/
Автор: Волков Ю.И. Мурзин Ю.М.
Теги: электротехника радиоэлектроника электроника электричество учебное пособие
ISBN: 5-469-01060-0
Год: 2007
Текст
Ю. М. Мурзин, Ю. И. Волков
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
* д ♦—-
terump
ББК 32.2я7
УДК 621 3(075)
М91
Рецензенты:
Ю. Н. Кичкин, кандидат технических наук,
профессор кафедры радиоэлектроники Московского государственного института
электронной техники (технического университета) (МИЭТ);
Д. И. Панфилов, доктор технических наук, профессор, академик АЭНРФ,
заведующий кафедрой промышленной электроники
Московского энергетического института (технического университета) (МЭИ).
Мурзин Ю. М., Волков Ю. И,
М91 Электротехника: Учебное пособие. — СПб.: Питер, 2007. — 443 с.: ил.
ISBN 5-469-01060-0
Учебное пособие написано в Московском государственном институте электронной
техники (технический университет) в соответствии с программой курса «Электротехника».
Оно может быть использовано при изучении дисциплин «Электротехника», «Теоретические
основы электротехники». «Теория электрических цепей». Наличие теории, контрольных
задач с разъяснениями, лабораторных работ и вопросов делает его удобным при обучении
Задачи, имеющие численное решение, рекомендуется моделировать на компьютере, в про-
граммах Electronics Workbench и Multisim.
Учебное пособие выполнено по приоритетному национальному проекту «Образование»
в рамках программы «Современное профессиональное образование для Российской иннова-
ционной системы в области электроники».
ББК 32.2Я7
УДК 621.3(075)
Все права защищены. Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было
форме без письменного разрешения владельцев авторских прав.
Информация, содержащаяся в данной книге, получена из источников, рассматриваемых издательством как
надежные. Тем не менее, имея в виду возможные человеческие или технические ошибки, издательство не
может гарантировать абсолютную точность и полноту приводимых сведений и не несет ответственности за
возможные ошибки, связанные с использованием книги.
ISBN 5-469-01060-0
© ООО «Питер Пресс», 2007
Краткое содержание
Предисловие .................................................. 9
Введение......................................................11
Список принятых обозначений . ........ 12
Часть I. Линейные электрические цепи......................13
Глава 1. Основные понятия электротехники . .14
Глава 2. Основные уравнения теории электрических цепей . . ....19
Глава 3. Расчет простых цепей при постоянных токах и напряжениях... 44
Глава 4. Анализ простых цепей при синусоидальных токах
и напряжениях . 57
Глава 5. Анализ сложных цепей . 78
Глава 6. Резонанс и частотные свойства цепей . . 90
Глава 7. Расчет электрических цепей при несинусоидальных
периодических токах и напряжениях .105
Глава 8. Общие свойства четырехполюсников...................120
Глава 9. Трехфазные электрические цепи . . .153
Глава 10. Анализ переходных процессов в линейных цепях...... 166
Глава 11. Применение интеграла Дюамеля для расчета переходных
процессов. 193
Глава 12. Применение интегральных преобразований при расчете
процессов в линейных цепях 199
Глава 13. Основы синтеза линейных цепей 214
Часть II. Нелинейные электрические цепи
и электрические машины..............................229
Глава 14. Нелинейные электрические цепи..................... 230
Глава 15. Трансформаторы . 247
Глава 16. Устройство электрических машин . . 262
Глава 17. Асинхронные электрические машины . 270
Глава 18. Машины постоянного тока 288
Глава 19. Синхронные электрические машины . . 305
Часть III. Примеры и задачи..................................315
Лабораторные работы. 388
Алфавитный указатель.........................................440
Содержание
Предисловие.
Введение . 1
От издательства . . . 11
Список принятых обозначений 12
Часть I. Линейные электрические цепи...............................13
Глава 1. Основные понятия электротехники. 14
Контрольные вопросы .
Глава 2. Основные уравнения теории электрических цепей 19
2.1. Элементы электрических цепей. 1!)
2.1.1. Двухполюсные элементы . 19
2.1.2. Четырехполюспыс элементы 23
2.2. Законы Ома и Кирхгофа 32
2 2.1. Первый закон Кирхгофа. ................32
2.2.2. Второй закон Кирхгофа . 34
2.3. Геометрия электрической цепи . ...... 35
2.4. Интегрально-дифференциальные уравнения состояния .
Контрольные вопросы .
Контрольные задачи . 42
Глава 3. Расчет простых цепей при постоянных токах и напряжениях 44
3.1. Делитель тока . . 15
3.2. Преобразования источников . 49
3.2.1. Обобщения закона Ома . 51
3.2.2. Метод двух узлов ... . . . . .......... .....................52
3.2.3. Принцип наложения (суперпозиции). 53
Контрольные вопросы .
Контрольные задачи ..... . . эб
Глава 4. Анализ простых цепей при синусоидальных токах и напряжениях . 57
4.1. Характеристики и свойства синусоидальных сигналов 57
4.2. Изображение синусоидальных функций в виде векторов и комплексных чисел . 59
4.2.1. Комплексный метод . б?
4.2.2. Решение задачи комплексным методом .
4.3. Мгновенная, активная, реактивная и полная мощности. 6э
4.4. Эквивалентные параметры пассивного двухполюсника . . ... 69
4.5. Особенности расчета электрических цепей при синусоидальных токах
и напряжениях
4.6. Примеры . 7
Контрольные вопросы . . 76
Контрольные задачи 11
Глава 5. Анализ сложных цепей .
5.1. Топологические и компонентные уравнения . 78
5.2. Уравнения, полученные но методу контурных токов. . . . Ьб
5.3. Метод узловых потенциалов . . 62
5.4. Метод сечений при обобщенной модели ветви................ .83
5
Содержание______
Контрольные вопросы . 88
Контрольные задачи . 88
Глава 6. Резонанс и частотные свойства цепей. 90
5 1 Резонанс напряжений . . 90
5 2 Частотные свойства ЯАС-двухнолюсников . 92
6 3. Резонанс токов. 96
64 Частотные свойства параллельного контура . .97
6 5 Резонансные эффекты в сложных пенях 100
Контрольные вопросы 103
Контрольные задачи . ЮЗ
Глава 7. Расчет электрических цепей при несинусоидальных
периодических токах и напряжениях . 105
7.1. Разложение несинусоидальной функции в тригонометрический ряд. . 105
7.2. Обшие характеристики несинусоидальных токов, напряжений и ЭДС 110
7.3. Особенности измерений при несинусоидальных сигналах . 112
7.4. Расчет линейных цепей при несинусоидальных токах, напряжениях и ЭДС 113
7.5. Активная мощность при периодических несинусоидальных токах
и напряжениях . 115
7.6. Резонанс в цени при нссинусопдальных токах и напряжениях. 116
Контрольные вопросы 118
Контрольные задачи 118
Глава 8. Общие свойства четырехполюсников. 120
8.1. Уравнения четырехполюсников . 120
8.2. Эквивалентные схемы четырехполюсника. 124
8.3. Экспериментальное определение параметров четырехполюсника 126
8.4. Соединения четырехполюсников 132
8.5. Активный четырехполюсник. .................................... 140
8.6. Характеристические параметры четырехполюсника 141
8.7. Круговые диаграммы . 144
Контрольные вопросы . 152
Контрольные задачи . . 152
Глава 9. Трехфазные электрические цепи . . . . 153
91. Образование трехфазных цепей ЭДС. Основные обозначения . 153
9-2. Соединение трехфазной системы «звездой». 155
9.3. Соединение трехфазной системы «треугольником». 158
9-4. Мощность в трехфазиых системах. 160
9-5. Получение вращающегося магнитного поля. 162
Контрольные вопросы 163
Контрольные задачи 164
Глава ю. Анализ переходных процессов в линейных цепях.............. 166
9.1. Постановка проблемы переходного процесса 166
9-2. Законы коммутации. 167
J9.3. Порядок расчета переходных процессов классическим методом 167
6.4. «Разряд» катушки индуктивности на резистор . . 169
9.5. Включение катушки индуктивности на постоянное напряжение . 171
9-6. Включение цепочки RL на синусоидальное напряжение..............172
6
Содержание
10.7. Разряд конденсатора на резистор 174
10.8. Включение цепочки RC на постоянное напряжение. 175
10.9. Включение цепи RC на синусоидальное напряжение............... 176
10.10. Практические приемы решения задач для схем с одним накопителем. 177
10.11. Переходные процессы в цепях с двумя накопителями............ 180
10.12. Практические приемы решения задач. 186
10.13. Анализ переходных процессов при некорректных коммутациях.....187
Контрольные вопросы .... 191
Контрольные задачи........ ... 191
Глава 11. Применение интеграла Дюамеля для расчета переходных
процессов...........................................................193
11.1. Переходные характеристики цепи . 193
11.2. Расчет цепей при воздействии ЭДС произвольной формы ... 194
Контрольные вопросы........................................... 197
Контрольные задачи . ... . 198
Глава 12. Применение интегральных преобразований при расчете
процессов в линейных цепях 199
12.1. Сущность преобразования Лапласа . . . . 199
12.2. Свойства преобразования Лапласа. . . 200
12.3. Законы Кирхгофа и Ома в операторной форме . 203
12.4. Переход от изображения к оригиналу........................... 206
12.5. Особенности интегрального преобразования Фурье.... . 211
Контрольные вопросы 213
Контрольные задачи 213
Глава 13. Основы синтеза линейных цепей 214
13.1. Проблемы синтеза..................... ... . . 214
13.2. Свойства системных функций Z(x) и l'(s) . 216
13.3. Реализация разложением на простые дроби . 219
13.4. Реализация по Кауэру . . ..... . . . . . 224
Контрольные вопросы . ...... . 227
Контрольные задачи . . . . 228
Часть II. Нелинейные электрические цепи
и электрические машины..............................................229
Глава 14. Нелинейные электрические цепи • 230
14.1. Характеристики нелинейных элементов . 230
14.2. Анализ нелинейных электрических цепей при постоянных токах
и напряжениях . . . 236
14.2.1. Графоаналитический метод расчета цепей при малом отклонении
от заданного режима.............. .................. . 241
14.3. Особенности анализа нелинейных цепей при синусоидальных токах
и напряжениях . . 242
Контрольные вопросы 245
Глава 15. Трансформаторы....................................... 247
15.1. Принцип действия и устройство . 247
15.2. Холостой ход трансформатора...................................249
7
Содержание
153 Работа трансформатора под нагрузкой................ . . . . 250
15.3.1- КПД трансформатора . .... 254
15.3.2. Особенности конструирования трехфазпых трансформаторов 255
15-3.3. Многообмоточный трансформатор . 257
15.3.4. Автотрансформатор . . 258
15.3.5. Схема расчета трансформатора . 259
Контрольные вопросы . . . . 261
Глава 16. Устройство электрических машин . 262
16 1- Общий принцип действия и конструкции электрических машин. 262
16.2. Классификация электрических машин. . 264
16.3. Якорные обмотки электрических машин. ....... 265
Контрольные вопросы ... ....... 269
Глава 17. Асинхронные электрические машины . 270
17.1. Конструктивные особенности и принцип действия 270
17.2. Анализ работы асинхронного двигателя . 272
17.2.1. Порядок построения векторной диаграммы 276
17.3. Энергетическая диаграмма и вращающий момент асинхронного двигателя 277
17.4. Способы улучшения пусковых свойств асинхронного двигателя . 280
17.5. Однофазные асинхронные двигатели 283
Контрольные вопросы .... 286
Глава 18. Машины постоянного тока . . 288
18.1. Устройство и принцип действия машин постоянного тока . 288
18.2. Реакция якоря машин постоянного тока......................... 290
18.3. Коммутация в машинах постоянного тока........................ 292
18.4. Работа машины постоянного тока в качестве генератора...........294
18.4.1. Особенности характеристик генератора параллельного возбуждения . . 296
18.5. Работа машин постоянного тока в качестве двигателей...... . . 299
18.5.1. Торможение двигателей постоянного тока............. . . 301
18.5.2. Особенности двигателя последовательного возбуждения . 302
18.5.3. Универсальный коллекторный двигатель ................... 304
Контрольные вопросы . . ....................... 304
Глава 19. Синхронные электрические машины . 305
19.1. Принцип работы, ЭДС, реакция якоря. . 305
19.2. Векторная диаграмма и эквивалентная схема 307
19.3. Характеристики синхронного генератора 308
19.4. Принцип работы синхронного двигателя 311
Контрольные вопросы . 314
Часть III. Примеры и задачи..........................................315
Использование программы Electronics Workbench при изучении курса
«Электротехника»............... ... ......... 316
Работа с элементами и схемами в программе Electronics Workbench . . 317
Решение контрольных задач . 326
Глава 2. Основные уравнения теории электрических цепей. 326
Глава 3. Расчет простых цепей при постоянных токах и напряжениях . . 332
Глава 4. Анализ простых цепей при синусоидальных токах п напряжениях 337
Глава 5. Анализ сложных цепей....................................343
8
Содержание
Глава 6. Резонанс н частотные свойства .... 348
Глава 7. Расчет электрических цепей при несинусоидальных
периодических токах и напряжениях 351
Глава 8. Общие свойства четырехполюсников . 357
Глава 9. Трехфазные электрические цепи.......................... 360
Глава 10. Анализ переходных процессов в линейных цепях...........365
Глава 11. Применение интеграла Дюамеля для расчета переходных
процессов . . . ... . 378
Глава 12. Применение интегральных преобразований при расчете
процессов в линейных цепях. ...... 380
Глава 13. Основы синтеза линейных цепей 385
Лабораторные работы.................................................388
Лабораторная работа 1. Элементы электрических цепей. Приемы анализа
цепей при постоянных токах и напряжениях 388
Контрольные вопросы .... 388
Задание по лабораторной работе. . . 389
Варианты индивидуальных заданий . 389
Схемы к индивидуальным заданиям. 390
Лабораторная работа 2. Простые цепи синусоидального тока. .398
Контрольные вопросы.............................................. 398
Задание по лабораторной работе..... . . . . 399
Варианты индивидуальных заданий. . . . . 400
Лабораторная работа 3. Методы контурных токов и узловых потенциалов 401
Контрольные вопросы .... 401
Задание по лабораторной работе..... 402
Варианты индивидуальных заданий.............................. 402
Лабораторная работа 4. Резонанс и частотные характеристики в электрических
цепях . . . . ......... .............. 406
Контрольные вопросы........ 406
Задание по лабораторной работе. . . 406
Варианты индивидуальных заданий . . 407
Лабораторная работа 5. Исследование свойств четырехполюсников . 411
Контрольные вопросы........ 411
Задание по лабораторной работе. 41
Варианты индивидуальных заданий................................ .41
Лабораторная работа 6. Трехфазные электрические цепи. 414
Контрольные вопросы . 414
Задание по лабораторной работе. 415
Лабораторная работа 7. Исследование переходных процессов в цепях
с одним накопителем (катушкой индуктивности) 41/
Задание по лабораторной работе. .41/
Лабораторная работа 8. Исследование переходных процессов в цепях
с одним накопителем (конденсатором) . 423
Задание по лабораторной работе. . . 423
Лабораторная работа 9. Исследование переходных процессов в цепях
с двумя накопителями . . 42/
Задание по лабораторной работе................ ... .......430
Алфавитный указатель.............................................. 440
Предисловие
ir пс «Электротехника» невозможно освоить без практического расчета электри-
ческих цепей. Вместе с тем все трудности при решении задач возникают из-за
незнания теории. Слишком часто студенты начинают изучение раздела с попыт-
ки решения задач, а к теоретической части обращаются только при возникнове-
нии трудностей. Аналогично проходит и подготовка к лабораторным работам.
Именно поэтому мы настоятельно рекомендуем, прежде чем приступать к реше-
нию задач, приведенных в конце каждой главы части I, разобраться в теоретиче-
ских положениях темы. Подробное решение подобных этим задач и составляет
содержание настоящего учебного пособия. Помочь усвоить излагаемые сведения
призваны контрольные вопросы, перечень которых завершает каждую главу.
Решение задач обязательно должно сопровождаться моделированием на компью-
тере с приведением схем включения приборов и заключением о соответствии рас-
четных и экспериментальных результатов. Необходимо также приводить теоре-
тические пояснения, ссылки на законы и теоремы и обоснование выбранных ме-
тодов.
В данной книге задания по лабораторным работам не сопровождаются теорети-
ческими сведениями (за исключением работ 7-9). В то же время они имеют не-
которые особенности.
1. Лабораторные работы должны проводиться в условиях компьютерной лабора-
тории, оснащенной EWB. Надо четко понимать, что компьютерный экспери-
мент даст ответ на следующие вопросы: правильно ли применены соответству-
ющие положения теории, правильно ли составлены уравнения, правильно ли
выполнены их решения? Эксперимент, выполненный в системе EWB, может
выступить и как самостоятельный метод анализа электрических цепей. В то
же время компьютерная лаборатория не может использоваться для подтвер-
ждения тех или иных гипотез или обнаружения новых физических явлений.
Приводимые в данном издании лабораторные работы можно реализовать и в ла-
боратории, где проводится физическое экспериментирование, если нет огра-
ничений на воспроизведение параметров идеальных элементов и на наличие
требуемых приборов. Исключением является используемый в программе EWB
прибор Bode Plotter, который, в отличие от фазометра, позволяет зафиксиро-
вать сдвиг по фазе между напряжениями двухполюсников, даже если они ме-
жду собой непосредственно не соединены. Кроме того, некоторые особенности
имеют амперметры и вольтметры переменного тока, так как, в отличие от ла-
бораторных приборов, например электромагнитной системы, они исключают
из показаний постоянную составляющую при несинусоидальных сигналах.
Освоение программы EWB предусматривается перед выполнением лаборатор-
ной работы 1 Практика показывает, что студенты 2-3-х курсов очень быстро
осваивают се, поэтому двух часов на первой лабораторной работе вполне до-
статочно для предварительного знакомства с программой под руководством
преподавателя.
2- Каждая из лабораторных работ преследует цели более глубокого усвоения от-
дельных разделов теории, поэтому опа во многом теряет свой смысл, если со-
ответствующие разделы предварительно не проработаны. Поэтому вместо
кратких теоретических сведений в них приведены контрольные вопросы. Если
студент испытывает затруднения, отвечая на эти вопросы, необходимо требо-
вать изучения материала по учебнику или конспекту лекций, наличие кото-
рых во время проведения лабораторных работ обязательно.
Что касается обязательности расчетов, предваряющих эксперимент, то это
оставляется на усмотрение преподавателя, так как, строго говоря, компьютер-
ный эксперимент — это один из методов расчета.
В лабораторных работах 7-9, посвященных переходным процессам, теорети-
ческие сведения и методические указания приведены, так как они способст-
вуют более глубокому пониманию возможностей программы EWB и освоению
таких приборов, как двухлучевой осциллограф с памятью, который можно
встретить далеко не в каждой лаборатории.
Сборник содержит только общие требования к содержанию отчета. В процес-
се выполнения экспериментальной (как и любой исследовательской) работы
исполнитель сам выбирает форму предоставления отчетности. Поэтому ком-
поновка отчета по лабораторной работе (текст, таблицы, графики, расчеты)
наряду с ее сущностью должна оцениваться. При этом важно, что студент по-
лучает оценку в процессе защиты, во время которой он может отстоять при-
нятое им решение (как по форме, так и по существу).
ВвеДение
Настоящее учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по спе-
циальным программам Московского государственного института электронной тех-
ники (МИЭТ (ТУ)). В нем по сравнению с некоторыми традиционными учебни-
ками отдельные разделы (теория электромагнитного поля) опущены, так как
они изучаются в соответствующих разделах физики, теоретической физики, фи-
зики полупроводников и др. Такие разделы, как «Нелинейные цепи» и «Длин-
ные линии», изучаются в курсах «Радиоэлектроника» и «Импульсная техника».
В последнее время значительно возросла роль новых информационных техно-
логий при изучении курса теории электрических цепей, вследствие чего совер-
шенно по-новому стали строиться практические и лабораторные занятия. Осво-
ение нового программного средства — программы Electronics Workbench 5.12рго
(EWB) — в данном издании отнесено к части, содержащей решение контроль-
ных задач и лабораторные работы.
Учебное пособие может использоваться для самостоятельного изучения. Имен-
но поэтому в конце каждой главы помещены вопросы для самопроверки, а в гла-
вах 2-13 — еще и контрольные задачи. Правильность решения задач с численны-
ми ответами нужно подтверждать, моделируя цепь на ПВМ и получая ответы из
показаний приборов.
Отбор материала проводился на протяжении многих лет практически всеми пре-
подавателями кафедры «Электротехника» МИЭТ (ТУ). Авторы выражают им
глубочайшую благодарность.
От издательства
Ваши замечания, предложения и вопросы отправляйте по адресу электронной
почты comp@piter.com (издательство «Питер», компьютерная редакция).
Мы будем рады узнать ваше мнение!
Подробную информацию о наших книгах вы найдете на веб-сайте издательства:
http://www.piter.com.
Список принятых обозначений
Н — вектор напряженности магнитного поля;
8 — вектор плотности тока;
D — вектор электрического смещения;
Е — вектор напряженности электрического поля;
В — вектор магнитной индукции;
П — вектор плотности мощности;
и — мгновенное значение напряжения;
U — действующее значение напряжения;
U — комплекс напряжения;
i; I; I — соответствующие значения токов;
е,Е,Е — соответствующие значения ЭДС;
R; G — активные сопротивление и проводимость;
X; В — реактивные сопротивление и проводимость;
Z; Z — полное и комплексное сопротивления цепи;
L — индуктивность;
С — емкость;
f — частота;
со — круговая частота;
/т; Um; Ет — амплитудное значение тока, напряжения и ЭДС;
= — знак соответствия;
j — мнимая единица, V—1;
t — текущее время;
Т — период функции.
Часть I
Линейные
электрические цепи
Глава 1
Основные понятия электротехники
Электротехника — обширная область практического применения электромагнит-
ных явлений, происходящих в электротехническом устройстве.
Электротехническое устройство — система заряженных тел и проводников с то-
ком.
Для практического применения электромагнитных явлений в электротехническом
устройстве необходимо установить связь между переменными системы (потен-
циалами, зарядами, токами, магнитными потоками) и параметром системы.
Переменные системы делятся на две категории: известные, независимые (сигна-
лы) и определяемые, зависимые (реакция). Обозначив сигналы вектором а, ре-
акцию — вектором Ь, а параметры системы — вектором с, можно сформулиро-
вать две основные задачи электротехники.
1. Анализ: дано а и с, определить Ь, то есть при заданной системе (с)и возмуще-
ниях (а) в результате анализа получается реакция системы (Ь).
2. Синтез: дано а и Ь, определить с, то есть требуется определить такую систе-
му (с), которая бы при заданных возмущениях (а) обеспечивала требуемую
реакцию (Ь ).
Для решения задач электротехники (как и задач во многих других областях зна-
ний), исходя из физических процессов, протекающих в системе, переходят к мо-
дельному представлению системы, то есть к такому ее упрощению, при котором
она, с одной стороны, сохраняет все существенные свойства, а с другой — подда
ется решению доступными математическими средствами. Венцом моделирова-
ния является составление математической модели.
Наиболее полно электротехнические процессы описываются уравнениями Макс-
велла, известными из курса физики:
1) rotfl=8 + —;
dt
2) rot£ = -—;
dt
3) divB = 0;
4) divD = p;
5) П = E x H — уравнение Умова-Пойнтпнга.
Первое уравнение утверждает тот факт, что вектор тока (8), равно как и ток, вы-
f А
званный изменением электрического смещения -------- , вызывает появление маг-
I dt. )
нитного поля.
Второе уравнение показывает связь между изменением вектора магнитной ин-
дукцип --- и напряженностью электрического поля.
I dt )
Глава 1
Основные понятия электротехники
15
Третье уравнение утве
существует магнитных
рждает, что линии магнитного ноля замкнуты, то есть не
зарядов.
Четвертое уравнение вводит понятие электрического заряда, на котором начина-
ютСя и заканчиваются линии электрического смещения. Среда, в которой взаи-
одействуют переменные, задается коэффициентами в соотношениях D = £ Е;
В = ц И; 8 = у Е.
Пятое уравнение указывает, что энергия локализуется в электрических и маг-
нитных полях.
Если не учитывать квантовые, статистические процессы микромира, приведен-
ная система уравнений довольно полно описывает все электромагнитные взаи-
модействия в электротехнических устройствах и в этом смысле является полной
математической моделью любой системы.
Непосредственно для практического расчета целого ряда электротехнических си-
стем уравнения Максвелла использовать затруднительно по двум причинам: из-
за сложности математического аппарата векторного анализа, а также громоздко-
сти исходных данных, так как требуется задание параметров в виде векторных
полей.
В очень многих задачах требуется знание только следующих интегральных по-
нятий:
□ ток — i = j8Js -
□ ЭДС-е^(£тр + £Н11ЛЖ
В _
□ напряжение — и = J Edl.
л
Эти обстоятельства возникают при следующих условиях:
□ пути тока довольно малого сечения, и ток можно считать равномерно распре-
деленным по сечению;
□ электрические свойства проводников и диэлектриков существенно разнятся
(их сопротивления составляют омы и мегаомы соответственно);
Q в источниках и приемниках нас интересуют только интегральные эффекты.
Устройство, отвечающее этим требованиям, называется электрической цепью.
Следует остановиться также на понятии мощности:
р = JTTJs,
5
Где 5 — сечение, в котором взаимодействуют электрическое и магнитное поля.
Г>
случае двух проводников с током /, шириной Ь, расположенных на расстоянии а
ДРуг от друга (рис. 1.1), при разности потенциалов U получим:
U = аЕ; jlldl = I ^Hl2b=I.
Значит, напряженность магнитного поля от двух токов
16
Глава 1 Основные понятия электротехники
Вектор Пойнтинга П = Н х Е - —. Мощность П5 = IU (векторы Е и Я перпен-
ab
дикулярны).
Несмотря на локализацию энергии в электрических и магнитных полях (£ х Я),
получаем математическое тождество (П5 = IU ), благодаря которому мощность
можно рассчитывать как произведение тока и напряжения:
р = ui.
Электрическая цепь — это система заряженных тел и проводников с током, кото-
рая с достаточной для практических целей точностью может быть описана инте-
гральными понятиями и, i, е, р, w.
Приведенные интегральные понятия при математическом описании системы
выступают как переменные. Некоторые переменные могут быть независимыми
(заданными), называемыми сигналами, а другие — зависимыми (реакцией си-
стемы).
Саму систему составляют элементы системы, задаваемые их параметрами, и ха-
рактер взаимодействия (соединения) этих элементов. Физически каждый эле-
мент обладает следующими свойствами:
□ он может генерировать электрическую энергию, точнее, преобразовывать ка-
кой-либо вид энергии в электрическую и привносить ее в систему:
□ рассеивать энергию, то есть необратимо превращать электрическую энергию
в какой-либо другой вид энергии;
□ накапливать и возвращать энергию электрического поля;
□ накапливать и возвращать энергию магнитного поля
Очевидно, простейшим элементом электрической цепи может быть двухполюс-
ный элемент (двухполюсник), то есть часть цепи, ограниченная двумя зажима-
ми. В качестве переменных здесь принимаются ток г(г) и напряжение и(Е). Связь
между переменными описывается математической моделью i - f(u) или и =
Это означает, что двухполюсник может быть задан вольт-амперной характери-
стикой, которая может проходить или не проходить через начало координат.
В первом случае это пассивный двухполюсник (рис. 1.2, о), во втором — актив-
ный (рис. 1.2, б).
Активный двухполюсник обязательно обладает свойством генерировать электри-
ческую энергию.
[/0нТрОльНЫе вОПР°СЬ|_______________________________________________________________________________________
а
Рис. 1.2
Пассивный двухполюсник если и содержит источники энергии, то они так соеди-
нены и имеют такие параметры, что это не проявляется на внешних зажимах.
В эксперименте легко различить активный и пассивный двухполюсники. Вольт-
метр, подключенный к зажимам отдельно взятого активного двухполюсника, по-
кажет и * 0 (при i = 0), а амперметр — i Ф 0 (при и = 0). В случае пассивного двух-
полюсника и = 0 (при i = 0) и i = 0 (при и = 0).
Двухполюсные элементы могут быть линейными и нелинейными. Элемент на-
зывается линейным, если его вольт-амперная характеристика выражается прямой
линией. Сейчас и в дальнейшем, если противное не будет оговорено специально,
будем рассматривать линейные элементы. Из них состоят линейные электриче-
ские цепи.
Математические модели существенно упрощаются, если различные свойства элемен-
тов можно разделить в пространстве, то есть пользоваться элементами с сосредото-
ченными параметрами. Если это невозможно, приходится иметь дело с цепями
с распределенными параметрами.
Параметры, характеризующие свойства элементов, могут зависеть или не зави-
сеть от времени.
Из всего многообразия возможных моделей элементов пока выберем линейные
элементы с сосредоточенными параметрами. Параметры пассивных элементов
будем считать не зависящими от времени, параметры активных элементов (сиг-
налы) в общем случае — функциями времени.
Резюме. Электрическая цепь — такое модельное представление электрического
устройства, которое использует в качестве переменных интегральные понятия о
токе, напряжении, электродвижущей силе, мощности, энергии (г, и, е, р, w). Ма-
тематическая модель, то есть связь между переменными, определяется на основе
представления системы в виде отдельных элементов, обладающих теми или ины-
ми свойствами. Теория электрических цепей — существенная часть электротех-
ники — решает две основные задачи: анализ и синтез.
Контрольные вопросы
Какова область интересов дисциплины «Электротехника»?
2- Сформулируйте две основные задачи теории цепей.
Объясните качественно уравнения Максвелла.
-f 8 Глава 1. Основные понятия электротехники
4. В чем физический смысл уравнения Умова - Пойнтинга?
5. В чем качественная разница выражения мощности в уравнениях П = Е х 7/
и р - wz?
6. Каково качественное соотношение между электрическим устройством и элек-
трической цепью?
7. В чем состоит принципиальное различие активного и пассивного двухполюс-
ников?
8. Что такое линейный двухполюсник?
Глава_2
Основные уравнения теории
электрических цепей
2.1. Элементы электрических цепей
Для моделирования электрических цепей плодотворным оказалось применение
идеальных элементов, обладающих только одним из четырех перечисленных в
главе 1 свойств. При этом реальные элементы получаются соединением идеаль-
ных элементов с различными свойствами.
2.1.1- Двухполюсные элементы
Рассмотрим некоторые идеальные элементы, применяемые в электрических цепях.
Идеальный источник ЭДС. Условное обозначение и вольт-амперная характери-
стика идеального источника ЭДС приведены на рис. 2.1, а и б соответственно.
Его единственное свойство — генерировать электрическую энергию так, чтобы
напряжение на его зажимах не зависело от протекающего через него тока. По
смыслу идеализации Rnil = 0. Стрелка в круге показывает направление внутрен-
них сил, то есть направлена в сторону точки с большим потенциалом. Напряже-
ние с точки зрения потребителя отмечается стрелкой от большего потенциала
к меньшему: U = Е.
Рис. 2.1
Часто на схемах вместо идеального источника ЭДС
просто рисуют стрелку с обозначением и, как по-
казано на рис. 2.2.
Если направление тока, протекающего через источ-
ник, совпадает с направлением внутренних сил, то
V ~ui < (у Отрицательная мощность означает, что
Источник отдает энергию в остальную часть цепи.
Если направление тока таково, что р = ui > 0, то
Источник потребляет энергию (например, аккуму-
лятор в режиме заряда).
а b
Рис. 2.2
20
Глава 2. Основные уравнения теории электрических цепей
Коротко говоря, свойства идеального источника ЭДС гаковы:
□ напряжение U = Е — задано;
□ ток I — любой;
□ сопротивление Rmi = 0.
Идеальный источник тока. Условное обозначение и вольт-амперная характерп-
стика идеального источника тока представлены на рис. 2.3, а и б соответственно
Его свойства можно определить следующим образом:
□ напряжение и — любое:
□ ток / = J — задан;
□ сопротивление Rmi =
Приближенно источник тока можно представить как реальный источник с боль-
шим напряжением и большим внутренним сопротивлением, подключенный к по-
требителю с малым сопротивлением.
Так же как и источник ЭДС, если р = ui < 0, источник тока отдает энергию, а если
р = ui > 0 — потребляет.
ВНИМАНИЕ--------------------------------------------------------------------
Подчеркнем еще раз, что параметры идеальных источников в общем случае могут быть
функциями времени: е(7)../(/).
Для уяснения возможности потребления энергии источниками полезно рассмот-
реть две задачи (рис. 2.4, а и б) (напряжения и токи на схемах постоянны). Оче-
видно, что при таком соединении один из источников генерирует энергию, а Д]>\-
гой потребляет. Когда направления токов и напряжений в схемах обозначены,
становится ясно, что для схемы на рис. 2.4, а в источнике ЭДС р = ui >0 — по-
требитель, а в источнике тока р = ui< 0 — генератор. В схеме на рис. 2.4, б - на-
оборот.
Резистор — это элемент, обладающий свойством только рассеивать (потреблять)
электрическую энергию (рис. 2.5).
2 1 Элементы электрических цепей
Соотношение между током и напряжением в ре-
зисторе определяется законом Ома: и - Ri, i = uG
(закон Ома можно назвать математической моде-
лью резистора, R - u/i). Направления тока и на-
пряжения в нем всегда совпадают, поэтому мощ-
ность всегда положительна (энергия потребля-
ется):
р = ui = rR = — =u2G>0,
R
Рис. 2.5
где R — сопротивление, Ом; G = — — проводимость, величина, обратная /?, См.
ПРИМЕЧАНИЕ —---------------------------------------------------------
Следует иметь в виду, что таким же прямоугольником, как резистор, часто изображают
любой двухполюсник.
Катушка индуктивности — элемент, обладающий только свойством накапли-
вать (и отдавать) энергию магнитного поля, называется катушкой индуктивно-
сти (рис. 2.6).
Соотношение между током и напряжением в ка-
тушке индуктивности таково:
uL~ L^-; i = — ^udt = — ^udt + z; (0),
dt L L q
где L ~ параметр элемента, измеряемый в генри
(Гн), то есть напряжение на зажимах элемента
возникает только тогда, когда есть изменение то-
КЭ- Если изменения тока нет (ток постоянный), то
НапРяженпе Uo = 0 (закоротка). а элемент накопил
г ;2
энергию W = —
2
Рис. 2.6
любой момент времени при i * 0 запасенная катушкой энергия W = > 0. Если
^пряжение и ток совпадают ио направлению, р = ui > 0, то энергия запасается.
те промежутки времени, когда р =ui < 0, энергия возвращается в цепь.
22
Глава 2, Основные уравнения теории электрических цепей
Следует обратить внимание на то, что элемент инерционен относительно тока,
то есть внезапное, скачкообразное изменение тока через индуктивность невоз-
можно:
Конденсатор. Так называют емкостный элемент, который обладает свойством
только запасать энергию электрического поля (рис. 2.7).
Математическая модель конденсатора:
fc=C*^;
с dt
Рис. 2.7
ис =
= ^\icdt + uc(W),
Е Е 0
где С — параметр элемента, измеряемый в фа-
радах (Ф). Ток через конденсатор протекает по
причине изменения напряжения на его зажимах.
Если изменений напряжения нет, и = const 0, то
i = 0 (разрыв цепи), а элемент накопил энергию
... Си2 „ Си2
WE=-----. При изменяющемся напряжении запас энергии w -----, а мощность
dW du
р - -— = иС— = иг положительна в те промежутки времени, когда ток и иапря-
dt dt
жение совпадают по направлению. В это время энергия в конденсаторе накапли-
вается.
На обкладках конденсатора невозможны скачки напряжения, как невозможны
в природе внезапные изменения запасенной энергии:
wc( б) —
Некоторые авторы, чтобы подчеркнуть идеальность катушки индуктивности и ем-
костного накопителя, употребляют жаргонные термины для наименования пара-
метров элементов: индуктивность (£) и емкость (С) соответственно. Это, строго
говоря, неправильно, но допустимо.
Упоминавшиеся ситуации разрыва цепи и закоротку тоже целесообразно опре-
делить как элементы цепи:
□ закоротка — ток любой, напряжение и - 0;
□ разрыв цепи — напряжение любое, ток г - 0.
В некоторых случаях в радиоэлектронике применяют элементы, реальных ана-
логов не имеющие.
а
о-----о------о б
б
о-----ОО------О
Рис. 2.8
Рис. 2.9
2J. Элементы
электрических цепей
22
Лх получают как математические абстракции:
нулатор (рис. 2.8, а) — напряжение и - 0, ток i = 0;
□ норатор (рис. 2.8, б) — напряжение и — любое, ток i — любой.
С их помощью можно выразить закоротку (рис. 2.9, а) и разрыв цепи (рис. 2.9, б).
Все перечисленные элементы — двухполюсники.
2 1.2. Четырехполюсные элементы
Если напряжения (токи) между двумя узлами зависят не только от тока (напря-
жения) между этими узлами, а определяются токами и напряжениями на других
участках цепи, то математическое описание таких случаев требует введения че-
тырехполюсных элементов. Рассмотрим некоторые из них.
Взаимная индуктивность. Четырехполюсным элементом, имеющим реальный
прототип, является взаимная индуктивность (рис. 2.10).
Реально это две катушки индуктивности £, и L2, имеющие полностью или ча-
стично общий магнитный поток. Из курса физики известно, что напряжение на
катушке определяется изменением магнитного потока. Следовательно, при нали-
чии общего магнитного потока напряжение на каждой индуктивности определя-
ется как сумма двух слагаемых:
. di2
l2~dt’
di,
r di,
“i = L'~T±M'
at
T di2
ui = ^2 —~ ±
dt
21 dt '
Первое слагаемое — это напряжение самоиндукции, а второе — напряжение
взаимоиндукции, и
A/и — Kyj L, L2 — A/2|,
гДе 0 < K< 1 _ безразмерный коэффициент, показывающий, какая часть магнит-
ного потока является общей.
Знак «+» в уравнении ставится, если при выбранных направлениях тока магнит-
Ые потоки складываются. Для того чтобы на схеме обозначить это обстоятель-
во, на катушках L, и £2 отмечаются начала обмоток. При этом, если токи в обе-
Х катушках одинаково направлены относительно начала обмоток, то магнитные
°т°ки складываются.
24
Глава 2. Основные уравнения теории электрических цепей
При К = 1 (совершенный трансформатор)
r di, //--— di
111 = ^T ^2 -
dt dt
4V 1 dt 1 dt
rz z di. di2
u2~ -yL) L2 —— + L2 —
dt dt
4 dt V 2 dl
гг.
w, . , .
Отношение — = = —- = п — это коэффициент трансформации, где да,, «’
U 2
соответственно число витков катушек Lt и L2.
У совершенного трансформатора напряжение на вторичных зажимах не зависит
от нагрузки, а определяется только первичным напряжением (п,) и коэффициен-
том трансформации.
Если предположить, что £, —» °° (идеальный трансформатор), то из первого урав-
нения математической модели следует:
di, и. 1 di.,
---—-----------, L । °°.
dlt L{ п dt
Добавив сюда уравнение совершенного трансформатора, получим систему урав-
нений для идеального трансформатора:
Г. 1 .
г. — — z2,
п ilul + i2U2 = 0.
ut = пи2',
Последнее означает, что идеальный трансформатор не накапливает энергию,
Pi + Рг ~ 0. Его основное назначение — изменение масштабов юка и напряжения.
Свойством идеального трансформатора является также изменение масштаба Rv
Д или С, без изменения их характера.
Чтобы разъяснить эти свойства, подключим на выходе цепи R, L или С и рас-
смотрим соотношения между zzt и it на входе:
то есть эквивалентное сопротивление = — = nzR2.
h
Со стороны входных зажимов сопротивление А’2 трансформируется в >г2Д2= R\y
знак «—» перед связан с «несогласованностью» между напряжением и токо'1
г2
на вторичных зажимах.
2J. Элементы
электрических цепей
25
и включении на выходе катушки индуктивности
2 _ г ^1
то есть и — .
Если на выходе включен конденсатор, то
Ч _с w'l
I du2 ) 2 I1Vdut
I dt J \«A dt
\ dux . dut
то есть — C2 —— - ij = Cd ——.
n2 dt dt
Гиратор. Как математическую абстракцию можно представить элемент, описы-
ваемый системой уравнений
1
l\— W2>
n
Uf = ni2.
Он также не накапливает энергию:
ut il+u2i2 = 0.
Этот гипотетический элемент называют гиратором (рис. 2.11).
Рис. 2.11
ели бы удалось реализовать элемент с такими свойствами, то получился бы за-
мечательный результат: включение на выходе емкости со стороны входа приво-
дило бы к эффекту включенной индуктивности. Действительно,
Т°есть n2C2^ = u.,L = п2С2.
dt
26
Глава 2. Основные уравнения теории электрических цепей
В радиоэлектронике и автоматике при описании усилительных свойств прибо-
ров и наличия обратных связей используются следующие зависимые источники
как четырехполюсные идеальные элементы:
1) источник напряжения, управляемый напряжением (ИНУН) (рис. 2.12);
2) источник напряжения, управляемый током (ИНУТ) (рис. 2.13);
3) источник тока, управляемый напряжением (ИТУН) (рис. 2.14);
4) источник тока, управляемый током (ИТУТ) (рис. 2.15).
Коэффициенты а,, а2, а3 и — размерные или безразмерные, они количест-
венно характеризуют управление источником со стороны тока или напряжения
на входных зажимах.
Если параметры R, L, С, М и т. д. постоянны, то есть не зависят от токов и напря-
жений, то при этом, как мы увидим в дальнейшем, математическое описанИ6
цепи приводит к линейным уравнениям. Цепи с такими параметрами называют-
ся линейными. Если хотя бы один элемент не подчиняется этому правилу, то вся
цепь нелинейная.
2 i Элементы электрических цепей
27
g дальнейшем, если это не оговорено особо, будут рассматриваться линейные
длементЫ. Активно будут использоваться источники напряжения и тока, рези-
CTOpt индуктивность, емкость и взаимная индуктивность. Знание прочих элемен-
электрических цепей полезно при чтении специальной литературы.
решение проблемы выражения всех свойств заданной реальной системы сочета-
нием идеальных элементов рассматривается в спецкурсах на основе анализа фи-
зических явлений заданного устройства. Приведем некоторые примеры.
Пример 2.1. В реальном источнике (химическом элементе, машинном генерато-
ре, термопреобразователе и т. д.) часть генерированной электроэнергии теряется
на неизбежно имеющихся внутренних сопротивлениях.
На рис. 2.16, а показана вольт-амперная характеристика реального источника,
а на рис. 2.16, б — два возможных его схемных выражения.
Соотношение между током и напряжением в этих схемах:
и = e-iR; i = J - uG.
Очевидно, эти схемы эквивалентны, если
т е J „ 1 „ 1
/ = — или е = — и G = — или R = —;
R G R G
R = k[tga; G = £2tgp.
Как видно из вольт-амперной характеристики, в режиме холостого хода их х = е
и в режиме короткого замыкания iK 3 = J.
Пример 2.2. Рассмотрим реальную катушку с магнитным сердечником. В пер-
вом приближении, когда существенным для анализа всей системы является
только накопление энергии магнитного поля, а всеми остальными параметрами
Можно пренебречь, катушку моделируют одной идеальной индуктивностью
(РИС. 2.17, а). При необходимости учесть потери на нагрев проводов применяют
схему, изображенную на рис. 2.17, б.
Если требуется различить магнитные потоки, замыкающиеся по сердечнику (£, )
и по воздуху (£2, индуктивность рассеяния), применяют схему, приведенную на
₽ис. 2.17, в. Учет потерь на перемагничивание сердечника требует включения па-
раллельно L, сопротивления R?, поскольку потери в сердечнике зависят только
°т соответствующей части магнитного потока (рис. 2.17, г). Если катушка приме-
28
Глава 2 Основные уравнения теории электрических цепей
няется при высокой частоте, может потребоваться учет межвитковой емкости
тогда применяется схема, изображенная на рис. 2.17, д.
Ответить на вопрос, какую схему применять в каждом конкретном случае, без
проведения опыта нельзя. В конечном счете любая модель подойдет, если ре-
зультат ее применения удовлетворяет потребной точности, то есть совпадает
с экспериментальными данными.
Приведем еще два примера изображения реальных устройств в виде схем. Обос-
нования будут даны в соответствующих разделах.
Пример 2.3. Эквивалентная схема трансформатора (рис. 2.18).
Пример 2.4. Эквивалентная схема асинхронного двигателя (рис. 2.19).
Рис. 2.19
Здесь Rtl характеризует превращение электрической энергии в механическую.
21 элементы электрических цепей
29
И ei№ один пример, обоснование которого будет дано в специальных курсах.
Пример 2.5. Эквивалентная схема транзистора (рис. 2.20).
Здесь наличие источника тока, управляемого напряжением, отображает усили-
тельные свойства транзистора.
Предложенная система идеальных элементов из-
быточна. Кроме приведенных примеров, где с по-
мощью нулатора и норатора выражаются зако-
ротки и разрывы, можно привести еще примеры.
Рассмотрим схему (рис. 2.21), состоящую из
ИНУН и ИТУТ. Соотношения между токами и
напряжениями на выходе схемы в случае вклю-
чения резистора, катушки индуктивности и кон-
денсатора выражены формулами и2 = R2i2,
di2 аи2
и2 = L-i —— и i2 = С2 —— соответственно.
dt dt
Учитывая зависимости и, - а.}и., и ?2 = а2г,, получим со стороны входа:
и, - ala2R-,i[ = R,i,
то есть
R, = a(a2R2;
,, г di, т di, г т
ut= б2а.а, — = £, —L; £=а.а,£2;
1 2 dt ' dt ' 1
i —. _ du. du ।
1 “ O 2 ~| W ~ ' ————— .
«ia2 dt dt a,a2
Рис. 2.22
При соответствующем выборе 0Ц и а,
свойства такого четырехполюсника полностью совпадают со свойствами идеаль-
н°го трансформатора.
Нетрудно убедиться в том, что схема ПНУТ — ПНУТ (рис. 2.22) обладает свой-
ствами инвертора сопротивления.
Наконец, всегда полезно иметь в виду, что в схеме резистор можно заменить на-
пряжением, управляемым собственным током, и = Ri.
30
Глава 2 Основные уравнения теории электрических цепей
В табл. 2.1 приводятся сводные данные об идеальных элементах электрических
цепей. Знаком «*» отмечены элементы, которые нужно знать уверенно.
Таблица 2.1. Сводная таблица элементов
Элемент Схема Математическая модель Единица измерения
Двухполюсные элементы
Источник ЭДС, е(*) е аЧ \~7 ? J. L 1 и - е Вольт (В)
Источник тока, /(*) 1 1 1 1 1 1 1 J 1 1 1 1 1 1 1 i=J'. и — любое Ампер(А)
У ? । ◄ f г 1.
Резистор G (*) а < । । । । । । г . R . '—►—1 1 1 ► и >h 1 1 1 1 1 1 1 и = Ri; i = Gu; R = - G Ом. сименс (См) _
Катушка индук- тивности, L (*) а < i । । । 1_ _ i L , > Г'Г'ГУ — ► и ' ь 1 ! 1 1 1 1 1 di и = L—; dt i = — judt + iL(0) L 0 Генри (111)
2j. элементы
электрических цепей
31
Элемент Схема Математическая модель Единица измерения
Конденсатор, С(*) >ь ~du i=C—~; dt 1 г u =-p\ldt + uc^ С 0 Фарада (Ф)
II ► U
i i i i i i i i L I
Разрыв О о о —о i=0; u — любое
Закоротка О О u =0; i — любой
Нулатор о О ° i=0; u =0
Норатор о -ОО о i — любой; u — любое
Четырехполюсные элементы
Катушки взаим- ной индуктив- ности (*) 1! •* "1 £| ч ’ г 1 М12 S. '2 —< £2 «2 — г Л А ^2 И, = L, — + 1 ’ dt 12 dt . di, di. U2 ~ ^2 ~~n + “77 at at M12 = M21 — генри; при изменении направле- ния одной из обмоток относитель- но тока знак меняется
ИНУН ч = о о > «1 о О ) u2 = о Щ = о _P | О О t 2.^2 _*2. а, безраз- мерный ко- эффициент
ИНУТ ч о > W] = 0 о о J м2 = °2г| о 4' Jl. = 0 0‘ ± 0 La2 J W2" _!2 _ «2 имеет размер- ность сопро- тивления
Продолжение £>
32
Глава 2. Примеры и задачи
2.2. Законы Ома и Кирхгофа
Закон Ома устанавливает соотношение между током, протекающим через какой-
либо двухполюсник, и напряжением на его зажимах. Для идеальных пассивных
элементов мы их уже записывали:
D. т di „du
и - Ri; u, = L —; ir=C—.
dt L dt
Эти компонентные уравнения являются основанием для выражения соответст-
вующих соотношений в сколь угодно сложных цепях.
2.2.1. Первый закон Кирхгофа
Закон устанавливает, что вследствие непрерывности тока суммарный ток, вте-
кающий в какой-либо замкнутый объем, равен суммарному вытекающему из
этого объема току. В теории цепей под замкнутым объемом понимается узел или
отсечение. Чаше всего первый закон Кирхгофа формулируют для любого узла
так: £ iK = 0.
Для узла, изображенного на рис. 2.23, узловое уравнение
будет таким:
то есть
Иногда уравнение записывают, выделяя источники тока-
2 >
К
к
Важно только соблюдать правило знаков: все истинные направления входной1-
токов считаются положительными, а выходящие — отрицательными. Можно сП
2 Законы има и кирхгосра
, н наоборот. Поскольку часто искомыми являются не только величины, но
тать 11
направления токов, то последние до получения результатов анализа неизвест-
ны На практике, как это будет показано в дальнейшем, уравнения составляются
относительно условных положительных направлении, которые принимаются про-
извольно, но одинаково во всех уравнениях. Если в результате анализа получат-
ся отрицательные значения токов, то истинное значение будет обратным.
диалогичные уравнения можно записать для любого отсечения:
i{ + - i.t + i.. - /7 = О
или
Ё> + г1 + г2 + 14 + 70 =
и т. д. Пример приведен на рпс. 2.24.
Решим задачу, характерную для параллельного
(рис. 2.25) по первому закону Кирхгофа:
1J " " 7/ " 1
-- = У 7к= £— = «£—
R, Г > RK Г RK
Значит, п параллельно соединенных резисторов,
с точки зрения остальной цепи, можно заменить
одним Rt в соответствии с соотношением
1 " 1
С,= УСК или —= У —
Для двух резисторов это соотношение часто при-
меняется в виде
соединения резисторов
R.,
Рис. 2.25
R_
' R^ + R.,
Ес
и Параллельно соединены конденсаторы, то
i = у г = У С С I-
г т А dr Ъ
du
di'
Т° есть
1
2
Зак 7ц
34
Глава 2. Основные уравнения теории электрических цепед
При соединении катушек индуктивности
X ' = = ХтЧ\l,Kdt '•
LK I
1 " 1
откуда получим: — = Ху~-
| '-к
2.2.2. Второй закон Кирхгофа
Напомним, что напряжение на двухполюсных элементах — это разность потен-
циалов на его зажимах:
« = (q>t -Ф2)-
Нетрудно убедиться в том, что для схемы, изображенной на рис. 2.26,
Рис. 2.26
Хик= ф«- Ф/Л Ф/Ф. - - Ф« = °.
то есть сумма напряжений па двухполюсниках любого
замкнутого контура равна нулю. Конечно, эго будет
справедливо, если соблюдать правило знаков:
= ф„-Ф/,;
«2=“<* = -1<Ы-
И т. д.
Если какие-либо из двухполюсников представляют
собой источники ЭДС, то с учетом взаимного направ-
ления е и и можно записать контурное уравнение:
Хг/к= Хгк-
к к
В левой его части используются напряжения со зна-
ком «+», совпадающие с направлением обхода контура, в правой — ЭДС, совпа-
дающие с тем же направлением обхода. Для представления уравнений второго
закона Кирхгофа относительно тех же переменных (токов) используются приве-
денные ранее компонентные уравнения.
Пример 2.6. Рассмотрим систему, состоящую из последовательно соединенных
резистора, конденсатора и катушки. На этот двухполюсник воздействует ЭДб
e(f) (рис. 2.27). Контурное уравнение для такой системы
R будет следующим:
Ri + -[idt + L^- = e(t).
С J dt
Поскольку через все элементы протекает один и тот Ж1
ток, то с некоторой долей условности можно зашю11’
Zi = е, где оператор Z = R+~ Г( )dl + имеет см|,|С’
СJ dt
сопротивления и характеризует среду, где действует возмущение е(г). В 111)5
смысле оператор Z выражает собственное свойство системы.
2 з геометрия электрической цепи
35
к LK
к-няя второй закон Кирхгофа, легко получить выражения для эквивалент-
ПРиЛ последовательно соединенных резисторов, катушек индуктивностей
ной замен
и емкостей:
4.= ^
К К <- )
Для фрагмента цепи, изображенной на рис. 2.28,
онтУРное уравнение можно записать, сумми-
ровав напряжение на группах однотипных эле-
ментов:
У еи = £ i,„ И,„ + Е тПdt + Е " -»(°)+
т т I'm О т
„ at at
Суммы, конечно, везде алгебраические с учетом
знаков выбранных (условных) положительных
направлений токов по отношению к произволь-
ному направлению обхода контура.
2.3. Геометрия электрической цепи
Определим ветвь электрической цепи как совокупность элементов (последова-
тельно соединенных), но которым протекает один и тот же ток. Тогда, с точки
зрения геометрии, электрическая цепь будет представлять собой совокупность
ветвей и узлов. Узлом назовем точку, где сходятся три и более ветви. Иногда вво-
дится понятие простого узла, которым обозначают точку соединения двух вет-
вей. Математический аппарат, описывающий структуры, состоящие из ветвей
и узлов, излагается в теории графов.
Основные термины теории графов:
Q граф схемы — совокупность узлов и ветвей;
Q узел — точка, где сходятся три и более ветви:
□ контур — замкнутый путь, начинающийся и заканчивающийся в одном и том
же узле. Перечисление ветвей задает направление обхода контура. Поскольку
токи проходят только по замкнутым путям в графах, отображающих электри-
ческие цепи, ветви, не входящие в замкнутые контуры, не учитываются:
путь — совокупность ветвей, проход по каждой из которых выполняется од-
нократно. Ветви пути, перечисленные в заданном порядке, определяют на-
правление пути:
сечение — совокупность ветвей, удаление которых из графа приводит к обра-
зованию двух несвязных графов.
Писывать цепи несвязными графами можно также при наличии в них чсты-
Рехподюсных элементов (трансформаторы, управляемые источники);
гРиенггшрованиый граф — такой граф, ветвям которого присвоены определен-
ие направления;
36 Глава 2. Основные уравнения теории электрически*
□ дерево графи — объединенный подграф (часть графа), содержащий вы
схемы, но не содержащий ни одного контура. Для выделения дерева граф
обходимо удалить часть ветвей так, чтобы разорвать все контуры, ио щ
членить граф. Выделение дерева графа разбивает все множество ветвей
подмножества: ветви дерева и ветви дополнения, или хорды. Разделить ,
па два подмножества можно по-разному. Самое простое задание opin.ii'
ванного графа состоит в его изображении, нумерации узлов п ветвей и <
инн направлений (условных) токов в ветвях;
□ независимый узел — узел, отличающийся от всех остальных хотя бы
ветвью. Можно показать, что для выделения независимых узлов в грайч ,
статично исключить из совокупности всех узлов один любой узел. Иск.
ный из совокупности независимых узлов узел обычно «заземляют» и щ
значают индексом «О»:
□ независимое сечение — такое сечение, которое отличается от всех друг"
бы одной ветвью. Для образования системы независимых сечений можп
делив дерево графа, привести сечения так. чтобы каждое из них содер.
одну ветвь дерева, а остальные ветви — хорды:
□ независимым контуром называется контур, в который входит хотя < •
ветвь, не входящая во все остальные независимые контуры. Сне гему п<
епмых контуров можно получить, если в каждый из них включить хор 1 <
волнение), остальные ветви должны состоять из ветвей дерева
Если ветвь содержит источник тока, то из графа се исключают (эта вегвь
бесконечно большое сопротивление), но для сохранения информации огме
протекающие в соответствующие узлы токи.
Пример 2.7. В графе (рис. 2.29) независимые узлы 1, 2, 3. 4.
Рис. 2.29
37
Геометрия электрической цепи
2-3* _J.--
Независимые контуры:
□ 1^ 1-4-5;
□ II ' 2-5-6;
а III-3-6-7.
Независимые сечения
а i^4-1-(8);
□ п-5-1-2-18);
а Ш — 6-3-2-(8);
□ IV — 7-3-(8).
Указать ветвь, содержащую источник тока в сечении (и в узле), понадобится для
учета тока источника в узловых уравнениях. Как видно из примера, система не-
зависимых контуров и сечении полностью определяется выбранным деревом гра-
фа. Алгебраически граф может быть представлен в виде различных матриц. Рас-
смотрим три из них:
1 Матрица коптур-ветвъ. Каждый элемент такой матрицы Ktj = +1. если
г-я ветвь входит вj-й контур и направление тока в ней совпадает с направле-
нием обхода, Ktj - -1, если г-я ветвь входит в j-й контур и направление тока
и направление обхода встречиы, и К ( = 0 в других случаях.
Пример 2.8. Рассмотрим матрицу контур-ветвь и ее граф (рис. 2.30).
Рис. 2.30
Рассмотрение К-матрицы показывает следующее:
если номера ветвей-хорд и контуров совпадаю!, а направление обхода
контура выбрано одинаковым с направлением токов в хордах, то выде-
38
Глава 2. Основные уравнения теории электрических цепе^
ляется единичная подматрица А\. Это легко достигается, поскольку щ,_
мерация ветвей и условные положительные направления токов проц3.
вольны:
= AJ.
При вводе данных и храпении информации о графе можно ограничиться
информацией о [AJ;
О каждая строка матрицы содержи т информацию о вет вях, входящих в кон-
тур, и знаке тока в них. Так как Кк — единичная диагональная матрица, то
строки обязательно отличаются друг от друга хотя бы одной ветвью;
О количество независимых контуров равно количеству хорд.
На практике матрица очень часто разрежена и нули не пишутся.
2 . Матрица сечение-ветвь. Каждый элемент такой матрицы 5- = +1, если ветвь
входит в отсечение и ток направлен к отсечению, Si} — —1, если ветвь входит и
отсечение, по ток направлен против отсечения, и 5- = 0, если ветвь не входит
в отсечение.
Пример 2.9. Рассмотрим матрицу сечение-ветвь и ее граф (рис. 2.31).
Ее граф соответствует следующей таблице.
Хорды
Дерево
Рис. 2.31
1ТеГрально-дифференциальные уравнения состояния
39
рассмотрение 5-матрицы показывает следующее:
q если номера отсечениям присваивать в иорядке возрастания номеров вет-
вей дерева, то выделяется единичная подматрица, соответствующая вет-
вям дерева-
[S] = [\ 5J-
q в строке матрицы перечисляются ветви, входящие в отсечения. Если в под-
матрице дерева все элементы положительны, то. легко снимается некото-
рая неопределенность направления «к отсечению»;
О количество независимых отсечений равно количеству ветвей дерева, кото-
рое, в свою очередь, на единицу меньше количества узлов (доказывается
othoci ггелы юн ндукции).
3 Матрица узел-ветвь. Каждый элемент такой матрицы Рц = +1, если /я ветвь
входит Bj-ii узел, PtJ - -1, если z-я ветвь выходит из j-го узла, и Pi} = 0, если
i-я ветвь не включается в j-ii узел.
Все, что сказано о матрице 5, справедливо и для матрицы Р, за исключением
того, что квадратную подматрицу соответствующих ветвей не всегда удастся
сделать единичной. Если одну из строк удалить (нулевой узел), то размеры
матриц Р и 5 совпадают.
Это обстоятельство не случайно, так как количество ветвей графа (А',,), коли-
чество независимых контуров (А(,.,.) и количество независимых узлов (А'„ v)
или сечении взаимосвязано:
Ч - W». к + N,>. 5 - N и. к + “ 1-
где Ny — число узлов графа.
2.4. Интегрально-дифференциальные уравнения
состояния
Электрическая цепь должна быть задана в виде соединенных определенным об-
разом идеальных элементов. Для начала проводятся индексация элементов и гео-
метрический анализ.
Изобразив граф схемы, подсчитываем количество узлов схемы и нумеруем их,
Ричем один узел из перечня независимых исключаем, присвоив ему нулевой
°мер. Выделяем дерево графа. Вводим номера ветвей так, чтобы первыми номе-
Рами были номера хорд (дополнений), а последними — номера ветвей дерева,
омера независимых контуров считаем совпадающими с номерами хорд. Прове-
ряем соотношение А’ = N - 1 + N
В в "к
ест<|ЛНм Условные положительные направления (УПН) токов в ветвях, при этом
н смысл учитывать, что направления обхода контуров будут соответствовать
Равлению тока в хордах. Все элементы, составляющие ветвь, равно как и ток
ветви, естественно, получают индекс, соответствующий номеру ветви. Для
Tqj. ог° источника тока па графе указываются входящие п выходящие токи. Этим
1 Присваиваются индексы, следующие за последним номером ветви графа.
40 Глава 2 Основные уравнения теории электрически?
--------------------------------- _ _ _ -‘И
Далее запишем уравнения по первому закону Кирхгофа в виде У z = О д ,
дого узла или при наличии источников тока ~^i- Токи ветвей в сн
от узла принимаются положительными. При этом токи источников токов,
щие в правую часть уравнения, имеют знак «плюс», если они направлены ।
Составлять уравнения по первому закону Кирхгофа удобно ио орлей гирон
му графу.
Уравнения по второму закону Кирхгофа для каждого из независимых к
записываются относительно тех же неизвестных токов с нено в
нпем компонентных уравнении
di 1 1
+ u.,= Ri‘. + u, = L—~; ±ur- — ii,dt + u,(O).
к /. (h c CJ< eV /
При наличии индуктивных связей между катушками zzz-й и n-ii ветвей
Правило знаков для данных уравнении: соответствующее напряжение
ляется со знаком «+», если направление обхода контура совпадает с и ,
положительным направлением тока, в противном случае ставится знак
ред коэффициентом взаимной индукции Мтн ставится знак «+», если выбраним
условные положительные направления токов обусловливают сложение маншт-
НЫХ ПОТОКОВ В соответствующих индуктивностях, В противном случае С 1.0 I
знак «—».
Пример 2.10. Рассмотрим электрическую цепь (рис. 2.32). Она описываю
дующими уравнениями.
□ Первый закон Кирхгофа:
Г) (f - i>- if - 0;
2 ) z:j + z t — — J(i;
3) z4 + z5-z2= 0.
□ Второй закон Кирхгофа:
1) ± j,,dt + иСх (0) + А Д - А/,, + А,. - А/:11 + R, 1.л -R,i
С, „ dt dt dt dt
r di, ,, Jz, n .
- L,t —— Mv, —— + R-i- = e - e- ;
dt ~ dt
2) /?,z2 + — \i,dt + uc (0)+L2(-^- + M2,^- + Li^- + Afi.,^- + Riii-'
C.,{ ( ’ 2 dt dt dt dt
, di-, ,, di,
- L . —i + M-., —1- = 0.
dt " dt
Продифференцировав уравнения из второго закона Кирхгофа, получим cncic'1-
из пяти независимых дифференциальных уравнений, каждое из которых не вы1|]е
состояния
41
„апьно-дифференциальные уравнения
2 4 Интегра^.— _
порядка. Такая система разрешима относительно токов ветвей, если из-
рт°Р° .пчапьные условия (токи в катушках и напряжения на обкладках коп-
вестны •
денсаторов)-
Рис. 2.32
Трудности решения подобной системы уравнений существенно зависят ог сле-
дующих обстоятельств:
□ уравнения линейны, если коэффициенты (параметры цепи) не зависят от то-
ков и напряжений;
□ параметры цепи не зависят от времени. В этом случае получаем систему пите-
гральпо-дифференипалы1ых уравнений с постоянными коэффициентами. При
этом наличие зависимых источников ек = ек- JK = а;1м„, и J к- а,^т
не нарушают линейность системы, если а, ...а4 постоянные величины;
□ применяя тот или иной математический аппарат в зависимости от характера
функций времени независимых переменных e{t) п J(t), можно существенно
упростить получение результата анализа.
В электротехнике широко используются следующие сигналы (независимые пе-
ременные):
О постоянные токи и напряжения Е = const и J = const;
О синусоидальные сигналы
е = Е„, sin(tor + v,): J = J„ sinfotf + у,);
° периодические нссинусоидальные сигналы
е = /О'» = /(£ + kTy. J = /(О = /(/ + kT).
обобщенные переменные сигналы комплексной частоты х
l e = Eme\ J = J,J.
РИемы практического отыскания зависимых переменных, если применяется
тветсгвующий математический аппарат, имеют много общего. Эго будет п<>-
331,0 Прп дальнейшем изложении курса.
42
Глава 2. Основные уравнения теории электрических
Целее,
Контрольные вопросы
1. Что такое идеальный элемент электрической цепи?
2. Перечислите идеальные двухполюсные элементы. Назовите их свойства ц ,1а.
пишите математические модели.
3. Перечислите известные вам чстырехполюсные идеальные элементы. Запиши,
те их математические модели.
4. Выразите условия эквивалентной замены реального источника тока источни-
ком напряжения.
5. Приведите примеры выражения свойств реальных элементов электротехни-
ческого устройства сочетанием идеальных элементов.
6. Сформулируйте основные законы теории электрических цепей — закон Ома
и законы Кирхгофа,
7. Покажите условия эквивалентной замены однородных идеальных элементов
при последовательном и параллельном соединениях.
8. Можно ли соединять идеальные источники последовательно? Параллельно?
9. Каков порядок записи уравнений для мгновенных значений токов п напряже-
ний ио первому закону Кирхгофа? Как выделить из них систему независи-
мых уравнений?
10. Каков порядок записи уравнений для мгновенных значений токов и напряже-
ний ио второму закону Кирхгофа? Как выделить систему независимых урав-
нений?
И. Какие способы выражения системы соединений двухполюсников вы знаете?
Контрольные задачи
2.1. Определить мощности элементов следующей схемы
при R = 20 Ом, I: = 10 В,./= 1 А. Показать выполнение
баланса мощностей в схеме.
2.2. Построить осциллограммы 17,(т). '(О. Р,.(О, IV(O реактивного элемента. Указать
масштаб па осях.
43
вольные задачи
KohTPuj
Для приведенной схемы определить эквивалентную
2-^’ еМкость при С, = 1 мкФ, С‘2 = 2 мкФ, Ct = 3 мкФ.
Для приведенной схемы записать уравнения по второму
закону Кирхгофа.
2.5. Для приведенной схемы определить
количество уравнений, получаемых
по законам Кирхгофа.
Записать систему независимых урав-
нений, получаемых по законам Кирх-
гофа.
По заданной системе уравнений
4(0-»2(0-./ДО-0;
«,,•(/)+£,^-РДг) =
dt
~ ['с,(0^ + ^г.,(0)
Т2 О
-ЦфД/)<* + и(.Д0) + ДДДг) = V, .,(/)
с2 о
воссиновить схему соединений, обозначить У ПН токов ветвей и напряжений ис-
точников тока.
Глава 3
Расчет простых цепей при постоянных
токах и напряжениях
Система уравнений (дифференциальных), составленная по законам Кирхгофа
является достаточной для анализа цепи при любых сигналах. Если e(i) = E~
= const и J(t) = J = const не зависят от времени, то и реакции цепи iK(l) ~ J, ~
= const, Mx(t) = UK = const также будут постоянными, когда речь идет об устано-
вившемся процессе.
,, , , d'к , duK
В дифференциальных уравнениях--= О;----= 0.
dt dt
Поскольку uIK = L^- ± М—^~, то и. =0, то есть любая индуктивность должна
dt dt
dut
быть на схеме заменена закороткои. 1 ок ь = С —— = 0. поэтому люиая ветвь
dt
с конденсатором должна быть разомкнута.
Если в результате анализа требуется определить ток через индуктивность и на-
пряжение на конденсаторе, то надо будет искать ток. протекающий по соответст-
вующей закоротке. и напряжение па разрыве цепи, где был конденсатор
В результате применения метода преобразований в схеме останутся источники
ЭДС и тока и резисторы. Описание преобразованной схемы ио законам Кирхго-
фа даст систему алгебраических уравнений. Процедура преобразований в схеме,
конечно, проще, чем процедура составления дифференциальных уравнений и за-
тем преобразования их к алгебраическим Идея эквивалси гных преобразовании
схемы имеет широкое применение. Далее приводятся широко распространенные
приемы преобразований, используемые при анализе цепей.
Рассмотрим последовательное соединение резисторов (рис. 3.1).
Рис. 3.1
На рисунке показана процедура анализа фрагмента цепи, состоящей из двух и”
следовательно соединенных резне торов R{ и R,. Здесь:
1) Rf—Rt + R., эквивалентная замена;
2) /2 = /j = — — закон Ома;
45
з1 делитель тока
, rz? U-,- IR> закон Ома;
о, практически пет необходимости так подробно записывать все фор.му-
Обычно для полного анализа сразу вычисляют
Ut = IJ R>..: 6'2 = U • R- .
Rt+R2 Rt+R>
Две последние формулы являются формулами делителя напряжения.
3.1. Делитель тока
При анализе фрагмента цени, содержащего два параллельно соединенных рези-
стора (рис. 3.2). можно рассуждать в следующим образом:
1) эквивалентная замена:
111
— = — -I-или R =
R, R, R,
к,*г .
2) по закону Ома находим:
uul, - IR:,
3) формулы делителя тока:
; = = j R^ - ! R-
' Z?, (J^ + R^R, Rt+R/
Рис. 3.2
И
11(^П°ЛЬЗУЯ только этот и описанный в конце предыдущего раздела приемы, мож-
анали.знровать довольно сложные схемы.
апРиМер, для леоничной схемы, используя несколько раз преобразования по-
Довательных п параллельных ветвей, можно получить одно эквивалентное
Противление (рис. 3.3)
46
Глава 3 Расчет простых цепей при постоянных токах и напряжен
иях
Иногда, выразив
п т. д.,
параллельные ветви проводимостями G2 = —
_1
R,t
получают ответ в виде лестничной дроби:
1
R)5= R,+
1
R.+ 1
Дальнепшпй анализ проводится в обратной последовательности:
.. т U
1) находят ток 1. —--;
R.
3) по формуле делителя тока находят токи 1 _,= 7, ——
2) по формуле делителя напряжения находят напряжение Un0 = U----
R,+ R,j
R,
1 R,+ RM ’
находят все ос га '11’
R i
4) продолжая процедуру: Uu,= ItR!.= !,
R, + К
ные токи и напряжения.
g 1 делитель тока
47
известных навыках методом преобразований легко решаются задачи аналп-
^Рдовольно сложных цепей с последовательно-параллельным соединением резн-
сТоров-
щественно расширяются возможности применения метода преобразований,
сди освоить применение преобразований схемы «треугольник» в схему «трехлу-
чевая звезда». Например, непосредственно решить задачу анализа мостовой схе-
мы затруднительно. Но если три сопротивления RVi, Ra, Rtl преобразовать в со-
противления Rt, R2, R't, то дальше задача решается просто (рис. 3.4).
п
и к,
*J
Часто требуется и обратное преобразование. Рассмотрим его. Принцип эквива-
лентности требует, чтобы замена сопротивлений Rt. R2, R2 сопротивлениями Rvi,
Т?2з> (рис. 3.5) во фрагменте схемы не повлияла на распределение токов и на-
пряжений в остальной части схемы.
Сопротивление между точками 2 и 3 в обеих схемах при обрыве первого рези-
Ст°Ра определяется по формуле
/?з+/?2
Т?12 + Rn + Rtl
При обрыве второго
р + р — ^31 (^12 + ^23 )
' 3 /?12+/?23+/?3|
48
Глава 3. Расчет простых цепей при постоянных токах и напряхени^
при обрыве третьего —
Д| + /?2^(*з! + /Н
7?12 + 7?23+/?31
Решая систему полученных уравнений (например, складывая второе и 1ретЬе
уравнения и вычитая из них первое), получим:
R _ Л12Л3|
/?12 + /б,( + /?3)
Используя соображения симметрии, путем круговой замены индексов находим-
R _ ^23^12.
Р,2 + R13 + Л31
R=________________
’ Л12+Л23 + Л31'
Если последовательно вычислить проводимости в обеих схемах при закорачива-
нии зажимов 1—2, 2—3, .3-1, получим подобные уравнения для проводимостей
при обратном переходе oi «звезды» к «треугольнику»:
G.n + Gl2 G,(G2 + G()
G*| + G2 + G%
G|2 + G23 _ G2(G,+G,)
G, + G., + G3
Далее решаем систему уравнений — сложив первое и второе уравнения н вычтя
из суммы третье, получим:
---GG„-----
G, + G2 + G3
аналогично,
G G'G?_____________________________ G G>G'
12 G, + G2 + G3 ’ 23 G, + G, + G3 '
Так как получить формулы преобразования из «треугольника» в «звезду» и °н
ратно очень просто, нет особой необходимости запоминать их.
Любой пассивный двухполюсник можно представить как некоторое эквивалеШ
ное сопротивление, что с очевидностью доказывается, если представить спирт’
тивленпе резистора как отношение Отсюда следует, что свертка ри-’
и\
личным образом соединенных двухполюсников в эксперименте равнозначна из
мерепию входного тока при произвольно выбранном напряжении.
49
„образования мелочников
3.2-
одним часто применяемым преобразованием является метод эквивалентио-
^геперат°Ра-
яжем следующую теорему: любой активный двухполюсник можно заменить
^адьным источником напряжения с ЭДС, равной напряжению холостого хода,
внутренним соПРотивлением' равным сопротивлению короткого замыкания
и казательство- покажем эквивалентность изображенных на рис. 3.6 схем с точ
кН зрения напряжения и тока нагрузки (Д„). Действительно, включение двух
одинаковых идеальных источников с разнонаправленным напряжением, в част-
ности, равным напряжению холостого хода (при Rtl = °°), не изменит тока и на-
пряжения нагрузки. При этом Ulh= 0, поэтому активный двухполюсник вместе
со встречно направленным источником Uxx можно заменить пассивным двухпо-
люсником. Последний заменяется сопротивлением короткого замыкания, на-
званным так потому, что в эксперименте оно может быть получено, если изме-
рить ток короткого замыкания (при Rtl - 0) Д,
Теорема доказана.
{7Х х
z~\ I а
R,
и ' д,
ь
Рис. 3.6
3.2. Преобразования источников
ИсетК?10РЬГе задачи анализа удобно решать, если все источники выражены в виде
вале 11ГПКов ЭДС или источников тока. Если это не так, можно выполнить экви-
зует11111^10 заменУ Например, па рис. 3 7 источник ЭДС эквивалентно преобра
ся в источник тока.
Cji
еДует только выдержать соотношения
к
J=—,G
Г) Ш1
«И1
1
ГДе R и с
т0чп ™ ~ внутреннее сопротивление и проводимость соответствующих пе-
сков энергии
50
Глава 3. Расчет простых цепей при постоянных токах и напряжен
Иях
Рис. 3.7
Пример 3.1. Определить условие передачи максимальной мощности от активно-
го двухполюсника в нагрузку.
По теореме об эквивалентном генераторе схема преобразуется к виду, изобра-
женному на рис. 3.8.
Для такой схемы
Uxll , U2fR„
I =-; Р„ = Г R„ =-— Ч
Ч + К (W
где RBU — внутреннее сопротивление источника.
dP
Максимума Р„ достигает при —— = 0:
Рис. 3.8
^ = U2 (Ч + fi, )2-Р„2(Л„„ + Р„)_
< sx (Ч, + *Ч
Максимум мощности передается в нагрузку при сопротивлении нагрузки, рав-
ном внутреннему сопротивлению источника (один из вариантов согласования
генератора и нагрузки).
Эквивалентные преобразования схемы с последовательным соединением реаль-
ных источников ЭДС и параллельным соединением реальных источников тока
не представляют трудностей и показаны на рис. 3.9.
Рис. 3.9
|-|реобразОвания источников
51
же требуется, например, преобразовать схему с параллельным соединением
£сЛ1 нЬ1Х двухполюсников, полезно предварительно перейти к источникам тока
Рис. 3.10
Для такой схемы
F 1
JK=-~; Gk-—~; g=gk.
Кк kk
Наконец,
£=2l: R3=—.
GK G3
3.2.1. Обобщения закона Ома
Рассмотрим обобщения закона Ома для различных ветвей электрической цепи.
Q Для пассивной ветви (рис. 3.11)
I = UabG,
или, если ввести понятие потенциала узла (так называется напряжение меж-
ДУ заданным узлом и узлом, потенциал которого принят за ноль),
7 =(<p„-<pfc)G.
Для ветви с источником ЭДС (рис. 3.12). Применяя второй закон Кирхгофа
к контуру а- 0 b-а, получим:
Или
/ = [(<po-<p„)+£]G.
52
Глава 3. Расчет простых цепей при постоянных токах и напрял
' ’ИЯ),
При записи требуется обращать внимание на выбранные положительные ца.
правления токов, потенциалов и ЭДС.
□ Для ветви с источником гока (рис. 3.13).
Второй закон Кирхгофа для контура a-Q-b-a можно записать так:
Фо - Ф,,-(/ + ./Ж = 0;
□ Для обобщенной ветви (рис. 3.14).
Второй закон Кирхгофа для контура a-0-b- а в этом случае запишем гак:
(ф„-ф/,)-(/ + J)R = ~E’
= \(Ч>„-Ч>I,) + E]C~J
3.2.2. Метод двух узлов
Часто встречаются схемы, в которых все двухполюсники включены napa.i'e 1Ь
но (рис. 3.15) (двухполюсники могут быть как активными, так и пассивным1
В этом случае можно принять потенциал одного из узлов за ноль (фА- 0)11 nllPL
делить потенциал фп. Если потенциал <р„ определен, го в зависимости oi
кретного содержания двухполюсника ток через него определяется ио одно11
форм записи закона Ома.
Для определения потенциала узла (р„, приняв в формуле для обобщенной в1’1”1
ф,,= 0 и просуммировав все токи, получим по первому закону Кирхгофа:
53
образования источников
3.2-
оТсюда
1 1
По этой формуле определяется потенциал узла. В литературе также часто встре-
чается формула, предполагающая, что при отсутствии источников тока источни-
ки ЭДС. направленные к узлам, положительны:
Пример 3.2. Определить ток, протекающий
через (рис. 3.16). Находим потенциал:
Заходим ток :
3 О Q п
Принцип наложения (суперпозиции)
Еинцип наложения вытекает из физического принципа независимости дсйст-
U Сил в линейной системе. По этому принципу в схеме, где имеется два и более
висимых источника тока, можио задачу анализа (поиск токов в ветвях и иа-
L ^ений на элементах) решать отдельно для каждого источника, а результаты
54
Глава 3. Расчет простых цепей при постоянных токах и напряжен^
я*
суммировать. При удалении какого-либо источника надо сохранять его впутре11
нее сопротивление. На практике это означает, что идеальный источник ЭДС );1.
корачивается, а ветвь с идеальным источником тока разрывается.
Пример 3.3. Определить токи в ветвях (рис. 3.17).
Представляем схему как результат «сложения» двух схем с источником ЭДС
и с источником тока. Расчетные данные удобно свести в таблицу токов.
Ток r2 R3
Ток через резистор Rk от действия источника Et r{ + r.2 Ы + of 0
Ток через резистор RK от действия источника ,/з J-b- R, + R2 &Г + Of ./
Ток через резистор /Д Et + .№2 Rt + R2 E-JR, Rl + R, ../
ПРИМЕЧАНИЕ---------------------------------------------------------
Знаки токов принимаются относительно одинаково выбранных для всех схем ус.тннчЫ'
направлении.
Квадратичные формы (мощность и энергия) рассчитываются только для суммарпыхтвь^.
