Текст
Лекции
физике
плазмы
Издание второе
Долущено Министерством высшего и среднего
специального образования РСФСР
в качестве учебного пособия для студентов
инженерно-физических и физико-технических вузов
и факультетов
АТОМИЗДАТ
МОСКВА 1968
УДК 533.9 @75.8)
Лекции по физике плазмы. Д. А. Франк-Каменецкий.
М., Атомиздат, 1968.
Излагаются основные понятия физики плазмы и
простейшие инженерные расчеты. Подробно рассмат-
рассматриваются термодинамические свойства плазмы; равно-
равновесная и стационарная ионизация; адиабатическое и
дрейфовое движения заряженных частиц; элементарная
гидродинамическая теория распространения волн в
холодной и горячей плазме; простейшие вопросы фи-
физической кинетики и ее применения к плазме.
Книга рассчитана на студентов технических спе-
специальностей и инженеров, имеющих дело с многооб-
многообразными применениями физики плазмы. Рис>нков 13.
Библиографий 26
2-3-7
5-68
ПРЕДИСЛОВИЕ
Молодая и быстро развивающаяся отрасль физики, изу-
изучающая ионизированный газ — плазму, привлекает к себе
все большее внимание. С плазмой связаны такие перспек-
перспективные проблемы новой техники, как управляемые термо-
термоядерные реакции, прямое преобразование тепловой энер-
энергии в электрическую, получение сверхскоростных газо-
газовых струй и потоков, новые направления в сварке и поверх-
поверхностной обработке металлов, получившие название элек-
электронной технологии. Быстро расширяется круг научных
работников и инженеров, которым необходимо знание основ
физики плазмы.
В основу книги положен курс лекций, читанный авто-
автором в течение ряда лет студентам Московского физико-
технического института. Задача книги чисто педагогиче-
педагогическая: научить студента разбираться в основных вопросах
физики плазмы и производить простейшие расчеты. Книга
адресована читателю, интересующемуся прежде всего прак-
практическими выводами.
Имеющаяся литература по плазме связана в основном
либо с проблемой управляемых термоядерных реакций,
либо с классическим газовым разрядом. Настоящая книга
охватывает более широкий круг вопросов и дает общее
представление о свойствах плазмы, лежащих в' основе
разнообразных ее применений. При этом основное внима-
внимание уделено важнейшему вопросу, характерному для сов-
современного этапа развития плазменной науки и техники:
взаимодействию плазмы с сильными" магнитными полями
в условиях, когда магнитное поле4" ограничивает движе-
движение частиц в плазме. Такую плазму "мы называем замагни-
ченной. Объем книги не позволил нам рассмотреть обшир-
обширную проблему неустойчивости плазмы. Читатель может
3
ознакомиться с ней по специальной литературе, список ко-
которой помещен в конце книги.
Простейшие качественные идеи физики плазмы изло-
изложены мной в популярной книге «Плазма — четвертое со-
состояние вещества», которая может служить для читателя
введением к настоящей книге.
Книга рассчитана на читателя, знакомого с основами
высшей математики и физики в объеме первых курсов выс-
высшей технической школы. Все необходимые дополнительные
сведения даны в приложениях. Автор старался не углуб-
углубляться в вопросы, требующие громоздких или сложных
математических расчетов.
^Физика плазмы имеет дело с простыми и общими законо-
закономерностями, которые вполне заслуживают изучения не
только в специальных курсах, но и в общем курсе физики.
Автор считает приятным долгом выразить свою глубо-
глубокую благодарность В. И. Карпману, В. И. Когану, В. Д. Ру-
Русанову, Р. 3. Сагдееву, Г. Н. Тилинину, В. Д. Шафранову
и М. Д. Франк-Каменецкому за ценные замечания, Д. В. Си-
вухину, из лекций которого заимствованы задачи к гл. III,
и Т. Д. Кузнецовой за помощь при оформлении рукописи.
Д. Франк-Каменецкий
ОБОЗНАЧЕНИЯ
А, В — коэффициенты Фоккера — Планка;
a, b — тензорные индексы, отмечающие координаты про-
пространства;
С — постоянная интегрирования; емкость конденсатора;
с — скорость света;
D — коэффициент диффузий;
Е — напряженность электрического поля;
Е* — то же в сопутствующей системе координат;
<? — энергия;
е — плотность энергии;
е — заряд электрона;
F — свободная энергия;
F — сила;
/ — функция распределения;
f° — основная (фоновая) функция распределения;
f — нормированная основная функция распределения;
f1 — возмущение функции распределения;
g — статистический вес; гиротропный компонент тензора
электрической проницаемости;
Н — напряженность магнитного поля;
h = 2nh — постоянная Планка;
h — единичный вектор в направлении магнитного поля;
J — энергия ионизации; электрический ток;
Js — функция Бесселя первого рода порядка s;
/ — интенсивность излучения;
Is — модифицированная функция Бесселя;
i — индекс, отмечающий ионы;
J :— полный момент атома (сумма орбитального и спино-
спинового);
j — плотность электрического тока;
k — индекс, нумерующий все сорта частиц; главное кван-
квантовое число; волновое число; постоянная Больцмана;
к — волновой вектор;
ki — поперечное волновое число;
&з — продольное волновое число;
L — орбитальный момент (в единицах /г);
/ — длина пробега;
lD — длина экранирования (дебаевская или поляризацион-
поляризационная);
5
М — масса иона или произвольной частицы;
т — масса электрона; азимутальное число;
т — приведенная масса;
N — полное число частиц; показатель- преломления;
#з — звуковой показатель преломления;
ilk — концентрация частиц, обозначенных индексом к\
п — концентрация электронов;
Р — давление;
Ре* Pi — парциальные давления;
р — гиротропное число;
Q — эффективное сечение; заряд;
Qo — тепловой эффект реакции при абсолютном нуле;
— плотность заряда; обобщенная координата;
— радиус кривизны; тензор сопротивления; коэффици-
коэффициент взаимного трения (диффузионного сопротивления);
Rc — циклотронный радиус;
* г — расстояние;
г — радиус-вектор;
S — спин (в единицах %)\ площадь;
s — целое число, нумерующее циклотронные обертоны;
St — интеграл столкновений;
Stit k — то же между частицами сортов i и к\
Т — температура (в энергетических единицах);
t — время;
и — скорость распространения волн; скорость звука;
Иф — фазовая скорость;
иг — групповая скорость;
иА — альфвеновская скорость;
и3 — скорость ионного звука;
V — напряжение (разность потенциалов); объем;
v — дрейфовая скорость; средняя массовая скорость плаз-
плазмы; скорость;
W — энергия, передаваемая за единицу времени;
w — вероятность; скорость реакции;
w(z)—специальная функция (VI.14.3)* или (VI.14.5);
Z — зарядовое число; цилиндрическая функция;
а — корни функции Бесселя;
ааЬ—тензорная величина, входящая в кулоновский-интег-
кулоновский-интеграл столкновений;
Р — отношение газового давления к магнитному;
7 — показатель адиабаты;
А — оператор Лапласа;
Ь — декремент затухания; дельта-функция;
1 при i — к\
О при i ф k;
е — электрическая проницаемость; тензор электрической
проницаемости; первый и второй диагональные ком-
компоненты тензора электрической проницаемости;
т] — третий диагональный компонент тензорд электриче-
электрической проницаемости; вязкость;
* Римские цифры в номерах формул указывают на номер главы.
$ — полярный угол;
% — постоянная экранирования (величина, обратная деба-
евской длине); мнимая часть волнового числа;
X — теплопроводность;
{а — магнитный момент орбиты; косинус полярного угла;
v — эффективная частота передачи импульса; кинемати-
кинематическая вязкость;
П — погонное число частиц;
П* — эффективное погонное число электронов;
р — плотность;
а — проводимость; тензор проводимости;
2 — статистическая сумма;
т — время передачи импульса; вспомогательный тензор;
Т — тенз,ор;
Ф(г) — интеграл вероятности;
ср — азимутальный угол; электростатический потенциал;
X —^магнитная восприимчивость;
<р —'вспомогательная величина, определяемая формулой
(IV.13.2);
со — круговая частота;
оH — плазменная частота (круговая); если специально не
оговорено, то электронная;
i* ^e — циклотронные частоты;
Q — вектор направления (телесного угла);
у — оператор градиента;
уv — то же в пространстве скоростей;
|| — индекс, указывающий направление, параллельное
•магнитному полю;
JL — то же, перпендикулярное к магнитному полю;
: : — знак пропорциональности;
~ — знак, обозначающий порядок величины;
ж — знак приближенного равенства.
Глава I
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Прежде чем перейти к подробному рассмотрению раз-
различных вопросов науки о плазме, дадим элементарный обзор
основных понятий.
1. Квазинейтральность и разделение зарядов
Плазмой называют квазинейтральную систему, содер-
содержащую положительно и отрицательно заряженные свобод-
свободные частицы. Положительные частицы — это всегда ионы,
а отрицательные — обычно электроны.
В результате «прилипания» электронов к нейтральным
атомам в плазме могут возникать и отрицательные ионы,
но они встречаются редко и имеют второстепенное значение.
Поясним смысл понятия квазинейтральности. Квази-
Квазинейтральный означает почти нейтральный. Квазинейтраль-
Квазинейтральная плазма — плазма, электрически нейтральная в сред-
среднем в достаточно больших объемах или за достаточно боль-
большие промежутки времени. Величины объемов и промежут-
промежутков времени, в которых проявляется квазинейтральность,
определяются пространственным и временным масштабами
разделения зарядов.
Рассмотрим сначала масштаб разделения зарядов во
времени. Представим себе,- что в плоском слое плазмы тол-
толщиной х и площадью S все частицы одного знака, например
электроны, сместились на одну из ограничивающих этот
слой плоскостей (рис. 1). Получится плоский конденса-
конденсатор с емкостью
С=4^< 0-1)
8
Заряд этого конденсатора Q равен суммарному заряду всех
электронов, содержащихся в объеме слоя Sx:
Q = Snex, A.2)
где п — концентрация электронов, т. е. число их в еди-
единице объема. Разность потенциалов между пластинами
конденсатора
V = ^r =
и однородное электрическое поле между ними
Е = — = 4я пех.
X
Это поле сообщает каждому электрону ускорение
dt2
4л пе2
т
т
-- х.
A.3)
A.4)
A.5)
Полученное уравнение описывает простое гармоническое
колебание с круговой частотой
соо
-V
4ппе2
A.6)
пропорциональной корню квадратному из концентрации
электронов. Эта частота — одна из важнейших характе-
характеристик плазмы. Ее и
называют плазменной
частотой.
Таким образом, в
случае разделения в
плазме зарядов возни-
возникающие электростатиче-
электростатические силы вызывают так
называемые электроста-
электростатические, или ленгмю-
ровские, колебания. Пос-
Последнее название проис-
происходит от имени исследо-
исследователя, впервые обратившего внимание на эти колебания.
Соответственно и плазменную частоту иногда называют
ленгмюровской. У плазмы много различных типов колебаний,
особенно если она помещена в магнитное поле. Но плаз-
плазменными колебаниями принято называть не всякие колеба-
9
Рис. 1. Разделение зарядов.
ния плазмы, а именно этот простейший электростатический
тип колебаний.
Таким образом, по принятой терминологии «плазмен-
«плазменные колебания» и «колебания плазмы» — не одно и то же.
Термин «колебания плазмы» имеет более широкий смысл.
Выведем выражение для плазменной частоты общим
способом. Пусть в результате разделения зарядов в плазме
возник объемный заряд плотностью q. По закону сохра-
сохранения заряда
| = -divj, A.7)
где j — плотность тока. Допустим, что ток переносится
только электронами. Тогда
A.8)
где v — скорость электронов, переносящих ток («токовая
скорость»). Уравнение движения электрона
т^ = -еЕ. A.9)
Подставив выражение A.8) в уравнение A.7), продифферен-
продифференцировав последнее по времени и подставив затем уравне-
уравнение A.9), получим
При этом, имея в виду линейные колебания и не делая
различия между частной и полной производными времени,
отбросим все квадратичные члены, а п вынесем за знаки
дифференциалов. По уравнению Максвелла
divE-4jt<7. A.11)
Подставив это выражение в уравнение A.10), получим
п 12)
Теперь уже не обкладки воображаемого конденсатора,
а плотность объемного заряда в плазме колеблется с той
же круговой частотой о0.
Итак, всякое разделение зарядов в плазме приводит
к колебаниям плотности заряда. В среднем за много перио-
периодов колебаний плазма ведет себя как квазинейтральная
Ю
среда. Временной масштаб разделения зарядов есть вели-
величина того же порядка, что и период плазменных колебаний
U A.13)
Разделение зарядов может быть существенным только за
периоды времени, малые по сравнению с этим масштабом.
За пространственный масштаб разделения зарядов d
можно принять расстояние, которое частица при своем
тепловом движении проходит за время 1/соо,
d~^, A.14)
где <t?> — средняя скорость теплового движения частиц.
В масштабах, больших по сравнению с d, соблюдается
квазинейтральность.
Пространственный масштаб разделения зарядов можно
рассматривать и с энергетической точки зрения. Как видно
из формулы A.3), разделение зарядов приводит к возник-
возникновению в плазме разности потенциалов (поляризации плаз-
плазмы). Легко убедиться, что в плотной плазме даже ничтож-
ничтожное разделение зарядов вызывает громадную разность по-
потенциалов. Но на создание разности потенциалов нужна
энергия, которая может быть почерпнута только из тепло-
теплового движения. Чтобы преодолеть разность потенциалов
A.3), электрон должен обладать энергией
g = eV = 4nne2x*. A.15)
Эта энергия пропорциональна квадрату расстояния х. Рас-
Расстояние, на котором может быть заметным разделение за-
зарядов вследствие теплового движения, определяется тем
условием, что энергия A.15) должна быть одного порядка
с энергией теплового движения &7\ где k — постоянная
Больцмана. В физике плазмы чаще всего измеряют темпе-
температуру в энергетических единицах, т. е. называют темпе-
температурой величину kT. Мы все время будем поступать таким
же образом, полагая постоянную Больцмана k = 1. Прак-
Практической энергетической единицей температуры служит
электронвольт:
1 эв= 11600#К. A.16)
Расстояние d, на котором возможно заметное разделение
зарядов, находится из условия
T. A.17)
11
откуда
Разделив числитель и знаменатель под корнем на массу
частицы т и подставив вместо средней скорости теплового
движения близкую к ней величину
убедимся, что это выражение тождественно выражению A.14).
Для плазмы, имеющей определенную температуру, вы-
выражение A.14) следует рассматривать как приближенное,
а выражение A.18) — как точное. Но поскольку плазма
часто не находится в состоянии термодинамического равно-
равновесия, то понятие температуры теряет для нее строгий
смысл. В этом случае пространственный масштаб разделе-
разделения зарядов для частиц каждого рода* определяется фор-
формулой A.14). Пространственный масштаб разделения заря-
зарядов называют иначе поляризационной длиной, так как это
та наибольшая длина, на которой вследствие теплового
движения самопроизвольно возникают разности потенциа-
потенциалов, т. е. происходит поляризация плазмы. В частности,
у границы плазмы возникает слой, в котором квазиней-
квазинейтральность нарушается, причем толщина этого граничного
слоя порядка пространственного масштаба разделения за-
зарядов.
До сих пор мы рассматривали разделение зарядов как
результат смещения электронов. Найденную в этом допу-
допущении частоту электростатических плазменных колебаний
называют электронной плазменной частотой, а соответст-
соответствующий пространственный масштаб — электронной поля-
поляризационной длиной. Можно найти аналогичные величины,
принимая, что разделение зарядов вызывается движением
ионов. Тогда получится ионная плазменная частота, в
выражении которой заряд и масса электрона заменены
зарядом и массой иона. Поскольку электроны подвижнее
ионов, то электронная плазменная частота важнее ионной.
Если говорят просто о плазменной частоте, то имеют в виду
электронную плазменную частоту.
* Реальное значение имеет, конечно, масштаб разделения 'за-
'зарядов не для данного рода частиц, а для плазмы в целом. Как будет
показано в следующем разделе, он получается из масштабов для
разных видов частиц по правилу, выражаемому формулой B.11).
12
2. Электростатическое экранирование
Понятие пространственного масштаба разделения за-
зарядов можно уточнить, если рассмотреть электростатиче-
электростатический потенциал вокруг отдельной заряженной частицы
в плазме. В пустом пространстве вокруг частицы с зарядо-
зарядовым числом Z этот потенциал выражается как
Ze
Ф = Т- BЛ)
Каждая заряженная частица вызывает поляризацию
окружающей плазмы: вокруг такой частицы скапливается
«атмосфера» с избытком частиц противоположного знака,
экранирующая поле частицы. Экранированный потенциал
может быть вычислен с помощью теории Дебая, развитой
первоначально для растворов сильных электролитов. Эта
теория основана на представлении о так называемом само-
самосогласованном поле: находят такое распределение элек-
электрического поля, которое создает распределение частиц,
возбуждающее в свою очередь заданное поле. Для нахожде-
нахождения самосогласованного поля используют уравнение Пуас-
Пуассона
дф = —4я<7 B.2)
и распределение Больцмана
- -^ B.3)
Ч = nk е т . v
где Т — температура в энергетических единицах; nk —
концентрация частиц с зарядовым числом Zk в точке с по-
потенциалом ф; 7tk— концентрация тех же частиц в точке с
нулевым потенциалом (ее приравнивают средней концент-
концентрации по всему объему). Индексом k отмечены все частицы,
включая электроны, которым приписывается Z = —1.
В некоторых случаях удобно выделять электроны и ну-
нумеровать индексом i только ионы. Средние концентрации
п удовлетворяют условию квазинейтральности
2Я** = 0 B.4)
k
или
%пггг=пе^п, B.5)
13
где п — концентрация электронов. Объемный заряд
Подставив выражение B.3) в уравнение B.2), получим
нелинейное уравнение самосогласованного поля в виде
nke T . B.7)
k
Однако в таком нелинейном виде пользоваться уравнением
не имеет смысла. Дело в том, что распределение Больцмана
дает вероятность нахождения частицы в точке с потенциа-
потенциалом ф, т. е. среднее по времени значение концентрации, но
мгновенные концентрации случайным образом меняются
(флуктуируют) вокруг этого среднего значения, вызывая
соответствующие флуктуации потенциала. Если в уравне-
уравнении B.7) под ф подразумевать среднее по времени значе-
значение потенциала, то окажется, что в правой части среднее
значение функции заменено функцией от среднего значения,
что допустимо только для линейных функций. Поэтому ука-
указанное уравнение может быть использовано только в ли-
линейном приближении. Для линеаризации раскладываем
в правой части уравнения B.7) экспоненциальные функции
в ряд, сохраняя только линейные члены. Члены с нулевой
степенью ф, согласно условию B.4), взаимно уничтожают-
уничтожаются, н получается линейное уравнение самосогласованного
поля в виде
Аф = -т~2^/Ьф. B.8)
k
Решение для сферически симметричного распределения по-
потенциала вокруг точечного заряда имеет вид
Ф = 4е~ХГ' . B.9)
где постоянная экранирования
Обратная величина 1/и=/?> называется длиной экраниро-
экранирования или дебаевской длиной. Легко видеть* что она полу-
И
чается из введенных выше пространственных масштабов
разделения зарядов dk по правилу сложения обратных
квадратов:
¦rff' BЛ1>
Поэтому длину экранирования можно рассматривать как
масштаб разделения зарядов или поляризационную длину
для всей плазмы в целом. Постоянная С в выражении по-
потенциала B.9) должна быть такой, чтобы на малых расстоя-
расстояниях потенциал стремился к значению, определяемому фор-
формулой B.1). Отсюда следует окончательное выражение для
экранированного, или дебаевского, потенциала вокруг за-
заряженной частицы в плазме
Ф-^е-'/^. B.12)
Учитывая условие B.5), удобно формулу B.10) предста-
представить в виде
-Z-2l/nej/4z> BЛЗ)
где
3. Плазма как сплошная среда
Для приближенного описания плазмы с успехом ис-
используются модели, рассматривающие плазму как сплош-
сплошную среду. Простейшей из них является модель проводящей
жидкюсти. В этой модели свойства плазмы не отличаются
от свойств, например, жидкого металла. Наука, изучаю-
изучающая движение проводящих жидкостей или газов посредст-
посредством совместного решения уравнений гидродинамики и элек-
электродинамики, называется магнитной %fгидродинамикой.
Модель проводящей жидкости описывает свойства плазмы
в приближении магнитной гидродинамики.
Уравнения движения проводящей среды имеют ту осо-
особенность, что в них кроме силы давления входит пондеро-
15
моторная сила
4 (ЗЛ)
где j — плотность тока. Если пренебречь вязкостью и дру-
другими диссипативными процессами, то уравнение движения
плазмы в приближении магнитной гидродинамики будет
иметь вид
? IJH]. C.2)
Здесь dvldt —. ускорение рассматриваемого «элемента ве-
вещества» или, как говорят в гидродинамике, ускорение
«жидкой частицы». В применении к плазме роль жидкой
частицы играет совокупность очень большого числа заря-
заряженных частиц, но эти частицы выбраны и зафиксированы.
Такое рассмотрение движения сплошной среды, когда сле-
следят за траекторией выбранного элемента вещества, назы-
называется представлением Лагранжа. Ускорение dvldt есть
производная, взятая вдоль траектории данного элемента ве-
вещества; ее называют лагранжевой производной или иногда
субстанциональной производной, чтобы подчеркнуть, что
она относится к выбранному элементу вещества (субстан-
(субстанции). При рассмотрении картины движения сплошной среды
в пространстве используется и другое представление, кото-
которое называют представлением Эйлера. В этом представлении
следят за изменением скорости движения в выбранной точке
пространства dv/dt или, как ее называют, эйлеровой про-
производной. Хотя эйлерова производная и является производ-
производной скорости по времени, она не имеет физического смысла
ускорения. Связь между лагранжевой и эйлеровой про-
производными следующая:
dv dv
Следовательно, уравнение C.2) в представлении Эйлера
примет вид
% + (v у) v; = - | VP+ -?г [JH]. C.2а)
Плотность тока в приближении магнитной гидродинамики
находится по закону Ома
j=aE* = a(E+ с [vHl)> C.3)
16
где Е — напряженность электрического поля; а — коэф-
коэффициент электропроводности, или, иначе, проводимость
плазмы; Е* — напряженность электрического поля в сис-
системе отсчета, движущейся вместе с плазмой (сопутствующая
система). Главный недостаток приближения магнитной
гидродинамики в том, что проводимость рассматривается как
физическая константа вещества, что в применении к плаз-
плазме может оказаться весьма'далеким от действительности.
Система уравнений C.2) и C.3) должна решаться совместно
с уравнениями Максвелла. В приближении магнитной гид-
гидродинамики рассматриваемые процессы считаются доста-
достаточно медленными, чтобы можно было пренебречь током
смещения. Тогда из уравнений Максвелла следует, что
j = ^rotH. C.4)
Уравнение C.2) принимает вид
[•Н]. . C.5)
Согласно формулам векторного анализа
-i- уН2 = (Ну) Н + [Н rot HJ, C.6)
откуда
[rotHH] = — [HrotH] = (Hy)H — -^yH2. C.7)
Подстановка выражения C.7) в уравнение C.5) дает
л- = --гУ^+7^(Ну)Н--7йг- C.8)
17 = У^+ А— (Ну) Н Ун
Если магнитное поле меняется только поперек своего
направления, то второй член правой части обращается в
нуль, и уравнение принимает вид
где dyjdt — ускорение поперек магнитного поля. Таким
образом, движение плазмы поперек магнитного поля проис-
происходит так, как если бы на нее кроме давления Р действо-
действовало еще магнитное давление Н2/8я. Оно имеет в точности
.ту же величину, что и давление, производимое магнитным
2 Лекции по физике плазмы 17
полем в пустом пространстве, которое вычисляется в элек-
электродинамике. Силу у#2/8я в уравнении C.9) можно с
одинаковым правом рассматривать и как пондеромоторную
силу взаимодействия магнитного поля с возбужденными им
токами, и просто как силу магнитного давления.
Важнейший вывод из модели сплошной среды заклю-
заключается в том, что на плазму может оказывать воздействие
сила магнитного давления. Отсюда вытекает ряд важнейших
в научном и практическом отношении следствий: плазму
можно удерживать магнитной стенкой, толкать магнит-
магнитным поршнем; плазменные сгустки можно выстреливать
из магнитной пушки.
4. Идеальная проводимость и дрейфовое движение
Во многих задачах от приближения магнитной гидро-
гидродинамики можно перейти к еще более упрощенному спо-
способу рассмотрения плазмы, устремив проводимость а к
бесконечности. Такое рассмотрение носит название при-
приближения идеальной проводимости. При бесконечной про-
проводимости сколь угодно малое электрическое поле вызы-
вызывало бы бесконечный ток, что требовало бы бесконечно
большой затраты энергии, и потому невозможно. Следо-
Следовательно, в приближении идеальной проводимости элек-
электрическое поле в системе координат, связанной с плаз-
плазмой (такую систему иногда называют сопутствующей),
должно равняться нулю
^0 D.1)
или
Е = — -~ [vH]. D.2)
Векторное произведение [vH] зависит только от составляю-
составляющей скорости, перпендикулярной к магнитному полю, ко-
которую мы будем обозначать Vj_. Поэтому выражение D.2)
можно записать в виде
E = _-L[V_lH], D.2а)
поскольку результат от этого не изменится. Таким образом,
условие D.2) накладывает определенное требование на
скорость движения плазмы поперек магнитного поля v±;
скорость вдоль магнитного поля vji может иметь любое
значение. Чтобы получить значение Vj_, достаточно умно-
умножить выражение D.2а) векторно на Н справа. Получаем
[ЕН] = - i- [[vx H] H] = -L [H [vx Н] ] = It IP, D.3)
так как скалярное произведение (vxH)=0. Из равенства
D.3)
^i D-4)
В скрещенных магнитном и электрическом полях идеаль-
идеально проводящая среда долЗкна двигаться со скоростью, оп-
определяемой формулой D.4). Такое движение называется
дрейфом, а скорость, выражаемая формулой D.4), —дрей-
—дрейфовой скоростью. Когда мы будем рассматривать движение
заряженных частиц в плазме, то ознакомимся еще с рядом
разновидностей дрейфового движения. Но только для дрей-
дрейфа в скрещенных магнитном и электрическом полях ско-
скорость дрейфа одной частицы совпадает со скоростью дрей-
дрейфа плазмы как целого. Этот вид дрейфового движения на-
называется электрическим дрейфом в отличие от других
видов дрейфа, при которых частицы разных зарядов дви-
движутся, как мы увидим, в противоположных направлениях.
Как видно из формулы D.4), скорость электрического
дрейфа направлена перпендикулярно к плоскости, в кото-
которой лежат векторы магнитного и электрического полей. В
формуле D.4) величина векторного произведения [ЕН] за-
зависит только от составляющей электрического поля, пер-
перпендикулярной к магнитному; эту составляющую мы будем
обозначать EL. Поэтому формулу D.4) можно записать в
виде
^-сЩР-. D.4а)
Параллельная магнитному полю составляющая электриче-
электрического поля не влияет на скорость дрейфа плазмы как целого
поперек поля; она вызывает ток, текущий вдоль магнитного
поля. Величина дрейфовой скорости выражается как
\Е, I
I v± I = с ¦
D.5)
Пользоваться выражением дрейфовой скорости в век-
векторной форме нужно только для того, чтобы определить ее
2* 19
направление при данных направлениях магнитного и элек-
электрического полей. Из формулы D.4а) следует, что если маг-
магнитное поле направлено к нам, а перпендикулярная к
нему составляющая электрического поля вверх, то плазма
должна дрейфовать вправо (рис. 4). При приближенном
рассмотрении поведения плазмы в магнитном поле удобно
пренебречь электрическим сопротивлением плазмы, т. е.
рассматривать ее как идеально проводящую среду. Со-
Согласно только что сказанному, движение плазмы в этом
приближении будет иметь дрейфовый характер. Поэтому
такое приближение и называется дрейфовым приближением,
5. Вмороженное поле
Можно дать и другую физическую интерпретацию дрей-
дрейфового движения идеально проводящей среды. Известно,
что если проводник при своем движении пересекает силовые
линии магнитного поля, то в нем возбуждается электродви-
электродвижущая сила. В идеальном проводнике сколь угодно малая
электродвижущая сила возбуждала бы бесконечный ток,
что невозможно. Следовательно, идеальный проводник дол-
должен увлекать с собой магнитные силовые линии так, как
если бы они были ё него «вморожены». Иными словами,
идеально проводящая плазма движется так, как если бы ее-
частицы были «приклеены» к силовым линиям магнитного
поля.
Дадим количественную формулировку понятия вморо-
вмороженного поля. Для этого воспользуемся уравнением Мак-
Максвелла
и подставим в него значение электрического поля D.2).
В результате подстановки получим
^ = rot[vH]. E.2)
Раскрываем ротор векторного произведения по формулам
векторного анализа и, учитывая, что div H = 0, получаем
~ = (Ну) v — (vv) H — Н div v. E.3)
20
Можно ввести субстанциональную, или лагранжеву, про-
производную, которая выражает изменение рассматриваемой
величины для выбранного движущегося элемента вещества
4 + (^) <б-4>
Тогда выражение E.3) запишется как
^ — Hdivv. E.5)
Воспользуемся теперь известным из гидродинамики урав-
уравнением непрерывности (или неразрывности)
чт = — divpv = —pdivv — vvp
или
% = -pdivv. E.7)
Если из уравнения E.7) выразить div v и подставить в
уравнение E.5), то получим
dW Н do /w. ч /Г о\
ж~т? = {ту- E>8)
Левую часть равенства можно теперь выразить через про-
производную от величины Н/р. Для этого заметим, что
[dt \р ) ~~ р dt р2 dV
откуда
dH И dp d /Н\ /к 1ЛЧ
-т = ?ж{т) EЛ0)
Таким образом, уравнение E.8) можно представить в виде
-77 [ 1=1 VI v« E.11)
dt \ р / V р /
Рассмотрим сначала простейший случай, когда ско-
скорость меняется только в направлении, перпендикулярном
к магнитному полю. Тогда правая часть уравнения E.11)
обращается в нуль и, следовательно,
— -const. E.12)
21
Постоянство скорости вдоль силовой линии означает,
что силовая линия не растягивается и не сжимается*. При
этом вмороженность поля заключается в том, что густота
силовых линий, т. е. напряженность поля, меняется пропор-
пропорционально плотности вещества. Рассмотренный простей-
простейший случай имеет место, в частности, при плоском (од-
(одномерном) сжатии плазмы поперек магнитного поля. При
этом напряженность магнитного поля возрастает пропор-
пропорционально плотности, а магнитное давление Н2/8п — про-
пропорционально квадрату плотности. Эффективный показа-
показатель адиабаты для магнитного давления у± = 2. При пло-
плоском сжатии поперек поля магнитное давление возрастает
быстрее, чем давление идеального газа.
Противоположная картина будет наблюдаться при пло-
плоском сжатии вдоль магнитнго поля. В этом случае уравне-
уравнение E.11) примет вид
dt{9 )'- 9 dx>
а уравнение E.7) получит вид
dp dv
~Ж ~ ~ 9~dx>
где* — координата, направленная вдоль поля. Из сопостав-
сопоставления этих двух выражений следует
н\ d
)
откуда #/р меняется пропорционально 1/р, т. е.
Н = const.
Таким образом, при плоском сжатии плазмы вдоль маг-
магнитного поля напряженность поля и магнитное давление
остаются постоянными: Y и = О- Так и должно быть согласно
представлению о вмороженном поле: при плоском сжатии
вдоль поля силовые линии только сокращаются в длину,
но не сгущаются.
Для рассмотрения общего случая следует ввести понятие
длины «вещественной линии», ограниченной с концов выб-
* Для того чтобы длина отрезка линии изменялась, концы этого
отрезка должны двигаться с разными скоростями.
22
ранными элементами вещества. Пусть концы линии движутся
со скоростями vx и и2. Изменение со временем длины ве-
вещественной линии
dl , ч
_^(v2 — Vl)z,
где индекс / означает проекцию вектора на направление /.
Для векторного элемента длины 6/
f = («/V)v. E-13)
Это выражение отличается от уравнения E.11) только
заменой Н/р на 6/. Отсюда следует, что при произвольных
движениях плазмы вектор Н/р должен меняться пропор-
пропорционально Ы. В частности, если Ы выбрано первоначально
в направлении Н, то их направления и в дальнейшем будут
совпадать. Таким образом» получается общая количествен-
количественная формулировка понятия вмороженного поля
—:: w, E.14)
где Ы — длина элемента вещественной линии, направлен-
направленной вдоль силовой линии магнитного поля. Пользуясь тем,
что, как доказано, силовые линии вморожены в вещество, /
можно называть длиной силовой линии. Тогда формулу
E.14) можно понимать так: если силовые линии растягива-
растягиваются, то величина Н/р возрастает, если они сокращаются,
то Н/р уменьшается.
Найденные выше простейшие результаты легко получить
из формулы E.14). При плоском сжатии поперек поля длина
силовых линий не меняется, вследствие чего Н меняется
пропорционально р. При плоском сжатии вдоль поля длина
силовых линий меняется обратно пропорционально плот-
плотности, а Н остается постоянным.
Соотношение E.14) позволяет рассмотреть и более слож-
сложный случай изотропного (подобного или сферического) сжа-
сжатия. В этом случае значение длины есть корень кубический
из объема, откуда
Подстановка в формулу E.14) дает
Н ;; р2/з.
23
Магнитное давление:
Ml ¦ ¦ О4/3
Эффективный показатель адиабаты для магнитного давле-
давления при изотропном сжатии: ум = 4/3. Как известно, такое
же значение показателя адиабаты и для давления электро-
электромагнитного излучения.
Характер нарастания магнитного поля зависит только
от симметрии сжатия для любых конфигураций поля, в том
числе и для неупорядоченных турбулентных полей. Закон
нарастания магнитного поля при изотропном сжатии имеет
большое значение в астрофизике, в частности в теории обра-
образования звезд посредством гравитационной конденсации
космической плазмы. При этом напряженность вморожен-
вмороженных в плазму полей возрастает пропорционально плотности
в степени 2/3, и приходится вводить специальные механизмы
вытеснения поля, чтобы объяснить, почему образующиеся
звезды не обладают колоссальными магнитными полями.
Все изложенные результаты, касающиеся вмороженного
поля, справедливы только для идеально проводящей плаз-
плазмы, т. е. в дрейфовом приближении. Границы применимо-
применимости дрейфового приближения и отступления^ него связаны
уже с конечной проводимостью плазмы, влияние которой
мы сейчас и рассмотрим.
6. Диффузия магнитного поля
Если учесть конечную проводимость, то условие D.1)
уже не будет удовлетворяться. В системе координат, свя-
связанной с плазмой, будут действовать электрические поля,
вызывающие электрические токи. В приближении магнит-
магнитной гидродинамики ток считается подчиняющимся закону
Ома
FJ)
г*де j — плотность тока, Е — напряженность электрического
поля, о — проводимость (в этом приближении величина
скалярная, зависящая только от свойств плазмы). Для плаз-
плазмы, находящейся в магнитном поле, закон Ома является
лишь приближенным, так как он не учитывает анизотропию
24
проводимости. Выражение F.1) можно рассматривать как
общую связь между векторами j и Е, но величина а в об-
общем случае является не скаляром, а тензором проводимо-
проводимости плазмы. Свойства этого тензора будут рассмотрены
ниже. В приближении магнитной гидродинамики он заме-
заменяется скаляром, что, строго говоря, допустимо лишь для
достаточно плотной плазмы (точный критерий будет получен
в следующем разделе). Результаты настоящего раздела,
как приближенные, часто применяют и к разреженной
плазме,
Закон Ома F.1) вместо выражения D.1) дает
Е+ —[vH] = JL. F.2)
С G v '
Из уравнений Максвелла, пренебрегая током смещения,
получим
После подстановки
E+i.[vH]==^rotH. F.3)
Удобно применить операцию rot к обеим частям равенства
rot Е + i- rot [vH] = -JL rot rot H, F.4)
воспользоваться уравнением Максвелла
rot E = ^г
с dt
и формулой векторного анализа
rot rot = v div — А,
учитывая, что div H — 0. После этого равенство F.4) при-
принимает вид
§ = rot[vH]+^AH. F.5)
Это уравнение отличается от уравнения вмороженного поля
E.2) добавочным членом с АН. Чтобы выяснить смысл этого
2В. Лекции по физике плазмы 25
члена, рассмотрим простейший случай, когда движение ве-
вещества отсутствует: v = 0. Из уравнения F.5) следует, что
dt 4ясг
Это уравнение тождественно по виду с уравнением диффу-
диффузии. Роль коэффициента диффузии играет величина
обратно пропорциональная проводимости плазмы. Можно
сказать, что из-за конечной проводимости магнитное поле
как бы просачивается сквозь плазму по диффузионному за-
закону с коэффициентом диффузии DM.
Коэффициент диффузии имеет, как и всегда, размерность
см2/сек. Глубина просачивания поля в течение заданного
времени t
У± F.7)
Для периодического процесса время t порядка обратной
частоты 1/со и, следовательно,
F'8)
Переменный ток проникает в проводник только в ре-
результате диффузии магнитного поля. Вследствие этого он
течет только в тонком поверхностном слое проводника,
который называют скин-слоем (от английского слова
skin—кожа). Величину выражения F.8) или, точнее,
6 =
называют толщиной скин-слоя, а в более общем случае не-
непериодических процессов величину выражения F.7) назы-
называют скиповой длиной. Можно оценить время просачивания
магнитного поля на заданную глубину L
Эту величину называют скиповым временем.
26
7. Модель двух жидкостей
Ранее проводимость g вводилась как феноменологиче-
феноменологическая характеристика плазмы. Чтобы найти ее значение
и выяснить физический смысл, необходимо кроме движения
плазмы как целого учесть также относительное движение
электронов и ионов. Это делается в более^детальной гидро-
гидродинамической модели, в которой плазма' рассматривается
как совокупность двух «жидкостей»: электронной и ион-^
ной, — движущихся одна сквозь другую. Электрическое
сопротивление плазмы рассматривается при этом как ре-
результат взаимного трения этих жидкостей.
Запишем уравнения движения электронов и ионов в ви-
виде, аналогичном уравнению C.2), считая при этом, что на
электроны действует только электронное давление ре,
а на ионы — только ионное давление рь Взаимное трение,
т. е. передачу импульса при взаимодействии между части-
частицами, учтем введением сил трения Fe и Т7/, которые должны
удовлетворять третьему закону Ньютона. Удобнее писать
уравнения не для скорости, а для импульса. Тогда движение
электронов и ионов будет описываться в гидродинамическом
приближении системой уравнений
(Е + i- [v, H]) -jrVPi- F*. [G.2)
dt
Сила трения, испытываемая электронами, пропорцио-
пропорциональна концентрации ионов, а сила трения, испытываемая
ионами, — концентрации электронов. Представим эти силы
как произведения коэффициента взаимного трения* R
на разность скоростей и на концентрацию тормозящих ча-
частиц. Тогда система уравнений G.1)—G.2) примет вид
dttlV* /„ . 1 г жж-Л 1 гл / \ ft о\
—тг = — е [ Е Ч [v. H] VPe — Rat (v. — vf); G.3)
dt V с ^l e J / rip Y r l v e v v f
-Ve) G.4)
* Иногда R называют коэффициентом диффузионного сопротив-
сопротивления по причинам, которые выяснятся ниже.
2В* 27
или
п
- — п. е[Е + -^-[ve H]J —vPe—Rfii ne(ve—Vi); G.5)
/?rt;«ff(Vj— ve). G.6)
Плазма удовлетворяет условию электронейтральности
ne = Zn, = n. G.7)
Плотность тока
j=e(Z^Vi-n,v,). G.8)
Учитывая условие квазинейтральности G.7), получаем
j = ne(v,-v<P). G.9)
Если сложить уравнения G.5) и G.6) с учетом выражений
G.7) и G.8), то силы электрического поля и трения взаимно
уничтожатся. Уничтожение электростатических сил яв-
является следствием квазинейтральности, уничтожение сил
трения — следствием третьего закона Ньютона. В резуль-
результате получится уравнение магнитной гидродинамики C.2),
в котором роль скорости течения плазмы v играет средняя
массовая скорость
v
Пренебрегая массой электронов в сравнении с массой
ионов, можно считать среднюю массовую скорость не отли-
отличающейся от скорости ионов
v,«v. G.11)
В этом приближении из формулы G.9) скорость электронов
v.«v-i. G.12)
Из законов механики следует, что передача импульса при
взаимодействии пропорциональна приведенной массе in
28
взаимодействующих частиц. Удобно представить коэффи-
коэффициент трения в форме
т
/7 1Q\
GЛЗ)
После подстановок выражений G.12) и G.13) в систему
G.5)—G.6) последняя принимает вид*
ж = -?*+ш№ ~
-7SiVPe--5-v,J(ve-vJ); G.14)
d\i Ze Г:): 1 . tn / ч ,— лг,
1Г=ЖЕ -Wm^Pi + -MV'e(Ve-yt)- GЛ5)
Здесь Е* = Е + (\/с)[\Щ — электрическое поле в сопут-
сопутствующей системе координат (движущейся со средней мас-
массовой скоростью плазмы). Величины v имеют размерность
обратного времени, т. е. частоты. Это эффективные частоты
передачи импульса от электрона к ионам и от иона к элект-
электронам. По аналогии с кинетикой нейтральных частиц, где
передача импульса происходит при столкновениях, величи-
величины v часто называют эффективными частотами столкнове-
столкновений. Как видно из определения G.13), они связаны соот-
соотношением
velne = Vienf GЛ6)
Величину, обратную v, называют временем передачи им-
импульса
-Г=*. С7-17)
Чтобы иметь полную систему макроскопических уравнений
модели двух жидкостей, нужно кроме уравнения для мас-
массовой скорости получить также уравнение для плотности
тока, которое называют обобщенным законом Ома. В общем
случае получение этого уравнения осложняется тем, что
субстанциональные (лагранжевы) производные содержат
нелинейные члены*
dv д\ . , ч
+(vv)v
* В формуле G.15) вывод дает еще член [JH], нов сделан-
ных приближениях этим членом надлежит пренебречь.
29
Простые формы обобщенного закона Ома могут быть полу-
получены для двух простейших случаев: стационарного, когда
производные по времени вообще равны нулю (проводимость
для постоянного тока), и для колебаний малой амплитуды,
когда можно пренебречь нелинейными членами и заменить
лагранжевы производные на частные производные по вре-
времени (линейные колебания). Если пренебречь членами вида
(v\7)v, вычесть первое уравнение из второго и отбросить
члены, содержащие в знаменателе большую массу М (т. е.
пренебречь ускорением ионов), то с учетом равенства G.9)
получится обобщенный закон Ома в виде
В модели двух жидкостей учитывается только взаимодей-
взаимодействие между электронами и ионами, для которого приведен-
приведенная масса
т. е. близка к массе электрона. Поскольку в уравнении
G.18) члены порядка отношения массы электрона к массе
иона уже отброшены, следует пренебречь также и разницей
между приведенной массой и массой электрона, что мы и сде-
сделали. Величина т в уравнении G.18) есть время передачи
импульса от электрона к ионам
т=4' G'2°)
Уравнения C.2) и G.18) образуют полную систему макро-
макроскопических уравнений модели двух жидкостей.
8. Проводимость плазмы
Для простейшего случая постоянного тока в однородной
плазме уравнение обобщенного закона Ома G.18) принима-
принимает вид
.где
». = -i <8-2>
электронная циклотронная частота; h — единичный вектор
в направлении магнитного поля.
При отсутствии магнитного поля или для составляющей
тока вдоль его направления векторное произведение [jH]
выпадает, и из уравнения (8.1) получается нормальная
или продольная проводимость плазмы
пе*
(8.3)
Для нахождения поперечной проводимости расписываем
уравнение (8.1) в составляющих. Если направить ось z
вдоль магнитного поля, то
* (8.4)
(8.5)
= 0-0 Е*-
Поперечная проводимость плазмы есть величина тензор-
тензорная. Проще всего выразить соотношения (8.3)—(8.5) с по-
помощью тензора сопротивления R> определяемого соотно-
соотношением
Е| = Я«]*. (8-6)
Компоненты этого тензора образуют таблицу (матрицу):
>е т
— ^F -=r о
о
о —
(8.7)
Обычно принято вместо тензора сопротивления пользовать-
пользоваться тензором проводимости, который определяется равен-
равенством
ij = ***Eft. (8.8)
Чтобы найти компоненты этого тензора, нужно найти
матрицу, обратную (8.7), т. е. решить систему уравнений
(8.4)—(8.5) относительно составляющих тока/ В данном
случае достаточно умножить одно из уравнений на соет,
прибавить ко второму или вычесть из него, чтобы получить
j Л1 + о,2 т*) = а0 (El - со, ТЕ;); (8.9)
jy A +со,2т2) = а0 (ш,тЕ* + Ер. (8.10)
31
Отсюда тензор проводимости однородной плазмы для по-
постоянного тока имеет вид:
cof.2
д0
Л
О
(8.11)
i e
о о о0
В явном виде составляющие тока выражаются формулами:
U = g0 Е\~^_У^ > (8Л2)
r; (8ЛЗ)
(8.14)
Для замагниченнои плазмы соет — большое число. В этом
случае поперечная проводимость должна быть гораздо
меньше продольной и уменьшаться обратно пропорциональ-
пропорционально квадрату циклотронной частоты, т. е. квадрату напря-
напряженности магнитного поля. Ток должен течь не только
вдоль электрического поля, но и поперек него (холл-эффект),
причем в замагниченнои плазме при скрещенных полях ток
поперек электрического поля (холловский ток) должен быть
гораздо больше, чем ток вдоль электрического, но поперек
магнитного поля, и уменьшаться только как первая степень
напряженности магнитного поля. В реальных условиях про-
проводимость плазмы сильно осложняется пространственной
неоднородностью, вызывающей электрические поля поля-
поляризации, а также дрейфовые токи и ток намагничивания,
о которых речь будет в гл. III.
9. Кулоновские столкновения
В не слишком плотной плазме передача импульса про-
происходит в основном при двойных (парных) взаимодействиях,
которые можно описывать как столкновения. Вероятность
взаимодействия характеризуется эффективным сечением Q,
имеющим размерность площади (см2). Коэффициент взаим-
взаимного трения R выражается через эффективное сечение как
R = m(Qu), (9.1)
32
где т — приведенная масса; и — относительная скорость
(угловые скобки означают усреднение по скоростям тепло-
теплового движения). Из сопоставления с формулой G.13) нахо-
находим:
v . = (Qu)n-\ (9.2)
v2=(Qu)nl (9.3)'
В выражении проводимости плазмы (8.3) время передачи
импульса
и нормальная проводимость плазмы выражается через се-
сечение взаимодействия как
а - пе
Взаимодействие между заряженными частицами осущест-
осуществляется посредством электростатических кулоновских сил.
Величина передаваемого импульса определяется прицель-
прицельным параметром Ь, т. е. расстоянием по перпендикуляру
от одной частицы до невозмущенной траектории другой.
Передаваемый импульс может быть оценен как
A(mv)ttFt, (9.6)
где i7—сила взаимодействия при наибольшем сближении
а «продолжительность столкновения»
/ж—, (9.8)
и — относительная скорость.
Подстановка выражений (9.7) и (9.8) в выражение (9.6)
дает
Если система близка к равновесию, то положительные
и отрицательные значения A(mv) равновероятны; среднее
значение этой величины равно нулю, но средний квадрат
отличен от нуля. Следовательно, эффективное сечение взаи-
33
модействия должно находиться усреднением по квадрату
передаваемого импульса. Более строгое обоснование этому
будет дано в гл. VI, исходя из уравнения Фоккера—Планка.
Прицельному параметру Ъ отвечает сечение Q = я б2.
Сечение, усредненное по квадрату передаваемого импульса,
выразится как
(9.10)
Не зависящий от Ь множитель в скобках
мы называем расстоянием ближнего взаимодействия. Это
расстояние, на котором потенциальная энергия взаимодей-
взаимодействия равна по абсолютной величине удвоенной кинетиче-
кинетической энергии относительного движения. Выражение эффек-
эффективного сечения кулоновского взаимодействия (9.10) запи-
записывается через Ьо в виде
|^- (9.12)
Интеграл расходится как на малых, так и на больших рас-
расстояниях. Это значит, что принятые приближения пере-
перестают быть применимыми в обоих случаях. Чтобы получить
приближенный нерасходящийся результат, интеграл «об-
«обрезают» как на нижнем, так и на верхнем пределе. Резуль-
Результат выражают в виде
(9.13)
где
Л = -^. (9.14)
Величину 1пЛ называют кулоновским логарифмом. За верх-
верхний предел интегрирования Ьмакс берется длина экраниро-
экранирования (дебаевская длина), так как на расстояниях, пре-
превосходящих ее, кулоновское взаимодействие снимается
электростатическим экранированием. За нижний предел
интегрирования Ьмин берется большая из двух величин:
расстояние ближнего взаимодействия Ьо или квантовомеха-
34
ническая длина волны частицы
Х=Л-. (9.15)
ти
Проводимость полностью ионизованной плазмы опреде-
определяется кулоновским сечением рассеяния электрона на ионе.
Для этого случая
Ze2
6о = —2> (9.16)
где т — масса электрона, и — скорость электронов по от-
отношению к ионам. Подстановка этого значения в формулу
(9. 13) дает значение Q, из которого затем могут быть най-
найдены эффективные частоты по формулам (9.2)—(9.3), время
передачи импульса по формуле (9.4) и проводимость —
по формуле (9.5). Более общая формула (9.11) используется
для нахождения времен релаксации, т. е. установления рав-
равновесного распределения скоростей между частицами
плазмы
10. Столкновения с нейтральными частицами
и перезарядка
Если в плазме кроме заряженных присутствуют и нейт-
нейтральные частицы, то обобщенный закон Ома усложняется.
В уравнениях G.1)—G.2) силы трения
^=| Reknk(ve~vJ; A0.1)
где индекс k нумерует все частицы, присутствующие
в плазме. При такой записи трение между одинаковыми ча-
частицами автоматически исключается. Коэффициенты тре-
трения R находятся по формуле (9.1), в которую для взаимо-
взаимодействия между двумя заряженными частицами подстав-
подставляются кулоновские сечения (9.13). Сечения же взаимо-
взаимодействия заряженных частиц с нейтральными берутся из
теории электронных и ионных столкновений или из экспе-
экспериментальных данных*.
* Месси Г. и Бархоп Е. Электронные и ионные столк-
столкновения. Перев. с англ. М., Изд-во иностр. лит., 1958, а также
Браун С. Элементарные процессы в плазме газового разряда.
Перев. с англ. М., Госатомиздат, 1961. .
35
Нормальную проводимость плазмы можно по-прежнему
оценивать по формуле (8.3), а время передачи импульса
находится в общем случае из соотношения
аи)еьПн. A0.3)
Для более точного вычисления проводимости нужно знать
относительные скорости нейтральных частиц, от которых
зависит их взаимодействие с заряженными частицами. Если
электрическое поле вызывает движение заряженных частиц,
то последние, сталкиваясь с нейтральными, увлекают их
за собою. Поэтому детальный расчет проводимости частично
ионизованной плазмы неотделим от расчета диффузионных
процессов, который будет рассмотрен в следующем разделе.
Важнейшим из процессов взаимодействия заряженных
частиц с нейтральными является перезарядка (обмен заря-
зарядом) — процесс, в котором ион отнимает электрон у атома.
При этом обе частицы сохраняют свои скорости по величине
и направлению, но ион превращается в атом, а атом —
в ион. Если атом обменивается с ионом, который в точности
подобен иону, получающемуся при его собственной иони-
ионизации, то этот процесс, называемый резонансной перезаряд-
перезарядкой, имеет очень большое эффективное сечение, так как об-
обмен электроном может происходить на большом расстоя-
расстоянии. Образующиеся нейтральные атомы сохраняют скоро-
скорости и энергии ионов, но не удерживаются магнитными
полями, вследствие чего резонансная перезарядка оказы-
оказывается одним из важнейших механизмов потерь энергии
в магнитных ловушках термоядерных устройств. Переза-
Перезарядка не приводит к изменению направления движения
(рассеянию частиц). Диффузия и другие процессы переноса
определяются в основном упругим рассеянием частиц. Пол-
Полные сечения взаимодействия включают также неупругие
процессы — возбуждение и ионизацию.
11. Гидродинамическое представление
диффузионных процессов
В пространственно неоднородной многокомпонентной
плазме уравнения типа G.6) могут быть использованы
для приближенного описания процессов диффузии. При-
Применяя уравнение G.6) к плазме с произвольным числом
36
компонентов, запишем систему этих уравнений в виде
где k и I — индексы компонентов плазмы; F^ — сила, дей-
действующая на соответствующую частицу. Если все силы име-
имеют электромагнитную природу, то
В первом приближении полагаем ускорение dv/dt одинако-
одинаковым для всех комдонентов смеси. Тогда, сложив уравнения
A1.1), имеем
где
P = 2^ft% A1.3)
плотность плазмы; Р — общее давление. Выразив ускоре-
ускорение из уравнения A1.2) и подставив его в уравнение
A1.1), получаем
A1.4)
Рассмотрим поток частиц каждого компонента, опре-
определенный как
Jft = %vfe. A1.5)
Тогда система A1.4) запишется в виде
При наличии магнитного поля силы F зависят от скоростей,
вследствие чего потоки входят в правые части уравнений
A1.6) неявным образом через F.
