/
Текст
НАЧАЛЬНЫЯ ОСНОВАНІЯ
ЧИСТОЙ МАѲЕМАТИКИ
» • * чй
сочиненныя
НИКОЛАЕМЪ фуССО
содержащая
Начальныя Основанія Алгебры,
извлеченныя изъ основаній сея науки
знаменитаго. Эйлера
и выпь вновь изданныя оптъ Главнаго
Правленія училиіць.
I
НАЧАЛЬНЫЯ ОСНОВАНІЯ
алгебры.
%
- - -
ОТДѢЛЕНІЕ I.
О разныхъ родахъ исчисленія простыхъ
или несложныхъ количествъ.
ГЛАВА I.
Общее понятые обЪ Алгебрѣ.
§ і-
Велнчиною или Колпчес'пвомЪ называется
все то, что увеличиться либо уменшиться
можетъ. И такъ сумма денегъ, вѣсъ, про
шяженіе, суть количества, потому что оныя
могутъ прибавиться и убавиться.
§ 2-
Различные роды величинъ или количествъ
составлянігпь разныя части Маѳематики, изъ
коихъ каждая занимается особымъ родомъ
величинъ. Геометрія, на примѣръ, разсуждаетъ
о количествахъ протяженія; Механика о ко-
личествахъ силъ и движенія; Оптика о количе-
ствахъ свѣта и прсч. Маѳематика вообще
есть не что иное- какъ наука о измѣреніи
количествъ.
§ 3.
Что бы измѣрить какое нибудь количество,
то надобно принять другое того же рода
количество за извѣстное, и сыскать ско^ы.о
разъ сіе послѣднее содержится въ первомъ.
II такъ, что бы опредѣлить какую ниО; дь
‘‘У^У денегъ, принимается за извѣстное
\
»
6
количество червонецъ, рубль, или иная мо-
нета, и сыскивается сколько такихъ монетъ
въ помянутой суммѣ содержится. Грузъ или
вѣсъ опредѣляется, принимая за извѣстное
количество пудъ, ф)нтъ, или другой какой
ни будь вѣсъ, и сыскивая сколько разъ сей
извѣстный вѣсъ содержится въ искомомъ вѣсѣ.
§ 4-
і т
Таковое отношеніе всегда опредѣляется
числами} откуда слѣдуетъ, что число есть
не что иное, какъ отношеніе одной величины
Къ другой, по произволенію за единицу взятой.
$ 5-
Отсюда явствуетъ, что всѣ величины
мог) тъ быть изображены числами, и что
познаніе различныхъ способовъ исчисленія,
чечу научаетъ Ариѳметика, должно быть
основаніемъ асѣхъ маѳематическихъ иа^къ.
§
Но въ Ариѳметикѣ предлагается о нѣкото-
рыхъ токмо способахъ исчисленія: она даегпъ
правила для полученія только нѣкоторыхъ
выводовъ. Напримѣръ, чтобы отвѣтствовать
на сто вопросовъ того же рода, то надобно сто
разъ повторить тоже исчисленіе. Напротивъ
того Алгебра имѣетъ предметомъ свЪимъ
способы, ведущіе къ разрѣшенію всѣхъ во-
просовъ одинакаго рода одинакимъ образомъ
7
исчисленія, пт. е. она приводитъ къ общимъ
правиламъ рЬшенія всѣхъ вопросовъ, какіе о
количествахъ предложить можно, не занимаясь
впрочемъ, какъ и Ариѳметика, особыми родами
количествъ, каковые разсматриваются , какъ
мы замѣтили выше (§2.), въ другихъ ча-
стяхъ Маѳематики.
§ 7-
Для достиженія сей цѣли, т. е. что бы
правила привести во всеобщность, Алгебра
не можетъ употреблять шЬхъ же знаковъ,
какими изображаются количества въ Ариѳме-
тикѣ; она требуетъ общихъ знаковъ, которыми
бы можно было выражать всякія числа, накія
кто пожелаетъ. Для сего употребляются въ
Алгебрѣ буквы.
§ 8.
Помощію сихъ буквъ производится въ Алгебрѣ
то же, что въ Ариѳметикѣ числами. Онѣ также
слагаются, вычитаются, умножаются, дѣлятся
и проч.; но сіи исчисленія въ Алгебрѣ часто
Суть токмо единыя означенія исчисленія,
помощію особенныхъ знаковъ, которые въ
слѣдующихъ главахъ изъяснены будутъ.
а
ч р Г Л А В А II.
О сложеніи, и вычитаніи простымъ
количествъ.
§ 9-
Ежели къ какому нибудь количеству надобно
приложить другое данное количество, то сіе
означается помощію знака который ста-
вится передъ прилагаемымъ количествомъ и
выговаривается плюсЪ или сЪ. Напримѣръ
5 -|- 3 значитъ, что къ числу 5 должно при-
дать число 3, отъ чего произойдетъ сумма 8.
11 такъ, 5 3 = 8, гдѣ знакъ~ выговаривается
равно или тоже что.
Подобнымъ образомъ:
12 4-7= 19>
7 4-54-д = зі,
і8 4- 5 4- 1 4“ 6 = 28,
и такъ далѣе.
§ ю,
, Все сіе весьма ясно, и сіи примѣры достаг-
гпочпы къ изъясненію какимъ образомъ слага-
ются данныя количества,изображенныя буквами.
И такъ, а Ь показываетъ сумму двухъ
количествъ а и Ь, которыя могутъ пред-
ставлять такія числа, какія кому угодно
6 д< ть. Равнымъ образомъ и пока-
зываютъ сумму чиселъ, означенныхъ чегпырмя
9
буквами а, Ь, с, А. Теперь нужно тпол»*о знать
какія числа разумѣются подъ сими "квачи,
чтобы, по правиламъ Ариѳметики, тотчасъ
сыскать сумму или точное знаменованіе сихъ
б\ квенныхъ количествъ, которыя, какимъ бы
образомъ составлены ни были, называются ал-
гебраическими выраженіями иди формулами.
§ и.
Ежели одно количество надобно вычесть изъ
др\гаго, то передъ вычитаемымъ количествомъ
ставится знакъ —, который выговаривается
мннѵсЪ или бевЪ. Н такъ, 8 — 5 значишь, что
изъ числа 8 должно вычесть 5, отъ чего
останется 3, и потому 8 безъ 5 будетъ тоже
что 3. Сіе вычитаніе пишется такимъ обра-
зомъ: 8 — 5 — 3.
Послѣ сего примѣра не трудно понять, что:
12—7= 5>
2і — 14 — 3 _ 4»
5о — 3 — 5 — 7 = 35,
гдѣ послѣдній примѣръ показываетъ, что
вычесть изъ числа 5о число 3, потомъ 5 изъ
остатка, и 7 изъ послБдпяю остатка, есть
тоже, что вычесть изъ 5о сумму 3, 5, и 7,
ню есть і5г
§ <2.
Замѣтивъ сіе, не трудно будетъ понять
значеніе сей формулы: 12 — 3 — 5 4-2 — і —5.
ІО
Стоитъ только взять сумму чиселъ,
ющихъ предъ собою знакъ ,
и вычесть
изъ
нихъ сумму чиселъ, имѣющихъ
знакъ —, и будетъ
4- <2 4-2 — + ’4
— 3 — 5 — I — — 9
елѣдоващельно і4 — 9 — 5.
предъ
собою
§ іЗ.
Изъ сихъ примѣровъ явствуетъ, что числа,
соединенныя сими знаками, могутъ разполо-
жены быть совершенно произвольнымъ поряд-
комъ , лишь бы только каждое число имѣло
свой знакъ. Предложенный въ § 12 примѣръ
показываетъ, что
12 — 3 — 5 3 — і — 5.
Тоже будетъ и въ слѣдующей формулѣ ;
— З-І-124-2 — і — 5=5,
2 — і — 5 4" 12 — 3 = 5,
и такъ далѣе. При семъ случаѣ замѣтимъ,
что ежели передъ первымъ числомъ нѣтъ знака,
то подразумѣваетсн тутъ всегда знакъ 4--
§ М-
Столь же вразумителенъ будетъ теперь
алгебраической образъ сихъ исчисленій, когда
вмѣсто чиселъ поставите» буквы. Напримѣръ:
а — Ъ —с-\-сІ— е показываетъ, что изъ суммы
количествъ а и Л то есть, вычитается
Гумма количествъ Ь, с, е, то есть, ^4“сФ*е’
11
§ і5.
И такъ, обращать вниманіе на знакъ, стоящій
передъ каждымъ количествомъ, есть дѣло
крайней важности. Количества, предъ кото-
рыми стоишь знакъназываются положи-
тельными , а тѣ, предъ которыми стоитъ
знакъ—, именуются отрицательными, ко-
личествами.
§ іб.
Образъ, какимъ обыкновенно означается чье
иибудь имущество, весьма удобенъ къ объя-
сненію положительныхъ и отрицательныхъ
количествъ. Положительными числами, или
знакомъ-}-, означается то, что человѣкъ дѣй-
ствительно і«* Бетъ; а отрицательными, или
знакомъ—, то, чѣмъ онъ долженъ другимъ.
II такъ, ежели скажутъ, что такой то
имѣетъ юоо рублей, а долгу на немъ 2 >о
рублей, то настоящее его имѣніе составляетъ
юоо—260 = 750 рублей.
§ »7*
Поелику отрицательныя числа можно прини-
мать за долги, между тѣмъ какъ положитель-
ными означается дѣйствительное имущество,
то можно сказать, что отрицательныя числа
суть менѣе нежели ничего. II такъ, когда кто
ничего не имѣетъ, и даже еще 5о рублей
долженъ, то онѣ дѣйствительно имѣетъ 5о
12
рублей менѣе нежели ничего. Ибо, ежелибы
кто подарилъ ему 5о рублей на уплату долга,
то и тогда бы онъ ничего не имѣлъ, хотя
бы былъ богатѣе прежняго.
5 <8.
Для объясненія сего другимъ примѣромъ,
положимъ, что отъ произвольнаго числа,
напримѣръ: іо, отнимается по перемѣнно і, мы
получимъ рядъ чиселъ: ю, д, 8, у, 6, 5, 4» 3,
2, і, о,— і, —а, -г— 3, — 4? — 5 и проч. Откуда
явствуетъ, что всѣ числа, предшествующія
нулю или о суть больше нежели ничего; а
слѣдующія послѣ о меньше ничего; и что
всякое положительное число, безпрерывно
уменшающееся, сдѣлавшись о. становится
Мотомъ отрицательнымъ числомъ.
’ § 19-
Всѣ сіи числа, какъ положительныя такъ и
отрицательныя, имѣютъ общее имя цѢлыхЪ
чиселЪ, которыя, какъ выше сказано, бываютъ
больше либо меньше ничего. Они называются
цѣлыми числами для того, чтобы отличить
илъ отъ другаго рода чиселъ, о коихъ будетъ
предложено послѣ.
§ 20.
Правильное понятіе объ отрицательныхъ
количествахъ въ Алгебрѣ весьма важно. Здѣсь
мы ограничиваемъ себя примѣчаніемъ, чшо
13
л — I _ о
2 — 2 ~ О
з — 3 — О
а — а — о»
Потомъ замѣтимъ, что э—5 составляетъ
_3. Ибо, еспіьли кто имѣетъ а рубля , а
5ю рублями долженъ; то онъ не только ничего
не имѣетъ, но еще на немъ 3 рубля долгу;
слѣдовательно у него — 3 рубля. 11 такъ
а — 5 = — 3
7 — 12 — 5
а5 — 4° = —
Наконецъ — а — 3 составляетъ — 5. Ибо ,
еспіьли я одному долженъ а рубля, а другому
3, то долженъ всею 5 рублей, и потому
— а — 2 — — 4
-------- I - 2 - 3 = --6
— 3 — 5Т7 — 9 — — з4-
и проч
Оттуда явствуетъ , что сумма ахъ, Зхъ,
4хъ, и проч. отрицательныхъ количествъ есть
отрицательная.
§ 21.
Желающій знать вообще к^кой знакъ будетъ
имѣть разность двухъ чиселъ а и Ьг то есть
а — долженъ принять въ разсужденіе два
случая: ій]. Когда а больше нежели Ь ( что
пишется такъ: а > гдѣ знакъ ^замѣняетъ
слово больше }, тогда Ь вычитается изъ а, и
'4
остатокъ получаетъ знакъ большаго количе-
ства, тЛесть,-}-. 2Й]. Когда а меньше нежели Ъ
(что изображается такъ: а < Л, гдѣ знакъ
выговаривается меньше), тогда а вычитается
изъ Ь, и остатокъ получаетъ знакъ большаго
количества у то есть-—.
§ 22.
Количества отдѣленныя между собою зна-
ками и —, коихъ значеніе изъяснено уже въ
началѣ сей Главы, называются членами тѣхъ
количествъ, коихъ они суть части. Посему
а, Ь, с суть члены количества а — Ъ с; а
количество, составленное такимъ образомъ
изъ 2, 3, 4ХЪ или болѣе членовъ, называется
сложаымЪ количествомъ, чтобы отличить
его отъ простыхъ количествъ, состоящихъ
изъ одного токмо члена. Сложныяжъ количества
бываютъ двучленныя, тречленныя, четыре-
члс-.іныя и вообще Многочленныя количества,
смотря по числу членовъ, изъ коихъ оНи
составлены.
ГЛАВА III.
О умноженіи простыхъ количествъ*
§ 2.3.
Когда два или болѣе равныхъ количествъ
слагаются вмѣстѣ, то сумма выражается а
безъ знака Напримѣръ
і5
а л —
и сі ® Зл,
а Ц- о "4" а 4“ а ~
и такъ далѣе, гдѣ должно , примѣчать , что
аа значитъ а жды а
За значитъ 3 жды а.
значитъ Д жды а.
ІІзъ сего видно, что умножать количество
на какое нибудь число есть не что иное, какъ
прикладывать сіе количество столько разъ къ
самому себѣ, сколько оное число содержитъ въ
себѣ единицъ.
§ 24-
II такъ, чтобы умножить количество ,
означенное буквою, на какое нибуДь число,
ставится сіе число просто п|эедъ буквою.
Напримѣръ:
а умноженное па 20 составляетъ зоо,
Ь умноженное на Зо составляетъ Зо^,
с умноженное на і составляетъ іс и’хи с,
гдѣ, какъ то изъ Ариѳметики извѣстно, ко-
личество, которое получается чрезъ умноже-
ніе одного^ числа на другое , называется
произведеніемъ.
§ а5.
Таковыя ппоизведенія можно умножать еще
на другія числа. Напримѣръ:
Іб
э жды Зп составляетъ
3 жды составляетъ і^Ь,
5 ю составляетъ 35л?.
А сіи новыя произведенія можно умножать
еще на другія числа такимъ же образомъ.
§ 26.
Ежели множащее число также означено бук-
вою, то она Ставится непосредственно перёдъ
другою. Напримѣръ, коіда Л умножается на л*
тоіда произведеніе пишется аЬ\ а произведеніе
аі/, умноженное на с, даетъ саб.
8 27-
При семъ случаѣ должно замѣтить, что
количества г, а, Ь называются множителями
произведенія саЬ} и что сіи множители не
имБютъ предписаннаго порядка, въ которомъ
бы ихъ писать надлежало, такъ что аі>с
значитъ тоже что Ъса или саЪ. Сіе лучше
объяснится примѣромъ* ибо
3 жды 4 умноженное на 5 даетъ 6о
5 ю 4 умноженное на 3 даешь 6о
4 жд.ы 5 умноженное на 3 дастъ 6о
и такъ далѣе.
§ 28.
Отсюда явствуете, что для означенія про-
изведенія двухъ, или болѣе чиселъ, множители
не пишутся просто одинъ подлѣ другаго, какъ
буквы въ § збмъ. Ибо ежели вмѣсто 3-жды 4,
умноженныхъ на 5 написать 345; то вмѣсто
6о будетъ 345. Чтобы не сдБлашь сей ошибки,
то ставится между численными множителями
точка или крестъ Съ. Андрея. Посему 3. 4
или 3x4 — 12 выговаривается 3 жды 4 тоже
что 12 или равно 12. Такое же значеніе имѣютъ
и сдБдующія произведенія:
і.з.З —6
® $ 2 . Зх. 4а — 24л
! 3.5.у. даЬ =
/' іи^такъ далѣе. ‘ •
§ 29-
До сихъ поръ разсуждали Мы о положитиель-
^іыхъ только числахъ, и не имѣемъ сомнѣнія,
что произходящія отъ нихъ произведенія суть
§ Зо.'
дпакже положительныя; ибо }-а умноженное
на -}- Ь необходимо должно составить -{- аЬ.
Теперь посмотримъ, что дастъ — а умноженное
на -4-6,
/ Поели»^ по § 20 сумма двухъ, трехъ и
болВе отрицательныхъ Чиселъ есть отрица-
тельная ; то сумма слѣдующихъ количествъ
также будетъ отрицательная:
* имвитам. Шяппмг
народному---
«ІМімим»
18
Посему, сколько бы разъ отрицательное
количество — '7 взято ни было, произведеніе
всегда будетъ отрицательное, и для того-о,
умноженное на-]-6, дастъ — аЬ.
$ Зі.
Остается разсмотрѣть, какой знакъ будегпѢ
имѣть произведеніе количества—а умноженна-
го на — Ь. Вопервыхъ извѣстно, что произ-
веденіе , относительно буквъ, будетъ аЬ
26 но поставить ли передъ симъ произ-
веденіемъ знакъ -{-или знакъ—, о томъ сказатв
еще ни чего не можно: • извѣстно только
то , что одному которому нибудь тутъ быть
должно, поелику всѣ числа синь либо поло-
жительныя , либо Отрицательныя (§ ір). Но
сей знакъ не можетъ бытъ—, потому что—а
умноженное на -|- 6 даетъ — аЬ‘, нельзя также
тпобы—а умноженное на —Ь давало тоже
слѣдствіе, какое даетъ — а умноженное на-|-6;
но должно дать противноет. е.аб. Слѣ-
довательно Произведеніе двухъ отрицатель-
ныхъ количествъ есть всегда положительное.
§ Зз-
Сіи правила изъясняются короче такимъ
образомъ: два одинакіе или подобные знака,
умноженные между собою, даютЪ-}-; два
разные знака дакчпЪ —. 11 такъ, ежели
количества -{-а,—Ь,—с,-]-<? умножатся между
г9
собою, то-Р« умноженное на —6, даетъ—
аЬ; сіе произведеніе, умноженное на — с,
составляетъ 4-«Лс, которое, будучи умножено
на А, производитъ 4 аЬсд.
8 33:
Такимъ образомъ въ разсуж'деіііи знаковъ нѣтъ
Никакого затрудненія. Остается теперь по-
казать , какимъ образомъ умножаются между
собою такія количества, которыя саліи суть
ііроизведенія. Напримѣръ, чтобьі умножить ісіЬ
на Зс/7, можно написать произведеніе такймъ
образомъ: «абхЗсЛ. Но какъ множители 5, «,
Ь} 3, г, <і могутъ расположены быть въ про-
извольномъ порядкѣ (§. 2^], пю лучше ставить
числа передъ буквами и писать З.Б.аі'сг/ или
іЬаЬси. Такимъ же образомъ пишется
48а6с вмѣсто За X лб X 8с
2^иЬху вмѣсто ^аЬ X Зх X 2Л
и такъ далѣе.
8 34
Полезно иногда выражать числа посредствомъ
ихъ множителей, ежели они ихъ имѣютъ, что
не всегда случается5 ибо естественный поря-
докъ цѣлыхъ чиселъ заключаетъ въ себѣ такія,
которыхъ въ видѣ произведенія написать не
можно, таковы суть: 2,-3, 5. •у, ц, 13, 17, ір
и проч., между тѣмъ какъ прочія: 4, 6, ё, р,
»о, 12, 14, ід. іо, іЗ и проч. получаются
20
чрезъ умноженіе двухъ, трехъ, четырехъ или
болѣе чиселъ перваго рода. Такъ на примѣръ;
4 — 2.2
6 — 2.3
12 ~ 2.2 . 3
16 ~ 2 . 2 . 2 . 2
24 — 2 . 2 . 2.3
и такъ далѣе.
Числа, состоящія изъ множителей, называ-
ются сложными, а не имѣющія ихъ именуются
простыми или первыми числами.
ГЛАВА IV.
_к »
О дѣленіи простыхъ количествъ.
8 35.
Когда въ Алгебрѣ означается дѣленіе, тогда
Дѣлимое число ставится передъ ДѣлителемЪ,
и отдѣляется отъ него двумя точками, ко-
торыя служатъ знакомъ дѣленія. И тикъ а: Ь
значитъ, чпю а должно раздѣлить на Ъ, и
выговаривается : а раздѣленное на Ь.
§ 36.
При дѣленіи вообще должно привести себѣ
на память слѣдующее свойство дѣленія, кото-
рое доказывается въ Ариѳметикѣ: ежели
дѣлитель умножится на частное число, то
2 I
произведеніе должно бытъ равно дѣлимому.
Въ самомъ дѣлѣ, раздѣлишь одно число на
другое значитъ сысканіь такое число, кото-
рое, будучи умножено на дѣлителя, производитъ
дѣлимое. ,
§ 3?-
По сему свойству, проистекающему изъ
естества самаго дѣленія, весьма понятно, что
аЬ, раздѣленное на А, дастъ частное число а.
Ибо частное число 'а, умноженное па дѣли-
теля Ь, производитъ дѣлимое аЬ. По пюй же
причинѣ удобопонятны будутъ и слѣдующіе
примѣры :
Дѣлим. Дѣлит. Части.
аЪс: а ~ Ъс »
аЬс: Ъ ~ ас
аЬс‘, ас ~ Ь
ізтп: 3/п “
9РЯ : 9 — Р<]
Ибо во всѣхъ сихъ примѣрахъ частное
число, умножпіное на дѣлителя, производитъ
дѣлимое.
§ 38.
Оттуда же явствуетъ, что
а *. і — а, .
о : а — і,
о: а ~ о.
Откуда слѣдуетъ:
Г-Г_
'*^***- % Х
1. Чгпо ежели какое нибудь количество будетъ
раздѣлено на і, то частное число будетъ
равно дѣлимому.
2. -Ежели какое нибудь количество будетъ
раздѣлено само ца ребя, то частное всегда
будетъ і.
3. Ежели раздѣлить о на какое нибудь ко-
личество, то частное будетъ о* потому что
всякое число, умноженное на о, производитъ о.
8 Зд
Наконецъ нужно сдѣлать еще и въ разсу-
жденіи знаковъ 4-и—слѣдующія примѣчанія:
і. Естьли-{-а6 раздѣлить на -}- а, то част-
ное число будетъ Ъ,
2. Еспіьли раздѣлить па—а, то частное
число будетъ — 6* потому что — <?, умножен-
ное на — Ь, производитъ ~}~ лЬ‘ ( § Зі )•
3. Ежели дѣлимое число — аЬ раздѣлить
на а, то частное будетъ — А, потому что
— 6, умноженное на «, дастъ — аЬ.
4- Ежели — аЬ раздѣлимъ па — щ то полу-
чимъЦ-6; потому чшо-}-6, умноженное на — а,
дастъ — аЬ.
§ 4°-
И такъ, относительно знаковъ плюсъ и
минусъ наблюдаются въ дѣленіи тѣже правила,
которыя показаны и въ }множеніи а
именно ;
раздѣленный на Ц- даетъ -|-
раздѣленный на — даетъ —
__раздѣленный на даетъ —
__раздѣленный на — даетъ
Пли еще кратче: одинакіе знаки даютЪ
а, разные даюпіЪ —.
§ 4ь-
Посему еспіьли требуется і8рд раздѣлить
на — 3/?, то частное будетъ — 6д. Подобнымъ
образомъ будетъ:
— Зо ху : 4- бу = —
— 54 а.Ьс : — О)Ь = ф- бас
Ц- । Зрдг : — Зрд = — 6г
и такъ далѣе.
ГЛАВА V.
О дробяхъ вообще.
8 4*
Ежели какое нибудь число, напр. у, не
дѣлится на другое, положимъ на 3, то сіе
показываетъ, что частное число не можетъ
быть выражено цѣлымъ • однакоже о семъ
частномъ числѣ понятіе имѣемъ. Ибо стоитъ
токмо представить себѣ линію длиною въ д
фотовъ: никто не сомнѣвается въ возможно-
сти раздѣлить сію линію на 3 равныя части
и вообразить себѣ длину одной изъ сихъ
частей. Сіе самое ведетъ къ позванію того
особаго рода чиселъ, о которыхъ )помянуто
было выше (§ ід) и которыя именуются
дробями, долями или ломанными числами.
§ 43.
Обратимся къ нашему примѣру. Извѣстно ,
что въ Ар>ѳметиь"Ѣ, когда Должно раздѣлишь
? на 3, частное число выражается, поставляя
дѣлителя подъ дѣлимымъ и отдѣляя ихъ между
собою чертою, и что частное число, такимъ
образомъ представленное, есть то, что
именуется дробью. Досему дробь |, которая
произносится: семъ третей, показываетъ
частное число, происходящее отъ раздѣленія
числа У па 3. При чемъ верхнее число именуется
числнтелемЪ, а нижнее знаменателемъ дроби.
8 44-
Теперь сдѣлаемъ приложеніе сего правила
къ общему счисленію. 11 такъ, когда число а
должно раздѣлишь на число Ъ, то частное
число выражается въ семъ случаѣ такимъ ?ке
образомъ, т. е. дробью р и нельзя дать лучшаго
понятія о др >6л, какъ сказавъ, что она
показываетъ частное число, происходящее отъ
дѣленія числителя а на знаменателя Ъ.
8 4“’-
Об ікновенно изъясняютъ сущность дробей
еще инымъ образомъ. Взявъ, ра примѣръ,
23
дробь |, видимъ, что она втрое больше не-
жели Но сія і показываетъ, что е'жели і
раздѣлится на 4 равныя части, то тѣмъ
получится величина одной изъ сихъ частей.
Слѣдовательно, взявъ три такія -<асти, будемъ
имѣть величину дроби \ Подобнымъ .образомъ
есшьли единицу раздѣлить на 12 равныхъ
частей , то семь такихъ частей составятъ
дробь г’.
§ 4С>-
Отъ сего способа представлять себѣ дроби
произошли также названія числителя и зна-
менателя. Ибо въ дроби ~ число і і, находящее-
ся подъ чертою , показываетъ , что единицу’
должно раздѣлить на із равныхъ' частей*^ и
какъ оно знаменуетъ число сихъ частей', то
и называется знаменателемъ\ верхнее число
у, означая сколько такихъ равныхъ частей
взять должно, пзчпсляетЬ, такъ сказать, сіи
части, и потому число сіе, находящееся надъ
чертою, именуется числителемъ дроби.
§ 47-
Мы уже упомянули выше ( § 38 ), что ежели
какое нибудь число а раздѣлено будетъ на а,
то частное число будетъ і. Оттуда слѣ-
дуетъ, что дроби:
- 3 * Л * а
3, 4> 5> 6 • • • • а
всѣ равны между собою, и что каждая изъ
нихъ равна единицѣ или цѣлому.
20
. § 48.
И піакъ надлежитъ, чтобы всякая дробь
коей числитель меньше знаменателя, была
меньше единицы; ибо ежели раздѣлимъ какое
нибудь число на другое, которое больше, то
получимъ менѣе нежели і.Естыи, напримѣръ,
линія длиною въ два фута будетъ раздѣлена
на три равныя части, то каждая изъ сихъ
частей будетъ короче фута. Откуда яв-
сгпв} етъ, что | < і, и сіе явствуетъ также
оттуда, что знаменатель больше числителя.
§ 49..
Есшьли же напротивъ того числитель больше
знаменателя, то величина дроби будетъ пре-
восходить единицу. Ибо изъ Ариѳметики
извѣстно, что въ такомъ случаѣ числитель
дѣлится на знаменателя, и что сіе дѣленіе
даетъ цѣлое число съ дробью, имѣющею
числителемъ своимъ остатокъ, а знаменате-
лемъ дѣлитель. Такъ на примѣръ:
и такъ далѣе.
Дроби 5, ? называются неправильными
дробями, а числа і', і', а?, составленныя
изъ цѣлыхъ чиселъ и дроби, именуются смѣ-
шенными. числами.
а7
§ 5о.
Разсмотримъ теперь дроби, имѣющія числиѵ
гпелемъ своимъ единицу, и служащія основаніемъ
всѣмъ прочимъ. Таковыя дроби суть. 3, 3, 5, б>
- і и „роч.; при чемъ должно при «ѣчапіь, что
сіи дроби слѣдуютъ одна послѣ другой умен-
шаясь; ибо чѣмъ число частей, на которыя
раздѣляется единица, .есть больше, тѣмъ
каждая изъ сихъ частей будетъ меньше.
ІТ такъ:
ІОО 1 о
1 000^ ІОО
ІОООО^ ІОоО
и такъ далѣе. •
' 9 5і.
Изъ сего видно, что дробь уменьшается
по мѣрѣ того какъ увеличивается ея знамена-
тель. Откуда раждается вопросъ: не можно ли
увеличить знаменателя такъ, чтобы .дробь
обратилась въ ничто? Отвѣтствуется, что
нѣтъ; ибо на сколько бы частей, хотя бы
даже на безчисленное ихъ множество, едини-
ца, на примѣръ длина фута, раздѣлена ни
была, части сіи всегда будутъ имѣть нѣ-
которою величину , и слѣдовательно никогда
не обратятся въ ничто.
§ 5з.
Посему никогда мы не дойдемъ до совер-
шеннаго ничто, какъ бы ни }величивали
28
знаменателя дроби и какъ бы далеко
продолжали рядъ дробей:
Ю? ІОО? 1ООО? 10ООО? ІОООООІ ПрОЧ-
Таковое свойство заставило предполагать
знаменателя безконечно великимъ, что бы
дробъ превратилась въ о, или ничто, 4
дѣйствительно слово безконечно означаетъ^
что въ вышеозначенномъ ряду дробей никогда
не достигнемъ копца; что и изображается
такимъ образомъ: = о, гдѣ знакъ со , называе-
мый безконечностію, знаменуешь безконечно
великое число.
§ 53.
Но мы знаемъ, что частное число, умно-
женное на дѣлителя, производитъ дѣлимое
(§ 36}, чего ради і—о. со. Откуда слѣдуетъ,
что I п. со; ибо еспіьли умножимъ здѣсь
частное оо на дѣлителя о, то выйдетъ также
дѣлимое і. II потому нё" безъ основанія гово-
рятъ : і ) что единица, раздѣленная на
безконечно великое число, даетЪ о, и 2) что
единица, раздѣленная на о, означаетъ без-
конечно великое число.
39
ГЛАВА VI.
О свойствахъ дробей.
§ 54.
ЙІы видѣли изъ вышеписаннаго (§4?)» нто
каждая изъ с .хъ дробей.
ь !, ъ ь ъи пр°ч-
составляешь единицу , и что слѣдовательно
всѣ онѣ равны между собою. Равенство сіе
находится и между слѣдующими дробями.
7, 1, Ь Т» и ПР°4' 9
поелику каждая изъ нихъ составляетъ двѣ
единицы; ибо числитель каждой дроби, будучи
раздѣленъ на знаменателя, даетъ въ частномъ
числѣ а. Подобнымъ образомъ равны между
собою и сіи дроби:
Ь з> "4> и ПР°Ч* >
потому что число 3 есть общая ихъ величина.
§ 55.
Величину каждой дроби можно представлять
весьма различнымъ образомъ. Ибо естьли чи-
слитель и знаменатель какой нибудь дроби
на одно какое нибудь число помножится, то
дробь не перемѣнитъ своего знаменованія.
II потому то дроби
Ь Ь I, а> А» и проч.
равны между собою; ибо каждая состав-
ляетъ I. Также дроби
г 2 3 4 5 6
з> Ы 9> 1Ъ г$, Гв, и проч.
равны между собою; ибо каждая составѣ
ляетъ. ’. Слѣдующія дроби:
2 4 6 8 । О 12
39 Ы V? Га? 15? 18? И ПрОЧ.
равномѣрно имѣютъ всѣ йіуже величину. І-Тзъ
тоіб можно заключить, что вообще дроби
а Зр <л та ,
Ь з7» 4і» • • • 7пЪ СУГПЬ равнозначащи; ибо
каждая дробь равна первой
§ 56.
Чтобы сіе доказать, представимъ величину
дроби ~ особливо буквою с, такъ что бы
было “ — г; и поелику частное число г, умно-
женное на дѣлителя Ь} производитъ дѣлимое а
36), то будетъ
Ъ X с — а
и потому зб X о — 9Й,
также 3/> X с — За
и вообще тпЪ'Х^с ~ та
Оттуда слѣдуетъ, что с; ибо , естьли
частное число с помножится здѣсь надѣлите-
ля тЬ , то также выйдетъ дѣлимое та,
то есть} гпЬ. с — тпа, какъ выше показано.-
ТТ а та а -
Но с = чего ради — = с “ какую бы ке-
личину буква т ни имѣла.
§ 57/
II такъ мы видимъ, что всякую дробь можно
изображать весьма различнымъ образомъ, не
Зі
перемѣняя ея знаменованія; но безъ сумнѣній
изъ всѣхъ выраженіи удобопонятнѣйшее есть
то , которое составлено изъ меньшихъ чи-
селъ. На примѣръ вмѣсто | можно бы написать
и сіи дроби
і, і, ѣ &и пр°4-;
однакожъ никто не усумнится, чтобы вы-
раженіе | не представляло знаменованія дроби
явственнѣе прочихъ. Почему вопрошается.
какимъ образомъ дробь} на примѣръ пред-
сшавленную не въ самыхъ меньшихъ числахъ,
привести въ самый простѣйшій видъ или въ
состоящую изъ наименьшихъ чиселъ ?
§ 53.
Въ Ариѳметикѣ предлагается къ тому сред-
ство , состоящее въ томъ , чтобы сыскать
общаго дѣлителя и раздѣлишь на сіе число
какъ чисЛигпеля такъ и знаменателя. Причина
такого дѣйствія видна изъ того, что сказано
въ § 56. Ибо ежели ~ — 7. то явно , что
дробь — приводится въ самый простѣйшій ея
ѣидѣ чрезъ раздѣленіе какъ числителя та,
такъ и знаменателя т6,на одно и тоже число т.
§ б9.
Сіе свойство дробей, что онѣ не перемѣня-
ютъ своего знаменованія, когда ихъ числитель
и знаменатель помножены или раздѣлены бу-
дутъ на одно и тоже число, весьма важно, и
За
служитъ основаніемъ всему ученію о дробяхъ
Нельзя ни сложишь двлхъ дробей , ни вычеепі
Одну изъ другой, пока не 6}дутъ онѣ,
помощію
сего свойства, приведены въ такія дроби, коихі
знаменатели равны межд} собою.
§ Во, •
Мы заключимъ сію главу примѣчаніемъ, чт<
дробями можно изображать и всѣ цѣлыя числа
На примѣръ цѣлое число 6 можетъ предста-
влено быть въ слѣдующихъ дробяхъ:
6 1» 18 Зо
і> V, ~3? 4 1 "Г, И пР°ч-
Въ слѣдующей главѣ увидимъ, какую пользу
имѣетъ сіе примѣчаніе.
ГЛАВА VII.
О сложеніи и вычитаніи дроб ей
лей
§ 6і,
X
Ежели дроби имѣютъ одинакихъ знаменате-
то въ сложеніи
и вычитаніи
ихъ нѣтъ
никакого затрудненія ‘ ибо
а I 3 5
7 I 7 ---- 7
Въ семъ случаѣ складываются, либо вычита-
ются одни только числители.
наблюдая
чтобы
33
не сдѣлать ошибки въ знакахъ и чтобы подъ
чертою подписанъ былъ общій знаменатель.
Напримѣръ
6
5о
з_«« I >♦ — 1® — 5
а о ло з о зо 5
7 131 1» зв »8
Т і» 50 --- 50 25
д 13 «5 1 30 — —
я такъ далѣе.
§ 62.
Естьли же дроби не имѣютъ одинакихъ
знаменателей, то, въ слѣдствіе § 5д, всегда
можно привести ихъ въ такія, у которыхъ
одинакій знаменатель. Чтобы, на примѣръ,
сложить дроби и надлежитъ замѣтить,
что I есть тоже что |, и что | равнй и
потому вмѣсто дробей и | имѣемъ для
сложенія з и |, коихъ сумма составляетъ
§ 63.
II такъ все дѣло состоитъ въ томъ, чтобы
всѣ дроби разныхъ знаменателей привести въ
такія , коихъ знаменатели равны между собою.
Пусть вообще даны будутъ двѣ дроби - и ^.Мьх
видимъ, что ту и другую можно превратить
въ равнозпачущую дробь, коей знаменатель
будетъ произведеніе знаменателей Цпіо есть,
Помноживъ оба членй первой дроби на «7, а
оба члена второй на Ь.
3
И6°Й=7І
Ъе _сі
(8 59)
- а । в аД + Ъе
слѣдов. -ь + 5 = -77-і
в е ______ йД— Ъс\
ъ “ а —
(8 6.)
$ 64.
Чтобы найти сумму, либо разность, двухъ
дробей, или чтобы ихъ сложить между софою
йли одну изъ другой вычесть; то надлёЯснтЪ
умножитъ каждаго числителя на знамена-
теля другой дроби и раздѣлитъ сумму, или,
разность, сихЪ двухЪ произведеній на
произведеніе знаменателей. Въ слѣдствіе
сего правила мы будемъ имѣть :
а і «4—5
5 7 — 35~ —3?
§ 65.
Когда складываются три дроби, на при-
мѣръ 4“ у, тогда каждая изъ нихъ пре-
вращается въ такую дробь, коей общій зна-
менатель есть произведеніе знаменателей
Ь, сі, /. Ибо имѣемъ
35
о _ еіГ
I ~~ Ъі>/
, сЪГ
і
С кЗ»
7 — мр
•_ — •*/* СѴ+ М'
слѣдовательно: іт^т/ ' ъу •
§ 66.
И такъ правило для приведенія трехъ или
многихъ дробей въ одну дробь, будетъ слѣ-
дующее: умножь каждаго числителя на
произведеніе знаменателей. прочнхЪ дробей,
сложи ихЪ, наблюдая ихЪ знаки, и раз-
дѣли на произведеніе всѢлЪ знаменателей.
$ 67.
По сему правилу не трудно найти знаме-
нованіе дробей { — 5 + 7, которыя превраща-
ются въ слѣдующую дробь:
іа — іб + 6_____ в __ (
По надлежащемъ уразумѣніи сего правила,
не трудно по.нять и слѣдующіе примѣры:
I. І-1 + Л
8о— іЬо-еуо _ о __
1ОІ> ІОО
II ’ — 14- з ь
3 а I 5 ♦
8о 6о + уа — Зо 6а _ Зі
іао = іао 6о
Ш. | — 2 — Ц_ 3
4^а — 19а — <63 ч- а 16 _ аЯ8_
іде — аііа ь
36
§ 68.
Чтобы вычесть дробь изъ цѣлаго числа
стоитъ только, по § 6о, превратить цѣлс
число въ дробь, которая должна имѣть піакоі
же знаменателя, какого имѣетъ и вычитаем:
дробь; можно также принять цѣлое число ;
дробь, давъ ей знаменателя г; на примѣръ:
а __________ е _ б—а __ 4
7 з 3 — з
3 __ 7 _ іа~ 7_ 5
X 4 — 4 — 4
• и проч.
Такимъ же образомъ превращается въ дро(
и смѣшанное число 4$))- Ибо
» X I « 3 + 2 - 5
*з=7 + з = “3^— 5
- 2 _ а I » ІО + а % і з
5 ~ * Г 5 5 V
и проч.
I § 6р.
Наконецъ для сложенія, или вычитанія
смѣшанныхъ чиселъ, надлежитъ наперед
складывать, либо вычигпагпь, дроби, а погпом
цѣлыя числа.Ежелижъ вычитаемая дробь больше
друюй, то прибавишь къ сей послѣдней одну
изъ единицъ цѣлаго числа; на примѣръ, чтобы
вычесть у* изъ 12’, должно писать вмѣсто
12;; а какъ по данному правилу, |—5 —
>5—8 ___ 7
ГГ“ — 77 и 11 — 7 ~ 4’, 11,0 « будетъ і -
7І-— 4;Ѵ Въ слѣдствіе сего правила мы будемъ
имѣть: •
+ 5’« =
4±_і_і5= =
8|—зі = 7! -31 = 41
3|— 6|= І2І — =6Ь
и проч.
ГЛАВА ѴШ.
О умноженіи и дѣленіи дробей.
§ 70-
Правило умноженія дроби на цѣлое число
состоитъ вь томъ, чтобы помножишь симъ
числомъ только числителя и ничего не пере-
мѣнять въ знаменателѣ. Ибо явно, что ежели
взять
нымъ
* * ч
~ четыре раза, то будетъ |. Подоб-
образомъ
і = І = <
[ 3 I
5 6 — а
5 ----- «о — ,
Сіе
и вообще сХі —'7’
§ 71-
»
исчисленіе сокращается однакожъ иног-
да, ежели, вмѣсто умноженія числителя на
цѣлое число, раздѣлишь на сіе число знаме-
нателя , не дѣлая никакой перемѣны въ чи-
слителѣ. На примѣръ:
38
з. 1= ! = □
6.ѵ = ^ = ЗЬ
О — Г'"‘ ?
в —
§ 72-
Ноелику - есть частное число, произхо-
дящее отъ дѣленія дѣлимаго а на дѣлящее Ь
( § 44 ], и поелику произведеніе частнаго
числа, умноженнаго на дѣлители, равно дѣли-
мому (§36): то нѣтъ сомнѣнія, что Ь. ^ — аА
откуда слѣдуетъ, что ежели умножитъ
дробь на ея знаменателя, то произведеніе
будетЬ равно числителю. На примѣръ:
2.^— I
34= 2
44 = 3
и проч.
§ 73.
Изъяснивъ какимъ образомъ умножается
дробь на цѣлое число, разсмотримъ какимъ
образомъ дѣлятъ ее на цѣлое число. Сіе изы-
сканіе нужно сдѣлать прежде нежели присту-
пимъ къ умноженію дробей на дроби. Нѣтъ
Сомнѣнія, что естьли дробь |раздѣлить на 2,
то произойдетъ 5, и что частное число
дроби | раздѣленной на 3, есть ’.И такъ, чтобы
'раздѣлитъ дробь на цѣлое число, надле-
житъ раздѣлитъ на цѣлое число числите-
ля, не перемѣняя знаменателя. На примѣръ:
«Я.- — А *
ІЯ . Ч - —
э5 ’ и - г$
Й • 4 а&
и проч.
§ 74.
Сіе правило не трудно производишь въ дѣй-
ство, лишь бы только дѣлился на данное
число числитель; часто однакожъ бываетъ
тому противное. Но такую дробь можно пре-
вращать въ другую, коей числитель на данное
число раздѣляется. Стоитъ только умножить
на сіе число ея числителя и знаменателя.
Чтобы раздѣлить на примѣръ дробь на с,
надлежитъ писать вмѣсто | (§ »56 ], ц
раздѣлить числителя сей дроби на с, и вый»
депгь — слѣдовательно с ~
§ 75-
И такъ, чтобы раздѣлить дробь “ на цѣлое
число с, стоитЪ только умножить на сіе
число знаменателя и оставитъ числителя
какЪ онЪ есть. Посему
я . а — а
3 . л — 9
І = 4 = |
и проч.
Естьли же данное число дѣлится , то лучше
употреблять предъидущее правило (§ 7З).
§ ?б.
Соображая оба сіи правила 70, ^5),нетрудно
найти способъ умножать дробь - на другую
Стоитъ только разсудить, что есгпьли бы
число с не было раздѣлено на о? то произ-
веденіе было бы ( § 70 )• но какъ сіе про-
изведеніе въ (і разъ слишкомъ велико, то
п надлежитъ раздѣлить его еще на о?. II
такъ, поелику й ~ ~ ( § 76), то будргпъ
а- С ____ ас
— ъа‘
§ 77-
Откуда выводится слѣдующее правило:
Чтобы помножитъ одну дробь на другую,
слюитЪ только порознь помножить чи-
слителей. и знаменателей между собою.
И такъ
г я ____ я _ і
а • 3 -- б — а
а ♦ --- -8
3 • 5 - 15
3 5 ___ 15 5
4 • іа”~ 48 - «6
и проч.
§ 78-
/
По тѣмъ же причинамъ произведеніе и
трехъ, или болѣе, дробей будетъ равно про-
изведенію числителей раздѣленному на произ-
веденіе знаменателей, то есть
а о и асе
6 • а — Т# ь
41
При семъ должно замѣтишь, что ежели
произведеніе можетъ быть выражено меньшими
числами, то сокращеніе удобнѣе дѣлается
прежде змноженія. Ир примѣрь.
3 е 4 . 2_ ^‘42.____ 2
4 3 5 —
і 2 3 5___ і.2.5.5 5
2 3 4 6 й-5.4-6 ^4
и проч.
8 79-
Остается показать еще какимъ образомъ
дѣлить одну дробь на другую. Для достиженія
сей цѣли должно напередъ замѣтишь * что
ежели у обѣихъ дробей одинакій знаменатель,
то въ дѣленіи нѣтъ затрудненія: стоитЪ
только раздѣлить одного числителя на
другаго. Ибо очевидно, что * содержится
трижды въ и потому |: і ~ и какъ | со-
держится трижды въ то | — | — 3.
Такимъ же образомъ будетъ
•д • з — іа — г
11*11 — з — о
да . 7_ — зв_ /
13*11 --- 7 -- Ч
2 . 3 —- 2'
7 ’ 7 -- 3
А • 2. — 6
аз • аі - у
и проч.
§ 8о.
Но когда двѣ дроби на имѣютъ одинакаго
знаменателя , то должно прибѣгнуть къ выше
4* '
показанному способу ( § 63и привести ихь
къ одному знаменателю. Положимъ, что на-
добно раздѣлить дробь - на дробь ~* поелику
ь—аіл* а—Та ( § 56ь то 6УДешъ і'2 =>
а,! . Ъс _ аі , . ч
іа • ьа — Т, ( з 79 г
§ ₽х.
Замѣтимъ, что дробь происходитъ отъ
умноженія дроби ~ на и что дробь ~ есть
превращенная дробь Изъ сего выводится,
для дБленія одной дроби на другую, слѣдующее
правило: умножь дѣлимую дробь на другую
превращенную, и произведеніе будетЪ ис-
комое частное число. На примѣръ;
3 .1 __3 3 _______ 6 _ 3
4 * а ~ 4 і — ч — а
5 .а _ 5 .. 3 _____ і 5
8*3 -- 8 а ------- іб
5.5 _5 з __________а -- г
в * « “ 8 'Х'* 5 - 8--4
и проч.
8 82. „ ,
Изъ сего видно, что раздѣлить какое нибудь
число Ъ на дробь, коей числитель есть і,
напр. 5, не иное что значитъ какъ умножить
еіе число Ь на знаменателя а. И такъ
1 '-Ьг =7 100
» :-Ьг= 1000
I : I ОС-40
* ІООвб
и проч.
Сіе служитъ къ объясненію того, что - — со,
какъ уже доказано выше (§ 53 ). Ибо раз-
дѣленіе единицы на малую дробь іооо'ооо00 ПР°“
изводитъ уже великое число,тысячу милліоновъ,
ГЛАВА IX.
О десятичиыхЪ дробяхЪ.
§ 83.
Извѣстно, что основаніе нашей Ариѳметики
состоишь въ томъ, что величина каждой изъ
цыфръ, составляющихъ какое нибудь число,
въ десятеро уменьшается, по мѣрѣ того какъ
она подвигается съ мѣста на мѣсто отъ лѣвой
руки къ правой. На примѣръвъ числѣ З927,
цыфра 3 показываетъ тысячи, д сотнц, 2
десятки, и 7 единицу. И такъгежели къ числу
З927 надобно прибавить дроби ф- ф.
77^ + гткъ, то> послѣдуя сему правилу, можно
писать сумму такимъ образомъ: 8927, 1467,
гдѣ каждая цифра въ десятеро менше предъ-
идущей Цыфры, стоящія передъ запятою,
означающъ цѣлыя, а стоящія послѣ запятой
представляютъ числителя дроби, коей зна-
менатель есть і съ такимъ числомъ нулей,
сколько цыфръ находится въ числителѣ, и
сія то дробь называется десятичною дробью.
44
§ 84.
Разсмотримъ теперь какую нибудь простую
дробь, на примѣръ |. уже намъ извѣстно, что
дробь сія представляетъ частное число, кото-
рое происходитъ ежели 2 будетъ раздѣлено
на 3. 11 такъ, раздѣлимъ 2 па 3, говоря: 3 въ а
^содержится о разъ, и въ остаткѣ 2. Помножимъ
сей остатокъ 2 на ю и раздѣлимъ произве-
деніе на 3, говоря 3 въ 20, 6 разъ, но какъ
20 въ десятеро больше настоящаго числа , то
частное число 6 должно раздѣлишь на іо, и
потому настоящее его значеніе будетъ
Продолжая такимъ образомъ обыкновенное дѣ-
леніе, мы еще найдемъ въ остаткѣ число
2, которое должно помножить еще на іо, и
произведеніе опять раздѣлить на 3, говоря 3
въ 20, 6 разъ. Но сей второй остатокъ въ юю
іо, то есть во юо разъ больше настоящаго,
чего ради истинное значеніе втораго частнаго
числа 6 будетъ Продолженіе сего дѣленія
покажетъ, что данная дробь | о ~
7^77 + + и ПР°Ч- или з = 0,66666
и проч. Послѣ сего всякой удобно понять
можетъ, что означаютъ всѣ сіи цыфры, кото-
рыя называются десятичными цыфрами.
§ 85.
Не должно однакожъ думать, что бы число
Р, 666666 было совершенно равно дроби но
45
продолжая такое дѣленіе, можно къ ней при-
ближаться болѣе и болѣе, сколько пожелаешь.
Ибо, естьли взять двѣ цыфры послѣ запятой,
то получишь | ~ 0,66 — 757, что будетъ
иа меньше настоящей дроби. Естьли взять
| = о,666, то сіе число будетъ на менше
настоящаго числа. ЕжелИ взять | = о,6666,
то сія десятичная дробь будетъ на з5—— гаенше
настоящаго числа. Оттуда слѣдуетъ, что
чѣмъ болѣе возмемъ цыфръ, тѣмъ ближе по-
дойдемъ къ истинпоіЙу значенію дроби Сему
подвержены и всѣ прочія десятичныя дроби.
§ 86.
Такимъ образомъ можно всякую обыкновенную
дробь превращать въ десятичную. СтоитЪ
только раздѣлитъ числителя на знамена-
теля, умножая каждый. остатокъ на іо.
На примѣръ:
’ = о,5опооо
5 = 0,333333
| = 0,760000
? = 0,386714
і|= 1,222222
35 = 3,671428
і4з і4,2оооо°
и такъ далѣе.
8 87.
Сей способъ изображать дробныя числа,
толико рходный съ основаніемъ нашей Ариѳ-
46
метики, имѣетъ различныя и важныя ‘выгодьъ
Но мы тогда только узнаемъ всю пользу его,
когда будемъ разсуждать о логариѳмахъ, по-
мощію которыхъ столь удивительнымъ обра-
зомъ сокращаются ариѳметическія исчисленія.
И такъ, прежде нежели приступимъ къ истол-
кованію логариѳмовъ и ихъ употребленія, по-
кажемъ какимъ образомъ дѣлаются исчисленія
десятичными дробями.
§ 88.
Первый два правила Ариѳметики, сложеніе
и вычитаніе, производятся въ дѣйство безъ
всякаго затрудненія. Слагаемыя и вычитае-
мыя числа пишутся одно подЪ другимЪ вЪ
такомЪ порядкѣ , чтобы цыфры одинакаго
значенія находились вЪ одномЪ вертикаль-
номъ ряду, а запятая подЪ запятою і
поступая впрочемъ какЪ вЪ сложеніи и
вычитаніи цѢлыхЪ чисёлЪ.
Примѣръ сложенія, о, 97° З7, одДЗ Примѣръ вычитанія. 73, ідЬ 16, до8
ІО,07Э 56, 288
48, 1453
Умноженіе десятичныхъ дробей также не
трудно; ибо, чтобы какую нибудь десятичную
дробь.помножипіь на іо, или на юо, илу на юоо,
стоитъ только подвинуть занятую на одну.
47
яки на двѣ, или на три цыфры въ правб.
На примѣръ:
і^бэроХю = і7>С59°
0,07970 X 100 — 7’97°
0,80909 X і°°° — 8о9>°9
и такъ далѣе.
Вообще правило достоитЪ в томѣ),
чтобы дѣлать умноженіе, не занимаясь
запятою, и поокончаніи умноженія, отдѣ-
лить оною, отЪ правой руки кЪ лѣвой,
столько цыфрЪ, сколько вЪ обочхЪ мно-
жителяхъ находится десятичныхъцыфрЪ.
Посему, чтобы сыскать произведеніе о, 94
X іо?’ 4®3, помножь д4 на 10746З , что со-
ставитъ іоюібзз; и поелику въ первомѣ мно-
жителѣ находятся з десятичныя цыфры, а
въ другомъ 3, то въ произведеніи отдѣли
запятою з 3 — 5 цыфръ отъ правой руки
къ лѣвой, и. получишь іоцоіэзэ. Доказатель-
ство сего правила есть слѣдующее:
.07,463 =4^. и о,94-^,
слѣд. произведеніе = 101,01^22.
§ 9°-
Приступимъ теперь къ дѣленію. ТушК мы
ясно видимъ, что, дабы десятичную дробь
раздѣлить на .о, или на юо, или на юоо, и
проч., надлежитъ переставишь только запятую
на і, или на з, или на 3, и проч. цыфръ въ
43
• <
лѣво. Вообще правило состоитъ вЪ томЪ,
чтобы раздѣлитъ числителя на знамена-
теля , не обращая вниманія на запятую Л
обыкновеннымъ образомъ, ежели вЪ чи-
слителѣ и знаменателѣ, одинакое число
десятичныхъ дробей; вЪ противномЪ же
случаѣ, меншее число сихЪ дробей до-
полняется нулями.
И такъ
2219 =ь219= 1549^ 56
о,Ч7 °> 97° 9"° 7
Причина тому очевидна. Ибо чрезъ прибав-
леніе ?, или 3, или 4 нулей къ послѣдней цыфрѣ
десятичной дроби значеніе ея нимало не
перемѣнится. Притомъ же, когда число де-
сятичныхъ дробей дополняется нулями , тогда
чрезъ умноженіе числителя и знаменателя на
общій знаменатель обѣихъ десятичныхъ дро-
бей , запятая уничтожается, и десятичная
дробь превращается въ обыкновенную, кото-
рую, по показанному выше сего правилу, (
опять можно превратить въ десятичную.
ГЛАВА X.
»
О квадратныхъ числахЪ.
§ 9Ь
Ежели какое нибудь число умножится само
на себя, то произведеніе называется квадра-
томЪ ; а то число, относительно таковаго
49
!
произведенія, именуется квадратпыиЪ кор-
неЗіЪ. На примѣръ 12. із = і44 есть квадрат-
ное число, коего корень есть іа.
§ О2-
Посему всѣ квадратныя числа сыскиваются:
Чрезъ умноженіе, то есть, когда корень по-
множенъ будетъ самъ на себя. Разсмотримъ
напередъ квадраты естественныхъ чиселъ, изъ
коихъ первыя суть слѣдующія:
Числа: і. а. 3. 4. 5. 6. 7. и проч.
Квадраты: і. 4- 9* а5. 35. 4’Ъ й ЙРО'Ь
Сей рядъ чиселъ имѣетъ то примѣчательное
Свойство^ что ежели каждый квадратъ вычтенъ
будетъ изъ слѣдующаго квадрата, и сдѣлано
будетъ тоже самое съ произшедшимй отъ
сего вычитанія числами; то сіи вторые
остатки, или вторыя разности, всѣ будутъ
равны между собою, какъ видно изъ слѣдующаго
изложенія :
Числа: і . 2 . 3. 4‘ 6. 7. и проч.
Квадраты: і . 4 » 9» *6. а5. 36. 4д. и проч.
Разности I: 3 . 5 . 7 . д . и . іЗ.
Разности П: а . а . 2 . а . 2.
Откуда явствуетъ, что всѣ вторыя раз-
ности даютъ число 2.
§ 93.
