКОВЫЕ ТИПЫ
I. Множество счетных типов имеет мощность континуума.
То-есть Т (К0) имеет мощность К. Первая половина теоремы нам уже
известна: существует не более чем (см. стр. 44) 2ЯоЯо = 2Ко = К раз-
различных счетных типов.
Пусть, с другой стороны, С = со* -}- со есть тип всех целых чисел,
расположенных в естественном порядке,
a = {av a2, а3, • • •)
последовательность натуральных чисел и
тип (очевидно, счетный), определенный этой последовательностью а.
Если нам удастся показать, что а со своей стороны вполне определяет
последовательность а, т. е., что между типами а и последовательностями
а существует взаимно однозначное соответствие, то будет доказано, что
существует не менее Но0== К различных счетных типов, а тогда из
теоремы эквивалентности отсюда будет следовать, что их ровно К.
Итак, нам остается доказать, что если /? = b\ -(- ? -|- Ь2 + ? -|- • • •
и а = р, то аг = bv ай = Ьг, • • ¦ Мы обнаружим это следующими
рассуждениями:
(а) Если Аг + Да —^i + Въ причем Аг н Вх конечны, а А2 и В2
оба не имеют первого элемента, то А1^В1, Л2^^В2.
В самом деле, при подобном отображении элемент Ьг ? Вх не может
быть образом элемента а2 6 -^г> так как ^1 имеет только конечное число
предшественников (или же вовсе их не имеет), а аг имеет их беско-
бесконечное множество. Также и bt не может быть образом ах\ следовательно,
элементам аг соответствуют элементы Ьг н элементам а2 — элементы Ьг.
(/?) Если Аг + А2^^ В1 -}- В2, причем Ах и Вг имеют тип ?,
то Аг^В2.
И тут также элементу az не может соответствовать элемент Ьх, так
как множество предшественников а2 содержит подмножество Аъ не
имеющее последнего элемента, в то время как множество предшествен-
предшественников Ьх имеет тип со* и не может поэтому содержать никакого под-
подмножества без последнего элемента (конечно, если не считать пустого
множества). Опять-таки отсюда следует, что Аг отображается на Bv
а А2 — на Вг.
Теперь из равенства ях -|- f -f- • • • = b-y + ? -f- - ; • по свойству (а)
вытекает, что ах = Ь1} ? +а2 -{-1 +¦•'¦= С + Ьг + t +•'-, и, далее,
по свойству (ft) аг -|- ? -|- • • • = Ьг -|- ? + • • •, откуда в свою очередь
следует, что az=b2, и т. д.
Бесконечное множество, не имеющее ни первого, ни последнего эле-
элементов, называется неограниченным, множество без соседних элементов—
плотным; так же называются и типы этих множеств. Для неограничен-
неограниченности, следовательно, требуется, чтобы перед каждым, а также и за
каждым элементом были другие, для плотности — чтобы между любыми
двумя элементами также находились элементы. Множества рациональных
или же действительных чисел, расположенные в естестзенном порядке,
типы мощностай 53
одновременно и неограниченны и плотны; их типы обозначаются »? и Л
(Я тип континуума). v^- vwiu- j«.»«¦••',•'"j<; чс^И'^.гн..-
П. Если А счетное, В неограниченное и плотное множество, то А
подобно некоторому подмножеству В.
III. Все счетные неограниченные плотные множества подобны
между собой.
Доказательство II. Пусть А = { аг, а2,... ] г); надо доказать,
что А можно отобразить на некоторое подмножество множества В с со-
сохранением порядка. Поставим в соответствие элементу #х произвольный
элемент множества В, а дальше применим полную индукцию: пусть уже
установлено требуемое соответствие между элементами Ап = {auas, • • •, ап}
и какими-то элементами В; покажем, как надо установить элемент, соот-
соответствующий an+i- Возможны три случая: an+i находится между двумя
элементами Ап или же ап+г < Ап, или же, наконец, an^.i ~>An. В первом
случае выбираем образ элемента an+i в В между двумя соответственными
элементами В, во втором — перед образом первого элемента Ап, в тре-
третьем — после образа последнего элемента Ап; такой выбор всегда воз-
возможен, так как В неограниченно и плотно. Таким образом Ап+\ ото-
отображено с сохранением порядка на часть В, и поступая так же дальше,
установим образы всех элементов ап ? А, не нарушая порядка.
Доказательство III. Пусть А = { flj, az,...} и В=* {Ьг, Ьъ ...}
неограниченные и плотные множества; мы можем следовательно отобра-
отобразить А на подмножество В, а также и В на подмножество А 2); покажем,
что, отображая поочередно то элемент А на элемент В, то, наоборот,
элемент В на элемент А, можно установить подобие всего множества А
всему множеству В. Поставим элементу а^ в соответствие элемент Ьг и поло-
положим а1 = alt b1 = Ъх. Далее, применим полную индукцию: предположим,
что мы уже образовали пары (дь bj,..., (ап, Ьп) так, что множества
Ап = {а1 ап } и Вп = {Ь1, ..., Ьп ) подобны; надо показать, как
найти пару (ап+\ bn+l).
Если п четно, выберем ап+1 = пъ где aft есть элемент А с наи-
наименьшим индексом из тех, которые не принадлежат к An, a bn+ = bk,
где bk элемент В с наименьшим индексом из тех, которые имеют по
отношению к Вп такое же положение, как an+1 по отношению к Ап-
Если п нечетно, наоборот, выберем bn+l = bk, где Ьь элемент В с наи-
наименьшим индексом из числа не принадлежащих Вп, и an+1 = Яь где
аи элемент А с наименьшим индексом, расположенный относительно Ап
так же, как bn+1 относительно Вп.
Указанный выбор всегда возможен, так как А я В неограниченны и
плотны. С другой стороны, при этом отображении ни один элемент не
может быть пропущен; таким образом А — В.
*) Порядок элементов слева направо в записи {аи а2,... } не обязательно
совпадает с порядком в множестве А.
2) Теорема подобия, аналогичная теореме эквивалентности (два множества,
каждое из которых подобно подмножеству другого, подобны между собой),—
ошибочна. Пример: интервал и сегмент.
54 ПОРЯДКОВЫЕ ТИПЫ
Следствием II (если положить А равным множеству рациональных
чисел, имеющему тип г[) и III является следующее утверждение:
IV. Каждое неограниченно? плотное множество имеет подмно-
подмножество типа г\. Каждое множество типа г\ содержит подмножество
любого счетного типа1). Каждое счетное неограниченное плотное
множество имеет тип г\.
м
Примеры. 2 *?= W* ПРИ конечном или счетном множестве М
т
(тип которого есть /л) является счетным неограниченным плотным мно-
множеством; следовательно, гцх = у], например:
щ -\- щ = f]2 — щ = гро ¦=¦ rf = г\.
Счетные плотные типы могут отличаться только присутствием или
отсутствием последнего и первого элементов, следовательно, таких типов
всего четыре:
м
(М — конечное или счетное) равняется либо 1 + Щ, либо >?, в зависи-
зависимости от того, имеет или не имеет М первый элемент, например:
A +r})a>* = (
Множество всех рациональных чисел >а имеет тип ^следовательно,
существует, например, сохраняющая порядок, т. е. монотонно возра-
возрастающая функция s=zf(r), которая каждое рациональное число г>0
отображает в рациональное число S > а, и обратно.
Очевидно, эту функцию можно продолжить, определив ее и в ирра-
иррациональных точках, в непрерывную монотонную функцию у = / (х),
отображающую с сохранением порядка полупрямую х >0 в полупрямую
у >а, так что рациональные х переходят в рациональные у, и наоборот.
В случае рационального а это конечно тривиально, так как такой
функцией является просто у = х -\- а.
Множество рациональных чисел интервала @, 1) и двоично-рацио-
двоично-рациональных чисел того же интервала (т. е. дробей с знаменателем, являю-
являющимся степенью двух) подобны и принадлежат к типу г]. Отображение
одного на другое, которое мы тут же продолжим в отображение
*) Получается, полагая в II В равным множеству рациональных чисел, А —
равным счетному множеству данного типа.
¦* ТИПЫ МОЩНОСТЕЙ ¦ 55
всего полуинтервала, можно- получить следующим образом. Разбиваем
полуинтервал 0<х<1 точками — , —, —,..., а полуинтервал
0<у<1—точками —, -|г-, -j-,... иа полуинтервалы
A
i
ni—1
где Пх — натуральное число. В этих полуинтервалах можем положить
Если мы то же самое построение применим к полуинтервалам
0<хх<1 и 0<у1<1 и будем этот процесс повторять неограниченно,
то придем к разложению X в двоичную дробь:
A \П1
т)
а у — в непрерывную:
V==_JJ У LJ
У \П1 + 1 |П,+ 1 |п,+1
где п = (щ, п2, п35 • • •) — последовательность натуральных чисел. Ставя
в соответствие числа X и у, определяемые одной последовательностью п,
получим желаемое отображение, переводящее двоично-рациональные числа
в рациональные, и наоборот; сверх того, это отображение переводит
каждое рациональное (но не двоично-рациональное) число в квадрати-
ческую иррациональность и обратно (Н. Minkowski). Ограничиваясь этим
указанием, предоставляем провести доказательство читателю, знакомому
с элементами теории непрерывных дробей.
Тип Я множества всех действительных чисел есть в то же время тип
множества точек интервала или же полупрямой без конечной точки
(х > а, х < а).
Интервал, полуинтервалы и сегмент
(a, b), [a, b), (a, b], [а, Ь)
имеют типы
Я, 1+Д, А+1, 1+А+1.
Из формулы (a, b)+[b, с)=(а, с), (а<Ь<с) получаем Я-f 1+Я = Я,
в то время как Я + Я ф ^1 таким же образом, т. е. соединяя рядом
расположенные полуинтервалы, получаем:
1+ Я = A + А) 2 = A +Я)л = A + Д)о>, Я = (Я+1)со
и т. д.
56 ПОРЯДКОВЫЕ ТИПЫ
Чтобы, подробнее изучить тип Я, предварительно обратимся к сле-
следующим рассмотрениям общего характера. При разбиении упорядочен-
упорядоченного множества А на „начальный кусок" Р и „концевой кусок" Q:
A = P+Q
могут представиться следующие четыре случая:
Р имеет последний, Q имеет первый элемент: скачок.
Р имеет последний, Q не имеет первого элемента:
Р не имеет последнего, Q имеет первый элемент:
Р не имеет последнего, Q не имеет первого элемента: пробел.
га: 1
) сечение.
г: )
Множество, лишенное скачков, плотно; таково, например, множество
рациональных чисел, которое имеет, однако, пробелы. Множество, не
имеющее ни скачков, ни пробелов, называется непрерывным в дедекин-
довском смысле, например множество всех действительных чисел (этим
объясняются выражения: числовой континуум, мощность континуума) х).
Оно получается из множества рациональных чисел заполнением пробелов
(иррациональными числами); тот классический способ, которым это сделал
Дедекинд 2), переносится на любое плотное неограниченное множество А.
Рассмотрим для. этого те разбиения А, в которых Р не имеет
последнего элемента; Q может при этом как иметь первый элемент, так
и не иметь его. Эти начальные куски Р сами образуют упорядоченное
множество (р, если положить Р < Ри когда Рс Р1( и мы утверждаем,
что *р непрерывно. В самом деле, во-первых, °р плотно, т. е. между Рх
и P2^>Pi всегда находится еще одно Р; действительно, Р2 — Рг не
имеет последнего элемента, следовательно, имеет их бесконечно много,
и поэтому можно указать элемент а множества Р2 — Рг, не первый
в этом множестве; множество Р элементов < а заключено между Р2 и
Рг: Рхс Рс Р2. Во-вторых, <р не имеет пробелов. Действительно,
пусть <р = "р! + *р2 есть разбиение ф на начальный и концевой классы,
т. е. на два класса начальных кусков {Pi} и {Р2}, причем всегда
Pt cz Рг. Образуем сумму всех Plt Р = @РХ; она образует вместе с пере-
пересечением дополнений Q = ©Qj (где А = Рг + Qi) новое разбиение
А = Р + Q, где Р есть начальный кусок, очевидно, без последнего
элемента. Из Pi с: Р2 следует, что Р Q Р2, т. е., каковы бы ни были Рх
и Р2, Рх Q P Q Р2 и, следовательно, Р есть либо последний элемент "р^
либо первый Sp2; ^Рх + 'рг — сечение, а не скачок и не пробел. Следо-
Следовательно, ^Р непрерывно.
Если ввести следующий термин:
В Q А плотно в А, если между каждыми двумя элементами А
находится хотя бы один элемент В (что возможно, конечно, только тогда,
когда и А и В плотны), то тип континуума Я характеризуется следующей
теоремой:
х) Continuum означает непрерывное.
2) В своей теории иррациональных чисел. См. Дедекинд, Непрерывность
и иррациональные числа, Госиздат.
ТИПЫ МОЩНОСТЕЙ 57
V. Всякое непрерывное множество содержит подмножество типа А.
Всякое неограниченное непрерывное множество, в котором существует
счетное и плотное подмножество, принадлежит к типу А.
Доказательство. Пусть А непрерывно; мы можем, сверх того,
предположить его неограниченными (так как в противном случае можем
выделить неограниченное подмножество, которое и примем за А). По
теореме IV А содержит подмножество В типа г\. Если в В есть пробел;
Р =¦ Р -f- Q, то между Р н Q лежит хотя бы один элемент А, так как
в противном случае само А имело бы пробел. Следовательно, А содер-
содержит подмножество С, получающееся из В заполнением пробелов, т. е.
подмножество типа А х). С другой стороны, если В еще и плотно в А
(каждое плотное в А множество само неограниченно и плотно, следова-
следовательно, если оно счетно, то принадлежит к типу rf), то между Р и Q
находится только один элемент А, т.е. А = С. Этим теорема доказана.
Существует бесконечное множество различных непрерывных типов
мощности континуума. Если обозначить в = 1 4- А -+- 1 тип сегмента
/ = [0, 1], то все степени 0, б2, в3,... непрерывны и различны. Обо-
Обозначим, действительно, /2 = [/, /], /3 = [/, /, 1],...\ 1т есть словарно
упорядоченное множество всех числовых комплексов, х = (хх, х2,.. •, хт).
где Xft пробегает сегмент /. Что 1т плотно — очевидно; отсутствие про-
пробелов в 1т сводится к отсутствию пробелов в /т_л следующим образом.
Обозначим через Нт{а) множество комплексов (а, х2, Х8,...,хт)
с фиксированным хг = а, тогда
1
/т = 2 #т (и).
а
Нт(а), очевидно, подобно 1т-\. При разбиении Im = Pm + Qm воз-
возможны два случая: или одно из слагаемых Нт(а) также разбилось и
тогда дело свелось к разбиению /m_i — Pm-i + Qm-u или же разбиение
имеет вид:
р Q
и тогда, если обозначить через аг наибольший из элементов а, то Рт
имеет наибольший элемент (аг, 1,...,1); если же bt — наименьший из
элементов Ь, то Qm имеет наименьший элемент (bv 0,..., 0). Остается
доказать только, что все вт различны, для чего мы покажем, что: если
т > 1 и 1т подобно некоторому подмножеству /„, то п > 1 и 1т-\
также подобно некоторому подмножеству 1п—\. Пусть множество 1т
комплексов X = (х](.. .,Хт) подобно отображено на множество ком-
комплексов у = (у1}..., уп)) являющееся подмножеством /„. Пусть ком-
комплексам (х1( 0 0) и (х15 1,..., 1) соответствуют у—(уг,... , уп)
и V = (Уь %>¦•¦» Vn), при этом у < г], значит yt < r)v Но при всех
возможных х^ не может иметь места ух < г)х (откуда уже следует, что
1) Заполнение пробелов, как нетрудно видеть, возможно единственным
способом.
58 ПОРЯДКОВЫЕ ТИПЫ
п ф 1), так как# интервалы (у„ »?,) были бы тогда без общих точек и
образовали бы, так же как1 и числа xlt множество мощности К, в то
время как таких интервалов не может быть более чем. счетное множество
(потому что каждый из них содержит хотя бы одно рациональное число).
Следовательно, существует такое Xj = а, что комплексам (а, 0,..., 0)
и (а, 1,..., 1) соответствуют комплексы (Ь, у2,. . ., уп) и (Ь, г)г, . . ., rjn)
с одним и тем же у, = щ = Ь; тогда ранее введенное множество Нт (а)
подобно некоторой части Нп (b), следовательно, /m_i подобно некоторой
части /„_!• Отсюда, наконец, следует, что, при т>п, 1т ие может быть
подобно подмножеству /„ (в том числе и самому 1п), так как тогда /m_i
было бы подобно подмножеству /я_1, и, продолжая то же рассуждение,
мы бы получили, что /m_n+i подобно подмножеству 1и что противо-
противоречит вышесказанному.
Г Л А В А 'IV
Порядковые числа
§ 12. Теорема Zermelo
Определение. Упорядоченное множество называется вполне
упорядоченным, если каждое его (непустое) подмножество имеет
первый элемент. Порядковый тип вполне упорядоченного множества
называется порядковым, или трансфинитным, числом.
но вполне упорядоченном множестве не существует подмножества
типа со*; каждая убывающая последовательность элементов а>6>с>...
содержит только конечное число элементов. Это последнее свойство
также могло бы быть принято в качестве определения вполне упорядо-
упорядоченного множества.
За каждым элементом, если только он не последний, стоит ближайший
следующий; при всяком разбиении А = Р + Q концевой кусок Q имеет
первый элемент, в то время как начальный кусок Р может иметь, но
может и не иметь последний элемент. Обратно, если концевой кусок
каждого разбиения (в том числе и несобственного А — 0 + А) имеет
первый элемент, то А вполне упорядочено; если BzdO произвольное
подмножество множества А, Р — множество тех элементов А, которые < В
и А = Р + Q, то первый элемент Q является также первым эле-
элементом В.
Конечные множества {1, 2,...,п}, множество всех натуральных
чисел {1, 2, 3,...}, множество \[, 3, 5,..., 2, 4, 6,...} вполне
упорядочены, их порядковые типы п, со, со -\-со суть порядковые числа.
Порядковые типы со*, щ, Л (стр. 53) не являются порядковыми числами.
Бесконечное вполне упорядоченное множество А имеет первый эле-
элемент а0, второй — аи третий — а2,...; если оно имеет элементы, кроме
вошедших в последовательность а0, аъ пъ..., то среди этих элементов
найдется первый элемент ат, следующий за ним ат+\ и т. д.
Таким образом
- А~{а0, аи аг,..., аа, aa+i,...}, A)
Намеченный здесь, подлежащий дальнейшему обоснованию способ обозна-
обозначения заключается в том, что каждому элементу приписывается в качестве
индекса порядковый тип множества предшествующих ему элементов.
Чтобы это выполнялось также и для конечных индексов, мы и начали
с 0, ап имеет индексом п—тип множества [а0, а1г..., fln-i}, Яо—тип О
пустого множества.
60 ПОРЯДКОВЫЕ ЧИСЛА
После этих предварительных замечаний докажем теорему Е. Zermelo
(Wohlordnungssatz): Каждое множество может быть вполне
упорядочено.
Если мы пожелаем сделать наше множество вполне упорядоченным
по способу A), мы, в частности, должны будем для каждого множества
Рп = [а0, «!,••-, «n-i} указать непосредственно следующий элемент
ап или, что то же, из множества еще не упорядоченных элементов
Qn = A— рп выбрать один вполне определенный элемент ап- Если
поступать таким образом, то отдельные акты выбора сами совершаются
в определенном порядке: ап может и должно быть выбрано только после
того, как выбраны предшествующие ему элементы а0, ¦ • • , ап_\. Доказа-
Доказательство теоремы Zermelo может быть проведено и при помощи этих
последовательных зависимых выборов, но только позже, после более
подробного исследования порядковых чисел. Чтобы получить доказа-
доказательство уже сейчас, мы прибегнем к совокупности одновременных не-
независимых один от другого выборов: мы ставим в соответствие каждому
подмножеству Р множества А, отличному от А, некоторый элемент а,
не принадлежащий Р, а = / (Р) ? А — Р, или, иначе говоря, выбираем
из каждого непустого подмножества Q множества А по одному при-
принадлежащему ему элементу « = 9>(Q)?Q. Обе формулировки выра-
выражают одно и то же: / (Р) = q> (А — Р) или же <р (Q) = / (А — Q). Мы оста-
остановимся на первой формулировке и назовем а = / (Р) присоединенным
к Р элементом, а множество Р+=Р + {а}, получающееся из Р приба-
прибавлением присоединенного элемента, назовем для краткости „преемником' Р.
Поступая таким образом, мы совершим больше выборов, чем это необ-
необходимо, так как при упорядочении по способу A) вовсе не приходится
употреблять такие множества, как {о0, а2}, и присоединенные к ним
элементы. Зато теперь отдельные акты выбора, как уже сказано, неза-
независимы один от другого, иначе говоря: функция а = / (Р) имеет заранее
установленную область определения (мно_жество, которое пробегает аргу-
аргумент), а именно множество всех Ра А.
Тот способ, которым, исходя нз указанного соответствия а = / (Р),
можно автоматически вполне упорядочить А, по существу очень прост,
но требует от читателя некоторой привычки к абстрактному мышлению.
Рассмотрим такую совокупность множеств Q А, что:
(а) она содержит пустое множество,
(/?) содержит сумму множеств, если содержит каждое слагаемое
множество,
(у) если содержит Р, то содержит и его „преемник" Р+.
Назовем такую совокупность множеств цепью. Такие цепи заведомо
существуют; в качестве примера можно указать максимальную цепь,
состоящую из всех множеств Q А. Пересечение любого множества цепей
есть также цепь; поэтому существует минимальная цепь Й, а именно
пересечение всех цепей. Ее-то мы и рассмотрим, и все множества, о
которых будет итти речь в ходе доказательства, как-то: Р, X и т. д.,
будут принадлежать й.
Самое главное, — это доказать сравнимость всех множеств цепи ^
(в смысле стр. 11), т. е. доказать, что между двумя множествами Р, X
существует одно из трех отношений Х = Р. Если мы условимся назы-
теорема Zermelo 61
вать правильным такое множество Р, которое сравнимо со всеми Хай,
то дело сводится к доказательству того, что все множества, входящие
в Й, правильны. Первый шаг состоит в доказательстве теоремы:
I. Если Ра А правильно, то все множества либо Q Р, либо 2 Р, .
Покажем, что множества X, которые или Я Р, или 2 Р,, образуют
цепь; эта последняя будет совпадать с Й, так как R — минимальная цепь.
Нам нужно, следовательно, установить свойства, характеризующие цепь:
(а) Пустое множество принадлежит к множествам X.
Это очевидно, так как О Q Р.
(/?) Сумма любых множеств X есть также множество X.
Пусть S = ©Хт; или каждое Хт Я Р и тогда S Q Р, или хотя бы
одно X 2 Р+ и тогда S 2 Р+-
(у) Преемник каждого X а А есть X.
Если X 2 Р+ , то Х+эР+; если X — Р, то Х+ = Р+ ; если
.Xа Р, то X, Q Р. В самом деле, X, сравнимо с Р, так как Р пра-
правильно, и если бы мы имели X, =э Р, то X, —X = (X, —Р)+
+ (Р — X) содержало бы не менее двух элементов, в то время как оно
состоит только из одного элемента f(X).
С помощью теоремы I можно заключить, что:
II. Все множества правильны.
Покажем, действительно, что правильные множества образуют цепь,
которая, следовательно, совпадает с R.
(а) Пустое множество правильно.
(/3) Сумма любого множества правильных множеств — правильное
множество.
Пусть Р = © Рт есть сумма правильных множеств, X—произволь-
X—произвольное множество, так что Рт = X. Или каждое Рт Q X и тогда Р Q X,
или хотя бы одно Рт=э X и тогда Р=эХ. Таким образом Р сравнимо
с каждым X.
(у) Преемник Р+ каждого правильного множества Ра А — правиль-
правильное множество.
Это установлено теоремой I.
То обстоятельство, что все множества Й сравнимы, позволяет упо-
упорядочить Й; для этого стоит только считать меньшее из4двух множеств
предшествующим (т. е. считать, что Рх < Р2 равносильно Рг а Р2);
упорядоченное таким образом множество Й является вполне упоря-
упорядоченным. Так( как само $ имеет первый элемент (пустое множество),
то остается только доказать, что при каждом разбиении Й = их + -&2
на начальный и концевой куски последний имеет первый элемент. Пусть
^1 6 ^1» р2 6 -®2, Pi<=- Р2; обозначим через Р сумму всех PiCPjG^i)-
Тогда Рх Я Р Q Р2; следовательно, Р есть или первый из элементов Р2
или последний из Pv Во втором случае Р+ есть первый из элементов Р2;
в самом деле, он входит в й, так как Р входит в Й, а так как РаР+,
то Р+ ? -&2. Таким образом в обоих случаях й2 имеет первый элемент.
Наконец, между множествами Р цепи К и элементами а ? А можно
установить взаимно однозначное соответствие и этим самым вполне
упорядочить само А.
62 ПОРЯДКОВЫЕ ЧИСЛА
Это осуществляется при помощи соотношения a — f(P), которое от-
относит каждому ^Р элемент, присоединенный к нему. Два различных
множества PidP2 имеют различные присоединенные элементы ал, а2;
в самом деле, Р2 содержит преемник Ра, следовательно, а1 ? Р2)
а2 € Pi' С Другой стороны, каждый элемент а является присоединенным
к одному и, следовательно, только одному множеству Р. Действительно,
пусть P = F(a)—сумма всех множеств Рь которые не содержат а
(к таким принадлежит, например, пустое множество); тогда а = /(Р),
так как в противном случае и Р+эР также не содержало бы а, что
противоречит тому, что Р есть сумма всех Р1( а ? Рг. Таким образом
при помощи формул:
a-HP), P = F{a), . .
элементы а ? А и множества Ра А (т. е. все множества цепи $ вплоть
до А) приведены во взаимно однозначное соответствие; перенесение по-
порядка, установленного для Р, на элементы а (а1< а равносильно Рг а Р)
делает А вполне упорядоченным. Так как Р-^а Р равносильно тому,
что а-у ? Р, то Р = F(a) есть множество элементов ах< а и, обратно,
a — f(P)—элемент, непосредственно следующий за множеством Р
в установленном нами порядке (это, впрочем, справедливо только для
тех множеств Ра А, которые входят в цепь Й).
Вот пример, иллюстрирующий этот процесс обращения множества
во вполне упорядоченное: из каждого множества Q натуральных чисел
выберем число а = q> (Q), содержащее наименьшее число простых мно-
множителей, притом (если таких чисел несколько) наименьшее. Исходя из
этого выбора, множество натуральных чисел оказывается вполне упорядо-
упорядоченным следующим образом: в начале стоит число 1, далее — простые
числа, расположенные по величине, далее — произведения двух простых
множителей, также расположенные по величине, и т. д.; это множество
имеет тип ш + оу + оу + • • • = ft>2.
§ 13. Сравнимость порядковых чисел
Каждый элемент а вполне упорядоченного множества А определяет
отрезок Р = множеству всех элементов < а,
остаток Q = множеству всех элементов > а,
и тем самым разбиение А — Р +Q.
Обратно, каждое разбиение А на начальный кусок Р и концевой
кусок Q есть разбиение, определяемое некоторым элементом а, именно
первым элементом Q. Если а — первый элемент А, то следует положить
р = 0, Q=A.
Мы имеем теорему:
I. Если Ь = / (а) — подобное отображение вполне упорядоченного
множества А на его подмножество В, то f (a) > а.
То-есть при таком отображении ни один элемент не может иметь
своим образом элемент, стоящий перед ним. В самом деле, если бы
существовали элементы а, для которых )(а)<а, то между ними был бы
первый; пусть этот элемент есть а, а его образ есть b = f(a), b< a;
СРАВНИМОСТЬ ПОРЯДКОВЫХ ЧИСЕЛ 63
тогда в силу подобия f(b)<f(a), т. е. f(b)<b; следовательно, а — не
первый из элементов, обладающих указанным свойством.
Следствие.
II. Вполне упорядоченное множество не может быть подобно
своему отрезку.
Потому, что если бы А было подобно отрезку В, определяемому
элементом а, то f(a) ? В, следовательно, f(a) < а.
Свойство множества А быть подобным отрезку некоторого множества В
сохраняется при замене множеств им подобными. Это оправдывает такое
определение:
Если а и ft суть два порядковых числа, А и В — вполне упорядо-
упорядоченные множества этих типов, то по определению
а < ft или ft > a
(а меньше ft, ft больше а), если А подобно отрезку множества В.
Очевидно, справедлив транзитивный закон:
если а< ft, /3< у, то а<у
(А подобно отрезку отрезка множества С, т. е. отрезку множества С).
В силу II не может быть а < а, т. е. соотнршения а < ft и а = ft
исключают одно другое; то же самое можно сказать и относительно
а > ft и а — ft. То же относится и к соотношениям а < ft, a > ft, так
как из а < ft, ft < а по транзитивности следовало бы а <а. Из соотно-
соотношений a±ft может иметь место только одно; покажем, что одно из них
обязательно имеет место, т. е. два порядковых числа всегда сравнимы.
В последующем будем постоянно пользоваться следующим обозначе-
обозначением: каждое порядковое число а определяет множество
W(a) = множеству порядковых чисел 4?а,
которое называется числовым отрезком. Числа множества W (а) все
сравнимы между собой, и W(a), упорядоченное по величине, имеет
тип а. В самом деле, если
А = {..., а,..., Ь,...}
вполне упорядоченное множество типа а, то по самому определению
числа <а поставлены во взаимно однозначное и подобное соответствие
отрезкам А, а тем самым элементам А: каждый элемент а определяет
свой отрезок Ра типа па, и если а < Ь, то Ра есть отрезок отрезка
Pb, Яа< Щ-
Таким образом
W{a) = {..., па,..., ль,... },
что и доказывает наше последнее утверждение. Обратно, сказанное по-
позволяет провести во всей общности способ обозначения, намеченный
в § 12 A), и перенумеровать элементы вполне упорядоченного множества
64 ПОРЯДКОВЫЕ ЧИСЛА
типа а при помощи соответствия этих элементов числам множества
W (а) ={0,1 !,...} (|<а)
таким образом, чтобы в
индекс каждого элемента был типом соответствующего этому элементу
отрезка. Так, например:
для конечного л >0, в то время как И^@) = 0 есть пустое множество.
Пусть теперь а, /3—два порядковых числа, A = W(a), B = W(P) и
D — AB— пересечение этих отрезков, т. е. множество тех порядковых
чисел, которые одновременно <а и </?. D вполне упорядочено, его
тип д— порядковое число; мы утверждаем, что д^а. Если D = А, то
д = а; если же DczA, то в разложении
D есть начальный кусок, А — D—концевой кусок А. Действительно,
если ! ? Д г\ ? А — D, то! и ц как элементы А сравнимы, следова-
следовательно, !^»?; но не может быть *у<! <а, /3, так как тогда г) принад-
принадлежало бы к D; следовательно, имеем! <»?. А тогда/)есть отрезок А и
<5 < а; сверх того, очевидно, что д есть первый элемент А—D иО = W(d).
Таким образом мы имеем:
<5<а,
При этом невозможна комбинация <3< а, <3</5, так как в этом слу-
случае мы бы имели й| ? D, и мы, следовательно, имеем только три возмож-
возможных случая:
д = а, б = /5: а = /5,
<5 = а, д < /5: а < /5,
<3<а, б = /5: а>/5.
Этим доказана:
III. (Теорема сравнения.) Два порядковых числа всегда сравнимы,
т. е. между ними всегда существует одно и только одно из трех
соотношений:
В частности, если A Q В, то а</5. В самом деле, если а >/3, то
В подобно отрезку Р множества А, определяемому элементом а ? А, и
при отображении В на Р элемент а отображается в элемент множества Р,
который меньше, чем а, что противоречит теореме I. Заметим, что а мо-
может равняться /3 и в том случае, когда Ас В; но это может быть
только тогда, когда А не есть отрезок В; так, например, все бесконеч-
бесконечные подмножества множества натуральных чисел имеют тнп <о.
Пользуясь теоремой Zermelo и теоремой сравнения, мы можем воспол-
восполнить пробел, бывший до сих пор в теории кардинальных чисел (мощ-
СРАВНИМОСТЬ ПОРЯДКОВЫХ ЧИСЕЛ 65
ностей), доказав, что любые два кардинальных числа сравнимы. В са-
самом деле, любые мощности а, Ь мы можем теперь рассматривать как
мощности вполне упорядоченных множеств Д, В соответственно типов
а и /?, и тогда
или а = /5, а = Ь, |
или а< /?, а<Ъ,
или а >/?, а>Ь;
действительно, а< /? обозначает, что Д подобно отрезку множества В,
следовательно, А эквивалентно подмножеству множества В.
Обратно, мы имеем:
или й*=Ь, a=fi,
или а<Ъ, а< /5,
или а >Ь, а
причем первая строчка выражает то обстоятельство, что при данной
мощности множество может быть вполне упорядочено различными спосо-
способами (например, при а=Ко> а может быть = са, о> + 1, - - -).
IV. В каждом (не пустом) множестве пррядковых чисел существует
наименьшее число; таким образом каждое множество порядковых
чисел вполне упорядочено по величине своих элементов.
В самом деле, если W — множество порядковых чисел и а—число
этого множества, то, если а не есть наименьшее в W, пересечение >W- W (а),
будучи подмножеством W(a), вполне упорядочено, как уже доказано,
и наименьшее число этого множества есть наименьшее и в W.
|^ Следовательно, если W имеет тип /5, то его можно записать в виде:
причем если ?< % то а$< а,,.
V. Для каждого множества W 'порядковых чисел существуют
порядковые числа, большие всех чисел данного множества; в част-
частности, существует первое, превышающее все числа множества.
Выберем мощность а, большую, чем мощйость всех порядковых чи-
чисел W (см. стр. 34); если а—порядковое число мощности а, то а
больше всех порядковых чисел W, короче: a >W. Наименьшее из
чисел > W есть либо само а, либо одно из чисел отрезка W(a).
По теореме V видим, что понятие „множество всех порядковых
чисел" немыслимо (ср. стр. 34).
Числа >а имеют вид а +/5 (/5 >0) и, обратно, только числа тако-
такого вида >а (А подобно отрезку множества A -j- В); наименьшее из
чисел >а есть а+1.
Число А > 0, ¦ которое не имеет числа, непосредственно ему пред-
предшествующего, т. е. такое число, для которого W (А) не имеет послед-
последнего элемента, называется предельным числом; наименьшие предельные
числа суть со, со + со=со2, соЗ, • ¦ • Порядковое число, не являющееся
предельным, называется изолированным; все изолированные числа, кроме
нуля, имеют вид а+ 1.
Хаусдорф. Теория множеств. 5
66 ПОРЯДКОВЫЕ ЧИСЛА
Если множество порядковых чисел
W = {а0) О!,..., а„,... }
монотонно возрастающих вместе с г], не имеет последнего элемента
(т. е. если /3 есть предельное число), то первое число Л> W, которое,
очевидно, является предельным, называется пределом \W и обозначается:
А = lim W
или, еще иначе,
А = lim an.
Например со есть предел {0, 1, 2,---\, а также любой возрастающей
последовательности {oq, <ц, а2,»--} конечных чисел а„:
а> = lim v =limav.
Трансфинитная индукция...Вместо обычного метода заключе-
заключения от п к п|1 в применении к порядковым числам имеет место сле-
следующий принцип:
Некоторое утверждение /(а) относительно порядкового числа а верно
для любого а, если верно /@) я если из того обстоятельства, что / (!)
верно для всех |< а, следует, что верно и /(а).
В самом деле, если бы /(/3) было неверно, то существовало бы наи-
наименьшее а, 0 ^ а <^ /?, такое, что / (а) неверно, что приводит к проти-
противоречию как в случае а = 0, так и в случае а > 0.
Трансфинитная индукция применяется не только в доказательствах,
но и в определениях.
Функция /(а) от порядкового числа а определена для каждого а,
если определено значение /@) и если при помощи уже данного опре-
определения /(!) для |< а определено значение /(а).
Если заменить /@) через /(а0), то необходимо неббльшое видоизме-
видоизменение, а именно в этом случае /(а) соответственно верно или опреде-
определено для а^> а0.
§ 14. Действия с порядковыми числами
Сумма и произведение уже определены для порядковых типов. Без
труда доказывается, что сумма упорядоченных множеств
т
вполне упорядочена, если вполне упорядочены как М, так н слагаемые Ат.
Таким образом: вполне упорядоченная сумма порядковых чисел и
произведение порядковых чисел в конечном числе сами суть порядко-
порядковые числа.
Например со2, со3, со + сог + со3 + ••• суть порядковые числа. В ряде
случаев удается также определить вычитание и деление порядковых
чисел. Предварительно укажем следующие неравенства:
Из а< /3 следует:
([л
'•}
B)
ДЕЙСТВИЯ С ПОРЯДКОВЫМИ ЧИСЛАМИ 67
В самом деле, а< /3 (А можно считать отрезком В) равносильно
/3=а + у (у >0). Поэтому
[i + P = [i + (а+у) = (/г + а) + у >/г + а,
цР= [I {а-\-у) = [ia-\- цу >[ia, если /г >0.
Если же слагаемое или множитель ц стоит на втором месте, может
встретиться и знак равенства, например:
(г>-\- 1< со + 2, 1 -f- ft> = 2 +o) = ft),
ft)l<ft>2, lft) = 2ft) = со.
Обращение неравенств A) приводит к следующим заключениям:
из ц + а< fi+ ft или а + /г < /5 + ц следует а< /5,
из /л + а— (М + /5 следует а = /5,
из ,ма< ,«/? или а,м< Дм следует а< /5,
из fia = fi^ и /г >0 следует а =/5.
Из а + fi= f} + /г или же из а/г = /?^tt не следует а = /5.
Вычитание. Числами а и /5 >а, как видно, единственным обра-
образом определяется число |, удовлетворяющее уравнению
мы обозначим его через
l = —« + A
так что а + (—а + /5) = /?. | есть тип Щ/3)—И^(а), т. е. остатка
W(P), короче: остаточный тип числа /?.
При фиксированном /5 мы, очевидно, имеем, что если а< ах< |3,
то ^>^ [|х тип И^(/5)—Vy(aj)]; следовательно^ различные остаточные
типы числа /5 образуют множество порядковых чисел, расположенное
в порядке убывания, а такое множество обязательно конечно, так как
не может содержать подмножества типа со*; таким образом у каждого
порядкового числа существует только конечное число различных оста-
остаточных типов.
Например ft) имеет только один остаточный тип со; со + 3 имеет
остаточные типы со -f- 3, 3, 2, 1, соответствующие разложениям (v —
конечно):
со + 3 = v + (со + 3) == со+ 3 = (со +1) + 2 — (со + 2) + 1.
Напротив, уравнение
(а остаточный тип /?) не всегда имеет решение: например r\ -f- со = со + 1
неразрешимо, так как тип, стоящий слева, соответствует множеству без
последнего элемента, а стоящий справа—множеству с последним эле-
элементом. Если уравнение г/ + <х = /5 разрешимо, то оио имеет бесчислен-
бесчисленное множество решений V = Vo> Щ + 1» % + 2,••• при а>со и одно
единственное решение при а конечном; в самом деле, уравнение обозиа-
5*
68 ПОРЯДКОВЫЕ» ЧИСЛА
чает в последнем случае, что г/ + (а—1) есть число, непосредственно
предшествующее числу /5, rj + (а — 2) — предшествующее числу ту+(а—1)
и т. д.; через конечное число шагов приходим к числу, которое, как
видно, однозначно определяется этим процессом. Только в этом случае
(а конечное) мы обозначаем решение через г/ = {$ — а, причем конечно
(/5 — а) + а = /5; это равенство выражает, следовательно, то, что а есть
натуральное число и что rj получается нз р путем удаления а последних
элементов. Например/5—1 есть предшественник элемента /? (/5 предпола-
предполагается изолированным числом, большим нуля).
Деление. Каждое число ?< afi может быть представлено в виде:
С =«*?+! (!<«, n<p)t C)
причем числа щ и | однозначно определяются заданием чисел а, /5, С.
В самом деле, если А, В вполне упорядоченные множества типов а,/3,
то а/5 есть тип произведения [В, А], т. е. множества пар (Ь, а), распо-
расположенных в словарном порядке. ? есть тип отрезка [В, А], определяе-
определяемого некоторой парой (Ь, а); этот отрезок состоит из пар (у, х), для
которых у< Ь, X ? А, и пар (Ь, х), для которых х< а. Если |, rj суть
типы отрезков множеств А и В, соответственно определенных числами
а и Ь, то I и щ удовлетворяют выше написанному уравнению; сразу же
видно, что (Ь, а), а значит, и | и rj определены заданием ?, а, /5. Считая
/5 произвольным, можем сказать: каждое число может быть представлено
(если а >0) в виде:
? = «»? + ! '(!<«). D)
причем прн данных а, С числа | и rj определены однозначно.
Действительно, /5 можно всегда выбрать настолько большим (напри-
(например /? = f-|-1), чтобы было С < а/5, и тогда применить C); два пред-
представления C), соответствующие двум различным /3, не могут быть раз-
различными, так как, если, бы это было так, при ббльшем из чисел /5 мы
доели бы два различных представления C).
Таким образом мы имеем аналогию с теми соотношениями, которые
имеют место в конечной арифметике: rj можно назвать частным, а | —
остатком при делении С на а, с той, однако, разницей, что деление
односторонне (а и г/ нельзя переставлять); ?, при 1 = 0, делится на а,
рассматриваемое как левый множитель. Эвклидовский алгоритм также
поддается обобщению:
a = a1rj1+a2 (ax >а2),
причем остатки убывают, откуда следует, что их только конечное число
и, следовательно, в конце концов среди них должен появиться нуль.
Это позволяет разлагать упорядоченные пары порядковых чисел в не-
непрерывные дроби и упорядочить их подобно рациональным числам. Мы
не будем вдаваться в эти подробности.
Обобщение умножения. Мы уже говорили об умножении бес-
бесконечного множества множителей на стр. 50, например- • -а3 а2 а1( од-
нако не всегда, когда множители порядковые числа, само произведение
ДЕЙСТВИЯ С ПОРЯДКОВЫМИ ЧИСЛАМИ 69
есть порядковое число; например мы видели, что • • • шсосо = 1 + А есть
тип полусегмента [0,1). Теперь мы определим произведение с вполне
упорядоченным множеством множителей, как, например о^ а2 а3...; но-
новое определение ничем не будет связано со старым, й только дальше
(§ 16) мы увидим, что оба они суть частные случаи некоторого обще-
общего определения произведения.'
Для симметрии мы снова определим сложение индуктивным образом,
сведя его к сложению двух слагаемых, хоЩ оно уже ранее определено
и проще и общее (а именно для всех порядковых типов).
Настоящее определение основано на трансфинитной индукции (стр. 66).
Пусть каждому порядковому числу а поставлено в соответствие
порядковое число ца. Мы определяем сумму, зависящую при фиксиро-
фиксированных слагаемых только от а, как порядковое число
w»
/(«)=2/"« = /"o + /«H ь /«{ + •••,
получаемое следующим индуктивным процессом:
|
если же а >0, то /(а) есть наименьшее число >/(!) + ,«* } E)
(для всех |< a).
Если принять для простоты, что все ца >0 (слагаемые, равные нулю,
могут быть опущены), то при а > |
/ (а) +/«„>/ (а) >/(?)+/*,>/ (I),
т. е. числа /(а), так же как и \Ла)-\-ца, возрастают вместе с аргумен-
аргументом а. В частности,
/(«+!)=/(«)+/*«• F)
Если же а — предельное число, то
/(«) = lim/(|) (!<«). G)
В самом деле, в этом случае, если | < а, то | + 1 < а, и первое
число >/(|+1) совпадает с первым числом > / (|), следовательно,
f(a) совпадает с Iim/(|) [сравнить E) и F)]. Легко видеть, что послед-
последнее определение суммы совпадает с определением, данным выше, т. е.
что первоначальное определение удовлетворяет условиям E) или F) и
G). В силу G) сумма является пределом частичных сумм, так же как
сумма сходящегося ряда в анализе, например:
f(co) = lim/ (v),
Так же будем поступать и для произведения, которое мы также
сведем к произведению только двух множителей. Положим, что каждому
порядковому числу а поставлено в соответствие порядковое число [ia >0
(произведение с множителем, равным нулю, само равно нулю); по опре-
определению произведение
/(а) = П
70 S ПОРЯДКОВЫЕ ЧИСЛА
есть порядковое число, являющееся функцией от а, которое задается
следующим образом:
/(); 1
при а >0 пусть /(а) есть наименьшее число ^/A)/*| } (8)
(при всех ?< а). )
. Если ДЛ5Г простоты положить, что все множители больше единицы
(множители, равные единице, можно опустить), то очевидно, что /(а) >0,
и отсюда, так же как это было сделано только что, получаем:
/(а+1)=/(а)«о, (9)
а для предельного числа а:
/(a)=lim/(!) (|< а). A0)
При конечном а произведение совпадает с ранее определенным:
далее,
/(<«) = lim/(v), .
например1): 2-3-4-• • = lim { 2, 6, 24,...} = со.
В том частном случае, когда все множители /ia = fj, >1, мы по опре-
определению называем произведение степенью: f (a) = (ia. Таким образом
имеем:
а в случае предельного числа а:
/=Нт^ (К «). A2)
Например:
г* == Нт 2" = Нт {2, 4, 8,...} = со
и вообще
2й = Зш = 4ю = ... = со,
в то время как
а>т = Пт со = Нт { со, со2, со3,' ¦ • }
число, которое может быть также в силу равенств 1 -\-со — со>
1 + <и + <у2 — о>A + а>) = о>г и т. д. записано в виде:
х) Для кардинальных чисел имеем: 2-3-4 ... = 28в ; употребление конечных
чисел могло бы показаться тут особенно опасным, нэ тем не менее это не так.
ДЕЙСТВИЯ С ПОРЯДКОВЫМИ ЧИСЛАМИ 71
Правила действий с показателями:
р'/=р°», ОиУ-/Л A3)
имеют место, что легче всего показывается индукцией (они верны для /?,
если установлено, что они верны для ??< /?). Естественно, что комму-
коммутативный закон не имеет места; (/iv)s = fiv/tv, вообще говоря, отлично
ОТ /X2V2 = /X/J.W.
Подчеркнем еще раз, что определенные тут произведение и степень
не имеют пока ничего общего с произведением и степенью в старом
смысле; они, вообще говоря, не являются типами произведений множеств.
Поэтому, например, а? не обязательно имеет мощность <fi (в то время
как а -}- /J, а/? имеют мощности о + Ь, оЬ); 2Ш = со имеет мощность,
равную только #0, а не 2No.
Каждое порядковое число выражается через степени любого основа-
основания /? >0, так же как натуральные числа в десятичном обозначении—»¦
через степени десяти. Пусть С >0 какое-нибудь порядковое число, a /?*¦—
наименьшая степень /?, которая больше С (существование таких степеней
вытекает из неравенства Ру^у, которое легко доказывается индукцией
и из которого следует, что Pi+l >C); при этом у не может быть пре-
предельным числом, так как тогда для каждого |< у мы бы имели ? + 1 < у,
а потому
Следовательно, у (> 0) имеет непосредственно предшествующий эле-
элемент а и
причем число а однозначно определяется (при данном основании) чис-
числом С- Число ?< (Fft представим согласно C) в виде:
С-А + Ь 0?<ACi<A
причем г] и fj определены заданием ?, Если fi >0, то также получаем:
и т. д. Так как ?>?" >Cj>/5ai> C2>-- -,азначит? >?1>?2>*>1.
то наш процесс должен через конечное число шагов привести к
остатку 0:
и мы получаем предстазление
причем и число членов л + 1 (при л = 0: С =/?"»?)> и показатели а, и
коэфициенты ц определяются однозначно. И даже не только построен-
построенное этим процессом, но и вообще всякое представление A4), как бы
оно ни было получено, — единственно. Действительно, зсякое выражение
72 ПОРЯДКОВЫЕ ЧИСЛА
вида A4) < fP+1, что доказывается индукцией от п к п + 1, а именно
допуская справедливость неравенства при числегчленов, равном п, имеем:
С < (Гп +/Г+1 < /Г (ч + 1)</?о+\
Следовательно, /5а<С</5а+1 и показатели, а также и коэфициенты
определяются в точности так же, как и выше.
Примеры.
/J = 2: С = 2° + 2 Н + 2°в,
у? = со; С = ш% + со ^ Ч ЬоЛ^п A5)
(v, • • •, »»п — натуральные числа).
В частности, каждое число ? < ft* может быть представлено един-
единственным образом в виде A4) как полином по отношению к/9 (т. е.
употребляя только конечные показатели).
При представлении A4) может случиться, что ? не выражается через
меньшие показатели, т. е. что имеет место равенство
f = 0: A6)
(которое не может иметь место для конечных чисел, если /? > 1); так,
мы нашли, что со=>2ш. Если определить при j>=0, 1, 2,..'.числа ^фор-
^формулами Со = 1» • • •, Сн-i — ?С" > то имеем (/5 > 0):
Со< ?х; следовательно /?Со< /SCl,
?i < ?г'> следовательно /J*1 < /?fs,
3 и т-
При С = lim С получаем:
т. е. число С обладает свойством A6); оно есть предел 1, /?, /if, fjP ,...
(числа, для которых С = /5f, Кантор называл е-числами).
Степени со" числа «о характеризуются тем свойством, что единственные
остаточные типы (стр. 67), которые они допускают, суть они сами.
В самом деле, из A5) следует: если ? не имеет ни одного остаточ-
остаточного типа меньше ?, то число членов разложения равно единице, так как
в противном случае со1 < С было бы остаточным типом; следовательно,
? = со°у и притом v=l, так как в противном случае со" < С было бы
остаточным типом [ибо со" v = со° + o>a(v — 1)], а тем самым ? = со".
Обратно, соа само является единственным своим остаточным типом,
т. е.
щ -|- со" = со"
(каково бы ни было щ < со").
ДЕЙСТВИЯ С ПОРЯДКОВЫМИ ЧИСЛАМИ 7$
Действительно, пусть (tj > 0) щ = о^ v + г]г (v — натуральное число,
i w0 есть начало разложения rtno степеням о; очевидно, ft <а, и>
полагая* соа == о^+х + Q (ПРИ /8 + 1 = а получим q = 0), имеем:
ша< rj +coa<a)P(v + 1) + а>а — <оР (v + 1 + со) + q = <ар"Ь1 + g = соа,
следовательно, ^ + wa = ша-
Так как остаточный тип остаточного типа числа ? сам есть остаточ-
остаточный тип числа ?, то наименьший остаточный тик любого числа ? есть
обязательно степень со (может быть, ш° = 1); в разложении со0п есть
наименьший остаточный тип числа ?•
Натуральные суммы и произведения. Разложение A5) представляет
порядковое число в виде своего рода полинома по со, который, вообще
говоря, имеет бесконечные показатели. Если производить действия с этими
полиномами так же, как с обычными, то получим, следуя G. Hessenberg'y,
натуральные суммы а (|, ц) и натуральные произведения л (I, rj), ко-
которые существенно ближе к обычным суммам и произведениям конечных,
чисел, чем ? + V и %ц.
Условимся записывать разложение по степеням со в виде:
? = 2 ш"ха = • •. + сотхт + ... + шаха + шхх + х0,
а
где показатели а пробегают все порядковые числа вплоть до некоторого
произвольного выбранного числа, а коэфициенты ха суть конечные (це-
(целые) числа ^ 0; в действительности только конечное число этих коэфи-
циентов отлично от нуля. (Если ?=0, то все ха = 0.) Такое предста-
представление единственно. Для двух порядковых чисел
? = 2
а
мы полагаем по определению
о (S. v) = 2
a
Это выражение может не совпадать ни с?+^,ни с v\ -|- ?; например
сг(со, со2 + 1) = со2 + в) + 1 отлично как от со -f- (со2 +1) = со2 + 1, так
и от (ш2 + 1) +со =со2 + ш.
Яри заданном С уравнение
имеет только конечное число решений ?, г/. В самом деле, коэфициенты
должны удовлетворять равенствам ха + уа = Za и ха может принимать только
значения 0, 1, • . • , za; число решений равняется произведению всех
множителей 1 + Za, из которых только конечное число больше
единицы.
Неравенство ? < щ обозначает, что первая неравная 0 разность уа — ха
положительна (первая в сумме, расположенной по убывающим показа-
показателям, т. е. относящаяся к наивысшему показателю). Это значит, что
существует порядковое число ft > 0, для которого хр < ур, Ху = уг при
74 ПОРЯДКОВЫЕ ЧИСЛА
р. Отсюда следует, что сумма ст(?, т]) возрастает при увеличени
•каждого ее слагаемого: если ?0 < ?, то а (?0, г\) < ст (?, ?у). Следовательно,
если a(f0, %) = а(?, ч) и fo< ?, то %> ??.
Если Со < С = о (?,»?), то уравнение ст (?0, %) — ?0 имеет решение, для
которого fo^l, %<**? (причем исключается случай двух равенств одно-
одновременно). Действительно, напишем, выделив первое место /9, с которого
«ачинается различие в представлении чисел ?0 и С:
где у > /9 > а, Ху + уу = су, хр + у0> с0. Выберем два целых числа пр, Ьр
так, чтобы 0<а/5<х/5, 0<Ьр<ур, а$+Ьр — се. Например ае'==*
= min [х,5, Ср] и Ьр — Ср — пр. Тогда будет выполнено по крайней мере одно
«з двух неравенств ар < х$ или Ьр < ур, если выполнено первое неравен-
неравенство, то полагаем .
d
и тогда имеем:
о (f of Чо) " Со '?о < f» ЧЬ < »?)•
Мы видим, что натуральные суммы ведут себя в точности, как ко-
конечные; этим мы еще неоднократно воспользуемся.
Натуральные произведения получаются, если числа
г, =
a p
будем перемножать как полиномы н при этом в показателях будем брать
«атуральные суммы, так что
»(?, ч) = 2 «"^х-И» = *(»?.?)
а, 0
ИЛИ
7
я С*. ч) - 2 <*"% (г»- = 2 *« у*).
причем 2 распространяется на пары (в конечном числе), для которых
¦a (a, ft) = у. Мы ограничимся только этим указанием и предоставляем
читателю и тут проследить аналогию с конечными произведениями.
АЛЕФЫ 75
§ 15. Алефы
Все кардинальные числа- могут быть рассматриваемы как мощности
вполне упорядоченных множеств (теорема Zermelo) и потому сравнимы
между собой. Классом порядковых чисел Z (о) называется множество
всех порядковых чисел а, имеющих мощность о; Z (а) есть подмноже-
подмножество соответствующего класса типов Т (а) (стр. 51). При конечном л =
= 0, 1, 2, • • • ,Z (л) состоит из одного только порядкового числа л; нам
уже теперь известно бесконечное множество представителей класса Z (Цо):
со, со + 1, со + 2,..., ш2,..., соЪ,..., со2,..., со3,..., соа,...
Если о < Ь и а, /J суть порядковые числа классов Z (a), Z (Ь), то
а < 0. •
I. Любое множество кардинальных чисел, расположенное по вели-
величине этих чисел, вполне упорядочено.
В самом деле, ставя в соответствие каждому кардинальному числу
какой-нибудь предстазитель соответствующего класса порядковых чисел,
мы подобно отобразим наше множество кардинальных чисел на мно-
множество порядковых чисел откуда и следует вполне упорядоченность
(§ 13, IV).
II. Для каждого множества кардинальных чисел существуют
числа, большие всех чисел этого множества, в частности первое
большее число.
Первое утверждение нам уже известно из § 7, второе следует из I;
действительно, раз существует мощность о > R (й рассматриваемое
множество кардинальных чисел), то или о есть наименьшее число, обла-
обладающее этим свойством, или же во вполне упорядоченном множестве
кардинальных чисел, которые > Й и < о, существует наименьшее. (Мы
не сказали, что существует наименьшее число во множестве кардиналь-
кардинальных чисел >й, так как это множество немыслимо так же, как множество
всех кардинальных чисел.)
Нетрудно видеть, что первое кардинальное число Ь, большее числа о,
получается следующим образом: ищется порядковое число, непосред-
непосредственно следующее за классом Z(o); мощность этого числа и есть Ь. Во-
Вопрос о том, не является ли 2й >а первым кардинальным числом, боль-
большим а, не решен до сих пор ни для одной бесконечной мощности а;
при о == No этот вопрос составляет континуум-проблему (стр. 41).
Бесконечные кардинальные числа (>&0) называются алефами. Первое
из иих есть ?$0, мощность множества натуральных чисел; следующее
обозначается К 1г следующее за ним— X 2 и т. д., наименьшее, превос-
превосходящее все К, с конечным индексом г, обозначается К и, следующее
за ним Нт+г и т. д. Таким образом каждый йлеф &а имеет своим
индексом тип множества всех предшествующих ему алефов.
Например мощность континуума & > Ко. следовательно, &>#!;
вопрос о том, имеет ли тут место знак равенства или неравенства, есть
континуум-проблема.
Наименьшее порядковое число класса Z (К а) называется начальным
числам этого класса и обозначается а>а. со0 = со есть наименьшее из
начальных чисел, за ним следует ш1? ш2, . .., сиш, сою±1,...; каждое
76 ПОРЯДКОВЫЕ ЧИСЛА
начальное число соа имеет индексом тип множества всех предшествующих
начальных чисел. /
Таким образом
= множеству чисел /л (соа^,A< <aa+x)
= W(ma+1)-W(coa),
или, подразумевая под знаком + сложение упорядоченных множеств:
A)
где при а = О последнюю сумму надо положить равной нулю; a W (а),
как и раньше, обозначает множество' порядковых чисел < a. W(ft>0)=
=zW'{(o) есть сумма конечных классов порядковых чисел Z@), Z(l),...;
однако часто (по Кантору) W(co) называется первым, Z(&0)— вторым,
Z(HX)—третьим классом порядковых чисел.
По формуле D) §14 каждое порядковое число представимо в виде
со/* + v (v < со, т. е. конечное число); в частности, предельное число
имеет вид Я = со/л, так что для его мощности имеем:
так как каждое начальное число, очевидно, есть число предельное (бес-
(бесконечная мощность не может быть изменена присоединением одного эле-
элемента), то для каждого Злефа &а
откуда по теореме эквивалентности
*+*<a=N0 ПРИ *<«„•
Если r< Na, f)<. Ka, то и t + $< Na; действительно, допустим,
что г^ I) и что i) = J< , причем r/< a (если ^ конечно — доказывать не-
нечего); тогдаг+ \) =х + N4= ^ч< **«»¦ Далее отсюда выводим, что при
любом разбиении W (соа) = Р + Q остаток Q имеет также тип сот так
как в противном случае в равенстве ooa = f+ »? (I—тип Р, г)—тип
Q, v, i) — мощности Р и Q, так что Ka = r + I)) мы бы имели, что и
X и I) меньше Ко. Таким образом из A) следует:
Z (К я) имеет тип coa+i и мощность J< r C)
Например Z (N 0) имеет мощность Ц1} в то время как соответствую-
соответствующий класс типов T(N0) имеет мощность континуума (стр. 52), что снова
АЛЕФЫ ' 77
Приводит к неравенству K>^i и иллюстрирует еще раз континуум-про-
континуум-проблему. В силу B)
0>а = ОH + 2 + + + +
Например **« = tf0 + i?i + #а + ...; #„ в противоположность J*
(стр. 36 и 40) удовлетворяет неравенству &„><&*"¦
Каждая степень с конечным показателем любого йлефа равняется
этому самому йлефу, как это следует из равенства
«ае=Ке. " D)
Для доказательства равенства D) упорядочим пары (?, г/), (? <шо, г)<.@а),
образующие множество мощности К', по возрастанию натуральной суммы
(стр.73) а (|, щ) = С; тогда *) ?<ша, и так. как каждому С соответ-
соответствует только конечное число пар (f, jj), то мы получаем множество мощ-
мощности^ 80 Ха= К„.
Итак, ^а= Kl^12^^513... Мы знаем, что по отношению к показа-
показателю К 0 алефы распадаются на две категории: такие, что ^S° > &a (на-
(например &0, ^а), и такие, что К о0 =^а (таковы все йлефы вида oNo,
например 2No= S$). Вопрос о том, к какой категории принадлежит Hv
т. е. какой знак имеет место в Ы*в> Къ есть снова континууэд-про-
блема,таккак Ni = К (из 2< «!< К следует 2No^K1No<KNo=2No).
Из D) следует:
III. Сумма порядковый чисел<. aia+i, в которой множество сла-
слагаемых имеет /имя<ш„+1, сама<соа+1.
Пусть, в самом деле
Каждое слагаемое имеет мощность < N „+i, т. е. <^ К „, то же относится
и к /?, следовательно, а имеет мощность^ Na N«= ^0< ^a-)-i.
Этому предложению можно придать другую форму:
IV. Если дано множество порядковых чисел <wa-f-i> имеющее тип
<ша+1, wo ближайшее следующее за этим множеством число
также Kcoa+i.
Действительно, если W={a0,av ...,a,,.., } имеет тип /3(»?</3,
<h < ^0-1-1I то, полагая а = 2 «ч> получим W< с; + 1 < coa+i, так что
ч
наименьшее число, большее W, во всяком случае меньше a»a+i.
х) Если <oyz=ft)y (а: +>») старший член ?иесли, скажем, х>0,то| = аУ х + •••
¦ v<Cft>a, следоватально, av <^<аа и каждое кратное шу также <Сtoa, следовательно*
78 ПОРЯДКОВЫЕ ЧИСЛА
Эти теоремы выясняют объем числового отрезка W((wa+i) или класса
порядковых чисел Z (&а)- Например, если число а принадлежит к Z(&0),
о и следующее за ним а + 1 также принадлежит Z(K0); если все чи-
числа последовательности а0 < аг <аа< ... принадлежит к этому классу,
то к'нему же принадлежит и предельное число этой последовательности; к
классу Z(Ц г) принадлежит число, следующее за каждым числом этого
класса, предельное число каждой («-последовательности, а также и пре-
предел («^последовательности а0 < at< ... < а„ << ara+i < ... чисел этого
класса.
В применении к начальным числам, индекс которых есть предельное
число, теоремы III и IV могут быть неверны; например к W (сои) при-
принадлежат числа со0, соь («2,..., ио не предельное число сот этой по-
последовательности. Начальные числа, для которых справедлива теорема
IV, называются регулярными, так же как и соответствующие им мощ-
мощности; к ним относятся («0 = со и числа вида coa+i. Регулярных началь-
начальных чисел, имеющих индексом предельное число, до сих пор не найдено;
они должны быть ошеломляюще велики.
§ 16. Общее определение произведения
Предположим, что М ={..., т,...,. щ ... ,р,...} есть упорядо-
упорядоченное множество и что его элементам т поставлены в соответствие
упорядоченные множества Ат; тогда мы получаем неупорядоченное про-
произведение
м
t А ~ 11 Ат — [..., Ат,. .., Ап, ..., Ар,...]
т
как множество комплексов
а = (ч.., ат,..., ап,..., щ,,... ) (ат ? Ат).
Два таких комплекса а и Ь,
определяют множество М (а, Ь) тех т, для которых ап ф Ьт; оно не
пусто в том и только в том случае, когда эти два комплекса различны
и притом М (а, Ь) упорядочено (если оно z> 0). Для краткости назовем
М аргументом, а элементы М {а, Ь) —местами отличия а от Ь.
Для трех комплексов а, Ь, с, очевидно, имеем:
M{a,c)QM(a,b) + M{b,c\ . A>
так как если ащ ф ст, то должно иметь место хотя бы одно из нера-
неравенств ат ф Ьт, Ьт ф ст.
В конце § 10 мы убедились в том, что при вполне упорядоченном
М возможно упорядочить произведение А словарным способом. В самом
деле, в этом случае множество М {а, Ь) при а ф b всегда имеет пер-
первый элемент т, и мы можем положить af^b в зависимости от нера-
неравенства ат g? bm. Мы увидим ниже, что знак < транзитивен, т. е. что мы
действительно имеем настоящую упорядоченность. В этом случае под
ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 79
символом А мы будем подразумевать произведение, расположенное в
словарном порядке; тип этого произведения есть
м*
а^Пат^ • • ¦ ар • . . а,,- • ¦ От • • • ,
т
где множители (ат — тип Ат) расположены в порядке, обратном порядку
М. Обратно расположенный аргумент М* = N будем называть экспонен-
экспонентом. При равных множителях Ат = В произведение обращается в сте-
степень Вм с типом (?* = /Jv Q5, /л, v — типы В, М, N). Так, например, на
странице 51 мы нашли, что
ш«>* = 1 + Я.
В случае произвольного М, могущего и не быть вполне упорядочен-
упорядоченным, также следует придерживаться словарного порядка, пока это воз-
возможно,, т. е. если М (а, Ь) имеет первый элемент т (а, Ь), то мы пола-
полагаем а^Ь, если ат^Ьт. Если а<Ь, то Ь>ач если a<b, b<c, то-
а<. с, т. е. транзитивный закон имеет место. В самом деле, пусть т =
= т (а, Ь), п — т (Ь, с), р = rain [т, п] (т. е. р = т, если т^.п, р = Щ
если п^,т), при 1<р мы имеем:
di = bi, bi = Ci, следовательно, aj =* Cj,
в противоположность этому
где хотя бы один раз имеет место знак неравенства, так что av<.cpy
т. е. М(а,с) имеет первый элемент р и а<.с. Поэтому транзитивный
закон мы можем высказать таким образом:
Если а < b, b < с, то а < с и притом
т {а, с) = min [m (а, Ь), т (Ь, с)]. B>
Если афй yi М{а, Ь) не имеет первого элемента, то мы назовем
а и & словарно несравнимыми и будем это записывать следующим об-
образом:
а \\ b, b И а.
Таким образом произведение множеств А, вообще говоря, упорядочива»
емо только частично; два элемента А могут находиться в одном из трех,
отношений
^ a<b, a> b, а \\ %
равносильных
b>a, b<a, b Ц а.
Отметим, что свойство сравнимости нетранзитивио; может быть а <!
<Ь, Ь>с, а || с.
Чтобы сохранить при таком положении вещей хоть что-нибудь иа-
теории упорядоченных множеств, мы должны ограничиться рассмотрением
только упорядоченный подмножеств А и выделить из них такие про-
простейшие подмножества, которые содержат в своем определении как можно
меньше произвола и которые сохраняют как можно больше свойств-
80 ПОРЯДКОВЫЕ ЧИСЛА
настоящего произведения множеств. В этом нам снова поможет тео-
теория вполне упорядоченных множеств.
Мы назовем два комплекса, заимствуя название из теории чисел,
конгруэнтными: - ¦
а = b или й = а,
если множество мест отличия а от b, M (а, Ь) вполне упорядочено. В
¦случае М (а, Ь) = 0 (откуда следует а = Ь) мы также будем считать,
что а = &.
В силу A) имеет место транзитивный закон: если а = Ь, Ь = с, то
п = с. Поэтому возможно разделить А на классы так, чтобы конгруэнт-
конгруэнтные комплексы принадлежали одному классу, неконгруэнтные — различ-
различным; а именно, класс А(а), состоящий из комплексов, конгруэнтных а,
& потому конгруэнтных между собой, или совпадает с классом А(Ь) (если
а^й) или не имеет общих с ним комплексов.
Комплексы, принадлежащие одному классу, словарно сравнимы между
•собой, и поэтому А (а) — упорядоченное множество. Мы не будем оста-
останавливаться на тех свойствах (например на ассоциативном законе), кото-
которые придают ему характер произведения, и установим только, что А (а)
•есть максимальное, т. е. не поддающееся расширению упорядоченное
подмножество А (конечно, только в отношении словарного упорядоче-
упорядочения). В самом деле, если с Ф а, разобьем не вполне упорядоченное мно-
множество М(а, с) на два дополнительных множества Р, Q так, чтобы Р
¦было вполне упорядочено, a Qr>0 не имело первого элемента (напри-
(например пусть Q есть сумма всех подмножеств М (а, с), не имеющих первого
элемента; тогда и Q не имеет первого элемента, а Р не может иметь
никакого непустого подмножества без первого элемента, следовательно,
вполне упорядочено). Если мы определим комплекс Ь, полагая]
Ьт = ст при т ? Р, Ьт — ат при т ? М — Р,]
то М (a, b) = P, M(b,c) = Q\ следовательно, Ь = а, Ь || с, а поэтому,
«ели сФ а, то с несравнимо хотя бы с одним комплексом & класса А (а)',
следовательно, А (а) не может быть расширено.
Важный пример представляет тот случай, когда экспонент N = М*
вполне упорядочен (в отличие от уже рассмотренного случая, когда, на-
наоборот, вполне упорядочен аргумент М). Тут каждое множество М (а, Ь)
есть обращение вполне упорядоченного множества; следовательно, если
¦само оно вполне упорядочено, то оно конечно, т. е. а==Ь обозначает,
что комплексы а и Ь имеют только конечное число мест отличия.
Пусть например:
N={0,1,2, ...}, М = { ...,2, 1,0},
так что N имеет тип со; наши комплексы суть
а = (...,ча2, аъ а0) ~ (ат ?'Ат).
Чтобы исследовать А (а) и его тип, рассмотрим? разбиение множеств
Ат, производимое элементами ат> и их типы:
Ат = Вт+ {ат } + Ст, ат — fim -f I + ym;
ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 81
допустим, далее, что хт, ут, гт соответственно пробегают множе-
множества Ат, Вт, Ст. Тогда комплексы = а располагаются в следующем
порядке:
(..., а4, Уз1 *2> *ь *o)>
(..., а4, а3, у2, Хь х0),
(..., а4, а3, fla» Yv *<>)»
(..., а4, я3. «а, аи у0),
(..., я4) а3, а2, ац а0),
(..., ал, а3, а2, at, г„),
(..., а4, а3, а2> ги хо).
(..., а4» аз> ^2> ^i> ^о)>
(• • • j ^4j ^3» ^-2» ^1» ^о)'
Точки сверху и снизу указывают, что таблица продолжается в обе
стороны; точки внутри скобок указывают, что на соответствующих местах
стоят элементы ат', каждый комплекс, кроме среднего, есть представитель
(для хт ? Ат, ут ? Вт, zm ? Cm) целого множества таких комплексов,
упорядоченного в словарном порядке, а чтобы получить все множество
А(а), надо сложить эти упорядоченные множества комплексов в порядке
сверху вниз. В согласии с этим тип А (а) есть
мы видим, что наша сумма, продолжаемая неограниченно как влево, так
и вправо, может быть в известном смысле представлена как предел ча-
частичных произведений:
«о «1 =
= «о h + А>+ 1 + Уо + «о Уи
«о ai «2 = об «1^2+ 00/5! +/50+ 1 + уо+ a0yi + Oo axy2.
Сходство с построением канторовского произведения порядковых чи-
чисел (§ 14) неоспоримо; и действительно, эти последние являются част-
частным случаем нашего общего определения произведения. Действительно,
если принять, что все Ат вполне упорядочены и что ат есть первый
элемент Ат, то /Зт = 0, ат = 1 -f- ym, следовательно:
a(a) = l +Уо+аоУ1 +«оа1У2 + ---,
а это и есть как раз (предполагая все о^ > 1, ут > 0) по Кантору
Ооаха2 ... = lim
Хаусдорф. Теория множеств.
82 ПОРЯДКОВЫЕ ЧИСЛА
Вообще мы получаем в качестве типа множества А (а) канторовское
произведение всякий раз, когда экспонент N и множества Ат вполне
упорядочены, а комплекс а состоит из первых элементов ат всех Ат;
этим легко доказуемым обстоятельством объясняется тот факт, что каы-
торовское произведение может иметь мощность не всего произведения
А, а меньшую (так как А (а) есть только подмножество всего А).
Если принять во внимание мощное! ь множества М (а, Ь), можно рас-
расчленить еще далее классы А (а) и получить таким образом новые мно-
множества, сходные по своей природе с произведением. Будем писать:
a=b(a>t),
если множество М (а, Ь) вполне упорядочено и имеет тип < со^ (или
мощность < Nf), где со^ есть начальное число; и эта „усиленная" (пони-
(понимаемая в более узком смысле) конгруэнтность транзитивна и приводит
к разделению на классы At (а), причем при | < ?], А^(а) есть под-
подмножество Ап(а)\ при достаточно большом | эти новые классы совпа-
совпадают с А (а). Наименьший класс Ао (а), определяемый конгруэнцией а ==
= Ь(со), состоит из комплексов, имеющих только конечное число мест
отличия; при вполне упорядоченном экспоненте этот класс совпадает с
А (а). Если аргумент М вполне упорядочен, то существует только один
класс А (а) = А; но этот последний может разлагаться на меньшие клас-
классы А((а). При равных множителях Ат = В получаются множества, ко-
которые имеют в достаточной степени выраженный характер степени в том
случае, когда все элементы ат комплекса а одинаковы: ат =Ь.
Недостаток места не позволяет остановиться подробнее на обобщен-
обобщенном произведении; но мы не хотели оставить читателя без указания на
то, как можно охватить одним общим определением различные типы
произведения, с которыми мы его познакомили.
Глава V.
Системы множеств
§ 17. Кольца и тела
Множество, элементы которого суть множества, для ясности мы будем
называть системой множеств; системы множеств мы будем обозначать
прописными готическими буквами. Таким образом М ? <ЗЛ обозначает,
что множество М принадлежит системе С5Я. Рассматриваемые нами мно-
множества суть чистые множества, без каких-либо отношений между их
элементами, так что мы возвращаемся к точке зрения первых двух глав;
однако приобретенное знакомство с порядковыми числами будет нам
полезно, а иногда и необходимо. Особое внимание мы уделим макси-
максимальным и минимальным системам некоторого специального рода, т. е.
таким системам, к которым невозможно при соблюдении известных тре-
требований присоединить (или удалить) ни один элемент.
1. Кольца. Система множеств называется кольцом1), если сумма
и произведение двух любых множеств системы также принадлежат
этой системе. То же тогда имеет место и в применении к любому
конечному числу множеств системы. Таким образом кольцо есть своего
рода максимальная система, которая не может быть расширена опера-
операциями суммирования и пересечения (конечного числа множеств системы).
Примеры. Система всех подмножеств данного множества есть
кольцо. Условимся, что / = [а, /3) обозначает полуинтервал чисел
а<х < /3; суммы
S - h + h + • • • + In,
составленные из конечного числа непересекающихся полуинтервалов,
образуют кольцо, если к ним присоединить пустое множество. В самом
деле, пересечение двух / есть либо /, либо 0; следовательно, по дистри-
дистрибутивному закону пересечение двух S есть также S. Если множество S
заключить в полуинтервал /, то, очевидно, 1—S есть снова множество
типа S; поэтому / — (S1 + Sg) = G — Si)(/— S2) есть также S-мно-
жество, а тем самым и его дополнение в /, Sx -j- Sz также S-множе-
ство. Сверх того, разность двух S-множеств также есть S-множество, так
как, заключая S в 7, получим S(/ — Sx) — S — Sx.
Для произвольной системы множеств <ЗЯ существует единствен-
единственное минимальное кольцо Э <%1.
1) Названия кольцо и тело основаны на иекоторой не очень полной аналогии
с соответствующими понятиями алгебры.
6*
84 СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ
Можно было бы это кольцо, т. е. составляющие его множества,
указать сразу и очень просто, но мы предпочтем привести общее
доказательство существования, как образец для дальнейших менее эле-
элементарных случаев. Заведомо существуют кольца Э С0?; например, если S
есть сумма всех множеств ? <351, то система Q всех подмножеств S есть
кольцо, содержащее 301. Так как пересечение любого множества колец,
очевидно, тоже есть кольцо, то пересечение 9?0 всех колец 9?— таких,
что 9ft.Q 9? Я 6, -г- есть кольцо, содержащее <ЗШ. 9?0— минимальное
кольцо, т. е. оно содержится в любом кольце 9? 2 <ЗЯ, так как
<3ft Q 9? 6 Я б., следовательно, 9?0 Я 916 Q 91.
Это минимальное кольцо, которое теперь мы будем обозначать
просто через 9?, очевидно, может быть представлено так: оно состоит
из всех конечных сумм
слагаемые которых имеют вид:
D = M1Mz...Mm>
т. е. суть пересечения конечного числа множеств М ? (z0l. To, что все
так определенные множества R принадлежат 9?, очевидно; но они сами
образуют кольцо, так как по ассоциативному закону сумма, а по ди-
дистрибутивному пересечение двух R есть также /^-множество.
Очевидно, можно переставить местами операции сложения и пере-
пересечения, т. е. 9? можно также представить состоящим из пересечений
R = oiS2 ... On
конечного числа множеств S, которые сами суть суммы
конечного числа множеств М,
2. Тела. Система множеств образует тело, если сумма, пересече-
пересечение и разность двух множеств системы также принадлежат системе.
При вычитании, как всегда, считается, что вычитаемое есть подмно-
подмножество уменьшаемого. Заметим, что достаточно было потребовать,
чтобы сумма и разность принадлежали системе, так как пересечение
сводится к этим двум операциям (стр.15). Тело a fortiori есть кольцо.
Пример. Уже доказано, что выше рассмотренные суммы полуин-
полуинтервалов S образуют тело. Если бы вместо полуинтервалов / = [а, уЗ)
мы взяли интервалы (а, /?) или сегменты [а, /?], то S осталось бы
кольцом, но не телом.
То обстоятельство, что для произвольной системы множеств <ЗЯ
существует минимальное объемлющее ее тело $t, доказывается совер-
совершенно так же, как в случае кольца; но представление множеств этого
кольца с помощью множеств М на этот раз не столь тривиально. Так
как ^ обязательно содержит пустое множество, то мы допустим, что
это последнее содержится в "ЭЛ; далее, R содержит минимальное
кольцо 9! и является минимальным телом, содержащим 9?. Поэтому мы
КОЛЬЦА И ТЕЛА 85
будем предполагать, что 9И есть кольцо, к которому принадлежит пустое
множество. Рассмотрим конечное число множеств Мг 2 М2 2.... 2. Мп
или, как можно считать для упрощения записи, убывающую последо-
последовательность множеств
М12Мш2Ма2--.. (О
почти все члены которой пустые. Разности Af-j, — М2, М2 — М3,... не
имеют общих элементов. Множество
A = (M1-Mi) + (M3-Mi)+(MU-Me)+... B)
мы будем называть (конечной) цепочкой разностей системы <ЗЛ. Все
такие множества А, очевидно, должны входить в й; мы покажем, что
они сами образуют тело, которое, следовательно, совпадает с искомым
телом $.
Дополнения М — А сами суть множества А. Заметив, что
А = МА = {ММг — ММг) + (ММ3 — ЛШ4) +...
есть также представление вида B), мы видим, что достаточно доказать,,
что Мо — А есть множество А, если Мо 2 Mv Но в этом случае
... C)
., D)
что доказывает наше утверждение. Отметим кстати, что для любого А
существует М 2 А, например М1%
Пересечение двух А есть А. Тут уместно изменить обозначения.
Положим
E)
А = (Мо — Щ +(Mt—
ЭМ 2...,
где почти все Mi, М\, Nk, N'h пусты х) и принадлежат системе
Если положить по определению
i+ft
Pl ~S
т. е.
Po = M0N0,
x) Это предположение не существенно в этом месте: бесконечные цепочки
разностей B) также дают в пересечении цепочку того же вида.
86 СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ
то Pi, P'i принадлежат кольцу 3EJ? и почти все исчезают. При этом
Pi 2 Р\ (так как M\Nk Я MiN^ и MiN'k Я MiNk)', если же принять
во внимание формулу
= 6
то видим, что P'i 2. Pi+i (Mi 2 iWi+i, N'k2Nk+i), так что
Po 2 Po 2 P, 2 Pi 2. ...