Хорошей проверкой результатов анализа цепи является расчет баланса моЩ'1
ста. Как и для любой замкнутой системы, здесь У Рк = 0. Подсчитывается м<я11
ность, рассеиваемая каждым резистором, Рк = I^RK>0, и каждым источник0^’
РК = Ш. Токи, конечно, берутся суммарные. Следует обратить внимание на
что для резисторов Рк всегда положительна. Что касается мощности источШ1
контрольна вопр°™
55
сди истинное напряжение (а не ЭДС) и ток источника направлены встречно,
Т°р <0 чт0 означает отдачу энергии цепи. Если же Рк>0, то источник потреб-
т° кэнергию. Для определения напряжения на источнике тока и его знака необ-
ляеТ составить контурное уравнение для любого контура, содержащего источ-
ходимо
ник тока.
контурное уравнение наглядно можно представить на потенциальной диаграм-
е Для ее составления по оси абсцисс откладывают сопротивления соответст-
вующих участков цепи, а по оси ординат — потенциалы в соответствующих точ-
ках Составим диаграмму для контура abc из примера 3.3 (рис. 3.18).
Потенциал точки а Ф„ = 0. Отрезок ah' равен
в выбранном масштабе сопротивлению Rx. По-
скольку ток течет в направлении ab, потенциал
точки b меньше, чем потенциал точки а, <р,,< <р„.
Пусть Д- JRf<Q, тогда потенциал точки с
больше, чем потенциал Ь. <р, > ср,,. Длина отрез-
ка са соответствует (-£,„)> &tg ВЦ =/,<(), а
Hga2= /2>0.
Изложенные в настоящей главе приемы расче-
та, применяемые в различных сочетаниях, при
наличии известных навыков позволяют быстро,
без специальных вычислительных средств ана-
лизировать довольно сложные цепи и в то же
время оставляют место для творчества.
Контрольные вопросы
Как преобразовать электрическую цепь, если в ней действуют постоянные
токи и напряжения?
Запишите формулы делителя тока и делителя напряжения.
В чем сущность метода эквивалентных преобразований при анализе электри-
ческих цепей?
Как выразить эквивалентное преобразование «треугольника» в «звезду» и об-
ратно?
Докажите теорему об эквивалентном генераторе.
Как проводится эквивалентная замена при различных соединениях активных
двУхполюсников?
выразите математические соотношения для обобщенного закона Ома.
чем заключается сущность принципа наложения? Каковы ограничения для
Рименения этого принципа?
Дто
означает отрицательная мощность для активного двухполюсника?
° такое потенциальная диаграмма?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
>0.
56
Глава 3, Расчет простых цепей при постоянных токах и напряже
ниях
Контрольные задачи
3.1. Для заданной схемы при £, = 30 В, J = 3 А, £2 = £7 = 10 Гн,
/?( = R-2 = Я5 = R6 = 5 Ом, = 2 Ом, /?4 = 3 Ом, Ск = Са = 1 мФ определить:
1) токи, протекающие через резисторы (методом наложения);
2) напряжения на конденсаторах;
3) токи, протекающие через катушки.
Составить баланс мощностей и потенциальную диаграмму но контуру abedef.
3.3. Для заданной схемы при /?( = 3 Ом, R2 = 10 Ом,
Я3 = 5 Ом, R, = 10 Ом, = 10 Ом, Е = 16 В
определить (устно!);
1) входное сопротивление;
2) входной ток;
3) мощность источника;
4) напряжение на резисторе Т?5.
Глава 4
диализ простых цепей
при синусоидальных токах и напряжениях
4 1. Характеристики и свойства синусоидальных
сигналов
Синусоидальный сигнал (рис. 4.1) — это периодические, изменяющиеся во време-
ни ток, напряжение или ЭДС:
i = 7msin(co/ + y,);
и = Um sin(co/+y„);
е = £,„ sin(cof + у(.),
{ 2л
где Im,Um,Em — соответствующие амплитудные значения; со = 2л/ - — — круго-
вая частота; f — частота; Т — период; v,- V„, — начальные фазы функции.
с Оск°льку анализ цепи проводится в установившемся режиме, допускается, что
Момента включения сигнала прошло достаточно времени для того, чтобы ам-
туды токов и напряжений перестали изменяться. После этого за начало от-
д м°жно принять произвольный .момент. Неопределенность V,-V., > V, ликви-
Hv '^еГСя тем’ что °ДНУ из начальных фаз сигнала (или реакции) принимают за
Угл ВУЮ- ОСЬ абсцисс градуируют либо в единицах времени t, либо в единицах
°в — градусах или радианах (со/).
от^,11*1111с вопроса, какому постоянному току с энергетической точки зрения со-
заданный синусоидальный ток, приводит к понятию среднеквадра-
°г°, эффективного значения тока (напряжения пли ЭДС):
/ Ь I 1 V 2 П 2 " 12 If2 2п1 ~ /
VfJ* dt = J— [-=-sin2coz с/(сог) = J— f-(l - cos2cof)z/(co/) =-~ = 0,707/ .
‘o 2л 2n v271 02 v2
58
Глава 4. Анализ простых цепей при синусоидальных токах и напряжен,
иях
Этот ток (напряжение) называется также действующим и является важнейщ^
характеристикой синусоидального сигнала. Действующее значение принято обо
значать соответствующей буквой без всякого индекса (как постоянный ток и ,,ц
пряжение). Говоря о величине переменного тока или напряжения, если пет спе-
циальной оговорки, имеют в виду именно эту характеристику.
Среднее по модулю значение функции (среднее значение равно нулю)
2 7 -21 Т г'2 2
[/ sinoXdt = —cos cot = 0,636 I .
Т }0 т 2л о л
В дальнейшем используются следующие характеристики:
□ коэффициент амплитуды Ка = = V2 = 1,
/ 7С
□ коэффициент формы К = —— - —= = 1,11.
^ср 2*у2
Из многих свойств синусоидальных функций выделим важнейшие для дальней-
шего изложения.
1. Сложение двух (и более) синусоидальных функций одинаковой частоты дает
синусоидальную функцию той же частоты. Действительно, сложим, напри-
мер, два тока:
sin(otf+ у, ) +Jm2 sin(cot+ у2) =/и, sincotcosy, +/га| coscorsiny,+
+/т2 sincotcosy2 + Im coscorsiny2 = (/„, cosy, + Im2 cosy2 )sinoX+
+ (Imi sin v, + In2 siny 2) cos cot = sin(cot + y),
где
cosy, + Im2 cosy2 )2 +(/и1 siny, + Im2 siny2 )2 i
y=arctg /'".‘.sinV’ + ^Sin-V2-
ZmI cosy, + /m2 cos у 2
Заметим, что операция сложения двух токов в таком виде хотя и доказывает
данное свойство, оказывается очень громоздкой.
2. Дифференцирование синусоидальной функции даст синусоидальную фу»к
цию той же частоты. Если i = lm sin(ox + у,), то
e/z т , . т • ( л ] . . . \
— = colm cos(nX + y ) = colm Sin С1Х + У, +— = Xsin((lX+ y),
at v 2 )
где
A = co/„,; y=[y, + ^J.
то’1
Пр"
Интегрирование синусоидальной функции дает синусоидальную функцию
же частоты Для определенности вычислим напряжение на конденсаторе
синусоидальном токе:
4 2. цзобра*ение
синусоидальных функций в виде векторов и комплексных чисел
59
1 ' । <
Uc = — j idt + ис (0) = — j sin(wf + v, )dt + ис (0) =
E о С 0
J1L l cos(ci# + rp, ) + wr(0) =- sin] <£>t + rp, - — 11 = -^-sin(cor + rp).
= m о coC V < 2J) coC
Здесь необходимо принять C0S + uc (0) = 0, так как при синусоидальном
соС
токе, протекающем через конденсатор, среднее напряжение равно нулю (за-
ряды не могут накапливаться).
Если вспомнить, что интегрально-дифференциальные уравнения по Кирхгофу
представляют собой суммы синусоидальных функций их производных и инте-
гралов, то можно сделать важный вывод: если в цепи действуют источники сину-
соидального тока одной и той же частоты, то все реакции будут синусоидальны-
ми токами и напряжениями той же частоты.
4.2. Изображение синусоидальных функций
в виде векторов и комплексных чисел
Изображение синусоидальной функции в вггде вращающегося с угловой скоро-
стью со вектора заложегго в самом определении синуса как ординаты конца ра-
диуса окружности единичного радиуса, проведенной через начало координат.
На рис. 4.2 ггзображены две синусоидальные функции и (f) и i(t) одинаковой
частоты. Слева изображены две выполненные ггз одного центра окружности ра-
диусом 1т и Um и обозначены два вращающихся с- угловой скоростью <о вектора
с учетом начальных фаз гр„ и гр,. Угол между ними равен гр„ -гр, = гр.
ростНЯТ° > 0’еслп > V,- Если принять, что векторы вращаются с угловой ско-
И ЬЮ то они содержат всю информацию о синусоидальных функциях i(t)
их значения равны /т и Um, а начальные фазы — гр, и гр„.
I Раз11в не значения /т и Um, а --= = U, = I, получим векторную диаграм-
му, V 2 V2
есть изображение относительного расположения векторов I и U, при кото-
60
Глава 4. Анализ простых цепей при синусоидальных токах и напряге
НЧ
ром угол ф сохраняется независимо от конкретного значения t. Перенесем век1о
ры на комплексную плоскость (рис. 4.3).
+ Если иметь в виду, что оператор е1" означает повор0
м вектора на комплексной плоскости на угол а против чд
4 совой стрелки, то получим для тока = еЛ,~
/ = 1е1и>1, где I = le1^', вектор 7 полностью сохраняет щ,
/ I формацию о синусоидальной функции г(Г): 1т = ^21
/44^ амплитуда, ф, — начальная фаза. Это обычно записыва.
Лж дф, ется так:
+1 г(Г) =/,„ sin(cor+ ф, ) = 7.
Рис. 4.3 ,
Множитель е' можно опустить, так как эти векторы бу-
дут применяться в законах Ома и Кирхгофа (и их комбинациях), он содержится
как в левой, так и в правой части уравнений и по этой причине просто излишен.
Запишем комплексное изображение тока в тригонометрической форме:
72 ieJh>'= 7m[cos(cor + v, ) +jsin(cor +ф, )|,
отсюда видно, что для обратного перехода от комплексного изображения к функ-
ции времени достаточно с учетом 72 и е'“' взять коэффициент при мнимой части
комплексного изображения.
На практике применяются комплексные изображения в различных формах:
□ А = а + jb — алгебраическая;
□ А = A cos ф + j А БШф — тригонометрическая;
□ А - A eJ'f — показательная, где А = 4а + Ь2; ф = arctg -.
а
Иногда применяют условную запись. А = ,4Аф.
Вспомним операцию дифференцирования:
гй т 7 7Г"). со/ .у, [ 2 J
— = со/,„ sin со/ + ф,•+— =—^-е' е™е v ,
dt т I ’ 2)' Л
j О")
с учетом того, что е — j, получим — = jade14 е,к"= j(tiiejal, то есть изображению
dt ' '
производной на комплексной плоскости соответствует умножение на усо.
Аналогично, интегрированию в области изображений соответствует деление на J03
Г idt = 4—.
Эти обстоятельства приводят к алгебранзацин интегрж’11’
но-дифференцпальных уравнений.
113^
Решим для примера задачу нахождения тока в схемы
браженной на рис. 4.4, с применением различного
магического аппарата.
Рис. 4.4
61
бра*ение синусоидальных функций в виде векторов и комплексных чисел
4-2'_-—
осредственное интегрирование интегрально-дифференциального уравнения:
। '
Ri + L — + — f idt + ис (0) = Ет sin(cof + уи).
dt С Ju
Приняв i = L sin(^ + V,). получим:
RI sin(cof + у,) + wLI cos(co/ + cy,) +
+ cos(cor + V, ) + + Uc. (0) = Em sin(cor + \|/u )•
coC coc
Так как в правой части уравнения используется синусоидальная функция, тре-
буется, чтобы
-^-+(JC(O) = O;
соС
7?sin(coZ + у,) + [ со£ - —|cos(cof + V,) = Ет sin(co/ + у„).
к <лС)
Дальнейшие преобразования будут такими:
Iт IR2 + со£--------[cosotsin(cor + ) + sinacos(cor + )| =
V \ coC J
= Ea sin(ctf + yj,
где
sin(<Df + a + у,) = Em sin( cor + y,().
> ( 1 Y
im, K" + co£------—
V I coC J
этого уравнения вытекает:
Im,R2+ соД-
2
I =£'™; a + v,=v„; vI(-y, = a = <p.
Следовательно,,
E.
сЧетй г,
вРемени), то i =
=sin(coT + ф,), а если \|/н= 0 (выбор начала от-
j?-' + |(o£- — 1
k соС J
Ет
: -sm(cor- ф) — задача решена.
/?2 + | со£- —
к соС)
62
Глава 4 Анализ простых цепей при синусоидальных токах и напряжен^
При вычислениях используются следующие обозначения:
R’ + со£ -
2
| = Z — имеет размерность сопротивления; R — активное соцр0
1
соС
f 1 I 1
тивление; X = со£------— реактивное сопротивление; со/. и —--соответствен
V соС J ыС *'
X
но индуктивное и емкостное сопротивления; ср = arctg — — сдвиг по (разе между
напряжением и током. Если со£ —> 0, то (р > 0 — ток отстает от напряжения
по фазе, если ю£ —— < 0, то <р < 0 — ток опережает напряжение по фазе.
(оС
4.2.1. Комплексный метод
В интегрально-дифференциальном уравнении заменим функции времена их
комплексными изображениями:
RI + jtoLf+ —^—1 = Ё; j R + j\(aL----— j
j<aC [_ V coC J
Ё_______
7?2 + fco£- 1 )
I wC)
где (p = arctg
Для принятых ранее обозначений I(R + jX) - Ё — закон Ома в комплексной фор-
ме. Выражением R + jX = Z обозначено комплексное сопротивление, Z = Ze'ip -
— Zcos<р + jZ sin <р, то есть R=Z coscp; X - Z sintp.
После нахождения комплекса тока I легко выразить г, взяв мнимую часть оез ]
(конечно, с учетом множителя е'™, показывающего вращение вектора и множи-
теля V2, если расчет проводился в эффективных значениях');
е72
н? TV
R 2 + со£ - -
k соС/
sin(cot - <р).
Очень наглядное решение можно получить, построив векторную диаграмм?
(рис. 4.5). Отложим вектор / в выбранном масштабе в произвольном направ-
нии. Напряжение на активном сопротивлении UR = IR совпадает по фазе с токо*’’
а напряжение на катушке индуктивности U L = Ij(oL = (йЫе]к11 опережает вект
тока на л/2. Напряжение на конденсаторе отстает от тока на л/2:
63
зОбражеНие синУсои^альных Функций в виде векторов и комплексных чисел
4.2-
Суммируя векторы UR,UL nUc, получаем по второму закону Кирхгофа вектор Ё.
Из геометрических соотношений получаем все приведенные ранее формулы:
, 1
COZ.-----
<р= arctg----
, ( j у
•; E — I R2 + coZ.------; i = V2£sin(cot — cp).
V \ coC J
Рассмотрим другой пример (рис. 4.6) параллельного соединения.
Выполним непосредственное интегрирование по первому закону Кирхгофа:
г = г, + ?2 + г3 = eG + — f edr + iL (0) + С—;
E q dt
1 1
/т sin(cor + <р,) = Em Gsin(cot + у(;) + — JЕт sin( cot + yf, +
L о
dt
Im sin( cot + у, ) = Ет Gsin(cot + у,.) —— cos(cot + yv ) +
coZ.
+ _L + (0) + юс cos(cot + \p(. ) .
mL Em
Как
11 в предыдущем примере, здесь iL (0) такой, что
^у + г£(О) = О;
со£
sin(cot + у,) = Em
G2
2
sin(cor+у(7 - а)
-1 -шС
а = arctg ——-—
64
Глава 4. Анализ простых цепей при синусоидальных токах и напря*ен^
Если ш,. = 0, то ф = - а. то есть ток отстает от напряжения, когда ——
ой. > 0.
. 1
При расчетах используются следующие обозначения: G = — — активная ц|)()|)0
1 г-
димость; — — индуктивная проводимость; соС — емкостная проводи.\1()г
со£ 1Ь:
— - соС — В— реактивная проводимость; 7g2 + В2 = ¥ — полная проводи хк)СТ,
со£
Применяя их, решение задачи можно записать так:
sin(coc ф) = YEm sin юс,
то есть = ¥Ет и ф = arctg -.
4.2.2. Решение задачи комплексным методом
Вместо интегрально-дифференциального уравнения запишем алгебраическое,
применив комплексный метод:
Ё
I = EG + ~- + )(лСЕ = Е
jinL
откуда У - 1е“'ч’ = G - j\—— or С 1 — комплексная проводимость. Далее по лучим
(со£ )
закон Ома в комплексной форме, записанный в терминах проводимостей:
7 = £У.
G-/(— -соС I = E(G-jB)= Ё¥е">.
(со£ )
Решение с помощью векторной диаграммы
Рассмотрим решение той же задачи параллельного включения R. £ и С (см.
рис. 4.6) с помощью векторной диаграммы. Приняв за начало отсчета £, про-
ведем его в произвольном направлении. Вектор тока через активную проводи-
мость ЁС совпадает по фазе с напряжением (ЭДС). Вектор тока через катушку
индуктивности отстает по фазе от напряжения на л/2. Вектор тока через конден-
сатор опережает напряжение на л/2.
Суммируя токи и учитывая геометрические соотношения, изображенные на
рис. 4.7, получим:
I = Ё¥'е~\
1
— - соС
где ф = arctg —-----.
G
При необходимости ток можно выразить
функции времени (ф(, = 0):
2
j = Е,„
G2 + [——соС I sin(coZ-9).
уш£ J
в виде
65
иная активная, реактивная и полная мощности
43.Мгновенн
й эфФе1<т от применения комплексного метода можно получить, если еще
Е>блЫ схемы заменить индуктивности и емкости их комплексными сопро-
тивлениямп;
Z, = >£; Zc = -L
jcoC
юС
ИЛИ проводимостями:
Y, = J- = —; К. = J- = /соС.
С- г Г Т ' С. rj J
ZL j(tiL Zc
4 3. Мгновенная, активная, реактивная и полная
мощности
Мощность при синусоидальных токах и напряжениях может выражаться по-раз-
ному:
Мгновенная мощность. При синусоидальных токах и напряжениях p(t) = ui, как
и для любой цепи. Подставив в это выражение синусоидальный ток, протекаю-
щий через какой-либо участок цепи, и напряжение на этом участке и приняв, что
ток отстает от напряжения на угол ф, получим:
P = Um sin сое In sin(co/ - <р) = ^UmIm [cos <р - cos(2cof - <р)] =
= UI cos ф - UI cos(2ior - ф).
Из формулы и осциллограммы (рис. 4.8) видно, что мгновенная мощность состоит
из двух слагаемых: одно не зависит от времени — это постоянная составляющая,
а другое — синусоидальная функция времени двойной частоты. График р прохо-
дит через ноль в точках, где ось абсцисс пересекает либо ток, либо напряжение.
ЙцТе
(чисТу СН0 °™етить, что если ток и напряжение сдвинуты по фазе на угол л/2
(рИс ®Мк°стная или чисто индуктивная цепь), то первое слагаемое равно нулю
• Ч.У)
3 3^7Ц
66
НИяц
Глава 4. Анализ простых цепей при синусоидальных токах и напряг е
Активная мощность. Эта мощность (для любых периодических сигналов) опре-
деляется как среднее значение мощности за период:
1 т । г
Р - — jwi dt - — j[W cos<p- UI cos(2cof- <p)]<7r = UI cos<p,
U n To
так как интеграл от второго слагаемого равен нулю.
На графике, приведенном на рис. 4.8, легко отыскать значение активной мощ-
ности.
График на рис. 4.9 полностью согласуется с представлением о реактивных эле-
ментах, которые не рассеивают энергию (Р = 0), а только запасают ее и отдают
обратно в цепь. В те промежутки времени, когда р > 0, реактивный элемент запа-
сает энергию, а когда р < 0 — отдает ее обратно. Этому колебанию энергии соот-
ветствует реактивная мощность, которую можно определить чисто формально.
Q-UI sintp.
Так как для пассивной цепи - — < <р < + —, то активная мощность всегда положи
2 2
тельна:
P = UIcos(p = I2R = U2G.
Реактивная мощность может быть как положительной, так и отрицательно»-
Q = UIsin(f>= I2X = U2B.
В соответствии с принятым ранее обозначением - \р. = ср > 0 получается и.
что соответствует индуктивной цепи.
Реактивная мощность индуктивной катушки считается положительной. а -j
денсатора — отрицательной. Это, в числе прочего, означает, что если в о#1
67
иЯЯ активная, реактивная и полная мощности
4.3. ^гнове '
цепи катушка индуктивности потребляет реактивную мощность, то кон-
11 ТОИтор ее генерирует и лишь разница передается на выход.
^еН в известной мере формально вводится понятие полной, или кажущейся,
Так как параметра, отражающего предельные возможности устройства по
И напряжению,
5 = UI = jp'2 + Q2.
е три характеристики мощности имеют одинаковую размерность (ватт), но
технике получили разные обозначения:
□ активная мощность Р — выражается в ваттах (Вт);
□ реактивная мощность Q — выражается в вольт-амперах реактивных (ВАР);
□ полная мощность 5 — выражается в вольт-амперах (В • А).
Поскольку в выражениях для мощности имеет значение разность фаз - у, = ф
(а не сумма), в комплексной форме для получения мощности напряжение умно-
жают на сопряженный комплекс тока:
UI - Ule™ = UI cos ф + jUI sin ф = P + jQ = Sel'f.
При измерении активной мощности при периодических токах и напряжениях из
1 7*
формулы Р = — dt следует, что для измерения мощности требуется иметь при-
бор, перемножающий две функции времени и вычисляющий среднее значение
(постоянную составляющую) такой функции. При моделировании электрических
цепей на ЭВМ используется элемент-иеремножитель, имеющийся в программах
типа Electronics Workbench. Его использование совместно с вольтметром DC,
регистрирующим среднее значение напряжения, позволяет получить требуемое
преобразование.
озможная «схема» включения такого прибора приведена на рис. 4.10.
Рис. 4.10
68 Глава 4. Анализ простых цепей при синусоидальных токах и напрях<е
—---------------------------------------------------------------------- _
Для измерения мощности в реальных цепях применяют электродинамическ
ваттметры. Они состоят из двух магнитно связанных катушек, одна из Когорт
может вращаться вокруг своей оси. С подвижной катушкой связана стре тка
казывающая на шкале угол ее отклонения от нулевого положения, в котором
поддерживается специальной пружинкой. Противодействующий момент пру
жинки по закону Гука пропорционален углу отклонения стрелки а -
do,'
Mup = Kta.
Вращающий момент определяется изменением энергии, запасенной системой при
пропускании токов через катушки, при повороте подвижной катушки:
мяр=к2—-.
da
Равновесие достигается при Afnp = А/„р.
Энергия, запасенная системой двух катушек, вычисляется по формуле
i'1 i2
W = L.^- + L,^- +
i 2 ^2 i -s
Первые два слагаемых от угла а не зависят:
«=^3-|г,г2 dt}—.
[ TJ0 J да
Механическая инерционность системы приведет к тому, что угол отклонения
стрелки будет пропорционален среднему значению момента.
Таким образом, если через одну из катушек пропускать ток, пропорциональный
току приемника, а через другую — пропорциональный его напряжению, получим
Рис. 4.11
69
житные параметры пассивного двухполюсника
д 4 Эквивален
.. x
пожении-----= const), что угол а будет пропорционален активном мощ-
(В цреДпШ1 det
ноет*
а = K.IU cos <р.
411 показана схема включения электродинамического ваттметра Точка-
ца РиС‘ зве3дОчками) отмечены зажимы, которые следует объединить, так как
равнение вращающего момента зависит от согласования направлений тока
"напряжения.
4 4. Эквивалентные параметры пассивного
двухполюсника
Если внутренняя структура двухполюсника неизвестна, то его полным эквива-
лентным сопротивлением можно формально назвать отношение действующих
значений напряжения и тока:
Z = -
Потребляемая активная мощность определяется наличием в двухполюснике эк-
вивалентного резистора:
Реактивное сопротивление будет соответствовать выражению
X = ± Jz2 - R1.
При этом, если ф > 0, формула со знаком «+», а если ф < 0 — со знаком «—».
Если известны потребляемая мощность и сдвиг по фазе между током и напряже-
нием, то
/?=7со8ф; X = /зшф; С§ф = —.
ЧТ°бы эти соотношения соответствовали реальной схеме, как минимум,
тельн°ДИМ° ВКлючить в нее два элемента — Ru L или С, соединенных последова-
Эквив° А И еСТЬ эквивалентиая схема. На рис. 4 12 представлены два варианта
р Длентных схем и соответствующие им векторные диаграммы.
КУляп^611116 вектоРа напряжения по направлению тока на два взаимно перпенди-
ник п 1Х дает напряжение на активном и реактивном элементах схем. Треуголь-
Г1Р<Пи[!ДС)^"Ь1'' тРеугольнику напряжения, дает прямоугольный треугольник со-
ления ени’Ё из которого легко можно получить все приведенные ранее соотно-
^Таощен
комплексов напряжения и тока дает комплекс сопротивления, содер-
ВС1° информацию об эквивалентных параметрах двухполюсника:
70
Глава 4. Анализ простых цепей при синусоидальных токах и напря*,,,
-------------------------------------------------------— ениях
Рис. 4.12
Ue™“
1е™'
= Zei{™“ = Ze™ = Zcos <р + jZsincp - R + jX.
Приведенные соотношения (различные формы записи комплексного числа) удоб-
ны в различных случаях:
□ Z = Ze™ — если сопротивления перемножаются;
□ Z = R + jX — если сопротивления складываются;
□ Z - Zcos<p+ /Zsincp — для перехода от геометрической формы к алгебраиче-
ской.
Заметим, что в отличие от обозначения комплексных изображений функций
времени 7, Й, Ё, комплексные выражения для сопротивлений обозначаются Z
так как они не являются функциями времени, то есть вращающимися векторам»
Если за основу принять отношение тока к напряжению, то получим аналогичные
соотношения для проводимостей:
Y = 4 = — = Ye 7<v'' v,) = Ye ™ = Y cos <p- jYsinip = G - jB.
U Ue™“ '
_________ 22 p I.
Отсюда следует: Y = ^G2 + В2; G =Y cos <p; В = Esin <p; <p = arctg —; G = ; E =
G и
2
В = ± -Jy2 -G2.
Параметры параллельных эквивалентных схем удобнее выражать в виде НР00^
димостей, так как в таких схемах реально получить разложение вектора тока
направлению напряжения на две взаимно перпендикулярные составляй>шне-
7 = le™= I cos <р + jlsintp = /й + Ц
Треугольник, подобный треугольнику токов, называют треугольником про0
местей (рис. 4.13).
расчета электрических цепей при синусоидальных токах и напряжениях
71
Рис. 4.13
_Л_,В = ^-
Rl+Х1 R2 + Х2
сопротивлениям -
G w В
2
На практике можно пользоваться любой эквивалентной схемой (последователь-
ной или параллельной) двухполюсника, если соблюдать соотношения
У=4;У = -;С = -
Z Z Z
или — при переходе от проводимостей
7 _ 1. у _ J_- Р =________________
У' У’ G2 + В2' " G2 + В2
К
4.5. Особенности расчета электрических цепей
при синусоидальных токах и напряжениях
Если элементы цепи заменить их комплексными сопротивлениями, то получен-
ную схему всегда можно представить как соединение различных пассивных
Двухполюсников, характеризуемых парой чисел {Л;ХЛ} или {G;B}, а источник тока
и напряжения выразить в комплексной форме:
j = Je* = Ja + j J„; Ё = Ее*' = Ea + jEp.
ПР« этом, как говорилось ранее, сохраняются все соотношения, полученные для
СХем постоянного тока, но в комплексном виде:
° закон Ома - U = /Z;
^коны Кирхгофа - £/KZK = =^JK.
и вСемСНЯЮТСЯ также все правила знаков. Следовательно, можно пользоваться
ях- п 1 приемами анализа, применяемыми при постоянных токах и напряжени-
Над °оразованпем цепей, делителем тока, делителем напряжения, принципом
гц Ге (НИя. преобразованием «треугольника» в «звезду», методом эквивалентно-
лц3е *ерат°Ра и т. д. Использование правил алгебры комплексных чисел при ана-
Дает результаты также в комплексном виде:
72
Глава 4. Анализ простых цепей при синусоидальных токах и напоа
-
зультатов вычисления токов и напря>к
времени записывают сигналы в показат **
вращения вектора eJ и vz, выражают
де и берут коэффициент при мнимой Ч'
Z=R + jX- iK = / + jl ; UK =Ia + jl„.
Э э J 3’ Л «Д' J Pk 1 А <7д j Рд
При необходимости получения ре
в виде действительных функций
ной форме, добавляют множитель
плекс в тригонометрической форг
например:
72(/й + .//р)е;ю' = 72/е* е1Ы =
= -72/cos(cot + у, )+j\Z2/sin(cot + vf sin(cot + yi).
Баланс мощностей подводится отдельно для активных и реактивных мощностей-
= =0.
Существенную помощь в расчетах оказывает построение векторных диаграмм
как своеобразной замены потенциальных диаграмм при постоянных токах и на-
пряжениях.
4.6. Примеры
Пример 4.1. Для последовательного соединения двухполюсников (рис. 4.14)
е = Ет sin(cot + у,,).
Рис. 4.14
По второму закону Кирхгофа
E = iuK-iiKzK^i±zK,
I 1 1
где ZK = RK + jXк. Значит, Ё = Iк R„ + X J- = /к Z3.
11 1 J
Отсюда R3= ^RK, Ха - ^Хк (Хк берется с учетом знака). Далее находим
1 1
j = (>> (vP-<p)
" z3 ” Z^ z
где <p = arctg —
73
^ти найдем по формулам
Мо1ИйОС
P = I2R3=I2y'RK=tl2RK=yPK;
3 К Л л
1 1
q = I х = 12 X хк = £ ' X = £ <2к
1 I
векторную диаграмму напряжений на двухполюсниках изобразить относи-
ЕСЛИ п лбшего тока в соответствии с топологией схемы, получим так называе-
TPjIbHl' о
топографическую диаграмму, из которой легко определить напряжения ме-
любыми точками схемы (рис. 4.15).
жду
Вычислив при произвольном токе (например, I = 1е’°) напряжения на каждом
элементе UK = IZK, построив векторную диаграмму и изменив масштаб Е так,
чтобы он соответствовал заданному, можно с помощью геометрических соотно-
шений получить решение задачи анализа.
Пример 4.2. Рассмотрим параллельное соединение двухполюсников (рис. 4.16).
Здесь удобно пользоваться характеристикой двухполюсников в виде проводимо-
ПеРвому закону Кирхгофа
YK=GK-jBK.
п
' = Z4 = 1АЛ- = = йZG,
11 । и
1 J
Двух°МННМ’ что Вк>0, если двухполюсник индуктивный (<р > 0), и Вк <0, если
п°люсник емкостный (<р < 0).
Тдки. « n R
образом, Сэ = У GK, Bt = У Вк, <р = arctg —.
Топ 11 Gj
Пифическая диаграмма токов, построенная относительно общего напряже-
k ’ пРеДставлена на рис. 4.17.
74
Глава 4. Анализ простых цепей при синусоидальных токах и напря*
-------------------------------------------------------
Из топографической диаграммы удобно находить токи в соответствующих со.
единениях (например, Ц + /2).
Баланс мощности определяется по формулам
P = U2G = tu2GK = У Рк;
1 1
Q = u2x=±u2kxk=±qk.
1 1
Пример 4.3. Рассмотрим подробнее смешанное соединение (рис. 4.18) при
U = U„, sin((ot + ).
Найдем комплексные сопротивления двухполюсников:
Z, = Р;+ jwl] = Р, + jXf;
^2= Х2 + j(aL2 = R2 + jX2;
Z3=R,-j^- = R3-jXx.
aC
Далее определим сопротивление двухполюсника ab:
7 _ ^2'^-3 _ (^2 + )( Дз ~ jXз ) п . ;у
Z2 + Z3 R.2+R3 + j(X.,- A .J
Эквивалентное сопротивление всей цепи
Z3=Z1 + Zfl,= P) + 7X3.
Входной ток (ток, протекающий через первый двухполюсник) определим
формулам
= = — еЯ^-Ф»; Ual=l{Zal- /2=^;
1 ао 1 ап * z * л
X.,
где ф = arctg —
75
ноформу-пеДелителнтока:
,1ЛИ Z f Z2
z3 J - j ______2_
3 ' Z2+ZH
вычислим мощности:
р, = Л2^; p2 = /2x2;
р3=73р3; а =
Q2~^2^2' Йз'^^З^З-
Мощности источника U определим по фор-
Ч”Ю* Р„=Р, + Р! + Р,;
Qi' — Qi + Q2+ Q.3
«Успех» построения векторной диаграммы
(желательно, независимо от алгебраическо-
го расчета) определяется порядком ее по-
строения (рис. 4.19).
Возьмем за основу вектор Uah произволь-
ной величины. Вектор тока /2 отстает от не-
Х2
го на угол <р2 = arctg —а вектор тока 73 —
1?2
Х3
опережает на угол (р3 = arctg —
вычислять — достаточно построить
Для построения углов нет необходимости их
треугольники сопротивлений. Соотношение между величинами векторов /2
* I Z
И13 должно соответствовать пропорции — = —.
G Z2
Сложив векторы /2 и /3 в соответствии с первым законом Кирхгофа, получим:
1 — г X
'~12 + ^3. Угол <р1 = arctg—С определит направление вектора напряжения 17,
о
U Цельно тока величина вектора Ц определится из соотношения
“* /2Z2
МегРическим сложением определим U = Ut + Ullh, после чего останется задать
Рстный масштаб, приравняв U = и выбрать масштаб тока.
^Одуч
ний п ННаЯ диагРамма с точностью, равной точности геометрических построе-
При^ Казыв;1ет все значения токов и напряжений и их относительные фазы. На-
^Ние^’ ПеРпенДпкУляр из конца вектора Uah на направление тока 12 даст напря-
На катушке £2. Векторную диаграмму можно использовать для проверки
76
Глава 4. Анализ простых цепей при синусоидальных токах и напря*
еНиЯх
правильности алгебраических расчетов. Например, угол ф между током /
ным напряжением U должен быть равен ф = arctg
Контрольные вопросы
1. Каковы основные характеристики синусоидальных сигналов?
2. Что такое фазовый сдвиг? Начальная фаза?
3. Какова связь между действующим, средним по модулю и амплитудным зн-
чениями синусоидальных сигналов?
4. Какие понятия обозначают частота f и круговая частота со?
5. Как представить синусоидальный сигнал вектором? Что такое векторная диа-
грамма?
6. Как взаимно расположены векторы напряжения и тока в индуктивных, емко-
стных и резистивных цепях?
7. Сформулируйте сущность комплексного метода расчета.
8. Что такое входное сопротивление? Какие способы выражения входного со-
противления вы знаете? Что такое входная проводимость?
9. Как по входным проводимости и сопротивлению определить сдвиг по фазе
между током и напряжением?
10. Как по комплексному выражению для тока и напряжения определить сину-
соидальный сигнал?
И Что такое мгновенная мощность? Как построить график мгновенной мощно-
сти по заданным напряжению и току?
12. Что такое активная мощность?
13. Что такое реактивная мощность?
14 Как устроен электродинамический ваттметр?
15. Как определяются эквивалентные параметры пассивного двухполюсника?
16. Что такое треугольник проводимости и треугольник сопротивлений?
17. Какова связь между эквивалентными сопротивлениями и проводимостями Д,,я
пассивного двухполюсника?
9
18. Как записать законы Ома и Кирхгофа при использовании комплексного метода-
19. Как построить векторную диаграмму при последовательном соединении ДВУХ
полюсников? При параллельном соединении?
20. Что такое топографическая диаграмма?
21. Как провести анализ цепи при смешанном соединении двухполюсников?
22. Каков порядок построения векторной диаграммы при смешанном соединен111
двухполюсников?
23. Обоснуйте применимость методов расчета цепей для постоянного тока к
лям синусоидальных токов и напряжений при использовании комплекс!10
метода.
77
конТРОЛьНЬ'еЭаДаЧИ
4.1-
контрольные задачи
14 Иля данной схемы при Л, = Л:! = 3 Ом,
’1' р == 1 Ом, = 3 мГн, С2 - 333 мкФ,_
gi 4^ sin(lООО/ - 20°) определить ZBX, Z„x>
YBi, Iw h* 11 ПостРоить векторную
диаграмму токов и напряжений.
Включить в схему ваттметр для определе-
ния активной мощности двухполюсника Z,
и определить его показания. Показание
амперметра — 10 А, показание вольтметра —
100 В; Zj = Z2 = R + jX; R = 0,25Zt.
По данной осциллограмме определить
полную, активную и реактивную мощ-
ности S, Р и Q.
P(t)
Для данной схемы записать выражения
для Ег и Z, при определении тока в ветви L{
методом эквивалентного генератора.
Для данной схемы при U = Unl sin(<or + <р)
определить ZI1X.
4.6.
Для данной схемы при R = 1 Ом,
1 =0.01 Гн, С = 0.005 Ф,
е =20sin(100z + 10°) определить показа-
Ния электростатических вольтметров.
Глава 5
Анализ сложных цепей1
5.1. Топологические и компонентные уравнения
Анализ сложных цепей, как и изложенные ранее приемы н методы расчета, ocHo
ван на трех уравнениях: законе Ома, первом и втором законах Кирхгофа. По
роста числа элементов схемы (а в современной микроэлектронике порой требуется
анализ схем, содержащих I О’ элементов) сначала возникают трудности при ре.
шепни систем уравнений, а затем и при их составлении. Решение столь больниц
систем уравнений выполняется на ЦВМ по стандартным программам. Здесь мы
рассмотрим приемы систематизации представления данных о схеме и формиро-
вания из этих данных систем уравнений, то есть математических моделей схемы
Ранее было показано, что геометрию схемы можно описать в виде следующих
матриц:
□ К — контур-ветвь;
□ Р — узел-ветвь;
□ S — сечение-ветвь.
Непосредственно с помощью каждой из этих матриц можно записать оба закона
Кирхгофа (табл. 5.1)2.
Таблица 5.1. Матричная запись законов Кирхгофа
Матрица соединения Первый закон Кирхгофа Второй закон Кирхгофа
К К'Ц=1„ «U„=EK
Р PI„=Jy P'l-'K0=U„
S з'ия=и,.
В таблице используются следующие обозначения: К'; 5'; Р' — транспонирован-
ные К-, S- и P-матрицы соответственно; 7п; U„ — токи и напряжения всех ветвей,
сгруппированные в виде матриц-столбцов; Ек — матрица-столбец сумм ЭДС. Де11'
ствующих в Л'-м контуре: Jv — матрица-столбец сумм токов источников токов-
присоединенных к узлу; UK0 — матрица-столбец узловых напряжений, то есТЬ
напряжений узлов относительно «заземленного»; /х — матрица-столбец токов
хорд (дополнений); Uл — матрица-столбец напряжения на ветвях дерева: ,/„«•
матрица-столбец токов источников токов, входящих в отсечение.
Введем матрицы параметров цепей. Матрица для цепей постоянного тока пос-пе
удаления индуктивностей и емкостей и, возможно, некоторых эквивалентны-
1 Для усвоения этой темы требуется хорошее знание матричной алгебры.
2 Эти чисто топологические уравнения, конечно, по могут быть решены, гак как нс соде]”*®
связи между токами и напряжениями, то есть не содержат информации о параметрах ю
ды. Такую связь обеспечивают компонентные уравнения (закон Ома для участка цсННЛ
79
оГИческие и компонентные уравнения
ований (объединения последовательных и иногда параллельных резн-
пр^^^редетавляет собой диагональную матрицу сопротивлений или проводи-
мостей:
R =
О
О
О
О
т?2
О
О
; G =
G,
О
о
g2
О 0 ... RK
О 0 ... GK
1
г- - ппичем вследствие диагональности матрицы GK = ——
где о ~ ’ 1 RK
п и синусоидальных токах и напряжениях при отсутствии взаимных индуктив- ностей получаются такие же матрицы с комплексными элементами:
Z, 0 ... 0 К, 0 0
Z = о z2 ... о Y = 0 У2 . 0
0 0 ... ZK 0 0 ... YK
Y=Zi; YK=J-
7
ZK- R+ jX = R+ ja>L или Z = R- j —-.
coC
При наличии взаимных индуктивностей в матрице параметров появляются не-
диагональные члены — j на пересечении т-й строки и и-го столбца и
j Млт® на пересечении п-й строки и zn-ro столбца. Появление недиагональпых
членов несколько затрудняет вычисление обратной матрицы. Помогает делу груп-
пирование элементов со взаимной индуктивностью в начале матрицы.
Например, матрица
±М12ю 0 0 0 0
jM 21(0 ±jco£2 0 0 0 0
0 0 R3 0 0 0
Z = 0 0 0 R< 0 0
0 0 0 0 1 0
->c,
o o о 0 0 1
-jcoC5
Пото^ИТСЯ к Л1°бой цепи, содержащей пару катушек, связанных общим магнитным
дерзи °М' сопротивлений и пару емкостей. Очевидно, такая матрица не со-
урав т информации о соединениях этих элементов. Для записи компонентных
Напрд611™ ЭТУ матрицу' умножают на матрицу-столбец токов и получают столбец
Й .-ЯЗКен1,й- Запись ZI t = U, соответствует шести компонентным уравнениям:
2) U Z 7<0£|/| ±М^2;
>~±МН1 + до£2/2;
80
Глава 5. Анализ сложных
Цеп6й
з) с3=^Л;
4)
5) г5=-4г/3;
7“С5
6) u6=-±-ib
jaC6
Матрица проводимостей
f>W О
О №
О О
о
J—
сое
служит для записи уравнений YUB = 1 „.
Конечно, все, что касается синусоидальных токов и напряжений, требует выра-
жения в комплексном виде не только ZK и YK, но и токов /„ и напряжений U
Заметим, кстати, что в матрицу параметров можно вводить и другие операторы.
Например, если ввести операторы дифференцирования и интегрирования, а то-
ки и напряжения выразить в виде мгновенных значений произвольных функций
времени, то получатся уравнения типа
U, - L— или Uc = — f idt
1 dt с CJ
и т. д.
Часть топологического уравнения, например уравнение
К'Ц = 1и =
1^1
К'л
содержит тривиальные равенства типа 1 = 1, так как К' — единичная подматрица.
Таким образом, каждая пара уравнений из табл. 5.1 содержит N} - 1 + A\ =
содержательных уравнений и при включении в них компонентных уравнении
(Un = Zju) может быть преобразована в систему независимых уравнений, коли
чество которых равно количеству неизвестных переменных.
Для схемы, содержащей только ветви с сопротивлениями (7? или Z), уравнен***1
первой строки табл. 5.1 можно получить, если преобразовать все источники т°ка
в источники ЭДС.
5.2. Уравнения, полученные по методу
контурных токов
Рассмотрим получение уравнений по методу контурных токов. Взяв выраже**1*
второго закона Кирхгофа через К-матрицу и матричное выражение закона С-
U„= ZUIможно получить цепь преобразований:
81
полученные по методу контурных токов
5.2. УравиеИИЙ'-—--
кй=Ёк >кгк'Ц=Ёк ^[гк]ц=Ёк-, ц = гк'Ёк.
^«TvoHbie токи /., остальные токи можно найти:
Получив KOHJP
КдЛ = 'л-
ся подробнее на тройном матричном произведении KZK‘=[Zk ] —
Остано контурНЫХ сопротивлений. Она обладает следующими особенностями.
^Матрица симметрична относительно диагонали.
’ и ональные члены матрицы ZKK представляют собой сумму сопротивлений
2- ветвей, входящих в К-й контур. Направление обхода контура выбирается
совпадающим с направлением тока хорды, соответствующей этому контуру:
гкк=УЁк + )У^к-
3 Недиагональные члены матрицы — это сопротивления ZKM, общие для К-го
и М-го контуров:
КМ ~ — (Ёкм + jX км)
Знак «+» ставится в том случае, когда направления обхода контуров К и М
в общей ветви совпадают. Если направления встречны, то ставится знак «-».
В развернутом виде матричное уравнение по методу контурных токов можно за-
писать для схемы с п независимыми контурами:
z" 7 ^12 - z,„ ft
Z2( Z12 •• z2„ = £2
Zrtl ^,2 • -
Это соответствует системе контурных уравнений:
Z11/1 + Z12Z2 + ...+ZlnZ„= £,;
Z21/2 + Z22/2 +... +Z2„/n— £2;
Z„,/i+ Zn2/2 +...+ Zn„/„=
алемент11
нИКОв матРицы Ек представляют собой алгебраическую сумму ЭДС источ-
ВПаДаетеТ1,еИ С° знаком «+>> в суммы входят те ЭДС, направление которых со-
q С НапРавлением обхода контура, остальные — со знаком «-».
г°фа, есЛи^аВНеН11П можно получить и непосредственно из второго закона Кирх-
Ся по ко ВВести понятие контурного тока как неизвестного тока, замыкающего-
H^HcZ?J-nOCK-b’<y в ветви, которая отличается от всех других, в системе
т°ка и ТокЫХ КонтУРов протекает только контурный ток, то понятия контурного
Лее Конту 3 Х°РДЫ совпадают. Во всех других ветвях дерева протекают два и бо-
^эпрИме НЫх тока- этих терминах и формулируется второй закон Кирхгофа.
Р> Для первого контура первое слагаемое — это сумма напряжений во
82
Глава 5. Анализ сложных
всех ветвях контура от протекания контурного тока, остальные слагаемые
напряжения в соответствующих ветвях от действия остальных контурных То^
Если М-й и К-й контуры общей ветви не имеют, то ZKM = 0.
Получив контурные токи
4 = E1^- + E2^L + ... + E„^,
АД Д
из уравнения K‘IX = Iu легко получить остальные токи.
5.3. Метод узловых потенциалов
В качестве определяемых переменных часто принимают потенциалы узлов отно-
сительно «заземленного» узла, потенциал которого принят за ноль. Получил
систему уравнений, которая выражает метод узловых потенциалов.
Рассмотрим ветвь между узлами К и М (рис. 5.1). Для определенности будем
считать, что она единственная. Если это не так. то можно провести предвари-
тельные преобразования параллельных ветвей.
Второй закон Кирхгофа справедлив для сумм потенциалов точек (даже если ме
жду точками нет ветвей):
Фко ~ ^мо ) ~ = ~^км
¥ км
Отсюда /кл, = (UKn-UM„ )YKM + Ёт¥км - обобщенный закон Ома.
По первому закону Кирхгофа сумма токов всех ветвей К-т узла У - С
м
чит, для каждого узла
Х^ко^кл/ — = ~^,ЁКМУКМ
м м м
или
Х^кл/ ~ moYKm = J-
м м пВ
Поскольку UK0 от индекса М не зависит, a j — сумма токов всех источник
тока, входящих в узел, если источники ЭДС преобразовывать в источники
получим систему уравнений для схемы с (п + 1) узлами:
й при обобщенной модели ветви
83
11ЛЙ в матричном
виде:
л
у симметрична относительно диагонали, на которой расположены сум-
проводимостей всех ветвей, присоединенных к узлу:
V//V — Сгг "Г jP КК'
Все недиагональные члены матрицы отрицательны:
YKM ~ - (^КМ ~ j^KM )>
а их значения равны проводимостям ветвей между К-м и М-м узлами.
После нахождения узловых потенциалов по обобщенному закону Ома находят
токи в ветвях. Формально систему уравнений легко получить из второй строки
табл. 5.1:
Pin = Jy = PYU„=PYP-UKn,
где PYP‘ — матрица узловых проводимостей.
Системы уравнений по методу контурных токов и узловых потенциалов широко
применяются для доказательства некоторых теорем теории цепей и часто состав-
ляются непосредственно по заданной схеме. Например, формула двух узлов при
использовании метода узловых потенциалов выводится непосредственно:
_ _ У EY
U^Y =YEY .
Предпочтение отдается тому или иному методу в зависимости от того, чего боль-
в схеме: независимых узлов или независимых контуров.
g
•4. Метод сечений при обобщенной модели
ветви
чик &ВеДеН11и обобщенной модели ветви, содержащей и источник ЭДС, и источ-
ка>Кем Ка’ Можно получить систему уравнений без каких-либо ограничений. По-
на Рис НЯ пРимеРс применения метода сечений. Обобщенная ветвь показана
В *
лУНить Н^е’„СВЯЗЬ1вак>1Чсе ток ветви с параметрами обобщенной ветви, можно по-
’ °б°йдя контур а —> 0 —> b —> а:
° ~UU ~ напряжение ветви.
84
Глава 5. Анализ сложных ц
Получим ток ветви:
/ = (Й„ + £)У-/.
Написание формулы останется неизменным, если принять следующие обозначе-
ния: — матрица-столбец токов ветвей; [/„ — матрица-столбец напряжений вет-
вей; £в — матрица-столбец ЭДС ветвей; Ju — матрица-столбец токов источников
тока ветвей; Y — матрица параметров ветвей. Конечно, при этом надо записать
уравнение так, чтобы согласовать число столбцов и строк в матричных произве-
дениях:
Умножим это матричное уравнение на топологическую матрицу сечение-ветвь 5
слева и, учитывая, что SJ в = 0, получим SYIJV + SYEn - SJ = 0. Подставим сюда
соотношение = 57/л,_где Йл — матрица-столбец напряжений ветвей дерева,
и уравнение SYS'U л + SYEB - Sj = 0 или уравнение, аналогичное полученному по
методу узловых потенциалов:
SYS'U^ Sj - SYEV.
Решив уравнение относительно Un: U:. = (SYS' )-1 S( j - YE), по формуле U„ = S Щ
найдем напряжение всех ветвей. Наконец, используя уравнение для обобщенно*1
ветви, получим токи I = YUB + YEU - Ju.
При работе с массивами информации в системах машинного проектирований
электронных схем достигают еще большего обобщения, вводя в модели вегви за
висимые источники, — это характерно для моделей транзисторов. В учебно*'1 п°
собии вряд ли есть необходимость излагать эти методы, так как пользователь
лучает их изложение вместе с соответствующими машинными программами-
у читателя возникнет необходимость в разработке или модернизации подо
программ, ему придется обратиться к специальной литературе.
пДС-
При наличии ветвей, состоящих только из идеальных источников тока или
в формальных методах построения уравнений приходится прибегать к спей*
ным приемам расщепления ветви или узла. При составлении уравнений П -
ную можно поступать так, как показано в примерах.
Пример 5.1. Составить уравнение по методу контурных токов для схемы,
браженной на рис. 5.3.
85
„цений при обобщенной модели ветви
54.^ТОД
Рис. 5.3
При формировании независимых контуров считаем контур с источником тока
контуром с известным током. Получим два уравнения:
(7?j + Т?4 + 7?- )Il-R/iI2 + R5J3 - Et;
-RAIi + (R2 + Ri + R6)I2 + R6J3 = O.
Третье уравнение составить невозможно, так как R33- <=°, но в нем и нет необхо-
димости, так как ток J3 известен.
Пример 5.2. Составить уравнение по методу узловых потенциалов для схемы,
изображенной на рис. 5.4.
Если
ЭДС,
заземлить один из узлов, к которому присоединен идеальный источник
можно сразу определить потенциал другого:
других узлОВ получим уравнения
- UwY2 + U20 (У2 + У3 + У4) - Й30У3 = 0;
-Е\оУ5-Й2()У3 + Йзо(У5+ У3) = J6.
^ое Vn
'Ч т^У₽авнение составить не удается, так как Y, = <*>, но в нем нет необходимо-
Как в схеме только два неизвестных узловых потенциала.
86
Глава 5. Анализ сложных це
Интересно, что система уравнений, полученная в примере 5.1, не изменится
изменить схему так, как показано на рис. 5.5.
есЛц
Таким образом можно осуществить эквивалентную замену идеального источни-
ка тока несколькими источниками ЭДС, расположенными на ветвях дерена и об-
разующими с источником тока контур:
e5=rj3.
Образовавшиеся реальные источники ЭДС {ЕЬ;ИЬ} и {£5;7?-} можно преобразо-
вать и в источники тока, если в этом есть необходимость.
Уравнения, полученные в начале примера 5.2, позволяют преобразовать идеаль-
ный источник ЭДС в два источника ЭДС с расщеплением узла, как показано на
рис. 5.6.
В свою очередь, образовавшиеся ветви {£,;У2} и можно преоора30®
в источники тока.
На основе матричных уравнений, являющихся математическими моделям1 г
трических цепей, часто доказываются те или иные общие соотношения,
мера рассмотрим часто применяемый в анализе линейных цепей принцип
ностпи.
87
„ гечений при обобщенной модели ветви
,4.МетоДс -------- ------
в сколь угодно сложной цепи действует единственный источник ЭДС,
ПУсТЬеНиЫЙ в т'ю ветвь (рис. 5.7). Для нахождения тока в n-ii ветви составим
по методу контурных токов, приняв rn-ю и п-ю ветви за хорды:
zKh = Ёк.
Рис. 5.7
Ток в n-Й ветви определим по формуле
I =
" А “
где Д — определитель системы \ZK\; Ёт= Ёк, поскольку источник ЭДС единст-
венный; А,„„ — дополнение определителя.
Перенесем источник в п-ю ветвь (рис. 5.8).
Рис. 5.8
Ределим ток в m-ii ветви:
^ем отношение токов:
i„.=
а Е"'
П°СКо.
А,„„
Алт
Ё,„
Ё„ ’
*1°йлипЬКУ МатР11иа контурных сопротивлений симметрична относительно глав-
^гонали (А * '
„т = получим:
L = ^l
L Ё„ '
88
Глава 5. Анализ сложны*
-------------------- це'-ей
Если источники ЭДС Ёт= Ёп (по величине и по знаку), то /„=/„. Г1и,-)т
принцип взаимности можно сформулировать так: если источник ЭДС, расцо-j
женный в т-и ветви, создает в n-й ветви ток Iп, то тот же источник, перенес^
ный в п-ю ветвь, создает в т-п такой же ток. Схемы, отвечающие этому
пу, называются взаимными цепями. Все линейные цепи взаимны.
Контрольные вопросы
1. Как записать топологические уравнения с помощью различных матриц соеди
нений?
2. Что такое компонентные уравнения? Как записать компонентные уравнения
в матричном виде?
3. Как с помощью топологических и компонентных уравнений выразить урав-
нения по методу контурных токов?
4. Как составить уравнения по методу контурных токов по заданной схеме?
5. Как с помощью топологических и компонентных уравнений выразить урав-
нения ио методу узловых потенциалов?
6. Как составить уравнения по методу' узловых потенциалов по заданной схеме?
7. Каков порядок представления матричных уравнений для обобщенной модели
двухполюсника по методу сечений?
8. В чем состоят особенности составления уравнений по методу контурных то-
ков и узловых потенциалов при наличии идеальных источников тока п на-
пряжения?
Контрольные задачи
5.1. Для данной схемы при J - Im cos cof.
е - Ет sin cof ввести обозначения
ее элементов и составить систему
уравнений по методу контурных
токов.
89
вольны* задачи
gOHTPu - —
„ ДЛЯ данной схемы при
5.2- г sin(wf + <р), Е = ввести
h значения ее элементов и соста-
°ить систему уравнений по методу
узловых потенциалов.
Для данной схемы составить
матрицу соединений по методу
сечений и записать с ее помощью
первого закона Кирхгофа.
Для данной схемы составить порядок
определения тока через резистор
используя принцип взаимности
и принцип наложения.
5.5.
Для данной ветви
записать закон Ома.
Глава 6
Резонанс и частотные свойства цепей
В предыдущих главах были введены понятия реактивных сопротивлений ><•„
। кон-
денсатора Хс = —— и катушки индуктивности XL - a>L. Эти сопротивления завц
сят от значений С и £ и от частоты со. Отсюда следует, что распределение т01<0[,
и напряжений электрической цепи определяется не только параметрами цепи
но и частотой возмущающего воздействия. Эти зависимости характеризуют час-
тотные свойства электрических цепей переменного тока.
6.1. Резонанс напряжений
Рассмотрим двухполюсники, содержащие L и С. Различные сочетания индуктив-
ностей и емкостей в цепи при заданной частоте либо изменение частоты при за-
данной схеме могут привести к тому, что входная проводимость или входное со-
противление двухполюсника будут иметь чисто активный характер. При этом
напряжение и ток на входе двухполюсника совпадают по фазе. Такое явление
называют резонансом
Основное определение резонанса: <р(со) — 0 (на входе двухполюсника).
Рассмотрим некоторые характеристики цепи при резонансе. Для последователь-
ной 7?£С-цепи (рис. 6.1) ток и сдвиг по фазе между током п напряжением равны,
соответственно
, { О
со£ - —
7 U
I = .; <р = arctg--------------.
, ( ( 1 W к
л7?‘+ со£-
V L Iwcjj
Рис. 6.1
Резонанс в цепи возникает при выполнении условии
г 1 1
со£ =---или и,, = , .
соС VlC
Частота в этом случае называется резонансной, или собственной, а ток имеет *
симальное значение: I =— . Векторная диаграмма цепи при резонансе преДсТ<
лена на рис. 6.2.
^.Резон^^
91
nIR = UR = U
UL =
ч--------
Рис. 6.2
Здесь векторы UL и Uc равны по величине и противоположно направлены. По-
этому резонанс в последовательной RLC-uemi называют также резонансом на-
пряжений.
Условие резонанса можно записать и в другой форме: со2!С - 1. Эта формула
удобна для анализа цепи, когда резонанс достигается изменением одной из трех
величин, со, L или С, то есть при постоянстве двух величин изменяемая величи-
на должна получить одно из значений:
1 т _ 1 r _ 1
/77;’ L»~ir'
V LC со С со L
При резонансе индуктивное и емкостное сопротивления равны между собой:
Хщ= Хсо = ~ = J— = Р ~ волновое сопротивление.
со0С \| С
Действующее значение напряжения на реактивных элементах при резонансе
Uc = UL=Ia0L = J- = ^ = ^U
сооС R R
может существенно превышать питающее напряжение в зависимости от доброт-
н°сти контура Q:
Q = ~> ul = uc=qu.
IX
чина, обратная добротности, d = = — называется затуханием контура.
ные знаЯСНеНИЯ Физическ°й сущности явления резонанса рассмотрим мгновен-
чения мощностей на элементах L, R, С:
Pr = -J1I sin cotV2[7 sin cot = L7(l - cos 2cot) = 12R( 1 - cos 2cot);
PL = л/2/sin cofV2!' sin I cot + —
I 2
Pc - y/2I sin a>ty/2Ur sinl <£>t - — | =
I 2j
= IUL sin2coi
-IZ7csin2cot
92
Глава 6, Резонанс и частотные свойства
Поскольку UL = Uc, то pL - -рс. Это значит, что происходит обмен энерг
между магнитным полем катушки и электрическим полем конденсатора. Ц .
ник в этом случае расходует энергию только на потери в активном сопро-н/04'
ни I2R. Суммарная энергия магнитного и электрического полей
и/ и/ ш LI2m . 2 . CU2cm
W = WL + WC = —-—sin wt +
2
cos cot.
2
Учитывая, что
получаем:
U2 II2
LI2=L^- = L-c , = CU2,
Лс UlC
I С J
LJ2 CU2
(Г =—4-+-^- = const,
2 2
то есть суммарная энергия полей конденсатора и катушки индуктивности оста-
ется постоянной.
6.2. Частотные свойства RLC-двухполюсников
Рассмотрим последовательную /?£С-цепочку при условии J = const (рис. 6.3).
Рис. 6.3
Напряжение двухполюсника U - ZI, где Z - R + j\ со/.-I, или в действую
V сос)
щих значениях U - ZI, где Z = R2 + (coL-— | .
V к соС)
Частотные характеристики Г(со) = любого из элементов представляют с
/(со) к?)’
бой зависимости модуля сопротивления элемента от частоты, /(ля амплпР'1
частотной характеристики (АЧХ) двухполюсника 7j (со) = характер за1’1
/<ш> 7-Д®>
мости совпадает с зависимостью модуля сопротивления двухполюсника
то есть 7] (со) = Zob(co). АЧХ элемента и всего двухполюсника представ-
на рис. 6.4.
свойства RLC-двухполюсников
„ частотные ------------------
6.2- “
93
Реактивное сопротивление двухполюсника
X = XL - Хс = aL - — = —(со2 - со2 )
соС со
изменяется от до +<», проходя через 0 в точке со(). Используя понятия нуля
и полюса системной функции, заметим, что у функции Х(со) два полюса, со= О
и со = °°, и один ноль, со = со0. Характерное свойство функции Х(со) состоит в том,
чт0 ЛХ(<и) так как прИ увеличении частоты растут (алгебраически) оба сла-
</со
гаемых. Фазочастотную характеристику (ФЧХ) получаем из выражения
шТ---
. . j arclg--
U = Ie,v'Ze R = Ue'^;
то есть, приняв ср, = 0, имеем
, 1
со/.----
Ф« - ср, = ср со = arctg .
Зависимость ср (со) показана на рис. 6.5. Если ср <0 (при со < со0), то цепь имеет
емкостный характер, если ср > 0 (при со > со0) — индуктивный.
В П°СЛ
^He, f.°^Te^bHoft /\7.C-цепочке приложенное напряжение постоянно по вели-
94 Глава 6. Резонанс и частотные свойства ц
Ток в цепи
U
D -Г Т 1
R + 1 coZ------
Л соС
напряжение
/ = UY = U X =
Z
Ur=RT, Uc=Zc1; uL = zLi,
или для действующих значений:
( 1 >
IJC = IJ ; UL = U Ю£
I ( I >2 „ ( 1 У
.Т?2+ coZ------- JR"+ coZ-------
V I соС J v \ соС J
u[aL~— |
k wC J
'> f T 1
R~ + coZ -
у соС
При построении графиков частотных зависимостей учитывается, что при резо-
нансе X = 0, тогда
£7—1_
1 = -; и= _UR=U\ UL = UC.
RCRR
При со = О
7=0; UR=0: UL = 0: UC = U; X = <=°
при со = “
I = 0; UR = 0; UL = U; Uc = 0; X = <=°.
Графики зависимостей тока и напряжений элементов от частоты приведены
рис. 6.6.
Рассмотрим влияние частоты па проводимость данной цени
Предположим, что R = 0 (цепь без потерь), тогда
В = Х = -1 = 1 = ю 1
R2+Xi Х coZ-—- £“2~“о
соС
Рис. 6.6
функцияВ( со) имеет два нуля, со = Ои со = и один полюс, со = соо. Производная
dB(S») <0, то есть в цепях без потерь проводимость всегда убывает, что соответ-
dos
ствует пунктирной кривой на рис. 6.7.
ьной цепи сопротивление R 0, откуда
т 1
со!-----
соС
R2+ \ со!- —
к соС
В =
2 '
Г1°луЧенн
4acTQr со ЭЯ зависимость на Рнс- 6.7 представлена сплошной линией. Значения
1 11 Ц>2 можно найти из условия
_ 0
с/со
Глава 6. Резонанс и частотные свойств
-------------------------- ацЛч
Решение уравнения, полученного из этого условия, позволяет вывести со
шение 11с-
R2= fwZ-— 1 ,
к wC J
1
откуда получаются экстремальные значения Втах - -Д11|П = —,
27?
1
а о»! 2 — со0
cl d2 . ,1
— ± — + 1 I, где а —----затухание контура.
Q
6.3. Резонанс токов
Рассмотрим двухполюсник, содержащий параллельно соединенные /?, £ и С (G
L и С) (рис. 6.8, а). Условие резонанса o>2t LC = 1 или св0= —=. Значения пара-
метров при резонансе таковы:
Векторная диаграмма цепи приведена на рис. 6.8, б.
Поскольку в данном случае векторы токов равны и противоположны по фазе, pf
зонанс в параллельной цепи называют резонансом токов. При резонансе Реаь
тивная проводимость двухполюсника равна нулю и полная проводимость мини
мальна, поэтому полный ток при резонансе минимален.
Величина
,, 1 [с
“оС =----т = \7 =7
co0L V L
называется волновой проводимостью.
Если G < у, то ток I L = Ic> I.
Отношение
Iio _ Icv _ СРцС _ со(1 С _ у^
Io ~ Io ~ UG G ~ G
ip свойства параллельного контура
97
т сТепень превышения тока в реактивных элементах суммарного тока
одреДе оНансе — добротность контура.
црН Ре еские процессы в параллельном контуре аналогичны процессам в по-
ЭНеРгеТтеЛЬНОй /?£С-цепи. В любой момент времени pL = -рс, то есть энергия
слеД°ва и3 каТушки в конденсатор и обратно. Источник компенсирует потери
эн?™» в ПР°ВОДИМОСТИ а
6,4. Частотные свойства параллельного контура
При построении частотных характеристик параллельной цепи наглядно просле-
живается принцип дуальности цепей.
Рассмотрим параллельное соединение элементов G, £ и С. В такой цепи величи-
на тока J = const Характеристики в этом случае дуальны последовательному со-
единению R, £ и С при постоянстве приложенного напряжения U = const’
F=G-jf-X-cocl; Y =
\0)L J
2
U = L
Y
I f -i
G2+ ——-coC
у co£
Напряжение двухполюсника (действующее значение) определяется по формуле
токи элементов — по формулам
При
IG , IwC
с---г~ — 2' ’ 1 < - г —
1 — coC | G2 + f—-соС
со£ J \ усо£
п°строении АЧХ следует учитывать, что для резонанса
При (о^о
4з*7П
U = 0; Ic=0- IL=I,
и=0-, 1с = 0; 1С=1.
98
Глава 6. Резонанс и частотные свойств
----------------------------- ЦеЧ
График характеристик рассматриваемой цепи представлен на рис. 6.9
Рассмотрим параллельное соединение G, L и С, для которого приложенное на-
пряжение постоянно по величине, U = const. Его частотные характеристики ду-
альны характеристикам цепи с последовательным соединением R, L и С при
I = const.
АЧХ элементов и двухполюсника соответствуют зависимостям проводимостей
элементов от частоты (рис. 6.10, а).
Реактивная проводимость, равная
В= В, -Вс = —-соС = -(со2-со2),
со£ со
имеет два полюса, со = 0 и со = «>, и один ноль, со = со0. Реактивная проводи
с увеличением частоты уменьшается:
b,e свойства параллельного контура
6 Я
99
ИВ
Иы
1
со2£
еходе частоты через точку резонанса изменяется характер проводи-
flpn пеР ы<<о0, проводимость имеет индуктивный характер — В >0; если
мости: е ()ВОДимость становится емкостной — В <0. ФЧХ цепи представлена на
(О><Оо’ПР)
рис-б-ЮЛ
Найдем -
ai
характеристики сопротивления параллельно соединенных R, L и С. Ре-
"Zhoc сопротивление цепи
_ 1 1 _ G В _ „ .„
Z — — ~-------— —о----т + / —»--т — В + /А.
Y G-jB G2 + B- G2 + B2
Если G - 0,
со
1 _ 1 _ С
В мС--1 “о-“2'
со£
Графики зависимостей Х(со) и Я(со) представлены на рис. 6.11.
Заметим, что ппи с n dX п
и при G — и отношение —— > 0, то есть с увеличением частоты сопро-
тивлец11е ““
точку рез Цепях ^ез потерь всегда возрастает. В момент перехода частоты через
ТеР от Ин ’Нанса сопротивление становится бесконечным и изменяет свой харак-
ВисИМости^уТИВНОГО К емкостномУ (пунктирная линия). При G * 0 характер за-
^Начарр Чт От м показан сплошной линией. Прохождение Х(со) через ноль не
еайе, завцс° СопР°Т11Влеиие вс’ей цепи равно нулю, так как активное сопротив-
яШее в этом случае от частоты, имеет максимум в момент резонанса:
_ 1
G2 + B2 G
100
Глава 6. Резонанс и частотные свойст
—
6.5. Резонансные эффекты в сложных цепях
В сложных цепях в общем случае резонанс наступает при условии X = q
В = 0. Активное сопротивление в них зависит от частоты. Условие X = 0 илц
в двухполюсниках произвольной сложности может привести к наличию неск
ких корней ор. Методика отыскания этих корцер Ль'
ется такой же, как и в простых случаях: записыва^
комплексное выражение для сопротивления или Ся
водимости, коэффициент при мнимой части прира^°
вается к нулю. По полученному уравнению отыскива
ются резонансные частоты, а по виду соответствую^
функций Z(w), R((X) и Х(со) строятся частотные харак
теристики. Рассмотрим пример (рис. 6.12).
Комплексная проводимость сложной цепи определяет-
ся по формуле
R^ + rfL2
= У, + У2= —-----+------Ц- -
£?, + ;«)£ о _ г-JL
(ОС
1 '
соС
7?2 + w2£2 1
K -i -I—й—
ы2с2;
-V->
со£
= G-jB
Условие резонанса (при В = 0) таково:
со£
R2 + (й2£2
1
соС
1
k со2 С2
откуда
1
“р=“7?
--R2
с 1
—------- или со;, = соо
‘2
р2-/?2
Рассматривая полученный результат, можно выделить три варианта соотН
ния параметров.
1. £?2 >—>/?2 или /?2 <—<R.f — подкоренное выражение отрицательно
с с
стота мнимая, то есть резонанс невозможен.
1 и
; со}= ——= — частота совпадает с резонансной частоте
2. 7?,=
тура LC.
101
cHbie эффекты в сложных цепях
Iz. — резонанс наблюдается на всех частотах, так как R не зави-
з.^*2 vc
СЙТдельно, пусть Rt= R2 = R, тогда
ДеГ,сТ ( 1 \
(R + jcoZ) R-j—
у соС ) _
2R + oL — — |
V (ОС)
“2R + j | coZ.-
I coC
2R + j\ (£>L ——
V coC
ZtZ^
z’ Z, + Z2
R2 + — + j[RcoL - —
С < соС
L
С
( 1 А
2R+/ со£
1 coCj
= R
= R.
Дпя цепей, являющихся пассивными двухполюсниками, без потерь можно про-
следить некоторые общие закономерности в частотных характеристиках.
Составляя систему контурных уравнений, можно предусмотреть, чтобы источник
входил в первый контур (рис. 6.13). Тогда входной ток определяется по формуле
/вх=/( = ^- U = Yjj = ~ V
А Z,
Рис. 6.13
вх
ВХ
где Д - определитель n-го порядка
типа
с элементами
4=j wzw ——
I <*cki j
Л.
1
= ; — со2
и
А ц определитель (n-l)-ro порядка с такими же элементами.
В общем случае
о
% _ 1 fl, to2" + fl2 Щ2" ” 4
CO bx CO2"-2 + b2 CO2" 4 T ... т <70
’1Я корни полиномов числителя и знаменателя, дробь представим в виде
X = 1 (ы2~Ю1 )(И2-<Оз)--(Ю2-М2п)
со (со2 - со2 )(со2 - со2)... (со2 - со2п_2 )
° Це1щх <
т°ЛьКо + /3 потеРь угол сдвига фаз между током и напряжением может быть
С'Са’1Ком'’ В То же вРемя пРи резонансе ср = 0, так как в момент резонанса ср
^°чка МеНяет сво“ знак (Рис- 6.14).
Ми Резонанса также будут значения частот со = 0 и со = <=°.
^^ьку jX(co)
Н,СЯО J da~ >U’ неРавенство усиливается, отсюда справедливы соотноше-
Ч < со2 < (03
'2п
102
Глава 6. Резонанс и частотные свойства
Рис. 6.14
Для любой цени без потерь первой резонансной частотой является со = 0, а по-
следней — со = <*>. Однако в зависимости от того, будет ли при этих частотах ноль
или полюс функции, можно представить четыре разновидности характеристик
(рис. 6.15).
1. Если в двухполюснике существует путь, проходящий только по индуктивно-
сти, то зависимость АДсо) начинается с нуля (рис. 6.15, а, в).
Рис. 6.15
103
К0нтР^ьНЬ'е3аДаЧИ
проходящий только по индуктивности, отсутствует, АЛ(со) начина-
2- (рис. 6.15, б, г).
етсЯ L
двухполюснике существует путь, проходящий только по емкостям, то
3. Х(го) заканчивается нулем (рис. 6.15, «, б).
заВ оТСутствии пути, проходящего только по емкостям, частотная характерп-
4- заКанчивается полюсом (рис. 6.15, е, г).
Контрольные вопросы
1.
2.
Каковы условия возникновения резонанса в цепи? Как подсчитать резонанс-
ную частоту?
Как выглядит векторная диаграмма при последовательном соединении R, L
и С в цепи? При параллельном соединении?
3 Назовите примеры использования резонансных явлений.
4 Что такое частотные характеристики?
5. Что такое амплитудно-частотная характеристика? Фазочастотпая характери-
стика?
6. Как экспериментально определить резонансную частоту?
7. Как изменяются частотные характеристики при изменении добротности?
8. Что такое двухполюсник без потерь? Как по виду схемы качественно предста-
вить характеристики /(со)для двухполюсника без потерь?
Контрольные задачи
61- Для данной схемы при Uc =100 В, 17= 1 В,
ю = 10 с *, / = 1 А и резонансе определить
Ur. UL, L, С, R.
6.2.
Для данной схемы при £ = 1 мГн, С = 0,1 мкФ,
и Ом определить резонансную частоту
зависимости напряжения на элементах
Тока источника тока.
£^fHHOii схемы при R = 24 Ом,
Оп~ -1 мГн, С] =0,1 мкФ и/= 500 кГц
токов6п1ТЬ С? ДЛЯ ДОСТ1,ЖСНИЯ резонанса
цан ’ Определить при этом частоту рсзо-
а напряжений.
6.5. Для данной схемы при /; =5 A, /Л=2 А
и резонансе определить показание ампер-
метра.
'^\ет электрических цепей
несинусоидальных периодических
токах и напряжениях
шинстве устройств электроники, радиотехники, автоматики, вычислитель-
В ^°ЛЬ ики токи и напряжения имеют отличную от синусоидальной форму, оста-
н°и перИОдическими функциями времени. Расчет цепей при несинусоидальных
ваЯСрдлческих возмущающих воздействиях в курсе электротехники составляет
настоятельный раздел независимо от того, чем вызвана несинусоидальность.
пучиной несинусоидальности могут быть паразитные явления, протекающие в
электротехнических установках: несимметричность генераторов, нелинейность ха-
рактеристик элементов и т. д.
Широко применяются устройства, в которых несинусоидальность возмущающих
воздействий создается преднамеренно и несет определенную информацию: вы-
числительные устройства, системы связи и т. п.
Метод расчета электрических цепей при несинусоидальных периодических то-
ках и напряжениях основан на разложении кривой в гармонический ряд Фурье
и применении принципа наложения.
7.1. Разложение несинусоидальной функции
в тригонометрический ряд
Всякая периодическая функция, удовлетворяющая условиям Дирихле, то есть
имеющая на конечном интервале изменения аргумента конечное число разрывов
первого рода и конечное число максимумов и минимумов, может быть разложе-
на в тригонометрический ряд:
f(co£) = Ад + ДзиДсоТ + ср, ) +A2sin(2coi + <р2)+ ... +AKsin(^a>i + <рк ) ...
Или
F(cor) = ^AKsin(^coi + срк).
* т u
Човц “ член Ряда называют постоянной составляющей, второй член ряда — ос-
Ник СинУсоидальной, или первой, гармоникой, остальные — высшими гармо-
Основная частота со = — равна частоте несинусоидальной периодиче-
^Функции. Т
йФор^СТва подсчета коэффициентов ряда последний обычно представляют
^(wr) = Ао + Bt sinсоГ + Q cos cor + B2 sin2i + C2 cos2coi +... +
+ BK sin/до/. + CK cos kort +...
106 Глава 7 Расчет цепей при несинусоидальных периодических токах и напря
Эту форму получают, если для каждого члена ряда
sin (/дог + <рк ) = sin /дог cos <рА + cos k(f>tsm<pK
Таким образом,
Вк- Ак cos <рА.; Ск = Ак sin<pA.;
2К; <рА = arctg
Коэффициенты вычисляются по следующим формулам:
1 г‘
А1: = — [ Т(юС)с/(юГ),
где Ао — среднее значение функции за период (постоянная составляющая тока
напряжения или ЭДС);
1 71
Вк = — F(aa)sink(Otd(oyt);
1 л
Ск = — J F( гос) cos ki£>td(iat).
Периодические функции сигналов, используемых в электротехнике, могут обла-
дать различными видами симметрии:
1. Симметрией относительно осн абсцисс (рис. 7.1):
л
Такие функции при разложении в гармонический ряд не имеют постоя
составляющей и не содержат четных гармоник. Эти положения в матсмаТ1
строго доказываются.
2. Симметрией относительно оси ординат (рис. 7.2):
/(<'«) = -/(~<Ю-
я
В этом случае разложение пе содержит синусов, так как синус — фуикШ
четная.
107
а неСИнусоидальной функции в тригонометрический ряд
71,разло*еиИе
Рис. 7.2
Симметрией относительно начала координат (рис. 7.3). Такое разложение
3 функции в ряд не содержит косинусов и постоянной составляющей.
Первый вид симметрии не зависит от начала отсчета времени, то есть является
свойством самой кривой, второй и третий связаны с началом отсчета.
Приведем несколько примеров разложения.
Пример 7.1. Рассмотрим трапецию, симметричную относительно оси абсцисс
и начала координат (рис. 7.4).
Рис. 7.4
108 Глава 7. Расчет цепей при несинусоидальных периодических токах и нэп
-------------------------------------------------------------------
Учитывая симметрию, можно .заключить, что ряд будет состоять из нечетн
нусоид. Интегрируем функцию /(.г) на отрезке, равном четверти периода
жая интеграл на 4. Определим коэффициенты Вк: ’
4 %2 4 “ г 4
Вк - — | /(х )sin kxdx — — f А — sin kxclx + — f A sin kxdx
л I л Ja a nJa
Разделение интеграла па два связано с тем, что значение функции на участке
О до а равно А —, а на участке от а до л/2 равно А.
a
от
По таблицам интегралов находим:
г . , , sin Ах xcosfcc
х sin kxdx -----------------
J k k
тогда
n 4Д “fsinfcr x cos Ax] f2 4Л ,
BK =— {— ------------------—cos kx =
ла ol k J a
= — — {sin ka - k cos ka + k cos ka} - sin ka
nak nak
В результате получим ряд
4Л [ 1
/(х) = —«inasinx + -sin3asin3x..
ла [ 9
Пример 7.2. Рассмотрим сигнал треугольной формы (рис. 7.5).
Сместим начало координат в точку х = л/2; у = Л/2 и примем a = л/2;А-^
Получим ряд
У (-v ) = —
л
' ,1-0, Ir, I
sinx + siii3a Ч-SHIJX + ... .
9 25 )
Для обозначения ряда в первоначальных координатах необходимо в ряду
вить В/2 и вместо х' записать (wf + л/2):
ние несинусоидальной функции в тригонометрический ряд
109
7 l ра3^0'
Б 4В
~ + -у
z л
1 „ 1 с
cost+ -cos Зх +— cos5x + ... .
9 25 )
ЛримеР
Функция симметрична относительно оси ординат, поэтому содержит только чле-
ны ряда с косинусами. Ряд Фурье имеет вид
2 А ( 1
f (х ) = A k — sin л/г cos x + - sin 2 л/г cos 2x
Л \ 2
, a
где к =--коэффициент импульса.
Л
Из приведенных примеров разложения в ряд Фурье видно, что при отсутствии
постоянной составляющей функция полностью определяется величинами ампли-
туд соответствующих гармоник. Поэтому функцию /(со) представляют ампли-
тудно-частотным спектром (рис. 7.7).
Д<^Пть Фазочастотный спектр, то эти две характеристики полностью опре-
есинусоидальную периодическую функцию.
I I (J Глава 7. Расчет цепей при несинусоидальных периодических токах и напп
7.2. Общие характеристики несинусоидальны*
токов, напряжений и ЭДС
Несинусоидальные токи, напряжения и ЭДС характеризуются следующ11М][
раметрами:
□ максимальным значением за период: /,пах, L7max, £max;
□ действующим (эффективным), то есть среднеквадратичным, значением •
1 аа Др.
риод:
; £ =
I =
1 T
-[fdt- U =
Ti
1 о
После разложения в ряд (например, тока) при k - 0, <рА = <р0 = л/2 получим-
1 т т
I2= — [i2dt = — [(ill+i, + i., +... +i,+ ...)2 dt =
= ^\fdt=
To
K=0 1 о X =0 7 ° K=o о
= М^о + '.+Л2 +... + /к + ....
