Текст
                    ДЛЯ ВУЗОВ
СТРОИТЕЛЬНАЯ
МЕХАНИКА
ЛЕТАТЕЛЬНЫХ
АППАРАТОВ
Под редакцией
академика И. Ф. ОБРАЗЦОВА
Допущено Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебника для студентов
авиационных специальностей вузов
МОСКВА
«МАШИНОСТРОЕНИЕ»
1986

ББК 39.52 С83 УДК 629.7.015 + 624.04 И. Ф. Образцов, Л- А- Булычев^ В. В. Васильев, А. Н. Елпатьевский, К. А. Жеков, [Ю. И. Иванов}, Б. А. Коновалов, Ю. С. Матюшев, Ф. Н. Шклярчук Рецензенты д-р техн, наук А. С. Больмнр и кафедра «Машиностроение» МВТУ Строительная механика летательных аппаратов: Учеб- С83 ник для авиационных специальностей вузов/И. Ф. Образцов, Л. А. Булычев, В. В. Васильев и др.; Под ред. И. Ф. Образ- цова. — М.: Машиностроение, 1986. — 536 с., нл. (В пер.): 1 р. 50 к. _ 3606030000-124 ,о. С£1 ББК 39.62 с ~teS(0ij^6~ 124’8“ 6TS.1 УЧЕБНИК Иван Филиппович Образцов, Лев Алексеевич Булычев, Валерий Витальевич Васильев, Андрей Николаевич Елпатьевскнй, Константин Алексеевич Жеков, | Юрий Иванович Иванов Борис Александрович Коновалов, Юрий Степанович Матюшев, Федор Николаевич Шклярчук СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ Редактор А. А. Хрусталева Художественный редактор В. В. Лебедев. ТемкнческяЙ ред«*гор Оо В. Хуиерман. Корректоры Т. В. Багдасарян н К» Г. Богомолова ИБ № 4611 Сдано в набор 12.IS.85. Подписано в печать 28.05.86. Т-04982. Формат 60X90’/,, Бумаге офсетная Д'? 2. Гарнитура литературная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 33,5 Уел. кр.-отт. 33,5. Уч.-изд. л. 35,15. Тираж 6400 экэ. Заказ 4. Цена I р. 50 к. Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Машиностроение» 107076, Москва, Стромынский, пер., 4 Ленинградская типография № 6 ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» нм. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной тор- говли. 193144, г. Ленинград, ул. Моисеенко, 10. (gi Издательство «Машиностроение», 1986 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ Летательный аппарат — самолет, вертолет, дирижабль, ракета или космический корабль — должен воспринимать дей- ствующие на него в процессе эксплуатации нагрузки без повре- ждений и недопустимых изменений формы, т. е. быть достаточно прочным и жестким. Этому требованию, являющемуся необхо- димым условием безопасной эксплуатации, должно удовлетворять любое инженерное сооружение, а конструкция летательного аппарата должна отличаться еще и минимальной массой. Естест- венно, что требования минимальной массы находятся в противо- речии с требованиями достаточной прочности и жесткости. Раз- решение этого противоречия является одной из основных про- блем, возникающих при создании летательного аппарата; оно осуществляется в процессе расчета, проектирования и экспери- ментальной отработки как конструкции в целом, так и отдельных се элементов и в значительной степени обусловливает эффектив- ность летательного аппарата. Успешное решение проблемы опре- деляется прежде всего степенью полноты н достоверности инфор- мации, которой располагает конструктор относительно взаимо- связи между геометрическими параметрами конструкции, свой- ствами материала и допустимым уровнем ее нагружения. Эта взаимосвязь формируется в процессе расчета на прочность ле- гательного аппарата и его элементов, который предусматривает определение расчетных нагрузок; выбор расчетных схем и моде- лей, адекватно описывающих реальные элементы конструкции; анализ напряженно-деформированного состояния, устойчивости и динамического поведения отдельных моделей и их совокупности; переход от расчетных моделей к реальным объектам и оценку их работоспособности. Наличие широкого класса расчетных схем, моделирующих элементы конструкций самого разнообразного назначения, а также специальных, требующих достаточно слож- ного математического аппарата, методов, необходимых для ре- шения вопросов о напряженном и деформированном состоянии, устойчивости и динамическом поведении моделей, определило появление специальной научной дисциплины — строительной ме- ханики. Строительная механика — это наука о принципах и методах определения напряженно-деформированного состояния типовых расчетных моделей, анализа их устойчивости и динамического поведения. Формирование строительной механики связано с име- нами выдающихся ученых и инженеров И. Г. Бубнова, Б. Г. Га- лсркина, А. Н. Крылова, С. П. Тимошенко. Развитие ряда на- правлений строительной механики по расчету летательных ап- паратов, судов, наземных транспортных средств и сооруже- 1* 3
Ний связано с работами советских ученых В. В. Болотина, В. 3 Власова, А. А. Гвоздева, А. Н. Дииника, А. А. Ильюшина, А. Ю. Ишлинского, А. И, Лурье, В. В, Новожилова, П. Ф. Пап- ковича, Ю. Н. Работиова, А Р. Ржаницына, И. М. Рабиновича. А., Ф. Смирнова, Н. С- Стрелецкого, В. И. Феодосьева, Ю. А. Ши ганского и др. Строительная механика летательных аппаратов отличается от других направлений этой науки преимущественным анализом тонгсостениых конструкций, а также повышенными требованиями точности расчетных методов, которые с учетом ограничений массы конструкции должны гарантировать ее безопасную работу на пределе возможностей материала. Успехи в развитии строи- тельной механики в нашей стране связаны с работами Л. И. Ба- лдбуха, А. С. Вольмира, Э И. Григолюка, С. Н. Кана, В. И. Кли- мова, К. С. Колесникова, Ю. Г. Одинокова, А. Ю. Ромашевского, И. А. Свердлова, В. М. Стригу нова и др. Строительная механика летательных аппаратов, как и любая другая отрасль науки, непрерывно развивается и совершенст- вуется, что связано прежде всего с развитием авиационной и кос- мической техники — разработкой новых классов летательных аппаратов, интенсификацией и расширением спектра внешних воздействий, повышением требований к весовому совершенству конструкций, внедрением новых анизотропных и слоистых мате- риалов. Вместе с не теряющими актуальности аналитическими методами исследования традиционных расчетных моделей интен- сивно развиваются численные методы расчета сложных систем с помощью ЭВМ. Современные концепции и методы анализа ме- ханического поведения конструкций наряду с традиционными, естественно, должны находить отражение в учебной литературе. Именно эту цель и преследовали авторы настоящего учебника. Как учебная дисциплина строительная механика базируется на курсах теоретической механики, сопротивления материалов, теории упругости и требует практически всего объема знаний в области высшей математики, предусмогренного программами для авиационных институтов. Положения и методы, изучаемые строительной механикой, служат непосредственно основой для курса прочности летательных аппаратов и используются в даль- нейшем в курсах проектирования летательных аппаратов различ- ного назначения. Глава 1 учебника написана А. Н. Елпатьевским (за исклю- чением разд. 1.6.5—1.6.8) и К. А, Жуковым, гл. 2— Ю. С. Ма- тюшевым, гл. 3 и 9— Л. А. Булычевым (разд. 3.1, 3.2, 9.4, 9.5, 9.6) и К- А. Жековым (разд. 3.3, 3.4, 9.1, 9.2, 9.3), гл. 4—В. В. Ва-’ сильевым (разд. 4.1, 4.2, 4.3, 4.6) и Ф. Н. Шклярчуком (разд. 4.4, 4.5, 4.7), гл. 5 — Б. А. Коиовалбвым, гл. 6 и 8 ~ И. Ф. Образ- цовым, гл. 7 — Ю. И. Ивановым, гл. 10 — Ф. Н. Шклярчуком, гл. 11 и 12 — В. В. Васильевым. 4
ГЛАВА 1 ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ И ПРИКЛАДНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ 1.1. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Задача теории упругости заключается б определении на- пряженного и деформированного состояний, возникающих в спло- шном упругом теле, находящемся при внешнем силовом и темпе- ^дтурноы воздействиях. Принципиально полное построение ре- шения такой задачи дается в курсах теории упругости, подле- жащих предварительному изучению. В настоящем разделе приводятся основные соотношения, не- оходимые для построения и обоснования энергетических и других Прикладных методов решения задач строительной механики, ко- уприе будут широко использовать в дальнейшем. Более подроб- ней вывод основных соотношений теории упругости представлен • 1бохе 116]. 1.1.1. Теория деформаций Обозначим компоненты смещения произвольной точки iv ла с декартовыми координатами х, у, г через к, о, щ. Тогда перемещение по произвольному направлению р, определенному направляющими косинусами I, т, п (I = cos х, р, т — cos у, р, n cos z, р), будет Я — а! 4- vm 4- wn, (1.1) I малые относительные деформации такие, что их величину допусти- ло считать принебрежимой по сравнению с единицей. Линейная деформация ер и угловая уР1Р, между двумя взаимно ортогональ- ными направлениями рхн р2 (см. рис. 1.1) определяются формулами е — у — I ПО) Ер~ др ’ Tpw.- ар> + dpi (1-4) 11ри совмещении направлений р, рх, р2 с координатами х, у, г из | < ул (1.2) следует геометрические соотношения Коши __ ди __ ди , ди Е*~ аГ’ V«,= a9 + дх1 dv dw ди л Ер = ^’ Т« = -?т+-аГ’ (13) dw дш . ди 5
Рассматривая (1.2) как производные сложных функций д^ д/? дл dfi ду df? дг др — дх др * ду др дг др и используя формулы Коши (1.3), получим Ер = Ms + E#ms + E2ns + t^lm + yjn + тют«, Tp.p. = 2 (Mi4 + e^m, + «лп2) + (14) 4~ Txp (4^ -4- 4mi) 4 Та» (4й» 4 4^i) 4~ 4~ ^Л)- Формулы (1.4), с одной стороны, преобразуют компоненты дефор- маций к деформациям в новых осях, а, с другой, показываю!', что шесть компонент деформаций вх, ву, ez, уху, yxzt yvz полностью оп- ределяют деформацию тела в точке в любой ортогональной си- стеме координат р, pi, р2. Соотношение Коши (1.3) определяют шесть компонент дефор- маций через частные производные от трех функций и, о, ш. Отсюда следует, что сами деформации как функции координат не являются независимыми н должны быть связаны между собой некоторыми соотношениями, которые называются уравнениями совместимо- сти деформаций. Эти уравнения могут быть получены из (1.3) в результате исключения перемещений и, о, w, они имеют следующий вид: д2гх . _ д*1ху d2^ d2ez _ д2^ ду2 ’ дх2 дхду 9 дг£ ' дх2 дхдг 9 . d2ez _ ^yz_ dz2 ' dtf ~ дудг ’ d / d'iyz dyxz духр \ с д%х г, дх \ дх Ч" ду дг / ~ Z дудг 9 д (дУуг dyxz , дУху\ _ 9 ffley ду \ дх ду ' дг / дхдг 9 В / В'1уг I a-faz ^У \ _ „ дг \ дх ' ду дг / дхду ° Их справедливость может быть проверена подстановкой выраже- ний для деформаций из (1.3), в результате которой они обращаются в тождества. 1.1.2. Теория напряжений Интенсивность усилий, возникающих на выделенной внутри тела произвольной площадке, представляется в виде трех компонент напряжений — нормального ар и двух касательных 'Ерро Трр„, действующих во взаимоортогональных направлениях (рис. 1.1). Определяя направление направляющими косину- сами It = cos (р£, х), mt = cos (pzt/), nt = cos (pfz), можно выра- 6
Рис. 1.1. Напряжения на про- извольней площадке лить компоненты напря- жений Ор, тРР|, Трр, через проекции суммарного на- пряжения о на оси xt у, z, т. е. Ор = Хр/ 4- Ypm 4- Zpfi, трр, “ Xplt 4" Ypmi 4" ^pni> (1.6) ТРРг = Хр/а 4- У 4~ Основными законами, связывающими компоненты напряжений, являются уравнения равновесия. Для получения их выделим из тела элементарный тетраэдр (рис. 1.2) и рассмотрим его равнове- сие. Составляя суммы проекции всех сил, действующих по гра- ням тетраэдра и а три оси, получим ХР = oj 4- <txym 4- т„п, YP = *xyl 4- 4- тадп, (1-7) Zp = тхг/ 4- xzi/m 4- ozn. Здесь I, m, n —• направляющие косинусы нормали к наклонной площадке. Суммы моментов всех сил относительно трех осей дают закон парности касательных напряжений = тук, тхг = тгх, т₽х = == тг&, в силу которого порядок индексов у касательных напря- жений становится безразличным. Располагая элементарный те- траэдр у поверхности тела, чтобы косая грань совместилась с элементом поверхности тела, и б силу этого считая, что компо- ненты Хр, Ур, 2Р определяют поверхностную нагрузку (Хр = = Xv, Ур = yv, Zp == Zv, v — нормаль к поверхности), из (1.7) получим три алгебраических соотношении = ох14- 4- т„п, У^«тэг1//4-0рт4-т1/2п, (1.8) Zv = tX2Z 4- тргт 4- аап, которые называются условиями иа поверхности и являются ста- тическими граничными условиями. Рассмотрим равновесие неко- торой произвольной части тела /у Tw/rz*/' / ТУ* Рис. 1.2. Напряженное состоянне эле- ментарлссэ т? фамр-* 7
(см. рис. 1.1). Пусть объем этой части v и силы, действующие на каждую единицу объема, заданы компонентами X, Y, Z, внеш- няя поверхность этой части Sx и поверхностные силы на ней — Xv. Zv. Поверхность, которой отсекается произвольная часть тела, обозначим через St и силы, действующие на нее, через Хр, Ур, Zp. Составляя суммы проекций всех сил, действую- щих на рассматриваемую произвольную часть тела, получим jxcds+ jxvds + jX<fo = O, s. s. V J Y„ds+ J Y„ds + J Ydv^O. Sa S, » jZp*4- Jz.ds + jZ<fo = O. Sg S4 e Перепишем эти уравнения в следующем виде: J X„ds+ j(X,-Xc)<fe + jX<fo = O, Ss+S, s, ® J Vpds+ J(y,-yp)ds+ Ss+S, S, 61 J Z„ds+ J(Z.-ZP)* + jZ* = O. Sg+S, S, ti Первые интегралы в этих равенствах берутся по полной поверх- ности рассматриваемой части тела и на основании формулы Грина могут быть преобразованы в объемные. Внося в эти равенства Хр, Ур, Zp из (1.7) и используя формулу Грима, получим (X. - o.l - - x.zn) ds + jj ( + х)л=О, Sa v § (Yv - - <V« - t„n) ds + +^-+ + у) Л=о, Si t - wn - а.п) ds + (^. + -^- + ^.4-z)<fc = 0. S« v Полученные равенства должны тождественно выполняться для любого объема о, выделенного из тела и при любой внешней по- верхности S,. а это возможно лишь при тождественном равенстве в
Гис. 1.3. Напряжения, действующие по граням элементарного параллелепипеда нулю подынтегральных выражений, что дает три условия иа по- верхности (1.8) и три дифференциальных уравнения равновесия: дстх । дх*и дхх2 .у дх + ду + дг "ГЛ — °’ dCji dXjiy дх 1 ду ' дг ' ’ ' 7 дх + ду + дг + z~ а Уравнения равновесия (1.9) могут быть получены и непосредст- венно как условия равновесия бесконечно малого элемента, вы- деленного из тела и показанного на рнс. 1.3. В заключение запишем формулы, определяющие напряжения в произвольной ортогональной системе координат. Подставляя х„, УР> zp из равенств (1.7) в (1-6), получим ор — vj? 4- о^/п2 сг/12 4 2хху1т 4- 2тхх/л 4- 2xyimnt <р₽, « 4- a^mrn, 4- aznnt 4- (ltm 4- /ш3) 4- 4- (4« 4- ЗД 4- fan 4- тпД, (1.10) *оОа = <*»% 4- Gvmmz 4- ахппя 4- <сху (1йт 4- fa) 4- 4- Txz 4- ^в) + (т^п + тп^ Формулы (1.10) показывают, что напряженное состояние в про- извольной точке тела полностью определяется шестью компонен- тами напряжений (с учетом парности касательных напряжений), действующих на трех взаимно перпендикулярных площадках.
1.L3. Физические соотношения Физические зависимости в линейной теории упругости для изотропного тела вводятся уравнениями обобщенного закона Гука, имеющими вид Вх = 4“~ (111) К« = -g- - !* (ох + 1 1 1 Vxi/ — Q ?XZ — Q TXZ> Tl/Z- Q ^yz или в обратной форме их = 2Gex -|- %0, gv = 2Gsy -J- Ж — 2Gsz -j- Х.9, ^ху — ^4xyt “^xz = @4x21 ^Vz “ ^4yz' Здесь 6 == ex 4- ev + ez — объемная деформация. В формулах (1.11), (1.12) Е и G — модуль упругости и мо- дуль сдвига; р, Z — коэффициенты Пуассона и Ламе, между ко- торыми имеются следующие зависимости: G ~ Е х — Е^ 2(1 4-р)’ л ~ (1 4-Р) (1 -2р)’ При температурном воздействии уравнения закона Гука преобра- зуются на основании гипотез Франца Неймана, постулирующих, что полные линейные деформации ех, ву, ez связаны с перемещени- ями формулами Коши (1.3), а упругие деформации связаны с на- пряжениями уравнениями обобщенного закона Гука (1-11). Под полными деформациями понимаются сумма упругих б*, ez и чисто температурных деформаций at, т. е. бх = £х 4- бу = б® 4" в* = ez 4" Тогда, внося значения упругих деформаций в соответствии с (1.11) получим уравнения закона Гука при температурном воздействии «X = 4-“ 1* (аУ + °z)l + еу = ~г [пу — р (ох 4- oj] 4- а/, ! (113) е2 = 1а* ~ И <Рх + а?)1 + 1 1 1 Уху Q 4x2 Q 4yz (J 10
инн в форме, разрешенной относительно напряжений: ах = 2Gex -|- Х6 — (20 -|- ЗА,) at, о, = 20ву 4- - (20 4- ЗХ) at, (1.14) сг2 = 20ег 4- Х0 - (20 4- ЗХ)а/, Тхг/ == Тхг = Оухг, Tgt — Сууг- <1»и шческий закон для анизотропных материалов и, в частности, «ля композиционных материалов излагается в гл. 12. Таким образом, полная система уравнений теории упругости включает 15 уравнений: три уравнения равновесия (1.9), шесть неметрических соотношений Коши (1.3) или вытекающих из них «равнений совместимости деформаций (1.5) и шесть соотношений 1 пеона Гука в форме (1.13) или (1.14). Эта система включает 1;> неизвестных: шесть напряжений, шесть относительных дефор- маций и три перемещения, т. е. является полной. Решение основ- ной системы должно удовлетворять граничным условиям на по- верхности тела — статическим в форме (1.8) или геометрическим, которые формулируются через перемещения. 1.1.4. Методы решения задач в перемещениях и в напряжениях В теории упругости используются две классические формы записи разрешающих уравнений, к которым сводится полученная выше полная система 15 уравнений. Решение задачи в перемещениях предусматривает введение в качестве неизвестных, определяемых, в первую очередь, трех функций перемещений и (х, у, z), и (х, у, z), ш (х, у, г). Выражая в законе Гука (1.14) деформации через перемещения с помощью геометрических соотношений (1.3) и подставляя полученные вы- ражения для напряжений в уравнение равновесия (1.9), полу- чим три уравнения равновесия в перемещениях (уравнения Ламе) GV« + (Z, + C)||--(2G + 3Ma~ + A = 0, CV“o + (>- + G)-g--(2G + 3X)a^- + F = 0, (1.15) GV’ia) (Z-| G)^-(26 f | Z. -0, „„ d2 , d3 d2 Q du । do dw где V — 0x2 4- dy2 4- , 6 — dx + dy + • Решение уравнений (1.15) должно удовлетворять граничным ус- ловиям. Геометрические граничные условия накладываются не- посредственно на перемещения, а статические условия (1.8) за- писываются через перемещения с помощью равенств (1.14) и (1.3). По найденным перемещениям могут быть далее определены 11
деформации (1.3) и напряжения (1.14), т. е. получено полное ре- шение задачи. Второй метод решения задачи в напряжениях предусматри- вает введение в качестве основных неизвестных шести компонент напряжений, которые должны удовлетворять трем уравнениям равновесия (1.9). Поскольку три уравнения с шестью неизвест- ными могут иметь множество решений, существует множество систем напряжений, удовлетворяющих уравнениям равновесия. Такие системы напряжений называются равновесными. Для того чтобы выделить из статически возможных систем истинную си- стему напряжений, будем рассуждать следующим образом. Пусть имеется некоторая равновесная система напряжений. Тогда де- формация однозначно определяются из закона Гука (1.13) и для завершения решения необходимо найти перемещения. Однако при этом надо проинтегрировать шесть геометрических уравнений (1.3), включающих три неизвестных перемещения, т. е. систему в общем случае несовместную. Для того чтобы система (1.3) была совместной, необходимо, чтобы деформации были связаны не- которыми соотношениями, которые и были получены выше в форме (1.15). Таким образом, истинные напряжения отличаются от всех равновесных тем, что вызываемые ими деформации удовлетворяют уравнениям совместности деформаций (1.5). Эти уравнения с по- мощью закона Гука (1.13) могут быть записаны через напряжения. В результате преобразования с помощью уравнений равновесия (1.9), в которых отсутствуют объемные силы, они могут быть при- ведены к виду 'р,<’=‘ + гпг^- + а£(т^г^< + -ПТ^-) = 0> V» ->+«Е (14^ v> < + » = о, „2 I 1 Фо , аЕ дч _ „ ' 1 + Н дхду 1+ц дхду м ,1 . я£ дЧ . ' т 1 + |» дхдг ' >+|» дхдг = и- rt, , 1 , аЕ S4 . V т-ух+ j+g дудг + 1+(1 дуВг — V. (1.16) Здесь о = а, + а, + о2. Таким образом, основная система уравнений для решения задачи в напряжениях включает уравнения равновесия (1.9) (при X = У = Z — 0) и уравнения совместности деформаций (1.16). Отметим, что полученная система включает девять уравнений, содержащих шесть неизвестных функций напряжений. Из вывода уравнений совместности (1.5) или (1.16) следует, что всегда су- ществует три дополнительные функции, которые позволяют 19
№<л гтвенно удовлетворять эти уравнения. Такими функциями ксдяится, например, перемещения и, v и ш. Действительно, под- сыляя в (1.5) функции деформации, выраженные с помощью (I 3| через три произвольные функции п, о, ш, можно убедиться Ш что уравнения (1.5), а следовательно, и (1.16) тождественно v -югетворяются при любых функциях и, v и w. По найденным в результате решения системы (1.9), (1.16) •И «пряжениям с помощью закона Гука (1-13) определяются де- фпр.^ации, а затем из системы (1.3) (которая в силу того, что усло- 1)«1 н ее интегрируемости удовлетворены, является совместной) (Ниху-цятся перемещения. Построенное решение подчиняется гра- ни «игым условиям — статическим в форме (1.8) или геометриче- смим. которые накладываются на найденные перемещения. 1.2. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ УПРУГОЙ СИСТЕМЫ Рассматривается непрерывное упругое тело, находя- щееся под внешним силовым и температурным воздействием, h г еду того, что в теле при этом возникают напряжения и дефор- .• и ил, в нем накапливается потенциальная энергия деформации, н меряемая работой упругих сил П. .Для определения работы упругих сил рассмотрим ее прираще- । в функции от приращения перемещений dat би, бьу. Тогда, рз сматривая тело как совокупность бесконечно малых парал- 1 непипедов, заполняющих внутренний объем, и бесконечно ма- пггх тетраэдров, определяющих пограничную зону, прилегаю- щую к поверхности, подсчитываем работу, совершаемую в каж- дой элементарной его части. Выделяя из тела бесконечно малый параллелепипед со сторо- п»мн dx, dy, dz и заменяя влияние отброшенных частей напряже- ниями, получим на его внешних гранях интенсивность сил, пред- ъявленную на рис. 1.3. Кроме того, будем считать, что на каждую • синицу объема действуют объемные силы, заданные компонен- 1 амн X, У, Z. Зададим прнращення перемещений 6о, 6rw, не- прерывно меняющиеся от точки к точке. Подсчитаем сначала ра- боту сил, действующих в направлении оси х. Ограничиваясь ишь малыми третьего порядка, получим результаты, представ- ленные в табл. 1.1. Суммируя работу всех сил, представленных в таблице, найдем ад = [(-^-+%-+^-+х)6и + + с= + ’»•- V + ’«^г]dx d* йг- 13
Таблица 1.1 Составляющие работы сил, параллельных оси х Величина усилия Перемещение Работа I X dx dy dz 6u Xdu dx dy dz (о« + dy dz , 1 d&l J du 4- -r— dx * dx X ( 6u 4—dx j dy dz —с* dy dz 6 и —oxdu dy dz R I A 6u 4- ~s— dy dy v / c . ddu , \ , . x dxdz —xyx dx dz bu —tvxdu dx dz (tzx + --^-dz)dxdy ou 4—r— dz dz -^dz)x /„ . d&u. X ( 6u 4- —dz) dxdy —tZx dx dy 6u —t2x6u dx dy Аналогичным образом подсчитывая работу всех сил, действу- ющих вдоль осей у и z, получим dbv . ddu dfiv 1 , , , + т™ ~дГ + °ч \ + т« “аГ|dx d'J dz- m’ = [O + > + > + z)to + d&w , d8tu d6ail . . , + *« TjT + fz -*-jdx dV Az- Таким же образом подсчитываем работу сил, действующих на тетраэдр (см. рис. 1.2), в котором наклонная грань предпола- гается совпадающей с внешней поверхностью, и в силу этого 14
гвующая иа ней нагрузка определяется поверхностными . цломи Хр — Xv, Ур *» Fv, Zp = Zv. В результате найдем 6П* = (Ху. — сх1 — — хгХп) Ьи dst 6Щ = (У v — tXj// — avm — ъг1/п) fir dst 6П£ = (Zv — xxJ — 1угт — огп) ds. i 1риращение работы упругих сил, собранное со всей совокупности плраллелепипедов н тетраэдров, выразится теперь так: ЛИ = J J j (бп; + 6Щ + впэ dx dy dz 4- J j (6П; + 6Щ + 6ПЭ ds. Подставляя сюда найденные выше приращения элементарных работ, получим вМШ(тг+тг+^ + х)6и+ + (^ + ^ + ^ + z)^]dxdydz + <- JJ l(Xv— a J — чгх1/т — т>2п) би + (У v — тта/ — сут — т^п) би + + (Z, - x,Jl — х„уп — aji) &uj ds + + x*^ + dx) + ’<“* (17 + ~Йу') dxdy dz- Для тела, находящегося в состоянии равновесия, два первых интеграла в (1.17) б силу уравнений равновесия (1.9) и (1.8) обра- щаются в нуль. Заменяя далее производные от приращений пере- мещений через приращения деформаций с помощью соотношений Коши (1.3), окончательно будем иметь си •= j j f (OxSe. + ctfet 0j,6lBj 4“ Тдах/буяу 4" 4- ^Ухг 4- ^yVz) dy dz. (1.18) В задачах строительной механики вводится гипотеза о существо- вании потенциала упругих сил, заключающаяся в том, что работа упругих сил П полностью переходит в потенциальную энергию U, накапливаемую телом при деформации, т. е. 6П = б(/. Если ввести понятие удельной потенциальной энергии W, как энергии, отнесенной к единице объема, то U ~ J J j Wdxdydz (1.19) 16
и в соответствии с (1.19) н (1.18) f>W = (Тх6вх 4“ • • • + ^уг^уг- (1 -20) С другой стороны, в силу существования потенциала упругих сил потенциальная энергия есть функция только деформаций и, сле- довательно, ее приращение равно = + о-21) Сравнение (1.21) с (1.20) приводит к формулам Грина _ dW . dW , dlF . °х дЕх ’ ds.v ’ °г д?.х ' _ dW _ д\У __ tW_ “ К*, ' = ~ дуу1 ’ являющимся аналитическим выражением гипотезы о существо- вании потенциала упругих сил. Следует сделать оговорку о том, что введенное понятие упру- гого потенциала в рамках термоупругой задачи закономерно лишь при определенном ограниченном уровне температуры, при ко- тором в потенциальной энергии можно пренебречь чисто темпера- турными членами в силу их малости. Кроме того, в дальнейших выкладках рассматриваются лишь такие температурные задачи, когда температура не зависит от деформации, а модули упруго- сти — от температуры. При сделанном замечании удельная по- тенциальная энергия будет определяться интегрированием вы- ражения (1.20), т. е. в. v № = J 6№. at Внося сюда (1.20), подставляя напряжения из (1.14) и производя интегрирование, получим выражение для удельной потенциаль- ной энергии, записанное через деформации W = G (е2. + 4 + 4) + 4 02 + 4 + & + &) - — (2G-j-3X)a'9 + A(2G + 3X)(a/)a. (1.22) Используя закон Гука (1.13), из (1.22) можно получить удельную потенциальную энергию, записанную в смешанной форме = т (’Л + °4R4 + - - +о>+ (1.23) 16
1.3. ВАРИАЦИОННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ В ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ Согласно изложенному выше в разд. 1.1 истинные на- пряжения, деформации и перемещения, реализующиеся в упругой системе, удовлетворяют полной системе уравнений теории упру- гости, содержащей статические, геометрические и физические соотношения. Введенное в разд. 1.2 понятие потенциальной энер- гии упругой системы позволяет дополнительно сформулировать некоторые энергетические свойства истинного напряженно-де- формированного состояния, реализация которых эквивалентна удовлетворению отдельных групп основной системы уравнений. Эти энергетические свойства устанавливаются вариационными принци- пами, которые широко используются в строительной механике. 1.3.1. Полная энергия упругой системы Для построения вариационных принципов потребуется понятие полной энергии Э, которую формально введем как раз- ность между потенциальной энергией и работой внешних сил Э=[/_ д. (1.24) В (1.24) U — потенциальная энергия деформации и А — ра- бота внешних сил, определяемая формулой А = | j (Xvu 4- Yvv 4- Z^w) ds 4- J j J (Xu-^-Yv-\ Zw) dx dy dz. (1.25) Здесь Xv, Fv, Zv — компоненты поверхностной нагрузки, a X, Yt Z — компоненты объемной нагрузки, интегрирование осу- ществляется соответственно по поверхности тела S и объему v. Преобразуем выражение (1.25). Для этого введем некоторую произвольную систему напряжений йя, ..., xyz и систему пере- мещений й, v, w (необязательно соответствующую напряжениям ах, ..., хУА и рассмотрим следующий поверхностный интеграл: J = j J K'V+w" + wO« + (М+s»'” + wO е+ + (V + Vя + ЭД ds. Преобразуем поверхностный интеграл 4 в объемный Д иа осно- вании формулы Остроградского 1 \ дх ' ду 1 dz / 1 \ дх ду дг / J J +№.т+»4+’-т+’»(£+4)+ +*.(т+т)+*..(4+-&)]^ 17
н, кроме того, введем в рассмотрение объемный интеграл J2, включающий произвольную систему малых деформаций вж ... yw, не связанную ни с компонентами перемещений, ни с компонен- тами напряжений Л = J f J (б А + «А + бА + адед + ад» + адк) dx dy dz. Очевидно, выражение работы внешних сил (1.25) не изменится, если к нему прибавить и вычесть одни н те же величины. Поль- зуясь этим, напишем А = А — J + — J8 + /2. Внося сюда выражения для соответствующих интегралов, получим + J J [(X. - °*1 ~ ixl<m ~ Й + (Уv — W — °ит ~ V + + (Zv — — i1!2m — агл) й>] ds + +Ш [М4г - М+б«- ft - М+ 5‘ ~ £«) + +(£+v - %•)] dxdydz+ +JJJ (0А + вА + ®А +адх, + ад»+ади)^буйг. (1.26) Отметим, еще раз, что входящие н выражение (1.26) компоненты перемещений, деформаций и напряжений совершенно произвольны и не соответствуют действительно возникающим в теле деформи- рованному н напряженному состоянию при нагружении. 1.3,2S Вариационный принцип Лагранжа Рассматриваемый далее вариационный принцип Ла- гранжа позволяет сформулировать энергетический признак, вы- деляющий истинную систему перемещений, возникающую в теле. Вариационный принцип Лагранжа сформулирован так: из всех кинематически возможных систем перемещений в действитель- ности в упругой системе реализуются лишь те, которые сообщают 18
минимум полной энергии. Под кинематически возможными здесь понимаются перемещения, удовлетворяющие геометрическим гра- ничным условиям на поверхности тела и связанные с относитель- ными деформациями соотношениями Коши (1.3). Таким образом, согласно принципу Лагранжа полная энергия гола, в котором имеет место действительное поле перемещений, должна быть минимальной. При этом деформируемая система должна быть консервативной, т. е. приращение потенциальной энергии должно являться полным дифференциалом от приращения деформаций, а внешние силы не зависеть от перемещений. По- скольку полная энергия Э = U — А выражается через интегралы (1.19) и (1.25), она является функционалом и согласно вариаци- онному исчислению реализация принципа Лагранжа сводится к задаче минимизации функционала. Сначала докажем право- мочность сформулированной вариационной задачи. Экстремальное значение функционала реализуется обраще- нием в нуль главной линейной части приращения функционала — первой вариации 63 = 0, (1.2/) причем, если вторая вариация меньше нуля, то имеет место ми- нимум. Можно показать, что в рассматриваемых задачах реали- зуется именно минимум. Записывая уравнение (1.27) с помощью (1.24), получим 6Э = 6(7 —6Л=О. (1.28) Входящая сюда вариация потенциальной энергии деформации 6(7 определяется равенствами (1.19), (1.20). Для записи вариации работы внешних сил 671 воспользуемся соотношением (1.26). При этом в силу того, что перемещения должны быть кинемати- чески возможными, удовлетворяются соотношения Коши (1.3) и третий интеграл в (1.26) исчезает. Кроме того, положим й = - &и, v = Sv, w = 6ш и соответственно ёх = 6ек ... yyz — 6?w. Тогда равенство (1.28) примет вид 63 = £ J [с.6е. + ... ти6ую] dxdydz — + (^“ + > + ^ + ^ + + (^+^+>+zH^dz- — JJJ 1(Х» — — V — т„п) би + (У v — — а„т — Т^п) би + (Zv — — xuzm — агп) 6ш] ds — — 11 -I-------т^6уВ2] dx dy dx = 0. 19
Сокращая первый и последний интегралы, окончательно получим в5=Ш[О+^+^-+х)би+ +(^+->+^+у)^+ +(^+v+v+z)to],k*+ + Jj К*. — nJ — txl,m — tr„n) 6u + (У, — Tx„z — otm — T„;r.) 6t> + + (Zv — ix2l — <t„m — a,n) 6®] ds = 0. (1.29) Поскольку вариации 6u, 8v, Sw произвольны н взаимно незави- симы, из (1.29) вытекают уравнения равновесия (1.9) и стати- ческие граничные условия (1-8). Таким образом, если выполнены соотношения Коши и геометрические граничные условия, то из принципа Лагранжа следуют недостающие уравнения равновесия и статические граничные условия, что и доказывает справедливость принципа. Для реализации вариацнониого принципа Лагранжа необхо- димо записать условия минимума полной энергии Э, выраженной через перемещения. Подставляя в равенство (1.24) V согласно (1.19), где W имеет форму (1.22), в которой функции деформации выражены через перемещения с помощью соотношений Коши (1.3) н работу внешних снл А согласно (1.25), окончательно будем иметь ’-Щ(0[В)’+«),+ Й)’] + тЙ+^+тТ+ । О Г / ди_ , ди \2 / ди dw_\z । / ди . ди> ^2~| '2 |Д ду дх ) -г \д2~г дх ) "Г \дг "Г ду ) J - (2G+3X) (А+ *. + at +-3.(2G + 3X)(cc/)>}dxd!,d2- — j j (Xvu 4- Yvv -j- Zxw) ds — J j J (Xu -f- Yv 4- Zw) dx dy dz. (1.30) s v Минимизируя функционал (1.30) методами вариационного исчи- сления, можно получить три уравнения относительно функций и, v, w и естественные граничные условия, которые совпадают со- ответственно с уравнениями равновесия в перемещениях (1.15) и статическими граничными условиями (1.8), записанными через перемещения. Таким образом, принцип Лагранжа является ва- риационным аналогом метода решения в перемещениях, который был опнсан в разд. 1.1. Равенству (1.29) можно придать и другую трактовку, если счи- тать Su,6v н Sw малыми возможными перемещениями тела в состо- 20
к । “виовесия. В этом случае (1.29) описывает принцип возмож- (i ''"«ещений, согласно которому в состоянии равновесия ,. ма работ всех внешних и внутренних сил должна быть равна 5 . При этом требование консервативности системы отпадает. 1.3.3. Пример—задача об изгибе балки Для иллюстрации принципа Лагранжа рассмотрим аль ”у об изгибе балки, показанной на рис. 1.4. В этом случае птличны от нуля перемещения и (х, у), v (х, у), а интегралы в (1.30) ВсрУ^я по длине балки и сечению с площадью F. Полагая t = 0, ц.. пучим О Р +т«+£)>->*• <131’ о ' - ем закон плоских сечеинй, согласно которому сечение х = "list не деформируется вдоль оси у и остается плоским и нор- • ьиым к нейтральной оси у = 0. Отсюда следует, что ди ди . ди А ек — ~ °’ Тзд — Sy + gx — °- Интегрируя эти уравнения, получим v = v (х), и = —v'y 4- и0 (х). (1.32) । i'’-енебрегая эффектом Пуассона, который не учитывается в ергни изгиба балок (р=0), и подставляя перемещение (1.32) функционал (1.31), будем иметь i + (L33) О д, например, v' = dv/dx, I — центральный момент инерции счения. Выражение (1.33) представляет собой функционал, ко- орый символически записывается • следующем виде: I Ч(*) Э — j Ф (х, v, v, и'о) dx. о I Лесь Ф подынтегральное выра- Рис_ 1.4. Быша в условиях яопереч- кение в (1.33). него изгиба 21
Согласно принципу Лагранжа и вариационного исчисления имеем 65=i[^&+w&'+<Mdx=°- о Интегрируя по частям дважды второе слагаемое под знаком ин- теграла и один раз третье, получим / i сп [/ (Ф 1 । я ' f d дФ s |/ 63 J ( до + а« до" )6udx + d,j- 6в J dx - о о I f d дФ f. . дФ к U _ - J d^Sudx+^6Ч = °- О Полученное выражение будет тождественно равно нулю при про- извольных вариациях перемещений 6г и 6н0 лишь тогда, когда подынтегральные выражения и внеинтегральные члены будут равны нулю, т. е. 5Ф . d2 ОФ дФ к ,li л dv + ах2 dv" °’ ди” 6г/ |о ~ °’ d аф -Л- d дФ л ЗФ я И л /1Ой dx до" fi’y|o 0’ dx аф —°* dui s“»|0-°- С1-35) Полученные уравнения являются уравнениями Эйлера — Ла- граижа для рассматриваемого функционала, а внеинтегральные члены — естественными граничными условиями. Для ряда за- дач уравнения Эйлера—Лагранжа и естественные граничные условия могут быть взяты в готовом виде из курсов вариацион- ного исчисления. Вычислим входящие в (1.35) производные = < = (136) Внося (1.36) в (1.35), получим (£*")" = ?, £Д!6о'|' = 0, £Д”6о|' = 0, (£FuJ) = O, £FuS6«o|' = O. (L37) Для истолкования соотношений (1.37) напомним, что согласно сопротивлению материалов в сечении балки действуют изгиба- ющий момент М, перерезывающая сила О и осевая сила N, ко- торые определяются формулами M = —EIv", Q=—EIv"', N = EFui. (1.38) С учетом (1.38) соотношения (1.37) принимают вид M" + ? = 0, N' = 0, (1.39) M6t/|' = 0, Q6t-|'=O, = 0. (1.40) 22
• равнения (1.39) являются уравнениями равновесия: первое — р.имением упругой линии балки, а второе — уравнением рас- fiженин оси. Равенства (1.40) определяют граничные условия. Гл'ли перемещения и0, v и угол поворота v' на крае балки заданы, и» вариации &/ = = 6и0 = 0 и условия (1.40) удовлетворяются ннюматическн. На свободном крае кинематические факторы ие Йоданы, нх вариации отличны от нуля и согласно (1.40) получим /И Q = дг = о, т. е. статические граничные условия. Таким ппразом, соотношения (1.37) включают уравнения равновесия и г глгические граничные условия, записанные через перемещения. 1.4. ВАРИАЦИОННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ В НАПРЯЖЕНИЯХ В соответствии с изложенным в разд. 1.1 истинное ноле напряжений выделяется из статически возможных путем удовлетворения уравнений неразрывности деформаций. Анало- ыми этих уравнений при энергетической постановке являются нириациоиные принципы, вводимые на основании понятия до- полнительной энергии. 1.4.1. Дополнительная потенциальная энергия Введем по аналогии с (1.19) понятие дополнительной потенциальной энергии деформации jJjiFdxdj/dz, (1.41) V причем приращение удельной дополнительной энергии 61^ будем связывать с приращениями напряжений аналогично (1.20) «117 = е, 6сх + 8„ CCj + е. 8а, 4- Тед + ВвГад + Тивт^ + Т^бт^. (1.42) Подставляя функции деформации согласно закону Гука (1.13) и интегрируя, получим № = ЁЁ+ а‘ч + ~ 2,1 + ’А + Oi/°J + + ~^-(Тед + т«+ У + «<(0,4-0;, +а,)... (1.43) Дифференцирование (1.43) по компонентам напряжений дает фор- мулы Кастильяно свидетельствующие о том, что дополнительная удельная потен- циальная энергия является потенциалом упругих деформаций. 23
Рис. 1.5. Удельная потенци- альная энергия деформации линейно-упругого (а) и не- линейно-упругого (б) тела при одноосном растяжении Для того чтобы выя- вить соотношение меж- ду удельной потенци- альной энергией W, -* введенной в разд. 1.2, и дополнительной энер- гией W, рассмотрим одноосное растяжение стержня вдоль его оси х при отсутствии температурного воздействия. В этом слу- чае все компоненты напряжений, за исключением сгх, обращаются в_нуль и согласно равенствам (1.20), (1.42) имеем 6W = oxtext = ехбох. Из закона Гука (1.13) имеем сгх = £ех, т. е. 8х Ех W~(axte. = E§ е.68, = ^-=5^, 0 (I о, о (1--15) W = J 8. 6аж = -1- f ах 6сх = £ = . о о Таким образом, прн отсутствии_температурного воздействия для лннейно-упругого тела W — W. Из геометрического смысла интегралов (1.45) следует, что W7 и W в рассматриваемом случае представляют собой площади треугольников, показанных на рис. 1.5, с. Для нелинейно упругого материала W и ~W не сов- падают (рис. 1.5, б). 1.4,2. Вариационный принцип Кастильяно Введем теперь по аналогии с (1.24) выражение для полной энергии Э=и~ Д (1.46) где U определяется равенством (1.41). Основной закон, позволя- ющий строить решение задачи в напряжениях, сформулирован Кастильяно в виде следующего принципа: из всех статически воз- можных систем напряжений в действительности в упругой си- стеме возникают лишь те, которые сообщают стационарное (минимальное) значение полной энергии, записанной через допол- нительную потенциальную энергию (1.46). Поскольку полная 24
•шргля (1.46) есть функционал, то условием стационарности г. и янляется обращение в нуль первой вариации 65 = 0. (1.47) I Ihiiomhhm, что статически возможными называются системы напря- жений, удовлетворяющие уравнениям равновесия (1.9) и условиям 1Ы поверхности (1.8). Будем считать также, что напряжения свя- iiitiibi с деформациями законом Гука. Тогда для решения задачи и напряжениях необходимо удовлетворить уравнения совместности деформаций (1.5). Покажем, что эти уравнения вытекают из прин- ципа Кастнльяно. Из равенств (1.46) и (1.47) имеем 6Э = бО —6Л. (1.48) Внося сюда 6(7 согласно (1.41), (1.42) и определяя 6Л, варьируя напряжения в (1.26), получим Ьн (>+&+*)++>++у)+ I JJ 1“6 (xv - aj - i,vm — wi) + (У, — t.J — аут — гип) + + шб (zv - x„l — х„т — агп)] ds + JJJ [ - ех) во, + +(€ ~ 4 6а»+(-^ -4 6ст‘+(!+£ + + (1г+4г—?»)бт»+(4г+4i7 ~ *»•) -°- (1.49) Отметим, что объемные силы X, Y, Z, входящие в уравнения равновесия (1.9) и в первый интеграл (1.49), являются заданными п, следовательно, их вариации равны нулю. Что касается по- верхностных сил Хх. Yv, Zy,t то статические возможные системы напряжений не обязательно должны сводиться на поверхности тела к заданным нагрузкам и можно ввести их вариации, например 6XV = 6ох/ + ^хуШ 4“ бт^г?.. Тогда поверхностный интеграл в (1.49) исчезает. Для того чтобы входящие в (1.49) компоненты напряжений были статически возможными, введем в рассмотре- 25
(1.50) — e« 4-^+ — - ' к 02 dX \* &/ В!/Лг~-^.+ ъ--. ние шесть функций напряжений <р„ связанных с компонентами напряжении следующими зависимостями: °* ду’ +^ — 21^-]Xdx’ а = ^Ф' 1 ^Ф» 9 Уфа Г . " дх’ дг’ 2 дх дх ~ J Y ЛУ' <т — ^Ф» । Уфа 9 Уфа Г , , Ol ~ ~ 2 ~ J z » „ =___?2s_ . .Уф« । Уф, _ уф. Вхду BxBz ' ду dz Вг’ ’ . -Уф» I аФ, Уф, , Уф, BxBz дхду ду’ dydz 1 г„2 = --Уфа___ Уф. I Уф, , Уф, " ByBz дх’ -Г дхду "Г ~ВхдГ- Непосредственной подстановкой (1.50) в первый интеграл (1 49) можно убедиться, что он обращается в нуль благодаря тому что введенное выражение для напряжений тождественно удовлётво- ряет уравнения равновесия (1.9). «™г«. + /*L_e'(я/^Ф1_ , Уф, 9 Уф, \ , + М6 (,тгг+ ~м-~2-д^) + Л 6 (-^Si. + -?Ф’- — 2 уФ« \ I ) йу” + дх’ 2 Вхду ) + + + \я/ Уф, уф, уф, у,,, 4* дх а^+-Хй-+^*--а7-) + у.Л 6 Г— _|_ _ уф» , уф, \ , / к дхдг + дхду ду’ + дудг ) + + "&)] dxdydz^O. (1 51) ваРьиР°вании Функций напряжений, заданных интегРалы- содержащие объемные Сили, ис- чезают, так как последние не варьируются. для "° ЧаСТЯМ’ НаПРЙМер’ Ш(^~8”)6^L xdydz = ” f J [( a?~8») 8 ~ — «Ф»("ST —dxdi + + JJ.f ( a7 ’ B') dA'^ dz- Of мстим, что согласно (1.50) функции напряжений выражаются • грез вторые производные от функций напряжений. Значения их первых производных и самих функций <pf на границе тела несу- ш* ствеины и могут быть приняты равными нулю. Таким образом, поверхностный интеграл может быть отброшен и равенство (1.51) принимает вид J J J [ Ui/< +^~’aFa77<,<P1+ ----7ife~}8<i2 + I / Уе» I fir„ I (В2Ухг , Утхс Ууи о У<ЬЛ .. , ' \ dz’ дх’ Вхду/ °is + ^йха»- ' дх dz дх’ 2дудг)°^' . / , УУи Уу«» о Ус, \ Srr. , ' \ дудг ' дхду ду2 дхбг / + + — -ТГ- — 2 frpAdxdydz^O. 1 \ дхдг 1 dydz dz2 дхду / В силу произвольности вариации функций напряжений отсюда вытекают уравнения совместимости деформаций (1.5). Таким обра- шм доказано, что уравнение (1.48) при удовлетворении уравнений равновесия эквивалентно уравнениям совместимости деформаций, т. е. принцип Кастильяно является энергетическим аналогом метода решения задачи теории упругости в напряжениях. Для аналитической записи принципа Кастильяно восполь- «уемся соотношением (1.49). Применяя к первому интегралу фор- мулу Остроградского и учитывая, что 6Х = 6У = 6Z ~ 0, окончательно получим ffj Мп* + ербо^ 4- e26oz + Кубт^-f. dxdydz — — JJ (ubXv -j- o6Kv 4- ^6ZV) ds = 0. (1.52) Согласно равенствам (1.41) и (1.42) первый ийтеграл представ- ляет собой вариацию 61/, а второй — работу вариаций поверх- ностных нагрузок. 1.4.3. Принцип наименьшей работы На практике обычно используется частная форма за- писи принципа Кастильяно, называемая принципом наимень- шей работы или принципом минимума дополнительной потенци- пльной энергии. Предположим, что сравниваются не все стати- чески возможные системы напряжений, а те из них, которые сво- дятся на поверхности тела к заданным нагрузкам Xv, Yv, Zv. Тогда 6XV = оУу — bZv = 0 и из (1.52) с учетом (1.41) и (1.42) получим 6t7 = O. (1.53) 11олученный результат н является принципом наименьшей работы и формулируется следующим образом: из всех статически воз- 27
моотных систем напряжений, сводящихся на поверхности тел к заданным нагрузкам, в действительности в упругой систц возникают лишь те, которые сообщают экстремальное (минимал, ное) значение дополнительной потенциальной энергии. Для реализации принципа наименьшей работы необходим записать условие минимума дополнительной потенциальной эне[ гин, выраженной через напряжения. Согласно ралснствам <1.41 и (1.43) получим и=Ш щ(а*++°* ~2р- <6«а»+а‘°‘+a>a‘)i+ "4* g.- (т*, 4- + t.z) -f- at (а. п, v»)) dx dydz. (1.54 Здесь входящие функции напряжений должны удовлетвори! уравнениям равновесия и статическим граничным условиям Минимизация функционала (1.54) методами вариационного исчн слення приводит к системе уравнений, которые являются уравне ииями совместимости деформаций, записанными через напряже ния. 1.4.4. Теорема Кастильяно Будем рассматривать произвольную деформируемук систему, находящуюся под внешним воздействием, напряженно« состояние которой определено и требуется найти смещение не- которой точки k по направлению, заданному направляющими косинусами lh, mh, nh. Для решения задачи приложим в точке k неизвестную силу Ph по направлению искомого перемещения. Тогда, относя рассматриваемую систему к декартовой системе координат х, у, г, запишем составляющие силы действую- щие по осям = Py = Phmk, Pz~Phnh. (1.55) Вычисляя работу сил (1.55) на перемещениях uh, vh, имеющих место в точке k, получим А = PblbUb + PhmhVb + Phnhwh = Pt (uhlh -|- vkmk + nkwh). Записанное в скобках выражение представляет собой интересу- ющее нас перемещение fh, т. е. A^Pbh. Выражение для вариации работы сил будет равно вД=Дв/>». (1.56) Дополнительная потенциальная энергия в рассматриваемом слу- чае будет функцией приложенной силы Ph и, следовательно, ее вариация примет вид: (1.57) 28
йюльзуя принцип Кастильяно в форме (1.48) прн 6U н 6Д, Определенными формулами (1.57), (1.56), получим равенство второе в силу произвольности вариации 6Pft дает /» = <• (1.58) f limy ценное равенство формулируется в виде теоремы Кастильяно; битная производная от дополнительной потенциальной энергии Hi обобщенной, силе равна перемещению по направлению этой силы (проекции полного перемещения на направление силы). Под обоб- щенной силой здесь понимается сила или момент. В последнем Случае будет представлять собой соответствующий угол пово- рота. 1.4.5. Примеры Проиллюстрируем изложенный выше принцип наи- меньшей работы и теорему Кастильяно на двух примерах. Рассмотрим стержневую систему, показанную на рис. 1.6, а. Методы расчета стержневых систем будут изложены в гл. 2, од- нако рассматриваемая простая задача может быть решена и без их привлечения. При действии силы Р в стержнях возникают нормальные напряжения, которые распределены равномерно по »счению и длине стержней н обычно заменяются усилиями в стерж- нях = CtF (F — площадь сечеиия, которая считается одина- ковой для всех стержней так же, как н модуль упругости мате- риала Е). В силу симметрии усилия в стержнях 1 ... 4 и 3 ... 4 будут одинаковыми, т. е. усилия и (рис. Вырежем узел 4 и составим сумму про- екций всех сил на иертикальную ось: 2/V1cosa-j-’ /V2—/э=0. Определяя отсюда усилие Nlt получим ДГ2 = Р — 2/Vx cos со. (1.59) Рассматриваемая си- стема является один раз статически не- для решения задачи необходимо найти 1.6, б). Рис. 1.6. Статически неопределимая стержневая система определимой. Для определения усилий 29
необходимо записать условие совместности деформации стержней, которое следует непосредственно из рис. 1.6, а и имеют вид Д/i = Д12 cos сс. Согласно закону Гука = ЕЕе.1г N2 = EFe2, где = Д/j//, е8 — Д/2// cos а, т. е. окончательно получим уравнение совместимости деформаций в виде = •й'cos® а. (1.60) сг £г ' ' Решение уравнений (1.59) и (1.60) дает р cos2 а Р г 14-2cossa’ ~ l-|-2cos8a’ Смещение точки 4 по вертикали, очевидно, равно удлинению стер- жня 2 ... 4, т. е. <L62> Применим теперь для решения этой задачи принцип наименьшей работы. В соответствии с изложенным выше дополнительная потен- циальная энергия стержня (1.54) имеет вид о-63) и для рассматриваемой системы z7=2^/+^‘zcos“- (I-64) Согласно принципу наименьшей работы из всех статически воз- можных систем усилий, сводящихся в узле 4 к силе Р, т. е. удов- летворяющих уравнению (1.59), действительные усилия сообщают U минимальное значение. Исключая из (1.64) усилие /У2 с по- мощью (1.59) ТТ О ЛГ?/ . (Р —SACCOS а)8 . с U ~ 2EF + 2EF COS а’ записывая условие минимума функции ЗС/ 2Njl , г\ пит \ 2/ cos2 сс »• = ----(Р —2AT,cosct)—gg— = 0 (1.65) и преобразуя (1.65) с учетом (1.59), получим -gr--grc°s2a = 0, т. е. условие совместимости деформаций (1.60). I Последняя операция понадобилась только для истолкования равенства (1.65), из которого сразу можно найти величину уси- | лия Nlt совпадающее с решением (1.61). 80 [’«• I 7. Изгиб консольной балки I l.i идем перемещение уз- f I If f f ,f_ у в / г помощью теоремы z h । hiльяно. С этой целью г*'"" запишем U как функцию силы Pt действующей в этом узле. Подставляя значение усилия (1.61) в выражение (1.64), получим уг РЧ cos а U ~~ 2£F(I 4-2cossa) ’ 1>1сюда согласно теореме Кастильяио # dU Pl cos а h=s дР ~ £F(1-| 2cos»a) ’ что совпадает с (1.62). Рассмотрим пример определения прогиба на конце консоль- Пой балки постоянной жесткости EI, загруженной равномерной поперечной нагрузкой (рнс. 1.7). Поскольку в месте искомого прогиба внешней силы Р нет, приложим ее дополнительно. Тогда «вгибающий момент в произвольном сечении х от заданной на- «рузки q и введенной силы Р будет М = |(Z-x)’-|-P(/-x) (1.66) и нормальные напряжения выразятся в соответствии с теорией изгиба балок формулой о. = --£». (1.67) Здесь I — момент инерции сечения: у — центральная главная ось инерции сечения. Согласно (1.54) дополнительная потенциальная энергия имеет вид 17= Jdxj-g-dF. (1.68) О F Тогда напряжения и изгибающий момент в соответствии с (1.67), (1.66) и=I -h [4 • <1 - +р v - ?;)Г -к Iyi dF- О F Производя интегрирование, найдем 77____1 РУ I С 2EI \ 20 ф 4 3 /’ И, наконец, используя теорему Кастнльяио, получим f _ ргр I — дР ~ SEI + 3£/ • 31
Полученное значение прогиба соответствует задаче, когда балк кроме распределенной нагрузки на свободном конце нагружен силой Рх, а поскольку в исходной задаче ее нет, то следует поло жить Р равным нулю. В результате прогиб будет равен •k SEI ' 1.5. СМЕШАННЫЙ ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП Выше были рассмотрены принципы возможных г зме нений деформированного состояния (принцип Лагранжа) и воз можных изменений напряженного состояния (принципы Кастила яно и наименьшей работы), позволяющие построить энергетик ским методом соответственно статические соотношения и уравне ния совместности деформаций. Можно построить также фуикцк онал, из которого будут вытекать физические соотношения для упругого тела. Для этого используем принцип наименьшей работы (1.53) Ввиду того, что этот принцип требует, чтобы варьируемые напря- жения удовлетворяли уравнениям равновесия (1.9) и статически» граничным условиям (1.8), воспользуемся известным из вариаци онного исчисления методом множителей Лагранжа и запишЗ расширенный функционал ^+ППи(^+->+^+х)+ +”(^+>+^+п+ +ч^+^+^+2)]«г+ + —Oj —ттат — WJ)+o(0v — — „т— „) + 4-®М — w — тугт — c.n)Jds. (J.69) Здесь U определяется равенством (1.64 , а и, v и w — мн жители Лагранжа. Из дальнейшего будет видно, что эти множители являются перемещениями, что и учтено в обозначениях. Согласно принципу наименьшей работы 6F = 0. Отметим, что при этом можно варьировать как множители Лагранжа (т. е. перемещения), I так и напряжения, в связи с чем излагаемый вариационный прин- цип и назван смешанным. При варьировании v и w из функци-1 онала (1.69) вытекают уравнения связей, т. е. уравнения рав- новесия и статические граничные условия. Осуществим варьирование по функциям напряжений, причем следует иметь в виду, что внешние нагрузки являются заданными, т. е. их вариации равны нулю, а вариации функций напряжений можно считать взаимно независимыми, т. е. соотношения, свя- зывающие функции напряжений, уже учтены в функционале ЭЙ
।1 69) Проводя операцию варьирования функций напряжений . преобразуя объемный интеграл в (1.69) с помощью формулы I '• гроградского, окончательно получим 65 '= Ш |7Г 1с*бс* + + °’Еа' ’ 11 <с«6п» + + + о«6о. + с/сгж । Ojficr, + о.Зср)! 4- + -J- (-ГчДгд, ! т„6г« + Tw6i„) а! (6а, ( 8^ - cj — (ди * . ди р . ди s . So л , dv х dv g. “ (! а76т‘,,+ -•+а78 «+дГ5о»+д76т"г + + зг<4.+ « + -^-6ог« } - Нейду того, что вариации напряжений произвольны и независимы, ч-ле дует 0й 1 , . , . ди . dv ххУ аГ = -Ё-(‘'.-На„-ра,) + о/, —+ —=,-^1, dv 1 . , , , ди „ дш хХг dj — ~Ё (av - 1*аг — dw I# _ > . < dv . dw xuz •^-=-jr (о. — ро» — p®,) + “*. ^- + i7=-f-- Сопоставляя эти равенства с (1.3) и (1.13), можно заключить, что они являются обобщенным законом Гука (1.13), в котором функ- ции деформаций выражены через перемещения с помощью соот- ношений Коши (1.3). Очевиден также физический смысл множи- телей Лагранжа и, vt w — они являются перемещениями по осям х, у, г. Таким образом» можно заключить, что равенство 6F — О является аналитической интерпретацией смешанного вариаци- онного принципа, являющегося вариантом принципа Рейсснера» из которого вытекают соотношения упругости. В заключение сделаем некоторые общие замечания относительно рассмотренных выше вариационных принципов. Из изложенного следует, что эти принципы позволяют по существу построить функ- ционалы, из которых методами вариационного исчисления могут быть получены те или иные группы уравнений теории упругости. Поскольку эта уравнения были выведены в разд. 1.1, непосред- ственно может сложиться впечатление о том, что роль вариаци- онных принципов ие столь велика.. Однако это далеко не так. Отметим прежде всего, что при расчете сложных, состоящих из большого числа взаимодействующих элементов конструкций не- посредственный вывод основных уравнений является часто за- дачей двлеко не элементарной — при проектировании силовых факторов и записи геометрических связей ои часто требует до- статочно сложных пространственных построений, что может 2 И. Ф. Образцов и др- 33
явиться причиной ошибок. В то же время потенциальная энергия, являющаяся суммой энергий отдельных элементов, как правило! записывается достаточно просто, а последующие формальный операции минимизации функционала практически гарантируют! от ошибок. Кроме того, введение в функционал системы гипотез, которые всегда принимают при расчете конструкций, позволяет получить корректную систему уравнений и, что не менее важно, естествен- ные граничные условия, число и точность которых соответствую! порядку и степени точности вариационных уравнений. Отметим; что неудачные или физически необусловленные гипотезы аппарат минимизации функционала перерабатывает, естественно, так же,- как удачные, поэтому, осуществляя формальные операции, не следует упускать из виду их физическое содержание. И, наконец, одна из основных возможностей, которую от- крывает использование вариационных принципов, связана с псь строением так называемых прямых методов получения прибли- женных решений, когда интегрирование основной системы урав- нений заменяется приближенной минимизацией функционала. Эти методы будут изложены в следующем разделе. 1.6. ПРИКЛАДНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ Полученная в разд. L1 основная система уравнений теории упругости более высокого порядка и содержания уравне- ния в частных производных, как правило, не позволяет получить точное решение даже для сравнительно простых и идеализирован- ных расчетных моделей реальных конструкций. В связи с этим иа практике широкое распространение получили приближенные методы решения, изложению которых посвящен настоящий раз- дел. Эти методы можно условно разделить на три класса — кон- тинуальные, дискретиые и дискретно-континуальные. К конти- нуальным будем относить методы, согласно которым рассчиты- ваемая система рассматривается как сплошная среда (коити- ииум), причем описывающие ее поведение функции, например перемещения, аппроксимируются гладкими функциями коор- динат. Дискретные методы, интенсивное развитие которых в по- следние годы связано с совершенствованием вычислительной тех- ники, основаны на замене задачи об определении непрерывных искомых функций задачей о приближенном отыскании значений этих функций в конечном числе точек рассчитываемой конструк- ции. И, наконец, дискретно-континуальные методы совмещают дискретное описание искомых функций по одной координате с построением непрерывного решения по другой. Рассмотрим далее некоторые наиболее распространенные методы приближенного решения задач строительной меха- ники. 34
1.6.1. Метод Ритца—Тимошенко Метод, предложенный В. Ритцем и распространенный L 11, Тимошенко на задачи строительной механики, позволяет ihMiучить приближенное (а в отдельных случаях и точное) решение и перемещениях иа основе вариационного принципа Лагранжа, сложенного в разд. 1.3. Идею метода, который относится к классу шшгииуальных, поясним иа примере решения пространственной 1ЯЛЛЧИ теории упругости. Для построения приближенного решения три перемещения и, V, w представим в виде следующих рядов: и = £ AtUt (х, у, г), v = г), (1.70) £С<ЙМ*. У- *)• i II (1.70) функции Uit Vlt называются аппроксимирующими и ныбираются заранее. Внося (1.70) в выражение полной энергии (1.30) и выполняя интегрирование, получим 3 = 3 (Alt Л8 ... AtBtB9 ... Blt С», С8 ... С^. Поскольку полная энергия превратилась таким образом в функ- цию от коэффициентов, то условие минимума ее, следующее из принципа Лагранжа, будет реализоваться обращением в нуль И<<*х производных от полной энергии по коэффициентам рядов (1.70), т. е. разрешающая система уравнений будет иметь вид: ^-=0. •#-=-(). > = 0. (1.71) оА$ 0о$ ОС, Поскольку полная энергия есть квадратичная функция от пере- мещений, то уравнения (1.71) будут представлять собой систему линейных алгебраических уравнений, причем количество этих уравнений всегда будет равно количеству членов (коэффициентов), вводимых в рядах (1.70) и, следовательно, система (1.71) будет полной относительно определяемых коэффициентов. Найдя в ре- зультате решения этой системы коэффициенты Ait В(, Ct, можно долее по формуле (1.70) определить перемещения, а затем дефор- мации и напряжения, т. е. получить полное решение задачи. Таким образом, основная идея метода, кардинально упро- щающая решение и, естественно, определяющая его приближен- ный характер, связана с тем, что искомые перемещения отыски- ваются в классе заранее заданных функций, которые выбираются из основе опыта, интуитивно или на основе решений более простых вадач. В результате минимизации полной энергии отыскивается распределение перемещений, наиболее близкое к истинному в энер- кчичбском смысле, а в' некоторых случаях может быть найдено 2* 35
kyv и истинное голе перемещений' | / если оно содержится в заданном III II II 1 1 Т_. 1.1 классе функций. Отметим, что Лг ; х на аппроксимирующие функции ______1__________:,у должны быть наложены опре- деленные ограничения. Как сле- Рис. 1.8. Изгнб^шарнирно опертой дует нз 30^ они должнь а к быть дифференцируемыми и по- скольку принцип Лагранжа предусматривает сравнение кинематически возможных систем перемещений — удовлетворять геометрическим граничным усло- виям. При этом возникает и чнето математический вопрос о пра- вомочности представления искомых функций в виде рядов, свя- занных с полной системы аппроксимирующих функций и схо- димостью процесса при увеличении числа членов в рядах к точному решению. При практических расчетах эти вопросы под- нимаются редко и в лучшем случае подменяются сравнением результатов при увеличении числа аппроксимирующих функций. В качестве примера рассмотрим изгиб шарнирно опертой балки постоянной жесткости Е1 под действием равномерно рас- пределенной нагрузки q (рис. 1.8). Геометрические граничные условия в этой задаче имеют следующий вид: при х = 0 и х = I и — 0. Чтобы удовлетворить им, выберем аппроксимирую- щие функции в виде синусоид с целым числом полуволн п: (J-72) п Полная энергия изгибаемой балки определяется равенством (1.33) при «о — 0, т. е. з=1 Внося выражение (1.72) и интегрируя, получим W У Ап 31 п п=1. 3, 5 Система уравнений (1.71) принимает вид , — Е1пл д а tyl л / 13 5 \ Мп ~ 2Р АпП т ~и («—*. 3, 6...). Отсюда Ап — (4?/4)/(Е7ябпЕ) для нечетных п (для четных Ап = О). Таким образом, прогиб определяется равенством п=1. 3. 5.,. 36
|1н анализа сходимости ряда (1.73) рассмотрим прогиб балки t ре днем сечеиии. Внося в (1.73) значение х —- //2, получим '"и юдя видно, что ряд быстро сходится, его второй член состав- лю г лишь 0,41 % от первого. Здесь полезно отметить, что схо- । |N<iCTb построенного ряда падает при его дифференцировании. |,.к, например, нормальное напряжение будет определяться р«ч вторую производную от прогиба, для которой ряд будет К*ть следующий вид: „ 4оР / 1 ппх \ v L 0?sul~r-)- л==1. 3. 5 4iG для среднего сечения дает = _L + _!_____\ и Е1я3 \ З3 53 / 1д«сь второй член составляет уже 3,7 % от первого. 1.6.2. Метод Бубнова—Галеркина Приближенный метод решения задачи путем сведения к системе линейных алгебраических уравнений, основанный ил принципе возможных перемещений, был построен И. Г. Бубно- иым н весьма широко использовался при. решении различных чпдач строительной механики Б. Г. Галеркиным. В рамках этого м<*года перемещения по-прежнему задаются в форме (1-70), и поскольку аппроксимирующие функции должны удовлетворять неметрическим граничным условиям и быть непрерывны внутри ибласти, занятой материалом конструкции, оии являются возмож- ными формами перемещений и могут быть использованы для за- писи возможной работы всех сил. В рамках трехмерной задачи, используя уравнения (1.29), применяя в них си = Uit &v = — Wi и в силу произвольности функций перемещений Uit Vj, Wi приравнивая нулю возможную работу на каждом из этих перемещений, получим Ш(>+^+^+х)и‘^г+ + J J (X, — cj. — — Тх.п) и, ds = О, (1.74) + j J Yv — — чут — V, ds = 0, JJJ(^+> + -^ + Z)B7‘W’ + 4- j J (Zv — ч;хг1 — ryzm — azn) Wtds = 0. 37
I I I I I I I I I I I I I I I I В уравнениях (1.74), естественно, понимается, что функции на пряжений в соответствии с законом Гука и формулами Копп заменяются функциями перемещений, которые и представляются рядами (1.70). Представленный уравнениями (1.74) метод решения обычно называют обобщенным методом Бубнова—Галеркина, в рамках которого на аппроксимирующие функции наклады- вается требование удовлетворения геометрическим граничны» условиям. Если же при выборе аппроксимирующих функций потребовать^ чтобы онн удовлетворяли кроме геометрических также и стати- ческим граничным условиям, то интегралы по поверхности об- ратятся в нуль и уравнения (1.74) превратятся в следующие: Ш(^+^+^+*)^-м^=о. jU(^+->+-^+5'),/“brd»*=0- “-78) Ш О+^+4г +z) dxd»d’=°- Метод решения задач, основанный на уравнении (1.75), называют методом Бубнова—Галеркина. Поясним все изложенное выше примером расчета балки, представленной иа рис. 1.8. Геометри- ческие и статические граничные условия в этой задаче следующие: прн х==0 и х = 1 р==0, М = —EZv"=0. При задании прогиба v в форме (1.72) каждая из аппроксимирующих функций будет удовлетворять геометрическим и статическим граничным условиям при целочисленных значениях параметра п. Записывая «возможную» работу сил, когда уравнение равно- весия представляется уравнением изогнутой оси балки (1.37) EIvw — q, получим j(£7u>v - ф) sin dx = 0. о Внося сюда и согласно (1.72) и выполняя интегрирование, на- пишем АпЕ! 4—^=0. Откуда Д„ — (4ql‘yl(EIp?ns} и функция v определяется так же, как и при расчете методом Ритца—Тимошенко, рядом (1.72). Сделаем одно замечание, общее для обоих рассмотренных ме- тодов. Процедуру выбора аппроксимирующих функций в рядах (1.70) можно упростить, если учесть, что между функциями Utl Vt и Wi для каждого конкретного номера I имеется определенное статическое соответствие, следующее из уравнений равновесия, записанных в функциях перемещений. Указанного статического соответствия, очевидно, можно всегда достичь, если выразить
!•••' «тенты перемещений через одну функцию путем удовлетво- Оичи части уравнений равновесия* Рассмотрим, например, урав- Кип! Ламе (1.15), предполагая, что температурное воздействие ^иЬычмные силы отсутствуют, т. е. t — 0 и X — Y = <2 ~5 0. Надем разрешающую функцию <р по формулам Mss=_^|L су =— 2 (1 — ji) V3^. (1.76) дкдх 1 дудя ’ дгг \ т у / П< управляя (1.76) в (1.15), можно убедиться в том, что первые |и»> уравнения удовлетворяются тождественно, а третье приии- Мет вид VM<p « 0. Если теперь задать функцию <р в виде р!ДИ <Р = S t согласно (1.70) и (1.76), получим и = S ла» и = Е ла» Б i t i = ^=^"20-1*)^,. I ]рн этом функции должны быть выбраны так, чтобы компоненты pi. Vf, W( обязательно удовлетворяли заданным в задаче гео- штрическим граничным условиям, что же касается коэффициен- тов Ль то оии могут определяться и в соответствии с методом Pin ца—Тимошенко или в соответствии с методом Бубнова—Га- дсркииа. 1.6.3. Метод Власова—Канторовича Этот метод был сформулирован в одни и те же годы Н 3. Власовым применительно к построению приближенного рпсчета тонкостенных пространственных систем и Л. В. Канто- ривичем применительно к расчет)' изгибаемой пластинки. В от- личие от изложенных выше двух методов, согласно которым за- днча сводится к системе алгебраических уравнений, рассматри- ваемый метод позволяет свести ее к системе обыкновенных диф- ференциальных уравнений. Трудоемкость расчета при этом воз- растает, однако, как правило, увеличивается и точность. Согласно методу Власова—Канторовича, который применяется обычно для решения двумерных задач, неизвестные перемещения (одно нли два) задаются в виде суммы произведений двух функций, одно in семейств которых зависит только от одной координаты и вы- бирается, а второе, зависящее от второй координаты, определяется и результате расчета; /в =Е fin (^)ф|ш(|/)- (1.77) 39
Пусть каждая из компонент перемещений /п (в конкретных за- дачах это будет «, р, йу) представляется рядом (1.77), в котором функции <₽|„ выбираются. Тогда полная энергия Э (1.30) пра вратцтся в следующий функционал: 3= Jf (х, /(,„ fjjdx. Минимум этого функционала в соответствии с принципом JTaj гранжа будет реализовываться уравнениями Эйлера—Лагранжа + 2. 3). О-78) а естественные граничные условия определяют обобщенные ста- тнческие граничные условия. Уравнения (1.78) будут представлять собой систему обыкно- венных линейных дифференциальных уравнений (второго илг четвертого порядка). Таким образом, представление перемещений в форме (1.77) сводит задачу, описываемую уравнениями в част ных производных, к системе обыкновенных дифференциальные уравнений. В связи с этим метод Власова—-Канторовича част< называют методом приведения к обыкновенным днфференциаль ным уравнениям. Следует заметить, что аппроксимирующие функции <pin npi расчете косоугольных н скошенных систем оказываются фуик цнями от двух координат. Рассматриваемую процедуру расчет; можно распространить и на трехмерную задачу, которую можн! свести к системе двумерных уравнений, если аппроксимирующи! функции будут выбираться одномерными, или к системе обык новениых уравнений, если аппроксимирующие функции буду выбираться двумерными. 1.6Л. Метод Папковича—Треффца Выше были рассмотрены приближенные метода р вня задачи в перемещениях. Аналогичным образом может < построен континуальный метод решения задачи в напряжен Компоненты напряжений при этом представляются в виде р с неизвестными постоянными коэффициентами, которые onj ляются иа основании принципа наименьшей работы. Поско, при этом необходимо, чтобы компоненты напряжений были тически возможными, аппроксимирующие функции выбира в виде частных интегралов уравнений равновесия, удовлеп ющнх условиям на поверхности. Уравнения равновесия мс удовлетворить путем введения функций напряжений, пр для удовлетворения трех уравнений равновесия (в общем 40
(Цр трехмерной задачи) достаточно ввести три функции напряжений К следующим формулам: <’»“>+>-R'fc- dx dz J (1.79) T — д**Ра ~ дудг ’ Непосредственной подстановкой напряжений (1.79) в уравнения । шповесия (1.9) можно убедить в том, что эти уравнения удов- |г|воряются тождественно при произвольных функциях (ь = I 2, 3). | Для удовлетворения статических граничных условий введем ппнряжения сг£, ..., т£2 так, чтобы на поверхности тела выпол- нились равенства Xv = (М ^xytn + Т?хгП, Yv = Xxyl 4- tn 4- xj2n, Zv = rtzi + *lzm 4- <$n, Hu- Xv, Yv, Zv — заданные поверхностные нагрузки. Ввиду того, »но напряжения ог£ ... т^ могут ие удовлетворять уравнениям I шновесия (1.9) внутри тела, компенсируем их введение приве- чгкпыми объемными силами, т. е. да$. дт° у ____ х ху __ xz “Г* дх ду дх 5 у_______ вр дх ду дг * 7 <*г Л"Р ~ дх ду дх ' В формулах (1.79) при этом следует считать, что объемные гплы состоят из заданных внешних нагрузок Хт1, ^вк, ZBn и приведенных, т. е. X = Хвп 4“ ХПр, У —з Уви -|- Упр» Z — Zsn 4“ Z^ Представим теперь функции напряжений в виде следующих рядов: ф< = Е (*. v, z). 41
При этом напряжения будут иметь вид ‘ I ........ .. : aj / В равенствах (1.80) AfJ — неизвестные коэффициенты, а фу] ции фу» как следует из изложенного выше, должны быть выбра: так, чтобы напряжения, определяемые ими в соответствии с j венствами (1.79) (без интегральных членов), на поверхнос тела обращались в нуль. Тогда, как не трудно проверить, напр: жения (1.80) будут тождественно удовлетворять уравнениям ра новесия (1.9) и статическим граничным условиям (1.8). Коэфф; циенты Aij согласно принципу наименьшей работы определяют^ из условия минимума дополнительной потенциальной энергий (1.54), т. е. = ° «=«.2.3; J-=1.2...). В результате получим полную систему линейных алгебраически: уравнений относительно Ац. Приближенное решение задачи в напряжениях может быт; построено и методом приведения к обыкновенным дифферент® альным уравнениям, аналогичным рассмотренному выше метод} Власова—Канторовича. При этом функции напряжений задаются рядами, каждый член которых является произведением двух функ- ций, т. е. 4>г - Е <РчФ«- (1 -81) Пусть в (1.81) — искомые функции, а ф{/ — аппроксими-1 рующие функции, выбираемые заранее так, чтобы напряжения на поверхности обращались в нуль. Тогда на основании прим ципа наименьшей работы из условия минимума дополнительной энергия можно записать систему дифференциальных уравнений типа Эйлера—Лагранжа—Остроградского. При этом, если ап- проксимирующие функции фу будут выбираться зависящими от двух координат, то уравнения Эйлера—Лагранжа будут обык- новенными, а если функции фу будут одномерными, то соответ- ствующие уравнения будут включать две независимые перемен- ные. t.6.5* Конечно-разностные методы Выше были рассмотрены континуальные методы, в со- ответствии с которым искомое распределение перемещений или напряжений отыскивается в виде разложений по системам вы- 42
к । немых гладких функций. Эти методы, как правило, позволяют liti.vV'xiTb приближенное аналитическое решение, однако, поль- • »нь ими, не всегда удается получить практически приемлемое I * пи-ине многих важных задач. В последние годы в связи с раз- ни пи-м вычислительной техники получили широкое распростра- ните численные методы, основанные на дискретном представлении 1>и1ччитываемой конструкции и соответствующих математических •йпиеимостеЙ. Поскольку основой ряда таких методов является конечно- рпцпостное представление операции дифференцирования, полу- чим некоторые основные конечно-разностные формулы для дву- м> 1'шлх задач. Пусть имеем некоторую дифференцируемую функцию / (х, у), ц юрая описывает геометрические или силовые факторы упругой f||i темы. Разложим функцию / (х, у) в направлении х в ряд Тей- «ри в окрестности заданной точки k, т. е. f ' Дх fdf_\ Дх* \ , Гл-i — Гл 11 < ах /л 21 к ах2 Л 31 к Л * I л.«“^+тг(-|-Х+4гт+4г^Х+ — • яг Дх — шаг сетки вдоль оси х (расстояние между точками I 1, Л, k 4- 1), который будем считать постоянным. Оставив 4 них разложениях члены до второй производиой включительно, |Д(»жением и вычитанием получим формулы для вычисления Шрвой и второй производных в центральных разностях с погреш- iHiribK) порядка Дх2 \ = 2ДГ (j g2) (W-X = д? Очевидно, такой же вид будут иметь формулы для вычисления производных в точке k в направлении оси у. Пользуясь форму- лами (1.82) и правилом умножения конечно-разностных опера- торов, можно построить соотношения для вычисления производ- ных в центральных разностях любого порядка в обыкновенных пли в частных производных. В частности, для производных, нннболее часто встречающихся в задачах строительной механики, in формулы имеют следующий вид (рис. 1.9): ("ЭТ)» = 2Д? — М: ^~ду \ = 2 Л? ~ ’ (&?")» = 2М: 43
дхду')k~ 4&хЛу (/л Т А — /< f₽)» ('axr)s = 2Axr^fi ~ % —fm + /n); ( ду* X = 2 Ду> — ~~ ft + W> О’® (&%г \ = TaTaJ»" (2f- — 2/ь — /н + А — f« + /»); (д&ду );< = 2Дх»Лу ^fc~ + fh~ Il ~ fe + IgY (-S-X = -2F № - +А» +• «; (aJasl’)* ~ Ax’ Ap“ — 2/a — 2ft> — 2fc — 2/d + I 4 fe + fg + fft+fl)- Иногда бывает удобным выражать производные через несиммет- ричные конечные разности, т. е. через разности вперед или назад, следующие, например, из приведенных выше разложений функ- ции в ряд Тейлора. Соответствующие формулы для первой произ- водной имеют вид /df\ i <L84 Как видно, эти формулы имеют точность ниже на порядок шага, чем формулы в центральных разностях при использовании та- кого же количества точек. Пользуясь формулами (1.84) и правилом умножения конечно-разностных операторов, можно вычислить и Рис. 1.9. Прямоугольная сетка иа плоскости (х, у) старшие производные (прямые или смешанные) через разности вперед или назад. Таким образом, на основании (1.83), (1.84) можно записать в ко- нечных разностях любые производ- ные функций, входящих в различные соотношения строительной механики, в частности, в дифференциальное уравнение, дифференциальные выра- жения для граничных условий или в подынтегральное выражение функ-
I • L Id. К решению задачи об из- цл Л..ДКИ конечно-разностным ме- тодом цнпиана потенциальной энер- Ц Характер использования Бвнсдснных формул зависит pi принятого метода решения В| кроткой задачи. Рассмотрим дискретный метод, основанный на численном реше- - дифференциальных уравнений (обыкновенных илн в частных I -он модных) в задачах о напряженно-деформированном состоя- нии пли устойчивости упругой системы. Решение состоит в све- |. ипи дифференциальных уравнений вместе с соответствующими । рппичными условиями к системе алгебраических уравнений. При этом, если система описывается обыкновенными дифферен- (цыльными уравнениями, соответствующий метод носит название mi 1ода конечных разностей, а если решаются уравнения в част- Mi г производных, он называется также методом сеток. В первом Купле интервал интегрирования делится на участки длиной Дх, V по втором — область, занимаемая телом, делится ортогональной Кисой на прямоугольники со сторонами Дх, Аг/ (см- рис. 1.9). Покажем применение метода конечных разностей на примере Определения прогиба балки переменного сечения, закрепленной й одном конце и свободно опертой на другом при произвольно пределенной нагрузке q (рис. 1.10). Разрешающее уравнение I* такой задаче имеет вид (1.39), т. е. М" = ~q, (1.85) 1де согласно (1.38) М = — EI (х) U". (1.86) г побьем балку на четыре участка Дх = //4 и запишем урав- нение (1.85) в точках 1, 2, 3 в конечных разностях, т. е. Мл — 2Л1! + Л12 = — qs Дх2, (1.87) — 2Л12 + Л13 = — q2 Дх2, М2 — 2Л4а + МБ = —qs Дх2. • готическому условию на свободно опертом конце балки соот- ветствует условие МБ = 0. Учитывая, что согласно (1.86) Alft = £7ft (d2v/dx2)ft, где k = А, 1, 2, 3, запишем уравнения (1.87) и конечных разностях через прогибы EIa (va — 2va 4- Vi) - 2Е/г (vA — 2Vi + va) 4- -J- EIS (Vi — 2va 4~ vs) = <7i &&> Elj (vA ~ 2vx 4- d2) — 2E12 (Vi — 2v2 + v8) + + Els (v2 — 2v3 + vB) = q2 Ax4, (1.88) ^2 (^1 — 2v2 + v3) — 2£/8 (v2 — 2jj3 -l- vB) = q3 № 45
I L Из геометрических условий при жестком защемлении имеем Од = 0, (5о/5л-)д = 0. Запишем второе условие в форме конечных разностей (vi ~~ “°- I откуда перемещение в точке, называемой «законтурной» точкой, будет va ~ vr. Если ^учесть и геометрическое условие vB ~ 'Ч,| то система (1.88) примет вид (2/д -|~ 4~ h) vi — 2 (Zj 4~ 4~ Z2o3 = g-j —g—, I -2(7,4 f-(/i4-4/a4-/3)v3-2(44-Z8)^ = 98-^-, I Zsfi — 2 (/2 4- /3) vs 4~ (Ae d_ 4/g) vs ~ 473 . | Полученные три уравнения включают три неизвестные вели- чины olt v2 и va. В частности, при / = Ia = const, q = q0 = const! имеем 7ua — 4~ fs “ “757^"“» I —to, + 6t>a - tos = , o,-to, + 5», = -^^-; », = 0,909-^-; t>,= 1,682^Д; 0> = 1,364-S^-. C<0 EIq £fo По найденному прогибу можно определить в каждом сечении из- гибающий момент, а следовательно, и напряжения. Например,] в сечении А имеем или в форме конечных разностей МА = Е!л (ив 4- V, - 2»д). В частности, при ! = IOr q ~ q0 Ма ~ 1,818^0 Дх2 == 0,114<у0£3 (точное значение ~ О,125доР). 1.6.8. Вариационно-разностный метод Метод представляет собой сочетание вариационного н конечно-разностного методов и применяется для решения как одномерных, так и даумерных задач. Согласно этому методу 46
ц< шодные искомой функции, входящие в подынтегральное выра- функционала полной энергии, записываются в форме ко» в< члых разностей, а соответствующий интеграл заменяется сум- Днлее на основании соответствующего вариационного прин-* црпл определяются значения искомой функции в узлах сетки, mt шефствующие экстремуму дискретного аналога функционала. А | и'браические уравнения, из которых определяются эти зна- ния, получаются из условий минимума, т. е. (1.89) । it- I номер узла сетки; ft — значение искомой функции в z-m , иг, I—дискретный аналог функционала полной энергии, i in как I зависит квадратично от то условия (1.89) обеспечивают шглность алгебраических уравнений. 11риведем пример построения этих уравнений для балки, пока- инюй на рис. 1.10. Запишем полную энергию изгибаемой бал- »и (1.33) (ыо = О) Э = j [T-£/(o”)s - 70] dx. (5.90) I’.- вдел им балку, как и ранее в разд. 1.6.5, на четыре части и вы- ражение (1.90) представим в виде суммы I=у, [4- Е!< <°<)2 - д*> i = Л, 1, 2, 3, В, ’ lpVi» h* vi—значения нагрузки, момента инерции и перемещения и узловых точках. Используем формулы (1.83) и запишем произ- лицине V/ в конечных разностях. При этом учтем сразу, •ни равенство нулю изгибающего момента на шарнирной опоре •Vie г vb — 0. В результате буд?м иметь I = [^- ~ 2'Jz Г v^‘ + "Ф дК (°А “ 201 + + 4~ Н----'g3 — 2е,э T — —<№ — № — чл]&х- Теперь используем условия минимума J (1.89) и получим урав- нения Е1Л К — 2ол 4- -- 2£/, (пл — 2ot + е,) + -1- (е, 2оа с,) = 71 Дх4; £4 (ол — 2с, 4 - о2) — 2£/2 (о, — 2а, + п3) 4- 4- Е1В (о2 — 2», 4- ов) = 7, Дх4; В/, (ох — 2os + t>8) — 2£/s (o2 — 2os 4- vB) = qs Ex1,
в которых нужно учесть граничные условия од = 4 = = 0. Последнее из этих условий, записанное в форме конечны! разностей, как было показано выше, дает va —• Vj_. В результате, положив для простоты Ц — Io — const, qt -J ~ q0 ~ const, будем иметь разрешающую систему уравнений 1 70,-40,4-0.= —4 с, + би, — 4о, = ; Ci Q t>, — iv, -| St>3 = с1ц Как видно, эти уравнения совпадают с аналогичными уравнениями метода конечных разностей. 1.6.7. Дифференциально-разностный метод (метод прямых) Метод применяется для решения неодномерных задачу описываемых уравнениями с частными производными. Решение при этом сводится к решению системы обыкновенных дифферен- циальных уравнений. Для этого рассматриваемое тело (пластина нли оболочка) вдоль одного из направлений разбивается на по- лосы выбранной ширины (шаг разбиения). Границы этих полос представляют собой линии (в частности, прямые), параллельные другому направлению. Если производные исходного уравнения записать по порядку разбиения в форме конечных разиостец то для другого порядка разбиения получим систему обыкновен- ных дифференциальных уравнений (т. е. уравнений вдоль линий! Граничные условия задачи в одном направлении учитываются при записи производных в форме конечных разностей, а в другом-] при решении соответствующих обыкновенных дифференциаль- ных уравнений. В качестве примера рассмотрим уравнение Пуас- сона, с которым связано решение ряда задач теории упругости и строительной механики. В частности, для задачи о перемещениях мембраны это уравнение имеет вид ' ду2-----"дг» (*•»>), где q, N — внешнее поперечное давление и внутренние нормаль- ные усилия; пу (х, у) — искомая функция прогибов. Будем счн- I тать, что прямоугольная мембрана по краям жестко закреплена (рис. 1.11). Приведем прямые у0 ~ 0, уг = —Ь/4, у2 = Ь/4, раз-И делив мембрану на четыре полосы шириной /\у = 5/4, и запишем 48
кипение (1.91) в форме конечных > пиктей в направлении оси у, т. е. 1--^г(и>1 + “,1-2«’о)=--р-: '.*7 I +»о - 2ы’О = _ _ q . — w > ,)л. + ~ 2®г) = ______q~ N * Рис. 1.11. К решению задачи о равновесии мембраны дифферен- циально-разностным методом .чшывая, что wv_±t)/2 = 0f в результате получим три уравнения • 1ремя неизвестными функциями ttJ0 (x), wt (х), tt>2 (*)- Решение «hiк уравнений должно удовлетворять граничным условиям ца. । ajz = 0. Для быстрого получения результата упростим реше- ние, проведя только одну линию у — 0, т. е. разделив мембрану «олько на две части. Тогда будем иметь (wv—4t + w«=w — 2wo) = ~-^г или с учетом Шу=±ь/2 = 9 d^w 8 _ q ~ Ь1 ®0 - N ’ и 1 которого получим решение вида .2/2 <-2/2 । qba w0 — сг sh —-—х ч- са сп —j— х + -ддр • 111 симметрии перемещений относительно оси у следует сг — 0, п из условия wx=z±ai2 = 0 са = —qtFI&N ch Окончательно подучим ch-h~x\ K’» = -8V 1-Г^Т- Ь \ ch~Г~ / 1.6.8. Метод локальных вариаций Метод локальных вариаций представляет собой числен- ную реализацию вариационного подхода к решению различных |.1дач механики. Существо решения покажем на схеме численного определения функции f (х), сообщающей минимальное значение одномерному функционалу вида j = jF(x.Af, пах а (1.92) 49
и удовлетворяющей на границах условиям /Л=а — A, f,-b — Л Разобьем отрезок {<7, Ь] на N равных частей точками Хд — й + А- Л г. где Дх = -b-jy~a- — шаг разбиения; k — 0, 1,2.......ЛА. Тот/, приближенное решение функционала (1.92) можно представит в виде N J = I F (xt, Д, ft, fl) Дх, (1.93 k-~ i I где fk, fk, fk — значения функции f (x) и ее производных в точад X ~ Хд. Если воспользоваться конечно-разностными формулами (1.83), то производные Д, f'i можно записать через значения функцщ в точках разбиения следующим образом: t* ~ 2^х ^А+1 — f*-’)» + f*+l ~~ Тогда дискретный аналог функционала (1.92) примет вид ' - £ F (**• Л- ) (1-94) Л-1 или I = I (xjt, fj,) при k =- 0, 1, 2, ДГ. Таким образом, задача определения функции / (х), минимизирующей функционал (1.92), сводится к определению чисел fht минимизирующих выраже- ние (1.94). Это решение находится методом последовательных приближений. За нулевое приближение принимается некоторый * ряд чисел Д°\ где k --= 0, 1, 2, ЛГ, который в соотвегствн! с граничными условиями должен удовлетворять требованиям fi0) = A, В. Процесс последовательных приближений осу- ществляется следующим образом. Пусть имеется п =• е прибли- жение, т. е. последовательность при А = 0, 1, 2, 3, /V, Тогда (п -|- 1) — е приближение определяется путем сравнений в каждой точке хй трех величин fp), j~ I (Х„, fP„), (1.93) fP + h), где 0 < h < Дх —шаг варьирования (шаг пробы). В каждой точке .из трех значений Дп), /£& для (п А 1)-го прибли- j жени я берется то значение, которое дает меньшую* из трех вели-1 чин (1.95). При фиксированном h приближения проводятся до тех пор, пока J, становятся (с заданной точностью) рав-| ными. После этого шаг уменьшают и проводится очередная серия 50
Цмп.лижений. Весь процесс приближений заканчивается при К и щении (с заданной точностью) значений всех /й или </, J", l* и двух последующих приближениях при достаточно малых h п At. 8.6.9. Метод коллокаций Этот метод также относится к численным, так как его йшмснение связано с сеточной аппроксимацией упругого тела. И пение задачи этим методом дает, однако, результат не в виде Ь< кратных значений искомой функции в узловых точках сетки, л и виде некоторой функции, удовлетворяющей заданному урав- |Ц тио в узловых точках сетки (точках коллокации) и граничным V< ловиям. Таким образом, метод коллокации является методом Приближенного решения дифференциального (или интегрального) W кпения и заключается в сведении этого решения к решению । in гемы алгебраических уравнений. Покажем применение метода на примере изгиба балки, пока- id иной на рис. 1.10. Для / — 10 — const требуется решить уравнение EI,v'v (х) = q (х) (1.96) (раиичными условиями « о, vK^i = v^t == 0. (1.97) I мделим балку, как и прежде, на четыре части и представим ре- шсние уравнения (1.96) в виде о(*)~ ^»»(г)*. *• 2.N- (1.98) Число членов ряда (1.98) определяется числом узловых точек, и которых должны быть удовлетворены уравнения (1.96), и чис- лом удовлетворяемых граничных условий (1.97). В данном слу- чае при трех точках коллокации и четырех граничных условиях и (1.98) будет семь членов, т. е. v (х) — а0 + йа - р + ("j”) 4“ (“) + + 42«('t) • (1-99) Подставим (1.99) в (1.96) и получим уравнение 24а4 -Ь 120ae -р + 360ae , (I ЛОО) 51
которое при xt == //4, х2 = 1/2, х3 = 3//4 дает алгебраически уравнения 24п4 + 30сь -+- 22,5п6 = q^l'-EI^ 24й4 + 60сь 4- 90а6 = q^l/EI^ (1.101 24g4 4- 90ав -г 202,5ае = q^l!Е10. Граничные условия (1.97) с учетом (1.99) дают а0 = 0, аг — 0, 4- Й1 + ^2 т ЙЗ + ^4 + й5 + Й6 — 0, с2 -г Зп3 + 6п4 -+- 10йв 4- 15йв = 0. (1.102) Из совместного решения (1.101) и (1.102) для случая равно- мерной нагрузки <?0 имеет коэффициенты п0 = и, = а6 = о, = 0, 0,= ^-, а, = — = которые после подстановки в (1.99) дают точное решение В заключение отметим, что приведенные выше методы, в осо- бенности методы конечных разностей и локальных вариаций, универсальны, но связаны с трудоемкими вычислениями. Однакс возможности их для решения сложных, в том числе нелинейных задач строительной механики, а также применение вычислитель- ных машин привете к распространению их на практике. Из других дискретных методов особенно широко применяется так называемый метод конечных элементов (МКЭ), согласно кото- рому упругая система разбивается на отдельные конструктивные элементы или фрагменты различной структуры. Решение строится на основе вариационных принципов с использованием локальной аппроксимации, заданной для каждого конечного элемента в от- дельности. Подробно этот метод изложен в гл. 7.