Покажем, что
AB = (Po- Po) +(P, — Pi) + . . . , G)
причем
Pi — Pi = S (Alt - ЛЭДЛГ» - Nft). (8)
i4 йг
Обозначим сумму, стоящую справа, через Cj. Если х ? Cj, то най-
найдутся такие i0 и к0 (i0 + ko = l), что х 6 (^ — Л^ЛТ/ц, — iVft0); следо-
следовательно, х ? AfioNfto g Pi, но X g Pi. В самом деле, при / -\-к = io + ko= I
или i > /0, AfiiVft g Afi0 или i < /0, Л > к0, M'iNk Я Nft(r|_i Я N'ho, так
что X ^ AfJiVft и X^MiN'k- Таким образом Ci Я Pi — Р\. Обратно, еслч
X ? Pi—Р'г g Pi, то пусть, скажем, х ? M.iN\\ тогда х ? Afi, так как
в противном случае мы бы имели x?M'iNk Я P'i, также X^N^, следо-
следовательно, X ^ (Afj — M'i)(Nk — iVft) S Ci, а следовательно, Pj — P'i Я Си
Этим доказаны G) и (8): АВ есть А.
Разность двух А есть А. Пусть А Э А1( выберем тогда УИ2./4;
имеем А — Aj = А(М—Аг), т. е. А — Ах есть А.
Сумма двух А есть А. Выберем множества Mv M2, содержащие
множества А1( А2, и положим М = Мх -f- Al2; тогда получим Ж —
— f А4 ,.„. А \(АЛ ,. ,4 \ — А _|, ,4 т» & Л _i д лл-гь. ,4
Этим доказано, что множества А образуют тело.
§ 18. Борелевские системы
1. а-, б-процессы. Система множеств, которой принадлежат сумма
и пересечение двух (или конечного числа) множеств системы, есть
кольцо. Если распространить это требование (принадлежат к системе) на
суммы и пересечения счетного числа множеств, мы Получим понятие
борелевской системы (короче, В-системы). Тот простой способ, кото-
которым строилось минимальное кольцо, объемлющее данную систему
множеств, не переносится на В-системы; если, как и раньше (стр. 84),
образовать пересечения
последовательностей множеств М ( ? 3EJ?) и затем суммы последователь-
последовательностей множеств D
БОРЕЛЕВСКИЕ СИСТЕМЫ 87
то эти суммы R не образуют В-системы: сумма счетного числа мно-
множеств R в силу ассоциативного закона опять-таки есть R, но пересечение
счетного числа R, если его развернуть, применяя дистрибутивный закон,
представится как сумма несчетного числа множеств D, следовательно,
вообще говоря, не есть R.
Это осложнение приводит к тому, что полезно вначале разделить
требования, наложенные на сумму и на произведение.
fcr-системой )
Система множеств называется { },
[о-системой j
(сумма
если {
{пересечение
каждой последовательности множеств системы также принадлежит
этой системе.
Сделаем относительно cr-систем несколько замечаний, которые,
впрочем, сами собой перенесутся и на <5-системы. Сумма
двух (а также и любого конечного числа) множеств cr-системы также
принадлежит этой системе.
Минимальная cr-система, объемлющая данную систему множеств S0Z
(доказательство существования такой системы проводится так же, как
минимального кольца), обозначается S0Za. Она состоит из множеств
ма = м1+мг+м3+--- =емп (Mn6 3R), A)
т. е. из сумм последовательностей множеств Af?S0Z. В самом деле, Ма
должны принадлежать S0Zff и сами образуют cr-систему (обращение
таблицы с двойным входом в последовательность).
Если S0Z есть кольцо, то и S0Zff — кольцо, ибо пересечение двух М„
по дистрибутивному закону само есть Ма. Далее, в этом случае Ма
представимы как суммы возрастающих последовательностей множеств М,
так как из A) следует, что
где Sn также суть множества кольца S0Z и Si Q S2 Q ...
Переходя к E-системам, видим, что пересечение конечного числа
множеств такой 'сцстемы также принадлежит к ней. Минимальная
E-система *3ft,s, объемлющая <ЗЛ, состоит из множеств
Ms = M1M2Ms--.=<SMn (Afn63R), B)
т. е. из пересечений последовательностей множеств Al^SOZ. Если S0Z
есть кольцо, то <3DZe также есть кольцо, и множества М» могут быть
представлены в виде пересечений убывающих последовательностей
множеств М:
Мд = ©Dn, где Dn = MiMt. . . Мп.
88 СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ
Система множеств, которая одновременно является и а-систе-
мой и д-системой, называется (ад)-системой, или борелевской
системой, или В-системой.
Каждая система множеств SOZ содержится в минимальной борелевской
системе 93 = SOZ(ff($). Составляющие ее множества В называются боре-
левскима множествами (В-множествами), порожденными системой SOZ
или множествами Af^SOZ.
Мы можем представить В-множества системы SOZ следующим
образом: пусть i, к, I, т,... пробегают натуральные числа; положим
Dm =
m
приняв условие, что для каждой последовательности натуральных чисел
i, к,1,т, ... почти все множества последовательности Di, S^, Dm, Sikim, ¦ • •
суть множества системы SOZ. Аналогично положим, начиная поочередное
образование сумм и пересечений с этих последних:
D = ©Si, Si = BDik, Dift=©Sa,, Sm =
i ft 1 m
причем опять-таки почти все множества последовательности Si, D^,
Sihi, Dutim, .. . принадлежат системе <3R. Тогда S, а также и D суть
S-множества, порожденные системой <3R.
В самом деле, так как множества Di первой группы формул суть
произвольные множества D второй группы, то каждое множество Da
(сумма последовательности множеств D) есть множество S и vice versa,
в частности, каждое D = D +D + .. . есть множество S. Поэтому
система множеств S тождественна с системой множеств D и каждая из
них образует борелевскую систему, которая содержит все М (S = Д =
= Sift = Dm = ... = М); поэтому минимальная борелевская система 93
содержится в этой В-системе, т. е. каждое В-множество есть мно-
множество S.
Обратно, каждое S есть В-множество. Действительно, если бы S
не было В-множеством, то существовало хотя бы одно Di, не являю-
являющееся В-множествоы, а тогда — хотя бы одно Sjft, не являющееся
В-множеством, далее, Dm и т. д.; следовательно, существовала бы
числовая последовательность i, к, I, .. . такая, что в последовательности
Di, Sis, Diki,... нет ни одного В-множества, что противоречит тому
условию, что в этой последовательности почти все члены суть множе-
множества системы SOZ. - -
Полученное представление, правда, дает все В-множества сразу,
но зато недостаточно прозрачно, почему мы и попробуем установить
еще одно, последовательно осуществляемое построение борелевской
системы 93. Развивая естественным образом обозначения A) и B), мы
заметим, что система 93 должна содержать следующие множества:
C)
множества М ( ? ),
суммы Мв последовательностей множеств ^
пересечения Mas последовательностей множеств М„,
суммы Мода последовательностей множеств Маь и т. д.,
БОРЕЛЕВСКИЕ СИСТЕМЫ ' 89
причем операции суммирования и пересечения чередуются, так как^
например, множества Мт, т. е. суммы последовательностей множеств Мв,
тождественны с множествами Ма. Начиная с пересечений, а не с сумм,
видим, что в 93 нужно включить следующие множества:
D)
множества М
пересечения Мв последовательностей множеств М,
суммы Mgo последовательностей множеств Mg,
пересечения Мм последовательностей множеств М&г и т. д.
Образованные этими множествами системы мы обозначим соответ-
соответственно Ж, 'ЗШа. Ж«{, Жвдо, ... И SO1?, Жв, Жйо, Ждав, ¦ • • (ТЭКИМ
образом в обозначении 93 = ЗЯ(«д) нельзя опускать скобки).
В качестве примера, рассмотрим (стр. 17):
м=ш мп = sts?t..., sn = мп + мп+1 + мп+2+...,,
М_ = Шп Мп = Dt +D2 +DZ+..., Dn = MnMnixMn+z .. .
Мы видим, что верхний и нижний пределы последовательности множеств М
суть S-множества системы 3R. Так как Sn суть Ма, Dn суть Мй, то
верхний предел М есть Мае, нижний предел М есть Msa, предел сходя-
сходящейся последовательности является одновременно и MaS и Мда.
Построив множества C) и D) с любым конечным числом индексов а, <5,.
мы еще не завершим построения борелевской системы 93. Продолжая,
скажем, процесс построения C), мы должны присоединить пересечения
N =
далее, Na, Nae, Nat,,, ..., далее,
Р = NNaNaeNaia. ..
и т. д. Мы имеем средство уточнить выражение „и так далее"; эта
средство нам доставляют порядковые числа.
2. Построение борелевской системы 93. Пусть |, т\ — порядковы
числа меньшие Q, где Q=^m1 есть начальное число класса Z(Ki); мь
будем различать четные порядковые числа 2|и нечетные 2| -+¦ 1 [см. § 14,.
C)]. Поставим в соответствие каждому | систему И множеств А* индук-
индуктивным способом:
(а)
множества А° суть множества М (1° = 9R),
при нечетном г\ множества Ai суть суммы, при четном
г] >0 —пересечения последовательностей множеств Аг(|< »?).
Система всех множеств Л? есть минимальная В-системаг
содержащая <ЗЯ, т. е. 93.
Трансфинитная индукция показывает, что все множества А1 входят
в 93, так что остается только показать, что это есть борелевская система.
Пусть нам дана последовательность множеств A*i, A^t... и пусть ? —
число, непосредственно следующее за |ь |2,.. . (по § 16, IV, !< Ц).
Одно из двух чисел |, 1 + 1 — четно, другое — нечетно, следовательно,
90 СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ
среди множеств А* и А* находятся как пересечение, так и сумма
множеств нашей последовательности. Отсюда сразу видно, что нет смысла
продолжить наше определение на числа ?>?? (так как мы бы получили
Ш° = <21о+1=... =93).
Системы Qif возрастают вместе с индексом, т. е. при | < щ
Qif Q QF, ибо, так как М = М + М + . . . — ММ. . ., каждое А* есть
Af+1, Af^,. . . Отсюда следует, что множества Af+1 представимы как
суммы или пересечения последовательностей множеств А* (смотря по тому,
четно или нет |); в случае если ц есть предельное число, А1? суть пере-
пересечения последовательностей множеств А* (|< if). Следовательно, мно-
множества C) образуют начало нашей конструкции, т. е.
А», А\ А2,...
тождественны с М, Ма, Мав,.. .; далее идут Ат — пересечения последо-
последовательностей ранее построенных множеств, Аш+1 — суммы последователь-
последовательностей множеств Аа н т. д. Системы множеств Qif мы будем называть
борелевскими классами и скажем, что данное множество принадлежит
в точности к классу ОТ, если оно принадлежит к этому, но не при-
принадлежит ни к какому предшествующему классу, т. е. если оно есть А4,
но не есть А5 (при | < rj). (Часто, хотя это и неудобно, считают классы
непересекающимися, т. е. называют классом систему ЭД4— 6Qif.)
Видоизмененное построение 3 получается, если поменять ролями
операции пересечения и суммирования, т. е. определить системы 3*
множеств В следующим образом:
множества В° суть множества М С23° = <Ж), |
при нечетном г\ множества В1» суть пересечения, при \ (/?)
четном 7] >0—суммы последовательностей множеств Bf(|< r\) J
Множества В* снова образуют минимальную'борелевскую систему 93,
объемлющую <3R. Bi+1 суть пересечения последовательностей множеств Bf
при | четном и суммы при ? нечетном. Начало составляют множе-
множества D), т. е.
В», В1, В2, В3,...
тождественны с М, Мв, М*,, Мш,...
Эти системы множеств также называются борелевскими классами.
Нетрудно видеть, что каждое Af есть В* и каждое В* есть Ai+1 ;
например А1 = Ма входят в систему В2 = MSa и Вг — Мв — в систему
А2 = Мав.
Конечно, может случиться, что в действительности нет необходимости
употребить все А или В , чтобы завершить построение системы 93,
т. е. может случиться, что некоторый класс Qi совпадает со всей си-
системой 93. Это зависит от исходной системы SSJ?; если, скажем, она
сама есть борелевская система, то 93° = 93 и дальнейшее расширение
ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ 91
излишне. Позднее (гл. VIII) мы увидим, что как раз в важнейших слу-
случаях каждый шаг доставляет новые множества и все классы Qi необхо-
необходимы для построения Q3. Заметим еще, что если при каком-нибудь | > 1,
<2i* = <2im, то lf = Ъ. В самом деле, из двух систем 1*. ll+1 одна
есть сг-система, другая <5-система; если они совпадают, то мы имеем
(<т<5)-систему, г. е. борелевскую систему.
§ 19. Операции над множествами
1. Общая теория. Мы рассмотрели до сих пор несколько операций
над последовательностями множеств, в результате которых получалось
новое множество, зависящее от множеств последовательности, — это были
операции сложения, пересечения и взятия верхнего и нижнего'пределов.
Рассмотрим теперь вообще операцию
Ф(Мп) = Ф(Ми М2,... ,Мп, ...) = Х,
которая позволяет по каждой последовательности множеств Мп найти
некоторое вполне определенное множество X. Мы будем допускать при
этом, что все рассматриваемые множества являются подмножествами
некоторого множеств Е. Тогда Ф является не чем иным, как функцией
от счетного числа подмножеств Е, значение которой есть также подмно-
подмножество Е.
Рассмотрим какой-нибудь элемент х множества Е и выделим те
натуральные числа л, для которых х ? Мп; множество этих натуральных
чисел обозначим Ux. В случае упомянутых выше четырех операций над
множествами знание множества Ux> т. е. номеров тех множеств Мп,
в которые входит X, позволяло независимо от привлечения каких-либо
дополнительных свойств множеств Мп решить, входит х в Ф (Мп) или
нет. Операцию, обладающую этим свойством, — т. е. такую, что вопрос
о том, входит х в Ф (М„) или иет, решается исключительно в зависи-
зависимости от свойств множества Ux, — будем называть теоретико-множе-
теоретико-множественной операцией.
Рассмотрим какое-либо множество U натуральных чисел. Множество
Ки всех тех х, для которых Ux = U, может быть записано так:
Яи= © Мп © {Е — Мп).
В случае теоретико-множественной операции Ф каждый элемент Ки
входит или не входит в Ф(Мп) исключительно в зависимости от свойств
множества U. Обозначим через N® систему тех U, для которых
Ки с: Ф (Мп). Очевидно,
п)= 6 {®МП®(?-Л*П)}, A)
Мы видим, таким образом, что теоретико-множественная операция вполне
определяется системой N<p подмножеств натурального ряда.
Среди теоретико-множественных операций имеются две особенно
простые:
0(Л*я)=0, 1(Мп) = Е.
92 СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ
JV0 есть пустое множество, JVX состоит из всех множеств натуральных
чисел (включая пустое множество).
Теоретико-множественная операция Ф называется положительной
(или монотонной), если Ф не совпадает с операцией 0 или 1 и если из
МпсМ'п (л = 1, 2, 3,...)
следует
Ф(Мя)сФ(М'п).
Мы докажем сейчас, что в случае положительной операции Ф
Ф(М„)= б © М„. B)
Для доказательства заметим прежде всего, что JV<p не содержит
пустого множества, так как в этом случае в силу формулы A), полагая
М'п = О (п = 1, 2, 3,. ..), мы получили бы Ф(Мп) = ?, ав силу поло-
положительности Ф — также и Ф(Мп) = Е, для любых множеств Мп, т. е.
Ф совпадало бы с операцией 1.
Рассмотрим какие-либо U с JV<p. Мы докажем, что © Мп с Ф (Мп).
и
Для этого положим М'п = Мп, если л ? U, и Мп = 0, если n
тогда по формуле A)
Мп = Ф М'п с Ф(Мп).
и
Но так как при любом п имеем Мп => М'п, то Ф (Мп) сФ (Afn), что и
доказывает наше утверждение. Итак,
6 Ф М„
пеи
из формулы же A) следует, с другой стороны, что
Ф(Мп)<=. 6
crw
Из двух полученных нами включений уже непосредственно следует
формула B).
Исходя из любого множества N множеств натуральных чисел, можно
определить операцию
ф (Мп) =6 © Мп. C)
Такие операции называются ds-операциями. Каждая (Js-операция
есть теоретико-множественная положительная операция и может, следо-
следовательно, быть записана в виде B). Следует только при этом иметь
в виду, что множество JV<p не обязано совпадать a priori с заданным
множеством N. Обратно, каждая теоретико-множественная положительная
операция может быть по формуле B) представлена как ^-операция.
Что касается общих теоретико-множественных операций (не обяза-
обязательно положительных), то формула A) показывает нам, что они могут
быть заменены положительными операциями над множествами Мп и их
ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ 93
дополнениями Е — Мп. В самом деле, полагая Mzn = 7Vfn, .Мгл-г
= Е — Мп, получим по формуле A):
где Ф*— некоторая новая, уже положительная операция.
Рассмотрим в заключение несколько примеров.
Для операции
множество ND состоит из единственного элемента, именно из множества
17= {1,2,3,...}
всех натуральных чисел. Операция
s (мп) = е>мп /
п
приводит к множеству JVg, состоящему из всех непустых множеств
натуральных чисел. Ту же операцию можно, однако, получить по
формуле C), исходя из множества N множеств
Операция L (Мп) = lim Mn аналогично определяется множеством N,
состоящим из
^=-{1,2,3,...},
^ = {2,3,4,...},
Наконец, в случае операции L (Мп) = lim Mn множество N- состоит
из всех бесконечных подмножеств натурального ряда. Заметим еще, что
для любой (Ss-операции
Ф(М,М,М,...) = М. D)
2. Составные Операции. Рассмотрим(Ss-операции Ф, фъ Фа,..., Фп,...,
определенные по формуле C) множествами N, JVjj JV2,...,Nn,... Пусть,
далее,
М =Ф(М„),
„ = Ф„(Мпъ Мт, М
пз,.
Спрашивается, нельзя лн множество М получить при помощи одно-
однократного применения какой-либо новой операции Ф* непосредственно к
множествам Мпт. Поставим прежде всего каким-либо способом (см., на-
например, стр. 37) пары натуральных чисел (л, ТП) во взаимно Однозначное
соответствие с натуральными числами i = q> (n,m). Числа п, m, coot-
94 СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ
ветствующие данному i, будем обозначать щ, т.\. Положим теперь для
любой последовательности множеств Qu Q2,..., Qi,...
n, 2), Qq,(n, з), .. •)>
Q = Ф (/?»).
Мы определили таким образом операцию
Легко заметить, что эта операция есть теоретико-множественная
положительная операция и, следовательно, может быть записана по
формуле B) в виде (Ss-операции *). Поставленная проблема решена нами
в положительную сторону, так как
М = Ф* (Mnimv Mnim, Мпзтя,.. .)•
\рперацию Ф* мы будем обозначать
Ф* = Ф(Ф1, Фа, Ф„...)•
Пусть теперь дана некоторая система множеств Н. Будем обозначать
через Ф (Н) систему множеств, которые могут быть представлены в виде'
М = Ф (Мп), где множества Мп принадлежат Н. Для любой (Ss-операции
в силу формулы D) имеет место соотношение ЯсФ (Я).
Мы обозначаем, далее, через
Ф (#!,#„#»...)
систему всех множеств М, которые могут быть представлены, в виде
М = Ф{МЬМ2,МЪ,...),
где Мг ? #х, Ж2 ^ Яа, Ж3 ^ Я3,... Введя эти обозначения, вернемся
к операции Ф* = ф (Фь Ф2, Ф3,...).
Для любой исходной системы Н
Ф* (Я) = Ф {фг(Я), Ф2 (Я), Ф3 (Я),...}.
В самом деле, если М ? Ф* (Я), то
Л* = Ф* (Aft) (Mi € Я),
tfn = Ф„
х) Ф* не совпадает с операциями 0 или 1, так как для любых множеств Мп мы
можем положить Мпт = Мп. Тогда по формуле D)
= Мп
Таким образом, если бы операция Ф* тожлествеиио приводила к результату
о или Е, то это же было бы верно относительно операции Ф, что противоречит
нашим допущениям.
ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ 95
С другой стороны,, если М ? Ф {Фп {Щ), то
¦ М=Ф* (Mnimv Mn,mv Мпат,...) 6 Ф
Отметим еще для применения во второй части книги понятия допол-
дополнительной операции. Если операция ф определена множеством Nф, то
дополнительная операция Ф определяется множеством Л/_, состоящим из
ф
всех тех частей натурального ряда, которые пересекаются с каждым из
множеств натуральных чисел, входящих в N0. Читатель может легко
установить, что если все множества Мп являются подмножествами не-
некоторого множества Е, то
Е-Ф{Мп} = Ф{Е-Мп).
В виде примера укажем пока только на то, что операция пересече-
пересечения D является дополнительной к операции S, и наоборот,
3. Представление борелевских множеств. В § 18 мы видели
[стр. 90, (/5)], что каждое Bi+1 при четном ? есть^ пересечение, а при
нечетном ?— сумма последовательности множеств Bf. Если t] есть пре-
предельное число, то
В" = d + С2 + • • • (С„ есть В% где ?п < г]\ E)
эта форма представления содержит некоторый элемент произвола, заклю-
заключающийся в том, что числа ?„ могут зависеть от подлежащего представ-
представлению множества Вп, и мы модифицируем ее так, чтобы ?п образовали
фиксированную, зависящую только от г\ последовательность (как это
уже и было для г\ = ? + 1, когда можно было считать, что ?n = S = 7]—• 1).
Например, множества Вш, которые первоначально были представлены а
форме Вш = Bfl -}- Вй 4- • • •, где ?„ могли быть любыми конечными
индексами, мы представим в более специальной форме В" — В + В2 4- • • •,
гДе in = п. Для каждого предельного числа г\ выберем фиксированную,
зависящую только от rj последовательность порядковых чисел
нам нужно показать, что каждое В4 может быть представлено, в част-
частности, в форме
B"=B1 + BZ+..., F)
где Вп есть В4".
Чтобы перевести представление E) в F), мы прежде всего можем
увеличивать индексы ?, ибо каждое В есть В , так как для каждого
?< V существует такое п, что ?<?fa. то мы можем выбрать натураль-
натуральные числа p<q<r<... так, чтобы ?i<J?p, ?2<»to ^з<92г, •••
96 СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ
Если теперь положить Сх= Вр, С2=Ва, С3=ВГ,..., то вместо пред-
представления E) мы получим:
причем для л =p,q,r,... Вп есть В*7". Чтобы притти к форме F), нам
нужно только вставить подходящим образом недостающие слагаемые
Вп (л= 1,..., р — 1,р+1,...). Но каждое Bf(?>l) содержит подмно-
подмножество, принадлежащее в точности к классу Ма = В1. Действительно,
«ели какие-либо множества N обладают свойством содержать такое
подмножество, то этим же свойством обладают и множества Na и JVa
(Na содержит подмножество вида Мвд = Ма), а потому это свойство
индуктивно переносится с множеств В1 на дальнейшие множества Bf.
Следовательно, если В есть подмножество В4 формы В1, то все недо-
недостающие Вп могут быть выбраны равными В, ибо тогда Вп, будучи В1,
есть в то же время и BVn. Нами получено представление F).
Мы докажем теперь следующую теорему:
Для каждого ? ;> 1 существует такая, зависящая только от ?
ds-операция Ф$, что
Х = Ф$ (Жь Ж„ Ж„...) (Ж» ? <ЭЯ) G)
представляет в точности все борелевские множества, порожденные
*ffi и принадлежащие классу Q5f.
Это означает, что каждое множество В может быть представлено в
форме G), где все Мп принадлежат 'ЗЛ и, наоборот^ каждое X, получен-
полученное Ф{-операцией из множеств Мп ? $0?, принадлежит 93{.
Доказательство проводится методом трансфинитной индукции.
1. В случае | = 1 теорема правильна, так как за операцию Ф1(Мп)
можно взять операцию пересечения D (Мп) = © Мп-
п
2. Пусть теорема справедлива для ?, тогда для доказательства ее
для | + 1 достаточно положить
в случае нечетного | и
в случае четного |. Так как Фе(Ш) =Q5f и <35f+1 =S (Q5f) в случае ?
нечетного и 93 = D C23*) в случае | четного, то из доказанного в конце
второго пункта этого параграфа предложения следует, что 0f+i('3J?)=<23f"t»
3. Пусть теорема справедлива для всех |'< ^, где | — предельное
трансфинитное число. Выберем ^1<^2<--'> limfn = f. Тогда по
доказанному выше 05* совпадает с классом множеств, изобразимых в
виде:
т, е. с классом
СУСЛИНСКИЕ МНОЖЕСТВА 97
Полагая
0e = S(<X>h, ФН, Фи,..-),
получим, следовательно:
Ф, (ЗЛ) = S (Ън, Ън, Ън, ...) = Ъ*.
Таким образом наша теорема полностью доказана. Вполне аналогич-
аналогичный результат можно, естественно, получить и для множеств А*.
§ 20. Суслинские множества
Естественно возникает вопрос, можно ли построить такую ^-операцию,
которая доставляла бы, непосредственно исходя из множеств |3&, все
борелевские мнбжества, порождаемые системой <ЗЯ. Мы увидим далее
(стр. 198), что на этот вопрос следует, вообще говоря, ответить
отрицательно, если требовать, чтобы операция ds доставляла, исходя из
множеств системы ЗЙ, все борелевские множества и только их. Именно
мы увидим, что существуют такие исходные системы <ЗЯ, в случае
которых любая операция Ф, позволяющая получить непосредственно из
множеств УЯ все борелевские множества, приводит также при надлежащем
выборе множеств Мп ? <^Я и к неборелевским множествам М = Ф (уИп).
Однако, если мы будем требовать только того, чтобы операция Ф
доставляла нам все борелевские множества, не смущаясь тем, что она
может привести и к некоторым неборелевским множествам, то наша
проблема решается положительно.
К ее решению мы вернемся в конце настоящего параграфа. Нам
удобно изменить обозначения так, что вместо множеств Мп появятся мно-
множества со многими индексами, меняющимися независимо одни от другого.
Поставим теперь множества в соответствие не натуральным числам,
но конечным комплексам натуральных чисел так, что комплексам (ЛД
(пг, ла), (Hi, па, п3),... (которые образуют опять-таки счетное множество)
отнесены множества Мпг, МП1щ, Mninsns, ...; если отвлечься от внешнего
вида, то это также есть не что иное, как последовательность множеств.
Выпишем некоторые из этих множеств (не ставя точек, чтобы не загро-
загромождать таблицы):
м2
A)
Далее, каждой последовательности натуральных чисел
V = (Пъ Л„ П3, ...), B)
которые не предполагаются теперь попарно различными, отнесем пере-
пересечение
М, = МП1 МП1Щ МП1Птз ..., C)
Хаусдорф. Теория множеств. 1
98 СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ
образованное из множеств, соответствующих конечным отрезкам по-
последовательности v, и, наконец, составим сумму
х=ем„ D)
распространенную на все возможные последовательности v натуральных
чисел.
X есть, следовательно, функция от множеств A): Ф {Mlt М2, М3,...).
Если предположить, что множества М берутся всеми возможными спо-
способами из дайной системы множеств <ЗЯ, то X пробегает систему
множеств 9Е и эти множества X называются порожденными системой *ffi.
(или множествами /W ^ 90^) — суслинскими множествами (или А-множе-
ствами). При этом слагаемые Мр суть Ma, но число их несчетно, так
же как и в случае борелевских множеств Ве при ?>3. Заметим еще,
что X не совпадает с пересечением
(которое есть Маа), так как, развертывая это последнее по дистрибутив-
дистрибутивному закону, мы получим, что оно равно
где все индексы независимо один от другого пробегают все натураль-
натуральные числа, в то время как для X мы имеем а1 = 61="с1==.. . = лх
и т. д.
Условимся суслинские множества, порожденные S0i, обозначить
через МА, а образованную ими систему—через $!J?A.
Каждое Ма и Ma есть МА\ таким образом суслинская формула
содержит как частные случаи образование сумм и пересечений последо-
последовательностей множеств. Действительно, если дана последовательность
множеств М1, М2,..., то, полагая М„1П*2... Пк = М, мы имеем М, — Мп\
а потому X = QMni; с другой стороны, полагая МП1Щ . , . nk = Mh, мы
видим, что каждое М„ а потому и X есть ©Afft.
Самое основное свойство суслинских множеств содержится в следую-
следующей теореме:
I. Суслинские множества, порожденные суслинскими множест-
множествами МА, сами суть множества МА.
Короче: каждое множество МАА есть МА, подобно тому как каждое Маа
есть Ма. Суслинский процесс столь многообъемлющ, что его итерация
(повторение) не дает ничего нового. ^
Доказательство выглядит трудным, только благодаря нагромождению
индексов, по существу же совсем просто. Пусть
р _ C) jyniJV™iri2./Vriiri*ri8...
СУСЛИНСКИЕ МНОЖЕСТВА
99
есть суслинское множество, причем породившие его множества также
суть суслинские множества:
где v = (пъ п2,...), а = (аъ а2,...), /? = (blt bz,...),... независимо друг
от друга пробегают все последовательности натуральных чисел. Надо
показать, что Р может быть построено суслииским процессом из мно-
множеств М. По дистрибутивному закону Р есть сумма всех пересечений:
причем суммирование распространяется на все последовательности v, a,
/3,..., или, иначе, на все натуральные числа nh, аъ, Ьп,•¦• Преобразуем,
хотя бы по двоичной схеме, последовательность последовательностей
v,a,p,y,... в простую последовательность ft — (тъ т2,...), так что в
приводимых таблицах элементы, стоящие на одинаковых местах, со-
соответствуют один другому:
U1
Ьг
Сг
«2
ь*
с,
п,...
а3...
ь3...
с3...
тг
т2
mt
та
Щ
/«12
/п24
т5 .
ты.
т^.
mi0.
При этом E) переходит в
F)
= М A) М C) М E)... М B) М F)... М D)...,
где М(к) обозначает множество, зависящее только от mvm2,...,i
(но, вообще говоря, не ото всех этих индексов), а к пробегает все
натуральные числа, принимая каждое значение только один раз; дей-
действительно, легко видеть, что из чисел, от которых зависит одно из
множеств, входящих в пересечение F), верхние числа тъ mz, • • •, ni2h-i
имеют меньшие индексы, чем числа, стоящие внизу, а эти последние
начинаются с т^, так что наибольшее mft, от которого зависит мно-
множество F), обязательно имеет четный индекс. Если мы теперь одно-
однозначно отнесем парам натуральных чисел (nith-ъ тяд натуральные
числа pft и определим зависящее от pv ..., рь или, иначе, от
множество
М
РУРг- ¦ -ph
М{к),
100 СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ
то F) переходит в МР1МртМр1Рт... и Р есть сумма таких пересече-
пересечений, распространенная на все последовательности (ръ р2, Рз> ¦ • •) натураль-
натуральных чисел, т. е. порожденное множествами М суслннское множество.
Таким образом теорема 1 доказана. Множества N = МА не порождают
новых суслинскнх множеств; каждое NА есть N. В частности, любое Na
и Ns суть N, множества N образуют борелевскую систему 9^, содержа-
содержащую <3ft; минимальная борелевская система 33 содержится, следовательно,
в <-ft: все порожденные системой 'ЗЛ борелевские множества суть
суслинские множества. Обратное предложение в общем случае неверно,
как мы увидим далее (стр. 198).
Наконец, нетрудно вернуться от суслинских формул C) и D) к
<55-операцин н тем самым ответить на вопрос, поставленный в начале
этого параграфа. Для этого мы установим взаимно однозначное соот-
соответствие между конечными комплексами натуральных чисел (nif п8,..., п&)
и натуральными числами р, хотя бы исходя из двоичного представления
натуральных чисел:
р = г + 2П1+п*~г Н h 2ni+*i+""+nv-1; G)
положим далее
Тогда произвольной последовательности натуральных чисел v =
= {tli, п2, п3,...) соответствует последовательность я = (ръ р2, Рз> • • •)
возрастающих натуральных чисел вида:
Pl = 2П1~\ р2 = 2"*-1 + 2П1+Пз~\
т. е. числа plt pz—plt ps — Pp... образуют подпоследовательность по-
последовательности 1, 2,4,8 ,...; обозначив через П множество всех этих
гг, мы получаем, что D) переходит в
Таким образом доказано теорема:
II. Существует такое фиксированное, множество N последователь-
последовательностей возрастающих натуральных чисел v = (nlt п2, п3,...), что
^-функция
X = EМ, = вМП1МъМъ...-Ф(МЬ МъМ„...) (Мп ^ <ЗЯ)
V
представляет все порожденные системой 'ЗЛ суслинские множества и
только их.
Глава VI
Топологические пространства
Начиная с этой главы, мы обращаемся к изучению геометрических
свойств множеств, элементами которых . являются точки пространства.
Еще Кантором начато изучение свойств множеств, элементами которых
являются точки обыкновенных прямой и плоскости.
¦ Frechet в 1906. г. было замечено, что для доказательства большей
части полученных результатов приходится опираться на очень немногие
свойства пространства; он широко обобщил понятие пространства,
приняв эти свойства за аксиомы и объявив пространством любое мно-.
жество элементов, удовлетворяющее поставленным аксиомам. Дальнейшее
развитие с необходимостью привело к обобщениям, так далеко идущим,
что в теории множеств термину пространство придается.значение много!
более широкое, чем в обычном словоупотреблении. J
§ 21.(*0бщие топологические пространства
1. Операция замыкания. Мы скажем, что в множестве R устанбв-
лена операция замыкания, если каждому подмножеству Me R постав-
поставлено в соответствие некоторое подмножество Me R. М называется
замыканием множества М. Множество R, в котором установлена опера-
операция замыкания, называется общим топологическим пространством, его
элементы — тачками пространства /?; подмножества пространства R мы
будем называть точечными множествами или, еще чаще, просто
множествами. Точки множества М называются /почками прикосновения
множества М.
Следует отметить, что если в одном и том же множестве установлены
две разных операции замыкания, то мы имеем два разных топологических
пространства.
Примеры. 1) Пусть R есть множество всех действительных чисел;
X называется точкой прикосновения множества М, если каждый интервал>
содержащий X, содержит хотя бы одну точку М. Этим устанавливается
операция замыкания, и множество действительных чисел становится
общим топологическим пространством, которое называется числовой
прямой или арифметическим континуумом.
2) Пусть R есть какое-нибудь упорядоченное множество. Если у,
z — два его элемента, то множество всех элементов W, для которых
У< w< z, называется интервалом и обозначается (y,z). X есть точка
прикосновения М, если каждый интервал, содержащий X, содержит хотя
бы одну точку М.
102 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
3) Пусть R есть множество всех действительных функций, определен-
определенных на отрезке [0,1]. Функция р = р (f) называется точкой прикоснове-
прикосновения множества функций М = \q (/)}, если в М существует последователь-
последовательность функций рх (t), p2 @, • • •) сходящаяся к р (t) при всех значениях t
на [0, 1].
4) Пусть R произвольное бесконечное множество; положим для
любого непустого М: М = R, 0 = 0.
5) Пусть R то же множество, что в 4); положим М = R, если М
бесконечно, М=М, если М—конечно, 0 = 0.
6) Для того же R, что в 4), 5), положим 7л — R—М. (
В последних трех примерах одно и то же множестве R мы обращали
в разные общие топологические пространства.
Лишь очень редко общее топологическое пространство определяется
непосредственным заданием для любого М его вамыкания М, как это
было в примерах 4), 5), 6). Чаще операция замыкания определяется с
помощью вспомогательных конструкций. В этой книге такими конструк-
конструкциями будут введение летчики и окрестностей. Как эти понятия служат
для определения общего топологического пространства, будет выяснено
ниже.
2. Метрика. По определению в множестве R установлена общая
метрика, если каждой паре элементов х, у, отнесено неотрицательное
число q (х, у), называемое расстоянием от х до у. Метрика называется
собственной, если расстояние q (x, у) удовлетворяет следующим условиям,
называемым аксиомами метрического пространства:
1) (Аксиома тождества) q (х, у) == 0 тогда и только тогда, когда
х = у.
2) (Аксиома симметрии) q (х, у) = q (у, х).
3) (Аксиома треугольника) е(х, у) + е {у, z)>e (x> z)-
Множество R с установленной в нем общей метрикой называется
общим метрическим пространством; в частности, если метрика собствен-
собственная, R называется метрическим пространством. Элементы R будем
называть точками пространства. Если даны два подмножества ЛэО и
ВэО общего метрического пространства, то число inf д (а, Ь){а?А, Ь? В)
называется расстоянием от множества А до множества В и обозна-
обозначается q (Л, В) г). Очевидно, в метрическом пространстве q (А, В) =
= д (В, А), так что можно говорить просто о расстоянии между А к В.
Особенно важен случай, когда А = {а} состоит из одной точки; тогда
Q (а, В) (точнее надо бы было писать q ({а}, В)) по определению есть
расстояние от точки а до В.
Когда точки х, у пробегают множество М Q R пространства R,
множество чисел {q (x, у)} ограничено снизу. Если это множество
ограничено сверху, т. е. существует sup q (х, у) (при х ? М, у ? М),
эта верхняя грань называется диаметром множества М и обозначается
d (Af); множество в этом случае называют ограниченным. В частности,
пространство (М = R) также может быть ограниченным.
I 1) Особо подчеркиваем, что расстояние до пустого множества 0 нами вовсе
! ие определяется; символ q (А, о) лишен смысла.
ОБЩИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 103
Множество Rj в котором введена общая метрика q (х, у), может быть
обращено в общее топологическое пространство, если установить опера-
операцию замыкания при помощи следующего условия; х ? М тогда и только
тогда, когда q{x,М)=0. Если, наоборот, дано общее топологическое
пространство R и если некоторая метрика q (х, у), установленная в R,
определяет ту самую операцию замыкания, которая была установлена
в R a priori, говорят, что общее топологическое пространство R
обладает метрикой Q (х, у) или, еще, что q (x, у) есть метрика этого
общего топологического пространства. Общее топологическое простран-
пространство, обладающее хотя бы одной собственной метрикой, называется
метризуемым.
Две различных метрики q (х, у) и q' (х, у), установленные в множе-
множестве R, называются топологически равносильными, если они устанав-
устанавливают в R одну и ту же операцию замыкания. Очевидно, для топо-
топологической равносильности необходимо и достаточно, чтобы равенство
q (х, М) я= 0 влекло q' (X, М) — 0, и наоборот.
Примеры. 1) Простым примером^ метрического пространства яв-
является множество всех действительных чисел, в котором метрика (очевидно,
собственная) задается формулой q (х, у) = |х —у\. Это метрическое про-
пространство называется одномерным эвклидовским пространством и обо-
обозначается R1; очевидно, общее топологическое пространство, устанавли-
устанавливаемое этой метрикой, совпадает с арифметическим континуумом.
2) п-мерное эвклидовское пространство /?" есть множество ком-
комплексов действительных чисел
X = (Xi, Х2,..., Хп)
(равенство определяется, как обычно: х = у равносильно тому, что
*i = Уъ *г = Уг> • • • > хп — Уп) с расстоянием
6 (X, y) = V ^-уг
причем корень берется >0. Аксиомы 1), 2) выполнены; то что выпол-
выполнена аксиома 3), будет доказано ниже (п. 4).
Два пространства R, R' (или два множества в общих метрических
пространствах) с метриками q, q называются изометричными, если они
поставлены во взаимно однозначное соответствие, при котором сохра-
сохраняются расстояния, т. е. если точкам х, у из R соответствуют такие
точки |, г) из R', что Q (х, у) = q' (I, г]). Так, например, R1 изометрично
с множеством точек (х, 0) пространства R2. По существу изометрич-
ность есть не что иное, как конгруэнтность элементарной геометрии;
это понятие аналогично понятиям эквивалентности общих множеств и
подобия упорядоченных (о третьем чрезвычайно важном аналоге —
гомеоморфии см. § 24); однако в этом случае нет надобности вводить
термин, аналогичный мощности и порядковому типу. Поскольку в даль-
дальнейшем будет итти речь только о свойствах, выражаемых с помощью
расстояний между точками и множествами, два изометричных простран-
пространства (но не два изометричных множества одного и того же простран-
пространства) могут быть рассматриваемы как тождественные. Так, R3 изометрично
104 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
(и, следовательно, с нашей точки зрения тождественно) с пространством
элементарной геометрии, плоскости и прямые этого последнего изометричны
R2, R1; отсюда берет начало обычно употребляемая в применении
к R3 и другим пространствам Rn терминология.
3) Пешеходу, путешествующему по горам, естественно измерять рас-
расстояние межДу двумя местами х, у по времени, затраченному на переход
из х в у. Очевидно, прн этой область, в которой путешествует пешеход,
становится общим метрическим пространством (в котором не выполнена
аксиома симметрии).
4) Рассмотрим множество С всех непрерывных на [0, 1] функций
Х= x(t) и введем метрику
у@)-шах|х(о-у@|;
нетрудно видеть, что при этом получается метрическое пространство;
оно играет большую роль в функциональном анализе.
о) Рассмотрим множество всех точек окружности круга радиуса 1 и
положим q (х, у) равным длине меньшей из двух- дуг, соединяющих х
и у. Получим также метрическое пространство R; оно ограничено:
d (/?) = п.
6) Пусть х = (хъ хг,...) есть последовательность элементов произ-
произвольных множеств Хп {хп ? Хп) и пусть т (х, у) есть первое место
отличия последовательностей х и у =(}>!, у2,...), т. е. такое натураль-
натуральное число, что
Хт + Ут, *п — Уп при П< Ш.
Полагая q (х, х) = 0, q (х, у) = . » , мы получаем метрическое
ТП \Х, У)
пространство, в котором аксиома треугольника имеет место в следующей
усиленной форме: MlHbwU- #*&&*&mей
Q (х, z) < max [q {х, у), q (у, z)]; у we** tffat);/>/;;*
в самом деле, предполагая, что все три последовательности различны
(в противном случае доказывать нечего), мы имеем:
ш(х, z)>min[m(x, у), m{y, z)],
так как, если обозначить правую насть через т, то при п<т: Хп = уп,
уп = г„, следовательно, Хп = Zn, откуда следует, что т (х, z) > т.
Рассмотренные в примере 6) пространства называются бэровскими,
в частности, то, которое получается, если Хп лробегает все натуральные
числа, — бэровским нуль-пространством. Диаметр всякого бэровского
пространства не больше единицы.
Дальнейшие примеры метрических пространств приведены в п. 4
этого параграфа, в § 28, п. 1 и в приложении.
3. Окрестностные пространства. Множество R называется окрест-
ностным пространством, если в R выделена некоторая система подмно-
подмножеств {U) и если каждому элементу х ? R поставлены в соответствие
некоторые из множеств системы {?/}, называемые окрестностями х; при
этом требуется только, чтобы каждому элементу х была отнесена хотя
бы одна окрестность.
ОБЩИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 105
Окрестностное пространство R обращается в общее топологическое
пространство, если определить точки прикосновения и тем самым опера-
операцию замыкания следующим образом: х называется точкой прикоснове-
прикосновения М тогда и только тогда, когда каждая окрестность х содержит хотя
бы одну точку М.
Пространства примеров 1), 2) (п. 1) суть окрестностные пространства
(окрестность х—любой интервал, содержащий х). Если в множестве R
примера 5) (п. 1) назвать окрестностью х любое множество, получаю-
получающееся из R удалением конечного числа отличных от х элементов, это
множество обращается в окрестностное пространство, причем операция
замыкания, определенная с помощью этих окрестностей, как нетрудно
видеть, совпадает с операцией замыкания, введенной в примере 5).
Если каждой точке плоскости отнести в качестве ее окрестностей
внутренности окружностей с центром в этой точке, получается простран-
пространство, в котором операция замыкания тождественна с полученной на
основе эвклидовой метрики.
Вот еще пример. Пусть R есть множество действительных чисел, D—
множество чисел вида — (л = 1, 2,...); пусть /(х) есть любой интер-
интервал, содержащий х. Если х ф 0, назовем окрестностью х любой 1(х);
любое множество вида:
назовем окрестностью 0. Полученное окрестностное пространство R*
отлично от арифметического континуума: точка 0, например, есть точка
прикосновения для D в R1, но не в R*.
Различные системы окрестностей, установленные в одном и том же
множестве, могут определять одно и то же общее топологическое про-
пространство; так, операция замыкания в арифметическом континууме может
быть определена с помощью следующих систем окрестностей:
a) окрестность х есть любой интервал, содержащий х,
b) окрестность х есть любой интервал с рациональными концами,
содержащий х,
c) окрестность х есть любой интервал, имеющий X своей середи-
серединой, и т. д.
Две системы окрестностей в одном и том же множестве R, опреде-
определяющие одну и ту же операцию замыкания, называются равносильными.
Две равносильных системы окрестностей определяют одно и то же общее
топологическое пространство. Если R есть общее топологическое про-
пространство, то всякая система окрестностей, определяющая ту самую опе-
операцию замыкания, которая уже существовала в /?, называется системой
окрестностей этого общего топологического пространства или, иначе,
определяющей R системой.
I. (Критерий равносильности.) Две системы окрестностей ИХ = {U (х)}
и 93 = {V(х)} одного и того же множества R равносильны тогда и
только тогда, когда для каждой окрестности U(x) ??l существует
в системе 93 окрестность V (х) Q U (х), и обратно. ч
Условие необходимо: допустим, что некоторая окрестность U1(x) не
содержит ни одной V (х); тогда каждая V (X) содержит точки множества
106 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
R—U1(x) и в определенном системой 93 пространстве х есть , точка
прикосновения множества R— ^Л(х); в пространстве же, определенном
системой U, X не есть точка прикосновения R—t/j (х), так как
U1(x) • [R — t/1(x)] = O. Таким образом операции замыкания, опреде-
определенные с помощью U и 93,—различны.
Условие достаточно: пусть каждая U(x) содержит некоторую V(x),
и обратно: каждая V (я) содержит некоторую С/(х); пусть х есть точка
прикосновения М в определенном системой ?1 пространстве; тогда каждая
U (х) содержит точки М, а так как V (х) содержит некоторую U (х), то
каждая V (х) содержит точки М, т. е. х есть точка прикосновения М в
определенном системой 93 пространстве.
Пусть нам даны общее метризуемое пространство R и какая-нибудь
его метрика q (х, у). Сферической окрестностью U (х, е) точки х ради-
радиуса е >0, или просто в-окрестностью, называется множество всех точек
у ?R, для которых р(х, у) <е. Это название оправдывается тем, что
в R3 сферические окрестности X суть внутренности обыкновенных сфер
с центром в точке х. Если х ? М [в смысле операции замыкания, уста-
установленной метрикой q (х, у)], то U (х, е) • М ф 0 при любом е, и на-
наоборот, если U(x, е) • М ф 0 при любом е, то х ?.М; поэтому общее
топологическое пространство, в которое обращается R, если точке х ? 7?
отнести в качестве окрестностей множества U (х, е) @ < е < оо), совпа-
совпадает с тем, которое было установлено метрикой q(x, у). Система всех
сферических окрестностей есть определяющая система пространства R.
Мы получаем:
II. Общее метрическое пространство есть пространство окрест-
ностное.
4. Произведение пространств. Пусть нам даны два пространства
Х—{х), Y = {у}, определенные соответственно системами окрестностей
И=г{?/(х)}, 93 = {V(y)}. В множестве Р = [Х, Y] определим систему
окрестностей [U, 93], называя окрестностью точки (х, у) всякое
произведение [U(x), V(y)], U (х) и V(y) — соответственно любые окре-
окрестности точек х и у. Из критерия равносильности следует, что если
система п равносильна п' и 93 равносильна 93', то система [Ur 93J
равносильна системе [?!', 93'], так что общее топологическое простран-
пространство, в которое обращается множество [X, Y] по введении системы
окрестностей [Ц, 93], не зависит от систем ?1 и 93 и полностью опре-
определено пространствами X и Y. Это пространство R = [X, Y] называется
топологическим произведением пространств X, Y.
Примеры. 1) Пусть R1 есть арифметический континуум. [R1, R1]
есть плоскость, в которой окрестностью точки (х, у) является всякий
прямоугольник со сторонами, параллельными осям, содержащий точку
(х, у) внутри себя. Общее топологическое пространство, так полученное,
тождественно с пространством R2, в котором сферической окрестностью
точки (х, у) является внутренность любого круга, имеющего (х, у) своим
центром.
2) Пусть X, Усутьдва порядковых типа [см. пример 2) п. ^.Топологиче-
^.Топологическое произведение пространств R = [X, Y], вообще говоря, отлично от того
топологического пространства R*, которое получится, если в словарно
ОБЩИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 107
упорядоченном множестве [X, Y) назвать окрестностью р = (х, у) любой
интервал, содержащий р; так, например, если X плотно, интервал упо-
упорядоченного множества /?*((х, у'), (х, у")) (у' < у< у") не содержит ни-
никакой окрестности пространства R.
Очевидно, совершенно так же можно определить топологическое про-
произведение любого конечного числа топологических пространств. Это
определение может быть перенесено и на случай бесконечного числа
пространств, притом разными способами. Полезнее всего следующее
определение (А. Тихонов): пусть нам даны пространства Rm== {Хщ}, где
М = {т} есть множество произвольной природы. Произведение простран-
пространств есть произведение
в котором окрестности определены следующим образом: выбираем конеч-
конечное (произвольное) число р элементов nit ? М (г = 1, 2, ...,р) и для
каждой точки xmi выбираем в Rmi окрестность ?/(xmi). Окрестность
точки х = {хт} есть множество элементов у = {ут)> в котором
Упц ? и(Хщ), а остальные ут — произвольные элементы пространства Rm.
Заставляя пробегать р все целые числа, тх, т2,..., тр — всевозможные
группы по р элементов из М, a U (х„,{) — множество всех окрестностей
Хщ, — получим всевозможные окрестности х.
Пусть теперь X, Y суть общие метрические пространства, q(x, X1)
и <?(У> У')—метрики этих пространств. Пространство, в которое обра-
обращается множество [X, Y], если в нем установить метрику
в«х,у), (х', /))=Vq4x, х') + еЧу, Гп • A)
называется метрическим произведением пространств X, Y; мы сохраним
для него обозначение [X, Y]. Легко видеть, что метрика A) есть мет-
метрика топологического произведения пространств X, У, т. е. что опера-
операция замыкания, установленная метрикой A), совпадает с той, которую
мы получаем, если, рассматривая X, Y как окрестностные пространства
со сферическими окрестностями, мы образуем их топологическое произ-
произведение.
Точка X называется проекцией точки (X, у) в пространство X.
Множество проекций всех точек множества Мс:[Х, Y] называется
проекцией множества М. Очевидно, расстояние двух точек [X, Y] не
меньше, чем расстояние их проекций.
III. Метрическое произведение метрических пространств есть мет-
метрическое пространство.
НаДо доказать, что если метрики q (x, x'), q (у, у') удовлетворяют
аксиомам метрического пространства, то и метрика A) удовлетворяет
этим аксиомам. Это непосредственно ясно относительно аксиом тожде-
тождества и симметрии. Выполнение третьей аксиомы устанавливается, если
положить
а — в (X, х'\ b = Q (X', X"), с = q (X, X"),
«1 = е (у, У), ьг = е (у', у"), Ci = q (у, у")
108 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
? неравенстве
^с2 + с1 (а + Ь>с,
Справедливость этого последнего следует из такого подсчета:
= а2 + а\ + Ь* + Ь\ + 2 V(ab + a 1b1)
Пример. /?п+ь =[/?", /?"]; в частности Rn+1 =[/?", /?ij; отсюда
индукцией доказывается, что аксиома треугольника выполнена во всех
эвклидовских пространствах.
Нетрудно видеть, что совершенно аналогично метрическое произве-
произведение может быть определено для любого конечного числа множителей.
Прямое обобщение на случай Мо множителей невозможно. Так, напри-
например, можно было бы считать аналогом метрического произведения в слу-
случае М о множителей R1 так называемое гильбертовское простран-
пространство R°°. Точками пространства R°° являются всевозможные такие ком-
оо
плексы действительных чисел X = (х1( х8,.. ., х„,...), что ряд 2 хп схо-
1
дится. Применяя аксиому треугольника к трем точкам /?": х =» (х]} х2, ...,хп),
У = (Уи Уз>--->Уп), z = @, 0, ...,0), получаем:
откуда в предположении, что 2**<"НХ>> 2 У* "^"г0) выводим, что
1 1
оо
2 (Xi—У{J<+°°- Это позволяет установить в множестве /?°° метрику,
полагая для двух комплексов х = (х^ х2, х3,...), у = (уь у2, у3,...):
=у ite-
е(*> у)
есть метрическое пространство; аксиомы тождества и симметрии,
очевидно, выполнены, третья аксиома получается предельным переходом
при п~*оо в формуле
у 2(Xi-
ОБЩИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 109
Множество Q00 точек пространства R^°, координаты которых удовле-
удовлетворяют неравенствам 0 ^ Хь <1 -г, называется основным параллелепи-
педом гильбертова пространства.
Легко, однако, видеть, что /?°°, рассматриваемое как топологическое
пространство, отнюдь не совпадает с определенным выше топологическим
произведением Ко множителей R\ Это последнее произведение может
быть метризовано, если за расстояние q(x, у) принять:
Вообще топологическое произведение К 0 метризуемых пространств
метризуемо.
со
Действительно, пусть Р = П Rm есть топологическое произведе-
произведете
ние Ко метризуемых пространств /?m={Xm}, причем пространство Rm
обладает метрикой <?(Хт, Хт). Введем в множестве Р метрику, поло-
положив для
X = \Xi, ЗС2, .. ¦ , Xm, ¦ ¦ .), X = \Х1Г Х2, . . ., Хт, .. .)
е(Х"»' Х'т) (о\
B)
Эта метрика собственная: выполнение аксиом 1), 2) очевидно; полагая
и пользуясь монотонностью функции , получаем из неравенства
а + Ь>с:
а , Ъ ^ a+b ^ с
откуда следует, что каждое слагаемое B), а, значит, и вся сумма B)
удовлетворяет неравенству треугольника.
Далее, q{x, у) есть метрика топологического пространства Р. В самом
деле, обозначая буквой V окрестности топологического пространства Р,
а буквой U — сферические окрестности в метрике g, имеем:
a) каждая U (х, е) содержит некоторую V(x);
b) каждая V(x) содержит некоторую U (х, е).
Чтобы доказать а), берем натуральное N так, чтобы
JV+1
C е\
xm,—j-J; пусть V(x) есть такая окрестность точки X,
1 10 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
что если х' ? V(x), то x^??/m (m = l, 2,...,JV). Тогда
N оо N
, /ч VI , Г х 5« Г 1 ,s Зе я2 , е
е(х, х') = 2j + 1 <^S"^+-2 < sr-T+T =*'
1 JV+l 1
т. е. x'?U (х, е).
Докажем Ь). Пусть X' ? V (х) обозначает, что
х^ ? (/пч [t/mi = ?/ (Хщ, е^), f = l, 2,..., s].
Верем
6 = min
Если х' ? G(х, е),то р(х, х')< е, следовательно:
*,,,'
откуда
§ 22. Топологические пространства
I. Определение топологического прострапства. Общее топологи-
топологическое пространство R называется просто топологическим, если опера-
операция замыкания, его определяющая, удовлетворяет следующим аксиомам:
I. А+В= А+ Ъ,
II. А О^А,
III. A Q А !),
IV. 0= 0 (замыкание пустого множества есть пустое множество).
Так как согласно II A Q А, то аксиома III может быть еще выска-
высказана так:
III'. Ж= А
Читатель может проверить, что все примеры общих топологических
пространств, приведенные в § 21, п. 1, кроме 6), суть топологические
пространства. Относительно примеров 1, 2 это будет доказано ниже.
I. Метризуемое пространство есть топологическое пространство.
Пусть R — метризуемое пространство, д (х, у) — какая-нибудь метрика
этого пространства. Если х?А, х?В, то @(х, А) >0, д(х, В) >0,
а потому q(x, A+B) = min[g(x, А\ д(х, В)] >0, т. е. х ? А4- В.
Таким образом х принадлежит А + В тогда и только тогда, когда либо
х?Л либо х?В, т. е. А+В = А+ В.
II. есть следствие того, что прн х ^ А
q(x, Д)
Л" есть замыканяе А.
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 111
Если х ? А, то q (х, А) = 0, следовательно, для любого д > 0 суще-
существует точка х' ? А, для которой q (х, х') < д; так как х' ? Д то суще-
существует х" ? Д для которой g (V, jc") < E, а тогда q (х, х") < @ {х, х') +
-(- g (х', Xя) < 2E; в силу произвольности числа д отсюда следует
в(х, Л) = 0, т. е. *6Д Л? А
Наконец, так как расстоянию до пустого множества не приписано
никакого смысла, в R нет таких точек ^, что q(x, 0)=0, т. е. замыка-
нне 0 пустого множества пусто: 0=0.
2. Замкнутые н открытые множества. Мы предполагаем, что нам
дано топологическое пространство R. Множество F Q R называется зам-
замкнутым, если оно содержит все свои точки прикосновения (F 2 F).
Согласно аксиоме II, F замкнуто тогда и только тогда, когда оно сов-
совпадает со своим замыканием: F = /\
Множество G называется открытым, если его дополнение R — G
есть замкнутое множество. Таким образом дополнение замкнутого множе-
множества открыто, дополнение открытого — замкнуто. С помощью этих опре-
определений аксиомы III, IV можно высказать в следующей форме:
ИГ. Замыкание любого множества есть замкнутое множество.
IV. Пространство R открыто.
Так как замыкание любого множества (в том числе и самого прост-
пространства R) замкнуто, то R замкнуто. Таким образом:
П. Все пространство и пустое множество суть одновременно зам-
замкнутые и открытые множества.
III. Из AQB следует A Q ~В. _
В самом деле из В = А-]-(В — А) по аксиоме I следует 6=А + {В—А),
т. е. A Q В.
IV. Сумма конечного числа и пересечение любого множества зам-
замкнутых множеств суть замкнутые множества.
Утверждение для суммы есть прямое следствие аксиомы I и опреде-
определения замкнутого множества.
Пусть F=©0; согласно III F входит в каждое Ф, следовательно,
F Q ©ф последовательно, F Q F.
В силу формул (см. стр. 17)
R-®G = ®(R — G), R — <k>Fi =©(/?-Fi)
i i
получаем:
IV. Пересечение конечного числа и сумма любого множества от-
открытых множеств есть открытое множество.
V. Если G открыто и MG = 0, то GM = 0.
Ибо из MczR — G следует М Q R—G = R — G.
Отметим, что в доказательствах теорем II — V не используется
аксиома III.
3. Задание замыканий с помощью замкнутых множеств. Пусть
нам дана система '21= {А} подмножеств множества R и некоторое
Ma R. Множество А ^ М называется минимальным содержащим М
112 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
множеством системы 1, если в ЗД не существует множества А' такого,
что MQA'cA. Для системы всех замкнутых множеств топологического
пространства R имеем:
VI. М есть минимальное замкнутое множество, содержащее М.
Чтобы доказать нашу теорему, достаточно убедиться, что М есть
пересечение всех замкнутых множеств F 2. M, ибо это пересечение по IV
есть замкнутое и, очевидно, минимальное множество нашей' системы.
Пусть F— произвольное замкнутое множество, содержащее М (такие
заведомо существуют: например М, R), Ф — пересечение всех замкнутых
F2M, так что Ф Q М. F = М-\- F, а потому F = F — М+ F, сле-
следовательно, М Q F, а по произвольности F, M Q Ф; итак, М = Ф.
Отсюда следует, что нам известны замыкания всех множеств MczR,
если известно, какие множества R замкнуты. Но мы видели, что система
{F} всех замкну тых множеств топологического пространства R удовле-
удовлетворяет условиям :
а) Сумма конечного числа и пересечение любого числа множеств
системы {F} принадлежит {F}.
/J) Пустое множество и все пространство R принадлежат {jF}. Отсюда
следует, что в VI содержится вторая половина следующего утверждения:
VII. Если в множестве R указана система {F} множеств, удов-
удовлетворяющая условиям а), р), и если замыкание М произвольного
множества М Q R по определению есть минимальное х) множество
системы {F}, содержащее М, то R есть топологическое пространство,
и система замкнутых множеств этого топологического пространства
может быть получена указанным выше образом.
Докажем первую часть. М принадлежит [F\ по а) (как пересечение
множеств системы {F}) и содержит М: аксиомы II, III выполнены; IV
выполнена по р). Докажем, что выполнена аксиома I: пусть А, В—два
произвольных подмножества из R, F — произвольное множество си-
системы \F), содержащее А + В: F 2 А + В. Так как F содержит А и
В, то Л-j-B содержится в пересечении всех F 2 А+ В, т. е. A-f- В
В. Но по а) А + В принадлежит {F}, и так как A-f В 2 А -}- В,
то Л4- В 2 А4- В; итак,
Наконец, система замкнутых множеств R совпадает с {F}, ибо если
М =М, то М ? {F}, и если М ? {F}, то М как минимальное множе-
множество системы {F}, содержащее М, совпадает с М.
4. Задание топологических пространств с помощью окрестно-
окрестностей. По определению всякое открытое множество, содержащее X ? R,
называется абсолютной окрестностью точки х.
Чтобы оправдать это определение, надо показать, что действитель-
действительно построенная таким образом система окрестностей есть система
х) В силу второй части условия а) это минимальное множество единственно:
это есть пересечение всех F2M.
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 113
окрестностей пространства R (§ 21, п. 3). Другими словами, надо
доказать теорему:
VIII. Точка х ? М тогда и только тогда, когда каждая абсолют-
абсолютная окрестность точки х содержит хотя бы одну точку М.
Действительно, пусть каждая U (х) содержит хотя бы одну точку
множества М, т. е. U(x)M^0. Рассмотрим какое-нибудь замкнутое
множество F2M; так как (/?—F)M = 0, то по условию х ? R— F,
следовательно, x?Ft и, по произвольности F,x ? М.
Если, наоборот, х?М, то для любой окрестности U {х)М ф 0, сле-
следовательно, по V п. 2 MU (х) ф 0, ч. т. д.
Следствие. Любое топологическое пространство может быть
рассматриваемо, как окрестностное.
Система всех открытых множеств топологического пространства R
называется абсолютной системой окрестностей пространства R.
Из критерия равносильности (§ 21, п. 3, 1) следует, что система
окрестностей ?1 = {U (х)}, введенная в топологическом пространстве/?,
определяет пространство R в том и только в том случае, если каждое
открытое множество, содержащее х, содержит некоторую окрестность U(x)
и если каждая U (х) содержит хотя бы одно открытое множество. По-
Последнее требование выполняется само собой, если У состоит из откры-
открытых множеств; первое же условие может быть перефразировано так: каж-
каждое открытое множество есть сумма некоторых множеств,: системы ?1.
Это приводит к следующей теореме:
IX. Пусть в топологическом пространстве R задана некоторая
система открытых множеств ?1; пусть каждое множество системы ?1
отнесено в качестве окрестности каждой входящей в него точке.
Полученная таким образом система окрестностей определяет R
тогда и только тогда, когда каждое открытое множество может
быть представлено как сумма некоторых множеств системы ?1.
Система открытых г) множеств ?1 общего топологического простран-
пространства R называется базой этого пространства, если каждое открытое
множество Q R есть сумма множеств системы ?1.
X. Окрестностное пространство является топологическим в том
и только в том случае, если оно обладает базой ?1 = {U}, обладаю-
обладающей следующими свойствами.
A) Каждая точка х обладает хотя бы одной окрестностью и
каждая окрестность точки х содержит х.
B) Пересечение двух окрестностей точки х содержит третью
окрестность точки X.
C) Если у ? U{x), то существует окрестность точки у, входя-
входящая в JJ (х).
Необходимость условия следует из того, что абсолютная система
окрестностей топологического пространства удовлетворяет свойствам
А), В), С).
1) Понятия открытого и замкнутого множества имеют смысл и в общих
топологических пространствах: F замкнуто, если F 3F; G открыто, если F =
= R — Q замкнуто. ~
Хаусдорф. Теория множеств. Ь
114 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Наоборот, нз свойств А), В), С) следуют аксиомы топологического
пространства. Каждое окрестностное пространство удовлетворяет акси-
аксиоме IV. Аксиома II следует нз А). I легко следует из В): если х ? А,
х?В, то существует иг(х) такая, что U1(x)A = 0 и такая Ua(x), что
U, (х) В = 0; для Ua (x) g Ut (x)U2 (х) имеем Ц3 (х) (А + В± = 0;
следовательно, если х ? А, х? В,_ то х ? А+ В, А+ В = А-\- В,
Наконец III следует нз С): если х?А, каждая U (*) содержит точку
х' ? А, следовательно по С) — некоторую U (*'); эта последняя содержит
точку х" множества А, которая принадлежит и U (х), что и обозначает,
что A Q А.
Наконец, нетрудно видеть, что сферические окрестности U (х, е) мет-
метрического пространства удовлетворяют аксиомам А), В), С): выполнение
А), В) — очевидно; С) получается так: если у ? U (х, е), то пусть
е(х, У) = й; Т0ГДа прн 8'< е — 8 для z?U(y, д') q(x, z)^.q{x, у) +
+ в(У, г)< д + д' <е,т. е.
U(y,d')QU(x,e).
Таким образом, мы во второй раз доказали, что всякое метрическое
пространство есть пространство топологическое.
5. Задание топологических пространств с. помощью открытых
множеств. ~гТусть в множестве R выделены некоторые подмножества,
которые названы „открытыми" н про которые мы предполагаем, что вы-
выполнены следующие требования:
а') Пересечение конечного числа н сумма любого множества „откры-
„открытых" множеств есть „открытое" множество.
/3') Пустое множество н /?—„открытые" множества.
Введем в R систему окрестностей, называя окрестностью элемента х
любое „открытое" множество, его содержащее. Нетрудно видеть, что эта
система окрестностей удовлетворяет условиям А), В), С) и определяет,
следовательно, топологическое пространство и что система открытых мно-
множеств этого последнего совпадает с системой a priori выделенных в мно-
множестве R „открытых" множеств. Наоборот, любое топологическое про-
пространство может быть определено таким образом, как это следует нз
п. 2, II, IV и п. 4, IX. Итак, все топологические и только топологиче-
топологические пространства могут быть получены указанным способом.
§ 23. Множества в топологических пространствах
1. Внутренние и граничные точки. Пусть нам даны топологиче-
топологическое пространство R и в нем множество М. Сумма всех открытых мно-
множеств Q М называется открытым ядром М н обозначается М? точки
множества Мг = М — Mi называются краевыми точками, точки множе-
множества Mi — внутренними точками М, М = уИ* -f- Mr.
Множество Mi есть максимальное открытое множество Q М, т. е.
нет такого открытого G, что Mi с G Q М; М = Mi (Mr = 0) тогда и
только тогда, когда оно открыто. Множество М, для которого М =
= Mr (Mi = 0), называется краем. Множества краевых точек МТ всегда
МНОЖЕСТВА В ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ 115
есть край. Сумма Mr + (R— М)г называется границей М и обознача-
обозначается Мд. Граница открытого множества G совпадает с (R — G)r, следо-
следовательно, есть край. В силу того, что в определение границы множе-
множества М и R— М входят симметрично, они имеют одну и ту же границу:
Мд = (/? — М)а. Мд= R—[Mi + (R— M)i], откуда следует (§ 22,
п. 2), что граница есть множество замкнутое.
Приведем некоторые примеры на плоскости R2 с прямоугольными
координатами хг, х2.
Пусть М есть круг ^j + x'^l. Точки окружности x\+xl = l суть
краевые точки н образуют границу М; остальные точки х\ -f- дг|< 1
образуют открытое ядро.
Пусть М есть множество „рациональных" точек, т. е. точек, обе
координаты которых рациональны; R—Месть множество „иррациональ-
„иррациональных" точек (хотя бы одна из координат иррациональна); оба множества
суть края, их граница есть R2.
Если нам дано любое (конечное или бесконечное) число множеств А,
В,... и если S =± А+ В+ •.., D = АВ... то
DiQAiBi..., Si 2 Ai+Bi+---
(последнее по IV, п. 2, § 22). Для конечного числа множеств, например
для двух, Di = AiBi, ибо AiBi есть открытое множество Q АВ = D,
так что ?>{ 2 А{В^
2. Плотность. Множество А по определению плотно по отношению
к множеству В, если А 2 В. Неравенство Л2В равносильно неравен-
неравенству А 2 6. Два множества А, В относятся к одному классу плотно-
плотности, если А плотно по отношению к В (А 2 В) и В плотно по отноше-
отношению к А (В 2 А), т. е. если мы имеем А = В. В каждом таком классе
есть одно замкнутое множество F(F = А = В = • • •)» максимальное мно-
множество данного класса.
Если AczB к плотно по отношению к В, говорят, что А плотно
в В. Очевидно, что всякое множество А плотно в А. Вместо того чтобы
говорить А плотно в пространстве R, говорят иногда, что А всюду
плотно. Все всюду плотные множества пространства R принадлежат
к одному классу плотности (характеризуемому тем, что А = В= • • •=/?).
Очевидно, что множество А плотно в R тогда и только тогда, когда
AG ф 0, каково бы ни было открытое непустое множество GczR.
Отсюда следует, что пересечение конечного числа открытых плотных
в R множеств плотно в R. Достаточно ограничиться случаем двух
множеств Gv G2: каково бы ни было открытое множество U cz R, UGi
есть непустое открытое множество, которое, следовательно, имеет непу-
непустое пересечение с G2, т. е. содержит точку y?G2, и тогда y^Gfi2.
Примеры. В Rn плотны как множество ^(счетное) рациональных
точек,, так и множество (несчетное) иррациональных точек. В /?°° плотно
счетное множество А точек a = (rv гъ...,гп, 0,...), имеющих конечное
число рациональных отличных от 0 координат; в самом деле, если х =
= (Xlt xz,...) есть произвольная точка /?°°, то можно выбрать П столь
ь*
11 6 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
со
большим, чтобы V*i< у> a потом подобрать рациональные числа х[,
п+1
х'2,..., х'п так, чтобы \Xi — Xi| < (i = 1, 2,..., л); тогда расстояние
у 2л
между х и х' = (х?, дГг,..., х'п, О,...) меньше е, откуда следует
в(х, Л) = 0.
Отметим, что не всякое пространство содержит счетное всюду плот-
плотное множество. Так любое несчетное множество R может быть обращено
в метрическое пространство, если положить q(x, у) = 1, каковы бы ни
были х, у? R. В полученном пространстве нет счетного всюду плот-
плотного множества, так как каждая точка x?R есть открытое множество.
Свойству быть плотным в пространстве R (или в множестве М) про-
противопоставляется свойство быть нигде не плотным в R (в М). Замкнутое
множество jF нигде не плотно в R, если его дополнение G плотно в /?,
т. е. если G = R — F = R, Fj = 0; таким образом F замкнуто и нигде
не плотно только тогда, когда оно есть замкнутый край. 'Можно также
сказать, что замкнутые нигде не плотные множества совпадают с грани-
границами открытых множеств. Ибо если F = Fr нигде не плотно в R, то
оно есть граница своего дополнения G = R—F, и если G есть произ-
произвольное открытое множество, то его граница Fr есть замкнутый край.
Обычные кривые в /?2, кривые и поверхности в Rs и т. п. нигде не
плотны. Точнее, если }(хъ хг) есть действительная непрерывная функ-
функция такая, что не существует открытого множества G, во всех точках
которого /(Хь х2) обращается в нуль (таковы, например, полиномы, не
все коэфициенты которых равны нулю), то уравнение / (хъ х2) = 0 опре-
определяет нигде не плотное множество; действительно это множество замкнуто
и не имеет внутренних точек.
Произвольное множество A a R называется нигде не плотным в /?,
если А нигде не плотно в R, т. е. если R — A = G плотно в R.
Если М есть произвольное множество cz R, и ЛсМ нигде не
плотно в М, если
М — А~М «= М,
т. е. каждая точка М есть точка прикосновения М—AM=*(R—А) М.
Так, множество целых чисел нигде не плотно в множестве рациональ-
рациональных чисел.
I. Если А нигде не плотно в М, то А нигде не плотно во всяком
М*=)М. _ _ _
В самом деле, М*А Q A Q М, а в силу равенства
— М*А) М = М —
имеем:
М = (М — АМ)М=(М*— АМ*)М • М Q М* — АМ*.
откуда
~MQM* — AM*,
МНОЖЕСТВА В ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ 117
а потому
AIM* g М* — AM*;
итак,
М*сМ* = М*А + М* — AM* сМ* — AIM.
II. Если А нагде не плотно в М, то всякое А* с: А нигде не
плотно в М.
М — АМсМ—АГМ
следовательно:
M = (М — AM) MQ(M — A*M) MQM, М = (М— А*М)М.
III. Сумма конечного числа нигде не плотных в М множеств нигде
не плотна в М.
Докажем это для двух множеств А я В, нигде не плотных в М:
м — (л + В) м = М-
а потому
(М — (А + В)М)М=М (М — AM) М (М — ВМ) — М.
IV. Если А нигде не плотно в М, AczG czM, G — открытое
множество, то А нигде не плотно в G. *
Пусть U(х) есть окрестность точки х ^ GсМ, U(x)cG. Так_какх
есть точка прикосновения (/? — А) М, то существует у g U (X) (R —^А) М с
с (/? — Л) G, следовательно, х есть точка прикосновения (/? — Л) G.
3. Относительные и абсолютные понятия., Всякое множество М
общего топологического пространства R может быть обращено в общее
топологическое пространство М (/?), если каждому подмножеству АсМ
отнести в качестве его замыкания А(М) пересечение МА множества М
и замыкания Л в пространстве R. Пространство M{R) зависит от про-
пространства /? в том смысле, что если пространство R* zd М отлично от
/?, то пространства M(R) и М (/?*), вообще говоря, разные топологи-
топологические пространства. М (/?) называется подпространством простран-
пространства R или относительным пространством. В большинстве наших
дальнейших рассуждений пространство R может считаться одним и
тем же, так что мы можем обозначать пространство М (R) просто
через М.
Если q(x, у) есть метрика пространства R, то множество М ест&
также метрическое пространство [расстояние q (x, у) установлено для
всякой пары точек, в том числе и для пары точек, принадлежащих М],
и определенное этой метрикой метризуемое пространство совпадает
с пространством M(R); это непосредственно следует из того, как опре-
определяются замыкания в метрических пространствах. Таким образом под-
пространство метризуемого пространства метризуемо.
118 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Если /? есть окрестностное пространство, 5\—{U(x)}—опреде-
5\—{U(x)}—определяющая его система окрестностей, то окрестностью точки х ? М в мно-
множестве М называют множество вида UM(x) = MU(х). Операция замы-
замыкания, установленная системой окрестностей ?1М = { UM(x)}, та же, что
в пространстве М (R): подпространство окрестностного пространства
есть окрестностное пространство. Если система И удовлетворяет
условиям X, § 22, п. 4, то эти условия выполнены и для Шм: под-
подпространство топологического пространства есть топологическое
пространство.
Пример. Пусть R = R2, М— прямая х2— О в плоскости /?2;
M(R3) есть R1.
Свойство общего топологического пространства называется когра-
коградиентным, если из того, что оно выполняется в пространстве R, сле-
следует, что оно выполняется в любом подпространстве Я R. Свойства
быть топологическим (и метризуемым) пространством — коградиентны.
Замкнутые (открытые) множества пространства M{R) называются
иначе замкнутыми (открытыми) в М множествами. В приводимых ниже
рассуждениях предполагается, что М есть подпространство топологиче-
топологического пространства R.
Множество А замкнуто в М тогда и только тогда, когда он»
есть пересечение М с замкнутым в R множеством.
Действительно, А замкнуто (в R), и если А замкнуто в М, то
А = МА; наоборот, если А = MF, то А Я F, а потому А Я F, А =
= MA Я MA QMF= А, откуда А = МА.
Точно так же в М Ьткрыты те и только те множества, которые
суть пересечения открытых в R множеств с М. Если А открыто в М,
то его дополнение в М есть М — А = MF (F — замкнутое в R мно-
множество), А = М — MF = M(R — F)=MG, где G=R—F открыто в R.
Обратно, если A = MG (где G — открыто в R), то А = MG —
— M(R — F)=MR — MF = М — MF, т. е. А есть дополнение в М
замкнутого в М множества.
Пример. Пусть R=R1} M — множество всех иррациональных
чисел, А — множество всех иррациональных чисел, больших нуля и мень-
меньших единицы. А замкнуто (открыто) в М, не будучи ни замкнутым, ни
открытым в R = R1.
4. Связность. Разложение
M = M1 + M2 = MF1 + MFi A)
множества М на два непересекающихся замкнутых в М множества
называется разбиением, если оба слагаемые id 0. Множество М zd 0
называется связным, если оно не может быть разбито. В частности,
Замкнутое множество zdO связно, если оно не может быть разложено на
два непересекающихся замкнутых множества zdO. Множества Мъ Л42
(если они производят разбиение) не только замкнуты, но и открыты в М.
Поэтому открытое множество zdO связно, если очо не может быть пред-
представлено, как сумма двух открытых множеств zd 0. Связное открытое
множество называется областью. Связное пространство не может быть
разложено на сумму двух непустых замкнутых (открытых) множеств.
МНОЖЕСТВА В ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ 119
Примеры. Гипербола в плоскости /?2 несвязна, так как разложение
на две ветви есть разбиение. Множество пространства 7?1, состоящее из
всех действительных чисел, кроме нуля, несвязно. Множество, состоящее
из одной точки, — связно. Всякий сегмент [а, Ь\ на числовой прямой —
связен. Ибо пусть Мг + М2 есть разбиение сегмента и а ? Mlt а с
нижняя грань чисел ЛТ2; если уИ2 замкнуто, то с есть Наименьшее
число в М2; тогда fi> а, н Мг не замкнуто, ибо полусегмент [а, с)
входит в Мъ в то время как точка с в него не входит. Интервал (а, Ь)
есть область пространства R1.
Чтобы доказать, что множество ATz>0 связно, надо показать, что
при разложении A) одно из слагаемых пусто. При этом полезно иметь
в виду, что разложение A) приводит к такому же разложению всякого
подмножества A cz M:
+ АМ2 = AFX + AFZ.
I. Если любые две точки М могут быть „соединены в М", т. е.
если любые две- точки М принадлежат связному подмножеству мно-
множества М, то М — связно.
Ибо если бы существовало разложение A) и %\ 6 ^Wi. хг 6 Ма, то
соединив %х и х2 связным подмножеством А, и мы бы имели разбие-
разбиение А= Аг-\- Л2.
' II. Сумма двух связных множеств, пересечение которых не пусто,—
связна.
Положим
S = M + N, D = MN=>0,
и пусть разложению 5 = 5j + 52 соответствуют разложения М = М1 +
-\- Mt, N = JVi + N2, D = Dx + D2. В силу связности М одно из сла-
слагаемых Мъ Мг пусто; пусть, например, Ж2 = 0, тогда D2 = 0, Dx з 0,
.МцзО; и, так как N связно, то N2=0, S2 = 0 : 5 — связно.
До некоторой степени обратным II является-.
III. Два непустых замкнутых множества связны, если связны их
сумма и пересечение.
Положим снова S= М + N, D = MN, Разложению М = Мх + Мг
соответствует разложение D = DY + ^2. а потому одно из слагаемых,
скажем, Dz = 0; M2N = 0. Но тогда S = {Мх + N) + Мъ и так\ как
это не есть разбиение, то Мг = 0: М—связно. Теорема справедлива
и в том случае, когда М, N замкнуты в S (которое и может быть
принято за пространство /?).