Квадраты дробей сыскиваются также чрезъ
умноженіе данной дроби самой на себя. И такъ
®ъ слѣдствіе показаннаго въ § 7 правила
• 4
5о
Квадратъ дроби Л есть |
__ ._ » 4
’___________________3_0
— — —.-------------Д_Ді
и такъ далѣе. ,
• § э4-
Чтобы сыскать квадратъ смѣшаннаго числа,
стоитъ только привести сіе число (§ 68)
вЬ одну дробь и взять потомъ квадратъ сей
дроби, кбторую можно привести иъсмѣшенное
число по данному въ § 49 правилу.
Напримѣръ:
Квадратъ смѣшеннаго числа есть ~
или 3Л>
— — — — — — — э| есть ~
или 5|,
— ~ —- — — — — іі’есшь^І^
3 5г
или 125^4,
й такъ далѣе. ' ’ ]
8 93- I
Ккадраты десятичныхъ дробей сыскиваются
также чрезъ умноженіе данной дроои самой
на себя, по правилу показанному въ § 8д; На
примБръ по сему правилу будетъ
Квадратъ 0,97 = о,0409
— — — о,25 ~ о,0626
— — — 3,ід== ,10,1761
— — —; 4,зз =205,3489
и такъ далѣе.
5і
§ .9б-
Здѣсь нужно замѣтить, что ежеЛи корень
содержитъ вь себѣ Дробь, то квадратъ не
можетъ быть цѣлое число. На примѣръ квад-
ратъ смѣшеннаго числа і|, или дроби не
можетъ быть цѣлое число. Ибо сей квадратъ
составляетъ */; откуда явствуетъ, что какъ 5
не дЬлиіпсн на 3, то квадратъ его з5 не
можетъ раздѣленъ быть нй 9; слѣдовательно
квадратъ сей необходимо долженъ содержать
въ себѣ, кромѣ цѣлаго числа, еіце дробь. Тоже
самое бываетъ и съ квадратомъ всякаго другаго
смѣшеннаго числа или дроби. .
* § 97‘
Приступимъ теперь къ обоимъ выражепі-
есть ай
----\аа
_ аа
9
—— ааЬЬ
----~~ааЬЪ
_ __ Сд
ъъ
Оттуда явствуетъ, что когда корень со-
стоитъ изъ произведенія двухъ или болѣе
множителей, то надлежитъ помножить квадра-
ты ихъ между собою , чтобы получить ква-
дратъ произведенія. И обратно, ежели ква-
дратъ состоитъ изъ произведенія двухъ или
ямъ, и мы видимъ, ч/по
Квадратъ количества а
------------------23
* *
5г
болѣе квадратовъ, то, чтобы получишь ко.
рень произведенія, стоитъ только помпо-
жить между собою корни множителей. Ц
такъ поелику 9216 = 64.36.4, то ква-
дратный корень будетъ 8.6.2 = дб.
§ 98- . I
Разсмотримъ теперь, что должно наблю-
дать въ разсужденіи знаковъ 4- и —. Во пер-
выхъ явно, что ежели корень имѣетъ знакъ
4*, то и квадратъ получаетъ • ежелижъ
корень имѣетъ знакъ —, то квадратъ не
лишается чрезъ то знака-}-, потому что—
умноженный на—'даетъ-}- За). И такъ
квадратъ количества-}-а есть-}-аа; и обратно,
корень количества -}- аа есть 4- а. Знакъ4і
выговаривается плюсЪ или минусЪ и показы-1
вцетъ, что при означеніи корня квадратнаго
тотъ и другой знакъ передъ онымъ ставить
можно.
ГЛАВА XI.
О квадратныхЪ корняхЪ и происходящихъ
отЪ того неизвлекомыхЪ чнслахЪ.
5 99-
Изъ вышепоказаннаго ( § 91 ) явствуетъ,
что квадратный корень количества а есть
такое число, которое, будучи }множено само
53
на себя, производитъ данное число а и мы
видБли ( § 98) , что можно ставить передъ
симъ корнемъ знакъ и знакъ .
5 іоо.
Когда данное число есть квадратъ, то,
выучивъ довольное число квадратныхъ чиселъ
на память, не трудно будетъ сыскать корень
сего даннаго числа. На примѣръ:
Корень числа 8г есть 9
-- --------121_____II
я$_________________5
------~----“ 36 6
— -|
---------------------------------------4Н-?•
$ юь
Когда же данное число не квадратъ, какъ
на примѣръ 12, тогда не возможно извлечь
изъ него квадратнаго корня, потому что
пѣтъ такого числа, которое, будучи умножено
само на себя, производитъ 12. Сіе ясно въ
разсужденіи цѣлыхъ чиселъ. Чтожъ касается
до смѣшенныхъ, то уже показано 96), что
ежели корень имѣетъ дробь, то и квадратъ
будепъ имѣть ее; откуда слѣдуетъ, что
квадратъ смѣшеннаго числа не можетъ быть
цѣлое число і2. Сіе обстоятельство приводитъ
насъ къ особливому роду чиселъ именуемыхъ
глухими или. нензвлекомымн числами.
§ 102.
Хотя сіи неѣзвлекомыя числа не могутъ
быть выражены ни цѣлыми числами ни дробью,
однакоже можно имѣть о нихъ точное поня-
тіе ; ибо, какъ бы квадратной корень, на
примѣръ числа іа, ни казался неизвѣстнымъ,
мы однакоже знаемъ, что онъ есть число,
которое, будучи помножено само на себя,
производитъ іа, Сверхъ того извѣстно, что
онъ больше нежели 3, а меньше нежели 4*
§ гоЗ.
И такъ вникнувъ довольно въ значеніе не-
извлекомыхъ чиселъ, согласились принять
особливый знакъ для показаній квадратнаго
корня такого числа, которое не есть совер-
шенный квадратъ. Посему із показываетъ
квадратный корень числа гз и означаетъ число,
которое, буд\ чи помножено самр на себя,
производитъ і2. Равнымъ образомъ и
\/ 2 показываетъ корень числа з
|/3-------— — —-----3
а — —.' — „ — — — д
аЪ — — — — — — — аЪ
% ч>4.
Сей образъ означенія неизвлеком^іхъ чиселъ
подаетъ намъ способъ дѣлать сими количе-
ствами обыкновенныя исчисленія. Въ разсужде-
ніи умноженія, на примѣръ, будетъ
55
у зХИ2-2
І/зхИ3 = 3
|/4ХІ/4 = 4
уаХУ а~ а.
§ іо5.
Но естьли требуется умножить У а на }/Ь,
то произведеніе будетъ УаЬ. Ибо уже по-
казано (§97), что ежели квадратъ содержитъ
въ себВ множителей, то квадратной корень
долженъ состоять изъ корней сихъ множите-
лей. По сей причинѣ уа.уЬ.уо— уаЬс. Тоже
самое наблюдается и при дѣленіи , ибо
Ѵа — I / в
ѵъ — к
$ іоб.
Въ обоихъ случаяхъ иногда иеизвлекомость
уничтожается. На примѣръ (
у *ху іі — у 2 . і& — у 36 = 6
ЙЗх|/27 — УЪ . 27 —у 8і = 9
|/5хИ45 —У$ . 45 — У 22$ — і5 •
— — 1/18 --- •/? - 3
У 8 - И 8 -- * 4 - з
-- 1/25 - 1/35- 5
Уч8 — и 48 — V 16— ѵ
§ ІО7.
Неизвлекомыя числа удобно умножаются и
на цѣлыя. На примѣръ ;
э умноженное на у 5 составляетъ з у 5;
3 . . у з . . 3 У а;
56
Должно однакожъ замѣтить, чгпо сіи про-
изведеніи могутъ представлены быть и такимъ
образомъ:
з|/5— (/ 4хУ$ — У зо;
3|/2 = |/
4УЗ^У ібхі/з = к45;
Ъу а~у ЪЬхУ а~ |/ ЪЬа.
И обратно, естьли чцсло, передъ которымъ
находится коренный знакъ содержитъ въ себѣ
квадратъ , то можно взять корень сего
квадрата и поставить его передъ знакомъ.
На примѣръ:
У ъ~у 4.2 —у 4 х^2 = 2|/з
Уі2 — у 4,з = У4 хИ3=2І/3
|/і8 = 1/ д.2 = |/ 9 х|/2—3|/2
у 24 —у '4.6 —у 4 х|/6 = 2І/6
УЗ2 — У 16.2 = у ібхУ * ~ 4У 3
§ ю8.
Тоже самое бываетъ и въ дѣленіи. На
примѣръ:
— — І4- У 4 = I/ 2
Ѵз — Ѵз гг к * ѵ
__ |у 6 _ ІУ*
"л — —Уъ — Уз
4 -- ] у 16 | / 4 *
у, у.а ’ V «а -----И з ---
Таковыя примѣчанія часто бываютъ полезны;
ибо алгебраическія выраженія приводятся ими
въ простѣйшій видъ. На примѣръ:
|/ 8 4- 5|/ 2 = 2І/2+ 51/2 =7і/*
I/ 32 — V «8 — 4И2 — зр'2 =
5^/1 2— 2І/ 3 = ю|/3 — 2//3 =8|/3
и проч.
§ ІО9"
Въ тѣхъ случаяхъ, въ которыхъ выше-
показаннымъ образомъ сократить не можно,
сіи нсизвлекомыя числа соединяются просто
знакамиили —. На примѣръ: \/ 3 приложен-
ный къ |/2 пишется |/3-|"(/2і а|/5 вы-
чтенный изъ |/ і2 пишется (/ 12 —|/5.
Впрочемъ, поелику сіи числа называются
неизвлекомъіми; то само но себѣ разумѣет-
ся, что прошивныя имъ именуются изрлеко-
ыымн числами.
і
_________ і
ГЛАВА XII.
О невозможныхъ или мнпмыхЪ числахЪ.
§ ІЮ.
Сказано уже выше д8), 41,10 квадраты
чиселъ, положительныхъ и отрицательныхъ,
всегда суть положительные. Ибо а умножен-
ное на 4- а даетъ -[* аа и —- а умноженное
на — а даетъ ~^-аа.
И для того то до сихъ поръ всѣ числа, изъ
коихъ надлежало извлекать квадратный корень,
мы впитали положительными.
58
$ XII.
Но естьли требуется извлечь квадратный
корень изъ отрицательнаго числа—аа, то
найдемъ не малое затрудненіе , зная, что
квадратъ количества 4 а есть-}-«а (§ 98); ибо
изъ сего заключить должно, что квадратный
корень квадрата— аа не есть ни положитель-
ное число ни отрицательное, также и не
нуль, потому что о X о = а,
§ И2.
Поелику же всѣ числа, какія токмо вообра-
зить можно, суть илц больше или меньше
нуля 19), или равны нулю; то квадратный
корень отрицательнаго количества, не будучи
ци положительное, ни отрицательное число,
ниже ничто,, не можетъ почитаться воз-
можнымъ числомъ. Оттуда произходишъ
особливый родъ чиселъ, которыя, по естеству
своему, невозможны, почему и называются
невозможными или мнимыми числами-
§ «3,
При всемъ томъ однакожъ числа сіи пред-
ставляются въ ''умѣ, и мы довольно ихъ
понимаемъ, зная на примѣръ, что —аа
означаетъ такое число, которое, будучи
умножено само па себя, производитъ — аа.
Посему ни что не препятствуетъ намъ дѣлать
обыкновенныя исчисленія сими невозможными
числами, которыя, какъ послѣ увидимъ, весьма
намъ полезны будутъ.
§ и4- -
Первое наше понятіе о сихъ невозможныхъ
числахъ основывается на томъ, что
|/ -1 х |/ - 1 — — 1
\/ — 2Х|/ — 2 = — 2
|/ - з х / - з = - з
(|/ — «Х|/ — и — — а
5 іі5.
Но какъ — а составляетъ тоже что -}•а
умноженное на — і, іпо будетъ |/— а~\/а.
— і (§ іо5); слѣдовательно всякое мнимое
количество можно представить въ видѣ а^/—і.
На - примѣръ ;
4 = 1/ 4Х|/ -І = 2І/ -!
и- 9=1/ 9ХГ-І=3|/-І
$/ — аа = |/ааХр' — а]/ — г
§ Хіб.
Поелику \/а . ]/Ь = \/аЬ ( § ю5 ); то нотой
же самой причинѣ будетъ
|/ — 2X1/ — I = |/ 2
|/ — 2Х/-3=[/6
|/ — ахі/ — 6 =|/ аЬ.
Откуда явствуетъ, что произведеніе двухъ
мнимыхъ чиселъ можетъ сдѣлаться ДВйст-
біипелькьшЪ или бозяя-КиштЪ числомъ.
6о
§ «»7-
Равнымъ образомъ сіе имѣетъ мѣсто и въ
Дѣленіи. Ибо такъ какъ — у а- (§ Іо5); то
явствуетъ, что
—2
= Г4 = *
у_з — 9 = 3
§ п8.
Наконецъ, поелику извѣстно, что квадрат-
ный корень количества аа можетъ быть а
и —а (§ 9® > то квадратный корень количе-
ства — аа можетъ быть ЧЬ а У — і.
ГЛАВА ХШ.
О кубичныхЪ числахЪ.
8 119-
Ежели число а помножится само на себя
дважды, или ежели квадратъ сего числа по-
множится на самое то число, то произведеніе
называется кубомЪ сего числа.
Посему кубъ числа а есть 8
3 . 27
. . . 4 . 64
.... а . ааа
бі
§ 120-
II такъ рядъ кубовъ естественныхъ чиселъ,
купно съ первыми, вторыми и третьими
разностями , будетъ слѣдующій.
Числа ., Щ 3, 4, 5, 6, 7, и проч.
Кубы I, 8, 27, 64, 125, 2і6, 343, и проч.
Разн. I. 7> 19, З7, 6і, 91, І27>
Разн. П. 12, 18, 24, Зо, 36,
Разн. Ш. 6, 6, 6, 6,
Откуда видно, что третьи разности равны
между собою.
§ ш.
Изъ даннаго выше опредѣленія (§ 119), и
показаннаго въ § 78 правила для умноженія
трехъ дробей, явствуетъ, что
Кубъ дроби і есть |
а _8_
• • • 3 * 27
3 27
• ’ ‘ ’ 6 +
и по изъясненному въ § д4 правилу:
Кубъ смѣшаннаго числа будетъ или 3|
*• • • • • 3І • -41 • 18’7
...................°і
$ 122.
ЧгПоже принадлежитъ до знаковъ -{- и —, то
явно, что кубъ числа Ц- а будетъ «ад, а
К)бъ числа—д ——ааа. II такъ въ кубичныхъ
числахъ въ разсужденій знаковъ бываетъ не
то что въ квадратныхъ, которыя всегда суть
положительныя.
6л
ГЛАВА XIV.
О ЧубнчныхЪ корпяхЪ и О произходлщихЪ
оттуда нснзвлекомЫхЪ чпслахЪ.
6 12З.
Поелиѣу есть средство сыскивать кубъ
даннаго числа, то, % обратно можно найти
то число, которое, будучи дважды помножено
само на ссбя, производитъ данное число. ,Сіё
искомое число, въ отношеніи къ другому,-
называется кубичнымЪ корпемЬ.
§ 124’
Когда данное число есть дѣйствительный
кубъ, то не трудно опредѣлить кубичный его
корень. Ибо:
Кубичный корень Числа і есть г
8 . 2
. . . . . 27 . 3
. . . . - ааа . а
. . . '. —ааа . —а
Равнымъ образомъ
Кубичный корень дроби есть | ».
5‘» 8
• * " ’ . .»5 * 5
Кубичный корень смѣшаннаго числа
есть 3 = 15
Кубичный корень, смѣшаннаго числа іэ |
есть 4 = 2~
63
§ і25.
' Когда же данное число не есть дѣйстви-
тельный К}6ь, какъ па примѣръ ДЗ, піоіда не
льзя выразишь кубичнаго корня ни цѣлымъ
числомъ, ни дробью. При йсемъ томъ однакожъ
имѣемъ мы объ немъ ясное понятіе, зная, что
оно есть такое число, которое, будучи дважды
помножено само на себя, производитъ данное
число 4З5 сверхъ того извѣстно, что сей
корень меньше нежели 4> а больше нежели 3.
§ 126.
По сей причинѣ употребляется для означе-
нія кубичнаго корня какого нибудь количества,
5 5
знакъ И такъ Г 43 означаетъ кубичный
корень числа 4З; при чемъ должно замѣтить,
что число 3 поставляется надъ знакомъ
дабы не смѣщать сего корня съ квадратнымъ
корнемъ, не имѣющимъ ничего общаго съ симъ
особливымъ родомъ неизвлекомыхъ количествъ.
$ *27-
Когда данное число будетъ дѣйствительный
кубъ, тогда, какъ уже выше упомянуто
( § 124 ), не нуженъ знакъ ІЛ Ибо:
3
1 = I
5
V 8 = 2
5 I
/ Ѵ2,ж3
аааЬЬЪ = аЪ,
64
при чемъ должно замѣтить, что аЬ =з
5 5
|/ааа X \/ЬЪЬ.
§ 128.
5
И такъ, умноживъ кубичный корень ]/ а
на кубичный корень \/Ь, получимъ произведе-
віе \/аЬ, Ибо корень произведенія сыскивает-
ся чрезъ умноженіе между собою корней мно-
жителей , какъ показано выше (§ 127 ). Но
3 з
той же самой причинѣ будетъ и ==
ѵъ
§ 129.
Изъ того же свойства, показаннаго нами
теперь общимъ образомъ, явствуетъ, что
8 5 5 3
[/8 а ~]/8 ,\/а~іу/а
8-8 8 3
І/ауа = І/27 . [/а = 3 {/а
8 8 -8 5
\/ЪЫ>а = \/ЬЬЬ . ]/а = Ъ [/"а
и обратно.
§ іЗо.
Когда данное число будетъ отрицательное,
тогда извлеченіе кубичнаго корня не подверже-
но тѣмъ затруд пѣніямъ, какія намъ встрѣти-
лись при извлеченіи квадратнаго корня изъ
отрицательныхъ чиселъ. Ибо, такъ какъ
губы отрицательныхъ чиселъ'суть отрица-
тельные (§ 122), то и кубичные корни
65
отрицательныхъ чисеХъ будутъ просто от-
рицательные. II такъ
у/ — 8 =— 2
V — 27 - — $
5
у/ — ааа — — а
Равнымъ образомъ будетъ
5 5
у/ — 3 = — |/з
!>“-?= -14
у/ — а — — \/а.
дгпкуда видно , что зйакѣ —, нахдДйЩійсЙ
послѣ кореннаго знака, можетъ ііосйіаЪленѣ
быть и передъ кореннымъ Зйакдмѣ. И такъ
мы здѣсь не доходимъ до Мнимыхъ чиселъ, какъ
при извлеченіи квадратныхъ корней изъ
отрицательныхъ количествъ.
§ іЗі.
Въ разсужденіи неизвлекомыхъ количествъ,
произходящихъ отъ квадратныхъ и кубичныхъ
корней, мы уже замѣтили, что не возможно
означить ихъ величину ни цѣлыми числами, ни
дробью, ^сгпь однакоже способъ сысКи вАть
весьма близкую величину какого нибудь кубич-
наго или квадратнаго корня. О каковомъ способѣ
предложено будетъ въ слѣдующемъ отдѣленіи.
5
66
ГЛАВА XV.
О степеняхъ вообще.
§ іЗз.
Естьли какое нибудь .число помножится
нѣсколько разъ само на себя, то произведеніе
называется вообще степенью или потенціею.
Посему квадратъ и кубъ суть степени.
§ іЗЗ.
Степени различаются по числу, сколько
разъ данное число само на себя помножается.
И такъ квадратъ есть вторая, а Кубъ третья
степень; Посему не трудно понять, что
значитъ и четвертая, пятая, шестая сте-
пень, и такъ далѣе.
§ 1З4.
Чтобы лучше изъяснить сіе,то разсмотримъ
восемь первыхъ степеней трехъ первыхъ
чиселъ а, 3, 4> Кои значатся въ слѣдующей
таблицѣ:
“ степени, (числа з. | числа 3. | числа 4- '
I II 2 4 3 9 4 іб
щ 8 27 64
IV іб 8г д56
V* Зз □43 1024
VI 64 729 4096
VII 128 □ 187 і63'84
ѵш з5Б 656і 65536
67
§ В5.
Вообще степени какого нибудь числа а
будутъ
I и ІП IV V
щ аа, ааа, аааа} ааааа, и Проч.
Но какъ сей способъ къ выраженію высшихъ
степеней весьѵіа неудобенъ, то стали писать
ихъ слѣдующимъ образомъ .*
I П III IV V,
а’, а’, а3, а1, а5, и проч., і
гдѣ малыя числа і, 2, 3, и проч. поставленныя
надъ буквою а, и называемыя поксіэателями ,
означаютъ первую, вторую, третью и проч.
степень количества а, кои выговариваются
а возвышенное До і, а возвышенное до а, И
возвышенное до 3, и такъ далѣе.
§ 136.
Поелику въ семъ ряду степеней каждый
членъ сыскивается чрезъ умноженіе предъ-
идущаго члена на а, то можно также, помощію
даннаго члена, найти предъидущій, естьли
раздѣлишь на а. И такъ, начиная съ ааааа~ас'7и
раздѣляя постепенно на а, мы будемъ имѣть.
аааа ~ а1*
ааа ~ а3
аа = ая
а ~ а\
і ~ а*
и проч.
§ 1З7.
Изъ сего видно : і ) что раздѣлить какую
нибудь степень на ея корень, значитъ умен-
шяшь показателя единицею‘ а) что всякое
число а, коего показатель есть о, равно
единицѣ; 3) что всякая дробь коей чи-
слитель есть единица, а знаменатель степень
числа а показателя п, можетъ представлена
быть въ видѣ степени числа а, коей показа-
тель есть тоже самое число п, но сопровож-
денное отрицательнымъ знакомъ, шо есть:
2. — а ".
ап
§ іЗЗ.
И обратно можно представить степень съ
отрицательнымъ показателемъ въ видѣ дроби.
Ибо
а1 есть тоже что и ~
а* . . . і
а9
о-5 . ~
и такъ далѣе.
§ іЗд.
Разсмотримъ наконецъ степени отрица-
тельнаго числа — а. Такія степени являются
въ слѣдующемъ порядкѣ :
69
I II П1 IV V
— а, а’, — а1, -|- — О5, и проч.
Изъ сего видно, чшо степени, коихъ показа- <
гпели суть четныя числа, дѣлаются поло-
жительными ; степени жъ съ нечетными
показателями имѣютъ знакъ —,
ГЛАВА XVI.
• <
О исчисленіяхъ со степенями.
§ і4°-
Чтобы получить сумму , или разносгаъ,
двухъ или болѣе разныхъ степеней, то стоитъ
только связать ихъ помощію знаковъ и —
И такъ сумма количествъ а1 и а3 будетъ
а2-}-а3; а разность количествъ а7 и а1 будетъ
о? —а4. Не ыенѣё ясно и гпо, что степени
съ одинакими показателями не имѣютъ нужды
въ сихъ знакахъ. Ибо
за3 а3 ~ За3 и
7а5 — За3 ~ 4а3
$ 141.
Что касается до умноженія степеней, то
должно замѣтить, что ааа Хаа==. ааааа, то
есть а3 X а2 = а5 = а Равнымъ образомъ
и вообще
ат X а" = ат +п
1
И такъ, чтобы умножитъ какую цибѵдь
степень числа а на другую степень того
же числа, надлежитъ только сложить
показателей, коихЪ сумма будетЪ пока-
зателемъ произведенія. И такъ
а’ X л5 X а4 = а’ +3 +4 —
а5Х«-’ г^а5-9 ~ а5;
а3 X а’3 = а3'5 =а°— і. ( § іЗб)
§ ’42*
Что же принадлежитъ до дѣленія, то
извѣстно намъ , что — ааа, и — «:
или употребляя показателей, мы будем^
им^шь
Й = а' = а5"9
аа
= а1 = а4-г, и вообще
—— ат~п
ап
II такъ чтобы раздѣлить какую нибудь
степень числа а на другую степень та-
гоже числа, надлежитъ вычесть показа-
теля знаменателя изЪ показателя числи-
теля. И такъ по сему правилу будетъ
^ = а^-9=а^
= а4-« =а$
_±. == а~ 4 " 3 = а~к
^-5=й’+’ =«’
§ 143.
Изъ предложеннаго нами объ умноженіи и
дѣленіи степеней слѣдуетъ, что квадратЬ
какой нибудь степени а” найдется, естьли
показатель п удвоится; а кубЪ сей сте-
пени сыщется, естьли сей показателъ
утроится.
И щакф «2п есть квадратъ степени а"
а3" есть кубъ степени а”
Равнымъ образомъ, чтобы извлечь квадрат-
ный корень изЪ какой либо степени а‘п ,
надлежитъ взять половину ея показателя,
а чтобы извлечь кубичный коренъ, должно
взятъ третью часть показателя. И такъ
ап есть квадр. корень степени а”*
ал есть кубичн. корень степени а3л
и подобнымъ образомъ
Э ; и
|/ап = о«
3 п
|/а" — аз.
ГЛАВА XVII.
О корняхЪ степеней вообще.
§ <44-
Поелику \/а означаетъ число, коего вторая
. 5
степень есть а, и р'а представляетъ число,
7»
коего третья степень есть а\ шо слѣдуетъ
изъ того, что по данному какому ііиесщь
числу а всегда можно означить такіе корни,
коихъ 4, 5, 6, и проч. степень будетъ равна
сему числу для чего и употребляются знаки
С 5 6
|/а, [/а, У а, и проч., которые произносятся:
корень четвертой степени изъ о, корень
пятой степени изъ а, корень шестой'степени
изъ а, и такъ далѣе.
§ г45.
Чтобъ лучше понять сіи различные корни
й значеніе ихъ, мы представимъ ихъ здѣсь
по порядку. И такъ
•
{/«есть корень II. стед. изъ а
У а . . . . И1. . . .а
У а і. '. . . IV. . . .а
в
» У а . . . . V. , . .а
и проч.
И обратно: <
а есть Н. степень корня у а
а . і 1ІЕ . . . . .- у а
а . . IV................. у а
Б
а . . V.................у а
и такъ далѣе.
При семѣ должно замѣтить, что въ изо-
браженіи корня ай степени показатель а
обыкновенно не пишется.
. ' 8 *46-
Ежели а есть число положительное, то
разумѣется, что всѣ сіи корни суть числа
дѣйствительныя и возможныя. Еспіьли же а
есть число отрицательное, то всѣ четные
а 4 6 8
корни \/ — а, \/ — а} \/ —а, — а, и проч.
будутъ числа невозможныя или мнимыя, по-
тому что всѣ четныя степени числа — а
суть положительныя (§ іЗд); напротивъ того
5 5
нечетные корни, какъ то: — а, [/ —а,
— а> І/ — аі и ПР°Ч-> будутъ чирда дѣй-
ствительныя, но отрицательныя.
ГЛАВА ХѴШ.
ОбЪ изображеніи неизвлекомыхЪ чиселЪ
дробными показателями.
§ *4?-
у»у ф>іше показана (.^ )., чшц.
1/ап = в>
3 п
|/а"
?4
Тоже самое бываетъ и съ высшими сте-
пенями. Такъ
л
|/а” = ал
5 я
]/ап = аі
. 6 п
|/а” = а*
тп и
1/ап = а™
Сіе еще болѣе изъясняется примѣрами. Ибо
і
\/а ~ а*
з і
' {/а = с?
4 ’
\/а =
и проч.
3
|/а5 = д»
|/а“ = аз
5 4
\/а!* =. аз
и проч.
§ «4в-
Подобныя преобразованія можно дѣлать и
тогда , когда показатель, изображенный
дробью, больше единицы, или когда корень
находится въ знаменателѣ дроби. На примѣръ:
7*
' з
а — у/а* = а*
•3 3 у
а*]/'а = \/а7 = аз
4 4 5
а ]/а — |/а5 =. «♦
5 5 із
<гу/а? — \/а^=г а ~
раженій.
Всѣ сіи преобразованія часто бываютъ весьма
полезны для сокращенія' алгебраическихъ вы-
9
5 ?49-
I
Наконецъ замѣтимъ, что какъ |/д=аа и
и проч., то всякой корень
можно изобразить въ безчисленныхъ видахъ.
На примѣръ:
4 6 8 1»
\/а — |/а’ = |/а’ = І/а11 = У/а*, и проч
3 6 9 •» *5
у/а = у/а* — [/а' = (/а1 = |/а5, и проч.
і § і5о.
Сіе преобразованіе корней бываетъ весьма
полезно въ умноженіи и дѣленіи неизвлекомыхъ
цоличесшчъ. Ибо
76
» 5 6 6 6 .
\/а X = VхXра’ = |/а5; *
р а' X \/а = |/а8 х І/а* =: І/а";
6
Тоже самое выйдетъ, когда вмѣсто коренныхъ
знаковъ употребляются дробные показатели.
ГЛАВА XIX.
О ЛогариѳмахЪ.
§ і5і.
і
Естьли положимъ, что количество а, воз-
вышенное въ степень Ь, равно с, то есть
аъ = су то представятся намъ три вопроса:
і ) можно полагать а и Ь извѣстными и
иГ
искать с, что производится въ дѣйство чрезъ
возвышеніе числа а въ степень 6, какъ выше
। показано ; з ) можно полагать извѣстными
с и Ь и искать а, что совершается чрезъ
извлечете корня степени Ь изъ с; ибо а = у/ с;
3) можно наконецъ полагать извѣстными
а и с и искать показателя 6* но сей вопросъ
не можетъ разрѣшенъ быть ни однимъ изъ
77
предложенныхъ доселѣ способовъ. Онъ при-
водитъ насъ къ важному умозрѣнію о Лога-
риѳмахъ, коихъ употребленіе въ Маѳематикѣ
толь обширно.
§ і5з.
И такъ, взявъ преднаписанное уравне-
ніе аъ = с, положимъ, что корень а всегда
сохраняетъ туже величину, которая единожды
для него принята будетъ. Потомъ возмемъ по-
казателя Ъ такой величины, чтобы 'было аь =с.
Въ семъ случаѣ показатель Ъ называется
логарнътломЪ числа с и пишется такимъ об-
разомъ : Ь _ /о^. с, или просто Ъ = /с.
§ і53.
Изъ сего видно, что.когда величинѣ корня а
единожды предопредѣлится, то логариѳмъ
какого нибудь числа с есть не иное что, Какъ
показатель той степени количества а, кото-
рая равна числу с. И такъ ежели с —аР , то
будетъ Ъ = Іаь • слѣдовательно
7а° = /і = о
/а1 = і
2аъ = 2
Іс? =5 ' ।
Іа' = Г2 = — і
Іа~* — = — а
Іа~* = ?-=:—3
а
и такъ далѣе.
78
Такимъ образомъ будешь
т
1\/а = Іа* — і
з >
Ц/а = 7дз — і
Ц/а = Іал =. і
~ іа * — ~~ »
7^- = іа4=_|
= /а"* = — і
У а 4
8 >54.
И такъ, поелику извѣстно, что вообще'
Ь ~ Іс, то будетъ а1е — с, и по той же
причинѣ а^~ іі. Сіи два уравненіи, будучи
помножены между собою, давилъ аІС~^ =с(і
(8 *4ГЛ а 6УДУЧИ раздѣлены, одно на другое,
производятъ а/в~и—1 (§ 142). Но показатель
всегда представляетъ логариѳмъ степени
(§ ібз), слѣдовательно
Іс Ііі ~ Іс<1\
Первое изъ сихъ двухъ выраженій показываетъ
намъ, что логарнѳмЪ произведенія сА
сыскивается чрезЪ сложеніе логариѳмовЪ
множителей; а второе изображаетъ, что
логарнѳмЪ дроби сыскивается чрезЪ вы~
читаніе логариѳма знаменателя мзЪ лога-
риѳма числителя.
79
5 <55.
Есіпьли мы къ уравненіи Ісѣ по-
ложимъ <1—с, то изъ того слѣдовать будетъ,
что /с’= а/с; полагая же /7 —с’, мы будемъ
имѣть /с5 = /с4-/с’ = 3/с, и такъ далѣе. Откуда
явствуетъ, что
/с’ — Не
Тс* = 3/с
7с4 = 4/°
и вообще
/с" = піс,
что всегда справедливо, каково бы ни было
Число п. Оттуда выводится сіе общее пра-
вило : чтобы сыскать логариѳмѣ степени
какого нпбудь числѣ сп , то стоптѣ только
Помножить логариѳмѣ корня с на показа-
теля п, хотя бы сіе число п было не токмо
цѣлое, но и дробное, положительное или
отрицательное и даже мнимое.
§ і56.
Послѣ сего правила, приведши себѣ на
П 1
Память, что {/с^сг (§ 147)7 и =с —"
(§ і З'] ), не трудно будетъ понятъ слѣдующія
преобразованія :
/|/с = Іс* =. | Іс
/|/с = /сз = /с
8о
Ц/с — Іс* = ’ Іс
= ІС-1— — Іс
— Іс~г = — з/с
М* =/^ = -</6
§ «67»
И такъ естьли составятся таблицы, въ
коихъ будутъ находиться логариѳмы для всѣхъ
чиселъ, то мы будемъ имѣть превосходное
средство къ сокращенію весьма длинныхъ
выкладокъ, которыя безъ сего способа, тре-
бовали бы многихъ умноженій, дѣленій, воз-
вышеній въ степени и извлеченій корней. И для
того дѣйствительно имѣются такія таблицы,
гдѣ легко можно сыскать логариѳмъ всякаго
предложеннаго числа, и число соотвѣтствен-
ное всякому логариѳму.
ГЛАВА XX.
О логариѳмическихъ таблицахъ.
§ 158.
Въ сихъ таблицахъ полагается корень л=ю.
Й такъ лоіариѳмъ какого нибудь числа с есть
показатель степени, въ которую надлежитъ
возвысить число іо, чігіобы произошло число с,
такъ что ю/с=с.
8і
§ і5д.
Поелику іо°=і (§ і36), шо будетъ (§ і53)
/і ~ о
/іо ~ I
/іоо ~ 2
/іООО ~ 3
/іОООО ~4
/юоооо — 5
и проч.
= — і -
1^О — — 2
7^=-3
I—— — 4
I ооос •
^ІООООО - "
И проч.
Изъ сего мы видимъ: і) Что логариѳмы чиселъ
іо, ІОО, іООО, юооо, юоооо, іообооо, и нрач.
всегда сушь цѣлыя числа, равно какъ и лога-
риѳмы дробей, имѣющихъ числа сіи своими зна-
менателями, и коихъ числитель есть 15 2) что
логариѳмы всѣхъ дробей , содержащихся между
—— и —, заключаются между — 3 и — 2
ІООО 1007
733 И ........................— 2 И — I
75 И I —ІИ О
й что логариѳмы всѣхъ чиселъ содержащихся
между
іи іо заключается между о и г
іо и юо . . . . і и 2
ІОО И ІООО . . . . 2 и 3
и такъ далѣе.
6
§ ібо.
Какъ /с</==/с4“^ и 1-л — к—М (§і54),
піо явно, что по одному извѣстному логариѳму
можно составить множество другихъ. Пусть
будетъ напр. логариѳмъ числа 2, который, какъ
намъ извѣстно изъ § і5д, больше нуля и
меньше единицы, равенъ числу .г, тогда по
изложеннымъ въ § 154 и § 155 правиламъ, мы
будемъ имѣть
• І2 ~ х
І2О — х 4“ г
/200 ~ X + 2
/2000 ~ х -} 3
/20000 ~ х 4~ 4
и проч.
1'1 — —х
/’О= —X—I
1+-— — Х — 2
^аооі - X — О
1^-а — — — 4
и проч.
/4 — 2Х
, /4° — 2Х +1
Цоо ^3 2Х 4“ 2 ''
/4000 ~ 2Х 4" 3
и проч.
/8 “ Ъх
. Йо =2 Зд; 4" 1
83
18оо іх: Зх а
/8ооо — Зх 3
и проч.
/іб ~ 4т
/ібо 4х -}* і
/ібоо ~ 4т а
/ібооо ~ 4^ + 3
и проч.
/5 = г — х
/5 О = 2 — X
/5оо = 3 — х
и проч.
2а5 = 2 2Х
2а5о = 3 2Х
/г5оо =4 — 2Х
2з5ооо = 5 2Х
и проч.
/і з5 = 3 — За
/із5о =4 — Зас
/і а5оо =5 — За
и такъ далѣе.
А
8 ібі.
Изъ сего видно, что таковое исчисленіе
логариѳмовъ, производимыхъ отъ /а, можно
продолжать до безконечности; и естьли бы
еще извѣстенъ быль логариѳмъ числа 3, то
посредствомъ его, купно съ предъидущимъ,
можно бы было найти премножество еще
84
другихъ логариѳмозъ, что весьма споспѣ-
шествовало бы составленію таблицъ.
§ 162.
Поелику же извѣстно , что логариѳмъ числа
3, который (по § і5р], о и і, есть
/3=о, 47712,3, и изъ ученія о десятичныхъ
дробяхъ знаемъ, что нуль передъ запятою
показываетъ, что цѣлаго чи ла вовсе нѣтъ, а
послѣдняя цыфра 3 означаетъ десяшимиліонныя
части единицы 5 то изъ/3 = о, 477МЬ1
производимъ
73<} ~ 1,4771213
/Зоо ~ 2,4771213
/Зойо ~ 3,4771213 7
и проч.
Откуда явствуетъ, что главнѣйшее дѣло
состоитъ въ томъ, чтобы знать десятичныя
дроби, стоящія послѣ запятой и служащія
для многихъ чиселъ. Что же касается до числа
передъ запятою, показывающаго цѣлыя числа и
называемаго Характеристикою , то оно
всегда единицею меньше числа цыфръ, со-
ставляющихъ то цѣлое чцсло, коего логариѳмъ
ищется.
§ ібЗ.
Когда, на примѣръ, ищется логариѳмъ числа
З604, то цѣлое его 4.105,0, или характери-
стика, будетъ 4—1 = 3, потому что данное
і
85
число 3654 состоитъ изъ четырехъ цыфръ.
Положимъ десятичную дробь ==х, и мы бу-
демъ имѣть
/3654,°° — 3 4- ас
/365,4оо г: з х
/36,54оо — і х
/3,65^00 ~офх
/о,3654о ~ — і -ф х
/О,о36 >4 —--2 4“ X
и проч.
§ іб4-
Изъ сего видно, что опредѣленіе характе-
ристики не подвержено никакимъ затрудне-
ніямъ, и потому шо въ большей части
логариѳмическихъ таблицъ характеристики
вовсе не находится , но показаны, въ логариѳмѣ
каждаго числа, однѣ только десятичныя
дроби. Чтожъ касается до отрицательныхъ
характеристикъ, то, поелику обыкновенные
выкладчики не умѣютъ обращаться съ отри-
цательными числами, всѣ отрицательные лога
риѳмы въ таблицахъ у величины юю, то есть
вмѣсто — і поставлено д
. . . — 2. . . . 8
' . . . - 3 . . . 7
и такъ далѣе.
§ г65.
Обратно , ежели спрашивается число, со-
отвѣтствующее данному логариѳму х,9542426;
86
пто іптоишь только отыскать въ таблицахъ
число соотвѣтствующее дроби д54а42^, кото-
рое есть д, а характеристика х опредѣлитъ
значеніе сего числа, тысячныя ли то, сотыя
или десятыя части , или десятки, сотни,
тысячи и проч. И такъ
Естьлих 7, то искомое число будетъ
о,оодо
, ... 8, ..... . о,одоо
. • • • 9»....................о,дооо
. . . .о,.....................д,оооо
• . • » і, • • •. • ' . ♦ 90,000
.... 2, . ..... 900,00
И такъ далѣе.
ГЛАВА XXI.
ОбЪ употребленіи лоІариотаовЪ,
§ >66.
Уразумѣвъ правила, по которымъ составлены
логариѳмическія таблицы, не трудно понять
истолкованія, находящіяся въ началѣ всѣхъ
логариѳмическихъ таблицъ относительно ихъ
употребленія. Мы не будемъ входишь въ
дальнѣйшее изъясненіе, какимъ образомъ сы-
скивается логариѳмъ заданнаго числа, ели
число, соотвѣтствующее данному логариѳму.
Невозможно получить о томъ яснаго понятія
безъ практическаго познанія таблицъ, коихъ
употребленіе сдѣлается намъ извѣстнѣе, когда
разсмотримъ слѣдующіе примѣры.
і67-
ПРИМѢРЪ I.
»
Сыскать произведеніе, произходящее отъ
умноженія трехъ множителей съ десятичными
дробями і ,5д4 X 0,097 X 21 ,о5.
Сложи логариѳмы сихъ трехъ чиселъ и
отыщи въ таблицахъ число, соотвѣтствующее
суммѣ тѣхъ логариѳмовъ 5 чрезъ что и полу-
чишь искомое произведеніе і54 ) Такъ:
/і,5<)4 == 0,2024883
* 4097 = 8,9887717
І2і, о5 — цЗаЗгбзі
логариѳмъ произведенія = 0,5із5і2і
Число, соотвѣіпствун^щее логариѳму о,5і25'2і
есть3,254; итакъ і,694X0,097X2і,о5=3,з54
5 ,68.
ПРИМѢРЪ 2.
, Сыскать величину дроби
Изъ логариѳма числителя вычти логариѳмъ
знаменателя. Сыщи число, соотвѣтств} ющее
сей разности, и получишь величину предло-
женной дроби (§ і54). Такъ:
Іо, 0847 = 8,9278834
/109,24 = 2,о3838і7
логариѳмъ дроби = 6,8896017
сему логариѳму соошвБтсшвуетъ* числд
0,000775, и потому; — 0,000776.
• § і69-
примѣръ 3.
Найти величину выраженія:
_ 2700 X 0,436 X о,<>54
л — 22,787 х|/ 103,34.
Сложи логариѳмы трехъ множителей чи-
слителя, вычти сумму логариѳмовъ множите-
лей знаменателя, и получишь логариѳмъ
числа х; а сыскавъ число, соотвѣтствующее
сему логариѳму, получишь искомую величину л
Такъ:
/2700 =: 3,4313638
/о,43о = 9,6894866
/0,064 = 8,7823938
I. ЧИСЛИШ.=2І,808244»
I ю3,34 = 2,0142686 /
7|/ю3,34 = 1,007! З42 (§ >56)
/ 22,787 = 1,3676872
/знамен. = 2,8648214
I. ЧИСЛИШ. — 2 і ,808244 І-
/5 = 9,4384227
«9
' Но «ему логариѳму о,43М227 соогпвѣшт
сшвуешъ по таблицамъ число о,27442» сл®-
довашельно $ = о, >^44
При семъ замѣтимъ, что характеристика
логариѳма числа $ долженствовала бы п®
настоящему быть 19; но какъ характери-
стика 2і, въ логариѳмѣ числителя увеличена
20 (§ 167); то изъ характеристики 19 над-
лежитъ вычесть 20, и останется — і, или,
чтобъ не употреблять отрицательнаго зна-
ка, 9.
§ і7°-
П р и МѢРЪ 4.
Манти іэго степень смѣшеннаго числа і*.
Поелику смѣшанное сіе число , выраженное
десятичною дробью, есть і,з >о; то надлежитъ
только помножить логариѳмъ сего числа на 15
(§ 155), и сыскать въ таблицахъ число,
соотвѣтствующее сему произведенію. Такъ:
/і,з5о — 0,0969100
_______і5
о|8455оо
00969100
1( і,25о)і5 = і,45365оо
слѣдов. ( )»5 — ( і,2ло ),5= 28,4217-
9«
5 і?1*
примѣръ 5.
Найти ку-бнчный корень числа 5^3533д. •
Раздѣли логариѳмъ предложеннаго числа на 3
(§ і56), и сыщи число, соотвѣтствующее
частному числу. Такъ: *
I 57З3ЗЗ9 = 6,7586090
^5735339 = ^21 = 2,252853о
Но сему логариѳму соотвѣтствуетъ въ
таблицахъ число 179,00; слѣдовательно
І/57ЗЭЗЗ9 = 179.
§ і?2-
ПРИМѢРЪ 6.
Найти корень і5й степени изЪ числа28,^2іу.
Поступая по предъидущему правилу,
получишь '
I 28,4217 = і,45365оо
но Іу 28,4217 = ——слѣдовательно
/^28,4217 = 0,0969100,
ипошому /у528,4зі7 = і,з5о.
Но мы видѣли въ четвертомъ примѣрѣ
Т7°)> что *5я степень числа есть
28,4217; откуда явствуетъ, что ѵ528,42і7=і|.
КонецЬ перваго отдѣленія.
НАЧАЛЬНЫЯ ОСНОВАНІЯ
АЛГЕБРЫ.
О Т Д Ѣ Л Е Н I Е II.
О способахъ изчисленія составныхъ
или сложныхъ количествъ.
ГЛАВА I.
О сложеніи составныхъ количествѣ
3 «73-
Когда надлежитъ сложите два или вообще
многія количества , изъ нѣсколькихъ Членовъ
состоящія, то сіе дѣйствіе обыкновенно озна-
чается знакомъ-^,поставляя каждое количества
между двумя скобками. Такь :
( й е + ? ) означаетъ сумму формулъ а
б4-си^“Ье4~-/> равнымъ образомъ (а—5'і-^
( с— <7 Ц- е — / ) означаетъ сумму формулъ
а — Ь и с е —/
і
6 >74-
Явно, что сіе не иное что есть, какъ
токмо одно означеіге сложенія, и что, дабы
оное дѣйствительно совершить, стоитъ
токмо отнять скобки. Такимъ образомъ двѣ
упомянутыя суммы сдѣлаются:
а — Ь -І~с — ^-]~е — /.
Члены писать можно въ какомъ угодно
порядкѣ, наблюдая только, чтобы передъ
каждымъ стоялъ его знакъ іЗ ).
94
8
И такъ сложеніе не заключаетъ въ себѣ
никакой трудности, какого бы вида ни были
слагаемые члены. На пр. если надобно сложить
5ра — ус съ количествомъ 2а 4* 6|/6—/с, то
должно написать просто га! -[* — Іс Ц-
5уа — ус, или въ семъ точно порядкѣ, или
переставя члены по произволенію. Сумма всегда
будетъ таже, лишь бы только не перемѣнены
были знаки.
8 >76‘
ДІежду тѣмъ не рѣдко найденныя такимъ
образомъ суммы значительно сокращены быть
могутъ; сіе случается, когда два или нѣ-
сколько членовъ взаимно уничтожаются, или
также когда два или нѣсколько членовъ можно
привести въ одинъ.
На примѣръ:
а — а— о
За 4" 2а =
За — 4а 4* а ~~~ °
уЬ — ЗЪ —
5х— 8.г= — Зх
— бс 4- = 4е
— уЬ 4- ь = — 66
— Зас — 4ас = — 7ас •«
— ЗЬЬ — = — 666-
и проч.
Всѣ сіи примѣры дальнѣйшаго Іізъяснекія
не требуютъ. Слѣдующія сокращена не столь
ясны; но ихъ разумѣть можно, когда приведемъ
на память преобразованія количествъ пеиз-
влекаемыхъ и _ логариѳмовъ, показанныя въ
§ 107 и § і56.
2^/3 4.^12 = 4^/3 |
21/24^/84-^/18 = 7^. >(§107)
і^/4а4-3^а 4-|/9а = 7 |/а. |
ЗЛг 4* — Ц/ а, = | Іа ) / § г 55 и \
/|/а4 2 1^а+11ѵ =®М \ § 156 )
Сіи сокращенія всегда употреблять можно,
когда два или нѣсколько членовъ совершенію
одинаковы, или могутъ приведены быть къ
одинакому виду \ но остерегаться надлежитъ,
чтобы не смѣшивать между собою степени.
На примѣръ выраженія и 2а5 — а' не
могутъ быть сокращены.
§ І77* .
Слѣдующій примѣръ сокращенія ведетъ насъ
къ извѣстному свойству чиселъ, а имянно:
если надобно сложить количества а Ь и
а •— Ь , то выйдетъ а 4" 4“ а — — 2а’ ^зъ
сего видно, что если сложится сумма и
разность двухъ количествъ, то получится
количество большее изъ нихъ въ двое взятое.
§ 178.
Къ поясненію предъидущихъ правилъ мы
приведемъ здѣсь нѣсколько примѣровъ.
9б
I.
Зй —7 2& — С
— -}-2С
— а Ъ — зс
* 4* — с-
II.
|дд — *-аЪ 5с
{аа + ’аЛ — |с
здд — "ьаЬ Іо
III.
а? — іааЪ Ц- ^аЬЪ
— ааЪ ъаЬЬ — о~
а? — ЗааЬ І^аЬЬ —
IV.
з -- 2 \^а +
Для облегченія сложенія, одинакіе члены
надлежитъ ставить одинъ подъ Другимъ.
' 97
ГЛАВА II.
О вычитаніи сложныэсЪ количествъ.
§ >79-
Чтобы только означить вычитаніе, должно
заключишь каждую формулу вь скобки , со-
единивъ оныя знакомъ —. Вычитая на примѣръ
<1 изъ Ц-б—с, остатокъ означается
слѣдующимъ образомъ («4-6—с)— [сі—еф-/.)
$ х8о.
Но чтобы совершить самымъ дѣломъ вы-
читаніе , то замѣчать надлежитъ: і ) что
вычитая изъ количества а другое количе-
ство Ц- Ь} получится а—Ь\ 2) что при
вычитаніи изъ а отрицательнаго количества*
— 6, получится а 4~ 6. Ибо отнять у кого
либо долгъ, значитъ тоже, что ему
подарить.
8 *8і.
Положимъ, что должно вычесть формулу
Ц — с изъ а—Ь у сначала отнимемъ что
дастъ а—Ь—*</. Но такимъ образомъ отнято
будетъ слишкомъ много на количество с, по-
елику надлежало вычесть только (1 — с: и
такъ надлежить приложить с, и получит-
ся а — Ь—(і 4~ с- Изъ чего явствуешь, что
вычесть (і — , значить тоже самое, что
приложить — а с.
1
8 18а.
И такъ слѣдуя сему правилу, вычитаніе
удобно дѣлать можно будетъ. Стоитъ только
. перемѣнить знаки, передъ членами вычитаемаго
количества поставленные, и поступать также,
какъ и въ сложеніи. И такъ, въ случаѣ перваго
примѣра 179) произойдетъ:
, —с)—(4—)=а-рЬ—с——-А
8 183.
Ежели ьь остаткѣ получится два или болѣе
членовъ подобныхъ, или способныхъ къ при-
веденію въ подобные, то выраженіе сокращается
по правиламъ, приведеннымъ въ $ іпб.
§ 184-
Когда вычтемъ а—Ъ изъ то получимъ
разность іЬ. Изъ сего извлекается слѣдующее
свойство: ежели изъ суммы двухъ количествъ
вычгпется ихъ разность, тогда остатокъ ра-
венъ будетъ удвоенному меньшему количеству.
§ і85.
Слѣдующіе примѣры служатъ къ поясненію
выше приведенныхъ правилъ.
I.
( аа 4- сА ЪЬ ) — ( аа — аЬ 4- )
—аа аЬ — ЬЬ
99
П.
( а~-^-эааі 4- За2>й 4- Ъ ’ ]—(а5 4’3аа&—За ЪЪ^-Ь*)
—а5—ЗааЬ-^-ЗаЬЪ —Ь' . - ’
* '' ЪйЬЪ ~у
ІП.
(к«“ 2Г/6)-(|/4а + 3^}
— -2^/а — ($/А
— [/а — і і[/Ь
IV'.
( ЗУ 12а 4 5'6 ) — ( з^/ Зач4- ІЬ* )
— \/ іла ~ 2ІЬ
□|/ іза 4" 3^
V.
5 я
(з|/а 4- ^[/Ь —ЗІс) ( 2ЛЗ — 2І» 4- 2І уі )
5 я
—а|/а 4- 2|/^ 4*
4- 5[/ь — /с
ГЛАВА Щ.
О умноженіи сложныхъ количествъ»
§ і86.
Чтобы «значить только умноженіе сложныхъ
количествъ} ставятъ каждое изъ нихъ въ
скобкахъ и сЪе^иняюгаъ между собою безъ
ІОО
всякаго знака, или ставятъ между ими
точку , или же знакъ X- Для означенія про-
изведенія количествъ а — 1> с и <4 — е 4 /",
помноженныхъ одно на другое , пишутся оныя
слѣдующимъ образомъ:
(а — Ь Ц-- с ) « 4" У )•
§ 187.
Для показанія какъ производится Самое
умноженіе, надлежитъ замѣтитъ , что для
умноженія на пр. а — Ь-\-с на 2, должно на
сіе число умножить каждый членъ особливо, и
тогда получится
а (а — Ь -[ с ) — 2а — зЬ 4" зс
Сіе же самое правило наблюдать должно и
въ разсужденіи всѣхъ другихъ чиселъ, какъ
то показываютъ слѣдующіе примѣры:
<1 (а — аі — Ь/і 4~ сгі, и
—- е Г а — Ь 4- с ) = — ае 4- Ье — се.
§ 188.
Возмемъ теперь какое нибудь сложное ко-
личество, которое означимъ буквою А, и
по ожимъ, что его надобно умножить на
7—3; само собою явно, что получится 7 А—
3 4—4 4 і то есть А умножается похожи-
телонымъ числомъ 7, и изъ произшедшаго
произведенія вычитается А , взятое Зжды.
Посему, также какъ (7 — 3) А — 7 —
3 /, получимъ (<7—е] А — д 4 — еА. Поло-
жимъ , что = — Ь ) ; поелику
ІОІ
(5 >8?.)
А А — А (а — Ь) аА — ЬА
еА ~ е (а — Ь } ~ ае — Ье
гпо будемъ имѣть ( </— е ) А = (л
[А — е ) = аА — ЬА — ае Ье.
§ 189.
И такъ, зная произведеніе количества а
умноженнаго на А—е, представимъ
іірам^ъ.»ві> слѣдующемъ видѣ:
4 а — Ь
\ — е
4,
сей самый
аА — ЬА — ае -[ Ье.
Откуда явствуетъ, что должно умножить
каждый членъ верхняго множителя на каждый
членъ нижняго мѣожителя, наблюдая, отно-
сительно знаковъ, доказанное выше правило
( § За ). При чемъ замѣтить должно , что ,
поелику—/>, помноженное на — е, даетъ-^-Ье, то
правило, по которому — помноженный на —
даетъ, изъясненное въ § Зі , здѣсь под-
тверждается убѣдительнымъ образомъ. Если
же найдутся въ произведеніи подобны? между
собою члены , то должно ихъ ставить одинъ
подъ другимъ, дабы тѣмъ облегчить сокраще-
ніе формулы.
§ »9°/
Посему правилу удобно будетъ найти про-
изведеніе а -ф Ьу помноженнаго на а—о} слѣ-
ду ющимъ образомъ:
102
а 4- Ъ ।
а — Ь
аа аЬ
— аЪ — ЪЪ
I
аа п — ЪЪ.
Изъ сего усматриваемъ, что произведеніе
суммы двухЪ количествъ, помноженной
на ихЪ разность, равно раз,носппі'квад-
ратовЪ сихЪ количествъ ; и обратно, раз-
ность квадратовЪ двухЪ количествъ мо-
жетЪ бытъ изображена таковымЬ произ-
веденіемъ.
§ ірі.
Слѣдующіе примѣры умноженія сдѣланы по
симъ правиламъ.
I.
а 4- Ъ
а 4- Ъ
аа 4* аЬ
4- аЪ -\~ЪЪ
аа 4- 2а6 4- ЪЪ.
ц.
ах 4~ 3
5х — г
іох’4-
— зх — 3
юх’4- іЗх— 3.
юЗ
ш.
4аа •— 6а 4-9
аа -}- 3
8а? — наа 4-і8а
4- хааа — і8«4- 27
8? '' " 4-27?
IV.
Заа — іаЬ — ЪЪ
2а — /?\Ъ
6а? — /{ааЬ — 2аЪЪ
— і2ааЬ -\-даІ>Ъ 4“ 4^*5
ба3 — іЪааЬ 4“ 6аЬЪ 4- 4^’
/
V.
аа 4~ ааб 4“
аа — 2аЪ 4- ЪЪ
а? 4” а°3^ 4~ ааЪЪ
— 2а? Ь — 4ааЪЪ — 2а&
4- ааЪЪ 4- эаб3 4*
а!* 11 — оааЬЬ " 4“
§ 192.