ГЛАВА 2 РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ 2.1. ФЕРМЕННЫЕ, РАМНЫЕ И КОМБИНИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ 2.1.1. Определения. Расчетные схемы Конструктивные элементы летательного аппарата можно < • । и к некоторым типовым расчетным моделям, одной из кото- НК является стержневая система. Приведем некоторые определения. Стержень — это тело, второго один размер (длина) значительно превосходит два Ьр -их (поперечных) размера. Геометрическое место центров тяжести поперечных сечений I•. ержня называют его осью. Ось стержня может быть прямоли- | Иной и криволинейной, а поперечное сечение постоянным или В ременным. Примерами прямолинейных и криволинейных стерж- н li, работающих на изгиб, являются балки и рамы. Ьудем рассматривать три основные группы стержневых си- гм: фермы, рамы и комбинированные системы, состоящие из I .мно-балочных и ферменных элементов. Стержни, входящие и | <ктав стержневых систем, соединяются друг с другом в узлах. Цуя реальных конструкций это соединение является упругопо- 11мигвым. Однако в расчетных схемах в одних случаях соедине- ie стержней в узле принимается шарнирным, в других — жест- ким. Стержневая система называется фермой, если можно принять, vuiu все стержни соединены между собой по концам с помощью швальных шарниров, а нагрузки приложены только к узлам. В плоской ферме в узлах предполагаются цилиндрические шар- ниры, причем ось шарнира перпендикулярна плоскости фермы, пространственной—шаровые шарниры. В связи с тем, что mi «менты в узлах при такой расчетной схеме отсутствуют, можно in «казать, что прямолинейные стержни фермы работают только пи растяжение—сжатие. Записывая уравнения равновесия для * ।ержня, показанного на рис. 2.1, получим 2Л<Х = 2Л12 = О, куда Qx — Q2 = 0 и = 0, откуда — Лг2 = N. Нормаль- ные напряжения о равномерно распределены по сечению стержня и заменяются усилием W = uF, где F — плошадь поперечного м-чения стержия. Заметим, что в реальной ферменной конструкции стержни ра- Гин-ают также на изгиб, однако изгибные напряжения незначи- |гльны и нми можно пренебречь. 53
Рмс. 2.1. к доказательству работ! У | стержней на растяжение—сжатие j .. - „ | N Модель называется рамой, еслг -*—vl_, — • у—£—з- места соединений прямолинейны 1 2\ а * или криволинейных стержней сл^ 2 дует считать жесткими. Е рамах стержни работают, главным образом, на изгиб, а такж на растяжение—сжатие. Стержни пространственной рамы могу работать и на кручение. В комбинированных системах предполагается, что узлы рам но-балочных элементов — жесткие, а ферменных — шарнирны^ при этом на рамы и балки действует произвольная нагрузка, а на фермы — лишь сосредоточенные узловые силы. При расчете стержневых систем будем предполагать, что они обладают линейностью (в силу малости перемещений уравнение равновесия составляются для недеформированной системы, а дл| материала стержней справедлив закон Гука), т. е. можно приме нять принцип независимости действия сил, который будет широко использоваться в дальнейшем. 2.1.2. Геометрическая неизменяемость системы Система, состоящая из элементов, может воспринимать нагрузку только тогда, когда при внешнем воздействии она яв- ляется геометрически неизменяемой. Изготовленная из абсолютно жесткого материала геометриИ чески неизменяемая система вообще не изменяет своей формы. I Стержни реальной системы обладают конечной жесткостью, по- этому будем называть геометрически неизменяемой систему, в ко- ( торой при нагружении изменение конфигурации происходит толыаяЦ за счет деформации материала стержней. Для того чтобы судить о геометрической неизменяемости или геометрической изменяемости системы, обычно проводят ее киие- магический анализ. Этот анализ может быть осуществлен непо4|| средственно или с помощью формул, определяющих число степе- ней свободы системы. Под числом степеней свободы W будем! I понимать число взаимно независимых движений, которое может I совершать система. Для вывода формул, определяющих IV', мыс- | ленно отделим узлы от стержней и получившееся таким образом число свободных точек (узлов) обозначим через Y. Поскольку каждый свободный узел как точка обладает на плоскости двумя, а в пространстве — тремя степенями свободы, система из У-уз- лов имеет соответственно 2У- и ЗУ-степеней свободы. Наложим далее на узлы связи в виде стержней. Поскольку стержень на плоскости н в пространстве устраняет одну степень свободы (препятствует смещению вдоль своей осн), окончатель-
Цн i'ih плоской и пространственной ферм соответственно полу- III м №пл = 2У — С, №пр-ЗУ-С, (2.1) И» С — число стержней. Для фермы, показанной на рис. 2.2, 7, С = 14, т. е. №ол = 2-7 — 14=0. Из формул (2.1) г'Н’лует, что возможны три варианта: I) если U? > 0, система подвижна, не имеет достаточного Ип.пгчества связей, т. е. является геометрически изменяемой 1м<-химизмом); *2) если № = 0, система имеет достаточное количество свя- ц п, чтобы быть геометрически неизменяемой; .1) при W < 0 в системе есть лишние связи. 11 дальнейшем будем рассматривать фермы, у которых U7 < О, । in как геометрически изменяемая система в общем случае ие ни принимает нагрузки. Отметим, что проведенный анализ спра- иг пив для ферм с опорными узлами. Фермы, нагруженные само- vp.i и повешенной системой сил и не присоединенные к опорам, внутренне геометрически неизменяемые, всегда имеют на клос- циггн три, а в пространстве шесть степеней свободы, как соответ- ппующее свободное тело. Действительно, фермы, показанные и । рис. 2.3, очевидно, воспринимают приложенные к узлам силы, причем из формул (2.1) следует, что — 2-3 — 3 g 3, Ц7пр • 3-5 — 9 = 6. При определении числа степеней свободы рам- ных и комбинированных систем удобно вначале найти колнче- • П1О степеней свободы всех отдельных элементов, от которого тем следует отнять количество накладываемых связей. Отдель- ные геометрически неизменяемые плоские элементы (рамы, балки, псржнн) будем называть дисками и обозначать Д, а простран- ственные элементы — телами (Г). Очевидно, что диск на плоскости •Л-ыдаег тремя степенями свобода, а гею в пространстве — ।«сетью, поэтому в общем случае для комбинированных систем. Рис. 2.2. Плоская прикрепленная фер- Рис. 2.3. Плоская («) ft пространствен - ма пая (б) фермы, не прикрепленные к опорам 96
Рис. 2.4. Комбинированная стержневая система состоящих из рамно-балочных и ферменных элементов, вместо (2.11 можно записать = ЗД + 2У — С, W'np = 67 + ЗУ — С, (2.21 где Д (Т) — число дисков (тел); У — число узлов ферменной части системы; С — суммарное число стержней (образующие ферменные части), соединяющих их с дисками или телами, i опорных. Отметим, что в У не входят опорные узлы и узлы, свя4 за иные с дисками и телами. В частности, для системы, показам ной на рис. 2.4, имеем Ц7ПЛ = 3-2 + 2-0 — 6 = 0. Анализ формул (2.2) аналогичен проведенному выше анализ)! равенств (2.1). На основании изложенного можно заключить, что для геометрической неизменяемости плоских и пространственным стержневых систем, прикрепленных к опорам, волнение условия необходимо вы- (2- а для свободных плоских и пространственных систем соотв» ственно необходимо, чтобы №пл 3, №пр 6. (2.4) Условия (2.3) и (2.4) являются необходимыми, но не достаточ- ными, так как геометрическая неизменяемость обеспечивается не только потребным количеством стержней, но и порядком их расположения, который ие учитывается в формулах для W Действительно, переставим, например, в ферме, показанной на рис. 2.2, стержень 2—4 в положение 4—6. Тогда по-прежнему! W — 0, так как число стержней не изменилось, однако полу-, ченная система уже не может воспринимать силу Д,. В простей* ших случаях геометрическая неизменяемость может быть уста- новлена непосредственно. Из формул (2.1) и достаточно очевидных соображений вытекает, что элементарная геометрически неизме- няемая ячейка фермы образуется узлом, который связывает два стержня, не лежащих на одной прямой (на плоскости), или три стержня, не лежащих в одной плоскости (в пространстве). Если в результате мысленного отбрасывания таких ячеек оста- ется заведомо геометрически неизменяемая (или изменяемая) 56
В«гма, то этим свойством, очевидно, обладает и исходная си- • • М.1 ,< уществуют и более сложные методы кинематического анализа, hiih.Ko следует име«ь в виду, что геометрическая изменяемость Ki гемы всегда обнаруживается в процессе ее расчета. Признаком Кнттрической неизменяемости системы является ограниченность К реличине усилий в ее элементах. Рассмотрим, например, ком- Ьпнрованную систему, показанную на рис. 2.4. Составляя суммы Квитов для балок относительно узлов / и 6, получим Л\а + АГа2а — О, N-fia + — Р2а, | in ясно правилу Крамера отсюда определитель системы. Очевидно, что Л\ и будут иметь ошгчиые значения, если А 0. В рассматриваемом случае Л 3cs, т. е. система является геометрически неизменяемой. Кпустим теперь, что опора верхней балки (см. рис. 2.4) пере- спа из сечения 1 в сечение Г. Тогда суммы моментов отиоси- Кьпо опорных узлов Г и 6 дадут уравнения Nt2a + Л'2а = 0, Е'Л/ F Nza = Р2а, для которых А = 0. Рассматриваемая си- м мн является геометрически изменяемой и представляет собой Ннрпирный четырехзвенник, J(ля того чтобы стержневая система была геометрически неиз- Кшсмой, необходимо также предъявить определенные требования Ь опорам (опорным стержням), так как свободная (незакреплен- |ц) ферма может быть жесткой, а вся система может оказаться Кинизмом. Очевидно, что для плоской системы, обладающей Нгмя степенями свободы, должно быть не менее трех опорных • гржней-связей, а для пространственной (шесть степеней сво- Клы) — не менее шести. Кроме того, опорные стержни не должны Кп-секаться в одной точке, не должны быть параллельными и Бргсекать одну ось. 2.2. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ 2.2.1. Статически определимые системы Распространенным классом геометрически неизменяе- мых систем являются стержневые системы, у которых IV' == 0. И таких системах нет лишних связей — удаление любой связи «ержня) превращает систему в механизм, при этом уравнений р|цшовесия оказывается больше, чем входящих в них неизвест- ных силовых факторов. При IV' = 0 число уравнений равновесия 57
Рас. 2.5. Статически определимая ферма в точности совпадает с числом неизвестных силовых факторов Последние однозначно определяются из уравнений равновесия т. е. система является статически определимой. Для составления уравнений равновесия используется извест ный из курса сопротивления материалов метод сечений, согласи которому стержневая система мысленно делится сечениями йа части, а действие одной части на другую заменяется внутренним} силовыми факторами, равными по величине и противоположно направленными. Пусть, например, координатная ось к направ- лена по оси стержня, а оси у и z расположены в плоскости попе» речного сечения. Внутренние силовые факторы в сечении можно привести к главному вектору и главному моменту, а затем раз- ложить на составляющие по осям, т. е. ввести осевую силу Л;Х1 перерезывающие силы Qn крутящий момент Мх и изгибающие моменты М^ Ms. Указанные составляющие находятся из урав- нений равновесия внутренних и внешних усилий (сил и момен- тов), действующих на одну из частей рассеченного стержня или стержневой системы (обычно на ту, где проекции и моменты вы- числяются проще). Поскольку методы расчета балок и рам достаточно полно излагаются в курсе сопротивления материалов, остановимся на особенностях расчета ферм. Основными неизвестными здесь яв- ляются усилия в стержнях N, которые постоянны по длине соот- ветствующих стержней. Неизвестные усилия будем направлять от узла, считая их растягивающими, и обозначать номерами уз- лов, которые они соединяют, причем Nt_f = Nj_t (рис. 2.5). Прн составлении уравнений равновесия обычно стараются при- менять такие методы, которые избавляют от решения системы совместных алгебраических уравнений. Рассмотрим простейшие ’ методы определения усилий в статически определимых фермах. 2.2.2* Метод вырезания узлов Согласно этому методу мысленно вырезается узел, к нему прикладываются внешние силы (если они действуют на рассматриваемый узел), усилия — реакции в разрезанных стерж 58
Н* и составляются уравнения равновесия. В связи с тем, что для [ кого узла можно приравнять нулю суммы проекций на две, | tr и пространственного — на три оси, для плоских ферм таких ! ф pin нений будет 2У, а для пространственных —ЗУ. Используя (I можно найти усилия во всех стержнях, в том числе и в опор- ; «ыК. Порядок составления уравнений целесообразно выбирать Vhhm образом, чтобы они разделялись на взаимно независимые (немы. При этом расчет плоской фермы целесообразно начинать I и урезания узла, в котором сходятся два стержня, а простран- Ф1».гнной —• с узла, в котором сходятся трн стержня (если такие , пт имеются в системе). Например, для фермы, показанной на рис. 2.5, расчет следует починать с вырезания узла 4. Тогда из условия Sx = О следует V, ( « 0, а нз Ху = О ЛГ4_8 = 0. Затем переходим к узлу 3 (Ху = 0 У3_5 = — 2х = 0 -► Л'з.г = Р), далее последова- ••4i.no к узлам 5, 2, 1 и 6. Для фермы, показанной на рн< 2.2, рассматривая узел 2, находим N2-4 = —Pi» пере- |ВАпм к узлу 4, затем последовательно к узлам 7, <3, 2, Д 6 Недостатком метода вырезания узлов является зависимость (•ееультатов последующих вычислений от результатов предыду- щих и, как следствие, при достаточно большой вычислительной Ципи накопление погрешностей. 2.2.3. Метод моментных точек (для плоских ферм) и моментных осей (для пространственных) При использовании этого метода для определения неиз- »««1ных усилий записываются уравнения равновесия моментов Кггченной части фермы относительно точек и осей, которые < убираются так, чтобы в каждое уравнение входило минимальное Пиело неизвестных. Например, при определении усилия (см рис. 2.5) рассматривается уравнение моментов относительно Брл 2, а при нахождении — относительно узла 6 для части Б’мы, лежащей справа от сечения т—т. Если два из стержней, 1ПН1.1ПШИХ в сечение, параллельны, вместо уравнения моментов •1бцчно используется уравнение проекций. Так, чтобы найти 7V2_e, можно записать для отсеченной части фермы уравнение проекций ян ось у, откуда W2-e — —УЗгР. В статически определимой ферме удаление даже одного стержня превращает ее в механизм, т. е. расстояние между узлами, ранее • мн ы иными удаленным стержнем, может свободно изменяться. \ ;>го значит, что при установке вместо удаленного стержня дру- IIHо (удлиненного или укороченного) усилий в системе не вознн- |цгт- Отсюда следует важное свойство: изменение температуры, • мнцение опор, неточность изготовления и сборки не вызывают •(плий в стержнях статически определимой фермы. Б9
2.2.4. Определение перемещений узлов статически определимых ферм Пусть статически определимая ферменная конструхЦ ция загружена системой сил, приложенных в узлах, и пусть темИ пература i-ro стержня изменяется на величину //. Для определения перемещения Л-го узла фермы в заданное направлении можно воспользоваться теоремой Кастильяно (см разд. 1.4.4). Лк = -^. (2.5| где Ate — искомое перемещение; Ph— сила, приложенная в k-v узле по заданному направлению; U — дополнительная потен циальная энергия. Если сила в узле, для которого находится перемещение, от- сутствует, в выражение для U вводится в заданном направлена! фиктивная сила, принимаемая впоследствии равной нулю, т. е. <2-& Для ферменной конструкции, имеющей п стержней, можно за- писать (2.6 Здесь It—длина г-го стержня; щ — коэффициент линейного расширения; Ег — площадь поперечного сечения стержня. Подставив (2.6) в (2.5), получим Г=1 Для преобразования формулы (2.7) к окончательному виду запи- шем усилия Ni в форме Ni = N? + N'lkPk, где N? — усилия в стержнях от внешней нагрузки; Nik — усилия от силы Pk = I. Таким образом, dNi/dPk = Nik- Учитывая далее, что сила Pk фактически к системе не приложена, следует положить Ph — О, т. е. Ni = N/ и (2.7) принимает вид = 2- . <2-8) *=1 Таким образом, для определения перемещения узла статически определимой фермы необходимо найти усилия от внешней нагруз- ки М. усилия N'ik от единичной нагрузки, приложенной к узлу k 60
I • направлению искомого перемещения. Отметим, что формула • Н), как следует из вывода теоремы Кастильяно (гл. 1, разд. 1.4.4), Й1< < уществу, определяет проекцию полного перемещения на ниправление единичной силы. 2.8. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ 2.3.1. Определение усилий в стержнях Рассмотрим статически неопределимую стержневую си- п*му, для которой по формуле (2.3) имеем, например, W = —т. М ело т определяет степень статической неопределимости, т. е. |ило связей, усилия в которых не могут быть определены из . р.пшений равновесия. 11ерейдем от заданной статически неопределимой фермы к так ниываемой основной системе, мысленно разрезав т стержней. 1кровная система является, таким образом, статически опреде- лимой и должна быть геометрически неизменяемой. Отметим, что ы «бранная основная система может быть и статически неопреде- лимой. В результате расчета основной системы могут быть найдены мплия в стержнях от внешних нагрузок (М)о. Например, для Ьгрмы, показанной на рис. 2.6, a, W = 2У — С = 2-1 — 3 = -1, т, е. т = 1. Основная система строится, например, путем । «резания стержня 0—3 (рис. 2.6, б), причем (2Voi)o = Р, (А©о — I) и, очевидно, (Л'оз)о = 0. Неизвестные усилия в разрезанных стержнях обозначим через \|, Х2 ... Хт и в соответствии с принципом независимости дей- пшя сил запишем суммарные усилия в виде (2.9) /=4 । це Ni^ — усилия в стержнях от сил X/ = 1, приложенных к /-му । п'ржню. В частности, для рассматриваемого примера из рис. 2.6, в при Xi = 1 получаем Д® = 1, = —У2, А® = I. Таким Рис. 2.6. Статически неопределимая стержневая система 61
образом, для определения Nt необходимо найти т усилий XI С этим обстоятельством и связано название метода (метода сил! Неизвестные усилия Xs находятся из условий неразрывности деформаций стержней в местах разрезов. Эти условия могут быте записаны с помощью принципа наименьшей работы (см. гл. I,1 разд. 1.4.3) и имеют вид *-и|) (j-l,2,...m). (2.:0^ Подставляя усилия (2.9) в выражение для V (2.6) и раскрыва! уравнения (2.10), получим так называемую каноническую систем! уравнений метода сил ^баЛ + Дал-О (*=> 1. 2...т), (2.11 п J где 6^ ™ з=® В (2.12Д . V Г (Оо*!”'< , , 1 = / 11 ——-----------г • «=1 I Здесь т уравнений (2.11) позволяют найти все X/. В левой часпи k-ro уравнения (2.11) записано взаимное смещение сечений Л-го | стержня в месте разреза от сил X/ и внешних воздействий. В илу! того, что в действительности стержень является сплошным, это смещение, естественно, должно быть равно нулю. После определения силы Xj из системы (2.11) усилия в стерж-и нях находятся по формуле (2.9). В частности, для рассматриваемого примера (температура! в наклонном стержне изменяется на величину t) (см. рис. 2.6, а) имеем J СцХ] + Д1₽ — О, где 6ц«•-jjrp8+ !* + (—1^2)' ] -gj?—o/Rt/Z Отсюда + atEF; Ou 4’4 Nn - P + X, » A P 4- XL aiEF; Nn = - /2Х, = XL P - -LalEF-, Pti *= X, --~ P 4- -UL atEF.
2.3Лв Определение перемещений узлов Определив силы X/, их можно далее отнести к системе Mninx нагрузок и воспользоваться формулой (2.8). При этом I и и следует принять — Ni, где Nt определяются равенст- Lui (2.9), а единичную силу Ph = 1 прикладывать в основной, bin чески определимой системе, т. е. Ж = (Жь)о- Следова- К|.но, п - У, [ + ГО» «м! • (2-13) *•«1 u 11 ищем смещение Ао узла 0 системы, показанной на рис. 2.6, а Ь п «правлению 0—2. Из рис. 2.6» г и формулы (2.13) имеем (ЖЪ ==№)<>== О, (ЖЪ-h Д, == (4^- + аН?) I = + 4-0//?. 2,3.3* Некоторые обобщения Порядок расчета ферм методом енл можно легко обоб- Ьнь на расчет любых стержневых систем. Пусть в поперечных Kir пнях стержней системы действуют силы и моменты Ж, Qy, К* Мх, Му, Mz (рис. 2.7). Учитывая, что работа каждой из этих Ндобщенных сил на соответствующем обобщенном перемещении, •н’наином остальными силами, равна нулю, можно получить следующее выражение для дополнительной потенциальной знер- II f I N* । , <?“ М2и М2 \ (2.14) Х.ксь интегралы берутся по длине элементов, а суммирование производится по всем элементам системы: Е, G — модуль упру- км гм и модуль сдвига; F, 1у, /ж, /И|, -площадь, моменты инерции •ыОеречного сечения при изгибе и кручении; ky, kz—коэффицнен- iij, характеризующие форму се- мг ин я, например । u* Sz — статический момент от- • гчипной части сечения; Ьг — 1> 11мер поперечного сечения по Рис. 2.7. Силовые факторы, дей- ствующие в сечении стержня 63
координате г. В частности, для прямоугольного сечения k •' = 1,2; для круглого — k — 32/27. Заметим, что выражение (2.Н справедливо также и для криволинейных стержней малой кр» визны. Для раскрытия статической неопределенности систем т. е. для нахождения обобщенных усилий Хи Xs,... Хт в лишня связях, как и в случае ферменной конструкции, используем уст» вия (2.10). Предварительно по аналогии с (2.9) запишем выраиэ» ния для сил и моментов в произвольном сечении элементов си стемы m /=1 <2,-(<£)»+2<4ПХ/. (2.18 /=« л^(Оо+Е м<пх„ где {Nx)o и т* Д- —силовые факторы, возникающие в основной системе от внешних нагрузок; NjP и т. д. — силовые факторы И единичных сил X/ = 1. Теперь условия (2.10) с учетом (2.14) и (2.15) можно записать в виде системы канонических уравнений метода сил (2.11). При этом коэффициенты этих уравнений вычисляются по формулам ®М == б,» = / , J —сё-----И К —др-----h \ + С/Яр +' ЁГУ 1 /Л / dX' (2.16) Обычно для ферм учитываются только осевые силы Nx, а для рам и балок влиянием осевых и поперечных сил пренебрегаю* и учитывают моменты, так что выражения (2.16) упрощаются, Коэффициенты канонических уравнений имеющие оди- наковые индексы, называются главными, они всегда положи! тельны. Коэффициенты с неодинаковыми индексами называ- ются побочными и могут быть положительными, отрицательным!] или равными нулю. В тех случаях, когда кроме внешних нагрузок необходимо учесть температурное воздействие, в свободные члены системы до- бавляются температурные слагаемые. Пусть, например, t — прира- щение температуры на оси стержня, г — разность приращений 64
миератур у крайних волокон поперечного сечения с высотой h •о оси у (см. рис. 2.7). Тогда + У’ J pl‘»«x/ + -dx. (2.17) Перемещения определяются по формуле, обобщающей (2.13), т. е. Л ” luj [ + • + М^)о ]^ + /=»1 + [(Ледов* + ] dx. i=l е где (N‘Xk)0 и т. д. — силовые факторы, возникающие в элементах in нов ной системы от силы Ph = 1, приложенной в точке k, где ищется перемещение в заданном направлении. 2.3.4. Использование симметрии при расчете рам При расчете симметричных рам можно ввести некото- рые упрощения, особенно, если нагрузка симметрична или обрат- ц<симметрична. Так, например, рама, показанная на рис. 2.8, Илляется системой трижды статически неопределимой. Однако, чи при выборе основной системы осуществить вертикальный Ьзрез, в нем (в силу симметрии нагрузки) будут лишь симметрич- ные силовые факторы — изгибающий момент Л, и продольная • ила а обратносимметричный фактор — перерезывающая । ила Х3 = 0. При горизонтальном разрезе (в силу обратной сим- »1с।рии нагрузки) присутствует лишь Х3, а = 0. В связи Ь угим в общем случае можно любую нагрузку разложить на сим- метричную и обратносимметричную составляющие и вместо одной < пстемы уравнений с полным числом неизвестных рассматривать две независимые системы, причем одна содержит только симметричные неизвестные, а другая —только обратноенмметричные (рис. 2.9). Ряс. 2,8. К использованию симметрии при расчете рам И. Ф. Об₽88Ц©В И др. 65
Рис. 2.9. Расположение нагрузки на симме- тричную и обратносимметричиую составляю- щие Рис. 2.10. К расчету комбнш рованиой стержневой систем 2.3.5. Пример расчета комбинированной системы Рассмотрим однажды статически неопределимую комби! нированную систему (Двухопорная балка с подкрепляющими стержнями), показанную на рис. 2.10. Пусть жесткость балки на изгиб £7, жесткость стержней на растяжение—сжатие EF. Из рассмотрения геометрии системы найдем длину стержней: loc ~ a tg р, l0A = l0B = a/cos 0 В качестве основной системы выберем систему с разрезанным' вертикальным стержнем. Тогда из рассмотрения равновесия узла О получим NOc ~ Xi ~ 1» Мол «= Nob = —1/2 sin 0. В соответствии с (2.16) коэффициенты системы (2.11) имеют внд 611 = ~EF (tg₽ + ) + 'згГ = ~ЗЁГ' л- - Ра’ “1Р ~ ЗЕ1 ’ A — 2 sin2 p cos ₽ ‘ p I В результате находим = —Ацр/бц = —1~4.jp Дальнейший расчет двухопорной балки, нагруженной в точке С силой Р + Хъ I и системы двух стержней АО и ОВ, нагруженной в точке О си- | лой Хъ не представляет затруднений. I 2.4. РАСЧЕТ ШПАНГОУТОВ I 2.4.1. Определение усилий при нагружении । в плоскости шпангоута | Применим метод сил к расчету часто встречающихся в конструкциях летательных аппаратов кольцевых рам (шпан- гоутов) постоянного сечения. Будем считать кольцо сравнительно тонким, т. е. имеющим высоту поперечного сечения не более I 1/5 радиуса; контур кольца отождествляем с линией центров | тяжести сеченнй (111. I 66 I I I I ________________________________________________________________
| • ». 2.11, К расчету круго- вого кольца I [усть кольцо радиу- I А’ нагружено в своей ьФмкости системой ра- щпльных сил Pi (i — П 1.2,..., п), касатель- |ц 1 д сил Tj а — Ь I, 2, ..., т) и момен- К< ,Wft (k = 1, 2, Z, । пшмно уравновешены, S Pi cos <р, — X Tf sin <fj = 0, 1 1 SPiSintpi-f- YiTjcosq>j = 0, (2.18) i i tn I ЦТ;Р+ %Мк = 0. 1 1 рис. 2.11, а), при этом все нагрузки т. е. m Кольцевая рама трижды статически неопределима. За основные неизвестные примем Хг (изгибающий момент), Х2 (продольную • илу) и Х3 (перерезывающую силу), действующие в сечении <р = 0 (| м. рис. 2.11. б). Тогда изгибающий момент в сечении <р выразится ||| »рмулой M(<p) = Mf 4- Е МГХГ, (2.19) |цс М£ — момент от внешних сил в основной системе (разрезан- ном кольце); AZj == 1, Л12 = Я (1 — cos ср), Л18 = Я sin ср — мо- Ьгпты от единичных сил Xt = 1, Х2 = 1, Х3 = 1 соответственно. Ь Система канонических уравнений (2.11) после сокращения на Постоянный множитель R/EI имеет вид (учитываются только и и и бающие моменты) 4- 612Ха 4- Д1Р = 0» 4~ 622X2 Т- Д3р = 0, 633X3 4~ Дзр — 2л 2Я где 6ц = f М] = 2л, 612 = 62» = J ЛЬЛЬ dy = 2лР, о о 231 2л 622= f Mfd<p = 3jJ?2, 633= f Mldy^aP2, а о 67
— 2 J ЛЯП — cos(4> — <Р;)1 Л4,Ар — 2 J I i~i 9$ k^i (r « I» 2, 3). В коэффициентах ДгР предел интегрирования выбирается с уче* том того, что в разрезанном кольце момент М$ = 0 при ф •< <j^ I н ф > гоахфх — /» /, /г)- I Выполнив интегрирование и разрешив систему канонических уравнений относительно неизвестных сил Хг, придем с учета равенств (2.18) к следующим выражениям: -^1= £j t^Xip (^i) + 2j (<P/) 4- J] ^лХш (ф»)» (=1 X2 = Л%яр (<Pi) + У, TfeT (ф>) + Ъм (Фл), X» — У ЛХзр (<Р«) У Тffar (Ф/) 4“ У ~7У” Хелт (фл)° $-20) l=l j=l A=J Здесь %ip(4’)=-gr(l+4>slnq>), Хер (ф) = - —, Хаг(ф) = — -*г-^ <|' ; Xir (ф) = (ф cos ф — ф - sin ф), I Xsr (ф) = 4г (sin <р — <pcos <p), xs/ (ф) = -gT (ф s»« Ф + cos q>); Ли (ф) = - (ф + 2 sin Ф), Xsw (ф) =4- sin ф, Х»м(Ф)”~ С°5ф. Рассмотрим некоторые примеры. Пример I. Шпангоут нагружен тремя симметрично расположенными ра диальными силами Р (рис. 2.12, о). Совмещая начало отсчета последовательно с точками А, В, С и учитывая, что (О) --- М2 (О) = Ма (0) = 0, имеем | Мл = - РК f Up (О) + Х1Р (120°) + Xia (2W°)] “ = — PR (0,1S916 + 0,44783 — 0,41819) = — О, IB9PR; Мв = - PR (у,,, (60°) + Up (180°) + up (200°)] = = — PR (0,30349 + 0,10916 — 0,66253) = O.IOOP)?; Me = - PR Iup (90°) + Up (210°) + xlP (330°)] = = — PR (0,40916 — 0,13251 — 0,29918) = 0.0225W?. Эпюра изгибающих моментов показана на рис. 2.12, б.
Рис. 2.12. Пример расчета кольца (а — схема на- гружения, б — эпюра изгибающих моментов) Пример 2. На шпангоут (рис. 2.13, а) действует сосредоточенная сила Р р уравновешивающий ее поток касательных усилий q = -^-sinct. Чтобы Полу- нин выражение изгибающего момента М. (а), возьмем произвольное сечение i»i углом а к вертикали и будем отсчитывать <р от этого сечения. На кольцо Ксгвует сила Р. расположенная под углом (2л—а) относительно точки А, । жже распределенная нагрузка q, которую можно представить как бесчислен- множество касательных сил qp dtp = —- sin (a -f- <р) dtp. Тогда в соответ- VIнии с первым уравнением (2.20) 2л f Р МА = М (а) = PPXip (2л — а) 4- J ~ sin (а 4- <р) J?Xir (<₽) dq> =“ о 2л ~ ~^л~ [ 1 + (2эт ~~ а) sin(2jt - а) + | sin (а + ф) (ф cos Ф ~ о — sin<p — q>) dtp J — 1 -j- —- cos а 4~ asin а — Jtsinct^. (2.21) I »июда, например, Мв — М (0) — ~ 0.239Р/?, Me = М (180°) = — 0,08РР. Эпюра изгибающих моментов показана на рис. 2.13, б. Рис. 2.13. Схема нагружения (а) и эпюра изгиба- ющих моментов (б) шпангоута 69
Продольные и перерезывающие силы в сечениях шпангоута находятся i зависимостей, аналогичных (2.19): 3 Л'(т)=>^0 + S V,”1*' 4-Х2cos9 — XgSla<р; fx=l 3 Q (ф) — Qq + £• Q,Xf = Qf 4- X2 stn <₽ 4- X3cos <p. r<=-l Здесь и Q$ — осевое усилие и перерезывающая сила от внешней нагруа! в основной системе (см. рис. 2.11, б)г a Xtt Xs определяются равенствами (2.2 2,4.2, Определение перемещений шпангоута Взаимное смещение точек шпангоута может быть как и ранее, найдено с помощью теоремы Кастильяно, однако н> практике часто необходимо иметь более общее решение, опред ляющее распределение функции перемещений по контуру шпан гоута. Это распределение может быть получено в результате нитей рировання уравнений упругой линии шпангоута. Пусть суммар ное перемещение точки А в положение А' определяется проейй циями и, w или Д₽, Дж (рис. 2.14), которые связаны следующи образом: Дг — sin ф 4- о соз ф, (2.22), Дв == w cos ф 4- v sin ф. I В деформированном состоянии точка с полярными координатам! г = R и ф будет иметь координаты гх = К 4 пу, Фх — Ф 4“ v/R Удлинение оси шпангоута и изменение ее кривизны имеют вид в = Х Ri R ' Учитывая, что ds ~ Rdq>, ds^ =s Гускрг при малых перемещениях из первого равенства (2.23) получим <2-24’ Кривизна оси шпангоута после деформации в полярных коорди патах определяется известным равенством Рис. 2.14. К определению перемещений кругового кольца I _ '?4-2(гу-г,г; ('? + (№ ’ где ri Для малых перемеще- ний окончательно получим ("$-+“)• (2-4 При расчете шпангоутов обычно пред- полагается, что ось является нерастя- 70
Ний, т. е. е = 0, а изменение кривизны х связано с изгнбаю- Khm моментом соотношением М = Е1к. Таким образом, из ра- Врт гв (2.24), (2.25) имеем < + <» = 0. (2.26) + № = (2.27) |||> кильку зависимость М (<р) известна из статического расчета, |ty. шн-ние (2.27) позволяет найти w в виде w = Ci sin <р 4- С2 cos ф 4- w*, (2.28) I w* — частное решение, соответствующее заданному моменту V («|»). Перемещение v определяется из уравнения (2.26) v = Сг cos ф — с2 sin ф — [ w* dip + Са. (2.29) Пипдем горизонтальную и вертикальную проекции перемещений. Hi формул (2.22), (2.28), (2.29) имеем Дг = Cj 4- Са cos ф — cos ф J w* dip + ЬУ* sin ф, (2.30) Дв = С2 — С8 sin ф - |- sin ф [ w* dip --f- w* cos ф. И> равенств (2.29), (2.30) следует, что постоянные Сх, С2, С8 соот- Ьгствуют смещениям шпангоута как твердого тела — горизон- । мп.ному, вертикальному и повороту относительно центра. Они »1лжны быть определены из условий закрепления шпангоута. Рассмотрим, например, шпангоут, показанный на рис. 2.13, а. 1’пгнределение изгибающего момента определяется в этом случае I iiicHCTBOM (2.21) при а = ф, а частное решение имеет вид ta* = -™r(^-cos<p —-^-sln<p — 1). (2.31) lhK-тоянные Сх и С8 найдем нз условий симметрии: при <р = 0, 0 и dxvldsp = 0. Постоянную С2, определяющую вертнкаль- ци»? смещение, определим из интегрального условия л J о) cos ФЙф = 0. В результате получим Г г _ ррз ( 1(2 3 \ г — рр* С1~“4£Г* 2л£/ \ 6 S"/’ 2£/ 71
и согласно равенствам (2.28), (2.29), (2.31) ррв Г 1 W=~^ET [-2“ ("-<₽) Sin ф- 1 + +444—г-^+гг) cos<p]’ v = _ 4- ~ «"К1 - cos<₽) + Ц- (4~ ~ — 4~ — яф + 4~) stn<p]. 2.4.3. О расчете шпангоутов, нагруженных перпендикулярно их плоскости Расчет колец, нагруженных силами, перпендикуляр- ными их плоскости, проводится аналогично предыдущему. В об щем случае в сечениях шпангоута действуют изгибающий н кру«»1 тящий моменты, а также перерезывающая сила. Чтобы раскрыть! статическую неопределимость, разрежем кольцо по плоскосп <р ~ 0 и приложим неизвестные изгибающий момент Хл, крутя щий момент Х5 и поперечную силу Х6. По аналогии с равенством (2.19) имеем м (ф) = < + S МГХ„ л=4 (2.32)1 Ж(Ф) = те£+ S ж,х„ где , SKf — изгибающий и крутящий моменты в разрезан- ном кольце от внешних нагрузок; MrWlT — моменты от единич- ных силовых факторов Хг. В отличие от нагружения кольца в плоскости в данном случае коэффициенты канонических ураЛ неннй будут содержать по два члена, учитывающих изгиб н кру- чение кольца. В результате получаются формулы для определе-1 ния Х4, Х6, Хо, по структуре аналогичные (2.20). Разно- образные методы расчета и формулы для определения усилий и перемещений в шпангоутах постоянной и переменной жесткости приводятся в справочной литературе [26 L 2.Б. РАСЧЕТ ПЛОСКИХ РАМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ I 2.5.2» Определение числа неизвестных При расчете плоских статически неопределимых рам наряду с методом сил часто применяется метод перемещений,! особенно эффективный для сложных систем с большим числом лишних связей и малой подвижностью узлов [27, 33]. 72
Рис. 2.15. Закрепленная рама (о) и ее шарнирная схема (б) Прежде чем приступить к расчету по методу перемещений, •. юдимо установить степень кинематической неопределимости ti. । понятие в отличие от понятия степени статической неопреде- мости достаточно условно и зависит от принятой расчетной имы, от степени точности определения перемещений и даже от Кушчия вспомогательных материалов (набора формул и таблиц), t. шла вливающих зависимость усилий от перемещений узлов Ьимы Например, при наличии в системе криволинейного стержня, I . которого в расчетной схеме заменяется ломаной, п зависит hi числа участков этой ломаной. Ьудем рассматривать рамы с прямолинейными элементами и пренебрегать деформациями, вызванными продольными силами. I [прядок определения числа п, т. е. количества неизвестных ища перемещений, зависит от вида рассматриваемой рамы, и, | частности, от того, какие перемещения допускают узлы рамы, il рамах первого типа узлы допускают только поворот. Пример Викой рамы, когда каждый узел прикрепляется последовательно я двум другим узлам двумя стержнями, не лежащими на одной примой, показан на рнс. 2.15, а. Линейные смещения узлов здесь 1 утствуют, так как стержни — нерастяжимые, а система узлов Бйразует жесткие треугольники 0—1—3 и 7—2—4. Если рассмат- риваемой раме поставить в соответствие так называемую шарнир- ную схему, когда все жесткие узлы рамы, в том числе опорные, •пменяются шарнирными (см. рис. 2.15, б), то такая схема будет неметрически неизменяемой (W = 2 2 — 4 = 0). Расчет таких рам особенно прост — за неизвестные прини- м/иотся углы поворота жестких свободных узлов (в примере и ф2, т. е. п ~ 2). Рама второго типа, узлы которой допускают линейные сме- шения, показана на рис. 2.16, с; ее шарнирная схема (см. рис. 2.16, б) будет геометрически изменяемой (W = 2-2 — 3 = I). Поскольку стержень 1—2 принимается нерастяжимым, смещения у «лов 1 и 2 должны быть одинаковыми (1—Г = 2-—2' — А). За неизвестные в этом случае принимаются как углы поворота жестких узлов фа, так и линейное смещение А, т. е. п — 73
Рис. 2.16. Рама с линейным смещением узлов (а) и ее шарнирная схема (6) Таким образом, в общем случае степень кинематической нео< ределимости находится по формуле | п — Пу • пд, (2. 3-я где — число свободных рамных узлов; пд — W — число ст* пеней свободы соответствующей шарнирной схемы данной рамь | 2.5.2. Основная система и канонические уравнения После установления степени кинематической неопре- делимости п образуем основную систему рамы путем наложен!» на ее узлы связей, препятствующих упругим перемещениям узло (угловым и линейным). В соответствии с неизвестными эти связан будут двух видов: защемление—связь, препятствующая угло вому перемещению, и жесткий опорный стержень—связь, препят | ствующая линейному смещению (рис. 2.17). Очевидно, что обще число введенных связей должно быть равно числу неизвестных, Неизвестные определяются из системы канонических уравнения метода перемещений, которые имеют вид £ + Rkp = о (k = 1, 2... л). (2.34) где Zj — неизвестные перемещения узлов (угловые или линейЯ ные); rhJ — реактивное усилие (момент или сила), возникающее в связи k от единичного смещения в связи /; RkP—реактивном усилие в связи k от внешней нагрузки. Заметим, что, как и в методе сил, побочные коэффициент» обладают свойством взаимности, т. е. = rJk. Уравнения (2.34) защемление являются статическими и выражают ра-М >к/ венство нулю общего реактивного усилия во " R— введенной связи. Жесткий 1 п . стержень Иис- Связи» препятствующие упругим перем - щениям узлов рамы 74
2.5.3. Определение коэффициентов канонических уравнений При определении коэффициентов rki и свободных чле- |рС1 /\Лр уравнений (2.34) используют величины усилий, возни- Крпцнх в статически неопределимых балках, на которые можно винить рамы, от единичных смещений их узлов и от нагрузки. таблица Z.1 Схема балки а В<ндейап6ие на нее Эпюры усилий и реакции Формулы А, . L , (в VT Мл( к IIJ^ 7 * ’*« fs, ^А=пв= е _ ₽ _ IZ£I (<А-Вв- А', Га 1 ' к ч-г р-р - ВС! Вл-Вв - 1^4' я % > „ /ПШЛЬЕа». К 1* 3-а о _р _ 3EI •'А ''В ^2. н—-—н в '•^ПГПТтт--^ к «Л= А \ У„„^ГП^ ? !? Л " " II “l"1 «Iе <3 Л е* е* г» | М 75
Эти усилия в однопролетных балках постоянного сечения д; различных случаев перемещений концов балки и загружеп|| приводятся в справочной литературе. Некоторые случаи при ставлены в табл. 2.1. Процедура определения rhJ и RhP связана с рассмотрен» уравнений равновесия отдельных узлов рамы, содержащих соа ветствующие связи, или интегрированием эпюр моментов. Во вт. ром случае ад dx" Rkp zLj ел dxi £ О £ О (2.3 Здесь Mi, —моменты от единичных перемещений, пол ченные в основной системе; (7И?)0 — момент от нагрузки в любя неизменяемой, в том числе статически определимой системе, обр- зованной из основной, при обязательном исключении k-й связ 2.5.4. Пример расчета рамы методом перемещений Рассмотрим раму, изображенную на рис. 2.18, a, дл которой п = Нф + Ид — 1 4- 1=2. Образуем основную системе вводя связи, препятствующие возможным перемещениям Zj и (см. рис. 2.18, б). Используя табл. 2.1, построим эпюры мом тов от единичных перемещений по заданным направлениям и Л нагрузки (рис. 2.19, а, б, в). Система (2.34) имеет вид: = 0, (2.36) f 12^1 4' ^*22^2 ‘I' ^2_Р 9. Вырежем узел В (см. рис. 2.18) с введенными связями, изобразим на стержнях этого узла усилия, возникшие от Рис. 2.18, К расчету рамы методом пе- ремещений. Схема рамы (а) и ее основ- ная система (б) перемещений или Рис. 2.19. К расчету рамы методом пе- ремещений: а — эпюра изгибающих моментов М, «л поворота связи 1 на единичный угол; б эпюра М3 от смещения связи 2 на единицу в — эпюра Мо от внешней нагрузки (см рис. 2.1В) 76
I 4.20. К определению коэффициентов канонических уравнений методом перемещений in инк А нагрузки, и затем из уравнений равновесия найдем К 1нг1ствующие реакции в связях (рис. 2.20). Например, реак- |>1и>1лА момент в узле от его поворота на единичный угол (см. К 2.20, а). ЗЕ! . ЗЕ! . 4EI ЮЕ! г“-----i Ь Г ' ~Т~ -----------Г~- •нгг же результат дает и формула (2.35) r ~ У f № dxt _ о 1 1 3El 2 ЗЕ/ Ги-“ Z J 1 ~ 2 гГ'г—7Г~7~ + I 1 ( 4Е1 2 , 2 4Е! t 2£/ 1,2 2Е1 ЮГ/ ' 2EI \ I 3 1 3 I h I 3 3 I ~ I ’ Ани логично реактивный момент в узле от его единичного линей- ши о перемещения (см. рис. 20.20, б). г __ 6Г7 . ЗЕ! _ ЗЕ! "Г р — ' р - 1Ь активное усилие в узле от его единичного поворота (см. табл. 2.1 В рис. 2.20, в). 6EI ЗЕ! ЗЕ! Г21 _ — _|----- - ... — Г1г. I»Активное усилие в узле от его единичного перемещения (см. !»>< 2.20, г) 12/7 ЗЕ! _ 15Г/ ' /Ч /3 Мрктивные момент и усилие в узле от внешней нагрузки (см. 1-иг 2.20. д) = я,Р = о. 1'гшая систему (2.36), находим 7 - 5 gf8 7 - 1 1 376 EI ’ ~ 376 EI * 77
Величины изгибающих моментов по участкам рамы определяю] согласно принципу независимости действия силовых факторов, т< Л! = + 2.6. МАТРИЧНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ 2.6.1в Идеализированная расчетная схема Расчет сложных стержневых систем с большим шслЛ элементов связан со значительными вычислительными трудиЖ стямн, преодолеть которые позволяют лишь электронные вычи лительные машины (ЭВМ). Появление и развитие ЭВМ существен® изменило саму форму расчетов, б частности, получила интенсЛI ное развитие матричная форма записи исходных уравнений к ~ одна из наиболее приспособленных к использованию машин При этом независимо от степени сложности рассчитываемой код струкцин все расчетные операции метода сил или метода пер* мещений изображаются аппаратом матричного исчисления в коЯ пактном и легко обозримом виде. Использование матриц в статике стержневых систем пред™ лагает разделение системы на отдельные элементы с дискретным сочленением их между собой (места сочленения будем называв узлами). Для ферменной конструкции элементом обычно служив стержень между узлами. Для рам построение идеализированная расчетной схемы осуществляется путем замены криволинейной oct стержня вписанной ломаной с минимально допустимым чнслЯ участков (элементов). Если поперечное сечение стержня вдоль ею оси изменяется, стержень разбивается на участки с различной жесткостью. Распределенная нагрузка чаще всего (но не обяза* тельно) представляется в виде сосредоточенных сил, эквивалент ных действительной нагрузке. В общем случае стремятся к тому, чтобы вершины ломаной совпадали с местами ступенчатого изм* точками приложения сосредоточенны! сил, заменяющих распределенную нагрузку. х Таким образомя вся стержневЯ система представляется состоящей и» отдельных элементов призмати«Я ской формы. Выделяя мысленно та кой элемент (длиной Ц) кз конструв цин, например плоской рамы, заме ннм действие на него отброшенный частей соответствующими силовыми факторами Mt, Qit на одном торце, 0м< — на другом (рис. 2.21). Кроме того, введем еле. 78
Ь>|цпс обозначения: — площадь поперечного сечения £-го мп ,11 и id; It — момент инерции сечения относительно главной ц, ht — коэффициент формы сечения; Eit Gt — модули упру- Мн элемента; h — число элементов в стержневой системе. I л- ши эти предварительные замечания, перейдем к рассмотре- -I Н1КИХ классических алгоритмов, как метод сил и метод пере- v ин ннй, используя матричную форму 130]. 2.6.2. Метод сил в матричной форме Рассмотрим /n-раз статически неопределимую стержне- ft) ю систему, загруженную системой сил Р (Р1г Р% — Рп). I Канонические уравнения метода сил (2.11) для такой системы уписываются в матричном виде следующим образом: DX = - dp. (2.37) л = |1М = 6ц 622 • • 61m 621 622 . • • 62m 6ml 6т2 . . . квадратная матрица коэффициентов при неизвестных; dp — {Дьр} — Д1Р Д2р &тР матрица-столбец (вектор) свободных членов; Х={Х,} = Xi Ха вектор неизвестных (усилий в лишних связях). Заметим, что вектор dP можно представить также в виде = dPP, где dP= {Акр}, если внешнюю нагрузку изобразить лк произведение некоторой единичной нагрузки на величину /' (Д1р, Д2р, • •-, ДП1р — свободные члены канонических урав- iiriiий, соответствующие единичной внешней нагрузке, причем Л|1Р = &.крР). Поэтому (2.37) можно переписать так: DX = dpP. (2.38) 79
COOTI Если стержневая система рассчитывается на /'-различных ком( наций нагрузок, коэффициенты (т. е. матрица £>) остакэт неизменными, тогда как каждой комбинации нагрузок ствуют свои свободные члены и свои неизвестные. В этом случае имеем r-уравненнй вида (2.38) PX,3> = -dF>/’<'’. Эту систему уравнений можно представить в виде одного уран, нения М = - Др = - DPPt (2.40 которое по внешнему виду совпадает с (2.37) или (2.38), но под Л и DP или Dp понимаются уже не векторы, а матрицы с разив рами тХг: х!11 х!2)... х!'1 v(D у(2) у(г) Ag Ag • • • Ag DP = A$ ... Aj? Ag? Ag? ... Ag? у(«) у(2) у (г) A^AS.-.AS Что касается матрицы нагрузок Р, то она представляется в видг вектора Р- /><» />(2) р(г) если неизвестные находятся при одновременном действии всея г-комбинаций нагрузок, или диагональной матрицы Р = />{’) О ...О О ... о 0 0 ... если неизвестные определяются при действии каждой из г-комби наций нагрузок. 80
t’hnipoc о составлении матриц D и DP рассмотрим иа примере i- ной рамы. Для такой рамы перемещения 8kj и Ддр запи- ген в соответствии с (2.16) так: Г. _ + I «м- ft 2u J L Elh + 1 °lh Eift J ax" i==l 0 i^l 0 I u> м¥\ QV\ N;f) —силовые факторы в основной системе, вы- ПВппые 1; (Mf)0, (Q?)o, (Wf)o —силовые факторы в основ- ш системе, вызванные единичной внешней нагрузкой. При принятом способе разбиения рамы на элементы эпюры | юдольных N и поперечных сил Q в пределах элемента — по- ишы, а эпюра изгибающих моментов М изменяется по линей- ► му закону (см. рис. 2.21). Поэтому, используя правило Вере- <11 и in а, получим * f дл</г) 1 1 , ,,. -i- (2м?’> + М’1) ч—(мИ> + 2М&) -^7- + я wp’A'Pz,-! + kr ’ой".....+ ’ ..Т | ритывая зависимость Mi+1 = Жг Ч- Qdi, вытекающую из урав- нения равновесия элемента, будем иметь: I л,.; = £ [ Л1!и -i- м(/> 4- мГ Q!-'1 + ЙЛ) 2^77 Л1!Л + + (417 + ki -^г} + ' (2 42) 1Ь выражения (2.42) можно заметить, что и и можно на- писать так:
h = ^bitkFibiq, - ь _ &kp — X b\ikFibpir /=1 (2.43) II где buh = Qi41 || М*1 — вектор усилий в лишней неизвестной i-м сечении, возникающих от воздействия Xh = 1; — вектор усилий в £-ом сечении от единичной внешней нагрузки — .матрица податливости Z-го элемента системы. Знак «'» в (2.43) означает транспонирование, т. е. замену строк матрицы столбцами. 3 различных частных случаях внд blik, bPi, Ft оказываете различным. Например, для статически неопределимой фермы &!«=<>. &₽г = (77Г)о. Л = для плоской рамы, когда не учитывается влияние на перемещение продольных деформаций и сдвигов, В самом общем случае для элемента пространственной рамы, ось которого совпадает с осью х, имеем &. = ||(йй)о (Qfjo «,) (Юо (Л^()о (ВД0||, 82
I t.'ri г1(та+‘-тяг) » ° " ° 11 ° ° 0 " ° -2ГГ- (srr~+ k“~bT~l ° 0 2Ег7&1 \ SEtlyt л Gift / 10 0 0 0 -±- 0 cil I о о 0 ° 0 g£ nt [)ь запишем (2.43) 6/г/ = ||&ПЛ&12Й • • • в следующей форме: b\hk || • О 0 II Ь1Г} Fa О 1^12/ О Fh bihj = buFbih (2.44) О О = bikFbpt, I buk bihk вектор усилий во всех расчетных сечениях основной системы и лишней неизвестной Хк ~ I; bpii ЬР21 \bpht вектор усилий от единичной g-й внешней нагрузки; матрица податливости всех элементов, рассматриваемых само- |' юятельно, т. е. не связанных менаду собой. 83
И, наконец, искомые матрицы D и запишутся так: b'uFbu bi\Fbiz b’\zFbn b'w.Fbu b'lmFbn b'lmFbi2 Dr на основании (2 54< b'llFbim b'iiFbim b’\mFbm Iй" I = '«, И bvF, ... F,,. J — B'FBi, I «mil DP = BiFBp, (2.«| где By —1| &11&12 ... Bp ~ || bpibpb ... bpr || I — матрица усилий во всех расчетных сечениях соответственно от всех единичных лишних неизвестных и от всех единичных влей них нагрузок. Вернувшись к уравнению (2.40), решим его относительно Л и с учетом (2.45) получим: X = - D 'DpP = - (В[ВВ^ WFBp) Р. (2.46| Здесь — матрица, обратная D, т. е. ~ DD-1 “ £, где II 0... 0 £= 01..-0 0 0... 1 — единичная матрица. Итак, мы нашли значения лишних неизвестных X. Прежде чем определить полные усилия во всех сечениях, обратим вни-1 мание иа следующее. В матрицах Вг и В? в (2.45) сохранены только те усилия, которым соответствуют перемещения, возни- кающие при учитываемых в расчете видах деформаций. Для шюс-1 кой рамы» например в матрицы и Вг, могут входить только Q и М, a N не входить, поскольку при раскрытии статическом неопределимости продольные усилия не играют существенной роли (удельный вес членов, содержащих в ёйу невелик). Вместе с тем в расчетах кроме М н Q необходимо знать также н N„ Вот почему наряду с В& должны быть введены в рассмотрения также матрицы Bf и Вр, в которых представлены все усилия,] а не только учитывающиеся при раскрытии статической неопре- делимости. Совершенно очевидно, что когда при раскрытии статической неопределимости учитываются все усилия, Bi = Вр = Вр. 84
11i i jic сделанного замечания матрицу усилий во всех сече- ii рассматриваемой конструкции можно записать так: (2.47) I первое слагаемое Вр — ВрР представляет собой усилия I пивной системе от внешних нагрузок, а второе В{Х — от • ших неизвестных. К развернутом виде (2.47) с учетом (2.46) выглядит следующим Ж| > шм: 5 = ВР, (2.48) М» И Вр — Bi (B'iFBi)~l (B\FBp) — матрица усилий в элемен- Mfa i н'ржневой системы от единичных внешних сил. Для определения перемещений воспользуемся формулой (2.17), М| йрая применительно к рассматриваемому случаю плоской I i<i имеет вид Д Г ОДО QZ№> л = (249) I и. Mt, Qit N}, — полные усилия в статически неопределимой .« геме; Qik\ N[k} — усилия в основной системе от обоб- н«зшой силы Pk = 1, приложенной в узле, для которого нахо- iifн и перемещение в заданном направлении. Ио аналогии с (2.44) выражение (2.49) можно представить • и п де Afe = bkFS == b'kFBPt (2.50) fa г bk — вектор усилий в элементах основной системы от Pk = 1. Обобщенные перемещения, соответствующие каждой из внеш- 1и к нагрузок, рассматриваемых как обобщенные силы, записы- •ШО1СЯ в виде: А = рДхАа ... A Jj = BpFBP. (2.51) При атом матрица имеет порядок г, элемент A;ft столбца Дй пред- • ывляет собой перемещение, вызванное силой Рк по направле- iiiiio Pj (&, / = 1, 2 ... г). Поскольку для любой упругой системы обобщенные переме- ни ния выражаются через обобщенные внешние нагрузки по фирмуле А == F*P, (2.52) г nr F* — матрица податливости всей системы, то в результате «равнения (2.51) и (2.52) находим F* = BpFB. (2.53) 85
Порядок квадратной матрицы податливости Г* — г. Матрица /fl может быть записана также е виде II F’ = B'FB. (2.54, Действительно, 1 Р" B'pFB . B'FB/. - D'pD~'Dp + D’pD'Dp = =» 'FBP - {Bp - РР£Г'В\) FiidF'Dp = = B'F{BP - BiD~lDP) = B'FB. Кроме того, запишем две очевидные формулы I Д = BpV. (2.55) V — FS = FBP, (2.56) где V — матрица относительных перемещений по концам элемен- тов (матрица деформаций). Таким образом, чтобы найти усилия и перемещения в стержне- вой системе при использовании метода сил, нужно составить четыре исходные матрицы: А* ($1) — размерности X т (kh X т), В*р(Вр) — размерности X г (kh X г), Г — квадратная матрица kh X kh, Р — размерности г X 1 или г X г. Напомним, что здесь X — число усилий в одном расчетном сечении, учитываемых при раскрытии статической неопредели- мости; Л* — полное число усилий в одном расчетном сечении; т — степень статической неопределимости; h — число элемен тов; г — число независимых комбинаций нагрузок. Матрицы Bi (&р) либо совпадают с Bi (Вр), либо легко полу» чаются из них путем вычеркивания тех строк, в которых записаны усилия, не учитываемые при раскрытии статической не определимости. Рис. 2.22. К расчету фермы матричным методом сил: а — sxexa фермы; б — ее основная система Пример. Рассмотрим один pal статически неопределимую фермен- ную конструкцию, показанную ня рис. 2.22, а, у которой материал стержней одинаков и площади по- перечных сечений fj « /s = 2ft, Основная система и лишнее неизвестное X (усилие в стержней 86
11 .»« чины на рис. 2.22, б. Для рассматриваемой фермы исходные матрицы и кпд: 10,5 0 0 0 01 О 0,5 0 0 о| О 0 I О ОП, th О О 0 2 ol <Ь6Х1> о 0002) Вр (1-5X2) (— 1 о О 1 о о /2 О О О . соответствует усилиям в стержнях 1 ...5 от X — 1, а Вр— усилиям нжиях 1 ... 5 от Pi = 1 и Р2 — 1 соответственно. долее выполняется непрерывная цепь вычислительных операций с матри- и<> формулам (2.45). (2.46), (2.47), (2.48), (2.52), (2.53): Л = 6;Г61 = 5-^-, />->=* -ф., £-13 5 I ^-RT 2°о| = |-46^ 10 — 1 о 0 1 о о /2 О О о К2~ 2 | /2 2 II 9 К2 I' ~ КГ Г| 20 20 II 2~ I 1 I I I -II —1 9 19 9 —1 II } 2 /Г — 9 КГ К2" 87
S=BP<= — 10 190 — 10 — 55 45 45 55/2 10J/2" — 45/2 10/2 Из рассмотрения результирующих матриц S и А следует, например, что усили в стержне 2 от действия силы Р2 = 200 имеет значение S2 = 190; усили в стержне 3 при совместном действии = 100 и Р2 — 200 соответствен! 45 — 10 = 35 ит. д.; вертикальное смещение правого узла (по направлению Pg) -« — А„= 95-^j- и т. д. 2.6.3. Учет температурных воздействий Расчет статически неопределимых стержневых систем» на температурные воздействия (а в общем случае на воздействи начальных деформаций не объединенных в конструкцию элеме! тов) проводится аналогично расчету при действии нагрузок. । Рассматривая в каноническом уравнении метода сил выражу ние для свободного члена (2.44) Айр = blkFbPl, видим, что вектор FbP^ представляет собой деформации отдельны элементов, возникающих в основной системе при действии внеш- ней единичной нагрузки. Поэтому при температурных воздей ствиях нужно лишь заменить FbpiP вектором начальных дефор маций h, соответствующим заданному приращению температуры (например, для й-го стержня фермы Лг - A/f — а&Ц). Тогда матрица свободных членов запишется в виде: b\.\hi buhz . b'uhr buhi bfehz • - - bizhr b'n D, - &'2 || й,й2 ... M = (2.57) где = Решая иметь bimhi bimhz . • • b[mh, Й,® — номер воздействия. hl систему канонических уравнений, вместо (2.46) будем Ь[т ^F*p = -ЁК X = - (tfi'Ffli)-1 (2.58) 88
i«< кильку усилия в основной системе от температурных воздей- Мм и равны нулю, получим 5 = В1Х = - ®Г («;гй1)'' В,Н. (2.59) «(смещения в некоторых узлах конструкции, вызванные только « >111 рагурным воздействием, находятся из выражения (2.55) д = в₽г, й ЛР — матрица усилий в основной системе от единичных Круюк, приложенных к тем узлам и в тех направлениях, для |. |ррых находятся перемещения; V=FS + H I матрица полных деформаций. ь В результате имеем Д = B‘qH, L Ло = B'p~ B'pFBi (BiF^i)"1 Bi (2.60) (2-61) Пример. Рассмотрим ферму, показанную на рис. 2.22, а, при Pj = Pa — 0, * RtitopoH стержень 5 нагревается так, чтойз — «бМб = 1- Найдем усилия в стерж- ни н перемещения левого узла по горизонтали dp=•>!»= К2 f~2 V2 2 2 2 0 0 0 0 S = — b[D'1Dp = — Г2 2 Г2 2 Г2 2 Eh ы Efs — /2 10 v — I/S -1/5 a «= bp (fs+h) = || — loo Кг'оЦ’ — 1Л2 20 V -2—j/2- 20 v — /2 10 v 2 5 --Ь г рассматриваемый узел смещается вправо. 89
образом: 2.6.4. Метод перемещений в матричной форме Симметрия и аналогия вариационных принципов Я стильяно и Лагранжа, которые являются фундаментом м( , сил и метода перемещений, позволяют раскрыть кинематичеси неопределимость стержневой системы, используя некоторые известные понятия. м Соответствие понятий метода сил и метода перемещений мож, представить следующим с*;------- Метод сил Внешние силы Р Перемещения А Усилия в элементах 5 Деформации элементов V Податливость отдельных необъ- единенных элементов F Податливость всей конструкции (его SCKW 2 у4| Метод перемещений I Перемещения в конструкции] Внешние силы Р Деформации элементов V I Усилия в элементах 5 Жесткость отдельных необъеЛ ненных элементов К Жесткость всей конструкции Л'* Если для определения неизвестных по методу сил использ- валось выражение (2.46) X --- — D'Up = - (B\FBi}' (B'lFBp), где Dp — DpP, Bp = ВЕР, то неизвестные метода перемещен® находятся так: г = - С~'СР = - (Д17<41Г‘ (41'КЛр). (2.6 Здесь At — матрица деформаций элементов конструкции в кли- матически определимой основной системе, вызванных единичны^ неизвестными перемещениями; АР — матрица деформаций, ан званных заданными перемещениями (для единичных задашЛ перемещений —АР); К — матрица жесткости отдельных необи единенных элементов (т. е. рассматриваемых самостоятельнее Заметим что КР = РК=Е. (2.6с Продолжая аналогию дальше, можно записать: Метод сил Метод перемещений S = ВР У=ЛА (2.64 В = Ёр — Bi (BiFBi) 1 (BiFBP) А = Ар Ai (A'lKA У' (A'iKaI Д = F-P Р = К*Л (2.6 F* = B'FB К* = А'КА (2.66 V = FS = FBP S = KV = К АВ (2.67 При этом F*K* = X*F* = Е. (2.6Н1 90
JipHMip. Схему расчета кинематически неопределимой снстеиш проследим г .г фермы, рассмотренной в разд. 2.6.2 (см. рве. 2.22, а). П| кильку все четыре составляющие перемещений Zlt Z3, Z£, Z< двух подвиж» 111 иш неизвестны» степень кинематической неопределимости л ~ 4. Однако К....ня Ди = Zs и AS2 = 2* (рис. 2.23), соответствующие силам Рг и Р>, Б ...кто не относить к неизвестным, а определить позднее по жесткости | in гемы и силам. Ио* составляем исходные матрицы; НТ К О о о о 2 Вмомним, что, во-первых, Л'< = 1/Fj. Во-вторых, в первом столбце матрицы А Бннпны абсолютные удлинения стержней фермы, вызванные смещением левого K|ii пверх на величину Zj = 1. Очевидно, что стержень / (см. рнс. 2.22) удли- М и па величину 1, стержень 4 — на величину У 2/2, & остальные своей длины не изменят. В-третьих, во втором столб- гг це Ai записаны абсолютные удлинения стержней, вызванные смещением правого узла на величину Zs = 1, а столбцы Ар представляют собой удлинения стержней, соответствующие перемещениям = 1 И Дд2 — 1. 7г=/ Дл«/ Рнс. 2.23. К расчету фермы матричным методом перемещений 91
Находим С= = 00 — 10 — А = Ар~ AiC~lCp~ 1Л2 1001-10 0 Г2 "2 9 б Ef, - Ср — А^КАр — О 1 1 — 1 5 б ~У2 О -4/2 4/2-| W 45 Л'К А — А’рКА 4s- 92
о о о 2 0 0 О I о ° ° 4- 0 0 0 0 — 55 10 45 190 45 —10 55 V2 10 /2 — 45 /2 10 И2 н и смещений, и для усилий в стержнях получаем тот же самый результат, ti<< по методу сил. 2»6с5» Матрица жесткости стержневой системы Рассмотрим более детально основное матричное соот~ ни ин кие метода перемещений (2.65), записав его следующим »>п|п|.<ом [341: Р - КЛ (2.69) »Ht • l под вектором й дальнейшем будем понимать комбинацию обобщенных сил, приложенных к узлам идеализированной стержневой системы, * игктор «||ц дгтавляет собой перемещения узлов в направлении действия ыл. Матрица /Со, связывающая силы и соответствующие нм пере- пиения, называется матрицей жесткости. 93
В развернутом виде эта матрица выглядит так; 1^11^12 • • • ^21^22 • • ^2j • • • ^2g • - • кц. . . kiq Л k(fl.kq2 • • -kqj. . . kgq Для выяснения физического смысла коэффициента жесткости запишем i-ю строку матричного равенства (2.69) РI = 4" ^2^2 “Г ’ • ktfSj ki(fiq. Полагая б/ — 1, а б^/ = 0, получим Pi ~ кц, t. е. кц — сил возникающая в узле I, когда перемещения 6j = 1, а все остальМ перемещения нулевые. Используя теорему о взаимности работ, можно показать, fl ktJ = Ьц> т. е. матрица жесткости всегда симметрична. Если в узлах действуют в общем случае силы и моменты, fl раскладывая их по координатным осям, будем иметь для i-н узла I P'i ^\PxtPViPaMxtMviM^. (211 Соответствующие обобщенные перемещения узла также будр матрицей-столбцом, элементами которой являются перемещен!! по координатным осям и углы поворота (2.7 Связь между обобщенными силами н перемещениями по-прсж нему определяется соотношением (2.69), только элементы fl матрицы жесткости Ко в (2.70) будут уже подматрицами раз Л ром 6X6. Например, для балочного элемента, показанного на рис. 2. pj-isehu < 94
Pt и соответствуют выражениям (2.71), (2.72), а подматрицы ми вид EI 1 0 0 0 0 0 0 12Е!Я Р 0 0 0 6Е72 Р 0 0 12л/и Is 0 — №1„ р 0 0 0 0 GIX ~Г 0 0 0 0 f>EIv Р 0 4£j„ 0 0 6EIZ Р 0 0 0 4Е/2 1 --Т- ° 0 0 0 0 о 0 0 0 6И2 р 0 0 — р 0 6Е1ц р р 0 0 0 0 GI* / 0 0 0 0 6Е/Ь Р 0 2£/„ ~т~ 0 0 — 0 0 0 2Elz 1 4- о о 12£4 —р~ 0 0 0 0 0 0 — 0 6£/2 Р 0 0 к„ = 0 0 0 0 0 12EZ,, /8 0 6Е/р Р 0 0 GBly р 0 0 iEtl‘ 0 0 0 0 0 4£/2 1 95
Для практических вычислений удобно использовать сквовЛ нумерацию компонентов узловых обобщенных сил и перемцА иий, т. е. вместо (2.71) и (2.72) писать P't = II Ры—вРы—iPsi—зРы—2?Ы—iPei I]. (2 Я ££ = II £«—5 .............$6/ []. Поскольку составляющие векторов Pt и связаны с коордиЛ ными осями, элементы матрицы жесткости зависят от приняЛ системы координат. Для вычисления матрицы жесткости отдельных элемеЛ может оказаться удобным использовать для каждого элем Л свою (местную) систему координат, которая выбирается так, ч*Л вычислительная работа была минимальной. В этих случаях поЛ построения матрицы жесткости в местных координатах ну.« перейти к общей системе координатных осей. Пусть х, у, z и хг yt z — соответственно местная и общая А стемы координат. Силы и перемещения элемента в этих систеЛ обозначим Р и Р, 6 и 8. При проектировании перемещений б (линейных н угловЛ на местные координатные оси получим связь вида К = ЬЬ, (2.1 где Lt — матрица направляющих косинусов (косинусов упв между осями х, у, z и х, у, г). Так как в любой системе координат соответствующие ком® иенты сил должны совершать одинаковую работу, то Р'& = Р&. (2 Л Используя (2.75), получим P'^i^PtL^, откуда Pi - LiPt. (2 В связи с тем, что Р, = КД (2.TI и в силу (2.75) и (2.76) Pt=HKilA, т. е. (2 Я Таким образом, если матрица жесткости элемента в местной® стеме координат известна, для ее вычисления в общей системе ординат достаточно построить матрицу направляющих косин® и воспользоваться формулой (2,79).