Конечное число расположенных в определенном порядке множеств А,
В, С,... образует цепочку, если каждые два соседних множества имеют
общие точки (ЛВзО, ВСзО,...). Если множества цепочки связны,
то по II связны и А + В, (А + В) + С,...
IV. Сумма любого (конечного или бесконечного) числа связных
множеств связна, если любые два принадлежат некоторой цепочке,
составленной из слагаемых. В частности, сумма связных множеств
связна, если любые два слагаемых имеют общие точки.
Максимальное связное подмножество множества М (тТ е. не содер-
содержащееся ни в каком связном подмножестве а М) называется компо-
120 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
нентой М. Мы получаем компоненту, если образуем множество М(х)
всех точек М, которые могут быть соединены с некоторой точкой
X ? М, или, иначе, сумму всех содержащих х связных подмножеств М
(эга1 сумма связна по IV). М{х) может приводиться к одной точке X.
Две компоненты М(х), М(у) по II либо совпадают, либо не пересе-
пересекаются. Таким образом мы получаем разложение М на компоненты:
М = М(х) + М(у)+..., B)
причем компонент может быть только одна (если М связно) или не-
несколько (конечное или бесконечное число).
Примеры. Гипербола состоит из двух компонент. В множестве
всех иррациональных чисел числовой прямой все точки суть компоненты.
Множество, все компоненты которого суть точки, называется вполне
несвязным, а множество, не содержащее бесконечных замкнутых связных
подмножеств. — всюду разрывным *). Первое требование сильнее (при-
(примеры см. § 32, § 38, 5).
V. Если М связно, то связно и всякое множество N, содержа-
содержащее М и входящее в М.
Разложению N = Nx + N2 на замкнутые в N . множества соответ-
соответствует разложение М = Мх + М2 на замкнутые в М множества; пусть,
скажем, /W2 = 0, ЛГ1 = ЛГ, М Я ЛГХ Q M; Nl = M, и по замкнутости
Nj в N:
VI. Компоненты М замкнуты в М. Пусть Р компонента М; так
как Р Q MP Q Р, то по V МР связно, а по максимальности Р : МР = Р.
VII. Связное множество С, соединяющее две точки a, b двух до-
дополнительных множеств А, В, (А + В = R) пересекает границу этих
множеств.
Ибо если бы CAg = C(Ar + Br) = 0, то имели бы С = САг+ СВг;
это есть разбиение С, ибо CAi и Сб* оба открыты (замкнуты) в С.
§ 24. Отображения топологических пространств
Как и в § 2, мы будем исходить из некогорого множества Р упо-
упорядоченных пар (х, у); обозначим через X, Y соответственно множества
элементов х и у. Каждому х ? X поставлены в соответствие один или
несколько образов у = <р (X), именно те элементы у, которые вместе
с данным х образуют пару (х, у) ? Р; точно так же каждому у ? Y со-
соответствуют один, или несколько прообразов x = ip (у). Таким образом
мы имеем две взаимно обратные, в общем случае многозначные функ-
функции <р, f и определенное этими функциями отображение множеств
X, Y; порожденная упорядоченностью пар (х, у) и сохраненная в наших
терминах (образ, прообраз) несимметричность пока не существенна.
Функции точки q>, гр приводят нас естественным путем к функциям
множеств Ф, У: множеству MQX соответствует его образ Ф{М)
1) Эта терминология не общепринята.
ОТОБРАЖЕНИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 121
а именно множество всех образов всех точек М, причем Ф@) = 0,
ф(Х) = Y\ подобным образом каждому множеству N QY соответствует
его прообраз *P(N). Если каждый х имеет только один образ у — ф(Х),
то функция называется однозначной, Y — однозначным образом X; если
обе функции у = q> (х), х — у (у) однозначны, то эти функции и отобра-
отображение называются взаимно однозначными или однооднозначными; гово-
говорят, что Y есть взаимно однозначный образ X.
Легко видеть, что мы имеем:
.., A)
Ф(М1М2...) Q Ф{МХ)Ф{М.1) ..., j
и такие же соотношения, получающиеся заменой функции Ф на 1?
( и М Q X на N Q Y); знаки суммы и пересечения могут распростра-
распространяться на любую систему множеств 90^ = {М \. Знаки неравенств
в общем случае фактически имеют место, ибо, если говорить хотя бы
о первой формуле, к прообразам образов точек М принадлежат не
только точки уИ, но и некоторые другие точки. Если же функция
y=i<p(x) однозначна, то в формулах, получающихся из A) заменой Ф
на !?, имеют место знаки равенства:
B)
это следует из того, что в этом случае множество X распадается на
подмножества *р (у) — прообразы отдельных точек Y, не имеющие общих
точек (точнее было бы писать !?({у})—прообраз множества {у},
состоящего.из одного элемента).
В дальнейшем мы будем заниматься отображениями пространств и их
множеств. При этом мы будем говорить, что пространство X отобра-
отображается в пространство Y, если Ф (X) с: Y, и что X отображается на
Y, если ф(Х)=?.
Если мы имеем отображение у = <р (х) пространства X на множество
действительных чисел, т. е. если значения у = <р(х) суть действительные
числа, <р(х) называется действительной функцией.
Однозначное отображение у = <р(х) общего топологического про-
пространства X в общее топологическое пространство Y называется непре-
непрерывным в точке х?Х, если для всякого множества М, ,замыкание
которого содержит х(х?М), имеем <р (х) ? Ф (М). Если однозначное
отображение <р(х) непрерывно в каждой точке пространства X, его
называют непрерывным. В этом случае, очевидно, Ф(Ж) S Ф(уИ), т. е.
непрерывные отображения характеризуются тем, что образ замыкания
входит в замыкание образа. Все не непрерывные отображения (в том
числе и такие, которые непрерывны в отдельных точках) мы назовем
разрывными.
Все сказанное ниже относится к непрерывным отображениям то-
топологического пространства X в топологическое пространство Y
122 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
(эти пространства могут и совпадать; тогда мы имеем отображение X
самого в себя).
Можно также говорить о непрерывном отображении множества
MczX* в пространство У: непрерывность такого отображения совпа-
совпадает с непрерывностью отображения относительного пространства
Х = М(Х*); иначе говоря, отображение М в У непрерывно, если,
каково бы ни было A Q М, Ф(АМ) Q Ф (А). Приведенные ниже тео-
теоремы I — IV справедливы как в случае отображения X в Y, так и ото-
отображения подпространства АГ = М(Х*)сХ*. В последнем случае все
термины, естественно, надо понимать как относительные.
I. Отображение q> непрерывно тогда и только тогда, когда про-
прообраз каждого замкнутого множества замкнут.
а) Если <р разрывна, то существует замкнутое множество NcY,
прообраз которого не замкнут. В самом деле, пусть точка х и мно-
множество М пространства X таковы, что X ? М, <р(х)?Ф {М). Множество
N = Ф (М) замкнуто, но его прообраз *Р (JV) не замкнут: действительно
?Щ но X?4>{N), ибо (р{х)?Щ
Ь) Если существует замкнутое NcY, имеющее незамкнутый про-
прообраз, <р{х) разрывна: если N замкнуто, a !F(JV) не замкнуто, то пусть
); тогда <p(x)?N = N, т. е. Ф (?Щ) не входит в
Ф(!Р (JV)) = N, следовательно, отображение разрывно.
Утверждения а) и Ь) доказывают I.
II. q> непрерывна тогда и только тогда, когда прообразы откры-
открытых множеств открыты.
Действительно, если Ф (X) = Nt + Na, то по однозначности X —
= !f(iV1) + !?(iV2) [!f(iV1)y/(iV2) = 0], а потому прообразы открытых
множеств открыты тогда и только тогда, когда прообразы замкнутых
замкнуты.
III. Если у = ф(х) есть непрерывное отображение X на Y,
z = f(y)—непрерывное отображение Y на Z, то f(q>(x)) есть непре-
непрерывное отображение X на Z.
Пусть В замкнуто в Z, тогда его прообраз С в К замкнут, следо-
следовательно, замкнут прообраз D множества С в X; но D есть прообраз В
в отображении f(q>(x)), ч. т. д.
Пусть { U(x)} есть система окрестностей пространства X, а { V(y\} —
пространства Y.
IV. (Критерий непрерывности Коши.) у = у(х) непрерывна тогда и
только тогда, когда каждой окрестности V (у) соответствует
окрестность U(x), образ которой входит в V(у).
Раз V = V(у) есть окрестность у, y^Y — V(у), следовательно,
у входит в открытое ядро Vi множества V. Если <р(х) непрерывна, то
прообраз *P{Vi) открыт, следовательно, ^(V^) есть абсолютная окрест-
окрестность X, и по критерию равносильности ^(Vi) содержит окрестность
U(х), образ которой входит в Vi, значит, и подавно в V = V(y): усло-
условие необходимо.
ОТОБРАЖЕНИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 123
Если, наоборот, у = ф(х) удовлетворяет нашему условию, то пусть Н
есть произвольное открытое множество в У; пусть х? У (Я). Я содержит
У{у) [у = <р(х)\; существует U(x), образ которой Ф[Щх)] входит
в V (у), следовательно, в Н; U (х) с: !Р(Н); таким образом прообр1зы
открытых множеств открыты и ср(х)—непрерывна.
V. Непрерывный образ связного множества — связен. Непрерывный
образ любого множества X содержит не больше компонент, чем X.
•Если У = Nl + iV2 есть разбиение У на замкнутые множества, то
X = 3/(Ni)-|-3/(Afa) есть разбиение X на замкнутые множества, и,
следовательно, несвязность У влечет несвязность X, а потому связность
X влечет связность Y. Очевидно, если ср (х) есть непрерывное отобра-
отображение X на Ф(Х), то та же функция q>{X) дает непрерывное отобра-
отображение любого АаХ на Ф (Л); поэтому каждое связное подмножества
ЛсгХ отображается в связное подмножество Ф (X), а потому компо-
компонента множества X отображается в одну компоненту множества Ф(Х)'Г
множество всех компонент Ф (X) имеет мощность, не большую, чем
мощность множества всех компонент X.
Если У = Ф(Х) есть непрерывный образ X, т. е. если функция
(р(х) непрерывна (а значит, однозначна), то обратная функция у(у)
вообще многозначна. Если она однозначна, то Y называется взаимно
однозначным непрерывным образом X. Легко видеть, что даже в этом
случае f(y) может быть разрывной: прн взаимно однозначном отобра-
отображении пространства натуральных чисел X на множество Y рациональных
чисел, У есть непрерывный образ X (ибо все подмножества X замкну-
замкнуты), в то время как обратная функция x=f{y) разрывна, так как
прообраз замкнутого в X множества может быть любым множеством
в Y. Этот пример показывает, что образы замкнутых (открытых) мно-
множеств при непрерывном отображении могут быть-и не замкнуты (открыты).
Обобщая этот пример, мы можем любое пространство (н множество)
представить как непрерывный образ пространства, в котором все мно-
множества замкнуты: стоит только взять любое множество X, эквивалент-
эквивалентное Y, и определить в X операцию замыкания так: М = М, каково бы
ни было МсХ.
Если непрерывное отображение у == <р (х) пространства X в прост-
пространство К взаимно однозначной обратная функция x = tp(y) также непре-
непрерывна,;— отображение называется гомеоморфным или топологическим,
или еще гомеоморфией, а пространства X и Ф(Х) — гомеоморфными.
Если мы имеем отображение X в К, т. е. если Ф(Х)сУ, то даже
прн гомеоморфии замкнутые (открытые) в X множества могут иметь не
замкнутые (не открытые) в У образы. Так, прн отображении у = arctg X
пространства R1 самого в себя замкнутое множество F = R1 переходит
в интервал ( г~, +-у)> не замкнутый в Y = R1. При гомеоморф-
ном отображении <р (х) = (х, 0) (х—действительное число) пространства
R1 в пространство /?2 открытое множество R1 переходит в замкнутое
в /?2 множество (прямую Х2 = 0).
При условии, что Ф (X) = Y, т. е. при гомеоморфном отображении
X на Y замкнутые множества пространства X переходят в замкну-
замкнутые множества пространства У. В самом деле, если М замкнуто-
' 124 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
в X, то его образ N в отображении у = <р (х) есть прообраз М в обрат-
обратном отображении x = f(y), следовательно, по I, N — замкнутое мно-
множество в Y. Отсюда следует (см. хотя бы § 22, п. 3, VI), что, каково бы
ни было МаХ, замыкание М имеет своим образом замыкание N.
Таким образом при гомеоморфин двух пространств эти пространства
эквивалентны и взаимно однозначное соответствие между ними таково,
что если N соответствует М, то N соответствует М.
Отрасль математики, которая изучает те свойства множеств, которые
выражают отношения между множествами и их замыканиями, называется
топологией. Такие свойства носят название топологических свойств. Из
характера гомеоморфного, соответствия ясно, что все топологические
свойства двух гомеоморфных пространств одинаковы, и два гомеоморф-
ных пространства (но не два гомеоморфных множества одного или
разных пространств) — топологически неразличимы. Поэтому мы скажем,
что топологическое пространство (множество топологического простран-
пространства) X топологически содержится в топологическом пространстве Y,
если в Y существует подпространство X*, гомеоморфное X, т. е.
если X топологически отображается р Y. Так, Rn топологически
содержится в /?°° (множество точек X = { хь х2,,.., хп, 0, ...}, оче-
очевидно, гомеоморфно 7?™), R1 топологически содержится в R2, любой
непрерывный порядкорый тип топологически содержит R1 (§ 11, V).
Свойство множества М называется топологически абсолютным (или
внутренним), если оно не зависит 'от того, в каком пространстве М
содержится; все остальные свойства множеств называются относитель-
относительными. Так, свойство множества М быть связным — или свойство содер-
содержать счетное плотное в М подмножество — топологически абсолютное,
в то время как свойство быть замкнутым — относительное (всякое мно-
множество замкнуто в себе самом, всякое замкнутое множество FrsO про-
пространства X топологически содержится в некотором топологическом
пространстве X*, в котором оно не замкнуто: X* = X + {? }, где ? —
элемент совершенно произвольной природы, М(Х*) = М (X) + ?, если
М бесконечно илн содержит ?, М(Х*) = М(Х), если М конечно).
Далее, вполне несвязность — абсолютное, а разрывность—относительное
свойство. Часто приходится рассматривать свойства множеств, не являю-
являющиеся топологически абсолютными, но присущие всем гомеоморфным М
подпространствам некоторого класса пространств. Важные примеры таких
свойств мы найдем в § 27, п. 6.
§ 25. Аксиомы отделимости
1. Первая аксиома отделимости и предельные точки. В этом
параграфе под словом окрестность точки х топологического простран-
пространства R понимается всегда абсолютная окрестность, а под окрестностью
множества M<z.R — любое такое открытое множество G, что М Q
QGQ R.
Точка х называется предельной точкой множества McR, если
любая окрестность U(x) содержит точку М, отличную от х. Так,
например, точка края любого множества NcR является предельной
АКСИОМЫ ОТДЕЛИМОСТИ 125
для дополнения М — R — N, ибо если X ? ЛГГ, то ни одно открытое
множество, содержащее X, не содержится в N, т. е. любая окрестность х
содержит точки М (отличные от х, ибо х^М).
Все предельные точки множества М образуют производное множество
множества М, обозначаемое М'. Всякая точка х?М— М принадлежит
М, так как любая окрестность U{x) содержит хотя бы одну точку
из М и притом отличную от х (ибо х ? М). Так как М' Я М, то
М ==* М + М',
откуда следует, что множество М замкнуто тогда и только тогда,
когда оно содержит все свои предельные точки.
Понятие предельной точки имеег наглядное содержание только
в топологических пространствах, в которых имеет место:
IVj. (Первая аксиома отделимости.) Для любых двух точек X, у
пространства R существует окрестность U (х), не содержащая точку у.
(По симметрии точек х и у существует и окрестность U (у), не содер-
содержащая X *).
Топологическое пространство мы будем называть Т ^пространством,
если оно удовлетворяет этой аксиоме. Из критерия равносильности
(§ 21, п. 3) следует, что в 7\-пространстве R свойством IVX обладает
любая определяющая R система окрестностей. Теорема I, показывающая,
что термин „предельная точка" соответствует нашим интуитивным пред-
представлениям, так же как и все сказанное в этом пункте, относится
к Tj-пространствам. ^
I. Если X — предельная точка множества М, то каждая ее
окрестность содержит бесконечно много точек М. Конечное множе-
множество не имеет предельных точек.
Действительно, если бы U (х) содержала только конечное число
точек М: xlt..., Хп, то для каждой Xi существовала бы Ui(x), такая,
что Xi g Ui(x), и тогда Ф^(х) была бы окрестность точки X, не содер-
содержащая ни одной точки М, отличной от X.
II. Производное мнд$сество замкнуто.
Если х ? М" =й= (М'У, то во всякой U(x) существует у ? М',у ф х; по
IVj, существует U(у), X?U(y) и по определению предельной точки
в окрестности у V(y)= U(x)U(y) существует точка z?M; итак, всякая
U(x) содержит z?M — X 2), ч. т. д.
Примеры в R2. М—внутренность круга: х\-\-х\<\, М' — мно-
множество х\ + х^< 1.
М—множество рациональных точек: М' — R2. М — множество цело-
целочисленных точек (т. е. точек, обе координаты которых—целые числа):
М' = 0.
г) Более слабое требование, а именно: «если даны две произвольные точки
пространства R, то по крайней мере одна из них имеет окрестность, не содержа-
содержащую другую», называется нулевой аксиомой отделимости. Удовлетворяющие этой
аксиоме пространства называются Т0-пространствами.
2) В отступление от условия, принятого в § 1 (стр. 12), мы обозначаем через
М — х множество .всех точек М, кроме х. ' . .
126 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Множество ММ' обозначим через Мь, множество М—/W/,—через
Mj. Точки множества М,- называются изолированными точками М; мно-
множество М называется изолированным, если. /W/, = 0, Mj = М, и пло-
плотным в себе, если Mj — 0, Mh = М.
Примеры в Rx. Множество рациональных (иррациональных) точек
плотно в себе; множество целочисленных точек, а также М =
изолированы; первое—как не имеющее вовсе
= j I, -g-, — ,... J- —
предельных точек, а второе — потому, что его единственная предельная
точка 0 ? M.
Множество Mj всегда изолировано (М3-.М3-= 0), ибо предельная
точка х множества Mj предельна и для М, следовательно, x?Mj.
Множество Mh может содержать изолированные точки (конечно, не являю-
^ A11
щиеся изолированными точками М); так, для М= < 1, -~, •,•,...,О \ Мь.
/ \ z й )
состоит из единственной точки 0, следовательно, изолировано.
Употребляя несколько индексов и условившись их читать слева на-
направо, так что, например, Mjh = (Mj)h, Mhj = (Mh)j, имеем: Мц = Mj,
Mjh — 0, в то время как вообще Мм ф Мь, Мщ ф 0.
То обстоятельство, что М плотно в себе, может быть записано так:
М Q М', что М замкнуто, так: М 2 М'. Если имеет место и то и
другое, т. е если М == М', множество М называется совершенным.
Множество М
плотно в себе, если М == М'-,
замкнуто, если М = М,
совершенно, если М = М' = М.
Примеры. Внутренность круга x\-\-x\<Rz есть плотное в себе
множество. Внутренность круга с ограничивающей его окружностью:
Х1 + К ^С R2 и одной точкой, лежащей вне окружности [например
B/?, 0)], — замкнутое множество. Внутренность круга с ограничивающей
его окружностью, а также окружность х\ + х\ = R2 суть совершенные
множества.
Конечные множества, как не имеющие вовсе предельных точек,
замкнуты. Что это не так в топологических пространствах, не являю-
являющихся Гх-пространствами, показывает пример 4) п. 1 § 21.
Производное множество множества М и производное множество
его замыкания совпадают:
(М)' =М\ A)
ибо если х?(М)', то каждая U(x) содержит точку у?М — х\ суще-
существует, далее, (J (у) cz U (х) и не содержащая х; U (у) содержит точку
z?M, следовательно, каждая U(x) содержит точку г^М — х, х^М',
т. е. {М)' Q М'; обратное включение М' Q (М)' очевидно. Из A) сле-
следует, что множества М и М имеют одни и те же изолированные
точки:
М,={М)..
АКСИОМЫ ОТДЕЛИМОСТИ . 127
В самом деле,
Mj = M — M' = М— (М)' = (Щ ?
Последние равенства показывают, что если М плотно в себе, то М —
совершенно, и обратно.
Полагая для любой системы множеств А, В,... \
имеем:
S' 2 А'+ В' +..., D'QA'B'... B)
В случае конечного числа, например двух слагаемых, имеем:
S' = (A-j-B)' = A'+ В';
действительно, надо только доказать, что S' Q А' + В', т. е., что точка,
не входящая в А' + В'', не входит в S'. Но если х^А', х^В', суще-
существуют U\(x), U%(x), не содержащие соответственно ни одной точки
множеств А — х, В — х, и тогда U(x) = Ui(x) и%{х) есть окрестность х,
не содержащая ни одной точки (А + В) — х. Из B) следует: сумма
плотных в себе множеств есть плотное в себе множество. Сумма
всех плотных в себе подмножеств множества М (к которым причисляется
и пустое множество) представляет собой максимальное плотное в себе
подмножество М или плотное в себе ядро множества М. Обозначим
его через Мъ, не принадлежащие Mh точки М называются разрознен-
разрозненными (separiert; Каитор) точками М, множество Mt всех разрозненных
точек М—разрозненной частью М. Мы получаем разложение М на
¦сумму двух слагаемых без общих точек:
М = Mh + Ms. C)
Mh замкнуто в М: в самом деле, если бы оно имело предельную
точку х?М — Mh, то Mh + {x) было бы плотным в себе подмно-
подмножеством М, что противоречит максимальности Mh. В частности, если М
замкнуто — Мь замкнуто и плотно в себе, так что плотное в себе ядро
замкнутого множества есть множество совершенное.
Множество М, состоящее только из разрозненных точек (Mk = 0),
называется разрозненным; разрозненные множества противопоставляются
плотным в себе множествам:
М плотно в себе, если М8 = 0, Mk = М,
М разрозненно, если Mk = 0, Mt = М.
Подобно тому как множество изолированных точек изолировано, —
множество разрозненных точек разрознено; это оправдывает наши
термины: изолированная часть, разрозненная часть. Так как изолиро-
изолированная точка М не принадлежит никакому плотному в себе подмно-
подмножеству М, то
М,-дМ4, Mh2Mk; D)
128 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
более того, каждое плотное в себе подмножество множества М входит
в Мл, а раз так-то оно входит в М^, следовательно, в Мыл и т. д.
Пример. Пусть М есть множество чисел вида —1~-тН—> где р,
q, г пробегают натуральные числа. Тогда М^ есть множество чисел
вида 1 (эти числа принадлежат М, так как 1 = \- -
Р q V к р ' q р '
-{•-—Ь-о~Ь кРоме них М' содержит только число О ? М. Мм есть
множество чисел вида — , М/,м = 0, Ми = О, М есть разрозненное
множество.
Укажем еще некоторые соотношения, получающиеся при пересечении М
с открытым множеством G. Если G открыто, то
MG 2 MG, (MG)' 2 M'G. E)
Установим, например, второе неравенство. Если х ? M'G и Ut(x) —
окрестность х, то GU1{x) — открытое множество н потому содержит
точку у^М — х; так как у ^ MG, то х — предельная точка MG,
ч. т. д.
Вот некоторые применения E):
III. Пересечение множества открытого с плотным в себе — плотна
в себе.
Ибо из М' 2 М следует по E) (MG)' 2 M'G 2 MG.
IV. Открытое множество, не содержащее изолированных точек
пространства, плотно в себе.
Действительно, если G открыто и Q /?', то
G' = (RG)' 2 R'G = G.
Если М есть множество, не содержащее в себе изолированных то-
точек пространства, то Mi плотно в себе, следовательно:
MigMft, Mr2Ms. F)
Между разрозненной и изолированной частями произвольного мно-
множества М имеет место соотношение
Mi QMSQ М], G)
левая часть которого уже была отмечена D). Вторая часть утверждает,
что каждая точка х, входящая в М3, есть точка прикосновения множе-
множества Mj\ если бы это было не так, то существовала бы такая U(x),
что U(x)Mj = 0; но по E)
MU(x) =¦¦ MhU (X) g M'U(x) Q (MU(x))',
т. e. MU{x) плотно в себе, следовательно, MU (x)czMft, а это проти-
противоречит тому, что X ? Ms. Таким образом Ms состоит из изолированной
части множества М и некоторых предельных точек М.
АКСИОМЫ ОТДЕЛИМОСТИ 129
V. Сумма конечного числа разрозненных множеств разрознена.
Достаточно показать, что, если сумма двух разрозненных мно-
множеств S = А -\-В плотна в себе, она есть пустое множество. Так
как G = R — А открытое множество, то по III SG = BG плотно в себе,
следовательно, пусто; S g A, S Q A, AQSQS' = A',A плотно
в себе, следовательно, Л==0, В = 0, ч. ¦». д.
2. Дальнейшие аксиомы отделимости. Усилением первой аксиомы
отделимости является:
IV2. (Вторая аксиома отделимости.) Для каждых двух точек х, у
пространства R существуют две непересекающиеся окрестности ?/(*),
U (у): U(x)U(y) = 0.
Пространство, удовлетворяющее этой аксиоме, мы будем называть
Т ^-пространством или хаусдорфовским пространством; Т2-пространства
были положены в основу изложения теории точечных множеств в первом
издании этой книги и исторически представляют первый пример окрест-
ностных пространств. ' 7\-пространство может и не быть Т2-про-
странством. Пример 5) п. 1, § 21 показывает это, так как в нем
замкнуты только конечные множества и все пространство, следова-
следовательно, открытые непустые мьожества суть дополнения конечных, откуда
и следует невозможность указать две непересекающиеся окрестности.
IV3. (Третья аксиома отделимости). Если F есть замкнутое мно-
множество и х—не принадлежащая ему точка, то существуют не-
непересекающиеся окрестности U(x), U{F).
Так как в топологическом пространстве точка может и не быть
замкнутым множеством [пример 4) п. 1, § 21], то эта аксиома инте-
интересна только в применении к Т^пространствам. Tj-пространство, удовле-
удовлетворяющее аксиоме IV3, мы будем называть Т8-пространством или
регулярным пространством.
V. Тх-пространство регулярно тогда и только тогда, когда,
каковы бы ни были точка X и ее окрестность U(x), существует
окрестность V (х), замыкание которой содержится в (J (х):
V(x)QU(x).
Пусть R есть регулярное пространство, x(z R, U{x) — окрестность
точки х, F = R— U (х); строим непересекающиеся окрестности V {X),
V(F). По п. 2, § 22 V(x)V(F)—0 и подавно V(x)F — 0.
Пусть, наоборот, для всякой U(x) существует V(x), V(x) Я U(x).
Пусть F замкнуто, х ? F. Если U(x)F=>0, V (х) Q U (х), то
R—V{x) есть окрестность F, не пересекающаяся с V(x).
IV4. (Четвертая аксиома отделимости). Два непересекающихся зам-
замкнутых множества могут быть заключены в непересекающиеся
окрестности.
Ti-пространство, удовлетворяющее аксиоме IV4, называется ТЛ-про-
странством или нормальным пространством. Нормальные пространства,
есть частный случай регулярных. Мы имеем предложение, аналогичное V:
Vj. T^пространство R нормально тогда и только тогда, когда
каковы бы ни были замкнутое множество F с R и его окрест-
Хаусдорф. Теория множеств, 9
130 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
ность U{F), существует окрестность V {F), замыкание которой
содержится в U(F).
Пусть R— нормальное пространство и U(F)— окрестность замкну-
замкнутого множества F. F и Ф = R—U(F) замкнуты и не имеют общих
точек, следовательно, существуют окрестности этих множеств V(F),
V (Ф) без общих точек. По V п. 2, § 22 V\(F) и V (Ф) также не пере-
пересекаются, следовательно:
VjF)cR — V@)cz R — 0= U(F).
Пусть, наоборот, для каждого FcR и U(F) существует такая V(F),
что V(F)c U{F). Тогда R — нормальное пространство; в самом деле,
если F0 = 0, то R — Ф есть открытое множество dF, т. е, R — Ф
есть окрестность F; следовательно, существует такая V (F), что
V(F)c U(F) = R — Ф. Открытое множество R — V(F) => R—U(F)=0
и V (F) суть непересекающиеся окрестности Ф и F.
Примеры. 1) Пусть R* есть пространство, построенное в п. 3,
§ 21, стр. 105. Нетрудно убедиться в том, что оно есть хаусдорфовское
пространство и что множество Z) = {-y-, -5-, ~о~># ¦ •} замкнуто
в нем (ибо не имеет предельной точки). Замыкание всякой окрестности
множества {0} содержит точки D; поэтому наше пространство нере-
нерегулярно.
2) Рассмотрим пространство R, состоящее из точек х = (х,, х2)
полуплоскости хг~>0, в котором окрестности точек, у которых ха>0
суть обыкновенные е-окрестности (?<Х2), а окрестность любой точки
а = (Xi, 0) есть множество вида V (а) = {а} + U', где U внутренность
любого круга, касающегося оси Xi в точке а (с центром в полуплоско-
полуплоскости Х2> 0). Нетрудно видеть, что R есть топологическое пространство
[выполнены условия А), В), С) п. 4, § 22] и притом регулярное. Оно
не нормально, так как замкнутые (не имеющие вовсе предельных точек)
множества Dal рациональных и иррациональных точек оси хх не могут
быть отделены непересекающимися окрестностями, как это легко дока-
доказать с помощью учения о категориях, развитого в п. 6, § 28 (точнее
говоря, с помощью замечания, что / второй категории на прямой Xj=O).
VI. Все метрические пространства нормальны.
Пусть Flt F2 — два замкнутых непересекающихся множества метриче-
метрического пространства /?; точка х, входящая в одно из них, не будучи
точкой прикосновения другого, находится от этого другого множества
на положительном расстоянии, которое мы обозначим через 2дх.
Положим
U (Fj) = 6 U (х, дх), U (F2) = 6 U (х, дх),
так как если у (j U (Fx) U (F2), то можно найти такие точки хг ? Flt
х2 € F2, что
У б U(xudXl), у? f/(x*<W,
АКСИОМЫ ОТДЕЛИМОСТИ 131
а тогда (если, скажем, дХ1>дХг)
2)<в(xlt xj<e(хь у) + е(у, х2)<дХ1 + <^<2<5Х1,
что противоречит определению дХ1^
Примером неметризуемого нормального пространства может служить
любой непрерывный порядковый тип, в котором нет счетного плотного
множества (§ 11).
Свойство пространства быть Т3-пространством, очевидно, когра-
коградиентно (§ 23, п. 3); свойство быть Т4-пространством не коградиентно,
так как существуют Т4-пространства, в которых имеются подпростран-
подпространства, не обладающие свойством нормальности 1). Т4-пространства, все
подпространства которых нормальны, называются Т ^пространствами
или вполне нормальными пространствами. Так как подпространство
метрического пространства само есть пространство метрическое, то метри-
метрические пространства вполне нормальны.
3. Непрерывные функции в нормальных пространствах. (Урысон).
Пусть А, В суть два замкнутых непересекающихся множества
Т ^-пространства R; для любых двух действительных чисел a, b, a< b
существует действительная непрерывная функция 2) /аь (х), опреде-
определенная во всем пространстве R, принимающая значение а во всех
точках множества А, значение b во всех точках множества В и.
удовлетворяющая всюду в R неравенству а</аь(х)<й.
Если одно из множеств, скажем, А, пусто, то стоит только поло-
положить fab (х) — Ь для любого х ? R. Остается рассмотреть случай, когда
оба множества А, В не пусты. Не уменьшая общности, можно поло-
положить а = 0, b = 1, так как функция fab (x) получается из функции
/oi(x) по формуле
Положим U(A) = GX = R — В; согласно Vt предыдущего пункта
существует ил(А) = Go такая, что GocGxi Предположим, далее, что
нами построены такие окрестности Gm множества А (п — натуральное
I»
число; т — 0, 1, 2, ..., 2й), что при т' <т"
Тогда согласно Vx п. 2 можно определить такую окрестность, которую
мы обозначим через G2m+i, что
Gm с ^
2» 2*1+1 jn+1 2n
J) См. Urysohn, Ober die MSchtigkeit der zusammenhangenden Mengen.
Math. Ann. 94.
2) Cm. § 24.
9*
132 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Повторяя этот процесс, получаем счетную систему открытых множеств
Gr (г — двоично рациональное число отрезка [0, 1]), причем
А с Go, Gr' с Gr-, если г' <г". B)
Положим теперь для любого действительного t, 0' < t < 1, Gt = QGr'
Мы имеем: г<*
Gv Я Gr при Г < t", C)
так как если t'<r'<r"<t", то Gf Q GT' Q Gr»cGt: Наконец, по-
положим Gt = O при f<0, Gt — Gxiipu f>l. Тогда (З) выполнено для
всех t.
Из этой конструкции следует, что множество значений t, при кото-
которых данная точка х ? Gt есть некоторая полупрямая —co<f<Tx или
—c»<f<Ts, так что число тх полностью определено заданием точки X.
Мы полагаем
/oi (*) = **•
Для X ^ Go, в частности для х ? А, /о1(х) = О. Если X ? Gx,
т. е., если х ? В, /oi (^) = 1- Для всех остальных х
Остается доказать только непрерывность /01 (х) во всем простран-
пространстве R. Пусть х ? /?ие>0, в окрестности точки х, т. е. для x' ^ t/(x)=
= GXx+e — GTx-, мы имеем | /01 (х) — /01 (х') | < е, откуда и следует не-
непрерывность /01(х) (§ 24, IV).
Функция /01(х) принимает, вообще говоря, значение нуль не только
в точках А, но ив некоторых точках, не входящих в Л (а именно
в точках Go); построить непрерывную функцию, принимающую значение
нуль только в точках А и значение единица только в точках В, не
всегда возможно: если R есть (нормальное, как легко видеть) множество
всех порядковых чисел ^ coj, ? = {0}, А = {<а1], то функция, принимаю-
принимающая значение нуль на Д принимает значение нуль в целой окрестно-
окрестности А. Возьмем последовательность ?i-»-0 0 = 1, 2,...); по непрерыв-
непрерывности существует а4 такое, что !<п(ё)<Щ, при ? > aj. Если lim <ц —
= /5<ft)j, то ^о1(!) = о для всех |>/5. В случае если R есть метриче-
метрическое пространство, функция
е(х. А)
Q(X,A) + Q{X,B)
непрерывна и принимает значение нуль только в точках А и значение
единица только в точках В. Обозначая через [/ = с], [/>с] и т. п.
множество тех точек R, для которых соответственно /==с, />с и т. п.,
мы получаем:
VII. Всякое замкнутое множество метрического пространства R
может быть представлено в виде [/==0], где f—непрерывная, опре-
определенная во всех точках R действительная функция. Если )(х) не-
непрерывна, множество [f = 0] замкнуто.
АКСИОМЫ ОТДЕЛИМОСТИ 133
Первая половина теоремы есть очевидное следствие сделанного заме-
замечания. Вторая половина следует из того, что [/ = 0] есть прообраз
замкнутого множества {0}. Нетрудно видеть, что и множества [/>с],
[/^с] также замкнуты, если / непрерывна. Так как открытые множества
суть дополнения замкнутых, имеем:
VHI. Всякое открытое множество G метрического простран-
пространства R может быть записано, как [/>0], где /— действительная
непрерывная функция. Если /(х) непрерывна, множество [/>0]
открыто.
IX. (Теорема продолжения Брауэра-Урысона.) Если непрерывная дей-
действительная ограниченная функция <р(х) определена на замкнутом
множестве F нормального пространства R, существует непрерывная
ограниченная функция /, определенная во всех точках R и совпадаю-
совпадающая с ср в точках F.
Положим <р0 (х) == ц>(х) (х ? F), [i0 — sup | <р0 (х) |. Множества Аа ™
= L>0<— ir > Д) = m>-^q I замкнуты. Согласно 1 существует не-
непрерывная и определенная во всех точках R функция /0(x), принимаю-
принимающая значение — ^- на Ао и -+- 4г на Во и удовлетворяющая для
О О
всех X ? R неравенству |/о(х)|<-у--
Определим теперь на F функцию ^i (х) = 9=>о(х) — /о(х)> <Pi(x) не"
прерывна, и во всех точках F имеем, полагая ц± = sup | q>x (x) |:
A*i < х Р'
Совершенно так же с помощью q>i(x) строим <ръ{х). Полагаем
Пусть ft(x) непрерывная, определенная на всем R функция такая, что
l/i(*)l<^ > /i(x)= — -у- на Аъ к(.х) = + -^- на Bv Определяем
-, Г Л / Л , , N 1,41 2
на г ^W = ?'i(x) — /! (х); если /г2 = sup | q>2 (x) |, то /*2^"о" А*1-
Поступая так, получаем две последовательности непрерывных функ-
функций 9?о» 4>ъ • • • > /о> /i» • • •» причем функции первой последовательности
определены только на F, а второй — во всем R. При обозначении Цп =
№¦ 2
= sup | <рп(х) i имеем | /„ (х) | < ~ , уив+i < — Цп > а потому
(f) D)f-. D)
Кроме того,
9-n+i (х) = 9п (х) - /„ (х) (х 6 F). E)
134 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Последовательность функций sn (х) = /0 (х) + • • • + fn (х) согласно D)
равномерно х) сходится к некоторой определенной во всех точках R
непрерывной функции / (х), причем
0 *
п=0
так что / (х) ограничена. По E) в каждой точке х ? F
следовательно:
sn(x) = <p0(x) — 9=>n+i(x),
а потому
/ (х) = llm sn (x) = <рй(х) = V (*)>
Ч. Т. Д.
Отметим, что неравенство F) показывает, что —/o/)/o
Очевидный перенос начала показывает, что если a*Cq>(x)*C j$, то же
неравенство имеет место и для f(x).
X. Пусть ср есть непрерывное отображение замкнутого множе-
множества F нормального пространства R в R" (или в n-мерный куб Qn).
Существует непрерывное отображение f всего R в Rn (нли Q"), со-
совпадающее с ср в точках F.
Действительно, пусть координаты точки Rn суть tv t2, . ¦., tn;
отображение q>(x) определяет п действительных непрерывных функций
?«(*)-Ь(зс) A = 1,2 п),
где ti(x) есть /-координата точки <р(х). Эти функции заданы на множе-
множестве F, по теореме IX их можно продолжить на все пространство.
§ 26. Пространства со счетной базой
1. Общие свойства. В этом параграфе мы обращаемся к изучению
пространств, в которых существует счетная база (§ 22, п. 4). Очевидно,
это свойство пространства когрэдиентно, так что все доказанные ниже
свойства пространства R принадлежат и всем его подпространствам.
Важнейшим примером пространств со счетной базой являются метри-
метрические пространства со счетным всюду плотным множеством (§ 23, п. 2).
Это вытекает из следующего замечания: если множество А плотно
в метрическом пространстве R, то система всех сферических окрестно-
окрестностей U (а, г) с центром в точках а ? А и рациональным радиусом
образует базу R. Действительно, для любой точки х открытого множе-
множества Ga R существует точка ах ? А такая, что q (х, ах) < -г- q (aXy R — G);
выбирая рациональное число гх так, чтобы -г- q (ax, R — G) < гх <
J) Определение равномерной сходимости и доказательства теоремы о непре-
непрерывности предела равномерно сходящейся последовательности непрерывных
функций в нашем случае вполне аналогичны известным из элементов анализа.
ПРОСТРАНСТВА СО СЧЕТНОЙ ВАЗОЙ 135
2
<-g- e(flx> R— G), мы получаем окрестность U (ах, гх), содержащую х
и входящую в G, так что G = © G (ах, гх). В случае если Л счетно,
мы имеем К* = К„ окрестностей G(а, г), ч. т. д.
В общем случае из существования счетного плотного в R множества
не следует существование счетной базы: так, в порядковых типах 2Я
и 1 + 2Д + 1 плотно счетное множество элементов вида (г, а) (а = 0, 1),
г — рациональное число; однако эти типы не имеют счетной базы, что
мы предоставляем доказать читателю.
В предложениях I—VI под R следует понимать топологическое про-
пространство со счетной базой.
I. Существует счетное плотное в R множество.
Действительно, если, ® { Qlt G2, ...} есть счетная база /?, то, выбирая
в каждом Gn по точке а„, получаем счетное множество Л=(О], аъ...},
плотное в R, так как каждая окрестность U (х) каждой точки х ? R
содержит хотя бы одно из множеств Gn и, следовательно, одну из то-
точек а„, так что х ? А.
Точка х называется точкой сгущения множества М, если, какова
бы ни была окрестность U (х), множество MU(x) несчетно. Множе-
Множество Му всех точек сгущения замкнуто, ибо если X ? (MY)', то каждая
U (х) содержит некоторую точку у ^ Mv вместе с ее окрестностью U(y),
следовательно, несчетное множество точек М.
Пересечение MMV — Mv называется сгустком множества М. Оче-
Очевидно, М 2 М'-2 Mv. Если М„= 0, то М не более как счетно. В самом
деле, в этом случае каждая точка х ? М имеет в счетной базе &
окрестность Gx, содержащую не более чем Ко точек М, и так* как раз-
различных окрестностей в этой базе не более как счетное число, М — счетно.
Отсюда следует, что так называемая разреженная часть Ми = М — Mv
множества М не более как счетна: если бы Ми было несчетно, то
Мт Я Mv было бы не пусто, т. е. Ми содержало бы точку сгущения М.
Если множество М несчетно, его сгусток Mv также несчетен,
ибо удаление счетной части Ми не влияет на мощность несчетного М.
Отсюда следует, что Mv — совершенное множество. В самом деле, если
х — изолированная точка MY, U(x) — окрестность точки х, не содержа-
содержащая точек Mv, кроме х, то сгусток множества MU (х) пуст, MU (х)
счетно, что нелепо.
Из счетности Ми вытекает, что Му = М„/. если бы окрестность
U (х) точки х ? Mv содержала не более к0 точек Mv, то она содер-
содержала бы не более чем Ко+ Ко= &*0 точек М. Далее, имеем:
Mv Q Mv = MVY Q M'v;
откуда сгусток Mv есть плотное в себе множество.
Поэтому
MvQMkQMh, ми2М,2Щ-
В частности:
II. Разрозненная (и изолированная) часть всякого множества
пространства R не более чем счетна.
136 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
III. (Теорема Кантора-Бендиксона.) Замкнутое множество простран-
пространства R есть сумма совершенного и не более чем счетного множества.
Ибо [§ 25, п. 1, 3)] замкнутое множество F = Fk + Fs, где Fh
замкнуто в F, значит, и в R, a F&, по II, не более чем счетно.
Система открытых множеств & = { G } называется покрытием мно-
множества М Q R, если каждая точка х ? М принадлежит хотя бы одному
из множеств®.Покрытие© содержит покрытие ®(t= { G* }, если каждое G*
есть одно из G. По числу входящих в них множеств покрытия разде-
разделяются на конечные, счетные и т. д.
IV. Всякое покрытие R (и любого его подмножества М) содержат
не более чем счетное покрытие.
Пусть U = {О } есть покрытие М и ® = { Gu G2, ...} — счетная
база R; пусть ®* = { G*} есть система всех таких множеств базы ®,
каждое из которых содержится хотя бы в одном из множеств О. Выбе-
Выберем для каждого G* какое-нибудь множество О* системы U. Полученная
таким образом система ?/* = { О* } счетна и представляет требуемое
покрытие, ибо каждая точка х, входящая в какое-нибудь из множеств О,
содержится в некотором G*, следовательно, в некотором О*, ч. т. д.
V. В R не может быть больше чем К 0 открытых множеств без
общих точек. Ибо если & = {G} есть несчетная система открытых
множеств без общих точек, то, принимая за М сумму всех множеств
системы &, мы получаем покрытие ® множества М, которое не содер-
содержит счетного покрытия.
Это замечание позволяет легко привести пример метрического про-
пространства, не имеющего счетного всюду плотного множества: таково
бэровское пространство (§ 21, п. 2, пример 6) в случае если одно из Хп
несчетно. В самом деле, U [х,—| и U (у, —) суть открытые множе-
множества без общих точек, если х = (хи х2, ,.., хп, ...) и у = (у1г у2,...,
уп, ...) суть точки, для которых ХпфУп-
Вполне упорядоченная система множеств А — { Ао, Аг,..,, А§, ...}
называется неубывающей, если при а</5 Аа Q Ар, и невозрастаю щей,
если при а</5 Аа 2 Ар. Последовательность монотонна, если она не-
возрастающая или неубывающая. Наконец, последовательность возра-
возрастающая, если Аа с Ар, и убывающая, если Аа з Ар.
VI. (Теорема Бэра.) Всякая вполне упорядоченная монотонная си-
система открытых (замкнутых) множеств пространства R содержит
не более как счетное число различных множеств.
При доказательстве можно, очевидно, предполагать, что все множества
различны и открыты.
Пусть {Го, Г1( ..., Г(, ...} (I<ц) есть возрастающая последова-
последовательность открытых множеств, & — { G1( G2, ...}—счетная база про-
сгранства. Так как каждое Г§ есть сумма содержащихся в нем мно-
множеств G, то среди элементов счетной базы ®, входящих в Г^\, заведомо
есть элемент G$±\, не содержащийся в Г(. Следовательно, различных
множеств Г не может быть больше чем различных множеств G, ч. т. д.
Нетрудно видеть, что в пространстве R существует не более чем К
открытых (а следовательно и замкнутых) множеств: действительно,
каждое открытое множество О есть сумма некоторых множеств счетной
ПРОСТРАНСТВА СО СЧЕТНОЙ ВАЗОЙ I 137
базы ® = {Glt G2,- • •}: 0 = 0^+6^ + ..., следовательно, открытых
множеств не более, чем множеств натуральных чисел BК°= К).
Если R есть хаусдорфовское пространство со счетной базой, то
открытых (замкнутых) множеств в R ровно К, как это будет показана
ниже. Мощность такого пространства не более чем X (так как точки
суть замкнутые множества).
Последовательность xv х2,..., хп,... точек R называется сходящейся
к точке х(хп->х), если всякая абсолютная окрестность точки х содер-
содержит почти все точки последовательности хп. Заметим, что мы не пред-
предполагаем, что все точки различны (может быть,1 Xnt = ЗСп2 = • • •); если
все точки последовательности различны, мы назовем ее собственной.
VII. Если точка х предельна для множества М Тг-пространства
со счетной базой, то существует собственная последовательность хп (j M,
сходящаяся к х.
Прежде всего заметим, что если х — не изолированная точка про-
пространства R, то существует бесконечно много различных открытых мно-
множеств счетной базы, содержащих х: пусть х ф |х ? R; выбираем в счетной
базе множество G^x), X ? Gx (х), |х ? G^x); если |2 ? Gx(x), то су-
существует в счетной базе множество G2(x), X (j G2(x), |2 € Ga(x), откуда
G1(xL=G2(x); также находим G3(xL=G2(x) и т. д. Пусть тепер'ь
Gnv йщ,... суть различные множества счетной базы, содержащие х. Пола-
h
гаем Uh{x) = ©Gni; Uh(x) суть открытые множества. Uk{x) 2 Uh+i{x).
Среди Uh (х) существует бесконечная последовательность U\ таких,
что Ui—Ui+i=>0, ибо Uh(x) *= Uk+i(x) == • • • влечет за собой
Gnh QGnk+i Я ' ¦ •> а Tor«a Uh(x) Q G4(i=- I, 2,...) не может со-
держать ни одной G^, что противоречит определению базы.
Выбираем Xi ? Ui — L/j+iJ последовательность Xi — собственная [иб&
(Ui—Ui+i)(Ui+i—Ui±2) = 0] и xi-»x. В самом деле, если x ^ G, то
существует (}щ Я G, и тогда, при 1>Щ, UicG; следовательно, точки
Хь Xi+i, • ¦ • принадлежат G.
В ^-пространствах одна и та же последовательность Хп может схо-
сходиться к разным точкам: так, если в примере 5), § 21, п. 1 R счетно,
каждая собственная последовательность сходится ко всякой точке х (j R.
В хаусдорфовских пространствах последовательность может сходиться
только к одной точке, ибо если хп-+х, у ф х, U(x) U(у) = 0, то U(y}
содержит только конечное число точек хп.
Теорема VII вместе с * приведенным дополнением верна в произволь-
произвольных метрических пространствах, что читатель без труда докажет.
Из сказанного следует, что в хаусдорфовском пространстве со счетной
базой всегда существует изолированное счетное множество Мс /?:
если R' = 0, то таково всякое счетное множество М с R\ если R' з О,
пусть х ? /?', х„-н»х, M—{xv x2,•••} есть изолированное множество.
В первом случае (/?' = 0) все подмножества М замкнуты, во втором
замкнуты все подмножества М + {х}. В обоих случаях мы имеем 2s» = К
подмножеств, что в соединении со сказанным в п. 1 и подтверждает
что в R существует равно К замкнутых (открытых) множеств.
138
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
В изолированном пространстве вовсе не существует совершенных
множеств. Нам ниже понадобится такая теорема:
VIII. Если R метризуемо и его плотное в себе ядро R^ не пусто,
то в R существует ровно ti совершенных множеств.
Мы можем заменить R множеством Rk, так как по замкнутости Rk
множества, совершенные в /?&, совершенны и в R, и считать, следова-
следовательно, что R совершенно.
Пусть х (j R, A == \alt аг,...} — собственная последовательность
точек а„ ф X, ап-^>х. Так как А изолировано, то существует U(an,en),
«е содержащая точек А — ап (п = 1,2,...). Тогда окрестности Un =
= Uian, —¦) попарно не пересекаются. Пусть В есть произвольное
в _
подмножество А, положим GB = ^Un. GB—совершенны(§25, п. 1, IV).
ап _
GBA = В, ибо если, скажем, ах (= В, то GBU1 = 0, ах (= GB. Совершен-
Совершенных множеств GB столько, сколько подмножеств А, т. е. К.
2. Метризация пространств со счетной базой. В этом пункте
будут приведены условия, при которых топологическое пространство со
счетной базой метризуемо. Докажем прежде всего:
IX. (А. Тихонов.) Регулярное пространство со счетной базой нор^
мально.
Пусть F, Ф — два. замкнутых множества без общих точек в регуляр-
регулярном пространстве R со счетной базой ®=\пъ G2,-.•}. Для каждой
точки х ? F существуют окрестности U(x), С/(Ф) без общих точек.
Из § 25, п. 2, V и критерия равносильности (§ 21, п. 3, I) следует
существование в базе ® такой окрестности Gx, что Gx Q U (х), а следо-
довательно, йхФ = 0. Когда X пробегает множество F, Gx пробегает
оо _
(конечную или счетную) часть базы ®: G*, G*,...; ^G^zdF, G^t> =
i
= 0 (n = 1, 2,'...). Аналогично находим в базе ® систему G**, G**,...
такую, что 2 °" =>ф» '^"F — ° (л = 1, 2,...). Полагаем Ux = G*,
V^Gr-UfiT и вообще Un = G*n-"? Vfi'n, Vn- G;'-2 U»G*',
i^l i=l
oo oo
G = 2 f/n, Г = 2 Vn. Очевидно, G 2 F, Г 2 Ф. Остается показать,
что Gr = 0; действительно, если | ? G/\ то I ^ ^pV^g, что нелепо, так
как при p^Cq
upvq = up(G;*- 2Щ*) я ир(о;*-иро;*) я up(R-up) = o,
г=1
а при р> q
UPVU= Va(G;-P^ViG') Q Vq(G;-VaG;) Q Vq(R- Vq)= 0.
t=i
ПРОСТРАНСТВА СО СЧЕТНОЙ БАЗОЙ 139
X. (Теорема Урысона.) Всякое регулярное пространство со счетной
базой топологически содержится в основном параллелепипеде гиль-
бертовского пространства.'
Пусть @ = (Gj, G2,-"} есть счетная база R. Назовем пару (Gi, Gft)
множеств/этой базы канонической, если GiCzGk. Перенумеруем все ка-
канонические пары
Л. Р» - • •» Л»,• - • [Pn=(Gi, Gft)].
В силу нормальности R (§ 25, п. 3, V) для каждой пары Рп по тео*
реме продолжения § 25, п. 3, IX можно построить функцию q>n(x)t
удовлетворяющую условиям:
1) всюду в R 0<у.„(х)<1,
2) прих ? Gi q>n(x) = 0,
3) при х ? R — Gh <pn(x)= 1. ,
Отнесем точке a (j R последовательность чисел tn (а) =¦ — q>n (a)
(п = 1, 2,...) и поставим ей в соответствие точку <р (а) = (fls f2i • • •»
fn;...) (fn = fn (а)) основного параллелепипеда гильбертовского про-
пространства. Полученное отображение R в Q взаимно однозначно. Ибо
если a, ft суть две различные точки R, в <В существует не содержащая
точку b окрестность Gft точки а. По нормальности R в базе @ суще-
существует такая окрестность Gi точки а, что Gi Q G/,, так что (Gi, G/,) есть
каноническая пара. Так как a (j Gj Q Gi, Ь ? jR — Gft, то q>n (a) = О,
9»п Ф) = 1, так что fn (а) ф ^ Ф), q>(a)^q> (b). _ _
Докажем непрерывность отображения q>; пусть а ? Л, Лс/?. По-
Покажем, что 9?(я)d Ф (^)> т. е. что д(я>(й), Ф(Л)\ = 0. Береме>0 и
находим натуральное число т столь большое, чтобы V —^ < е. По не-
т
прерывности <рп для каждого п в базе © существует окрестность G^
точки а, для всех точек которой имеем \ <рп (а) — <рп (х) | < е. Берем
171
U (а) с: Ъ G{п; для всех точек z ^ G (а)
п=1
1Л(а) —f»B)|<4- (n-1,2,..., m),
а потому
/оо /~ т оо
2 (^n(a)-fnB))a =1/ 2 + S <
и=1 v ' " I rn+1
Так как в U (а) есть точки Л, то q {w (а), Ф (А)\ < 2е, следовательно,
по произвольности е, ^(^(я)» Ф (А)) = 0.
140 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Докажем непрерывность обратной функции у>. Пусть о (<р(а), Ф(Д))=0,
покажем, что а ? А. Рассмотрим произвольную окрестность G& точки а
из базы ©. Выберем, далее, в © окрестность Gi так, чтобы G{ a G^;
тогда пара (Gi? Gk) канонична, пусть это есть Рп. Так как
о (<р (а), Ф (Л)) = 0, то существует точка Z = <р(х) ? Ф(А), отстоящая
от <р (а) меньше чем на —. Мы, следовательно, имеем:
Um(fl) — <m(x)l< ¦—, \4>m(a) — q>
так как $>m(a) = 0, это означает, что 9>т(х) < 1, X ? Uk, т. е. что каж-
каждая окрестность а содержит точки А, ч. т. д.
Принципиальное значение теоремы Урысона состоит в том, что она
указывает неожиданно простой путь, приводящий от самых общих топо-
топологических образов — общих топологических пространств — к подмно-
подмножествам сравнительно простого пространства 1^°. Именно общее тополо-
топологическое пространство топологически тождественно (гомеоморфно) под-
подмножеству JR°°, если оно удовлетворяет: 1) трем аксиомам топологического
пространства, 2) одной, а именно третьей, аксиоме отделимости и
3) имеет счетный базис. Этими тремя требованиями, очевидно, полностью
характеризуются все подмножества /?°°.
В частности, в VIII содержится первая метризационная теорема
Урысона.
XI. Пространство R со счетной базой метризуемо тогда и только
тогда, когда оно регулярно.
В самом деле, необходимость содержится в VI, п. 2, § 25, доста-
достаточность — в теореме Урысона.
§ 27. Компактные и бикомпактные пространства
1. Компактные топологические пространства. Топологическое
пространство R называется компактным, если каждое его бесконечное
подмножество имеет хотя бы одну предельную точку. В частности, всякое
пространство, состоящее из конечного числа точек, тривиальным образом
компактно. Всякое замкнутое подмножество F компактного про-
пространства R есть компактное пространство, ибо каждое бесконечное
подмножество множества F имеет предельную точку, которая принадле-
принадлежит F в силу его замкнутости.
Подмножество М топологического пространства R называется ком-
компактным, если оно представляет собой компактное относительное про-
пространство, т. е. если всякое его бесконечное подмножество имеет предель-
предельную точку, принадлежащую М. В литературе такие множества часто называют
компактными в себе, чтобы избежать смешения с другим понятием —
компактности относительно пространства R: множество М компактно
КОМПАКТНЫЕ И БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 141
относительно пространства jR или, короче, в R, если каждое его беско-
бесконечное множество обладает хотя бы одной предельной точкой, принадле-
принадлежащей R (но не обязательно входящей в М). Мы будем употреблять
слово „компактный" в том же смысле, что и „компактный в себе";
если же речь будет итти о компактности в пространстве R, мы никогда
не будем опускать слова „в R".
Для замкнутых в пространстве R множеств понятия компактности и
компактности в R— равносильны. Понятию компактности противопоста-
противопоставляется понятие расходимости в пространстве jR: бесконечное множество
называется расходящимся в R, если оно не имеет в R ни одной пре-
предельной точки. Множество компактно в R тогда и только тогда, когда
оно не содержит ни одного расходящегося подмножества. В R1 расхо-
расходится, например, последовательность {1, 2,...} натуральных чисел. Так
как R1 есть подпространство Rn и R°°, то все эти пространства не
компактны. Классическая теорема Больцано-Вейерштрасса утверждает, что
всякое ограниченное бесконечное множество компактно в R"\ отсюда сле-
следует, что всякое замкнутое и ограниченное множество /?"—компактно.
1. (Теорема Кантора.) Убывающая последовательность непустых
замкнутых множеств
F12Fz2---2Fn2'-- О)
компактного пространства имеет непустое пересечение.
В самом деле, если среди F$ только конечное число различных мно-
множеств, то, начиная с некоторого Fn, все они совпадают между собой и,
следовательно, с ® Fi, которое в этом случае не пусто.
Если среди Fi бесконечно много различных множеств, мы можем
предположить, что все Fi различны (если среди них есть совпадающие,
рассмотрим бесконечную последовательность попарно различных множеств
и обозначим ее множества снова через Fi. Пересечение множеств этой
последовательности совпадает с пересечением всех множеств последова-
последовательности). Fi—Fj-fi He пусто, и поэтому мы можем выбрать точку Xi ? Fi,
Xi ? Fi+ь Множество {xv x2, x3,...} имеет предельную точку х, кото-
которая предельна и для всех множеств последовательности (а), следова-
следовательно, х принадлежит ?)F4, т. е. Ф^гэО.
II. (Теорема Гейне-Бореля.) Всякое счетное покрытие компактного
пространства R содержит конечное покрытие.
п
Пусть \Gi) — покрытие пространства R; множества Fn = R — @ G»
замкнугы, образуют убывающую последовательность и имеют пустое пе-
пересечение; поэтому согласно I при некотором п Fn пусто, т. е. jR =
п
= @ Gi ч. т. д.
i=i
2. Бикомпактные пространства. Топологическое пространство на-
называется бикомпактным, если всякое (не только счетное) покры-
покрытие этого пространства содержит конечное покрытие. Из этого
определения сразу следует, что бикомпактное пространство — компактно.
Обратное неверно, как показывает, например, компактное пространство Z( N 0)
(гл. IV, § 15). Действительно, выберем для каждого |, ci^
142 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
окрестность (г), 1 + 1), гДе V < ?• Полученное (несчетное) покрытие не
содержит никакого конечного покрытия, так как каждая окрестность
(?7, |+ 1), а следовательно, и сумма конечного числа таких окрестностей,
содержит счетное множество чисел, в то время как Z(N0)—несчетно.
III. Всякое покрытие замкнутого множества F бикомпактного
пространства R содержит конечное покрытие.
Пусть ?1 = {U} есть покрытие F; рассмотрим покрытие R, состоя-
состоящее из всех множеств покрытия il и открытого множества Uo — R— F.
Это последнее содержит конечное покрытие 11' пространства R. Так
как U0F = 0, то конечная система всех, кроме Uo, множеств покры-
покрытия ?Г есть покрытие F, и притом содержащееся в ?1.
Из III сразу следуют теоремы IV и V (последняя с помощью II).
IV. Замкнутое множество бикомпактного пространства R, рас-
рассматриваемое как относительное пространство, — бикомпактно.
V. Компактное топологическое пространство со счетной базой —
бикомпактно.
3. Компактность метрических пространств и полнота. Для
того чтобы метрическое пространство было компактным, необходимо и
достаточно, чтобы каждая собственная последовательность точек этого
пространства содержала собственную сходящуюся подпоследовательность
(гл. VI, § 25, п. 1). Чтобы в этом убедиться, стоит только заметить,
что во всяком бесконечном множестве содержится некоторая собственная
последовательность (§ 5, I); если эта последовательность содержит схо-
сходящуюся подпоследовательность, то предельная точка этой последова-
последовательности предельна для М. Компактность есть следствие приведенного
условия. Наоборот, если М компактно, каждая последовательность имеет
предельную точку и, следовательно, сходящуюся к этой предельной точке
подпоследовательность.
Последовательность хп называется фундаментальной последователь-
последовательностью или последовательностью Коми, если для любого е > 0 суще-
существует такое хт, что
е(Хп, Хт)< ? при П> т.
Всякая сходящаяся последовательность — фундаментальная, так
как, если хп-+х, почти все точки последовательности попадают
в U{x, |), и если при n>m Xn?U(x, |),тое(хт, Xn)<Q(.xm, Х)+
+ q{x, xn)<e. Обратное предложение неверно: если пространство R
есть множество рациональных чисел, то любая последовательность ра-
рациональных чисел, сходящаяся к иррациональному числу в обычном
смысле, есть фундаментальная последовательность, не сходящаяся в R.
Пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность
сходится, называется полным. Такие пространства изучаются в гл. VII,
§ 28; там же читатель найдет примеры полных пространств.
Конечное подмножество N метрического пространства называется
е-сеткой, если расстояние каждой точки X ? R от множества N меньше е.
Пространство (множество) называется вполне ограниченным, если,
каково бы ни было е > 0, оно содержит е-сетку. Если е-сетка имеет
диаметр d, то диаметр пространства меньше d + 2e, так что вполне
КОМПАКТНЫЕ Н БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 145
ограниченное пространство — ограничено. В Rn ограниченные про-
пространства вполне ограничены, так как куб в R* может быть разбит на
конечное число кубов с диагональю, меньшей е. В общем случае огра-
ограниченное множество может и не быть вполне ограниченным; так, в #°°
множество А, состоящее из точек:
A. О, О, О,...)
(О, 1, О, О,...)
(О, 0, 1, О,...)
ограничено, но не вполне ограничено, ибо расстояние между двумя лю-
любыми точками А равно 1^2, и Л при е<]/г2 не содержит е-сетки.
VI. Множество вполне ограничено тогда и только тогда, когда
каждая собственная последовательность точек этого множества
содержит собственную фундаментальную подпоследовательность.
Действительно, если j? ие содержит е-сетки, то пусть Xj—произволь-
Xj—произвольная точка R и пусть точки х1(..., xs выбраны так, что их попарные
расстояния больше е; существует точка xs+i, отстоящая от всех то-
точек хг Xs больше чем на е, ибо в противном случае мно-
множество {*!,..., хв}' было бы е-сеткой. Мы приходим к бесконечной
последовательности хг, Xz,..., xs, •.., которая не может быть фунда-
фундаментальной, так как попарные расстояния ее точек больше е. Пусть,
обратно, R вполне ограничено; тогда, каково бы ни было е> 0, в каж-
каждой последовательности существует подпоследовательность диаметра, мень-
шего е. В самом деле, есле хъ..., xs есть е-сетка, то JR = @ U (х,, Т) ,
и, следовательно, хотя бы в одной (jlxi, -~\ содержится бесконечно много
точек последовательности; эти точки и образуют требуемую подпосле-
подпоследовательность. Пользуясь приведенным замечанием, мы в данной после-
последовательности хп находим подпоследовательность
диаметра <^1, из нее выбираем подпоследовательность
Лд1; 2Cg2, Xq3, . . .
диаметра ^-^-, нз этой последней выбираем подпоследовательность
1 и
%П' ^Г2> ^Г3( - ' *
диаметра <^~о- и т. д. Так как Pi<^#i < #2^Сг2<С'"з^" • > то точки
образуют „диагональную" последовательность, в которой все члены,
начиная с k-ro, принадлежат к-й из выше построенных последователь-
144 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
ностей, а потому находятся на попарных расстояниях^ -^; таким обра-
образом эта последовательность фундаментальная, ч. т. д.
VII. Метрическое пространство компактно тогда и только тогда,
когда оно вполне ограничено и полно.
Во-первых, компактное пространство полно, так как фундаменталь-
фундаментальная последовательность, содержащая сходящуюся подпоследовательность,
сама сходится к той же точке. Оно, далее, вполне ограничено, так как
каждая последовательность его точек содержит сходящуюся, а следова-
следовательно, фундаментальную подпоследовательность. Во-вторых, если R
вполне ограничено, то любая его последовательность содержит фунда-
фундаментальную подпоследовательность, которая сходится, если R полно.
VIII. Замкнутое множество полного пространства R компактно
тогда и только тогда, когда оно вполне ограничено.
Это следует из того замечания, что замкнутое подмножество полного
пространства само есть полное пространство.
Ниже (§ 28, п. 1) будет доказано, что R°°есть полное пространство.
Отсюда с помощью VIII легко заключить, что основной параллелепи-
параллелепипед Q°° гильбертовского пространства есть компактное множество.
В самом деле, выберем п столь большое, чтобы V —у < -— , и обо-
п+1
значим через Qn проекцию Q°° в Rn, т. е. множество Q" тех точек (xlt
Х2, ...,ХП, 0,0,...), у которых все координаты, начиная с п + 1-й,
равны нулю. Q* вполне ограничено, как ограниченное подмножество Rn,
поэтому в Q* существует -|- - сетка N= {|ъ ..., |р}. N есть е-сетка
в Q°°. Действительно, если х = (х„ Х2,...) 6 Q°°> ? = (xi> • • • > *"> °»
0,...) ? Q* — его проекция в R", |4 — та точка N, которая отстоит
¦от | меньше чем на — то
s fl/2 ii
rjf+1 У n+1
Таким образом Q°° вполне ограничено; так как оно, кроме того, замкнуто
[если Хг — {х\, х\,...) ? Q°°h если Xi->X = (x1, X2,...), то /с-я коорди-
координата х?->¦ xft, так как) х^—xfe|^g(Xi, x)-»0, следовательно, Xft^-r], то
^°° — компактно.
Из последнего замечания следует, что теореме Урысона (§ 26, п. 2, IX)
можно придать такую форму: для того чтобы топологическое про-
пространство топологически содержалось в компактном метризуемом
пространстве, необходимо и достаточно, чтобы оно было регулярным
и обладало счетной базой.
4. Компакты. Метризуемое компактное пространство называется ком-
компактом. Сопоставим основные элементарные свойства компактов.
IX. Компакт обладает счетной базой.
КОМПАКТНЫЕ И БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 145
Действительно, если Nm есть сетка компакта R, то Nt+N2+..•
есть счетное плотное в R множество, откуда по § 26, п. 1 следует;
что R имеет счетную базу.
X. (Теорема Гейне-Бореля.) Компакт есть бикомпактное про-
пространство.
Это есть следствие теоремы V, п. 2 и IX этого пункта.
XI. (Вторая метризационная теорема Урысона.) Для того чтобы
компактное топологическое пространство было компактом (т. е. ме-
тризуемым), необходимо и достаточно, чтобы оно было регулярным и
имело счетную базу.
Необходимость есть следствие теоремы VI, п. 2, § 25 и теоремы IX
этого пункта, а достаточность — теоремы Урысона (§ 26, п. 2, IX).
Примером бикомпактного неметризуемого пространства может слу-
служить пространство 5, п. 1, § 21, примером нормального бикомпактного
неметризуемого пространства—множество всех порядковых чисел <o>j
или еще порядковый тип 1 -f- 2A + 1 (последний к тому же имеет счет-
счетное плотное в нем множество).
Нам понадобится (§ 33) следующее замечание: топологическое про-
произведение Ко компактов есть компакт. Метризуемость этого произве-
произведения нами уже доказана (стр. 109). По VII достаточно доказать, что
а) топологическое произведение Ко полных пространств — полно; б) то-
топологическое произведение Хо вполне ограниченных пространств вполне
оо
ограничено, а) следует из того, что если Р = П Rm (Rm полно) и х\
X2,..., X1*,... есть фундаментальная последовательность точек Р, то
последовательность г-х координат х\, xf,..., X?,... также фундамен-
фундаментальная, ибо при q (х"\ Xя) < -Tj- т-цг имеем в (х"> х") < *• Поэтому
х,"-»х<(п = 1, 2,,..), а отсюда легко получается, что х"-»Х =
= (xi> хь • • •)• Чтобы доказать б), выберем N столь большое, чтобы
и в /?!,.,., Rn построим —--сетки х1, X*,..., x/(/'=sl, 2,..., N),
3«
число р точек —j- - сетки, очевидно, можно считать не зависящим от
номера координаты i. Точки Р (х*, X*,..., xJv, Xn+i, ¦••), где Аг = 1,
2,..., р, a Xjv+i, Xjv-(.2, • • • произвольные, но фиксированные точки Ru+i,
Rti+2, ¦.., образуют е-сетку в Р.
5. Бикомпактные хаусдорфовские пространства. Докажем сле-
следующую теорему.
XII. Бикомпактное хаусдорфовское пространство нормально.
Пусть РиФ суть два замкнутых множества без общих точек би-
бикомпактного Тг-пространства. Фиксируем вначале точку | ? F; тогда
для каждой точки х ? Ф существует пара непересекающихся окрестно-
окрестностей U((x), Ux(?). Система всех Ut(x)(x ? Ф) есть покрытие Ф, сле-
Хаусдорф. Теория множеств. 10
146 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
довательно (п. 2, III), эта система содержит конечное покрытие Ф;
пусть это конечное покрытие есть U = {Us(Xj),..., Ue(x,)}. Положим
t=l
и пусть теперь I пробегает множество F; система всех Ге($ ? F) есть
покрытие F и содержит, следовательно, конечное покрытие, состоящее,
скажем, из множеств Г^, Г{2 Г&. Положим, наконец, (J (Р) = @Г{г,
(У(Ф) = © Gf,; эти окрестности множеств F и Ф не пересекаются, так как
U(F)U{0) = (@ Г&) (Ф Gft) = <§ (/\ ф Gfc) g <§ ГйОе< = 0.
Отсюда следует, что второй метризационной теореме Урысона можно
придать еще такую форму:
ХГ. Компактное топологическое пространство есть компакт
(метризуемо) тогда и только тогда, когда оно есть хаусдорфовское
пространство со счетной базой.
Ибо необходимость установлена теоремой X, а достаточность —
теоремой V, п. 2. Или еще иначе:
ХГ. Компактное хаусдорфовское пространство есть компакт
тогда и только тогда, когда оно имеет счетную базу.
6. Бикомпактиоеть и Я-замкиутость. Мы уже» отмечали, что свой-
свойство множества быть замкнутым — относительное свойство; однако среди
подмножеств Т2'пР°стРанств (или, что то же, в силу когрэдиентности
среди Т2-пространств) можно выделить класс множеств, замкнутых
в любом топологически содержащем их (§ 24) хаусдорфовском про-
пространстве. Множество, замкнутое во всяком содержащем его хаусдор-
хаусдорфовском пространстве, мы будем называть Н-замкнутым.
XIII. (Александров.) Для того чтобы хаусдорфовское простран-
пространство R было Н-замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы из
всякого покрытия R: ® = { О }, можно было выделить конечное число
множеств Glt G2, ..., G, таких, что
Пусть R есть Г2"пРостРанство» не удовлетворяющее приведенному
условию. Присоединим к множеству R элемент | (произвольной при-
природы) и введем в множестве /? + {!} систему окрестностей U, называя
окрестностью I любое множеетво вида:
где Gj, G2, ..., Gs—произвольные множества покрытия U, взятые
в произвольном конечном числе, а окрестностью точки х ? R — любое
открытое множество пространства R, ее содержащее. Введением системы
окрестностей U мы обращаем /?+{!} = /?* в общее топологическое
пространство.
КОМПАКТНЫЕ И БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 147
в 8
Точка ? не предельна для F = &>Gi, ибо окрестность {1} +(/? — ©G<)
ие содержит ни одной точки F; отсюда следует, что ?/(!) суть откры-
открытые множества, и так как ?1 обладает свойствами А), В), С), п. 4, § 22,
то R* есть топологическое пространство. R* удовлетворяет аксиоме IV2,
так как точки х ? R и | можно отделить окрестностями U(x),
[/(!) = {1} + (R—U(X)) [U(X) — произвольная окрестность х]. Нако-
Наконец, очевидно, что R топологически содержится в /?* и является не-
незамкнутым множеством в /?* так как согласно условию каждая ?/(!)
содержит точки R. Мы установили необходимость нашего условия.
Переходим к установлению достаточности условия. Пусть R* есть
Tj-пространство, топологически содержащее R. Обозначим через А
гомеоморфное R множество пространства R* и рассмотрим произвольную
точку ? ? R* — А. Для каждой точки X ? А можно указать такие
окрестности U(x), ?/(!) пространства /?*, что U (x) U (I) = 0, а тогда
I ^ С/(Х); итак, для каждой X ? Л существует такая С/(х), что
I ? ?/(х). Множества С/(Х) открыты в А, их относительные замыкания
в Л, а также и в Л + {|} совпадают cAU(x). В силу гомеоморфии
между А п R системе {AU(x)} соответствует покрытие R, и если
условие теоремы выполнено, отсюда следует существование таких то-
точек х1г .... xs, что @v4t/(Xi)=ss А Но так как каждое слагаемое
замкнуто в А + {?}> то замкнута и вся сумма, откуда и следует, что $
не является предельной для А. Так как | — произвольная точка R* — А,
достаточность доказана.
XIV. (Александров.) Регулярное пространство Н-замкнуто тогда и
только тогда, когда оно бикомпактно.
Теорема XII показывает, что бикомпактное Т2-пространство Н-зам-
Н-замкнуто. Остается показать, что регулярное Я-замкнутое пространство —
бикомпактно. Пусть © = {G} есть покрытие такого пространства R.
Поставим в соответствие каждой точке X ? R открытое, содержащее х
множество G = U(x). В U (X) выбираем такую абсолютную окрест-
окрестность у.(х), что У(х) g U(X) (§ 25, п. 2, V). Система всех V(x),
{V (X)} образует покрытие R, и из Я-замкнутости R следует, что при
s
подходящем выборе х* R = @ V(Xi); но тогда Ufa), U(x2), ..., U(xs)
образуют конечное покрытие, содержащееся в Ц, ч. т. д. Отсюда
следует еще:
XV. (Александров.) Хаусдорфовское пространство бикомпактно
тогда и только тогда, когда оно нормально и Н-замкнуто.
7. Непрерывные отображения бикомпактных пространств.
XVI. (Веденисов.) Непрерывный образ бикомпактного топологи-
топологического пространства есть бикомпактное пространство.
В самом деле, пусть X есть бикомпактное топологическое простран-
пространство, У=Ф(Х) — его непрерывный образ. Пусть 93 = {V} есть покры-
покрытие Y. Положим U = XP{V), где чр есть функция, обратная <р. Мно-
10*
148 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
жества U образуют покрытие ?1 = { U } пространства X, и по биком-
пактности X это покрытие содержит конечное покрытие W = {Ut,..., Ue],
тогда 03'= {Уг, ..., Vg} есть конечное покрытие У, ч. т. д.
XVII. При непрерывном отображении бикомпактного топологиче-
топологического пространства в хаусдорфовское пространство образы замкну-
замкнутых множеств замкнуты.
Пусть (р есть непрерывное отображение топологического пространства X
в хаусдорфовское пространство У; если FcX замкнуто, то по IV оио
бикомпактно; следовательно, Ф (F) — также бикомпактно, а следова-
следовательно (XIV), замкнуто в любом содержащем его хаусдорфовском про-
пространстве, в частности и в У.
XVIII. Взаимно однозначное и непрерывное отображение биком-
бикомпактного топологического пространства X в хаусдорфовское про-
пространство У — гомеоморфно. В частности, взаимно однозначный и
непрерывный образ компакта есть компакт.
Действительно, пусть F есть любое замкнутое множество простран-
пространства X; в силу взаимной однозначности прообраз F в обратном отобра-
отображении ip есть Ф(Р); это множество по XVII замкнуто, следовательно,
прообразы замкнутых множеств при отображении гр замкнуты, у>—
непрерывно, ч. т. д.
Отметим по поводу XVII, что на стр. 123 мы имели пример непре-
непрерывного , и взаимно однозначного отображения, при котором образы
замкнутых множеств могли быть и не замкнуты, т. е. это отображение
не являлось гомеоморфией. Из сказанного в п. 3 следует, что если У
есть метрическое пространство, то Ф (X) (X — бикомпактное простран-
пространство) есть ограниченное множество в пространстве Y. Если, в частности,
Y = R1, следовательно, у — q> (х) — действительная функция, то Ф (X)
есть замкнутое ограниченное множество арифметрического континуума.
Но замкнутое и ограниченное множество арифметрического континуума
содержит свою верхнюю и нижнюю грани. Отсюда следует, что действитель-
действительная и непрерывная функция, определенная на бикомпактном про-
пространстве X, ограничена и достигает в некоторых точках X мак-
максимума и минимума.
Если, в частности, X есть компакт, лежащий в метрическом про-
пространстве R, А— произвольное множество R, то функция q{x, А) есть
определенная во всех точках х ? X действительная непрерывная функция,
а потому достигает своего минимума, так что: существует такая точка
х ? X, что q (x, A) = q (X, А). Отсюда, в частности, следует, что
если А, X суть непересекающиеся множества метрического простран-
пространства R и X есть компакт, то Q (X, А) > О.
В самом деле, каково бы ни было х ? X, q(x, A)>0.
Расстояние двух замкнутых множеств, не являющихся компактами,
может быть равными нулю: таковы в R2 гипербола и ее асимптота.
Введем понятие равномерной непрерывности отображения метриче-
метрического пространства X в метрическое пространство Y. Функция у = <р(х)
равномерно непрерывна в X, если для всякой последовательности пар
точек х„, ?„, входящих в X, для которой е(хп, fn)-*0, имеем (? (уп>»?п)-»¦ О
[Уп = ф(Хп), f]n = 9» (In)]; при фиксированном f = |„ мы имеем
обыкновенную непрерывность. Классическое рассуждение показывает,
. КОМПАКТНЫЕ И БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 149
что это условие равносильно следующему: каждому а > 0 соответ-
соответствует е>0 (зависящее только от а) такое, что при q(x, I) < e мы
имеем q (у, rf) < a.
XIX. Всякое непрерывное отображение компакта X в метрическое
пространство Y равномерно непрерывно.
Пусть e(xniln)-*0; Xn имеет подпоследовательность хр-*х, и тогда
соответствующие |Р-*Х; следовательно, ур -*у, rjp-*y, б(Ур, ^?р)-*0;
т. е. последовательность д(уп, rjn) имеет стремящуюся к нулю подпоследо-
подпоследовательность. То же относится к любой подпоследовательности q,, а потому
вся последовательность q (у„, }?„) -> 0 (в противном случае была бы подпо-
подпоследовательность q, ~> а > 0).
Глава VII
Метрические пространства
§ 28. Полные пространства
1. Примеры полных и неполных пространств. Пространства R*
и /?°° полны; докажем полноту последнего. Расстояние точек х = (xlt
Хь ...) до точки 0 = @, 0, ...)