Когда должно помножиніь между собою болѣе
двухъ форчулъ, на примѣръ
(«4-6) [аа-\-аЪ-^-ЪЪ) (а—Ь) (аа аЪ-^-ЪЪ^
»о4
іпо означивъ сихъ множителей буквами А,В,С,О,
само собою Яіно, что произведеніе будетъ
ЛхВхСХ’В, причемъ никакого порядка
наблюдать не нужно, ибо можно будетъ
искать, по изъясненному въ § іді правилу,
і) АВ, потомъ О и наконецъ АВ X СО-, или
з) АС, потомъ ВО и. наконецъ АС X О; и
какъ бы сохъ множителей между собою л
помножали, произведеніе всегда будетъ одина-
ково. Самый простой способъ есть слѣдующій.
А = а Ц- Ь
С = а — Ь
аа 4- аЬ
— аЬ — ЬЬ
АС — аа — ЬЬ
В — аа + аЬ ЬЬ ,
В — аа — аЬ ЬЬ
а* -\-аЬ ааЬЪ
—а?Ь — а ЬЬ — аЬ*
ааЬЬ Ц- аЬ* А4
ВБ — а'1 " -Ь ааЬЬ
»
на конецъ
ВО = а' Ц- ааЬЬ Ц- 64
АС = аа — ЬЬ
а6 Ц- а'ЪЪ ааЬі
— а'ЬЬ — ааЪ'' — Ь6
АСхВБ— а6 ? и —Ь&
іо5
। '
Помня , что \/ а X — а и \/а X \/Ъ
= ]/пЬ (§ ю5 ), столь же удобно и по іпѣмъ
же самымъ правиламъ можно помножить между
собою неизвлекомыя количества, къ поясненію
чего служатъ слБдугощіе примБры:
I.
а -|-р/2»
а — \/Ь
аа -\-а\/Ъ
— а\/Ь —Ъ
аа . " — Ь
II.
4 г + 2гР/з
2.Х —
8хх + 4ХГІ/2
— 4ггИ3 — 4гг
8хх — 4ГГ«
III.
а 4* — 1
а— Ь[/ — і
аа
и
іоб '
ГЛАВА IV’.
О дѣленіи сложныхъ количествъ.
§ х94-
Чтобы только означить дѣленіе, то упо-
требляется тоже средство , какое и при
дробяхъ, то есть дѣлителя пишутъ подъ
дѣлимымъ, раздѣляя ихъ чертою • или ставятъ
какъ того такъ и другаго въ скобкахъ, и
отдѣляютъ обѣ формулы двоеточіемъ. Для
означенія, на примѣръ, что а ф- Ъ должно
раздѣлить на с-р</, пишется или (аф-6 ):
( с , и какъ іпо , такъ и другое выго-
варивается : а Ь раздѣленное на с ф- Д.
§ і<р.
Ежели сложную формулу должно раз-
дѣлить на простое количество, то каждый
членЪ дѣлится особо , на примѣръ :
(6а — 8А-|- 4с) : 2 = За — 4^ + 2С
( аа — іаЪ ) : а — а — іЪ
* ( а5 — іааЬ ф- іаас ) : аа ~ а — іЪ ф- 2С
( ^ааЬ — іаЬс ): ааЬ = іа — с
(сраЪс— чаЪЪс-}- ібаЬсс)? ЗаЬс = 3а — ф5г.
§ '96-
Ежели случится, что который либо членъ
дѣлимаго не можетъ раздѣлиться на дѣлителя,
тогда частное означается дробью, какъ то:
Но когда самъ дѣлитель есть сложное
количество, то дѣленіе заключаетъ въ себѣ
болѣе трудности. Часто оно имѣетъ мѣсто
тамъ, гдѣ сею ие ожидаешь; когда же совсѣмъ
дѣйствія сего произвести не можно, то
довольствоваться должно означеніемъ дѣленія
показаннымъ въ § ір4 способомъ.
§ чД
Положимъ, что предложено раздѣлять ас—Ъс
на а — Ь' поелику должно, чтобы, частное
умноженное на дѣлителя а—Ь произвело ас—Ъс,
то изъ того слѣдуетъ, что въ частномъ
долженъ находиться членъ с, ибо безъ сего
въ произведеніи не можетъ бытгі члена ас.
Теперь надлежитъ узнать составляетъ ли
членъ с цѣлое частное. Для сего умножается?
онъ дѣлителемъ, дабы удостовѣриться, дастъ
ли произведеніе все дѣлимое, или только
часть онаго. Въ настоящемъ случаѣ, ежели
мы умножимъ-с.на а—Ь, то получимъ ас — Ъс,
которое произведеніе составляетъ все дѣли-
мое, такъ что с будетъ цѣлое частное. Такимъ
же образомъ найдется
„ ( аа : ( а 6 ) = а
( ЗЬЬ — ъаЬ ): ( 36 — аа ) ~ Ъ
( §аа — даЬ): ( за — 36 ) — За.
$ 199-
Слѣдуя сему правилу, можно всегда находишь
первую часть частнаго, какія бы ни были
предложены формулы. Если же сія часть, умно-
женная на дѣлителя, не составитъ всего
дѣлимаго, то остатокъ должно оіічціь раздѣ-
лить на дѣлителя, дабы получить вторую
часть частнаго, и продолжать сіе дѣйствіе
дотолѣ, пока не будетъ найдено все частное.
§ 200.
1
На примѣръ раздѣлимъ аа ф ЗаЬ ф 2ІЛ на
а 5; очевидно, что частное должно содер-
жать членъ а, ибо иначе въ дѣлимомъ не
будетъ находиться аа. Но умножа а на а ф 6,
получится аа ф аЬ, что, будучи вычтено изъ
дѣлимаго, даетъ остатокъ ааЬ ф Сей
остатокъ надлежитъ опять раздѣлить на
а ф Ь. изъ чего усматриваемъ , что въ част-
номъ долженъ находиться членъ гЛ, а аЬ
помноженн^і ^а.дѣдителя а ф Ь произведутъ
ааЬ ф ЪЪ, что сосыавЛяепіК п^Діно остатокъ-
Посему цѣлое частное есть а ф- 20, и сіе
частное, будучи помножено дѣлителемъ, дѣй-
ствительно даетъ дѣлимое аа ф аЬ-^-зЬЬ.
Сіе дѣйствіе представишь можно слѣдующимъ
образомъ:
1О9'
аа Злб 4“ а 4“
аа Ц- аЪ а зЬ
4~ 2 іЬ 4- 266
4- 2«6 4- 266.
и и
•
5 201.
Для облегченія сего дѣйствія, надлежитъ
избрать одинъ изъ членовъ дѣлителя за
первый, и потомъ разположить члены дѣлимаго
по степенямъ сего члена дѣлителя, начиная
самою большею степенью. Сей членъ былъ а
въ предъидущемъ примѣрѣ. Слѣдующіе примѣры
объяснятъ сіе гораздо удовлетворительнѣе.
1.
а3 — ЗааЬ 4" Забб — Ь* | а — Ъ
а? — ааЬ | аа — цаЬ 4* ЪЪ
— зааЬ 4* ЗаЬЬ
— %ааЬ 4~ 2 ‘ЬЬ
ѵ 4“ аЬь — ъ*
4- аЬЬ - Ь*
и и
II.
і8аа — 8ЬЬ За — лЬ
і8аа — ілаЬ 6а 4- 4^
4- і2а6 —
4- І2а6 — 866
но
III.
4-^ [ а +Ъ
а~ 4" ааЬ | аа — аЬ 4- ЬЬ
— ааЪ 4" Ь'
—ааЬ *— аЬЬ
»/
4- аЬЬ 4- &
4- аЬЬ -±Ѵ
и и
IV.
іо 4" 7,г — 22x5 4" і 5 — 4г
ю — 8а? | а 4- Зх—іхх
4- <5.Г - 22.Х?
4- і5а? — іа г*
— юа? 4- Ил?3
— іо.х? 4- За?
и ѵ
V.
а' — .\а'Ь 4~ ЪааЬЬ — ^аЬ* 4^‘ — 2аЛ 4" ЬЬ
а'' — за'Ь 4- ааЬЬ аа — заЬ -[-ЬЬ
— іа Ь 4- ЬааЬЪ — \аЪъ
— іа'Ъ 4- /\ааЪЬ — іа.Ѵ'
4- ааЬЬ — 2<гЬъ 4~ Ь'*
ааЬЬ — заЬ' 4~ Ь'*
и
III
\
VI.
I —5л?Ц-1 ОХХ—IОХ 4“5х4—х* 11 —ЛХ-Ь-ХХ
I—2Т?Ц- хХ |і— Зх^-Зхх—хч
—Зг4- дхх —юх5
—Зл?4- бхх— Зх5
4- Зхх— 7ХЯ 4- 5.x* 1
4- Зхх— 6г3 4- Зх'*
— х -}~ 2х4 — х5
-- X5 2Х4 — X5
II
ѵп.
4- і X — ‘ XX
+ і х — 1 XX
и и
§ 202.
Тоже наблюдается при дѣленіи и неизвле-
жомыхъ количествъ. Приведя на память, что
а “ [/а \/а и — “ |/а, ( § ю4 ), не трудно
будетъ уразумѣть слѣдующіе примѣры:
I.
аа — Ъ а ЛгѴЬ
аа 4- а — \/Ь
— п\/Ь — Ь
ауъ — Ъ
и
и
ааа 4- а[/Ъ — 36 [ а — [/6
гаа — ча\/Ъ | га Ъ]/Ь
4. За|/6 — Зб"
4- 3„( /Ь — 36
III.
6а — і 3[/аЪ 4- 6/ | 3|/а — ?Л/6
6а — Д пЬ I і\7а-^Ц/Ь
— ()[/аЬ 6
— сЦ/аЬ 66
ѵ
'* IV.
2,7 _ ± 1/СаЬ 4- 66 I П ''за — 1/ЗЬ
га — I [/баѣ | у га — #736
— 5 [/6а/) 4-66 к
— I 1/6аЬ 4- 66
і/
§ 2оЗ.
Но случается иногда, что дойдешь до
таг.ой формулы, которую раздЪлииіь на цѣло
не можно. Тогда предложенныя количества
изображаются дробью , и посредствомъ пока-
заннаго въ § ідЗ умноженія можно знаменателя
или совсѣмъ уничтожить, или превратить въ
извлекаемое количество. Положимъ напр. что
требуется раздѣлить Зфз/з на і 4-[/^і
ІІЭ
частное *должно означить дробьюИ ЗНй~
мснаіпеля превратить въ извлекаемое число,
помноживъ числителя и знаменателя дроби на
оба члена знаменателя, соединенные прошив-
нымъ знакомъ, то есть на і — ]/2 ; что
сдѣлать можно безъ перемѣны величины дроби
( § 55 ). Дѣлая сіе умноженіе, по вышенриве-
' деннымъ правиламъ, вмѣсто предложенной
л 3 4- а V» у- —V .1—1 Ѵат I
дроби —--у--ПОЛ) чишь дробь - _ — или--
такъ что ~ і.-р Что сіе дѣленіе
справедливо, въ томъ легко удостовѣриться
можно, умноживъ частное дѣлителемъ; отъ
чего должно произойти дѢлимое.Въ семъ случаѣ
дѣйствительно получится
іп 3 -р 2 \/ 2.
§ 204.
Такимъ же образомъ, когда Должно раздѣ-
лить 8 — 5 2 наЗ —1 2 2, то чаеіпное
8-5Ѵ а
означается дробью -———, и умнпоживъ чи-
слителя и знаменателя на 3 ~р 2 \/ 2, дробь
сія обратится въ 4 -р 1X2, которое число въ
самомъ дѣлѣ есть частное; ибо будучи умно-
жено дѣлителемъ 3 —2 |/2, даетъ Дѣлимое
8 — 5 2. Такимъ же образомъ найдется :
Ти-Ѵя — 5 — 2І/6
—+ у— = і 4- V — 3
Ѵ6 + У5 . ’ •
п4 ,
ГЛАВА V. •
О разрѣшеніи дробей вЬ безкопечпые ряды.
§ 2о5.
Когда дѣлимое ие можетъ быть раздѣлено
на дѣлителя, тогда частное означается
дробью ідб). Такимъ образомъ дѣля г на і—а,
получимъ Но сіе не препятствуетъ со-
вершать дѣленія во предложеннымъ выше
правиламъ и продолжать оное, доколѣ угодно
будетъ. Симъ образомъ частное непремѣнно
еыщется, хотя подъ различными видами.
§ 206.
И такъ производя дѣленіе по предписанному
правилу, и останавливаясь на первомъ, вто-
рамъ или третьемъ остаткѣ, увидимъ, что
* __ іі і
---- — і 4- а 4- аа 4
і — а • 1 — с
~ і 4- а 4- аа 4- а5 4——
і — а ’ ' 1—а.
и такъ далѣе.
8 ^07-
Такимъ образомъ можно продолжать сіе
дѣйствіе по произволенію, не имѣя нужды
болѣе дѣлать изчисленія; ибо изъ самаго
порядка видно, что
05
Можно даже продолжать оное до безконечности
и утверждать , что дробь •— ~ і + а + а*
+ а5 + а4 + и проч. до безконечности; и сіе
іпо выраженіе, составленное изъ безконечнаго
числа членовъ называется безконечнымъ ря-
домъ. II обратно можно утверждать, что
сей безконечный рядъ
г 4- а 4- а* 4- а3 4- а4 + и пррч.
§ 208.
Сіе нужно пояснить примѣрами. Во первыхъ
положимъ, что а = і, тотда получимъ
14-1 4-1 4- г 4-1 4-1 и проч. —
А поелику очевидно, что сумма безконечнаго
числа единицъ сама безконечна, то и утверж-
дается выше показанная истина (§53), что±
есть количество безконечно великое, то
есть ’ = со.
§ 2°9-
Положимъ, что а =-2, и получимъ г + а +
44-34- і64- Зз 4~ и ПР°Ч-=— І5 что сначала
покажется нелѣпо. Но при семъ нуйно за-
мѣтить , чпТО естьли кто пожелаетъ оста-
новишься на какомъ либо членѣ сего ряда, то
не иначе поступить должно , какъ присовокупи
слѣдующую дробь.) Ишакъ остановись на
членѣ Зг, должно написать г+а + 4 + 8 + іб
4- За 4" И какъ і 4- 2 + 4+ 8+іб + Зэ
= 63 и = — 64, ,по будетъ
х+2 4-4+8-Н6 4-Зз4-^ = — и
I тб
«
8 2Ю.
Затрудненіе сіе исчезнетъ предположивъ,
а < і. Ибо поставя вмѣсто а дробь =
получимъ:
1 4- 1+ | + 8 + Гб’ И проч. = 2.
Здѣсь легко будетъ удостовѣриться, что
чБмъ болѣе возмемъ членовъ сего ряда, тѣмъ
болѣе приближимся къ истинной его величинѣ 2.
Придавая поперемѣнно количеству а знаме-
нованія дробей з, получимъ слѣдующіе
ряды:
_ * + і+; + л + в1.+?ь+ и пр°ч- = >
1 + 4 + .6 + Д +тк + г^+ 11 проч. = ±
1 + І + Л +пт +<+5+« проч. — I.
8 211.
Такимъ же образомъ можно разрѣшишь въ
безконечный цядъ и дробь ибо раздѣла
і на і -}-а, получимъ
~а = і — а 4- — а’ а' — а5 -|- и проч.,
гдѣ тѣже разсужденія имѣютъ мѣсто, когда
будетъ а і, какія и выше были сдѣланы
($ 209).
8 212.
Положимъ а ~ і и будетъ
5 = I — I + I — I + I - • + и проч.
до безконечности ; что кажется само себѣ
противорѣчитъ^ ибо, ежели остановиться на
членѣ отрицательномъ, то рядъ будетъ
равенъ о; а ежели на положительномъ, шо
ІІ7
равенъ будетъ і. Но сіе самое и служитъ къ
разрѣшенію сомнѣнія; поелику должно продол-
жать безконечно, не останавливаясь ни па — і,
ниже на-|-і, то сумма будетъ среднее число
между о и і, то есть
§ 2іЗ.
Придавая поперемѣнно буквѣ а значеніе
дробей 1, получимъ слѣдующіе ряды и
ихъ суммы:
і — - 4- Д — 1 _1_ ---' А — и проч. = _
а Т 4 в “ 16 3» • 64 1 ---- 3
1 —І4Ч — 8Т —-^3 4-тЬ ~ и "роч.
1 4~|~1Т 64 I" 836 1084 I 4096 И ^Р04- - 5"
. Изъ чего всякой съ малымъ вниманіемъ
удостовѣриться можетъ, что чѣмъ болѣе
возмемъ членовъ сихъ рядовъ, тѣмъ болѣе
приближимся къ истинной ихъ величинѣ |,
и такъ далѣе.
§ 2,4- /
Таже самая дробь —можетъ разрѣшена
быть въ ряды еще другимъ образомъ, а именно
раздѣли і наСимъ дѣйствіемъ получится
і і і,і іі , і
ГГ7 = а~ 7^-Г аТ—^ + — И ПР°Ч-
Придавая здѣсь поперемѣнно буквѣ а вели-
чины г, 2, 3, 4 и проч., мы достигнемъ до
тѣхъ же рядовъ, -которые получили предъ-
идущимъ разрѣшеніемъ, полагая а = і, а Д,
а = і, а = і и проч. (§ зіЗ ).
и8
§ з*5. ,
Подобнымъ образомъ всѣ дроби могутъ
резрѣшены быть въ безконечные ряды. Вообще
будетъ
С с
Ъс а Ъгс Ь^е а І4С
----4*------------1--------И проч.
а* I а3 а • а 5 *
положивъ с — получимъ
і 6 . Аа Ьз .
Откуда,
Сіе разрѣшеніе дробей въ ряды употребляет-
ся часто съ великою пользою.
ГЛАВА VI.
О квадратахЪ слѳжныхЪ количествъ.
§ Зіб.
Когда требуется только означить квадратъ
сложнаго количества, тогда всѣ члены , изъ
которыхъ оное состоитъ, должно заключишь
въ скобкахъ, и внѣ послѣдней скобки, нѣ-
сколько выше строки, поставить показателя
степени а. И такъ означаетъ квадратъ
количества а , ( а & — с )а означаетъ
квадратъ количества а-{-Ь — с и такъ далѣе.
5 З17.
Естьли напротивъ того кто пожелаетъ
дайши самую степень, или взять квадратъ
* ,І9
сложнаго количества дѣйствительно, то долж-
но помножить оное на самаго себя (§ дх }•
Такимъ образомъ найдется
( а Ь / — аа -}- іаЬ -\-ЪЬ ( § 191 ).
II такъ квадратъ а Ь равенъ суммѣ ква-
дратовъ обоихъ членовъ а ѣ 6, сложенной съ
удвоеннымъ ихъ произведеніемъ.
По сему правилу весьма удобно взять можно
квадраты многихъ чиселъ, представляя ихъ
какъ сумму либо разность двухъ другихъ. Ибо
5?’~ (5о4~7)2^ з5оо4* 7004-49=3249
8х2 ~ (8о4'І)а— 6400 4* ІѴО 4* 1 вэб-і
іод2 ~ [юо 4-0)’ — юооо 4~ 1800 4~8і — і 1881
§ 2г8.
Подобнымъ образомъ найдется
( а — Ь У ~ аа — іаЪ 4~ 66;
И такъ квадратъ а — Ь также равенъ суммѣ
квадратовъ обоихъ членовъ а и Ь, но умень-
шенный двойнымъ произведеніемъ сихъ членовъ.
По сему правилу имѣемъ: •
38’ = ( 4° — а )’ = ібоо — ібо 4- 4 == і44І
ду* = ( юо — 3 )2 = юооо — боо 4~ 9 — э4°9
ідд’ = ( 200 — ж )’ = 4о0о° — 4ОО + 1 “ З9601
$ 2І9*
Чтобы найти Квадратъ шречленнаго коли-
чества а4-64*с, то чрезъ умноженіе получимъ:
(<14-64- с)’ — аа 4- 2364- 2«с4“66 4* 26с4“ ср.
120
II такъ квадратъ сей равенъ суммѣ квад-
ратовъ каждаго члена, и удвоенныхъ произ-
веденій каждаго изъ сихъ членовъ, помножен-
ныхъ между собою по два.
1" ЛАВА VII.
*
О извлеченіи ква іратныхЪ корней. изЪ
СложпыхЪ количествъ.
§ 220.
Когда требуется только означить извлече-
ніе квадратнаго корня сложнаго количества,
тогда употребляется коренный знакъ
введенный нами выше (§ юЗ ] при простыхъ
количествахъ. Посему квадратный корень
количества а Ь означается слѣдующимъ
образомъ; ]/а Ь илц \/ ( а Ь ) ; ипоіда
употребляется дробный показатель *, и пи-
1 1
йіегпея ( а Ь или для означенія ква-г
дратнаго корпя изъ а 4-4; ибо, какъ уже выше
показано было (§ 147 ', \/а~а*.
§ 221.
Для дѣйствительнаго извлеченія квадратнаго
цорня изъ такихъ сложныхъ количествъ, ко-
торыя суть совершенные квадраты, надлежитъ
прежде всего разсмотрѣть со вниманіемъ самый
/21
квадратъ корня а Ь, который мы нашли
= а>, 2аЬ ЬЬ (9 217 ), дабы видѣть какъ
обратно можно будетъ доспшгну шь къ сысканію
корня даннаго квадрата.
,/ § 232.
На сей конецъ замѣтить должно, что,
какъ сей квадратъ аа4" заб 4“ состоитъ
изъ мнвгихъ членовъ, то и корень непремѣнно
долженъ имѣть болѣе одного члена, и если
квадратъ напишется такъ, что степени
одной изъ дв_)хъ буквъ, какъ здЙЬъ буква а,
постепенно умаляются, то корень перваго
члена квадрата будетъ первый ’Глеиъ искомаго
корня. И такъ, поелику первый членъ нашего
квадрата есть аа, то первый членъ корня
долженъ непремѣнно быть а.
§ 22З.
Сыскавъ первый членъ корня а, надлежитъ
разсмотрѣть остатокъ даннаго квадрата, то
есть 2о64“^\ чтобы видѣть можно ли будетъ
найти изъ онаго вторую часть корня , которая
есть Ь. М.ы примѣчаемъ здѣсь, что остатокъ
2а^-|“^ есть произведеніе двухъ множкЛіелей
аа4~4 и А, а изъ сего видно, что Ь найдется,
когда раздѣлится остатокъ 2<іЪ-\-ЬЬ на
§ 224-
И такъ частное число, происходящее отъ
раздѣленія вышеписаннаго остатка заЬ 4- ЬЬ
на 2а есть вторый членъ корня. Но иа
есть удвоенный первый корня членъ а; слѣ-
довапіельно хоіпя вніорый членъ Ь дѣлителя
еще не извѣстенъ, и мѣсто его покуда должно
оставишь порожнимъ, мы однакоже можемъ
сдѣлать дѣленіе , поелику при семъ надлежитъ
смотрѣть только на первой членъ іаЬ, который
раздѣленъ будучи на 20, даетъ Ь. Нашедши
сей вторый членъ Ь} должно приложить оный
какъ къ корню а, такъ и къ дѣлителю аа,
который тогда будетъ іа-^-Ь, что умножено
будучи па тоже частное Ь и вычтено изъ
остатка 2аЬ -{-ЬЬ, никакого не даетъ остатку;
сіе показываетъ , что предложенная формула
есть дѣйствительный квадратъ.
5 225.
И такъ для извлеченія корня изъ квадрата г
состоящаго изъ трехъ членовъ, должно на-
блюдать слѣдующее правило: расположи члены
квадрата по порядку степеней (гдной изъ двухъ
буквъ, въ ономъ содержащихся. Извлеки корень
изъ перваго члена и полупишь первый членъ
корня. Потомъ вычти квадратъ сего корня изъ
предложеннаго квадрата и раздѣли остатокъ
на удвоенный найденный корень, тогда будешь
имѣть вторый членъ корня. Приложи сей членъ
къ первому вдвое взятому и помножь сумму
на вторый членъ корня; вычти произведеніе
223
изъ остатка квадрата; и въ остаткѣ будетъ
нуль, если предложенная формула есть совер-
шенный квадратъ. Посредствомъ сего правила
дѣйствіе, чрезъ которое находите^ корень
квадрата аа ф ъаЬ ф ЬЬ, можно представить
такъ:
\/ аа ф заЬ ф 6Л | а Ф Ь
аа
( 2а Ф Ь ф 2аЬ -\-ЬЬ
Ъ ф 2аІ> ф ЬЬ.
и ѵ
Разсмотрѣвъ сіе изчисленіе со вниманіемъ, и
прочитавъ вышеписанное правило и § 222,
§ 2^3, § 224, легко уразумѣемъ каждое дѣйствіе
и причины онаго.
§ 226.
Такимъ же образомъ находится квадратный
корень и другихъ сложныхъ количествъ, лишь
бы только оныя были совершенные квадраты.
Къ . поясненію сего приложимъ нѣкоторые
примѣры:
1.
У/ аа ф баб ф <$ЬЪ | а ф 35
аа
за-}- ЗЬ (5аЬ ф дЬЬ
ЗЬ 6аЬ ф уЬЬ
ѵ
ѵ
124
и.
4иЯ---4^ ЬЬ I 20 — Ь
4ао
4« — Ь — ^аЬ 4~ ьь
— ъ — /\пЬ -}- ьь
и
III.
I/ з5хх — бох Ц- 3615х — 6
г5хх
юх — 6 — бох 36
— 6 — бох 4* 36 '
н
IV.
________________• *
• і/ іб — Дх 4- і хэ | 4 — з х
іб
3 — і х — 4х 4-; х*
— 5 х — 4х 4« X*
г/
§ 227..
Естьли послѣ извлеченія останется оДпа-
пюкъ, то сіе показываетъ, либо, что пред-
ложенное количество не есть совершенный
квадратъ, и тогда надлежитъ довольствоваться
только означеніемъ корня, поставя съ переди
знакъ либо, что корень содержитъ въ
іа5
себѣ болѣе двухъ членовъ, а особливо когда
предложенной квадратъ составленъ болѣе
нежели изъ трехъ членовъ , и тогда должно
наблюдать слѣдующее .правило :
Два. найденные члена почитаются пер-
вою частію корна , и изЪ остатка извле-
кается слѣдующій члеііЬ корня, такимЪ
же образомЪ, какігмЪ найденЪ вторый
членѣ, какЪ изЪ слѣдующихъ примѣровъ
явствуетЪ:
I.
аа 4* 2а6 — 2ас — аЬс -р ЬЬ 4* сс ‘ а -]-Ь 4“ 6
аа
2а -\~Ь 4- ааЬ — аас — аЬс -{-ЬЬ -|- сэ
4-і 4- ааЬ 4~ ЬЬ
2а~\- аЬ — с — 2ас — 2І/с 4~ сс
— с — 2ас — аЬс сс
II.
, V
I/ 4-г’ — 12 г’ + 5^’ 4- 6 г 4- 112Х’ — Зх — і
4л-1
4^2 — Зх — 12х' 4'
-- З.Г — І2Х3 4*0,7? а
4#’ — вэс — — цх9 4~&с 4-1
— і — 4х’ 4" бх 4-1
»
тзб
III.
I
|/ а'1 — /> + 8 аб’1 | аа — іаЬ — зЬЬ
зла — 2аі> — 4 а?Ь -|- &аІУ‘ <-{- 4^‘
. V — 2аЬ — 4 а*Ь + /\ааЬЬ
заа — ^аЬ — зЬЬ — ^ааЬЬ -|- 8л/»5 Ц- 4^*
— з/>/> — ^ааЬЬ 4- ЪаЬ~ -|- ^Ь*
ч
IV.
-а
ъ''"
?аа
— \Ь — аЬ
— іЬ —аЬ
3
V
228.
Изъ предложеннаго здѣсь правила легко
вывести можно и извѣстный Ариѳметическій
способъ извлекать корни изь квадратныхъ, и
по приближенію даже изъ неизвлекомыхъ -какъ
цѣлыхъ такъ и дробныхъ чиселъ.
§ 229-
Сіе извлеченіе квадратныхъ корней изъ
цѣлыхъ чиселъ, соединенныхъ съ десятичными
дробями, производится такимъ же образомъ,-
127
какъ и изъ однѣхъ цѣлыхъ чиселъ. Должно
отдѣлишь въ данномъ числѣ по двѣ цыфры
какъ въ правую сторону запятой, такъ и въ
лѣвую, дополняя, сстьли потребно', послѣдпѣе
отдѣленіе правой стороны нулями, потомъ
производить извлеченіе какъ изъ цѣлыхъ ква-
дратныхъ чиселъ и поставить въ квадратномъ
корнѣ, между единицами и десятичными дро-
бями , запятую.
Пусть, на примѣръ, дано будетъ извлечь
квадратный корень изъ 19799,7960: въ семъ слу-
чаѣ поступить надлежитъ гпакимъ образомъ:
V іІ97|99>79І6оіі4°>71
2807
7
□8 і 4 і
199 79 . .
?9Г> 49
3 Зо 6о
281 4Г
49 ’9
Сіе изчисленіе можно продолжать до піѣхъ
поръ, пока корень не получитъ надлежащей
точности, что про-ізводшпея въ дѣйство,
опуская внизъ потребное число пулей отЪ
квадрата. Впрочемъ явно, что число деся-
тичныхъ дробей въ корнѣ должно составлять
половину числа десятичныхъ дробей квадрата.
128
§ зЗо.
•» Симъ образомъ можно весьма близко подойти
къ квадратному корню такого числа, которо?
не есть совершенный квадратъ. На примѣръ:
(/2 — і,4і4эі4
|/3~ і,734о5і
\/ 5 “ 2,236о68
і/ | = о/ і6496
\/ | = 0,654654
всѣ сіи десятичные дроби столь близко под-
ходятъ къ точному знаменованію оныхъ не-.
иЗвлекомыхъ количествъ, что разпосшъ не
превосходитъ и миліонной доли единицы. Онѣ
даютъ намъ средство находишь, съ надлежащею
точностію, сумму или равность несоизмѣри-
мыхъ величинъ, о коей мы, безъ превращенія
въ десятичныя дроби и извлеченія корпя и.нѣди
бы не совершенное гпокмо понятіе.
Г Л* А В А VIII.
О кубахЪ к извлеченіи кубнчныхЪ корней.
§ зЗь
* Табы найти кубъ сложнаго количества
который означается симъ образомъ:
надлежитъ токмо еще' помножишь квадратъ
онаго ( который находится какъ „оказано выше
въ § 2*7) на а 4~/», и тогда получится:
129
( а )5 = а3 ЗааЬ ЗаЬЬ
И, такъ сей кубъ содержитъ кубы обѣихъ
частей корня а и Ь, и сверхъ того еще
ЗааЬ ~1~ , каковое количество равно Заб
(а-^6 ), іп. е. утроенному произведенію обѣихъ
частей корня а и Ь, помноженному на ихъ
сумму.
По сему правилу будетъ:
5’’ ~ ( 3 4* 2 )’ — 27 4_*8- 5 8 — іа5
ІО3 121 ( 7 3 )5 “ З4З 4“ СЗ. ІО 4“ 27 —юоо<
§ 2З2.
Но если напротивъ того данъ кубъ, а именно
а5 4“ ЗааА 4" Зігбб 4" и должно сыскать
корень онаго, который означается знакомъ у,
или показателемъ 3‘ то во первымъ надлежитъ
замѣтишь, что когда кубь разположенъ по
порядку степеней одной буквы, какъ на пр. а}
тогда по первому члену а! легко познается
первый членъ корня а, потому что кубъ
онаго есть а'. Коідаже вычтется такимъ
образомъ найденный кубъ перваго члена изъ
предложеннаго куба, то останется:
ЗааЬ 4- ЗаЬЬ ~ Ь ( Заа 4“ ЗаЬ -^-ЬЬ),
Изъ чего, зная напередъ что вторый членъ
корня долженъ быть Ь, потому что въ
данномъ кубѣ находится 6’, усматриваемъ, что
сей вторый членъ найдется, когда остатокъ
Зда/>4~ ЗайЬ-^-Ь7’ раздѣлимъ на Заа 4* 3і/>4"
Э
іЗо
д 2зз.
/
Хотя мы въ приведеіуюмъ здѣсь примѣрѣ
м напередъ зааемъ вторый членъ корня, однако
не должно ею полагать извѣстнымъ; посему
и дѣлитель Заа-\- ЗлЬ-\- ЬЬ равнымъ образомъ
еще не извѣстенъ; но при всемъ томъ довольно
того, что извѣстенъ первый членъ Заа; ибо
чтобы найти вторый корня членъ Ь, надле-
житъ токмо раздѣлить первый остатка членъ
ЗааЬ на утроенный квадратъ перваго члена
корня г который есть Заі. Сыскавъ такимъ
образомъ сей вторый членъ Ь, легко можно
дополнить дѣлителя Заа, прибавивъ только
къ нему утроенное произведеніе обоихъ членовъ
корня, т. е. ЗаЬ и квадратъ втораго члена,
Который есть ЬЬ.
§ 2З4. .
Дополненнаго такимъ образомъ дѣлителя
должно умножишь па вторый членъ корня Ь
й произведеніе вычесть изъ остатка ЗлаЬ
ЗаЬЬ -}- 6’ ; а какъ ничего не остается, то
явствуетъ, что коренъ предложеннаго куба
найденъ. Если же останется еще остатокъ,
надлежитъ заключить , что предложенное
количество не есть совершенный кубъ, или
что корень содержитъ болѣе двухъ членовъ.
Въ первомъ случаѣ надлежитъ только означить
корень; въ другомъ же должно повторишь тоже
іЗ і
дѣйствіе, принимая два первые члена корня
за одинъ членъ. Къ поясненію сего вотъ нѣ-
которые примѣры:
I.
|/а3 — Зиаі Знбб — 63] а — Ь
а'___________
Заа — Здб -}- ЬЬ — ЗааЬ 4- ЗаЬЬ — Ь'
— Ь — ЗааЬ 4 ЗаЬЬ — Ьъ
и
н.
5__________________________
(/« 4" і ааа 4" Д8а 4“ 6Д | а 4~ 4
а~
~~3аа і га 1 4“ »2-га 4“ 4®а 4“ ^4
4 | 4- і ааа 4- 48 а 4~ ^4
і/
ш.
я ________________________________
^/а6—6а 4- іза1—2оа’-|-і5аа—6а4-і |аа—аа+і
ав
За4 — 6а3 4- 4аа — аа — 6а5 — 6а' 4- іба1 —• аоа5 4- іза4 — 8а3
За1-—і2а34“іэаа —6а 4"1 4-За'( — і за3 +1 ба’-бад і
4-і 4*3а4—іза3+ і5а’-6а+і
и
§ з35.
Сіе изъясненное нами дѣйствіе служивъ
основаніемъ преподаваемому* въ Ариѳметикѣ
правилу для извлеченія кубичнаго корня изъ
іЗл
чиселъ. Здѣсь присовокупляется самая выкладка
извлеченія кубичнаго корня изъ чиселъ, на
примѣръ 2197 и З496578З:
І.
3 _______
[/2 1197 | Ю-|-3 “ іЗ
I 000
Зоо і 197
9°
9
399
3 і 197
п.
3___________
VЗ4 | д65 І 78З | Зоо 20 — Зэо
370000
18000
___4°о
288400
___20
307200
6720
_____49
З1З969
7
27 000 000
7 д65 78З
5 768 ооо
а 197 7оЗ]Ззо 4~ 7 —- Зз7
2 І97 78З ।
и
133
ГЛАВ А IX.
О высыихЪ степеняхъ сложныхъ
количествъ.
§ 236. ,
Приведши себѣ на память, чяю выше сего
(вь § іЗз и § іЗЗ) сказано было о степеняхъ
вообще, легко получимъ понятіе о четвертой,
пятой и прочихъ степеняхъ сложныхъ’ ко-
личествъ, и зная какимъ образомъ изобра-
жается вторая (§ и третія степень
(§ 2З1 ], безъ затрудненія можно будетъ
изобразить оныя посредствомъ показателей,
означающихъ сколько разъ корень самъ на себя
помноженъ Сыть долженъ, дабы найти иско-
мую степень.
' § =з7-
Разсмотримъ во первыхъ степени дзучлен-
наго количества а 4" Л, которыя найдутся
чрезъ послѣдовательное умноженье, и суть
таковы :
(а4- Ь )’ — а 4“ Ь
(а У — <2д4~ 2а& 4“
( а 4“ Ь У — л54“3'2а&4“ 4*
( а 4- Ь У — а 4~4а!^4“ ба’А14" 4а^5 4"
( а 4" У — а 4'5а’,^4“ іоа,6,4-іоа*^5
4- 5сб4 4" Ъ*
и такъ далѣе.
§ 238.
Равнымъ образомъ найдутся по порядку
слѣдующимъ умноженіемъ и вышшія степени
двучленнаго количества а —Ь, которыя сушь:
(а — Ь )’ ~ а — Ь
(а — Ь )’ ~ аа — ілЬ -|- ЬЬ
( а — к )3 “ а3 — За’і Заб2 — і3
( а — Ь у ~ а' — ^аЬ -4- 6а" 6* — 4-61
( а — Ъ )5 ~ а> — 5а-Ь 4-юл36’— юа’63+5аі’*-6в
и такъ далѣе.
§ а39-
Сравнивая одинакія степени количествъ
а Ц- Ъ и а—Ъ примѣчаемъ, что онѣ различе-
ствуютъ одними пюлько знаками , поелику
всѣ нечетныя степени количества А имѣютъ
передъ собою знакъ —. Причина тому оче-
видна; ибо, такъ какъ буква Ь въ коркѣ а—Ъ
имѣетъ знакъ —, и степени отрицательнаго
количества—Ъ суть : — 6, 4-6", —А*, А '1,
— А5 Ц- и іфоч. 1З9), то явно, что всѣ
члены, въ коихъ нечетныя степени количе-
ства— Ь находятся, должны имѣть знакъ—, а
члены, содержащіе четныя степени количе-
ства— Ъ, должны удерживать знакъ -{-•
§ 2 До.
Здѣсь представляется весьма важной во-
просъ, какимъ образомъ безъ дѣйствительнаго
по порядку слѣдующаго умноженія, можно
135
найти какую нибудъ степень двучленнаго
количества а-Ц-6, какъ бы оная высока ни была.
Слѣдующія разсужденія послужатъ намъ къ
облегченію сихъ изслѣдованій.
§ .э.|Ь
\ Разсматривая со вниманіемъ разложенныя
выше с< го (§ іЗп и § зЗЗ ) степени, усма-
триваемъ, что по отнятіи чиселъ, на которыя
каждый членъ умноженъ и которыя коеффн-
ціеиіпауін, то есть сопропзводктеляин ,
называются, во всВхъ сихъ членахъ оказывается
порядокъ,досіпойный примѣчанія. Первый членъ
каждыя степени есть первый членъ корня
возвышенный въ искомую степень; въ слѣду-
ющихъ членахъ показатели количества а по-
степенно уменьшаются единицею,а показатели
количества Ь въ такомъ же отношеніи увели-
чиваются , такъ что сумма показателей
количествъ а и Ь во всѣхъ членахъ степени
одинакая и равна показателю искомыя степени.
Такъ, когда требуется седьмая степень дву-
членнаго количества а -ф Ь, то члены безъ
коеффиціептовъ идутъ такимъ порядкомъ:
п7, а?Ь, агЬ , а1'!?, а'Ь1', сСЬ*, аЬс, 67.
$ з4-’-
II такъ остается только показать, какимъ
образомъ должно опредѣлять принадлежащихъ
симъ членамъ коеффиціептовъ. Что касается
і36
до перваго и послѣдняго члена , ото корффи-
ціенпгь оныхъ всегда есть і, а коеффиціеншъ
второго и предпослѣдняго члена есть всегда
самый показатель степени. Въ разсужд'іеіни же
другихъ, хотя въ оныхъ и труднѣе примѣтить
какой либо порядокъ, однакоже если напишемъ
ихъ отдѣленно такимъ образомъ:
коеффиціенты
или
Степени, Сопропзводипіелц.
I. II. * * » • « • • 1 I I 2 I
ш. • • • I 3 3 і
IV. • • • * I 464 і
V. • • I 5 ю ю 5 і
VI. • *в • • I 6 15 20 ІЭ 6 і
ѵц. ♦ 9 • И • проч. 1 7 2і 35 35 2і 7 і
гпо увидимъ тотчасъ, ’ато каждый коеффи-
ціеншъ или сопроизводишель равенъ сіммѣ
двухъ высшихъ коеффиціентовъ, между коими
оный находится. И такъ не умножая а -\-Ь
семь разъ само на себя, мы знаемъ, что
(,а-|-6)7 ~ а7 ~І~ 4* 2ід56’ -ф -ф
35а'64 -ф 2 іа’і5 -ф -ф Ь7,
§ 243.
Вь разсужденіи коеффиціентовъ еще при-
мѣчать надлежитъ; і) что въ каждой «чпепеіці
сумма всѣхъ коеффиціенгповъ равна той же
степени числа 25 2) что во всякой степени
коеффиціенты возрастаютъ до средины, а
потомъ представляются опятЪ тѣже коеффи-
Ціеишы. Сей порядокъ достоинъ особливаго
вниманія, поелику помощію онаго найдется
средство опредѣлить коеффиціеніповъ каждой
степени, не имѣя нужды въ предъидущихъ.
Мы предложимъ здѣсь сіе средство», оста-
вляя доказательство до слѣдующей главу.
8 244-
Для сысканія коеффиціентовъ какой нибудь
степени , на примѣръ четвертой, двучленнаго
количества а-^Ь, надлежитъ написать слѣду*
ющія дроби :
4 3 11
1» а, і, V
коихъ числители начинаются съ показателя
искомой степени, и потомъ по порядку
единицею уменьшаются, а знаменатели на-
чинаются съ единицы и по порядку увеличи-
ваются единицею. Первая изъ сихъ дробей
дастъ втораго коеффиціента; произведеніе
двухъ первыхъ дробей даетъ третьяго коеф-
фиціента, произведеніе трехъ первыхъ дробей
даетъ четвертаго коеффиціента, и такъ
далѣе.
133
Такимъ образомъ будетъ:
ій коеффищршпъ.....................~ г
ай............................. = - “ 4
О __ л«з - /-»
Зи.................... . = — = 6
1.2
5й = ±122 —
І.а.З. -і
§ а/р.
Равнымъ образомъ дабы найти коеффиціеп-*-
тп 'Въ въ седьмой степени, надлежитъ взять
слѣдующія дроби :
7 6 5 ♦ 3 »
і> а> 31 4> 5» 6, у,
п коеффиціепты будутъ:
I. ±=
II. — . . .
III. =7-- 1.2 7X3= 2і
IV. . 1.2.3 • • • • • • 2іХ| = Зэ
у 7-6.5. $ . . • • • 35 X1 — 35
•у*! у.6-5- ;.з і.з.’-. 4-5 • • • • • 35x1 ~ 2і
уп _7^.5-4.’.з 21 7
і-к.5.4-5.<і * • • а
Ѵ’ІІТ — ;.6.5-4-3.2. (
.» г р 1-2-3. ,.5.6.7 • • • У 7 •
Изъ сего видно , что они суть тѣжс,
которые показаны въ § 242.
« § 246.
Сихъ коеф |>иціенпіовъ можно также напи-?
сатъ дробями, не дѣлая умноженія, и тогда легко
означить какую нибудь степень количества
не входя въ дальнее изчисленіе. И такъ
десятая степень количества а-^- 5 будетъ
( «4- Ь у° ~ а'° ? а’Ь -І- аЧ)2+ аѴ
4- --'^-2 а(Ъ'1 4~ и проч.
1 і .2*3.4 1 1
Мы не поставили здѣсь слѣдующихъ далѣе
членовъ, потому что законъ, по которому
оные составляются, очевиденъ.
Г Л А В А XV.
О переложеніи букеЪ, накоторомЪ основано
доказательство предЪпдущаго правила.
§ 24?-
Разсмотрѣвъ произхожденіе упомянутыхъ
нами коеффицісіпповь, увидимъ, что въ
умноженіи по порядку слѣдующемъ, каждый
членъ представляется столько разъ, сколько
можно переложишь буквы , изъ которыхъ оный
состоитъ, или что косффиціентъ каждаго
члена равенъ числу переложеній, коимъ буквы,
составляющія оный членъ, подвержены быть
могутъ. Такъ на примѣръ во второй степени
(см. ій ппим. умноженія 5 Г91 ) членъ аЬ
і4о
представляется дважды, и потому коэффи-
ціентъ его есть 2; такъ же изъ буквъ а и Ь
и переложеній прризходитъ дваже, потому
что можно Написать аЪ и Ьа^ напротивъ того
члены аа и ЬЬ представляются токмо одинъ
разъ, и потому имѣютъ они коеффиціеншъ і.
Въ третьей степени ( § 2З7) членъ ааЬ
можетъ написанъ быть тремя образами:
ааЪ, аЪау Ьаа\ такъ же и коеффиціентъ онаго
есть 3. Въ четвертой степени членъ а’Ь
или аааЪ можетъ переложенъ быть четырмя
образами: аааЪ^ ааЬа, аЬаа, Ьааа, и потому
коеффиц'іентъ онаго есть 4- Членъ ааЬЬ
пріемлетъ шесть переложеній, какъ ааЬЬ,
аЬЬа, ЪаЪа, аЪаЬ, ЪЪаа, ЬааЬ, и коеффиціентъ
онаго есть 6. Тоже самое примѣчать должно
во всѣхъ прочихъ случаяхъ.
§ =48.
Въ самомъ дѣлѣ, есіпьли приведемъ себѣ
на память, что на примѣръ четвертая
степень четыречлепнаго количества а -ф Ь
-фс-фс? находится умноженіемъ сихъ четырехъ
множителей:
1. а -ф Ь -ф с -ф <1
II. а -ф Ь -ф с -ф (1
ПІ. д-ф6-фс-ф«?
IV. а-фйф-с-фг?,
то удобно видѣть можно, что каждую букву
перваго множителя должно помножить каждою
Ф
буквою ыпораго, йотомъ каждою буквою
третьяго, и наконецъ каждою четвертаго.
II такъ должно чтобы каждый членъ состоялъ
не токмо изъ четырехъ буквъ, но еще чтобы
оный представлялся въ произведеніи столько
разъ, сколько сіи буквы могутъ быть различно
разположены: слѣдовательно число переложеній
будетъ коеффиціентъ онаго.
§ ^9-
Посему здѣсь необходимо знать нужно,
сколькими образами данное чи/гло буквъ могутъ
быть разположены между собою. И такъ
возмемъ сперва двѣ различныя буквы а и 6, и
мы видимъ, что изъ оныхъ только два пере-
ложенія : аЬ и Ьа быть могутъ.
§ з5о.
Если возмемъ три разныя буквы а, Ъ, с, то
надобно замѣтить, что каждая можетъ
находиться на первомъ мВстѣ, и что осталь-
ныя днѣ могутъ быть, какъ то видѣли
( § 2$д ), дважды переставлены. Ибо когда а
есть первая буква, шо имѣютъ мѣсто два
разположенія: аЬс, асЬ\ когда Ь есть первая, то
имѣемъ разположенія Ьчс, Ьса‘9 наконецъ когда
с есть первая, то имѣемъ также два раз-
положенія: саЬ, <Ьа\ слѣдовательно полное
число переложеній есть Зжды болѣе, нежели
какъ въ случаѣ двухъ буквъ, га. е. = 3.2.
і
Іц2
§ 231.
Возмемъ четыре буквы а, Ъ, г, каждая
можетъ поставлена быть на первомъ мѣстѣ, и
въ каждомъ изъ сихъ четырехъ случаевъ три
остальныя буквы могутъ составитъ, какъ
въ § з5о видѣли, Зжды 2 разныхъ разположеній.
И ціакъ полное число переложеній есть 4.3.2.
і
§ 252.
Когда имѣемъ пять буквъ, с, Ь, с, сі, е; то,
поелику каждая можетъ занимать первое
мѣсто и четыре остальныя въ каждомъ изъ
сихъ пяти случаевъ могутъ принять 4-3.2.
переложеній, здѣсь число переложеній будетъ
г= 5.4.3.2. \
* § 253.
Слѣдовательно, сколь бы ни велико было
число буквъ, если онѣ токмо всѣ между собою
различны 9 не трудно будетъ опредѣлить
число всѣхъ переложеній. Слѣдующая таблица
показываетъ оныя до десяти буквъ.
і43
Число буквъ : Число переложеній :
1. ~ і
II. 2.1 ~ 2
III. 3.2.1 ~ 6
IV’. 4.3.2.і ~ 24
V'. 5.4.3.2.і~ 120
VI 6.5.4.3.2.і ~ 720
VII. • . • . 7.6.5.4.3.2.I~ 5о4о
VIII. • . . . 8.7,6.5.4-3.2.і ~ 4<>32О
IX. . . . 9.8.7.6.5.4.3.2.і~ 362880
X. . . ю.у.8.7.6.5.4-3.2. Г “ 3628800.
$ .^4-
Но выше уже сказано было, чпю найденныя
въ сей таблицъ числа тогда токмо имѣютъ
мѣсто, когда бхквы не одинаковы; ибо когда
двЪ или болбе буквъ одинаки, то число
переложеній гораздо уменьшится. Посмотримъ
какъ, ію числу одинакихъ буквъ, должны
уменьшены быть числа переложеній, псказан-»
ныя въ предъидущей таблицъ.
$ з55.
Съ перваго взгляда уже явно, что каковобы
ни быхо число буквъ, если двЪ изъ оныхъ
одинаки, то двЪ перемѣны должно считать
за одну, и слѣдовательно найденное число
пеоеложеній уменьшится въ половину и должно
быть раздѣлено на 1,2. Когда три буквы
одинаки , то шесть переложеній должно
»44
считать за одно; и такъ надлежитъ раздѣ-
лить полное число на 6, или на і. 2.3. Равнымъ
образомъ, когда четыре буксы одинаки, числа
въ таблицѣ показанныя должно раздѣлишь
на 24 = і.2.З.4.
§ 2Эб«
Теперь легко намъ будетъ опредѣлить
коеффиціентовъ всѣхъ членовъ какой нибудь
степени. Возмемъ на примЬръ седьмую степень
(д-}-6)7. Какъ первый членъ а7 содержитъ 7
разъ одну букву а, то коеффиціентъ онаго
найдется, когда раздѣлится число, въ таблицѣ
показанное: 7.6.5.4-3.2.і на 1.2.3.4.5.6.7:
слѣдовательно оный 6удетъ=хі.Въ слѣдующемъ
членѣ аъЬ буква а находится 6 разъ, а буква
Ъ одинъ разъ; и такъ надлежитъ раздѣлить
тоже число 7.6.5.4.3.2. і, ради буквы Ъ на г, и
ради а6 па і.2.3.4.5.6; и такъ коеффиціентъ
будетъ
у.6.5.4-3.?. і __ 7
1.3.3.4.5.6 —
Слѣдующій членъ д5Л’ содержитъ пять а
и два Ъ'. слѣдовательно число въ таблицѣ
показанное должно быть раздѣлено,ради двухъб
на і.2, и ради пяти а на 1.2.3.4-5, почему
и получится коеффиціентъ
7.6.5.4-3.2. і 7.6
Гі45
Равньиіъ образомъ найдется для члена:
7-А. -4-.а-і — 7.6.5
1.2.3-І.2.3-4 і.о.з
7.6.5.а. । _______ у.6.5.4
і.^.З-4-і.э.з і.э.3-4
7.6.5._|.3.а. і _ 7-6.5-4-3
і.з.3.4-5.і.а і-з.Э.4-5
и такъ далѣе.
А какъ сіи коеффиціеніпы сходствуютъ съ
тѣмн, кои даетъ предложенное выше сего
правило (§ 245), то симъ оное правило и
доказывается.
аЬ'* . .
а’Л5 . .
Сіи разсужденія служатъ не шокмо жъ опре-
дѣленію степеней двучленныхъ количествъ,
но оныя могутъ также приложены быть къ
сысканію степеней какого нибудь многочленнаго
количества. Сыщемъ по симъ правиламъ на
примѣръ третію степень піречленнаго коли-
чества аф-бф-с; мы уж₽ знаемъ, что члены
сея степени должны составлены бііішь изъ
всѣхъ возможныхъ переложеній трехъ буквъ
а, Ъ, с} которыя сушь:
ала, ЬЬЪ, ссо
ааі), ЬЬс, сса, аЪс
аас, ЪЬа, с<Ь,
и что каждый членъ долженъ имѣть ^про-
изводителемъ число сихъ переложеній. Но сему
правилу найдется безъ умноженія :
(а ф- Ь ф- с ) = а^ф-Зла^+Заасф^-’ф-ЗМсф-З^а
ф- с; ф- Зсс.1 ф- Зсс/» ф- бибс.
іо
1
‘ і4б
ГЛАВА XI.
О разложеніи неизвлекоМыэсЪ степеней еЪ
безконечные ряды.
8 з58.
Законъ, которому послѣдуютъ члены Какой
яяесгпь степени двучленнаго количества
и который изъясненъ и доказанъ нами въ двухъ
предъидущихъ главахъ, подаетъ намъ средство
разложить вообще неопредѣленную степень п
количества а -ф Л, какъ (й-|-6)л. Вопервыхъ
примѣчанія , сдѣланныя нами въ§ -241 ° порядкѣ
членовъ, показываютъ намъ, что члены сея
степени п будутъ
а” , а"~1Ьу а"~ЛЬ", а”—3//, а”—И/' и проч.
Потомъ правило данное въ § 244 и Г 24’> Лля
составленія коеффиціентовъ^ научаетъ, что
оныя составлены быть должны изъ слѣду-
ющихъ дробей:
П П— 1 И - 2 П — 3 7? — 4
I» — -г» —» — ♦и ПР°4-,
такъ что, поелику ій коеффиціентъ = і,
ай будетъ . . . =
о __ Я.Л — I
___И-П— ’Э»Л—3
1.2.3*4
и такъ далѣе.
‘47
Посему мы будемъ имѣть 2
( а Ц- Ь )ч = а” -{• - а"~ 4” 7 • ~~ л"“5 * * * 9о*
+71 +7’~ •—-ТГ^"46 +ИПР’
§ ^9-
Если нужно сыскать туже степень корня
а — Ьг то уже выше сего показали, что оная
разнствуешь отъ сш пени количества п-І^Ь
токмо знаками, поелику члены, содержащіе
въ себѣ нечетный степени буквы і, имѣютъ
передъ собою знакъ — ( $ 1З9 ).
\ л , у . Л л—Т ъ И »—Т Л—2
а-Ь)п — а” — ;ап-,54-г — ап *Ъ
о/, , п п — I п -2 Л— 3 Л — 4 .
4- <-----. —г-а ь И прохі.
* 1 2 О А
§ 260.
Сіи общія формулы весьма полезны, Потому
что онѣ інакъже служатъ къ разложенію всѣхъ
корней двѵілепнаго Количества аЦ-Л, или
а—Ь. Ибо показавъ, что всякой корень
выраженъ быть можетъ дробнымъ показате-
лемъ, и что
5 . >(8 47 >
)
и проч.
мы усматриваемъ, что, дабы найти
|/(а+^)> И(а4-6 и проч.,
і43
тло должно птолько поставишь дробь и Пр.
вмѣсто показателя ті, для полученія сихъ
корней.
5 261.
Если положимъ на примѣръ п — -я, то
подучимъ
; = 4-1 1 1 2 ап ~аі
Я—1 - 1 3’Т “ — 7 а?4*1
2 4 Ѵі ~~ а
рг |-Х> 1 II •г ап- -3— _1/-
я—3 5 “Т 8 ап- -3— __!_-е- а*Ѵа 9г
ц проч. /1 проч.
Поставляя ьіи величины , будемъ имѣть
У а 4- Ь — [/а [И ’ і » м ,! і « 3 * ”г«иЧ»"а,,- оа 1~ ві
І>35 7
Нчф Т* проч.]
I 363-
Естьли буква а означаетъ квадратное
число, то можно будетъ опредѣлишь и
слѣдовательно у<,+ « можно изобразишь без-
конечнымъ рядомъ освобожденнымъ огпъ всякой
веизвлекоморши. Полагая на примѣръ а == ссг
получимъ
. -----Г Г I » * Ъ* । « *’ 5 *>* г
—с^І"Ьх»;? а» с# “Ь ‘«‘ТГ
$ эбЗ.