A U 1 z A
K=0
о
X =оо 1 Г
к=°" । Г
т
так как при g * s
т
J‘sdt = J/ят/хт sin(gcoc + <pg )sin(.scot + cpJJf =
0 0
T 1
Jcos[(g - ,s)c»/ + <рг, - (p, ]dt - cos[(g - s)citf + <р^ - <p , \dt = 0,
.0 J
gm \ш
тогда
2
Т о о
или
Действующее значение периодического несинусоидального тока равно квалР3^
ному корню из суммы квадратов действующих значений всех гармоник и
рата постоянной составляющей. Аналогично.
О о
Как указывалось ранее, среднее значение равно постоянной составляющей-
1 т
о
111
ггрпистики несинусоидальных токов, напряжений и ЭДС
-------------------------------------------------
иячение по модулю
я**3"
1 т
А'р= ~/1/(01'*-
1 о
е характеристики получают непосредственно из приведенных формул.
У1сазаЯаЩИХ интегралы, или из их разложения в ряды.
С°ДеР дические токи, напряжения и ЭДС характеризуются следующими коэф-
фипиентами:
КоэфФициентом Ф°РМЬ1 КРИВОИ — отношением действующего значения к сред-
° нему по модулю:
К =А
ф a;v
Для синусоиды
К = £/£ = =
Ф 72/ Л 272
1,11.
□ Коэффициентом амплитуды — отношением максимального значения к дейст-
вующему:
Л
_____ Imax
а-£Г
Для синусоиды
□ Коэффициентом искажения — отношением действующего значения основной
гармоники к действующему значению функции:
к-~-л
Для синусоиды Ки = I.
Коэффициентом гармоник — отношением действующего значения высших
ГаРМоник к действующему значению основной гармоники:
кг = .
а.
Есд 1
Постоянная составляющая отсутствует, то
Кг = --
к
СИнУсоиды Кг = 0.
Г лава 7. Расчет цепей при несинусоидальных периодических токах и напп
—
7.3. Особенности измерений
при несинусоидальных сигналах
Разные системы приборов переменного тока регистрируют разные величцНЬ1
шкалы их отградуированы так, что при синусоидальном воздействии Оцц ’ Н°
зывают эффективное значение измеряемой величины. Приборы электрод 3
мической, электромагнитной и тепловой систем отградуированы в действую1113
значениях. Приборы магнитоэлектрической системы реагируют только на пост^
янную составляющую. Магнитоэлектрические приборы с детекторным преобраз0
вателем реагируют на средние по модулю значения, а отградуированы в эффек
тивных значениях при синусоидальном возмущении. Электронные амплитуднЫе
приборы регистрируют максимальные значения, а отградуированы также в Эф
фективных значениях для синусоидального возмущения.
Рассмотрим конкретные примеры. Пусть имеются различные формы напряже-
ний при одинаковом эффективном значении, равном 10 В:
□ синусоидальная (рис. 7.8, «);
□ прямоугольная (рис. 7.8, бу
□ серия импульсов при т/Т = 0,5 (рис. 7.8, е).
Поскольку эффективные значения всех напряжений одинаковы, приборы эле
тродинамической, электромагнитной и тепловой систем покажут 10 В
Амплитудные значения:
□ для импульсов синусоидальной формы — 14,1 В;
□ для импульсов прямоугольной формы — 10 В;
□ для серии импульсов х = 10л/2 = 14,1 В. т
Амплитудные приборы, отградуированные в эффективных значениях, показывай
□ для импульсов синусоидальной формы — 10 В;
113
рас4®1
пульсов прямоугольной формы — 10/л/2 — 7,1 В;
□ импульсов -14,1/1,41=10 в-
□ е приборы реагируют на средние по модулю значения, но цена деле-
детеКТ°Р' увеЛичена в 1,11. Такие приборы показывают:
Й11Я импульсов синусоидальной формы — 10 В;
импульсов прямоугольной формы — 10-1,11 = 11,1 В;
° ^сХии импульсов - (14,1/2) -1,11 = 7,8 В.
□ ДЛЯ
^тчпектрические приборы показывают:
Магнитол г
импульсов синусоидальной формы - 0;
□ - „ . п
□ ДЛЯ импульсов прямоугольной формы - 0;
□ для серии импульсов - 14,1/2 = 7.05 В.
7.4. Расчет линейных цепей
при несинусоидальных токах, напряжениях
и ЭДС
Расчет цепей содержит следующие этапы:
1) разложение заданных ЭДС или токов источников на гармонические состав-
ляющие;
2) расчет токов и напряжений для каждой составляющей отдельно (на основе
принципа наложения);
3) суммирование решений для каждой составляющей.
Обычно ряды Фурье сходятся довольно быстро и в зависимости от требуемой
точности решения задачи с учетом характера цепи ограничиваются определен-
ным количеством членов разложения. Таким образом, расчет сводится к реше-
нию стольких однотипных задач, сколькими гармониками ограничиваются. При
Учитывается, что для различных частот сопротивления элементов схемы
“«одинаковы.
соПП^ТИВЛенИе катУшки индуктивности для постоянной составляющей A'i0= 0.
вление для k-й гармоники в k раз больше, чем для основной:
v = kXLi.
к°НДенсятпп
м°ники Р Не пропускает постоянную составляющую (Хсо- <>=), для k-ii гар-
с°противление емкости в k раз меньше, чем для основной:
^ск=-Д- = -Х1-
kaC k tl
Вз'3а пов °Пр<) ГИвление также зависит от частоты, возрастая с ее увеличением
ТеХвИКе, Рхностного эффекта. Однако для цепей, рассматриваемых в электро-
’ Вис1,мость обычно не учитывают, считая RK = const.
емк 3аВиспмости реактивных сопротивлений от частоты в цепях, содер-
сТн, токи и падения напряжений имеют больший коэффициент гар-
114 Глава 7. Расчет цепей при несинусоидальных периодических токах и напг,
---------------------------------------------------------------_ пря^
моник, чем ЭДС генератора. Иными словами, отклонение от синусоиду в
стных цепях усиливается. В индуктивных цепях происходит обратное яп
то есть индуктивность подавляет проявление высших гармоник.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 7.4. В цепи с последовательно соединенными R и L подведено
соидальное напряжение
НесИцу.
u = U0 + Uml sin(of + t7,„3 sin(3cot + v3).
Найдем мгновенное и действующее значения тока для схемы (рис. 7.9).
Постоянная составляющая тока
Для первой гармоники:
U ’
□ ток г, = ——sin(tot - <pj); °
Zl Рис. 7.9
□ модуль сопротивления Zt = ^Д2 + (coZ)2 = -JR2 + Xf, ;
„ , coZ R
□ фаза ipj = arctg — = arccos —.
Действующее значение тока
г -
1 V2Z/
Для третьей гармоники:
□ ток г3 = —^sin(cot+ \|/3-(р3);
□ модуль сопротивления Z3 = -J/?2 + (3o)Z)2 = ^R2 + Х23 ;
, 3coZ
□ фаза <р3 = arctg ——.
Действующее значение тока
г -
3 Z3V2 ’
Мгновенное значение общего тока
i(t) - + ) + V2/3sin(3c£>t + \|/3- Фз)-
Действующее значение общего тока
Поскольку Z( < Z3,
z = 7z2+z2+z32.
относительное влияние третьей гармоники
.. тоьа
в крив01'
меньше, чем в кривой напряжения.
Пример 7.5. Пусть несинусоидальное напряжение действует в последов3
ДС-цепи (рис. 7.10).
Рис. 7.10
мощность при периодических несинусоидальных токах и напряжениях
„яина» №“яюшм
П^п Г„=0.
м^,г8рмошк":
□
. _£«Lsin(wt + CPJ;
tok*i'
модуль сопротивления Z, =
фаза Ф! = arctg
2
□
□
действующее значение тока
•2 .
Cl »
Для третьей гармоники:
□ ток i3= -^-sin(3cor+ у3 + у3);
2-з
I / 1 у ______________
□ модуль сопротивления Z3 = К2 + ---- - JR2 + Х£3 ;
V \3(оС J
□ фаза ф3= arctg—L-.
3(t>CR
Действующее значение тока
I -
3 V2Z3 '
Ток в цепи
г(£) = J?/, sin(cot + <pt ) + -J213 sin(3cot + у3 + <p3).
Действующее значение тока
Так как Z 7
НапрЯ)Ке 3 Л1’ третья гармоника в кривой тока выражена сильнее, чем в кривой
Неси^КТИВНая MOUJlHOCTb ПРИ периодических
% Н^СОидальных токах и напряжениях
пРавило определения активной мощности Р:
J (и() + ut +и2+ ...)(/,, + г2 + г3 + ... )dt.
О
?0С4еПе °
й ц • МНожения под интегралом получаем сумму произведений двух видов:
s 1s-
116 Глава 7. Расчет цепей при несинусоидальных периодических токах и напп
-
Интеграл от слагаемых первого вида
I г
-\uKiKdt = PK = UKIK cos(pK.
1 о
Интегралы от слагаемых второго вида обращаются в ноль, так как они цре;.
ляют собой интегралы от синусоидальных функций за целое число пери0дов.в'
Т ОС
Р = — juidt = ^iPK~U0Iv + Ul/j coscpt + U212 cos<p2 + •
о x=o
Активная мощность при периодических несинусоидальных токах и напряженц
ях равна сумме активных мощностей постоянной и всех гармонических Состав
ляющих тока и напряжения.
Понятие коэффициента мощности при несинусоидальных токах и напряжениях
не совпадает с понятием cos <р:
cos а --
Р_
UI
о
V о Vo
где а — угол сдвига фаз между эквивалентными синусоидами тока и напряже-
ния, действующие значения которых такие же, как у несинусоидальных.
Появление высших гармоник в цепях, содержащих реактивные сопротивления,
приводит к снижению коэффициента мощности, а = 1 только при чисто рези-
стивной цепи.
7.6. Резонанс в цепи при несинусоидальных
токах и напряжениях
При несинусоидальных токах и напряжениях явления резонанса значите»
но усложняются, так как резонанс возникает для каждой гармоники отделу
Например, в цепи RLC (рис. 7.11, а) несинусоидалыюе напряжение вызовет
k-ii гармоники
'л=
2
R2 +1 ka>L--—
kaC
г' г' так
Характер кривой 7(C) показан на рис. 7.11, б, причем Ct >С2 >сз’
С =____-__
k\a-C дПГ
Аналогичные явления можно наблюдать и при параллельном соединен^
ментов. plj-
Явлениями резонанса пользуются для создания фильтров, то есть схем
деления требуемых и подавления нежелательных частот.
117
Рис. 7.11
Рассмотрим конкретные схемы:
1 £С-участок схемы (рис. 7.12),
дет оказывать сопротивление для всех гармоник, кроме k-ii, и, следовательно,
токе нагрузки определяющая роль принадлежит току этой гармоники.
настроенный в резонанс с k-й гармоникой, бу-
Рис.7.12
2. Если эту схему дополнить Z С-цепочкой параллельно нагрузке, то она, оказы-
вая малое сопротивление для всех гармоник, кроме k-ii, не пропустит в на-
грузку гармоники, кроме k-ii. Фактически, такая схема пропускает полосу
частот и поэтому называется полосовым фильтром (рис. 7.13).
Рис. 7.13
По схеме'1'111 СНИЯ 11 гаРмоники в нагрузке резонансные фильтры включаются
°т сот ’ пРиведенной на рис. 7.14. Конечно, эффект действия фильтра зависит
1асования с нагрузкой.
Рис. 7.14
118
Глава 7. Расчет цепей при несинусоидальных периодических токах и напп
--------------------------------------------------------------
Контрольные вопросы
Каков порядок расчета линейных цепей при несинусоидальных токах
пряжениях?
11 На-
2.
Как представить несинусоидальный периодический сигнал в виде суммЬ]
монических составляющих?
3. Каков физический смысл нулевого члена ряда Фурье?
4.
Как рассчитать действующее значение несинусоидального перподическ
сигнала?
Ого
5. Какими коэффициентами характеризуются несинусоидальные сигналы"?
6. Как рассчитать сопротивление цепи для постоянной составляющей? Ддя Пер
вой гармоники? Для k-й гармоники?
7. Каковы особенности измерений при несинусоидальных сигналах приборами
различных систем?
8. Какое значение несинусоидального напряжения покажет авометр магнито-
электрической системы в режиме постоянного напряжения, переменного на-
пряжения?
Контрольные задачи
7.1. Для данной схемы при
и = а + b sin соГ - d sin(2cot + 9) определить
показания приборов разных систем, счи-
тая a, b, d, R, С заданными.
7.2. Для данной схемы при
и =а + Z>sincot-<7 cosScoZ определить по-
казания приборов разных систем, считая
L, R, a, b, d заданными.
119
КонтР0
7.3-
Для данной схемы при
_ 150 + 50-^2 sin(cot + 45°). (о£ = -—_ опредс-
“" ИЦ
лить показания приборов электромагнитной
системы.
ПРИМЕЧАНИЕ ----------------------------------------------------------
в схемах контрольных задач используются следующие условные обозначения приборов:
Обозначение Название Назначение
3 Электромагнитная система Показывает действующее значение измеряемой величины
1 V Электростатическая система
__ е Электродинамическая система
С\ Магнитоэлектрическая система Показывает среднее значение изме- ряемой величины
Глава 8
Общие свойства четырехполюсников
8.1. Уравнения четырехполюсников
Электротехническое устройство, служащее для передачи энергии (сигнал
и имеющее по два входных и два выходных зажима, называется
пиком. Если внутри четырехполюсника нет источников энергии или они взац/
но компенсируют друг друга, то такой четырехполюсник называют пассивны^
(рис. 8.1: а — идеальный трансформатор; б — частотный фильтр; в — мостовая
схема).
Рассмотрим свойства четырехполюсников в установившемся режиме ПР ej|-
риодических синусоидальных токах и напряжениях. Это позволит в да
тем применить полученные результаты для анализа цепей при других
сигналов.
Для анализа свойств четырехполюсника установим зависимость между
мя переменными: входным и выходным напряжениями, а также входнЫ®
ходным токами (Ut, U2, 7, и /2) (Рис- 8-2- гДе 11 ~ пассивная схема).
тЫР”'
И®*4
121
Рис. 8.2
выборе направлений напряжений и токов, указанных на рисунке, энергия
Предается от входа (клеммы а-b) к сопротивлению нагрузки Z,, (клеммы c-d).
Доставим уравнение цепи методом контурных токов. В первый контур включим
входные зажимы, во второй контур включим сопротивление нагрузки Zn.
z11/1 + z12/2+z13/3+... + z)j„=t?1;
^21 Л + ^22^2 + ^23 А + •• + Z2,j„ — О!
zn) Д + £л2Л + z„3/3 +... +zmi„- о.
Обозначим Z22 = Z22 + Zn, где Z'22 — часть сопротивления в торого контура, вхо-
дящая в состав четырехполюсника.
Учитывая, что /2ZH = U2, получим:
Zi,/t + Z12/2+ ... + Zb,/„= йг;
Z2] /j + z22/2 +... + z2ni „ = — и 2',
<j!+z„2i2+...+z„„/„=o.
сивн СТалЬ11Ь1е Уравнения содержат в правой части нули, что соответствует пас-
р ОМУ четырехполюснику.
Щение системы уравнений:
= t-^LU 2;
Д Д 2
i = A»2 Л - Д22 [J
2 д Ц д 2’
1ОЦ1ения Л*™
имеют размерность проводимости.
>3»ачим
-ДЧ - у • Д12 _ у . А22 _ у . Л21 _ у
д ~ д -У2” -^Г-У12>
122
Глава 8. Общие свойства четырехп0
тогда уравнения четырехполюсника принимают вид
Л =^21^1+^22^2-
В матричной форме они записываются как
V.1
Л1
ML ГА
^22 _ Р2 _ j 2
или
YU = I.
Для линейных уравнений, соответствующих линейным цепям, Д12
V = - V
7 12 1 21
’ Л 21 ПОЭТОМ)
Указанные коэффициенты называются У-параметрами, а матрица — 1-матрицей
четырехполюсника. Как видно из записи уравнений четырехполюсников в У-Па-
раметрах с учетом уравнения У12 = -У21, пассивный четырехполюсник характе-
ризуется тремя независимыми параметрами. Физический смысл У-нараметров
можно определить по режимам короткого замыкания на выходе (К2 = 0) и на вхо-
де (L7] = 0):
□ Ун = I-Ь- I — входная проводимость при коротком замыкании на выходе:
\Л Ju 2=о
<^2 Ju, =0
— передаточная (взаимная) проводимость при коротком замы-
кании на входе;
— передаточная проводимость при коротком замыкании на вы
ходе;
□ У22= |-Д- — выходная проводимость при коротком замыкании на вход
W 2 J[l, =11
Решим систему уравнений относительно напряжений
и = y-'i = zi.
где
Z„ Z12 II ___________1_______ У22 Лг
Z2i Z22 II 22 - У12121 || —У21 Уп
или в развернутом виде:
u, = z„ii + z,2i2-.
U 2 = Z2J / 1 + -^22^2-
„ четырехполюсников
.уравнен --------- —
8-1>
пех параметров связаны между собой:
два ч3 7 - -7
г '-12
123
а смысл Z-параметров четырехполюсника можно определить по ре-
физйчеС оСТОго хода на выходе (/2 = 0) и на входе (I, = 0):
зкимам5®.
I I _ входное сопротивление в режиме холостого хода на выходе;
а 711 U. 12=о
— передаточное (взаимное) сопротивление в режиме холостого
хода на входе,
ходе;
□
передаточное сопротивление в режиме холостого хода на вы-
□
-
Ji Л,=о
— выходное сопротивление зажимов
22' в режиме холостого
хода на входе.
Во многих практических случаях удобно бывает решать систему уравнений от-
носительно входных напряжений и тока:
Ul = AU2 + BI2;
i^CU^DI,.
Параметры А, В, С и D в общем случае комплексные, эти параметры называют
^-параметрами. Их можно выразить, например, через Z-параметры.
Решая второе уравнение Z-параметров относительно тока , получим:
/ = _L[j
'1 у U2 у 12-
Z21 ^21
Со
поставив результат со вторым уравнением Л-параметров, получим:
1 7
C = J-,D = -^-.
7 7
п *-21 *-21
1 °Дставик. г
и '1 в первое уравнение Z-параметров:
J7, = Zn/, + Z12/2 = S-()2_ZA~Z2iZn
ъ Z21 z21
й1<Им обРазом,
УАн° Убедиться
^4 = g — ^21 ^12 ^11 ^22
7 ’ 7
*"2| z.2)
в том, что AD — ВС = 1.
124
Глава 8. Общие свойства четырехпало
--------------------------- Юснч
Физический смысл Л-параметров:
□ А = 'иг f2=0 — передаточное отношение напряжений в режиме холостого Х(1Да
на выходе; _ (и,}
□ В = ходе 'ц> (7 2=0 — передаточное сопротивление при коротком замыкании на в
□ С = k, — передаточная проводимость в режиме холостого хода па выходе
□ D = 'Il У 2 , t) 2=о — передаточное отношение токов при коротком замыкании на
выходе.
При обратном питании с учетом изменения знаков токов получим:
U2 -DUt + ВЦ;
12 “ cut + .
При этом сохраняется соотношение AD — ВС = 1.
Для формирования уравнений при смешанном соединении четырехполюсников
применяются еще две системы уравнений в Н- и G-параметрах:
U^Hllii + Hl2u2;
I2 — И 2j / j + Н 22^2 ’
откуда Н12- Н21;
U2 — G2l й] + G22 i2 ’
откуда G12 = G21.
Их физический смысл предлагаем установить читателю.
8.2. Эквивалентные схемы четырехполюсника
Поскольку любая система уравнений, описывающая пассивный четырехпо-^,
ник, имеет три независимых параметра, то всякий четырехполюсник можно^
сти к любой из трех эквивалентных схем: Т-образной (рис. 8.3, «), П<ЮД
(рис. 8.3, б), Х-образной (рис. 8.3, в), также содержащих три параметра: Ц 2’
Заметим, что переход от П-образной схемы к Т-образной осуществляет ся ка
реход от соединения «треугольником» к соединению «звездой», напримеР'
Z,"Z3"
1Т Z/' + Z-’ + Zf
Выразим элементы эквивалентных схем через параметры четырехполюсника.
Например, для Т-образной схемы непосредственно из уравнений Кирхгофа сле-
дует:
= /.Z, 4-(Z, -Z2)Z3;
[72=-/2Z2 + (/1 -/2)Zg,
где
/,-/2 = /3,
или
^(Z. + Zj/.-Z^;
Сравг
схемы,
t72=Z3/1-(Z2 + Z3)/2.
'нивая полученные уравнения Z-параметров для Т-образной эквивалентной
ы> получим:
^,-Z1 + Z3; Z)2 — Z3 — Z21; Z22 — (Z2 + Z3).
Рази^дУ51 Уравнения связи между А- и Z-параметрами четырехполюсника, вы-
параметры эквивалентной Т-образной схемы:
А = -?Н-; р — Z11Z22 ^1г( ^21). Q _ _1_. д _ ^22
0ТсК)да Z2> Z2> Z2. ^2.
126
Глава 8. Общие свойства четыреХГ10л^ '
При решении обратной задачи, то есть определении сопротивлений T-of.
схемы по заданным A-параметрам, воспользуемся следующими формулцу^ °й
7 _ 1. у _ А-1. 7 _ D-1
3 с с с
Для П-образной схемы справедливы соотношения
Z3=B; z =_®_; Z2=-^-; A=l + S;
D-1 A-l Z2
B = Z3; С = 2‘+Л + 2\ D=l + h.
ZtZ2 Zt
8.3. Экспериментальное определение
параметров четырехполюсника
Поскольку все параметры четырехполюсников связаны между собой, то для ка-
ждого четырехполюсника достаточно найти одну из систем параметров. Сущест-
вует два способа определения параметров: расчетный, использующий схему элек-
трической цепи, и экспериментальный, рассматривающий четырехполюсник как
«черный ящик» с четырьмя выводами. В первом случае не существует принци-
пиальных различий между анализом свойств четырехполюсников на постоянном
и переменном токе. Однако при экспериментальном определении параметров та-
кие различия отмечаются.
Поскольку в каждой системе параметров только три независимых параметра, не-
обходимо составить три уравнения для их вычисления. С этой целью использу-
ют эксперименты в режимах холостого хода (х. х) и короткого замыкания (к. з)
В режиме холостого хода (рис. 8.4, а) на выходе ток равен нулю: 72х ч = 0.
При обратном питании в режиме холостого хода на входе четырехпол
Лх.Х=0- д Л
При коротком замыкании на выходе или входе напряжения равны нулю-
UlK 3 = 0 соответственно (рис. 8.5, а — режим короткого замыкания на входе-
же на выходе). не-
описанные опыты представляют собой частные случаи состояния четыре-4*3
ника, которые не нарушают справедливости уравнений четырехполюс и» ' _
факт позволяет довольно просто определить параметры четырехполюс111
^пьное определение параметров четырехполюсника
в ------------------------------------------------------------
в.з:
127
a
Рис. 8.5
Запишем уравнения в А-параметрах:
U, = AU2 + BI2;
it = CU2 + DI2.
в режиме короткого замыкания на выходе четырехполюсника напряжение U = О,
тогда
Ux= В12,
h = DI2.
Отсюда
^2к. з ^2к. з
В режиме холостого хода на выходе четырехполюсника ток 12 = 0, и уравнения
принимают вид
L\ = AU2;
i, = cu2,
откуда
^2х. х ^2х. х
с°°тно113 ^"паРаметРОв четырехполюсника можно вычислить по трем другим из
хОЛо АО-ВС = I. Аналогично, проводя три эксперимента в режимах
ПриС?°10 ХОда и короткого замыкания, можно определить параметры Z, Y или Н.
хода и /М Не°бх°Днмо помнить, что для линейных цепей Ц в режиме холостого
«Ию 2 в Режиме короткого замыкания выбираются произвольными по значе-
^Устить^"00 опРеделяется мощностью рассеяния элементов. Однако чтобы не
Х°л°ст0 ПовРеждения элементов и не нарушить линейный режим, в режиме
П^*ениюХ0Да выбирают таким, чтобы U2xK = U2N, то есть номинальному на-
Т° есть и ’ ° Режиме короткого замыкания [7)к я выбирают таким, чтобы 12к ч = I2N,
Анальному току. Под номинальными значениями тока или напряже-
Чое в Ви Мают такие значения, на которые рассчитано устройство, представлен-
%, в д С Четырехполюсника. Например, для трансформатора это напряжение
L торую он включается, и номинальный ток нагрузки.
128
Глава 8 Общие свойства четырехпод
Пример 8.1. Определить Z-параметры четырехполюсника, представлецц
рис. 8.6, в режимах холостого хода на выходе (а) и входе (б). г° hj
Запишем систему уравнений
~ ^11Л + ^12^2>
£7 2 — 2| 1 "Г 22 2 ‘
Учитывая, что /2х х = О, имеем
7 _ ^1 . 7 _ ^2х.х
Л11 ~ Г > Л21 - ,
‘ |к. К ' lx. X
Вычислим ток /], предполагая, что на входе схем действует напряжение Ur
откуда
Ri +
\ыС J ______
n. r ( 1
R2 + jwL-j\ --
ywc J
Z(l — Rt +
(11
-J - («2 + 7'ы£)
Iwo J
R2 + jwL - j
1
coC
129
тальное определение параметров четырехполюсника
8з.э^римеН
= выражения для U2, считая, что на входе протекает ток
/К, У
U2
R,
откуДа
г ( 1
R+jwL-J —-
2 l,O)C
(R,+ ju>L)
^2 r
собу 1
1
R., + j co£-
2 I юС
Z21 = — Z12 — —
ЮС )
, -I 7
1 + ] Н- 7
I юс
нахождения Z22 проведем расчет в режиме холостого хода на входе (см.
2 86 и из второго уравнения получим, полагая /1Х„ = 0:
Z
22 г
1 2x.x
Если к выходу четырехполюсника приложено напряжение U2, ток определяется
выражением
Л=
( 1 '
R-1
V юС,
о С 7 1
R , + j ю£--
2 I юС
откуда
7 -
z,22 —
V , И
;Л2 ю£ - —
У <0С )
~ 77 П'
R2 + j ю£- —-
_____ V сос)
Так
МетРы °^разом’ принимая во внимание, что Z21 = -Z12, определили все Z-napa-
четырехполюсника.
Для Эксгг
<отСя ам РИментальн°г° определения параметров четырехполюсника использу-
Да °пРеде РМетР’ ВОльтметр, омметр, ваттметр или фазометр. Рассмотрим снача-
х°Де и ВуЛеН11с параметров четырехполюсника в режиме холостого хода на вы-
Прв Де (схема представлена на рис. 8.7, а и б).
*енИе и Ден«и экспериментов на постоянном токе достаточно измерить напря-
?е,11,0м То°К\ В слУчае синусоидального возмущающего воздействия (па пере-
т ЗДаче исп°льзуя амперметр и вольтметр, можно найти только действую-
О|Ѱ **Лц ИЯ ДЛЯ Установления разности фаз между различными комплексами
5 За, НапРяжений применяют фазометр или ваттметр.
130
Глава 8. Общие свойства четырехпОл
Фазометры имеют общую точку между входом и выходом, поэтому При
соединении к четырехполюснику надо соблюдать правила регулярности Ми-
лующий раздел). 1 сЛе-
Включить фазометр между входом и выходом, не нарушая структуру четырех
полюсника, не всегда возможно. Поэтому при экспериментальном определе-
нии параметров исходной информацией являются входные сопротивления четы
рехполюсника, измеренные при холостом ходе и коротком замыкании на входе
и выходе:
IJ Р
Zlx. X ^7 гу 7Ф1х х •
1х.х=7----; ^1х.х=^х.хе : <Pix.х= arccos,
Т|х. X *'1х. хЛх. х
тт Р
75 '•'Ik. з 75 ^7 , 1к. з
Z1K.3=7—; ^1к.з=-4<зе ; <р)к.з= arccos-—-—,
(71к.з-'1к.з
т'г р
75 17 2х. X 75 „ Др,» X 2х. X
^2х.х = 7-; Z2xx=Z2xxe <р2хх= arccos----------------,
г2х.х 1У2х.ху2х.х
тг Р
2к. 3 75 гу Уф2к э '^к- 1
^2к.з=7----; Z2K^Z2K_,emK<р2кз= arccos-—-—-
Лк.з (72к.з72к.з
Знаки фаз устанавливают в соответствии со схемой или из результатов
ний. Запишем систему уравнений в А-параметрах:
u, = Ай2+В12:,
i. — CU2 + DI2 . •;
Из этой системы найдем выражения для входного и выходного сопри
в режимах холостого хода и короткого замыкания через А-параметрЫ-
131
льное определение параметров четырехполюсника
---------------------------------------------
z =— Z = —
'Чх.х „> А2х. х „
в = В
D’ 2“'3 А
или
7 7
^1х. X _ ^1к.З
7 7
2х. х 2к. 3
Для определения параметра А запишем тождество
Zlx.x А А2 С
/2хх-^«.з С(А1)~БС)
1с AJ
откуда
7
^Ix. X
Z -Z
^-гк.
После соответствующих математических преобразований получаем:
В = AZ2 ; D = CZ2k3; С = А-.
ьК. о ' ir\. .3 ' г~у
^1х. X
Аналогичным образом, используя амперметр, вольтметр и ваттметр, можно опре-
делить другие параметры четырехполюсника. Если, например, известны показа-
ния приборов:
С)хх = 100 В, £=0,5 кВт,
/1х.х = 20А, t/2K3= 56,6 В,
Р)хх = 2кВт, /2кз=8А,
С1кз=70,7В, <р1кз>0; <р2к з<0;
ТОмп Л.з=ЮА, Р2кз=320кВт,
°“',*««»ПМели1ь
7
11Сх 7 = 5 Ом; coscp. = 2000 =0 Z =50е70,
лх,х V,xx 100-20 ’ Ф,хх ’ 1хх ’
Z, _ 70,7 Р,
= 7,07 Ом; cos <р1к 3 =-----
10 с)кз/)к,3
— 1кз
1к.з~ ------
^1к. 3
500
707
= 0,707;
<Р.кз=7; Z1K3=5V2e^;
4
132
Глава 8. Общие свойства четырехпо
-------------------------------'
- U2K,3 56,6 320
Z..„, =------------= 7,07 Ом; cos <р,к, =-------------- 0,707
2к /2кз 8 2кя 56,6-8
откуда
А = I ^1кк = | 5 = I 1 =
F2x.x-Z2K3 V-j5-572^W4> N-j-l + j ]'
В = (5 - 5j)j = (5 + 5 j); С = ^- = ± = 0,2j;
D = CZ2xx = 0,2j(-5j)=l.
Учитывая, что для Т-образной эквивалентной схемы
7 _ Л-1. у _ D-1. 7 _ 1
1 с с с
получим:
Z3=-5j; Zl = 5+5j’, Z2 = 0.
Четырехполюсник с полученными характеристиками изображен на рис. 8.8.
8.4. Соединения четырехполюсников
,,е К0‘'
Теория четырехполюсников позволяет представить сложную схему в в*" оСцобс
бинации четырехполюсников и анализировать свойства такой схемы на
свойств составляющих ее четырехполюсников.
При соединении четырехполюсников в общую схему индивидуальные .gp.
(регулярность) составляющих четырехполюсника иногда нарушаются. На
133
нИй четырехполюсников
вЛС^е
сопротивление Z3" четырехполюсника закорачивается при соединении
на Р,,с‘ 8’9 с°му что приводит к изменению его свойств.
в об У
Рис. 8.9
Рассмотрим свойства схем при различных способах соединения четырехполюсни-
ков. Задача нахождения четырехполюсника, эквивалентного сложному четырех-
полюснику, сводится к определению параметров этого эквивалентного четырех-
полюсника по заданным параметрам соединенных четырехполюсников. Способы
соединения четырехполюсников рассмотрим на примерах объединения двух че-
тырехполюсников в один.
Последовательное соединение двух четырехполюсников (рис. 8.10).
ПРитакп
сВязиМ Синении
Рис. 8.10
должны выполняться следующие соотношения (уравне-
иг = и;+и;'-,} ц = ц=ц’-
= 2~ 2~ ^2’
134
Глава 8. Общие свойства четыпркп
---------------------------
Используем запись уравнений четырехполюсника в Z-параметрах:
□ для четырехполюсника Ш:
Г?! = I j Zn + Z2Z12j
tZ2 ~~ I] Z21 2 22 *
□ для четырехполюсника П2:
u"=i;z"+i'2z"-,
и" = + z2 z22 •
Исключим внутренние переменные t/f, U2, 1/"и U" в соответствии с уравнения^
связи:
ГД - Л (^и + -^и ) + Л (-^12+ ^12);
Ut = Ц (^21 + ^21 ) + ^2 (^22 + ^22 )•
Отсюда параметры общего четырехполюсника можно выразить через параметры
составляющих четырехполюсников:
^11 = ^11 + ’> ^12 = ^12 + ^12 ’ ^21 ~ ^21 + ^21 ’ %22 = ^22 + ^22 •
В матричной форме:
или U=[Z'+Z"]i.
Итак, при последовательном соединении двух четырехполюсников матри®
Z-параметров эквивалентного четырехполюсника равна сумме матриц Z-napa
метров отдельных четырехполюсников.
Параллельное соединение четырехполюсников (рис. 8.11).
Уравнения связи для данной схемы таковы:
/2=/2' + /2";
Ui = U;=U"; й2 = Щ = й".
Запишем уравнения четырехполюсников П1 и П2 в У-параметрах:
□ для Ш:
/,'=ВД'+ВД';
j2 ~ ^21 ^21 + ^22^2
□ для П2:
/Г=у,Г^"+та";\
Учитывая уравнения связи, получим:
+(у;2'+р;м;
Л = 07, + ^')Ц + &22 + У^2
В матричной форме:
[УЧУ"]
J72
Поскольку для всего четырехполюсника (рис. 8.11) справедливо уравнение [/] - У[17],
можно заключить, что У = У'+ У ".
Таким образом, матрица результирующего четырехполюсника равна сумме У-мат-
риц параллельно соединенных четырехполюсников.
Каскадное (цепное) соединение четырехполюсников (рис. 8.12).
Рис. 8.12
1 36 Глава 8. Общие свойства
Уравнения связи для этого соединения таковы:
7'=7Г; и2 = й".
Используя запись уравнений четырехполюсника в A-параметрах, получ111у.
□ для четырехполюсника П1:
й;= А'й'2 + в'г2;
i;=c'u'2 + D'i!>-,
□ для четырехполюсника П2:
U"= А" й" + в"1 " = й'2;
I"=C"U" + D"I" = I2.
Исключив внутренние переменные, получим:
ъ\ = А'(А"й"+B"i2)+в'(С"й" + D"i"y,
Ц = С'(А" U"+В"1") + D'(C"U" + D"I")
или
Ц = (А'А"+ B'C")U2 + (А'В"+ B'D")i2;
Ij = (С'А + D'C")U2 + (С'В"+ D'D 2,
откуда
А = А'А"+ В' С"; В = А'В"+ B'D";
С = С'А"+ D'C"; D = С'В"+ D'D".
Учитывая матричную форму записи для исходных четырехполюсников, соответ-
ствующую уравнениям связи, имеем
piLpi'Lp' в'||Ill'll И в'||рг|
UrU'Irlk' D'IIh2II~Iс' ИргII
Принимая во внимание равенство
||/"||~ С" г>"|||/2"1г
получим
р1||_||Л' B,|P" в" I ^21
|д| IС' Р'IIIIС" О"I /2||
Внешние переменные сложного четырехполюсника при каскадном
соеди’101”*
связаны следующим уравнением:
Ik1
= А'А"
^2 II
НВ||И^^ХП0ЛЮСНИК0В
137
оизведение матриц, получим значения А-параметров:
раСкрь1ВаяПР
A'A"+B'C" A'B"+B'D
C'A"+D'C" C'B"+D'D
A'A" =
А параметр013 ДВУХ и более каскадно соединенных четырехполюсников
IVfaTP11113 „рдению матриц Л-параметров отдельных четырехполюсников.
паВНа произвел
е последовательно-параллельное соединение четырехполюсников
Рис. 8.13
Уравнения
связи для данной схемы таковы:
й, = и; +й"; й2 = й'2=й";
Л ’ Л ~ Л > ^2=^2 + ^2‘
ц ЛьзУя запись уравнений четырехполюсника в Я-парамстрах, получим:
ЧетЬ1Рехполюснпка П1:
||^||| = ||^11 ^12 ||1 А' II.
ц |л| 11-^21 -^22 Illi И
ЧеТЫреХполюсника JJ2;
138
Глава 8. Общие свойства четыгю^
---------------------------
Складывая эти уравнения, согласно уравнениям связи получим:
22 -г 11 22
12 -г 1J12
и
При смешанном соединении четырехполюсников матрица //-параметров
сумме матриц //-параметров исходных четырехполюсников. Рй11На
При параллельно-последовательном соединении четырехполюсников испоч
ется система G-параметров. ЛЬзУ-
Заметим еще раз, что все изложенное ранее справедливо,
уравнения связи, то есть четырехполюсники регулярны,
всегда регулярны.
Рассмотрим несколько примеров формирования уравнений четырехполюсников
□ Одноэлементный (последовательный) четырехполюсник (рис. 8.14),
На основе рассмотрения режимов холостого хода и ко-
роткого замыкания получим соотношения ।----
^2х. х ^2х. х
/7. — /.к Го----------о2'
В = = Z; D = = 1.
т т Рис. 8.14
1 2к. з 1 2к. з
если Удовлетворяю
Каскадные соединения
В этом случае матрица Л-параметров будет записана в следующей форме:
Z
1
1
О
Одноэлементный четырехполюсник (рис. 8.15).
Для такого четырехполюсника матрица Л-параметров
будет такой:
О’
1
Г-образный четырехполюсник, полученный каскадным соединением
предыдущих четырехполюсников (рис. 8.16).
Рис. 8.16
139
МатРиЦа
/-параметров результирующего четырехполюсника:
□
ный четырехполюсник, полученный каскадным присоединением к пре-
Т-оор схеме еще одного одноэлементного четырехполюсника (рис. 8.17).
д атрида результирующего Т-образного четырехполюсника.
7 _ 7 7 -
1 + ±L z2 + ^- + Z,
Z3 Z3
J- 1 + 5
Z3 Z3
ZL
1+5-
z3
Рис. 8.17
□ П-образный четырехполюсник, полученный каскадным соединением четы-
рехполюсников, изображенных на рис. 8.14 и 8.15 (рис. 8.18).
^-матрица результирующего П-образного четырехполюсника такова:
Л =
3 _
1 1 Z,
_ £
Z, Z3 Z, Z3
Рис. 8.18
^1а^С^Ь1е РезУльтаты можно получить, исследуя общий четырехполюсник в ре-
°стого хода и короткого замыкания.
140
Глава 8. Общие свойства четыоруг,
-------------------------------₽х’>*«ч
8.5. Активный четырехполюсник
Активным называют четырехполюсник, содержащий источники электрн
энергии, причем их действия взаимно не компенсируются внутри чет11<1ес1Ц
люсника. Такой четырехполюсник изображен на рис. 8.19. Его характерной
ностью является то, что при отсутствии внешних источников на входных
ных зажимах будут ненулевые напряжения Й1Х х и й2х х. ВЬ1Х°Д-
Очевидно, что этот четырехполюсник можно заменить эквивалентным, если на
входе и выходе включить по паре одинаковых источников ЭДС (71х и С, , на-
правленных встречно, как показано на рис. 8.19, б. При соответствующем выборе
направлений напряжения Й1х х и Й2х х уравновесят внутренние источники ЭДС.
поэтому часть четырехполюсника, обведенная на рис. 8.19, б пунктирной линией,
может быть заменена пассивным четырехполюсником, то есть будет получен пас-
сивный четырехполюсник, эквивалентный исходному, если на его входе включены
источники Ulx х и U2x х (рис. 8.20).
Теорему об активном четырехполюснике можно сформулировать так-
ный четырехполюсник можно заменить пассивным четырехполюсником,
рый получают из данного удалением всех источников с одновременным с°о^ую
нием их внутренних сопротивлений, а также введением во входную и вЬ1Х°а ра-
цепи дополнительных источников. ЭДС последних равны напряжению
зомкнутых зажимах данного активного четырехполюсника.
Из схемы, приведенной на рис. 8.20, следует, что
171 = ^7. + ^; C2=Z2171+Z2272,
где
й'2=и2-и.^
тические параметры четырехполюсника I ** I
авнения активного четырехполюсника в Z-параметрах с учетом Uly х
ПривеДеМУРа
и^‘: [71 = Z1j1 + Z12/2 + [7lx.x;
[У2 — Z21Z, + Z22/2 + t/2x х.
Характеристические параметры
^рехполюсника
ике четырехполюсники используют для анализа передачи мощности от
На ПР ка к нагрузке. Для упрощения анализа согласованности четырехполюс-
^вводятся характеристические параметры. Рассмотрим входное сопротив-
Нение четырехполюсника, нагруженного на сопротивление Z2 (рис. 8.21):
U, _AU2 + BI2
"х~ 7, ” CU2 + D12 '
у Uz
Если учесть, что Z2 = у-, то
•*2
= _ AZ2 + в
1ВХ- cz2+d
р
на вход четырехполюсника включить нагрузку Zt, изменить направление
пок аЧИ мощности> внешнее напряжение U2 подать с вторичных зажимов, как
п ан° На Рис- 8.22, то с учетом указанных направлений токов и напряжений
Pj U2 - DUt + ВЦ ; i2=CUl + AIl.
Ным ?бРат11ом питании, то есть при подключении внешнего источника к выход-
ВзаИМн ИМам’ полУчаем, что коэффициенты А и D основной системы уравнений
0 Заменяются, откуда
У _ DZt + В
2пх Г ’
ВыЧемс _ _ ' +
°противления Z1C и Z2C со следующими значениями:
2^|„х— Zxc, если Z2 — Z2C;
^2вх — ^2С> если -^1 — ZjC
142
Глава 8. Общие свойства четырехп
—
Входное сопротивление четырехполюсника, нагруженного сопротивлен
Z1UX=Z1C (рис. 8.23). _ _ 1е^
Входное сопротивление Z2bx=Z2C, если четырехполюсник при обратном
нии нагружен сопротивлением Z1C (рис. 8.24). ' |1иТа
Рис. 8.23
Рис. 8.24
Данные сопротивления называются характеристическими сопротивлениями ус
ловие, когда четырехполюсник нагружен характеристическим сопротивлением
называют условием согласованной нагрузки.
У _ AZ-iC + В
1С cz2C+d'
7 _ DZtc + в
CZlc + А
Решая совместно эти уравнения, получаем:
ADZ^. + АВ + BCZlc + АВ
,с ~ CDZiC + СВ + CDZlc + AD ’
После преобразования
7
А1С
Введем третий параметр — g, выражаемый условием chg = у/AD, где ch — гипер-
болический косинус. Из тригонометрии известно, что ch2g -sh2g = 1, следов2
тельно, shg = -JВС — гиперболический синус. Параметр g в общем случае ком
плексный, его можно представить в виде
g = a + jb,
где g — мера передачи четырехполюсника; а — собственное затухание четыре
полюсника; b — коэффициент фазы.
Из выражений для Z1C и Z2C можно получить:
Zlc — 7 7 _ В
Z2C D' 1С 2С С
Умножив первое равенство на chg, а второе — на shg, получим:
А =
; В-
7 7
±l£±^shg.
цческие параметры четырехполюсника
143
^Я°'
\7 1
D = chg; С = shg.
V %1С \ZtcZ2c
уравнения
четырехполюсника запишем в гиперболической форме:
1С^2С shg^2>
Л =
1 тт К
7 7 ^2 shg +
Ас^2С
+ Z2C/lshg);
+ Л chg
_ . U2 ,
При согласованной нагрузке Z2CI2 =U2 можно получить равенство -=— = /2.
%2С
Следовательно,
При согласованно подобранной нагрузке найдем отношение амплитуд:
где е — коэффициент амплитуд.
Если углы комплексных сопротивлений ZIC и Z2C обозначить через <р|С и <р2С, то
ДВиг Фаз между напряжениями входа и выхода будет равен В + ^(<р1С - <р2С )•
ДВИг фаз между токами В + - (<р2С - <р1С ).
Пр
согласованной нагрузке
Uji 2„ i,(u.i
= е *; g = - In
U2I2 2 1 " '
i/2/2>
ЧкЬ?1Иричного четырехполюсника Z1C=Z2C, откуда Ut = U2eg и I2eg.
^ициент амплитуд:
е° = ^-или еа=^-.
[/2 12
144
Глава 8. Общие свойства четырехъ
Определим затухание четырехполюсника:
а - In— = In—.
[/2 1г
Затуханию в один непер [Нп] соответствует уменьшение амплитуды (и
вующего значения) тока или напряжения в е = 2,718 раза, так как ;1еист-
In—= 1; ^- = 2,718.
С/2 U2
В радиотехнике существует другая единица затухания — бел [Б|. Если
мощность на выходе в 10 раз меньше входной, то затухание равно 1
в 100 раз — то 2 Б и т. д.:
полная
Б, «ЛЦ
°|Б|
= lg 7*- = 1g
^2
Для согласованно нагруженного симметричного четырехполюсника
X X 2
°-=1<]=2|8п;=2|4
На практике в качестве единицы затухания чаще применяют децибел [дБ],
10 дБ = 1 Б:
«|лБ| = 2018^-; £- = 10*
1 2 12
при
а|лБ|=1; £- = 10* =1,12;
*2
а|дБ) = 201g= 201ge" = 20а Ige = 20 0,4343а = 8,686а Нп;
f/2
1Нп= 8,686 дБ, 1дБ = 0,115Нп.
8.7. Круговые диаграммы
При изменении одного из параметров цепи искомые величины I. И, cos<P>
Рис. 8.25
и т. д. можно выразить графически.
Пусть в схеме (рис. 8.25) индуктивность -
а сопротивление R = var.
Уравнение второго закона Кирхгофа для такоп
будет следующим:
и = iR + jXLi.
Разделим на jXL обе части уравнения:
145
и R , , . U R г г
----------1 + I; -J--= - /----1 +1.
xL JXL
jXL JXL
ток (называемый током короткого замыкания)
цРи*г Т°
К. 3
U U
JXL }xL
„ к чепез ток короткого замыкания выражается по формуле
Входной ток К-
R Y
I =
i-j
L
К. 3
Отсюда ток короткого замыкания
т i R т
1 = 1 - 1---I.
xL
Из приведенной формулы видно, что вектор тока /к ;) не зависит от R и равен
сумме двух взаимно перпендикулярных векторов. Так может быть только в том
случае, когда конец вектора I описывает полуокружность, диаметром которой
является вектор 1К 3. Изобразим вектор U (рис. 8.26), перпендикулярно к нему
(с отставанием на я/2) строим вектор /к 3. Принимая вектор /к 3 за диаметр, опи-
шем полуокружность, которая будет геометрическим местом конца вектора /
при изменении R от 0 до <*>. По направлению вектора /к, в произвольном мас-
штабе откладываем XL, а по линии X,R откладываем в том же масштабе R (до-
пустим, 7?(), тогда
<Р = arctg —к
Рис. 8.26
146 Глава 8. Общие свойства
Проведем произвольную вертикальную линию Р. Проекция вектора / 11а
нию равна Icos <р, а при U = const в определенном масштабе равна активцЛ^
ности: °Н
Р -UI cos <р.
Можно также провести линию Q — линию реактивной мощности.
Если из точки 0, находящейся на вертикальной линии, провести
ность диаметром 1, то отрезок ОК равен costp.
ПОлУ°кРу%.
Таким образом, определив 7К .,= и построив круговую диаграмму,
для любого R найти величины /, <р, costp, Р и Q
МоЖНо
Круговая диаграмма для схемы из последовательно соединенных R и С, или Ко
роче, для схемы RC (рис. 8.27, а), представлена на рис. 8.27, б.
На рисунке вектор /к 3 повернут относительно U на угол л/2 в положительную
сторону (ток опережает напряжение).
Рис. 8.27
147
,е диаграмм
,кр^вь,еД
в7-
уравнение ЦеПИ:
и = -ijxc + iR.
тдак»ро«"ГОЗаМЫКа"ИЯ
Ц.=-С-
-Ас
ок короткого замыкания в уравнение цепи, получаем:
Подставляя . . R .
с
откуда
I
7=
. .( R
1 + у —
При изменении реактивного сопротивления от 0 до <х> (рис. 8.27, в) (что возмож-
но при изменении С или I) из уравнения
u=Ri+jxLi
получим:
V , А,
— = I + 7 —
R J R
или, обозначив — = I
R
Л.З
R
7 =----г.
1 + ]
I R J
Учитывал
м°асных ’ ЧТ° отРицательные равнозначны Хс, конец вектора I при всех воз-
НаДИаметЗМСНеНИЯХ % °Т -<х> Д° +°° огшшет окружность, построенную на 7К, как
*е в про Ре ^ис‘ 8.27, г), причем 1К1 направлен параллельно U. Откладывая так-
X пРи за ВОльном масштабе отрезок R и проводя перпендикулярно ему линию
ТО1СА И’1^ННЬ1Х значениях или получаем
^вс.82о\ п Рассмотрим более сложную схему
И Меи?' ПРелположим, что при постоянных Z,
СНлется R.
Первой в тг
ви протекает ток = —. Поскольку
l^ + jX X
1 ’ т° угол <р = arctg Во второй вет-
Rt
Рис. 8.28
148
Г лава 8. Общие свойства четыг
----------------------_ П0;1Ч1(1
X
ви протекает ток /2, который меняется с изменением сопротивления -р
как и в предыдущих случаях, найдем ток короткого замыкания:
i = 1L
х2к.з у
Z2
и выразим через него ток
j 2 2к. з
!=^3'
Z,
Направление тока /2к:, по отношению к U (вертикали) определяется комппексощ
Z2 = /?2 + jX2.
X. л
Угол <р2к 3 = arctg —- составляет 0 < <р2к , < —,
R2 1
Используя полученные данные, построим круговую диаграмму (рис. 8.29).
Отложим U по вертикали. С отставанием на угол ф( построим вектор /,. Из его
конца проведем горизонтальную линию X, на которой отложим Аг2, перпендику-
лярно линии X построим линию R. На нее нанесем отрезок R.,. Проведя через О’
и конец этого отрезка прямую, получим направление вектора /2кОтложим в
указанном направлении вектор /2к 3, из середины которого восстановим перпен-
дикуляр до пересечения с линией X. Полученная точ-
ка О" и будет центром окружности.
В отличие от предыдущих случаев, рабочей части
окружности будет не полуокружность, а дуга, хор-
дой которой является /2кз. Общий ток / = Ц + А ПР11
изменении R от 0 до °° описывает дугу МО'. Постро
им линию Р, Q и дугу cos ф.
Общий ток равен
i и iK,3 j i*.,
Z, Z2
Учитывая, что окружность проходит через конец вектора /х х, а ток изМ^ре(пг
по дуге между концами векторов /х х и /к.,, опирающейся на хорду
шем это уравнение:
К. 3
Лк. 3 '
R
z2
1-
с0<^
Принимая во внимание Z, = Z2e^(сопротивление короткого замыкан1
роны выходных зажимов при закороченных входных), можно предста
дующий порядок построения векторной диаграммы:
149
=ыеДиагРаМК‘ь'
величину п фазу тока холостого хода и построить его вектор;
1) вы ть величину и фазу тока короткого замыкания;
пОеДеЛ11ТЬ
2) 01 м -<р2к з от конца вектора 12кл построить линию изменяющегося па-
31 под У р.
' раметра л,
ь центр окружности, который находится в точке пересечения пер-
4) УСТ^Хляра. проведенного из середины вектора /1х х )= 7 2к з> и перпен-
П уляра восстановленного из конца вектора /1х х к линии параметра R.
* пируем в более общем виде задачу для четырехполюсников. Дан четы-
СФ°Р ^сник с нагрузкой Z = Ze14> (рис. 8.30). Не рассматривая причину, опреде-
Р0111 изменение тока на выходе четырехполюсника при изменении сопротивле-
HwZ(<P=const)-
Рис. 8.30
Воспользуемся уравнениями четырехполюсника в А-параметрах:
Ut = AU2 + Bl2; /, = CU2 + DI2.
Для нагрузки U2- i2ZeJ,r из первого уравнения находим [7, = AZei4li2 + В12, откуда
i -
2 В + AZe-'4’
Подставим это уравнение в исходные уравнения:
/, = (CZeJV+ D)
B + AZeJ'f
к°нчательно получим:
1^-7 уф п вс ВС
т, CZe™ + D+---------—
и' ~0,--------------------4-----Л_
B + AZe™
Ц = и1
1
АВ
1 + Ze,lf -
BJ
°снован
ими режима холостого хода (Z = оо) при П1х х = U, находим:
i =й —
1ХХ 1 А
кроткого замыкания (Z = 0)
___1_ - i _ т
АВ 1к;* 1х
А
150
тогда
Глава 8. Общие свойства четыреХп
Лк.з~Л.х
l + Ze”-
В
Соотношение В/А на основании уравнения Ut = AU2 + В12 можно предс
как сопротивление на выходе при коротком замыкании на входе (С, = Qy в,11ь
В
А
^2к.з _ у /<Р2кз
2x.3е
‘ 2к. з
Таким образом, выражение для входного тока при изменении Z будет следу
щим:
Л = Лх.
Этой формулой определяется порядок построения круговой диаграммы четы-
рехполюсника (рис. 8.31):
1) комплексы /1хх и /1кз строить относительно С;
2) построить вектор, равный /|кз -/1ХХ;
3) найти фазу Z2k 3 и под углом (-(<р2к ;1 “ Ф)) провести линию переменного пара
метра Z;
4) определить центр окружности в точке пересечения перпендикуляра, прове-
денного к середине вектора (71к 3 - /1х х), и перпендикуляра к линии Z, восста-
новленного из конца вектора Ih x.
Рис. 8.31
151
диаграмму
Выполнить анализ фазовращателя. Схема фазовращателя представ-
S'**8-32'
Рис. 8.32
На этой схеме С( = С2 и переменное сопротивление изменяется от 0 до <*>, Ц —
синусоидальное напряжение. Требуется определить, как при таком изменении R бу-
дет меняться напряжение U^. Для этого воспользуемся построением круговых
диаграмм (рис. 8.33).
п°строим ВеКТОР и построим круговую диаграмму для тока /3. Для этого
Ность По 'iK 3 ~ ток ПРН Д = 0. На нем как на диаметре построим полуокруж-
Ко^орой будет скользить конец вектора /3. Отложив отрезок АВ, рав-
Сз ’ ИЭ точки можно провести линию переменного сопротивления
8 масщТа^ 3
Чных н е ^з ) Напряжение U, будет равно сумме двух взаимно перпендику-
^Чает> Что РЯЖеНИЙ ^сз и пРичем ^сл отстает от тока /3 на угол л/2. Это оз-
ц'^Дь, То Конеи вектора йсз (точка Ь) скользит по полуокружности. В свою
д^°лам, так6 а СХемы соответствует на векторной диаграмме точка, делящая (Ц
отпПостояц КЭК С*= ^2‘ Таким образом, мы получили, что напряжение Uah бу-
u До Но по величине. Причем угол <р меняется от 0 до л при изменении R
152
Глава 8. Общие свойства четыпруг,
------------------------------ 2°^СН|
Контрольные вопросы
1. Что такое четырехполюсник?
2.
3.
Как экспериментально отличить пассивный четырехполюсник от актцв
Запишите все известные вам формы уравнений четырехполюсников
Н°Го?
4.
Каков физический смысл параметров четырехполюсников при различных
мах уравнений?
5.
6.
Как записывается зависимость некоторых параметров четырехполюсника?
Как экспериментально определить параметры четырехполюсника на
ном токе? На синусоидальном токе?
Г1°стояа-
7. Как рассчитать параметры четырехполюсника при различных соединениях'
8. Что такое регулярное соединение?
9. Что такое характеристические параметры четырехполюсника?
10. Что такое затухание? В каких единицах выражается затухание?
11. Каковы условия согласования четырехполюсников?
12. Назовите порядок построения круговой диаграммы.
Контрольные задачи
8.1. Нарисовать схему измерения, в результате примене-
ния которой получено Zlx . х = 1410e-j45 , ZlK .,= 707е~у45,
Z2x х= 1410е'45, включив в нее необходимые приборы.
Определить Z,K 3. Определить 3-параметры четырехпо-
люсника. Нарисовать эквивалентную схему четырех-
полюсника.
8.2. В данной схеме соединить четырехполюсники парал-
лельно и найти параметры объединенного четырехпо-
люсника. Известно, что соединение регулярно.
8.3. Для данной схемы при L =5 мГн, С = 1 мкФ определить
характеристические параметры четырехполюсника
на следующих частотах:
а) со = 104 с-*;
б) со = 104 •-УЗ с-1.
расПР0 ленных предприятий и быта. Такая ситуация обусловлена следующими
пР°мЫ _.„„,1РГТИами перед однофазными системами электроснабжения:
их
□
□
□
^хФазНЫе электРические Цепи
электрические цепи — это совокупность электрических цепей, в ко-
три различающиеся по фазе синусоидальные ЭДС одинаковой
торых де создаваемые одним источником. Эти системы получили широчайшее
цастоть1- ние yja их применении основано практически все энергоснабжение
* _лттж-т-ГЧТТГТЧГТТТЛ' XX i'Vt.T’m *1 '*ЭТ/*П СТ СТ ТТТ'А ГО 1 Т Т Л СТ ГХ^ХГСТ ТТСТчТ? TTOTJO СТ ТТОГГХГТ/ХтттТТЛ ЛТ.у
фетвами перед однофазными системами электроснабжения:
экономичностью;
возможностью получения двух номиналов напряжения;
постоянством вращающего момента на валу генераторов и двигателей (урав-
новешенностью);
возможностью создания вращающихся магнитных полей сравнительно про-
стым способом;
□
□ применением упрощенных фильтров в выпрямительных устройствах.
Следует обратить внимание на устоявшийся термин фаза, которым не только ха-
рактеризуют синусоидальные функции, но и обозначают все устройства, вклю-
ченные в соответствующие участки цепи (фазовый выключатель, фазовый про-
вод, фазовая обмотка и т. д.).
9.1. Образование трехфазных цепей ЭДС.
Основные обозначения
Как известно из курса физики, в рамке, вращающейся в равномерном магнитном
ЭДС в УГЛОВО11 скоР°стью со, индуцируется синусоидальная ЭДС. Аналогичная
пост В°зни^ает' если внутри катушки будет вращаться постоянный магнит. Если
Щек НЫИ магнит будет вращаться внутри системы из трех одинаковых кату-
Уг°л 2л/че1ЦеННЬ1Х На магнитопроводе и сдвинутых одна относительно другой на
фазе на' ' Т° В кажд°й из катушек возникнут переменные ЭДС, разнящиеся по
Ус^-^^/З, соответствующий углу сдвига катушек в пространстве. Такое
Обычц В° И ОСциллогРаммы ЭДС показаны на рис. 9.1.
Начала обмоток разных фаз обозначаются А, В, С, а концы — X, У, Z,
/ 2 А
UA = Um sin tat, UB= Um sinl (£>t--n I;
tt tt • f 4 A _- . ( 2
= Um sin cot — л = Um sin cot - - л .
\ 3 / \ 3 J
сВой форме такую систему ЭДС можно записать следующим образом:
ЁА=Ее)0=Е; Ёв = Ee~(2/3)nj;
Ёс = Ee~W)KJ = Ее(2М.
4
т
3
Вк°М1щ(
154
Векторная диаграмма напряжений в трехфазной цепи изображена на рис, 9.2
При анализе трехфазных цепей часто пользуются оператором
й = е(2/ЗЖ; = _1 + >Д
2 2
Свойства оператора определяются очевидными соотношениями
2 1 • з <
а =-----j— - а, а = 1
2 2
1-«2=73еЛ^; G2-g=-V3j;
а-1 = V3e>(5/6)"; 1 + д + а2 = 0.
С помощью оператора а трехфазную систему можно записать так:
UA = U; UB = Ua2; Uc =Ua
грехфазной
9j.o=®*e'”
системы «звездой^
155
н.п’
17л = UBa = йса2\
иА+йв+ис=о.
машинах находит применение двухфазная система, для которой
пэпектри4^
В Ux = Um sin cot;
иг=ит
sin cot-----
I 2
диаграмма двухфазной системы изображена на рис. 9.3, а. Для созда-
^шных выпрямительных систем постоянного тока применяются шести- и
Н,|Янадцатифазные системы, их векторные диаграммы показаны на рис. 9.3, б и в.
а ихи
Рис. 9.3
Шести- и двенадцатифазные системы ЭДС обычно образуются статическими
преобразователями (специальными трансформаторами) из трехфазных ЭДС.
9.2. Соединение трехфазной системы «звездой»
уединим концы катушек трехфазного генератора или соответствующие обмот-
ИцорадС<^°РматоРа в одной точке, так же соединим концы нагрузок (рис. 9.4, а).
зван, схемУ изображают, как показано на рис. 9.4, б, отсюда и происходит на-
^ие «звезда».
мУлам МметРичной нагрузке, когда ZA = ZB = Zc = Z, токи определяются по фор-
,2
= йв_иа2 , Uc Ua .
Отг, z Z. Z Z Z Z
Р>к в об Дует’ что токи образуют симметричную трехфазную систему токов.
П1ем (нейтральном) проводе
^Иеци /0~ Л +/в+/с-/(1 + а+о2) = 0.
Пере Д’ П° КОТОРОМУ ток не течет, можно удалить. Получается необычная
црово ДЭЧИ энеРгии- где от каждого «генератора» ЭДС энергия передается
Д°м. Таким образом, при передаче одной и той же мощности получа-
156
Глава 9. Трехфазные электрцч
ется экономия проводов почти в два раза. Аналогичная экономия д0(.
при генерации и трансформации энергии в электрических двигателях Д1Гаег<
венная экономия и
в энергоснабжении.
..... Cv 'Ci|
обусловила широкое распространение трехфазни УЦ)ест
с,1<4
Нейтральный провод (обычно меньшего сечения, чем прочие) все же сохраняют
для обеспечения равенства напряжений всех фаз при возможной несимметрич-
ности нагрузок. Напряжения между линейными проводами вычисляются так:
UAB = UA-UB = U(l-a2) = ^3UeJ^y-,
UBC = UB-Uc=Utf-a) = -j3jU-,
UCA = UC-UA = U(a -1) = V3№'<5/6)n.
Эти напряжения также образуют симметричную трехфазную систему. Навряд
ние фазы источника называют фазным напряжением (Ц,), а напряжение М
линейными проводами — линейным напряжением (Z7,),
Пл = 73Ц,;Л = /ф.
Значит, в одной и той же системе
ИСПОЛЬЗОВаТЬ два напряжения С Соотношением \ э. ли tuuim/mv— jj
вило стандартный ряд напряжений: 127, 220, 380, 660 В. Применяются с11
127/220 В; 220/380 В; 380/660 В.
При расчетах трехфазных цепей можно пользоваться всеми методами ра ^ф^
пей синусоидального тока. Однако удобнее использовать некоторые
ские приемы. При расчете симметричных цепей при симметричных
расчеты можно выполнять для одной фазы даже при отсутствии не1Г^ч‘н0 ₽pf
провода. Для получения токов и напряжений в двух других фазах достат
пользоваться операторами а и а2.
электроснабжения можно при необходим* о.
_ __________- /о л *-чтттОТ4 Т4 О И ‘
157
тоехфазной системы «звездой’
------------------------
етричном режиме и учете сопротивления проводов получается рас-
0Ри ”ссИМ.,а показанная на рис. 9.5.
Поскольку обычно несимметричность нагрузок практически не отражается на сим-
метрии питающих напряжений (за исключением аварийных режимов), в даль-
нейшем будем считать, что
UA = aUB = a2Uc.
Применив метод узловых потенциалов (метод двух узлов), получим напряжение
между нейтральными точками:
.. UAYA + UBYB + UCYC
f I __ Z1 Z1 13 13 ly <—
u °'0---
После этого легко определяются напряжения на каждой фазе нагрузки:
^а=^А~^М'< Ub= U B — Uc—Uc — U00..
М С00ТВетствуют фазовые токи
ь L = UaYa-, iB = UbY„; ic = UcYr-, i0=U0.0Y0.
^Ная Диаграмма напряжений изображена на рис. 9.6. Из нее видно, что сим-
пР’Окем1аЯ систсма напряжений! (векторы ОД 6fe, ОС) искажается наличием на-
НИя нейтрали Сп.п.
^ДИНяя т
^ения^Т^ В’ С с точкой О', получаем на-
НЭ Фа3ах нагРУзкн-
ВИя*. Во^ее искажение, при прочих равных усло-
^Д* 2 JHKaeT при отсутствии нейтрального про-
0-0 = 0.
нейтрального провода до-
о = °0), то искажений не воз-
Рис. 9.6
158
Глава 9. Трехфазные электри
9.3. Соединение трехфазной системы
«треу гол ьн и ко м »
Соединение, показанное на рис. 9.7, называют «треугольником» . Пое-
ное соединение трех источников не вызывает появления короткого
г и -ЫМЬЦ
так как 1
1СЛ£^вач.
-'каниз,
^АВ + UBC + ^СА ~ О-
В сопротивлениях нагрузки возникает трехфазная система токов 7а/;, 1Ьс,
Если не учитывать сопротивление проводов, то
7 = лв j — Uвс . f _ Uca
1 (ib у f 1 be Ту ' * ca Ту
(ib ^bc ^ca
Линейные токи для такой системы находят по формулам
I А~ Iab~ Iса' В~ bc~ nb' С ~~ са ha’
Если нагрузка симметрична, Zab = Zbc = Zca, эти триады токов образуют симмеТ
ричные трехфазные системы. В этом случае
7^ТЗ/ф; ил = и„.
Вспомним, что при соединении «звездой»
и «звезд0”
Если сравнивать по экономичности соединения «треугольником» •* ьНо.сГ
надо учесть, что токи в линейных проводах больше в -Уз раз, и, следовать
чения проводов надо увеличить в -УЗраз. Однако возрастание напряжен
в -Уз раз приводит к тому, что по ним передается мощность, большая в^ ^осТ)|С
количество раз. Таким образом, при передаче одной и той же мощности^
ется экономия на проводах в два раза по сравнению с передачей эне1>
однофазными системами. Переключив обмотки генератора или три1 |С<1 эНерГ”
с «треугольника» на «звезду», можно получить систему распределен
159
трехфазной системы «треугольником»
СоеДИненИе
цеМ большим в V3 раз. Трехфазную нагрузку (например, двигатели)
с переключить с «треугольника» на «звезду», чтобы сохранить номи-
ваД° разовые напряжения.
и^н х а переключения шесть выводов трехфазных двигателей, генераторов
д.чЯ УД^форматоров в выводных коробках располагают так, как показано на
рис-9-8’
Соединение звездой
Соединение
треугольна ком
Рис. 9.8
То или иное соединение источников не предопределяет схему соединения при-
емников. Более того, различные группы приемников могут быть соединены по-
разному. Рассмотрим принцип расчета такой цепи на примере рис. 9.9.
Рис. 9.9
Здесь
^Па ппППа сопротивлений Z, соответствует сопротивлению линии передач,
*1емников Т-i соединена «звездой», а группа приемников Z.. соединена
1 лвдИКом».
Ч'еобради
Уем «звезду» Z, в «треугольник» по формуле
= Z^ + ^Z. + ZX
Z12 =--------~и т. д.
кРуг0 -
в°и замене индексов.
^з
160
Глава 9. Трехфазные электпи
-----------------— МИЧеСКйв
^<4
2. Определим эквивалентные сопротивления двух «треугольников»
3. Преобразуем полученный «треугольник» в «звезду».
4. Объединив последовательные сопротивления, получим простую схему
та. соединенную в «звезду». ~ РасЧь
Последовательность преобразований показана на рис. 9.10.
Найдя линейные токи, нужно определить падение напряжения на линии пере-
дач, затем линейные напряжения приемников и их токи.
9.4. Мощность в трехфазных системах
При симметричной системе мгновенная мощность каждой фазы определяется п
формулам
Ра = [/<17ф cos Ф “ ^Ф7* cos(2cor + ф);
( 4
Рв = cos Ф “ ^ф 7ф cosl 2гоГ + ф - - л
f 4
Рс = cos Ф - cos 2®Г + ф + - л
Ра + Рв+ Рс= ЗУф1ф С05Ф = р- фаз
Получили замечательный результат: сумма мгновенных мощностей
симметричной системы не зависит от времени и равна активной мошн
важное свойство называют уравновешенностью системы.
Для двухфазной системы
pt = Ulcos<p - Wcos(2wt + ф);
трехФаЗНЫХ системах
161
р2 - [7/costp -17cos(2wZ + ф - п);
Pt + Pi ~ cos Ф = ?
система хотя и не симметрична, но уравновешена и тоже создает по-
ДвухФазН^мент на валу генераторов.
стоЯНнЫИ ение для мощности симметричной трехфазной системы вместо
£ci,f D ВЬ1Р жжений и токов подставить линейные, то независимо от соединения
фазнЫ* наВли <<треуГоЛьником» получим:
Р = ЗГф7ф со5фф=ТЗГ7„Л, COS фф = -УЗЕ// созф
виде формула фигурирует в технической литературе. Следует иметь
g таком в __ сдвиг по фазе между фазными напряжением и током.
измерения мощности в четырсхпроводнои трехфазнои системе применяется
Невидная схема либо с тремя ваттметрами (рис. 9.11, а), либо с одним, соответ-
ствующим образом сконструированным.
a
Рис. 9.11
п*ема(рис. 9.11, 6) с двумя ваттметрами (схема Арона) для измерения мощно-
н двумя ваттметрами в системе без нейтрального провода требует некоторых
^нОсНИИ- КаК известно> ваттметр показывает действительную часть комплекса
Значит, сумма показаний двух ваттметров в схеме Арона составит:
п р' + р^ *e{UAC 1A + UBC IB} = Re{C., 1A + UB I,-Uc{i„ +1B)}.
ЛькУ ic +1д + /B- q получим:
1A + B + Vc IC } = P' + РВ + Pf = P' + Pi'
M Ha Ри(Ка<аНИН ДВУХ ваттметров в схеме, ириведси-
^сцСт С’ ‘И’ Даст суммарную мощность всех трех
^Ной с Ь1, ^Та схема применима только в трехпро-
Пр₽д ИстеМе электроснабжения.
Чи„ СТаВДярт
Ф Реакт Т ИнтеРес схема на рис. 9.12 для измере-
ЯэНой Вн°й мощности в симметричной трех-
С11Стеме.
62
Глава 9. Трехфазные
Ваттметр покажет:
Re = {UBCiA} = Re{UAjj3IA} =
= Re{y[3UA 1А eJ(7t/2)} = V3[7/cos(<p + ^') = T3L7sin
Значит, показание ваттметра, умноженное на
метричной нагрузки.
3, даст реактивную мощ110сть
9.5. Получение вращающегося магнитного поля
На рис. 9.13 представлена система из трех катушек, сдвинутых в пространств
угол 2л/3, каждая из которых подключена к одной из фаз трехфазиой систе^
Втс
ВтА
Втв
Рис. 9.13
Магнитная индукция (Вт) направлена перпендикулярно плоскостям катушек
и представляет собой вектор, имеющий постоянное направление в пространстве
и изменяющийся по величине по закону синуса. Такой вектор можно разложить
на две составляющие 0,5Вт, вращающиеся с угловой скоростью со в разные сто
роны.
Вектор, вращающийся по часовой стрелке от катушки фазы Л. 0.5 Bute ' >с®
жим с вектором, вращающимся в ту же сторону от катушки фазы В. 0,5Вте
и с вращающимся вектором от катушки фазы С, 0,5Bme~ju>' а2. Введением м
телей а и а2 учитывают разницу в направлениях в пространстве. Если
сдвиг по фазе токов в этих катушках соответствующими множителями а
то получится сумма
0,5 Bme~)at + 0,5Вт а3е~^ + 0,5Вт a3 е1™ = 1.5В/де''“'
то
Что касается слагаемых векторов, вращающихся против часовой стРе'П^11'1’[1Я рр3'
учета их взаимного направления в пространстве относительно паправ- фор
Щения надо записать: 0,5 Вте^', 0,5 Вте'™ а2; 0,5 В те1'"а. Умножив кажду11
мул на 1, а2 и о и сложив их, получим:
0,5Bmeiw+а'+ а2 ) = 0.
то есть эти составляющие пульсирующих векторов взаимно КОМ11С,и"^в0е
друга. Таким образом, в пространстве внутри катушек получим круг
щающееся магнитное поле.
вР3
ос
магнитное поле можно получить и от двухфазной системы. Для
праШ3101111^ им суммарную магнитную индукцию от двух катушек, располо-
т0го раСС> ,глом л/2 и питаемых от двухфазной системы напряжений. То есть
Э-еННЫХ П°^ аимно перпендикулярных пульсирующих вектора. Чтобы сложить
имеем Два D поместим их в произвольно расположенную прямоугольную систе-
3^“эт<|’№9'14)'
><У РК11ИЙ векторов на ось А описывается фор-
ДР° ( л А
_ в cos а + В2 cos a-, но = Bmsin mt.
5плой Bx - I 2)
( 71
^=gmsinl wi--
й векторов на ось X описывается фор-
Таким образом, получим'
n
Д I ( д
= Вт sinorfcosa+sml юг- -Icosl юг - —
В*
2
Пспользуя соотношение
1
since cos [В = -[sin(a-P) + sin(a + P)],
получим Вх - Bmsin(mt - а). Аналогично получим сумму проекций векторов па
ось Y: BY = Bmcos(cof - а). Вектор с такими проекциями имеет постоянную велп-
чину В = ^Вх + Ву = Вт. Что касается его расположения в системе координат,
то оно определится некоторым углом Р:
tg₽ = = tg(coT-a).
'А
Если рассмотреть расположение вектора в системе координат вращающейся с уг-
ловой скоростью, то есть a = (0У +\/), увидим, что суммарный вектор ненодви-
во вращающейся системе координат. Это значит, что в неподвижной систе-
д координат вектор вращается, то есть получено круговое вращающееся поле.
п ное пРеимУЩество многофазных систем с точки зрения создания мощных вы-
телей будет рассматриваться в главе 14 «Нелинейные электрические цепи».
Контрольные вопросы
2 Ка 0ВИТС пРе11мУ1цества трехфазных цепей для систем электроснабжения.
3 разуются трехфазные ЭДС?
оператор00?*0111 заппси напряжения трехфазных систем вы знаете? Что такое
Назовите
5. цТо с дРугие многофазные системы
При та^°е СоеД11Исние трехфазных систем «звездой» и каков порядок расчета
6. к°м соединении?
I ^РИвП°1)Ядок Расчета при соединении «треугольником»?
L Ите расчет цепей при смешанном соединении приемников энергии.
164
Глава 9. Трехфазные электри
8. Приведите выражения мощности трехфазных систем. Что такое V).
тленность системы? ' dBHo8t
9.
10.
11.
12.
Докажите уравновешенность двухфазной системы.
Какие способы измерения активной и реактивной мощности в трех к
цепях вы знаете? чазнЬц
Как получить вращающееся магнитное поле в трехфазной системе?
Как получить вращающееся магнитное поле в двухфазной системе?
Контрольные задачи
9.1. Для данной схемы при Rt = R2 = R:i, (/, = 380 В определить напряжение
на натрузочиых сопротивлениях при обрыве фазы /1:
1) при отсутствии нулевого провода;
2) при наличии пулевого провода.
9.2. Для данной схемы при R(= R2 = R^ = 220 Ом, U4 = 380 В, Рп, = 1000 Вт
и использовании одного ваттметра с искусственной нулевой точкой
определить мощность симметричного трехфазного приемника.
165
пьныезаДаЧИ
КоитР°ЛЬ
9.3-
10й схемы при Rt = 100 Ом, R2 = 200 Ом, Ц, = 100 В, Pt + Р2 = 300 Вт
Д;1Я ить cosip приемника Z3, если через него протекает ток 2 А.
9.4.
Как изменится мощность данной схемы, где Za=Zh-Z,. при переключении
симметричной трехфазной нагрузки со «звезды» на «треугольник»?
Глава 10
Анализ переходных процессов в линейн
цепях
blx
10.1. Постановка проблемы переходного
процесса
При анализе установившихся процессов в линейных цепях мы не отвечал]
вопрос, как достигнуто то или иное распределение токов и напряжений р|ап На
мер, теоретически нельзя представить себе непосредственное включение источ
ников постоянного тока в цепочки из последовательно соединенных элементовR
и L (рис. 10.1, а) и параллельно соединенных R и С (рис. 10.1, б).
Здесь на схеме изображен новый элемент — ключ. Смысл его использования за-
ключается в том, что в заданный момент времени, обычно I = 0, ключ меняет свое
положение. Изменения в цепи, проходящие при этом, называются коммутацией.
Считается, что при t = -0 цепь была разомкнута (или замкнута), а при / =+0
цепь изменила свое состояние:
Ai = f(+0)-f(-0) —> 0.
На ключе никаких потерь энергии не допускается.
щ -^=0'
Энергия, запасенная при t < 0 до коммутации в индуктивности, и, -
Си
в емкости — 1УС = —— = 0. После коммутации при t » 0 получим: П, - "2
СП2
и ш = — > 0.
С 2
Для изменения энергетического состояния накопителя требуется мошн°с
dW Т di . „ du
р =----; p = L — t;p = C—u.
dt d* р ЦТ
Отсюда следует, что ток J (рис. 10.1, а) не может сразу стать П()С10Я1с'^#<
точнике конечной мощности (конечного напряжения) и напряжение -
может сразу стать постоянным в этом источнике. Таким образом- “Р1^еИ11'1
внезапных изменениях параметров цепи, в том числе включении и вь1К’
рта переходных процессов классическим методом
167
I энергетическое состоянпс накопителей энергии (катушек индуктив-
сточВ11К°В’ енСаторов) не может измениться мгновенно. В свою очередь, это оз-
^осТ1‘11 К°Н^екоторые токи и напряжения не могут претерпевать скачки, а долж-
„чаеТ, чТ° Н_ только плавно. Расчет изменений токов и напряжений в цепи в
и*1 «^пяться 1
нзМе ложных изменении энергетического состояния накопителен назы-
пр°иеССВ даол переходных процессов.
вают °нал
ю 2. законы коммутации
.ирний мощности источников в электрических цепях вытекают ограни-
ть ограниче*1
,1J Е -тки протекающие через катушки индуктивности, и напряжения на кои-
ирния на токи, j •
4 njv Это можно записать следующим образом:
денсатора
j i (-0)= й(+О~ первый закон коммутации;
и ^Q)-uc(+G)^ второй закон коммутации.
Возможность скачкообразного изменения тока, протекающего через резисторы
и емкости, а также напряжения на резисторах и индуктивностях не исключается.
Не исключается также скачкообразное изменение параметров источников тока и
напряжения. Конечно, накопление и расходование энергии накопителями опре-
деляет изменение токов и напряжений при любых переменных токах и напряже-
ниях. В цепях синусоидального тока это выражалось в отставании тока от напря-
жения в индуктивных цепях (индуктивность инерционна относительно тока).
В двухполюсниках, содержащих емкость, напряжение отстает от тока, то есть ем-
кость инерционна относительно напряжения. При периодических токах и напря-
жениях инерционность учитывается соответствующими сдвигами по фазе токов
«напряжений на каждой гармонике, что отображается, конечно, и на суммарном
эффекте. При несинусоидальных сигналах применяются особые приемы, осно-
вой которых служит анализ цепей при коммутациях.
Ю.з. Порядок расчета переходных процессов
^ассическим методом
Срэ
дОм пРость1е цепи исследуются так называемым классическим мето-
к°ви н ФеРенциалы1Ь1е уравнения по Кирхгофу для мгновенных значений то-
ШеНий РЯЖеНИЙ заппсываются без каких-либо ограничений на характер возму-
Такце1 Т°М чпсле внезапные включения источников или другие коммутации.