не меньше абсолютной величины отдельной координаты: р (х, 0) > | Х\ |;
следовательно, g(x, у)>]хл— у&|. Поэтому, если точки *) х(п) =
= (х^, ..., Xftn), ...) образуют фундаментальную последовательность, то
и их к-е координаты также образуют фундаментальную числовую по-
последовательность н имеют предел Хц = lim x?n); положим х = (х1( х2,...,
Хь, ...). При заданном е>0, для подходящим образом выбранного т
и любого п>т, имеем Q(x(m\ x(n))<e:
2 (хГ-4т)J<^а;
следовательно, и подавно, каково бы нн было /,
а потому при л-*€»
2 (*-4"° )•<*¦,
отсюда, стремя / к сю, получаем:
k=i
из сходимости стоящего слева ряда следует, что комплекс (х, — xjjj^,
х, — x^m), ...), а значит, и комплекс х = (х1( х2, .1.) суть точки к*
г) и и т суть поставленные сверху индексы, а не показатели1
ПОЛНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 151
Далее, д(х} х(т))<«, что в соединении с д (x<n\ х<т>) <е влечет за собой
q(x, х{п)) < 2е при л > /га, а это и значит, что g(x, х(п))-*0, x(n) -+х.
Примером неполного пространства может служить заключающее
в себе изометрически все /?п (л = 1, 2, ...)н содержащееся в 7?00 про-
пространство /?оо комплексов (хх, х2, ..., хп, ...), в которых почти все
координаты равны 0. В самом деле, если х = (хь хг, ...) есть точка /?°°,
не принадлежащая /?<», то точки х(п) — (хи ..., хп, 0, О, ...), принадле-
принадлежащие /?„,, сходятся к х в 7?00 и образуют поэтому фундаментальную
последовательность, которая, однако, не сходится в /?<»•
Полно также пространство С непрерывных функций (§ 21, п. 2,
пример 4). В самом деле, фундаментальная последовательность функций
этого пространства сходится равномерно, следовательно, к непрерывной,
а потому принадлежащей к С функции x(t).
Если в множестве непрерывных на [0,- 1] функций ввести метрику
e(x(t),
получаем неполное пространство. Для каждой ограниченной, интегрируе-
интегрируемой по Риману функции ? можно построить последовательность непре-
непрерывных функций хп таких, чтобы д (Хп, ?) -> 0 *); если бы существовала
непрерывная функция X, для которой р(х„, х)->0, то функция х — ?
обращалась бы в нуль в тех точках, где она непрерывна, следовательно,
совпадала бы с I во всех точках непрерывности ?. Простейшие примеры
показывают, что такой непрерывной функции х может и не существо-
существовать: стоит только выбрать такую ?(/), которая имеет разрыв в одной
единственной точке с, 0<с<1, причем ?(с—0) ф f (с+0). Неполно
также и пространство всех интегрируемых по Риману функций; полным
оказывается лишь пространство функций, квадраты которых интегри-
интегрируемы по Лебегу 2).
Бэровское пространство последовательностей элементов:
х = (Xi, х2, .. •)>
полно, если хх пробегают независимо одни от других все заданные
множества Х^. В самом деле, если точки
Y(n) / (П) (П) ч
Л ^ \А.г , Л, , . . ._/
составляют фундаментальную последовательность, то каково бы ни было
натуральное число k, g (x(n), X(rn))< ~j- при подходящем т и любом
!) Например последовательность частных сумм ряда Фурье функции ? отно-'
сительво любой ортогональной нормироваииой и полной на сегменте [0,1] систе-
системы функций Xiit), x2(t), ••-.
а) Лебеговская теория меры и интегрирования не излагается в этой'книге
и не предполагается известной. Читатель, которому непонятен содержащийся
тут намек на теорему Fischer'a - Riesz!a, может оставить его без внимания.
152 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
п>т, откуда по определению расстояния следует, что л*1"' = l j
= x[m+2) = ..., т. е. что почти все элементы х[п> (л = 1, 2,..-.) равны
одному и тому же элементу, скажем, хй; рассмотрим точку бэровского
пространства
первые ft элементов х(п) совпадают с соответствующими элементами х,
причем ft-»- эо вместе с п, т. е. д (х(п\ X)-»- 0.
2. Включение в полное пространство. Подобно тому как теория
иррациональных чисел Дедекинда послужила образцом заполнения про-
пробелов упорядоченных множеств (§ 11), так, обобщая теорию ч Кантора-
Мерэ (Мбгау), в которой иррациональные числа определяются при помощи
фундаментальных последовательностей рациональных чисел, мы сможем
любое метрическое пространство Е включить в некоторое полное про-
пространство Е, элементы которого определяются через фундаментальные
последовательности
5 = (Xj, Х2, . • • , Хп, . ..)
точек Е. Сделаем прежде всего следующие замечания:
(а) Для двух любых фундаментальных последовательностей ?, г) су-
существует lim g(Xn, уп). В самом деле,
*n) + Q (X* У„) + Q (у„, ут),
I S (Хт, Ут) — Q (Хп, Уп) I < Q (*т, Х«) + в (ут, У„),
откуда непосредственно следует, что действительные числа q (x^, у„) обра-
образуют фундаментальную последовательность, а следовательно, сходятся.
()8) Если одна из двух последовательностей ?, г) фундаментальная
и если д(хп, Уп)-*0, то другая также является фундаментальной.
Это следует из неравенства
i Q (Ут, Уп) — Q (Хт, Хп) | < Q (Хт, У J + Q (Х„, уп).
В силу (а) мы можем определить расстояние между ? и г] как
е (?, rj) = lim д (Хп, уп).
Из д (Хп, уп) + д (yn, zn) > Q (Xn, zn) следует справедливость аксиомы
треугольника.
Чтобы удовлетворить аксиоме тождества, мы по определению будем
считать две фундаментальные последовательности ?, г] тождественными
тогда и только тогда, когда
Q (i, Ч)=0,
отклоняясь тем самым от ранее данного определения равенства комплексов.
К фундаментальным заведомо относятся стационарные последова-
последовательности
(X, х, х,....)
ПОЛНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 153
и расстояние двух таких последовательностей есть о (х, у), так что Е
изометрично некоторому подмножеству Е. Мы можем без вреда иденти-
идентифицировать эти стационарные последовательности с точками х, так что Е
становится просто подмножеством Е. Расстояние межлу X = (х, X, ...)
и ? = (х1( х2, ...) есть
В частности, расстояние между ?¦ и точкой хт последователь-
последовательности Xj, х2, ..., определяющей точку ?, есть
Q(xm, ?)=lim Q(xm, Xn).
П-кхэ
Это расстояние-*-0 при т-+оо; в самом деле, если выбрать т так,
чтобы при п>пг было д{хт, Хп)< е, то q (xm, ?)<е и ?(*„, ?)<2е
при п> т. Поэтому каждому ? ? E можно найти сколь угодно близкий
элемент х ? Е (Е плотно в Е) (§ 23, п. 2).
Для ясности условимся называть секвенциями последовательности
элементов ? ? Е. Пусть дана фундаментальная секвенция ?lt ?2i • • • >
определим для каждого ?п точку х„ ? ? так, чтобы о (х„, ?„) < — ; в силу
замечания @) Хп образуют фундаментальную секвенцию в Е или, иначе,
фундаментальную последовательность ? = (х„ х3, ...) в Е- Поэтому
д(?, хп)->0, а так как д(хп, ?п)-*-0, то по аксиоме треугольника
Q(?, In)-*0, т. е. |п сходятся к ? и Е полно.
Обозначим "множество Е, чтобы отметить его связь с Е, символом Е
(множество фундаментальных последовательностей Е). Для полного про-
пространства V имеем V = V. Если Е содержится в полном пространстве V, то
Е Q V = V, следовательно, Е содержится в V: Ё есть минимальное из
полных пространств, содержащих Е, и называется полной, оболочкой Е.
Правда, при этом точки х ? Е мы идентифицировали с стационарными
последовательностями (х, X, ...) или, по определению тождества фунда-
фундаментальных последовательностей, со сходящимися к х последовательно-
последовательностями (хи х2, ...)» т> е- заменили пространство изометрическим ему
пространством. При желании избежать смешения изометрических про-
пространств можно формулировать наши заключения следующим образом:
если V есть полное пространство и Е Я V, то все фундаментальные по-
последовательности Е сходятся к некоторым точкам х пространства V и
множество Е этих точек называется полной оболочкой Е. Все полные
оболочки Е нзометрнчны и притом так, что при изометрическом ото-
отображении их одной на другую точки Е соответствуют сами себе.
3. Теорема о пересечении. В следующих пунктах нам постоянно
придется пользоваться следующей теоремой:
I. В полном пространстве пересечение невозрастающей последова-
последовательности Ег 2 F2 2 . . . ограниченных, непустых, замкнутых мно-
множеств, диаметры которых стремятся к нулю, состоит из одной
точки.
Берем Хп ? Fn; последовательность (д;,, xz, ...) — фундаментальная
потому, что хп отстоит от всех хт, т>п, не более чем на d(Fn)'
154 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
как это следует из того, что, при т>п, Fm принадлежит Fn. Следо-
Следовательно, хп стремятся к некоторой точке х, которая принадлежит
каждому Fn как предельная точка последовательности (хп, лгп+1, ...
точек Fn. Так как d (Fn) -> 0, пересечение F^F^ ... ие содержит точек)
отличных от х. ,
Отметим, что это предложение есть обобщение на случай полных
пространств постоянно используемой в элементарном анализе теоремы о том,
что убывающая последовательность сегментов [an, ftn] арифметического
континуума, длины которых стремятся к нулю, содержит одну общую им
всем точку.
4. Двоичные множества. Пусть в полном пространстве R нам
задана система замкнутых, ограниченных, непустых множеств Vp, VM,
Vpqr, ..., индексы которых принимают только два значения 1, 2, так
что мы имеем только два множества Уъ V2 с одним индексом, четыре
множества Vu, У12> Vn, V22 с двумя индексами и вообще 2П множе-
множества с п индексами.
Пусть, далее, для каждой двоичной (состоящей из цифр 1, 2) цифро-
цифровой последовательности (р, q, r, ...) имеем:
VP2Vm2Vpqr2..., A)
причем диаметры этих множеств стремятся к нулю; пересечение множеств
такой последовательности в силу теоремы п. 3 состоит из одной точки х.
Множество всех таких точек
D^®VpVPtVvv...t B)
где суммирование распространяется на все двоичные цифровые последо-
последовательности, называется двоичным множеством. Это название выражает
только форму представления, что же касается их структуры, то мы уви-
увидим, что двоичные множества совпадают с компактными множествами
пространства /?.
Мы имеем:
D = ©yp©Vrpg©Vpgr...j C)
так что D оказывается замкнутым (в полном пространстве /?), а следо-
следовательно, полным множеством. В самом деле, множество B), очевидно,
содержится в C). Обратно, допустим, что х — точка множества C),
например х ? V^PlVP2g,V'p3gsrs • • • Так как мы имеем только конечное
число множеств V с фиксированным числом индексов, то среди индексов
множеств VPl, Vpjfr, VPiasr3, ... бесконечно часто встречается одинаковый
первый индекс рп = р, среди V с первым индексом р — бесконечно
часто одинаковый индекс qn = q, среди V с первыми двумя индексами р
и q—бесконечно часто одинаковый третий индекс гп = г и т. д. По-
Поэтому х ? VpVpqVpqr..., т. е. х точка множества B).
Диаметры множеств A) стремятся к нулю равномерно для всех
двоичных цифровых последовательностей. Точнее говоря, если обозначим
через дп наибольший из диаметров множеств с п индексами, то <?„-*• О-
(причем <5,><52><53>...).
В самом деле, если VP1, V^g,, VPsq3i.3, ... суть множества диамет-
диаметров <5Х, <52, <53, ..., то, как выше, мы заключаем, что бесконечно часто
ПОЛНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 15&
рп~р, при рп = р бесконечно часто qn = q, при pn = p, qn —Я бес-
бесконечно часто гп = г и т-. д. Следовательно, не может быть дп > д > О,
так как тогда все множества Vp, VM, VMr, ... имели бы диаметр > д.
Поэтому в силу п. 3, § 27 множество D вполне ограничено *); так как
оно еше и полно, то оно компактно.
Прежде чем доказывать обратное предложение, т. е. что компактные
в себе множества могут быть представлены как двоичные множества, мы
несколько обобщим эти последние. Пусть нам дана система непустых,
замкнутых и ограниченных множеств полного пространства R: Wi, Wib,
Wiki, ..., причем каждый индекс пробегает конечное, зависящее, вообще
говоря, от предшествующих индексов и содержащее не менее двух цифр
множество. Так что индекс i при множествах W% пробегает значения
1 = 1, 2, ..., ш; индекс к при Wik— значения k=l, 2, ..., rrii,
индекс / при Wm — значения /=1, 2, 3, ..., Шш и т. д. (т, Ши
niik, ...>2). Допустим, что для каждой составленной таким образои
цифровой последовательности (г, к, /,...)
и что диаметры этой последовательности стремятся к 0, так что пересе-
пересечение ее множеств состоит из одной точки; сумма
P = ®WiWikWm... D)
называется полиадическим множеством. Так же как и выше, заклю-
заключаем, что
Р = ©WiSWftSW»,...
и что диаметры стремятся к нулю равномерно. На самом деле Р есть
не что иное, как двоичное множество, как это вытекает из следующего
рассуждения.
Все вообще множества Wi, Wy^ ... мы будем обозначать через W, мно-
множества же, получающиеся из какого-либо W присоединением еще одного
индекса, — через W1, W2,... (например, при W = Wih: Wl = Wiki).
Затем мы построим множества Vp, Уот, ... с двоичными индексами A и 2),
которые снова будем обозначать через V\ пусть V1, V2 — множества
получающиеся из какого-нибудь V присоединением еще одного Индекса.
При этом построении V будет равно или одному из W:
V=W, (a)
или сумме нескольких W, имеющих одинаковое число индексов:
причем слагаемые выписываются в словарном порядке их индексов. Мы
начнем определение V с
г) Действительно, если л настолько велико, что диаметры всех множеств
с п индексами меньше д, мы получим <5-сетку, выбирая в каждом таком множе-
множестве по одной точке.
156 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
и продолжим его индуктивно, показав, как следует определять V1, V%
если определено V: в случае (а) полагаем \
1
з4-..., v2=u^2-i-w*4- -.;
в случае (/S) полагаем
v^w, + wm+..., w-wn + wvr+.-..
Например из первых множеств W
WnWl2Wu WaW22W&Wit WzlW3a
первые множества V получаются следующим образом:
У и = Wlt Vn - Ws, Vn = Wn+ Wa3> ^22 rjW
Vm = Wn + ^13. Vur - Wlb Vm = Wn, VU1 = WZ2,
Vm - V,!, ^212 = ^23, ^221 = Wa2, K222 - ^24,
»nil == " n> 'ma == «м-
Сразу же видим, что каждое V есть либо одио из W, либо сумма
конечного числа W, следовательно, замкнуто, ограничено и непусто.
Далее, V ^ V1, V 12 V2, следовательно, для любой двоичной цифровой
последовательности выполнены включения A).
Если имеет место случай (/5), то У1 и V2 суть суммы, каждая из
которых содержит меньше членов, чем V, и после присоединения конеч-
конечного числа индексов мы приходии к случаю (а), т. е. V — W; поэтому
каждая последовательность множеств V имеет подпоследовательность W%,
. . , а потому диаметры ее членов -> 0, причем пересечения
тождественны. Обратно, каждое W оказывается равным одному из V
и каждая последовательность W%, W^, Wikb • • • является подпоследова-*
тельностью некоторой определенной последовательностн Vv, Vpq, Vpqr,. . •
(например Wv Wi&.. .—подпоследовательности У,, Vllf V11V 1/1Ш,...)<
Поэтому порожденное множествами W полиадическое множество Р рав-^
няется порожденному множествами V двоичному множеству D. j
Компактное в себе множество Р может быть представлено как полн-|
адическое: оно может быть представлено как сумма конечного числа|
множеств Wi сколь угодно малых диаметров, например <й1, причем;
эти множества замкнуты (в Р), а потому компактны, а число их можно
взять >2. Продолжая так же, получим
, ft, tt
» ft I
где все W компактны (следовательно, полны и ограничены), диаметры
множеств, имеющих п индексов < <5„ и дп -*¦ 0; Р есть порожденное
множествами W полиадическое множество D).
ПОЛНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
157
Таким образом двоичные множества тождественны с компактами.
Рассмотрим теперь, в частности, такое двоичное множество, что Vx
и Vt не имеют общих точек *), так же как иУии Уп, Vpgi и Уотю» • •;
вообще при каждом п множества, имеющие п индексов, попарно не
пересекаются. Такое множество
называется двоичным дисконтинуумом.
Множество D эквивалентно множеству всех двоичных последователь-
последовательностей, следовательно, имеет мощность 2К» = ?} т. е. мощность кон-
континуума. Оно совершенно, и, даже боль-
больше того, в любой окрестности каждой
его точки содержится ровно К точек D;
каждая его точка есть точ>а сгущения:
fo
Ш
[о
[о
г
][
22
][
о]
о1
ш
Фиг. 1.
В самом деле, фиксировав конечное
число первых цифр, получаем множе-
множества DVP, DVPq, DVpgr,... (напри-
(например DVt равно множеству точек
X ? D, которые входят в множества
с р = 1), каждое из которых также,
как и D, имеет мощность К и диаметры
которых -»- 0; если х есть точка пересечения этих множеств, то каждая
окрестность U(x) содержит Ц точек D.
В частности, если мы имеем
Vp^V^ + Vn, Vot=dVMi + V№,..., E)
причем знаки равенства исключены, двоичный дисконтинуум D нигде не
плотен в пространстве^ /?. Ибо в любой окрестности каждой точкн х ? D
находятся точки множества
и так как эти точки не входят в D, то х ? R— D.
Полиадические дисконтинуумы (в которых множества, имеющие п
индексов, не пересекаются) тождественны с двоичными.
Классическим примером двоичного дисконтинуума служит следующее
множество, которое в силу того, что оно связано с троичными дробями,
называют также канторовским трихотомическим множеством. Обо-
Обозначим через V сегмент [0,1] арифметического континуума R1 и (заменяя
по сразу понятным причинам двоичные последовательности цифр 1, 2
последовательностями из цифр 0, 2) полагаем Vo равным левой трети V.
" f 2 1
а У2—правой трети V, V2= —, 1 , также V^t —
Фиг. 1 иллюстрирует построение, когда V есть замкнутый прямоугольник.
158 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
левой, a VPi—правой трети Vp и т. я. При этом, как нетрудно видеть,
пересечение Vp> Ут, VpgR}. .. состоит из чисел
D есть множество таких чисел х, которые допускают хотя бы одно
такое троичное представление с одними нулями и двойками, но без
единиц. Оговорка „хотя бы одно" относится к тем (троично рациональ-
рациональным) числам х сегмента [0, 1], которые допускают два троичных разло-
разложения; если одно из них не содержит единиц, такое число принадлежнт D.
Например, числа
_! 0 2 2 /_ J_ , _0, О
з ~"T"l"F'~ti"+"' ••\~з~|"з!+зг~|"'
2 2 0 0 /122
— = -з- + ~р~+"з»~ + - •' ( = "з"+зг+1г + -
принадлежат к D, а все промежуточные между ними не принадлежат,
так как для всех их р = 1.
Открытое множество, дополни-
- ¦ ~~ тельное к D, состоит из полупрямых
(—оо, 0) и A, +оо), а также из
00 О? _JL -Л- средних частей сегментов V, Vp,
— —' - — - - - — ' Vpq,. .., т. е. из интервалов [ — ,
Фиг. 2. 1Л (± ?.) (J- ±)
Так как E) выполнено, то D нигде неплотно на [0, 1], так что D не
содержит никакого интервала, как бы он мал ни был. Предел, к кото-
которому стремятся длины сумм интервалов 2 Vp> Si^w • • > называется
линейной (лебеговской) мерой множества D. Эти длины суть —- , —,
8 -
=-,.. ., следовательно, линейная мера множества D есть нуль. Кажется
парадоксальным, что множество нулевой линейной меры имеет мощность К
всего сегмента. Можно, однако, выбрать иначе длины: интервалы R1—D
короче, а суммы длин Aj, Я2, .. . интервалов, составляющих 2 Ур>
2 V-m> • ' ¦> столь медленно убывающими, чтобы линейная мера Х== НтЯ„
множества D была положительна и сколь угодно близка к единице хотя,
конечно, и меньше единицы; и тогда покажется столь же парадоксаль-
парадоксальным, что множество положительной линейной меры не содержит ни ма-
малейшего интервала.
Ясно, каким образом можно перенести эту простую конструкцию на
случай плоскости. Разобьем, например, каждую сторону квадрата V,
определенного хотя бы неравенствами 0<Х!<1, 0<*2< 1, т. е- являю-
являющегося произведением двух сегментов [0, 1], на три равные части. Про-
Проведя через точки деления прямые, параллельные сторонам квадрата, мы
разобьем его на девять равных квадратов; пусть Vv V2, V3, У4 — те
из этих квадратов, которые примыкают к вершинам исходного квад-
ПОЛНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
159
рата; V — 2 ^р есть кРест, образованный из пяти остальных квадра-
1
тов, из которых удалены некоторые из отрезков, образующих их границу.
Подобным же образом мы строим для каждого Vp квадраты VPl, Vj,^
Vpt, ]/р„ и т. д. Порожденное квадратами полиадическое множество
есть произведение двух канторовских трихотомических множеств.
Фнг. 3.
Его поверхностная мера ( предел площадей фигур ^Vp, 2 ^pg^ • • )
равняется нулю, но при небольшом видоизменении конструкции может
быть сделана положительной, хотя и меньше единицы.
5. Теоремы о мощности. II. (Г. Кантор.) Каждое совершенное непу-
непустое множество полного пространства имеет мощность не меньшую
чем К-
III. (Г. Кантор.) В полном пространстве каждое замкнутое мно-
множество, которое имеет плотное в себе ядро, отличное от нуля,
имеет мощность не меньшую чем ^.
IV. (W. H. Young.) В полном пространстве каждое множество
типа Ge (пересечение последовательности открытых множеств), которое
имеет плотное в себе ядро, отличное от нуля, имеет мощность не
меньшую чем К.
Мы предпошлем доказательству некоторые пояснения. Каждая из
этих теорем есть частный случай следующей замкнутое множество F
есть пересечение открытых множеств
где
С другой стороны, из II следует III; позже (в силу гомеоморфности
множества Ge в полном пространстве некоторому полному пространству;
§ 36, I) мы увидим, что теорема IV есть следствие III. Множества:
Gg = пересечению последовательности открытых множеств,
Fa = сумме последовательности замкнутых множеств,
160 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
образуют класс борелевских (§ 18) множеств, непосредственно следую-
следующий за классом открытых множеств G и замкнутых F; в дальнейшем
мы обобщим теоремы о мощности на борелевские множества всех
классов.
Эти типы множеств само собой относительны, зависят от простран-
пространства R, так что надо было бы, собственно, писать F(R), G((R) и т. д.
Однако, если D Q R, то, снова опуская аргумент, имеем:
F{D) = DF, G(D)=DG, Fa(D) = DFa, Ga(D) = DGi}
т. е. множества данного типа относительно D суть пересечения D с мно-
множествами того же типа относительно R. Существуют также метрически
абсолютные Fa, Gt х), которые суть Fa, Ga относительно любого объем-
объемлющего их метрического пространства. Относительно Fa это очевидно;
метрически абсолютное Fa, рассматриваемое как множество, погруженное,
например, в его полную оболочку, есть сумма последовательности метри-
метрически абсолютных замкнутых (полных) множеств, принадлежащих неко-
некоторому метрическому пространству, и обратно. Казалось бы, что несу-
несуществование метрически абсолютных открытых множеств свидетельствует
против существования абсолютных Gt, но на самом деле это не так:
три утверждения:
А есть Ga в своей полной оболочке,
А есть Gi в полном пространстве,
А есть Ga в любом объемлющем его пространстве, т. е.
абсолютное Ga,
равносильны. В самом деле, если А есть Ga в /?, то оно есть Gt и в каж-
каждом пространстве D, заключенном в R (А Я D g R); с другой стороны>
если А есть Ga в своем замыкании А, то А = AG» есть Gj и в про-
пространстве R, так как А замкнуто, следовательно, есть Gg, а пересечение
двух Ga есть сноза Gt. Отсюда следует равносильность всех трех утвер-
утверждений. Принимая во внимание юнговскую теорему IV, мы будем часто
абсолютные Ga называть множествами юнговскими. — После всего
сказанного мы можем в формулировке наших трех теорем о мощности
опустить указание на то, что идет речь о множествах, лежащих в полных
пространствах, и высказать такое предложение:
V. Абсолютное совершенное множество, абсолютно замкнутое
(полное) множество, абсолютное Ga (юнговское множество) имеют
мощность не меньшую чем К, если только их плотное в себе ядро
не пусто.
Переходя к доказательству, замечаем, что нам нужно доказать только
третью теорему, две же первых получаются попутно. Мы покажем, что
множества, о которых идет речь, содержат двоичный дисконтинуум D,
*) Метрические абсолютные множества следует отличать от топологически
абсолютных, короче, просто абсолютных, т. е. таких, которые сохраняют свой
тип относительно любого топологического пространства, их содержащего. Так,
бикомпактные пространства абсолютно топологически замкнуты.
ПОЛНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 161
причем производящими D множествами V иа этот раз будут замкнутые
сферы. Мы будем теперь различать
открытые сферические окрестности U (х, е), равные множеству точек у,
для которых о (х, у) < е,
замкнутые сферические окрестности V(x, е), равные множеству точек у*,
для которых q (х, у) < е.
Открытую и замкнутую сферы с одинаковыми радиусом и центром
будем называть соответственными. При соответственных U и V будем
ставить одинаковые индексы. (В эвклидовском пространстве U есть
открытое ядро соответственного V, V — замыкание соответственного U.)
Пусть теперь ЛзО есть плотное в себе множество полного про-
пространства R. Выберем в А две точки аъ fl2 и опишем из них как из
центров две непересекающиеся замкнутые сферы Vlf Vz; пусть Ult Uz
суть соответственные открытые сферы. Каждое из двух множеств AUP
плотно в себе (§ 25, п. 1, III), поэтому мы можем продолжить конструк-
конструкцию и, выбрав в Аир две точки аР1, а^, описать из них как из цент-
центров две непересекающиеся замкнутые сферы VPl, Vp^czUp. Каждое из
четырех множеств AUM плотно в себе и =э О; выберем в AUpq две
точки арй1) а№ и опишем из них как из центров две замкнутые непере-
непересекающиеся сферы VMl, Vpg2cUpq и т. д. Мы можем при этом выби-
выбирать радиусы сфер стремящимися к нулю, например радиусы Vp, Vpq,
Vpqr>... соответственно меньшими чем 1, -^-, — ,... Таким образом
мы получим двоичный дисконтинуум ?>, который содержится в А, так
как точка X множества ?>, входящая в VpVmVpqr... предельная для
последовательности центров аР) арй, аРдГ,... Таким образом:
VI. Если А есть плотное в себе, отличное от нуля множество
полного пространства R, то А содержит двоичный дисконтинуум
Этим доказана теорема II (если А плотно в себе, то А совершенно
и обратно), а также и III: если F замкнуто и содержит А, то FQ А 3 ?),
Чтобы доказать IV, положим, что
Ag Y = G1G^33-" (Gn — открытое множество);
мы можем допустить, что радиусы сфер выбраны таким образом, что Vp Я
Я Gj (так как ар ? бД Урй Я G2, Vm Я G3,..., а значит D Я Y.
Таким образом мы доказали все наши теоремы и сверх того нечто
большее, а именно, что множества, о которых в них говорится, содержат
совершенное подмножество D, которое принадлежит, следовательно,
плотному в себе ядру Yk множества Y.
Предположим теперь, что пространство обладает счетной базой.
Тогда каждое его множество, в том числе и У, имеет мощность, не боль-
большую чем К • Если плотное в себе ядро Yk множества У пусто,
то Y разрознено (У= У8), следовательно (§ 25, п. 1, II), не более
чем счетно. Таким образом:
VII. В полном пространстве со счетной базой абсолютное У = G}
или не более чем счетно или имеет мощность &*, смотря по тому,
отлично от нуля или нет его плотное в себе ядро Yk.
Хаусдорф. Теория множеств. il
162 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
В пространстве со счетной базой каждое замкнутое множество F
разлагается по формуле F = Fk + Fs на совершенную часть Fk и не
более как счетную часть Fs (плотное в себе ядро замкнутого множества
совершенно; стр. 127); это обстоятельство и составляет так называемую
теорему Кантора-Бендиксона. Разложение A=P-\-Q множества А
на совершенную часть Р и не более чем счетную часть Q, вообще
говоря, ие единственно: если R есть пространство рациональных чисел,
Р — множество рациональных чисел ~^>а (а — произвольное число), то
/? = Р+(/? — Р) есть такое разложение, так как Р совершенно в R.
В полных же пространствах со счетной базой такое разложение, если
оно вообще возможно, единственно; а именно, получаем Ay = PY -\-QY =
= р -|_ 0 = Р; .следовательно, разложение осуществимо только тогда,
когда Ау Я А (в частности, для замкнутых множеств) и притом только
в виде:
А = Ау + (А—Ау) = А. + Аи)
для абсолютных Ge это совпадает с разложением А = А^ + As.
Счетное множество А полного пространства R, имеющее непустое
плотное в себе ядро, заведомо не есть Gd, так как если бы оно было Ge,
оно бы имело мощность К. Но, как и всякое счетное множество,
оно есть Fc.
Пример. Множество рациональных точек в эвклидовском простран-
пространстве. Его дополнение есть Gd, а не Fa.
6. Множества первой и второй категории. Мы обращаемся к рас-
рассмотрению вопросов, связанных с плотностью множеств (преимущественно
в полных пространствах). Основным результатом в этой области является:
VIII. (Теорема Бэра.) Если Мъ Mz,... нигде не плотны в полном
оо
пространстве R, то R — <5Mk плотно в R.
Достаточно доказать, что в каждом открытом множестве G a R
СО
содержатся точки N=R— © Mk. Так как 7Wft нигде не плотны в R
fe=i
и замкнуты, их дополнения плотны в R, так что существует окрестность
t/i Я G такая, что
fVWj с JjxMx = 0.
Далее, так как U-fi открыто, существует U2, Uz Q UXG такая, что
t/2M2 = О; вообще, если построена Uk такая, что Uk != Uk-iG, можно
найти Uh+i такую, что
Uk+i S UkG и Uk+iMk+1 = 0.
Пересечение
D = uJJt • ¦ •
содержит точку х, которая не принадлежит ни одному из Mk, следо-
оо
вательно, не принадлежит и М = © Mk, ч. т. д. Отсюда следует, что
fci
ПОЛНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 163
полное пространство не может быть представлено как сумма счетного
числа нигде не плотных в ием множеств.
IX. Пересечение последовательности открытых плотных в полном
пространстве R множеств — плотно в R.
Действительно, если Glt G2,... плотны в R, то их дополнения
со
Fk — R—Gk нигде' не плотны в R, а значит R— © FftsrGjGa--»4
fl. =1
плотно в R.
Эго предложение есть усиление легко доказываемого замечания, что
пересечение конечного числа открытых плотных в любом топологическом
пространстве Е множеств — плотно в Е.
Множество А называется (Бэр) множеством первой или второй
категории в М Q R *), смотря по тому, является ли оно суммой (ко-
(конечной или счетной) последовательности нигде не плотных в М мно.
жеств нли нет. Множества первой категории в М мы будем обозначать Мъ
второй — M1V По самому определению:
X. Сумма конечного или счетного числа множеств первой кате-
категории в М есть множество первой категории в М.
XI. Если А — первой категории в М, то и всякое А* а А — также
первой категории в М. Если А — второй категории в М, то и всякое
А*эЛ — второй категории в М.
Ибо если
A = Al+At+--; то A* = A1A*
н если Av Az,... нигде ие плотны в М, то (§ 23, п. 2, II) АгА*,
А%А*, АдА*,... также нигде не плотны в М, откуда следует первая
половина теоремы. Вторая половина есть очевидное следствие первой.
XII. Если А — первой категории в М, то А—первой категории
в каждом М*^М. Если А — второй категории в М*, то оно вто-
второй категории и во всяком таком М, что A Q M Q М*. Это есть
следствие § 23, п. 2, ,1.
Если само М есть Мг, то по XI в М не существует никакого Мп,
Если же М есть Ми, то оно не может быть суммой двух Mv следо-
следовательно, М — Мг также есть Мц. Теорема VIII может быть перефра-
перефразирована так: полное пространство R есть Rn (второй категории
в себе самом); в самом деле,/?—/^гэО, следовательно, R не может быть
первой категории в себе самом. Ниже мы увндим,что абсолютное Ga гомео-
морфно полному пространству (§ 36, I). Отсюда следует, что метрически
абсолютное Gs (в частности, открытое множество полного пространства)—
второй категории в себе самом. Это нетрудно доказать и непосред-
непосредственно, модифицируя доказательство VIII.
То обстоятельство, что по удалении из М = Ми части Мг остается
множество типа Ми, наводит на мысль, что подмножество М первой
категории в М составляет „несущественную" часть М, в то время как
1) Тут под R подразумевается метрическое пространство.
' 11*
164 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
его дополнение М—Мг есть основная, более „массивная" часть М-
Однако такое представление может противоречить нашей интуиции. Так,
всякая изолированная точка \х\ множества М есть множество Ми, ибо
М— [х\ не есть плотное в М множество. Вот еше пример: пусть / есть
/ /72 1 \ ^
множество точек плоскости I — , —J, где п пробегает последователь-
последовательность 1, 2, 4, 8,..., а т — все целые числа = 0 (фиг. 4), М= /+/'(/' есть
прямая х2 = 0). М — /' плотно в М, Г нигде не плотно в М, следова-
следовательно, / есть УИП, /' есть Mv хотя /' и „массивнее", чем /.
Для дальнейшего (гл. VII, IX) нам понадобится остановитьея на двух
классах множеств, являющихся обобщениями абсолютных Gs-
Множество М называется F'^множеством, если каждое его замкну-
замкнутое подмножество Fz>0 — второй категории в себе самом (есть РЦ).
М называется Gn-множеством, если каждое его открытое^подмножество
• * • G =э 0 — второй категории в
себе самом (т. е. Gn).
/ ' Условие, определяющее
..... Ри-множества, может быть
t ослаблено в том отношении, что
• •••••••^» можно требовать только, чтобы
. . . каждое совершенное Р было
" Рп, ибо множество F, содер-
Фиг. 4. жащее изолированные точки,
есть Fu.
Условие, определяющее вд-множества, может быть заменено требо-
нием, чтобы каждое открытое в М подмножество G=dO было Мп, ибо,
во-первых, если G есть Gr то оно есть и М^, во-вторых, если G есть М^
то также и Gp последнее есть следствие того замечания, что если
AczGczM и А — первой категории в М, то А — первой категории
в G; это, в свою очередь, есть слецствие § 23, п. 2, IV.
Таким образом G имеет одну и ту же категорию как в себе, так
и в М (в то время как замкнутое F может быть Fu и М^. таково,
например, любое замкнутое нигде не плотное множество в М = /?2).
Далее, имеем:
XIII. М есть Gn тогда и только тогда, когда всякое М — М,.
плотно в М.
Ибо если все М — Мг плотны в М, то G=dO не может быть Мъ
так как М — G = FсМ не есть плотное в М множество. Если, на-
наоборот, М есть Gn множество, А ест* Mv то в G — (M — A)G + AG
второе слагаемое есть Mv потому первое слагаемое есть Ма, следова-
следовательно, больше нуля. Таким образом из G => 0 следует, что {М — A)G=)
гэ 0, т. е. что М — А плотно в М.
XIV. Если М есть Gn-множество, то и М—Мг есть Gn-мно-
Gn-множество. Ибо если А в М, & В в М — A — D суть множества первой
ПРОСТРАНСТВО МНОЖЕСТВ - 165
категории, то В и А + В — первой категории в М, следовательно,
М — (-А + В) = D — В плотно в М, а тогда плотно и в D; D есть
множество, в котором D — Dj плотно, следовательно Gjj-множество.
Абсолютное Gs есть ^-множество; мы далее увидим (§ 39, п. 2),
что существуют Fjj-множества, не являющиеся абсолютными Ga.
Все Fn-множества суть Gn-множества. Пусть М есть Gn-Mno-
жество, бгэО открыто, G = F, G—G=H — граница G. Н нигде не
плотно в 6? (как замкнутое множество, дополнение которого G—Н =
— G плотно в G); итак, Н есть Fv но тогда G есть Fn, а тогда оно
в силу XII есть Gn.
Существуют Оц-множества, ие являющиеся /^-множествами.
Пусть М = R2, А — множество иррациональных точек (i, 0) на
оси х-ов; тогда А есть Mv a D = M — А есть бд-множество (по XIV).
Но оно не есть /^.-множество, так как замкнутое в D множество рацио-
рациональных точек (г, 0) оси х-ов — первой категории в себе самом.
Сделаем еще одно замечание относительно множеств Fa, т. е. мно-
множеств, представимых как сумма счетного числа замкнутых множеств.
Каждое нигде не плотное в М множество А есть подмножество замкну-
замкнутого, нигде не плотного в М- множества Л, отсюда каждое Мг есть
подмножество некоторого Fg — Mr Таким образом множества/^, имею-
имеющие первую категорию в М, суть максимальные множества первой кате-
категории в том смысле, что оии и их подмножества доставляют все
множества Мг
Для того чтобы 'А = Fg было Mv достаточно, а если М есть
G^-множество, то и необходимо, чтобы М — А было плотно в М.
Ибо если А = ©Fn и М — А плотно в М, то и подавно М — Fn
плотно в М, следовательно, Fn нигде не плотно в М, А есть Мг Вто-
Вторая половина есть следствие XIII.
Если пространство М есть Fn - множество, то каждое А —
==G,jZ3 0 — второй, категории в себе самом. Ибо F = A есть Fu;
есть Fa, следовательно, так как его дополнение А плотно в F, F— А —
первой категории в F; итак, А — второй категории в F, а значит, по
XII, и в себе. В Fa- множестве каждое Ge, в частности, каждое замкну-
замкнутое (открытое) подмножество есть /^-множество. Каждое открытое
подмножество Gn-множества есть Gn-множество.
§ 29. Пространство множеств
1. Топологическая сходимость. Пусть нам даиа последователь-
последовательность Мъ Ж2,- . . . , Mh, . . . множеств топологического простран-
пространства R. Верхним топологическим пределом последовательности It Мъ
называется множество таких точек х, каждая окрестность U(x) которых
пересекается с бесконечным числом множеств Мъ.. Множество It Ми
166 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
точек, каждая окрестность которых содержит точки почти всех Mk, на-
называется нижним топологическим пределом. Очевидно, It Ми 2 It Ми-
Если А = It Affc=lt Mk, последовательность yW/j называется сходящейся,
а множество А — ее пределом; в ыом случае пишут
A=\tMk.
Верхний и нижний топологические пределы суть замкнутые мно-
множества, ибо если у есть точка прикосновения HMk (соответственно
It /Ид), то всякая U (у) содержит х ? It Mk (соответственно x?liMk),
т. е. содержит U(x), и, следовательно, точки бесконечного числа (соот-
(соответственно почти всех) Mk-
При переходе от последовательности к подпоследовательности верхний
топологический предел не возрастает, а нижний не убывает. Поэтому
если последовательность имеет топологический предел, то тот же
предел имеет и любая ее подпоследовательность.
Примеры. Для последовательности А, В, А, В, . . . (
_ _
ltMk = A + B, UMk = AB.
(x Л*
-тМ = 1, ТО
есть пара прямых хг — ± 1.
2. Отклонение двух иножеств и метрическая сходимость. Мет-
Метрическая сходимость последовательности множеств определяется с по-
помощью особого рода расстояния, называемого отклонением двух мно-
множеств. Отклонение а(М, N) множеств М, N ограниченного метрического
пространства R есть нижняя грань таких чисел а, что
U(M,aJN, U(N,aJM.
а(М, N) = а означает, что для любой точки х?М найдется точка y?N
такая, что их расстояние сколь угодно мало превосходит а. Очевидно, что
а(М, N)>0,
а (М, N) = a (N, М),
а(М, М) = а(М, jW) = O.
Далее, отклонение удовлетворяет неравенству треугольника:
а (Мъ М2) + a (Mz> М3) > а {Мъ М3).
Это легко следует из того, что если М9 Я U (М1у а{), М3 Я U(Mi}a^,
то Ms Q U(MU a! + a2).
а (/И, ЛГ) = 0 тогда и только тогда, когда М и N принадлежат
к одному классу плотности, т. е. если М = N. Действительно, если
х?М, x?N, то q(x, N) = d>0, следовательно N, при a<_d, не
может содержаться в U(M,a), a(M,N)>d> 0. Наоборот, если М — N,
то по неравенству треугольника
а{М, N)<a(M, 1Й) + а(М, ЛГ) + a (N, N) 4= 0.
В частности, для двух различных'замкнутых множеств М, N а (М, N) > 0.
ПРОСТРАНСТ ВО МНОЖЕСТВ 167
Установленные свойства отклонения показывают, что если принять за
расстояние между двумя классами плотности отклонение любых двух
множеств, принадлежащих соответственно этим классам плотности, —
множество классов плотности обращается в метрическое пространство.
Так как в каждом классе плотности имеется одно и только одно замкну-
замкнутое множество, пространство классов плотности изометрично простран-
пространству F(R) замкнутых в R множеств (расстояние двух множеств F(R)
есть их отклонение). Таким образом можно говорить о сходимости
последовательностей классов плотности и замкнутых множеств. Если Мъ
М.2, . . . суть любые множества пространства R, a <fflb ЗО^. • • • —их
классы плотности, говорят, что Мг, Мг, . . . сходятся к замкнутому
множеству А класса ЗЛ, и пишут
А = lm Ми,
если классы 'ЭЛь -*¦ |ЭЛ, т. е. если lim a (A, Mk) = 0.
Мы обращаемся к выяснению связи между топологической и метри-
метрической сходимостью.
I. Если существует ImAfj, то существует и ММ^,и эти пределы
совпадают.
Пусть A=-lmMk, х?А. Тогда существует точка Xfc?Afft такая, что
в(х, xh)<a(A, Mft) + -*-, следовательно, &(x,xk)-*0, х ? It Mk;
AQltMk- Остается показать, что \tMkQA. Действительно, если у^А
и в то же время у ? It M^, мы бы имели (в силу замкнутости А)
р(у,'Л) = р>0. Так как в Uyy, -~Л существуют точки множествMk
со сколь угодно большими номерами, а (Л, М^)~>-^ для бесконеч-
бесконечного числа номеров, что нелепо.
II. 'Если последовательность Mk—фундаментальная (в смысле мет.
рики отклонений), то ММ^= ltAfft.
|
Пусть х?А = ИМь и пусть, при Л, к> п, a(Mk, Мь) < -|-. Суще-
Суще|
ствует р>п такое, что q(x, Мр) < —¦, следовательно, есть такая точка
-|- Так ка
что q(x, x')<-|-. Так как, при т>п, а(Мт, Мр)<-^-, то
в Мт есть точка Хт такая, что q (х', хт) < ~, а тогда q (x, xm) < е;
ввиду произвольности т>п отсюда следует x?ltMft, ч. т. д.
В случае если R есть компакт, теорема I допускает полное обраще-
обращение: из существования ltMj. следует существование 1тМ& и их совпа-
совпадение. Пусть, в самом деле, A = ltMfc. Допустим, что А не есть метри-
метрический предел Mft. Тогда существует подпоследовательность МР) для
которой а(А, Мр)>е. Так KaK.ltMft = ltMp = А, то можно принять
Мр за основную последовательность. Итак, надо показать несовмести-
несовместимость двух соотношений
a(A, Mk)>e>0 (к~1,2, . . . )•
168 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Последнее неравенство означает, что для каждого к существует
1) либо xk?Mk, q(xu, A)>e,
2) либо ah?A, q (ak, Mh) > е.
Хотя бы один из случаев 1), 2) реализуется для бесконечного числа
номеров к. Переходя, если нужно, к подпоследовательности, можем
предположить, что 1) [соответственно 2)] имеет место при всех к и что
последовательность х^ (соответственно a.k) сходится к точке X (соответ-
(соответственно а). В случае 1) х? \tMh = A, в то время как д(х, А)>е.
В случае 2) о (а, М^) !>е, следовательно, а ? А, в то время как, по
замкнутости А, Пта^ = а^Л. В обоих случаях мы пришли к противо-
противоречию. Таким образом:
III. В компактном метрическом пространстве понятие метрической
сходимости совпадает с понятием топологической сходимости.
IV. Если R есть компакт, последовательность Mk сходится тогда
и только тогда, когда она фундаментальная.
Необходимость очевидна. Достаточность следует из II с помощью
замечания, что если R есть компакт, то It M^ ф 0 для любой по-
последовательности; чтобы в этом убедиться, стоит только выбрать
по точке Xfc?Mft и из Xk выделить сходящуюся подпоследовательность
T
V. Если R есть компакт, пространство замкнутых множеств F(R)
такж» есть компакт.
Доказательство основано на следующих замечаниях:
а) Пусть нам даны множества Flt Fzcz R и конечное число то-
точек сц таких, что
U(ai} e)Fxф 0, U(au e)Faф 0 (г = 1, 2, . . . , s);
тогда а(ръ F2) < 2е.
Действительно, каждая точка U(ui, e) отстоит меньше чем на 2е от
тех (заведомо имеющихся) точек Fь которые входят в f/(fli, e), так что
U Q U(FU 2s), и совершенно также U Q U(F2, 2e), что в соединении
с Fj с: U, F2 c= U дает:
a(U, Fi) < 2e, a(U, Ft) < 2e, а {Flt Ft) < 4e.
b) Если R—компакт, то из любой последовательности множеств Mh
можно выделить такую подпоследовательность Мр, в которой любые
два множества имеют отклонение меньше 4е.
ОО
В самом деле, положимF = 2 ^k- По компактности (следовательно, би«
1
компактности) R существует конечное покрытие Асферическими окрестно-
окрестностями радиуса, меньшего е; пусть это покрытие есть ?/1( t/2, • • • , Us.
Обозначим через Uh сумму тех окрестностей этого покрытия, которые пере-
пересекаются с Affc. Так как различных множеств Uh — конечное число (не
больше, чем подмножеств множества индексов {1, 2, . . . , s}), то
СВЯЗАННОСТЬ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ 169
существует бесконечное число индексов къ kz, . . . , ki, . . . , для
которых
Ukl= Ф = . . . = Uki = . . . «. U;
применяя а) к паре Fx — Mki, F2 = Mhh, получаем a (Mki, Mhh) < 4e,
что и устанавливает Ь).
Переходим к доказательству V. В силу замечания Ь) находим в Mlt
М2, . . . подпоследовательности
Мл, МР2, . . . , МРп, . . .
Mqi, Мй„ . . . , Мйп, - ...
мЛ) мГ2, ..., мГп,
из которых каждая есть подпоследовательность предыдущей, такая, чтобы
в п-й подпоследовательности отклонение двух любых множеств было < —.
л
„Диагональная" последовательность Мп, MQi, МГг, . . . есть фунда-
фундаментальная, следовательно, сходящаяся, ч. т. д.
§ 30. Связность в метрических пространствах
1. Локальная связность. Пространство R называется локально
связным', если в каждой абсолютной окрестности любой точки x?R
существует содержащая х область (гл. VI, § 23, п. 4). Иначе можно
сказать, что пространство R локально связно, если существует база
этого пространства (гл. VI, § 22, п. 4), состоящая из областей. Локально
связное пространство может и не быть связным; так, в изолированно»
пространстве каждая точка есть область, поэтому всякое изолированное
пространство локально связно. Простейший пример не локально свя-
связного пространства есть множество /?={1, —., «—-, . . . , 0}; един-
единственное содержащее точку 0 связное множество есть состоящее иа
одной точки множество {0}, которое не является областью. Пример свя-
связного, но не локально связного множества будет приведен ниже.
Rn суть локально связные пространства, так как сферические окрест-
окрестности этих пространств суть области (ибо каждые две точки такой
окрестности могут быть соединены с центром прямолинейным отрезком).
Мы назовем разложение множества
Af= A + B+C+ ...
на сумму (конечную или бесконечную) попарно непересекающихся сла-
слагаемых естественным разложением, если каждая компонента множества М
содержится в одном слагаемом, т. е. если слагаемые суть отдельные ком-
компоненты или суммы компонент.
I. Если Ж=Л + б + С+ ... есть естественное разложение
множества М локально связного пространства, то
Mr = Ar + Br + Cr+ ...
Mg = S, S = Ag +Bg + . B)
170 МЕТРИЧеСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Таким образом в этом случае открытое ядро, край и граница суммы
просто зависят от открытого ядра, края и границы отдельных слагаемых.
Чтобы доказать A), стоит только вспомнить, что вообще (гл. VI,
"§ 23, п. 1)
Мг 2 А + Вг + . . . , Мт Q Ar + Br
r
-с другой стороны, пусть х?Ми G(x)— связная окрестность х; G(x)
содержится в одном каком-нибудь слагаемом, скажем, в А, тогда х ? A
MA
Для доказательства B) рассмотрим дополнение N — R— М\
R — A = N +В + С + . . . ,
(Я— А\ QNr + Br + Cr+ ...,
Ад = Аг + (R — А)г Я Nr + Аг +ВГ + Сг+ . . . =Nr + Mr = Mg,
так что Мд 2 Ад+ Вд + . . . , а по замкнутости Мд, Мд~2 S. С другой
стороны,
MgQS, C)
каково бы ни было разложение М = А + В + ... (тут не предпола-
предполагается, что разложение естественное). Действительно, если х ? Мд,
О (х) — связная окрестность х, то, так как х есть точка прикоснове-
«ия как М, так и N, G(x) содержит точки обоих этих множеств; если,
скажем, G(x) содержит точку N и точку А, то G(x) содержит и точку Ад
{§23, п. 4, VII), x?S.
При естественном- разложении на конечное число слагаемых B) упро-
упрощается: Mg = S = Ag+ Вд+ . . .
II. Пространство локально связно тогда и только тогда, когда
компоненты открытых множеств суть области.
Ибо если М открыто, то по A) А, В, С, ... — открытые множе-
множества; в частности, открыта компонента. Если же компоненты открытых
множеств суть области, то для всякой х компонента множества U (х),
содержащая х, есть область, что и обозначает локальную связность.
Вот применение C):
Связное локально связное пространство, являющееся Fn - мно-
множеством, не может быть разложено на счетную сумму непересекаю-
непересекающихся замкнутых слагаемых. (Так как каждое полное пространство
есть Fu - множество, то теорема, в частности, верна для полного R.)
Д /? /7 ^7 (F 0 ) R
Допустим, что /? = /7i,+ ^72+ • • • (Fn =э 0 и замкнуты); так как
связно Нп = (Fn)r n 0; Н -=Н\ + //2 + . . . замкнуто, как дополне-
дополнение 2 (Fn)i- Для границы R —F, = Fz + F3 -f- . . . , по C), получаем:
т. е. H2-\-Hs+ . . . плотно в Н, Hlt а также каждое Нп нигде не
плотно в Н, что противоречит допущению, что R является Fn - мно-
множеством. Это усиление свойства связности, исключающее разбиение не
только на конечное, но и "на счетное число замкнутых слагаемых, имею-
имеющее, например, место в Rn и /?°°, мы иначе установим для связных ком-
компактов (континуумов, см. дальше п. 3).
СВЯЗНОСТЬ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ 171
Нами дано определение локальной связности всего пространства. Есте-
Естественно назвать R локально связным в точке х, если каждая U (х)
содержит область G(x) (x?G(jc)); однако целесообразно несколько
ослабить это условие: по определению пространство R локально связно
в точке х, если каждая U(x) содержит связное подмножество С, для ко-
которого х — внутренняя точка (х ? С{); под С можно, в частности, под-
подразумевать содержащую х компоненту U(x).
III. R локально связно тогда и только тогда, когда оно локально
связно в каждой своей точке.
Действительно, если Сх есть компонента U (х), содержащая х, у ? Сх,
U (у) Q U(x) и Су есть содержащая у компонента U(y), то Сх + Су
есть связное подмножество 0(х), следовательно, оно совпадает с Сх,
Су Q Сх. Это обозначает, ч?о если R локально связно в каждой точке,
Сх состоит только из внутренних точек, т. е. что R локально связно.
Обратное предложение тривиально.
Свойство локальной связности может быть формулировано еще иначе
(St. Mazurkiewicz). Обозначим через ху нижнюю грань диаметров d(C)
всех ограниченных связных подмножеств С czR, содержащих х и у; если
таких подмножеств нет, ху не определено. Очевидно, что xy>Q(x, у);
если ху и уг существуют, то существует и
что легко обнаруживается, если заметить, что при ЛВ=>0
<; d (A) + d (В). Таким образом, если ху существует, оно обладает
свойствами расстояния в метрическом пространстве.
IV. Пространство локально связно в точке х тогда и только
тогда, когда ху -*¦ 0 при q (х, у) -> 0.
Условие это, конечно, обозначает, что для любого #> 0 существует
такое а > 0, что при q (х, у) < or, ху существует и < д.
Допустим, что условие выполнено; рассмотрим f/(x, б), U {x)a) = U.
Каждая у ? U может быть соединена с х связным множеством Си," для
и
которого d (Су) < д. Множество С = © Су связно (§ 23, п. 4, IV) и
У
содержится в U (х, д), так как каждая его точка удалена от х меньше
чем на д; Сэ U, а потому х — внутренняя точка С, R — локально
связно.
Если, обратно, R локально связно в точке х, рассмотрим U(x, д)
(д—любой радиус); С, содержащая X, компонента множества U(x, 6),
имеет х внутренней точкой, следовательно, содержит некоторую сфери-
сферическую окрестность U(x, а). Тогда, при q(x, у)<а, гу <; d(С)<;2<3«
Пример. Пусть гп есть точка плоскости ?г] с координатами | = -^-,
»? = (—1)" (л = 1, 2, . . . ). Сумма отрезков [гъ г2], [г2, г3], . . . есть
бесконечно звенная ломаная
R — [Г\, rit r
a,
178 МЕТРИческиЕ пространства
для которой каждая точка отрезка
предельна. Множество /?* = /? + S, рассматриваемое как пространство,
связно, но локально не связно во всех точках S. Ибо, если связное мно-
множество Сс=/?* соединяет точку s(S с точкой
г ? R, то оно должно пересечься с каждой из
прямых | = const., лежащих между s и г; но
тогда С содержит целый бесконечно звенный мно-
многоугольник (гп, гп+г, . . .) и d(C)>2, так что
sr не -> 0 при q(s, г) -*¦ 0.
В отличие от связности локальная связность
не сохраняется при непрерывном отображе-
отображении: это следует из того тривиального замеча-
замечания, что всякое множество есть непрерывный
образ изолированного (а следовательно, ло-
локально связного пространства).
Тем не менее имеет место:
V. Пусть X есть компакт, Y — его не-
непрерывный образ. Если в каждой точке Х—у> (у),
являющейся прообразом точка у ? Y, множе-
Фиг. 5. ство X локально связно, то и Y локально
связно в точке у.
Пусть у„-> у; требуетсТ доказать, что уу„-*О; пусть, хп = у)(Уп)
суть (произвольно выбранные) прообразы точек у„; по компактности,
Хп содержат сходящуюся подпоследовательность хр-*х;ур = <p(xp)-*q>(X),
следовательно, у = ?>(х), Д = ^(У) [есть прообраз у. Так как X ло-
локально связен в точке X, ххр-*-0; это означает, что почти все ХР могут
быть соединены с X связным ^множеством ЛраХ, диаметр которого
стремится к нулю при р-*со.
Тогда у„ и у соединимы связными подмножествами Yp = <р (Хр); по
равномерной непрерывности отображения диаметры Yp стремятся к нулю.
Следовательно, уур -*¦ 0, т. е. последовательность ууп (в которой, возмож-
возможно, определены не всеЦчлены) имеет подпоследовательность, стремящуюся
к нулю. То же самое имеет место для каждой подпоследовательности yyv,
а потому вся последовательность ууп-*О, нбо в противном случае суще-
существовала бы подпоследовательность yyv, все члены которой либо не опре-
определены, либо ~>д>0.
В частности, непрерывный образ локально связного компакта есть
локально связный компакт.
2. E-сцепленность и связность в контактах. Конечное множество
точек (хх, Xz, . . . , хп) называется 8-цепочкой, если все расстояния:
e(*i, х2). е(*2> *з)> • • • . е(*п_ь х„) не превосходят д; если все точки
й-цепочкн принадлежат М, говорят, что Xj и Х„ д-сцеплены в множе-
множестве М. Множество М й-сцеплено, если E-сцеплены любые две его
точки. Нижняя грань таких чисел д, что точки х, у могут быть E-сцеп-
СВЯЗНОСТЬ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ 173
лены в М, обозначаются через ху (хотя это и не отражено в обозначе-
обозначении, ху, конечно, зависит от множества М). При д>х~у точки X, у
<5-сцеплены в М, при д < Ху не существует соединяющей их E-цепочки.
ху удовлетворяет аксиоме треугольника в следующей усиленной форме:
xz< max [ху, ~уг); D)
действительно, если х и у ^-сцеплены, у и г E2-сцеплены, то х и Z
E-сцеплены_при д =niax[dj, 3J. Очевидно, яу <{?(.?, у), откуда сле-
следует, что ху есть непрерывная функция от х, у. Естественно положить
хх = 0; однако ху = 0 вовсе не обозначает, что х = у, а только то,
что X, у E-сцеплены при любом д > 0. Так, в множестве рациональных
чисел для любых двух чисел г1( г2 имеем г^гг = 0.
Множество всех точек у ? М, для которых ху < д, называется д-ком-
понентой точки-л; в М и обозначается Кв(х).
Расстояние каждой д-компоненты до ее дополнения в М всегда >E.
Действительно, если Q(Kt{x), М — Kt(x))<d, то существуют
у?Кв(х), z?M — Ке(х) такие, что q (у, z) < д, следовательно, yz <д,
Л2< max[;cy, yz] <ё, что противоречит определению компоненты. От-
Отсюда следует:
VI. д-компонента и ее дополнение в М замкнуты в М.
Таким образом М распадается на замкнутые д-компоненты, попарные
расстояния которых ~>д. Связное множество при любом д состоит из
одной д-компоненты, т. е. для любых двух точек связного множества
ху = 0. Что это утверждение не допускает обращения, показывает не-
несвязное множество рациональных чисел х). Разбиение множества на
<3-компонентны есть грубое, видное, так сказать, „невооруженным глазом"
нарушение связности. Возможно и более тонкое, „микроскопическое"
нарушение связности, именно разложение на замкнутые (в М) подмноже-
подмножества с нулевым расстоянием (например, разложение рациональных чисел
на числа >У~2 и < \/2 ). Однако в одном важном случае это утвер-
утверждение допускает обращение, а именно, если М — компактно. Ибо
в этом случае, при разбиении М — P + Q на замкнутые в М слагаемые,
Р, Q замкнуты и в R, а потому q(P, Q) — q>0 и для любых двух
точек х ? Р, y?Q ху не меньше, чем q: компакт, в котором для любых
двух точек ху = 0, связен. Таким образом имеем:
VII. Для того чтобы компакт С был связен, необходимо и доста-
достаточно, чтобы ху = 0, каковы бы ни были X, у?С.
Назовем 0-компонентой множество Ко (х) тех точек у ? М, для ко-
которых ху = 0. Очевидно,
(х)..., E)
() 1)
*>0 т т
а потому ^-компоненты суть замкнутые в М множества.
х)_Кантор называл множество связным, если для любых двух его точек
X у: ху = 0.
174 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Из того, что для любых двух точек связного множества ху = 0,
следует, что компонента К(х) точки х содержится в ее О-компоненте
К0(х). Если М компактно, то К0(х), будучи замкнутой в М, компактна,
а тогда, по VII, связна, так что в этом случае:
VIII. Компоненты компакта совпадают с его ^-компонентами.
Пусть М есть компакт и
М = Р + Q +/?+...
его разложение на компоненты. Нетрудно видеть, что для любых двух
точек р?Р, q?Q число pq одно и то же; иначе говоря, оно опреде-
опредеР Q б б 3PQ)
р? q?Q pq ,
ляется полиостью компонентами Р, Q, мы его будем обозначать
Введя в множестве компонент метрику 8{Р, Q), мы обращаем его
в метрическое пространство, называемое пространством компонент ком-
компакта М и обозначаемое через М{К). Пространство компонент М (К)
есть непрерывный образ М.
Чтобы доказать это, поставим точке р?Р в соответствие /(р) = Р;
если хп-*х{х, Хп^М), то q(x, *„)-»-0 и подавно ХпХ->0, следова-
следовательно, Хп = f(xn)-*X = f(X). Отсюда следует, что пространство ком-
компонент компакта компактно.
Если р, q суть точки различных компонент Р, Q множества М,
О < q < pq, то Ке(р) и ее дополнение в М, т. е. множество Qe(p) =
= М—Ке(р) замкнуты в М, следовательно, их образы в М(К) также
замкнуты (§ 27, п. 7, XVII), так что Р, Q не могут принадлежать связ-
связному подмножеству М(К): пространство компонент вполне несвязно
(§ 23, п. 4). Так как М(К) полно и обладает счетным всюду плотным
множеством, то согласно § 28, п. 5:
IX. Множество компонент компакта либо не более как счетно,
либо имеет мощность континуума.
X. Вполне несвязные совершенные компакты совпадают с двоичными
дисконтинуумами.
Пусть М есть компакт. Берем 8 > 0 и образуем максимальное мно-
множество таких точек хь Xt,.. .Хп, что XiXj >д(и, следовательно, q (Xi,Xj) >д).
Для каждой точки X ^ М найдется точка Xi (i = 1, 2,... ,ri) такая,
что xXi^.d (иначе Х11«--,ХП не было бы максимальным множеством),
и притом единственная (ибо иначе XiXk^d). Мы получаем разложение
М = KaiXj) + . . . + К5 (Х„) = 2 Кг. F)
2
Если М вполне несвязно, то при ху -*¦ 0 q (х, у) также -*¦ 0 и при-
притом равномерно, т. е. каждому а > 0 соответствует д > 0 такое, что
при ху < д q (х," у) < а. Действительно, в противном случае существо-
существовала бы последовательность пар точек, для которой Хпуп-*-
причем, переходя в случае надобности к подпоследовательности, можем
считать, что хп -* X, уп -* у, откуда следует ху = 0, q(x, y)>f. Мы
бы получили, что две различных точки принадлежат к одной компоненте
СВЯЗНОСТЬ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ 175
Таким образом при любом в > О М можно разбить на сумму конеч-
конечного числа компактов, диаметры которых ^ е.
Если М — совершенно, то слагаемые F) также совершенны, ибо
оии открыты в М, следовательно, плотны в себе. Итак, все Ki суть
совершенные, вполне несвязные компакты и к ним можно применить
тот же процесс:
i k t
причем можно считать, что диаметры множества с л-индексами < —
и, кроме того, столь, малы, чтобы каждая сумма содержала не меньше
двух слагаемых К. Тогда
есть полиадическое множество, следовательно, может быть представлено
и как двоичное.
Наоборот, каждый двоичный дисконтинуум
есть множество вполне несвязное. Ибо если С QM связно, то так как
С = СКХ + CV2 не есть разбиение, С содержится в одном из Vp, следо-
следовательно, в ОДНОМ ИЗ Vpq, В ОДНОМ ИЗ Vpqr И Т. Д., Т. е. С = VpVpqVpfr-- -
состоит из одной точки. X доказано. Из X следует:
XI. (Александров.) Каждый компакт есть непрерывный образ дискон-
дисконтинуума. Два вполне несвязных совершенных компакта— гомеоморфны.
Пусть '
есть представление вполне несвязного совершенного компакта М в виде
двоичного множества. Все множества V замкнуты; поэтому попарные
расстояния множеств V с фиксированным числом л индексов положи-
положительны; пусть еп — наименьшее из этих расстояний. Если х, | суть две
различные точки М и если в соответствующих последовательностях ин-
индексов первые (л—1) индексов совпадают, а л-е индексы различны,
е(х, |)^-?п, отсюда следует, что при q(x, |) -¦ 0 число первых совпада-
совпадающих индексов в соответствующих X, | последовательностях индексов
неограниченно возрастает. Пусть, с другой стороны,
есть двоичное представление произвольного компакта N (§ 28, п. 4).
Точке х ? VpVpqVpqr.. .ставим в соответствие точку у ? WpWpqWpqr-..
(определенную той же последовательностью индексов, что х).
Полученное отображение у=дэ(х) множества М на N непрерывно.
Ибо если дп есть максимальный из диаметров множеств W с п индекса-
индексами, то для двух точек у, т), у которых совпадают первые п индексов,
Q (У> V) <^ 8п\ если о (х, |) -> 0, то число л совпадающих у X, I (следо-
176 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
вЗтельно, и у у, rj) индексов неограниченно возрастает, а тогда дп-*-0,
q (у, rj) -* 0. Если, сверх того, N совершенно и вполне несвязно, то
указанное отображение взаимно однозначно, а потому (§ 27, п. 7, XVIII)
гомеоморфно.
Таким образом если выбрать какой-нибудь вполне определенный ком-
компакт (скажем, канторовское совершенное трихотомическое множество
или само множество двоичных числовых последова-
последовательностей (р, q, г, ...), метризованное, как указано
в § 21, п. 2, пример 5, т. е. так называемое бэ-
ровское двоичное пространство), то все компакты
получаются как непрерывные образы М. Что же
касается совершенных, всюду разрывных компак-
компактов, то все они топологически тождественны.
Фиг. б. 3. Теорема Янишевского и ее применения.
По определению связный компакт называется кон-
континуумом. В этом пункте мы приведем теорему Янишевского, имею-
имеющую важные применения в теории континуумов.
XII. Пусть F — замкнуто, G = R — F — его дополнение в простран-
пространстве R, Н = Fr — граница этих множеств,
С —континуум, для которого СЯгэО1). Тогда
(а) каждая компонента CF пересекается с Н,
(/?) если CGnO, каждая компонента CG имеет предельные
точки в Н,
(у) если CF{ n 0, каждая компонента CFi имеет предельные
точки в Н.
Приведенный рисунок иллюстрирует тот случай, когда F есть замкну-
замкнутый круг, G—внешняя к нему часть плоскости, Н—-окружность.
Доказательство.
(а). Если CF = Р + Q есть разбиение CF на два замкнутых мно-
множества и если ^=>0, то РН=>0. Ибо C = CF + CG, а потому С =
— Р + (Q + CG); для того чтобы последнее не было разбиением, не-
необходимо, чтобы пересечение Р (Q> + CG) = PCG = PFG = РН было
•отлично от нуля. Пусть, далее, р ? CF и пусть Кв(р) есть E-компо-
нента точки р в CF; так как Ktip) и ее дополнение CF—Ks{p) =
= Qd (р) замкнуты в CF, мы имеем НКв (р) => 0. Пересечение множеств
НКв(р)[д = 1, -j~, ~, ...) также не пусто (§ 27, п. 1, I), т. е.
по E) НК0 (р) =э 0: каждая компонента CF пересекается с Н.
(/?). Обозначим через Fn замкнутое множество таких точек х, что
в(х, F)>i- (п = 1,2,3,...),
и если р (? CG, то,в конце концов р ? CFn. С пересекается как с Fn,
так и с R — Fn э F, потому с краем Fn, следовательно, согласно (а),
J) Согласно § 23, п. 4, VII С#=>о, в частности, в том случае если С имеет
точки как в F, так и в G.
СВЯЗНОСТЬ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ 177
содержащая р компонента CFn и тем более компонента CG имеют
точку хп на крае Fn, т. е. такую точку, что д (х„, F) = -i-; точки хп
имеют предельную точку х, Q (х, F) = 0, х ? FG = Н.
(у). С пересекает как Fi, так и R—Fi~3. H, потому и границу Fi\
применяя (/?) к Fi вместо G, мы заключаем, что каждая компонента CF(
имеет предельные точки на границе Fit равной F( — Ft Я F — Fi = H.
Если С есть континуум, А — континуум с С, то существует
континуум В такой, что Ас В с С. Выберем у ? С — А, положи-
положительное <5<{?(у, А) и обозначим через F множество тех точек R,
для которых q (х, А) <; д, через В — содержащую А компоненту CF.
С пересекает как F, так и R — F (в точке у), следовательно, и край F;
поэтому В содержит точку х края F, q (х, А) = ё, откуда следует
AczB; с другой стороны, у ? В, ВаС.
Континуум не может быть разбит на сумму счетного числа не-
непересекающихся замкнутых п 0 множеств 1) (Сер'пинский).
Допустим, что континуум А представим как сумма попарно непере-
непересекающихся замкнутых множеств Лп=э0: -
Мы покажем, что А содержит континуум В, который пересекается
с бесконечным числом Ап, но не пересекается с Аг:
В = ВАР1 + ВАШ + ВР1 + Вш + • • •
A <Pi<p2< —I Bpzd0)\ отсюда будет сразу следовать наша тео-
теорема, так как тогда мы в В совершенно так же найдем континуум
С = CBqi + CBqi + •¦¦ = Cgi + С92 + • • •,
где С3=э0 и индексы q образуют подпоследовательность индексов р:
Pi <Gi < <7г< '" "> и т. д.; мы получим ABC- • ¦ = 0, что противоречит
теореме Кантора (§ 27, п. 1, I).
Чтобы доказать существование В, положим 2д = д(А1, Аг) > О
и обозначим через F замкнутое множество тех точек А, для которых
д(х, А)^,д, так что А2 Q F Q А—Av Пусть В—одна из компонентF,
пересекающихся с Л2: BAj = 0, ?A2r>0. Согласно XII В содержит
краевую точку F, т. е. такую X, что q {x, Aj) = ё и х не принадлежит Л2;
В имеет, следовательно, общие точки не менее как с двумя Ап, а тогда
по связности оно пересекается с бесконечным числом множеств Ап,
ч. т. д.
4. Последовательности связных множеств.
XIII. Пересечение убывающей последовательности F\ 2 Ft 2
континуумов есть континуум.
Если F = F^F2 . .. разбито на два замкнутых множества F = 0t+0z,
то по свойству нормальности их можно заключить в непересекающиеся
открытые (хотя бы в пространстве Fj) множества Сг^ G2, так что
х) Сравнить с аналогичной теоремой п. I, стр. 170.
Хаусдорф. Теория множеств, 12
178 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
.2. По теореме Кантора § 27, п. 1, I, ^„[^i —(Gi+Ga)j = ti
для некоторого п, так как в противном случае F содержало бы
точку, не принадлежащую Gj^ + G^. Но если Fn[Fi — (G1 + G2)] = 0, то
Fn = FnG1+FnGi есть разбиение Fn.
Некоторое свойство компактов называется согласно Брауэру индук-
индуктивным, если из того, что оно выполнено для всех компактов невоз-
растающей последовательности
следует, что оно имеет место и для пересечения /7 = ©/7ft. XIII пока-
показывает, что свойство быть континуумом индуктивно. Относительно ин-
индуктивности свойств имеет место следующая, часто применяемая теорема:
XIV. (Брауэр.) Компакт F, обладающий индуктивным свой-
свойством (?, содержит хотя бы один минимальный компакт F*,
обладающий тем же свойством.
То обстоятельство, что F* есть минимальный компакт, следует пони-
понимать так, что F* не содержит никакого подкомпакта F**cF*, обла-
обладающего свойством (?.
Доказательство. Положим F = Fv Допустим, что для всех
порядковых чисел /? < а построены компакты Fp, обладающие свой-
свойством (?. Если а имеет непосредственного предшественника а—1, воз-
возможны два случая: Fa-i есть минимальное множество, обладающее
свойством (?, и тогда теорема доказана, или Fo_i содержит хотя бы
одну правильную часть Fa, являющуюся континуумом и обладающую
свойством G. Если а<со1 есть предельное число, то выбираем /?;(i =
в 1 2,...) так. чтобы lim ft = а, и полагаем Fa = © F*.. По теореме Бэра
Л г
(§ 26, п. 1, VI) существует такое а, что Fa = Fa+i=... и Fa есть
искомый минимальный компакт.
В качестве примера применения теоремы Брауэра рассмотрим поня-
понятие неприводимого между двумя точками х, у континуума (L. Zo-
retti). Континуум К называется неприводимым между точками х, у, если
ои не содержит никакого отличного от него континуума, содержащего
точки х, у. Так как, свойство быть континуумом, содержащим точки х и у,
по XIII индуктивно то мы имеем (Янишевский): каждый континуум,
содержащий точки х, у, содержит неприводимый между х, у
континуум.
Так, окружность, на которой лежат точки х, у, содержит два непри-
неприводимых между х, у континуума — две дуги, соединяющие х и у; сфера
содержит бесконечное множество неприводимых между х, у континуумов.
XV. (L. Zoretti.) Если пространство R компактно, верхний топо-
топологический предел последовательности связных множеств связен при
условии, что их нижний топологический предел не пуст.
Пусть Мп связны, F = lt Мп=э0; нужно показать, что Ф = ИМп —
связно. Пусть х ? F, у ? Ф; тогда существует последовательность таких
пп 6 Мп» что ап —> х, и подпоследовательность Ьр ? Мр такая, что
Ьр—>у. Из компактности R следует, что в Мр можно выбрать под-
подпоследовательность Mq, метрически, а следовательно, и топологически
?жордановы континуумы 179
сходящуюся: lm Mq = It Mq = Ф*аф, Так как bq -*¦ у, то у ? Ф*.
Так как а(Мд, Ф*) -> 0/то для любого E> 0 найдется такое Mq, что
a(iWe, Ф*)<E; тогда Мйаи(Ф*, д)си(Ф, д). Таким образом суще-
ствует такое М = Afg и в нем такие точки а, Ь, что
Q(a, Х)<д, Q(b,X)<d, Мси(Ф,д);
для всякой точки с ? М найдется z ? Ф такая, что g (с, Z) < д. Точки а,
Ь можно соединить в М E-цепочкой (с0, cv...cn), причем со—а, сп=±Ь.
Берем для каждого С{ такое Z{ ^ Ф, чтобы р (с,, z{) < й, причем, в част-
частности, z0 = X, Zn=y, (Zo, zt,...Zn) есть (Зб)-цепочка, соединяющая х
и у в Ф. По произвольности д отсюда следует связность Ф.
Пример последовательности А, В, А, В,... в которой Ф = А + В,
F = АВ, показывает, что условие Fid 0 необходимо, а также что ниж-
нижний топологический предел может быть н несвязным. Компактность про-
пространства также существенна: если положить Мп равным ломаной
линии, соединяющей точки а = (— 1,0), с„ = @, п), Ьп = {\, 0), то It Mn
состоит из двух полупрямых Х = ± 1, у^-0 и, следовательно, несвязен.
Из XV следует, что предел сходящейся последовательности конти-
континуумов компакта /? есть компакт. Так как всякая последовательность
континуумов, принадлежащих компакту /?, содержит сходящуюся под-
подпоследовательность, то множество континуумов компакта само есть
компакт (если в нем установлена метрика отклонений).
§ 31. Жордановы континуумы
1. Двоичные континуумы. Непрерывный образ сегмента, хотя бы
сегмента Т = [0, 1] действительных чисел 0^/^1, обыкновенно назы-
называется непрерывной кривой; непрерывный взаимнооднозначный, следова-
следовательно (§ 27, п. 7, XVIII), гомеоморфный образ Т называется простой
дугой. Т — компактно, связно и локально связно; согласно теоремам
(§ 27, п. 7, XVI; § 24, V; § 30,' п. 1, V) этими свойствами обладают
и все непрерывные кривые, которые, следовательно, суть локально связ-
связные континуумы. Мы предпочтем в дальнейшем называть непрерывные
кривые жордановыми континуумами по имени введшего их ученого,
так как мы скоро увидим, что они имеют мало сходства с тем нагляд-
наглядным представлением, которое мы имеем о кривых. Мы увидим, что все
локально связные континуумы суть жордановы континуумы т. е. непре-
непрерывные образы сегмента прямой.
Прежде всего укажем простой способ построения жорда новых кон-
континуумов. Мы построим, как мы это уже часто делали, двоичное совер-
совершенное множество, ставя в соответствие каждой двоичной, образованной
из цифр 1, 2 последовательности (р, q,r,.. .) замкнутые, ограниченные,
непустые множества
VP2Vm2 IV 2... A)
полного пространства R, имеющие диаметры, стремящиеся к нулю; как
мы знаем (стр. 154), это стремление к нулю равномерно, т. е. макси-
максимальный диаметр дп множеств V, имеющих ровно п индексов, стремится
1*2*
180 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
к нулю при п -*¦ оо. Выбирая все множества с л индексами непере-
непересекающимися, мы получили двоичное, совершенное, всюду разрывное
множество. Теперь мы 'предположим прямо противоположное: а именно,
что названные множества V, будучи расположены в словарном порядке,
образуют цепочку множеств, т. е. что в
®V»~V% + V* SV^Vu+Vn + Vu+Va... B)
соседние множества имеют общие точки. Произведенное множествами V
двоичное множество
c = <5vpvPivpv..., C)
которое можно, как мы знаем, представить также в форме
C^SVpSiySV'pe,..., D)
мы условимся называть двоичным континуумом; это название будет
оправдано последующей теоремой.
I. Жордановы континуумы тождественны с двоичными контину-
континуумами.
Обозначим Тх = 0, -к- левую, Т2 = \~к-, Ц правую половину сег-
сегмента Т, точно так же ТР1 левую, ТРг правую половину Тр, ТР31 ле-
левую, TPq2 правую половину Тт и т. д. Если С есть непрерывный образ Т
и сегментам Тр, Тт,.. . соответствуют образы Ср, Cpq,..., 'то это суть
компактные замкнутее множества (связные, т. е. континуумы), диаметры
которых, по равномерной непрерывности отображения, стремятся к нулю
по мере возрастания числа индексов и суммы
расположенные в словарном порядке, образуют цепочки. Таким образом
жорданов континуум есть двоичный континуум.
Пусть, обратно, С есть двоичный континуум C). Поставим в соответ-
соответствие единственной точке х = VpV-pqVpqr... единственную точку t = ТРТМ
Тмг... Эта функция однозначна, несмотря на то, что некоторые t
(а именно получающиеся в процессе деления пополам сегментов Т
. 1 1 \
точки Г =-g-, —,...1 определяются не одной, а двумя двоичными
цифровыми последовательностями. Так, точка t=-z- принадлежит двум
(и только двум) пересечениям T1TiZTl22 • • • и Т2Тъ{Ггп ... Но и соот-
соответствующие пересечения t/1V]2Vria2..., ^2^21^211 ••• тождественны;
в самом деле, так как ^1/рО, V1oV21zdO, множества V1 + VS)
V12 -j- V^au • • • имеют диаметры ¦^.¦2д1, 2d2j..., а потому их пересечение
состоит из одной точки. Далее, функция x=q>(t) непрерывна: q (х, |)
стремится к нулю, когда t — т-> 0. Действительно, если \t—т| < — ,
2
то ( и т принадлежат или одному или двум соседним Т*1 (Тп—сегмент
ЖОРДАНОВЫ КОНТИНУУМЫ
181
с п индексами); следовательно, х и f принадлежат или одному или
двум стоящим рядом в словарном порядке Vй (Vй — множество с п ин-
индексами), а потому q(x, g)^.2dn. Следовательно, двоичный континуум
есть жорданов континуум.