Нѣтъ ни бдного числа, котбраго бы квад-
ратнаго корня , помощію сего выраженія, не
можно было изобразить безконечнымъ рядомъ,
потому что всякое число дѣлится на двѣ
части, иЗъ коихъ одна будетъ квадратъ, и
сіе самое называется находить корень по
приближенію. Когда на пр. должно сыскать
\/ 5, то поелику 5 а* 4* 1 > полежи с = а
и Ъ =з і; будетъ
1/5 = а ( і 4- I --гЬг + ттЬ —ПР°Ч- )
Взявъ токмо два Нервы* члёна і 5 — 5 сего
рядя, будемъ имѣть |/5=^, и потому 5 —
что Д піою больше истинной величины. Когда
возмемъ три члена і + | — -^3 — Т7ь> то
получимъ |/5 = .слѣдовательно 5 =
что Истинной величины. Если же
йозмупгёя 4 члена сего ряда, то получйійсМ
величина |/5 гораздо ближайшая. 11 если 5 раз-
дѣлимъ на сіи части: — Т"-, то есть положимъ
с=-и 6 = —то произойдетъ выраженіе
^/5 _ | (і —1.x. — 1.^ и проч.),
въ которомъ, взявъ токмо два первые члена,
пол}чишся ^/5 и слѣдовательно
чпю только —? болѣе истинной величины.
, $ 264.
Такимъ же образомъ можно будетъ изобра-
зишь кубичной корень двучленнаго количества
а-^Ь. Ибо пусть п = *, будетъ:
і5о
я 7 ~ + а ап ~ I <73 3
Я—I а 1! 1 СМ|ж ап^1 — Т у и» II
я—а ъ — — * ‘— 9 ап~~л ~ 1 у «5 Ѵа
я-3 •—1 - й ап—з —- Г Ѵа
4 ^аЗ аЗ
и проч* и проч.
Поставляя сіи величины, будемъ имѣть
І/(а + 6) = \/а [і ф ’.і — і.| Л + І • I
•*-Тз — и проч.]
§ эб5.
Когда а есть ^исло кубичное, то можно
будетъ \/а изобразить безъ кореннаю знака,
И слѣдовательно \/ можетъ изображенъ
также быть безконечнымъ рядомъ , освобож-
деннымъ отъ сего коренцаго знака. Ибо полагая
а~с, будемъ имѣть
и(‘--*+ч=‘(' +;-• з - і-Й «"₽•)
5 =66.
Помощію сей формулы можно найти куби-
чный корень всякаго числа, по приближенію.
Для сею надлежитъ токмо раздѣлить оное
на двѣ части, изъ коихъ одна была бы
кубъ: приближеніе же дѣлается такъ, какъ
въ § абЗмъ показано.
і5і
§ 267.
Изъ всего сказаннаго явствуетъ, что сей
же самый способъ равно употребленъ быть
можетъ для сысканія корня неопредѣленной
степени т. двучленнаго количества а-}~Ь: нужно
т 1
=5 ( а -\-.Ь )т,
учинивъ
только замѣтить что
и положить слѣдовательно п = -кг
сіе, будемъ имѣть
п ==. 4- — 2.
п-
О
□т
ап — а-и
ап~1 хх ——-
т т
П—і , (2-и—і)
3 Зт
п—3___ (3т—і)
а"~я-,п
_ 2 1 771
\/а «.а
4
и проч.
а^і
и проч.
И такъ поставляя сіи величины въ формулѣ
найденной въ § а58, получимъ
т і Ъ 1 т—і і* а і т—
Ъ ~ Ц *<і т*
’^^-и ПР°4-]
Сія формула, полагая а=с’я, обращается въ
ті~т ' Т__ г і Ь « ”»—« ъл ।
X С Ь 1" ш " с п + 1 гп * 2Ш • с*‘п +• х Т*
і т—і агп—-1 я
— а . -7— • ‘ — и проч. 1
ѵі ’^іп от + х ♦ ••
т5а
§ 268.
Посредствомъ сего ряда можно находитъ, по
приближенію, корень какой бы то ни было
степени т всякаго предложеннаго числа. Над-
лежитъ токмо раздѣлить оное на двѣ части
а и Ь, изъ коихъ одна а была бы степено т, а
именно а = с'п.
ГЛАВА ХП.
О разложеніи степеней отрицательныхъ.
§ 269.
Выше сего въ главѣ V сего отдѣленія ви-
дѣли, что всякую дробь можно разрѣшить
въ безконечной рядъ, и что помощію дѣленія
находимъ
гГк «= а ~ .»+“>+?— ® ПРОЧ‘ (5 Э15-)
Равнымъ образомъ можно бы разрѣшитъ дробь
(п + б);’ раздѣляя предъидущій рядъ еще разъ
на л-|- 6, или раздѣляя і на аа 2аЬ -\-ЪЪ. Но
ясно видно, что еслибы требовалось пре-
вратишь въ рядъ высшую степень дроби —
іпо вычисленіе было бы весьма затруднительно.
11 такъ здѣсь раждается вопросъ, какимъ
образомъ можно, оставя всѣ сіи дВленія, найти
рядъ для какой ниб}дь степени дроби ^~ь.
I
5 а7°-
Общее разложеніе двучленнаго количества
4 а -|- Ь )" изъясненное выше сего ( 258.)
показываетъ намъ способъ изображать рядомъ
неопредѣленную степень сколь бы
великъ ни былъ показатель т. Поелику мы
видѣли , что ~ =:а—" (§ 1З7), то слѣдуетъ,
что = ( а 4- Ь ]~т, а изъ сего
явствуетъ, что для разложенія (с_Д ~ над-
лежитъ токмо въ найденномъ ряду для
(а )” вмѣсто показателя п поставишь —т.
Ибо учинивъ сіе, будемъ имѣть:
я ____ т
1 *
я—1 __ (т + I )
а" а
г—а___ (т-> а)
3 3
и—3 ( т + 3 )
4 4
и проч.
а ----- лт 4-3
и проч.
Слѣдовательно:
Когда положимъ т
. тГГ т+1 ** 2Г
г + ~*“Г і-
- и проч.
37І- 1
— іу то будемъ имѣть
слѣдуюп^ее выраженіе:
і і . і*
-і и проч.,
х54
которое сходствуетъ съ тѣмъ, каковое
Найдено было цъ § 2і5, помощію дѣленія.
Въ прочемъ дабы увѣриться въ истинѣ сего,
надлежитъ токмо множить сей рядъ наа-|-Л, и
тогда произведеніе должно выйти = і. Вотъ
самое дѣйствіе:
«о 1 с Г '<9 і» । ' о> с+ Л 1 а Л5 * +Ь - ІЯ проч.
1 — а • і*_ Г* ® * а1 л* ал 1 и проч.
1 ь л і* . Т „1 а* и проч.
Произведеніе = 1
§ 2?2-
Когда требуется рядъ для квадрата дроби
то полагая тп = 2, произойдетъ
г ______ і эЛ । 3/>а 4/3 і
(а4-А,* «а 1 л* а’
и проч.
Симъ же образомъ найдется рядъ для третьей
четвертой, и проч. степени предложенной
здѣсь дроби положивъ т=3, т=/|, и ПР°Ч*
$ 27^«
Мы можемъ равномѣрно, помощію общей
пашей формулы ($ 270 ) , преобразить въ
безконечный рядъ дробь Ибо положивъ
гп “ произойдетъ
155
т
а = ]/а
а [/а
>п+3
а — а [/а
и проч. и проч.
что будучи поставлено въ общую формулу,
даетъ:
—‘ » г , _ і * I . 3 ъ_ іЛЛ ъ2
Ѵа+Ь — ѴдИ »’ а । »’ ♦* в* а. ,л ’ а’
+^Й- 3 - " п₽04-)
КоііецЬ втораго отдЬлі’ия.
НАЧАЛЬНЫЯ, ОСНОВАНІЯ
А Д Г Е Б Ы.
ОТДѢЛЕНІЕ Ш.
Объ алгебраическихъ уравненіяхъ и
рЬщеіші оныхъ.
О рѣшеніи. вопросовъ вообще.
Главный предметъ АлГсѴУры состоитъ въ
опредѣленіи величины іи извѣстныхъ коли-
чествъ. До сего мы Достигаемъ пццяшеЛіпычъ
разсмотрѣніемъ предписанныхъ въ предложен-
номъ вопросѣ условій, кои всегда изображаются
посредствомъ извѣстныхъ количествъ. II >сему
можно дать такое опредѣленіе Алгебрѣ:
Наука, Которая пок/.зываетЪ, КакЬ на-
ходить неизвѣстныя величины помощію
извѣстныхъ.
§
Сказанное теперь нами сходст.уетъ со
всѣмъ тѣмъ, что доселѣ предложено было.
Ибо вездѣ Но нѣкоторыми извѣстнымъ
количествамъ опредѣляемы были другія, кои
прежде не были извѣстны. И такъ всѣ
алгебраическіе вопросы приведены быть могутъ
къ сысканію, помощію нѣкоторыхъ данныхъ
количествъ, другаго количества) имѣющаго съ
оными извѣстное сопряженіе , и сіе сопряженіе
опредѣляется извѣстными условіями или
свойсшвгми, принадлежащими жъ искомому
количеству
ібо
$ а;С-
Когда предлагается вопросъ для рѣшенія, то
искомое число означается одною изъ послѣд-
нихъ буквъ азбуки, и потомъ разсматривается
какимъ образомъ данныя условія могутъ со-
ставить равенство между двумя количествами.
Сіе равенство, которое изображается нѣ-
которою формулою, называемою уравненіемъ >
служитъ потомъ къ опредѣленію величины
неизвВстнаго количества, и слѣдовательно
къ рѣшенію вопроса.
§ 277.
• Изъяснимъ сіе правило примѣромъ, полагая,
что требуется рѣшить слѣдующій вопросъ:
Деаднатъчеловѣкѣобоего пола обѢдаютЪ
вѣ трактирѣ; каждый мущина платитЪ
за обѣдѣ 6о коп., а женщина 45 кои.; всего
же издержано друб. 76 коп. Спрашивается:
сколько человѣкѣ было каждаго пола?
§ 278.
Для рѣшенія сего вопроса, положи, что
число мущинъ было и почитая теперь сіс
число за извѣстное, поступи съ нимъ такъ
какъ будто бы хотѣлъ сдѣлать повѣрку, и
разсмотрѣть, удовлетворяетъ ли сіе число
вопросу. П такъ, поелику число особъ есть
20, іпо число женщинъ будетъ 20—х- Но каждый
ібі
мущина издерживаетъ бо коп., слѣдовательно х
мущинъ издержатъ бох коп. ; и какъ каждая
женщина издерживаетъ коп., то ( 20 — х)
женщинъ издержатъ ^5 (20—г) или (аоо—^эх)
коп. Поелику же сумма сихъ двухъ количествъ
бох и 900 — /$х должна быть равна цѣлой
издержкѣ, т. е. о руб. ^5 коп.; то равенство
сіе даетъ уравненіе 900-]- ібх = д75, изъ
котораго извлечь надлежитъ величину неиз-
вѣстнаго количества х, и вопросъ рѣшенъ
будетъ.
§ 279‘
Изъ сего примѣра видно, сколь важно вб
всѣхъ вопросахъ разсматривать со вниманіемъ
всѣ обстоятельства оныхъ, дабы изъ сихъ
послѣднихъ составить уравненіе. Все искуство
состоитъ потомъ въ рѣшеніи оныхъ уравне-
ній, ш. е. въ опредѣленіи величины неизвѣст-
ныхъ количествъ, и симъ то предметомъ въ
семъ отдѣленіи мы заниматься будемъ.
§ 280.
° , .-.о
Необходимо нужно замѣтить здѣсь еще
весьма важное различіе, существующее въ
самыхъ щщ^цсахъ. Въ нѣкоторыхъ изъ нихъ
ищется токмо одно неизвѣстное количество, а
въ другихъ два или болѣе. Въ семъ послѣднемъ
случаѣ надлежитъ замѣтить, что для опре-
дѣленія всѣхъ оныхъ надобно быть въ со-
стояніи произвести изъ условій вопроса
и
ібз
столько уравненій , не зависящихъ одно отъ
другаго, сколько находится неизвѣстныхъ,
безъ чего вопросъ будетъ неопредѣленный.
5 281.
Изъ предъидущаго видѣть уже можно, что
всякое уравненіе состоитъ изъ двухъ частей,
кои раздѣляются знакомъ =, для показанія,
что сіи два количества равны между собою.
Часто необходимость заставляетъ многократ-
ныя дѣлать преобразованія съ сими двумя
частями, прежде нежели найдемъ величину
неизвѣстнаго количества. Но всѣ сіи пре-
образованія основаны па одномъ не опровер-
гаемомъ и ясномъ началѣ: что два равныя
количества останутся равными, когда кЪ
онымЪ прибавятся или отЪ оныхЪ отни-
мутся равныя количества. Ибо изъ сего
начала, соединеннаго съ понятіями о различ-
ныхъ ариѳметическихъ дѣйствіяхъ, непосред-
ственно слѣдуешь, что два равныя количества
останутся равными, когда онѣ будутъ умно-
жены или раздѣлены на одинакаго множителя
или дѣлителя; когда будутъ возвышены въ
одинакую степень, или изъ ниѵъ извлекутся
корни одинакой степени, и на^кон.цъ когда
взяты будутъ ихъ логариѳмы.
§ э8а.
ЗВопросы удобнѣйшіе для рѣшенія суть
тѣ, въ коихъ неизвѣстное количество не
163
превосходитъ первой степени , по приведеніи
членовъ въ надлежащій порядокъ $ и онѣ
называются уравненіями первой ^степени.
Но когда по сокращеніи и расположеніи членовъ
уравненія,, въ ономъ заключается квадратъ или
вторая степень неизвѣстнаго количества, то
сіе именуется уравненіемъ второй степени.
Потомъ слѣдуютъ уравненія третій сте-
пени , кои заключаютъ кубъ неизвѣстнаго
количества, и такъ далѣе. - х
• > > /П
ГЛАВА II.
О рѣшеніи уравненій первой степени.
\ § 2ЬЗ. * 1. .
Когда искомое число означено буквою зр, и
полученное уравненіе есть таково, что на
одрой сщріуі^Ѣ знака = находится единственно
сія буква '^.у^на другой извѣстное число, то
искомое колЖество будетъ совершенно уже
опредѣлено. II такъ всегда надлежитъ старать-
ся Привести уравненіе въ таковый видъ, сколь
оно бы сложно ни было. Мы предложимъ
здѣсь правила> служащія къ облегченію Сего
приведенія. «гі | . х
>5 <•
Начнемъ самымъ.простѣйшимъ случаемъ, гді
первая часть уравненія содержитъ, сверх'
неизвѣстнаго г, еще дпугое какое кпесйвь
положительное количество; явно, что по пра-
вилу изъясненному въ § 2Я1 над лежитъ токмо
вычесть сій извѣстное количество изъ кажддй
части уравненія, дабы имѣть величину ^ле*-
извѣотнаго количества. н । * ,
0 V -Л- .ЛЛ -
- . Г н< п Р И ІИ Ѣ Р ьг.
і; Пусть х 4* іб = 24? будетъ
х = 24 — іб — 8.
3. Пусть х Ц- а — будетъ
х = Ь — а.
3. Пусть х 4* Ьл = 4а 4- 36; будетъ
х — — за -}- ЗА — аа 4* 36.
4« Пусть х 4- в + 2^' — аа + — с і будетъ
х = а — Ъ -=-с,
и такъ далѣе въ другихъ случаяхъ-
° ” § 385. ’ «»₽ У/ •
Когда одна изъ частей уравнёі^іСодержигпъ4
неизвѣстное х, убавлепіГое $вки\гь ниёсть
извѣстнымъ количествомъ, т<? явно, что
надлежитъ токмо сіе извѣстное количество
приложишь къ обѣимъ частямъ уравненія.
П Р И М Ѣ Р ы.
V • -Г ‘ м д .
і. Пусть х—4 — 7і будетъ чд“»> «ч>
х = 7 4- 4 — 11-
э. і^'піь х—а~ будетъ і
і65
3. Пусть т г— а = за Ъ\ будетъ
х == За Л.
4. Пусть х— 2а — 36= а—6Ц-2с; будетъ
х = За 4~ 26 Ц- ас.
§ 286.
Оба правила, теперь нами предложенныя,
могутъ быть выражены однимъ слѣдующимъ
весьма простымъ правиломъ: Перенеси из-
вѣстныя колнчества,находяш)іяся вЪ одной
части* сЪ неизвѣстною , вЪ другую частъ
сЪ противнымЪ знакомЪ.
Когда предложенное уравненье содержитъ
неизвѣстное, умноженное на извѣстное коли-
чество; то, по перенесеніи всѣхъ членовъ,
находящихся въ іпой же части, на другую
сторону знака равенства, съ противнымъ
знакомъ (§ 286 ), надлежитъ токмо раз-
дѣлитъ обѣ части уравненія на то коли-
чество, на которое неизвѣстное умножена
ПРИМѢРЫ.
і. Пусть 2Х~ 6, будетъ
ах--------- 6
а - »>
т. е. х~ 3.
а. Пусть 2.x 4- 5 ~ 17; будетъ
зх = 17 — 5, и сдѣдовапѵ »н г
ібб
3. Пусть З.г — 8 — 7; будетъ
За: = 7 -}- 8, и слѣдовательно
.г=-Ц-8 = 5.-
4- Пусть 4х — За*— 5 = да -р і5; будетъ
4-Г І2«4-20, и слѣдовательно
І2Д + -*О __ о I С
х —---------— За 4* э.
5. Пусть ах = Ь\ будетъ
6. Пусть ах — Ь = с; будетъ
ах — с Ь, и слѣдовательно
7. Пусть ах Ьх ~р с = будетъ
(а-р6).х= </ —• с, и слѣдовательнно
<?—о
X =-----
а -р 6
§ 288,
I Когда въ предложенномъ уравненіи неизвѣ-
стное раздѣлено на какое ниесть извѣстное
количество; то, по перенесеніи другихъ
членовъ на другую сторону знака равенства,
надлежитъ только умножить обѣ части
уравненія на сіе самое количество.
іі р и лі ѣ р ы.
г. Пустъ * — 3; будетъ
2 і — 2.3,
т. е. ас — 6.
167
а. Пусть \х -*• % = 4і будетъ
’і — 4 + 3, и слѣдовательно
а? = 2 ( 4 4" 3 ) -= >4-
3. Пусть \х 4“ 2Я — і = а 4-3; будетъ
-Зх = 4 — а, и слѣдовательно
ж — 3(4 — а ) — 12 — За.
4- Пусть — і ~ а; будетъ
- - — а 4- і, и слѣдовательно
X — (а—і) (а4“І)==йа—
5. Пусть — Ъ\ будетъ
х— с ~ аЬ, и елѣдоваіпельно
аг ~ аЬ 4~ с. х
6. Пусть - — Ь — с; будетъ
~ — с и слѣдовательно
ж ~ ас 4- аЪ.
7. Пусть-^-ь — с Ц- Л — о; будетъ
х~[а — & )(<?)> Чли
х ~ ас — Ьс —• а<1 4"
§ 289.
Изъ обоихъ правилъ, показанныхъ въ двухъ
предъидущихъ слѣдуетъ, что когда не-
извѣстное умножено на дробь, то надлежитъ
токмо помножитъ все уравненіе на зна-
менателя с ея дроби, а потомЪ раздѣлитъ
оное на ея числителя.
. і68
ПРИМѢРЫ.
і. Пусть |.т — 6; будетъ
ах ~ і8, и слѣдовательно
х — д.
з. Пусть 1^4-— 5; будетъ
3 — - 9
-- г,
Зх “ <8, и
х ~ 6.
5 т ~3оа-}" 9°,
4- Пусть I х — с = а; будетъ
6 (с + <1)
X — -----.
а
5. Пусть “ х — і = а\ будетъ
—-х = а 4- г,
(«+• і ) х =(а4* 1) ( а — 1)»
зг= а — і.
б. Пустьх —е—/\ будетъ
а 4- Ъ •
ТГа х —1 "Ь
х=(ор/) (« + /]
(«+/)
Х~ (а+1,)
§ не-
когда нѣсколько членовъ одной части
содержатъ неизвѣстное х, то ясно, что
і
і69
кромѣ вышеписанныхъ правилъ надлежитъ
еще наблюдать слѣдующее: приведи всѣ сіи
члены вЪ одинЪ, и тогда, дѣйствіе обращено
будетЪ вЪ предЬидутее.
П Р и м ѣ Р ы.
і. Пусть х 4" Iх 4" 5 = и; будетъ
|х = 11 — 5,
х = 4-
2. Пусть х 4- ;Х 4“ з г — 44? будетъ
>=44»
* Х = 24.
3. Пусть ?х — |х 4- \х — 5; будетъ
А^=5,
Х~ 12.
4- Пусть ах — Ъх сх ~ будетъ
а
5. Пусть ~ ~ —у\ будетъ
Ые
‘ ( асі — Ъс )*
§ 291- '
Когда члены, содержащіе неизвѣстное ко-
личество , находятся въ обѣихъ частяхъ
уравненія; то надлежитъ уничтожить сіи
члены вЪ той части, гдѣ сіе удобнѣе
учиниться можетЪ, перенеся ихЪ на другую
сторону сЪ противнымъ знакомЪ. Прочее же
кончится такъ, какъ выше сего показали.
І7О
П Р И М Ѣ Р ы.
і. Пусть Зх-|- я — х 4- Іоі будетъ
З.г — х гг ю — 2, посему
2Х ~ 8, и
х ~ 4«
2. Пусть х — 2~і2 •— х; будетъ
х--|-х~ 124-2, т. е.
2Х ~ <4,
х = 7-
3. Пусть 15 — х ~ 20 — ах; будетъ
2Х — х ~ 20 —г л,
х — 5.
4- Пусть і 4* х — — ^х; будетъ
х 4" Iх — 5 — і, и слѣдовательно
Iх — 4, и
X ~ 2д.
5. Пусть |—|х~* —будетъ
~‘ —зх—5х? и слѣдовательно
X ~ 2.
6. Пусть і|——і 4" Iх» будетъ
|—х — 5X4* Iх? и слѣдовательно
Iх— I
х=Н-
7. Пусть а — Ьх _ сх 4- будетъ
( Ь 4* с)х ~ а — сі, и
' 1,1
5 292*
Когда дойдемъ до уравненія, въ которомъ
неизвѣстное находится въ знаменателѣ одного
или нѣсколькихъ членовъ ; то надлежитъ все
уравненіе умножить на сего знаменателя,
и потомЪ поступить сЪ нимЪ по даннымЪ
выше правиламъ.
ПРИМѢРЫ.
і. Пусть — —8 ~ іэ; будетъ
юо — 8х ~ і2 г, и слѣдовательно
х ~ 5.
2. Пусть —т — у будетъ
5х 4" 3 ~ ^х — и слѣдовательно
х ~ 5.
3. Пусть 3 — Л ~ будетъ
Зх — і ~ -ях і, и слѣдовательно
4 Пусть ^2=^; будетъ
(З.Г—і) (2Х —1)“ ( Зх 4- 5 ) ( 2Х 4“ 1 )> мли
6хх~5х-|-і~6хх-|- іЗх-|-5, и слѣдовательно
13x4- 5х — і — 5
' X
-** —
д з9з.
Когда неизвѣстная величина находится подъ
какимъ нибудь кореннымъ знакомъ; то
надлежитъ сперва сдѣлать, чтобы сей
172 {
неиЗв искомый членѣ находился одинЪ сЪ
одной стороны знака равенства, а птпомЪ
, ' возвс ситъ обѣ части уравненія вЪ ту
степень, каковую имѢепіЬ показатель кор-
ня , и прочее совершится по предЪидущимЪ
правиламъ.
п р и м ѣ р ы.
і. Пусть І/із — х = 3; будетъ
і2 — х = д, и слѣдовательно
х = 3. '
* * *
з. Шусть 2Х—5=3; будетъ
2.x—5- 3’=27, и слѣдовательно
Х=і6.
3. Пусть 2 4-8.т = 1/і8х — ц
поелику і8ас = 3|/2Х,
\/ 8.Г — З^/іХ, ( 5 юу )
то будетъ:
-4- 2(/ 2Х = 3^/ 2.Х — I
3|/ 2Х — 2[/2Х — 2 4- 1 >
[/ гх — 3, слѣдовательно
2Х = 9, и
х — 4.-
5 IX , , * 4
4- ПустьІ/27 г + « - 3 + зр- з.г;
поелику Зі/Зх = |/27г, то будетъ: і
---і— =|, слѣдовательно
]/2^Х
^ = 316> и потому
-- 3-
\73
'У! 8- 294.7
^конецъ, , когда неизвѣстное находится
въ показателѣ одного ’ілена уравненія, то
сдѣлай, чтобы сей членЪ находился одинЪ
на одной сторонѣ знака равенства, по-
пц&іЪ возни логариѳмы той и другой
части; и остальное совершится по предЪ-
йдущимЪ правиланЪ}' * •
«- ? о «А д* і ’ * •
ПРИМѢРЫ. ,
1 . V -А-- »
I. Пустъ 2х ±=5г2; взяв^ логариѳмы,, исламъ
хЬ — 15І2^ (_ §^55 ) , слѣдователь^ Ж
Би 2,70957 __
а ъ3о,оз — 9' -V
2. Пусть 5.3ах—юо = Зо 15 будетъ
а лг о’ .^Зах=8і} и потому
=18і, и <л > • 1
> 1,90848- г ‘
•Н > ,< Л13 0,95454- 0 <м X .
3. Пусть /,аъ+х — с = ^ будутъ
аъ+х Г) и
Ьх) I а =1^—^ и^потому
т . »«Ч-У
Ъ 4~ х = I—
< ------— <
Іа
1 х
Іа
ГЛАВА III.
О рѣшеніи нѣкоторыхъ вопросовЬ,
"7 относящихся: кЪ предЪпд/іщей главѣ.
‘ -»• ИО' И м , р | X; „
і § здэ. 1ІТі3 , Ю|
В д п і» о с'ъ і.’иЕи
Г \ 11' '•’** 1 '• < •* >. Н .’ •?
Нѣкоторый отецЪ оставилъ тремЪ
своимЪ сыновьямъ ібоо руб. ; вЪ завѣщаніи
сказано, что старшій сынЬ долженЪ по-
Лр^ть 200 рублями болѣе нежели средній;
ср^пій юо рублями больше недѣли самый
младшій; спрашивается какЪ велика частъ
каждаго нзЪ нихЪ ?
Пусть часть младшаго — х\ будетъ часть
средняго = х •]- юо, а старшагб =х-|--3оо; вся
же сумма Зл?4~4°° должна быть равна цѣлому
наслѣдству, состоящему въ ібоо руб., почему
получится уравненіе:
II .
Зх = і5оо,
х — 4°°-
- »' -г
отвѣтъ:
средняго
младшаго
Часть старшаго будетъ 700 руб.
• . 5оо руб.
. . 400 руб.
Цѣлое наслѣдство = ібоо рублей.
і^5
8 зуб.
вопросъ П.
ОтецЪ оставплЪ по себѣ четырехъ
сыновей и 86оо руб. денегЪ; по завѣщанію
покойнаго частъ перваго сына должна бытъ
вЪ двое больше нежели втораго, безЪ юо
руб.; часть втораго вЪ цірое больше нежели-
третьяго, безЪ 200 руб.; частъ третьяго
вЪ четверо больше нежели четвертаго безЪ
Зоо руб.; спрашивается по ско.
станется каждому.
Пусть часть 4го — ж руб.,
будетъ часть 3го = 4-'г — Зоо
2го 12 х — II оо
............іго.= 2/{ х — 2З00
Сумма . . . = 4^ х — З700
Йо все наслѣдство составляешь 8600 руб.;
посему
4 іх — З700 = 86оо
4іх = 12З00
X = Зоо.
отвѣтъ:
Дй получитъ Зоо руб.
Зй . . . . доо —
2Й ... . 2500 ----•
ІЙ . . • . 4.)ОО - •
Збоо руб.
176
§ 297-
ВОПРОСЪ III.
Сыскать такое число, что ежели изЪ
удвоеннаго его вычтется і, потомЪ изЬ
сегоу удвоеннаго остатка вычтется 2, и
сей послѣдній остатокъ раздѣлится нй
то частное была бы единицею меньше
я* .
искомаго числа.
Йуспи, искомое число — х, когда изъ удвоен-
навычту Я і, то останется ах — і;
г^] і И ДѴда изъ удвоеннаго остатка вычту
.ф, *пю останется Ірс—4> и‘ наконецъ когда
дѣлю на 4» то получу х— г, что урйвнено
( тучи искомому числу безъ і, даетъ слѣду-
ющее уравненіе : х — і .г — і, которое
называется шожсстееннымЪ, и которое по-
казываетъ, что х не можетъ опредѣлиться
чрезъ условія вопроса, коимъ всѣ числа равно
удовлетворяютъ. —
§ 298.
ВОПРОСЪ IV.
КритонЬ сказалЬ г я вЪ трое моложе
моего отца и вЪ двое моложе моей матери ;
и ежели кЪ суммѣ нашихЪ лѢігіЬ присово-
купитъ лѣта моей сестры, коей 4 го ха;
то выйдетЪ точно іоолѢпіЪ; спрашивается
лѣта каждой пзЪ сихЪ особЪ ?
/
47
Пусть лѣта Кришона — .Г,
Лѣта отца его будутъ = Зх,
лѣта его матери . . . . = 2Х,
и поелиѣу сестрѣ его .... =4 года
то су мма сихъ лѣтъ составить 6.г -ф 4,
которая должиа быть равна гоо лѣтъ^ откуда
получится сіе уравненіе:
6х 4"> 4 == 1ОО> или
6я? = об, и
х — іб.
отвѣтъ:
Криптону............іб лѣтъ.
Отцу его ..... 4^ *
Матери . . . . . . За —----
Сестрѣ ............ 4 ---*
И такъ сумма всѣхъ лѣтъ юо — —
I
§ 299-
» в о п і> о с ъ V.
х Серебреннику заказанЪ сервпзЪ бѢсдмЪ
во 190 (рутповЪ, по 2і рублю фуіигіЬ безЪ
работы; онЪ имЬетЬ ДвухЪ сортовЪ сере-
бро, одно вЪ 25 руб., а другое вЪ 19 руб.
фуитЪ; спрашивается то скольку онЪ
долженЪ-взять каждаго сорта?
Положимъ ъ 'чіЛ> онъ возметъ іТО сорта
х фунтовъ, и потому втораго всзмепгь ідо'—х
фунтовъ;
12
178
цѣна іто состава будетъ = з5х
цѣна зг* • • , . • . . = ір ( іро — х )
Сумма цѣнъ: ' з5л--]-і9( іро —х).
Весь сервизъ долженъ стоить аіХіроруб.,
чему сумма а5.г 4~ ір (190 — х) должна
быть равна ; и такъ получится слѣд^ ющее
уравненіе:
зэх 4- *9- ’9° — ірх = 21. іро,
изъ коего удобно извлечется
6х = а. іро = 38о, и
х = = 63| фунтовъ.
ОТВѢТЪ.
і” сорта возметъ онъ 63| фунта.
2го ...... . із6| . . •
§ Зоо.
Вопросъ VI.
Два крестьянина, которые продали
цыплятЪ вЪ городѣ , встрѣтились возвра-
щаясь вЪ деревню; одинЪ щптаетЬ свои
деньги , а другой ему говорнтЪ: еслибы я
каждую пару мопхЪ цыплппіЬ продалЪ
по 6о копѢекЪ^ то ммѢлЪ бы 4о кои.' болѣе
нежели ты; но продавЪ ихЪ по 55 коп.
пару у имѣю і5 копѣйками менѣе нежели
ты; спрашивается, сколько онЪ цыплятЪ
продалЪ ?
»79
Положилъ, что онъ продалъ х паръ цы-
плятъ • еслибы онъ Тіару продалъ по 6о коп., шо
ПОЛУЧИЛЪ бы бох коп. и потому другой имѣлъ
бы Сог—4° коп- 5 н0 пР°Давъ ихъ 110 55 коп. онъ
долженъ имѣть 55 г коп. и слѣдовательно
дрѵгой будетъ имѣть 55л?4-і5 коп. Сіи два
количества выражающія деньги другаго кресть-
янина должны быть равны, опікуді произходитъ
уравненіе:
бох — 4° — 55х + і 5
5х — 55
х — и- 4
отвѣтъ.
Онъ продалъ и паръ цыплятъ.
§ Зоі. О •
ВОПРОСЪ VII.
Семнадцать человѣкѣ, мущинЪ, женщинѣ
» дѣтей (послѣднихъ было одннмЪ менѣе
нежели мущинЪ), обѣдали вЪ трактирѣ;
купона заплатилъ,за обѣдѣ 8о коп.; жен-
щина 6о коп., а за каждаго ребенка заплати-
ли по Зо коп. и посему издержали іо рублей
4о коп. Сколько было мущинЪ, женщинѣ
к дѣтей. ?
Положимъ, что число мущинъ =х,
будетъ число дѣтей . . . х — і,
а число женщинъ . . і8—х— (х—і),
т. е. іо — зх.
* і8о
Но х мущинъ заплатили 8о.г
1р_2Л' женщинъ . . . 6о (ід—зх)
х— і дѣтей . . . . Зо (х — і );
чего ради, поелику сумма должна быть юДокоП.,
произойдетъ уравненіе:
8,рх 4-1140 — іао к 4. Зох — Зо ~ юДо
— 10Х ==: — 70
Х=7.
О Т В Ѣ Т Ъ.
Мущинъ было .... 7.
Женщинъ ...........'5.
Дѣтей ...... 6.
§ З02.
вопросъ VIII.
Крестьянка на вопросѣ: сколько у пей
лицѣ? отвѣчаетъ: если бы сверхѣ моихѣ
яицѢ имѣла я столько же, и еще половину
и третъ опытѣ, да еще 5, то число всѣхѣ
тѢмЪ же превышало бы 5 дюжинѣ, чѢмЪ
5 дюжинѣ превышаютъ настоящее число
яйцѣ. Спрашивается, сколько она оныхѣ
имѣла?
Пусть х искомое число; по условіямъ
. вопроса число
х 4. х ’х 4- \х 4- 5
превышать должно 5 дюжинъ, или 6о, Чи-
сломъ: зг4-*-> -I- 4- 5 — 6о; и такъ
будетъ уравненіе:
рк + Iх + зх — 55 = 6о — х,
или Зх 4- 1-х = 115
~х = 115
х — Зо.
отвѣтъ.
Крестьянка имѣла Зо яицъ.
§ ЗоЗ.
ВОПРОСЪ IX.
МясппкЪ купилЪ на Зі8 руб- 1° когт. 5
быковЪ, 2 коровы, іо телятЪ, і5 Бара-
новъ и 22 ягненка; за Быка заплатилъ іб
рублями дороже, нежели за корову; теле-
нокЪ обошелся вЪ 8 разЪ дешевлѣ коровы, И
вЪ 2 раза дороже барана, да сверхЪ того
каждый ягненокЪ стоилЪ 8о коп. Во что
обошлась ему каждая скотина?
Пусть цѣна одного барана ~ х руб.
цѣна одного теленка будетъ “ ах —
----одной коровы . . . . — ібх --
---------------------------------одного быка . . . = ібх 4~ »б руб.
За 5 быковъ будетъ заплачено 8ох 4-
— 2 коровы .... Зах
— іо теленкоьъ . . . гох
— 15 барановъ . . . . і5х
— 22 ягненка . . . 17, 6о
Суммі 147Х 4- 97, бо,
которая должна быть равна ЗіЗ руб. іо коп.
18а
И такъ наше уравненіе будетъ!
,47х4"97> 6о — ЗіЯ, ю
іДух “ 220, 5о
х — г, 5о
о
отвѣтъ.
Баранъ стоитъ, і руб. 5о коп,
Теленокъ ... 3 —
Корова *. . . 24 —»
Быкъ . . . .До —
II такъ заплачено:
8а 5 быковъ,
— 2 коровы ,
— іо теленковъ,
— і5 барановъ,
— 22 ягненка,
. . . 200 руб,
. . . 48-
. . . Зо —
. . . 22 -- 5о КОП.
. . . >7 — 6о коп.
Зі8руб. іо коп.
вопросъ X.
КупецЬ купплЬ тафту, платя 5 руб. за
каждые 6 аршинЪ; продалЪ онЪ опять ее
по 6 руб. за каждые 5 аршинЪ, и получилЪ
барыша 55 руб. Сколько онЪ нм'ѢлЪ
аршинЪ 2
Положимъ, что онъ имѣлъ зс аршинъ, а
поелику аршинъ ему стоилъ ^рублей, а.про-
далъ его за | руб., то всего заплатилъ р. и
і83
получилъ по продажѣ руб. Разность между
сими двумя количествами составляетъ барышь,
который равенъ 55 руб.
И такъ получается уравненіе:
(іх 5х г—
5 6 ” 5Э’ * '
которое обращается въ сіе: г • •
= 55
х — і5о.
о т в ѣ.т ъ.
У него было х5о аршинъ.
§ Зо5.
вопросъ XI.
РемесленннкЪ долженЪ заплатитъ сво-
нмЪ работникамъ; если онЪ дастЪ каждому
по»3 руб., то у него' не достанетЪ б руб.,
почему уплачиваетъ онЪ покуда каждому
пзЬ нлхЪ только по яг- руб., отЪ чего
имѢетЪ вЪ остаткѣ 4 руб. Сколько нмѢлЪ
онЪ работниковъ и сколько денегЪ? )
Пустьх число работниковъ; поелику, давая
каждому по 3 руб. , надобно еще 6 р^Ь., чтобы
его деньги были достаточны для заплаты, то
явно, что онъ имѣетъ Зх — 6 руб.; но
давая каждому по руб. останется у него
4 руб., чего ради онъ имѣетъ 21-х 4 руб.
II какъ сіи два количества должны быть
184
равны, поелику каждое выражаетъ туже сумму
денегъ; шо получится уравненіе :
Зх — 6 ~ а'х 4
-'х “ ю
X — 20.
. / X ОТВѢТЪ.
И такъ у него было до работниковъ и 54
рубли для уплаты.
§ Зоб.
ВОПРОСЪ XII.
Мать купила для. дѣтей вишенЬ; опа
при раздачѣ дала старшему полевицу
всего числа, безЪ 45, второму третъ б$зЪ
5і, третьему 5ю долю, да еще 8", а млад-
шему 6ю Долю, да еще іо. Сколько куплено
вишенЬ?
Положимъ, что она купила X вишенъ, посему
достанется:
Старшей/ .. . . . . \х — 45
Второму .............*г—і5
Третьему...............8
Младшему . . . . . 'х-^-ю
Сумма должна быть равна искомому числу х\
йЗъ чего слѣдуетъ, что
Iх 4~ зх + 5х 4“ 6Г — 6о 4- і8 =± х
пк е. |(х = 42 4-х
42
Х-=. 210.
- і8э I
отвѣтъ.
Она купила вишенъ • . • . зЮ.
Старшему дала . . . . • 6о
Второму.................‘ . 55-
Третьему .................5°
Младшему ...•••• 4^
8 Зо7.
вопросъ. XIII.
Я обѢщалЪ слугѣ 8о рублей жалованья
вЪ годѣ} и платье; на по прошествій
семи мѢсяцо^Ь онЪ меня оставплЪ, получл
платье и, 35 рублей денегЪ: сколько поло-
жено за платье ?
Положимъ, что платье стоитъ х, посему
за із мѣсяцевъ онъ долженъ получишь воЦ-#,
_ 7 (8о + х) >»
слѣдовательно за 7 мѣсяцевъ -———По онъ
дѣйствительно получилъ 35 -^х, чего ради
= 35 + х,
,а і
и потому будетъ
7 ( 8о + х ) = ( 35 4- х ) із,
то есть
56о Ц- 7х ~ 4ао 4“ 12Х *
или і4° — '*Х'
и х — з8.
*
отвѣтъ.
За платье причитается а8 рублей
і86
5 Зо8.
вопросъ XIV.
ОтецЪ раздаепіЬ сумму двнегЪ своимЪ
сыновьямъ ; старшему онЪ даетЪ половину
всего и еще і руб.; среднему даетЪ поло-
вину остатка и еще г руб.; младшему
половину остатка, да еще 3 руб. и такимЪ
образомЪ всю сумму роздалЪ. Спраши-
вается , сколько было денегЪ?
Пусть розданная сумма =.ху посему ій полу-
чилъ ;х-|- і, и осталось \х—і; ай получилъ
половину сего и еще і руб., т. —-д - 4- і или
-х 4*;» а въ остаткѣ \х — коего половина
досталась третьему съ Змя рублями, то
есть 4х~і Ц-3 или ^х-]-?. По всѣ три участка
вмѣстѣ взятые должны быть равны розданной
суммѣ х, чего ради 'х-|- 1 “Ь;-*7 — х'і
откуда сокращая получимъ:
х ~ Зо.
отвѣтъ.
Онъ роздалъ Зо рублей.
Для возбужденія любопытства учащихся, мы
присовокупимъ къ сему еще нѣсколько во-
просовъ , не прилагая подробныхъ рѣшеній ,
187'
дабы всякъ, кто для большаго навыка самъ
пожелаетъ вывести главное уравненіе изъ
условій въ вопросВ означенныхъ, не былъ
отъ сего отвращенъ излишнею легкостію.
ДРУГІЕ ВОПРОСЫ.
г. Найти такое число, что если кЪ
оному придается его половина, его третъ,
его четверть да еще десять, то сумма
всего составляла, бы 6о ?
ОТВѢТЪ.
Искомое число х = 2^
а. Сыскать число, кЪ которому если
придается его половина и его треть, то
сумма столько превышала бы юо, сколько
не достаетЪ вЪ семЪ числѣ до уо.
отвѣтъ,
ж
Искомое число х — 6о.
3. Раздѣлить число 46 на Ав^ части
такЪ, что ежели первую часть раздѣлишь
на 7, а другую на 6, то бы сумма частныхЪ
равна была 7.
отвѣтъ.
Одна часть зЗ, а другая 18.
4- Сыскать такое число, что ежели кЪ
} его половинѣ придается 5, и кЬ его трети 2,
раздѣливъ первую сумму на 5, а вторую
на 4, сумма бы частныхЪ была 7 ?
і88
О Т'В ѣ т ъ.
Искомое число а*=-3о.
5. Сыскать такое число, что ежели
раздѣлишь 36 на сіе искомое число и 24
на число Зыя меньшее, частные были бы
равны между собою ?
отвѣтъ,
х
Искомое число ар — д.
6. Шинкарь имѢетЪ ДвухЪ еортоеЪ вино,
изЪ коихЪ бочка перваго стоктЪ Д5 р) б., а
другаго Зо руб.; онЪ хочегнЪ, смѢшавЪ
оное, сдѣлать р бочекЪ такого вина, ко-
тораго бы каждая бочка стоила До руб.
Сколько долженЪ взять каждаго сорта I
отвѣтъ.
л ) 6 бочекъ въ Д5 рублей.
Онъ возметъ ) ч іѵ
і 3 бочки въ Зо рублей.
7. Крестьянка посылаетЪ двухЪ дочерей
ьЬ рынокЪ сЪ Зоо янцЬ; старшая продаетЪ
яйца по 8 коп. десятокЪ и приноситъ Со
коп. больше нежели меньшая, которая
продала по у копѢекЪ десятокЪ. Сколько
каждая имѣла яицЬ?
отвѣтъ.
Старшая имѣла і8о яицъ.
Младшая имѣла іао яицъ.
189
8. ВорЪ укралЪ кошелекЪ сЪ ДЗ рублями;
нѣкто увидѢвЪ ргрожалЪ открыть воров-
ство его, если онЪ сЪ ніімЪ не подѣлится.
II такЪ они дѢляпіЬ покражу, но такишЪ
образомЪ , что ежели свидѣтель отдастЪ
вору'. частъ того, что онЪ получилЪ, то
у него останется только половина протнвЪ
вора. Сколько каждому достанется ?
> ОТВѢТЪ. Ці Л ’5‘ Л к
„ _ ) воръ . ... 28 рублей.
Оки имѣли \ г Г- -
$ свидѣтель . . зо рублей.
д Работникѣ согласился работать *]5
дней на такомЪ условіи , что на каждый
день Платитъ ему за работу 120 коп., о. вЪ
который день ему работать не захочется
онЪ будетЪ платить по Зо коп.; по прот
шествіи назначеннаго временф оказалось,
что ему слѣдуетъ 7З руб 5р коп.; спра-
шивается, сколько дней онЪ работалъ?
"отвѣтъ.
Опъ работалъ 64 дня.
ю. Я купилЪ іб кусковЪ сукна за 533
руб.; вЪ семЪ числѣ были 3 куска зеленаго
цвѣта, 5 краснаго и 8 синяго; одинЪ ку-
сокЪ краснаго сукна стоитъ 2 руб. больше
нежели зеленаго и 6 руб. меньше синяо:
Сколько стоитЪ КусокЪ каждаго цвѣта?
>9°
♦
г* V отвѣтъ.
Кусокъ краснаго сукна стоишь Зі руб.
; Л . зеленаго . . . . .29 —
. . . СИНЯГО . . , Зу —
- Л < . 1 , - .
№ Г Л А В А 1Ѵ:
О рѣшеніи уравненіи первой степени , два
или болѣе неизвѣстныхъ количествъ вЪ
_ с
себѣ содержащихъ..
. - і ’ . . § Зю.
Часто случается, что принуждены бываютъ
вводить въ исчисленіе два или болѣе неизвѣ-
стныхъ количествъ , и мы уже замѣтила
въ § 280, что когда бываетъ вопросъ опре-
дѣленной , то получается столько уравненій
независимыхъ одно отъ другаго, сколько не-
извѣстныхъ въ вопросѣ находится.
§ Зіі.
Положимъ сперва, что имѣемъ два неизвѣ-
стныя количества х и у, и два уравненія для
опредѣленія оныхъ, а именно :
I. ах 4“ Ъу — с
н. /х 4- ёу — ъ
гдѣ а, Ь, с, у, Л, означаютъ количества
извѣстныя въ семъ случаѣ надобно показать.
І91
какимъ образомъ оба неизвѣстныя количества
х и у могутъ быть опредѣлены посредствомъ
количествъ извѣстныхъ.
§ Зга.
Самой легкой способъ достигнутъ сего,
есть слѣдующій : Опредѣли одно и тоже
неизвѣстное количество, на примѢрЪ х, нзЪ
каждаго уравненія, и поелику обѣ величины,
такимЪ образомЬ для х найденныя, должны
бытъ равны, то получимЪ уравненіе сЪ
однѢмЪ только неизвѣстнымъ количествомъ
у, которое можно рѣшить по правиламъ
даннымъ вЪ главѣ 11. НашедЪ количество
у поставь только вмѣсто его найденную
величину вЪ томЪ или другомЪ нзЪ данныхЪ
уравненій и получишь х.
з 3*3.
По сему правилу наши два уравненія § Зи
дадутъ :
Положивъ сіи двѣ величины количества л
равными, произойдетъ сіе новое уравненіе:
________________ л — рѵ
а / 1
которое содержитъ одно только неизвѣстное
количество у.
І92
Дабы опредѣлишь сіе коли честно у,умножимъ
послѣднее уравненіе на а/, и оно сдѣлается:
с/-_ Ыу =. ак — а»у,
или перенеся члены: — Ъ/у ~а1і — с/^ и
представя въ множителяхъ:
( — А/ ) у = ак — с/,
получимъ, по раздѣленіи на а#—Ъ/і
____________аъ-ч/"
И такъ одно изъ неизвѣстныхъ количествъ
у найдено.
§ 3І4. ; °
л > и . л. - • • V. Ь< ‘\ о
(Бозменъ теперь опять одно <даъ надпилъ
выраженій сысканныхъ для х, на примѣръ
о—*Ъу г лЪЪ—сЪ?
'первое: т-; поелику иго
получимъ:
» . . оіЛ+еѴ
с — оу — с ,
•' О5~ь / ’
*или приведши с къ одному знаменателю :
с-—Ьѵ^ асе ~ Ьс^ ~ аЬК + сЬ^
«ё —ь/ *
- і аеп—аЪІі
что обращается въ с — Ьу —
и посему
с—Ъу гд—Ъіі
Х а а^—іу
5 Зі5.
Тоже бы получили рѣшеніе, если бы изъ
одного уравненія вывели одно изъ неизвѣст-г-
шя^ъ и поставили величину -его въ другое
уравненіе. На примѣръ, поелику первое ура-
вненіе даетъ х = то поставдвъ сію
... /с-'Дг
величину во второе уравненіе, получимъ —-—
$у —Ъ, и посему :
с/ — Ь( у а«у = аЛ, ил и
(а§— Ь/} у — ак — с/, й
аЪ—с/
аі-ЬР
глаже величина , какая найдена и выше въ
§ ЗіЗ. Остальное производится также, какъ
показано выше.
§ 316.
Когда имѣются- три уравненія, три не-
извѣстныя количества въ себѣ содержащія:
•Х,у1 г., то начни, какъ и прежде, сыскиваніемъ
изъ каждаго величины х, и сравнивая первую
изъ сихъ величинъ со второю , а потомъ съ
гпретьею, получишь два уравненія, два только
неизвѣстныя количества у и а въ себѣ за-
ключающія, коихъ опредѣлить можно способомъ
выше въ § 312 предписаннымъ.
§ 3,7-
Пусть даны будутъ слѣдующія уравненія:
іх у — яг = 6,
х 4- 2у — Зг = 4,
х — г 4- 4з = 5;
по показанному здѣсь правилу для х получимъ
слѣдующія величины:
іЗ
* _ ___ б-'Г+гя
' а
П. X — 4 — ау 4- Зз
III. х ~ 5 4~ у — 42-
Сравнивая I съ П и съ III, будемъ имѣній
6 —у 4- 22 8 —• 4у 4" 6а
6 —у 4" 22 ~ іо 4~ ау — 8х
изъ коихъ уравненій • найдется
Зу = 4г я
И Зу ~ 102 4г
и отсюда выдепіъ:
іог — 4 — 43 4" 2
6х ~ 6 *
л = і,
Г = 2,
* х ~ 3.
8 Зі8.
Ежели неизвѣстныя количества аг, у, г
такъ разположены, что ихъ только по два
въ каждомъ уравненіи нахОд> тл, какъ на
примѣръ въ слѣдующихъ трехъ уравненіяхъ:
I. зх 4- Зу — ід,
II. Зл; —5з = 5,
Ш. 4у — За —6;
то надлежитъ искать первое неизвѣстное х
изъ I и II, и будетъ:
»
X
л
*95
слѣдсватпелько:
Н|—Чу ___ 5+5ж
—Г“ ~~ з ,
или 5; — ог = ю -Ь »ог, откуда получимъ:
ду— 47 — 10 2
47—іог
«У = —•
Но изъ ТП выдетпъ у й= 6^, откуда слѣдуетъ:
6 + 3;_47*-,
4 9
54 + 27 2 = і^з —
672 =з <34-
§ Зід;
Если требуется опредѣлишь четыре не-
извѣстныя количества р, х, у, г, и рѣшишь
столько же уравненій, то надлежитъ сыскать
изъ каждаго уравненія величину количества <>, и
сравнить сіи его величины между собою, чрезъ
что получишь три уравненія, три только
неизвѣстныя количества х, у, 2, въ себѣ ,
заключающія, кои опредѣлить уже можно
Способомъ въ § 316 предписаннымъ. Но мы 6оі
часто принуждены были производить трудныя
исчисленія, если бы не встрѣчали въ каждомъ
особенномъ случаѣ средствъ облегчающихъ
рѣшенія. Сіи средства состоятъ въ соединеніи
’196
выгоднымъ образомъ п рв н іччльныхъ уравне-
ній. Мы приведемъ Примѣры счо средства
въ нѣкоторыхъ изъ слѣдующихъ вопросахъ,
относящихся къ рѣшенію уравненій съ тремя
неизвѣстными.
§ З20.
ВОПРОСЪ I.
Два человѣка прогуливаясь, нашли
кошелекЪ. ОдипЪ пЬЪ пн хЪ сказалЪ: у меня
только і5 рублей, но если бы сей кошелекЪ
весь достался мнѣ, то я имѢлЬ бы вЪ
двое болѣе нежели ты. Другой отвѢчалЪ:
если бы я имѢлЪ весь кошелекЪ, то бы
у меня было вЪ трое больше денегЪ нежели
у тебя. Сколько денегЪ вЪ кошелькѣ
находилось ?
Замѣтивъ, что одинъ изъ нашедшихъ
имѣетъ і5 рублей, положимъ, что другой
имѣетъ у, и что въ кошелькѣ было х руб.
И поелику у перваго, еслибы онъ взялъ себѣ
кошелекъ, былобы въ двое болѣе денегъ нежели
у втораго, то явно, что і5-|-л;=2у. По поелику
деньги втораго съ деньгами въ кошелькѣ
находящимися составили бы сумму въ трое
болѣе, нежели какую имѣетъ первый, то
получимъ ух = 3. і5 = /р- И 'такъ имѣемъ
два уравненія.
*97
і.
II. /• + х — 45.
іедаешъ:х=2Г—і5; ае, а? = 45 — у.
Положивъ сіи двѣ величины ра вными ,
получимъ:
2Г — 15 = 45 —у,
откуда произойдетъ у — 20 5 поставляя же
сію величину въ то или другое изъ найденныхъ
выраженій для х, будетъ х — а5.
отвѣтъ:
Первой имѣя і5 руб.
Вторый имЬть будетъ 20 —?
Кошелекъ содержитъ а5 —
§ Заь
ВОПРОСЪ II.
Шлюпка идетЬ по Невѣ и переходить
вЪ 48 мннутЪ отЪ Кадетскаго Корпуса до
Литейнаго двора, а оттуда возвращается
вЪ За минуты; при чемЪ гребцы вЬ оба
конца гребли сЪ одинакою силою ; спра-
шивается, сколъкнмЪ саженямЪ равняется
теченіе Невы вЪ одну минуту и сколько
саженЪ шлюпка перейдетЪ вЪ тоже время
вЪ стоячей водѣ ?
Положимъ, что въ семъ мѣстѣ теченіе
Невы въ одну минуту х саженъ, и что
шлюпка переходитъ въ стоячей водѣ у саженъ
ірЗ
въ минуту: явно , что опа въ минуту вре-
мени перейдетъ
восходя у — х саженъ,
нисходя у -р х саженъ,
и такъ она восходя перешла 48 (У— х) саж.
... . нисходя . . . За ( у-}-гг) саж.
Но каждое изъ сихъ разстояній должно быть
равно распюяніго Кадетскаго Корпуса до
Литейнаго дома, которое есть і536 раженъ 5
чего ради имѣемъ два уравненія :
I. 4^ (.У* — х ) — 1536;
П. Зз ( у + х) — 1536.
• которыя даютъ: у* — х “За
у 4- х — 48.
Изъ сихъ, но § 177 и 184 получимъ у
и х =х 8.
о твФтъ:
Теченіе рѣки Невы въ одну минуту равняется
8 саженямъ; и шлюпка, пююже силою движима,
въ стоячей водѣ перейдетъ въ лщнуту 4»
саженъ.
5 Ззз.
вопросъ. III.
Нѣкто имѣетЪ два серебренные стакана
к одну крышку. Первый стаканѣ еѣсмтѣ 12
унцій, но когД(і положится на него крышка,
то вѢситЪ онЪ ві> двое больше противЪ
другаго; если же наложится крышка на
»99
другой стаканЪ, то вѢснтЬ онЪ вЪ трое
больше противЪ перваго, узнать вѢсЪ
крышки и другаго стакана?
Положимъ вѣсъ крышки = х, а вѣсъ другаго
стакана у; поелику первый стаканъ съ
крышкою въ двое тяжелѣе втораго стакана,
то мы получимъ сіе уравненіе:
I. х-|" ія = ау.
Потомъ, поелику вторый стаканъ съ
крышкою вѣситъ въ трое противъ перваго,
6} детъ
II. х-]~у =36.
Первое уравненіе даетъ х ~ ау — ія>
второе...............х — 36 — у,
такъ что: ау— іа — 36 — у.
Посему Зу — ^8,
у — іб,
X 2= 20.
ОТВѢТЪ.
Віпорый стаканъ вѣситъ іб унцій, а кры-
шка ао унцій.
§ ЗгЗ. ''у
ВОПРОСЪ IV*.