Чей с с Внения описывают и переходные процессы в цепях. Для линейных це-
^Ьно- Р^Оточенными параметрами мы получаем систему линейных инте-
*111ФференИ^е'эенциальнь1Х уравнений с постоянными коэффициентами. После
113 ^оРЬ1х11р0ван11я образуется система дифференциальных уравнений, каждое
ДОсТаВить Не выше BTf)Poro порядка. Дальнейшее решение можно было бы пре-
Цепе^1Чатематнкс- Однако, как будет показано далее, некоторые приемы тео-
2ЛЬтате л М')ГУТ существенно облегчить поиск результатов. Заметим, что в ре-
ФФ^нЦпрования исчезает часть информации, а именно информа-
Ьных условиях: д(0), т'(0),..., .т''~'(0). Для дальнейшего решения нс-
системы уравнений выделить одно уравнение с одним неизвестным
168
Глава 10. Анализ переходных процессов в Л|.
Эта операция может потребовать дополнительного дифферентipt •
становою В результате будет получено дифференциальное уравнение
ка с правой частью:
,()ва11ия и
d"x(t)
dt"
~ + - + а0л(О = /(г),
dt
(К)!,
'1ЬНе>Ьем(*
a
постоянные вещественные коэффициенты: д
порядок дифференциального уравнения. В д;.
где a(), ap .... a„ -
или напряжение; n —
дет показано, что п равно количеству независимых накопителей п см ме~"4Ч0-‘
Уравнение должно удовлетворяться для любого времени. Оно действ!
и для установившегося режима (если он существует): Ль,)11
J".r(o°) Jn-1x(oo)
+ «„- + + <М(~) = /(О- (102)
Назовем свободным током или напряжением разницу между переходным током
(напряжением) и установившимся током (напряжением):
Х„(0 = л(Г)-х(~).
Вычтя дифференциальное уравнение (10.2) из уравнения (10.1), получим одно-
родное уравнение для свободной составляющей:
a.^^+a,.,^<0 + ... + aA.(f) = o
dt" dr~' “
(уравнение без правой части). Обратите внимание на то, что вся информация об
источниках энергии, содержащихся в цепи, находится только в правой части
Следовательно, свободная составляющая определяется только собственными
свойствами цепи.
Уравнение .г(/) = x(°°) + xcil(i) соответствует искусственному разделению неиз-
вестного на два слагаемых. Такой прием может применяться только для лине»
ных систем (принцип наложения). Этот прием соответствует утверждению,
решением линейного дифференциального уравнения с постоянными коэфФ11Ц1
сигами с правой частью является сумма двух решении: частного решения ,г\,
пения с правой частью и общего решения однородного уравнения без
части. В качестве частного решения выступает установившийся режим, а СБ
пая составляющая определяется уравнением без правой части. То есть мо
писать:
,r
где рь — корни характеристического уравнения
anp” +- + a0 =0.
Э го уравнение получено из однородного заменой
dtm
169
ШКИ индуктивности на резистор
лаП* КЗ’У __
. «раэР”*0,
10-
аДаЧИ необходимо после нахождения корней характеристического
„ реШен11Я ..JJ постоянные интегрирования Ак. В математической трактовке
^авнен,1Я на’ знать начальные значения функции _г(0) и (и- 1) производную
этог° На^ни t - +0. Это даст п уравнений для определения /ф.
в п уравнений получается, если через л(Г) будут выражены на-
рэлекгроте коНденсаторах uc(t) и токи через катушки индуктивности г,(t).
пряжения н
х значения до коммутации iL (-0) и ис(-0), по законам коммутации
Определив
начальные условия iL (+0) и wt(+0). Таким образом будет получе-
ны оПр^^исИМЬ1х уравнений для поиска п неизвестных Ак.
Н° П переходных процессов классическим методом происходит в следующем
порядке- , , [Z
Составляется система интегрально-дифференциальных уравнении по Кирх-
гофу-
2 Из системы путем преобразований выделяется одно уравнение относительно
одного неизвестного.
3 Отыскивается решение такого уравнения в виде
.r(0 = .r(o°)+£/lA.ew',
।
гдег(°°)~ установившийся режим; рк — корни характеристического уравнения;
ф — определятся на основе знания начальных энергетических состояний всех
п накопителей.
Классическим методом решают задачи анализа переходных процессов в схемах
с одним и двумя накопителями в основном из-за трудностей с поиском постоян-
ных интегрирования, который плохо формализуется. Однако именно схемы с од-
ним-двумя накопителями представляют наибольший интерес, так как понима-
ние и знание характера переходных процессов в таких схемах дает возможность
оценивать броски токов и напряжений, а также характер колебательных процес-
ны В° Многих значимых для практики случаях. Далее будут детально рассмотре-
именно такие задачи и сделаны некоторые обобщения.
10-4. «Разряд» катушки индуктивности
Резистор
п°стояннор1 СХемУ цепи> в которой до коммутации протекал ток I от источника
напряжения Е (рис. 10.2). При этом в магнитном поле катушки ии-
УКтИвноСТи л LI2
оыла запасена энергия-. После ком-
Мутации к 2
*1Р°гИвле1^аТ^ика оказывается включенной на со-
е и запасенная энергия рассеивается на
Д*”Ьферец
сдел а^иое Уравнение для такой цепи будет
dt
Рис. 10.2
170
Глава 10. Анализ переходных процессов в
Выделять из системы одно уравнение путем преобразований относ
го неизвестного не требуется.
Линей^л
"1с‘'1ЬНох.
Решение находится в виде
Д(0 = h (°°) + Ае1",
где iL (оо) = 0. так
стором.
как рано или поздно вся анергия катушки расссппм
Тся Резц.
Корень характеристического уравнения R + pL - 0,=>p--R/L
Обратите внимание на то, что pt<0 (в случае комплексных корней Re{ j
так как свободные составляющие определяются по схеме без источников*-
гда затухают со временем. Из закона коммутации следует: i, (+0) = (_р) g
же время iL (+0) = iL (<*>) + А. поэтому А = iL (-0). До коммутации по цепи
ток I = Е/R, значит. ф(-0) = E/R.
11 все-
-!то
протекал
Итак, решение получено:
График этой функции представлен на рис. 10.3.
Напряжение на резисторе повторяет форму кривой тока:
R
uK = iR = Ее '
на Рс
Напряжение на катушке индуктивности уравновешивается наиряженп^^^о?
зисторе (второй закон Кирхгофа). Его можно определить и из магсм<
модели элемента:
-пушки индуктивности на постоянное напряжение
10э
171
R R
г di LRE -~г1 „ ~те
и, — L — = —----е L = -Ее L ;
L dt LR
uL(t)=-uK(t).
(—0) = 0, затем при t = 0 оно скачком изменяется так, что
пмМУтаЦ111 Ul '
Д° к ' £ и по экспоненте падает до нуля.
вмеСТо р вычисляется постоянная времени т = -1/р = L/R, имеющая
Обычн° в]эемени и ответ записывают в виде
размерность i
f(f) =
R
vro пышка АВС, построенного из касательной к любой точке экспоненты
и перпендикуляра, опущенного на ось абсцисс, получим:
ЛС-АВ- и* - Ее~"Т -т,
tgp _ duR 1 £е“'/т
dt т
то есть физически т показывает крутизну экспоненты. Чем больше т, тем медлен-
нее затухают свободные составляющие переходного процесса.
Энергия, запасенная в катушке индуктивности, рассеивается на резисторе. Дей-
ствительно,
£т2
]eRdt = ][E^Rdt = M_ = y^L.
I Jol« J 2 2
Если до коммутации в цепи протекал синусоидальный ток и за г(+0) принят ток
в Момент коммутации, то решение будет тем же самым.
10-5. Включение катушки индуктивности
Постоянное напряжение
п°чки°/?/ИМ схемУ Цепи, в которой: коммутация заключается во включении це-
Урав на ПОст°янное напряжение (рис. 10.4). Для нее дифференциальное
яие будет следующим: Ri + = Е. Преобразовывать систему уравнений
^Р^буетг'сг тт
получим решение дифференциального уравнения: iL = i(<») + Aepl.
Рис. 10.4
172
Глава 10. Анализ переходных процессов в п>
----------------------------------
Установившееся значение тока, получаемое из схемы после коммут ип
i^)=E/R ‘ ‘ 1,1
Из характеристического уравнения R+ рЕ- 0 получим: р = - 7?/£ _ _,
тим, что получен тот же результат, что и в предыдущем примере. Х'
Постоянную интегрирования А находим из начальных условий:
г(оо)+д = г;(+о)= г;(-о) = о.
Окончательное решение для тока:
р
д(о=^а-е-'/1)-
К
di
Напряжение на катушке и, (/) = L— = £е~'/т показывает, что в момент включе-
dt
ния напряжение источника уравновешивается напряжением на индуктивности,
так как ток в этот момент равен нулю и падение напряжения па резисторе отсут-
ствует (рис. 10.5).
10.6. Включение цепочки RL на синусоидальное
напряжение
Задача практически аналогична предыдущей (см. рис. 10.3), с той лишь р**3^.
ней, что источник напряжения в цепи представляет собой синусоидальную Ф
нию времени:
е= Ет sin(ci)f +у,,).
Дифференциальное уравнение для такой цепи следующее:
Ri + L— - Ет sin(ом + у(,).
dt
Получим его решение:
/(/)= г(оо) + Ле''/т. цс-
где т = L/R— постоянная времени, зависящая только от параметров ’^'^е се-
точника не зависит) Под г (<») следует понимать установившееся значь
173
лики RL на синусоидальное напряжение
п10ЧениецеП°Ч-----------------------------
l0.6^
тока которое находится по известным правилам для схемы после
5SS»r“,:
£
— т —sin(ov + ур - Ф) = I„, sin(cot + у,),
Jle + (uLy
со!
о = arctg р
где Ф К
решение
z(/) = Im sin(otf + у,) + Ае ,/т
л удовлетворять начальным условиям
доЛ^Н°
г(+0) = 0 = I,,, sinxp, + А А = -I т siny,.
Окончательно получим:
z(t) = lm sin(w/ +у,)- [/,„ siny, К"1
Для построения осциллограммы тока (рис. 10.6) надо изобразить осциллограм-
му установившегося значения тока (первое слагаемое) и экспоненты (второе сла-
гаемое), причем их сумма при t = 0 должна быть равна ?, (+()).
в-1ияетГ™ осциллограммы ясно, что на характер переходного процесса
ент коммутации относительно начальной фазы напряжения, гак как
Если Ф. = V» - Ф
' Утация происходит в момент времени, когда гус1 = 1т, то Л = I т, и ос-
£слицри б^ет такой, как показано на рис. 10.7.
Си,1Усо11д^1ТОм постоянная времени довольно велика, то через половину периода
^^Утац^1101^0 напРяжепия ток может достигнуть значения zmix <2/m. Если же
С11 Произойдет в момент, когда z'yn = 0, то А = 0, то есть сразу установит-
гт»
адьныи ток и переходного процесса не будет.
174
Глава 10 Анализ переходных процессов в
10.7. Разряд конденсатора на резистор
Рассмотрим анализ переходных процессов в цепях, где в качестве накопителя
выступает конденсатор. Самой простой из таких цепей является цепь (рис. 10.8),
в которой заряженный до напряжения U конденсатор разряжаемся па резистор
Найдем решение все в той же последовательности.
Дифференциальное уравнение будет следующим:
1 '
Ri + -\ idt + u( (0) = 0.
С о
Преобразуем уравнение относительно неизвестного
uc(t): Ri +uc(t) = 0. При 7 = получим: RC(^- +
dt dt
+ u( (t) - 0. Решением будет выражение uc (Г) = uc (°°) + Ae'".
Напряжение uc(°°) = 0, так как энергия, запасенная в конденсаторе —РаН°
или поздно будет рассеяна на резисторе.
£
RC
Характеристическое уравнение данной цепи RCp + 1 = 0,/? = -
Постоянная интегрирования /1 будет найдена из начальных условии
коммутации: ыс(-0) = ис(+0). (°°) + /1 = U => A-U.
п закон2
Получаем окончательное решение в виде
ис (г) = Ue
где роль постоянной времени выполняет произведение т = RC. нмеюшо
ветствующую размерность (рис. 10.9).
Найдем ток в цепи RC:
„duc UC С
i = С —- =--е 1 = в т
dt RC R
Напряжение на резисторе по форме повторяе т кривую тока, причем в любой мо-
мент времени -uR = ис (в соответствии со вторым законом Кирхгофа). Можно
убедиться в том, что энергия, рассеиваемая на резисторе, равна эпер-
CU2
гии, запасенной в конденсаторе,--.
Ю.8. Включение цепочки RC на постоянное
напряжение
хемадля анализа цепи показана на рис. 10.10. После приобретения некоторого
опыта анализа переходных процессов в схемах с одним накопителем можно от-
" ть от классического порядка решения задачи. Поскольку в цепи только один
опель, будет получено дифференциальное уравнение первого порядка. Его
Ие м°жно в общем виде записать сразу:
r uc(t) = ис(°°) + Ае
11 в п 3аВисит только от конфигурации цепи без источника, поэтому, так же как
У'стан 1ДУЩе" Задаче’ т = RC-
П°Эг°му[/ШееСЯ значение ис{^~) = и. По закону коммутации wr(-0)= (+0)
+ А = 0 / - _[j Окончательно получим:
ис(Г) = иа-е-с^.
° определить из соотношения
ь I i^ce^ = -e-tl\
teHne R
С1^>°еНця Задачи можно начинать с качественного по-
°сЦиллограммы (рис. 10.11). Для данной за-
Рис. 10.10
и
176
Глава 10. Анализ переходных процессов в ли
~~ -г %
дачи, отметив, что до коммутации напряжение па емкости было п-.
и учитывая закон коммутации, устанавливаем начальную точку осцц । Hvlio
IOrpaS
Из соображения, что решением дифференциальною уравнения первого порядка
является экспонента, и найдя установившееся значение uc = U, можно провели
экспоненту. Если знать, что постоянная времени т= RC, экспоненту можно по-
строить точно. Для построения графика тока надо учесть, что при ( = 0 напряже-
ние ис = 0, следовательно, ток через резистор должен быть таким, чтобы и„=[/
U
то есть ф(0) = —. По прошествии довольно большого времени ток должен упасть
R
до нуля. Этих соображений с учетом того, что все переходные процессы идут
с одной и той же постоянной времени т = RC, достаточно для построения осцил-
лограммы г(Г).
10.9. Включение цепи RC на синусоидальное
напряжение
Применим описанную ранее логику для решения задачи включения цепи Лбна
синусоидальное напряжение (рис. 10.12):
е - Е„, sin((oT + ye).
Известно, что установившееся значение напряжения
на конденсаторе будет синусоидальным:
«Сует =^т sin(cDi + v,J-
При t - 0. то есть в момент коммутации, пг(0) = 0.
Рис. 10.12
если емкость не была заряжена. Отсюда
(67msin(wr + \|iJ + ^e '’т),=0 =0.
Значит, осциллограмма состоит из такой суммы двух кривых, сипу-1’11'1
поненты. что при t = 0 она (сумма) равна нулю (рис. 10.13).
Получив такое представление о процессе и учитывая, что т = RC, .'1сгК°
решение в виде
и эКг
nXj
«с (О = Um sin((0T + у,,) + (О„, siny^ )е
177
Рис. 10.13
Теперь остается только тем или иным способом определить установившееся зна-
чение напряжения на емкости QJт и у(,) по заданным е, R и С:
Практические приемы решения задач
^мот еМ С одним накопителем
>°Мсл"СХеМУ с Одним накопителем и парой резисторов (рис. 10.4). В этом
ае СИстема уравнений по Кирхгофу будет включать два контурных
10в°е уравнения:
it = iL + i2; i^ + L^^U-, i2R2-L^ = 0.
dt dt
178
Глава 10. Анализ переходных процессов в ли
Выделим из системы одно урав1)с
ним неизвестным: "1'есод.
Рис. 10.14
г, R, + i2Rt + L^ =[' ^
dr
L di>- 1/? л. г di,
A^r+iia'-
гЛ,
или
=>£|-^- + l
I R,
T di, R.R., . UR..
I -{- 1 z i = ___________f _
dt + /?2 ^2
Характеристическое уравнение будет таким:
г ^1^2 Г, ^1^2
Lp + —!—— = 0; р =----!-----.
R^R, F L(Rl + R2)
,, .. . U
У становившийся ток i = —.
У R,
Найдем решение относительно тока, протекающего через индуктивную катушку,
с точностью до постоянной интегрирования:
л. Л,
! ,= — + Ae “W.
л,
Постоянная А определяется из условия iL (+0) = 0.
Окончательно получим:
[7 ..
где
1 £(/?, + /?,)_
Р
Ul=LC^-=U R1 е~'‘
dt R, + R-2
Отметим следующие не случайные обстоятельства.
1. Уравнение относительно любой переменной получается первом’111 ’
как в схеме только одни накопитель. Из этого следует, что для |1(,111|Пй, Сг
переменной можно, не составляя и ис преобразуя систему ypa>,IlL
записать: д = .г\,_ + Ае^.
,тяПП1'-
2. Установившееся значение определяется из схемы после комму
о поиемы решения задач для схем с одним накопителем
ПР3*™
179
L
1ая врсмени х = где •> — сопротивление эквивалентного резисто-
тельно зажимов конденсатора па схеме с удаленными источниками,
относил
Ра R Ri Поскольку т определяется схемой после коммутации и не зависит
тера и места включения источника, постоянная времени будет такой
°т Ха^ в случае «разряда» катушки индуктивности на резистор, эквивалент-
^^вссм резисторам, включенным па зажимы катушки. В нашем примере ре-
н1>,и 11 относительно зажимов ab включены параллельно. Аналогично, в схе-
3" • с конденсатором т = R,C. Необходимо помнить, что удаление источника
чЛС соответствует закорачиванию соответствующего участка цепи, а удале-
ние источника тока - разрыву этой ветви.
4 Поиск постоянной интегрирования в случае решения задачи относительно
тока через индуктивность или напряжения на конденсаторе сводится к со-
ставлению уравнения хугт + А = х(-0); х(-0) — определяется из схемы до ком-
мутации, но это относится только к тем переменным, для которых определе-
ны законы коммутации х(+0) - х(-0).
Если требуется определить какую-либо переменную, которая при коммутации
может изменяться скачкообразно, удобно составить эквивалентную схему для t = О,
зафиксировав в ней докоммутационный режим накопителя. В нашем случае это
схема, в которую вместо индуктивности включен источник тока с параметром,
равным току до коммутации (рис. 10.15).
Потакой схеме легко определить начальное значение
любой переменной, например ток !,(+()) =———
Rt + R.,
или мы знаем т, то можем сразу записать:
i2(O =—-—е-‘/г.
Ri + R2
На рис 1 о 1 с
зл ' 10 показаны примеры схемы для анали-
°слекоммутационной схемы для t = 0.
апРяжевие
л,
Рис. 10.15
R2R3
R2+R3
/ох UR<
и (0) =-----—----
R.+R.+ R.,
^£):Для ^СЯ И3 схемы Д° коммутации. Пусть в этой схеме требуется отыскать
* этого используем формулы
h^=i^n + Ae-"\ i3(0) = ^22;
Ri
Греция А составим уравнение
U
^+R3 R,+ R2+R3
R, + R;S '
(R2+ R-M + R> + RJ
180
Глава 10. Анализ переходных процессов в
(Ж,
В результате получим:
U е-Чх
R.2 + R3 (R.2 + R3)(Rt + R2 + R3)
г'з(О =
Все сказанное ранее позволяет предложить следующий порядок анализа пере-
ходных процессов в цепях с одним накопителем.
1. Записываем решение задачи анализа переходного процесса: х = -»\1Т + Зе'4'.
2. Значение .гусг определяется из схемы после коммутации.
3. Постоянная времени т определяется как или CR3, где R, — эквивалентное
сопротивление двухполюсника относительно накопителя с удаленными не
точниками.
4. Поиск л(+0) для определения постоянной А проводится из послекоммуга®
онной схемы для t = 0. Эта схема отличается от схемы после коммуташн
что в ней вместо накопителя отмечается его состояние до коммутации*^
означает, что катушка индуктивности заменяется источником тока с
J - iL(-0), а конденсатор — источником ЭДС се- ис(-0).
10.11. Переходные процессы в цепях
с двумя накопителями
^q4кУ
Проанализируем цепь, в которой наблюдается разряд конденсатора па не j
Сначала рассмотрим задачи для цепей с двумя разнородными накоппте’
и С. Причем, в отличие от задач для цепей с одним накопителем, hKjI
синусоидальное напряжение рассматривать не будем из-за громоздко
док и ненаглядное™ результатов. ра®1^
Рассмотрим задачу включения заряженного до напряжения Utl коидснса оДц0>с£|,Г
почку, состоящую из R и L (рис. 10.17) После коммутации образуется
181
R
осцессы в цепях с двумя накопителями
п пере*0^'
10-**
с последовательно соединенными элементами R, L и С. Составим
схеМа ^дю-дифференциальное уравнение по второму закону Кирхгофа:
нее и*1тегр ,
Л + 1\1Л + ис(0) = 0.
Rl + Ldt CJB
аЛереншФовав ег0’ ПОЛУЧ1,М Дифферен-
ПР^оавнение второго порядка относи-
UIIa.ib«°e УР
теЛЬнотвка-
Рис. 10.17
L
U,
Ld^+R^ + i. = 0.
Ldt2 dt С
t еще раз, что порядок дифференциального уравнения относительно лю
б^* переменной определяется количеством независимых накопителей. Решение
равнения будет таким:
z = 1усг + Де'1' + А2е'"2'.
Рано или поздно конденсатор разрядится и энергия, запасенная в нем, рассеется
на резисторе, отсюда
«уст = 0.
Характеристическое уравнение для такой цепи — квадратное:
2 R 1 „
р ч— р ч--------- 0.
L LC
Его пара корней
R'2 1
4Z2
= _ r
Pi:i 2L~y 4Z2 LC '
Равнения для поиска постоянных интегрирования определим из следующих со-
ении. Во-первых, из закона коммутации для индуктивности следует:
ф(+О)=ф(-О) = О;
(А^' + А^1)^ =0,
т° есть
= uc(+0) = uc(-0) = -UD.
г=п
А = “Л' (10-3)
bI нУлю П^И ~ +^’ К0Гда ток 11 напряжение на активном сопротивлении рав-
°лжно соблюдаться равенство
[l &
I dt
0,1Редели^ И с использованием двух законов коммутации позволя-
ть А и Д,:
(Ю.4)
L(P1 А + Р2л2) = - и0; Д = -А2 ---
ЦР1-Р2)
182
Глава 10. Анализ переходных процессов в ли
Hblx^
Далее получим выражение для тока:
/ =----------(е"’'-е"2').
КР1-Р2)
Отсюда напряжение на L
T
и. = L — =
dt
- и° (P1e',|Z -p,g"2');
Pl~ P-i
напряжение на С
1 'г
e"'1 epir
о
Pl р-1
ис = — f idt + U0 = — -——
С{ LCPl-p2
1
Принимая во внимание, что р{Р1 - после преооразований получим:
- PiеР1‘).
Pi ~ Pi
В зависимости от корней характеристического уравнения возможны три вариан
та переходных процессов.
R2 1
1. Корни вещественны и различны, ^Ри этом Pi <0- Р.> <О.|р21>1Рь
Отсюда (р, - р.2) > 0 и (е''1' - е'“-) > 0.
Из этого заключаем, что ток не меняет свой знак, оставаясь, отрицательным
относительно условно выбранного направления (рис. 10.18)
/•
л' = /’г
1 > ЧТО Л **
t ----------In—. При этом же условии U, = 0. Можно показать
Pi -P-i Pi
183
10.11
пооцессы в цепях с двумя накопителями
Переход
ксимума при t = 2tm. Из-за неизменности направления тока напря-
стигает М^мк0Стн все время остается положительным емкость только раз-
^ен1'8' на Графики изменения iL, и, и ис, представленные на рис. 10.18, ил-
Ря>каеТСуЮ1 так называемый апериодический процесс.
>риРУютТ r2 j
вещественные и равные, При этом выражения для г,, uL
и становятся неопределенными,
(П л
-I. Для раскрытия неопределенности
представим р2 = const, a Pl р2. тогда
г = limj-----------------(ей'-е"2')
/>.^4 цР1-р2)
-U^te’"-,
L
ul = L^- = -U0(pt + 1)ер'\ ис=-U0(pt - lye'".
dt
Заметим, что при равных корнях всегда приходится раскрывать неопределен-
ность, и обший вид решения дифференциального уравнения второго порядка
будет типа
i=iyci+(Btt + B2)epl.
Вид осциллограмм такой же, как в первом случае, и представляет собой пре-
дельный случай апериодического разряда. Малейшее изменение параметров,
например уменьшение R, приводит к третьему варианту.
3. Корни комплексные, р12 = -5±усо — колебательный процесс.
Колебательный процесс в цепи возникает при . Обычно в этом случае
4£2 LC
вводят обозначения 5 = —; L = Jco2 - 52 = со.
2L JLC V °
В /л
показательной форме р12 = со0е7°; 0 = arctg I I. Поскольку sin 0 - — > 0,
I 8) со0
а cos© = _ 8 п
~- < 0, то - < О < л.
Исп 2
Уя приведенные в начале раздела обозначения, получим:
II т т
I = — - ° ГС(~8+'Ч>)' _ e<-S-yu)< I _ О'о е~6, 6 - е ____
ш 2Ж со£ 2/
Ре°бРазуя J
по формуле Эйлера, получим значение тока:
17 О •
/ =-------е sincot;
col
со
ul~ = - — [-бе 8' sin coz + coe 8' cos coil =
dt co
8 co ,, co,.
——sin cot + — cos cot = - Uo — e
C0() coc
<0|> ! & sin(co£ + 0)
со
184
Глава 10. Анализ переходных процессов в
Приведем без вывода выражение
ис = -Uo е ъ' sin(o>r - ©).
со
Если корни характеристического уравнения получаются комплексным
кает колебательный процесс (рис. 10.19). Поэтому решение можно искать
x(t) = х(°°) + Ме~& sin(cor + у).
Ь°ЗЦ|,.
в
В этом случае в качестве постоянных интегрирования выступают А п у
Можно также пользоваться выражением
л (t) = х(о°) + (М{ cos cot + sin соГJe”8'.
Из одной формулы к другой можно перейти, если учесть соотношения
М = -Ja/2 + Af22; у - arctg
При построении осциллограммы надо учесть следующие обстоятельства-
□
все кривые имеют форму синусоид с амплитудами, уменыиаюии>м1,сЯ
поненциальному закону (е-8' );
ток начинается с нуля и с частотой со совершает затухающие кол
что огибающая является экспонентой Ле-8'; е чЗ'
напряжение на катушке индуктивности совершает колебания 1 Tt те
стотой сои затуханием е“8', начинаясь со значения ~(70. При этом ваТууКе1«
ты времени, когда ток проходит точки экстремума, напряжение на
( г di\
проходит через ноль \uL = L — .
k dt J
□
□
185
пооцессы в цепях с двумя накопителями
10-’
„ duc
«и с соотношением i = С —— в те моменты, когда ток проходит че-
осоотр^ Л
аПряжения на емкости достигают экстремумов. Характер кривых по-
рез цТ0 происходит колебательный обмен энергией между конденсатором
ьазЫваеТ’. й Поскольку при этом обмене ток проходит через резистор, проис-
„ ка1УШ еивание энергии и процесс затухает. В предельном случае при R = О
ходит Ра5 потерь) такой колебательный процесс устойчив (5 = 0):
(контУРьез
i =----—sin (0,7.
cooZ
p смотрим случай включения цепи RLC на постоянное напряжение.
решении задач для такой цепи интегрально-дифференциальное уравнение
(после дифференцирования) ничем не будет отличаться от предыдущего случая:
т d'i di i п
dt2 dt C
Установившийся ток будет равен нулю. Отличаться (только по знаку) от преды-
дущего случая будут постоянные интегрирования, которые находят из системы
уравнений:
А, + А2 = 0;
индуктивность L(At pt+ А2р2) = U (а не - Un, как в предыдущей задаче). Поэто-
му, не повторяя математических выкладок, можно записать:
i=----------(ep'l-entY
KPi ~ Pi )
Pi ~ Pi
ис = “уст +--—----(р2 е”'1 - pt е"2').
Осцилл Р'~Р2
^ЧескоглР^^114 токов 11 напряжений на емкости для апериодического и перио-
процессов приведены на рис. 10.20, а и б.
186
Глава 10. Анализ переходных процессов в ли
1Нейных
10.12. Практические приемы решения задач
При анализе переходных процессов в разветвленных цепях с двумя
накопителями возникают очевидные сложности выделения из снсте "
трально-дифференциальных уравнений одного уравнения с одним щ.' Ин^-
ным и поиском постоянных интегрирования. Существует прием, нозво"'В<:сг
составлять характеристическое уравнение без составления и чреобразоц^1011И|й
стем интегрально-дифференциальных уравнений. Он основан па том что 1Яс,1‘
герпетическое уравнение составляется для однородного уравнения, ю есть'-^
без источников. Источниками сигналов в такой системе являются накопит1*11
запасенной в них энергией. Поэтому такое уравнение будет одинаково тпо Л"с
которые отличаются друг от друга только местом включения источников на ’
жения или источников тока. Это уравнение образуется заменой лифферещп
вания умножением па оператор р. Нет препятствий для того, чтобы эту one
цию проводить не после преобразования системы уравнений, а до него. В такой
системе дифференцирование соответствует выражению напряжения через ин-
дуктивность:
и, = L— => pLi.
dr
Интегрирование проводится там, где выражается напряжение па конденсаторе:
^jir/r + z/(.(O)=>-L.
CJ0 PC
«г
Поскольку для образования дифференциальных уравнений производят диффе-
ренцирование, то постоянные типа и( (0) исчезают.
Вспомним, что аналогичный метод мы применяли при алгебрапзацип системы
уравнений в обоснование комплексного метода. Вместо р там использовало
множитель ущ. Применение этого метода привело нас к понятиям комплексной1
сопротивления Z(jco) и комплексной проводимости У(у'со), которыми мо5КН0‘
растеризовать двухполюсник с точки зрения любой пары зажимов. С^1’Р5'ее
пне входных сопротивлений и проводимостей заключалось в замене кату
сопротивлением /ш/., конденсатора — отношением---, резисторы R 01
/соС
г итьэквпва
без изменения. Затем было достаточно тем или иным способом выраз
лентное сопротивление или проводимость. После определения Z(./w) (|ц|
достаточно было составить уравнение = Е в случае источник*
£У(уы) = J — в случае источника тока.
В нашем случае, поскольку речь идет об однородном уравнении (УРаВ*сТстВ)
правой! части, в котором источники отсутствуют), этим уравнениям со<
ют соотношения
IZ(p) - 0 или UY(p) = 0.
При ненулевых токах пли напряжениях решениями будут равепси’а
Z(p) = 0 пли Y(p) = 0.
187
vnnHbix процессов при некорректных коммутациях
lO1J
, тОятельства обосновывают довольно простой способ составления
хуаза11111’16 веского уравнения непосредственно по схеме цепи (схема должна
nai<TePllCTl1 на без источников, ее конфигурация — образовавшейся после ком-
м^аии любых двух узлов (можно даже простых, где соединяются два
0тнос1,г‘ нпка) составляется формула эквивалентной комплексной ироводимо-
дв}’5:110Л10С oji заменяется на р и приравнивается к нулю, У,(/?) = 0. Можно
сти- в к° вать цепь в любом месте и выразить сопротивление Z,(jco) относи-
так*е дВуХ узлов. Далее, приняв jeo = р. получаем уравнение Z(p) = 0. Кор-
те.чьно "нения и будут корнями характеристического уравнения. Далее мож-
пи п
X=Xyel + YAle"t'-
1
К сожалению, более простых способов поиска постоянных интегрирования Ак,
чем изложены ранее, не предложено. Приходится через найденную переменную
определять начальные состояния: токи, протекающие через катушки индуктив-
ности, г,( -0), и напряжения на конденсаторах ис (-0) — и, таким образом, поль-
зуясь законами коммутации, составлять достаточное для поиска постоянных Ак
количество уравнений. Упрощают дело только принципиально другие методы -
интегральные преобразования, о которых речь пойдет в дальнейшем.
Анализ переходных процессов при внезапных изменениях параметров цепи, а нс
только при включении и выключении источников, практически нс отличается от
изложенного ранее. Также анализируются несколько схем:
□ схема до коммутации, из нее получается информация о начальных условиях
Д0),х'(0),.г"(Ь),...,.г-''+1 (0);
3 схема после коммутации, из которой рассчитывается установившийся режим;
-1 схема для / = +0, на которой фиксируется состояние накопителей, из нес мож-
__ Но Рассчитать любой ток или напряжение для времени t - +0;
и решается характеристическое уравнение.
зтаточпо для того, чтобы получить решение по любой перемен-
до постоянных интегрирования. Последние находят так, как го-
J оставляется
^1Х ^ых д0(
BQ с Юностью
₽Ил°сь ранее.
10.1о д
при ' Анализ переходных процессов
екоРректных коммутациях
цС8в,1змед Задачн анализа переходных процессов, когда коммутация заключа-
На л,.6,11111 паРаметра самого накопителя. Рассмотрим особенности их ре-
^сьбрг, примерах.
q°K<4Iyr Задачи- представленной схемой на рис. 10.21, заключается в том, что
аЦ1Я1 К0Нтур с°Держал катушку с индуктивностью и током ?,(-0) = —,
коммутации через обе катушки протекает один и тот же ток, отлпча-
188
Глава 10. Анализ переходных процессов в л
---------------------------------- ИНейнЬ11!
ч
ющийся от тока ц, так как z2(-0) - 0. То есть мы вынуждены, вопреки
шемуся ранее закону коммутации iL (+0) = iL (-0), допустить скачкообра^^Чь
ненне тока через катушку индуктивности. Такое допущение приводит-31*06 Ч-
новению бесконечно больших напряжений на обеих катушках. Чтобы
шить против второго закона Кирхгофа, мы должны предположить и\ ПОгРе-
г г ' Р;1Пе,Ч
di\ _ di2 41
jL< 1 —
dt dt
Тогда эти напряжения в сумме будут уравновешивать друг друга. Таким обра-
зом, мы имеем дело с бесконечно большими напряжениями, которые и способны
вызвать скачки тока в катушках.
В этом примере видны слабости предположения об идеальной, безыскровой ком-
мутации. Вряд ли существует такой ключ, который способен разомкнуть цепь
при бесконечно большом напряжении на его контактах. В этом смысл термина
некорректная коммутация. Но, тем не менее, будем решать задачу при такоИ
идеализации.
Проинтегрируем полученное равенство для напряжений в пределах бескопечн
малого промежутка времени от Ч = - 0 до i2 = + 0:
7 'Д 7 г di2 1
f £. —- dt = - f L2 —- dt.
Jo dt Д dt
В результате интегрирования получим:
£t z, (+0) — Д Z[ (—0) = —L2i2 (+0) + L.2i2 (— 0)
или
£,^(+0) + £2z2(+0) — £iZi(—0) + £2i2( 0). -
K'lTVlU^^’ f
Вспомнив, что произведением Li = \|/ обозначается потокосцепление \ос11^п^.
лучим формулировку обобщенного закона коммутации: полное ll0llin.h
до коммутации равно полному потокосцеплению после коммутации, V (+0)'
Применяя обобщенный закон коммутации к вашему случаю, где
= г(+0) и г2(-0) = 0, получим:
z(+0)=
-1-1— ц (-0) = — 11 —
£.+£2 Rt L,+L2
U л U L}
гдМ определяется из уравнения — + Д =
Подучим решение в виде
i(t) = — ...+и
Rt + R2
1
[(£,+ £2)^, R' +
e~tlx
построении графика (рис. 10.22) надо иметь в виду, что постоянная интег-
вания может быть положительной, отрицательной и равной нулю в зависи-
мости от соотношения постоянных времени двух реальных катушек
Lt __ ^2
Т1- R?,1T2- R2
При т, > т2 постоянная А > 0, при Tj < т2 постоянная А ПРПТ,Ои индук-
Таким образом, в момент коммутации ток скачком меняется (дл Р
тивности снижается, а для второй - увеличивается) до значения
vct-Л 3аВ11СИмости °т соотношения между т, и т, увеличивается или спадает до
-^««пвшеад значения.
Здесь'01^11*1 случай некорректной коммутации в цепи с конденсатором (рис. 10.23).
НИя Нек°рректность коммутации заключается в том, что в результате замыка-
Чадря^ Ча ?Ва конденсатора, заряженные до разных
1|о, 110э^«Ий, оказываются включенными параллель-
(Лц. fa °МУ Неизбежен скачок напряжения на емко-
РаНее зак И СКачок в соответствии с применяемым
н°м коммутации возможен только при бес-
fer кд °льщом токе, протекающем по ключу в мо-
Уч'ациц:
Рис. 10.23
о
Глава 10 Анализ переходных процессов в п
----------------------------*-4x1
du{ _ du
1 dt ~ 2 dt’
гд.еи1 и и2 — напряжения на соответствующих конденсаторах. Пр1)1И1т
их на промежутке от tt = -0 до с2 = +0, получим:
+fr dui и +fr
C. —L dt = - C, —- dt;
A 1 A dt
Ctut (+0)- Clul (-0) = -C2ze,(+0) + C2w2(-0)
(G + C2 )uc(+0) - G". (-0) + c2«2(-0), (10.
где zzt(+O) общее для обоих конденсаторов напряжение после коммутации
Таким образом, мы получили обобщенный закон коммутации: суммарный заряд
конденсаторов не может измениться мгновенно в результате коммутации
z?(+0)= q(-0),
где q = CU.
Получаем решение уравнения (10.5) относительно мг(+0):
»с(+0) = С‘ (~0) = —G т = /?(С, + С,).
(_Z . Ч” Cz П | Ч” Y-Z о
Значит,
ис (Г) = U + Ае ,/т: А =--— U -U.
G+G
Окончательно получим:
ur(t) = U---(^—Ue'11.
G + G
Это выражение можно понять так, что в момент t - +0 напряженно на G пад
а на С2 возрастает до U ———, затем напряжение, одинаковое для обоих ко
С^ Л- С 2
саторов, возрастает до U (рис 10.24).
Рис. 10.24
1.
2.
3.
4.
пь^заДаЧИ
goHtP0'*
вольные вопросы
|(0Н г р(1рОда возникновения переходного процесса?
КаК°ва ,цПГТЬ законов коммутации?
R чем сушно<
£> порядок расчета переходных процессов?
КаК°в оСциллограммы изменения тока, протекающего через катушки ин-
НаР||С' простых цепях с одной индуктивностью, при различных ком-
arvTfIBHOCI *1 » I
Д5КП г с источником постоянною напряжения.
мутация* с
ч1те осциллограммы изменения тока, протекающего через катушки ип-
НаР11С^ностН в простых цепях с одной индуктивностью, при различных ком-
тациях с источником синусоидального напряжения.
Каковы решения задач в простых цепях с одним конденсатором и источни-
ком постоянного напряжения? Источником синусоидального напряжения?
' Как определить начальные значения любого тока или напряжения в цепях
с одним накопителем?
В Как определить постоянную времени в цепях с одним накопителем?
9 Каковы общие формулы решения задач анализа переходных процессов при
различных корнях характеристического уравнения? Каковы осциллограммы
токов и напряжений?
5.
6.
10. Как определить корни характеристического уравнения, не составляя систему
интегрально-дифференциальных уравнен ни?
И. Каков порядок определения постоянных интегрирования?
12. Что такое некорректная коммутация? Как определять начальные условия при
некоррекпюй коммутации?
Контрольные задачи
®-1- Для данной схемы при
“ = 10 sin200тЩ /?| = 2 Ом, R, = 6 Ом,
^-4.0 мГн определить iL(t) и по-
строить осциллограмму.
’0.2 д,]
Да,,ной схемы при /?, =8 Ом,
И='1п”Ом-Лз=12Ом,£ = 8мГн,
Ить пр j " 1 Л определить и ностро-
^Чиллограмму.
192 Глава 10. Анализ переходных процессов в
10.3. Для данной схемы при Л, = 30 кОм, R2 = 20 кОм, R3 = 40 кОм,
С= 0,1 мкФ, J = 10 мА определить д и построить осциллограмму
10.4. Для данной схемы при Rf = 1 кОм, Я2 = 2 кОм, Д, = 3 кОм, (?= 2 мкФ
I/] = 10 В = Ui определить i2 и построить осциллограмму.
10.5. Для данной схемы при Rt = R3 = 100 Ом, Д2 = 10 Ом, £ = 10 мГн.
С — 10 мкФ определить ic и построить осциллограмму.
^^енение интеграла Дюамеля
АР^аечета переходных процессов
1 Переходные характеристики цепи
ты расчета переходных процессов при включении в цепь источников по-
РезУ^^^инря^ния можно представить в виде двух сомножителей: напряже-
стоянного некоторой функции времени. Эту функцию по смыслу можно
назвать переходной характеристикой.
..«.п пои включении в цепь R, L и С получаем ток
Напримч-'» 1
i(0 = и------ Z2') = UY(t),
Щ\~Р2У
при включении в цепь RC получаем напряжение
[7с=[/(1-е ЙС) = У7?(/),
гдеУ(А)и/г(А) — соответствующие переходные характеристики. В частном случае
характеристику У(0 называют переходной проводимостью. Обратите внимание на
то, что эта функция определяется только параметрами электрической цепи. Можно
сказать, что переходная характеристика есть функция времени, выражающая ре-
зультат подачи на вход единичного напряжения (импульсной функции нулевого
порядка):
1(0 =
О при t < 0;
1 при t > 0.
пу^цИЮ В математике называют единичной функцией Хевисайда. Если им-
«еиием03^110™^61 В момент вРемени > это можно выразить следующим выра-
О при t < ;
1 при t > г,.
нУю функцию первого порядка определяют как
°° при t = 0;
О при t ф О,
ИмпульС1
8(0 =
пРчзе)ц 7g.
£ 1 )at = 1 _ Эт0 так называемая 5-функция Дирака.
^KyiQ ф
1*а1^Я*е,1Ия11ИЮ МОжно представить себе как включение бесконечно большого
в момент t = 0 и включение через ДА —> О встречно такого же напря-
^РИ Ат 7
этом величина импульса J5(z)r7/ остается постоянной. Так как
ч711
194
Г лава 11. Применение интеграла Дюамеля для расчета перехол
8(f) = 0 при t < 0, можно считать, что Г(f) = 8(f). то есть производная
функции и есть 8-функция.
Исходя из такого понимания, можно провести расчет и найти pe;3v з
действия переднего фронта импульса величиной Е —> оо £у^ [,ji вОз
1 = kt —>0 — воздействия заднего фронта импульса -EY(t - kt): 11
i(t)= \im[EY(t)-EY(t-kt)] = lim£Af 1 ~ = KY’(,\
AH->0 AZ—>0 V' ) 1
где Ekt - К; Y'(t) — производная по времени переходной характеристики
водимости) цепи. П ^Р”'
Например, для цепи RL при воздействии импульса первого порядка
1
if
i(t) = К — 1 - e L
К ~Т
= —е L
L
R
Это можно трактовать так: при воздействии переднего фронта импульса (напря-
жения бесконечно большой величины) скачком устанавливается гок значением
К/L и затем после воздействия заднего фронта импульса ток спадает до нуля
(рис. 11.1).
11.2. Расчет цепей при воздействии
ЭДС произвольной формы
послеД0®3
Напряжение любой формы всегда можно приближенно выразить как 1
тельное включение ступенек напряжения Д[/через промежутки време 1[|ВоЗ'
Используя понятие переходной характеристики с учетом сдвша по вре реакк*110
действия каждой ступеньки напряжения (рис. 11.2), можно люох
цепи приближенно выразить так:
f(t)= u(Q)h(t)+Y^uh(t - x) = u(0)h(t)+
Х=П
Переходя к бесконечно малым величинам Дт —> 0 и А (7 —> 0, полу411*1
f (/) = u(0)h(t) + f h (t - x)dx.
I dx
Имея в виду, что = w'(.r), получим одну из форм интеграла Дюамеля, иначе
называемого интегралом наложения:
f(t) = u(0)h(t) + ju'(x)h(t -x)dx.
о
Возьмем интеграл по частям:
t
ju'(x)h(t -x)dx -
о
h(t -x)w(.r) + iu(x)h'(t- x)dx -
" о
= h(O)u(t)~ h(t)u(O) + ^u(x)h'(t - x)dx.
о
Подставив этот результат в формулу первой формы интеграла, получим другую
У записи интеграла наложения, записанную через импульсную функцию:
f(t) = h(0)U(f) + jU(x)h'(t - x)dx.
Cyi4
чета не И дРУгие формы интеграла Дюамеля. Применению этого метода рас-
Напп Репятствует наличие скачков напряжения в источнике.
^Ших вйдЛЯ пмпУльса’ показанного на рис. 11.3, решение будет записано в сле-
/(г) = н(О)Л(г) + ГUi) h(t - x)dx;
0
/(f) '^^2
^(0+ ^^~H12h(t-x)dx-(u}-u2 )h(t - Tj)- l^11'2 U'^h(t-x)dx\
о ' t.2-rA
196
Глава 11 Применение интеграла Дюамеля для расчета переходи
□ для t > t2
= uoh(f) + j h(t - x)dx - (w, - u2 )h(t - Г,)-
0 4
_ j(^2---^3) _ х)Дг + (w3 )А(Г- t2)
r, ^2 ~ Г1
Для расчета реакции цепи при воздействии на нее ЭДС произвольной формы
необходимо:
1) рассчитать реакцию этой цепи при воздействии единичного напряжения, по-
лучив тем самым переходную характеристику;
2) разбив кривую ЭДС на участки, удобные для аппроксимации, записать инте-
грал с учетом скачков напряжения в заданные моменты времени.
Рассмотрим поучительный пример заряда накопителя (емкости) от источник2
напряжения
Схема цепи и кривая напряжения изображены на рис. 11.4.
я и ПРеЛ<
Очевидно, что рано или поздно емкость зарядится до напряжения
ляет интерес нахождение КПД процесса заряда.
лиМт°к,И'
Qflp6^
вопросы
хпользуя интеграл Дюамеля
zz(O) = O; L/'(O = ye-,/7';
l/'(.r) = ye-v/r;
К
197
вполучим:
RT-1
Потери на резисторе составят
00 г;2 _2
U^= \i2Rdt = ---------
I R(T-x)2
КПД процесса
51
2
г + Т
Т + 2г
CU2
2
\ т + Т
При Г ->0, то есть при включении цепи на постоянное напряжение, ц —>0,5. По
МСР« роста Т процесс заряда замедляется, но КПД возрастает. К примеру, при
f ~ Т КПД Г] = при Т = 2т — T] = —.
3 4
К°НтРольные вопросы
1. чТо
2 Тако₽ переходная проводимость цепи? Как она определяется?
3 ц ° Так°е импульсная характеристика цепи? Как она определяется?
Мо^У П,>и воздействии на цепь импульса напряжения первого порядка воз-
4. g ** СКач°к тока через индуктивность?
| 4poJ^HTe ПоРядок применения интеграла Дюамеля для анализа переходных
5. 0В- Как определяются все элементы интеграла?
5. катаемому соответствует скачок напряжения в момент времени tt ?
^ожно увеличить КПД заряда емкости?
198
Глава 11. Применение интеграла Дюамеля для расчета перехОп
Контрольные задачи
ил.
Для данной схемы определить
11.2.
Для данной схемы определить z/( (г)
11.3.
11.4. Для дайной схемы определить
Гларр.Д?
Денение интегральных
ПР 1 ^разеваний при расчете процессов
^линейных цепях
В *
^2 1 Су»Дность преобразования Лапласа
отрим переходный процесс в схеме, приведенной на рис. 12.1.
Для решения задачи анализа переходных процессов требуется составить инте-
грально-дифференциальные уравнения. Применив, метод контурных токов, по-
лучим:
+ R3 )i, + (£, + L3 + R3i2 + ф = б1;
dt dt
Дзй +£3-^- + (Д2+Я, )z2+£3^: + 1 \i.2dt + uc(0)= е2.
dt dt С2 Jo
н°сти)е1иеНИИ 9T°'i снстемы уравнений встретятся по крайней мере две труд-
Ь^°Димо преобразовать уравнения к одному с одним неизвестным. В рас-
ваемом примере это будет уравнение третьего порядка
d3x d2x dx
а^-гТ + аг-хх: + с1.— + аих = b.
ц dt dt dt
^Вие И3 УРавнення исчезает вся информация о начальных условиях. Ре-
жет быть получено с точностью до постоянных интегрирования
2. С X = Хуст + Л. е"-' + А2е'* + А.ле™.
°пРедел °пРеДелить постоянные интегрирования Д, А2 и А3. Для этого через
zieij яемую величину х нужно выразить начальные состояния накоппте-
(.3 и иС2. Используя законы коммутации и знания о начальных токах
200
Глава 12. Применение интегральных преобразований r
-------------------------------------------------------— ИН“Ч J
и напряжениях накопителей, можно получить достаточное ночи
висимых уравнений для поиска постоянных. Понятно, что с ув ТВ°
сложности цепи (количества накопителей) трудоемкость решения с
но возрастает.
В теории функций комплексного переменного разработан такой способ
функций времени их изображениями, который позволяет избежать 3аК1еНв
ностей. Одним из таких преобразований является интегральное преоб
Лапласа. Здесь функции времени /(t) заменяются функциями комппек °&ailtlc
ременной F(p ) по формуле сн°й Не-
F(P) = $f(t)e-'Kdt,
О
где р = т + /г]. Это преобразование обозначается знаком «=»:
Я0=Г(р)
(функция f(t) — оригинал соответствует функции F(p) — изображению), или
F(p) = Z[/(0].
Познакомившись со свойствами этого преобразования, мы увидим, что оно по-
зволяет заменить систему интегрально-дифференциальных уравнений алгебраи-
ческими. Кроме того, в алгебраических уравнениях учитываются все начальные
условия, и при обратном переходе к функциям времени не требуется находить
постоянные интегрирования. Правда, возникает новая трудность — необходимо
выполнять обратный переход от найденного изображения искомой реакции цепи
к функции времени:
4 т()+) °°
7(0 = — \F(p)eptdp.
J r0-joo
12.2. Свойства преобразования Лапласа
Существование (то есть конечность) интеграла
F(P)= ]f(t)e~ptdt
о
в математике доказано при следующих условиях:
1) функция удовлетворяет условиям Дирихле;
2) функция равна нулю при t < 0, то есть
. (0 при t < 0;
/(О = *
\j(t) при г >0;
3) функция растет не быстрее, чем показательная функция времени
где М и а положительные числа.
201
еОбразования Лапласа
,Св0йсТВаПР
(2.2-
х приложениях’ в частности в электротехнике, п. 1 и 3 не проверя-
•гехЯ11чеС1<11^льНые сигналы в цепях и реакции этим условиям соответствуют,
так как Ре то это как раз такие функции, которые нужны при анализе пе-
цт'о касаеТСЯоцес’сов- Те токи и напряжения, которые существовали до момента
рехоДнь1Х учитываются в начальных условиях.
кОммУта заимная однозначность прямого и обратного преобразований: если
паЖна взап
далее некоторые из свойств преобразования Лапласа.
Привел Если оригинал умножается на постоянную величину, то изображе-
^еумножается на ту же постоянную, то есть если /(7)=Р(р), то Af(t)= AF(p).
Э свойство непосредственно вытекает из свойств определенного интеграла.
Свойство 2 Изображение суммы есть сумма изображений, и если
и f2(t)=F2(p), то Д (0 + /2(0=(Р) +F-i(Р)-
Это свойство соответствует свойству интеграла — интеграл суммы есть сумма
интегралов.
Свойство 3. Изображение постоянной есть опа сама, деленная на оператор р.
Действительно,
F(p)= $Ae-"‘dt =
О
= -{1-= -
ol Р J Р Р
Свойство 4. Найдем изображение производной. Дано /(0 = F(p), найти изобра-
жение f\t). Возьмем интеграл по частям
o{e",/(0}-J/(t)[-pe’"'A] = pf(p)-/(0).
° “ ' &> о ' X '
МенениНее °^Условлено тем> что е'" растет быстрее, чем f(t). Многократное при-
водной-6 ЭТ°ГО пРавила Даст возможность находить преобразование и-й произ-
/”(0=Р
^Ри нУлевых
начальных условиях
Р Р2
/(п о(0)
Р”
/'(t)-pF(p); /(п)(0=р'Т(р).
S’Uim
v!*111 со0тСВОЙСТво: Дифференцирование в области действительных функций вре-
^Юте1СТВуеТ умножению на оператор р в области изображений. При этом
Ся начальные значения функции:
/'(0=рР(р)-/(0).
202
Глава 12. Применение интегральных преобразований в ли
Свойство 5. Найдем изображение интеграла. Возьмем интеграл по
Частя,\1:
fe
» <11,
у-1
.-pi
о Р
о
и
Подстановка обоих пределов в первое слагаемое даст нулевые резут
/ Е1/ \
этому, если известно, что f\t)=F(p), то f
о
и,
^F(p)
Р
Получим свойство: интегрирование в области функции времени соответств
делению иа оператор р в области изображений. 'ет
Свойства преобразования Лапласа далеко не ограничиваются прнведенн
здесь. Но сказанного достаточно, чтобы понять, что если подвергнуть интеградь
но-диффсренциальное уравнение этому преобразованию, то оно превратится
алгебраическое. Действительно, дифференцированию в уравнениях по Кирхго-
фу соответствует выражение напряжения на индуктивной катушке
r di
и, - L —.
L dt
В области изображений UL{p) = pLI(p)-Li(0).
Интегрированию соответствует выражение для напряжения на конденсаторе
uc=-^\idf + uc(°Y
С о
В области изображений
7’С р
В дальнейшем там, где это ясно из контекста, изображения функций времени
Е(р), 1(р) и С(р) будем обозначать просто Е, I и U соответственно.
Приведем далее изображения наиболее часто встречающихся функции:
1. Изображение экспоненциальной функции f(t) = ет:
F{p)= \ecua-'"dt= 1--L_e-(e-n’'l=—J—.
о ol Р~а ] Р~п
так как по условию |/(г)| < Ме^.
2. Изображение синусоиды (при а = jtii):
1 z K.V -ЙИч 1 ( 1 1 С0
sincor = —(е7- е 7 ) = —------------= —-------л--
2j 2j \р - jus р + jw) р + со
3. Изображение косинусоиды:
cos со/ = -(е7™ + е-'“ ) = - f —— + —— ] =
2 ' 2 р - jeo р + jiaj р'+ со"
203
!2.3-
хгофа и Ома в опеРат°Рной форме
законы КирХГ
СКИХ электротехнических и радиотехнических справочниках обыч-
матемаТИЧ обстоятельные таблицы преобразований Лапласа, а также преоб-
$ япИВО^тсЯ1А1Г1Гону имеющих очень близкие свойства:
<р(р) = pjf(t)e " dt.
о
та.
таблицами, надо обязательно уточнить, о каком преобразовании идет
Пользу*^ преобразований по Карсону вместо таблиц преобразований Ла-
речь- Та • поль3оваться, если учесть лишний множитель р:
niaca мо»н
<р(р)= pF(p).
можно вернуться к примеру, приведенному в начале предыдущего разде-
ТеППреобразуя по Лапласу все функции времени, получим систему алгебраиче-
ских уравнений
(/Jj + Vi + pLi Т] - Ь] (0) + pL$Ii — L3ij (0) + R312 + pL3I2 — L3 i2 (0) — £\,
K3/| + рЕ3Ц - L3it (0) + (/?2 + R3 )I2 + pL3L> - £3/2(0)-i — + 6 = E->.
PC'2 P
Решая систему уравнений, получим:
Л = Л(р); i2=f2(p).
Способами, которые будут изложены в дальнейшем, по полученным изображе-
ниям найдем токи ц (t) и г, (0, причем сразу с учетом начальных условий.
12.3. Законы Кирхгофа и Ома
в операторной форме
Основная мысль изложения дальнейшего заключается в том, что можно, хотя бы
частично, перенести на схему электрической цепи процедуру преобразования Ла-
чений 3 Не пРео^Разова|П|Я Уже готовых интегрально-дифференциальных урав-
ии. Исходя из свойств преобразования Лапласа, в узловых уравнениях для
иных значений токов У iK = 0 можно без всяких оговорок заменить фуик-
времепи их изображениями:
„ £Мр) = 0.
"Ринццпе „ к
> нет ограничении и для записи второго закона Кирхгофа в таком виде:
. 5А-(р) = 2Х(р)-
Десь след к к
т°еСТь п ^еттолько быть внимательным при выражении напряжений через токи,
записи компонентных уравнений:
Uk(П = (°):
at
VK (О = -L j iK dt + UCK (0) UK (p) = + .
CK 0 pCK p
204
Глава 12. Применение интегральных преобразований в п
-------------------------------------------- -
Ус.1о.
При такой записи в уравнениях сохраняется вся информация о втч
виях ' ,ЬнЫх
Правила знаков, использованные при составлении уравнений, ничем
ются от тех, что применяли при составлении уравнений комплексный6 °TJIIl4a-
и на постоянном токе. '1 МегОдо^
Пусть контур, содержащий R, L и С, включен на напряжение U. уПа
временной области будет таким: ( Н1,е во
и = Ri + L —
и = Ri + L— + — [idt + ис (0).
dt С { с
После применения преобразования Лапласа
U = RI+pLI- Li(0) + — + ^^22.
PC р
Преобразуем это выражение к виду
Г и
I R + pL ч--— U + £г(0) —
I Рс)
»с(0)
Р
1 I
Здесь R + pL-\—— = Z(p) имеет характер сопротивления. Его гак и называют -
I Рс)
операторным сопротивлением (иногда обобщенным сопротивлением). Значит,
_ U + Li(0)-(uc(P)!P)
Z(P)
Структура у 7(р)та же, что и у Z(yco) — комплексного сопротивления. При нуле-
вых начальных условиях уравнения для расчета переходных процессов полно-
стью совпадают с полученными комплексным методом, если заменить усонар-
/ = -^.
Z(P)
Заметим попутно, что это можно сделать и формально математически, введя п
нятие комплексной частоты со = -jr + Т]. При такой частоте /со = т + /Л = Р'
При ненулевых начальных условиях при записи законов Ома и Кирхгофа
дый элемент, запасающий энергию (накопитель), с учетом начальных у •
выражается активным двухполюсником, что может быть отображено в и
мы в области изображений. Например, двухполюснику RLC (рис. 12—.
соответствовать эквивалентная схема, изображенная на рис. 12.2, б.
Здесь обязательно соблюдать правило знаков: ЭДС, учитывающая наЧ тОка-
условия в катушке индуктивности, направляется в сторону nPOTel<aK11qfl0.
а ЭДС, учитывающая начальное напряжение на конденсаторе, — встр
При последовательном соединении двухполюсников в операторной с*е‘ 06ifi11’*
щения после переноса всех источников в правую часть уравнения ы°
ток вынести за скобки.
nrba и Ома в операторной форме
U1J КИРхГ°Г________________________________________
ЗЗКОН^_——-
12^^^
„ьтате полУчим:
8рйУ
к к к К Р
205
последовательном соединении операторные сопротивления склады-
ва®тсЯ‘
2э(Рк)=Х^(р).
к
Рис. 12.2
При параллельном соединении, например, двух двухполюсников RLC, получим
общий ток
т_г , т _U + Liil(0)-(uCi(0)/p) U + L2i2-(uC2(0)/p)
ZJp) Z2(p)
Несмотря на общее входное напряжение из-за разных начальных условий, сум-
ел 06 напРЯЖение источников вынести за скобки нельзя. Поэтому не удает-
Понятие операторной проводимости. Только при нулевых начальных
2\О) Z2(p)
образом, понятием операторной проводимости Y(p) = —-— можно поль-
^атъея.е Z‘(p)
’ СЛИ До коммУтаЧии конденсаторы не были заряжены и по катушкам
^т°РНой °Сти не протекали токи. В соответствии с этим после составления опе-
У₽авцеи „Схеь1Ь1 замещения можно пользоваться всеми методами составления
т%в. j^e ’ Мет°дом составления уравнений по Кирхгофу и методом контурных
^1ИаЛо^Годь1> гДе применяются проводимости, наподобие метода узловых по-
’ Чадо применять с осторожностью.
206
Глава 12. Применение интегральных преобразований R г
--------------------------------------
12.4. Переход от изображения к оригиналу
Непосредственно обратное преобразование (интеграл Бромвича)
♦ То +./<х'
= ~ \F{p)e'”dp
из-за его специфики применяется редко. Обычно пользуются готовыми
ми или теоремой разложения. Расширить возможности таблиц помогут Л,11й'
о смещении (запаздывании). е°Ремы
Теорема о запаздывании. Дано: равенство /(г) =F(p).
Требуется определить изображение функции 1(Г - tx )J(t - ). то есть фу
совпадающей по форме с исходной, но сдвинутой во времени па г, (р11С
Это можно записать как
FAp) =
l\
Введем переменную т = t - где dt = dt, t = т +Интеграл примет вид
Л (Р) = j/(т)е’р(1+'' ’Л = е-п \f{T)p-'nch.
о о
Таким образом,
/(/-/, )=£-'"'£(/;).
✓
то есть изображение функции, смещенной во времени на 1Л, равно пзо’1‘
исходной функции, умноженной на е-'"1 .
Обратная теорема. Дано-, равенство f(t)=F(p).
•j ‘C
Определить f, (?) =F(p + а), то есть смешение изображения на коми.к
)2 4 переход от изображена к ори^лу
^но записать:
F(P+a) = jf([)e^^ ~
о lr^J]e~"‘A
h </)
207
огсюДа видно, что изображению F(p + a) соответствует оригинал:
/1(0=е’я7(0-
рассмотрим несколько примеров использования этих теорем.
Пример 12.1. Через цепочку RL пропускается прямоугольный импульс (рис. 12.4).
Такой импульс можно выразить аналитически:
— есть суммой напряжений одинаковой величины, но
~ время импульса).
тоесп>ч'"“—
сдвинутых во времени на Г,
Изображение этой суммы:
U(P) = —- — е~р‘
Р Р
Изображение тока по закону
1-е
= U—------.
Р
Ома имеет вид
Рис. 12.4
U _ 6/(1 - e~"f" ) U Ue~’”"
Z(p) p(pL + R) p{pL + R) p(pL + R)
Первое слагаемое выражения (12.1) можно представить в виде
_ f ‘
U _и L 1 ! 1
p(pL+R) ~ R ( R)~ R р R '
рр+- м р + -
\ LJ V L )
В св°ю очередь,
U 1 . U U 1 J R} .U -(f)'
Rp R R R Г L) ‘ R
Bto
соотВегСЛагаемое выражения (12.1) отличается от первого множителем , что
Г вует функции /(т - ). Поэтому для первого слагаемого
О при t < 0;
й(ОН U
’’’•ЧМО
^(1-е-(/(/£)')при6>0,
г2(6) = 1
0 при t < i„;
^(l-g-(,VL)<'-',’)) при t>t„.
R
208
Глава 12 Применение интегральных преобразований
Сложив оба тока, г\ (i) и г2(Г), получим:
i — + 1'2 —
О при t < 0;
^(1-е’(/г/Л),)при 0 </ <£,;
)е-(йД)«-<„) npH;>fh
График такой функции изображен на рПс i2-
Полученное значение можно объяснить
После включения напряжения ток за Время
возрастает по экспоненте до значени"
к
После выключения напряжения при t = t
по экспоненте будет спадать до нуля, начиная
со значения — (1 - e~WL)t“ ).
R
Пример 12.2. Рассмотрим включение цепи RLC на постоянное напряжение при
нулевых начальных условиях.
По закону Ома в области изображений
U U
(п г И
р\ R + pL+ —
I Рс)
R
Преобразуем это выражение и обозначим —
U 1
L 2 R 1
р + — + -
L LC
pZ(p)
= 8, — = WZ, ct>o-82= а2, откуда
LC
получим:
и
L
1
|2 + — - —
I LC 4L‘
со
L со(р + 8)2 + ю2
R
р +—
21
4- 8)
Получим функцию, соответствующую изображению, но не от р. а от (Р +
теореме о смещении в области изображений
II
i(t) = —е 6< sin сот.
<т>£
Полезно также знать формулы
lim/(i) = limpF(p); = limpF(p)-
t—>0 р—ъ°° t—*°° p—>0
Первая из них служит для вычисления начального значения фупкцпи^лп
бражеиию, а вторая — для нахождения ее установившегося значения. -
принимается в смысле t = +0.
-э ее 1'^
. ВреМяГ"
209
- изображения к оригиналу
азлоЖении- Докажем эту теорему для частного случая. Пусть в ре-
^pgjua 0 Р^раических преобразований получено изображение в виде рацио-
* -1ьТате г (в которой степень числителя меньше степени знаменателя):
>ЙДР 1 P(p)=-G<P)
Н(р)
гм что уравнение Н(р) = 0 не имеет кратных корней и корней, рав-
рреДП°ло м£(р) = 0. При этих условиях многочлен можно разложить на про-
^япиГдроби:
Л, t Л
А,
Н(р) p-Pt Р-Р2 р~р„ к^р-рк
гтепень полинома Н(р); рк — корни уравнения Н(р) = 0.
где и " v
умножим обе части равенства на (р - рк ):
С(Р)(Р-Рк)=(
Н(р) ЗЙР-Рк
Поскольку рк — корень уравнения Н(р) = 0, в левой части уравнения при р —> рк
О
получим неопределенность типа -; при этом все слагаемые в правой части урав-
нения, кроме К-го, будут равны нулю. Раскрывая неопределенность, получим:
С(Рк) _ А
— •
Н'(рк)
Таким образом, получим выражение для определения коэффициентов Ак в раз-
биении на простые дроби. Конечно, при этом сначала надо взять производную
(Рк),азатем подставить п - п...
g 1 1 А
1°жеиияТаТе ПОЛУЧИМ выражение, иллюстрирующее формулировку теоремы раз-
F(n)= G(p) — у ^(Рк) 1
W) ^Н\рк)р-рк
КалцЮй простейшей дроби получаем оригинал:
Ак ~АкеРк‘.
3Ra, Р - Рк
I
Ригинал функции F(p) можно выразить следующим образом:
1 /(0= £ G(Pk) е"^.
Ктео)
| ^’’Чкй ₽СМа Имеет два частных случая.
лУчай 1 Пусть р{ = 0, тогда
у ^(Рк) с.
hH'(pK)
210 Глава 12. Применение интегральных преобразований в п
ЛИНеЧх
Если в цепи включен источник постоянного напряжения пли тока, то
гаемое выражает установившееся значение искомой реакции. *
Частный случай 2. Пусть Н{р) - 0 имеет пару чисто мнимых корней
тогда: ' P12==±j(o
f(о = eJ<* + е-^' + у е,ч
H'(jd)) Н\-ja>) к^Л Н'(рк)
Если в цепи включен синусоидальный сигнал, то первые два слагаемых
зуются и синусоиду и выражают установившееся значение реакции Heni
На практике преобразование Лапласа применяют для анализа нерехотцЫх
цессов в сложных цепях. Однако и некоторые простые задачи получают в/
решение, когда непосредственно по виду преобразований функции можно cv *
о реакции цени.
По схемам, приведенным на рис. 12.6, а, определим изображения напряжений
U2(р) но известному изображению входного напряжения Р, (/>):
r + JL RCp + ]
рС
Если постоянная времени т = RC мала, то слагаемым RCp можно ||1)С1,е0^наЧ-
сравпению с единицей. В результате получим U2{p) = RCl^ (р)р< чт0 Ра
во операции дифференцирования в области функций времени.
Аналогичный результат дифференцирования получается для схемы, изо»
ной на рис. 12 6, б. при малых постоянных времени т = £/R'
U2(p) = ^yPL = P^U,(P>.
R + pL R
Рис. 12.7
и интегрального преобразования Фурье
211
зОбражены несколько иные схемы, называемые интегрирующими
рис-‘^„м эффект интегрирования. Для схемы, приведенной рис. 12.7, а,
2 R+ 1 рС RCp + 1
рС
Пр1, больших
постоянных времени
1Д(Р) =
(£) 1
RC р’
схемы, изображенной на рис. 12.7, б.
Д.1Я
U2 {р) =
R+ pL
При больших постоянных времени
L р
В обоих случаях наблюдается эффект интегрирования функции времени. Такие
цепочки широко используются в аналоговых вычислительных машинах.
12.5. Особенности интегрального
преобразования Фурье
Интегральное преобразование Фурье широко применяется для анализа частот-
но-избирательных устройств. Его можно считать частным случаем преобразова-
лия Лапласа. Если предположить, что р = jco, такое преобразование можно вы-
разить формулой
F(7’co) = J/(t> ^dt.
Jl
31014 обратное преобразование
1 “
* Ней Пред^°^Ь1 ФУНКШ[П / (О существовало прямое преобразование Фурье,
сЧетв являются жесткие требования: /(7) —> О при t °о, ЧТо, в конечном
Пред
пределяет конечность интеграла Г|/(г)|гЙ.
”14ec,toi"1 ФоРмЬ1НТеГраЛЬНуЮ фу,,кш1ю обратного преобразования в тригономет-
F(7W’' = FCco^^’e^ = Е(со)еЛш,+а(ш)' =
= F(c£>)cos[cd£ + а(со)] + jF( co)sin[coZ + а(со)].
212
Глава 12. Применение интегральных преобразований в п
---------------------------------------- - is*.
Чч.
Интегрированию первого слагаемого на интервале от до +<*> соответ
военный интеграл на интервале от 0 до <», так как косинус — Функи Уд
Интеграл от второго слагаемого вследствие нечетности функции си Чег?1^
нулю. В результате интегрирования получим: Са Ра^
1 °°
f(t) = — jF(ct>)cos[c£rf + а(с£))]</с£>.
71 о
Это соответствует суммированию гармонических составляющих с
лыми амплитудами:
бесконечно
F(со) ,
аа>.
п
Такое представление преобразований по Фурье функции дает возможность
лучать оригинальную функцию путем численного интегрирования. Кроме того
в преобразовании Фурье фигурируют функции, которые можно получить экспи
риментально:
□ Е(св) — амплитудно-частотный спектр (сплошной, так как функция неперио-
дическая);
□ а(со) — фазочастотный спектр;
□ Z — знакомое нам по комплексному методу расчета сопротивления,
Z(yco) = Z(co>'a(ra),
с той лишь разницей, что это функция от со, а не комплексное сопротивление
цепи для конкретной фиксированной частоты.
Это все преимущества преобразования Фурье. Его недостатком являются упо-
минавшиеся ранее дополнительные требования абсолютной интегрируем0
функции /(f).
Пример 12.3. Определить требования к цепи для неискаженной передачи сигна»
В области функции времени это означает, что возможно изменение масштаба^
нала и задержка во времени. Обозначив входной сигнал /,(<), а входной
получим:
/2(0 =
В области изображений это будет выражение
Е2 (у<о) = kFt (yco)e'7m'n.
Отсюда будет получена передаточная функция
Г(у{о)=^^ = ^".
Л(»
, 'Л
12.8^
Из этого соотношения можно сделать заключения:
□ система может быть реализована на чисто резистивных цепях:
□ система может быть реализована по схеме, изображенной на Р" ‘
Z, (усо) = Z-2 (уев), тогда k = 1/2, t0 = 0.
задачи
213
Рис. 12.8
ию в широком диапазоне частот такое согласование может быть реа-
К только приблизительно.
шзовано
Контрольные вопросы
! Что такое преобразование Лапласа?
2 Каковы основные свойства преобразования Лапласа?
3 Какие упрощения обеспечивает применение преобразования Лапласа при ре-
шении задач анализа переходных процессов?
4. Что такое операторная схема замещения? Операторное сопротивление?
5. Как учитываются начальные условия в операторных схемах замещения?
6. Как пользоваться таблицами преобразования Лапласа? В чем особенности пре-
образования по Карсону?
7. Как практически решается задача поиска оригинала функции по его изобра-
жению?
8- В чем состоит сущность теорем о сдвиге в области функции времени и в об-
ласти изображения?
[9- Как применять теорему разложения?
преимущества и недостатки преобразования Фурье по сравнению
преобразованием Лапласа?
К°нтРольные задачи
э
адачи> приведенные в главе
10, операторным методом.
Глава 13
Основы синтеза линейных цепей
13.1. Проблемы синтеза
В начале курса задача синтеза определена как поиск системы, отвечающей задал
ному соотношению «возмущение — реакция». В процессе решения задач анализа
неоднократно было показано, что в зависимости от характера сигнала (возмуще-
ния) существенно меняется описание системы. Для двухполюсника при посто-
янном напряжении в установившемся режиме соотношение «сигнал — реакция»
определялось эквивалентным резистором — R, при синусоидальном воздейст-
вии — комплексом Z, при импульсном воздействии — частотной характеристи-
кой — Z(jco). Аналогичная характеристика в виде линейчатого спектра применя-
лась при периодических возмущающих воздействиях. Непериодичпость функ-
ции возмущения требовала применения комплексной частоты, что приводило к
преобразованию Лапласа, и функция выражалась в виде Было установле-
но, что если иметь дело с нулевыми начальными условиями, то схему можно ха-
рактеризовать проводимостью Y(p). Применяя такие характеристики двухполюс-
инка, задачу анализа можно записать примерно так:
I(p) = Y(p)U(p).
Следовательно, задача синтеза двухполюсника может быть математически сфор-
мулирована одним из выражений:
У(р) =
Z(p) =
Если же речь идет о функциях возмущения и реакции, для которых существует
преобразование Фурье, то можно задавать задачу в виде требования реализовать
систему, имеющую комплексное сопротивление Z( /со) или проводимость 1 (./^
заданные в широком диапазоне частот.
Если задание па синтез сформулировано во временной области, го. учитывав
связь между временными и частотными характеристиками, можно получи ть Р
шение в виде преобразований Фурье пли Лапласа:
F(jto) = /У(Г)е ^dt
О
или
F(p) = ]f(O<J'"dt.
О
При необходимости применяются и обратные преобразования.
— = Г(7^):
U(p)
215
Проблемы синтеза
----------------
„сТе с тем к проблеме синтеза подходят и несколько с другой стороны. Вво-
„гя понятие обобщенного сигнала типа
i, = /е" или us - Ее".
^есъ! и Е — комплексы токов и напряжений; s — комплексная частота (сравни-
с выражениями для токов и напряжений при комплексном методе: i = ie11'11;
Конечно, это математическая абстракция. Но от нее, применяя обратные преоб-
азования Фурье и Лапласа, всегда можно перейти во временную область. Ли-
лейная комбинация такого рода сигналов образует множество практически зпа-
чймых функции. Например, при s = 0 получаем постоянные токи и напряжения,
сумма двух функций, EeJD* и Ее"''"', даст синусоидальную функцию и т. д. После-
довательное изложение свойств этих функций приведет пас, как и при комплекс-
ном методе анализа цепей, к применению всех изученных методов анализа цепей
(уравнения Кирхгофа, закон Ома, методы контурных токов и узловых потенциа-
лов и т. д.), основанных на принципах наложения (суперпозиции).
Следовательно, двухполюсник можно задать в виде передаточной функции Z(s)
или K(.s), образованной из преобразования Лапласа или даже из комплексного
метода Z(yco), придавая со смысл комплексной частоты. Так, при последователь-
ном соединении элементов R, L и С отношение обобщенного сигнала (Ее'1) и ре-
акции (/е“ ) получится следующим:
Ее" 1
Z(s)==^- = R + sL + —,
Те" sC
а при параллельном —
1
У(х)= G + —+ sC.
sL
Если обобщенный сигнал воздействует на сложный двухполюсник, то, опреде-
ляя систему уравнений методом комплексных токов, получим в матричном виде:
ZKIK=EK.
р
еШением относительно входного тока при единственном входном возмущении
** будет выражение
Т = 7~'F
1 еХ '-К
’Иачит,
T(s)—ZK'=^TL-Y(s').
Л,
Ко
вечно, можно задать передаточную функцию в виде Z(s) - 1/T(s).
,, Решается первая проблема синтеза, то есть получен ответ на вопрос: как
^°Рмулировать задачу?
к/Рая проблема синтеза заключается н вопросе: можно ли решить задачу имею-
Ю1Ися средствами? Эту проблему называют проблемой реализуемости. Прежде
216
Глава 13. Основы синтеза
---------------------линей.
чем приступать к решению задачи, надо убедиться, что такое решение
ет. Задача решается при помощи изучения свойств пассивных линейнь^11®01-»
люсников. Сопоставив свойства реализуемых двухполюсников с зада
темной функцией, мы можем ответить на вопрос о реализуемости пеп Н°И Не-
системной) функции. В нашем случае мы ограничены в средствах: решаек
синтеза поиском схемных возможностей реализации заданной системной
ции набором линейных элементов R, L, С, М. 11 Функ-
Третья проблема синтеза — это проблема реализации, то есть задания такой
матической процедуры, которая указала бы путь создания хотя бы одной МаТь
обладающей заданной системной функцией Z(s) или T(.s). СХемч
Анализ линейных цепей приводит к однозначному результату: для любого
ного двухполюсника при заданном возмущении существует однозначная пеаТ*
В задачах синтеза дело обстоит по-другому. В этом случае, как правило, сущестВу
ет множество схемных решений, приводящих к одному и тому же результат,
Например, при анализе переходных процессов мы рассматривали интегрирую,
щие и дифференцирующие цепочки, которые одинаково преобразуют исходную
функцию при разных схемных решениях.
Отсюда возникает четвертая проблема синтеза — проблема оптимизации, то ет
выбора решения из множества допустимых. Эта задача в рамках теории цепей обьп
но не решается, так как существенно зависит от критерия оптимизации. Можно было
бы поставить и решить задачу оптимизации по критерию минимума элементов. Но
этого, как правило, недостаточно, и, в конечном счете, применяются критерии тех-
нологические и экономические. Например, упомянутое ранее преобразование мо-
жет быть решено в виде RC- или А’/.-цепи. По технологическим возможностям
микроэлектроники предпочтение надо отдать .КС-реализации.
Таким образом, из четырех проблем синтеза:
задания функции;
реализуемости;
реализации,
оптимизации
° y пас^*5
далее будут рассмотрены две (вторая и третья), и только для линейны
ных цепей.
13.2. Свойства системных функций Z(s) и
Как указывалось ранее, входное сопротивленце и входная проводим0 $$$0^
ются как частное от деления двух определителей, элементами которЫ-
= В-к + ^ks + 77 •
Cks
□
□
□
□
В результате получается дробь
w5 = Q^n + + +gi5 + go =
W br,!s"'+bl„<sm-' + ...+bis + b(, H(s)
217
(13.2)
гтемных функций Z(s) и Y(s)
13.2’C
математики, такую функцию комплексной переменной S можно
К^^иТьвБИДе
= к (s~sni )(s-s„,)-(s~^)
(S"Snl )O-Sn2) - (S-5nm)
if, — масштабный множитель; snk — нули функции, то есть корни
где К = °” - 0; snJ, — полюсы функции, то есть корни уравнения H(s) = 0.
ура»йеН11 вОПрОс о реализуемости функции комплексной переменной мы смо-
ОтветИТЬ ^нзцровав следующие ее свойства:
м(СМ, пр
и полосы функции двухполюсника, нанесенные на комплексную плос-
1. Нули лежат в правой полуплоскости, то есть полученные корни snk- о|1К +
+Х и а"К + А'к ИМеЮТ °к - °’
Это утверждение доказывается следующим образом. Допустим, мы анализи-
руем функцию Z(s) = Уравнение G(.s) = 0 является характеристическим
уравнением, соответствующим дифференциальному, которое описывает пере-
ходный процесс. Корни уравнения sK - + ;т]А. (в частности, г] А = 0) опреде-
ляют свободную составляющую переходного процесса Хс - ^АкС5к'.
Но свободная составляющая любой пассивной цепи может только затухать.
В крайнем случае, в цепях без потерь это будут незатухающие колебания. Это,
в свою очередь, означает, что оА < 0.
Проведя те же рассуждения для У(х) = где характеристическому уравне-
G(s)
нию соответствует H(s)= 0, мы придем к тому же результату. Таким образом,
и нули, и полюсы системной функции пассивного двухполюсника, которые
могут быть вещественными или комплексными, обладают свойством R,,{sK} <0,
что Доказывает выдвинутое утверждение.
Комплексные КОрНИ попарно сопряженные.
фикцию комплексной переменной можно представить в виде T(s) = V(a; Т|) +
Вто(? если5х= + Лк ~ корень, то У(оА; Т]А.) = 0 и 1У(ок; Т]А-) = 0.
j е время T(s) = V(a; Т])-jW(a; р), поэтому, если sK — корень, то
~ ~ Л1 а также является корнем.