Jilin ле нахождения матрицы жесткости отдельных элементов Н-1 питой системы, приведенных к единой (общей) системе ко- । । переходят к построению матрицы жесткости всей си- и|.| Поскольку для удовлетворения условий равновесия в про* hpiubiioft i-й узловой точке компоненты обобщенной силы Pi ► пл равняться сумме компонент сил от всех элементов, соеди- *11111 хея в этом узле, т. е. р, = Е р¥', е I» Р1г) —сила, приложенная к Z-му узлу со стороны элемента г, • I и>днм к следующему очевидному правилу для вычисления Ининой подматрицы JKij матрицы жесткости /Со« Кч = Е /$’ (2.80) суммирование ведется по тем элементам г, к которым одно- »| НА«’ппо принадлежат узлы I и /. Д I ющее формирование матрицы жесткости сложных систем |>*|1мигизироваио и производится с помощью ЭВМ. Поэтому про- *>|| правило (2.80) очень удобно, так как сразу после нахожде- । нм коэффициента для отдельного элемента он может быть не- Ukicniio заслан в соответствующую ячейку памяти вычисли- । ной машины. 11|»и выводе матричного уравнения равновесия (2.69) стержне- Ми система предполагалась свободной, т. е. система алгебраиче- • mi к уравнений Мх + kA -I--------1- klq6q == Pt (i =: 1, 2..q) (2.81) и ржит в себе в общем случае шесть уравнений равновесия, ко- 1-||п.!с соответствуют шести степеням свободы всей конструкции инк абсолютно твердого тела. Это приводит к тому, что строки м 1рицы жесткости связаны между собой линейными зависи- MiH гмми, т. е. эта матрица будет вырожденной (ее определитель рйш'ц нулю). Перемещение стержневой системы как жесткого целого можно >< т ранить, закрепив ее статически определимым образом — I общем случае необходимо наложить шесть соответствующим нбрнзом ориентированных опорных связей. Исключив из матрицы /Со строки и столбцы, соответствующие узловым перемещениям, на которые накладываются кинематйче- <!<»<• связи, получим уже невырожденную матрицу /Со» т. е. вместо (2.69) имеем P* = /C0*6*. 4 И. Ф. Образцов и др. 97
Отсюда при заданных нагрузках можно вычислить узловые пет мещеиия конструкций в общей системе координат: «* = [КоТ1Р*- (2.1 После этого по формулам (2.69) и (2.67) находятся nej мещеиия и узловые силы в каждом элементе стержней системы. Изложенная процедура матричного метода перемещений, Korj за основные неизвестные принимаются перемещения узлов, пре, ставляет простейший пример использования метода конечно элементов, широко используемого при решении различных и нических задач. Этот метод в общем случае излагается в гл.
ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ПЛАСТИН 3.1. ОСНОВНЫЕ ГИПОТЕЗЫ И УРАВНЕНИЯ 3.1.1. Расчетная схема пластины. Гипотезы Кирхгофа Плоские панели различных очертаний являются широко । пространенными элементами летательных аппаратов, они опи- амшпотся теорией тонких пластин. Пластина—это тело, ограни- двумя параллельными плоскостями, расстояние между кото- рынн h (толщина пластины, которая далее считается постоян- <<*]) мало по сравнению с размерами в плане. Введем систему ко- ..рииат, показанную на рис. 3.1. Плоскость z = О, делящую рлщнпу пластины пополам, назовем срединной плоскостью. • И|>|‘юк нормали тп к срединной плоскости, заключенный между Плоскостями, ограничивающими пластину, назовем нормальным Ьмцнтом. В общем случае на пластину может действовать си- ivmii поверхностных нагрузок иа плоскостях z — ±Л/2 (рис. 3.2), I м к-ма объемных и контурных сил, вызывающих в совокупности («a f цжеиие-сжатие, сдвиг и изгиб пластины. II принципе пластина, как и любое упругое тело, описывается </|щими уравнениями равновесия теории упругости (1.3), ЦП), (1.11), полученными в гл. 1, т. е. уравнениями равнове- • ип + = (3') ^+^,+^+у=0. (3.2) 4?-+-^+^-4-2 = °; (3.3) дг 1 дх 1 ду 1 ' ' । •метрическими соотношениями ди dv ди . ди дх ’ — ду + дх • (3.4) да) ди . dw dv . dw Т~ = -&+-аГ-ти = -а-+-^- (3-5) 99
Рис. 3.1. Система координат и напряжения, действующие э пла и законом Гука в« = 4" (°« — Р®» ~ = -g~ (°у ~ Р°» - Р°.)> Т«-в= - * ' e. = -g-(a, И®,-р<тДТ« (3) где G = Е/2 (1 4- р). Статические граничные условия на поверхностях 2 — ±Л/2 име*Ц следующий вид (см. рнс. 3.2): при z = Л/2 тха — gxt. = - qyit ож = - <?г1; при г-Л/2 тХ! -- qxit - qyi, о* = — ^3. Ч Толщина пластины h мала по сравнению с размерами пластине в плане. Это обстоятельство позволяет ввести ряд гипотез „ суще ственно упрощающих исходные уравнения (3.1)—(3.7). Так» гипотезы были предложены Кирхгофом* они формулируют^ следующим образом. 1. Нормальный элемент тп (см. рис.. 3.1) в процессе деформ! ции пластины: а) не изменяет своей длины; б) остается прямым и нормальным * Рис. 3.2. Нагрузки, дей- ствующие ка поверхно- стях пластины поверхности, в которую переходит в рс зультате деформации срединная пло| кость. 2. Напряжения <Угя действующие пп плоскостям z == const, пренебрежимо мапи по сравнению с основными напряжениями Гипотезы Гнрхгофа являются по су ществу обобщением закона плоских с- чений* используемого прн расчете би> лок. юо
3.1.2. Вывод уравнений теории тонких пластин Преобразуем исходные уравнения (3.1)—(3.7) с учетом Шлгкмих выше гипотез. Из гипотезы 1а следует, что е* — О, j и • ^гласно первому равенству (3.5) dwldz — 0 и w = w (х, у). 1Ь||-м«чценне w является основной неизвестной функцией в тео- *«п нимба пластин и называется ярогибом пластины. Сопостав- им Гипотезу 16 с определением деформации сдвига, можно заклю- Kh, что yxs = yvx = Оз т. е. согласно равенствам (3.5) Йи I dw — П dv — л -аГ' + -эГ = 0’ + Нитрируя эти соотношения по z с учетом того, что w не зави- •I • О! z, получим u=.-z^- + u„(x, у), = + У)- (3-9) to< I. введены две произвольные функции и0 (х, у) н v0 (х, y)t Kpju-i нвляющие собой перемещения точек срединной плоскости О по осям х и у. Подставляя (3.9) в (3.4), найдем деформации в плоскостях, параллельных срединной м д2а> " ~д^~ д2и> ди0 d^w _ в=’~'~дГ~г'д^’ е*— ду „ — й“« с _ Оу Тад “ ду + ах 2г (З.Ю) г < смотрим теперь соотношения (3.6). Отбрасывая в соответствии гипотезой 2 с2, запишем этн соотношения в виде ЕЕ Е •. — ' | р> (®» + 9pt)- °у = 1 _pi (eu + l18»)' г«а = 2 (1 4- р) Тад- |-.|да с учетом деформаций (3.10) получим Г <’» = Т^[^ + 9-7Г~г(-7йг + 1‘-7$-)]. = + + (3.11) т»« = £(ТТ)0 + ‘^‘ “ 2г"^)- Равенства (3.11) позволяют сделать важный для дальнейшего hi люд: распределение напряжений и по толщине п ла- пши включает постоянную, не зависящую от г составляющую, мнорая статически эквивалентна распределенному усилию, и 101
линейно зависящую от z составляющую, которая эквиваленте моменту. Введем усилия и моменты по формулам ft/2 Й/2 ft/2 Nx= [ uxdz; Ny~ J avdz-, Nxu= f x^dz; (З.Ш —ft/2 —ft/2 —ft/2 Й/2 ft/2 ft/2 Mx = J axzdz; Mv~ J uyzdz, Mxv = J xxvzdz. (З.Ц —ft/2 —ft/2 —ft/2 Подставляя значения напряжений (3.11), получим N, = В (eg + |»е», N, = В (е« + jxe"). N„ = и> й»; (3. И М* = D (и* + [лхД Му = В (Ку + jixJ, Мщ = (1 — ц) хет, | (3-lj гдев-^, + (3.|| х. = -^-.х,= _^-.хвд=-2-^-: (3.1 Соотношения (3.14) связывают нормальные Nx, Nv и сдвиг» ющее NXy усилия с относительными деформациями е£, е£, срединной плоскости. Параметр В характеризует жесткость плс стины при растяжении-сжатин. Соотношения (3.15) связывЯ изгибающие Мх, Му и крутящий Мхи моменты с кривизной к, кривизной %у и кручением пху поверхности, в которую передЛ срединная плоскость в результате деформации. Параметр & называемый цилиндрической жесткостью, характеризует изгиб ную жесткость пластины. ' Соотношения (3.14)—(3.17) при условиях (3.12), (3.13) пол ностью эквивалентны равенствам (3.11). Действительно, подстил ляя в (3.11) производные от перемещений через усилия н моменты нз соотношения (3.14)—(3.17), получим о с - с 12Мху I h + /F“z- || (3.1ч Таким образом напряжения однозначно выражаются через виг денные усилия н моменты, а онн, в свою очередь — через три перемещения и0 (х, у), р0 (х, y)t w (х, у). Следовательно, гнпоте^ | Кирхгофа позволили значительно упростить задачу — исходит трехмерная задача об определении перемещений и (х, yt z), f (• У, z) и ш (х, у, z) приводится к двумерной, т. е. к определении' функций «0, v0, w, зависящих только от двух переменных. 102
Рис. 3.3. Усилия и моменты, действующие на элемент пластины Выделим теперь двумерный элемент срединной плоскости и приложим к нему усилия и моменты с соответствующими прира- V пнями (рис. 3.3). Направления усилий н моментов соответ- Киуют направлениям напряжений, показанным на рис. 3.1. 1й|1Шшем уравнения равновесия выделенного элемента — суммы проекций действующих усилий на осн х, у, г н суммы моментов гчпоентельно осей у и х >+^+?« = 0,-^+^ + ?1 = 0; (3.20) ^+^+?. = 0; (3.21) ^ + ^-Q.+/n=. = o, ям ам (3-22) ^ + ^-<?в + т, = 0. Здесь qx, qy, qz н тХ1 ту — поверхностные силы и моменты, приведенные к срединной плоскости пластины. Их связь с внеш- ними поверхностями (см. рис. 3.2) н объемными нагрузками будет установлена ниже. Можно заметить, что в уравнениях (3.20)—(3.22) введены два новых усилия — перерезывающие силы Qx н Qy, которые яв- лиются равнодействующими касательных напряжений и tpz р м. рнс. 3.1) h/2 ft/2 — j ^cczdz, Qv= f Vyzdz. (3.23) —ft/2 — ft/2 103
Установим связь между уравнениями равновесия элемент срединной плоскости (3.20)—(3.22) н дифференциальными ура иеииями равновесия теории упругости (3.1)—(3.3). Ввиду топ что согласно принятым гипотезам напряжения однозначно вн ражаются через усилия и моменты формулами (3.19), естествен!! предположить, что и уравнения равновесия в рассматриваема приближенной теории пластин должны выполняться ннтегральд в отношении усилий и моментов. Действительно, интегрируя по уравнение (3.1) h/2 +^ + х)<ь=о —h/2 и учитывая, что в соответствии с равенствами (3.12) и граничны» условиями (3.8) h/2 6/2 h/2 f Az - - f d*** dz — Жху f dxxz I J dx az~~ dx ’ J dy az~fy~’ J dz az ~ 4x2±4xi, —h/2 —h/2 —h/2 получим первое уравнение (3.20). Осуществляя аналогична преобразования для уравнений (3.2) н (3.3), можно записать ец» два соотношения, т. е. получить уравнения (3.20), (3.21) для усилий, в которых (см. рис. 3.2) принято 6/2 h/2 Ях — 4x1 ~ 4x2 4- J X dz, qy == qvi — qy2 -|- -h/2 4z — 4zi — h/2 zdz. 41 (3.21 Перейдем теперь к уравнение (3.1) иа h/2 уравнениям моментов. Для этого z и проинтегрируем по толщине умиожи пластин —h/2 ^+X)z& = 0. Учитывая, что рогласно (3.13) h/2 h/2 J ox ox J dy dy -h/2 —h/2 и интегрируя по частям с учетом (3.8), (3.23) h/2 й/2 J ~dz~ Ь/2 — J ЧЬсг dz =------(«7*1 + 9*2) — Q*» —h/2 —h/2 104
поучим первое уравнение (3.22). Преобразуя аналогичным обра- ^отношение (3.2), можно в результате получить уравнения м Киппов (3.22), в которых ft/2 ”lx -----2* (9к1 + Цхъ) + J X’z dz, ~Z <3-2S) т„ = -^(qyl + qV2)+ J Tz*- —Л/2 fail нм образом, в теории пластин уравнения равновесия теории . ируюсти удовлетворяются в отношении усилий и моментов. Итак, теория пластин в основном построена. Деформации «н-гнны определяются тремя перемещениями и0, t»0, wt относи- 0.1 иными деформациями и функциями кривизны ех, в£, уху, • «ху, а напряженное состояние — усилиями Nx, Ny, Nxy, К, Qu и моментами Мх, Му, Мху. Эти 17 неизвестных функций •и ременных х н у должны удовлетворять системе 17 уравнений, ||!лючающей пять уравнений равновесия (3.20)—(3.22), шесть |]п шческих соотношений (3.14), (3.15) и шесть геометрических Кн ношений (3.16), (3.17). Перемещения и, v, w и напряжения сх, L Тад определяются формулами (3.9) и (3.19). , Можно заметить, что полученная система уравнений разде- лится на две независимые подсистемы. Действительно, восемь уравнений (3.14), (3.16) и (3.20) включают восемь неизвестных Nx, Vi, Nxy, е°, е£, уху, м0, v0, которые определяют иапряженно- формированное состояние в плоскости пластины, а девять ||>пннений (3.15), (3.17), (3.21) и (3.22) включают девять неиз- ri l i-пых 7ИЖ, Му, Мху, Qx, Qy, хж, ку, кху, w, которые опреде- /1и»от иапряженно-деформированное состояние пластины прн нз- |цбс. В связи с этим в дальнейшем будут раздельно рассматрн- цнься задачи о плоском напряженном состоянии и изгибе ПЛ.1СТИН. Прежде чем перейти к приложениям построенной теории, сде- jiii'm еще одно существенное замечание. При выводе формул (3.9) m меча лось, что гипотезы Кирхгофа, иа которых основана теория пл. юти н, по существу соответствуют равенствам ег — ухг = * Уиг — 0. Казалось бы, что при этом нз закона Гука (3.7) должно иидовать, что тЖ2 = 0 и xyz = 0, однако в уравнениях равно- и«'ия (3.21), (3.22) фигурируют перерезывающие силы Qx и Qy, валяющиеся равнодействующими напряжений тж2 и ту2. Из рис. 3.3 /адует, что прн отсутствии Qx и Qy не может быть обеспечено Винновесие элемента в направлении оси z, т. е. имеет место про- пгворечие между уравнениями равновесия и законом Гука для до формации с индексом 2. Появление такого Противоречия яв- ляется совершенно естественным — следовало с самого начала ожидать, что введение дополнительных предположений — гипотез 105
Кирхгофа — приведет к построению приближенной теории, в В1 торой некоторые соотношения полной системы уравнений теори1 упругости не будут удовлетворены. Поскольку условия равное сня должны быть выполнены, остается признать, что в теорй пластин нарушается закон Гука для напряжений н дефор маци| с индексом 2. Напряжения тхг, хуг н oz находятся нз уравненй! равновесия (3.1)—(3.3). Действнтельно, подставляя напряжена! ож, ?хд из (3.19) в уравнения (3.1), (3.2) и интегрируя по ледние по z с учетом уравнений (3.20), (3.22), получим (з.| Подставляя (3.26) в уравнение (3.3) н интегрируя его по 2 с у н том уравнения (3.21), найдем / I । 3z 2z3 \ , °*----9('т+_й 7?-)- <3- Ввиду того, что равенства (3.26), (3.27) обычно используют^ в задачах изгиба пластин, при их выводе предполагалось, что iff пластину действует только давление q по поверхности z = —М т. е. принималось (рис. 3.2) X = Y = Z — 0; qxl = qxt " Qyl = = ?Z2 я ?Х1 = 3.2. ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПЛАСТИН 3.2.1. Исходные соотношения Система уравнений теории пластин разделяется 1и две независимые подсистемы, описывающие нагружение в плосм сти пластины и ее изгиб. Рассмотрим случай, когда пластид нагружена контурными силами, лежащими в ее срединной пли скости и вызывающими в ней напряженное состояние, которп называется плоским (рис. 3.4). Рис. 3.4. Пластина, находящаяся в условиях плоского напряженного состояий» 106
г | шишем для этого случая систему уравнений теории пластин, ц«>. шлющих усилия Nx, Ny, Nxy, деформации ех, е₽, уху н пере- Бинля и и о (поскольку напряжения, деформации и переме- ни равномерно распределены по толщине пластины, индекс Б, ^означающий соответствующие составляющие в общих со- Ишпкииях разд. 3.1, в дальнейшем опускается). Уравнения ^•шппвссия (3.20) прн qx = — 0 принимают вид dKVx _ 0 Ы/у = 0 (3.28) дх ' ду ’ ду * дх ' |f* согласно равенствам (3.19) Nx = oxh, Nv = (jyh, Nxy = rxyh. (3.29) ♦н нческие и геометрические соотношения (3.14), (3.16) записы- м h ня в форме H/V„ = В (е. + [ЛЕ,), N, = В (в„ + jieJ, Nxy = 0,5В(1 — p)V„,, (3.30) ди dv ди . dv Ъ = ~дГ> (3.31) IMP И = ЕЫ(1 — р8). Ж* >'мь уравнений (3.28), (3.30), (3.31) включают восемь неизвест- UteK Распространенным методом решения полученной системы * мнется решение задачи в функциях напряжений, изложенное |лпд. 1.1.3 гл. 1. Согласно этому методу основная система урав- U1Iи включает уравнения равновесия (3.28) и уравнение сов- I и пости деформаций, которое может быть непосредственно no- il пню из соотношений (3.31) н имеет вид । = „fflay..., (3.32) др J дх* дхду ' 7 Ъшк-ывая (3.32) через усилия с помощью соотношений (3.30), «учим -~(NX - ^Ny) + - рЛУ = 2 (1 + р)-g^-. (3.33) лини образом, имеем три уравнения (3.28), (3.33), включающие 111 неизвестных усилия Мх, Му, NXy. Эти трн уравнения можно I плести к одному введением функции напряжений Эри <р = = <3-34) Hi вставляя усилия (3.34) в уравнения (3.28), (3.33), можно убе- лп.ся в том, что уравнения равновесия (3.28) тождественно удов» л«гворяются, а уравнение совместности деформаций (3.33) при- нимает вид VV<p = 0, (3.35) v2v2= С—+ -^-V= —+2=-^—. (3.36) v v \ ах‘ ’ ) ах1 + ах» aj» + дуа ' ’ 107
Таким образом, задача о нагружении пластины в своей плоско! сводится к решению уравнения (3.35). Это уравнение подроб| исследуется в курсе теория упругости (см.в например, 1161) 3.2.2. Однородное плоское напряженное состояние В панелях крыла и фюзеляжа самолета, в стенка! лонжеронов и нервюр реализуется напряженное состояние, кот»» рое приближенно можно считать плоским н однородным, т. I не зависящим от координат (рис. 3.5). Такое состояние описи вается функцией напряжений вида <₽=4- w+4- - N°^y- (ф Уравнение (3.35) при этом тождественно удовлетворяется и <(> гласно (3.34) Nx — N£, Ny == Nxy — Считая усилия N. Nyi Nxy заданными, найдем перемещения. Из равенств (З..Л н (3.31) имеем = 4г <"« - н^). > = 4- (3 J 2(»4-р) N ,ззй ду дх Eh xv' Интегрируя равенства (3.38) с учетом того, что усилия постоянно получим “ = <-N° - н№)+/ (р). V=W - р№)+/2 (х). Подставим о и о в (3.39) /i(y) + №) = -2(lah^-<. Это соотношение может быть выполнено, если К(У) = С1. /2(х) = с2, Рис. 3.5. Пластина, находящаяся в ус- ловиях однородного плоского напря- женного состоиния „ t „ 2 (14-и) ..о NXy, т. е. А = Ctf + с9, Ъ = с, 4 = к + г* и тогда и ~~ j + С^У + сз» в + С2х + ,4, где ci + с2 = 2-(1£^|1> I Закрепив начало координм! О от смещений по осям хи т. е. положив и (0, 0) = и v (0, 0) — 0, найдем са == с4 = О 108
<ин«*А угол поворота пластины относительно начала координат |Н|»чн'ляется равенством (см. рнс. 3.5) 1 / ди dv \ -----аг)- Пмппыя о) = 0, получим ct = c2t т. е. v = -Eh (W‘ ~ "«' 3.2.3. Концентрация напряжений в пластине с отверстием Рассмотрим важную для приложений задачу о растя- •< ник пластины с малым круговым отверстием (рис. 3.6) — Нио чу Кирша. Введем полярную систему координат (г, 6), свя- и и ую с декартовыми координатами соотношениями х — г cos 6, у — г sin 6, А-г f г/2 -- Д 6 = arctg (у/х). (3.40) (I |н анализа напряженного состояния в окрестности отверстия К'Плодимо записать полученные выше уравнения в полярных >мпрдлнатах. Эти уравнения можно вывести непосредственно, рнматривая элемент в полярных координатах, или путем пере- йди от декартовых координат к полярным. Из равенств (3.40) •«••им df х л дг у . п дх /х2 4- уа V х3 + р» 00 у _ &5п 0 60 _ х _ cos 6 дх' = х* 4- у* “ ’ ” г ' ду ~ X1 -}- у* ~~ г hi" млтривая некоторую функцию f (х, у} как сложную функцию переменных г и 6, получим ‘V df о 1 £>/ xsine. -^-=-g-sin0 + + 4'=S“cos0; - d‘f co^S 2 ih- ~ ar' C0b B ar,ir x I iilnO — cost* . df sin26 ! г г dr r + df sin 0 cos 0 d2f sin8 fl , 11 de г’ + ae» /« ’ Рнс. 3.6. Растяжение пластины с кру- говым отверстием 109
dzf I 2D I О &2f Sin0 COS 6 . Of COS2 6 dy* dr* 1 dr dd r 1 dr r Q df sin 6 cos 6 . d*f cos2 6. ~ 2 dd dd2 t* ’ 87 - 87 clnBcocB I 87 cos2e df cos29 dxdy ~ dr* sln JCOSU Г Qf-QQ T dQ ri df sin 6 cos 6 d*f sin 6 cos 6 , _ _ 002 W = _^L+ _L_^L + A v 1 dx* ' dy* dy* r dr r* d& * С учетом равенств (3.41) основное уравнение плоской задач (3.34) принимает вид (_&___ij____LjJ______!L\/g2<P а- 1 -4 1 g2<pA-о /3 42) k dr* + г dr г* 302 A dr* + г dr + г* &Q* 1 “U' Запишем теперь связь между усилиями Mrt N&, Nr$ и функцией напряжений <р. Заметим, что при 6 = 0 (см. рнс. 3.6) Nx = N Ny = Ne, Nxy = Nre. Используя равенства (3.34) и переходя от декартовых координат к полярным с помощью формул (3.41) в которых следует принять 0 = 0, окончательно получим л/ —______________1 glP I 1 g8<P г \ду* /е=о“ Г dr ~1~ f* &Q* ’ 3.4 Л7 — / а2ф \ ______1 а2<р , I d(f rB \ dxdy /е=0 Г drdd г г* ' Рассмотрим теперь пластину, показанную на рнс. 3.6. Функция напряжений, соответствующая равномерному растяжению вдоль оси, в декартовой системе координат согласно (3.37) имеет вил Ф1(*, у) = (1/2) а в полярной системе координат в соответствии с (3.40) получим Ф1(Л 6) = (l/2)/V?rW0 = (l/4)JV°r2(l-cos2e). (3.44 Этой функции согласно формулам (3.43) соответствуют усилия W=-^-(l+cos2B), W = -^-(l-cos29)> ОД’ = -^-з1п2(1 (3.48) Учитывая структуру формулы (3.44), зададим искомую функция» напряжений в виде Ф = /1 (г) + /2 (г) cos 20. (3.40) ПО
Il'lit гавнв выражение (3.46) в основное уравнение (3.42), получим ( <>' , J_. 1 \ / 4° 1_d___4_т 1 ,/>г 1 г dr )\dfl ' г dr )'\ dr- ' r dr г» ) ' xO+-r^r-^-Mcos28 = 0- *iii уравнение должно быть выполнено для всех значений 6. Ьй’довательно, функции (г) и /8 (г) должны удовлетворять н-нкиовенным дифференциальным уравнениям (JL . 2__LW£h + _L Jh.\ = о \ dr2 ' г dr / \ dr2 ’ г dr ) * \ dfl ' г dr fl ) V dr- ‘ r dr fl /2/ ’ ОГицие решения этих уравнений приводят к функции напряжений <р= (с1г21пг + с2г8 + с31пг4.<;4) + + {v‘ + V1 + уг + cs) cos20, |Лг ct — постоянные интегрирования. Согласно формулам (3.43) усилия Принимают вид £ = с, (1 + 2 In г) + 2с2 + - (2с6 + cos 20, М> = Ct (3 + 2 tar) + 2ся - % (2с6 + ^. + cos20, (3.47) = (2с, + 6с/> - %- - ^-) sin 20. При достаточно большом удалении от отверстия (при г -*• со) л плия (3.47) должны совпадать с (3.45). Отсюда следует, что ,, = с6 = 0 и 2с2 — 2с, cos 20 = (1 /2) Л’° ( + cos 20), 2c2 + 2c5cos20 = (l/2)tf’(l -cos20), (3.48) 2cs sin 20 = - (1/2) sin 20. 11.1 контуре отверстия г = rc усилия Nr и Nre должны обра- ^даться в нуль, т. е. 2ся + ----(2се + -^-+ cos 20 = О, г0 \ 'О ‘О' 2с6 + -^---^- = 0. 41 ЛО (3.49) П:< уравнений (3.48) и (3.49) получим • В — ~ О'о? С8 —----°0э “-----4" ^01 ------4— 111
Окончательно усилия (3.47) принимают вид =4 О - 4) +44 •+-4 - - г®- . ^=4(i+4)-4(1+4)“s28- <3| ^=-4(i-4-+»20- Анализ формул (3.50) показывает, что нормальные тангенциалЬ i ные усилия Nq принимают максимальные значения 3N% на кои цах диаметра, перпендикулярного направлению растяжения (см рис. 3.6), т. е. коэффициент концентрации напряжений в рас сматриваемом случае равен трем. Решение (3.50) построено в предположении о том, что ширим пластины достаточно велика. Для оценки минимально допустимой ширины пластины рассмотрим изменение усилия Nq по оси | (при 8 = эт/2). Из (3.50) имеем ^(г, я/2)=4(2+4-+34) Из этой формулы следует, что при у — Юг© Nq отличается от А\ на 6 %, т. е. полученное решение можно считать удовлетвори1 тельным, если ширина пластины более чем в 10 раз превышав диаметр отверстия. При растяжении усилиями Ny вдоль осн у в формулах (3,50) следует заменить 6 иа (л/2 + 6), т. е. ^=4(i+4)+4L(i+4)cos20- <з-|> Рис. 3.7. Сдвиг пластины с круговым отверстием Ме = ^(1 -^ + -^-)sln2« Если на растяжение вдоль oG х с усилиями №х= N наложит!, сжатие вдоль оси у с усилиями Ny — —N, можно получить С1» стояние чистого сдвига в коор дннатах xlt yt (рис. 3.7). Пи лагая в равенствах (3.50) ЛГ*- = ДГ, складывая их с соотвп ствующими равенствами (3.51) 112
ii|ui /V!} = —N н совмещая ось xt с осью x (т. e. заменяя В на I I jl/4), получим = - N (1 sin 20, = W (1 + sin 20, (3.52) N%~-N (1-J± + M)cos2e. Мишимальное значение усилия N™ в рассматриваемом случае |||||1по 4А\ т. е. коэффициент концентрации напряжений равен ч трем. В общем случае плоского напряженного состояния распределе- ние усилий может быть получено алгебраическим сложением со- «шнтствующнх равенств (3.50), (3.51) и (3.52). з.з. Изгиб прямоугольных пластин 3.3.1 • Уравнения теории изгиба пластин и граничные условия Рассмотрим теперь случай изгиба пластины попереч- ной нормальной нагрузкой q (х, у) (рис. 3.8). Ввиду того, что •• плоскости пластины внешних сил не приложено, из системы уравнений (3.14), (3.16), (3.20) описывающей плоское напря- жение, следует, что и0 = v0 = 0, Nx = Nxy = Ny = 0, т. e. ii i перемещений срединной плоскости в теории изгиба пластин ос тается только прогиб w (х, у), а из силовых факторов — мо- менты Мх, Му, Mxv и перерезывающие силы Qx, Qy (см. рис. 3.8). Перемещения точек пластины определяются равенствами (3.9) при и0 = и0 = 0, т. е. и=_г_^, р==_2 (3.53) dx ду к 7 Установим геометрический смысл этих равенств. Из рис. 3.9 глсдует, что при изгибе точка А смещается в, направлении оси х и положение причем А Ах = —и = z tg а. Но tg а = dwldx, t. е. получаем первую формулу (3.53). Таким образом, производ- ные dwldx и dwldy являются углами поворота нормали к средин- ной плоскости в направлении осей х и у в пределах рассматривае- мой, линейной теории изгиба пластин. Изгибающие и крутящий моменты связаны с кривизной и кру- чением поверхности, в которую переходит при изгибе срединная плоскость, соотношениями (3.15) = £> (их + рх„), М„ = D (к„ + цхх), 2Ига = - j- (1 — (1) (3.54) из
Рис. 3.8. Изгибаемая пластина Рис. 3.9. Смещения точек пласта где D — £Л3/[12 (I — р2)] — изгибная или цилиндрическая сткость платины. Кривизна и кручение выражаются через прон w формулами (3.17) д2™ d2w „ д2о> ,п . &2 'ЛЧ— — 2 (3-3 Уравнения равновесия согласно равенствам (3.21), (3.22) имел вид ^'-+->+9 = 0; (3.5 ^+-^-<2.=0. ^-+^l_q₽=o. (3.J В соответствии со схемой нагружения, показанной на рис. 3.8, и формулами (3.24), (3.25) в уравнениях (3.21) и (3.22) принято Яг = Ягз = тх = ту = 0. Девять уравнений (3.54)—(3.57) включают девять неизвестны# Мх, Mxv, Qx, Qyt xx, %xy, w и определяют напряжений деформированное состояние пластины при изгибе. Эти уравнении можно свести к одному уравнению, включающему в качестве неизвестной функции w (х, у). Подставим с этой целью хЛ, и %ху из (3.53) в (3.54). Получим лд _ , п / . ,, d2w \ л, „ г dzw . d2w \ М*~ ~D \Пыг + + 1 м — п п . Выразим теперь из уравнений (3.57) перерезывающие силы I = + = (3.51 дх 1 ду ’ 8у 1 дх ' или с учетом (3.58) О — О—а । \ л п , Лот (3.60) 114
Hi н почим Qx н Qy из уравнения (3.56) с помощью (3.59), т. е. д2Мх . „ д2МХу д*Му « /о с 1 \ 2 “ и’ Ниш 1 являя моменты из (3.58), окончательно получим d*w ~ d*w . д*ш _ q дх* +2 д&дуг'Т- ду* ~ D ... < учетом (3.36) V2V2ro = -^-. (3.62) • |Ь1>н!ение (3.62), называемое по имени французских механиков, •иорые впервые его получили, уравнением Софи Жермен—Ла- грппжа, является основным уравнением теорни изгиба пластин. |ьсли прогиб пластины найден, по формулам (3.58) и (3.59) Жнно определить моменты и перерезывающие силы н далее по ф|рмулам (3.19), (3.26), (3.27) — все напряжения, т. е. имх и3 ^Му ~КМху Д8 Z> (3.63) (* - -<-): <3-64> ^=-?(4+-Й—^)- (3.66) Гниение уравнения (3.61) должно удовлетворять граничным условиям, которые отражают характер закрепления нли нагру- Шгпия пластины по контуру. Рассмотрим типовые граничные условия: а) жестко защемленный край (рис. 3.10, с). Пусть, например, Прин х = 0 жестко защемлен. Тогда при х — 0 должны быть рпппы нулю перемещения, т. е. и = v = w = 0. Из первого ра- венства (3.53) следует, что dw/dx = 0, а из второго — что усло- а) Рис. 3.10. Условия закрепления краев пластаны — жесткое защемление (с); шарнирное опирание (6); свободные края (в) 115
лшшшн Рнс. 3.11. К выводу формулы обобщенной перерезывающей с -У в) вне и — 0 удовлетворяется автоматически, т. е. при w = fl dwldy = 0 прн х = 0. Итак, граничные условия имеют внд при х = const w ~ dw/dx = 0, прн у = const w = dwldy — 0, (3.66) т. е. иа защемленных краях пластины обращаются в нуль прогиб и соответствующие углы поворота; б) шарнирно опертый край (см. рис. 3.10, б). На шарнирно опертом крае обращаются в нуль прогиб и изгибающий момен! Например, для края х = 0 необходимо потребовать, чтобы w = и Мх = 0. Поскольку из условия w ~ 0 следует dwldy = d^wldy* ш > = 0 при х ~ 0, то с учетом (3.58) получаем, что прн х = 0,w = О н Мх = —D (dzw/dxr) ~ 0, т. е. условия шарнирного опнрани имеют вид прн х — const w — д211)1дхъ — 0, при у = const w = d*w!dy* — 0; (3.67) в) свободный край (см. рнс. 3.10, в). На свободном крае, на пример х — 0, отсутствуют напряжения их, ъху и тх2, т. е. в со< ответствии с равенствами (3.63), (3.64) должны выполняться! условия Мх = Мху — Qx = 0. Однако в рассматриваемся теории разрушающее уравнение (3.61) имеет четвертый порядок, т. е. для определенности решения на каждом крае должно быть не более двух граничных условий, как это н было в случаях защем- ленного н шарнирно опертого края. Три записанных выше усло- вия по существу статически эквивалентны двум, поскольку кру- тящий момент на крае сводится к паре перерезывающих сил. Действительно, рассмотрим край срединной плоскости х = О (рис. 3.11). Заменим момент М.ху dy на участке АВ — dy (см. рис. 3.11, а) парой сил Мху в точках А и В (по теории изгибл пластин моменты являются распределенными и имеют размер- ность силы). Аналогичную операцию проделаем и для соседнего участка ВС = dy. Тогда в точке В (н в других точках, поскольку! точка В является произвольной) образуются силы, показанные на рис. 3.11,6, статически эквивалентные распределенной перс-
Знающей силе Qi (см. рис. 3.11, в). Добавляя эту перерезы пщую силу к основной Qx и поступая аналогичный образом на м у = 0, получим обобщенные перерезывающие силы Кнрх- о:-Q.+^-, q; = с,+ <з.б8) |' помощью равенств (3.58) и (3.60) Q* н Q# можно выразить через |1|И‘| мб: | InKiiM образом, граничные условия на свободном крае имеют вид при х = const Мх = <2; = о, при у — const Ми — Qy = 0. 'hut могут быть записаны через w с помощью формул (3.58) и 11 Ii9). В заключение запишем выражение для полной энергии изги- I «мой пластины. Согласно формуле (1.24) Э - U — А. (3.71) Г1-»спциальная энергия деформации U определяется в общем Вдучае равенствами (1.19) и (1.23) и в рассматриваемом случае принимает вид U = 4" Ш <а*Е« + + Ww/)dx dy dz‘ (3-72) |десь sx, ъу и yKJZ в соответствии с (3.4) и (3.53) определяются I |1>11и*нствамн _______________ ди д8»________________ &и дга> ~ -fa ~ ~Z дх* ’ ~ ду ~ ду* ’ _ _ ди . dv____9 d*w Ужу ~~ ду дх дхду ‘ Осуществляя в (3.72) интегрирование по z от —А/2 до /г/2, с уче- ||<»м (3.13) получим v = 4" IJ (**«&• + м‘ dxdy- (3-73) 1’лбота поперечной нагрузки q на малом возможном перемещении w имеет вид А ~ J J qw dx dy. (3.74) 117
Окончательно, подставляя (3.73) н (3.74) в (3.70) н выражая f меиты через прогиб с помощью соотношений (3.58), будем им< П Г Г ( & Г/ d2w \2 г / &iw \2 I о 02U) d2w . <3-75) Как уже отмечалось в разд. 1.3.2, из условия 63 — 0 можно получить уравнение равновесия в функциях перемещений и ста- тические граничные условия. Вариационное уравнение для рассматриваемого функционала имеет вид (3.76; где F — подынтегральная функция в (3.75) и dF q д2 dF п d2w ( о д*ш dw D ’ д& ~ 2 ~д^~ + дх2 ду2’ \д* ) д2_____др r. dlw ду2 а ( d2ts> \ ' ду* ' дх2 ду2 ’ кЭу8 ) д2 dF___________-4/1 1 ^iw дхду .. / d2w \ ' ^дхРду2' \бх ду) Подставляя эти производные в (3.76), получим основное уравне ние теории изгиба пластин в форме (3.62). Осуществляя преобра- зования вариации полной энергии 8Э по схеме, аналогичной изложенной в разд. 1.3.3 для балки, можно получить также естественные граничные условия, которые определяются выведен-! ними выше соотношениями (3.66), (3.67), (3.70). Отметим, что приведенные общие зависимости строго справед ливы в том случае, когда срединная поверхность при деформации пластины представляет собой развертывающуюся поверхность. В частности, это имеет место при чистом изгибе пластины по ци линдрической поверхности. Если срединная плоскость изгибается в неразвертывающуюся поверхность, то рассмотренная теория и соответствующие зависимости будут достаточно точными, если возникающие в срединной поверхности напряжения малы по срав- нению с максимальными напряжениями изгиба. А это равносильно тому, что линейная деформация срединной поверхности мала по сравнению с максимальной деформацией изгиба, которая зависит от толщины пластины и ее кривизны при деформации. 118
3.3.2. Методы расчета прямоугольных пластин Рассмотрим основные методы, применяемые в строи- 1Г.1Ц.НОЙ механике для расчета изгибаемых пластин. Рассмотрим сначала некоторые частные случаи закрепления, И н которых возможны точные решения задачи. Решение в двойных тригонометрических рядах (метод Навье). М< 1<|д применяется для решения задачи об изгибе прямоугольной ширпирно опертой по всему контуру пластины при произвольной fi.определенной нагрузке q (х, у). Поместим начало прямоугольной системы координат х, у И пдин из углов пластины. Вдоль осей х, у пластина имеет раз- юры а и b (см. рис. 3.10, б). Разрешающее уравнение и граничные Кровия для такой пластины .определяются равенствами (3.61) ц (3.67), т. е. дх4 дхРду^ ду* ~ D * I При х == 0 и х = a w = д2ш/дхъ = 0, (3.78) при у — 0 и у — b w — д2ш/ду2 — 0. Представим решение уравнения (3.78) в форме М*. У} = S S(3.79) wi=J n=l Кик видно, при таком задании функции прогибов удовлетворяются line граничные условий. Подставим далее (3.79) в (3.77) и с учетом обозначения Ann<-^+-£-)2 = Bmn (3.80) получим 2 <3-81) т=£ п~1 Коэффициенты Втп этого ряда определяются по формуле а b г> 4 ( г . . . тпх . tiny , . Bm» = -SE- J J q(x, y)sta-i~sln-^-axdy, о о которую можно получить, умножив обе части равенства (3.81) на shi^sln^dxdy (k.l= 1, 2, 3,...) 119
и проинтегрировав результат по х^от 0 до а и по у от 0 до с учетом свойства ортогональности тригонометрических функци Таким образом, из (3.80) и формул для Втп следует 4 л_____________________ \ a2 (З.Щ т. e. решение определяется соотношениями (3.79) и (3.82). В част иости, при равномерном давлении q (х, у) = q0 имеем д ____W тп а г, / , «а V ' n*mnD Нзг + «г) w(x, у) п _ 16?° тп nbnnjy тп . тлх . tnrcy sin --sm -~ AiH,n=l,3,5...). Этот ряд быстро сходится. При т = п = 1 для квадратной пл стины (а = Ь) максимальный прогиб в середине пластины Wmax nejD отличается от точного результата на 2,5 %. Метод Навье можно применить также для расчета пластиИ иа изгиб при сосредоточенном воздействии. Для этого представп сначала, что на ограниченном участке действует распределенна! нагрузка = P/uv (рис. 3.12). В этом случае на основании (3.8* можно записать А тп Гт? n*Dab(^ + £+V7)+'T г f . mnx , ад , , I I sin-^stn—-axdj/» Отсюда после интегрирования будем иметь 4Psin^sln = ______а_____о лп l! mi 1 , тзш . rmv \ Sln-fT— Sin-XT- \ 2a 2b | тли тлу j < / Устремляя и и v к нулю, получим 4Psin^Si„ = л =° ь "" . "2 V 120
t. 3.12. Шарнирно опертая пластина Г мри локальном нагружении У Рис. 3.13. Пластина с двумя шарнирно опертыми и двумя жестко защемлен- ными краями | киласно разложению (3.79) будем иметь следующее решение, плкделяющее прогиб пластины, нагруженной сосредоточенной •mjhh'i в точке “ ж tTlZtE. . ПЛГ . ГП31Х . гзш ло \“Л sin—-sin—j—'sin---sin— ta (x, y) = -4P > > ______?____b ° b m=i n=l \ a’"*" b2 ) Решение в одинарных тригонометрических рядах (метод Леви). •I ir метод применим для пластины, два противоположных края |нгорой шарнирно оперты, а на двух других могут быть любые 1р/п1вчные условия. Пусть имеем пластину, шарнирно опертую по краям х = О, а (рис. 3.13). На границах пластины имеем условия (3.67), • « при х = 0 и х = a w — (Fw/dx* = 0. (3.83) Представим решение уравнения (3.67) в виде одинарного тригоно- Ьического ряда (*. У) = X м sln ’ (3-84) т=1 • «ждый член которого удовлетворяет граничным условиям (3.83), < (у) — искомые функции. Подставляя разложение (3.84) в уравнение (3.77), получим ^(y;„V^2^^ + ^rm)sin= = M. (3.85) т Ри .гожим теперь нагрузку q (х, у) в ряд, аналогичный (3.84), т. е. <?(*.!/) =2 (3.86) т= 121
где qm (у) можно получить следующим образом. Умножим щ вую и левую части (3.86) на sin (&лх/п) dx (k = 2, 3, ...) проинтегрируем результат по х от 0 до а. С учетом условий ор' тональности тригонометрических функций а С , тлх a клх . sin —• sin — dx = j a a о при m^k при m = k получим z \ 2 г . . , mnx . ?»(»)= у J ?(X, »)sln — dx. (3J Тогда уравнение (3.84) примет вид (у- - 2 У" + У„) sln^ = to) sin т т Так как это равенство справедливо при любых х, то, приравя вая множители при синусах с одинаковыми номерами т, получ /«-уравнений IV 9 Vй I mini V — т 1 т' 1 т D * Решение каждого из этих уравнений имеет вид Гт (I/) = Л тсЪ ch st + Cm sh + Dm у sh у + У1 (3.83) Частное решение Ут определяется в зависимости от вида внеш ней нагрузки, а постоянные Ат, Вт, Ст, Dm находятся из гр ничных условий на краях у — О, у = Ь. (З.НП Пример. Пусть q (х, у) — q0 — равномерно распределенная нагрузка, а кр у = 0, у = Ъ защемлены (см. рис. 3.13). Так как в этом случае прогибы сим* тричны относительно середины пластины, то перенесем ось х иа середину (нои положение оси х показано на рис. 3.13 штрихпунктириой линией). Тогда в сил симметрии прогиба по оси у в решении (3.88) следует исключить нечетные состав- ляющие, т. е. принять Вгп = Ст — 0. В результате получим Ут. (у) = Am ch кту + Dtny sb ^тУ + где = тп!а. Из равенства (3.87) при q = q0 имеем 9» = н£(т = 1’ 31 6’-) и частное решение Y^ можно принять в виде Ym = 4<7о (3.flfll 122
(•«.и.ку края у = d-b/2 (см. рис. 3.13) жестко защемлены, граничные условия BiJiuuoTCH в форме (3.66), т. е. И I/ ±&/2 w — dwldy = 0. (3.91) Uli ишляя (3.89) с учетом (3.90) в условия (3.91), получим следующие два урав- Itiin для определения Ат и Dm: Ащ ch tzm Т~ Dm sh ctm = — 4^0/(cXrnD)> Arn^m Sh dm + Dm (sh am + ch am) = 0, n m = Н.1ходя отсюда Am и Dm и подставляя их в решение (3.89) и далее исподь- формулу (3.84), получим функцию прогиба в виде (V у} = 4?0 V (sbctm+gmCbctTOlchXrey —Imfsham^ysh^ray х aD 5.. • 1т (От + Ch От sh am) , tnnx X sin----- a Ьлученный ряд достаточно быстро сходится. В частности, для квадратной пла- Ьш.1 (а = о) максимальный прогиб в центре (х = а/2, у = 0) при т = 1 со- KnuijicT Вдщах = O,002goc4ZD, что отличается от точного значения на 4 %. I В реальных конструкциях пластины могут иметь самые раз- йфбразные условия закрепления. Поскольку при этом точное Спгние, как правило, построить не удается, для расчета исполн- имся прикладные, приближенные методы, изложенные в разд. 1.6 »л. I. Проиллюстрируем приложение этих методов к расчету из- I шиемых пластин. * Расчет пластин методом Ритца—Тимошенко. Согласно изло- женному в разд. 1.6.1 функция прогиба представляется в виде «иисчиого ряда k w(x, JO = 2j AtWi (x, у), (3.92) f=l цс задаваемые (аппроксимирующие) функции (х, у) должны ^цоплетворять по крайней мере геометрическим граничным усло- жним. Неизвестные коэффициенты At определяются на основании •условий типа (1.71) <- = 0 (£=1,2,3...*), (3.93) |Дг полная потенциальная энергия Э вычисляется подстановкой (3 92) в выражение (3.75). Условия (3.93) приводят к системе линейных алгебраических уравнений, матричная форма которых имеет вид [а! L4] = [6], (3.94) 123
где [a], [bl — квадратная матрица и матрица-столбец порядка элементы которых определяются по формулам и — j j dx2 ffxi 4- dyi p dx, dyt -i- j 4- + 2(1_ц)^.^1^аг> 1 ' r' дхдудхду] 9t bi = j j QWi dx dy (i, f 1,2 ... k). Определив из системы (3.94) неизвестные коэффициенты Ai I подставив их в (3.92), получим искомую функцию прог ибо Точность результата зависит от количества членов в ряде (3.95 и характера выбранных аппроксимирующих функций. При прак> тических расчетах пластин этн функции удобно представлять I виде Щ (*. У) = Фт (*) Фп (У), (3.9В| при этом, если выбранные функции <рт (ж) и фп (у) будут ортого- нальными, то значительно упростятся как формулы для коэф фициентов Су в уравнениях (3.94), так н сами уравнения, так мк матрица [а ] станет диагональной и уравнения будут незавиЯ мыми. В этом отношении в качестве функций <рто (%), фп (у) можно рекомендовать формы собственных колебаний балкн, соответ ствующей изолированной полоске, вырезанной из пластины вдоль осей х, у. Граничные условия для такой балки должны состав ствовать условиям закрепления пластины на сторонах х — conel и у = const. При выборе одного члена разложения в качестю | функций ср, (%), % (у) можно взять форму статического прогибе. полоски-балки при нагрузке, аналогичной нагрузке на пластину, I или форму основного тона собственных колебаний, если нагрузке на пластину равномерно распределенная. В качестве примера рассмотрим прямоугольную шарнир® опертую пластину прн действии сосредоточенной силы Р, прило женной в точке с координатами 1] (см. рис. 3.12). Форму него мого прогиба представим в виде m~-k п*~1 Лга„81П^~Sln^. Я=1 п=1 Аппроксимирующие функции . тпх . . ппу 4>m = Sln —, <t„=Sln-j2
митлстворяют всем граничным условиям. Кроме того, для этих Цинний выполняются условия ортогональности г , тпх , ппх . I sin—-sin — dx Joe о (О при т = п а/2 при т^п [sln^sln^dff J о и (О при т^п Ъ{2 при т^п‘ I ni да коэффициенты ait = ат„ и &f = bmn в уравнениях (3.94) •нр оделяются по формулам __л*аЬР / /п1 ! я* \2 — —— V^--r-jr) > bral = Psta^sln!!55. I Неизвестные i4f = Лтд в уравнении (3.94) найдутся по фор- муле д Птп — Ьтп атп лг. . - ЯЯЧ 4Р sin —5 sin a b . krJ I «S V * + -gr) • искомая функция прогибов будет определяться выражением sta^sinS sin™sl„^ а о w(x,y)*= При а = Ь, 5 = т] —т — п = 1 максимальный прогиб «идратиой пластины при действии сосредоточенной силы в се- рдине пластины и учете одного члена в выражении для функции прогибов будет Щгт Рс» л«П Расчет пластин методом Бубнова—Галерки на. В задаче об n и ибе пластин этот метод, изложенный в разд. 1.6.2, используется цля приближенного решения разрешающего уравнения теории ни иба пластин (3.62), которое перепишем в виде дх*^ ^дх^ду-^ ду* D “U (б.Уо) Представим решение уравнения (3.96) в форме конечного ряда “ (*. у) = S AiWt (х, &), (3.87) J2S
где задаваемые (аппроксимирующие) функции (х, у) доли»! удовлетворять всем граничным условиям на краях пласти»! Неизвестные коэффициенты определяются из условий thF (1.76) JJ Ф(х, ц, Ait q/D)wtdxdy = 0, (3. где Ф (х, ут At, q/D) — функция, являющаяся результатом под становки (3.94) в (3.96). Если бы ряд (3.97) являлся точным pt шением, функция ф обращалась бы в нуль. Условия (3.98), кой рые представляют собой условия ортогональности функци! ошибки $ к каждой из аппроксимирующих функций, после оЖ числения интегралов (при решении они являются определенными дают систему линейных алгебраических уравнений отиосительй неизвестных коэффициентов Д. При выборе аппроксимирующи| функций можно использовать рекомендации, которые были сд| ланы при описании метода Ритца—Тимошенко. Однако следу® помнить, что в данном случае требования к функциям wt (х, являются более жесткими — они должны удовлетворять вей граничным условиям. В качестве примера рассмотрим защемленную по контуру прямоугольную пластину при поперечной равномерно распре» ленной нагрузке (см. рис. 3.10, а). Для сокращения вычислений оставим в (3.97) один член и, учитывая приведенные ранее река мендации, представим аппроксимирующую функцию в виде t»i (*> у) = чч (*) 4=1 (у). где функции qi. (х) = (xVa4) (х — а)2, ((/) == (y2/ba) (у — 11) представляют собой форму прогибов полосок-балок, вырезании! из пластины вдоль осей х, у. Как видно, функция (х, у) = Д, (х - а)2 (у - Ь)2 удовлетворяет всем граничным условиям. Подставив (х, у) в (3.96), получим Ф (X, у, Д1( ?/D) - А, [24х> (х - а)2 + + В (6х3 — бах -|- а2) (6г/3 — 6b у + Ь2) + 24г/2 (у — Ь)й] — q0/D. Тогда на основании (3.98) имеем а b J [ {А [24х2 (х - а)2 + 8 (6хг - to + а2) (бу2 - бЬу + Ь2) + О о + 24»’ (у - Ь)2] - -£-} А (х - а)2 ^{у- b)2 dx dy = О, 126
hyi.n после интегрирования и преобразовании получим д =____________________7а№д0_____. 8D (с9 + у-ай£>и4-Ь9^ lniore выражение для искомой функции прогибов примет вид W(x,y) = 7^(х-а)М8,-0^ 8D (а9 4- -у- а*Ьй + Ь*) I частности, для квадратной пластины (а = Ь) максимальный шиб в середине пластины (х — у = будет и„„ = 0,00133 |» не более чем на 5 % отличается от точного результата. Расчет пластин методом Власова—Канторовича. При исполь- ипии этого метода, изложенного в разд. 1.6.3, неизвестная |нкция прогибов в соответствии с (1.76) задается в виде конеч- м» ряда I® (*. у) = L fi W Ч>! (У)- (3.99) f=t |Ндесь одна из групп функции, пусть <рг (у), задается заранее, п функции достаточно хорошо должны описывать деформирова- н‘ пластины вдоль оси у и удовлетворять граничным условиям | краях у = const. Другая группа функций, в данном случае (»), определяется из обыкновенных дифференциальных уравне- lii типа (1.77), строящихся с использованием принципа Ла- ипжа. Подставляя разложение (3.99) в выражение для полной энер- 11 (3.75), получим ) • U4- £ S(a,i№+++2 (1 - - I i i (3.100) « c'it = J Dtpitfjdy, btj= J Dtf'itf/dy, cu = f Dwv'idy, dit = J DtfW/dy, pt = J ytp, dy. П tip и ационные уравнения для функции (х) имеют вид, анало- питый (1.77), т. е. —-•^-^+^5^=0 (i=l,2, 3-fe). (3.101) Sfi df i ft 127
Решения уравнений (3.99) долл© удовлетворять граничным условЯ на краях х = const. Гсометриче<Я граничные условия записываю» непосредственно. Например, I жестко защемленного края в с1 ветствии с (3.66) и (3.29) полу» при х — const ft — ft = 0. Вка честве статических граничЛ условий следует принять естестп© ные граничные условия вариацн® ной задачи, вывод которых проиллюстрирован иа примере w дачи об изгибе балки в разд. 1.3 ‘ В рассматриваемом случае эти ловия, аналогичные первым двум условиям (1.35) для своб ного края х — const, имеют вид 77-45=°- 5 = ° (<=1.2,3...fe). (3.1 Sfi ах dfi dfc Приведем пример применения метода Власова—Канторович» для определения прогибов консольной пластины при произвол»,» распределенной нагрузке (рис. 3.14). При этом будем считать, Я пластина может быть переменной толщины и произвольной фор» в плане. Задавая перемещение сечеиия х = const вдоль ос* как поступательное перемещение вдоль оси г и поворот отно© тельно оси %, представим функции <р4 (у) в виде 4'1 (у) = у‘ (1 = 0; 1). Тогда ряд (3.99) примет вид о- (*. у) = to W + A W у, а выражение для полной потенциальной энергии (3.100) бу I 3 = 4-j[Goffi)2 + 2oifoA + c2(fi;)a + 2(l-riaI>(fi)!- I о -гр^-гр^ах, pt= \qy‘dy. Vi где с,- = J Dy‘dy, У1 Тогда равенство (3.101) при F = Oq (/о)2 + + a2 Ш)’ I + 2 (1 — p) Go (П)2 — 2pofo — приводит к двум обыкиоой- ным дифференциальным уравнениям OWo J- С1Я) — Ро» (aifo + adT) — 2(1 — р) aof{ — р^. 128
Ьн решении этих уравнений необходимо учесть, что на крае Ь 0 (см. рис. 3.14) пластинка жестко защемлена, т. е. имеют рп граничные условия при х — О /о = /6 — О, Я — 0, (3.104) Врпй х -- I свободен, т., е. имеют место граничные условия । ИР) при х — Z dF____— d? d dF л dxdft ’ dfi dx df '{ ’ ||.пвернутой форме эти условия имеют вид (при х = Z) ' ^(^+°Л)=°. 2(i-H^-4(^+°^) = 0- (3.105) go/q + °ifi = 0; Gifo + йг/1 = 0. в к им образом, для определения f0 (х) и (х) имеем два диффе- ищпальных уравнения (3.103) с переменными коэффициентами, сдое из которых имеет четвертый порядок и восемь условий । Ш4), (3.105) для нахождения постоянных интегрирования. В частности, для пластины в виде прямоугольного треуголь- ник, который защемлен по катету b и имеет длину другого ка- i.i Z, при равномерном давлении q — qc и постоянной жестко- III D решение имеет вид а=w r=W [4<5 - <“•)(• - * - - р-i ₽ (1 — X — , 9oZ« 1 /х₽-1 х>-1\ «“wi-wy Р 3 /’ Lx^l-Л., а = (1-м), р = /1 + 16а*. |!«комая функция прогибов определяется выражением (>' У) = 8D (f°„ 2а2) [~g - (5 — 4a-) 1 — x — ——) — -VO-’-n^+W-V)]- Расчет пластин методом сеток. Метод сеток принадлежит К классу дискретных, конечно-разностных методов, изложенных и рнзд. 1.6.5, и применяется для численного решения двумерных R И« Ф Образцов н жр* 129
дифференциальных уравнений. В задачах об изгибе пласткй^Н ким уравнением является разрешающее уравнение (ЗХ ), т е I дх* + 2 сх} ду* + ду9 D " ('’-И Решение этого уравнения, т. е. определение прогиба нласт^Н при заданных граничных условиях и нагрузке методом конеч^В разностей заключается в следующем. Пусть имеем прямоугольиИ пластину. Нанесем на нее прямоугольную сетку с шзгом Дх, Ж (см. рис. 1.9). Тогда, пользуясь формулами (1-83), можно ьапй сать по методу конечных разностей все производные, еходя^И в уравнение (3.106), а следовательно, и само уравнение во вел узловых точках сетки. Пусть, например, точка k (см. рнс. !• является одной из узловых точек сетки. Тогда уравнение (З.КЯ записанное в точке k по методу конечных разностей,, будет имев вид ~ (6ш„ to. - 4ю„ 4- + W.) | д5^г(4ш» - 2<о. - -Я — 2ше — 2o»d + и, 4- tee 4- wh ie() 4- + к? ~ to«—4tB>< + wf+= -§ (3 '<* Алгебраическое уравнение (3.107) является типичным, если уря| неиие (3.106) записывается по методу конечных разностей в узЛ вых точках, отстоящих не менее чем на два шага от гране пластины. Если узловая точка является смежной с границей ил принадлежит ей (последний случай только для свободного края! то при записи уравнения (3.106) в такой точке по методу койот ных разностей появятся так называемые законтурные (фиктнвиИ узловые точки. Требуемое выражение прогибов в законтурны! точках через прогибы в точках собственно пластины (влутри^И узловые точки) определяется с использованием конкретм граничных условии. Пусть, например, линия т — п (см. рис. 1.9) — защемлеюИ край пластины, которая находится выше линии т — л. Введем законтурные точки ct с, 1 м рассмотрим точки а, I и с. Так как точка k находится на защемленном крае, имеем Ufe • = 0, (дш1ду)ъ = 0, или по методу конечных разностей согласи формулам (1.83) (we — o/d) = 0. Отсюда wc — wd, (3.108) т. е. функция прогиба в законтурной точке выражается черв функцию прогиба точки d9 принадлежащей пластине. Пусть теперь линия т—-п (см. рис. 1.9) — шарнирно оперти! край. Как и в предыдущем случае, для расчета пластины необхо- димо предварительно выразить значения прогибов в точках типи ♦ через значения прогибов в точках типа d. Так как точка k при надлежит шарнирно опертому краю, можно записать =» & 130 конечных разностей con
^y2)h = 0. Отсюда с учетом (1.83) имеем (1/ш/") (wc -J- wa — •й) == 0 или wc = —wa. (3.109) ть теперь линия r,i— п (см. рис. 1.9) — свободный край. р)м случае при расчете пластины придется выражать прогибы |ух законтурных точках типа с и q. Для этого нужно исполь- 1и условия свободного края. Так как точка k принадлежит Ьдному краю, то можно записать f&w . d2tw\ п Гд3™ ,Q д d*w ] « гдч с учетом (1.83) имеем (®. + Wg - 2®„.) + (to. + wb - 2®„) = 0; (2ta. - 2al4 - WP + ®q) + 'ЛхЛу” 2Wg + W“ ~w>~ -w, + we) = 0. i первого уравнения следует формула t». = 2 (1 -1» wh - р, ^(ш. + №(,) - ta„, (3.110) *)рая справедлива для точек типа с, т. е. законтурных точек, поящих на один шаг от свободного края. Из второго уравнения следует формула w, “ 2 [ Е? <2 - + 1 ] (Wg - + + з£(2-р)(ш,-ш,-и>л + (3.111) горая справедлива для точек типа д, т. е. законтурных точек, •гоящих на два шага от свободного края. В зтой формуле про- Wr, Wet SI Т. П. ВМ- ЕНЯЮТСЯ по формуле типа .110). В качестве примера рас- <итрим квадратную пласти- г, шарнирно опертую по 1сму контуру. Разделим Кроны пластины на четыре 1сти и, полагая в дальней- гм а — bt = &у = й/4, Г q0 — const, в силу сим- М грии запишем уравнение .107) только в точках /, 5 {рис. 3.15). а X I VJI УШ Рис. 3.15. К расчету пластины методом сеток а 131
Точка 1: ~(6[£,1- ton 'to,-(-дар гш,) ‘ 2 2(К.„ ш, a?sv 1- да,) -' ®m. ) Ki, ) K>1 4. 4®а 4а>а-|-шо _! = В силу граничных условий и формул типа (3.109) имеем О, «Tv»- №v Тогда, положив & &ц- 2tW — I6a>s Зег», Точка 2, о ’Ъг 0/4. ft <№* 2ЫМЭ 4 <7о. подучим Л^(6»г 4«>й ®v »' tv*) f- 2 + X?37'f4®’ 2<®V '. • ' «'IV A^(6w, 4'A 4», wtJ №Vn)-^. С учетом граничных условий и равенств a b, Лх Sy Чг - q, имеем 16а», 2«№, 8bss -^у- Точка 5: —- (6hl 4^ -f. &yix ।. аь-у) 4 2 "ЛхйЛ^ -4rf f‘ ~ "Ь 4 + we) ’- O»J ' Wg да, 4~ W'aj -i- -д’у- (&*6 - 4да4 - 4дав ф- р. шнп) = . С учетом граничных условий и равенств а =» Ъ, Дх -= Дн ч 9ь = ?о имеем s 8щ, 32^ + 20^=.-^-. Таким образом, разрешающая система уравнений имеет вид 20№, - 1&»S + 2аъ « ; — !6да, +28да3 - 8»а == 8ш, - 32®, + 20да6 = , 132
»дн а результате решения! получим fTt nji<4 t л •тй wi яя. 0e&5-jgTgjp B’a ™ *V»"jgg£T t да*г щгнмальный прогиб в .середине — ж* — 0,004 -~- от* Iih'ick от точного решения не более чем на 2„5 %. М. НЗПкЯВ КРУГЛЫХ ПЛАСТЙИ ЭЛЛ. Исходные соотаошейка Для исследования круглых пластин, являющихся рас- । раненными элементами конструкций самого разнообразного мочения» целесообразно записать соотношения теории изгиба (Стин в полярных координатах гв 6 (рис. 3.16). Эти соотношения то вывести непосредственно нлн перейти в «юлученных выше внениях от декартовых координат к полярным. Соответствуй формулы (3.41) такого преобразования были получены . 3.2.3. Основное уравнение теории изгиба пластин (3.62) pie перехода к молярным координатам примет форму, аиало- чг ую (3.12b т- е- I g I \ ( t^w . I । t <?*ьА .dr4 r dr г* Й08/ \drs ' r dr-* r5 / / (3.1 i2) Согласно рис. 3.16 в круглой пластине действуют изгибающие 1»меиты Л4Вв крутящий момент Air0 и перерезывающие силы I, <?0. Для вывода соотношений, связывающих усилия н моменты прогибом, воспользуемся приемом, изложенным в разд. 3-2.3. я рис. 3,16 следует, что при 6 О /Иг — M3t ~ Ми, Мг0 Л1Ж8Г, Рве. 1.Ш. Круглее вииегыма 133
Qr = Qx> Qe = Qy- В соответствии с равенствами (3.58) и форм! лами (3.41), записанными для 6 = 0, получим (3.1 w Л^\И н ее/ Аналогичным образом преобразуются выражения для еререв вающих сил (3.59): ™ п тл & (। 15®, 1 d2w\ л n 1 д / й2а> 1 dw . 1 й2гу\ ------и~1ё^+ — »+—д^)- Обобщенные перерезывающие силы записываются (3.68): (3.114 аналогичИ Q'=Qr+^-^p, Q5 = Ce + ^. Распределение перемещений по толщине круглой пластины мож< получить из равенств (3.53), если учесть, что при 6 = 0 радиаДь ное перемещение и совпадает с перемещением по оси х, а окружив перемещение v совпадает с перемещением по оси у. С помощи формул (3.41) найдем -—«у. (Ji и, наконец, распределение напряжений по толщине ластипн определяется соотношениями, полностью аналогичными равс» ствам (3.63)—(3.65), т. е. (3-1 li) „ „/1.3? 2z3\ °*--+ 2h ~ V-)* Решение уравнения (3.112) необходимо подчинить условиям на краях пластины. Для жестко защемленного кЯ согласно (3.115) по аналогии с (3.66) получим при г = const ш = — = 0; При 6 = Const 12) = ~ ~ = 0. граничные (3.11’ 134
Ki шарнирно опертом крае должны обращаться в нуль прогиб • н .1 «бающий момеит, т. е. в соответствии с (3.113) по аналогии КI' Ь/) . д2и/ . 1 й® Л .|>П г -const + и — §7 = 0. , » (3.118) _ Л & 1 f4’ П \ / Н |М1 0 = const tt- О. (3.119) И, наконец, для свободного края аналогично (3.69), будем иметь и|Н1 г =. const Ме “ Q.* — 0, п| и 9 =» const Mq ' Qg » 0. ЗЛ.2- Осесимметричный изгиб круглых пластин Наиболее распространенным является случай осесим- К|рамного изгиба сплошных и кольцевых круглых пластин Кир узкой q ~ q (г). Если край пластины г = const закреплен Шишакове во всех точках, прогиб является симметричным отно- н*и*льно центра пластины и не зависит от 6. В случае осесимме- •ручного изгиба w — w (г), v = 0, QB 0, MrG = 0. Основное ||пшение изгиба (3.112) и соотношения упругости (3.113), (3.114) |ur этом принимают вид (£+4-4)(£+^-£-)=^; (3.120) ► ,Me=_D(_Lg + ll£). I рлнишые условия определяются равенствами (3..1I7)- (ЗЛ19) для края = const. Г Уравнение (3,120) допускает решение в общем виде. Заметим, (3.122) f с. уравнение (3.120) можно записать в форме -T-£H[-r£('£)W- (3.123) 'Умножим (3.123) иа г, проинтегрируем и разделим результат пп г. Получим <3-,24> Сопоставляя (3.124) с последним равенством (3.121) и соотноше- нием (3.122), найдем [ qrdr~^-D. (3.125) 135
Рис. 3.17. Круглая пластина, за- щемленная по контуру Интегрируя (3.124), умножая И г и еще раз интегрируя, по’лф деления результата на г получиа + С1 “(^пг------2~)+Са "2" + г' 1 (3.129 И, наконец, интегрируя (3.126), найдем прогиб "4-(In f —- 1) + сас31пгс4, (3.121 где Р (г) = J -у J г dr J -у J qrdr. Постоянные сх — с4 находятся из граничных условий. В качестве примера рассмотрим сплошную пластинку, защеик ленную по контуру г = а и нагруженную равномерным давление qQ (рис. 3.17). Для равномерной нагрузки имеем (3.12В) Ввиду того, что перерезывающая сила (3.125) и прогиб (3.127) должны быть конечными при г = 0, следует принять сх = сд = т. е. получим ш=м5+еа-г + с‘- Для жесткой заделки должны выполняться условия (3.117) т. е. при г = fl w = dwldr = 0. Из этих условий найдем са - =с« - WVfMD) и Ш = ^(а2-га)а. Максимальный прогиб реализуется в центре пластины 1и,шх=ш(г = 0) = ^-
ГЛАВА 4 РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК 4.3. УРАВНЕНИЯ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК 4.1.1. Основные определения В главе 3 были рассмотрены пластины, т. е. тоикостен- B|v элементы, ограниченные двумя плоскостями. Оболочка яв- игггя более сложным объектом — она представляет собой тело, । цмпиченное двумя криволинейными поверхностями, расстоя •Иг между которыми h (толщина оболочки) мало по сравнению • другими характерными размерами (рис. 4.1). оболочки разнообразных форм являются распространенными цементами летательных аппаратов различного назначения. Рас- Ьгиня схема оболочки используется для анализа герметических •<>пп самолетов, корпусов и баков ракет, баллонов давления и ipyi их элементов. В 11о аналогии с пластинами поверхность, разделяющую толщину 1»»ш почки пополам, назовем срединной поверхностью, а отрезок нормали к срединной поверхности тп (см. рис. 4.1) — нормальным фментом. Геометрия оболочки полностью определяется формой •г срединной поверхности и толщиной. Отнесем оболочку к системе координат а, р, у (см. рис. 4.1), причем ось у является прямолинейной и направлена по нормали М срединной поверхности, а оси аир являются криволинейными И лежат в срединной поверхности. Проведем через ось 7 семей- iiiii) плоскостей, нормальных к срединной поверхности. Тогда и результате пересечения этих плоскостей со срединной поверх- lit t гью оболочки в точке О образуется семейство кривых, среди вторых существуют две такие, у которых радиусы кривизны ннляются максимальным и минимальным в данной точке. Кдса- п'льные к этим кривым называются главными направлениями поверхности и, как доказывается в теории поверхностей, являются нртогональными. Кривые, касающиеся в каждой точке главных направлений, называются линиями главных кривизн и в теории оболочек обычно используются в качестве координатных ли- нии аир (см. рис. 4.1). Введенная таким образом система коорди- нат а, р, у является ортогональной. Длины элементов координатных линий аир запишем в виде — A da, dsp = В dp, где А и В — некоторые масштабные коэффициенты, определяющие, скольким единицам длины соот- пегствуют единичные приращения переменных а н р. Тогда ква- 137
драт длины дуги произвольного элемента, лежащего в средяииЯ поверхности, равен ds2 - J- ds| = Л» da* Д’ d$*. (4 I) Соотношение (4.1) называется первой квадратичной формой П| верхности (существует и вторая квадратичная форма, которИ связана с кривизнами поверхности и в дальнейшем не потребуете^, д параметры А я В — коэффициентами первой квадратнч^И формы. Для плоскости, отнесенной к декартовым координатам у, получим ds~ dx- + dy2, т. е. А « В « 1, для пяоскосЯ отнесенной к полярным координатам г, Q (см., например, рис. 3.16/, d& — dr2 + г2 cfG2, т. е. А ~ 1, В = г. Геометрия срединнот поверхности оболочки полностью определяется коэффициентами Л В н главными радиусами кривизны Rlt которые в общем случае являются функциями переменных аир. Для элемента длины дуги произвольной линии, заключенной между поверхностями у ~ zhh/2, можно записать следующун приближенную формулу: Приближенность соотношения (4.2) вытекает из того, что, иаври мер, для наружной и внутренней поверхностей оболочки (у - = ±Л/2) dy = 0 н (4.2) совладает с (4.1), т.е. длина линий пл поверхностях оболочки отождествляется с длиной их проекций на срединную поверхность. Из рис. 4.1 следует„ что такая замена тем правомочнее, чем меньше h по сравнению е и Rt. Точная формула типа (4.2) имеет вид ds' = Л’ (i 4-Х)' da« + В’ (i + ф’ + dy\ (4.3) 138
4Л.2. Исходные соотношения в криволинейных координатах В главе 3 уравнения теории пластин выводились из jp.мнений теории упругости в декартовых координатах. Для Кдпгпчиого вывода уравнений теории оболочек необходимы Ьм in гствующие уравнения в криволинейных координатах. При Им толщина оболочки считается малой, т. е. вводятся упроще- И, позволяющие заменить (4.3) приближенной формулой (4.2). 1| ишения равновесия элемента (рис. 4.2), аналогичные урав- iiiiiim (3.1)—(3.3), имеют вид а(/чцВ) . а ,лв -Ав ,т .«Ж . _ Р да + д£ + ду да + + “•» R, ~ °’ В*(Ч) I fl(fltgp) I А . АЛ дВ ЛВ_0 Г Л + За Г йу ИСТ„) иа + + — U, (4.4) д f л \ । д I д (Atrv) _ АВ АВ п w (ЛВа,)+ V + = 0. усмотрим, например, первое уравнение (4.4). Его более сложная (и рпвнеиию с уравнением (3.1) в декартовых координатах струк- Вд связана с тем, что в криволинейных координатах А и В цоиотся функциями а, р и срединная поверхность искривлена. результате, если bd = Ada, ab = Bdfi, то ас = bd-j- (dA/dfi)dfi, •I ab 4- (dBlda) да, и за счет углов d6lt d6s и tf63 (см. рис. 4.2) Ь) имины напряжений ор, таР и тау дают проекции на направле- нии а- । Гюлее сложными, чем соотношения (3.4), (3.5) в теории пла- »кп1, являются и геометрические соотношения 1 диа . "в 0А uv л 1 дар иа дВ uv е. I е“ “ А да + АВ + яЬ ₽— В др + АВда + Д7’ р 1 д«а I 1 dt/g аа дА && ?а₽ — в + л да ~ АВ др АВ да1 (4-6) _ _ ^Ua । j duv _ ua _ dug ._________df/y___ |«V— эр — ду + А да ду В dp R4 ’ Цссь uat Up, uv — перемещения по направлениям a, p, у. Что Йн ается физических соотношений, то оии с точностью до обозна- чений совпадают с (3.6), (3.7) = 4" (иа — у ор — В^Ч), Ер = 4" (аР “ = -j- (а, — ра» - ров). ?ит = 2(1+-- ta„ + tBr (4.8) 139
4.1.3- Основные соотношения общей теории обо«о»И Теория оболочек, так же как и теория пластин, бах» руется на гипотезах Кирхгофа для нормального элемента (см. рис. 4.1). обсуждавшихся в разд. 3.1.1. Согласно этим гиЛ тезам следует принять ev = 0 и нз (4.6) прн у | -С -R1.S получим uv — iv (а, р) и линейное распределение перем щений иа, и$ по толщине оболочки, аналогичное (3.9) иа = и + т0„ иа = о + уОв. (4 fl где и (а, р); v (а, р); w (а, р) - перемещения срединной п> верхиости у 0 в направлениях а. р и прогиб' оболочки,^ ,.ч м 1 «W « » I dw , .Л 0“^7Щ-Т<й? И-Я углы поворота нормали к срединной поверхности. Подставляя перемещения (4.9) в геометрические соотношеЛ (4.5), получим выражения для деформаций е« = «&+?«.. ец=«е£- yxs, V<-.e “a ?o(i l-(4.1 где о 5 да . » ЭД w й I ди . и дВ w Е»г-ТЖ + лввр + ^' еР=гТ-<+ 1 ди I и дА w дВ “ "а + Т - леер - АВ Эй (41$ — деформации удлинения н сдвига срединной поверхности;^ 1 , 1 дА <. I 1 дв <>_ .Я *“~~а 7Й‘+/ай?;0!5' «в» -в-^+мв^»’ (11» _ 1 »<, । ». гл ев --В -м+~А~M3fg ~ABdi — изменения кривизн и кручение срединной поверхностей В соответствии с гипотезами Кирхгофа в законе Гука (4.Я следует пренебречь напряжениями по сравнению с и <т> Выражая из (4.7) напряжения и подставляя в полученные pf леи ства деформации (4.11), будем иметь о„ ~ Ё jej + JIE^ + V (ха + JI хА)], l’f £ 1в§ 4 JIS^ 4- у (x(14- pQ), (4 I4( M= Ф E(1 - p) (Й, + yx^b), где E «=£/(! — fi*).
a) 4? 4 Напряжения (а)г результирующие усилия н моменты (6)t действующие ио Гриням ялемскта оболочки Ь те. как и в теории пластик, напряжения линейно изменяются г tn" щи не оболочки и аналогично (ЗЛ2), (3.13) могут быть вве- MJ усилия и моменты (рис. 4.3): 42 42 42 I w«= J «а'Л’. Nft-= [ Сцйу, .VoS= J -Aft Х'з -ft; 2 Й/2 й/2 42 — f Af,« j Cjs-yd-y, ;WeB=. J r^ydy, (4.15) ~42 ~Й/2 -Л/2 42 42 Qa— J T«vrfT. Q»~ J T»vrfV- =-42 -Л/2 ты и образом, в качестве основного элемента оболочки можно |ми 1атривать элемент срединной поверхности, нагруженный уси- Кими и моментами, показанными на рис. 4.3, б. Подставляя на» «•рнжзнкл (4.14) в соотношения (4.15), получим ft« = £ЛИ+ре®’ A-p '- Z (4.16) •*„=£>( „ + р*Д Ле = />(с,+ }«.), < =-§-(1 — (i)k,s, иг D —- £/i8/I2 (I — fis) — изгибпая или цилиндрическая жест» мн ib оболочки. Усилия и моменты должны быть связаны урав- Ш нияыи равновесия, которые могут быть получены кеписредст- Ь’пно из рассмотрения равновесия элемента, показанного на pin 4.3, б илн« как это было показано в гл. 3, в результате ин- Шрирования ио толщине уравнений (4.4) с учетом соотношений И!