ОдинЪ дрягиль встрѣптясъ сЪ другимЪ,
сказалЪ: еслибы я несЪ еще четверть
твоей клаисм,, то бы моя ноша была вЪ
двое больше твоей; другой отвѣчалъ на
то: а если бы ты далЪ мнѣ еіг е До
200
фунтовЪ твоей Ноши , то бы моя была
также вЪ двое болѣе іпвоей. Спрашивается,
сколь велика была ноша каждаго?
Положимъ ношу перваго х фунтовъ, а
другаго у- поелику ежели бы сей послѣдній далъ
• первому | своей ноши, то осталось бы у
него 2у, а і несъ бы х-^^у, что вдвое болѣе
того остатка , слѣдственно :
I. х+;у= 2ХІГ-
Изъ того же ч<по вторый отвѣчалъ, слѣ-
дуетъ подобнымъ образомъ:
11. у4-4о = 2 (х—4° )
Изъ I. выходитъ х — |у,
изъ II. . . . х
и такъ будетъ: |у —
Откуда получимъ:
Г = 8о,
X — юо.
ОТВѢТЪ.
Ноша іго была въ юо фунтовъ.
. • . эго . . . 8о . . *
§ Заф
вопросъ. V,
Сколько намЪ лѢгпЬ ? епросилЬ сынЪ отца
своего, который отвѣчалъ: твои лѣта
составляютъ нынѣ треть моихЪ, а 6 лѢтЪ
тому назадЪ они срстаелялц. только
201
іетвертъ оиыхЪ. Сколько отЪ роду лѣтЪ
кмѢлЬ каждый изЪ нихЪ?
Пусть будутъ лѣта отца — х,
...................сына — у,
то по условіямъ вопроса будетъ:
У = з*
у—б=их—б).
Откуда слѣдуетъ X — Зу
х = 4г—І®-
Положивъ сіи двѣ величины равными будетъ:
4г — 18 = Зу.
Слѣдовательно у = і8, а х = 5Д-
отвѣтъ.
Отецъ имѣлъ 5Д годя.
Сынъ . . і8 лѣтъ.
§ 325.
ВОПРОСЪ VI.
Два купца возвращаются сЪ ярмарки.
Между прочими товарами , тотЪ и другой
Продали ленты, одинЪ по 24 коп., а другой
по 2’] к. аршинЪ. Первый говорипіЬ: еслибы,
я имѢлЪ еще половину твоихЪ лентЪ, то
бы продалЪ на 5 А руб. Другой отвѢчаетЪг
еслнбЪ я сверхЪ моихЪ им'^лЪ треть
твоихЪ и еще десять аршйнЪ, то бы
продалЪ за двойную цѣну противЪ сей
суммы. Сколько каждый изЪ ннхЪ нмѢлЪ
лентЪ ?
-02
Положимъ, что первый имѣлъ х, а драгой
у аршинъ; по условіямъ вопроса произойдутъ
два слѣдующія уравненія:
а4 + =54оо
37 (г + іа ] == 10800.
і. даетъ X — аз5 — ’у;
а. даетъ х = 1170—Зу.
Сіи двѣ величины будучи сравнены; даютъ
сіе уравненіе:
225 —{г = 1170 — 3/.
Откуда выходитъ |у = 945,
и у =378,
х= 36.
ОТВѢТЬ.
Они поодали ! пеРВЫЙ 36 аРшинъ-
I другой З78 аршинъ.
§ З26.
во пРц осъ. VII.
Нѣкоторое общество,желая повеселить-
ся, издержало а5 руб. Ни одинЪ изЪ двухЪ
мущинЪ, находящихся вЪ томЪ обществѣ,
не имѣетъ столько денегЪ чтобы могЪ
одинЪ заплатитъ издержки. ОдпнЪ гово-
ритъ : дайте мнѣ третъ ваіиихЪ денегЪ,
тогда я заплачу; другой отвѣчалъ: дайте
мнѣ половину вашнхЪ, тогда и я заплачу.
Сколько каждый изЪ ннхЪ имѢлЪ?
203
Назовемъ деньги одного х, другаго у, и
ьаши два уравненія будутъ.
X + ІГ = 25 руб.
у = 25 —
Откуда находимъ:
X — 23 - зГ,
х — 5о — зу;
изъ чего слѣдуетъ, что 25—|Г=?^о — 2) ,
или |у = з5,
посему у — і5 и х = 20.
ОТВѢТЪ.
Одинъ имѣлъ зо руб., а другой і5 руб.
§ З27.
ВОПРОСЪ. ѴШ.
путешественника выѣхали, изо
Петербурга одинЪ за другнмЪ. Встрѣтивъ
вЪ Москвѣ, согласились чтобы каждый
присовокупилъ кЪ своей скорости треть
скорости другаго. Прибыли вЪ Казанъ,
одинЪ вЪ , а другой вЪ 5я день по выѣздѣ
своемЪ изЪ Москвы. По скольку верспіЬ
каждый изЪ нихЪ переѢзжалЪ вѣренъ?
Положимъ, что по выѣздѣ изъ Петербурга
первый переѣзжаетъ въ день х, а другой у
верстъ} явно что по выѣздѣ изъ Москвы,
первый переѣдетъ х-|-а другой у+ 5®
въ день. Но поелику 1 Казань отстоитъ отъ
эоД
Москвы 820 верстъ, и первый приѣзжаетъ
туда по прошествіи четырехъ^ чей, а другой
по прошествіи пяти, то произойдутъ сіи
два уравненія:
4(« + зГ) =820
5 (г+ 5*) =320.
Или X + ’у = 203
у -Нж =і«4-
Изъ сихъ двухъ уравненій имѣемъ:
х = 2о5 — ^у
X = 492 — Зу.
Слѣдовательно : "о5 — ^у = 4д2 —- Зу
|у = 492 — 205=287
8у = 861
У = ю7 |
* = і6.Ч |.
ОТВѢТЪ.
Они переѣзжали до Москвы въ каждый день
одинъ по і69^, а другой по 107І верстъ; отъ
Москвы же до Казани одинъ но ао5, а другой
по 164 версты въ день.
‘ § З28.
вопросъ. IX.
БылЪ я вЪ большомъ обществѣ. ВЪ ономЪ
находилось женщинѣ вЪ трое больше
нежели мущинЪ; а когда четверо мущинЪ
уѣхали сЪ женами , тогда осталось жен-
щинѣ вЪ четверо болѣе противЪ мущинЪ.
Сколько было людей каждаго полу ?
зо5
Пусть число женщинъ = г, а мущинъ=у; по
первому условію должно быть х = 3/. Если 4
женщины и сгполькоже мущинъ уѣдутъ, то
останется еще х — 4 женщинъ, и у 4
мущинъ. Чего ради по второму условію будетъ
х — 4 = 4 ( у — 4 ) = 4г — іб, или х = 4г
— іа. 11 такъ 4г —. із = Зу, посему у == іл
и х — 36.
отвѣтъ. «
Женщинъ было 36, а мущинъ іа.
§ Зад.
ВОПРОСЪ. X.
Я имѣю два серебренные стакана сЪ
одною крышкою, сЪ которою оба вѢснтЪ
66 волотниковЪ. Первый стаканѣ сЪ крыш-
кою столько вѣсиігіѣ, сколько вторый
стаканѣ; вторый же стаканЪ сЪ крышкою
вЪ двое больше вѢситЬ нежели первой
етаканЪ. Сколько вѢснтЪ каждый изЪ
нмхЪ порознь ?
Положимъ, что вѣсъ іго стакана = х зол.
................. аго . . . = у . .
..................крышки . = х . .;
будетъ •
I. х 4- У + г = 66
II. х -}- 2 = у
Ш. у 4~ г = 2Х.
200
Соединяя сіи первоначальныя уравненія вы-
годнымъ образомъ, по § Зір, легко усмотрѣть
можно, что
I—П=У —66—у, и I—ПІ= т — 66—2х;
изъ перваго слѣдуетъ, что ч-66
и Г =33;
изъ втораго слѣдуетъ, что Зх~66
и X — 22.
Поставимъ сіи величины на мѣсто х и у
въ імъ уравненіи, произойдетъ:
22 33 4- 2 — 66,
и отсюда выдетъ г ~ и.
отвѣтъ;
Первый стаканъ йѣсилъ 22 золош.
вторый..............33 . . <
Вѣсъ крытьи ... і і . .
5 ЗЗо.
зо вросъ XI.
Три брата должны заплатить общій
долгѣ, нзЪ юо руб. состоящій, первый
говоритъ второму: дай мнѣ половину
твоихЪ денегЪ, я заплачу всѣ юо рублей,
вторый спрашиваетЪ у третьяго треть
его денегЪ и берется заплатитъ долгѣ, но
если Зму дастЪ ій четверть своихЪ денегЪ,
іпо и онЪ будетЪ вЪ состояніи весь долгѣ
заплатить. Сколько имѣютѣ они денегЪ
каждый порознь ?
207
Положимъ, что первый имѣетъ х руб.
, . . вторый . . у ~~
, . третій . . я руб.;
по условіямъ вопроса будетъ.
I. х 4- у — 100 >
П. у + = »оо;
III. 2 + = ІОО.
I. даетъх~ юо —ІГ,
ІП. даепіъ X— 4°° — 42 5
Слѣдовательно будетъ: юо—— 4оо““4г*
Изъ сего уравненія имѣемъ у — 8я боо,
и И намъ даетъ У — юо—
Чего ради сравнивъ сіи двѣ величины най-
дется г-= 84, потомъ у = 72 н ®ж64«
отвѣтъ.
Первый имѣлъ.............64 руб.
вторый . ................72 —
третій ..................84 —
§ ЗЗі.
вопросъ. XII.
Имѣется три. сорта пушечнаго пороха:
ій состоитънзЪбофун.сел. 20 сѣр.к 20 угол.
2й ..... 8о . . ю . . ю . .
3й..........6д . 18 . . іЗ . .
на юо фунтовЪ. Требуется изЪ онаго
сдѣлать порохѣ, который бы на юо фун.
содержалъ 75 фун. селитры, іЗ сѣры, к
із уголья. Сколько каждаго сорта взять
надлежитъ ?
зо8
Пусть: по взято зс фунтовъ
• • 2ГО . . у . . .
. . Зго . . а . . . ;
будутъ слѣдующія уравненія!
I. бох ф- 8оу бдг ~ ^оо
II. гох іоу і8з “ іЗоо
ІП. 2ОХ юу -ф іЗг — 1200.
Еслибы здѣсь употребить обыкновенный
способъ, изъясненный въ § Зіб и З17, то
исчисленіе было бы нѣсколько длинно Три
неизвѣстныя количества х, у, 2, всего удобнѣе
найдутся симъ образомъ: когда отъ втораго
отнимемъ третіе , то получимъ:
11 — 111 = 5; — юо;
откуда выходитъ 2 ~ 20.
Когда изъ перваго вычтемъ второе взятое
въ три раза, то получимъ:
I — 3 X П = 5оу і5 2 — Збоо,
откуда выходитъ у = 66. Поставляя сіи двѣ
величины у и 2 въ третіе уравненіе , будетъ:
2ох 4- 66о + 260 “ 1200
посему х ~ іф
отвѣтъ.
Надлежитъ взять
на юо фунтовъ.
іго сорта 14 фунт.
2го сорта бо-----
Зго сорта 20------
209
§ 332.
вопросъ ХІП.
На линейномъ кораблѣ имѣется 36, т8, іа
и 6 фунтовыя пушки. Число всѢхЪ
есть юо. Число 36 и 6 фунтовъігЪ .(6;
число і8 и 6 футповыхЪ 44 > а 12 и б
фунтовыхЪ 42- Спрашивается число пу-
шекЪ каждаго калибра?
Пусть р, ху, г число 36, і8, п, 6
фунтовыхъ пушекъ- по условіямъ вопроса
имѣются слѣдующія четыре уравненія:
I р х 4~ у -ф- 2 = юо
И. р -ф з ~ 46
пі. х -{- 2 — 44
іѵ.у г — 42.
Сумма трехъ послѣднихъ будетъ
и4~т 4- іѵ* = 4>і'4-а?4-г4-3з=4. іЗа
Но -I = — Р — X --- У — & — — 1ОО-
и такъ по вычитаніи останется:
22 — За »
слѣдовательно будетъ % ~ іб.
Изъ II будетъ р = 46—іб ~ Зо
• . ПІ . . . х =44 — іб " ^8
• , IV* . . . у ІХ. 42 — іб ~ 20
Сумма юо.
§ 333.
Мы уже замѣтили выше (§ Зго), что
если вопросъ опредѣленный, то можно изъ
М
2Ю
онаго вывести столькоже независимыхъ между
собою сравненій, сколько заключаетъ оный
въ себѣ неизвѣстныхъ. Здѣсь нужно объяснить
смыслъ рѣченія: независимыхъ между собою.
Сіе намъ подастъ случай окончить сію главу
нѣкоторыми нужными замѣчаніями.
Положимъ во первыхъ, что дошли до двухъ
слѣдующихъ уравненій :
I. |х — |г = 3
П. (X—=
Откуда требуется сыскать два неизвѣстный
количества х и у. Поступая съ сими уравне-
ніями ио правилу § З12, найдется;
изъ перваго х — э
изъ втораго 0^=: 2 Іу-
II сравнивъ сіи двѣ величины жежду собою,
дойдемъ до уравненія: 2 + ^у = 2 4^у, которое
есть тожественное 297} и не можетъ,
слѣдовательно, показать величины другаго
неизвѣстнаго количества у, коіпорое посему
остается неопредѣленнымъ, поелику всѣ ве-
личины приписуемыя у, равно удовлетворяютъ
сему у равненію: 2 -|- $У — 3 "Ь ІК» и посему какъ
а?, такъ и у остаются неопредѣленными.
Причина сего неудобства основана на самой
сущности двухъ предложенныхъ уравненій, кои
не зависимы одно отъ другаго, и суть въ
самомъ дѣлѣ одно и тоже уравненіе, поелику
второе равно первому, умноженному на |.
ІІІ
§ 334.
Подобнымъ образомъ есЛибы дайьі были шри
Слѣдующія } равненія:
I. Зж ау —• 5г — 8
II. і5.г 4> юу — з5г — 4°
Ш. 1* + ;Г — V2 = 3>
то нашли бы мы три слѣдующія величинъ:
Количества х:
I.
II х — ~ 1<у + а5*
15
Ш. ле = а4~ ^±2^
9
Йзъ сихъ двѣ послѣднія йе разнятся отъ
Первой ; и такъ сравнивая ихъ, получимъ Два
тожественныя уравненія, такъ что у и г
остаются неизвѣстными, равно какъ и х.
Причина сему та, что три главныя уравненія
зависятъ одно отъ другаго, поелику второе
въ пятеро больше перваго, а третіе раж-
даепіся отъ перваго и втораго, взявъ шест-
надцатую часть ихъ суммы, такъ что
изъ всѣхъ трехъ уравненій произойдетъ
собственно одно только условіе.
8 335.
И такъ всегда, когда вопросъ приводитъ
къ таковымъ уравненіямъ, которыя одно отъ
другаго зависятъ, то есть коихъ рѣшеніе
212
ведетъ къ одному или нѣсколькимъ тожест-
веннымъ уравненіямъ, тогда возросъ есть
неопредѣленный, потому что можно означить
дли сихъ неизвѣстныхъ неопредѣленное число
величинъ, кои всВ удовлетворяютъ предло-
женному вопросу. Сколько найдется тожест-
венныхъ уравненій, столько будетъ и без-
полезныхъ уравненій между главными уравне-
ніями, произходящими жзъ условій вопроса, и
въ «сотъ случаѣ необходимо будетъ менѣе
уравненій, нежели неизвѣстныхъ. Мы увидимъ
въ слѣдующей главѣ, какимъ образомъ должно
поступать съ вопросами сего рода.
§ 336.
Наконецъ, когда главныя уравненія, выве-
денныя изъ условія вопроса, такого рода, что
рѣшеніе ихъ приводитъ даже къ нелѣпости,
то допросъ почитается невозможнымъ. На
примѣръ если имѣемъ два слѣдующія уравненія
дла рѣшенія:
ух—іау — 33;
~х— 8у~ід.
учинивъ рѣшеніе по даннымъ выше прави-
ламъ, найдемъ сіи двѣ величины количества ас:
33 + іау •
' “ Г-’
2іЗ
кои будучи сравнены, по уничтоженіи .зна-
менателей , даютъ сіе уравненіе :
66 4- 2 іг = 5; 4" 24Л
опі^да слѣдовало бы, что 66 — 57; по явно,
что сіе не возможно и нелѣпо. II такъ во-
просы, кои приводятъ къ таковымъ уравненіямъ
суть невозможные.
ГЛАВА V.
О рѣшеніи неопредѣленныхъ вопросовъ
первой степени.
6 337.
Мы видѣли выше, что вопросъ тогда не-
опредѣленный, когда число ) равненій, кои
вывьешь можно изъ условій вопроса менѣе
числа неизвѣстныхъ 280); или такъ же,
когда въ числѣ полученныхъ' уравненій нахо-
дятся такія, кои зависимы отъ другихъ
( § 335 ). Въ томъ и другомъ случаѣ бываютъ
неизвѣстныя, которыя остаются неопредѣ-
ленными, и зависящими отъ произволенія; по
сей причинѣ таковые вопросы называются
неопредѣленными. Они составляютъ пред-
метъ особенный и довольно обширный части
Аналитики, называемой Лналнтикію нео-
предѣленною^ Она весьма нужна ддя Геометра;
аі4
но намъ довольно знашь первыя ея основанія,
кои мы предложимъ в?, вей главѣ.
§ 338.
Поелику въ неопредѣленныхъ вопросахъ на-
ходится, какъ мы упомянули, одна или
пѣсколькр неизвѣстныхъ, коимъ можно дать
такую величину, какую заблагоразсудимъ: то
они всегда имѣютъ большое число рѣшеній,
которое однакожъ весьма уменьшится во мно-
гихъ случаяхъ, по тому условію, что искомыя
числа должны быть цѣлыя и положительныя.
Дабы изъяснить сіе легкимъ примѣромъ, по-
ложимъ что нужно найти два числа, коихъ
Бы сумма составляла іо. Если мы означимъ
сіи числа буквами х и у, такъ 4то х-|-у= ю
и у — іо—х; то явно, что всѣ величины,
кои припишутся Т, равно удовлетворяютъ
сему условію, и что слѣдовательно число
рѣшеній было бы безконечное. Но присовоку-
пивъ условіе, чпю х и у должны быть числя
цѣлыя и положительныя, безконечное число
рѣшеній приведено будетъ въ девять слѣ-
дующихъ :
Когда х= і, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
то будетъ у — д, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, і.
А поелику четыре послѣднія рѣшенія не
разнятся существенно отъ четырехъ первыхъ,
то явствуетъ, что вопросъ въ самомъ дѣлѣ
имѣетъ щокмр пять различныхъ рѣшеній.
215
Въ семъ примѣрѣ удобно было исполнить
условія, состоящія въ томъ, чтобы искомыя
числа были цѣлыя и положительныя ; но по
большей части гораздо труднѣе бываетъ
удовлетворить симъ условіямъ. Слѣдующіе во-
просы покажутъ различныя средства, кои для
приведенія сего въ дѣйствіе употреблять
надлежитъ :
8 зз9.
ВОПРОСѢ I,
Раздѣлятъ число 780 па двѣ части, изЪ
котопыхЪ бы одна могла дѣлится на і5? а
другая на 4°?
Пусть одна часть і5.т, а другая 4аѵ, будетъ:
х5х4« 4° У ~ откуда найдется :
— 78о —
х —----75 ’
гдѣ ясно видно, что числу у можно бы было
дать безчисленное множество величинъ, и
вывесть изъ оныхъ х такъ, чтобы обѣ вели-
чины х а у удовлетворяли нашему уравненію.
Но ежели х а у должны быть цѣлыя числа, то
множество рѣшеній нарочито уменьшится.
Дабы получить х въ цѣлыхъ числахъ, то
начнемъ искать цѣлыя числа, содержащіяся въ
дроби --, и найдемъ х == 5г — зу — Зу,
что не можетъ быть цѣлымъ числомъ бе^ъ
эіб
того , чтобы у ие дЬлилось на 3. И такъ
положимъ у — За, и будетъ ж — 5з — 82.
А какъ количество ж должно быть числомъ
положительнымъ, шо слѣдуетъ, что 8г долж-
но быть менѣе 5а, то есть г < п. Такимъ
образомъ числу а не можно дать болѣе шести
слѣдующихъ величинъ: і, 2, 3, 4, 5, 6, и посему
здѣсь находится только шесть рѣшеній, а
именно :
когда а—і, з, 3, 4, 5, 6,
то У — 3, 6, д, 12, 15, і8,
и х*х:44» 36, а8, зо, і2, 4*
§ 34о.
вопросъ II.
^правитель получилЪ отЪ своего гос-
подина зооо рублей, для покупки лошадей
и быковЪ. ОнЪ платчп Ъ за каж дую лошадь
Зі руб., а за каждаго быка 21 руб.; осталось
у него денегЪ 2З0 руб Сколько купнлЪ онЪ
лс&іа іей и сколько бьіковЪ ?
Положимъ, что число лошадей =зс, а число
быковъ — т; будешь :
Зі г эн = 2000 — 2З0;
изъ сего уравненія выдегпъ :
У + ^-’.
Пусть 6 — юж = 2іг, откуда получится
217
положимъ 6'—х — юм, будетъ
х — 6 — ю«
X — 21М — 12
у — 102 -Зі«-
Но понеже у должно быть положительное
число, то и не можетъ быть больше 3, слѣ-
довательно три будутъ рѣшенія, а именно:
когда и ~ і, 2, .3,
то будетъ х ~ д, Зо, і5
—71» 4°> 9-
§ 34і-
ВОПРОСЪ III.
КупецЪ продалЪ спю аршинЪ сукна,
синяго, краснаго и зеленаго, за Зю рублей.
АршинЪ синяго сукна стоитЪ 44 рублей,
краснаго 4 руб-} зеленаго 3 рубля. Спра-
шивается , сколько онЪ продалЪ аршинЪ
каждаго цвѣта ?
Здѣсь имѣются три неизвѣстныя количе-
ства , а только два уравненія :
I. х “Ь У 4“ 2 — 100
П. /^х 4- 4к+ Зх — Зю.
Изъ перваго получимъ:
X ~ I оо X —• у.
Поставляя сію величину вмѣсто х во Имъ
уравненіи , будемъ имѣть :
і4г4~ 4г"і~3оо — Зг~ Зю,
. эі8
откуда выдетъ
Iх І-У —
ИЛИ у ІО —— -ОС.
Изъ сего явствуетъ, вдю х должно быть
четное число не больше 6; и такъ мы имѣемъ
только слѣдующія рѣшенія:
х — 2> 4} 6
У — 7» 4> і
* = 9Ь 9Э> 93-
§ З/р.
вопросѣ IV.
СеребренникЪ пмѢетЪ трехЪ сортовЪ
серебро, первое 8ай, второе 66й и третіе
5Дй пробы. ОнЪ долженъ сдѣлать вЪ Зо
фунтовЪ составЪ узй пробы. Вопрошает-
ся , сколько нужно взятъ каждаго сорта
серебра ?
Положимъ, что онъ возмейіъ х фунтовъ
перваго, у втораго и г третьяго сорта;
поелику смѣшеніе должно вѣсить Зо фунтовъ,
то умѣемъ слѣдующее уравненіе:
• I. х -фу -ф г — Зо.
Потомъ, понеже первый сортъ содержитъ
на фунтъ 8а золотника чистаго серебра, то
х фунтовъ содержать будетъ 82 х золотника;
такъ же у фун.повъ втораго сорта содержать
будутъ 66 у золотниковъ, и г фунтовъ
третьяго сорта 5^ золотника. Но весь составъ
въ Зо фунтовъ на каждый фунтъ содержать
долженъ 72 золотника чистаго серебра, слѣ-
довательно 2160 золотниковъ; откуда про-
изходипіъ сіе уравненіе:
іГ 82.г Ц- 66у -ф 54г — 2160.
Первое уравненіе даетъ:
х = Зо —у — з;
поставляя сію величину во второе уравненіе,
оно приметъ слѣдующей видъ:
2160 — 2460 — ібу — 28с,
цзъ коего, раздѣляя на іб, находимъ;
у — і8 — 25 -ф , ИЛИ
✓ 1 іЬ 7
__ о і * +3.
У — 18 — 2~ *Г 4 І •
откуда вцдно, что г 3 должно дѣлиться
на 4, потому что количество у должно
^быть цѣлое число II такъ положивъ г-фЗ=4р,
будетъ 2 — 4м—3; изъ чего видно, что р не
можетъ быть менѣе единицы, потному что г
должно быть число положительное. Поставивъ
оную величину г = 4Р — 3 въ предъидущее
уравненіе, произойдетъ;
У — А — 7Р>
которое не можетъ быть числомъ положи-
тельнымъ , безъ того, чтобы ѵ не было
менѣе 4. и такъ всѣ возможныя величины
количества ѵ приводятся только въ три, и
МЫ получимъ сіи гпри рѣшенія.
1. 220
И. ІЦ.
0 — I V ~ 2 ѵ = 3
X “ I ІЛ II «Я * = 9
г ~ 17 У"= ю у= з
Х== 12. х= і5. - х=. 18
О Т В Ѣ Т ъ.
Серебреникъ возмегпъ :
12 Фун- по сорпі. 17 фун. втор, і фун. тр. или
15................ю .... 5 ... .
.3 .... в ... .
ГЛАВА VI.
О рѣшеніи чкстъгхЪ уравненій второй
степени.
§ 343.
Мы уже сказали въ § 282, что уравненіе
тогда бываетъ второй степени, когда оно
содержитъ квадратъ неизвѣстнаго количества,
а никакой высшей степени въ себѣ не за-
ключаетъ. II такъ уравненіе второй степени
ие можепгА состоять болѣе какъ гпокмо изъ
трехъ родовъ членовъ, а'именно: і ] изъ
членовъ, содержащихъ квадратъ неизвѣстнаго
количества, 2] изъ членовъ, содержащихъ
первую степень неизвѣстнаго количества;
и 3] изъ членовъ, въ коихъ неизвѣстнаго со
всѣмъ не находится.
$ 344-
И такъ означая буквою х неизвѣстное
количество, а буквами а} Ь, с количества
извѣстныя, всякое уравненіе второй степени
можетъ быть представлено въ семъ общемъ
в.дѣ:
ахх + Ъх 4- с = о,
гдѣ знакъ Ч~ означаетъ, что такіе члены
могутъ быть иногда положительными, а
иногда отрицательными.
345.
То что мы сказали въ предъидущемъ § от-
носительно до общаго вида уравненій второй
степени, ясно по самому опредѣленію сихъ
уравненій.’ Однако мы покажемъ примѣромъ,
какимъ образомъ уравненіе второй степени,
какой бы оно видь сначала ни имѣло, приведено
быть можетъ въ общій видъ. Для сего
возмемъ уравненіе :
,А + 1! тх + п
/іх + к рх + 1/1
которое, уничшожан сперва дроби, будетъ
/рхх 4- ( ёР +./Я ) х + 8Я =Ктхх +
( йп к/п ) X 4- кп,
коему мы дадимъ вышесказанный видъ , пере-
неся всѣ члены на лѣвую сторону знака
равенства} а учинивъ сіе, получимъ:
(Ур — Ъ.т ) хг-4~ ( рр 4~ /я — )
х + ёЯ ~кп = °г
322
уравненіе, которое, полагая:
1р — Ът = а
Ър Уд — Ъп — кт — Ъ
Зд — кп — с,
приметъ вышесказанный видъ:
ахх Ьх 4-с=;о.
§ 346.
Сіи уравненія второй степени, заключающій
въ себѣ вѣ три рода членовъ, называются
полными , и рішеніе ихъ, которое мы
покажемъ въ слѣдующей главѣ, труднѣе нежели
тѣхъ .}равненій, въ которыхъ одного изъ сихъ
членовъ не достаетъ. Но При семъ должно
разсмотрѣть три случая: і ). Ежели не
достаешь перваго члена ах*, то уравненіе
Ъх + с = о есть первой степени , о чемъ мы
уже предложили во II Главѣ; 2). Ежели нѣтъ
члена с, то уравненіе ахх -4~ Ьх = о дѣлится
на х и приводится въ ах -±Ь = о, которое
такъ же есть первой степени. 3) Ежели не
находится члена Ьх, то уравненіе получаетъ
видъ ахх -Ь с = °> и называется чистымЪ
уравненіемъ второй степени, Въ сей главѣ
разсуждать мы будемъ о рѣшеніи сихъ
уравненій*
5 34?.
Рѣшеніе сіе никакой трудности не имѣетъ.
Всякому очевидно, что дошедъ до шакого
уравненія, какъ ах.х±с=о, безъ дальнаго
исчисленія получимъ х = + \/ 4- °а, гдЪ я
ставлю знакъ +передъ корнемъ, д>я того,
что} же выше показано 98), что квадратный
корень какого іибудь количества аа всегда
есть 4- а. Всѣ в тросы, ведущіе къ такимъ
уравненіямъ, предполагаютъ, по „ему самому,
два рѣшеніи; но весьма извѣстно, что
находятся такія уравненія, въ которыхъ
отрицательная величина хотя и удовлетво-
ряетъ рѣшенію уравненія , однако не возможна.
Но сія невозможность относительна только
къ состоянію вопроса, а не есть общая.
• 8 348.
Замѣгривъ. сіе , остается намъ здѣсь
разсмотрѣть три случая, относящіяся До
рѣшенія чистаго уравненія : ахг -|- с — о,
гдѣ х — •+ \/ 4^ : і ) когда 5 есть число
квадратное положительное, то можно х
выразить числомъ извлекомыМъ, цѣлымъ или
дробнымъ. На примѣръ: уравненіе хх—іД4—°,
дзетъ величину х = 4~ іа ; а уравненіе
ібхх —9 =о, даетъ х =ЧР 3) Если | не есть
квадратъ, тогда стоитъ только поставишь
коренный знакъ для изображенія х* или искать
корень чрезъ приближеніе, по правилу показан-
ному выше 229). П такъ когда Зхх—7=0,
то будетъ х = 4-| = 4- 1,5275. Наконецъ
224
3) когда | будетъ отрицательное, то вели-
чина количества я? совсѣмъ не возможна, и
сіе показываетъ, что вопросъ, ведущій къ
такому уравненію, самъ по себѣ невозможенъ.
Мы изъяснимъ нѣсколькими примѣрами то,
что теперь показано о сихъ чистыхъ уравне-
ніяхъ второй степени.
§ 349-
вопросъ I.
Сыскать число , котораго половина,
умноженная на его третъ, составляетъ аД?
Пусть сіе число = х ; половина его = ~х,'
умноженная на ^х, даетъ ’хх. И такъ имѣемъ
|хх = аД и х.г = і44» посему х = -+ і2. Первое
рѣшеніе х = 4~12 даетъ ^х = -р6 и|хг=-|-4.
Посему -*х.|х=24- Второе рѣшеніе х——іэ
даетъ —6 и -ре——4, посему іх.|х=-|“а4*
§ 35о.
в о п р о с.ъ ІГ.
Нѣкто купнлЪ шубу. Когда прибавишь
число рублей за нее заплаченное ко юо, и.
•_ тоже число рублей изЪ юо вычтешь, то
произведеніе суммы и разности будетЪ
квалратЬ, котораго коренъ есть 28. Вопро-
шается , сколько онЪ заплатилъ ?
Пусть заплатилъ х руб.; уравненіе, кото-
рое выдешъ изъ условія вопроса, будетъ:
225
(юо-}-*) ( юо — х) — з8’>
ИЛИ ІОООО —Ж’ ~ 7.54,
ошк}Да получится хх — сріб, и х — 96;
отвѣтъ.
За шубу заплачено 96 рублей.
§ Зэі.
В О П Р о съ ДІ.
Три трока встактЪ изЪ за игры, каждый
сЪ суммою денегЪ выигранною у четвер-
таго. Вторый одною девятою, а третій
о тою пятою выигралЪ меньше перваго;
когда же умножить деньги перваго на
деньги втораго, и деньги втораго на деньги
третьяго, и наконецъ деньги третьяго на
деньги перваго, то сумма сих'Ь трехЪ
произведеній будетЪ Зі іо’. Сколько каждый
изЪ нихЪ выигралЪ ?
Положимъ, что первый выигралъ а? руб.
вторый выиграетъ . . • , "х -—
а третій....................^х —
II такъ первое произведеніе : ?хх ~ ~хх
• . . второе .... * гас ~
. . . третіе .... -$хх ~
С^мма —'-—-зсх.
Посему разрѣшить должно сіе уравненіе:
-~^хх = 311о*, изъ коего, умножая на Д5, на-
ходимъ іо8х.тг=; 1З9968, а раздѣляя на ю8:
і5
' 22Ь
^-2^8» 12д6.
изь чего слѣдуетъ, что х Зо.
ОТВѢТЪ.
Выйгрышъ «перваго есть 36 руб.
• . . . втораго . . За —-
. . . . третьяго. . г8| —• *
§ 35а.
вопросъ IV.
Нѣсколько купцовЪ посыл'аютЪ фактора
вЪ Архангельскъ. Каждый даепіЬ на свою
долю для торгу столько разЪ юоо рублей,
скальканаходптся товаращей. ПрнбытокЪ
фактора положенъ со ста вЪ два раза
противЪ числа товарищей ; а когда цѣлой
его прибъттокЪ раздѣлишь на аооо, то
выдетЪ число товарищей. Сыскать сіе
число ?
Положимъ число товарищей = х.
Каждый даетъ..................юоо х<
II іпакъ цѣлой капиталъ будетъ ~ іооодсзс.
Прибытокъ фактора со юо руб. есть 2Х.
Посему цѣлой прибытокъ съ юоолх рублей
будетъ = .2Ол;3.
II такъ полученное уравненіе какъ
кажется , принадлежитъ къ третьей степени.
Но удобно можно видѣть, что оно раздѣляется
па аг, что учинивъ, получится сіе: =
или хх = юо, посему х = іо.
Д27
отвѣтъ.
Число товарищей есть ~ іо.
Цѣхый капиталъ . . = юосоо руб.
Барышь фактора . . 2©ооо руб.
__ /
ГЛАВА VII.
О разрѣшеніи поЛныхЪ урсвнепіи впюроі
степени.
§ 353.
Выше сето уже показано было 34 і), что
-сгкое полное или смѣшанное уравненіе второй \
степени можетъ быть приведено въ відъ
ахѵ 4-бх4*кс=:о. Въ сей главѣ мы изъяснимъ,
какъ должно извлекать величину х изъ сего
рода уравненій, на рѣшеніи коихъ основывается
рѣшеніе великой части важныхъ Геометри-
ческихъ вопросовъ.
$ 354.
Вопервыхъ замѣтить должно, Что уравненіе
ахх ~4~ Ьх 4- <? = о можс .пъ быть обращено въ
с'іе: хх -Ч-^х = ір^, или полагая-—,
въ хх Ч~ рх = Ір 9 • а когда бы количество
хх -4- рх было совершенный квадратъ , ійэ
всякому явно , что рѣшеніе никакого бы за-
тРУДченія не имѣло, потому что въ семъ
случаѣ стоило бы только извлечь квадратный
корень юзъ обѣихъ частей.
* *
, 228
§ 353.
Но также очевидно, что хх 4~ рх не
можетъ быть квадратомъ, для того, что
квадратъ корня изъ двухъ членовъ состоящаго
' всегда содержитъ три члена, ибо
( х 4~ й )’ ~ хх -+ хпх 4" ин.
Н такъ почитая членъ рх за двойное
произведеніе изъ на х, и полагая посему
корень съ одной стороны -= х 4~ \р, поелику
еіо квадратъ есть хх 4' рх 4~ '-.РР> возмемъ
опять уравненіе хх^рх —и къ °бѣимі
частямъ приложимъ |р/>, дабы имѣть: хх-\-_рх
'рр =. ’^рр ф- 9; тогда извлекая квадратный
корень, получимъ
х 4^ іР — 41 -~рр 4~ <?
чли х = 4~ ’р 4; \/ і рр ф. ц.
% 356.
Сія формула содержитъ общее рѣшеніе
всѣѵь уравненій второй степени, и правило
изъ оной произходящее, выражается тако:
Если требуется разрѣшитъ какое нибудъ
уравненіе второй стелени: ахх4~Ьх4~с— о»
то сдѣлай чтобы квадрапіЬ неизвѣстнаго
количества хх находился одинЪ сЪ одной
стороны, то есть приведи уравненіе вЪ
видѣ', хх = 4-Рх 4~-Ф учиненіи сего,
количество х разно будетЪ половинѣ чи-
сла , на которое умножено сіе колнчесліво х
аад
во второмЪ членѣ уравненія, плюсѣ или
мпн, сЪ квадратный корень пзЪ квадрата
сей половины и невѣстнаго количества }
сосіпавляюніаго третій членѣ уравненія.
§ 337.
Изъ того, что пргдъ корнемъ находится
знакъ-Ь, слѣдуетъ, что всѣ уравненія второй
степени имѣютъ два рѣшенія. Но тоже при-
мѣчаніе, которсе сдВлано выше 3 |7), имѣетъ
и здѣсь мѣсто, а именно, что бываютъ во-
просы, кои по свойству своему предполагаютъ
только одно изъ сихъ рѣшеній, и во всякомъ
подобномъ случаѣ свойство вопроса всегда
показываетъ, которое изъ дву\ъ рѣшеній
избрать надлежитъ. Иногда оба рѣшенія дѣ-
лаются мнимыми. Ибо если третій членъ
уравненія второй степени есть положитель-
ный , то есть , если аэсэс Ьх-\^с ~ о, то ,
поелику въ семъ случаѣ х = ~
обѣ величины количества го всегда сдѣлаются
, с . ЪЪ
гнимымл, когда - , то есть когда Ь.
И когда сіе случается, то мы заключаемъ,
что вопросъ никакого не имѣетъ рѣшенія, или
то онъ невозможенъ. Мы показали въ § 336, въ
какихъ случаяхъ вопросъ бываешь невозможенъ,
оіда вЬ ономъ доходятъ только до уравненія
червой степени.
зЗо
§ 358.
ВОПРОСЪ I.
Найти два числа, каихЪ сумма были,
бы <8, а произведеніе 8о.
Пусть одно изъ чиселъ = аг, другое будетъ
18 —х, и посему аг( 18 —х} = 8о. Когда сіе
уравненіе, приведемъ въ надлежащей видъ, пю
оно сдѣлается хх = і8х — 8о, откуда по
правилу, показанному въ § 356, получится
Х — С) + |/е; — 8о, или х=.д г |/8х — Зо^-рЧ^і.
Итакъ по одному изъ нашихъ двухъ рѣшеній
одно число х = іо, а друюе 8; по другому же
рѣшенію одно число ге = 8, а другое іо. Откуда
видно, что о<эа рѣшенія одинаковы.
отвѣтъ.
Одно ЧИСЛС ВСГПЬ .... 10,
А Другое ...... 8.
§ 359.
I В О П Р о с ъ II.
Сыскать два числа, изЪ коихЪ одно было
бы вЪ двое больше другаго, и коихЪ про~
изведеніе, сложенное сЪ суммою, составля-
ло бы 18г>
Пусть одно изъ двухъ чиселъ х, другое
будетъ гх, сумма же ихъ будетъ Зх, и про-
ізведеніе зхх’ и такъ слѣдуешь быть зхх
Зх — і89, откуда выходитъ хх=— и
□Зі
посему х =—I Ч” Н2")» иля х~ ’І
или еще х = — 1+ і’* ВзязЪ знакъ -} ,
получимъ числа д и і8, а взявъ знакъ—, будутъ
числа_и —зі, коихъ сумма есть — ” и
произведеніе.Н.э ~—-~я = і8д, чему и
быть должно-
$ 36о.
'вопросъ ііь
Нѣкто купилЪ нѣсколько аршпнЬ сукна
за зю руб. Еслибы за сію цѣну, уступили
ему ю аршинЪ болѣе, то каждый аршинЪ
обошелся бы ему тогда і| рублей менѣе.
Сколько аршинЪ онЪ куіснлЪ ?
Пусть искомое число = х, каждый аршинъ
стоить будетъ руб.; еслибы онъ имѣлъ
за ту же Дѣну ю аршинъ болѣе , то аршинъ
стоилъ бы ему —”*о- руб., что менѣе на
руб. И такъ надлежитъ разрѣшить сіе
уравненіе: — '^^р —і|, которое обращает-
ю- 2’0 п' г . \
ся ВЪ -------Г = І> ИЛИ ВЪХ(г4 іо) — 1200.
лг.(хЧ-хо) ѵ 1 7
Дабы приложить наше правило, представимъ
сіе уравненіе такъ: хх— — і одс 1 зоо, откуда
выходитъ х — — 5 Ч аэ + 12^0, или
х= — 5 4^1/ 1225 = —54-35. Здѣсь тотчасъ
видно, что знакъ — не даетъ приличнаго
отвѣта. Но взявъ знакъ найдется х = 3о.
эза
о т в ѣ т ъ.
Ссъ купилъ Зо аршинъ.
8 36і,
ВОПРОСЪ IV.
Л продалЪ лошадь, говориніЬ одинЪ
офпцерЪ, за 24 руб. и при сен продажѣ
потерялЪ столько процентовъ, сколько
стоила мнѣ лошадь. За сколько онЪ ее
купилЪ ?
Пусть лошадь стоила х руб-, по продажъ
ея за 24 руб. потеря его есть х — 2^. Но
поелику онъ потерялъ х на юо, то сдѣлавъ
тройное правило, на юо: х ~х: най-
дется , что потеря имъ сдѣланная на ка-
питалъ х будетъ =-^~- И такъ надлежитъ
быть — х— 24, или же хх — іаох— 2400,
откуда выдетъ х ~ 5° -Ц-( з5оо — 2400}
= 5о -4~ ю. Здѣсь оба рѣшенія могутъ имѣть
мѣсто. И такъ выраженіе вопроса недоста-
точно, чтобы узнать, сколько онъ заплатилъ
за лошадь. Однакоже извѣстно, что она
стоила ему пли 6о или 4° руб. Ибо ша и
другая величина равно удовлетворяетъ усло-
віямъ вопроса.
С 36а.
в о п р о с ъ V. *
Двадцать человѣкѣ, мущинЪ и женщинѣ,
ѢдятЪ вЪ трактирѣ. Мущины издержива-
аЗЗ
ютЪ 24 рубля, и женщины столъкоже
Нашлось, что каждый мущина иэдержалЬ
одн;шЪ рублемЪ болѣе нежели женщина.
Вопрошается., сколько было мущинЪ м
женщинѣ ?
Пусть число мущинъ — х, число женщинъ
будетъ 20 — х. 11 такъ одинъ мущина из-
держитъ -^-,а одна женщина издержитъ ~оу~.
Разность есть і руб., изъ чего произойдетъ
уравненіе: — = і, которое приведено
будучи въ приличный видъ, обращается въ
хх — 68х — 48о, откуда выходитъ ,г ~ 3{ -+
У/ п56 — 4'3°ЗДЧ-аб. И° здѣсь мы знаемъ,
что Л не можетъ превзойти 20, чего ради
зпакъ-|-мѣста имѣть не можетъ. И такъ ж=8*
о т в ѣ 'і ъ.
,, 4 8 мущинъ.
Ьыло {
(12 женщинъ.
§ 363. і
ВОПРОСЪ VI.
' Нѣсколько смѢлъчаковЪ взялись за 180
рублей осмотрѣть состояніе осажденнаго
города. Четверо изЪ ннхЪ были пойманы,
отЪ чего выигрышъ каждаго изѣ возвра-
тившихся увеличился 12Ю рублями.
Вопрошается, сколько нхЪ было?
Пусть кисло всѣхъ = х, почему число
возвратившихся = х — Обѣщанная чаешь
каждому была а чаешь каждаго возвра-
тившагося ~ Разность есть із рублей,
слѣдовательно^^;— — ~ іа, уравненіе, ко-
торое удобно получаетъ сей видъ; хх = 4х
4-6о, которое даетъ х = з -Ь|/64^=г 2 Ч; 8.
О Т Й Ѣ Т Ъ.
Они пошли въ числѣ ю, и возвратились
въ числѣ 6.
§ 364.
вопросъ VII.
Двѣ крестьянки прнносятЬ вмѣстѣ на
рынокЪ Зоо янцЬ. У одной яицЪ болѣе
нежели у другой, однако обѣ выручаютЪ
одинакую сумму денегЪ. Одна говоритЪ:
еслибы я имѣла твои яйца , то получила
бы 96 коп. Другая отвѣтствуетъ : а
еслибы я имѣла твои, то получилабы з
руб. іб коп. Сколько каждая пзЪ нихЪ
имѣла янцЬ ?
Положимъ, что первая имѣла* х ницъ,
посему другая продала 3зо — х. И такъ
первая, которая за Зоо — х яицъ принад-
лежащихъ другщі получилабы 96 коп., за свои
з35
получила а вторая, которая съ х
лицами первой имѣла бы 2 руб. іб коп., за
свои получила ----------- копѣекъ-
Сіи два количества должны быть равны.
Посему уравненіе, которое разрѣшить долж-
но , есть
эіб (Зоо — х) _
* __
оное удобно приводится въ приличный видъ:
хт — доЗох — ібаооо, откуда выходитъ
х = 54о+1/54о’ —162000, ИЛИ Х=5 ;о + 36о,
но по причинѣ что х < Зоо, нижній знакъ
даетъ одно приличное рѣшеніе х = 180.
1 .
р т в ѣ т ъ:
а
і первая іЗо яицъ.
Онѣ имѣли $
С другая 120 яицъ.
V -«
ГЛАВА VIII.
Разсужденія о свойствѣ уравненій второй
степени.
§ 365.
Изъ предъидущаго видѣли мы, что всѣ
уравненія второй степени даютъ всегда два
корня. Уравненіе , на пр. хх = зшг даетъ
х==:а-[-1/аа-^-6ііх~а — |/ аа + Ь.
236
Сіе свойство заслуживаетъ прилѣжнаго раз-
смотрѣнія, поеЛику, разсуждая о причинахъ
сего обстоятельства, мы можемъ весьма много
объяснить свойство сихъ уравненій, и при-
угогяовить средства дли легчайшаго разрѣшенія
уравненій высшихъ степеней.
§ 366.
Хотя мы уже замѣтили, что сіе двоякое
рѣшеніе пропзходичіъ отъ того , что квад-
ратный корень какого ниеспіь числа можетъ
быть взятъ какъ положительный, такъ и
отрицательный* однакоже поелику начало сіе
не можетъ быть удобно приложено къ уравне-
ніямъ третьей и четвертой степени , то не
безполезно б}детъ разобрать тоже свойство
другимъ образомъ.
§ 367.
И такъ разсмотримъ уравненіе хх—іаас
-]~35=о, изъ котораго по нашему правилу
выходитъ х = 5 и х=7; то есть, поставляя
вмѣсто х ту или другую изъ сихъ величинъ,
найдется дѣйствительно, что хх — ізх
-р35=о. Но хх—і2ас-|-35 есть произведеніе
двухъ множителей (а? — 5} ( х -г— у и сіе
произведеніе дѣлается = о, когда тотъ или
другой множитель бываетъ о; откуда слѣ-
д} еіпъ, что хх — і зх 35 не могло бы
быть—о, безъ того чтобы не было х — 5= о,
237
или х___7 — о. Въ первомъ случаѣ будетъ
х=5‘ в<> второмъ же х = ”. Откуда ясно
усматривается , почему уравненіе хх - ха
| 35 — о предполагаетъ два рѣшетя.
С 3 >8.
То7 что мы теперь сказали, относительно
особеннаго слѵчая, можетъ быть распро-
странено вообще на всѣ уравненія втс.рой
степени. Пусть будетъ общее уравненіе:
хх — ах + Ь = о , оно представлено быть
можетъ произведеніемъ двухъ множителей:
(о? — р) (х— д ). Но сіе произведеніе обра-
щается въ нуль, когда х — р — о, или
ас—ц = о, откуда слѣдуетъ, что х имѣть
будетъ двоякую величину, а именно: х—р
и X — </
§ 36д.
Мы сказали, что уравненіе хх—ах-{-Ь = о
Представлено быть можетъ такъ: ( х— р)
(х—д ) = о. Для доказательства сего умножимъ
х—р на х—д, и получимъ уравненіе! хх—рх
— дх рд = о, которое уравненіе совершенно
согласуется съ предложеннымъ, уравненіемъ,
полагая р 4- д = л и рд = Ь. ІІ такъ мы
познаемъ здѣсь одно весьма замѣчательное
свойство, а именно: что во всякомъ уравненія
вида ас г — ах 4“ Ь = о, двѣ величины коли-
чества х суть таковы, что сумма ихъ
равна а, а произведеніе ихъ равно Ь.
аЗЗ
§ З70.
Еслибы предложенное уравненіе имѣло видъ
хх + ах -1 • Ъ == о , то оное надлежало бы
выразишь такъ: ( “Ь р ) ( гс 9 ) — ° ?
такомъ случаѣ двѣ величины количества х
были бы отрицательныя, а именно х —— р
іл х =. — д. И еслибы уравненіе было хх -р-
дх—Ь = о, то бы надлежало его изобразить
піанъ: (а? — р ) (х + у) = о, и для х имѣли
бы одну величину положительную, х—р, а
другую величину отрицательную, х~^-д.
Но во всѣхъ случаяхъ вторый членъ ах
содержитъ всегда, въ буквѣ а, сумму обѣихъ
величинъ х, а въ третьемъ членѣ Ъ ихъ
произведеніе.
$ З71.
Послѣ показаннаго нами удобно будетъ
составить уравненіе второй степени, коему
удовлетг^ряютъ двѣ данныя величины х.
Требуется, на примѣръ, такое уравненіе,
чтобы въ ономъ двѣ величины х были х ~ 3
и х = 5. Явво, что оба множителя, произ-
веденію коихъ искомое уравненіе равно, будутъ
(х— 3) (х—5), посему уравненіе будетъ
хх—8г-{-15 =о, изъ котораго дѣйствительно
по нашему правилу ( § 356 ) выходитъ х = 4
іб—15 ==4іі. т. е. х = 3 и х — 5.
ѵ
□39
§ 372.
Изъ предъидущихъ разсужденій слѣдуетъ
равномѣрно, что когда одна величина т
извѣстна, то удобно найдется и другая.
Пусть, на примѣрь, дано уравненіе: хХ -|-
— 2і = о, коему, какъ мы видимъ, удовле-
творяетъ величина х = 3, такъ чтб х— 3
неотчѣино есть одинъ изъ множителей ура-
вненія; мы другой найдемъ,- раздѣливъ +
Дх — 21 на х — 3. Частное есть х + 7,
откуда имѣемъ другую величину х, а именно
х = — 7.
§ 373-
Мы заключимъ главу сію примѣчаніемъ, что
вообще всякое уравненіе второй степени
хх ах Ч~ 6 — о, не можетъ быть представ-
лено ни болѣе, пи менѣе какъ только въ
двухъ множителяхъ (.г;+7) = °-
'одинъ подобный множитель далъ бы только
уравненіе первой степени , а произведеніе
трехъ множителей содержало бы нсотмѣнно
кубъ отъ х и слѣдовательно далобы уравне-
-піе третьей степени.
аДо
Г Л А В А IX.
О рѣшеніи чнетыхЪ уравненій третьей
степени.
5 З74.
Чистыми уравненіями третьей степени
называются тѣ, кои содержатъ только кубъ
неизвѣстнаго количества, не заключая въ себѣ
ни самаго неизвѣстнаго количества, ми
квадрата его. Такъ х3 = і2э и вообще ах3 = Ъу
суть чистыя уравненія третьей степени , и
рѣшеніе ихъ никакой трудности не имѣетъ,
поелику изъ перваго выходитъ: х — 5, а изъ,
5
другаго х ~
§ 375.
Симъ образомъ для каждаго чистаго уравне-
нія третьей степени , получится только
одна удовлетворительная величина, коихъ мы
нашли двѣ для уравненія второй степени
($ 347 ). Но сверхъ величины количества х,
которая непосредственно находится извлече-
ніемъ кубичнаго корня , і во всякомъ чистомъ
уравненіи третьей степени количество х
имѣетъ еще двѣ другія величины, какъ то мы
гііогпчасъ покажемъ въ слѣдующемъ примѣрѣ.
§ 376.
Возмемъ въ разсужденіе уравненіе х3 — 8,
которому во первыхъ удовлетворяетъ величина
X = 2. 11 такъ надобно, чтобы х3 — 8
дѣлилось на X—я З72). Но -раздѣля Xх—8
на х__2? получимъ чаептчое: хх 4~ ззс 4" 4-
Слѣдовательно предложенное уравненіе .г5-8,
или х~__Ь — °» можетъ быть изображено
такъ: -
( X — Я ) ( XX 4- 2Т 4 } =• Щ
которому удовлетворимъ не токмо полагая
а? — 2 — о, или аг = 2, но еще полагая хх 4- 2Х
4.4 = 0, или х — —* і + — 3 (§ 356).
§ 377-
И такъ мЫ дѣйствительно имѣемъ трй
величины, кои удовлетворяютъ уравненію;
ж3 =8, а именно:
I. х ~ 2; П. х — — і -}- \/ — 3;
III. х~ — і— [/ — 3.
Дабы увѣриться, въ сей истинѣ , возми
только клбы. Вотъ исчисленіе по правилу
въ § ідЗ показанному:
Для. П.
— і + — 3
’ — 1 + — 3
4- 1 — \/ — 3
— —3—3
--2--- ?.\/ — 3
— і -ь у/— з
4*2 4“ 2|/ — з
-^-3 + 6
8=(^і+і/-3)х
іб
Для Ш.
Г-3
— і-- Г —з
4->4- г-<Г
4- Г —3 — 3
-- 2 4 2Г — з
— і — Г —з
4-з — яг — з
.р2Г —34-6
з-(-і-г-з)3.
Хотя двѣ послѣдняя величины и суть мни-
мыя, но онѣ заслуживаютъ особенное вниманіе.
§ 378.
Вообще, ежели имѣется какое нибудь чистое
уравненіеих’“ 6, ню найдутся всегда, кромѣ
величины х~ГІ, еЩе Двѣ друпл мнимыя.:
—1+У—3 і і —I—/—3 5 Ъ
х------,---Го-
Дабы о семъ увѣриться, положи для крат-
5
кости Га — с« чрезъ что предложенное
уравненіе сдѣлается: я?5 _ с', или X'3—с3^о,
3,»
которое, по причинѣ что х~ У~ —~сі Д°лж“
подѣлиться на х — г; и учинивъ сіе дѣленіе,
найдется , что другей множитель есть
Я’г-^сх4’СС, танъ что уравненіе представлено
аДЗ
быть можешь симъ образомъ : ( х — с )
( хх сх Ц- сс ) ~ °» которое въ самэмъ дЬлѣ
=о. пе тскмо когда х — с ~ о, но также и
тогда , когда хх сх -Ц- сс ~ о, то есть
х — гс±Ѵ-3-^ Посему ПІрИ величины, удовле-
творяющія уравненіюах —Ь, поставляя опять
а и Ь, будутъ:
V’
I. Х — Уа-і
п — —3
/и х — ~— -.у, і
а I V а'
\11.х=:~-- ,у/-.
§ 379.
Изъ сего явсгрвуетъ, что какъ рпядрагпный
корень имѣетъ дзѣ величины, та г всякой
кубической корень имѣетъ три велич.ііь>і.
Но изъ нихъ одна токмо есть дѣйствитель-
ная, двѣ же прочія суть мнимыя. И мы въ
послѣдствіи увидимъ, чтс биквадра'т-іьш
корень или корень четвертой степени имѣетъ
четыре различныя величины.
§ 38о.
ВОПРОСЪ I.
Сыскать такое число , котораго бы
квадрапіЬ, умно^ен ный на четверть сго}
промлвелЪ ДЗз-
• >
М4
Положимъ искомое число х, квадратъ его
будетъ хх, а четверть его '.г; посему
произведеніе должно быть равно 4З2, то
5 ___
есть х5 = 1728, и потому х = 1728 — 12.
отвѣтъ.
Искомое число есть 12. Ибо квадратъ онаго
»44, } множенный на его четверть : 3 даетъ 4З2.
§ . 38г.
ВОПРОСЪ II.