того ^Нимь1е корни не должны быть кратными. Это утверждение следует из
Т° П?И Решенин задачи о переходном процессе для кратных чисто мни-
Функцв £И использоваться слагаемое /ksincot, то есть синусоидальная
НЫ\ пр С амплитудой, бесконечно возрастающей во времени, что в пассив-
4 пях невозможно
^Пряжен
ные корни как в числителе, так и в знаменателе дадут произведение
^Яду + ~Лк) = ^-скУ +Пк-
еК1 вЬ1воС УТвеРждением> что действительные корни отрицательны, мы сдела-
0:? Что в числителе и знаменателе системной функции (13.2) не содер-
Рицательных чисел. При переходе к форме (13.1) это даст только по-
2.
3.
4.
218
Глава 13. Основы синтеза линейных
ложптсльные коэффициенты ак иЬк (конечно, при положительных
Такие полиномы получили в математике название полиномов Гурвица.
С).
Степень полинома числителя — п и степень полинома знаменателя -
г lie
могут различаться более чем на единицу.
Входное сопротивление образуется (по методу комплексных токов) из м;
7 7 7
Z.n Z,|2 ... Z.1/;
7 7 7
Z.2( z-22 ^-9»
1тРНЦц
7 7 Z
^nl nl *-nn
Здесь Z(s) =---, где A — определитель матрицы, аДи — дополнение этого
Аи
определителя. Значит, старший член каждого определителя образуется как
произведение элементов
ZKK=RK + LKs + ^ = ^^/C)t
хСА х
причем разница только на один сомножитель
Z-цХ + 7?цХ + (1 С„)
Здесь возможны варианты:
О £н = 0; Rit - 0; Си * 0 — степень знаменателя на единицу больше степени
числителя;
О £.ц = 0 — степень числителя и степень знаменателя одинаковы;
О £„ 7 0 и Rti 7 0 — степень числителя больше степени знаменателя.
Остальные возможные варианты не дадут другого результата.
6. Двухполюсник без потерь (то есть состоящий только из элементов £ 11
в числителе содержит только четные степени х, а в знаменателе — только не
четные, или наоборот.
Действительно, для двухполюсника, состоящего только из реактивных эл
ментов, входное сопротивление должно быть мнимым при х = усо:
Z(yco) =
£(>)
При этом если G(y’co) мнимо, то — вещественно и если С’(усо) нет
но, то Н(усо) — мнимо.
При х = усо многочлен может быть вещественным, только если все сто,
четные, а мнимым, только если все степени х — нечетные. Значит, это
icHll>
СВО1*СТ
во выражает признак реактивного двухполюсника.
Как следствие, надо заметить, что один из нулей или полюсов, распол0^
пых на оси мнимых чисел, находится в начале координат. ДействитсльН0*
реализация разложением на простые дроби
--------
219
। вухполюсника, содержащего только нечетные степени х, можно вынести х за
скобки, и. следовательно, х = 0 обязательно будет корнем либо числителя
(ноль), либо знаменателя (полюс).
jjyjin и полюсы чисто реактивного двухполюсника чередуются. Это объясня-
ется тем, что сдвиг по фазе между током и напряжением может быть только
+л/2- В каждой точке резонанса (ноль или полюс) происходи! изменение
фазы от + л/2 до - л/2 или от - л/2 до + л/2.
Два нуля или два полюса подряд означают, что эта пара образует сдвиг по
фазе на +л, то есть ток и напряжение будут находиться в противофазе, что ха-
рактеризует активный двухполюсник. Это противоречит свойствам пассивно-
го двухполюсника.
7 Если цепь содержит только один тип накопителя (цепи RC или RL), пули
и полюсы лежат на отрицательной вещественной полуоси. Это объясняется
невозможностью возникновения в таких цепях даже затухающих колебаний.
В математике функция, обладающая перечисленными свойствами, получила на-
звание положительной вещественной функции комплексного аргумента. Кратко
ее свойства записываются так:
Re{Z(x)} > 0 при Re(x) > 0;
Im{Z(x)} - 0 при Im(x) = 0.
Сопротивление реализуемого пассивного линейного двухполюсника должно об-
ладать свойствами положительной вещественной функции комплексного аргу-
мента. То же самое, как показано в свойстве 1, относится и к проводимости
Re{lz(x)} > 0 при Rc(x) > 0;
1т{У(х)} - 0 при Im(x) = 0.
13.3. Реализация разложением
На простые дроби
ПРИ выражениях системных функций с конкретными числовыми параметрами
8(110 столкнуться с тем, что активные, емкостные и индуктивные сопротивле-
В отличаются друг от друга на несколько порядков. Это создает определенные
/Удобства. Для того чтобы избежать их. расчет выполняют в относительных,
^Мированпых величинах Вводится нормирование по сопротивлению, то есть
„ с°противлеппя уменьшаются в Ro раз. а также нормирование по частоте, уве-
jlp^I1BaiOLLlee индуктивное сопротивление и уменьшающее емкостное сопротив-
вд^е в s<> Раз- Если применять одновременно оба нормирования, то R, L и С
К°РмУлах будут заменены в соответствии с равенствами
= L,=L-^; Си = СДохо.
®есь R„, Lu, С „ - соответственно нормированные сопротивления, индуктив-
F и емкости (нормированные параметры безразмерны). Решение при этом
220
Глава 13. Основы синтеза
----------- - али^йн
будет получено в нормированных параметрах. Для пересчета в
‘"“ТИННк,
метры надо использовать равенства "Ые
D
R=R„R0; L = LH-^; С = -^_.
и с Р с
/У0Л0
Например, если сопротивление выражено в килоомах, индуктивное
емкость в микрофарадах, то удобно применить выражения /?( = в ГеНрц
В этом случае при нормировании емкость увеличится в 10(i раз, инду’ ° аЮ’
не изменится, а активное сопротивление уменьшится в 103 раз. IBli
Метод разложения на простые дроби основывается на следующем по
разбиение системной функции сопротивления на два слагаемых равнознач
следовательному соединению двух двухполюсников с соответствующими
ными функциями (рис. 13.1): СИстем-
Z(s)=Z1(s) + Z2(s).
Рис. 13.1
Если функция выражает проводимость, то такое представление системной функ-
ции равнозначно параллельному соединению двухполюсников (рис. 13.2).
У(х) = У1(х) + У2(х).
Рис. 13.2
Простые дроби, на которые надо разбить заданную системную «функцию,
схемная реализация представляется очевидной, — приведены в табл. 13-
Таблица 13.1. Реализация простых слагаемых
Продолжение jP'
222
Дчя определенности рассмотрим процедуру разложения на простые слагаемые
системной функции реактивного двухполюсника. При изучении более сложных
случаев надо обратиться к специальной литературе. Функция должна содержать
в числителе только четные степени х, а в знаменателе — только нечетные, или на-
оборот. При этом степени числителя и знаменателя различаются па единицу.
Разложение такой функции будет иметь вид
s х - Хд
Коэффициенты вычисляются следующим образом:
v)
G„=lim——; lim[sZ(s)]; Лк= lim [Z(x)(x - хк )|,
*-*” 5 >-»0 нц.
Ч|кто ^'° УСЛОвиям задачи реализации чисто реактивного двухполюсника)
пара к Н1*мь1е K0PiHi многочлена знаменателя — попарно сопряженные. Каждая
°Рней даст в результате сложения
_ Ai:__+ АК = 2ЛдХ
п 5-ДПа- ч + уц s2 + n2'
03r°MyDa4n .
ожению (*) соответствует схема, приведенная па рис. 13.3.
Рис. 13.3
^^тепе
ёЬь 3 ень Числителя меньше, чем степень знаменателя
L енателя четная.
, то й„ = 0; <70 = 0, когда
224
Глава 13. Основы синтеза ли '
Разложение функции на простые дроби в случае, когда Двухполюсццк
активные сопротивления, приводит к появлению комплексных KopiJef
на оси мнимых чисел. Последние реализуются RC- или ^-цепочкак **
плексные корни соответствуют колебательным контурам с затухание^'11’ а
Рассмотрим несколько примеров реализации системных функц: щ
Пример 13.1. Задана функция сопротивления
s5+6s3 + 8s _ s5 + 6s3 + 8s _ 3/2s 1 /2s
s4 + 4s2 + 3 (sz + l)(s2 + 3) sz + l sz + 3'
В соответствии с табл. 13.1 получим схему (рис. 13.4).
Пример 13.2. Дан двухполюсник с той же системной функцией, что и в приме-
ре 13.1, но заданный входной проводимостью
t _ s4 + 4sz + 3 _ a, a2s + a3s _ 3/8 + 1 /4s 3/8s
Z(P)- s5 + 6s3 + 8s _T + s42 + s2 + 4 ” s +s2 + 2 + s2 + 4
Его схемная реализация (рис. 13.5) описывается
функциями
В литературе эти приемы реализации полу411'
звание первой и второй форм Фостере.
13.4. Реализация по Кауэру вНОй
Реализация по Кауэру основана на представлении функции в
дроби. Особенно удобна она для реализации двухполюсников без
ставим, что степень числителя больше, чем степень знаменателя. ^оКазацй0>1
литель на знаменатель, получим частичную реализацию в виде, п
рис. 13.6:
Z{s) = Kts + -4
, пет иметь степень знаменателя больше, чем степень числителя, поэто-
рстаток У у _ опять будет иметь степень числителя на единицу
му ФУНстепени знаменателя и в ней делением многочлена на многочлен можно
°°ЛЬВить слагаемое K2s (рис. 13.7), соответствующее проводимости:
Z(s) = K,s +-----Ц—
K.,s +--—
Z2(s)
Если рассматривается двухполюсник без потерь, реализуемый только элемента-
ми L и С, то такая процедура должна закончиться делением без остатка и, следо-
вательно, реализацией в виде лестничной схемы.
Пример 13.3. Проследим процедуру образования непрерывной дроби. Функцию
возьмем ту же, что и в примере 13.1. Разделив числитель на знаменатель, полу-
чим s и в остатке 2s3 + 5s. Теперь знаменатель надо разделить на остаток, полу-
чим-s и остаток. Продолжаем в удобной записи:
S5 + gs3 + g5
s5 + 4s3 + 3s
s4 + 4s2 + 3
s4 + 4s2 + 3
s4 +|s2
2s3 + 5s
у (О
226
Глава 13. Основы синтеза ли '
*ЦеЧ
В результате получим дробь
Z(s) = s + ----Ц------
2S + 4 1
3X+S+T
2 1
-5
3
что соответствует схемной реализации (рис. 13.8).
Пример 13.4. Если в предыдущем примере деление начать с млад.. степеней!
получим:
3 + 4s2 + s4 8s + 6s3 + s'1
7 , 5 ,
— s2 + —s4
4 8
32
7s
7 2
— s2
4
49
88
49
88s
22 _
— s3
7
22 ,
— sJ
22-44
21s
3.^
44
Конец
3
— s
44
227
цоНТР"
TBeiствует проводимости, должна получиться схема с теми же
час10
x 2 1
17',= бГз2 i~
7s 49 1
88s + 22-44
21s
1
jr
44s
Схемная реализация
приведена на рис.
13.9.
В приведенных примерах разными способами реализовывался двухполюсник
с одними и темп же свойствами.
Из примеров видно, что любой из описанных способов реализации дает одно и то
же (минимальное) количество элементов, а номиналы последних и схемы их со-
единения получаются различными. Поэтому при выборе решения надо базиро-
ваться на особенностях конструкции элементов (вес. габариты, стоимость) и тех-
нологии их изготовления.
^То такое системная функция?
вите главные свойства системной функции реализуемого двухполюсника.
°вы признаки системной функции для двухполюсника без потерь?
g положительная вещественная функция комплексного аргумента?
сущность нормирования параметров?
системные функции для простых двухполюсников?
Г1г. —** сложный двухполюсник в виде последовательного сосдине-
'Р°стых?
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
6 Как,
7. v
Нця "1>(дстагзить
8 Простых?
Как предст
о ПростЫх7 авить сложный двухполюсник в виде параллельного соединения
1Г[
тавить системную функцию в виде цепной дроби? Как использо-
представление для реализации функции?
228
Глава 13. Основы
с"н,иа~<«ч
Контрольные задачи
13.1. Для данной схемы определить системную функцию Z(s).
3/2 1/6
2/3 2
13.2. Проверить возможность реализации функций
Z[(s) =
52+5 + 2
5+1
Z2(s) =
52+25+1
52
13.3.
13.4.
Реализовать функцию, полученную в задаче 13.1, представлением в виде
ценной дроби.
и 55+653 + 85
Реализовать функцию Z(s) = —-----5----представлением в виде суммы
5 + 45 + 3
простых дробей.
Часть II
Нелинейные
электрические цепи
и электрические
машины
Глава 14
Нелинейные электрические цепи
Нелинейные электрические цепи — это объект изучения неско 1111<11Х ,
радиоэлектронного цикла. В настоящей главе мы лишь познакомив l'llIClllln-'1iiii
нологией, некоторыми приборами, применяемыми в электроэпергстн С ТеРХ111-
ройствах, и приемами анализа сравнительно простых схем. ”х)сг-
Вообще говоря, интегрально-дифференциальные уравнения, опнсываюпш
ношение «возмущение — реакция системы» справедливы для любых neneijC°°T
нако зависимость параметров R, L и С от токов или напряжений делает
нелинейной. В ряде случаев решить уравнения для таких цепей возможно*0^
ко приближенно. Появляются неоднозначные решения, искажаются формы”^
вых тока и напряжений, появляются неустойчивые режимы и г. д. Многие®
ления, возникающие в нелинейных системах, находят практическое применение
в технике и изучаются в спецкурсах.
14.1. Характеристики нелинейных элементов
Нелинейной называется цепь, содержащая хотя бы один нелинейный элемент
Нелинейный элемент — это элемен т (7?, L пли С), параметры которого на плоско-
сти и, i выражаются некоторой кривой, которая, как правило, определяется экс-
периментально и называется вольт-амперной характеристикой. Учитывая извест-
ную из физики зависимость, возникающую в случае включения is цепь нелиней-
ных индуктивностей (катушки с ферромагнитным сердечником), нелиненнш
элемент задастся вебер-амперной характеристикой (В = J(HY).
При включении в цепь нелинейной емкости нелинейность может характерно
ваться кулои-вольтиой характеристикой (су = /(»)). С точки зрения физич
явлений в элементах параметры не обязательно зависят от тока пли 11;111РЯ1111ТЯо-
непосредственно. Они могут зависеть от температуры, напряженности м<
го поля, светового потока и т. д., которые прямо не связаны с сигналам11 Р пВ.
ривасмой цени. Нелинейность источника тока или напряжения ооьгню
сывается внутренним сопротивлениям, индуктивностям или емкостям-
Различаются статические и динамические характеристики элемент11 э.
скнх цепей. Например, на рис. 14.1, а изображена примерная CTin II4CCI^.IiOij да»1'
амперная характеристика электрической дуги (например, лю.мипегн1 с пУ1*1
пы), снятая при синусоидальном напряжении низкой частоты. ^з^
тока (дуга не горит) дуговой промежуток при подъеме иапряжп"1
ст значительное сопротивление. Затем при лавинной ионизации 1 ‘*”icTCa гф°,1С
резко падает, и при малом сопротивлении ионизированного пропР1
ходит снижение напряжения. Tc>|(,t
... ког™ qkT|r
Рисунок 14.1, б характеризует ту же дугу при повышенной част»1 цра
ратура дугового промежутка не успевает упасть. Весь процесс iUL1
чески одинаковом сопротивлении.
. .г-,лmhpиных элементов
Рис. 14.1
231
• т-амперным характеристикам определяют статические и дифферент!-
По ВОЛ _ 4 / Q
ie сопротивления. На рис. 14.2 приведена вольт-амперная характеристика
которого нелинейного элемента. Режим работы элемента определяется точкой
на характеристике. Пусть это будет точка А.
Отношение — _ Ktgot - R называют статическим сопротивлением, отношение
1
di Kt8₽ = 7?днф — дифференциальным сопротивлением (здесь к — коэффици-
<ВИСЯЩИЙ От масштаба напряжения и тока ио осям координат). Следует от-
став,, ?Т° диФФеренциальное сопротивление на падающем участке характери-
ви отрицательно.
Теп. М некотоРЬ1е широко применяемые нелинейные элементы.
РМорез
И,СЛеДова ТОры’ Сопротивление любого проводника зависит от температуры
форуЬ,1С>’.<)Т протекающего через него тока. Часто такую зависимость вы-
7?= 7?0(1 + ой),
^Фйада^^Ратурный коэффициент сопротивления (ТКС); t — температура
^Рис ц резистора; 7?0 — сопротивление при t = 0.
(в ' ° П°Казан пример такой характеристики при а >0. Некоторые ком-
т°м числе полупроводниковые материалы) характеризуются зависи-
232
Глава 14. Нелинейные эле
О1П1с^т0^
мостыо (ее график приведен на рис. 14.3, б), которая может быть
формулой, но с отрицательным ТКС (а < 0).
Часто в схемах (например, измерительных приборов) требуется чтобы сопротив
ления цепи практически не зависели от температуры. В определенном диапазоне
температур такой стабилизации можно добиться, соединяя последовательно эзе-
менты с ТКС разных знаков.
Нелинейные элементы часто служат для стабилизации токов и напряжений.
Кривая 1 на рис. 14.4 характеризуется участком характеристики с неизменным
током при изменении напряжения в определенном диапазоне. Такой характери-
стикой обладает бареттер — железная нить в атмосфере водорода. Прибор ис-
пользуется как стабилизатор эффективного значения тока.
Некоторые приборы (стабилитрон), имеющие неизменное напряжение при из-
менении тока, позволяют использовать их в качестве источников опорных на-
пряжений для электронных схем (рис. 14.4, кривая 2).
Рис. 14.4
вОдН1||;0
Элементы с ярко выраженной асимметрией характеристики (п0Л-/Г1^ства-
вые диоды) позволяют создавать на их основе выпрямительные ус
На рис. 14.5 показаны характеристика диода и ее линейная аппрокспМ' ям,г
< < хеМь1 ®ь пР*"
Воспользуемся случаем и приведем наиболее распространенные с. ^.тЬ р
телей, при этом будем считать характеристику диода идеальной, г°
мом направлении его сопротивление /?11р = 0, а в обратном — =
на нагрузке возникнет напряжение, пока
для схемы, изображенной на рис 14.6,
данное на осциллограмме.
акую схему называют однополупериодным выпрямителем. Для получения на-
пряжения нужной величины применяют трансформатор (Тр). Диод (Д) в обрат-
^направлении должен выдерживать напряжение U,„. Непосредственно при-
такое напряжение в установках постоянного тока часто нельзя, поэтому
Есл^*°ТСЯ ДОвольно громоздкие фильтры.
4<Т°РИЧНУЮ обмотку выполнить со средней точкой, то можно создать схему
ров (рис^^у1°дпого ВЬ1Прямления, требующую использования меньших фильт-
Рис. 14.7
234
Глава 14. Нелинейные элв
Диоды и полуобмотки трансформатора работают попеременно, ||
закрытом диоде достигает 2U .
'Ч
1 от же эффект двухполупериодного выпрямления достигается в М()С...
(рис. 14.8), которая не требует удвоения вторичной обмотки траисфоСхЧ
требует четырех диодов. А1ат°Ра, ц.
Рис. 14.8
Здесь попеременно работают пары диодов Д1ДЗ или Д2Д4 в зависимости от по-
лярности напряжения на вторичной обмотке трансформатора в соответствующий
промежуток времени. Обратное напряжение на диоде равно ljm.
Наличие трехфазной системы энергоснабжения позволяет использовать трехфаз-
ные схемы выпрямления, требующие фильтров еще меньших габаритов (рис. 14.9).
Рис. 14.9
Каждый из диолов такой схемы открыт в те промежутки времени. 1^О^ратН0'1
циал соответствующей фазы выше, чем потенциалы остальных фвв- 1{аПРя
направлении диод должен выдерживать напряжение, равное .тинеи ^ ^обр33^
жению сети. Не представляет сложности создание трансформаторов,па
ющих трехфазпое напряжение в шести- или двепадца гифазное. С <)3?‘сТ усТР0’,.
основе выпрямителей для транспортных средств практически не т]>‘^ц11ПдоГРа |
ства специальных фильтров. Схема шестнфазного выпрямителя в °
ма напряжения показаны на рис. 14.10.
нелинейных элементов
пактеР*сТИ —-----------------
ХаР
235
Если в составе нагрузки имеются реактивные элементы, то анализ существенно
усложняется.
Для создания выпрямительных систем электропитания большой мощности на
практике применяются управляемые выпрямители (тиристоры), позволяющие
Регулировать питающее напряжение и осуществлять рекуперацию, то есть об-
е пРеобразоваиие постоянного напряжения в переменное, и возвращать из-
к энергии в систему переменного тока.
Ракте40^ пРедставляет собой четырехслойный полупроводниковый прибор с ха-
Ристикой, показанной на рис. 14.11.
Рис. 14.11
236
Глава 14. Нелинейные anRL,
------------------ ^Иб1
Вариант характеристики 1 или 2 зависит от потенциала управляюще
да. Если на него не подан сигнал и напряжение не превышает ut, то ПГ°
ет достаточно большое сопротивление и ток практически не upon Ск
сигнала снижает напряжение «пробоя». Если при этом напряжение и ^Одача
электродах и2 <и <и,, то тиристор резко снижает сопротивление °Сн°вн^
Снятие сигнала с управляющего электрода не приводит тиристор в не
ное состояние. Восстановление большого сопротивления происходит °Нача-1ь-
пряжение на основных электродах становится равным нулю. В этом ' К°Гда Ва-
ворят об ограниченно управляемом нелинейном элементе. Напряжение^6
сторных выпрямителях регулируется изменением фазы сигнала нт «пп В Ти₽в'
электроде. авл»ем
Следует различать инерционные нелинейные приборы (например, Осно
на изменении температуры) и приборы безынерционные, параметры которых **
висят от мгновенных значений токов и напряжений. Последние, будучи вк.ад
ченными в цепи синусоидального тока, создают нелинейные искажения и следа
вательно, способствуют появлению высших гармоник, существенно усложняю
щих анализ.
В электроэнергетических устройствах часто приходится сталкиваться с катуш-
ками индуктивностей с сердечниками, которые, обладая способностью к насы-
щению, меняют свои свойства в зависимости от магнитной индукции. В физике
подробно рассматривались свойства таких катушек. Их вебер-амперпая характе-
ристика приведена на рис. 14.12. Аналогично выглядит вольт-амперная характе-
ристика катушки, содержащей ферромагнитный сердечник.
„ и^еюИ111'
Специальные диэлектрики могут обеспечить нелинейность емкостен,
характер насыщения.
14.2. Анализ нелинейных электрических НеГ1е
при постоянных токах и напряжениях
С точки зрения теории электрических цепей поведение нелипейього^р^^
в нелинейных электрических цепях определяется вольт-амперной Vе
кой. Для анализа установившихся режимов интерес представляют
14.2
ых электрических цепей при постоянных токах и напряжениях 237
-----------------------------------------------
Приложение к элементу с известной вольт-амперной харак-
н1>1е элеМе нОГО напряжения определяет ток, протекающий через элемент.
^гтих01’ чпементов несколько, то надо уметь для различных соедине-
rfPi,L „ттиеинЫл
рпи неЛИ характеристики эквивалентных элементов.
нцй сТР°ИТ1>еЛьНое соединение нелинейных сопротивлений. На рис. 14.13 пока-
дослеД0®31 оследовательного включения двух нелинейных элементов и вольт-
нЫ схема п тики ее элементов Ul (/) и U2 (/). При последовательном со-
^перныехарак
единении
U = Ut+U2; I = ^ = 1,.
по точкам характеристики Uy(I) и U2(I), получим характеристику
Сложив чТО равнозначно включению некоторого одного элемента, экви-
двум. Теперь при заданном напряжении U = Ul+U2 по суммарной ха-
^^сгике можно определить ток, а уже по нему — напряжение на каждом
^енте по соответствующим характеристикам Ut (/) и U2 (/). Эта процедура по-
казана на рис. 14.13 стрелочками. Таким образом, построение суммарной харак-
теристики дает возможность провести полный анализ цепи.
НииаЛЛеЛЬНОС соеДинение нелинейных элементов. При параллельном соедине-
напряжение на каждом элементе U, а суммарный ток в цепи I = Ц +12.
^У^Марная
с вью/ характеристика (рис. 14.14) должна быть построена в соответствии
П°сСенНИеМ{7 = /(71 + /2)’
пРя'Кенвд1е эквивалентной характеристики дает возможность при заданном на-
СмеЦ1а На ДвУхполюснике определить суммарный ток I и токи Ц и /2.
^Имгп соединение. При смешанном соединении (рис. 14.15) сначала по-
^актерл ФИК зависимости напряжения Uah от суммы токов 12 + 1Л = Ц, сложив
^ерИстСТики второго и третьего элементов «по току». Затем полученную ха-
онИКУ СлОжим <<по напряжению» с характеристикой первого элемента,
Ж Пцлуч ПоследОвательно соединен с группой из двух параллельных элемен-
Ой^Ряж ННая Эквивалентная характеристика показывает зависимость входно-
°Т входного т°ка Ц. По ней при заданном входном напряжении
т°к. Полученный ток Ц, в свою очередь, дает возможность опреде-
238 Глава 14. Нелинейные эле
лить напряжения па всех элементах. Напряжение U„h по соотвегс
рактеристикам определяет токи 12 и /3.
т“у>*»ч
Нелинейный активный двухполюсник. Независимо от природы ,,с‘ЛПНСЯ^ыра.
внутреннего сопротивления реального источника питания, такой источник
жают в виде последовательного соединения идеального источника ЭДС п
пенного сопротивления с требуемой вольт-амперной характеристикой (р*1С-
Рис. 14.16
~ных электрических цепей при постоянных токах и напряжениях 239
нелинейных -----
i4.2.^3
ктеристика нелинейного сопротивления, то для построения вольт-
дцзаДй1,а Ха^ерпстикп источника по оси напряжений откладывают папряже-
йрпн°а xapd. павнос ЭДС, а по оси токов — ток короткого замыкания, полу-
л-тПГО ХОД4*» Е ,
1ехоД°сТ ветствии с этой характеристикой. Вольт-амперная характеристика
^ЫЙ в сО°^хПОлюсника должна пройти через эти точки. Промежуточные точ-
акгИвН0Г° ДВ соответствии с уравнением U = £-(7н Если ток или напряжение
ь11 находят олюспика меняет свои знак, то, конечно, надо знать вольт-ам-
аКТцвн°г0 сгеристику нелинейного элемента при отрицательных токах и на-
пернУю ^,ра
лря*тн1 [матеЛьным надо быть, если эта характеристика несимметрична
Особенно характер11СТИКа диода, транзистора и т. д.).
(на елИНейный активный двухполюсник служит источником питания для ли-
Ес111 ”. п то графически задача решается иостроением соответствующих ха-
11С11Н0"|1стик двухполюсника-источника и линейного двухполюсника-приемника
(рис. 14.17).
т
’кепи Пересечения этих характеристик и будет решением задачи, так как напри
наКоиьИа ЭТ11Х ДВУХ двухполюсниках и токи, протекающие через них, будут оди-
Ра И
и°сор)ТРИМ гРаФичесъсс,е решение задачи анализа цепи, в которой два параллель-
*енную енных активных двухполюсника включены на пассивную цепь, выра-
Для ' ЭКВ11валентным сопротивлением R (рис. 14.18).
Яников™51 Так°1”1 задачн> если построены характеристики активных двухпо-
Ив ХаРак И ССсд11ненпых параллельно, нужно сложи гь их «но току», постро-
? эквивалентного двухполюсника, имеющего ток короткого
-г ^к.з— ^к..<1 + К л-
U ХаРаКтеп,И напряжение U из точки пересечения прямой, характеризующейся
р,ГСТ11к°й 3, можно определить/. и/,.
^Ния Tin < о
и+(/ d нелинейных элементах будут найдены из соотношении
1 11 ^2- U + U2, как это показано на рис. 14.18.
240
Глава 14. Нелинейные чгг.,.
------------------— ектРИче,
Рис. 14.18
Расчет цепей при одном нелинейном элементе. Если заведомо известно, что
в схеме имеется только один нелинейный элемент, то задачу можно решить гра-
фическим методом, предварительно применив метод эквивалентного генератора.
В соответствии с этим методом характеристика всей цепи со стороны
нелинейного элемента может быть выражена прямой линией, ,Ч)С,х<ь1яШ^1[|0.чьТ'
точки {0; Сх х} и {0; 3}. Решением будет точка пересечения этой прям011
амперной характеристики нелинейного элемента.
Расчет цепей при двух нелинейных элементах. По аналогии с пГ>с’г1Ь^ть1реМ33
чаем будем рассматривать линейную часть схемы по отношению к
жимам двух нелинейных элементов как активный четырехполюсник.
Активный четырехполюсник эквивалентен пассивному с включенным^ П°с'^
и выходе ЭДС, равными соответствующим напряжениям холостого • aJ]en'f1’®
того как четырехполюсник будет изображен в виде Т-образной эк gJieAiefl
схемы, получим электрическую цепь (рис. 14.20). Объединив п°паРн° yjoс’-
включенные последовательно с источниками, получим задачу, иДеН
нейных электрических цепей при постоянных токах и напряжениях 241
„пипованному рис. 14.18. Последовательность всех преобразова-
^-р-14-20'
и». х2
6 ^X.xl
14.2.1. Графоаналитический метод расчета цепей
при малом отклонении от заданного режима
Встречаются задачи, в которых точка характеристики нелинейного элемента за-
дается каким-либо постоянным смещением (например, разностью потенциалов
на диоде или потенциалом на базе транзистора) и требуется оценить поведе-
ние элемента при наложении напряжения сравнительно небольшой величины.
медт°М СЛ^Чае с Д°стат°чным приближением можно заменить нелинейный эле-
емв С°ПР°тивлением ^-Ktga (то есть дифференциальным сопротивлени-
(рис Тц Режима) и последовательно с ним включенным источником ЭДС Ео
Рис. 14.21
242
Глава 14. Нелинейные элекТри
Направление источника ЭДС определяется из уравнения
С7-7Дднф=Е0.
Значение Ео определяется графически, как показано на рис. 14.21 а q .
точником ЭДС показана на рис. 14.21, б. '
Разделив уравнение на Яд11ф, получим:
— = —+ = Jo+I-
п р *и
лдиф ллиф
Этим уравнением определяется эквивалентная схема (рис. 14.21, с) с
ком тока (следует обратить внимание на знак тока источника тока) 3чмо Т0ЧНм’
h по-
путно, что такие замены нелинейных элементов оправдывают применен»
диоэлектронике термина «активный элемент» к, казалось бы, пассивным
проводниковым приборам. Аналогичный результат получается при кусочн
линейной аппроксимации вольт-амперных характеристик некоторых элементов
В общем случае задачи анализа нелинейных цепей на постоянном токе сводятся
к решению систем алгебраических нелинейных уравнений. Для этих целей ис-
пользуются численные методы решений. Па практике эти методы реализуются
с использованием ЭВМ.
14.3. Особенности анализа нелинейных цепей
при синусоидальных токах и напряжениях
Различные численные методы решения нелинейных уравнений при синусоидаль-
ных возмущениях применяются ограниченно из-за появления нссинусоидальных
реакций. Для иллюстрации таких нелинейных искажений рассмотрим графи40
ский анализ простой цепи, содержащей катушку индуктивности с ферромаГ||,|Т
ным сердечником (безынерционный элемент).
На рис. 14.22 с вольт-амперной характеристикой такой катушки совмещены вр0"
менные диаграммы напряжения (одна полуволна синусоиды). Порядок гр
ского поиска кривой тока показан стрелками на пунктирных линиях. -
строения на кривой тока достаточного количества точек увидим, что ПРП
щающейся вольт-амперной характеристике нелинейного элемента реа к0»
(ток) получается несинусоидальной с ярко выраженной третьей га^огдаvb°'
Если выполнять аналогичные построения с учетом петли гистерезиса, по-
личению и уменьшению напряжения соответствуют разные характер! qeT.
лучим несимметричную кривую тока, что свидетельствует о наличии
ных гармоник. сцоЗ-'|Р*
Точное аналитическое решение подобного рода задач часто стаиовится^^
ным. Одну из возможностей приближенного решения задач преа<1СТ‘3MyiUe11"^.
гармонического баланса. Если получить разложение в ряд Фурь° в п°г .
реакции цепи, то можно составить уравнения, описывающие Г1Р°^ть1 пр11
содержащие суммы различных гармоник. Приравнивая коэффич1’^1 ,10СгаТ°’.ч12
наковых гармониках в правой и левой частях уравнения, получает -^мо!'
для определения коэффициентов ряда Фурье количество уравнен1111
TH анализа нелинейных цепей при синусоидальных токах и напряжениях 243
t3 ---------------------------------
процедура существенно упрощается, если допустимо приближенное
аЮ11П|- ЭТ* ьК0 для первой гармоники.
peiueH"e
Рис. 14.22
Рассмотрим на этой основе (чисто качественно) явления так называемого фер-
рорезонанса. На рис. 14.23 приведена схема последовательного соединения кон-
денсатора (линейный элемент) и катушки с сердечником (нелинейный элемент).
6ии с метДКЛЮЧена к ИСТОЧНИКУ синусоидального напряжения. Если в соответст-
НоРеща1ь °М гаРМОНИческого баланса ограничиться первой гармоникой, то мож-
относительно действующих значений токов и напряжений этой
уернцр ’ пРенебрегая в первом приближении высшими гармониками. Вольт-
L?’в соо1даРактеРИСТИК11 линейного конденсатора и нелинейной ипдуктивио-
Mfcj°ecorin СТВ™’ спстеме координат изображены на рис. 14.24. Пусть ем-
Т°чКед ^°тивление таково, что ее характеристика пересекает характеристику L
УММарная характеристика с учетом того, что напряжения на емкости
244
Глава 14. Нелинейные электри
и индуктивности находятся в противофазе, будет иметь точку В, гд»
равно нулю. Ток, отличающийся от нуля при нулевом напряжении . аТРЯ*енИ{
альных индуктивности и емкости, возможен (теоретически), <с
есть в точке резонанса, когда происходит обмен энергией между эледы
участия внешнего источника. Это явление называется ферр‘>резои;111(.(ЯТ‘1Ми
чески он достигается за счет уменьшения индуктивности при насьнве'
нитной системы катушки. На практике точку В характеристики получит *' Яаг'
так как ранее при анализе мы пренебрегли неизбежными активными < '1ель311.
лениями катушки и наличием высших гармоник в кривой тока. 1)отЧв-
Все же при элементах с достаточной добротностью получаем участок с
щей характеристикой (рис. 14.25). При повышении напряжения от нуля ддЛа10'
стке ab нарастание тока происходит в соответствии с этой характеристике/43
тем скачком с изменением фазы от - л/2 до +л/2 (если ие учитывать актпп/33
ч т-r м 1X1 "иного
сопротивления) до точки с. При дальнейшем повышении напряжения нараста
ние тока идет по кривой cd. Если снижать напряжение от точки d, то переброс
фазы произойдет в точке е. Таким образом, видно, что схема обладает «памя-
тью», то есть ведет себя по-разному в зависимости от предшествующего состоя-
ния. Этот эффект используется в запоминающих устройствах ЭВМ
Аналогичное явление возникает при параллельном включении таких же э’1е”ь11-|
тов (рис. 14.26), с той лишь разницей, что возникает резонанс токов. Иде
случай изображен на рис. 14.27.
Рис. 14.27
245
вопрос^
езонанса в энергетике используют для создания феррорезонанс-
еНце ФеРР ов напряжения. На рис. 14.28, а изображена одна из возмож-
^стаб11ЛИЗ ‘ стабилизатора. Она отличается от изображенной на рис. 14.26
Н схем та „„прповательно включена линейная индуктивность, делающая уча-
цыл „ -;песь посл^
1€м.чТ°ЗД ой характеристики круче. Кроме того, эта индуктивность служит
тОк суМмаР браТНой связи, улучшающей стабилизацию.
^введения
Рис. 14.28
Характеристики, построенные без учета обратной связи (рис. 14.28, б), поясняют
эффект стабилизации. Возможные колебания входного напряжения А67, обуслов-
тавают колебания токов Д/. Выходное напряжение снимается с параллельной ча-
сти схемы, соответствующей характеристике 2. Из рисунка видно, что Д[/2«: Д[/,
ратная связь по току дополняет эффект стабилизации.
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
^То такое нелинейная электрическая цепь?
Ч так(,е статическая и динамическая вольт-амперные характеристики?
мента?К°е статическое и дифференциальное сопротивления нелинейного эле-
осуществить температурную компенсацию в нелинейной цепи?
4.
5. '“•г^сствить температурную компенсацию в нелинейной цепи?
6 е ° Такое бареттер?
О
Ментов?°СТОИТ Разл,,чие инерционного и безынерционного нелинейных эле-
Какие
8 Каков XeNlbI ВьшРямлепия синусоидального тока вы можете назвать?
8 Как г/ ФИзические принципы нелинейной индуктивности и емкости?
НИР^НИя1ЧбСки проанализировать цепь постоянного тока при различных со-
В Х Пассивных нелинейных элементов?
к УЩность анализа цепи при малом отклонении от заданного режима?
Глава 14. Нелинейные
246
11. Что такое тиристор?
12.
13.
14.
15.
Как проводят расчеты при различных соединениях активных ne.nIllejj
полюсников? 1лх Дв^.
Каковы приемы анализа цепей с одним и двумя нелинейными
Каковы особенности анализа цепей с нелинейными элементами
ном токе?
"а ПеРемен
При каких условиях в цепи с индуктивной катушкой с сердечником
ются несинусоидальные искажения?
16. Объясните явление феррорезонанса.
17. Объясните схему феррорезонансного стабилизатора.
1 Принцип действия и устройство
atnop ~~ это статический электромагнитный аппарат, предназначен-
ТрансФ0?* ^оазования переменного тока одного напряжения в переменный ток
,1ЫЙ ^напряжения без изменения частоты.
дРУг°г торы в области электроэнергетики решают важнейшую техннко-эко-
ТРанС^кую задачу. На каждом этапе преобразования электроэнергии: ври гене-
н0М" определении, потреблении — существует напряжение, при котором эти
P®B1H ’сЫ происходят с минимальными издержками. Напряжение производства
^ерации) электроэнергии — 3-15 кВ; распределения — до 500-600 кВ; потреб-
ления — 220-660 В, реже 3-6 кВ. Трансформаторы, обладающие высоким КПД,
порой превышающим 95 %, решают задачу преобразования уровня напряжения.
В области приборостроения трансформатор часто служит основой блока пита-
ния, обеспечивая требуемые напряжения для различных элементов аппаратуры.
Наконец, во многих устройствах радиоэлектроники нужно обеспечить передачу
сигнала без гальванической связи. Такая развязка также выполняется с примене-
нием трансформаторов.
Существуют и другие специальные области применения трансформаторов, на-
пример, сварочные трансформаторы, магнитные усилители, преобразователи чис-
ла фаз и т.д. В зависимости от конкретного применения трансформаторы строят
мощностью от долей вольт-ампер до сотен мегавольт-ампер при частоте преобра-
зуемого напряжения от десятков герц до десятков килогерц.
Трансформатор состоит из магнитопровода и расположенных на нем обмоток,
тов ИтопРоводы (из технологических соображений обычно разборные) изго-
6ИХ1» СЯ 143 отдельных пластин специальной стали (для уменьшения потерь на
п ВЬ1е 10ки) или магнитной керамики (ферриты).
Расположению обмоток на сердечнике трансформаторы разделяют:
бр0ТеРЖНеВЫе ~ Смотки расположены на разных стержнях (рис. 15.1, а);
т°Ро ВЬ1е ~ °^мотки расположены на одном стержне (рис. 15.1, б);
Дальные — чаще всего с ферритовым сердечником (рис. 15.1, в).
По
в i
2 I
3
a
Рис. 15.1
248
Глава 15 Тпа,
В электроэнергетике применяют в основном трехфазные трансфорМ;п
ные силовые трансформаторы, несмотря на высокий КПД, обеспечив- * Ун-
циальными средствами охлаждения, вплоть до жидкостных. ‘11°1ся
Включение первичной обмотки на синусоидальное напряжение и ( (
приводит к появлению тока i,, обусловливающего появление намагпНЧ11в
силы Ft (да, — количество витков в первичной обмотке) и с00Тв a,QlM
щего магнитного потока Фо. Если сердечник не насыщен (работает в — СТ^Ч#’
режиме), то при синусоидальном напряжении ток, намагничивающая
ток также синусоидальны.
Л1,11ейНом
С1|Ла и По-
Рис. 15.2
Магнитный поток делится на две части: одна часть, замыкающаяся по сердечни-
ку, является общей для обеих обмоток, а другая, замыкающаяся вне магнитопро-
вода, сцеплена только с первичной обмоткой. Часть по тока, замыкающаяся вне
магнитопровода (поток рассеяния Фр), на 1-2 порядка меньше общего магнит-
ного потока (Фо) из-за разницы магнитных сопротивлений магнитопровода и
окружающих материалов. Синусоидальное изменение во времени каждой части
магнитного потока вызовет появление протпвоЭДС:
et = -да,
^Фо
dt.
</Ф1р
где w, и да2 — число витков первичной и вторичной обмоток соответствен11
Соответственно, для вторичной обмотки
с/Ф()
е2= ~“>2 -Л—; е2р=
at
с/Фд,
dt
Общий магнитный поток Ф()=Ф,„ cos erf, где со = 2л/ — круговая
таких обозначениях получим мгновенное значение ЭДС
Пр»
частота-
е, = -да,
</Фл
dt
= да, 2тт/Фга sin erf.
Действующее значение ЭДС находим по формуле
£, = ^=/да,Фт= 4,44-/да,Фи.
249
- „пп трансформатора
й2ХояосТОИХ —
^рТСТВсНН°’
Со°тВ Е2=4,44->2Ф,„.
т трансформации находим следующим образом:
КоэфФ,,Ц”еНТ Е, да,
Л. — - = --.
Е2 w2
коэффициент трансформации приблизительно равен отношению чи-
g технике ogMOTOK трансформатора, так как он вычисляется по формуле
сел витков
[Е> „„<,77 = Е, — на холостом ходу, [Е v = Е, — из-за наличия падений
ГТ ~ где и 2х. х 2 ,х- х 1
я на внутренних сопротивлениях первичной обмотки. Эти падения
НаП «мня небольшие, так как ток холостого хода тоже небольшой.
напряжен1 >
Коэффициент трансформации — основная характеристика трансформатора:
□ если Е, > Е2, трансформатор понижающий;
□ если Е, < Е2, трансформатор повышающий.
Потоку рассеяния обычно ставят в соответствие индуктивности /.|р и £2р или ин-
дуктивные сопротивления рассеяния Х]р и Х2р.
15.2. Холостой ход трансформатора
Режим холостого хода — это режим, при котором г, = 0, то есть нагрузка отсутст-
вует, az, = г0 — создает магнитный поток Фи в магнитопроводе. Пояснение про-
цессов, проходящих в трансформаторе при холостом ходе, удобно дать по вектор-
ной диаграмме, которая построена относительно вектора магнитного потока Ф„,
2.
3.
Поток Фта индуцирует ЭДС Е, и Е2, отстаю-
щие от него на тс/2.
Вектор потока Фга не совпадает по фазе с век-
nJP°M тока холостого хода 10 из-за наличия
₽ь на перемагничивание (потерь в стали).
нойГ^ УРавновешивастся в первич-
1,3 Щсщ111 ПР°ТИВ°ЭДС, падением напряжения
кц и 1Вном ^противлении первичной обмот-
с°Ппс1т ением напряжения на индуктивном
Вленин рассеяния:
+ i°R'+ +
СоПрТоНая схема изображена на рис. 15.4.
'талц. эт ИВление соответствует потерям
л°м & ° °тРажено на векторной диаграмме
Jobr, cos<p0= InUt sing,
в магнитопроводе (в стали).
250
Рис. 15.4
%
Поскольку Io - (0,02 ... 0,1)7„, где 7„ — поминальный ток, а потери в стати
терн на активном сопротивлении обмотки (потери в меди) при иоминаино™"0’
жиме примерно равны (см. далее): ‘ ₽е"
Потери в стали при номинальном режиме находим по формуле
^-.„ = /(Фм) = Ж) = ^-
Поэтому в опыте с трансформатором, работающим на холостом ходе, проводи-
мом при 77, = UtH, измеренная мощность на входе определяет потери в магнито-
проводе. Заметим, что значения потерь в стали, полученные при холостом ходе
могут служить для проверки коэффициента трансформации и качества изоля-
ции, а также для контроля качества сборки магнитопровода и его материала.
15.3. Работа трансформатора под нагрузкой
При нагрузке трансформатора /2 Ф 0, поэтому магнитный поток в сердечнике
ределяется суммой двух намагничивающих сил:
F = Ft + F2 - wJi + w2I.>.
В го же время суммарный магнитный поток Фга остается постоянным, еслпп Р"
внчное напряжение Ut не меняется:
771 = £1 = 4,44-/ш1Ф,„.
Ф =------Ц— = const,
4,44/гс,
.. означает
то есть рабочий поток практически не зависит от нагрузки, ото
щее:
+ к>,7();
2
ГС.
При изменении тока нагрузки 7, происходит (автоматически) н^ой
тока 7(. при котором рабочий поток в сердечнике остается npai перв1’
ным, определяемым напряжением U,. То есть намагничивающая
обмотки компенсирует размагничивающее действие вторичной
251
^форматор3 под нагРУ3кой
,5.3.Раб°ТаТра
я схема наРядУ с контуром первичной обмотки должна иметь кон-
ч ч обмотки, включающий нагрузку, активное и индуктивное сопро-
ЭЬП вТОР,,чН“' ЯНИЯ вторичной обмотки (рис. 15.5).
сТ„еНИЯ №с
т" напряжеН11Й в к0НТУРах:
й^-Ё. + i^ + jX^
Ё2 - ^2(^2 + 7-^2р )+ - Л(^2 + jX-2p У+Щ-
Рис. 15.6
252 Глава 15. тп
—
В соответствии с этими представлениями векторную диаграмму отнощ
тока Фга можно построить в следующем порядке: 1ТельнОп^
1. ЭДС Е, и Е2 отстают по фазе от потока на л/2.
2. Векторз /2 и I2w2 сдвинуты по фазе на угол у относительно Е
Х,1 + Х2р ‘ 2’ОпРедеЛя
емыи из соотношения tew =-------.
/?„ + /?,
3. Баланс намагничивающих сил определяет векторы Д и :
Iiwi - Iowt - I2w2.
4. Баланс напряжений вторичного контура
U2 +12R2 + jl 2Х2р — Ё2
определяет напряжение U2.
5. Баланс напряжений первичного контура определяет входное напряжение
[7, = —Ё, + IiRi + I2X2pj.
Существенное различие в значениях Е, и Е2, Д и 12, связанное с коэффициен-
том трансформации
кЕ2= Е, п 12 = кД,
затрудняет практически использование приведенных выше формул и векторных
диаграмм. Поэтому применяются приведенная эквивалентная схема и соответст-
вующая векторная диаграмма.
Сущность операции приведения параметров вторичной обмотки к первичнои за-
ключается в уравнениях
Г Г I? Г' 1 Г
Е2— Et-—-Е2 = кЕ.2; 12=—12.
w2 к
При такой замене не должны измениться мощности:
Е212=Е'2Г2; I2R2= I'2R2,
/2х2р=/'2х,;; i2u2=i2u2.
Для этого достаточно пересчитать
Д2 = к2R2; Х2р = к2Х2р; U2 = kU2; Z„ = к Z„ - едцн11ТЬ
При этом можно, не изменяя принципу эквивалентности, на схеМ^ную се-
точки а и Ь, а также точки b и с. Получим приведенную эквивале
(рис. 15.7).
Рис. 15.7
Если не учитывать ток 70 <к 7,, то есть считать 7, = Г2, и объединить векторы It Xip
п/2'Х2 ; 7,7?| и I2R'2, получим упрощенную эквивалентную схему и векторную
диаграмму (рис. 15.9).
1Ить Пара^СТаВЛСНие' С0ХРаняя достаточную точность, позволяет просто опреде-
Опыт * етРьг 7?к з и Хк з, полученные при коротком замыкании.
^ится Р°ТКого замыкания во избежание тепловых перегрузок обмоток произ-
Т"К”РИнагИ ПОН1,женном напряжении, так чтобы 7кд = 7Ь1 (71п — номинальный
^01^влении'Активная мощность, измеряемая в опыте, расходуется на со-
^Рвично^1 т поскольку при расчетах трансформаторов плотности токов
и вторичной обмотках принимаются одинаковыми:
Л11ал0Ь1Ч110 7?t:t= 7?, + 7?'.
’ Из конструктивных соображений Хк з = X]v + X'2ll.
254
Напряжение короткого замыкания UK ,= I]uZ: ,
от номинального (оно составляет 3-5 %):
Глава 15.
----------
обычно выражают Т1
npo*s
U I 7 S 7
и = . 100 % = 111 K J = 100 %
ulu UL
где Su = Uu,lu — полная номинальная мощность трансформатора, ц. д.
z _
KJ 1005,,
Сравнительно небольшое по сравнению с номинальным напряжение
замыкания позволяет пренебрегать потерями в стали, поэтому Р - р _ тк°го
в меди. " п°Те₽и
15.3.1. КПД трансформатора
Из-за того что трансформаторы, особенно мощные, имеют высокий КПД
*—s I пс! Ю-
р2 р>
средственное измерение г] = — =---------- затрудняется ограниченной точ-
Р, Р2 + Рм + Р,.,
ностью приборов. Поэтому КПД определяют при проведении опытов холостого
хода и короткого замыкания.
В формуле вычисления КПД используются следующие обозначения
Рг| ~ Р.т „ — погори в стали при номинальном напряжении, от нагрузки не зави-
сят; Рм — потери в меди,
* 11I
— потери короткого замыкания при номинальном токе;
П = L- - коэфф11'
/„
циент загрузки Таким образом,
Р, = U,12 cos<р2 = Р5„ cosip2;
PS„ cos Фз_________,
Р\ COS(p2 + p2Ph „ + Р.., „
Рис. 15.10
где 5, — полная номинальная мошпост
КПДД°СТ
Анализ показывает, что максимум стадц:
ется при равенстве потерь в меди и в
Л.,. = Р2Л
Соотношение между потерями в mL/
зависит от нагрузки.
пбороВ Р‘ Д*
Силовые трансформаторы для пр >[аТор^
тируют так. чтобы Р,11ах = 1, а траш И’1 у
электроснабжения имеют Р,„.п -
, и с’*’"
Д11 11
25S
форматора под нагрузкой_______
15З.Ра6отаТраН
Особенности конструирования трехфазных
’6^орматоров
трансформаторе пара катушек каждой фазы надевается на отдель—
я-гпехФаЗН°М вся конструкция собирается, как показано на рис. 15.11.
Ф,
Фв
Рис. 15.11
Фл
2
Так как каждый из потоков сдвинут во времени относительно других на ± - п, то
сумма всех трех потоков
Ф„ + Фв + Фс = О,
поэтому замыкающий стержень в конструкции не нужен.
Первичные и вторичные обмотки могут быть соединены как «звездой», так и «тре-
.'польником».
урис’ 1512. показаны два способа соединения: «звезда-звезда» и «звезда-тре-
кого ИК>>‘ Образно обозначен сдвиг по фазе между векторами высокого и низ-
д аПРЯЭКет,и** (если векторы уподобить стрелкам часов).
ник» ° гРУПпы соединений — «треугольник-звезда» и «треугольник-треуголь-
не ппш ж,Каких преимуществ перед рассмотренными не имеют и практически
вменяются.
аРис. 15 [)
Та1<Ое показана схема трансформаторов, работающих параллельно.
4nvM..I,0'leH1,e часто применяется на силовых электроподстанциях, вызвано
необ Причинами:
НИзкогпИМ°СТЬЮ добиться высокого КПД при изменении нагрузки на шинах
необх Напряжен11я;
^СдОй Им°стью обеспечить резервирование трансформатора.
I Су„ 01 ы параллельных трансформаторов можно проследить на эквива-
еме (рис. 15.14).
3
3
Рис. 15.14
Напряжение на сборных шинах находим по методу узловых потении
Г 1 1
ту ___ к. з! к. зН
U2~ 1 1 1 1 1 ’
^к. з! % к. зП
где Ё;, Ё„ — относятся к первому и второму трансформаторам соо
257
сформатора под нагрузкой
15.з'’а6отаТРа
сопротивление короткого замыкания первого и второго трансфор-
Д. ,р *
маТ°Р°В' м трансформаторов определяем по формулам
дай»"»® . . . 1
ZH= (Ёи —.
^К.зИ
чтобы избежать уравнительных токов, необходимо потребовать равен-
1ля т°го ч
сТВа векторов:
Ё.д — Ё2ц.
На практике составляющие этого условия формулируют так:
j равенство первичных номинальных напряжений;
j различие коэффициентов трансформации не более чем 0,5 %;
□ одинаковость групп соединений и правильность фазировкн.
При соблюдении этих требований нагрузка между двумя однотипными транс-
форматорами распределяется обратно пропорционально ZK
Л _ ^к.з11 . __ A mi
Л, ^к.з1 1\1 -^к.з!
Отсюда
Ёк Ди
2^ _ К- Л II
к " ” Тооё/
ПОЭТОму -£1_ = 111 ^,1
’ ^к.з1 \11
Ham
и,онал Э Межд^ трансформаторами будет автоматически распределяться пропор-
П1ке » Ы1° номинальпым мощностям, если потребовать равенства UK(на прак-
°пУскается разница не более 10 %).
15.з 3 м
^«огоV Многообмоточный трансформатор
трансформатор часто применяется в источниках питания
Чц ой аппаРатУРы-
1|l"° с Aii'IlaJr>H°11 Разии11ы в анализе работы такого трансформатора по сравне-
Сй^аетс„Х° моточнь1м нет, если учесть, что суммарная намагничивающая сила
Первичной и несколькими вторичными обмотками.
ВиЬц31И Поток в таком трансформаторе определяется напряжением первич-
L ки и практически не зависит от нагрузки:
+ =/ои>,;
258 Глава 15 т_,
Л-Л)+р2 —---4М = ^ + (-Л']
да, и>, J
Эквивалентная схема и векторная диаграмма (рис. 15.15) поясняют
гообмоточного трансформатора.
Раб°ту.мНо.
15.3.4. Автотрансформатор каЯВ.
Автотрансформатор — это такое устройство, в котором вторичная «о-
ляется частью первичной (или наоборот) (рис. 15.16).
Рис. 15.16
г дается дв'”
Здесь мощность от входа к выходу нор ^ока ц.И1
мя путями: посредством магнитною 11 цепе»1
конлуктивиой связью входной и вых
(проходная мощность).
>м С
Коэффициент трансформации панде-
выражения
К, ~ Е| _ ga
С/2() Е2 w->
259
,.Лормат0Ра под нагрузкой
,s,.Frf»«’Pa
еила(ф.= с«Я)
Fn = /,(®|-»2)-r,2a'!=/0o>,.
I можно получить
п^гая/«'
I w
I12w2 = ItiWfWi); Il2 = /, —-! .
W-,
кает первое преимущество автотрансформаторов перед двухобмо-
□тсЮДа вь ^форматорами: ток общей части обмотки меньше, чем /,, и эту об-
^чными ТР ать меньшего сечения, чем достигается экономия меди.
МОТКУ можч° д
Полная мощность автотрансформатора
5 = Е1/, = -^-«Е2/2.
Мощность общей части обмотки
S' - / F = I
ao6_ '12^2 1
w.
ге,
/
Эта мощность равна мощности части первичной обмотки (S4):
54 = /1(£I-E2)=/.E1fl-^=5fl-^>|=S,>c,
и-, )
той самой мощности, которая передается посредством магнитного поля — через
сердечник. Отсюда вытекает второе преимущество автотрансформаторов - эко-
номия стали.
При экономии тем большей, чем ближе коэффициент трансформации к единице,
У автотрансформаторов имеется существенный недостаток. Из-за наличия кон-
^Уктивной связи весьма вероятно появление высокого напряжения на стороне
Юпп"™’ ЧТ° тРе^Ует принятия дополнительных мер безопасности. Поэтому в сп-
и энергетике применяют при к > 0,5.
15 3 r
Схема расчета трансформатора
парис. 15 17
СеРым’ ' схематически изображена конструкция броневого трансформатора.
МеХду ВВетом показало место, занимаемое первичной обмоткой. Соотношение
Сече11 ерами а, Ь и с задается стандартизованными размерами.
1®^1ратньТаЛЬН0Г0 центРального стержня принимается в первом приближении
емИз0ЛяЬ1М- ^го сечение Сс1 = Ь2К„. Коэффициент Ki r ~ 0,9 обусловлен иаличи-
С*ЧецИе * MeW стальнь1ми пластинами. Для ферритовых сердечников К= 1.
аРовода вычисляется по формуле
If
Vlip о А(и
г4е к
nqr
Чь»й с r — коэффициент заполнения окна {ас — площадь окна), свя-
Ркасом катушки, изоляцией проводов и пустотами
260
Глава 15.
В этих терминах можно записать выражения для определения:
напряжения первичной обмотки:
4Mfivib2KclBm,
Ф
здесь В,„ - -- — допустимая магнитная индукция;
й2/С.
(15.1)
номинального тока:
Д— K08 = Ihl,
здесь 5 — допустимая плотность тока;
полной мощности трансформатора:
5 = Ц71 = 2,22Ж,Л0СГ1С„рД8.
(15.2)
Пользуясь приведенными соотношениями, расчет трансформатора
в следующем порядке.
1.
ВЫПОЛНЯЮТ
Поскольку Сст и С|1р линейно зависят от размера Ь. можно получить (°
как справочные данные) зависимость b = К{ i/S п выбрать по заданно!
ности размер пластин. 5larni*'
Из формулы (15.1), зная размер b и задав Вт, вблизи колена кРпВ01 на'0’
чивания выбранного сорта электротехнической стали для известно!
дят число витков первичной обмотки. а Н<“
Проверяют по формуле (15.2) заполнение окна. Если заио.пкии^увел11Чг
удовлетворительно, его легко изменить, меняя сечение стали зл 1
ния или уменьшения толщины пакета.
Данные о В1П, 8 и типовых размерах пластин содержатся в с1|1)а1*оЧ1111Ь й(1оЯ^\
Из расчетных отношений видно, что мощность трансформатора ||')”мЛецПе1<
па частоте трансформируемого напряжения. Этим объясняется с гр •
вышеиию частоты в автономных устройствах электропитания.
3.
□
□
□
2
261
ВОПР°СЫ
I-
2
3.
4-
5
6.
8.
трольные вопросы
тпойство трансформатора, в чем состоит его назначение?
полУчйТЬ Ф°РмулуЭДС?
КаК коэффициент трансформации?
^т0 ✓ асть применения трансформаторов в энергоснабжении?
Каков3 оо.
гллтношения между напряжениями и током при холостом ходе транс-
Каковы сои
форматора^
Что выражает активная потребляемая мощность при холостом ходе трансфор-
матора?
Каков баланс намагничивающих сил при работе трансформатора под нагруз-
кой?
Как построить эквивалентную схему и векторную диаграмму работы транс-
форматора под нагрузкой?
9 В чем смысл приведения параметров вторичной обмотки к параметрам пер-
вичной?
Ю. Как построить приведенную эквивалентную схему и векторную диаграмму
трансформатора?
I И. Как построить упрощенную векторную диаграмму трансформатора?
12. Что такое напряжение короткого замыкания?
13. Что выражает потребляемая мощность при коротком замыкании?
14. Как зависит КПД трансформатора от нагрузки?
5. Каков порядок расчета силового трансформатора?
Каковы особенности конструкции трехфазного трансформатора?
, • Как распределяется нагрузка при параллельной работе трансформаторов?
Как построить эквивалентную схему и векторную диаграмму многообмоточ-
g ного Трансформатора?
Чем преимущества и недостатки автотрансформаторов?
17.
Глава 16
Устройство электрических машин
16.1. Общий принцип действия и констр^КЦй
электрических машин и
Электрической машиной называют устройство для взаимного преоГ
электрической и механической энергии. Как правило, машина может г ВаН11я
Р^ООТйТк tl
в качестве двигателя, и в качестве генератора, то есть электрические мац ьи
ратимы. Существуют электрические машины специального назначения-
разователи частоты, преобразователи постоянного тока в переменный изм*1^0^
ли скорости, усилители и т. д. Их мы рассматривать не будем.
Каждая машина состоит из подвижной и неподвижной частей. Первая называет
ся ротором, вторая — статором. Подвижная часть машины, обычно вращающая-
ся (хотя существуют и линейные двигатели), фиксируется в подшипниках, рас-
положенных в торцевых щитах. Для улучшения условий охлаждения па валу ча-
сто размещается вентилятор, хотя иногда для этой цели используется ротор (или
его детали) специальной формы. При необходимости передачи электроэнергии
к обмоткам ротора машина должна иметь скользящие контакты. Для соединения
с другими устройствами концы валов машин имеют специальную стандартизи-
рованную форму. Стандартными размерами н конструкцией обладают также при-
способления для крепления машин.
Во всякой электрической машине преобразование энергии происходит посредст-
вом взаимодействия между магнитными полями ротора и статора. Упрошенная
схема машины — это два электромагнита, расположенные под углом сх между11'
осями (рис. 16.1).
Существует два положения электромагнита: неустойчивое (о - 0) и устойчив06
(сх = 180°), когда вращающий момент на валу машины равен пулю.
Если угол 0 < сх < 180е, а ротор вращается по часовой стрелке, то машина
ет в качестве двигателя, развивая ДС11СТВ‘ вра-
момент. Допустим, при том же напрапл о3.
щения угол 180°< сх < 360°. Такое положеп^^.
можно, если к валу машины приложен^ рота-
ний вращающий момент, то есть 'ialUllB вОдеН’
ет в качестве генератора, развивая ПР цели"
ствующпй момент. Для равномерною
действующий и противодействуют1
должны быть равны: Мд = Л/„р -цран11^
Поскольку усилие, развиваемое отТВ’1еМ ра3*^.
одноименных полюсов п нригян11,а
именных, зависит от угла сх то из Р‘
ментов следует постоянс тво угла-
Рис. 16.1
сх = const.
263
пействия и конструкции электрических машин
л ----------------------------------------------------------
Об^
16-’-
т важнейший вывод о взаимной неподвижности полей ротора
п CJIC остранстве при установившейся скорости машины. Действительно,
^татора в г^т0 есТЬ одно поле будет постоянно отставать от другого (или опере-
ди (Xs v;*^ Средний момент на валу машины будет равен нулю.
зкЗ'гь ’ обмоток статора и ротора и их соединение призваны обеспечить
усгр°’’сТВ^еПОдвижность их магнитных полей. Встречаются самые разные реа-
вза11МН^ дТ0Г0 принципа. Так, в машинах постоянного тока поле статора обыч-
и1заПиИ о в пространстве (относительно статора). В этом случае устройст-
во неП должно обеспечить вращение магнитного поля ротора относительно
во рот°1’а же скоростью, но в противоположную сторону
ротор3 с 1
называемых синхронных машинах ротор представляет собой вращающий-
Электромагнит. Поэтому обмотки статора должны обеспечить создание маг-
'нтного поля, вращающегося в ту же сторону с той же скоростью (синхронно).
В асинхронных машинах магнитное поле ротора вращается относительно ротора,
и магнитное поле статора вращается относительно статора, но так, что эти поля
взаимно неподвижны.
Электрические машины могут обладать и не одной парой полюсов (для расчетов
пользуются единицей р, обозначающей число пар полюсов машины). Чтобы не
усложнять пространственный анализ, все взаимодействия рассматривают на рас-
стоянии между соседними одноименными полюсами. Для однообразия вводят
понятие электрического градуса как 1/360 части этого расстояния по окружно-
сти. При этом большую часть анализа можно без потери общности проводить
для двухполюсной машины. За один оборот машина поворачивается на 360/т
электрических градусов.
Скорость вращающихся машин принято выражать в оборотах в минуту (об./мин)
° 03начать буквой п. Когда скорость применяется для выражения мощности
Через момент на валу машины.
Р = ЛЮ,
РостьД1™ пРименять стандартные единицы измерения. В этом случае ско-
^аД/с))ИЗМеРЯеТСЯ В секУндах в минус первой степени (с ') (радианах в секунду
Кзд if
01НощенЯ лю^ой Другой машины, КПД электрической машины определяется как
(седи эТо полезной активной мощности Р2 к Д — потребляемой электрической
Двигатель) или механической (если генератор) мощности:
Р2 Р'2
Г| = — - 2
Чу Р'~Р^Р
3 Эдек & сУммарные потери, которые включают в себя:
,еСкие ПОТСРИ Рэ ~ мощность, потребляемую на активных сопротив-
. СоПроТ11Пр°ВОдников статора и ротора. Сюда же можно включить потери па
* ВЛеНИЯХ Щ~-коллекторных устройств;
>ЬстДДц),а ГистеРезис и токи Фуко в магнитной системе машины pci (потери
264
Глава 16. Устройство элаиг
Три^скИх
□ механические потери на трение и вентиляцию рМ1Х;
□ потери на возбуждение (для машин, где имеется отдельная спстг
ния)Рой. ‘ ''1;,ВозЧ,
Иногда требуется учитывать потери в роторе и статоре отдельно
Следует различать номинальные данные машины (ток, напряжение ч-
ность и т. д.) и фактические, которые достигаются в заданных коикр^013,
виях. В частности, фактическая полезная мощность Р2 может гцх'ны Ь*Х
нальную Р211, если машина включается на короткое время, меньшее чем Ь Н°М|1'
которое температура машины достигает установившегося значения Дет^^’38
что мощность машины ограничивается нагревом изоляции машины за °1!т°М’
терь. При определенном КПД температура машины повышается (по э СЧеТ По"
циальному закону) тем быстрее, чем больше мощность Р, (рис. 16 2) ' °Не11‘
Если при какой-то мощности машины ее температура за довольно длительное
время работы достигает предельно допустимой (кривая 2), то итого значения не
превысил температура машины, которая используется при большей мощности
(кривая 1), но в течение времени, не превышающего tt. После определен
перерыва, достаточного для охлаждения машины, ее снова можно включа™
большую мощность. Таким образом, ограничивая продолжительность в
нпя, машину можно использовать при повышенной мощности без вреда _
конструкции. В технике предусмотрены различные режимы, использую
принцип повышения полезной мощности: продолжительный!, кратковр
повторно-кратковременный, режим с частыми пусками и т. д.
16.2. Классификация электрических машин
Каждая электрическая машина общего назначения способна работать ''^^упр0
ве генератора, и в качестве двигателя. Но на практике, конечно, при '^р.1Гор ||11
вании большинства машин их назначение определяется сразу: к
двигатель.
По роду тока машины можно подразделить на группы:
□ машины переменного (синусоидального) тока;
□ машины постоянного тока;
265
□
«и электрических машин
---------—----------
машины — небольшая группа универсальных машин. Здесь они
^екгориь1^ основном для полноты классификации.
упоЫина1° меННОГО тока разделяют по двум признакам:
М^'нь1ПеРеМ
сКоРоСТ1Ь скорость ротора которых равна скорости вращения магннт-
синхрон1‘
°С^г» поля статора.
иные — в них скорость ротора обязательно отличается от скорости
° Гашения магнитного поля статора;
обу создания вращающегося магнитного поля:
J о трехфазные;
О одно- и двухфазные.
ны постоянного тока подразделяются в зависимости от способа создания
магнитного потока основных полюсов на следующие виды:
□
□
□
□
□
машины с постоянным магнитом;
машины независимого возбуждения:
машины параллельного возбуждения;
машины последовательного возбуждения;
машины смешанного возбуждения (имеют 2-3 и более различно включенных
обмоток).
Можно провести и более глубокую классификацию, но в настоящем курсе огра
ничимся изучением асинхронных машин, машин постоянного тока и синхронных
машин. Эти машины удовлетворяют большинство потребностей промышленно-
сти и быта. Для знакомства с другими машинами придется обращаться к специ-
альной литературе.
16-3. Якорные обмотки электрических машин
В бо
льшинстве случаев якорная обмотка — эта важнейшая часть машины — вы-
Го Т01{На пРактнчески одинаково для машин как постоянного, так и переменно-
вог()ЧНО пРИНЦнп действия якорной обмотки рассматривают на примере кольце-
к°льцр « КотоРый в настоящее время не находит применения. Схематически
^кор В°И ЯКОРЬ изображен на рис. 16.3.
ничеСКц?едставляет собой полый цилиндр, набранный из пластин электротех
Рис.16 3 СТали’ с равномерно распределенной по окружности обмоткой. 11а
п°стояННрЯЯ примера изображено 12 витков. Если такое устройство вращать с
М°ткИоб ск°Р°стыо в равномерном магнитном поле, то в каждом витке об-
СТьЮ маг Уется синусоидальная ЭДС. определяемая скоростью, напряжепно-
поля 11 длиной активной части витка (измеряется перпен-
4 Разд11ч ПЛоск°сти чертежа). ЭДС соседних витков одинаковы по амплитуде
Тся по фазе на угол а:
Cj = Е sin cot; е, = Е sin(co/ - а) и т. д.
zoo
Глава 16 Устройство элр^ Ч
—
Векторная диаграмма всех в1Гг '
«звезду» ЭДС, изображенную н ° °бРазу
Если изобразить эту векторную тиа'^ 164 ,
топографическую, то получим по^^У
изображенный на рис. 16.4, б в В11^10м
ного многоугольника. Как и следовал ПравЦ
от замкнутой обмотки, Оя<11Дать
XV о.
где Е„ — ЭДС витка, поэтому, если нет
ней цепи, ток по обмотке не протекает f4l!IieiJI
ЭДС между промежуточными точками ДНаКо
мотке не равна нулю. Например, как
но на рис. 16.4, б, ЭДС между началом деоТ
го витка и концом первого будет определять^
в виде суммы:
^.о + + Ei2 + Ё{ = £ф,
— ЭДС фазы.
где Ё(
т
Такая же по величине, но сдвинутая по фазе на 2л/.3 ЭДС будет набл
между началом второго и концом пятого витка. Еще на 2л/3 сдвЯНУ^е11[[тся
начала шестого до конца девятого витка. Принципиально ничего нс • с
если это будет нс один виток, а катушка, содержащая несколько виг
изменится масштаб. 10чеК
Если через скользящие контакты вывести потенциалы соответствую р0[1звг
то получим трехфазную систему ЭДС, соединенную «треуголышко.^^^ с<>
дя соответствующие пересоедипенпя, можно получить трехфазныи
единенный «звездой».
Фазное напряжение якоря находим как сумму векторов:
267
«и электрических машин
,р обк"0' _______ —
окоРнь
*зяк
ифметической суммы ЭДС четырех витков из-за сдвига по фазе
^sPr° , 1етрической суммы ЭДС к арифметической
|£Ё| "
оЭффициентом распределения. Он входит как основной сомножитель
назЫВаЮ1 К”б^(1Точного коэффициента. Вообще
вфорМУЛУ к0=кркук.,
I коэффициент укорочения тага; К( — коэффициент скоса пазов. Смысл
ГДе ^коэффициентов будет объяснен в дальнейшем.
ЭТИ А(ьек-Гы взаимодействия магнитных полей определяются относительным
В** ешением ротора и статора, поэтому конструктивно машину можно офор-
пе^ таК чтобы вращался постоянный магнит, а якорь был неподвижным. При
этом более компактно размещение постоянного магнита внутри кольцевого яко-
ря Выигрыш от такой компоновки весьма существен, так как основную (сило-
в\то) цепь к якорной обмотке подводят через неподвижные контакты.
Если кольцевой якорь, обмотка которого соединена «треугольником» или «звез-
дой», подключить к трехфазному напряжению, то, как было показано при получе-
нии трехфазных цепей в 9.5, прохождение трехфазиого тока вызовет появление
вращающегося магнитного поля. Такое поле способно воздействовать на посто-
янный электромагнит, вращающийся с той же скоростью, так, что создается дей-
ствующий момент, способный поддерживать вращение ротора (на этом принци-
пе работают синхронные двигатели). Асинхронные машины имеют аналогичную
якорную обмотку, но ротор у них устроен по-другому.
Еыи каждый виток якорной обмотки вращающегося якоря вывести па так пазы-
ваемУю коллекторную пластину, то с помощью неподвижных щеток можно со-
®ть контакт между витками, отстоящими друг от
электрических градусов. Между щет-
31ЙКа ^дет наблюдаться напряжение постоянного
И! ,ПРак1|1чесК11 постоянной величины, рав-
ЭДс тп)ЛИЗитель11° половине диаметра полигона
(тКа1(1и'еточно‘Коллекторное устройство действу-
о^^анический выпрямитель. Его наличие —
«тал в°И ПРизнак машииы постоянного тока. Ра-
^ipojjc Честве Двигателя, щеточно-коллекторное
ЧгНе В° ПРИ Л1°б°м вращении якоря обеспсчи-
Г°ПоЛя '|);.Ш1ВДиост!’ в пространстве его магнитно-
°^Такж апомним- что в такой машине поле ста-
е неподвижно в пространстве.
кольцевого якоря (рис. 16.5) обла-
и Финальным недостатком. С магнитным
°янного магнита взаимодействует толь-
L ая (или внутренняя) часть витка, рас-
Рис. 16.5
О Глава 16. Устройство электРи ’
положенная параллельно оси вала. Другая часть экранирована от п
ного магнита магнитопроводом якоря. Конечно, пе участвуют в о6р;13() Я 1;<Лт%
и переходные (лобовые) части витка.
В настоящее время практически во всех машинах применяются як
ной конструкции. В них рабочая часть витка, который помещается в”
ный паз, удваивается за счет выноса нерабочей части кольцевого як СПе^11а-1ь.
люс противоположной полярности и размещения ее параллельно ннГГу П0Дп°-
там располагается. Соединение двух полувитков проводится ио .io6oBbixK°T0₽ui’
и огибает вал (если якорная обмотка расположена на роторе) или раст 4atTi|4
тора (при неподвижном якоре). Это позволяет удвоить ЭДС конструкции
меняя ее габаритов. ’Не цт
Часто такие обмотки изготовляются двухслойными. В верхний слой по
ЮТ ОДИН полувиток, а В НИЖНИЙ ПОД ПОЛЮС противоположной полярности —
гой полувиток того же витка (или катушки). Для компактной укладки лобовьг
частей нижний и верхний полувитки размещают с наклоном на угол, меньший
180 электрических градусов, и сдвигом на 12 паза. Это приводит к некоторому
уменьшению ЭДС, что учитывается введением в формулу вычисления коэффц.
циента укорочения шага Ку.
На рис. 16.6. показана развертка якорной барабанной двухслойной петлевой об-
мотки. Если с карандашом в руках проследить схему намотки, то можно изобра-
зить ее (рис. 16.7).
Рис. 16.7
269
волр°сь1
/ С соответствуют выводам грехфазной машины, соединенной
ь т°ч1<11к0'м». Если пазы якорной обмотки расположены параллельно валу,
^Leyro-nbH^ времени, когда паз проходит межполюсное расстояние, происходит
в моМеВ^агнПТНого сопротивления, что отражается в электрической системе
11зМе1,еЯ11 ления «зубцовых» гармоник. Иногда для их ликвидации пазы «ска-
в вцДс п° носительно оси вращения так, чтобы магнитное сопротивление при
и]11ваК)Т* оТОра не менялось. Это приводит к некоторому уменьшению эффек-
врз<’’ нЫ рабочей части витка, что при вычислениях учитывается упоми-
гцвН°и ся ранее коэффициентом скоса пазов Кс.
наВ кием еше раз, что якорные обмотки, служащие для создания ЭДС (если
ПоДче" иСП0льзуется в качестве генератора) или протпвоЭДС (если машина —
маиИтепь), одинаковы для всех типов электрических машин. В них прохожде-
;В,11^ока совместно со щеточно-коллекторным устройством обеспечивает взаим-
Ную неподвижность магнитных полей ротора и статора.
Контрольные вопросы
1 Что называется электрической машиной, обратимостью машин?
2 Каковы принципы классификации электрических машин? Воспроизведите
классификацию по этим принципам.
3. Что называется якорем электрической машины?
4. Какова структура КПД электрической машины?
5. Чем ограничивается полезная мощность машины?
6. Докажите, что при установившейся скорости машины поля ротора и статора
должны быть взаимно неподвижны.
1 Как обеспечивается взаимная неподвижность полей ротора и статора в раз-
личных машинах?
® Как устроена обмотка кольцевого якоря?
’ Что такое полигон ЭДС?
к Устроена барабанная обмотка якоря?
I Что такое обмоточный коэффициент?
такое электрический градус?
Глава 17
Асинхронные электрические машины
17.1. Конструктивные особенности и принп
действия ЧИп
Асинхронная электрическая машина — это такая машина, в которой э
образуется посредством вращения магнитного поля, возбуждаемого 1НерП|я по-
током, поступающим из сети. Основным принципом действия такой еННЬо<
является то, что ротор вращается со скоростью, отличающейся от скоп МаШ11Ня
щения магнитного поля. Ротор машины, работающей в качеств^.дВигатеС^в1*а'
щается медленнее, чем магнитное поле. Если ротор вращается с помощью '
ного двигателя быстрее, чем магнитное поле, то машина является ген ем
В обоих случаях вращающееся магнитное поле создается реактивными токами
поступающими из сети. Чаще всего асинхронные машины используются в каче-
стве двигателя. Вращающееся магнитное поле в них создается с помощью трех-
фазной сети.
На статоре машины обычно размещается трехфазная якорная обмотка. На рис. 17.1
она условно обозначена в виде трех катушек А-Х, B-Y\ С-Z. Обычно на практи-
ке это двухслойная барабанная обмотка, витки которой размещены в пазах, рав-
номерно рассредоточении по внутренней поверхности статора. В пазах ротора,
также равномерно распределенных по окружности, расположена обмотка ротора,
которая выполняется в двух вариантах: либо это алюминиевые стержни, закоро-
ченные по торцам кольцами (в этом случае количество фаз обмотки равно коли-
честву стержней), либо рассредоточенная трехфазная обмотка (обычно соединя-
емая в «звезду»), концы которой выведены через контактные кольца и щетки.
Если обмотки статора соединить в «звезду» или «треугольник» и подключить
к трехфазной сети, то образуется магнитное поле, вращающееся со скор
[об./мин]
„, = ?zO? = 6o/.
2л
а зате-'1 п®"
Если подобная обмотка размещена на половине окружности статора, 0^>|0TKf
вгорена на другой, то образуются две пары полюсов, и скорость такой
2л/ -60 „„ f г , , .
пх = — = 30/ [оо./мин].
Вообще скорость вращения .магнитного поля, называемая синхрон110
ется по формуле
IC.-I’’
60/
”1 =----
Р
где р — число пар полюсов. $
Вращающееся магнитное поле пересекает нитки ротора и навоД”^(1й
Если витки замкнуты, то в обмотке ротора появляется многофазт
Т°К
271
е особенности и принцип действия
-----------------
ение вращающегося магнитного поля ротора. Магнитные поля
- вь’3°веТ °° асположены так, что они стремятся повернуть ротор в сторону
ра11 сТаТОРастатора. Если вращающий момент (М|ф) превышает тормозной
Рвения ^°Л получит ускорение. Нарастание скорости будет происходить, пока
тоРотоР »< = М установится постоянная скорость ротора п2.
' ’ V Пр11
? Т астания скорости ротора снижается частота его токов и, следова-
ло меРе В03РеТся скорость вращения поля ротора относительно ротора. Как бу-
je.ibHO'сН,1Ж далее, при любой скорости сохраняется относительная иеподвиж-
2^Srf°p“ropa"CTaTOpa
Есл
ваТь СКоР°сть ротора достигнет nt (это возможно, если для вращения нспользо-
1111 (,Ыовь111И двигатель)’ то обмотки ротора перестанут пересекаться магнитны-
ио, исчезц МИ ®иниямн ЭДС и токи ротора станут равными нулю, а следоватсль-
сзучае еСдТ ПОле Р°тора. Поэтому момент на валу ротора возникает только в том
послеДний вращается со скороетыо, отличающейся от синхронной.
1едован^Н.11Я напРавления вращения двигателя достаточно изменить порядок
Есди с <раз> То есть поменять местами две любые фазы.
^ьч11ТоМддЬю внешнего двигателя заставить ротор вращаться со скоростью
бу £ 11 токи ротора изменят свой знак. Изменит знак и ток статора.