37
Уравнения системы A1.4) или A1.6) не являются ли-
линейно независимыми, так как при выводе использовалось
уравнение A1.2), получаемое их суммированием. Отсюда
следует, что значения скоростей или потоков однозначно
не определены, что и естественно, поскольку эти значения
зависят от выбора системы отсчета. Чтобы определить ско-
скорости или потоки, нужно исключить одно из уравнений, за-
заменив его дополнительным условием, фиксирующим систе-
систему отсчета. Обычно выбирают систему отсчета, движущую-
движущуюся со средней массовой скоростью смеси
В системе массовой скорости дополнительное условие за-
запишется так:
2MftJ* = 0. A1.8)
Эта система удобна потому, что средняя массовая скорость
входит в уравнения магнитной гидродинамики. Скорости
компонентов v^, выраженные в системе средней массовой
скорости, называются диффузионными скоростями. Вы-
Выражения потоков упрощаются, если пользоваться системой
отсчета, движущейся со средней объемной скоростью смеси
|it A1.9)
В этой системе дополнительное условие имеет простой вид
Если применить систему A1.6) к простейшему случаю би-
бинарной смеси из нейтральных частиц при отсутствии внеш-
внешних сил, то получится обычный закон диффузии, причем
роль коэффициента диффузии будет играть величина
где Т — температура в энергетических единицах. Таким
образом, коэффициенты взаимного трения однозначно свя-
связаны с обычными бинарными коэффициентами диффузии.
Система A1.6) пригодна для описания как диффузион-
диффузионных процессов, так и проводимости многокомпонентной
38
плазмы. В последнем случае плотность электрического то-
тока
j =e%ZkJk. A1.12)
Получаемые этим методом результаты эквивалентны перво-
первому приближению физической кинетики.
Если температура меняется в пространстве, то возникают
явления термодиффузии, которые можно приближенно
описать, заменив в левых частях уравнений A1.4) или A1.6)
градиенты парциальных давлений следующей величиной:
Показатель а связан с зависимостью сечений взаимодействия
от относительной скорости частиц.
12. Вязкое течение
До сих пор мы учитывали взаимодействие частиц только
как взаимное трение между различными компонентами
плазмы.
Взаимодействие между одинаковыми частицами прояв-
проявляется как вязкость. Действие вязкости может быть учтено
введением в уравнение магнитной гидродинамики C.2)
добавочного члена по аналогии с уравнением Навье —
Стокса в обычной гидродинамике.
Как известно из гидродинамики, сила вязкости выра-
выражается как y]Av, где ц — вязкость вещества. Эту силу надо
добавить к выражению для ускорения элемента вещества
pdv/dt.
Следовательно, уравнение движения для вязкого те-
течения C.2) примет вид
^ [jH]+vAv. A2.1)
Здесь А — оператор Лапласа, примененный к вектору v
(см. приложение 2); v — кинематическая вязкость, опре-
определяемая как
v = f9 A2.2)
где т] — обычный коэффициент вязкости.
39
13. Плазма как система независимых частиц
Противоположный изложенному метод заключается
в анализе движения заряженных частиц, рассматриваемых
как независимые. При этом магнитные поля, в которых дви-
движутся частицы, считаются заданными*. Если внешние про-
проводники создают достаточно сильные поля, то можно рас-
рассматривать движение частиц в этих внешних полях, пренеб-
пренебрегая обратным воздействием плазмы на эти поля. Такая
процедура при данной напряженности поля будет тем
оправданнее, чем более разрежена плазма. Для плот-
плотной плазмы в слабых внешних полях приходится решать
задачу о самосогласованном поле: сначала рассчитывают
движение частиц, считая поля заданными, а потом находят
поля, вызванные найденным распределением частиц. За-
Задача считается решенной, если частицы возбуждают такое
поле, какое принято за заданное при расчете их движения.
С примерами мы познакомимся ниже. В настоящей главе
ограничимся простейшим случаем — движением частиц в по-
постоянном однородном магнитном поле. Уравнение движения
имеет вид
№ <13Л>
Отсюда очевидно, что ускорение лежит в плоскости, пер-
перпендикулярной к магнитному полю. Продольная скорость
частицы вдоль поля v ц не зависит от магнитного поля и опре-
определяется другими действующими на частицу силами. Наша
задача — нахождение поперечной скорости Vj_ в плоскости,
перпендикулярной к магнитному полю. Если направить
ось z вдоль магнитного поля, то для составляющих этой
скорости vx и vy из уравнения A3.1) получим:
dvx ZeH m 2v
ZeH
* Заданными можно считать магнитные поля, но не электриче-
электрические поля поляризации, необходимые для сохранения электронейт-
электронейтральности.
40
Удобно ввести комплексную величину
v* = Vx + iVr A3.4)
Тогда уравнения A3.2) и A3.3) сведутся к уравнению
dv* _ _ .ZeH_ * ,jo сч
Решение
v* = const е-*»с* A3.6)
представляет вращение в плоскости, перпендикулярной
к магнитному полю с круговой частотой
(°с = Ж' <13-7)
Эта частота называется циклотронной или ларморовской,
иногда также гирочастотой. С такой же частотой вращает-
вращается заряженная частица в циклическом ускорителе —
циклотроне, откуда и произошло название «циклотронная
частота». Для электронов*
g A3.8)
для ионов с зарядовым числом Z
где А — массовое число; напряженность магнитного поля
Н выражена в эрстедах (численно равная ей индукция В —
в гауссах).
Движение заряженной частицы в постоянном однород-
однородном магнитном поле может быть представлено как наложение
свободного движения вдоль поля и циклотронного (лармо-
ровского) вращения поперек поля. Частота вращения для
данной частицы зависит только от напряженности поля.
Радиус Rc циклотронной орбиты (ларморовского кружка)
зависит от поперечной скорости v±. Окружность орбиты
* Здесь и в дальнейшем циклотронные частоты считаются су-
существенно положительными величинами.
41
откуда
Re = ^. A3-10)
о)
Если в плоскости, перпендикулярной к магнитному полю,
частицы совершают тепловое движение, то циклотронные
радиусы будут распределены так же, как скорости тепло-
теплового движения, т. е. по закону Максвелла.
Применим к циклотронному вращению закон сохране-
сохранения вращательного момента (момента количества движения)
Mv2, M cv.
Отбрасывая постоянные множители, заключаем, что ве-
величина v]_/H должна сохраняться, или, как говорят, быть
интегралом движения. Тем же свойством, очевидно, обла-
обладает и пропорциональная ей величина
Эту величину можно рассматривать как магнитный момент
циклотронной орбиты (ларморовского кружка). В самом
деле, энергия вращения
^ A3.12)
в соответствии с обычным определением магнитного момшта.
Закон сохранения магнитного момента мы вывели из дви-
движения частицы в постоянном однородном магнитном поле.
В более общем случае, когда магнитное поле достаточно
медленно меняется во времени и в пространстве, он спра-
справедлив лишь приближенно. Медленное изменение внешних
условий называют адиабатическим. Соответственно маг-
магнитный момент циклотронной орбиты называют адиабати-
адиабатическим инвариантом*. Количественно*условие адиабатично-
сти сводится к требованию, чтобы относительное изменение
* Адиабатическими инвариантами называются величины, ко-
которые приближенно сохраняются при медленном изменении состоя-
состояния системы.
42
магнитного поля было малым: во времени за период цикло-
циклотронного вращения; в пространстве — на длине, равной
циклотронному радиусу:
J^l; A3.13)
. A3.14)
^
Циклотронное вращение проявляется в полной мере
только в разреженной плазме, где столкновения между
частицами редки. В плотной плазме столкновения проис-
происходят часто, и кулоновские взаимодействия нарушают
правильное циклотронное вращение. Для того чтобы цик-
циклотронное вращение могло проявиться, нужно, чтобы пе-
период его был мал в сравнении со временем между столкнове-
столкновениями или, точнее, средним временем т передачи импульса
вследствие взаимодействий между частицами плазмы. По-
Поскольку период вращения обратно пропорционален частоте,
то это условие можно записать как
со,т> 1. A3.15)
Плазму, удовлетворяющую этому условию, мы назы-
называем замагншенной. В замагниченной плазме тепловое
движение поперек поля имеет характер циклотронного вра-
вращения. Если условие замагниченности не соблюдается,
то, не успев закончить циклотронный оборот, частица
сбивается с траектории в результате изменения направле-
направления движения, вызванного столкновениями или вообще
процессами передачи импульса.
Условие A3.15) можно записать более наглядно, если
ввести циклотронный радиус
и длину свободного пробега в отсутствие магнитного поля
/ = t»j_ Т.
Тогда неравенство A3.15) запишется в виде
Rc<tU ' A3.15а)
т. е. для замагниченности необходимо, чтобы циклотронный
радиус был мал в сравнении с длиной свободного пробега.
43
Поскольку циклотронная частота пропорциональна на-
напряженности магнитного поля, то плазму можно сделать
замагниченной, наложив на нее достаточно сильное маг-
магнитное поле. Сделать это тем легче, чем больше время
передачи импульса т, т.^е. чем реже столкновения и слабее
взаимодействия между частицами.
В замагниченной плазме в полной мере проявляется
анизотропия проводимости и других процессов переноса.
Напротив, проводимость в законе Ома F.1) можно строго
считать скаляром, если выполнено условие
сост«1, A3.16)
обратное условию замагниченности. При этом условии
полностью применимо приближение магнитной гидроди-
гидродинамики с конечной проводимостью. Условие A3.15) является
необходимым для замагниченности. Достаточно оно только
для неограниченной плазмы. Если плазма ограничена в
пространстве, то циклотронное вращение может возмущать-
возмущаться не только столкновениями частиц между собой, но и ко-
конечными размерами системы. В этом случае кроме условия
A3.15) должно быть выполнено еще и второе условие замаг-
замагниченности: циклотронный радиус мал в сравнении с раз-
размерами системы (см. задачу 1).
Задачи к гл. I
Задача 1. Для плазмы, заключенной в цилиндр диаметром D,
дать количественную формулировку второго условия замагничен-
замагниченности.
Решение. Для того чтобы частицы при своем циклотронном
вращении не выходили за пределы системы или не сталкивались
с ограничивающей ее боковой поверхностью цилиндра, должно быть
выполнено условие
Re « A
которое после подстановки значения Rc запишется как
v±Mc
г части неравенства в<
его в виде
ZeH
Удобно обе части неравенства возвести в квадрат и представить
Мц]_ z2 е2
Z2e2
Величина есть так называемый классический радиус частицы
Ro. Он определяется из того условия, что кулоновская энергия
44
взаимодействия частицы (рассматриваемой как жесткий шарик
радиусом Ro) с возбуждаемым ею полем равна собственной энергии
частицы Мс2. Введя это определение и умножив обе части неравен-
неравенства на концентрацию частиц п, приведем второе условие замаг-
ниченности к виду
Mv*
n<RD2n
Поскольку речь идет о порядках величин, то на множители порядка
единицы можно не обращать внимания. С этой точностью левая
часть неравенства будет порядка отношения тепловой энергии
к магнитной
AnnMv2,
а правая — порядка числа частиц на длине цилиндра, равной клас-
классическому радиусу частицы
Величину И называют погонным числом частиц. Таким образом,
по порядку величины второе условие замагниченности можно запи-
записать в виде
Р«П.
Отсюда видно, что горячую замагниченную плазму можно получить
только при условии, что погонное число частиц достаточно велико.
Задача 2, Как изменится уравнение диффузии магнитного поля,
если не пренебрегать током смещения?
Решение. При учете тока смещения магнитное поле Н и плот-
плотность тока проводимости j связаны уравнением Максвелла
Выразив отсюда j и подставив в выражение F.2) вместо равенства
F.3), получим
Взяв ротор от обеих частей равенства и учитывая, что rot rot H =
= — АН, получим уточненное уравнение диффузии магнитного
поля
Задача 3. Найти длину экранирования для неизотермической
плазмы.
45
Решение. Повторяем вывод формул B.8) и B.10), считая
температуру ионов Т-ь отличной от температуры электронов Те.
Получаем
Для плазмы, содержащей только однозарядные ионы, по условию
электронейтральности пе — щ s n и
Таким образом, для неизотермической плазмы, содержащей только
однозарядные ионы, можно по-прежнему пользоваться формулой
B.10), подставляя вместо п концентрацию электронов, а вместо Т —
приведенную температуру, получаемую из электронной и ионной
температур по правилу сложения обратных величин. Если электрон-
электронная и ионная температуры сильно отличаются одна от другой, то
дебаевская длина определяется более холодным компонентом плазмы.
Задача 4. В приближении магнитной гидродинамики рассчитать
стационарное вязкое течение плазмы в плоском канале между
двумя параллельными плоскостями поперек постоянного магнит-
магнитного поля.
Решение. Уравнение вязкого течения в магнитной
гидродинамике A2.1):
Если внешнее электрическое поле отсутствует, в сопутствующей
системе координат на движущуюся плазму действует электри-
электрическое поле
Е* = -^- [vH].
В плотной плазме, где применимо приближение магнитной гидро-
гидродинамики, т. е. выполнено условие A3.16), можно пренебречь
анизотропией проводимости и выразить плотность тока согласно
закону Ома C.3):
Подстановка этого выражения в уравнение движения после
раскрытия двойного векторного произведения дает
dv I a
Of = - 7" Vp + ^ [Н (vH) - vH*] + vAv.
Расположим ось х вдоль канала и пусть приложенное внешнее
магнитное поле Но направлено по оси z. При стационарном упоря-
упорядоченном (ламинарном) течении скорость v направлена вдоль кана-
канала (по оси х). При этом ток направлен по оси у. Скорость меняется
46
только в направлении 2, от координаты у ничто не зависит. В на-
направлении движения плазма растягивает силовые линии, и возни-
возникает составляющая поля Нх, связанная с плотностью тока уравне-
уравнением Максвелла
dz ~ с Ь-
Поперечное поле не искажается течением плазмы: Hz = Яо. Отсюда
Я 2 г/2 i г/2.
(vH) = vHx,
и составляющая векторного уравнения движения по оси х приобре-
приобретает вид
р дх рс3 dz2
Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго
порядка с постоянными коэффициентами имеет общее решение
где
Для канала постоянного сечения и длины L
ар №_
дх^~~ L '
где АР — напор, т. е. разность давлений между входом и выходом.
Постоянные интегрирования Q и С2 определяются из граничного
условия: для вязкого течения скорость у стенок канала должна
обращаться в нуль. Для канала полушириной d, если отсчитывать
координату z от середины канала, находим v = 0 при z = ±^,
откуда
где ch — гиперболический косинус,
Подстановка значений постоянных интегрирования дает оконча-
окончательно распределение скорости течения по ширине канала:
с2 АР / ch az
47
Эта задача впервые была решена Гартманом, и потому картина
течения носит название гартмановского течения. Аргумент гипер-
гиперболического косинуса в знаменателе есть безразмерное число
называемое числом Гартмана. Через это число решение записы-
записывается как
Р= ..о . \ 1—"
При больших значениях числа Гартмана второй член в скобках
пренебрежимо мал везде, кроме тонкого пристеночного слоя, тол-
толщина которого порядка d/M. В этом слое локализован градиент
скорости. Во всем остальном сечении скорость постоянна, и зна-
значение ее дается множителем перед скобкой в решении Гартмана.
Задача 5. Как изменится решение Гартмана, если канал ограни-
ограничен проводящими стенками по оси у?
Решение. В ограниченном канале не может течь стацио-
стационарный ток. Ток, вызванный течением плазмы, создает электриче-
электрическое поле поляризации, и в стационарном состоянии это поле примет
такое значение, при котором полный ток равен нулю. Если канал
ограничен проводящими стенками, то электрическое поле поляри-
поляризации постоянно по сечению, а плотность тока удовлетворяет ус-
условию
При наличии постоянного электрического поля поляризации плот-
плотность тока выражается ч формулой C.3)
! = .(в+>н,),
и уравнение стационарного течения принимает вид
р dx рс рс2 &гг
т. е. в решении Гартмана к величине ДР надо добавить пондеромо-
торную силу оЕНцЫс. Эта сила .постоянна по сечению, так что
решение имеет вид
В системе координат, движущейся с дрейфовой скоростью, электри-
электрическое поле исчезает, и решение сохраняет прежний вид. Электри-
48
ческое поле поляризации Е находится из условия равенства нулю
полного тока
d d
-d
где
Подстановка выражения v после интегрирования дает значение
электрического поля поляризации:
__ с&Р М — th M
Е- сЯ0 L th M '
Подставляя это значение в выражение скорости, получаем оконча-
окончательный результат для распределения скоростей при гартманов-
тком течении в ограниченном канале
2ло chM-chM~
__ с» ДР d_
aH20L shM
Простым интегрированием легко найти среднее значение скорости
и продольную составляющую поля
d
Условие обращения в нуль полного тока позволяет задать Нх = О
на обеих стенках канала. Заметим, что в бесконечном канале, где
полный ток не равен нулю, продольная составляющая магнитного
поля не обращается в нуль на границах. В этом смысле решение
для бесконечного канала представляется физически неудовлетвори-
неудовлетворительным.
Задача 6. Найти безразмерные параметры, определяющие пове-
поведение плазмы в приближении магнитной гидродинамики.
Решение. В теории подобия анализ дифференциальных
уравнений производится посредством оценки порядка величины
отношений различных членов. Получающиеся безразмерные пара-
параметры называются критериями подобия. Применим этот метод
к уравнениям, описывающим поведение плазмы.
Выведем прежде всего критерий вмороженности магнитного по-
поля. Для этого нужно рассмотреть уравнение диффузии магнитного
поля F.5), описывающее отступления от закона вмороженности.
Из двух членов правой части этого уравнения первый описывает
вмороженное поле и имеет порядок величины
vH
вмор = rot [vH] *v -у-,
3 Лекции по физике плазмы 49
где L — характерный линейный размер. Второй член описывает
диффузию магнитного поля и имеет порядок величины
Критерием вмороженности является отношение этих членов
вмор 4-kcvL _
йф^ " Re
которое называется магнитным числом Рейнольдса. При больших
магнитных числах Рейнольдса поле вморожено, при малых —
свободно проникает в плазму.
Если магнитное поле вморожено, то движение плазмы описы-
описывается уравнением магнитного давления C.5), которое в представ-
представлении Эйлера имеет вид
=
В случае стационарного течения в этом уравнении останется три
члена. Силы инерции описываются как
V2
ин == (vv) v ~ -?¦;
сила газового давления
1 Р
и сила магнитного давления
1
Роль газового давления в плазме характеризуется критерием
газ 8пР _
мапГ= Я2 = °"
При больших значениях Р можно учитывать только силы газового
давления, при малых —.только магнитного. Отношение магнит-
магнитных сил к силам инерции в плазме с вмороженным полем дается чис-
числом Альфвена
магн Я2 _
ин 4тгрг1а =
Если магнитное число Рейнольдса велико (поле вморожено), то
при больших числах Альфвена магнитные силы существеннее инер-
инерционных; при этом следует ожидать подавления турбулентности
магнитным полем.
Для случаев, когда поле не вморожено, следует проанализиро-
проанализировать дифференциальное уравнение задачи 4. Для стационарного по-
50
тока в представлении Эйлера оно имеет вид
(W) v - - -у уР + -р" [Н (vH) - vH2] + vAv.
Если поле не вморожено, то пондеромоторные силы зависят от про-
водимоети и имеют порядок величины
ovH2
ПОНД = -jjr
и силы вязкости
ВЯЗК =
Отношениеэтих членов
понд cH2L2 _
вязк = c2pv ~ "* *
Отношение пондеромоторных сил к инерционным
понд с#2 L _
ин = ?c2v = S*
где iS — безразмерное число, называемое числом Стюарта. Этими
критериями определяется характер течения плазмы приг малых маг-
магнитных числах Рейнольдса. При этом турбулентность должна подав-
подавляться при больших числах Стюарта.
Отношение инерционных сил к вязким
ин vL
= ^Г- Re-
ВЯЗК V
Легко убедиться, что найденные безразмерные параметры связаны
соотношениями:
S = A ReM;
Глава II
ТЕРМОДИНАМИКА ПЛАЗМЫ
1. Температура плазмы
Термодинамика изучает свойства систем, находящихся
в состоянии теплового, или термического, равновесия.
Важнейшей характеристикой такой системы является ее
температура. Понятие температуры имеет смысл только
при наличии хотя бы частичного равновесия. В статистиче-
статистической физике температура определяется как величина,
обратно пропорциональная модулю так называемого ка-
канонического распределения. Если вероятность нахожде-
нахождения системы в состоянии с энергией Щ{ пропорциональна
е~-Р<?/, то температура Т определяется из условия
J-.-.T. A.1)
Обычно в качестве множителя пропорциональности вво-
вводится постоянная Больцмана k
у=*Г. A-2)
Определенная таким образом температура имеет собствен-
собственную размерность: она измеряется в градусах (обычно по
шкале Кельвина). В физике плазмы принято полагать
множитель пропорциональности в формуле A.1) равным
единице, т. е. определять температуру как величину, об-
обратную модулю распределения. Определенная таким об-
образом температура имеет размерность энергии. Поэтому
ее называют температурой в энергетических единицах.
В дальнейшем везде, где это специально не оговорено, мы
52
будем под температурой понимать именно температуру
в~ энергетических единицах. Согласно закону равнораспре-
равнораспределения энергии, она равна средней энергии, приходящей-
приходящейся на две степени свободы классического идеального газа.
При измерении температуры в энергетических единицах
вероятность состояния с энергией Si пропорциональна
величине е т.
Удобной для физики плазмы энергетической единицей
температуры является электронвольт (эв):
= 11600° К.
Для горячей плазмы единицей температуры часто служит
килоэлектронвольт (кэв).
Плазма имеет одну определенную температуру, только
если она находится в состоянии полного термодинамиче-
термодинамического равновесия. Очень часто в плазме приходится иметь
дело с частичным термодинамическим равновесием. Так,
обмен энергиями электронов с ионами происходит гораздо
медленнее, чем обмен между частицами, близкими по массе.
Поэтому в не слишком плотной плазме может длительное
время существовать состояние, когда она характеризуется
двумя температурами: электронной Те и ионной ТУ Плаз-
Плазму с Те = Tt называют изотермической. Получение ее
в обычных условиях эксперимента — задача довольно
сложная.
Если ускорение частиц происходит под действием элект-
электромагнитных полей или ударных волн, то может не быть
и частичного равновесия. В таких случаях теряют смысл
даже электронная и ионная температуры. Иногда в нерав-
неравновесной плазме температурой предлагают называть сред-
среднюю энергию, приходящуюся на две степени свободы части-
частицы. Однако в плазме с несколькими сортами ионов при этом
может оказаться, что разные ионы будут иметь разные
температуры.
В ударной волне все частицы набирают одинаковую
скорость и, следовательно, «температура» частиц данного
рода может возрастать с их массой.
2. Тепловая и кулоновская энергия плазмы
Для равновесной плазмы тепловая энергия выражается
так же, как для идеального газа. В полностью ионизован-
53
ной плазме плотности тепловой энергии
*(пТ + пТ)
B.1)
где п — концентрация частиц; Т — температуры в энерге-
энергетических единицах. В частично ионизованной плазме добав-
добавляется энергия нейтральных частиц (атомов и молекул),
определяемая по обычным формулам термодинамики газов.
В термодинамическом отношении плазма отличается
от идеального газа тем, что кроме тепловой энергии в ней
может оказаться существенной еще и энергия электроста-
электростатического взаимодействия. Если взаимодействие не слиш-
слишком сильное, то энергия взаимодействия может быть оценена
в приближении Дебая (см. гл. I). Изменение потенциала
вследствие взаимодействия для частицы с зарядом Ze
выражается согласно формуле A.2.12) как
Ф — Фо = -/(е""хг"~1)-
На малых расстояниях г разложение в ряд дает
(p-<po^-ZeK=-^. B.2)
lD
Высшие члены при г -> О исчезают. Таким образом, электро-
электростатическое взаимодействие создает в точке, где находит-
находится каждая частица, добавочный отрицательный потенциал
B.2).
Этот потенциал происходит от притяжения частицы окру-
окружающей ее «атмосферой» с избытком частиц противополож-
противоположного знака. Он равен численно кулоновскому потенциалу,
возбуждаемому частицей на расстоянии, равном длине экра-
экранирования Id- Если умножить добавочный потенциал на
заряд частицы и просуммировать по всем частицам, находя-
находящимся в единице объема, то мы каждую пару частиц учтем
дважды. Поэтому полная плотность электростатической
энергии
Она такова, как если бы все частицы притягивались между
собой на длине, равной длине экранирования Id =1/x. В си.
54
лу квадратичности по Z формулы B.3) кулоновская энергия
плазмы всегда отрицательна, т. е. имеет такой знак, как
энергия притяжения. Это объясняется тем, что каждая
заряженная частица создает вокруг себя атмосферу с пре-
преобладанием зарядов противоположного знака, к которой
частица притягивается. Таким образом, полная энергия
плазмы всегда меньше, чем энергия идеального газа. Под-
Подстановка значения х A.2.10) дает
B.4)
/
или, вводя Z согласно A.2.14),
еА = — Уп е3 4т— BK/2. B.5)
Сопоставляя с формулой A.2.13), находим, что плотность
кулоновскои энергии
- '- ' B.6,
Полезно рассмотреть сферу с радиусом, равным длине
экранирования; такую сферу называют дебаевской. Ее объем
VD = ^nl*D. B.7)
В первом приближении можно считать, что потенциал
частицы сказывается только внутри дебаевской сферы,
а вне ее пренебрежимо мал. Сопоставляя формулы B.6)
и B.7), находим
Если от плотности кулоновскои энергии перейти к ку-
кулоновскои энергии, рассчитанной на одну частицу, то
K/2 B-9)
eh = -й- = - V*<? l^J B)
или, из формулы B.8),
55
где
ND = VDn B.11)
— число частиц в дебаевской сфере.
В силу статистического характера теории Дебая она
приложима лишь при условии, если в дебаевской сфере со-
содержится много частиц
WD»1. B.12)
Но тогда, согласно формуле B.10), кулоновская энергия
мала в сравнении с тепловой*. Критерием идеальности
плазмы может считаться число частиц в дебаевской сфере.
Если это число велико, то плазма в термодинамическом
отношении ведет себя как идеальный газ.
Таким образом, теория Дебая применима только тогда,
когда электростатическое ^взаимодействие является малой
поправкой, т. е. когда плазма по своему термодинамическо-
скому поведению близка к идеальному газу. Основная
ценность приведенных формул в том, что они позволяют
проверить, до каких плотностей плазма мало отступает
от идеальных газовых законов. В области более высоких
плотностей, где эти отступления становятся значительными,
теоретический расчет термодинамического поведения плаз-
плазмы не представляется возможным. Здесь необходимо основы-
основываться на экспериментальных данных.
3. Кулоновские поправки к свободной энергии
и давлению плазмы
Как известно из статистической термодинамики
(см. приложение 4), энергия Щ и свободная энергия ^выра-
^выражаются через статистическую сумму 2 формулами:
F = — Г In 2- C.2)
Здесь по принятому условию температура выражена в энер-
энергетических единицах, т. е. постоянная Больцмана поло-
* Отсюда видно, что условие B.12) совпадает с условием
допустимости линеаризации уравнения A.2.7). Таким образом, за-
замена среднего значения функции функцией от среднего значения
становится законной при условии, совпадающем с неравенством
B.12).
56
жена равной единице. Формула C.1) позволяет выразить
статистическую сумму через энергию в виде неопределенно-
неопределенного интеграла
1п2= "
Подстановка в формулу C.2) дает выражение для свободной
энергии
F = -T[lLdT. C.3а)
Тот же результат легко получить и из формальной термо-
термодинамики интегрированием уравнения Гиббса — Гельм-
гольца
Если энергия аддитивна, т. е. представляется суммой
нескольких членов, то в силу линейности приведенных
формул они справедливы для каждого члена в отдельности.
Давление
Согласно формуле B.6) кулоновская энергия, отнесенная
к одной частице,
gk = — const nV2T-V*. C.6)
В этом случае в выражении C.3) за нижний предел инте-
интегрирования можно принять то значение температуры,
при котором энергия обращается в нуль, т. егТ = оо.
После этого выражение C.3а) дает для кулоновской поправ-
поправки к свободной энергии
Fh = Tg* C-7)
или, после подстановки формулы B. 9),
Для кулоновской поправки к давлению C.5) получим
bPh = ^nFh = ±-ngh. C.9)
Эта поправка всегда отрицательна.
ЗВ Лекции по физике плазмы 57
Ёыведенными формул_ами ксчерпыЬаетсй Ёоп^ос о кулсшбв-
ских поправках к термодинамическим функциям и к урав-
уравнению состояния плазмы в приближении Дебая.
4. Равновесие ионизации
Для неполностью ионизованной плазмы важнейшей
термодинамической задачей является нахождение степени
ионизации. Применяя термодинамику к решению этой- за-
задачи, необходимо помнить, что термодинамика дает рав-
равновесную степень ионизации. В замкнутой системе, изоли-
изолированной от окружающей среды, стационарное состояние
всегда совпадает с состоянием термодинамического равно-
равновесия. Но совсем иначе обстоит дело в случае открытых
систем. Важнейшим примером открытой системы является
система, через которую проходит стационарный поток
энергии, т. е. выделение энергии балансируется ее отводом
в окружающую среду. В открытой системе стационарное
состояние ионизации может не совпадать с состоянием
термодинамического равновесия.
При рассмотрении открытых систем основное значе-
значение имеет принцип детального равновесия. Он гласит,
что каждому прямому процессу отвечает обратный процесс,
совершающийся по тому же пути, и что в состоянии термо-
термодинамического равновесия скорости прямого и обратного
процессов равны. Отсюда следует, что стационарное со-
состояние совпадает с состоянием термодинамического рав-
равновесия, если прямой и обратный процессы совершаются
по одному и тому же пути. Поясним этот принцип на инте-
интересующем нас примере равновесия ионизации. Основными
процессами ионизации являются: ионизация электронным
ударом
и ионизация излучением
а + hv ~> / + е.
Здесь символ а обозначает атом; i — ион; hv — фотон
Каждому из этих процессов отвечает обратный процесс
рекомбинации. Для ионизации электронным ударом обрат-
обратным процессом является рекомбинация при тройных столк-
столкновениях
58
Ё Которой избыточную Энергию уносит второй электрбй.
Для второго процесса ионизации обратным процессом^ яв-
является рекомбинация с излучением
i + e-+a + hv.
Общий вид условия равновесия ионизации можно полу-
получить из, элементарных кинетических соображений. Пусть
ионизация происходит цри электронном ударе, а рекомби-
рекомбинация — при тройных столкновениях. Скорость ионизации
w1 = k1nane. D.1)
Скорость рекомбинации
т __ и п „2 /л о\
lit/о — *^2 »*т **б > \ )
где па, я/, ne— концентрации атомов, ионов и электронов
соответственно. Коэффициенты kx и k2 (константы скоростей)
являются функциями температуры, но не зависят от кон-
концентраций. В состоянии равновесия скорости прямого
и обратного процессов должны быть равны
k1nafle= k2ntrie, D.3)
отк уда
щ пе = kj _ у ,4 4ч
Это соотношение называется в физической химии законом
действующих масс. Величина К носит название константы
равновесия. Пусть теперь ионизация происходит под дей-
действием излучения, а рекомбинация — при двойных столк-
столкновениях с испусканием излучения. Тогда
w\ = k\ nal\ D.5)
w'2 = k2ntnej D.6)
где / — интенсивность излучения. Для равновесного (тепло-
(теплового) излучения / зависит только от температуры. Прирав-
Приравнивание выражений D.5) и D.6) дает
Па k'2
7)
Если излучение равновесное (тепловое), то правая часть
соотношения D.7) — однозначная функция температуры.
В условиях термодинамического равновесия правая часть
зв* 59
собФношенйя D.7) должна быть раЁна правой час№ вьф&жё-
ния D.4):
т—г-К' <4-8)
где К — константа равновесия. Таким образом, общий
вид условия равновесия ионизации
= /С. D.9)
па
Частным случаем этой зависимости для идеальной плаз-
плазмы является формула Саха, которая будет выведена ниже.
Стационарное состояние ионизации совпадает с со-
состоянием термодинамического равновесия как в случае,
если ионизация происходит электронным ударом, а реком-
рекомбинация—при тройных столкновениях, так и в случае иони-
ионизации разновесным (тепловым) излучением и лучистой ре-
рекомбинации. В замкнутой системе, где излучение находится
в равновесии с веществом, соответствие между прямым и об-
обратным процессом обеспечивается автоматически. Но в раз-
разреженной плазме нередко реализуется случай открытой
системы, когда излучение свободно выходит из плазмы.
При этом ионизация производится только электронным уда-
ударом, рекомбинация же, если плазма не слишком плотная,
может происходить в основном с излучением. Тогда прямой
и обратный процессы совершаются по разным путям и ста-
стационарное состояние ионизации не совпадает с состоянием
термодинамического равновесия. В открытой системе, в ко-
которой тройными столкновениями можно пренебречь, ста-
стационарное состояние ионизации определяется приравнива-
приравниванием выражений D.1) и D.6), откуда
Этот результат называют формулой Эльверта. Согласно ей
в разреженной плазме, из которой излучение выходит сво-
свободно, степень ионизации не зависит от концентрации элект-
электронов.
Тем не менее формула для равновесной ионизации имеет
фундаментальное значение в физике плазмы. Она называет-
60
ся формулой Саха, по имени индийского астрофизика, впер-
впервые ее получившего. Формула Саха выводится из статисти-
статистической теории идеальных газов. Она справедлива, если
ионизация и рекомбинация происходят по одному и тому же
пути и плазму можно рассматривать как идеальный газ,
т. е. при не слишком низких, но и не слишком высоких
плотностях. Наряду с условием детального равновесия
должен удовлетворяться также общий критерий идеальности
плазмы, который мы рассматривали выше: кулоновская
энергия должна быть мала в сравнении с тепловой, или, что
то же самое, число частиц в дебаевской сфере должно быть
большим.
Ввиду важности формулы Саха мы выведем ее двумя
различными способами.
5. Вывод формулы Саха из квазиклассической
статистики
Согласно квазиклассической статистике, вероятность
нахождения частицы в состоянии с энергией ё выражается
формулой Больцмана
т(ё) = Ае ту E.1)
где Т — температура в энергетических единицах. Число
частиц с энергией ё равно вероятности, умноженной на чис-
число состояний. Для частицы, не имеющей внутренних степе-
степеней свободы, число состояний равно числу элементарных
ячеек фазового пространства объемом й3, где h = 2nh —
обычная постоянная Планка*. Для электрона с импульсом
между р и р + dp фазовый объем
E.2)
где V — обычный объем. Число электронов в этом объеме
со
. E.3)
* Планк определил квантовую постоянную h из условия, что
уровни энергии гармонического осциллятора с частотой v различа-
различаются на величину /iv. В квантовой механике удобнее величина,
в 2я раз меньшая, которую обычно обозначают Н. Иногда (см., на-
например, [12]) под h подразумевается вторая из этих величин.
61
Здесь ge —статистический вес, т. е. число состояний с оди-
одинаковой энергией, различающихся внутренними степеня-
степенями свободы. Рассматривая равновесие электронов с ато-
атомами, мы можем за нуль энергии считать энергию электрона
в атоме. Тогда энергия свободного электрона с импульсом р
* = / + -?. E-4)
где J — энергия ионизации атома (ее часто называют по-
потенциалом ионизации и выражают в электронвольтах).
Число свободных электронов на один атом в определенном
квантовом состоянии найдется интегрированием по всем
значениям импульса
K=Vge^e rJp2e ™dp. E.5)
0
Интеграл берется по формуле (см. приложение 6)
?2р-аг2 А7 _ * П г/-3/2 С5 К\
В данном случае а = ^^ ' вслеДствие чего выражение E.5)
дает
Чтобы получить полное число электронов Ne, этот результат
надо умножить на число атомов в одном квантовом состоя-
состоянии NJga, где ga — полный статистический вес нейтраль-
нейтрального атома. После этого
faf--f. E.3)
Квазиклассический вывод недостаточно строг, так как при-
приняты два не вполне очевидных допущения. Во-первых, Ыы
считали, что интегрирование выражения E.3) дает число
электронов на один атом в определенном квантовом состоя-
состоянии. Во-вторых, в равновесии ионизации участвуют так-
также и ионы, и, чтобы учесть это, нужно за V принять
62
объем, приходящийся на один ион в определенном кванто-
квантовом состоянии:
\8i
ли- E.9)
gi
где ft/ — число ионов в единице объема; gt — статистиче-
статистический вес иона. Подстановка формулы E.9) в выражение E.8)
дает формулу Саха в окончательном виде
Л^_ gegt 1 BятГK/2 -j
Na~ ga ПЬ ? е •
Отношение полных чисел частиц N равно отношению кон-
концентраций ft, что позволяет записать формулу Саха в сим-
симметричном виде
E.10)
Величина, стоящая в левой части, есть константа равнове-
равновесия для процесса ионизации, рассматриваемого в качестве
химической реакции. Если подставить численные значения
универсальных констант и выразить температуру в элект
ронвольтах, то формула Саха примет вид
^• ^ife-f E.11)
3
па ga
где размерность концентраций в см~3.
Квазиклассический вывод формулы Саха физически
нагляден, но содержит допущения, которые строго не обос-
обоснованы. Рассмотрение же равновесия ионизации как част-
частного случая химического равновесия позволяет вывести
ту же формулу общим методом химической термодинамики
без каких-либо нестрогих допущений.
6. Вывод формулы Саха из химической
термодинамики
В химической термодинамике доказывается, что если
химическое уравнение реакции имеет вид
-Val^1+Va2^2+_...^V;ifi1 + V;252 + ...+Q°, F.1)
то условие химического равновесия получается заменой
химических символов реагирующих веществ на химиче-
ские потенциалы
Valdai + Va2\*>a2 + • . .^Уы^Ы + V&2[*W + ... F.2)
Здесь Л — химические символы исходных веществ; В —
химические символы продуктов реакции; v — стехиометри-
ческие коэффициенты; Q0 — тепловой эффект реакции при
абсолютном нуле температуры; \i — химические потенциа-
потенциалы. Для идеального газа последние могут быть выражены
через статистические суммы 2 как
^ = Т lniV — Tin2, • F.3)
где N — число частиц; Т — температура в энергетических
единицах. Статистическая сумма
т. F.4)
где &i — возможные значения энергии частицы; gy — ста-
статистические веса. В химической термодинамике энергии
должны отсчитываться от общего нуля, т. е. включать
и внутреннюю (химическую) энергию, которую частица
сохраняет и при абсолютном нуле температуры. Если перей-
перейти к индивидуальному нулю энергии, то
. 2° = е"^2. F.5)
где 2° — статистическая сумма в системе отсчета (энергия
отсчитывается от общего нуля); 2 — то же для индивиду-
индивидуального нуля; &0 — энергия частицы при абсолютном нуле
температуры. За общий нуль энергии проще всего принять
энергию системы, в которой нет взаимодействия частиц,
т. е. все они разведены на бесконечно большое расстояние
одна от другой. Практически при вычислении статистических
сумм удобнее пользоваться индивидуальным нулем энергии,
т. е. считать для каждой частицы за нуль ту энергию, кото-
которую она имеет при абсолютном нуле температуры. Раз-
Разность нулевых энергий исходных веществ и конечных про-
продуктов есть тепловой эффект реакции при абсолютном нуле
температуры:
64
Подставляя выражение F.3) в формулу F.2) с учетом
равенств F.5) и F.6), получаем
Л IV ...
Ы Ьа _
Это есть формула закона действующих масс. Для реакции
ионизации все стехиометрические коэффициенты v = 1,
а тепловой эффект Q0 = —У. Если записать для этой реак-
реакции химическое уравнение
a^=±e + i—J, F.8)
то уравнение закона действующих масс примет вид
Ь5-",-т. F.9)
па 2ла
Статистическая сумма 2 в общем случае может быть
представлена как произведение статистических сумм для
поступательных, вращательных, колебательных и электрон-
электронных степеней свободы. У электронов, атомных ионов и сво-
свободных атомов вращательные и колебательные степени сво-
свободы отсутствуют. Прямое рассмотрение равновесия иониза-
ионизации молекул едва ли имеет смысл, так как удобнее рассмат-
рассматривать для молекул и молекулярных ионов равновесие
диссоциации, ^ Для атомов и атомных ионов — равновесие
ионизации. При соблюдении тех и других условий равно-
равновесие между молекулами, молекулярными ионами и электро-
электронами удовлетворится автоматически. Понимая в дальнейшем
под равновесием ионизации только равновесие между ато-
атомами, атомными ионами и электронами, можем выразить
каждую статистическую сумму как
где 2/г — статистическая сумма для поступательных
(трансляционных) степеней свободы, г g — полный стати-
статистический вес внутренних степеней свободы. Поступатель-
Поступательную статистическую сумму можно вычислить в квазикласси-
квазиклассическом приближении, считая, что каждое состояние зани-
занимает фазовый объем /г3, где h = 2пН — обычная постоянная
Планка. Тогда •
— е 2т'т ^ \ е 2тТ —
\
у
65
где Г<—фазовый объем, выражаемый формулой E.2).
Интегрирование дает
^, F.12)
О
где М — масса частицы. Подставляя F.12) в формулу F.9),
получаем
BяГK/2 -/ (а tQ4
h* е • ^ЬЛ6}
где п = N/V — концентрация (число частиц в единице
объема); т — масса электрона; М — масса тяжелых ча-
частиц. Если пренебречь массой электрона в сравнении с мас-
массой иона, что практически всегда допустимо,' то можно
считать М[/Ма» 1, после чего формула F.13) совпадает
с формулами E.10) или E.11).
7. Многоступенчатая ионизация
При невысоких температурах от каждого атома отщеп-
отщепляется не более чем по одному электрону и в плазме при-
присутствуют только однозарядные ионы. Такая плазма назы-
называется зарядово-симметричной. В случае водородной плаз-
плазмы образование однозарядных ионов является единственным
процессом ионизации. Если в плазме есть атомы с Z> 1,
то при более высоких температурах происходит ступенча-
ступенчатая ионизация с образованием многозарядных ионов:
однозарядный ион отщепляет следующий электрон, пре-
превращаясь в двухзарядный ион и т. д. По принятой в спект-
спектроскопии символике этот процесс записывается так:
А1-+АП-+АП1...,
где А\ обозначает нейтральный атом; ЛИ -~ однозарядный
ион и т. д. Вместо А ставится химический символ атома.
Формула Саха без труда обобщается на случай много-
многоступенчатой ионизации. Для этого достаточно заменить атом
на ион с меньшим зарядом. Обозначая зарядовое число
индексом i> можем записать формулу Саха в виде
2 -4 /7П
8. Статистический вес
и внутренние степени свободы
Внутренними степенями свободы атомов, ионов и элект-
электронов являются пространственная ориентация спина и
и орбитального момента и электронное возбуждение. Вра-
Вращательные моменты измеряются в квантовых единицах Й.
Измеренный в этих единицах спин обозначается S, орби-
орбитальный момент L; эти моменты складываются по прави-
правилам квантовой механики, давая полный момент Cf (т. е.
момент количества движения), который может принимать
значения от \L + S\ до \L—S| через единицу. Состояние
с моментом С/ имеет статистический вес
У свободного электрона L = 0; Cf = S = 1/2, и его стати-
статистический вес ge = 2. У атомов, а также у ионов, у которых
не все электроны оторваны, возможны разные состояния
электронного возбуждения. Каждое из них характеризуется
энергией возбуждения &f и статистическим весом gj. Полным
статистическим весом атома или иона называется статисти-
статистическая сумма по внутренним степеням свободы
Если известны энергии и моменты для всех возбужденных
уровней, то полный статистический вес атома или иона
можно вычислять непосредственно по формуле (8.1), нахо-
находя статистические веса различных уровней как
gj = 2Cfj+l. (8.2)
Расчет можно намного упростить, пользуясь схемой
Рвесела — Саундерса, согласно которой уровни, отличаю-
отличающиеся только взаимной ориентацией спина и орбитального
мдмента, объединяются в один мулыпиплет (дублет, трип-
триплет и т. д.). Тогда под энергией &j в формуле (8.1) понимают
среднюю энергию мультиплета, а статистический вес его
.- (8.3)
67
Полный статистический вес атома или иона находится
по схеме Рессела — Саундерса
СО
g = 2 BL + 1) BS + 1) е"Г, (8.4)
-/
где суммирование производится по всем мультиплетам.
Для процессов, не сопровождающихся ядерными превраще-
превращениями, можно понимать под L kS орбитальный и спиновый
моменты электронных состояний атома или иона, не учи-
учитывая ядерных спинов. Тогда для ионов водорода и его
изотопов g = 1. Для остальных ионов и всех атомов вычис-
вычисление полного статистического веса требует знания энергий,
спинов и орбитальных моментов возбужденных электрон-
электронных состояний, которые берутся из спектроскопических
данных. Таблицы этих величин мы даем в приложении 5.
Состояния, отличающиеся только взаимной ориентировкой
спина и орбитального момента, рассматриваются в схеме
Рессела — Саундерса как компоненты мультиплета, а раз-
разницы между их энергиями — как тонкая структура
(мультиплетное расщепление). Мультиплетное расщепление
тем сильнее, чем больше электронов в системе. Поэтому
схема Рессела — Саундерса- является точной для легких
атомов или ионов: у них мультиплетное расщепление мало.
У тяжелых атомов или ионов величина мультиплетного
расщепления того же порядка, что и разница энергий между
мультиплетами. К таким системам схема Рессела — Саун-
Саундерса, строго говоря, неприменима [так называемый случай
О* — /)-связи]. Однако для приближенных термодинами-
термодинамических расчетов ее все же можно использовать, объединяя
состояния с одинаковыми L и S условно в один мультиплет.
Именно таким образом мы поступали при составлении таб-
таблиц приложения 5.
Если температура высока в сравнении с энергиями муль-
мультиплетного расщепления, но низка в сравнении с энергиями
электронного возбуждения, то экспоненциальные множители
формулы (8.4) можно считать, кроме первого, равными нулю,
и полный статистический вес сводится к статистическому
весу основного электронного состояния
(8.5)
Как правило, энергии возбуждения тем выше, чем выше
энергия ионизации. Энергия же отрыва первого электрона
Beef Да зн&чй?ельно ййжё, чём последующих. По мере otpbi-
ва электронов возрастает заряд атомного остатка и он более
прочно удерживает следующие электроны. Поэтому при
расчете равновесия ионизации обычно достаточно учиты-
учитывать возбужденные состояния только исходного атома
(или иона), а для конечного — ограничиться статистиче-
статистическим весом основного состояния .-ч В большинстве случаев
у исходного атома достаточно учитывать только первое
возбужденное состояние. Тогда формула Саха E.11) при-
принимает вид
3 • 10*/а е~?. (8.6)
где gi — статистический вес основного состояния иона; g0
и ft. -*- статистические веса основного и первого возбужден-
возбужденного состояния атома; 8г — энергия возбуждения. Для
многоступенчатой ионизации роль атома играет исходный
ион.
9. Расходимость и обрезание
полного статистического веса
Энергии возбуждения электронных уровней сходятся
к пределу ионизации. Это значит, что с приближением
к энергии ионизации возбужденные уровни становятся
все гуще. Плотность уровней (число их на единицу интер-
интервала энергии) с приближением к пределу ионизации стре-
стремится к бесконечности. В частном случае водородного атома
или водородоподобного иона энергии электронного возбуж-
возбуждения зависят только от главного квантового числа k (обыч-
(обычно принято обозначение п, но оно означает у нас концентра-
концентрацию электронов) и выражаются формулой
(90
если считать за нуль энергию свободных электрона и иона,
или
() (9-2)
если считать за нуль энергию основного состояния (т. е. при-
принятый нами индивидуальный нуль энергии).
69
Если температура нйЗка fe ср&ЁНёнйй С Энергией й,6йИ-
зации, то члены суммы в формуле (8.1) быстро уменьшаются
по величине и после немногих первых членов становятся
пренебрежимо малыми. Таким образом, возникает впечатле-
впечатление, что при не слишком высоких температурах полный
статистический вес быстро сходится. Но в действительности
он ведет себя как асимптотический ряд. (Так называются
в математике ряды, первые члены которых быстро умень-
уменьшаются, но полная сумма всех членов ряда расходится.)
В этом легко убедиться для общего случая следующим рас-
рассуждением. Вблизи энергии ионизации существует беско-
бесконечное множество возбужденных уровней, энергии которых
(отсчитанные от индивидуального нуля) близки к энергии
ионизации и асимптотически к ней стремятся. Каждый из
этих уровней дает в полном статистическом весе член. Как
бы ни был мал каждый из этих членов, они не стремятся
к нулю, а число их бесконечно велико, вследствие чего сумма
расходится. Для водородного или водородоподобного.атома
или иона полный статистический вес
(9.3)
откуда очевидно, что он расходится. . .
Практически всегда пользуются тем, что называется
асимптотической сходимостью, т. е. берут сумму несколь-
нескольких первых членов, практически не зависящую в некоторых
пределах от числа взятых членов. Однако желательно
как-то обосновать эту процедуру и выяснить принципиаль-
принципиальный вопрос: как можно пользоваться формулой, Саха,
если в нее входит по существу расходящаяся величина.
Ответ заключается в том, что расходимость возникает
только для изолированного атома в бесконечном простран-
пространстве. По мере того как энергия возбуждения приближается
к энергии ионизации, неограниченно возрастают радиусы
электронных орбит. В. результате взаимодействия с сосед-,
ними атомами число уровней оказывается конечным. Устра-
Устранение расходимости полного статистического веса дости-
достигается посредством «обрезания» его на некотором верхнем
уровне.
Для высших возбужденных уровней всегда можно поль-
пользоваться, как приближенной, водородоподобной форму-
формулой (9.3). Возбужденный электрон находится далеко от
70
octafka, который по отношекию к Нему МбЖНО
рассматривать как точечный заряд*, а это и означает водо-
родоподобность. Обрезание полного статистического веса
сводится к нахождению верхнего значения главного кван-
квантового числа km. После этого полный статистический вес
ff = J!rfike T - (9.4)
Для нахождения km обычно используются три предположе-
предположения:
1) наивысший тот уровень, для которого радиус элект-
ррнной орбиты равен среднему расстоянию между частицами;
2) наивысший тот уровень, для которого этот радиус ра-
равен длине экранирования (дебаевской длине) 1в\
3) наивысший тот уровень, выше которого внутренний
штарк-эффект приводит к слиянию уровней.
Вопрос об обрезании полного статистического веса тесно
связан с вопросом о снижении эффективной энергии иони-
ионизации вследствие взаимодействия между частицами. Как
для того, так и для другого нужно знать значение km.
Отступление плазмы от законов идеального газа, т. е.
кулоновское взаимодействие между частицами, облегчает
ионизацию. Вследствие этого в формулу Саха следует
подставлять вместо истинной энергии ионизации ее умень-
уменьшенное эффективное значение
J* = J — AJ. (9.5)
Поправка А/ определяется двумя эффектами: снижением
энергии конечного состояния вследствие кулоновского вза-
взаимодействия (рис. 2 справа) и слиянием высших возбужден-
возбужденных уровней (рис. 2 слева). Первый эффект приводит
к поправке А/, равной сумме кулоновских энергий иона
и электрона, находимых по формуле B.9). Для первой сту-
ступени ионизации эти энергии равны и дают поправку к энер-
энергии ионизации
f = l,93'10-10]/f, (9.6)
* Атомным остатком называется совокупность ядра и всех
остальных электронов, кроме рассматриваемого.
71
где концентрация п выражена в cm~s, температура и энер-
энергия—в эв. Второй эффект связан с наличием в плазме флук-
флуктуирующих микрополей, т. е. нерегулярно меняющихся ло-
локальных электрических полей, возбуждаемых заряженны-
заряженными частицами.
'/////// ///// 777 7////// / /77
Рис. 2. Снижение энергии ионизации в неидеальной
плазме.
Амплитуда напряженности этих полей
(9.7)
где Го — среднее расстояние между соседними частицами,
п — концентрация частиц в плазме. Их воздействие про-
проявляется в спектрах в виде слияния спектральных линий,
испускаемых с верхних возбужденных уровней. Значение
главного квантового числа, при котором происходит слия-
слияние линий, может быть найдено, если приравнять расстоя-
расстояние между соседними водородоподобными уровнями
Л*~т?г (9-8)
и энергию, которую атом приобретает в микрополях ампли-
амплитуды порядка величины ? (9.7). У атома водорода штарк-
эффект линейный, т. е. атом ведет себя в электрическом
72
поле так, как если бы он имел собственный дипольный мб-
мент порядка
(9.9)
В формуле (9.9) а = k2a0 — радиус орбиты с главным
квантовым числом k\ а0 — боровский радиус. Если умно-
умножить эффективный дипольный момент (9.9) на амплитуду
микрополей (9.7) и приравнять разности энергий (9.8),
то для km получим выражение
Более точный учет статистики микрополей приводит к изве-
известной из астрофизики формуле Инглиса — Теллера
ftm= 1,04-108 л-2/16, (9.11)
где концентрация п выражена в сж~3. Однако следует отли-
отличать слияние уровней, обусловленное их расширением
вследствие малого времени жизни, от слияния наблюдае-
наблюдаемых спектральных линий, которое может быть вызвано
не только расширением, но и сдвигом уровней.