Нѣсколько КапнтановЪ находятся вЪ
походѣ. Каждый командуетъ вЪ три рала
столькимЬ числ мЪ конныхЪ и вЬ двад-
цать разЪ столъкимЪ чнсломЪ пѢшихЪ,
сколько всѣхЪ КапитановЪ Каждый конный
п лучаетЪ вЪ третъ столько руб-, сколько
КапитановЪ, а каждый пѣтій, половину его
жалованья. Цѣлое Же жалованье вЪ треть
равно іЗооо руб. Спрашивается, сколько
бы. іо КапитановЪ /
Пусть искомое число х\ каждый Капитанъ
будетъ имѣть подъ командою 5х конныхъ
и -о* пѣшихъ. II такъ цѣлое число есть Злс
конныхъ и юхх пѣшихъ. Поелику каждый
Конный получаетъ въ шрешь х руб., а каждый
гіші.і 4 руб., то жалованье всѣхъ будетъ
сумаа: 3.» юл’^2 । З.г ~ і Зооо руб., откуда
получится X3 — юоо и х ~ ю.
, 245
отвѣтъ.
Капитановъ было ю.
$ 38з.
вопросъ Ш.
Крестьянка промѢннваетЪ сырЪ М
курицы. Она даетЪ одинЪ сырЪ за двѣ
курицы. Каждая изЪ сизсЪ курицЪ кладетЪ
число янцЪ, которое составляетъ треть
числа сыровЪ; крестьянка продаетЪ деся-
токЪ яицЪ за число копѢекЪ, составляющее
половину числа сыровЪ, и получаетЬ д
рублей. Сколько она промѣняла сыровЪ?
Положимъ, число сыровъ X,
Число курицъ будетъ ~ зх.
Число яицъ . . . . — З.х2.
Цѣна сихъ яицъ . . — копѣекъ.
II такъ имѣется сіе уравненіе:
' .тЗ
~ 9°°
х' ~ 27000
X — Зо,
ОТВѢТЪ.
Число сыровъ есть Зо.
----курицъ . .--6о.
----------------ницъ . . боо.
Цѣна сихъ яицъ . . доо копѣекъ.
2ц6
$ 383.
ВОПРОСЪ IV*.
Нѣсколько купцовЪ составили общество
п каждый кладетЪ вЪ торзЪ юо разЪ
столько рублей , сколько товарищей. Они
посылаюйіЪ повѣреннаго вЪ Херсонъ. Сей
пов'Ь/ енный получаетЪ барыша на юо руб.
еЪ двое столько, сколько товарищей, н
возвращается сЪ прнб-лткомЪ 2662 руб.
Спрашивается число товарищей ?
Положимъ число товарищей ~ х.
Каждый положитъ юаг рублей/
II такъ капиталъ есть юогас рублей.
Но барышъ на іоо руб. есть 2.г.
Прибытокъ на юоагг будетъ 2.г3.
II такъ уравненіе для рѣшенія есть
эбба, или хъ~ і33і7 откуда найдется х~ и.
отвѣтъ.
Товарищей было ц.
ГЛАВА X.
О рѣшеніи полныхЪ уравненій третьей
степени.
§ 384.
Полными уравненіями третьей степени
называются тѣ, кои сверхъ куба неизвѣстнаго
М?
количества и извѣстнаго числа содержатъ
еи>е квадратъ неизвѣстнаго количества и
еймое неизвѣстное количество, такъ нто
вообще видъ сихъ уравненій есть:
У'х’ + §х -ф Ьх + А' — о,
гдѣ коеффиціенты (§ зДі ) Л, Ь, Л, озна-
чаютъ какія пибудь извѣстныя поюжительныя
или отрицательныя числа. Мы теперь по-
кажемъ, какимъ сбразомъ, по данному таковому
уравненію, должно находить три величины
неизвѣстнаго количества X, кои также
называются корнями уравненія.
§ 385.
Для сего дадимъ напередъ предложенному
уравненію слѣдующій видъ:
х3 — ах1 -{- Ьх — с = о,
каковый получится, раздѣливъ все уравненіе
на /> и положивъ ~ — а, ~ Ь, у. — — с. Но
какъ всякое уравненіе второй стЛіени: хх—ах
4- Л = о, можетъ быть представлено произ-
веденіемъ двухъ множителей, а именно: (г—р)
[х—д) ~о 368); то подобнымъ образомъ
и с*е уравненіе третьей степени представлено
быть можетъ произведеніемъ слѣдующихъ
трехъ множителей:
(х — р) (х — д) (х —г) = о.
И какъ сіе произведеніе дѣлается ~ о:
2^8
і. когда эг — р — о,
а. когда х — 7 = о,
3. когда х — г ~ о;
то три величины количества ,г, или три
корня предложеннаго уравненія будуіцъ;
I. х ~ р, II. х —ц и [II. ,г ~ л
8 386,
Но если мы перемножимъ между собою
нашихъ трехъ множителей, то произведеніе
ихъ бддегпъ:
Зг' — ( гЦ-оЦ-г) х“-\-{рд-\-рг-\-(р-}.Т
Сравнивъ каждый членъ сего уравненія съ
каждымъ членомъ предложеннаго, получимъ
оіпгпуда для а, Ь, с, сіи величины;
л ~ ѵ + Я + г>
Ъ ~ ѵц рг 7 г,
С — р(}Г.
II такъ мы видимъ, что во всякомъ уравненіи
третьей степени х? — ах' 4~ Ъх — с —
коеффиціентъ ( § 24г ) второго члена а со-
держитъ сумму трехъ корней; коеффиціентъ
третьяго члена Ь содерж тъ сумму произ-
веденій корней взятыхъ по два, и наконецъ,
четвертый членъ с состоишь изъ произведеніи
всѣхъ трехъ корней. і
$ зз7.
Сіе послѣднее свойство Представляетъ намъ
важную истину, а именно, что уравненіе
»4э
щретпъей степени дѣйствительно не можетъ
имѣть др^гикъ извлекомыхъ корней, кромѣ
дѣлителей послѣдняго члена; ибо, такъ какъ
сей членъ есть произведеніе трехъ корней,
то онъ на каждаго изъ нихЬ дѣлишься долженъ.
Сіе примѣчаніе прчвцдитъ Насъ къ легкому
правилу находишь извлекомые корпи уравненія
третьей степени, которое по меньшей мѣрѣ
имѣетъ одинъ таковый корень. Нужно только
сыскать всѣхъ дѣлителей .послѣди го члена
уравненія и разсмотрѣть ихъ по одиначкѣ.
Тотъ изъ оныхъ, который удовлетворяетъ
уравненію, будетъ однимъ изъ его корней.
$ 388,
Объяснимъ сіё правило примѣромъ, разсма-
тривая неполное уравненіе:
ас5 — .г — Ь ~ о;
поелику уравненіе сіе не можетъ имѣть иныхъ
извлекомыхъ корней кромѣ чиселъ, кои с}іпь
дѣлители послѣднню члена . 6, то надоішо
только изслѣдовать числа і, 2, 3; 6. Посмот-
римъ , которыя изъ нихъ удовлетворяютъ
нашему уравненію:
г. Когда г ~ • , гпо б}Дешъ і—і—6~— 6.
2. . . ,Г — 2, . ... 8—2—6 = О.
3. . . ас — 3, . . . . 27—3—6= 18.
4« • . ас = 6, . ... 2x6—6—6= 2<>4«
21 О
И такъ мы видимъ, что одно только число з
удовлетворяешь уравненію: посему оно есть
одинъ-изъ его корней.
§ 389.
И такъ величина х ~ э есть одинъ* изъ
корней уравненія:
X5 — х — 6 — о,
и по тому х — 2 будетъ одинъ изъ ею
множителей (§ 385), и сыщется другой изъ
нихъ, .раздѣливъ зс''—зс—6 на зс— 2; посему
множитель сей будетъ хгЦ-2х-|“3, такъ
что предложенное уравненіе представлено
быть можетъ такъ :
( X -- 2 ) ( XX 4- 2Х 4- 3 ) ~ о,
произведеніе, коглорое обращается въ о, не
только тогда, когда зс — 2—0, или х - 7, но
и тогда , когда хх 2Х 4- 3 4= о. Но сей
послѣдній множитель будучи разрѣшенъ но
. данному выше сего правилу ( 356), даетъ: •
х ~ — і — \/ — 2
X — --- I 4" I/- 2.
По чему всѣ три корня уравненія найдены,
но изъ нихъ одинъ только есть дѣйстви-
тельный, прочіе же два суть мнимые.
§ 39°-
Однакоже способъ, который мы теперь
изъяснили, для сысканія трехъ корней уравне-
нія третьей степени, употребленъ быть
231
можетъ только тогда, когда первый членъ а.-5
умноженъ на і, а коеффиціетпы прочихъ
членовъ уравненіи суть цѣлыя числа. Но всякое
у равненіе удобно превратить въ другое, кото-
рое бы имВло предписанный видъ, и къ
которому слѣдовательно послѣ сего преобра-
зованія можно будетъ приложишь способъ,
показанный въ § ЗЗ7 для сысканія одного /орня
уравненія, и посредствомъ .онаго двухъ про-
чихъ. какъ изъяснено въ § 38»> И сей способъ
всегда употребится съ успѣхомъ, лишь бы
уравненіе имѣло корень извлекомый.
5 39і.
Дабы доказать утверждаемое нами, что
всякое уравненіе преобразовано можетъ быть
въ другое, имѣющее предписанныя условія,
возмемъ сіе общее уравненіе:
а.г3 -ф Ьх2 -ф сх -ф <7 — о.
Раздѣливъ его на а, оно превратится въ
х5-ф*х’4-^х-ф^ = о,
гдѣ первый членъ имѣетъ коеффіиціентомъ і,
чему и быть должно. Дабы уничтожишь зна-
менателя а, положимъ х ~ и уравненіе по-
лучитъ сей видъ :
। 4у2 су г & _
дЗ "Г дЗ Iм а 2 * а '
которое умножено будучи на а3, обращается
въ слѣдующее:
з5з
ух 4- ЪУ ’ 4- сау + = о,
гдѣ не находится уже болѣе дробныхъ коеф-
фитентовъ, такъ что уравненіе имѣетъ
такой ви^ъ, какой требуется для приложенія
нашего правила. •
Все сіе объяснимъ нѣсколькими примѣрами:
§ 392.
ПРИМѢРЪ I.
Пустъ предложено уравненіе третьей
степени : ахх4* чх — 3 = о, сыскатъ
его корни. Сперва мы дадимъ сему уравненію
приличный видъ, раздѣливъ на 4, дабы имѣть:
Т’ — ~ хх 4- \ X — | = о,
и полагая х ~уравненіе обратится въ
>а№ , "X з _________________
64---6? -+• Т — 4 - °>
умноживъ же его на 64, получимъ уравненіе:
у — 12г; + 44у - 48 — о,
которое имѣетъ потребный видъ ( § З90).
Теперь приложимъ къ сему уравне іію спос< бъ
(§ З87); и поелику дѣлители послѣдняго
члена 48 суть 1,2, ,6 и проч. , пю посмот-
римъ нѣтъ ли между сим.і числами такого,
которое взято будучи за величину ѵ, удовле-
творяло бы уравненію. ІІ<» полагая у — э,
уравненіе обращается въ:
8 — 48 4” 88 — 48 — 05
з53
откуда видно, что у — і есть одинъ корень, а
у — 2 множитель количества у' — і2у
—48. И такъ раздѣли оное на у —2, получимъ
уравненіе:
у’ — іоу гД — о,
котопое разрѣшено будучи по правилу (§ 356),
даетъ два другіе корня у —6 и у —4, кои
піакже бы нашлись разсматривая другіе дѣли-
те хи члена 48.
Нашедъ сіи три величины у, по причинѣ
чіпо х ~5, гпрй корня предложеннаго уравне-
нія :
4 — I 2ХХ + II х — 3 — о,
будутъ х —'х1 г = | и х = і , и дѣйстви-
тельно произведеніе сихъ трехъ множителей
( х — і ) ( г — і) ( х — |) = о,
даетъ предложенное уравненіе.
§ З9з.
примѣръ 11.
Пусть предложено уравненіе третьей
степени 6х! — ііх2 6х — і — о, сыскать
его корни.
Поступая съ симъ уравненіемъ по тому же
способу, получимъ, раздѣливъ ею на 6,
— V + > — і = о»
и полагая х — будетъ
254
ИЛИ уНИЧГПОлІІВЪ Дроби :
у5 “ 1 *УУ 4- 36у — 36 = о/
гдѣ дѣлители члена 36 суть і, 2, 3, 4, 6, д, із,
язь которыхъ вторый а тотчасъ удовле-
творяетъ уравненію, которое і/овему имѣть
будетъ одного множителя у — 2, и другой
будетъ у у-—дк4~18, слѣдовательно уравненіе:
ГУ — 9Г-Н ‘8=о,
даетъ намъ два другіе корня у = 3 и у =6,
такъ что Корни уравненія:
6я?5 — і ідс’ -{- 6х-1 = 0,
суть х — дс , х -— г.
§ 394-
Пусть дано уравненіе:
х~ х" — 2Х і а ~
коего послѣдній членъ 12 имѣетъ дѣлителями
числа і, 2, 3, 4, ,6. Однако ни одно изъ сихъ
чиселъ не удовлетворяетъ предложенному
уравненію, хотя оно имѣетъ одинъ дѣйстви-
тельный корень, но сей корень есть отрица-
тельный , а именно: х = — 3. И такъ не
довольно изслѣдовать всѣхъ дѣлителей по-
слѣдняго члена уравненія съ знакомъ нужно
такъ же изслѣдовать дѣлителей и съ про-
тивнымъ знакомъ, если видъ уравненія отъ
сего насъ не освобождаешь.
а5э
§ 395.
Слѣдующія два правила служатъ къ сокра-
щенію сего изслѣдованія і
іе. Когда всѣ члены уравненія положитель-
ные, то надлежитъ дѣлать иснычіаніе съ
числами отрицательными. Ибо три множителя
уравненія, имѣющаго видъ
л? ахх Ьх с = о,
суть х -}• р, х -}- <7, слѣдовательно всѣ
корни ошрицаріеЛыіые.
2е. Когда знаки членовъ уравненія взаимно
перемѣняются , то есть когда уравненіе
имЬеіпъ видъ х — ет1 Iх — с — о, то
испытаніе дѣлается съ положительными чи-
слами; ибо множители уравненія будутъ х—р,
ос — д} ос— г, посему всѣ корни будутъ
положительные.
Во всякомъ другомъ расположеніи знаковъ
предложеннаго уравненія надлежитъ изслѣдо-
вать дѣлителей послѣдняго члена уравненія
съ тѣмъ и другимъ знакомь, по тому что
въ семъ случаѣ уравненіе имѣетъ' какъ йоло-
жишельные, такъ и отрицательные корни,
5 39б>
ВОПРОСЪ 1.
Сыскать два числа, копхЪ разность
была бы 12, а сумма кубоеЪ Ь5із ?
256
Пусть меныпее изъ сихъ чиселъ а- другое
будетъ зг’-р і2, а сумма ихъ кубовъ:
22?" 36л2 4-43 2"4- 1-28 =85і2,
И пи Л 4“ ібл1’ 4 2'6х — 33с)2 — о.
Дабы уменьшить іо еффиціентогь, положимъ
х — 2 у, и раздѣ н на 8, сравненіе будетъ:
у* + 9Г' + ’4у — 44 — о-
Дѣлители числа 42.4 С}іпь і, 2, 4, 6, и
проч., изъ коихъ найдется корень 4, поелику
у - Ь4
9Г = 44
~ 2і6
у + 9Х + Мг = 42Т
И такъ у — 4 и ж —- 8.
О СВѢТЪ.
Искомыя-числа с^іпь 8 и 20, коихъ разность
есть 12, а с^мма кубовъ: 85і2.
§ 3<)7-
вопросѣ И.
Нѣсколько человѣкѣ устаноиллютгіь іПор-<
говое общество. Каждый. изЪ ннхЪ кладетЪ
десять разЪ столько червонцевЪ , сколько
товарищей; о и пол^-чаю’пЪ на каждые
сто червонцевЪ барыша 6ю червонцами,
больше нежели изсЪ число , и наконецъ
паш іось, что весь барышь былЪ Зс)2 чер-
во ца. Вопрошается, сколько было
сари щей ?
Пусть число товарищей — х , каждый
Положитъ юх червонцевъ и вообще имѣніе
будетъ іог.г червонцевъ. И поелику ойи
Получатъ х4-6 на юо червонцевъ^ то на весь
капиталъ юх-г получатъ :
ІОХХ < X + 6 ) _ X 1 + бхх
ЮО ІО 5
Щпо должно уравнять Здг; и такъ,
х"’ 4- бага? — Зрао = о.
Дабы Послѣдній членъ, который раздѣляется
на 8=з3, Пргівести въ меньшее число, положи
х ~ зу, и уравненіе сдѣлается :
у3 4“ Зуу — 49° —
Дѣлители числа 49° суть: і, а, 5, 7, іо, изъ
коихъ четвертый х — 7 удовлетворяетъ
уравненію, такъ что Х~і4-
О Т В Ѣ Т Ъі
Товарищей было <4-
§ 393.
вопросъ Ш.
ВЪ крѣпости находятся два иороховыхЪ
магазина. Ііольшій изЪ нпхЪ содержитъ
бочекЪ болѣе нежели другой; а когда
число бочекЪ меньшаго магазннау множишь
на квадратный корень изЪ числа бочекЪ,
содержащихся вЪ большемъ Магазинѣ, то
выдетЪ эо-’Зб. Сколько бочекЪ пороху на-
ходится вЪ каждомЪ Магазинѣ ?
<7
з58
Положимъ въ меньшемъ магазинѣ число
бочекъ пороху ~х, большой содержать будетъ
720 х бочекъ. И такъ должно быть
х\/ 720 4~х ~ 207З6.
Дабы облегчишь рѣшеніе, нужно замѣтить,
что
207З6 — 8’. д’. 2’, такъ что
х]/ 720 4~ х — 8’.д’.2’.
Взявъ квадраты обѣихъ частей, получимъ
сіе уравненіе:
720 4~ 'г ) — 8Ч9Ч24.
А дабы обратить сіе уравненіе въ простѣйшее,
положи х~ 8.9.2.^, и оное получитъ сей
видъ:
8!.д5.25.у’4“ 720.8*.9’.2*.^’ =
уравненіе , которое раздѣлено будучи на
В'.д’.з5, обращается въ слѣдующее:
Л-Ч-5Г’— 8.9.2. =о,
гдѣ дѣлители послѣдняго члена суть і, 2, 3,
4, 6, и проч., между коими, какъ то явно, 4
есть корень, такъ что у = 4 и х —
О Т Б Ѣ Т т>.
Большой магазинъ содержалъ
пороху' . . . 129*1 боч.
Меньшій......................б'тб боч.
2Э9
§ 399-
во просѣ IV.
Нѣсколько купцовЪ имѢютЪ вмѣстѣ ка~
питалЪ, состоящій изЪ 8з]о руб.; каждый
кЪ оному прибавляетъ сорокЪ разЪ столь-
ко рублей, сколько товарищей, и они сЪ
цѣлой суммы полуааютЪ барыша столько
рублей па юо, сколько товарищей; раз-
дбливЪ же барышъ нашлось, что, когда
каждый взялЪ вЪ десять разѣ столько руб.,
сколько товарищей, то осталось 22^ руб.
Спрашивается число товарищей ?
Пусть число товарищей = зс, посему
каждый къ общему капиталу Приложитъ Дох
р\6., и потому всѣ вмѣстѣ увеличатъ сей
капиталъ ^отос руб. Но поелику они пріобрѣ-*
таютъ х руб. на юо руб., то съ суммою
Доля?-4-824° Р}6. пріобрѣтутъ —
-3-. . Изъ сей суммы каждый беретъ юх,
слѣдовательно всѣ вмѣстѣ возмутъ ю.х.х, и
останется ——* —*— іо.гх. По сей остатокъ
долженъ быть равенъ 2'4 рублямъ; чего ради
мы имѣемъ сіе уравненіе для рѣшенія:
2.x —5оххДіэх5.224 — °
ИЛИ X5 - 25X3? ?о6.Х -5. 112 Х2 о.
Здѣсь дѣлители послѣдняго члена суть т, э,
4, 5, 8, 10, изъ коихъ три послѣдніе равно
2бо
удовлетворяютъ уравненію, такъ что г—7>
х = 8, и х ~ іо.
ОТВѢТЪ.!
Три отвѣта имѣютъ здѣсь мѣсто:- по
первому число товарищей есть 7, по второму
оное есть 8, а по третьему іо. И вотъ
повѣрка:
I. п. ПІ.
7 8 1°^
280 3?о 4оо 1
1960 2Э(ЭО 4ооо ?
8240 ВаДо 82401
10200 ІОЙОО 12240
7>4 864 1224
7° 8о ІОО /
49° 640 юоо '
224 224
Рѣшенія.
Число товарищей х
і Каждый кладетъ /]О.Х'
’ Всѣ вмѣстѣ . . Дохх
1 Старой капиталъ
Новой капиталъ
Они пріобрѣтаютъ х
на юо, и сей барышь
к есть..............
? Каждый беретъ огпшу
7 да.............юх
5 И потому всѣ вмѣстѣ
И такъ остается . .
збі
ГЛАВА XI.
О рѣшеніи уравненій третьей степени,
имѣющихъ нензвлекомые корни.
8 4оо.
Когда уравненіе третьей степени имѣетъ
одинъ или болѣе извлскомыхъ корней, то въ
предъидущей главѣ показано, какъ ихъ нахо-
дить, разсматривая дѣхителей послѣдняго
члена. Но часто случается, что ни одинъ
изъ сихъ дѣлителей не есть корень уравненія,
и тогда сіе показываетъ, не только что
уравненіе не имѣетъ корней въ цѣлыхъ чи-
слахъ, но что даже и дробь не можетъ быть
его корнемъ. Ибо если въ общемъ видѣ уравненій
сея степени:
.Xх -К ах’ -А- с ~ о,
гдѣ а, Л, с, означаютъ числа цѣлыя, положимъ
на пр. хх ~ |, то получимъ :
*8-±’«±^±с = °;
но три послѣдніе члена сего уравненія суть
числа или цѣлыя, или раздѣленныя на 2, или
на 4, и слѣдовательно не могутъ съ первымъ
членомъ составлять о; тоже самое имѣетъ
мѣсто для всякой другой дроби, какую бы ни
взяли вмѣсто х. *
8 4°*.
Поелику въ сихъ случаяхъ корни уравненія
ни цѣлыя числа, ни дроби быть не могутъ,
262
то до.ѵіиЫ они быть неизвлекомыя, или даже
мнимыя, Способъ ихь находить, который
мы изъяснимъ въ сей главѣ, и который
изобрѣлъ ІІіпаліанецъ СципІонЪ феррео, не-
справедливо называется правиломъ Карда-
новымЪ. Дабы уразумѣть сіе правило, надобно
со вниманіемъ разсмотрѣть кубъ двучленнаго
количества а 4~ 6, который есть:
( а Ь )’ = а” 4” Зааб 4х ЗабА 4~ Ъ*
или ( а -рі ]’ = а’ -}- А 4- Заб ( а 4- Ъ ),
и полаіая х 4- Ь, выдегпъ сіе уравненіе
іпрріпьей степени:
х” = а’ 4" А>3 4- Забх,
уравненіе, о которомъ мы знаемъ, что одинъ
корень его есть х ~ а-\- Ь. II такъ всякой
разъ, когда представится такое уравненіе:
х5 = ЗаЬх 4" а5 4-
то одинъ изъ еіо корней, будетъ Х — аЦ-Ь'
или, положивъ а — р и 63 ^дг когда дойдемъ
до такого уравненія :
5
х3 =3х^^4-р 4- д,
тогда одинъ изъ его корней будетъ
5 5
х — іх р 4- V <ъ
§ 402.
Но р и д всегда можно опредѣлить такимъ
5
образомъ, чікобы какъ \/рд такъ и р 4" <7
были равны даннымъ количествамъ, чего ради
263
положимъ, что предложенное уравненіе есть
слѣдующее:
і
такъ что г ) 3|/ рд гх / и 2) р 4- д ~ §.
Изъ перваго получимъ — и 1(рд~±/\
Квадратъ втораго уравненія даетъ:
рр + *ря+яя—ёё,
изъ котораго, вычитая съ піой и другой
стороны \рд — останется
рр—^ря + яя = (р~Я У —
ІІвлекши корень , будемъ имѣть :
Р~Я=І^ёё — ^\
Нор-[-д ~8
в + ^88-^7*'
посему р хх------—--•
$ 4<Я-
Откуда извлекаемъ слѣдующее правило:
Когда пмѢемЪ уравненіе третьей степени
слѣдующаго вида : х5 ~ Ех Ц- §» 1,10 какія
бы числа Е к § ни были , одчнЬ изЪ его
корней всегда будепіЪ :
зр+Ѵев—* Г* 88 —-—7*
х~у------_±— 4- у-------------•
Для полученія же другихъ корней мы примѣ-
чаемъ , что поелику я; =. а 4^ ^р,К =д
{§ 4°» то въ слѣдствіе § 3?8 будетъ
^4
і) а— }/р
з)а==2±^1>Р
3) а —
і) ъ -уя
2) ь —_Л^\/д
' а
3) г>—.-а-^-3 Ѵч
. д. V*_Ч
положимъ , ради краткости, ____- — тп
— і — V—3_
и --------— п} и мы будемъ имѣть три
величины для а и столько же для Ь1 а именно:
Г 5 С 5 С 5
і )в=Р>. д )а = тІ/р. щ)а—п Ур
IЪ — д' [ь~п]/д (Ь~туд*
гдѣ примѣчать должно что тп ~ і, и слѣ-
довательно аЬ—*рд. Но ЭСт^а^Ъ, чего ради
всѣ три корни суть:
5 3
х — Ур + УЯі
з з
х — т р пі/ д,
3 5
х= пІ/р-]-т]Хд,
но р и д найдены § Доа, слѣдсгцвенно р всѣ
три корня будутъ извѣстны.
8 4о4-
Можно противоположить сему правилу, что
оно касается токмо до такихъ уравненій
третьей степени, кои не содержатъ квадрата
неизвѣстнаго количества. Но всякое полное
уравненіе превращено можетъ быть въ другое,
265
имѣющее видъ: х*—ух-\-°. Пусть предложено
на примѣръ полное уравненіе:
х'4" ахх Ьх с = о;
стоитъ пюкмо положить х~у— и по
причинѣ что:
х’ —уЛ — ауу -р '-аау —
-4-ах1 ~ ауу — *аау 4- а”
4- Ьх ~ 4~ Ьу — ’ аЬ
+ с ~ • 4-с,
ьщі получимъ:
х' 4- ах’ 4- Ьх 4- с —у' 4" ( 6— ~аа )у
+ х>3 ~И + С ~ О
уравненіе, въ которомъ втораго члена не
находится, и которое, положивъ ^аа — Ь
и \аЬ — аа7а3 — с =§> принимаетъ слѣду-
ющій видъ:
Г3 = /г+ Я5
коего корни уже найдены § /рЗ.
8 4о5.
Посредствомъ сего преобразованія мьі мо-
жемъ находить корпи всѣхъ уравненій третьей
степени. Чтобы изъяснить сіе примѣромъ,
положимъ, что требуется рѣшить слѣду-
ющее уравненіе третьей степени:
х3 — бхх 4“ 15 с — 12 = о,
въ которомъ уничтожимъ вторый членъ бгх,
положивъ х ~у 4- | =у 4" аі “6° предложен-
ное уравненіе перемѣнится въ сіе:
>66
Г* — 3=0, или у1 = — у 4- 2.
Сравнивая сіе уравненіе съ общимъ видомъ:
У §> имѣемъ ] — — і} и & з, посему
, 8 а+У4 +А 5 э-ѴТГ*’
у —[/ 27 4- \/ Ч+2Г
а а *
Но посредствомъ легкихъ сокращеній найдется
А а 4-ѴТГГ' 5__________ 1_________
и = г і + т =і/ і + кн
< +1Т^ = і/ 2±^ = |> ,
9
такъ что
, » з+А+Л.' 8
V 7 ’ ~ ік 27 б^/ах.
Такимъ же образомъ найдется:
з ___ 5
V3~Ѵ4+^ = зИ 27 — 61^21-
Чего ради искомой корень есть
3 __________________ 3___________
у — ік 27 4~ 6^/ а і 4* 3І/27 — б|/зх,
посему /
3 ________ 3 ________
X 2 6|/2І ^{/27 6[/2Х.
5 4°б-
Хотя , употребляя сей способъ, доходимъ
до корня двояко неизвлскомаго , однако не
должно думать, чтобъ корень такимъ образомъ
выраженный всеіда былъ иеизвлекомый , доколѣ
не увѣримся посредствомъ способа предложен-
наго въ предъидущей главѣ, что предложенное
уравненіе не имѣетъ извлекомаго корня. Слу-
чается иногда, что сія неизвлекомость со-
крываешь корни извлекомые. Въ предъидущемъ
примѣрѣ имѣемъ:
і ОУ (З + Ѵаір
374-6X21=------8—’
С» у (З-Ѵц)3
27—61/21 =----,
и потому х= 24-і=3, корень, который бы
удобнѣе нашелся, .разсматривая дБлишелей
послѣдняго члена 12 предложеннаго уравненія,
какъ было показано въ предъидущей главѣ.
Но когда увѣримся, что предложенное уравненіе
извлекомаго корня не имѣетъ, то для сысканія
корня нризвлекрмаго надлежитъ прибѣгнуть
къ такъ называемому правилу Карданову, и
тогда уже никакого сокращенія дѣлать не
нужно, развѣ только для облегченія изчисле-
нія, какъ въ слѣдующемъ примѣрѣ: ас3 =.6 с
-|-6, гдѣ /’ = 6 и § = 6, слѣдовательно
3 5________з
X — І/ | 6-Ѵзб-За _ 6 + К 4
3 3 3
+И6_±^= ѵ ь+ѵ*-
§ 4°7-
Мы окончимъ главу сію весьма нужнымъ
примѣчаніемъ относящимся къ случаю , ког-
да Явно, что нъ семъ случаѣ корень
аб8
уравненія х’ = /х найденный выше сего,
5 /}оЗ, дѣлается мнимымъ* однако въ семъ
случаѣ уравненіе имѣетъ всѣ три корня дѣй-
ствительные, Сей случай называется: случай
неразрѣшимый КардановЪ, и когда оный
встрѣтится, тогда прибѣгнуть должно либо
къ способамъ приближенія, узъ коихъ мы
покажемъ одинъ въ послѣдней главѣ сего
отдѣленія, либо къ способу тригонометриче-
скому который изложенъ будетъ во Зй части
сихъ Начальныхъ Основаній.
ГЛАВА ХИ.
О разрѣшеніи, неполныхъ уравненій
четвертой степени.
§ 4<>8.
Когда требуется рѣшить чистое биквад-
ратное или четвертой степени уравненіе:
= У, то явно, что для сысканія корня
стоитъ только съ обѣихъ сторонъ извлечь
корень четвертой степени, который такъ же
называется корнемЪ биквадратнымъ, и по-
4
тому получится х^у//. При чемъ надлежитъ
замѣтить, что сіе извлеченіе весьма облег-
чится, сыскавъ напередъ квадратный корень,
и взявъ потомъ снова квадратный корень. И
2бд
такъ если имѣемъ уравненіе х4 = 5о6з5, гпо
по первомъ дѣйствій будетъ хх —— : і5, а по
второмъ извлеченіи х — і5.
§ 4°9-
Но симъ способомъ получаемъ только одинъ
корень, а какъ мы видѣли, что всякое квад-
ратное уравненіе имѣетъ два корня, а всякое
кубическое три: то безъ всякаго сомнѣнія
уравненіе четвертой степени имѣетъ четыре
корня. И въ самомъ дѣлѣ означенный способъ
даетъ четыре корня. Ибо въ приведенномъ
для примѣра уравненіи, х4 = 5о6а5, имѣется
не только хх = -^2з5, но еще хх — — 22э;
но первая величина даетъ х — 15 и х~—15, а
вторая величина даетъ х— і5|/^ — і и х =г
—-і5[/ — і. Сіи суть четыре корня уравненія.
.. §
Не имѣя болѣе ничего важнаго замѣтить
еъ разсужденіи чистыхъ уравненій четвертой
степени, мы приступаемъ къ тѣмъ, въ коихъ
недостаетъ какъ самаго неизвѣстнаго коли--
чества, такъ и его к)ба, и кои посему
имѣютъ видъ: х1 /хх — о , яко къ
такимъ, кои разрѣшаются по правилу данному
выше , § 356, въ отношеніи къ уравненіямъ
второй степени. Ибо, когда положимъ хх—у$
то получимъ уравненіе: уу-\-?У —°, илй
уу = —]у— откуда имѣемъ:
ПО поелику .г = [/у, то будетъ :
х — ~р|/ - / + ѵ 1 //—4д>
. — а ’
выраженіе, которое , по причинѣ двойкаго
знака -+•, содержитъ всѣ четыре корня.
§ 4".
И такъ биквадратныя уравненія сего вида
никакой трудности не имѣютъ: но то, что
затрудняетъ ихъ рѣшеніе есть двоякая не-
извлекомосгаь корней. Но есть однакоже сред-
ство уничтожить въ нѣкоторыхъ случаяхъ
сію двоякую неизвлекомость. И сіе мы покажемъ
въ слѣдующемъ
$ 4І2і
Для сего станемъ разсматривать общій
видъ сихъ корней полагая \/а-\-\/Ь
= ]/х ^/у, и взявъ квадраты получимъ сіе
уравненіе:
с + — ж 4" У + ху,
равенство, которое тогда только можетъ
имѣть мѣсто, когда .х* + у = а и з^/ху
~\/Ь, или Дху ~ Ь. Первое условіе даетъ:
(.7г+у-у= лщ то есть хх 2ут -)-уу=аа,
откуда, вычитая Получаемъ х.г—-з.ху
Ц-уу = аа — Ь — {х—-у )’, посему извлекая
корень, имѣемъ х—у~1/аа — Ь. Но мы
271
положили а\ чего ради изъ сихъ двухъ
уравненій находимъ
» = (8 .77)
Г (5 184)( * ,
такъ, что будетъ:
/ ", ./ а^Ѵ(аа-Ъ) I л/ Ч-У (ча-Ь)
Ѵа 4- [/Ь — V--------і У----------
пусть будутъ а и Ъ такія числа, что аа— Ь
дѣлается совершеннымъ квадратомъ со, мы
получимъ І ___
УІа-^уЬ —
Подобнымъ образомъ найдется:
і/ Г77. і/ “ +с 1/'“ ~с
Ѵа~уЬ^Ѵ ~---------
$* 4<3.
И такъ, когда предложенное уравненіе
послѣднимъ членомъ имѣетъ квадратъ, то
есть, когда оно имѣетъ сей видъ: а?'*—/х*
Ч“э& ~°> тогДа ищи корень по предложенному
Правилу въ § 4ю, и оный найдется
х = + И/(.//-««)•
Но полагая \/ — а и =1>, будетъ
аа — Ь —сс слѣдовательно
х — у У+зб-4-1/ 7-^'
4 4
Стоитъ только взять квадраты , дабы увѣ-
ришься, что двѣ величины х ни мало между
собою не разнятся. *
27-г
§ 4*4-
Пусть, на примѣръ, предложенное }равненіе
Я4 ------- 7 ТЛ7 4-4=0.
Если сыиіемъ корень по § 4го, то найдется
1/ 7 ± 33. _
х — у •—-— , и ежели употребимъ формулу
предъидущаго , то, по причинѣ чпю/"=7
и д = будетъ = гдѣ находится
только простая неизвлекомосшь.
Дабы лучше показать пользу ссго сокраще-
нія, пю мы окончимъ сію главу вопросомъ,
который часто употребляется въ геометріи.
§ 4і5.
ВОПРОСѢ.
Сь?слать два числа, конхЪ бы Произ-
веденіе и сумма ксадратовЬ были данныя
количества.
Означимъ два искомыя числа буквами хну,
и положимъ ху — а и хх-}-уу = Ъ, гдѣ аиЪ
сушь данныя количества. Изъ перваго уравненія
имѣемъ у = а поставивъ сію величину въ
-другое, оно превратится въ .т.г-ф — й, пли
х* 4~ аа — Ьхх = о; поступивъ же съ симъ
уравненіемъ .по правилу изъясненному въ
получится:
* = ± V Ф ± V (— «’)>
,и употребивъ формулу §4*3, найдется:
273
1 / Ь -г 20 I і/ Ь - ѢЛ
X ~ V — " Г V 7—, «ЛИ
4 ’
х = \ \/Ь + 2в І і — 2а-
Г ЛАВА XIII.
О рѣшеніи полныхЪ уравненіи четвертой
степени.
§ 4‘6.
Когда уравненіе четвертой степени есть
полное, то опо имѣть будетъ такой видъ;
/.г'' І ёх* І ^х' І ^х І ~ °>
который удобно привести можно въ слѣду-
ющій :
х'* — ах' 4- Ьх* — сх = °>
и слѣдовательно представишь произведеніемъ
сихъ четырехъ множителей:
(х—р) (х — (]} (х — г) [х — 5 ) = о.
Но поелику сіе произведеніе будетъ =о,
і) когда х — р — °і
2) когда х — 9 — о;
3) йогда х — г — о;
4) когда х — 5 — о;
четыре корня предложеннагб биквадратнаго
уравненія будутъ:
>8
□74
I
р;
I.
П. .-г —
ПІ ЗС Г 5
IV. ,Г ~ 5.
§ 4*7-
Помножимъ четырехъ множителей между
собою, и произведеніе будетъ:
я4 — ( р 4- о -+г -4- а? -4с Г ѵа 4- ѵг 4- аг
уравненіе, котораго члены сравнены будучи
съ членами предложеннаго :
х' — ах -ф Ъх* — сх-}-(! = о,
показываетъ, что
в=Р/+<7-Ьг4 з;
Ъ—рд рг 4“ рз дг 4" 95 4“ г5>
с = рдг 4 рдз 4" 7г з;
а^р(]г8. п
Изъ чего усматриваемъ} что во ася.
уравненіи четвертой степени, коего первый
членъ не имѣетъ коеЛфиціента, коеффи-
ціеніпъ втораго члена есть сумма четырехъ
коряей • что коеффиціеншъ третьяго член;
есть сумма всѣхъ произведеній корней,взятыхъ
по два 5 что коеффигценть четвертаго членг
есть сумма произведеній Корней , взлшыхъ ш
три5 и наконецъ, что послѣдній членъ есгп1
произведеніе всѣхъ корней
2-5
§ 4>&
Сіе послѣднее свойство показываетъ йамъ,
что уравненіе четвертой степени не можетъ
имѣть извлекомаіо корня, который бы не
былъ дѣлителемъ послѣдняго члена. Сіе свой-
ство подаешь удобное средство для сысканія
всѣхъ извлекомыхъ корней уравненія, если
оное ихъ имѣетъ; поелику на мѣсто х
надлежитъ токмо поперемѣнно ставить
всѢхЪ дѣлителей послѣдняго члена, пока
не найдешь такого, который удовлетво-
ряетъ уравненію; -ибо нашедъ таковый
корень, на пр. х — р, надлежитъ , по пере-
несеніи всѣхъ членовъ на одну сторону, раз-
дѣлить только уравненіе иах—р, и положить
потомъ частное = о; посредствомъ чею
получится уравненіе третьей степени, кото-
рое можно рѣшить по правиламъ, показаннымъ
въ главѣ X и XI.
§ 4*9’ '
Но для Сего необходимо нужно чтобы всѣ
коеффиціенты были Числа цѣлыя, и чгпобьі
первый члеръ х'' не имѣлъ другаго кэеффи-
ціенша, кромѣ единицы. И такъ всегда, когда
нѣкоторые члены содержатъ Дроби, должно’
Начать уничтоженіемъ сихъ дробей, поставляя
вмѣсто х количество у, раздѣленное на число
содержащее всѣхъ знаменателей дробныхъ
• «
2
будешь
коеффиціенпювъ. На примѣръ если
уравненіе
то, поелику въ ономъ заключаются дроби
имѣющія знаменателей 2 и 3 и степени сихі
чиселъ, положимъ ас
' ь
читъ'сей видъ:
и уравненіе полу-
'у3 । V* -у * л
6*________________________6* + 6* *6 + ‘8
уравненіе, которое умножено будучи на 64,
обращается въ
X* — Зу3 -ф ’зу* — ібэу 4- 72 = о,
такъ что еслибы теперь желали разсмотрѣть.
имѣетъ ли сіе
уравненіе извлекомьіс корни,
то
надлежало бы вмѣсто у ставить поперемѣнно
дѣлителей числа дабы узнать, находятся
ли между ими такіе, кои обращаютъ фор-
мулу въ. о.
§ 4 о.
Но поелику корни не всегда бываютъ по-
ложительные , іяо съ каждымъ дѣлителемъ
надлежитъ дѣлать два испытанія, одно, по-
лагая сего дѣлителя положительнымъ , а
другое, отрицательнымъ. Однако есть два
вида уравненій, въ коихъ сіе двойное испытаніе
не нужао. Ибо когда всѣ члены имѣютъ
277
зИакъ-І-, торзвѣстио, что всѣ корни уравне-
нія отрицательные, и что напротивъ того
оное имѣетъ всѣ корни положительные, когда
знаки членовъ перемѣняются. Во всѣхъ другихъ
случаяхъ надлежитъ испытать, каждаго дѣли-
теля съ тѣмъ и другимъ знаковъ, и въ каждомъ
уравненіи столько будешь корней положитель-
на хь, с іолько перемѣнъ въ знакахъ, и столько
корней отрицательныхъ, сколько послѣдованій
того же знака.
§ 42>«
Положимъ, что дано уравненіе
X' 2.Г1 — 7Х2 — 8 > 4- «2=0,
въ которомъ двѣ перемѣны знаковъ и два
послѣдованія одного знака; откуда мы заклю-
чаемъ , что сіе уравненіе имѣетъ два корня
положительныхъ и столькоже отрицатель-
ныхъ, к и всѣ должны быть дѣлители по-
слѣдняго члена 12. Но сіи дѣлители суть
і , 2, 3, 4, 6, іа, изъ которыхъ первый: х
вопе^выхъ удовлетворяетъ, такъ что одинъ
корень уже сысканъ : х = і. Такъ же найдется,
чпіо величина х — 2 удовлетворяетъ уравне-
нію. Тоже самое случается въ положеніи:
зг = — 2 и х = — 3. И такъ діы видимъ
здѣсь, сообразно съ даннымъ правиломъ, два
корня положительныхъ и столькоже отри-
цательныхъ , а именно:
2^8
I. Х~ і;
И- X — а;
III. х — — а;
IV. х ~ — 3.
' § 4^2.
Но когда всѣ корни неизнлекомые, тогда
для сысканія ихъ сіе правило служить не
можетъ. На каковый конецъ' изобрѣтены другіе
общіе способы. Но прежде нежели приступимъ
къ изъясненію оныхъ, не худо показать какъ
находить корни уравненій, въ коихъ коеффи-
ціеншы~ слѣдуютъ одинакимъ порядкомъ въ
передъ и обратно, какъ то случается въ
слѣдующемъ уравненіи :
х'х 4- тх' 4~ 4“ тх 4-1 = °>
или .въ семъ, которое болѣе общее:
х4 4“ тая* 4" паах1 4~ ггих'х 4~ а‘ — о.
§ 423.
Сіе послѣднее уравненіе представлено быть
можетъ произведеніемъ: ,
(хх4рах-^-аа.} X (хх 4“ ^аг 4- = о.
Ибо совершивъ умноженіе, найдется:
+ (р + я) «*' + (ря Ч-а) а'х* + (р + я )
а'х 4~ а4 =х о,
которое согласно будетъ съ предложеннымъ,
если положимъ
I. р 4“ Я — т
II. рр 4- а п.
э79
Цериое уравненіе даешъ: рр 4* ірд -\-дд — тт,
а второе даетъ: рд — п а, и ^рд—^п 8,
что, будучи вычтецб изъ другаго уравненія,
производитъ въ остаткѣ: рр — -ірд+дд—тпт
__4^4-8, откуда, извлекая корень, получимъ:
р—д = р'/й7Л—4^4-8, но р+9=т, посему:
т + V тт — + Ь , ~ л
Р =-------------- ( § <77 )
у —--~--п-а~-4 * * *--+-8- (§ 184).
Опредѣливъ р и 9, надлежитъ только сдѣлать:
хх 4~ рая + оа — °і
хх 4" ?аас 4“ аа — °>
и изъ сихъ двухъ уравненій второй степени
получаются слѣдующія величины:
_ — ра + аѴрр — 4
а
которыя суть четыре корня предложеннаго
уравненія.
4 Для поясненія сего положимъ, что требует-
ся разрѣшить слѣдующее уравненіе:
х’' — 4х3 — ^х' — 4х 4“1 — °-
Мы имѣемъ а = і, т = — 4 и Л = — 3; слѣ-
довательно |/тт — 4п4~8=6, и такъ р—і
и 9 = — 5. Поставивъ сіи количества, четыре
корня предложеннаго уравненія будутъ:
з8о
I. Х-=Л±!3.
а ,
П. х '
Ш. =4,7діЗ;
ту ____5 — Уаі
IV . X------- — 0,2087.
§ 4^
Вторый случай, гдѣ подобное рѣшеніе
имѣетъ мѣсто, различествуетъ отъ перваго
одними' только знаками. Мы разсмотримъ
уравненіе
х'* + тахъ + па’х* — тсёх + а4 — о,
въ которомъ вторый и четвертый членъ
имЬютъ разные знаки, и которое можетъ
быть представлена такъ:
(. хх рах — аа ) ( хх -} дах — аа ) = о.
ЗдВсь дѣйствіями подобными тѣмъ, которыя
изъяснены подробно выше въ § 42^, найдется:
т — 1/іпт——8
и корни:
з81
8 4і6-
Пусть дано уравненіе :
х4 — 6х3 4~ 24.Г Ц- і С — о,
которому ни одинъ дѣлитель послѣдняго
члена не удовлетворяетъ. Дабы къ сему
уравненію можно было приложишь послѣдній
способъ, то я его представлю такъ:
X4 -- 3.2х" -|р 3. 'Л'Х 4- 2‘ =с о,
и нахожу, что сіе уравненіе сходствуетъ съ
уравненіемъ предвидящаго §, полагая а == 2,
т ~ — 3 и п = о, такъ что будетъ р~ — і
и д — — 2 и четыре корня :
1. х - і 4- ^/5
II. х “ і — |/5
Ш. X = 2 4- (/8
IV. X = 2 — |/8.
8 427-
Дабы увѣриться , что сіи корни дѣйствй-
тельно принадлежатъ къ предложенному ура-
ненію, должно только составить изъ нихъ
четыре множителя :
I. X — г —1/5
и, х — 14“
III. х — 2 —1/8
IV*. х — 24- \/& /
и умножая ихъ сперва по два, получишь:
ІХІІ — XX—— 4і IIIХ^' — XX— 4'с—4
282
потомъ сіи два произведенія, помноженныя
между собою , дадутъ :
IX П X III >< IV — х' — бх* 4- 2$Х іб—о.
Сіе есть точно заданное уравненіе.
ГЛАВА XIV.
О рѣшеніи уравненіи четвертой степени
посредствомъ уравненій третьей сте-
пени.
’ § 428.
Поелику мы видѣли въ главѣ XI, какимъ
образомъ должно рѣшить какое бы то ни
было уравненіе третьей степени, то рѣшеніе
уравненій четвертой степени не имѣло бы
никакой трудности, еслибы ихъ можно было
приводить въ третью} но безъ помощи урав-
неній кубическихъ не возможно бы было рѣ-
шишь вообще уравненій четвертой степени.
Ибо мы знаемъ, что даже и тогда, когда
уже найденъ одинъ изъ корней, другія всегда
зависятъ отъ уравненія третьей степени.
Нѣкоторый Италія не цъ, по имени феррари,
уже нѣсколько вѣковъ тому назадъ изобрѣлъ
слѣдующій способъ, руководствующій къ при-
веденію рѣшенія уравненій четвертой степени
къ рѣшенію уравненій кубическихъ.
з83
§ 429-
Пусть дано слѣдующее общее уравненіе
четвертой степени:
а:4 ах* “Ь Ьх3 + сх 4~ & —
вр которомъ буквы а, Ъ, с,<1, могутъ означать
всѣ возможный числа,* пололожишель іыя и
отрицательныя. Положимъ, что сіе уравненіе
имѣетъ слѣдующій видъ:
( сх 4" ЙХ 4~ р)4 — (7х + ГУ == °>
и должно будешь опредѣлить буквы р, д, г9
такъ чтобы сіи два уравненія совершенно
были равны. Явно, что если расположимъ
новое уравненіе, то будетъ
х'1 + ах* + Са +3Р"“?’) л;’4‘ (аР — 2Яг)х
+ р3 —г* = о.
Первый членъ сего уравненія равенъ первому
члену заданнаго уравненія, а вторый второму;
потому, сдѣлавъ и прочіе члены равными
между собою , будетъ:
I. ~аа ар — ЯЧ = ^і
II. ар — 2цг — с;
111. рр — ГГ = (I,
И такъ имѣемъ три уравненія ,’ кои должны
дать величины /?, д, г. Мы во первыхъ будемъ
иркать первую р слѣдующимъ образомъ:
іе уравненіе даетъ ^дд ~ аа 8р — 4^
Зе уравненіе даетъ гг ~ рр — с!,
произведеніе сихъ двухъ уравненій есть:
^ддгг—Ьр"{аа——8ф—<1{аа — $)*
Но ?.е уравненіе даеіпъ здг — ар — с, чего
квадратъ есть
/\ддгг — аарр — заср 4“ сг.
II такъ мы имѣемъ двѣ величины для 479гг>
которыя сравненія будучи между собою, даютъ
сіе уравненіе:
&р 4"(аа—4*) Р*—8^Р— 7 (аа—^=.аарр
— 2аср 4" ссі или
8р5—^Ьрр-^зас— 87] р 476—аа^—сс~о,
уравненіе’ третьей степени, съ которымъ
поступая по правиламъ показаннымъ выше,
найдемъ величину р} выраженную данными
количествами л, 6, с, 7. Но сыскавъ величину
р, получимъ:
изъ іго уравненіи: д ~ \/ {аа ір — Ь,
изъ Зго . . . : г ~ рр — 7.
Такимъ образомъ величины р, д, г, опредѣлены.
Но поелику данное уравненіе приведенію было
въ видъ:
(>аг4"дяг'4"'0)’—((7,ТЧ_/’) =О? пю будетъ
(.ха?42сл4/4~ ‘,дг+^’)2> а извлекая корень
( хх 4- {ах 4- р ) ~ 4 ( дх 4- г ].
Взявъ знакъ 4- , получимъ :
XX — {д — {а ) х 4- Г — р, посему:
х — ~ ‘аО —
3
Взявъ знакъ — , будемъ имѣть
хх = — (у4“і°)х — (г4-рЬ посему :
285
і
___________ — (д+ — 4' ' + р )
сіи суть четыре корпя предложеннаго уравне-
нія. Объяснимъ сіе нѣсколькими примѣрами:
5 43°-
ПРИМѢРЪ I.
Пусть дано уравненіе : х'*—юх’ 35хх
— бох 24 — сыскать его корни:
Посредствомъ способа показаннаго выше
(§ 4’8', ие трудно усмотрѣть, что четыре
корпя сего уравненія суть х — і, х — 2, ас 3
и х — 4. Посмотримъ, чпю дастъ сіе новое
общее правило, одѣсь а — — іо, А — 35,
с =— 5о, (I —24, слѣдовательно уравненіе, по-
средствомъ котораго опредѣлишь должно ве-
личину р, будешь; Ьр~ — іАорр 8о8р
— і54о = о, или раздѣливъ на 4 :
эр* — 35 рр 202/? — 385 = о.
Дѣлители послѣдняго члена суть і, 5, -у, и,
и проч., изъ которыхъ вторый: 5 удовле-
творяетъ уравненію, такъ что /, = 5, посему
5 + 3 5 + і
у— о и г=і, и потому' X — ~~ и х — ~у~,
то есть : х = і, х — 2, х = 3, х = 4, какъ
было найдено, разсматривая дѣлителей по-
ехѣдняго члена.
с
з8б
§ 43і.
, примѣръ!!.
Пусть предложенное уравненій: х'*—ібх
— 12 = ол сыскать четыре его корня.
Здѣсь имѣемъ мы а = о, Ъ = о, с ~ — іб,
~ — 12. И такъ наше уравненіе третьей
степени будетъ 8р3 ф- дбр — з56 = о, или
Р 4" 12Р—Зз — о, гдѣ дѣлители послѣдняго
члена суть і, 2, 4> 8, іб, изъ которыхъ
вторый тотчасъ удовлетворяетъ уравненію^
такъ что р=я,д—2 и г—4, слѣдовательно:
И такъ четыре корня уравненія суть:
х ~ і 4* \/ 3; х = — і + \/ — 5
. х — і — 3^ х =. — і — — 5.
§ 43з.
Дабы рѣшеніе . нами предложенное сдѣлать
евге вразумительнѣе , то повторимъ все
дѣйствіе въ слѣдующемъ примѣрѣ: Пусть
дано уравненіе :
X1 — 6х3 12ХХ--- I 2Х 4~ 4 —
которое мы нредсшавимъ въ семъ видѣ:
( хх — Зх 4- р )' — ( дх 4- г )* = о;
гдѣ вторый членъ первой части коеффиціен-
пюмъ имѣетъ половину втораго коеффиціента
заданнаго уравненія , какъ выше сего ($ 4аг))-
Сіе уравненіе , будучи разложено, приметъ
видъ:
х4 —6х5 4- (2/74-9 — 99) хх (6Р + 29Г) х
4~ рр — гг — о,
который, сравненъ будучи съ предложеннымъ
уравненіемъ, даетъ намъ слѣдующія условія,
которымъ удовлетворить надлежитъ:
Ь + 9 — 99 = 12>
И. 6р 4-а9г = ,2і:
III. рр — ГГ — 4-
Первое даетъ: дд — ар — 3*
трепііе . . : гг~рр—4?
коихъ произведеніе есть : ддгг = 2р5 —* Зрр
— 8/2 4*“ І2« Второе же даетъ ддгг = 36
—36р 4. дрр. Сіи двѣ величины ддгР Приводятъ
къ слѣдующему уравненію третьей степени:
р~ — 6рр4*“ ’4р— 12 — °5 одинъ изъ корней
онаго есть р—,2, откуда слѣдуетъ, что
д ~ і и г = о. Разположивъ сіи величины въ
принятомъ нами видѣ, получимъ: (хл-Зг+а)1
— тт — о,- или тт — Зх 4- а — 4~ а?. 3 накъ—>
даетъ уравненіе XX — зх — 2, коего корни
суть х — і 4- I/ — і и х = і — \/ — !• а
знакъ 4" даешь уравненіе хх = $Х — 2, коего
корни сушь х — а 4“ V 2 и х 3 —а.
288
ГЛАВА XV.
О рѣшеніи уравненій по приближенію.
Б 433.
Когда корни уравненія не суть извлекомые,
піо, хотя бы могли они быть выражены
коренными знаками, или бы не могли быть вы-
ражены оными, какъ случается въ смѣшан-
ныхъ уравненіяхъ выше четвертой степени,
въ обоихъ случаяхъ должно довольствоваться
опредѣленіемъ корней по приближенію , то
есть такимъ способомъ, посредствомъ кото-
раго приближаемся болѣе и болѣе къ истинной
величинѣ, пока погрѣшность можно будетъ
почесть за нуль. Сіи способы различны , и
слѣдующій есть одинъ изъ самыхъ простѣй-
шихъ.
§ 434-
Положимъ, что посредствомъ испытанія
почти уже опредѣленъ корень х предложеннаго
уравненія. Пусть будетъ на пр. х"^> 4 и х< 5;
положи х = 4 Рі тогда мы увѣрены, что р
изображаетъ дробь , которая меньше единицы,
и изъ сего слѣдуетъ, что р*, р', р1, и пр.