Сделаем следующее дополнение к I. Если во всех цепочках B) пере-
пересечения, стоящих рядом и только стоящих рядом V отличны от нуля,
то С — взаимно однозначный образ Т, т. е. С гомеоморфен Т. Дей-
Действительно, тогда точка х может определяться двумя двоичными число-
числовыми последовательностями только тогда, когда при любом п образую-
образующие их множества V в словарном порядке стоят рядом, следовательно^
и в этом случае х имеет единственный прообраз t—ip(x). Если, на-
например, х определяется последовательностями A, #1; гъ...) и B, q2,
Г2, . . .), ТО X ? ViqxV2q2, а ЭТО ВОЗМОЖНО ТОЛЬКО ПрИ <?! = 2, <7а=1;
далее, х? V^rjVWz» чт0 возможно только при г1 = 2, гг=1 и т. д.;
X определяется, следовательно, последовательностями A, 2,2,...) и B,
1, 1,...) и его единственный прообраз есть ? = —.
Фиг. 7.
Можно видоизменить двоичную конструкцию так, чтобы каждая из
цифр р, q, r,... принимала не - два, а какое-нибудь конечное, быть
может, даже зависящее от предшествующих цифр'число значений (>2);
и в этом случае, выбирая подходящим образом подразделения Т, убеж-
убеждаемся в том, что „полиадический" континуум C) — жорданов.
Приведем несколько поразительных примеров к теореме I: полная
внутренность (т. е. внутренность + граница) треугольника, квадрата,
круга суть жордановы континуумы, так же как и внутренность тетра-
тетраэдра, куба, сферы; таким образом существуют непрерывные кривые,
которые расположены в эвклидовском пространстве (п>2) и имеют
в этом пространстве внутренние точки, и, следовательно^ в этом смысле
суть п-мерные образования. Они называются по имени открывшего их
ученого Пеано (Реапо) ивановскими кривыми. Чтобы показать, следуя
К. Кноппу, что треугольник V, который мы для определенности будем
считать прямоугольным и равнобедренным, есть непрерывный образ сег-
сегмента, опустим из вершины прямого угла перпендикуляр на гипотенузу,
отчего V разложится на два прямоугольных и равнобедренных треуголь-
треугольника Vb V2\ каждый Vp подобным же образом разложим на два тре-
треугольника VP\, VP2 и т. д., причем нумерацию будем производить так,
чтобы расположенные в словарном порядке Vn образовали цепочку
(черт. 7). Получим
с = v =
и, так как диаметр множества V уменьшается с каждым новым шагом
процесса в отношении 1 : 1^2,— С есть двоичный континуум.
182
МЕТРИЧеСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Квадрат V можно (Д. Гильберт) путем деления сторон пополам раз-
разложить на четыре квадрата Vlt V2, Va, V& каждый из этих квадратов
Vp—снова также на Vpv V^, VP3, VPl и т. д.; нумерацию опять-таки
можно осуществить так, чтобы Vn, расположенные в словарном порядке,
I образовали цепочку. Первона-
Первоначальное арифметическое пред-
представление, данное Пеано, равно-
равносильно геометрическому делению
сторон на три части и разло-
разложению на девять частичных
квадратов.
Лебегом дано арифметиче-
арифметическое, очень прозрачное отобра-
¦»
2
1
3
4
22
21
14
I!
гз
24
13
12
32
31
42
43
33
34
41
44
Фиг.8.
жение
сегмента Т на квадрат O^X-t^l, 0^х2<;1. Рассмотрим канторов-
ское трихотомическое множество Р, состоящее из таких чисел t ? Т,
которые разлагаются в троичные дроби, содержащие только нули и двойки:
Это разложение единственно; если две такие дроби имеют различ-
различные п-е по порядку цифры, то jf — XX^~~Z > и» следовательно, если t стре-
3
мится к т, то число первых одинаковых цифр /нт неограниченно воз-
возрастает. Отсюда следует, что
А
22
суть непрерывные функции от t; уже тут. х = (х1( х2) пробегает весь
квадрат. Наконец, эти функции можно продолжить на весь сегмент Т,
заставляя их изменяться линейно в каждом из интервалов (а, /3) (т. е.
в каждой компоненте) множества Т—P = Q, т. е. полагая
(а, /? — точки Р). Эти продолженные функции также непрерывны, так
как линейная интерполяция присоединяет только значения, промежуточ-
промежуточные между принимавшимися на Р, Если t ? Q монотонно стремится
к т ? Р (достаточно рассмотреть только этот случай) и если (a, ft),
интервал, содержащий t, то или (переменные) а и /? также стремятся к х, а
значит, (рг{а), 9>i(/J), 9i(t) стремятся к 9>i(T) или t остается, начи-
ЖОРДАНОВЫ КОНТИНУУМЫ 18
ная с некоторого своего значения, в некотором фиксированном интер-
интервале (а, |5) и, следовательно, стремится к одному из его концов,
а тогда то обстоятельство, что ^llO -*• 9i(T)> — тривиально.
Расщепляя последовательность tn на три или большее число подпо-
подпоследовательностей, можно Также получить в качестве непрерывного
образа отрезка трех- или многомерный или даже X „-мерный куб. Так,
поступая согласно двоичной схеме стр. 29, мы определим функции хп =
= <рп @ на множестве Р как двоичные дроби -
Хг = 0, ^3'б • • •» Х2 — 0, fjfe'io • • ¦> *8 = 0, tJtftiQ ... , ...
и, так же как и выше, продолжим их на весь сегмент Т; все они не-
непрерывны и пробегают независимо одна от другой сегмент 0^/^1;
числовая последовательность х = {х1, х^,. ..) пробегает весь опреде-
определяемый неравенствами 0^fn^l К0-меРныи куб W. Таким образом
определенная функция x = q>(t) также будет непрерывна и будет непре-
непрерывным образом отрезка, если только ввести в множестве ограниченных
числовых последовательностей подходящее расстояние, хотя бы
B сп — фиксированный сходящийся ряд с положительными членами).
Действительно, при х = <р@> ? = 9'(т) РЯД 2сп|*п — $п\ сходится рав-.
номерно и представляет непрерывную функцию от t, а следовательно,
при t -*¦ х имеем \х — f | -*• 0.
Наличие пеановских кривых наносит новый удар наивному понятию
размерности (числа измерений), уже поколебленному существованием
взаимно однозначного отображения (эквивалентности) квадрата и отрезка:
оказывается, существует и непрерывное отображение отрезка на
квадрат. Только требование, гомеоморфности восстанавливает вновь
размерность в ее правах, а именно имеет место впервые доказанная.
L. E. I. Brouwer'oM теорема инвариантности числа измерений.
Множество А эвклидовского пространства Rm и множество В
эвклидовского пространства Rn не могут быть гомеоморфными при
п> т, если В содержит внутренние точки.
Не имея возможности привести в этой книге общее доказательство,
рассмотрим совсем простое доказательство для т = 1: мы можем, заме-
заменив В его подмножеством, считать, что В есть замкнутый л-мерный
куб. В остается связным по удалению каждой его точки, в то время
как А перестает быть связным при удалении любой точки, лежащей
между двумя точками А. Поэтому согласно §24, V А не может быть
взаимно однозначным непрерывным образом В (но В может быть обра-
образом А! В самом деле, В есть непрерывный образ сегмента Т; если вы-
выбрать из прообразов каждой точки В по одной точке, то получим мно-
множество А с Т, непрерывно взаимно однозначным образом которого
является В).
В частности, простая дуга, расположенная в Rn, п> 1, не может
иметь внутренних точек; в этом отношении она приближается к нагляд-
наглядному представлению „кривой" больше, чем непрерывная кривая.
184 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
С помощью той же двоичной конструкции могут быть построены
очень неожиданные примеры простых дуг.
Вернемся к кнопповской конструкции. Пусть V есть равнобедренный.
треугольник с углами -|-, -^-, ~~-; разделив последний угол на три
равных части, получим три треугольника, средний из которых мы выбросим,
а два крайние обозначим Vlt V2; они подобны треугольнику V и имеют
только одну общую точку. Поступая с Vp так же, как с V, получим
два новых треугольника VPl, КР2 и т. д. Нумерацию в этом процессе
можно вести тяк, чтобы были выполнены условия дополнения к тео-
теореме I предшествующего пункта, обеспечивающие гомеоморфность сег-
Фиг. 9.
менту. Построенная так простая дуга С не имеет ни в одной точке каса-
касательной, так как в любой близости точки х ? VpVfqVpq,.... существуют
прямолинейные отрезки, принадлежащие С и образующие постоянный
угол, в то время как если бы в точке х существовала касательная, эти
отрезки должны были бы образовать углы, стремящиеся или к нулю
или к тс. Если изменить конструкцию, отказавшись от равнобедренности
треугольников и постоянства углов, но сохранивши тот принцип, что
каждый треугольник прямыми, проведенными из одной вершины, делится
на три части, средняя из которых выбрасывается, можно добиться того,
что суммы площадей треугольников &VP, QVm,... убывают сколь
угодно медленно и имеют положительный предел, т. е. добиться того,
чтобы поверхностная мера С была положительна. Итак, существуют
простые дуги положительной площади, что, впрочем, не так уж порази-
поразительно, так как существуют даже (вполне несвязные) множества с поло-
положительной поверхностной мерой (площадью) (стр. 159).
2. Признаки Жордановых континуумов.
II. (Теорема Серпинского.) Множество А есть жорданов конти-
континуум тогда и только тогда, когда оно является континуумом, кото-
который при любом б > О может быть представлен как сумма конеч-
конечного числа континуумов с диаметрами ^,6.
Что условие необходимо, очевидно (при разложении Т на п равных сег-
сегментов; диаметры их образов стремятся к нулю, когда п -*¦ оо). Остается
показать, что оно достаточно.
Для краткости назовем множество, удовлетворяющее условиям тео-
теоремы, S-континуумом. Самое существенное заключается в том, чтобы
показать, что в разложении х)
E)
г) Все встречающиеся ту! суммы содержат только конечное число слагаемых.
ЖОРДАНОВЫ КОНТИНУУМЫ
на континуумы Ар диаметров ^ 8 эти последние можно считать S-koh-
тинуумами. А для этого придется доказать, что
Если С есть континуум с А, С можно заключить в S-koh-
тинуум Q А, диаметр которого сколь угодно мало превосходит
диаметр С.
Пусть диаметр С есть d (С) = 8 и пусть 8t + 8Z +... есть сходя-
сходящийся ряд положительных чисел. С можно заключить в сумму контину-
континуумов Ср с диаметрами ^ 8Ъ каждый из которых пересекается с С; для
этого стоит только взять представление E) с (/(Ар)^^ и обозначить
через Ср те из Ар, для которых CApzd0. Подобным же образом мы
можем заключить каждый Ср в континуумы См с диаметрами ^ б2»
каждый Cpq—в континуумы Срф- с диаметрами ^E3 и т. д. Таким образом
СсбСр, Cpg6COT СрдСбСрф,...* F)
Р • Г
ССр=>0, СрСи^О, CpqCw^O,... G)
Каждое множество с п индексами имеет диаметр ^ 8п. Множество
Р РЛ
связно и имеет диаметр d (В) ^ 8 + 2йг + 282 + ... Действительно,
рассмотрим две точки В, хотя бы х ^ Cpqr и f ^C^,, они соединимы
множеством
Сях -j- Ся -j- С -j- t-p + t-pg + Срф-i
которое в силу G) является цепочкой связных множеств, значит, связно,
и диаметр которого не превосходит суммы диаметров отдельных членов
цепи, т. е. < 82 + 8Х + д + 8г + 8% + 8Л<_8 + 28Г + 2д2 +... Поэтому
В есть континуум, диаметр которого d (В) = d (В) сколь угодно мало
отличается от диаметра d (С) = 8, так как сумму 81 + 8г + ... можно
сделать сколь угодно малой. Но В есть S-континуум. В самом деле>
если положить
Bp = cp + ecM + ecpqr+...,
q qr
и т. д., то эти образованные совершенно так же, как В, множества
связны и имеют диаметры d (Вр) <; Eг + 282 + 28г +..., d (Bpq) < д2 +
28S + • • • В силу F) имеем:
р рл
v,q
и это представляет разложение В на конечное число континуумов, при-
причем диаметр континуума, имеющего п индексов, ^ 8п + 28п +1 + ...
Нами доказана лемма о том, что С можно заключить в S-континуум,
и тем самым установлено, что А можно представить как сумму конечного
186 МЕТРИЧеСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
числа S-контянуумов сколь угодно малых диаметров; продолжая этот
процесс, получаем:
А = © АР, Ар == © Аш, Ам = © Лрф...., (8)
р q r
причем все стоящие тут множества суть S-континуумы . и диаметр Ап,
имеющего п индексов, < дп (дп -» 0). Покажем еще, что, производя нуме-
нумерацию подходящим образом, можем добиться того, что множества Ап,
расположенные в словарном порядке, образуют цепочку. В разложении
E) рассмотрим все цепочки, которые можно образовать из АР: допуская
многократное повторение одного и того же множества, например, А1г
А2, Аъ А3, Аъ А2, Л4 (если ДТЦгэО, ЛЛ = °1 А^^О).
Если можно соединить такой цепочкой Д с Ak, Ak с Д, то можно
соединить и Д с At. Благодаря отмеченной транзитивности каждое Ар
можно соединить с любым другим цепочкой; ибо, если бы, например,
А1 можно было соединить с множествами Д, но нельзя с множествами
Ah, то ни одно Ai нельзя бы было соединить ни с одним Д, а это, в
частности, обозначает, что Д Д1 = 0, и мы имели бы разбиение А =
= © Ai + © .Aft. Если теперь х, у суть две произвольные точки А,
X ? Д, у ? Д (причем не исключено и i — к), то можно, соединяя
цепочкой хотя бы Ai с Аи Аг с Л2> ^2 с-^з и т- д-> наконец, послед-
последнее Ар с Ak, образовать такую цепочку At + ... + -^fti которая содер-
содержит хоть один раз каждое Ар и, следовательно, равна Д причем ее
первое звено содержит х, а последнее у; такую цепочку (т. е. сумму ее
звеньев) обозначим R.(x, У)- Попутно заметим, что число звеньев цепо-
цепочки путем повторения одного и того же множества можно сделать сколь
угодно большим, и поэтому мы можем принять, что в (8) р меняется от
I до Р, q — от 1 до Q (не зависящего от р) г — от 1 до R (не зави-
зависящего от р, q) и т. Д. Мы можем принять, что
А = Д + ... + Ар = Я (х, у)
(х, у — произвольные точки А; х ? Аь у ? Ар); далее, что
А = Ар1+... + ApQ == ft (Хр, ур)
{хр> Ур — произвольные точки Ар; хр ? Ар1; ур ^ ApQ) и т. д. Если
теперь выбрать
то множества Apq, расположенные в словарном порядке, образуют цепоч-
цепочку; так как, например, AxqAu1 содержит точку уг — х2, и очевидно,
что этог процесс можно продолжать неограниченно. Поэтому А есть
полиадический континуум (стр. 155), следовательно, жорданов континуум,
что и доказывает II.
III. (Теорема Н. Hahn и St. Mazurkiewicz). Множество А является
жордановым континуумом тогда и только тогда, когда оно есть
локально связный континуум.
ЖОРДАНОВЫ КОНТИНУУМЫ 187
Чтобы убедиться в достаточности условия, покажем, что компактный
локально связный континуум А удовлетворяет условиям теоремы II (есть
S-континуум). Если мы окружим каждую точку X ? А замкнутой
^-окрестностью V (х, Q) (в пространстве А), то содержащая х компо-
компонента Ах множества V (х, q) есть континуум, имеющий х внутренней
точкой (в силу локальной связности), следовательно, Ах содержит окре-
окрестность U (х). По бикомпактности А оно содержится в конечном числе
этих окрестностей U (х), следовательно, при подходящем выборе конеч-
конечного подмножества В множества А
А = <§ U (х) = 4 Ах,
X X
т. е. А представимо как сумма конечного числа континуумов с диаме-
диаметрами^; 2q.
Что условие III необходимо, следует из § 24, V, § 27, XVI и
§ 30, п. 1; впрочем, можно показать и непосредственно, что S-koh-
синуумы локально связны. В самом деле, E) есть разложение А на
конечное число континуумов с диаметрами ^ 8, и если содержащие
точку х континуумы суть Ai, не содержащие X суть Ak, то С = <5 Л{
есть содержащий X KOHfинуум диаметра ^ 28; х есть внутренняя точка С,
так как х не входит в замкнутое множество © Ak, итак, А локально
связно в точке X.
3. Простые дуги. Общий жорданов континуум (непрерывная кри-
кривая), т. е. непрерывный образ сегмента Т = [0, 1], может иметь весьма
мало общего с тем интуитивным представлением, которое мы имеем
о кривой. Несколько больше к этому представлению подходит простая
дуга 1), т. е. гомеоморфный образ сегмента Т. Для того чтобы множество С
было простой дугой, необходимы следующие условия, список которых
можно сильно удлинить и в которых понятия замкнутый, континуум
и т. д. относятся к самому С, рассматриваемому как пространство:
(а) С есть компакт.
(|5) С имеет две точки а, Ь, между которыми он является неприводи-
неприводимым континуумом, т. е. само С есть континуум, но никакой конти-
континуум с С не содержит а, Ь.
(у) С имеет две точки а, Ь, между которыми он неприводиио связен,
т. е. С само связно, но никакое связное множество с С не содержит
точек а, Ь. ,
(8) С связно и имеет две точки а, Ь, обладающие тем свойством,
что для каждой точки х ? С существует разложение С = А + В, причем
А, В замкнуты, имеют только одну общую точку х и а ? A, b ? В.
(е) С локально связно.
Необходимость (а), (е) следует из § 27, п. 7, XVIII; остальные усло-
условия получаются, если под а, Ь подразумевать образы точек 0 и 1 сег-
сегмента Т; никакое связное множество сТ ле содержит точек 0,1, откуда сле-
х) Простая дуга называется также жорданова дуга. Простой замкнутой лниией
нли жордановой кривой называют гомеоморфный образ окружности (в Funda-
menta Mathematicae выражение ligne de Jordan равносильно жорданову кои-
тннууму).
-188 . МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
дует (у) и подавно (/8); для каждого t? Т существует разложение Т=@, f}-f-
+ [?, 1], которое определяет разбиение С, обладающее свойствами,
упомянутыми в (<5) (под [0,0] и [1, 1] следует понимать множества {0},
{1}, состоящие каждое из одной точки). Мы пцкажем, что условия (а),
(/?), (с) или (а), (<5)— достаточны.
IV. Условия (у) и (д) равносильны.
Чго из (д) вытекает (у), доказывается совсем просто. Если DcC и
содержит точки а, Ь, то пусть х ?С — D и пусть С = А + В соответст-
соответствующее X согласно (<5) разложение С; тогда DAB = 0 и D = DA + DB
есть разбиение, т. е. D несвязно.
Обратно, пусть выполнено (у) или же следующее, более слабое допу-
допущение: С — неприводимый континуум в смысле (/?) и разбивается, если
удалить какую-нибудь точку х, отличную от а и Ь. Чтобы вывести от-
отсюда (<5), мы можем X принять отличным от а, Ь, так как при х = а и
X = b разложение С = а + С = С + b удовлетворяет требованиям, поста-
поставленным в (<5) (при этом мы обозначаем множество {х}, состоящее из
одной точки, просто через X). Тогда С — X несвязно, следовательно,
может быть разложено на С —X = P4-Q, где Р, Q замкнуты в С — X.
Но тогда множества А — Р-\-х, B—Q + X замкнуты в С, а в силу
§ 23, п. 4, III, кроме того, связны, так как их сумма С и их пересече-
пересечение X связны. Ни один из континуумов Ас С, BczC не может содер-
содержать обе точки а и Ь; следовательно, можем считать хотя бы, что а ? А,
Ь ? В, С = А + В есть разложение, удовлетворяющее всем требованиям
(C). Это доказывает IV.
V. Если С имеет счетную базу и удовлетворяет, одному из усло-
условий (у) или (<5), то сегмент действительных чисел есть взаимно одно-
однозначный и непрерывный образ С.
То, что С имеет счетную базу, будет применено только в конце;
пока откажемся от этого предположения. Мы уже видели, что множе-
множества А, В в условии (д) связны.
Если хъ х% суть (не обязательно различные) точки С и С = АХ4-
¦\-Bi = А%+ В2 — соответствующие им разбиения, то
при хг ? Аа имеем Аг Q А2. (9)
Действительно, A^JrB1 связно; как сумма двух связных множеств,
имеющих общую точку хг; так как это множество содержит а, Ь, то по
(у) С = А2 -i- Вг и в пересечении с Аг получаем СА1 = Аг = АъАг +
+ хг = AaAiJ Ax с А2.
Если х2 = хъ отсюда мы получаем, что Ах = А2 и, само собой,
Вц = В2, т. е. точка х однозначно определяет соответствующее ей раз-
разбиение С = А 4- В: Назовем А соответствующим х начальным (а В —
концевым) отрезком С. Точке х = а соответствует начальный отрезок
а, точке х=Ь — начальный отрезок С.
Если же *! ф *2i то
А^Аъ, хя?А2 — Аг. A0)
А именно, если бы мы одновременно имели хх ? А2 и х2 ? Аъ то
отсюда следовало бы Ai = A2; следовательно, Вг—хх = В2 — х2, Bj.+
ЖОРДАНОВЫ КОНТИНУУМЫ 189
+ х2 = В2 + Хц. Но обе части последнего равенства суть разложения
на компоненты (так как, например, Bj_ замкнуто и связно, а х2 ? Бх),
следовательно, Вг = Хх, В2 = х2 и так как и Вх и В2 содержат й, то мы
получаем противоречие х2 = х2 = Ь. Итак, если х1} х2 различные точки
и xi 6 ^2> то ^2 € ^i. чем и доказано A0).
Само собой, при хх ф *2 включения хх ? Ва, ^г 6 Bi также не могут
быть оба выполнены. Следовательно, может быть только одно из двух
или *
*i 6 Л, ^i<= А,," Х2? Аг— А1
или
Таким образом начальные отрезки, соответствующие различным точ-
точкам, находятся в одном из двух отношений Лх§ Аа. Множество С
станет упорядоченным, если по определению положить
х2 при A1cz.A2.
Xi<x2 равносильно тому, что Хх ? А2, хх ф ха; сверх того, А2 обя-
обязательно содержит точку х2.
Согласно установленному порядку А есть множество точек ^х, В —
множество точек ^х; эти множества мы будем записывать аналогично
сегментам действительных чисел:
А^[а, х], В=[х, Ь].
Эти множества замкнуты, так же как и множество [хг, х2] тех точек
X, для которых х?<^х<^х2 (пересечение -Ag^i)- Такие множества, как
С — В —А — х = [a, jC) (множество . точек<х), (X, Ь], (хъ х2) — от-
открыты (в С). Конечно, надо положить [а, а] = а, [а, а) = 0.
Упорядоченное множество С имеет первый элемент а и последний Ь.
Оно плотно (стр. 52), т. е., каковы бы ни были Хх<х2, существует
такой элемент х, что Хх<х<х2. В самом деле, связное множество А2
не может равняться Аг-^х2, следовательно, Аг — Аг содержит хотя бы
одну отличную от х2 точку X. Далее С непрерывно (стр. 56). Дейст-
Действительно, допустим, что С = С-у-\- Сг разбито на два непересекающихся
множества zd 0 так, что Хх<х2 (каковы бы ни были хг ? С1 и х2 ? С2).
Если Сх не имеет последнего элемента, то оно равняется сумме (рас-
(распространенной на все Хх ? С^) множеств [а, Хх), следовательно, открыто;
также открыто и С^ в случае если оно не имеет первого элемента. Но
тогда С = C1Jr С2 есть разбиение С, следовательно, или Сг имеет по-
последний элемент или С2 — первый.
Если теперь С имеет счетную базу, т. е. если существует плотное
в С счетное множество М, то М также плотно в С (в смысле порядко-
порядковых типов; стр.-56). Действительно, (xlt х2), если только хх ф хг,—
открытое множество, следовательно, содержит точку у ? М, т. е.
Хх<у<х2. Согласно § 11, V множество (С— {а,Ь}) имеет тип А интервала
@, 1), а само С — тип сегмента [0, 1]. Поэтому существует подобное
отображение
х = <р @, / = у(х)
190 МЕТРИЧеСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
С на Г @<f<l), причем а=<р@), Ь = <р{\). Функция t = y>{x)
непрерывна, В самом деле, каждому открытому в Т интервалу (пересе-
(пересечению Т с обыкновенным интервалом), т. е. [О, t), (t, 1] или (fx, t2) со-
соответствует открытое в С множество соответственно [а, х), (X, Ь] или
(хх, Х2), значит открытое в Т множество отображается в множество от-
открытое в С, что и доказывает по § 24, II непрерывность у> (х). Таким
образом V установлено.
V допускает своего рода обращение: если С связно и Т есть
взаимно однозначный непрерывный образ С, то Т удовлетворяет усло-
условиям (у) или (д). Ибо разложение Т=[0, t] + [t, 1] дает разложение,
а , l требуемое (д). Только из того обстоятель-
обстоятельства, что Т есть взаимно однозначный не-
непрерывный образ С, не следует ни свя-
связность С, ни существование у С счетной
'' х ! базы, так как (стр. 123) С может быть
\„ фф* любым множеством мощности St, в кото-
Ф^г 10 Ром каждые две точки находятся на рас-
расстоянии 1.
Но если С компактно в себе и Т есть взаимно однозначный не-
непрерывный образ С, то С и Г гомеоморфны (§ 27, п. 7, XVIII). Следо-
Следовательно:
VI. Для того чтобы С было простой дугой, необходимы и доста-
достаточны условия (а), (у) или же (а), (д).
Условия (а), (у) даны N. I. Lennes, а (а), (<3) Серпинским.
Если же условие (у) заменить более слабым (/?), то требуется допол-
дополнительное условие: оно заключается в локальной связности, а именно
имеет место теорема:
VII. Для того чтобы С было простой дугой, необходимы и доста-
достаточны условия (а), (/?), (е). ¦*
Нужно только доказать, что для каждой точки х, отличной от а и Ь
(фиг. 10), существует разложение С = А + В, требуемое условием (д). Пусть
Un— U(x, —) (п = 1, 2, ...); обозначим замкнутое множество С— Un
через Fn. При достаточно большом п а, Ь принадлежат к Fn, но в силу
Р — к различным компонентам Fn; пусть Рп есть содержащая a, a Qn —
содержащая b компонента Fn (пока а •? Un, следует полагать Р„ = 0; то
же касается Qn). Множества .
(в которых слагаемые возрастают вместе с п) связны и не имеют общих
точек. По теореме Янишевского Рп имеет хотя бы одну точку на гра-
границе Fn, следовательно, расстояние Рп от X есть — ; следовательно, X
предельная точка как Q, так и Р; Q + Р + X связно как сумма двух
связных множеств Л = Р + Х, B — Q + х. Доказательство будет дове-
доведено до конца, если покажем, что А и В замкнуты, потому что из непри-
неприводимости (/?) тогда будет следовать, что С = Р + Q+x=A-i- В, т. е.
требуемое разложение; следовательно, остается прказать: если с ф X есть
предельная точка Р, то с ? Р. Обозначим через Rn компоненту Fny
ЖОРДАНОВЫ КОНТИНУУМЫ 191
содержащую си R = <5 Rn (с ? Fn для почти всех л; если это не так,
полагаем опять-таки R = 0). Для почти всех п с есть внутренняя точка
Fn и по локальной связности С—внутренняя точка Rn (так как уже
каждая содержащая с компонента имеет с внутренней точкой); следова-
следовательно, Rn содержит точки Р. Поэтому RnPzD0, RPzdO и при доста-
достаточном большом п и RnPnZ20, т. е. /?„= Рп и R = Р, следовательноt
с ? Р. VII доказано.
Локально связный континуум всегда есть непрерывный образ число-
числового сегмента; если он сверх того еще и неприводим между двумя
своими точками, то он есть гомеоморфный образ сегмента.
Глава VIII
Дескриптивная теория множеств
§ 32. Борелевсвие и суслинские множества пространства
Порожденные замкнутыми множествами Fez R борелевские и сус-
суслинские множества (§ 18, 19) называются борелевскими и суслинскими
множествами пространства R х).
Так как пересечение Fa последовательности (и даже любой системы)
замкнутых множеств есть замкнутое множество, то при построении
В-множеств надо начинать со множеств Fa, т. е. по схеме C) § 18 или
же, иначе говоря, по правилу (а) того же параграфа; таким образом
для порядковых чисел f <Q = ft>1 мы имеем следующее определение:
Множества г суть замкнутые множества F.
Множества F4 при нечетном v\ суть суммы, при
четном rj > 0 — пересечения последователь-
последовательностей множеств Fl ($<i]).
Множества F°, F1, F2, F3, . : . суть соответственно F, Fa, F<,d>
Faiay...; далее идут Fa —пересечения последовательностей ранее построен"
ных множеств и т. д.
Если рассмотреть еще борелевские множества, порожденные откры-
открытыми множествами G, причем придется начинать с множеств G&, т. е. по
схеме D) § 18 или, иначе говоря, по правилу (/?) того же параграфа, то
получим такое определение:
Множества G0 суть открытые множества G.
Множества G4 при нечетном ц суть пересечения,
при четном »?>0 — суммы последователь-
последовательностей множеств G{ (f <»?).
G°, G1, G2, G3,... суть соответственно G, Gt, Gia, G*,a,..,; далее
идут G" — суммы последовательностей множеств предшествующих клас-
классов и т. д.
Очевидно по индукции, что F* и & суть дополнительные множества.
¦Сверх того, обе борелевские системы тождественны, так что множества
Gf так же образуют б-систему; именно мы имеем:
каждое F{ есть Gt + 1, каждое G{ есть F14.
*) Борелевские множества называются также множествами измеримыми
в смысле Бореля, или В-множествами.
Суслинские мвожества самим Суслииым были введены под названием
А - множеств. Впоследствии их стали называть „аналитическими" множествами
(Лузин).
БОРЕЛЕВСКИЕ И СУСЛИНСКИЕ МНОЖЕСТВА ПРОСТРАНСТВА 193
Это утверждение справедливо при | = О (каждое F есть G«:
F=U (F, 1) U (F, I").-.; каждое Ga есть Fo: если F=:R — G =
= G1G2..., то G — (R— Gx)+(^ — Ог)+-*-) и индуктивно перено-
переносится иа »?>0, если оио верно для f <»?: если »jf нечетно, то F4 есть
сумма последовательности множеств Ff, а эти последние суть Gf + 1,
значит, и подавно О4, а сумма последовательности множеств С есть
множество С + 1. Аналогично следует рассуждать при г] четном.
Также легко по индукции получаем следующие заключения. Множе-
Множества Fi образуют кольцо г) и, кроме того, при | нечетном сх-систему,
при f четном •— «3-систему. Gf также образуют кольцо и, кроме jroro,
при f нечетном «3-систему, при f четном <т-систему. Если г\ есть
предельное число, то система всех F* (? <»у) тождественна с системой
всех G*(f<»7) и образует тело, но, вообще говоря, не есть ни <т-си-
стема, ни «3-система; суммы последовательностей множеств этой си-
системы суть С, а пересечения F4. Вся В-система в целом есть тело и
одновременно сг-и d-система. Множества, принадлежащие сразу к обоим
классам G* и Ff (двусторонние В*-множества), тоже образуют тело;
например множества, которые сразу и открыты и замкнуты (в связном
пространстве R таковыми являются только два множества R и 0), далее,
множества, которые суть сразу и Ga и Fa. Разность двух Ff, или разность
двух Gf, или пересечение F*G* суть одновременно Ff + 1 и Gf + 1.
Суслинские множества пространства суть, придерживаясь обозначений
§ 19, произведенные замкнутыми множествами Fnv Fnina и т. д.
множества
Напомним, что все борелевские множества суть одновременно суслин-
суслинские множества и. что итерация суслинского процесса ие дает ничего
нового: каждое FAA есть FA. Система произведенных открытыми множе-
множествами суслинских множеств
Ga — © GniGn1n»Gnlns.n3 • • ¦
совпадает с системой множеств Fjl\ действительно, каждое G есть Fa,
следовательно, FA и GA есть Faa — Fa и совершенно так же каждое
FA есть Ga. Однако GA не суть дополнения FA\ общее представление
этих дополнений таково:
и суслинские множеств?, как мы покажем дальше, не образуют тела.
Свойство быть борелевским или суслинским множеством относительно
и зависит от пространства R; поэтому подробнее следовало бы писать
Ff (R)h т. д. Относительно F,G,Fa,G& мы уже это отмечали (стр. 123,160);
если D Q R, то, опуская снова аргумент R, можем написать:
*) Относительно понятий: кольцо, тело, tr-система, <5-система см. § 17, 18
Хаусдорф. Теория множеств. 13
194 ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
т. е. борелевские множества пространства D суть пересечения D с со-
соответствующими борелевскими множествами пространства R. Индуктив-
Индуктивное доказательство этого очевидно. То же относится и к суслинским
множествам:
GA(D) = DGA,
Существуют также метрически абсолютные борелевские и суслинские
множества, т. е. такие, которые являются борелевскими и суслинскими
множествами во всяком объемлющем их метрическом пространстве, а
именно существуют абсолютные Fs при ^0 и обсолютные Gf при
1^1 A^1, так как не существует абсолютно открытых множеств), аб-
абсолютные FA и GA; читатель без труда убедится (так же, как на стр. 160),
что множество М есть абсолютное множество одного из этих типов,
если оно принадлежит этому типу по отношению к .какому-нибудь
содержащему его полному пространству, например по отношению к своей
полной оболочке М- В том, что несуществование абсолютных G не
противоречит существованию абсолютных Qs A^1)^ мы уже убедились
для случая 1=1; в множествах же ОА участвуют только слагаемые
формы Gd = G1,
Переходим к доказательству теоремы о мощности:
I. (Теорема Алексаидрова-Хаусдорфа.) Суслинские множества, а зна-
значит, в частности, и борелевские множества полного пространства
со счетной базой или конечны, или счетны. или имеют мощность К-
Это есть обобщение теоремы § 28, п. 5, VII; однако теперь мощность
не определяется, как в том случае, равенством или неравенством 0 плот-
плотного в себе ядра. Множество рациональных чисел (типа Fa) плотно
в себе, но всего только счетно. Мы, как и раньше, докажем, что не-
несчетное суслинское множество содержит двоичный дисконтинуум, но
при построении сферических окрестностей будем пользоваться не пре-
предельными точками, а точками сгущения. Пусть дано порожденное
замкнутыми множествами FA суслинское множество:
A = ®F(i)F(i, k)F(i, к, I)...,
где суммирование распространяется на всевозможные последовательности
натуральных чисел (i, к, I, ...); условимся варанее, что (р, д, г,...)
есть двоичная числовая последовательность, составленная из цифр 1, 2.
Мы можем для упрощения допустить, что для каждой числовой последо-
последовательности
F(iJF(h kJF{UK 1J...
(вместо первоначальных множеств F мы можем ввести их пересечения со
всеми предшествующими). Если фиксировать один или несколько на-
начальных индексов, возникают множества
Л(/)==© F(i)F(i, k)F(i, к, I)...,
A(i, k) = &F(i)F(i,k)F(i, к, I)...
и т. д., причем
А = @ А (/), A (z) = еА (I, к), А (г, к) =* ©Л (/, к, С),
i к I
БОРЕЛЕВСКИЕ И СУСЛИНСКИЕ МНОЖЕСТВА ПРОСТРАНСТВА 195
Допустим теперь, что А и, следовательно, Л" = ЛД, несчетны; вы-
выберем две точки аи аг множества Л„ точек сгущения А, входящих в А,
опишем из них как из центров непересекающиеся замкнутые сферы Vlt
V%, для соответственных открытых сфер Uv U2 оба множества AUP
несчетны. Тогда несчетно хотя бы одно из слагаемых суммы AUV =
= 6 А (г) Up, допустим, что это есть A {ip) Up. Выберем в этом мно-
множестве две его точки сгущения йР1, аРа и окружим их двумя непересе-
непересекающимися замкнутыми сферами VPv VPi Q Up', для соответственных
открытых сфер UPl, UPi каждое из четырех множеств A (ip) Upq несчетно.
Тогда хотя бы одно из слагаемых A (ip) Um = 6 A (i, к) Um несчетно,
допустим, что это A(ip, kp^Um. Продолжая таким образом, мы видим,
что каждой двоичной числовой последовательности (р, q, r,...) соот-
соответствует последовательность натуральных чисел (ip, кш, lpqr,...) та-
такая, что все множества
A (lp) Up, A (lp, ftpg) Суд, A (lp, kpq, 'pgr) Upqr,
несчетны, а значит, и подавно несчетны замкнутые множества
F{ip)Vp, F(iP, km)Vpq, F(ip, кРЬ lmr)Vpqr, ...
(так как A(i) Q F(i) и т. д.). Если радиусы сфер Vp, Vpa, Vpqr,..
выбирать соответственно меньше 1, -т-, —,..., что, очевидно, воз-
и О
можно, то последние множества образуют убывающую последовательность
замкнутых множеств с диаметрами -> 0, следовательно, имеют единственную
точку пересечения х, которая принадлежит как множеству А, так и
двоичному, совершенному, всюду разрывному множеству
Это заключение справедливо для каждой двоичной последовательности;
следовательно, каждая точка x?D и D есть подмножество А.
Теорема I есть самое общее предложение о мощности, известное до
сих пор. Но оно все же относится к ничтожно малой части системы
всех множеств пространства R. В пространстве со счетной базой су-
существует только К замкнутых множеств (§ 26, п, 1), следовательно,
К °= К последовательностей замкнутых множеств или, иными словами,
комплексов (Flt Fz, Flb F3, Fu, F21, Fltu . . .), служащих для опре-
определения суслинских множеств, т. е. только « суслинских множеств
(а также К борелевских множеств). Полное пространство со счетной
базой, если его плотное в себе ядро не равно нулю г), имеет мощность К
и содержит 2К > X подмножеств. Таким образом для подавляющего
большинства точечных множеств вопрос о мощности, а значит, и конти-
континуум-проблема не разрешены.
1) Если это ядро пусто, пространство счетно и все его множества суть Fa.
13*
196 ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Присоединим к этому следующее замечание. Мы показали, что не-
несчетное суслинское множество имеет мощность К, указав в нем совер-
совершенное множество. Этот метод заведомо не может быть перенесен на
произвольные точечные множества, так как во всяком полном совершен-
совершенном пространстве R со счетной базой существуют множества мощно-
мощности Ц, не содержащие никакого совершенного подмножества (множества,
не содержащие совершенных подмножеств, Ф. Бернштейн назвал вполне
несовершенными); вполне несовершенное множество мощности $$ удается
построить только с помощью порядковых чисел и теоремы, Zermelo.
Пусть, в самом деле, ? — &ц, где /i — неизвестное нам порядковое число
> 1, и пусть Юр есть начальное число класса Z (к Д Расположим совер-
совершенные множества Pz>0 (которых в R ровно К; см. стр. 138) во вполне
упорядоченную последовательность типа со,,:
Ро, Ръ .... Рш> ..., Р{, ... (?<<»„).
Выберем две различные точки х0, у0 ? Ро и положим, что нами опре-
определены точки Х(, у§ (х§ ф Уе) мя всех i <г]<@^. Обозначим через
Ап, Вп множества всех точек Х{, у? (?<»?); Ап -\- Вп имеет мощность
< Я, поэтому в Рп существует бесконечно много (К) точек, не входя-
входящих в Ап '+Вп; пусть хп, уп две такие точки, х^ =? уТ При | < г\ все
четыре точки Xi, ys, xn, yn различны. Пусть А есть множество всех
точек Х? его дополнение B = R — А содержит все точки у$ (можно
даже устроить так, чтобы В состояло в точности из точек у*)', оба
множества А, В имеют мощность К и вполне не совершенны, ибо АР$
содержит Xi, ВР{ содержит yf, так что не может быть, чтобы Ps Q А
или Р{ Q В. Таким образом мы разбили R на два вполне несовершенные
множества. Это не лишено интереса также и с точки зрения учения
о связности: А и В суть вполне разрывные (стр. 120) множества и тем
не менее, в случае если R «=» R" (л > 2), они связны. Действительно,
в эвклидовском пространстве двух или большего числа измерений
дополнение вполне несовершенного множества связно (Серпинский).
Пусть, скажем R = R2; надо показать невозможность разложения
R = А + В, где А вполне несовершенно, а В — несвязно. Пусть В =
= Р + Q есть разбиение В на два замкнутых в В множества, Р == ВР,
Q — BQ; так как PQ = BPQ = 0, то замкнутое множесгво F = PQ
содержится в А. Соединим две точки р?Р, q?Q ломаной, например
С = [р, т, q], где т лежит на перпендикуляре М к отрезку [pt q],
проходящем через его середину. Каждый (замкнутый) отрезок, лежащий
на С, совершенен, следовательно, не содержится в А, следовательно,
содержит точки В : СВ плотно в С, С Q В, С = СВ=г CP+CQ, и так
как это не есть разбиение С, то оба слагаемых (которые dO) имеют
общие точки: CPQ = CF^>0. Таким образом замкнутое множество F
пересекается с С н притом в точках ф р, q, так как эти последние
принадлежат В, a F g А. Если т пробегает перпендикуляр М, то мно-
множество С меняется и, очевидно, два различных множества С не пересе-
каются, откуда следует, что F имеет мощность К и плотное в себе ядро
множества F совершенно, непусто и содержится в А, что нелепо.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВА СУЩЕСТВОВАНИЯ 197
§ 33. Доказательства существования
При определении множеств F% и G^ возникает вопрос о том, действи-
действительно ли необходимо рассматривать множества Ff и G( со всеми воз-
возможными трансфинитными индексами ?< Q, чтобы получить всю систему
борелевских множеств. Ответ на этот вопрос зависит от устройства
пространства R. Если пространство R состоит из одних изолированных
точек, то каждое точечное множество в этом пространстве будет одно-
одновременно замкнутым и открытым, следовательно, рассмотрение множеств
f{ и Cf с ? > 0 окажется излишним. Если пространство R счетно, то
каждое точечное множество будет множеством Fa, поэтому введение
множеств FaS ие приводит уже ни к чему новому. Для обширного класса
пространств удается, однако, доказать, что все классы $? и ®? множеств
F? и G? различны между собой. Этот результат, так же как и многие
другие, вытекает из следующей общей теоремы:
I. Пусть пространство R содержит в себе двоичный дисконтинуум
D (см. стр. 157), % есть система всех замкнутых множеств R и
Ф — произвольная ds-операция. При этих условиях среди множеств,
дополнительных к множествам системы Ф {%) найдутся множества,
к этой системе не принадлежащие.
Обозначим через $* систему всех замкнутых подмножеств дисконти-
дисконтинуума D. Покажем, что для доказательства нашей общей теоремы до-
достаточно доказать ее для случая R — D, т. е, показать, что среди до-
дополнений до D множеств из Ф(^) существуют множества, не входящие
в Ф(<5*). В самом деле, пусть М Q D принадлежит Ф05*), а D — М
ие принадлежит Ф (%*). Так как $* Q &, то М принадлежит также и
0f5). Остается показать, что R — М не может принадлежать Ф(<$)
Допустим обратное:
R — M = 0(Fu Flf..., Fn,...).
В этом случае
D — M
^, — последнее невозможно.
Переходим теперь к доказательству I в случае R = D. Рассмотрим
последовательности
Mv М2, ..., М„, ...
замкнутых подмножеств дисконтинуума D. Каждое такое множество
может рассматриваться как точка пространства F (?)) замкнутых под-
подмножеств D. Последовательности же {Мп} могут рассматриваться как
точки топологического произведения Р из Ко множителей F(D). По
теореме V § 29 пространство F{D) есть компакт, а в силу п. 4 § 27
компактом является и Р. По теореме X § 30 существует непрерывное
отображение D на Р. Обозначим через {Мп(х)} последовательность,
которая в этом отображении "соответствует точке x?D. Очевидно, что
когда х пробегает D, мы получаем в качестве Ф{Мп(х)) всевозможные
множества системы Ф {%). Обозначим теперь через Un множество всех
тех точек х, для которых х?М„(х). Так как множества М„(х) непре-
непрерывно зависят от точки х, то множества Un замкнуты. Следовательно,
198 ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
{/=ф{(/„} входит в Ф05). Допустим еще, что D — U тоже входит
в Ф (^), т. е. что существует такая точка X ? Д для которой
D— и = Ф{Мп(х)}.
Рассмотрим точку х. Если она входит в и = Ф {Un}, то она входит
во все множества Unls, соответствующие некоторой системе индексов
{ilk} ? Мф. Но тогда X входит и во все МПк(х), а следовательно, в D — (/,
что невозможно. Если же х Входит в D—U, то аналогичное рассуждение
показывает, что х входит так же и в U, что опять невозможно. Сле-
Следовательно, вопреки допущению, D — U не может входить в Ф (^), что
и доказывает нашу теорему.
В качестве непосредственных следствий I получаем:
II. (Суслин.) Если пространство R содержит в себе двоичный
дисконтинуум, то существуют суслинские множества, не являющиеся
борелевскими множествами.
В самом деле, в силу I существуют такие суслинские множества,
дополнения к которым уже не суть суслинские множества, — они, оче-
очевидно, не могут быть борелевскими множествами.
III. При условии теоремы II трансфинитная последовательность
классов & монотонно возрастает для всех f < п:
В самом деле, по § 18 существует операция Ф^, для которой Ф( (^°)
совпадает с ^г. В силу I существует множество F* с дополнением, не
входящим в ^{, в то же время это дополнение должно входить в ®{ и,
следовательно, в Eг+1. Поэтому E?+1 не совпадает с &.
Из III непосредственно вытекает, что классы Eг так же монотонно
возрастают при f < Q.
§ 34. Критерии для борелевских множеств
1. Необходимые условия. Теорема существования учит нас, что
в некоторых пространствах существуют суслинские множества, не
являющиеся борелевскими множествами. Поэтому мы должны спросить,
себя, не существует ли критериев, по которым можно судить, является
ли данное суслинское множество борелевским или нет? Указаны два
таких критерия: первый, данный Суслиным, заключается в том, что
R — А также должно быть Л-множеством; второй, данный Лузиным,
заключается в том, что А представимо посредством непересекающихся
слагаемых, точнее говоря, что существует представление (хотя бы одно
среди различных возможных)
А = 2j *п
в котором соответствующие различным числовым последовательностям
(«1, «2,...) и (vu vit...) слагаемые FniFnirli... и FriFnfi... не
имеют общих точек (почему мы и употребили вместо знака © знак 2)>
Вначале мы покажем, что каково бы ни было пространство, эти условия
необходимы.
КРИТЕРИИ ДЛЯ БОРЕЛЕВСКИХ МНОЖЕСТВ 19 9
I. Если суслинское множество А есть борелевское множество, то
его дополнение R — А тоже есть суслинское множество.
В самом деле, R — А есть даже борелевское множество. Это оче-
очевидное обстоятельство мы уже использовали в доказательство теоремы
существования § 33, II.
II. Если суслинское множество есть борелевское множество, то
оно представимо посредством непересекающихся слагаемых.
Доказательство основывается на следующих заключениях, в которых
ради краткости мы подразумеваем под L-множеством такое суслинское
множество, которое представимо посредством непересекающихся слагае-
слагаемых, а под S-множеством — такое суслинское множество, которое, так
же как и его дополнение R — А, есть L-множество.
(А). Сумма последовательности непересекающихся L-множеств
есть L-множество.
Эти множества можно представить в форме
П2, Пз,...
(где rii= 1, 2,...); если еще положить Fni == R (всему пространству),
то ясно, что
,2j "nx == jLJ ' тц*1тт.'1ninfta • • •
711 711, 712,...
есть L-множество.
(В). Пересечение последовательности L-множеств есть L-множество.
Пусть дано счетное множество L-множеств
" — 2j AaiA
В = 2j Bbt В
(Да1 и т. д. — замкнуты). Объединим последовательности индексов а,
Ь, с,... в одну, следуя хотя бы диагональной схеме:
тогда получим:
ABL. . . .
== jLJ *'ni* 711П2* 7ЦП2П8 • • • >
где Fni...nje обозначает те из выше стоящих множеств, последний индекс
которых есть пь. (так что Fni.,.nk зависит только от п1г ла,..., rik,
а может быть даже и не от всех этих индексов, например Fniri!in!t = Вщ).
Таким образом мы представили ABC посредством непересекающихся
слагаемых (потому что каждое слагаемое свдержится в соответствующем
слагаемом множестве А). Само собой разумеется, что и пересечение ко-
конечного числа /.-множеств также есть L-множество.
(С). Сумма и пересечение S-множеств суть S-множества.
200 ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Пусть множества А1} А2)... и их дополнения Blt В2у... суть
L-множества. Согласно (В) пересечение AtA%..., а согласно (А) и
(В) и сумма
сугь L-множества н притом S-множества, потому что В1} Вг, ... суть
также L-множества.
(D). Множества Fc суть L-множества.
Множество Fa
может быть представлено посредством возрастающих слагаемых, и в этом
случае j
A^F1+(F2~F1) + (F3-F2)+...
есть представление посредством непересекающихся слагаемых, каждое из
которых как разность двух замкнутых множеств есть снова Fa (специаль-
(специального вида: F — ф = И}, где G = /? — Ф). Таким образом получаем:
А = C Гщ — XJ Ащг АП1 = Гщ Г П1 _ 1,
П1 Пх
а применяя сказанное к каждому слагаемому АП1, получаем:
Ащ — © * П1П2== Zu Anitli> -AjijTig = /*ЩП2 ' П1П2 — 1
и т. д. (Fo = Fnio = ... = 0). Так как
ТО
есть представление множества Л посредством непересекающихся сла-
слагаемых.
Сделаем тут же замечание, излишнее в этом месте, но которое мы
используем дальше: если мы имеем дело с метрическим простран-
ством R со счетной базой, то представление множества А посред-
посредством непересекающихся слагаемых можно осуществить так, чтобы
диаметры множеств Fni. .. П1с стремились к нулю при к -*¦ оо. Дей-
Действительно, R может быть в этом случае представлено как сумма по-
последовательности замкнутых множеств, диаметры которых не превосходят
произвольно малое число д (например как сумма замкнутых сфер с ра-
радиусами, равными — д, центры которых образуют счетное плотное в R
множество); то же относится к каждому замкнутому множеству и к каж-
каждому множеству Fa. Поэтому, если написать
где Vn замкнуты и имеют диаметры <; 6, то и An — Fn—Fn_i Я Vn
имеют диаметр ^ д. Продолжая таким же образом, можем добиться,
скажем, того, чтобы диаметры множеств АП1...Пк были меньше -j-. Если
КРИТЕРИИ ДЛЯ БОРЁЛЁВСКИХ МНОЖЕСТВ 201
в этом процессе будет попадаться пустое множество, его диаметр, есте-
естественно, следует положить равным нулю.
Согласно (D), в частности, замкнутые и открытые множества суть
L-множества, а значит, и S-множества, а так как согласно (С) S-множе-
ства образуют борелевскую систему, то В-миожества пространства R
заведомо суть S-множества, чем и доказана теорема П.
Много глубже лежит доказательство того, что при известных обсто-
обстоятельствах оба условия также и достаточны. Мы приведем наряду с ио-
вейшим, замечательным по своей краткости доказательством Лузина,
другое, не столь быстро ведущее к цели, но в ходе которого мы позна-
познакомимся с замечательным представлением суслинских множеств в форме
сумм и пересечений Sx борелевских множеств.
2. Индексы. Предположим, что дано суслинское множество про-
пространства R
e Jfa п2, п3)... A)
и что его дополнение есть D = R— А. При этом, как мы уже знаем,
каждому конечному комплексу натуральных чисел, который мы для
сокращения обозначим через
r = (nv п2,..., пй), B)
поставлено в соответствие замкнутое множество
F(r)=-F(nv п,,..., пк), C>
а сумма в A) распространяется на все возможные последовательности
(nv л2,. ¦.) натуральных чисел. При этом мы можем, как и раньше,,
предположить, что
F(nO 2Р(Пг, п2) о F(nlt л,, л,) 2 ¦ ¦ • D)
Присоединяя к комплексу B) еще одно натуральное число, получи»
комплекс,
(г, n)=*(nv П2,..., nh, Л),
который мы будем называть преемником r\ r же будет называться пред-
предшественником (г, п).
Пусть /?0 есть произвольное множество комплексов г. Если г входит
в Ro, но ни один преемник г не принадлежит Ro, назовем Г концевым
элементом Ro. Путем удаления из Ro концевых элементов получается
новое множество комплексов Rly и если продолжать дальше это удале-
удаление концевых элементов, мы приходим к убывающему ряду множеств
комплексов
Aoi 'Ai» А2> . • . )• Аш, "ш +1) • • • j
который индуктивно определяется следующим образом: R{ +1 получается
из /?{ удалением концевых элементов, а в случае предельного числа гг
а\, = © Rs.
Так как R не более чем счетно, то из не имеющих общих элементов множеств
Rs—aV+i (это множество концевых элементов R() не более чем счет-
202 ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
ное множество отлично от нуля н мы заведомо достигнем первого ин-
индекса г) @ < г] <&), для которого /?„ = /?ч+1> т. е. Rn не имеет конце-
концевых элементов и, конечно, в частности, может быть равным нулю.
Назовем это у\ индексом множества /?0; таким образом для %<%
./?{Гэ /?{+i- Для определенности пусть множество R — R^ =/?4+i == ...
называется ядром Ro (это максимальное множество QR0, не имеющее
концевых элементов).
Каждая точка X пространства определяет множество /?0(х) тех г, для
которых x?F(r), н если применить к R0(x) вышеописанный процесс,
мы придем к множествам Rt(x), оканчивающимся ядром R(x) = Rrj(x) =
= Rri+i(x) =*...; зависящий от х индекс rj = rj(x) множества R0(x)
назовем индексом ток/си х. Мы получаем, таким образом, разложение
множеств A, D по индексам их точек:
а = 2а* д = 2а, >(y<Q), E)
п п
где A,, Д, суть множества тех точек A, D, индекс которых г){х) = г).
Мы сейчас увидим, что эти множества суть В-мнбжества.
Каждое множество Rg(x) содержит предшественников всех своих
элементов, или иначе,
при {г, п) 6 Ri (х) имеем г ?Rs (x). - F)
Это имеет место при 1 = 0, будучи иной формой утверждения, что
-F (r, n) QF (г), т. е. D). Но если F) имеет место для ?, то оно имеет
место н для ?-|- 1; в самом деле, если (г, п) содержится в Re+i(x),
а следовательно, в Rf(x), то г есть элемент Re(x) и притом не конце-
концевой, следовательно, остается в множестве Rs+i (x). Наконец, по определе-
определению R4 для предельного числа Т] свойство F) справедливо в применении
к Rv, если оно имеет место для всех ? < % таким образом F) доказано
индуктивно.
Мы определили множества /?0(х) и получающиеся из него откалыва-
откалыванием концевых элементов множества /?{(х), отправляясь от F (г); наобо-
наоборот, теперь обозначим через Ff(r) множество тех х, для которых
r?Re(x), так что включения
r6#f(x), x^ffC-) * G)
равносильны. Так же как множества Rt, F( убывают с возрастанием
индекса, так как это обозначает просто напросто, что G) имеет место
при |, если оно имеет место при i] > ?. Мимоходом отметим, что убы-
убывающие множества
не оказываются в общем случае тожаёственными, начиная с некоторого
индекса rj, так как равенство /?ч (х) = /?4+i (x) имеет место не „равно-
„равномерно", при некотором фиксированном г), а только для зависящего от
X индекса г)(х) илн же i]^>r)(x). Из F) следуег далее, что
n)gFf(r). (8)
КРИТЕРИИ ДЛЯ ВОРЁЛЁВСКИХ МНОЖЕСТВ
203
Теперь покажем, что множества F( представляются следующим
образом:
r, п),
F4 (г) = © F( (r) (j? — предельное число).
(9)
Равенство первое следует из определения R0(x), третье — из опреде-
определения Rv(x), согласно которому G) справедливо для т] тогда и только
тогда, когда оно справедливо для всех ?<??. Среднее из равенств (9)
доказывается так: x?F{+i(x), или r?/?f+i обозначает, что г есть эле-
элемент и притом не концевой множества Re(x), следовательно, имеет
преемник (г, п) ? Rf (х); или, иначе, что существует такое п, что
(г, п) ? Ri (x); или еще, что х принадлежит хотя бы одному из множеств
F{{rt л), следовательно:
Fe+i Q
r, n).
Остается показать, что Fe(r, n) с F(+i (г); но если x?Ft(r, гг), то
(г, п) 6 Re(х)> и так как г € Ri(x)i то допущение гg Rs+i (x) невозможно,
а потому x?F(+i(r).
Далее,
S F A0)
есть множество тех точек, для которых Rs (x) :э 0; ибо Rg (x) з 0 обо-
обозначает, что существует г, для которого имеет место G). Множество
Ts = Q[Ft(r)-Ft+i(r)] A1)
г
есть множество таких точек X, что R( (x) гэ /?м-г (х); ибо это последнее
обозначает, что существует элемент г, являющийся концевым для R((x),
т. е. такой, что
(
или
или же
Для этих множеств мы имеем:
A2)
Прежде всего Ro (x) имеет непустое ядро тогда и только тогда,
когда X ? Л. Если х ^ Л и, скажем, х ? F(nJ F (п1з п„)..., то все
комплексы (щ), (пх, Лг), (п1( п2, пя),... принадлежат к Ro (x); не бу-
будучи концевыми элементами, они принадлежат к ^(х); продолжая
204 ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
таким образом, убеждаемся, что они принадлежат каждому Я((х), следо-
следовательно, ядру /? (х), которое тем самым непусто. Если, обратно, ядро
/?(х)гэО и, значит, в силу F) содержит одночленный комплекс (п{), то
оно содержит, как множество без концевых элементов, двухчленный
(Нц Щ)> трехчленный (nv пь п3) и т. д. комплексы; все эти комплексы
принадлежат /?0 (х), а потому
it^, пь nz)...QA.
При х ? D и только в этом случае /?(х) = 0.
По определению индекса г](х) неравенство 7?{ (х) г> /?{.ц (x) равно-
равносильно тому, что | <tj(x), а равенство /?{(х) = R?+i (х) = R (х) тому,
что | >-??(х). Поэтому Tf есть множество тех точек, индекс которых
> |, вто время как Sf (определенное условием /?{(х)гэО) состоит из
всех точек А и тех точек Д у которых индекс > ?. Этим установлено A2).
Из A2) мы еще получаем
Далее, из (9), отправляясь от замкнутых множеств Fo (r), ин-
индуктивно выводим, что множества F^(r) суть борелевские множества
пространства, а из A0) и A1) следует, что S(, T( суть борелевские
множества; то же самое получается индукцией и для А$, D?, исходя из A3).
По E) суслинское множество и его дополнение D могут быть
представлены как сумма ^ борелевских множеств *); оба множества
могут быть также представлены как пересечения $х борелевских
множеств, в частности, по A2) мы имеем просто
A4)
Множества S{ и Т( убывают с возрастанием индекса, а множества A3)
возрастают; пересечение всех Т{= 0. Заметим еще, что вместо A0)
согласно (8) можно написать
Se = @Ft(n), A5)
п
т. е. все возможные комплексы г можно заменить только одночленными;
для Tg это недопустимо. Сверх того, имеем:
r)Fs{Q), A6)
где | -}- со есть порядковое число, непосредственно следующее за f,
?+1. ?Н~2, ...,а суммирование справа распространяется на все пары
различных комплексов с одинаковым числом цифр:
х) В полных пространствах со счетной базой дополнения Л-множеств или не
более чем счетны, или имеют мощность Ци или мощность К; в силу иеразре-
шенности континуум-проблемы это значительно менее точный результат, чем отно-
относящаяся к Л-множествам теорема § 32.
КРИТЕРИИ ДЛЯ БОРЕЛЕВСКИХ МНОЖЕСТВ 206
В самом деле, если X ? Те+т, то при каком-то г
^(r). A8)
Поэтому для /и=0, 1, 2,... по (9) имеем при подходящем выбо-
выборе пт
эти числа щ, nv • • • не могут быть все равны, так как из х ? Fi+m (r,ri)
при фиксироваииом п следовало бы х 6 Fe+» (r, ri) Q Fe+a+i (г), что
противоречит A8). Поэтому существуют хотя бы два числа т, (i, для
которых Пщ ф Пц и
х € Fe+m (г, пт) Fe+Ii (г, л„) Q F? (г, Пщ) ^f (r, n J,
а значит X принадлежит множеству, стоящему в правой части A6).
3. Достаточные условна. Первый метод. Произведем два пре-
предварительных рассмотрения.
j (а) Если каждому ?'<й поставлена в соответствие счетная после-
последовательность множеств ?)" (п равно хотя бы 1, 2,...), убывающих с
возрастанием ? (D" 2 D", при ? < rj), и если, каково бы ни было ?,
то существует такое п, что при каждом | также Dj гэ 0. Действи-
Действительно, для каждого ? существует такое л(?), что D"(f) гэО. Функция
П (I), принимающая только счетное множество значений, должна прини-
принимать хотя бы одно значение п несчетно много раз; но тогда D":dO
при несчетном множестве значений ?, а следовательно (в силу моно-
монотонного убывания с возрастанием |), и для всех значений ?.
(/?). В метрическом пространстве со счетной базой можно считать,
что в представлении суслинских множеств A) диаметры множеств
F (Пц ..., Tlk) стремятся к нулю при к-* со (диаметр пустого множества
следует положить равным нулю).
Выше (стр. 200) мы заметили при доказательстве пункта (D), что мно-
множества Fa, а значит, в частности, само пространство допускает такое
представление и притом посредством непересекающихся слагаемых. По-
Поэтому, полагая
причем множества Е (tnv ..., Шъ) предполагаются замкнутыми, а их
диаметры-»О при к-*<х> *), пересекая это множество с множеством A)
и устанавливая взаимно однозначное соответствие между числовыми па-
парами (nib., Пъ) и натуральными числами pk, а затем полагая
FP1...Ph =E{mv..., mh)F (nlf nit..., nk),
*) Обратно, пространство, допускающее такое представление, имеет счетную
базу, ибо, выбирая в каждом непустом множестве Е [mv..,, mk) no точке, по-
получим счетное, всюду плотное в R множество.
206 ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
получим требуемое представление:
A = <3FPlFPlP,...,
которое сверх того есть представление посредством непересекающихся
слагаемых в том случае, когда таковым было A). Также удается сохра-
сохранить и дополнительное условие FP1 Э FPlPi 2 ..., если только усло-
условиться, что Е(mi) 2 Е{ти mz) 2 • * •
После сказанного можем доказать обращение теорем I, П.
III. (Суслин.) В полном пространстве со счетной базой: 1) суслин-
ское множество, дополнение которого также есть суслинское мно-
множество, есть боролевское множество. 2) Два непересекающихся
суслинских множества А и D суть борелевские множества в про-
пространстве R* = А + D.
Рассмотрим для доказательства два суслинских множества А, А* с
соответствующими борелевскими множествами F((r), F*((r) и S{, S^. Бу-
Будем предполагать, что представления формы A) множеств А и А* удо-
удовлетворяют условию (/?). Покажем, что если S{S* гэО при любом ?,
то ЛД*=>0.
В самом деле, предполагая ? любым порядковым числом (как и до
конца доказательства), имеем по A5):
n,v
причем суммирование распространяется на все пары п, v натуральных
чисел. Согласно вспомогательному замечанию (а) существует слагаемое
/ J
Заменяя ? на ? + 1, получим:
<BF (nun)F*{v1, *)=>0,
lv
7l,v
а значит, существует слагаемое
и т. д. Таким образом мы получим две последоватеп ности чисел
(п1У П2,...)» (^i» vb • • •) такие, что для каждого к (положив = 0) имеем:
F(n1,...,nk)F*(v1,...,vh)=>0.
Эти замкнутые множества, диаметры которых -»0 с возрастанием к
по теореме о пересечении (§ 28, п. 3, I), имеют одну (единственную)
точку пересечения X, "которая принадлежит как А, так и Л*;
итак, ЛЛ*гэО.
Если при каждом ?, S$A*3 0, то по A2) или же A4) имеем
SfS^3 0, а потому ЛЛ* гэ. Так что обратно: если АА* = 0, то для не-
некоторого ? (и всех следующих за ним) S{ А* = 0, следовательно,
=(A + A*)Slt
КРИТЕРИИ ДЛЯ БОРЕЛЕВСКИХ МНОЖЕСТВ 207
т. е. А есть пересечение А + А* с некоторым борелевским множеством.
Мы видим, следовательно, что непересекающиеся суслинские множества
суть борелевские множества относительно своей суммы. В частности,
если дополнение D = R — А суслинского множества А есть также
суслинское множество, то оба они суть борелевские множества
(в своей сумме A -f- D = R) и притом, начиная с некоторого индекса ?,.
А = до{ = Sf.
Этим доказано III. Суслинский критерий достаточен, если простран-
пространство полно и со счетной базой. Вторая половина, сверх того, показы-
показывает, что он достаточен и в том случае, когда пространством является
суслииское множество М полного пространства со счетной базой.
Так же доказывается достаточность лузинскоге критерия:
IV. В полном пространстве со счетной базой суслинское множество,,,
представимое посредством непересекающихся слагаемых, есть борелез-
скве множество.
По A2) и A3) St — TeQAQSt, если Tf = 0, то A=zSe, т. е. А.
есть борелевское множество, следовательно^ если А не есть борелевское-
множество, то Т^гэО при любом ?, следовательно, по A6)
r,g
причем суммирование распространйется иа (счетное) множество всевоз-
всевозможных пар различных комплексов с одинаковый числом индексов. По
замечанию (а) существует слагаемое
Fs(r)Ft(Q)=>0,
соответствующее паре комплексов A7). Заменяя ? на ?-f-1, получим:
@Ff(r,n)Ff (?,") = 0,
n,v
откуда следует существование слагаемого
Продолжая таким образом, получим две различные (так как г ф q)<
числовые последовательности (nlt п^, ¦..) и {vv гъ...) такие, что
при любом Л; применяя теорему о пересечении, видим, что оба различ-
различных слагаемых F (nj F{пг, п2)... и F(V]) F(vb ?2)... представляют
одну и ту же точку. Следовательно, если А не есть борелевское мно-
множество, то оно заведомо ие представимо посредством непересекающихся
слагаемых (и притом, как показывает (Р), независимо от того, стремятся,
к нулю или нет диаметры F(Vj,..., v4) (при &-*оо), ч. т. д.
4. Достаточные условия. Второй метод. Приведем еще дока-
доказательство теорем III и IV, данное Лузиным, замечательное помимо сво-
своей краткости еще и тем, что оно не употребляет порядковых чисел.
08 ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Два множества А и D назовем В-отделимыми (в пространстве R),
если их можно заключить в два непересекающихся борелевских мно-
множества Р, Q:
AQP, DQQ, PQ = 0.
Это условие равносильно тому, что A, D не имеют общих точек и
являются борелевскими множествами в пространстве R* =» А + D.
В самом деле, из В-отделимости следует:
и если, обратно, такие равенства имеют место, причем Р, Q суть боре-
левские множества, то (А + D) PQ =» 0 и A, D содержатся в непересе-
непересекающихся борелевских множествах Р — PQ, Q — PQ.
Если при т = 1, 2, 3,... множества Ат и D В-отделимы, то А=
— <ЗАт и D также В-отделимы. Действительно, из того, что Ат Я Рт,
т
D Я Qm> Рт Qm = 0, следует, полагая Р = ©Рто, Q = <S>Qm, что A Q Р,
D QQ, PQ = 0. Двукратное применение этого замечания показывает, что:
если при т, и = 1, 2, 3, • •. • множества Ат, Dm В-отделимы, то А =
= ©Лта и В == ©Вта также В-отделимы. Поэтому, обратно, если А и D
«е В-отделимы, то существует хотя бы одна пара не В-отделимых
множеств Ат, Вп.
Если множества Ат(т = 1, 2,...) попарно В-отделимы, то они
.отделимы в совокупности", т. е. существуют попарно непересекающиеся
'борелевские множества Rm 2 Ат (Rm Rn = 0 при тфп). В самом
деле, множества Ат и Dm=A1 + As + ...+ An-i +•• -Am+i+...В-отде-
-Am+i+...В-отделимы; если их заключить в непересекающиеся борелевские множе-
множества Рта, Qm и положить
°m == Qi Qm—1 Рт Qm-t-i Qm+S • • ¦>
то Rm Я Рт, а при п ^ ш Rn<=L Qn, следовательно, Rm Rn =0. Пусть
теперь дано суслинское множество
А = <3 Ci Cih Ciki...,
построенное из замкнутых множеств
Q 2 Сщ. ^
2 ...;
индексы пробегают все натуральные числа. Фиксируя начальные индексы
получим множества
h,l,... I,...
причем
A = © Л{, Л
Пусть, далее, при сохранении вышевведенных обозначений и допу-
допущений
•есть второе суслинское множество.
НЕПРЕРЫВНЫЕ ОБРАЗЫ БОРЕЛЕБСКИХ И СУСЛИНСКИХ МНОЖЕСТВ 209
Допустим, что А, В не В-отделимы. Так как А = © Ai, В == © Вр,
то существует не В-отделимая пара множеств Ai, Вр; далее, не В-отде-
лимая пара А^, Bpq, не В-отделимая пара Аш» Bpqr и т. д. Так
как Ai с Си Вр Q Dp {d, Dp замкнуты), имеем dDpzH, также
Cih Dpq^> Of Ciki Dpqr эО н т. д. Если пространство имеет счетную ба-
базу, мы можем допустить, что диаметры множеств С, D стремятся к нулю
при возрастании числа индексов (стр. 205); если же оно к тону же полно,
то множества ddhCiki... и DpDpqDp#.... имеют общую точку, не
В-отделимые множества А, В пересекаются. Таким образом:
В полном пространстве со счетной базой два непересекающихся
ссулинских множества В-отделимы, от. е. суть борелевские мно-
множества относительно своей суммы.
Это и есть теорема III.
Чтобы доказать IV, рассмотрим представимое посредством непересе-
непересекающихся слагаемых суслинское множество
А = 2 ^*СгьCiki••'', '"•¦
в этом случае суслинские множества Ai не имеют общих точек, также
и Aik и т. д., и мы имеем:
а = 2 А> л == 2 А*> ^1* = 2 Аш*••• ¦
i h I
Если пространство полно и со счетной базой, то А{ попарно В-отде-
В-отделимы, а значит, В-отделимы в своей совокупности: существуют попар-
попарно непересекающиеся борелевские множества Pi 2 Ai, которые можно
заменить множествами d Р%, т. е. считать с самого начала входящими в
Ci. Также и Aik можно заключить в непересекающиеся множестве Ptt Q
с Cih, которые можно заменить множестзами Р{ P(fc) следовательно, счи-
считать входящими в Pi. Таким образом получаем:
Аг g Л Q Ciy Aik Q Ptt ? Сш
Am Я Рш Я Cm Pi 2 P«2 Pm 2 ••.
Так как при любой последовательности индексов
то
A- ^PiPikPiki ..-,
но это, очевидно, равносильно тому, что
т. е. А есть борелевское множество.
§ 35. Непрерывные образа борелевских и суслинских множеств
Прежде всего отметим, что из § 24, I и II сразу следует:
I. Если Y есть непрерывный образ X, то прообразы борелевсктх
и суслинских множеств пространства Y суть соответственно боре-
Хаусдорф. Теория множеств 14
210 ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
левские и суслинские множества пространства X. Прообразы мно-
множеств F* (У), О*(У) суть множества F^(X),GS(X).
Это следует просто из того, что прообразы сумм и пересечений суть
суммы и пересечения прообразов. Если, например, уже доказано, что
при !<»/ каждое Ff(Y) имеет прообразом F*(X), то Р» (У) есть сум-
сумма или пересечение (смотря по тому, четно или нечетно q) счетного
числа множеств Ff(Y), следовательно, его прообраз есть сумма или пе-
пересечение счетного числа F* (X), т. е. есть F' (X). Совершенно так же
проводится рассмотрение для G* и суслинских множеств.
При попытках сделать заключение о природе множества Y, исходя
из природы множества X, непрерывным образом которого является У,
мы получили до сих пор только один результат: непрерывный образ
компактного (бикомпактного) множества К есть также компактное (би-
(бикомпактное) множество. С первого взгляда кажется безнадежным полу-
получить какие бы то ни было дальнейшие результаты, так как уже метри-
метрически абсолютно замкнутое множество F может иметь своим непре-
непрерывным образом, произвольное множество (конечно, не превосходящее
F по мощности). Однако, если мы будем рассматривать множества в
полных пространствах со счетной базой, мы можем получить более точ-
точный, в некотором смысле, результат: непрерывный образ суслинского
множества есть суслинское множество, непрерывный взаимно одно-
однозначный образ борелевского множества есть борелевское множество.
Борелевские и суслинские множества полного пространства суть, впро-
впрочем, таковые в любом заключающем их полном метрическом простран-
пространстве, следовательно, в этом смысле в теореме можно также говорить
о метрически абсолютных борелевских и суслинских множествах со
счетной базой.
Прежде чем перейти к уточнению и доказательству вышесказанного
утверждения, сделаем несколько замечаний о произведении пространств
и об операции проектирования (стр. 107). Произведение Z = (X, Y) двух
метрических пространств, т. е. множество пар z = (X, у), где X ? X,
у ? Y метризуется по формуле A) п. 4, § 21.
Каждая пара Z = (х, у) определяет свой первый элемент х = <р (z),
проекцию Z в пространство Х\ это — непрерывная и, более того, равно-
равномерно непрерывная функция. Образ А = Ф(С) некоторого подмножества
С пространства Z есть проекция С в X. К подмножествам произведе-
произведения, в частности, принадлежат произведения подмножеств С = (А, В),
где A Q X, В Q Y; А и В могут, в частности, свестись к отдельным
точкам, и, например, (А, у) есть (изометричное А) множество точек
(х, у) с фиксированным у и х ? А. Произведение С = (А, В) дистри-
дистрибутивно относительно сложения и пересечения; имеем:
и, само собой, аналогичные формулы в применении ко второму фактору.
Если X, Y — полные пространства, то и Z полно, и обратно. Если А
замкнуто в X, то (А, У) замкнуто в (X, У), и наоборот; переходя к допол-
дополнениям и применяя дистрибутивный закон, получаем, что: если А открыто в
X или является борелевским множеством F*, G* или суслинским мно-
НЕПРЕРЫВНЫЕ ОВРАЗЫ БОРЕЛЕВСКИХ И СУСЛИНСКИХ МНОЖЕСТВ 211
жеством, то (A, У) соответственно или открыто в (X, У), или Fi, G*,
или суслинское множество, и наоборот. Если А в X, а В в У суть F*,
то в Z как (A, У), так (X, В), так и пересечение этих последних (А, В)
суть F*, и наоборот: если (А, В) есть F* в Z = (ЛГ, У), то оно же есть
Ff и в (X, В) и А есть F* в X; то же для множества G{ и суслинских
множеств.
Допустим теперь, что В — непрерывный образ А и что А лежит в
пространстве X, В— в пространстве У. При помощи отображающей
функции У = <р(х) мы можем каждому множеству РЯХ'отнести замк-
замкнутое в У множество: '
W A)
это значит, что мы ищем образ АР и берем его замыкание в У. Это
соотношение мы будем выражать так: Q — Л (,Р); тогда имеем:
Если множества убывающей последовательности Рг 2 Ра = • • •
имеют стремящиеся к нулю диаметры и их (единственная) точка
пересечения х принадлежит А, то множества Qn= А (Рп) имеют
единственную точку пересечения у=ц> (х), т. е. образ точки X.
Так как X ? АРп, то у ? Ф (АРп) Я Qn при любом п, следовательно,
у ? Q=QiQ2-.. Остается только показать, что Q не содержит ни одной
отличной от у точки. Пусть z ? Q; Z ? .Qn, следовательно z ? Ф (АРп)',
поэтому существует точка уп ? Ф (АРп) такая что, q (z, yn) < — .
А это предполагает существование такой точки х ? Ф (АРП), что уп =
= у (Хп). Так как X и х„ принадлежат Рп, то g (x, Xn) <^ d (Pn), следо-
следовательно, хп-»х, ср (хп)-*<р(х), Уп-»У, так как одновременно yn-*Z,
имеем Z = у. '•
II. Непрерывный образ метрически абсолютного суслинского мно-
множества со счетной базой, также есть метрически абсолютное суслин-
суслинское множество. Взаимно однозначный непрерывный образ метрически
абсолютного борелевского множества со счетной базой также есть
метрически абсолютное борелевское множество.
Придадим нашему утверждению такую форму: допустим, что А ле-
лежит в полном пространстве X, имеющем счетную базу, например, в
своей полной оболочке, В—в произвольном пространстве Y, причем В
есть непрерывный (или взаимно однозначный непрерывный) образ А;
тогда если А есть суслинское (или борелевское) множество в X, то В
есть суслинское (или борелевское) множество в У.
Положим, что
А = ^ РП1 Р P
есть суслинское множество; можно принять, что диаметры замкнутых в
X множеств РП1... nh стремятся к нулю при &-»со и что РП1 2 Рщп2 2
2 ... При помощи отображения у = ср{х) мы согласно A) ставим в
соответствие каждому из множеств Pni...nh замкнутое в У множество
При этом
С?п1Оп1Я....-Ф(/>п1/>п1Я....)-
14*
212 ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Действительно, обозначим эти пересечения через Р, Q; возможны два
случая: или Р содержит только одну точку х, и тогда, по сказанному на пре-
предыдущей странице Q состоит из одной только точки у = <р(х),'шт же
Р=0, тогда по свойствам полных пространств (теорема о пересечении)
Pni...nft равно нулю, начиная с некоторого к, а тогда Qni-nh = 0 и Q = 0.
Следовательно
т. е. сусли некое множество в У.
Если А есть борелевское множество, оно представимо (§ 34, II) по-
посредством непересекающихся слагаемых
i *>»i п» •
и если В есть взаимно однозначный непрерывный образ А, то
есть также представление посредством непересекающихся слагаемых; так
как В, так же как и А, имеет счетную базу, то оно содержится в пол-
полном пространстве со счетной базой В и есть борелевское множество
этого пространства, а следовательно, борелевское множество всякого
(метрического) пространства.
Следует особо обратить внимание на отличие этой теоремы и теоремы
1 § 35. Там шла речь об относительных борелевских и суслииских мно-
множествах (в X, Y), заключение о множествах Q X делалось, отправляясь
от свойств множеств Q Y; принадлежность к классам F*, G* сохранялась.
Теперь речь идет о метрически абсолютных борелевских и суслинских
множествах, заключение делается от множеств Л к их образам В,
принадлежность к В-классам может и не сохраняться. Более того, имеет
место прямо обратное: все метрически абсолютные суслинские множества
со счетной базой суть непрерывные образы метрически абсолютно замк-
замкнутых множеств со счетной базой, даже одного единственного такого
множества, а именно бэровского нуль-мерного пространства. Это послед-
последнее есть множество / последовательностей натуральных чисел
х = (пх, пъ ...)