По существу рассматриваемый вопрос выходит за рамки
формальной термодинамики, и решение его требует строгого
определения того, какой электрон считать свободным и какой
связанным. Это определение может в свою очередь зависеть
от конкретной постановки задачи, для которой рассчиты-
рассчитывается равновесие ионизации. Так, в задаче о проводимости
плазмы свободными следует считать -те электроны, которые
способны проводить электрический ток. Пусть электрон на-
находится на одном из высших уровней возбуждения. Фор-
Формально он является связанным, но энергия его ионизации
мала в сравнении с энергией его взаимодействия с другими
частицами плазмы. В таких условиях слабо связанный
электрон очень легко может оторваться и принять участие
в переносе электрического тока. Другой типичной задачей
является вопрос об излучении плазмы. Здесь связанными
следует считать электроны, испускающие дискретные линии,
а свободными — электроны, испускающие непрерывный
спектр. Если электрон находится на одном из верхних воз-
возбужденных уровней, то у него есть определенная вероят-
вероятность либо «свалиться» на какой-нибудь из нижних уровней
с испусканием кванта дискретного спектра, либо подверг-
подвергнуться ионизации, в результате которой он окажется
73
свободным и сможет испустить квант непрерцвного спектра.
Наиболее строгим представляется кинетическое решение
вопроса. В зависимости от значения главного квантового
числа k находятся вероятности переходов между различны-
различными уровнями, полная вероятность излучения с переходом
на все нижележащие уровни и полная вероятность иониза-
ионизации с учетом всех возможных процессов: удара электронов
и быстрых ионов, ионизации тепловым и резонансным
излучением, воздействия флуктуирующих микрополей,
а также ионизации прямым действием электрических полей,
которая для высших уровней также может оказаться
существенной. С учетом всех перечисленных процессов
вычисляются заселенности высших возбужденных уровней.
Однако этот метод выходит уже за пределы формальной
термодинамики, так как в расчет входят величины, харак-
характеризующие не равновесие, а вероятности различных про-
процессов.
Наибольшей вероятностью обладают переходы между
соседними уровнями (при которых как главное, так и ази-
азимутальное квантовые числа меняются на единицу). Поэтому
основное значение имеет процесс, который можно назвать
диффузией электрона по верхним возбужденным уровням.
Ионизация быстро движущихся атомов может происходить
и под действием постоянного магнитного поля. Согласно
формуле A.4.1) в сопутствующей системе координат на атом
действует электрическое поле Е*. Если это поле создает
на длине, равной радиусу электронной орбиты, разность
потенциалов, достаточную для ионизации, то постоянное
магнитное поле может оторвать электрон с высокого воз-
возбужденного уровня (лоренцева ионизация).
Задачи к гл. II
Задача 1. Считая заданной константу равновесия ионизации,
вычислить равновесную степень ионизации для вещества, являю-
являющегося малой примесью в плазме, и для вещества, являющегося
основным компонентом плазмы. Степенью ионизации называется
отношение концентрации ионов к начальной концентрации атомов
/i///i0, где п0 = па+ щ.
Решение. Для малой примеси концентрацию электронов
можно считать заданной: она определяется ионизацией основного
компонента плазмы. Тогда из формулы D.9)
Щ К
Щ~ К + пе '
74
Если степень ионизации мала, то она обратно пропорциональна
общей электронной концентрации в плазме.
Для основного компонента плазмы концентрация электронов
определяется самим равновесием ионизации. Для первой ступени
ионизации пе — щ. В этом случае формула D.9) дает
«? = *«„.
Если степень ионизации велика, то заданной следует считать на^
чальную концентрацию атомов п0 = па + /г/. Тогда
или
^ П0П0 По
Степень ионизации есть положительный корень квадратного урав-
уравнения
2 п0
Если степень ионизации мала, то /г/ С п0 и приближенно
или
п0 V п0
В этом случае степень ионизации обратно пропорциональна корню
квадратному из начальной концентрации.
Задача 2. Найти температурную зависимость равновесной кон-
концентрации электронов для слабоионизованной плазмы, имеющей
основной компонент с энергией ионизации /.
Решение. Согласно результату предыдущей задачи, для
основного компонента слабоионизованной плазмы
пе = Щ :
По формуле Саха температурная зависимость константы равнове-
равновесия ионизации имеет вид
Поскольку степень ионизации мала, то и возбужденных атомов
будет немного, а следовательно, полные статистические веса сов-
совпадают со статистическими весами основных состояний и от тем-
температуры не зависят. Тогда
В узком температурном интервале удобно аппроксимировать за-
зависимость степенной
пе : : Г.
75
Для показателя степени получается
d\nne J 3
Задача 3. Вычислить равновесную степень ионизации паров
цезия как функцию температуры и концентрации электронов.
Решение. Из таблицы приложения 5 берем для цезия
численные значения:
энергия ионизации J = 3,893 эв;
энергия возбуждения первого уровня атома %1=1,38 эв.
Для основного состояния атома? S:
1
Для первого возбужденного состояния атома 2Р:
L=U S = ~y; gL = 6.
Для основного состояния иона 35:
Энергия отрыва следующего электрона 25,1 эв. Следовательно,
возбужденные состояния иона лежат высоко и их можно не учи-
учитывать, т. е. пользоваться формулой (8.6). Подставляя в нее числен-
численные значения, получаем
3>893
a Ч
1 + 3е т
Далее степень ионизации находится как в задаче 1.
Задача 4. Найти зависимость равновесной концентрации"мно-
концентрации"многозарядных ионов от температуры и концентрации электронов для
вещества, присутствующего в плазме в качестве малой примеси,
пренебрегая электронным возбуждением.
Решение. Последовательное применение формулы Саха
к различным ступеням ионизации дает:
<1е
Щ-...-
76
"Задача 5. Выразить концентрацию трижды ионизованного
кислорода О IV в плазме, где кислород присутствует в виде малой
примеси.
Решение. Аналогично предыдущей задаче, но учитывая
постоянные коэффициенты, получаем
"iv__giy23f3.102iy m
где по таблице приложения 5
пе J л е
, = 9 + 5е
2,0 4,2
15,7 20,3 22,2
?IV = 6 + 10e Т +2е т +6е т + ...,
J{ = 13,614; Jn = 35,146; /П1 = 54,87.
Задача 6. Записать приближенно формулу Саха через деброй-
левскую и комптоновскую длины волны электрона.
Решение. Дебройлевская длина волны электрона
^ то *
В' тепловом равновесии среднее значение скорости
т
откуда
К
тТ
Сопоставляя с формулой E.10), заключаем, что формулу Саха мож-
можно приближенно записать как
Произведение nXz^ Пе h3 порядка числа электронов в элементар-
(mvK ^
ной ячейке фазового пространства. Обозначив это число пе, можем
записать формулу Саха в виде
2L _ J_ е~ Т"
па пе
Комптоновская длина волны электрона
х h
1
77
Через эту величину формула E.10) запишется приближенно как
т У2 -т
Входящая сюда величина тс2 есть собственная энергия электрона,
равная 511 кэв. Комптоновская длина волны электрона 2,4265х
X 10~10 см.Полученная формула удобна для грубых численных
оценок.
Задача 7. Найти зависимость степени ионизации от концентра-
концентрации для стационарного (но неравновесного) состояния ионизации
в разреженной плазме, из которой излучение выходит свободно,
так что ионизация происходит электронным ударом, а рекомбина-
рекомбинация — с излучением. Ионизацией под действием излучения можно
пренебречь из-за того, что излучение свободно выходит из системы,
рекомбинацией при тройных столкновениях — из-за малой плот-
плотности плазмы.
Решение. Приравнивая выражения D.1) и D.6), получим
где величина /С* уже не может быть найдена из термодинамики,
а определяется сечениями процессов ионизации и рекомбинации.
Стационарное состояние ионизации не зависит от концентрации
электронов. Степень ионизации
независимо от того, является ли рассматриваемое вещество малой
примесью или основным компонентом плазмы.
Глава III
ТРАЕКТОРИИ ЧАСТИЦ В ПЛАЗМЕ
1. Дрейфовое движение
Если на не слишком плотную плазму действуют доста-
достаточно сильные внешние поля, то в разумном приближении
можно пренебречь внутренними полями, происходящими
от взаимодействия частиц. В этом приближении можно
рассматривать плазму как систему независимых заряжен-
заряженных частиц, движущихся по своим траекториям в заданных
внешних полях. Единственным внутренним полем, которым
никогда нельзя пренебрегать, является электрическое
поле поляризации, возникающее вследствие разделения
зарядов и обеспечивающее квазинейтральность плазмы.
Уравнение движения заряженной частицы в заданных
внешних полях имеет вид
где М — масса частицы; Z — ее зарядовое число; V — ее
скорость; Н — напряженность магнитного поля; F — рав-
равнодействующая всех остальных сил, действующих на части-
частицу. Уравнение A.1) векторное и, несмотря на кажущуюся
его простоту, не поддается, кроме самых простейших случа-
случаев, аналитическому решению. Поэтому важнейшее значение
в физике плазмы имеет приближенный метод решения урав-
уравнения A.1), носящий название дрейфового приближения.
Этот метод применим, если движение происходит в достаточно
сильном внешнем магнитном поле и взаимодействием между
частицами можно пренебречь. При этих условиях движение
частицы можно разложить на три составляющие:
79
1) быстрое циклотронное вращение вокруг силовых ли-
линий магнитного поля;
2) дрейфовое движение центра циклотронной окружно-
окружности поперек магнитного поля;
3) свободное движение вдоль силовой линии, на которое
магнитное поле не действует.
Иногда дрейфом называют как вторую, так и третью
составляющие. Тогда для того движения, которое мы назы-
называем дрейфовым, пользуются термином «дрейф поперек
поля».
Если сила F в уравнении A.1) отсутствует и магнитное
поле однородно, то движение частицы представляет собой
сочетание циклотронного вращения и движения вдоль
силовой линии. В зависимости от характера силы F на эту
простейшую картину накладываются различные виды дрей-
дрейфового движения. Различают пять разновидностей дрейфа.
1. Электрический дрейф: сила F есть сила постоянного
электрического поля.
Далее следуют две разновидности дрейфа в неоднород-
неоднородном магнитном поле:
2. Градиентный дрейф: поле меняется по величине.
3. Центробежный дрейф: поле меняется по направлению.
В качестве двух остальных видов дрейфового движения
рассматриваются:
4. Поляризационный дрейф: в переменном по времени
электрическом поле.
5. Дрейф под действием сил неэлектромагнитной при-
природы, например силы тяжести (гравитационный дрейф).
Дрейфовое движение обладает замечательными свой-
свойствами. Скорость направлена не вдоЛь действующей силы,
а перпендикулярно к ее направлению и к направлению
магнитного поля. Постоянная сила вызывает не равноуско-
равноускоренное, а равномерное движение. Сила электрического поля
вызывает движение ионов и электронов в одном направле-
направлении, т. е. течение плазмы как целого, а неэлектрические
силы возбуждают токи.
Своеобразные свойства дрейфового движения на первый
взгляд могут показаться противоречащими законам меха-
механики Ньютона. Но разрешение этого парадокса элементарно:
дрейф представляет собой усредненное движение. Истинное
движение, основным компонентом которого является быст-
быстрое циклотронное вращение, подчиняется, конечно,^обыч-
конечно,^обычным законам механики.
80
Дрейфовое движение является следствием циклотрон-
циклотронного вращения. Для того чтобы движение поперек поля
имело дрейфовый характер, циклотронное вращение не
должно существенно нарушаться. Для этого требуется
выполнение двух условий:
1) внешние поля должны мало меняться на длине, рав-
равной циклотронному радиусу, и завремя, равное периоду
циклотронного вращения;
2) взаимодействие между частицами не должно замет-
заметным образом возмущать циклотронное вращение.
Первое условие, накладываемое на внешние поля, носит
название условия адиабатичности.
Второе условие, накладываемое на взаимодействие меж-
между частицами, носит название условия замагнженности.
Количественно они выражаются формулами A.13.13) или
A.13.14) и A.13.15), которые мы уже рассматривали выше.
Таким образом, дрейфовое движение есть адиабатическое
движение частиц в замагниченной плазме. Мерой взаимо-
взаимодействия между частицами может считаться эффективная
частота столкновений, равная обратной величине среднего
времени передачи импульса
v = -L. A.2)
Условие замагниченности для частицы с циклотронной ча-
частотой (?>с запишется как
o),»v. A.3)
Частицы, для которых это условие выполнено, называются
замагниченными. Ввиду того что циклотронная частота
у ионов в тысячи раз меньше, чем у электронов, условие
замагниченности для электронов осуществляется гораздо
легче. Если условие A.3) выполнено как для электронов,
так и для ионов, то все частицы плазмы принимают участие
в дрейфовом движении. Возможен и нередко встречается
случай, когда
o>,»v»gv A.4)
т. е. электроны замагничены, а ионы нет. В этом случае
в дрейфовом движении принимают участие только элект-
электроны.
Приближенный метод рассмотрения движения частиц
в плазме посредством разделения его на циклотронное вра-
вращение и дрейфовое движение носит название дрейфового
4 Лекции по физике плазмы 81
приближения. Во введении (гл. I) при рассмотрении мо-
модели сплошной среды мы встречались уже с дрейфовым
приближением, для применимости которого необходимо
было условие замагниченности, тождественное с введенным
здесь. В модели сплошной среды дрейфовое приближе-
приближение совпадало с приближением идеальной проводимости.
Но идеальная проводимость означает отсутствие столкно-
столкновений, т.-е. v = 0. Таким образом, если выполнено условие
идеальной проводимости, то условие замагниченности заве-
заведомо выполняется, т. е. движение имеет дрейфовый харак-
характер.
2. Наглядное объяснение дрейфового движения
Чтобы просто и наглядно представить природу дрейфо-
дрейфового движения и оценить величину дрейфовой скорости,
рассмотрим циклотронную окружность (рис. 3). Сила
Fj_9 действующая поперек
.«____«__ -*—t магнитного поля, в одной
половине циклотронного
периода действует вдоль
направления вращения, в
другой — против этого на-
направления. Пусть сила F±
действует слева направо,
а циклотронное вращение
совершается по часовой
стрелке. Тогда в верхней
половине окружности сила
действует по направлению
вращения, в нижней —
против. В результате чЙ-
стица будет двигаться свер-
сверху вниз быстрее, чем снизу
вверх. Разность этих скоростей приведет к смещению
циклотронного кружка с постоянной скоростью в направ-
направлении, перпендикулярном как к магнитному полю, так
и к действующей силе. Это смещение и называется дрей-
дрейфом. Оценим величину скорости дрейфа. Сила F± создает
ускорение F±/M, где М — масса .частицы. За время цик-
циклотронного периода приращение скорости Av ~ F±/Mcoc.
В рассмотренном примере скорость вращения в направле-
направлении вниз будет на величину такого порядка больше,
82
Рис. 3. Схема происхождения
дрейфового движения.
вверх — меньше средней. Разность этих скоростей дает
скорость дрейфа, величина которой
М
BЛ)
или, если подставить значение циклотронной частоты,
о|«сА- B-2)
При оценке мы опускали множители порядка единицы,
но, как мы сейчас увидим, результат случайно оказался
точным. Чтобы узнать не только величину, но и направление
дрейфовой скорости, нужно записать ее выражение в век-
векторной форме, что мы сделаем дальше. Но можно очень
легко найти направление дрейфовой скорости с помощью
приведенного простого рассуждения. Из него сразу следу-
следует,_ что если циклотронное вращение происходит по часовой
стрелке, а сила F± действует слева направо, то дрейфовая
скорость будет направлена сверху вниз. Обращение любого
из направлений — магнитного поля или циклотронного вра-
вращения — обращает направление дрейфовой скорости. При
обращении обоих направлений направление дрейфовой
скорости сохраняется.
3. Количественное рассмотрение дрейфового движения
Направим ось г вдоль магнитного поля и будем считать
магнитное пбле и силу F^ постоянными в пространстве и во
времени. Распишем уравнение A.1) в проекциях:
Удобно записать эту систему в комплексном виде
± (vx + ivy) = - шс (v, + ivy) + Щ^1- ¦ C.3)
Решение этого неоднородного уравнения состоит из общего
решения однородного уравнения
х)х + ivy = const e"l ^'+ *), C.4)
4* 83
представляющего циклотронное вращение, и частного ре-
решения v неоднородного уравнения, представляющего дрей-
дрейфовое движение. Если сила F± постоянна во времени и в про-
пространстве, то частное решение легко получить, приравняв
правую часть нулю, откуда
C.5)
C.6)
ИЛИ,
в
векторной
F
форме,
V 1 -
X
— — С
~С ZeH
JFH]
6 ZeH2 '
ZeH
C.7)
При постоянной силе Fj_ разделение движения частицы
на циклотронное вращение и дрейфовое движение является
точным. Если сила Fj медленно меняется в пространстве
и во времени, то этот результат будет приближенным.
Приближение тем ближе к действительности, чем лучше
выполняется условие адиабатичности. Величина дрейфо-
дрейфовой скорости v, согласно формулам C.5)—C.6), точно
совпадает с оценкой B.2), полученной наглядным методом.
Отсюда следует, что физическая природа дрейфового
движения описывается рассмотренной выше наглядной
моделью. Направление дрейфовой скорости можно опре-
определить с помощью формулы C.7) по правилам векторного
умножения.
Векторное выражение для дрейфовой скорости можно
получить непосредственно из уравнения A.1), положив в нем
v = v + Vn C.8)
где ус — скорость циклотронного вращения, удовлетворя-
удовлетворяющая уравнению
d\r Ze
M-jf = -[ycH]. C.9)
Скорость же уд медленно меняется со временем, так что
производной ее по времени можно пренебречь. Тогда для
дрейфовой скорости уд получим
[удН] = —с^-. C.10)
84
Умножение векторно справа на Н дает
[[УдН]Н]=-с-га-, C.11)
или
[Н^дН]];^1^. C.12)
Раскрывая двойное векторное произведение, получаем
УдЯ»-Н(Нуд)=-*И^. C.13)
Если скорость уд перпендикулярна к Н, то второй член
слева равен нулю, и получается
C.14)
в согласии с результатом C.7). Удобно записать плотность
тока, переносимого дрейфовым движением
h — nk Lh evk — c —#2— • (<*• ib)
Индекс k означает, что речь идет о токе, переносимом ча-
частицами данного вида, на которые действует сила F&, зави-
зависящая, вообще говоря, от массы и заряда частицы. Полная
плотность тока находится суммированием по индексу k,
нумерующему как электроны, так и ионы.
4. Электрический дрейф
Простейший случай дрейфового движения тот, когда
силой Fj_ является сила электрического поля. Такой дрейф
называется электрическим. Его называют также дрейфом
в скрещенных полях, так как электрическое поле здесь на-
направлено поперек магнитного. Электрическое поле Е дей-
действует на частицу с зарядовым числом Z с силой
F = ZeE. D.1)
Отсюда скорость электрического дрейфа согласно формуле
C.7)
v*=*™, D.2)
85
или по абсолютному значению
В практических единицах
н '
D.3)
•\rcM_
\-сек\
'[-1
= 1U н
[эрстед]
Очевидно, эти формулы применимы лишь при условии,
что в гауссовой системе единиц напряженность электриче-
электрического поля значительно меньше напряженности магнитного
Е « Н. D.4)
В противном случае скорость дрейфа будет приближаться
к скорости света и нужно будет пользоваться релятивист-
Рис. 4. Электрический дрейф.
ской механикой. Особенность формулы D.2) заключается
в том, что при выводе ее зарядово^ число сокращается.
Вследствие этого скорость электрического дрейфа не зави-
зависит от заряда частицы. Электроны и ионы дрейфуют при
этом в одном направлении и с одинаковой скоростью.
Если магнитное поле направлено к нам, а электрическое
поле вверх, то все частицы дрейфуют вправо (рис. 4). Та-
Таким образом, если и электроны, и ионы замагничены, то
86
Электрический дрейф не приводит к разделению зарядов,
а вызывает только движение плазмы как целого. Скорость
дрейфа совпадает с той скоростью, которая получалась
в модели проводящей жидкости из условия идеальной
проводимости [формула A.4.4)]. В полностью замагнй-
ченной плазме электрический дрейф происходит таким же
образом, как в идеально проводящей жидкости.
Картина резко изменяется в случае, если выполнено
неравенство A.4,), т. е. если замагничены только электро-
электроны, но не ионы. В этом случае дрейфуют только электроны
и электрический дрейф приводит к разделению зарядов.
5. Дрейф в неоднородном магнитном поле
Строгое рассмотрение движения заряженных частиц
в неоднородных магнитных полях требует громоздких мате-
математических выкладок. Мы покажем, как получить правиль-
правильные результаты из нестрогих, но наглядных допущений.
Изменение напряженности магнитного поля по величи-
величине (градиент поля) приводит к изменению циклотронного
радиуса частицы RCi что и является причиной градиент-
градиентного дрейфа.
Ввиду того что циклотронное вращение происходит
в плоскости, перпендикулярной к силовым линиям, дрейф
вызывается только градиентом магнитного поля поперек
его направления, который мы будем называть поперечным
градиентом и обозначать посредством v_l^*- Если бы поло-
половина циклотронного оборота совершалась с малым радиу-
радиусом jRx, а половина — с большим радиусом R2) то среднее
положение частицы смещалось бы за один оборот на рас-
расстояние Дх = 2 (R2 — Rx) = 2AR (рис. 5). Смещение за еди-
единицу времени (т. е. дрейфовая скорость) есть смещение за
период, умноженнре на частоту -^-. Если учесть, что цикло-
тронный радиус меняется не скачком, а непрерывно, то
оказывается**, что Ах = nARCy и для скорости градиент-
градиентного дрейфа получается простой результат
\vH\=±ARc<oc> E.1)
* Под знаком градиента стоит, конечно, не вектор напряжен-
напряженности магнитного поля, а ее величина.
** См. задачу 1.
87
где kRc — изменение циклотронного радиуса на его соб-
собственной длине
R2
так как циклотронный радиус Rc = McvL /ZeH обратно
пропорционален напряженности поля. Отсюда
Подставляя сос = v±/Rc, получаем окончательно
E.2)
Если магнитное поле направлено к нам, то положительные
частицы движутся по часовой стрелке, отрицательные —
О
VH
Л L
Рис. 5. Схема происхождения градиентного дрейфа.
против часовой стрелки. Если при этом напряженность
магнитного поля возрастает вверх, то положительные ча-
частицы будут дрейфовать влево, а отрицательные — вправо,
как видно из рис. 5 и 6.
Формула E.2) определяет скорость градиентного дрейфа
только по величине, но не по направлению. Чтобы опреде-
определить направление дрейфовой скорости, нужно записать
формулу E.2) в векторной форме. Составляющую градиента
в направлении, перпендикулярном к Я, можно пред-
ставить как векторное произведение
где h — единичный вектор в направлении магнитного поля.
Подстановка в формулу E.2) дает выражение скорости гра-
градиентного дрейфа в векторном виде
С помощью рис. 5 можно проверить, что эта формула дает
правильное направление дрейфовой скорости.
Рис. 6. Градиентный дрейф.
Магнитное поле направлено к нам и возрастает вверх.
Положительные частицы дрейфуют влево, отрицатель'
ные —вправо. Дрейфовый ток направлен влево.
Подстановка в формулу E.2а) значения Rc дает
Mv\
2ZeH*
E.3)
Заметим, что тождественный результат можно получить
из общего выражения дрейфовой скорости C.7), если под-
подставить в него фиктивную силу
F^-^ytf, E.4)/
где [д, — магнитный момент орбиты, определенный как от-
отношение кинетической энергии вращения к напряженности
поля
Mv
2
J
2#
E.5)
4В. Лекции по физике плазмы
При этом, однако, прйходйтсй рассматривать магнитный
момент как скаляр. Формула E.4) очень удобна и дает
совершенно точный результат для скорости дрейфа, но не
имеет прямого физического смысла.
Изменение направления магнитного поля может быть
описано как искривление магнитных силовых линий.
Центр циклотронного кружка движется по искривленной
силовой линии и можно считать, что на него действует
центробежная сила, величина которой
где R — радиус кривизны силовой линии. Эта сила направ-
направлена вдоль радиуса кривизны, т. е. по нормали к силовой
линии. Следовательно, ее можно подставлять в формулу
B.2) как F±. Величина скорости центробежного дрейфа
определится согласно формуле B.2)
Чтобы найти направление дрейфовой скорости, нужно
воспользоваться векторной формулой C.7). Если рассмат-
рассматривать радиус кривизны как вектор R (радиус-вектор), на-
направленный от центра кривизны к силовой линии, то в век-
векторном виде центробежная сила
F = ^R E.6а)
и после подстановки в формулу C.7) получится векторная
формула для скорости центробежного дрейфа
Если магнитное поле направлено к нам и выпукло вверх,
то положительные частицы дрейфуют вправо, отрицатель-
отрицательные влево (рис. 7)..
Скорости градиентного и центробежного дрейфов зави-
зависят от заряда частицы, так что противоположно заряжен-
заряженные частицы дрейфуют в противоположных направлениях.
Следовательно, неоднородность магнитного поля возбуж-
возбуждает в плазме дрейфовые токи, приводящие к разделению
90
Зарядов. Плотность дрейфового тока
j = Zen уд,
откуда для градиентного дрейфа
nMv2.
и для центробежного
nMvf,
[RH],
E.10)
E.11)
где п — концентрация, т. е. число частиц в единице объема.
Рис. 7. Центробежный дрейф.
Магнитное поле направлено к нам и выпукло вверх. Поло-
Положительные частицы дрейфуют вправо, отрицательные—влево.
Дрейфовый ток направлен вправо.
Эти выражения можно упростить, если ввести продоль-
продольное Рц и поперечное Р± давления плазмы. Давление равно
произведению концентрации на среднюю энергию, при-
приходящуюся на две степени свободы. В продольном направ-
направлении частица имеет одну степень свободы, в поперечном —
две, откуда
P\\ = nMvf\; E.12)
P± = n*^. E.13)
Таким образом, градиентный дрейф определяется попе-
поперечным, а центробежный — продольным давлением плазмы
4В*
91
согласно формулам
Jh = c^[Hv#]; E.14)
p E.15)
Эти формулы дают суммарный ток, переносимый частицами
всех родов, поскольку как давления, так и дрейфовые токи
складываются. По величине
Р± р±
где
L = —
есть характерная длина изменения магнитного поля;
где R — радиус кривизны силовой линии.
Чтобы не путать вектор Н с его величиной, иногда пишут
формулы для градиентного дрейфа в несколько ином виде,
заменяя уН на ^ V #2- Тогда формула E.3) примет вид
tfV#2], E.18)
а формула E.14) —
Ну Я2]. E.19)
6. Поляризационный дрейф
Если частицы испытывают постоянное или медленно
меняющееся ускорение v, то уравнение движения можно
записать в 1шде
If + v) =4 fvH] + F, F.1)
что совпадет с уравнением A.1), если к силе F добавить
инерционную силу
F* = —М\. F.2)
92
Инерционные силы вызывают инерционный дрейф, про-
проявляющийся в соответственном дрейфовом токе. Важней-
Важнейшим случаем инерционного дрейфа является поляризаци-
поляризационный дрейф, где ускорение происходит от изменения
скорости электрического дрейфа, вызванного переменным
электрическим полем. Если скорость изменения электриче-
электрического поля есть Ё, то электрический дрейф происходит
с ускорением
Уе=сЦ^, F.3)
создающим инерционную силу
F* = -McM. F.4)
Эта сила, согласно формуле C.7), вызывает дрейф частиц
со скоростью
v -
vn -
н
ZeH2 "" ZeH*
Рассмотрим простейший случай, когда переменное
электрическое поле направлено поперек магнитного. В этом
случае второй член обращается в нуль и скорость поляри-
поляризационного дрейфа оказывается направленной вдоль элект-
электрического поля
F.6)
Таким образом, поперечное переменное электрическое поле
вызывает в замагниченной плазме дрейфовый ток плот-
плотностью
где р = SM^ nk — плотность плазмы.
k
Плотность дрейфового тока пропорциональна массе
частицы, так что он переносится практически целиком иона-
ионами. Этот дрейфовый ток во многих случаях оказывается
гораздо существеннее, чем ток, происходящий от попереч-
поперечной проводимости плазмы,
93
Дрейфовый ток пропорционален не самой напряженно-
напряженности электрического поля, а скорости ее изменения. В этом
смысле он аналогичен току смещения j</, возникающему при
поляризации диэлектриков. Согласно уравнению Максвелла
.. „ г дЕ 1 дЕ . 4п .
rotH + b
Из сопоставления с формулой F.7) следует, что в пере-
переменном электрическом поле, направленном поперек магнит-
магнитного, плазму можно рассматривать как среду с электриче-
электрической проницаемостью
sx = l+-ftr. F-9)
Если е± 3> 1, то соответствующий показатель преломления
Ц^. F.10)
Ему отвечает фазовая скорость волны
тт
UA = ~VW FЛ1)
называемая альфвеновской скоростью.
Эти результаты справедливы, если справедливо дрей-
дрейфовое приближение, т. е. движение можно считать адиаба-
адиабатическим. Для этого частоты рассматриваемых процессов
должны быть малы в сравнении с наименьшей из цикло-
циклотронных частот, т. е. с ионной циклотронной частотой со/.
7. Ток намагничивания
Екнеоднородной плазме, кроме тока проводимости и дрей-
дрейфовых токов, имеется еще один механизм возникнове-
возникновения электрического _тока, связанный с пространственной
неоднородностью. Возникающий от этого ток называется
током намагничивания. При этом под неоднородностью по-
понимается переменность в пространстве любой из основных
величин, характеризующих плазму: концентрации заря-
заряженных частиц, температуры (или средней кинетической
энергии циклотронного вращения) и напряженности магнит-
магнитного поля. Однородной мы называем только такую плазму,
у которой все эти величины не меняются в пространстве.
94
Переменность хотя бы одной из них приводит к возникнове-
возникновению тока намагничивания. Мы уже видели, что вращение
заряженных частиц вокруг магнитных силовых линий
создает магнитный момент орбиты, который мы определили
только по величине как
*-"&¦ G.1)
Для количественного описания тока намагничивания необ-
необходимо определить магнитный момент циклотронной орби-
орбиты не только по величине, но и по направлению, т. е. рас-
рассматривать его как вектор. Заметим, что магнитный момент
замкнутого тока /, обтекающего виток площади S
Ц = ТП' G-2)
где п — правовинтовая нормаль к плоскости витка. Если
ток течет по часовой стрелке, то магнитный момент его
направлен от нас. Ток, переносимый вращающимся заря-
зарядом, равен произведению заряда Ze на число оборотов
/2
J=~2T- G-3)
Площадь орбиты
S = nRt = л^~ , G.4)
где v_i — линейная скорость вращения в плоскости, перпен"
дикулярной к магнитному полю. Подстановка в формулу
G.2) дает
li = ~ ^ п, G.5)
что после подстановки значения сос позволит получить
результат, тождественный с результатом формулы G.1).
Частицы с зарядами разных знаков вращаются в противо-
противоположных направлениях, но токи, переносимые ими, на-
направлены одинаково, а следовательно, одинаково направ-
направлены и магнитные моменты. Как мы видели, если магнит-
магнитное поле направлено к нам, то положительные частицы
вращаются по часовой стрелке, отрицательные — против.
Ток, переносимый теми и другими, направлен по часовой
95
стрелке. Магнитный момент этого тока (так же как и поле,
возбуждаемое им) направлен от нас, т. е. против направле-
направления внешнего магнитного поля. Таким образом, циклотрон-
циклотронное вращение создает диамагнетизм плазмы. Магнитный
момент циклотронного вращения для всех частиц направлен
против внешнего поля Я и в векторной форме формулу
G.1) следует писать как
Mv
*
G.6)
независимо от знака заряда частицы. Магнитное поле, соз-
создаваемое циклотронным вращением, всегда ослабляет внеш-
внешнее поле. Магнитная индукция внутри плазмы
где Но — внешнее поле; Н' — поле, вызванное циклотрон-
циклотронным вращением. Как известно из электродинамики,
В = Н0A+4яХ), G.7)
где % — магнитная восприимчивость плазмы.
S
Величина 2я^|х^ есть магнитный момент единицы объема
(намагничивание плазмы). Здесь nk — число частиц с маг-
магнитным моментом \ik в единице объема. Индекс k нумерует
все частицы, как ионы, так и электроны. Поскольку магнит-
магнитные моменты [х всех частиц плазмы направлены против внеш-
внешнего поля Но, магнитная восприимчивость % отрицательна.
Из сопоставления равенства G.7) с равенством G.8) следует
Н' = 4лхН0==4я^лА»ц. G.9)
Если намагничивание плазмы постоянно во времени,
но меняется в пространстве, то, согласно уравнению Макс-
Максвелла, с полем Н' связан ток
= irot н/ = с rot
G.
Этот ток называют током намагничивания, или, иначе,
диамагнитным, циклотронным или ларморовским током.
Удобно рассматривать ток намагничивания вместе с внеш-
внешними токами. Тогда величина, определенная формулой
G.7), будет рассматриваться не как индукция, а как напря-
напряженность магнитного поля внутри плазмы.
Существование тока намагничивания является очень
важным свойством неоднородной плазмы. И если его не учи-
учитывать, то это приводит к ряду тяжелых парадоксов, кото-
которым уделено много места в литературе по физике плазмы.
После подстановки значения магнитного момента jm
из формулы G.6) выражение для тока намагничивания
G.10) принимает вид
|(^^). G.11)
Так же, как и в случае дрейфового тока, ток намагничива-
намагничивания очень удобно выразить через давление плазмы с помо-
помощью соотношения E.13). Здесь только надо учесть направ-
направление вектора fi согласно формуле G.6), откуда
jM = — crot^H. G.12)
Поясним наглядно происхождение тока намагничива-
намагничивания. В однородной плазме циклотронные токи всех частиц -
взаимно погашаются. Это погашение происходит не от ква-
квазинейтральности, а от однородности. Частицы разных заря-
зарядов вращаются в противоположных направлениях и, сле-
следовательно, дают круговые токи одинакового направления.
Магнитные моменты и циклотронные токи электронов
и ионов не погашаются, а складываются. С точки зрения
магнитного момента и циклотронного тока квазинейтраль-
квазинейтральная плазма не отличается от электронного газа, состоящего
из частиц одинакового знака. Но однородность плазмы
приводит к взаимному погашению циклотронных токов,
переносимых частицами, находящимися в разных точках,
независимо от их заряда.
Пусть магнитное поле направлено к нам. Следователь-
Следовательно, все круговые токи текут по часовой стрелке (рис. 8).
Токи от кружков, ведущие центры которых лежат выше
рассматриваемой линии, текут влево, от нижних кружков —
зправо. В однородной плазме эти токи полностью погаша-
97
ются (рис. 8, а). В неоднородной плазме (рис. 8, б) погаше-
погашения не будет. Если магнитное поле направлено к нам,
а плотность плазмы возрастает вверх, то ток намагничива-
намагничивания будет течь влево. Аналогичный результат получится
и от неоднородности поперечной скорости или магнитного
поля. В дальнейшем мы будем всегда рассматривать ток
намагничивания на равных правах с внешними токами, те-
текущими через плазму. Тогда магнитную индукцию в плаз-
плазме, так же как и в пустом пространстве, можно считать
равной (в гауссовой системе
единиц) напряженности
магнитного поля Я, как мы
и будем поступать. Диамаг-
Диамагнетизм плазмы при этом
учитывается тем, что к за-
заданным внешним токам до-
добавляется ток * намагничи-
намагничивания, создающий магнит-
магнитное поле, направленное
против приложенного
внешнего дтоля.
Кроме диамагнитных
свойств, связанных с цик-
циклотронным вращением,
плазма может проявлять
также и парамагнитные свойства. Как мы увидим в разде-
разделе (II 1.9), упругое отражение частиц от ограничивающих
плазму поверхностей приводит к возникновению парамаг-
парамагнитного краевого тока. При полном термодинамическом
равновесии краевой ток полностью компенсирует диамаг-
диамагнетизм ^плазмы, так что магнитная восприимчивость рав-
равновесной плазмы оказывается равной нулю.
Кроме краевого парамагнетизма в плазме возможен и не-
небольшой внутренний парамагнетизм, связанный с анизо-
анизотропией столкновений.
8. Квазигидродинамическое приближение
Ток намагничивания вместе с дрейфовым током создает
механизм передачи давления в разреженной плазме. В газе
из нейтральных частиц передача давления происходит
только посредством столкновении. Гидродинамическое опи-
описание поведения такого газа с помощью силы градиента
98
Рис. 8. Происхождение тика на-
намагничивания:
а—однородная; б— неоднородная плазма.
давления допустимо только при достаточно высоких плот-
плотностях, когда длина свободного пробега частиц мала в срав-
сравнении с рассматриваемыми размерами. В замагниченной
плазме в направлении поперек магнитного поля уравнения,
подобнее гидродинамическим, оказываются применимы
и при низких плотностях, т. е. больших длинах пробега.
Такое приближенное описание свойств разреженной плаз-
плазмы с использованием силы градиента давления носит назва-
название квазигидродинамического приближения. Оно оказывает-
оказывается возможным в силу существования механизма передачи
давления токами, текущими в плазме,—дрейфовым током
и током намагничивания.
Уравнение, описывающее движение плазмы в квази-
квазигидродинамическом приближении, можно получить чрезвы-
чрезвычайно простым путем. Для этого выразим плотность тока
через магнитное поле из уравнения Максвелла. При этом
для медленных движений пренебрегаем током смещения
и записываем уравнение Максвелла в виде
J«?rotH. (8.1)
В это уравнение подставляем в качестве плотности тока
сумму всех дрейфовых токов и тока намагничивания. Для
того чтобы включить в рассмотрение нестационарные про-
процессы, вводим, кроме градиентного и центробежного, также
и инерционный дрейф. Для этого подставим формулу F.2)
в выражение C.15) и просуммируем по всем сортам частиц,
обозначенным индексом k. Тогда полный ток инерционного
дрейфа
(8.2)
k
где
p = %nkMk (8.3)
плотность плазмы;
V =
средняя массовая скорость. Полный дрейфовый ток поперек
магнитного поля определится суммированием токов от
градиентного, центробежного и инерционного дрейфов и то-
тока намагничивания
Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой
векторного анализа
откуда
р
t
f [V#-H]. (8.6)
Подставив выражение (8.6) в выражение (8.5), получаем,
учитывая, что (НуН) = —[ЯН]
— p[vH]— P±rotHJ. (8.7)
Подстановка этого значения jL в уравнение (8.1) дает ре-
результат, который мы запишем в виде
otH, (8.8)
где вектор F есть сумма всех движущих сил, вызывающих
токи
F=P^v#+^R-v^-pv. (8.9)
Векторное произведение [FH] зависит только от поперечной
составляющей вектора F, так что его можно заменить
на [Fj_H]. Умножим обе части равенства (8.8) слева вектор-
но на Н и преобразуем правую часть по формуле A.3.7).
Результат можно записать как
) (8.10)
о
Поскольку уравнение выведено из дрейфового приближе-
приближения, то реальный смысл имеет только поперечная его состав-
составляющая (к движению вдоль поля дрейфовое приближение
неприменимо). Если магнитное поле меняется только попе-
J00
рек своего направления, то (Ну)Н = 0, откуда
После подстановки значения F из выражения (8.9) для
этого частного случая
pvj. = -V±Px-V±? + ^-R. (8.12)
В это уравнение входят только составляющие векторов,
перпендикулярные к магнитному полю. Оно отличается
от уравнения магнитной гидродинамики A.3.9) только по-
последним членом правой части, учитывающим центробеж-
центробежную силу, происходящую от искривления магнитных
силовых линий.
9. Плазма как диамагнитная среда
Как видно из формул G.9) и G.6), циклотронное вращение
внутри объема, занятого замагниченной плазмой, позволяет
приписать ей внутреннюю диамагнитную восприимчивость
(9Л>
или, после подстановки формулы E.13),
Мы называем эту восприимчивость внутренней, потому
что она связана только с круговыми токами, текущими
внутри плазменного объема. Полный магнитный момент
плазмы зависит от краевых условий. В необходимости
их учета можно убедиться из общих термодинамических
соображений. Магнитное поле не совершает над частицей
никакой работы. Но если плазма обладает магнитной вос-
восприимчивостью, то возбуждаемый в ней внепйгам полем маг-
магнитный момент приобретает в том же поле энергию. Следо-
Следовательно, в идеализированном случае полного термодина-
термодинамического равновесия, когда полная энергия плазмы одно-
однозначно связана с энергиями частиц, магнитная восприим-
восприимчивость плазмы должна быть равной нулю в кажущемся
противоречии с формулой (9.1).
101
Этот парадокс разрешае^й учетом краевых условий.
Если плазма находится в полном термодинамическом равно-
равновесии, то она не должна отдавать энергию наружу, т. е.
частицы должны упруго отражаться от границы плазмы.
Но в результате упругого отражения возникает краевой
ток, циркулирующий в направлений, обратном току цикло-
циклотронного вращения (рис. 9). Пусть магнитное поле направ-
направлено к нам, циклотронные токи текут по часовой стрелке,
Рис. 9. Краевой парамагнитный ток при упру-
упругом отражении частиц:
а —отражение под острым углом; б —отражение под
тупым углом.
тогда краевой ток течет против часовой стрелки. Этот ток
возникает по чисто геометрической причине, из-за того что
при упругом отражении угол отражения равен углу
падения. Краевой ток создает парамагнитный момент, на-
направленный по исходному полю. Величина магнитного мо-
момента тока пропорциональна площади витка. Поэтому, хо-
хотя в создании парамагнитного тока участвуют только крае-
краевые частицы, величина магнитного момента пропорцио-
пропорциональна полному числу частиц в плазме. Расчет показывает,
что при идеальном упругом отражении парамагнитный
момент краевого тока в точности компенсирует внутрен-
внутренний диамагнитный момент и полная восприимчивость
плазмы равна нулю, как этого и требует термоди-
термодинамика. Если условия идеального упругого отражения
102
йе соблюдены, t. e. имею?сй notepn энергии, то магнитной
восприимчивость плазмы зависит от краевых условий.
Противоположный предельный случай будет возможен,
когда частицы совсем не отражаются от поверхности плаз-
плазмы (например, если при каждом ударе о стенку происходит
рекомбинация). В этом случае полная восприимчивость бу-
будет равна внутренней, т. е. выражаться формулами (9.1)
или (9.2). Эти формулы дают, таким образом, наибольшее
возможное значение магнитной восприимчивости плазмы.
Реальное значение лежит между нулем и этим максимальным
значением в зависимости от краевых условий. Выше мы
вводили как безразмерную характеристику плазмы величи-
величину отношения газового давления к магнитному
6 = —
Максимальное значение -магнитной восприимчивости за-
магниченной плазмы, определяемой по формуле (9.2), очень
просто связано с этой величиной
у =JL (9.3)
Кт 8л%
Холодной мы называем плазму, у которой C <^ 1. Как
видим, у холодной плазмы магнитная восприимчивость
мала. Для плазмы, удерживаемой магнитным полем, зна-
значение Р не может превосходить единицы, а следовательно,
магнитная восприимчивость даже и в сильно неравновес-
неравновесном состоянии не может достигать больших значений. При
приближении к термодинамическому равновесию она всегда
стремится к нулю.
Все приведенные результаты, касающиеся магнитной
восприимчивости, относились'к плазме, в которой цикло-
циклотронное вращение не нарушается столкновениями. Такую
плазму мы называем замагниченной. Для замагниченности
нужно, чтобы время передачи импульса т было велико
в сравнении с периодом циклотронного вращения
(совт>1) или, что то же самое, чтобы длина свободного про-
пробега / была велика в сравнении с циклотронным, радиусом
(I > i?c). Если это условие нарушается, то магнитная вос-
восприимчивость плазмы уменьшается и в пределе при малых
длинах пробега стремится к нулю, так как упорядоченные
круговые токи исчезают.
103
Для количественной оценки магнитной восприимчиво-
восприимчивости плотной плазмы можно по-прежнему пользоваться
формулой G.2), но считать, что ток течет не по кругу, а по
двойному сегменту с радиусом кривизны, равным цикло-
циклотронному радиусу Rc, и хордой, равной длине пробега /.
Площадь такого сегмента, умноженная на ток и деленная
на скорость света, даст магнитный момент орбиты.
При пользовании уравнениями Максвелла для описания
поведения плазмы в электромагнитных полях различие
между напряженностью магнитного поля и магнитной ин-
индукцией проявляется, если не включать ток намагничивания
в число действующих токов. Однако, как мы видели, не
учитывать ток намагничивания неудобно, так как это при-
приводит к ряду сложных парадоксов. Практически целесооб-
целесообразно рассматривать ток намагничивания наравне с током
проводимости и дрейфовыми токами и включать его в общую
плотность тока. При таком методе описания плазмы напря-
напряженность магнитного поля в ней тождественно равна
магнитной индукции, т. е. магнитная проницаемость тож-
тождественно равна единице. В литературе о плазме так чаще
всего и поступают, причем одну и ту же величину одни ав-
авторы называют напряженностью магнитного поля, другие—
магнитной индукцией.
Значение парамагнитного краевого тока можно найти,
не рассматривая траектории частиц. Представим себе, что
ца границе между плазмой и удерживающим ее магнитным
полем помещена идеальная бесконечно тонкая оболочка,
упруго отражающая частицы и полностью передающая
получаемый импульс магнитному полю. Согласно условию
магнитостатического равновесия A.3.9), скачок давления
плазмы на поверхности оболочки должен уравновешиваться
скачком магнитного давления:
А (Н2/8п) ж ЯАЯ/4я = — Р±.
Из граничных условий к уравнениям электродинамики сле-
следует, что скачку магнитного поля должен отвечать поверх-
поверхностный ток
(в единицу длины плазменного столба), который создает
IS оР, о
магнитный момент ~ ж — «S, компенсирующий внутренний
диамагнитный момент плазмы S
k
104
Задачи к гл. III
Задача 1. Вывести выражение для скорости градиентного дрей-
дрейфа, учитывая непрерывность изменения циклотронного радиуса.
Решение. Пусть магнитное поле направлено по оси z и ме-
меняется вдоль оси у. Радиус кривизны траектории частицы в каждой
точке равен значению циклотронного радиуса для этой точки
где s — расстояние вдоль траектории; 8- — угол между касательной
к траектории и произвольным фиксированным направлением. Если
взять это направление вдоль оси х, то
dx = ds cos & = Rc cos #d&.
В дрейфовом приближении циклотронный радиус меняется медлен-
медленно и его можно разложить в ряд
dRr
где
у я& Rc cos Ь.
Смещение частицы за один оборот
2тс 2%
Ax = ^\ycos Ш ~*cd-§f\ cos* Ш.
о о
Интеграл равен я, откуда дрейфовая скорость
А «с_ 1 п dRc
vH = А* 2к = 2 Нс dy <^,
что совпадает с формулой E.1).
Задача 2. Рассмотреть движение заряженной частицы в маг-
магнитном поле прямого тока и сравнить с дрейфовым приближением.
Решение. Радиус кривизны траектории в каждой точке
равен циклотронному радиусу частицы
где Ь — угол между касательной к траектории и произвольным
фиксированным направлением; s — длина, отсчитываемая вдоль
траектории. Поскольку движение вдоль поля происходит по инер-
инерции, то его рассматривать не нужно. Будем считать, что искомая
траектория лежит в плоскости, перпендикулярной к магнитному
полю. Пусть проводник с током пересекает эту плоскость в точке О,
которую примем за начало полярной системы координат. Проведем
из точки О радиус-вектор к частице и угол между радиусом-век-
105
тором О А и касательной к траектории ЁА обозначим 6 (рис. 10)
и Ф — угол между радиусом-вектором и произвольным фиксиро-
фиксированным направлением Ох. Тогда
dr = dscos 6.
Для радиуса кривизны R получим уравнение
1 db
Рис. 10. Движение заряженной частицы в магнитном поле
прямого тока.
С другой стороны, из рис. 10
г dy — dr tg 9.
Комбинируя эти два уравнения, получаем ~^dq> = sin 9 (dQ +
Для магнитного поля прямого тока Я : : Иг; R = Rc: : г,
т. е: r/R — величина постоянная. В этом случае легко найти угол
между дв^умя соответственными положениями частицы
sin
1
D
(*)
В дрейфовом приближении E.2) циклотронная орбита переме-
перемещается с дрейфовой скоростью
У ~н
dr
i06
Для магнй-fHOfo поля прямого тока dH/dr *= —Н/r, откуда
Угловое премещение за один период
/Re
Тот же результат получится, если точную формулу (*) разложить
в ряд и отбросить члены со степенями Я/г, начиная от четвертой.
Очевидно, что дрейфовое приближение применимо только при усло-
условии, если R/r — малая величина.
Задача 3. Выразить в явном виде условие применимости дрей-
дрейфового приближения для движения заряженной частицы в магнит-
магнитном поле прямого тока.
Решение. Напряженность магнитного поля прямого тока /
И== сг '
где г —расстояние в плоскости, перпендикулярной к току. Ци-
Циклотронный радиус
v I Me2 v -
d
Кс ~ фс - 2JZe Л
Характерная длина изменения магнитного поля равна в данном
случае расстоянию г, так как
d\nH \_
dr — ~~ г *
Условие применимости дрейфового приближения имеет вид
в согласии с результатом задачи 2. Подстановка значения Rc даст
условие в явном виде
Mc2v,
L r i
2JZe ^ '
Расстояние г сюда не входит, так что если . дрейфовое приближение
применимо, то оно применимо на любых расстояниях.
Задача 4. На плазменный цилиндр наложено радиальное элект-
электрическое поле, заставляющее плазму вращаться. Найти энергию
системы, считая, что вращение происходит со скоростью электри-
электрического дрейфа. Из сравнения с энергией цилиндрического конден-
конденсатора определить эффективную поперечную диэлектрическую про-
проницаемость плазмы.
107
Решение. Если вращение происходит со скоростью
электрического дрейфа, то кинетическая энергия на единицу объема
Полная плотность энергии-
Если рассматривать ту же систему как цилиндрический конденсатор,
наполненный средой с диэлектрической проницаемостью 8, то
плотность энергии составит гЕ2/8п. Из сравнения находим эффек-
эффективную диэлектрическую проницаемость плазмы поперек магнит-
магнитного поля
j
Я2
в согласии с формулой F.9), полученной из рассмотрения поляри-
поляризационного дрейфа.
Глава IV
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ В ХОЛОДНОЙ ПЛАЗМЕ
1. Основные понятия и определения
Холодной мы называем плазму, у которой газовое дав-
давление мало в сравнении с магнитным
« 8кР
Если это условие выполнено, то при рассмотрении боль-
большинства вопросов, относящихся к колебаниям плазмы,
можно полностью пренебречь тепловым движением и рас-
рассматривать только усредненное движение под действием
внешних сил. Будем сначала пренебрегать также столкно-
столкновениями и всеми процессами, приводящими к затуханию
колебаний, т. е. к рассеянию (диссипации) энергии. Такое
приближение -иногда называют приближением идеальной*
плазмы. Затухание введем позже как малую поправку.
Теория колебаний холодной плазмы заключается в сов-
совместном рассмотрении уравнений движения проводящей
среды и уравнений электродинамики Максвелла. Для ана-
анализа колебаний уравнения Максвелла удобно преобра-
преобразовать.
Применяя операции rot к обеим частям уравнения
rotE = —i-f> A.1)
получаем
rot rot E = -j, rot H.
* Здесь идеальность понимается в гидродинамическом смысле
в отличие от термодинамического, е которым мы имели дело в гл. II.
109
Подстановка сюда уравнения
rotH" —jt + t
дает
Раскрывая операцию rot rot по формулам векторного
анализа, приходим к результату
AE-vdivE^^-^ + ^^. A.3)
Ищем решение в виде плоской волны, распространяющейся
вдоль оси ху в которой любая величина / должна зависеть
от координаты и времени как
где / — комплексная амплитуда; со — круговая частота;
k — волновое число. Фазовая скорость волны щ == со/&;
групповая скорость ит = ды/dk. Уравнение, связывающее
со и ky называется дисперсионнымуравнением. Показатель
преломления N = с1щ = kc/®9 где с — скорость света
в пустоте. Если фазовая скорость не зависит от частоты
(со : : k)9 то групповая скорость численно равна фазовой;
в этом случае можно говорить просто о скорости распро-
распространения волны. Зависимость фазовой скорости от частоты
.называется дисперсией; она приводит к различию между
групповой и фазовой скоростями.