(4.15). Используя последнюю схему вывода уравнений, от<» была описана в разд. 3.1.2, окончательно получим d(ANa$ у/Д дА АВ 0 . Д R п I _ V — I V I && f} I А рп Л e(BQa) а (дод ав N ав . <41 да + df,-------л«-д7-"0^'+'4^ = О, (ВМа) । д (АЛ1ар} g. дВ . дА л R^, р да н ------------M*fa + М<* д₽ ~ А BQa =“ °’ «GW , д(ВМаа м дА м дБ п С4» дГ~ + ta----------Л“ а₽ + Л1"<‘ ta - лв<^ “ °’ где qa, q$, qv — поверхностные нагрузки, отнесенные к сред» ной поверхности оболочки (см. рис. 4.3, б). При этом шестое ур • некие (уравнение моментов относительно нормали к средний • поверхности оболочки) удовлетворяется тождественно в силу на кости касательных напряжений. Соотношения (4.Ю), (4.I2), (4.13), (4.16)—(4.18) представ л Ж собой исходную систему 19-ти уравнений общей теории оболочД которые включают девятнадцать неизвестных функций перем-и ных а, £: восемь усилий и моментов — Na, Qa, Л Л1а, Aljs, Л4ар, восемь компонентов деформаций — е°, ер, Фа. Фр. *р, хар и три перемещения — ц, и, w. При А I — В = 1 и а = х, р = ^из полученных уравнений следу® уравнения теории пластин, выведенные в гл. 3. Согласно общей схеме решения задачи в перемещениях, изл^ женной в разд. 1.1.3, система уравнений теории оболочек можц быть сведена к трем уравнениям относительно перемещений и, е. и/. Для этого необходимо кз уравнений (4.18) выразить перереЛ вающие силы п _ 1 [д(ВМа),д(АМа$ .. дВ . .. (5Д1 ° =лл[—й7-+~ар--------------^ta+^apj I 0 । риэд в(аи«й ммл.м М1 <4'Я “ ав l ap + “ta---------м»ар + и подставить нх в уравнения (4.17). Выражая далее в получен^И таким образом трех уравнениях усилия и моменты через nepf мещения с помощью равенств (4.16), (4.12) и (4.10), (4.13), мож». записать следующую систему: Luu& Lll(f -J- Llww — qa, ^2u& Ч* Ч- LSu)w — q$t (4.2 LShw £8{,ц -j- LSww gv. Дифференциальные операторы L в общем случае имеют весыш громоздкую форму н здесь не приводятся. 142
H I < in в результате решения системы (4.20) найдены перемеще- Ня и (а, Р), и (се, р), w (е, р), то далее по формулам (4.10)-— 0 (4.19) можно определить компоненты деформации и с по- ^>10 соотношений (4.16) — усилия и моменты. Напряжения в определяются равенствами, аналогичными (3.19) и (3.26) ^Бв«»|>ин пластин, т. е. I |2ЛК -£- + ”*• °о-т + т?~^ - ____2^s । (4.21) т)- ^=W -4)- <422> :|рмулы (4.22) соответствуют наиболее распространенному слу- и, когда на поверхностях оболочки отсутствуют касательные Н"»ляющие внешней нагрузки.. I h теории оболочек так же, как и в теории изгиба пластин, имеет нарушение закона Гука для напряжений тау, тг„; и от, ждавшееся выше в разд. 3.1.2. СИЛ. Граничные условия Разрешающие уравнения общей теории оболочек (4 20) в совокупности восьмой порядок по переменным а и ₽. || к ок дон точке края оболочки необходимо записать четыре Выипчных условия, которые являются непосредственным обоб- ^нисм граничных условий (3.66), (3.67) и (3.70). Так, на крае Киочкн а const в общем случае должны быть заданы четыре грпшгчных условия: и нлн Na, v илк w иля £?«, или /Ие. В более общем случае (упругое закрепление) может быть задана шпснная комбинация двух функций д- =г (ДИ, ДгА'еф == CjC, * ~ Me* На «щемленном крае к условиям отсутствия прогиба и угла ново* । «1.1 (3.66) необходимо добавить условия отсутствия тангенциаль- Ки перемещений срединной поверхности, т. е. при a const и ~ v — w — = 0, (4.23) при р — const и — V — W ~ фр — 0. > глы поворота нормали к срединной поверхности и Фр опре- ЧП1ЯЮТСЯ равенствами (4.10). 143
Распространенным является так называемое скользящее ш нириое опирание (свободное опирание) края. Граничные уело] при этом имеют вид при а ~ const vd = v = 0, Ма — Na = О, (4Л при р = const vd = и ~ О, М& — Ар = 0. Согласно (4.24), например, край а — const может свободно пер- мещаться в направлении a (Na = 0) и закреплен от перемещен! в направлении р (и = 0). Если отсутствуют все тангенциалыг . перемещения, то условия Na = 0 н = 0 следует замени , соответственно на и — 0 и v — 0. Если же край свободен в от! шении тангенциальных перемещений, условия v = 0 и и в (4.24) заменяются иа NaSi = 0 при а -= const и р = coni( К условиям на свободном крае пластины. (3.70) необходимо Н бавить условия отсутствия тангенциальных усилий, т. е. при а = const Na = Na& = Ма = Qa == 0, I при p = const Nfs = Nafi = /И₽ — Qp = 0. Здесь Qa и Qp — обобщенные перерезывающие силы, котор| определяются равенствами, аналогичными (3.68), т. е. QZ = Q« + -1-^. = % + где QK и Q₽ выражаются через моменты соотношениями (4.1'0 4.1.5. Полная энергия оболочки Потенциальная энергия тонкой оболочки, для котор допустима замена (4.3) на (4.2), имеет вид, аналогичный (3.7, > h/2 —hI2 Подставляя деформации с помощью равенств (4.11) и учит вая выражения для усилий и моментов (4.16), получим U = ___ JJ (Afа8а «₽Та0 А4аИа 4~ -ф- +• А В daap. (4.27} Вариация работы внешних сил имеет вид 6Л — JJ (^а6«/-|-^р6о4-^6ш) ЛВйаф. (4.2Н| Полная энергия оболочки определяется общей формулой (1,24) т. е. Э ~ U — А; согласно принципу Лагранжа (см. разд. Г. ЬЭ = би-8А=0. 144
4.2. ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ 4.2.1. Вывод разрешающего уравнения Выше в общих чертах без подробного вывода были Вучсшы уравнения общей теории оболочек. В настоящем раз- К вывод основных уравнений будет проиллюстрирован на до- । id’iho простом и тем не менее важном для приложений примере— лпдаче об осесимметричном изгибе цилиндрической оболочки. ।ученные результаты позволят также сделать некоторые ные выводы, которые будут использованы в дальнейшем. Пусть тонкая круговая цилиндрическая оболочка постоянной ыли'ны h нагружается нормальной нагрузкой (давлением qv = • ,1 (<z)) и касательной нагрузкой qa — q (<х) (рис. 4.4). Если дей- ующие иа торцах оболочки силы также не зависят от окружной Нфдинаты р, то как нагружение, так и напряженно-деформиро- .11 ное состояние оболочки будут осесиммегричными. При этом [• (), а перемещения и, w и все усилия и моменты будут зави- , I. только от осевой координаты а. Согласно рис. 4.4, a — da2 + /?2dp2, т. е. в соответствии формулой (4.1) для цилиндрической оболочки А ~ 1, В = R. К»ме того, очевидно, что -> оо и = В. Геометрические ппошеиия типа (4.5), (4.6) в цилиндрических координатах Ви осесимметричной задачи имеют вид = <4'29) (4.30) 145
На основании гипотез Кирхгофа (в, = = 0) из (4.30) полуЯ частную форму равенств (4.9), (4.10) для рассматриваемого слуЛ u, = t»(a), ua = u(a) + yeo, $„ = -(»', (4 1Ц где tv и и — функция прогиба и осевое перемещение точек сЛ динной поверхности, а ( )' обозначает производную п a. lid ставляя (4.31) в (4.29), аналогично (4.11) имеем «а — eg ф- ухо, е₽ = eg, (4.11 где g 4 = u', eg = x„ = — w". (4.fl Закон Гука (4.14) принимает вид «’a-Sfcg + M+ ?»«). - (4 Од = £ (eg + peg + урх„). Подставляя eg, eg, и„ согласно (4.34) н (4.35) н находя усилии н моменты (4.15), запишем равенства типа (4.16): Ь/2 Н Na = j ОвЙу=£Цй'-|-р-^Л, I -V2 ’ ’ Я J oedy = £ft(-i + pu'), (4.3 -•6/2 ‘ 6/2 й/2 — j — Dw"9 Мр— f apydy« —I -6/2 -ft/2 где, как и ранее, Ё « £7(1 — р2), D = £Ля/12. Выведем теперь уравнения равновесия типа (4.17). Выделимм оболочки элемент, показанный на рис. 4.4, б и приравняем нули сумму всех сил, действующих в осевом направлении а, су мА проекций сил на нормаль к поверхности и сумму моментов отно сительно элемента параллели (остальные уравнения ра новееJ удовлетворяются тождественно). Получим Ц 1-5-0, Q;=-^ + p = 0, Mg-Qe = 0. (4.3$ Соотношения (4.35) и (4.36) представляют собой систему с овнД уравнений для осесимметрично нагруженной цнлиндрическЯ оболочки. Семь полученных уравнений включают столько ж- неизвестных — два перемещения н, w н пять усилий н момент® Q(g, Мр. Как отмечалось в разд. 4.1.3, эту систему можно свести к уравнениям, включающим в качестве нейзвестиД перемещения. Действительно, из третьего уравнения (4.36) и равенств (4.35) имеем
4 Б. Цилнндрнче- *•- лочка, иагружеи- / иономерным вку- . давлением (а) и 1 ч закрепления ее «пцемленныЙ край «• «риирио опертый (г । н край, свободно цающийся в ра- лом направлении (а) гг ;вляя теперь иженные через *2 # в) г) в первые два уравнения (4.36) 'Afa, 7Иа, Qra, перемещения, окончательно получим u"+-s-tB' = -A’ tW+W- <4-38> многих случаях задача является статически определимой от- । гельно усилий /Уп — они могут быть получены путем интегри- шия первого уравнения (4.36), причем произвольная постоян- определяется по известному значению Na — N на каком- j торце оболочки. В этих случаях вместо двух уравнений К) можно получить одно уравнение относительно прогиба w. Пусть на оболочку действует только внутреннее давление р с. 4.5). При q — 0 из первого уравнения (4.36) получим Na = N in р — const, то N = О,5р7?). Исключая из формул (4.35) и', дем + (4.39) ном случае второе уравнение (4.36) после подстановки выраже- |'1 для (4.37) и (4.39) примет вид DW">+^-w= -р* ЛИ wIV -|~ 4£4w — (р — р , (4.40) L и - Eh - 3 0-Р8) w 4J?2D ~ J?2h8 ’ 4.2.2. Краевой эффект и безмоментное состояние Общее решение уравнения (4.40) запишем в виде di е-*® (Сх cos ka -|- С2 sin ka} -j- eka (C3 cos Ла -J- C4 sin Ла) 4- E,o> (4.41) о- (а) — частное решение неоднородного уравнения (4.40), рвисящее от вида правой части. Четыре произвольных постоян 147
ных Сй> Сэ, Ci определяются из четырех граничных услиниЯ при а = 0 н а — I (см. рис. 4.5). Если оболочка рассматривается как полубес конечна я (/ -> J то из условия ограниченности решения при а -* ©о следует lid ложить Са =- С3 = 0. Тогда w = e~fta (Сх cos ka C2 sin ka.) - шй. (4.4я| Здесь константы Сг и С2 определяются из граничных условий HI краю а 0; они характеризуют быстро затухающее решение тиц| краевого эффекта, описывающее местный изгиб оболочки вблив края а — 0. Так как е~л ж 0,043, то влиянием краевого эффекЯ практически можно пренебречь при а rtlk или, если положив р — 0,3, при а 2,5j/#ft. Например при Rih - 100 и R/hВ = 400 ширина зоны краевого эффекта равна 0,25# и 0,12й| соответственно. Если длина оболочки превышает ширину зоны краевого |ф> фекта (I >2,5jA#A), то такую оболочку можно считать длинной J изгиб вблизи каждого из двух краев а = 0 и а — I можно рассмв тривать незавнснмо друг от друга, используя решение (4 41) для полубесконечной оболочки (при этом в каждом случае кооц* дниата а отсчитывается от рассматриваемого края в направлении другого края). Если правая часть уравнения (4.42) представлена в виде поле нома по степеням а с показателями, не превышающими трех, частное решение имеет вид В более общем случае, если правая часть уравнения (4.40) меняет» достаточно плавно, выражение (4.43) может быть использовал»* как приближенное частное решение. Решение (4.43) может быть также получено как решение у paii нения (4.40) при D ~ 0. Из равенств (4.35), (4.37) и соотношеМ (4.21), определяющих распределение напряжений по толщине иЛ лочки, следует, что при D = 0 М№ /Ир = Qa — 0 и оа - //Л ™ N$!ht т. е. напряжения равномерно распределены ио тив щине. Такое напряженное состояние оболочки называется бе» моментным н соответственно решение (4.43) называется безмомеЯ ным решением. Таким образом, можно считать, что общее решение затач|| при осесимметричной деформации тонкой достаточно дливпоП цилиндрической оболочки складывается из безмомеитного решения и решения краевого эффекта. В частности, для оболочки, показанной на рис. 4.5, о, нр| р cosnt (N = 0,5/?#) и I > 2,5-|/#ft согласно (4.42), (4.41| получим (4.44J где w* = (Сл cos Аа • f- С8 sin ka) 148
Вставляющая прогиба, соответствующая краевому эффекту, I в'”“4г(1 -£) (оставляющая прогиба, соответствующая безмоментному со* hi и ию. Краевой эффект возникает в том случае, когда на краю оболо- Вц нагружается моментным образом (поперечными силами, мо- В|Ьпми), соединяется с другой оболочкой шпангоутом и т. и. | 1т закрепляется в отношении поперечного перемещения w Buia поворота &а. Угол поворота нормали, изгибающие моменты перерезывающая сила согласно формулам (4.35), (4.37) и (4.44) •г-г вид: - w* ~ fee-*® (Cft (cos ka 4- sin ka) — Cs (cos ka — sin /га)], I Ma ~ — Dirf = - 2Dk4~k<i (Сл sin ka — Cs cos ka), (4.45) Qa~ — Dw" — — [Ся (cos ka — sin ka) 4- 4- C3 (cos ka 4- sin Ла)]. pi-делим постоянные Cle Cs для различных типов граничных Копий. К Для защемленного края (см. рнс. 4.5, б) на оснований условий А'З) при а = 0 следует принять w = — 0. При этом согласно i И), (4.45) Ci = Ct « — и? и 5® ~ — e~fea (cos ka — sin Ла)]. (4.46) Вли на торце оболочка закреплена шарннрно, то в соответствии | («1 24) при а — 0 ш — — 0. Тогда | С8 = 0 и ш — w>° (1 cos ka). (4.47) |1> равенств (4.46), (4.47) следует, что при увеличений а прогиб Вцближается к безмоменткой составляющей, т. е. на достаточном Бдении от края w “ (см. рис. 4.5, б, в). Т |.сли оболочка не закреплена в отношении радиального пере- I ип-пия К’ и угла поворота (см. рис., 4.5, а), то при а = 0 |l Q® = 0 и из равенств (4.44), (4.45) следует, что Ct = Cs = 0 ! «.• т. е. при таком закреплении краевой эффект отсутствует | прогиб полностью определяется безмоментиым решением. 1.1ким образом, достаточно длинная цилиндрическая оболочка jM'iih всюду (за исключением быть может узких участков вблизи I нп) находится в безмоментном состоянии, а в окрестности краев <«|ш соответствующих граничных условиях реализуется локальное моибное состояние — краевой эффект. Эта особенность напряжен*
кого состояния характерна не только для цилиндрической, а для более широкого класса оболочек н позволяет в ряде случ значительно упростить расчет. 4.3. БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ]I 4.3Л. Геометрия оболочки вращения Срединная поверхность оболочки вращения полу, ется в результате вращения плоской кривой относительно Л лежащей в плоскости этой кривой (рис. 4.6). Такая кривая на, вается меридианом. Меридианы являются линиями главных щ визн и их принимаю в качестве координатных линий. Парад ли — окружности, образованные пересечением срединной 1 верхности оболочки с плоскостями, перпендикулярными ее оси, представляют семейство других координатных линий. В качея криволинейных координат, отсчитываемых вдоль меридианон параллелей, возьмем углы а и (5: а — угол, который нормаль об, зует с осью оболочки, р — угол, отсчитываемый вдоль параллч от некоторой заданной меридиональной плоскости (см. рис. 4 Первый главный радиус кривизны поверхности вращения] равен радиусу кривизны меридиана (рис. 4.7). Второй главк радиус равен отрезку нормали к поверхности до осн вращем т. е. согласно рис. 4.7 (4 где г — радиус параллели. Радиусы Rt н 7?й не являются неза( симымн. Действительно, из рис. 4.7 следует, что, с одной cropoi dsa = Rida, а с другой — dsa = dr/cos а, т. е. cos a da ==| Подставляя сюда dr согласно (4.48), получим ^-№sina). (4 Ряс. 4.7. Геометрия меридиана лочки вращения 160
Min типа (4.1) для линейного элемента поверхности вращения ПИК ds2 = dSa + ds, — Rida2 -(/’dp2, т. e. A — Ri, В = r. (4.50) « координата x связана с углом а следующим соотношением, ющим из рис. 4.7^ dx — sin a « /?! sin a da,. (4.51) 4.3.2. Основные соотношения для безмоментной оболочки вращения Уравнения безмоментной теории могут быть получены «их уравнений', приведенных в разд. 4.1, если принять, что Бпая жесткость оболочки D 0. Однако, учитывая пракгя- ую важность безмоментной теории, ниже эти уравнения вы- rtn традиционным путем в результате непосредственного л м равновесия и геометрии деформирования обо» 1гик, рассмотрим тонкую оболочку вращения (см. рис. 4.6), ця. что она находится в безмоментном напряженном состоя- Выделим бесконечно малый элемент оболочки (рис. 4.8), Ь(ищийся под действием безмоментных усилий Na, и заданной поверхностной нагрузки с компонентами qa, q$, L. травленными вдоль координатных линий а, р и норма- V Рнс. 4.8. Усилий, действующие в безмоментной оболочке вращения 151
Составим уравнения равновесия, т. е. приравняем нулю сумм» проекций сил, действующих на элемент. В направлении касател», ной к меридиану получим - Word(5 + + ^da) (г + ^da") d₽ - N^R, da + I + (WaB 4- dp) Ri da — N^Ri da cos a dp i qaR,r da dp = 0; , в направлении касательной к параллели - N^r d₽ + (ЛГкЭ + ^da) (г + ^da) d₽ - Nfada -f- + dp) Ri da j- NafiR, da cos a dp -J q$Rtr da dp = 0 В обоих этих уравнениях появление предпоследних членов обч ловлено наличием малого угла cos adp между боковыми граиль элементов. Сумма проекций действующих сил на нормаль к поверхяосф —Nardfida — N^Rtda sin adfi 4- qyRt rda dp = 0» где учитывается угол между усилиями Na на нижией и верхий гранях, равный л — da, и угол между усилиями на боком» гранях, равный л — sin adp. В результате уравнения равновесия оболочки вращения при безмоментном напряженном состоянии записываются в виде -г cos а + == 0, (rNа₽) 4- 4~ <x0#iCos a 4~ tfoRif = 0, (4-510 ^.4.^ = 0 Ri qv' Эти уравнения могут быть получены из общих уравнений (4.17) если принять Qa = Qj = 0 и учесть формулы (4.49), (4.50' Из трех уравнений (4.52) могут быть найдены три неизвестны! усилия Na (a, р), JVp (a, р), Na[] (к. Р) с точностью до произволу ных постоянных или функций, которые должны быть определено из граничных условий. Примечательно, что безмоментное напряженное состояние об« лочкн является локально статически определимым. Однако в цс лом для оболочки задача может оказаться статически неопредели мой, если для определения произвольных функций интегрирован» нли произвольных констант потребуется использовать геометрп ческие граничные условия. Выведем теперь геометрические соотношения, связывающие or носительные деформации с перемещениями. Рассмотрим элементы меридиана и параллели (рис. 4.9, а) До деформации их длины равны dsa = Rtda и dsp = rdp. Поел» 152
. 4.9, К выводу геометрических соотношений безмоментной теории оболо- чек вращения «н»рмации, которая характеризуется перемещениями и, vt w, ииы этих элементов будут (см. рис. 4.9, б, в): = (Я1 + к>) da + da, ds$ = (r + K,)d|5 + -^d₽, Jilt tir = u cos a -|- w sin a (4.53) Ь ||.|диальное перемещение точек оболочки (см. рис. 4.9, б). I Углы поворота относительно нормали элементов меридиана и рлллели (см. рис. 4.9, й) соответственно имеют вид до ди v " dsa га dsp г К выражении для у2 первое слагаемое представляет собой угол и< шпрота элемента параллели за счет разности перемещений in концов; второе слагаемое обусловлено поворотом этого эле- Влгга относительно оси оболочки на угол vlr. Деформации вводятся следующим образом: dsa — dsa dsa — dsn e““—= T«P = ?»-T1 и определяются равенствами <-« = (£ + “)’ ee = 4-(-|+Hcosa + wslna), (4.54) 1 / ди \ I do = ~ (a₽~rcos“) + ^^- глы поворота нормали к срединной поверхности имеют вид (см. рис. 4.9, а) «-=£(“-£). «•»> Формулы (4.54), (4.55) могут быть получены и из общих соотиоше- 1'itii (4.12), (4.10) с учетом равенств (4.48)—(4.50). Индекс «0» r (4.12) для безмоментной оболочки, естественно, опускается. 853
Перемещение точек оболочек в осевом направлении определил соотношением их — и sin а — w cos а. (4 '» Усилия связаны с деформациями законом Гука (4.16), т. е. I N„ = Eh (еа + це..), NB = Eh (е, + pej, .V„s = CzJJ EhfaJ (l| Поскольку моменты в рассматриваемой оболочке отсутствуют,В пряжения связаны с усилиями следующим образом: СГа = ^р таР = ^‘ (4В Соотношения (4.52), (4.54), (4.57) являются основными уравиД ями безмоментной теории оболочек вращения. Девять уравнен») включают столько же неизвестных — три усилия Mtt, Л/р, /Vw три деформации ett, ер, и три перемещения u, v, w. УД нения равновесия (4.52) могут быть проинтегрированы независим от остальных, по найденным из них усилиям с помощью равен<т (4.57) могут быть определены деформации и в результате интегв ровання геометрических соотношений (4.54) — перемещения Н практике вместо перемещений и и w часто используются раднал| ное и осевое перемещения и их, которые выражаются через Д п формулами (4.53), (4.56). Далее в разд. 4.4 и 4.5 полученные соотношения будут исшЛ зованы при анализе напряженно-деформированиого состояния Д лочек вращения для наиболее распространенных случаев наД жения. ЮСИМИкТМИПиЯ ДЕФОРМАЦИЯ ОБОЛОЧКИ ВРАщЕНиЧ' 4,4Л. деформация Одним из наиболее распространенных случаев нагр> жения оболочек вращения является осесимметричное на гр у жени» при котором поверхностные и краевые силы не зависят от окру» ной координаты ₽ и = 0. При этом в оболочке вращения отс" ствует окружное перемещение у, а и и w так же, как и ненулеД силовые факторы Л4а, Л4Р, зависят только от пер» менной а. В условиях осесимметричного нагружения работа!» баки, баллоны давления, резервуары н т. д. Метод расчета таки оболочек строится по аналогии с решением для цилиндрически) оболочки, полученным в разд. 4.2, т. е. напряженное состоя ние разделяется на безмоментное и изгибный краевой эффс< локализующийся вблизи краев. Такое разделение для оболочй вращения произвольной формы является приближенным, одна» 854
Mi удлиненных в осевом направлении оболочек оно позволяет MlpoiiTb решение, обладающее приемлемой для практических гюв точностью. 4.4.2. Безмоментное напряженное состояние Основная система уравнений (4.52), (4.54), (4.57) без- агптной теории оболочек для случая осесимметричной дефор- Кньп принимает следующий вид: (rNaY — Л’Л cos а + qR^r = 0, (4.59) и-60) ек = (и' -|-и>), е, — Л-(и cos к -|-tBsttia), (4.61) Na = Eh (ee 4- рер), Nt = Eh (e, + цво). (4.62) Мдиальное и осевое перемещения определяются по-прежнему Кмшствами (4.53), (4.56) иг = и cos а w sin а, иж — и sin а — w cos а, (4.63) В у юл поворота нормали к срединной поверхности — первой фор- Кк>й (4.55), т. е. 6« = -^(а-»')- (4-64) уравнениях (4.59), (4.60) принято qa — q, qv = р\ ( )* обозна- производную по а. Уравнение (4.60) часто называется ураВ- Вмшем Лапласа. Г Найдем усилия Na и N$. Из (4.60) имеем N^pR,-Na-^~. (4.65) рдставим JVP в (4.59). Непосредственной проверкой с помощью Ьпеиства (4.48) можно убедиться в том, что уравнение (4.59) Ьгле подстановки (4.65) может быть записано в следующей форме: (rNa sin а)' = (р cos а — q sin а) rRt. Мшсгрируя, получим “ 7S5K [ J (°cosra - qslnajrRtda - . (4.66) [во J Истоянная интегрирования найдена из статического условия при a=cqj (рис. 4.10), согласно которому 2 зх rc Na sin <х0 — —Хо, । нг Хо — осевая сила, приложенная в сеченни а~а0. Отметим, вго соотношение (4.66) может быть получено непосредственно иа Ксмотрения равновесия отсеченной части оболочки, показанной 155
Ркс. 4ДО. Уснжя м мигрузмм, дей- ствующие на отсеченную часть обо- лочка вращений на рис. 4.10. Дебствяга проектируя действующие 1 на ось оболочк», имее*« <® 2жгЛГп sin а 2л | (р cose —- Q sin a) rRfc dn- . Хл. Отсюда сразу следует (4.6 Таким образом, уснл! осесимметрично на гр уже безмомеитиой оболочке вр ння определяются равенст (4.65), (4.66). Наиболее распространенным случаем осесимметричного и же ин я является воздействие равномерного внутреннего давл< Полагая в (4.66) q ~ 0, р ~ const и учитывая, что согласно ( Rr cos ada = dr, получим Для замкнутой в вершине оболочки г0 « 0. При отсутствии о< силы (Хо •== 0) из равенств (4.65), (4.67) с учетом соотнош г — R2 sin а окончательно будем иметь ^=4^ ^=4^(2-^.). Формулы (4.68) определяют усилия в замкнутых баллонах леиия. В частности, для цилиндрической части баллона 7?, - R^ = R и Na ~ pR!2, = р/?; для сферического бал Ri = Rs = R и Na = Np » pR/2. Деформации безмомеитиой оболочки вращения определи из закона Гука (4.62) е® Eh е₽ " ffi). Для определения перемещений воспользуемся геометричес соотношениями (4.61). Из второго соотношения с учетом имеем —- о cftg сс. Подставляя (4.70) в первое равенство (4.61), получим и* — и ctg а f (a) где f (а) ег, «а 15$
*»i«. нс этого уравнения имеет вид и = (F (а) + Cp lsina, (4.71) I Л (а! - R,iln, ' ' J Staff 1 К произвольная постоянная. Из (4.7U) и (4.71) получим И = —cos a If (а) + С„1 + еР/-.’.. (4.72) Ь пыльное и осевое перемещения* а также угол поворота (ем. f 4 10) согласно (4.63), (4.64) и (4.71), (4.72) имеют вид «Г —epG «« =- с« +' Р (о) - u, cig а, (4 73) «»-^[/(aJctga-Ce^'J. к ооолочки постоянной толщины выражение для угла поворота •образуется к виду ««- 4Н^1-+2₽(!~->)с‘^+(-к+^- - [ (-кг + 4г - 2>) + 4г Ж (х) ]Ч <4-74) I |i>« шинная Сй определяется из геометрического граничного усло- я на закрепленном крае оболочки, которое в соответствии с без- рентной теорией может быть задано только для тангенциаль- Вр <) перемещения и. Г I ‘ли безмоментная оболочка вращения в виде пояса закреплена b «аигеициальным смещениям на обоих торцах (рис. 4.11, а), В<• этом случае продольная реакция на одном из торцов, напри- b ? на нижнем Хо, является статически неопределимой и опреде- цмтся совместно с константой Со из заданных геометрических птячных условий их |*=о ~ и* |Хта/ = 0. Если сила Хо за- н.| (см. рис. 4.11, б), постоянная Со определяется из условия |* i —- 0. В случае, когда оболочка является незакрепленной, пример баллон под действием внутреннего давления, константа । является неопределенной — она представляет перемещение юлочки вдоль осн как недеформируемого твердого тела. Безмоментное решение яв- ится точным только в опре- иенных случаях. Обычно же fо используется как прибли- женное решение на большей цисти поверхности оболочки hp пцения при осеснмметрич- иом нагружении, если радиус f (а) и нагрузки q (а), р (а) яв- /ппотся достаточно плавными функциями. Рве. 4.И. Схемы закрепления безмомент- ной оболочки вращения 157
4Л.З. Краевой эффект I На краях оболочки, где она сопрягается с друпИ оболочками вращения, круговыми шпангоутами или нагружа^И осесимметричными нагрузками, граничные условия на практМ редко соответствуют безмоментным условиям. Поэтому вбл»ж| таких краев оболочка обычно подвергается изгибу. Дифференциальные уравнения изгиба произвольной болов вращения прн осесимметричном нагружении имеют перемев^И коэффициенты н нх точные решения могут быть получены олХ] в некоторых частных случаях в специальных функциях (напрнвЖ для сферы и конуса). В случае тонких непологих оболочек при плавном и змеи^И радиуса и нагрузок qt р изгиб в основном происходит вблА| края и по мере удаления от края напряженное состояние прч^И жается к безмоментному. Поэтому безмоментное решение при<Л1 женно используется в качестве частного решения неодноро^И задач, н по аналогии с ш° в решении (4.44) для цилиндрической «И лочки. При этом однородное решение, описывающее изгиб об^ чки, имеет характер затухающего краевого эффекта типа fl в (4.44). В работах ПО, 111 дано строгое обоснование упроще|И уравнений краевого эффекта для произвольной оболочки вра^Н ння и построены соответствующие приближенные решения. Для простоты и краткости изложения краевой эффект для т.ж кой непологой оболочки вращения рассмотрим на основе упр&ж ющих допущений, которые примем, опираясь на аналогию с крм вым эффектом для рассмотренной ранее цилиндрической i болочМ Общее решение вблизи края оболочки представляется в вцЦ суммы безмоментного решения (обозначаем его верхним индемМ «О») и однородного решения в виде краевого эффекта (с нденй «к»): | и == U° + »» ~ 4" «х = № + №. № - Nl + №» (4.Я ; мо = лс м, В нзгибных силовых факторах Mav Qe, естественно, <рн рируют только составляющие краевого эффекта. При описании краевого эффекта в качестве координаты бу. рассматривать расстояние s, отсчитываемое от края оболочки bjk меридиана (рис. 4.12). Вместо угла а введем угол ф, отсчитывав» от края, при этом ds = Т^ф. Введение координаты s и угла вместо sa н а позволяет одинаковым образом описать краев эффект как на иижнем. так и на верхнем краях, причем на 1 иж| крае ds — dsai ф — <х, а на верхнем крае ds — —dsat ф = л - * Оболочку в районе рассматриваемого края будем считать] пологой, если | ctg ф | < 3. 158
| 4.12. Координаты обо- Рнс. 4.33. Напряженное состояние элемента । личин вращения оболочки в зоне краевого эффекта I У тонкой непологой оболочки зона краевого эффекта является •гпточно узкой, и поэтому изменением радиусов кривизны обо- tuftini н угла фв пределах этой зоны можно пренебрегать, принн- В1| их значения равными значениям на крае. В случае оболочки типа пояса, имеющей два края (рнс. 4.11), •|m>->ibie эффекты на этих краях будем рассматривать независимо bfc затухающие, считая, что ширина зоны каждого из них меньше » *• гоя ни я между краями вдоль меридиана. Г Получим уравнения равновесия. Составим уравнения проекций •»л и направлении нормали и моментов относительно касательной | !»П сней грани элемента, выделенного из оболочки в зоне краевого •фФ< «та (рис. 4.13): (<25 + ^T<fc) (r+^-*)<f₽-QSrdp- — WJrdpdip —ds sin (р dp — О, ^+-^-dsj(r + ^-ds)d₽- Mjrd₽- (4.76) — Mpds cos sp dp — (&r dpds = 0. hn-ь внешние нагрузки q, p и безмоментные усилия Na, ЛЦ не ,'пиi,шлются, так как они находятся в равновесии. Разделив урав- 1ИТИ1Я (4.76) на rdpds н учитывая, что г — sin ip. dr/ds = cosip, rt Rtity, получим , QK Ctg -ф We _ n ds + 4» Ki -^--0, ^-+« - ffi=0. (4.77) 159
Рис. 4.14. Усилия, действу- ющие на крае оболочки Из уравнения равновесия отсечен» части оболочки (рис. 4.14), учитывМ что внешняя нагрузка уравновеД вается усилиями /У», найдем Qa Sin ф — sin ф О, откуда I < = ctg№ (4.71)1 В случае непологой оболочки (| ctg ф [ < 3) из (4.78) следует, Ь и являются величинами одного порядка. Поперечная сил» Q£ на основании второго уравнения (4.77) выражается через изг« бающие моменты, в результате чего она зависит от изгибной жен кости оболочки D, пропорциональной Я3. Напомним, что толщиЯ считается малой. Поэтому для тонких оболочек усилия JV&, т|» же как и можно считать пренебрежимо малым по сравнении с которое пропорционально h. Кроме того, при изгибе края ф статочно гладкой, тонкой, непологой оболочки можно предпож жить что тангенциальное перемещение ик является пренебрежж» малым по сравнению с нормальным перемещением вук. На основ! нии этого примем следующие допущения: ^к»нк«0. (4.7. Определим угол поворота в плоскости меридиана и изменении главных кривизн при изгибной деформации оболочки: лк _ dw* dT „к 1 . _ <*«’+ »*) <4 a R, ds ds ds ' dsa ’ I л 1 1 sin (4> + 6") sinif sin+#Kcosi|> K₽“ Я ’ ~ r+u, r ~ r - ’ + ' (4.80 sin-; ctgij) d®“ CtgIf r K, ~ ds R, ’ где Ri, R? — радиусы кривизн деформированной срединной по верхности оболочки с учетом поворота нормали на малый улм Изменением этих радиусов за счет деформаций удлинена срединной поверхности пренебрегаем. Соотношения (4.80) могу, быть получены из общих геометрических соотношений теори, оболочек (4.10), (4.13), если принять в них Ada = ds, и и учесть равенства (4.48), (4.49). Введем весьма существенное для теории краевого эффекта до пущение, вытекающее из быстрой изменяемости решения по пер, менной S. Из выражения (4.44) следует, что для цилиндрической оболочки составляющая wv пропорциональна е-*“, т. е. при диф 160
цк щировании по сс она умножается на —k. Если k велико, то мкпо утверждать, что функции, описывающие краевой эффект, ton дифференцировании существенно возрастают по абсолютной । 'г и чине, т. е. в уравнениях краевого эффекта можно пренебречь 1ишими производными по сравнению с высшими. этого, в частности, следует, что согласно (4.80) и об- щи соотношения между моментами и изменениями кривизн 1.16) можно приближенно записать с учетом (4.80) в виде Л2-...К < = = «1 = 0^=!^. (4.81) ||миедем теперь уравнение краевого эффекта. В соответствии с цш пятыми выше допущениями (Na < Л’р) в первом уравнении 1.77) пренебрегаем членами, содержащими и Nai при этом «ипаем, что у непологой оболочки ctgip не является большой Ьичиной, а радиус не является малым по сравнению с ради- гпм /?2. Во втором уравнении (4.77) пренебрегаем вторым членом, щщржащим М* и Л4р = рЛ4„ по сравнению с первым членом, Ьгдставляющим производную от быстроизменяющейся функции, чнда с учетом (4.81) из второго уравнения (4.77) будем иметь <4-82) из первого — +Л1 = о (4-83) |п11ншем выражения для окружной деформации ер. Из равенств |4 61) и (4.69) с учетом принятых допущений и формулы (4.48) |м<?ем е| =-i-(U“ ctg а + w«) «, Тпким образом (4.84) Подставляя (4.84) в (4.83), получим уравнение краевого эффекта IIЛ К ^-T4fe- = 0, .. Eh _ 3(1-|г») 6 И. <Х>. Образцов и др. (4.85) 161
Здесь радиус в пределах зоны краевого эффекта, можно гч>^Н постоянным и равным его значению на рассматриваемом U | Отметим, что уравнение (4.85) аналогично однородному ум | нению, соответствующему уравнению (4.40) для цилиндрич^И оболочки. Затухающая часть решения (4.85) аналогичная Ч.ЯI т. е. w* = е~*а (Сх cos ks 4* Cs sin ks). 14 По формулам (4.78), (4.80)—(4.82), (4.84) н (4.86) получим! О* = — |Ct (cos ks sin ks) — Cs (cos ks — sin 1 К - —D = —2DA2e-*« (( , sin ks - C2ces fts), I “ ~D ^S~ = —2DA3e-*' [Cl (cos ks - sin ks) + J + Cs (cos fasin fa)], (4, Mp = цЛГ, tf“ = ctgW“ На крае оболочки усилия Na н Qa приводятся к радиальнойЯ Г” (см. рис. 4.14) = — М COS Ф + (К Sin ф) = — 4j Последнее равенство получено с етом 4.78). Радиальное Л мещенне за счет краевого изгиба определяется приблиямИ формулой, следующей из первого равенства (4.63) й“ « ш* sin ф. (4 > Положительные направления кинематических и силовых фаф ров на краях оболочки показаны на рис. 4.15. Произвольные постоянные Cj и Са, входящие в равепйШ (4.86), (4.87), удобно выразить -- через радиальное перемещали угол поворота на крае обила 8“ 0. Полагая в (4.86) ... (4j 8 — 0, ф — ф, получим I "К йг Л Рис. 4.15. Положительные направле- ния краевых кинематических и сило- вых факторов С1 —» ----х-у Cg ---------za sin up sin^p и далее ,(4. i Жа = С21«г= С22<Й, I sin3 ф ’ См С« 1 — \^Dk. (4, где си = _ 2Dk3 sinty ’ 162
<i. нее величины с чертой относятся к краю оболочки. Коэф- 1111-иты ciS (i, / = 1, 2) называются коэффициентами жесткости .[ни оболочки. Для безмомеитиой оболочки D — 0, cti = О, Мка = 0. Пигрешность формул (4.87)» полученных на основе прибли- • iinioro решения для краевого эффекта, зависит от величины г/(в//£ tg Ф и не превышает 5 %, если на рассматриваемом крае । £',/htgip>5. В случае цилиндрической оболочки (ф = л/2) рмулы (4.87) являются точными. Практически для тонких обо- I ин к (RJh > 100) построенным приближенным решением можно Коваться при значениях краевого угла ф в пределах 20е < Ф < 160°. Ширина зоны краевого эффекта примерно равна • ' что при р — 0,3 составляет 2,5 4.4.4. Граничные условия и условия сопряжения Общее решение задачи об осесимметричной деформации «и точки вращения записывается в виде суммы (4.75) безмомент- решения (4.65), (4.66), (4.71) ... (4.73) и краевого эффекта fi.H(i) ... (4.89). Оно содержит три произвольные постоянные Со, ц С2, которые должны быть определены из граничных условий Н п условий сопряжения на крае оболочки. В качестве граничных < линий на крае должны быть заданы две компоненты перемещений i|t у юл поворота в меридиональной плоскости или соответствующие IM распределенные силы и момент, например, и или w или Q . или Ма. Приведем основные типы граничных условий: жесткое защем- ит ие — и = w — = 0; шарнирное закрепление — и = w — L Ма = 0, при этом вместо условий и = w = 0 можно исполь- BiiliilTfe условия ит = их = С. Условия жесткого соединения оболочек по краям записываются ииде трех геометрических условий совместности перемещений и и Лов поворота и трех статических условий, на основании которых |н акции (две силы и момент) на соединяемых краях должны быть |i пшы по величине и противоположны по направлению. В случае, если оболочки соединяются через упругий шпангоут, к > статические условия записываются в виде уравнений равно- |н i-ия соединительного шпангоута под действием сил и моментов, и число которых включаются реакции со стороны оболочек Na, /и М. Реакции Т и Ма можно выразить через радиальное пе- ремещение Ъг и угол поворота Фа края оболочки по формулам, mi алогичным (4.90). Суммарные величины иг и складываются из слагаемых, представляющих безмоментное решение («°, Фа) и краевой эффект (Л“, Ъа) й, = й? + й,к, «а = ±< + #5. (4.92) 6* 163
Значения Ф& определяются по формулам безмоментногоИ шения (4.73), они не зависят от константы Со и поэтому являнЛ! известными. В формулах (4.92) за положительное направляв принимается направление от края оболочки. В связи с тем, что Я совпадает с координатой sa, соответствующей безмоментнИ решению только для иижнего края (см. рис. 4.12), во втором венстве (4.92) для нижнего края следует принять знак «+», а Я верхнего края —знак «—» (см. рис. 4.15). В результате аиалЛ чно (4.90) получим С1=Л-Д, с ^<>° J sin 2 sin ф k v т = Cl 1 (йг - й?) - св (5К т 5°), .—. - - _ _ (4.<Й‘ Ма = CZi (Ur — И®) — С22 (Фа =F Фа). Здесь cij определяется равенствами (4.91), знак «—» при Фа сад» ветствует нижнему, а знак «+» — верхнему краю оболочки Я рис. 4.15). Радиальное перемещение иг и угол поворота Ок на крае о • лочки, связанной со шпангоутом, исходя из геометрических усД вий сопряжения выражают через радиальное перемещение в цеЛ тяжести поперечного сечения шпангоута шш и угол поворота это] сечения Фш. В итоге при любом числе сопрягаемых со шпаигв том оболочек, если они являются статически определимыми Я носительно безмоментных усилий Ла, задача сводится к дну линейным алгебраическим уравнениям относительного о»га, фш. it еле их определения находятся иг, Ок и константы Сь СЕ (4/1 для каждой из сопрягаемых оболочек. Для определения константы Со ставится граничное услом или условие сопряжения для осевого перемещения их, которой основании (4.73) равно их = Со + F (а) — ur etg се, (4л где иг = «г + w* — полное радиальное перемещение. Запишем условия сопряжения для системы двух оболочек,И единенных через упругий шпангоут, который свободно оперт 1 контуру радиуса г0 (рис. 4.16). Будем считать, что на onopi контуре вертикальное смещение равно нулю, т. е. и0 = 0. Paciil деленную вертикальную силу Ро находим из уравнения равной сия всей системы. Затем для каждой из оболочек 1 и 2 запи^Н ются решения по безмоментной теории и теории краевого эффск, Геометрические условия жесткого сопряжения оболочек шпангоутом (см. рис. 4.16, б) имеют вид: Wo = 0, йха 1 = Ф'ш (с*о — ^*1), й-х, 2 = Ош (Ьр -|- 62), XI О». 1 “ —Фш» Фа, 2 ~ Фш, «г, 1 = ВУш + 0шЙ1, Wp,2 = — ч)1иС2- 164 ^Блппения равновесия радиальных сил и моментов, действующих шпангоут, записываются в форме (см. рис. 4.16, в) Рта^та ___'г Г1 __t у7. Я*, *п~ 71 Кш lsiRn,+1°’ В^Е-»ш=-(<,1 +Tiat)-^-+ (М^г + Т^-^ + М,. “ “ “ (4.97) Е|Нгсь и /ш — площадь и момент инерции поперечного сече- L Бк шпангоута относительно радиальной оси, проходящей через Kic центр тяжести; множители в виде отношения радиусов (fj/Ra К другие) вошли в уравнения (4.97) в силу того, что соответствую- I in нс распределенные силы и моменты (Тг и другие) отнесены к еди~ »line длины тех линий, на которых они приложены. [ В уравнениях (4.97) ~Т0 и ЛТО представляют собой распреде- ♦ • иную радиальную нагрузку и распределенный момент, которые .«шикают за счет реакций безмомеитных оболочек (от извест- K»dx меридиональных усилий Лт«) н внешней нагрузки, действу- цгй не шпангоут. В рассматриваемом случае имеем (см. рис. I 1Ь, в): То = Ю1 -£-cosa, — (ЛоТ-У-сс а2, ЛИ -Мо = (Na)i -2- (bl sin al - a, cos ai) | (4.98) 4 (Л^)2 -тг~ (fe sin “2 — COS a») Po a0. 165
Уравнение проекций сил в направлении оси оболочки 0V?)-^-sina8 — (N?)sinag-|- Ро-£- = О Ли Л[П я'-ГП позволяет определить реакцию Ре. Уравнения равновесия (4.97) с учетом зависимостей (4 для каждой из оболочек и геометрических соотношений (4 приводятся к виду * “Ь == Вы, ~Ь ~ ^го- Коэффициенты уравнений (4.99) в рассматриваемом случае | рис. 4.16) будут В12 В21 — (4Р -}- С|рС1) -41-------(С{? 4- , «Ш Кш ^22 — (с2р + 2cfpCj -|- С1Рй|) ~—р Лш + (cg> + 2сё>а2 + с!?Ч) 4- + . Вт = Ц!’й°, - с!!Ж,,) + (cg>«’_ 2 + с$ъа. 2) + т ^гп *Чи I Вог = КД1 + 4"й1) fij. 1 — (41’ 4- clt’ci) 1] -Д--------(4.1 ''ГП - [(<$+й° 2 + (4? + $>02) ё»,2] + м0. Здесь Ви, В1Ъ — BZ1 и В22 представляют собой коэффицие; жесткости шпангоута с учетом присоединенных оболочек. ! коэффициенты легко обобщаются путем суммирования на слу произвольного числа оболочек (в формулах (4.100) коэффицие; жесткости ctJ (4.91) различных оболочек отмечаются верхним дексом). Во многих случаях размеры поперечного сечения шпанго малы по сравнению с его радиусом. В таких случаях при прн£ женных расчетах можно пренебречь всеми эксцентриситета положив в уравнениях (4.95)—(4.97) г = гх = г2 — /?ш, ах — а = bi = - 0. Шпангоут при таком упрощении по сущее рассматривается как упругая линия в виде окружности ради Rm- После решения уравнений (4.99) по формулам (4.93) с уче зависимостей (4.95) для каждой из оболочек определяются к станты С18 Са и Со, 166
4 Л.5. Примера расчета Пример 5» Рассмотрим коническую оболочку постоянной толщины h, пол- pNi п-|<> заполненную жидкостью с удельной плотностью -у (рнс. 4.17). При этом и« <ш оболочки будем пренебрегать. Гидростатическое давление на глубине К» х от свободной поверхности равно р у (И — х). I Рассмотрим беэмоментное напряженное состояние. Полагая в формуле (4.66) b л/2 — ф; ? ® О; г = х tg ф; Ядйа — dsa = dx/cos ф; Ле — 0, получим *= а [ (Я— jtyxdx ЖС06*ф J * * о / Н____£\ ccs*q? \ 2 3 f И* равенства (4.65) при й4-*м и /?#er/slncz имеем ₽ С08аф С05яф * lie формулам (4.69) найдем деформации Hi равенств (4.71), (4.72) получим перемещения безмоментной оболочки „.„JL-ilSL 17 «*-4-)-н (Л£- 4)1 4-С.cosф. Eh cos5 ф L \ 4 9 / \ 2 3 / J у gin8 ф / ЗЯ Eh сов4ф \ 4 8х \ , _ . -—9™ ) Xs — Со sin ф. учетом краевого эффекта у закрепленного края я = Я перемещения имеют вид и » w — аР 4- e~fes (Ci cos fes ф- Cs sin fes), ,У 3(1-и»)81и»ф Где*—у Й,А11 , s см(р При шарнирном закреплении из граничных условий и s 0, w — 0, Ма = О мри х = Н (s = 0) находим . L _______V 81пф Я8 / 5 ,Д Ue“ Eh со8«ф 6 Кб C1SS—га«(Я), С>0. Усилия и моменты, обусловленные Краевым изгибом оболочки, опре- деляются по формулам (4.87); уси- лии N& затем складываются с |'не. 4.17. Коническая оболочка, ииюлненная жидкостью (а), и. ее отсеченная часть (б) 167
я) 8) Рис. 4.18. Цилиндрический бак со сферическими днищами (с), присоедииенн! через шпангоуты (б), и его контактные параметры (в) безмоментными усилиями Л7£, Л'^. Напряжения оа, Ср могут быть найдены формулам (4.21). Пример 2. Определим напряженио-деформироваиное состояние обол© цилиндрического бака со сферическими днищами с учетом краевого эфф | в районе нижнего шпангоута (зона А), (рис. 4.18, а). Массой оболочки пренеЯ гаем _по сравнению с массой жидкости. Примем следующие параметры: Rc/R = /2; Rlhi = 250; ЙСЛ2 = 400; Rlh„ = ISO; H/R = 4; Rid _ 20; vH I д PB = дЯ/2. Рассмотрим безмоментиое напряженное состояние. 1. Цилиндрическая оболочка 1; Rt-^oo, Ra = R, а — л/2. Давление оболочку р = РО при х > Н и Р — р0 4- у (Н — х) при X < Н. Усилия в сред иой поверхности AZO - P^—P^nR п. “ 2лЯ °’ при [Ro + “ *>] Л ~ ^PqR С3 — ж/я) при ж < я. Нормальные перемещения определим по формуле р Имеем и)° = 250pq.R/£ при х > Н, и;0 = 125 (3 — х!Н} PqRIE при х Н. 168
пильное перемещение иг и угол поворота на крае х ~ 0: «?='“”1л-=о = 375'^7Г-> ^а = —-Й—= 31,25-§-. г о Е ’ а Ehi dx |л==0 Е " Сферическая оболочка 2; Яг — Т?2 = Rc — V2R, ай = л/4. Давление оболочку — р — Р + ? (Я -j- Яс cos а — Rc cos cQ. mi и я в оболочке а pR’jslnaeosato- О = -^2-<Ро+тЯ — TRoCOsM + f Wg = pRe-W°. крае оболочки при а = а2 = 45° получим Л;° = 1,080ро7?, Я| — 1,О4ОроЯ я центре днища прн а О Л™ = Я2 — 1,1О8ро7?. Вычислим далее /(«)-<£-<$ -^- = e«-eg = JiiL^o-pRJ^ '<4^=-^ [4(_^+4.n^+ 4- -4г ctgs a 4 In sin оЛ — In sin a] - —vR? X Z / J OCflg Х[тг^г + 1П(1+С“а)]- |»пднальное перемещение и угол поворота ^ = e’RcStan, дас=—^-*. = ^-Sina; >i крае оболочки при <х — ос2 — 45° имеем (й®)2 = |a=a8 =“ 202,9 н l^b-^1^^50,0-^-. 3. Цилиндрическая оболочка 3; ^ — oq, R2= R, a = л/2. Уравнение шпшодесия всего отсека (см. рис. 4.18, а) имеет вид 2лТ? (Рв-Рн)+^ж = 0, I не обьем Жидкости Vw = л₽5Я + лДЭ (2 — 3 cos <*2 + cos3 а^/З = 4.22л/?3. Hi этого ураонеиия находим Рн и затем — усилия в оболочке: Н°а = = -О.7637роЯ, Яо = 0. Р|Диальное перемещение и угол поворота «/о = -^ЯадЯйз) = 34,4р07?/£, 0* 0. 169
Рассмотрим краевой эффект в районе иижиего шпангоута (зона Л, см. рис. 4.181 Вычислим цилиндрические жесткости D, параметры k и коэффициенты жестки сн» с12 — св1» СЕ2 на сопрягаемых краях оболочек, а также — коэффициент жесткости шпангоута. I. Цилиндрическая оболочка /; % — 90°: рп» а= 5г86'10“»£/?\ М == 20,32, . 1,968-10“*Е. ш ” 4,840-10“6££. 4Р = 2,382- 10'7£₽2. 2. Сферическая оболочка 2; ф2 — я—сс2 = 135°: Rc = 1^27?; Р‘2» в 4,05-10-вЕЯя, М = 18,18, 4« «= 1,922-16“*Е, 4F == “ 8.740-10~та, ГЦ’ == 1,452-10"7££2. 3. Цилиндрическая оболочка 3; фз — 90°: 0<3) --- 27,1- 10-a£fl3, k3R 15.74, cj»‘ = 4,214-10"*£, с|§> 4Р ---13,38-10~e£R, == 8,500-10"7£/?2. 4. Шпангоут; Еш — Е: Fm rfa/2, Im « &/36. EaFm/R9 = 1.250 - KT’S, £шЛп/К*=“ 1,740-10-’£Я«. Уравнения равновесия шпангоута записываются в виде (4.99), где Вц = 2,107-10“8£, £„ =- Вп = 1,584-10"6ЕК» В3£ = 2.722 • IO" «ЕЕ2» Вт = —0,6057р0£, fies = 20,97-10-»^. Решая эти уравнения, находим к>га = —З61ро1^/Е, Ою — —982Ор0!Е и дал йг, 1 — —GSSPvR/Е, &?, 2 = йг> 8 — —197p0R/E. Если пренебречь всеми эксцентриситетами (рассматривай шпангоут 1 упругую линию с теми же жесткостями EmFm и Ещ/щ), то получим В„ = 2,06 • 10- s£, В12 = B2i = 1,228 -10“ 6£R, ВВЕ = 1,407-10“ в£/?я, В01 = —О,6362ро^, £©2“ —-0,582-10 ^PoRnl = —322,7PoRlE^ = —2405ро/£. Эксцентриситеты в данном случае, в первую очередь, влияют на величи момента ТИу, который образуется за счет безмоментных усилий Л'^, действующ; на шпангоут со стороны оболочек и выворачивающих его (без учета эксцеитрис тетов .Мо — 0). Приведенные результаты показывают, что при принятой фор поперечного сечения шпангоута и его расположении (см. рис. 4.17, б), пре? брегать эксцентриситетами нельзя. По формулам (4.93) определяем константы Gj и С2 для каждой из сопряг! мых оболочек: СР’ = — 1О63роЯ/£. СР' == —581р0Я/£, С?' = —566р0Я/£, —28p0R/E, Ср> = —231pv£/E. C(2Si = ZWpvRlE. По формулам (4.87) найдем перемещения, усилия и изгибающие моменты, обус ловленные краевым изгибом оболочек в районе шпангоута. После этого спреда ляются суммарные перемещения к> и усилия 7Va, TVp с учетом безмоментного ре шения. При определении перемещений будем считать, что осевое перемещен» шпангоута на линии сопряжения его с цилиндрическими оболочками (см. рис. 4.18) равно нулю. 370
a) 8) в) 4.19. Безмоментные усилия, возникающие в баке (а), прогиб (61 и изги- бающий момент (в) в зоне краевого эффекта I 1огда 1 = йх. 3 = °- “х. 2 ” 5md = —KtPoRlE. |liпользуя формулу (4.95) для перемещения их сферической оболочки при а = * иу = 45° с учетом 2 = —197PqR/E, йХг 2 = — 491р0/?/Е. F (a) |а=45о= I 41,2p0J?/£l, получим Cq —-—647p0^/£'. Найдем нормальное перемещение ц|>1 рнческоЁ оболочки в полюсе при к = 0 по формуле (4.72). Учитывая, что Г (и) |а=0 »= —51,7р0/?/Е, е|Яс |о=0 = 3lOpoR/E, получим w|а==0 = [— (—51,7 — 647) 4- 310] p0R/E = 1008,7ро7?/£. I На рис. 4.19, а приведены эпюры усилий Л® и Nfy, полученных по безмоыент- ФЙ теории. На рис. 4.19, б сплошными линиями показаны изменения нормальных пере- Мщений оболочек в районе нижнего шпангоута. Пунктирными линиями пока- iniiu нормальные перемещения, вычисленные по безмоментной теории. Безраз- мерные перемещения краев оболочек, показанные на рис. 4.18, б, равны: Л1Л£ = 375; Л2Л; == 202,9; Л3Л§ = 34,4; Л,Л.» = 688; Л8ЛС = Л8Л * =« 197; А$А£= - 491; А§А$ = 566. На рис. 4.19, в показаны эпюры изгибающих моментов в оболочках. Макси° Сильные значения моментов возникают на линиях сопряжения со шпангоутом । Л4а, t - —2,8- Ю-ЗроЯ2, Ма> 2 == —7,51 • 10%/^. Ма 3 5,26- 1С-эр0Яй. Определим максимальные напряжения в оболочках. I. Цилиндрическая оболочка /. Максимальные растягивающие напряжения •«вникают вблизи нижнего шпангоута вие зоны краевого эффекта при 8г к 2,5 yRhi = C.158R. |,»o.1E8R Wg |._о “ 375р0. 171
Максимальные меридиональные н окружные напряжения в зоне края^И эффекта при Sj = 0 и у = ifti/2: 7L 1 6Чх I 6 ва =. —± —= =Р 2,8. КГ’РоЯ’ = Ч=1050₽„, вр = ± - —688ft, т 315ft. 2. Сферическая оболочка 2. Напряжения в полюсе оболочки при а J равны оа = ор = 1,1О8р07?/й2 = 314р0. Усилия на крае оболочки при s2 J (ф2 = 135°) за счет краевого эффекта; л? “ -20^ (cP + <-f *) ctg Ч>2 = -0,025р„Л, "р = PW«c) cP = -i. «АЛ Максимальные меридиональные и окружные напряжения на крае оболов при s2 = О, у = ±йг/2: во = (1,08 — 0,029) ft,R/fts =F 6-7,51 W^p^/h^ = 297р0 ч= 36р0, «р= (1,04— 1,42) ро£/Л2:ч=0,3-6-7,51-lO^ft,)?2/^™—108ft, =F 10,8ft,j I 3. Цилиндрическая оболочка 3. Максимальные меридиональные и окружи» напряжения на крае оболочки «а = 0, у = =ЬЛа/2: ао = —0,7687ft^//i3 ± е.5,2(М(Т=р,0//7Лд = — 104р„ ± 712р01 вц = ±0,3-7.12р„ = ±213,7р0. Приведенные результаты показывают, что в рассмотренном случае изгиба» напряжения в цилиндрических оболочках значительно превышают безмоментиИ напряжения. Изгибные напряжения могут быть уменьшены за счет соотив ствующего выбора площади, формы и расположения шпангоута. 4.5. АНТИСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ОБОЛОЧКИ I ВРАЩЕНИЯ Помимо осесимметричного нагружения, рассмотрев иого в разд. 4.4, распространенным расчетным случаем являете антисимметричное нагружение, вызывающее общий изгиб о6> лочки. Такое нагружение характерно, например, для отсеков л« тательных аппаратов. Рассмотрим тонкую оболочку вращения (рис. 4.20, с), наход» щуюся под действием поверхностных нагрузок вида <?а = <7а ’ (к) COS р, — </рп (а) sin р, р — ра) (а) cos р. (4 101 Пусть распределенные нагрузки (или реакции) на краях обо лочки заданы аналогичным образом, т. е. меридиональные усилии поперечные усилия и изгибающие моменты распределены вдоль краев по закону cos р, а окружные усилия — по закону sin Все эти нагрузки в каждом поперечном сечении х = const при водятся к равнодействующей поперечной силе Y и изги 172
* 20. Антисимметрично нагру- би оболочка вращения (с) и '» отсеченная часть (б) ^щнщ-му моменту £, вызы- >-Ц||ЦПМ общий изгиб и сдвиг мочки как балки (см. |1»| 4.20, б). Если нагрузки, (ршусы кривизны и толщина Буппгки изменяются в ме- Р tTjln опальном направлении JM «точно плавно, то при ан- у* Iuvпмметричном иагружеиии Бк »кс, как и при осесимметричном, оболочка в основном испыты- .. <i । безмоментное напряженное состояние. На краях, где оболоч- погружается распределенными поперечными силами и изгибаю- Ш ми моментами, а также в местах сопряжения различных оболочек «пикает быстро затухающее моментное напряженное состояние ।iiii.i краевого эффекта, который изменяется в окружном направле- нии пропорционально cos р. На основании этого приближенное решение задачи при анти- симметричном нагружении оболочки вращения может быть полу- •» по так же, как и при осесимметричном нагружении, в виде суммы hi моментного решения и моментного решения в виде краевого и|и|»екта. 4.5.1. Безмоментное решение При действии антисимметричных поверхностных на- Грузок (4.101), как следует из уравнений равновесия безмомент- |1<>й оболочки вращения (4.52), распределенные усилия изменяются г окружном направлении следующим образом: N =A^(a)cos₽, 7V₽x=7Vt(a)cos₽, ^«Mp(a)sin₽, (4.102) F.(c Nla, Nfa и — неизвестные функции, которые можно оп- ределить, интегрируя уравнения равновесия (4.52) по а. Однако проще составить уравнения равновесия отсеченной части оболочки, показанной на рис. 4.20, б. Равнодействующая поперечная сила и равнодействующий мо- мент внешних нагрузок, действующих на отсеченную часть обо- дочки (см. рис. 4.20), имеют вид V = Уо + J J (<7a cos a cos р — q$ sin £ -|- p sin a cos p) r dp | da, «0 Lo a a0 (^a cos a cos p — sin p) -j- p sin acos p)rdp I (x — x2) RT da, '2Л “I j (<7a sin a — p cos a) r® cos p dp da — 173
где Yo и Ц — равнодействующие распределенных нагрузок, п ложенных на нижнем крае оболочки; х — координата рассмапа ваемого сечения; — текущая координата (хс < хг <11 dxy = sin a da). Уравнения равновесия отсеченной части оболочки а рис. 4.20, б): 2зт У -}- J (Na COS Ct COS р — Ма& sin p) r dp = 0, 2Л (4.101 L — J Na sin ctr2 cos p dp = 0. 0 Эти уравнения являются интегралами первых двух дифферегцЯ альных уравнений (4.52). Выполняя интегрирование по р с учет •. (4.102), получим У + лг (Л a cos а — Мр) = 0, f L — sxrzNa sin сс = 0. дВ Отсюда определяются амплитудные функции распределении» усилий (а) и JV’Lp (а) в выражениях(4.102). Усилие зап» находится из третьего уравнения равновесия (4.52) = Afpcosp = (р1 — -~j #2cosp. (4.10 Деформации оболочки определяем из закона Гука (4. • в форме, аналогичной (4.102),* еа = el (a) cos р, е₽ = (а) cos р, уар = (а) sin р, (4. Ilrti где = A- (N'a - цОД). 4 = -X- W ~ • Из геометрических соотношений (4.54), связывающих деформации и перемещения, получим и = и1(а) cos р, и == и1 (a) sin р, »у = w1 (а) cos р, > I г> I -&г + ю = /?1Е“ -^- + и' ctga + ш' = ^, (4.10/1 /?8 йа v1 cig а sin а = R^Af- 174
^>рвощ уравнения (4.107) определим w\ подставим ш1 во вто- ши ние и поделим его на sin а; третье уравнение продиф- Ьнпируем по а. В результате этих преобразований получим 1 du1 . cosa , 1 /г> » п„к . .. -*-ЙГГ"*Г+ ЙЗ^" -•R,e»). f Rt <№\ ter I vl__________i ^U1 I ' " \ R^" da ) C g da ’ sina a ua a da ^Bli s второго уравнения первое, будем иметь - / Я, dp1 \ ___d ip,j I Д2е|>~*1еа R, lla) tg“ da ~ da sina W Un a/?s -ф (ЛЛ) - , - (-§- 4 - 4). tiK как Кг sin ada — dx, то последнее уравнение можно запи- В|< I* виде -^- = Л, (4.108) В f> - *ЙПГ [4^s)-(>4- 4)] Ь" рируя уравнение (4.108), получим в* = J f F, dxdx + A1x + Л2. (4.109) о о ле этого из третьего и первого уравнений (4.107) найдем / « \ и1 —$2Ta₽ sin и — cos a I j J f i dxdx 4- Aix -|- Л21 + \o 0 / 4-r sina^j Fidx +(4.110) w* — Rl^t — Кл sina"77"’ Ik трудно заметить, что решения, содержащие произвольные кон- Кпиты As и представляют перемещения недеформмрованыой Милочки как твердого тела за счет поворота на угол Аа и сме- Бк'ния А2 в сечении я == 0. Г Если оболочка закреплена на крае безмоментным образом [ фолько по тангенциальным перемещениям), то константы I ii А2 определяются из условий и1 ~ 0, и* — 0 на этом крае. В об- М<*м случае, когда условия закрепления или сопряжения не явля- ются безмоментными, константы Ai и А2 определяются совместно । произвольными константами, входящими в моментную часть ||1С11>ения, 17S
4.5.2« Краевой эффект Поскольку антисимметричное напряженно-дефор! рованное состояние оболочки меняется в окружном направлен медленно (по закону cos р), то антисимметричное (моменте состояние по характеру его изменения в меридиональном напр| лении очень близко к осесимметричному краевому эффекту. I основании этого в районе края, где при антисимметричной I формации оболочка испытывает изгиб, приближенное общее I шение представляется в виде суммы безмоментного решения краевого эффекта, т. е. и и1 cos р, о к, v1 sin р, w = w1 cos р + cos р, (4.11# где шк берется в таком же виде, как и при осесимметричной Н формации, аналогично (4.86), ьук e~fts (Ci cos ks -j- C2 sin ks). Дуга s отсчитывается от рассматриваемого края (ds = RiJA ф — cc — на нижнем крае и ф — л — са — на верхнем крае» Изгибающие моменты и усилия в зоне краевого эффект.*1* A'la = MaCOSp, = pMaCOSP, Qa = Q^COSp, Wa=(tf« + tf9cos₽, МР = (Л^ + Л£)СО8₽, (4. Ill A'of = N'af. sin p, где Ma, Qa, //a, ЛГр определяются по формулам (4.87). Произвольные постоянные и С2 определяются совмесгЯ с константами А1г А2, входящими в безмоментное решение, из гр., ничных условий на крае. При этом константы Дх, А2 определи ются для оболочки в целом, а константы Clf С2—только на ра< сматриваемом крае. Всего на каждом крае должно быть задав четыре граничных условия, например, для и или Na, v или м или Qa, €a или Ма. В качестве примера запишем граничные условия на краях об® лочки, жестко закрепленной при х = I и нагруженной при х = а) тангенциальной сдвигающей нагрузкой q0 sin р и б) р» диальной нагрузкой q0 cos р (рис. 4.21). В обоих случаях эти н< грузки приводятся к одной к той же ревнодействующей си» Уо = лг090. Следовательно, вде- ли от края х =? О напряжение х состояния оболочки будут ОДИ *“ наковыми. Рис. 4.21. Оболочка, нагруженная кд сательными (а) я радиальными (б) крае выми усилиями 176
J p<i яичные условия на краях оболочки записываются в виде: । и t = I: и — 0, v — 0, w — 0, Фа « 0; при х = 0 в случае (а): Н► 0, Л'а₽ = g0 sin ₽, Qa = 0, Мв = 0 и в случае (б): Na = Г- 70 cos «о cos Р, NaP = 0, Ох — 7о sin а0 cos Р, Ма = 0. |1 случае «а» напряженное состояние оболочки является без- МФнгиым, за исключением зоны краевого эффекта вблизи за- пленного края х = Z. В случае «б» возникает также изгибный мичюй эффект вблизи края х — 0. Ври формулировке условий сопряжения оболочек вращения I иругим шпангоутом или друг с другом так же, как и при осе- Ьистричной деформации, вместо перемещений и, w удобнее рас- мирчвать радиальное и осевое перемещения uf и uXf которые kit щпы с и и w формулами (4.53), (4.56). При этом вместо уси- iift и Qa вводится их равнодействующая — радиальное уси- ие 7\ которое наряду с моментом Л4О выражается через пере- пцсние и угол поворота на рассматриваемом крае оболочки по Киулам (4.94), где_б° и при антисимметричной деформации меняется на йг и Фа- 4.6. ТЕОРИЯ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК 4.6Л. Основные гипотезы и исходные соотношения Теория пологих оболочек является упрощенным вари- вшем общей теории оболочек, изложенной в разд. 4.1. Пологой называть оболочку, на поверхности которой можно ввести шкоторую систему криволинейных координат, такую, что рас- стояние между двумя точками и угол между двумя направлениями поверхности можно приближенно отождествить с расстоя- ниями между точками и углами между линиями, лежащими на шкоторой плоскости. Типичная форма пологой оболочки или *Г кривленной панели показана па рис, 4.22, а. Криволинейный Ьгмент abed поверхности такой оболочки в координатах х, у Можно приближенно отождествить с его проекцией на плоскость №CD, а криволинейные координаты х, у — с декартовыми коор- динатами. Основное упрощение, вытекающее из этого предполо- гпия, заключается в том, что метрическое соотношение (4.1) di8 = A*da* 4- Bzdfi2 общей теории в координатах х, у можно с) Рис. 4.22. Пологая оболочка (а) и действующие в ней усилия и моменты (б)
приближенно заменить следующим: ds® — dxa + т. е. р-н^И А — В — 1. Помимо этого, в теории пологих оболочек принл^Н ется, что при проектировании действующих на элемент слл^И оси к и у можно в силу малой кривизны оболочки не читна^И составляющие от перерезывающих сил Qx и Qy (см. рис. 4 .22.^® а в геометрических соотношениях, определяющих мено^Н кривизн, учитывать только нормальное перемещение №. В резу^И тате уравнения общей теории оболочек (4.17)» (4.18)» (4.16)» ({.Я । (4.13), (4.10) упрощаются следующим образом. |||| Уравнения равновесия принимают вид |||| -^т+тг+^=°- <4|к + + ₽ = (4ll О* оу Л1 Ля дМх . dMxv xj __« дМ„ . 8MxV q ____л /4 I !• дх + ду~ Vx-V, Соотношения упругости сохраняются без изменения: ||i N, = Ё6(в)> + ре»), W„ = ЁЛ (ej + рв°), Л\„ = * £(1-ЙТ«Я (4.1 И i Л4, = О (и, + рх,), М„ = О (к, + цх„), Л4ВД = -2- (1 — р) и* И Геометрические соотношения записываются в форме „ _ ей <а „______а> , ч> f, _ Ви , до .. Е*-а» + я„’ е«-0«+ёГ’ й"-'в7+а^’ (4ЛМ «. = >• «-=>4-^. Л где (4.|| Полученные уравнения отличаются от соответствующих у неви4 теории пластин (3.20)—(3.22), (3.14)—(3.18) наличием лепЛ NjRt, Ny/Ru в уравнении (4.114) и членов w/Rx, wlR2 в отнЯ шениях (4.117). Соответственно упрощаются и выражения дли перерезывающих сил (4.19). Из (4.116) имеем и л — , ВМхи п . дМу , BMXV 1Л ,и дх +- ду~, Чи----д-у Ь—аГ~- <4 •» Обобщенные перерезывающие силы согласно (4.26) имеют вил « = & + Q;^Q, + ^~. (4.121) С учетом (4.121) граничные условия определяются равенстваИ (4.23) ... (4.25). Полученные уравнения в силу своей простоты® 78 £
Мшению с уравнениями общей теории широко применяются К решения самых разнообразных задач по расчету оболочек. I инювимся на некоторых приложениях. 4.6.2» Расчет пологих оболочек Совокупность сделанных выше упрощений не приводит | । /шественным погрешностям при расчете пологих оболочек kftirofi кривизны (рис. 4.22), если выполняется неравенство « 1. (4.122) виду того, что построенная система уравнений является прибли- К иной, при расчете пологих оболочек, как правило, не учиты- |4гкя переменность радиусов кривизны Rlf R2. В частности, для плочки, показанной на рис. 4.22, Rt и R2 можно считать по- пя иными и равными их значениям в вершине оболочки. Г Система (4.113)—(4.119) может быть преобразована к трем уршшениям типа (4.20) относительно перемещений и, v, w, Ис- I почая из уравнений (4.113) (4.114) Qx и с помощью (4.120) I иыражая в них далее усилия и моменты через перемещения со- Ьпгпо равенствам (4.116)—(4.119), получим »им 1 — р д2и . 1 + р d2v , / 1 р \ dw _ 1—р2 J. • 2 ду* “* 2 дх ду “г \ Ri /?2 / дх Eh Чх’ 1 I р д2и . d2v 1 — р &v , / 1 р \ дю________________________1 — и2 . Р " дхду ду2 + 2 дх2 Т к Я8 i / ду Eh 4v' 1' ли на оболочку не действуют касательные поверхностные na- il'узки, т. е. qx — qy == 0, система (4.113)—(4.119) может быть приведена к двум уравнениям. Введем функцию напряжений ф так, как это было сделано и кюрии пластин (см. разд. 3.2.1): ы _ N _ _^Р_ JV=_ (4 124) ду* ’ — дх* ’ дхду Тогда уравнения (4.113) (при qy = qy = 0) удовлетворяются тож- шггвенно, а уравнение (4.114) после исключения Gy, Qy и за- 4«-11ы Му, Му, Мху через w, a Nx, Ny — через ч с помощью (I 124) примет вид + = (4.125) Иснользуя выражения для деформаций eJ, eJ, (4.117) и путем их дифференцирования исключая функции и и о, получим 179
уравнение совместное деформаций, аналогичи (3.32) в теории пластин, Рис. 4.23. Шарнирно опертая по краям по- логая оболочка ’Pmn — постоянные коэффициенты разложений, которые обходимо определить. Представляя внешнюю нагрузку р (х, у) JnifM же рядом птх . ппу ’тп Sin—— Sin— (4.130) д^о | = дх2 ‘И Заменяя sj, eg н у'х„ '• рез Nx, Ny, Nxu с in мощью (4.116) и вводя функцию напряжений <р по формулам (4.124), получим 1 . -с 1 42ui . 1 d-w й" V V <р - + Rs gx, f‘mn — известные коэффициенты (более подробный вывод из- Ьксн в разд. 3.3.2), и подставляя ряды (4.129), (4.130) в уравне- |Г (4.125), (4.126), получим алгебраическую систему уравнений ni определения wmn и <pmn: гz^y + ( - у^ _ Г > ( ™ у + • х (4-13 Фтп — Ртппу (4.131) Таким образом, теория пологих оболочек сводится к двум ура», нениям (4.125) и (4.126) относительно прогиба w и функции п» пряжений <р. Эти уравнения можно привести к одному у равней относительно w. Действуя оператором V2 V2 на уравнение (^ 5 и исключая V2 V2 <Р с помощью (4.126), можно записать одно некие восьмого порядка +4г^-)“ vSv2p- +т(^)1^ = а Определяя из системы (4.131), например, юг [кизаяной (4.127. . птх . ппу S1IJ------sin---г2—- а Ь >mn для оболочки, на рис. 4.23, окончательно получим w{xt у) = Для шарнирно опертой по краям прямоугольной в плане поли гой оболочки (рис. 4.23) решение может быть построено путем ра» ложения искомых функций в двойные тригонометрические рад типа (3.79), использованные в разд. 3.3.2 для расчета шарнирп опертых прямоугольных пластин. Граничные условия (4.24) враг сматриваемом случае записываются в при х = 0 и х = с пу = п == 0, при у = 0 и у — b w ~ и ~ О, следующем виде: _ а,дд> _ „ (4.12 o^w ___ д-чр __ q ~д^~ ~~ дх2 ~ V‘ Для того чтобы удовлетворить эти граничные условия, hckomi функции w и <р достаточно представить рядами вида тпх . ппу >mn sin —— sin——, , тпх . nsty 4>тп S1H ~— SID —g- , 180 fs \ a I j (4.132) мнение (4.132) может быть получено и в результате подстановки Изложений для w и р (4.129) в уравнение (4.127). Ряд (4.132) родится значительно медленнее соответствующего разложения 79) для пластины, так как первое слагаемое знаменателя, Обеспечивающее его сходимость, содержит малый коэффициент D, •|ропорциональный /г3. i В случае, когда граничные условия не соответствуют условиям Йглрнирного опирания (4.128), решение может быть получено ме- пдами, изложенными в разд. 3.3.2 применительно к расчету пла- ятин. Значение полученных уравнений (4.123) или (4.125), (4.126) hie исчерпывается возможностью расчета пологих оболочек. Теория иологих оболочек в силу простоты ее уравнений и достаточной | очности в большинстве практических случаев находит также ши* ||(>кое применение при решении задач локальной деформации | «белочек при действии сосредоточенных нагрузок и задач устой- чивости оболочек, когда на ее поверхности образуются местные |(ладки [12]. Основанием для этого является то, что на относи- (4-11 । I Цельно малом участке поверхности оболочка практически всегда может считаться пологой и соответствующее локальное напряжен- ное состояние может быть описано полученными выше уравнениями. 181
4.6.3. Техническая теория цилиндрических оболоче^И Для цилиндрической оболочки /?г->-оо и левая часть ml равенства (4.122) обращается в нуль. Как известно, цилинд^И ческая поверхность может быть развернута на плоскость и в коорЖ! натах х и у = /?Р (рис. 4.24), отсчитываемых вдоль образу I и параллели, метрическое соотношение (4.1) принимает вид dsa ~ dx2 + dy\ т. е. основное допущение теории пологих оболочф | (Л = В =. 1) для цилиндрических оболочек выполняется точнн | Что касается двух других допущений, связанных с отсутствие! перерезывающих сил в уравнениях (4.113) и тангенциальных пеД I мещений в соотношениях (4.119), то их введение определяет упри I щенную, так называемую техническую, теорию цилиндрически оболочек, использующуюся для решения широкого круга задД В рамках технической теории цилиндрические оболочки опи- сываются уравнениями (4.123) или (4.125), (4.126), в которых cj» дует принять со, /?2 = R (см. рис. 4.24). Если по краям оболочка шарнирно оперта, решение так же, как и в разд. 4.6 ' может быть построено в двойных тригонометрических рядад В качестве примера рассмотрим круговую цилиндрическую оболочку радиуса шарнирно опертую на краях х — 0 и х Граничные условия на этих краях имеют вид WS = O(^ = C); о = 0; « = 0; Л4, = 0 = о) . (4.1.» Пусть на оболочку действует нормальное давление р (х, р), par пределенное симметрично относительно радиальной плоское^ Р = 0, а тангенциальные нагрузки отсутствуют (qx — qv = И1 ЪРтп^'~1~ n=0 (4.1341 Подставляя разложения и, d, w и р в уравнения (4.123) и при равнивая по отдельности члены левых и правых частей уравнений Рис. 4.24. Цилиндриче- ская оболочка содержащие одинаковые тригонометрий ские функции, для каждой тройки нс известных коэффициентов umni vmn, получим по три линейных алгебраичг ских уравнения: -[т'+^(тП-+1 . 1 Ч- ц тл п . и тл п + -F- -Г--R + R ~Г = °- 1 + Р тя п Г / n Y , 1 —1* V “2 I RU™ |Д К 1 1 2 Х1 (-т^ )2] ''»» -г -у тН™-= °- 182
. / П \212 1 — и» + (-R) J И'“’>=~й Mtiin эти уравнения, можно найти итп, vmn, wnn в зависимости Ккоэффициентов разложения нагрузки pmn. [ Аналогичным образом решаются и уравнения (4.125), (4.126). рмультате получается система типа (4.131), из которой нахо- И фтп. 4.7. ПОЛУБЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК 4.7.1. Основные гипотезы и исходные соотношения Цилиндрическая оболочка является распространенным » Вментом конструкций самого разнообразного назначения и ме- Вли расчета цилиндрических оболочек разработаны наиболее Килю. Уравнения теории цилиндрических оболочек могут быть ииг.чены из уравнений общей теории оболочек, приведенных разд, 4.1, если принять А ~ В — 1, оо, /?2 = R- Путем щедения некоторых упрощающих предположений в разд. 4.6 Крлн получены уравнения технической теории цилиндрических «>лочек. Для иллюстрации необходимости дальнейших упро- 41Н1ИЙ запишем уравнение типа (4.127) для цилиндрической обо- Кчки, на которую ие действуют поверхностные нагрузки, т. е. к Чу = Р = О (см. рис. 4.24). При Лх оо и /?2 = Z? уравне- и<- (4.127) принимает вид D Va V2 V1 Vat« + = 0. (4.135) I В случае шарнирного опирания по краям решение этого урав- нения может быть получено в виде двойного тригонометрического рчда типа (4.132). Для других граничных условий решение (4.135) Ь силу его периодичности по окружной координате у может быть представлено, например, в виде у) = w„(x)cos-^-_ (4.136) Подставляя (4.136) в (4.135) и приравнивая нулю коэффициенты при cos (ny/R), получим для (к>п/^)обыкновенноедифференциалы-юе уравнение восьмого порядка VIII . пл VI . / с п* . Eh \ iv я8 * . пв л 4 Wn -}- ^6 де2£)" J ЬУп дев 4“ дев 0. (4.137) 183