с расстоянием, определенным в § 21, п. 2, пример 6); что / полно или,
что тоже, метрически абсолютно замкнуто, мы отметили уже на стр. 151;
оно имеет счетную базу, так как множество тех последовательностей х,
почти все числа которых равны единице, плотно в нем. Бэровское нуль-
нульмерное пространство гомеоморфно множеству иррациональных чисел
(которое есть метрически абсолютное Ga)- Действительно, если мы по-
поставим во взаимно однозначное соответствие числовой последователь-
последовательности х иррациональное число
НЕПРРЕЫВНЫЕ ОВРАЗЫ БОРЕЛЕВСКИХ И СУСЛИНСКИХ МНОЖЕСТВ 213
лежащее между 0 и 1, то множество этих чисел / есть непрерывный
образ /, и обратно, Хт —> х обозначает, что число первых цифр хт,
совпадающих с соответствующими цифрами х, ->оо вместе сш, а от-
отсюда следует, что im~*i', также и обратно. Интервал же @,1) отобра-
отображается гомеоморфно и с сохранением рациональности и иррациональности
чисел на множество всех действительных чисел, хотя бы по формулам
а потому множество всех иррациональных чисел между 0 и 1 гомеоморфно
множеству всех иррациональных чисел- После этих предварительных за-
замечаний докажем теорему:
III. Каждое метрически абсолютное суслинское множество со счет-
счетной базой есть непрерывный образ бэровского нуль-мерного простран-
пространства I {или же множества всех иррациональных чисел). Каждое
метрически абсолютное борелевское множество со счетной базой есть
взаимно однозначный и непрерывный образ замкнутого в I мно-
множества.
Пусть, как и выше, / есть бэровское пространство последователь-
последовательностей, х — (пх, П2 ), а
В = Q Fni
суслинское множество в полном пространстве со счетной базой;
пусть, далее, для каждой последовательности х замкнутые множества
Fni 2 Fnin% 2 ... образуют убывающую последовательность с диаметра-
диаметрами, стремящимися к нулю; пересечение
F(x) = FniFnint • • •
или содержит только одну точку у или пусто. В первом случае мы по-
поставим в соответствие X образ у = <р (х), что нам уже доставит все
множество В. Чтобы и во втором случае (в котором почти все множе-
множества Fni, Fnina, ..., пусты) определить точку <р (х), мы выберем из В фик-
фиксированную точку'у0, а в каждом из множеств BFni...nk =э0 — фиксиро-
фиксированную точку Ущ..-пл; если теперь в последовательности множеств
BFnv BFni пз, ...
уже первое множество пусто, полагаем q>(x)=y0; если BFniZ3 0 и
BFni...nk есть последнее непустое множество, полагаем <р(х) = yni...nk.
При этом <р (х) определена однозначно и образ / есть В; мы утверждаем,
что <р(х) непрерывна. Пусть f-+x, n = <p(§), у = <р(х). Число к первых
цифр, одинаковых у f = (уъ *>2,...) »х = (пъ л2,...), стремится к + оо.
Если Р(х)эО, то г] и у принадлежат одному множеству Fm...nk, диа-
диаметр которого стремится к нулю при к —»оо: q (г), у) -> 0.
Если F(x) = 0, то просто или t] = y при к > h (если BFni.,.nft есть
последнее непустое множество) или rj = у уже при к > 0 (если BFni = 0).
Этим установлена первая половина III. Для доказательства второй поло-
половины заметим, что множество х, для которых F(x)dO, замкнуто в I,
214 ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
или, что то же, множество х, для которых F(x) = 0, открыто в /. Дей-
Действительно, еслиР(х) = 0 и Fnv..nh — первое пустое множество, то
для всех ?, для которых e(f, x)< j (Fri...,k = Fni...nfe), также F(?)=0.
Представим борелевское множество В как суслинское множество с не-
непересекающимися слагаемыми и ограничимся определением q>(x) для
таких х, для которых F(x)oO; тогда В оказывается непрерывным
взаимно однозначным образом замкнутого в / множества. Что в обеих
частях III можно заменить / на гомеоморфное множество иррациональ-
иррациональных чисел — очевидно.
Таким образом суслинские множества полных пространств со счетной
базой суть непрерывные, а борелевские множества — взаимно однозначные
и непрерывные образы метрически абсолютно замкнутых (полных) множеств
или, если угодно, Gt на числовой прямой, — но не замкнутых множеств
числовой прямой или эвклидовского пространства (образы последних
суть всегда абсолютные Fa). Их можно также представить как проекции.
Пусть суслинское множество В полного пространства Y со счетной базой
в силу отображения у = <р (х) есть непрерывный, а борелевское множество В
взаимно однозначный и непрерывный образ множества А полного про-
пространства X со счетной базой. Пары точек (х, у), х?Х, y?Y образуют
полное пространство со счетной базой Z = (X, Y), если принять за
расстояние ]/еа(х, I) + Q2 (у, rj). Множество С точек (х, <р(х)), т. е.
множество, определенное условиями х?А, у=<р (х), в силу непрерыв-
непрерывности <р{х) замкнуто в пространстве (A, Y); В есть его проекция на Y
(а при взаимно однозначной q>(x) — взаимно однозначная проекция). Но
А мы могли выбрать метрически абсолютно замкнутым (например бэров-
ское пространство илн его подмножество); тогда н (А, У) и С метри-
метрически абсолютно замкнуты. Или же мы могли в качестве А выбрать G»
во множестве R1 действительных чисел; тогда (A, Y) есть Gt в (X, Y),
т. е. метрически абсолютное Gt и таково же и С. Следовательно, В есть
(взаимно однозначная) проекция метрически абсолютного F или Gt со
счетной базой. В особенности интересен случай, когда В есть множество
эвклидовского пространства У = /?"; тогда оно может быть представле-
представлено, если выбрать А вторым способом, как проекция С, где С есть G*
в (X, Y) = (R1, Rn), т. е. в Rn+1. Таким образом, ограничиваясь только
эвклидовскими пространствами, а вместо непрерывных отображений рас-
рассматривая только проекцию в пространстве меньшего числа измерений,
мы имеем:
IV. (Взаимно однозначная) проекция суслинского (борелевского) мно-
множества есть суслинское {борелевское) множество] каждое суслинское
{борелевское) множество в Rn может быть представлено как (взаимно
однозначная) проекция множества Gt в Rn+1.
Мы знаем, что в эвклидовском пространстве существуют суслинские
множества, которые ие суть борелевские множества (§ 33). Следовательно,
(не взаимно однозначная) проекция борелевского множества есть суслин-
суслинское множество, но может и не быть борелевским множеством; например,
плоские Gt имеют своими проекциями все одномерные суслинские мно-
множества, значит, в частности, и те, которые не суть борелевские множе-
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ КЛАССОВ МНОЖЕСТВА 215
ства. Взаимно однозначная проекция борелевского множества есть также
борелевское множество, но класс не обязательно сохраняется; плоские G»
имеют своими взаимно однозначными проекциями одномерные борелевские
множества сколь угодно высокого класса. Уже простейшая проблема
выяснит природу проекций борелевских множеств, естественным образом
выводит нас за пределы борелевских множеств и заставляет ввести су-
слинские множества.
§ 36. Топологическая инвариантность классов множества
Гомеоморфия двух множеств X и Y была определена как взаимно
однозначное и в обоих направлениях непрерывное отображение у — ф(х),
х = у(у) этих множеств. Несмотря на симметричность этого отношения
между X и Y, мы сохраним термины образ и прообраз.
I. (Александров-Хаусдорф.) Гомеоморфный образ абсолютно замк-
замкнутого множества есть метрически абсолютное G», и каждое мет-
метрически абсолютное G& гомеоморфно некоторому метрически абсо-
абсолютному замкнутому множеству.
Первая часть получится как следствие теоремы Лаврентьева (см. ниже,
стр. 220). Вторую часть можно перефразировать так: Ga в полном про-
пространстве гомеоморфно некоторому полному пространству.
Положим вначале, что R есть метрическое пространство, F замкнуто
(OcFcz/?-, q(x, F) >0. Рассмотрим точки X, у, Z дополнения
G = R — F и положим
Это симметричное относительно X к у выражение обладает свой-
свойствами расстояния; оно равно нулю при х = у, положительно (< 1) при
X ф у и удовлетворяет аксиоме треугольника, потому что, если писать
короче: qx вместо Q (x, F) и принять во внимание, что Qy^CQ* +6 (У) z)>
Qv < Qx + Q (X, у), то получим:
е(х, У) ¦ С(У, z) q(x, у)+е(У, г)'
"*" Q (x> У) + в (У. ^
2)
Если еще применить Qy ^ qx + Q (x, у) к A), увидим, что
*. У) ^ „ i~ -, i *7\ ^> 1 g (x> У)
¦e(x,y)+e{x,F)
Пусть теперь А = G1 G2... есть Ga, его дополнение В — F1-j-F2+ . •.
есть Fa, выберем сходящийся ряд положительных чисел сх + сг... и
определим для точек А функцию
216 ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Это выражение также имеет свойства расстояния, и введение этого
расстояния обращает множество А в новое (отличное от А) метрическое
пространство А, которое состоит во взаимно однозначном соответствии
с А (каждой точке х ? А соответствует та же самая точка х ? Л).
Покажем, что А и Л гомеоморфны, т. е. что при фиксированном х из
в(х, у) —>0 следует q(x, у)—»0, и обратно. В самом деле, из B)
следует:
при q (х, у) =» 0 каждый член ряда в силу того, что q (x, Fn) > 0, стремится
к нулю, а следовательно, в силу равномерной сходимости стремится
к нулю и сумма ряда. С другой стороны, по B)
?(*> У) /оч
Т fc <3>
и при q(x, у)->0, q(x, y)^0.
Положим, наконец
q (х, у) - max [e (х, у), q (х, у)];
д(х, у) также обладает свойствами расстояния и обращает А в третье,
гомеоморфное Л и Л пространство Л. Это последнее полно, если /? пол-
полно, что доказывает I. Действительно, пусть хп—фундаментальная по-
последовательность в А, а следовательно (так как q (х, у) > q (x, у)
и q (х, у), и в Л и в Л; следовательно, она имеет предел t в *? в смысле
первоначального расстояния q{x, у). Этот последний не может быть точ-
точкой J5; так как, если бы, скажем, t ? Flf то в силу C) при т< п
Q
следовательно, при n->oo(g(xm, Хп)^уд(хт, f) >0, Q(Xn, jPx) —v 0)
а тогда хп в А, а значит, и подавно в Л ие есть фундаментальная по-
последовательность, так как в противной случае даже lim sup д(хт, хп)
п
должен был бы стремиться к нулю при возрастании п. Следовательно,
существует точка х ? Л, для которой q (x, xn) —>0,Q (х, Хп) —> 0, и про-
пространство Л полно.
Один пример нам уже известен (стр.212): множество иррациональных
чисел, метрически абсолютное Ga, гомеоморфно метрически абсолютно
замкнутому бэровскому нуль-мерному пространству.
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ КЛАССОВ МНОЖЕСТВА 217
Если два расположенных в эвклидовских пространствах множества А
и В гомеоморфны и если А вамкнуто, то В есть G» и в то же время Fa
(последнее легко выводится из § 27, VIII и XVI).
Так как множество иррациональных чисел не есть Fa, то оио не
гомеоморфно никакому замкнутому множеству эвклидовского простран-
пространства.
II. (Теорема М. А. Лаврентьева.) Гомеоморфия между метрическими
пространствами А и В может быть продолжена в гомеоморфию
между двумя метрически абсолютными Ga, X э Л, Y 2 В.
Сначала положим, что А при помощи функции у = q> (x) отобража-
отображается на В только непрерывно; пусть Ао и Во суть полные оболочки
А к В. Рассмотрим точку х ? Ао; к ней сходится последовательность
ап ? А; образы ап суть Ьп = <р{ап)- Точки Ъп нлн образуют фундамен-
фундаментальную последовательность или нет. В первом случае они сходятся
к точке у ? Во. Может оказаться, что всем сходящимся к х фундамен-
фундаментальным последовательностям ап соответствуют фундаментальные после-
последовательности Ьп (как это и будет, если х ? А, когда заведомо
Ьп —> у = (р (х)); в этом случае все эти фундаментальные последователь-
последовательности Ьп сходятся к одной и той же точке у ? Во, потому что если бы
последовательностям ап—ух, а*п —>х соответствовали последовательности
Ьп-*У, Ьп*-+У*, У фу*, то последовательность аг, а{, а2, а*,... схо-
сходилась бы к х, а последовательность образов blt b?, b2, Ъ*г,... не была
бы фундаментальной. Если мы обозначим Ах множество точек х? Ао-
обладающих указанным свойством (всем последовательностям ап —> X со-
соответствуют фундаментальные последовательности^), то каждой точ-
точке х ? А1 соответствует вполне определенная точка у = (р1 (х) множества Во,
причем при ап-+х заведомо Ьп-*у, таким образом нами определена на
множестве Аг однозначная функция у => <р± (х), причем А Я Аги при х ? А
имеем 9>i (х) = <р (х). Эта продолженная функция, которую мы снова
будем называть q> (je), непрерывна; в самом деле, если хп -+ X (х„, X ? Aj)
и если уп=<р(Хп), у — <р{х), то, так как образы точек Л, сходящихся
к Хп, сходятся к уп, можно определить ап, столь близкое к- хп, чтобы
e(flm Хп)<4 и 6(Ьп> Уп) < \ , ио тогда ап-*х, следовательно, Ьп->у,
а значит уп -+ у. Множество Аг есть G» в Ао, т. е. метрически абсолют-
абсолютное Gs. Действительно, требование, чтобы при стремлении ап к X
образы Ьп образовали фундаментальную последовательность, можно
выразить так: для любого а > 0 существует q > 0 такое, что при
б(х, а)< q, q(x, а*) < q расстояние образов g{b, 6*)<«т, или еще,
что при любом а существует такая окрестность U{х), что образ
Ф (AU (х) ) имеет диаметр ^ а. Если сначала фиксировать а, то мно-
множество G {а) точек, имеющих такую окрестность, открыто в Ао, так как
каждая точка, входящая в U(x), также имеет такую окрестность (QU(x)).
Множество тех х, которые при любом а или при а = 1,—,—,... имеют
и 3
такую окрестность, есть Аг = GA)G Ш g(j\ ..., т.е.
и 3
г) Это справедливо и без предположения непрерывности <р (х); только тогда Аг
может и ве содержать А.
218 ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Таким образом мы доказали: непрерывная на А функция может быть
продолжена в функцию, непрерывную на Аг (так что на А эти функции
совпадают); А1 есть метрически абсолютное Ga, содержащееся в полной
оболочке Ао множества А.
Если теперь А к В гомеоморфны, то мы также можем продолжить
непрерывную на В функцию у> (у) в непрерывную на В1 функцию, причем
Вг есть Gt в Во.
Функция <р(х) непрерывно отображает Аг на множество В2О.В0,
которое может и не совпадать с Вг (см. нижеприведенный пример).
Итак, когда X пробегает множество Av то д> (х) пробегает множество В2.
Пусть также функция у> (у) непрерывно отображает В1 на А2, т. е. когда
у пробегает множество Blt то у> (у) пробегает множество А2.
Наконец, пусть As есть множество тех X ?AV для которых д>(х)^Въ
т. е. прообраз BXB2 прн непрерывном отображении Ах на В2; очевид-
очевидно, A Q A3 Q Аг. Так как ВгВ9 есть Gs в В%, то по § 35,1 А3 есть
Gt в Av следовательно, метрически абсолютное Ga. Подобным же обра-
образом пусть В3 есть множество точек у ? В1г для которых у> (у) ? А{,
В ? В3 Я Вг и В3 есть метрически абсолютное Gt.
Множества Аа, Ва при помощи функций у = <р (х), х = у>(у) гомео-
морфно отображаются одно на другое. Действительно, если X ? Аа,
у = <р (х) ? Blt то по определению Вг это обозначает, что для любой
последовательности Ьп->у {Ьп?В) ап = У(Ьп) сходятся к у>(у). Но если
мы возьмем пронзвольную последовательность ап —»X {ап ^ А), то Ьп=(р(ап)
сходятся к у = q> (х), следовательно, ап сходятся к у> (у), т. е. х = у> (у).
Так как y>(y)^Av то, сверх того, у€#з- Итак, из X ? А3, у = <р(х)
следует у?Вя, х = у>{у), и обратно; А8 при помощи функции y = gj(x)
непрерывно отображается на В3, а В8—при помощи х = у>(у) на А3.
Этим доказано II (X = As, Y = В3). Сверх того, А3 = Ах А2, В3=В1 В2.
В самом деле, в силу отображения у = <р(х): В3 Я В3, следовательно,
В3 Я Вг В2, А3 Q Ах А2. Обратно, Аг А2 Q А3; действительно, из х ? Аг Аа
•следует (так как х?А2), что х = у>(у), причем у^Вх и, далее (так
как х^А^, что у?В3 и х$ А3. Наконец, еще заметим, что Аа, В3
суть максимальные множества X, Y (Я Ао, Во), на которые можно
распространить гомеоморфию между А и В', потому что если х, у суть
соответствующие одна другой точки X, Y, то в силу того, что х — пре-,
дельная точка А и каждая фундаментальная последовательность А, схо-
сходящаяся к X, переходит в фундаментальную же (сходящуюся к у) после-
последовательность, х? Аъ у==д>(х) и по той же причине у?В1э Х = <р(у),
следовательно, х?-А3, у 6 В3.
Пример. Пусть А есть сумма трех числовых интервалов
А = @, 1) + A, 2)+ B, 3)
и пусть функция у = (р (х) определена на них соответственно по
формулам
у (х) = 1 — х, 3 — х, х.
Таким образом А гомеоморфно отображается само на себя, причем
два интервала переходят в свои зеркальные изображения относительно
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ КЛАССОВ МНОЖЕСТВА 219»
своих средних точек, а третий переходит сам в себя так, что каждая
его точка остается в покое. Так как отображение является инволюцией,
т. е. обратная функция у> (у) тождественна с <р(х), то Ао, Аъ А2, А3
совпадают с Во, Вг, В2, Bs. Мы имеем:
До = А+{0, 1, 2, 3},
А^А+10, 3},
At = A+{l, 3},
Вторая формула получается так: при х -»О, у -> 1, при х -» 3, у -» 3;
поэтому точки 0, 3 следует включить в Alt а их образы 1,3 — в А2. На-
Наоборот, 1 и 2 не следует
включать в Дх,так как, когда о i ? 3
X стремится слева к единице, "v" \ ' \ !
у^О, а когда х стремится «0 u , '^ ?—^ '¦—
справа к единице, у —»2,
так что не каждой фунда- ' Фиг. 11.
ментальной последователь-
последовательности, стремящейся к единице, соответствует фундаментальная же после-
последовательность; так же обстоит дело и с точкой 2.
Пусть теперь Ф — некоторая &5-операция. Применяя ее к всевоз-
всевозможным замкнутым (открытым) множествам, лежащим в полных простран-
пространствах, получим 0(F) @{G)) множества полных пространств; для них
справедлива такая теорема:
III. (Теорема о топологической инвариантности.) Гомеоморфный об-
образ 0(F)- (<?>(G)-) множеств вновь является <P(F)- (Ф(Ь)-)мшже-
ством, если только операция Ф удовлетворяет условию: пересечение
0(F)- @(Gj-) множества с G -множеством есть Ф(Р)- (<?><G)-)
множество.
Проведем доказательство в случае Ф(Р)-множеств. Пусть в про-
пространстве /?!
F)
где Fn замкнуты в /?1# Пусть В — гомеоморфный образ А в простран-
пространстве /?2. По II существуют А' 2 А и В' 2 В типа Ge, на которых мо-
может быть распространен наш гомеоморфизм. Обозначим через Un образы
в В' пересечений A' Fn. Множества Un замкнуты в В'и, следовательно,
могут быть изображены в виде Цп — B'Wn, где Wn замкнуты в R2.
Очевидно, что
и по условию теоремы является Ф (/^-множеством.
Из III вытекает, в частности, что классы абсолютных G* при ^
и абсолютных F* при 1^2, так же как абсолютных суслинских
множеств, топологически инвариантны. Из инвариантности классов F^
и Ge при 1^2 вытекает, далее, топологическая инвариантность абсо-
абсолютных борелевских множеств.
220
ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Так как суслинские множества получаются из замкнутых множеств
при помощи ^-операции ФА, то дополнения к суслинским множествам
получаются из открытых множеств при помощи дополнительной опера-
операции Фа- Пересечения дополнений к суслинским множествам с Gj-mho-
жествами являются также дополнениями к суслинским множествам (так
как сумма суслинских множеств и /'л-множеств суть суслинские множе-
множества). Отсюда заключаем, что класс дополнений к суслинским множест-
множествам в полном пространстве топологически инвариантен.
Некоторые новые инвариантные типы множеств получаются примене-
применением II, если обратиться к рассмотрению дополнений X — A, Y — В.
Например, разность двух абсолютных Gg также сохраняет свой тип, по-
потому что если А = Аг — Аг есть разность двух абсолютных Qa, то эти
Ge можно считать подмножествами X, так как ХА = ХАг — ХА&
а тогда В =Bt — Ba есть такая же разность. Это, в частности, от-
относится к множествам F1 = Fa.
В заключение соберем в маленькую табличку важнейшие результаты,
относящиеся к непрерывным, к непрерывным взаимно однозначным,
а также к гомеоморфным отображениям множеств; буква К обозначает
компакт; типы множеств F (замкнутое), F{, G?, В (борелевское множе-
множество), А (суслииское множество) надо понимать как метрически абсо-
абсолютные; СА обозначает дополнение к суслинским множествам в полных
пространствах; незаполненные места указывают, что нельзя высказать
никакого определенного заключения. Сокращение сч. б. следует читать:
со счетной базой.
М
К
F
А
СА
-•сч. б.
Веч. б.
А«. в.
Непрерывный
К
А
А
А
Образ М
Взаимно однозначно
непрерывный
К
-
в
в
А
Гомеоморфный
К
*°*
А^
СА
Оь
В
А
Глава IX
Действительные функции
§ 37. Функции и их лебеговские множества
1. Лебеговские множества. Пусть в пространстве А (которое пока
мы будем рассматривать как абстрактное множество без каких-либо ме-
метрических или топологических отношений между его точками) опреде-
определена действительная функция /(х) или, иначе говоря, каждой точке х (j A
соответствует действительное число /(х). Множество точек х, для кото-
которых f(x)>y (у— заданное действительное число), так же как в § 25,
мы будем кратко обозначать [/ >у]; так же определяются множества
\1>У], \У< /< А и т- п-
Если В есть множество значений f(x), т. е. множество чисел, про-
пробегаемое /(*), то упомянутые множества суть не что иное, как прооб-
прообразы в смысле § 24 некоторых подмножеств В. Так как поведение дей-
действительной функции сверху и снизу может быть различным х), напри-
например функция может быть ограниченной сверху и неограниченной снизу,
то следует наряду хотя бы с множествами [/ >'у] рассматривать и мно-
множества [/ < у]; вместо этих последних мы предпочтем ввести их допол-
дополнения и назовем множества
U>y], [/>у]
лебеговскима множествами функции / по имени ведшего впервые рас-
рассмотрение этих множеств. Между обоими типами лебеговских- множеств
существуют соотношения; мы имеем:
(л =1,2,...). A)
Функция определяет свои лебеговские множества, и наоборот, и даже
из A) видно, что функция / определяется множествами [/ >у], так как
тогда нам известны множества [f>y\, а также, как разности этих мно-
множеств, и множества [/ = у]. Нет нужды знать даже все множества [/ > у],
так как между ними есть дальнейшие соотношения; достаточно, напри-
например, знать множества [/ >г] для рациональных г, так как
1/>у]= <§[/>/¦].
г) Если х также есть действительное переменвое, то возникает еще различие
в поведении слева н справа.
22 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Между множествами [/ >г] имеют место еще соотношения
е>г г г
«и читатель легко убедится в том, что каждая удовлетворяющая этим
условиям система множеств М{г) действительно определяет единственную
функцию /, для которой [/ > г] = М (г).
Изучение связи между свойствами функции и ее лебеговскими мно-
множествами составит главный предмет этой главы. Одно предложение
такого рода нам уже известно: если <р непрерывна, то все множества
[f>y] и [/< 2] открыты (в А), а все множества [/>у] замкнуты.
Верно и обращение: если все множества [/ > у) и [/ < 2] открыты, то
открыты и их пересечения [у < / < z], и так как каждое открытое мно-
множество О арифметического континуума есть сумма интервалов, то про-
прообраз ВО (В — опять множество значений /) есть открытое множество
•(как сумма открытых множеств), а следовательно, по § 24, И, /(х)
непрерывна.
Перейдем теперь к рассмотрению системы функций /, определенных
.в одном и том же пространстве А.
Имея две функции flt /a, мы получим две новые функции
J=max[f1, /J, 1= min [Д, /J,
•если будем в каждой точке х брать соответственно наибольшее и наи-
наименьшее из двух чисел ДСх), fa(x). Очевидно,
B)
Для суммы / = Д+/а неравенства rf~>y или fi>y — /г обозначают
существование такого рационального (зависящего от рассматриваемой
точки х) числа г, что /i > г > у —/г или ft > г, /2> у— Г, откуда по-
получается первая из двух формул:
U>y]
C)
вторая получается также, рассматривая [/ < у] и переходя к дополнению.
Далее, если дана последовательность функций fu /2,..., то ее верх-
мяя и нижняя границы суть
g = sup\flt /2,...] =sup/n,
Л = inf [/i, /*...] =*inf/n.
D)
ФУНКЦИИ И ИХ ЛЕБЕГОВСКИЕ МНОЖЕСТВА 223
причем в каждой точке х последовательность чисел /„(х) в первом слу-
случае должна быть ограничена сверху, а во втором—снизу. (Мы рассмат-
рассматриваем только конечные функции, т. е. исключаем несобственные значе-
значения ± со, введение которых там, где онн нужны, требует особых рас-
рассмотрений.)
Тут мы имеем:
lg>y]=f[fn>y),
в то время как средние из формул B) не переносятся на бесконечное
множество функций. Благодаря E) уместно обозначать функции sup /„
через /„, a inf/n — через fs. Верхняя граница /„„ последовательности
функций /„ есть снова /„, так как вместо
можно написать, преобразуя таблицу с двойным входом в последова-
последовательность:
g = sup /mn = sup [/u, /12, /ai,...];
m, n
также fas есть fs.
Верхний и нижний пределы последовательности, как известно, опре-
определяются так:
n = Umgn, gn —sup [fn,
lim/„ = limhn, hn = inf[fn, fn+u fn+2,...].
В первом случае предполагается, что /„ограничена сверху, agn—снизу,
во втором, что /„ — снизу, ngn—сверху (эти предположения относительно
ограниченности в дальнейшем не всегда будут выполнены). Так как g{>
>gr8>...,ft1^ft2<[..., то можно также написать:
hmfn= inf gn, Шп/„ = sup Л„;
функции gn суть fa, я потому Игл fn есть faS и подобным же образом
lim/n есть fso. Предел сходящейся последовательности есть и fai и /*,
одновременно.
В предположении, что мы имеем дело с такой системой функций,
что если в нее входит /(X), то входит и /(х) +const., в случае равно-
равномерной сходимости имеем существенное упрощение: предел lim /„ равно-
равномерно сходящейся последовательности функций есть одновременно
fa и /,,. Потому что, если \<р — /„1<еге, е„-*0, то <р = inf (/„ + е„) =
= SUp (/n-«n).
Чтобы придать удобную форму предложениям о лебеговских мно-
множествах, мы условимся в следующем. Положим, что множества М, N
принадлежат данным системам множеств 9Л, 91. Тогда если при каж-
каждом у, [/ > у] есть М, мы скажем: функция f принадлежит классу (М, *)
224 . ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
или есть функция класса (М, *); если \f>y] всегда есть N, мы ска-
скажем: функция f принадлежит классу (*, N). Если имеют место и то и
другое, / принадлежит классу (М, N). Например, непрерывные функции
пространства А принадлежат классу (О, F), где G — открытые, a F —
замкнутые множества пространства А, и vice versa. Если, в частности,
множества N суть дополнения А — М множеств М, то утверждения: /
есть функция класса (М, *) и—/ есть функция класса (*, N) — равно-
равносильны.
Предположим теперь, что "ЗЯ и 91 суть кольца (сумма и пересечение
двух М есть М, сумма н пересечение двух N есть N). Тогда можем вы-
высказать следующие предложения:
I. Если функции f принадлежат классу (М, *), то maxf/^ /2) и
min [Д, /2] также суть функции класса (М, *),
/л = inf /л класса (*, Мь),
fa = sup /n и /х + /2 класса (Ма, *).
II. Если функции f принадлежат классу (*, N), то max [flt /J и
min [}ъ fs] также суть функции класса (*, N),
/„ = sup/n класса (Na, *),
/e = inf/n и il + ti класса (*,
Все эти утверждения следуют сразу из B), C), E); только для сред-
средних из них надо еще привлечь A). Если / принадлежат классу (Ж, *),
то они принадлежат и классу (*, Ms) и fs суть класса (*, Мм) = (*, Ms).
Если / принадлежат классу (*, N), то они принадлежат и классу (ЛГО, *),
и /„ суть класса (Nm, *) = (Nm *).
Мы назовем систему функций обычной системой, если она удовлет-
удовлетворяет следующим постулатам:
(а) Каждая постоянная функция есть /.
(/?) Максимум и минимум двух f есть /.
(у) Сумма, разность, произведение и частное (если делитель всюду
отличен от нуля) двух / есть /.
В силу тождеств
!/|=max[/, -/I,
ft, /2]=4(/x+/2)±!i/i-/*i
требование (/?) может быть заменено таким: абсолютная величина f
есть /.
Обычную систему функций назовем полной, если она удовлетворяет
еще одному дополнительному постулату:
{д) Предел равномерно сходящейся последовательности f есть /.
Тогда имеем следующую теорему:
III. Допустим, что множества М, к которым должны принадле-
принадлежать все пространство А и пустое множество, образуют а-кольцо г),
*) Тоесть кольцо, которое есть «-система (каждое М, есть М).
ФУНКЦИИ И ИХ ЛЕБЕГОВСКИЁ МНОЖЕСТВА 225
а их дополнения N = А — М — соответственно д-кольцо. Тогда все
функции класса (М, N) образуют полную систему.
Действительно, (а) выполнено, так как множества Л и 0 суть мно-
множества М, N; (j8) — потому, что по I и II max[/lt /2] и min [fv /г] суть
класса (М, N). Далее, /„ и )х +/2 суть класса (Ж, *), /л и /х + /э— класса
(*, N), следовательно, ft -J- /2 и предел равномерно сходящейся последо-
последовательности — класса (М, N); (д) выполнено. Разность двух / есть /, так
как — / есть /. Квадрат / есть /; в самом деле, [/2 > у] при у < 0 есть
все пространство, а при у>0 — сумма двух множеств [f>V^y] и
[/< —1/*у], т. е. есть М; также [/2>у] есть N. Поэтому произведе-
произведение двух /
hh
\—2)
есть /. При / ф 0, у- есть /; ибо |j > у| при у > 0 тождесгвенно
с 0 < / < — I, которое есть произведение двух М, при у = 0 — с [/> 0],
а при у < 0 — с суммой множеств [/ > 0] и I / < — I. Следовательно, -i-
и — -г принадлежат классу (М, *), — — классу (Л/, N). Этим установ-
установлено, что (у) выполняется.
2. Расширение обычных систем. Пусть / пробегает обычную сис-
систему функций. Условимся обозначать через /* предел сходящейся (всюду)
последовательности функций /, через g — предел возрастающей последо-
последовательности (/i ¦< /а <! • • •)» через Л — предел убывающей (/i > /2 >...),
через к — функцию, являющуюся одновременно и g и Л. В таблице
каждая функция есть частный случай стоящей справа; эта таблица тож-
тождественна к тому же с таблицей
В дальнейшем в предложениях, относящихся к g и ft, в большинстве
случаев будем доказывать только одну половину (относительно ft или g).
Каждое g есть /„ = sup /„, и также и обратно, так как
sup/n = lim max [/lt /a,..., /„].
К типу к (функций, являющихся одновременно /„ и fs) принадлежат,
в частности, пределы равномерно сходящихся последовательностей /„.
Пределы равномерно сходящихся последовательностей функций gn, hn, kn
сами суть g, h, k{\\mgn есть go — g, \imhn есть hs = h).
Максимум, минимум и сумма двух g суть g. Потому что, если /„,
j'n, возрастая, сходятся к g, g\ тотах[/„, %], min[/n, /;], /„ + /; схо-
сходятся, возрастая к max[g, g'\, m\n[g, g'], g+g'.
Хауодорф. Теория множеств. 15
226 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Максимум, минимум, сумма, разность, произведение двух /* суть
естественно /*; то же относится и к частному (если делитель всюду
отличен от нуля). Достаточно показать, что при q> ф 0, — есть /*. Если
lim/re = 93 и всюду <р>0, то можно также предположить, что и /ге>0,
[11
fn, — , стремящейся к
max [q>, 0] = q>. Если же fn > 0, то —= lim -г-. В случае, если q> >0, мы
имеем — = q> —j, т. е. произведение двух /*, следовательно, — есть /*.
Следовательно, /* образуют обычную систему. Более того:
IV. Предел равномерно сходящейся последовательности функций /*
есть /*; следовательно, f* образуют полную систему.
Прежде всего заметим: если /* = lim/ и ]/*1<^е, то можно предпо-
предположить, что также и |/ге| ^ потому, что f'n = max [/„, — е] и /„' = min [/„, е]
сходятся также к f*. Пусть теперь F есть предел равномерно сходящейся
последовательности функций Fo, Flf..., каждая из которых есть /*; за-
заменив в случае нужды последовательность Fn ее подпоследовательностью,
можем предполагать, что Fm отличается от всех следующих Рт+к менее
чем на em+i (т=0, 1, 2,...), причем ряд ^+62+••• есть сходя-
сходящийся числовой ряд с положительными членами, а потому можем написать
или же
<P = <Pi + <Pz+ ••*.
где q>m(tn=l, 2,...) суть функции /* и |g>m|Om; нужно показать,
что (р есть /*; по сделанному замечанию можно принять, что
9>m=Hm/mre, 1/nm! От.
п
Но тогда
U = hn + fin + • • • + fnn
сходится к <р, что и доказывает нашу теорему. Действительно, при п> т
fn — (fin + fan + - ' • + /win) = fm+1, n + * * - + fnn
no абсолютной величине < em+J-| +ere<<Sm, если положить дт =
H ; из
/in + ' • • + fmn — <5m < /re < /ire + • • • + /mre + <5m
следует при л-»°°
<Pi+ ••• +<Pm — <5m<Hm/n<:fim7re<9>j4 \-<pm +dm,
а отсюда при т -»o°
lim /„ = 93X + 9>a + • ¦ • =95.
ФУНКЦИИ И ИХ ЛЕБЕГОВСКИЕ МНОЖЕСТВА 227
Обозначим теперь лебеговские множества
[f>y] \1>У] к>У] [h>y] [/*>.>] [f*>y]
через
М N Р Q M* N*.
Таким образом М обозначает все множества [/>у], которые получаются,
когда / пробегает рассматриваемую систему функций, а у — действитель-
действительные числа, впрочем, у можно считать постоянным, хотя бы у = 0, так
как /—у есть снова /.
В силу данных определений функции f, g, h, к, f* принадлежат
к классам (М, N), (Р, *), (*, Q), (Р, Q), (ЛГ, N*).
Мы ставим задачу обратить, поскольку это возможно, это утвержде-
утверждение, но прежде нам придется Р, Q, M*, N* выразить через М и N.
Множества М и N дополнительны один к другому: N = А — М, М —
= А — N; то же относится к Р и Q, а также к М* и N*. Все шесть
систем суть кольца, например сумма и пересечениие двух Р согласно B)
сами суть Р, так как максимум и минимум двух g суть g.
Далее, из I и II следует.
V. Множества Р, Q, M*, N* суть множества М„, Nd, Qa, Pa.
Функции g = fa принадлежат к классу (Ма, *), следовательно, каж-
каждое Р есть Ма; fa принадлежит к классу ^Р, *), следовательно fad при-
принадлежит классу (*, Ра) последнее удовлетворяется, в частности, для
lim /re и в первую очередь для /*, следовательно, каждое N* есть Ра.
Также доказываются остальные предложения этой теоремы.
Для обращения V приведем четыре простые леммы:
(A) Для каждогоМ существует функция /, положительная на М
и равная нулю в остальных точках (на А — М).
Так как существует /, для которой M = [f> 0], то /' = max [/, 0]
удовлетворяет требованию. То же самое дает /ff = min[/', e], для е>0,
т. е. требующаяся в (А) функция может быть принята произвольно ма-
малой @</<е).
(B) Для каждого Ма существует функция F, являющаяся пределом
равномерно сходящейся последовательности функций f, положитель-
положительная на Ма и равная нулю в остальных точках.
Пусть Ма = М1 + М2+ • ¦ •> ?i + ?2 + " • • сходящийся ряд положи-
положительных чисел; по (А) определим функцию /ге, положительную на Мп,
равную нулю в остальных точках и такую, что 0 ^ /n ^ еп. Тогда
функция потребного типа.
(С) Для каждого М существует g, равная 1 на М и равная 0
в остальных точках.
Мы выберем /, как в (А), тогда, например,
суть функции потребного типа.
228 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
(D) Для каждого Ма существует g, равная 1 на Ма я равная О
в остальных точках.
Если Ма~ /Wj-j- Mg-j- .. v то пусть следуя (С) gn функция, равная 1
на Мп и равная О в остальных точках; тогда
(которая также типа g) есть функция потребного рода.
Теперь мы можем обратить теорему V.
VI. Множества М„, N9, Qa, Pa суть множества Р, Q, M*, N*.
По (D) каждое Ма = [g > 0] есть Р; естественно, также каждое Na
есть Q. Но одновременно Ма = fg> 1] есть N* (так как g есть /*),
следовательно, каждое Р есть N*, каждое Q есть М*, каждое Qa есть М* .
Затем, прилагая (В), но не к /, а, в частности, к /*, причем указанная
в (В) функция F по теореме IV есть /*, мы получаем, что каждое NTa =
= [F> 0] есть М*. Следовательно, каждое Qa есть М*, точно так же
каждое Ра есть N*.
Следовательно, Р, Q, М*, N*
идентичны с Ma, Ne> Qa, Pa
или (при исключении Р, Q) M*, N* идентичны с Л/*,, Mai; переход от
/ к /* индуцирует для лебеговских множеств or- и д~ процессы.
3. Обращение теорем о классах. Мы пришли к основному предло-
предложению всей теории:
VII. Класс функций (Р, Q) совпадает с наименьшей полной систе-
системой функций v, содержащей систему /.
Первая часть этого утверждения следует из III. Множества Р обра-
образуют кольцо, которому (в силу постулата а обычных систем) принадле-
принадлежат пространство А и пустое множество; в силу их тождества с систе-
системой Ма они образуют or-систему (Р„ есть Р), их дополнения образуют
<5-кольцо. Поэтому функции класса (P,Q) составляют полную систему, содер-
содержащую систему /; наименьшая полная система должна содержаться в этой
системе же, т. е. каждая функция V принадлежит к классу (Р, Q).
Доказательству того, что, обратно, каждая функция <р класса (Р, Q)
есть V, мы предпошлем следующее: если ух <уя, то существует такая
функция v, что в точках, где
мы имеем:
Действительно, пусть Pi= [?>> yi], Ра~[(Р<Уа]- Для этих множеств
Р = Ма, согласно лемме (В), существуют функции оъ о, (пределы рав-
равномерно сходящихся последовательностей /„), которые положительны на
этих множествах и равны нулю на их дополнениях Qx =[9'-^)'i]> Q2 ^
= [93>у2]' Так как QiQ2 = 0> то ^i и »2 ни в одной точке не обраща-
обращаются в нуль одновременно v-, + v2 > 0 и функция о = —р— удовлетво-
ряет поставленным условиям 1).
х) v может и не быть пределом равномерно сходящейся последовательности
функций /, но принадлежит минимальной полной системе, содержащей /.
ФУНКЦИИ И ИХ ЛЕБЕГОВСКИЕ МНОЖЕСТВА 229
В самом деле, иа трех указанных множествах мы имеем:
QiP* P1P2 P1Q2
Vl = 0 V!>0 Vi>0
va>0 v2>0 va = 0
v = Q 0<v< 1 v = 1.
Если теперь <р ограничена, хотя бы О-^yi^l, то выберем натуральное
(произвольно большое) число п и определим для т = 1, 2,..., л функ-
функцию vm так, что в точках, где
имеем
Уш = О, 0<ут<1, ут = 1
и положим v ~ — (vt + • • ¦ +vn) (разумеется, о,, vit v суть не то же самое,
что выше). Если в некоторой точке х имеем ^ <р ^ —, то в ней
«!=•••= Vm-i = 1, 0<vm< 1, Vm+i = ¦•¦ — vn = 0, следовательно,
-——<С 1'<[—. а потому для всех х имеем |<р — у)-<— . Следова-
Следовательно, q> можно равномерно аппроксимировать функцией v, откуда сле-
следует, что само <р есть и.
Если же Ф принадлежит к классу (Р, Q), но не ограничена, то
г^ТТЩ G)
ограничена (— 1 < q> < +1) и принадлежит к этому же классу. В самом
деле, при помощи соотношений
V-.
- \у\
интервал — 1 < у < + 1 отображается на всю числовую прймую подобно
(в смысле теории упорядоченных множеств, т. е. непрерывно и моно-
tohhoJ. Каждое множество [у >у] при — 1 < у < + 1 переходит в мно-
множество [Ф> У], и наоборот; при у^ — 1 и у>\ к множествам [<р>у]
присоединяются еще все пространство и пустое множество, которые, од-
однако, как уже сказано, суть также множества Р. Таким образом, если Ф
принадлежит к классу (Р, *), то н q> принадлежит этому классу, и на-
наоборот: то же самое относится и к (*, Q). Поэтому ср есть опять-таки у,
а потому и
есть v, и теорема VII доказана. Это ограничивающее преобразование,
т, е. замена неограниченной функции Ф ограниченной ip, будет еще при-
применяться в последующем.
VIII. Если функции f образуют полную систему, то множества М
образуют а-кольцо, а N — д-кольцо, и функции класса (М, N) тожде-
тождественны с функциями /.
230 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
В самом деле, лемма (В), в которой теперь/7 есть функция /, показывает,
что каждое М„ есть М. Но тогда Р, Q тождественны с М, N и остав-
оставшаяся часть утверждения следует из VII.
Теорома VIII есть вместе с тем обращение теоремы III.
Условия полноты имеет место согласно IV и для /*, следовательно:
IX. Функции классов {М*, N*) совпадают с /*.
Постараемся установить обращение (частичное) того обстоятельства,
что каждое g принадлежит к классу (Р, *). Из определения следует,
что для каждого g существует f ^.g, так называемая миноранта /. На-
Наоборот, имеем:
X. Функция класса {Р*), имеющая миноранту \, есть функция g.
Пусть q> принадлежит классу (Р,*) и пусть q>>f или, если 1—/
снова обозначить через /, <p + f>0. <р + f — также класса (Р,*), как
это следует из C) в силу того, что Р = Ма, н мы, следовательно,
можем, еще раз изменив обозначения, написать <р > 0. Положим д > О
и построим для п= 1, 2, ... согласно лемме (D) функцию gn, равную
единице на множестве [<р > л<5], которое есть Р = Ма, и равную нулю —
вне его. Всюду сходящийся ряд
g = &(gi + gt + ¦¦•),
у которого в каждой точке х почти все члены равны нулю, как предел
возрастающих g есть также функция g. Если в какой-нибудь точке
(П — 1K <<р<пд,
то в ней
gi = •••=?«-!= 1, gn=gn+i= ••• =0, g = (n— 1)д
и, следовательно, всюду
0<9>— g<d.
Итак, <р можно равномерно аппроксимировать функциями g, а потому
она сама есть g.
XI. Каждая функция класса (Р,*) есть предел возрастающей после-
последовательности функций v класса (Р, Q).
Это утверждение содержится для случая ограниченной функции в X.
В случае если Ф неограниченна и класса (Р,*), сделаем снова ограничи-
ограничивающее преобразование G); <р класса (Р,*) и ограничена (— 1 < <р < 1),
следовательно, класса g; <p =¦ Iim {„, причем /i</a<l<#"", сверх того,
можно допустить, что —1<^/п<^9><1» так как /„ можно заменить
на max [/ft, —1]. Но чтобы вернуться к Ф, нужно иметь вместо /„
такие функции, которые не достигают ограничивающего их снизу
числа — 1.
1 , . 1 , 1 , .
Vn = "у }п + -J- /n+1 + ~g- /n+2 + ' • *
как сумма равномерно сходящегося ряда функций / есть функция v
(даже к). Очевидно, что /„ <; vn <! «n+i <193. vn, возрастая, стремятся к q>.
В Vn>\n знак равенства может иметь место, только если /n = /n+i =
=а fn+2 = . •. , следовательно, когда vn — <р > — 1; если же имеет место
ФУНКЦИИ И ИХ ЛЕВЕГОВСКИЕ МНОЖЕСТВА 231
знак неравенства, то у„ > /„> — 1. Итак, в обоих случаях — К »„< + 1,
и мы можем построить функции
которые снова суть функции v и стремятся, возрастая, к -.—-.—г- = Ф.
Соответствующие теоремы имеют место и для функций класса (*, Q):
если они имеют мажоранту /, они суть функции ft; в общем же случае—
пределы убывающих последовательностей функций v. Всякая функция v
класса (Р, Q), заключенная между двумя функциями /, есть одновре-
одновременно и g и ft, следовательно, функция к. Так как, следовательно, каж-
каждая ограниченная функция есть к, то ограничивающее преобразование
к
показывает, что каждую функцию v можно представить в виде п-г,
1 — I К |
причем | к| < 1. При этом \к\ — max [к, — к], будучи максимумом двух к,
также есть к, такова же 1 — | к |, т. е. функции v представлены как
частное двух функций к. Обратно, частное двух к как частное двух v
есть также v.
Если система / полна, то из XI следует, что каждая функция
класса (М, *) есть g. Соберем в одно все упрощения, имеющиеся
в этом случае:
XII. Если функции / составляют полную систему, то функции /,
g, ft, /* тождественны с функциями классов {М, N), (М,*), (*, N),
(Na, Ma).
Функции к и v совпадают в этом случае с /, множества Р, Q, М*,
*, тождественны с множествами М, N, Na, Me.
Если же функции / образуют только обычную систему, то XII можно
применить к v: v, va, Vt, v* тождественны с функциями классов (Р, Q),
(/*.*), (*>Q)> {Qa, P})- При этом в силу IX f совпадают с у, в то время
как /, g, ft (нли /, fa, f») образуют только часть систем у, va, v», g тож-
тождественны с теми va, которые имеют миноранту /; h — с теми va, которые
имеют мажоранту /; функции к (только часть которых образуют функ-
функции /), совпадают с теми v, к&торые заключены между двумя функ-
функциями /.
Читателю следует вновь просмотреть проведенные до сих пор рас-
рассуждения, имея в виду следующий простой пример: пусть система /
состоит нз функций, принимающих только конечное число значений.
Тогда g суть ограниченные снизу функции, ft — ограниченные сверху,
к — ограниченные как сверху, так и сни^у, a v и /* — совершенно про-
произвольные функции. Что всякая ограниченная снизу функция, скажем,
9?>0, есть g, обнаруживается так (обратное очевидно): пусть /п(х) есть
наибольшеечисло^9'0с)вмножестве^п=={— , —г-> — » • ••>—z— > ~}j~\>
есть / и стремится к <р, так как при п><р имеем /п-^ ?> </п +-г- •
Так как /?„ <= /?2п, то /„ < /2„, т. е. функции flt /2, /4> /8, ... стремятся,
возрастая, к <р. Остальные утверждения доказываются совсем просто.
Уже множества М, N, а тем более Р, Q, M*, N* суть произвольные*
подмножества А. После этого следует проследить обращение теорем
282 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
о классах, причем обнаружится, например, что не каждая функция класса
(М, N) есть /, или, что в X нельзя опустить ограничение о том, что
функция, о которой идет речь, имеет миноранту / (т. е. ограничена снизу) г
4. Теоремы отделения и продолжения
XIII. (Теорема отделения.) Если g есть функция класса g, h — функция
класса h и во всех точках g>h, то существует такая функция
класса к, что g>k>h.
Положим для сокращения при действительном числе t
{*}=пмх[*,0]=-J- |/| + 4-*;- (9)
это—непрерывная функция t, неотрицательная и возрастающая вместе
с t (точнее — неубывающая). Приведем теперь рассуждение, которое мы
дальше еще используем (при доказательстве XVI). Предположим, что
<р =•' lim q>n.
и что <p>f. Тогда
а потому
{ Vi — <Pi} > {Vi — <Рг } > { Щ — ?2 } > { Уг — 9»з} > ¦ • •
и эти функции стремятся к {у — <р } = 0.
Поэтому знакопеременный ряд
<o=9i.+{Wi — <Pi) — Wi — <Pn} + {у>й— 9ъ) — { Уа — <Рз] + •••
всюду сходится; мы утверждаем, что q> ^ со ^> %р. Рассмотрим отдельно те
точки, где <р = ip, и те, где q>>ip. Если <р — у>, то все члены последо-
последовательности A0) >0, фигурные скобки можно опустить, и мы имеем:
о>= 9»i + (Vi — <P\) — (Vi — ?>а) + (Ув — <Ра)~ (У>2~ <Ря) +
+ ... = lim <рп — lim у». =*'<р ~ if. A1
Если <р>*р, то почти все члены A0) отрицательны. Если первый
отрицательный член есть щ — <рп, а следовательно, <р > <рп > уп > у, то
°> — 9>i + (y>i — ^i) — -• • — (Wi-i — <Рп) = <Рп, <р>о>> у>.
Если же первый отрицательный член есть у>п — 9Vh» a следовательно,
> У>п ~> Ъ то
Чтобы доказать XIII, положим <p — g, f — h и предположим, что <рп,
у>п суть функции /. Тогда члены и частичные суммы ряда а> также суть
функции /; так как частичные суммы с нечетным числом членов обра-
образуют возрастающую, а частичные суммы с четным числом членов —
убывающую последовательность, то со одновременно есть и g и h, сле-
следовательно, k.
ФУНКЦИИ И ИХ ЛЕБЕГ0ВСКИЕ МНОЖЕСТВА 23$
В следующей теореме речь идет о том, чтобы .продолжить" опре-
определенную на множестве В с: Л функцию д> в некоторую определенную
на А функцию %р (само собой разумеется, что иа В должно быть <p=ij>).
Мы скажем, что <р принадлежит классу (М,*), если каждое множество
[<р > у] есть пересечение В с некоторым множеством М; также опреде-
определяется и принадлежность к классам (*,.№) и (М, N).
XIV. (Теорема продолжения.) Если Qo есть множество Q, то каж-
каждая. определенная на Qo функция класса (Р, Q) может быть продол-
продолжена в определенную на всем пространстве А функцию класса (Р, Q)T
т. е. в функцию у.
Пусть Р0 = Л—Qo; предположим сначала, что q> есть функция
класса (Р, Q)r определенная на Qo, и притом ограниченная, хотя бы,
—1<<р<-\- 1. Определим функцию h так:
h =¦ <р на Qo, h = — 1 на Ро;
мы утверждаем, что оиа принадлежит к классу h. Действительно, оиа?
класса (*,Q), так как [h~>y\ при у>—1 совпадает с [<р^>у], которое
есть QQQ, т. е. Q, а при у ^ — 1 — со всем пространством Л; сверх
того, h ограничена, а следовательно, в силу X — функция класса /г..
Также получается, что функция g:
g = <р на Qo, g = 1 иа Ро,
принадлежит к_ классу g {—g есть /г). Так как g>h, то их можно
отделить функцией k, g'>k>h: на Q мы имеем <р = к, и, значит, в этом-
случае ср можно продолжить, в частности, в функцию к.
Покажем еще, что если | <р \ < 1, то можно достичь того, что и | к | < 1.
Если мы построим к, как выше, то |Л|^1; знак равенства может
иметь место только в точках Р$. Построим теперь по лемме (В) для
множества Ро, которое есть Ма, функцию к^ опйть-таки класса к, поло-
жительную на Ро и равную нулю вне его. Функция v = - , j- снова.
есть функция у (а в силу ограниченности—даже Л); "иа Qo имеем
v=:k = q>, на Ро имеем lu^l/:I, следовательно, всюду |и|<1.
Если наконец Ф определена на Qo и принадлежнт к классу (Р, Q) и.
не ограничена, то мы выполним ограничивающее переобразование G).
Для получившейся функции <р выполняются сделанные выше предполо-
предположения, ее можно продолжить в функцию v с | v | < 1 н, следовательно^
Ф можно продолжить в V = ¦ _, ¦ , т. е. в функцию V.
5. Абсолютная сходимость. Функции /* могут быть представлены-
как суммы сходящихся рядов функций /:
Если вместо сходимости потребовать абсолютную сходимость, то мьг
получим только часть функций /*; суммы абсолютно сходящихся рядов
функций / мы будем называть функциями d. Они опять образуют
обычную систему. Потому что, во-первых, сумма, разность и произве-
произведение двух d есть d. Далее, абсолютная величина | d \ также есть d, так.
как в силу неравенства |]/3| — I<*11 -^|/? — а\ из абсолютной сходимости.
¦234 действительные функции
ряда /j + (/а—/i) + -.. следует абсолютная сходимость ряда, получае-
получаемого из него заменой /п на | /п ]. Остается только доказать, что
при d ф О — также есть d. Предположим сначала, что й = lim /„ > 0;
-если положить /„' = шах /л, — , то полученная функция также стре-
стремится к d; оценка | /п'+1 — /„ | ^ | /п+1 — fn | + (-±— -^j-j-) скорее всего
-получается из неравенства
max [аъ ft] — max [a, /?] < max [а1 — а, ft — /3] < | ах — а| + I ft — PI-
Следовательно, /п можно заменить на fn, т. е. считать с самого начала,
что /„ > 0. Но тогда
/n+1 In /n'n+1
одновременно с /n+i — fn есть общий член абсолютно сходящегося ряда
, "¦ 1 > —т есть'Й. Если,
^d* ) d
/
так как для почти всех п
т-
' tn ^d )
«аконец, d^O, то -^- = Л'^г—произведение двух d, т. е. d.
Из разложения
>следует, что при абсолютной сходимости
¦«сть разность двух сходящихся рядов с членами > 0; т. е. каждая функ-
функция d представима или как разность g — g' двух функций g, или же
(полагая g = — /г', g'= — h, откуда d — h — ti или d = g + h) как
разность двух функций /г, или еще как сумма функций g и /г. Напро-
Напротив, # — h=g-\-g' есть опять-таки g, a /z—g = h + h' — опять-таки h.
Обратно, очевидно, что функции g, /г, а также их,суммы и разности
суть функции d. Следовательно, ограничиваясь абсолютной сходимостью,
мы получаем из функции / функции
d = g-g'=h-h'=g + h. A2)
Условимся называть ступенчатой действительную функцию, множе-
множество значений которой состоит из изолированных точек.
XV. Функция класса /*, являющаяся одновременно ступенчатой,
есть функция d.
Предпошлем доказательству следующее замечание. Если обозначить
через R те множества, которые одновременно суть М* и N*, то всякая
функция <р, которая есть ступенчатая функция и в то же время /*, есть
функция класса (/?, /?). Действительно, множество [<р > у], если <р не
принимает значение у ни в одной точке, совпадает с [<р^-у\, а в про-
противном случае при достаточно малом д — совпадает с [<р>у + 8\; также
ФУНКЦИИ И ИХ ЛЕБЕГОВСКИЕ МНОЖЕСТВА 235
множество [ф>у] совпадает либо с [д>>у], либо с [ф>у— 6]; оба
эти множества суть, следовательно, сразу и М* и N*. Множества R,
очевидно, образуют тело. Поэтому для каждой функции класса (/?, R)
множества [<р = у] суть также множества R. Пусть теперь q> есть сту-
ступенчатая функция /* или еще, общее, функция класса (R, R), имеющая
не более как счетное множество значений; обозначим через с1} с2, ...
принимаемые ею значения. Множества [д> — ст] суть множества R, в ча-
частности, М* = Qa, следовательно, могут быть представлены суммой воз-
возрастающих слагаемых:
[<р = Cm) = Qml + Qm2 + Qm8 + • • • =
= Qml + (Qm2 — Qml) + (Qm3 — Q«a) + . .. =
= Anl + An2 + An8 + • • ¦
Теперь положим ст = Ощ — bm, где ат и Ьт положительны и не-
неограниченно возрастают, например:
Ящ = "у I Cm | + -jjT Cm + ГП, Ьт — -^-\Ст\ g- Cm + 171,
и определим функции g, g' следующим образом:
g(x) = am + n, g'(x) = bm + п прн х ? Dmn,
так, что во всех точках (p = g—g'. Эти функции суть функции g'
В самом деле, при заданном у неравенство g ^ у может быть выполнено
только для конечного числа значений т (ат^.у—1) и при данном т
для конечного числа значений л^у—ат, следовательно, если обо-
обозначить через пт наибольшее целое число ^у—пт, мы имеем:
= S 2 Ann = 2 Qmnm,
<ha<V—1 Ж«п Оя,<У—1
т. e. [g<y] есть сумма конечного числа Q, т. е. само есть Q" (или О,
если нет ни одного ат^у—1). Следовательно, g > 0 и принадлежит
классу (Р,*), а тогда по X оно есть g; то же справедливо и для g', что
и доказывает XV.
Функции g, ft, d могут быть сколь угодно точно аппроксимиро-
аппроксимированы ступенчатыми функциями того же рода. Пусть g есть функция g,
д > 0 и т = 0, ±1, ± 2, ...; множество [# > /п<5] = Рто есть множе-
множество Р. Построим функцию g0, равную тб на множестве Pm-i — Рт =
= [(от—\K<g<md]. Сразу видно, что любое множество [go>y]
есть Рт, а значит, g0 принадлежит к классу (Р,*); в силу того, что если g
имеет миноранту /, то ее имеет и go^g, g0 есть g (теорема X). Далее,
O^go—g < 3 есть ступенчатая функция, принимающая только значе-
значения тд. Подобными же ступенчатыми функциями ft0 и d0 = g0 +Л0,
можно аппроксимировать функции ft и d — g-\-h.
С другой стороны, произвольные функции /* можно аппроксимиро-
аппроксимировать функциями й. А именно, имеет место еще одна теорема отделения:
XVI. Если у и у> суть две функции f и всюду q>>y, то суще-
существует такая функция со = й, что
236 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Вернемся к доказательству теоремы XIII. По F) каждое /* можно
представить как предел убывающих g или возрастающих Л; мы можем
поэтому предположить, что в упомянутом доказательстве %рп суть функ-
функции g, а <рп функции h. Функции A0) суть снова функции g и остаются
такими при переходе к фигурным скобкам, так как max [g, 0] есть g.
Если мы теперь примем более сильное предположение <р>у> (вме-
(вместо (р^у>), то в каждой точке почти все члены последовательности A0)
отрицательны и потому в ряду A1) почти все члены равны нулю,-
поэтому оба ряда
сходятся и представляют как пределы возрастающих g функции g; но
тогда со —g —g' и <р > со > у>, и теорема доказана.
Если мы применим, в частности, эту теорему к случаю у — <р—6
(<5>0 — постоянное), то получим: любая функция /* может быть
сколь угодно близко аппроксимирована функциями й, а потому и
ступенчатыми функциями й. Она может быть также получена как
сумма абсолютно сходящегося ряда, члены которого суть d, т. е. огра-
ограничиваясь абсолютной сходимостью, мы получаем из функции / функции /*
в два приема, причем промежуточной ступенью служат функции й.
§ 38. Функции первого класса
1. Введение. Предположим, что пространство Л метрическое и
отождествим функции / предшествующего параграфа с непрерывными
функциями, так как эти последние образуют полную систему (предел
равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций есть
функция непрерывная), то теорема XII (§ 37) применима в этом случае.
Множества М тождественны с открытыми множествами G, а N —
с замкнутыми F (§ 22, теорема IV). Итак:
I. Непрерывные функции / и пределы g, Л, /* возрастающих, убы-
убывающих и просто сходящихся последовательностей непрерывных функ-
функций совпадают с функциями классов (Q, F), (G,*), (*,F), (Fa, Gs).
Функции /* обозначаются как функции первого (бэровского) класса',
функции высших классов будут определены в § 39. Функции классов
F,*), (*,/•") называются полунепрерывными и притом функции класса
(G,*) — полунепрерывными снизу, а класса (*,F) — полунепрерывными
сверху; эти названия будут вскоре -объяснены. Так как множества Р, Q
на этот раз совпадают с множествами М, N и функции к—с функ-
функциями /, теоремы отделения и продолжения приобретают такую форму:
II. Если g — полунепрерывна снизу, h — полунепрерывна сверху
и всюду g*>h, то существует такая непрерывная функция /, что
g>f>h.
III. Функция, непрерывная на замкнутом множестве F, может
быть продолжена в функцию, непрерывную на всем пространстве А 2)>
Сравни § 25, п. 3, IX.
ФУНКЦИИ ПЕРВОГО КЛАССА 237
Выражение „полунепрерывна сверху или снизу" происходит от того,
что условие непрерывности распадается тут на две части. Функция не-
непрерывна в точке а, если для каждого а > О существует окрестность U (а),
во всех точках X ([ U (а) которой |/(х)— f(a).\<a.
Если же для любого а > О существует окрестность, в которой
f(x)-f(a)<a,
то /(х) называется полунепрерывной сверху в точке а; наконец, если для
каждого а > О существует U (а), в которой
то /(х) называется полунепрерывной снизу в точке а. Для наглядности
укажем, что если увеличить (уменьшить) одно значение f(a) непрерывной
функции, не меняя соседние значения /(х), мы получим полунепрерыв-
полунепрерывную сверху (снизу) функцию. Если /(а) = ±1, a в0 всех остальных
точках f(x) = O, то f(x) в точке а полунепрерывна |снид . Если
f(x) полунепрерывна сверху, то — /(х) полунепрерывна снизу.
Если /(х) полунепрерывна снизу в точке а, то а есть внутренняя
точка каждого множества [/>у], к которому она принадлежит,
и обратно. Потому что, если f(a)> у и если выбрать а так, что
О < а < f^d) — у, то в некоторой окрестности U (а), / (х) > / (а) — а >
>/(у), т. е. а — внутренняя точка [/>у].. Если, наоборот, выполнено
названное условие, то а есть внутренняя точка множества [/>/(а) — о]
при любом а > 0 и потому существует окрестность U (а), в которой
f{X)>f(a) — а, т. е. /(х) полунепрерывна снизу в точке а. Отсюда следует:
чтобы f(x) была полунепрерывна снизу в каждой точке, необходимо
и достаточно, чтобы каждое множество [f>y] было открытым.
А для полунепрерывности сверху функции f в каждой точке, в силу
того, что это равносильно полунепрерывности снизу функции — f,
необходимо и достаточно, чтобы [f < у] было Открытым, [f>y] —
замкнутым. Зтим объясняется название „полунепрерывная сверху-снизу"
для функций классов (G,*) и (*,F). Эти функции были введены Р. Бэром,
и им же впервые доказано, что каждая полунепрерывная снизу функция
есть предел возрастающей последовательности непрерывных функций,
т. е. в наших обозначениях каждая функция класса (G,*) есть функция g.
Обратное заключение, что каждая g принадлежит к классу (G,*), имеет
тут место в гораздо более широком смысле, чем в общем случае:
верхняя граница не только счетного, но и любого (может быть, несчет-
несчетного) множества непрерывных или полунепрерывных снизу функций gn
g = sup gn
полунепрерывна снизу, потому что
как сумма открытых множеств есть множество открытое (конечно, предпола-
предполагается, что в каждой точке X функции gn ограничены сверху в своей сово-
совокупности). Рассмотрим, например, полунепрерывные снизу миноранты g
238 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
произвольной функции <р: g ~^.<р; если таковые существуют, то между
ними существует наибольшая, а именно их верхняя граница. Соответ-
Соответствующее заключение справедливо и для полунепрерывных сверху функций.
Читателю, быть может, желательно дополнить теорему I конструкцией,
которая на самом деле позволяет представить функции классов (G,*),
{*,F), {Fa, Gd) как пределы возрастающих, убывающих или соответственна
просто сходящихся последовательностей непрерывных функций. Само
собой, такие конструкции, применимые к общему случаю произвольных
исходных функций /, содержатся в доказательствах теорем, обратных
теоремам о классах (§ 37, п. 3); вопрос только в том, не поддаются ли
они в этом случае упрощению. И действительно, теорема Бэра о том,
что полунепрерывная снизу функция <р есть предел возрастающей после-
последовательности непрерывных функций, допускает исключительно простое
доказательство, правда, в случае, если <р ограничена снизу, скажем,
если д?>0. Пусть t есть положительное число и '
причем нижняя грань берется по всем точкам г пространства Л; оче-
очевидно, что O^f^.<p [взяв Z = X, получаем, что / (х) <] <р (х)]. Для двух
точек х, у пространства Л имеем: ;
tQ(x, 2)< <p(z) + tg(х, у) + tg(у, г),
следовательно, переходя к нижней грани по z
/(*)</(у)+ *?(*, у)
или, меняя роли точек х, у, |/(х) — /(у)|< tg(x, у); следовательно,
функция /(х) непрерывна. Если теперь t пробегает натуральные числа,
то функции
/n(x) = inf[gj(z)+no(x, Z)]
z
Образуют возрастающую последовательность и fn^.<p, а потому
g = lim fn^.<p\ мы покажем, что в то же время g~><p, а значит, g = <р.
Если для заданного о>0 выбрать такую точку Zn, что
/п (х) > <р (г„) + пд (х, Zn) — a,
то (так как <р>/п, ср>0) у{х)>пд(х, zn) — a, а значит, д(х, г„)-»0'
но в силу полунепрерывности снизу ар для почти всех п
<p{Zn)><p(x)—e, fn(x)><p(x) — 2o.
а значит, g (x) > у (х).
2. Примеры функций первого класса. Вслед за полунепрерывными
снизу функциями g и полунепрерывными сверху функциями h особого
внимания заслуживают функции
которые мы рассматривали в общем виде в § 37; они получаются
суммированием абсолютно сходящихся рядов непрерывных функций.
ФУНКЦИИ ПЕРВОГО КЛАССА 23ft
Каждая функция первого класса может быть сколь угодно близко ап-
аппроксимирована функциями d, в частности, ступенчатыми функциями ?L
Каждая функция, имеющая не более чем счетное множество точек
разрыва, есть функция первого класса. Обозначим через С множество
точек непрерывности, D — множество точек разрыва функции /; пусть-
М есть множество [/ > у] х). Если теперь х ? МС, то в силу непре-
непрерывности в точке X неравенство / > у имеет место и в некоторой
окрестности точки X, следовательно МС с Mi, MD 2 Мг. Если D не-
неболее чем счетно, то таково же и Мг, М = Mi + Мг есть сумма откры-
открытого и не более чем счетного множества, следовательно, Fa. Так как
то же имеет место и для [/<у], то / принадлежит классу (Fo, Ga).
Среди функций первого класса действительной переменной заслужи-
заслуживают упоминания, во-первых, производные диференцируемых функций
<р'(х)= limn\<p(x+ г)—"^-Wh во-вторых, функции /(х), у которых
в каждой точке существуют левостороннее и правостороннее предельные
значения / (X — 0), / (х + °) [таковы, например, монотонные функции и
их суммы и разности, так называемые функции с ограниченной вариацией 2)].
Эти функции с односторонними предельными значениями имеют, как
нетрудно доказать, не более чем счетное множество точек разрыва,
следовательно, на самом деле принадлежат к функциям первого класса;.
кроме того, они суть функции d. А именно, так как / (х + 0), рассма-
рассматриваемое само. как функция от х, имеет те же самые односторонние
предельные значения, что и / (х), max [/ (x), g (x)] имеет правостороннее
предельное значение max [/(X + 0), g(x-\-0)), то для функции
у (X) = max [/ (х), / (X + 0), / (х - 0)]
мы имеем <р (х± 0) = /(*± 0)<д> (х), т. е. <р(х) полунепрерывна,
сверху; подобным же образом
f (х) = min [/ (х), / (х + 0), / (х — 0)] , .
полунепрерывна снизу; (р + у> есть функция d. Если тут заменить
через
/(х+0), /(х + 0)
то обнаруживается, что
суть функции d, а тогда и /(X), являющаяся их линейной комбинацией,
также есть d.
3. Точки непрерывности. Предположим вначале, что / есть произ-
произвольная, определенная на пространстве А функция, и обозначим через
С множество ее точек непрерывности, а через D = А —С — множества
ее точек разрыва. С есть Gs, D есть Fa (относительно пространства А).
*) Мы отказываемся тут от условия, что буква / обозначает всегда непре-
непрерывную функцию.
2) См., например, Александров и Колмогоров. „Введение в теорию,
функций действительного переменного", ГТТИ, 1933.
240 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Действительно, определение непрерывности может быть сформулировано
так: / (х) непрерывна в точке а тогда и только тогда, когда для любого
а > 0 существует некоторая окрестность U (а), для всех точек х, у ко-
которой имеем:
I / (х)- / (У) К о.
Фиксируем а и обозначим С {а) множество точек а, которые имеют
такую окрестность U(a); каждая точка b ? U(a) имеет такую же окрест-
окрестность U (Ь) с U (а), следовательно, U (a) Q С (а), т. е. С (а) — открытое
множество. Но тогда С есть пересечение всех С (а), а > 0 или еще
-а значит, С есть G$ (W. H. Young).
Крайние случаи представляют функции (всюду) непрерывные (С = А,
D = 0) и всюду разрывные (С = 0, D — А); примером всюду разрыв-
;ной функции может служить хотя бы так называемая функция Дирихле,
т. е. функция действительного переменного X, равная единице при рацио-
рациональном X и равная нулю при иррациональном X. Ближе всего к непре-
непрерывным функциям подходят те функции, для которых С плотно в А;
их называют, следуя Н. НапкеГю точечно-разрывными (или лучше: не
-более чем точечно-разрывными, так как согласно этому определению
к ним принадлежат и непрерывные функции). По стр. 166, D как Fa,
имеющее всюду плотное дополнение, есть множество первой категории
в А (т. е. Ai); и если само пространство есть множество второй кате-
категории в себе (т. е. Аи), т. е., например, метрически абсолютное Gs, то С
есть Аи. При этом D также может быть плотным в А, но они имеют раз-
различную категорию и не могут обменяться ролями. Так, например, если
А есть множество действительных чисел, то С может быть множеством
иррациональных чисел, & D — множеством рациональных чисел (если D—
— Кц rz • • •} и 2 Сп — сходящийся ряд положительных чисел), то
= S СП
есть монотонная функция требуемого вида, так как в точке г„ она
претерпевает скачок на с„, а для а > 0 существует такое N, что
00
2 сп < а> и такая окрестность иррациональной точки х, U (х), которая
N
не содержит ни одной из точек г1,...,Гц и в которой поэтому
оо
| / (х) — / (у) | < 2 Сп < о\ наоборот, множество рациональных чисел не
N
может быть множеством точек непрерывности ни одной функции от х.
Пусть, далее, /„ — / есть всюду сходящаяся (в А) последовательность
функций; спросим себя, при каких обстоятельствах из непрерывности /п
следует непрерывность /. Мы скажем, что последовательность сходится
равномерно в точке а, если, каково бы ни было <т>0, существуют
•натуральное число т и окрестность U (а) такие, что
1/«(*)-/(хI<* (х €*/(«))• 0)
ФУНКЦИИ ПЕРВОГО КЛАССА * 241
Мы имеем:
IV. Если fn -* f и все /„ непрерывны в точке а, то f непрерывна
в точке а тогда и только тогда, когда а есть точка равномерной
сходимости.
Доказательство. Еели а есть точка равномерной сходимости, то
можно удовлетворить A) подходящим выбором т и U (а), причем по
непрерывности fm в точке a U(a) можно считать столь малой, что
Так как в силу A), в частности, имеем
\fm(a)-f(a)\<a,
то из A) и двух только что выписанных неравенств следует, что
т. е. что / непрерывна в а.
Если, обратно, / непрерывна в а, то определим вначале т так,
чтобы
а затем по непрерывности обеих функций определим U (а) так, что
|/«(х)-/ж(а)|<Ч |/(х)-/(я)
Из этих трех неравенств следует
т. е. равномерная сходимость в а.
Множество К. точек равномерной сходимости можно получить сле-
следующим образом. Обозначим G (а) множество тех точек а, для которых
можно подобрать т и U (а) так, чтобы выполнялось A). Снова обнару-
обнаруживается, что G (а) — открытое множество (U (а) Я G (а)) и что К есть
пересечение всех G{a) при ст> 0 или еще
jc-g<i)g(-!-) о (-!-)¦
таким образом множество точек равномерной сходимости есть снова G».
4. Теорема Бэра. Если функции /„ всюду непрерывны, / = lim/n —
функция первого класса, то точки непрерывности / совпадают с точ-
точками равномерной сходимости: С — К- Сохраним эти предположения до
конца этого номера. Обозначим при фиксированном а > 0 через Fm (a)
или, короче, Fm множество тех точек х, в которых удовлетворяются
неравенства
|/n(x) — fm(x)\<o при любом п>т; B)
при данном п приведенное неравенство определяет замкнутое множество,
Fm есть пересечение таких замкнутых множеств, соответствующих п =
= т + 1, т+2, т + 3,..., следовательно, само замкнуто. Так как
Хаусдорф. Теория множеств. 16
242 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
каждая точка А есть точка сходимости последовательности /„, то в клждой
точке неравенства B) выполняются для достаточно большего т, а
потому
-j-... C)
С другой стороны, если а есть внутренняя точка Fm, т. е. если нера-
неравенство B) и вытекающее из него при л—»со неравенство
выполняются не только при X = а, но и в некоторой окрестности а
(х ? U (а)), то а принадлежит определенному в конце предшествующего
параграфа множеству G{a), и следовательно:
Отсюда следует: если G(a) = О, то каждое Fmi = 0; Fm нигде не плотно
в А как замкнутое множество без внутренних точек и согласно C) А
есть множество первой категории. А потому, обратно: если А есть Ац,
то каждое G (а) :э 0.
Далее, если А есть множество Gjj (стр. 164), т. е. каждое открытое
(в А) множество О:э0 второй категории в себе самом, то" мы можем
рассматривать /„ и / как определенные только на G функции fn (x | G)
и /(x|G)x); вышеназванное G(a) заменяется тогда множеством GG (а);
при GzdO имеем GG (а):эО, т. е. G (а) плотно в А. Поэтому его
дополнение, замкнутое множество F (о), нигде не плотно в А, значит,
множество точек разрыва /
есть Aj, а множество точек непрерывности С есть Ац. Мы получили
теорему:
V. Если пространство А есть множество Оц (т. е. если каждое
открытое множество G :э 0—второй категории в А или в самом себе),
то каждая функция первого класса не более чем точечно-разрывна,
т. е. множество ее точек непрерывности плотно в А.
Это* имеет месго, в частности, если А есть метрически абсолютное
G<s, например, если А есть полное пространство. В частности, если А
есть арифметический континуум, функция первого класса не более чем
точечно-разрывна; функция Дирихле /(х)(== для Рационального х\
v v >-fj">,.«f 'v-'\0 иррационального /
не принадлежит первому классу, но принадлежит второму (§ 39), т. е.
есть предел функций первого класса, как видно из формулы
/ (х) = lim lim (cos m\ nx)in.
т n
На счетном же множестве действительных чисел А = { av а2) • •.}
каждая функция — первого класса потому, что при произвольно заданных
J) Записью / (х | М) мы тут, так же как и в дальнейшем, выражаем, что
функция определена только на множестве М.
ФУНКЦИИ ПЕРВОГО КЛАССА 243
Ьп = / (flrt) всегда можно найти непрерывную функцию /п(х), хотя бы в
виде полинома, такую, что /„ (ах) = blt..., fn(an) = bn, а тогда /п-»/.
Если А есть множество рациональных чисел и / (х) = 1 или О,
смотря по тому, является ли х двоично рациональным или нет,то / всюду
разрывна.
О полном обращении теоремы V, т. е. о том, что точечно раз-
разрывные функции суть функции первого класса, не может быть и
речи, как это видно уже из соображений, основанных на рассмотрении
мощностей. Если А есть множество действительных чисел, то существует
только К непрерывных функций и KSo = К функций первого класса;
функций же точечно-разрывных существует К = 2 . В самом деле,
если D есть совершенное нигде не плотное множество (его мощность
есть &), С — его дополнение, плотное в А, то каждая функция, равная
нулю на С и отличная от нуля на D (т. е. непрерывная на С и раз-
разрывная на D),—.точечно-разрывна. Но мы можем применить V к полу-
получающимся из / (х|Д) функциям }(х\В), которые сами суть функции
первого класса в своем пространстве В; если В есть множество Оц, то
точки непрерывности функции / (х|В) (которые могут и не быть точ-
точками непрерывности полной функции f(x\A)) плотны в В. Это, в част-
частности, справедливо, если А есть множество Fn (стр. 164) и В замкнуто
в А, следовательно, само есть множество Рц, так что из V вытекает:
VI. Если простоанство А есть множество Fn (т. е. если каждое
замкнутое множество Fid0—второй категории в самом себе) и f —
функция первого класса, то каждое замкнутое (в А) множество
F z> О содержит хотя бы одну точку непрерывности функции f (x | F).
Этой теореме можно противопоставить следующую:
VII. Если в пространстве А, имеющем счетную базу, определена
функция f и если каждое замкнутое (в А) множество F id 0 содер-
содержит хотя бы одну точку непрерывности /, то / есть функция первого
класса.
Нам нужно доказать, что / принадлежит к классу (Fa, G<s), т. е.
что все множества B = [f>y] и С = [/ < z] суть Fa. Рассмотрим два
таких множества, причем у>СZ, так что А= В + С. Пусть теперь
Fid0 — замкнутое множество, и а есть точка непрерывности f(x\F).
Если а ? B,f(a)> у, то существует окрестность U (а) такая, что в FU (а)
также имеем / > у, т. е. FU (a) Q В; точно так же при а ? С суще-
существует такая окрестность, что FU (a) Q С; для каждой точки а имеет
место один из этих случаев (или оба, если а ? ВС). Если мы положим
F — FU (а) — Fv то получим: каждое замкнутое множество Fid О
содержит такое замкнутое подмножество Fj^cF, что разность
F — Fj содержится либо в В, либо в С.
Если FjIdO, to таким же образом мы получим множество F2<^F1
и, продолжая трансфинитно этот процесс, мы определим для всех
порядковых чисел К& множества Fj такие, что (если только | ф О,
Ft^F0 = F) при F{=>0, F{+i есть множество с Ft и обладающее
тем свойством, что разность D{ = F$—Fi+1 содержится или в В или
в С (возможно, в обоих); если F$ = 0, то по определению Fj+i = О
16*
244 двйствитЕЛьные функции
если г) — предельное порядковое число, то F4 = <Э F,. Так как про-
странство имеет счетную базу, то по (§ 26, п. 1, VI) существует мини-
минимальное множество F, =F4+i = Fr,+i = . . .; по характеру конструкции
оно должно быть пусто, и потому F распадается на не более чем счетное
" множество слагаемых Dg. F = 2 Df> каждое из которых с= В или с= С
и есть как разность двух замкнутых множеств Fa специального вида.
Собирая отдельно слагаемые, входящие в В и С, получим разложение
F = Y + Z на два не имеющих общих точек множества Fa, причем
Y Q В, Z Q С, в частности, допускает такое разложение и все про-
пространство А = Y + Z.