Чтобы определить фазовую и групповую скорости не
только по величине, но и по направлению, вводят волновой
вектор к, длина которого равна волновому числу; а направ-
направление определено таким образом, чтобы в плоской волне
любая величина f зависела от координат и времени как
Направление фазовой скорости есть направление волнового
вектора, т. е. направление, в котором распространяется
определенная фаза волны. В анизотропной среде частота
связана не только с величиной, но и с направлением волно-
волнового вектора, т. е. дисперсионное уравнение имеет вид
F(co, kv kz, *8) = О,
НО
где kl9 k2i k3 — составляющие волнового вектора. В ре-
результате дифференцирования этого уравнения получим
dco = иг dkx + u2 dk2 + u3 dk3.
Коэффициенты и19 и2, и3 имеют размерность скорости и рас-
рассматриваются как составляющие вектора групповой ско-
скорости. В векторной форме
day = (Updk),
что иногда записывают символически как
Направление групповой скорости "есть направление пере-
переноса энергии волной.
В дальнейшем оси координат будем выбирать так, чтобы
k2 = 0. Под k± будет пониматься составляющая волнового
вектора по нормали к магнитному полю, под k3 — вдоль
поля.
В линейном приближении уравнения для комплексных
амплитуд / имеют такой же вид, как и уравнения для ве-
величин /. В дальнейшем не будем делать различия между
обозначениями комплексных амплитуд и переменных вели-*
чин там, где это специально не необходимо. Для плоской
волны дифференциальным операторам отвечают алгебраи-
алгебраические операции:
АЕ-— ?2Е; vdivE = —k(kE);
а2 е д]
-^г = — со2 Е; -дТ = — ш].
Уравнение A.3) дает
^E + «^-j. A.5)
Уравнения движения электронов и ионов без учета столк-
столкновений и других диссипативных процессов имеют вид:
A.6)
A.7)
Будем рассматривать линейные колебания. Тогда лагран-
жеву производную dldt можно заменить частной производ-
производной d/dt и в произведении [vH] пренебречь собственным
111
полем волны, т. е. заменить Н на постоянное внешнее поле
Но. В дальнейшем собственное магнитное поле волны, ког-
когда оно нам понадобится, будем обозначать Н. Преобразуем
уравнения A.6) и A.7) так, чтобы получить уравнения
для массовой скорости
v __ пе т\е + Щ Mvj __ пет \е + щ M\t ,j g^
пе т + nt M p v • /
и плотности тока
j - е (Znt v, — пе \е) ж пе (v, — v#). A.9)
При этом будем пользоваться условием квазинейтральности
пе = 1пг~п A.10)
и пренебрегать массой электрона т в сравнении с массой
иона М. Сложение уравнений A.6) и A.7) с весами пет
и щМ дает гидродинамическое уравнение
Вычитание этих уравнений с пренебрежением членами,
содержащими большую массу М в знаменателе, дает урав-
уравнение для плотности тока
|L_^/ E+I[vH]\ _^[jHol. A.12)
dt m \ ' с l 0J) me lJ од v J
E+[vH]
m \ ' с l 0J) me
Система уравнений A.11)—A.12) совпадает с системой
уравнений магнитной гидродинамики для идеального про-
проводника, из которых выброшены силы давления. В соот-
соответствии с этим приближение холодной плазмы называют
иногда гидродинамическим приближением. Удобно ввести
*
характерные частоты плазмы: плазменную частоту*
^
A.13)
* Если не пренебрегать массой электрона в сравнении с мас-
массой иона, то плазменная частота определяется так, чтобы квадрат
ее равнялся сумме квадратов электронной и ионной плазменных
частот
где
2 4япе2
®ое =-—^~>
2 4nnl Z2 е2
^oi = м
112
и циклотронные частоты
е тс '
Тогда уравнение A.12) перепишется как
2
57 = zr(E + 4[vH0])-<oe[Jh], A.16)
где h — единичный вектор в направлении постоянного внеш-
внешнего магнитного поля. Для плоской волны вида A.4)
уравнения A.11) и A.16) принимают вид:
' fjH0]; A.17)
соре
В последнем уравнении двойное векторное произведение
раскрыто по формуле [А [ВС]] = В (АС) — С(АВ) и ис-
использовано соотношение
_, /-^—' __________ /Л /V\ /1 1 Q\
4тт:с2р Mmni с2 Мтс* г е ^ '
Теперь рассмотрение всех типов колебаний холодной плаз-
плазмы сводится к совместному решению системы уравнений
A.5) и A.18). При выводе этой системы сделаны следующие
допущения:
1) амплитуды всех -переменных величин в волне пола-
полагаются малыми, чтобы можно было пренебречь всеми квад-
квадратичными членами (линейное приближение);
2) тепловое (газовое) давление считается малым в срав-
сравнении с магнитным давлением (приближение холодной плаз-
плазмы);
или с учетом условия электронейтральности
2 4nZne2
Отсюда
Zm
Эта величина настолько мало отличается от электронной плазмен-
плазменной частоты, что мы не будем их различать.
0 Лекции по физике плазмы 113
3) пренебрегается всеми диссипативными процессами,
т. е. колебания полагаются адиабатическими. Это прибли-
приближение иногда называют приближением идеальной плазмы;
4) отбрасываются члены порядка отношения массы
электрона к массе иона. Это допустимо, если приближение
проведено аккуратно в математическом отношении.
• Таким образом, можно сказать, что система A.5)—A.18)
описывает линейные адиабатические колебания холодной
плазмы, или линейные колебания холодной идеальной
плазмы.
Кроме того, в настоящей книге речь идет о полностью
ионизованной плазме.
2. Волны в плазме без магнитного поля
Если магнитноеТг[поле отсутствует, то со/ *= сое = О
и уравнение A.18) сводится к виду
1=т^Е. B.1)
После этого из выражения A.5) получаем
*»E-k(kE)= (^-^)е. B.2)
Произвольную волну в плазме без магнитного поля можно
разложить на две независимые волны: продольную (k || E)
и поперечную (к _L E). Для продольной волны к(кЕ) =
«= k2E и из выражения B.2) получим
со2 = cog. B.3)
Это уже знакомые нам электростатические плазменные
колебания, которые в случае холодной плазмы возможны
только на фиксированной плазменной частоте. Для попереч-
поперечных волн (кЕ) = 0 и уравнение B.2) дает
/г2 с2-со2 — соо. B.4)
Это — дисперсионное уравнение для распространения
электромагнитных волн в плазме без магнитного поля. Рас-
Распространение возможно только при частотах выше плазмен-
плазменной. Для со2 < со2 волновое число и показатель преломле-
преломления становятся мнимыми, т. е. волна отражается от границы
114
плазмы. Фазовая скорость
О) Г ОJ '
"* = Т = с у ^3^ • B.5)
В области, где фазовая скорость вещественна (со2 > со о),
она всегда больше скорости света и при приближении к плаз-
плазменной частоте стремится к бесконечности. Групповая
скорость находится дифференцированием формулы B.4)
uT = ^=±d*± = ?-, B.6)
dk <o пф'
откуда
ифиг = с\ B.7)
Групповая скорость всегда меньше скорости света. При
частотах гораздо больше плазменной как фазовая, так
и групповая скорости стремятся к скорости света: волна
распространяется, как в пустоте. При стремлении частоты
волны к плазменной частоте фазовая скорость стремится
к бесконечности, а групповая скорость — к нулю.
3. Простейшие случаи распространения волн
при наличии магнитного поля
Кажущаяся простой алгебраическая система векторных
уравнений A.5)—A.18) оказывается в действительности
для произвольного направления распространения довольно
громоздкой. Начнем с наиболее простых случаев, в которых
магнитное поле не действует на распространение волн.
Рассмотрим составляющую векторного уравнения A.18)
вдоль магнитного поля. Поскольку составляющая j ц вдоль
магнитного поля равна (jh), то
' Составляющая уравнения A.5) вдоль магнитного поля не
содержит поперечного поля Е± в двух случаях: при распро-
распространении поперек поля, когда k3 = О , и при распростра-
распространении вдоль поля, когда k(kE) = &2Ец. В этих двух про-
простейших случаях колебания с электрическим полем, парал-
параллельным магнитному, отщепляются, т. е. представляют
собой независимые ветви колебаний. Магнитное поле на
эти ветви колебаний не действует. В гидродинамическом
приближении это утверждение является точным. В кине-
5* 115
тике, как мы увидим ниже, вблизи циклотронных частот и их
обертонов возникают некоторые особенности. Если отвлечь-
отвлечься от этих особых точек, то можно сказать, что колебания
с электрическим полем вдоль магнитного распространяются
вдоль или поперек магнитного поля так же, как и в его
отсутствие. Для распространения вдоль магнитного поля
уравнение A.5) сводится к виду
? ? C.2)
что после подстановки формулы C.1) дает
со2 - coo. C.3)
Это значит, что колебания, поляризованные вдоль магнит-
магнитного поля и распространяющиеся вдоль него, представляют
собой электростатические плазменные колебания, о кото-
которых мы уже говорили. Если пренебречь тепловым движе-
движением, то эти колебания возможны только на одной фикси-
фиксированной частоте, которая равна плазменной частоте о>о-
При учете теплового движения получается дисперсионное
уравнение для плазменных волн, которое мы рассмотрим
в следующей главе. Для волн, распространяющихся попе-
поперек магнитного поля, но поляризованных вдоль него, урав-
уравнение A.5) сводится к виду
ft-E = ?E + /^J, C.4)
что при подстановке выражения C.1) дает дисперсионное
уравнение
А»ся = соа —©о. C.5)
Оно тождественно с уравнением B.4), описывающим распро-
распространение электромагнитных волн в плазме. Распростране-
Распространение возможно только при частотах выше плазменной. Ниже
плазменной частоты волновое число становится мнимым,
т. е. волна отражается от границы плазмы. На этом основаны
микроволновое зондирование плазмы для определения ее
концентрации и отражение радиоволн от ионосферы, дела-
делающее возможным дальнюю радиосвязь по атмосферному
волноводу.
Фазовая и групповая скорости выражаются так же,
как и в отсутствие магнитного поля, т. е. формулами B»5)
и B.6).
116
Рассмотренные типы колебаний, поляризованные вдоль
магнитного поля и распространяющиеся вдоль и поперек-
него, являются единственными, на которые магнитное поле
в приближении холодной плазмы не действует.
Из формулы C.5) квадрат показателя преломления плаз-
плазмы для волн, поляризованных вдоль магнитного поля,
л/2 k* °2 1 ^ 1
11 2 J
9
Эту величину можно рассматривать как продольную ди-
диэлектрическую проницаемость плазмы. Таков же предель-
предельный вид диэлектрической проницаемости любого вещества на
больших частотах, который выводится в электродинамике
сплошных сред [12]. В отсутствие магнитного поля диэлект-
диэлектрическая проницаемость плазмы изотропна и для любого
направления дается выражением C.6). При наличии магнит-
магнитного поля поперечная проницаемость отлична от продоль-
продольной, как мы уже видели при рассмотрении поляризацион-
поляризационного дрейфа.
4. Магнитогидродинамические волны
Рассмотрим теперь волны, распространяющиеся в плаз-
плазме вдоль магнитного поля, при произвольном направлении
поляризации. Как показано выше, такую волну можно раз-
разложить на две независимые волны, у одной из которых
электрическое поле параллельно, у другой — перпендику-
перпендикулярно к магнитному. Волна, у которой как направление
распространения, так и направление поляризации парал-
параллельны магнитному полю, в холодной плазме вырождается
в плазменные колебания фиксированной частоты со = соо.
Перейдем теперь к волне, распространяющейся вдоль маг-
магнитного поля, но поляризованной поперек него. Для этой
волны
(кЕ)=0, D.1)
и уравнение A.5) сводится к виду
-?е+*?Ч D.2)
Допустим, что током смещения, т. е. членом (оо2/с2) Е, можно
пренебречь. Для этого нужно, чтобы показатель преломле-
117
плазмы был велик
?2С2
D.3)
Условия применимости этого допущения мы проверим ниже.
Если условие D.3) выполнено, то вместо уравнения D.2)
можно написать
^- D-4)
Из уравнения D.2) видно, что ток параллелен электриче-
электрическому полю, т. е. для рассматриваемых волн перпендикуля-
перпендикулярен к магнитному. Следовательно, уравнение A.18) при-
принимает вид
2
о>2 j = i^- Е + со,со, j -/coco, [jhl, D.5)
что после подстановки выражения D.4) дает
B 2
COq СО
®i ®е — -kTd^j
Последний член справа показывает, что по отношению
к рассматриваемым волнам замагниченная плазма обладает
своеобразной анизотропией: свойства волны зависят от
того, образуют ли векторы k, j nh правую или левую трой-
тройку. Среды с подобными свойствами называются гиротроп-
ними. Кроме плазмы к ним относятся, например, ферриты,
широко используемые в радиотехнике.
Рассмотрим сначала предельную область очень низких
частот
со «со,. D.7)
В этой области членами, содержащими со2 и сосое, можно
пренебречь в сравнении с членом, содержащим со^со^, вслед-
вследствие чего гиротропные свойства плазмы не проявляются.
Из уравнения D.6) для этого предельного случая полу-
получается простое дисперсионное уравнение
2 2
О w /л о\
©*©« = -жз-» D-8)
откуда квадрат показателя преломления
118
и фазовая скорость волны
где р — плотность плазмы,
ЛЛ ПМ , А 1 1 \
9~щМ = -г-. D.11)
Скорость распространения, выражаемая формулой
D.10), называется альфвеновской скоростью, а сами волны—
альфвеновскими или магнитогидродинамическими. Квадрат
альфвеновского показателя преломления D.9) равен значе-
значению поперечной диэлектрической проницаемости плазмы,
которое мы получили выше при рассмотрении поляриза-
поляризационного дрейфа*. Предельная область D.7) полностью
описывается уравнениями магнитной гидродинамики, и фор-
формулу D.10) легко получить из модели идеально проводящей
жидкости. Для этого достаточно написать линеаризованное
уравнение движения
DЛ2>
ИЛИ
—/o>v*=^?[jh]. D.13)
Если выразить j через Е из формулы D.4), то это уравнение
переходит в
D.14)
Далее используется условие идеальной проводимости
Е = _-L[vH0], D.15)
и для Е_|_Н0 получается дисперсионное уравнение
% = 1, D-16)
k2H2
откуда для фазовой скорости следует значение по формуле
D.10). Условие D.15) обеспечивает вмороженность магнит-
магнитного поля. Отсюда можно понять физическую картину
* С точностью до первого слагаемого, которое происходит
от тока смещения (см. задачу 1).
119
магнитогидродинамических волн. Они могут рассматривать-
рассматриваться как поперечные колебания силовых линий вместе с плаз-
плазмой, в которую они вморожены, наподобие упругих коле-
колебаний струны. В области низких частот, удовлетворяющих
условию D.7), магнитогидродинамические волны распро-
распространяются с постоянной скоростью, т. е. дисперсия отсут-
отсутствует и групповая скорость равна фазовой. Чтобы наряду
с условием D.7) выполнялось также и неравенство D.3),
т. е. альфвеновский показатель преломления был велик,
требуется, согласно выражению D.9),
щМс*»^, D.17)
т. е. магнитная энергия плазмы должна быть мала в срав-
сравнении с энергией покоя. При малой плотности плазмы или
очень сильном магнитном поле это условие может не выпол-
выполняться. В этих случаях простое дисперсионное уравнение
D.16) должно быть заменено несколько^более сложным
соотношением (см. задачу 1).
5. Дисперсия вблизи циклотронных частот
Если для волн, распространяющихся вдоль магнитного
поля, условие D.7) не выполнено, то возникает дисперсия
и проявляются гиротропные свойства плазмы. Для рассмот-
рассмотрения этой области распишем уравнение D.6) в проекциях,
направив вдоль магнитного поля ось г:
I "о \
<°2 /* = К ю* — -pjr J 1х — im>e /v; E.1)
(
©I <*е —
Дисперсионное уравнение получается приравниванием ну-
нулю определителя этой системы линейных однородных урав-
уравнений, что проще всего сделать, выразив отношение ампли-
амплитуд
2 2
о>0 со"
+ 2
А = t-**—: = / 2 2 ™* , E.2)
120
откуда
0)q ОJ
ое + со2 ± «ное = 0. E.3)
Для квадрата показателя преломления плазмы отсюда
получается
** * . E.4)
При двух частотах, обращающих в нуль знаменатель, пока-
показатель преломления обращается в бесконечность. Эти частоты
именуют обычно резонансными; правильнее называть их
частотами аномальной дисперсии. Если при выводе диспер-
дисперсионного урарнения не пренебрегать массой электрона
в сравнении с массой иона, то частоты аномальной дис-
дисперсии оказываются в точности равны электронной и ион-
ионной циклотронным частотам. Из уравнения E.4) получаются
очень близкие значения с точностью до величин порядка
<d//g>4, опущенных при выводе уравнения A,12). Из урав-
уравнения E.2) следует
h
т. е.
l/JH/yl- E-5)
Таким образом, амплитуда тока одинакова во всех на-
направлениях, перпендикулярных к магнитному полю, что
в силу равенства D.2) относится и к амплитуде электриче-
электрического 'поля. В течение цикла меняется только фаза волны,
т. е. волна вращается вокруг направления магнитного поля.
Т!акие волны называются волнами с круговой поляризацией.
Двум знакам в дисперсионном уравнении E.3) отвечают две
волны, вращающиеся в противоположных направлениях.
Одна из них может распространяться в плазме только при
частотах ниже ионной циклотронной и называется обыкно-
обыкновенной волной. Вторая волна распространяется при частотах
ниже электронной циклотронной и называется _ необыкно-
необыкновенной волной. У обыкновенной волны электрический век-
вектор вращается в том же направлении, как положительный
заряд, у необыкновенной, — как отрицательный заряд
в магнитном поле.
Суперпозицией двух волн, поляризованных по кругу
в противоположных направлениях, можно получить линей-
5В. Лекции по физике плазмы 121
но поляризованную, волну. Но в области между ионной
и электронной циклотронными частотами способна распро-
распространяться только необыкновенная волна и, следовательно,
линейная поляризация невозможна. При частотах ниже
ионной циклотронной, но близких к ней, обыкновенная
и необыкновенная волны распространяйся с разными ско-
скоростями и, следовательно, линейно поляризованная волна
самопроизвольно расщепляется на две волны с круговой
поляризацией. Но при частотах гораздо ниже ионной цикло-
циклотронной скорости распространения обыкновенной и необык-
необыкновенной волн различаются настолько мало, что расщепле-
расщепление линейно поляризованной волны происходит лишь очень
медленно. Приближенно оно может быть описано как
медленное вращение плоскости поляризации (эффект Фа-
радея).
Поэтому применительно к области низких частот мы
говорим уже о магнитогидродинамических или альфвенов-
ских волнах, которые могут быть поляризованы произволь-
произвольным образом з плоскости, перпендикулярной к направле-
направлению распространения.
Волны, распространяющиеся в плазме вдоль магнит-
магнитного поля и поляризованные поперек магнитного поля
при частотах между ионной и электронной циклотронными,
могут рассматриваться либо как продолжение магнитогид-
магнитогидродинамических волн в сторону высоких частот, либо как
электромагнитные волны, которые под влиянием магнит-
магнитного поля стали способны распространяться при частотах
ниже плазменной. В литературе называют эти волны по-
разному. Проще всего называть их прямо волнами с круговой
поляризацией. Этот тип волн имеет существенное значение
в физике. ионосферы, где они проявляются в виде низко-
низкочастотных радиопомех.
Различают два рода таких ионосферных сигналов. Одни
из них возбуждаются грозовыми разрядами в атмосфере.
Это так называемые свистящие атмосферики или просто
свисты. Другая разновидность носит название сигналов
ультранизкой частоты (УНЧ). Они происходят от возму-
возмущений ионосферы, вызванных ударом плазменных потоков,
испускаемых солнцем. Частоты этих колебаний гораздо
ниже, чем плазменная частота в ионосфере, так что они
могут распространяться только при наличии магнитного
поля. Исследования показали, что они распространяются
вдоль магнитных силовых линий.
122
Характер распространения существенным образом зави-
зависит от того, совпадает ли направление распространения
точно с направлением магнитного поля или составляет с ним
малый угол, но на этих деталях мы останавливаться не бу-
будем. Ввиду того что наиболее изученным примером рас-
рассмотренного типа волн являются свистящие атмосферики,
волны с круговой поляризацией в плазме иногда так и на-
называют свистящими атмосфериками или геликонами.
6. Магнитный звук
Перейдем к рассмотрению волн, распространяющихся
перпендикулярно к магнитному полю. В этом случае, как
и в предыдущем, волна, поляризованная вдоль поля, отщеп-
отщепляется (это электромагнитная волна), и достаточно рас-
рассмотреть волны, у которых плоскость поляризации перпен-
перпендикулярна к магнитному полю. Расположим в этой пло-
плоскости ось х вдоль направления распространения (парал-
(параллельно вектору k), ось у— перпендикулярно к нему (ось z
направлена вдоль магнитного поля). Тогда составляющие
уравнения A.5) по осям х и у примут вид:
о = ?я,+ *^Ч; F.1)
k*Ey = ^Ey + i^jy. F.2)
Выразив отсюда составляющие электрического поля и под-
подставив в уравнение A.18), получаем:
(соо — ®2+ <*>i®e) 1х — ^©в/у = 0; F.3)
1 * + ) h
Здесь уже амплитуды токов и полей в направлениях х и у
не одинаковы, т. е. волна имеет эллиптическую поляриза-
поляризацию. Дисперсионное уравнение получается приравниванием
нулю определителя системы F.3)—F.4).
Рассмотрим прежде всего предельную область очень
низких частот
CD <^ G)j. F.5)
Предположим, кроме того, что * показатель преломления
плазмы велик, т. е. скорость распространения волны мала
5В* 123
в сравнении со скоростью света
/г2 с2» со2 F.6)
(иными словами, можно пренебречь током смещения).
В этом предельном случае из уравнения F.3) сразу
следует
/*«/у F.7)
и из системы уравнений F.1)—F.2)
Ех<Еу F.8)
Это значит, что в предельной области низких частот
эллиптическая волна вырождается в линейно поляризован-
поляризованную. Приближенный вид дисперсионного уравнения для
этой области можно получить, рассматривая только урав-
уравнение F.4), которое в сделанных приближениях принимает
вид
/у = i(*®e /«• С6'9)
Если учесть неравенство F.7), то видно, что коэффициент
при /у должен быть мал, т. е. в области низких частот дис-
дисперсионное уравнение стремится к приближенному виду
(О?
^——, F.10)
что не отличается от уравнения D.8).
Таким образом, при низких частотах волны в плазме
распространяются как параллельно, так и перпендикулярно
к магнитному полю с одной и той же альфвеновской скоро-
скоростью, которая дается формулой D.10). Однако физическая
природа этих волн различна. Вдоль магнитного поля рас-
распространяются поперечные колебания, подобные колеба-
колебаниям струны. Они называются, как мы уже говорили,
магнитогидродинамическими или альфвеновскими. Соглас-
Согласно уравнению A.17), гидродинамическая скорость вещест-
вещества для волн в холодной плазме всегда направлена поперек
магнитного поля. Следовательно, альфвеновские волны
являются поперечными как в электродинамическом, так
и в • гидродинамическом смысле.
Совсем иной характер имеют волны, распространяющие-
распространяющиеся поперек магнитного поля. При частотах, низких в срав-
сравнении с ионной циклотронной, эти волны поляризованы
почти линейно. Если направить ось г вдоль постоянного
124
магнитного поля, а ось х —вдоль направления распро-
распространения, то ток и электрическое поле волны направлены
по оси у, а гидродинамическая скорость, согласно уравне-
уравнению A.17), по оси х.
Таким образом, волна является поперечной в электро-
электродинамическом смысле, но продольной в гидродинамическом.
Переменное магнитное поле волны параллельно постоянно-
постоянному внешнему магнитному полю. Процесс колебания можно
рассматривать как периодическое сжатие и расширение
плазмы вместе с вмороженным в нее магнитным полем. По
физическому механизму этот процесс аналогичен распро-
распространению звука, вследствие чего он и называется магнит-
магнитным звуком. Вместо газового давления здесь действует
магнитное давление Н2/8п. Если в обычную формулу для
скорости звука
вместо давления Р подставить #2/8л;, а для вмороженного
поля 7м == 2, то получится
что совпадает с формулой D.10).
При частотах, низких в сравнении с ионной циклотрон-
циклотронной, скорость распространения магнитного звука не зави-
зависит от частоты аналогично обычной акустике. Эту область
малых частот мы называем магнитоакустической областью.
При частотах порядка или выше ионной циклотронной при
том же физическом механизме возникает дисперсия. В этой
области частот колебания остаются магнитно-звуковыми,
но не являются уже магнитоакустическими.
7. Гибридные частоты
Для рассмотрения дисперсии магнитного звука необ-
необходимо прежде всего найти частоты аномальной дисперсии,
при которых показатель преломления обращается в беско-
бесконечность (т. е. фазовая скорость в нуль). Частоты аномаль-
аномальной дисперсии, магнитного звука для распространения
точно поперек магнитного поля принято называть гибрид-
гибридными частотами сод. Для их нахождения достаточно, при-
приравняв нулю определитель системы F.3)—F.4), устремить
125
волновое число k к бесконечности. Таким образом, для
гибридных частот сод получается уравнение
(С00 + (Ot (де — CO/J (СО^ СО^ — СОд) — С0е Щ. G.1)
Это биквадратное уравнение имеет два корня для со2.
Простые приближенные выражения для гибридных частот
получаются, если принять, что одна из них велика в срав-
сравнении со средней геометрической из электронной и ионной
циклотронных частот, а другая мала в сравнении с плаз-
плазменной частотой. Тогда при нахождении верхней гибридной
частоты можно в обеих скобках левой части уравнения
G.1) пренебречь величиной со/сов в сравнении с со2..Отсюда
сом« cojj + со,2. ' G.2)
В силу малости массы электрона в сравнении с массой
иона уже один второй член правой части равенства G.2)
всегда велик в сравнении с со/сое. Таким образом, допуще-
допущение, сделанное при нахождении верхней гибридной часто-
частоты, оправдывается всегда, и результат G.2) можно считать
правильным с точностью до отношения массы электрона
к массе иона. Верхняя гибридная частота зависит только от
плазменной и электронной циклотронной частот, вследствие
чего ее называют электронно-плазменной гибридной часто-
частотой.
При нахождении второй гибридной частоты можно в пер-
первой скобке левой части уравнения G.1) пренебречь величи-
величиной со2 в сравнении с со2 . В результате этого получаем
со2 4- со
С0^2 Ж СО/ С0« ^2 ? ц J ^2 * G'3)
Малость массы электрона в сравнении с массой иона
позволяет всегда пренебречь в знаменателе величиной
со/со,, в сравнении с со2. Поэтому вместо выражения G.3)
всегда можно написать
2 0 • / & /7 л\
С0?2 Ж СО/ COg к 2~~ * ('-4)
Величина со^ пропорциональна плотности плазмы.
В плотной плазме, если со2 3> сог-сое, формула G.4) прибли-
126
женно, записывается как
©Л2 — ~2~ * G.5)
"о
Если же плазменная частота велика и в сравнении
с электронной циклотронной, то вторая гибридная частота
стремится к средней геометрической из электронной и ион-
ионной циклотронных частот
0)^2^ СО/ (Ое- G.6)
При уменьшении плотности плазмы возникает довольно
широкая промежуточная область, в которой выполнены
неравенства
(Ое > СОо > 0)/ С0е. G.7)
В этой области формула G.4) дает
«& «<в§^-. G.8)
Сделанное допущение со^2 <^ ©о ПРИ этом оправдывает-
оправдывается. При дальнейшем уменьшении плотности плазмы это до-
допущение перестает уже быть справедливым, но непосредст-
непосредственно из уравнения G.1) видно, что вторая гибридная часто-
частота стремится к ионной циклотронной, — результат, который
получается также и из приближенной формулы G.4). Та-
Таким образом, формулу G.4) можно считать справедливой
всегда.
Вторая гибридная частота зависит в основном от элект-
электронной и ионной циклотронных частот, вследствие чего
ее и называют электронно-ионной гибридной частотой. Для
плазмы, содержащей ионы только одного сорта, электрон-
электронно-ионная частота является нижней гибридной частотой.
Если плазма содержит несколько сортов ионов, то возни-
возникают еще ион-ионные гибридные частоты, каждая из которых
лежит между двумя ионными циклотронными частотами.
8. Дисперсия магнитного звука
Из уравнений (б.3)|и F.4) находим
]х
Ту
127
Отсюда получается дисперсионное уравнение
-ю2 + с°2 — «>* <*е) = — СО2 G)f. (8.2)
То же уравнение получится, конечно, если приравнять
нулю определитель системы F.3)—F.4). Разрешив уравне-
уравнение (8.2) относительно волнового числа kf можно записать
дисперсионное уравнение в виде х
о
У 1 +^(8.3)
Cog -|- Oit (?>e <
Левая часть этого уравнения представляет собой квадрат
показателя преломления плазмы.
Формулы (8.2) или (8.3) выражают общее дисперсионное
уравнение для колебаний, распространяющихся в плазме
поперек магнитного поля и поляризованных в плоскости,
перпендикулярной к магнитному полю. При высоких
частотах это уравнение описывает так называемую необык-
необыкновенную электромагнитную волну*. В пределе, когда
частота волны велика в сравнении как с плазменной, так
и с циклотронными частотами, уравнение (8.3) переходит в
что совпадает с формулой B.4), описывающей распростра-
распространение электромагнитных волн в плазме без постоянного маг-
магнитного поля. При столь высоких частотах внешнее маг-
магнитное поле не влияет нз распространение волн.
Частоты аномальной дисперсии, при которых показатель
преломления плазмы обращается в бесконечность, можно
найти, приравняв нулю знаменатель второго члена в пра-
правой части формулы (8.3). При этом получится уравнение;
тождественное с уравнением G.1). Частотами аномальной
дисперсии при поперечном распространении^ являются
рассмотренные уже выше гибридные частотыЛ?^5 1Ч
Магнитно-звуковыми мы называем колебания^плотной
плазмы, у которой плазменная частота велика в сравнении
как с частотой колебаний, так и'с циклотронными частота-
* Обыкновенной при поперечном распространении называется
волна, у которой электрическое поле параллельно постоянному
внешнему магнитному полю,
128
ми. Как видно из уравнения (8.3), в этом предельном случае
показатель преломления плазмы велик, и в правой части
этого уравнения можно пренебречь единицей (что означает
пренебрежение током смещения). Если выполнены условия
СОо > COj СО/, СОо > СО2,
то уравнение (8.3) принимает вид
k* с2 cog
щ (де - со2 ( 1 + -L- 1
чему соответствует выражение G.5) для гибридной частоты.
Если же плотность плазмы настолько велика, что плаз-
плазменная частота гораздо больше электронной циклотронной,
то дисперсионное уравнение стремится к простому виду
со?
— со2 '
Согласно формуле G.6), в рассматриваемом предельном
случае электронно-ионная гибридная частота равна сред-
среднему геометрическому из электронной и ионной циклотрон-
циклотронных частот. При частотах значительно ниже гибридной
уравнение (8.6) стремится к предельному виду F.10).
В этой магнитоакустической области магнитный звук рас-
распространяется с альфвеновской скоростью.
При приближении к гибридной частоте наблюдается
дисперсия: показатель преломления возрастает, т. е. фазо-
фазовая скорость уменьшается. Мы пока полностью пренебре-
пренебрегаем тепловым движением и всеми диссипативными процес-
процессами, ведущими к затуханию волн. В этом приближении,
если частота волны стремится снизу к гибридной частоте,
то показатель преломления стремится к бесконечности,
т. е. фазовая скорость к нулю. При переходе через гибрид-
гибридную частоту квадрат показателя преломления скачком ме-
меняется от + оо до — с», и при частотах выше гибридной
показатель преломления становится мнимым. Это значит,
что магнитно-звуковые волны с частотой выше электронно-
ионной гибридной частоты не могут проникать в холодную
плазму точно поперек магнитного поля. Мнимый показатель
преломления означает, что волна отражается от границы
плазмы. При еще более высоких частотах поперечное рас-
распространение вновь становится возможным вблизи электрон-
129
но-плазменной (верхней) гибридной частоты, т. е. в области
электромагнитных волн.
В области, где поперечное распространение запрещено,
магнитный звук может распространяться в виде косых волн,
которые мы рассмотрим ниже. Как мы увидим, уже малое
отклонение от строго поперечного направления распростра-
распространения снимает ограничение, налагаемое гибридной частотой.
В плазме с несколькими сортами ионов в выражение
для электронно-ионной гибридной частоты надлежит под-
подставлять вместо ионной циклотронной частоты величину
где отношение ZIM усредняется по закону
r
"•¦ (в-?)
Индексом i нумеруются только ионы. Кроме того, возникают
дополнительные узкие области аномальной дисперсии вбли-
вблизи ион-ионных гибридных частот. Для плазмы с двумя сор-
сортами ионов ион-ионная гибридная частота <оц определяется
соотношением
7 7 S
4
При прохождении снизу через эту частоту квадрат показа-
показателя преломления скачком меняется от +оо до —сю.
После очень узкой области частот, в которой волна не
проникает в плазму, он быстро возвращается к первоначаль-
первоначальному значению.
Если учесть тепловое движение, то вместо скачка квад-
квадрат показателя преломления будет резко уменьшаться при
прохождении снизу узкого интервала частот вблизи каж-
каждой из гибридных частот. Уменьшение показателя прелом-
преломления с возрастанием частоты называется в оптике ано-
аномальной дисперсией, причем в наиболее характерных слу-
случаях аномальной дисперсии это уменьшение происходит
резко, в узком интервале частот. Именно поэтому гибрид-
гибридные частоты и следует называть частотами аномальной
дисперсии.
130
9. Структура прямых волн в плотной плазме
Волны, распространяющиеся точно вдоль или поперек
постоянного внешнего магнитного поля, мы называем
прямыми волнами. Как мы видели, в этих простейших
случаях волны с электрическим полем, параллельным
и перпендикулярным к постоянному внешнему магнитному
полю, оказываются независимыми. Волна с электрическим
полем вдоль внешнего магнитного поля является плазмен-
плазменной при распространении вдоль поля и электромагнитной
при распространении поперек поля. Сейчас нас интересуют
волны, у которых электрическое поле лежит в плоскости,
перпендикулярной к постоянному внешнему магнитному
полю. При распространении вдоль поля это будут прямые
волны с круговой поляризацией, переходящие при низких
частотах в альфвеновскую волну, при распространении
поперек поля — прямые магнитно-звуковые волны.
Если электрическое поле лежит в плоскости, перпенди-
перпендикулярной к постоянному магнитному, то и ток должен
течь в той же плоскости. Это видно из уравнения A.12),
согласно которому продольный ток может вызываться
только продольным электрическим полем. Вследствие пер-
перпендикулярности между направлениями тока и постоянного
внешнего магнитного поля уравнения, описывающие струк-
структуру волн, упрощаются. Из уравнения A.17) можно
найти амплитуду массовой скорости"
В дальнейшем будем рассматривать волны в плотной плаз-
плазме (соо > со/ сое; соо > со2), у которых, как видно из преды-
предыдущего, показатель преломления велик и, следовательно,
током смещения можно пренебречь. Тогда из уравнений
Максвелла
rotH^-^J (9.2)
или для плоской волны
/ [кЙ] =-^T. (9.3)
Если в плазме нет других токов, кроме связанных с рас-
рассматриваемой волной, то поле Но безвихревое и, следова-
следовательно, в формулы (9.2) или (9.3) входит только собственное
131
магнитное поле волны. Как видно из этих формул, оно
перпендикулярно как к току, так и к направлению распро-
распространения. Следовательно, у волн, распространяющихся
вдоль поля, собственное магнитное поле перпендикулярно,
а у прямых магнитно-звуковых — параллельно внешнему.
Из уравнения (9.3) можно найти связь между плотностью
тока и собственным магнитным полем волны
|Н|^-^Ц|. (9.4)
Если выразить плотность тока через собственное магнитное
поле волны и подставить в формулу (9.1), то получится
связь между переменным магнитным полем и массовой
скоростью
| v| = — -^-|Й . (9.5)
1 ' со 4яр ' v '
Учитывая, что со/& = щ есть фазовая скорость волны, это
выражение можно переписать в виде
"<|Н|. (9-6)
Переходя от точных уравнений к линейному приближению,
мы заменяли лагранжеву производную эйлеровой и пре-
пренебрегали магнитным полем волны с сравнении с внешним
постоянным полем. Последнее допустимо при очевидном
условии
|Н|«|НО|. (9.7)
Замена лагранжевой производной на эйлерову допустима,
если
dv dv , , ч ^ dv
т. е. при условии
что для плоской волны принимает вид
ко2 < со | и |
или
|гГ|«:-? = Иф. (9.8)
132
Таким образом, условия линейного приближения сво-
сводятся к тому, что амплитуда собственного магнитного поля
волны должна быть мала в сравнении с внешним полем
и амплитуда скорости вещества в волне — в сравнении
с фазовой скоростью распространения волны. При низких
частотах (в магнитоакустической области) скорости распро-
распространения как магнитогидродинамических, так и магнит-
магнитно-звуковых волн стремятся к альфвеновской скорости
я° (9.9)
Тогда для амплитуды скорости движения вещества из выра-
выражения (9.6) ^получается простое выражение
\Н\
(9.10)
Отсюда следует, что в магнитоакустической области
i|l«lfi, (9.11)
11ф /30
и малая амплитуда переменного магнитного поля стано-
становится необходимым и достаточным условием для линейного
приближения.
Напротив, близ частот аномальной дисперсии, где фазо-
фазовая скорость стремится к нулю, амплитуда скорости вещест-
вещества, согласно выражению (9.6), стремится к бесконечности,
т. е. линейное приближение становится непригодным даже
при малых амплитудах переменного поля. Это значит, что
вблизи частот аномальной дисперсии возбуждение прямых
волн потребовало бы очень большой затраты энергии.
Н действительности в таких условиях могут возбуждаться
только косые волны.
Из формул A.11) или A.17) видно, что скорость движе-
движения вещества всегда перпендикулярна как к направлению
внешнего магнитного поля, так и к направлению тока в вол-
волне. Волны, распространяющиеся вдоль поля, имеют круго-
круговую поляризацию. Это относится и к полям, и к токам,
и к скорости движения плазмы. У этих волн направление
тока, согласно формуле D.2), совпадает с направлением
электрического поля. Движение вещества при этом про-
происходит в плоскости, перпендикулярной к направлению
распространения и под углом в 90° к направлению тока
и электрического поля, т. е., следовательно, вдоль направ-
направления переменного магнитного поля волны.
133
Структура волны с круговой поляризацией показана
на рис. 11. Изображенные на рисунке векторы вращаются
вокруг направления внешнего магнитного поля. С уменыне-
_ нием частоты волны
вращение замедляет-
замедляется и в пределе полу-
получается альфвенов-
ская волна.
Магнитно-звуковая
волна имеет, вообще
говоря, эллиптиче-
эллиптическую поляризацию.
Отношение ампли-
Рис. 11. Структура волны с круговой ТУД ПЛО™ОСТИ тока
^поляризацией. в направлении рас-
распространения (ось х)
и перпендикулярно к нему (ось у) выражается фор-
формулой (8.1) и
\}у\ (Uq + (ui®e — СО2
Отношение амплитуд электрического поля находится из
уравнений F.1) и F.2)
Речь идет о прямой магнитно-звуковой волне, следовательно,
поля и токи лежат в плоскости, перпендикулярной к внеш-
внешнему магнитному полю. Движение вещества происходит
в той же плоскости. Переменное магнитное поле волны па-
параллельно внешнему магнитному полю.
Структура волны упрощается, если считать, что плазма
достаточно плотная
При этом, как видно из предыдущего, показатель преломле-
преломления плазмы велик, и током смещения можно пренебречь.
В плотной плазме формула (9.12) принимает вид
134
а формула (9.13) — вид
I F I k2 Г2 frtfrt
', р ~ —а y~- (9.15)
I Еу | со2 Ш2
Подставив сюда показатель преломления плотной плазмы
для прямых магнитно-звуковых волн из уравнения (8.6),
получаем
Таким образом, в плотной плазме ток течет в основном
поперек направления распространения. Вещество движется
перпендикулярно к току, т. е. в основном вдоль направле-
Рис. 12. Структура магнитно-звуковой волны.
ния распространения. Поляризация же электрического поля
остается эллиптической, и вытянутость эллипса зависит от
частоты. Вблизи гибридной частоты Ех > ЕУ9 т. е. электри-
электрическое поле поляризовано в основном вдоль направления
распространения и перпендикулярно к току. В магнито-
акустической области (со2 < co,-co<>) вытянутость эллипса
поляризации выражается как
\Ех\ ^ в> /о 17)
\ЕУ\~ щл к ' }
При частотах гораздо ниже ионной циклотронной поля-
поляризация становится поперечной (по отношению к направле-
направлению распространения). То, что ток вдоль направления
распространения мал, означает, что в этом направлении
электроны и ионы движутся с одинаковой скоростью.
Перпендикулярно к направлению распространения в плот-
плотной плазме движутся только электроны, переносящие ток.
135
Структура прямой магнитно-звуковой волны в плотной
плазме показана на рис. 12.
До сих пор мы имели в виду плоские волны. Цилиндри-
Цилиндрическая магнитно-звуковая волна отличается от плоской толь-
только тем, что распределения всех величин по радиусу выра-
выражаются линейными комбинациями из функций Бесселя.
Дисперсионное уравнение для цилиндрических волн
тождественно с рассмотренным выше дисперсионным урав-
уравнением для плоских волн. Прямой плоской волне отвечает
чисто радиальная цилиндрическая магнитно-звуковая вол-
волна, у которой направление распространения совпадает
с радиусом. У таких волн переменное магнитное поле
направлено (так же как и постоянное) вдоль оси цилиндра.
В плотной плазме вещество сжимается и расширяется
в радиальном направлении, а замкнутые токи текут по
азимуту.
10. Косые волны и тензорные характеристики плазмы
Для общего случая волн, распространяющихся • под
произвольным углом к постоянному магнитному полю,
выкладки настолько усложняются, что желательно прибег-
прибегнуть к сокращенной форме записи. Такая форма дается
тензорным представлением электромагнитных свойств
плазмы. Помимо удобства записи, тензорная форма позво-
позволяет яснее выявить анизотропный характер процессов рас-
распространения волн в плазме и включить эти процессы в об-
общую формальную теорию распространения электромагнит-
электромагнитных волн в анизотропных средах.
Тензором* называется линейный оператор, превращаю-
превращающий один вектор в другой. В общем виде эта операция имеет
вид
Va^Tab\b. A0.1)
Здесь V& — составляющие начального вектора; \а — со-
составляющие конечного вектора; Таь—компоненты тензора**.
* Строго говоря, тензором второго ранга, но в этой книге с тен-
тензорами более высоких рангов мы не имеем дела.
** В специальной литературе знак суммирования принято
опускать, так как условлено, что всегда подразумевается суммиро-
суммирование по повторяющимся индексам. Мы не будем пользоваться этой
условностью, поскольку в нашем курсе тензоры занимают слишком
малое место, чтобы успеть привыкнуть к технике пользования ими.
136
Индексы а, Ъ нумеруют координаты. Символически опера-
операция A0.1) записывается как
V/=71V. A0.1a)
Поскольку речь идет о векторах в обычном трехмерном
пространстве, тензор имеет девять компонентов и представ-
представляется таблицей {матрицей) вида
Тп Тп Т23) (Ю.2)
т т т I
1 31 * 32 1 33/
Компоненты, расположенные вдоль главной диагонали
(слева сверху вправо вниз), называются диагональными
компонентами тензора. Единичный тензор, оставляющий
вектор без изменения, обозначается как
/1 0 ОХ
ЬаЬ= 0 1 0 A0.3)
\0 0 1/
Можно ввести обратный тензор Т1*, определенный условием
Г-> Г = ЬаЬ, A0.4)
где знак умножения означает последовательное примене-
применение обоих операторов (порядок сомножителей в таком
операторном произведении не безразличен). Умножая обе
части символического равенства A0.1а) слева на 71-1 и учи-
учитывая определение единичного тензора, находим
или
Если рассматривать выражение A0.1) как систему линей-
линейных уравнений и разрешить ее относительно составляющих
вектора, то получится формула, связывающая элементы
прямой и обратной матрицы Т и Г":
где А — определитель матрицы тензора Т; Ааъ — алгебра-
алгебраическое дополнение элемента Таь в этом определителе. На-
Нахождение матрицы Т~1 называется обращением матрицы Т.
137
Связь между током и электрическим полем в анизотроп-
анизотропной среде дается тензором комплексной проводимости
e*E,. (Ю.6)
Следует подчеркнуть, что в этой главе речь идет о тензоре
комплексной проводимости для волновых процессов опреде-
определенной частоты 0. Он коренным образом отличается от
обычной вещественной проводимости для постоянного тока.
Название «тензор проводимости» происходит только от
формальной аналогии между тензорной формулой A0.6)
и обычным законом Ома. Но физический смысл здесь совер-
совершенно иной. В настоящем разделе мы пренебрегаем столк-
столкновениями, т. е. считаем проводимость для постоянного
тока бесконечной вдоль магнитного поля и равной нулю
поперек него. Компоненты тензора проводимости стремятся
к этим предельным значениям лишь при стремлении часто-
частоты 0 к нулю. Тензор проводимости без столкновений
характеризует индуктивность плазмы. По физическому
механизму сопротивление плазмы ДД1Я постоянного тока,
выражаемое тензором A.8.7), связано со столкновениями
(или кулоновским трением); то же относится и к проводи-
проводимости для постоянного тока A.8.3) или A.8.11). Между тем
тензор комплексной проводимости для плазмы без столкно-
столкновений связан с инерцией носителей тока (электронов
и ионов).
Нам будет удобно ввести тензор удельного сопротивле-
сопротивления плазмы R, определенный условием
Е«-2 *<*!*• (Ю-7)
b
Направим ось г в направлении внешнего магнитного поля,
а ось х — так, чтобы волновой вектор лежал в плоскости хг.
Тогда из уравнения A.18)
A0.8)
где
а-0^0^ —02; A0.9)
Р = 00^. A0.10)
138
Определитель матрицы
Обращение матрицы R по формуле A0.5) дает
- / а Р 0
A0.11)
со
G =
р
Р2
0
о
со2
A0.12)
Обычно принято пользоваться вместо тензора проводи-
проводимости однозначно связанным с ним тензором комплексной
электрической проницаемости е. Он определяется формально
условием
где электрическая индукция D определена уравнением
rotH=l?. A0.14)
С 01 v
Сопоставление уравнений A0.14) и A.2) с учетом условия
A0.6) дает для полей, зависящих от времени каке-/да', связь
между тензорами проводимости и диэлектрической прони-
проницаемости в виде
Zab-Kb+i^Gab* (ЮЛ5)
где 8аь — единичный тензор A0.3). Подстановка выраже-
выражения A0.12) дает формулу для тензора диэлектрической
проницаемости в обычно принятых обозначениях
8 ig 0\
-ig е 0
0 0
где
е = 1 +
р2 '
2
A0.17)
A0.18)
A0.19)
139
Если для компонентов тензора сопротивления восполь-
воспользоваться значениями A0.9)—A0.10), полученными из урав-
уравнения для плотности тока A.18), то формулы для е и g
примут вид
6=1+s@@ю2
(со/ ®е — со2J — со; со2
(СО/ (йе — СО2J — О? СО2
Полученные выражения являются приближенными, по-
поскольку при выводе уравнения A.18) были опущены члены
порядка отношения массы электрона к массе иона. Точные
выражения компонентов тензора A0.16) для холодной
плазмы без столкновений получаются непосредственно из
уравнений движения A.6)—A.7)
Для вывода этих выражений представим полную плот-
плотность тока как сумму частичных токов, переносимых
частицами разного рода
где индекс k нумерует все сорта частиц, включая и электро-
электроны, которым приписывается Z = —1. Для плоской волны
уравнения движения A.6)—A.7) можно записать в виде
где h — единичный вектор в направлении магнитного поля.
В общей записи циклотронная частота сос = ZeHIMc имеет
тот же знак, что и заряд Z, и, следовательно, для электро-
нов должна считаться отрицательной. Когда мы будем
в окончательных формулах подставлять вместо нее сое
и со/, то они будут считаться существенно положительными.
Удобно ввести аналогично определению A0.7) тензор
частичного электрического сопротивления плазмы Rk, свя-
связывающий электрическое поле и ток, переносимый части-
частицами данного рода,
E = /?*j*. A0.7а)
Из уравнения A.7а)
= - ^- X
140
где coOyfe и (uCk — плазменная и циклотронная частоты для
частиц, обозначенных индексом k. Отсюда для тензора
частичного электрического сопротивления плазмы полу-
получается
л An T
где вспомогательный тензор Т& для частиц каждого рода
определен равенством
Tftj==-(cojjh] + uoj).
В прямоугольной системе координат с осью z вдоль маг-
магнитного поля тензор
— т — (йс О
с —ш О
О 0 — /coy
Обращением матрицы тензора сопротивления получает-
получается тензор частичной проводимости плазмы
]k = ak E = RTl E.
Следовательно, полный тензор проводимости
Таким образом, тензор полного сопротивления плазмы
A0.7) связан с тензорами частичного сопротивления ра-
равенством
как цри параллельном соединении проводников.
Выражая тензор проводимости через вспомогательный
тензор Т&, получаем
Тензор электрической проницаемости по определению
4зх i х^ 2 1
' со ~г со k Ok k
141
Обращение матрицы тензора Tk дает
(Or
—CD»
СО2 — СО2
со2 —со2
/со
со? — со2
О
О
СО
После подстановки этого результата" тензор г примет вид
выражения A0.16) со значениями компонентов:
A0.176)
A0.186)
.— со2
©Кл-©2)
(On
A0.196)
В этих выражениях суммирование производится по
всем сортам частиц, присутствующих в плазме, причем
для электронов циклотронная частота сог считается отри-
отрицательной. Если плазма состоит из электронов и одного
сорта ионов с зарядовым числом Z, то, исподьзуя соотно-
соотношения
©0/ CoJ = (O
(Ю.17в)
A0.18в)
2 ,2 2 ,ч ,ч
©Ое ©/ =©0/ ©j ©^>
легко привести эти выражения к виду
СО/ COg — СО2
1 +
+ ©о/) -
—2)
©о« 1 «-
/2 2W 2 24
(со,2-со2) (со?-со2)
Постоянные коэффициенты в этих формулах весьма мало
отличаются от электронной плазменной частоты. Практи-
Практически без ущерба для точности можно доложить
142
Тогда формулы для компонентов тензора 8 в двухкомпо-
нентной плазме примут вид
@; 0)о — (О2
/1 п 1 т \
(Ю.17г)
A0Л8г>
Точное выражение компонента г) отличается от приб-
приближенного только значением со о. Точные и приближенные
выражения компонентов еи^ отличаются от приближенных,
кроме того, еще и знаменателями в правой части. Если рас-
расположить эти знаменатели по степеням со, то они имеют сле-
следующий вид: в приближенных выражениях, полученных из
уравнения для плотности тока,
со4 — со2 (oof + 2cof coj + (со; со,J;
в точных выражениях, полученных из уравнений движения,
©«-©*(©*+©?)+(©,©«)».
Как видим, различие только в членах порядка со//сов,
стоящих при со2, Знаменатель точных выражений обращает-
обращается в нуль при циклотронных частотах, знаменатель приб-
приближенных выражений — при частотах, весьма близких
к ним. Приближенные выражения могут давать заметную
ошибку только в непосредственной близости циклотронных
частот, где знаменатель стремится к нулю. Следует, впрочем,
иметь в виду, что вблизи как самих циклотронных частот,
так и их обертонов даже и весьма слабое тепловое движение
сильно меняет характер распространения волн, так что
при этих частотах само приближение холодной плазмы прак-
практически неприменимо. Здесь надлежит пользоваться метода-
методами физической кинетики.
Диагональные компоненты тензора электрической про-
ницаемости^имеют простой смысл. Компонент г] есть про-
проницаемость" плазмы вдоль магнитного поля. Она не отли-
отличается от проницаемости в отсутствие" магнитного поля.
Компонент 8 есть проницаемость поперек магнитного поля.
При низких частотах она стремится к значению
00-20)
143
Если пренебречь в правой части единицей, происходящей
от тока смещения, то эта величина равна квадрату альфве-
новского показателя преломления, т. е. тому значению
поперечной диэлектрической проницаемости плазмы, кото-
которое было получено выше при рассмотрении поляризацион-
поляризационного дрейфа. Компонент g характеризует гиротропные
свойства плазмы. При низких частотах он стремится к
к нулю.