3аеТ Разв11вать противодействующий момент, а энергия первичного
ВЬ1четом потерь будет передаваться в сеть. Этот режим работы
МаШины называется генераторным рекуперативным режимом. На-
’с°здавДля такого режима необходимо наличие вращающегося магнитного
аеМого реактивными токами, потребляемыми из сети. То есть асин-
272
Глава 17 Асинхронные
---------------------_ лектРич6СКИе
хронный генератор, отдавая активную мощность в сеть, одновреме
ет из той же сети реактивную мощность индуктивного характера ° Г'ОтРеб
Простота конструкции определила широчайшее распространение -
двигателей: они используются в подъемных машинах и механизмах ц * *1
рабатывающих станков во всех отраслях промышленности, в вентт'^'^^об-
сах, компрессорах и т. д. В бытовой технике также большей частью На<й.
ся асинхронные машины, только в однофазном исполнении. "С11°льзу10г_
17.2. Анализ работы асинхронного двигателя
Сложности анализа асинхронного двигателя связаны с тем, что магнитнь
ротора и статора вращаются в пространстве. Кроме того, частота тока ротора
довательно, и индуктивное сопротивление его обмоток, равно как и ЭДС
ются с изменением нагрузки. Существенно упрощаются расчеты, если
магнитные поля ротора и статора при установившемся режиме взаимно непод
вижны. Это позволяет рассматривать ЭДС и токи ротора так же, как в трансбоп
маторе, в величинах, приведенных к параметрам статора. Кроме того, изменяю-
щиеся при нагрузке параметры ротора (/2; Х2,; £23) заменяются эквивалентными
величинами и выражаются через параметры неподвижного ротора. Эту опера
цию называют приведением параметров к неподвижному ротору.
При неподвижном роторе, если его обмотка разомкнута, взаимодействие полей
ротора и статора полностью аналогично взаимодействию нолей первичной и вто-
ричной обмоток трансформатора, с той лишь непринципиальной разницей что
поля рассеяния в асинхронном двигателе за счет наличия воздушного зазора не-
сколько выше. Обозначив Ф,„ максимальный поток, охватывающий как обмотки
ротора, так и обмотки статора, получим:
Е1 = 4 44К|/|ш,Ф,„.
Учитывая, что при неподвижном роторе ча
с гота токов ротора и статора /, = /г> наидем-
Е,= 4,44К2/ре.,Фт-
4IIC-W
Здесь, как и в трансформаторе, :rf 2 Про-
питкой статора и ротора соответственно.^
ме того, введены обмоточные коэфф тью
Kt и К2, связанные с риссредоточсн^.^
обмоток, укорочением шага при скос2
обмотке и возможным коэфФ||Ц|1СН
пазов.
С помощью выражения -----------г
£> 2 ЭДС’
ходим коэффициент трансформа11”
Векторная диаграмма в этом Pe^I'n0.nH<’fTl’^
емым холостым ходом (рис. 17(||-j д"
аналогична соответствующей вС
грамме трансформатора.
273
Й2'
асинхронного двигателя
^из и
•тают от потока Фго па угол л/2. Ток холостого хода /0 не совпада-
ffi и^2 °токомФга из-за наличия потерь в стали. Входное напряжение скла-
ЧоФ^^сггивоЭДС -Е,, падения напряжения на активном сопротивлении
^^ется1<3гО] а Ц (параллельно току /0) и падения напряжения на индуктив-
/л’°тК11 СТа(1ВлеП11И рассеяния статорной обмотки l„Xt (перпендикулярно /0).
ноМ с°пР° обмотку ротора накоротко (или в случае фазного ротора па ка-
£слизаМК противление), то под действием многофазной ЭДС Е2 возникнет
ьое--1,,бонСя°я система токов. В свою очередь, многофазная система токов вызовет
мНогоФа3 агнИТного потока, вращающегося относительно ротора (а следова-
появ-пени^татора) с TOft же скоростью. Поток ротора направлен встречно потоку
тСльно, и стремится его размагнитить. Так же и в трансформаторе суммар-
статора,тоес
ныйпоток
ф =——
4,44 Xj/j®!
-------= const
остается практически постоянным при различных токах в цепи ротора. Это по-
стоянство обеспечивается соответствующим изменением входного тока.
Взаимодействие потоков ротора и статора создает вращающий момент. Если вра-
щающий момент превышает тормозной, то ротор разгоняется. По мерс увеличе-
ния числа оборотов ротора уменьшаются частота токов ротора f.,, ЭДС E2S п ток
ротора. Увеличение числа оборотов ротора происходит, пока М > Мт. При ра-
венстве тормозного и вращающего моментов устанавливается скорость п2. В тео-
рии асинхронных машин скорость п2 оценивается через скольжение относитель-
носинхронной скорости вращения ноля статора :
Л, - «7
5 = —----.
«1
Иногда скольжение выражают в процентах:
"1. п* - юр %.
Ссинхпс>Ке ^еподвижном роторе) s=l, s = 0 соответствует движению ротора
О<8 < j рОИ скоростью. При работе асинхронной машины в качестве двигателя
°МннальнЬ1И режим работы двигателя наблюдается при 5 = 1-7%.
КоРос МйШина Работает в генераторном режиме, отдавая энергию в сеть.
ь вращения ротора
Кы Н2=(1-5)И1.
тока о
Ротора, если п выражается в оборотах в минуту, находим по формуле
60 п. 60 1
72
РоТоСЛ° ПаР ПОЛЮСОВ.
nr.-,’ ^Разуемое многофазной системой токов ротора вращается отно-
₽От°Ра со скоростью
Л, = 5П,.
274
Глава 17. Асинхронные электри
Значит, скорость вращения поля ротора относительно статора
н2 + и, = (1 - s)iii + snl= nt >
то есть поле ротора сохраняет неподвижность относительно поля
любом скольжении. Это позволяет продолжить аналогию с трансф ТйТоРа При
несмотря на то что в асинхронной машине мы имеем дело с вращаю Р‘Мат°Ром
лями. ЩиМИся
Сказанное ранее позволяет выстроить следующую цепочку причинно-
ных связей между переменными при анализе работы асинхронного СЛеДс1>ц.
д^игате *1я
Увеличение тормозного момента Мт на валу двигателя приводит к vb
скольжения, что, в свою очередь, за счет увеличения частоты токов опт 1ЧеН11|°
личивает ЭДС E2si °РаУве-
E2s= 4,44к2(р/]да2Фт = хЕ2.
Увеличение ЭДС ротора приводит к росту токов ротора /2s, которые усиливают
размагничивающее действие поля ротора. Постоянство суммарного потока прИ
увеличении размагничивающего действия поля ротора обеспечивается увеличе-
нием потребляемого из сети тока .
Эта цепочка взаимодействий связывает механическую мощность (МП) с элек-
трической (UI cos <р). При этом Е2 = 4,44к2/1да2Фт — ЭДС неподвижного ротора,
a E2s = 4,44к2х/1«'2Фга - sE2 — ЭДС вращающегося ротора.
Баланс напряжений в цепи статора:
+7,^+ >%,);
в цепи ротора:
^2s — 2^2 + j^2^2s’
где X2i — реальное индуктивное сопротивление рассеяния ротора, изменяют®
ся с изменением скольжения s и, следовательно, частоты /2.
Ток ротора (в фазе) I2 = — — это реальный ток с частотой /2-
-J R2 + X2s г
р вместо
можно привести к параметрам неподвижного ротора, подставив
и sX2 вместо X2s. В результате получим:
! =____s£
2
am1
пОстояНнЬ1М
то есть приведенный ток той же величины, действующий в цепи Св]1)К11оМУ
индуктивным сопротивлением рассеяния, соответствующим непоДВ^ ск0>цХ
тору, и активным сопротивлением Rs/s, изменяющимся с изменен зз
ния. Такое представление позволяет вместо выражения Ё2я = I>R>+ ?
сать соотношение в величинах, приведенных к неподвижному рот
^2= ^2 2^2-
275
Г асинхронного двигателя
лючение об относительной неподвижности полей ротора и статора
,ть!ваЯ заК ммарного магнитного потока, получим следующее уравнение на-
liKlwtml + I2K2w2m2- I0Klwiml.
личие от расчетов трансформатора, требуется учесть возможное раз-
Здесь в °^еСТВа фаз ротора (т,) и статора (т,):
и1ЧйеК0Л m,K.,w2
1П\К\ го,
как и параметры трансформатора, параметры ротора удобно выразить
^величин, приведенных к параметрам статора. Отличие заключается в том,
в коэффициенты трансформации по току и по напряжению различны из-за
ЧТ° ы в количестве фаз ротора и статора. В этом случае значение мощности
при выражении параметров ротора в приведенных величинах
Е'Г=—-Е 1 =—Е I
^2*2 г, ''2'2 ''2'2
К1
сохраняется, если учесть соотношение фаз статора и ротора.
Из соотношения
JZ . \ ?
m + y,2
I S )
можно получить приведенные сопротивления цепи ротора:
Рис. 17.3
276
Глава 17. Асинхронные
ЭЛеКТРИЧе^еч
В приведенных величинах получаем уравнения
[?, = -£, + Д (Я, + jXt);
E'=i'R^+Ji^x' =
s
= i'R^ + ji ;x' + /' — r'2.
s
Последнее уравнение показывает полную аналогию асинхронного
трансформатору, нагруженному на активное сопротивление R’
двчгаТел!)
ИЗМе11Я10
щееся с изменением скольжения (нагрузки на валу).
Эквивалентная схема и векторная диаграмма приведены на рис. 17 3 а и б
17.2.1. Порядок построения векторной диаграммы
ЭДС Е{ = Е' отстают от общего для ротора и статора магнитного потока Ф н
л/2. Ток I., в соответствии с эквивалентной схемой отстает от ЭДС £' из-за™на-
личия индуктивности рассеяния.
ЭДС Е'> при короткозамкнутом роторе уравновешивается падением напряжения
на активном и индуктивном сопротивлениях ротора.
Суммарное действие тока Д и эквивалентного трехфазного тока оказыва-
ющего то же размагничивающее действие, что и многофазный ток ротора 1г,да
ет намагничивающий ток 10. Последний опережает поток из-за наличия потерь
в магнитопроводе. Напряжение статора уравновешивается протнвоЭДС Et и па-
дениями напряжения на активном и индуктивном сопротивлениях рассеяния
якорной обмотки.
Механическую мощность из эквивалентной схемы можно представить как
5
Для практических расчетов часто пользуются упрощенной эквивалентно!
мой, изображенной на рис. 17.4.
Рис. 17.4
внося,,Г
Это так называемая схема с вынесенным намагничивающим
большие неточности, она существенно упрощает расчеты.
г лиаграмма и вращающий момент асинхронного двигателя 277
Рогети^каЯД -------------------------------------------------------------
17.3-ЭКеР
а1Ощий момент асинхронного двигателя
И 0Р0Щ , азования энергии в асинхронных двигателях наглядно можно
npoueccbl ПРсвпомоЩЬЮ энергетической диаграммы (рис. 17.5).
Рис. 17.5
На вход поступает электрическая мощность
Pj = mtUt Ц cos <Pj.
Если из нее вычесть потери на нагрев якорных обмоток рlt - и потери на
гистерезис и токи Фуко в магнитопроводе статора, то останется мощность, пере-
мая посредством электромагнитного поля от статора к ротору (иногда ее
бывают мощностью в зазоре)
м р™ = ^-(Ря + РеЗ-
найти ее иначе:
Р,„= М(£>1 =--------L Мк„,
г-ае _
MexaiT "Нищающий момент.
ХаничеСКая
Мощность, вычисляемая по формуле
ГДел/ Л,га=Ч“2-
^4ecKiix ruiap110” Момент’ Равпа электромагнитной мощности за вычетом элек-
На пРеодо11ТПЫХ потеРь в Р°'Г0Р(- Часть механической мощности затрачн-
|j ЯИесТь По°Ление Сил ТРСНИЯ 11 вентиляцию (механические потери), остав-
кПп,10к,ин;щ ЛеЗНая р>,О|Чность на валу двигателя.
^/2= /,Ь1Х Режимах работы скольжение составляет 1-7 %; частота токов
11 СлеДовательно, потерями в магнитопроводе ротора можно пренеб-
278
Глава 17. Асинхронные электрич
речь. Получим, что разница между электромагнитной и механиче
стью равна электрическим потерям в роторе: С К°*’
Рз2 = РзЫ ~ = w|M])p - w2MT.
При равномерном вращении
Моч.
В результате получим:
м„р=мт = м.
Рэ2=“>'М------- = ^РМ,
«1
то есть электрические потери в роторе пропорциональны электромагнитной
ности и скольжению. Из этой формулы легко получить зависимость
асинхронной машины от скольжения:
МОщ.
момента
. . Р г 2 п я t Hi t I 2 R2
М = Р-^-\ рэ2 = mJ2SR2-, М = —2 25 2
SCOj ' 50)!
или в приведенных величинах:
д/ = Р2
Из упрощенной эквивалентной схемы найдем:
(/ П' \2
— +(Х, + Х')2
Vk s )
Таким образом, получим:
М =
\ s J
R' \2
+ +(Х}+Х’)2
s )
= /(*)•
Следует отметить, что здесь получена зависимость момента от единстве ^аЦ[]1цЯ
менной — скольжения. Все остальные величины являются параметр
Выделим следующие особенности М = /(s'). гГ оД'
1. В области малых скольжений, имея в виду, что величины Rt • -^i ’ 2
ного порядка, получим:
.. mjjs .. ,
М = —!——; М = ks,
cOj R2
е) М0^
то есть при 0 <з <з„ (з„ — скольжение при номинальном Р
пропорционален скольжению.
диаграмма и вращающий момент асинхронного двигателя
Г тИЧеска^-----------------------------------------------------
дцерге
279
й-3
2-
3.
момент пропорционален квадрату напряжения. По этой причине
рраВ1а1°и1^1Цего напряжения предъявляются значительные требования. Если
кСети 1111 _ е11Ном моменте сопротивления на валу двигателя произойдет сни-
лри<|Г1Ре' яжения сети, то двигатель перейдет в режим работы с большим
лсеиие на свою очередь, электрические потери пропорциональны сколь-
сколь>ке довательно, машина будет перегреваться. Работа при понижен-
Ии*110’ ’ нин — основная причина сокращения срока службы и даже вы-
н°м НаХюя асинхронных двигателей.
хода!» С'!
«п, момента от скольжения имеет максимум при так называемом
Зависимое 1
критическом скольжении лк.
y[R'1l+(Xi + X,y “Х. + Х'
Л'
скольжение зависит от активного сопротивления цепи ротора.
25-30 %.
Критическое
Обычно 5К =
4 Максимальный момент
гоф. + ^ + сх. + х.')2]
от активного сопротивления цепи ротора не зависит. Это дает возможность,
меняя активное сопротивление цепи ротора, деформировать М = /(з) так, что
\ будет меняться без изменения М|1ИХ (рис. 17.6). При этом меняется и пус-
ковой момент.
4’ Иконой
6 ' Омент (пр» s = 1) Af„ < М гаах, что является существенным недо-
• В nr Чашины.
^Дастц
езавцСи н°Минальной работы s„ <sK. Чем круче характеристика, тем мень-
. °сть скорости от нагрузки и тем меньше потери на нагрев.
280
Глава 17 Асинхронные электри
1|е-кие,
7. Кривая моментов симметрична относительно начата координат ]1
ласти работы машины в качестве двигателя, как упомипатосг » Эт°м йпг
(в номинальном режиме s <$к). Если сторонним двигателем унеп’'J^sx
рость ротора до х < 0. то машина, потребляя из сети реактивную м U14lITb ск0.
дает в сеть активную мощность МП. (так называемый рекуперативны'П°СТЬ'Ог'
Режим работы, в котором х > 1, — противовключение — практик '
пользуется, так как в этом режиме машина, развивая сравнительно*111е',с’
шой тормозной момент, потребляет ток больший, чем ток корей кого Не001ь-
ния. При этом энергия расходуется на нагрев машины, что быстро п3а'1Ь1Ка’
к превышению допустимых для изоляции температур. пРИводит
17.4. Способы улучшения пусковых свойств
асинхронного двигателя
Для оценки пусковых свойств двигателя используются два параметра: кратность
пускового момента и кратность пускового тока.
Для асинхронного двигателя кратность пускового момента - отношение пуско-
вого момента к номинальному — составляет
М
Км = -^-=(0,7...1,5).
Мн
Кратность пускового тока — это отношение пускового тока к номинальному:
К,= Ь- = (4...7,5),
то есть при довольно больших токах двигатель при пуске развивает пеоолыпо
момент, двигатели некоторых типов — даже меньший, чем номинальным.
Для машин небольшой мощности, особенно таких, которые приводятся в Де11С*
вие механизмами с малым пусковым моментом (например, вентиляторы).^
меняют прямой пуск, то есть непосредственное включение в сеть. При этом
ходимо на время пуска заблокировать действие максимальной зашиты,
печить требуемое напряжение сети при пусковых режимах. На (епловои
работы пусковые токи влияют мало из-за их кратковременности.
Мощные машины (более 100 кВт), а также машины для привода сь-оро-
средств, используемые там. где требуется плавный регулируемый на ^го-
сти, имеют на роторе трехфазную обмотку, соединенную «звездой». ^ючИ^
рой выведены через скользящие контакты. Эти контакты 11изв0ЛЯКЯ коВойт01>
в цепь ротора добавочные сопротивления, которые ограничивают |( пусЬ<г
(рис. 17.7, а) и увеличивают критическое скольжение, а следователь
вой момент. сопР°т||В.
На рис. 17.7 изображена схема ступенчатого регулирования актив
ленпя в цепи ротора и приведены соответствующие характера । лусК*
вающне повышенный пусковой момент. После завершения пре1 маЯоМс1'°
мотки ротора закорачиваются, что обеспечивает малые потерн (»РИ ‘
женин) при номинальном режиме.
281
В такой схеме включаемые в цепь ротора сопротивления рас и копти-
чтобы сумма (R.+ R..+ R4) обеспечивала характеристику , для ко
ческое скольжение 5 = 1. Сопротивления (R,+ R2) должны о еспечить ‘
Ристику 2, для которой s соответствует точке пересечения характеристики1
'’Расчетного минимального пускового момента М2. Аналогично вьин с .
Явление R, для обеспечения характеристики 3. Наконец, при замыкани
т°ра накоротко машина переходит на наиболее экономичную ест ее
HJKTePHCTHKy с минимальным активным сопротивлением ротора. Замыка-
^«онтакгов К3; К2; К, производится от датчи-
тя КоР°сги или по мере снижения тока двигате-
его разгон.,
Я^^^ения пусковых свойств асинхронного
м°ткиеЛЯ ШиР°ко применяется конструкция об-
^(гп,0^3’ называемая двойной беличьей клегп-
•17^-
ъ4 Коне-г,
» *обм Т^кйия состоит из двух короткозамкну-
^ок»-стержнец Наружная клетка имеет
Льшое активное сопротивление и малое
282
Глава 17. Асинхронные элект
----------- ектРические
индуктивное сопротивление рассеяния, поскольку она расположена 6
обмотке статора. Внутренняя клетка имеет малое активное и, соответс КЯ1с°₽Нм
шое индуктивное сопротивления. СеНно, ”
Зависимость момента от скольжения при такой конструкции ротора \
нить как результат суммарного взаимодействия двух обмоток с разными 0|It-
сопротивлениями, как показано на рис. 17.9 (характеристики 1 и 2)
При этом при повышенной частоте токов ротора (при пуске) за счет повышенно-
го индуктивного сопротивления рассеяния (со£) внутренней обмотки ток вытес-
няется во внешнюю обмотку, обладающую большим активным сопротивлением,
но меньшим индуктивным. По мере разгона машины скольжение уменьшается и
соответственно, уменьшается индуктивное сопротивление. При скорости, близ
кой к синхронной, индуктивные сопротивления практически не влияют на ра
пределение токов и токи распределяются обратно пропорционально актив
сопротивлениям, то есть текут в основном по внутренней обмотке с малым
противлением цепи ротора. Это обеспечивает работу с малым гкоЛЬЗКесП0Лце-
следовательно, с малыми потерями. Хотя такая конструкция сложна в
нии, но может обеспечить почти идеальную характеристику, когда Разгс,Н пьНы>
ходит при максимальном моменте, а номинальная работа — при мн1
потерях (рис. 17.9, характеристика 3). па-
, r4V6oK»^
Несколько хуже характеристики у двигателей, имеющих ротор с *- аяееос°
зом. На рис. 17.10, а изображен один стержень такой обмотки. (|зкекваЯ
бенность состоит в том, что часть сечения стержня, расположенная ]аЯ чаП1"
обладает существенно большей индуктивностью рассеяния, чем нар> 1|Н-
В процессе пуска при большой частоте токов ротора ток за счет Pa^HOjj ча<^
дуктивных сопротивлений в разных частях витка вытесняется к иа^-)СоТе
витка. На рис. 17.10, б показано распределение плотности тока но я и
ня при пуске. По мере разгона ротора частота существенно снпЖ' аВн°^1к
ность тока по сечению становится практически одинаковой. • ?г° еН)<яс*
уменьшению активного сопротивления цепи ротора по мере умен
жения.
283
Рис. 17.10
За счет простой конструкции роторов с глубоким прямоугольным пазом удается
обеспечить удовлетворительные пусковые характерист ики двигателей мощностью
до десятков киловатт. В более мощных двигателях и для возможности регулиро-
вания применяются более сложные конфигурации пазов ротора, «двойные бели-
чьи клетки» и конструкции с фазным ротором.
17.5. Однофазные асинхронные двигатели
Конструкция однофазного асинхронного двигателя может быть очень простой.
Объясним, как может работать машина, схема которой приведена на рис. 17.11.
^сь
с„ТКа *п°люсов» включена на синусоидальное напряжение частотой со.
^Ную кбе На ротоР Действует пульсирующее магнитное поле. Ротор имеет
^^ВимР°ТКозамкнутую обмотку, такую же, как в грехфазных двигателях.
^В^До Г!УЛьсиРУкш1ее магнитное поле как результат взаимодействия маг-
врДЩающихся в разные стороны с угловой скоростью со.
КнУтый ротор, взаимодействуя с одной из составляющих пульсирую-
k ’ ^ожет развивать вращающий момент, зависимость которого от сколь-
284
Глава 17. Асинхронные электп
х
жения показана на рис. 17.12 в виде кривой 1. Кривая
значения скольжения s, = 2. Этому скольжению соответствует скот Д°'1ИсеНа
для выражения скорости вращения ротора относительно другой сост^116® '
магнитного поля, вращающейся в противоположном направлении 3- ln'lsIl0lUejj
суммарного момента от скольжения выражена кривой 3. 11сим°ск
В результате такого анализа видно, что это своеобразный двпгате ть
моментом, равным нулю. Но если ротору с помощью внешнего ус1пия"УС^°В1<м
какую-либо скорость в любом направлении, то появляется вращакиц11|^°(,”и1,11ь
направленный в ту же сторону. Если скорость такова, что соо гветгтву М°Мент
момент превышает момент сопротивления, то машина получит доио’й 10110,1 fii
ускорение и перейдет в точку устойчивого режима с малым скольже1Н1е.\1е1ЬН<*
:°вЫм
Попутно заметим, что трехфазный двигатель при небольшой нагрузке ^,озк^ярс-
должать вращаться при обрыве одной из фаз в так называемом одноф03'
жиме. Однако при этом скольжение и, следовательно, потери могут во.
сколько раз. оздаТ1)
Для обеспечения пуска однофазного двигателя надо хотя бы времени
вращающееся магнитное поле, способное во взаимодействии с РотО укЦ1цо.1,(1
требуемый пусковой момент. В таком случае часто используют конст
казанную на рис. 17.13.
Здесь, как и в описанной ранее конструкции (см. рис. 4.11), оснОВ11^^|аЯ
мотка включается в сеть синусоидального напряжения. Д(И1О '"°Г с03даТ1,вр(г
вая обмотка включается в ту же сеть через конденсатор так, ,,то°“|ерЯо */2’ „о-
магнитный поток, сдвинутый относительно основного на угол rlPII^Jp,1o °с1'
скольку ось полюсов пусковой обмотки расположена пеРГ1сПД|1К>уС1<»,
люсов основной обмотки, то в то время, пока нажата кнопка « - едоСт‘
превращается в двухфазную с вращающимся магнитным полем-1
асинхронные двигатели
285
^на ротора цепь пусковой обмотки размыкается и машина продолжает
цог° р н однофазном режиме.
ботать в
Пуск
Рис. 17.13
Можно, конечно, дополнительную обмотку оставить включенной постоянно. При
этом надо рассчитать ее на длительный режим. В этом случае машина хотя и ра-
ботает от однофазной сети, но по существу является двухфазным асинхронным
двигателем.
Эти двигатели называются конденсаторными и широко используются для быто-
вых нужд.
Дтя
создания двигателей небольших мощностей (единицы ватт) используются
п тРУКтивные схемы двигателей с расщепленными полюсами (рис. 17.14). В них
осуществляется от однофазной сети синусоидального напряжения.
Рис. 17.14
286
Глава 17 Асинхронные -w£,„,
--------------' РИЛескИе1
Принцип действия этого двигателя основан на образовании пращ-,
нитного ноля как результата взаимодействия пульсирующего м-,,. 'llriJt-K
по направлению оси г с пульсирующим полем по направлению осн 2 i °г° Г1ьн
но перпендикулярны). '°Си взд^
Благодаря короткозамкнутому витку, охватывающему часть магнит
по оси 2, последний отстает от потока по оси 1 на угол, близкий к лу2 Г° Потока
Как известно, два пульсирующих магнитных поля, расположенных п
лярно друг другу, в пространстве образуют круговое вращающееся ендИкУ-
поле, если между ними обеспечивается сдвиг по фазе на л/2. МагнчтнОе
В действительности такая система образует не круговое, а эллиптическое
ющееся магнитное поле, однако круговой его составляющей достаточно BPaiUa‘
во взаимодействии с короткозамкнутым ротором обеспечить некоторый'
вой момент. Такие машины широко применяются там, где можно дпплп^0^
ваться небольшим пусковым моментом, например в небольших вентиляторах си
стем охлаждения
В заключение отметим, что асинхронная машина благодаря простоте конструк-
ции и отсутствию скользящих контактов является самым распрос траненным дви-
гателем как в промышленности, так и в быту
Контрольные вопросы
1 Как устроена асинхронная машина?
2. Как выполнена обмогка статора? Ротора?
3. Каково взаимное расположение магнитных полей ротора и статора?
4. Как выражается ЭДС ротора при холостом ходе машины?
5. Что такое коэффициент трансформации по ЭДС?
6.
7.
8.
9.
10.
И.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
Что такое скольжение?
Каковы абсолютные и относительные скорости вращения магнитных
ротора и статора?
Воспроизведите логику взаимодействия механических и электрически-
зок асинхронного двигателя.
Каково соотношение между ЭДС вращающегося * * * * *
<2
и неподвижного ротор
Что такое коэффициент трансформации по току?
Как обосновать эквивалентную схему асинхронного двпгаюля.
Как из эквивалентной схемы выражается активная мощность-
Какова энергетическая диаграмма асинхронного двигателя? сХе''ь1П&1'
Как из энергетической диаграммы и упрощенной эквивалентно
чнть зависимость момента от скольжения? ?
Как зависимость момента от скольжения выразить на графике
От каких параметров зависят максимальный момент и кр»1»41
нне?
Каковы способы улучшения пусковых свойств асинхронного
вопросы
287
£
19
JO-
Ji.
2?
23-
пониженном напряжении сети и постоянной нагрузке на валу
ПоЧеМУльбуДет перегреваться?
'аВ,,ГаТ нить направление вращения асинхронного двигателя?
Как иЗЛ посОбы торможения асинхронного двигателя? Каковы возможности
Каковы ^{вН0СГЬ рекуперативного торможения?
и эФФеоСТОЯТ особенности работы асинхронного генератора?
В заключается принцип работы однофазного асинхронного двигателя?
^обеспечивается пусковой момент у однофазных асинхронных двигателей?
Глава 18
Машины постоянного тока
18.1. Устройство и принцип действия мащц
постоянного тока н
Компоновка электрических машин постоянного тока предусматривает
ние основных полюсов на статоре, а якорной обмотки, жестко соединенной,e,j
лектором, — на роторе. Размещение на вращающейся части обмоток и 1Скол‘
ванных коллекторных пластин требует особого конструктивною вьп113°Л1|Р°'
якорной обмотки. На рис. 18.1 показан один из его вариантов.
Бандаж
Клин
Наружная часть обмотки
Межслойная изоляция
Внутренняя часть обмотки
Рис. 18.1
В паз ротора машины, собранного из отдельных стальных плас гни (открытого
или закрытого типа), помещается два слоя обмоток, разделенных межсловной
изоляцией. Обмотка крепится клином и проволочными бандажами. Бандажа-
ми крепятся также лобовые части обмотки. Коллектор машины, изготовленн
из медного сплава, крепится на изолирующей шайбе «ласточкиным хвостом»
(рис. 18.2).
Коллекторная пластина
Изолирующая шайба
«Петушок» для соединения с
обмоткой
Рис. 18.2
Друг от друга пластины изолируются слюдяными прокладками. Щст*^ стато
ляются из графита или медио-графптовой композиции. ^’аГ1111ТОП^о11&чПтнЬ1^
ра, по которому замыкаются постоянные магнитные ноля, делаю! мс оТдед»|^
Полюса постоянных магнитов и полюсные наконечники набирают п' щ;, атзЬ
пластин только в мощных машинах, в которых возникают пулы*
же зубцовые ЭДС. соз1а^-
При вращении якоря в магнитном поле главных полюсов в его оо> ycfl^
ся переменные ЭДС, которые «выпрямляются» щеточно-коллекто!^ рер*
ством. Щетки располагаются так, чтобы закорачивание витка во вР
289
г принцип действия машин постоянного тока
на другую происходило тогда, когда этот виток не пересекает
одаой nJiaC 1ЛовЫХ линий, то есть находится на нейтрали, между полюсами
саГццтНь|Х СгоВорят: «щетки располагаются на нейтрали»). Фактически же щет-
вцХ так и «под полюсами». Дело в том, что коллекторные пластины при-
раСП°Л° соответствующим виткам через лобовые части, то есть сдвинуты на
^•"^еских градусов.
дО эЛеКТР
эДСмапн1НЬ1
Е = 4,44к(1/ФФ,„,
обмоточный коэффициент; / = — — частоты ЭДС при р пар полюсов
где ко ‘ 60
„ n mhhvtv; w — число витков обмотки; Ф„, — магнитный поток, об-
яЯоборотах в мппу .у,
S ппя главных полюсов и якорной обмотки.
шии Для 1
ЭДС можно также найти по формуле
Е = 4,44к — кФ = СЕпФт,
ьо
гдеС£ = 4,44к0 , то есть величина, зависящая от конструктивных параметров.
ЭДС пропорциональна скорости вращения и основному магнитном потоку. По-
следнее означает, что в пределах до насыщения существует возможность регули-
рования ЭДС (и напряжения для генераторов) за счет сравнительно небольшого
тока возбуждения.
Якорь машин включен в цепь постоянного тока. Баланс напряжений вычисляет-
ся по формуле
£ = П±/ЯДЯ,
ньтх^ 7 напРяжение на Щетках; Z, — ток якоря; £„ — сопротивление цепи якор-
зна моток- Знак «+» соответствует работе машины в качестве генератора;
у К * * ~ в качестве двигателя.
°жив последнее равенство на /я, получим электромагнитную мощность.
v El =UI ±I2R
Мощность к
Ростъ южно представить также как произведение момента на угловую ско-
Otar Р = М£1.
Оэтому Вь
ражение для момента будет таким:
= ф
Q (2ТОТ/60) " “
u 2*/60’
т г «ля генрп
Г °Ку яКо еРатора тормозной, а для двигателя вращающий) пропорциона-
Ря и главному магнитному потоку. Из этого следует, что момент,
290
Глава 18. Машинь ПОгт
т°»н
а следовательно, и скорость двигателя могут регулироваться за счет
мощности, расходуемой на возбуждение. He^Ojibb..
Кратко рассмотрев конструктивные особенности и принцип действия
стоянного тока, можем сформулировать их основные недостатки Мащчц
1. Высокая стоимость, обусловленная как сложностью конструкции
димостью создания специальных источников питания для двигателе К
2. Необходимость ухода за щеточно-коллекторным устройством
В то же время машины постоянного тока имеют следующие су
имущества перед другими типами машин.
'шественные
Пре.
1. Возможность регулирования скорости в широком диапазоне.
2. Большой пусковой момент.
3. Хорошие возможности рекуперативного торможения.
Эти преимущества предопределили повсеместное их распространение в качестве
тяговых на транспортных и подъемных машинах, экскаваторах, прокатных стан-
ках и т. д.
В качестве генераторов мощные машины используются в каскадах «генератор -
двигатель», обладающих гибкими возможностями регулирования. Машины по-
стоянного тока небольшой мощности применяются там, где основное электропи-
тание осуществляется на постоянном токе (бортовая сеть автомашин, самолетов,
резервные источники питания на радиостанциях и т. д.). Из-за возможности ре-
гулирования в широких пределах машины постоянного тока применяются в ка-
честве исполнительных в электромеханических устройствах автоматики.
18 .2. Реакция якоря машин постоянного тока
На характеристики машин постоянного тока существенное влияние оказываю
два явления — реакция якоря и коммутация.
Под реакцией якоря понимается воздействие магнитного поля якоря на ос”°
магнитное поле машины. В первом приближении такое взаимодейсгвне^
рассмотреть на рис. 18.3. Поле основных полюсов направлено сверху ча-
ки, расположенные вблизи геометрической нейтрали, делят обмотку иерхнс»’-
сти. При работе машины постоянного тока в качестве генератора токи
части направлены от наблюдателя, токи в нижней — к наблюдателю
поле якоря перпендикулярно полю основных полюсов.
д ft 0^"
Суммарный магнитный поток Фт поворачивается на некоторый
тельно основного потока Ф„м. На тот же угол повернется Л1 рЭрна (.
нейтраль), соединяющая точки якоря, в которых ЭДС витков якор Р геОме1Р
При холостом ходе генератора, когда токи равны нулю, физическа
ческая нейтрали совпадают. Угол а зависит от величины нагрузки-
Более подробно реакцию якоря можно рассмотреть с учетом насы
топровода машины.
главных^А из°бражены графики развертки с нанесением индукции в зазоре от
Люсов ПОЛ1°СОВ 1, реакции якоря 2 и суммарной индукции 3. От главных по-
ку.но "НДУКЦИЯ РаспРеДелена по трапеции, от реакции якоря — по треугольни-
4игцц1_,Некот<)РЬ1м снижением в межполюсном промежутке за счет повышенного
ШеНия сопротивления. При суммировании следует учесть, что из-за насы-
ЧИя в за,- 1ОЖность сложения индукции ограничена, поэтому суммарная индук-
°Ре СНИжается (области серого цвета). Таким образом, с увеличением
Q коря, то есть с увеличением тока якоря, происходит:
Q Зической нейтрали относительно геометрической на угол а =/(/„);
Q Осда^е'1Не РаспРеДеления индукции в зазоре;
к Магнитного протока, если магнитная система машины близка
**е^тРали НИЮ’ ^Н° может наблюдаться также, если щетки расположить не на
292
Глава 18, МаШИнЬ|
18 .3. Коммутация в машинах постоянного
Коммутацией называют процесс переключения секции из одной
ветви в другую, связанный с ее закорачиванием. 1
На рис. 18.5 показан процесс коммутации секции. Выделены тп
щетки: Р" n°-'o*eHlf8
□ щетка соединена с первой коллекторной пластиной:
□
щетка закорачивает первую и вторую коллекторные пластины
но, закорачивает выделенную секцию;
11,СЛедовате.1ь.
□ щетка располагается на второй коллекторной пластине.
Рис. 18.5
На рисунке видно, что в процессе коммутации ток в секции меняет свое напр^
ление с (+/я) до (-7Я). Через щетку при всех положениях протекает ток^-
втором положении при закорачивании щетки в секции также возникает
мутации i. Через первую коллекторную пластину протекает ток = 4 + ’’
вторую 12 = /я - i. Изменение тока в секции вызывает появление ЭДС гам
г di
ции eL - - L —, стремящейся замедлить изменение тока.
z/Z , сеГ'
Если щетки расположены не на физической нейтрали, то комму п'Р'
ция пронизывается магнитным потоком и в ней наводятся ЭДС ПР (1, нав°
Фактически, щетка шире, чем коллекторная пластина, поэтому в с
дится также ЭДС взаимоиндукции. Если добиться того, чтобы все.’п^ лря-'10'1^.
новешивали друг друга, £ е = О, то будет обеспечена так называеа ‘ ]Мц
нейная коммутация. При этом токи распределяются между коллек ^дастИ**1
станами обратно пропорционально сопротивлениям контакта ihctki
то есть пропорционально площадям контакта S:
293
Г машинах постоянного тока
------------
10 s-
Z'l _ Л + * _
h Л -' Ri
5, _ T-t
S2 t
У _ период коммутации. Отсюда i = / 11 - М |
*Е" Т'
пиг 18.6 показано изменение токов пп..
пропорциональны площадям контактов что 06^0"“°" КОММутации- Токи /,
„ределение плотности тока по всей площади щетки п" равномеРное рас-
дИт через первую коллекторную пластину пои / - т ~ ° весь ток 24 прохо-
’ ’ 1 1 через вторую.
Рис. 18.6
Если ЭДС самоиндукции (и взаимоиндукции) преобладает над ЭДС вращения,
п >е»’ то процесс коммутации замедляется (пунктирная линия на рис. 17.6).
этом плотность тока под сбегающей частью щетки становится больше, чем
Т "абегающей- и возникает добавочное искрение по краю этой части щетки,
е искрение, усилившись, может вызвать «круговой огонь» на коллекторе, то
скОл^ Рпйную ситуацию. Поэтому необходимо добиться равномерной или не-
Ускоренной коммутации. Это достигается двумя способами:
1Ф^Л0М0ЩНЫХ машинах тетки сдвигают с геометрической нейтрали не на
двищЧеСКую нейтРаль> а на Угол ₽ > ос (для генератора по ходу вращения, для
Лярн еля — против), помещая коммутируемую секцию под полюс другой по-
Л **>йщСТИ ^°биться точно прямолинейной коммутации этим способом невоз-
3 в °’ так как а зависит от нагрузки машины;
Доц0/ННах большой мощности на геометрической нейтрали устанавливают
Ную ‘’тельные полюса, обмотки которых включают последовательно в якор-
1’еЧ1П| Л’ Таким образом можно добиться компенсации реакции якоря и обес-
ДукЦн ДС вращения, уравновешивающую ЭДС самоиндукции и взаимоин-
^Нит, ричем ПРИ увеличении нагрузки машины увеличивается поток до-
^5 еЛьных полюсов, и компенсацию можно получить при любых режимах
F111 машины.
294
Глава 18. Машины постоянного
18.4. Работа машины постоянного тока
в качестве генератора
Рассмотрим работу машин постоянного тока в качестве генераторов. Несколько
подробнее остановимся на генераторе независимого возбуждения. Схематически
его можно выразить (рис. 18.7) в виде цепи якоря с переменным резистором-на-
грузкой RH и цепи возбуждения с независимым источником U и резистором-регу.
лятором тока возбуждения Ra. Здесь и далее подразумевается (если нет спецц.
альной оговорки), что ротор генератора вращается сторонним первичным двига-
телем с постоянной скоростью. В свойствах такого генератора можно разобраться
используя несколько характеристик: характеристику холостого хода, а также
внешнюю и регулировочную характеристики.
Характеристика холостого хода — это зависимость напряжения холостого хода
(то есть ЭДС) от тока возбуждения (рис. 18.8), протекающего через обмотку воз-
буждения (ОВ).
Ранее было получено соотношение Е = СЕпФт, значит, при п = const эта зависи
мость повторяет кривую намагничивания В = f (Н).
При небольших токах возбуждения можно считать, что поток пропорци<’наЛе1
току возбуждения:
Е ~ С1Еп1 в.
4. Работа машины постоянного тока в качестве генератора 295
Ари этом надо учитывать два обстоятельства. При токе 7 u = О [Д х * 0 за счет оста-
т0чного намагничивания. Это напряжение хотя и невелико, но имеет решающее
значение для самовозбуждения, когда обмотки возбуждения так или иначе под-
чинены к цепи якоря. По достижении некоторого значения тока возбуждения
происходит насыщение магнитной системы машины, и дальнейший рост тока
уясе не вызывает увеличения магнитного потока, а следовательно, ЭДС машины.
Номинальный ток возбуждения обычно соответствует колену кривой намагни-
чивания. Это, с одной стороны, полностью загружает магнитную систему, а с дру-
гой — сохраняет некоторые возможности регулирования в сторону увеличения
ЭДС для компенсации падения напряжения при увеличении нагрузки.
Внешняя характеристика — это зависимость напряжения от тока нагрузки
(рис. 18.9).
Это самая показательная характеристика любого источника питания. При экспе-
рименте Iв = const и п - const, и можно приближенно считать U = Е -1ЯК„, то
есть внешняя характеристика представляет собой прямую линию. Начало Uxx = Е
определится током возбуждения по характеристике холостого хода. Отклонение
фактической характеристики от прямой связано с уменьшением суммарного по-
тока при большой реакции якоря. За счет установления более высокого напря-
жения холостого хода можно повысить напряжение при номинальном режиме.
п = const; 7В - const
Рис. 18.9
Регулировочная характеристика — это зависимость тока возбуждения от тока на-
гРузки, используемая для поддержания постоянного напряжения (при п - const
Всегда U= const). При небольших нагрузках характеристика должна обеспечить
Компенсацию падения напряжения /я7?я. При более высоких нагрузках повыше-
ние тока возбуждения должно компенсировать также снижение напряжения за
счет уменьшения магнитного потока, вызванного увеличивающейся реакцией
я«оря. Резкий подъем характеристики при !„>!„ говорит об ограниченных воз-
можностях регулирования в сторону увеличения ЭДС из-за насыщения Магнит-
кой системы.
Характеристика приведена на рис. 18.10.
296
Глава 18- Машины ПОст
18.4.1. Особенности характеристик генератора
параллельного возбуждения
Схема генератора параллельного возбуждения изображена па рцс jg
Характеристика холостого хода здесь такая же, как и у генератора
мым возбуждением, поскольку получена при питании возбуждения С Не3аВисц
мого источника. °Г НезавИсц
Характеристика самовозбуждения. На характеристику холостого
но нанести зависимость напряжения на щетках якоря от тока цепи м°«-
(рис. 18.12). Угол р характеризует сопротивление цепи возбуждения-3 У>КдеНи«
£„=Ktgp = p.
1 и
При определенном сопротивлении цепи возбуждения режим работы генератор3
(на холостом ходу) установится в точке А. Если сопротивление будет велико
(например, равно к tg 0'), то машина не самовозбудится. Таким образом, для Н°Р
мальной работы генератора с параллельным возбуждением необходимы хоТ^еС.
небольшое остаточное намагничивание и сопротивление цепи возбужден|,я’
печивающее положение точки А характеристики самовозбуждения воли31’
на кривой намагничивания. артсЯ
Внешняя характеристика. При нагрузке генератора напряжение -,меН*1 TnB.ie-
не только за счет падения напряжения в цепи якоря на активном его с
нии и уменьшения суммарного магнитного потока якоря, но и за счет ме цмг
тока возбуждения при снижении напряжения на щетках. То есть в си ^у
ется отрицательная обратная связь: уменьшение напряжения 11111 ^jpn 4pfT11
ждения, последнее приводит к уменьшению напряжения (рнс. 18.1 )
жении некоторого тока нагрузки
Анах (Ц’КССС
происходит сброс нагрузки и машина начинает работать в режиме Е)ЧнЫ>|
мыкания. Ток этого режима невелик, так как обусловлен только о
магничиванием (/в = 0).
297
генератора с последовательным возбуждением (рис. 18 14, а) имеет смысл
только внешняя характеристика (рис. 18.14, б).
б
а
Рис. 18.14
Тт
этой характеристике Uo — напряжение, которое возникает за счет остаточного
^агничивания при токе нагрузки и, следовательно, токе возбуждения, равных
Н^ЛЮ' Т°к нагрузки, проходя по обмотке возбуждения, увеличивает напряжение
Нитогф1МаХ машины- Увеличение напряжения ограничивается насыщением маг-
^КтроТ ГенеРатоРы постоянного тока, особенно применяемые для создания
Неск0л,ПРИводов по системе «генератор — двигатель» (Г — Д), часто снабжаются
ПосЛеДов МИ °®мотками возбуждения. Некоторые из них могут быть включены
ЧИяйап а1ельно’согласно с независимыми обмотками для компенсации паде-
в°'встреч 6НИя с Ростом нагрузки; могут включаться обмотки и последователь-
ТагЬся от Н° ДЛЯ огРаничения перегрузок. Другие обмотки возбуждения могут пи-
^НИя СПециальпых средств автоматики, обеспечивая гибкую систему регули-
^енцть в0
Ц^Рист °31Иожность параллельной работы генераторов можно по внешним ха-
На рис. 18.15, а изображена схема соединения двух генераторов,
х на общую нагрузку. Для них
Л. = Л,1 + Л.2-
298
Регулировкой токов возбуждения можно легко изменить внешние хаРакТ^сПе-
ки генераторов (рис. 18.15, б) и, поддерживая требуемое напряжение 0
чить заданное распределение нагрузки между генераторами.
Можно добиться того, что ток одного из генераторов (например. Л будет
вым. При отключении соответствующего контактора напряжение на^ оВ до
равно нулю. Если требуется включить генератор, то, доведя число во.чьт'
номинала, ток возбуждения нужно отрегулировать так, чтобы показ тЬ бе3
метра было равно нулю. При этом £, = U,,, и включение можно вып
бросков тока.
В системах, где применяется параллельная работа генераторов. тРе'”)'<. возН,,к,
печить их защиту от работы в двигательном режиме, который м°ЖцеПей в°3
нуть из-за неполадок при регулировании первичных двигателей или
буждения.
постоянного тока в качестве двигателей
-----------------------------------
299
оябота машин постоянного тока
1в'8честве двигателей
® nnvqeHbi соотношения для ЭДС якоря
а₽е были полу
Е = СЕпФт
для момента м = Сы1яФ.
при работе машины постоянного тока в качестве двигателя направ-
дДС якор5^но напряжению сети. Разница между ЭДС и напряжением сети со-
лена вс Р яжение на сопротивлении якоря (вместе с возможным добавочным
сгавляет н п
сопротивлением RJ-
U-E
'я“ R» + Ra'
П и пуске двигателя, то есть п = О, Е - 0, хотя и обеспечивается наибольший пус-
ковой момент при Ra - 0, но возникают чрезмерные пусковые токи. Кратность
пускового тока достигает 10-30 раз, поэтому мощные машины включаются через
добавочные сопротивления при максимальном токе возбуждения.
При нормальной работе
_и-СЕпФ
Я
R„
откуда
П = ---Л_5_
С£Ф
10 есть скорость пропорциональна напряжению и обратно пропорциональна маг-
“пиому потоку. Отсюда вытекает, что для двигателей существуют широкие воз-
тока”00™ РегУлиРования за счет напряжения — якорное регулирование и за счет
П возбуждения — полюсное регулирование.
е некоторых преобразований получим:
U
п =----
СЕФ
. Л 1 1 м
= п0 1----- = пв 1-------
Л мп
о
о
U
г*п0 = U
~ скорость идеального холостого хода; 1П — пусковой ток; Ми —
Исковой м
ЧоеДоба Омент; Дя — сопротивление цепи якоря, включающее в себя возмож-
^еДУет °ЧН°е сопРотивление.
Jiftb нап^^аТИТЬ внимание на то, что для реверса машины надо поменять поляр-
РЯЖения на якоре или на обмотке возбуждения, но не вместе на внеш-
МЭХ машины> к которым внутри присоединена обмотка возбуждения,
е ХаРактерные механические характеристики двигателя параллельного
* Ия изображены на рис. 18.16.
300
Глава 18 Машины
Характеристика 1 — «жесткая», с малой зависимостью скорости от нагрузки м0
жет быть получена при максимальном магнитном потоке. Характеристика 2 по
лучится «мягче», если уменьшить ток возбуждения. При этом уменьшится пус-
ковой момент и увеличится скорость холостого хода. Если еще уменьшить ток
возбуждения, то характеристику можно сделать «мягче». Надо иметь в виду, что
режимы работы двигателя без нагрузки при малых токах возбуждения могут
стать опасными (двигатель идет вразнос) из-за опасности механических повреж-
дений при чрезмерных скоростях. Серия характеристик рис. 18.16 определяет
возможности полюсного регулирования.
При якорном регулировании, если включается добавочное сопротивление в цепь
якоря, получаются характеристики, показанные на рис. 18.17.
J А’ м^Т
Такой вид характеристики можно объяснить тем, что при изменен"^.^рость
ся пусковой ток, U/R„. и, следовательно, меняется пусковой момент.
при этом не меняется. пр011’^
Полюсное регулирование неэкономично, так как через добавочное со^
ние протекает весь ток нагрузки. Наиболее гибкое регулирование
301
г постоянного тока в качестве двигателей
1В-5'
ее регулирование по системе «генератор — двигатель». В этом слу-
111£,еС>1 возможным полюсным регулированием двигателя применяется ре-
наР^У е напряжения генератора путем изменения сравнительно небольших
^'Р^его обм°тках возбуждения.
foK°B 8 с параллельным возбуждением обладает свойством саморегулирова-
ДвИгатеЛЬ «сличении тормозного момента (М,) снижается скорость, что приво-
Н11Я- ^Р^ецию противоЭДС и, следовательно, к увеличению тока якоря:
дцткСЙ _U-E
k~~rT'
₽ние тока якоря приводит к росту действующего момента, Мд= СМ/ИФИ,
•®еЛ ,оА«дет восстановлено равновесие
пока не
М = Мг.
18 5-1- Торможение двигателей постоянного тока
Применение двигателей постоянного тока на транспортных машинах определяет
необходимость эффективного торможения. Можно применять три вида тормо-
жения:
О противовключение (реверс);
□ рекуперативное торможение;
□ динамическое торможение.
Уже упоминалось, что для реверса машины требуется изменить полярность либо
включения якоря, либо обмотки возбуждения. Если в двигателе, развивающем
действующий момент, направленный в сторону вращения, таким образом изме-
нить полярность, это будет равнозначно изменению направления тока якоря.
Вместо
1
U-E
«Г
п°лучим:
Л
-U-E
R + Ra '
вУющцй момент изменит свой знак и может существенно возрасти:
\U-E\«\-U-E\.
Ч) к;е3меРно большом токе это приводит к блокировке и даже пробуксовыва-
^Рийи С тРансп°ртных средств. Поэтому этот вид торможения применяется как
^Пе ' И В цепь ЯКОРЯ обязательно включается добавочное сопротивление.
Р*Усть Дивное торможение рассмотрим для случая полюсного регулирования.
°Т0Р°е транспортное средство движется со скоростью, соответствую-
М*с1'еп1НаЛЬНОМУ Ч1,СЛУ оборотов двигателя пх, развивая момент М„ (рис. 18.18,
гЙНть < тЧка 7). Если увеличить ток возбуждения, работа машины будет про-
1 IJiacHo характеристике 2. Но скорость машины мгновенно не меняется
302
Глава 18. Машины noc-m.,
~—- -~LhHoro ,
Ч
и останется и,. Этой скорости на характеристике соответствует момент
го знака — тормозной момент Мг. При том же противодействующем * °^РатНо.
активном торможении двигателем произойдет снижение скорости д0 M°'MetlTe Ц
гично, если скорость транспортного средства превысит скорость хою-2 ^’Чо-
привода и0, то машина начнет развивать противодействующий момент Г°х%
перейдет в режим генератора с отдачей энергии в сеть. ’ т° есть
Режим динамического торможения создастся, если, не отключая обмотку возбу-
ждения, включить якорную цепь на добавочное сопротивление (рис. 18.19). Ма-
шина будет работать в режиме генератора, создавая тормозной момент. Энергия
при этом расходуется на 7?д.
Рис. 18.19
При динамическом торможении и торможении противовключением э и ться
добавочных сопротивлениях расходуется в виде тепла и может испол
для обогрева в холодное время года.
18.5.2. Особенности двигателя
последовательного возбуждения
В двигателе последовательного возбуждения (рис. 18.20)
обмотка возоУ^
включается последовательно в цепь якоря.
М = См/яФи =С1м/я2,
то есть момент пропорционален квадрату тока якоря.
Эта формула показывает, что одной из особенностей машины является высокий
пусковой момент. Некоторые отклонения от квадратичной характеристики свя-
заны с насыщением магнитопровода (рис. 18.21).
Другая особенность машины последовательного возбуждения связана с тем, что
при холостом ходе, когда 1Я - 1в~ 0, она развивает чрезмерно большую скорость:
U U
° СФ С,/„
Этим вызван категорический запрет работы машины без нагрузки.
На практике М > 0,25Л/н. Механическая характеристика п = приведена на
рис. 18.22.
Машину с возможностью реверса часто конструируют с двумя обмотками возбу-
ждения, создающими магнитный поток основных полюсов разных направлений
(Рис. 18.23). Так делается, чтобы упростить коммутационную аппаратуру.
^ля ^пользования режима рекуперативного торможения обмотки возбуждения
включаются на параллельную работу.
₽ИС. 18.22
Рис. 18.23
304
Глава 1В. Машины Ппгт
18.5.3. Универсальный коллекторный двигатель
Как уже упоминалось, если в коллекторной машине одновременно
лярность якорной обмотки и обмотки возбуждения, то направление
машины, а следовательно, и направление действующего момента нс ।
Поэтому коллекторная машина способна работать, питаясь от сети
ного тока. При этом надо учитывать два обстоятельства:
□
□
Щ е‘Я1Тьп0.
'Зените,
с,п,Усондаль
момент на валу машины, сохраняя постоянным направление, будет изменятьс
по времени, то есть будет пульсировать, что создает трудности для получен^
удовлетворительных характеристик более или менее мощных машин, приво-
дит к дополнительному искрению за счет колебаний физической нейтрали н т. д-
реально можно использовать только машину с последовательным возбужде-
нием, где ток якоря и поток синфазны. В машинах с параллельным возбуж-
дением из-за существенной разницы в индуктивностях оомогок якоря и воз-
буждения сдвиг по фазе между соответствующими токами обусловливает
максимум потока и максимум тока якоря, сдвинутые по фазе на угол, близ-
кий к п/2, что, в свою очередь, существенно снижает момент на валу машины
(в пределе М = 0).
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
И.
12.
13.
14.
15.
16.
Каково устройство машин постоянного тока?
Как соединяется якорная обмотка с коллектором?
Назовите преимущества и недостатки двигателей постоянного тока.
От каких параметров зависит ЭДС машины постоянного гока?
От каких параметров зависит момент на валу машины?
Каково влияние реакции якоря на суммарный магнитный поток?
Что такое прямолинейная коммутация?
Как обеспечивается улучшение коммутации?
Объясните особенности характеристик генератора независимого возбужден*01
Каковы условия самовозбуждения генератора параллельного возбужден* *
Нарисуйте внешнюю характеристику генератора последовательного в
дения и объясните особенности ее вида.
Как распределяется нагрузка при параллельной работе генераторов
мого возбуждения? тоКа
Нарисуйте серию механических характеристик двигателя постоянной
при различных токах возбуждения и объясните особенности их вида-
Что такое полюсное и якорное регулирование?
Каковы возможности торможения двигателей постоянного тока?
Как осуществить реверс двигателя постоянного тока? „яте-1*’
17. Каковы особенности механической характеристики двигателя по
ного возбуждения?
18. Каков принцип работы универсального коллекторного двигателя-
19
синхр°нные электРические машины
1 Принцип работы, ЭДС, реакция якоря
иной электрическом машиной называют машину, в которой ротор враща-
скоростью вращения магнитного поля. Ротор представляет собой элек-
еТСЯ иТ (или постоянный магнит — в маломощных машинах), напряжение на
1^°М полается от внешнего источника через контактные кольца и щетки.
KOTOpb* f <->
тая обмотка расположена на статоре и представляет сооои двухслойную рас-
пределенную барабанную обмотку, соединенную «звездой» или «треугольником».
Синхронные машины (за исключением специальных) обычно используются в ка-
честве мощных генераторов или мощных двигателей, подвергающихся воздейст-
вию длительной постоянной нагрузки (вентиляторы, компрессорные станции,
первичный двигатель в системе «генератор — двигатель» и т. д.). В любом случае
машина включается в достаточно мощную трехфазную сеть. Включение и регу-
лирование машины происходит при неизменном напряжении на ее зажимах. Это
п будет подразумеваться, если не сделано явной оговорки. Конструктивно ротор
машины выполняется двух типов: явнополюсный и неявнополюсный. Как прави-
ло, машины с явнополюсным ротором делаются тихоходными с большим числом
пар полюсов. Быстроходные машины с неявнополюсным ротором выполняются
С одной-двумя парами полюсов. Важно отметить следующую особенность неяв-
нополюсной машины — она имеет одинаковое магнитное сопротивление по всем
направлениям.
В определенном смысле синхронная машина (как и другие типы машин) — это
ана взаимодействующих электромагнита. На конструктивной схеме (рис. 19.1)
Определенная якорная трехфазная обмотка условно изображена в виде трех ка-
2Шек- Взаимодействуя с магнитным полем вращающегося ротора, каждая фаза
^ерирует ЭДС
Ео = 4,44к’к0/Ф0.
ЬФО и £0 - соответственно, магнитный поток ротора и ЭДС при отсутст-
НагРУзки (/я = 0); f = , где п — скорость вращения машины, об./мин. Ос-
Чшыр с 60
ц I ооозначения уже встречались.
что введение понятия «электрический градус» дает возможность, рас-
|'°ЛюСоВ^Я ДВУХПОЛ1ОСНУЮ машину, делать обобщения для любого количества пар
КИ с<)елИ|1ены «звездой» или «треугольником» и машина включена
г'Ч,) егричнУЮ резистивную нагрузку (нагрузка потребляет активную мощ-
П*Сц^° еСТЬ Ток совпалает 110 Фазе с напряжением, то образующаяся трехфаз-
I СМа токов создает магнитное поле, вращающееся со скоростью
пЛ.
Р
306
Глава 19. Синхронные электрич.
Как видим, скорость вращения поля совпадает со скоростью враще.
поэтому поля ротора и статора взаимно неподвижны. Направления т Я ' °Тс)Ра,
тивной части витка, расположенного под северным полюсом, — t)T цаб°КОв В
а расположенного под южным — к наблюдателю. Поэтому поле р(‘ак]Л1°ДаТел*>,
направлено поперек поля основных полюсов, взаимодействие полей соч ' Як°Ря
тиводействующий момент. С| ,|Ро-
В случае работы генератора на индуктивную нагрузку токи отстают
на угол л/2. Этому случаю соответствует такое же распределение токов nJ
(рис. 19.1), но в этом случае ротор повернут на угол п/2 в сторону вращениСХеМе
акция якоря будет продольной — размагничивающей. При совпадении полей
тора и статора по направлению противодействующий момент не возникает
тивная мощность равна нулю.
Если генератор нагружен на чисто емкостную нагрузку, то распределению токо
на рис. 19.1 соответствует ротор, повернутый на угол л/2 против вращения Рщк
ция якоря продольная — намагничивающая, активная мощность и противодейст-
вующий момент равны нулю. Отсюда следует, что активной мощности соответ-
ствует поперечная реакция якоря, а реактивной — продольная. В общем случае
при работе на смешанную нагрузку (активно-емкостную или активно-индуктив-
ную) реакция якоря имеет как продольную, так и поперечную составляющие.
Рис. 19.1
оСНОВНь*Х
изображены вращающиеся векторы магнитного потока ^узке.
поток якоря Фа, соответствующий активно-индуктивно! ^оверцут
"'’гППЬ|11 -3цИЯ
ЛЬТ"'
На рис. 19.2
полюсов Фо,
и результирующий поток в зазоре Фй. Угол 0 — это угол, на который
ротор относительно результирующего потока. Получается эффект растЗу.пь--
магнитных силовых линий. Ротор стремится занять положение n'a0JBbDpaiueH1,,°'
рующего поля, и поэтому возникает момент, противодействуют11*1 состав-пя1<’
Как увидим в дальнейшем, с углом 0 и, следовательно, с поперечной ^щноФ’
щей реакции якоря связаны противодействующий момент и активная c]lJ1o₽*^
генератора. При работе в качестве двигателя растягивание магнит* oClaB^
линий происходит в противоположную сторону, угол 0 и поперечная
щая реакции якоря меняют свой знак.
307
Г агоамма и эквивалентная схема
ВектоРнаяДИ
I9-Z-
ых рассуждениях не учитывалась возможная разница в магнитных
рпрчведеИ иЯХ по продольной и поперечной осям, что справедливо для неявно-
соПР°т11ВЛСконструкнии ротора. При явнополюсном роторе различают попереч-
nofljoc11011 ную составляющие реакции якоря.
«ю И прод°лы у „
НУ10 “ ем каждой составляющей магнитного поля оудем ставить в соответ-
g дальне’ обязующуюся в результате взаимодействия якорной обмотки с этой
пол»:
„яс F соответствует потоку Фо,
ЭДС Е, соответствует потоку Фа.
лго в любой машине имеются поля рассеяния, которые в дальнейшем
Кроме то1и> _
будем учитывать в виде Ер.
19.2. Векторная диаграмма и эквивалентная
схема
Векторную диаграмму токов и напряжений синхронного генератора будем стро-
ить в следующем порядке (рис. 19.3).
Сложим
2.
3.
4.
Рис. 19.3
в произвольном направлении (ио горизонтали)
К ЭТОМУ вектору, определяемым характером
вуюш,"’Сопротивлением синхронной машины, отложим ЭДС Е, и соответст-
И ей поток Фо, опережающий ЭДС на л/2.
Дь’ваяс1Ь1ВаеМ поток Реакнии якоря Фа, совпадающий по фазе с током. Скла-
0т с потоком Ф(), он образует результирующий поток Ф8.
Век-ро М ЭДС Е6, отстающую от потока Ф8 на л/2.
^Ствую°Т°Ка Р^сеяния Фр проводим совпадающим по фазе с током, а соот-
^*Лад 1ЦУЮ ~ отстающую от потока на л/2.
С°пРотиваЯ ЭДС Ео, Ея и Ер и учитывая падение напряжения на активном
ении цепи якоря IRn, получим напряжение на зажимах генерато-
вектор тока якоря,
нагрузки и индук-
308
Глава 19. Синхронные
ЭЛектРичеСКие^
ра, сдвинутое на угол <р относительно тока. Активная мощность
= UI cos (р
(ОДНойФаз1<)
Угол 6, на который растягиваются силовые линии, соответствует уГзу
и £g. Если пренебречь небольшим падением напряжения на активном £
лении и индуктивном сопротивлении рассеяния, то получим СОг,Р°тцв.
U = Е6.
Таким образом, векторная диаграмма существенно упрощается (pt
ic. 19.4).
Рис. 19.5
ЭДС £а перпендикулярна току, поэтому можно заменить ее падением напряже-
ния на некотором эквивалентном индуктивном сопротивлении, называемом син-
хронным сопротивлением машины А'г.
В соответствии с упрощенной векторной диаграммой эквивалентную схему ма-
шины можно выразить как схему идеального источника напряжения Ео с после-
довательно включенным индуктивным сопротивлением А’,, (рис. 19.5) Падение
напряжения на этом сопротивлении эквивалентно действию реакции якоря.
19.3. Характеристики синхронного генератора
Внешняя характеристика. Эта характеристика автономного генератора
вает зависимость напряжения от нагрузки. Обычно опа строится при £„- с
п - const, <рн = const. ха.
На рис. 19.6 показаны три возможных варианта характеристик. При со^еиИЯ на
рактеристика /) снижение напряжения происходит из-за падения наир
синхронном сопротивлении (/АД на активном сопротивлении як0Ри011 аСЬцце-
(/£„„), а также некоторого снижения суммарного магнитного потока nP*^iBJl0-aK-
нии магнитной системы. Пр>
тивной нагрузке дополпптелы прОцсх°'
напряжения на зажимах генератор^ьнОй р*"13
дит в результате воздействия прол0^^яКОрЯ
магничиваюшей составляющей Реа\. HafP'3
(кривая 2) При активно-емкост^^ ^р^
ке продольная составляющая Рса ^т0 в
имеет подмагничивающий хаРа1С1<ве1СоТ°Р^ j
делах до насыщения, приводит к
увеличению напряжения (криваЯ
309
ерИстики синхронного генератора
)9.3
,е характер3 нагрузки на внешнюю
ной диаграмме (рис. 19.7).
вЕЬ не113менном токе возбуждения £0 =
ПР , []ри одинаковой нагрузке |/| =
, соп51' 1
' oiist и изменяющимся угле (р конец
* «тора тока скользит по лУге окружно-
"СК На диаграмме показаны два вари-
СТ*та векторных диаграмм: с индуктив-
ауМ оТстающим током /, и емкостным
опережающим током /2. В первом слу-
чае ЭДС, соответствующая реакции яко-
ря (перпендикулярно току), приводит к
снижению напряжения. Во втором слу-
чае напряжение превышает ЭДС £0.
характеристику можно проследить на
Момент на валу машины. Пусть машина (генератор) работает на общую мощ-
ную сеть, то есть U = const при Iu = const. В этом случае £0 = const Мощность на
валу машины составляет
Рф= mUI cos<p,
где т— число фаз.
Электромагнитная мощность определяется по формуле
m£0/cosy.
Из упрощенной векторной диаграммы (рис. 19.8) (потерями на активном сопро-
пшлении I Rm пренебрегаем) следует, что эти мощности равны. Эта мощность
предается от ротора к статору посредством взаимодействия магнитных полей.
Из расчета на одну фазу
Pv = £0/ cosy = £0/sinot.
since = — =
AC IX,. ’
Вательно,
£
-Р<р= mU —sine = MCI.
310
Глава 19. Синхронные электрцчес
При постоянстве угловой скорости Q получаем зависимость момент
сти) от единственной переменной — угла 6: а ^,01Ццо.
М =
mU Ео
sinO.
Эта так называемая угловая характеристика (рис. 19.9) показывает, чго
пая работа синхронной машины возможна при -п/2 < 6 < л/2. При этом'с]1^411’
—► Генератор
Двигатель -4—
Рис. 19.9
визирующий момент > q
Активную мощность, отдаваемую
ратором в сеть, можно менять, уведТ
вая момент первичного двигателя П '
этом увеличивается угол между £
то есть угол 6. Если такое увеличение
достигает п/2, синхронизирующий мо-
мент становится равным нулю, маши-
на теряет устойчивость, то есть выхо-
дит из синхронизма. Такой режим яв-
ляется аварийным, и его достижение не
допускается соответствующими средст-
вами защиты.
Проследим изменения при регулирова-
нии тока возбуждения генератора, если остальные параметры U = const, М - const
и п - const. Очевидно, п = const и М = const предопределяют постоянство актив-
ной мощности. При U = const это означает постоянство произведений / coscp и
£0 sin0, но при изменяющейся ЭДС Ео. На векторной диаграмме это показано
пунктирными линиями, по которым скользят концы векторов тока / и ЭДС с
На рис. 19.10 показаны три положения вектора Ео, соответствую1111’^^.
можным токам возбуждения. Первый случай — перевозбуждение м
311
боты синхронного двигателя
- - -
„ндикулярный IXс, отстает от напряжения, то есть машина кроме
т£>ка’ ПС'щности генерирует реактивную мощность индуктивного характера.
аХТцвН°и м ае тОК возбуждения таков, чтобы реактивная мощность была рав-
ровт°Ро>’ еСТЬ ток и напряжение совпадают по фазе. В третьем случае (недо-
на НУлЮ’ Т° я машина) ток опережает напряжение и машина генерирует реак-
возбу^61 11Ость емкостного характера, что равнозначно потреблению из сети
тИВВУ10 •< мощности. Таким образом, регулирование тока возбуждения при-
1,яДУ^к регулированию реактивной мощности.
^9 4 Принцип работы синхронного двигателя
од работы синхронного генератора в режим двигателя можно проследить
Пе^екторных диаграммах (рис. 19.11). На рис 9.11, а изображена диаграмма ге-
На топа с нанесенным вектором напряжения сети Uc=-U, как показано на эк-
вивалентной схеме синхронной машины (рис. 19.11, б). Ток генератора с учетом
направления вектора составит
Рис. 19.11
Ву
•Чая ТокУМеН1’Шать моме«т на валу первичного двигателя, одновременно умеиь-
Ч Чтобы^У^дення, чтобы поддерживать угол <р постоянным. Можно добить-
”Ри Работ = О ПРИ этом = 0 и £() = [/ — наблюдается режим холостого хода
ПаРаллельН0 с сетью, в этом режиме момент на валу равен нулю,
19 ц 19.11, б). При приложении тормозного момента Д[/ меняет свой знак
акти ’ Меня’°т знак также ток и угол 6. Машина начинает потреблять из
мощность, то есть переходит в двигательный режим, сохраняя
v Рве СКоР°сть- Сохранение синхронной скорости возможно, если момент на
ЫШает Мпт в соответствии с угловой характеристикой (см. рис. 19.9).
312
Г лава 19, Синхронные электрИческ
При росте тормозного момента в пределах до 6 = -л/2 за счет роста д/г
тически увеличивается действующий момент на валу машины, чем по • ЙВТОх,а-
ется устойчивая работа при 0>п/2. Для обеспечения устойчивой п' ерйС11®а-
случайных перегрузках предусматривается, что в номинальном режим. TbI пРи
превышает 30°. ' '
Кроме того, в приводах машин с ударной нагрузкой (машинные дробиткц
невые компрессоры и т. д.) применяют явнополюсные тихоходные сип .’П°РЦ1’
машины с большим количеством пар полюсов и большим диаметром рот Hflble
кая машина обладает большим моментом инерции, что способствует пп^а’
нию кратковременных повышении тормозного момента оез опасного поиб
ния угла 0 к критическому значению. " ЗКе‘
Недостатком синхронного двигателя является малый пусковой момент (теорет1
чески А/11уск = 0). Этот недостаток обычно преодолевают введением специальной
пусковой обмотки — короткозамкнутых стержней, используемых в конструкции
ротора (аналогично «беличьей клетке» в асинхронных машинах) За счет такого
асинхронного пуска ненагруженный двигатель развивает скорость до 95-97 % от
скорости синхронного. Включение обмотки возбуждения при такой малой отно-
сительной скорости полей ротора и статора приводит к «залипанию» ротора, то
есть ротор втягивается в синхронизм. Разгрузку двигателя при пуске обеспечи-
вают либо холостым ходом исполнительного механизма (например, при пуске
открывают клапаны компрессора), либо установкой специальных муфт (гидро-
муфт), отключающих исполнительный механизм от двигателя. Токи коротко-
замкнутой обмотки ротора при синхронной скорости равны нулю, следователь-
но, потери в ней при нормальной работе отсутствуют. В то же время при колеба-
ниях нагрузки, то есть при изменениях угла 0, короткозамкнутая обмотка, как
демпфер, служит дополнительным источником стабилизации.
Синхронный двигатель обладает интересной возможностью регулирования cos ср.
На векторной диаграмме, построенной относительно напряжения U. =const
(рис. 19.12), показаны изменения, которые происходят в двигателе при измене
нии тока возбуждения, то есть при изменении ЭДС £(|. Если при этом сохраня
ется момент на валу машины, что при постоянном напряжении означает
/ cos (р = const; Ео sin 0 = const,
прямо’1'
то при разных токах возбуждения конец вектора -£0 будет скользить по ~
параллельной вектору Uc. (Вектор £п удобно рассматривать относительно^^ бу'
(см. рис. 19.11, е).) Вектор тока, перпендикулярный вектору (£<' Г^переЖа'
дет скользить по прямой. В случае перевозбуждения машины (£1Н iloro характе;
ет напряжение и машина потребляет реактивную мощность емкост
ра, что равнозначно отдаче в сеть индуктивной мощности. При нсдо '(1йу
машины (£(Пц )ток отстает от напряжения. Можно отрегулировать
работы при cos <р = 0 (£ои ). атора Рг
Таким образом, синхронный двигатель может работать в качестве 1 CI'^1ble
активной мощности. Это обстоятельство приводит к тому, что синхро
возбужденные машины (так называемые синхронные компенсагоР’
ют для улучшения cos (р даже при работе вхолостую вместо батареи
конденсаторов.
синхронного двигателя
313
Обратите внимание на то, что у недовозбуждеииого двигателя, в отличие от ге-
нератора, реакция якоря имеет подмагничивающую продольную составляющую.
В пределе у мало нагруженного двигателя можно отключить ток возбуждения,
и он будет продолжать работать синхронно за счет подмагничивающего дейст-
вия реакции якоря. На этом принципе основана работа маломощных синхрон-
ных двигателей без обмоток возбуждения ротора. Такие машины выполняются
с двумя типами роторов. Например, если в однофазную асинхронную машину с
расщепленными полюсами (см. рис. 18.14) поместить ротор с различным маг-
нитным сопротивлением по осям (рис. 19.13), то после достижения ротором ско-
рости, близкой к синхронной, вращающееся магнитное поле намагнитит ротор
преимущественно по направлению оси с меньшим магнитным сопротивлением
^реакция якоря) и ротор войдет в синхронизм. Такая машина называется реак-
ТИВнЫм синхронным двигателем.
Рис. 19.13
pg
К'лИбо ВЬП1ОЛНИТЬ из магнито твердого сплава, то намагничивание по како-
I Равлению образуется за счет гистерезиса. Двигатель, работающий на
314
Глава 19. Синхронные электр
этом принципе, получил название гистерезисного. Названные двигал
зуются в маломощных машинах там, где требуется обеспечить постоя^11 HctlOjib-
рости, например в лентопротяжных механизмах. CTfio С1(о
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Каков принцип действия синхронной машины?
Как обеспечивается взаимная неподвижность магнитных нолей пот
тора? °Ра 11 Ста-
Как устроена обмотка якоря?
Как зависит реакция якоря от характера нагрузки синхронного гене™
псратора?
От чего зависит ЭДС синхронной машины?
Как построить векторную диаграмму синхронного генератора?
Каковы упрощенная векторная диаграмма и эквивалентная схема синхроНно
го генератора?
8. Каковы особенности внешней характеристики синхронного генератора при
различном cos (р нагрузки?
Как выражается зависимость момента на валу машины от угла 0?
Как регулируются активная и реактивная мощности синхронного генератора?
Каков принцип работы синхронного двигателя?
Каковы особенности пуска синхронного двигателя?
В чем заключается сущность работы синхронного двигателя в качестве ком-
пенсатора?
Каков принцип действия реактивного и гистерезисного синхронных двигате
лей?
Часть III
Примеры и задачи
316
Примеры и
3
Использование программы Electronics
Workbench при изучении курса «Электротехн
Использование программы Electronics Workbench 5.12 Pro (EWE) B q>*
тротехники целесообразно в двух случаях: Мрсе э1е((
□ при решении конкретных задач анализа для получения ответов в вцде
ний приборов; 4 п°каза-
□ при проведении своеобразных лабораторных работ.
Для получения ответов на задачи надо добита
и показаний соответствующих приборов. Это
ния задачи.
Неодинаковые результаты могут быть получены в случаях:
□ ошибок при применении законов теории цепей;
□ ошибок при составлении уравнений;
□ математических ошибок при решении уравнений.
ся одинаковых результатов pd
будет означать правильность
К сожалению, где именно допущена ошибка, программа EWB указать не может
Кроме того, возможны ошибки в представлении схемы на рабочем поле (невер-
ные конфигурация схемы, номиналы параметров элементов, настройка приборов).
Ошибками нельзя считать влияние внутренних сопротивлений приборов. Напри-
мер, показание амперметра на схеме (рис. П.1) будет 99 А, что будет соответству-
ет расчету, если учтено его внутреннее сопротивление 1 мОм.
Если же применить в схеме источник тока, управляемый током (применение
управляемых источников требует заземления), то получится результат, показан-
ный на рис. П.2.
Рис. П.1
0,1 Ом
Рис. П.2
без выг^
Полноценное изучение многих технических дисциплин невозможно тОлЮ-
нения лабораторного практикума. Это вытекает из того обстоятельст
бая сложная система для анализа представляется в виде физической. ^оде1ц.
и математической модели. Все расчеты проводятся на математическ ^р)(е ее
Установить же границы применимости такой модели, то есть с0° D лаб°Ра
реальному техническому устройству, можно, только экспериментир>
тории. Только при натурных испытаниях устанавливаются Ра^0Г1^1'е от заА3*1
конкретного изделия, его надежностные характеристики, отклонс
ной технологии и т. д. „ пМ,,т‘‘
В то же время в учебных и некоторых других целях можно пользе « ja I
цией эксперимента с помощью ЭВМ. Для этих целей подходит npo[P
-гг,аммы Electronics Workbench при изучении курса «Электротехника» 317
,ание прогр^ -----------------------------------------------
дектрических (и электронных) схем (EWB), позволяющая «собрать»
1ЛроваййЯ ядьных элементов электрических цепей и с помощью индикаторов,
схе»’У 113 1Х измерительные приборы, получить ответы на вопросы о распре-
ИМИТИР^ оВ и напряжений в цепи и изменении их во времени. При этом сле-
делеНИ” что компьютерная система EWB оперирует не реальными токами
дует |10^ 1ИЯми а математическими уравнениями, и этот, можно сказать вирту-
н напря: сперимент служит только целям проверки правильности применения
альныи,
ческого аппарата для анализа заданной схемотехнической модели уст-
матемаТИ е немало. Кроме того, результат анализа, как правило, получа-
^сябыстро И без ошибок.
не стремимся дать полное описание программы EWB (см. Панфилов Д. И.
Электротехника и электроника. М.: Додэка, 1999). Далее будут приведены
" лько основные приемы использования этой программы при изучении курса
«Линейные электрические цепи». Многие ее особенности разъясняются при рас-
смотрении конкретных примеров.
Информацию о тех или иных процессах в схеме можно получить различными
приборами, разными способами включенными в схему. Например, проследить
изменение тока в каком-либо проводнике можно, включив добавочное сопротив-
ление (резистор) и напряжение с него подав на осциллограф. Система EWB по-
зволяет использовать для этих целей идеальный источник напряжения, управ-
ляемый током. Мы будем отдавать предпочтение первому варианту, так как при
реальных измерениях применение источника напряжения, управляемого током,
сложно и оправдано только в высоковольтных цепях.
Другой пример. Прибор Bode Plotter (ВР), не имеющий аналога в лабораторной
практике, будем использовать в основном как фазометр, которого нет в инстру-
ментарии EWB. Однако возможности ВР существенно шире.
Несмотря на некоторые недочеты программы EWB, экономия времени, матери-
ал*но-технических ресурсов, удобство для пользователя, наглядность представле-
ния информации и пр. предопределяют ее широкое распространение при изуче-
,и курса «Электротехника».
^Роме того, следует помнить, что работа в реальной лаборатории самым сущест-
стыо^ °^Ра30м отличается от работы с ком пыотерной программой возможно-
го, возникновения аварийных, недопустимых режимов. В реальной лаборато-
ВСе вРемя нужно помнить о безопасности!
ап с элементами и схемами
Па °гРамг/|е Electronics Workbench
иИйв е Вскх элементов на рабочее поле, составление схем, установка значе-
|'НоцКа ectr°nics Workbench возможно при помощи левой кнопки мыши. Правая
‘Чцц Т0С 110льзУется только для выделения элементов и схем. Если на вашей
и кнопки, то средняя вам не понадобится.
ем на левую кнопку мыши выполняется:
М№рен
с элементов (нажав и удерживая левую кнопку);
Г ение элемента (можно сделать и при помощи правой кнопки мыши);
318
□ выбор меню (верхняя строка над рабочим полем);
□ отмена выделения компонента;
При^Рь1Из.
□ подключение к источнику энергии.
Двойным щелчком левой кнопки мыши:
□ устанавливаются значения компонента;
□ изменяются цвета проводов в схеме и приборах.
Рабочее поле Electronics Workbench изображено на рис. П.З.
Здесь самая верхняя строка — строка главного меню. В ней содержится^^^
бор команд, необходимых для работы с элементами схемы. Под ней ^р3цнЯя
строка выбора приборов, еще ниже — строка с названиями элементе®'
левая вертикальная колонка содержит элементы схем. В версии Elec дно?11'
bench 4.0. элементы расположены по группам: пассивные компон
усилители и т. д.