Теперь фиксируем у и заставим z пробегать последовательность
z, > Z2 >... >Zn > ->у. Множества В = [/ > у] и С„ = [/ < Zn] опре-
определяют разложение пространства А = Yn +Zn на два непересекающихся
Fa, причем Yn Q В, Zn Я Сп- Положим
мы имеем С = [f<y] = A — В. Но тогда из А = В + С— Y +Z и ид
У QB, Z QC следует У = В, Z == С; т. е. множество В = [/ > у]
есть Fo. To же, конечно, относится и к множествам \J>Z], и VII дока-
доказана. Из VI и VII получается:
VIII. (Теорема Р. Бэра.) Если пространство со счетной базой есть
множество Рц, то определенная на нем функция f тогда и только
тогда есть функция первого класса, когда каждое замкнутое (в А)
множество F ^ 0 содержит хотя бы одну точку непрерывности
функции /(x|F).
5. Применение теоремы Бэра. Положим, что А есть множество
действительных чисел, следовательно, /(х) — действительная функция
действительного переменного х; рассмотрим в плоскости 7?2 с прямо-
прямолинейными координатами х, у множество С, определяемое уравнением
у = /(х) („кривую"). Точки плоскости R2 мы будем обозначать через
z = (x, у), а точки С — через г — (х, /(х)) = ^(х). Спросим себя, когда
С связно ? Для этого во всяком случае необходимо следующее условие:
(а) Каждая точка С предельна и слева и справа, т. е. для каж-
каждого х существует последовательность Хп < х, для которой q> (Xn) -*
—> <р (х), и такая же последовательность хп > х.
Действительно, разложим С на два множества: Clt для которого х < х0,
и С2, для которого х>х0; при этом С2 замкнуто в С, и поэтому, для
того чтобы это разложение не было разбиением, необходимо допустить,
что Сг имеет предельную точку на С2; эта предельная точка, очевидно,
не может быть отличной от у (х0). Что условие (а) недостаточно, пока-
показывает функция, подобная функции Дирихле, принимающая значения 0,1
на fljByx дополнительных множествах, каждое из которых плотно в А.
Если же /(х)—первого класса, условие (а) достаточно.
Допустим, что С ~С1 + С2 есть разбиение на два замкнутых отно-
относительно С множества; проектируя на ось х, получим:
ФУНКЦИИ ПЕРВОГО КЛАССА 245
где Gx = (Aj>, G2 = (As)u F = ~AX A, => 0 *). По VI функция f(x\F)
имеет на F точку непрерывности х; пусть, скажем, х ? Лх. Тогда х не
может быть пределом точек Хп ? A2F, так как если бы это было так,
то <р(х)? Сг была бы предельной для точек <р(Хп) ? С2; следовательно,
существует окрестность ?/(х), не пересекающаяся с AZF. Но тогда U
пересекается с G2, так как X предельная точка A2 = i42F + G2. Но это
противоречит условию (а). Ибо если (а, Ь) есть компонента открытого
множества UGtcU, то хотя бы один из концов, скажем а, принад-
принадлежит U (X); по (а) точка <р(а) предельная справа точка С, значит, пре-
предельная точка С2, потому что (a, &)czGa; отсюда следует, что а ? А2,
а ?А2—Ga — AtF, что невозможно, так как U(x) не пересекается
с AtF. Таким образом С нельзя разбить.
Мы можем теперь привести один пример связного разрывного мно-
множества. Спросим себя вне^ зависимости от предшествующего, когда С
содержит связное, совершенное в R2 множество? Ответ гласит: тогда и
только тогда, когда точки непрерывности функции /(х) заполняют целый
сегмент. Одна часть этого утверждения тривиальна: если /(х) непре-
непрерывна при а<х<&, то С содержит простую дугу. Вторую мы форму-
формулируем так: если К есть связное совершенное множество Q С и <р(а),
<р(Ь) — две его точки {а <Ь), то /(х) непрерывна на сегменте [а, Ь]
(в а справа, в b слева, в остальных точках двусторонне).
Пусть, в самом деле, Ка, Ка, Къ суть подмножества К, опре-
определенные неравенствами х<а, а<х<й, х>й. Они замкнуты в К,
а значит, и в /?2 и по § 23, п. 4, III связны; действительно, К* и
Ка + Кь дают в сумме /С, а в пересечении—одну точку, а оттуда следует
их связность, а, далее, из связности КЬа+ Кь и того, что КЬаКъ
состоит из одной точки, следует связность Ка и Кь- Проекция КЬа на
ось у-ов связна, следовательно, /(х) принимает на интервале (а, Ь)
каждое значение между f(a) и f(b), если только они различны; то же
относится к каждому содержащемуся в (а,' Ь) частичному интервалу. Но
тогда /(X) ограничена на [а, Ь]. Потому что в противном случае можно
предположить, что Хп^Х, /(Хп)-*03, /(Хп) > У > f (X), и тогда / между
хп и X принимает в некоторой точке |„ значение у; а тогда, так как
/ (In) == У и !п—> х, то отличная от <р (х) точка (х, у) принадлежит Кь
в силу его замкнутости, что невозможно. Следовательно, Ка есть конти-
континуум. Рассмотрим теперь его проекцию на ось х-ов; она опять-таки
связна, следовательно, совпадает со всем сегментом (а, Ь]; так как она
есть взаимно однозначный и непрерывный образ Ка, то (§ 27, п. 7,
XVIJJ), наоборот, /Со есть взаимно однозначный образ [а, Щ, т. е. /(х)
непрерывна на [а, Ь].
Поэтому С не содержит никакого связного замкнутого множества
в том и только в том случае, если точки разрыва /(х) расположены
плотно в А. Если же / (х) — функция первого класса и удовлетворяет
условию (а) и ее точки разрыва образуют плотное в А множество, то
г) Относительные понятия, если не оговорено противное, относятся к про-
пространству А.
J
246 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
С хотя и не содержит никакого связного замкнутого множества, но тем
не менее связно. Такую функцию /(х) нетрудно построить. Функция
<r(x)=sin-f- (хфО), <т@) = 0
имеет разрыв только в точке х = 0, но и в ней удовлетворяет условию
(а), так как а{~- -) = а( — —) = 0 при л=1, 2, 3,... Если {г1( г2,
г3,...} есть множество рациональных чисел, сх + С2 + са + ... —•
сходящийся ряд с положительными членами, то из равномерной сходи-
сходимости следует, что функция .
/(х) = 2Сп<Ф — гп)
разрывна только в рациональных точках и удовлетворяет в них условию
(а); так как она имеет только счетное множество разрывов, то она пер-
первого класса.
§ 39. Бэровскне функции
1. Вэровские системы. Мы опять обращаемся к рассмотрению дей-
действительных функций, которые все определены в одном и том же про-
пространстве А (которое вначале может быть любым абстрактным множе-
множеством). Система таких функций / называется бэровской, если предел
каждой сходящейся последовательности функций / есть также функция /.
Для любой данной системы Ф функций / существуют содержащие Ф
бэровские системы (например система всех определенных на А функций)
и, в частности, минимальная такая система (пересечение всех бэровских
систем 2 Ф); функции этой последней называются порожденными функ-
функциями i бэровскими функциями. Мы можем их сперва, в соответствии
с намеченным на стр. 89 представлением борелевскнх множеств, пред-
представить в такой форме: предполагая, что /, /с, /,... пробегают нату-
натуральные числа, рассмотрим все функции вида
с условием, что для каждой последовательности натуральных чисел i,
к, I,... в последовательности функций git g^, gua,... все функции, на-
начиная с некоторой, суть функции /. Эти функции g совпадают с бэров-
бэровскими функциями Ъ, порожденными функциями /. Действительно, с одной
стороны, функции g} очевидно, образуют бэровскую систему, содержа-
содержащую Ф, так что каждая бэровская функция Ь есть g. С другой сто-
стороны, каждая g есть Ь\ если бы какая-нибудь g не была Ь, то существо-
существовала бы хотя одна такая же g{, далее gik, giu и т. д., что противоречит
тому, что в этой последовательности все функции, начиная с некоторой,
суть /. Так же как и раньше, мы предпочтем этому представлению по-
последовательно осуществляемую конструкцию. К бэровским функциям
принадлежат сами функции /, фуккции f1 = lim /„, функции /2 «= lim /}, и
т. д. вплоть до некоторого конечного или бесконечного, но во всяком
случае < Q порядкового числа |. При индуктивном определении /* лучше
БЭРОВСКИЕ ФУНКЦИИ 247
всего, чтобы получить как можно более простые окончательные заклю-
заключения, поступать следующим образом (полная система функций, упо-
употребляемая ниже, определена иа стр. 224):
Функции /° суть функции некоторой исходной системы Ф°.
Функции f+1 суть пределы сходящихся последовательностей функ-
функций / ; функции f (r) — предельное порядковое число) суть функции
минимальной полной системы, содержащей все функции f(?<rj). Со-
Согласно этому, например за функциями /°, f1, /2,... с конечными индек-
индексами | следуют функции f, к которым принадлежат ие только пределы
сходящихся последовательностей функций /*, но и все функции наи-
наименьшей полной системы, содержащей /*; это отклонение от употре-
употребляемого другими авторами способа обозначения оправдывается, как мы
увидим, лучшим совпадением индексов функций и множеств. Это про-
происходит потому, что в этом случае f образуют полную систему для
каждого индекса I (а не только для •? + 1, § 37, IV), а с этим, как мы
уже знаем, связаны упрощения.
Каждая f при I < щ есть f специального вида. Функции f всевоз-
всевозможных индексов образуют минимальную бэровскую систему, содержа-
содержащую Ф°; при постоянном | образуют бэровский класс функций Ф , ко-
который также кратко будем называть классом |. Классы возрастают вместе
с индексом, причем не исключено равенство, но если Ф* = Ф*+1,тоужеФ*
образует всю бэровскую систему, и при rj> ?, Ф* = Фч. Функция принад-
принадлежит в точности к классу |, если она принадлежит ему и не принад-
принадлежит никакому предшествующему классу.
Далее, по определению:
g равно пределу возрастающей, he равно пределу убывающей по-
последовательности функций /, если же щ есть предельное порядковое
число, то gn равно пределу возрастающей, Л, — пределу 'убывающей по-
последовательности функций /{(|<»?).
Лебеговекие множества будем обозначать
Ms=[f>y), iv« = t/f>y]; (i)
мы увидим, что остальные нам не понадобятся.
Если отожествить / § 37 с f, которые образуют полную систему,
то из теоремы XII этого параграфа получаем:
1. Функции f, g*, hs совпадают с функциями классов (М, N ),
{М*, *), (*, N*).
Сверх того, функции f+1 (в тамошних обозначениях /*) совпадают
с функциями класса (Af|, M*)', это дает
M*+1 = Nl, JV.e+1 = Mf. B)
Пусть, далее, щ есть предельное порядковое число; отождествим
функции / § 37 с функциями всех классов | <г\\ роль множеств М
248 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
играют Ms, роль N — множества Ns; Р и Q суть теперь М1 и N4, так
как функции f играют роль функций v. Из того, что Р = Ма, Q = Na,
мы заключаем:
Мп — равно сумме последовательности множеств М (| < rj), 1
N*1 — равно пересечению последовательности множеств N | ' '
{rj — предельное число). >
При этом из замечаний к теореме XIII, § 37, п. 3 следует, что пре-
пределы сходящихся последовательностей функций / совпадают с f ',
gr, суть те из ?, которые имеют миноранту / , ft, — те из ft4, кото-
которые имеют мажоранту г, /с, (являющиеся одновременно g, и ft,) — те
из™"/4, которые заключены между двумя функциями /*. Функции f суть
частные двух кп. В противоположность этому к* (являющиеся одновре-
временно и g и ft ) совпадают с / .
Формулы B), C) определяют Ms, N* индуктивно, отправляясь от
множеств Ж°== [/° > у], Л/°=[/°>-у] исходной системы. Опуская
верхний индекс 0, мы имеем:
М° = М, № = N,
Ma = QM\ ЛГ = ©iV*» AЯ «и),
ф+Х = Л?, ЛГ+1 = М%,
Отметим еще теоремы отделения и продолжения:
П. Если g >-й , то существует такая функция f, 4tnog >-/ >-ft .
Для предельного порядкового числа еще прибавляется: если gv~^-hr,,
то существует такая кт что g^^k,,^ft,.
III. Если N есть множество Ns, то определенная на N функция
из класса (М , N ) может быть продолжена в определенную на всем
пространстве функцию того оке класса.
2. Бэровские функции пространства. Если за исходные функ-
функции /° == / приняты непрерывные в (метрическом) пространстве А функ-
функции, то произведенные ими бэровские функции называются бэровскими
(или аналитически представимыми) функциями пространства А. Мно-
Множества М, N суть в этом случае G, F и Ж{, JV* суть борелевские
БЭРОВСКИЕ ФУНКЦИИ 249
множества пространства А; по определению Gs, Ff (§ 32, (а), (/?))
из D) следует:
M2 = Gda = G\ N* = Faa = F2,
Мф = Gffl, ЛГ = F",
E)
и вообще
М* = G , N* — F: (| — четное), 1
Мf = Fe, Ns = Gf (| — нечетное). J
Заметим, что совершенно безразлично, будем ли мы при этом рас-
рассматривать в случае предельного порядкового числа rj M4 как сумму мно-
множеств М* или JVf, G* или Fs (l<Jj), так как М* есть частный слу-
случай JV*+1, и обратно.
IV. Бэроеские функции пространства А тождественны с функ-
функциями класса (S, В) где В пробегает систему борелевских множеств
пространства А.
Действительно, каждая бзровская функция принадлежит к классу [В, В).
Если, обратно, / принадлежит к классу {В, В), то рассмотрим счетное
множество борелевских множеств [/>r], [f^r], где г — рациональное
число, и выберем порядковое число | столь большим, чтобы все эти мно-
множества были одновременно G*, Ff, т. е. Men N*. Тогда для любого у
] [
есть Ма = М\ а
f/>y] = ©
г<у
есть iVe = Nf, следовательно, / принадлежит классу (Ml, Ns), т. е,
есть f.
Из § 33, 1 непосредственно следует теорема существования бэров-
ских функций.
V. В полном пространстве с непустЫм плотным в Ьебе ядром,
для. каждого I < Q существуют функции /*, которые принадле-
принадлежат к классу ?, но не принадлежат ни одному предшествующему
классу F4, г) < ?.
В пространстве со счетной базой существует К непрерывных функ-
функций (не менее чем N, так как уже константы дают множество этой
250 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
мощности, и не более чем К, так как непрерывная функция вполне
определяется своими значениями иа счетном всюду плотном множестве
точек). Существует также, как обнаруживает индукция, только К функций
f для любого |, а потому К (не более чем fr^tf ^ КК = К) бэровских
функций. Таким образом, если пространство имеет мощность К (например
полно и с плотным в себе ядром з 0), бэровские функции составляют
исчез'ающе малую часть системы всех функций (в числе К"= 2").
Что бэровские функции, отвлекаясь от вопроса о мощности, близко
подходят к непрерывным функциям, а именно непрерывны, если- „пре-
„пренебречь" множеством первой категории, показывает следующая теорема:
VI. Если пространство А есть множество Gn, то для каждой
бэровской функции f существует такое плотное в А множество С =
= Ga, что функция j (х | С) непрерывна.
Теорема верна для непрерывных функций (С = А) и будет индуктивно
доказана для всех бэровских функций, если из справедливости ее для
функций сходящейся последовательности /п вывести ее применимость
к их пределу /. Пусть fn (х 1 Сп) непрерывна и Сп — множество Ga, плот-
плотное в Л; тогда Dn — А — Сп есть Fa первой категории в А; но тогда
и Do = Dx + D2 + • • • есть Fa и Аъ а Со = А — Do = dC2... есть G»
плотное в А и опять-таки множество Gn (стр. 164); но функции fn(x\C0)
непрерывны, а их предел по § 38, V не более чем точечио-разрывен,
т. е. множество С точек непрерывности f(x\C0) плотно в Со и есть Ga
в Со, следовательно, плотно и есть Ой в А, а потому / (х | С) непрерывна.
Например функция / Дирихле (стр. 242) на множестве иррациональ-
иррациональных чисел есть постоянное, равное нулю, т. е. иррациональные числа
суть точки непрерывности функции / (х \ С), но, конечно, не самой функ-
функции Дирихле.
Коротко мы выразим теорему VI так: каждая бэровская функция
непрерывна с точностью до множества первой категории: под этим
подразумевается, что пространство допускает разложение А = С + D,
в котором D есть Аг и / (х | С) непрерывна. Мы можем, сверх того,
предположить, что С есть G8, a D есть Fa, ибо нигде не плотные мно-
множества, суммой которых является D, мы можем заменить их замы-
замыканиями.
Теорема VI имеет некоторое сходство с теоремдй § 38, V о функ-
функциях первого класса и позволяет также высказать предложение, анало-
аналогичное § 38, VI:
Если пространство А есть множество Fn, a f — бэровская функ-
функция, то, каково бы ни было замкнутое (в А) множество FdO,
функция f(x\F) непрерывна с точностью до множества первой кате-
категории.
То-есть существует разложение F — С + D, в котором D есть Fi
и / (х | С) непрерывна. Это следует из того, что F опять-таки есть мно-
множество Fn, следовательно (стр. 165), множество Оц, и f(x[F) есть бэ-
бэровская функция пространства F.
По аналогии с теоремой § 38, VII естественно было бы ожидать,
что хотя бы в пространствах со счетной базой непрерывности с точ-
точностью до множества первой категории также достаточно для того, чтобы
БЭРОВСКИЕ ФУНКЦИИ 251
функция была бэровской; однако это предположение неверно. Прежде
всего заметим, что это свойство не будет ослаблено, если мы его потре-
потребуем не для всех замкнутых, а только-для совершенных множеств: т. е.
и в этом случае оно имеет место для всех замкнутых множеств. Пусть
именно замкнутое множество разложено
F = Fi + F' = Fj + (Fs - Fi) + Fk,
где Fj => 0 есть множество изолированных точек F, F' — производное
множество, Fk — плотное в себе (совершенное) ядро F, a Fs — его до-
дополнение. Производное множество F'j Я F' множества изолированных
точек нигде не не плотно в F (дополнение F — FJ|2 Fj плотно в F, так
как его замыкание 2F,- + (F-Fj) = F), значит, Fj есть множество Fi;
оно состоит из (Fs—~Fj) и тех точек Fk, которые суть предельные
точки F'j. Но так как по предположению /(x|F) непрерывна с точностью
до множеств первой категории, то существует множество D первой ка-
категории в Fk, а потому и подавно в F, такое, что f(x\Fk — D) непре-
непрерывна. Если мы теперь удалим из F множество первой категории Fj- + D,
то от F сохранится' некоторое множество Fj-\-С; {(х\С) непрерывна,
а так как С не содержит предельных точек множества Fj, To/(x]Fj-f- С)
непрерывна на С, а также, конечно, и в точках Fj (так как они изоли-
изолированы), т. е. непрерывна с точностью до множества первой категории.
(В случае Ffe = 0 f{x\Fj) непрерывна, F' есть Fi.)
Теперь покажем, следуя Н. Н. Лузину: f(x\P) в арифметическом
континууме А может быть непрерывной с точностью до множества
первой категории на каждом совершенном множестве Р=>0, не будучи
в то же время бэровской функцией. Для этого мы построим несчетное
множество L такое, что LP есть Pi, каково бы ни было Р. Предпо-
Предположив, что это сделано, мы заключаем: L не есть борелевское (а также
иесуслинское) множество, так как в противном случае-оно содержало бы
совершенное множество Р => 0 и LP = Р было бы Рц. Характеристическая
функция / множества L (=1 на L, =0 на А— L) не есть, следова-
следовательно, бэровская функция, в то время как f(x\ P) непрерывна с точ-
точностью до множеств первой категории, так как f(x\P — LP) непрерывна.
Чтобы построить такое множество L, рассмотрим последовательности
X = (Ху х2,..., Хп,...)
натуральных чисел и по определению положим X <. Y (X „финально"
меньше Y), если при п>п0, Хп<Уп> наименьшее число щ, для кото-
которого это имеет место, обозначим п(Х, Y). Это отношение < транзи-
тивно: если Х<. Y, Y <Z, 10 X<Z и притом очевидно
п (X, Z) < max [п (X, Y), п {У, 2)].
Для каждого конечного или счетного множества числовых последо-
последовательностей существует финально наибольшая последовательность U;
стоит только выбрать
щ > хъ и2> max [x2, y2], U3> max[xa, ya, z3], ...
252 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Поэтому можно построить множество числовых последовательностей
Хо < Хг < Х2 <... < Хш < ... типа Q.
С другой стороны, поставим в соответствие каждой числовой после-
последовательности X непрерывную дробь
(t есть иррациональное число между 0 и 1") и тем самым вышеуказан-
вышеуказанным последовательностям Х$ числа /{(?<&). Тогда множество L =
= {'о> 'i>>-> '<»,•••} обладает требуемым свойством.
Будем коротко писать щ,п вместо n(Xiy Yn)(!-<r)) и отметим, что
если последовательность чисел f4 стремится к t(, то число первых общих
цифр в их разложениях в непрерывные дроби, а Значит, и п^п стре-
стремится к оо. Выберем теперь ))>0 и положим
M = {t0,..., U,}, N={t4+1, *„+2,...}
(L = М + N); далее, разложим множество N чисел ff, для которых ?> щ,
в сумму N = Nj -f- iV2 + • • •. r^e Nn есть множество таких t^ что Щ( = п.
Тогда ни одна точка множества М не есть предельная точка Nn.
Ибо при | < г\
4, л,;],
а потому при t; ? Nn
л],
т. е. пк ограничено, так что t; не может стремиться к f$. To же спра-
справедливо и для | = г\. Так как L содержит счетное, всюду плотное мно-
множество, то можно выбрать г) столь большим, чтобы М было всюду
плотно в L, а тогда Nn нигде неплотно в L, потому что MNn=0
и I — LNn 2 М плотно в L. Поэтому N — первой категории в L, т. е.
существует разложение L= М + N, где М счетно, а N есть мно-
множество Li.
Пусть теперь нам дано совершенное РгзО. Если множество L/2
несчетно, то оно есть такое же множество, как и L, соответствующее
множеству числовых последовательностей Х^д<Х^ < ... < Хеа < ...,
в которых есть индексы, превосходящие любое порядковое число вто-
второго класса, и потому допускают разложение
где N — первой категории в LP, а следовательно, и в Р, а М счетно,
т. е. первой категории в Р (каждое счетное множество Q Qh есть Qr;
стр. 164): LP есть Pi, Последнее справедливо и тогда, когда Р не более
как счетно. Наше рассуждение доведено до конца: функция / может
быть небэровской, даже если все функции f(x\P) непрерывны с точ-
точностью до множеств первой категории*
БЭРОВСКИЕ ФУНКЦИИ 253
Укажем еще, что дополнение к множеству Лузина К — А — L есть
множество Fn, т. е. (стр. 164) каждое совершенное в К множество гзО
второй категории в себе самом. Такое множество, являющееся плотным
в себе и замкнутым в К, имеет вид КР, где Р есть совершенное
(в множестве А действительных чисел) множество; так как Р = КР + LP,
то КР — второй категории в Р, а значит, и подавно в себе самом.
Следовательно, существуют множества Fn, не являющиеся метрически
абсолютными борелевскими множествами; этим доказано и чрезвычайно
усилено ранее высказанное .утверждение (стр. 165), что множество Fn
может и не быть метрически абсолютным Gs.
Если функция / (независимо от того, есть ли она бэровская функция
или нет), определенная в пространстве А, являющемся множеством Gn,
¦непрерывна с точностью до множеств первой категории, т. е. если суще-
существует хотя бы одно разложение А — С -\- D, где D есть Ai, и / (х \ С)
непрерывна, то существует (В. Серпинский) среди всех таких разложе-
разложений А = Ci + ?\ = Са + ?>а = ... разложения с максимальным С и ми-
минимальным Д а именно:
Нужно только показать, что /(х | С) непрерывна (Д конечно, есть Ах).
Пусть л(Ск притом хотя бы х ? Clt так как fixlCj) непрерывна, то
при любом <т > 0 существует такая окрестность U(x), что
|/(z)-/(x)|<tf при z^C.Uix). G)
Пусть теперь у ? CU (х); если, например, у ? С2 (причем может слу-
случиться 0^ = 0]), то существует такая окрестность U(y), что
l/(z)-/00l<* при z?C2U(y).. (8)
Открытое множество U (x) U {у)!гэ 0 (оно содержит у) есть Ац, следо-
следовательно, не содержится в Д+Дз; следовательно, U (x) U (у) СХС& з О,
т. е. существует хотя бы одно z, удовлетворяющее и G) и (8), а потому
!/(*)— /(УI<2<х при у?Си(х),
и так как х была произвольная точка С, то / (х | С) непрерывна.
3. Расширение пространства. Вместо того чтобы характеризовать
бэровскую функцию системой ее лебеговских множеств, ее можно вполне
определить заданием двух плоских множеств и общее: бэровскую
функцию произвольного пространства А — заданием двух множеств рас-
расширенного пространства А* = (А, У), являющегося произведением А и
арифметического континуума Y с расстоянием ]/р2(х, I) + (у—»?J.
Борелевские множества F) расширенного пространства мы будем обо-
обозначать М, N . Рассматривавшиеся нами до сих пор лебеговские
множества
(9)
254 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
были множествами точек х ? А, в которых выполнялись стоящие в скоб-
скобках неравенства; теперь под
М=[/>у], JV=[/>y] A0)
мы будем подразумевать множества (уже независящие ни от какого па-
параметра), точек (х, у) ? А*, вторые координаты которых удовлетворяют
указанным неравенствам. В том же самом смысле следует понимать и
множества
C = JV-M = [/ = y]. ' A1)
Если обратиться к геометрической интерпретации, то в случае когда х
есть действительное переменное, С есть определяемая уравнением у — {(х)
„кривая", М — часть плоскости ху, расположенная под кривой,
Мф) — проекция на ось х-ов той части С, которая лежит в полу-
полуплоскости у > 8 (или же той части М, которая лежит на прямой у = в)',
соответственно интерпретируются и N и JV(jS).
Имеет место следующая теорема:
VII. /(х) есть бэровская функция { (х) тогда и только тогда, когда
множество М есть М*, а N есть N . При этом и множество С
есть N .
Для доказательства рассмотрим бэровские функции f(x) простран-
пространства А и бэровские функции f(x, у) расширенного пространства А*.
Имеем: каждая f (х, 0) есть f (х). Это верно при ? = 0, так как из не-
непрерывной по обеим переменным х, у функции, полагая у = 0, мы по-
получаем непрерывную же функцию переменного х, и может быть индук-
индуктивно доказано для ? > 0. Заключение от ? к 1 + 1 тривиально;
если же г\ — предельное порядковое число и наше утверждение доказано
для всех ?<»?, то для г) оно выводится из представления р как част-
частного двух кп (стр. 248). Также получаем:
Каждая f (х) есть /*(х, у), f (x) — у есть f(x, у); последнее
верно потому, что у есть непрерывная функция от X, у, следова-
следовательно, f (х, у) каждого класса.
Если теперь /(х) есть f(x),Tof(x)—уесть/5(х, у), следовательно,
класса (Mf, JV5) и множество М есть Mf, N есть JV5; C = N — М =
= JVf — М* есть также JV*. .Если, обратно, М есть MS, N есть JV5, то
/(X, у) = /(х) — у принадлежит к классу (М*, JVf), так как эта функ-
функция имеет ту особенность, что ее лебеговские множества (в Л*) полу-
получаются из М, N путем трансляции г\ = у -f- /?, отображающей изометри-
изометрически пространство А* само на себя. Следовательно, /(х,у) есть/f(x,y),
/(X, 0) = /(х) есть /f(x).
Вторая половина теоремы VII, вообще говоря, не обратима. Тем не
менее следующая теорема дает ограниченное обращение, которое заслу-
заслуживает внимания, так как йножества С (/5)= [/ = /5] пространства А не
позволяют сделать никаких заключений о функции /(х):
VIII. Если пространство А есть метрически абсолютное суслин-
ское множество со счетной базой и С есть суслинское множество
в расширенном пространстве (A, Y), то f (x) есть бэровская функция.
вэровские функции 255
Пусть А есть суслинское множество полного пространства X со счет-
счетной базой, тогда А* = (A, Y) есть суслинское множество в полном,
имеющем счетную базу пространстве (X, Y), следовательно, есть S со
счетной базой (S—метрически абсолютное суслинское множество).
С и открытое в А* полупространство у>/? суть суслинские множества
в А*, следовательно, их пересечение есть S, имеющее счетную базу;
М(/5) есть проекция этого пересечения в пространство А, т. е. его
непрерывный образ, а потому согласно § 35, II также есть S. Рассмат-
Рассматривая замкнутое полупространство у<1/?, получаем также, что допол-
дополнение А — M(j8) есть S, следовательно, оба эти множества суть боре-
левские множества относительно своей суммы А (§ 34, III). Так же как
и Мф), множество iV(j8) также оказывается борелевским множеством
в Л, а значит, /%(х) есть бэровская функция. На самом деле, как мы
знаем из VII, С есть в этом случае не только суслинское, но и боре-
борелевское множество пространства А*. Добавим, что по борелевскому
классу С нельзя судить о бэровском классе /(х); если С есть JV*, /(х)
может быть р (х), где г\ > ?.
Проекция С в 7 есть множество значений /(х), т. е. однозначный,
доставляемый функцией /(х) образ А в арифметическом континууме;
если /(х) есть бэровская функция, мы назовем это множество бэровским
образом А.
Относительно него имеет место
IX. Бэровский образ метрически абсолютного суслинского мно-
множества со счетной базой есть суслинское множество. Взаимно одно-
однозначный и непрерывный образ метрически абсолютного борелевского
множества есть борелевское множество.
Если В есть взаимно однозначный бэровский образ суслинского
множества арифметического континуума, то А есть также взаимно
однозначный бэровский образ В.
Доказательство в большей своей'части содержится в доказательстве VIII.
Если А есть S со счетной базой, то таковы же и А*, С, В (§ 35, II).
Если А есть метрически абсолютное борелевское множество со счетной
базой или же борелевское множество в X, то (Д Y) есть борелевское
множество в (X, Y), следовательно, А* метрически абсолютное боре-
борелевское множество, а значит, таково же С (как борелевское множество
в А*), а также и В, если проекция взаимно однозначна. Обращаясь
к третьему утверждению, обозначим через x—g(y) определенную на В
обратную функции у = / (х) функцию; В было S со счетной базой,
С было S, а значит, суслинским множеством в пространстве В* — (X, В),
где X теперь есть арифметический континуум; следовательно, переменив
роли переменных X, у, мы опять будем находиться в условиях теоремы VIII,
и g(y) есть бэровская функция (класс g(x) совершенно независим от
класса/(х)).
Теорема IX есть обобщение § 35, II, но пока что в применении
только к действительным функциям (см. XIII). Кроме того уже рассмо-
рассмотренные нами, определенные на бэровском нуль-мерном пространстве
или на множестве иррациональных чисел непрерывные функции имеют
множествами своих значений все суслинские множества арифметического
256 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
континуума. Но если х пробегает множество А всех действительных
чисел, то непрерывных функций недостаточно (непрерывный образ А
есть Fa), но достаточно функций первого класса, а именно:
X. каждое суслинское множество арифметического континуума
есть множество значений функции первого класса f(x) от действи-
действительного переменного (даже функции с не более как счетным множе-
множеством точек разрыва).
Действительно, суслинское множество арифметического континуума В
мы можем представить как непрерывный образ /, т. е. как множество
значений непрерывной функции /(/), где i пробегает иррациональные
числа. Мы продолжим эту функцию на все действительные числа (не
увеличивая ее значений); для этого расположим все рациональные числа
в последовательность {г1г га,...}, выберем для каждого гп иррациональ-
иррациональное число /„ так, что \in — гп|<— и положим /(/•„) = /(/„). Новая
функция непрерывна в иррациональных точках, так как если гр-*г, то
и ip-*i, а потому f(rp) — f(ip)-*f(i). Итак, f(x) разрывна самое боль-
большее только в рациональных точках и, следовательно (по стр. 239),
является функцией первого класса.
4. Общие (недействительные) бэровскне функции. Пусть А и У
суть метрические пространства; мы будем рассматривать все однознач-
однозначные, определенные на А функции у = q> (x), для которых у ? У, так
что образ В = Ф (А) есть подмножество У. А будем называть про-
пространством, a У— пространством образов этой системы функций.
(Если У есть арифметический континуум, то мы имеем дело с действи-
действительными функциями, которым в основном посвящена эта глава.) Сходя-
Сходящаяся при всех значениях X последовательность функций уп = <рп (х)
приводит к новой функции у = <р (х). Поэтому мы опять можем опре-
определить для ?<i2 бэровские функции <р*, правда, за исключением пре-
предельных чисел jj, так как мы не в состоянии перенести иа любое про-
пространство образов определенные только для действительных функций
понятия обычной и полной системы функций (§ 37, п. 1). Пусть (рй
суть непрерывные функции; если <р уже определены, то <р суть пре-
предельные функции сходящихся последовательностей функций <ps; если г\
есть предельное порядковое число, то мы определяем <pv+1 (не опре-
определяя <рп) как предельные функции сходящихся последовательностей
функций <р* (? < Щ)- Для действительных функций индексы этих классов
совпадают с ранее определенными, если только добавить недостающие
функции <pv. В этом общем случае, где отсутствуют понятия 5S, лебе-
говские множества целесообразно определить следующим образом.
Прежде всего условимся обозначать при Q QY через [у ? Q] множество
тех X, для которых у = у{х) ? Q, т. е. прообраз BQ (В есть образ А).
Множества
[y<EG], [y<EF],
где G пробегает все открытые в У, a F — все замкнутые в У мно-
множества, называются лебеговскими множествами функции у = <р (х). Они
дополнительны друг к другу, и потому достаточно ввести в рассмотре-
БЭрОВСКИЕ ФУНКЦИИ 257
ние только один из этих двух типов. Предположим, что множество М
пробегает заданную систему множеств Я А, а N = А — М — систему
их дополнений; функция <р называется функцией класса (М, N) или
принадлежит к классу (М, N), если каждое множество [у ? G] есть М,
а каждое [у ? F\ есть N.
Отдавая предпочтение тому из возможных высказываний о классах,
которое проще всего в применении к борелевским множествам, приведем
следующую теорему:
XI. Пусть функции уп^><р принадлежат к классу (М, N). Тогда (f
принадлежит к классу (Nga, Ма»), а в случае равномерной сходи-
сходимости — к классу (Ма, Ne). Если множества М образуют а-систему,
а множества N-— д-систему, то <р принадлежит к классу (Na, Ma),
а в случае равномерной сходимости — к классу (М, N).
Пусть Fr^O есть замкнутое множество в Y, пусть, далее Fr(v =
= 1, 2, 3,...) есть замкнутое множество точек у, для которых q (у, F)^
^—, G,— открытое множество тех точек у, для которых q (у, F) <—,
а Я, — произвольное множество, заключенное между ними (G, Я Я, Я Fr),
так что
F = ©G, = ©Я, =
Далее, предположим, что уп = <р (Хп) —> у = <р (х). Следующие утвер-
утверждения относительно точки х равносильны:
(a) y?F,
(j8) при любом v, для почти всех л, уп ? НТ)
(у) при любом v, для бесконечного множества значений л, уп ? Я,.
Из (а) следует (/?). Если у ? F, то для каждого v у ? G,, а значит
(так как G, открыто), для почти всех л уп ? GT Я Я,.
Из (j8) следует (у).
Из (у) следует (а). Для каждого v при бесчисленном множестве зна-
значений л имеем уп ? Я, ^ F,, а потому (так как F, замкнуто) у ? F,,
следовательно, у ? /\
Поэтому, привлекая (а), (у), получаем:
[у ? F] = Ф Ui [уп 6 Я,].
Если тут принять Я, = G,, то множество [уп ? Я,] есть М, верхний
предел этого множества при л —> оо есть Мад и [у <z F] — также М„».
Функция q> принадлежит к классу (*(Мстй) = (Naa, MaS)-
Если сходимость равномерная, то (а) равносильно усилеленному
утверждению:
(j8*) при любой v, для п>п„ имеем уп ? Я, (где л, зависит только
от v, но не от х). Действительно, если выбрать л, так, чтобы при п>п,
было е(У, Уп) <—, то из (а) будет следовать: при любом v и л>л,
в(Уп, Р)<9(у,Уп)< ^\ Уп? G,?H,, т. е. (/Г); обратно, (а) следует
уже из (j8). Поэтому
]=© ф [уя€Я,];
Хаусдорф. Теория множеств. 17
258 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
если теперь принять Я» = Fr, то [у ? F] представляется в виде Ne и q>
есть функция класса (Ма, Ne), ч. т. д.
Возвращаясь к борелевским множествам F) пространства А, имеем:
XII. Бэровские функции <р* суть функции класса (Ms, N*).
Это следует из XI по индукции, так как М* образует ег-систему, а
их дополнения JV* — <5-систему. Заключение от I к ?-f-1 тривиально;
заключение от$<г)кг]+1 {tj — предельное число) основано на том,
что все функции у>{ принадлежат к классу GW, iV).
В случае действительных функций XII допускает обращение: функции
класса (М*, Ns) суть бэровские функции <ps. В случае произвольного
пространства образов не только неприменим метод доказательства п. 3,
§ 37, но и само утверждение может быть ложно (если только ? ф 0;
функции класса (G, F), где G обозначают открытые, a F замкнутые в А
множества, непрерывны). Если А связно (и содержит больше одной точки),
a Y — множество, состоящее только из двух чисел 0,1, то единствен-
единственными непрерывными и в то же время единственными бэровскимн функ-
функциями являются постоянные функции <р = 0, <р=1; функция <р=1
в одной только точке, и = 0 во всех остальных, принадлежит к классу
(Fa, Ов), но не есть др1. Вопрос о том, в каких пространствах образов Y
или для каких пар пространств A, Y теорема XII обратима, заслужи-
заслуживает исследования. Во всяком случае это обращение верно, каково бы
ни было А (метрическое), если Y есть эвклидовское пространство. Ибо
в этом случае сходимость точек равносильна сходимости отдельных коор-
координат; определить функцию у = (у1;..., уп) это значит определить ка-
каждую координату yk как действительную функцию /ft(x); у есть <р*
тогда и только тогда, когда все }к суть действительные f. Если теперь
<р* принадлежит к классу (Мг, JVf), то каждое /& есть функция того же
класса, так как полупространства yfe > j8 (yk^P) открыты (замкнуты)'
в У, следовательно, каждая fa есть действительная f и <р есть <р*.
Два первых утверждения IX, формулированные там только в приме-
применении к действительным бэровским образам, верны для любого простран-
пространства образов, независимо от того, обратимы или нет в этом пространстве
теоремы о классах. Таким образом:
XIII. Бэровский образ (действительный или нет) метрически абсо-
абсолютного суслинского множества со счетной базой есть метрически
абсолютное суслинское множество со счетной базой (или конечное).
Взаимно однозначный непрерывный образ (действительный или нет)
метрически абсолютного борелевекого множества со счетной базой
есть метрически абсолютное борелевское множество со счетной базой.
Прежде всего отметим: если (fn—xp и каждое <рп отображает А
в множество Вп со счетной базой или конечное, то и <р имеет своим
образом множество В со счетной базой или конечное, так как В есть,
очевидно, подмножество ©Вп (В содержится даже в нижнем топологи-
топологическом пределе It Bn)~ Следовательно, если А имеет счетную базу, то его
непрерывные и бэровские образы или имеют счетную базу или конечны.
В силу этого пространство образов Y бэровской функции у — <р(х)
можно заменить пространством Yo, имеющим не более чем счетную базу,
МНОЖЕСТВА СХОДИМОСТИ " 259
и притом так, что не только образ множества А принадлежит Уо, но
и <р остается бэровской функцией в пространстве Yo. Для этого можно
использовать хотя бы приведенное на стр. 246 представление:
95 = lim95p, <рр = Пт<рт, <рм = Ит(ртг, ...,
v ч г
в котором, какова бы ни была числовая последовательность р, qt r,...,
почти все функции <рр, <рт, (ртг,.. . непрерывны (возможность предста-
представить <р в этой форме, как мы видели, необходима и достаточна для
того, чтобы <р была бэровской функцией). Если В, Вр, Вм, Втг, . .,
суть доставляемые этими функциями бэровские (почти все непрерывные)
образы, то, очевидно, У можно заменить через
Yo = В + ©Вр + ®ВМ + ®ВШ 4- ...
Поэтому пространство образов Y мы можем считать имеющим счет-
счетную базу и, сверх того, полным.
Далее: если А и Y суть произвольные метрические пространства и
q>{x) — бэровская функция, то множество С таких точек (х, у) расши-
расширенного пространства А* = {А, Y), что у=<р(х) есть борелевское мно-
множество (сравнить с VII, VIII). Действительно, если мы обозначим рас-
расстояние д(у, г)) в пространстве Y через \у — г)] и рассмотрим для любой
определенной на А функции д> (х), „значения которой суть точки Y,
расстояние
то это расстояние есть действительная функция, определенная на А*.
Если q> непрерывна, то непрерывна и / (х, у); так как, далее, из (рп —> у
следует
то сразу видно, что если у есть бэровская функция q>, то / есть дей-
действительная бэровская функция f. Поэтому множество С = [/ = 0] есть
Ns в расширенном пространстве А*.
Окончание доказательства протекает так же, как для IX. Пусть А
есть суслинское множество в полном пространстве со счетной базой X,
a Y есть полное пространство со счетной базой; (A, Y) есть суслин-
суслинское множество в (X, Y), следовательно, суслинское множество со счет-
счетной базой, таково же и С, а значит, и В как проекция С. Если,
в частности, А есть борелевское множество, то таковы же (А, У) и С,
а если проекция взаимно однозначна, то и В.
§ 40. Множества сходимости
Предположим снова, что в пространстве А определена последова-
последовательность действительных, непрерывных функций fn = fn{x); мы ставим
вопрос о множестве сходимости С этой последовательности, т. е. о
множестве тех точек х (точек сходимости), в которых существует
lim/n(x). Для существования этого последнего необходимо и достаточно,
17*
260 ДЕйствительныЕ функции
чтобы для каждого а > 0 существовал член последовательности fm (x),
который отличается от всех следующих не более чем иа <т, т. е.
l/n(x) — /m(x)l<cr для п>т; A)
отсюда следует: пусть (как на стр. 241) Fm (<т) есть множество тех
точек х, в которых имеет место A) при фиксированных <т, т, а
C(cr) = FX (or) + F2(cr) +/%(*) + ...
множество тех х, для которых A) имеет место для одного хотя бы зна-
значения т\ тогда С есгь пересечение всех С (о-), или, так как множества
Fm(o) и С (а) убывают вместе с а,
Fm (о) замкнуто, С (<т) есть Fa, множество сходимости С есть Fai.
Это же можно обнаружить так. Если предположить, что
7= llm /n, _/ == lim /„
существуют (т. е. конечны), то это суть функции второго класса и
притом по § 37, F) / есть ft1 класса (*,Ge), а / есть g1 класса (Fg, *).
Их разность
которую называют колебанием последовательности /п, есть функция вто-
второго класса г), а потому принадлежит к классу (Gto, Fas); множество
точек расходимости, где си (/) > 0, есть, следовательно, G*,, а множество
точек сходимости, где со (/) = 0, есть Fas. Множество точек, где
X < Ит /п </*, есть также Fat, а именно пересечение [/=/] Ц>Ц [/</*] =
=FodFaFa. В силу этого при помощи ограничивающего преобразования
q>n <= " ¦ можно освободиться от допущения, что /, / конечны; мно-
1 + I in | —
жество точек, где fn сходится, совпадает с множеством тех точек, где
—• 1 < limg:>n < + 1 (в то время как 9>п^»1 равносильно /п—> оо, а
<рп —> — 1 равносильно fn —> — оо).
Множество [/ = oo] = [^==ij = [gp>i] есть Gs, так же как и мно-
множество [/ = —оо] и, значит, такова же их сумма; иначе говоря, множе-
множество Deo тех точек, в которых /п неограничены в своей совокупности,
есть Gs. Если, например (как это делается в теории рядов Фурье), по-
построить последовательность непрерывных функций действительного пере-
переменного, которая расходится в этом смысле (т. е. такую, что /п не огра-
ограничены в своей совокупности) во всех рациональных точках, то эта
последовательность автоматически окажется ведущей себя так же еще и
в К иррациональных точках, потому что Д» как плотное G» по § 28
имеет мощность континуума.
*) Она сама есть Л1 класса (GSa, Gt), но отсюда следует ие больше, чем
в тексте.
МНОЖЕСТВА СХОДИМОСТИ 261
Множество точек, где /„ сходятся к какому-нибудь наперед задан-
заданному значению, также есть Faa, например
[fn-»0] - [<рп^ 0] = [^>0] [?< 0].
Но и множество точек, где /„ расходятся, стремясь к + оо или
к — сю *), есть FaS, так как
В сказанном до сих пор содержится первая половина следующей
теоремы:
I. (H. Hahn). Множество точек сходимости последовательности
действительных функций есть множество Faa, и каково бы ни было
множество С = FaS, можно построить последовательность действи-
действительных функций, для которой С есть множество точек сходи-
сходимости.
Для доказательства второй половины предположим сначала, что С
есть Fo:
(Fn — замкнуты); пусть D — A— С есть дополнение С. Функция ft,
которая на
Flt Fz — Fx, Fa — F2, ... , D
равна
1 i i
2 ' 3
i 0
' 3 ' ' " ' '
полунепрерывна сверху, ибо множество [Л>у] либо пусто, либо совпа-
совпадает со всем пространством, либо есть одно из Fn. Следовательно, она
есть предел убывающей последовательности непрерывных функций
ух>у>2>. ..; так как функции у>'п= tnin [ipn, 1] и гр"п = max ур'П} — I
также непрерывны и убывают, то можно принять, что — -^yfo-^l- Не-
Непрерывные функции фп——, для которых 1^9>п^Я, образуют возра-
стающую последовательность и сходятся на С к функции -j~, т. е.
к целочисленным значениям, и расходятся, стремясь к + оо, на D.
Таким образом в случае C — Fa проблема решена. Для дальнейшего мы
преобразуем <рп следующим образом. Мы имеем' 0 <^ <pn+i — <Рп <! л; между
fn и (pn+i мы вставим еще функции с дробными индексами
г) Такое поведение называется собственной расходимостью, но его лучше
было бы называть несобственной сходимостью.
262 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
и изменим обозначения, нумеруя и первоначальные и вновь вставленные
функции по порядку натуральными числами; тогда мы получим последо-
последовательность непрерывных функций
на С lim<pn есть натуральное число, на D lim<pn = + oo. Функции
/n = a sin трп
<а — положительная константа) сходятся к нулю на С и расходятся на D;
Г 1 31
действительно, при х ? D в каждый сегмент fr + 'T» ^"^Т длины
v (к = 1, 2, . . .) попадает хотя бы одно из чисел <рп (х), а тогда
(— l)fe sin щп~> sin -^ ; следовательно, бесконечио часто имеем /n(x) > —j=
4 у 2
и ^бесконечно часто /п (х) ^ ^-=..
Следовательно, для любого С = Fa существует последовательность
непрерывных, равномерно ограниченных функций (по абсолютной вели-
величине <; а), сходящихся к нулю на С и расходящихся на D = С—А
(В. Серпинский).
Пусть теперь С = СхСг... есть пересечение последовательности
множеств Ст = Fa\ пусть, далее, Dm есть дополнение Ст, a D =
= ?>! + ^2 4- • • • дополнение С. Определим дл» каждого т = 1, 2,...
такую последовательность непрерывных функций fmn по абсолютной ве-
величине ^ —, что lim /mn существует и равен нулю на С, а на D ие
п
существует. Таблицу с двойным входом, образованную этими функциями,
обратим в последовательность /р (полагая, скажем, fv /2, /8 .•••==
= /и, /12, /21,...). Тогда lim /р на С существует и равен нулю, а на D
не существует. Действительно, при х?С неравенство l/mnl>e>0
может иметь место только для конечного числа значений /И, а при дан-
данном m — лишь для конечного числа значений л, так как lim/mn = 0;
n
если х ? D и притом, скажем, х ? Dm, то уже функции /mi, /тг, • • .
образуют расходящуюся подпоследовательность последовательности
функций /р.
Если функции fn, вместо того чтобы быть непрерывными, принадле-
принадлежат системе всех функций класса (М, N), где множества М образуют
с-кольцо, а их дополнения N — «5-кольцо, то их множества сходимости
есть Nas\ доказательство такое же, как в начале этого параграфа; этот
результат переносится и на общие (недействительные) функции (п. 4,
§ 39), если только пространство образов полно.
Возвратимся снова к действительным функциям и рассмотрим вместо
последовательности функций /п семейство функций f(x, у), зависящее
от действительного положительного параметра у (при фиксированном
у f {х, у) есть непрерывная функция от X ? А), и исследуем их поведе-
поведение при у—>0. Множество сходимости С, состоящее из точек X, для
которых существует lim / (х, у), есть опять FaS. Ибо для существо-
МНОЖЕСТВА СХОДИМОСТИ 263
/
вания такого предела необходимо и достаточно, чтобы для любого а >0
существовало такое Г] > 0, что
<7 при У1<Уъ<П- B)
При постоянных а, г\ множество F (cr, rj) тех точек, в которых вы-
выполняется B), замкнуто (как пересечение множеств, на которых B)
выполняется для фиксированной пары чисел уъ у2). Множество точек х,
в которых B) выполняется при фиксированном а и любом rj, есть
С (а) = @ F (а, rj), вместо чего мы можем написать, так как F (а, г\)
v
возрастают с убыванием г\\
a, \) + F (а, |) + . . . ;
наконец С есть опять-таки пересечение всех С (о) или
что и показывает, что С есть Fas.
Верхний предел
f(x)=to/(x, у)
по определению есть '
~f(x) = lim g (X, rj), где g (x, n) ="sup / (x, у) (у > 0);
0 e
если он (при данном х) существует, т. е. конечен, то для достаточно
малых у f (X, у) должна быть ограничена сверху, a g (x, у) — снизу;
g (x, у) убывает вместе с у. Если / (х) существует для любого х, то
/ (х) опять есть функция Л1 класса (*, Gs). При доказательстве этого мы
можем допустить, что / (X, у) при данном х ограничена сверху для всех
у>0, заменяя в случае иужды / (х, у) на min /(х, у), — ,—функцию,
которая для достаточно малых у — скажем, для y-^rj — совпадает
с / (х, у), а для у>г)—во всяком случае ^—. При этом допущении
для каждого у g (x, у) существует и как верхняя грань непрерывных
функций полунепрерывна снизу (стр. 237); далее
как предел убывающих функций первого класса есть Л1. Аналогично
определяемая
/(хХ=1ш/(х, у),
у->0
если она всюду конечна, есть g1 класса (Fa, *).
Например, полагая
где <р(х) есть непрерывная функция действительного переменного х, полу-
264 двйствительныЕ функции
чаем: множество точек, в которых <р[х) диференцируема справа, есть
Fas', верхнее правое производное число г) (предполагая его всюду конеч-
конечным) есть /г1, правое нижнее есть g1. To же конечно справедливо и для
левых производных чисел, а также и для двусторонних (когда не прини-
принимается во внимание различие между правой и левой сторонами).
В случае семейства функций все эти заключения (о классах /, /, а
также и множества сходимости) не переносятся с непрерывных функций
на функции класса (М, N); ибо они существенно основаны на том, что
пересечение любого (не обязательного счетного) множества множеств F
есть F н сумма любого множества множеств Q есть Q. Так, то обстоя-
обстоятельство, что
?(x) = sup/(x, у)
V
(предполагается, что / (х, у) при постоянном х ограничена сверху) полу-
полунепрерывна снизу не имеет никакого аналога в случае бэровских функ-
функций / высших классов. Если / (х, у) есть бэровская функция расширен-
расширенного пространства (A, Y), а А есть множество S (S = метрически абсо-
абсолютному суслинскому множеству) со счетной базой, то g (x) оказывается
функцией класса (S, S), так как очевидно, что множество [g > с] есть
проекция множества [/ > с] в пространство А, следовательно есть суслин-
ское множество; таково же и [g>c] = ?> \g > с . Множества [g<c],
[g ^ с] суть дополнения А — S. Если, в частности, ,А есть эвклидовское
пространство, а / (х, у) принадлежит первому классу, то g (x) принадле-
принадлежит классу (Fo, *), следовательно, есть функция второго класса. Действи-
Действительно, тут проекция Fa есть также Fa.
Поучительно рассмотреть еще некоторые множества сходимости.
Предположим, что X действительно, а у положительно; пусть функция
/ (х, у), определенная в верхней полуплоскости, непрерывна по х при
постоянном у. Заставим точку (х, у) верхней полуплоскости стремиться
к некоторой точке (I, 0) оси х; множество чисел ? или, что то же,
точек (|, 0), для которых существует lim / (x, у), имеет ту или иную
природу в зависимости от того, каким способом
(х, y)->(f, 0). C
Приближение по прямой. В случае стремления по прямой,
параллельной оси у-ов, когда, следовательно, речь идет о lim / (f, у),
у-—0
как мы уже знаем, С есть FaS. To же самое имеет место и при прибли-
приближении по данной прямой
х-?=»/у, D)
составляющей с осью у-ов угол а (—-д- < а< -^» t = *ёа)> иб° ТУТ
дело сводится к вопросу о предельном значении
fy, y)=?(?, 0. E)
х) О производных числах смотри Валле-Пуссен, Курс анализа бесконечно
малых, т. I, стр. 103.
МНОЖЕСТВА СХОДИМОСТИ 265
т. е. о пределе функции непрерывной по ? при постоянных у н /, »
множество С (t) тех чисел ?, для которых этот предел существует,
есть Fad- Так обстоит дело при приближении в данном направлении.
(Зумма C* — <&C(f) есть множество тех точек, в которых сходимость
имеет место при приближении хотя бы в одном направлении. С* есть
суслинское множество. Действительно, / (? + ty. У) пРи постоянном у
есть непрерывная функция переменных ?, /; множество Г тех точек (?, /),
в которых существует этот предел E), есть FaS в плоскости gt и С*
есть проекция Г на ось ?.
Пересечение С# = ©С(<) есть множество точек, в которых сходимость
имеет место при приближении в любом направлении (причем, однако,
предельное значение E) может зависеть от «аправления /). С# есть до-
дополнение суслинского множества, а именно: дополнение проекции на.
ось | множества /?2 — Г, где Г есть выше определенное множество, а
/?2 — плоскость it.
При приближении внутри данного угла
\X—S\<ty (<>0)
множество сходимости есть Faa, при приближении внутри хотя бы одного-
(достаточно малого) угла оно есть FaSa, при приближении внутри любого-
(сколь угодно большого) угла оно есть опять Fas, доказательство этих,
утверждений мы предоставляем читателю.
При совершенно произвольном приближении (-3) множество сходи-
сходимости есть Ов и притом, какова бы ни была функция / (х, у), которая,,
следовательно, может и не быть непрерывной по Х- В самом деле,
для сходимости необходимо н достаточно, чтобы для любого а > О'
точка (i, 0) имела в верхней полуплоскости окрестность U, для любых
двух точек которой
Множество G(a) тех точек (?, 0), которые нмеют такую окрестность
при фиксированном а, есть открытое множество на оси х, так как каждая
лежащая в U точка (??, 0) имеет такую же окрестность (Q U); поэтому
есть Gt. Это рассуждение по существу одинаково с тем,
©Gf—j
которое приводилось при доказательстве того, что множество точек
непрерывности любой функции есть Gg\ его следует также сравнить»
с примечанием на стр. 217.
Добавление
к теории линейных метрических пространств х)
Линейное пространство Е есть аддитивно записанная абелева группа,
т. е. множество, для элементов (точек) х, у которого определено сло-
сложение х + у коммутативное, ассоциативное и однозначно выполнимое в Е.
<]верх того, предполагается, что в Е определено умножение ах точки х
иа действительное число а, удовлетворяющее условиям:
ах + ау = а(х + у), 1х = х, Ох = О,
причем в последнем равенстве слева стоит число нуль, а справа—нулевая
точка пространства (т. е. нуль группы).
Точки ev e2, • • •, еп называется линейно независимыми, если
равенство s
?i«i +?««!+• • - + fn<?n = O
имеет место только при ^ = J2 = • • • = |п = 0- Точечное множество
пространства Е называется линейно независимым, если любая конечная
комбинация отличных одна от другой точек этого множества линейно
независима.
Непустое подмножество L линейного пространства Е называется
линейным в том случае, если вместе с точкой х ему принадлежат все
точки ах, а вместе с точками х и у — точка X + у. Пересечение любого
множества линейных подмножеств линейно; поэтому для каждого мно-
множества A Q Е существует минимальное линейное множество 2 А (пере-
(пересечение всех линейных множеств Я Е и ^ А); оно называется линейной
оболочкой Ax = L множества А и, очевидно, состоит из конечных
линейных комбинаций точек множества А, т. е. нз точек
^п==1, 2, • • • ; Jft — действительное число; аъ ? А). Если при этом
множество А линейно независимо и, следовательно, вышеприведенное
представление точек х ? L определенно однозначно, А называется бази-
базисом линейного множества L. Из каждого множества А (не содержащего
нулевой точки) можно выделить линейно независимое подмножество В,
х) Список литературы, цитированный в этом добавлении, приложен в конце
«го, после общего списка источников. Арабские цифры, стоящие в скобках при
указании какого-нибудь автора, отвосятся к номеру в этом списке.
ДОБАВЛЕНИЕ 267
имеющее ту же линейную оболочку L, что и А, т. е. базис L; для
этого нужно только вполне упорядочить А и удалить ив этого вполне
упорядоченного множества каждый элемент, принадлежащий к линейной
оболочке множества предшествующих ему элементов.
Линейное пространство Е есть метрическое линейное пространство,
если каждой точке х поставлено в соответствие действительное число | х |—
норма точки х, удовлетворяющее условиям:
| 0 | = 0, | X | > 0 для х ф О,
расстояние точек х, у есть по определению |х — у\. В дальнейшем,
если нет особой оговорки, под словом пространство следует понимать
линейное метрическое пространство. Само собой разумеется, что такое
пространство есть метрическое пространство: аксиома I, § 21, п. 2
выполняется в силу однозначности сложения, а наличие аксиомы 3 дока-
доказывается так:
|х—у|-|(х —z)+(z —у)|<|х—z| + |z —у|.
Сходимость точечной последовательности
Хп -> х или lim Xn = х
определяется условием |Хд — х|-»0; сумма бесконечного ряда есть пре-
предел его частных сумм: «
Замыкание линейного множества L также есть линейное замкнутое
множество, потому что если оно содержит точки х = lim Хп, у = lim yn
(Хп, уп 6 L), то оно • содержит и х + у = lim (х„ + у„), а если оно
содержит X, то содержит и ах = lim ах„.
Пересечение любого множества замкнутых линейных множеств есть
замкнутое линейное множество; поэтому существует линейное замыкание
множества А, т. е. минимальное замкнутое линейное множество 2 А
Оно совпадает с замыканием L = Дя линейной оболочки L = Ах мно-
множества А; действительно, с одной стороны, каждое замкнутое линейное
множество ^ А в тоже время 2 L и потому ~Э L, с другой же стороны,
L само замкнуто и линейно. (Если, наоборот, построить вначале замы-
замыкание F = А, а потом построить его линейную оболочку Fx, то можно
только утверждать, что Fx Я L, так как линейная оболочка замкнутого
множества может быть и незамкнутой.) Если множество А линейно не-
независимо, оно называется основным множеством своей замкнутой линейной
оболочки L; так же как выше, из каждого множества А можно выде-
выделить линейно независимое подмножество В, имеющее ту же линейную
оболочку L, что и А; это множество В будет базисом для L и основ-
основным множеством L. Если пространство Е имеет счетную базу, т. е.
если в нем существует счетное всюду плотное множество А [Е = А = Ля),
268 ДОБАВЛЕНИЕ
то оно имеет конечное или счетное основное множество Q А, но может
не иметь ни конечного, ни счетного базиса. Пространство называется
П-мерным, если оно имеет конечное основное множество, состоящее из п
точек.
Обратно, пространство, имеющее не более чем счетное основное
множество, есть пространство со счетной базой. В самом деле, конечно-
конечномерное пространство имеет счетную базу, так как, если
то точки с рациональными ? ь всюду плотны в Е—это следует из нера-
неравенства
п I п
|
если теперь Е имеет основное множество {аъ az,...}, L есть его
линейная оболочка, а Ln — линейная оболочка множества {а1г..., ап],
то множества Ln, L= QLn и Е = L имеют счетные базы.
Примеры. Ограничимся следующими примерами, на которых факты
общей теории выясняются в достаточной мере. Последовательности дей-
действительных чисел
образуют линейное (не метрическое) прбстранство, если по определению
принять, что X==y равносильно ?х = r]v ?i=y&..'
ах = (ofj, aiа,...), X + у = (ft + Пи h + Ъ, • ¦ О-
Точки efe = @, 0,..., 0,lfe, 0,...), имеющие одну только единицу
(на месте номера к) и нули на всех других местах, называются единич-
единичными точками. При любом числе р>1 те точки X, для которых ряд
2|?ь|Р сходится, образуют, если принять за норму
метрическое линейное пространство Нр. Надо только доказать нера-
неравенство I х +у | < | х | + I у |.
В самом деле, для положительных чисел х, I по формуле Тейлора,
имеем:
откуда, отбрасывая неотрицательный остаточный член, получаем:
>x + />(? —х) = />? —(р
ДОВАВЛЕНИЕ 269
откуда, заменяя ? и X на » , ¦ * (где у, т) положительны),
Г
х
п 1
I ,
Р $ + т, ^
Если здесь поменять местами | и »?, X и у и полученное неравенство
прибавить к первоначальному, получим:
Хр_1-Г уР_!> (х+у)Р-1 • ¦
Подставляя сюда ?fe, 7/fe (Л = 1, 2, • • • , п) и полагая хР «= 2 I?»
У5 == 2 Я^ > суммируя по Л, получаем после некоторых преобразований:
Это справедливо при положительных и, само собой, при неотрица-
неотрицательных ?к, г\к, при произвольных ?ft, 7/fe имеем:
f+<s i «h if > (s i ft+«л pf;
наконец, при k -*<x> предельным переходом получаем при
У = (»?!, %,•••
При p = 2 мы получаем хорошо нам известное гилъбертовское про-
пространство Нг (которое раньше мы обозначали через /?°°). Единичные
точки Нр образуют основное множество Нр, и мы имеем:
Далее, ограниченные числовые последовательности с нормой, опре-
определенной как
образуют линейное метрическое пространство Я°°, не имеющее счетного
всюду плотного множества (точки, для которых все Jft = + 1, находятся
на расстоянии, равном двум, одна от другой и образуют множество
мощности Ц); следовательно, Н°° не может иметь счетного основного
множества. Наоборот, при том же определении нормы, последовательности,
для которых ?fc-»0, образуют подпространство пространства Н°°, в кото-
котором точки ?fc представляют основное множество, и мы снова имеем
270 ДОБАВЛЕНИЕ
X = V ck ?k • Наконец множество функций, определенных и непрерывных
на / =[0,1], если в нем ввести норму
|х|= max |x@|. [х = х@1
tei
есть линейное пространство со счетным всюду плотным в нем множеством
(хотя бы полиномов с рациональными коэфициентами); это пространство,
очевидно, совпадает с пространством С (§ 21, п. 2, пример 3). С есть
линейное подпространство объемлющего его линейного метрического
пространства без счетной базы, точками которого являются произвольные
ограниченные на / = [0,1] функции с нормой
|х| = sup |x@|.
tei
§2
Пусть Ех (= Е) и Еу суть два линейных метрических пространства,
каждое из которых содержит более одной точки. Пусть соответствие
где s есть символ, обозначающий х) функцию, относит каждой точке
X ? Ех однозначно определенную точку у ? Еу — образ точки х, причем
SEX = Ly Я Еу
есть образ всего пространства Ех', мы будем говорить, что имеем отобра-
отображение Ех на Ly или же Ех в пространство Еу (последнее есть сокра-
сокращенное выражение того, что Ех отображается на часть Еу). Отобра-
Отображение называется линейным, если
s(ax) = a-sx, s(Xj -f x2) = sxt + sx2,
где, само собой разумеется, слева стоят линейные операции в Ех, а
справа — в Еу. В этом случае Ly есть линейное подпространство про-
пространства Еу. Образ точки х = 0 (и, может быть, других точек) есть
точка у = 0. Отображение непрерывно, если при Хп~»х (т. е. при
|хл — X| —¦ 0 в метрике пространства Ех), мы имеем sXn->sx, или, иначе,
уп -* у (т. е. \уп — у | -» 0 в метрике пространства Еу).
I. Линейное отображение у = sx непрерывно тогда и только тогда,
когда оно ограничено (сверху), т. е. когда для каждой точки х имеет
место неравенство
|sx|<M|x|, A)
где М — константа, не зависящая от х.
1) Скобки мы опускаем умышленно. В некоторых случаях можно рассматри-
рассматривать sx как произведение матриц.
ДОБАВЛЕНИЕ 271
Действительно, из A) вытекает \sx'— sx|</.M|x— х'|, т. е. непре-
непрерывность (и притом равномерная) отображения sx. Наоборот, если A).
не имеет места, существует последовательность точек Хп такая, что
| sxn | > п | Хп |, ХпфО, и в силу однородности нормы хп может быть,
заменена точкой апхп, где ап любое число, ие равное нулю; поэтому
можно принять, что \хп\ — ~—, а тогда лп-»0, |&*„|>1, т. е. ото-
отображение не непрерывно в точке 0 (так как должно быть s(o) = (o).
Очевидно, что линейная функция sx, непрерывная в одной точке,,
непрерывна всюду. ,'
Если линейная функция sx—первого бэровского класса, т. е. предел
сходящейся последовательности непрерывных (не обязательно линейных)
функций, и если пространство Ех — второй категории относительно-
самого себя 1), то sx — непрерывна. Ибо множество точек разрыва функций
sx — первой категории в Exz), а потому оно есть правильная часть Ех,
т. е. sx имеет точки непрерывности и, следовательно, всюду непре-
непрерывна.
Непрерывная линейная функция sx вполне определена, если известны
образы sa точек а какого-нибудь основного множества А пространства.
Ех. Функцию sa (sa — точка пространства ?„), определенную на мно-
множестве AQE (может быть, и не линейном), мы будем называть'ли-
называть'линейной, если ее можно продолжить в функцию, линейную на L = Ах.
Для этого необходимо и достаточно, чтобы каждое линейное соотно-
соотношение между точками А
п
2 4 ak = О (а* ? А)
имело место и для их образов:
Необходимость очевидна, а достаточность следует из того, что при-.
sx = 2 h • sak
i
есть одноаначная, очевидно, линейная функция от Хх? L. Мы назовем
первоначальную (определенную на А) функцию непрерывной линейной
функцией, если ее можно продолжить в непрерывную линейную функцию,
определенную на L, т. е. если мы имеем:
(недостаточно требовать выполнение этого неравенства только на Л),.
1) См. стр. 163.
2) С. К u r a t о w с к i, [8] стр. 80.
'272
ДОБАВЛЕНИЕ
"Оба условия могут быть соединены в одно следующее: для каждой
конечной комбинации точек А должно быть:
n
2
Если пространство Еу полно 1), то функцию sx можно продолжить ие
только на множество L, но и на L. Ибо если хп-*х (х„ ? L), то по
неравенству | sXn — SXm \ <; М \ Хп — хт | точки sxn образуют фундамен-
фундаментальную последовательность; если определить sx = lim SXn, то, как не-
нетрудно видеть, sx однозначно зависит от х и есть линейная на L функция,
причем | sx | < М | X |.
Это продолжение sx с множества А на L (а также на L) возможно
¦единственным образом.
В случае если линейное (необязательно непрерывное) отображение
y = sx пространства Ех на Ly взаимно однозначно, обратное отобра-
отображение Lv на Ех
1
также линейно. Для непрерывности этого отображения необходимо н
достаточно, чтобы существовало такое число т, что
«ли, что то же,
|sx|>m|x|
B)
В этом случае мы скажем, что у = sx ограничено снизу. Обратно, из
<2) следует, что у = SX — взаимно однозначное отображение (так как
Зх = 0 только при х = 0) и что обратное отображение — непрерывно.
Если линейное отображение у = sx непрерывно, взаимно однозначно
и если обратное отображение также непрерывно, мы скажем, что Е« и
Ly линейно гомеоморфны.
Линейное пространство, линейно гомеоморфное полному про-
пространству, полно 2). Действительно, каждой фундаментальной последо-
последовательности уп в Ly соответствует в силу B) фундаментальная после-
последовательность Хп в Ех; если Ех полно, то Хп-»х, а потому в
силу A) уп-*у.
Любое п-мерное линейное метрическое пространство линейно гомео-
морфно п-мерному эвклидовскому пространству.
Действительно, пусть (еъ е9, • • •, ел) есть базис Еу\ ставя в соот-
соответствие точке у = Ij^ + f2ea + • • • •+• fnen точку эвклидовского про-
пространства х = (fь 1а, • • •, fn), имеющую координаты ?lf |2, • • •, fn
и; следовательно, норму |х| =
?? + •••'+?»)*» мы получаем
г) См. стр. 142.
*) Более того, всякое линейное пространство, гомеоморфвое (может быть,
и не линейно) полному (не обязательно линейному) пространству,—также есть
полное пространство.
ДОВАВЛЕНИБ 273
взаимно однозначное линейное отображение Еу на Ех, причем
откуда вытекает, что у есть непрерывная функция от х. С другой сто-
стороны, сфера |х| = 1 компактна, а потому компактен и ее образ К',
следовательно, расстояния от точки у = 0 до точек К имеют положи-
положительный минимум, т. е. при |х| = 1 имеем |у]>т>0, а тогда вообще
| у | > т | х | и х есть непрерывная функция от у.
Предположим снова, что у = SX есть непрерывное линейное отобра-
отображение Ех в Еу. Мы скажем, что число М ограничивает отображение
y = sx, если имеет место неравенство A). Рассмотрим всевозможные
числа М, ограничивающие отображение y = sx; наименьшее из этих
чисел будем называть нормой отображения S и обозначать через |s|:
I sx I
|s| = sup -\-~ или |s| = sup \sx\.
|Я|фО|Х| |X|=1
Всевозможные непрерывные линейные отображения данного про-
пространства Ех в данное пространство Еу, если их метризовать, введя
норму | s |, сами образуют линейное метрическое пространство Et.
Само собой понятно, что при этом равенство s = Si определяется тем,
что sx = sxx для любого X ? Ех, а линейные операции as, St + s2 no
формулам
(as) X = а • sx, (Sj + s2) x = Sxx + S,x.
Легко видеть, что | s | обладает всеми свойствами нормы, так как, например,
а следовательно, |Sj + S2K \St \ + \s2\. Нулевая точка s=0 про-
пространства Ея есть отображение 0 = sx всего пространства Ех в нулевую
точку у = 0 пространства Еу.
II. Если пространство Еу полно, то полно и пространство Et
(полнота Ех не предполагается).
В самом деле, если sn есть фундаментальная последовательность, т. е.
если при т < л
! >
где ет-*0 при т^°°, то для любого х
— smx|<em|x|;
следовательно, точки snx образуют фундаментальную последовательность;
положим sx = lim SnX; это также есть линейное отображение Ех в Ev.
Из последнего неравенства, заставляя л-*со, получаем
|sx —Smx|<em|x|,
а потому s—sm и «непрерывны; наконец, \3 — sm|^em; следовательно,
ХЗусдорф. Теория множеств. 18.
274 ДОБАВЛЕНИЕ
В том частном случае, когда Еу есть арифметический континуум, мы
имеем действительные линейные непрерывные функции от х ? Ех,
которые мы называем также линейными функционалами или линейными
формами; как правило, мы их будем обозначать через их. Они обра-
образуют, если принять за норму
!;u|= sup i^J = sup [ux\
хфо [xl 1*1 = 1
нолное (в силу полноты арифметического континуума) линейное метри-
метрическое пространство Ей, так называемое сопряженное к Ех пространство.
Если
у = sx — непрерывное линейное отображение Ех в Еу,
z = ty— непрерывное линейное отображение Еу в Et,
то, повторяя их одно за другим, получаем непрерывное линейное ото-
отображение Ек в Et, Z = t (sx), которое мы будем записывать также
г — (ts) х — гх
или, короче, Г = ts (порядок сущее гвенен; символ st, вообще говоря, лишен
смысла). При этом
|feK|f||s|.
Подобным же образом можно повторять одно за другим и несколько
отображений, причем имеет место ассоциативный закон SgfoSx) —
Если, например, Ег есть пространство действительных чисел, то при
помощи непрерывного линейного отображения у = sx пространства Ек
в Еу мы получаем из каждой линейной формы vy, определенной на Еу,
линейную форму
vy = v (sx) = (vs) х = их,
определенную на Ех, т. е., другими словами, существует отображение
a =vs
сопряженного к Еу пространства ?„ на часть Lu = Evs пространства
Еи, сопряженного Ёх; это отображение линейно и непрерывно, так как
| и j ^ | v | | S |. Отображение u = vs называется сопряженным к у — SX
отображением. Его норма
||s||= sup Ji^
во всяком случае <|s|, но может быть равна |s|.
Если при вышеупомянутом повторении отображений третье про-
пространство Е% и первое пространство Ех тождественны, т. е. если
у = sx есть непрерывное линейное отображение Ех в Еу,
х'= ty есть непрерывное линейное отображение Еу в Ех,
ДОБАВЛЕНИЕ 276
то ts представляет собой непрерывное линейное отображение
х' = ty = t(sx)=(ts)x
пространства Ех самого в себя, a St—непрерывное линейное отобра-
отображение
пространства Еу самого в себя. Если при первом отображении имеем
х' = X, т. е. если ts = 1Я есть тождественное отображение Ех самого
иа себя, то t мы будем называть левым обращением s, a s — правым
обращением f; точно так же, в случае если st—ly, t есть правое обра-
обращение s, S есть левое обращение t. Существование левого обращения t
отображения s равносильно тому, что для отображения у = sx суще-
существует обратное непрерывное лннейное отображение х = sy множества Ly
на Ех, которое можно продолжить в непрерывное лннейное отображение
х=гу всего пространства Еу на Ех х). Существование правого обраще-
обращения t отображения S равносильно тому, что существует линейное под-
подмножество Lm пространства Ех, которое при помощи у = sx взаимно
однозначно и непрерывно отображается на все пространство Еу. Может
случиться, что s имеет левое обращение, но не имеет правого; так, на-
например, обстоит дело, если у = sx есть линейная гомеоморфия между
гильбертовским пространством и правильной частью этого последнего
(Ех = Еу = Н\ LyCzEy). Если s имеет и левое обращение t (ts—lx)
и правое f (st' = lv), то они совпадают между собой, так как по ассо-
ассоциативному закону
в этом случае говорят что, t = t' есть просто обращение в.Ддя существо-
существования обращения необходимо и достаточно, чтобы отображения у = SX
(и обратное ему х = ty) осуществляли линейную гомеоморфию между
Ех и Еу.
Если, сверх того, пространства ЕХ = ЕУ = Е тождественны, то, по-
повторяя (итерируя) отображение s пространства Е в самого себя, можно
построить степени этого отображения ss = S2 и т. я. Если при этом
имеют место равенства st = ts =* 1 A — тождественное отображение Е
самого на себя), то s, t суть обращения одного в другое и мы имеем
линейное гомеоморфное отображение Е самого на себя. Если Е, а значит,
в силу II и Es полны и если |s|<l, то по неравенству |s"|-<[s|n ряд
t = 1 + S + S2 + . . . сходится и представляет обращение отображения
1 — s (т. е. у = X — sx).
*) Это продолжение всегда возможно, если Еу есть гильбертовское простран-
пространство, a Ly — замкнутое.в нем множество, ибо тогда существует (Е. Schmidt, [13])
непрерывное линейное отображение (ортогональная проекция) у0 = ру простран-
пространства. Еу на Ly, при котором каждая точка Ly переходит сама в себя, и отобра-
отображение х = sy продолжается с Ly на все Еу при помощи функции х = 'spy. От-
Отсюда следует теорема О. Toeplitz'a (см. [15]) об обращенвях.
18*
276 ДОБАВЛЕНИЕ
§ 3
Пусть F есть лииейиое множество линейного пространства Е, отлич-
отличное как от Е, так и от нулевой точки. Мы будем писать
x'=x(modF),
если х' — x?F, и распределим с помощью этого рефлексивного, сим-
симметрического, транзитивного отношения точки Е на классы по модулю F
(короче — modF). Класс, к которому принадлежит точка X,
I = кх
состоит из точек X + х0 (X — фиксированная точка, х0 пробегает F) и,
по понятным мотивам, может быть назван проходящим через точку х
параллельным F пространством. Так как .сравнения по модулю F
можно складывать и умножать на действительное число, то классы по
модулю F, если принять по определению, что
а-кх=*к{ах), кх+ку = к{х + у)
образуют линейное пространство Е{ = -р-,так называемое дополнитель-
дополнительное пространство пространства Е по F х). „Нулевая точка" этого про-
пространства, т. е. класс 1=0, есть само подпространство F.
Если Е — метрическое пространство и F замкнуто, то пространство
Et = -p- можно метризовать, полагая
inf |x — Xo| = inf|x|,
xoeF xet
ибо в силу замкнутости F, ||| = 0 имеет место только при 1 = 0,
остальные же аксиомы, которым должна удовлетворять норма, про-
проверяются без труда. 11 — r\ | есть нижняя грань расстояний произволь-
произвольной точки х?? от пространства г\ или „иначе — расстояние про-
пространств ?, г\. Соответствие ? = кх есть непрерывное линейное отобра-
отображение пространства ЕХ = Е нач Е$, имеющее норму |А| = 1, так как,
с одной стороны, |?|<|х|, а с другой стороны, выбирая подходящим
образом x?f, можно подвести |х| сколько угодно близко к |||.
В тривиальных случаях F = {0} и F = E, пространство -я- совпа-
совпадает соответственно с Е и точкой 0.
III. При отображении ? = кх каждое открытое в Ех множество Gx
имеет своим образом открытое в Е$ множество Gj, ибо, если х0 ? Gx и
если все точки х, для которых JX — xo\<q, входят в Gx, to, предполагая,
что |0 = kXf, и 11 — f01 < q, мы можем выбрать х ? f • так, чтобы
1* — Xol<6i а тогда x?Gx и, следовательно, кх — ? ? Gj.
х) Так как пространство Е записывается нами как аддитивная группа, то
последовательнее было бы записывать ?f как разность Е — F, но это привело
бы к смешению с теоретико-множественным понятием разности.
ДОБАВЛЕНИЕ 277
IV. Если Е есть полное пространство, то дополнительное про-
странство -$- также полно, каково бы. ни было F.
В самом деле, если нам заданы ?, г\ и х ? f, то можно найти у ? г\
так, чтобы |х — у[<;2|? — г\\. Предположим сначала, что fn — такая
фундаментальная последовательность в Ее, что 2 | fn—?n+i | есть схо-
сходящийся ряд; мы можем, начиная с произвольной точки Xj ? ?х последо-
последовательно выбрать точки Х2?|2> хз6^з> • • • так> чт0Eы |х„ — х„+1К;
•<^2jfn— ?n+i\- Точки хп образуют фундаментальную последователь-
последовательность, а потому хп -*• X, а следовательно, ftxn -*• кх, fn -»¦ f. В об-
общем случае нз последовательности fn можно выбрать подпоследова-
подпоследовательность ?р, обладающую вышеуказанным свойством, и тогда fp -* f,
а значит, »?„-¦?.