Общее дисперсионное уравнение для косых волн полу-
получается, если расписать векторное уравнение A.5) в проек-
проекциях, выразить ток через поле или поле через ток и при-
приравнять нулю определитель получившейся системы линей-
линейных уравнений. Дисперсионное уравнение имеет довольно
громоздкий вид. Для сокращения письма его принято запи-
записывать через компоненты тензора комплексной диэлект-
диэлектрической проницаемости A0.16) в виде
A0.21)
Здесь kx — составляющая волнового вектора поперек маг-
магнитного поля (по оси х); k3 — составляющая волнового век-
вектора вдоль магнитного поля'(по оси г)
При рассмотрении волн в неограниченной среде задача
ставится обычно так: какова будет фазовая скорость рас-
распространения волны с заданной частотой в заданном на-
направлении? Тогда удобно считать искомой величиной по-
показатель преломления плазмы N и писать дисперсионное
уравнение в виде •
(АР - е) [г (N2± - т|) + N\ г)] + g* (N2X - т,) = 0\ A0.22)
где
(О2
показатель преломления плазмы:
144
Здесь 9 — угол между направлением волнового вектора
и направлением постоянного магнитного поля
Направлением распространения волны считается обычно
направление волнового вектора, т. е. фазовой скорости.
.Чтобы найти групповую скорость, нужно продифференци-
фовать дисперсионное уравнение и представить результат
в виде
dco = и± dkt + и и dks. A0.23)
у
Величины и± и иц будут составляющими групповой скорости
поперек и вдоль магнитного поля.
При рассмотрении колебаний ограниченного объема
плазмы волновой вектор k или по крайней мере одна из
его составляющих задается геометрическими размерами
плазменного объема, как мы увидим ниже, при рассмотре-
рассмотрении плазменных волноводов и резонаторов. Частоты ано-
аномальной дисперсии, при которых показатель преломления
плазмы обращается в бесконечность, для произвольного на-
направления распространения можно найти, если в уравнении
A0.22) оставить только члены с высшими степенями N.
Тогда для особенностей показателя преломления получим
уравнение
8 sin2 0 + г) cos2 6-0
или
S
A0.24)
Выражение A0.17г) удобно представить в виде
_ со* - со* (со*+ ц»+ со?) + со, сое (q>g + со, сое)
(»>-»»)(»?—») • A0л7в)
Тогда уравнение A0.24) принимает вид
A025)
ОL— СО2 (ttjj + (Of + СО?) + СО/ (де (СО^ + Щ (Ое) '
Отсюда видно, что для распространения вдоль магнитного
поля @ = 0) частоты аномальной дисперсии совпадают
6 Лекции по физике плазмы __._ 145
с плазменной, а также электронной и ионной циклотронны-
циклотронными частотами.
Для распространения точно поперек поля F — я/2)
они равны корням знаменателя правой части уравне-
уравнения A0.25) (гибридные частоты). Для косого распростра-
распространения нужно решать кубическое уравнение относительно
квадрата частоты. Отметим только одно простое и важное
свойства этого уравнения. Предположим, что нижняя из
частот аномальной дисперсии удовлетворяет условиям
®l <x ^о и col <^ со/ (ое. Тогда для этой частоты из уравне-
уравнения A0.25) получим
\ -У - (Ю.26)
Для распространения точно поперек поля нижняя ча-
частота аномальной дисперсии обращается в нуль. Но уже при
малых угловых отклонениях (tg20 — MIZm) она стремится
к ионной циклотронной частоте, т. е. к тому же значению,
что и для распространения вдоль поля.
Покажем, как из- общего дисперсионного уравнения
получаются рассмотренные выше простейшие случаи. Для
распространения вдоль магнитного поля 9 — 0 уравнение
A0.22) переходит в
Л/4 _ 2/V2 8 + е2 = g2,
откуда
AT2 = 8±g. A0.27)
Для распространения поперек поля получается
(Л/2 — г]) (Л/2 б — е2 + g2) - 0, A0.28)
т. е. дисперсионное уравнение распадается на два. Одно
из них
#3 = г) A0.29)
описывает электромагнитную волну, поляризованную вдоль
магнитного поля. Второе
N2 = s2~g2 A0.30)
описывает прямую магнитно-звуковую волну. Если для
компонентов тензора воспользоваться полученными из
146
уравнения для плотности тока выражениями A0.17)—
A0.19), то уравнения A0.27), A0.29) и A0.30) совпадут соот-
соответственно с выражениями C.5), E.3) и (8.3).
Структура косых волн определяется значением безраз-
безразмерного числа
которое мы называем гиротропным числом, так как оно
связано с гиротропными свойствами плазмы. Для волн,
распространяющихся вдоль постоянного магнитного поля,
согласно уравнению A0.27)
Р\\ =±1,- A0.32)
что отвечает круговой поляризации волн. Для прямой
магнитно-звуковой волны, согласно уравнению A0.30)
Р± = — у. (Ю.ЗЗ)
В плотной плазме при низких частотах
P±- — ^t A0-34)
в согласии с полученным ранее результатом (9.17). Абсолют-
Абсолютное значение р характеризует непосредственно вытяну-
тость эллипса поляризации.
Рассмотрим поведение косых волн при низких частотах.
При стремлении частоты к нулю продольная проницае-
проницаемость г\ стремится к бесконечности как квадрат частоты,
а компонента g стремится к нулю как первая степень ча-
частоты. Следовательно, в дисперсионном уравнении A0.21)
для низких частот следует сохранить только члены, содер-
содержащие г] и не содержащие g2, что дает
°- A0-35)
Но, как мы видели, поперечная проницаемость 8 при низ-
низких частотах стремится к квадрату альфвеновского показа-
показателя преломления. Таким образом, в магнитоакустической
области возможны две волны. У одной из них фазовая
скорость равна альфвеновской независимо от направления
распространения, у другой фазовая скорость зависит от
направления распространения так, что ее составляющая
вдоль магнитного поля равна альфвеновской скорости.
6* 147
Первая волна при распространении точно поперек поля
переходит в прямую магнитно-звуковую волну; естествен-
естественно назвать ее, косой магнитно-звуковой волной. Вторая вол-
волна при распространении точно вдоль поля переходит
в альфвеновскую (магнитогидродинамическую); естественно
назвать ее косой альфвеновской волной. Дисперсионное
уравнение для этой волны не содержит kv Следовательно,
согласно уравнению A0.23), групповая скорость ее направ-
направлена вдоль магнитного поля.
В области дисперсии свойства косых волн сильно услож-
усложняются, и мы не будемхих подробно разбирать..
11. Волны в плазме с конечной проводимостью
Если понимать буквально приближение холодной плаз-
плазмы, т. е. приписывать электронам и ионам только упорядо-
упорядоченные скорости, то из всех диссипативных процессов долж-
должна рассматриваться только передача импульса, между
электронами и ионами, т. е. конечная проводимость. Дис-
Диссипация, связанная с этим механизмом, есть обычное джо-
улево тепло. Все остальные диссипативные процессы связа-
связаны уже с тепловым движением. Необходимо только заме-
заметить, что эти процессы становятся весьма существенными,
когда фазовая скорость волны приближается к скоростям
теплового .движения частиц. Поэтому вблизи частот ано-
аномальной дисперсии, где фазовая скорость стремится к нулю,
приближение холодной плазмы становится непригодным
даже при очень низких температурах. Передача импульса
между заряженными частицами происходит посредством
непрерывного кулоновского взаимодействия («кулоновское
трение»). Оно учитывается введением дополнительных чле-
членов в правые части уравнений движения A.6)—A.7) анало-
аналогично уравнениям A.7.1)—A.7.6) или A.7.14)—A.7.15).
Входящие в эти члены эффективные частоты столкновений
электронов и ионов vei и vu связаны соотношением A.7.16).
При переходе от уравнений движения частиц к макроскопи-
макроскопическим уравнениям уравнение для массовой скорости A.11)
не изменится. В уравнение для плотности тока A.16), если
пренебречь членами, содержащими массу иона в знамена-
знаменателе, войдет только член, выражающий потерю импульса
электронами
— mvel(ve — vt), A1.1)
148
где ve,- — эффектйЁНое число столкновений электронов с йой&-
ми, т — приведенная масса. Вместо эффективной частоты
столкновений часто пользуются обратной величиной —
средним временем передачи импульса, которое опреде-
определяется соотношением
-h = Vet' AL2)
Для полностью ионизованной плазмы в макроскопические
уравнения войдет только член, выражающий передачу им-
импульса от электронов к ионам, так что индекс ~ei можно
опустить. Кроме того, в принятом приближении приведен-
приведенная масса не отличается от массы электрона, так что в даль-
дальнейшем будем полагать
vel=v; хе1 = х; т^т. A1.3)
Обобщенный закон Ома A.6) примет вид
dt An
Для постоянного тока получим
2
A1.4а)
Уравнение A1.4) или A1.4а) называют обобщенным зако-
законом Ома. Роль проводимости играет здесь величина
„.-*?-?,. A1.Б)
Это соотношение позволяет рассматривать время передачи
импульса электронами как феноменологическую характе-
характеристику плазмы, связанную с проводимостью для постоян-
постоянного тока.
Для колебательного процесса, в котором все величины
зависят от времени как е~/(о/, получим вместо уравнения
A.18)
2 2
co((o + /v)j=^^-E+(o/co,[J-h(jh)]-/(oco,fjh]. A1.6)
В тензоре комплексного сопротивления плазмы изменятся
только диагональные компоненты. В них величина со2 заме-
заменится на
(o(co+/v). A1.7)
149
Отсюда по формулам A0.17)—A0.18) получаются компонен-
компоненты тензора комплексной диэлектрической проницаемости;
нет необходимости их выписывать. Подстановка в уравнение
A0.21) дает дисперсионное уравнение с учетом конечной
проводимости, имеющее довольно громоздкий вид. Решение
этого уравнения позволяет найти затухание волны в про-
пространстве или во времени. Для бегущей волны с заданной
вещественной частотой получится комплексное волновое
число, мнимая часть которого описывает затухание волны
в пространстве. Для стоячей волны с заданным веществен-
вещественным волновым числом получится комплексная частота,
мнимая часть которой описывает затухание волны во вре-
времени.
Энергия, поглощаемая плазмой в единице объема за
единицу времени, выражается как среднее значение по
периоду колебаний скалярного произведения вещественных
частей комплексных векторов электрического поля и плот-
плотности тока
§^E:+Eafa), A1.8)
где е — плотность энергии; индекс а нумерует координаты;
звездочка означает комплексно-сопряженную величину.
Через тензоры проводимости и диэлектрической проницае-
проницаемости поглощенная энергия выражается как
2: а t = i?28°jЕаЕъ- (п-9)
a, b а, Ь
Здесь
% о'аЬ = ~2 {оаЬ+ G*ba)\ (НЛО)
Sab = 27" (ьаЬ — ЪЬа)- (П. И)
Величины Gab содержат только те слагаемые компонентов
тензора а, которые не изменяются при комплексном сопря-
сопряжении и перестановке индексов; такие величины называют-
называются эрмитовскими. Таким образом, а' есть эрмитовская
часть тензора проводимости. Величины гаь изменяют свой
знак после тех же операций, т. е. представляют собой анти-
эрмитовскую часть тензора диэлектрической проницаемости.
Эрмитовскую часть тензора проводимости составляют веще-
вещественные части диагональных и мнимые части недиагональ-
150
ных компонентов. Антиэрмитовскую часть тензора диэлект-
диэлектрической проницаемости составляют мнимые части диаго-
диагональных и вещественные части недиагональных компонентов.
Именно эти части тензоров приводят к поглощению энергии
волны, а следовательно, и к затуханию.
Чтобы выяснить конкретный характер затухания волны
из-за конечной проводимости, рассмотрим в качестве про-
простейшего случая волну, распространяющуюся вдоль маг-
магнитного поля. Из выражения A1.7) следует, что дисперсион-
дисперсионное уравнение E.4) примет при учете конечной проводимо-
проводимости вид
=
со2 со,- ые — со (со+ h) Т coco. ' \
Избавляясь от мнимости в знаменателе, получаем
k2 C2 = cog (со,- со. - со2 Т coco.) + ш20 coy
со2 (со,- со. — со2 Т сосо6/J + со2 V2 • l
*
Величина, стоящая в скобках, согласно E.4), равна —^ ,
где No — показатель преломления плазмы без поправки на
затухание. Следовательно, формулу A1.13) можно запи-
записать в виде
Для бегущей волны заменяем k на комплексное волновое
число
Легко найти мнимую часть %, представляющую простран-
пространственное затухание. Из формул A1.13а) и A1.14) следует
^ * A1.15)
4C02V2 '
со4
15J
При слабом затухании и вдали от частот аномальной дис-
дисперсии
~k^^Nol?o' AM7)
Эта величина представляет относительное затухание На
одной длине волны.
Для стоячей волны заменяем со на комплексную частоту
5 = ю —i6 A1.18)
и подобно предыдущему получаем для слабого затухания
Эта величина дает относительное затухание за один период.
Тождественные результаты получаются из уравнения (8.6)
для магнитного звука.
При низких частотах (в магнитоакустической области),
подставив вместо No альфвеновский показатель преломле-
преломления, получаем совсем простой результат
* А ' _^. A1.20)
k CD 2 CO/COg V
Этот результат примени не только к плазме, но к любой
проводящей текучей среде; следовательно, его можно выра-
выразить через макроскопические величины. И действительно,
пользуясь формулами A1.5) и A.19), можем записать
результат A1.20) в виде*
-- — =*- ^-2я-^ D --^-D П120а)
Здесь DM = с2/4яа — коэффициент диффузии магнитного
поля.
* Другой вывод этого результата можно найти в книге [12],
где, кроме того, показано, что при учете вязкости к ?>м надо доба-
добавить кинематическую вязкость. В формуле, выведенной в указанном
курсе, содержится опечатка. В наших обозначениях напечатано
СО3 СО2 v
х = 2 DM должно быть % = —з~^м (кинематическую вяз-
2иА 2иА
кость опускаем).
152
12. Резонансы поглощения
Вблизи частот аномальной дисперсии даже и малая
конечная проводимость, согласно выражениям A1.13)—
A1.16), коренным образом меняет характер распростране-
распространения волн. Показатель преломления уже не обращается
в бесконечность. Вещественная часть его сохраняет конеч-
конечное значение, мнимая же часть, характеризующая затуха-
затухание, в области аномальной дисперсии резко возрастает.
При той частоте, при которой в идеальной плазме пока-
показатель преломления обращался в бесконечность, мнимая
часть его оказывается обратно пропорциональной эффектив-
эффективной частоте столкновений, т. е. прямо пропорциональной
проводимости. При возрастании проводимости область
частот, где существенно затухание, сужается, но макси-
максимальное значение мнимой части волнового числа возрастает.
В' этом смысле частоты аномальной дисперсии обладают
резонансными свойствами, почему их и называют часто
резонансными частотами плазмы. Резонансные свойства
частот аномальной дисперсии проявляются еще сильнее,
если учесть не только столкновения, но и тепловое движе-
движение. Уменьшение фазовой скорости волны с приближением
к частотам аномальной дисперсии приводит к увеличению
числа частиц, движущихся в резонансе с волной, т. е. с теп-
тепловой скоростью, равной фазовой скорости волны. При
частотах аномальной дисперсии сколь угодно слабое тепло-
тепловое движение уже приводит к резонансному поглощению
энергии. Таким образом, к затуханию из-за конечной про-
проводимости добавляются еще весьма существенные кинетиче-
кинетические резонансные эффекты.
Говоря о резонансных частотах плазмы, следует разли-
различать два совершенно различных вида резонансных явлений.
При частотах аномальной дисперсии происходят, как мы
видели, резонансы поглощения. Резонансные явления име-
имеют при этом характер резкого усиления затухания волн
в узком интервале частот. Эти области частот зависят толь-
только от свойств плазмы и магнитного поля, но не зависят
от геометрии и размеров плазменного объема.
Совершенно другой характер имеют резонансные явле-
явления, связанные с возникновением стоячих волн в ограни-
ограниченном плазменном объеме. Такой объем имеет резонансные
частоты, зависящие от его размеров и формы. При соблюде-
соблюдении резонансных условий резко возрастает амплитуда
6В Лекции по физике плазмы 153
стоячих волн при заданном возбуждении. Такого роД&
резонансы раскачки мы рассмотрим ниже.
13. Плазменные волноводы
В ограниченном объеме плазмы на волновое число на-
накладываются граничные условия. Объем,-имеющий огра-
ограниченное поперечное сечение, но неограниченную длину,
называется волноводом. Граничные условия на боковой по-
поверхности волновода определяют поперечное волновое
число.
При заданной частоте волны и геометрии поперечного
сечения дисперсионное уравнение определяет продоль-
продольное волновое число, а следовательно, и скорость распро-
распространения вдоль волновода. При определенных значениях
частоты продольное волновое число может стать мнимым,
т. е. распространение волны невозможным. Такие частоты
называются граничными.
Рассмотрим цилиндрический плазменный волновод с про-
продольным магнитным полем. В таком волноводе могут рас-
распространяться цилиндрические и винтовые волны, в кото-
которых все величины зависят от координат и времени как
/(?, г, ф, t)=Z(k1r)ei*. A3.1)
Здесь Z — цилиндрическая функция, т. е. линейная ком-
комбинация функций Бесселя; kx — радиальное волновое чис-
число;
г|) = ks z + /пер — со/; A3.2)
k3 — осевое (продольное) волновое число; т—азиму-
т—азимутальное число. Для волн с азимутальным числом т радиаль-
радиальные функции Z(kxr) для поперечных составляющих векторов
внутри плазмы имеют вид
Zr, <? (&! г) = Л+ Jm+l (k± r) + А- Jm-г (kx r). A3.3)
Соотношение между функциями Бесселя
dJm __ 1 ( т (Y\ т (у\\
154
позволяет выразить Zr,<p через функцию Весселя порядка
т — 1 или т + 1 и производную от функции* порядка т
Zr, „ {кг г) = (А+ + А-) Jm+i (kx r) + 2 4f *±
A.) Jm-i (*х О - -^ №!. A3.3а)
Коэффициенты Л_}_ и ^- не являются независимыми: их
отношение определяется свойствами плазмы. Так, для ази-
азимутальной составляющей электрического поля
А+ = АA-рУ, А- = АA+р), A3.4)
где р — гиротропное число, определенное формулой A0.31).
Для осевых составляющих векторов радиальная функция
внутри плазмы выражается как
Zz(k1r)=AzJm(k1r). A3.5)
Для осевой составляющей электрического поля коэффициент
Ая = аУ±=А Ь\* 2. A3.6)
Составляющие переменного магнитного поля связаны с со-
составляющими электрического поля уравнением Максвелла
rotE=-l§- = ^-H. A3.7)
С помощью этого уравнения радиальное переменное магнит-
магнитное поле выражается в конечном виде через составляющие
электрического поля
HL == т — Ez ~ ^ Е„. A3.8)
r cor z со ™ v '
Остальные составляющие переменного магнитного поля
выражаются через другие линейные комбинации функций
Бесселя
H9 = ii^A[(q—p)Jm+i{k1r) — (q+p)Jm-l(k1r)]'et*.A3.9)
Здесь
~ he
H2 = 2ipA — Jm Ik, r) e^. A3.10)
0 «jCU / 1 Q 114
/jfc2 +cog —со2 kfc2 — ^®2
6B* 155
Граничные условия на боковой поверхности волновода
могут быть различными. Если плазма непосредственно гра-
граничит с металлическими стенками и проводимость плазмы
мала в сравнении с проводимостью металла, то металл
в сравнении с плазмой можно считать идеальным провод-
проводником и граничное условие требует обращения в нуль тан-
тангенциальных составляющих электрического1 поля Ег и Е9.
Согласно соотношению A3.8), граничное условие для Нг
при этом удовлетворяется автоматически.
Если боковая поверхность волновода свободно излуча-
излучает электромагнитные волны в 'пространство, то граничные
условия на этой поверхности заключаются в сопряжении
волны в плазме с волной в окружающей среде. Для низко-
низкочастотных волн показатель преломления плазмы велик
и граничное условие на свободной поверхности сводится
приближенно к обращению в нуль тангенциальных состав-
составляющих магнитного поля. Излучение волн в пространство
связано с потерей энергии, которая добавляется к диссипа-
диссипации и увеличивает затухание волн. Но при большом пока-
показателе преломления это добавочное затухание невелико.
Указанные два вида граничных условий являются простей-
простейшими предельными случаями. Если между плазмой и ме-
металлическими стенами имеется зазор, то граничные условия
усложняются. *
По своим гиротропным свойствам плазма аналогична
таким гиротропным средам, как ферриты, широко применя-
применяемые в радиотехнике. Расчет плазменного волновода может
быть выполнен общими методами, разработанными в радио-
радиотехнике для гиротропных сред, т. е. в основном для фер-
ферритов. Мы не будем излагать здесь эту довольно громоздкую
методику расчета, отсылая интересующихся к специальной
литературе, а остановимся на простейших случаях.
Если азимутальное число т = О, то винтовая волна
переходит в осесимметричную цилиндрическую волну.
Приведенные выше формулы для радиального распределе-
распределения амплитуд в этом случае упрощаются. Азимутальная
и радиальная составляющие электрического поля пропор-
пропорциональны функции /i(&ir), осевые составляющие электриче-
электрического и магнитного полей — функции /0(^)« Однако, ввиду
того что граничные условия наложены одновременно на две
составляющие поля, удовлетворить им может только линей-
линейная комбинация двух простых цилиндрических волн с раз-
разными значениями кг. Такая комбинация всегда может быть
156
построена, так как дисперсионное уравнение является
биквадратным по отношению к kx и имеет два корня для k\»
В предельном случае низких частот дисперсионное урав-
уравнение принимает простой вид A0.35). При этом в тензоре
электрической проницаемости компонент г\ стремится к бес-
бесконечности, а следовательно, согласно соотношению A3.6),
осевой составляющей электрического поля можно
пренебречь. В этом предельном случае плазменный волно-
волновод не отличается от магнитоакустического. Граничное ус-
условие при контакте с металлическими стенками наклады-
накладывается на азимутальную составляющую электрического по-
поля и имеет вид
Л(*1#) = 0. A3.12)
При свободно излучающей поверхности плазмы граничное
условие накладывается на осевую составляющую магнитно-
магнитного поля и имеет вид
J0(k1R) = 0. A3.13)
Здесь R — радиус волновода. У функции Бесселя счетное
множество корней.
Как видно из дисперсионного уравнения A0.35), в ма-
гнитоакустическом волноводе возможны два типа волн.
Одни из них — магнитогидродинамические — отвечают ус-
условию
^L = e. A3.14)
Для этих волн фазовая скорость вдоль волновода равна
альфвеновской независимо от радиального волнового числа.
Волны второго типа получаются из условия
= г<*29 A3.15)
откуда в магнитоакустической области
A3.16)
иА
где па — альфвеновская скорость. Это косые магнитно-зву-
магнитно-звуковые волны. Значение k± находится из граничного условия
*! = -?-, A3.17)
где а — один из корней соответствующей функции Бесселя.
157
Подстановка этого значения в соотношение A3.16) дает
Скорость распространения вдоль волновода выражается
отсюда как
Скорость распространения косых магнитно-звуковых волн в
волноводе всегда больше' альфвеновской скорости. С умень-
уменьшением частоты скорость распространения в волноводе
возрастает и при граничной частоте
©* = ^ A3.20)
стремится к бесконечности. При частотах ниже граничной
косые магнитно-звуковые волны в волноводе не распростра-
распространяются.
14. Магнитно-звуковой резонанс
Отрезрк волновода можно превратить в резонатор, за-
закрыв его торцы отражающими поверхностями. При соблю-
соблюдении резонансных условий возникают стоячие волны и ам-
амплитуда волны при заданном возбуждении резко возрастает.
Резонансные условия зависят от размеров и формы плазмен-
плазменного объема. Такого рода резонансы мы называем резонан-
сами раскачки. Важнейшим из них является магнитно-
звуковой резонанс. Для плазменного объема конечной длины
резонансные (собственные) частоты равны частотам волн,
распространяющихся с соответствующим значением kz
в волноводе. С увеличением длины резонатора его собствен-
собственные частоты стремятся к предельным значениям. Собствен-
Собственная частота резонатора бесконечной длины равна гранич-
граничной частоте волновода.
При частотах ниже гибридной в цилиндрическом объеме
возможны чисто радиальные магнитно-звуковые колебания.
Граничные условия для них выражаются формулами A3.12)
или A3.13) и дают значение волнового числа A3.17) в за-
зависимости от радиуса цилиндра JR. Для чисто радиальных
15$
колебаний k = kly и подстановка этого значения k в дис-
дисперсионное уравнение магнитного звука (8.3) позволяет
определить резонансную частоту.
Будем считать, что плазменная частота велика в срав-
сравнении с частотой колебаний и с циклотронными частотами.
При этом показатель преломления плазмы велик и током
смещения можно пренебречь. Дисперсионное уравнение
(8.3) принимает приближенный видУ(8.5). Подставим значе-
значение k A3.17) и, умножив обе части равенства на coo Л*>2,
запишем результат в виде
co2tf2 со,©, со2
Величина, стоящая в левой части,
<°0#2 _ Anne2R2 __ 4 yr (]A9\
' а2 с2 a2 me2 a ' V • /
где П — погонное число электронов на длине, равной клас-
классическому радиусу электрона е2/тс2. Назовем эту величину
эффективным погонным числом электронов
Теперь из выражения A4.1) можем выразить в явном виде
резонансную частоту магнитного звука
<*= "'"; . A4.4)
©о
При большом погонном числе электронов магнитно-звуко-
магнитно-звуковой резонанс сдвигается к низким частотам, в магнитоаку-
стическую область. В этой области резонансная частота
выражается как
со^^-^- A4.5)
где па— альфвеновская скорость; а — корень соответству-
соответствующей функции Бесселя. Она совпадает с граничной частотой
магнитоакустического волновода A3.20). При малом погон-
числе электронов резонансная частота чисто радиальных
159
магнитно-звуковых колебаний должна стремиться к гибрид-
гибридной частоте.
В действительности при малом погонном числе электро-
электронов колебания перестают быть чисто радиальными — возни-
возникают косые магнитно-звуковые волны, частота которых
может быть выше гибридной. В длинном цилиндре при
частотах порядка гибридной резонансная частота магнит-
магнитного звука может быть найдена по приближенной формуле
Н ю, ?
со2 «со,©, —L. A4.6)
П*+1 + -^?-
Здесь радиальное волновое число k± находится по-прежнему
по формуле A3.17), а осевое волновое число k3 определяется
длиной цилиндра, согласно соотношению
*. = /f, A4.7)
где / — целое число.
Задачи к гл. IV
Задача 1. Как изменится скорость распространения прямых
мапртогидродинамических и магнитно-звуковых волн при прибли-
приближении ее к скорости света?
Решение. Приближение фазовой скорости к скорости света
означает малый показатель преломления, т. е. невыполнение усло-
условия D.3). При этом из выражения D.2) или F.1) вместо формулы
D.4) получается
Дисперсионное уравнение вместо вида D.8) или F.10) примет вид
cog со*
откуда для фазовой скорости иф получим
1 1 1
где иА — альфвеновская скорость, определенная выражением
D.10). Таким образом, хотя формально альфвеновская скорость при
малых плотностях и сильных магнитных полях может быть сколь
угодно больше скорости света, скорость распространения] магни*
160
тогидродинамических и магнитно-звуковых волн не превышает
скорости света. При частотах, низких в сравнении с ионной цикло-
циклотронной, дисперсия по-прежнему отсутствует и групповая ско-
скорость равна фазовой.
Задача 2. Каково должно быть соотношение между циклотрон-
циклотронными частотами и плазменной частотой, для того чтобы альфвенов-
ская скорость была мала в сравнении со скоростью света?
7,0%
Решение. Умножив обе части неравенства D.17) на
V Мтс2у
приводим его к виду
Z*№ Anne2
Мтс2 ^ т '
т. е. со/со^ < cOq. Это значит, что энергия магнитного поля должна
быть мала в сравнении с собственной энергией ионов Я/Мс2. При
№№е > COq магнитогидродинамические и магнитно-звуковые волны
распространяются со скоростью света.
Задача 3. Вычислить групповую скорость прямых магнитно-
звуковых волн в плотной плазме.
Решение. Дифференцирование приближенного дисперсион-
дисперсионного уравнения (8.6) дает
_ tfco k2 с2 (coz cog — со2J
Ыг = ТГ = о •
&k COq COCO; C0?
Фазовая скорость из того же уравнения
Исключив с помощью последнего соотношения волновое число,
получим связь между групповой и фазовой скоростями:
со2
В магнитоакустической области со2 < со^со*? и групповая скорость
совпадает с фазовой. При приближении к электрон-ионной гибрид-
гибридной частоте групповая скорость стремится к нулю еще быстрее,
чем фазовая.
Задача 4. Найти максимальное значение фазовой скорости волн
с круговой поляризацией, распространяющихся в плазме вдоль
магнитного поля.
Решение. Из формулы E.4)
со? '
161
Отсюда видно, что максимум имеется только для необыкновенной
волны и достигается при частоте со = —?. Фазовая скорость при
этом
/ ~ о*
1 Н
V 7 ^
2
Таким образом, максимальное значение фазовой скорости волн
с круговой поляризацией равно половине «электронной альфвенов-
ской скорости» с точностью до величин порядка отношения массы
электрона к массе иона.
Задача 5. Получить выражения для гибридных частот из точ-
точного тензора электрической проницаемости холодной плазмы.
Решение. Для волны, распространяющейся поперек маг-
магнитного поля', показатель преломления обращается в бесконечность,
если компонент 8=0. Приравняв нулю правую часть формулы
A0.17в), получаем для гибридной частоты биквадратное уравнение
4 2 / 2 i 2j_ 2\ _]_ / 2 | \ П
где
СО^СО^+СО^.
Если плазменная частота велика в сравнении с циклотронными
частотами, то приближенные значения корней этого уравнения
голучаются отбрасыванием третьего и первого членов:
2 2 | 2
со*, = соп + сол;
CO/
Полученное значение для верхней гибридной частоты совпадает
с формулой G.2), для нижней — отличается от формулы G.3)
только на величину порядка со//о>е.
Глава V
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ В ГОРЯЧЕЙ ПЛАЗМЕ
В ГИДРОДИНАМИЧЕСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
1. Уравнения гидродинамического приближения
Для приближенного описания влияния теплового движе-
движения в уравнения усредненных скоростей вводят силы давле-
давления. При этом принимают, что электронное давление действу-
действует только на электроны, а ионное — только на ионы. Взаи-
Взаимодействие же между теми и другими описывается, как
в модели двух жидкостей, эффективным числом столкнове-
столкновений, т. е. электрическим сопротивлением плазмы. Такой'
метод описания движения плазмы носит название гидроди-
гидродинамического приближения. Если при этом рассматривается
предельный случай идеальной проводимости, то взаимодей-
взаимодействие между ионами и электронами вообще не учитывается:
они движутся друг сквозь друга как две независимые жид-
жидкости. Конечная проводимость, т. е. взаимодействие между
электронами и ионами, приводит, как и в случае холодной
плазмы, к затуханию колебаний. Уравнения движения элект-
электронов и ионов в линейном гидродинамическом приближении
без взаимодействия имеют вид
-VP,; 0-1)
A.2)
Полные производные по времени заменены частными
в силу линейного приближения. Если сложить эти уравне-
уравнения с учетом условия электронейтральности
Znt^ne = n A.3)
163
и определения плотности тока
]=е(гпг\г — пв\е), A.4)
то получится для массовой скорости уравнение магнитной
гидродинамики
где
Мпу + тп.у.
Мп1 + тпе , v '
— массовая скорость и
р = Мпг + тпе A.7)
— плотность плазмы.
Если разделить уравнение A.1) на массу электрона, урав-
уравнение A.2) на массу иона и вычесть первое из второго,
опустив члены, содержащие в знаменателе массу иона, то
получится уравнение идеальной проводимости
т \~ ' с L'-->j тс lJ-J " т ^^е' ' ' '
Для учета джоулевой диссипации в правую часть этого
уравнения добавляют член — vj так же, как в уравнении
(IV. 11.4). Тогда получится обобщенный закон Ома с уче-
учетом электронного давления
1
где v = — .
Описание колебаний плазмы с помощью уравнений
A.1)—A.8) неточно в двух отношениях. С одной стороны,
давление полагается изотропным, в то время как в разре-
разреженной плазме давление может быть не скаляром, а тензо-
тензором. Эта неточность гидродинамического приближения име-
имеет обычно лишь второстепенное значение. Гораздо сущест-
существеннее то, что гидродинамическое приближение не описы-
описывает специфического затухания колебаний, связанного с дис-
диссипацией без столкновений.'При этом волна передает свою
энергию частицам, у которых составляющая скорости тепло-
теплового движения вдоль направления распространения близка
к фазовой скорости волны,
164
Для волн с низкой фазовой скоростью специфическое
затухание оказывается весьма сильным. Оно может приво-
приводить к тому, что некоторые типы колебаний, получающиеся
из гидродинамического приближения, в действительности
вообще не осуществляются. Этот вопрос может быть рас-
рассмотрен только методами физической кинетики.
В обычном газе из нейтральных частиц возмущения дав-
давления распространяются, как звуковые волны. В плазме
волны подобного рода сопровождаются разделением зарядов.
Если магнитное поле отсутствует, то волновые движения
происходят под действием градиентов давления и электри^
ческого поля, возникающего от разделения зарядов. С по-
понижением температуры эти движения переходят в знакомые
уже нам электростатические плазменные колебания. В хо-
холодной плазме плазменные колебания имеют одну
фиксированную частоту, не зависящую от волнового числа,
т. е. не являются распространяющимися волнами. Можно
сказать, что групповая скорость их равна нулю, а фазовая
не имеет определенного значения. Если же ввести тепловое
(газовое) давление, то плазменные колебания переходят
в распространяющиеся волны, В этих волнах действуют
одновременно электростатические силы (как в плазменных
колебаниях) и силы давления (как в звуке). Поэтому иногда
их называют плазменными, а иногда — электрозвуковыми
волнами. Таким же образом происходит и распространение
плазменных волн вдоль внешнего магнитного поля. В этом
направлении поперечные (магнитогидродинамические и элек-
электромагнитные) волны распространяются независимо от
продольных плазменных или электрозвуковых волн. При
распространении волн поперек внешнего магнитного поля
силы газового давления складываются с силами магнитного
давления. Возникают ускоренные магнитно-звуковые *зол-
ны, которые с понижением температуры переходят в
знакомые нам магнитно-звуковые колебания холодной
плазмы. При распространении под косым углом к маг-
магнитному полю, кроме ускоренных, возможны также и за-
медлен-ные магнитно-звуковые волны.
2. Скорость звука
Для описания влияния давления на волновые движения
необходимо связать градиент давления со скоростью движе-
движения вещества. Это делается так же, как и в обычной тео-
теории распространения звука. Пренебрегая диссипативными
165
процессами, считают, что изменение состояния вещества
происходит по адиабатическому закону
Р :: п\
откуда
dlnP^ydlnn; B.1)
— - v -S2- B 2)
где 7 — показатель адиабаты. Связь между изменениями
концентрации п и скорости v дается уравнением непрерыв-
непрерывности
^ B.3)
которое в линейном приближении сводится к
^«-ndivv. B.4)
Здесь п! — возмущение концентрации; п — невозмущенная
концентрация. Для плоской волны вида expi [(kr)—со^] из
уравнения B.4) получим
п' = ± (kv). B.5)
Если невозмущенная концентрация постоянна в простран-
пространстве, то
V«' = ^k(kv) B.6)
и тогда из соотношения B.2) получим
VP=fY-jj-k(kv). B.7)
Это уравнение решается совместно с уравнениями движе-
движения. Поскольку мы пренебрегаем взаимодействием между
ионами и электронами, уравнения B.1)—B.7) могут приме-
применяться отдельно как к ионам, так и к электронам. При этом
подразумевается, что плазма совершенно неизотермична —
температуры ионов и электронов меняются независимо.
Для газа из нейтральных частиц уравнение B.7) решает-
решается совместно с линеаризованным уравнением Эйлера
4r = -7VP' B'8)
166
которое для плоской волны Дает
mv = -WP. B.9)
Если выразить отсюда v и подставить в уравнение B.7),
то для продольных волн (к || v) получится дисперсионное
уравнение
-§- = vf-««. B.10)
Здесь и — обычная скорость звука. По аналогии удобно
ввести ионную и электронную скорости звука, определив
их соотношениями
где Tt и Те — ионная и электронная температуры в энерге-
энергетических единицах. Тогда уравнение B.2) для ионов и элект-
электронов можно записать в виде
B.13)
B.14)
и уравнение B.7) — в виде
VP,- = i^r k(kv); B.15)
VP. = *^-'k(kv). B.16)
Допустим, что в плазме могут распространяться обыч-
обычные звуковые волны, для которых разделением зарядов
и электрическими токами можно пренебречь. Это значит,
что электроны и ионы должны иметь одинаковые упорядо-
упорядоченные скорости
v, = v,= v. B.17)
Тогда сложение уравнений B.15) и B.16) даст с учетом усло-
условия электронейтральности (пе — Zni) для общего давления
^ (kv). ( B.18)
167
Этот результат можно записать в виде, аналогичном урав-
уравнению B.15),
УР = /^к(ку)^4Рк(И- . BЛ9)
если определить скорость звука и3 соотношением
Это так называемая скорость ионного звука (в отличие от
ионной скорости звука и/).Она определяется «суммарной»
температурой электронов и ионов 7\- + ZTe и массой ионов.
Электронная температура входит с множителем Z, потому
что это число электронов на один ион. В каких условиях
в плазме реально могут распространяться звуковые волны
без разделения зарядов, будет видно из дальнейшего. Но
уже сейчас мы можем сказать, что скорость их должна опре-
определяться формулой B.20).
3. Плазменные волны и ионный звук
Рассмотрим сначала продольные волны без магнитного
поля. Продольными волнами называются такие, у которых
скорости движения частиц направлены вдоль волнового
вектора, т. е. k(kv) = k2v. Уравнения движения A.1)
и A.2) для продольных волн без магнитного поля с учетом
соотношений B.15) и B.16) принимают вид
и2
= ——Е—t — k2we\ C.1)
т со е v '
г = ^-Е—1 — к2\г. C.2)
1 М со г v '
Отсюда видно, что в рассматриваемом случае и электриче-
электрическое поле также направлено вдоль волнового вектора. Эти
уравнения решаются совместно с уравнением
divE = 4л;<7, ' C.3)
где q — плотность электрического заряда
q = e(Zni — ne). C.4)
Поскольку невозмущенные концентрации удовлетворяют
условию электронейтральности, то в уравнение C.4) вхо-
входят только возмущения концентраций, выражаемые форму-
168
лой B.5), откуда для продольных ёолн
q = ?-{Zntvt-nev,).- C.5)
Этот результат выражает закон сохранения электрического
заряда
-g-=-divj: C.6)
Подстановка выражения C.5) в уравнение C.3) дает для
продольной плоской волны
E=_i^{ZtliVi_neVe) C<7)
или с учетом условия квазинейтральности A.3)
E = -*4-^(v,-v,). C.8)
Подстановка этого выражения в уравнения C.1) и C.2)
приводит к системе уравнений для скоростей электронов
и ионов
(соо — со2 + k2u2) ve — ©о V/ = 0; C.9)
^0. C.10)
Определитель этой системы дает дисперсионное уравнение
для продольных волн в плазме без магнитного поля
^ со1-со2 + k2 и2^) -^ с,4о = О. C.11)
Здесь со0 — электронная плазменная частота. Заметим,
что величина
Zm 2
м
есть квадрат ионной плазменной частоты. Если расположить
уравнение C.11) по степеням частоты волны, то получим
(О4 — ОУ
+ к2и2<й2о + к2и2^«>2о + к*и2и2 = О. C.13)
Если отвлечься от частного случая, когда корни урав-
уравнения C.13) близки по величине, это уравнение определяет
169
Две отдельные ветви колебаний. Высокочастотная или элект-
электронная ветвь получается, если пренебречь свободным чле-
членом. Дисперсионное уравнение при этом принимает вид
co2^cog + ?2(^2 + a2). C.14)
Практически без ограничения общности можно считать,
что электронная скорость звука гораздо выше ионной,
и тогда
а>'«ю§ + k*u* =0J + k*yg Ц . C.14а)
Сюда входят величины, относящиеся только к электронам,
что и оправдывает наименование «электронная ветвь».
Множитель A + ZtnIM) при квадрате электронной плаз-
плазменной частоты столь близок к единице, что его можно не
учитывать. Частота колебаний на этой ветви всегда выше
электронной плазменной частоты, а скорость распростране-
распространения волн больше каждой из скоростей звука (электронной
и ионной). С понижением температуры плазмы или с воз-
возрастанием длины волны колебания высокочастотной ветви
стремятся к электростатическим колебаниям холодной плаз-
плазмы с фиксированной частотой со0, которые принято называть
плазменными колебаниями. Соответственно волны высоко-
высокочастотной ветви называются плазменными волнами. Иногда
их именуют также электрозвуковыми.
Низкочастотная или ионная ветвь получается, если
в уравнении C.13) отбросить член со4. Тогда дисперсионное
уравнение принимает вид
0J ~ 2 , и2( 2 , 2^ ' (ЗЛ5)
Для длинных волн (k -> 0) дисперсионное уравнение ионной
ветви стремится к
»2~*2(«?+§«fH2 (?<¦-& + ?< ж)- (ЗЛ6)
Это отвечает скорости распространения ионного звука
B.20). Для коротких волн (k ->- cxf) предельный вид будет
tf^p-^h^tful C.17)
ие + ut
так как электронная скорость звука гораздо больше ионной.
170
. Для коротких ёолн фазовые скорости как электронной,
так-и ионной ветвей стремятся к соответствующим скоростям
звука, т. е. близки к средним скоростям теплового движе-
движения. При этом колебания быстро затухают по причине
фазового резонанса с частицами, у которых скорость
теплового движения равна фазовой скорости волны. Реаль-
Реальное значение имеют длинноволновые колебания. При этом
электронная ветвь имеет частоту, близкую к плазменной
(но всегда выше ее). Скорость же распространения ионного
звука выражается формулой B.20). Если электронная тем-
температура значительно выше ионной, то скорость ионного
звука ниже тепловых скоростей электронов, но выше тепло-
тепловых скоростей ионов, и возможно распространение без
быстрого затухания.
В случае холодных ионов G\- ->¦ 0) дисперсионное урав-
уравнение ионной ветви переходит в
Своеобразный результат получается, если выполнены нера-
неравенства
*42»<o§»z* *V- C.19)
Эти неравенства совместимы, если Tt <C Z7V При этом
ионная ветвь переходит в колебания с фиксированной ча-
частотой
©а«^(о?. C.20)
Как видно из формулы C.12), это — ионная плазменная
частота. Таким образом, в области, определяемой неравен-
неравенствами C.19), возможны электростатические колебания
холодных ионов на однородном электронном фоне, разма-
размазанном тепловым движением.
Все рассмотренные виды продольных волн могут рас-
распространяться также и при наличии магнитного поля, если
направление распространения параллельно силовым ли-
линиям магнитного поля. Магнитное поле не влияет на рас-
распространение продольных волн вдоль своего направления.
Как видно из предыдущего, при рассмотрении продоль-
продольных волн неправильно было бы заранее опускать члены
порядка отношения массы электрона к массе иона, т. е.
171
пользоваться уравнением Для йлотности тока в форме (L8).
Поэтому мы и исходили непосредственно из уравнений дви-
движения электронов и ионов.
4. Тензорные характеристики горячей плазмы
и пространственная дисперсия
Рассмотрим теперь влияние газового давления на коле-
колебания плазмы в магнитном поле. Будем исходить из систе-
системы макроскопических уравнений A.5) и A.8) или A.9),
в которых уже опущены члены порядка отношения массы
электрона к массе иона. Изменения состояния вещества
в волне будем считать адиабатическими в термодинамиче-
термодинамическом смысле, что позволяет выразить градиенты давления
через скорость звука. Для уравнения A.5), описывающего
движение плазмы как целого, градиент общего давления
выражается через скорость ионного звука согласно форму-
формуле B.19), после чего уравнение принимает вид
2
^=±.[jH]-i-?k(kv). D.1)
Здесь и3 — скорость ионного звука, выражаемая формулой
B.20). Для плоских волн уравнение D.1) дает
и2 и
¦ v ?-k (kv) = i-^-[jh], D.2)
СО2 V ' CpCO J - V '
где h — одиночный вектор в направлении магнитного поля.
Здесь нам будет удобно выбрать ось х в направлении волно-
волнового вектора к. Направление оси z выберем так, чтобы маг-
магнитное поле лежало в плоскости xz. Выбранная система
координат ориентирована по вектору к; мы будем называть
ее /^-системой в отличие от применяемой обычно Я-системы,
в которой ось z ориентирована по магнитному полю Я.
В ^-системе уравнение D.2) позволяет выразить состав-
составляющие общей скорости плазмы в простом виде:
vx = i — . iy 2Z 2 ; D.3)
1"~~co2~
vv = i -— (/' /L — /' h7)\ D.4)
172
Если магнитное поле направлено под углом 0 к волновому
вектору, то hx = cos 6; hz = sin 6; hy = 0.
Составляющие электрического поля из уравнения элек-
электродинамики (IV. 1.5) выражаются в ^-системе формулами:
_ . 4ясо
У ~
Ez = i , 2 42Я(° 2 iz- D-8)
z k2 C2 — @a z 7
Подстановка выражений D.3)—D.8) в векторное уравнение
обобщенного закона Ома A.9) дает систему линейных одно-
однородных алгебраических уравнений для составляющих плот-
плотности тока. Если приравнять нулю определитель этой си-
системы, то можно получить дисперсионное уравнение. Мы
проведем этот вывод в два приема: сначала подставим в обоб-
обобщенный закон Ома выражения D.3)—D.5) для составляю-
составляющих скорости и получим связь между электрическим полем
и током, определяемую свойствами плазмы, которую можно
выразить через тензор электрического сопротивления .R:
Подставив затем в тензорное соотношение D.9) составля-
составляющие электрического поля D.6)—D.8), получим систему
однородных уравнений, дающую дисперсионное уравнение.
Такой порядок вычислений позволяет выписать в явном
виде тензор сопротивления плазмы,' который может ока-
оказаться полезным.
Пренебрежем затуханием волн, т. е. вместо обобщенного
закона Ома A.9) воспользуемся уравнением идеальной про-
проводимости A.8). В этом уравнении градиент электронного
давления выразим по формуле B.16) через упорядоченную
скорость электронов, которая в свою очередь может быть
выражена через массовую скорость плазмы и плотность
тока как
vp = v -
173
После этих подстановок уравнение A.8) для плоской волны
принимает вид
— ш2 j =
An
+ ineul (kv) k — tUe (kj) k.
D.10)
Расписав это уравнение в составляющих, подставив для
составляющих скорости выражения D.3)—D.5) и сравнив
с выражением D.9), получим тензор сопротивления горя-
горячей плазмы
4я
т*.
D.11)
где компоненты тензора Т* в ^-системе координат
Т** = i (— со2 + со/ (ое sin2 0 + k2 и2);
1 + —L n" "i л )sin 0;
= —coco sin 0;
cos20+
sin26
— CD
,2 •
TZy =
T*z =
@@e cos 0;
— t(ofcogsin0cos0;
— @(OeCOS 0^
i((oto)^cos20 -co2).
D.11a)
Если устремить скорости электронного и ионного звука
к нулю, то получится тензор сопротивления холодной
плазмы в /^-системе; тот же тензор в Я-системе выражается
формулой (IV. 10.8). Связь между этими двумя представле-
представлениями тензора сопротивления легко получить из формул
преобразования тензоров при повороте системы координат.
Чтобы учесть конечную проводимость, достаточно, как
видно из сопоставления уравнений A.8) и A.9), заменить
в диагональных членах со2 на со2 + icov, где v — эффектив-
эффективная частота столкновений,
174
Тензор сопротивления горячей плазмы можно получить
и из микроскопических уравнений движения частиц A.1)—
A.2). Запишем эти уравнения в общем виде для частицы
с зарядовым числом Z и массой М как
dv Ze p
Мп
D.12)
где h — единичный вектор в направлении магнитного поля.
Перейдем к плоской волне и выразим градиенты давления
через скорости звука и согласно выражениям B.15)—
B.16). Введем для каждого сорта частиц тензор частичного
электрического сопротивления Rk, определенный согласно
формуле (IV. 10.7а), и выразим его через вспомогательный
тензор ТУ
Rk = ^Th. D.13)
Тензор частичного сопротивления выражается проще в //-си-
//-системе координат, в которой ось z направлена вдоль магнит-
магнитного поля. В этой системе координат вспомогательный тензор
для каждого сорта частиц выражается как
Т =
-i 1
k2xu2
kxkzu2
-i
0
—П1 —
k2zu2
D.14)
Здесь а — скорость звука для частиц данного сорта.
Обращением матрицы тензора Т& можно получить тензор
Т~1 и аналогично выводу формул (IV.10.176) —
(IV. 10. 196)—тензор полного сопротивления
Здесь суммирование производится по всем сортам частиц,
присутствующих в плазме.
Мы не будем проводить довольно громоздкие выкладки.
Если перейти в ^-систему координат посредством поворота
осей, то окончательное выражение для тензора сопротивле-
сопротивления будет отличаться от выражения D.11) только величина-
величинами порядка rn/М, опущенными при выводе макроскопиче-
макроскопических уравнений.
175
От тензора сопротивления легко перейти к тензорам
проводимости о и электрической проницаемости е горячей
плазмы:
2&Vi D.16)
-lT1. D.17)
Важнейшая особенность тензора электрической прони-
проницаемости горячей плазмы заключается в том, что он явным
образом зависит не только от частоты, но и от волнового
вектора. Последняя зависимость носит название простран-
пространственной дисперсии. Она является следствием теплового
движения, приводящего к прямому переносу частиц из
одной точки пространства в другую. Как видим, это свой-
свойство теплового движения проявляется уже в гидродинами-
гидродинамическом приближении. Пространственная дисперсия сильно
усложняет теорию колебаний горячей плазмы.
5. Ускоренные и замедленные
магнитно-звуковые волны
Подстановка в тензорное равенство D.9) компонентов
тензора D.11) и составляющих электрического поля D.6)—
D.8) дает систему линейных однородных алгебраических
уравнений для составляющих тока в ^-системе координат.
Ту же систему уравнений можно получить, расписав век-
векторное уравнение A.8) в составляющих и подставив выра-
выражения D.3)-»-D.8). Дисперсионное уравнение получается
приравниванием нулю определителя этой системы. Тождест-
Тождественный определитель имеет и система уравнений для состав-
составляющих электрического поля, которую можно получить
подстановкой компонентов тензора проводимости в тензор-
тензорное соотношение j = стЕ. Выпишем систему уравнений для
составляющих плотности тока, полученную с помощью тен-
тензора D.11):
со2 \х == со2 !х + со* со^ (]х sin2 9 — jz sin 0 cos 0) —
176
ч2,,2
+ im>efycosQ. E.3)
Здесь 0 — угол между направлениями магнитного поля
и волнового вектора.
Определитель этой системы в общем случае имеет доволь-
довольно громоздкий вид, и мы не будем его выписывать. Рассмот-
Рассмотрим прежде всего предельный случай низких частот в плот-
плотной плазме (магнитоакустическую область). В этом случае
можно пренебречь величинами со2 и сосов, после чего уравне-
уравнение для ]у отщепляется и получается два независимых дис-
дисперсионных уравнения. Одно из них описывает волны,
в которых электрический ток направлен перпендикулярно
как направлению магнитного поля, так и к направлению
распространения волны (/ = jy). Как видно из формул
D.6)—D.8), электрическое поле при этом направлено так
же, как и ток, скорость же течения плазмы перпендикуляр-
перпендикулярна к току, т. е. лежит в плоскости (кН). Дисперсионное
уравнение для этих волн получается непосредственно из
уравнения E.2) и имеет вид
соос°2 / *л , sin2e i /с ич
= © * [ ™S20 +\ E.4)
V
ИЛИ
^+м,ШA1^1_0, E.4а)
где
КГ _ kC щ дг _ ^3
~~" ~Ш" ' 3 ~~ (О
Рассмотрим простейший случай, когда показатель пре-
преломления плазмы велик: N > 1, т. е. можно пренебречь то-
током смещения, но плотность плазмы столь велика, что
со о > k2c2 (эффективное погонное число электронов велико).
Эти допущения соответствуют приближению магнитной
7 Лекции по физике плазмы 177
гидродинамики, т. е. магнитоакустической области. При
этом уравнение E.4) принимает вид
2п , sin26 \ /с сч
cos26 + ~-щ . E.5)
Удобно ввести альфвеновскую скорость Ua, определенную
согласно (IV.4.10), и фазовую скорость Иф = со/&. В этих
обозначениях дисперсионное уравнение E.5) перепишется
как
E.6)
или
4 — и? = 4 | 1 — ^- cos26^ . E.6а)
Располагая члены по степеням фазовой скорости, получим
биквадратное уравнение
и% — *4 (и% + и23) + и\ и* cos2 9 - 0. E.66)
Если альфвеновская и звуковая скорости сильно отличают-
отличаются или cos 9 < 1, то корни этого уравнения сильно отличают-
отличаются по величине и* больший из них можно грубо оценить,
отбрасывая свободный член
4i ~ иА + "в- E-7)
Это решение описывает ускоренную магнитно-звуковую
волну. Меньший корень можно оценить, отбрасывая член
с высшей степенью Иф, откуда
42^~2cos*0 E.8)
или
Это решение описывает замедленную магнитно-звуковую
волну. Очевидно, что фазовая скорость ускоренной волны
всегда больше как альфвеновской скорости, так и скорости
ионного звука, в то время^как фазовая скорость замедлен-
ной^волны всегда меньше каждой из этих величин.