Я Рис. 4.25. Полубезмоментная модель оболочки (а) и действующие в ией и моменты (б) У II В принципе решение уравнения (4.137) ^n(^) = Zj С nilnl(x)> содержащее восемь произвольных постоянных Cin для каждо позволяет удовлетворить любые граничные условия на х = о и х = I (см. рис. 4.24). Однако практическое определив частных решений Fni (х) уравнения восьмого порядка свя ч с большими трудностями, что и вызывает потребность в далы J шем упрощении теории для снижения порядка уравнения (4.1'ij Именно такой упрощенной теорией и является рассматриваем ниже полубезмоментная теория цилиндрических оболочек, ЛI роко используемая при решении конкретных задач [9, 11, Н в частности, для расчета цилиндрических оболочек средней дли нагруженных таким образом, что их деформированное состояли меняется медленно в продольном направлении. В этой тес и наряд)’ с гипотезами Кирхгофа используются дополнительные решающие статические и кинематические допущения. Если чЛ sa = х и Sp = s обозначить координаты точки срединной пов« ности оболочки, отсчитываемые в продольном и поперечном правлениях (рис. 4.25, с), то допущения полубезмоментной теоЛ можно записать в виде п dv w о du . dv q i л , Е"= = ТГ + яГ = °- ^=*-1 77 =°- Л4а » 0, Qa « 0, А1аР яа 0. Согласно (4.138) в продольном направлении оболочка во»»- себя как безмоментная, а в кольцевом — как система иерастяж мых рам. Полубезмоментная теория особенно эффективна для рй чета оболочек, подкрепленных системой часто расположили шпангоутов, которые «размазываются» по длине оболочки, солЦ вая высокую изгибную жесткость в кольцевом направлен* Три компоненты перемещения и, v, w связаны между сс»1Чй двумя кинематическими условиями (4.138), и поэтому при люСи*» 184 I
направляющей они могут быть представлены через одну . решающую функцию Ф (х, s); и = —~вГ’ (4139) । праведливость представления (4.139) может быть проверена |п<мредственной подстановкой в (4.138). Г Усилие Na и изгибающий момент М$ определяются по закону Кка: = = = (4.140) П п л д / V dw \ п / 1 д'-Ф . D д*Ф \ ^6 ds \ Я2 ds ) D*\ Rs &« + ds* )' Ulfj > в силу сделанного выше замечания о возможности приме- ра Пня полубезмоментной теории для расчета оболочек, подкреп- иных шпангоутами, введены различные обозначения для жест- i к‘й Eah и Dfl. При этом в полубезмоментной теории влиянием • • ффициепта Пуассона пренебрегают, полагая р = 0. Сдвигаю- I' - усилие (лоток касательных напряжений) в срединной поверх- и пи оболочки определяется из уравнения равновесия в продоль- м направлении (см. рис. 4.25, б) с учетом (4.140): “& ~di ~E“h ~дх^ ~ (4.141) равнение для неизвестной функции Ф можно получить рассма- Ёрпвая равновесие элемента, показанного на рис. 4.25, б или с Ыомощью вариационного принципа Лагранжа (см. разд. 1.3). Ниже будет реализован второй способ. Потенциальная энергия hi формации полубезмоментной оболочки (4.27) с учетом (4.138), i*l 140) будет иметь вид с = -g- J J + Л1В"ХР] dxds = I нпм^+м^+^rw- (4И2) Ьриация работы поверхностных нагрузок определяется равен- гном (4.28), т. е. б Л = J J [<7а бы -|- би Ц-- р биу] dx ds = + (4.143) Подставляя полученные выражения в уравнение б£/ — б А =0 И преобразуя его интегрированием по частям таким образом, чтобы под поверхностным интегралом в качестве общего множителя была мриация 6Ф, получим дифференциальное уравнение для функции Ф и естественные граничные условия. 185
4.7.2. Круговая цилиндрическая оболочка Рассмотрим прямую замкнутую'круговую цилиндре скую оболочку, для которой ₽2 — R = const и х = Rat s • 1 (см. рис. 4.24). После интегрирования по частям интегралов Пй и р с учетом периодичности Ф и ее производных в окружиоуИ правлении получим I 1 К ЛТ1 *л С ЛлГ д4® . Пл / д*Ф , о \ . «и-«Л=] ^[-^--^+^.(^-+2-^ + -^) + с 2« юЯ +1 (4^-<->)] (гф’ЯМ:1^ + 4-(f)Jr£<xh а*® 0(«Ф) / Eah а»<в „\.Л,1“ = ГЦ(1 I \yil~RS-ltar-ta (.-К5--^-+’“)еФ]а = 0/фГв (4.14. где I = l/R, I —длина оболочки. Отсюда следует дифференциальное уравнение для функцн^Н которое запишем в виде . +_а>____«Lr jl.+ п2ф (4 к- 8а* R*Eah + ) Eah * 1 н г21е п - &£_ . _ Jfe- Д Ч 0&» + ag 0а ’ На торцах полубезмоментной оболочки граничные условия фора лируются так же, как и для безмоментной оболочки — на калцр торце должны быть заданы или тангенциальные перемещения, И соответствующие им тангенциальные усилия, т. е. и или Н. v или Л’ар. Аналогичный результат следует и из вариационв уравнения (4.144). Контурный интеграл в (4.144) представлю вариацию работы реакций на торцах; он с учетом (4.139| (4.141) может быть записан в виде Ф{^»в«+^-вФ]“:')к<Ф= = ф {[Д'. С« + Na6 6о] “ “ р } R df,. Чтобы этот интеграл обращался в нуль, на каждом торце долм быть заданы перемещения (тогда би = 0, 6v — 0) или должны бу равны нулю соответствующие им усилия Na = 0, Na& — 0- верхиостные нагрузки, действующие иа круговую цилиндри> скую оболочку, могут быть представлены в форме тригонометрии» ского ряда по окружной координате 0. Например, при нагрузки 186
мяметричных относительно образующей р = О, правая часть шнения (4.145) может быть записана в виде ряда ₽) = ^f„(a)cosn₽. (4.146) п—О ^решающая функция Ф (а, р) в этом случае находится в виде Ф = S ®n(tz)cosnp, (4.147) |с Фп (а) — неизвестные функции. I В силу ортогональности тригонометрических функций решение II издается иа отдельные составляющие. При этом в случае п = О, представляющем осесимметричное напряженно-деформи- Ьншное состояние, полубезмоментная теория неприменима (так in ер = 0) и это состояние рассчитывается отдельно по безмо- •игной теории с учетом краевых эффектов. Для первой гармо- нии (n = 1), представляющей изгиб оболочки как балки, полу- пмоментная теория не учитывает сдвиг (уар = 0), и поэтому бо- ре точное решение можно получить на основе общей безмомент- >11 теории (здесь также можно учесть краевые эффекты изгиба). Подставляя разложения (4.146), (4.147) в уравнение (4.145), щучим для каждой гармоники (п = 2, 3, ...) обыкновенное диф- । ренциальное уравнение -^- + 4Г„Ф„ = /„(«), (4.148) ik'- = дЙЬгО’- ^ывнение (4.148) в отличие от уравнения (4.137) имеет уже чет- щггый порядок и по виду совпадает с уравнением осесимметрич- но краевого эффекта. Его решение можно записать в форме, иiлогичной (4.41), Фп = e~knCt (Ci coskna Ц- C2sinkna) 4* 4~ efe”“ (C3 cos kna -|- sin fena) £ Ф° (a), (4.149) иц- Ф£ (a) — частное решение неоднородного уравнения. Параметр kn в случае гладкой оболочки (£„—£, £р ---££712) Пропорционален величине j/"h/R и при небольших значениях п Является достаточно малым. Вследствие этого деформированное стояние тонкой оболочки при малых п меняется вдоль образую- гиги медленно. В этом случае удобнее решение записать через функции А. Н. Крылова: Фп = AiKj (fen12-) Ч- А2К2 4~ А3К3 (fen*2) Ч- 4-Л4К4(йпа) + ФЙ(а). (4.150) 187
Функции А. Н. Крылова имеют вид [111: Ki (х) = ch хcos х, К2 (х) = -4- (ch х sin х 4- sh х cos x), 1 I (41 Ks (x) = -g- sh x sin x, K4 (x) = -j- (ch x sin x — sh x cos x). Они делятся на симметричные (Кг и Кз) и антисимметрий (Къ и Ха) относительно х = 0 и их производные выражай через эти же функции в виде: К[(х) = —4К4 (х), К2(*) = К11 K'3(x) = Kz(x)t №(х) = К3(х). Произвольные постоянные Ct в (4.149) или Aj в (4.150) onpq ляются из четырех граничных условий на торцах оболоч В случае необходимости решение, полученное по полубезмома ной теории, при не слишком больших п может быть дополй решением в виде осесимметричного краевого эффекта. Полубезмоментная теория применима для расчета деформа uj медленно изменяющихся вдоль образующей; для гладкой оболоя это ограничение определяется неравенством 1 < п < у/ Rih [L
ГЛАВА 5 РАСЧЕТ ПОДКРЕПЛЕННЫХ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПО БАЛОЧНОЙ ТЕОРИИ 5.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ГИПОТЕЗЫ При создании летательных аппаратов широкое при- Ьш-ние получили тонкостенные конструкции, обеспечивающие Ьчстание высокой прочности и жесткости при относительно К большой массе и представляющие собой удлиненные оболочки едлпндрической и конической формы типа крыла, фюзеляжа или ♦ приуса летательного аппарата с произвольным контуром попереч- <||>ю сечения (рис. 5.1). В большинстве случаев обшивка 1 под- крепляется продольным силовым набором (стрингерами 3, поясами конжеронов 2). Жесткость контура поперечного сечения оболочки I своей плоскости обеспечивается поперечным набором (нервю- |i 1ми 4, шпангоутами). I Введем срединную поверхность, т. е. поверхность, делящую |плщину оболочки пополам. Кривая, которая получается при пересечении срединной поверхности плоскостью, перпендикулярной В продольной оси оболочки, называется контуром поперечного шчения. Положение любой точки М оболочки характеризуется криволинейной координатой s, отсчитываемой по контуру попереч- |ою сечения от некоторой начальной образующей, и продольной |н «ординатой z (см. рис. 5.1). В зависимости от типа сечения оболочки разделяются на 1'пстемы с открытым (рис. 5.2, а), замкнутым (см. рис. 5.2, б) млн многократно замкнутым — многозамкнутым (см. рис. 5.2, в) Контуром поперечного сечения. [ В настоящей главе рассматривается балочная теория под- (ргпленных оболочек. Предполагается, что оболочки восприни- мают изгибающие моменты, поперечные силы и крутящие мо- иеиты, работая как тонкостенные балки. Такая расчетная модель, часто называемая балочной, справедлива для удлиненных оболо- •юк регулярной конструкции, т. е. для оболочек, размер которых кцоль оси z значительно больше размеров поперечного сечения, причем отсутствуют вырезы и резкое изменение жесткости об- шивки и подкрепляющих элементов по координате г. Балочная Iгорня оболочек основана на следующих гипотезах, совокупность моторых позволяет достаточно просто рассчитывать весьма слож- ные пространственные конструкции: 189
Рис. 5.1. Подкрепленная оболочка Рис. 5.2. Открытый (а), одном®» кнутый (б) и многозамкнутый (• контур поперечного сечения 1. Контур поперечного сечения оболочки z « const считав иедеформируемым в своей плоскости, т. е. ев = 0. Это предппд. жение обусловлено тем, что в конструкциях рассматриваемо! класса (крыло большого удлинения или корпус летательно! аппарата), как правило, имеется система часто расположение поперечных подкрепляющих элементов (нервюр нли шпангоут» 2. Предполагается, что относительные удлинения по ось> е любом сечении оболочки распределяются по закону плоско Вводя в плоскости сечения координаты х и у (рис. 5.3), полу* Рис. 5.3. Усилия, моменты и напряжения, действующие в сечении обол-»- 190
К (1. b, с —некоторые функции переменной г. В сечении z Иин-jst (5.1) является уравнением плоскости. Соотношение (5.1) и. ично закону плоских сечений теории изгиба балок, однако, Ен льку оно записывается для относительных деформаций, (блочной теории подкрепленных оболочек сечения не обяза- Kfli.ix остаются плоскими. Действительно, интегрируя геометри- Кк соотношение с. учетом (5.1), получим следующее Ин отделение осевых перемещений: I х Jeds 4-9/bd?+jcdz + f(x, #). (5.2) [ |l»l use три слагаемых в (5.2) соответствуют закону плоских Кшияй, а последнее (произвольная функция интегрирования) Кк-деляет постоянное по оси z отклонение сечения от плоскости Ииг.ланацню сечения). Нормальные напряжения сге с учетом того, Ki е, ~ 0, определяются законом Гука в форме Г ая = Еъг — Е (ах 4= by + с) (5.3) гели модули упругости обшивки и подкрепляющих элементов Kpiкаковы, распределяются в сечении по закону плоскости. Функ- ции / (х, у) не влияет на нормальные напряжения, т. е. имеет свободная депланация сечения оболочки. Отметим, что К>нле случаев депланация сечения (если она имеет место при сво- Кяном изгибе или кручении незакрепленной оболочки) огранн- Ьпч’ется условиями закрепления края г = const. В этих случаях окрестности закрепленного края возникают дополнительные Ко] лальные напряжения ах. Эти напряжения, естественно, не н/т быть выявлены в результате расчета по балочной теории. №п| их определения необходима более общая расчетная модель рлочки, которая будет описана в следующей глзве. [ 3. Ввиду малой толщины 6 оболочка считается безмомеитиой, В г предполагается, что нормальные о2 и касательные т напряже- |цю (см. рис. 5.1) по толщине обшивки и стенок распределяются Кпвиомерно. При этом удобно ввести поток касательных сил q ~ тб. (5.4) Е^&змеры сечений продольных элементов считаются малыми по ривнению с размерами сечения оболочки. Предполагается, что Цементы подкрепления (стрингеры, пояса лонжеронов) воспри- нимают только нормальные напряжения о2, которые равномерно I pm пределены по сечению элемента. 4. Предполагается, что действующие на оболочку нагрузки л каждом сечении z = const сводятся к изгибающим моментам | (z), Му (z), крутящему моменту Мг (г), осевой силе — N (z) К поперечным силам Qx (z)> Qy (z) (см* Рис* 5.3). Эти нагрузки м«нут быть найдены в результате анализа оболочки как консольно ««крепленной балки Например, для крыла, показанного н^
Рис. 5.4. К определению’ попе- речной силы и изгибающего момента в сечениях оболочки ти- па крыла рис. 5.4, поперечная сила и 1 мент, передающиеся на сечен! от мысленно отделенной этим чением части консоли, имеют । Q, = /?(*)&. M, = — J?(г)!в Положительными считаются В менты, действующие против чф вой стрелки, если смотреть с ца соответствующей оси; жительные усилия совиадаьЖ направлениями соответствуюци координатных осей (см. рис. Г.; Методы определения моменмИ сил, действующих в сеченияДИ соотношения, связывающие И* аэродинамическими и друпн* характеристиками летательных аппаратов, рассматриваются курсах прочности летательных аппаратов [32, 25, 5]. Поскольку оболочка рассматривается как балка, действующ в сечении изгибающие моменты и поперечные силы связаны пт стными соотношениями сопротивления материалов, которые । принятого правила знаков имеют вид dMj; ___________________ “ИГ" ( I -Qx- 5. Напряжения в конструкции определяются законом Гун т. е. не превосходят предела пропорциональности; считается, •• стенки и обшивка не теряют устойчивости (см. гл. 9). Отметим, расчет оболочек по балочной теории может проводиться i|j напряжениях, превышающих предел пропорциональности, и по’ потери устойчивости стенок и обшивки. В этих случаях р;н- осуществляется методом последовательных приближений и р сматривается в курсах прочности летательных аппаратов 132, Ц • (см. также гл. 9, 11). 5.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ . 5.2.1. Редуцирование сечения по материалу В случае, когда все элементы оболочки изготовлены ft одного материала с модулем упругости Е, напряжения щ расп|- деляются по сечению по закону плоскости в соответствии с ран ством (5.3). Однако реальные тонкостенные конструкции ч.-i выполняются из различных материалов. В таких оболочках и расчете все элементы обычно приводятся к одному материи 192 г. осуществляется операция редуцирования сечения по мате- 1»алу. Естественно, что такое редуцированное сечение должно Кп> эквивалентно действительному. Пусть в Ай точке сечения ^координатами xt, yt (5.3) находится элемент набора с площадью Игния Fit модулем упругости Et или элемент обшивки с пло- Ьщью dFt = (6 —толщина обшивки) и модулем упругости *1 Заменим истинный элемент фиктивным (редуцированным) . площадью сечеиия Fip или dFlp = &tpds и модулем упругости Ер, Ьи паковым для всех элементов. Очевидно, для эквивалентной Кмгяы необходимо, чтобы, во-первых, усилия в действительном | редуцированном элементах должны быть равны = Olpfjp. = (6.6) HW н Gip — напряжения соответственно в действительном редуцированном элементах, а во-вторых, деформации истинного редуцированного элемента должны быть одинаковы, т. е. (6.7) *1ш1дем редукционный коэффициент, учитывающий различие мате- (и плов действительного и редуцированного элементов сечения, ина- । редукционный коэффициент по материалу <pf=# (5.8) игда согласно равенству (5.7) Of = 4i°ip (6.9) •• hi соотношений (5.6) найдем FiP = <PiO. (5Л°) ким образом, для приведения сечения к одному материалу • Игдует площади сечений элементов и толщину обшивки изменить пропорционально отношению модулей упругости действительного I фиктивного материалов. | Поскольку все элементы редукцированного сечения имеют •щипаковый модуль упругости Ер, напряжение в точке i опре- 10Г1г»ется равенством (5.3) С|р = Ер (axt + byt + с). (5.11) lb uiHHbie напряжения в соответствии с (5.9) и (5.11) имеют вид = <Pi (AXf + + Q, (5.12) । иг А = Ера, В = Epb, С ~ Ерс. В качестве материала приведения может быть выбран материал itriCjoro элемента оболочки или некоторый гипотетический мате- риал. Часто материал стрингеров приводится к материалу об- шил ки. Если соответствующие модули упругости обозначить через I „ и Ео, то для точек обшивки = 1. а для стрингеров <р2 — ' И. Ф. Образцов и др. 193
~ EJEq. При Ее > Eq напряжения в стрингерах будут соглнг (5.12) в £е/£л раз больше, чем'в прилегающих элементах обшиш т. е. в сечении, включающем элементы из разных материал распределение напряжений не будет соответствовать закону ш скости. 6-2.2. Вывод формулы для нормальных напряжений! Найдем коэффициенты Д, В, С, входящие в равенд (5.12). Поскольку распределение напряжений (5.12) в сечем z = const оболочки должно быть статически эквивалентным дс^ ствующим в этом сечении моментам MXt Му и осевой силе] (рис. 5.3), получим $ ayS ds + J] OjF/y, — М, + NyK, f <1x8 ds + J CjFjX, = — Му + NxK, (5- ф об ds Ц- J ojFj = АЛ Здесь, как и ранее, С — толидина обшивки; Fj — площадь сечеиВ /-го продольного элемента. Первые слагаемые в левых частя< равенств (5.13) соответствуют моментам и силе от напряжен»! в обшнвке (суммирование по элементам обшивки заменено интог рированием по контуру), а вторые — моментам и силе от напри жений Oj в подкрепляющих элементах с координатами сечений Xg. У]. Отметим, что (х, у) — произвольная система декартовн» координат, заданная в сеченин. Подставляя (5.12) в (5.13), получим + Bl, + CS. = М. + Nyx, BI№ + CSU = — My + NX". (5.14) ZS,4-BSr4-CF = N, где Ixy = <j> yxtfids 4- У, <P;F,X;»h <PB!6 ds 4- 2 tfiF/y], (5.15) 194
1 - ()) <px£6ds+2j ф/F/X/ — центробежный и осевые моменты Г I М*ции редуцированного сечения в координатах х, г/; = $ Ф^5 ds 4- £ fPjFjyj, Sv = § (рхб ds 4- J (5.16) F = (£<p6ds-|- VjFj k । ытические моменты и площадь редуцированного сечения. I Три уравнения (5.14) включают три неизвестных А, В, С. r.h.•пство числа неизвестных коэффициентов имеющимся уравне- ймим статики указывает на статическую определимость задачи определения нормальных напряжений в тонкостенных конструк- тжх. Найдем А, В и С из полученных уравнений. Из последнего ^ищнення системы (5.14) имеем С =г ----Ах0 --- .ВУо~ 1 >фГ1. *о = -^. So = -^ <517) координаты центра тяжести редуцированного сечения. Представляя коэффициент С в первые два уравнения системы ('i 14), после преобразований получим Alo^y BIOx ~ МОх, AIOv + BIO3tv = -MOv. 1 ' II Кгнх уравнениях обозначено Idx = h — SoF, 10д = 1д-х&, (5.19) 4 ecu = Ixy XoBoF осевые Zos, IQV и центробежный IQxy моменты инерции реду- цированного сечения оболочки относительно центральных осей, пириллельных первоначально выбранным осям хи//; Л40а: = Мк 4- N (yN — у0), ^Аод = N (.^n %о) изгибающие моменты от действующих внешних нагрузок, цилючающие моменты от продольных сил относительно централь- ных осей, параллельных исходным. Г 195
Решая уравнения (5.18), найдем Д __ ____1____ / .^оу ___ ^Ох ipxy \ 1 _ ' ^ау 1°х ’ iOxiоу fl ______* / Мох | МОу 7С ху \ J if) XI) X Ox ioy if)X / ioxiоу Подставляя коэффициенты А, В и С в выражение (5.12), полу», нормальные напряжения для t-й точки сечения тонкости» системы Здесь * =—!р— (ба 1 ОХУ ioxi оу — коэффнциент несимметрии сечения оболочки; “ (5» й = Si — 5, — (*г — *<>)-4^ г0у — обобщенные координаты гй точки сечения оболочки. Отметим, что нормальные напряжения (5.21) получены Щ произвольно выбранной системы координат. Если сечение имЛ-« ось симметрии, например ось у, которая проходит через цсш тяжести, то Xq — О, Уо 0, 1оху — ?ку — О, — 1» Xi — Xi, Ус = Vt — Уо> Id* = /х — tfoF, hs = Л Мох — Л4М N (ук — р*0), TWop = Му — Nxn. Для сечення с двумя осями симметрии, являющимися однопр менно центральными Хо — Уо = о, 1оку — 1ку = 0, k — 1, Xi — Xi? УI — у I? ~ loy — lyt iA()X = ТИсеЦ- NyN, Mqv — My — NXtf. В заключение сделаем некоторые замечания. Чем больше чвкл* и площади поперечных сечений продольных элементов, тем лш чительнее роль их по сравнению с обшивкой в передаче норм;иц, ных напряжений от изгибающих моментов и продольной вилн Поэтому в отдельных конструкциях, особенно с тонкими обшит ками, продольные пояса являются основными элементами, пер* 196
i -ми моменты Afx, Му и силу N. В таких системах допу- что обшивки совсем не воспринимают нормальные иапря- )и к и работают только на сдвиг. Обшивка, не воспринимающая (мяльные напряжения, естественно, не учитывается при вы- ! । ии моментов инерции, обобщенных статических моментов I -их геометрических характеристик оболочки. В этом случае । учесть только сосредоточенные элементы — пояса лонже- стрингеры или внеинтегральные члены в формулах (5.15), •биту обшивки значительной толщины на нормальные напря- и ложно учесть путем приведения ее к продольным элемен- • этом случае при вычислении нормальных напряжений пие оболочки заменяется системой сосредоточенных площадей, пчающих площади сечений продольных элементов с присоеди- ftno.; обшивкой. Применяется и другая расчетная схема, при которой работа- ли на нормальные напряжения обшивка не приводится к под- дяющим элементам, а стрингеры равномерно распределяются донтуру сечения и в результате получается гладкая оболочка, ц этом следует иметь в виду, что при определении нормальных ряжений учитывается приведенная толщина обшивки, а при и-.слении касательных напряжений — только действительная |цина, так как стрингеры воспринимают только нормальные пряжения. J (юе описанные расчетные модели широко используются в прак- •I' ких расчетах конструкций летательных аппаратов. Б.2.3. Примеры определения нормальных напряжений Пондер 1. Найта нормальные напряжения в сеченин оболочки, нагружен- | погибающим моментом Мх = —М (рис. 5.5). Материал сечеиия оболочки — кпниезый сплав. Обшивка работает на нормальные напряжения, а стенка 6а Ьринимает только сдвиг. Г Иля данной оболочки редукционный коэффициент <р = 1, ось х является ральной н главной, т. е. k = 1, Уг = &t, iox ~ Iхн формула для нормальных Лшжеиий (5.21) принимает вид а == -у— ffit - J tpSds. •ипеграл вычисляется только по участкам /—2 я 1—3, воспринимающим . dx ,.«че напряжения. Учитывая, что ПОЛУЧИМ КВ JL Vs dx ьн*в 2В *) 1 cos а 6 cos а * о 6М _ 3Mcosa °*= —У1 = т -ёйда—Х|- «енуе наряжений показано иа рис. 5.6. 197
Рг =0.255 Рис. 5.5. Геометрические характеристики сечения оболочки н действующие на- грузки Рис. 5.6. Распределение nt мальных напряжений ё = &НВ = О-—=------ по контуру I SlWcosa I чення Пример 2. Определить нормальные напряжения в сечении трехзамкнуи оболочки (рис. 5.7) от действия изгибающего момента Мх — —М прн услоД что стенки 11—3 и 9—5 воспринимают нормальные напряжения, а обцнш работает только на сдвиг. Материал поясов лонжеронов 3, 5, 9, 11 — ci.i | стрингеров, стенок и обшивки — алюминиевый сплав (принимается Е^Е-п -1 Площади поясов лонжеронов F — 2f — &R, стрингеров f= 0,561?, толщи стенок 68 = 2S, обшивки — 6Х = С. Приведем материал сечения оболочки к алюминиевому сплаву. Тогда и поясов лонжеронов <р3 — срв = ср9 = <ры — <рп = 3, а для остальных элемеш <Р/ = 1. Рассматриваемая конструкция имеет две осн симметрии. Выбраян система координат х, у (см. рис. 5.7) является центральной н главной. В случае k = 1, yt = yt н Поэтому Or^Vt -Ц~У1- х определяется вторым равгм провод нгсн по участкам сечен ик а суммирование распространим ся на все продольные влеменм относительно оси причем интегрирование на нормальные напряжения' Момент ннерцни вом (5.15), работающим ' Уз 2 = 4 J у’26* + + <Pn^F+y|f +2$. 1/"3 Здесь й = R, Иг = R 2^-, у. = 0,51?. В результате получи /й = 7.23261?3. Рис. 5.7. Геометрические харям теристики сечения и действую щие нагрузки 198
Подсчитаем нормальные на- . «иля в отдельных элемеи- гчепия оболочки. h поясах лонжеронов: ° °И ”----— М 1 „ ’'"(S.S + KSJSR3 2 .20^2 ~^г Кингерах 2, 6, 8, 12; fg ------Ое ™ CT|g к м Из (5,5 + ИЗ ) 8R’ 2 =-0.H975^- Рис. 5.8. Распределение нормальных на* gpS пряжений с — о ~т^- по контуру сечения । |рннгерах /, 7: tfy = —CFj = — । к-нках 11—3, 9—5: °ii-з ~ —о'в-ь ~ — М (5,5+}'3)6R’ м R —0.13828-™-. «пшделевие нормальных напряжений показано иа рнс. 5.8. пример 3. На оболочку (рве. 5.9) действует изгибающий момент Мх = > М. Определить нормальные напряжения в элементах поперечного сечения, •.и in, что обшивки и стенки не работают на нормальные напряжения. Пояса ^||н<1*ронов 5, 8,9,12 выполнены нз стали, стрингеры — из алюминиевого сплава *т/£д — 3). Площадь сечений поясов переднего лонжерона Fb = Fit = Збй, n>m г>в заднего лонжерона Fa — F» = ^Ь, стрингеров 26b (С — толщина (Яшники). 199
Геометрические характеристики сечения. Нормальные напряжения в элементах оболочки ёГ*| Ь; —0,0178 -0,00035 —0,0092 —0,0442 —0,4760 —0,0528 —0,0185' к0,0348 —0,0875 1-0,0394 —0,0354 —0,1400 —0,0276 —0,0240 —0,0208 0Z66‘0— 1 № Г7 j'Po 1Л > II о <6* Is НО,0335 НО,0047 -0,0241 -0,0528 -0,2449 -0,0577 -0,0341 -0,0314 НО, 1576 -0,0499 НО,0472 НО, 1330 -0,0417 НО,0389 НО ,0362 2 —0,266 —0,037 +0,191 +0,419 +0,648 --0,458 —0,271 +0,083 —0,417 -0,396 —0,375 —0,352 —0,331 —0,309 —0,287 8 2 0 0,167 0,667 1,500 12 2,778 2,667 4,667 0 0 0 0 0 0 0 = ь 2 0 0,250 1 2,25 4 4,17 4 3,5 0 0 0 0 0 0 0 °’я» Cl с 0 0,0417 0,167 0,375 3 1 0,463 0,296 0,333 0 0 0 0 0 0 0 ВШ9^« 1 0 0,0625 0,250 I 0,562 0,694 1 0,444 0,250 0 0 0 о° 0 0 3 •° о 0 0,667 2,667 6 48 16,667 24 65,333 65,333 24 16,667 48 6 2,667 0,667 s<?9Z*9SS = | ТГ ь о о —Ti’cncpmcDOChCDincDOj-^—, —’tNCO’sFxJ’COO}-* 8 • 0 0,167 0,333 0,500 3 0,556 0,444 0,667 0 0 0 0 0 0 0 e<?9Z99‘S = 0 0,667 1,333 2 12 3,333 4 9,333 9,333 4 3,333 12 2 1,333 i 0,6671 B<№*S9== * - « 0 0,250 0,500 0,750 1,000 0,833 0,667 0,500 0 0 0 0 0 0 0 « ю 8 0,667 0,667 0,667 0,667 3 0,667 0,667 1,333 1,333 0,667 0,667 3 0,667 0,667 0,667 «S91=‘,,jS=-f & п 0,333 0,333 1 0,333 1 0,333 0,333 0,333. 1 1 0,333 0,333 1 0,333 0,333 0,333 rT С5 2 2 2 2 3 2 2 1,33 1,33 2 2 3 2 2 2 •** — —< CJ CO ЧН tn CO r- CO СП О — СЧ ICO tn 200
-0,2449 В качестве материала приведения принимается сталь, т. е. для поясов лон- KitioB <р — 1, а для стрингеров <р — 1/3. Геометрические характеристики сечения сводятся в таблицу 5.1. Суммиро- Ш1<‘ столбцов 4, 7, 8, 10, 12, 14 таблицы позволяет найти характеристики F, I. Sv, 1Х, 1Ху. По формулам (5.17) и (5.19) находим координаты центра Ж14-ги сечения х0 — = 4,086; у0 = —— — 0,3546 и центральные моменты |ц|>ции сечения /Сае = 2,6766s, /оу — 59,9563, /оэе^ — 1,3568. Коэффициент симметрии сечения (5.22) k = 1,01 и обобщенная координата (5.23) & = yt - 0,354Ь — (xf - 4,086) 0,0217. пн пения у$ приведены в столбце 15 таблицы. Нормальные напря- шция определяются по формуле (5.21) °! = = “I’Obp‘Ww Bi । приведены в столбце 16. 11 качестве проверки по формуле Е OiSiFi = —М уДкет быть найден изгибающий момент в сечении. Результат 1уммирования столбца 17 таблицы показывает, что погрешность рпсчета составляет 0,3 %. Распределение нормальных напряжений Н'жазано на рис. 5.10. 5.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ 5.3Л. Вывод формулы для потока касательных сил При изгибе подкрепленной оболочки в обшивке возни- кают касательные напряжения т, направленные вдоль контура, |н in номер но распределяющиеся по толщине обшивки б и сводя- щиеся к потоку касательных напряжений (5.4) q == тб. 201
Для определения потока касательных сил (ПКС) q выдели из оболочки элемент с размерами dsdz (см. рис. 5.3) и рассмотри его равновесие, считая, что поверхностная нагрузка в направлен» оси z отсутствует, т. е. продольная сила для данного отсека ко» струкции постоянна (N — const). Спроектируем все действуют» на элемент оболочки силы на ось z ~5z ^2) ® ~ 4- ds} dz — qdz — 0. Отсюда после очевидных преобразований •^б+4-=о dz ‘ dz и после интегрирования по s ?«•- + (5.р| 0 Здесь qn (z) — ПКС в точке s — 0. Подставляя в равенство (5.711 выражение для нормальных напряжений (5.21) и учитывая, чп в нем от z зависят только Мйж и MDyt получим Отметим, что в формуле (5.21) имеется индекс I, однако следует иметь в виду, что она определяет напряжения как в точках ofj шивки, так и в продольных элементах. Поэтому, если на участит контура 10, si имеется m-продольных элементов, то интеграл в рп венстве (5.24) следует вычислять с учетом этих элементов и фунн цин Sx (s) и Sy (s) в общем случае имеют вид s т §„ = J адб ds 4- V} . 41 SB = j <рл6 ds + 2 №fj- о (-1 Здесь интегралы уже распространяются только на обшивку; Л и ф — толщина и редукционный коэффициент обшивки; fif Уь Ф/ — площадь сечения, обобщенные координаты (5.23) и рг дукционный коэффициент /-го продольного элемента. Функции SK (s) и Sy (s) (5.26) представляют собой обобщении! статические моменты отсеченной части контура редуцированно!" сечения в произвольно выбранной системе координат хОу (cl рис. 5.3). Начало отсчета координаты s выбирается в произвольно, точке контура сечения. 202
Преобразуем равенство (5.25) к окончательному виду. Для вино учтем, что в силу условия N = const и равенств (5.5), [П *)) dM-on _л dMOy ___ л —“ Чу, |1 результате для сечения z = const получим g = -*(^3;. + -&-Si,)+<?o (5.27) 1и<>1 v = gQ + f0, де 4cl=~kt-^Sx + -^-Su')- (5.28) X Jox ‘оу f 1 Wii.i ки обобщенных статических моментов Sx и Sv зависят от зна- кон обобщенных текущих х, у и фиксированных х}, у; координат I i Й6), а также от принятого начала отсчета координаты s. Знак 11 КС gQ в (5.28) определяется знаками поперечных сил Qx, Qy |1 обобщенных статических моментов $х и Sy. При этом положи- Вольный ПКС gQ совпадает с выбранным направлением обхода Вппгура, а отрицательный — принимается в противоположном Л травлении. Формулы (5.27), (5.28) определяют распределение ИКС по контуру сечения. Касательные напряжения в соответ- I |нпи с равенством (5.4) имеют вид » = (5.29) юдует отметить, что поток д0, входящий в формулу (5.27), яв- оптся пока неизвестным и определяется по-разному в зависи- Ц«ити от степени замкнутости контура (см. рис. 5.2). Таким обра- ♦ »м, определение касательных напряжений представляет собой flcMice сложную задачу по сравнению с расчетом нормальных Ипряжений, так как в этом случае небезразлично, каким является Ь’чение оболочки — открытым, однозамкнутым или многозамкну- пим. Так, однозамкнутое сечение является статически определи- мым, многозамкнутое — статически неопределимым, а оболочка । открытым контуром при решении задачи кручения является оке геометрически изменяемой системой. Поэтому необходимо ы «следовательно рассмотреть определение касательных напряже- ний для каждого типа сечения тонкостенных конструкций. 5.3.2. Определение ПКС в оболочках с открытым контуром поперечного сечения. Центр изгиба Для более полной иллюстрации схемы решения, кото- рая в основных чертах будет повторяться и далее в более сложных • (дачах, рассмотрим простой пример — задачу об изгибе оболочки, показанной на рис. 5.11. 203
Рис. 5.11. Круговая цилиндрическая Рнс. 5.12. Распределение ПКС оболочка с открытым контуром л/? = П° контУРУ с^'»2ния I Как уже отмечалось, в формуле (5.27) q0 = q (при s 4 Поместим начало отсчета дуги s в точке А, т. е. на крае kohtJ Поскольку край АВ свободен от нагрузки, в силу закона паря касательных напряжений в точке А (т. е. при s = 0) q = 0. j довательно, qQ ~ 0 -и согласно (5.27), (5.28) ? = k-&-Sx. *Gx Для рассматриваемого контура, обладающего осью симмеи Ч>=1, s=^«, j/ = ^cos«, у = у, k = 1, 4 = /01 = 0,Я = /?26 j cosada ~ 7?2f, sina, q =----^-slna. I 0 Распределение потока q по контуру показано на рис. 5.12. Hal равнодействующие потока q по осям х и у Я л J q cos aR da == 0; j q sin aR da == Qu. Таким образом, поток qQ, входящий в формулу (5.27), статича эквивалентен действующим в сечении поперечным силам. I смотрим условие статической эквивалентности по моменту отн? тельно оси z (точки О на рис. 5.11) J qR* da = Qya. о Отсюда а — т. е. сила Qv должна проходить через впо| определенную точку. При любом другом ее положении полу емый поток q оказывается неэквивалентным действующей в са нии силе и не может быть найден по балочной теории. 204
I усмотрим теперь откры- ли контур общего вида i.l 5.13). координату s отсчитываем I свободного края контура |<ц|н1ля. Поскольку q0 пред- Ьнпляет собой поток, действую- ши на крае сечения оболочки, К. при отсутствии продольных mt'i вдоль образующей имеем 0. Поэтому в оболочках с «крытым контуром касатель- •1н усилия находятся по фор- Рис. 5.13. К определению ПКС в сече- нии оболочки с открытым контуром g^qQ = -k(^L-Sx + ^sA. (5.30) \ >ох ‘оу / < i обобщенные статические моменты Sx и Sv вычисляются по Крмулам (5.26) от одной из свободных кромок профиля. '’умма проекций всех элементарных касательных сил qQds ш координатные оси Qx и Qv (см. рис. 5.13) обеспечивает выполие- условий равновесия | qQ cos ads = Qx, j qQ sin ads — Qy. (5.31) S 6 Ih выражения (5.30) следует, что поток касательных сил в сечении Кшочки открытого контура не зависит от величины крутящего имев га. При кручении таких систем отсутствуют внутренние рплия, уравновешивающие крутящий момент. Поэтому тонкостен- ш* конструкции открытого профиля не воспринимают крутящий мп м гит и представляют собой в этом случае нагружения геометри- Вкп изменяемую систему. ' Огметим, что последнее является следствием гипотез нючной теории, т. е. применительно к задаче кручения । ли остенной конструкции открытого профиля концепции балоч- Hitii теории дают совершенно неудовлетворительные результаты. 11ри определении нормальных и касательных напряжений были Ьлпилетвореиы пять уравнений равновесия (5.13) н (5.31). Шестое ♦ рлннение позволяет найти координаты точки, через которую приходит равнодействующая развивающихся в сечении по- лонов касательных сил. Этим уравнением является .рлннение моментов относительно любой оси, параллельной оси z. Определим раздельно координаты х, у искомой точки. Сначала 1ИГП1ВИМ уравнение моментов относительно произвольной |нчки в плоскости сечения — полюса Р (хр, ур) (см. рис. 5.13) Р'ЛЬКО для усилия Qv —Qv(xp — *) = Jw^ s 205
Здесь р = р (s) — расстояние от полюса до касательной в теку»»» точке контура или плечо элементарной касательной силы Подставляя в последнее равенство qQ из формулы (5.30) 9s = -*-^-S„ JOx находим хр — х — j §хр ds. (5. 8 Рассматривая затем действие силы Qx, аналогично получаем | УР — У = — ~ц~ j 3„Р ds. (5.' I 8 Координаты х, у определяют точку, через которую проходи» равнодействующая развивающихся ПКС в сечении оболочЛ открытого контура. Эта точка называется центром изгиба в = х = j—• J Sxp ds -J~ Хр, k /« л <5J<I Уц-» — У —j SyP “s 4" Ур- Положение этой точки не зависит от внешней нагрузки и опре деляется геометрическими характеристиками сечения. Ценя» изгиба открытого профиля лежит всегда вне контура и на ос' симметрии, если она имеется. Геометрическое место центров изгиб» сечений по длине конструкции образует ось жесткости (ось и» гиба), которая для цилиндрических оболочек представляет со(П прямую, параллельную образующей. В качестве примера рассмотрим открытый контур, показанный на рис. 5.14. Оболочка нагружена поперечной силой Qy = (j Определить ПКС q и абсциссу точки приложения внешней и* грузки (Хд.и) при условии, что обшивка с толщиной = 6 н<и принимает нормальные и касательные напряжения, а стены с толщиной 62 = 0,256 работает только на сдвиг. Материал oflu лочки — алюминиевый сплав. Эта оболочка уже рассматривалась ранее при определена нормальных напряжений (см. пример 1 в разд. 5.2.3). Для л« было найдено, что k — 1, yt — Уь 10х — 1ж = "ёсоХ > <р =» I, т. е. согласно формуле (5.30) q = qQ = — k Sx = - cos aSs, (5.3| 206
У В 5.14. Геометрические характеристики сечения С открытым контуром WI0 SX SX — статический момент отсеченной части. Крорди- Бтд s отсчитывается от точки /, т. е. от свободной кромки. Учи- кимя, что ds ~ > У х (см. рис. 5.14), для Нитка 1—2 имеем с’-2 _ ( к„ dx ЪН я cos « 4В cos а 1 точке 2 имеем х ' ' 4 cos а |bскольку стенка с толщиной бя на нормальные напряжения по Еовию не работает, на участке 2—3 Sl“s = и в точке 3 Sx — S*. Для определения статического момента на участке 1—3 Ьдобнее ввести новую координату Sj (см. рис. 5.14). Учитывая, Frfsi=-^’ ^ = “получим __ f Я,, „ бЯ У2 *« ~ J "cos a “ 4Bcosa X' IIih-ok касательных сил определяется теперь по формуле (5.35) il показан на рис. 5.15. На участках /—2 н 3—1 получим q — - х2, а на участке 2—3 q = —т. е. при обходе Ьштура по часовой стрелке поток на всех участках имеет противо- Ьложное направление. Из рис. 5.15 непосредственно следует, что 1<кинодействующая ПКС на ось хравна нулю, а на ось #она, как не- го?
Рис. 5.15. Распределение ПКС Н Я — ~ qQ по сечению с открытым контуром трудно проверить, равна О Действительно, — 2 [ 27^5 x-asinа I J 2НВг cos а г При расчете тонкостей ных конструкций с откр|^ тым контуром сечения и основе балочной теории поперечные силы должны обязательно проходить ф рез центр изгиба. Опрсдс лим абсциссу центра и гиба в рассматриваемой оболочке. В практических расчетах целесообразно ко ординаты центра изгиба определять не по формулам (5.34), а непо средственно из уравнения моментов. Составим это уравнение стати ки, принимая полюс в точке L Тогда условие статической экви- валентности найденного ПКС силе Q примет вид 3 Отсюда —-g-B. 5.3.3. Определение ПКС при изгибе и кручении оболочки с однозамкнутым контуром сечеиия Пусть тонкостенная конструкция с замкнутым конгу- ром нагружена в сечении произвольно приложенными поперек ными силами Qv, Qx и крутящим моментом Мг (рис. 5.16, а). Дли определения потоков касательных сил система с замкну» тым профилем разрезается вдоль образующей в произвольном месте поперечного сечения и превращается таким образом в обо лочку с открытым контуром, которая была рассмотрена выпь Разрез служит начальной точкой отсчета обобщенных статически моментов отсеченной части сечения оболочки. При введении разреза в тонкостенной конструкции появляются распределены# касательные усилия q0 (z), которые в рассматриваемом сечении z = const имеют постоянную величину, т. е. q0 — const. Потоки касательных сил в сечении оболочки находятся со гласно (5.27) и (5.28) по формуле 9 = ^4- (5.3(Н 208
Ча-----kl^-S. + ^Sy) (5.37) \ 7 ox 7 оу I представляет собой поток касательных сил в сечении оболочки I открытым контуром, который определяется по схеме, описанной и разд. 5.3.2. При этом обобщенные статические моменты S* н Sy «мчисляются по формулам (5.26) от введенного разреза. Г Для определения ПКС q0 запишем не использованное пока vp 1внение моментов сил относительно произвольно выбранного полюса Р с координатами хр, уг (см. рис. 5.16, б). Имеем Mfcp = $ qp ds, (5.38) I да Л411р = Мг — Qy (хр — ха) + & (ур — уа) ~ крутящий мо- мент от заданных нагрузок; р = р (s) — длина перпендикуляра, опущенного в сечении из полюса на касательную к контуру в теку- щей точке. Подставляя (5.36) в (5.38), получим Л4„р = <£qQpds+ ft <£ pds. i .ледовательно, (5.39) (bpcis ffipcis 209
Как для крутящего момента, так и для момента от потока касатея ных сил, положительным считаем направление против часом стрелки, если смотреть с конца положительного направления осп1 В знаменателе равенства (5.39) стоит интервал <j)pds. Устав вим его геометрический смысл. Из рис. 5.16, б видно, что вели чина pds равна удвоенной площади элементарного треугольни! с вершиной в полюсе Р н основанием ds (элементарная секторная ная площадь). В результате интегрирования получим удвоенна площадь, ограниченную контуром сечения, причем величии интеграла не зависит от расположения полюса. Введем обозная ние (j) р ds — Q. Тогда формула (5.39) примет вид 9о = -q — $ Чцр ds). (5 1(1) Итак, ПКС в однозамкнутом контуре определяется равенствам» (5.36), (5.37), (5.40). Рассмотрим один важный частный случай. Предположим, чтч в сечении действует только крутящий момент Мх. Тогда Qx Я = Qy = 0, = Мз., (Jq ~ 0 и из (5.36), (5.40) получим л /til (5.411 Формула (5.41) называется формулой Бредта. Из нее следует, чт» при свободном кручении оболочки с однозамкнутым контуром поперечного сечения поток касательных сил не изменяется ндол» контура и определяется в результате деления крутящего момент! на удвоенную площадь, ограниченную контуром сечения. Касч» тельные напряжения находятся по формуле х = q/&. В заключение отметим, что оболочки с однозамкнутым копту»' ром в отличие от систем с открытым профилем воспринимаю* произвольно прикладываемые поперечные нагрузки Qx, Qu к момент Мг. Возникающие при этом напряжения определяются как следует из изложенного выше, только из уравнений равнм весия. Поэтому тонкостенные конструкции с одиозамкиутмм контуром поперечного сечения являются статически определи* мыми. В качестве примера рассмотрим оболочку с сечением и схеме! нагружения, показанными на рис. 5.17 (см. также пру», мер в разд. 5.3.2). Согласно (5.36) q = qQ 4- q0. Разрежем контур в точке 1. Тогдв получим открытый контур (см. рис. 5.14) и расп|М деление ПКС qQ, показанное на рис. 5.15. Найдем поток q0, ком пенсирующий сделанный разрез. На практике вместо использй вання формулы (5.40) обычно непосредственно составляется ураь» 210
Рис. 5.18. Распределение потока ^e = И — Яй ~q~ п0 сечению с однозамкиутым контуром Рис. 5.17. Распределение суммарного IlkC q — q-~ по сечению с одио- замкнутым контуром пение моментов. Принимая в качестве полюса точку 1 и направляя К против часовой стрелки, получим (см. рис. 5.15, 5.17) Отсюда (/о = — (рис. 5.18). Суммарное распределение ПКС Ч c.q + ?о» полученное в результате сложения потоков, пока- 11ШНЫХ на рис. 5.15, 5.18, представлено на рис. 5.17. 5.3.4. Определение ПКС прн изгибе и кручении обо- лочки с многозамкнутым контуром поперечного сечения Теперь рассмотрим определение касательных напряже- ний в тонкостенных конструкциях с многозамкнутым контуром поперечного сечения. Пусть n-раз замкнутая оболочка нагружена произвольной шетемой поперечных нагрузок (рис. 5.19). Прежде всего тонко- г генную систему с многозамкнутым контуром нужно превратить к оболочку с открытым контуром. С этой целью необходимо раз- резать оболочку на каж- дом контуре по образую- щей. Всего таким образом делается n-разрезов. Для компенсации нарушенных связей в разрезах необхо- димо приложить неизвест- ные распределенные ка- сательные усилия qQt (z). Для рассматриваемого се- Рнс. 5.19. Сечение оболочки с многозамкиу- тым контуром чения z = const, в котором действует заданная система 211
Рис. 5.20. К определению II qq в оболочке с многозамкну! контуром сечення поперечных нагрузок, -т. усилия являются пост | явными в пределах кажд» го контура. | Qy Далее от поперечны л сил по формуле (5.2н» определяются потоки касательных усилий в сечении оболочки с открытым контуром, т. е. + (5.1-4 X ' Ох I оу ! причем обобщенные статические моменты отсеченной части реду цированного сечения Sx и Sy отсчитываются от одного,из разрезом. Типичное распределение по контуру показано на рис. 5.20. Для сечения, состоящего из n-замкнутых контуров, суммарны* потоки касательных сил в произвольной точке записываются <7 — Qq + S QQob (5.4.1) где qt — единичный поток, показывающий направление потоки qot в i-м контуре (рис. 5.21); qoi-— величина потока в i-м контуре. Отметим, что усилия от ПК< Рис. 5.21. К определению ПКС qot в оболочке с многозамкнутым контуром сечения q (5.43), будучи спроектирован^ нымн на оси хну, приводят к заданным силам Qx и Qy, так как этим свойством обладает потоку (5.42), а постоянные по отдель иым контурам распределенный касательные усилия q^t яв- ляются самоуравновешенными. Таким образом, остается по- требовать, чтобы момент от по тока q в сечении сводился к крутящему моменту, т. е. $9pds = Mz — Qt(xr — xQ)-t + <2« (Sp — Bq)- (5.44) Интегрирование распростра- няется на все поперечное се- чение оболочки. Подставляя в уравнение (5.44) q согласно (5.43) н принимая во внимание, что (J> ftp ds = Ip ds = Qit 212
4f - удвоенная площадь, ограниченная i-м контуром попереч- ^Kiu r-ення оболочки, получим I Чо А + $ ЧчР ds = Мг — Q„ (хр — хе) + Q* (др — yQ). (5.45) В I' . ь, для определения n-неизвестных потоков qoi имеется ^Kv одно уравнение равновесия. Поэтому задача определения в оболочке с п-замкнутым контуром сечеиия является -раз статически неопределимой. Для решения этой задачи ^Кп-одимо привлечь уравнения совместности деформаций. 11олучим выражение для относительного или распределенного ^Кри закручивания сечения оболочки 0. С этой целью восполь- ‘ч теоремой Кастильяно, изложенной в разд. 1.4.4 гл. 1. иасно равенству (1.’58) частная производная от дополнительной lib "шальной энергии по обобщенной силе равна соответству- ет ау обобщенному перемещению. Для линейно упругих систем, If • । 'лу которых относится рассматриваемая оболочка, дополни- Кг п !я потенциальная энергия совпадает с потенциальной энер- |/ *>• деформации. Запишем распределенную потенциальную энер- )и (соответствующую единице длины оболочки) для некоторого Ири контура многозамкнутого сечення U,=$*-eds = ^<is. (5.46) SJ si lUu G и 6 — модуль сдвига и толщина обшнвки; S| — длина / п контура, a q определяется равенством (5.43). Распределим Кд,мяь /-го контура ПКС <70/» создающий согласно формуле Бредта (Г) 41) крутящий момент Afj = (5.47) Где —- удвоенная площадь, ограниченная j-м контуром. Рассматривая в качестве обобщенной силы, по теореме И,, стильяно получим следующее выражение, определяющее рас- пределенный угол закручивания (угол закручивания единицы [.Длины: оболочки) Qf. = (-48) [Согласно равенству (5.47) имеем dUj = dUj ддЪ} __ 1 dUj dMj dqoj dMf Qj dq^j I Поставляя сюда U$ по формуле (5.46) и учитывая равенства (5.43) и 15.48), получим п . Р . г X Mos 6, = ’ ф А ds = ’ ф q} ds, 1 ш dqDf Go J J si si 2J3
Таким образом п 4-aQn (saq где “° = Ф ds’ а°‘ °* Ф "cs ds- (5'Gw si si Соотношение (5.49), определяющее распределенный угол закручи» вания, иногда называется уравнением циркуляции потоков кас» тельных сил. Запишем теперь условия совместности деформаций рассматдп ваемых контуров. Ввиду того, что в балочной теорш сечеим оболочки считается абсолютно жестким в своей плоскости, угли поворота всех его элементов, в частности всех контуров, ;олжп(| быть одинаковыми, т. е. 0Х = 02 = ... == бу = ... = 0П = 0. Г» кнм образом, с учетом равенства (5.49) получим aij4ot Ч- aQj — (/“1*2, 3 ... п). (5.5b В уравнениях (5.51) содержатся п + 1-неизвестных величин Л /z-потоков q0} и распределенный угол закручивания сечения fl Система (5.51) позволяет выразить все потоки qDI через Bl и получить зависимости вида — Aj -f- (5.52) Здесь Aj — потоки и Bj — коэффициенты являются и местными величинами, зависящими от геометрических и жесткостных харак- теристик поперечного сечеиия (потоки Aj, кроме того, завися! также и от поперечных сил). Распределенный угол закручивания 0 определяется из урашв ния моментов (5.45) после подстановки в него потоков (5.52). По найденному 0 с помощью равенств (5.52) определяются и по формуле (5.43)—суммарный поток касательных сил в аждпм контуре. Для проверки полученного таким образом решения необходимо найти равнодействующие потока q по осям х и у — эти равнодеи ствующие должны совпадать с силами Qx и Qir. Следует метитЬ| что такой статической проверки недостаточно для статически 1 неопределимой системы — она не гарантирует правильности опре- деления самоура&новешенных потоков qoj. Существуют различные способы полной проверки решения, однако все онн весьма грп моздкн. На практике обычно ограничиваются статической про веркой, а также проверкой правильности решения алгебраиче ских уравнений (5.45), (5.51). Остановимся на одном из способа» полной проверки ПКС q^. Существо его заключается в том, чти каждый контур многозамкнутой оболочки разрезается в другом । месте и задача решается снова. Очевидно, что суммарные ПКС 214
•• соответствующих участках многозамкнутого контура в обоих 'fjiyiaax расчета должны быть одинаковыми. Для иллюстрации описанной схемы расчета рассмотрим два ||||Ц пора. 5.3.5. Примеры определения ПКС в оболочках с многозамкнутым контуром иоперечного сечения Пример 1. Определить ПКС в трехзамкнутой оболочке, Нагруженной поперечной силой Qv = Q (рис. 5.22). Упругие R неметрические характеристики сечения оболочки приведены • условии примера 2, рассмотренного ранее в разд. 5.2.3. Г Превратим трехзамкнутый контур сечения оболочки в откры- тий. вводя разрезы в точках /, 13, 14 (см. рис. 5.22). Так как • точке 1 имеется стрингер, то для сохранения симметрии контура йнкк'.ительио оси у разрез введем таким образом, чтобы попереч- II | сечение его было разделено пополам. I Ноток касательных сил в трехзамкнутой оболочке на основа- нии (5.43) будет Я — Яо 4- QiQoi 4- ЯъЯс2 4* ЯзЯиз- 215
Рис. 5.23. Направления еди- ничных потоков в контурах Тогда Единичные потоки показаны Я рнс. 5.23. Для определения ПКС₽ вычислим обобщенные статнческ моменты отсеченных частей конту] по первой формуле (5.26) в т S„= j q>₽8ds + О /=1 Напомним, что в рассматриваем примере для стальных поясов лоня ронов 3, 5, 9, 11 <ра — 3, а для < тальных элементов сечения нз алю- миниевого сплава ф = I. На всех участках сечення дни жемся от разрезов по часовой стрелке sl~s = Wifi = Т 6/г2 (о « s < -5g-), где V1 = R, h = ±-f = ±6R-, S2-s = S't + yyfo = ± 6Я2 + 8«2 - * ®«2- Здесь = f2 = 48R- Для элемента стенки 13—3 имеем dSx = Ч>Угз~^ ds9 где у13_3 = Д. В текущем сеченин стенки S‘3~s = J <p±R2Sds = 8fls (о <5 s <5 -Х4); 0 s—^~— К т/’T Sx 2 == №. На участке 3 — s ^0 < s < Sj-s = si + s’~~ R + Waf8 = ( W? + + 4 ®«s = 6Я2, где й = -4 R, f. = F = 6R. 216
Для участка 14 - s $«- = J Wu_28 ds =-&Rs Io<s^±/-r}, 0 \ / _ Vs~ F «и-, =---l: R; S~ 2 - — 8/?«. На остальных участках сечення подсчет обобщенных статнче» 1их моментов проводится аналогично! SS—s q2—s «8—s eil—S X — О* — —Ох = —Ох » об—s _ «I—s e?--s о12—а Ох — Ох — “Ох — “О* т. Д. Определим ПКС Qa = -k-^-S,. •X ь k — 1, Iqx — lx 5.2.3, пример 2), = (5,5+ /T) 67?s = 7,23267?’ (cm. _I—s Л6—s Qq =qQ = — 1 Q -0,03457 4; 4(Б,5 + КЗ) R 9q-" = ?«”* = — 1 + /3 Q -0,09445 4; A 4(5, Б + ГЗ) R 9^ = -?Г' = - 1 Q S —0,13828-^-S; (5,5 + КЗ) R1 “ КЗ <2 -0,11989-^-; 2(5,5 + Кз) R qq~8 —____УН-З^З и0 42175 — 9Q 4 (5,5 4-^3) R R Г. Д« .определение потока касательных сил qQ показано на рис. 5.22. Перейдем к определению потоков qQX, gC2 и qw. Разрешающая истема уравнений состоит из уравнения моментов (5.45) и трех уравнений (5.51), т. е. 4~ 4~ Hs(fo3 (j) qQp ds = Qxq9 йи?о1 + а1з?с2 -|- а1зЯоз Н~ = £^j6» ^21^01 4" G22?02 4" ^asQos 4“ — H26, (5.53) C319oi 4- G32«7o2 4" а3в(&3 4~ aQS — ^30‘ 217
Подсчитаем входящие в эту систему коэффициенты. Площ сектора с центральным углом а определяется по формуле S = — R2 (се — sin се). В результате получим £21 = йа = 2S = Л2 (4 я - sin 4 п) = Й2 = 2 (лй2 — 2S) = 3.825Й2. Координата нагрузки xQ = —0,5/7. Коэффициенты aw и вы числяются по формулам (5.50). Направление единичных потоков (i — 1, 2, 3) показано на рис. 5.23: л л 2 I = °зз ~ 9 ~а&- = Т Т+т|=2'®4 R . G6 1 Уз к Оц = Ог-. = «23 = азг = J = - -gj- J ds = -0.866-^ Ou — — 0; /2CL/; А / 2 К 6 = А f a. f ° \ .1 28 + 1 — У- 2 Так как поток касательных сил осн yt то GQ1 == aQ3 = ф == 0, R qq симметричен относнтелы а“г ~ и момент, создаваемый этим потоком относительно продольис оси. проходящей через начало координат, обращается в нуль, т. cf qQp ds *= 0. Подставляя в систему (5.53) вычисленные коэффициенты, получи 1,2279и + 3,825Чо,4.- 1.2279м = -0.5-|-. 2,959?и — 0,866?м = 1.227Й656, —0,866ус| + 3,8259М — 0,8669м = 3,825йС«е, -0,8667м + 2.9597га = 1,227^066. Решение этой системы,, записанное в форме (5.52)» имеет вид 9о» « (fos 0B8I54/?G6e, = l,3702£Gee. 218
I первого уравнения системы LIU) находим распределенный И»л закручивания 6 = —0,06904 определяем ПКС I tfoj; " CoS = “”0,0563 ?т = -0,0946-j-. *t и ределение ^0< показано на in. 5.24. Суммируя эти потоки с пото- Рис. 5.24. Распределение ПКС D Qoi = 4oi~Q’ по сечем» >м qq по отдельным участкам, мучаем полные ПКС q, действующие в сечении. Распределение ^ммарного потока касательных сил показано на рис. 5.25. Пример 2. Рассмотрим определение потоков касательных сил f поперечной силы Qy = Q в двухзамкнутой оболочке несим- Причного контура (см. рис. 5.9), приведенной в примере 3 219
разд. 5.2.3, при тех же упругих и геометрических харах™1 стиках. Схема решения этой задачи аналогична предыдущей и е*й гается более кратко. Искомые потоки касательных сил преда вляются в виде I Я ~ 4~ 4" 92<702» ПКС да вычисляется по формуле Здесь Л = 1,01; 7„ = 2,6766s. Для определения Sx введем разрезы в обшивке вдоль сира! ющих оболочки справа и слева от Пояса переднего лонжера в точке 5 (рис. 5.26). Имеем §< = £ мл Обход каждого из днух открытых контуров проводится от точкии против часовой стрелки. Вычисление обобщенных статически моментов и потоков касательных сил в открытом ков туре qQ сведено в табл. 5.2. Распределение потока qQ показав иа рис. 5.26. Составим разрешающую систему уравнений для определен™ потоков qOi и 9С2 (направления потоков qt и qs показаны u.i рис. 5.27, с): п ’Wo; 4“ ^»9о2 4“ X QqPs — —Q (хр — xq)> в11901 4“ С12?02 4" aQl — &J0, а21Яо1 4* ^22?02 4- Ода ~ Q20 Рис. 5.26. Геометрические характеристики сечения и распределение ПКС qq b 220
е> Инг. Б-27. Принятые направления единичных потоков ^(а) и распределение ПКС qni — qOi (б) по сечению пли 4fe4-4,59o2 4-0,2350-3-= 4-’ 9,12?01 - ?02 4- 0,4660 4 = 46G 66, —Ча + 7.54УИ, - 0,5695 4 = 4,560 86. Решая совместно второе и третье уравнения, находим 9т = —0,0434 4 + 0,5115ЬС 66, 9и = 0,0698 -3- + 0.66466G 66. Рнс. 5.28. Распределение суммарного ПКС с = Q -гг ио сечению Qtl 221
Определение потоков касательных усилий в двухзамкнутой оболочке 222
Ityjii гавляя эти потоки в первое уравнение, получаем е=°-124-й^- Следовательно, Чп = 0,0200 - j-! <?«» = 0,1522 . Печения q^t и полных потоков д по участкам приведены в табл. 5.2. Й определение потоков касательных сил gGi и а приведены на I 1-мг 5.27, б и 5.28. 5.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕНТРА ИЗГИБА СЕЧЕНИЯ ТОНКОСТЕННОЙ КОНСТРУКЦИИ Выше в разд. 5.3.2 при рассмотрении оболочек с откры- ты контуром поперечного сечения было введено понятие центра 1л1иба как точки, через которую проходит равнодействующая №>гока касательных сил. Оболочки с открытым контуром’ могут рассчитаны по балочной теории, если поперечные силы П|н ходят через центр изгиба. Оболочки с замкнутым и миого- Кмкнутым контуром поперечного сечения могут быть рассчитаны при любом положении поперечных сил, однако и для них можно niit'cm понятие центра изгиба. Центром изгиба называется такая точка сечения оболочки, Которая обладает тем свойством, что поперечная сила, проходя- щая через нее, вызывает изгиб тонкостенной конструкции без вкручивания. При произвольном нагружении поперечными си- лами тонкостенные системы изгибаются и закручиваются. При Ьим каждое поперечное сечение оболочки имеет линейные пере- мгщеиия по осям х, у в своей плоскости и поворачивается относи- тельно оси г. Если поперечная нагрузка приложена в центре щпиба, то поперечное сечение тонкостенной конструкции имеет только линейные перемещения и не поворачивается. Следова- тельно, распределенный угол закручивания равен нулю, т. е. ЙО. Для определения абсциссы центра изгиба хц. я следует пред- положить, что в рассматриваемом сечении действует сила, равная I Qu (Qx ~ Мг ® 0), проходящая через центр изгиба. Тогда поток Касательных сил определяется формулой» аналогичной (5.43), lie. п Ч = 9q + S 4<4oi- »=1 I Iotok qQ ве зависит от положения силы Qv, а потоки qOi, соответ- • гвующие силе, проходящей через центр изгиба, отмечены штри- I ком. Для определения потоков дм и координаты центра изгиба 'ц.и следует воспользоваться уравнением моментов, в котором 223
необходимо принять Qx = Мг ~ 0, xQ = хп. в, г *7" (5.61), где необходимо положить 0 — 0. В результате следующую систему: и уравнения i получ S + $ ЯчР ds = —(x„ - x„. (5.M) 2j + aQi = 0 (/ = В, 2, 3, ... п). (5.58) Из уравнений (5.55) находятся $ы9 я затем из уравнения (5.54) Хц. и- Для определения ординаты центра изгиба уп,„ следует пре положить, что в сечении действует сила, равная Qx и проходящ через центр изгиба. В этом случае потоки q'Gt также находят из системы (5.55), а уп. в — из уравнения моментов, аналоге иого (5.54), т. е. п У (fa&t + $ tfQp ds = Qx tyр — Уч.«)- (5.56) Отметим, что положение центра изгиба в оболочках с однозамкну-| тым и многозамкнутым контурами не зависит от действующей нагрузки и определяется геометрическими и жесткостными харак теристиками сечения. В тонкостенных конструкциях с замкнутым контуром так же, как и в оболочках открытого профиля, гео- метрическое место центров изгиба образует ось изгиба или ось жесткости, которая для цилиндрических Оболочек с одинаковыми сечениями параллельна продольной оси. Если сечение тонкостен- ной системы симметрично, то центр изгиба всегда лежит иа осн симметрии. Реальные тонкостенные конструкции летательных аппаратов обычно рассчитывают на несколько вариантов нагружения. Рас- четы проводятся по ряду типовых сечений. В этом случае для сокращения вычислительной работы необходимо сначала найти центр изгиба в каждом сечении, а затем определить и построить эпюры потоков касательных сил от условных нагрузок, например, оу единичного крутящего момента Л1кр ~ 1 и единичных усилий Qx ~ 1 и Qy = 1, приложенных в центре изгиба. Затем действи- тельные нагрузки в каждом сечеиии приводятся к центру изгиба, находится крутящий момент относительно центра изгиба и осуще- ствляется определение касательных напряжений. В качестве примера найдем центр изгиба сечеиия, показанного иа рис. 5.17 (см. примеры в разд. 5.3.2 и 5.3.3). Распределение потока <?с, вызванного действием силы Qy ~ Q, приведено иа рис. 5.15. Предположим, что сила Q проходит через центр изгиба и иайдем хц.и (в силу симметрии сечения г/ц.и = 0). Направим 224
‘ок q'v против часовой стрелки и составим урздаеаке моментов ^снтельно точки /. Получим (си. рис. 5.15, S.I7) <&ВН + НВ = ®хл. ,. (S.67) Ьвнение (5.55) для случая п — I имеет »ид «*Фтяг+фп8г-“°- юда окончательно получим « Q (й 4“ 6Я cos Ч* ~ ~~ Тн (Л 4- 2# cos а) • из уравнения (5.57) Жц " ~ В 4- 2Я cos а * Б.Б. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА ПОДКРЕПЛЕННЫХ КОНИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК Ранее была построена балочная теория подкрепленных Молочек с ие изменяющимися по длине геометрическими харак- Беристиками сечения. Одиако реальные конструкции типа крыла или корпуса летательного аппарата часто обладают переменным Учением. Рассмотрим подкрепленные усеченные конические Оболочки произвольного поперечного сечения с яедеформируемым контуром, ike образующие таких оболочек пересекаются в одной точке *— першине конуса, а осью его является прямая линия, проходяйдйя через вершину и центры тяжести поперечных сечений рис. ЕЛЮ. Известно, что поперечные сечения в конических оболочках получаются пересечением сре- динной поверхности со сферами с центрами в вершине конуса. Рис. 5.29. Геометрические характеристики подкреп- ленной конической обо- лочки R Н Ф. Образцов в д». 225
Если конус не круговой, то контур поперечного сечеиия не ляется плоской кривой. Для упрощения задачи ограничимся pl смотрением слабоконических оболочек с малым углом конЛ' ности (2а с 32° рис. 5.29), для которых можно считать, ч » cos а « 1 и sin а « а. Это допущение позволяет приближенно считать поперечные сечеиия плоскими и перпендикулярными оси конуса. Начало прямоугольной системы координат помещаем в вы- шине конуса. Поскольку все сечения подобны, то геометрическЯ характеристики поперечных сечений конической оболочки мох^И выразить через геометрические характеристики любого проЯ вольно выбранного сечения. В качестве такого сечения выберем! сечение z = I. Тогда для любого сечения г ~ const получим (сж рис. 5.29) х (s) = ~ X, (S,), у (s) = уг (s,). (5.60 Индексом I отмечены координаты, относящиеся к сечению z = я Ограничимся рассмотрением особенностей, вносимых в расчг! учетом конусности оболочки. Для простоты будем считать, пт| сечеиие z ~ const отнесено к центральным осям х, у и нагрузим в нем сведены к изгибающему моменту Мх, поперечной силе Q, и осевой силе N, приложенным в центре тяжести (см. рис. 5.29) Примем также, что толщина обшивки 6 не зависит от переменной Я а площади подкрепляющих элементов F} (z) линейно выражают» через соответствующие характеристики сечения z — I, т. е. л и = т-4 Для оболочек с малой конусностью нормальные напряженно по-прежнему определяются равенством (5.21), которое в рассмм* триваемом случае принимает вид = <5Б1 где yi = yt — xt -°*v-, a k определяется соотношением (5.2*2) В отличие от призматических оболочек в конических нормальны» напряжения направлены по образующим, не параллельным оси л. а геометрические характеристики сечения не постоянны и выра жаются через соответствующие характеристики сечения z - f по формулам ^ох = (/“) /щг» foxy — loxyi F — ~F{. (5.60» Величины с индексом I определяются равенствами (5.15), (5.16) в которых х и у следует заменить на хь yt, 226
I Для потока касательных сил справедлива формула (5.24), ритору го с учетом (5.59) можно записать в виде (предполагается, чю Л/ — const) = Qv + q0 (г), (5.61) Г»!* л—J-g-»*—(S-62) о Едедует иметь в виду, что обобщенный статический момент отсе- ченной части контура 5Х является функцией г и может быть вы- ряжен через соответствующую характеристику сечения z = I, I. с. Sj,= (r)2?” <б-63) Здесь si определяется по первой формуле (5.26), если заменить В ней у иа Таким образом, из равенства (5.62) имеем 11.1 основании соотношений (5.5) и (5.60), (5.63) получим, что г, е. равенство (5.64) принимает вид Вводя обозначение & = (5-65) пкоичательно получим = (5.66) ‘ОХ Равенство (5.66) отличается от соотношения (5.28), соответству- ющего цилиндрической оболочке, наличием второго слагаемого и формуле (5.65). Это отличие вызвано тем, что в конической иболочке поперечная сила уравновешивается ие только касатель- ными напряжениями в обшивке, но и нормальными напряже- на 227
ннями» вызванными изгибающим моментом. Действительно,! гласно рнс. 5.30 имеем AQy = (£ a sin аб ds. 3 Учитывая, что sin а а? а aj —• и а — Ф& -у2- у, /вх = ф ф^83 ds (для главных центральных осей), получим = ft-^-^q>jiJ6ds = ft—-. Таким образом, при поперечном изгибе конической оболочки нормальные напряжения, возникающие в продольных элементу и обшивке, разгружают стенки и обшивку от касательных напри» жеиий. Этот эффект может быть весьма значительным, например, если оболочка изгибается силой Qy, приложенной в вершине d (см. рис. 5.30), то Мх = Qvz и согласно (5.65), (5.66) Qv -1 и qv = 0. С другой стороны, из равенств (5.65) и (5.66) следует, что при чистом изгибе конической оболочки (т. е. при Qv - 0) в обшивке и стенках возникает поток касательных сил qy. Итак, ПКС в конической оболочке согласно (5.61) и (5.66), (5.66) имеет вид 9 = _ft(Q,,-^)A. + ?,. (5.Я Поток 90, например для однозамкнутого контура, находится, как и ранее, из уравнения моментов. При этом момент целесоЯ разно вычислять относительно точки пересечения оси а с атло скостью сечеиия. В этом случае в уравнение моментов не войдут моменты, создаваемые проекциями плоскость сечеиия, т. е. оио бу- дет иметь такой же вид, как и для цилиндрической оболочки. Рис. 5.30. К выводу формулы для AQjr нормальных напряжений ил Рис. 5.31. К определению положе- ния центра изгиба в сечении кони- ческой оболочки 228
| При чистом кручении для конической оболочки справедлива фмула Бредта (5.41), т. е. ?W = «0 = ^-. |JU Й (г) — удвоенная площадь, ограниченная контуром pacceia- Кшаемого сечения. г рассмотрим-определение центра изгиба однозамкиутого сече- Ми конической оболочки. Г Ранее отмечалось (см. разд. 5.4), что через центр изгиба (центр Ьсмкости) проходит равнодействующая касательных сил, раз- ;[пающихся в сечении оболочки, которая не вызывает его пово- да. Если известно положение центра жесткости в сечении »лочки, то можно рассматривать отдельно решение задач изгиба и кручения путем приведения заданных внешних сил к равио- ►й.-твующей, проходящей через центр изгиба, и к крутящему Кменту относительно центра изгиба. | Для нахождения координат центра изгиба в одиозамкнугом Учении оболочки с малой конусностью (рис. 5.31) необходимо ||ичиить совместно уравнение моментов типа (5.54) и уравнение (циркуляции потоков касательных сил при 6 — 0 (5.55). Как было шиказано ранее, особенность расчета конических оболочек состоит том, что касательные напряжения определяются ие только рЛствующей в сечении поперечной силой Qy, но и зависят от нагибающего момента Мх. Уравнение крутящих моментов суще- К-иеяио упростится» если выбрать полюс, как указывалось выше, П точке пересечения оси коиуса и сечеиия оболочки. При этом | уравнение моментов, из которого определяется абсцисса центра нлиба, имеет вид, аналогичный (5.54) + ф до ds <^хц. и, (5.69) • де qi — поток касательных сил прн действии силы Qv в центре изгиба, который определяется из уравнения (5.55), т. е. ацфо Ч- aQi & ( учетом выражений (5.50) для коэффициентов это уравнение принимает вид (570> S 8 II результате решения уравнений (5.69) и (5.70) с учетом равен- ства (5.67) находим Ж S«<fc т”бб" (Б71> У Об 229
Рис. 5.32. Геометрические характеристики и схема нагружения круговой конической обо- лочки Из формул (5.71) и (5.72) видно, что Аналогично определи координата Уц. В -- координаты в однозамкнутых (а также и в многозамкнутых) контурах коня ческих оболочек в отличие от цилиндрических зависят ие толь,кв от геометрических и жесткостных характеристик сечения, ио и действующих нагрузок и продольной координаты сечения. Но этому положение центра изгиба в конических оболочках мож* меняться в довольно широких пределах. Вместе с тем следуй отметить, что в оболочках малой конусности существует цент)» жесткости (и соответственно ось жесткости) в том же смысли как и в призматических, что дает возможность производить съ дельио расчет напряжений и деформаций при изгибе и круч* иии. В качестве примера рассмотрим круговую коническую об» лочку, нагруженную поперечном силой Qv — —Q в сечении г = tn = 2R (рис. 5.32, 5.33). Обшивка с толщиной 6 и стрииггрь с площадью сечеиия F = jRb выполнены из одного материал ц Обшивка воспринимает нормальные и касательные напряжеиЯ Найдем распределение потока касательных сил. Для рассми триваемой оболочки оси х, у являются главными центральными осями сечения (k = 1, у = у), а <р — 1; ПКС определяется равенство» (5.67), т. е. Р т где 3» = J у 6R dp + У у,Р,. О /=1 Л. 5 /<« = 2 С /=1 Сделаем мысленно разрез вдоль об разующей в точке 1 и будем отсчп тывать от этого разреза. В сил| симметрии задачи относительно пл..-. Рис. 5.33. Распределение ПКС R q = q -q- по сечению z — I 230
Вш и yoz в точке J q = и, h|u] этом Sx = 0 в этой точке I, следовательно, q0 = 0. Бу- ,гм рассматривать половину L'k-ния, соответствующую 0« L |i < зт, т. е. примем Fr — ь /•; = 0,5£6, f2 = F3 = Р /-4 = #6. Из рис. 5.32 имеем V, — <2, Л1« = — Q(z — m), L с. согласно (5.65) I Q = -<?(1—^). Членение параметра -q =- Рис. 5.34. Изменение параметра Т] = —------- по длине конической обо- лочки по длине оболочки показано •п рис. 5.34. Выразим геометрические характеристики сечения const через характеристики сечения z = I. Согласно равен- |гвлм (5.60) и (5.63) получим /ох = (^-)34. Считывая, что yi — R cos р, найдем л 5 /ш = 20 J cos2 р dp I- 2 X //«“cos2 ₽, = 7,14160. 0 /=1 I .т.тгический момент в точке 8, определяющий максимальное зна- чсиие потока касательных сил в сечении Sij = ^«26 / cos р dp + £ Fl^ cosP/j = 2,2O71«!6. I iким образом, максимальное касательное усилие в сечении и ^меняется по длине оболочки согласно следующему соотношению: ?„„ = 0,309 4(1 (‘.определение ПКС по контуру сечения z = I показано п-i рис. 5.33.