Заметим по этому поводу следующее: согласно одной теореме,
доказанной В. Серпинским [14] для подмножеств эвклидовского про-
пространства, но справедливой в гораздо более общих предполо-
предположениях, непрерывное отображение метрического пространства Е на
метрическое пространство Е'', при котором •• образы открытых
в Е множеств открыты в Е', переводит топологически полное
пространство Е (т. е. пространство, гомеоморфное полному) в про-
пространство' Е', также топологически полное. В силу этой теоремы,
конечно, гораздо более глубокой, чем доказанная теорема IV, эта послед-
последняя есть следствие III, так как (см. примечание на стр. 272) линейное
топологически полное пространство полно.
Предположим, что у = sx есть непрерывное линейное отображение
Ех на Ly, a Fx — линейное замкнутое множество таких точек х0, кото-
которые отображаются в нулевую точку у = 0 (sXq= 0); в этом случае
каждая точка y?Ly имеет своим прообразом класс по модулю Fx, по-
потому что y = sx = sx' влечет за собой s(x'—х) = 0, х'—x?Fx,-
х' = X (mod Fx), и обратно. Вследствие этого мы имеем взаимно одно-
однозначное линейное отображение
у = о?
Е
пространства Е$ — -р— на пространство Ly, непрерывное и с нормой
| а | = | s |; действительно, с одной стороны, для каждой точки х ? ? мы
имеем j у | = | sx К | s 11 х |, а потому | у | ^ | s | inf | X | = | s [ | ? | и, следо-
следовательно, | а\ <(s|; с другой стороны \у\ <;|<т| |f |^ \а \\ х\ и |s|<;|ff|.
Отображение Ly на Ее, f — ay, обратное только что построенному,
может быть непрерывным или нет, и для краткости мы будем го-
говорить, что в первом случае отображение у = sx непрерывно обратимо,
хотя, конечно, при этом само у = SX может и не иметь непрерыв-
непрерывного обратного отображения. Для того чтобы у = sx было непре-
непрерывно обратимо, необходимо и достаточно существование такой кон-
константы N, что каждая точка y^Ly имеет хотя бы один прообраз
x(y = sx), для которого \x\^.N\y\. В самом деле, во-первых, из
непрерывности f = ay следует | f j ^ а \ ] у |, и если выбрать X ? ? так,
что |х|<!2|||, то (х|<;21 а||у|; во-вторых, из существования кон-
константы N следует lf|^N|y|. Далее, имеем:
278 ДОВАВЛЕНИЕ
V. Непрерывное линейное отображение y—sx пространства Ех на
Ly непрерывно обратимо тогда и только тогда, когда каждое откры-
открытое в Ех множество имеет своим образом множество, открытое в Lv.
Действительно, пусть Gx Q Ех отображается посредством ? = кх на
G{, а это последнее посредством у = <т? взаимно однозначно отобра-
отображается на Gy\ тогда при помощи составного отображения у = акх = sx
Gx отображается на Gv. Если Gx открыто в Ех, то Gj открыто в Е$, и
наоборот, каждое G$, открытое в Ег, имеет по непрерывности отобра-
отображения I = кх открытый прообраз Gx, т. е. Gf есть образ открытого
множества Gx. Для того чтобы Е$ и Ly были линейно гомеоморфны,
необходимо и достаточно, чтобы открытому G( соответствовало открытое
Gy, и наоборот.
VI. (Первая основная теорема.) Пусть y = sx непрерывное отобра-
отображение полного пространства Ех на Ly. Смотря по тому будет ли
это отображение непрерывно обратимо или нет, пространство Ly бу-
будет полным или первой категории в себе г).
Прежде всего докажем лемму.
Если y = sx есть непрерывное линейное отображение полного про-
пространства Ех на Ly и если образ sU сферы U(\x\<l) содержит
множество В, плотное в сфере V(\у\<\), то sU содержит всю
сферу V и отображение непрерывно обратимо.
Рассмотрим произвольную точку y?Ly, для которой |у]< 1; выбе-
рем положительные числа Хп так, чтобы |у|<Д1<1 и 2Ап
Тогда мы можем выбрать точки Ьп?В так, чтобы для точки уп =
— ^А + . . . + КЬп мы имели | у — уп \ < Лп+1 (л =* 1, 2, . . . ). Дей-
Действительно, так как \-j- < 1, существует Ь1г для которого -? bt <
<~Г~> а значит, \у — X1b1\<Xi. Если мы уже имеем при л>2
у у 1
IУ — Уп—11 < Я„, то, так как . п~ < 1, существует Ьп, для кото-
рого Z" — bn < -^-, а значит, | у — уп | < А„+1. Точки bn= san
| | 1I
суть образы точек ап, | ап | < 1; ряд I
со
х = 2 Апа„
сходится в полном пространстве ?ж и имеет своей суммой точку х,
|х| <А< 1, а потому
со
sx = 2 An6n=limyn = у
есть образ точки x?U. Это и есть первое из утверждений леммы; его
можно перефразировать следующим образом: каждая точка у (у ?Ly), для
J) Как теорема, так и доказательство в основном принадлежат Schauder'y [11].
ДОБАВЛЕНИЕ 279
которой |у|<1, имеет прообраз x{sx = y), для которого |х|<1. Но
тогда каждое .уфО имеет прообраз х, для которого |х|<2|у| (ибо
У — 2 |Уу ! с нормой | у' | = —, имеет прообраз х'=* 2 * у с нормой
]х'| < 1), а значит, отображение непрерывно обратимо.
Если теперь у = sx есть иепрерывиое лииейное отображение полного
пространства Ек иа Ly, причем Lv—второй категории в себе самом,
то не может случиться, чтобы образы всех сфер |х| <л (л = 1, 2, . . . )
были нигде неплотны в Ly; существует сфера Uo (| X j < g0), образ
которой Во не является нигде неплотным в Ly, так что Во содержит
хотя бы одну внутреннюю точку Ь, а значит, содержит сферу V(\y— b\ <
< a); SU0 содержит множество В = B0V, плотное в V. Если а есть
один из прообразов b = sa, то образ сферы U(\x—а\ < |а|+ Рв = в)>
содержащей сферу С/о, имеет плотное в У подмножество В.
Положим
тогда
образ сферы | х' | < 1 при отображении у' = — sx' содержит множе-
а
ство, плотное в сфере |у'(.<1, а значит, и всю эту сферу; у' =-?-$х',
а потому и первоначальное отображение y = sx непрерывно обратимо.
Таким образом, если Ек полно, то допущение, что Ly есть мно-
множество второй категории в себе самом, имеет следствием непрерывную
обратимость отображения y = sx, а из непрерывной обратимости еле-"
дует, что Lv лииейио гомеоморфио пространству ——-, которое полно по
гх
IV и потому Ly полно. Этим доказана теорема VI *).
Пример. Если 1 ^р <q, то из сходимости ряда 2 I ?fc Г следует
сходимость 2 I ?k \q и притом
Положим EX = HV, Еу=Н9(си. § 1, стр. 263); если мы отнесем точке
X =*= 2&А 6 Нр точку у = 2 Wk 6 ^> f* = Ч* (Л = 1» 2, . . . )> полу-
получим линейное взаимно однозначное отображение у = sx пространства Еж
на подпространство LycEy, состоящее из тех точек Еу, для которых
сходится ряд 21%|Р- Обратное отображение — разрывно, так как если
х = 2 ek, т° | х | = л * , | у | = л'' , а следовательно, 1~г = п* *
1) Полное аространство второй категории в себе самом, см. стр. 162, VIII.
280 ДОБАВЛЕНИЕ /
может быть сделано сколько угодно большим. Так как Ех полно,
то Ly — первой категории в себе самом, что на этот раз устанавли-
устанавливается без труда и непосредственно, ибо Lu есть сумма замкнутых, нигде
не плотных множеств Fn, являющихся образами сфер | х | < п
(л-1, 2, ...)•
По теореме VI непрерывный линейный образ полного пространства
или есть полное множество, или множество первой категории в себе
самом. Присоединим к этому еще несколько замечаний о категории ли-
линейных пространств.
Правильная линейная часть L линейного пространства Е имеет до-
дополнение, плотное в Е. Ибо если x?L, b?E — L, то точки х-\ Ь,
принадлежащие Е — L, стремятся при п-*оо к точке х; следова-
следовательно,
E — L 2 L, E — L = E.
Линейное пространство, имеющее конечный базис, полно (ибо оно
линейно гомеоморфно эвклидовскому пространству).
Существуют линейные пространства неполные, но второй катего-
категории в себе самих.
В самом деле, рассмотрим какое-нибудь бескоиечно мерное простран-
пространство Е второй категории в себе самом, например одно из Нр. Оно
имеет несчетный базис, который мы можем записать, выделяя в нем счет-
счетное подмножество, в виде A — A0-\-{alt аг, ...'}. Обозначим через
Еп {п = 1, 2, . . . ) линейную оболочку Ап = Ао + {ах, а2> . • . , ап}.
Мы имеем ЕхаЕ2с . . . , Е = ®Еп. Хотя бы одно из Еп (и, следова-
следовательно, все следующие за ним) — второй категории в Е, а значит, и
в себе самом; Еп не полно, так как в противном случае оно было бы
замкнуто в Е, а тогда, в силу того, что Е — Еп плотно в Е, оно было
бы нигде не плотно в Е.
Всякое линейное пространство бесконечной размеренности может
быть рассматриваемо как взаимно однозначный непрерывный линейный
образ линейного пространства первой категории.
Положим, что рассматриваемое нами пространство Еу имеет базис,
состоящий из точек bt (индекс t пробегает бесконечное множество Т),
относительно которых мы можем принять, что |ftt| = 1; каждая точка у
может быть единственным образом представлена в виде
причем только конечное число |f ф 0 и ft суть линейные (вообще го-
говоря, не непрерывные) функции у; мы имеем | у | <; 2 I $th | = 2 I& I-
Будем рассматривать 2 |?t 1 как новую норму или, иначе говоря, поста-
поставим в соответствие точке у точку
х =
принадлежащую новому пространству Ех и имеющую норму |x( = 2lf«|
(в частности, точкам bt соответствуют точки at, образующие базис про-
ДОБАВЛЕНИЕ 281
странства Ех). Так как |у|-^|х|, то у есть непрерывный взаимно од-
однозначный образ х. Пространство Ех — первой категории в себе. В самом
деле, обозначим через F& (нелинейное) множество тех х, которые имеют
не более чем к отличных от нуля координат ft; тогда F1cF2c: . . . м
Ex = @Ffc. Множество Ех—Fft плотно в Ех; действительно; если х есть
произвольная точка Ех, а х' — точка, имеющая 2к+1 отличных от нуля
координат, то точки x^ х' (/1 = 1, 2, . . . ), сходящиеся к точке х,
все, за исключением, может быть, одной, принадлежат к дополнению Fk
(так как в противном случае разность двух таких точек, а значит, и х'
принадлежала бы F2h)- С другой стороны, Fh полно (следовательно,
замкнуто и нигде не плотно в Ех, чем и доказывается наше утверждение).
В самом деле, пусть х„ есть фундаментальная последовательность в F&.
Так как ||t|^|x|, при любом t координаты |nt точек Хп образуют
фундаментальную последовательность; поэтому lim |nt = |t и из этих
п
чисел |t не более чем к, отличных от нуля, так как в противном случай
при достаточно большом п мы бы имели более чем к отличных от
нуля |nt; точка х = 2 ftat принадлежит Fx. Если теперь перенумеровать
натуральными числами счетное (или конечное) множество, тех t, для ко-
которых или |j, или одно из |ni + 0, то мы получим для т <п следующее
неравенство, в которое входит сумма, кажущаяся бесконечной, а на самом
деле конечная:
оо
I хп — Хт | '*= ^j\Snt — fmt I <C em
(em ->• 0 при т->оо); следовательно,
i
2 I ?»» — f»»l I ^ ?m,
t=l
отсюда при п->схэ получаем
i
а при Z -> oo "*^
00
|X —Xm| = 2l^~^tKem'
т. е. Хщ-> x. Другое доказательство того, что Ех — первой категории,
протекает так: запишем базис Ех снова в виде Ао + {fli, ctt, • • • }
и обозначим через Еп линейную оболочку Д, +{0ц . . • , fln}; En
есть множество точек, в которых обращаются в нуль непрерывные
функции In+i, ln+2, ¦ • . , и, следовательно, замкнуто и нигде не
плотно в Ех-
VII. (Теорема ограниченности.) Пусть дано множество непрерывных
линейных отображений полного пространства Ех в пространство
Ev : yt = Stx (где индекс t пробегает любое множество Т). Если
для любой точки х образы ее Stx образуют ограниченное множе-
282 ДОБАВЛЕНИЕ
ство; \stx\^i<p(x), то нормы \st\ также образуют ограниченное
множество *).
Так как \st\ = sup|stx| при |х|= 1, то можно найти для каждого t
точку xt такую, что |xt|=l и |stxt\>-^|st\. Если бы \st\ не была
ограничена, можно было бы индуктивно построить последовательность
индексов t, которые мы для простоты будем обозначать целыми чи-
числами п, так что
~(р(хг)+ ... +-^=
00
1
Сходящийся ряд х = 2 — *п представляет точку пространства Ея.
Если положить
_1_
ш _ }_ , , 1_ уп
то мы имеем:
|Sf"n| < -f
в частности,
что стоит в противоречии с | S|X | <; <р (х).
§4
Линейные формы их в пространстве ?к и сопряженное к Ех про-
пространство этих линейных форм Еи были нами уже определены на стр. 274.
Примеры. В пространствах Нр (р> 1), а также в подпростран-
подпространстве пространства 7/00, состоящем из последовательностей, для которых
It -> 0, единичные точки efc образуют основное множество, так что
каждая точка X представляется в виде х=2 ?ьеь и всякая линейная форма
шх вполне определяется значениями ае^ = а^:
ах — 2 «*?*•
}) Эта теорема была доказана многими учеными, некоторыми и более частвых
предположениях, см. например, Toeplitz [16]; Hellv [6] (стр. 268); Banach [1]
(стр. 161); Hahn [4] (стр. 6).
ДОБАВЛЕНИЕ 283
Для сходимости этого ряда в каждой точке х пространства Ек необхо-
необходимым и достаточным условием является:
(а). В случае если Ех = Нр (р> 1), — сходимость ряда 2 \ah\q, где
q определяется из уравнения —--) = 1. Норма линейной формы
равна | а | = B | «ь Iе)q > так как» с одной стороны, по неравенству
Holder'a имеем |ах|-^ )а||х|, а с другой стороны, знак равенства
имеет место, если |fe = | аь |р sga^. Таким образом пространство, сопряжен-
сопряженное к Нр, есть Я9, а сопряженное к Я8 снова есть Яр. Гильбертовское
пространство Я2 сопряжено само себе.
(/3). В случае Ех= Н г — ограниченность а^; норма а есть |fl| =
= sup |ak\; пространство сопряженное к Я1 есть Я°°.
(у). В случае когда Ех есть пространство последовательностей, для
которых It->• 0, — сходимость |a| = 2laftl; сопряженное пространство
есть Я1.
В пространстве Ек = Н°° е*. не образуют основного множества и
ак = авь (нормы которых, как и выше, должны составлять сходящийся
ряд 2 laft|) не определяют линейную форму ах. Так, например, по
теореме продолжения, которая сейчас будет приведена, существует ли-
линейная форма ах, которая для сходящихся последовательностей х (|fc->|)
принимает значение ах=? и, следовательно, заведомо не имеет
вида 2aft?fc-
VIII. (Георема продолжения *).) Линейная форма их, определенная
на линейном множестве L с Ех и ограниченная на нем числом
М (| их | ^ М | X J для любого х ? L), может быть продолжена в ли-
линейную форму, ограниченную тем же числом М и определенную на
всем пространстве Екг).
Выберем произвольную точку Xq в множестве Ех — L н продолжим
их вначале на линейную оболочку Lx множества L -(- х0. Если X, х' ? L,
мы имеем:
их— их'<М|х—х'|<М|х—х„Ц-М[х' —
их — М\х— х„Ких' +М\х' — хо|,
sup (их — М\х—xo|j<inf (ux+ M\x — хо\) =
Принимаем за ЫХ0 любое число сегмента [q, а]; тогда, если х ? L,
|ых— uxo|<Mlx — хо|.
Точки множества Ьг единственным образом представимы в виде у = х + Sх
фс ^ L, | — действительное число), и мы полагаем в этих точках
*) Н. Hahn [б] (стр. 217), St. Banach [2] (стр. 212).
2) Вообще говоря, это продолжение возможно многими способами.
284 ДОБАВЛЕНИЕ
При этом для у ? L цу есть линейная функция, для которой |uy|<!Af|y|,
ибо, отвлекаясь от тривиального случая 1=0, мы имеем в силу того,
что -j ? I:
Таким образом наша линейная форма может быть продолжена, без
изменения ограничивающего числа, с множества L иа L^L. Совершая
вполне упорядоченное множество продолжений, мы в конце концов опре-
определим ее на всем Ех.
Подчеркнем следующий частный случай:
VIIIo. Если L есть линейное замкнутое подмножество Ех, то суще-
существует линейная форма, равная нулю на L, но отличная от нуля
в наперед заданной точке х0 ? Ех — L. ,Для наперед заданной точки
Хо ф 0 существует линейная форма, отличная от нуля в точке х$,
и такая, что \ uXq | =» | ц | (Xj, |.
Действительно, если при доказательстве VIII мы предположим, что
их = 0 при X ? L, и выберем произвольное ограничивающее число М > 0,
то, обозначая через б расстояние точки х0 от L, й = inf [х— Хо[, мы
е
будем иметь q = — Мб, а = Мб. Мы можем выбрать их0 по произволу,
лишь бы | UXq | <[ Мд; например, положить их0 = Мб. Если теперь L = {0},
т. е. сводится к нулевой точке, то отсюда следует, что UXQ = M\xQ\, и
если мы продолжим их на все пространство так, чтобы М было огра-
ограничивающим числом, то М = | и |.
Линейные формы пространства и, которые мы будем обозначать,
подразумевая под х символ функциональной зависимости, через их, обра-
образуют сопряженное к Еи пространство Ev. Это пространство 2 Ех
в том смысле, что оно содержит подмножество, линейно изометричное Ех,
которое можно идентифицировать с Ех. А именно, при фиксированном
х0, их0 есть линейная форма от и, имеющая притом норму | Xq [, так как,
с одной стороны, | их01 <; [ и 11 Xq |, а с другой стороны, по VIII суще-
существует и0, для которой \иохо\ =|ыо||Хо|. Идентифицируя эту линейную
форму ых0 с точкой Xq, мы и получаем включение Ех Q Ev. В общем
случае мы не имеем равенства Ех = Ех (хотя бы потому, что сопряжен-
сопряженное пространство полно независимо от того, полно или нет ?х). Так,
например, пространство, сопряженное пространству тех последователь-
последовательностей Н°°, для которых ?ft—»0, есть Н1; это последнее имеет сопря-
сопряженным пространством Н°°, а пространство, сопряженное к //°°, содер-
содержит И1.
Пусть теперь Ех, Еу суть линейные пространства, Еи, Ev — сопря-
сопряженные им пространства линейных форм их и vy. Мы виделн (стр. 274),
что непрерывное линейное отображение
y = sx A)
Ех на Ly Q Еу порождает непрерывное линейное отображение
и =us B)
ДОБАВЛЕНИЕ 285
Ev на Lu Q Eu, так называемое сопряженное к отображению A); при
этом линейная форма v при помощи соответствия
vy = v (sx) — (vs) X = UX
переходит в линейную форму и. Норма ||S|j отображения B) равняется
норме |S| отображения A). Действительно, во-первых, |ы| ||
<M|2/|<MIS]IXI> а потому [U|<|r>||s|; следовательно,
во-вторых, для любого <г<|б| существует такое х0, что |||
а для у0 = sx0 согласно VIII0 существует такое V, что | vy01 =» | v \ \у
так что |ихо|>|и|ог|Хо|, |ы|>|и|а, ||s||><r, т. е. ||s||>|s|.
Поставим вопрос о разрешимости уравнения A) относительно х при
фиксированном у и уравнения B) относительно v при фиксированном и.
IX. Для разрешимости у = sx относительно х необходимо, чтобы
для всех v0, для которых vos = O, мы имели~voy = 0. Для разреши-
разрешимости и = vs относительно v необходимо, чтобы для всех х0, для ко-
которых sXq = 0, мы имели их„ = 0.
Это есть непосредственное следствие того, что V0y = (v0s)x и ых,, =
= v(sx0). Далее, очевидно, что если X есть решение A), то все осталь-
остальные решения имеют вид X + Xq (где sXq = 0), и если v есть решение B),
то все остальные решения имеют вид v + v0 (где vos= 0).
Назовем уравнение A) или B) нормально разрешимым, если
необходимое условие теоремы IX также и достаточно (как это, на-
например, имеет место в случае, когда Ех, Еу конечно-мерны). Следует
отметить, что требование нормальной разрешимости имеет в применении
к* уравнениям A) и B) различное значение: для уравнения B) оно силь-
сильнее, чем для A); действительно, если принять за исходный пункт ото-
отображение B) и трактовать его так же, как A), то мы должны будем на-
называть его нормально разрешимым, если следующее необходимое условие
является также и достаточным: для каждого г0) Для которого sv0 = О,
имеем ыг0 = 0 (где t) = sr есть отображение, сопряженное отображе-
отображению B), пространства Ек, сопряженного Еи в пространство ?tt, сопря-
сопряженное Ev); в силу того чтоЕк 2 Ех, это необходимое условие требует
большего, чем условие теоремы IX, а поэтому утверждение, что оно
достаточно, слабее, чем вышеприведенное.
Введем в рассмотрение следующие множества, частью уже употреб-
употреблявшиеся нами:
Ly = sEx> образ Ех при отображении у = sx,
Lu = Ev S, образ Ev при отображении и = vs,
Fx = множеству точек х,,, для которых sXq = 0,
Fv = множеству точек v0, для которух v0 s = 0,
Fy = множеству точек у, для которых voy = 0 (при v0 ? F»),
Fu = множеству точек ы, для которых ых0 = 0 (при х,, ? Fx).
Каждое из этих множеств есть линейное подмножество пространства Е,
имеющего такой же индекс, причем те из них, которые обозначены
буквой F, замкнуты, ибо по непрерывности sx равенство sx = 0 опре-
определяет вамкнутое множество Fx, и аналогично при данном х0 равенство
286 ДОБАВЛЕНИЕ
uXq = 0 определяет замкнутое подмножество в Еи, а при любом — х0 ? F9
пересечение этих замкнутых подмножеств.
Теорема IX выражает теперь не что иное, как то, что
Ly Я Fv , Lu Я Fu,
л требование нормальной разрешимости — то, что для у =ч SX в первой,
л для U — VS во второй из этих формул имеет место знак равенства.
С другой стороны, ниже приводимые равенства справедливы:
Ly — Fv всегда, C)
Lu = Fu, если пространство, сопряженное Еи, есть Ек. D)
Так как LV^Q Fy, остается только доказать, что Fv Q Lv или, иначе,
что Ev — Ly Q Еу — Fy. Для у0 ? Еу — L~v согласноУШ0можно построить
линейную форму щу, равную нулю на Ly так, чтобы voyo ф 0. Но
тогда UpSX = 0 при любом х, т. е. v^s = 0, значит v0 ? Fv; но так как
гу/фО, то у0 не входит в Fv, уо?Еу—Fy. Доказательство D) проте-
протекает аналогично. Отсюда следует:
X. (Вторая рсновная теорема.) Для нормальной разрешимости урав-
уравнения y = sx необходимо и достаточна, чтобы множество Ly — sEK
было замкнуто в Еу. Для того чтобы и = vs было нормально разре-
разрешимо, необходимым, а в случае, когда пространство, сопряженное Еи,
есть снова Ех, и достаточным условием является замкнутость в Ёи
множества Lu — Erf.
Далее, справедлива:
XI. (Третья основная теорема.) Для нормальной разрешимости и = vs
необходимо и достаточно, чтобы у = sx было непрерывно обратимо.
Понятие непрерывной обратимости было определено на стр. 277.
Мы докажем XI вначале в том частном случае, когда у — sx взаимно
однозначно; в этом случае Fx = {0} сводится к нулевой точке; следова-
следовательно, FU = EU и нормальная разрешимость уравнения и = VS равно-
равносильна разрешимости при любом u(Lu =Еи). Утверждение заключается
в том, что для этого необходимо и достаточно, чтобы обратное отобра-
отображение х = sy было непрерывно. ^
Допустим что u = vs разрешимо при любом и; если x=sy и у = SX суть
соответственные точки, мы имеем их = vy. В частности, если | у | = 1, мы
имеем | их|<;|v\; если рассматривать их как линейную форму от и, то
|«x| = |xj; следовательно, для каждого и формы их образуют ограни-
ограниченное множество, а потому по теореме VII (прилагая ее к полному
пространству Еи вместо Ех) \х\ образуют ограниченное множество,
т. е. при |у|<1 мы имеем |x|<JV, а значит, и при любом у
|х| <[N|y|; отображение x = sy непрерывно.
Если, наоборот, х = sy непрерывно, то при произвольном и: их — usy
¦есть непрерывная линейная функция от y?Ly, которую согласно VIII
можно продолжить в линейную форму vy от у?Еу и для которой мы
имеем при любом х: их = vsx, и = vs; B) разрешимо при любом и.
ДОБАВЛЕНИЕ 267
Чтобы доказать теперь XI во всей общности, мы рассмотрим отобра-
отображение | = кх пространства Ех на дополнительное пространство Е$ =
= -=? и сопряженное ему отображение и **» д>к пространства Ещ , сопря-
X
женного к Eg в Еи. Это последнее есть просто линейно изометрическое
отображение Е<р на Fu. Действительно, каждой линейной форме q>? от
^посредством q>? = <pkx = их соответствует линейная форма их от х,
которая, очевидно, принимает одно и то же значение во всех точках,
сравнимых по modFK; следовательно, в частности, значение ихо = О для
xo^Fx, откуда вытекает, что u?Fu. Обратно, каждая линейная форма
U ? Fu принимает в сравнимых по mod Fx точках одно и то же значение;
поэтому их = <р? есть однозначная линейная функция от класса | ==
кх, притом непрерывная и с нормой | у | = (и |; в самом деле,
|р||<|«| |х|, а потому |<р||< | u|inf | х| = | ы| 11,|<Н<|«|;с дру-
другой стороны, \их\ ^ | <р | ||| -^ |9?| \х\, | и\ ^ | <р .
Далее, отображения, соответственно сопряженные отображениям
у = о?, | = кх, у== акх = sx,
суть
(p = vot u = q>k, u = vak = vs
и в силу доказанной линейно изометричности ?f bF« и = vs разре-
разрешимо прн любом и (нормально разрешимо) тогда и только тогда, когда
<p = vs разрешимо при любом ф^Еу, т. е. согласно уже доказанному
частному случаю тогда и только тогда, когда взаимно однозначное
отображение у=о( непрерывно обратимо. Этим доказана теорема XI.
Дальнейшие отношения между понятиями непрерывной обратимости
и нормальной разрешимости устанавливаются первой основной теоремой VI.
Если Ех полно и у = sx непрерывно обратимо, то по VI Ly полно,
следовательно, замкнуто в Еу (как и во всяком содержащем Lu простран-
пространстве) и потому согласно X у =5 sx нормально разрешимо. Если не только
Ех , но и Еу полно, то для отображения y = sx понятия „непрерывно
обратимо" и „нормально разрешимо" совпадают. Из нормальной разре-
разрешимости и = vs по X следует, что Lu замкнуто, а значит, по VI в силу
полноты Ev и Еи — непрерывная обратимость. Если Ех и Ly полны, то
оба отображения у = sx и и — vs нормально разрешимы и непрерывно
обратимы.
Можно еще рассмотреть условия взаимной однозначности отображе-
отображения. Для взаимной однозначности у = sx необходимо и достаточно, чтобы
Fx = {0) сводились к нулевой точке, или, что то же, чтобы FU = EU;
также для взаимной однозначности и = vs, чтобы Fv = { 0 } или Fy = Ev.
В силу C), D) имеем:
XII. Для взаимной однозначности и = vs необходимо и достаточно,
чтобы Ly было плотно в Ev. Для взаимной однозначности у = sx
необходимо, а если пространство, сопряженное Еи, есть Ех, то и
достаточно, чтобы L« было плотно в Еи.
Наконец, из § 2 нам известны условия для непрерывности обратного
отображения.
288 ДОБАВЛЕНИЕ
Для взаимно однозначной непрерывной обратимости у = sx необхо-
необходимо и достаточно, чтобы т = inf I sx \ было положительно. Для
1*1=1
взаимно однозначной непрерывной обратимости и = vs неодходимо и
достаточно, чтобы т' = inf | vs \ было положительно.
В то время как обе верхние границы sup \sx\, sup |i>s| равны \s\,.
| x |=1 |C|=1
m и т' могут быть и неравны,—правда, только в том случае, если одна
из них положительна, а другая равна нулю. Если же обе положительны,
то т = т'. Действительно, в этом случае в силу XII Ly = Еу, и так.
как в силу XI и = vs нормально (т. е. при любом и) разрешимо, то Lu =
= Еи. Но тогда и = vs есть линейно гомеоморфное отображение Е„ на
Еи, и, обозначив обратное ему отображение через v = ut, мы имеем: ,
Отображение у = sx есть линейно гомеоморфное отображение Ех на
Lv; пусть обратное ему отображение есть X = sy; оно определено на LVy
и может случиться (если Ех не полно), что его нельзя продолжить на
Еу. Но во всяком случае
т = infЩ-~ 1 : sup jy|=l: |4
Рассмотрим теперь отображение V1 = us (ух — линейная форма в
сопряженное отображению х = sy\ оно имеет норму \s\ = sup-~-. Вся-
Всякая такая линейная форма vx может быть продолжена в линейную
форму v, определенную на Еу и притом единственным образом, так как Lv
плотно в Ev, и, наоборот, каждой форме v (определенной на Ev) соот-
соответствует форма v± (определенная на Lv); обе эти формы имеют равные
нормы | vx | = | v |. При этом формы vx = us, v = ut соответствуют одна
другой и мы имеем:
следовательно, т=т'.
Вернемся еще раз ко второй основной теореме X. Первое утвержде-
утверждение основано, как это следует из доказательства C), на продолжении
линейных форм: если LczEx линейно и замкнуто в Ех и хо?Ех — L,
то существует линейная форма от лт, их, равная нулю при x?L, в та
время как их0 ф 0. Соответственно этому, если LczEu линейно и
замкнуто в Еи и ио?Еи — L, то существует линейная форма от ы, их,
равная нулю при u?L, в то время как иох ф 0. Но эта форма их
может и не быть линейной формой специального вида их1), и поэтому
второе утверждение теоремы X содержит неприятное ограничение: „если
сопряженное Ей пространство есть снова Ех". Пусть, например, ЕХ = Н1
г) То-есть такой формой, что каково бы ии былой, их = ах, где х—фиксиро-
х—фиксированная, не зависящая от и точка ?,.
ДОБАВЛЕНИЕ 289
есть пространство числовых последовательностей х={^, |2) ...) с нор-
нормой |х| = 2 1 ?fc I> в этом случае в силу того, что ||& |< |х J, |& = uhх
есть линейная форма от х. Пусть L есть замкнутая линейная оболочка
множества I их, иг,...\; так как L имеет счетную базу, а пространство
Еи = Н°°, сопряженное к Ех, не имеет счетной базы, то L cz Eu. Тем
не менее каждая линейная форма от и, их, равная нулю при u?L,
равна нулю при любом и ? Еи, ибо если uh = О (А: = 1, 2,...), то х — 0.
Banach'y [3] при помощи в высшей степени остроумного рассуждения
удалось установить следующую теорему, соответствующую VIII0:
VIIIj. Если LcEu линейно и слабо замкнуто, пространство же Ех
полно, то для любого ио?Еи — L существует такая точка х про-
пространства Ех, что их равно нулю, какова бы ни была u?L, но
что иох ф 0.
Мы не можем тут воспроизвести доказательство этой теоремы, но
приведем определение понятия слабой замкнутости (которое, кстати
сказать, требует большего, чем обычная замкнутость). Пусть а есть пре-
предельное число (см. стр. 65) и пусть каждому порядковому числу | < а
поставлено в соответствие действительное число у? символы limy^,
lim у( определяются, как и для обычных последовательностей (lim у4,
например, есть нижняя граница таких чисел р, для которых в конце
концов, т. е. при |0<|<а, у{</*). Как показывает теорема продол-
продолжения, аналогичная VIII, для ограниченной последовательности линейных
форм щх (| щ | < М) существует хотя бы одна линейная форма их, для
которой
lim и& < их < lim usx {х?Ех);
их называется пределом последовательности и$, если имеет место напи-
написанное неравенство; множество L Я Еи называется слабо замкнутым,
если любая ограниченная последовательность Ug^L имеет хотя бы один
предел и, принадлежащий L. Слабо замкнутое множество замкнуто
в обычном смысле, ибо если ип-*и (в обычном смысле), un?L, то и
есть единственный предел ип в новом смысле и, следовательно, при-
принадлежит L.
Пользуясь VHIi, мы получаем следующее уточнение второй половины
второй основной теоремы:
X*. Для нормалъной"разрешимости u = VS необходимо, а если Ех
полно, то и достаточно, чтобы L« было замкнуто в Ей.
В самом деле, если Lu замкнуто, а следовательно, полно, то по VI
отображение U—vs непрерывно обратимо и для каждого u^Lu суще-
существует (см. стр. 277) такое у, что U = VS, \v\*CN\u\, где N есть поло-
положительная константа. Отсюда следует, что Lu слабо замкнуто; действи-
действительно, если при |<а, Ug?Lu, \u^\<M, то существуют линейные
формы V(, для которых щ= V( = V?S, [i>?[</VMV, и эти формы t)?
имеют предел V.
lim ыу < vy < lim ыу (у ? Еу),
откуда для u = vs ч у = sx
lim щх < их < llin щх; (х ? Ех),
Хаусдорф. Теория множеств. 19
290 ДОБАВЛЕНИЕ
следовательно, и есть принадлежащий Lu предел последовательности щ.
Теперь из VII^ следует, что Fu Я Lu или Еи— Lu Q Lu — Fu, ибо если
ио?Еи—Lu, то в Ех существует такая точка х0, что цхо = 0 при
U^Lu и цохо ф 0; а это значит, что vsXq = 0 для любого v или, иначе,
что sx0 = 0, а потому ио?Еи — Fu.
Придерживаясь предположений, обычно употребляющихся в литера-
литературе о линейных пространствах, можем утверждать: если Ех*и Еу полны,
то для каждого из отображений у <= sx, и =vs непрерывная обрати-
обратимость равносильна нормальной разрешимости, согласно же XI все
четыре свойства равносильны одно другому.
Линейное отображение у = tx пространства Ех в Еу называется
вполне непрерывным1), если каждое ограниченное множество оно пере-
переводит во вполне ограниченное (см. стр. 142) или, что то же, если каж-
каждая ограниченная последовательность Хп переходит в такую последова-
последовательность уп = tXn, которая содержит фундаментальную подпоследова-
подпоследовательность. Такое отображение ео ipso непрерывно. Покажем, что в случае
Ех = Еу:
XIII. Отображение у — sx = X — tx полного пространства Ех самого
в себя непрерывно обратимо, если tx вполне непрерывно.
Пусть у = <т? есть взаимно однозначное отображение дополнитель-
ного пространства Е^ = ~* на Lv\ надо показать, что обратное ему
отображение | = ау непрерывно в точке у = 0. В противном случае
существовала бы последовательность уп-+0, для которой |?п[^>0>О,
откуда, деля ?п и уп на | ?n |, выводим существование последовательности
у„-*¦(), для которой |?п| = 1- Если мы выберем в каждом классе |„ по
представителю хп, для которого |Хп|-^2, то получим ограниченную
последовательность хп; причем yn = sxn = xn—txn-*O. Но tXn содер-
содержит фундаментальную подпоследовательность tXp, последовательность
Хр = ур + tXp также фундаментальная и, следовательно, сходится в про-
пространстве Ех'.Хр-^-Хо, откуда yp = sxp-*sx0> а вначит, sXq —0, xo?Fx.
Но тогда |?р|<;|Хр — Xol-^-0, что противоречит тому, что |?Р| =1.
В предположениях теоремы XIII не только оба отображения у = sx,
u = vs нормально разрешимы, но еще, следуя F. Riesz'y [10], можно
показать, чго оба множества Fx, Fv имеют одну и ту же конечную раз-
размерность >0, т. е. однородные уравнения sx0 = 0, VqS = O имеют оди-
одинаковое число линейно независимых решений. В самом деле, Ех есть
прямое произведение2) (?', Е") двух линейных пространств, из кото-
которых Е' конечно-мерно и отображается при у = sx само в себя, а Е"
взаимно однозначно и непрерывно обратимо отображается на себя.
*) Несколько видоизмененное определение F. Riesz'a [10], стр. 74.
2) То есть ?', Е" суть замкнутые линейные подпространства Ех, имеющие
только одну общую точку О, н каждая точка Ех представима (единственным
образом) в виде х =х'-)-х", х'ВЕ', х"ВЕ", причем х' и х" суть непрерыввые
линейные функции от х.
МОНОГРАФИИ И УЧЕБНИКИ
Р. Alexandroff— H. Н о р f, Topologie, Erster Band (Berlin 1935).
R. В a i r e, Lemons sur les functions discontinues (Paris 1905). По-русски:
P. Бэр, Теория разрывных функций. ГТТИ 1932.
Е. В о г е 1, Lecons sur la theorie des fonctions (Paris 1898, 2 ed. 1914).
E. Borel, Lecons sur les fonctions de variables reelles (Paris 1905).
E. Borel, Methodes et problemes de la theorie des fonctions (Paris 1922).
С Caratheodory, Vorlesungen fiber reelle Funktionen (Leinzig und
Berlin 1918).
A. Fraenkel, Einleitung in die Mengenlehre B. Aufl. Berlin 1923).
M. F г ё с h e t, Les espaces abstraits (Paris 1928). ¦
H. H a h n, Theorie der reellen Funktionen 1 (Berlin 1921).
G. H e s s e n b e r g, Grundbegriffe der Mengenlehre (G6ttingen 1906).
E. W. H о b s о n, The theory of functions of a real variable (Cambridge
1907, 2. ed. I 1921).
B. von Kerekjartd, Vorlesungen uber Topologie I (Berlin 1923).
J. К б n i g, Neue Grundlagen der Logik, Arithmetik und Mengenlehre
(Leipzig 1914).
N. L u s i n, Lecons sur les ensembles analytiques (Paris 1930).
С Kuratowski, Topologie, I (Warszawa 1933).
J. P i e г р о n t, Lectures on the theory of functions of real variables III
(Boston 1905, 1912).
A. Rosenthal, Neuere Untersuchungen uber Funktionen reeller VerSn-
derlichen (Math. Enzykl. IIC 9).
A. S с h о e n f 1 i e s, Die EntwickelungderLehrevondenPunk'tmannigfaltig-
keiten I II (Leipzig !900, 1908).
A. Schoenflies, Entwickelung der Mengenlehre und ihrer Anwendungen
(Leipzig und Berlin 1913).
w. Sierpinski, Lecons sur les nombres Transfinis (Paris 1928).
С de la Vallee Poussin, Integrates de Lebesgue, Fonctions
d'ensemble, Classes de Baire (Paris 1916).
W. H. Young and Grace Chisholm Young, The theory of
sets of points (Cambridge 1906).
¦v-
УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ
Приводимые тут ссылки имеют своей целью дать указания только о перво-
первоначальном происхождении важнейших понятий и теорем. Большая часть предло-
предложений о точечных множествах в цитируемых источниках установлена только
для одномерного, иногда n-мерного, эвклидовского пространства и в этой книге
подверглась значительному видоизменению и обобщению. Более подробные указа-
указания читатель найдет в обзоре A. S с h о е n f I e s'a и реферате A. Rosen-
t h а Гя. В ссылках на книги указана страница, в ссылках на журнальные статьи,
номер тома (иногда в скобках номер серии), год и страница.
Стр. 8. G. Kowalew ski, Einfuhrung in die Infinitesimalrechnung
(Leipzig 1908), 14.
§ 1. В большинстве случаев мы не будем ссылаться на работы Кантора;
содержание первых четырех глав и основы теории точечных множеств почти цели-
целиком принадлежат ему. Из его многочисленных работ особенно важны: Uber unend-
liche lineare Punktmannigfaltigkeiten I—VI: Math. Ann. 15 A879), 1; 17 A880),
19*
292 УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ
355; 20 A882), 113; 21 A883), 51, 545; 23 A884), 453. Beitrage zur Begrundung der
transfiniten Mengenlehre I II: Math. Ann. 46 A895), 481; 49A897), 207. По-русски
некоторые его статьи изданы в Новых идеях в математике, Сборник 6 A914).
Стр. 10. А. О е п о с с h i — О. Р е а п о, Differentialrechnung und Grund-
zflge der Integralrechnung (Leipzig 1899), 340. Есть русский перевод.
§ 3. Стр. 15. С. С а г a t h ё о d о г у, Vorlesungen, 23.
Стр. 17. Верхний и нижний пределы последовательности множеств введены
Bore Гем в Legons A905), 18.
Стр. 19. С. de la Vallee Poussin, Integrates, 7.
§ 5. III. F. Bernstein в книге Е. В о г е 1, Legons A898), 103.
§7. Стр. 35. Е. Zerme 1 о, Math. Ann. 65A908), 261. III. J. К б n i g,
Math. Ann. 60 A904), 177.
§ 11. I. F. Bernstein, Untersuchungen aus der Mengenlehre (Diss. Halle
1901), 34.
Стр. 55. H. M i n k о w s k i, Vehr. d. Heidelb. Kongr. (Leipzig 1905), 171.
Стр. 56. R. D e d e k i n d, Stetigkeit und irrationale Zahlen (Braunschweig
1872). Есть русский перевод.
§ 12. E. Z e r m e 1 о, Math. Ann. 59 A904) и 65 A908), 107.
§ 13. В теорию порядковых чисел многое внесено G. Hessenber g'oM,
Grundbegriffe der Mengenlehre A906).
§ 14. Стр. 73. G. H e s s e n b e r g, Grundbegriffe, § 75.
§ 15. Стр. 75. К вопросу *?>«,. см. D. H i 1 b e r t, Math. Ann. 95 A925),
181.
§ 16. F. H a u s d о г f f, Leipz. Ber. 58 A906), 108.
§ 18. E. В о г е 1. Le?ons A898), 46.
§ 19—20. M. S о u s 1 i n, Compt. rend. 164 A917), 88. N. L u s i n, ib. 91.
A. H. Колмогоров. Мат. Сборник, 35 A928), 414. L. Kantorowitch
and E. Livens on. Fund. Math. XVIII A932), 214 и XX A933), 54. Ср.:
§§ 32-36.
Гл. VI. Общая теория топологических пространств сделала в последние
годы большие успехи главным образом в работах П. С. Александрова и
П. С. У р ы с о н а.
Гл. VI, стр. 101. F г ё с h e t, Rend. Pal. 22 A906).
§ 21. стр. 102. Метрическое пространство введено F г ё с h e t, Rend. Pal. 22
A906).
§ 21. Стр. 104. R. В a i r e, Acta math. 32 A909), 105.
§ 21, п. 3. Впервые окрестностные пространства были введены в персом изда-
издании этой книги, F. H a u s d о г f f. Grundzuge der Mengenlehre, Leipzig A914),
правда не во всей общности.
§ 21. Стр. 107. A. Tychonoff. Compt. rend. 182 A926), 1519.
§ 21. Стр. 108. D. H i 1 b e r t, Gotting, Nachr. 8 A906), 157.
§ 221. Стр. ПО. С. К u r a t о w s k i, Fund. math. 3 A922), 182.
§ 22. 2. Открытые множества: Н. Lebesgue, Ann. di mat. C) 7 A902),
242; С Caratheodory, Vorlesungen, 40.
§ 23. Большая часть понятий этого параграфа восходит к Кантор j^T"
Связность: N. J. Lennes, Amer. J. of Math. 33 A911), 303. 4. III. Z. J a n i-
s z e w s k i и C.~K u r a t о w s k i, Fund. math. 1 A920), 211.
§ 25. 1. Tx - пространства. Frechct Espaces abstraits, 185. Предельная
точка, производное множество и проч. введены Кантором. Плотное в себе
ядро: Н a h n, Theorie, 76.
§ 25. 2. Та - пространства, 1-е издание этой книги. Т3 - пространства:
V i e t о г i s. Mon. f. Math. u. Ph. 31 A921), 173. Tt - пространства: H. T i e t ze,
Math. Ann. 88 A923), 290. П. С. Александров и П. С. У р ы с о н, Verh.
Коп. Akad. Amsterdam: Deel XIV A929), 1.3. У р ы с о н, Math. Ann. 94 A925),
290.
§ 26.1. Пространство со счетным всюду плотным множеством: М. F г ё с h e t,
Rend. Pal. 22 A906), 23. Пространства со счетной базой в первом издании этой книги.
Точки сгущения: Е. L i n d е 1 б f. Acta math. 30 A905) 184.
IV. Е. L i n d e 1 6 f, Compt. rend. 137 A903), 697; W. H. Young, Lond.
math. soc. proc. 35 A903), 384.
VI. R. В a i r e, Ann. di math. 3C) A899), 51.
VIII. F. Bernstein, DisS. (Halle 1901), 44.
УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ 293
IX. А. Тихонов, Math. Ann. 95 A925), 139.
X—XI. У р ы с о н П. С, Compt. rend. 178 A924), 65; Math. Ann. 94 A925),
309.
§ 27. Компактные пространства: М. F г ё с h e t, Rend. Pal. 22 A906), 6.
1. II. Е. Bore 1, Ann. ёс. norm. C) 12 A895), 51.
2. Александров — Урысон, Verh. Kon. Akad. Amsterdam.
Deel XIV A929), 1.
3. Полное пространство: М. F г ё с h e t, Rend. Pal. 22 A906), 23.
4. XI. У р ы с о н, Math. Ann. 92 A924), 276.
5. 6. Александров — Урысон, Vehr. Kon. Akad. Amsterdam,
Deel. XIV A929), 1.
7. С. Jordan, Cours d'Analyse I B ed. Paris 1893), 53; P. A 1 e x a n-
d г о f f,. Math. Ann. 96 A926), 555.
§ 28. 2. O. Cantor, Math. Ann. 5 A872), 123; С h. M e" r a y, Nouveau
precis d'analyse infinitesimale (Paris 1872). Общая теорема этого пункта в 1 издании
этой книги.
5. W. H. Young, Leipz. Ben. 55 A903), 287; Theory, 64.
6 Стр. 162—163. R. В a i r e, Ann. di Mat. C) 3 A899), 67.
§ 29,1. Верхний и нижний топологический пределы по существу у P. Р a i п-
1 е v ё; см. L. Z о г е 11 i, Journ. de math. F) 1 A905), 8; Bull. soc. math. France 37
A909), 116. Отклонение двух множеств: D. Pom p ё j u, Ann. Fac. Toulouse B)
7 A905), 281.
§ 30. Стр. 169. H. H a h n. Jahresber. D. Math. V. 23 A914), 319; Wiener
Ber. 123 A914), 2433.
II. H. Hahn, Fund. math. 2 A921), 189. С Kuratowski, Fund,
math. 1 A920), 43.
Стр. 171. S t. M a z u r k i e w i с z, Fund. math. 1 A920), 167.
Стр. 173. О. Cantor, Math. Ann. 21 A883), 576.
Стр. 174—175. L. E. J. Brouwer, Amst. Ak. Proc. 12 A910), 785. Кон-
Континуум: С. Jordan, Cours d'analyse 1 B. ed. Paris 1893), 25.
XI. Александров, Math. Ann. 96 A926), 563.
XII. Z. Janiszewski, These (Paris 1911) или Journ. ёс. polyt. B) 16
A912), 100.
Стр. 177. W. S i e r p i ft s k i, Tohoku Math. J. 13 A918), 300.
XV. L. Z о r e 11 i, Journ. de math. F) 1 A905), 8.
§ 31, 1. Кривые Пеано: О. Р е а п о, Math. Ann. 36 A890).
157. D. H i 1 b e r t, Math. Ann. 38 A891), 459. К- К n'o p p, Archiv d.
Math. u. Ph. C), 26 A918), 103. Лебег. Лекции об интегрировании.
Стр. 183. L. E. J. Brouwer. Math. Ann. 70 A911). 161.
Теория размерности в последние годы сделала большие успехи.
См. P. U г у s о h n. Fund. Math. 7 A925), 30 и 8 О926). 225> К. М е п g e г,
Jahresb. D. Math. V. 35 A926), 113; А 1 е х а п d г о f f, Math. Ann. 106 A932),
161.2. II. W. Sierpinski, Fund. Math. 1 A926), 44. 111. H. H a h n, Jahresb.
D. Math. V. 23 A914). 319; Wiener Ber. 123 A914), 2433. St. Mazurkiewicz,
Compt. r. Varsovie A11) 6 A913), 305; Fund. math. 1 A920), 44.
3. V. L. V i e t о г i s, Monatshefte Math. Phys. 31 A921), 179.
VI. N. J. L e n n e s, Amer. J. of Math. 33 A911), 308; W. Sierpinski,
Ann. di Math C) 26 A916), 131.
§ 32. I. P. A 1 e x a n d г о f f, Compt. rend. 162 A916), 323 и F. Hans-
d о г f f, Math. Ann. 77 A916), 430.
Ктеории суслинских множеств см.: М. S о u s I i n, Compt. rend. 164 A917),
88. N. L и s i n,' Compt. rend. 164 A917), 91; Fund. math. 10 A926), 1. N. L и s i n
hW. Sierpinski, Bull. Ac. Crac. A918). 35; Journ. de Math. G) 2 A923), 53.
W. Sierpinski, Bull. Ac. Crac. A919), 161, 179.
Стр. 196. F. Bernstein, Leipz. Ber. 60 A908), 325. W. Sierpinski,
Fund. Math. 1 A920), 7.
§ 33. II и HI. W. Sierpinski. Compt. rend 175 A922), 859.
§ 34. N. L и s i n и W. S i e r p i n s k i, J. de Math. G) 2 A923), 53.
§ 35. Ill и IV. W. Sierpinski, Bull. Ac. Crac. A918), 29 и A919),
16. 1. V. M. S о u s 1 i n, Compt. rend. 164 A917), 88.
294 УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ
§ 36, I. St. M a z u г к i e w i с z, Bull. Ac. Crac. (.1916), 490. P. A 1 e -
xandroff, Compt. rend. 178 A924), 185. F. Hausdorff, Fund. Math. 6
A924), 146.
II. M. Лаврентьев, Compt. rend. 178 A924), 187; Fund. Math. 6 A924),
149.
Стр. 220. Топологическая инвариантность дополнений к суслинским множе-
множествам: П. С. Александров, Fund. Math. 5 A924), 160.
§ 37. Излагаемая тут теория содержится главным образом в Н. L e b e s-
g u e, Journ. de Math. F) 1 A905), 139—216. Сравни: W. H. Young, Lond.
math. soc. proc. B) 12 A912), 260. F. Hausdorff, Math. Ztschr. 5 A919), 292.
§ 37, 4. XII!, XIV. H. H a h n, Wien. Ber. 126 vl917), 103. H. T i e t z~
Journ. f. Math. 145 A914), 9. F. Hausdorff, Math. Ztschr. 5 A919), 295.
§ 37, 5. W. Sierpinskl, Fund. math. 2 A921), 15, 37; St. M a z u r-
kiewicz, ib. 28; St. К e m p i s t y, ib. 64, 131.
§ 38. Теоремы этого параграфа но большей части восходят к R. В a i r e,
Ann. di mat. C) 3 A899), 1—122; Lecons sur les fonctions discontinues (Paris 1905).
§ 38,1 стр. 236. S. 249. R. Baire, Bull. soc.math.32^1904), 125; H.Tietze.
Journ. f. Math. 145 A914), 9; F. Hausdorff, Math. Ztschr. 5 A919), 293.
§ 38, 3, стр. 240. S. 251. W. H. Young, Wien. Ber. 112 A903), 1307;
H. Lebesgue, Bull. soc. math. 32 A904), 235. H.Hankel, Math. Ann. 20
A887), 89.
Стр. 240 (А и D не могут быть переставлены: V. V о 11 e r r a, Giorn. di
mat. 19 A881), 76.
§ 38, 4. VII. Н. Lebesgue вЕ. Borel, Lecons A905), 149 и Journ.
de math. F) 1 A905), 182. С de la Valjee Poussin, Integrales, 121.
VIII. R. Baire, Ann. di Mat. C) 3 A899), 16, 30.
§38, 5. С Kuratowski и W. Sierpiuski, Fund. math. 3
A922), 303.
§ 39. R. Baire, Ann. di mat. C) 3 A899), 68; H. Lebesgue., Journ.
de math. F) 1 A905).
§ 39, 2. V. H. Lebesgue, Journ. de math. F) 1 A905), 205. С d e 1 a-
V a 11 6 e Poussin, Integrales, 145.
VI. R. В a i r e, Ann. di mat. C) 3 A899), 81.
Стр. 251. N. L u s i n, Fund. math. 2 A921), 155.
Стр. 253. W. S i e r p i n s k i, Fund. math. 5 A924), 20.
§ 39, 3. W. S i e r p i n s k i, Compt. rend. 170 A920), 919; Fund. Math. 2
A921), 74; Fund. Math. 3 A922), 26; Bull. Ac. Crac. A919), 161, 179.
§ 40, I. I. H. Hah n, Archiv Math. Ph. 28 A919), 34. W. S i e r p i n s k i
Fund. math. 2 A921), 41.
УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ, ЦИТИРОВАННОЙ В ДОБАВЛЕНИИ
1. St. В а п а с h, Sur les operations dansHes ensembles abstrait, et leur
application aux equations integrales. Fund. Math., 3 A922), стр. 133—181.
2. 3. St. В a n а с h, Sur les fonctionnelles lineaires, I, II, Stud. Math.,
1 A929), стр. 211—216, 223—239.
4. H. Hah n, Ober Folgen linearer Operationen, Monatshefte f. Math. u.
Phys., 32 A922), стр. 3—88.
5. H. H a h n, Ober lineare Gleichungssysteme in linearen RSumen, Journal
f. Math. 157 A926), стр. 214—229.
6. E. H e 11 y, Ober lineare Funktionaloperationen. Wiener Akad. Ber.,
Ha, 121 A912), стр. 265—297.
7. E. H e 11 y, Ober Systeme linearer Gleichungen mit unendlich vielen
Unbekannten, Monatshefte f. Math. u. Phys., 31 A921), стр. 60—91.
8. С. Kuratowski, Sur les fonctions representables analytiquement et
es ensembles de la premiere categorie. Fund. Math., 5 A924), стр. 75—91.
9. F. R i e s z, Les systemes d'equations lineaires a une infinite d'inconnues,
Coll. Borel, Paris, 1913.
10. F. R i e z, Ober lineare Funktionalgleichungen, Acta Math., 41 A918),
стр. 71—98.
УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ 296
П. J. Schauder, Ober die Umkehrung linearer stetiger Funktionalope-
rationen, Stud. Math., 2 A930), стр. 1—6.
12. J. S с h a u d e r, Ober lineare, vollstetige Funktlonaloperationen, Stud.
Math., 2 A930), стр. 183—196.
13. E. Schmidt, Ober die Auflosung linearer Gleichungen mit unendlich-
vielen Unbekannten, Rend. Palermo, 25 A908), стр. 53—77.
14. W. S i e r p i n s к i, Sur une propriete des ensemblesGa., Fund. Math.,
16 A930), стр. 173—180.
15. О. Т о е р 1 i t z, Die Jacobische Transformation der quadratischen
Formen von unendlichvielen VerSnderlichen. <J6tt. Nachr., 1907, стр. 101—109.
16. О. Т о е р 1 i t z, Oeber allgemeine lineare Mittelbildungen, Prace Ma-
tematyczne-Fizyczne, 22 A911), стр. 113—119.
ПРЕДМЕТНЫЙ И ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная окрестность 112
— система окрестностей 113
— сходимость 233
Абсолютно замкнутое множество 210
Абсолютное топологическое свойство 124
Аксиома отделимости первая 124
— — вторая 129
— — третья 129
— — четвертая 129
Аксиомы замыкания 110
— метрического пространства 102
Алгебраическое число 39
Александров П. С. 146, 239
Александрова теорема 146
Алеф-нуль 25
Алефы 73)
Аналитические множества 192
Аналитически представимые функ-
функции 248
Аргумент 78
Арифметический континуум 101
База пространства 1J.3
— счетная 267 'vr
Базис линейного множества 266
Банах (Banach) 282, 283, 289
Бернштейн Ф. (Bernstein F.) 26, 195
Бернштейиа теорема 26
Бикомпактность и Я-замкнутость 146
Бикомпактное хаусдорфовское простран-
пространство 145
Бикомпактное топологическое простран-
пространство 141
Борелевские классы 90 """
— множества (В-множе-
ства) 88, 192
Борелевские системы (В-системы) 86
Борелевских множеств представление 95
— — критерии 198
Борелевское множество 220
Борелевской системы построение 89
Борель (Е. Borel) 141, 145
Брауэр (L. E. J. Brouwer) 178, 183
Брауэра теорема 178
— — инвариантности числа
измерений 183
Бэр (R. B.iire) 136, 162
Бэра теорема 136, 162, 241
Бэровские пространства 104
Бэровские системы функций 246
— функции 246, 248, 256
Бэровский класс функций 236, 246
— образ 255
Бэровское нуль-пространство 104, 212
Валле-Пуссен (Vallee Poussin) 264
Верхний предел 8
— — последовательности 223
множеств 17
Верхняя грань 7
Вейерштрасс (Weierstrass) 7
Взаимно однозначный непрерывный
образ 123
Взаимно однозначное отображение 121
Включение в полное пространство 152
Внутренние точки 114
Вполне упорядоченное множество 59
Вычитание порядковых чисел 67
Гейне (Heine) 141, 145
Гейне-Бореля теорема 141, 145
Гильберт Д. (Hilbert D.) 182
Гильбертовское пространство 108, 269
Гильбертовского пространства основной
параллелепипед 109
Гомеоморфия 123
Гомеоморфное отображение 123
Граница множества 115
Грань верхняя 7
— нижняя 8
Двоичные континуумы 179, 180
— множества 154
Двоичный дисконтинуум 157
Двусторонние В-множества 193
Дедекивд (Dedekind) 56
Деление порядковых чисел 68
Действительная функция 121
Действия с порядковыми числами 66
Диаметр множества 102 п
Дирихле (D|richlet) 14 f
— функция 242
Дисконтинуум двоичный 157
Дополнительная операция 95
Дополнение множества 12
Дополнительное пространство 276
Дуга Жорданова 187
— простая 179, 187
ПРЕДМЕТНЫЙ И ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
29-7
Единичные точки 268
Естественное разложение множества 169
Жорданова дуга 187
Жордановы континуумы 179
Жордановых континуумов признаки 184
Законы для произведения множеств 21
Замыкание 101
¦— линейное 267
Замыкания аксиомы ПО
— операция 101
Замкнутая сфера 160
Замкнутое множество 111, 113, 128, 220
Замкнутость слабая 289
Изолированное множество 126
Изолированные точки 126
Изометричные пространства 103
Инвариантности числа измерений тео-
теорема Брауэра 183
Инвариантность топологическая 215, 219
Индекс множества 201, 202
— точки 201, 202
Индуктивное свойство 178
Индукция трансфинитная 66
Интервал 7, 101
Каратеодорн (С. Caratheodory) 15
Кардинальное число 24
Кардинальных чисел произведение 31
— — правила счета 32
— — сравнимость 28
— — степень 31
— — сумма 28
Каноническая база 139
Кантор (О. Cantor) 9, 41, 48, 72, 76, 101,
127, 141, 152, 159, 173, 177
Кантора-Бендиксоиа теорема 136, 162
Кантора теорема 141
Канторовское трихотомическое множе-
множество 157
Класс бэровский 246
— (М,*) 223
— (*,N) 224
— (M,N) 224
— плотности 115
— порядковых чисел 75
— — — первый 76
- Классы борелевские 90
— по модулю 276
Кнопп К. (Кпорр) 181
Ковалевский (G. Kowalewski) 8
Коградиентное свойство 118
Колмогоров А. Н. 239
д-кольцо 225
а-кольцо 224
Кольцо множеств 83
Колебание последовательности 260
Компакт 144, 220
Компактное в себе множество 140
Компактное множество 140
Компактные топологическе простран-
пространства 140
Компонента множества 119
d-компонента точки 173
О-компонента 173
Комплекс элементов 21
Комплексы конгруэнтные 80
Конгруэнтные комплексы 80
Континуум 56
— арифметический 101
— неприводнмо связный 187
— неприводимый 178
— - проблема 41, 75
Континуума мощность 25,- 39
Континуумов жордановых признаки 184
Континуумы двоичные 179, 180
— жордановы 179
Концевой отрезок 188
— элемент 201
Кбнига (Kb'nig) теорема 35
Коши (Cauchy) 122
— критерий непрерывности 122
— последовательность 142
Кривая непрерывная 179
Кривые Пеано 181
Краевые точки 114
Край 114
Критерий борелевских множеств 198
— Лузина 207
— непрерывности Коши 122
— равносильности 105
— Суслииа 207
Куратовский (С. Kuratowski) 277
Лаврентьев М. Д. 217
Лаврентьева теорема 215, 217
Лебег (Lebesgue) 151
Лебеговские множества функции 221
Левое обращение отображения 275
Линейная лебеговская мера 158
— оболочка 266
— функция 271
Линейно гомеоморфные простран-
пространства 272
Линейное замыкание множества 267
— отображение 270
— пространство 266
Линейного множества базис 266
Локальная связность 169
Лузин Н. Н. 207, 251
Лузина критерий 207
— множество 253
Мажоранта 231
Мазуркевич (St. Mazurkiewkz) 171, 186
Максимальные системы множеств 83
Максимум 7
Мера линейная лебеговская 158
Мерэ (Мёгау) 152
Метризация пространств со счетной ба-
базой 138
298
ПРЕДМЕТНЫЙ И ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Метризуемое пространство 103
Метрика 102
— собственная 102
Метрики топологически равносиль-
равносильные 103
Метрического пространства аксиомы 102
Метрическое абсолютное Fa 160
— линейное пространство 267
— произведение про-
пространств 107
Метрическое пространство 103
Миноранта 233
Минимальная цепь множеств 60
— а-система 87
Минимальное множество системы 111
Минимальные системы множеств 83
Минимум 7
Минковский (Н. Minkowski) 55
Множеств борелевских представление95
— отклонение 16S
— отображение 13
— пересечение 14
— произведение 14 --
— разность 13
— система 83
— система неубывающая 136
— системы минимальные и ма-
максимальные 83
Множеств а-, <5-снстемы 87
— соединение 15
— сравнение 24
— степень 22, 79
— сумма 14
Множества аналитические 192
— бо реле вс кие (В-множест-
(В-множества) 88, 192
Множества В-отделимые 208
— вполне несовершенные 196
— двоичные 154 ,
— диаметр 102 \
— дополнение 12
— естественное разложение 169
— индекс 202
— лебеговские 221
— линейное замыкание 267*
— остаток 62
•v — отделимые в совокуп -
ности 208
Множества отрезок 62
— первой и второй катего-
категории 162, 163
Множества подобные 45
— покрытие 136
— проекция 107
— сгусток 136
— суслннскне (А - множест-
множества) 97, 98, 192
Множества счетные 25
— эквивалентные 13
— Юнга 160
Множества Gd 159
Множество абсолютно замкнутое 210
— вполне несвязное 120
— — ограниченное 142
— — упорядоченное 59
Множество всюду плотное 115
Множество замкнутое Ш, Из, 126, 220
— й-замкнутое 146
— изолированное 126
— канторовское трихотомиче-
трихотомическое 157
— компактное 140
— компактное в себе 140
— Лузина 253
— минимальное 111
— нигде не плотное 116
— неограниченное 52
— непрерывное 56
— ограниченное 102
— основное 267
— открытое 111, 113
— плотное 52, 56
— — в себе 126
— полиадическое 155
— правильное 61
— производное 125
— пустое 10
— разрозненное 127
— разрывное 120
— расходящееся 140
— связное 118
— совершенное 126
— суслинское 220
— сходимости 259
— точечное 101
— упорядоченное 43
.Fn-множество 164
Gu- — 164
L- — 199
5- — 199
Монотонная последовательность мно-
множеств 136
Мощностей скала 33
Мощности элементарные 37
Мощность 24
— класса непрерывных функ-
функций 42
Мощность континуума 25, 39
Натуральное число 9, 27
Натуральные суммы и произведения 73
Начальное число 75
Начальные числа регулярные 78
Начальный отрезок 188
Непрерывное множество 56
— отображение 121
Непрерывные функции 131
Нигде неплотное множество 116
Нижний предел 8
— — последовательности 223
ПРЕДМЕТНЫЙ И ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
299
Нижний предел Последовательности мно-
множеств 17
Нижняя грань 8
л-мерное эвклидовское пространство 103
Норма отображения 273
— точки 267
Нормально разрешимое уравнение 285
Нормальное пространство 129
Нуль группы 266
Область 118
Обобщение умножения порядковых чи-
чисел 68
Оболочка линейная 266
— полная 133
Образ бэровский 255
— взаимно однозначный непрерыв-
непрерывный 123
Образ элемента 13, 120
Образы борелевских н суслнйских мно-
множеств 210
Обратная функция 13
Обратные многозначные функции 14
Обращение теорем о классах 228
— функции 13
Общее метрическое пространство 102
— топологическое пространство 101
Ограниченное множество 102
Ограниченной вариации функция 239
Ограниченности теоремз 281
Окрестность 102, 104
— абсолютная 112
— сферическая 106
е-окрестность 106
Окрестностей система абсолютная 113
— системы равносильные 105
Окрестностные пространства 104
Операции над множествами 91
— составные 93 •
Операция дополнительная 95
— замыкания 101
— теоретико-множественная 91
^-операция 92
Основание степени 22
Основное множество 267
Остаток множества 67
— при делении порядковых чи-
чисел 68
Остаточный тип 67
Отделимости первая аксиома 124
— вторая — 129
— третья — 129
— четвертая — 129
Отделения теорема 232
Отклонение множеств 166
Открытая сфера 160
Открытое множество 111, 113
— ядро 114
Относительное пространство 117
Отображение взаимно однозначное 121
— вполне непрерывное 290
Отображение гомеоморфное 123
— лилейное 270
— множеств 13
— непрерывное 121, 270
— разрывное 121
— сопряженное 274
— топологическое 123
Отображения норма 273
— подобные 45
— топологических
пространств 120
Отрезок концевой 188
— множества 62
— начальный 188
— числовой 63
Параллелепипед основной гнльбертов-
ского пространства 109
Параллельное пространство 276
Пара упорядоченная 12
— элементов 12
Пеано (Реапо) 181
Ивановские кривые 181
Первый класс порядковых чисел 76
— — функций 236
Пересечение множеств 14
Плотное в себе множество 126
— всюду множество 115
— множество 52, 56
Плотности класс 115
Плотность 115
Подмножество И
Подобные множества 45
— отображения 45
Подпространство 117
Полиадическое множество 155
Полиномы типов 51
Полная оболочка 153
Полное пространство 142, 272, 277, 289
Полуинтервал 7
Полунепрерывная сверху и снизу функ-
функция 237
Полусегмент 7
Показатель степени 22
Покрытие множества 136
Понятия относительные и абсолют-
абсолютные 117
Последовательности колебание 260
— множеств предел 17
— связных мно-
множеств 177
Последовательность Коши 142
— собственная 137
— сходящаяся 18,166
— точек сходя-
сходящаяся 137
Последовательность фундаменталь-
фундаментальная 142
Порядковое число 59
Порядковый тип 45
Порядковых чисел вычитание 67
300
ПРЕДМЕТНЫЙ И ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Порядковых чисел деление 68
— — класс 75
— — обобщение умноже-
умножения 68
Порядковых чисел первый класс 76
— — сравнимость 62
— — степень 70
— — сумма и произведе-
дение 66
Порядок словарный 48
Правила для кардинальных чисел 32
Правильная часть множества 11
Правое обращение отображения 275
Предел верхний 9
— нижний 8
— порядковых чисел 66
— последовательности множеств 18
Пределы последовательности нижний и
верхний 22В
Предельная точка 124
Предельное число 65
Представление борелевских множеств 95
Преемник 60, 201
Признаки жор дано вых контину-
континуумов 184
Пробел в множестве 56
Проблема континуума 41, 75
Продолжения теорема 183, 233, 284
Проекция множества 107
— точки 107
Произведение кардинальных чисел 31
— множеств 20, 22
— пространств 106
— типов 48
Произведения натуральные 73
— общее определение 78
Производное множество 125
'— число 264
Прообраз элемента 13, 120
Простая дуга 179, 187
Пространства база 113
— бэровские 104
— изометричные 103
— линейногомеоморфные272
— окрестностные 104
— расширение 253
Пространство бикомпактное 141
— бзровское нуль-мер-
нуль-мерное 212
Пространство вполне нормальное 130
— гильбертовское 108, 269
— дополнительное 276
— компонент 174
— линейное 2бб
— локально связное в точ-
точке 271
Пространство метрнзуемое 103
— метрическое 102
— — линейное267
— нормальное 129
— общее метрическое 102
Пространство общее топологическое
101
Пространство окрестностное 104
— относительное 117
— параллельное 276
— полное 142, 272, 277, 289
— регулярное 129
— со счетной базой 134
— сопряженное 274
— топологическое ПО
— — компакт-
компактное 140
Пространство хаусдорфовское 129
— — бикомпакт-
бикомпактное 145
Пространство эвклидовское 103
Т0-пространство 125
Т-рпространство 125
7> — 129
Т3- — 129
Т4- — 129
Т5- — 131
Процессов сложения и пересечения свой-
свойства 16
а-, ^-процессы 86
Прямая числовая 101
Равенство множеств 10
Равносильности крвтерий 105
Равносильные системы окрестностей 105
Разбиение 118
Разложение множества естественное 169
Разрозненные точки 127
Разреженная часть множества 136
Разность множеств 12
Разрывное множество 120
— отображение 121
Расстояние 102
— между множествами 102
— от точки до множества 102
Расходимость собственная 261
Расходящееся множество 140
Регулярное пространство 129
Регулярные начальные числа 78
Римаи (Riemann) 151
Рис (F. Riesz) 151, 290
Свойства процессов сложения и пересе-
пересечения 16
Связное множество 118
Связность 118
— локальная 169
Связных множеств последовательно-
последовательности 177
Сгусток множества 136
Сгущения точка 136
Сегмент 7
Секвенция 153
Серпинский (Sierpinski) 177, 196, 277
г-сетка 142
Сечение в множестве 56
ПРЕДМЕТНЫЙ И ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
301
<5-система множеств 87
а- — — 87
Система окрестностей общего тополо-
топологического пространства 1о5
Системы борелевские 87
— бэровские 246
— множеств минимальные и ма-
максимальные 83
Слабая замкнутость 289
Словарный порядок 48
Скала мощностей 33
Скачок в множестве 56
Собственная последовательность то-
точек 137
Совершенное множество 126
Соединение множеств 15
Соответствие взаимно однозначное 13
Сопряжение элементов 21
Сопряженное пространство 274
Составные операции 93
Сравнения теорема 64
Сравнимость кардинальных чисел 28
— порядковых — 62
Степени основание 22
— показатель 22
Степень кардинальных чисел 31
— множеств 22
— порядковых чисел 70
Ступенчатая функция 234
Сумма и произведение порядковых чи-
чисел 66
Сумма кардинальных чисел 28
— множеств 14
— натуральная 73
— типов 46
Суслинские множества (Л-множества)
97, 98, 192, 220
Суслинский критерий 207
Существования теорема 249
Сфера замкнутая 160
— открытая 160
Сферическая окрестность 106
Сферы соответственные 160
Сходимости множество 259
Сходимость абсолютная 233
— топологическая 165
— точечной последователь-
последовательности 267
Сходящаяся последовательность то-
точек 137
<5-сцепленность 172, 173
Счетная база 267
Счетное множество 25
Тело множеств 84
Теорема Александрова 146
— Брауэра 178 •
— Бэра 136, 162, 241
— Гейне-Бореля 141, 145
— инвариантности числа измере-
измерений 183
Теорема Кантора 141, 159
— — -Бенднксона 136, 162
— КОнига 35
— Лаврентьева 215, 217
— ограниченности 281
— о пересечении 153
— отделения 232
— о топологической инвариантно-
инвариантности 219
Теорема продолжения 133, 233, 283
Теорема сравнения порядковых
чисел 64
— существования 249
— Тихонова 138
— Урысона 139, 145
— Хана и Мазуркевича 186
— Цермело (Wohlordnungssatz) 60
— Цоретти 178
— эквивалентности Ф. Бернштей-
на 26
Теорема Юнга 159
Теорема Янишевского 176
Теоремы о мощности 159
Теоретико - множественная опера-
операция 91
Теплиц (О. Toeplitz) 275, 282
Тип остаточный 67
— порядковый 43, 45
Типов произведение 48
— сумма 46
Тихонов 107, 138
Тихонова теорема 138
Топологическая инвариавтность 215, 219
— сходимость 165
ТопологическправноснльныеметрикиЮЗ
Топологические. компактные простран-
пространства 140
Топологических пространств отображе-
отображения 120
Топологический предел верхний и ниж-
нижний 166
Топологическое абсолютное свойство 124
— отображение 123
— произведение про-
пространств 106
Топологическое пространство 110
— — биком-
бикомпактное 141
Точка предельная 124
— сгущения 136
Точки внутренние 114
— единичные 268
— изолированные 126
— индекс 201, 202
— краевые 114
— непрерывности 239
— прикосновения 101
— разрозненные 127
Точечное множество 101
Точечно-разрывные функции 240
Трансфинитная индукция 66
302
ПРЕДМЕТНЫЙ И ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Трансфинитиое число 59
Трихотомическое множество 157
Упорядоченное множество 43
Упорядоченность 43
Уравнение нормально разрешимое 285
Урысон 131
Урысоиа теорема 134, 139, 145
Фишер (Fischer) 151
Фреше (Frechet) 101
Фундаментальная последовательность^
Функции аналитически представимые248
— бэровские 248, 256
— непрерывные 131
— обращение 13
— первого(бэровского)класса236
Функция действительная 121
— Дирихле 242
— интегрируемая по Риманну 151
— линейная 271
— многозначная 14
Функция псмунепрерывная сверху и
снизу 237
Функция равномерно непрерывная 149
— с ограниченной вариацией 239
— ступенчатая 234
— точечно-разрывная 240
— характеристическая 19
— элемента 13
Хан (Н. Hahn) 186, 261, 281, 283
Хана и Мазуркевича теорема 186
Ханкель (Н. Hankel) 240
Характеристическая функция 19
Хаусдорфовское бикомпактное про-
пространство 145
Хаусдорфовское пространство 129
Хессенберг (Hessenberg) 73
Хелли (Helly) 281, 282
Целые рациональные функции типов 51
Цепочка разностей множеств 85
д- цепочка 172
Цепь минимальная 60
Цепочка множеств 60, 119
Цермело (Е. Zermelo) 35, 59, 64, 195
— теорема 60
Цоретти (L. Zoretti) 178
— теорема 178
Частное отделения порядковых чисел 68
Числа начальные регулярные 78
е-числа 72
Число алгебраическое 39
— кардинальное 24
— натуральное 9у 27
— начальное 75
— порядковое илн трансфинитное 5&
— предельное 65
— производное 264
Числовая прямая 101
Числовой отрезок 63
Шаудер (Schauder) 278
Шмндт (Е. Schmidt) 275
Эвклидовское пространство 105
Эквивалентности теорема 26
Эквивалентные множества 13
Экспонент 79
Элемент концевой 201
— первый 45
— последний 45
— присоединенный 60
Элемента образ 13, 120
— прообраз 13, 120
Элементарные мощности 37
Элементов комплекс 21
— пара 12
Элементы словарно несравнимые 79»
— соседние 45
Юнг (W. H. Young) 159, 240
Юнга множества 160
— теорема 159
Ядро открытое 114
Явйшевского теорема 176
Янишевский (Janiszewski) 176, 178
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие к русскому изданию 3
Предисловие автора 5
Предварительные замечания 7
Глава I. Множества н действия над ними О
к 1. Множества - —
§ 2. Функции 12
§ 8. Сумма и пересечение 14
§ 4. Произведение и степень 20
Глава II. Кардинальные числа 24
§ 5. Сравнение множеств —
§ в. Сумма, произведение, степень 28
§ 7. Скала мощностей • 38
§ 8. Элементарные мощности 37
Глава III. Порядковые типы 43
§ 9. Упорядоченность —
§ 10. Сумма и произведение 46
§ 11. Типы мощностей Ко и К 51
Глава IV. Порядковые числа 59
§ 12. Теорема Zermelo —
§13. Сравнимость порядковых чисел 62
§ 14. Действия с порядковыми числами 66
§ 15. Алефы 75
§ 16. Общее определение произведения 78
Глава V. Системы множеств 83
§ 17. Кольца и тела —
§ 18. Борелевские системы 86
§ 19. Операции над множествами 01
§ 20. Суслинские множества 97
Глава VI. Топологические пространства 101
§ 21. Общие топологические пространства —
§ 22. Топологические пространства 110
§ 23. Множества в топологических пространствах 114
§ 24. Отображения топологических пространств 120
§ 25. Аксиомы отделимости 124
§ 26. Пространства со счетной базой 134
§ 27. Компактные и бикомпактные пространства 140
Глава VII. Метрические пространства • .... 150
§ 28. Полные пространства —
§ 29. Пространство множеств 165
§ 30. Связность в метрических пространствах . 169
§ 31. Жордановы континуумы ....¦• 1'9
304 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава VIII. Дескриптивная теория множеств 192
< § 32. Борелевские и суслииские множества пространства ..... —
§ 33. Доказательства существования 197
§ 34. Критерии для борелевских множеств 198
§ 35. Непрерывные образы борелевских и суслинских множеств . . 209
§ 36. Топологическая инвариантность^классов множеств 215
Глава IX. Действительные функции 221
§ 37. Функции и их лебеговские множества —
§ 38. Функции первого класса 236
§ 39. Бэровские функции 246
§ 40. Множества сходимости 259
Добавление к теории линейных метрических пространств. 260
Указатель литературы „ 291
Предметный и именной указатель 296
Редакция Б. М. Юновича. Оформление П. Я. Костиной.
Корректура Л. А. Муйжель. Чертежи 3. И. Савицкой.
•Сдано в производство 1/Х 1936 г. Подписано к печати 81V 1937 г.
Бум. листов 91/2. Тираж 4000. Формат 62 х 94i/ie.
Печатных внаков в 1 бум. листе 109 824. Учетно-авторск. лист. 25,0.
Закав№ 1029. Гл.ред. технино-теорет. литературы № 53.
Уполн. Главлита № Б 13824. Уч. №4131.
4-я типография ОНТИ НКТП СССР «Красный Печатник». Ленинград, Международный, 75а.
Опечатки
Стр.
5
9
21
32
32
40
43
163
296
Строка
6 сверху
2 снизу
19 ,
8 сверху
16 „
8 „
6 снизу
17 сверху
8 снизу
Напечатано
метаметических
obscuriura
= (#«,. а,, а ,...)
V W Я1 Р' 1
(m) = U (т)
L^1 » ^* . > --J
то же
Ь<а
Tt Mk == А + В
Derichlet
Должно быть
математических
obscurius
/с = (а,„, а„, ар,...)
f[m)=fx{m)
[Ам\ Ам\ ...]
(то же
ft > a
Ъмк = А + Ъ
Dirichlet
По Чьей
вине
рсд.У
„ V
тип. V
п .¦
\
я
' V
ред. V
» "
тнп. у
Теория множеств