178
Если плазма находится в сильном магнитном поле, то
фазовая скорость ускоренных волн гораздо больше тепло-
тепловых скоростей частиц, а фазовая скорость замедленных
волн близка к^ним. Вследствие этого замедленные волны
легко передают свою энергию частицам и затухают по
механизму диссипации без столкновений (фазового резонан-
резонанса). Для замагниченной плазмы основное значение имеют
ускоренные магнитно-звуковые волны. При стремлении
скорости ионного звука к нулю ускоренная волна переходит
в магнитный звук в холодной плазме, который мы рассмат-
рассматривали в гл. IV. Фазовая же скорость замедленной волны
стремится к нулю как при переходе к холодной плазме, так
и при распространении точно поперек магнитного поля
(cosG = 0). Легко убедиться, что при распространении
вдоль поля (cos 6 = 1) один из корней уравнения E.6)
равен альфвеновской, другой — звуковой скорости, т. е.
ускоренная волна переходит в магнитогидродинамическую,
а замедленная — в обычный ионный звук.
Таким образом, замедленные магнитно-звуковые волны
возможны только при косом распространении в горячей
плазме.
Рассмотренные волны, у которых ток перпендикулярен
к плоскости (k, H), естественно называть косыми магнитно-
звуковыми волнами. Кроме них, возможны еще волны,
у которых ток лежит в плоскости (k, H). Дисперсионное
уравнение для этих волн получается приравниванием нулю
определителя системы двух уравнений E.1) и E.3). В пре-
предельном случае низких частот скорость звука выпадает из
этих уравнений; мы имеем здесь дело с косыми магнито-
гидродинамическими волнами, на которые тепловое движе-
движение не влияет. Для них получается приближенное диспер-
дисперсионное уравнение вида
z \e cos28, E.10)
откуда фазовая скорость
иф«аАсоз6 E.11)
в согласии с результатом, полученным из уравнения
(IV.10.35).
Заметим, что для распространения точно вдоль поля
@ = 0) уравнение для ]х отщепляется и дает дисперсионное
уравнение плазменных волн, совпадающее с уравнением
7* 179
C.11), а из остальных двух уравнений скорость звука
выпадает. Таким образом, на распространение магнито-
гидродинамических волн вдоль магнитного поля тепловое
движение не влияет.
6. Дисперсия магнитного звука в горячей плазме
Переходя к предельному случаю низких частот, мы пре-
пренебрегли гиротропными членами. Поэтому полученные
в предыдущем разделе результаты не описывают дисперсию
в области циклотронных частот. Если сохранить гиротроп-
ные члены, то получаются громоздкие формулы, которые мы
выписывать не будем. Вопрос о дисперсии рассмотрим толь-
только для простейшего случая прямой магнитно-звуковой вол-
волны, распространяющейся точно Поперек магнитного поля.
В этом простейшем случае уравнение для jz отщепляется;
оно описывает волну, поляризованную вдоль магнитного
поля, т. е. электромагнитную волну, на которую в гидроди-
гидродинамическом приближении при поперечном распространении
ни тепловое движение, ни магнитное поле не действуют.
Остающаяся система E.1)—E.2) переходит в уравнения,
описывающие прямую магнитно-звуковую волну,у которой
как направление распространения, так и плоскость поля-
поляризации перпендикулярны к магнитному полю.
(©о — (О2 + СО; <Ое + k2 Ue) \x —
= 0. F.2)
Если устремить обе скорости звука к нулю, то эта си-
система перейдет ?'уравнения (IV.6.3)—(IV.6.4), описываю-
описывающие магнитный звук в холодной плазме. Приравняв нулю
определитель системы F.1)—F.2), легко получить диспер-
дисперсионное уравнение в виде
С0() СО; СО
=0,F.3)
180
где
N=^-; JV3 = --3; Ne = k-^;
CO ' d CO ' * CO '
ft>o = coo + со/ coe — со2 + k2u2e.
В плотной плазме coq « ©§. Для низких частот уравнение
F.3) стремится к тому же виду, какой получится из урав-
уравнения E.4а), если положить 0 = я/2. }
Как видно из уравнения F.3), ограничения^накладывае-
ограничения^накладываемые гибридной частотой, в горячей плазме снимаются. При
частотах выше гибридной фазовая скорость остается веще-
вещественной и при высоких частотах стремится к скорости ион-
ионного звука (см. задачи 2 и 3).
Задачи к гл. V
Задача 1. Найти фазовую и групповую скорости электронных
плазменных волн как функции частоты и температуры.
Решение. Выразив из дисперсионного уравнения C.14)
волновое число, получим
0J-0J
откуда
t,2 = ^— ¦
Здесь скорости звука являются известными функциями темпера-
температуры
Т Т-
Если устремить температуру к нулю, то групповая скорость неза-
независимо от частоты обратится в нуль. Фазовая же скорость обра-
обращается при этом в нуль для всех частот, кроме со = соо, когда она
становится неопределенной.
Задача 2. Найти зависимость резонансной частоты и фазовой
скорости магнитного звука от эффективного погонного числа элект-
электронов в плотной горячей плазме.
181
Решение. Для плотной плазмы можем принять
©§»©§» 0J. JV2»1,
после чего дисперсионное уравнение^ F.3) примет простой вид
Отсюда частота находится в явном виде
где П* —эффективное погонное число электронов (IV. 14.3). Это
выражение дает непосредственно резонансную частоту прямого
магнитного звука в плотноц. горячей плазме. При малом погонном
числе электронов она уже »е стремится к гибридной частоте. Для
фазовой скорости получаем
2
0 1+ П*"
При большом погонном числе электронов (в магнитоакустической
области) фазовая скорость стремится к j/^д+ угъ в соответствии
с результатом E.7). При малом погонном числе электронов она
стремится к скорости ионного звука.
Задача 3. Найти зависимость фазовой скорости от частоты для
магнитного звука в плотной горячей плазме.
Решение. В приближениях предыдущей задачи приводим
уравнение F.3) к общему знаменателю и располагаем по степеням
волнового числа к. Получается биквадратное уравнение
№ С2 и\ + k2 [ <*l и\ + {Щ СО* — СО2) С2] — 0J 02 _ 0.
Это уравнение имеет два корня, описывающие коротковолновую
и длинноволновую ветви колебаний. Один из корней для к2 всегда
положителен, т. е. дает вещественное значение фазовой скорости.
Для коротковолновой ветви (большие к) пренебрегаем свободным
членом, после чего для фазовой скорости получаем
со2 и* с2
Эта ветвь дает вещественные решения только при высоких часто-
частотах
182
Фазовая скорость коротковолновой ветви больше скорости ион'
ного звука и в предельном случае очень высоких частот стремится
к ней.
Для длинноволновой ветви (малые k) пренебрегаем высшей
степенью k, после чего для фазовой скорости получаем выражение
4 (i -
При низких частотах это решение стремится к E.7). Кроме того,
возможен промежуточный случай, когда корни биквадратного урав-
уравнения ^близки по абсолютной величине, т. е. коротковолновая
и длинноволновая ветви не разделяются. Этот случай осуществляет-
осуществляется при достаточно малых скоростях звука и частотах, близких
к нижней гибридной
При этом в левой части биквадратного уравнения можно пренебречь
средним-членом*, и приближенное решение будет иметь вид
~ ~ CU3
откуда
Задача 4. Найти фазовую скорость магнитного звука в плот-
плотной горячей плазме при электронно-ионной гибридной частоте.
Решение. Электронно-ионная гибридная частота в плотной
плазме определяется соотношением со2 = со/со^. При этом биквадрат-
биквадратное уравнение предыдущей задачи принимает вид
со^ со^ со2
Корни этого уравнения
2с2 ± у 4с*
* Для квадратного уравнения xL + рх — q = 0 (р > 0, q > 0)
корни сильно отличаются, если q < p2/4. Рассматриваемый случай,
когда ветви не разделяются, осуществляется при условии q > p2/4.
При этом решение стремится к х = Vq, т. е. можно пренебречь
средним членом.
183
Если скорость звука велика
о
то вещественный корень лежит на длинноволновой ветви
т. е. фазовая скорость равна звуковой.
Если же скорость звука мала
со
«
то осуществляется промежуточный случай
l
В этом случае фазовая скорость прямого магнитного звука равна
средней геометрической из альфвеновской и звуковой скоростей.
Глава VI
ФИЗИЧЕСКАЯ КИНЕТИКА ПЛАЗМЫ
В предшествующих ^главах^рассматривалось^усреднен-
ное движение частиц%лазмы: всеммчастицам, находящимся
в данном элементе объема, приписывалась одна средняя
скорость. В действительности на эту среднюю скорость на-
накладывается хаотическое тепловое движение. Количествен-
Количественное описание теплового движения частиц составляет пред-
предмет физической кинетики.
Важнейшими проявлениями теплового движения явля-
являются процессы переноса вещества, импульса и энергии:
диффузия, вязкость и теплопроводность. Кроме того, теп-
тепловое движение влияет на колебательные и волновые
процессы в плазме и приводит, в частности, к дополнитель-
дополнительному затуханию, не зависящему от столкновений.
1. Функция распределения
В тепловом движении различные частицы имеют раз-
различные по величине и направлению скорости. Основным
объектом исследования в физической кинетике является
функция распределения скоростей f. Эта функция показы-
показывает, какое среднее по времени число частиц данного рода
в данном элементе объема имеет скорости, лежащие в дан-
данном интервале. Иными словами, функция распределения
есть плотность частиц на единицу интервала скоростей.
Описание состояния с помощью функции распределения
имеет статистический характер, так как функция распре-
распределения есть среднее значение указанной плотности*.
* Можно рассматривать функцию распределения как вероят-
вероятность нахождения частицы в данном интервале скоростей. При этом
она должна быть нормирована так, чтобы интеграл по всем возмож-
возможным значениям скорости равнялся единице. Такую нормированную
функцию распределения мы будем обозначать прямой буквой f.
7В Лекции по физике илазмы 185
Тепловое движение приводит к непрерывным случайным
изменениям (флуктуациям) числа частиц как в данном
элементе объема, так и в данном интервале скоростей.
Функция распределения усреднена по этим флуктуациям.
Если бы частицы двигались только в одном направлении,
то движение их определялось бы одним числом — числен-
численным значением скорости v. При этом мы определили бы
функцию распределения соотношением
dn = f dv,
где dn — плотность частиц со скоростями в интервале
от v до v + dv.
Реально движение происходит в трехмерном простран-
пространстве, и скорость частицы есть вектор v, для определения
которого нужно задать три числа, т. е. три составляющие
этого вектора вдоль осей координат. Проще всего пользовать-
пользоваться прямоугольной декартовой системой координат. Тогда
этими составляющими будут vx, vy, vz. В трехмерном случае
функция распределения есть плотность частиц в данной
точке пространства на единицу интервала каждой из со-
составляющих скорости. Она определяется соотношением
ф dn = fdvxdvydvz, A.1)
где dn — плотность частиц с составляющими скорости
в интервалах: от vx до vx + dvx; от vy до vy + dvy; от vz
до vz + dvz.
Совокупность интервалов составляющих определяет
интервал значений вектора v, который сокращенно обозна-
обозначается
dv = dvxdvydvz. A.2)
Соответственно определение A.1) можно записать
dn = fdv9 A.3)
откуда
г = п. A.4)
Следует иметь в виду, что символ d\ означает трехмер-
трехмерный интервал значений вектора, но не векторный дифферен-
дифференциал. Дифференциал вектора dv есть векторная разность
его значений в двух бесконечно близких точках.
186
Интервал значений вектора скорости, определенный фор-
формулой A.2), можно рассматривать так же, как элемент
объема в пространстве скоростей. В этом пространстве
роль координат играют составляющие скорости.
Плазма состоит всегда из частиц разного рода (в простей-
простейшем случае — из электронов и ионов). Поэтому плазма опи-
описывается набором функций распределения для всех сортов
частиц. Если плазма находится в термодинамическом равно-
равновесии, то ее состояние описывается равновесной функцией
распределения Максвелла
f°= const e 27\ A.5)
где Т — температура в энергетических единицах.
Термической мы называем плазму, у которой хотя бы
для частиц данного рода или для скоростей в данном на-
направлении распределение является максвелловским. Поня-
Понятие температуры применимо только к термической плазме.
2. Фазовое пространство
В декартовой системе координат функция распределения
зависит от трех координат х, у, z и от трех составляющих
скорости vXf vy и vz\
f = f(x,y,z,vx,vy9vg). B.1)
Можно рассматривать все шесть независимых переменных
как координаты шестимерного фазового пространства ча-
частицы, элемент объема которого
dT = dx dy dz dvx dvy dv2. B.2)
Величина Г называется фазовым объемом. Число частиц
в элементе фазового объема
dN = fdT. B.3)
Таким образом, функция распределения есть плотность
частиц в фазовом пространстве.
В соответствии с определением интервала значений
вектора элемент обычного объема можно рассматривать
как интервал значений радиуса-вектора г, имеющего состав-
составляющие х} у, z
dr = dxdydz. B.4)
7В* 187
Тогда
dT = dx dv. B.5)
Определенное указанным образом фазовое пространство
частицы представляет собой совокупность обычного про-
пространства и пространства скоростей. Понятие фазового
пространства можно обобщить на систему из произволь-
произвольного числа частиц. В аналитической механике Гамильтона
вводятся канонические переменные: обобщенные коорди-
координаты q и сопряженные с ними обобщенные импульсы р.
Они служат координатами канонического фазового простран-
пространства. При этом вводится функция Гамильтона Н (гамиль-
(гамильтониан), которая представляет собою энергию, выраженную
в виде функции от канонических переменных. Производные
канонических переменных по времени связаны с частными
производными от гамильтониана уравнениями Гамиль-
Гамильтона
dH_=dq_. d_H = _dp_
др\ dt ' L<fy At; ^'D)
Ввиду общего характера механики Гамильтона канони-
каноническое фазовое пространство пригодно для описания любой
сколь угодно сложной классической системы. Каноническое
фазовое пространство системы представляет собой сово-
совокупность конфигурационного пространства, составленного
из координат всех частиц, и пространства импульсов. При
переходе от сложной системы к отдельной частице роль
конфигурационного играет обычное пространство. В при-
применении к частице, не имеющей внутренних степеней сво-
свободы, связь между каноническим и неканоническим фазо-
фазовым пространством становится тривиальной. Импульс в этом
случае связан со скоростью простым соотношением
р = Afv,
где М — масса частицы. Элемент объема канонического
фазового пространства
B.7)
Соответственно функция распределения в каноническом
фазовом пространстве
/* = ж«- <2-8>
188
Она определена так, что число частиц в элементе канони-
канонического фазового объема
dN^f*dT*. B.9)
Каноническим фазовым пространством удобно пользо-
пользоваться при решении задач, в которых играют роль кванто-
квантовые явления. Канонический фазовый объем имеет размер-
размерность действия в кубе. Объем элементарной ячейки канони-
канонического фазового пространства равен кубу постоянной
Планка
ДГ* = h* =rBith)z. B.10)
Для частиц данной массы переход к каноническому фазово-
фазовому пространству меняет функцию распределения только
на постоянный множитель. Для наших целей проще поль-
пользоваться неканоническим фазовым пространством, состав-
составленным из конфигурационного пространства и простран-
пространства скоростей.
3. Моменты функции распределения
?Ласто желательно рассматривать отдельно зависимость
функции распределения от абсолютного (численного) значе-
значения скорости и отдельно — от ее направления. Для этого
вводится единичный вектор Q в направлении скорости v.
Вектор скорости можно представить как произведение ее
численного значения на вектор направления
v = i;Q. C.1)
Интервал значений вектора скорости удобно при этом выра-
выразить в сферической системе координат
dv = v2 sin ft dft dy do, C.2)
где Ь — полярный угол между направлением скорости
и осью г; <р — азимутальный угол между проекцией ско-
скорости на плоскость х9 у и осью х. Сомножитель, зависящий
только от углов, можно рассматривать как интервал зна-
значений вектора направления Q
dU = sin ftdftdy. C.3)
Поскольку эта величина совпадает с элементом телесного
угла, то вектор направления Q называют также вектором
телесного угла.
189
В угловых переменных функция распределения опре-
определяется соотношением
dN = f (г, vQ) dfdvdQ. C.4)
В задачах, где имеется выделенное направление, его удобно
принять за ось z сферической системы координат и отсчи-
отсчитывать от него полярный угол &. Если от азимутального
угла ф ничто не зависит, то по ф можно сразу произвести
интегрирование. После этого
dQ = 2я; sin Ф dft = —\2n ф, C.5)
где
jx=--cosO. C.6)
Для задач, в которых все величины меняются только
в одном направлении г, функция распределения может
быть определена посредством соотношения
dN = — / (г, v, |x)Wdtfd|i, C.7)
где jlx — косинус угла между направлением скорости v
и осью г. Определенная таким образом функция распределе-
распределения отличается от функции, определенной по общему пра-
правилу C.1), постоянным множителем 2п. Умножением функ-
функции распределения на различные степени косинуса jx
и интегрированием по телесному углу получаются соответ-
соответствующие моменты:
4-1
[f]0= J/dG = 2* j f rffJt; C.8)
+1
= 2jt J fjjidfx; C.9)
+i
rt |/>2ф. C.10)
—l
Моменты функции распределения имеют простой физи-
физический смысл. Полная концентрация частиц с данным чис-
численным значением скорости получается интегрированием
функции распределения по всем телесным углам, т. е. рав-
равна нулевому моменту
n(vy=\f]0. C.11)
190
Поток частиц данной скорости в направлении оси г
v[f]v^ C.12)
Поток z-й составляющей импульса, переносимый частицами
данной скорости в направлении г, равен производимому
ими в этом направлении давлению, вообще говоря, анизо-
анизотропному*
]2. - C.13)
Наконец, поток энергии (тепловой поток), переносимый
частицами скорости v, выражается как
я{р)=\-Г щ-t da --= -j- if к i3-14)
jr. e. так же, как и поток частиц выражается через первый
угловой момент. Таким образом, нулевой момент функции
распределения характеризует концентрацию частиц, пер-
первый момент — диффузионный и тепловой потоки и второй
момент — давление в данном направлении.
Простейшим видом углового распределения является
изотропное распределение, в котором функция распределе-
распределения не зависит от направления скорости. Для изотропного
распределения моменты выражаются следующим образом:
j C.15)
(зле)
[/], = 2л/ j>dp = -4-я/ = -i-[/]„. C.17)
Все нечетные моменты от изотропного распределения (как
и от всякой четной функции) тождественно обращаются
в нуль.^Четные моменты от изотропного распределения
* Более полное макроскопическое описание системы может
быть достигнуто, если вычислить интегралы вида C.13) для потока
?-й составляющей импульса в направлении &-й координаты. Тогда
получится тензор Р#, диагональные компоненты которого представ-
представляют анизотропное давление, а не диагональные — силы вязкости.
19
выражаются очень просто
&f- <ЗЛ8>
Из уравнения для нулевого момента можно выразить
изотропную функцию распределения через концентрацию
частиц с_данным абсолютным значением скорости
/ = ^-- C.19)
Это значит, что в изотропном случае функция распределе-
распределения равна концентрации на единицу телесного угла. Вто-
Второй момент изотропного распределения
lf]2 = -^n(v). C.20)
В однородной среде, находящейся в равновесии, распре-
распределение всегда изотропно. При этом диффузионные потоки
отсутствуют. Явления переноса возможны только в резуль-
результате анизотропии функции распределения, приводящей
к неисчезающему первому моменту.
Всякая пространственная неоднородность нарушает изо-
изотропию распределения и вызывает процессы переноса. При
этом, если неоднородность существенна лишь на длинах,
больших в сравнении с длиной пробега, то функция рас-
распределения оказывается почти изотропной, т. е. отступле-
отступление от изотропии можно рассматривать как малую поправ-
поправку. В случае почти изотропной функции распределения
применим приближенный способ рассмотрения процессов
переноса, называемый диффузионным приближением. v
4. Уравнение Фоккера-— Планка
В силу сложности взаимодействия в системах с большим
числом частиц, в физической кинетике приходится широко
использовать приближенные методы. Простейшие из них
отвечают предельным случаям дискретного и непрерывного
взаимодействия. В приближении дискретного взаимодейст-
взаимодействия принимается, что частицы взаимодействуют между собою
только при тесных сближениях, которые можно трактовать
как столкновения. При каждом подобном акте взаимодей-
взаимодействия происходит резкое скачкообразное изменение на-
направления движения частицы. Поведение функции рас-
распределения в приближении дискретного взаимодействия
192
описывается кинетическим уравнением Больцмана, о кото-
котором речь будет идти ниже. Приближение дискретного
взаимодействия широко используется в кинетике обычных
газов, состоящих из нейтральных частиц, так как силы
взаимодействия между нейтральными частицами столь быст-
быстро спадают с расстоянием, что можно с полным основанием
пренебречь непрерывными далекими взаимодействиями.
В плазме взаимодействие между заряженными частицами
осуществляется посредством дальнодействующих куло-
новских сил. Направление движения частицы меняется
в основном непрерывно; тесные сближения играют лишь
второстепенную роль. В таких условиях вполне оправдано
использование приближения непрерывного взаимодействия.
Поведение функции распределения в приближении не-
непрерывного взаимодействия описывается уравнением Фок-
кера — Планка. Мы выведем здесь это уравнение в самом
общем виде для функции распределения по произвольным
величинам в системе с произвольными свойствами. Кон-
Конкретные случаи уравнения Фоккера — Планка для рас-
распределений по координатам и скоростям будут рассмотрены
в разделах (VI.5) и (VI. 19).
Пусть функция распределения / зависит от набора вели-
чин^Ха, совокупность которых обозначим символом X, и
от времени t и пусть w (X', X, At) есть вероятность пере-
перехода системы из состояния X' в состояние X за время At.
Тогда функция / удовлетворяет интегральному уравнению
f(X,t + At) = J f(X', t)w(X', X, At)dX'. D.1)
Это уравнение можно преобразовать в дифференциальное
уравнение в частных производных, если разложить подын-
подынтегральную функцию в ряд по степеням величины
ЬХ^Х' — Х. D.2)
Получающиеся ряды хорошо сходятся, если вероятность w
достаточно быстро спадает с возрастанием АХ, что отвечает
приближению непрерывного взаимодействия.
Рассмотрим сначала простейший случай, когда вероят-
вероятность зависит от X' и X только через их разность АХ.
В этом случае достаточно разложить в правой части D.1
функцию f (X\ t) в ряд Тейлора по степеням АХ, после
чего уравнение D.1) примет вид
193
f(X,t + At) = f(X,i) + ^ -#-AX. +
«,C
где
Jo;(AX, At)dAX = 1; D.4)
f a; (AX, At) AXadAX = AXa; D.5)
J ш (АХ, A/) AXa AXP dAX == ДХ«ДХР.' D.6)
В этих интегралах под dAX подразумевается интервал из-
изменения всего набора величин АХ, т. е. произведение их диф-
дифференциалов. Выражение D.4) есть условие нормировки
вероятности w, выражения D.5) и D.6) — обычные опре-
определения средних значений. Если теперь разложить левую
часть по степеням At я ограничиться первым членом разло-
разложения, то получится дифференциальное уравнение*
Е- _^_^.4_Ly U7\
dt ~^дХа АГ1 2 ^ дХадХ? At] * ^
Ввиду того что промежуток времени At был выбран про-
произвольно, величины АХа и ДХаДХ(з должны быть пропор-
пропорциональны величине At. Отношения
~АХа
а D8)
называются коэффициентами Фоккера — Планка. Если
вероятность w зависит от X' и X только через их разность
АХ, то коэффициенты Фоккера — Планка не зависят от X
и их можно вносить под знак производной. Удобно записать
уравнение D.7) в форме
df _ v д (л f Vfl df \
"ЭГ- l-;(A*f- 1В^Ж^)' D.7а)
C V I
* Это уравнение для случая, когда X представляет собой
пространственные координаты, было впервые получено в теории
броуновского движения Эйнштейна.
194
Выписанные до сих пор формулы были применимы к лю-
любому набору величин X. Если же эти величины являются
составляющими вектора X, то коэффициенты Аа становят-
становятся составляющими вектора А, а коэффициенты Ва$ — ком-
компонентами тензора 5. Уравнение D.7) в этом случае может
быть записано в векторной форме
| D.76)
Но, согласно теореме Гаусса, это выражение можно запи-
записать как
"|f = — divJ, D.10)
где J — обобщенный поток по величине X:
J=A/ — By/. D.11)
Коэффициенты Аа образуют вектор скорости переноса по
величине X, а коэффициенты Ва$ — тензор обобщенных
коэффициентов диффузии. В частном случае, когда вероят-
вероятность изотропна, он вырождается в скалярный коэффи-
коэффициент диффузии]
At
так как в этом случае АХ2 = АХ\ + AXl + АХз =
Теперь осталось обобщить полученные результаты на
случай, когда коэффициенты А и В переменны, т. е. веро-
вероятность w зависит от X' и X не только через АХ. Для этого
переходят от переменных X', X к переменным X', АХ и за-
записывают уравнение D.1) в виде
f(X,t + At) = J/(X', t)w(X', AX, At)dAXy [D.13)
где интеграл в правой части берется при фиксированном X.
Затем разлагают подынтегральную функцию fw в ряд Тей-
Тейлора только по величине АХ, входящей через X', оставляя
нетронутым второй аргумент функции w:
f (X', t) w (X', AX, At) = f (X, t) w (X, AX, АО +
't)w{X' :
195
Полученный ряд подставляется в правую часть уравнения
D.13), и операторы дифференцирования по X и функция
f(X, f) выносятся за знак интегрирования по АХ, что дает
f(X,t + At) = f (X, t) + 2 -щ\! (X, t) J[o;(X, AX
a
X
X [/ (X, 0 J w (X, AX, A/) AXa AXP dAX] + ... D.15)
Если разложить левую часть по степеням А^ и ограничиться
первым членом" разложения, то получится первая форма
уравнения Фоккера — Планка
a a/3
9 AX, At)AXadAX= — -^-; D.17)
Для важнейших случаев, когда величины X являются
компонентами вектора, эта форма, однако, оказывается не-
неудобной, так как правая часть не выражается через дивер-
дивергенцию потока. Предпочтительно привести уравнение D.16)
к виду, аналогичному D.7), для чего расписывают его
как
Если объединить два первых члена правой части, то полу-
получится вторая форма уравнения Фоккера — Планка
%—1щ:(Л-1-^в"щ)' <4-20>
а \ C
где
Р Р
196
Для векторных величин X вторая форма уравнения
Фоккера — Планка совпадает по виду с уравнением D.7 б),
отличаясь от него только несколько более сложным опреде-
определением вектора А. При этом сохраняется удобное выраже-
выражение D.11) для потока.
Если за векторную величину X принять вектор положе-
положения в обычном пространстве, то уравнение Фоккера —
Планка будет описывать процессы переноса, которые мы
рассмотрим в следующем разделе. Если же принять за X
вектор скорости, то уравнение Фоккера — Планка будет
описывать диффузию в пространстве скоростей, т. е. про-
процессы релаксации, приводящие к установлению равновесного
распределения Максвелла. Об этих процессах речь будет
идти в разделе (VI. 19).
5. Феноменологическое описание процессов переноса
Если за переменные Ха в уравнении Фоккера — Планка
принять координаты обычного пространства, то уравне-
уравнение D.20) или D.76) будет' представлять собою обычное
уравнение диффузии. Вектор А представляет в этом случае
скорость макроскопического течения v, а тензор В состав-
составлен из коэффициентов диффузии Da$. В отсутствие магнит-
магнитного поля он вырождается в скалярный коэффициент диф-
диффузии, величину которого можно оценить по формуле D.12).
При этом в качестве промежутка времени At выбирают
время, за которое частица существенно меняет направление
своего движения, т. е. среднее время передачи импульса т.
Средний квадрат смещения выражают в виде АХ2 = I2
и величину I называют длиной свободного пробега (или про-
просто пробегом). По физическому смыслу это есть расстоя-
расстояние, на котором заметно меняется направление скорости.
Для частиц со скоростью v по порядку величины
При наличии магнитного поля диффузия становится анизо-
анизотропной и коэффициент диффузии — тензорной величиной.
Оценка величины компонентов тензора диффузии может про-
производиться по формуле D.9). Продольный коэффициент
диффузии (вдоль магнитного поля) сохраняет ту же величи-
величину, что и в отсутствие поля
D^^to^^t. E.1)
197
При оценке поперечного коэффициента диффузии (попе-
(поперек магнитного поля) следует считать, что смещение части-
частицы заключается в перескоке с одной циклотронной орбиты
на другую, откуда
D±^-$-, E-2)
где Rc — циклотронный радиус; т — среднее время пере-
передачи импульса. Если подставить значение циклотронного
радиуса из формулы A.13.10), то
В замагниченной плазме при больших значениях вели-
величины сост поперечный коэффициент диффузии должен быть
в (состJ раз меньше продольного и уменьшаться обратно
пропорционально квадрату напряженности магнитного поля.
Следует отметить, что на поперечную диффузию в реальных
условиях обычно накладываются турбулентные движения,
связанные с неустойчивостью плазмы. Вследствие этого на
опыте поперечный коэффициент диффузии обычно уменьша-
уменьшается примерно как первая степень напряженности магнит-
магнитного поля (бомовская диффузия). В некоторых эксперимен-
экспериментальных условиях наблюдается даже резкое возрастание
скорости поперечной диффузии при увеличении напряжен-
напряженности магнитного поля сверх некоторого критического зна-
значения (аномальная диффузия). Это явление находит свое
объяснение в теории неустойчивости плазмы.
Для описания процессов переноса при слабой анизо-
анизотропии, т. е. в отсутствие магнитного поля, можно восполь-
воспользоваться более наглядным методом угловых моментов. Для
этого представляют функцию распределения как сумму
основной изотропной функции /° и малой анизотропной
добавки f1. Поскольку в однородной среде функция распре-
распределения была изотропной, то анизотропная добавка возник-
возникла от пространственной неоднородности основной функции
и может быть разложена в ряд по степеням ее градиента.
Если магнитное поле отсутствует, то угловая зависимость
функции f1 может быть представлена разложением по поли-
полиномам Лежандра P(ii), где [г — косинус угла между рас-
рассматриваемым направлением и вектором V/0- В первом
198
приближении сохраняют только первые члены обоих раз-
разложений и записывают анизотропную добавку в виде*
/i^-^y/o. E.3)
Это приближение и называется диффузионным. Из размер-
размерности обеих частей равенства видно, что множитель про-
пропорциональности / должен иметь размерность длины. Он
называется длиной пробега для частиц со скоростью v.
Для того чтобы f1 была малой величиной, нужно, чтобы
относительное изменение f° на длине пробега было мало.
Поскольку, согласно формуле (ЗЛ6), изотропная функция
f° не дает вклада в первый угловой момент, он вычисляется
посредством подстановки выражения E.3) в формулу C.9):
1
[/]х =;- 2я/ (v) у /о j p'd \i = ~ -f- I (v) у /°. E.4)
— 1
Но так как /°, по предположению, изотропная функция,
а добавка вида E.3) не дает вклада в нулевой момент, то,
согласно выражению C.19),
г0 = П (Р)
' 4я '
где n(v) — концентрация частиц с данным абсолютным зна-
значением скорости. Таким образом, формулу E.4) можно запи-
записать в виде
lJ. E.4а)
По формуле C.12) диффузионный поток
оо
J - — 4"J vl (v) у п (v) dv. E.5)
О
J
О
По формуле C.14) тепловой поток
E.6)
* Знак минус означает, что частицы движутся преимущественно
направлении падающей концентрации.
199
В этих формулах интегралы берутся по абсолютному зна-
значению скорости.
Рассмотрим простейший случай, когда в пространстве
меняется только полная концентрация частиц, а вид распре-
распределения остается неизменным. В этом случае формула E.5)
может быть записана в виде
J=--g-(to>Vi. E.7)
где угловые скобки означают усреднение по основной функ-
функции распределения. Множитель пропорциональности меж-
между диффузионным потоком и градиентом концентрации
носит название коэффициента диффузии D. Согласно фор-
формуле E.7), для плазмы без магнитного поля
рй= -у-. E.8)
Для термической плазмы функция n(v) содержит в качестве
параметра температуру Т. Если температура меняется
в пространстве, то для поддержания механического равно-
равновесия необходимо постоянство давления (а не концентрации
частиц). Отсюда
Тогда, согласно формуле E.6), тепловой поток в плазме без
магнитного поля
Множитель пропорциональности между тепловым потоком
и градиентом температуры носит название коэффициента
теплопроводности Я. Согласно формуле E.9), для плазмы без
магнитного поля
Ввиду того что для функции n{v) температура является
параметром, а скорость v — аргументом, скорость можно
вносить под знак дифференцирования по температуре.
Удобно представить выражение E.10) в таком виде, чтобы
200
под знаком производной по температуре стояла величина
*(v) = ^n(v), E.11)
которая представляет тепловую энергию частиц с данной
скоростью на единицу объема. Через эту величину коэффи-
коэффициент теплопроводности
По порядку величины он равен произведению коэффициента
диффузии на теплоемкость единицы объема при постоянном
давлении. Формулы E.8) и E.12) часто пишут в виде
D^-^-lv; E.8а)
XxcppD, E.12а)
где ср — теплоемкость при постоянном давлении на единицу
массы; р — плотность. При этом v рассматривается как
средняя скорость теплового движения, I — как средний
пробег. Ввиду того что при таком написании формул сред-
среднее значение произведения заменяется на произведение
средних значений, формулы E.8а) и E.12а) верны с точно-
точностью до численных множителей порядка единицы, завися-
зависящих от способа усреднения.
Точное значение пробега I находится посредством реше-
решения кинетического уравнения, о чем речь будет идти ниже.
Для грубой оценки можно воспользоваться элементарными
физическими соображениями. По физическому смыслу про-
пробег есть среднее расстояние, проходимое частицей без рез-
резкого изменения направления движения, т. е. без заметной
зредачи импульса. Отсюда следует оценочная формула
пробега
хп E.13)
и для коэффициента диффузии вдоль магнитного поля D ц
D,, ^v2x. E.86)
Из сопоставления с формулой E.2) следует
Щ - "^5 = 0J^2 • \P-1V
201
Таким образом, поперечный коэффициент диффузии в
замагниченной плазме должен быть мал в сравнении с про-
продольным и уменьшаться обратно пропорционально квадрату
напряженности поля. То же относится, как мы видели
в разделе A.8), и к проводимости, а также и ко всем осталь-
остальным коэффициентам переноса. В этом проявляется анизо-
анизотропия процессов переноса в магнитном поле. Формула
E.14) пригодна для замагниченной плазмы, т. е. при сот ^ 1.
В переходной области действует формула, аналогичная
формуле A.8.12)
^=тт^- <5Л5>
Мы рассмотрели простейшие случаи, когда имеется
либо только диффузионный, либо только тепловой поток,
и считали основную функцию распределения изотропной,
а электрические поля отсутствующими. В более сложных
случаях получатся и более сложные результаты. При одно-
одновременном протекании процессов диффузии и теплопередачи
диффузионный поток будет зависеть также и от градиента
температуры, а тепловой — также и от градиента концент-
концентрации. Эти явления носят название термодиффузии и диф-
диффузионной теплопроводности. Соответствующие коэффи-
коэффициенты связаны между собой соотношениями Онсагера,
вытекающими из термодинамики необратимых процессов.
Если в плазме происходят макроскопические движения, то
основная функция распределения изотропна только в ло-
локальной системе координат, движущейся со средней ско-
скоростью частиц в данной точке. В общей для всей плазмы
системе координат основная функция распределения ока-
оказывается анизотропной, что приводит к появлению допол-
дополнительных членов в выражении C.13) для потока импульса,
описывающих силы вязкости.
^j Важнейшим фактором, влияющим _на процессы пере-
переноса в плазме, является действие электрических полей.
Поскольку ионы и электроны диффундируют с разной
скоростью, то диффузия в плазме.неизбежно приводит к раз-
разделению зарядов, а следовательно, и к возникновению элект-
электрических полей. Если разделение зарядов не снимается
внешними проводниками, контактирующими с плазмой, то
ионы и электроны не могут диффундировать независимо
друг от друга. Возникающее электрическое поле вынуждает
их к совместной, или амбиполярной диффузии.
202
Для описания этого процесса нужно включить в число
коэффициентов переноса также и подвижности электронов
и ионов [г, характеризующие перенос их под действием
электрического поля. Подвижность определяется таким
образом, что при равновесии силы электрического поля
и сил трения средняя скорость стационарного движения
частиц
откуда поток частиц J = \п под действием электрического
поля Е выражается как
J = |ллЕ, E.16)
где п — концентрация частиц данного рода. Нет необходи-
необходимости находить подвижность методами физической кине-
кинетики. Связь между диффузией и подвижностью дается
соотношением Эйнштейна, которое вытекает из совер-
совершенно общих термодинамических соображений. Для выво-
вывода этого соотношения достаточно рассмотреть равновесие
плазмы в однородном электрическом поле Е при температу-
температуре Т (в энергетических единицах). Потенциальная энер-
энергия частицы с зарядовым числом Z зависит при этом от ко-
координаты х как — ZeEx , откуда, согласно распределению
Больцмана, концентрация должна меняться по закону*
ZeEx
п = /гое т . E.17)
Но в состоянии равновесия поток под действием электриче-
электрического поля должен компенсироваться диффузионным пото-
потоком
Dyn = \mE. E.18)
Согласно распределению E.17)
> E.19)
* Этот закон совершенно аналогичен барометрической формуле
Лапласа и подобно ей может быть получен (без обращения к статисти-
статистической физике) решением уравнения гидростатики в электриче-
электрическом поле. При этом нужно учесть, что положительно заряженная
частица, двигаясь по полю, превращает свою потенциальную энер-
энергию в кинетическую, так что потенциальная энергия становится
отрицательной.
203
что после подстановки в равенство E.18) дает
lli = -^D. E.20)
Это и есть соотношение Эйнштейна. Чтобы получить
закон амбиполярной диффузии, полный поток частиц
каждого рода записывают как сумму диффузионного потока
и потока, вызванного электрическим полем
Jj=l—Dyn + \inE. E.21)
Если плазма не контактирует с внешними проводниками,
то суммарный перенос заряда должен отсутствовать
2% = 0. E.22)
k
Кроме того, если все размеры велики в сравнении с дебаев-
ской длиной, то можно считать выполненным условие ква-
квазинейтральности
2Zft«ft = 0. E.23)
k
В этих формулах суммирование производится по всем
сортам частиц, присутствующим в плазме, включая элект-
электроны, которым приписывается Z = —1. Концентрации
различных родов ионов в плазме должны быть заданы. Тог-
Тогда концентрация электронов находится из условия E.23).
Условие E.22) после подстановки формулы E.21) позво-
позволяет определить электрическое поле, подстановка которого
в выражение E.21) дает окончательные выражения для
потоков всех частиц, переносимых амбиполярной диффу-
диффузией.
Рассмотрим простейший случай, когда плазма состоит
только из электронов и однозарядных ионов одного рода.
Тогда условие E.23) дает
и условие E.22)
или после подстановки выражения E.21)
—- De у п + \ле лЕ = — Dt v n + \it пЕ,
204
откуда
Е - De~Di TL . E.24)
Подстановка этого результата в выражение E.21) дает
поток амбиполярной диффузии в виде
-у п. E.25)
Но, согласно формуле E.20), подвижность электронов от-
отрицательна, и для однозарядных ионов
С учетом этого соотношения формула E.25) может быть
записана в виде
j = _DaVn, E.26)
где коэффициент амбиполярной диффузии
»* = -?&. E-27)
В отсутствие магнитного поля коэффициент диффузии
для электронов гораздо больше, чем для ионов, вследствие
чего коэффициент, амбиполярной диффузии оказывается
равен удвоенному коэффициенту диффузии ионов. Но ре-
результат E.27) сохраняет силу и при наличии магнитного
поля, где поперек поля ионы диффундируют гораздо быст-
быстрее электронов. Во всех случаях при большом различии
между положительными и отрицательными частицами коэф-
коэффициент амбиполярной диффузии оказывается равен удво-
удвоенному меньшему из их коэффициентов.
6. Кинетическое уравнение без столкновений
Изменение функции распределения во времени и в про-
пространстве описывается кинетическим уравнением Больц-
мана. Допустим сначала, что известны все силы, действую-
действующие на каждую частицу, как определенные функции от
координат и времени. Уравнение, выведенное в таком допу-
допущении, называется кинетическим уравнением без столкно-
205
вений. Ввиду важности этого уравнения выведем его двумя
различными способами. Удобно выводить кинетическое
уравнение из рассмотрения движения частиц в фазовом про-
пространстве. Из аналитической механики Гамильтона следует
теорема Лиувилля, выражающая закон сохранения фазово-
фазового объема. Согласно этой теореме, при движении совокуп-
совокупности частиц величина занимаемого ими фазового объема
сохраняется. Из сохранения фазового объема следует, что
при постоянном числе частиц плотность частиц в фазовом
пространстве, т. е. функция распределения, должна быть
постоянной во времени
§ = 0, F.1)
где DIDt — полная производная по времени, взятая вдоль
траектории частицы в фазовом пространстве. Если выра-
выразить по правилам дифференциального исчисления полную
производную через частные, то получится кинетическое
уравнение без столкновений
d_[_JL.EL EL-U^L *1Л-К- dz I- df dvx ,
dt ~*~ дх dt "*" ду dt + dz dt "*" dvx dt "+"
df dvv df dvz
+ jt~ -г*¦ + 4~ ^7 = 0. F.2)
dvy dt J dvz dt v '
Из механики Гамильтона закон сохранения получается
непосредственно для канонического фазового объема. Но
для простой частицы импульс и скорость отличаются только
постоянным множителем (массой), так что теорема Лиувил-
Лиувилля одинаково справедлива как для пространства импульсов,
так и для пространства скоростей.
Поскольку производная в теореме Лиувилля берется
вдоль траектории частицы, то производные от координат
по времени представляют собой составляющие скорости v,
а ^производные от составляющих скорости по времени —
составляющие ускорения. Следовательно, уравнение F.2)
в компактной векторной форме имеет вид
-0, F.3)
где символ у означает обычный градиент, а символ sjv —
градиент в пространстве скоростей, т. е. символический
206
д д
dvy dvz
Иногда вместо этих символов пользуются равнозначными
д д д
вектор с составляющими ^— ,-=—,-=— по осям х, у, г.
* dvx dvy dvz
Если воспользоваться еще вторым законом Ньютона
dv __ F
где М — масса частицы, F — действующая на нее сила,
то можно записать кинетическое уравнение без столкнове-
столкновений как
f-+(vv)f + ^(Fv,)/ = O. F.4)
Нетрудно получить тот же результат и без помощи тео-
теоремы Лиувилля. Для этого достаточно рассматривать кине-
кинетическое уравнение как уравнение непрерывности в фазо-
фазовом пространстве. Изменение функции распределения в дан-
данной точке пространства и для данного фиксированного
значения скорости равно разности входящих и выходящих
потоков по координатам и скоростям. При этом необходимо
рассмотреть потоки как в обычном пространстве, так
и в пространстве скоростей. Поток в обычном пространстве
есть число частиц, проходящих за единицу времени через
единицу площади поверхности, ограничивающей рассматри-
рассматриваемый элемент объема. За время dt через такую поверх-
поверхность пройдут все частицы, которые в начальный момент
находились от нее на расстояниях меньше vxdt, где х —
координата, нормальная к поверхности. Отсюда входящий
поток равен fvx. Выходящий поток есть (/ + -J-dx)vx (так
как скорость vx рассматривается как фиксированный пара-
параметр). Разность потоков вдоль координаты х равна,таким
образом,— 4-vx dx.
I (JjC
Теперь мы должны ввести поток в пространстве скоро-
скоростей. Это есть число частиц, которые вследствие ускорения а
изменяют свою скорость так, что попадают в рассматривае-
рассматриваемый интервал пространства скоростей. Поток вдоль оси
скоростей vx рассчитывается на^единицу времени и единицу
«площади» в плоскости vy, vz. За время dt через эту «пло-
207
щадь» пройдут все частицы, у которых в начальный момент
составляющая скорости vx отличалась от рассматриваемого
,, dvx
значения меньше чем на axdt, где ах = —г, ускорение
в направлении х. Отсюда входящий поток вдоль оси скоро-
скоростей vx равен faX9 выходящий — равен (f + -~—dvx) ax и раз-
ность потоков равна — -^— axdvx. Если умножить каждое
из полученных выражений на площадь, просуммировать
по трем координатам и трем скоростям и разделить на эле-
элемент фазового объема, то получится изменение функции
распределения в данной точке фазового пространства
df df df rdf df
dt x дх У ду z dz xdvx
— ам jr ax^-y F-5)
У-dVy z dvz* v ;
то совпадает с уравнением F.2).
Если бы все силы F, действующие на частицы, были за-
заданы извне и не зависели от самой функции распределения,
то вопрос о ее нахождении решался бы кинетическим урав-
уравнением без столкновений. В действительности, однако,
движение частиц зависит от их взаимодействия. Точное ма-
математическое описание системы из большого числа частиц
с учетом всех взаимодействий становится довольно слож-
сложной задачей.
В принципе точное решение этой задачи можно было бы
получить с помощью обобщенияА понятия фазового про-
пространства. Рассмотрим вместо фазового пространства од-
одной частицы многомерное фазовое пространство системы,
координатами которого служат все величины, описываю-
описывающие состояние системы. В качестве таких величин можно
выбрать просто координаты и составляющие скоростей всех
частиц, образующих систему. Более общий характер имеет
каноническое фазовое пространство системы, в котором
роль координат выполняют обобщенные координаты и им-
импульсы, описывающие состояние системы в аналитической
механике Гамильтона. Для системы из Af частиц число из-
измерений этого довольно громоздкого пространства равно
6Af. Функция распределения f для системы частиц опреде-
определяется как вероятность нахождения в данном элементе
208
фазового объема системы или как плотность в фазовом про-
пространстве для ансамбля~систем со случайными начальными
состояниями. Эта функция для системы из N частиц назы-
называется iV-частичной функцией распределения. Теорема Лиу-
вилля о сохранении фазового объема справедлива для си-
систем с любым числом степеней свободы, а поэтому остается
в силе и в фазовом пространстве системы. Следовательно,
Af-частичная функция распределения удовлетворяет урав-
уравнению F.1), которое в применении ко всей системе называ-
называется уравнением Лиувилля. Если расписать его в канониче-
канонических переменных р и q, то получится
Здесь индекс а нумерует все степени свободы системы,
каждой из которых отвечает обобщенная координата q
и обобщенный импульс р. Если подставить значения произ-
производных из уравнений Гамильтона B.6), то уравнение Лиу-
Лиувилля примет вид
У (df дН df дН\ о /а а\
^{A°- F-6)
Выражение в фигурных скобках называется скобкой Пуас-
Пуассона от f и Н для одной степени свободы. Сумма этих выра-
выражений "есть скобка Пуассона от функции распределения
и полного гамильтониана системы
С помощью этого символа уравнение Лиувилля записыва-
записывают в виде
-! + {/, я) =;о. F.8)
"Если система состоит из простых частиц, не имеющих внут-
внутренних степеней свободы, то уравнение Лиувилля можно
записать и не в канонических переменных, а как
где х — координаты; v — скорости; а = F/M — ускоре-
ускорения всех частиц системы. Уравнение Лиувилля определяет
8 Лекции по физике плазмы 209
iV-частичную функцию распределения. Проинтегрировав
уравнение Лиувилля по координатам одной из частиц,
можно получить уравнение для (N — 1)-частичной функции
распределения и т. д. Однако эта процедура практически
осуществима только при отсутствии взаимодействия между
частицами. Последовательным применением ее можно дойти
до уравнения для одночастичной функции распределения,
которое при отсутствии взаимодействия совпадает с уравне-
уравнением F.3).
Для системы из большого числа взаимодействующих
частиц решение уравнения Лиувилля практически неосу-
неосуществимо и приходится прибегать к приближенным методам,
к рассмотрению которых мы и обратимся.
7. Самосогласованное поле
Самое простое, что можно сделать для описания взаимо-
взаимодействия между частицами, — это вычислить силу F по
средним значениям функции распределения, пренебрегая
флуктуациями. При этом находится распределение ча-
частиц, создающее силовое поле, поддерживающее это самое
распределение. Такое поле называется самосогласованным.
С частным случаем самосогласованного электростатического
поля мы уже встречались в теории электростатического экра-
экранирования Дебая.
' Рассмотрим теперь более общий случай самосогласо-
самосогласованного электромагнитного поля. Метод самосогласованного
поля применим только к дальним взаимодействиям, так как
на ближних взаимодействиях сильно сказываются флуктуа-
флуктуации. Будем считать, что дальнодействующие силы в плазме
имеют только электромагнитный характер. Тогда сила F,
действующая на частицу с зарядом Ze, запишется как
G.1)
Здесь под Е и Н понимаются самосогласованные электри-
электрическое и магнитное поля, вычисляемые по уравнениям Макс-
Максвелла, в которые подставляются плотности заряда q и тока
j, найденные из усредненных функций распределения
G.2)
G.3)
210
Индекс k нумерует разные сорта частиц в плазме, включая
электроны, которым приписывается Z = —1. Формулы
G.2) и G.3) являются естественным обобщением формул
A.2.6) и (IV. 1.9) на многоскоростную задачу.
После подстановки выражения G.1) в уравнение F.4)
система кинетических уравнений для плазмы принимает
вид
^ ^ {( 4 ) .) /fe = 0. G.4)
Если поля Е и Н находятся по уравнениям Максвелла
с использованием выражений G.2)—G.3), то уравнение G.4)
будет называться кинетическим уравнением с самосогласо-
самосогласованным полем или уравнением Власова.
Неточность метода самосогласованного поля заключает-
заключается в пренебрежении флуктуациями (в частности, столкно-
столкновениями), т. е. в замене средних значений функций функ-
функциями от средних значений. Такая замена вполне законна
в 'линейном приближении по напряженностям полей. От-
Отсюда следует, что метод самосогласованного поля является
наиболее подходящим для линейной теории колебаний
и волн в плазме.
8. Кинетическая теория плазменных волн
В качестве простейшего примера применения метода
самосогласованного поля рассмотрим высокочастотные ли-
линейные продольные колебания плазмы без внешнего маг-
магнитного поля. Для высокочастотной ветви движением ионов
можно пренебречь. Поскольку движутся только электроны,
уравнение G.4) принимает вид
~{(E+ f [vH])W}/ = 0. (8.1)
В линейном приближении записываем функцию распреде-
распределения как сумму основной функции /° и малого возмуще-
возмущения f1. Функция /° является равновесной по отношению
к рассматриваемому колебательному процессу. Но она
вовсе не обязательно должна отвечать состоянию полного
термодинамического равновесия. В разреженной плазме
очень часто именно отступления от термодинамического
равновесия приводят к колебательной неустойчивости, т. е.
раскачке колебаний, установление же полного равновесия
8* 211
происходит только в процессе весьма медленной диссипации
энергии возникающих колебаний. Поэтому мы будем счи-
считать функцию f° не обязательно равновесной (как это часто
делают), новообще некоторым фоном, на котором происхо-
происходят колебания. Пусть колебания происходят на однородном
фоне; тогда функция f° постоянна в пространстве и во вре-
времени и является заданной функцией скоростей. В этих пред-
предположениях из уравнения (8.1) получается уравнение перво-
первого приближения для определения функции f1
где Но — внешнее магнитное поле; Н — собственное маг-
магнитное поле волны. Рассмотрим плоскую волну вида
ехр (—tot + ikx). Согласно уравнению Максвелла,
переменное магнитное поле происходит только от вихре-
вихревого электрического поля. В плоской продольной волне
электрическое поле безвихревое (Ех зависит только от х).
Следовательно, при отсутствии внешнего магнитного поля
собственное магнитное поле волны отсутствует и уравнение
(8.2) принимает вид
— /со/1 + ivx kf1 = —Ex^. (8.3)
/ix/ m х dvx
Электрическое поле находим из уравнения Максвелла
и выражения G.2):
+?
ikEx = 4nq = — 4ne ) f1 dvx. (8.4)
Поскольку мы не вводили внешнего электрического поля
Ео, функция f° должна давать нулевую плотность заряда.
Для получения дисперсионного уравнения следует выра-
выразить из уравнения (8.3) f1 через /° и подставить в уравнение
(8.4). Согласно уравнению (8.3),
212
Подстановка в уравнение (8.4) дает
+00
Это и есть дисперсионное уравнение, связывающее со и k.
В общем случае оно оказывается трансцендентным, что ха-
характерно вообще для кинетической теории колебаний плаз-
плазмы. В дальнейшем индекс х при составляющей скорости
будем опускать*.