ГЛАВА 6 РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ С УЧЕТОМ ДЕПЛАНАЦ1ИИ СЕЧЕНИЯ 6Л. ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ТИПА КЕССОНА прямого крыла 6.1 Л- Основные определения Рассмотрим среднюю часть прямого кессонного крьМ показанную на рис. 6.1. В гл. 5 был описан эффективный прикл4> ной метод расчета конструкций такого рода, основанный на ли иейном распределении продольных деформаций по координатам • г)и ъ* = Т)Г = аЮх+ьЮ9 + сЮ' (е I' В результате интегрирования по z отсюда может быть получек формула (5.2), определяющая распределение продольных пере мещеиий по контуру сечения и = A (г) х + В (г) у Ч- С (z) + / (х, у), (Ь/Л где А— [ cdz, В—jbdz, C = Jcdz. Первые три слагаемых в равенстве (6.2) соответствуют закону плоских сечений,, а функция интегрирования f (х, у) определим отклонение от этого закона, т. е. так называемую депланацн»» сечения. В балочной теории, изложенной в гл. 5, функции а (>), b (z), с (z) определялись непосредственно из условий равновесии а функция f (х, у) в решении ие фигурировала. Причина эпи- связана с тем, что форма представления перемещения (6.1) исклЬ чает из рассмотрения случаи, когда депланация сечения завшш от переменной z, т. е. ие позволяет учесть возможное локалыи стеснение депланации. Если сечеиие, которое при свободам деформации не остается плоским, закрепить, т. е. наложить пл него связи, препятствующие депланации, в конструкции возни- кают вторичные или дополнительные (по отношению к балочииП теории) напряжения, учет которых часто оказывается необходп мым для оценки ее прочности. Действительно, если вместо (6.‘2) примять и = А (г) х + В (г) у 4- С (г) + Д (х, у, г), (6.1) то согласно (6.1) и закону Гука os = £ег будем иметь [o(z)x + b(z)^4-C(z) + -^-j 232
Рис. G.L Кессонной прямое крыло Б функция депланации fx (х, у, z) будет оказывать непосредствен- Бое влияние на распределение напряжений. Для кессона крыла, оказанного на рис. 6.1, принципиальное различие равенств fl 2) и (6.3) имеет место вблизи жесткого защемления (г /). Представление (6.3) при А (0) = В (0) — С (0) —• 0 и Д (х, у, 0) js 0 Бшволяет точно сформулировать условия закрепления сечения I (и == 0), в го время как балочная теория позволяет обеспе- чить лишь условие А (0) В (0) — С (0) 0. Таким образом, если речение в принципе имеет тенденцию к деплаиации (т. е. функ- ции f или fr не равны тождественно нулю), то балочная теория не Позволяет устранить депланацию сечения в жестком защемлении • выявить связанные с этим эффектом напряжения. Эти нап.ря- гния, как следует из изложенного выше, оказываются суще- ственными в местах закрепления конструкции. Вдали от жесткого ущемления напряженное состояние конструкций типа показан- ий на рис. 6.1 достаточно хорошо описывается балочной теорией. 'I (хим образом, приводимый далее метод расчета, основанный пл форме (6.3), не противоречит балочной теории, а позволяет уточнить аппроксимируемое этой теорией напряженное состояние Вблизи закрепленного сечения. &,L2. Реиаеите задачи ® Рассмотрим случай изгиба кессоиа, показанного иа рис. 6.1, поперечной нагрузкой q (z). Представим продольное и контурное перемещение и н v (см. рис. 6.1) в форме следующих разложений, аналогичных (6.3): и (г, s) = Ut (z) <₽, (s) + £4 (z) <j>2 (s) + U, (z) ф, (s). (6-4) о (z, s) = Vi (z) (s). Здесь Ut (z) и V, (z) — неизвестные функции, подлежащие опре- делению, а % («) и % (з) — заданные функции, определяющие да
Рис. 6.2. Геометрические характеристики сечения (а) и функции, определяйте распределение перемещений и (б — д) и v (е) по контуру сечения распределение перемещений по контуру сечения. При выбв функций (рг -(S) и фг (s) учтем прежде всего смещения сечения и, I жесткого диска. Приняв, в частности, tpj (s) = 1, можно опис продольное поступательное смещение сечения, а функция <р2 (s) = у соответствует его повороту относительно оси х. Функши epi (s), как правило, изображаются графически в форме контурны эпюр, показанных на рис. 6.2. Функции = 1 и <р2 = у пр» ставлены на рис. 6.2, б и 6.2, в. В дальнейшем понадобятся проц|- водные dfptlds = (pl (s), которые строятся следующим образов На верхней горизонтальной стороне (у = dt/2) (см. рис. 6.2, Я s = х, т. е. <р£ = d(pddx\ на правой вертикальной стороне (х I = 4/2) бД . / (ll Г « , ч s = ^- + (“у- — У) И <pi = —d(p//dy, а йа стороне у = —d-J2 очевидно х) и —— dfpddx. В результате получим = 0 и распределение < показанное на рис. 6.2. г. Функции <рх и (р2 определяют смещения сечения как абсолютно жесткого диска. Введем функцию ф3 (s), описывающую возможную депланацию сечения. Теоретические и экспериментальные исслр дования модельных конструкций, служащие, как правило, ост ванием для выбора функций депланаций, показывают, что npi поперечном изгибе кессона крыла перемещения по горизонтальны* панелям распределяются неравномерно и возрастают от серед® ш к краям. На боковых стенках, из-за их небольшой высоты, явлении депланации проявляется незначительно и практически можно 234
। |ть, что здесь справедлив закон плоских сечений. Учитывая мстрию сечения (см. рис. 6.2, а) в качестве поправки к закону iiKHX сечений примем параболическое распределение пере- 11‘ний, показанное иа рис. 6.2, д. При выборе функции (s), определяющей контурное пере- цепне v (6.4), будем считать, что сечение является в своей -скости абсолютно жестким. В рассматриваемой конструкции Кона крыла справедливость этого предположения опреде- 1гся наличием системы поперечных диафрагм-нервюр, обеспе- нощих жесткость контура сечения. При изгибе сечения z = [const смещается поступательно в направлении оси у. Учитывая, перемещение V направлено по касательной к контуру (см. I 6.2, а), единичное смещение сечения вдоль оси у можно пред- in ить распределением, показанным на рис. 6.2, а (направление гасмещеиий показано стрелками). (’ учетом (6.4) продольная деформация ez и деформация сдвига определяются следующими равенствами: _ я (6.6) ось U'i = dUt/dz, V'i == dVi'dz и учтено, что tpj ~ 0. Напря- синя найдем с помощью закона Гука a^E^ — EWwi + Ufa + U^ 6 ts2 = Gysz = (7 (£/292 Ч-4- Для вывода уравнений, определяющих функции Ut (а) и (z), Иоспольз уемся вариационным принципом Лагранжа, изложен- ным в разд. 1.3. Потенциальная энергия деформации рассматри- ваемой конструкции (см. рис. 6.1) определяется равенством l/ = y jdz^(a.e.4-T„T„)df. (6.7) О Г Контурный интеграл вычисляется по площади поперечного сече- ния F. Работа распределенной нагрузки q (z) имеет вид i i А — §q(z)vg (z) dz = J qVt dz. (6.8) о 0 Здесь vq — смещения точек, в которых приложена нагрузка. Поскольку сечение является жестким в своей плоскости и сме- щается по оси у иа величину Гъ в рассматриваемом случае vq — 235
= Уд. С учетом соотношений (6.5)-—(6.8) полную энергию снст^В можно записать в форме Э — U А ~ | ф [ ~2~ 4“ ^2^'2 4" ^зФз)2 4“ ч~ '*2~ (^2<р2 4~ ед; 4- dF—j dz — i “ J {~2~ K^i)2G>i 4~ (^z)2 °22 4~ (^з)2 йзз 4" 2L/1U2Q12 4- 2U\U2,a^ | 0 -j- (1/2622 Ь ^з^зз 4" 2^2^/3623 -|" 2и2УцС2( -p I 4- 2ед;с31 + (v;)2rH] - 9V,}dz, (6 где a// ±= (j) ff>i<PidFt bif — <j) ds, Cn = (jjqpftyfids (j, /=1, 2), 633 == $ Фз dFt F33 = $ (Фз)2 6 ds, (6.10) йгз = (j) чрйфзб ds (i — 1, 2), 623 = (j) <рй<рзб ds, C3B == ф фзфлй ds, ru = ds. Здесь dF — элемент площади сечения; ds ™ элемент дуги контурЯ сечения; 6 — толщина обшивки. Согласно принципу Лагранжа ЬЭ = 0. Осуществляя варьирсЛ ванне функционала (6.9), в рассматриваемом случае получив следующую систему вариационных уравнений (см. разд. 1.0 &gQjii 4- U2g12 4- ^'3^83 =0; (6.11) (^2^22 4- 4- £/з&2з) — G (Lf2^22 4" 3^23 4" ^E^2t) = 0; (6.12) (^/з^зз 4” 4” £4^23) — О (^/3633 4“ ^2^23 4" == (6.13) V 4" ^2^28 4" 3^31 4“ "g” = (6.14)] и стигм«есхях граничных условий для сечения z = О b/iGii 4~ ЦгС|2 4~ ^з^из ~ 6а ^/1012 4“ &2&22 4" ^3®23 ~ 1Лаи + и»2з + 1/эая = О. (б16> ^2С2В 4“ ^ZsSei 4- У fol s0‘ Г5©
учетом равенств (6.6) и (6.10) и рис. 6.2 условия (6.15) можно писать также в виде N, — а.<р, dF = a, dF = 0; (6.16) М, = <j) <ЗД>а dF — <ji atydF = 0; (6.17) B, = fa^dF = 0; (6.18) Q„ = ds = 0. (6.19) Ггиенства (6.16), (6.17) и (6.19) предусматривают отсутствие на пчбодпом торце кессона осевой силы N,, изгибающего момента Мх и перерезывающей силы Qy. Величина Вх является обобщенным пиментом, который называется бимоментом. В жестком защемлении (г = 1) должны выполняться условия, Ьбгсиечнвающие отсутствие перемещений. Из равенств (6.4) следует, что условия и (I, s) = 0, о (Z, s) = 0 выполняются, если £/1(l) = ys(Z) = (/,(/) = 0, Vj(Z) = O. (6.20 Л«КИМ образом, системе дифференциальных уравнений (6.11)— 0 .14), имеющей в совокупности восьмой порядок, соответствует «•семь граничных условий (6.15), (6.20). Прежде чем перейти к решению полученных уравнений, осу- |ц‘-ствим некоторые упрощения. Из равенств (6.10) й рис. 6.2 Цледует, что а„ = F = 2 (Ft + F, + 2fl. аи = 0, O2.e/, = d?(4 + 4 + f), (6.21) &23 ” С31 а Ги “ 2FX. Здесь Ft = djCj, Fa — da6a — площади сечений вертикальной и горизонтальной панелей; / — площадь сечения пояса; 1Х — мо- нет инерции сечения относительно оси х. Рассмотрим условие ап — 0. В общем случае функции, для которых при i =?& / справедливо равенство Ср ф«ф/ dF •= 0» называются взаимно ортогональными, т. е. функции фх и об- ладают этим свойством (аи — 0). Естественно попробовать по- добрать функции депланации фа так, чтобы она была ортогональна функциям ф> й Фа. Для этого представим эту функцию в виде ли- нейной комбинации <Pj = + ^Ф1 + сф2 и найдем коэффициенты b и с из условий ортогональности Ф1Ф8 dF = Ф фаф# dF ~ 0. (6.22) аг
Рис. 6.3. Распределение функции депланации (п) и ее производной (б) по I туру сечения В результате получим b — 0, с = Функция <р3 f и ее производная показаны на рис. 6.3. Ортогонализация функция существенно упрощает уравнения, так как согласно равенстпщ (6.22) при этом а13 = а23 = 0и коэффициенты уравнений (6.11) (6.14) принимают следующий вид (в связи с тем что ф3 заменяет на <р3 верхняя черта у них исчезает): «33 = = ф <pl dF = -A- fc23 = ф <j>2<j$5 ds = 2cFi, Ьзз - ф (<Й2 6 ds = 4- <^s + 2Лч, С3| = Ф <ri>|5ifids = 2cFi. Окончательно систему уравнений (6.11)—(6.14) и граничные у ловил (6.15), (6.20) можно записать следующим образом: Ui = 0; (6.2* EIM-ZGF^ + cUi + Vti^O; (6.241 EIt4/J'3 - G(2cFxU2 4- bs3Us + 2cFiVi) - 0; (6.2 , У5 + су' + у;-_г_^_ = 0; (6.2(11 при 2 = 0 t/J = O, 1/^ = 0, t£==0, г/2 + ^з + ^ = 0; (6.27) при z = I Ui = 0, U2 = 0, Us = 0, Vi = 0. (6.2R) Рассмотрим решение полученных уравнений для случая разно мерной нагрузки q = q& = const. Из уравнения (6.23) имссу — С^г 4- Cz, а из первых условий (6.27) и (6.28) — Q — Са “ 0, т. е. = 0. Функция описывает продольное 2зе
вцсние сечений кессона — в силу принятых условий нагру- Kii.in такое смещение отсутствует. Проинтегрируем уравне- ние (6.26) l/2 + rf/s + Vi = C8 (6.29) Подставляя это соотношение в уравнение (6.24) и интегрируя Пинеды, получим ^ = >^+с>+с.--<7- (6-30) Подставляя теперь в уравнение (6.25) 14 из (6.29) будем иметь 1<р 1ф 1л<‘ = = (в-31) Руление этого уравнения" имеет вид U3 = Ce sh ktz 4 - С7 ch kjZ-— (2GF1C3 — qoz). k\EIUp Функция Vi может быть найдена в результате интегрирования /равнения (6.29)9 в которое предварительно необходимо подста- вить и Us. Постоянные найдем из граничных условий (6.27), (6.28). 11 « условия и% (0) == 0 получим С4 = 0, а из условия U3 (0) = • 0 — Се = —cq0/k[E/1(Sl. Сопоставляя соотношение (6.29) с по- следним условием (6.27), будем иметь С3 = 0. Из условия U2 (/) = 0 найдем СБ = q0Pfo. Определяя С7 из условия Us (/) = 0, окончательно получим С2 = -б®г(;э”^ г ’ , к I \ т <6-32) Уз = тД? I k'z ~sh klZ+ (th kl‘ ~ ch kA Нормальные напряжения согласно равенствам (6.6) и (6.32) будут иметь вид (6.33) Функции <р2 и Фз определяются рис. 6.2, в и 6.3, а. При ф8 = 0 'из (6.33) следует распределение напряжений, соответствующее закону плоских сечений. В качестве примера рассмотрим конструкцию с параметрами (см. рис. 6.2, а) 4 = 0,2d, ~ d, I — 5d, EIG = 2,6, f = 0. 239
РйС. 6.4. Распределение нгпря^И аг — 0г6/д„ в нижней панели по лц кессона. Сплошная линия соотвсйИ ет решению, основанному на за», плоских сечений; пунктирные л . соответствуют расчету по форм) (6.33) (/ — В точке сечений х ~ Я V ~ —гД/2; 2 — 0 точке сечения - О. у - -^/2) 1 На рис. 6.4 приведено распределение напряжений в ннжнй панели по длине кессона. Сплошная линия соответствует зак^В плоских сечений, согласно которому напряжения распределявши равномерно по ширине панели. Пунктирные линии / к 2 опре- деляют соответственно изменение напряжений вдоль края (х • = d##) и б середине (х =» 0) панели, найденное по формуле (6.33| Из графика следует, что стесиеиие депланации сечекня приводи к существенно неравномерному распределению напряжений б жсо ком защемлении н вызывает концентрацию напряжений в угль вой точке сечения. Этот эффект быстро затухает при удаление от края и на расстоянии от края порядка ширины кессона пращ тнческн исчезает. Рассмотрим теперь кручение кессона, показанного иа рис. 6 I, распределенным моментом т (z). Для определения возможнМ формы депланации сечения исследуем поведение конструкции, показанной на рис» 6,5, с. Предположим, что панели работал только на сдвиг, а поясатолько на растяжение—сжатш Пг*йНг * С23 Рис. 6.5. Кручение кес- сона торцеьым моментом (с), распределение уси- лий и напряжений (5, е) s характер депяанацнй (») «49
Bt» .а при действии торцевого крутящего момента в панелях Bi . икнут постоянные по ширине касательные напряжения, [ Доказанные на рис. 6.5, б. Приравнивая нулю сумму проекции Кггх сил, действующих в сечении на оси х, у и записывая урав- | Iiuihh для крутящего момента, получим == т34 = Tj, т23 = т41 — т2, (тх 4- т2) б djrf2 — М. (6.34) 11< равенств (6.34) следует, что напряжения тх и т2 в общем случае | iiv одинаковы и их разность может вызвать образование нормаль- |ц.1\ усилий Nt в поясах (см. рис. 6.5, в). Приравнивая нулю гумму проекций всех действующих в сечении сил на ось z и суммы моментов относительно осей х и у, получим = дг, дг8 = —ДГ, дг8 = (6.35) аким образом, в смежных элементах действуют одинаковые по |||сличине и противоположные по знаку усилия (см. рис. 6.5, б), которые вызывают деформацию сечения, показанную на рис. 6.5, г. [Оставляя завершение этой задачи до следующего раздела, исполь- Куем полученные результаты для построения решения в пере- I мещениях. Зададим перемещения кессона, показанного на рис. 6.1 и на- туженного крутящим моментом, в форме, аналогичной (6.4) и (г, з) = U* (г) % (s), v (z, з) « V2 (z) ф8 (з). (6.36) Функция tp4 ($), характеризующая депланацию сечения при кру- чении и построенная в соответствии с рис. 6.5, г, показана на рис. 6.6, б. Производная (з) представлена на рис. 6.6, в. Функ- ция (з) определяет поворот сечения как жесткого диска вокруг точки О (рис. 6.6, г). Если через V% обозначить малый угол пово- рота сечения, то контурное смещение будет пропорционально длине перпендикуляра, опущенного из центра вращения на соот- ветствующую сторону. Направление перемещения f показано стрелками на рис. 6.6, а. Деформации и напряжения в соответствии с равенством (6.5), (6.6), (6.36) будут 8^^, ~ (6-37) сг = eu^, т«=с? (ад+v-Ж)- (6.38) Д-тя вывода уравнений, определяющих функции </< (г) и V2 (z)t воспользуемся, как и ранее, вариационным принципом Лагранжа. Потенциальная энергия деформации по-прежнему определяется равенством (6.7), а работа распределенного крутящего момента на углах поворота имеет вид i А = J n(z)V,(z)dz. (6.39) 0 241
Рис. 6.6. Геометрические характеристики сечения (а) и функции, характерная ющие распределение перемещений по его контуру (б, в, а) С учетом соотношений (6.7), (6.39) и (6.37), (6.38) полную энергии можно записать в форме Э = и- Л = | + о + ~ (U^'t | dF mV2\ dz = = j(-f-U4)2a« + 2C4V/;42 I (^)%2] mV^dz, I (6 4111 где 044 — ^ (<p4)zdFs b44 = <^(q>4)26ds, с,л =фф4<р26ds, г22-'.рр26(/ч В результате минимизации Э получим следующую систему ва риационных уравнений: EU4644 — G {lJ 4^4.4 —1 V2C42) = О, ™ =о <6-41' О и статических граничных условий для сечения 2 = 0 U4Q44 = 0, U 4С42 ^2^22 == 6. (6.4‘ 242
В» и у слоен я можно записать в виде В = ф ад4 dF = О, Mz = ф tszi|)26 ds = 0. Здесь В — крутильный бимомент, a Mz — крутящий момент. На закрепленном торце кессона z = I отсутствуют переме- щения, т. е. согласно равенствам (6.36) при z == I и4 =0, V2 = 0. (6.43) Вычислив коэффициенты для функций, представленных на рис. 6.6, получим d2d2 с44=/2<р=4г^+^+6^ &44 = Г21 — 4" са& = -g- (^F\ — Введем следующие обозначения: = 6 = V2, с = £а44, bx = GbM = 0г2а, Ь2 = &42 (6.44) и запишем уравнения (6.41) и граничные условия (6.42), (6.43) в виде aU” - Ь±и - Ъ&' = 0, -\-b2Ur -|-т = 0; (6.45) при 2=0 U' = 0, O'bi + t/^O; (6.46) при г — Z U = 0, 6 = 0. (6.47) Заменой и = ф', е = -4-(Ь1ф - “Ф") (6.48) первое уравнение (6.45) удовлетворяется тождественно, а второе принимает вид Фп- Й|Ф”+-Ф = О, z 1 abt « Ь1-М ,деЙ2 аЬ, E^2 + 4Fl)(Fl+F2+6f) ' Запишем решение полученного уравнения при т = mQ = const Ф = Cj + C2z + Са sh feaz + С4 ch Л2г + zs. (6.50) 243
Из равенства (6.48) и (6.50) получин V = Са + k, (С, ch k.z + С4 sh М + -Й&. г, 6 e (Ci 4~ С,г)------ (Са sh Аа2 -р С4 ch /гаг) 4- (6.51J , «1/2_______ \»1 20 Г Постоянные Сг — Ct определяются из граничных условий (6.46), (6.47) и имеют внд 1=ф[[ ^chjv + ^j' ’ ’ q____fflpfee (sh feg/ — fegl) q__nohg (6.52) I ablkt2!AkJ ’ * ab,k^ Подставляя (6.51), (6.52) в первое равенство (6.38), получим] следующее выражение для нормальных напряжений: °'“ [ch k>t ~ chk‘ (z - г) - kjshk2z] (Ms). (6.53) К2°1/2ф cn n2l B качестве примера рассмотрим кессон, показанный на рис. 6.1, нагруженный распределенным крутящим моментом т0 - 2Х X 103 Н-м/м и обладающий следующими параметрами (см. рис. 6.6, a): di = 0,1 м; d2 - 0,3 м; Z = 1 м; = 1,2-10-» м; С2 — 2 • 10~» м; ЕЮ == 2,6. Изменение нормальных напряжений (6.53) в угловой точке сечения при удалении от закрепленного, сечения показано на рис. 6.7. Рис. В. 7. Распределение нор- мальных напряжений в угловой точке сечення но длине кессона ирж кручении В заключение сделаем замечание общего характера. Изложенный вы- ше метод был разработан В. 3. Вла- совым и является приложением к задачам строительной механики об- щего метода Власова—Канторовича, i описанного в разд. 1.6.3 гл. 1. В общем случае оболочки типа крыла нли корпуса летательного аппарата продольное и контурное перемеще- ния представляются в виде следую- щих конечных рядов: и(г, s) ~ i—l v (2, s) - S Vh (2) 1рй (s). (6.54) 244
|десь Vi (z) и (г) — искомые функции» определяющие распре- Ьление перемещений вдоль продольной оси, а ф, ($) и фА ($) —• Сдаваемые функции, аппроксимирующие распределение пере- мещений по контуру сечения. В результате использования вариа- ционного принципа Лагранжа получается система обыкновенных дифференциальных уравнений У X aii^l — S — S o, ‘ £ * (6.55) S CMUi + S rhkVk + -^=r = 0. (f, / == 1, 2, 3 ... m; A, A = 1, 2, 3 ... n). Здесь у — E/G и an = <P/4><6 ds 4- £ й,( = f. <p'|tp'(6 ds. c,t =<f> <p^»6 ds, (g S6) Сы = $ фл<Р/6 ds, rht = <f ds, P1=§P4,ds, 4,- = ds. ft — площадь сечения пояса с номером Z; <pj, ф{ — значения функ- ций Ф/ и ф| в точке сечения, где расположен пояс с номером /; р и q — поверхностные нагрузки, направленные вдоль оси и контура сечения оболочки; s — контурная координата; 6 — тол- щина обшивки. Коэффициенты (6.56) симметричны по индексам, т. е. Од = аи и т. д. Аппроксимирующие функции ф1 и фА должны обеспечивать непрерывность перемещений вдоль контура сечения и быть ли- нейно независимыми. Выбор функций может быть осуществлен следующими тремя способами. Первый способ основан иа интуитивной аппроксимации рас- пределения перемещений в соответствии с известными точными решениями модельных задач или экспериментальными резуль- татами (рис. 6.8, а). При этом число аппроксимирующих функций, как правило, оказывается небольшим и система (6.55) допускает Рнс. 6.8. К выбору аппроксимирующих функций в форме априорного W; ня (о), использования системы степенных (б) g локальных (е) функций Кб
---------------------------------------------------1 ранее. Если априорных оснований для выбора функций депланацИ| нет (назначение функций, определяющих смещения сечения кц жесткого диска, не вызывает затруднений), может быть реалц зован второй подход, основанный на использовании известнИ полных систем функций. В качестве последних могут быть при ияты тригонометрические функции контурной координатор! или степенные функции типа x*yl (i, j = 0, 1, 2 ...) декартомЯ координат, к которым отнесено сечение (см. рис. 6.8, б). И, наконец, в случае систем со сложным контуром могут быт| использованы системы локальных функций. При этом контуй разбивается иа участки системой узловых точек. Задавая еди* ничное перемещение некоторой 4-й узловой точке, считая кепод« вижными соседние точки с номерами (I— 1), (Z 4- 1) и аппрок^В мируя распределение перемещения на участках между точками (Z — 1), /, (i 4- 1) линейными функциями, можно построить набор треугольных эпюр, показанных на рис. 6.8, в. Система (6.5б) при этом решается численными методами. В результате задания конечного набора аппроксимирующий функций рассматриваемая конструкция, обладающая бесконечным числом степеней свободы, сводится к дискретно-континуальи^Н расчетной модели, являющейся континуальной в отношение координаты z и обладающей заданным числом степеней свободы в отношении смещения ее фиксированного сечения. Заметим, чти система уравнений (6.55) обладает «фильтрующими» свойствами® если аппроксимирующая функция выбрана неудачно и не харак- теризует действительное поведение системы, соответствующая! составляющая решения в рядах (6.54) окажется несуществ^И ной. Система уравнений (6.55) значительно упрощается, если си стемы функций <р< или фй удовлетворяют условиям ортогональИ ности. При этом соответствующие коэффициенты с различными индексами (aJt при Z --/= j или rhk при h=£ k} обращаются в нуль. Если функции и фй удается выбрать так, что они вместе с пер-1 выми производными являются взаимно ортогональными, тс си- стема (6.55) разделяется на взаимно независимые пары уравая I' ний и можно получить точное решение. Решение уравнений (6.55) определяет перемещения р; ссматрн* ваемой конструкции. Напряжения находятся по формулам, аиа логичным (6.6), т. е. Ox(z, s) = £j]L//(p„ (2, s) — G J] -j- 2j j Vj. 246
I фгема (6.55) имеет порядок 2 (т + п) и требует такого же коли- brrina граничных условий. Статические граничные условия фор- улпруются через обобщенные силовые факторы В] = (j) UztyjdF = Е UtCijii m ,='„ X <2ь = <J> wM = G V'kThk I • (6.57) II частности, если на крае z = z0 заданы распределенные по сече- пню нормальные и касательные напряжения сг0 и т0, имеем Bi (*о) = <f dF, Qh (z0) = тофл6 ds. I и метрические граничные условия записываются непосредственно через функции Ui и Vfe. Добавляя соответствующие члены в выражение для полной •пергии, с помощью которого получены уравнения (6.55), можно учесть упругие х деформации нервюр крыла, шпангоутов фюзе- ляжа, упругий характер закрепления и другие дополнительные- я|)фекты. Рассмотрим в качестве примера задачу расчета кессонного кры- III с центропланом (рис. 6.9), являющуюся иллюстрацией анали- III ческой реализации общего метода подкойструкций, изложенного и гл. 8. В соответствии с равенствами (6.54) представим переме- 1П<‘ция консоли и (z, s), v (z, s) и центроплана й (z, s), v (z, s) и виде следующих разложений (верхней чертой будем отмечать I» личины, относящиеся к центроплану): и (z, s) = U2 (z) <р2 (s) 4- G3 (z) ф8 (s) -j- (z) tp4 (s); v (z, s) = Vi (z) (s) V2 (z) Ф2 (s); и (z, s) = U2 (z) <P8 (s) 4- G3 (z) ф8 (s) -+- t/4 (z) <p4 (s): V (z, s) = Vi (z) ф! (s) 1- V2 (z) ф2 (s). . 1десь члены (z) <р]_ (s) и (2) <Pi (s), соответствую- щие осевому растяжению пипсолей и центроплана (см. рис. 6.2, б), опущены, по- скольку осевые нагрузки игсутствуют. Слагаемые //. (г) <р2 (s), U2 (z) <р2 («) (см. Ьнс^ 6.2, в), Vi (г) ф! (s), ' I (z) (s) (см. рис. 6.2, е) И I . (z) (s), V8 (z) ф2 (s) (см. Рис. 6.9. Кессонное крыло с центропланом 247
рнс. 6.6, ё) соответствуют балочной теории изгиба и кручении консолей и центроплана, а составляющие (7 3 (2) <р3 (s), U3 (z) q*ap) (см. рис. 6.3, а) и U* (z) <р4 (s), ил (z) <р4 (s) (см. рис. 6.6,1 описывают депланацию сечений консолей и центроплана при • i гибе и кручении. Записывая потенциальную энергию (6.7) к.ц сумму энергий консолей и центроплана (для изгиба и кручепи. консолей полная энергия определяется равенствами (6.9) I (6.40), а для центроплана — аналогичными выражениями, в км торых L/t (z), Vj (z) следует заменить на /7л (z), Vj (z), z — пя | и I на 11, в результате минимизации можно получить систеЛ дифференциальных уравнений типа (6.55), полностью аналоиJ ных уравнениям (6.12)- (6.14) для изгиба и (6.41) для кручении Решения этих уравнений также аналогичны построенным ранее Д для консолей имеют следующий вид (для удобства введены дру гие постоянные, а общее решение записано через экспоненциал ные функции): | = A*+a); 1/, = Л.е*-+Д^Ч - А); ut -^Bs + k2 (в*--’ + в.е к‘г) -I- ; abffi ™ ~EQ 24 ~6~" ’ ~2 ^»г) I 2Gfj'G0~2“" А) г А: V, = _ Л (,й|+В,,) - А (В,ек“ 4 S4e -h->) + • ( 1 \ Л" Af \ \ 2а Г Диалогично для центроплана будем иметь (поверхностные иагруали отсутствуют) “1“ ) > 1/3 =» ch sh * 2 J "U^ ^2 (i93 ch ^-zZ. —j— sh ^gz);
v* ” _ жО'* т+л« 4-+А^) - —4 *** A*+ в1 ^1 V, » - A (Bt ,|. ад _ А (В, sh ifi + ~Bt ch M)- к|»ффвцневты А, и fee определяются равенствами (6.31), (6.49). Для простоты будем считать консоли достаточно длинными. Леходьку напряжения, вызванные в них стеснением депланации, при приближении к свободным торцам должны затухать, поло- вим ' j:* Ba = 0 (координата г отсчитывается от места соеди- нения консоли с центропланом). В результате в построенное (п-теиие входят 18 произвольных постоянных, которые должны Нить найдены из граничных условий. Для центроплана в плос- кости симметрии г = О отсутствуют продольные перемещения, е. U, (О) = О (4 = 2, 3, 4), перерезывающая сила Q = Q„ it крутящий моменты М, — Qa (6.57), что дает пять условий. 11< бортовой нервюре (г — I, г — 0) отсутствует перемещение о, I. е. V1 (0) = У5 (0) = V, (7) = Vs (7) = 0, а продольные пере- мещения и обобщенные силовые факторы (6Ли) должны быть «маковыми, т. е. Ug (0) =-» Ut (/) и Bt (0) =• (/) (£ — 2, 3, 4). ,'Оставшиеся три условия должны обеспечивать отсутствие пере- резывающей силы Q — Qu крутящего Mt = Q2 н изгибающего Л1« = Bt моментов (6.57) иа свободном торце консоли z = /. Ксишем окончательные выражения для нормальных напряжений I консолях = _ 1)<р,(з) + п в центроплане 11араметры х /хфМЬУ l^chk^l 78Tfe8chM 249
определяют упругий характер закрепления консолей. При = Хз = О полученные соотношения соответствуют жесткому 1 креплению консолей. Более полно рассматриваемый метод описан в книгах [13, | 6.1.3. Решение задачи в напряжениях В предыдущем разделе описан метод расчета топц стенных конструкций, основанный на вариационном при иди Лагранжа. Аналогичные результаты могут быть получены и п| решении задачи в напряжениях, основанном на принципе ни меньшей работы (см. разд. 1.4.3). В порядке введения завершим расчет кессона, показан»^ на рис. 6.5, в котором обшивка работает только на сдвиг, а поясп- на растяжение или сжатие. Из условий равновесия (6.34), (б.л следует, что в горизонтальных и вертикальных панелях действу! соответственно касательные напряжения т* и т2, а в поясах 1 усилия Рассматривая равновесие элемента пояса, показп* кого иа рис. 6.5, в, получим (тх — т2) 6 dz = dN. Учитывая последнее равенство (6.34), будем иметь Т1Л~ № (6-ftq Таким образом, задача сводится к определению усилия N, к<тЛ рое должно быть найдено из условия совместимости деформаций панелей и поясов или согласно принципу наименьшей работы Я из условия минимума дополнительной потенциальной энергии В рассматриваемом случае и = 4- J (2 ~d£ + 2 + 4 dz. О Подставляя теперь т1>2 из (6.58) получим функционал вида U = j F (N, N') dz, где F — -jTj [dz (N'} +<2, (-4У — «'У 1 + ~ег- 4Go L л \<Ма / ' 1 / J 1 Ef Условия минимума U сводятся к вариационному уравнении dN dz \dN’J 250
•^тественному граничному условию dFIdff1 * сечении z ~ I. В результате получим О в закрсвдон- № _ ЬЫ « О, ч 8G6 ц_жие уравнения (6.60) (6.61) инду того, что на я Сг из условия .61) будем иметь _ Л!(^-4Р (6.59) имеет вид N = Ct sh kz 4- Ся ch kz. крае z = О, N — 0, имеем Сг = 0. Опреде- (6.60), на основании соотношений (6.58) и <ъя — (d, — dj ch kz 1 (dj + djchW J’ Л Г _ 2ft(d,~d^shfa A(dx + djchftl * <1* = M 2^ k поток касательных напряжений, определяемой формулой Бред- ив (5.41), следующей из балочной теории, изложенной в гл. 5. | В качестве примера рассмотрим кручение кессона с парамет- рами (см. рис. 6.5, а) — 0t2d, d2 = d, I = &d, f — 5d6. EIG = i 2,6. Изменение касательных напряжений в панелях и усилий поясах при удалении от закрепленного сечения z = / показано и рнс. 6.10 и 6.11. Из графиков следует, что эффект стеснения с. 6.10 Изменение касательных на- ижений Tj (кривая 1) и т8 (кривая 2) il удалении от жесткого защемления. унитарная прямая соответствует рас- чету по балочной теории кессона при удалении от жесткого sa- щемления 251
депланации сечения вызывает значительное перераспредели касательных напряжений по отношению к уровню, определяем! балочной теорией (пунктирная прямая иа рис. 6.10), и вызыг появление усилий в поясах, которые не описываются этой теоря Рассмотрим теперь общую схему решения задачи в напри ииях. Зададим нормальные напряжения в виде суммы двух ставляющих ««—о?+в,. <б.а Здесь о? — напряжения, уравновешивающие внешние нагруЛ и определяемые по балочной теории, изложенной в гл. 5. Для и . мольных напряжений справедлива формула (5.21), которую И оболочки, изготовленной из одного материала с сечением, OTfr сенным к главным центральным осям, можно записать в пн* о Мх , ы o’ = 7f» + VX + T- (6 Здесь Afe (z), (z), (z) — изгибающие моменты относит* л i осей х и у н осевая сила, действующие в сеченин. Составляющая дх в равенстве (6.62) описывает возмож, отклонение в распределении напряжений от закона (6.63), вь кающего из балочной теории, и может быть представлена в фо] a«= S (z) <p*(s)- (6 Такое отклонение связано с возможным стеснением депланацй, сечеиия при изгибе и кручении. В связи с этим распределеш! напряжений 6, по контуру сечения естественно принять в coin вететвии С формой деплаиации сечения прн изгибе н кручен*! Б частности, для кессона с прямоугольным сечением, рассмотрен него в разд. 6.1.2, были введены две такие функции, показаиш® иа рис. 6.3, fl и 6.6, б. Функции (г) в (6.64) являются искомым* и определяют распределение дополнительных напряжений ш длине кессона. Следует отметить, что напряжения oj (6.53) обеоИ чикают выполнение условий равновесия и статических раним ных условий в отношении продольной силы и изгибающих ко ментов. Поэтому напряжения аг (6.64) пе должны давать резуль тирующей силы и моментов, т. е. должны выполняться услоли ортогональности функций q>( с 1, х и у, а именно: q>, dF = <j> x<f>t dF — <J> ytft dF = 0. (6 65) Таким образом, из равенств (6.62)—(6.64) имеем °«"=‘ТГ У + "7~ * + "jr + JE oWi- (6 014 ® V * &=i 25Й
Йи» определения касательных напряжений так же, как и в балоч- [>(1Й теории (см. разд. 5.3.1), воспользуемся уравнением равно- ir< ня элемента оболочки, показанного на рис. 5.3, т. е. ^>+«1==0. (6.67) дг “ ds ' ' rtt<i q = т8Т6 — поток касательных напряжений, введенный и разд. 5.1. |1одставляя (6.66) в уравнение (6.67) и интегрируя, получим Я = Чч + <?о (г) - S o'l (г) [Ф, (s) + €,]. (6.68) не </<j = (6.69) Выражение (6.69) было выведено в балочной теории и в общем f/iyqae произвольных осей имеет форму (5.28). Функции \ydF, S„(s) = j*dF S«(s) являются статическими моментами отсеченной части контура сече- ния. Способ построения этих функций был изложен в разд. 5.3.1. Ноток qQ обеспечивает выполнение условий равновесия и статиче- ских граничных условий в отношении перерезывающих сил Qx (z), Qu (z), заданных в сечении. Функции ф| (s) = J <й dF е ии аналогии с Sx ($) и Su (s) называются статическими бимомен- 1ПМИ отсеченной части контура сечения и строятся так же, как функции Sx (s) и Sv (s). Поток q0 (z) представляет собой произвольную функцию интег- рирования. В случае однозамкнутого контура поток q0 (г) опре- деляется, как было показано в разд. 5.3.3, из уравнения момен- |пв относительно оси г, т. е. Мх = ф qqpds + pds — — 2°<(г)[^ Wjpds + Ci^pds]. (6.70) Здесь Мг (г) — крутящий момент, действующий в сечении; р — длина перпендикуляра, опущенного из начала координат иа 253
касательную к контуру. Зададим в (6.70) постоянные Ct >| чтобы выражения в квадратных скобках обращались в нуль, т. I с,=—^ф«р*- <6-4 где Й = р ds. Из равенства (6.70) с учетом (6.71) имеем ''«=4(^-^«pds)- (бв Таким образом, соотношения (6.66) и (6.68) при любых фуп днях ot (z) обеспечивают выполнение уравнений равновесия определяют статически возможные состояния рассматриваем^ системы. Как следует из принципа наименьшей работы (см разд. 1.4.3), действительные напряжения должны в этом случи обеспечивать минимум дополнительной потенциальной энерп| (6’1 о Подставляя напряжения (6.66) и поток (6.68) в выражение (6.7!) получим функционал вида i U — [ F (clt o'i) dz. о Вариационные уравнения и естественные граничные условия и закрепленном крае оболочки для этого функционала записи ваются в форме 0F д dF п .. 1 п о v fcj Вг ~° (/- 1. 2, 3 ... п) и при z = const дЕ/дс] = 0. С учетом условий (6.65) получим Д - £ аА) = 6 (2) (/ = 1, 2, 3 ... п), (6.741 где а„ = j)^-ds, 6Ц = (р™-dF-, На закрепленном крае z = const будем иметь 2 = fl (/ = 1. 2, 3 ... и). (6 7fn 254
I свободном крае следует принять — 0 (/ — 1, 2, 3 ... п). нише уравнений (6.74) с учетом соответствующих граничных Кий определяет напряженное состояние тонкостенной кон- гу и ции. В качестве примера рассмотрим оболочку, показанную на , 6.5, а, причем будем считать, что обшивка работает на нор- hi.i№ie напряжения. Поскольку оболочка нагружена только ihcbbim крутящим моментом, N = Мх = Му = — Qv — О Ej = М = const. В равенстве (6.66) удержим один член ряда, ипетствующий депланацин сечения при свободном кручении, о, = С (z) <Р (S). (6.76) шкцня <р ($) == ху, показанная на рнс. 6.6, б, ортогональна I х и у, т. е. условия (6.65) выполняются. Поток касательных пряжений (6.68) с учетом равенств (6.69), (6.71), (6.72) в рас- шриваемом случае имеет вид ? = 4^a'(z)O(S), (6.77) S I Ф (s) = ф (s)-ф Фр ds, Ф (s) = [ ф dF. о (тема (6.74) вырождается в одно уравнение, которое можно писать в форме а” _ = 0, (6.78) G6 (£ <р2 dF . Е ф Фа ds Иля закрепленного торна оболочки z = I следует записать гра- ничное условие (6.75), т. е. о'ффМз= (6.79) М для края 2 = 0 принять о — 0. Решение уравнения (6.78) имеет вид о = Сг sh kz 4- ch kz. I Поскольку о (0) = 0, имеем С2 = 0. Определяя С2 иа условия I «1.79), получим Д4 (£ods * о (2) — о. ,, ... —---sh kz. (6.80) 265
Для кессона, показанного на рнс. 6.5, а, имеем ф ф* dF - /ф = 4г («4 + 64 + 6Г). фф*= - ^(4-4). Ф ®Ms = -А- J *й1с2 44*44+4) Т~’ 720^^ + ^)] ф ~Ь (6Л1) С учетом вычисленных интегралов и формулы (6.80' оотношеипи (6.76) и (6.77) для нормальных напряжений и потока касательно напряжений принимают вид ME (fa — 4) A shA? 2^6 ch kl v(s); « «= JM1 Ф (s) 1 9 2djda I/ GGfafa chkl^^r Отметим, что коэффициент k (6.81), характеризующий скоросЛ изменения нормальных напряжений при удалении от закреплен ного края и максимальное значение этих напряжений при z 1, отличается от соответствующего коэффициента kz (6.49), полу чей него при решен ин задачи в перемещениях. Эти коэффициенте совпадают только в том случае, если считается, что обшивка н» работает на нормальные напряжения. В общем случае при решо нии задачи в перемещениях коэффициент &2 получается большим чем коэффициент k при решении задачи в напряжениях, т. с в первом случае нормальные напряжения в жестком защемле- нии выше, чем во втором, и быстрее затухают при удалении сп жесткого защемления. Это объясняется следующим. При реше- нии задачи в перемещениях предполагалось, что сечение повора чнвается как жесткий диск, т. е. считалось, что оно не деформн руется в своей плоскости. Физически это соответствует наличии» в кессоне нервюр, абсолютно жестких в своей плоскости и жестко связанных с обшивкой. При решении задачи в напряжения# деформация сечения в своей плоскости допускается, т. е. ра. четная модель обладает меньшей жесткостью. Таким образом, в расчетной модели, соответствующей методу перемещений, деформация обшивки стеснена в большей степени, чем в модели, соответствующей методу напряжений, а следо» вательио, напряжения в жестком защемлении в первом случае больше, чем во втором, н быстрее затухают. Если обшивка не 256 - I
Мф»тает на нормальные напряжения, то этот эффект не прояв- Кк<ся и результаты совпадают. | Расчет конструкций типа крыла в функциях напряжений более Ц|и| ю описан в книге 1311. S.2. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СТРИНГЕРОВ И ОБШИВКИ Панели крыла и корпуса летательного аппарата для •члшшения общей жесткости, как правило, подкрепляются часто |ш- положенными стрингерами, связанными с элементами попе- 1Тчного набора — нервюрами в крыле и шпангоутами в корпусе. _|1 местах приложения сосредоточенных сил устанавливаются филее жесткие элементы — лонжероны, нагрузка с которых Передается на стрингеры посредством касательных напряжений, Ьрзникающнх в обшивке. Для иллюстрации этого эффекта, называемого эффектом вклю- чения стрингера, рассмотрим панель, образованную полкой лонжерона, двумя стенками и двумя стрингерами (рис. 6.12, а). Пусть в сечении х = 0 лонжерон нагружен силой Р, а стрингеры пюбодны от нагрузки. Имея в виду наличие жестких попереч- ных элементов, будем считать, что точки панели смещаются только ч направлении оси х. Тогда в лонжероне и стрингерах возникнут напряжения = £„-> ос = Ес^.. (6.82) Предположим далее, что тонкая стенка работает только на сдвиг. Тогда в ней возникнут касательные напряжения т0 = Goy, причем согласно рис. 6.11, а деформация сдвига у = (ил — u^lb. Таким образом т,=4 <«"-"«)• (6-83) Рассматривая равновесие элементов лонжерона и стрингеров (см. рис. 6.12, б), будем иметь F„ - 2т0«0 = 0. Fe^S. + тЛ = 0. (6.84) Пять уравнений (6.82)—(6.84) включают пять неизвестных — 'Гт ®с» ”^о» ^л» ^с* Будем решать рассматриваемую задачу в напряжениях. Прежде всего умножим второе уравнение (6.84) на 2 и сложим г первым. Интегрируя результат, получим 2ocFc + олРл — Сх. Поскольку при х = 0 Gc = 0 и постоянная Сг — —Р, т. е. °с = “ 27? <-р + a"FJ- (6.8Б) 9 И. Ф. Образцов н да. 257
Рис. 6.12. Параметры подкрепленной панели (а) к ее напряженное состояние (Л) Продифференцируем теперь первое уравнение (6.84) и выразим в нем т0 с помощью равенства (6.83) Лл dx» b °0°0U* Заменяя производные от перемещений через функции напряже- ний с помощью формул (6.82) и выражая ос через ол согласно (6.85), окончательно получим следующее уравнение: = <6а’) Здесь В = 2ЕСЕС + Е„Е„ — суммарная жесткость стрингеров и лоп жерона. Общее решение уравнения (6.86) имеет вид ал = С2е-‘’+С,е‘«.__^.. Пусть рассматриваемая панель является бесконечно длинной. Поскольку при х -> со функция напряжения ол должна оста- ваться ограниченной, очевидно, следует принять С9 = 0. Окоп чательно, определяя С2 из условия ал (0) = —P/F„, получим ал о'л — Нг с ** > (6.88) здесь о„ — —РЕЛ/В — напряжения в лонжероне вдали от иа груженного края панели (при х -+ <х>). Из равенств (6.85) и (6.88) после некоторых преобразований найдем ае = ас(1-е-П (6.89) 258
I где бс = —PEJB — напряже- ния в стрингере при х->оо. И, наконец, подставляя (6.89) ио второе уравнение (6.84), за- пишем выражение для касатель- ных напряжений — р т/—gcfcfio... р-**, ° г Ь$>ВЕпЕя е В качестве примера рассмотрим панель с параметрами Fc = F/4’t Ь60= Fc; Ес=£л-£; Go/£ = 1 = 2,6. Изменение напряжений по длине паиели показано на рис. 6.13. Из графика следует, что при х = 2,4b напряжения в стрингерах и лонжероне вы- равниваются, т. е. стрингеры полностью включаются в ра- боту. Интенсивность включе- ния стрингеров в работу про- порциональна параметру k (6.87) и тем выше, чем больше жесткость обшивки на сдвиг О060- Более сложные примеры решения аналогичных задач при- ведены в книге [21 ]. в.З. ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ И ОБОЛОЧЕК С ОТКРЫТЫМ КОНТУРОМ СЕЧЕНИЯ В настоящем разделе рассматриваются цилиндрические и призматические тонкостенные конструкции типа фюзеляжа само- лета, крыла или корпуса летательного аппарата, имеющие длинные вырезы, т. е. оболочки с незамкнутым контуром поперечного сечеиия. Характерные размеры рассматриваемого тела суще- ственно отличаются между собой: толщина его стенки мала по сравнению с габаритами поперечного сечения, а последние, в свою очередь, значительно меньше длины. Оболочка может обладать подкрепляющими продольными элементами жесткости. Изложенный в гл. 5 метод расчета подкрепленных конструк- ций может быть успешно применен для рассматриваемых систем только в том случае, когда поперечные силы Qx, проходят через центр изгиба. Специфическая особенность работы цилиндрических оболочек открытого профиля состоит в том, что при кручении в них могут возникать продольные деформации и соответствующие нормаль- ные напряжения, приводящие в каждом поперечном сечении к системе самоуравновешенных продольных сил. Поэтому для 9* 259
расчета подобных конструкций требуется метод, отличный | методов элементарной теории изгиба балок. Теория тонкостенных призматических и цилиндрических к< струкций с открытым контуром поперечного сечения была ра ‘работана В. 3. Власовым 113]. 6.3.1. Основные гипотезы. Деформации удлинения и кривизны кручения Рассмотрим оболочку (рис. 6.14), подверженную воз- действию произвольной поверхностной нагрузки. Отнесем сре динную поверхность к ортогональным криволинейным коор- динатам z, s, где z — расстояние вдоль образующей, s — длина дуги контурной линии (определения срединной поверхности и контура поперечного сечения приведены в разд. 5.1). Вводятся следующие кинематические гипотезы: а) контур поперечного сечения остается жестким (недеформ руемым) в своей плоскости; б) деформация сдвига срединной поверхности, характеризу щаяся изменением прямого угла между координатными линия] z = const, s — const, принимается равной нулю. На плоскость жесткого контура г — const нанесем декартову систему координат Оху (рис. 6.15). Тогда начало отсчета (точка 0) и оси координат Ох, Оу будут перемещаться вместе с контуром. Пусть перемещения точки О в направлении оси Ох есть £ (z), а вдоль оси Оу — t] (z). Тогда согласно кинематике твердого тела компоненты полного перемещения произвольной точки М (z, s) на контуре в направлениях осей Ох н Оу могут быть выражены следующим образом: 1м = £ — ув, (6.90) Чм — Ч + хв. Здесь х — х (s); «= у (s) — декартовы координаты точки Af; 0 = 0 (z) — угол поворота сечения относительно точки О, кото- рый считается малым. Положительным принимается вращение Рнс. 6.14. Тонкостенный Рис. 6.15. Поперечное стержень сечение стержня 260
ini часовой стрелке. Обозначим танген- сиальное перемещение точки М (zt s) бук- ' ной о, а нормальную составляющую — w (см. рис. 6.16). Для компонент переме- щений Лм точки контура будем иметь v (z, з) = Eff cos а + Чм sin а, (6.91) су (г, s) = —Ем sin о + чм cos а. Здесь а — угол между касательной к кои- туру и положительным направлением оси Ох. Очевидно 4^ = х' — cos а, ~ = д' = sin а. (6.92) ds ’ as е ' ' Рис. 6.16. Перемещение точки на срединной по- верхности в плоскости контура стержня Подставляя выражения (6.90) в зависимости (6.91) и учитывая равенства (6.92), получим о (г, s) = Е (2) *' (S) + Ч (г) у' (s) + 6 (г) fi (s), и (г. з) - -Е (г) / (s) + ч (г) х' (s') + 6 (г) t (з). ( где принято F. (s) — ху' — ух', (6.94) t (s) = хх* + уу’. Эти формулы для тангенциального н нормального перемещений произвольной точки срединной поверхности являются следствием первой кинематической гипотезы. Второе допущение приводит к выражению для продольного перемещения и = и (z, s). Действи- тельно, согласно последнему из соотношений (4.12) деформация сдвига срединной поверхности, отнесенной к криволинейным координатам z, з, может быть записана в виде Полагая уг,9 = 0, а также подставляя выражение для танген- циального перемещения (6.93) и интегрируя, будем иметь u(z, s) = t(z)- f-^ds^t(z)-x(s)E(z)p(s)n(z)-Ms)e(z). 0 (6.96) Здесь С (^) — продольное перемещение точки контура, соответ- ствующей началу отсчета криволинейного интеграла; со (s) = к = J h (s) ds — функция контурной координаты s, названная о В. 3. Власовым сектор иа л ьной площадью. Если соединить начало координат Оху с точкой на контуре прямым отрезком под уг- лом <р9 к оси Ох (см, рис. 6.16), то иа этом отрезке имеем х = 261
= s cos <p0. у = s sill q>0. Тогда подынтегральная функция Л (i согласно ее выражению (6.94) окажется равной нулю для аждц точки иа этом отрезке. Поэтому будем принимать кижний преда интегрирования на левом конце контура или в точке его симме) рии. Таким образом co (s) = j (xp' — yx') ds. (6.90) Геометрический смысл этой функции заключается в том, что аС величина для каждой точки s контура равна удвоенной площа^И сектора между линией контура и лучами, исходящими из начале координат О в точке s — 0 и s. Деформация продольного удлинения цилиндрической обоЛ лочки (4.12) в координатах г, s есть е, = Применяя формулу для продольного перемещения (6 •95). получим — У(з)п — ®(s)e. (6.97) Согласно гипотезе о недеформируемостн контура деформация контурного удлинения и изгибной контурной кривизны отсутЯ ствуют, т. е. е, = 0, х, = 0. Исследованиями установлено, что учет деформации продольной кривизны дает продольные распре-1 деленные изгибающие моменты, максимальные напряжения от которых значительно ниже нормальных напряжений, соответ- ствующих деформации продольного удлинения е2. Поэтому! принимаем ~ 0 ... Деформацию кривизны кручения полу-1 чим из рассмотрения принимаемого напряженного состояния! стержня и точного решения задачи о «чистом» кручении тонкое стенного стержня с криволинейным открытым контуром сечеиия. I Действительно, напряженное состояние стержня в сечении z =*| = const представляется следующим: нормальные напряжения п* постоянны по толщине стенки, контурные касательные иапря-1 жения хы ~ х„ (z, s, у) меняются по толщине линейно (рнс. 6.17), а касательными напряжениями хху в направлении нормалЛ к контуру пренебрегается. Пусть касательные напряжения! х„ (z, s, ±h/2) в крайних точках толщины стержня имеют зиа-1 чения т2 и tj. (рис. 6,17). Тогда напряжения xxs (zt ss у) можно представить суммой двух слагаемых: постоянными по толщине! Рис. 6.17. Напряженное состояние стержня Ж
касательными напряжениями, равными т = т (z, s) = (ts 4- т2)/2, и напряжениями, меняющимися по толщине кососимметрично, со значениями в крайних точках 7 — zhh/2, равными ±(т8 — тх)/2. Последние, переменные по толщине касательные напряжения статически эквивалентны распределенным крутящим моментам, которые на сечеини z = const приводятся к крутящему моменту Я » Я (z). Согласно теории тонких оболочек контурные касательные напряжения определяются выражением — Gy*tt- (6.98) Решение же задачи чистого кручения тонкостенного стержня с криволинейным открытым профилем 131 моментом Н при усло- вии hiRt <£ 1 имеет вид <M~-Gy20 .... (6.99) Сравнивая выражения (6.98) и (6.99), получим формулу для де- формации кривизны кручения х„=-2Й... (6.100) Нормальные напряжения, соответствующие продольной дефор- мации е„ приводятся к нормальным усилиям c,h, действующим в направлении образующей срединной поверхности. Закон Гука (4.7) для плоского напряженного состояния дает соотношения а, = -|-(<’»'" , (6.Ю1) е. - - I10.)- Здесь о, — нормальное напряжение в продольном сечении s = — const. В условиях недеформируемостн контура (е, = 0) имеем а, = = рс2. Отсюда первая из формул (6.101) дает соотношение аг — = е‘- Следуя теории тонкостенных стержней, будем пре- небрегать величиной р2 по сравнению с единицей: 1—р2~1. (6.102) Тогда ог = Ее,, (6.103) а имея в виду выражение (6.97), получим формулу для нормаль- ных усилий 0/1 = Eh(l — x(s) | — y(s) n — a>(s) ё). (6.104) Постоянные по тойщиие касательные напряжения х = т (z, s) приводим к потоку касательных сил q (г, s) = xh, подробно опи- 263
сываемому в разд. 5.1. Действие крутящих моментов, распро- страненных иа всю длину контура, будем заменять работой крутящего момента Н (z) иа всем поперечном сечении. 6.3.2. Полная потенциальная энергия. Уравнения равновесия. Граничные условия В соответствии с формулами (4.16), (4.27) потенциальна! энергия деформации тонкой оболочки определяется выраже- нием и = 4*J[(ь. + Мг — 2(1 -)0(EA--T)*]‘te + I I + ~12 0-ц) ф [(*. + K.f — 2 (1 - н)(иЛ - ^)] *} dz. Отсюда в рамках принятых гипотез (е5 = ?« = я3 — xz = 0) и замечания (6.102) получим потенциальную энергию деформации тонкостенного стержня у=If (¥)’>*• (6Л05> После подстановки выражения (6.100) и введения момента инер- ции чистого кручения Ia = —- ф /? ds (6.105) последнее выра- жение представится в виде у-(6.106) Вторым подынтегральным слагаемым отражена работа отнесен- ного по всему поперечному сечению крутящего момента // (г) на угле закручивания 0 dz. Следовательно, H = GI&, (6.107) Рассмотрим работу внешних сил. Пусть составляющие поверх- ностной нагрузки по осям Ох, Оу и Oz заданы соответственно функ- циями Рх = Рх (z, s), Pv = Ру (z, s), Pz == Pz (z, s). Работа этой нагрузки на перемещениях £м, (6.90), и (z, s) (6.95) средин- ной поверхности равна Ап = ( ф (ЛЛм (z* s) Ч- РуЦм (z, s) 4- Pzu (z, s)l ds dz. i На торце z = z0 стержня могут быть приложены сосредоточен- ные обобщенные силы 2V°, Q2-, QJ, Z4J, Л!*}, Мг, В°. 264
Тогда с учетом зависимостей (6.90), (6.95), (6.97) и обозна- чений для распределенных обобщенных усилий I <j>Psdx = <7„ ^>Pydy = qy, (— Pxydy + Рух dx) = tn;, (6.108) |> P, rfs уг, (f P.yds = m„ —<£> Ptxds = my, ^>Pzads = br (6.109) выражение для полной потенциальной энергии тонкостенного । гсржня (как сумма энергии деформации (6.106) и взятая со зна- ком минус работа внешних сил) запишется в форме э = J[4-^£(L-4-^ + I — (<?Л + «Л + W + тЛ — ~ bp&\ dz — (Л'"^ + + <& + <2fr)o + «Й - + M°A> - В°ёо). (6.110) Последней скобкой отражена работа обобщенных сосредоточен- ных сил на соответствующих обобщенных перемещениях. При лом учтено, что положительный момент Мх и бимомент В° вызы- вают соответственно отрицательную девиацию т)0 н отрицатель- ную меру депланации 0О. Далее применяется вариационный принцип Лагранжа. С по- ящим вариационного исчисления энергия (6ДЮ) — это функцио- нал вида I = f F (х, ylt y'lt yddx+'Ei [Ptyt (a) Д- Qtyl (a)] Д co свободным концом на границе х = b н заданными значениями функций Pt, Qi на другом конце. Необходимое условие минимума функционала приводит к системе уравнений Эйлера аг d / др \ . д? / др \ „ /кип и естественным граничным условиям * /.^\ = о, ^- = 0пРИх = ь, ду) dx \ ду) / ’ ду) у (6.112) ~-----А. / JL-\ + Р, = 0, -А- + Q, = 0 при х а. ду) dx \ By) / ‘ dyi ' ' 265
Для функционала (6.110) на множестве функций g, q, 6 ура иения (6.111) примут вид If - ртз„ - ЧП1$» - е™.% + 4<?• ” °- С‘"8„ - ^1, - тГ l,u - e>vs„, + (q, - т,)!Е = 0. (6. ИЗ) Сш8. _ Eiv/W _ niv/je _ eivSw+(qv + rtx)/£ = 0> C»iSe _ EivSei _ nivS(w _ e>v/o + С/Е1$ + (mt + йр)/£ = о. I Здесь в дополнение к ранее введенным обозначениям (5.15), (5.16) (где следует положить <р = 1) принято 0)h ds 4- 2 Ю;/;, Зшж — сохЯ ds 4- У tojXjfj, Suv = wt/h ds 4- 2 ojyjfj, (6.114) /<а — (j) ds 4- J Заметим, что в соответствии с выводами разд. 1.3 гл. 1 система дифференциальных уравнений (6.113) является уравнениями рав- новесия стержня в перемещениях. Естественные граничные условия (6.112) решают вопрос о струк- туре формул для обобщенных сил. Продольному перемещению С будет соответствовать осевая сила N ---------- (6.115) С учетом формулы (6.104) получим N^fojids. (6.116) Перерезывающая сила <?г, соответствующая вариации щения 6Е, получит выражение переме- <2« dF____d ( dF \ д£~ dt \ Bi I =—m,+ (Ё — х£п1~ут|п,—а>6П1)Л ds=—mv + Ср х -^-hds. (6.117) гае
1И логично будем иметь Q, - т, + ф (Ё - хРп — рч1П - и®ш) Л ds = — т^+g-^-hds; (6.118) + + (6.11S) Мх = ф yaji ds, Mv — — ф xcrji ds, г (6.120) В — ф (btrji ds. Подставляя зависимости для обобщенных сил (6.115) ... (6.120) в систему (6.113), получим уравнения равновесия полоски стержня К •= const, z 4- dz ~ const в усилиях -^-+?.=о, ^-+Ь-О, J^.+9ll = 0, -~^ + m. = 0. (6.121) Сравнение формул для сил (6.116) ... (6.118) и моментов (6.120) I приводит к соотношениям “TJ55--Q, +т» = 0- + Q. + mv = 0, -f--Afe + bp-O. (6.122) I Здесь Af. — ф о--^- hds + bs (6.123) изгибио-крутящий момент, интерпретация которого дана в разд. 6.3.3. Для однозначного решения системы дифференциальных урав- пений (6.113) четырнадцатого порядка требуется столько же граничных условий. На каждом конце стержня можно задать по семь условий: кинематические—С (z0). Е (г«). Ч (zo)= Е (г.), I Ч (г.). 0 М, 0 (гг) или статические — N (г<,), Qx (гс), Q, (гс), | М, (z0), Л1е (г„), М. (г„), В (г.), или в смешанном виде. 6.3.3. Определение нормальных напряжений и потока касательных сил По формуле (6.103) можно найти нормальные напря- жения о, только после решения системы дифференциальных уравнений (6.113). Однако в ряде случаев, когда удается устано- 3S7
внть обобщенные силы //, Mxt Mv, В, мииуя решение систИ (6.113), важно иметь формулу для нормальных напряжений, включающую только функции обобщенных сил и геометрически» характеристики сечения. Изложим вывод этой формулы. Рассмотрим зависимости (6.115), (6.120), которые с уче*Л равенства (6.104) дают,систему алгебраических уравнений отца сительно неизвестных t, L Ч- Ft-S,t-S,ii = W/£ + S„6, S„t -1Д - l,yii - - М,/Е + sMe, S.,C - !.л - 1Л = MJE + М- Решение этой системы можно представить в виде (6.124) * —+ I Здесь в дополнение к ранее введенным обозначениям (5.17), (5.19), (5.22) принято - k Г-/- (S _ &А) - AfL (SM - x0S„)], L 1 Ox ^OX'CU J У a 253 k Г — (S^ — XoSw) 4* (Sw — £fo$<o) ]» L 10£ ‘0ж1oy J (6.125) = ад0 — УаХо — ; Мозе = Mx - t^N, MOv xgN . (6.126) В теории тонкостенного стержня имеется понятие приведенного! бнмомента Вп—$> ®п<Уг h ds, (6.127) где ®о “ ° (s) ~~ хб (y(s) — Fo) 4" Sa (х (s) — (6.128) 268
I Приведенный бимомент Вп связан с ранее написанным В I потношением Вп^В -х^-цМ,-----------^-N. (6.129) Подставляя решение (6.124) в формулу (6.127) и учитывая [гттиоЕпение (6.128), получим зависимость приведенного бимо- I мента от меры депланации сечения В„=-Е1^. (6.130) 1десь Дап = Ц ~ ~™ Fo^w) Н (^<вя ^>0^и) ffd ~' р"~ • (6.131) Можно показать, что /.„ = <£«#tds. (6.132) I Теперь искомую формулу для нормальных напряжений получить нетрудно. Действительно, подставляя решение (6.124) и выраже- ние для функции 6 (6.130), в равенство (6.104), получим О.(г, S) = 4- +*[-fe-p(s)—+ 7^‘n'”(s)- (6.133) j Здесь 5 (s) = x(s) ~х„- (g(s) - gc), (6.134) S («) = У (s) - № - (* <s) ~ *»)• Очевидно, первые три слагаемых формулы (6.133) совпадают с ре- зультатом элементарной теории изгиба тонкостенных балочных конструкций (5.21). Четвертое слагаемое определяет нормальные напряжения, возникающие вследствие того, что сечения стержня при кручении не остаются плоскими, а депланнруют (искривля- ются) по закону секториальных площадей. Поток касательных сил # == # (z, s) не может быть иайдеи подобно нормальным напряжениям из закона Гука, так как вто- рая кинематическая гипотеза отрицает деформацию сдвига. Его можно определить из первого уравнения (4.17) равновесия эле- мента срединной поверхности, наделенного сечениями z “ const, z 4~ dz = const, s = const, s 4~ ds — const (см. рис. 5.3): (6.135) ses
Отсюда с учетом формулы для нормальных напряжений (6. ОД имеем || g = <7 (г, «)=%(*)-J ptds — О - [4 F(S) (^S.(s) -S^s) + ^~Sa(а))]• (6.1J Здесь, как и в разд. 5.3.1, введены функции отсеченной площади и статических моментов для отсеченной части контура F« jftds, Ss = Jpftds, (6.137) 3„ — ' xhds, — J Чс (г) — функция внешних сдвигающих усилий иа райией прямолинейной кромке s = 0. Первое из уравнений равновесия (6.121), дифференциальные соотношения (6.122), а также выражения для приведенных мо- ментов (6.126) и бимомента (6.129) приводят к равенствам 7? — д., Л4о. = Qy — Шу -|- goqx — Qv — = Q» 4~ ~|~ Х^дг — Qx 4- ttlayf (6.138) = Mи — bp хл (Qv тх) да (—Qx — ту)-—mDqx = 7Htoa—bpn. Здесь mOx — mx — — mv 4~ xog„ (6.139, Opn = br + хлт, + уату — aoq„ Л4<«„ = Л1»-*а<2в + »а2х. (6.140) Подставляя зависимости (6.138) в выражение (6.136), получим! формулу для потока касательных сил: g(z, s) = ?(,(z) —Jp,ds + -&-F(s) — о _ft(to^(s)+^St(s))_2^^Sb(s). (6141) 270
ih ли сечение стержни содержит стрингеры, то формулы для ста- Кеских моментов отсеченных частей (6.137) следует заменить сражениями F = Jftds+^A. О i=t 5 т = J Xhds+ У xtft, о Л=1 (6.142) s tn §« = j gfi ds + £ уЛ, 8 Kt s« = J ahds+ О /=1 Здесь ft, xb yit &1 — соответственно площадь и обобщенные шюрдииаты (6.134), (6.128) /-го стержня; т — число стержней и отсеченной части 0—s контура. Покажем физический смысл обобщенных сил Qx, Qy, Пусть прямолинейные границы стержня s = 0 и s = свободны in- внешних сдвигающих усилий. Тогда интегрирование по частям выражений (6.117), (6.118), (6.123) с учетом уравнения (6.135) н обозначений (6.109) дает следующий результат: Q»== —тц + фх-^-hds = —01, + фх (— — ft) ds = = -фдг-й-*=Ф^х> <?„ =т, + фу -^-ЛЛ = т, + фр (-- ft) ds = --j>y-^-ds^^>4dy. м. = b, + Ф «> h ds - b„ + ф <о (—- ft) ds = = — &ui-^-ds = ф^&о =ф?й(«)Л. Следовательно, перерезывающая сила Qx—это равнодей- ствующая на сечении г = const проекций потока касательных сил иа ось Ох; перерезывающая сила Qy — на ось Оу. Изгибно-крутя- щий момент представляет собой равнодействующий крутя- щий момент от потока касательных сил у на всем сечении z = const относительно начала координат Оху. 271
6.3.4* Частный случай изгиба и кручения стержн^ W В инженерных задачах нередко на свободном цопц| стержня заданы нлн известны значения обобщенных сил. ВэтЯ случае для определения напряженного н деформированного о стояния стержня нет необходимости решать систему дифферчМ циальных уравнений четырнадцатого порядка (6.113). Действ тельно, функции продольной и перерезывающих сил, а такЛ крутящего Mz и изгибающих моментов Mxr Mv найдутся пути интегрирования уравнений (6.121), (6.122). Уравнение относ» тельно приведенного бимомента ВЮп негрудно получить, сели выражения (6.124) подставить в последнее уравнение систсгн (6.113) и учесть соотношения (6.130), (6.121), (6.122). В резуЛ тате преобразований получим - й— Вм„ = 0, (6.141| где тм = tnz — xdqy + ydqxi а функция bpa определена равен» ством (6.139). Решение уравнения (6.143) будет единственным, когда известны граничные условия. Например, если иа свобож ном конце стержня z = I отсутствуют нормальные напряжении или они так распределены по сечению, что (j) couoz (/, s) h ds =* j, тогда справедливо равенство Всоп (0 = о. Для жесткозаделанного сечения z — 0 перемещения в его плосд кости (6.93) и из плоскости (6.95) отсутствуют. Отсюда в сил* линейной независимости функций sin a cos а, h (s), t (s) и обой щенных координат 1, х ($), у (s), со (s) в точке z — 0 будут выпой няться условия ИО) = В (0) = 1] (0) = Й0) = ч (0) = 6 (0) = 0 (0). (6.144) Условие ё (г0) = 0 в сечении z = z0 каждый раз будет спра ведливым, когда это сечение лишено возможности депланировати (например, когда в сечеиии z = z0 имеется мощный шпангоут, жесткий на изгиб из своей плоскости). После определения приведенного бимомента вместе с ра нее полученными другими функциями обобщенных сил формулы (6.133) н (6.136) позволяют вычислить нормальные н касательные направления. Перемещения точек стержня и его закручивание1 найдутся после последовательного интегрирования уравнений (6.130), (6.124) и применения формул (6.93), (6.95). 6.3.5. Пример стесненного кручения стержня Покажем методику расчета тонкостенной цилиндрической конструк» I ции открытого профиля на примере. Задача. Цилиндрическая оболочка типа корпуса летательного аппарата! с длинным вырезом жестко заделана на одном конце и нагружена крутящим 272
Рис. 6.18. Результаты расчета стержня на кручение шитом М. на другом конце (рис. 6.18, а). Обшивка и стрингеры выполнены из (лого материала, модуль упругости которого £, а коэффициент Пуассона р — I 0,3; Л., 2R, I — толщина обшивки, диаметр сечения и длина стержня. Площади крайних стрингеров имеют значения =: — Rh, площади внутренних стринге- ров равны /а = /з — — О»52?Л- Соотношения между размерами заданы /?==50Л, / = 20Я. (6.145) Определить напряженное и деформированное состояние стержня. Решение. Введем безразмерные координаты ₽ и ф так, что z = s = 7?ф, dz ~ R ds — R dtp, (6.146) n . а = ~2- + ф- Тогда декартовы координаты точек контура, функции контурной координаты (С.94) и секториальная площадь &> с началом отсчета в точке / ^ф —-g |апишутся в виде £?х с-’л . dtf x=sRcosar y^Rsina, == == — б!пф, -^- = cos<p, Я(ф)=/?, г(ф) = О, щ(ф) = 273
Значения этих функций в точках 1, 2, .... 9 (места расположения стринге занесены в табл. 6.1. По формулам (5.15), (5.16) и (6.114) найдем величины метрических параметров сечения: S.= 5гоф<!ф+2и^ = —2,6R!A. S„ = 0; j R’h co# ф <!o>4- rffi = 6,03R3h; J Rsh stn! 9 dtp -j- y<fl = з.ббй’Л; Зи = | R‘h f ф + -g- я) dtp + У Wj/j = 20,3R’ft; -4-" S«>» = j R‘h (-^ cos <f dtp + otfitJi = 10,2R«A; Sav « j R*h ( q? 4- к ') sin ф dtp + у aanfa — — 5,44R‘h; л 274
Геометрические характеристики сечения R6h о СЧ со 'й « « ё 52 Ё S £ •ф —. =’rf«»z е еч £ сч о СЧ ~e О 1 со ~к ICO 1 СО 'Й 1 § ю 1 К 1 о ~ё 61 = w® s сч сч сч —« со R*b о т 1" 1 т о е ю 'S к е Г- ICO сч w’£e>4oi+z " = >/WC! [J «К о а ,ш со сч 5J СЧ „ - СО ад^Г“ е* К к к & к НО К 4? = ’/’>» 5 а* о «о со к 'б еч СО ~ё ю К со СО •И со №а ° со сч СО СО ° S %йг = WK as со °>7 СО 1О СО О СО со о со 00 СО io XF О со w~ = WK S= «К 1Л о ш СЧ ° 7 ICO 1 ^l'- 1 ю 7 со 1 S.I'1, 1 ю сч 7 1О о о = ’^/S аГ -и = + ICO J ,ф 1 — 1 ,сок» хГ 1 -|« I 1 о — сч и* ch 7 Sb 1 1 -|сч I о -|о) |со| ^|с< |СО | - 'х|" as о >11 ю о о МЭ о 1О^ о 1О о ю о U5 О О -- WS‘S “’/3 вхяэиаь-е йамои сч со ш СО со Ci 275
Здесь значения для конечных сумм, соответствующих продольным элем( жесткости (стрингерам), взяты из табл. 6.1. Приведенные геометрические х теристики сечения в соответствии с формулами (5.17), (5.19), (5.22) в 'ft будут равны X. = О, ус = —0,26&R, = 2.96№ foy ~ 6,0277?%, foxy ~ 0, k = lj (6 Н *<f = 0. yd = —1.69/?, <в€ = — 2,О97?я; /Шп = 1,57?%. Момент инерции чистого кручения (6.105) и коэффициент отношения крутил» жесткости к векториальной принимают значения зг h? с 4 fd = —3— J R dtp =» ~ лВЬ.3, =с,32б(Ау=(0.01И2)а. £. IT -f- p,} 1 Оп \ A / (6.1< На свободном конце стержня нормальные напряжения отсутствуют, а пом мсательных сил приводится к крутящему моменту. Следовательно (см. (6.116) W — Л4Ж== MpBsB—QjjxsQjjasO при К (6.141«| Н 4- Л4(й = М при р = . При таких статически граничных условиях и отсутствии поверхностной нагрузка уравнения равновесия (6.121) и (6.122) приводят к тривиальному решению 1 К (Р) = МХ®)~ Mv (р) = Qx (₽) s Qv (₽) s 0, (6.150. Mz($) ~М и условию ЛЧ₽)+МГ(₽)-М при ₽ = -g-- (6.151] Следовательно [см. (6.129), (6.126), (6.150)] в данной задаче приведенный бим« мент ВОп не отличается от обобщенной силы В. а поэтому граничное услоиЛ (6 151) с учетом соотношений (6.107) и (6.130) преобразуется к виду \ К / X if / Мац Подставляя сюда значения (6.145), (6.147), (6.148), получим граничное услошц (0,0П4^.в-(4) -е" (i) = (6.1И) -276
Ii> у гствяе бимомента В на свободном конце н жесткое защемление оболочки на ijiyi’OM конце дают другие граничные условия в'(~)=0; 0(0) =»0; в'(0)=.0. (6.153) I Уравнение стесненного кручения (6.142) с учетом зависимости (6.130) при мдянном нагружении примет вид 6IV(₽)-^F-e”(₽) = 0. I* «се решение этого уравнения 0 (₽) - <4 + ^0 + С*Г ЬР 4- , ipc b* — при граничных условиях (6.152), (6.153) дает функцию угла С/«,ц «wspora сечения s® = (5.03 + 0.256₽— 13,72e*bfi + 8,687е*). (6.154) При этом функции депланацни, бимомента и изгибно-крутящего момента при- мут вид е' (₽) =(2.Б6— 1.566е -* — 0,992е*0) И*** , й„,п (₽) = (33,96eis — БЗ.бЗе-^З) MR, (6.155) I м„ (₽) - (о,388е^ + 0,612е~1’5) М, 1дс Ь ~ 0,01142. Нормальные напряжения пропорциональны бимоменту, так как другие ибпбщенные силы отсутствуют (6.150). График функции ВИп (0) изображен на цис. 6.18, а. В сечении z = 0 нормальные напряжения наибольшие и распреде- лмются по закону ВИв(0) °т. (0. ф) = —у-----®п (Ф). '(Од I- |де соп (ф) ю (ф) — l,69Rx (ф) — 2,09R8. Расчеты приведенной сектор иальной площади соп и нормальных напряжений и, (0, ф) сведены в табл. 6.2. Эпюра нормальных напряжений показана на рис. 6.18, б. Здесь экстремумы в точках контура Фх — —-2,51; фа =? —0,632. Н сечении z = 0 изгибно-крутящий момент Ма, равный внешнему крутящему моменту М, статически эквивалентен распределенному по контуру потоку каса- к-льных сил (6.141) «(0, <р) = -?!^3„(1р), где Sa= + Ьб71ф —0,114 — 1,69310 ф) R8A4- Wi- Л=1 277
а о л и u я Нормальные напряжения uz (0, <р) и поток касательных сил q (I, <р) Номер ffi <Ф)/Я* §Ю(Ф) я* 1 9'~м- « Л4 1 7л , „ — ~б"+ 0 —0,63 413 —0,63 0,409 1 2 2 —л — 0 —я -J- 0 0,12 0,12 —79 —79 —0,744 —0,684 0,483 I 0,444 I 3 5л - — --0 0,417 —273 —0,524 0,340 1 3 5л . -—+ о 0,417 —273 -0,315 0,205 I 4 2л -—-° 0,322 —211 —0,107 0,070 ] 4 2л , - —+0 0,322 —211 0,054 —0,035 I 5 31 — — ±0 0,00 0 0,143 -0,093 1 6 л —Г-° —0,322 211 0,054 —0,035 6 Я —~г+° —0,322 211 —0,107 0,070 7 я -Т-о —0,417 273 —0,315 •0,205 I 7 Л -т+о -0,417 273 -0,524 0,340 8 8 +0 —0,12 —0,12 79 79 —0,684 —0,744 0,444 0,483 9 Я т-° 0,63 —413 —0,63 0,409 Результаты вычислений также занесены б табл. 6.2. а эпюра потоков ка- сательных сил изображена иа рис. 6.18. Интегрирование уравнений (6.124) с учетом равенств (6.150), решения (6.154) и граничных условий в жестком защемлении (t(0) = О, £(0) = 0, Е'(0) = 0, 4(0)-О, Ч'(0)=0) приводит к компонентам перемещений осн стержня С (?) = —юс//?е' (?) = 2,О9/?0' (?), В (?) = У# (?) = -1.69/?@ (?); г, (?) = 0, где в (?) н 0' (?) — функции (6.154), (6.155). 278
I Перемещения точек контура стержня б соответствии с зависимостями (6.93) /Г %) определяются формулами v = 1,691?в (Р) sin <р, и> — 1,696 (р) cos <j>, и = £0' (₽) (1,69 cos Ф — <р — 1,57). шиз этих формул показывает, что перемещения точек контура в плоскости । w) значительно выше перемещений из плоскости и. В заключение заметим, что полученное напряженное и деформированное П»яние стержня 'будет точным, если на свободном конце крутящий момент М Винт из момента свободного кручения, равного Н = 0,0256/4, и изгибно- <щего момента, составляющего Л4Ш = 0.9744Л4 и распределенного по се- ни» в виде потоков касательных сил, показанных на рис. 6.18, в.