Выделение (активизация) элементов мыи51*113
Для того чтобы сделать элемент активным, следует установить
элемент, который необходимо выделить, и нажать на левую кнопку
сгоаммы Electronics Workbench при изучении курса «Электротехника» 319
^—-nP°P
т красным) (рис. П.4). В дальнейшем выделенный элемент можно пе-
5,ецт стане^ место рабочего поля.
реМесГ11Т лИТЬ группу элементов, необходимо установить курсор мыши немно-
цтобь1 вЬ левее самого верхнего из них, затем, нажав и удерживая левую кнопку
го ВЫЫе 1
Иотатить курсор по диагонали до противоположного угла предполагае-
;^вьХен- (рис. П.5).
1 к Ohm
4ZZZ
1 к Ohm
1 kOhm 1 к Ohm
ч—И HZZh
Рис. П.4
1 к Ohm
-CZD-
1 kOhm
-EZZ>
Рис. П.5
Отмена выделения
Отменить выделение можно следующим образом: установить курсор мыши на
элемент, затем нажать правую кнопку мыши (или левой кнопкой щелкнуть в
любом месте рабочего поля). Снять выделение с группы элементов можно той
же левой кнопкой мыши, щелкнув в любом месте рабочего поля.
Перенос элементов
Перенос элемента можно осуществить только при условии, что элемент активен
(то есть выделен). Можно переносить как один элемент, так и несколько элемен-
тов сразу.
Для переноса одного элемента нужно выделить его, установить на него курсор
мыши, затем, нажав и удерживая левую кнопку мыши, передвинуть элемент в
нужное место рабочего поля.
Для переноса группы элементов следует выделить группу элементов, затем, на-
и удерживая левую кнопку мыши на любом месте выделенного участка, пе-
винуть все элементы в любое место рабочего поля (рис. П.6).
1 k Ohm
-czzz
1 к Ohm
-EZZZ
1 к Ohm
1 к Ohm
4ZZZ
Рис.
П.6
«₽°гра
предусматривает перенос компонентов при помощи клавиатуры
М I е Lock вы можете воспользоваться клавишами перемещения курсо-
д’ *"*• А Для того чтобы войти в меню программы, необходимо нажать
320
ПримеРыИз.
Соединение элементов
Соединить вместе два элемента проводом можно следующим образом-
1. Подвести мышь к выводной точке элемента (черная короткая .1ццця
ная точка, расположенная сбоку элемента). Ил,> Чер.
2
Нажать на нее левой кнопкой мыши и, не отпуская, подтащи гь
водной точке другого элемента.
Г'Ров°Дкв„.
3. Отпустить кнопку мыши после того, как вы попали на выво.щу1О т
того компонента. Провод соединит оба элемента (рис. П.7). У Дру-
Вставка элемента в схему
Для того чтобы вставить элемент в существующую схему, необходимо перенести
элемент к тому месту схемы, куда требуется его поместить, выровнять компо-
нент так, чтобы его можно было легко вставить в схему, установить элементна
провод и просто отпустить левую кнопку мыши. Элемент автоматически будет
вставлен в цепь (рис. П.8).
1 k Ohm
4ZZ3
1 к Ohm 1 к Ohm
-----------о-
1 к Ohm
-i И
1 к Ohm
Рис. П.8
1kOhm 1 kOhm
Удаление элемента из схемы ^|fllT,
Удалить элемент из схемы можно следующим образом: выделить с (19)
который подлежит удалению, затем выбрать пункт Delete в меню Edit
1 k Ohm
1 к Ohm
1 к Ohm
1 к Ohm
1 к Ohm
Рис. П.9
Изменение цвета приборов 0есЛ11<ог
Все провода в Electronics Workbench (по умолчанию) черного нвста' тЬеГ
шествует необходимость изменить цвет провода, для того чтобы от
рограммы Electronics Workbench при изучении курса «Электротехника» 321
Изменение цвета провода у прибора, включенного в схему, позволяет получить
графики различных цветов, отражающие показания приборов (рис. П.11).
Рис. П.1 1
Ж ление проводов
В Схеме расположен неаккуратно (изогнут), то его необходимо спря-
Ж лать это можно следующим образом: выделить элемент, который вы бы
322
- ПриМеРь)Иза
зх
хотели переместить для того, чтобы спрямить провод в схеме, затем
клавиш <— и —расположенных на клавиатуре, перемещать выделен/^" П°'101Ии
в нужном направлении до тех нор, пока провод не выпрямится (р1)с jj'
1 k Ohm
1 к Ohm
Рис. П.12
Работа с приборами
В Electronics Workbench существует меню, содержащее семь приборов (рис. П13)
при помощи которых можно измерить различные физические величины. Они пред-
ставлены в виде маленьких картинок, расположенных в отдельной строке выше
рабочего поля.
Рис. П.13
Подключение приборов к схеме
Для того чтобы внести прибор в рабочее поле, необходимо перетащить его таким
же образом, как любой элемент из Electronics Workbench (один вывод при °Р
обязательно соединить с «землей») (рис. П.14).
Установка режима прибора
Установить режим работы прибора можно следующим образом усТаН°р^'
1. Двойным щелчком левой клавиши мыши вызвать диалоговое 01^оОГГ1, ПР11 •
режима работы прибора (рис. П.15) (или в меню Circuit выорать
ловим, что прибор выделен).
Electronics Workbench при изучении курса «Электротехника»
323
программ
рвание "н
Рис. П.15
2. Изменять значения можно при помощи клавиш Т и X. Можно проделать это
также при помощи мыши, для чего потребуется в диалоговом окне щелкать
мышью на стрелочках вверх или вниз рядом с уже установленными по умол-
чанию значениями.
3. Если окно прибора закрыто за другим прибором, его можно вызвать па перед-
ний план следующим образом: просто указав мышью па название прибора в
его диалоговом окне или дважды щелкнув левой кнопкой мыши на самом при-
боре. Тот же результат можно получить и при помощи клавиатуры — нужно
только открыть меню Window и выбрать команду Bring Instruments.
Перемещение окон
званиеРеМеЩеНИЯ самого Диалогового окна необходимо установить мышь на па-
нуть 6 ПРиб°Ра в диалоговом окне и, нажав и удерживая левую кнопку, передви-
%аТьс тУДа> где будет удобно с ним работать. В дальнейшем окно будет отобра-
таЧ где его установили в последний раз.
акРЬ1Тие окон
^Крыть д
•1«гоВогоДИалоговое окно можно следующим образом: в верхнем левом углу диа-
^м.°КНа нах°Дится значок х|. Одним щелчком мыши по нему можно от-
д Н1° и выбрать команду Close (рис. П.16).
^Ключение питания
^*0<1ате Что°ы подключить к схеме питание, надо мышью нажать на пере-
^(Рис пТ7)аНИЯ’ расположенный в правом углу (над панелью с прибора-
Нр^еры
Дополнительные возможности Electronics Workbench
В действительности рабочее поле в четыре раза больше, чем видно на экране мо-
нитора. При необходимости можно переместиться в какое-нибудь другое место
рабочего поля с помощью горизонтальных и вертикальных стрелок, отображен-
ных на самом рабочем поле (рис. П.18).
±1 1
Ready 1.25 s Tempt 27 j J
Рис. П.18
схему, пеР(-
обы вернДь
Для того чтобы перенести схему или элемент, необходимо выделить
меститься в другое место поля, затем переместить схему. Для того чт
схему в исходное положение, нужно воспользоваться полосами прокрутки,
положенными справа от рабочего поля и под ним.
Регулировка размеров рабочего поля
Отрегулировать размеры рабочего поля, например уменьшить его пифИ11^
но следующим образом: установить мышь в самый верхний правый У
го ноля (там появится значок <->) и передвинуть границу поля влево.
ЦЦ0'
Дополнительные замечания
Прежде чем начать освоение программы EWB, надо учесть следу1°1Це ^оцеГ°
1. Наименование групп компонентов, расположенных в левой ч,аС^сСцйс1<1^
поля (Passive, Active и т. д.), не совпадает с предусмотренной ] сОдер*
стандартом терминологией. Так, группа «пассивных» компонен
л там мы Electronics Workbench при изучении курса «Электротехника» 325
)ПьЭОВаниепроР
элементы — источники: измерительные приборы амперметр и вольт-
аКТИС111 несены к группе индикаторов и могут применяться многократно, в от-
метр °т ких приборов, как осциллограф, мультиметр, графопостроитель
Личие^лоттера, расположенные на панели инструментов (вторая сверху
Б°де меНЮ), которые можно помещать на рабочее поле только один раз
ГкХ™схему-
пые элементы и приборы требуют заземления, причем в одних случа-
2- ^еК гоамма просто откажется выполнять операцию, иногда в других без за-
земления выдаст искаженный результат.
п бопы и элементы, вынесенные на рабочее поле, требуют настройки. В не-
I которых слУчаях это ПРОСТО установка параметра, в других — установка диа-
пазона измерений во времени и т. д. Причем иногда настройка сохраняется
при повторном использовании прибора. Возьмите за правило перед проведе-
нием отсчета по приборам проверять все настройки. Особенно часто встреча-
ются ошибки в настройке осциллографа (АС — закрытый вход, DC — откры-
тый вход).
4. Применение амперметров и вольтметров в режиме АС в программе EWB свое-
образно. Приборы показывают только переменную составляющую измеряе-
мой величины. Для измерения действующего значения приходится применять
пару приборов АС и DC, а результат «суммировать».
Есть у программы и некоторые нелогичные особенности. Например, она отказы-
вается анализировать схему, приведенную на рис. П.19, сообщая, что емкость не
включена в контур, и в то же время дает результат для'схемы, приведенной на
рис. П.20.
Рис. П.20
*Ребует в
в пр0ГраНИя также отличие условных обозначений элементов, применя-
ХпРИвепРггаММе’ от предусмотренных российским стандартом. Основные из
HbI в табл. П.1.
326
Таблица П.1. Условное обозначение элементов
П°^еРь,
- 3aj4
Наименование Российский стандарт Программа EVVB
Постоянный
Источник ЭДС ф
Источник тока ф
Решение контрольных задач
Глава 2. Основные уравнения теории электрических
цепей
Задача 2.1. Обратите внимание на то, что задан ток J - -1 А < 0, то есть, факти-
чески, ток направлен против стрелок, указанных на схеме.
По свойству идеального источника ЭДС напряжение Uah - К) В (в направлении
от а к Ь), следовательно, через резистор протекает ток I = — = 0,5 А (в том же на-
R
правлении). К узлу а от источника тока поступает ток 1 А, значит, ток через ис-
точник ЭДС (по первому закону Кирхгофа) составит IE = 1 -0,5 = 0,5 А (в на-
правлении от а к Ь).
Мощность источника ЭДС
PE = UI =5 Вт >0,
так как направления U и I совпадают. Это означает, что этот источник потребля
ет энергию.
Мощность, потребляемая резистором,
Рк = I2R = 5 Вт >0
всегда положительна. Мощность источника тока
p =ui =-10 1 =-10 Вт <0.
J чт°||Г
Знак «-» (так как напряжение и ток направлены встречно) показывает,
точннк тока отдает энергию. Очевидно, ЕР= 0. тсЯ яа-
Моделирование этой задачи на компьютере в системе (EWB) г|1,011'*^^’1|С)янНоГО
бором на рабочем поле указанной схемы и расстановкой приборов ^а1)дартНь1'
тока (DC). С учетом некоторых отличий изображений элементов о г
схема будет выглядеть, как на рис. П.21. 1ЬюУ>,й°”
На схеме показан способ измерения мощности в системе EWB с поМ° V
жителя (ваттметра в системе нет), который можно найти в меню
327
т два входных напряжения (относительно -=- — «земли»)
0Н переМ ливаемым коэффициентом умножения выдает на выход. Выбрав ма-
и с устанав’ СОПротивление, которое не повлияет на распределение токов и на-
10еД0 „ /ид! Ом), и удобный коэффициент умножения, на выходе получим
пря^^дне пропорциональное произведению
UI = Р,
показание вольтметра, численно равное мощности источника ЭДС. Этим
Т° кмом будем пользоваться н в дальнейшем.
□
□
□
□
□
---- . = Ki, где к = 10 103 А/с;
мкс i = 20 мА = 20 10 3 А;
Задача 2.2. Рок z(i) задан в условиях задачи. Ток, протекающий через емкость
Разное время, различный:
пРи 0 < t < 2 мкс j _ где к _ ю Ю3 А/с;
пРи 2 < j < 4
При 4 < t < g мкс _ Q.
"₽и6<г<8 мкс г = _20мА;
При 8 < i < Ю мкс i = -20 10’3 + Kt.
°адачарещ. ,
ется с использованием соотношений
U^7\ulf+Uc(t^ W = P = Ui.
С Zj
L Слениях следует привести все размерности: к [А]; [с]; [В] и т. д
328___________
ПриМеРыи^^
Рассмотрим подробно построение осциллограммы
□ на участке 0 < t < 2 мкс
U (.= -\idt= — = 10 103-—— [с] [В],
CJ0 2С 100 IO4’
для t = 2 10 6 с
17с= 0,2-10’3 В = 0,2 мВ;
□ на участке 2 < t < 4 мкс
Uc = 1J20 10 3 dt + U(t} ) = 20 10 \[с1 + 0,2 10"! [В]
С[ lOO-lO’6 1 ь
для t = 4 10 6 с
20-10~3-2 10~с
100 • 10 е
+ 0,2-10 :1= 0,6 10 3 В;
□ на участке 4 < t < 6 мкс напряжение остается постоянным U к = 0 6мВ;
□ на участке 6 < с < 8 мкс
П,= - [-20 10~3 dt + 0.6 103 = ~2° 10 *',
100 10
для t = 8 мкс
Uc = 0,6 - IO’3 - 0,4 10’3 = 0,2 10’3 В;
□ на участке 8 < t < 10 мкс
U, = - j (-20-3 • 10<И + U,.(8 IO”6).
C'i
Из соображений симметрии примем И,. (10 10 12) = 0.
По этим точкам легко построить кривую Ur(t) Остальные кривые строятся
точкам в соответствии с приведенными формулами.
Задача 2.3. При параллельном включении складываются емкости, а при
довательном — их обратные величины:
: ^.(С2 + Сз) = 5 мкф
С, + С, + С{ 6
пстеме
Результаты можно проверить на компьютере, собрав две схемы в спс
(рис. П.22 и П.23). с1(Ну-
Здесь две емкости, составная и эквивалентная, подключены к пСТ°^ь1М П0,са^
соидального тока. В эквивалентности можно убедиться по од[П1аК°д1)11аЯс,₽с1
ниям вольтметров при любой частоте источников тока (конечно,
Например, при частоте 1 кГц показания обоих вольтметров будут
Рис. П.23
При составлении схем не забудьте:
□ использовать вольтметры переменного тока (АС);
□ обе схемы каким-либо образом объединить (например, заземлить), но так. что-
бы объединение не повлияло на результат измерений.
Задача 2.4. Для решения используется уравнение ^ик- <?. Для каждой из ин-
дуктивностей
U = L — ± М di™
к Lk dt к"' dt '
Через обе катушки протекает один и тот же ток г, отсюда
ЛД,„=Л^=М,
П°ЭТОМу
т r>,^di
е = (Lt + L.2 - 2Л/)-.
dt
° ^Равнении
По Распо И использован знак «-», так как магнитные потоки вычитаются, судя
НапРавлен°ЖеН11Ю начал намоток (*) относительно условного положительного
^®Дача 2.5 р
ЧИя токо' / ^Остав«м граф схемы и нанесем условные положительные направле-
В схеМе В Произвольно) (рис. П.24).
ает Подуц11 На гРаФе) три узла, следовательно, по первому закону Кирхгофа бу-
ено два независимых уравнения, для которых:
Ei = 0.
330
При^Рыи
Для того чтобы не вводить дополнительные индексы, принято, введя ном
ви, этим же номером (индексом) обозначать все элементы, расположенные в
ветви. Индекс тока ветви также обозначен индексом этой ветви, поэтому в схем'
отсутствуют элементы Rt, Ct, С2 и т. д.
Исключим четвертую ветвь с известным током и выделим дерево графа, напри
мер, как показано на рис. П.25.
По дереву графа получим три независимых контура:
□ ветви 5-6;
□ ветви 1-6-2;
□ ветви 3-2
Дополнительное уравнение для определения неизвестного напряжения на
точнике тока составляется относительно ветви 4-2.
Запишем систему уравнений, выбирая направления обхода контур08 ПР
вольно:
i5-i6+ /, = ();
Ч — г'б ~ *2 — — гз = 0 ’•
R-,i5+ + R,i.. = 0;
' 5 6 dt dt ° 6
r din *rdi-> „ . T di., ,.dil: .
L^~dT~M^ + + Rd2 = >’
dt dt dt dt
j i3 dt + [Д, (0) + R, i, -L^ + M^-R, i2 = 0.
C3 o' dt dt
331
„„ 1/ ПО'
Дополни-
рв1^^онтрольнЬ1хзадач
.оставлен знак «—», так как Aiar
7 направлениях токов вычитаются.™^ П°ТОК" СВЯаднных кату„1ек 11р1[
[тельное уравнение:
1 г
~\itdt +U, - / ^2 , .,diR
С. { U Ч~т- + Л/—£ _ о _ Л
4 0 dt (lt K2l2~ 0.
2 6 Конечно, в этой учебной задаче не соблюдено требование к индекса-
Задача • ное в задаче 2.5. Здесь совпадают только индексы элементов и пн-
ции, привел
деКсы токов-
а содержит одно уравнение по первому закону Кирхгофа и два уравнения
СИС noMV закону. Из этого следует, что схема содержит два узла и три вет-
"и Причем из первого уравнения ясно, что одна из ветвей (3) содержит источ-
ник тока.
Граф такой схемы приведен на рис. П.26.
Рис. П.26
Очевидно, что второе уравнение описывает контур, состоящий из ветвей 1 и 2.
В этих ветвях включены элементы Rv Lt, e2(f) и С2. Во второй контур входят эле
менты С2, R3 и J3(f). Все это позволяет построить схему, содержащую в ветви
элементы Rit Lt и е2, в ветви 2 - элемент С2, а в ветви 3 - элементы R, и J3
(рис. П.27).
Рис. П.27
СтР°го ГОво
^теДинРя- эта задача относится к задачам синтеза цепей, которые не всегда
U,H Bapllai^BeHIIOe Решение, но для которых всегда можно определить хотя бы
332
При^РЬ|
3^и
Глава 3. Расчет простых цепей при постоянных то
и напряжениях Ках
Задача 3.1. Исходя из соотношений
г‘ =С^С; Ul=L^,
С dt L dt
при постоянных токах и напряжениях все конденсаторы заменяются
ми цепи, а катушки индуктивности — закоротками. Схема приобретает ви^65
веденный на рис. П.28. Естественно, что номиналы £ и С при этом не имеют "
чения. ЗНа'
По принципу наложения решается задача распределения токов отдельно для двух
схем (рис. П.29 и П.30).
333
контро^нь'Х^Л4
решение
ат суммируется с учетом знаков условных положительных направ
3аТеМ РеЗУрдИЗвоЛЬНЫХ. но одинаковых для всех схем.
леНиИ ~~ мание на то, что при удалении источников сохраняются их внут-
Обрат«те в пвЛения: для источника ЭДС /?„„ = 0 (закоротка), а для источника
ренН1,е С°П^ (разрыв). Отсюда найдем токи, протекающие через резисторы (ин-
тока " ,,..,Р1,-С сопротивления одинаковы).
деКс тока и инд £
_________________Ъ + Ъ___________
71-/5 1Е' r. + r.+r. + r, j r^ + r. + r. + r,
слагаемое получено по закону Ома, второе — по формуле делителя тока):
(ПерВ°еС _ Е R^R.______.
^з-Л- г7 Rl + Rj + R6 + R:t+JR{+R3 + X+R5’
12=ILi=J
Напряжения на конденсаторах найдем по формуле
Uс = ЦК,-
Для определения напряжения на конденсаторе С,, составляем уравнения по вто-
рому закону Кирхгофа по контуру Су - £2 - R2 - Д:! - £7 - Д,:
иЕ+U, +Uп +ио — о.
С Ь2 Кд
Находим:
Uj = Uc=-иR2 -URI -иRi = -1,,R2 - I3R3- ЦR,.
Для удобства можно составить таблицу токов, зависящих от действия каждого
источника отдельно.
Ток R, Rz «3 Я, r5 Е,
От источника £ 2 0 2 2 2 2
^источника J -1 3 2 2 -1 -1
jj^apHbifi ток 1 3 4 4 1 1
Наг
Ряжение на источнике тока равно напряжению на конденсаторе С9:
С,= -35В
к?
Для квю< UIHOCTe” составляегся по суммарным токам, так как принцип наложения
Ратичных форм (FR) здесь неприменим. Для резисторов PR = I R>0,
Xi2krk= 1-5+ 9-5+ 16-3+16-2 +1-5 = 135 Вт
Mo«Ihocti *
ть источника ЭДС
Для Нг. РЕ = U1 = -30 1 = -30 Вт <0.
"^«вка тока
р, =1Л = -35-3= -105 Вт <0
334
Прим
Знак «-» ставится, если направления напряжения (а не ЭДС)
Баланс мощностей найдем по формулам
различцч
11 тока
У Р = 0; УГ2кРк + РЕ + Р. = 0.
К
Токи катушек индуктивности и напряжения конденсаторов оппеле-i
’ ены Ранер
Для составления потенциальной диаграммы (рис. П.31) по осп абсцисс
ваем сопротивление резистора, а по оси ординат — потенциалы точек °'К?1адЬ|*
Принимаем потенциал точки а за ноль. Потенциал точки b U,,- Д R,= 5 В и т. д.,
между точками f и а включен источник ЭДС (/=-30 В при сопротивлении Л£ = 0
Соберите на рабочем поле EWB исходную схему, расставив амперметры и вольт-
метры и задав нужные параметры элементов (рис. П.32).
Рис. П.32
335
^еконтР-ьнь'^
ния приборов, можно получить ответы на все поставленные во-
СчИтаВ П° соединив один зажим вольтметра к точке а, а другой последователь-
просЫ ,И с d, e,f, можно получить параметры потенциальной диаграммы.
яо к точкам j ’ е на различия в условных обозначениях, принятых в системе
Обр^Г^ом стандарте, а также на полярность подключаемых приборов.
рШВ и Р°сСИ .
3 2 Задачу целесообразно решать методом эквивалентного генератора
Задача • ' м метода двух узлов.
|1СПолы°вс1
/ нте схему относительно зажимов резистора в эквивалентный гене-
рреобразу
ратор (РИС- П‘33)-
Рис. П.ЗЗ
По методу двух узлов найдите [7Х х:
Определите RK з:
Определите ток I
4 '
/?, R2 _ 15
Rt + R2 8 ’
U
R...+ R,
= 9,33 А.
^ЮДа “^ряжение UR = I7?..
Вберите • «4 4 4
и на компьютере схему (рис. П.34).
пзмерьте.
□1/х в.
Q / Х х ключив на зажимы а и b вольтметр;
*.з> включив на зажимы а и b амперметр.
^Делите R _ ,
лк.з- ——. Соберите всю схему (рис. П.35). Убедитесь в совпадении
^УЛьтатоь к 3
измерений с расчетами.
Rk3
Обратите внимание на два способа определения RK 3: расчетный и эксперимен-
тальный. Можно также удалить все источники (вместо источников ЭДС поста-
вить закоротки, а цепь с источником тока разорвать) и измерить сопротивление
между зажимами а и Ь.
Задача 3.3. Требование решить задачу устно вытекает из заданных параметров.
Действительно, при R4 = R3=10 Ом эквивалентное сопротивление Л1; 5 =
= 5 Ом, последовательно с /Д 5 присоединено сопротивление 5 Ом, поэтом)
R3 4.5 = 10 Ом, к нему параллельно присоединено сопротивление
Значит, всю группу сопротивлений /?23.4.5 можно заменить сопротпв;
5 Ом. Входное сопротивление Rnx = R, + R2.3.4.5 =8 Ом.
Отсюда I = -- - 2 A; PF = UI = -32 Вт.
Напряжение на эквивалентном сопротивлении между точками а и оПРс
ся по формуле делителя напряжения
U . = Е R' * “5— = 16 5 = 10 В.
+ 8
Вследствие равенства R, и 5
U= —= 5 В.
2
Проведите по данной задаче эксперимент на компьютере
337
--
диализ простых цепей при синусоидальных
ГЛ0Х и напряжениях
Т0* £ соответствии с принятыми обозначениями Z„x — полное входное
Задача • •
цепи; Z„x — комплексное сопротивление; Уцх — полная прово-
сопР°тИВ’у _ комплексная проводимость. Токи: 1вх — действующее значение;
дИМОСТЬ-
плексное значение; гвх — мгновенное значение. Задание между входны-
/« ^да1ами напряжения Um равнозначно включению на вход ЭДС
e = £msin((^ + v„).
здесь Свх
со = 1000; \|/„ = -20°.
V2
Схема состоит из трех двухполюсников
Z, = + y'coL, = 3 + 3j = V18 е’“' ;
Z2 = R2 - j— = 1 - 3j = VT6 • e>715 ;
coc2
Z3 = R3 + JcoL3 - 3 + 3j - Vl8 e>4> .
Входное сопротивление определяется с помощью выражений
4, = Z, + ЗЛ = Rm + jXm = 3+ 3j + <3+3>Xl-3j) = 6 t 5 • = 6 2
Z2 + Z3 “х J ю 3+3) +1-3;
=6,2 Ом.
Вводные проводимости
у;,х= J- =----}—= 0,16е-'14 = 0,16 Ом-1.
zo. 6.2с'
Barbes^6 Внимание на то> что в случаях деления и умножения удобнее пользо-
тацля ВОказательной формой комплексных чисел, а в случаях сложения и вычи-
алгебраической.
входные токи;
Мплексное значение
Q . z,,x
"СТвУющее значение
п ; 20°
4-72 • е
I— -14 °
V2 6,2е7
, . ; 34
= 0,64е ' ;
ГН°Венное значение
/,,х=0.64 А;
im = Im sin(coZ + у,) = 0,64T2sin(1000z - 34°).
338
Примерь,и
3^и
Построение векторной диаграммы желательно провести независимо
чтобы можно было сравнить полученные результаты. Диаграмму можн* ^>ас<1ета
относительно любого из векторов. Выберем для этого вектор ианп °<,'Х)|>Ть
и проведем его в произвольном масштабе (вертикально). 111151
Вектор тока 7, опережает напряжение Uab на угол: ф2- arctg-Л. (pllc
Для построения <р2 отложим R-, (в произвольном масштабе) но направлениюил,
ах2 (в том же масштабе) — перпендикулярно этому направлению. Получим на-
правление тока 12 под углом <р2 xUrlh. Отложим 72 но этому направлению в про-
извольном масштабе.
Аналогичным способом строим вектор 73, отстающий от напряжения UtJ, на угол
Фз = arctg -—2-. Здесь важно сохранить тот же масштаб тока, чго и для I,- Для это
го надо, чтобы
£1
Лз
45°. таЬ
Вектор тока It получим геометрическим сложением:
7, = 72 + 73.
Вектор Ul напряжения на первом двухполюснике опережает ток Ц ,,а
как Д3= Х3, отношения Uuh к Iл и U{ к У, должны быть одинаковыми-
Вектор входного напряжения Um есть сумма (7, и Unh. снИс-'Г
Проверкой правильности построения и расчета может служить сов1 фаз
лов <р||Ч, полученное из диаграммы и расчета. Для фиксации начально
но нанести координатные оси (j; + 1) под углом 20° к направлению । вСхГ
Организуйте экспериментальную проверку полученных результат13’
му на рабочем поле EWB (рис. П.37). Действующие токи и напря5Ь^ [jP
измерить амперметрами и вольтметрами, сдвиги по фазе — прибор
МО*'
339
_ие^ьны<за^4
1ение -—--------
На схеме прибор ВР включен для измерения сдвига по фазе между входным то-
ком и входным напряжением, амперметр (АС) — для измерения входного тока.
Аналогично можно измерить все остальные токи и напряжения и сверить их
с расчетом и векторной диаграммой. Например, напряжению Uah на векторной
диаграмме должно соответствовать показание вольтметра, измеряющего напря-
жение на двухполюснике Z3.
Задача 4.2. Через токовую обмотку ваттметра надо пропустить ток первого
двухполюсника, а обмотку напряжения включить между точками а и Ь, как пока-
зано на рис. П.38.
Г,а основании
Тивление:
показаний амперметра и вольтметра определяем входное сопро-
/„„ = - = 10 Ом.
Г
ЛеДоватР
2 ^но> полное сопротивление одного из двухполюсников (при равенст-
Из 2 * = 20 Ом.
С w °ШеНий 21 = и R = 0,25Zt получим R = 5 Ом и X = 19,4 Ом.
и ()г°’ Что двухполюсники одинаковые, токи через них равны и по зна-
Ч,вн фазе- А = 5 А.
Г1РоВо МОщн°сть Р = /2 R = 125 Вт.
“ ''Рьте pvp
,с- Й.39)Р Шение задачи экспериментально, собрав на поле EWB схему
340
Рис. П.39
Так как X = 19,4 Ом, то при произвольной частоте (например, 50 Гц)
19 4
£ = _= 62 мГн.
2л/
Амперметр и вольтметр должны быть АС, вольтметр в имитаторе ваттметра -
DC. Сопротивление 1 Ом (1=5-4) выбрано для того, чтобы при коэффициенте
умножения 1 напряжение на втором входе было численно равно току.
Небольшие расхождения в данных вызваны округлением при расчете.
Задача 4.3. Мгновенное значение мощности описывается выражением:
Р(г) = UI cos (p-UI cos(2cof - <р) = S cos <p - S cos(2cof - Ф).
где S — полная мощность. Первый элемент выражения — 1'1 cos ф — есть актив
ная мощность. В то же время это постоянная составляющая кривой, приведен
ной на рисунке в условии (см. главу 4).
Из рисунка следует:
□ полная мощность S - -5^—= 1000 Вт;
2
□ активная мощность Р = РП|М - 5 = 600 Вт:
□ реактивная мощность Q = ±ylS‘ - Р = 800 Вт.
Так как cos<p — функция четная, то из приведенных данных знак РеаК
мощности (емкостная или индуктивная) не определяется.
Соберите на компьютере схему (рис. П.40).
Параметры схемы подобраны так, чтобы получить полную мощность
S = 200— 200 - = 1000 Вт
х// + ог£2
и активную мощность
Р = £2£ = 600 Вт.
На экране осциллографа на фоне кривой будут получены напряжения частотой
100 Гн и кривая мощности (канал В), приведенная в условиях задачи. С помо-
щью маркеров можно измерить значения в точках максимума и минимума и по-
лучить исходные числовые данные с точностью до вычисленных.
Задача 4.4. В задачах требуется найти параметры эквивалентной схемы
(рис. П.41).
Рис. П.41
Для нее /** г г .. .,
лИт г ~ Lx. х> то есть Uab при разомкнутой ветви . Находим по формуле де-
я напряжение (в комплексном виде):
eU2-j —
сос2
°- . 1 '
+ /?2 + j--
в сос2
3а%11Мов ab С<’Пр<г, ивление генератора Z, — это сопротивление схемы со стороны
• если считать сопротивление идеального источника ЭДС нулевым:
~
У С0С2 )
сос2
342
МеРЬ|-Иза^м
Ток ветви Д определяется по формуле
(Z
А = = ,
Z, + jw£|
Задача 4.5. Напряжение на зажимах ab в комплексном виде найдем
ut = jwL, i - jo)i\il2i.
1е
на зажимах Ьс —
й2 = joyL2i - jwMl2 i.
Из обозначений на схеме (см. условие задачи в главе 4) видно, что магнитив
потоки катушек Lt и £2 направлены встречно, поэтому используется знак « *
Закон Ома для всей цепи определяется выражениями
U -Ut+U2 = j(wLf + ы1.2 - 2wAf12 )/;
Л/12=М2,.
U
Отсюда ZBS =
вх
Задача 4.6. Электростатические вольтметры показывают действующие значения
напряжений. Следовательно, надо определить эффективные напряжения на всех
элементах цепи.
Действующее значение входного напряжения (вольтметр VI)
и = —;
“х V2
20
комплексное значение LJ = —=eJ
л/2
Определим сопротивление цепи:
Z = R + j\a>L- — ]=1-7 = V2r?" .
I wCj
Ток, протекающий через элементы,
20
“F—Fe
V2-V2
= 10e7'3'.
Напряжение на резисторе (вольтметр V2)
UR= iR=10e-j5,'-.U2 = 10 В.
Напряжение па индуктивности (вольтметр V3)
UL=i juL = 10е'14'"; U,= 10В.
343
йе контрой ЗЗДаЧ
решение
ие на конденсаторе (вольтметр V4)
Uc = -Ij — = 20е~/С: UA = 20 В.
ыС
тпння хорошо видны на векторной диаграмме (рис. Г1.42).
рсесоотношен
Рис. П.42
Глава 5. Анализ сложных цепей
Задача 5.1. Для рациональной индексации целесообразно, чтобы выполнялись
следующие условия:
□ ветви-дополнения (хорды) были обозначены первыми номерами;
□ ветви, содержащие источники тока, входили в подмножество дополнений.
Это соответствует выбору одного из деревьев, изображенных на рис. ПЛЗ.
Рис. П.43
п°лнения^1ае КажлЬ1" независимый контур будет состоять из одной ветви-до-
аКон н ветвей дерева: его номер совпадает с номером ветви-дополнения,
^апРа И ТОК совпадаст с током- протекающим в этой ветви.
Тельны^НИЯ °^хода контуров выбираем в соответствии с условными положи-
Нацес НапРавлениями токов в дополнениях.
ЭлеМенТо”(’Мера ветвей и направления токов на схему и граф. Номер каждого из
^еперь СХеМЬ1 совпадает с номером ветви.
^1еКсной°а<НО состав”ть систему уравнении по второму закону Кирхгофа в ком-
ь Делят °РМС’ имея в впду, что напряжения на каждом элементе схемы будут
П()СЯ С^Ммои напряжений от действия всех контурных токов, замыка-
k соответствующему элементу, с учетом их знаков:
344
Д, + R6 + —^— + R, I-1->R. + Z3| tffi + —I = ;
I j«c6 J I ;wC6j
ii-
^5+ ^7 + ^8 + . „ - h^5 + i-S ^7 +IAR1 + #8 ) = 0;
;wC2 J
13 [ — + R i + J WZ -i + , + Rg + ^7 I + Л I ^6 + . r | + i 2 R^ + /
\jc0C3 lwC6 ) t JwCtJ
0
Система состоит из трех независимых уравнений, содержащих три неизвегт
контурных тока (ток источника тока /4 известен). Параметры источников (ецЫ*
должны быть выражены в комплексном виде: ец1)
J(t) - Jm COS = jV2sinfwt+ —1 = ;^₽'(п/2) _ А .
I 2j V2 72
E -0° E
e(t)= E sinat =-~eJ -~.
72 72
Из полученной системы найдем контурные токи, которые совпадают с токами
ветвей хорд:
/1 = /1е7Ф|; i2=I2em; 13=13е™.
Токи ветвей дерева находим как алгебраические суммы контурных токов, проте-
кающих в соответствующих ветвях, например: 17- -1.,-13-1При необходи-
мости после проведения всех расчетов в комплексах токи могут быть выражены
в виде функции времени, например: it = It T2sin(cot + <pt).
Задача 5.2. Прежде всего надо выбрать узел и принять его потенциал нулевым.
Это важно, если схема содержит включение идеального источника ЭДС межд)
двумя узлами. В данной задаче один из таких узлов обозначим как «0». Осталь
ные узлы нумеруем в произвольном порядке. Индексация ветвей также пИ||де
мается произвольной. Выражаем проводимости всех ветвей в комплексном
например:
Z, «jHVjwCj)’
Следует обратить внимание на то, что проводимость ветви. с°ДеРжаШ<?ддс, '
ник тока, У3 = 0, а проводимость ветви, содержащей только источник
У7 = °° (опа в уравнение не войдет).
Потенциал узла 2, к котором)' присоединена ветвь, содержащая
ЭДС,
только
источив
С20 — ^7-
Запишем уравнения для узлов 1, 3 и 4:
7, ( 1 1 Л 1 _ i
I---1-----------I ^70 -- — / 4 — 1— ’
«^(l/jwCjJ 20 R2 J3 y/2
|иекон^ьнь^
345
fl 1 Ой1 Л 1
401л к6 «6 Ъ
= 0.
из системы уравнений потенциалы узлов, легко по обобщенному за-
ОПРСОма найти комплексы токов всех узлов:
Лт ~ Фю ~ йт0 )Ykm + Ёкт\кт .
В этой формуле двойной индекс показывает направление токов. ЭДС и напря-
жений.
Для поиска тока /7 придется воспользоваться первым законом Кирхгофа для ну-
левого или второго узла, так как У2и =
Задача 5.3. Выделим на графе цепи произвольное дерево. Например, в него вой-
дут ветви 2, 5, 10, 8, 9 (рис. П.44).
Рис. П.44
нвд3^06 независимое сечение входят одна из ветвей дерева и те ветви-дополне-
соб^УДаление которых разделяет граф на два подграфа, не соединенные между
Первы’ напР11меР 8, 1 и 6 и т. д. Рационально перенумеровать ветви так, чтобы
сП( v 6 НомеРа соответствовали ветвям дерева (рис. П.45). Одновременно нане-
овные положительные направления токов (произвольно).
Рис. П.45
В этой таблице:
□ +1 ставится, если ветвь входит в сечение, образуемое ветвью дерева и теми
дополнениями (хордами), которые в совокупности разделяют граф на два не-
связных подграфа, причем направление тока в этой ветви совпадает с направ-
лением тока в ветви дерева относительно отсечения;
□ —1 ставится в тех же случаях, но когда направление тока противоположно;
□ в остальных случаях ставится ноль (в таблице нули не проставлены).
Из такого порядка составления матрицы ясна цель перенумерования ветвей -
возможность выделения единичной подматрицы, соответствующей ветвям дерева.
Эта таблица соответствует матрице отсечений Q. Умножение ее на матрицу-
столбец токов справа соответствует алгебраической сумме токов ветвей, входя-
щих в отсечение, которая по первому закону Кирхгофа равна нулю:
[QUA, 1 = о.
Это и есть запись системы уравнений по первому закону Кирхгофа.
Задача 5.4. В соответствие с принципом взаимности ток в ветви Rb or Д( |1С™1)|
источника ЭДС, расположенного в k-'й ветви, будет равен гоку этой ветви,
источник ЭДС перенести в 6-ю ветвь. Исходя из этого, намечаем таков пор
СЭДС при-
1. Составим схему с одним источником, расположенным в 6-и ветви (.
мем равной единице). дей'
2. Найдем тем или иным способом распределение токов по всем ветвям
ствпя этого источника ЭДС.
3. Ток ветви 6 определяется (по принципу наложения) по формул^
/+)1,511
совпадеи1,я < чц)-
» >5’0МИД"р”'
1 F F 1 * Р 3 Г Е,-
£ 6 £ 6 £ 6 с(; £(>
Знаки перед слагаемыми выбираются в зависимости от (
несовпадения (-) токов (рис. П.46) и ЭДС (см. рисунок
Выбрав произвольные значения параметров и расставив пргн’0Ры’
правильность решения в системе EWB.
контрольных задач
347
Задача 5.5. Закон Ома показывает связь между током ветви 1кт и напряжением
у -(Uk Запишем второй закон Кирхгофа для контура: тоЫт:
(Р то Im ) + km ^km — ^km
Отсюда
J _ Uko
1 km &
Rkm
Для того чтобы записать эту формулу обобщенного закона Ома, надо провести
ряд преобразований:
1. Преобразовать участок nl (рис. П.47).
2.
3.
4.
Рис. П.47
Сло
Жить все последовательно соединенные сопротивления:
/?, + R.
1.3
°тсюда Е. = е + J R - Р
льтате получим схему (рис. П.48) и соответствующее соотношение:
Е,-Е2 + J /^Rs-
1 +
+ Л г,
+ --/?.+/?,+
R. + R, " R. + R.
Ф Ьо ~ то )
/?, R
348
При известных навыках эти преобразования (и соответствующую завис
Ома) можно делать за один прием. L Закоца
Г лава 6. Резонанс и частотные свойства
Задача 6.1. Для четкого представления всех соотношений построим
диаграмму относительно общего для всех элементов тока (рис. П.49)
Рис. П.49
,!екторную
При резонансе UL = Uc; U -UR= IR; Uc = I —; UL = IwL. И,з этих соотношений
wc
находим:
U, = 100 В, UR=1B; /?=1Ом;
А = = 10 2 Гн = 10мГн:
1 104
С =-------= 10'6 Ф = 1 мкФ.
100 ю4
Собрав схему в EWB (рис. П.50) и задав f = — — = 1591,5 Гц, а также н
2П 2П
в
денные параметры, можно проверить правильность полученных резуль «
посредственным измерением UR, UL и Uc.
Рис. П.50
349
ие контрол^ задач
выбрать измерительные приборы переменного тока (АС).
НезабС1 тОчных измерений необходимо снизить до минимума сопротив-
ддЯ поЛУче л(еТра и повысить до максимума сопротивления вольтметров, так
яенне аГ>’Г1 1цОй добротности контура даже небольшие добавочные сопротивле-
как ПР” сметную ошибку в результат.
КИЯ внося
в /• •> Ппи пезонансе емкостная и индуктивная проводимости параллель-
Задача 6-2- V со£ -
й должны быть равны: —-----= ыс, отсюда после преооразоваиии
НЫХ ветвей д -
1
я
R2 + m2L2
1-— = 8 104 с'1.
L
Построим векторную диаграмму (рис. П.51).
Рис. П.51
Относительно общего для трех двухполюсников вектора напряжения [7|1х ирове- -
дем под утлом тс/2 вектор опережающего тока, протекающего через конденсатор. ♦.
Конец вектора тока, протекающего через индуктивность (и резистор), будет на- --
ходиться на прямой ab (по условиям резонанса), отстоящей от вектора напряже- -
ния на расстояние 1С. Напряжение на резисторе совпадает по фазе с током IL, ,
напряжение на индуктивности перпендикулярно I,, причем UL + UR = UM.
Из геометрических соображений , так как оба этих отношения выража—
*от te п I R
источи ,Х<)ДНои ток’ совпадающий по фазе с входным напряжением, и есть ток ас
Ика тока. Отсюда найдем напряжения
UL = 1lv)L;
Ur=IrR = IlR,
^ательно,
7С = jwL = ji.
зНаяток1( ' R з
' Легк° определить напряжения:
Uc= I J_ = г4 1 = 100-4 _ 500
С С ыС J 3 0.110 f'-8-104 7 3-0,8 3 7’
------------------------------------------- Н^рь-и.
Ul=IlwL = J--8 UY' -1(Г3= — J-
L 3 3
uK=iLR=™j=iWj.
Естественно, Uc = Uux = yju’2 + U2R.
Проверим задачу экспериментально, собрав схему (рис. П.52).
Рис. П.52
Для удобства расчетов установлен входной ток 3 А. Добавочное сопри рц|Ю'
0,1 Ом введено для возможности подачи на осциллограф значения, ||^р[| рез°
налытого току (канал А). По каналу В подается входное напряжение ря#^
пансион частоте (12,7 кГц) показания вольтметров составят: 300 В
нис на резисторе, 400 В — напряжение на индуктивности и 500 В - 1 ‘
на емкости (входное напряжение).
351
осциллографа можно убедиться в разности фаз между током и на-
Г ПОМ0111ЬЮГ11Я частотах 10 и 14 кГц, причем знак разности меняется
Жжением при
ПРЯ 6 3 Для резонанса токов
, f 1
ЗаДаЧа
Im-
+ joC., > = 0,
R + j(w£-(l, wC, )) J
— мнимая часть комплекса. После преобразований получим:
____________-L ~ 2---= соС2; С2 = 1,02 10’9 Ф.
R2 + («£-(1 о)С, ))2
Для достижения резонанса напряжений используем формулу
= 0.
Imf[/? + ))](!, toC2 )|
m[/? + juL - j( 1/ioC,) + (l/wC2 )]
После умножения числителя и знаменателя на /ыС2
Im
R + ))
RjwC, - o'2LC2 + (C2 /С, ) + 1
= 0.
После умножения на сопряженный комплекс знаменателя и выделения мнимой
части получим:
( С 1 А
-R2co2C2+ 1 + —-со2£С2 со2£----= 0.
I G 2Л cj
В результате вычислений получим: ы2 = 9,9 1()12; од = 3,14 10®, что соответст-
вует частоте /=5010® Гц, w2=0,l 1012, ы,= 0,316®= 316-1()3, /=—-103 =
~50,3 кГц. Можно не проводить утомительных вычислений, если заметить, что
емк°стьС2 на два порядка меньше емкости С\ и поэтому оказывает малое влияние
свойство цепи на небольших частотах. Поэтому одна из резонансных частот
°пРеДеляется собственной частотой цепи RLC, то есть ш = — =
t VO.OI -10’9
0.316 Ю = 316-103, что соответствует частоте, вычисленной ранее.
g ст°ятельно проведите экспериментальную проверку в системе EWB.
ЧИслен/ Х’ под°бных этой, проверка особенно необходима, так как получение
ВЫ\ бол ° РезУльтата связано с утомительными вычислениями разпопорядко-
Ления. " UC РазРяДных цифр. Это всегда становится источником ошибок вычис-
^®4ача 6.4 >
(Рис п'кч аЧа ПРОСТО решается с помощью построения векторной диаграм-
^н°сите
С1Роцм тОкЬу° НапРяженпя UIK строим ток 1С, опережающий Uux на угол л/2;
вд. совпадающий по фазе с напряжением, по условиям резонанса.
352
Призеры
Ток IL определяется как IL = /их - 1С, то есть является гипотенузой
него треугольника с катетами длиной 1 А:
прям
ИзХ
оуголь.
IL=y/2 = 1,41 А.
Рис. П.53
Воспроизведем указанные соотношения экспериментально.
Для этого зададим произвольное напряжение и произвольную частоту (напри-
мер, Um = 1 В,f- 0,1592 • 10ь). При этом ы = К)6 с 1 и, следовательно, С = 1 мкФ
Для того чтобы ток, протекающий через индуктивность, отставал на п/4 от вход-
ного напряжения, а ток в нем соответствовал резонансному, надо, чтобы ZM =
= R + juL = - + j -, то есть L - 0,5 мкГн.
2 2
Собрав схему с указанными параметрами (рис. П.54), убедимся в том, что ток»
соответствуют расчетным, а сдвиг по фазе между входным током и напряжением
равен нулю (это делается с помощью прибора ВР).
Здесь сигнал, соответствующий входному току, снимается с внутреннего сопро-
тивления амперметра. Установив пределы анализа разности фаз в диапазоне
частот от 100 до 200 кГц и сдвигая метку фиксирования частоты, найдем часто
ту, при которой сдвиг по фазе равен нулю Это будет соответствовать расч
частоте 159 кГц.
Задача 6.5. Если не требуется воспроизводить ситуацию, приведенную на
в условии, экспериментально, то задача просто решается с помощью пос
векторной диаграммы токов (рис. П.55) относительно общего для всех _каеТ
тов напряжения. По условию резонанса |ГС| = |ГЛ|. Через амперметр Р"
ток Iл- 1 R + Ic, таким образом, 1Л= IR+Ic = V29.
сОПр°Т,,Б
Для определения возможных параметров схемы произвольно .зададв
ление R = 1 кОм. При этом напряжение на элементах схемы составит сП'
= 2 кВ. Для того чтобы ток, протекающий через катушку, достиг L -
2 • 10 3 льне
противление должно составить X L =------= 400 Ом. При нропзв >•
5 vkt|ibH<K
ной частоте (например, f = 1 кГц) этому значению соответствует и
т X, 400 ...... г
L = —- =--------= 63,9 мГн.
со 2л-103
(контрольных задач
353
ДлЯнастР0ЙКП
контура в резонансе емкость должна составить
С =------------= 0,398 мкФ.
2л-10’•400
Рис. П.54
В|°1Ючйв На Раб°чем поле EWB схему с заданными параметрами (рис. П.56),
н°сти nr,,. Нее соответствующие измерительные приборы, и убедимся в правиль-
в Слученного результата.
^Условие ВХ°де схемьг добавочное сопротивление, например 1 кОм, которое
^ерения йезонанса нс повлияет, можно воспользоваться устройством ВР для
^ерения СДБнга Фаз между током (вход IN) и напряжением (контакт OUT). Для
^’’’'Фаз нВад°.устапс)ВПТЬ нижний предел частоты, и тогда прибор покажет
° Резоцанса Эт°и частоте около 0°. Если установить некоторый диапазон частот,
3 надо искать сдвигом вертикальной осн вправо.
Рис. П.56
Глава 7. Расчет электрических цепей при
несинусоидальных периодических токах и напряжениях
Задача 7.1. Обратите внимание на то, что вольтметр Ц — электростатичесю^
вольтметр В2 — электромагнитный, а вольтметр С — магН11Т0ЭлеКТ?ПЧнапрЯ'
Первые два покажут действующие значения входного напряжения (С) п
жение на конденсаторе (V2) соответственно. Вольтметр V, покажет ср
чение (постоянную составляющую) напряжения на резисторе (Со-
действующее значение входного напряжения
иих
Мгновенное значение тока
i = ----sin(<i« + <р,) — — sin(2oy + 9 + <Р2-
Jr2 + (1/uC)2 ^R2 +(1/2wC)2
Фазовые сдвиги гармоник для нашей задачи значения не имеют.
355
значение напряжения на конденсаторе Uc = iZc. Применяя это со-
jJrfloBelJHOeK выражению для тока, легко допустить ошибку по постоянной со-
oTfloiBeHlie которая в токе отсутствует. Однако надо помнить, что равенство
ставля10111^11’ как результат деления а на °° (сопротивление емкости для посто-
= 0 П° сбавляющей); при умножении на то же сопротивление получим Uac = а.
явно» Р оСОбом тот же результат можно получить, используя второй закон
другим/
по постоянной составляющей для контура RC:
Кирхгофа по
1/с=й +
лЛ J(l/2wC) . „ .
— —— -— + sin(2 wt + w,).
2 J J/C + (l/2wC)2
/>(1/соС) . f
v ; _ -4111 I
Дд1М)г <
wi + <pj -
Действующее
значение напряжения на конденсаторе
Г+(1/соС)2/2
с/(1/2юС)
,2 + (1/2юС)2/2
Это значение покажет вольтметр V2.
Вольтметр Е3 реагирует на постоянную составляющую, которой ни ток, ни на-
пряжение на резисторе не содержат. Его показание будет равно нулю.
Если подобную задачу моделировать в системе EWB, то в качестве источника
надо использовать несколько последовательно соединенных источников посто-
янного напряжения и синусоидальных ЭДС разной частоты. Кроме того, в этой
системе приборы постоянного тока реагируют только на постоянную составляю-
щую, то есть они аналогичны приборам магнитоэлектрической системы, а прибо-
ры переменного тока, аналогов которым в реальной измерительной практике
нет, реагируют только на действующее значение переменной составляющей.
Рис. П.57
356
ПримеРыИза
Например, в системе EWB собрана схема (рис. П.57), расставлены
“РИоопт!
даны их показания. ны и а._
Объясните полученный результат.
Проследите, как изменяются показания приборов, если внутреннее <•
нпе вольтметров уменьшить до К) кОм. *Отивде.
Задача 7.2. Задача решается аналогично предыдущей!. Волы мсти V Х1.„.
* ' ‘ aiH"T03.te
трическои системы покажет постоянную составляющую входного напр
Амперметр электромагнитной системы покажет действующее значение тока
текающее через цепь RL. Его мгновенное значение ’ ПР°‘
a b . . t . d
1 = — + । —sin(co/ - <pj) —. — cos(3cor - ф )
R y]R2 + (viL)2 yjR2+ (5tnL)2
Действующее значение тока
Постоянная составляющая тока индуктивной катушкой закорочена, поэтому дей-
ствующее значение напряжения на катушке
,7 ПГ
UL =
btaL
JL]r2 + (uL)2
d5coL
JblR2 + (5ы/.):' .
Это напряжение покажет электродинамический вольтметр V
Задача 7.3. На первый взгляд для численного решения задачи не хватает данных
о номиналах элементов и частоте первой гармоники. Но заданное соотношение
т 1
(OL. ----
1 соС,
> оказывает
показывает, что этот контур настроен в резонанс и, следовательно, не ' о_
сопротивления первой гармонике, то есть закорачивает ее. В то же в1’юи(£Я
сти Q и С2 разрывают цепь нулевой гармоники (постоянной сослав.
Вольтметр V, покажет действующее значение первой гармоники G - J
Вольтметр V2 покажет постоянную составляющую UH = 150 В. прц-
При моделировании этой задачи в системе EWB сопротивление R< та!>с
нять произвольным (например, 7?( = 100 Ом), емкость копденсаи’Р1
произвольная (1 мкФ). Следует только соблюсти соотношение wi-i @6,
CJJJO
пример /., = 10 мГн, С( = 2,5 мкФ при частоте /, = 1 кГц. Заданный, с|1Нус0'
дальнып источник моделируется двумя источниками: постоянного
дальнего напряжения соответствующих значений и частоты.
357
е раз обратить внимание иа то, что в системе EWB вольтметр посто-
СлеДУеТ е1Цепоказывает только постоянную составляющую, то есть соотвстству-
яйН°г° Т°Калектрическому прибору. Что касается приборов переменного тока, то
еТ магН1’^ваюТ действующие значения только переменных составляющих, иг-
оци пока уЧетом этих особенностей схема па рабочем поле должна выгля-
Приборы V2 и V4 покажут незначительные напряжения, связанные с неточностя-
ми расчета резонансного контура и погрешностями, вносимыми их внутренними
сопротивлениями.
Глава 8. Общие свойства четырехполюсников
Мача 8.1. Из систем уравнений для схем с прямым и обратным питанием
[Ui = AU2 + BI2; {U^DUi + БЦ-
[Ц = CU2 + D12; [l2=CU{+DIl
ПолУчим:
Z - Л- 7 -1-7 -D 7 -В
j С’ ZtK.3 D, 2х.х с> 2к,3 D,
^сюда Z.
:2
' r~z -
ЭВИм ВЬ1Ражение
C((A,C)-(B/D)) D
D
358
с учетом соотношения AD - ВС = 1. Отсюда С -
_ПримерЬ1
D л
^~,A^CZt
'-2и
В главе 8 обоснованы различные соотношения между параметрами
щения, в том числе Т-образной (рис. П.59):
СХемь1заМе.
1 . 7 _ Л-1. 7 _ D-1
С С 2 с
Рис. П.59
1к зД
Проведя все описанные здесь вычисления, получим:
Z2K3-707e'45°; А = 1,41е’745”; В-103; С-10’3; D - 1,41е'45”;
Z^-IO3;; Z2-103j; Z3=103.
Соберем на рабочем поле EWB Т-образную схему из сопротивлений Z,, Z2, Z,
(задав произвольную частоту для определения параметров емкостей и индуктив-
ностей). Составим ваттметр из умножителя и вольтметра постоянного тока и по-
лучим схему измерения, например, для Zlx х (рис. П.60).
Для этой схемы
Р
<р = arccos —.
UI П
Остальные экспериментальные данные получаются аналогично (Р11С
359
р0сиеп_-
0,15 мкФ 159 мГн
1 кОм
Рис. П.61
Задача 8-2.
Схема соединения четырехполюсников приведена на рис. П.62.
Признаком параллельного соединения регулярных четырехполюсников являет-
ся соблюдение равенств |7] = Ui ] + [12 ] и [П| = [t/J = |Т/2]. Составим уравнение
в У-параметрах: [7] - [У] [И].
В соответствии с признаками соединений
[I1 = [I I = Ui I + U2 ] = [К, ЦП, ] = [У2 ][U2 ] = [У, + У2 ][С7],
то есть [У] = [у, ] + [У2].
^Дача 8.3. Запишем системы уравнений в Д-параметрах при прямом и обрат-
н°м питании:
([/,= au2+bi2,
[ц = Си2+О12,
этих уравнений получим:
Й1хх
Л = ^-
U 2...
772=О771 + В71;
72 = CUl + AIl.
^пРи(0 =
------------------= - (со2 LC - 1).
и -у(1/соС)
1 ;(со£-(1 соС))
~ Ю1 значение А = 0,5, при со = <о2 - А = -0,5);
R Г
В - ----= -—— = jcoL
^2к.з Uх / jmL
значение В = 50/, при св = <о2 - В = 50V3/);
360
"РИмеРы и
с = Л..Х = П,;(со£-(1, соС)) __
;(co£-(l.coC))t7,(-;(l соС)) ’ '“С
(при со = со, значение С = 10'2 j, при со = со2 - С - 10 2V3j).
Из выражений для Z1C и Z2C получим:
= 50 при со = со,; Z1C - 50j при со = со,;
= 100 при cd = cd, ; Z2(.= lOOj при co = со.,.
Это и есть характеристические параметры.
Комплексный логарифмический коэффициент затухания определяется через от
ношение полных мощностей на входе и на выходе четырехполюсника:
Выразим отношения при согласованной нагрузке:
Ux = AU.,+ b£^ => Й- = Л +J— = .I^[Jad + у[ВС].
1 1 Z2C и, \ D \1У
/, = = DI, ^U = D+ + Vo?].
1 Z2C 1 /2 V A V/11
Отсюда ~ in^y-j1 - 1п[7ЛО + д/ВС]. или е* = -JAD + у! ВС.
Практическое вычисление комплексного коэффициента затухания требует
менения специальных таблиц для гиперболических функций комплексно1-
гумента или возведения в комплексную степень с помощью разложения Р*
Глава 9. Трехфазные электрические цепи
Задача 9.1. Задача при неснмметрпи приемника решается следуют11'
Сначала находится напряжение смещения нейтрали
. й^+й^+й^.
иОО-~ V v v <7 ’
здесь UA = фазное напряжение (Пф).
Затем определяются напряжения на каждой фазе нагрузки:
= UА ^1: — й в ~ UВО- ’ = ~ 00' ’
361
ниеконтРоЛьНЬ1Х задаЧ-
реи^6
едяются фазные токи и ток нейтрального провода:
^eei^4 iB = UbYB-. ic = U,Yc; Ia = Uaa-Y0.
„ задаче YA = 0'< ¥ц = Yc~ V& К) -0 при отсутствии нейтрального
В цаШеИ_/ _ прп наличии нейтрального провода.
пЛпода. ‘ о 1 -
пРи начальную фазу напряжения UA равной пулю и введя оператор пово-
пр»,нимая 1 V3 . ..
;(2/з>п__+ — у; црн отсутствии центрального провода получим.
рота Д = е 2 2
U^a'R) + U^VR) , иф
Um>' (YR) + (YR) 2 ( ' 2
фазные напряжения (при UB = Ut[,a2) определяем по формулам
Ub = U и - Um- =LY^a2-a2-a)=l^-(a2-a) = ~j^-U.b=-j1^-;
uilt . и., и
vc =Uc-Uw. = -^-(2a-a2-a) = ^-{a-a2)^ j.
Таким образом, значения напряжения на нагрузках фаз В и С составят 190 В,
а сдвиги по фазе — ±л/2. При наличии нейтрального провода (с сопротивленп-
ем, равным нулю) Um. = 0, следовательно, на каждой из фаз сохранится фазное
напряжение UB = UC~ 220 В (со сдвигом по фазе ±2л/3).
Задачу можно решить проще, используя построение векторной диаграммы
(рис. П.63).
с°Г1Рот*иЬ1Ве Фазы очевидно. сохранится линейное напряжение UBC, а равные
Ка О' с ен11я RB л rc разделят это напряжение пополам. Следовательно, точ-
ном Hann ТИТСя На сеРеДипу вектора Unc. Отсюда вычислим напряжения (с учс-
Равления осп мнимых чисел)
^й=-7-р =
РИ ^ичии н ..
нейтрального провода напряжение Um. = 0.
362
2^еры
За^чи
Собрав схему на рабочем поле компьютерной лаборатории (рис. П 64) ।
зовав прибор ВР. получим те же результаты. 1111С11одь.
□
□
□
Рассмотрим следующие случаи:
1. Нейтральный провод отсутствует.
2. Нейтральный провод включен.
Надо установить следующие значения:
ил = = 220 В с начальной фазой 0;
Un - 220 В с начальной фазой -120°;
Uc = 220 В с начальной фазой +120°.
Частота не имеет значения (например, 60 Гц), так как нагрузка чисто резистии
ная. Не имеют значения и показатели резисторов R (например, 1 кОм). Устав0
вив на приборе ВР диапазон частот от 60 (Г) до 61 Гц (Г), получим при отсу^
вин нейтрального провода сдвиг по фазе в точке В -90°, в точке С — +90 .а с
ношение амплитуд 0,87, что соответствует расчету 0,87 220 = 190 В.
При включении нейтрального провода также убедимся в соответствии р
ных и экспериментальных данных. сТЬ
Задача 9.2. Симметричное строение приемника позволяет измерять мо
одним ваттметром. При этом мощность всего приемника
Р = ЗР, = 3000 Вт.
и ть
В то же время ваттметр на схеме включен так, что в полученную мош 11СкуС'
дит также мощность, потребляемая группой сопротивлений, образу!
ственную нулевую точку.
Эту мощность можно определить: PR= Зб/()/ф cosip = 660 Вт.
Следовательно, мощность приемника Р = 3000 - 660 = 2340 Вт.
363
можно проверить, если собрать схему (в системе EWB) для измере-
резУльТаТ потребляемой сопротивлениями (рис. П.65).
н11яМ°шН° ’
Рис. П.65
В такой схеме при установке коэффициента умножения 1 и выделении изме-
В Ильного сопротивления 1 Ом на входы умножителя поданы напряжение 17ф
и напряжение, численно равное току фазы. Таким образом, показание вольтмет-
постоянного тока будет равно произведению UI при cos ср — 1, то есть значе-
нию мощности одного резистора. Таким образом, PR= 660 Вт. Это, конечно, сов-
падает с расчетом.
Задача 9.3. Сумма показаний двух включенных по схеме Арона ваттметров рав-
на активной мощности всех трех элементов, соединенных «треугольником». Мощ-
ности, потребляемые каждым из резисторов,
U2
PRi = ^-= 100 Вт;
Ri
U2
РЯ2= —= 50 Вт.
R2 R2
Значит, элемент Z3 потребляет 150 Вт активной мощности при токе 2 А и напря-
жении 100 Вт. Поскольку Р = UI cos ср, то cos <р = — = 1^ = 0,75. Таким может
б v 17/ 200
ь элемент, состоящий из последовательно соединенных элементов R3 и £3.
этом случае из соотношений
Z = у = ^R2 + X2 = 50 Ом;
R = Zcosa = 37,5 Ом; X = ^Z2-R2 =33 Ом
частоте 50 Гц получим £ =
Утаиться
vpuc. J
2^новив
^'<лс7Гл
X 33 П А - у-,
- - 0.105 Гн.
2л/-----314
Пбб) ЭКСПеРиментально в правильности решения можно, собрав схему
параметры источников 17 = 100 Ви f = 50 Гц со сдвигом по фазе 0,
и требуемые параметры приемника, мы должны получить показание
*Ляем " z а и показание вольтметра (DC) 150 В, численно равное по-
°и активной мощности.
Задача 9.4. Решим задачу экспериментально. Для этого соберем схему с произ-
вольными параметрами, содержащую трехфазпый источник и симметричный
приемник, обеспечив измерения мощности (рис. П.67).
Рис. П.67
«трСЧ'ГО^Ь
Зафиксируем показания вольтметра. Затем переключим нагрузку па ‘ 1 •
ник», не меняя источник (рис. П.68). „
показа11”*
Сравним показания вольтметров. Поскольку при таком включении по1<аза'
вольтметров численно равны 1/3 мощности приемника, отношения эпь
ний дадут ответ па поставленный в задаче вопрос )кГ
Действительно, переключение со «звезды» па «треугольник» дает увели JjpaS-
пряжения на каждой фазе в -Уз раз, что повлечет за собой увеличение i°ica
следовательно, и мощность увеличится в 3 раза.
^ие контР—хзаДая
Рис. П.68
Глава 10. Анализ переходных процессов
в линейных цепях
Задача 10.1. Проанализируем условия задачи. Требуется определить реакцию от
включения синусоидального напряжения в схему с одним накопителем энер-
гии — индуктивностью. Частота питающего напряжения со = 2л/, следовательно,
/= 100 Гц, со = 628 с 1.
В линейной схеме с одним накопителем реакция при любой коммутации, связан-
ной с изменением энергетического состояния накопителя, описывается линей-
ным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффи-
циентами. Решение такого уравнения:
Ч = Чет +
^егусТ ~ установившееся значение тока (в нашем случае синусоидальный ток);
постоянная интегрирования; т — постоянная времени.
Установившееся значение тока, протекающего через индуктивность определяет-
ПлексСХеМЫ послс коммутации при t-э Это можно сделать, например, ком-
с ЫМ методом который описан в главе 4 «Анализ простых цепей при сину-
^''Ьных токах и напряжениях».
дуктв?" Т°К опРедсляется по формуле l^tl/Z^, ток, протекающий через пн-
ность (делитель тока).
I = j = J
L '(R2 + jaL) Zax(R2 + jvL) 1 ’
Где ifjxr
200л-4-IO-3 * =2,5;;
= R, + =2 + 6-2,5; = 12 + 20; = XZ122 + 22
R? + juL 6 + 2,5; 6 + 2,5; ^62 + 2,52
= 3,59 e'36 5;
366
.2^MePbi M 3a
UR.,
!2 + со2£2
20
Vi = arctg — = 59°;
2 5
y2 = arctg = 22,5°;
6
10 6
-j<p _ 2,57
c---------7=~e
V2
-/59°
L ~
<P = Vi;
z) (0= /V2sin(atf - <p) = 2,57 sin(628 + (-59°))
(постарайтесь осмыслить рациональную схему вычислений при решении зада
с использованием комплексного метода)
Постоянная времени может быть получена из характеристического уравнения
Однако если учесть, что эта постоянная характеризует рассеяние (запасание)
энергии индуктивности на неком эквивалентном сопротивлении, включенном на
накопитель, получим:
т = — = £(Д| + /?2>= 2,67 10 :! с-'.
R, RtR2
Постоянная интегрирования должна удовлетворять значению функции при t = +0:
IL V2sin(-<p) + А = iL(+0) = iL(-0) = 0; A = V2sin(-ip).
В результате получим:
iL= 7T2sin(cot-<p)-Л/2зт(-<р)е“'Л;
iL = 2,57 sin(628 + (-<p)) - 2,57 sin(-<p)e“'/,Z6710”* 1 2 3).
Осциллограмму целесообразно строить в следующем порядке:
1) отметить установившееся значение тока с учетом начальной фазы;
2) провести экспоненту, начальная точка которой равна i (0) с обратным зна
ком, так как iL (+0) = 0;
3) сложив по точкам обе кривые, получить переходный ток iL (t), который по к
увеличения времени (3-4т) сливается с установившимся значением тока-
Рассмотрим, как можно организовать эксперимент в системе EVv В для п°' •
ния всех параметров переходного процесса. пр0.
Соберите схему на рабочем поле. В схему добавьте небольшое (0,01 ®^ц11Лло-
тивление для фиксации тока, протекающего через индуктивность, па ^яо
графе. Используйте программируемый ключ (подставить его в схему^
щелчком на соответствующем значке в меню). Он вам понадобится
чтобы коммутацию провести точно в заданный относительно установ^^ще-
значения тока момент времени (начальная фаза <р). Для фиксации Уст‘^ча
гося значения соберите на том же поле коммутационную схему без К-
Получите на рабочем поле две схемы, изображенные на рис. П.69
367
.итоольных задач
X) 7.l4V/p00Hz/0Deg
30ms
4mH .----СХШЗ
0.01 Q
7 14V/100Hz/0Deg
Рис. П.69
Масштаб по осп времени (по обоим каналам) надо установить -т/дел., то есть
мс/дел., масштаб по вертикали — 10 мВ/дел. С учетом выбранного значения
Добавочного сопротивления амплитуда тока на осциллограмме займет почти весь
экран.
®Ремя включения надо выбрать так, чтобы с начала выдачи питания прошло не
Чен^ И целое число периодов питающего напряжения, £вих = kT > 4т. Ограни-
гдаИе ^необходимо для того, чтобы коммутация происходила в тот момент, ко-
заТухнВТ°Р°й схеме переходные процессы (они возникают при подаче питания)
g
сдагае ВЬ1кЛ1°чения надо установить таким, чтобы получить экспоненциальное
стигн М°е ИСКОмого тока, то есть при котором установившееся значение тока до-
Ключ^Т '2,57sin(-cp). Кроме того, желательно, чтобы процесс включения и вы-
К «еобх Я П0Местился на одной осциллограмме. Все эти обстоятельства приводят
аВрем одимости выбора времени включения 30 мс (с начала подачи питания),
Ч^ММу11^ выключения — 45 мс. При таком выборе масштабов получим осцилло-
’1₽оцессаВПОЛНе приемлемую для замера по ней всех параметров переходного
368
ПрИмеРы и
Для экспериментальной оценки величии необходимо зафиксировать
грамму. Для этого щелчком мыши выключите питание панели. Посте
жатием кнопки на окошке ZOOM уменьшенной панели осциллограф., , *°Го На'
увеличенное изображение экрана. 4 110лУчите
Использовав маркеры времени в начале и конце экрана, получим па прям,
никах внизу под экраном показатели времени и величины сигнала г г°ль-
вующие позициям первого и второго маркеров, и разницу между этими Ветст'
ми Эти данные позволяют зафиксировать значения сигнала и рассчитать гЦ*'Я'
В нашей задаче, установив маркер 1 в точке, соответствующей моменту к,
ции, а маркер 2 — в точке максимума, получим: "Та'
I R - ВI = 4 мс; | VBl - К,, I = 2,05; | УЛ2 - VB21 = 0,45:
т_ l^-^l - 4 -ч г/
K2-Vj 0,45
Полученное значение можно считать полностью совпадающим с расчетной по-
стоянной времени т = 2.67 мс.
Задача 10.2, Здесь, как и в любой схеме с одним накопителем (если изменяется
энергетическое состояние накопителя), процессы описываются дифференциаль-
ным уравнением первого порядка, решение которого представлено в виде
Л - Л.., +Ае-“\
В этой формуле надо определить i1m , т, А.
Установившийся ток подсчитывается по схеме после коммутации:
, Д, + R,
hyc'~J R + rJr2
д, + /?2
1
R ^1 + ^3
Rt + R,
Здесь использованы принцип наложения, формулы делителя тока и
Подстановка .значении в выражение дает zjvcr = 0,59 А.
Постоянная времени (т) подсчитывается по схеме после коммутации
тат взаимодействия накопителя (L) с эквивалентным сопротпвле...
тельно его зажимов:
закон Ома.
..а как резуль-
енпем относи-
т = — =-----------= 0,59 мс.
1 R, + R
протек210'
Для подсчета постоянной интегрирования (А) необходимо знать ток. 1 сХсМе
щин через индуктивность до момента коммутации /,(-()). Находим его
до коммутации:
= 0,6 А.
Д, + Я3
369
е контрольных^4______________
)ение '——
омент коммутации можно определить по схеме после коммутации с за-
foKI3 в раННым значением тока в ветви с индуктивностью, так как при <(+()) ток
Ф“КС,3РвеТВи не может изменяться, ф(-0) = ф(+0).
31011 а пасчета при t = +0 будет выглядеть, как на рис. П.70.
£ХеМа Для Р
Используя принцип наложения, получим:
<з<+0) = 7Т7Г + УГГ *-°}rTr •
1\-^ + 1\‘) ГУр + -“3 + -*^3
или, после подстановки значений, /3(+0) = 0,63 А.
Подставляя полученные значения в формулу для определения тока при г = +0,
получим уравнения для определения А:
\сг + ^ = М+°)>
откуда
А = ^(+0)-^ = 0,04 А.
Окончательный ответ: i3(f) = 0,59 + 0,04е о’м ,°’3.
Осциллограмма приведена на рис. П.72
Для организации компьютерного эксперимента соберите схему (рис. П.71) на ра-
чем поле системы EWB, не включая в нее осциллограф (схема дана в прпня-
Ых в системе обозначениях).
я Удобства отчетов по осциллограмме в схеме из сопротивления Rt выделено
ра £ ивление 1 Ом, напряжение с которого подается на один из каналов прибо-
ЛенноЭТ°М СЛУчае напряжение между точкой включения и «землей» будет чис-
q Р(|вно току /3. Выбор масштаба очевиден:
q ° °Си времени 0,5 мс/дел. (= т/дел.)
Не ВерТ11кальп°и оси 0,2 В/дел.
ФйксаццВа*1Те включать открытый вход осциллографа (DC) для возможности
ИзПр постоянных составляющих сигнала.
Устан0В11О>Кенного меню можно выбрать управляемый клавишей пробела ключ и
^К'Ча ПкТЬ ег° в положение «разомкнуто». После подачи питания и включения
зафикси13Клите некоторое время и выключите питание На экране прибора будет
Р°вана осциллограмма (рис П 72).
Рис. П.71
Рис. П.72
371
^ниекон^-хзадач
п ее окно нажатием на кнопку ZOOM, на экране осциллографа можно
Уве-®1 ментаЛЬно определить (с учетом масштабов выбранного добавочного со-
экспер11 я если отсчет в окне ведется от 1) значения токов в различные мо-
пр°т j времени: до коммутации, в момент t(+(Y) и установившийся. Более точно
МеНТЬжно зафиксировать с помощью отметки, соответствующей нужному мо-
менту времени.
становить две отметки, как показано на рис. П.72, на расстоянии At = 0,3 мс
ЕсЛИ0Т друга (можно и какое-то другое), считав соответствующие значения
0) i (0,3 мс) 11 вычислив размеры а и Ь, можно получить постоянную време-
ни Т ПО осциллограмме:
At
т ------.
lno/Z>
В нашем случае можно получить At= 0,3 мс, а = 0,09, b = 0,045, отсюда
1 = 0,3/1п1,64 = 0,6 мс , что хорошо совпадает с расчетным т = L/R? = 0,59 мс.
Задача 10.3. Здесь, как и в любой схеме с одним накопителем, переходный про-
цесс описывается дифференциальным уравнением первого порядка. Его реше-
ние ищем в виде z, = i,ycT + Ае ,/т.
Рассматривая схему после коммутации, получим:
----------= 4,44 мА.
+ R । + R>
Постоянная времени т = R С = С—------+^' = 0.1-10“3
R. + R..+ R.,
'1у<т
20-70 _
------10 = 1,5 мс.
90
Здесь R:i подсчитано, как эквивалентное сопротивление всех резисторов относи-
тельно зажимов накопителя в схеме после коммутации (сопротивление источни-
ка тока Rj = оо).
Начальное значение тока i, (+0) подсчитывается из схемы после коммутации
Учетом того, что напряжение на емкости в этот момент времени t/c(+0) =
Пс(-0) = 0. Таким образом, г, (+0) = J——— = 5.71 мА.
/?! +
В то же время г, (+0) = г,угт + А, отсюда А - 1,27 1(Г3.
q ю3<
°нчательно получим L = 4,44 + 1,27е 1К.
*
(рис экспеРимента на компьютере соберем схему в системе EWB
тов в Си ’ Собирая схему надо помнить об отличиях в обозначениях элемен-
(-°пр СТеме I-WB от принятых в российском стандарте.
Чз УДобстЛСННе 1 °М’ напРяжение с которого подано на осциллограф, принято
уСТа Ва оценки масштаба.
°СцЧллогг^С развеРткУ т/дел. =2 мс/дел. и чувствительность 2 мс/дел. Получится
6₽^кении/ММа’ КОТОРУЮ в Деталях можно анализировать на увеличенном изо-
бРаЖеНИи) РИС‘ П-74) (получено нажатием кнопки ZOOM на уменьшенном изо-
Рис. П.73
Рис. П.74
^ение контрольных задач
373
-рехникз
□
□
□
ее получения такова.
новите ключ (клавишей пробела на клавиатуре) в положение «замкну-
включите питание источника (щелчком мыши в правом верхнем углу ра-
б°чёго поля). Следите за движением точки по линии (-0).
разомкните ключ (клавишей пробела).
рь13КДав некоторое время, пока переходный процесс закончится (кривая на
уровне it (°°)> выключите питание. Осциллограмма будет зафиксирована.
и работе на быстродействующей машине иногда невозможно успеть вовремя
ажать на необходимые клавиши. Работу машины можно замедлить, предложив
ей вычислять большее количество точек (например, 10 000).
Как и в предыдущей задаче, можно все расчетные параметры получить в окне, рас-
положенном внизу экрана, устанавливая в нужное положение метки и 1 г
Задача 10.4. Решим эту задачу, проанализировав осциллограмму. Для ее полу-
чения соберем на рабочем поле схему (рис. П.75).
(JscWoscope
Z00 И
GROUND
TRIGGER
EDGE ff? '®
LEVEL 6*00 C
nЩ4; Aj в; ext]
CHANNEL
5 V/Div
V POS 0.00
ac| ejjWr
TIME BASE
5.00ms/ div
X POS 0.00
[yzi- BZAj A/B
CHANNEL A
1 mV/Div
V POS -1.00
Ас ф е фЖ д
Рис. П.75
?братИте
a^atoT
внимание на полярности источников ЭДС. Они различным образом
емкость. Сопротивление R., расположено так, чтобы удобно было под-
374
При01°Ры и
~^Аачи
ключить осциллограф для фиксации значения, пропорционального току
кающему по каналу А (выделено сопротивление 1 Ом, поскольку 0Н()' ’ Проте-
тельно по сравнению с F2, последнее можно не уменьшать. Канал В пспо^113411'
для получения наглядной осциллограммы напряжения на емкости Г (j)j*b30Bai1
Попытайтесь получить осциллограмму так, как это было сделано в предц
задаче, следя на экране осциллографа за движением точек. Проведя комму^^®
и выключив питание, получим один из двух вариантов: " 1111,0
□ линию, прочерченную по нулю:
□ отсутствие линии (в этом случае значения фиксируемых величин находят
за пределами экрана). я
Развертку установите в миллисекундах на деление (5 мс/дел.), так как R г
= (103-W6) мс. ' 1 *
В первом случае надо увеличивать чувствительность (снижать количество вопи-
ла деление), во втором — увеличивать количество вольт на деление. Эти мани-
пуляции нужно выполнять до тех пор, пока изображения на экране не станут
приемлемого качества. При необходимости нужно скорректировать развертку -
в конце концов вы остановитесь на следующих параметрах: канал Л — 1 мВ/дел.,
канал В — 5 В/дел.
В результате описанных действий будут получены осциллограммы, приведенные
на рис. П.76.
Рис. П.76
^ениеконтрольнь.задач
375
По каналу В максимальное значение несколько зашкаливает. Можно по этому
^налу немного снизить горизонтальную ось (например, на одно деление). *
диализируя осциллограмму, получим:
z2(+0)=4 мА; = ()
’ ZVCT
вательно, i2(t) = /lc м^- Фиксируя значение t2 в разные моменты време-
помощью отметок на осциллограмме, можно подсчитать постоянную време-
Хс*=10 мс-
Проверьте эти данные расчетным путем.
Задача 10.5. В схемах с двумя накопителями процесс будет описываться диффе-
ренциальным уравнением второго порядка. Его решение имеет вид
г'с(О= г'Суст + А|ер‘, + А2еР2'.
В этой задаче можно сразу искать ic (t), так как ic (t) = iL (t). Но в других случаях
иногда целесообразнее находить сначала г£(?) или Uc (t), так как к этим функци-
ям непосредственно применим закон коммутации. Это может существенно об-
легчить поиск постоянных интегрирования А, и А.,.
Установившееся значение г = 0, так как постоянный ток через конденсатор не
протекает. Коэффициенты Р( и Р2 определяются из характеристического уравне-
ния. В этом случае удобно использовать то обстоятельство, что уравнение
Z„(p) = 0 совпадает с характеристическим, если применять равенство ZL = pL,
а также считать Zc(p) = 1/рС.
В результате получим:
{R{ + R2)+pL + ~ = Q-
рС
-----7- Р Н-------------
10-103 10-10103 106
р2 +11-103р +10-106 = 0;
Р112 = -5,5 103 ± ^30,25 106- 10 • 10е = (-5,5 ± 4,5) -103;
А = -Ы03;
По Р2 = -Ю 103.