Удобно^ввести нормированную основную функцию рас-
распределения f, определенную соотношением
/° = Ш, (8.7)
где п — полная концентрация электронов. Нормированная
функция распределения удовлетворяет условию
\fdv=l. (8.8)
С помощью нормированной функции распределения дис-
дисперсионное уравнение плазменных волн можно записать
в виде
ОО
af
dv = 1, (8.9)
со ' ч
где соо — электронная плазменная частота. Для того чтобы
интеграл (8.8) сходился, функция распределения на пре-
пределах интегрирования должна обращаться в нуль. Восполь-
Воспользовавшись этим, можно преобразовать интеграл в левой
части уравнений (8.6) или (8.9) интегрированием по частям
как
ОО ОО
-ff. d°
J—--J
J V — -T J
—ОО К —ЭО
* Поскольку в настоящем разделе рассматривается только
движение в одном направлении д:, полагаем здесь vx = v и относим
функцию распределения к единичному интервалу значений vx, а не
к векторному интервалу dv, В конечные результаты будет входить
произведение kv, которое в реальном трехмерном случае должно
заменяться скалярным произведением двух векторов (kv).
213
после чего дисперсионное уравнение принимает вид
+00
J
Заметим, что дисперсионное уравнение можно предста-
представить и еще в одной совершенно равноценной форме. Для
этого достаточно умножить подынтегральную функцию
в левой части уравнения (8.9) на величину
k ( со \ л
со\ k )
После этого интеграл примет вид
ЭО
dvdv k 1 df , , k I dl vdv
со со J dv со J dv со
-oo v — ~k -oo -ос V — -J
Первый интеграл в силу условия / (± °°) = 0 обращается
в нуль. Таким образом, уравнение (8.9) или (8.10) можно
записать также и в форме
(8.9а)
со
Эквивалентность уравнений (8.9) и (8.9а) означает, что со-
составляющая скорости частиц вдоль направления распро-
распространения, усредненная по подынтегральной функции
уравнения (8.9), равна фазовой скорости волны
dv J
v dv
независимо от конкретного вида функции f, лишь бы она
удовлетворяла условию интегрируемости, т. е. обращалась
в нуль на бесконечности. Если это условие не выполнено,
то интегралы теряют смысл.
214
~ Приближенное решение дисперсионного уравнения лег-
легко получить для случаев, когда функция распределения f
быстро спадает с возрастанием скорости и при фазовой
скорости v = ®/k уже достаточно мала. Если это так,
то подынтегральная функция заметно отличается от нуля
только в двух областях: при малых скоростях и вблизи
особой точки v = co/k = пф. Интеграл можно, таким образом,
разбить на две части Jx и /2> отвечающие двум указанным
областям.
Интеграл по области малых скоростей находится по-
посредством разложения подынтегральной функции по степе-
степеням малой в этой области величины
kv v
0) пф '
При этом удобно исходить из дисперсионного уравнения
в форме (8.10), записав его как
(8.10а)
и разложив величину A )~~2 в биноминальный ряд*:
+ 4 Щ)
После этого преобразования интеграл по малым скоростям
выразится как
(О
(8.11)
* Этот ряд проще всего получить дифференцированием геомет-
геометрической прогрессии
215
где vt — точно не определенное значение скорости, при ко-
котором функция распределения уже пренебрежимо мала, но
которое еще меньше, чем фазовая скорость со/&. Интегралы
в^правой части уравнения (8.11) сходятся только при
условии, если с возрастанием \v\ функция распределения f
спадает быстрее, чем любая степень скорости. Для равновес-
равновесной максвелловской функции это условие выполнено, так
как она спадает экспоненциально. Будем считать, что имеют-
имеются только токи, связанные с самой волной, т. е. что сто-
сторонние токи отсутствуют, тогда первый интеграл в правой
части уравнения (8.11) равен нулю. Если колебания про-
происходят на изотропном фоне, то f {v) — четная функция
и в уравнении (8.11) остаются только интегралы с чет-
четными степенями скорости
со
(8.11а)
Перейдем к вычислению интеграла по области вблизи
особой точки: v « щ. Этот интеграл удобнее вычислять
исходя из дисперсионного уравнения в форме (8.9), где
особая точка представляет собой простой полюс. Запишем
интеграл в виде
п. ' -
- -г J j_L
к л
Этот интеграл несобственный, непосредственное интегри-
интегрирование дает результат:
[дГ
который зависит от выбора ех и е2 и при устремлении этих
величин порознь к нулю не стремится ни к какому опреде-
определенному значению. Кроме того, в теории функций комплекс-
комплексного переменного логарифм является многозначной функ-
216
цией, которая и при действительном аргументе может иметь
мнимую часть.
Действительная часть интеграла /2 приобретает опреде-
определенное значение, если положить гг = е2. Это значение
называется главным значением интеграла. Если вблизи
точки v = со/& значение dlldv близко к нулю, то главное
значение интеграла J2 пренебрежимо мало.
Для нахождения мнимой части интегрирование выпол-
выполняется в комплексной плоскости. Здесь можно выбрать
контур интегрирования, обходящий особую точку по
V
Рис. 13. Обход особой точки по правилу Ландау.
полуокружности (рис. 13). Направление обхода определяет-
определяется правилом Ландау, о котором речь будет ниже. На этой
полуокружности
dv = fee'* dy
и интеграл сводится к
тс
/ее'*Жр _ .,
\dv\T. <* J
L Ju — ~h г\
ее'
(8Л2)
независимо от значения е, которое можно устремить к нулю.
Этот результат можно было бы получить и непосредствен-
непосредственно из теоремы вычетов, согласно которой интеграл по
половине замкнутого контура, обходящего особую точку,
равен ш, умноженному на вычет, который в данном слу-
8В Лекции по физике плазмы 217
чае равен просто числителю подынтегральной функции*.
Подстановка значений Jx и J2 в уравнения (8.10) и (8.9)
дает дисперсионное уравнение в виде
¦Л ,л
СОл
или после подстановки значений (8.11) и (8.12), ограничи-
ограничила
ваясь низшими степенями —,
(О
Но в этом приближении и при малом затухании со мало
отличается от соо. Следовательно, результат (8.13) можно
записать приближенно как
ю«« а>§ + 3ft V + ^со2о (^1Щ _„, (8.14)
где v2 — квадрат скорости движения в одном направлении,
усредненный по функции f. Если представить комплексную
частоту в виде
со =со — i8,
где б — декремент затухания, то
со2^г со2 —
Из результата (8.14) для вещественной и мнимой частей по-
получится (считая б малой величиной)
; (8.15)
. (8Л6)
Иногда результат (8.12) выражают с помощью 6-функции
1 1 / со\
Р+ ЫЬ ( ) (8.12а)
со =г со
где Р означает, что интеграл от соответствующего члена следует
понимать в смысле главного значения; б означает функцию, интег-
интеграл от которой через нуль равен единице, в то время как во всех
других точках она равна нулю. В общем случае перед мнимым членом
стоит знак «±». Выбор знака «+» дается правилом обхода Ландау#
218
где щ = ®/k — фазовая скорость волны. При принятой
нами записи плоской волны в виде ехр (—/со/ + ikx) зави<
симость от времени выражается множителем
р—loot , р/со^ р—Ы
Следовательно, положительные значения б отвечают зату-
затуханию, отрицательные — раскачке колебаний. Если функ-
функция распределения f уменьшается при возрастании абсо«
лютного значения скорости, то мнимый член приводит
к затуханию колебаний*. Раскачка получится в том,
и только в том случае, когда у функции распределения
имеется «горб» при скоростях частиц, близких по величине
и направлению к фазовой скорости волны.
Таким образом, мнимый член формулы (8.13) описывает
затухание плазменных волн при отсутствии столкновений
между частицами, которое называется затуханием Ландау,
Оно является простейшим примером диссипации без столк-
столкновений — важнейшего явления в кинетике разреженной
плазмы. Из формул (8.14) или (8.16) видно, что этот эффект
происходит от наличия в плазме частиц, движущихся со
скоростями, близкими к фазовой скорости волны, т. е.
находящихся в фазовом резонансе с волной. На такие ча«
стицы электрическое поле волны действует все время почти
в одной фазе, т. е. они наиболее тесно взаимодействуют
с волной. Частицы, движущиеся немного медленнее фазо-
фазовой скорости волны, отбирают у нее энергию; частицы, дви-
движущиеся немного быстрее, передают свою энергию волне,
Затухание происходит тогда, когда преобладают частицы,
слегка отстающие от волны, раскачка — когда преоблада-
преобладают слегка обгоняющие, что и выражается формулой (8.16).
В реальном случае трехмерного движения под kv еле-
дует понимать скалярное произведение (kv), и условие фа-
фазового резонанса принимает вид (kv) = со. Это значит,
что составляющая скорости частицы в направлении волно-
волнового вектора равна фазовой скорости волны. Для частицы,
скорость которой больше фазовой скорости волны, всегда
найдется такой угол, при котором это условие выполняется.
* Рассматривается одномерная задача, так что под скоростью
подразумевается скорость в одном направлении. При максвеллов-
Mv2
271
ском распределении f зависит от нее как е , т. е. монотонно
уменьшается с возрастанием | v\. Таким образом, на термодинами-
термодинамически равновесном фоне колебания могут только затухать.
8В* 219
Затухание или раскачка плазменных волн при фазовом
резонансе с частицами может рассматриваться как проявле-
проявление эффекта Вавилова — Черепкова — поглощения или ис-
испускания волн частицами, движущимися со скоростью
порядка или выше фазовой скорости волны в среде. Соот-
Соответственно эти явления называют иногда черепковским зату-
затуханием (или возбуждением) колебаний. Следует отметить,
что знак мнимого члена в формуле (8.14) зависит от направ-
направления обхода контуром интегрирования особой точки. По-
Поэтому приведенный вывод является по существу нестрогим.
Строгое рассмотрение показывает, что при наличии тепло-
теплового движения плазменные колебания не имеют в точности
вида плоских волн, а лишь асимптотически к нему стре-
стремятся. Для асимптотического решения получается диспер-
дисперсионное уравнение, совпадающее с полученным выше, но
знак мнимого члена оказывается уже определенным. Он
дается правилом обхода Ландау, согласно которому, если
плоская волна записана в виде ехр (—tot + ikx),To особая
точка должна обходиться против часовой стрелки,
т. е. снизу, как это и было сделано выше*.
Применим теперь полученные результаты к случаю,
когда колебания происходят вокруг состояния термодина-
термодинамического равновесия, т. е. /° есть функция распределения
Максвелла
/о ^ const e 2Т , (8.17)
где v — составляющая скорости в одном направлении;
Т — температура в энергетических единицах. Нормирован-
Нормированная функция распределения
oo mv*
У^е -. (8.17a)
* Для решения кинетического уравнения в начальных услови-
условиях удобнее пользоваться не разложением по плоским волнам (т. е.
преобразованием Фурье как по координате, так и по времени),
а преобразованием Фурье по координате и преобразованием Лапла-
Лапласа по времени.
220
Усреднение квадрата скорости движения в одном направле-
направлении дает
Формулы (8.15) и (8.16) для равновесной термической
плазмы принимают вид
^; (8.19)
2
) e"^-. (8.20)
Последнюю формулу удобно преобразовать так, чтобы
была явно видна зависимость затухания от волнового
числа. Для этого воспользуемся тем, что формула приме-
применима лишь при частотах, близких к плазменной, откуда
и введем дебаевскую длину /D, определенную как
4Л
cog mcog
что совпадает с соотношением A.18) в гл. I. Теперь формулу
(8.20) можно записать в виде
б = ^ 1 е 2кЧ» . (8.23)
Таким образом, если длина волны меньше дебаевской,
то затухание происходит за время порядка периода коле-
колебаний. Напротив, для длинных волн затухание экспонен-
экспоненциально мало. Но частота длинных волн близка к плаз-
плазменной, что и оправдывает сделанные при выводе прибли-
приближения.
Действительная часть дисперсионного уравнения (8.19)
совпадает с гидродинамическим приближением (V.3.14a),
если показателю адиабаты приписывать значение
7 = 3, '(8.24)
отвечающее движению в одном направлении.
221
9. Волны в магнитном поле
и тензорные характеристики плазмы
Если на плазму наложено магнитное поле, то кинетиче-
кинетическое описание волновых процессов резко усложняется.
Необходимо учитывать движение не только электронов, но
и всех сортов ионов, присутствующих в плазме. Для каж-
каждого рода частиц с зарядовым числом Z и массой М должно
быть решено кинетическое уравнение G.4). Для малых ко-
колебаний линеаризация его дает, аналогично уравнению
(8.2), для плоской волны
где Но — внешнее магнитное поле; Н — собственное маг-
магнитное поле волны, которое полагается малым, так же
как и электрическое поле волны Е (внешние электрические
поля и сторонние токи отсутствуют).
Решение линеаризованного кинетического уравнения
дает функцию f1 для каждого из компонентов плазмы в зави-
зависимости от электрического поля волны. Полная плотность
тока выражается через эти функции как
(9.2)
Составляющие электрического поля входят в выраже-
выражение плотности тока как параметры функций f1. Подстанов-
Подстановка выражения (9.2) в уравнение электродинамики (IV. 1.3)
позволяет получить систему линейных однородных алгебраи-
алгебраических уравнений для составляющих электрического поля
и, приравняв ее определитель нулю, — дисперсионное
уравнение. Удобно проводить вывод дисперсионного урав-
уравнения в два приема: сначала посредством решения линеа-
линеаризованного кинетического уравнения находятся тензорные
характеристики плазмы, а затем уже они подставляются
в уравнения электродинамики.
Покажем сначала в общем виде, как получаются тензор-
тензорные характеристики плазмы. Линеаризованное кинетиче-
кинетическое уравнение (9.1) дает возмущение функции распределе-
распределения f1 как линейную комбинацию из составляющих элект-
222
рического поля волны Е, умноженных на коэффициенты,
которые мы обозначим dfldEb
ь
где индекс Ъ нумерует три координаты пространства. Если
сторонние токи отсутствуют, то плотность тока, переноси-
переносимого каждым из компонентов плазмы, выражается в соот-
соответствии с формулой (9.2) как
, (9.4)
что после подстановки выражения (9.3) для f1 даст
«rfv. (9.5)
ь
Сопоставляя этот результат с определением тензора про-
проводимости, находим, что компоненты тензора частичной
проводимости плазмы для частиц каждого рода выражаются
.как
aab = Ze{va^zdY. Г9.6)
Для получения тензора полной проводимости плазмы эти
выражения нужно просуммировать по всем сортам частиц,
присутствующих в плазме.
Величины dfldEb суть коэффициенты разложения функ-
функции распределения / по составляющим электрического поля
волны, которое полагается малым. Совокупность величин
dfldEb образует вектор df/dE.
Как видно из изложенного, кинетическое рассмотрение
дает непосредственно тензор проводимости. Тензор сопро-
сопротивления, который был для нас столь удобен в гидродинами-
гидродинамическом приближении, здесь теряет свою ценность. От тен-
тензора проводимости обычно принято переходить к тензору
электрической проницаемости плазмы
е = fi 4- i — сг и 1§7\
ab о,Ъ * гл аи* \ }
В соответствии с формулой (9.6) компоненты этого тен-
тензора выражаются как
223
Тензор электрической проницаемости не дает никаких
преимуществ при вычислениях перед тензором проводимо-
проводимости. Им предпочитают пользоваться из чисто физических
соображений: для разреженной плазмы без столкновений
проводимость является чисто мнимой величиной (выражаясь
на языке электротехники, сопротивление ее не активное,
а чисто реактивное), так что физически правильнее говорить
не о проводимости, а об электрической проницаемости.
Следует отметить, что тензорные характеристики плазмы
получаются методом самосогласованного поля и потому
применимы только к линейным возмущениям, которые
можно разложить по плоским волнам. В нелинейной обла-
области электрические свойства плазмы могут оказаться совсем
иными.
Конкретные формулы для компонентов тензора прово- "
димости или электрической проницаемости плазмы полу-
получаются подстановкой в формулы (9.6) или (9.8) составляю-
составляющих вектора df/dE, полученных решением линеаризован-
линеаризованного кинетического уравнения. Эти формулы будут
получены в следующем разделе.
10. Решение кинетического уравнения
с помощью интегрирования по углу
Известен ряд методов решения линеаризованного кине-
кинетического уравнения (9.1). Наиболее наглядным из них
представляется метод, в котором решение с самого начала
ищется в виде плоской волны. При этом возникают труд-
трудности, связанные с направлением обхода особых точек. При-
Примем без доказательства, что эти трудности разрешаются
правилом обхода Ландау.
Будем считать, что колебания происходят на изотроп-
изотропном фоне. Это значит, что основная функция распределения /°
не зависит от направления скорости, но зависит только от ее
абсолютного значения. Следовательно, /° можно представить
как функцию от квадрата скорости. Определим нормирован-
нормированную функцию f равенством
/°-nf(t;2), A0.1)
где п — полная концентрация частиц. Как видно из фор-
формулы A.4), функция f удовлетворяет условию нормировки
Jf dv = 1. A0.2)
224
Отметим, что функция f отнесена по-прежнему к единице
фазового объема, а не к интервалу абсолютной скорости.
Составляющая вектора ytf°по любому направлению
выразится при изотропном фоне как
(v p) ^*E=nMds*\ _dt (ШЗ)
W
Этот результат можно записать в векторной форме
A0.3a)
где
Результат A0.3) означает, что для изотропной функции
f° вектор \vf° направлен вдоль вектора скорости (подобно
тому, как в обычном пространстве градиент изотропной
сферически симметричной функции, зависящей только от
радиуса-г, направлен вдоль радиуса-вектора г).
Но векторное произведение [vH] перпендикулярно
к вектору скорости. Второй же член в правой части урав-
уравнения (9.1) содержит скалярное произведение его на Avf°.
Следовательно, при изотропном фоне этот член обращается
в нуль и линеаризованное кинетическое уравнение прини-
принимает вид
^ ([vH]V)/1 ^(EvJ/0. (Ю.5)
При изотропном фоне собственное магнитное поле волны
выпадает из уравнений. Переходя к плоской волне, введя
циклотронную частоту ыс и единичный вектор h в направле-
направлении магнитного поля, а также воспользовавшись результа-
результатом A0.3а), можно записать уравнение A0.5) в виде
i (kv - со) /i + we ([vh] v.) f1 =- Sjp (Ev) f A0.6)
' Направим ось г вдоль магнитного поля и расположим
ось х так, чтобы волновой вектор лежал в плоскости хг.
Составляющую этого вектора по оси х (поперек магнитного
поля) будем обозначать kl9 составляющую по оси z (вдоль
225
поля) — kz. В этой системе координат (мы называли ее
Я-системой) уравнение A0.6) запишем как
= _^L(Ev)f. A0.6а)
Уравнение упростится, если перейти к цилиндрическим
координатам в пространстве скоростей
v .» j A0'8)
В этих координатах
дер dvx <5ф дс*у дф У dvx x dvy ' ^ ' '
и уравнение A0.6а) принимает вид
|? = i (a cos Ф + Р)/1 + jjj^(Ev) Г, A0.10)
где
а = Чг> A0Л1)
р^/^-со. (]0Л2
(Ev) = t;L (?xcos ф + ?у sin ф) + ?^ц. A0.13)
Уравнение A0.10) можно рассматривать как линейное
дифференциальное уравнение с правой частью, дающее
зависимость функции f1 от азимутального угла ф; общее
его решение имеет вид
п = O^L f V' (a sin т + W
"A0.14)
Постоянная интегрирования С может быть произволь-
произвольной функцией от других переменных, кроме ф. Она'должна
определяться из условия, чтобы f1 была периодической
функцией от ф с периодом 2я. Для выполнения интегриро-
226
вания в правой части уравнения A0.14) и нахождения
постоянной С используется разложение в ряд по функциям
Бесселя всех порядков (см. приложение 3)
ос
е-/у sin ср ж 2 Js (у) e~/s?, A0.15)
s=— ос
где s — целое число. При этом тригонометрические функ-
функции выражаются через комплексные экспоненты
Ех cos ф + Еу sin ф = ^ (Е+ е~-'? + ?_ ег>),
где
E±=Ex±iEy.
Постоянная интегрирования С определяется так, чтобы
обратить в нуль постоянные слагаемые у всех интегралов,
происходящие от нижнего предела интегрирования. При
этом множители е~*№ и е'Р* взаимно уничтожаются и оста-
останутся только функции, удовлетворяющие условию перио-
периодичности по ф. Результат интегрирования имеет вид
ос
Для упрощения формул можно воспользоваться тем
обстоятельством, что s есть текущий индекс, по которому
суммирование производится от —оо до оо, и, следовательно,
его значения можно сдвигать на любое постоянное число.
Сумму в правой части формулы A0.16) можно разбить на
три суммы и в первой из них заменить s + 1 на s, во второй
s— 1 на s, после чего формула A0.16) примет вид
i
s—— оо
(а)) + t>0 Ez Js(a)] . A0.16a)
Теперь удобно перейти от Е+ и ?_ к составляющим элект-
ринеского поля в прямоугольных координатах. При этом
227
для дальнейшего упрощения формул используются рекур-
рекуррентные соотношения между функциями Бесселя
(см. приложение 3):
Л-1(а) + Ун.1(а) = ^/>);
С помощью этих соотношений решение кинетического урав-
уравнения принимает окончательный вид
X [v±(^JsEx + ij'sE^ + v{]JsEz], A0.17)
где
г т /„\. т' dJs (a)
Коэффициенты при составляющих электрического поля
в этом выражении есть составляющие вектора df/dE, под-
подстановка которых в формулу (9.6) с учетом выражений
A0.7) и A0.8) дает компоненты тензора проводимости.
Интегралы по .азимутальному углу ср берутся с помощью
интегрального представления функции Бесселя (см. при-
приложение 3)
2%
A0.18)
б
Получающиеся комбинации функций Бесселя еще раз
упрощаются с помощью рекуррентных соотношений.
Вычисление дает тензор комплексной проводимости
плазмы для частиц данного рода в виде
s=— оо
где соо и ыс — плазменная и циклотронная частоты;
228
Ts(a) — вспомогательный тензор, составленный из функций
Бесселя, который в системе координат с осью г вдоль
магнитного поля и осью х в плоскости (k, H) выражается
как
'S ,2 1
—W± V\\ Js
v± Щ
Щ
Здесь
A0.20)
a =
<oc
Подставляя значения аир, можно записать тензор комп-
комплексной проводимости в явном виде
. <4 ч? Г г
A0.19а)
где
п=
— i-r- v i sJs Js v i Js —к
Js J's
.A0.20a)
Тензор электрической проницаемости для частиц данного
рода выражается отсюда как
Полученные выражения должны еще быть просуммированы
по всем сортам частиц, присутствующим в плазме.
229
Аргументом всех функций Бесселя является величина
Поскольку интегрирование по азимутальному углу ср уже
выполнено, то подынтегральные функции не зависят от ф.
Поэтому интегрирование по dv = v±dv± dv\\ dy можно заме-
заменить интегрированием по v± dvL dv\\ , если изменить соответ-
соответствующим образом нормировку функции f: вместо условия
A0.2) нормировать ее согласно условию
J ivx dv± dv{\ = 1. A0.22)
Здесь vx меняется от 0 до оо, a v\\ — от — оо до + оо.
При интегрировании по продольной скорости прихо-
приходится обходить особые точки, в которых знаменатели
E + s обращаются в нуль. Эти особые точки дают мнимые
части интегралов, описывающие затухание или раскачку
колебаний аналогично формуле (8.12).
11. Специфическое затухание и раскачка колебаний
Входящие в выражения тензорных характеристик плаз-
плазмы A0.19) или A0.21) интегралы по продольной скорости
являются несобственными. Вследствие этого компоненты
тензоров не являются аналитическими функциями от со-
составляющих волнового вектора. Подынтегральная функция
представляет собой сумму бесконечного ряда по индексу s,
каждый член которого расходится при значении ^обра-
^обращающем знаменатель в нуль,
Ч (lLl)
Заметим, что по формуле эффекта Допплера со — k3v\\
есть частота волны в системе координат, движущейся вдоль
магнитного поля вместе с частицей. Таким образом, условие
(ll.l) выполнено, когда частота волны в этой системе равна
либо нулю, либо циклотронной частоте или одному из ее
обертонов. '
Как было показано при выводе формулы (8.12), каждая
особая точка дает в интеграле мнимое слагаемое, равное
wt, умноженному на вычет подынтегральной функции в этой
точке. Знак мнимого члена определяется правилом обхода
230
Ландау. Это правило можно записать в виде
где символ Р означает, что интеграл от соответствующего
члена понимается в смысле главного значения. Для равно-
равновесной плазмы f < 0, и мнимые члены приводят к затуха-
затуханию колебаний. В неравновесной плазме возможны случаи,
когда в особых точках V ^> 0, что приведет к раскачке ко-
колебаний (кинетическая неустойчивость).
Про частицы, продольная скорость которых удовлетво-
удовлетворяет условию A1.1), говорят, что они находятся в фазовом
резонансе с волной. Но при наличии магнитного поля поня-
понятие фазового резонанса приобретает более сложный смысл,
чем в его отсутствие. Только для одного члена суммы с ин-
индексом s = О условие фазового резонанса сводится к равен-
равенству продольных составляющих скорости частицы и фазо-
фазовой скорости волны. Этот член приводит к затуханию без
столкновений, не зависящему от магнитного поля, кото-
которое называют черепковским затуханием. Член с s = ± 1 дает
фазовый резонанс при условии, если в системе координат,
движущейся вместе с частицей, частота волны вследствие
эффекта Допплера сравняется с циклотронной частотой.
Этот вид фазового резонанса называют циклотронным ре-
резонансом. Члены с остальными значениями s дают резо-
нансы на циклотронных обертонах. Все эти три вида* спе-
специфического затухания волн описываются резонансными
знаменателями одного и того же вида A1.1). Их можно рас-
рассматривать как разновидности одного и того же механизма
диссипации без столкновений, который называется затуха-
затуханием по Ландау*.
Теперь можно пояснить физический смысл формального
разложения A0.15). Оно оказывается разложением по цик-
циклотронным обертонам, а индекс s нумерует эти обертоны.
Таким образом, бесконечные суммы, входящие в выражения
тензорных характеристик плазмы, имеют смысл сумм по
циклотронным обертонам.
* Иногда термин «затухание Ландау» сохраняют только для
члена с s = 0 (вместо термина «черенковское затухание»), а затуха-
затухание на циклотронной частоте и ее обертонах рассматривают как
самостоятельные механизмы.
231
12. Слабая и сильная пространственная дисперсия
Пространственной дисперсией называется явная зави-
зависимость электрической проницаемости (или проводимости)
от волнового числа. В формулах A0.20) или A0.21) эффект
пространственной дисперсии проявляется двояким образом:
в аргументе функций Бесселя а = й^/со, и в резонансных
знаменателях, содержащих величину kzv\{. Если выполнено
условие
(kv)«coc, A2.1)
то зависимость тензорных характеристик плазмы от вол-
волнового числа становится слабой; в этом случае говорят
о слабой пространственной дисперсии. Физически условие
A2.1) означает, что циклотронный радиус должен быть мал
в сравнении с длиной волны. Если же циклотронный радиус
порядка или больше длины волны, то возникают гораздо
более сложные явления сильной пространственной диспер-
дисперсии. Эти явления * называют иногда эффектами конечного
циклотронного радиуса.
Для случая слабой пространственной дисперсии дей-
действительные части компонентов тензора A0.20) могут быть
разложены в ряды по степеням а. При образовании беско-
бесконечных сумм по s низшие степени а будут содержаться толь-
только в членах с малыми значениями s. Если, кроме того, раз-
разложить величины 1/(Р + s) по степеням ksV\\/(oc и в получа-
получающихся разложениях оставить только первые члены, то
получится приближение холодной плазмы; следующие
члены дадут результат, эквивалентный гидродинамиче-
гидродинамическому приближению. Но, кроме того, полюса подынтеграль-
подынтегральных функций дадут затухание на фазовых резонансах —
эффект, который может быть получен только из физической
кинетики. Таким образом, в случае слабой пространственной
дисперсии методы физической кинетики добавляют к ре-
результатам гидродинамического приближения только спе-
специфическое затухание, которое, однако, может быть весьма
существенным и даже привести к практическому исчезно-
исчезновению некоторых ветвей колебаний с фазовыми скоростями,
близкими к скоростям теплового движения.
Если при вычислении специфического затухания после-
последовательно проводить разложение по отношению цикло-
циклотронного радиуса к длине волны, то в выражениях для ком-
компонентов тензора проводимости достаточно оставить низ-
232
шие неисчезающие члены по s. Такими для одних компонен-
компонентов являются члены с s = О, для других es^ ±1. Первые
представляют черенковское, вторые, если их сгруппиро-
сгруппировать попарно, — циклотронное затухание. Циклотронные
обертоны в приближении слабой пространственной диспер-
дисперсии можно не учитывать.
Гораздо более существенными оказываются кинетиче-
кинетические эффекты в случае сильной пространственной диспер-
дисперсии (большие циклотронные радиусы). Здесь они могут не
только дать дополнительное затухание, но и коренным обра-
образом изменить вид дисперсионного уравнения. Из условия
A2.1) видно, что сильная пространственная дисперсия
обязательно возникает в горячей плазме при недостаточно
сильных магнитных полях. Но и в почти холодной плазме
сильная пространственная дисперсия может возникнуть
вблизи особых частот, при которых показатель преломле-
преломления (й с ним и волновое число) резко возрастает, т. е. фазо-
фазовая скорость волны падает.
Так обстоит дело, например, для поперечного распростра-
распространения вблизи гибридных частот, при которых у холод-
холодной плазмы имелись особенности показателя преломления,
а также вблизи циклотронной частоты и ее обертонов, где
такие особенности могут возникнуть вследствие теплового
движения. При этом кроме специфического затухания, про-
происходящего от уменьшения фазовой скорости волны, воз-
возможно также возникновение новых ветвей колебаний, свя-
' занных с сильной пространственной дисперсией.
13. Волны на анизотропном фоне
Если невозмущенная функция распределения /° анизо-
анизотропна, то результат A0.3) теряет силу. В этом случае
в уравнении (9.1) нельзя уже отбрасывать член, содержащий
собственное магнитное поле волны Н. Последнее приходит-
приходится находить из уравнения Максвелла
f, . A3.1)
которое для плоской волны дает
fi ? A3.2)
233
Если функция /° постоянна в пространстве и во времени
и сторонние электрические поля отсутствуют, то кинетиче-
кинетическое уравнение для /° сводится к виду
([vH]v*)Je = O, A3.3)
что после преобразования к цилиндрическим координатам
аналогично уравнению A0.6а) даст, согласно уравнению
A0.9),
?-0. A3.4)
Таким образом, при анизотропном, но однородном фоне
функция /° не должна зависеть от азимутального угла <р.
Азимутальная анизотропия вызвала бы пондеромоторную
силу, стремящуюся нарушить пространственную однород-
однородность. Анизотропия однородного фона может заключаться
только в различном распределении поперечных и продоль-
продольных (по отношению к магнитному полю) скоростей. Несим-
Несимметрия же основной функции распределения относительно
продольной скорости означала бы наличие стороннего тока.
Следовательно, если сторонние электрические поля и токи
отсутствуют, то основная функция распределения для про-
пространственно однородного фона должна иметь вид
/°=/°(^Ч?). A3.5)
Подстановка выражения A3.2) в правую часть кине-
кинетического уравнения (9.1) дает после раскрытия двойного
векторного .произведения
, , - A3.6)
СО / ' CO V '
Таким образом, при анизотропном фоне в правой части
уравнения A0.6) величина (Ev)f' должна быть заменена
на
A3.7)
Для функции вида A3.5) это выражение принимает вид
,1, A3-8)
234
где
dl
f — нормированная основная функция распределения.
Подставив выражение A3.8) вместо (Ev)f1 в формулу A0.14),
можно получить тензорные характеристики анизотропной
плазмы.
С анизотропной плазмой приходится встречаться при
рассмотрении вопросов магнитного удержания, где функ-
функции распределения скоростей вдоль и поперек магнитного
поля могут существенно различаться. Обычно анизотроп-
анизотропную функцию распределения представляют как произведе-
произведение продольной и поперечной максвелловских функций
с различными температурами. Для такого фона интегри-
интегрирование по продольным и поперечным скоростям может
быть выполнено в явном виде и результаты выражены через
табулированные функции. При сильной анизотропии фона
мнимая часть со может оказаться положительной, т. е.
возникает неустойчивость.
14. Тензорные характеристики термической плазмы
Ранее нами рассматривались общие выражения тен-
тензорных характеристик плазмы для произвольного вида
основной функции распределения /°. Для практического
использования результатов необходимо задаться конкрет-
конкретным видом этой функции. В разреженной плазме он зави-
зависит, вообще говоря, от начальных условий.
В плотной плазме взаимодействие между частицами при-
приводит к быстрому установлению равновесного максвеллов-
ского распределения. При этом состояние плазмы описы-
описывается одним значением температуры (полное термодинами-
термодинамическое равновесие).
Если для описания состояния плазмы применимо в ка-
какой-либо мере понятие температуры, то такую плазму
мы называем термической. Чтобы плазма была термической,
она должна находиться в состоянии хотя бы частичного тер-
термодинамического равновесия, т. е. состояние ее должно
описываться набором функций Максвелла, если и не с одной,
то хотя бы с несколькими различными температурами.
235
Если их несколько, то у плазмы есть несколько температур:
электронная и ионная, продольная и поперечная, темпера-
температура основного распределения и температура пучка быст-
быстрых частиц. Ограничимся рассмотрением изотропного фона
и примем; что для частиц данного рода основной функцией f
является функция распределения Максвелла
Му*
f = const e 2T . A4.1)
В этом случае ее производная пропорциональна самой
функции
*№ т
и интегрирование по скоростям сводится к усреднению по
распределению Максвелла. Все интегралы, входящие
в тензорные характеристики плазмы, могут в этом случае
быть выражены через табулированные специальные функ-
функции.
Рассмотрим прежде всего интегрирование по продоль-
продольной скорости. Несобственный интеграл вида *
«»B)= 7=Г/* A4-3)
можно выразить через интегралы, у которых подынтеграль-
подынтегральная функция не имеет особенностей. Проще всего это сделать
с помощью дифференцирования по параметру г под знаком
интеграла с последующим интегрированием по частям
* В литературе принято вводить в определение этой функции
мнимый множитель, что только усложняет формулы.
236
Прибавляя и вычитая в числителе г, получаем
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение,
решение которого дает w как функцию от параметра z
w
-е-21 2 j/я JeBi<te + C|. A4.4)
Постоянная интегрирования С определяется из началь-
начального условия: должно быть задано значение w при z = О,
т. е. вклад, происходящий от особой точки. В этом и про-
проявляется то, что интеграл несобственный. В рассматривае-
рассматриваемом случае роль начального условия играет правило об-
обхода Ландау, согласно которому
С = ~ ш\
Отсюда окончательно
z
w(z) = 2 К л е-22 J efci А* — ше-*\ A4.5)
о
Входящая сюда функция
z
ф(г) = Je^A* ' A4.6)
о
табулирована; ее численные значения приводятся в табли-
таблицах интеграла вероятностей. При больших значениях z
для нее легко получить асимптотическое разложение. Для
этого делается подстановка
и = г — а,
и интеграл принимает вид
Z Z ОО
<D(z) = е*а J e~2azea2da = ezI J ea2 2 7Л~^а-
О 0 п = 0
Для больших значений г верхний предел интегрирования
можно заменить на бесконечность. После этого интегралы
237
берутся по известной формуле
о
и получается искомое разложение в виде
оо
Bп)!
nl
~ 2г
откуда при больших значениях г
Посредством прибавления и вычитания параметра z легко
находятся и интегралы
ОО
J ^ t ,
При подобных вычислениях следует помнить, что инте-
интегралы от нечетных функций в этих пределах обращаются
в нуль.
Интегрирование по поперечным скоростям производится
при помощи формулы второго экспоненциального интеграла
Вебера (см. приложение 3):
ОО р2у2
-Х— П"" (Н.9)
Таким образом, в результате интегрирования функции
Бесселя переходят в модифицированные функции /. Для
вычисления всех интегралов, входящих в тензор Ts(a)
238
A0.20), достаточно продифференцировать формулу A4.9)
сначала по одному из индексов X или р, а затем по обоим:
где
и в полученных результатах положить jj = л:
>2
f ye ^ Л2(Ьу)<*У = ^/,е ^2; A4.10)
f у3 е 2 Л (Ху) Л (Ху) dy = А (/.; - /s) е ; A4.
о р
-^, A4.12)
где / ~ I(X2/p2); Г, V — производные по аргументу. По-
После подстановки полученных результатов тензор проводи-
проводимости термической плазмы для частиц данного рода оказы-
оказывается функцией безразмерных переменных:
г =\f^ со-*со,_со-^ A4.14)
Поперечная переменная у является аргументом моди-
модифицированных функций Бесселя /s = Is(y) и их произвол-
1Ш ^Ш
ных /; =1Ш и rs
и rs ^.
dy s dy2
239
Продольные переменные zs являются аргументами функ-
функций
тйттггтзтт." —tne z\ A4.15)
2z2 4z4 8ze / v 7
^(z)» /я |^Л + Л+Й-+ •••>1 — inze-*9; A4.15a)
\ /
a;,B)«V^fi + A+S+-)-^2ae-»>. A4.156)
Нормировка максвелловой функции распределения по
поперечным и продольным скоростям по условию A0.22)
дает (см. приложение 6):
2
-{-ос Мо\\
Г ~-9г /
J е 2Г *ч
ос Mfj
Отсюда-
и выражение тензора проводимости принимает вид
_ .©о 1 (М\Ъ12 чу
Г
s=— oo
—ЭО
J wll
.. A4.16)
где 7S выражается формулой A0.20).
После интегрирования получается окончательное выра-
выражение тензора проводимости в виде
240
где вспомогательный тензор rs равени
js4s
-
A4.18)
где
/
Слагаемые/П2ае~22 в функциях даа описывают затухание
колебаний (или раскачку при взаимодействии плазмы с пуч-
пучком, когда в полном тензоре проводимости это слагаемое
приобретает обратный знак).
Применение тензорных характеристик плазмы, получен-
полученных методами физической кинетики, к конкретным вычис-
вычислениям затрудняется наличием бесконечных сумм по ин-
индексу s, нумерующему циклотронные обертоны. Для рас-
распространения поперек магнитного поля суммы эти удается
с помощью интегральных представлений функций Бесселя
и теоремы вычетов свести к квадратурам, которые, однако,
все равно не выражаются через табулированные функции.
Получающиеся функции связаны с функциями Бесселя,
и надо надеяться, что для них скоро будут составлены
таблицы.
Напомним, что для получения полного тензора прово-
проводимости необходимо еще просуммировать полученные выра-
выражения по всем сортам частиц, присутствующих в плазме.
15. Предельные случаи
Тензорные характеристики плазмы, полученные мето-
методами физической кинетики, имеют довольно сложный вид
вследствие наличия бесконечных сумм по циклотронным
обертонам. Посмотрим, как упрощаются эти выражения
при переходе к различным предельным случаям.
* Для упрощения выражения компонента xsyy вторая производ-
производная I" выражена через / и /' с помощью рекуррентных соотношений
для модифицированных функций Бесселя.
9 Лекции по физике плазмы 241
Простейший случай холодной плазмы получается пре-
предельным переходом: а -> 0 или у -> 0; г ->- оо . При этом
а от функций Бесселя берутся первые неисчезающие члены
разложения по степеням а или у. Предельный переход
к холодной плазме можно с одинаковым успехом произво-
производить, исходя как из выражений, проинтегрированных по
скоростям для термической плазмы A4.17), так и из общих
непроинтегрированных выражений A0.19)—A0.20). Ре-
Результаты получаются тождественными с формулами
(IV. 10.176)—(IV. 10.196).
Члены, описывающие специфическое затухание, все
содержат множитель е~22 и потому для холодной плазмы
исчезают. Следует, однако, иметь в виду, что при прибли-
приближении к циклотронным частотам или их обертонам требо-
требования, предъявляемые к температуре, для того чтобы плаз-
плазму можно было считать «холодной», становятся все более
жесткими. В непосредственной близости от циклотронных
частот или обертонов сколь угодно слабое тепловое движе-
движение уже оказывается существенным.
Следующим простым случаем являются волны, распро-
распространяющиеся вдоль магнитного поля, для которых кх — 0,
k3 = k. В этом случае у = 0, но г сохраняет конечное зна-
значение. Тензор проводимости имеет вид, подобный тензору
для холодной плазмы с той только разницей, что компо-
компоненты 8 и g умножаются на
t, (^=J^ ^_+ 3 , 15^ A52)
w (°°) у^Я Z ' 4z ' 8г
а компонент ч\ умножается на
^\ =2zw2(z) = l + 4r+ -Й-+ ••• — 2mz«e-*f. A5.3)
В этих формулах z берется для s = 1.
Для распространения точно поперек магнитного поля
(например, для прямой магнитно-звуковой волны) kx == k\
k3 = 0. В общих выражениях A0.19) или A0.21) знаме-
знаменатели перестают зависеть от скорости и могут быть выне-
вынесены за знак интеграла, после чего интегрирование сво-
сводится к усреднению тензора Ts по функции f. Все компонен-
компоненты тензоров, содержащие первую степень начальной ско-
242
рости, при отсутствии сторонних токов обращаются в нуль.
В формуле A4.17) для термической плазмы нужно для этого
случая, как видно из формулы A4.14), устремить z к беско-
бесконечности, причем все компоненты, содержащие wl9 обратятся
в нуль.
Тензор электрической проницаемости для распростра-
распространения поперек магнитного поля может быть записан в виде
A5.4)
отличающемся от тензора холодной плазмы (IV. 10.16)
только тем, что компоненты гхх и &уу не равны между собою.
Отсюда и из уравнения (IV. 1.5) .дисперсионное уравнение
для волн, распространяющихся поперек поля, имеет в ки-
кинетике вид
-0, A5.5)
мало отличающийся от уравнения (IV. 10.21) для холод-
холодной плазмы.
Выражения компонентов тензора хотя и упрощаются, но
все же содержат бесконечные суммы по циклотронным
обертонам. Однако при отсутствии функций w эти суммы
могут быть сведены к квадратурам. Специфическое затуха-
затухание при распространении точно поперек поля происходит
только от релятивистских эффектов, которые будут рассмот-
рассмотрены ниже.
Некоторые трудности возникают при предельном пере-
переходе к случаю отсутствия магнитного поля (а-^оо ),
(у -> оо ). При этом разложение A0.15) перестает сходиться,
так что приходится исходить непосредственно из линеаризо-
линеаризованного кинетического уравнения. У тензоров проводи-
проводимости и электрической проницаемости в отсутствие магнит-
магнитного поля остаются только диагональные компоненты.
При этом выделенным оказывается направление волнового
вектора, и компоненты тензоров вдоль и поперек этого на-
направления при точном учете теплового движения несколько
отличаются друг от друга (см. задачу 2).
Можно рассмотреть еще предельный переход к прово-
проводимости для постоянного тока, устремив к нулю как kx и k3,
9* 243
так и частоту со. Тензорные характеристики плазмы, полу-
полученные в приближении самосогласованного поля, дадут
при этом предельном переходе тривиальный результат:
продольная проводимость обратится в бесконечность, а по-
поперечная — в нуль. Но если учесть флуктуационное взаи-
взаимодействие (кулоновское трение, или, как принято гово-
говорить, кулоновские столкновения), то получится правиль-
правильное выражение тензора проводимости для постоянного тока,
которое, впрочем, проще получить непосредственно.
16. Релятивистские эффекты и синхротронное излучение
При больших скоростях теплового движения, сравни-
сравнимых со скоростью света с, зависимость массы частицы от ее
скорости, вытекающая из теории относительности, приво-
приводит к тому, что циклотронная частота также становится
зависящей от скорости. Во все выведенные формулы вместо
массы и циклотронной частоты должны подставляться
величины
т'= т , ; ¦ A6.1)
шс=-сос|/ 1—^««Ц1—j~). A6.2)
Практически релятивистские эффекты имеют значение
только для электронов; для ионов ими можно полностью
пренебречь. Следует иметь в виду, что в кинетике разре-
разреженной плазмы релятивистские эффекты могут иметь опре-
определенное значение даже и тогда, когда средняя скорость
теплового движения еще мала в сравнении со скоростью
света. Важнейшим эффектом такого рода является специфи-
специфическое затухание волн, распространяющихся точно поперек
магнитного поля. В нерелятивистском приближении для
таких волн специфическое затухание вообще отсутствует,
так как знаменатели формулы A0.19) при k3 = 0 перестают
зависеть от скорости, т. е. особенности подынтегральной
функции исчезают*. Если же учесть релятивистские эффек-
* Речь идет об особых точках, через которые проходит путь
интегрирования по продольной скорости при фиксированной частоте.
244
ты, то указанные знаменатели принимают вид
къ v{, — со + scoc у 1 — -^- ж къ vn — со + scoc x
A6.3)
Эти выражения как функции от скорости имеют и для
чисто поперечного распространения вещественные корни,
что приводит к специфическому затуханию. Затухание
происходит тогда, когда в системе координат, связанной
с частицей, частота волны становится равной циклотронной
частоте или одному из ее обертонов. Если волновой вектор
имеет составляющую вдоль магнитного поля, то это про-
происходит вследствие обычного эффекта Допплера первого
порядка. Для волн же, распространяющихся точно поперек
поля, действует квадратичный релятивистский эффект Доп-
Допплера. Легко оценить, какой из обоих эффектов существеннее
в любом конкретном случае: для этого надо сравнить вели-
величины k3V{\ и su>c (v2/2c2). Для совсем грубой оценки реля-
релятивистских эффектов в специфической диссипации можно
при вычислении продольной переменной z по формуле
A4.14) к величине k3 ViTIM x k%V\\ прибавить релятивист-
релятивистскую поправку sT/tnc2, существенную для высоких оберто-
обертонов,
Тогда и для распространения точно поперек магнитного
поля z не будет обращаться в бесконечность. Конечно, та-
такая грубая оценка допустима только для диссипативных по-
поправок. В остальном при вычислении тензорных характери-
характеристик плазмы при релятивистских скоростях теплового дви-
движения интегрирование по скоростям должно производиться
уже при помощи релятивистского распределения Максвелла.
Согласно закону Кирхгофа, всякому поглощению волн
на определенных частотах должен отвечать обратный про-
процесс испускания на тех же частотах. Для релятивистского
поглощения на обертонах циклотронной частоты таким
обратным процессом является синхротронное или магнит-
магнитное излучение*, которое имеет большое значение как для
* Иногда его называют также циклотронным или магнитно-
тормозным.
245
tёpмoядepнoй проблемы, так й дли астрофизики. Обычно
при расчете синхротронного излучения исходят из рассмот-
рассмотрения движения отдельных частиц. В принципе можно
исходить и из тензорных характеристик плазмы, однако
практически это связано с серьезными математическими
трудностями.
17. Интегрирование по траекториям
Поскольку кинетическое уравнение без столкновений
было выведено из уравнений движения отдельных частиц,
то очевидно, что и результаты его решения могут быть полу-
получены из рассмотрения траекторий частиц. Для каждого
сорта частиц, присутствующих в плазме, записывают урав-
уравнение движения
и ищут формальное решение этого уравнения, полагая
электрическое и магнитное поля заданными. Если, кроме
того, заданы и начальные условия, то решение уравнения
A7.1) имеет вид
v = v(f, E, H, v0, го);
r = r(t, Е, Н, v0, ro).
Здесь t рассматривается как независимая переменная, поля
Е и Н — как переменные параметры и начальные условия,
v0 и г0 — как постоянные параметры.
Пусть уравнения A7.2) однозначно разрешимы относи-
относительно параметров г0 и v0. Тогда решение можно записать
как
vo = vo(r, v, U Е, Н); A7.3)
ro = ro(r, v, U Е, Н), A?.4)
где Е и Н играют роль переменных параметров, зависящих
от г и t пока неизвестным образом. Для решения кинети-
кинетической задачи в начальных условиях должна быть задана
начальная функция распределения /o(i*o> v0). Если движе-
246
Нйё частиц происходит только под действием полей Е и Н
то каждая частица, находившаяся в начальный момент
в точке фазового пространства (г0, v0), окажется в момент
/ в точке г, v. Следовательно, функция распределения в лю-
любой момент выразится как
/(г, v, 0 =/о[Го(г, v, /), vo(r, v, t)\ A7.5)
с неизвестными переменными параметрами Е иН. Если най-
найдены решения вида A7.5) для всех сортов частиц, то для
нахождения Е и Н можно воспользоваться методом само-
самосогласованных полей. Для этого по найденным функциям
распределения вычисляются плотности заряда и тока
A7.7)
которые затем подставляются в уравнения Максвелла.
Получается система интегродифференциальных уравнений
для нахождения полей Е и Н; подстановка этих полей в урав-
уравнения A7.3)—A7.7) дает полное решение задачи.
К сожалению, реальное выполнение этой процедуры свя-
связано с большими трудностями как принципиального, так
и практического характера. Принципиальная трудность свя-
связана с требованием разрешимости уравнений A7.2). Физиче-
Физически это требование означает, что в каждую данную точку
фазового пространства частицы должны приходить только
по одному определенному пути, т. е. что траектории частиц
в фазовом пространстве не должны пересекаться. Это до-
довольно жесткое условие может быть нарушено, если у тра-
траекторий частиц имеются особые точки, т. е. при столкнове-
столкновениях частиц между собой, со стенкой или при прохождении
их через особые точки или линии поля. Практически реше-
решение сложной системы интегродифференциальных уравне-
уравнений удается, только если траектории найдены в аналити-
аналитическом виде. Но простое по внешности уравнение A7.1)
при неизвестных переменных полях не имеет общего ана-
аналитического решения. Приходится прибегать к различным
приближениям. Так, если на плазму наложено сильное
внешнее магнитное поле, то во многих случаях оказывается
допустимым пренебречь собственным полем плазмы. Этого
247
еще недостаточно для получения аналитического решения
уравнения A7.1); но в сильных и медленно меняющихся
внешних полях для нахождения траекторий часто бывает
возможно воспользоваться дрейфовым приближением.
Метод траекторий аналогичен методу характеристик,
применяемому при решении дифференциальных уравнений
в частных производных гиперболического типа (например,
волнового уравнения). Можно сказать, что траектории ча-
частиц являются характеристиками кинетического уравнения.
Естественным обобщением метода траекторий является
метод интегралов движения. Если удается преобразовать
функцию распределения к таким переменным, которые не
меняются при движении частиц по траекториям, то в этих
переменных функция распределения будет постоянной.
Величины, сохраняющиеся при движении, называются ин-
интегралами движения. Начальные координаты и скорости,
которые используются в методе траекторий, являются
частными примерами интегралов движения.
18. Применение метода траекторий к линеаризованному
кинетическому уравнению
Общий метод интегрирования по траекториям,, изложен-
изложенный выше, может применяться для решения нелинейных
задач. При рассмотрении малых колебаний плазмы метод
траекторий используется в несколько иной форме: он при-
применяется к разысканию не полной функции распределения
/, а только ее возмущенной части f1. Рассмотрим сначала этот
метод в общем виде, исходя из кинетического уравнения
F.3). Линеаризация этого уравнения дает
Ж + (vV)/*+ (ж
где индекс 0 сверху относится к невозмущенным величинам,
индекс 1 сверху — к малым возмущениям. В такой ферме
f1 рассматривается как функция от положения и скорости
частиц в данный момент времени. Но уравнение значитель-
значительно упростится, если за независимые переменные взять
координаты и скорости частиц в некоторый фиксированный
момент времени t0 (аналогично лагранжевым координатам
в гидродинамике). Обозначим эти новые переменные по-
посредством г0 и v0. Они связаны с обычными переменными
248
г и v уравнениями траектории
t
A8.2)
1
to
Найдем частную производную функции f1 по времени
в новых переменных, т. е. при постоянных г0 и v0. По пра-
правилам дифференцирования функций от многих переменных
у *?-(**
dva \
^;ro>v; A8.4)
Запишем уравнения траекторий для невозмущенного дви-
движения: '
t
г°='го+ Jv°d/'; A8.5)
to
t
Индекс 0 сверху относится к невозмущенным величинам,
а снизу — к моменту времени t0. Если теперь в выражении
частной производной A8.4) пренебречь величинами второго
порядка малости, то оно примет вид
dt)r..v. \?t)r.