ГЛАВА 7 РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ ПРОСТРАНСТВЕН11| КОНСТРУКЦИЙ МЕТОДОМ конечных ЭЛЕМЕНТОВ 7.1. ХАРАКТЕРИСТИКА МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМГл! Метод конечных элементов (МКЭ) является при* женным численным методом и широко используется в насто время для расчета сложных нерегулярных конструкций. (X > ная идея МКЭ, как и многих приближенных методов, за ключ .1 в дискретизации исходной в общем случае континуальной сисла причем по сравнению с классическими приближенными методц описанными в разд. L6, процедура дискретизации в МКЭ Ц дает определенной спецификой. Суть этой процедуры заключив в следующем. На первом этапе конструкция расчленяется I мощью некоторой сетки на отдельные фрагменты конечных | меров, называемые конечными элементами (КЭ), и представляв как некоторая совокупность конечных элементов. Сетку н;1 чают с учетом геометрических и структурных свойств констр ции, а также исходя из предварительно принятой схематигип ее элементов (обшивка, стенки, подкрепляющий набор и т с привлечением известных расчетных моделей строительной м< Рнс. 7.1. Схема нанесении сетки на поверхность пластины с круглым (а) н ю дратным (б) отзерс'гкямк 280
/2. Расчленение оболочки ни (стержни, пластины, оболочки). Помимо этого, выбор сетки лнпяется таким требованиям, как простота формы конечных и-гитов, возможно меньшая размерность модели, возможность >.нжения требуемой точности расчета. На рис. 7Л—7.5 пока- примеры конечно-элементиой дискретизации конструкций рипчных типов. Следующий этап дискретизации, имеющий ^магический характер, заключается в аппроксимации иско- I функции, например, перемещения с помощью конечного I in выбранных локализованных координатных функций. Такне икции отличны от нуля лишь в сравнительно небольшой (по- мп. ' шага сетки) области конструкции, а вне ее тождественно «им нулю. Процедура дискретизации иа этом завершается. №• ши, что термином «конечный» в названии метода отражаются I особенности МКЭ. С одной стороны, подчеркивается дискрет- 3 V 5 Рис. 7.4. Расчленение крыла на конечные элементы: цпяс; 2, 8 — подкрепленная никель обшивки; 4 *— стенка нервюры; 5 — элемент лонжерона 281
Рис. 7.5. РасчленеиЛ иин фюзеляжа иа и вые элементы ц / — Пояс ц1па».тсутв|’. подкрепленная паим| шиякн; 3 — стейка гоу?я иый характер метода, предполагающий расчленение конструКм на элементы конечных размеров. С другой стороны указывМф. на то, что элемент обладает конечным числом степеней свойщ» и его состояние описывается конечным числом параметров .W Локализоваиность координатных функций является отличв тельной особенностью МКЭ. Она обеспечивает достижение iur важных качеств метода, как: простота построения ко динапиа функций; высокая универсальность широкого класса задач ст|“» тельной механики, в том числе для конструкций сложной ст;, туры и геометрии с нерегулярным распределением параметре при достаточно произвольных внешних воздействиях в граничим условиях; возможность реализации процедуры МКЭ с помок I стандартных алгоритмов, хорошо приспособленных к ис|^И эованию ЭВМ. 7.2. КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНАЯ МОДЕЛЬ КОНСТРУКЦИИ I Конструкция расчленяется сеткой линий на онеча элементы. Схема членения служит основой для построения • нечно-элемеитной модели конструкции. Выбор расчетной аМ (схемы членения) зависит от ряда факторов: геометрии и стр у туры конструкции, ее коиструктнвно-силовой схемы, харак1л внешних воздействий, целей и требуемой точности расчета.’К правило, линии расчетной сетки совпадают с осями осномм* подкрепляющих элементов конструктивно-силовой схемы. некие на конечные элементы отражает механическую cropgii процесса дискретизации исходной конструкции. Выбранная членения влияет на точность расчета и определяет размерив задачи. Тснку пересечения линий сетки назовем узлом расчетной аим или узлом конструкции. Точку конечного элемента, совпадая»^ 282
। у/ком конструкции^ назовем узлом конечного элемента. Введем Следующие параметры конечно-элементной модели конструкции И их обозначения: k — число конечных элементов; п — общее •in до узлов конструкции; j — номер узла конструкции п (/ 1, ...» n); N3 — число степеней свобода в узле /; ДО »= £ ДО/ — Юлии 2 число степеней свободы незакрепленной конструкции; * номер конечного элемента (е ~ 1, .... й); пе —- общее число ПОов конечного элемента е; s — номер узла конечного элемента принимает значения номеров узлов конструкции, с которыми нпадают узлы элемента); ДО1 — число степеней свободы в узле s цента е; № — У Nea — общее число степеней свободы эле- S шита е. Размерность матриц будем обозначать через 1а х 0], Пг а — число строк, 0 — число столбцов. I Геометрия конструкции задается координатами ее узлов п глобальной системе координат х, у, I В каждом узле конструкции / вводится тройка взаимно пер- Ьидикулярных орт bJt n.j, определяющих три направления, Которые будем называть главными направлениями в узле / Инг. 7.6). В частном случае эти направления могут совпадать и «правлениями осей глобальной системы координат х, у, Z. № случае оболочек вектор обычно направляется по нормали К срединной поверхности (а векторы а}, fy — по касательным [той поверхности). Для каждого конечного элемента е выбн- Встся местная система коор В »юй системе формируются в К В качестве обобщенных пе- Кмещеннй примем перемеще- Цт. узлов незакрепленной (сво- Имной) конструкции по глав- ки направлениям. Запишем ги перемещения в виде век- н-p.i (матрицы-столбца) размер- Цис ЪЮ 5ДО х 11 I (7.1) 1’д«- нижний индекс обозначает IHwrp узла. Вид подвектора г/ мписит от кинематических пбенностей конкретной за- мни (внда перемещений и их Ьвсла в узле). В частности, для пространственной задачи (см. 1-.I* 7.6) r5 = {ufljW/i, (7.2) Рнс. 7.6. Глобальная (X, у, %) и мест- ная (В, 0 системы ноордннат кон- струкции н конечного элемента 283
где uh vf, Wj — компоненты перемещений узла / соответствия | 11реобразование перемещений ге к осям местной «петелы по направлениям Ь}, п}. фдннат элемента е осуществляется на основе (7.5) и ижк Вектор перемещений узлов элемента е в местной системе шнц I ib записано как динат будем обозначать через ре [Ne X 1 ]. Для четырехупуь него КЭ, изображенного на рис. 7.6 (Р*)’ = WlPkP'lPm], где /, kt I, т — номера узлов расчетной сетки, с которыми сф I падают узлы элемента е. Вид подвектора от кинематических характеристик элемента ном случае (?ЭТ = (71 узла s элемент! координат по главш где us, va, w3 — компоненты перемещения соответственно по направлениям осей £. Перемещения узла элемента в местной системе перемещения соответствующего узла конструкции направлениям связаны линейным соотношением Р/ = а>/, (7 м где aj [2V/ X IV/] — матрица преобразования перемещений дль узла / элемента е. В случае, когда векторы перемещений р] и • определены выражениями (7.2) и (7.3), матрица а} состо направляющих косинусов между осями cos (!,«;) cos(|, fej) bh п} и 1, cos(|, «/)’ С/= cos(q, а{) cos (т), 6/) cos(q, «,) COS(t, <Zj) COS (£,&>) Чтобы установить связь между перемещениями узлов элем (7.3) и перемещениями узлов конструкции (7.1), вначале нео(| димо выделить из общего вектора (7.1) перемещения тех уз/ конструкции, с которыми совпадают узлы элемента е (наприй в случае (7.3) это будут узлы /, kv /, m), а затем 1Г(ресбразоп!^^_ выделенные перемещения к осям местной системы координат Вектор г} выделяется из гс с помощью операции г, = Е)Г^ (7?) Выделяющая диагональная матрица Е, IN] X JV] легко уп, навливается иа основании соотношения (7.1). Вектор перемену кий ге узлов конструкции, с которыми совпадают узлы элемента I найдется ио формуле г"=Е,г, COS(f„ и,) (7 Л где диагональная матрица Е* составляется из блоков Et р' = CV*. (7.9) ___ Ин крепленной конструкции в определенных узлах (7 11 | некоторым направлениям равны нулю и она характеризуется тором г, который получается из вектора перемещений свсбод~ В конструкции гс путем «вычеркивания» нулевых компонент, рЛМ X 1] завис»» Ьткетствующих устраненным перемещениям. Связь между г е, В простраи гс может быть записана в виде r = Ecrc, (7.10) В матрица Ео получается из диагональной единичной матрицы i см вычеркивания нз нее строк, соответствующих устраненным йонентам вектора rc. С учетом (7.8)-—(7.10) получим связь И .г. *у обобщенными перемещениями элемента в местной системе йцдинат и обобщенными перемещениями закрепленной Конст- анции в глобальной системе координат Г (7.И) 7.3. СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МКЭ В ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ При решении задачи в перемещениях в качестве inioBHbix неизвестных рассматриваются перемещения по глав- fit-iM направлениям в узлах конструкции, т. е. компоненты # шора г. Г Для получения уравнений статики в перемещениях для ,и|«угой конструкции, представленной в виде системы коиеч- шх элементов, обычно используют принцип Лагранжа (1.27) или tli бивалентное ему условие минимума полной энергии (1.24). При •к»м в пределах каждого конечного элемента перемещения ап- фпксимируются с использованием заданных функций местных ко- ординат таким образом, чтобы в узловых точках элемента они были Влкпы соответствующим обобщенным перемещениям. Заданные Вункции перемещений, которые в МКЭ называют функциями Б|>мы, должны удовлетворять условиям неразрывности как в пре- Ьлах конечных элементов, так и на разделяющих их границах. г ли эти условия выполняются точно, то конечные элементы на- »каются совместными. В этом случае метод конечных элементов -|и существу является вариантом метода Ритца, в котором варьи- руемыми параметрами являются перемещения в узлах, азаданные функции являются локальными (отличными от нуля только на ко- нечных элементах, для которых данный узел является общим). Ус- |0шия неразрывности легко выполняются в случае одномерных | гл (стержень, балка), для которых границами, разделяющими млечные элементы, являются сами узлы (точнее — проходящие 285
через ннх плоские поперечные сечеиия). В случае двумерни| t трехмерных тел, когда границами разделения элементов явлимяя лниии или поверхности, кинематические граничные условии пряжения элементов удовлетворяются автоматически, если п цр» делах каждого элемента при аппроксимации перемещений оцми» читься линейным распределением. При более высокой стмяй аппроксимирующих полиномов точное удовлетворение кию И тических условий сопряжения (иапример, в задачах изгибе щу стин по перемещениям и углам поворота) представляет затрут ния. Поэтому в таких случаях часто используются иесовмея® конечные элементы, кинематические условия сопряжения МВ рых удовлетворяются точно только в отдельных точках (у Для повышения точности или для точного удовлетворения й нематических условий сопряжения элементов иногда узлы бм не только в угловых точках элементов, но и иа их гранях или И три элементов. Для этой же цели в узлах модели можно удовл*ф рять не только требуемым кинематическим условиям (услсив* непрерывности перемещений и углов поворота), ио также услиаА непрерывности некоторых старших, производных от перемещс^В иапример производных, входящих в выражения для иапряжс*ш|| если по условиям задачи известно, что в узловых точках напри • ния являются непрерывными функциями. Такой прием повьшцр точность выполнения не только кинематических, но и статичесив условий сопряжения элементов. Число степеней свободы Д в узле s равно числу кинематических условий, которые требуvw удовлетворить. Если же в данном узле наряду с кииематическяВ ставятся дополнительные условия сопряжения (по напряжении или производным от перемещений), то число степеней caofli,»» в таком узле соответственно увеличивается. Число степеней |К боды конечного элемента Ne равно числу степеней свободы пр надлежащих ему узлов. Вектор перемещений и элемента е представляется в ни» конечного разложения u = Up*, (7 h где U — матрица аппроксимирующих функций п ремещеме/ (функций форм) элемента г. В случае трехмерной задачи М» — \и, ц, &у|т н матрица U (|, t), £) имеет размерность ЗхДР Функции формы элемента обычно записываются в виде сюнц ных полиномов от координат. Коэффициенты этих полиномов (> общее число"равно Ne) определяется с помощью (7.12) при уе> вин, что значения компонент вектора и в узлах элемента coin» дают с соответствующими компонентами вектора ре. Примг|!|> построения функций формы для одномерного элемента при рати женни-сжатии и плоского двумерного элемента при плоском и» пряженном состоянии приведены в разд. 7.4. 286
| Ли пишем полную потенциальную энергию упругого тела как к н-мы конечных элементов Э=ЕЭ„ (7.13) е ч Э* — полная потенциальная энергия элемента е. Согласно |Г’»4) ее можно записать в матричном виде как Э, = ~ j <r (е - «„)d/ - j u’p dv - j u’P dS, (7.14) Ve Ve Se i-| о, e — векторы напряжений и деформаций; е0 — вектор на- «п|1.ных или нестесненных температурных деформаций; р, Р — Бкторы удельных объемных н поверхностных нагрузок; Ve — ufti.cM элемента; Se— поверхность граничного элемента, яв- дикощаяся частью поверхности тела S, на которой задаются ।омические граничные условия (если элемент е не прилегает I грлиице, то Se = 0). В случае трехмерного элемента в мест- ной системе координат £, ?], £ будем иметь = (сЕа„а£тЕ,гкт^), ет = . РТ = (Р«ЛЛ|, MWtl. в’=(иош|- HrjKrop температурных деформаций при иагреве тела до темпера- туры Т (£, т), £) будет ej = аТ {111 ООО} . j Далее напряжения выражаем через деформации на основании гнппа Гука (1.13), а деформации — через перемещения на осно- импии соотношений Кошн (1.3). В результате, используя матрич- ную форму записи, будем иметь О = Л[8-Е0], 8 = РЙ, (7.15) ini- А — симметричная матрица коэффициентов упругости (Ат — - A), a D — линейный дифференциальный оператор (матрица). Пппример, в случае плоского напряженного состояния для на- iprroro двумерного изотропного элемента: [еЕ1 [1 “= <*ч , е = «ч . ©о == аТ 1 Ivsn 0 I Н 0 " “ д ав 0 А Е р 1 0 О = 0 - д • (7.16) -Ра 1-Н а>) 2 д д di 1 учетом (7.12), (7.15) полная потенциальная энергия элемента (7,14) записывается с точностью до несущественной коистаиты 287
через компоненты вектора представляющие обобщенные пг^о мещения данного элемента: э.=4-(/)’к;₽'-(л>т/”. №= J(/W)’.4ZWdy, (it Р‘ = J (РСуЛе0.^+ J (£/)’pdV+ j U'PdS, V« vs sc где Де является квадратной симметричной матрицей жестгахф элемента порядка Nei Рг — вектор обобщенных сил, действуй щих на элемент е и соответствующих вектору обобщенных ncji • мещений ре. Первый член в выражении (7.17) для Р* представлчВ собой вектор эквивалентных обобщенных сил, с помощью котори» данному элементу можно было бы сообщить деформацию, равпу» начальной или нестесненной температурной деформации е0; ц лее этот член будем обозначать через Р*. Далее полная энергия элемента (7.17) преобразуется в гл, бальные обобщенные перемещения в узлах данного злемспЪ (вектор ге) с помощью соотношения (7.9); Зв = ~(г‘)’^г‘-(гТРе, P К. = (СТ К°се, R' - (ст р‘- После этого с учетом (7.8) путем суммирования по всем злекЯ там записывается полная энергия (7.13) всей незакрепленной |ецц бедной) конструкции э — -^-ГеКсГс — r'Rc; ЕС'/СЯ'. (71 где и Рс — представляют симметричную матрицу жесткое^ и вектор обобщенных сил для системы в целом. Матрица жеЛ* кости свободной системы Хе> как и матрицы жесткости отдельны | элементен является вырожденной. Свободная система моя» I воспринимать только самоуравновешенные нагрузки; при этим ее перемещения (вектор ге) могут быть определены только с то* ностью до перемещений системы как твердого тела. Согласно формулам (7.19) матрицу и вектор /?с удобпу формировать в процессе последовательного вычисления матриц А и векторов разнося и добавляя нх элементы в соответствуй щне места, которые определяются по расположению обобщенны! перемещений данного элемента и системы в целом (эти меп Ж Ц.1ВЗЮТСЯ матрицей Ее, ге = Еегс). Для систем высокого порядка ^К’лыо экономии рабочего поля ЭВ/М и удобства автоматизации ^Ьшслений желательно расположение элементов вектора г{., f Ч лнруемого из векторов ге, выбирать таким образом, чтобы ма- К>|‘1 । Кс. имела ленточный вид, т. е. чтобы ее ненулевые элементы Кг полагались вблизи диагонали. | Из условия минимума полной энергии системы (7.19) оЭ ~ Я Лгс (Кегс — Дс) — 0 получаем уравнение КеГ, - Re- (7-20) матричное уравнение представляет собой систему уравнений Ьоновесня узлов. Если в определенных узлах по каким-либо Кргмещениям система закреплена, то соответствующие компо- Кнты вектора гс приравниваются нулю и он преобразуется в век- i.p г согласно (7.10). При этом из вектора А*, вычеркиваются известные реакции закреплений и on обозначается соответст- ш ю через R; аналогично (7.10) имеем R — ECRC | Таким образом для закрепленной системы уравнение (7 20) 1вре.ходит в следующее: Kr = R, (7-21) матрица жесткости закрепленной системы К получается из I ширины К с путем вычеркивания в последней строк и столбцов, К гветствующих нулевым компонентам перемещений в узлах! К EJKeEl. Вычеркнутые уравнения могут быть использованы <ли определения реакций закрепления. Матрица жесткости за- .осиленной системы является невырожденной и система уравнений К 21) имеет единственное решение относительно г. Г Уравнение (7.21) для закрепленной конструкции можно по- I лучить непосредственно из условия минимума потенциальной энер- Ьии, если учесть наложенные на систему связи (закрепления). Подставляя в (7.17) соотношение (7.11), записанное с учетом свя- и-й. и суммируя согласно (7.13), получим э = —r'Kr - r-’R, К = S («Т к,а‘, R = Е(«Т Р* (7.22) Из условия 63 — 6г' (Кг — R) = 0 следует уравнение (7.2!). После решения уравнения (7.21) далее по приведенным выше формулам могут быть определены деформации и напряжения в эле- ментах системы. 7.4. КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ Конструктивно-силовые схемы основных агрегатов ле- тательного аппарата (см. рнс. 7.1—7.5) включают как стержневые (стержни, балки, пояса), так и тонкостенные элементы (гладкие 10 И Ф 06pfiSQos к др-
(тонкостенные стержни, стенки, него состояния. Тонкостенные Ряс. 7.7. Конечный элемент * пояса: « — узловые перемещения: и вне силы: о — ряспредсление ш> м хцения ио длине элемента: е. д ( И«к. образующие матрицу О*; температурные узловые емм и подкрепленные палилиfl шнеки, стенки nanniylH лонжеронов si нервюрИ( ь ионное напряженное confl ние тонкостенных злемсиИ будем считать безмоме1гп1<| (см. гл. 4). В пределах intl< расчетной сетки кривиыю! элементов, а также изм« нием их геометрические жесткостных параметронИ дем пренебрегать. В эш случае конечно-элементи модель конструкции состоя ляется из прямых и плоски КЭ постоянной жестксмА работающих в условиях и| ноосного (пояса) и плоск/Л элементы обшивки) напряжм элементы могут иметь фори трапеции, прямоугольника н треугольника. В данном разд* для конечных элементов указанного типа применительно к ра личным моделям МКЭ будут рассмотрены наиболее употребите! ные аппроксимации искомых функций и получены соотношеви относящиеся к КЭ и необходимые для построения вычислительна процедуры метода. Поясом, будем называть зле.мент, работающий в состоянии одноосного растяжения-сжатия. Поясом можно моделирор|И ребра жесткости, пояса шпангоутов, лонжеронов и нервюр Заданы следующие параметры пояса (рис, 7.7): F — площадь поперечного сечения^ I — длинам Е— модуль упругости! е0 = аТ (|) — температурная деформация. Объемные и поверхно стные силы отсутствуют. Матрицы, введенные в разд. 7.2, в данном случае принимают шш «==«(£). о^а(|), 8 = 8©, А = Е, D=^-. Векторы перемещений и сил в узлах элемента имеют вид (см. рис. 7.7, а, б)
УЬ|>< мещеиия вдоль координаты В аппроксимируются по линей» Key закону (см. рис. 7.7, в). Аппроксимирующая формула (7.12) »|..шимает вид «К) = U-i II (723) \uk) tb £=£//__ относительная координата. Функции, образующие К|рнцу U и соответствующие единичным перемещениям узлов, I |||1<<1заны на рис. 7.7, г и д. Используя формулы (7.17), получим: матрицу жесткости пояс® I = (7.24) »1тор эквивалентной температурной нагрузки Г = (7.25) Вели аТ = const, то 7»J = Efa7’{~ *}. Ьи силы показаны и® рис. 7.7, е. J В соответствии с (7.15) напряжение в поясе найдем как n=4i-l или -----аТ). I ели аТ = const, то и с = const. Формула (7.9) преобразования струкции по направлениям с, Ь, к перемещениям узлов кои» и (рис. 7.8) принимает вид Пк («Л ГС, 01 (га W [о cJlnJ’ |де С, — jeos (I. c,)cos(s, 6.) X X cos (s, л8)(, r.-IVWb «“/Л Треугольный тонкостенный элемент, работающий в условиях Рис. 7.8. Главные направлении, задан- ные в узловых точках пояса aj 10* 291
плоского напряженного состояния, задается узлами /, k, I и им*и следующие параметры (рис. 7.9): 6 — толщина стенки! Е — ми дуль упругости i р — коэффициент Пуассонам Т (|,т|) — темпер» тура. Объемные и поверхностные силы отсутствуют. Геомегри» элемента задана координатами узлов в местной системе коордн иат £. tj. Матрицы, введенные в разд. 7.3, в данном случае принимаИ вид (7.16). Векторы перемещений и сил в узлах элемента (<-м рис. 7.9, а и б): (р‘)т = = (или* % щ uj, (7.йц (/”)’ = {Ptphp,\ = ИЛ Вектор перемещений содержит шесть компонент. Для устаноыв иия однозначной зависимости типа (7.12) выражения для перс мещеннй должны также содержать шесть параметров. Аппрокси мируя перемещения по линейному закону, примем «(5>ч)з“а1 + “^ + “Л. J «(В. Ч) = «з + (7'27Ч Параметры а,... а„ являются пока неизвестными. Подставляя! в (7.27) координаты точек j, k, I, получим шесть уравнений, спя зывающих компоненты вектора р' с параметрами а, ... а„: «, = а,, Оу = аъ, ик = а, + a,fs, t’ft = «• + а&и, и, = а, + a.Sj 4. а6Т|(, »i=as + «4Bi + «e4i. Решая эту систему, найдем параметры а,... а„. После подстановки их в (7.27) получим аппроксимирующие выражс- 292
• для перемещений, которые в развернутой форме имеют u = Ц— 41 (5 - 5i) - 5»i (4 ~ 41)1 “J + + 1416-Ь41 Ui. + U4«i). (7.28) о = |[— 4i (5 — 51) ~ бы (4 — 41)1 V1 + + 1416- Si4l пд + Ьда!. | 2S = BhTji — удаоеиная площадь треугольника? £А/ = — L- 11о формулам Коши определим компоненты деформации: Ц = -|г = ng- (— 41«, +4i“*) = "ЗГ 41 (“д - “/)• ц, = = -gj- (— Ь|Ч/ — 51й» + Е*чг)» —^*,U/ — ^'U* + ^hU' ~ ri,Vl + 41°ь)- сюда с учетом того, что e = (,DU)p‘, ,учим -% О 4( 0 0 О —5м 0 -5! О _ - 5ы - 41 - 51 41 5ь О 5* о (7.29) прицу жесткости найдем, подст авляя (7.16) и (7.29) в выражение 17) для Ki. В соответствии со структурой векторов (7.26) трицу жесткости запишем в блочном виде: £в 4S (1 - р«) kid (7.30) 41 + Ш1 J (Х + р)5ы411 (^ + p)5»i4:1 ТГ+М J’ № = khk ku < klh kll *'‘ft = [“^Г+Й)Т4?Г й + M J ’ _ I 0 1 b.. = ! - . 293
kjk — — + ’ — №,kMi 4- .4/4/ ~ рЕл/Ч/1 lklrii — b]z — J . — Чкч» i - нЬч/| ~&&U j [— M*li I нЬлк 1 khi = I ----- • ----- , L ШЧ/1 ~ l&J kkl = k}k\ ksi= jfe/f. bib = kkl. Здесь к - (1 — p)/2. ^Получим выражение для вектора эквивалентной гем пера гу< ной нагрузки. В случае плоского напряженного состояния (7 11 с учетом (7.29), а также (7.17) найдем (ро)т ~2S~(fl~F)~ f аТ 1“ тм! — bft/14i! ~ & {0 j £4 Л]. I Если аТ = const, то И)’ = V(T6!rr 1-’i'i - Ь>!n<I - Ы0|Е4. Система сил, соответствующая этому состоянию, изображен в относительных единицах на рис. 7.10. Отметим, что эта систгмв сил является самоуравновешеиной. Если перемещения узлов известны, напряжения в элеменЛ находятся по формуле (7.15) с учетом (7.16), (7.29). Форму и.. (7.9) преобразования перемещений узлов к главным намравлЯ ниям at b, п (рис. 7.11) принимает вид 294
рис. 7.12. Перемещения (о) и силы в узлах прямоугольного элемента г'•=£)• Г cos (8, с,) cos (8, b,} cos (8. я,)"! [cos(ч, a,) cos(t|, b,) cos(i), BjJ (7.31) Индекс s здесь принимает значения J, k, I. Прямоугольный тонкостенный элемент, работающий в усло- виях плоского напряженного состояния, задается узлами /, к, I, т и следующими параметрами (рнс. 7.12): о — толщина ггенкщ Е, 6 — модули упругости! р — коэффициент Пуассона! В, Ъ — размеры сторон! Т (Е, р) — температура. Матрицы, введенные в разд. 7.3, в данном случае совпадают е (7.16). Векторы перемещений и сил в узлах элемента имеют вил (< м. рнс. 7.12, а, и б): (₽')’ = {PiPkpiPm\ = (и/О/ПАилил!, (7.32) (РУ = \Р.РкР,Р„\ = Перемещения на элементе аппроксимируются по линейному за- кону. Матрица U в формуле (7.12) в этом случае примет вид Г(1-8)(1-п)| 0 '8(1-1»! О :Й|0|(1-8)1 i)0 I u L о i(I-8)(l-i»l 0 18(1—Ч)|О|8п1 О 1(1—1)4.1 (7.33) Здесь введены относительные координаты f = 8/6, т) = т)/о. Величины деформаций можно найти по формуле в = (/>(/)/>', где DU = -Л(1-Ч) О X (1-ij) о -(I-й о -(1-й -М1-П) -8 о М) о!—м) о -8 0 81 0 (1-8) , MI-Й) 8 «i|(i-8) -Mi >. я» а/Ь. (7-34) 295
векторов (7.32) матрп Матрицу жесткости найдем по формуле (7.!7) с учетом (7.111) » (7.34). В соответствии со структурой жесткости запишем в блочном виде где Лл = &fi fcjtn &fem &rnl r2(a + P)i 1 Г 2(a + ₽) J , 1 = J- ^тгп — I V I- V I 2 (₽ F «) j 2 (a + P) j — (V + V) I ~(V+ 7) ! 2(₽ F“) J Г— 2a -) ₽ I y — y 1 L ~7 + 7 ! ₽ 2aJ — (jj- Yl ,-(7 + V) i 2 (₽ + «)’ 2<“ + Й; v + v 1 kjk ~ L Y_FV «2(Р+а) а —20 — y + Y 1 — 2₽ т а. &km ~~~ kjm — L— (v + v) Г a — 2P j i (7 + V) ! ₽-« T - - У I I r = Г- a —₽ 7-*-V | L v+v 2a -|~ P — P-a ] — v + Vl L—v+v ; — 2₽4 a J 7-V p-2a | kfo} —- fcjki &lj — &ik — kkh kmj — kfmi &mk — &kmi ktnl “ &lnvt p£6 6(l-p«)’ P ’6A(1— p) ’ ? — 4(1- Ji*) - G6>. s G6 06 E “=-6-- ₽=«;> 7 = -^-. G = 2 (1 + H) (l-t)iX(l-n) Получим выражение для вектора эквивалентной температурной нагрузки. С учетом (7.16), (7.17) и (7.34) найдем ] X Ат); |— lij = (1 — § | аТ dldi[. Если аТ — const, то (Pi)T= Ц Самоуравиовешенная система сил, соответствующая этому со стоянию, изображена в относительных единицах на рис. 7.13 Если перемещения узлов известны, иапряжения в элемент* находятся по формуле (7.15) с учетом (7.16) и (7.34). 296
И 7.13. Самоуравновешенная систе- К । i-м перату рных узловых сил прямо- угольного элемента Рис. 7.14. Главные направления в узле прямоугольного элемента I Формула (7.9) преобразования перемещений узлов к главным Hfuipявлениям a, Ь, п (рис. 7.14) принимает вид 7.5. ПРИМЕНЕНИЕ МКЭ К РАСЧЕТУ ТИПОВЫХ АВИАЦИОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ В настоящем разделе рассматривается применение раз- личных моделей МКЭ к расчету иапряжеяно-деформнрованного ]м»стояиия некоторых конструкций авиационного типа, причем наряду с иллюстрацией возможностей метода раскрываются пкже дальнейшие стороны процедуры МКЭ, в частности, опере- нии, связанные с построением разрешающих систем уравнений и учетом кинематических граничных условий. 7.5.1. Плоские иодкреилеиные конструкции Рассмотрим конструкции, состоящие из плоской стенки, подкрепленной в двух направлениях ребрами жесткости. В тонкостенных элементах реализуется плоское напряженное состояние, а ребра жесткости работают в условиях одноосного рпстяжения-сжатня. Такая расчетная модель описывает работу цепочных шпангоутов, силовых нервюр и лонжеронов, а также панелей грузового пола, крыла и оперения. Перемещения всех узлов конструкции, включая перемещения па той части поверхности, где заданы кинематические граничные условия, запишем в виде вектора (7.1). Подвектор перемещений 297
rf узла j в случае плоских безмоментных конст вид (Г)У » |“Л). где tij, Uj — перемещения узла / соответственно по направлении-* alf bj (рис. 7.15). Направления а/, bf выбираются с учетом о(& бенностей конкретной задачи. В тех узлах’ где заданы условий статического типа (узел j на рис. 7.15), направления ctj,b} следуй согласовывать с линиями сетки или осями глобальной систсмц координат х, 2. В узлах, где заданы однородные кинематически», условия типа жестких связей (узлы kr I, «на рис. 7.15), оси aJt If должны совпадать с направлениями заданных нулевых переме- щений, т. е. с направлениями жестких связей. Это требований желательно выполнить также на той части границы, где задачи неоднородные кинематические условия. Например, если на участЯ АВ перемещения в направлении оси z заданы функцией v (х), Тн для узлов, расположенных на этом участке, одно из главных н> правлений следует выбрать совпадающим с осью z. ПереьЯ щениям узлов, расположенным на участке АВ, приписываются значения функции v (х) в точках расположения узлов (например, перемещения vt в узле I на рис. 7.15). Такой способ воспронзпВ дення кинематических условий означает, что вместо заданной функции v (х) при расчете будет использоваться ее кусочноли* манная аппроксимация, построенная на конечно-элементной сетка (пунктирная линия на рис. 7.15). Пусть вектор гс, как условлено выше, содержит заданные н неизвестные перемещения. Преобразуем систему (7.20) к виду, где будут содержаться только неизвестные перемещения. С этой целью представим вектор гс в форме ft ~(7.36) 298
В r„ - заданные перемещения, отражаюпще граничные усло- Kj«| rb — неизвестные перемещения. В соответствии с (7.36) за- <• тем (7 20) в блочном виде ГЯ-ао ЯсЬ1 КааГа + Katfb = Ra, (?-37) Л"ь«го 4- КыГъ = Къ- (7.38) ИЦ (7.38) получаем систему уравнений относительно неизвестных •1> мещений гъ: Khb гь = Rb 4- < (7.39) Вдг Rb — — KbaT<t — вектор сил, действующих по иаправле- ih перемещений гь и обусловленных наличием заданных пере- Кш -ний га. Решение уравнения (7.39) запишем в виде г6 = Яы,’(«» + «»)• (740) Ипсле этого на основании (7.37) можно определить реакции П„ действующие по направлению заданных перемещений (в том Кисле в жестких связях). В частном случае, когда га = 0 (т. е. Br конструкцию наложены только жесткие связи), имеем Я6“ = 0, Гь = Ku'Rb. На = КоЫь. (7.41) Необходимым условием существования решения уравнений (7.39) мляется наличие наложенных на конструкцию связей, исключа- f «мцих по крайней мере возможность перемещения конструкции Кик твердого тела. Если это условие не выполнено, матрица Кы, Ьвляется вырожденной и обратная матрица Кьь не существует." 7.Б.2. Конструкции типа крыла Типовая конструкция несущей поверхности летатель- Ьюго аппарата (крыло, оперение, руль) представляет собой под- ' крепленную тонкостенную оболочку, образованную двумя по- I перхкостями обшивки, соединенными перекрестной, в общем случае неортогональной системой продольных и поперечных I тонкостенных балок — лонжеронов и нервюр (рис. 7.16). Сре- динная поверхность конструкции типа крыла может быть искрив- ленной. Обшивка обычно подкреплена ребрами жесткости в од- I пом или в двух направлениях, совпадающих с направлениями балок-стеиок. Возможно наличие балок-стеиок, не совпадающих с двумя основными семействами подкреплений («наклонные» пояса и стенкн). Достаточно широкое распространение получили конструктивно-силовые схемы типа трехслойных конструкций, 299
и Рис. 7.16. Типовая конструкция крыла в которых роль стенок выполняет заполнитель, а обшивка мо жет быть либо гладкой металлической, либо выполненной из ком* позиционных материалов. Существуют такие комбинированные конструктивно-силовые схемы, в которых сочетаются традиция оиные металлические конструкции с элементами из композит!-] онных материалов и трехслойиых конструкций. Для большинства задач прочности конструкций типа крыла можно считать, что тонкостенные элементы работают в условиях плоского напряженного состояния, а подкрепляющие элементы I (ребра жесткости, пояса балок) — в условиях одноосного растя- жения-сжатия. Металлические подкрепленные элементы и эле- менты из композиционных материалов можно моделировать! ортотропными и анизотропными пластинами. С позиций инженер- ных расчетов достаточно точной расчетной моделью легкого за- полнителя может служить система перекрестных стеиок, работа- ющих на сдвиг. Поскольку строительная высота крыла значи- тельно меньше, чем размеры крыла в плайе, можно пренебречь деформациями крыла по направлению нормали к срединной по- верхности и считать, что стержни, расположенные в плоскостях лонжеронов и нервюр и соединяющие верхнюю и нижнюю об- шивки крыла, являются абсолютно жесткими. Конечно-элементная сетка, которая в данном случае будет пространственной, образуется двумя идентичными сетками ли- ний, наносимыми на обе поверхности обшивки крыла. Линии сетки, как правило, располагаются вдоль основных конструк- тивно-силовых элементов: лонжеронов, нервюр, ребер жесткости. I Точку пересечения линий сетки на одной поверхности кры- ла будем называть узловой точкой, а абсолютно жесткий стержень, соединяющий две соответствующие узловые точки на верхней и нижней поверхностях —узлом конструкции {рис. 7.17). Как и в случае плоских конструкций (см. разд. 7.5.1), пере- мещеиия всех узлов, включая также заданные, запишем в виде I 300
вектора (7.1). Подвектор Гу узла / в данном случае составим в виде Г/= {«/U/W/tpa/Cpbjl, (7.42) где uJt Vj, Wj — поступательные перемещения узла / соответ. ствеино по направлениям bJf rij, a qaj и Фь/ — повороты узла / относительно осей а} и fy (см. рис. 7.17). При выборе главных иа’ правлений aj, bj, п} следует руководствоваться указаниями, дан- ными в разд. 7.5.1. На рис. 7.18 показаны примеры жестких связей, которые могут быть наложены иа узел конструкции по направлению перемещений (7.42). Перемещениям (7.42) соответ- ствуют обобщенные силы К}=\А}В^Ма1МЬ1\. (7.43) Кинематические соотношения между перемещениями угловых точек и перемещениями узла (см. рис. 7.17) имеют вид = «у ~2~ Hffbh uj 2~ ^№>1* vu == t/у Z7уф«л vzj vi 2~ Рнс. 7,18. Типы связей, накладываемых на узел 301
где Hj — высота стенки в узле /, а индексы 1 и 2 указывают ни г, = «;Г/е где вид матриц г} и ясен из (7.44). Внешние силы в узловых I точках в соответствии с Г/ запишем в виде Л/ = Тогда Rf = a^R, или после подстановки матрицы из (7.44) Aj ~ Ац AZjr Bj = Bl} Bzjr N^Nv + Ntf, = (7.45) Отсюда окончательно становится ясным физический смысл обоб- щенных сил (7.43): А}, Bj, N}— суммарные силы, действующие на узел соответственно по направлениям перемещений щ, v]t W/l Мы — моменты сил, действующих на узел, относи- тельно осей а} и bj. Преобразование (7.44) используется при построении матрицы жесткости конструкции и векторов нагрузок. Способ учета кине- матических граничных условий рассмотрен в разд. 7.5.1. Разре- шающая система уравнений Кг ~ R, являющаяся системой урав- нений равновесия узлов в перемещениях, имеет решение, если конструкция закреплена от перемещений как жесткое целое тело. 7.5.3. Конструкции типа фюзеляжа Рассмотрим применение МКЭ в перемещениях к рас- чету оболочки, подкрепленной стрингерами и шпангоутами. Примем следующие допущения: 1) обшивка является безмомент* 302
7 a) Рис. 7.19. Фрагмент подкрепленной оболочки (й: i — обшивка; 2 — шпангоут; 3 — лонжерон) и его конечно-элементное представление (б) ной1 2) стрингеры работают в одноосном напряженном состоянии на растяжение-сжатие (эксцентриситетом стрингера по отношению к обшивке пренебрегаем, считая, что ось стрингера совпадает с срединной поверхностью обшивки): 3) шпангоуты моделируются искривленной рамой (тонкостенной балкой), воспринимающей растяжение-сжатие, изгиб и сдвиг? 4) деформацией элементов оболочки по направлению нормали к срединной поверхности пренебрегаем, что позволяет считать стержни, расположенные вдоль нормали и соединяющие наружный и внутренний пояса шпангоутов, абсолютно жесткими. Если необходимо учитывать работу продольного подкрепляющего набора на изгиб (в случае наличия усиленных стрингеров или продольных балок), то такие подкрепляющие элементы моделируются тонкостенными балками и поясами-, работающими на растяжение-сжатие. Линин расчетной сеткн, наносимой на оболочку, совмещаются с плоскостями подкрепляющих элементов. Точку пересечения ли- ний сетки будем называть узловой точкай, а абсолютно жесткий стержень^ расположенный по нормали к оболочке и ограниченный осями наружного и внутреннего поясов шпангоута —- узлом кон- струкции. Если безмоментиая оболочка является гладкой, то узловая точка принимается за узел конструкции. В пределах шага сетки искривленные элементы заменяются прямыми и пло- скими На рис. 7.19 показан фрагмент исходной подкрепленной оболочки и ее конечно-элементной модели. На рис. 7.20 показана схематизация без моментной гладкой оболочки с помощью треу- гольных КЭ. Оси главных направлений а}> bSt П}* узле выбираются таким образом, чтобы направление Щ совпало с нормалью к оболочке. В узле, где пересекаются продольные и поперечные балки под- крепляющего набора (узел / на рис. 7.19), вектор перемещений узла, имеет вид (7.42). В узле» в хоторс»к изгибин жесткость обо- 303
Рис. 7.20. Расчленение гладкой оболоч- ки на конечные элементы лочкн создается только шпан- гоутом (узел k на рис. 7.19), вектор перемещений узла имеет вид , г k = {UkVkWk4>ak | • (7.46) Перемещения узла безмомент- ной оболочки (см. рис. 7.20) записываются в виде век- тора rl = Задача сводится к системе i линейных алгебраических уравнений Кг — R, являю- щихся уравнениями равнове- сия узлов в перемещениях. Система уравнений имеет решение, если иа конструкцию наложены жесткие связи, ис- ключающие возможность ее перемещений как твердого тела. 7.6. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ МКЭ Исследование точности приближенного решения за- ключается в выявлении источников погрешностей, анализе ве- личин погрешностей, условий сходимости и скорости сходимости решения. Важным прикладным результатом такого исследования являются рекомендации по регулированию точности решения задачи доступными для расчетчика средствами. Курс теорети- ческого анализа погрешностей и условий сходимости рассматри- вает фундаментальные свойства математической модели и способ численной реализации решения. Если решаемая задача или вычислительный алгоритм достаточно сложны и свойства мате- матической модели в связи с этим известны лишь приближенно, теоретические оценки точности могут оказаться неполноценными. В таких случаях на практике теоретический анализ дополняется численным экспериментом, который выполняется либо с помощью исходной, либо упрощенной задачи, отражающей основные осо- бенности рассматриваемой конструкции и ее нагружения. Цель такого эксперимента заключается в том, чтобы выбрать типы ко- нечных элементов и параметры расчетной сетки, которые обеспе- чили бы достижение заданной точности на расчетной модели минимальной размерности. При планировании численного экспе- римента и для подтверждения достоверности его результатов при- влекаются известные теоретические решения и экспериментальные данные. План проведения численного эксперимента устаиавли- 304
ается в зависимости от особенностей конкретной задачи. В настоя- щем разделе рассмотрены вопросы теоретического анализа точ- ности МКЭ. 7.6.1. Источники погрешностей Погрешность решения складывается из неустранимой погрешности, погрешности метода и погрешности вычислений. Рассмотрим характер этих погрешностей применительно к МКЭ. Неустранимая погрешность является количественной харак- теристикой несоответствия расчетной модели явления по отноше- нию к самой конструкции. Это несоответствие обусловлено, с од- ной стороны, неточностью данных о параметрах задачи, а с дру* гой — упрощениями, вносимыми иа этапе формирования расчет- ной модели. В данном случае к числу таких упрощений можно от- нести следующие: 1) допущение о безмоментном напряженном со- стоянии тонкостенных элементов; 2) аппроксимация искривлен- ной поверхности конструкции плоскими КЭ; 3) замена поперечных сечений элементов сложной формы на более простые. Неустрани- мая погрешность не контролируется в процессе численного реше- ния задачи, ее можно уменьшить только за счет более точного опи- сания исходной задачи и ее параметров. Знание величины неустра- нимой погрешности позволяет выработать обоснованные требо- вания к необходимой точности решения на последующих этапах. Так, очевидно, не следует добиваться численного решения с по- грешностью, существенно меньшей, чем величина неустранимой погрешности. Погрешность математической модели МКЭ (погрешность ме- тода) возникает вследствие того, что искомая функция аппрокси- мируется с помощью конечного числа координатных функций. В МКЭ координатные функции являются локализованными и опре- делены на ячейке расчетной сетки. Поэтому величина погрешности метода зависит как от качественного соответствия координатных функций искомому решению, так и от параметров сеткн (шаг, форма ячейки). Качество координатных функций оценивается по полноте используемого набора координатных функций и выполне- нию условий совместности для смежных КЭ на их общих грани- цах. Для метода перемещений доказано, что при уменьшении шага сетки во всей области, занятой телом, теоретическую сходи- мость решения МКЭ к точному решению можно гарантировать только в том случае, если набор координатных функций будет полным, а сами они обеспечат выполнение условий совместно- сти для смежных КЭ. Смысл этих требований будет уточнен в разд. 7.6.2. Погрешность вычислений складывается из ошибок округления при арифметических действиях над числами, которые представ- лены в ЭВМ с конечным числом разрядов. Ошибки округления 305
возрастают прн увеличении раз- мерности задачи в связи с возра- станием числа арифметических операций. Влияние ошибок округления иа погрешность вычислений су- щественно зависит от обусловлен- ности разрешающей системы ли- нейных алгебраических уравнений мкэ. Проиллюстрируем возможный характер изменения погрешностей в зависимости от качества коор- динатных функций и размерности задачи. На рнс. 7.21 приведены кривые изменения погрешностей метода (А, В) и суммарной по- грешности (С', Р') в зависимости от числа КЭ. Разность между кри- выми С" и А (или Г>’ и В) равна погрешности вычислений. Кривая А соответствует использованию совместных КЭ, обеспечивающих сходимость к точному решению; кривая В — использованию несовместных КЭ, когда сходимость к точному решению не гарантируется. Кривые С' и D' соответст- вуют случаю, когда погрешности метода и вычислений совпадают по знаку; в противном случае имеют место кривые С" и D". Из рнс. 7.21 следует, что не всегда нужно стремиться к расчленению тела на максимально возможное число КЭ, так как минимальной суммарной погрешности можно достичь при ограниченном чис-Г ле элементов. 7е6»2< Сходимость МКЭ Теоретическая сходимость решения к точному опре- деляется погрешностями метода. Важной характеристикой про- цесса решения является также скорость сходимости. Если ско- рость сходимости высока, то удовлетворительное решение можно получить уже на достаточной грубой сетке. Метод конечных элементов в перемещениях является вариантом метода Ритца, специфика которого заключается в использовании локализованных координатных функций. Обычно сходимость ме- тода Ритца рассматривается в энергетическом смысле и оцени- вается по приближению величины полной энергии системы (7.13) к ее точному значению. Определим понятие предельного облика конечно-элементной модели. Номер приближения будем связывать с общим числом используемых координатных функций. Будем считать, что число координатных функций может меняться лишь за счет изменения эог
числа КЭ (т. е. изменения шага сетки); число функций, заданных на одном КЭ, остается неизменным. Пусть также с увеличением номера приближения шаг сетки уменьшается. Тогда предельным обликом конечно-элементной модели тела будет такой, в котором число КЭ, равномерно распределенных по области тела, неограни- ченно возрастает. В пределе решение МКЭ сводится к точному значению, если будут выполнены следующие условия: 1. На общих границах смежных КЭ координатные функции должны обеспечивать непрерывность функции перемещений и всех ее производных, порядок которых по крайней мере на еди- ницу меньше порядка старших производных, входящих под знак интегралов в выражении энергии деформации. Этим условием устанавливаются необходимые требования к гладкости коорди- натных функций в соответствии с принципом возможных переме- щений. В задаче теории упругости, в интегралах энергии наряду с функцией перемещений содержатся только ее первые производ- ные. В этом случае высказанное выше условие принимает следую- щую формулировку: иа общих границах смежных КЭ координат- ные функции должны обеспечивать лишь непрерывность переме- щений. Внд координатных функций, удовлетворяющих минималь- ным требованиям гладкости, и их первых производных показан на рис. 7.22, откуда следует, что на границе КЭ первая производ- ная от функции перемещений (т. е. деформация) терпит разрыв первого рода. Дифференциальные уравнения теории изгиба пластин имеют четвертый порядок, и в функционал энергии входят вторые про- изводные от перемещений. В этом случае уже требуется непрерыв- ность не только перемещений, но и их первых производ- ных. Вообще для задачи, описываемой дифференциальными урав- нениями порядка 2m, решение необходимо искать в классе функ- ций, обеспечивающих на границе КЭ непрерывность производных до порядка m — 1 включительно. Конечные элементы, для ко- торых настоящее условие выполняет- ся, являются совместными. В про- тивном случае элементы являются I ^совместными. 2. Координатные функции долж- ны обеспечивать перемещения КЭбез деформации как твердого тела, а также постоянную деформацию. По- стоянная часть деформации является основным компонентом поля дефор- маций — при неограниченном умень- шении размеров КЭ переменная часть деформации в пределах конечного элемента неограниченно уменьшается Рис. 7.22. Функции, аппрокси- мирующие перемещения, и ия производные 307
ио сравнению с ее постоянной частью. Это условие отражает свойство координатных функций образовывать волную систему функций. Требованию полноты системы функций в указанном смысле удовлетворяют функции в виде полных полиномов ко- нечной степени. Для оценки скорости сходимости установим зависимость по грешности решения от характерных параметров задачи и ее ко- нечно-элементной модели. Пусть в качестве координатных функ- ций используется полный полином степени р. Тогда согласно теореме Тейлора погрешность аппроксимации искомой функции перемещений пропорциональна величине (п//)₽+1, где а — ха- рактерный размер КЭ (шаг сетки), I — характерный размер тела. В задачах, описываемых дифференциальными уравнениями по- рядка 2m, выражение для энергии содержит производные порядка tn. Эти производные аппроксимируются уже с погрешностью, пропорциональной величине (а//)₽+1“т. Поскольку в выражение энергии входят квадраты производных, то погрешность в опре- делении энергии, а следовательно, и самого решения будет равна « = М (a/lf (7.47) где М — коэффициент пропорциональности. Отсюда следует, что скорость сходимости зависит от параметра р, и поскольку (а/1) < < 1, то чем выше р, тем выше скорость сходимости. При выбран- ном параметре р точность решения регулируется с помощью шага сетки. Уменьшая шаг сетки, теоретически можно достигнуть любой требуемой точности. 7.6.3« Погрешности вычислений Погрешности вычислений в основном возникают иа этапе решения системы алгебраических уравнений МКЭ Rr = R (7.48) » образуются в результате следующих причин: 1) наличие неустранимой погрешности в исходных данных, в связи с чем вместо системы (7.48) фактически решается система (К + АК) г = R + А/?, где А/С и А/? — ошибки в определении матриц К и /?; 2) погрешности округления чисел при выполнении арифмети- ческих действий в ЭВМ на конечной разрядной сетке; в резуль- тате вместо точного решения г получается решение г*, характери- зуемое ошибкой е = г — г* или невязкой q — R — Кг*. Обычно оба источника погрешностей присутствуют одновре- менно. Их влияние на погрешность вычислений определяется одним из фундаментальных свойств матрицы К, а именно — ее обусловленностью. Мерой обусловленности матрицы является число обусловленности С (К), которое можно определить как от- ношение С (К) = MV, где и — соответственно ЗОЯ
минимальное н максимальное собственные числа матрицы К, определяемые из уравнения | К — КЕ | — 0. Если Xmln = 0, г. е. С (К) = оо, то матрица К является вырожденной. Чем больше число С (К), тем хуже обусловленность матрицы /(. Роль числа обусловленности в погрешности вычисления про- иллюстрируем на следующем примере. Наряду с системой (7.48) рассмотрим другую систему, полученную изменением правой части К (г + Ar) = Z? + А/?, где АТ? — ошибка в матрице /?; Аг — соответствующая ошибка в матрице г. Пусть матрица /( невырожденная. Тогда имеет место соотношение II Аг || - р z II A/? II «г|| <МА) |/?ц » где ||ДЛ|/ЦЛ||- относительное изменение правой части; || Аг ||/]| г | — относительная ошибка в решении, вызванная этим изменением; | ... |] — норма вектора. Данное неравенство показывает, что число обусловленности выполняет роль коэффициента пропор- циональности в выражении для относительной ошибки решения. Чем больше С (К), тем в большее число раз может возрасти по- грешность вычислений по сравнению с погрешностью задания правой части. Это же утверждение справедливо в отношении из- менений Д/С в коэффициентах матрицы К. Аналогично влияние числа обусловленности на величину по- грешности вычислений, возникающей в связи с ошибками округле- ния. Приблизительно можно считать, что десятичный порядок числа С (К) равен числу десятичных значащих цифр, которые теряются в процессе вычислений. Другими словами, для относи- тельной погрешности вычислений в связи с ошибками округле- ния имеет место следующая оценка: 6 = ~ 10-s С (К), (7.49) где s — число десятичных цифр, соответствующих разрядной сетке ЭВМ. В МКЭ число обусловленности можно связать с параметрами сетки. При равномерной сетке где А — число, зависящее от степени р аппроксимирующего по- линома иа КЭ. Отсюда следует, что задачи более высокого по- рядка (например, изгиб пластин, где m == 2) зависят в большей степени от погрешностей округления, чем задачи более низкого порядка (плоская задача теории упругости, т — 1). Уменьшение шага сеткн, т. е. отношения all, с одной стороны, приводит к уменьшению погрешности метода (7.47), а, с другой стороны, к увеличению погрешности вычислений (7.49). Поэтому при практических расчетах шаг сеткн следует выбирать иа основе компромиссного решения с учетом оценок (7.47) и (7.49). 309
Существует также зависимость между числом обусловлена ности и формой КЭ. Например, в случае плоской задачи теории упругости для сетки с треугольными КЭ н с линейной аппрокси нацией перемещений существует оценка где amtn — минимальный угол треугольника. При amln ->0 обусловленность неограниченно ухудшается. Это связано с тем, что при amln -> 0 процесс аппроксимации на треугольном КЭ вырождается. Таким образом, следует избегать тех вариантов сетки, в которых появляются удлиненные треугольные КЭ, со- держащие малый угол.
ГЛАВА 8 ОСНОВЫ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА СЛОЖНЫХ АВИАЦИОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ 8.1. КОНСТРУКТИВНО-СИЛОВАЯ СХЕМА ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА КАК ОБЪЕКТ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА Планер летательного аппарата представляет собой ме- ханическую систему, характеризуемую: сложной геометрией н структурой; возможностью расчленения (декомпозиции) по конструктивно- технологическим или иным удобным признакам на подсистемы (подконструкции) разных уровней — агрегаты, отсеки, эле- менты; значительным разнообразием подконструкцнй в геометри- ческом и структурном отношении и наряду с этим — возможно- стью выделения небольшого числа типовых элементов, из которых могут быть построены все подконструкции; взаимосвязью и активным взаимным влиянием подкоиструк- ций, даже непосредственно не связанных между собой, в процессе функционирования конструкции в целом. Методологической основой исследования сложных объектов является системный анализ, основанный на декомпозиции (рас- членении) объекта на системы фрагментов различных уровней, анализе этих фрагментов, описании связей между ними и синтезе декомпозированных фрагментов. Применение системного анализа, с одной стороны, позволяет построить более строгие модели функ- ционирования и тем самым повысить эффективность создаваемых систем, а, с другой стороны, дает основу для разработки эффек- тивных методов и алгоритмов исследования, которые не только обеспечивают выполнение заданных требований к достоверности, информативности и оперативности исследований, но и способст- вуют относительному снижению их трудоемкости и стоимости, в частности, снижению затрат машинного времени н памяти ЭВМ. В рамках системного подхода достигнуть этого удается за счет: возможности полного учета связей между фрагментами; упрощения реализации вычислительного процесса благодаря переносу основного объема вычислений на уровень фрагментов, размерность и сложность математической модели которых можно регулировать; возможности маневрирования расчетными и математическими моделями при описании фрагментов;
расширения фронта работ на стадии анализа фрагментов: возможности не повторять всего объема вычислений при моди- фикации одного или нескольких фрагментов; возможности обоснованного упрощения связей между фраг- ментами; существенного снижения размерности задачи на стадии син- теза. Элементы системного подхода практически всегда сопутство- вали решению задач строительной механики. Например, основу вариационных методов, изложенных в гл. 1, составляет расчлене- ние деформированного (или напряженного) состояния на кинема- тически (илн статически) возможные формы с последующим син- тезом решения на основе использования экстремальных свойств энергетического функционала. В случае сложных комбинирован- ных систем широко применяется структурная декомпозиция на элементы, описываемые различными расчетными моделями, с последующим синтезом на основе условий сочленения. В связи с широким применением численных методов, ориентированных на ЭВМ, и необходимостью использования детальных расчетных схем эти подходы получили дальнейшее развитие и привели к но- вой методологии в строительной механике сложных систем —- ме- тоду подконструкций. Метод подконструкций следует рассматри- вать как один из конктретных вариантов воплощения идей си- стемного анализа применительно к исследованию сложных кон- струкций. Этот метод позволиет не только проводить математи- ческую обработку более строгих расчетных моделей сложных конструкций, но и делать это рациональным способом. Метод подкоиструкций дает основу для построения алгоритмов деком- позиции, анализа и синтеза, реализация которых позволяет уменьшить время счета и потребные объемы памяти ЭВМ, до- пускает рациональную организацию обмена информацией между накопителями ЭВМ, повышает общие показатели эффективности вычислительных работ. В настоящей главе изложена общая схема метода подконструк- ций применительно к задачам статического расчета планера ле- тательного аппарата. 8.2. ОСНОВЫ МЕТОДА ПОДКОНСТРУКЦИЙ 8.2.1 й Описание задачи Рассматриваемая задача заключается в определении иа* пряженно-деформнрованного состояния конструкции, удовлетво- ряющего уравнениям равновесия, условиям совместности дефор- маций и физическим соотношениям. Ограничимся случаем, когда задача для конструкции в целом и для каждой подконструкции формулируется в перемещениях. При зтом разрешающие уравне- ния являются уравнениями равновесия в Перемещениях. В част- 312
i лч-и, применительно к методу конечных элементов (см. гл. 7), который является наиболее распространенным аппаратом для щмлнзации метода подконструкций, онн имеют вид Кг-/?. (8.1) . ?сь К матрица жесткости, г — координатный вектор обоб- ||,»’нных перемещений; К — координатный вектор обобщенных сил. В принципе система (8.1) может быть составлена для конструк- ции в целом, однако при существующих требованиях к точности расчета размерность этой системы оказывается чрезвычайно вы- сокой. Например, задача общего расчета планера современного пассажирского самолета, решаемая на основе МКЭ, содержит несколько десятков тысяч неизвестных. Структура матрицы такой системы уравнений также является достаточно сложной: матрицу ие удается привести к ленточному виду и, хотя она яв- ляется слабозаполненной, неупорядоченная структура матрицы вынуждает применять для решения системы общие методы, пред- назначенные для полностью заполненных матриц. В этих условиях получить устойчивое решение системы (8.1) даже иа современ- ных ЭВМ представляется чрезвычайно сложной задачей. Это обстоятельство, в частности, диктует необходимость применения к задаче, описываемой уравнениями (8.1) и сформулированной для конструкции в целом, идей системного анализа. 8.2.2 . Декомпозиция системы Конструкция планера летательного аппарата расчле- няется на подконструкции в соответствии с конструктивно-тех- нологическими признаками. Схема членения является много- уровневой, в частности, планер (уровень 0) расчленяется на агре- гаты (уровень I) — крыло, фюзеляж, оперение, гондолы двига- телей и т. Д- Агрегат расчленяется на отсеки (уровень 2). Напри- мер, для крыла на этом уровне выделяются следующие подкон- струкции: центроплан, средняя часть крыла, концевая часть крыла, органы механизации и управления (закрылки, предкрылки, элероны и др.). Отсеки агрегата расчленяются на элементы (уро- вень 3) — стрингеры, стенки, балки, подкрепленные панели. Эта схема является примерной и отражает лишь основные этапы процедуры декомпозиции конструкции. Бели применяется МКЭ, можно продолжить членение элементов конструкции (уровень 3) вплоть до конечных элементов базовой модели. Если выбран подход, основанный на использовании типовых конструкций, то членение может завершиться на уровне отсеков (уровень 2), 8»2.3В Уравнения для подконструкций Разрешающая система уравнений для подкоисгрук- цни с номером любого уровня имеет вид (индекс уровня для про- стоты будем опускать) K(A)r(fe> = JRik\ (8.2) 313
необходимо для каждой подконструкции получить соотношение между перемещениями н силами иа ее границах, исключив из рас- смотрения внутренние перемещения подконструкции. РассмЛ трнм решение этой задачи для случая, когда уравнения (8.4) являются алгебраическими. Выразим из первой группы уравнг- ний (8.4) перемещения через остальные параметры (индекс fc для простоты опустим) Г,-К«(Я.-К.(П) (8.7) нли ге = г&10 Д е, Где /"в, о = /Css fs, t ~ - К ss К st?" f‘ Здесь rfii0 — составляющая внутренних перемещений от действия нагрузки Rs при нулевых граничных перемещениях (г< = 0); rt) i — составляющая внутренних перемещений, соответствую- щая граничным перемещениям rt при Rs •= 0. После подстановки (8.7) во вторую группу уравнений (8.4) и несложных преобразований получим искомое соотношение Kurt = Rt, (8.8) где Ktt = Ktt — KtsKss Kstt (8.9) =/?* + *,,. (8.Ю) и Rt. — KtsKss'Rs- Здесь Ktt — матрица жесткости подконструкции, составленная относительно граничных перемещений (редуцированная матрица жесткости); Rt — вектор обобщенных сил, действующих на гра- нице подконструкции. Если перемещения на границе гг известны, то внутренние перемещения гв найдутся по формуле (8.7). После этого по из- вестным формулам можно определить напряженное состояние подконструкцин. Силы взаимодействия Rt можно также непосред- ственно найти из второго уравнения (8.4) Rf — f(t./s + Kssr t' 8,2»6s Синтез (сочленение) подконструкций Рассмотрим задачу синтеза под конструкций с номе- рами k — 1, 2, 3, ..., т, соответствующими одному уровню чле- нения (индекс, определяющий этот уровень, для простоты опу- скается). Опишем сначала решение этой задачи для случая схематиза- ции кинематического взаимодействия (8.5) подконструкцин. Для того чтобы составить уравнения равновесия иа границах между подконструкциями, преобразуем силы на границах Rltki к обоб- щенным силам Pfk\ действующим по направлению обобщенных 316
к Рис. 8.1. Схема силового взаимодействия fe-й и (А-p !)-й подконструкцнй через граничный элемент, нагруженный силами Р перемещений р. Если для перемещений справедливо соотношение (8.5), то для сил будем иметь (8.11 Внешние силы, приложенные на общих границах подконструк- ций, обозначим вектором Р. Уравнение равновесия на границе примет вид (рис. 8.1) т р- у; /><4' = о *.=1 или Ц /-*!'“ = Р. (8.12) fe=l Выразим через перемещения на границе р. Из (8.10) найдем Учитывая (8.5) и (8.8), преобразуем это выражение к виду После подстановки в (8.11) получим p<fc)==B(fe)p+ (8.13) где —редуцированная матрица жесткости подкоиструкции kt преобразованная к перемещениям р\ - вектор усилий на границе, обусловленных действием внутрен- них сил Rsk)- Первое слагаемое правой части (8.13) можно трак- товать как силы, возникающие на границе подконструкции вслед- ствие перемещений границы. Перемещения и силы в (8.13) соот- ветствуют направлениям р. Оба слагаемых сил в (8.13) су- 317
щественно зависят от жесткостных характеристик подконс!) рукцин. Подставляя теперь (8.13) в (8.12), получим искомое уравиенш равновесия, составленное относительно перемещений на вау трениих границах объекта, расчлененного на подконструкци^ Вр^Р, (8.14 где В= Е Bw, ft=l т р = р Е Уравнение (8.14) является разрешающим уравнением задачи син теза для одного нз уровней членения. Еще раз отметим, что урав- нение (8.14) используется в случае, если условия связи подкоп] струкций формулируются в перемещениях. Размерность задачи синтеза (порядок разрешающей системы уравнений) при этом обычно существенно меньше размерности исходной задачи для нерасчлененного объекта. Из решения системы уравнений (8.14) определяются переме] щения р: р = В'Р. Далее в соответствии с (8.5) и (8.7) для каждой подкоиструкции| можно найти перемещения и после этого по известным формулам определить ее напряженное состояние. Рассмотрим теперь решение задачи синтеза подконструкций в случае схематизации силового взаимодействия (8.6). Каждом; элементу Q? вектора Q соответствует обобщенная сила взаимо действия, создающая статическую неопределимость силового взаи модействия между смежными подконструкциями. В строительно! механике статически неопределимых систем такие силы называю! лишними неизвестными. Компонента обобщенной силы взаимодей' ствия, соответствующая подконструкции k, представляет собой систему самсуравнсвешенных граничных сил Из таких систем сил составлена матрица такая что столбец Я этой матрицы есть самоуравновешениая система сил соот-| ветствующая Qj = 1. Обобщенным силам Q соответствуют обобщенные перемещения! (8.15) Условия совместимости на границах подконструкций в обобщенных! перемещениях примут вид (8.16) 318
Выразим условия (8.16) через жесткостные характеристики кон Ггрукций я внешние воздействия. Разрешая (8.8) относительно rt, юлучим <4?Й“—И*’. (8.17) да ой’ = ЖЙ’Г*- (8.18) Матрица <?й* является матрицей податливости подконструк- ции k по направлениям перемещений г}*’. Операция обращения матрицы (8-18) выполнима только в том случае, когда под- конструкция k не может перемещаться как жесткое целое. Если внешние связи, приложенные к подконструкцни, не обеспечивают выполнение этого требования, необходимо приложить минималь- ное число дополнительных связей. Отметим, что разрешающая система уравнений задачи синтеза не зависит от того, какие конкретно дополнительные связи выбраны для закрепления под- кои струкнии. Матрицу удобнее вычислять не по формуле (8.18), а находить непосредственно из решения системы уравнений (8«4), соответствующей действию единичных сил R\k} при R\k} = 0. С учетом (8.10) приведем уравнение (8.17) к виду бЙ’ЛЙ^гй’ + Н?’.. (8.19) где перемещения rt от нагрузки которые могут быть пай- дены непосредственно из решения уравнений (8.4) при /?{Л) = 0. Перейдем в (8.19) к обобщенным силам и перемещениям. Для этого воспользуемся (8.6), а затем умножим (8.19) слева на ма- трицу и воспользуемся (8.15). В результате получим D“Q - + ^‘'s, (8.20) й'МЛ’Й’Л (8.21) Из (8.20) следует, что = DWQ - 9S‘’,- С учетом этого равенства условия совместности (8.16) примут вид /><? = q, (8-22) где D ~ У, Dwf fe=i т т « = S eJ?’.- I [d“TH‘V fe=l fe=l Уравнение (8.22) является разрешающим уравнением задачи син- теза для одного нз уровней членения. Урааиеине (8.22) исподы» 319
зуется в том случае, если условия связи подконструкций фош мулируются в усилиях. Из решения системы уравнений (8.22) находятся обобщенный силы взаимодействия Q. По формулам (8.6) определяются силы взаимодействия для каждой подконструкции. Далее из решений уравнений (8.4) находятся перемещения подкоиструкции, а га» ним — напряжения в ее элементах. Правильность решения задачи синтеза можно установить путем проверки выполнения условий (8.16) для найденных перемещений. 8.3. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА Рассмотренные ниже примеры .иллюстрируют прямей некие общей теории метода подконструкций к задачам, х ар акте, • ным для расчета авиационных конструкций. Во всех примерам расчет подкоиструкции выполняется методом конечных элементе» 8.3.1. Цилиндрические оболочки, соединенные в отдельных узлах Рассматриваемая конструкция состоит нз двух одипд» новых цилиндрических оболочек 1 и 2, жестко соединенных в пло- скости стыка в узлах /, 2, 3, 4 по отношению к перемещениям « и, w (рис. 8.2). Система закреплена консольно н нагружена си лой 27’’, приложенной к стыковому шпангоуту оболочки 1. Трс буется определить напряженное состояние конструкций в окрест ностн узла стыка. Ограничимся одним уровнем членения на под конструкции, т. е. каждая из оболочек представляет собой от дельную подконструкцию, причем оболочка 1 консольно закреп лена, а оболочка 2 свободна. В силу симметрии конструкции от- носительно плоскости ху в расчете рассматривается половин • конструкции, содержащая узлы связи 1 и 2. Задача сочленения решается методом перемещений. Вектор перемещений узлоп связи (по терминологии предыдущего раздела — перемещении границы) имеет вид Р' = |«№PVW«b|. Рис. 8.2. Изгиб цяшндрпческих оболочек, связанных в отдельных точках 3*0
Такой же вид имеют векторы граничных перемещений (k — = 1, 2). В связи с этим — 6(2> — Е (6 х 6), где £(6x6) — единичная матрица шестого порядка. Таким образом, rjn = r}Z) = — р. В узлах связи внешние силы равны нулю, т. е. Р = 0. Уравнение равновесия (8.12) принимает внд Р}1’ + Р}2’ = 0, откуда следует, что силы взаимодействия связаны соотношением P{t} = —Рр. Векторы Ptk> имеют вид [РРГ - { где А, В, N — сосредоточенные силы, действующие соответственно по направлениям перемещений и, v, w. Положительные направ- ления для перемещений и сил в плоскости стыка показаны иа рис. 8.2. Силы взаимодействия, полученные в результате решения за- дачи сочленения, приведены в табл. 8.1. На рис. 8.3 приведены Таблица 8.1 Силы взаимодействия № узла (см. рис. 6.5) 1 2 3 4 А/Т 0 0 0 0 в/т 0,125 —1,22 —0,125 1,22 N/T —0,163 0,47 —0,163 0,47 11 И. Ф. Образцов в др. 321
графики изгибающих моментов в стыковочных шпангоутах обо- лочек Alj и Мг и потоков касательных напряжений в обшивки пролетов, примыкающих к плоскости стыка и ^2). 8.3.2. Система двух балок На этом простом примере показано применение метода) сочленения, основанного иа схематизации силового взаимодейст-1 вия. Конструкция состоит из двух балок (рис. 8.4). Применяется один уровень членения — каждая балка представляет собой от- дельную подконстр.укцию. Балка 1 консольно закреплена, балка 2 оперта на балку 1 в четырех точках. Связи между балками до- пускают их взаимное проскальзывание в направлении оси х. Конструкция нагружена на конце поперечной силой Т. Обе балки имеют постоянную жесткость £/, длины пролетов одинаковы и равны а. Внешние силы и силы взаимодействия балок 1 и 2 запишем в виде [я“Т = (яклМл), [/fl‘’r-{y|”yl”yj,»y|,’b [Я‘2,Г = о, [т?;Г = (уГ>у?’у№1. Для каждой балки необходимо рассмотреть следующие уравнения равновесия: уравнение проекций сил на ось у и уравнение мо- ментов относительно оси г. Эти уравнения можно записать в виде — для балки 1 Г1 I 01 Г1 I I 1 1 m к 0 d«(’+[u За 4аК = 0’ — для балки 2 Р 1 1 1 = 0 [а 2с За 4а J * Уравнения равновесия для узлов связи примут вид ЭД1* + ЭД2’ = = 0. Уравнения равновесия необходимы для того, чтобы соста- вить формы распределения сил взаимодействия, соответст- вующие лишним неизвестным Q. Сочленение балок являет- ся дважды статически неопределимым, т. е. Выбрав статически определимое ' крепление балок по узлам 1 и 4, Рвг. 8.4. Смстшм двух балок 322
получим следующие формы распределения усилий в состояниях Qi и (Рис. 8.5, б): —2 —1 3 0 d(2) = — а 3 0 3 , dm^-do}. (8.23) —1 —2 Применяя известные способы определения перемещений, построим соотношения типа (8.17) для балок, закрепленных так, как пока- зано на рис. 8.6. В результате получим: — балка 1 4” 4” 41’ 4° — °3— — GEI .1 2 б 8 1 5 16 28 40 8 28 54 81 11" 40 81 128 _ Я” Я1’ Я1’ Я” — балка 2 Ч 2) ’0 0 0 0"| о й - “ 0 8 7 0 Я2’ V 2) 6Е/ 0 7 8 о Я’ 42’ _0 0 0 °- I1 4 2) Применяя преобразование (8.21) с учетом (8.23), получим = в® = [8 7] а D WEI |7 8J (8.24) Вычислим свободные члены уравнения (8.24). Перемещения ба- лок будут r")‘T = wl11 40 81 128)- И?, = о. С учетом (8.15) получим ^,«=о- (8-25> Основываясь на соотношениях (8.24), (8.25), найдем, что разре- шающая система уравнений (8.22) будет иметь вид а [16 ,41 16Е/ [14 16j IqJ 6£/ I 8J 11* 323
балок Рнс. 8.6. Схемы закрепления балок, свободных от лишних связей, нсклю- чающие их смещение как Ти р даго тела Рнс. 8.7. Силы взаимодействия между балками Решая эту систему, получим о - AM Vr'~ s I з)‘ Распределение сил взаимодействия показано на рис. 8.7, 8.3.3. Планер самолета с крылом малого удлинения Рассмотрим участок планера в зоне сочленения фюзеляжа с крылом (рис. 8.8). Конструкция состоит из трех агрегатов (под- коиструкции уровня 1} — кры- ла с центропланом (ПК1), обо- лочки фюзеляжа (ПК2) и цент! ральной балки (ПКЗ)- Оболочка фюзеляжа жестко крепится к лонжеронам, бортовой нервюре и верхним панелям крыла. Рис. 8.8. Секция фюзеляжа (/) с кры- лом малого удлинения (2) и с.гу.т^аль- ной балкой (3) 324
Pitt. 8.9. Сх«ыы кинематического взаимодействия узлов фюзеляжа м крыла (е) и центральной балки и крыла (б) Центральная балка жестко соединена с нервюрами и нижними панелями центроплана. Задача сочленения подконструкций ре- шается методом перемещений. Узлы связи подконструкций отождествлены с узлами крыла» т. е. [см. (8.5)1 гр‘ — р и Ьш— ~ £, где £ — единичная матрица. Схемы кинематического взаи- модействия узлов фюзеляжа и крыла, а также центральной балки и крыла показаны соответственно на рис. 8.9, а, б. В этом случае соотношения типа (8.5), записанные для отдельных узлов, примут вид: — для узлов фюзеляжа и крыла и "1 у О Ш “о % _о о о 0 1 —1 о о о Hffi. о о о ~Н^Ц2 HJ2 » . и и W ф« — для узлов центральной балки и крыла и V») [М1(8) р 0 0 — Л/л оуз) U) [О 0—1 0 oj v W Ча Чь Ниже приводятся результаты расчета конструкции иа случай нагружения самолета на земле, для которого характерно нагру- жение крыла большими сосредоточенными силами от шасси. Эти силы частично уравновешиваются на крыле массовыми сялаю, а частично пер^гдяк/тея на борт фюзеляжа. На рис. 8.10 325
Рис. 8.10. Распределение нормальных (расчет — сплошная линия; экспери- мент — звездочки) и касательных (рас- чет — пунктирные линии) напряжений б расчетном сечении Рис. 8.11. Распределение нормальны] напряжений в наружном (расчет — сплошная линия; эксперимент — кру жочки) и внутреннем (расчет — пунк тарная линия; эксперимент — звездоч ки) поясах силового шпангоута приведено распределение напряжений в сечении, соответствую щем плоскости лонжерона крыла, к которому приложена основ ная часть сосредоточенной силы от шасси; шпангоут фюзеляжа в этом сечении является силовым. Напряжения отнесены к пре делу прочности материала <тв, т. е. = ой./пп, т = т/<тв. Н; рис. 8.10 показано изменение нормальных (сплошная линия) и ка сательных (пунктирная линия) напряжений в обшивке фюзе ляжа, стенках бортовой нервюры крыла и центральной балки На рис. 8.11 представлено распределение нормальных напряже ний в наружном (сплошная линия) и внутреннем (пунктирна! линия) поясах силового шпангоута. Хорошее совпадение теорети ческих результатов с экспериментальными (точки н звездочки' свидетельствуют о высокой точности метода подконструкций
ГЛАВА 9 СТАТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ ел. критерии УСТОЙЧИВОСТИ 9.1.1. Основные понятна Потеря устойчивости, связанная с отклонением упру- гой системы от первоначального положения равновесия является одной из наиболее распространенных форм разрушения стержне- вых и тонкостенных элементов летательных аппаратов. Понятие устойчивости связано с характером реакции нагруженной системы иа воздействие некоторых дополнительных возмущений — если после исчезновения этого возмущения система под действием упру- гих сил возвращается в исходное состояние, то это состояние счи- тается устойчивым. Естественно, что реакция системы зависит от уровня ее нагружения, характера и величины возмущения. В дальнейшем будем считать, что возмущение по своему харак- теру способствует переходу системы в новое состояние, а по вели- чине является малым. Таким образом, требуется определить уро- вень нагружения системы, при котором малое возмущение может привести к изменению ее состояния, т. е. к потере устойчивости. Минимальная нагрузка, при которой возникает такая ситуация, называется критической. Ввиду того, что элементы летательных аппаратов эксплуатируются при высоких уровнях нагружения и в условиях постоянного воздействия возмущающих факторов самой различной природы, конструктор должен предвидеть воз- можность потери устойчивости и иметь информацию о крити- ческих уровнях нагрузок, определению которых посвящена настоя- щая глава. 9.1.2. Статический критерий устойчивости Основные подходы к исследованию устойчивости упру- гих систем можно проанализировать на простых примерах. Рас- смотрим сначала сжатие вертикального жесткого стержня с упру- гим шарниром (рис. 9.1). Положение такого стержня как системы с одной степенью свободы вполне определяется углом ф, отсчи- тываемым от вертикали. Отклоним стержень от исходного верти- кального положения иа некоторый угол ф и исследуем его равно- весие. Сила Р создает опрокидывающий момент Pl sin ф, а пру- жина с жесткостью с — восстанавливающий момент т = т. е. условие равновесия имеет вид Pl sin ф == сер- {9.1} 327
Рнс. 9.2. Зависимость силы Р от угла наклона стержня ф Рнс. 9.1. Жесткий стержень с упругим шарниром Это уравнение при любом Р имеет тривиальное (нулевое) реше* ние ф = О, т. е. вертикальная форма равновесия в принципе воз- можна при любом Р. Для дальнейшего анализа представим sin ф степенным рядом sln'P = 41--fr+-fr--------• Тогда уравнение (9.1) примет вид <9-2) где Pj = сП. (9.3) Поскольку левая ч^сть уравнения (9.2) меньше I, его решение существует только при Р Рх. Это решение показано на рис. 9.2. Таким образом, при Р < существует только начальное (вертикальное) положение равновесия, а при Р' > Ру возможны три положения равновесия, соответствующие <р == 0, ф = ф', Ф = — ф'. Точка, при переходе через которую возможна неоднозначность положения равновесия, называется точкой бифуркации или точкой ветвления решения. В рассматриваемом примере такой точкой является точка, соответствующая силе Ру = сП. Равновесное со- стояние упругой системы считается устойчивым, если, получив малое возмущение (малое отклонение), система возвращается к исходному положению после снятия возмущения. Нагрузка, при которой начальная форма (или положение) перестает быть устойчивой, называется критической, а соответствующее состоя- ние — критическим. Очевидно, что в рассматриваемом примере при силе Р^> Р\ любое положение, соответствующее малому ф Ф 0, будет йеравновесным и после устранения причины, вы- зывавшей появление угла ф, стержень под действием пружины вернется в вертикальное положение. Нагрузка = сП является критической,, поскольку при Pl z> Pi стержень сохранит после 328
нятия возмущения наклонное положение равновесия, соответ- ствующее углу у' (см. рис. 9.2), образовавшемуся в результате воздействия возмущающего фактора. Отметим, что полный анализ поведения стержня в закрити- ческой стадии (т. е. при Р > PJ требует решения нелинейного уравнения (9.1). Однако для большинства реальных задач полу- чить точное решение нелинейных уравнений ие удается. Вместе < тем в задачах устойчивости главным вопросом является вопрос о критической нагрузке. Поведение же системы в закритическом состоянии представляет меныший интерес. С учетом этого обстоя- тельства задачу об определении точек бифуркации и критических нагрузок можно решить на основании более простых, линеари- зованных однородных уравнений. Такие уравнения строятся при рассмотрении равновесия системы в положении, близком к исход- ному положению. При этом важно подчеркнуть, что в задачах устойчивости уравнения равновесия составляются для деформи- рованной системы. Линеаризованные уравнения позволяют опре- делить условия, при которых наряду с исходным равновесным со- стоянием могут быть и другие, близкие к исходному, равновесные состояния. Например, для приведенного выше примера такое уравнение можно получить, если принять, что стержень отклонен от вертикали на малый угол <р, для которого можно принять, что sin <р ~ <р. В результате такой линеаризации уравнение (9.1) принимает вид Pl ф — с<р и имеет два решения — ф = 0 прн лю- бом Р и Р = Pt = dl при 0. Таким образом, линеаризован- ное уравнение позволяет определить критическую нагрузку и не позволяет в отличие от нелинейного уравнения (9.1) найти ср» т. е. определить перемещение, образующееся в результате потери устойчивости. В заключение сформулируем статический критерий устойчи- вости Л. Эйлера. Согласно этому критерию критическим назы- вается наименьшее значение нагрузки^ при котором кроме исход- ного положения равновесия система может иметь по крайней мере еще одно, близкое к исходному положение равновесия. Отметим, что для задач устойчивости характерно наличие двух или более равновесных состояний, соответствующих одной и той же иагрузке, т. е. бифуркация форм равноаесня. В стати- ческом критерии ие содержится указания на то, какая из воз- можных форм равновесия является устойчивой, однако примени- тельно к упругим системам достижение нагрузкой критического значения, как правило, означает, что исходная форма равновесия становится неустойчивой. Реализация статического критерия устойчивости, т. е. ^опреде- ление критической нагрузки осуществляется по следующей схеме. Рассматривается докритическое (исходное) состояние системы и по заданным внешним нагрузкам определяются докритические напряжения. Ввиду того, что докритические перемещения, как правило, невелики, онн не учцтьлиштся н далее исследуется исход-
пая система, на которую уже не действует внешняя нагрузка, но в которой существует найденное докритическое напряженное! состояние. Этой системе придаются некоторые дополнительные ма- лые -перемещения (возмущения), соответствующие возможной форме потери устойчивости, и записываются уравнения равнове- сия для возмущенного состояния. Эти уравнения являются, ли- нейными и однородными относительно дополнительных переме- щений и всегда включают две группы членов — члены, соответ- ствующие упругим силам, стремящимся ликвидировать возму- щения, и параметрические члены, включающие докритические напряжения и соответствующие силам, стремящимся вывести си- стему из исходного состояния. Необходимо найтн такую комби! нацию докритических напряжений, при которой уравнения равно- весия имели бы нетривиальное решение, удовлетворяющее задан- ным граничным условиям, т. е. существовали бы равновесные до- полнительные перемещения, соответствующие условиям закреп- ления системы. Как правило, такая комбинация оказывается не единственной и выбирается та, которая соответствует минималь- ному значению внешней нагрузки. Это значение и является кри- тическим. Формально отыскание критической нагрузки соответ- ствует определению минимального собственного значения краевой задачи для уравнений равновесия, записанных в возмущенном состоянии. Отметим, что операция наложения возмущения яв- ляется чисто формальной и связана с тем, что в теории устойчи- вости рассматриваются идеальные системы и идеальные условия нагружения. В реальных системах возмущения, вызывающие ма- лые отклонения, всегда присутствуют — это дополнительные слу- чайные нагрузки, несовершенства формы и т. д. 9.1.3. Энергетический критерий устойчивости Определить критическое состояние и соответствую- щую нагрузку можно и иа основании анализа энергетических за- висимостей упругой системы при переходе ее из одного состояния в другое. При этом, как и в случае статического критерия устой- чивости, нужно рассмотреть некоторое начальное (докритическое) состояние равновесия н близкое к нему возмущенное состояние. Согласно изложенному в гл. 1 вариационному принципу Лагранжа (см. разд. 1.3.2) в состоянии равновесия вариация полной энергии должна обращаться в нуль, т. е. в соответствии с формулой (1.27) 63 = 0. (9.4) Строго говоря, это равенство обеспечивает стационарность пол- ной энергии, т. е. при 63 = 0 энергия 3 может быть минимальной или максимальной. Согласно теореме Лагранжа—Дирихле равно- весное положение, определяемое условием (9.4), является устой- чивым, если реализуется минимум полной энергии (т. е. 62Э > 0),
и неустойчивой^ если реализуется максимум (т. е. 62Э <Z 0). Кри* тическому состоянию, очевидно, соответствует условие 62Э = 0. (9.5) Таким образом, согласно энергетическому критерию устойчи- вости-критическая величина нагрузки обращает в нуль вторую вариацию полной энергии. Рассмотрим с позиций этого критерия систему, показанную на рис. 9.L Создадим малое отклонение ф. Тогда согласно фор- муле (1.24) (см. гл. 1) Э — U — А. Потенциальная энергия V накапливается в пружине, т. е. U = ~ т<р = — c<f, (9.6) а работа А совершается силой Р на перемещении А = = I (1 — cos ср) (см. рис. 9.1). Считая ф малым, учтем, что cos ф ж 1 — <р2/2, т. е. д=4^- (97) Таким образом 3 = Wr~pW- ^э = 1(~—р') («<₽)>. Отсюда при 62Э == 0 получим Р яг Рг — с/l, т. е. результат (9.3), найденный ранее с помощью статического критерия. Очевидно, при Р < Рг — 62Э >- 0 и исходное вертикальное положение стержня является устойчивым, а при Р >• Pt — 625 < 0 и это положение становится неустойчивым. Приведем еще одно энергетическое соотношение, которое часто используется для определения критической нагрузки. При пере- ходе из начального (равновесного) состояния в смежное (не обя- зательно равновесное) упругая система приобретает дополни- тельную потенциальную энергию деформации U, которая спо- собствует возврату системы в исходное положение, а внешние силы, способствующие развитию отклонения, совершают при этом работу А. Если эта работа меньше соответствующей энергии деформации, то начальное состояние упругой системы является устойчивым, а если больше —- неустойчивым. Очевидно, крити- ческому состоянию соответствует условие U = А. (9.8) 331
В частости» для рассмотренного выше стержня (см. рис. 9,1 из равенств (9.6)—(9.8) получим Р ~ = dlt т. е. прежнее вы ражение для критической нагрузки. 9.2. ПРИКЛАДНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА МЛ УСТОЙЧИВОСТЬ 9.2Л, Устойчивость стержней Ввиду того» что точное решение задач устойчивости 1 удается получить лишь применительно к простейшим системам! в расчетной практике получили широкое распространение при- ближенные методы, общая характеристика которых была дано в разд. 1.6. В настоящем разделе описываются особенности оря! менения этих методов к задачам устойчивости. Ввиду того» что это применение будет далее иллюстрироваться на задаче об устой чивости стержня, ниже приводятся основные уравнения для этой задачи. Рассмотрим стержень, сжатый осевой силой Р (рис. 9.3). Оче- видно, в докритическом, прямолинейном состоянии в стержня будет только продольное усилие Р. В соответствии со статическим! критерием устойчивости придадим стержню малый прогиб о (х) (см. рис. 9.3) и исследуем равновесие искривленной формы. Для вывода уравнения устойчивости применим метод, который будет неоднократно использоваться далее. Запишем уравнение изогну- той оси стержня, нагруженного некоторым поперечным давле нием q. Согласно рис. 1.4 и первой формуле (1.37) имеем EJvlv (х) = q (х). На стержень, показанный на рис. 9.3, поперечная нагрузка не действует, однако в изогнутом состоянии воздействие усилия Р можно заменить воздействием статически эквивалентной услов- ной поперечной нагрузки q. Действительно, приравнивая верти- кальные равнодействующие сил, показанных на рис. 9.4, полу- чим Р sin ccj — Р sin «2 qdx. Учитывая, что для малых прс- гибов и (х) sin а tga а и 332
(9.10) (9.12) (9.13) рис. 9.3) гудем иметь — Ptf = q. Этот результат можно записать в не- колько иной форме, если учесть формулу для кривизны оси тержня и ее упрощение для малых прогибов (vr -С I) эс -----------—ж — «А 1 аким образом» для стержня q ~ Pn^—Ptf. (9.H) Уравнение устойчивости теперь может быть записано, если в (9.9) вменить q на q согласно (9.11). В результате получим EIvw -I- Pv 0. зпншем общее решение этого уравнения v - Т С2х 4- С3 sin kx -4- Cd cos kx, где k9, Pl El. Для шарнирно опертого стержня (см. имеем следующие граничные условия (смещение Л является ма- лым и не учитывается): при х - 0 и х == / — v — v" — 0, т. е. с учетом (9.13) Сх 4- С4 - • О, Ci + Са/ 4- С3 sin kl 4- с4 cos kl = 0, = 0, Cs sin kl 4- C4 cos kl “ 0. Отсюда Ci -- Сй = C2 •- 0, C3 sin kl — 0. Если принять C3 == 0, то получим v — 0, т. e. исходную прямолинейную форму. Таким образом, для существования изогнутой формы равновесия необ- ходимо выполнение равенства sin kl = 0, возможное, если kl = =* ля (я — L 2, 3 ...). Учитывая, что /г8 — Р!ЕЦ получим Рп *= - ты*Е1№ - совокупность значений силы Р, при которых воз- можна изогнутая форма равновесия. Согласно определению кри- тической нагрузки из этих значений следует выбрать наименьшее, оторое соответствует, очевидно, п = 1. Таким образом, получили формулу Эйлера, определяющую критическую нагрузку для сжа- того шарнирно опертого стержня р =. (9.14) Прн Р — Pi имеем k = я/l и, поскольку в решении (9.13) отлична от нуля только постоянная С9, имеем « , 3t% V — sin » (9.15) т. е. стержень изгибается при потере устойчивости по одной полу- волне (в = 1) синусоида (см. рис. 9.3). Амплитуда прогиба С3, пак у>не отмечалось в разд. 9.1.2, из решения линеаризован- ии :о уравнения (9.12) не определяется. Для того чтобы найти ирстай, и«обг.с-диьк> рг.тсмотречъ полное нелинейное уравнение, IX
которое для исследуемого стержни -£* хТГПУ— „ г записывается достаточно прост»». Действительно, изгибающий момент. Рис. 9.5. Стержень на упругом образующийся в сечении стержня основании ПрИ изгибе> СВЯзак с кривизной ело- дующим образом М — ЕГк, а внепн- ний изгибающий момент равен Pv (см. рис. 9.3). Таким образом, £/х = Pv, гдех определяется первым равенством (9.10). Лине.»-] ризуя это уравнение, т. е. принимая х в соответствии со вторым равенством (9.10), получим Elv" + Pv = 0 — т. е. дважд! проинтегрированное уравнение (9.12). Выше был рассмотрен метод определения критической на- грузки, основанный на непосредственном интегрировании урав- нения устойчивости и удовлетворении граничных условий. В случае шарнирного опирания точное решение может быть по- строено также в форме ряда, каждый член которого заведомо удовлетворяет граничным условиям. Для стержня, показанного на рис. 9.3, такой ряд неоднократно использовался ранее (см. разд. 1.6.1, 1.6.2) и имеет внд о= j? 4rasln^. (9.16) Очевидно, (9.16) автоматически удовлетворяет граничным усло- виям шарнирного опирания v (0) = v (I) — о" (0) = v" (/) = 0. В качестве примера рассмотрим задачу об устойчивости сжатого стержня, лежащего на упругом основании (рис. 9.5). Такая рас- четная схема может быть использована для анализа общей устой- чивости пояса лонжерона, лежащего на упругих опорах. Уравне- ние устойчивости может быть получено из (9.9), в котором следует принять q = —Pv” — cv. Второе слагаемое определяет реакцию упругого основания, пропорциональную прогибу v и коэффи- циенту упругого основания с. В результате получим £/ulv + cv 4- Pv" = 0. (9.17) Подставляя ряд (9.16), будем иметь S Ат (ЕП& + с — РКп) sin = 0, т—1 где Кп = ятЦ. Выполнение этого равенства возможно только в случае, когда выражение в скобках равно нулю (случай Дто = 0 исключается, так как при этом v = 0), т. е, Р^ЕП^-j-cl^. (9.18) Для определения критической силы в формуле (9.18) следует последовательно принять т = 1, 2, 3 ... и из полученных значе- ний Р выбрать наименьшее. Для длинного стержня параметр 334
можно приближенно считать непрерывным и осуществить мини- мизацию Рп аналитически. Из условия dPldOm == 0 получим = ЫЕ1, т. е. Рвр - 2 /сЁ7. 9.2.2. Метод Ритца—“Тимошенко Метод Ритца—Тимошенко в задачах устойчивости явля- ется вариантом общего метода, описанного в разд. 1.6.1. Поскольку метод иллюстрируется на задаче об устойчивости стержня, при- ведем соответствующее выражение для полной энергии. Потен- циальная энергия изогнутого стержня неоднократно записыва- лась ранее и имеет вид (см. разд. 1.3.3, 1.6.1) t U= ^(u')dx. (9.19) О Работа внешней силы согласно рис. 9.3 равна РД. Найдем вели- чину Д. Длину элемента дуги искривленного стержня с учетом малости прогиба (v‘ 1) можно записать следующим образом: ds - /1+ («')* dJt« [ i + 4- (o')*] dx. Тогда полная длина искривленной оси, равная исходной длине прямого стержня, будет J [1 + 4-(H*]dx = Z, О отсюда Д I А = 4 ] И*^«4 ]Н3^- (9.20) о о Таким образом (921) о и полная энергия искривленного стержня i Э = 4- J (»')’ - Р (»')*) dx. (9.22) Q В соответствии с общим методом Ритца—Тимошенко предста- вим прогиб в виде ряда, аналогичного (1.10) (9.23) ?ви|1 335
где Bt — неизвестные независимые коэффициенты; (х) — задц ваемые непрерывные функции, удовлетворяющие, по крайня мере, геометрическим граничным условиям. Если (9.23) подсги вить в формулу для полной энергии (9.22), то получим э=4- j \jr -р ]dx- (9211 т. е. при известных функциях (х) энергия становится квадрл тичной формой коэффициентов В соответствии с общим ме- тодом, изложенным в разд. 1.6.1, далее следует записать условия минимума 3, аналогичные (1.71) '-#- = 0 (/= 1, 2, 3......п), 0£>i ' ' которые образуют систему линейных однородных уравнений аВ - РЬВ == 0, (9 2Гй где В — матрица-столбец порядка п- искомых коэффициентов Bt а и Ъ — квадратные матрицы порядка п, элементы которых числяются по формулам i i aif = J Elv'iv'jdx, Ь{/= ( v'£v}dx (i, j — 1, 2,..., n). 0 o' Ввиду того, что однородная система (9.25) должна иметь ненуле- вое решение (случай В} — О соответствует исходной прямо Л нейной форме равновесия стержня), ее определитель должен был. равен нулю, т. е. det [Cij — PbtJ] == 0. (9.2 6j Характеристическое уравнение (9.26) позволяет найти крити- ческую силу. В качестве примера рассмотрим стержень, показанный ип рис. 9.3, и зададим его прогиб в виде комбинации следующих функций, удовлетворяющих геометрическим граничным уело виям v (0) — v (/) = 0: f -= Btvt (х) + B2v2 (х), где v1 — х (I — х), t»2 = хъ (I — х2). Полная энергия (9.22) после вычисления интегралов принимай вид Э = ~ [£/ (4В?/ + 0,8В?;5) - - Р (О.ЗЗЗВ?/3 -I- 6,1338,8/ -|-0,019В/)]. Система (9.25) (8 — 0.666Р) Bt — 6,133РВ2 =» 0, —6,133РВ8 + (1,6 — 0,038Р) == 0, 336
i-де Р — PPIEI. Приравнивая нулю ее определитель, получим следующее характеристическое уравнение Р3— 54,1Р + 1137 — О, имеющее минимальный корень Р^ == 11,8, т. е. PRp = W&EHP, что превышает точное значение (9.14) на 19,7 %. В случае одночленной аппроксимации прогиба v — (х) для получения критической силы удобнее использовать энерге- тическое соотношение (9.8) U ~ А. С учетом равенств (9.19) и (9.21) получим i J El (<$)• dx Рщ, = -Н------- (9.27) о Полагая, например, для шарнирно опертого стержня (см. рис. 9.3) vx -= х (/ — х) получим Ркр — 12EI/P Отметим, что задание прогиба в форме (9.23) по существу со- ответствует введению некоторых дополнительных связей, вы- нуждающих систему деформироваться в соответствии с задан- ным законом. Эти связи, естественно, повышают жесткость си- стемы, а поскольку при увеличении жесткости увеличивается и критическая нагрузка, результат, полученный методом Ритца— Тимошенко, всегда будет верхней оценкой критической нагрузки. Он будет тем ближе к истинному значению, чем лучше представ- ление (9.23) соответствует истинной форме потери устойчивости. Если в качестве аппроксимирующей функции принята действитель- ная форма потери устойчивости, результат оказывается точным. Действительно, зададим для шарнирно опертого стержня в соот- ветствии с точным решением (9.13) — sin (пх/1). Тогда по фор- муле (9.27) получим Е7—— р _ 2 — п*Е1 eL-L — ’ Р 2 что совпадает с точным результатом (9.13), 9.2.3. Метод Бубнова—Галер» ина В задачах устойчивости упругой системы применение метода Бубнова—Галеркина, описанного в разд. 1.6.2 (см. гл. 1), связано с приближенным определением наименьшего собствен- ного значения уравнения устойчивости и соответствующей соб- ственной функции. Покажем принципиальную схему применения метода на примере сжатого стержня, уравнение устойчивости ко- торого имеет вид (9.11), т. е. L (и) = EkF* — Ptf - 0. (9.28) 337
Прогиб стержня при потере устойчивости представим выражением, аналогичным (9.23), т. е. v(x) = УВр,(х). (9.29) где Bi — неизвестные коэффициенты, a vt (х) — аппроксими- рующие функции, которые согласно методу Бубнова—Галеркина должны удовлетворять всем граничным условиям. Согласно общей схеме реализации метода, описанной в разд. 1.6.2, разложение (9.29) следует подставить в уравнение (9.28) и записать следую- щие условия: J L 2 B,vt (х) j v, (х) dx = 0 (/ = 1, 2. 3.’..л). (9.29а) Эти уравнения составляют линейную однородную систему, кото- рая может быть записана в следующей матричной форме: а = РЬ = 0, (9.30) где а и & — квадратные матрицы порядка п, элементы которых вычисляются по формулам i i aif = J EIvlvt>j dx, Ьц — j v ’iVj dx. d c Так же, как и в методе Ритца—Тимошенко, критическая нагрузка определяется из характеристического уравнения (9.26), полу- чаемого из условия равенства нулю определителя системы (9.30). Результат, найденный методом Бубнова—Галеркина, в силу причин, изложенных в разд. 9.2.2, превышает истинное значение критической нагрузки и совпадает с ним, если в разложении (9.28) содержится истинная форма потери устойчивости. Принимая, например, для шарнирно опертого стержня $ = Вг sin (nxfl), получим au = л4£7/273, = л2/2/ и согласно (9.30) — ~ пгЕ!№, т. е. точный результат. 9.2Ч4< Метод конечных разностей Метод конечных разностей основан на приближенной замене дифференциальных уравнений системой алгебраических уравнений относительно значений искомых функций в узловых «очках. Применение этого метода к задаче устойчивости покажем на примере стержня, уравнение устойчивости которого имеет форму (9.12), т. е. + (9.31) Разделим стержень на п одинаковых участков длиной Дх = IIп (рис. 9.6) и допишем уравнение (9.31) в конечных разностях с по- 338
Рис. 9.6. К решению задачи устойчивости сжатого стержня методом конечных разностей мощью формул (1.83). В некоторой внутренней точке k получим - 4 (rft_i -|- vft+1) -f- 4- Vk+z] 4~ д^г (ул-л 4- yfe+i “ 2ofe) = 0. (9.32) Записывая это уравнение при k — 1, 2, 3, ...» п и добавляя гра- ничные условия, которые формулируются с помощью законтур- ных точек, введенных в разд. 1.6.5, получим однородную систему алгебраических уравнений относительно узловых значений про- гиба vft. Для существования ненулевого решения этой системы необходимо, чтобы ее определитель равнялся нулю. Это условие и позволяет найти критическую нагрузку. Для стержня, показанного на рис. 9.6, уравнения (9.32) в точ- ках 1, 2, 3 имеют вид Ef J6t?1 “ 4 ~ + v° + + 4~ д^Г (VA f- VZ — 2^) s=s 0, £? д^Г — 4 (t’i 4~ гз) 4“ VA 4" 4~ Р (9-33) 4“ (yi 4~ 2у2) — в, EI [6t>8 - 4 (», + ОВ) + V1 + »] + + 4? + v,‘ ~ 2о“) = °’ Эти уравнения включают семь неизвестных — Vj, v2, г»3; прогибы в опорных точках vA и vB и прогибы в двух законтурных точках ос и vb. Граничные условия в точках А и В имеют вид v = v" = 0. Через узловые значения они формулируются с помощью равенств (1.83) следующим образом: vA = 0, vB = 0, va — 2va 4- Vt — 0, v3 — 2t>B 4- Vb — 0. Таким образом, к уравнениям (9.33) необходимо добавить усло- вия vA = 0, vB — 0, va = —t^, vb ~ —^з- Учитывая, что е- силу симметрии прогиба v3 = vu окончательно получим следующие два уравнения (Дх — 1/4): (24 — 2Р) 4- (—16 4- Р) v2 = 0, (32 4- 2Р) 4- (24 — 2Р) v2 = 0, 339
ш к нулю определитель этой системы J i Д', и иметь 32 0„ Наименьший корень этом». ая । зли чине Р,и, Q/MEIiP, которая ня 3 % пре с . _ лы it. Так же, как методы Рг тца -ч '} । мошенко • ' - Галеркииа, метод конечных разностсЯ дает завыше ний», аначи'не для критической силы. t- X УС.™ Г I -ОСТЬ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН Р.3.1. ' -отношения .. оские панели являются широко распространенными актами, бг П1нми nfi’UHBi / крыльев летательных алпа- р.-i. ь Раб.иэи в уетК'Ы I* пласкон) напряженного состояния и| во» ) книги ормальные или касательные усилия,! такие пан и л ;еоять устойчш ость и принимать искривлен-1 кую форту типа not. м>< ой н? ряс. 9.7. При решении задачи о по- тере устойчивости пластины кроме допущений, принятых в тео- рии изгиба пластин {•:* гл. 3), предполагается, что до потери устойчивости пластин является плоской, все силы лежат в сре- динной плоскости и j , ч формациях пластины они не изме-1 няются ни по величине, ни по направлению. Итак будем считан чхо докритнческое напряженное состоя-] ние пластины является плоским и описывается уравнениями] (3.28)—(3.31) (см. гл. 3), т. е. av? . _ о а*? , . ' дх + - и> дх ~и- N° = B(^ т)> + (9.34) ЗЦесв М, А’₽. Ах* —докритические усилия, которые выра- ' жаются через докритические напряжения а%, о#, т^ формулами = 4^1, (9.35) где h — толщина пластины; u0, v0 — перемещения пластины! в /.^критическом е юто ии. Эти перемещения считаются малыми и их влияние на размеры пластины не учитывается]I Наиболее распростра- ненным случаем нагруже- Рнс, 9.7. Ь^юмсжная форма по- тери устойчивости сжатой вод- ном направлении шарнирно опертой по всем сторокэм ддас- 1МИН У
ия пластин, который и будет осматриваться далее, являет* . воздействие усилий, равно» рно распределенных по сто» юнам пластины (рис. 9.8). В том случае уравнения (9.34) довлетворяются тождествен» .-о, если поле усилий является днородным, т. е. М — const, ) = const, Nxy - const. Та- им образом, докритические усилия, действующие в плас- тине, будем считать извест- Iииж-н**- -в— х ns - Zb 14-144444- Ту * Рис. 9.8. Докритическое напряженное состояние прямоугольной пластины «ыми и равными внешним усилиям Nx, Nxyi действующим по сторонам пластины. Придадим теперь пластине малый прогиб w (xt у) (см. рис. 9.7) г в соответствии со статическим критерием устойчивости рас- смотрим ее равновесие. Линеаризованное уравнение устойчивости наиболее просто получить, если воспользоваться уравнением изгиба пластины (3.61) . 34к-' ___ q ~дх*~ + дх^ду* ~ду*' “ D (9.36) а способом замены докритических усилий условной статически эквивалентной поперечной нагрузкой qt изложенным примени- тельно к стержню в разд. 9.2.1. Рассмотрим элемент пластины в изогнутом состоянии. Приравнивая вертикальные проекции сил, действующих иа элемент и показанных на рис. 9.9, .получим {см. также рис. 9.4) q dx dy = (Ng sin ct! — A/* sin a2) dy 4- W sin Pi — N*u sin 02) dx -| - 4” (TZ’jt sift сьц — Nxu sin сй|е) dx 4- (A/^sln |ps Nxy sin P12) dy. 9.9. Эвглене докритических усилий статически эквивалентной условной нжгру»кс.Я q ЭИ •
Для малых прогибов и углов а и 6 sin а як tg а як а, sin В « tg ₽ « р и дно а, _~_ 1 дх । да» , а2 аг а, + -g^- dx, <z12 ~ a, + dy, p12 — Pt -|—dx. В результате получим о - _ № _ 2№ -d*w — № d*w (Q Ч7\ q~ х дхду l y ду* * Это соотношение можно записать в другой форме, если учесть, что согласно равенствам (3.17) множители при усилиях являются величинами кривизны и кручения поверхности, в которую пере- ходит срединная плоскость пластины при изгибании. Имеем <7 = №хих + 2N%Kxy -t- Nfay (9.38) Равенства (9.37) и (9.38) обобщают результат (9.11), полученный выше для стержня. Подставляя в уравнение (9.36) q = q согласно (9.37), запи- шем уравнение устойчивости пластины OW» + ^^ + 2№e^ + ^^ = 0. (9.39) где v2W = -^+2^ + -gP Граничные условия были сформулированы в разд. 3.3.1. В заключение приведем выражение для полной энергии рас- сматриваемой пластины. В равенстве Э = U — А потенциальная энергия деформации определяется соотношениями (3.58) и (3.73), т. е. и 1 Г Г п Г/ дёсу\8 / d2w \а . о d2w d2w . I.W) +2'га?-^- + <9-40> а работа докритических усилий записывается аналогично (9.21), т. е. А [м О <9-4» 342
9.3,2. Устойчивость прямоугольной пластины, сжатой в одном направлении Рассмотрим сначала прямоугольную шарнирно опер- тую пластину, сжатую в направлении оси х (см. рис. 9.7). Разре- шающее уравнение (9.39) в данном случае имеет вид DWffi> + №-^- = 0. (9.42) Решение, удовлетворяющее этому уравнению и граничным усло- виям шарнирного опирания при х = 0 и х == а гя = d^widx* — 0, (9.43) при у — 0 и г/ = b w = d^wldy2 = О, будем искать в форме двойного тригонометрического ряда (3.79), использованного ранее для решения задач статики пластин. Итак, пусть S S^sin/^sinT- (9Л4> т— 1 п=1 Подставляя (9.44) в (9.42), будем иметь V V л Г 4 / , пй \2 л.?-т2 .... ~1 . тпх . пищ п Z L sm~ s*n-r-=°- т— 1 «=! Ввиду того, что Атп =£ 0 (случай Атп — 0 соответствует исход- ной плоской форме пластины), это равенство возможно только в том случае, когда выражение' в квадратных скобках обращается в нуль. В результате получим откуда >ro nW / zna . п* \« Представляет интерес наименьшее (критическое) значение усилия Nx- Как видно из последнего выражения, для этого нужно при- нять п = 1, тогда д, ___ явсаР / тг . 1 у "кр ^3— -Г Ь2 ) или ^кр nW ’° Ь*~’ (9.45) 343
где (9.46 - коэффициент, зависящий от геометрии пластины и ее форму при потере устойчивости. На рис. 9.10 приведены графики, по строенные для различных значений т и alb. При заданном знЯ чении alb число т, характеризующее форму пластины при по тере устойчивости, будет таким, при котором ka, а следовательно! и NKI> имеют наименьшее значение. Соответствующая криван показана на рис. 9.10 сплошной линией. Точки пересечения от дельйых ветвей определяются равенством «2 / т8 , 1 V— * Г («+*)“ . 1 I2 та к а2 6s ) (т 4- I)2 [ а3 b* J ’ откуда следует формула aft) — (л? 4- 1)» т. е. при 0 <alb <i/2 т~ I и пластина теряет устойчивость по одной полуволне (эта форма поквзана на рис. 9.7), при V 2 с alb с >Z6 т = 2 и т. д. Таким образом, критическое усилие сжатой шарнирно опер той пластины определяется формулой (9.45) и графиком, пред» 1 ставленным на рис. 9.10. Из рис. 9.10 следует, что для длинных пластин (alb :> 3) можно принять ka == 4. Этот результат может быть получен аналити ческой минимизацией выражения (9.46), если предположить, что величина А. = mbia является непрерывной. Из условия I dkjdh = 0 получим X = 1, т. е. ka — 4. Принимая в равенстве» (9.45) в соответствии с (9.35) NKp ~ окр h„ учитывая соотно шение (D =~ Eh*!\c2 (1 — р2) и то, что для большинства металлов р. = 0,3, получим, формулу для критических напряжений = 0,9A„f (А.)’ = 3.6Е (А)“. (9.47) широко используемую на практике для оценочных расчетов. Формулу (9.45) можно представить в виде (при л « 1) Тогда первый член в скобках определяет критическую силу для полосы длиной а и шириной единица, а второй множитель пока зывает, во сколько раз целая пластина, т. е. система связанных полос, более устойчива, чем изолированная полоса. Если ширина пластины велнка по сравнению с длиной (alb ф <С 1), то форма ишжггнтш при потере устойчивости имеет вид ци 344 .