будутъ дроби еще гораздо меньшія, въ раз-
С)жденіи единицы. Поелику дѣло настоитъ
токмо въ приближеніи , то можно выпустить
всѣ сіи степени изъ вычисленія. И такъ по-
ставь въ предложенномъ ѵраенсніи вмѣсто х
269
величину 4 "4" Ру отбрасывая всѣ степени опта
р, кромѣ первой ; симъ образомъ дробь р почти
опредѣлится , и корень х = 4 4“ Р будетъ уже
точнѣе извѣстенъ. Потомъ положи опять' х
равнымъ сему послѣднему корню, увеличенному
на не большую дробь р, и опредѣливъ р выше
сказаннымъ образомъ , дойдемъ до величины
еще вѣрнѣйшей. Симъ образомъ продолжать
должно до тѣхъ поръ , пока не приближимся
къ истинному корню столько , сколько надобно
будешь.
§ 435.
Дабы изъяснить способъ сей легкимъ при-
мѣромъ і то станемъ посредствомъ онаго
искать коренъ уравненія Хх == 20. Здѣсь
ѣидно, что X 4 и х -С 5; слѣдовательно >
положивъ х = 4 + Р, будёгпЬ хх = 16
-\-рр^ю. Но поелику рр есть дробь весьма
малая, то отбросимъ сей членъ, дабы имѣть
хх ~ і6-{- б/? = 20, оттуда сыщется р~\ и
Слѣдовательно х — Положимъ теперь
х — | Р-) явно, что р будетъ дробь еще
Менѣе нежели какая была прежде, и потому
уже съ большею основательностію можно
Отбросить ёя квадратъ. Посему будемъ имѣть
хх=8жІ 4_9/,==2О> откуда сыщется у ——
Потомъ х = Еслибы желали приближигпься
еЩе болѣе, то положивъ ймѣлибы
+ Что даетъ р———^^
а9о
. X =4,47^,^9^‘ Р зо> и обык-
новенный способъ приближаться къ корню
посредствомъ извлеченія (5 а“°) также даетъ
ж — 4>4'72і^5(,5: откуда видно, что погрѣш-
ность сего новаго приближенія уже безъ
сомнѣнія мепѣе нежели
Я 430. I
Предложенное теперь нами приведемъ въ
большую всеобщность, положивъ, что данное
уравненіе есть зсх = а, и что напередъ уже
извѣстно, что х болѣе п, а менѣе п-ф-і. Ежели
по сему мы положимъ х=га-|-р, такъ чтобъ
р была дробь, и чтобъ рр можно было
отбросить, какъ количество весьма малое, то
получимъ — а, посему р=——
+ л—пп пп+а ТТ
— . Г1О
ап-------ап
если п близко уже подходитъ къ истинной
величинѣ, то сія новая величина ——— еще
болѣе къ оной приближипіся. И такъ поставя
ее вмѣсто п, будетъ новая величина еще
ближайшая/ которую можно опять поставить,
дабы еще ближе къ ней подойти; сіе дѣйствіе
производить можно дотолѣ, доколѣ зяблаго
разсуднтся.
5 437-
Положимъ на пр., а = 2, такъ что лх=2, и
пусть требуется корень кіадраптый изъ а;
когда извѣстна его наличина довольно близ-
кая, и когда выразишь ее чрезъ ге, п'О
найдепіся еще ближайшая величина корня}
піі -4- а г.
выраженная чрезъ———. 11 такъ пусть:
I. п ~ і, будетъ х —
II. п = . х~^
ІІГи-Н, . . . х =
Сія послѣднняя величина даетъ въ десятич- •
ныхъ дробяхъ х = і,4і42і5 , которая съ
лищкомъ еше велика, но искомый корень
•іревосхотитъ менѣе нея ели какъ ча“
сіпями ( 9 23° )•
§ 433.
Такимъ же образомъ можно постукать, при
сысканіи корней кубическихъ, биквадратныхъ,
и проч. Пусть дано уравненіе х5=а, и должно
5
сыскать |/а. Полагая извѣстнымъ, что сей
корень почти =гп, положи х=п-^-р} и не -
Принимая р и р, будетъ хя—п5-|~3ппр = а,
посему р — и слѣдовательно х— —
і
[ такъ если п число весьма близко къ у/щ то
• -и а /-
еія величина—^— будетъ гораздо къ оному
ближе* Но для большей точности надлежитъ
вмѣсто п поставить сіто новую величину х,
и такъ далѣе.
39»
3 4*9- — .
4 Пусть на пр аг’ = з, я требуется сыскать
3 .'3 ’ 1 • т
|/2. Коіда п близко подходитъ къ истинному
числу , то формула ыразишъ сіе число
еім точнѣе. Такимъ образомъ, полагая
I. п^і, будетъ х “ *;
П. п — |, . . . ~ Ц’
1ЦП = ^ . . . х =
гдѣ погрѣшность при взятіи послѣдней вели-
чины безъ сомнѣнія будетъ менѣе —оаоц„.
8 44®
Сей способъ употребляется съ равнымъ
успѣхомъ для сысканія корней по приближенію
смѣшанныхъ } равненій, какой бы то ни было
степени. Пусть дано на пр. уравненіе третій
степени:
х’ -ф ахх Ьх -ф с = о.
Положимъ , что п величина довольно близка
къ одному изъ его корней , и что погрѣшность
есть избыточная. Ежели мы положимъ х—п—р,
то р будетъ дробь, коея степени можно
отбросишь, такъ что уравненіе обратится въ
и5 — ( Ъпп Ь ) р агт Ьп 4~ с ~
посредствомъ котораго найдется величина:
_____________ п*+ал’+ •,,+ с,
& 3»“+аспуА У
-п’+ апа —с
И Х = П------Р“і—і
293
Сія величина, которая уже точнѣе первой ,
поставлена будучи вмВстпо п въ выраженіе х»
даетъ еще точнѣйшую величину для сего
корня.
Приложимъ сей способѣ кі» нѣкоторымъ
случаямъ численныхъ Смѣшанныхъ уравненій
различныхъ степеней , дабы лучше показать
употребленіе и пользу онаго.
'' 5 441-Ѵ- °
примѣръ I.
Сыскать по приближенію одпнЬ пзЪ
корней уравненія третьей степени : >>
X' 2Х’ 2 Г — 30 — О.
Поелику въ семъ уррвненіи величина х — 3
нарочито удовлетворяетъ, то, положивъ
х - 3 — р и отбрасывая степени р, кои
превосходятъ первую, получимъ:
ас3 “ 27 — Ѵ'р
4~ 2Х’ ~ і8 — 12/7
4“ 2Ж ” 6 — 2р,
слѣдовательно;
. X* + 2Х’ 4“ 227 — 5о — 5 г -$ір,
откуда выдетъ р ~ и слѣдовательно
х = 3 — 2,9756.
Сыскавъ сію величину, посредствомъ дова-
римъ 170), УД''6но найдется
Xя — 8,8з42 и л3 ~ 26,3468.
И такъ будетъ;
294
х1 2Х 26,3468,
ах’ = 17,7086, Е,,«,ь , 1
, 2Х — 5,р5і2,
5о,ооб6,
величина, которая,, истинную не болѣе пре-
вышаете какъ на 7^5.
о* ' 442-
ПРИМѢРЪ II.
Сыскать по приближенію одннЬ лзЪ
корней уравненія четвертой степени.
х' — іх1 4 с3 — Зг — 9 = о.
Величина х = 2 весьма близка къ одному изъ
корней сего уравненія. И такъ положимъ
~ X — 2 +/?, И получимъ
х'* “ іб 4~ Ззр
•— 2Х3 — >6 “ 24р
4- 4х’ — 4- іб + івр
— Зг~— 6— Зр.
Соединяя сіи члены, произойдетъ уравненіе:
х4 — 2.x5 4- ^х* — Зх — 9 = 104-21/’,
которое показываетъ намъ, что р = —
посему
аг = а — ^ = 11 = 1,9624.
Опредѣливъ х, удобно сыщется
— і4,За97 2г5 ~ >4,8842
4х1 — >6,2472 Зх ~ 5,8672
29,7769 30,7414
и потому
— 2зр3 4“ 4х’ Здг — 9 = о,о355,
ад5
35 5
чгпо превосходитъ истинную величину на
Если пожелаемъ имѣть величину ближайшую,
іпо положимъ х=і,д524 — Р> и дѣйствуя по
прежнему, найдемъ
р ~ а х = І,д5о56, такъ что
X' — ах* 4- 4х* — Зх — 9 = —0,00002,
гдѣ, слѣдовательно, погрѣшность не болѣе
какъ на
8 443.
ПРИМѢРЪ III.
Сыскать по приближенію корень урав-
ненія пятой'степени.
а;5 4~ 3 г’ х — і = о.
Поелику сему уравненію почти удовле*-
отворяетъ величина .г — то положимъ
х = Р> и мы будемъ имѣть:
+ Зх’ = + І + ^,
• + ^ = + I +Р-
Соединивъ сіи члены, мы получимъ:
х5 4- Зх’ 4* х — » = іі + тІР = °»
и слѣдовательно р — и эс ~ =; о,5а63^
И такъ будетъ ,
х5 _ о,о 4оЗ,
Зх’ — 0,4374,
х = о,5збЗ,
и слѣдовательно:
я5 4" Зх5 4“ х —1 — °,оо4°>
296
вгпо превосходитъ истинную величину толь-
ко Па
§ 444-
примѣръ IV.
Сыскать по приближенію одинЪ пзЪ
Форней уравненія шестой степени.
х6 — Зх5 — 5 г — 63о = о.
Сему уравненію почти удовлетворяетъ величи-
на х = 3$ посему положимъ х=3 -рр, и будетъ
хс 7а9+ І458/л
і— Зх'~— 8і— 8ір
— 5х “— 15— 5р
—63 о — —63о,
рлѣдовательно
зре — Зх5 — 5х — 63о = о = 3-}- тЗузр;
рткуда выдетъ р=—и х =ЯН =?і9978»
гдѣ погрѣшность не бодѣе какъ на т^-.
§ 445.
Кромѣ сего способа опредѣлить по при-
ближенію корни уравненій, изобрѣтены еще
И другіе, но сей теперь нами предложенный
заслуживаетъ по нашей цѣли преимущество,
Потому что оный , какъ мы видѣли, прила-
гается съ успѣхомъ къ уравненіямъ нсякаго
рода, и что употребляемыя въ семъ способу
вычисленія не велики и це трудны.
КоксцЪ третьяго отдѣленія.
НАЧАЛЬНЫЯ ОСНОВАНІЯ
АЛГЕБРЫ.
ОТДѢЛЕНІЕ IV.
Объ отношеніяхъ, пропорціяхъ и про-
грессіяхъ ариѳметическихъ и геоме-
трическихъ,
ГЛАВА. I.
О6Ъ отношеніи ариѳметическомъ.
§ 446.
Отношеніемъ вообще называется выводъ
изъ сравненія двухъ величинъ или количествъ
одинакаго рода.
§ 44;-
Сравненіе двухъ неравныхъ количествъ того
же рода можетъ сдѣлано быть двоякимъ
образомъ: можно спрашивать чѢмЬ одно
болѣе другаго, и ліакі^е межно спрашивать
бо сколько кратЪ одно болѣе другаго: выводъ
изъ перваго вопроса называется отношеніемъ
ариѳметическимъ двухъ сравниваемыхъ ко«-
личесіпвъ* выводъ же изъ втораго вопроса
именуется ихъ отношеніемъ геометриче-
скимъ. Однакоже названія сіи, прилитыя по
произволу, не имѣютъ никакой связи съ
самою вепг’ю,
§ 448.
Поелику отношеніе ари&мегпическое озна-
чаетъ , чѣмъ одно количество болѣе другаго
піогоже рода, то явствуетъ, что таксвое
отношеніе не иное что есть, ракъ разность
□о о
сихъ двухъ количествъ. И такъ а — Ъ озна
чаетъ отношеніе ариѳметическое, имѣющееся
между числами а и и ежели мы означимъ
сіе отношеніе буквою с?, то явно, что будетъ
л — Ь — (1.
$ 44д<
Во всякомъ отношеніи, какъ ариѳметиче-
скомъ , такъ и геометрическомъ, первое изъ
двухъ сравниваемыхъ количествъ называется
предЪидущимЪ, а второе послѣдующимъ, и
при томъ оба вмѣстѣ мменуюпіся членами, от-
ношен я И такъ въ выраженіи а есть
членъ предъидущій,// послѣдующій и с? отноше-
ніе; и сіи три количества а, Ъ,Л, сопряжены
такимъ образомъ, чню по двумъ изъ нихъ всегда
можно опредѣлишь піреиііе. Ибо изъ правилъ г
положенныхъ въ началѣ предъидущаго ошдѣле-
ПІя (§ 286) намъ извѣстно, что
I- (1 — а —
П а —
Щ. Ь — а -г- (1,
§ 45о.
Сверхъ того должно замѣтить, что от-
ношеніе ариѳметическое не п ремѣняется,
ежели къ обо мъ его членамъ приложено или
изъ оныхъ вычтено будемъ тоже число;
потому что разность остается шаже. Такимъ
дбразом^ есдп а — Ь то будетъ также И
Зоі
(аЦ-с) —
(а — с) — (Ь — с ) — г/.
§ 45ь
Когда члены отношеній ариѳметическаго’
умножатся на одно число , то и отношеніе
или разность ихъ умножена будетъ на тоже
число. Ибо если а —6=</, то будетъ:
па — пЬ = пі/,
какъ то явствуетъ изъ сказаннаго въ третьемъ
отдѣленіи о уравненіяхъ первой степени.
ГЛАВА II.
О пропорціяхъ ариѳметическимъ.
§ 452.
Когда два отношенія ариѳметическія равны
Между собою, то сіе равенство называвшей
пропорціею ариѳметическою. Итакъ, когда
а — Ь — (I и р — д =.<1, т. е. когда разность
меж чу числами р и д есть таже, что и
между числами а и пю сіи четыре числа
а, 6, р д, составляютъ пропорцію ариѳме-
тическую, кошорая пишется такъ: а^Ь'.р^д,
или лучше: а — Ь = р — д, гдѣ количества
а, д называются крайними } а 6, р средни-
ми, членами.
' Зоя
§ 453.
Явно, что ежели четыре числа а, Ъ, р, д
находятся въ пропорціи ариѳметической, то
есть , когда а — Ь —р — д\ то будетъ:
а— р -Ь — д-
Ъ — а — д — Ру
откуда видно: і) что во всякой ариѳметиче-
ской пропорціи можно перемѣнять средніе
члены между собою; а) что можно также
переставить взаимно предъидущіе и послѣду-
ющіе , то есть, ставить вторый вмѣсто
перваго, наблюдая при томъ, чтобы третій
и четвертый члены равномѣрно были пере-
ставлены у 3) что сумма крайнихъ членовъ
равна с^ммѣ среднихъ.
Сіи три свойства , пропорцій ариѳметиче-
скихъ ясны; однако, здѣсь нужно было объ
нихъ упомянуть по причинѣ сходства со
свойствами пропорцій геометрическихъ, о
коихъ мы говорить будемъ въ послѣдствіи.
§ 454-
Обратно, когда четыре числа л, д,
таковы, что сумма втораго и третьяго
члена равна суммѣ перваго и четвертаго, то
есть когда а д ~Ъ то сіи количества
будутъ находиться въ пропорціи ариѳметиче-
ской; ибо оттуда слѣдуетъ, что а—Ь=р—д>
ЗоЗ
§ 455. %
Посредствомъ сего свойства можно также
удобно опредѣлить четвертой членъ д про-
порціи ариѳметической, коей даны три первые
а, Ь, р. Ибо , какъ а -}-д ~ Ъ -|- р, то слѣ-
дуетъ, что д~Ь-\-р—а; г.і, е. четвертый
членъ пропорціи ариѳметической равенъ суммѣ
вреднихъ безъ перваго члена.
§ 4561
Когда въ пропорціи ариѳметической средніе
члены равны, то есть, когда разность между
первымъ и вторымъ равна разности между
вторымъ и третьимъ членомъ , таковая
ариѳметическая пропорція называется не-
прерывною.
И такъ числа ід, 15, и находятся въ
непрерывной ариѳметической пропорціи, ибо:
ід — 15 = 15—іі. Сіе свойство трехъ чиселъ
ід, і5, и означается иногда такъ:
7 ід, і5, іі.
Вообще три количества а, 6, с, суть въ
непрерывной ариѳметической пропорціи, когда
а — Ь = Ь — с. »
§ 457-
Изъ того, что а—Ъ—Ъ—с, слѣдуетъ, что
с—26—а. И такъ, когда даны будутъ два члена
Зо4 X
ПтакоЗ непрерывной ариѳметичекой пропорцій,
то третій с найдется, когда вычтешь первый
л изъ удвоеннаго втораго.
ч,- і. . л , ік.і»
........- і
ГЛАВА III.
О прогрессілхЪ ариѳметическихъ.
§ 458.
Рядъ чиселъ, состоящій изъ какою либо чи-»
Сла членовъ, кои возрастаютъ или убываютъ
всегда тѣмъ же количествомъ, называется
прогрессіею ариѳметическою, потому что
каждый членъ къ своему послѣдующему всегда
имѣетъ тоже ариѳметическое отношеніе. Въ
первомъ случаѣ говорится, что прогрессій
ариѳметическая есть возрастающая, а во
второмъ убывающая.
И такъ натуральныя числа написанныя по
порядку, какъ: і, 3, 4, 5, 6, 7, 8, и проч.,
составляютъ прогрессію ариѳметическую воз-
растающую, Потому что онѣ всегда увели-
чиваются единицею; рядъ же чиселъ: 2'5, 22,
>9, 13, ю, 7, 4> і, есть прогрессія ариѳ-
метическая убывающая, потому что каждый
Пленъ превосходитъ Змя своего послѣдующаго.
ЗоЗ
§ 459-
Число или количество, которымъ члены
прогрессіи ариѳметической увеличиваются или
уменьшаются, именуется разностію.11 такъ,
если дань первый членъ съ разностію, то
можно продолжать прогрессію ариѳметическую
столь далеко, сколько кто пожелаетъ.
Пусть, на пр. первый членъ — 2, а разность
=3; произойдетъ слѣдующая прогрессія ариѳ-
метическая возрастающая: 2, 5, 8, и, і4, 17,
20, 2З, 26, и проЧ., гдѣ каждый членъ найдется,
когда приложишь разность къ предъидущему
члену. А когда мы остановимся на осьмомъ
членѣ 2З, и напишемъ члены въ обратномъ
порядкѣ, то получимъ сію прогрессію убы-
вающую :
23,-20, 17, і4, II, 8, 5, 2.
• § 460.
> / . '
Когда написать натуральныя числа: і, 2,3, 4,
и нроч. надъ членами таковой ариѳметической
прогрессіи: то можно узнать тотчасъ мѣсто,
въ которомъ какой ниесшь членъ вь прогрессіи
находится. Сіи числа, написанныя надъ членами,
можно назвать указателями, потому чгпо
онѣ показываютъ, какое мѣсто занимаетъ
всякой членъ прогрессіи. И такъ вышеписан-
ный примѣръ должно писать слѣдующимъ
образомъ :
20
Зоб
Указатели: г, з, 3, 4; 5,'6, 7, 8, и проч.
Прогрессія Ц з, 5, 8, 11,14, 17. 20, зЗ, и проч.,
гдѣ тотчасъ видно, что зЗ есть 8й членъ.
§ 46і.
Дабы привести сіе въ большую всеобщность,
положимъ первый членъ = а, а разность двухъ
сряду стоящихъ членовъпрогрессія ариѳ-
метическая продолжаться станетъ въ семъ
порядкѣ:
1 а 3 4 5 6
аі а 4- <?, а -ф 26?, а -фЗб7, а -ф 4*?, о. -ф5г7, и проч.
и сравнивая каждый коеффиціентъ разности
<1 съ указателемъ члена, увидимъ, что легко
можно выразить какой нибудь членъ про-
грессіи не зная всѣхъ предъидущихъ членовъ.
Ибо явно, что на пр. десятый членъ оной
прогрессіи будетъ а -ф сотой а -ф 996?; и
вообще какой нибугдь неопредѣленный членъ
п будетъ п~ф(п~"1)^*
§ 46а. *
И такъ , гдѣ бы въ прогрессіи не остано-
вились, надлежитъ разсматривать три вещи,
а именно: первый членъ, разность между
членами, и число членовъ} посредствомъ
опыхъ можно будетъ означить послѣдній
членъ. Пусть а первый членъ, д. разность
и п число членовъ: послѣдній членъ, который
мы назовемъ г, будетъ г == а -ф ( п — х )
• З07
(§ 461). ^зъ Се“ формулы удобно выводятся
три слѣдующія:
а~% — ( п •— і ) б/,
п — »'
х — а 4- Л
п~——.
8 463.
Изъ сихъ четырехъ формулъ легко мойпо
вывести четыре слѣдующія правила:
і) Когда данъ будетъ первый членъ ариѳ-
метической прогрессіи, разность двухъ чле-
новъ и число оныхъ ; то найдется послѣдній
членъ, приложивъ къ первому разность , умно-
женную на число членовъ безъ одного.
а) Когда дано число членовъ проірессіи
ариѳметической съ разностію двухъ членовъ, и
послѣдній членъ; то найдется первый, вычтя
изъ послѣдняго члена разность, умноженную
на ^исло членовъ безъ одного.
3) Когда данъ первый р послѣдній членъ
прогрессіи ариѳметической с\> числомъ чле-
новъ то найдется разность, вычтя изъ
послѣдняго члена первый, и раздѣливъ оста-
токъ на число членовъ безъ одного.
4} Когда данъ первый и послѣдній членъ
прогрессіи ариѳметической и разность двухъ
одинъ за другимъ слѣдующи ^ъ членовъ; то
найдется число членовъ, приложивъ къ раз-
ности перваго и послѣдняго членовъ, разность
ЗоЗ
одного члена съ послѣдующимъ и різдѣливъ
сумму на сю самую разность.
Сіи четыре правила заслу живаютъ быть
объяснены нѣсколькими примѣрами, что мы
и учинимъ въ слѣдующихъ параграфахъ.
$ 4е4*
ПРИМѢРЪ I.
Сыскать послѣдній члепЪ ариѳметиче-
ской прогрессіи , состоящей изЪ ста
членовЪ, полагая первый ч іенЪ 4 и раз-
ность одного члена сЪ слѣдующимъ 3.
Понеже здѣсь а = 4, — 3 и п = юо, то
будетъ г =: 4 + 99 • 3 = Зоі; слѣдовательно
сотой членъ сей возрастающей ариѳметиче-
ской прогрессіи :
4, 7, ю, іЗ, 16, ід, 2Р, 25, 28, и проч.,
будетъ Зоі.
§ 465.
примѣръ п.
Найти первый членЪ прогрессіи ариѳ-
метической , коея послѣдній члеііЬ есть
45, разность 4, ч число членовЪ и.
Поелику первый членъ найдется вычтя изъ
послѣдняго разность, умноженную на число
членовъ безъ одного, то сей первый членъ
будетъ 45 — ю. 4===5, и прогрессія:
і а 3 4 5 ® 7 ® 9 ,о 11
5, 9, іЗ, 17, зі, ‘і5, 29, 33, З7, 41, 45,
Э')9
§ 4^6.
ПРИМѢРЪ III.
Опредѣлитъ разнесть членовЪ прогрес
сіи ариѳметической, который первъо
членЪ 2, послѣдній 26, и число членовЪ д.
Здѣсь надлежитъ изъ послѣдняго члена 20
вычесть первый з, и остатокъ 24 раздѣлишь
на чисго чѵеновъ безъ одного, то есть,
на 8* частное 3 будешь искомая разность, и
произойдетъ цѣлая прогрессія:
і з 3 4 5 6 7®9
2, 5, 8, II, і4, 17, 20, зЗ, 26,
§ 467-
примѣрѣ IV.
Найти число членовЪ прогрессіи ариѳ-
метической. , кося первый членЪ есть 4,
послѣдній же юо, а разность двухЪ смѣж-
ныхЪ членовЪ із.
И такъ здѣсь а = 4, і=юо, г? = 12' пѳ-
сему п — ——у-=9> и Цѣлая прогрессія:
іа34^®7® у
4, іб, 28, 4°/ $аі 64> 76, 88, іоо.
§ 468.
Хотя сіи свойства не всѣ равно полезны,
однако заслу киваютъ вниманіе; и поалику
онѣ просто и удобно выражаются, то не худо
Зго
было на оныхъ остановишься, тѣмъ паче, что
сіи разсужденія откроютъ намъ путь къ дру-
гимъ важнѣйшимъ изслѣдованіямъ о сысканіи
суммъ прогрессій ариѳмепі-.чеі кихъ, что бу-
детъ предметомъ слѣдующей главы.
ГЛАВА IV.
О рысканіи суммы прогрессіи ариѳмети-
ческой.
§ 469.
Часщо нужно бываетъ находить сумму
прогрессіи ариѳметической. Она безъ труда
найдется , складывая между собою всѣ члены ;
во какъ сіе сложеніе было бы весьма про-
должительно , еслибы пр. грессія состояла изъ
многихъ членовъ; то изобрѣли правило, по
Которому сія сумма очень легко найдена
быть можетъ.
§ 47°'
Сіе правило основано на свойствѣ весьма
достойномъ примѣчанія, которое имѣетъ мѣ-
сто во всѣхъ прогрессіяхъ ариѳметическихъ, а
именно: что сумма двухЪ членовЪ, изЪ
которыхЪ одннЪ на столько отстонтЪ
отЪ перваго, сколько другой опіЪ послѣд-
няго члена, всегда есть тоже- Щ пр- 2Ъ
сей прогрессій:
Зи
\
а, 5, 8, 11, і4» 23,
взявъ румму перваго и послѣдняго члена,
втораго и предпослѣдняго, третьяго ощъ
перваго и третьяго отъ послѣдняго , Я
про*., имѣемъ:
а аЗ — з5.
5 + 20 “ 25.
8 17 ~ з5.
11 14 —
§ 47'**
Весьма не трудно понять причину сего
свойства и показать его всеобщность. Ибо,
когда положимъ первый членъ = а, послѣдней
= х и разность =<7, то сумма перваго и
послѣдняго члена будетъ а 4“ г« Потомъ,
понеже вторый членъ есть а 4“^> а предпо-
слѣдній г—(1, сумма ихъ также будетъ д4"’*
Такъ же, поелику третій членъ отъ перваго
еспщ а4-'"7, а третій отъ послѣдняго г—2*7,
сумма ихъ будетъ а-{-г. Тоже самое докажете»
и во всѣхъ прочихъ. Сіе свойство еще удобнѣе
понять можно, написавъ члены, которые
должно складывать, одинъ подъ другимъ, то
есть, написавъ два раза туже прогрессію,
первый разъ начавъ съ перваго, а потомъ
ръ послѣдняго члена, какъ ниже сего;
д, а 4" <7, а 4“ 2</, а 4* Зі7, а 4- 4^> ... г
?}л—<7, г — зсі, г — 3«7,х—4$ ... а,
гдѣ ясно видно , чшо сумма двухъ соошвѣт-
сгпвующихъ члеіЛвъ вездѣ глаже, а именно; а~І~2.
§ 472-
Теперь, дабы достигнуть до опредѣленія
суммы общей ариѳметической прогрессіи,
которую мы предъ симъ лишь разсматривали,
положимъ число членовъ оной — п' назвавши
сію сумму буквою х} будемъ имѣть двоякимъ
образомъ:
а = а+(а4-</) + (а4-эг7)-На + ЗЛ)4- . . г,
5 — с 4" (/ —4- (з — 26?) 4- (а — Зг?)4~ • • «,
и если возмемъ сумму сихъ двухъ прогрессій,
складывая соотвѣтствующія члены, то по-
лучимъ ;
2<г=(«+сЖ»+=ЖН-*Ж*+=). • • +(«+4
Но поегику число членовъ какъ въ возра-
стающей , такъ и въ убывающей прогрес-
сіи =п, то явно, что 2$ ~ п [а4'2)и
л ~ - и ( а 4- г )•
§ 473.
Сіе рѣшеніе даетъ легкое правило для
сысканія суммы какой нибудь ариѳметической
прогрессіи, а именно: умножЪ сумму перваго
и послѣдняго члена половиною числа
членовЪ , произведеніе покажепіЬ сумму
всей прогрессіи.
Мы объяснимъ сіе правило нѣсколькими
примѣрами, относящимися къ сему предмету,
и коихъ рѣшеніе требуетъ чтобы найти
суммы прогрессій ариѳметическихъ.
8 4?4-
ВОПРОСЪ I.
Сыскать сумму всѢхЪ натуральныхъ
чиселЬ отЪ і до юо.
Здѣсь требуется взять сумму прогрессіи
ариѳметической, коея первый членъ есть і,
послѣдній юо и число членовъ также юо;
слѣдовательно искомая сумма по предъидущему
правилу будетъ ~ X ( 1 4" 100 ) = Ьо.юі
= 5о§о.
§ 4?5.
вопросъ П.
Нѣкто покупаетъ лошадь, сЪ такимЪ
договоромъ, чтобы за первый подковный
гвоздь заплатить ему 5 коп., за другой
8, за третій и, и такЪ далѣе, всегда за
каждый слѣдующій гвоздь Змя копѣйками
болѣе. Лошадь имѢетЪ За подковныя гвоз-
дяі. Вопрошается г сколько она стоила ?
Здѣсь надобно сыскать сумму прогрессіи
ариѳметической, кышорый первый членъ есть
5, разность 3, число членовъ За: чего ради,
сыскавъ по первому изъ четырехъ правилъ,
( § 462 ), послѣдній членъ, который посему
будетъ 5 4- 3 (За — і) = 98, пайдемъ искомую
сумму -/ (54-98) =1648. И такъ лошадь
стоила іб рублей ,48 копѣекъ.
§ 4;б.
ВОПРОСЪ ПІ.
Работники ро]отЪ колодезь, и какЬ ра-
бота становится труднѣе, чѢмЪ глубже
они роютЪ, то по договору получаютЪ
они іо коч. за первый. футЪ, Зо кои. за
вторый, 5о за третій, и такЪ далѣе, за
каждый слѣдующій футЪ всегда 2010 ко-
пѣйкамп болѣе. Колодезь глубиною вЪ 21
футЪ. Сколько хозяинЪ долженЪ запла-
титъ работнцкамЪ ?
Здѣсь первый членъ прогрессіи, коея тре-
буется сумма, есть ю, разность 20 и число
^леновъ 2Ц откуда найдется послѣдній членъ
= ю4-2°(2і — і ) — 4ю. И такъ , сумма
юроіреесіи будетъ ~ ( іо 4- 4<о ) = 44ІО> и
потому работники получатъ 44 рубли, іо
$опѣекъ.
§ 477-
вопросъ IV.
Часы, которые ежедневно отстаютъ
на 5 секундЪ, по прошествіи мѣсяца (вЪ
Зг день) отстали всего на 5і минуту, 4°
секундЪ. Вопрошается сколько они отста-
ли вЪ первый день ?
Зі5
Положимъ, что часы отстали въ первый
день на х секундъ; поелику разность одного
дня сь другимъ есть 5 секундъ, и число
дней Зі, первый членъ прогрессіи будетъ х, а
послѣдній х 4* 5 (Зі — і ) == х 4~ «5о. Слѣдо-
вательно сумма ея = ^- (аг-{-(.г-|-і5о))
— Н ( 2Х 4- «5о ), что должно быть равно
5і', 4°’'. И такъ, получится уравненіе: Зі
л?4--і325 =3юо'’, изъ коего выдешъ ж=—р = г5.
Изъ чего слѣдуетъ, что часы въ первый
день отстали на а5 секундъ.
§ 478-
вопросъ V.
Рота ГренадерЪ взяла приступомъ не-
пріятельской замэкЪ. Капитана обѢщалЪ
первому , который взойдетЪ п ' стѣну ,
5о руб-, слѣдующему нѣсколько менѣе,
столъкнмЪ же менѣе третьему и пшкЪ
далѣе и прочимЪ. Заплативъ десяти че-
ловѣкомъ, нашлось, что оцЪ роздалЪ Ззо
рублей. Сколъ велика была разность ме-
жду награжденіями?
Въ семъ вопросѣ данъ послѣдній членъ
ариѳметической прогрессіи съ числомъ членовъ.
И такъ прежде всего надлежитъ сыскать
первый членъ. Положимъ разность между двумя
членами / или искомое количество — х; но
второму изъ четырехъ ппавилъ, ( § ) і
пёрвый членъ будетъ: 5о —дх. Посему сумма
прогрессіи найдется : [ ( 5о — дх) 5о ] X
которая должна быть равна З20. Посему
будетъ уравненіе, 5 ( юо — срс ) = З20, изъ
котораго сыщется х = 4- такъ каждый
изъ оныхъ десяти человѣкъ получилъ 4 руб.
болѣе нежели непосредственно за нимъ
слѣдующій.
§ 4?9-
ВОПРОСЪ VI.
НІкто отправился вЪ путъ пѢіикомЪ,
вЪ первый часЪ . нереходптЪ 4°°о шаговЪ ,
но утомляясь мало по малу, во вторый
часЪ переходитъ только 38оо шаговЪ , к
вЪ каждый слѣдующій часЪ всегда зоми
шагами менѣе. ПрншедЬ куда надлежало,
увидѢлЬ помощію Одіометуа , что онЪ
сдѢлалЪ 40000 шаговЪ. Сколько часовЪ былЪ
онЪ вЪ дорогѣ ?
Пусть х число часовъ, и поелику’ надобно
сыскать сумму прогрессіи ариѳметической,
кося послѣдій членъ есть 4о°о и разность
зоо, то надлежитъ сыскать первый членъ ,
который будетъ 4000 — 200 (х—ь); слѣдова-
тельно сумма проірессіи: [(4°оо — 200 (х—і)}
-4-40ОО]Х г> что должно быть равно 4оо°о'
Посему уравненіе, изъ котораго надлежитъ
сыскать неизвѣстное х, будетъ:
3<7
[8ооо — 200 [ ГС — I ) ]. * = 40000; или
4ол?---------XX -}- X — 4«О
XX — ^ІХ — 4°°
зс = ѵ І — 400
4, + ѵ8. с
X =І-—----— ІО.
9
Откуда явствуетъ, что онъ шелъ іб часовъ.
Хотя здѣсь находится двѣ величины: х = д5
и х = іб, но явно, что 'первая не удовле-
творяетъ вопросу , потому что, если х = з5,
первый члёнъ прогрессіи: 4000— 2оо(х—і ),
сдѣлается отрицательнымъ, что противно
свойству вопроса.
§ 48о.
вопросѣ VII.
Сыскать сумму 8 прогрессіи ариѳмети-
ческой, коея первый членЪ есть а, разность
с! и число членовЪ п.
Поелику здѣсь первый членъ есть а, то
послѣдній будетъ а Ц- (/г — і ) <1, по сему .
сумма перваго и послѣдняго за ( п — і ) (і,
которая, умножена будучи на половину числа
членовъ: "я, даешь искомую сумму з—па
Ч~ -- Откуда удобно вывести слѣду-
ющія выраженія:
3x8
Л ( Л — 1 )»
„---г?~а° I у/ ( “ — > 3 I а*
3-' — ’ 4^7 “Г <1 •
Сіи выраженія сушь общія и удобно могутъ
быть приложены ко всякой ариѳметической
лроірессіи, помощію чего всѣ подобныя предъ-
идущимъ вопросы удобно рѣшиться могутъ.
ГЛАВА V,
ОбЪ отношеніи геометрическомъ.
5 48і.
Мы уже сказали выше въ § 447» что от~
ношеніе геометрическое между двумя числами,
заключаетъ въ себѣ отвѣтъ на вопросъ, во
сколько кратъ одно изъ сихъ чиселъ болѣе
другаго ? — сей отвѣтъ найдется, раздѣливъ
одно число на другое, и частное, отъ сего
дѣленія произходящее, называется знамена-
телемъ отношенія сихъ двухъ чиселъ.
§ 482.
И такъ здѣсь должно разсматривать три
вещи: і) первое изъ данныхъ чиселъ, называ-
ющееся предЪидуіцимЪ, (§ 449)» 2) второе,
называющееся послѣдуюіиимЪ; 3) знамена-
теля отношенія дв^хъ чиселъ, который есть
Зі9
частное , произшедшее отъ раздѣленія предъ-
идущаго на послѣдующее ($ 4бі). На пр. если
требуется изобразишь отношеніе чиселъ іЗ
и іа, то і8 есть предъидущее, 12 послѣду-
ющее и частное р-— есть знаменатель
отношенія і8 къ 125 откуда видно, что
предъидущее содержитъ послѣдующее і' раза.
§ 483.
Для означенія отношенія геометрическаго
употребляются двѣ точйи, поставленныя
одна надъ другою между предъидущимъ и
послѣдующимъ членомъ. Такимъ образомъ а'.Ъ
означаетъ геометрическое отношеніе сихъ
двухъ чиселъ, или знаменателя отношенія
а къ Ь. Мы уже замѣтили выше, въ § 35, что
сей знакъ употребляется для означенія дѣле-
нія, и по сей то причинѣ онъ и здѣсь
употребляется, потому что для познанія
сего отношенія, надлежитъ раздѣлишь а на Ь.
Знаменатель отношенія, выраженный симъ
знакомъ, произносится, говоря просто: а къ Ь.
5 484.
Выраженіе отношенія или знаменателя сего
отношенія изображается дробью, коея чи-
слитель есть предъидущее, а знаменатель
послѣдующее. Изъ сего видно, что отношенія
разнятся между собою тогда только, когда
знаменатели ихъ на одинаки, и что столько
ЗіО
<*
же находится различнымъ геометрическихъ
отношеній, сколько можно представишь въ
умѣ различныхъ знаменателей.
Когда знаменатель двухъ чиселъ есть г,
какъ то случается въ отношеніяхъ: 3:3,
4:4» а: а» таковое отношеніе называется
отношеніемъ равенства.
Когда знаменатель есть а, 3, 4, и проч.,
какъ видно изъ отношеній: 6:3, 12:4, 20:5,
таковыя называются: первое отношеніемъ
двойнымъ 5 второе отношеніемъ тройнымЪ;
третіе отношеніемъ четвернымЪ ; и такъ
далѣе.
Когда знаменатель отношенія есть і, и
проч., какъ то въ отношеніяхъ 5 : ю, 7:21,
и проч., тогда первый родъ называется
отношеніемъ половиннымъ^ вторый трет-
нымЪ і и такъ далѣе.
§ 485-
Пусть будетъ а предъидущее, Ъ послѣду-
ющее и (1 знаменатель, и намъ уже извѣстно:
что по даннымъ а и Ъ найдется <1 — (48э):
что по данному послѣдующему Ь и. знамена-
телю <7 сыщется предъидущее а—Ьс!? и что
наконецъ, когда дано предъидѵщее а съ зна-
менателемъ опредѣлится пос.уЙДу ющее
Ъ — .
а
Зл
8 486.
Всякое отношеніе а:Ь не перемѣнится, если
предьидущіе и послѣдующіе члены умножатся
или раздѣлятся на одно число, потому что
знаменатель отношенія останется шоіпъ же.
Пусть сі знаменатель отношенія а'.Ь будетъ
іі — і. Но знаменатель отношенія па’.пЬ также
р
есть ( § 55 ) и знаменатель от-
ношенія ~ равномѣрно есть (§ 79).
§ 487.
Изъ сего усматриваемъ: г) что отношеніе
двухъ большихъ чиселъ можетъ иногда пре-
вращено быть въ отношеніе ясное и простое ,
а именно: когда предъидущее и послѣдующее
можно раздѣлить на одно число, что назы-
вается приведеніемъ отношенія въ меньшіе
члены; а) что отношеніе двухъ дробей можетъ
быпіь обращено въ отношеніе цѣлыхъ чиселъ,
потому что должно только умножить предъ-
идущее и послѣдующее на произведеніе
знаменателей. Такимъ образомъ отношеніе
1 10666:7044 обращается въ 3:2, раздѣливъ
оба члена на 35за, а отношеніе : 676 : а5а въ
отношеніе іб : 7, раздѣливъ на 36.
Равномѣрно и отношеніе |:| обратится
въ 35:6, умноживъ предъидущій и послѣдующій
члены на З.7; а отношеніе обращено
будетъ въ 8:7, когда умножишь на 56.
Зі
8 488.
Посему, для выпаженія всякаго отношенія
яснѣйшимъ образомъ, надлежитъ привести
его по возможности въ самые меньшіе цѣлые
члены. Сіе приведеніе въ меншіе члены всего
удобнѣе дѣвается, когда раздѣлишь оба члена
отношенія на общаго ихъ большаго дѣлителя.
Хотя сп собъ искать общаго большаго дѣли-
теля двухъ чиселъ весьма извѣстенъ, потому
что оный показывается еще въ Ариѳметикѣ,
однако мы въ слѣдующей главѣ приложимъ
его особенно къ сокращенію отношеній въ
буквахъ, и его докажемъ.
Г X А В А VI.
О о рИведенін отношеній гсомепірпческпэсЪ
кЪ пхЪ менЫинмЪ чЛснамЪ.
§ 489.
Выше замѣчено было, ( § ЗД ) , что такія
есть числа, кои не могутъ быть представлены
Произведеніемъ двухъ или болѣе чиселъ, и
что оныя называются числами первыми для
отличія отъ другихъ, кои разрѣшиться могутъ
на множителей. Изъ сего явствуетъ, что
когда одинъ членъ геометрическаго отношенія
есть число первое то сею отношенія не
323
можно привесть въ простѣйшій Ьидъ. Такойы
с^іпь отношенія;
17 : іа '
: Зо
ІіЗ : а4ъ
гдѣ члены 17, 47, і*3, 241 суть числа первыя,
й слѣдовательно дѣлятся только на единицу.
5 49°-
Но кбгда Два члена отношенія суть чйсЛя
сложныя, § 34, и между множителями предъ-
идущаго находятся два или болѣе шакихъ^ кой
также суть и въ послѣдующемъ то отко-
шеніе можно раздѣлишь На сихъ общихъ
дѣлителей, § 4^6, и привести оное такимъ
образомъ въ иеньшіе члены, сыскавъ самый
большій общій дѣлитель двухъ членовъ, и
раздѣливъ потомъ того и другаго на сего
общаго дѣлителя.
$ 491-
Йотъ правило, какъ находить общаго
большаго дѣлйтеля двухъ количествъ, въ
числахъ и въ буквахъ: і ) раздѣли самое
большое на самое меньшое; а) раздѣли
предЪидущаго дѣлителя на остатокъ
перваго дѣленія; 3) раздѣли сего втораго
дѣлителя на оспіатокЪ втораго дѣленія,
и продолжай такимЪ образомЪ пока дой~
Аешъ до дѣленія бёіЪ остапіка. Послѣдній
дѣлитель будепіЪ общій дѣлитель деухЪ
данныхЪ количествъ.
§ 492-
Доказательство сего правила легко. Поло-
жимъ, что А есть большее, а В меньшее
изъ данныхъ чиселъ, и что В есть одинъ
изъ общихъ дѣлителей оныхъ; во первыхъ
удобно можно понять, что поелику А и В
дѣлятся на В, то также дѣлятся на В и
количества: А—В, А—аВ, А—ЗВ, и вообще
А — иВ ( * ).
И обратно если числа В и А — пВ дѣлятся
на В, то число А также дѣлится на В. Ибо
какъ иВ дѣлится на В, то если А — пВ не
дѣлилось бы на В, А, также не дѣлилось бы
на В.
Сверхъ того если В общій наибольшій
дѣлитель чиселъ В и А — пВ, то онъ же
будетъ общій наибольшій дѣлитель и чиселъ
А и В. Ибо, еслибы сіи количества А и В
, могли имѣть общаго дѣлителя, который бы
(*) Ибо р я у» сушь числа цѣлыя, посему и
А В А— В
р~Р, или ———, есть цѣлое число; по полагая
что п цѣлое число, будетъ и ~ цѣлое , слѣдова-
А иВ А —
іпельио - — — или — — есть цѣлое же.
325
былъ больше нежели Б, то сем самый дѣлитель
былъ бы также общій дѣлитель и чиселъ В и
А — пВ. Но мы положили , что В есть
общій наибольшій дѣлитель количествъ В и
А — пВ • посему надобно, чтобы О также
былъ общій наибольшій дѣлитель количествъ
А и В.
Теперь, если раздѣлимъ, по правилу, большее
число А на меньшее В и положимъ, что
частное есть и, то въ остаткѣ получимъ
А—пВ, которое всегда будетъ менѣе В. Ибо
л
частное - содержитъ токмо п единицъ,
откуда слѣдуетъ, что <1 п П“ 1 > посему
А пВ 4- В, и слѣдовательно А — пВ < В. Но
какъ сей остатокъ А — пВ, такъ и число
В, имѣютъ одного общаго наибольшаго дѣли-
теля съ данными числами А и В: то надобно
токмо раздѣлить предъидущаго дѣлителя В
па остатокъ А — пВ, и новый остатокъ съ
вторымъ дѣлителемъ А — пВ опять имѣть
будетъ тогоже общаго наибольшаго дѣлителя,
и такъ далѣе.
Продолжая такимъ образомъ дѣлить пока
дойдешь до дѣленія безъ остатка, означимъ
чрезъ Р послѣдній дѣлитель, содержащійся
точно нѣсколько разъ, на пр. т разъ, въ
своемъ дѣлимомъ$ посему дѣлимое сіе будетъ
тР. И такъ оба числа Р и тР дѣлятся ва
Заб
Р, и мы навѣрное знаемъ, что онѣ не имѣютъ
еще большаго общаго дѣлителя, потому что
никакое число дѣйствительно не можетъ
быть раздѣлено на число большее самаго
себя. Слѣдовательно сей послѣдній дѣлитель
Р есть общій наибольшій дЬлитель двухъ
данныхъ количествъ А и В.
Доказавъ такимъ образовъ общее правило,
какъ находить общаго наибольшаго дѣлителя
двухъ чиселъ, приложимъ его къ нѣкоторымъ
отношеніямъ, начиная съ численныхъ.
§ 493.
Ц Р И М Ѣ Р Ъ I.
, Привести. вЬ меньшіе члены отношеніе
Ф76: а5г.
Слѣдуя правилу, изъясненному выше, въ§ 4<Р,
должно поступать слѣдующимъ образомъ:
202
бчбіа
6041
и потому послѣдній дѣлитель 36 будетъ
общій наибольшій искомый дѣлитель ; а
раздѣливъ оба члена предложеннаго отношенія:
676: 2эа на- 36, приведемъ оное въ сей про-
стѣйшій видъ: 16:7.
$Г)
§ 4э4-
ПРИМѢРЪ 11.
Привести вЪ меньшіе у лены отношеніе
1864:2097.
Вотъ дѣйствіе, посредствомъ котораго
найдется общій наибольшій дѣлитель двухъ
членовъ сего отношенія:
1864І20Э7І1
|і8В4|
аЗЗ, 1864|8
|і«б4|
о
и такъ раздѣливъ два числа 1864 и 2097 иа
дѣлителя послѣдняго дѣленія аЗЗ, который
есть обіцій ихъ наибольшій дѣлитель, сіе
отношеніе обратится 8 : д.
л
§ 4э5-
ПРИМѢРЪ III.
I
Привести вЪ меньшіе члены отношеніе
6а5 : 5зд.
Сыщемъ общаго наибольшаго дѣхителя
сихъ двухъ чиселъ слѣдующимъ образомъ:
328
здѣсь послѣдній дѣлитель і, а сіе показываетъ,
что оба числа 6а5 и 5гд не имѣютъ другаго
общаго . дѣлителя, кромѣ единицы, и что
отношеніе 6^5:5эд не можетъ быть приведено
въ меньшіе члены.
§ 4дб.
Приступимъ къ отношеніямъ буквеннымъ,
для сокращеніи коихъ тоже правило наблю-
дается; а именно, надлежитъ раздѣлить два
члена отношенія на общаго ихъ наибольшаго
дѣлителя, который также найдется , рас-
положивъ два количества въ разсужденіи одной
и шойже буквы, и раздѣляя величину, имѣ-
ющую наибольшаго показателя на вторую, и
вторую на остатокъ до тѣхъ поръ, пока не
будетъ остатка.
§ 497-
Но другое правило, которое должно наблю-
дать при исканіи общаго наибольшаго дѣлителя
буквеннаго отношенія, есть слѣдующее: если
въ продолженіе поперемѣнныхъ дѣленій увидимъ,
что дѣлимое или дѣлитель имѣютъ множи-
теля, который не есть множитель другаго, то
въ одномъ изъ сихъ количествъ можно сего
множителя отбросить, иля также дополнить
имъ другое , смотря на свойство дѣленія,
которое еще остается сдѣлать.
8 498-
Причина сего правила очевидна, ибо общій
наибольшій дѣлитель двухъ количествъ не
перемѣняется, когда одно изъ двухъ умножит-
ся или раздѣлится на количество, которое
не есть дѣлитель другаго. На пр. АО и ВО
имѣютъ общаго дѣлителя О, и когда умножишь
АО на С, то произойдетъ АВС, которое не
имѣетъ съ ВВ другаго общаго дѣлителя кромѣ
В, то есть пюгоже, который у АВ съ ВВ.
Также когда раздѣлимъ АВ на Е, то полу-
чимъ которое не имѣетъ другаго общаго
дѣлителя съ ВВ кромѣ В.
Изъяснимъ сіе нѣкоторыми примѣрами бук-
венныхъ отношеній, кои могутъ быть при-
ведены въ меньшіе члены.
ЗЗо
§ 499-
П Р и мѣръ I.
1
Прйвести вЪ меньшіе члены отношеніе;
(а3 — аЬЬ ) : ( за’ —- заЬ’ — а’Ь 4“ Ь3 ).
Поелику въ семъ отношеніи члены уже
Приведены въ надлежащій порядокъ и поелику
за" больше а3, то надобно только раздѣлишь
вторый на первый такимъ образомъ:
за5 — ааЬ' — а’ Ь 63 а' — аЬ* -
за3 — заб’ з
Прежде нежели сдѣлаемъ второе дѣленіе
перваго дѣлителя а3 — аб’ па остатокъ —а/Ь
4~ замѣтимъ , что — а-Ь Л’ == — Ь
(а?—Ь2), гдѣ—Ь множитель остатка, который
не есть множители дѣлителя а5 — аЬ', и
котораго слѣдовательно надлежитъ выпу-
стить, слѣдуя правилу § 497* такъ второе
дѣленіе учинится такъ:
а3 — аЬ' Іа’ — Ь*
а* — аЬ* | а
о
сей послѣдній дѣлитель г а* — 6’, давъ въ
остаткѣ нуль, будетъ общій наибольшій
дѣлитель количествъ а3 — аЬЬ и за3 — заб*
— а?Ъ-\- Ь^} по раздѣленіи коихъ на сего общаго
дѣлителя предложенное отношеніе будетъ
имѣть сей простѣйшій видъ: а: ( за — Ь ),
331
5 5оо.
ПРИМѢРЪ II.
Привести в'Ь меньшіе члены отношеніе:
( 5а’ 4“ 4“ 36’ ) ! (за’ — аб — 36’ ).
Поелику здѣеь не можно раздѣлишь 5 на а, и
притомъ число а не есть общій множитель
всѣхъ членовъ втораго количества, то умножь
первое на а и сдѣлай дѣленіе слѣдующимъ
образомъ:
юа’ 4- 4- 66’ I аа’ — аЪ — 36*
юа’— 5аІ>—'3 56’1 5
яіаЬ 4- иЬ*
сей остатокъ иа/>-\- 2іЪ* ~ аіб (а4~6), какъ
имѣющій множителя аій, который не есть
множитель перваго дѣлителя или новаго
дѣлимаго: аа’—аЪ—долженъ быть выпу-
щенъ во второмъ дѣленіи, которое учинится
такъ;
аа’ — аЬ — '№ I а 4- 6
аа’ 4- габ I за
— Заб — 36’’
наконецъ сей вторый остатокъ имѣетъ мно-
жителя — 36, по выпущеніи коего послѣднее
дѣленіе будетъ:
а 4~ 6
а 4- Ь
О
а 4- 6
г
ЗЗз
сей послѣдній дѣлитель а 6 , даетъ въ
остаткѣ нуль, и потому будетъ общій
наибольшій дѣлитель дв^хъ количествъ:
5а’ 8а6 4“ 36’ и за’ — аЬ — 36’, и пред-
ложенное отношеніе приведется , посредст-
вомъ дѣленія, въ сей простѣйшій видъ:
( 5а 4~ 36 ): ( іа — 36 ).
5 5оі.
примѣръ ІИ.
Привести вЪ самые меньшіе члены от-
ношеніе: (за— 5а" 6 4" 8а6’— 564 : (за5—а’6
4- 2а6’ 4- 565 ).
Изъяснивъ подробно въ двухъ предъидущихъ
примѣрахъ приложеніе правилъ, данныхъ для
сего рода сокращеній , удобно понять можно
слѣдующія дѣйствіи безъ дальнѣйшаго ис-
толкованія :
’ ПЕРВОЕ ДѢЛЕНІЕ.
за’— а’б4~2а6’4~ 565 |за5— 5а’64-8а6’—565
за5 —5.7’6 4-8/6’— 565 I і
/)а 6 — Ьаб’ 4- іоб5
ВТОРОЕ ДѢЛЕНІЕ.
за5 — 5а’6 4- 8а6’ — 565 | за’ — Заб 4- 56’
за5 — За’6 4- 5а6’ I а
— за’6 4- Заб’ — 56*
333
ТРЕТІЕ ДѢЛЕНІЕ.
за*— Заб 56* । 2«2 — Заб -}“5ба
за* — 3 іЬ 4~ 56* | і
о
и такъ общій наибольшій дѣлитель двухъ
членовъ предложеннаго отношенія есть 2аа-3аб
+ 5^', и отношеніе приведенное въ меньшіе
члены, будетъ: (а—Ь ) : ( а 4- Ь)-
§ 5оз.
Удобно понять можно, что тотъ же
способъ, которой мы теперь изъяснили для
сокращенія буквеннаго геометрическаго от-
ношенія, равно употребленъ быть можетъ
для сокращенія буквенныхъ дробей въ меньшіе
ихъ члены. Сокращеніе дробей численныхъ
изъясняется во всѣхъ книгахъ ариѳметиче-
скихъ. 1
ГЛАВА ѴП.
О сложныхъ отношеніяхъ.
§ 5оЗ.
Сложныя отношенія произойдутъ, когда
члены двухъ или болѣе отношеній умножены
будутъ по порядку, предъидущія на предъ-
идущихъ, послѣдующія на послѣдующихъ; и
ззд
тогда говорится, что отношеніе между сими
Двумя произведеніями сложено изъ данныхъ
отношеній. Такимъ образомъ простыя от-
ношенія :
а : Ь
с : Л
е-./ '
даютъ сложное отношеніе:
асе : Ъсі/.
§ 5о4-
Поелику отношеніе остается всегда тако-
ноже , когда для сокращеніи онаго два - его
члена раздѣлятся на одно и тоже число,
§ 4^6, то можно иногда, таковыя сложныя
отношенія учинить гораздо простѣйшими,
когда между предъидущими находятся числа,
имѣющія общаго дѣлителя съ однимъ или
другимъ послѣдующимъ. Такимъ образомъ
отношеніе, сложенное изъ отношеній: 12:26,
28 : 33, 55 : 56, приводится къ отношенію :
з ; 5 слѣдующимъ образомъ:
гщ 4 • 5,
хх : е, ё,
а : 5.
§ ш5о5.
Таковое же сокращеніе имѣетъ иногда мѣсто,-
когда отношеніе выражено буквами ; и случай
335
достойнѣйшій примѣчанія есть тотъ, въ
которомъ каждый послѣдующій членъ равенъ
пррдъидущему слѣдующаго отношенія. Если,
па пр. данныя отношенія суть:
а : Ь
Ь : с
с : Л
Л : е,
то сложное отношеніе будетъ а: е.
§ 5о6.
Когда отношенія, кои совокупляются такимъ
образомъ, равны, то произойдутъ отношенія
квадратныя. На пр. сложное отношеніе изъ
двухъ равныхъ отношеній
, а : Ь
а : Ъ
которое есть аа‘ЬЪ, называется отношеніемъ
квадратнымЪ или удвоеннымъ. Отношеніе
составленное изъ трехъ равныхЪ, а’’ : Ь5,
называется отношеніемъ кубическимъ или
утроеннымЪ и такъ далѣе. По сей то причинѣ
говорится, что квадраты суть въ удвоенномъ,
а кубы въ утроенномъ отношеніи своихъ
кораей.
§ 5о7.
Когда ищется отношеніе Двухъ дробей : " : ?,
то всегда можно его выразить цѣлыми числами^
нужно только обѣ дроби привести къ одному
знаменателю Ь$1 (§ 4^) 41110 получить
336
отношеніе асі: Ъс.' И такъ если и Ьс
имѣютъ общихъ дѣлителей , то отношеніе
приведено быть можетъ въ меньшіе члены.