что тождественно с левой частью уравнения A8.1). Таким
образом, в первом приближении линеаризованное кинети-
кинетическое уравнение можно записать в очень простом виде
•
Иными словами, траектории неврзмущенного движения
частиц являются характеристиками линеаризованного кине-
9В Лекции по физике плазмы 249
тического уравнения. Метод траекторий позволяет в йрий-
ципе рассматривать неустановившиеся процессы под дей-
действием внешних сил, если включить возмущающую силу F1
в определенный момент времени tQ. Интегрирование дает
где F1 = F1 fr(f), v (f)]. Интегрирование производится
по невозмущенной траектории A8.5). В изотропной плазме,
согласно уравнениям A0.4) и A0.5), возмущающей силой
в правой части линеаризованного уравнения A8.1) является
только сила электрического поля волны
=^(Еу)Г. A8.9)
Невозмущенное же движение происходит только под
действием лоренцевой силы - [vH], и уравнения траекторий
с
A8.5)—A8.6) принимают вид
4F = w = -h^=*cm, A8.10)
или в составляющих (в плоскости, перпендикулярной к маг-
магнитному полю)
d2 х dvx
d2v dvv
У = "ЗГ = - °« »«• A8-11)
Если выразить составляющие скорости в цилиндрической
системе координат с осью г вдоль магнитного поля, тогда
vx = v± cos ф; vy = v± sin cp;
dul d dv 2 dy
_ 2
VA-~dt
откуда
Таким образом, невозмущенное движение представляет
собою просто винтовое движение с вращением по цикло-
250
тронной окружности*. Интегрирование уравнений A8.11
дает
vx = v± cos (йс t; vy = — v± sin co^ t\
Ar = -^(sinco^ —sinco^0); У=~^ X
X (COS (dc t — COS (S)c t0).
Можно перейти от переменной t к переменной ср
Ф = — (oct+ сос t0 = — (oct + ф0.
Тогда результат A8.8) примет вид
/Чго, v0, Ф) = ^ f j Е(г, Ф')о(ф')^Ф'. A8-12)
—ОС
В плоской волне электрическое поле зависит от времени
как
Е(г', Г) = Е0&(к*'-^'\ A8.13)
Если выбрать систему координат так, чтобы ky = 0, то
кг — Ы = k± х + kz z — со?,
или, переходя от переменной t к переменной ф,
k v
kr' — соГ = l-^- (sin ф' — sin ф0) —
A8.14)
Если подставить выражение A8.14) в A8.13) и полученный
результат в формулу A8.12), то она совпадет с решением
A0.14). При этом нужно только заменить Е (г0, ф0) на
Е (г, ф), что всегда допустимо, так как для установив-
установившейся плоской волны момент t0 и точка г0 ничем не вы-
выделены. Дальнейшие выкладки совпадают с приведенными
в разделе (VI. 10).
Таким образом, все приведенные выше результаты могут
быть получены методом интегрирования по траекториям.
Но прямое интегрирование кинетического уравнения по
углу обладает преимуществом наглядности.
* Продольная скорость vz невозмущенного винтового движе-
движения от времени не зависит и в дальнейшие формулы не входит. Дви-
Движение частиц характеризуется в них только фазой циклотронного
вращения <р, которая принимается за переменную интегрирования
вместо времени t.
9В* 251
19. Флуктуационное взаимодействие
и кулоновские столкновения
Приближение самосогласованного поля оперирует сгла-
сглаженными полями, т. е. не учитывает флуктуационных взаи-
взаимодействий, которые являются основным механизмом дисси-
диссипации энергии в плотной плазме. Флуктуации сильнее все-
всего проявляются тогда, когда они приводят к тесному сбли-
сближению частиц, которое можно трактовать как -столкнове-
-столкновение. Поэтому уравнение самосогласованного поля часто
называют кинетическим уравнением без столкновений,
а дополнительный член, учитывающий флуктуации, —
интегралом столкновений. Такое отождествление флуктуа-
флуктуационного взаимодействия со столкновениями вполне закон-
законно для газа из нейтральных частиц, силы взаимодействия
между которыми очень быстро спадают с расстоянием.
В плазме действуют кулоновские силы, спадающие обратно
пропорционально лишь квадрату расстояния. Для едино-
единообразия с кинетикой нейтрального газа часто пользуются
и здесь условным понятием «кулоновских столкновений».
Но для плазмы столь же правомерно понимать флукт/а-
ционное взаимодействие как непрерывно действующую силу
кулоновского трения. В газе из нейтральных частиц флук-
флуктуации проявляются только в близкодействии. В плазме
необходимо учитывать также и флуктуационное дальнодей-
дальнодействие; множитель, учитывающий его, носит название
кулоновского логарифма. Как видно из сказанного, суще-
* ствуют две качественно отличные модели флуктуационного
взаимодействия, дискретная и непрерывная. Для получе-
получения конкретных количественных результатов приходится
использовать обе модели, переходя на разных этапах вы-
вывода от одной к другой.
В непрерывной модели флуктуационного взаимодействия
используется уравнение Фоккера — Планка в пространстве
скоростей. При этом сглаженные самосогласованные поля
выделяются, т. е. под вероятностью w в уравнении D.1)
понимается только вероятность перехода с одной фазовой
траектории на другую под влиянием флуктуационного вза-
взаимодействия. Тогда в формулах раздела (VI.4) частная
производная df/dt заменяется на производную по времени
вдоль невозмущенной фазовой траектории DflDt. В соот-
соответствии с этим, воспользовавшись уравнениями D.16)
или D.20), можно записать первую и вторую формы урав-
252
нения Фоккера — Планка в пространстве скоростей как
Щ_ = _у JL a'fj V д* в с /19 j4
а а a, b a
ИЛИ
Р/ "V ^ //1 ? У D d/ \ /jg 2\
где
09.3а)
В -1 Ap«A^ ¦
«* ~ 2 А^ '
DflDt должна подставляться вместо нуля в правую часть
уравнений F.2), F.3) или F.4). Величина А есть коэффи-
коэффициент динамического трения; величины ВаЬ образуют
тензор диффузионных коэффициентов в пространстве ско-
скоростей. Бели в формуле D.1) вероятность w есть четная
функция от Av, то коэффициент Аа обращается в нуль. Ос-
Основное значение имеет второй член правой части уравнения
A9.2), который называют диффузионным членом. Для гру-
грубой оценки можно ограничиться этим членом и положить
В~Ш-. A9.5)
Заметим, что если коэффициенты Аа не зависят от ско-
скорости, то первый член правой части можно записать как
(A.\v)f и присоединить к третьему члену левой части урав-
уравнения F.4), после чего уравнение Фоккера — Планка
примет вид
где
F* = F+AfA.
Таким образом, первый коэффициет Фоккера — Планка
можно рассматривать как дополнительную силу, действую-
действующую на частицу. В соответствии со знаком в формуле D.8)
или D.17) сила эта действует против направления скорости;
253
ее называют силой динамического трения. Тензор В описы-
описывает диффузию в пространстве скоростей. Если функция
распределения постоянна в пространстве, то уравнение
Фоккера — Планка будет описывать процесс установления
равновесного максвелловского распределения скоростей,
который называется процессом релаксации. Если при этом
отсутствуют также и электромагнитные поля, то в левой
части уравнений A9.1) и A9.2) можно вернуться от Df/Dt
к частной производной df/dty т. е. уравнение Фоккера —
Планка примет тот же вид, что и в разделе (VI.4). Оценка
по порядку величины, согласно формуле A9.5), дает для
времени релаксации
где вместо v2 можно подставлять среднюю квадратичную ско-
скорость в конечном (равновесном) состоянии, т. е. для частиц
массы М
Т,«ЗХ-. A9.6а)
Уравнение Фоккера — Планка, как феноменологиче-
феноменологическое, формально применимо к сколь угодно плотной плазме.
Однако конкретные значения коэффициентов известны
только для не слишком плотной плазмы, в которой, помимо
самосогласованного поля, можно учитывать только двойные
флуктуационные взаимодействия. При этом коэффициенты
проще всего вычислять из дискретного описания.
В дискретной модели флуктуационное взаимодействие
рассматривается как совокупность сближений пар ча-
частиц — кулоновских столкновений. При этом учитываются
только двойные взаимодействия, что ограничивает область
применимости результатов не слишком высокими плотно-
плотностями. Если в плазме присутствуют нейтральные частицы,
то столкновения с ними требуют уже по существу дискрет-
дискретного описания.
В общем виде дискретное описание дается кинетическим
уравнением Больцмана. Для его вывода уравнение F.1)
или F.4) дополняется правой частью, описывающей изме-
изменение числа частиц на фазовой траектории вследствие рас-
рассеяния при столкновениях. Если Q (и, Э) есть дифферен-
дифференциальное (на единицу телесного угла) сечение рассеяния на
угол 6 при относительной скорости и = v2 —\г, то число
254
частиц, выбиваемых с рассматриваемой фазовой траекто-
траектории, определяется числом «прямых» столкновений
а число частиц, приходящихся на рассматриваемую фазо-
фазовую траекторию, — числом «обратных» столкновений*
В силу обратимости законов механики, скорости, на-
начальные для обратного столкновения, являются конеч-
конечными для прямого. Следовательно, \г и v2 есть конечные
скорости, приобретаемые частицами после столкновения.
Чтобы найти полное изменение числа частиц на фазовой
траектории, нужно разность этих выражений проинтегри-
проинтегрировать по телесному углу Й и по скорости v2. Отсюда
получается кинетическое уравнение Больцмана в виде
*=2stA,, A9.7)
где величины st&/ называются интегралами столкновений**
и выражаются как
stw = Jdvt f dQQhl(и, Щи [fh (vj/, (v,) -
Здесь индексы k и / нумеруют разные сорта частиц, при-
присутствующих в плазме. Связь vx и v2 с vx и v2 дается меха-
механикой столкновения; и — относительная скорость
и = |v2 — \х\.
Если рассматривать частицы как твердые шарики, то
сечение столкновения определяется их геометрическими
размерами. Если же рассматривать частицы как центры
сил, то сечение рассеяния
Q =
* Точнее, их следовало бы называть встречными (в смысле
замены t на —t), но для интересующих нас вопросов различие
между обратными и встречными столкновениями несущественно.
** Обозначение st происходит от немецкого слова stoss —
столкновение (иногда интегралы столкновения называют штосс-
членами),
255
где b — прицельный параметр, т. е. расстояние по перпен-
перпендикуляру от одной частицы до невозмущенной траектории
другой. Отсюда дифференциальное сечение (на единицу
телесного угла отклонения)
где Ъ — значение прицельного параметра, отвечающее рас-
рассеянию на угол 0.
Если на больших расстояниях взаимодействие отсутству-
отсутствует (модель твердых шариков), то при соответствующих
значениях прицельного параметра конечные скорости не
будут отличаться от начальных, и в правой части уравнения
A9.8) выражение в квадратных скобках обратится в нуль.
Поэтому для столкновений с участием нейтральных частиц,
которым можно приписывать конечное геометрическое се-
сечение, интегралы столкновений используются непосред-
непосредственно в виде A9.8).
Иначе обстоит дело с взаимодействиями, в которых участ-
участвуют только заряженные частицы. Кулоновское взаимодей-
взаимодействие проявляется на расстояниях, во много раз превышаю-
превышающих геометрические размеры частиц, которые поэтому
можно рассматривать как точки (центры сил). Для этого
случая требуется специальная форма интеграла столкно-
столкновений.
Для кулоновского взаимодействия двух заряженных
частиц с зарядовыми числами Zx и Z2 значение прицельного
параметра связано с углом рассеяния известной из атомной
физики формулой Резерфорда
gl=60ctg|, A9.10)
tnu2 z
где т — приведенная масса,
tU = Tl—~, 5Г
Отклонению на угол к- отвечает ctg д- = 1, и> следовательно,
значение прицельного параметра
256
Величину A9.11) мы называем расстоянием ближнего
взаимодействия. Это расстояние, на котором потенциальная
энергия взаимодействия становится вдвое больше началь-
начальной кинетической энергии. Сближение на расстояние по-
порядка Ьо приводит к резкому изменению направления дви-
движения частицы.
Подстановка выражения A9.10) в формулу A9.9) с уче-
учетом выражения A9.11) дает для дифференциального сечения
рассеяния результат
После
откуда
0
sin
дифференцирования
п (а п\ _
6Ct§2
d
получим
1
2 9 '
ь\ cosl
2 sin3
е .
2" sin 0
2
A9.12)
Если умножить числитель и знаменатель на 2sin к, то
в числителе получится 2 sin s- cos к и формула для диф-
дифференциального сечения кулоновского (резерфордовского
рассеяния примет окончательный вид
Q(ut в)=
A9.13)
4 sin4 -g
Из этой формулы видно, что дифференциальное сечение
рассеяния при малых углах, т. е. больших прицельных
параметрах, расходится. Расходимость является след-
следствием дальнодействующего характера кулоновских сил.
Для устранения расходимости при интегрировании по углам
в правой части уравнения A9.7) приходится «обрезать»
подынтегральную функцию на минимальном значении угла
рассеяния, которое отвечает максимальному значению при-
прицельного параметра, равному дебаевской длине
ЬЫакс=
257
На расстояниях, превышающих дебаевскую длину,
кулоновское взаимодействие снимается электростатическим
экранированием.
Расходимость интеграла в правой части уравнения
A9.7) при малых углах (т. е. больших прицельных пара-
параметрах) оказывается гораздо слабее, чем можно было бы
думать по виду выражения A9.13), из-за того что при слабом
взаимодействии конечные скорости мало отличаются от на-
начальных и выражение в квадратных скобках становится
малым. Для далеких столкновений изменение скорости при
одном столкновении мало, и интеграл столкновений можно
заменить диффузионным членом формулы Фоккера —
Планка.
Для грубой оценки в формуле A9.5) за At принимают
промежуток времени между кулоновскими столкновениями.
Тогда диффузионный коэффициент в пространстве скоро-
скоростей выражается просто как
и кинетическое уравнение, которое при такой трактовке
совпадает с уравнением Фоккера — Планка, примет при-
приближенный вид
БГ~-^' A9Л4)
где /о — равновесная функция распределения, а хг — вре-
время релаксации, определенное как
J
где пи — концентрации частиц различного рода. Здесь
A v — изменение скорости при столкновении
(At;J = v* sin2 0 = 4v2 sin2 ~ cos2 -|.
Из выражения A9.10)
COS2-|=-
?58
что после подстановки в формулу A9.15) дает
^макс
b*db
A9.16)
Если бмакс 3> &мин, то основной вклад в интеграл дает
область Ь > Ьо (приближение непрерывного взаимодей-
взаимодействия), и время релаксации выразится как
^ ?± ^h ^k V/ft» \liJ.Li)
где эффективные кулоновские сечения
Qikx8nbllnA; A9.18)
6.
А = -^. A9.19)
мин
Величина In Л называется кулоновским логарифмом. При
его нахождении за максимальное значение прицельного
параметра берется дебаевская длина, за минимальное —
большая из двух величин: расстояния ближнего взаимо-
взаимодействия 60 и квантовомеханической длины волны частицы
к = ~. A9.20)
mv
Практически в обычных для плазмы условиях кулонов-
ский логарифм оказывается порядка 10, что и оправдывает
использование модели непрерывного взаимодействия. При-
Приближение A9.14) мы называем релаксационным приближе-
приближением. Для еще более грубой оценки можно пренебречь в вы-
выражении A9.14) зависимостью времени релаксации хг от
скорости v и воспользоваться приближением среднего вре-
времени релаксации, которое оценивается по формуле A9.6а).
Чтобы в релаксационном приближении учесть влияние
флуктуационного взаимодействия на тензорные характе-
характеристики плазмы, можно заменить в диагональных компонен-
компонентах частоту со на величину
где v — эффективная частота кулоновских столкновений
v = —, . A9.22)
определяемая по формулам A9.17)—A9.19).
Таким образом, может быть, в частности, найден тензор
проводимости для постоянного тока.
Для грубой оценки коэффициентов переноса можно под-
подставлять то же значение т в формулы E.1)—E.2).
Если в плазме присутствуют нейтральные частицы,
то для них в формулу A9.17) подставляются сечения,
взятые из экспериментальных данных или из теории столк-
столкновений.
Для более точного вычисления эффектов, связанных
с флуктуационным взаимодействием, точная формула для
кулоновского сечения A9.13) подставляется в выражение
A9.8), но при этом изменение скорости при каждом столк-
столкновении полагается малым. Тогда кулоновский интеграл
столкновений может быть представлен аналогично формуле
D.10) как дивергенция потока в пространстве импульсов
^'«" A9-23)
Поток в пространстве импульсов J представляет собой
вектор с составляющими
Ja = 2n(ZkZl)*e4nA2 Uf^-f'^A aabdu', A9.24)
где величины ааЬ являются компонентами тензора. В систе-
системе координат, в которой ось х направлена вдоль относи-
относительной скорости u = v' — v, этот тензор оказывается
диагональным с компонентами
ажж = 0; ауу = а2г = 1. A9.25)
В произвольной системе координат в тензорных обозначе-
обозначениях
и2 ЬаЬ — иа щ .
а =
Если положить и = их\ иу == иг = 0, то формула A9.26)
перейдет в формулу A9.25).
В этих формулах тензорные индексы а- й Ъ нумеруют
три координаты пространства, индексы k и / — разные сор-
260
та частиц, включая электроны и ионы. Формулы A9.23)—
A9.24) дают вклад в правую часть кинетического уравнения
от взаимодействия частиц сорта k с частицами сорта /.
Чтобы получить полный поток в пространстве импульсов
частиц сорта &, нужно просуммировать по всем /. В формуле
A9.24) р = Mkv есть импульс частиц сорта k; v — их
скорость; р' = Mev' есть импульс частиц сорта /; v' —
их скорость; / = f (v); f = f(v')\ In Л есть кулоновский
логарифм, определенный формулой A9.19). Он, как медлен-
медленно меняющаяся функция, вынесен за знак интегрирова-
интегрирования по скоростям при некотором усредненном значении
своего аргумента. Величина A9.23)—A9.24) называется
интегралом столкновений в форме Ландау. Она имеет вид
правой части второй формы уравнения Фоккера — Планка.
Поэтому кинетическое уравнение A9.7) с интегралом столк-
столкновений A9.23)—A9.24) иногда называют также урав-
уравнением Фоккера — Планка в форме Ландау.
Использование приведенных формул проще всего для
случаев частичного термодинамического равновесия, когда
функция распределения может быть представлена набором
нескольких функций Максвелла с различными температу-
температурами. В подобных случаях:
f ::e~2^\
откуда
Формула A9.24) принимает при этом вид
Г^-^)аа^у', A9.28)
где тензор а дается формулой A9.26). Если частицы разных
сортов имеют разные температуры, то для дальнейшего
упрощения следует подставить
v'b ==VbJt.Ub
и учесть, что, как видно из формулы A9.25),
261
Тогда поток в пространстве импульсов A9.28.) выразится
как
™~ ~ "aabdvr. A9.29)
Для процессов выравнивания температур при отсутствии
пространственных неоднородностей и электрических полей*
кинетическое уравнение A9.7) с интегралом столкновений
A9.23) принимает простой вид
JWfl- . A9.30)
а а
Передаваемая энергия в фиксированном энергетическом
интервале
d wf _ w df _
Полная передаваемая энергия находится интегрирова-
интегрированием по частям с применением теоремы Гаусса и учетом
того, что при импульсе, стремящемся к бесконечности,
поток отсутствует
~dv. A9.31)
— j ^P«
Здесь % — энергия частицы
Отсюда
Ось ра
др^ ~~ ~М ~Va'
Таким образом, передаваемая энергия выражается че-
через поток частиц в пространстве импульсов как
A9.32)
Подстановкой выражения A9.29) в формулу A9.32) полу-
получаются после интегрирования по углам выражения для
скоростей выравнивания электронной и ионной темпера-
температур. Аналогичным образом находится и скорость выравни-
* Магнитное поле не сообщает частицам энергию.
262
вания продольной и поперечной температур в замагнйчей-
ной плазме. В этом случае только в формуле A9.28) разные
температуры должны приписываться не разным частицам,
а разным координатам Ь. Другим простым применением
кулоновского интеграла столкновений является затухание
волн в плазме, где максвелловская функция распределения
искажается вследствие фазового резонанса лишь в узком
интервале скорости в одном направлении вблизи фазовой
скорости волны (o/k = щ. При этом интеграл столкнове-
столкновений между электронами приводится к приближенному виду
i^^inA а / f т_ ам A9.33)
т.иф dv \"l ¦ m dv
Это есть частный вид уравнения Фоккера — Планка A9.2).
Задачи к гл. VI
Задача 1. Вывести общее выражение для потока амбиполярной
диффузии в плазме произвольного состава и получить из него
простейшие частные случаи.
Решение. Подстановка результата E.20) в равенство E.21)
дает
J = D(_vn+f
и после подстановки в выражение E.22) получим
откуда
2
Подстановка в равенство E.21) дает
S Z\nk Dk -Zjtij'Z ZkDk
Это и есть совершенно общее выражение для потока амбиполярной
диффузии. Здесь индекс k нумерует все составные части плазмы,
индекс / выделяет ту составную часть, для которой вычисляется
263
поток. Если выделить электроны и нумеровать ионы разного рода
индексом i, то получится
2 2? п{ D{ Vne + пе S 2-i Dt v«/
В общем случае диффузионный поток зависит от всех концентра-
концентрационных градиентов. Если же вся плазма диффундирует как целое,
то
и предыдущее выражение переходит в
где коэффициент амбиполярной диффузии
При Z = 1 получится формула E.27). Если в плазме есть ионы
только одного рода с зарядовым числом Z, то с учетом условия E.23)
(Z+\)DeDi
U
В отсутствие магнитного поля De > D/ и Da ж (Z + 1)D,-; по-
поперек магнитного поля в замагниченной плазме De <C ?>/, откуда
Z+1
Задача 2. Вывести из кинетического уравнения дисперсионное
уравнение для распространения высокочастотных электромагнитных
волн в плазме.
Решение. Выражение (8.5) для возмущения функции рас-
распределения не изменится. Но так как электрическое поле теперь
меняется только поперек своего направления (волна поперечная),
то div E = 0 и объемный заряд отсутствует. Дисперсионное урав-
уравнение получится из формулы (IV. 1.5), если положить в ней (кЕ)=О,
откуда
где плотность тока находится по формуле G.3).
Если направить ось х вдоль волнового вектора и ось z вдоль на-
направления электрического поля, то
.e2Ez I dvz
264
и дисперсионное уравнение принимает вид
2
со
где со0 — плазменная частота, f — нормированная основная функ-
функция распределения. Интегрированием по частям по vz интеграл при-
приводится к простому виду
-^vzdvxdvydvz= \ —:-^~dvxdvydvz.
~~~со~
В дальнейшем можно считать f функцией только от vx. Действитель-
Действительная часть интеграла находится разложением подынтегральной
функции в ряд
00 00 00 ОО
Л Г -v С* Г*
1 kv ' со ] 'со2 1 'со3 I
— OO (j) —00 —OO —ОС
Каждый член этого ряда, содержащий скорость в степени т, в т + 1
раз меньше, чем соответствующий член ряда (8.11). В этом и про-
проявляется различие между компонентами тензоров вдоль и поперек
направления распространения. Для изотропного фона остаются
только члены с четными степенями. Мнимая часть интеграла нахо-
находится аналогично решению (8.12) и имеет вид
СО
i dv со С I dv со
kv k J со
СО со k
Окончательно дисперсионное уравнение получается в виде
отличающемся от уравнения (IV.2.4) двумя добавочными членами,
первый из которых описывает пространственную дисперсию, а вто-
второй — специфическое затухание (черенковское).
Для термической плазмы, согласно уравнениям (8.17а) и (8.18),
дисперсионное уравнение принимает вид
265
Задача 3. Вывести общие выражения тензорных характеристик
для плазмы без магнитного поля.
Решение. Обобщая выражение (8.5) для частиц с произ-
произвольной массой Mk и зарядовым числом Z#, подставляя в формулу
(9.6) и суммируя по всем сортам частиц, находим
df
2®lk I Vadvb
4iS \ Yvd
4jtco \ , kv
и, согласно выражению (9.7),
Интегралы берутся так же, как в разделе (VI.8) и в предыдущей за-
задаче. Для изотропного фона, используя формулу A0.3), приводим
результаты к виду
. v < Г г
= -*2i ш \ —kb
где V дается формулой A0.4). Для термической плазмы, согласно
формуле A4.2),
/
vavb
7UE
CO
где угловые скобки означают усреднение по максвелловской функ-
функции распределения.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Гауссова система единиц
В настоящей книге используется симметричная гауссова систе-
система единиц (ГОСТ 8033—56 с дополнением 1962 г.), в которой элек-
электрические величины выражены в электрических, а магнитные — в
магнитных единицах. Единицы измерения взяты из абсолютной си-
системы единиц СГС (сантиметр, грамм, секунда).
Электрическая и магнитная проницаемости пустого простран-
пространства в гауссовой системе равны единице, т. е. в пустом про-
пространстве напряженность поля и индукция выражаются одним и тем
же числом.
Везде, где это специально не оговаривается, мы пользуемся
представлениями микроскопической электродинамики.
В соответствии с этим мы не делаем различия между напряжен-
напряженностью полей в плазме и индукцией. В зарубежной литературе
принято характеризовать электрическое поле напряженностью Е,
а магнитное — индукцией В. В соответствии с традицией, принятой
в нашей литературе, в частности в классическом курсе теоретической
физики Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица, мы пользуемся для магнит-
магнитного поля напряженностью Н, причем для пустого пространства
эта величина совпадает с индукцией В. В этих единицах и обозначе-
обозначениях уравнения электродинамики Максвелла имеют вид:
1 дН
1Е
1 дЕ
= с dt
divE =
divH =
" +
4nq
= 0.
4я
с
;
В системе СГС напряженность магнитного поля выражается
в эрстедах, а магнитная индукция — в гауссах. Для плазмы эти
единицы идентичны. Плотность энергии электромагнитного поля
в гауссовой системе единиц выражается симметричной формулой
26/
е= 8тс
В технической-литературе предпочтение отдается рационализиро-
рационализированным системам единиц, в которых уравнения электродинамики
не содержат множителя 4тс, но зато пустому пространству приписыва-
приписываются электрическая и магнитная проницаемости, не равные единице.
Рационализированная система МКС (метр, килограмм, секунда)
принята в качестве Международной системы единиц СИ. Но мы сох-
сохраняем в настоящем курсе гауссову систему, поскольку она пока еще
остается основной в учебной литературе по физике и допущена
к употреблению в дополнение к международной системе*.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Сведения из векторного анализа
Для решения векторного уравнения
[ХВ] = С (*)
его умножают векторно слева на вектор В, что дает
Но так как уравнение (*) определяет только перпендикуляр-
перпендикулярную к В составляющую X, то его можно записать в виде
[ХХВ] = С,
откуда
Х± В2 = [ВС].
Таким образом, перпендикулярная составляющая
Y [ЪС
AJL — В2
Параллельная составляющая Хц из уравнения (*) определена
быть не может.
Цилиндрические координаты. В физике плазмы часто рассмат-
рассматриваются системны с аксиальной симметрией, для описания которых
удобны цилиндрические координаты г, ф, z.
Градиент в цилиндрических координатах
f 4f =f. о,
Дивергенция в цилиндрических координатах
divA=lf (Mr) + i3 + ^. B)
г дг г dtp dz
* См. книгу А. Г. Чертова «Международная система еди-
единиц измерения». М., Росвузиздат, 1963.
268
Ротор в цилиндрических координатах
1 dAz дА9
(rot А)г = —L — _?- ;
г дг дг
(rotA)? = -^r-
i a
I дЛг
C)
Лапласиан скаляра в цилиндрических координатах
1 д dU ' 1
Г2
dz2
± dU_ J_d4J_ d4J_
+ 7 аг + г2 (^ф2 + az2
D
Лапласиан вектора в цилиндрических координатах
(ДА) =l±r^L _ Л- i
¦ д*Аг_ 2
aZ2 Г2
г дг дг
Л^ 1 дЛ,^ 52 Ло 2
Т2^ Т2" "а®^ "&г^ 7s"
-1-
E)
Нужно помнить, что в криволинейных координатах составляю^
щая лапласиана не равна лапласиану от составляющей вектора.
Забвение этого важного обстоятельства легко приводит к ошибкам.
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Свойства функций Бесселя
Функция Бесселя первого рода порядка s является решением
дифференциального уравнения
ill , L*!L .Л -iU-п
dy2 "+" у dy "h I y2 ) г - u-
Решение этого уравнения
269
Функции разных порядков связаны рекуррентными соотноше-
соотношениями
Функция отрицательного порядка
Модифицированные функции Бесселя относятся к обычным так
же, как гиперболические к тригонометрическим.
Модифицированная функция Бесселя порядка s определяется
как
Модифицированные функции Бесселя отрицательного порядка
Между модифицированными функциями существуют рекуррентные
соотношения
(у) =
При малых значениях аргумента функции разлагаются в ряды.
Для целого положительного порядка s
2s s!
ys
270
При больших значениях аргумента действуют асимптотические
разложения
.Функция Бесселя имеет интегральное представление
2nJs (у) = J е~/у sin ?+/s* ^Ф= J
= /s f e~ly cos ^-/sc? ^ф = (— /)s С e+/
Здесь интегралы берутся по любому интервалу от ф до ф+2я.
С помощью этого интегрального представления может быть полу-
получено разложение функции е~*у sin ? в ряде Фурье. Для этого
ищут коэффициенты Cs разложения
ос
Q—iy sin 9 _ у( ^
s=— ос
Умножая обе части равенства на ets? и интегрируя по ф от 0 до
2я, находят с учетом ортогональности
Отсюда искомое разложение
Для вычисления интегралов, содержащих функции Бесселя, по-
полезны две формулы Вебера:
первый экспоненциальный интеграл Вебера
ос
!
О
второй экспоненциальный интеграл Вебера
ОС Л 21,,
J
27
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
Основные формулы статистической термодинамики
Рассматриваемая система характеризуется энергетическим
спектром, т. е. набором возможных значений энергии $#, который
удобно считать дискретным. Результаты для непрерывного спектра
можно получить посредством предельного перехода.
Вероятность нахождения системы в состоянии с энергией %k
дается каноническим распределением Гиббса
wk=e l , A)
где Т—температура в энергетических единицах; F—величина, назы-
называемая свободной энергией. Индекс k нумерует все состояния систе-
системы. Каноническое распределение справедливо для систем, находя-
находящихся в термическом равновесии \ с тепловым резервуаром (термо-
(термостатом) температуры Т.
Если у системы имеется несколько состояний с одинаковой энер-
энергией #?, то их удобно рассматривать как одно вырожденное состоя-
состояние. Число физически различных состояний с одинаковым значением
энергии называется статистическим весом gi вырожденного состоя-
состояния. Вероятность нахождения системы в вырожденном состоянии
^=fte T , B)
где индекс i нумерует все значения энергии системы (т. е. все вырож-
вырожденные состояния).
Вероятности подчиняются условию нормировки
Отсюда
,е г =1. C)
F
Входящая сюда сумма называется статистической суммой. Обоз-
Обозначим ее просто 2:
Ев|е~"Т- = 2. D)
Тогда из формулы C)
F = — Г In 2- E)
272
Дифференцирование формулы D), определяющей статистическую
сумму, по параметру {ЦТ) дает
(г)
Среднее значение любой величины А по статистическому рас-
распределению определяется как
Следовательно, средняя энергия системы
т
Сопоставление с формулами F) и C) дает
F
Определенная таким образом средняя энергия называется в термо-
термодинамике просто внутренней энергией системы.^В дальнейшем мы
будем опускать знак усреднения, т. е. вместо <? писать просто <?.
При дифференцировании формулы E) получим
EL InV т alnS
откуда
Результаты совпадают с известными формулами термодинамики
и пезволяют ввести энтропию 5, определив ее как
(Ю)
после чего из формулы (9) следует
F = » — Г5.
Эти формулы позволяют, если известен энергетический спектр,
вычислить статистическую сумму, а из нее — энергию и свободную
энергию системы. После этого все остальные термодинамические
функции могут быть найдены по известным формулам термоди-
термодинамики.
Ю Лекции по физике плазмы
Данные для расчета равновесий ионизации
Легкие элементы
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
Элемент
Нейтральный атом
о к
я к
CQ О
О Н
к о
возбужденные состояния
Однозарядный ион
я к
§8
8
возбужденные состояния
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Н
Не
Li
Be
В
С
N
О
F
Ne
Na
Mg
AI
Si
2P
3P
45
зр
2P
зр
13,
24,
5,
9,
8,
11,
14,
13,
17,
21,
5,
7,
5,
8,
595
580
390
320
296
264
54
614
418
559
138
644
984
149
2510,15; 2P10,15
3519,14; 1520,5
3P20,96; 2P21,13
2P1,84
3P2,71; !P5,25
4P3,57; 254,94
3 X2
D,; S,7;
2D2,2; 2P3,6
554,16
^,; 5,
4P12,69; 2P12,98
3P16,62;
2P2,10
3P2,71; ,
253,13; 4P3,5;2D4,0; 2P4,0
^0,80; !51,92; 3Р4,93
2S
2P
3P
45
3P
2P
X5
2S
!5
2P
54,403
75,
18,
25,
24,
29,
35,
34,
41,
47,
15,
18,
16,
619
206-
149
376
605
146
98
07
29
03
823
34
2S40,9; 2Р40,9
3558,8
2Р4,0
2Р9,2
4Р5,2; 2D9,2; 2Sll,95
Ю3,3; '2P4,9
3Р20,3; 5521,6; 3522,5
2526,8; 4Р27,0; 2Р27,6
3Р32,5; ХР32,5
2Р4,4; 258,3; 2D8,3
3P4J
2D6,84; 258,09
• Все энергии даны в злектронвольтах (эе;. Цифры при символах возбужденных состояний означают энергии воз-
возбуждения.
z
3
11
1*9
V
Элемент
Li . .
Na
к
Rb
Cs
Щелочные
металлы
Нейтральный атом
основное
состояние
25
25
25
25
25
энергия
ионизации
5,390
5,138
4,339
4,176
3,893
возбуж-
возбужденное
состояние
2Р1,84
2Р2,10
2Р1,61
2Р1,56
2Р1,38
Однозарядный ион
основное
состояние
ls
энергия
ионизации
75,619
47,29
31,81
27,5
25,1
возбуж-
возбужденные
состояния
35 58,8
3Р32,5;
*Р32,5
3Р20,2;
*Р20,2
3Р17*;
ipiS*
*Р16*
¦ Для ионов рубидия и цезия мультиплетное расщепление возбужденных
уровней столь велико, что схема Рессела—Саундерса по существу непримени-
неприменима. Но при термодинамических расчетах мы пользуемся этой схемой как ус-
условной, давая средние значения энергии возбуждения для девяти уровней, ко-
которые можно объединить в уровень 3Р, и для трех уровней, которые можно
объединить в уровень 1Р. Ввиду высоких значений энергии возбуждения эти
уровни все равно реального значения не имеют.
Возбужденные уровни нейтральных атомов щелочных металлов
Z
3
11
19
37
55
Элемент
Li
Na
к
Rb
Cs
2Р1 84;
2Р2,10;
2Р1,61;
2Р1,56;
2Р1,38;
Возбужденные состояния*
253 36;
253,17;
252,60;
2?>2,38;
2?>1,80;
2РЗ
2D3,
2D2,
252,
252,
74;
60;
65;
48;
28;
2D3
2РЗ,
2РЗ,
2Р2,
2Р2,
85:
74;
07
94
70
2,S4
254
,31
J0
* Более высоким значениям энергии возбуждения отвечает большое число
густо расположенных уровней, сходящихся к пределу ионизации.
Много зарядные ионы
Ион
Энер-
Энергия
иони-
ионизации
Основ-
Основное
состоя-
состояние
Возбужденные состояния
CIII
CIV
CV
47,
64,
389,
65
22
9
*5
25
*5
Углерод
3Р6,45; !Р12,65; 3Р16,95; 4I,80;
2Р7,97; 2537,4; 2Р39,4; 2D40,0
!Р307
Ю*
275
Пр одолжение
Ион
OIII ....
OIV . . .
ov ....
OVI ...
SilH . . .
SilV . . .
SiV . . . .
Энер-
Энергия
иони-
ионизации
54,87
77,5
113
137,48
33,35
44,93
167,4
Основ-
Основное
состоя-
состояние
3Р
2Р
is
is
2S
is
Кисло
422,81
2D15,7
XP19,6
2P11,8
Крем
3P6,5;
2P8 8;
3P104;
Возбужденные состояния
род
; X55 3
; 2520,
; xD28y
; 2579;
НИИ
хР10,2
2?I9,5
!P105
3; 3D14,8; 3P17,6
3; 2P22,'2*
6; 1535,5; *P7l,8
2P82; 2D83
; 3P16,0; 3D17,7
; 2524,0; 2P27,0
ПРИЛОЖЕНИЕ 6
Интегралы от распределения Максвелла
Все интересующие нас здесь интегралы могут быть получены
из основного интеграла
оо
У= j e~x'dx.
— ОС
Для его вычисления проще всего воспользоваться следующим
приемом. Запишем тождественный интеграл через переменную у и
перемножим их:
= f f е-** е-У2 dx dy.
Теперь будем рассматривать х и у как полярные координаты на
плоскости и произведем замену переменных:
dx dy = r dr dq>.
После перехода от переменных х и у к переменным гиф получим
ос- 2тс оо
Я = Г e~r2 rdr \ dy = 2тс f e" rdr = n.
оо
276
о
Отсюда исходный интеграл
— ОС
Сделаем подстановку
adz.
Тогда
— ос
Дифференцированием по параметру а получаются формулы:
оо
!
— о<
ос
1
— ос
ОС
- Для нечетных степеней z интегралы в этих пределах равны
нулю. В пределах от 0 до оо интегралы с четными степенями
вдвое меньше приведенных значений:
ос
I
О
Интегралы с нечетными степенями z в пределах от 0 до со
берутся подстановкой az2 = и и интегрированием по частям.
ос оо
Г ге-кг2йг=Л Г е~ис1и=±;
J 2а J 2а
о о
оо ос оо
J 2а* J U
О 0 0
Для распределения Максвелла z = v; а = М/BТ), где Т—темпе-
Т—температура в энергетических единицах. Для этого случая приведенные
277
выше формулы имеют вид:
— ос
ОС Му2
\ ОТ
)е dv-
— ос
О
I
ас мп*
I01
Л*
о
ЛГа2
4 \2^У У 2
о
Отсюда получаются следующие результаты. Нормированная
функция распределения Максвелла по полным скоростям
3/2 -i^-
е Zl .
Нормированная функция распределения скоростей в одном
направлении
Му*
Среднее абсолютное значение скорости в одном направлении
о
Средний квадрат скорости в одном направлении
JL v4 2T i
2пТ J
—ОС
Средний квадрат полной скорости
2M
2Т
2р Mv2
2е 2Т dv
Угловые скобки означают усреднение по распределению скоростей.
ЛИТЕРАТУРА
1. Альфвен X. Космическая электродинамика. Перев.
с англ. М., Изд-во иностр. лит., 1952.
2. Арцимович Л. А. Управляемые термоядерные реак-
реакции. М., Физматгиз, 1961.
3. Б и ш о п А. С. Проект Шервуд. Программа США по управ-
управляемому термоядерному синтезу. Перев. с англ. М., Атомиздат,
1960.
4. Б р а у н С. Элементарные процессы в плазме газового разря-
разряда. Перев. с англ. М., Госатомиздат, 1961.
5. Вопросы теории плазмы. Под ред. М. А. Леонтовича. Вып. 1—4.
М., Атомиздат, 1963—1964.
6. Г и н з б у р г В. Л. Распространение электромагнитных волн
в плазме. М., Физматгиз, 1960.
7. Glasstone S. and Loveberg R. H. Controlled Thermo-
Thermonuclear Reactions. Van Nostrand, Princeton, 1960.
8. Д а н ж и Дж. Космическая электродинамика. Перев. с англ.
М., Госатомиздат, 1961.
9. Движущаяся плазма. Сборник переводов. М., Изд-во иностр.
лит., 1961.
10. Ионные, плазменные и дуговые ракетные двигатели. Сборник
статей. Перев. с англ. М., Госатомиздат, 1961.
11. К а у л и н г Т. Магнитная гидродинамика. Перев с англ.
М., Изд-во иностр. лит., 1959.
12. Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Электродинамика
сплошных сред. М., Гостехиздат, 1957.
13. Пикельнер СБ. Основы космической электродинамики.
М., Физматгиз, 196k
14. Плазма в магнитном поле и прямое преобразование тепловой
энергии в электрическую. Сборник статей. Перев. с англ. М.,
Госатомиздат, 1962.
15. Получение и исследование высокотемпературной плазмы. Сбор-
Сборник статей. Перев. с англ. М., Изд-во иностр. лит., 1962.
16. Р о у з Д., Кларк М. Физика плазмы и управляемые тер-
термоядерные реакции. Перев. с англ. М., Госатомиздат, 1963.
17. Русанов В. Д. Современные методы исследования плазмы.
М., Госатомиздат, 1962.
18. С и л и н В. П., Р у х а д з е А. А. Электромагнитные
свойства плазмы и плазмоподобных сред. М., Госатомиздат,
1961.
279
19. S i m o n A. L. An Introduction to Thermonuclear Research.
Pergamon Press, 1960.
20. С п и т ц е р Л. Физика полностью ионизованного газа. Перев.
с англ. М., Изд-во иностр. лит., 1957.
21. Thompson W. В. An Introduction to Plasma Physics.
Oxford, Pergamon Press, 1962.
22. F e г г а г о V. and Plumpton С An Introduction to
Magnetofluid Mechanics. Oxford University Press, 1961.
23. Физика плазмы и магнитная гидродинамика. Сборник статей.
Перев. с англ. М., Изд-во иностр. лит., 1961.
24. Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реак-
реакций. Под редакцией М. А. Леонтовича. Т. I—IV. М., Изд-во
АН СССР, 1958.
25. Франк-Каменецкий Д. А. Плазма — четвертое со-
состояние вещества. Изд. 3, исправленное. М., Госатомиздат,
1968.
26. Chandrasekhar S, Plasma Physics. Chicago Univer-
University jJPress, 1958.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Анизотропия процессов пе-
переноса 202
Атмосферики свистящие 123
Власова уравнение 211
Волна альфвеновская 119
— — косая 148
— — линейно поляризован-
поляризованная 121
магнитно-звуковая 123
— — — замедленная 165, 178
— — — косая 148
— — — прямая 131
— — — ускоренная 165, 17-8
— — — цилиндрическая 136
— — необыкновенная 121, 128
— — обыкновенная 121, 128
—: — плазменная 165, 170
— — прямая 131
— — с круговой поляриза-
поляризацией 122
— — электромагнитная 114
Вязкость 39
Гидродинамика магнитная 15
Давление магнитное 17
Декремент затухания 218
Диамагнетизм плазмы 96
Диамагнитная восприимчи-
восприимчивость плазмы внутренняя 101
Дисперсия ПО
— пространственная 176, 232
— — сильная 232
слабая 232
Диффузии коэффициент 38, 197
Диффузия амбиполярная 202,
204
Диффузия аномальная 198
— бомовская 1.98
Диэлектрическая проницае-
проницаемость поперечная 94, 119
— — продольная 117
Длина Дебая 14
— скиновая 26
Допплера эффект 231
— — квадратичный 245
Дрейф 19
— гравитационный 80
— градиентный 80, 87
— инерционный 93
— поляризационный 80, 92
— центробежный 80, 90
— электрический 19, 80, 85
Закон действующих масс 59
— Кирхгофа 245
— Ома 16
— — обобщенный 164
Затухание Ландау 219, 231
— черенковское 231
Звук магнитный 123
Излучение синхротронное 244
Инвариант адиабатический 42
Интеграл столкновений 255
— — в форме Ландау 261
Ионизации степень 74
Квазинейтральность плазмы 8
Колебания ленгмюровские
(плазменные) 9, 114
— магнитно-звуковые 128
Коэффициент диффузии 38, 197
— теплопроводности 200
Ландау правило обхода 217,
220
Лиувилля теорема 206
Логарифм кулоновский 34, 259
Лоренцева ионизация 74
281
Микрополя флуктуирующие 72
Модель проводящей жидкости
15
Момент магнитный диклотрон-
ной орбиты 42, 95
Моменты функции распреде-
распределения 189
Намагничивание плазмы 96
Намагничивания ток 94, 97
Нуль энергии индивидуальный
64
— — общий 64
Парамагнетизм плазмы 102
Параметр прицельный 33, 256
Перезарядка 35
— резонансная 36
Плазма замагниченная 43, 103
— зарядово-симметричная 66
— идеальная 56, 61, 109
— изотермическая 53
— однородная 94
— термическая 187
Плазма холодная 103, 109
Поле самосогласованное 13,
40, 210
Поляризация плазмы 12
Представление Лагранжа 16
— Эйлера 16
Приближение гидродинами-
гидродинамическое 163
— дискретного взаимодейст-
взаимодействия 192
— диффузионное 192, 199
— дрейфовое 20, 79, 81, 248
— идеальной проводимости
18, 82
— квазигидродинамическое
98
— линейное 113
— непрерывного взаимодей-
взаимодействия 1:92
— релаксационное 259
— холодной плазмы 113
Принцип детального равнове-
равновесия 58
Проводимость идеальная 18,
82
— нормальная 31
Пространство импульсов 188
— конфигурационное 188
— фазовое системы 208
— фазовое частицы 187
— — каноническое 188
282
Пуассона скобка 209
Равновесие тепловое или тер-
термическое 52
Равновесие термодинамическое
полное 53
— — частичное 53
Равновесия константа 59
Радиус ларморовский 41
Распределение изотропное 191
Расстояние ближнего взаимо-
взаимодействия 34
Резонанс магнитно-звуковой
158
— поглощения 153
— раскачки 154
• — фазовый 230
— циклотронный 230
Релаксации время 35, 254
— процессы 197
Ряд асимптотический 70
Скин-слой 26
Скорость альфвеновская 94,
119
— групповая ПО, 111
— диффузионная 38
— дрейфовая 19, 80
— ионного звука 168
— фазовая 110
Соотношения Онсагера 202
— Эйнштейна 203
Среда гиротропная
Статистический вес 62
— полный атома 68
Схема Рассела — Саундерса
68
Тензор 31, 136
Тензор* комплексной проводи-
проводимости 138, 223
— — электрической проница-
проницаемости 139, 223
— обратный 137
— проводимости 31
—' сопротивления 31
— частичного электрического
сопротивления 141, 175
— частичной проводимости
141, 223
Уравнение Власова 205, 211
— дисперсионное ПО
— кинетическое 205
— Лиувилля 209
— Фоккера — Планка 192
Условия адиабатичности 42
— замагниченности 81
Формула закона действующих
масс 59
— Инглиса — Теллера 73
— Резерфорда 256
— Саха 61
— Эльверта 60
Функция распределения ско-
скоростей 185
— — iV-частичная 209
Частота аномальной диспер-
' сии 121
— гибридная 125
электронно-ионная 127
— граничная волновода 154
— плазменная 9
. __ — ионная 12
— циклотронная или лармо-
ровская 41
— электронная циклотронная
31
"Число Альфвена 50
— Гартмана 48
— гиротропное 147
— Рейнольдса 51
— Рейнольдса магнитное 50
— частиц погонное 45
— электронов погонное
— — эффективное погонное
159
Эффект Вавилова — Черенко-
ва 220
— конечного циклотронного
радиуса 232
— Фарадея 122
— Холла 32
Явление диффузионной тепло-
теплопроводности 202
— термодиффузии 202
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ,
Обозначения 5
Глава I. Основные понятия
1. Квазинейтральность и разделение зарядов 8
2. Электростатическое экранирование 13
3. Плазма как сплошная среда 15
4. Идеальная проводимость и дрейфовое движение ... 18
5. Вмороженное поле 20
6. Диффузия магнитного поля 24
7. Модель двух жидкостей 27
8. Проводимость плазмы 30
9. Кулоновские столкновения 32
10. Столкновения с нейтральными частицами и перезарядка 35
11. Гидродинамическое представление диффузионных про-
процессов 36
12. Вязкое течение 39
13. Плазма как система независимых частиц 40
Задачи к гл. I . , 44
Глава II. Термодинамика плазмы
1. Температура плазмы 52
2. Тепловая и кулоновская энергия плазмы 53
3. Кулоновские поправки к свободной энергии и давлению
плазмы 56
4. Равновесие ионизации 58
5. Вывод формулы Саха из квазиклассической статистики 61
6. Вывод формулы Саха из химической термодинамики 63
7. Многоступенчатая ионизация 66
8. Статистический вес и внутренние степени свободы . . 67
9. Расходимость и обрезание полного статистического веса 69
Задачи к гл. II 74
Глава III. Траектории частиц в плазме
1. Дрейфовое движение 79
2. Наглядное объяснение дрейфового движения .... 82
3. Количественное рассмотрение дрейфового движения 83
284
4. Электрический дрейф ... 85
5. Дрейф в неоднородном магнитном поле 87
6. Поляризационный дрейф 92
7. Ток намагничивания 94
8. Квазигидродинамическое приближение 98
9. Плазма как диамагнитная среда 101
Задачи к гл. III 105
Глава IV. Колебания и волны в холодной плазме
1. Основные понятия и определения 109
2. Волны в плазме без магнитного поля 114
3. Простейшие случаи распространения волн при наличии #*- ^
магнитного поля 115
4. Магнитогидродинамические волны 117
5. Дисперсия вблизи циклотронных частот 120
6. Магнитный звук 123
7. Гибридные частоты 125
8. Дисперсия магнитного звука . • 127
9. Структура прямых волн в плотной плазме 131
10. Косые волны и тензорные характеристики плазмы . . 136
11. Волны в плазме с конечной проводимостью 148
12. Резонансы поглощения 153
13. Плазменные волноводы ' 154
14. Магнитно-звуковой резонанс 158
Задачи к гл. IV 160
Глава V/ Колебания и волны в горячей плазме в гидродинами-
гидродинамическом приближении
1. Уравнения гидродинамического приближения 163
2. Скорость звука 165
3. Плазменные волны и ионный звук 168
4. Тензорные характеристики горячей плазмы и простран-
пространственная дисперсия 172
5. Ускоренные и замедленные магнитно-звуковые волны 176
6. Дисперсия магнитного звука в горячей плазме 180
Задачи к гл. V 181
Глава VI. Физическая кинетика плазмы
1. Функция распределения 185
2. Фазовое пространство 187
3. Моменты функции распределения 189
4. Уравнение Фоккера—Планка 192
5. Феноменологическое описание процессов переноса . . 197
6. Кинетическое уравнение без столкновений 205
7. Самосогласованное поле 210
8. Кинетическая теория плазменных волн 211
9. Волны в магнитном поле и тензорные характеристики
плазмы 222
10. Решение кинетического уравнения с помощью интегри-
интегрирования по углу 224
11. Специфическое затухание и раскачка колебаний 230
12. Слабая и сильная пространственная дисперсия . . . 232
285
13. Волны на анизотропном фоне 23о
14. Тензорные характеристики термической плазмы 235
15. Предельные случаи 241
16. Релятивистские эффекты и синхротронное излучение 244
17. Интегрирование по траекториям 246
18. Применение метода траекторий к линеаризованному ки-
кинетическому уравнению 248
Флуктуационное взаимодействие и кулоновские столкно-
столкновения 252
Задачи к гл. VI 263
Приложение 1. Гауссова система единиц 267
Приложение 2. Сведения из векторного анализа 268
Приложение 3. Свойства функции Бесселя 269
Приложение 4. Основные формулы статистической термоди-
термодинамики 272
Приложение 5. Данные для расчета равновесий ионизации 274
Приложение 6. Интегралы от распределения Максвелла . . 276
Литература 279
Предметный указатель . . ; 281
Давид Альбертович Франк-Каменецкий
ЛЕКЦИИ ПО ФИЗИКЕ ПЛАЗМЫ
Редактор В. Е. Санков
Художественный редактор А. С. Александров
Технический редактор В. И. Фирсова
Корректор М. И. Дунаевская
Сдано в набор 27/ХП 1967 г.
Подписано в печать 15/IV 1968 г. Т—12819
Формат 84X108V32 Бумага типографская №
Усл. печ. л. 15,12 Уч. кзд. л. 12,99
Тираж 21 500 экз. Заказ изд. 2052. Цена 53 коп.
Заказ тип. 1881.
Атомиздат, К-31, ул. Жданова, 5/7.
Московская типография № 4
Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете
Министров СССР
Б. Переяславская, 46.
ВНИМАНИЮ ЧИТАТЕЛЕЙ
В III кв. 1968 года выходит из печати
книга:
Смирнов Б. М. Атомные столкновения
и элементарные процессы в плазме.
32 л., 5000 экз., 2 р. 20 к.
В книге рассматриваются столкновения
атомных частиц и процессы, происходящие в
низкотемпературной плазме. Такая плазма
реализуется в газовом разряде, газовом лазе-
лазере, МГД-генераторе, термоэлектронном преоб-
преобразователе и других системах. Кроме того,
рассмотренные процессы имеют отношение к
физике верхних слоев атмосферы и астро-
астрофизике.
Монография представляет собой основную
сводку теоретических материалов и фундамен-
фундаментальных экспериментов, касающихся элемен-
элементарных процессов в ионизованных газах.
Книга рассчитана на научных работников,
специализирующихся в области физики плаз-
плазмы и атомных столкновений, а также на сту-
студентов старших курсов физических факуль-
факультетов.
Темплан 1968 года
Заказы на книги направляйте в книж-
книжный магазин № 8 по адресу:
Москва, Центр, Петровка, 15.
АТОМИЗДАТ