КоРни отрицательные и разные. Следовательно, с учетом ф(^) - 0 по-
I ц i ф(Т) = А(е |оЛ‘ + А2е 1()|0\
Исх0Дя1111Ь1С 11 можем отыскать, зная начальные условия для накопителей,
Из знаков коммутации:
ф(+0)=2с(+0)=ф(-0);
Г/С(-Ю) = Г/С(-О).
376
П«*Р»иаЧли
Рассмотрев схему при t - -0, получим:
и
R{ + 7?3
?£(-0) =
= 0,1 А;
О
[7 (-0) = 17------?—= 10 В.
/?1 + 7?3
Второй закон Кирхгофа по контуру, полученному после коммутации
записать в виде следующего выражения: UL +UC + Т?2г(.(+0) + /?, /( (+0) _
иначе — Ktl/-l/c(-0)-(/?1 + R2) ic (+0). В свою очередь, при 1 = 0
"ОЖНо
U, пли
UL{+0)= L— = (/;1А1 + /;2А2 )L.
dt
Значит, £(-103 А, - 10 103 А,) = 20 - 10 - 11 или Z(105 А, + 10 • 103 А,) = 1.
Используя выражение гг(+0)= г, (+0) = А( + Л2, получим второе уравнение для
определения А{ и Л2: А, + А., = 0,1. Решая уравнения совместно, получим: А2 = 0;
А, = 0,1.
Значит, искомый ток можно найти с помощью формулы it (t) = 0,1е""' ' - P-|O|I|J'
Рис. П.77
^ение контрольных задач
377
ганнзании эксперимента необходимо собрать на рабочем поле схему
ДЛЯ П 77).
(pllC. Н-
этой схеме из сопротивления R2 выделено сопротивление 0,1 Ом, что позво-
^аЭ вывести на осциллограф значение, пропорциональное току (канал В) п на-
пряжению на емкости (капал А).
Лрав соответствующие масштабы осей (проделайте это самостоятельно),
ожно получить осциллограмму. Вследствие того, что А2 = 0, в результате полу-
чится кривая, совпадающая с экспонентой.
На рис. П.78 приведено увеличенное изображение экрана (получено нажатием
кнопки ZOOM на уменьшенном изображении). Можно изменить параметры так,
чтобы отличие кривой от экспоненты было существенным. Так, если принять
С = 2 мкФ, то корни характеристического уравнения станут комплексными, что
повлечет за собой изменение характера процесса — из апериодического он пре-
вратится в периодический.
Проделайте этот эксперимент.
В результате будут получены кривые, изображенные на рис. П.79. В этом случае
поиск постоянных интегрирования целесообразно осуществлять исходя из фор-
мулы
ir - Mve cos col + M2e 8'sincof,
где p12 = - 6 ± jco — комплексные корни характеристического уравнения.
Рис. П.78
378__________________________________________________________^Римеры и За
~Л3аДачи
Рис. П.79
Глава 11. Применение интеграла Дюамеля
для расчета переходных процессов
Задача 11.1. Задача решается применением интеграла Дюамеля
\
j(t) = U(P)h(f) + ^U'(x)h(t - x)dx
о
для различных участков времени.
По функции U = f(t) определим:
3-50
2
2
t для 0 < t <
[/(0 =
( 2
50 - 180 t - -
I 3
2
3
- 10 для t > 1;
^ение^онтР^ьныхзадач
379
U'(x) = \
2
75 для 0 < t <
3
2
- 180 для - < t < 1;
3
0 для I > 1:
77(0) = 0.
Переходная характеристика цепи h(t) определяется как /2(Г)при включении еди-
ничного напряжения:
h(t) - O.le-'1, где т = — = 0,1 с;
R
Л(7-х) = 0,1е-('“’)/т.
п 2
Для периода времени 0 < t < -
/(Г) = |75 - 0.1е-(,-д )/т<7г = 7,5е-'/тт|е'/т = 0,75 - 0,75С-'/т.
о
Для периода времени 0 < t < 1
2/3 t
i(t)= |75 0,1е-'/тел/1Л + j-180-0,1е',/тег/т 0,75e^T|el/T - l,8e'f/t|ev/T =
0 2/3
- 0,75е“'/те2/3т -0,75е’{Л - 1,8 + 1,8е-'/те2/3т
Для времени t > 1
2/3 1
/(0= j 7,5 0.k'V;,J/ + /-180-0,1е-'/тел/тб/Л
0 2/3
Задача 11.2. При решении задачи ограничимся составлением интеграла. Будем
искать его в виде
Uc{t} = У(О)Л(0 + \Y'(x)h(t-x)dx.
И
спользуем входные функции
У(0) = 6; У(О = f 6 “ 10t ЛЛЯ 0 <1 < 1: у'(t) = I" 10 ДЛЯ ° < f < 1;
2 для t > 1; [О для t >0.
Отсюда
А(Г) = L'c (г) при У= 1;
L /г(о=1(1-е-'т).
Ает=^С=4с.
380
При^ерЬ| и
3^чи
Запишем интеграл для промежутка 0 < t < 1:
Uc(0 = 6(1- е"'/т) + j-10 (1 - е4'” )/т) А;
для t > 1:
1
ис(о = 6 (1 - е-'/т)- f 10 (1 - ,Л )dx + 6 • (1 - е1'-’1',.
о
Вычисления интеграла предоставим читателю.
Задача 11.3. Здесь приведем только переходные характеристики. Установпвшеес
значение тока, протекающего через емкость, прп включении единичного нап %
жения равно нулю. Начальное значение составляет половину входного тока рав
ного 1/1,5, то есть 1/3 А. Этих соображений достаточно, чтобы записать
Л(О = ^е'/т,
где
2
т = R С =15 -10 =10 мкс.
3
Задача 11.4. Здесь приведем только переходные характеристики. Установив-
шееся значение тока i2 составит половину от входного тока (0.5 А) при У= 1 А.
Начальное значение (при z, (+0) = 0) составляет 1 А. Следовательно,
/?(О = 05 + 0,5^'/т.
где
т = — = — = 0,05 с.
R, 20
Запись интегралов при заданных входных воздействиях в различные периоды
времени трудностей не представляет.
Глава 12. Применение интегральных преобразовании
при расчете процессов в линейных цепях
Условия задач приведены в главе 10.
Задача 12.1. Составляем операторную схему замещения (рис. П.80).
Рис. П.80
контрольных задач
381
ре1Иение
кочьку начальные условия — нулевые, схема практически совпадает с исход-
пЛЬко индуктивность L заменена се операторным сопротивлением pL.
тлпное изображение синусоидального источника 1'(р) - U —-----.
Операт°Р1Ю - р2 + ш2
Входное сопротивление
Z (p)=R + RiPL = R' R2 + R\PL+ R^VL
1 R., + pL R, + pL
Воспользуемся законом Ома и формулой делителя тока для поиска IL (р):
. Ц(Р) R2 = ________________U(HR2____________= G{p)
. l(P) Z(p)Rz + pL (р2 + со2)[Я,Я2 + (Я1 + R,)pL] Н(р\
Не торопитесь расписывать выражения, стоящие в скобках в знаменателе, так
как при такой записи легче искать корни многочлена знаменателя.
Воспользуемся теоремой разложения для нахождения 1,(0:
-бР(р.)
где pt — корни уравнения Н(р) - 0.
Найдите Р.,= ±/со, Р-,= -— 10! = —0.375 103, обратите внимание
(P, + P2)i 8-4
на то, что —— = т совпадает с постоянной времени (см. главу 10).
Рз
Вычисляем:
G(p) = UwR2 = 200 • 3,14 6 = 3768 • 10 = 37,68 • 10 *;
Н(р) = (р2 + к2 A^R + ^ + R, )pL]-,
Н '(р) = 2p[RtR, + (Я, + Я2 )pL] + (р2 + гс2 )(Я, + Я2 )1;
^'O) = 2 j-200 3 14 12-2 8 (200 3,14)2 4 10’- 15 072; -25 241:
= -15 072/ - 25 241;
^'(Рз) = (Рз +6282)-8-4-10-’= 17 120.
В Результате получим:
iL (0 =______37’68 е.^
-25,241 + 15 072;
= .38-15 ?ю,
292
37,68
+ 37680 =
-25.241-15,072/ 17 120
38^5 + 38^5 e_jal =
292 29
292
| =2,6sin(oy-59°) + 2.2e">'.
3аДач1 Т1ЭТ С Т0чН0стью До округления соответствует полученному при решении
и 1 главы 10.
_-----------------------------------------------------------------------___пРимерЬ| и ,э
---3аАаЧи
Задача 12.2. Составим операторную схему замещения на момент пп<-
J Ле K°M.Mv
тации (рис. П.81). Здесь источник тока обозначен источник напряжен! С
операторное сопротивление катушки индуктивности — pL. Кроме того Р
дополнительный источник ЭДС, соответствующий докоммутаццолцоХ1у т^Веден
При расчете получим:
£г,(-0)=£/——= 81 — = 4,8.
Rt + R3 20
Выразим ток /3(р), используя обычные приемы расчета цепей. В данном случае
воспользуемся принципом наложения, законом Ома и формулами делителя
тока:
(Р, +/z£)P2
j (p)=J Rj + pL + R-2 + U____________1_____________Rt+pL
3 РрЛД+Р£)Д Р „ (R>+pL)R3 (Rt+pL+R3)
Jiq I 1\.-) H
Ry + pL + /?2 R] + pL +
После преобразований получим:
! (.Ri+pL)R2 __________R^---------
3 p RtR2 +R}R3+R2R3 + (R2 +R3)L p RtR2 +R.R. +R2R3 + (R2 +
- Lz(0)--------Д/(Д + Д)----------
R}R2 + RtR3 + R2R3 + (R2 + R3 )pL
После приведения к общему знаменателю получим:
j Y{Rt + pL)R2 +U(R,+ pL) + pLi{0){R2 (R2 + R3)) = .
ЛР) p[RiR2 + Д Д + Д Д + (Д + R3 )PL] H<J})
контрольных задач
383
лждения z3 (Г) воспользуемся формулой разложения
ДДЯ ~ з G(v )
— корни уравнения Н(р) = 0, то есть pt = О,
Р О R +R.R1 + R2R3 л ггл . „3 я 1 пел
.1—3------------3—1- = -1,69-10 , или 8 =--= 0,59 мс.
рг =' (R2 + R3 )L р
Отсюда
Н\р) = R^R? + R^R'i + R2R3 + (-^2 + R3 Ур + P(Ri + R3 )R
Слагаемое
G(0) _ JRJi2 + UR,
H'(0) ~ RtR2 + RJl, + R2R3
соответствует установившемуся режиму (сравните с результатом задачи 2 гла-
вы 10).
Задача 12.3. Задача заключается в определении тока it при подключении источ-
ника тока к схеме с нулевыми начальными условиями. Операторная схема прак-
тически совпадает с исходной, за исключением того, что источник тока заменен
, J 1
его изображением —, а конденсатор — его операторным сопротивлением-.
Р PC
Находим требуемый ток по формуле делителя тока
1
R.,R3+R3 —
J PC______________
-
1(^)= . р
Р R, + Rx+ Х
рС ~ + R2
р R,R2+R,R2 + R.— + R2 ' +R, --
.> Z 1 Z 1 z—< Z z-т О у»
pC pC pC
= J R3(R2pC+l) = G(p) =
p R2pC(Rt + R3) + /?,+ R2 + R3 H(p) '
Арность вычислении полезно проверить с помощью выражений
pF(p) = г(оо) = J —— = 4 44 мД р 0.
+ /у,
D
pF(p} = z(0) = J——у— = 5,71 мА, р -> оо
J\] +
Эт
Дл С°°ТветствУет прямому расчету.
Расчета в формулу вычисления тока целесообразно подставить
“^етры схемы:
Чр) = j£jj-0~3 800 106 0,1 10~6 р + 40 103 • 10 • 10’3 _ 800-10~3;? + 400
р(140/? + 90 10 * )
Р(2О-1О3 р-0,1 10-6 -70 103 +90 103)
384
ПримерЬ|
ИзадаЧи
Корнями выражения Н(р) = 0являются р1 = 0, р2 = -0,642- Ю3(сра1Шр
чением постоянной времени т = 1,55 10 , то есть т = -1/;?), откуда ' С° Зна-
C(Pl ) = 400; G(p2) = -513,6 + 400 = -1136;
Н'(р) = 140р + 90-103 + 140р = 280р + 90-10’:
Н\р, ) = 90-10*;
Н'(р2 ) = (-179,76 + 90) 103 = -89,76-IO'1
Таким образом, z(t) = -е °'642 1<)\
Н'(0) Н'(р.)
Ответ, естественно, совпадает с ответом, полученным при решении этой зт-
в главе 10. " ‘ <ДаЧ"
Задача 12.4. Задача заключается во включении источника U в цепочку
(Т?2 + Rf )С с ненулевыми начальными условиями.
Составьте операторную схему замещения (на момент после коммутации)
(рис. П.82).
Обратите внимание на направление источника — — оно определяется паправле
Р
пнем источника Ul.
Определяем ток:
Мр) = KtK__________!_______=______/'_____KLK =
Р (Rt + R^-KlIpC) (R,+ R,)pC + l р
= (U + U )______-______= +^2_______-——— •
1 (T?2 + J?3)p+(1'C) R, +R3 р+(1 (7?,+ К.)С )
Ло таблицам находим (при условии 1/(р + а)) ортннал:
i(t)=Ut+U^e^W =4f<z/10^ мА
R., + R,
385
ыие контрольных задач
ре^ев
12 5. Задача заключается в коммутации при ненулевых начальных уело-
За^'Составляем
рИЯ*'
П.83).
Для этого надо определить
к, + Д
-= 10 В.
2
По закону Ома найдем:
= (U/p) + Li(0)-(lJ/2p) =
' Ri + R2 + pL + (l/pC)
0,517 + р£г(О)
(Rl+R2)p + p‘2L + (i/C)
O,5(17/L) + pZ(O) _ G(p)
~ р2 + ((/?, + R.2 )/L)p + (1/LC) “ H(p)
Корнями Н(р) = 0 являются
Вычислим:
R. + R.
Р\2~----L---'
2L
R, + R2
2L ,
= —1 103; р2 = -10 103.
1
LC
G(p,); G(p2); Н\р) = 2р + Н'{рЛ
Уб
вы ?(ГСЯ’ ЧТ° ответ совпадает с полученным при решении задачи 10.5 из гла-
ава 13, Основы синтеза линейных цепей
аДача 131 с . <
лЮсНик Системная функция представляет собой сопротивление двухпо-
’ выраженное функцией комплексной частоты s. Для индуктивности
, 13 3ад 7Ц
4s5 + 16s3 + 12s + 6s3 + 18s+2s3+2s 4s3 + 24s3 + 32s v3+(«' ,c
-----------------------------—-------------. — _ . +bs
4s4 + 16s2+12 4s4 + 16s2+12 s4+lv;7^
Задача 13.2. Заключение о нереализуемости функции можно сделать по
из частных признаков. Так, функция Z2(s) не может быть реализована
содержит кратный корень знаменателя.
ОДНОму
так как
Реализуемость в общем случае может быть проверена только по общему призма
ку положительной вещественной функции:
7?p{Z(s)} >0 при Rc{s} >0;
/JZ(s)} = 0 при 7„,{s} = 0.
Для функции Z, (s) второе условие выполнено, так как все коэффициенты — по-
ложительные вещественные числа.
Проверим первое условие, подставив s = а + jb:
(а + jb)2 + а + jb + 2 _ (а2 + 2abj -b1 + а + jb + 2)(а + 1 - jb) _
а + jb + 1 (а+ I)2 + Ь2
_ а2 + 2а2 bj - ab2 + а2+ jab + 2а + а2 + 2abj - b2+ а + jb +2 - ja2b + 2ab2 + jb2- jab + b2- 2b]
(а + I)2 + b
Отсюда получим:
/ ч. a2- ab2 + a2+ 2a+a2-b2 + a + 2+ 2ab2 + b2
R{Zt (s)} =
(1 + а)2 + й2
то есть удовлетворяет признакам положительной вещественной функции.
Действительно разложив функцию на простые дроби Z(s) = s + ^-p ее МО5КН
2(2 /3) 2
реализовать в виде Z(s) = s + —4 ; = s ч-(рис. П.84).
2 + (2 / s) s + 1
Рис. П.84
решение контрольных задач
387
^ача 13.3-
Выполним деление. Получим: s +
решение
реализуется в виде, представленном им рис. П.85.
Рис. П.85
. - 5+ 65 3 + 85
Задача 13.4. Функция может быть представлена в виде Z(s)=—-—2——,
следовательно, ее разложение на простые дроби примет вид
. k0 ‘2Ats 2A2s
Z(s) = M + —+ -у±- + ^-’
5 5 +1 5 +3
где lim—— = 1, k(} = lim{s • Z(s)} = 0;
5
А, = lim{Z(s)(5-j)} =
4
А2 = lim{Z(5)(s - ;)} = —= 1.
-4yl3j 4
Полученная• функция Z{s) = 5 + реализуется в виде, изображен-
5+1 5+3
ном на рис. П.86.
Рис. П.86
Лабораторные работы
Лабораторные работы выполняются с использованием системы Е|е
Workbench. Общие принципы работы с ней изложены в разделе «Испоц С r°n’Cs
программы Electronics Workbench при изучении курса “Электротехника" ЭНИе
«Примеры и задачи» ' Части
Для детального освоения программы EWB можно воспользоваться книгой -1
тротехника и электроника» (под ред. проф. Д. И. Панфилова. М., 1999) еК
Лабораторная работа 1. Элементы
электрических цепей. Приемы анализа цепей
при постоянных токах и напряжениях
Контрольные вопросы
Изучите соответствующие разделы учебника. Добейтесь четкого понимания сле-
дующих вопросов:
Из каких элементов строится схемная модель электрической цепи? Как они
обозначаются на схеме? Почему они называются идеальными?
Каковы соотношения между токами и напряжениями в идеальных двухпо-
люсных элементах при произвольной зависимости токов и напряжений от
времени? При постоянных токах? При синусоидальных?
Каковы эквивалентные параметры при последовательном соединении одно-
родных идеальных двухполюсных элементов? При параллельном соединении?
Чем отличаются идеальные источники от реальных? Каковы их вольт-ампер
ные характеристики?
Как определить зависимости от времени токов, напряжении, мощности, энер
гии идеального элемента по заданным токам или напряжениям?
В чем смысл эквивалентных преобразований? Как с помощью таких преоора
зований решать задачи анализа цепей?
Каков общий порядок решения задач анализа с использованием принципа
ложения (суперпозиции)? Каковы особенности источников тока 11 иС
ков ЭДС при использовании этого принципа?
В чем сущность метода эквивалентного генератора? Каков порядок его
меления при анализе цепей? ? ^аК
Как преобразовать реальный источник ЭДС в реальный источник тоК^оеДц-
преобразовать источники при последовательном и параллельном
нении?
Перечислите известные вам четырехполюсные идеальные элементы-
Каково распределение токов между параллельными резисторами- ?
гНвНП11'
Каковы напряжения на элементах при последовательном их соед!
1.
2.
3
4.
5.
6
7
8.
9
10.
11.
12
пабота 1. Приемы анализа цепей при постоянных токах и напряжениях 389
лэбоРат0рНа Р
ание по лабораторной работе
** лпятБ заданную схему. Включить приборы для измерения токов всех вет-
1 eft зафиксировать показания приборов
мбелиться в том, что правильное удаление из схемы конденсаторов и кату-
2 - ^ек иНДуктивностей не изменит показания приборов.
Проверить метод наложения (удаляя поочередно источники и фиксируя по-
‘ казания приборов).
Получить экспериментальные данные для расчета тока, протекающего через
резистор R*, методом эквивалентного генератора. Рассчитать этот ток.
5 Выполнить измерения и рассчитать параметры для построения потенциалы
ной диаграммы.
6 Рассчитать и измерить мощности источников. Для измерения потребуется
освоить элемент-умножитель.
Отчет по лабораторной работе должен содержать:
□ заданную для анализа схему с указанием параметров;
□ схему на рабочем поле системы EWB;
□ таблицу ответов, содержащую токи всех ветвей от воздействия каждого ис-
точника по отдельности и в сумме;
□ данные для использования метода эквивалентного генератора: /7Х х, /к R,;
□ аналитический расчет с необходимыми схемами и пояснениями;
□ расчет баланса мощностей;
□ потенциальную диаграмму.
При защите лабораторной работы студент должен быстро рассчитать ток в лю-
бой ветви и мощность источников для нового варианта.
Варианты индивидуальных заданий
Варианты заданий приведены в табл. Л.1.
Таблица Л.1
— вариант Е(В) /(А) R, r2 Яз «4 «5 r7
1 15 6 5 5 2 5 3 — —
2 30 3 5 3 2 3 5 5 —
3 20 4 3 7 10 5 5 5 —
60 9 4 20 10 10 6 — —
5 15 5 5 5 2 3 10 — —
6 __ 30 6 5 5 1 2 3 3 —
7 30 3 5 5 2.5 2.5 5 — —
1 8 15 3 5 5 2,5 2,5 5 — —
Продолжение &
390 Лаборатоп^
Таблица Л.1 (окончание) — ^Раб0Ты
Вариант Е(В) /(А) «1 Я2 R3 r4 *5 я I
9 30 3 5 5 — 5 5 —
10 30 3 5 5 — 5 5 —
И 30 2 15 15 15 15 15 —
12 10 2 5 5 5 — 5 — '—
13 15 6 5 3 5 5 5 — —
14 10 10 3 1 3 3 4 —
15 30 5 2 2 2 6 6 —
16 80 4 10 10 15 15 15 —
17 12 2 3 3 4 4 4 4 4
18 24 2 4 4 2 4 2 2 2
19 15 6 5 5 2 5 3 —
20 40 4 5 5 5 5 5 5 —
21 20 3 5 5 2 3 5 5 —
22 60 9 10 20 5 5 10 — -
23 4 5 2 2 1 2 1 1 -
24 14 7 1 1 1 2 2 2 -
25 6 3 2 2 2 2 2 - —
26 15 3 5 5 10 5 10 — -
Схемы к индивидуальным заданиям
ная работа 1. Приемы анализа цепей при постоянных токах и напряжениях 391
Л9боратор
2-
4.
393
397
Ла6«ра™р„„вва&11
Лабораторная работа 2. Простые цепи
синусоидального тока
Контрольные вопросы
^вать осциллограмму синусоидального напряжения, например
C/(O = 5sin(1000r + <p), при различных <р.
Записать комплексное выражение этого напряжения в алгебраической, три-
। тонометрической и показательных формах. Нанести на комтексную плос-
кость вектор U.
I 3. Выразить по заданным R, L, С комплексное сопротивление при последова-
। тельном соединении элементов.
। 4. Определить при заданном синусоидальном напряжении для последователь
нои цепи RL, RC, RLC комплексное значение тока 1, эффективное значение
| тока , мгновенное значение тока i(t), напряжение на резисторах и реактив
i ных элементах. Построить векторные диаграммы токов и напряжении.
5. Для последовательных цепей RL и RC построить осциллограммы токов и •
1 пряжений на элементах. Построить осциллограммы мощности.
|6. Как по заданной осциллограмме мощности определить активную, реактивн)10
и полную мощность?
^7. Как вычисляется комплексное значение мощности?
работа 2. Простые цепи синусоидального тока
399
Габ0Р«тОрНаЯ
g пр°^елать
9.
—пп. 3 и 4 для параллельного соединения элементов.
выразить эквивалентное сопротивление двухполюсника, состоящего из
ескольких различным образом соединенных между собой двухполюсников?
Как применить закон Ома при синусоидальном напряжении для последова-
тельно-параллельного соединения двухполюсников?
11.
12.
Как выразить эквивалентную комплексную проводимость при различных со-
единениях двухполюсников?
Каков порядок построения векторной диаграммы при последовательно-парал-
лельном соединении двухполюсников?
13 Как применить принцип наложения при синусоидальных токах и напряже-
ниях?
14 Как применить метод эквивалентного генератора?
15 Какими параметрами характеризуется двухполюсник при синусоидальном
токе?
16 . Как применить законы Кирхгофа для цепей с синусоидальными токами и на-
пряжениями?
17 . Как по заданному комплексному сопротивлению двухполюсника определить
сдвиг по фазе между током и напряжением двухполюсника? Как графически
построить этот угол?
Задание по лабораторной работе
1. Используя решение для своего варианта из таблицы вариантов к лаборатор-
ной работе, перейти от общей схемы к индивидуальной. Нарисовать схему
в тетради и собрать в системе EWB.
2. Рассчитать токи всех ветвей и сравнить результаты с показаниями ампермет-
ров.
3. Рассчитать падение напряжения на сопротивлениях ветвей и сравнить резуль-
таты с показаниями вольтметров.
4- Рассчитать активную, реактивную, полную и комплексную мощности цепи
(баланс мощностей).
5.
6.
7.
Отчет
Q
□
□
П1
- ~<ЛЩИТе ,
°MV пуНкту
Построить графики мгновенных токов, напряжений, мощности источника.
Получить в системе EWB осциллограммы для графиков из и. 5.
Построить векторную диаграмму токов и напряжений.
-- по лабораторной работе должен содержать:
аналитический расчет токов, напряжений и мощностей;
Акторную диаграмму в приблизительном масштабе;
экспериментально полученные осциллограммы для п. 5 задания.
эш,3а1ЦИте Работы студент должен уметь дать теоретическое объяснение по лю-
'задания
100 ---------------------------------------
варианты индивидуальных заданий
Эбщая схема к индивидуальным заданиям приведена на рис. Л.1.
Рис. Л.1
варианты заданий приведены в табл. Л.2.
аблица Л.2
Ва- ри- ант U(t) Z, Z2 z3
R, Ом L, мГц c, мкФ R, Ом L, мГц C, мкФ Ом L, мГц c, мкФ
1 4т/2 sin(1000/-20°) 3 3 oo 1 0 OO 3 0 333
2 3sin(4000r + 45°) 2 0,5 00 0 0 250 2 0.5 ?
3 2 sin(2000 +60°) 3 0,5 00 3 0,5 OO 0 0 500
4 3V2 sin(2000f-30°) 2 0 500 0 0 500 2 J ©a
5 2^2 sin(2500f-45°) 1 0 400 1 0 00 1 0,4 00
6 5т/2 sin(4000r-60°) 3 0 250 2 0,5 00 0 0 250
7 4sin(5000f+ 20°) 5 0 00 0 0 200 5 0,4 00
8 8sin(5000«-20°) 2 0 00 0 0,2 OO 2 0 400 —
9 >/2 sin(2500f - 60° ) 3 0 00 3 0,8 400 3 0 OO
10 5 sin(3000f+ 30°) 0 0 167 2 0 167 2 1 00
11 6 sin(1000r-60°) 0 0 500 3 0 OO 3 1 CO
12 6-72 sin(5000+60°) 0 0 200 0 0,4 00 3 0 100
I13 3sin(4000t+45°) 6 3 00 1 0 00 6 0 333
14 3sin(4000f + 45°) 4 0,5 00 0 0 250 4 r’oj
работа 3. Методы контурных токов и узловых потенциалов
401
лаборат°РнаЯ
Ва- ри- ант (7(f) Z, Z2 z.
R, Ом L, мГц c, мкФ R, Ом L, мГц c, мкФ R, Ом L, мГц c, мкФ
15 2rin(2000f + 60°) 6 0,5 OO 6 0,5 OO 0 0 500
16 '^7in(2000f-30°) 4 0 500 0 0 500 4 1 OO
17 ^7^si'>(25W)Z-45") 2 0 400 2 0 OO 2 0 4 oo
18 572 sin(4000f-60°) 6 0 250 0 0,5 oo 2 0 250
19 4sin(5000f+ 20°) 10 0 OO 0 0 200 10 0,4 OO
20 8-J2 sin(5000r - 20° ) 4 0 oo 0 0,2 OO 4 0 400
21 72sin(2500f-60°) 6 0 oo 6 0,8 400 6 0 OO
22 572 sin(3000t + 30°) 0 0 167 4 0 167 4 1 oo
23 6 sin(10004 - 60°) 0 0 500 6 0 OO 6 1 oo
24 672 sin(5000+60°) 0 0 200 0 0,4 oo 6 0 100
25 472 sin(1000t-20°) 3 3 OO 2 0 oo 3 0 333
26 3sin(4000£+45°) 2 1 oo 2 1 oo 0 0 250
Лабораторная работа 3. Методы контурных
токов и узловых потенциалов
Контрольные вопросы
1.
Как выделить систему независимых узлов и независимых контуров в слож-
ной схеме? Каково их количество?
Какова общая запись системы уравнений, составленной но методу контурных
токов (МКТ), при постоянном токе? В чем ее отличие от системы уравнений,
составленной при синусоидальных токах и напряжениях?
Г/*
Знак ВЫ Ос°бенности матрицы контурных сопротивлений? Как определяются
Пп неднаг°нальных членов матрицы? Каково условное положительное на-
явление тока в ветвях-дополнениях?
УРавн° С°?Р°Т11ВЛС1,ие ветви, содержащий источник тока? Каковы особенности
Н Н11н’ составленных по МКТ, при наличии в схемах источников тока?
получается система уравнений по методу узловых потенциалов (МУП)?
Каковы чп',1
, опаки матрицы узловых проводимостей?
' Какова и
Мент 1 Р°в°Димость ветви, сост оящей из последовательно соединенных эле-
2.
3.
4.
5.
6.
7.
итов т
402
л^р=та»„« М6И1<
8. Как выражается матрица задающих токов? Каково для нее правп10
9. Какова особенность уравнения, составленного по МУП, если од11( ак°в?
содержит только идеальный источник ЭДС? Ветвей
10. Как по полученным контурным токам или узловым потенциалам он
токи и напряжения всех ветвей? елЧть
Задание по лабораторной работе:
1. Собрать схему для своего варианта.
2. Рассчитать значения L и С.
3. Составить уравнения ио МКТ и МУП.
4. Рассчитать токи в ветвях.
5. Экспериментально определить контурные токи и узловые потенциалы (по
значению и фазе).
6. Рассчитать и измерить напряжение на источнике тока.
7. Рассчитать и проверить экспериментально баланс активной мощности.
Отчет по лабораторной работе должен содержать:
□ исходную схему из обозначениях R, L, С, e, J;
□ уравнения в тех же обозначениях;
□ результат аналитического решения;
□ схему измерения значений токов, напряжении и их сдвигов по фазе;
□ схемы измерения активной мощности источников;
□ сравнения аналитических и экспериментальных данных и объяснения, если
наблюдается расхождение результатов.
Варианты индивидуальных заданий
Общая схема к индивидуальным заданиям приведена на рис. Л.2.
Схема для анализа содержит шесть двухполюсников, включающих в cC^bH0. И»'
ник питания (е или J) и элементы R, L, и С, соединенные пос;1СД<,1!аТ^прЯжеИ,,е
правления источников тока и ЭДС взяты произвольно, если ток или
заданы по типу е( J) - cos mt.
Варианты заданий приведены в табл. Л.З.
рная работа 3 Методы контурных токов и узловых потенциалов 403
X а II N Ф S а S N S а о х S Z и 2 а о с & а Ч X 3 X а X а Q Ь- Ф S та а а Е t в 0. ч Q (D ID ft + s ft- Ъ 7 + 0,5; 15: -20; е = 10 sm(co/ + 20°) 15;-4; 8 + 0,5; 5; -25; ftC-;0l до ins oi =а + 1-0 1 1 c? 5-4; 3 + 2; e = 20 cos cot 3 + 2;
Ч + со 8 - 10; 1 е = 30 cos coz 5+2; + ir O' 3 о о II +* co
м 2; -j е = 20 cos cot 5 + 0,5; ft - 01 О* 1 о т—< 1 e = 10 sin coz + * co co
нт - о О 3, _'с" о II си <01 + е 10; -; 20; -0,5; />+ !Sl 3 c u II CO II J = 4 cos coe R = 2 J = 5 sin coe Z= -5; 3 a c? ’и и cs N II
1 103 / =2 cos сое R= 1 С Ел II CN II 3 с и и CN ££ 11 LO т—< со 4 2 10' J = 4 sin сое Z = -2 5 4 10' /=5coso)e Z=1 3 c о II c° CD 7 2 1 03 4 + 2; 1 "o ЭО 9 210' 3 + 2;
Вари- ант GJ, С'1 Параметры активных двухполюсников J, Z или е, Z = R + jx
1 2 3 4 5 6
10 105 4-2; J = 3sin coi; Z= -10; 4 + 2; 3-5; 4 +; e = 30 cos at
и 103 е = 3 cos cot 2 -; 4 + 2; J = 2 sin coi; Z=-5; 3-; 2 + 3;
12 21О3 3 • 2; e = 5 cos at 5 + 10; J = 3sin at, Z=5j 8 - 10; 15 + 20;
13 Ю1 2 + j 10 - 5; e = 2 cos cot J = 4 sin cot Z=?10; 4 +; 7-;’
14 21O4 2 ~j 5 + 10; 3 -2; J = 5 cos at, R = 10 e = 3sin at 2 + 4;
15 105 4 + 2; 3 - 2; 10 + 10; J = 4 cos at, R = 5 4 -; <? = 3 sin at
16 103 е = 3 cos cot 5 + 3; з 4 + 2; J = 2 sin cot R = 2 5 - 5;
\ 17 \ 2 10’ 5 • 4j e = 5 cos coi 3-2; 1 4; J = 3sin at, R = 4 6 2;
\ 18 \ W' 5-4j 5 + 2; e = 10 cos a>/ 3 - 4; У = 5 sin ov; R = 2 j _2J
cn
о
"О
CD
4
о
z
/ 2 10 1 1 10 + 5j / 2-2; 6 + 4/ e = 2 sin cot 1 J = 3 cos cot, \ Z=?10j \ 2-j \
1 20 / 105 / 10-5; 1 10 + 10; 5 - 2; 4 + 2; J = 2 cos cot, Z=5; e = 3 sin cot 1
21 IO'3 e = 5coswi 10 - 10; 3 + 3; 4-5; 4 + 4; J = 4 sin cot; Z=?10;
22 2103 3 + 2; e = Scoscof 5 - 2; 6 + 4; 4 - 5; J = 2 sin cot R = 10;
23 104 5 - 5; 10 + 10; e = 4coscof 10 - 10; 6 + 10; J = 3sin at Z = ?2 0;
24 105 3 + 3; 3-2; 5 + 10; <? = 2 sin at 6-; У = 2 cos cot, R = 5
25 2101 6 - 2; 4 + 4; 5 - j 3 + 10; e =5 sin at J = 4 cos cot, R= 10
26 103 e = lOcoscof 5-5; j = 10 sin at, R = 5 4 + 2; 3 - 2; 2
Ox
OX
о
—I
60
о
tl
о
о
о
СП
о
СП
о
4
60
§
о
СП
о
СП
106__________________________________________________Лаб°РагоРНЬ1е
Трпведем пример для варианта 1. Схема для него дана на рис. Л.З
Раб0тЬ1
Рис. Л.З
Для этой схемы Ьл = 1 мГн, £6 = 2 мГн, С3 = 1000 мкФ, С5 = 500 мкФ.
Пабораторная работа 4. Резонанс и частотные
сарактеристики в электрических цепях
(онтрольные вопросы
Каковы условия возникновения резонанса в электрической цепи? Как под
считать резонансную частоту?
!. Как выглядит векторная диаграмма при последовательном соединении R, L, С
в цепи? При параллельном соединении?
!. Приведите примеры использования резонансных явлений.
L Что такое частотные характеристики? Амплитудная частотная характерпсти
ка? Фазовая частотная характеристика?
). Определить понятия добротности, затухания, полосы пропускания. Как по
амплитудным частотным характеристикам определить полосу пропускания.
). Как экспериментально определить резонансную частоту?
Что такое двухполюсники без потерь? Как по схеме такого двухполюсн
определить характер частотных характеристик.
Задание по лабораторной работе
• Для последовательной RC- или 7?£-цепи (схема приведена па рис. Де-
метры — в табл. Л.4): тцкН;
О построить амплитудную частотную и фазовую частотную характер»
О определить частоту, при которой угол сдвига по фазе между вХ0'
пряжением и гоком равен заданному;
О построить векторную диаграмму;
О проверить расчет экспериментально
частотные характеристики в электрических цепях
407
заданных вариантов схемы (рис. Л.5) и ее параметров (табл. Л.5) опреде-
-------- ---------- -----------„„ част0_
измерить токи и напряжения. Определить R, при котором резонанс певоз-
2- ^ЛЯ резонансную частоту, построить векторную диаграмму для этой
_____________........ ч , f,c, rinnnПРПТ1П, P 111,4 1ГПТЛППМ печлнянс
ты, 1-—
заданной схемы двухполюсника без потерь (рис. Л.6) (параметры схемы
г аны в табл. Л.6) построить экспериментально амплитудные частотные и фа-
зовые частотные характеристики. Объяснить результат.
Отчет по лабораторной работе должен содержать:
п схемы;
а теоретический расчет;
д схемы измерений.
Варианты индивидуальных заданий
а
Рис. Л.4
Таблица Л.4
Вариант Схема R, Ом L, мГц С, мкФ ф, °
1 а 10 1.5 — 45
2 б 20 — 1.0 -30
3 а 15 2,0 — 30
4 б 10 — 2,0 -45
5 — а 20 3,0 — 60
6 —- б 15 — 3,0 -60
7 —— б 10 1.0 — 30
8 — _____ б 10 — 1,0 -30
^^9 а 15 2,0 — 45
б 20 — 2,0 -45
а 20 3,0 — 45
б 20 — 3,0 -60
13 а 20 1,5 — 30
Продолжение iP'
__________________________ "РаботЬ|
Таблица Л.4 (окончание)
Вариант Схема R, Ом L, мГц С, мкФ
14 б 20 — 1.5 "зо""^
15 а 30 2,0 -
16 б 30 — 2.0 45
17 а 40 3,0 — 60
18 б 40 — 3,0 60
19 а 50 3,0 — 30
20 б 50 — 0,1 "зо ~
21 а 60 0,5 — 45
22 б 60 — 0,5 45
23 а 70 2,0 - 60
24 б 70 — 2,0 60
25 а 80 1,5 — 30
26 б 80 — 1,5 30
27 а 90 1,0 — 45
а в L R —1 _ J—
£|р_
б L г о £||_ R
R С —L_ 1 1 ° II
Рис. Л.5
5аРиаНТ Схема L, мГц С, мкФ R, Ом
। 7 а 0,1 1,0 5
г б 0,1 1,0 4
3 - в 0,1 1,0 50
4 - г 0,1 1,0 12
5 " а 1,0 0,1 40
б 1,0 0,1 30
1— 7 в 1,0 0,1 150
8 г 1,0 0,1 150
9 а 0,2 2.0 4
10 б 0,2 2,0 5
И в 0,2 2,0 30
12 г 0,2 2,0 30
13 а 0,30 1,5 6
14 б 0,30 1,5 7
15 в 0,30 1,5 40
16 г 0,30 1,5 40
17 а 0,50 1,3 10
18 б 0,50 1,3 12
19 в 0,50 1,3 60
20 —- ___ г 0,50 1,3 50
21__ а 0,01 0,10 3
б 0,01 0,10 3
23 в 0,01 0,10 10
^24 г 0,01 0,10 15
-___~25^ а 0,05 0,25 7
б 0,05 0,25 10
L_27 в 0,05 0,25 20
410
Рис. Л.6
Таблица Л.6
Вариант Схема L,, мГц L2, мГц L3, мГц С,, мкФ С2, мкФ С3, мкФ
I а 1,0 2,0 — 1,0 2,0
2 б 1.0 2,0 1.5 1.0 2.0
3 в 1.0 2.0 — 1.0 2,0 1.5
4 г 1,0 2,0 1,5 1,0 2.0 __ 1,5
5 а 1,5 2,5 — 1,5 2,5 —
6 б 1,5 2.5 2.0 1,5 2.5
2.0
7 в 1,5 2,5 — 1,5 2.5 _
8 г 1.5 2,5 2,0 1,5 2,5 2£_^
9 а 2,0 3,0 2,5 2.0 3.0
' аТ°РнаЯ Ра®ота Исследование свойств четырехполюсников 4 1
5аР” Ю Схема L,, мГц t2, мГц t3, мГц С„ мкФ С2, мкФ С3, мкФ
б 2,0 3,0 2,5 2,0 3,0 —
"и В 2,0 3,0 — 2.0 3.0 2,5
12 г 2,0 3,0 2,5 2,0 3,0 2,5
13 а 3,0 4,0 — 3,0 4.0 —
14 б 3,0 4,0 3,5 3.0 4,0 —
15 в 3,0 4,0 - — 3,0 4,0 3,5
16 г 3.0 4,0 3.5 3,0 4,0 3,5
17 а 3,5 4,5 — 3,5 4.5 —
18 б 3,5 4,5 3,0 3,5 4,5 —
19 в 3,5 4.5 — 3.5 4,5 3,0
20 г 3,5 4,5 3,0 3.5 4,5 3,0
21 а 5,0 6.0 — 5,0 6,0 -
22 б 5,0 6.0 4.0 5,0 6.0 —
23 в 5,0 6,0 — 5,0 6,0 5,5
24 г 5,0 6.0 5,5 5,0 6,0 5,5
25 а 6,0 7,0 — 6,0 7.0 —
26 б 6,0 7,0 5,0 6,0 7,0 -
Т1 в 6,0 7,0 — 6,0 7.0 6.5
1.
2.
3.
4.
Лабораторная работа 5. Исследование свойств
четырехполюсников
К°нтрольные вопросы
Какое электротехническое устройство называется четырехполюсником?
Какая разница между пассивным и активным четырехполюсниками? Как экс-
ериментально отличить один от другого?
Установить связь между входными и выходными токами и напряжениями?
рам^6 ВаР11анты уравнений четырехполюсника вы знаете? Что означают па-
К етРы четырехполюсника в различных вариантах?
л,°С1иХР?ЗИТЬ паРамстРы эквивалентной схемы через параметры четырехпо-
Ка
с°етоит7 Делить параметры четырехполюсника, зная, из каких элементов он
5.
6.
412
Л"6°™°»нь,
7 Как определить параметры резистивного четырехполюсника пои
токе? *1Ост°яннОм
В. Как определить параметры четырехполюсника при синусоидальных
жениях, если доступны только внешние зажимы? Что такое oervm/ НапРя-
। ‘.'•|ярностьэ
Как определить параметры четырехполюсника через внешние зажи\
теме EWB? ' ‘ v • ”>'в С11с.
3. Для каких целей служат различные параметры четырехполюсников?
Задание по лабораторной работе
1. Для предложенного индивидуального варианта рассчитать Z-, У- или
метры четырехполюсника. Рассчитать/-параметры этого четырехполюсника
Выполнить экспериментальное определение параметров двумя способами
О с помощью прибора ВР;
О предварительным измерением входных и выходных сопротивлении при
различных режимах четырехполюсника. Ваттметр смоделировать с помо-
щью умножителя.
1. Сравнить расчетные и экспериментальные данные. Объяснить в случае необ-
ходимости разницу между ними.
Отчет по лабораторной работе должен содержать:
] исследуемую схему;
3 расчеты всех систем параметров;
3 схемы всех измерений с указанием параметров настройки приборов и полу-
ченных результатов.
Схема перехода от одной системы параметров к другой приведена в табл. Л.7.
аблица Л.7
К матрице Z У H G A
Z X ^22 1'12. |у| |УГ M 111 й; й; ic == - tc N5 Gtl Cll GnlGl Си 0] л Hl. с C 1 D cc
У ^22 ^12. \z\ \z\' Z‘2t \z\ \z\ X CM — — af 5. й a? a? a? a? G22 G/> |g| C22 G22 DHL в в' 1 я в в
Н \z\_zn. Z-а z^ Z-j\ i ^22 ^22 Ki bi’ in 111 ’o X G->2 Gi2. |c| |G|' G2| G|| |G| |G| В 1.
работа 5 Исследование свойств четырехполюсников
413
лабоРа^Рная
СТматрице Z Y H G A
G tsT ts}" — N ~ tsj1 KT 1*1 h12. *22 *22 *kJL *22 У22 H22 //12 \H\ |tf|’ \H\ \H\ X £1- a a: 1 £ A A
Л zlt И. Z2! ^21 1 ^22 ^21 ^21 *21 *21 1*1 Ik *21 *21 \Н\.Нп. H2i H2l' X_L 7/21 н21 1 G->,' G2i C21 kg g21 g21 X
Варианты индивидуальных заданий
Схемы для индивидуальных заданий приведены на рис. Л.7 и Л 8.
Рис. Л.7
Номиналы Z для схем, приведенных на рис. Л.7 и Л.8, даны в табл. Л.8.
Таблица л.8
^_Вариант
Z, Za z3 Z5
k Для схемы, приведенной на рис. Л.7
1 0 1 +7 1 -j 1 +2j 1 +2J
1-2/ 1 +j 0 1 ~j 1 + 3>
1 +i 1 +j 1 +7 0 1 2j
L 4 __ 1 - 2j 1 +i 1 - V 1+4/ 0
Продолжение
^кра.оркь»раво1а
Габлица Л.8 (окончание)
Вариант Z, Z2 z3 z.
5 0 1 -7 1-27 2 + 27 2 -7
6 2 +j 1 -7 0 2 + 27
7 s-j 1 -7 2-7 0 2 +7
8 2+j 1 -7 2+7 1 + 47 0
9 0 1 - 2j 1 -7 1 +7 ” 2 1/
10 2 + 2; 1-27 0 1 -7 ’ +7
и 2 j 1 - 2/ 1 +7 0 3 - 27
12 1 + 7 1-2; 2 + 37 3-7 0
Для схемы, приведенной на рис. Л.8
13 1 +j 0 1+27 1-7
14 1 +J 1 + 27 1 - 27 1 -7 -
15 1 + 7 1 + 37 2-27 0 -
16 1 +7 2 + 3/ 2 - 2/ 1 -7
17 1 7 0 1 +27 2 +7 —
18 1 - 7 1 +27 1-27 2+7
19 1 ~j 1 + 37 2 + 37 2 +7
20 1 -7 2 + 37 2-27 1 + 7
21 2 -7 2+7 3-7 1 + 37
22 2-7 2+7 3-7 1 + 2/ -—
23 2 -j 2+7 3-7 1 + 47 ———'
24 2-J 2+7 3 7 1 + 5/ —
Лабораторная работа 6. Трехфазные
электрические цепи
контрольные вопросы
сцсте>1а
|. Каковы преимущества трехфазпых цепей при использовании »
электроснабжения?
|. Как образуются трехфазные ЭДС? пе-
I. Как записать трехфазные симметричные токи и напряжения.'' Что гаК
ратор а?
работа 6. Трехфазные электрические цепи
415
.борагоР!^
4.
Каков порядок расчета цепей при соединении нагрузки «звездой» (симмет-
ричной и несимметричной)?
Каков порядок расчета цепей при соединении «треугольником»?
Как выразить мощность трехфазной системы нагрузки?
В чем смысл уравновешенности трехфазной системы?
Каковы схемы измерения мощности в трехфазной системе?
5-
6.
7.
8.
Задание по лабораторной работе
t Составить схемы подключения трехфазной и однофазной нагрузок к трех-
фазному источнику питания 220/380 В (табл. Л.9).
2. Рассчитать параметры нагрузки (/? и L).
3. Рассчитать суммарные токи линейных проводов при четырехпроводпой схе-
ме электроснабжения.
4. Построить векторную диаграмму токов.
5. Оценить возможности компенсации cos <р установкой конденсаторов.
Отчет по лабораторной работе должен содержать:
□ схему индивидуального задания;
□ расчет параметров нагрузки (R и £);
□ расчет токов нагрузки и токов подводящих проводов;
□ схему для проведения эксперимента с включением необходимых приборов
и показания этих приборов.
Таблица Л.9
j Вариант Двигатель, U = 380 В Технологическая установка, U = 380 В Приборы компьютера, U = 220 В Осве- щение, U = 220 В
Р, кВт | Соединение COS ф Количество | S, кВ А COS ф Соединение Количество S, В А COS ф Количество Р, Вт Количество
1 0,5 А 0,75 0,8 2 10 0,85 А 1 200 0,9 6 100 15
2 1,0 А 0,76 0,85 1 5 0,8 А 1 250 0,9 3 60 21
3 1,5 А 0,77 0,75 3 7 0,9 А 1 300 0,9 9 100 12
4 2,0 А 0,78 0,8 1 8 0,85 А 1 200 0,9 6 150 9
5 2,5 А 0,79 0,85 1 И 0,8 А 1 250 0,9 3 200 6
6 3,0 А 0,80 0,75 4 12 0,75 А 1 300 0,9 9 100 15
Продолжение
416
Таблица Л.9 (продолжение)
Вариант Двигатель, U = 380 В Технологическая установка, U = 380 В Приборы компьютера U = 220 В ’ Осве- щение и = 22л ь
Р, кВт Соединение КПД COS ф Количество S, кВ А COS ф Соединение Количество < 03 V) COS ф j с: Количество 1 Р, Вт 1 Количество / J с
7 3.5 А 0,81 0.8 3 15 0.9 А 1 200 0,9 60 21
8 1.0 Л 0.82 0.8 2 20 0,85 А 1 250 0,9 3 100 9
9 4,5 Л 0,83 0,85 1 25 0,8 А 1 300 0,9 9 200 6
Ю 5,0 А 0,84 0,8 2 3 0,8 А 1 200 0,9 12 100 12
И 0.5 Л 0,85 0,78 3 2 0,75 А 1 250 0,9 6 100 15
12 1,0 А 0,75 0,7 2 4 0,85 А 1 300 0.9 3 100 12
13 1,5 А 0,76 0,75 4 5 0,9 А 1 350 0,9 9 60 9
14 2,0 А 0,77 0,8 2 15 0,85 А 1 200 0.9 6 100 15
15 2,5 А 0,78 0,85 1 20 0.8 Л 1 250 0.9 3 100 6
16 3,0 А 0,79 0.75 3 25 0.9 А 1 300 0.9 9 60 12
17 3,5 А 0,80 0.8 1 30 0.85 А 1 200 0.9 6 100 12
18 4,0 А 0.81 0,85 1 35 0,8 А 1 250 0,9 3 60 15
19 4,5 А 0,82 0,75 4 40 0,75 А 1 300 0,9 9 100 6
20 5,0 А 0.83 0.8 3 45 0,9 А 1 350 0.9 12 60 9
21 0,5 А 0.84 0,8 2 50 0,85 А 1 400 0,9 6 100 15
22 1,0 А 0,85 0,85 1 55 0,8 А 1 200 0,9 3 60 9
23 1,5 А 0,75 0,8 2 60 0,8 А 1 250 0.9 9 100 15
24 2.0 А 0,76 0,78 3 65 0,75 А 1 300 0,9 12 60 21
25 2.5 А 0,77 0 7 2 70 0,85 А 1 200 0.9 6 100 15
26 3,0 А 0,78 0,75 4 75 0,9 А 1 250 0.9 3 60 21
27 3,5 А 0,79 0,8 2 80 0,8 А 1 300 0,9 9 100 15 12
28 4,0 А 0,80 0,85 1 85 0,75 А 1 200 0.9 12 60
работа 7. Переходные процессы в цепях с одним накопителем
417
Лабораторная работа 7. Исследование
переходных процессов в цепях с одним
накопителем (катушкой индуктивности)
Задание по лабораторной работе
Каждому студенту дается индивидуальное задание, состоящее из трех задач. На-
боры задач и параметры элементов приведены в табл. Л. 10. Например, студент,
имеющий порядковый номер 10 в списке группы, получит задачи № 2 sin, 3-2
и 8-2. Это означает следующее:
□ в схеме № 2 (из вариантов схем к индивидуальным заданиям) надо принять
частоту источника синусоидального тока /=100 Гц и рассчитать ток iL при
размыкании ключа;
□ в схеме № 3 рассчитать 4 и гЗ при замыкании и размыкании ключа;
□ в схеме № 8 рассчитать iL и z3 при замыкании и размыкании ключа.
Таким образом, в отчете о лабораторной работе надо представить:
Q формулу и осциллограмму iL при включении источника синусоидального тока
в схеме № 2;
□ формулы и осциллограммы / и /2 в схеме № 3 при замыкании и размыкании
ключа;
□
Формулы и осциллограммы iL и г3 в схеме № 8 при замыкании и размыкании
Работая l
МаШине с
в лаборатории, необходимо провести эксперимент на вычислительной
емых ° использ°ванием программы EWB, получить осциллограммы требу-
гРаммы)К°В 11 напРяжен™ в заданных схемах и сравнить полученные осцилло-
ВЬ1брать°ВРеМеНН°Г° ФиксиР°вання Двух осциллограмм необходимо правильно
ц измерительную схему. Здесь возможны три варианта.
ВелрВИЛЬ-Н°е Расположен11е элементов. Например, требуется для схемы, при-
нной на рис. Л.9, определить ц. и uR^.
14 За* 711
В этом случае достаточно, чтобы Rt и R? имели общую заземленную точку
Тогда канал А покажет непосредственно uR., а канал В — напряженней па/
_ 2 Л|'
делив которое на Ri получим ток iL,
□ Введение небольшого добавочного сопротивления. Например, для схемы, изо-
браженной на рис. Л. 10, требуется определить и ?£.
Если схему дополнить сопротивлением Rmiu <к R3, то напряжение будет
незначительно отличаться от uL, но в то же время даст возможность по капа
лу В измерить напряжение, пропорциональное току г’/..
□ Удвоение схемы. Например, в схеме с последовательным соединением эле
ментов R и L требуется измерить uL и ц. Собрав две одинаковые схемы (.
в схеме содержится источник напряжения, то ключ может быть один) с Р
ным порядком включения элементов, можно получить на экране зна
пропорциональные току и напряжению ut. (рис. Л.И).
Рис. Л.11
419
_ пябота 7. Переходные процессы в цепях с одним накопителем
Лаборат°Рная р --------------------------------------------------------
г вариантах коммутаций с источниками постоянного напряжения или тока
В° В<льзуются ключи, управляемые клавишей «пробела» на клавиатуре. Если
”ClIf гя можно применить два ключа (в схемах удвоения). Ключи при этом
SS/chhxp».™».
х анализа включения цепи на синусоидальное напряжение требуется про -
Р ти коммутацию в момент времени, зафиксированный относительно уста-
вившего значения тока, протекающего через катушку индуктивности. Для этого
Н тбирается ключ с заданными относительно осциллограммы установившегося
^оКа временами включения.
Если применяется схема удвоения, то одна п.з схем фиксирует установившееся
значение тока, а другая — переходный процесс, наблюдаемый при замыкании и
пазмыкании ключа. При этом время включения выбирается в начале второго про-
хождения луча осциллографа в момент максимума установившегося тока. В этом
случае на фоне установившегося значения будет получена осциллограмма переход-
ного тока и (после включения ключа) осциллограмма свободной составляющей.
При освоении техники EWB учитывайте следующие обстоятельства:
□ для составления схемы используйте часть экрана, не занятую полем осцилло-
графа;
□ при ручном управлении большая скорость прохождения лучом экрана может
затруднить фиксацию момента коммутации. Эту скорость можно уменьшить,
увеличив количество точек, анализируемых в единицу времени (выбрать в меню
Circuit ► Analysis Options ► Time Domain Points per Cicle);
□ скорость развертки (время/деление) выберите такой, чтобы на экране уме-
стились процессы, происходящие как при замыкании, так и при размыкании
ключа;
□ чтобы полностью использовать экран осциллографа, подберите удобную ком-
бинацию масштаба (вольт/деленне) и значения напряжения источника;
□ для того чтобы фиксировать постоянные составляющие напряжении, исполь-
зуйте открытый вход осциллографа (режим ОС);
О Для экспериментальной оценки постоянной времени (т) используйте увели-
ченный экран осциллографа (для этого нажмите кнопку ZOOM на уменьшен-
ной панели осциллографа). Используйте маркеры времени в начале и кон-
Це экрана. На прямоугольниках, расположенных под экраном, отображаются
время и значения, соответствующие позициям первого и второго маркеров,
и Разница между этими двумя позициями. Эти данные позволяют рассчи-
тывать т.
Таб —71.10. Варианты индивидуальных заданий
ВаРиант L, мГн R,, Ом R2, Ом R3, Ом Rv Ом Набор задач
1 1,2 0,5 3 4 6 1 sin 2-1 7 1
2 2,3 1,0 4 5 7 2 sin 1-1 8- 1
Продолжение г
420
Лаб°Рагорн'Ые
Таблица Л. 10 (окончание)
Вариант L, мГн R,, Ом R2, Ом R3, Ом R„, Ом Набор задач
3 3,1 1,5 5 6 8 1 sin 4-1 7 2
4 4.2 2,0 6 7 9 2 sin 3-1 8-2
5 5,3 2,5 7 8 10 1 sin 5 1 8 3
6 6,1 30 8 9 11 2 sin 6 1 7-3
7 7,2 3,5 9 10 12 1 sin 2 2 ———. 7 1
8 8,0 4.0 10 И 13 2 sin 1 2 8 1
9 9,4 4,5 И 12 14 1 sin 4-2 7 2
10 И 5,0 12 13 15 2 sin 3 2 8-2
11 12 5.5 13 14 16 1 sin 6-2 7 3
12 14 6.0 14 15 17 2 sin 5 2 8-3
13 15 6,5 15 16 18 1 sin 2-1 7 1
14 17 7,0 16 17 19 2 sin 1 3 8 1
15 18 7,5 17 18 20 1 sin 4-1 7-2
16 20 8.0 18 19 21 2 sin 3-1 8-2
17 21 85 19 20 22 1 sin 6-3 7-3
18 23 9,0 20 21 23 2 sin 5 1 8-3
19 24 9,5 21 22 24 1 sin 2-2 7 1
20 25 10 22 23 25 2 sin 1 1 8-1 —- —
21 26 10 23 24 26 1 sin 4 2 7 2
22 27 И 24 25 27 2 sin 3 2 8 2
23 29 12 25 26 28 1 sin 6 1 7-3 .
24 31 13 26 27 29 2 sin 5-2 8 1
25 33 14 27 28 30 1 sin 2 1 7-1J
Напряжения и токи источников выбираются исходя из удобства пр<-’Дс
>сциллограмм.
Тастота источника для задач на синусоидальном токе f = 100 Гц.
рабоРаТ°РнаЯ
работа 7. Переходные процессы в цепях с одним накопителем
421
варианты <
1.
— - схем к индивидуальным заданиям
Для данной схемы определить при постоянном токе и синусоидальном на-
пряжении гЛ:
1) гЛ, Ul,
2) ib
3) ib it-
2. Для данной схемы определить при постоянном синусоидальном токе гЛ:
1) ib ий
2) it, й-
3. Для данной схемы определить при постоянном токе:
О ib Ul,
2) ib й-
R-i
422_________
-^^оРныер^^
4. Для данной схемы определить при постоянном токе:
1) it,
2) it, 1г-
5. Для данной схемы определить при постоянном токе:
1) it, й',
1 2) it, ut-
». Для данной схемы определить при постоянном токе:
1) it, i.31
2) it, uL;
3) it, i3.
1Торная работа
8. Переходные процессы в цепях с одним накопителем
423
1 Для данной
схемы определить при постоянном токе:
1) ib “L’
2) ibu«2’
3) ib is-
8.
Для данной схемы определить при постоянном токе:
1) ib Wil
2) ib h',
3) ib h-
Лабораторная работа 8. Исследование
переходных процессов в цепях с одним
накопителем (конденсатором)
Задание по лабораторной работе
Каждому студенту дается индивидуальное задание, состоящее из трех задач. На-
Ры задач и параметры элементов приведены в табл. Л.И.
пример, студент, имеющий порядковый номер 10 в списке группы, получит
адачи № 2 sin, 3 -2 и 8- 2. Это означает следующее:
в схеме № 2 (из вариантов схем к индивидуальным заданиям) надо принять
частоту источник синусоидального тока f = 100 Гц или f = 200 Гц и рассчи-
тать напряжение ис при замыкании и размыкании ключа;
в схеме № з рассчитать и( и при замыкании и размыкании ключа;
в схеме № 8 рассчитать ис и /ж, при замыкании и размыкании ключа.
424
_ПабораторнЬ|е Раб^
□
□
Таким образом, в отчете по лабораторной работе надо представить:
формулу и осциллограмму ис при включении источника сииусопщт
тока для схемы № 2; * ’1Ьного
формулы и осциллограммы ис и и, для схемы № 3 при замыкании и в-г
нии ключа; Л1Ыка-
формулы и осциллограммы ис и ил для схемы № 8 при замыкании и в-
кании ключа. '' Ь|'
Работая в лаборатории, необходимо провести эксперимент на вычислите чьноГ
машине с использованием программы EWB, получить осциллограммы треб
емых токов и напряжений для заданных схем и сравнить полученные осци-по
граммы с расчетными.
□
Таблица Л.11. Варианты индивидуальных заданий
Вари- ант С, мкФ Я,, кОм Я2, кОм Я3, кОм f, Гц Набор задач
1 0,1 30 20 40 200 1 sin 4 1 7- 1
2 0,2 32 23 35 100 2 sin 3-1 8-1
3 0,3 12 15 20 200 1 sin 6 1 7 -2
4 0,4 15 12 25 100 2 sin 5-1 8-2
5 0,5 10 15 20 100 1 sin 2-1 7-1
6 0,6 10 12 15 100 2 sin 1-1 8 1
7 0,7 4 0 50 10 200 1 sin 6 2 7 2
8 0,8 3,0 5,0 12 100 2 sin 5-2 8-2
9 0,9 2,0 30 10 200 1 sin 4-2 7-1
10 1,0 2,0 3,0 15 100 2 sin 3 2 8-1
И 1,1 3,0 2.0 12 200 1 sin 2-2 7-2
12 1,2 4,0 4,0 10 100 2 sin 1 2 8-2 ———-
13 1,3 2,0 2,0 8,0 200 1 sin 1-1 7-1 —-—
14 1,4 1.7 1,8 6,0 100 2 sin 3-1 8 1
15 1,5 1,6 1,8 5,0 200 1 sin 6 1 7 2
. .. 16 1,6 1,5 1,7 4,0 100 2 sin 5-3 8-2
17 1,7 1,4 1,6 3,7 200 1 sin 2- 1 7-1
18 1,8 1,3 1,4 3,5 100 2 sin 11 8jJ
425
пабота 8 Переходные процессы в цепях с одним накопителем
Лаборат°РнаЯ Р ----------------------------------------- ~ --------
Вари- ант С, мкФ Rt, кОм Я2, кОм R3, кОм f, Гц Набор задач
19 1.9 1,2 1,1 3,4 200 1 sin 6 2 7-2
20 2,0 1,0 0,9 3,0 200 2 sin 5-1 8-2
21 2.1 1,0 0.8 4,0 200 1 sin 4-2 7-1
22 2.2 1,1 0,9 3,0 200 2 sin 3-2 8-1
23 2,3 1,0 0,7 5,0 200 1 sin 2-2 7-2
24 2,4 0.9 1,2 2,0 200 2 sin 1-2 8-2
. 25 2,5 1,2 1,3 4,0 200 1 sin 4-1 7-1
26 2,6 0.8 1,0 3,0 200 2 sin 3-1 8-1
27 2,7 0,6 1,2 2,1 200 1 sin 6-1 7-2
28 2,8 0,5 1.0 2,0 200 2 sin 5-2 8-2
Значения U(Um) nJ(Jm) можно выбирать произвольно для наглядного представ-
ления осциллограмм.
Варианты схем к индивидуальным заданиям
1. Для данной схемы определить:
О ис, ic;
2) ис, it.
2- Для данной схемы определить:
О «с. ic,
2) ис, i„
Лабораторные ПаК
- a°04i
426
3. Для данной схемы определить
1) ис, ic,
2) tic, i2.
4. Для данной схемы определить:
1) ис, ic,
2) ис, i2-
э. Для данной схемы определить:
1) ис, ic,
2) Uc, i2,
3) и с, ii.
„Гч,,тя 9 Переходные процессы в цепях с двумя накопителями
Лабора™РнаяраГ,°Та^-----------------------------------------------
427
6.
ДЛЯ данной
1) ис,
схемы определить:
2) ис, it-
7 дЛя данной схемы определить:
1) ис, ic,
2) Uc, 12-
8. Для данной схемы определить:
О ис, ic,
2) ис, i3.
Лабораторная работа 9. Исследование
ПеРеходных процессов в цепях
с Двумя накопителями
аналпзе переходных процессов в цепях, содержащих два независимых нако-
ф Ля’ в результате составления и преобразования системы интегрально-диф-
енйиальиых уравнений, составленных по первому и второму законам Кирх-
428
Лабораторные Пяк
рабоТЬ|
гофа, может быть получено одно уравнение второго порядка относительно к-
либо тока или напряжения. Решение этого уравнения: °г°-
х = х„ + А1ер,'+А2е"1‘, ,
\ ^0
где х„ — установившееся значение тока или напряжения; р, и р., ~ корни х
теристического уравнения; At и А2 — постоянные интегрирования, завпсяцц К'
начальных условий (it(-0) и ис{ -0)). °т
Установившееся значение определяется из схемы после коммутации.
(Характеристическое уравнение (в нашем случае квадратное) получается из Д1 к
ференциального уравнения без правой части (однородного) с заменой первой
(производной на р, а второй — на р2.
Характеристическое уравнение и, следовательно, его корни не зависят от источ-
ников, а зависят только от элементов R, £, С и схемы их соединения. При этом
для заданной схемы эти уравнения будут одинаковыми при любом расположе-
нии источников. Различные способы алгебраизации интегрально-дифференци-
альных уравнений приводят к тому, что в схеме без источников (источники ЭДС
закорочены, а ветви источников тока разорваны) уравнение
Z(p) = 0,
(составленное относительно любого разрыва в цепи, будет соответствовать харак-
теристическому.
'Аналогично, уравнение, составленное относительно любой пары узлов, будет
также характеристическим:
У(р) = 0.
Эти уравнения составляются по правилам составления комплексных сопротив-
лений или проводимостей с заменой /о) на р.
При двух независимых накопителях получаем квадратное уравнение.
В результате решения квадратного уравнения могут быть получены три вари-
анта:
□ корни действительные вещественные разные — р\ и р2;
□ корни действительные вещественные равные — pt в р2,
□ корни комплексные сопряженные — р12 = -8± уси
После подстановки корней в уравнение (Л.1) получаются три варианта решении
х = х„ + Ае₽1' + А,е"2';
x = x„+(Bl + B2t)e,‘'; ‘
х - х„ + М sin(wt + \|/)А6' = + (Mt sin сот + М2 sin сот)е *' •
В каждом из этих вариантов надо определить постоянные интегрирования.
3 А, и А2;
□ Bi и В2;
□ М и и/ или AR и М2.
429
п пябота 9 Переходные процессы в цепях с двумя накопителями
ла6ОратОРнаЯР
едения постоянных интегрирования необходимо знать значение функ-
ДлЯ °пр +0 и значение ее производной при t = +0. Для индуктивности это озна-
дии при знать ток, протекающий через индуктивность, и напряжение на ней:
чает, что над
«д = /(0; uL=L^ = Lf'(t),
то есть
Ek
L '
Для конденсатора:
«с=/(О; ic=c-f- = c/'(r).
at
то есть
|. /<<>=к
Указанные значения находят из послекоммутационной схемы в момент t - +0.
Для ее составления необходимо, исходя из законов коммутации, индуктивность
заменить источником напряжения со значением напряжения, равным wc(+0).
Если необходимо определить какую-то другую функцию, а не ток, протекающий
через индуктивность, или напряжение на конденсаторе, то все равно находят эти
функции и, рассматривая схему через них. определяют требуемые токи и напря-
жения.
Приведенные ранее теоретические предпосылки определяют следующий порядок
анализа переходных процессов в схемах с двумя независимыми накопителями:
1- Рассматривается схема до коммутации и из нее определяются численные зна-
чения ф(-0) и Wf?(-0).
>1 Рассматривается схема после коммутации для / = +0. Из нее определяется
одна из пар численных значений:
z Г
гд(+0) и Uj/=L-~
Или
ггс(+О) и ic=C^-.
Схема получается заменой в послекоммутационной схеме индуктив-
Ппя И КОНденсатора, соответственно, источником тока i,(+0) = г,(- 0) или на-
рРЯ*ения „с(+0) = wa_0)
Нахож Гривается схема без источников, и для нее составляется выражение для
Е(р) 0НИя плн Р(/Д как указано ранее. Решая уравнение Z(p) = 0 или
Ней р ’ иаходят корни характеристического уравнения. В зависимости от кор-
’11 Рг выбирается одна из формул (Л.2). Пусть для определенности х — на-
430
Лабораторные RaR
---------. рабоТЬ|
'пряжение на емкости, а корни комплексные. В этом случае составляется <?i
из двух уравнений для t = +0: ех'а
zzc(O) = г/с„+ М, = uc(+W)\
Си'с (0) = + Л/, с» - М., 5] = ic (+0).
[Последняя формула получена путем дифференцирования (и умножения ца п
выражения для ис из формулы (Л.2) с последующей подстановкой t = 0. Правые
части уравнений берутся из п. 2 (см. ранее). Для схем с источниками токов и На
пряжений х' =0.
Решая систему уравнений, получим Мк и М2. Аналогично можно получить выра-
жения для zt(t) и uL(t) = L-~-. Зная нс(г), ф(г), iL(t) и г/,(г), с помощью законов
Кирхгофа можно получить любые другие токи и напряжения.
Если в схеме есть два однородных независимых накопителя, то задача решается
аналогично. В таких схемах при любых сочетаниях параметров колебательный
процесс получен быть не может, то есть корни характеристического уравнения
действительные.
Если в схеме однородные накопители зависимы, то получается характеристиче-
ское уравнение первой степени. Однако в этом случае при поиске постоянных
интегрирования необходимо пользоваться обобщенными законами коммутации:
□ полное потокосцепление не может измениться мгновенно:
£E^(-0)==££^(+0);
k li
□ суммарный заряд на конденсаторах не может измениться мгновенно:
ХсЛ(-о) = хсЛ(+о).
Л k
При этом могут допускаться скачки токов через индуктивность и скачки напря-
жения на конденсаторах.
Задание по лабораторной работе
В соответствии с порядковым номером в группе выбрать схему для анализа. Рас
считать требуемые ток или напряжение. По указанию преподавателя в качестве
дополнительного задания следует для схемы рассчитать iL(t) или (м°^
но также изменить один из параметров схемы, чтобы процесс стал апериод
ским).
Работая в лаборатории, нужно провести эксперимент на вычислительной маи\_
не с использованием программы EWB, получить осциллограммы тРсо'сМ^оС-
ков и напряжений и сравнить расчетные данные с данными, полученными
циллограммах. Для сравнения экспериментальных и расчетных данных •
воспользоваться методическими указаниями из лабораторных работ 7 и
нцтеЛьН0
Данные о корнях характеристического уравнения из эксперимента сраш
легко получить для случая комплексных корней
Ра = -5±>.
цабоРаторнаЯ раб0Та 9 Перехо5ные процессь| в цепях с двумя накопителями 431
установив маркеры в положение соседних максимумов тока или напряжения,
получим параметры экспоненты огибающей е’&. Разница времени установлен-
ных маркеров даст информацию о частоте со (формулу вывести самостоятельно)
Далее приводятся пример отчета по лабораторной работе и варианты заданий.
Пример Л-9
Задание №--------по лабораторной работе «Исследование переходных процес-
сов в цепях с двумя накопителями».
фамилия И. О.-------——-----------Группа ______ № по порядку
Номиналы элементов выбрать в соответствии с номером студента в списке груп-
пы, напряжения выбрать самостоятельно. * J
Дано: для схемы (рис. Л. 12) R = 0,2 Ом; L = 1 Гн; С= 1 ф; U = Ю В
Рис. Л.12
Определить: iL и uL при замыкании и размыкании ключа.
Ответ:
е s' sin(art + у)
схема в системе EWB Е 4- I V = arctg — = 96°; \ 5 ) Pu=~0.1+jyl0^9-, ^0 = д/82 4- СО2 . приведена на рисунке (рис. Л. 13). R1 с й" v CZZ) II— И=&£О АВ 3 L
Рис. Л. 13
432
____Лабораторн|,,е
- аб°ты
Анализ экспериментальных данных:
uL(0) = = U,
ю
5 и со определить самостоятельно.
Заключение: эксперимент соответствует расчету (рис. Л.14).
Рис. Л.14
Варианты схем к индивидуальным заданиям
1. Для данной схемы определить ic.
_ пабота 9. Переходные процессы в цепях с двумя накопителями
Яабораториа я±------------------------------------------------------
433
2 ' Для данной схемы определить uL.
\
3. Для данной схемы определить ic.
4. Для данной схемы определить щ.
5. Для данной схемы определить uL.
434
6. Для данной схемы определить uL.
7. Для данной схемы определить uL.
8. Для данной схемы определить ic.
9. Для данной схемы определить uL.
ЛабораторНЬ1е pafi
——— i-’aooTi
раторная работа 9. Переходные процессы
в цепях с двумя накопителями
435
io. Для
данной схемы определить гс.
11. Для данной схемы определить uL.
12. Для данной схемы определить и,.
436
Лабораторные DaF
РаООТы
13-
Для данной схемы определить uL.
4. Для данной схемы определить uL.
5. Для данной схемы определить uL.
аторная работа 9. Переходные процессы в цепях с двумя накопителями
437
t6 Для данной схемы определить uL.
17 дЛя данной схемы определить uL.
18. Для данной схемы определить uL.
20 Ом 15 мГн
19. Для данной схемы определить uL.
438
^°РаторнЬЮработь1
20 Для данной схемы определить uL
21. Для данной схемы определить uL.
22. Для данной схемы определить uL.
23. Для данной схемы определить uL.
5 раторная работа 9 Переходные процессы в цепях с двумя накопителями
439
24-
Для
данной схемы определить и,.
Дополнительное задание: измените какой либо параметр так, чтобы процесс
был апериодическим, и решите для таких условий.
Алфавитный указатель
Е
Electronics Workbench, программа. 317
вставка элементов, 320
выделение элементов, 318
закрытие окон, 323
изменение цвета приборов, 320
отмена выделения, 319
перемещение окоп, 323
перенос элементов, 319
подключение питания, 323
подключение приборов, 322
приборы,322
установка режима, 322
регулировка размеров поля, 324
соединение проводом, 320
спрямление проводов, 321
удаление элементов, 320
А
автотрансформатор, 258
активная мощность, 66
анализ переходных процессов, 167
асинхронные электрические машины. 270
однофазные, 283
Б
баланс мощности, 54
безынерционный элемент, 242
В
ветвь электрической цепи, 35
взаимные цени, 88
внешняя характеристика, 295
вращающееся магнитное поле, 162
второй закон Кирхгофа, 34
Г
генератор, 294
гиратор, 25
гистерезисный двигатель, 314
граф схемы, 35
двухполюсный элемент (продолжение
катушка индуктивности, 21
линейный. 17
пассивный, 17
резистор, 20
дерево графа, 36
динамическое торможение, 302
добротность контура. 97
дуальность цепей, 97
Е
единичная функция Хевисайда, 193
3
закон Ома, 32
в комплексной форме, 64
законы коммутации, 167
затухание контура, 91
И
идеальный источник юка, 20
идеальный источник ЭДС, 19
интеграл Бромвича, 206
интеграл Дюамеля, 195
интегральное преобразование Лапласа, 200
интегральное преобразование Фурье, 211
К
катушка индуктивности, 21
ключ, 166
колебательный процесс, 183
коллекторная пластина, 267
коммутация, 166, 292
законы. 167
комплексная частота, 204
копдуктивпая связь, 258
контур, 35
контурный ток, 81
кратность пускового момента. 280
кратность пускового тока, 280
круговые диаграммы, 144
д
двигатель, 299
последовательного возбуждения, 302
двухполюсный элемент, 16
активный, 16
идеальный источник тока, 20
идеальный источник ЭДС, 19
м
магнитный поток, 248
магнитопровод, 247
математическая модель, 14
математическая модель схемы, 78
матрица
контур-ветвь, 78
441
^фавитный указатель
,атрипа (продолжение)
сечение-ветвь, 78
узел-ветвь, 78
мгновенная мощность, 65
^етод преобразований, 44
двух узлов, 52
эквивалентного генератора, 49
метод сечений, 83
метод узловых потенциалов, 82
моделирование электрических
и электронных схем, 31 /
мощность
активная, 66
мгновенная, 65
полная, 67
реактивная, 66
Н
независимое сечение, 36
независимый узел, 36
некорректная коммутация, 188
нелинейные электрические цепи, 230
анализ, 236
нелинейный элемент, 230
нулатор, 23
О
однофазный режим, 284
операторная схема замещения, 204
операторное сопротивление, 204
ориентированный граф, 35
п
параллельное соединение, 45
первый закон Кирхгофа, 32
переходная характеристика, 193
переходные процессы, 167
Расчет, 167
полиномы Гурвица, 218
полная мощность, 67
п°ложительная вещественная
Функция, 219
Колосовой фильтр. 117
«люсное регулирование, 299
^нциал узла, 51
ппГйЦИальная Диаграмма, 55
Пп 0 Раз°вание Лапласа, 200
Пи„ Ра3ование Фурье, 211
ПЦцНЦИ11 взаимности, 86
"Росто"“Г‘ наложе»ия, 53
ппJi 0,1 Узел, 35
i Ивовключение, 301
прямой пуск, 280
прямолинейная коммутация, 292
путь, 35
Р
расщепленный полюс, 285
реактивная мощность, 66
реактивный синхронный двигатель, 313
реакция якоря, 290
реализация ио Кауэру, 224
реверс, 299, 301
регулировочная характеристика, 295
режим холостого хода, 249
резистор, 20
резонанс
в сложных цепях, 100
напряжений, 90
токов, 96
рекуперативное торможение, 301
ротор. 262
псявнополюспый, 305
явнополюсный, 305
С
сечение, 35
синтез линейных цепей, 214
синусоидальный сигнал, 57
синхронные электрические машины, 305
статический преобразователь, 155
статор, 262
т
теория графов, 35
терморезистор, 231
тиристор, 235
ток контурный, 81
торможение
динамическое, 302
противовключение, 301
рекуперативное, 301
трансформатор, 247
в режиме холостого хода, 249
КПД, 254
многообмоточный, 257
под нагрузкой, 250
схема расчета, 259
треугольник проводимостей, 70
трехфазная система
мощность фазы, 160
соединение «звездой», 155
соединение «треугольником», 158
трехфазиые электрические цепи, 153
442
У
узел электрической цепи, 35
уравнения Максвелла, 14
уравнения по методу контурных
токов, 81
уравновешенность системы, 160
условие согласованной нагрузки, 142
условия Дирихле, 105
Ф
фаза, 153
феррорезонанс, 243
физическая нейтраль, 290
фильтры, 116
формы Фостера, 224
X
характеристика
внешняя, 295
регулировочная, 295
самовозбуждения, 296
холостого хода, 294
характеристические сопротивления, 142
ч
четырехнолюспые элементы, 23
активные, 140
четырехнолюспые элементы (провоз
взаимная индуктивность, 23 е""е)
пассивные, 120
эквивалентные схемы. 121
электрическая цепь, 16
ветвь, 35
взаимная, 88
линейная, 17
нелинейная, 230
с сосредоточенными параметрами, 17
трехфазиая, 153
узел. 35
электрические машины, 262
асинхронные, 263, 270
классификация, 264
постоянного тока, 288
синхронные, 263, 305
электрический градус, 263
электротехника, 14
электротехническое устройство, 14
эффективное значение тока, 57
Я
якорная обмотка, 265
якорное регулирование, 299
Мурзин Юрий Михайлович,
Волков Юрий Иванович
Электротехн и ка
Учебное пособие
Заведующий редакцией
Ведущий редактор
Редактор
Художник
Корректоры
Верстка
А. Кривцов
В. Шачин
Н. Рощина
Е. Дьяченко
Н. Викторова. Н. Солнцева
И. Смарышева
Подписано в печать 08.09.06. Формат 70x100/16. Усл. п. л. 25,8. Тираж 2500. Заказ 711
ООО «Питер Пресс», 198206. Санкт-Петербург, Петергофское шоссе, д. 73, лит. А29.
ая льгота — общероссийский классификатор продукции ОК 005-93. том 2; 95 3005 — литература учебная
Отпечатано с готовых диапозитивов в ОАО «Техническая книга»
190005, Санкт-Петербург. Измайловский пр., 29