Такимъ образомъ отношеніе приведется
въ: 15.36: 24.^5, или въ 9:10.
§ 5о8.
Отношеніе между двумя дробями, коихъ
числители равны, какъ ~: ", представлено
быть можетъ, по предъидущему §, слѣду-
ющимъ образомъ: ас~. аЬу и сіе отношеніе,
раздѣливъ оба члена на общаго множителя а,
обратится въ с:Л, въ такое отношеніе, коего
члены суть знаменатели отношенія у ; - но
въ обратномъ порядкѣ' для сего говорится,
что двѣ дроби, имѣющія одинакаго числителя,
находятся въ обратномъ отношеніи знаме-
нателей. Но когда двѣ дроби имѣютъ равныхъ
ч, а Ъ
знаменателей, какъ на пр. - * то7 поелику
сіе отношеніе обращается въ: ас: Ьс или
а : ѣ, то говорится, что таковыя дроби на-
ходятся между собою въ прлмомЪ отношеніи
ихъ числителей. II вообще о какихъ бы то
ни было дробяхъ “ ; говорится, что онѣ
въ сложномъ отношеніи, составленномъ изъ
прямаго ихъ числителей и обратнаго зна-
менателей.
ЗЗ7
ГЛАВА ѴИІ.
О пропорціяхъ геометрпческнхЪ.
§ 5о9.
Когда знаменатели двухъ отношеній гео-
метрическихъ равны, то и отношенія равны
между собою, и сіе равенство отношеній
называется пропорціею геометрическою.
И такъ когда ~ = п и ~ ~ п ( § ; то
говорится , что четыре количества а, Ь, с} <?,
находятся въ пропорціи геометрической , и
пишется а : Ь — с : <?, или а : о :: с: (і, дабы
означишь, что отношеніе а'. Ь равно отноше-
нію с : о*. Но отношеніе сіе выражается про-
стое, говоря, что а относится къ Ъ какъ
с къ Л
§ 5ю.
Изъ сказаннаго нами слѣдуетъ, что когда
четыре количества, а, Ь, с, (і, находятся
въ пропорціи геометрической , то есть,
а:Ь " с'.гі, то поелику равенство отношеній
предполагаетъ равенство знаменателей, не-
отмѣнно будетъ - и обратно , когда
четыре количества, а, Ь, с, такого рода,
что то оныя неотмѣнно будутъ въ
пропорцій геометрической, ш. е. а’.Ъ—с‘.<1.
аз
338
§ 5п. * I
Изъ того, что к >гда а',Ъ~с'.А, слѣ-
дуетъ, что аі!~1>с\ откуда выводится
важное и общее свойство всѣхъ іеометриче-
скихъ пр'порцій, а именно: что произведеніе
крайнпхЪ членовЪ пропорціи равно про~
изведенію среднихъ ея членовЪ, свойство
сходное съ свойствомъ пропорцій ариѳмети-
ческихъ изъясненнымъ въ § Д53, статья 3.
$ 5іа.
Также и обратно, когда четыре числа,
а, Ь, с, А, таковы, что произведеніе дву хъ
а и <7 равно произведенію двухъ прочихъ Ъ и с;
то онѣ неотмѣнно составятъ пропорцію
геометрическую. Поелику аА ~ сЪ, то раздѣ-
ливъ токмо съ той и съ другой стороны
> > ові 1с а с
на Ъ(і, получится , или - = и слъ-
довапіельно а'.Ъ — с \ А ( § 5ю ).
§ 5іЗ.
Другое не менѣе важное свойство всякой
геометрической пропорціи а\Ъ~с‘.А, состоитъ
въ томъ, что члены ея могутъ быть пере-
ставлены различнымъ образомъ, безъ малѣй-
шаго нарушенія пропорціи. Если на пр. первая
взъ слѣдующихъ пропорцій имѣетъ мѣсто,
іпо и всѣ прочія мѣсто имѣть будутъ:
ЗЗд
і) а: Ь — с: <2
а) Ъ : а _ Л: с
3) а: с — Ъ : сі
4] с?: Ъ — с: а\
5) (1: с — Ь: а,
ибо во всякой изъ сихъ пропорцій будетъ
аі = Ьс, то есть, произведеніе крайнихъ
членовъ равно произведенію среднихъ, какъ
то быть должно по § 5іг.
§ М‘
Но сверхъ четырехъ новыхъ геометриче-’
скихъ пропорцій, которыя мы теперь вывела
изъ первоначальной пропорціи , а : Ь ~ с:</,
можно изъ нея же составить еще другія. На
примѣръ:
і) а-\~Ь : а ~ с(1: с
а) а-\~ Ь : Ь ~ с-\-й:Л
3) а — Ь‘.а~с—Л'.с
4) а — Ь : Ь ~с — (1: А
5) а-\~Ь а — і = с г?: с —- б/,
и еще многія, которыя можно опять соста-
вить изъ сихъ посредствомъ переставленія, о
коемъ говорили мы въ предъидущемъ §. Дока-
зательство сего ясно, ибо во всякой изъ
сихъ пропорцій произведеніе крайнихъ членовъ
равно произведенію среднихъ. На пр. въ первой
будетъ:
г*
34о
с(а 4-й ) — а (с-{- А)
или
ас Ъс — ас -{- ад?,
потому что Ьс — аД.
§ 5і5.
Всѣ пропорціи выведенныя нами изъ перво-
начальной :
а: Ь ~ с:
и множество другихъ, которыхъ мы не про-
извели, могутъ быть выражены симъ общимъ
образомъ:
та пЬ : ра дЪ — тс : рс д(1.
Ибо, такъ какъ произведеніе крайнихъ должно
быть равно произведенію среднихъ членовъ,
то надобно, чтобы было
(та-\-п&) (рс-[-дгі ) = ( радй ) (тс-^-пД),
которое равенство, по учиненіи дѣйстви-
тельнаго умноженія, очевидно обращается въ
сей простѣйшій видъ:
тдай прЪс = прасі: тдЬс, или въ сей :
( тд — пр ) асі ~ ( тд — пр]Ьс,
во понеже аД~Ъс, по причинѣ что
то сіи два количества раины между собою,
слѣдовательно равны между собою и про-
изведенія
(рс-\-дЛ') и
и такъ дѣйствительно
та пЬ '.ра дЪ = тс 4- псГ.рс-\- дсі.
34 *
§ 5.6.
Когда даны двѣ пропорціи геометрическія,
въ которыхъ первые и третьи члены оди-
наковы , то вторые и четвертые члены
будутъ также въ пропорціи геометрической.
То есть, когда
а : Ь — с : д,
а:/=с:^
то будетъ также: Ь : / = г?: &, ибо двѣ
данный пропорціи можно выразить слѣдующимъ
образомъ:
а:с=6: а } 5і3
изъ чего слѣдуетъ, что
посему : Ъ :/— а:
§ 5і7-
Когда въ двухъ пропорціяхъ геометриче-
скихъ , два средніе члена одинаковы, то
первые члены будутъ въ обратномъ отношеніи
(§ 5о8) четвертыхъ то есть, когда даны
будутъ двѣ слѣдующія пропорціи
а : Ь = с : а,
то произойдетъ также сія пропорція :
а'./~ %’.а. Причина сего очевидна: ибо, изъ
первой пропорціи будетъ а,а ~Ьс, а изъ
второй,— Ъс (§ 5іі), откуда видно, что
аа = /§; слѣдовательно (§ 5із) а‘ : а.
342
§ 5і8.
По даннымъ двумъ геометрическимъ про-
порціямъ, всегда можно сдѣлать одну новую,
перемноживъ между собою соотвѣтствующіе
члены. Такимъ образомъ изъ двухъ пропорцій
а : Ь — с :
е =
составить можно слѣдующую: ае : Ъ/—с& '.сік.
Ибо, такъ какъ первая даетъ ай = Ьс, а
вторая то явно, что асі.ек^Ьс
или ас.СІк — Ь/. с§’, посему, ( § 51а )
аехЪ] — с^ \ сік.
8 5і9.
Подобнымъ образомъ, и по той же причинѣ,
можно составить одну новую изъ трехъ,
четырехъ, пяти, или изъ всякаго числа
данныхъ геометрическихъ пропорцій , соста-
вивъ члены, новой пропорціи изъ четырехъ про-
изведеній соотвѣтствующихъ членовъ. Такимъ
образомъ изъ трехъ пропорцій:
а : Ь ~ с: д.
е:/-$-к
к : I ~т‘.п1
можно составить сію четвертую:
аек : Ъ/1 ~ с&т : §кп.
Сіе доказывается пщкже какъ и выше, (§ 5і8}.
343
8 520.
Наконецъ, если имѣется двѣ, три, четыре,
И проч. геометрическія пропорціи , коихъ
третьи и четвертые члены одинаковы:
а: с ~Ъ'.в
е\/ — Ь :<іг
ё-н — Ь: а,
цю получимъ:
(а 4-е : (с4-/4-Ь) = 6:г7;
ибо, взявъ произведеніе крайнихъ и среднихъ
членовъ, должно быть
ав 4- ае 4“ ~ 4“ 4"
Ііо изъ данныхъ пропорцій слѣдуетъ, что:
Ъс~а<1, Ыі — 5іх);
изъ сего видно, что
а<1 4- 4- а§ = Ъс 4” Ь/ 4е и слѣдователь-
но ( 5 5із).
+ : ( с+/4-Л) =ь : а.
И такъ, сколько бы ни было таковыхъ
пропорцій, въ которыхъ третьи и четвертые
члены одинаки, сумма первыхъ членовъ от-
носится къ суммѣ вторыхъ, какъ третій
членъ къ четвертому.
Положимъ, что имѣются слѣдующія про-
порціи :
344
а : Ь ~ А : В,
с(і — В : С,
" : Л ~ И ; Е.
будетъ по § 5ід,
аес§ : Ьфк ~ А : Е.
откуда получится Е ~ А —
выраженіе, въ которомъ заключается доказа-
тельство сложнаго тройнаго правила въ ариѳ-
метическихъ книгахъ предлагаемаго.
ГЛАВА IX.
О прогрессіяхъ геометрическихъ.
§ 522.
Прогрессіею ариѳметическою называется
рядъ чиселъ, изъ коихъ каждое одинакое
число разъ болѣе или менѣе своего предъ-
идущаго , или каждый членъ всегда къ по-
слѣдующему имѣетъ одинакое геометрическое
отношеніе. Въ первомъ случаѣ, гдѣ члены
становятся болѣе, прогрессія именуется
возрастающею; въ противномъ же случаѣ
она есть убывающая. Такъ числа:
і, а, 4, 8, іб, За, и проч.
345
составляютъ прогрессію геометрическую воз-
растающую, потому что каждый членъ въ
двое болѣе своего предъидущаго; а числа:
3» 9> а7> (І7’ я+і> 729 И ПрОЧ.
составляютъ прогрессію геометрическую у бы-,
вающую, поелику каждый членъ въ три раза
менѣе своего предъидущаго; гдѣ еще надле-
житъ замѣтить, что число означающее,
сколько разъ одинъ членъ болѣе иди менѣе
слѣдующаго, называется показателемъ или
знаменателемъ прогрессіи.
§ 523.
Когда данъ первый членъ и знаменатель, то
легко будетъ, составить прогрессію: умножь
только поперемѣнно каждый членъ на зна-
менателя. И такъ если первый членъ і, а
знаменатель 3, то будетъ слѣдующая про-
грессія : - х
Указатели.: і, з, 3, 4» 5, 6, у, и пр.
Прогрессія: і, 3, 9, 27, 8і, 24З, 729, и пр.
аъ которой числа написанныя на верьху
каждаго члена называются указателями, потому
что они показываютъ, къ которому мѣсту
каждый членъ принадлежитъ.
§ 5з4-
Если положится вообще первый членъ = а,
показатель или знаменатель = ^, и число
—- -------------------------------------
34в
членовъ = и, то произойдетъ слѣдующая гео-
метрическая прогрессія:
Указатели; і, з, 3, 4, 5 . . . п
Прогрессія: а, аЬ, а№, аЬ'^аЬ'* . . . аЬп—'.
Сія прогрессія /сть общая и содержитъ всѣ
прогрессіи геометрическія, какъ возрастающія,
такъ и убывающія; первыя, когда Ь > і; а
вторыя, когда Ь<^ і. I
§ 5з5.
И такъ здѣсь должно принимать въ раз-
сужденіе ;
і) Первый членъ, который мы означили
чрезъ а;
з) Знаменатель, который мы означили чрезъ Ь\
3 Число членовъ, которое мы означили бук-
вою
Л) Послѣдній членъ, который означимъ бук-
вою 2 и который мы нашли (§ 5з4)
х — аЬп-1.
Изъ сего послѣдняго выраженія удобно вы-
родятся три слѣдующія:
«=-А;(5 287)
»-~Й+/л; (§ 2э4]-
8 526.
Изъ сихъ четырехъ выраженій извлекаете^
четыре слѣдующія правила:
ЗД7
1) Когда данъ первый членъ прогрессіи
геометрической, съ знаменателемъ и числомъ
членовъ} то найдется послѣдній членъ, воз-
высивъ знаменателя прогрессіи въ степень,
коея показатель единицею менѣе числа членовъ,
и умноживъ сію степень на первый членъ.
2) Если данъ послѣдній членъ, знаменатель
и число членовъ} то найдется первый членъ,
раздѣлить послѣдній на знаменателя возвы-
шеннаго въ степень, который показатель
единицею менѣе числа чиеновъ.
3) Ежели даны первый и послѣдній члены
и число оныхъ} то знаменатель найдется,
когда раздѣлишь послѣдній членъ на первый, и
извлечешь изъ частнаго корень, коего показа-
тель единицею менѣе числа членовъ.
4) Когда даны первый и послѣдній члены, съ
знаменателемъ прогрессіи $ то найдется число
членовъ, приложивъ къ разности логариѳмовъ
перваго и послѣдняго членовъ , логариѳмъ
знаменателя, и раздѣливъ сію сумму на лога-
риѳмъ знаменателя.
§ 527-
Сіи правила, и формулы, служащія имъ
основаніемъ, заслуживаютъ быть объяспенаы
нѣкоторыми примѣрами, а наипаче два по-
слѣднія, по тому что подаютъ намъ случай
сдѣлать приложеніе .экспоненціальному и лога-
риѳмическому изчисленіямъ.
348
$ 5з8.
ПРИМѢРЪ I.
Сыскать тридцатой членѣ прогрессіи
геометрической, полагая первый членѣ — і,
а знаменатель = а.
Здѣсь а — і, 6 = 2 а п = Зо' слѣдовательно
послѣдній членъ будетъ г = з19. Но э5 = Зз;
2*° = Зз’ = юа4; 2’° = >оз42 = 1048576, чего
ради аі9 = 29.2* ° = 536,870,912.
§ 5ад.
ПРИМѢРЪ II.
Сыскать первый членѣ прогрессіи гео-
метрической, состоящей изЪ ібти членовЪ,
полагая послѣдній членѣ = 71744^35, а
знаменатель = 3.
Здѣсь 6 = 3, 2 = 71744535 и п = іб, слѣ-
довательно первый членъ будетъ:
а — 2 ____71744535
“ -- Ъп-і — з«» •
Но 3х = 27; З6 = 729; З9 = 33.36 — ідбЗЗ; по-
сему З15 = 39.36 = 14З48907 , слѣдовательно:
--7..?«*835 _ К
-- 14348907 -
$ 53о.
П Р И М Ѣ Р ъ III.
Сыскать знаменателя прогрессіи геоме-
трической, состоящей изЪ 8 членовЪ, по-
лагая первый членѣ—а послѣдній=^^.
349
Поелику въ семъ случаѣ а ~ п — ®
2, гпо найдется знаменатель прогрессіи:
- =у/ (§ 5а5 ). Вотъ изчисленіе
логариѳмическое:
I. 2187 = 3,3398488
/- 128 2,1072100
I. = 1,2326388
I. ?4Й = о,.76о9іЗ
= 6Ѵ —г — і,5ооо.
И такъ искомый знаменатель данной прогрессіи
есть Ь = а прогрессія :
4<Ч л 37 •” 243 7*9 я»87
г 9» V, Т» ~в~> Т5“»
§ 531.
примѣръ ГѴ.
Сыскать число членовЪ прогрессіи гео-
метрической, коея первый членЪ по—
слѣдній — -4г!2» « янаменатель =
Поелику Ь = | = і ,5оооооо, а = | = о,66666,
и 2 = і т0 найдется число членовъ
п~1'г~Іа+--. и такъ учинимъ слѣдующее
вычисленіе:
35о
/. 1968З ~ 4,29409 іЗ
/. 5іа — 2,7092700
/з — 1,6^48213
Іа ~ 9,8289087
1,7609126
ІЬ ~ о, 1760913
І2, — Іа-\-ІЬ~ 1,9370039.
Оттуда выходитъ искомое число членовъ
ГЛАВА X.
О сысканіи суммы прогрессіи геометри-
ческихъ.
§ 532.
Въ геометрическихъ прогрессіяхъ главнѣйшій
вопросъ состоитъ въ томъ, чтобъ сыскать
сумму всѣхъ ихъ членовъ. Правда, что сія
сумма безъ затрудненія найдется, ежели про-
грессія состоять будетъ изъ небольшаго числа
членовъ: простое сложеніе оную покажетъ. Но
' когда число членовъ велико, то сіе дѣйствіе
можетъ быть весьма трудно./На пр. ежели
дана слѣду ющая прогрессія :
і, 2, 4? 8, г 6, За, 64, 128, 256, 512,
35і
то удобно найдется, чгпо сумма ея есть
102З. Но когда членовъ будетъ гораздо болѣе,
на пр. сто, или даже неопредѣленное число
п то не трудно усмотрѣть, чгпо сей способъ
употребленъ быть не можетъ.
Дабы показать , какъ должно поступать въ
семъ случаѣ, положимъ что требуется найти
сумму выше сказанной прогрессіи, продолженной
до п членовъ. Означимъ сію сумму буквою 5,
такъ чтобы было:
5 — ( 4 2 4” 2’ Ч~ 2х “р 2' 4"* 2 5 4“.2Я—1,
и умножимъ каждый членъ сей прогрессіи на
знаменателя а, отъ чего получимъ:
25 ~ 2 4" 22 4” 2х 4“ 2' 4“ 25 4*.• *
Потомъ вычтемъ изъ сей второй прогрессіи
первую, тогда всѣ члены уничтожатся, вы-,
ключая перваго и послѣдняго, и останется:
5 — 2я — і.
§ 533.
Точно также найдется сумма слѣдующей
прогрессіи изъ п членовъ:
5 — і 4" 3 4" 4* 4* ............З"-1^
ибо , умноживъ оную на знаменателя 3,
получимъ:
3.» = з 4- з’ + зх ч- з4........зя,
изъ которой, если вычтемъ предъидущую, то
останется 25 = 3я — і, и слѣдовательно
л 3”- «
искомая сумма будетъ 5 —------•
35а
§ 534.
Положимъ теперь вообще первый членъ =
знаменатель = Ь, число членовъ = п, и
сумму = 5, такимъ образомъ будетъ сія
прогрессія:
з = а аЬ Ц- аЬ 4~ аЬ'..............аЬ''~'.
Ежели умножимъ ее на знаменателя 6, то
получимъ :
Ь$ = аЬ аЬ2 4- а& -|- а/>4..........аЬ” ,
я когда изъ сей послѣдней прогрессіи вычтемъ
предъидущую, то останется :
65 — з = (ѣ — і ) $ = аЬп — а,
аЪп—ѵ л _
откуда выходитъ искомая сумма Слѣ-
довательно для сысканія суммы какой нибудь
прогрессіи геометрической надлежитъ упо-
треблять сіе общее правило: умножь по-
слѣдній членЪ прогрессіи на знаменателя,
вычти чзЪ произведенія первый членѣ. н
раздѣли остатокъ на знаменателя, умен-
іиеннаго единицею.
§ 535/
Въ общей прогрессіи, которой мы означили
, сумму, предполагалось число членовъ окон-
чаемое = пу но когда знаменатель менѣе і, и
слѣдовательно члены прогрессіи идутъ всегда
убывая, то можно опредѣлить сумму и тако-
вой убывающей прогрессіи, продолжающейся
безконечно.
353
§ 536.
Мы уже видѣли тому примѣры іо второмъ
опцѣлен'іи, § зю, гдѣ показали что:
» + і + в" + Ъ + & + 67 4~ 4» И «Р- = 2
1 + I 4“ 9 + 57 4“ П 4“ тЬ 4- 4? ипр. =1
1 4“ 4“Тб 4" 64 4" 4* іы+ 4~ +о9б и ПР' —з*
Способъ здѣсь употребляемый даетъ нймь
тѣже рѣшенія. Ибо въ случаѣ первой:
если ее умножимъ на знаменателя -, то
получимъ:
і' = ;444-г4-й4-А4-к и ПР°Ч-
и вычтя сію прогрессію изъ предъидущей
будетъ = і, а потому .5 = 2, какъ мы
нашли въ § 2іо.
§ 537.
Положивъ также
и умноживъ сію прогрессію на знаменателя Зу
получимъ:
Р = 5+і + ^ + ^ + зЙ+ » ПР°Ч-
которая, будучи вычтена изъ первой, даетъ
= і, посему в = |, также какъ въ § зю.
§ 538.
Ежели мы такимъ же образомъ поступимъ
вообще съ прогрессіею имѣющею безконе.чно
число членовъ:
зЗ
354
. (іЬ . аі* . аЪ* . аЪ* «
« = й + -+-^+тг4 --+“ пр.,
тпо есть, если умножимъ ее на показатели
прогрессіи^ (въ которомъ полагается
то будетъ
-Л = $+-? + ^ + ^+ и ПрОЧ.,
и вычтя сію прогрессію изъ предъид^ щей,
. Ъ 4 “ __ сс
останется $ Г і )—посему $=----------ь ——ь*
' 1 —с
И такъ, дабы найти сумму какой ниб^Дь
безконечной убывающей геометрической про-
грессіи, надлежитъ упогпреоить сіе правило'
умножь первый членѣ прогрессіи знамена
телемЪ показателя, п раздѣли произведе-
ніе на тогоже знаменателя, уменьшеннаго
чнслнтелемЪ показателя.
§ 539.
Дабы болѣе подтвердить истину сего
правила, надлежитъ іпойѵо вего иниіпь сказан-
ное зъ 5й главѣ втораго отдѣленія , въ
разсужденіи разложенія дробей въ безконечные
ряды. Ибо если мы раздѣлимъ количество ас
-на с—Ь, по правиламъ даннымъ въ '§ аоб, и
§ 20у, то дойдемъ до самой той прогрессіи,
коея теперь нашли сумму.
355
$ 54°-
Дли приложенія сего общаго способа на-
ходишь суммы, положимъ а = ^, Ь ~ г,с— ю;
получимъ сгю безконечную проірессію:
5 — Го +тГз + ГГ'о + 7^0-4- 7“7 + И ПрОЧ.
коея сумма будетъ л = = какъ мы
сыскали выше ( § 84 приведши | въ деся-
тичную дробя.
§ Мх.
Такимъ же образомъ, какъ сдѣлано въ § 538,
опредѣлится сумма безконечной прогрессіи,
коея члены поперемѣнно имѣютъ знаки
и —• Пусть предложена прогрессія :
аЪ , ‘аЪл аЪ* , аЪ*
& = а------1—г------г- 4—- — й проЧ.
С I с,а с* * с* 1
Ерли оную умножишь на , то найдется:
Ъ аЪ оІ)л . оЪ^ аЪ*
с-л = Т-и проч-
и когда приложишь сію прогрессію къ предъ-
идущей , то получишь уравненіе:
5 =
откуда выходить искомая суммау
а ас
с
§ 542.
Пусть а ~ і, Ь = і, с = а, тогда наша
общая прогрессія приметъ сей видъ:
I 356
4 - 1 а 4“ 4 8 16 32 64 И проч.
и сумма ея будетъ « = точно тоже мы
нашли и другимъ образомъ въ § эіЗ.
§ 543.
Обратимся къ нашей общей окончаемой
прогрессіи, состоящей изъ п членовъ:
л = а 4“ аЬ 4" 4~ а& 4- .... + аЬп~х,
кося сумму нашли выше сего, въ § 534,
аЪ*—а ѵ
$=———* которая формула содержитъ четыре
количества: і) первый членъ прогрессіи, с;
а) послѣдній членъ, 2 = аЬп~'• 3) знамена-
теля, 4) СУ5ПІУ> 5- Ц когда три изъ сихъ
количествъ будутъ даны,, що найдется всегда
четвертое; ибо :
Т _____ Ьх —а =•
1. ~ -г—:
А—1 »
II. а ~ Ъъ — 5 ( Ъ — г ];
III. г —
о 7
IV. ь — —.
5—X
Помощію сихъ четырехъ формулъ всегда
можно будетъ разрѣшить всѣ вопросы от-
носящіеся къ прогрессіямъ геометрическимъ.
Мы предложимъ сему примѣры въ слѣдующей
главѣ, гдВ покажемъ приложеніе пропорціи и
прогрессій геометрическихъ къ изчисленію про-
рейтовъ нарастающихъ на проценты.
35у
ГЛАВА XI.
Приложеніе пропорцій и прогрессій гео-
метрическихъ кЬ из /исленіго процентовъ
на проценты и кЪ другимЪ сего рода
вопросамъ.
§ 544.
Каждому извѣстно, что прибылъ, полу-
чаема* съ капитала , выражается словомъ
проценты , что значитъ со ста, говоря
сколько ежегодно платится процентовъ съ
суммы юо рублей, и что простое тройное
правило показываетъ ежегодныя проценты
какого нибудь капитала Такимъ образомъ для
сысканія ежегодныхъ процентовъ капитала а
р}6., отданныхъ въ ростъ тіо р руб. со ста,
надлежитъ учинишь пропорцію:
. °р
юо .р — а : —.
Г ЮО 1
, .. _ ар
коея послѣдній членъ даетъ искомые про-»
центы, такъ что капиталъ л, увеличенной
на сво.і проценты, по прошествіи года будетъ
= 1ОСО + Р2 6лей>
1 ЮО ІОО х
§ 545.
II ежели бы отдать сей капиталъ въ такіе
же проценты, на другой годъ, то учинивъ
слѣд} ющую пропорці ю ;
а ( юо + ») , ар ( юо + Р )
юо. р — . , *
358
найдется, что по прошествіи втораго года
ор ( юо + р) ~
капиталъ еще увеличится на ~ р}6.,
и всего выдетъ
а ( іосі+р) । пр ( юо + р )
ЮО ЮО*
ісов( »оо + р) . «р(юо + р)
іоо 1 ІООа ?
что можетъ быть представлено такимъ
образомъ :
а ( іоо +р) ( юо + р) _« ( ТОО + р )*
ЮО“ 1О0* *
8 546.
что
Чтобъ сыскать, по сему же правилу, сколь-
кимъ сей новой капиталъ увеличится въ
концѣ третьяго года, надлежитъ сдѣлать
сію пропорцію:
ІОО : Р — <1О° + р)* . ярГюо4-р)*
г юо* * юо1 1
и прикладывая сіе новое приращеніе къ по-
слѣднему каниталу, будетъ
« ( юо + р )* । ар ( юо + р )*
іоо* юо1 *
удобно приведется въ
8 547-
трудно усмотрѣть, что тоже дѣйствіе
образомъ можетъ быть продолжено до
Не
симъ
такого числа лѣтъ, сколько заблагоразсудится,
и что сей капиталъ а рублей, отданной въ
процентъ по р руб. со ста, будетъ;
35д ,
гт • а (юо + р)
По прошествіи іго года..... .......,
По прошествіи лѣтъ.... — *Р)-.
1 ЩО*
ТТ • Э». * Л ( 100 + Р )’
По прошествіи эхъ лѣтъ.... ----------.
ТТ • л — - а ( ’ОО р
Но прошествіи 4 лЪпгь.... -----—•
ТТ - в ( ІОО + р )Г
По прошествіи п лѣтъ ....-------—;——
8 548.
И такъ сія послѣдняя общая формула
показываетъ, что сей капиталъ изъ суммы
а рублей, отданный въ ростъ, считая по
р руб. со ста и проценты на проценты, по
прошествіи п лѣтъ долженъ составишь
сумму а ( )" рублей. Помощію сего
общаго выраженія мы въ состояніи рѣшить
всѣ до сего предмета относящіеся вопросы.
Ибо не трудно усмотрѣть, что положивъ
_______ Л юо + р\п
. х ~а (-------- ) ,
Ч 10о у 7
будетъ II. а—
1х—Іа
III. п —/ +1.
* ІОО
Збо
Мы облегчимъ приложеніе сихъ формулъ нѣ-
сколькими примѣрами.
§ 549- '
ВОПРОСЪ I.
Крестный отецЬ вЪ''денъ крещенія своего
крестника положнлЪ вЪ баикЪ капиталѣ
юоо руб., по 5гпи руб. со ста, который
долженЬ получить крестникѣ по проше-
ствіи збгпи лѢпіЬ, считая проценты на
проценты. Сколь великѣ будетЪ тогда сей
капиталѣ ?
Положимъ искомый капиталъ =.г, и поелику
а = юоо рублей, р~ 5 и п=25, то капиталъ
юоо руб. по прошествіи а5 лѣтъ, будетъ
х=юоо(^Г (§ 548).
Возмемъ лргариѳмы , и поелику I. ()85
= 25/. .( § |55 ), получимъ: Ізс = I. юоо
4“ ттл? В°тъ самое исчисленіе ;
I. ю5~ 2,О2іі8дЗ
I. ІОО ~ 2,0000000
7. “ о,02іі8дЗ
Х^б
о ю5д46б
0042З786
з57. =0,6297326
I. юоо = 3,0000000
Іх = 3,6297326
х = 3386,4о.
361
отвѣтъ.
II такъ капиталъ юоо руб., по прошествіи
а5 лѣтъ, сдѣлается 3386 руб. 4о коп.
§ 55о.
вопросъ, П.
Нѣкто умерѣ, положивъ свое имѣніе вѣ
банкѣ, по 6 рублей со юо. Шестдесять
четыре года послѣ его смерти явился
внукѣ его, доказавшій право своего на-
слѣдства, и банкѣ заплатилъ ему 14З76З
рубля. Вопрошается какѣ великѣ былѣ
капиталѣ отданный вЪ бачкѣ ?
X
Мы видѣли ( § 548 ), что а , и
такъ положивъ х = 148768, р =.6 и и = 64,
14376З
будетъ а — посему Іа~1. —
64 4 выраженіе, которое начисляется
такъ:
I. іоб ~ 2,О253о5д
/. ІОО — 2,0000000
Л — ~ о,о253о5д
хб~4
1012236
і5і8354
641- 7^ — 1,6196776
I. 14З76З ~ 5,1576472
Іа ” 3,5380696
а ~ 3462.
36 2
отвѣтъ.
П такъ капиталъ положенный въ банкъ
6ы\Ъ 3^32 руб.
8 55і.
вопросъ Ш.
Нѣкоторому человѣку я отдалЬ заимо-
Сразно доо руб по бти процентовъ: онЪ
отправился вЪ Индію, и возвратясь за-
платилъмнѣ за капиталъ и проценты на
проценты сумму іаоД руб. 4о кѳп. Сколько
времени былЪ онЪ вЪ отсутстві и ?
Іх—Ій
Здѣсь искомое количество п = °о+р 548)-
Но какъ а — доо; х = 1204, {о} р ~ 6, то
будетъ
/. і2о4»4° — 9°°
П — “ / 12*
* юо
Вотъ самое изчисленіе:
I. І2О'|,4о ~ 3,0807707
I. дос. . . ~ Э,д54з425
I. 1204,40—I. доо ~ 0,1266282
=г о,о253о59 (§55о).
_»ж ____ 0,1265^82
И такъ п ~ —егт"
о,о2эбоэд
Но /.0,1266282 “9,1021873
• /. о,о253о5д “ 8,4оЗа2.8
І.п~ о,6д8д655
п — 4;9999‘
363
О Т 15 Ѣ Т Ъ.
Онъ былъ въ отсутствіи пять лѣтъ
§ 55а.
вопросъ IV*.
Нѣкто, имѣя нужду вЪ Зоооо руб. ча
два года, занимаетъ оную сумму вЪ баніѣ
и по прошествіи срока возвраіцаепіЪ зі
капиталѣ и проценты на проценты За44ь
руб. Спрашивается, сколько онЪ платплЬ
со ста?
Поелику здѣсь ищется количество р, и
р=7 1ОО^=^ (§ 548)= 100 Ѵ~а — ЮО,
Ѵа
шо, по причинѣ что а — Зооэо , х = За448
и п = з, будетъ р = юо |/— юо.
Но |^Ц-= 1,081600; посему извлекая квадрат-
ный корень, выдетъІ/|^ = і,о4оо и іоо|/|^5Г
— ю4, и потому р — 4-
о т в ѣ т ъ:
Онъ платилъ по 4 рубли со ста.
§ 553.
Подобнымъ тому образомъ, какъ мы опре-
дѣлили будущую величину настоящаго капи-
тала ( § 547 ) г можно такъ же дойти до
настоящей величины капитала , который
364
заплаченъ будетъ по прошествіи нѣсколькихъ
лѣтъ.Ибо, такъ какъ капиталъ юо руб. по
прошествіи года равняется юо-$~Р руб., то
обратно сей послѣдній капиталъ, котораго
нслізя взять ранѣе какъ по прошествіи
годі, въ настоящемъ времени есть токмо
Ю‘ рублей. И такъ чтобъ найти настоящую
Величину капитала а руб , который заплаченъ'
(удеіпъ по прошествіи одного года, «адлежитъ
учинить слѣдующую пропорцію:
I ІООЛ
іоо + » : юо = а:-----—.
• 1 ІОО + р’
ѵ послѣдній членъ —есть искомая вели-
ІОО 4-р
иина.
$ 554-
И такъ, поелику капиталъ а руб., который
должно заплатить по прошествіи извѣстнаго
юоо -
времени, равенъ только - рублей за годъ
до полученія, то, дабы узнать, чего онъ
будетъ стоить за і года предъ срокомъ, сдѣлай
пропорцію:
л I _ Юоо /” іоо 1
іоо -X-р : юо=-------• а (— — ) •
• іоо4-р ѵ.іоо4**'-/ *
для сысканія же сю величины за 3 года предъ
срокомъ, пропорція будетъ:
юо+г:юо = а('-^-У
X. ОО.Т,)/ Х.1оо+^у ’
и такъ далѣе. Откуда мы уже видимъ что
имѣніе, состоящее изъ а рублей, отданное
365
по р рублей со ста, и уплачиваемое по
прошествіи п лѣтъ, теперь равно толь-
ко а (-1™ Р}6- Вотъ нѣкоторые вопросы,
къ коимъ сія формула приложена быть можешь.
§ 555.
ВОПРОСЪ I.
# I
НѢкопюръіи господинѣ обѢщаетЪ учите-
лю своего сына награжденіе бооо руб. сЪ
условіемъ, чтобЪ онЪ остался у него 6
лѣтѣ. Спустя годЬ послѣ сего обѣщанія
учитель, имѣя нужду вЪ нѣкоторой, сумщѣ
денегЪ, на покупку дома, проситЪ госпо-
дина отдать ему обѣщанное награжденіе
наличными деньгами, каковыхЪ оное теперь
стоитЪ. Вопрошается, сколько онЪ по-
лучить долженЬ?
По вашимъ законамъ положено со іоо только
5 процентовъ , и. для того здѣсь надобно
положить а — бооо, р ~ 5 и п — 5; откуда,
названъ х искомую величину награжденія,
будетъ
X ~ бооо . ( —
что, помощію логариѳмовъ, изчисляепіся
слѣдующимъ образомъ:
366
/. ІОО “ 3,0000000
I. ю5 п 2,озгі8дЗ
—9>9788іо7
Хб
I. (^)=9,894о535
I. бооо “ 3,778 іэіЗ
1.x ~ 3,6722048
X— 4?оь
и
отвѣтъ.
Господинъ отдашь долженъ только 47°1
рубль.
§ 556-.
вопросъ П.
Нѣкто ежегодно получаетЬ доходу Зоо
ефпмкобЪ : но имѣя нужду вЪ денъгахЪ
продаетЪ на 4 года доходы'-всей. аренды.
Опредѣлить настоящую ихЪ цѣну у по-
лагая что откупщнкЬ требуепЛ тестъ
со ста ?
Изъ сказаннаго выше въ 554) явствуетъ,
что на 5оо ефимковъ по прошествіи года
долженъ получить.............5оо (^|)
по прошествіи з лѣтъ .... 5оо (7^)’
............3...............6оо(і§)’
............4...............5о»(^)<.
• З67
II такъ настоящая цѣна за 4 года дохода
будетъ:
5оо[(75?)+(-^), + (;й)і + (т&) ]•
По логариѳмамъ найдется
(тН) = 0,943396
(т^Г = 0 889*'»96
(&«)’ = °,8396і9
О = °>792О9?
чего сумма ~ 3, ,65ю4,
которая, умноженная на 5оо, будетъ 1732,55.
ОТВѢТЪ.
Настоящая цѣна 4ХЪ лѣтнихъ доходовъ
есть 17З2І ефимковъ.
6 557.
Ясно видно, что, ежели 6і>і въ семъ вопросѣ
вмѣсто четырехъ лѣтъ взято было большее
число оныхъ, то изчисленіе, учиненное такимъ
образомъ, было бы весьма гпрлдно. Но замѣ-
тимъ, чгпо сумма, умноженная «а 5оо, есть
прогрессія геометрическая, для сысканія суммы
коей показали мы вып/е сего въ (§ 5 Ц) простое
и легкое правило, съ помощію котораго можно
рѣшишь слѣдующій, гораздо общій вопросъ.
$ 558.
в О П Р о с ъ III.
Нѣкто получающій ежегодной пенсіи
а рублей, которая, должна продолжаться
368
п лѢпіЬ, желаетЪ продать оную за сумму
денегЪ, которую бы заплатили ему нынѣ
вдругЪ. ѵ Сколь велико можепіЬ быть его
требованіе ?
Положимъ р рублей со ста 5 мы знаемъ ,
что а р)6.
іго года стоятъ нынѣ .. а . ^^777)
СІОО "X*
----— )
ІОО + Р Д
1 7" ІОо
\.і°° + РУ
ЛГО . . . а . (—-Іо° V
Моо + р Д 1
такъ что, если означимъ искомую сумму бук-
вою/, и положивъ, для краткости, —XX Ъ,
то получимъ:
х = аЪ йб’ -\-аЪ'' . аЪп ,
проірессію геометрическую, коея сумѵіа, по
.правилу § 334, будетъ:
формула, посредствомъ которой удобно будетъ
сдѣлать изчисленіе при всякомъ доходѣ, числѣ
лѣтъ, или процентѣ.
369
§ 559.
ПРИМѢРЪ
Пусть доходъ 0=2276 р}б., проценты р—41,
продолженіе дохода п=із лѣтъ, будетъ
Ь ~ и слѣдовательно
х —-------, ’Х -і.---’
до 9
выраженіе , которое обращается въ сіе і
209
или въ слѣдующее:
х — бооо [ 1 — (—)”]•
Начисляя по логариѳмамъ , яайдешся І
X :с: 2,462 р) бла.
§ 5бо.
Мы видѣли выше (§ 547) на сколько капи-
талъ увеличится по прошествіи извѣстнаго
числа лѣтъ, если въ концѣ каждаго тода
присовокупляются къ капиталу проценты.
Положимъ теперь, чціо ежегодно къ капиталу
при іаиляіоіпся не одни токмо проценты, но
что сверхъ того присовокупляется къ оному
ежегодно сумма щ тогда капиталъ а, отданый
по р со ста, по нрошёсшвіи перваго года
будетъ: а „
э4
370
§ 56і.
Дабы узнать приращеніе сего капитала въ
концѣ втораго года, сдѣлай пропорцію :
юо: юо-І-р —
коея четвертый членъ будетъ
юо у 1 юо у '
а когда къ оному приложишь сумму 6, то
капиталъ будетъ въ концѣ втораго года:
Ч юо у 1 4 100 У 1
8 562.
Также найдутся приращенія въ слѣдующіе
годы, и не трудно усмотрѣть, что если
Юо+/7
мы, для краткости, количествоозначимъ
буквою с, то поперемѣнныя приращенія ка-
іг.шіала а будутъ:
по прошествіи
-г- іго года ~ са
---зго — ~ с2а 4" Ч~
— Зго — ~ с'а -}- <?Ь сЪ 4~ Ь
*— 4го — — &а 4- с'А 4“ сгЬ 4- сЬ 4~ Ъ
— пго — ~ с"1г4-сп-іг>4-сп-гб4-сп-^ь...
§ 563.
Сей послѣдній капиталъ, какъ видно, со-
стоитъ изъ двухъ частей ; первая есть с"щ
37<-
а вторая есть прогрессія геометрическая, коея
Первый членъ ~ Л, послѣдній — зна-
менатель ~с, и кошорый слѣдовательно сумма
будетъ ~ (§ 534), ІПакъ что, если мы
назовемъ х искомую величину капитала т
такимъ образомъ увеличеннаго въ продолженіи
п лѣтъ, то получимъ х = спа —777* Прило-
женіе сей формулы заслуживаетъ быть изъ-
яснено еще нѣсколькими примѣрами.
8 564.
ВОПРОСѢ I.
Л отдаю вЪ банкѣ капиталѣ юоо руб- н
слѣдующихъ процентовъ не беру, а при-
бавллю еще кЪ оному ежегодно но аоо
рублей: сколь великЪ будетЪ капиталѣ
по прошествіи. і5ти лѣтѣ?
Поелику банкъ платитъ по 5 со юо, то
будетъ р~5; посему с = а= юоо; Ь — аоо\
п = і5; слѣдовательно
.....200 Г ПЗГ - I 1
X = юоо . ------у
ЮО
что обращается въ
х — ЮОО . (^-)15 + 4000 [ (^1)** — I ]
или на конецъ въ:
х == 5ооо (ттЛ)1* — 4°оо.
3^2
Но I. ю5 — 2,0211893
I. ІОО ~ 2,0000000
—0,021189$
X і5
о,іоБд^бБ
О2і189З
/.(•Й)'" =о,3.78395
I. 5оооо ~ 3,6989700
I. 5ооо (~)15 — 4;° і68од5
5°° (тгз/*^= іо3э4
. — 4000
Л =:63д4.
о т в ѣ т ъ.
Капиталъ такимъ образомъ возрастающій
по прошествіи і5ти лѣтъ будетъ 6З94 р}6.
• ’ • > • • гк
8 565. і
ВОПРОСЪ II.
Нѣкто положилЪ вЪ банкЪ і5оо руб. п
сверэсЪ процентовъ ежегодно присовоку-
пляетъ і5о руб. Вопрошается, во сколько
времени капиталъ, такимЪ образомЪ воз-
растающій. у составитъ юооо рублей?
Здѣсь а — і5оо, с Ь ~ і5о, х == юооо.
И такъ капиталъ по црошествіи п лѣтъ
15 о Г( )п_11
будетъ 10000= іэоо (^І)” ~ 5 ---• ^іе
О о
уравненіе удобно приводится въ сей видъ:
15о° (Ш)" + 3000 [(ттЛ)" — 1 ] = юооо,
или въ сей: —
45оо(^)" = іЗооо, откуда выходитъ
^ = „ 88888.
\юо/
Взявъ логариѳмы будетъ:
п.1.^± —I. 2,88888, посему •
/. 2,88^88
« =-г-й»5- =2^222- а 1,743-
'• Тот; 0,0249
отвѣтъ.
Капиталъ возрастетъ до юооо рублей по
прошествіи 21 года, д мѣсяцевъ.
§ 566.
ВОПРОСЪ ПІ.
Холостой человѣкѣ отдалЪ вЪ банкЪ все
свое имѣніе, состоящее изЪ Зо,ооо фла-
рпновЪ, па 6 со ста, получая на свое
содержаніе ежегодно 2400 флорпновЪ. По
отдачѣ своего имѣнія умерЪ онЪ чреяЪ 2З
года. 9 мѢсяцовЪ. Вопрошается, сколько
бонкЪ должен'Ь заплатитъ его наслѣд-
никамъ?
Поелику въ семъ вопросѣ вмѣсто того,
чтобъ прибавлять къ капиталу, отнимается
ежегодно 2400 флориновъ; то надлежитъ взять
Ъ отрицательно, то есть Ь =
поелику а = ЗооОоо, с = — и п — 2З года , 9
мѣсяцевъ или п = гЗ’, будетъ
2400, и
з74
* 200
ЖДИ
х — Зоооо . (т^)а3‘ — 4°°оо . (т^)а3« 4" 4°о°,
іпо есть х = Доо^о — юооО (т"!)33*.
Но мы нашли выше ( § 55о )
1, 7^1 ~ О,О2эЗо5у
Х*3|
«;О7Г'9'77
5о6іі8
. 0,018979$
=0,60.0 5з
I. ЮООО — 4,0000000
I. юооо — 4,6оі оі5з
«Ьооо (^|)з31 = З9904,
посему
X ~ 40000 — З9904 = 96.
ОТВѢТЬ.
Наслѣдникамъ достанется 96 флориновъ,
§ 567.
Сколь бы нибыло важно въ общежитіи
познаніе изчисленій, нами въ сей і’лавѣ изъ-
ясненныхъ, однако же употребленіе, сдѣланное
въ предъидушихъ вопросахъ пропорціямъ и
прогрессіямъ геометрическимъ, не ограничи-
вается однѣмъ только изчисленіемъ ігроцев-
37Э
піовъ. Политическая Ариѳметика предста-
вляетъ весьма важные вопросы, коихъ рѣшеніе
основано на тѣхъ же правилахъ, и производится
такимъ же образомъ. Вотъ нѣсколько вопросовъ
сего рода,
§ 563.
ВОПРОСЪ I.
Полагая. , что послѣ потопа, которой
пережили 8 человѣкѣ, число жителей на
земли ежегодно прибавлялось на двадца-
тую частъ: вопрошается число НоевылсЪ
потомковъ до его смерти, которая случи-
лась чрезѣ 35о лѣтѣ послѣ потопа ?
Тотчасъ видно, что сей вопросъ разнится
отъ слѣдующаго вопроса только родомѣ
единицъ: Сколъ великѣ будетѣ капиталѣ
изѢ 8 рублей, по пѵошествіи 35о лѣтѣ, по-
ложенной по 5 процентовъ? —Итакъ, означая
искомое число чрезъ ас, будетъ, по § 548,
х = 8
Но = О,О2І 189З ( § 549 )
Х35о
ю5р4б5
635679
1- (т^)55° — 7,4іб255о
/. 8 ~ 0,9030908
I. 8,3і9345о
208,614,000.
3?6
отвѣтъ.
Число жителей на земли, спустя Зэо лѣтъ
послѣ потопа, было бы, по нашему пред-
положенію, болѣе ло8 милліоновъ.
§ 5С9*
ВОПРОСЪ II.
Войско, из7? Зоооо человѣкъ состоящее,
расположенное вЪ завоеванной провинціи,
нездоровое раствореніе воздуха имѣющій,
умножается ежегодно Зооо рекрупіЬ ; но
по прошествіи і.ѢскояькихЪ лЪтЪ замѣ-
чено, что ежегодно умнраетЬ вЪ ономЪ >6
человѣкъ изо іоо. Сколь ве іико будетЪ сіе
войско по прошествіи зо лѢпіЬ?
Пустъ вообще войско состоитъ изъ а
чехонЬкь, Ъ число рекрутъ, п число лѣтъ, р
ежегодное уменьшеніе со ста, и положимъ
дія краткости—— ~с\ число людей въ
1 Хоо 7
войскѣ будетъ :
По лѣ і года ~са Ъ
. 2 лѣтъ “ с’а сЪ Ь
. 3 . — і а с’Л сЬ Ъ
п . .4-^
гдѣ члены, содержащіе Ъ, составляютъ про-
грес- ію геометрическую, коея первый членъ
есть Ь, послѣдній сп—1Ь, знаменатель с; посему
сумма = —(§ 534). И такъ, означая искомое
число буквою х, будетъ
І- Л .
(1 —<• )
де —ор"-Г
а потомъ, поставивъ вмѣсто буквъ аіЪ}сірі
величины ихъ въ числахъ , получится
х = Зоооо (~)20 + Зооо1----т-Л2--’
Тое
Выраженіе сіе удобно можетъ быть приведено
въ слѣдующій видъ:
х — і із5о (т^)а° і8?5о.
Сіе выраженіе показываетъ, что войско не
можетъ уменьшиться болѣе, какъ до 18750
человѣкъ; и сіе явно потому, что уменьшив-
шись до сего числа, ежегодно умираетъ
столькоже, сколько набирается рекрутовъ, а
именно Зооо человѣкъ.
Вотъ самое изчисленіе:
1. 84 — 1,924 ^"рЗ 7. юог: 2,оооо’ »оо 18750 344
2.-^-= 9,9242793 Ха? 1. ~ 8,48558» о 1. из5о = 4>л5и525 1. З44 = ^536^385 х = х9°94
і 3;8
/ о т р ѣ т ъ.
Армій, по прошествіи 20 дѣтъ, будетъ
/
ірсіпояп.ь изъ ідод4 человѣкъ.
§ 57о.
вопросъ ПІ.
Нѣкоторый владѣтель содержитъ 46000
человѣкъ регулярнаго войска, вЪ которомЪ
ежегодно умираютЪ 4 изо ста, такЪ чтс
армія ьЪ мирное время имѢвтЪ надобность
всякій годЪ вЪ і8оо рекрутахЪ. Но наби-
рается ежегодно 2800 человѣкѣ, дабы
нечувствительно увеличитъ войско • до
боооо человѣкъ. Сколько лѢтЪ надобно,
чтобъ учцнить таковое приращеніе ?
Пусть искомое число х, и по причинѣ
что а =45о°о, Ъ = 2800, р = 4, с=т^ п~хі
получимъ сіе уравненіе, которое разрѣшишь
должно:
Г ж _
4зооо.(-^)^4-2800-------у00' — боооо 5бд)
1 об
Сему уравненію не трудно дать сей про-
стѣйшій видъ:
25 = ю,
изъ кдтораіо найдется величина
/ 9^ > — 1?
11ОО/ Л5*
379
V 1 ч* — /1°
юо -------- '• и 5
I. ’?
I X -'~5- ’
•*- -, _96_
• I оо
Но А " — — 0,3970400,
— 0,0177288,
посему
_ °'3979»° _ / /
0,0 1 77388 ” ’
х к
отвѣтъ.
Нужно около зЗхъ лѣтъ, дабы войско воз- '
расдо до желаемаго числа.
КонецЪ четвертаго отдѣленія.
ОГЛАВЛЕНІЕ.
Отдѣленіе первое.
О раЗнылЬ способахъ изчисленія про-
стыхъ или не сложныхъ количествъ.
Стран.
Гл. I. Общее понятіе объ Алгебрѣ. . . 5
— II. О сложеніи и вычитаніи простыхъ
количествъ......................8
— III. О умноженіи простыхъ количествъ. і4
— IV. О дѣленіи простыхъ количествъ. . 20
— V. О дробяхъ вообще..............зЗ
•— VI. О свойствахъ дробей.........39
— VII.О Сложеніи и вычитаніи дробей. . Зз
— Ѵ1Н.О умноженіи и дѣленіи дробей. . З7
— IX. О десятичныхъ дробяхъ. ... 4^
-— X. О квадратныхъ числахъ. ... 4^
— XI. О квадратныхъ корняхъ и произ-
ходящихъ отъ того неизвлеко-
мыхъ числахъ................5з
— XII. О невозможныхъ или мнимыхъ
числахъ............................5?
— XIII. О кубичныхъ числахъ........6о
— XIV О кубичныхъ корняхъ и о произ-
ходящихъ оттуда неизвлекомыхъ
числахъ................’...........6з
— XV. О степеняхъ вообще..........6&
— XVI. О изчисленіяхъ со степенями. . 6д
II
ОГЛАВЛЕНІЕ.
Гл. XVII. О корняхъ степеней вообще. .
— XVIII. Объ изображеніи неизвлекомыхъ
чиселъ дробными показателями. ^3
— ХІХ. О логариѳмахъ...................^6
— XX. О логариѳмическихъ таблицахъ. Ьо
•— XXI. Ооъ употребленіи логариѳмовъ. 66
ОТДѢЛЕНІЕ ВТОРОЕ.
О способахЪ изчисленія составныхъ или
сложныхЬ количествъ.
Гл. I. О сложеніи составныхъ количествъ. дЗ
-— II. О вычитаніи сложныхъ количествъ, д?
— III. О умноженьи сложныхъ количествъ. 09
— IV. О дѣленіи сложныхъ количествъ. . юб
—- V. О разрѣшеніи дробей въ безконеч-
ные ряды..............................і*4
— VI. О квадратныхъ сложныхъ коли-
чествъ.................................и8
— VII. О извлеченіи квадратныхъ корней
изъ сложныхъ количествъ. . .120
— ѴШ. О кубахъ и извлеченіи кубичныхъ
корней. ..............................128
— IX. О вышшихъ степеняхъ сложныхъ
количествъ.........................., . гЗЗ
— X. О переложеніи буквъ, нѣкоторомъ
основано доказательство предъ-
идущаго правила.......................гЗд
— XI. О разложеніи неизвлекомыхъ сте-
пеней въ безконечные ряды. . • 1.46
ОГЛАВЛЕНІЕ, III
Сгпраи.
Гл.ХІІ. О разложеніи степеней отрица-
тельныхъ. ......................
ОТДѢЛЕНІЕ ТРЕТІЕ.
ОбЪ алгебраическихъ уравненіяхъ и рѣше-
ніи, оныхЪ.
Сгпран.
Гл. I. О рѣшеніи вопросовъ вообще. . . і5д
— II. Орѣіпеніи уравненій первой степени. ібЗ
— Ш. Ю рѣшеніи нѣкоторыхъ вопросовъ,
относящихся къ предъидущей главѣ. і^4
— IV. О рѣшеніи уравненій первой степе-
ни, два или болѣе неизвѣстныхъ
въ себѣ содержащихъ. .... 190
— V. О рѣшеніи неопредѣленныхъ вопро-
совъ первой степени.....................аіЗ
— VI. О рѣшеніи чистыхъ уравненій вто-
рой степени.............................220
— VII. О рѣшеніи полныхъ уравненій вто-
рой степени. ...........................227
— VIII. Разсужденія о свойствѣ уравненій
второй степени..........................235
— IX. О рѣшеніи чистыхъ уравненій
третьей степени.........................^4°
— X. О рѣшеніи полныхъ уравненій
третьей степени. .......................246
— XI. О рѣшеніи уравненій третьей сте-
пени имѣющихъ пеизвлекомые корни. 261
ХИ. О. разрѣшеніи неполныхъ уравненій
четвертой степени.......................268
IV
ОГЛАВЛЕНІЕ.
. Сгпран.
Гл.ХПТ.О рѣшенія полныхъ уравненій че-
твертой степени. .......................27 3
— XIV О рѣшеніи уравненій четвертой
степе и посре 'Ситомъ уравненій
третьей степени.......................2Я2
— XV. О.рѣшесіи уравненій по приближенію. 288
ОТДѢЛЕНІЕ ЧЕТВЁРТОЕ.
ОбЪ отношеніяхъ, пропорція и пАгрес-
сіяхъ ариѳметическихъ и геометрическихъ.
Гл. I.
— II.
— Ш.
— IV.
— V.
- VI.
Объ отношеніи сриѳметй-іескомъ. 299
О пропорція ѵъ .ф.'©метическихъ. Зоі
О прогрессіяхъ ариѳметическихъ. Зо4
О сысканіи суммы профессіи ариѳ-
метическихъ. . ....... Зю
Объ'отношеніи геомйіьрическомъ. 318
О приведеніи отношеній геометри-
ческихъ къ ихь меньшимъ членамъ. Згя
— Ѵ1І. О сложныхъ отношеніяхъ- . . 333
— ѴПІ. О пропорціяхъ геомешри 'ескихъ. 33?
-— IX. О профессіяхъ геометрическихъ. 344
— X. О сысканіи суммы профессій гео-
метрическихъ.............. . 35о
— XI.
Приложеніе пропорцій и прогрес-
сій іеомеіпри .ескі
нію процентовъ н
другимъ сего ріъК
ъ къ изуміе-
// •