Рнс. 9.10. Зависимость коэффк- Р«г. 9.11. Сжатая n.vtcth«a, заед wwn циента устойчивости ka от удли- по контуру нения пластины лнндрическоЙ поверхности. В этом случае следует принять т ~ 1 к формула (9.45) дает N __ я*Е h* ~ 12(1 —р*) в« ’ что соответствует формуле Эйлера для критической силы при сжатии стержня единичной ширины, толщины h и имеющего при- веденный модуль упругости £/(1 — р8). Рассмотрим теперь устойчивость защемленной по контуру пластины (рис. 9.11). Уравнение устойчивости сохраняет преж- нюю форму (9.42), а граничные условия принимают вид прн х = 0 и х = с w ~ dw/dx. — 0. прн у — 0 и t/ ~ 6 w == dwldy =» 0. (9.48) Ввиду того, что построение точного решения этой задачи связано < большими трудностями, получим приближенное решение, вос- пользовавшись методом Бубнова—Галеркина, описанным в разд. 9.2.3. Прогиб пластины зададим в виде w (х, у) — С<р (х, у), 1де С — неизвестный коэффициент, а <р = [1—cos (2ях/я) J X X [1—cos (2лу/&) ] •— функция, удовлетворяющая граничным условиям (9.48). Уравнение метода Бубнова—Галеркина, анало- гичное (9.29а), в рассматриваемом случае имеет вид J J Г (Сф) <р (х, y)dxdy — 0, (9.49) - о о где L (С<р) есть результат подстановки w — С<р в уравнение (9.42), т. е. L (С<р) = CD [- (^-)4 cos (1 - cos-^) + (£)*(» ^]+ + СМ(^Уеов^(1-со8^). 345
С) б) Рис. 9.12. Коэффициент устойчивости соответствующий различным условиям закрепления пластины» в зависимости от ее удлинения. Номера кривых (а) соот- ветствуют номерам эскизов (0. Пунктир соответствует шарнирно опертому краю, штриховка — защемленному, простая линия — свободному краю Подставляя в (9.49) <р и выполняя интегрирование, получим Поскольку С =/= О имеем (9.Б0) где ^=4(3-£+2+3-)- В частности, для квадратной пластины kv = 10,67, что отличаетси от точного решения на 5,5 %. Сравнивая формулы (9.45) и (9.50), можно убедиться в том, что они отличаются только выражением для ko. Этот вывод спри ведлив и для других граничных условий — формула для крити ческих напряжений сжатой пластины всегда может быть представ лена в следующих универсальных формах: . яЧ) , тс3£ / h л е ( h \8 Ь2А — «с \ b) -w№\ й ) - 345
Последнее равенство записано для случая р ~ 0,3. Коэффициент устойчивости ka, соответствующий различным граничным усло- виям, приведен на рис. 9.12. Устойчивость пластин при сдвиге В процессе эксплуатации в панелях крыла летатель- ного аппарата могут возникать значительные сдвигающие уси- лия, вызываемые перерезывающей силой и крутящим моментом. Потеря устойчивости, связанная с действием касательных на- пряжений или усилий, сопровождается образованием в пластине прогиба в виде системы косых волн (рис. 9.13). Уравнение устойчивости (9.39) в рассматриваемом случае принимает вид DV2V2B» + 2№s,^- = 0. (9.51) Точное решение этого уравнения даже для пластин с шарнирно опертыми краями представляет, как будет видно из дальнейшего, большие трудности. Поэтому рассмотрим сначала приближенное решение, основанное на методе Ритца—Тимошенко и справедли- вое для пластин с большим удлинением [а Ь). Зададим прогиб в следующей форме, аппроксимирующей систему косых волн, показанных на рис. 9.13 w = С sin sin -у- (х — ky). (9.52) Представление (9.52) из граничных условий шарнирного опира- ния (943) удовлетворит только условию по прогибу на длинных сторонах (рис. 9.14), т. е. w {у ~ 0) = w (у ~ Ь) = 0. Условия иа коротких сторонах л = 0их = сне выполняются, что для длинной пластины не очень существенно. Из (9.52) следует, что прогиб обращается в нуль на косых узловых линиях х — ky = 0, наклоненных к оси х под углом а = arc etg k. Для реализации метода Ритца—Тимошенко найдем потенциальную энергию U и работу внешних сил А по формулам (9.40), (9.41). Осуществляя интегрирование по параллелограмму, заштрихован- ному на рис. 9.14, т. е. по х от ky до I + ky, а по у от 0 до Ь, получим Рис. 9.13. Форма потери устой- чивости пластины при сдвиге- ! — выпуклость; 2 — впадина: 3 - + 2+ (-|~у (1 +/г2)2], ~ 1УхУ 41 узловая линия 347
Рис. 9.14. Л-вднмя шгфвярао спертая пластина, вагруятшая еджгаадим! уомааым Согласно (9.8) критическое усилие определяется из условия U ™ Л. С учетом (9.35) имеем “ h (9.53) где _ _£ b * йг = ^[бАЧ-2 + !М^(1+*2)8]. I Величина kx зависит от двух параметров I и k. Минимизируя по Р, т. е. используя условие bkjdl ~ 0, получим J2 = 1 + й8. Подставляя I в и записывая условие минимума по kt т. е dk-Jdk ~ 0, найдем k = -у2/2. Таким образом, а == arc cig k 4 ~ 54° 44% I ~ 1,22 и k* = 4 ул2 = 5,66. Итак, на основаигш равенства (9.53) получим следующее приближенное выражение для критических w.aean&n..n3jx напряжений: "= §»66 Оно превышает точное значение иа 6 %. Для пл^йны с конечным соотношением сторон решение в принципе можно задать в форме двойного тригонометрического ряда (9.44). Каждый член этого ряда удовлетворяет условиям шарнирного опирания (9.43), однако, для того чтобы описать та- ким образом систему косых волн (см. рис. 9.13), требуется удер- жать большое. количество членов разложения. В отличие от за- дачи, рассмотренной в разд. 9.3.2, в данном случае непосредствен! мая подстановка ряда (9.44) в уравнение (9.51) не позволяет] тождественно удовлетворить его аа счет соответствующего вы- бора Nx^ поскольку четные производные будут содержать произ! ведения синусов, а смешанная (<Ыдхду) — произведение коси- нусов (в задаче, рассмотренной в разд. 9.3.2, уравнение содер- жало только четные производные). В связи с этим воспользуемся для решения методом Ритца—Тимошенко. Подставляя разло-
же и (»e для прогиба (9.44) в фс , i f сот ношен и я ., tHltx inx > slrt -•....— sin —— 4*x . W . SJltf Stn —' sin —~~ и о b. 0 ‘Л/» a coS”^-eiM = 2q I —-ж-------г nps сумме n ia — m* 1 m 4- i - чгтжл’ 0 — при суламе м ; I «= нечетной, получим ш— I п~1 т п 4 ! В разложении для А учитываются только ге сочетания индексов, для которых суммы (т -F 0 и (/г 4 /) одновременно являются нечетными. В соответствии с методом Риги»—Тимошенко необхо- димо записать условия минимума полной энергии Э ' U — А в виде дЭ10Атп = 0. В результате получим следующую систему однородных алгебраических уравнений относительно Ятп: -т-DabA™ +-&)’ - ВЛГ« S и л« — = 0 4 (m, n *= 1, 2, 3 (9.F4) Здесь суммы т 4- i и п + i должны быть почетными. Задавая различные наборы комбинаций пт (например—11, 12, 21, 22 и т. д.) и приравнивая нулю определитель, составленный нз коэф- фициентов уравнений (9.54), можно получить характеристическое уравнение, наименьший корень которого определяет критическое усилие сдвига. Аппроксимация результатов таких вычислений позволяет записать следующую формулу для критических каса- тельных напряжений (при р = 0,3): 12^г 4У= ,9 тЕ(4)\ г.55) Здесь fe«S.34 + 4(-^y.. причем а Ь, Э1Р
Рис. 9.15. Коэффициент устойчивости k-t, соответствующий различным усло- иням закрепления пластины в зависи- мости от ее удлинения. Номера кривых (а) соответствуют иомерам эскизов (б). Пунктир соответствует шаринрио опер- тому краю, штриховка—защемленному Рис. 9.16. Шарнирно опертая пляс тина, сжатая в двух направЛ ннях В случае других граничный условий в формулах (9.55) из- меняется только выражение для kx. Зависимость kx от отношения а!Ь для различных условий закрепления пластины представлена на рис. 9.15. 9.3.4. Устойчивость пластин прн комбинированном нагружении Рассмотрим теперь случаи, когда отличными от нули оказываются два докритических усилия. Пусть, например, шар- нирно опертая пластина сжимается в двух направленияХ| (рис. 9.16). Совместно действующие усилия будем отмечать верх- ней чертой. Уравнение устойчивости будет иметь вид DVT» + NI 4- Л?» = 0. Дальнейший ход решения полностью аналогичен случаю одно- осного сжатия, описанному в разд. 9.3.2. Задавая прогиб в виде ряда (9.44) и подставляя его в уравнение устойчивости, получим Пусть для определенности W? Тогда, обозначив №у I = (причем <р < 1), запишем Nx в форме, аналогичной (9.45) = ^ийл > (9.5(0 где 62_ в3 ^ав’ 63 «Ч-gr-W»3 350
В формулу (9.56) подставляется найденное в результате подста- новки различных значений т н п минимальное значение kt соот- ветствующее заданной величине <р. Для получения качественного результата рассмотрим квадрат- ную пластину, т. е. случай а — Ъ, Тогда ma 4- фга2 и при <р < 1 реализуется минимум при_т ® п = 1, т. е. = == 4/(1 + <р). Заменим здесь через NXKp с помощью формулы (9.56) и подставим q> ~ NVVpfNXKp. Тогда, учитывая, что при раздельном действии усилий их критические значения для квад- ратной пластины определяются согласно (9.46) равенствами м = N =4 пор“'*1(кр—> (9.57) окончательно получим ^хир л NVKp | Л/ " TV ^’хкр <у»кр Графическая интерпретация этого соотношения представлена на рис. 9.17. Прямая_(9.57) разделяет область возможных комбина- ций усилий Л? и Ny на две части. Комбинации усилий, лежащие в области 1, не вызывают потери устойчивости пластины. Гранич- ная прямая (9.57), т. е. комбинация усилий NXKp и NyKp, соот- ветствует критическому состоянию, а область 2 является областью неустойчивости. Рассмотрим теперь другой распространенный случай комбини- рованного нагружения — совместное действие сжимающих и сдвигающих усилий. Предположим, что на пластину, показан- ную иа рис. 9.14д_помимо сдвигающих усилий Nxy действуют сжи- мающие усилия М?. Тогда, задавая прогиб в форме (9.52) и повто- ряя вывод формулы (9.53), получим вместо нее следующее соот- ношение: NXKV + 2NxtK^ = [бй» + 2 4-? + А-(1 . Минимальное значение правой части, как было показано в разд. 9.3.3, реализуется при Р = 1 + kz. Тогда имеем лГХ11р + 2ЙМервр=4^-(1+2й2). (9.58) В соответствии с результатами, полученными в разд. 9.3.2 и 9.3.3, критические значения отдельно действующих усилий равны ^ = 4-^. ЛГ„кр = 4/2’^-. (9.59) 351
Рис. 9.17. Области устойчивости (/) н неустойчивости (2) пластинки, сжатой в двух направлениях Рис. 9.18. Области устойчивости (/) и неустойчивости (2) пластины при со- вместном действии сжимающих н сдви- гающих усилий С учетом (9.59) равенство (9.58) принимает вид ZjsSL + 2 /2 = I + 2k*. (9.60) **хвр Мхукр Применим далее следующий приближенный прием. Зафиксируем величину касательных усилий и найдем k нз^ условия минимума нормальных усилий, т. е. уравнения dNXKV/dk — 0. В ре- зультате получим k — 2 Nxv Кр и равенство (9.60) принимает следующую окончательную форму: Графическая интерпретация этого соотношения представлена на рис. 9.18. Уравнение (9.61), включающее критические комбина- ции усилий, определяет границу, отделяющую область устой- чивости (/) от области неустойчивости (2) (сплошная линия). В заключение приведем несколько общих определений. Пусть на пластину одновременно действуют докритические усилия Л$, < Nxy. Введем декартовы осн координат и вдоль каждой из ннх будем откладывать величины соответствующих усилий. Тогда любая комбинация усилий будет соответствовать точке этого пространства. Область, образованная из точек, соответствующих । таким комбинациям усилий, которые не вызывают потери устой’ новости пластины, называется областью устойчивости. Эта область ограничена поверхностью, которая образована из точек, соответствующих критическим состояниям пластины, и назы- вается поверхностью устойчивости. Очевидно, что поверхность устойчивости пересекает оси координат в точках Л^кнр, 2Уриг1 Л^ир, соответствующих критическим значениям усилий при их Ж
раздельном действии. Определение поверхности устойчивости является важной, но в то же время и сложной задачей. Если по- верхность устойчивости не определена, то приближенно предви- деть поведение систмеы при заданной комбинации усилий можно, руководствуясь теоремой П. Ф. Папковича о выпуклости поверх- ности устойчивости, которая утверждает, что эта поверхность может быть обращена выпуклостью только в .сторону области неустойчивости, т. е. прямая, соединяющая две точки поверх- ности, всегда лежит в области устойчивости (как в случае, пока- занном на рис. 9.18) или принадлежит граничной поверхности (см. рис. 9,17). Таким образом, если бы мы не располагали урав- нением граничной кривой, показанной на рис. 9.18 сплошной ли- нией, о состоянии системы можно было приближенно судить по границе, показанной на рис. 9.18 пунктиром. Если имеется до- полнительная информация, например, о состоянии системы при воздействии комбинации усилий, соответствующей точке А, гра- ницу области устойчивости можно уточнить (штрихпунктирная линия на рис. 9.18). 9.4. НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ СИСТЕМ, СОСТОЯЩИХ ИЗ ПЛАСТИН, РАБОТАЮЩИХ НА УСТОЙЧИВОСТЬ, И СТЕРЖНЕЙ 9.4.1. Панель, подкрепленная стрингерами Пластины, используемые в конструкциях летатель- ных аппаратов с целью повышения критической ивгрузки, как правило, подкрепляются системой продольных элементов — стрин- геров (рис. 9.19). Однако такое подкрепление не исключает мест- ной формы потери устойчивости — т. е. выпучивания панелей обшивки между стрингерами (пунктирная линия на рис. 9.20, а). Это явление необходимо учитывать при расчете и конструиро- вании панели. Рис. 9.19. Панель, подкрепленная стрингерами 12 И. Ф Образцов и др. 353
$ ________ь Рис. 9.20. Распределение напряжений л" ширине панели (а); в докритическом состоя j нии (б); после потери устойчивости обшивки (в); и приведенной обшивке (г) В докритическом состоянии на- пряжения распределяются равномер-1 но по ширине панели (см. рис. 3.20,6) т- и определяются равенством °»=№+%;• <9-62» При возрастании внешне1'О распре- деленного усилия N напряжения о0 в пластине достигают критического! значения, определяемого формулой (9.48), т. е. акр = 3,6.Е(4)2> (9.63) и пластина теряет устойчивость. Усилие, при котором это проис- ходит, можно найти по формуле (9.62), если принять в ней сг0 = = т. е. ^ = Окр(Л + 2-^-). При N > NVp нагрузка воспринимается в основном стрингерами,] однако пластина также продолжает работать. Примерное рас- пределение напряжений в ней показано на рис. 9.20, в сплошной линией. В средней части пластины напряжения сохраняются на уровне оир, а вблизи стрингеров, с которыми она связана, напря- жения, очевидно, будут близки к напряжениям в стрингере аст. Для того чтобы определить восприятие нагрузки пластиной после потери устойчивости, необходимо знать точный закон р а спреде-□ ления напряжений, который можно найти только в результате решения сложной нелинейной задачи о закритическом поведении пчасгины. Для приближенной оценки этого вклада можно по- п лгаться осреднить это неизвестное распределение по ширине пластины (пунктирная линия на рис. 9.20, е). Различные под- ходы к решению рассматриваемой задачи различаются способами такого осреднения. Наиболее плодотворным из них оказался подход, предложенный Т. Карманом и основанный, по существу, на определении среднего напряжения по правилу среднего гео метрического, т. е. (см. рис. 9.20, е) оСр — "К^ОкрОст- (9.64) Таким образом, доля усилия, воспринимаемого обшивкой, равня асрд. Ввиду того, что основную роль в восприятии внешней на- грузки играют стрингеры, приведем обшивку к стрингерам, т. е. будем условно считать в соответствии с рис. 9.20, г, что в полосках шириной Ьир/2 напряжения в обшивке равны 354
в средне! части они вообще otcvtctbvjot. Тем самым обшяша •.меняется двумя полосками с прьвсхл-ынии шириной, которые 1исоедамя«отся ж стрингерам. Ус. тдлеттгостж такой вид о^95 ~ с^т&ор» Отношение V = поиаэы- 1КОД1 f, на какой епмссительной ширине обшивку можно счи- iTb работающей с напряжениями, равными напряжению в стрнн° ере, называется редукционным коэффициентом по устойчивости упомним, что в гл. 5 разд. 5.2,1 был введен редукционный кс&ф- I циечт по материалу, который также оиовначяжя через <рм). а основмви определения редукдмпиного коэффициента и фор- л (9.6'1), (З.и4) падучим Усилие, воспринимаемое подкреплен ной панелью, определяется, 2ким образом, равенством N = а„т(чй + 2-^). (9.66) Для определения предельного усилия необходимо в еоответ- гвии с возможной формой разрушения стрингера задать оет •тот вопрос рассматривается в курсах прочности летательных аппаратов [14, 15, 17)), по формуле (9.65) найти ф и по формуле 9.66) — Л. В случае, если обшивка и стрингер изготовлен1>1 из различных огериалов с модулями упругости £), и /.с. необходимо сначала -тонзвести редуцирование по материалу (см. разд. 5.2.1) и в со- ветствии с равенствами (5.8) и (5.10) ввести условную (реду- цированную) площадь сечения стрингера fv и условные напря- :'ния в нем ор, т. е. /р = . °Р = «СТ . (9-67) Стрингер с параметрами (9.67) можно условно считать изготовлен- !ым нз материала с модулем упругости Еп и использовать для рас- -₽та панели полученные выше соотношения. В частности, докри- . ческие напряжения в обшивке ст0 и в условием стрингере ар >пределяются формулой (9.62), если заменить /ст на /р, а истин- ные напряжения в обшивке и0 и стрингере о?т согласно равен- .твам (9.67) будут п NbE* _о NbEfyr сТ ’ Критическое значение величины внешнего усилия, вызывающего потерю устойчивости обшивки А^ир = окр (^г ). U* 355
Здесь сгкр определяется соотношением (9.63) при Е £0. Формуле для редукционного коэффициента ф (9.65) преобразуется к еле дующему виду [ост заменяется иа ор, а ир выражается через ост с помощью второго равенства (9.67)1: Предельное усилие определяется формулой (9.60). 9Лв2в Бало с тонкой С7кккйй Тонкостенная балка (балкз-стежг), похазамяая на рис. 9.21, а, является типовой расчетной моделью жерон! крыла современного самолета. Балка состоит из верхнего (/) и нижнего (3) поясов, стенки (4) и стоек (2), разделяющие стенку на систему независимо работающих панелей. При расчете ико«* стенной балки принимаются следующие гипотезы. 1. Внешняя нагрузка приложена только в узловых точках) (если задана распределенная нагрузка» то она распределяется по узлам). 2. До потери устойчивости стенка воспринимает только t аса- тельные напряжения т (см. рнс. 9.21, б). Другими словами, здесь предполагается, что из трех возможных усилий Nxt и Nxg плоского напряженного состояния (3.28) в стенке можно учиты- вать только касательные усилия Nxyt а нормальными силиямн Nx и можно пренебрегать, поскольку их роль в восприятии! внешней нагрузки мала по сравнению с ролью поясов и стоек. Итак, полагая в уравнениях (3.2.8) Nx — Nv = 0, но учим dNx„fdx — 0, dN.^ldy = 0, т. е. Nxy ~ const, и, следовательнсИ касательные напряжения т = N,„lh (h — толщина стенки) в пре- делах панели постоянны. 3. Пояса н стойки до потери устойчивости стенки ботают только на растяжение или сжатие. С учетом принятых гипотез тонкостенная балка оказывается! статически определимой, т. е. усилия н напряжения во всех ее элементах могут быть найдены из уравнений равновесия. Рас- смотрим некоторое сечение cd х = const (см. рис. 9.21, я), в кото- ром внешние силы образуют поперечную силу Q (х) и изгибающий] момент М (х) (см. рис. 9.21, б, в), и запишем условия равновесия^ отсеченной части балки. Проектируя все действующие силы на ось у, получим xhH = Q (х), откуда ” = (968) Равенство нулю моментов относительно точек с и d дает Wn-.= -Wn.. = -^- (9.69) 356
рис. 9.21, а), очевидно, следует принять т( = 0, а для крайней правой — т(+1 = 0.. В качестве примера рассмотрим балку, показанную на рис. 9.23, а. Имеем Q — Р. М = Р (21 — х), т. е. согласно ра- венствам (9.68)—(9.70) т, = т5 = P!hH, Nn. » =— = Р (21 — x)IH, N'„ = PylH, Ni, = 0, N3a = —Py/H. Напря - женное состояние балки показано иа рис. 9.23, б. °) D F’we. 9.23. Расареж-тсяее усилий и напряжений (б) 1 э.^аиентах тониоси»»«й быкж (а) 357
a) 5) В) Рис. 9.24. Зачтена ватервиией устойчивость стеккл (л) ШПММК по I Тй1?и8заощнж какр^згсний (й) и racm«U еадаурй®н©й©шеиньш нормальный КГ.ЭрЯл^йЙ 0» К 0$ («$ Из иэлоакеяяого тлде сждуст, что етен^ кадй иг.жлн находится в состояли чистого сд’йяга и’, следаигте<ид.п©, когда касательные напряжения t достигают критического значениям определяемого формулой (9.В5), теряется устойчивое, г» с образо- ванием системы косых воли» показанных на рис. 9.13. В формуле (9.55) а bt т. е. при / ;э Н а = / и b ~ Ht я при I < Н9 а ' = Н и Ь=*1. Для тонких стенок ^sp оказзивйется доеюдьею малой величи- ной и при дальнейшем возрастании нагрузки балка работает! со стенкой, потерявшей устойчивость. Строгий анализ поведения конструкции при этом требует решения исв:лютггельно сложном нелинейной задачи о закритической деформации пластины пр» сдвиге, одиако приближеннее решение может быть построено на основании гипотезы о существовании в стенк<е после потери устой-1 чивости «диагонального» поля растягивающих напряжении. Очи видно» что после образования системы косых волн (рис. 9.24, а) стенка в основном воспринимает нагрузку за счет рае.: hi .мощи! напряжений, параллельных гребням волн. В связи с. э^им будем считать, что стейка находится в состоянии одноосного растяжении 1 под углом а аз отношению к поясам (см. рис. 9.24, б). Эти напри-1 жения, в свою очередь, можно привести к сшюурависжешенноИ системе, напряжений ®х, о&, показанной на рис. 9.24, в. Для того чтобы это сделать, выделим из стенки два элемента, показании™ на рис. 9.25, и рассмотрим их равновесие. Проектируя силы» действующие на элемент /, на оси х и у и учитывая, что напряЗ жения о распределены по площадке со сторо- ной dx sin ее, получим. ©г «x>s 66 dx sin а — I — tdx — О, * t t - л о sin a dx sin ex —- 1 Рнс. y.2&. Самоуравновешеяная система напря- жений, догружающая пояса я стойки после по- тери устойчивости стенки — ftydx “ 0. 3:3
Аналогично для элемента 2 и cos a dy cos а — ovdy = О, a sin a dy cos а — х dy ~ 0. Первое и последнее равенства одинаковые, поэтому в итоге имеем три соотношения х = о sin a cos tx, ох = о cos3 а, = о sin3 а. Выражая из первого равенства о и подставляя во второе и третье, будем иметь 2х , , Sln^- C'x = Tctga, o, = Ttga. Из рис. 9.24, в следует, что, рассматривая равновесие отсеченной части балки и проектируя все силы на ось у, получим для т преж- нюю формулу (9-68). Таким образом, окончательно имеем 0= мДп'.’а ’ °’ = Т7ГГ,К '-’ °>'=_лЖ1Ва' <9-71) Рассмотрим определение угла а. Из рис. 9.24, в следует, что в ре- зультате потери устойчивости стенки напряжения ох и ау догру- жают пояса и стойки, уже имеющие усилия (9.69) и (9.70), вызван- ные внешней нагрузкой, дополнительными сжимающими силами. Поскольку эти напряжения равномерно распределены по длине и ширине панели, будем иметь АЛГП. в н •= О,5аж^/7 и ДМт = Д//ст — Ь,ЬСуЫ. Таким образом, с учетом равенств (9.69), (9.70) и (9.71) для балки, показанной на рис. 9.24, в, будем иметь Л4 = Р (I — к) и т — PlHh Nn., = ~тг(1~х) --4-ctga, “ К (1 Х) 9~ , (9-72) = 2-tgcx, Напряженное состояние стенки, поясов и стоек, определяемое первым равенством (9.71) и соотношениями (9.72), при произ- вольном а удовлетворяет всем уравнениям равновесия (откуда и были найдены напряжения и усилия), т. е. является статически возможным. Как следует из принципа наименьшей работы, сфор- мулированного в разд. 1.4.3, истинное напряженное состояние можно выделить из всех статически возможных, записав условие минимума дополнительной потенциальной энергии системы I/. 359
В рассматриваемом случае U складывается из энергии обшив! поясов и стоек, т. е. О = + О... + П„.. + и'„ + щ, - = ~2ЁТ hfil + J 2Е,'Х d* + f !£„F„ dx + 0 0 , ? W Л), г" <ЛУ’ . ,0J + J + J 2E„Ft,,d!/- <9-73l о 0 Здесь Eo, En, Ec, — модули упругости материала обшивки, поясов и стоек; Рп, Гст — площади сечения поясов и стоек. Подставляя в (9.73) а из первой формулы (9.71) и усилие согласно (9.72), после интегрирования получим тТ / 1 । 2РЛ । A//ctg3a , ~ 2Hh к Ео sin» a cos» а 3HFx£n + 2EnFn ' . tttg»a 2H4t \ 2FCT£rT +3ZFCt£cJ’ Условие минимума U имеет вид dUlda » 0. Окончательно после' некоторых преобразований из зтого условия получим tg4a = (l + Pn)Xl + ₽cT), (9.74) где рс = HhEtfoEvFri ₽ст = IhEJ^E^F^. Формула (9.74), вы- веденная для балки с одной стенкой, приближенно считается справедливой и в общем случае, т, е. используется для определе- ния угла наклона волн в отдельных панелях тонкостенной балки. Таким образом, усилия в поясах и стойках могут быть най- дены с помощью равенств (9.69), (9.70), определяющих состав- ляющие усилий, образовавшиеся до потери устойчивости стенки, и равенств (9.71), (9.63), определяющих дополнительные сжи- мающие составляющие, образовавшиеся в результате потери устой- чивости стенки. В качестве примера рассмотрим балку, показанную иа рис. 9.23. Пусть сила Р такова, что обе панели потеряли устой- чивость. Предположим для простоты, что параметры балки та- ковы, что в формуле (9.74) 0П = рст. Тогда tg а = 1, т. е. а = = 45°. Поскольку для обеих панелей Q = Р, из равенств (9.72) получим d = п], = PlhH, о* = о» = PihH. В принципе для определения усилий, образовавшихся в результате нагружения по схеме, показанной на рис. 9.25, необходимо рассмотреть си-г стему поясов и стоек как раму. Одиако, учитывая приближен- ный характер полученных выше соотношений, нагрузку обычно распределяют равномерно = Для поясов панели 2 будем иметь &Nn. в — н — —dlHh!2\ для поясов я анели 1 — а =| 360
АЛГС.Я — —cxxHhi2\ для ле- вой стойки AMi = —ctylhl2,\ для средней стойки A2V?T = — —(су + °v) ^2» для правой стойки &М4 = — Vylhi2. Окон- чательно будем иметь ^.^(V-4). Рис. 9.26. Суммарные усилия в поясах и стойках /vn„=-p(V+4)- №=4-(у-4). №==--£-, ^=-4-(9+4). Распределение усилий для балки с квадратными панелями (Z = = Н) показано на рис. 9.26. 9.Б. УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК 9.5.1, Уравнения устойчивости и постановка задачи Гладкие и подкрепленные оболочки широко распростра- нены в конструкциях летательных аппаратов. Так, иапример, несущие балки космического летательного аппарата представляют собой цилиндрическую оболочку постоянной или переменной толщины. Головные части летательных аппаратов выполняются в виде конической или оживальиой оболочки. Проектируемые для погружения в плотную атмосферу Венеры летательные аппа- раты имеют форму сферической оболочки. При воздействии нагру- зок, вызывающих сжимающие напряжения, оболочка может по- терять устойчивость, при этом нарушается ее первоначальная форма и значительно снижается способность воспринимать на- грузку. Наиболее распространенными на практике случаями нагружения оболочек, приводящими к потере устойчивости, являются воздействия осевой сжимающей силы на цилиндрические и конические оболочки, внешнего давления на цилиндрические, конические и сферические оболочки. Поведение оболочек при потере устойчивости существенно от- личается от поведения стержней и (пластинок. После достижения критической нагрузки деформация оболочки в закритической ста- дам возрастает, а нагрузка падает. В аналогичных же состояниях для стержней и пластин с увеличением деформации нагрузки не- прерывно возрастает. В качестве иллюстрации на рис. 9.27 пред- ставлена примерная зависимость прогиба сферической оболочки от величины внешнего давления. До давления РКр оболочка рав- номерно обжимается, сохраняя свою форму, прогиб линейно воз- растает и может бьтт-.ь опредэлен по безмомеитиой теории оболочек ~Л1
вращения, изложенной в разд. 4.3. После достижения критичя ского давления сферическая форма нарушается и воспринимаемая оболочкой нагрузка падает. Полное описание поведения оболочки требует привлечения сложных нелинейных уравнений, учитываю* щих изменение ее формы в процессе нагружения. Однако для опре- деления собственно критической нагрузки этого не требуется -I достаточно воспользоваться статическим критерием и линеари- зованными уравнениями устойчивости, т. е. реализовать для обо лочки схему расчета, изложенную в разд. 9.1.2. Согласно этой схеме необходимо прежде всего определить до критическое напряженное состояние оболочки. Наиболее рас пространенный подход к задачам устойчивости основан на пред- положении о безмоментном характере докритического состояния I оболочки. Как было показано, в разд. 4.3.2 для получения урав- нений, описывающих безмомеитное состояние, изгибиую жесткость оболочки D следует принять равной нулю, тогда в соответствии I с равенствами (4.16) исчезают моменты и сохраняются только 1 усилия Na, связанные тремя уравнениями равновесия | (4.17). Полагая в иих для докритического состояния в соответ- ствии с рис. 9.28 Na = — N&, 7V₽ = ~-N$, Nafi = — N^, qa =* = q$ = 0, qv = —q, получим а(в^) g(X^p) да "7* д₽ да + др ~ °’ д(Д^) дА_ дВ Q др + др а др *2 “ 7‘ Здесь А, Ви Rlt R2 — коэффициенты первой квадратичной формы и главные радиусы кривизны срединной поверхности оболочки (см. разд. 4.1.1). Предположим, что решение уравнений (9.75), определяющее докритические усилия, известно. Тогда для реализации стати- известно. Тогда для реализации стати- ческого критерия устойчивости обо- лочки необходимо придать некото- рое малое возмущение, характе- ризуемое дополнительными пере- Рис. 9.28. Докритичесиие усилия в обо- лочке Рис. 9.27. Характер зависимости _ г гиба сферической оболочки от величи- ны внешнего давления про- 362
мщениями и (а, р), о (а, Р), а> (а, Р) (см. рис. S.28). &гя пвреж- щения вызовут доислкмтельиые деформации ср«ви«ой п<яерх- ||«ТИ (4.12) 1 f © сМ f и» е“ ~ Л На + АВ df. + Я, ’ 1 . и дв . t® ш “ X + “лГ“ЭГ + (} 1 да . 1 dv и дА © дВ Та₽~-д--^-“Г "д' ,/£ ~~l£T АВ "да 9 углы поворота нормали (4.10) к 1 йан v 1 ди) /О «» = = %—В~ёГ (8-77) и изменения кривизн и кручение срединной поверхности (4.13) 1 д&а । 1 8А о I । I &В о »л ^q\ ** = ~л~нГ ' ^ав~^.л'л‘ «»=-Е—аГ + Чв"аГе“’ (S78) 1 9ва , 1 а«й «<х ад ®в а? = Т~аГ + Д'~ “"aF~ё» ~ ~ав ~ В соответствии с физическими соотношениями (4.16) возникнут дополнительные усилия и моменты, показанные на рис. 4.3, т. е. We = S(«o + Pe«). Ws = B(*P + pee)JVII3 = 0,5B(l —р)тв>, Ма = D (х„ -(- рие), /Лр = D (хе + !- х<х) (9.70) )М = 0,519(1 - р)м^. Здесь В = £7г/(1 — р2) и Р = Ей*/12 (1 — р2) — мембранная и изгибная жесткость оболочки. В соответствии со статическим критерием устойчивости далее необходимо записать уравнения равновесия оболочки в возму- щенном состоянии. Как было показано в разд. 9.2.1 и 9.3.1 на примерах стержня и пластийы, для записи этих уравнений можно воспользоваться обычными уравнениями равновесия, если заме- нить в них поперечную нагрузку условной нагрузкой (9.11) и (9.38), статически эквивалентной действию докритических усилий в возмущенном состояйин. По аналогии с равенством (9.38) для оболочки будем иметь q = N&« + s*on + A’hp- (S-80) где ио, х8 и хяВ определяются соо-яюшениями (9.78). Принимая тиирь » уравнениях ргнаомсиа для оболежи (4.17), (4.18) лз
Ча = 4t ~ 0, 'К- — Ч и учтивая (9.80), получим линеаризовав ные уравнения устойчивости S(BNa) , e(ANas) дВ .. дА АВ п п ' ~лГ“ + —ар----------"Г'-fc- l + ~кГ с“ = °- B(ANti) , a(BWo₽) rj ВА ВЦ AB . d(BQa) , д(АОЙ „ AB AB , + (9.81) + AB (N&a + -(- АГЩ,) = 0, - М,-™-+ - ABQa = 0, Таким образом, задача устойчивости оболочки сводится к урав- нениям (9.76)—(9.79), (9.81). Методом, описанным в разд. 4.1.3, эту систему можно свести к трем уравнениям типа (4.20) относи- тельно трех перемещений. При qa = = 0 и qv — q они будут однородными относительно перемещений. Согласно статическому критерию устойчивости необходимо в общем случае найти такую критическую комбинацию усилий М, ЛГЦ, Л^р, при которой эти уравнения имеют ненулевое решение, удовлетворяющее задан- ным граничным условиям. Типы граничных условий для оболо- чек были описаны в разд. 4.1.4. Решение задачи устойчивости для оболочки общей формы связано с большими трудностями, поэтому в дальнейшем будут рассмотрены типовые случаи нагру- жения наиболее распространенные цилиндрических оболочек. Широкий класс задач устойчивости ©писан в книге [12]. 9.5.2. Уравнения устойчивости для цилиндрической оболочки Рассмотрим цилиндрическую оболочку, показанную иа рис. 4.24. Вводя вместо аир осевую координату х и кольце- вую координату у, в соответствии с ’разд. 4.6.3 будем иметь А = — В — 1, Я, -► со, = R- В задачах устойчивости широкое применение получила упрощенная техническая теория цилин- дрических оболочек, описанная в разд. 4.6.3. Эта теория отли- чается от общей тем, что в первом уравнении равновесия (9.81) отбрасывается последний член, а в формулах для углов поворота (9.77) сохраняются только члены, содержащие прогиб. В резуль- тате, как было показано в разд. 4.6.3, уравнения технической теории совпадают с уравнениями теорин пологих оболочек (4.113)-—(4.119), в которых в рассматриваемом случае следует 364
принять R, -» ОО, R, = R, q, ~ q„ = 0, p = q, где в еоответ- itbhh с формулами (4.118), (4.11S) и (S.80) « = -(№^+2М,-^ + №^-). (9-82) Заметим, что это выражение совпадает с соответствующим равен- ством для пластин (9.38). В разд. 4.6.2 уравнения теории пологих оболочек были све- дены к одному уравнению (4.127), которое после подстановки Ri оо, Rs = R и р = q с учетом (9.82) и является линеаризо- ванным уравнением устойчивости дли цилиндрической оболочки DV4'VV’® + -j£--^- + + («7ST + ^ + JV^)=0’ <9’83> где v* = -^r + -^-. Очевидно, это уравнение является следствием системы (6.39) в работе [11. Докритические усилия определяются уравнениями (9.76), ко- торые в рассматриваемом случае имеют вид <9-84’ 9.5.3, Устойчивость цилиндрической оболочки при осевом сжатии Рассмотрим условия нагружения, показа иные иа рис. 9.29. Очевидно, решение уравнений (9.85), т. е. докритиче- ское поле усилий имеет вид M = № = RJ, = O. (9.85) Тогда уравнение устойчивости (9.83) можно записать в форме PVSWV«w + -^--^+WV,V2 (-§!-) = 0. (9.86) Необходимо найти минималь- ное значение W = #Кр, при ко- тором уравнение (9.86) имеет ненулевое решение f& (х, у). удовлетворяющее соответствую А щим граничным условиям. Рассмотрим сначала осесим- метричную форму потери устой- чивости, т. е. предположим, что прогиб w ие зависит от переменной у, а возмущенная форма оболочки соответствует Рис. 9.29. Цилиндрическая оболочка» нагруженная осевыми сжимающими усилиями Д' ж
пунктирной линии на рис. 9.29. При w ~ w (х) уравнение (94361 примет вид n d0® . Eh dhv . ,, rf8® - n jS Предположим, что края ободочки х — 0 и х ~ I шарнирно оаШ ты, т. е. Решение уравнения (9.87), удовлегиоряющее условиям (9.88), I будем искать в форме ряда ш = Hmsln-^p-, (9.89)1 где т — число полуволн изогнутой поверхности вдоль образу- ющей оболочки. Подставляя выражение (9.89), в уравнение (9.87), получим Очевидно, это равенство будет выполняться в тривиальном слу- чае, когда Ат = 0, т. е. w — 0, что соответствует исходной форме I равновесия оболочки. При Дт 0 равенство выполняется только! при условии обращения сомножителя в квадратных скобках в нуль.] Из этого условия получим Для различных целых чисел m получим соответствующие собствен-] ные значения интенсивности осевой нагрузки N. Минимальное из этих значений определяет критическое усилие Мкр. Если оболочку считать достаточно длинной, а число полуволн большим I числом, то величину (ггал//)2 = tj (вообще говоря, дискретную) можно полагать непрерывно меняющейся. Тогда необходимое условие минимума функции (9.90) dN/дц — 0 приводит к следу»! ющему критическому числу полуволна = V 12(1 — Р‘) а само критическое усилие согласно (9.90) имеет влд ]\J —2 V EhP £ Eh2 g« JI 866
Критические осевы е напряжения будут п 1 Eh «р h |Лз (1 — р*) R ' Эта формула была выведена Лоренцем и Тимошенко. Для боль- шинства металлов коэффициент Пуассона р равен 0,3. Тогда выражение для критических напряжений принимает более про- стой вид О1ф = 0,6-^- (9.92) и показывает, что отношение критических напряжений сжатия к модулю упругости материала одного порядка с отношением толщины оболочки к ее радиусу. Формула (9.92) получена в предположении, что форма потери устойчивости является осесимметричной. Неосесимметричную форму потери устойчивости оболочки удается аналитически ис- следовать только при единственной совокупности граничных условий на торцах х — 0 и х = I, соответствующих условиям свободного опирания (4.24), т. е. w = О, Мх = 0, о = 0, = 0. (9.93) Физически эти условия обозначают шарнирное крепление в отно- шении прогиба, защемление в отношении тангенциального пере- мещения и свободный край по отношению к осевым усилиям. Отметим, что последнее условие (9.93) не противоречит схеме нагружения, показанной на рис. 9.29. Усилие Nx в (9.93) яв- ляется дополнительным усилием, образующимся в результате потери устойчивости, а внешнее усилие уравновешивается до- критическим усилием (9.85). Как было показано в разд. 4.62 [см. равенства (4.129), (4.133)1, условиям свободного опирания удовлетворяет разложение типа (9.89). Учитывая, что прогиб должен быть еще и периодической функцией полярного угла Р = y/R, представим его в виде W = X У A„,nsln^~-slnn-^-. (9.94) m=l n—l Подставляя (9.94) в уравнение (9.86) и повторяя рассуждения, которые привели к соотношению (9.90), получим следующее, аналогичное ему равенство: 77 1 , О2 zoos) " ~ 12 (1 — р2) П (1 -|- О2)21] * 367
Условие минимума приведенной нагрузки N при условии непре-/. рывности переменной дает значение критического напряжения, которое определяется равенством (9.92), т. е. анализ неосесимметричной формы потери I устойчивости приводит к результату, который соответствует I осесимметричной форме. Критическая величина параметра! р позволяет установить, соотношение между числом осевых и коль-1 цевых полуволн изогнутой поверхности оболочки. Отказ/ от допущения о непрерывности переменной р в формуле для крити- ческих нагрузок (9.95) и учет дискретности параметров т/ и л позволяет обосновать приемлемость формулы (9.92) для широ- кого класса оболочек средней длины [12], таких что j 1-38/т<^<0-57/?- Экспериментальные исследования, выполненные зарубежными и советскими учеными, не подтвердили результатов, следующих из решения (9.92). Критические напряжения оказываются зна- чительно ниже теоретических, причем, чем меньше относительная толщина оболочки, тем различие больше. Ниже приведены ори- ентировочные экспериментальные значения коэффициента 'устой- чивости k в формуле окр = kEh/R [141: Rih 250 500 750 1000 1500 k 0,18 0,14 0,12 0,10 0,09 Отмеченное различие между теоретическим н экспериментальными результатами в настоящее время связывают в основном с нали- чием в оболочке начальных несовершенств ее цилиндрической формы. Определенное влияние на величину критических напряжений оказывают и краевые условия, которые в действительности могут отличаться от теоретических условий свободного опирания. Исследования устойчивости оболочки при граничных условиях, отличных от (9.93), проводятся по следующему алгоритму. Реше- ние разрешающего уравнения (9.86) отыскивается в виде суммы y)~-=^\sinnA£ег»*. (9.96) п-3 <=1 Здесь п — количество воли в окружном направлении; и — одни из восьми корней характеристического уравнения, которое полу- чается при подстановке в дифференциальное уравнение (9.86) функции 8У/П = sin л .
В целях удовлетворения восьми граничных условий (по четыре иа каждом торце) выражение (9.96) подставляется в однородные краевые условия. Б результате получается однородная линейная относительно коэффициентов At система алгебраических урав- нений. Равенство нулю определителя этой системы дает уравне- ние относительно критической нагрузки. В этом алгоритме для определения корней уравнения восьмого порядка и для раскры- тий определителя восьмого порядка используется ЭВМ. 'Расчеты показывают, что граничные условия типа w = = ^x = Nxt = 0 или (FtV аг п w = -^ = a = Af« = O для не очень коротких оболочек снижают величину критических напряжений примерно вдвое. Конечно, эти граничные условия так же, как и условия свободного опирания, в конструкции лета- тельного аппарата в чистом виде ие реализуются, но упругость закрепления краев оболочки безусловно проявляется в сторону снижения критической нагрузки по сравнению с классическим решением. Дальнейшие уточнения величины критической нагрузки осуществляются путем учета момеитности начального напряжен- ного состояния реальной оболочки, эксцентриситета приложения внешней нагрузки, начального изгиба и т. п. 9.5.4. Устойчивость цилиндрической оболочки при равномерном внешнем давлении Перейдем к задаче устойчивости цилиндрической обо- лочки под действием наружного равномерно распределенного по боковой поверхности давления (рис. 9.30). Уравнения (9.84) при q = const дают М = 0. №ху = 0, N°„ = qR. (9.97) Уравнение устойчивости (9.83) принимает вид Ч-5-)-»- В случае шарнирного опирания краев х — 0 и х = I граничные условия (9.88), как и ранее, автоматически удовлетворяются, если задать прогиб в форме ряда (9.94). Подставляя (9.94) в уравнение (9.98), после уже неоднократно повторявшихся рас- Рис. 9.30. Цилиндрическая обо- лочка, нагруженная равномер- ным боковым давлением (5.98) 369
суждений получим следующее равенство, являющееся аналогом (9.95): _ °* [Щ->№)•] + _____ - +..[(~)- + (т)’]'- Собственные значения наружного давления q зависят от чийла полуволн л в окружном направлении и т в направлении обра- зующей. Из множества чисел т при т = 1 величина q бур.ег наименьшей. Следовательно, прогиб оболочки по образующей будет осуществляться по одной полуволне (см. рис. 9.30) и фор- мула для наружного давления примет более простой вид ' „ _ Г1 । 1 / VI _____________kJ___L_____ (о 99) IP I п» ( R / J R п, |-1ч_1 ^R у у • 1 Отыскивая минимум функции q — q (п, n/R, Rll) по п для раз- личных параметров hlR и RU, можно получить критическое давление и соответствующую ему форму потери устойчивости. Для оболочки средней длины, такой что можно принять, что число полуволн в окружном направлении п велико и получить приближенный аналитический результат. Полагая, что n2 > (nR/l), можно упростить равенство (9.99) следующим образом: Минимум этой функции имеет место при «ь,=узб(1 4 и равен 9кр = 0,856-^4(4)-. Последнюю формулу обычно называют формулой Саутузлла — Папковича. Оиа подтверждается экспериментальными результа- тами значительно лучше, чем формула (9.92) для осевого сжатия (экспериментальные значения получаются в среднем иа 70— 75 % меньше теоретических). Уточнение с/кр осуществляется в результате учета факторов, перечисленных в разд. 9.5.3. 370
9.5.Б. Устойчивость сферической оболочки гари внешнем давлении Потеря устойчивости сферической оболочки под дей- । ем внешнего давления, разномерно распределенного по по- сети, начинается с поя в. шил небольшой локальной вмя- . илн возгмкновеш.й с -н вмятин н выпуклостей по псверх- । .хи сферы. Будем рассматривать ид. дльную сферическую обо- 1ду, нагруженную нормальными к поверхности статическими днями, для которой толщина h и радиус срединной поверх- :ти совершенно не меняются, а материал оболочки абсолютно эроден и предел его пропорциональности значительно выше даемых критических напряжений. Для определения критических напряжений в сфере (критиче- *о внешнего давления) воспользуемся статическим критерием гойчивости и составим линеаризованное уравнение устойчи- - ети. Согласно уравнениям (9.75) докритическое устойчивое равно- г-.'24ое состояние рассматриваемой оболочки описывается уси- лиями М = = 0. (9.100) угветствующими нормальным напряжениям а = qR/2h. (9.101) ялу локального возникновения вмятины на поверхности сферы юмеит потери устойчивости смежное изгибное равновесное :тояние оболочки можно описать уравнениями теории пологих элочек. Согласно этой теории 'криволинейные координаты сс, срединной поверхности идентифицируются с декартовыми коор- натами х, у на плоскости. Для случая сферической оболочки в уравнениях (4.125), (4.126), следует принять Rr — R2 — /?, р = —q. Тогда эти уравнения саоцятся к одному DV2VaV2i» + -^-V2t« + V*? = 0. (9.102) •десь под символом V2 понимается оператор Лапласа ф = _________ v дх* ду* Условная нагрузка (9.80) для докритических усилий (9.100), оответствующих напряжениям (9.101), и для кривизн пологой "елочки (4.118), (4.119) запишется в виде q = qR?\?'wl2 = Тогда уравнение устойчивости (9.102) будет таким: DVWffl -F oW8V*o> + V’w = 0. (9.103) 371
Одна из возможных форм потери устойчивости сферы — осесим- метричная. Представление о такой форме может дать водная по- верхность, когда в воду сбросили камень. При этом высота греби ней расходящихся кругов уменьшается по мере удаления от мест^ падения камня. Для описания осесимметричной формы потери устойчивости перейдем к полярной системе координат (г, ср) на пологой сферической оболочке. Оператор Лапласа в полярной системе координат для осесимметричной функции прогиба w (г) имеет вид г-2 i d / dw \ V =-------л— ( г -j- ) г dr \ dr } и в уравнении устойчивости (9.103) тогда следует понимать именно этот символ V2w. Положим [12], что форма потери устойчивости описывается функциями Веселя /0 (1г) первого рода с индексом 0. Эти функ- ции удовлетворяют уравнения d-w , I dw , л о л ....------р ;,2W = о сг2 1 г dr 1 ИЛИ V2w + 12и> = 0. Здесь 1а — неопределенный параметр. Тогда из уравнения (9.103) будем иметь выражение для напряжений в точке бифуркации ° /> + RW ’ Минимум этой функции о ~ а (I2) реализуется прн -V -/>2о-и -ж <9-104) и равен значению Критическое внешнее давление q, соответствующее этому напря- жению согласно формуле (9.101) [14] (9-106)| Таким образом, формула для критических напряжений сферы (9.105) совпадает с выражением (9.92) для критических напряже- ний цилиндрической оболочки. Опыт показывает, что реальные сферические формы тонкостей-1 ных конструкций теряют устойчивость при напряжениях, не пре- вышающих четверти напряжений, вычисляемых по формуле (9.105). Дело в том, что технология изготовления сферических оболочек позволяет получить конструкции лишь с определенной I 372
степенью точности как по толщине ее, так и по радиусу сферич- ности. Исследованиями же установлено, что жесткость оболочки существенно уменьшается при даже малом начальном прогибе и смежное равновесное состояние возникает при внешнем давле- нии, более низком, чем получаемое по формуле (9.106). Наличие локальных зон пластических деформаций, возможных внешних возмущений, микронеодиородностей в материале — все это также снижает уровень критических напряжений. В практике экспе- риментальных исследований известен случай, когда реальные критические напряжения в сферической оболочке достигали 90 % от классического значения (9.105). Конструкция была столь совершенна, что при отношении радиуса к толщине, рав- ном 165, максимальные отклонения по толщине составляли 3/'4 %, а изменения по сферическим — 0,01 % от радиуса. На практике для определения расчетных критических напря- жений и внешнего давления сферических тонкостенных конструк- ций высокого класса изготовления можно пользоваться форму- лами орасч = kiEh/R, 9расч == ^Е (h/R)* и приведенной ниже таблицей [141: Л/4 «260 S00 760 1000 1Б00 Ь1 0,15 0,12 0,10 0,08 0,075 0,3 0,25 0,20 0,16 0,15 Нередко реальные конструкции летательных аппаратов не удов- летворяют перечисленных выше условий, при которых получают формулы для критических напряжений (9.92), (9.105). Удовлетворительные результаты по сравнению с эксперимен- тальными данными получаются при расчете локальной потери устойчивости в виде одной или нескольких вмятин или выпук- лостей. При этом учитываются условия сопряжения с невозму- щеиной поверхностью оболочки [1 ]. Решение задачи рассматри- вается с позиции теории пологих оболочек при различных вариан- тах условий сопряжений по контуру волнообразования. Наи- меньшее значение из получающихся критических напряжений предлагается применять при практических расчетах.
ГЛАВА 10 КОЛЕБАНИЯ КОНСТРУКЦИЙ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ | АППАРАТОВ 16.1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ПРИКЛАДНЫЕ МЕТОДЫ ДИНАМИКИ. УПРУГИХ СИСТЕМ ЮЛ Л. Расчетная схема конструкция Современные летательные аппараты различных форм и назначений являются сложными динамическими системами. Силовая конструкция летательного аппарата состоит из тонко-1 стенных элементов, является упругодеформируемой и в процессе! эксплуатации может совершать колебательные движения. В ди- намике упругих летательных аппаратов возникает много раз-1 личных проблем, связанных с определением динамических на- грузок, обеспечением устойчивости, снижением уровня вибраций и шума. Эти проблемы долзкны решаться при проектировании и доводке конструкции и системы автоматического управления I летательного аппарата. Для этого должны быть выполнены coot- I ветствующие теоретические исследования и расчеты и проведены I необходимые эксперименты на моделях или натурных объектах.] Для теоретического решения проблемы должна быть выбрана соответствующая расчетная схема, математическая модель кото-1 рой адекватно описывает все характерные особенности рассма- j триваемого явления. В зависимости от вида конструкции и ха- рактера возбуждения в колебаниях может участвовать вся кон- струкция или только ее части. Например, для самолетов с лег-1 кими гибкими крыльями и массивным жестким фюзеляжем при колебаниях крыльев фюзеляж практически остается неподвяиЛ ным. Аналогичная картина может наблюдаться при колебаниях других частей или элементов летательного аппарата, таких как рули, панели обшивки, тяги рулевого управления, блоки аппа-1 ратуры и пр. Такие локальные вибрации могут происходить только! при существенной неоднородности жесткостей и масс, что является характерным для сложных составных тонкостенных конструкции летательных аппаратов. При выборе расчетной схемы для конструкции в целом или для отдельных ее элементов обычно используются известные прибли- женные модели в виде пружин, балок, пластин, оболочек, про- странственных тонкостенных систем н их комбинаций. Например,, самолет с прямыми или стреловидными крыльями бсльшогш удлинения может рассматриваться как система перекрестный балок, работающих иа изгиб н кручение; панель обшивки может] рассматриваться как пластина или пологая оболочаа, опираю* 374
Рис. 10.1. Расчетная схема корпуса летательного аппарата: и —балка; б •— совокупность отсеков: в — совокупность дискретных мае 1 vfx, t) 6) щаяся на неподвижные пол- ки лонжеронов и иервю*' (шпангоутов). В качестве примера по- строения расчетной схемы рассмотрим тонкостенную конструкцию типа корпуса летательного аппарата (рис. 10.1, а). Для анализа поперечных колебаний расчетная схема может быть выбрана в виде балки, удовлетворяющей гипотезе плоских сечений без учета сдвигов, поперечное перемещение оси которой характеризуется функцией v (х, t). При распределенной массе балки т (х) поперечные колебания описываются дифференциаль- ным уравнением в частных производных и система имеет беско- нечное число степеней свободы. Может быть построена более простая дискретная модель, обладающая конечным числом сте- пеней свободы. Для этого балка разбивается поперечными сечеииямн на конечное число отсеков, а в качестве неизвестных рассматриваются поперечные перемещения vh (t) и углы поворота Фд (/) в сечениях, разделяющих отсеки (см рис. 10.1, б). Через ннх выражается перемещение v (х, I) в других точках отсеков, причем для упрощения вычислений часто считается, что жест- кость и масса не изменяются по длине отсека. И, наконец балка может быть заменена системой упругосвязаниых сосредоточен- ных масс при этом в качестве неизвестных рассматриваются поперечные перемещения этих масс од (0 (см. рис. 10.1, в). Более точная расчетная схема рассматриваемой конструкции получа- ется при учете сдвигов, инерции вращения и относительных движений наполнителя, а также депланаций сечений и местных податливостей в районе вырезов и сочленений. Такне уточнения необходимы, например, если предполагается рассчитывать коле- бания по более высоким формам (сильно меняющимся вдоль длины) или колебания, вызванные ударными воздействиями. Таким образом, расчетная схема представляет собой некоторую упрощенную модель конструкции, справедливую в опре- деленных пределах н ориентированную на решение определен- ного класса задач. Далее будут рассматриваться только малые колебания, при- чем считается, что система является физически и геометрически линейной. Связи, наложенные на систему, считаются стационар- ными и идеальными. 10.1.2. Принцип Даламбера—Лагранжа Уравнения колебаний систем с сосредоточенными или распределенными параметрами можно составить исходя из об- 375
щего принципа Даламбера — Лагранжа, который является обоб щением иа задачи динамики вариационного принципа Лагранжа (см. разд. 1.3, гл. 1). Согласно равенству (1.28) для статической! задачи должно выполняться условие бU — 6Л — 0. Примени.^ тельно к задаче динамики идеальной .упругой системы, у которой I не происходит рассеяния энергии, учитывая согласно принципу] Даламбера силы инерции, будем иметь &U — 6ЛР — 6Л< = 0. (10.1) 1 Здесь 6(/—вариация потенциальной энергии системы; бЛр и 6Л4—вариации работы внешних и инерционных сил. Отметим,! что вариации энергии и работы вычисляются иа любых возмож-1 ных Перемещениях, т. е. таких, которые не нарушают оплошно-1 сти тела и наложенных на систему геометрических связей. При этом вариации перемещений считаются бесконечно малыми., чтобы в пределах их изменения инерционные силы и внешние силы (если последние зависят от перемещений или их производных) можно | было считать постоянными при вычислении их работы. Для системы с распределенной массой плотности р, находя- щейся под действием поверхностной нагрузки с вектором р, вариации работы внешних и инерционных сил равны 6АР= fJptadS. = ДрайвdV, (10.2) где V и S —- объем и поверхность тела; и — вектор перемещений I точки тела. Для системы сосредоточенных масс где k = 1, 2, имеем = £ Р,6вй. 6А, = - Е |»л6вк. (10.3) Здесь Ph и uh — векторы внешних сил и перемещений, отсчиты-1 ваемых от положения равновесия. Уравнение в вариациях (10.1) рассматривается совместно I с уравнениями геометрических связей (уравнения неразрывности, | геометрические условия сопряжения, геометрические граничные | условия). Из уравнения (10.1) могут быть получены дифферента- 1 альные уравнения движения, статические граничные условия,! а также статические условия сопряжения. 10.1.3» Уравнения Лагранжа в обобщенных координатах Пусть расчетная схема системы с учетом геометрических] связей имеет s-степенен свободы, т. е. s взаимно независимых! движений, которые она может совершать. При этом перемещении 1 системы выражаются через s-обобщенных координат qt (/), i w = 1, 2, ... s, которые являются скалярными функциями вре- 176
менн и могут быть перемещениями или углами поворота в отдель- ных точках системы МО «^(<71(0, МО) (*=h 2, ...), (10.4) или параметрами, характеризующими движения по любым за- данным линейно независимым возможным перемещениям и(х, у, z, t) = u(x, у, z, М0---&(0)- (Ю.5) Из уравнения (10.1) с учетом независимости произвольных вариаций обобщенных координат bqt могут быть получены извест- ные из теоретической механики уравнения Лагранжа в обобщен- ных координатах d { дТ \ дТ . dU t; i о \ лл -л + = (, = 1’2.....s)- <10-6) Здесь Т и U — кинетическая и потенциальная энергия системы, записанная в обобщенных координатах; Qi (f) — обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате qt (/). Чтобы получить выражения для обобщенных сил, необходимо с учетом зависимостей (10.4) или (10.5) записать вариацию работы внеш- них нагрузок в виде 6ЛР= Ее;б?г. (10.7) Если внешние силы отсутствуют или если в более общем случае они имеют потенциал П (qlt ..., qs) и <2- = --^ 2- S)- <10-8) то рассматриваемая система с идеальными стационарными свя- зями является консервативной. В этом случае, используя урав- нения (10.6) с учетом (Ю.8), можно показать, что для такой си- стемы имеет место закон сохранения механической энергии Т + U + П = const. (10.9) Внешние силы, удовлетворяющие условиям (10.8), называются консервативными. 10.1.4. Уравнения малых колебаний системы с конечным числом степеней свободы Рассмотрим малые колебания (отклонения) системы относительно некоторого положения равновесия, в котором она находится, если на нее не действуют возмущающие силы. Для общности положение равновесия будем считать как устойчивым, так и неустойчивым. Последний случай часто встречается в ди- намике упругих летательных аппаратов, находящихся в усло- виях свободного полета. 377
Будем отсчитывать обобщенные координаты от положения рав ; новесия, считая, что в положении равновесия они равны нулю, т. е. qt = q2 = ... = qs — 0. В положении равновесия потен-] циальная энергия U имеет стационарное значение (см. разд. 9.1), поэтому (•^-)о = С = ••• <10-10’ где нижний индекс «0» показывает, что производные вычисляются I при = q2 = ... = qs = 0. Если в положении равновесия си- стемы ее потенциальная энергия является минимальной, то это положение устойчиво, в противном случае положение равнове- сия неустойчиво. Запишем выражение для потенциальной энер- гии как функции обобщенных координат U q2, ..., qB). Рас- кладывая ее в ряд Тейлора в окрестности положения равновесия! и ограничиваясь квадратичными членами, получим и=+S Ш +4 Ё S (те)» <101 ’ > /=1 1 /=| Здесь Uе == U (0, 0, ..., 0) является несущественной константой,I которую можно приравнять нулю, если считать, что в положении! равновесия потенциальная энергия равна нулю. С учетом уело- | вий (10.10) потенциальная энергия системы (10.11) при малых! колебаниях относительно положения равновесия принимает вид квадратичной формы обобщенных координат s s и = (10-12> Коэффициенты 1 \ dqt dqj /а называются коэффициентами обобщенных жесткостей; они ян ляются симметричными, т. е. ky = k}i. Если положение равновесия, около которого колеблется система, устойчиво, то квадратичная форма (10.12) является по ложительно определенной. Это значит, что при любых действи- тельных значениях переменных дг, q2, ..., q8, если все они одно временно не равны нулю, потенциальная энергия принимав только положительные значения. Рассмотрим сначала распределенную систему. Раскладывая вектор перемещения (10.5) в ряд Тейлора вблизи положении равновесия qy = q2 = ... == qs = 0 и ограничиваясь линейными членами, получим в=ЁШ»^ <1<ш’ *=1 378
c провзесгтаг» ^й^Чс/eBJe зависят от зрименн. Тогда вджацде фШ'2^5Шйе скорость и /скороде сл^елякгэгл пак м" §(% )Л!- »”j(-€)>- (МШ> запишем выражение для кинетической энергии системы с учетом формулы для скоростей (